A10 Optimização

This watermark does not appear in the registered version - http://www.clicktoconvert.com

A10

- Optimização

Í NDICE

1. Derivada de uma função função------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 1.1. Introdução ao conceito de derivada------------------------------------------------------------------------------------ 2 1.2. Definição de derivada de uma função num ponto---------------------------- 3 1.3. Interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto ---------- 4 1.4. Derivadas laterais-------------------------------------------------------------- 9 deriváveis----------------------------------------------------------------------------------------- 10 1.5. Funções deriváveis-----------------------------continuidade ------------------------------------------------ 12 1.6. Derivabilidade Derivabilidade e continuidade-----------------------------------------------2. Derivadas de algumas funções------------------------------------------------------ 13 3. Regras de derivação-------------------------derivação--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 4. Aplicação das derivadas--------------derivadas------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 18

--------------------------------------------------------- 18 4.1. Sinal da derivada e sentido de variação-------------------------------------------------- 19 4.2. Extremos relativos e absolutos de uma função------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23 4.3. Segunda derivada de uma função-----------------4.4. Concavidade de uma função e segunda derivada ----------------------------- 25

Ensino Profissional

1

Professora Maria Daniel Silva

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.












A10

- Optimização

1. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 1.1. I NTRODUÇÃO AO CONCEITO DE TAXA DE VARIAÇÃO (DERIVADA) A recta secante a uma curva é uma recta que tem com essa curva dois pontos em comum.

A recta tangente a uma curva num ponto é uma recta que tem com essa curva um único ponto em comum. Por exemplo

Como determinar uma equação da recta tangente a uma curva num ponto ( x 0 , f ( x 0 ) ) ?

Para responder a esta questão, considere-se um número muito pequeno h, diferente de zero, e sobre a curva assinala-se assinala-se o ponto ( x 0 + h, f ( x 0 + h) ) . h>0

h<0












A10

- Optimização

O declive da secante é dado por:

f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) h O declive da recta tangente é dado por:

f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) h h®0 lim

1.2.

TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO NUM INTERVALO

Exemplo

Para a empresa X, o rendim ento, em euros, da venda de x unidades é dado por: R ( x ) = 10x - 0,01x 2 , 0 £ x £ 1000 ® Construindo a tabela

200

400

600

- 200

2400

2400

x

R(x)

R (200 ) = 10 ´ 200 - 0,01 ´ 200 2 = -200 R ( 400 ) = 10 ´ 400 - 0,01 ´ 400 2 = 2400

R (600 ) = 10 ´ 600 - 0,01 ´ 600 2 = 2400 ® Calculando R ( 400 ) - R (200 ) = 2400 - ( - 200 ) = 2600 , verifica- se que houve um aumento do

rendimento em 2600 euros. ® Determine- se a taxa média de variação do rendimento por unidade se x varia de 200 para

400 unidades. GRAf pag 10 1.3.

DEFINIÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO PONTO

Considere- se a função real de variável real y = f ( x ) , definida no intervalo ]a, b[ , a ¹ b e seja x 0 um ponto desse intervalo.












A10

- Optimização

Chama-se derivada de uma função f no ponto x 0 e representa-se por f ' ( x 0 ) ao limite, quando existir, da razão

f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) e representa-se por h f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) h h® 0

f ' ( x 0 ) = lim

Se x = x 0 + h então h = x - x 0 e como h ® 0 temos que x - x 0 ® 0 , ou seja, x ® x 0 . Sendo assim, a expressão para f ' ( x 0 ) pode ser escrita da seguinte forma

f ( x) - f ( x 0 ) x ® x0 x - x 0

f ' ( x 0 ) = lim

Exemplo

Considere-se a seguinte função f ( x ) = x 2 e determine-se f ' (2 ) Resolução

Usando a definição, tem-se que:

f ( x ) - f (2) x ®2 x - 2 x 2 - 22 = lim x ®2 x - 2 ( x - 2) ( x + 2 ) = lim x ®2 x-2 = lim ( x + 2)

f ' (2) = lim

x ®2

=2+2 = 4

Então f ' (2 ) = 4












A10

- Optimização

Calcule, aplicando a definição, a derivada da função f ( x ) = 2x + 3 nos pontos x 0 = -1 e x0 = 3 .

1.4.

I NTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM P ONTO

Exemplo

Considere a função f ( x ) = x 2 e calcule, aplicando a def inição, inição, f ' (1) e f ' (3) . Resolução

f ( x ) - f (1) x ®1 x - 1 x 2 - 12 = lim x ®1 x - 1 ( x - 1)( x + 1) = lim x -1 x ®1 = lim ( x + 1)

f ( x ) - f (3) x ®3 x - 3 x 2 - 32 = lim x ®3 x - 3 ( x - 3) ( x + 3 ) = lim x-3 x ®3 = lim ( x + 3)

f ' (1) = lim

f ' (3) = lim

x ®1

x ®3

=1+1 = 2

=3+3 = 6

Ao obterobter- se para a derivada da função no ponto x = 1 o valor 2, e no ponto x = 3 o valor 6, ficou a sabersaber- se que o declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa x = 1 é 2 e o declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa x = 3 é 6,

portanto a tangente no pon ponto to x = 3 aproxima-se mais da vertical.

J J

Tangentes a curvas (significado da derivada aplicado essencialmente na geometria)












A10

- Optimização

A derivada de uma função num ponto x 0 é o declive da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x 0 .

Exercício Na figura seguinte representou-se graficamente uma função

f e

desenhou-se tangentes à

curva em alguns dos pontos.

Por observação do gráfico e relativamente aos pontos considerados, o que pode dizer acerca: a) Do sinal da derivada?














A10

J J

- Optimização

Taxas de variação (significado da derivada aplicado em física, economia, engenharia,

etc.) A taxa de variação média (velocidade

média) de uma

função f num intervalo [a, b] é dada por: f ' ( x 0 ) = t.m.v [a,b]

f (b) - f ( a) b-a

A taxa de variação (velocidade instantânea) da função no ponto x = a é dada por: f ( a + h) - f ( a) h h®0 lim

A taxa de variação da função no ponto x = a é a derivada da função no ponto x = a .

Observe- se a seguinte representação gráfica de uma função f












A10

- Optimização

Exemplo

Um objecto foi lançado na vertical de um ponto P e passados alguns instantes caiu de novo no ponto P.

A distância d do objecto ao ponto P em função do tempo t, em segundos, com início no momento do lançamento é dado por: d( t ) = 16 t - 4t 2

a) Calcule a taxa de variação média (velocidade média) nos intervalos [0,1] , [1,2] e [2,3] e comente os resultados. b) Calcule a taxa de variação da função (velocidade instantânea) para t = 1 .

Resolução

[0,1]

d(1) - d(0 ) 16 - 4 - 0 = = 12 1-0 1

v.m. = [1,2]

d(2 ) - d(1) 16 ´ 2 - 4 ´ 2 2 - 16 ´ 1 - 4 ´ 12 = = 32 - 16 - 16 + 4 = 4 2 -1 1

v.m. = [2,3]

d(3) - d(2 ) 16 ´ 3 - 4 ´ 3 2 - 16 ´ 2 - 4 ´ 2 2 = = 48 - 36 - 32 + 16 = -4 3-2 1

a) v.m. =

(

(

A velocidade média é positiva nos dois primeiros intervalos e no intervalo [0,1] é maior do que no intervalo [1,2] . Significa que o objecto vai a subir mas que a taxa de variação média no primeiro intervalo, ou seja, a velocidade média é maior.

No intervalo [2,3] a velocidade média é negativa, o que significa que o objecto vem a descer.

Em valor absoluto a velocidade nos intervalos [1,2] e [2,3] é a mesma.












A10

lim

d(1 + h) - d(1)

h® 0

h

= lim

- Optimização

(

16(1 + h) - 4(1 + h) 2 - 16 ´ 1 - 4 ´ 12

h

h®0

)

( 16 + 16h - 4(1 + 2h + h2 ) ) - (16 - 4) = lim h (16 + 16h - 4 - 8h - 4h2 ) - 16 + 4 = lim h h®0 2 8h - 4h = lim h h®0 (8 - 4h)h = lim h h®0 = lim (8 - 4h) h®0

h®0

= 8- 4´0 = 8

A velocidade instantânea para t = 1 é 8m/s. Exercício 3 Um objecto move-se ao longo do eixo dos xx `s. A sua posição no tempo t ³ 0 é dada por d( t ) = -t 2 + 3t + 4

(d em cm e t em segundos) a) Determine a posição do móvel para t = 1 e t = 2 . b) Qual é a velocidade do móvel para t = 1 e t = 2 ?

c ) Calcule a taxa de variação média (velocidade média) nos intervalos [0,1] , [1,2] e [2,3] e comente os resultados.

2. DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES

A função afim definida por f ( x ) = mx + b tem por derivada f ' ( x ) = m












A10

- Optimização

Prova

Usando a definição tem-se que f ( x + h) - f ( x ) h h ®0 ( x + h) - ( x ) = lim h®0 h x + h - xb = lim h®0 h h = lim =1 h®0 h

f ' ( x ) = lim

A função constante definida por f ( x ) = k tem por derivada f ' ( x ) = 0 Prova

Usando a definição tem-se que f ( x + h) - f ( x ) h h ®0 k -k = lim h®0 h 0 = lim h®0 h =0

f ' ( x ) = lim

Exemplos

A derivada da função f ( x ) = 2x + 3 é a função f ' ( x ) = 2 .












A10

- Optimização

f ( x + h) - f ( x ) h h®0 ( x + h) 2 - x 2 = lim h h® 0 x 2 + 2xh + h2 - x 2 = lim h h® 0 2xh + h2 = lim h h® 0 (2x + h)h = lim h h® 0 = lim (2x + h) = 2x

f ' ( x ) = lim

h® 0

A derivada da função f ( x ) = x 3 é a função f ' ( x ) = 3x 2 . A derivada da função f ( x ) = 2x 3 é a função f ' ( x ) = 2 ´ 3x 2 = 6x 2 .

A derivada da soma de duas funçãoé igual à soma das derivadas das funções

( f +g ) ' ( x=)

f '( +x) g (' )x

Exemplos Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções

a) g ( x) =2 x+

g (')x =

b) h ( x) =3 x+ 2 +x

h ( ' ) x= 6 +x

2

Exercício 6

Determine uma expressão para a função derivada de f.














A10

- Optimização

A derivada da função f ( x) =

k x

k

a função f ( ' )x= - 2 x

Exercício 8 Determine uma expressão para a função derivada de f.

a) f ( x) =

2 x

)x=

1 2

d) f ( )x= 2 + x

x

b) f ( x) = 4 -x

c) f (

4

7

-

3 x

x2

5 x

2

x

1 +

+

e) f (

1 0 1 5

) =x - 3 + +0 x

x

x 2

Exercício 9 Complete a seguinte tabela f ( x) f (' )x

6

x

7

4

8 x

-

-2 x 1

3 02x

x

3

4












A10

e) f (

) =x

3 x2

- Optimização

+2

3. REGRAS DE DERIVAÇÃO J

Derivada Derivada do produto de duas funções

Se as funções f e g têm derivada finita num ponto a então a função produto f ´ g também é derivável em a e:

( f ´g ) =' f ´' g+ g ´' Exemplo

Determine uma expressão para a derivada de ( 7 - 2 )x´ ( 5 +x

)

éë( 7 -2 x)´ (5ùû +x 3) =' 7( - 2 x´) ' ( 5+ x )+3 ( 5 + x 3)´ '( 7- 2 ) = - ( ´ + ) + ´( 25x3572x - ) = =

-

- +10x63510x +20x29

Exercício 12 Determine uma expressão para a derivada de: a) f ( x) = (2 +3

)x´ ( 5- x)

c) f ( x ) = ( 2 + x2 )´ (3 - x)












A10

- Optimização

x ´' ( 2 +x ) 1- ( 2 +x 1) ´' é x ù = 2 êë 2 +x úû 1 ( 2 +x )1 '

= =

( 2 +x ) 1- 2´ 2 ( 2 +x )1

x

1 2 ( 2 +x )1

Exercício 13 Determine uma expressão para para a derivada das seguintes funções: a) f ( x) = b) f ( x) =

J

1

c ) f ( x) =

x+ 3 x

d) f ( x) =

x2 + 4

Derivada da potência de uma função

'

é( f ) n ù n= ë û Exemplo

-

f´ n f1´

x2 + 7 1- 2 x2 2 - x3












A10

- Optimização

a) Complete, recorrendo à observação do gráfico, o seguinte quadro:

-

x

Sinal de f ('

)

Variação de f ( x)

-1

1

+












A10

- Optimização

R ecorda: ecorda: ü

O ponto E de coordenadas ( 5 -,

)

é o ponto mais baixo da curva, o que significa que a

sua ordenada é o menor valor do contradomínio de f . Diz-se que ü

-3 é o mínimo absoluto da função f quando x = 5.

O ponto F de coordenadas ( 7 , ) é o ponto mais alto da curva, o que significa que a

sua ordenada é o maior valor do contradomínio de f . Diz-se que 4 é o máximo absoluto da função f quando x ü

Se se restringir a função ao intervalo

]

2

= 7.

[ , o ponto mais baixo da curva é B ( 1 )














A10

- Optimização

2. Observe-se o gráfico anterior e estude- se a monotonia da função no intervalo ] 6 ,[ 7

x

Sinal de f ('

)


+

0

-

f ( 7)

Verifica-se que f’ passa de positiva a negativa então f tem um máximo relativo para x

Isto é, se num ponto

c do

= 7.

seu domínio, uma função f é contínua e f muda de sinal então f

tem um extremo relativo nesse ponto.












A10

- Optimização

Elabore- se um quadro para estudar o sinal da função derivada e o sentido de variação da

função

-

x

-2

+

2

Sinal de f ('

)

0

+

-

0


f ( -2 ) = 3

Um máximo relativo da função f é 39 quando x = 2- . Um mínimo relativo da função f é -2 Repare que:

quando x = 2.

f ( 2) = 2 -

+












A10

- Optimização

As questões que na realidade se colocam estão muitas vezes relacionadas com a determinação de valores óptimos (maximizar o lucro, minimizar o material a utilizar, …).

Para responder a algumas destas questõ es aplica- se o conceito de taxa de variação e em particular a determinação dos extremos da função no domínio da variável independente.

Exemplo Um agricultor tem 810 euros para gastar na vedação de duas cercas contíguas, rectangulares

e iguais, junto a um rio, como se ilustra na figura seguinte. Fig pag 22 A vedação dos três lados perpendiculares ao rio custa 9 € o metro, enquanto que vedar o lado

paralelo ao rio custa 8€ o metro. Quais devem ser as dimensões das cercas de modo que a área destas seja máxima ?

Resolução












A10

® Traçar o gráfico da função A(x)

® Traçar o gráfico da derivada, A’(x)

- Optimização












A10

- Optimização

® Determine-se a dimensão y

Sendo x=15 temos que: y =

810 - 27 ´ 15 = 25,3125 16

Logo as dimensões da cerca que conduzem à área máxima são:

x = 15m

e

y » 25,3m

Exercícios

Resolver os exercícios da ficha

DOMÍNIOS PLANOS. LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO LINEAR ECTA EQUAÇÃO REDUZIDA DA R ECTA

As rectas horizontais têm equação do tipo y = b e as rectas verticais têm equações do tipo














A10

- Optimização

Exercícios 1. Representa graficamente a recta de equação

a) 2x - 3y = -6 b) 3x - y =

1 2

2. Escreve uma equação para cada uma das rectas representadas na figura ao lado. A recta t

passa nos pontos A(1,0 ) e B(3,2 ) . Graf 45












A10

- Optimização

æ 7 è 3

2 ö 3 ø

As rectas intersectam-se no ponto de coordenadas ç ,- ÷ Resolução gráfica

Representam-se as rectas graficamente determinando- se, assim, o seu ponto de intersecção. Pag 47

x + 2y = 1 Û 1 x Ûy = 2 2

x

y

0

1 2












A10

- Optimização

D E INEQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS ESTUDO GRÁFICO DE

Recorda que, por exemplo, a inequação x ³ 0 representa o semiplano que contém todos os pontos com abcissa maior ou igual a zero.












A10

ü

- Optimização

Desenha-se a recta de equação y = -

x + 2 usando dois dos seus pontos (pontos de 2

intersecção com os eixos coordenados, preferencialmen te). ü

Observa- se onde fica colocado um ponto que não pertença à recta, por exemplo a

origem do referencial (0,0) Para x=0 e y=0, temtem- se 0 + 2 ´ 0 - 4 £ 0 Û -4 £ 0 verdade Logo, o ponto de coordenadas (0,0) pertence ao semiplano definido pela condiç ão.

A10 Optimização

Recommend Documents