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Í NDICE
1. Derivada de uma função função------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 1.1. Introdução ao conceito de derivada------------------------------------------------------------------------------------ 2 1.2. Definição de derivada de uma função num ponto---------------------------- 3 1.3. Interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto ---------- 4 1.4. Derivadas laterais-------------------------------------------------------------- 9 deriváveis----------------------------------------------------------------------------------------- 10 1.5. Funções deriváveis-----------------------------continuidade ------------------------------------------------ 12 1.6. Derivabilidade Derivabilidade e continuidade-----------------------------------------------2. Derivadas de algumas funções------------------------------------------------------ 13 3. Regras de derivação-------------------------derivação--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 4. Aplicação das derivadas--------------derivadas------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 18
--------------------------------------------------------- 18 4.1. Sinal da derivada e sentido de variação-------------------------------------------------- 19 4.2. Extremos relativos e absolutos de uma função------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23 4.3. Segunda derivada de uma função-----------------4.4. Concavidade de uma função e segunda derivada ----------------------------- 25
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1. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 1.1. I NTRODUÇÃO AO CONCEITO DE TAXA DE VARIAÇÃO (DERIVADA) A recta secante a uma curva é uma recta que tem com essa curva dois pontos em comum.
A recta tangente a uma curva num ponto é uma recta que tem com essa curva um único ponto em comum. Por exemplo
Como determinar uma equação da recta tangente a uma curva num ponto ( x 0 , f ( x 0 ) ) ?
Para responder a esta questão, considere-se um número muito pequeno h, diferente de zero, e sobre a curva assinala-se assinala-se o ponto ( x 0 + h, f ( x 0 + h) ) . h>0
h<0
Quando h ® 0 , a linha secante, definida pelos pontos de abcissa x 0 e x 0 + h , tende para uma posição limite que é a recta tangente à curva no ponto ( x 0 , f ( x 0 ) ) . Ensino Profissional
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O declive da secante é dado por:
f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) h O declive da recta tangente é dado por:
f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) h h®0 lim
1.2.
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO NUM INTERVALO
Exemplo
Para a empresa X, o rendim ento, em euros, da venda de x unidades é dado por: R ( x ) = 10x - 0,01x 2 , 0 £ x £ 1000 ® Construindo a tabela
200
400
600
- 200
2400
2400
x
R(x)
R (200 ) = 10 ´ 200 - 0,01 ´ 200 2 = -200 R ( 400 ) = 10 ´ 400 - 0,01 ´ 400 2 = 2400
R (600 ) = 10 ´ 600 - 0,01 ´ 600 2 = 2400 ® Calculando R ( 400 ) - R (200 ) = 2400 - ( - 200 ) = 2600 , verifica- se que houve um aumento do
rendimento em 2600 euros. ® Determine- se a taxa média de variação do rendimento por unidade se x varia de 200 para
400 unidades. GRAf pag 10 1.3.
DEFINIÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO PONTO
Considere- se a função real de variável real y = f ( x ) , definida no intervalo ]a, b[ , a ¹ b e seja x 0 um ponto desse intervalo.
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Chama-se derivada de uma função f no ponto x 0 e representa-se por f ' ( x 0 ) ao limite, quando existir, da razão
f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) e representa-se por h f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) h h® 0
f ' ( x 0 ) = lim
Se x = x 0 + h então h = x - x 0 e como h ® 0 temos que x - x 0 ® 0 , ou seja, x ® x 0 . Sendo assim, a expressão para f ' ( x 0 ) pode ser escrita da seguinte forma
f ( x) - f ( x 0 ) x ® x0 x - x 0
f ' ( x 0 ) = lim
Exemplo
Considere-se a seguinte função f ( x ) = x 2 e determine-se f ' (2 ) Resolução
Usando a definição, tem-se que:
f ( x ) - f (2) x ®2 x - 2 x 2 - 22 = lim x ®2 x - 2 ( x - 2) ( x + 2 ) = lim x ®2 x-2 = lim ( x + 2)
f ' (2) = lim
x ®2
=2+2 = 4
Então f ' (2 ) = 4 Exercício 1 Calcula, a partir da definição, a derivada da função y = x 2 nos pontos x 0 = -1 e x 0 = -3 .
Exercício 2 Ensino Profissional
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Calcule, aplicando a definição, a derivada da função f ( x ) = 2x + 3 nos pontos x 0 = -1 e x0 = 3 .
1.4.
I NTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM P ONTO
Exemplo
Considere a função f ( x ) = x 2 e calcule, aplicando a def inição, inição, f ' (1) e f ' (3) . Resolução
f ( x ) - f (1) x ®1 x - 1 x 2 - 12 = lim x ®1 x - 1 ( x - 1)( x + 1) = lim x -1 x ®1 = lim ( x + 1)
f ( x ) - f (3) x ®3 x - 3 x 2 - 32 = lim x ®3 x - 3 ( x - 3) ( x + 3 ) = lim x-3 x ®3 = lim ( x + 3)
f ' (1) = lim
f ' (3) = lim
x ®1
x ®3
=1+1 = 2
=3+3 = 6
Ao obterobter- se para a derivada da função no ponto x = 1 o valor 2, e no ponto x = 3 o valor 6, ficou a sabersaber- se que o declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa x = 1 é 2 e o declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa x = 3 é 6,
portanto a tangente no pon ponto to x = 3 aproxima-se mais da vertical.
J J
Tangentes a curvas (significado da derivada aplicado essencialmente na geometria)
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A derivada de uma função num ponto x 0 é o declive da recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x 0 .
Exercício Na figura seguinte representou-se graficamente uma função
f e
desenhou-se tangentes à
curva em alguns dos pontos.
Por observação do gráfico e relativamente aos pontos considerados, o que pode dizer acerca: a) Do sinal da derivada? b) Do valor relativo da derivada em x = x 5 e x = x 6 ? c ) Do valor relativo da derivada em x = x1 e x = x 2 ?
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J J
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Taxas de variação (significado da derivada aplicado em física, economia, engenharia,
etc.) A taxa de variação média (velocidade
média) de uma
função f num intervalo [a, b] é dada por: f ' ( x 0 ) = t.m.v [a,b]
f (b) - f ( a) b-a
A taxa de variação (velocidade instantânea) da função no ponto x = a é dada por: f ( a + h) - f ( a) h h®0 lim
A taxa de variação da função no ponto x = a é a derivada da função no ponto x = a .
Observe- se a seguinte representação gráfica de uma função f
Da observação do gráfico é possível concluir que: Em x = x1 , x = x 2 e x = x 4 a taxa de variação da função f é positiva ( m1 , m2 e m 4 são
positivos). Em x = x 2 a taxa de variação da função f é inferior à taxa de variação em x = x1 ( m2 < m1 ). Em x = x 3 a taxa de variação da função f é negativa ( m3 < 0 ).
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Exemplo
Um objecto foi lançado na vertical de um ponto P e passados alguns instantes caiu de novo no ponto P.
A distância d do objecto ao ponto P em função do tempo t, em segundos, com início no momento do lançamento é dado por: d( t ) = 16 t - 4t 2
a) Calcule a taxa de variação média (velocidade média) nos intervalos [0,1] , [1,2] e [2,3] e comente os resultados. b) Calcule a taxa de variação da função (velocidade instantânea) para t = 1 .
Resolução
[0,1]
d(1) - d(0 ) 16 - 4 - 0 = = 12 1-0 1
v.m. = [1,2]
d(2 ) - d(1) 16 ´ 2 - 4 ´ 2 2 - 16 ´ 1 - 4 ´ 12 = = 32 - 16 - 16 + 4 = 4 2 -1 1
v.m. = [2,3]
d(3) - d(2 ) 16 ´ 3 - 4 ´ 3 2 - 16 ´ 2 - 4 ´ 2 2 = = 48 - 36 - 32 + 16 = -4 3-2 1
a) v.m. =
(
(
A velocidade média é positiva nos dois primeiros intervalos e no intervalo [0,1] é maior do que no intervalo [1,2] . Significa que o objecto vai a subir mas que a taxa de variação média no primeiro intervalo, ou seja, a velocidade média é maior.
No intervalo [2,3] a velocidade média é negativa, o que significa que o objecto vem a descer.
Em valor absoluto a velocidade nos intervalos [1,2] e [2,3] é a mesma. b) Para calcular a taxa de variação da função, ou seja, a velocidade instantânea para t = 1 ,
calculecalcule- se
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lim
d(1 + h) - d(1)
h® 0
h
= lim
(
16(1 + h) - 4(1 + h) 2 - 16 ´ 1 - 4 ´ 12
h
h®0
= lim
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)
(16 + 16h - 4(1 + 2h + h2 )) - (16 - 4)
h (16 + 16h - 4 - 8h - 4h2 ) - 16 + 4 = lim h h®0 2 8h - 4h = lim h h®0 (8 - 4h)h = lim h h®0 = lim (8 - 4h) h®0
h®0
= 8- 4´0 = 8
A velocidade instantânea para t = 1 é 8m/s. Exercício 3 Um objecto move-se ao longo do eixo dos xx `s. A sua posição no tempo t ³ 0 é dada por d( t ) = -t 2 + 3t + 4
(d em cm e t em segundos) a) Determine a posição do móvel para t = 1 e t = 2 . b) Qual é a velocidade do móvel para t = 1 e t = 2 ?
c ) Calcule a taxa de variação média (velocidade média) nos intervalos [0,1] , [1,2] e [2,3] e comente os resultados.
2. DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES
A função afim definida por f ( x ) = mx + b tem por derivada f ' ( x ) = m
Prova
Usando a definição tem-se que f ( x + h) - f ( x ) h h ®0 (m( x + h) + b) - (mx + b ) = lim h h®0 mx + mh + b - mx - b = lim h®0 h mh = lim =m h®0 h
f ' ( x ) = lim
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A função identidade definida por f ( x ) = x tem por derivada f ' (
) 1
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Prova
Usando a definição tem-se que f ( x + h) - f ( x ) h h ®0 ( x + h) - ( x ) = lim h®0 h x + h - xb = lim h®0 h h = lim =1 h®0 h
f ' ( x ) = lim
A função constante definida por f ( x ) = k tem por derivada f ' ( x ) = 0 Prova
Usando a definição tem-se que f ( x + h) - f ( x ) h h ®0 k -k = lim h®0 h 0 = lim h®0 h =0
f ' ( x ) = lim
Exemplos
A derivada da função f ( x ) = 2x + 3 é a função f ' ( x ) = 2 . A derivada da função f ( x ) = -x - 4 é a função f ' ( x ) = -1 . A derivada da função f ( x ) = 10 é a função f ' ( x ) = 0 . A função potência definida por f ( x ) = ax n tem por derivada f ' ( x ) = a.n.x n -1
Exemplos
A derivada da função f ( x ) = x 2 é a função f ' ( x ) = 2x . Prova
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f ( x + h) - f ( x ) h h®0 ( x + h) 2 - x 2 = lim h h® 0 2 x + 2xh + h2 - x 2 = lim h h® 0 2xh + h2 = lim h h® 0 (2x + h)h = lim h h® 0 = lim (2x + h) = 2x
f ' ( x ) = lim
h® 0
A derivada da função f ( x ) = x 3 é a função f ' ( x ) = 3x 2 . A derivada da função f ( x ) = 2x 3 é a função f ' ( x ) = 2 ´ 3x 2 = 6x 2 .
A derivada da soma de duas funçãoé igual à soma das derivadas das funções
( f +g ) ' ( x=)
f '( +x) g (' )x
Exemplos Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções
a) g ( x) =2 x+
g (')x =
b) h ( x) =3 x+ 2 +x
h ( ' ) x= 6 +x
2
Exercício 6
Determine uma expressão para a função derivada de f. a) f ( x) =3 x2+ 2 +x b) f ( x) = 2
5
-x
32 2
x+
3 - 52 +x c ) f ( x) =2 x
d) f ( x)
4
x =x 1 4+0 x2 - 2 +
3
Exercício 7 Determine uma expressão para a função derivada de f e calcule f ('
a) f ( x) = 2 - 2x + 1
c ) f ( x) = x 3 -3
b) f ( x) =x 2 + x 1- 0
12
d) f ( x) = 4 -x +x
3
3
3
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).
2
11
7 3- x+ 1 0
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A derivada da função f ( x) =
k x
k
a função f ( ' )x= - 2 x
Exercício 8 Determine uma expressão para a função derivada de f.
a) f ( x) =
2 x
)x=
1 2
d) f ( )x= 2 + x
x
b) f ( x) = 4 -x
c) f (
4
7
-
3 x
x2
5 x
2
x
1 +
1 0 1 5
) =x - 3 + +0
e) f (
+
x
x
x 2
Exercício 9 Complete a seguinte tabela f ( x)
6
x
-
-2 x
4
7
1
8 x
f (' )x
x
3
4
3 02x
Exercício 10 Determine uma expressão para a derivada de cada uma das expressões.
a) b)
1 x
c) 2
x
2
3 x4
d)
3
x
e)
3
x2
Exercício 11
Indique uma expressão para a função derivada de f. 1
a) f ( x) = 1 - 0 + x x
b) f ( x) = 8 -x -3 4
x4
c) f (
) =x -
d) f (
)x=
4
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1 2
2 x+
3
23
2-
x x + 2 2+ x + 5 2 x
3
+x
2
2
x
+
5
+
6
1
3 x- 1 + 2 4 x
12
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e) f (
) =x
3 x2
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+2
3. REGRAS DE DERIVAÇÃO J
Derivada Derivada do produto de duas funções
Se as funções f e g têm derivada finita num ponto a então a função produto f ´ g também é derivável em a e:
( f ´g ) =' f ´' g+ g ´' Exemplo
Determine uma expressão para a derivada de ( 7 - 2 )x´ ( 5 +x
)
éë( 7 -2 x)´ (5ùû +x 3) =' 7( - 2 x´) ' ( 5+ x )+3 ( 5 + x 3)´ '( 7- 2 ) = - ( ´ + ) + ´( 25x3572x - ) = =
-
- +10x63510x +20x29
Exercício 12 Determine uma expressão para a derivada de: a) f ( x) = (2 +3
)x´ ( 5- x)
b) f ( x) = (7 - x ´) 1( - x
J
c) f ( x ) = ( 2 + x2 )´ (3 - x)
+ 4)
(
d) f ( x) = 2 +5
2
x)´ 3 x
Derivada do quociente de duas funções
Se as funções f e g têm der ivada finita num ponto a então a função quociente
f g
também é
derivável em a e: '
æ f öf ' ´g -g '´ ç ÷= g 2 èg ø Exemplo
Determine uma expressão para a derivada de
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x 2 + x
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x ´' ( 2 +x ) 1- ( 2 +x 1) ´' é x ù = 2 êë 2 +x úû 1 ( 2 +x )1 '
= =
( 2 +x ) 1- 2´ 2 ( 2 +x )1
x
1 2 ( 2 +x )1
Exercício 13 Determine uma expressão para para a derivada das seguintes funções: a) f ( x) = b) f ( x) =
J
1
c ) f ( x) =
x+ 3 x
d) f ( x) =
x2 + 4
x2 + 7 1- 2 x2 2 - x3
Derivada da potência de uma função
'
é( f ) n ù n= ë û
-
f´ n f1´
Exemplo 5
Determine uma expressão para a derivada de ( 3 -x ) 1 '
é( 3 -x ù) 51= 5 ´3( 4 x- 1) ´3( x- 1) ë û 4 ) ´53x13
=
´(
-
=
´(
-153x1 )
4
Exercício 14 Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções:
(
b) f ( x) =x
c) f ( x) = 2
7
a) f ( x) = 7(
x+ 3)
3
d) f ( x) = 4 3
3- x +1 )2
2
x2 x-
4. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
4.1. SINAL DA DERIVADA E SENTIDO SENTIDO DE V ARIAÇÃO Exemplo
Na figura seguinte está rre epresentada graficamente a função f e a sua derivada Seja f ( x) = x 3 -3 x+ então f ' x ( _) _=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
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a) Complete, recorrendo à observação do gráfico, o seguinte quadro:
-
x
Sinal de f ('
-1
+
1
)
Variação de f ( x) b) Procure estabelecer agora uma relação entre a variação de uma função e o sinal da sua
derivada. Pode dizer-se que: M M
Se a derivada f’ é positiva num intervalo então a função f é estritamente crescente
nesse intervalo. M M
Se a derivada f’ é negativa num intervalo então a função f é estritamente
decrescente nesse interva lo. M M
Se a derivada f’ é nula num intervalo então a função f é constante nesse intervalo.
Exercício 15 ConsidereConsidere - se a função polinomial g ( )x= x3 + . a) Determine g ( '
).
b) Estude a monotonia da função g.
4.2. EXTREMOS RELATIVOS E ABSOLUTOS DE UMA FUNÇÃO Analise-se o gráfico de uma função f definida no intervalo [ -2 , ] . Ensino Profissional
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R ecorda: ecorda: ü
O ponto E de coordenadas ( 5 -,
)
é o ponto mais baixo da curva, o que significa que a
sua ordenada é o menor valor do contradomínio de f . Diz-se que ü
-3 é o mínimo absoluto da função f quando x = 5.
O ponto F de coordenadas ( 7 , ) é o ponto mais alto da curva, o que significa que a
sua ordenada é o maior valor do contradomínio de f . Diz-se que 4 é o máximo absoluto da função f quando x ü
= 7.
Se se restringir a função ao intervalo ] -2 , [ , o ponto mais baixo da curva é B ( -1 , ) .
Diz - se que a função f admite um mínimo relativo igual a -1 quando x = 1. ü
æ 5ö Se se restringir a função ao intervalo ] -1 ,[ , o ponto mais alto da curva é D ç 3 ,÷ . è 3ø
Diz-se que a função f admite um máximo relativo igual a
1 1
5 3
quando x = 3.
Qual a relação entre a existência de extremos e o sinal da derivada?
Exemplos 1. Observe-se o gráfico anterior e estude- se a monotonia da função no intervalo ] 4 , [ 5
x
Sinal de f ('
)
-
0
Variação de f ( x)
+
f ( 5)
Verifica-se que f’ passa de negativa a positiva então f tem um mínimo relativo para x = 5. Ensino Profissional
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2. Observe-se o gráfico anterior e estude- se a monotonia da função no intervalo ] 6 ,[ 7
x
Sinal de f ('
)
0
+
Variação de f ( x)
-
f ( 7)
Verifica-se que f’ passa de positiva a negativa então f tem um máximo relativo para x
Isto é, se num ponto
c do
= 7.
seu domínio, uma função f é contínua e f muda de sinal então f
tem um extremo relativo nesse ponto.
M M
Se f’ Se f’ passa de positiva a negativa em c, a função f tem um máximo relativo para x = c. c
x
Sinal de f ( ' )x
+
-
f ( c)
Variação de f ( x)
M M
0
Se f’ Se f’ passa de negativa a positiva em c, a função f tem um mínimo relativo para x = c c
x
Sinal de f ( ' )x
-
Variação de f ( x)
0
+
f ( c)
Exemplo
Determine os extremos relativos da função f ( x) =2 x3 -2 4 +x Resolução
A expressão da função derivada é f (' )x= 6 2x- 2
(utilize- se a calculadora gráfica para
traçar a derivada da função) Determinem-se os zeros de f’ :
6 2x- 2 =4 20 Û6 x = 2 4
Û 2 = x4 Û = Ú = x (utilize- se a calculadora gráfica para determinar os zeros da função derivada)
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Elabore- se um quadro para estudar o sinal da função derivada e o sentido de variação da
função
-
x
-2
+
2
Sinal de f ('
-
0
+
)
0
+
Variação de f ( -2 ) = 3
f ( x)
f ( 2) = 2 -
Um máximo relativo da função f é 39 quando x = 2- . Um mínimo relativo da função f é -2
quando x = 2.
Repare que: Se
f’
se anula em c mas tem o mesmo sinal à esquerda e à
direita de c, então f ( c) não é um extremo relativo.
Exemplo
A função f ( x) = x3 + 2 é estritamente crescente em IR e não admite qualquer extremo. f (' )x= 3
2
-
x
Sinal de f ('
)
+
0
+
f( 0 )=
Variação de f ( x) Apesar de f ( ' ) 0=
+
0
não é suficiente para que f admita em 0 um extremo relativo.
Exercício 16
Determine os extremos relativos da função: a) f ( x) = x -2 3 + x +
b) f ( x) =x 3- x -1 3
PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO Muitos fenómenos da Física, Economia e muitas ciências têm como mod elo matemático uma
função. f : x
a
y = f ( x )
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As questões que na realidade se colocam estão muitas vezes relacionadas com a determinação de valores óptimos (maximizar o lucro, minimizar o material a utilizar, …).
Para responder a algumas destas questõ es aplica- se o conceito de taxa de variação e em particular a determinação dos extremos da função no domínio da variável independente.
Exemplo Um agricultor tem 810 euros para gastar na vedação de duas cercas contíguas, rectangulares
e iguais, junto a um rio, como se ilustra na figura seguinte. Fig pag 22 A vedação dos três lados perpendiculares ao rio custa 9 € o metro, enquanto que vedar o lado
paralelo ao rio custa 8€ o metro. Quais devem ser as dimensões das cercas de modo que a área destas seja máxima ?
Resolução
Pretende-se Pretende- se optimizar a área cercada. Ilustre-se a situação e identifique-se as variáveis independentes. Considere-se Considere-se que: x designa o comprimento de um lado perpendicular ao rio
y designa o comprimento do lado, de uma cerca, paralelo ao rio
A resolução do problema está condicionada pelo custo da vedação e pelo dinheiro disponível.
3 x2´3 9+2 y ´ 8 = 810 1 123
{
Valor disponível Custo da vedação do lado paralelo ao rio Custo da vedação dos lados perpendiculares ao rio
Ou seja
y=
810 - 27x 16
A área A é dada por A = (2y )x = 2xy
Escrevendo a área em função de x, vem A ( x ) = 2x ´
810x - 27x 2 810 - 27 x ou A ( x) = 16 8
Estude- se o sinal de A’ usando o programa Graphmatica ou a calculadora Ensino Profissional
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A10
- Optimização
® Traçar o gráfico da função A(x)
® Traçar o gráfico da derivada, A’(x)
® Estude- se a variação da função área A, construindo uma tabela de variação da função A e
do sinal de A’. x
A’(x) A(x)
Ensino Profissional
0
15 +
0
–
max. 759,375
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A10
- Optimização
® Determine-se a dimensão y
Sendo x=15 temos que: y =
810 - 27 ´ 15 = 25,3125 16
Logo as dimensões da cerca que conduzem à área máxima são:
x = 15m
e
y » 25,3m
Exercícios
Resolver os exercícios da ficha
DOMÍNIOS PLANOS. LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO LINEAR ECTA EQUAÇÃO REDUZIDA DA R ECTA
As rectas horizontais têm equação do tipo y = b e as rectas verticais têm equações do tipo x = a , com a, b Î IR .
Pag 44 No caso de a recta não ser vertical, nem horizontal, a expressão que a define é do tipo
designa - se por y = mx + b , em que m é o declive e b é a ordenada na origem. Esta equação designaequação reduzida da recta. re cta. Representar graficamente uma recta Para representar graficamente uma recta é suficiente determinar dois dos seus pontos. Por exemplo, para representar graficamente a recta de equação y = -2x + 3 , determinem-se
os pontos de intersecção da recta com os eixos coordenados. y = -2x + 3
x = 0; y = -2 ´ 0 + 3 = 3 y = 0; 0 = -2x + 3 Û 2x = 3 Û x =
2 3
æ 2 ö Então (0,3) e ç ,0 ÷ são pontos da recta. Graf 44 è 3 ø
Determinar o declive da recta
Sejam dois pontos A( x1 , y1 ) e B( x 2 , y 2 ) de uma recta não vertical, o declive m da recta AB é dado por
y - y1 m= 2 x 2 - x1
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A10
- Optimização
Exercícios 1. Representa graficamente a recta de equação
a) 2x - 3y = -6 b) 3x - y =
1 2
2. Escreve uma equação para cada uma das rectas representadas na figura ao lado. A recta t
passa nos pontos A(1,0 ) e B(3,2 ) . Graf 45 I NTERSECÇÃO DE RECTAS
Considera as rectas de equação y = 2x + 1 e y = 2x - 1 . Estas rectas são paralelas, uma vez que têm o mesmo declive, m=2, mas não são coincidentes, isto é, são estritamente
paralelas (não se intersectam). No caso das rectas de equação y = 2x + 1 e 2x - y = -1 , estas são coincidentes porque
2x - y = -1 Û y = 2x + 1 Neste caso há uma infinidade de pontos em comum às duas rectas.
DetermineDetermine- se o ponto de intersecção das rectas não paralelas de equações p : x + 2y = 1 e q: x - y = 3.
Resolução analítica
O ponto de intersecção das duas rectas é a solução do sistema: ìx + 2y = 1 í îx - y = 3
ResolvaResolva- se o sistema pelo método de substituição ìx + 2y = 1 ìx = -2y + 1 Û í í îx - y = 3 î( - 2y + 1) - y = 3 ì- - - - - Û í î- 3y = 3 - 1 ì- - - - - ï Û í 2 ïy = - 3 î ì æ 2 ö ïx = -2 ´ ç - ÷ + 1 ï è 3 ø Û í ïy = - 2 ïî 3 7 ì x = ïï 3 Û ( x, y ) = Û í ïy = - 2 ïî 3 Ensino Profissional
Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas e substituir a expressão obtida na outra equação Resolver a segunda equação em ordem à incógnita que aí figura
Substituir o valor encontrado na primeira equação
æ 7 2 ö ç ,- ÷ è 3 3 ø
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A10
- Optimização
æ 7 è 3
2 ö 3 ø
As rectas intersectam-se no ponto de coordenadas ç ,- ÷ Resolução gráfica
Representam-se as rectas graficamente determinando- se, assim, o seu ponto de intersecção. Pag 47
x + 2y = 1 Û 1 x Ûy = 2 2
x-y =3Û Û y = x-3
x
y
0
1 2
1
0
x
y
0
-3
3
0
Com o uso do programa Graphmatica
Exercício Determina, caso exista, o ponto de intersecção das rectas r e s em cada um dos seguintes casos: a) r : x + 4y = 3 ; e s : -3x + 2y = 4 ; b) r : 4x - 3y = 1 ; e s : 3x + 4y = 7 ;
c) r : y = -
3 2 x + ; e s : 2x + y + 3 = 0 ; 10 5
d) r : 2y - x = 2 ; e s : y =
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1 x + 3; 2
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A10
- Optimização
D E INEQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS ESTUDO GRÁFICO DE
Recorda que, por exemplo, a inequação x ³ 0 representa o semiplano que contém todos os pontos com abcissa maior ou igual a zero.
A inequação y £ 1 representa o semiplano que contém todos os pontos com ordenada menor ou igual a um.
Exercício Representa num referencial a) x ³ -1
e) -x + 1 > 0
b) x > 1
f)
c) y > 1
g) x - 2 > 0
d) y > -1
h) y - 2 £ 0
y £ -1
Considera agora a inequação x + 2y - 4 £ 0 .
O conjunto de pares ordenados que são solução desta inequação é representado por um semiplano cuja fronteira é a recta de equação x + 2y - 4 = 0 . Para identificar qual é o semiplano procede -se de uma das seguintes formas. 1º processo Ensino Profissional
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A10
ü
- Optimização
Desenha-se a recta de equação y = -
x + 2 usando dois dos seus pontos (pontos de 2
intersecção com os eixos coordenados, preferencialmen te). ü
Observa- se onde fica colocado um ponto que não pertença à recta, por exemplo a
origem do referencial (0,0) Para x=0 e y=0, temtem- se 0 + 2 ´ 0 - 4 £ 0 Û -4 £ 0 verdade Logo, o ponto de coordenadas (0,0) pertence ao semiplano definido pela condiç ão.
Se a proposição fosse falsa concluía- se que o ponto não pertencia ao semiplano pretendido. 2º processo x +2 2
ü
Desenha-se a recta de equação y = -
ü
Resolve- se a inequação dada em ordem a y: x + 2y - 4 £ 0 Û 2y £ - x + 4 x Û y £ - +2 2
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