7 Mat Proyectables

Lámina 1a

Clase: 1 Material exclusivo para enseñanza

Unidad 3: Geometría

Cálculo mental diario a)

13

•

13

=

b)

103

–

70

=

c)

6:2

–

2•4

=

d)

4•4

–

42:2

=

e)

-15

+

5•5

=

f)

12

–

6•6

=

g)

5

+

(3•8)

=

h)

-20

–

5-10

=

8

–

(6+4)

=

+

(-3)

=

•

(-13)

=

+ 4–143

=

i) j)

(-40)

k)

3

l)

143

Lámina 1b

Clase 1 Material exclusivo para enseñanza



13

•

13

=

169

b)

103

–

70

=

930

c)

6:2

–

2•4

=

-5

d)

4•4

–

42:2

=

-5

e)

-15

+

5•5

=

-10

f)

12

–

6•6

=

-24

g)

5

+

(3•8)

=

29

h)

-20

–

5-10

=

-35

8

–

(6+4)

=

-2

+

(-3)

=

-43

•

(-13)

=

-39

+ 4–143

=

4

i) j)

(-40)

k)

3

l)

143

Lámina 1c

•

•

•

•

Clase 1 Unidad 3: Geometría

Ubicar el transportador sobre uno de los lados del ángulo, de manera que coincida con la línea horizontal del transportador. transpor tador. Hacer coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo. Observar la medida del ángulo que marca el otro lado del ángulo del de l transportador. Contar los grados desde cero.

Material exclusivo para enseñanza

Lámina 1d


Si el ángulo esta entre 0º y 90º se llama agudo

Si el ángulo es de 90º se llama recto

Si el ángulo esta entre 90º y 180º se llama obtuso

Si el ángulo es de 180º se llama llano

Si el ángulo esta entre 180º y 360º se llama cóncavo

Si el ángulo mide 360º se llama completo


Lámina 1e


Materiales

•

Mitad de una hoja blanca DIN A4

Transportador/regla Tr ansportador/regla

•

Tijeras

•

•

Pegamento


Lámina 1f


Actividad

Dibujar un ángulo llano sobre la mitad de una hoja blanca Dividir en tres ángulos: •

Un ángulo agudo de 40º

•

Un ángulo recto

•

Un ángulo de 50º


Lámina 1g


Recortar como se indica en las imágenes:


Lámina 1h


Con las tres partes construir un triángulo: Ubicando sobre una línea recta los ángulos recortados de 50º y 40º

Dibujando las líneas extendidas, correspondiente a cada ángulo

Midiendo el ángulo que resulta de la intersección, ubicando y pegando finalmente el ángulo de 90º que ya estaba recortado


Lámina 1i


Suma los ángulos interiores de un triángulo.


Lámina 1j




Lámina 1k




1 3 2

1

2

Se ha dividido el ángulo llano en tres y se ha formado un triángulo o viceversa si se recortan las “puntas” de un triángulo y se juntan, estos ángulos (puntas) forman un ángulo llano (de 180º).

Lámina 1l


Dibujar un cuadrilátero cualquiera Medir los ángulos interiores del cuadrilátero Anotar en su cuaderno, siguiendo el siguiente modelo de notación:

•

Medida ángulo 1: 80º

•


•


•

Medida ángulo 4: 85º Sumar las medidas de los 4 ángulos: 80º + 79º + 116º + 85º = 360º


Lámina 1m



Dibujar la diagonal del cuadrilátero que va entre 1 y 3 Recortar los triángulos y pegar en sus cuadernos:

En un cuadrilátero se pueden formar dos triángulos, para cada uno de ellos la suma de sus ángulos interiores es 180º por lo tanto, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero debe ser 360º.

Lámina 1n



Anotar en sus cuadernos lo que han recordado con estas dos actividades:

1) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º 2) La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º

Lámina 1ñ



1) Alejandra quiere ubicar un espejo y necesita saber las medidas de los ángulos faltantes. Utiliza al menos dos estrategias para poder encontrar estos ángulos.

Espejo

Espejo

Lámina 1o



2) Natalia ha realizado su práctica de diseño durante el año pasado y debe preparar una breve presentación de proyecto. Uno de los profesores que va estar en la comisión de práctica del colegio, es el profesor de matemática. Utilizando los datos del diseño y los dibujos iniciales de Natalia ¿qué argumentos utilizarías para hacer una presentación sólida y contundente sobre el proyecto de diseño?

30º 50º

140º 50º

Lámina 1p



¿Cuánto miden los ángulos de la siguiente figura? ¿a qué tipo de cuadrilátero corresponde?

Lámina 1q



Utilizando el transportador se tiene que las medidas son 95º, 110º y 120º y 35º, corresponde a un cuadrilátero cualquiera.

35º

120º

95º

110º

Lámina 1r



¿Cuánto miden los ángulos de la siguiente figura? ¿a qué tipo de cuadrilátero corresponde?

Lámina 1s



Utilizando el transportador se tiene que las medidas son: 73º, 65º, 73º y 149º. 149º 73º

73º

65º

Lámina 2a



Revisión de tareas de la clase anterior: (1) N° IV a. La diferencia de los rayos del sol entre el ecuador y los polos es diferente. Para ciudades que están ubicadas entre Talca (Chile) y Lima (Perú), la inclinación ideal de los techos con paneles solares estaría entre 30º y 45º. A continuación se muestran tres techos con paneles solares: A

•

B

C

Utilizando los dibujos correspondientes a cada techo, mide con el transportador dos de los ángulos del triángulo. A

B

57º

57º

C

18º

13º

42º

90º

Lámina 2b



Revisión de tareas de la clase anterior: (1) N° IV •

Determina el tercer ángulo del triángulo utilizando una ecuación. En el caso del techo A la ecuación es: 57 + 57 + x = 180, la medida del ángulo faltante x es 66º. En el caso del techo B la ecuación es: 18 + 13 + x = 180, la medida del ángulo faltante x es 149º. En el caso del techo C la ecuación es: 42 + 90 + x = 180, la medida del ángulo faltante x es 48º.

•

Determina el tercer ángulo del triángulo utilizando una ecuación.¿Cuál de los techos, según tus mediciones, tendría una inclinación ideal?

A

B

C X

Lámina 2c



b. Los artistas están siempre buscando formas de abstraer las formas reales y para esto tienen diferentes técnicas. Una de estas técnicas consiste en dibujar utilizando solo triángulos y cuadriláteros. En el cisne: • Encuentra el cuadrilátero de medidas: 125º, 46º, 148º. • Encuentra el cuadrilátero de medidas: 33º, 58º, 120º.

c. En la mariposa: • Encuentra los cuadriláteros con medidas de ángulos: 90º, 68º, 135º. • Encuentra los triángulos con medidas de ángulos: 110º, 45º.

Lámina 2d




x+4

=

10

=>

x=

b)

x-3

=

8

=>

x=

c)

2x

=

18

=>

x=

d)

x:4

=

3

=>

x=

e)

x+5

=

23

=>

x=

f)

x - 50

=

60

=>

x=

g)

3x

=

21

=>

x=

h)

x:6

=

11

=>

x=

i)

2x + 1

=

9

=>

x=

j)

3x - 10

=

20

=>

x=

k)

x:2+2

=

6

=>

x=

l)

x : 3 - 20 =

10

=>

x=

Lámina 2e




x+4

=

10

=> x = 6

b)

x-3

=

8

c)

2x

=

18

d)

x:4

=

3

=> x = 12

e)

x+5

=

23

=> x = 18

f)

x - 50

=

60

=> x = 110

g)

3x

=

21

=> x = 7

h)

x:6

=

11

=> x = 66

i)

2x + 1

=

9

j)

3x - 10

=

20

=> x = 10

k)

x:2+2

=

6

=> x = 8

l)

x : 3 - 20 =

10

=> x = 90

=> x = 11 => x = 9

=> x = 4

Lámina 2f



✗ No es polígono, porque no se usó regla.

✗

✔

No es polígono, porque no se usó regla.

Es un polígono que tiene 6 lados y 6 vértices.

✔ Es un polígono que tiene 7 lados y 7 vértices.

Lámina 2g



✗

✗

✗

✗

No es polígono, porque es una curva abierta.

No es polígono, porque es una curva cerrada.

No es un polígono, porque dos vértices están unidos con una curva.

No es un polígono porque hay dos vértices que no están unidos.

Lámina 2h

✗ No es polígono, porque hay un segmento que no esta completamente unido a otro.



✔ Es un polígono que tiene 5 vértices y 5 líneas que los unen.

✔ Es un polígono que tiene 5 vértices y 5 líneas que los unen.

Lámina 2i



Un polígono es una figura de dos dimensiones, que se forma en un trazado cerrado, con mínimo de tres puntos diferentes no colineales, los cuales están unidos por trazos de segmentos lineales, que son llamados, lados o canto. Un polígono tiene la misma cantidad de vértices que segmentos que lo conforman, por ejemplo un triángulo o un cuadrilátero. La superficie que se encuentra dentro del polígono también es denominada polígono. convexo

cóncavo (tiene un ángulo que es mayor a 180º)

complejo o cruzado

regulares (ángulos y lados son iguales)

regular cruzado

Lámina 2j



Polígonos en nuestro entorno Tela de araña Cantidad de lados: 4 Cantidad de vértices : 4 Nombre: Cuadrilátero

Flor Suspiro Azul Cantidad de lados: 5 Cantidad de vértices: 5 Nombre: Pentágono

Estrella de mar Cantidad de lados: 5 Cantidad de vértices: 5 Nombre: Pentágono (podría ser regular cruzado)

Lámina 2k



Polígonos en nuestro entorno Baldosas Cantidad de lados: 6 Cantidad de vértices: 6 Nombre: hexágono (podría ser regular)

Panal de abejas Cantidad de lados: 6 Cantidad de vértices: 6 Nombre: hexágono (podría ser regular)

Botones Cantidad de lados: 7 Cantidad de vértices: 7 Nombre: heptágono

Lámina 2l



Polígonos en nuestro entorno Cactus Cantidad de lados: 7 Cantidad de vértices: 7 Nombre: heptágono (cruzado)

Cama Cantidad de lados: 8 Cantidad de vértices: 8 Nombre: Octógono

Tina Cantidad de lados: 8 Cantidad de vértices: 8 Nombre: Octógono

Lámina 2m



3 segmentos/ lados o cantos -> triángulo

4 segmentos/ lados o canto-> cuadrilátero

5 segmentos/ lados o canto-> pentágono

6 segmentos/ lados o canto-> hexágono

7 segmentos/ lados o canto-> heptágono

8 segmentos/ lados o canto-> octógono

Clase 3

Lámina 2n



Actividad 2: Reconociendo polígonos en las caras de cortes.

1) Consideremos la siguiente pirámide

y supongamos que se puede “cortar” y separar.

5

a

¿Qué polígonos podríamos ver con cortes horizontales y verticales?

Lámina 2ñ



Lámina 2o



2) Si se considera ahora un cubo

¿Cuántos polígonos diferentes y de que tipo se pueden encontrar en las caras de los cortes?

Lámina 2p



Solución:

En las caras de los cortes se pueden ver triángulos, triángulos equiláteros, cuadriláteros, cuadrados, pentágonos y hexágonos (regulares).

Lámina 3a IV.



La siguiente figura representa la cara de un pato. 135º

67º

a. ¿Cuántos diferentes polígonos hay? Identifícalos y escribe su nombre Hay tres tipos diferentes de polígonos: tres triángulos, dos cuadriláteros (trapecios) y un polígono cóncavo de 8 vértices.

b. ¿Dónde se encuentran los ángulos de 135º y 67º?

Lámina 3b



Anota el tipo de ángulo:

a)

=

b)

=

c)

=

d)

=

e)

=

f)

=

g)

=

h)

=

i)

=

j)

=

k)

=

l)

=

Lámina 3c



Anota el tipo de ángulo:

a)

= obtuso

b)

= cóncavo

c)

= agudo

d)

= recto

e)

= obtuso

f)

= obtuso

g)

= cóncavo

h)

= llano

i)

= completo

j)

= llano

k)

= cóncavo

l)

= agudo

Clase 3

Lámina 3d



Triángulos y polígonos

C γ=48,33°

b

A

α=49,65°

a

En los triángulos, se denominan los puntos con mayúsculas latinas, los lados en frente con las mismas minúsculas latinas y los ángulos con letras griegas (α, β, γ...) que corresponden a los puntos.

c β=81,81°

En polígonos, se denominan los puntos con mayúsculas latinas, los lados al lado en sentido positivo (contra el reloj) con minúsculas latinas y los ángulos con letras griegas que corresponden a los puntos.

E

e

A

B

α=108°

ε=108°

d

a

B

δ=108°

β=108°

b

γ=108°

C

c

D

Clase 3

Lámina 3e



¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un polígono con 7 esquinas?

G

F E

A D B C

Polígono

Suma de los ángulos

3

180°

4

360°

5

¿?

6

¿?

7

¿?

9

¿?

Lámina 3f



Un polígono de n lados tiene n – 2 triángulos, por lo tanto la suma de los ángulos interiores es:

Suma de ángulos interiores = (cantidad de lados – 2) • 180º = (n – 2) · 180º

Lámina 3g



1 8 0 º

0 º 1 8

Un polígono de n lados puede tener en su interior n triángulos, entonces la suma de los ángulos interiores se obtiene como: n · 180º – 360º = suma de los ángulos interiores Los 360º corresponden a los ángulos que no son los denominado ángulos interiores del polígono.

Lámina 4a I.



Completar la siguiente tabla

Nombre del polígono

Cantidad de lados (vértices)

Suma de los ángulos interiores

Hexágono

6

720º

Cuadrilátero

4

360º

Pentágono

5

540º

Octógono

8

1080

Eneágono

9

1260

Triángulo

3

180º

Decágono

10

1440º

Lámina 4b II.



Determinar el ángulo que falta en las siguientes figuras:

a.

b. A

γ = 80º

α = 102º

B

β = 65º

β = 73º γ

A

α

α δ

δ = 125º

β

D

β

C

γ

B

C 73º + 80º + α = 180º α=

27º

102º + 65º + 125º + γ = 360º γ=

68º

Clase 4

Lámina 4c



D δ

c. α = 99º β = 98º

E

D

d. γ

C

ε

β = 150º

ε

δ = 129º

δ = 104º

ε = 117º

ε = 125º α

γ

β

A

B

98º + 99º + 117º + 129º + γ = 540º γ =

δ

E

α = 69º

α A

C

β B

69º + 150º + γ + 104º + 125º = 540º 97º

γ=

92º

Lámina 4d

e.



D

β = 142º γ = 120º

δ

δ = 104º

γ

α A

C α + 142º + 120º + 60º = 360º

β B

α=

38º

Lámina 4e



Cálculo mental diario

a) 0,444444…

=

b) 0,555555…

=

c) 0,133333…

=

d) 0,122222…

=

e) 0,191919…

=

f ) 0,636363…

=

g) 2 – 3

=

h) (– 3) + 4

=

i) 5 – (– 6)

=

j) (– 6) – (– 7)

=

Lámina 4f



Cálculo mental diario 4 9 5 9 12 2 = 15 90 11 90 19 99 63 99

a) 0,444444…

=

b) 0,555555…

=

c) 0,133333…

=

d) 0,122222…

=

e) 0,191919…

=

f ) 0,636363…

=

g) 2 – 3

= -1

h) (– 3) + 4

=

i) 5 – (– 6)

= 11

j) (– 6) – (– 7)

=

1

1

Clase 4

Lámina 4g



Ángulos, rectas y paralelas • Ángulos complementarios son los que suman un recto (90º) • Ángulos suplementarios son los que suman un llano (180º)

a

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y el vértice comunes y el otro en lado en la misma línea recta.

•

Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen el vértice en común y los lados del uno son prolongación de los del otro ángulo.

i

d

e

o

Ángulos complementarios •

•

Ángulos adyacentes

•

Ángulos opuestos por el vértice

Los ángulos exteriores de un polígono son los ángulos suplementarios, es decir los ángulos que se forman al extender el lado del polígono.

C γ

C

b

a

α A

f

c

Ángulos suplementarios

Los ángulos interiores de un polígono son aquellos ángulos que quedan dentro de la figura y que se forma por un vértice y dos lados consecutivos del polígono. En el dibujo del triángulo ABC de lados a, b y c hay tres ángulos interiores: α, β, γ.

e

B β

c

B

A

Lámina 4h



¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un polígono?

Lámina 4i


Pentágono que se va reduciendo a punto.


7 Mat Proyectables

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