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TEMA: CONJUNTOS A. Idea Idea de de Conj Conjun unto to Es una reunión, colección o agrupación de objetos reales o imaginarios llamados elementos. Ejemplo: los números naturales Escriba Ud. 5 ejemplos que nos den la idea de conjunto. 1. 2. 3. 4. 5.
B. Nota Notaci ción ónde de Conju Conjunt ntos os eneralmente se denota a un conjunto con una letra ma!úscula ! a sus elementos con letras minúsculas separado por comas ! encerrados por lla"es. Ejemplo: El conjunto de los puntos cardinales. # $ % este, oeste, norte, sur & 'enota los siguientes conjuntos: 1. El conjunto conjunto (ormado (ormado por por 1) letras del del abecedari abecedario. o. ********************** ********************************** ************************* ************************ *********** 2. El conjunto conjunto (ormad (ormado o por la capital capital del del #erú. #erú. ********************** ********************************** ************************* ************************ *********** 3. El conjunto conjunto (ormad (ormado o por 5 nombres nombres de de (rutas. (rutas. ********************** ********************************** ************************* ************************ ***********
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1
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4. El conjunto conjunto (ormado por 4 nombres de de tus compa+eros de aula. ********************** ********************************** ************************* ************************ *********** 5. El conjunto conjunto (ormado (ormado por los números números pares pares menores menores que 13. ********************** ********************************** ************************* ************************ ***********
C. Forma Formas s de determi determinar nar un conj conjunt unto. o. a! 2 (ormas: - #or etensión: etensión: /e nombra nombra a cada uno de de sus elementos. 0 $ %r, e, l, o, j & - #or comprensi comprensión: ón: /e menciona menciona una caracte caracterstic rstica a común de todos todos los elementos. 0 $ % letras de la palabra reloj & 'etermina
por etensión los siguientes conjuntos.
$ % das de la semana que $ empiea con la letra m & 0 $ %números impares compren 0 $ didos entre 1 ! 32& $ % 6 es una "ocal &
$
E $ % 6 es una nota musical &
E$
/ $ % los primeros meses del /$ a+o& 7 $ %"oc %"ocal al de la pala palabr bra a aban abanic ico& o&
7$
U $ %le %letr tras as de la pala palabr bra a aureli relio o&
U$
# $ %26 8, 8, 1 9 9 4&
#$
$ % ; 36 8, 8, 2 9 9 3&
$
< $ %a26a 8, 8, 1 9 a 9 5&
<$
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'etermina
por comprensión los siguientes conjuntos
# $ % 1= 3= 5= >= ?= 11= @ & 0 $ % ; = = =
&
E $ % enero, (ebrero, maro, abril, ma!o & $ % 2= 4= A= = 1)= 12= 14 & B $ % Ca Cibertad, Cima, Coreto& 0 $ % este, este, oeste, norte, sur & D $ %
1
2
3
13 >
?
<
0 $ %
&
%$&
<
%$&
4
5 A 12
1) 11 Bbser"a
los siguientes conjuntos ! luego responde las siguientes preguntas. ailan B scar Edu /ara Huan HosI
Foco Febeca Hesús a r a
Estudian
eto
!
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- J0 quienes les gusta bailarK *************************************** - J0 quienes les gusta cantarK *************************************** - J0 quienes les gusta estudiarK ************************ ************************************* *************** ** - J0 quiInes quiInes les gusta solamente solamente cantarK cantarK ************************ ************************************* *************** ** - J0 quiInes quiInes les les gusta gusta solame solamente nte estud estudiarK iarK ************************ ************************************* *************** ** - J0 quienes quienes les les gusta gusta cantar cantar,, bailar bailar ! estudiarK estudiarK ************************ ************************************* *************** ** - J0 quien quienes es les gusta gusta estudiar estudiar,, cantar, cantar, pero no bailarK bailarK ************************ ************************************* *************** ** - J0 quien quienes es les gusta gusta estudiar estudiar,, bailar, bailar, pero no cantarK cantarK ************************ ************************************* *************** **
". #e$resen #e$resentació tación n %r&'ica %r&'ica de un conjunto. conjunto. Un conjunto se puede representar tambiIn por el diagrama de "en Euler. Euler. Ejemplos: Fepresenta los siguientes conjuntos por medio del diagrama de Genn 0 $ % los das de la semana &
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(
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0 lunes m a r te s
j u e " e s
m iI r c o le s "iernes sLbado d o m in g o
$ % 6 8, 9 & 4
)
3 2
1
5 >
A
< $ % 6 es una "ocal & < a e
i
o
$ %6 es un número par menor que 5&
8
%$=
u
=
=
D $ % 6 es número par, 0 $ %a= b= c= d= e= ( & 9 9 1?&
Aritmética
)
=
&
# $ % 6 8, 9 12&
< $ % letras de la palabra rosario&
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7 $ % 36 8= 2 9 9 5&
$ %4 departamento del #erú&
/ $ % >= = ?= 1)= 11= 12= 13 &
E $ % 2= 4= 5= = 1) &
M $ % 6 8= > 9 9 15 & N $ % 6 8= 9 12 &
$ % a= b= c= d= e= ( &
$ % "ocal de la palabra carna"al& $ % letra de la palabra amIricas&
E. Cardina* de un conjunto = 555 & nO0P $ 5 Es decir que el conjunto 0 tiene 5 elementos di(erentes. 'etermine
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el número de elementos di(erentes.
+
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0 $ % 2= 22= 222= 2222 &
' $ % 3= 33= 3= 13 &
nO0P $ ******
nO'P $ ******
E $ % "ocal de la palabra carna"al &
Q $ % 6 8, 2 9 9 3 &
nOEP $ ******
nOQP $ ******
M $ % letras de la palabra Rorno &
$ % 6 es un "irre! actual del #erú &
nOMP $ ******
nOP $ ******
# $ % a= >= a= >= a= > &
D $ % letras de la palabra mamL &
nO#P $ ******
nODP $ ******
F. #e*ación de $ertenencia , - no $ertenencia , #ara
relacionar elementos S conjunto usaremos: El smbolo T se usa para indicar que un elemento pertenece a un conjunto. El smbolo T se usa para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto.
Bbser"a ! coloca los smbolos
!
, según corresponde.
/1. 3 ******
2 ****** 0 0 5 12
> 3
12 ******
> ****** 0
2
1
******
?
1 ****** 0 ? ****** 0
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0
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/.
/andia Qresa
/andia
******
****** #
8aranaja ******
e ló n # a n a n a C im ó n
elón
****** #
Qresa
******
anana ****** #
8 a r a n ja
Cimón
******
ara
****** F
Fodrigo
****** F
0da
****** /
7ula
****** /
)3. F 0na
7 u la
F o d r ig o Foberto a ra
/ a ra
Foberto ****** F
0da /
/(.
7 $ % 2= % 3 &= % 3= 4 &= % 5 & & 2 3 4 5 %3& %3=4& %5&
****** 7 ****** 7 ****** 7 ****** 7 ****** 7 ****** 7 ****** 7
5. C $ % % 1=2 &= % 3= 4= 5 &= A & % 1 = 2 & ****** C % 3= 4 & ****** C %A& ****** C % 3= 4= 5 & ****** C 1 ****** C A ****** C 2 ****** C
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0na
****** /
/ara
****** F
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%. #e*ación de inc*usión , - no inc*usión, Un conjunto es /U
1
0
0 4
>
A
2
3
/ e le e : T 0 e s t L in c lu i d o e n T
<
5
?
<
1)
/ e le e : T < n o e s t L in c lu i d o e n T
'etermina que conjunto estL incluido en otro ! cuLl no estL incluido.
7
0 @..
M $ %
M
0 @..
F $ % Hapón, 0ncasR &
F
0 @..
$ % adre de 'ios,
0 @..
$ % Cos Bli"os, /#&
0 @..
Fepresentamos grL(icamente ! determinamos
D
o
en cada caso:
F
/
D ****** #
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F ****** /
2
8 ******
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E 0
<
F
'
/
0 ******
< ***** E
' ***** E
F ****** /
< ****** '
'etermine los conjuntos por etensión 0 $ % 26 8 $ % ; 36
299& 8
0$ %
499&
%$< $ % 8 6 1) 9 9 1&
<
%$' $ % 4 ; 2 6 2 9 9 5 &
'
%$E $ % 6 8&
E
%$ndice "erdadero OGP o (also OQP según corresponda en cada uno de los siguiente enunciados. 0
***** E
***** 0
***** '
***** E
E
***** 0
'
***** <
'
***** E
'
***** 0
0
***** <
3. Conjuntos I4ua*es Bbser"a ! compara los elementos de los conjuntos E ! '. E $ % b= a= r= c= o & ' $ % c= o= b= r= a & 8otamos que ambos conjutos tienen los mismos elementos, entonces el conjunto E es igual al conjunto ' E=D
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1/
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Felaciona con una (lecRa los conjuntos iguales. A = { 2; 4; 6; 1; 5 } " = { letras de la ala!ra #$a } ( = { 5; &; % } C = { 5; 5; 5 } 0 = {*+,er$s -,ares ,e*$res e 13 } R = {letras de la ala!ra alta } A = { *; e; *; a }
T = { letras de la ala!ra lata } E = { 1; %; 5; &; ' } ) = {*+,er$s -,ares e*tre 2 . /} S = {letras de la ala!ra $#a } = {1; 2; 4; 5; 6} ={5} V = { e; *; a }
"esa'5o: 1. /i los conjuntos son iguales. allar p ; q. 0 $ % p= 5 & $ % 3= q & Fpta: **********
. /i los conjuntos son iguales. allar S !. 0 $ % 2= & 8 $ % ?= ! ; A & Fpta: **********
E. Conjuntos "isjuntos o Ajenos F
8 o t a m o s q u e n o t ie n e n n in g ú n e le m e n to e n c o m ú n . E n e s te c a s o s e d ic e q u e :
7 a b
e
c
d
(
F ! 7 s o n c o n ju n to s d i s ju n to s
C*ases de Conjuntos:
E* conjunto Finito= es aquel conjunto cu!os elementos se pueden contar. Ejemplo:
# $ % los alumnos del 4to de primaria de mi colegio &
E* conjunto In'inito= es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de elementos. Es decir no se termina de contar a todos sus elementos. Ejemplo:
D $ % 6 es un número natural &
E* conjunto unitario o sin4*etón= es aquel conjunto que tiene un sólo elemento. 0 $ % 2 &
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B $ % abc= abc &
11
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D $ % 55= 55= 55= 55 & F $ % 6 es capital del #erú & Conjunto 6acio= es aquel conjunto que no posee ningún elemento. $% & / $ % 6 8, 9 9 ? &
n OP $ ) n O/P $ )
Conjunto de conjunto= es aquel conjunto cu!os elementos tambiIn son conjuntos. < $ % % 2= 3 & = % 1= 2= 4= 5 & = % 3 & &
'eterminar
nO
la clase clase de conjuntos en cada caso:
D $ % 6 es capital del #erú & $ % 6 8, es impar & Q $ % 2)= 2)= 2)= 2) & D $ % 6 es un cuadrado de 3 lados& 7
%$&
F $ % 8 6 2 9 9 A= es par & /$ $ % número natural comprendido entre 4 ! 5 & C $ % 6 es un satIlite de la tierra & M $ % 6 es un Rabitante del #erú & 0 $ % 6 8 & $ % 6 es un planeta del sistema planetario solar &
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O7E#ACIONES CON CONJUNTOS A. Unión de Conjuntos 'ados los conjuntos 0 ! llamamos unión a la agrupación o reunión de todos los elementos de ambos conjuntos. 8otación: 0 U : /e lee 0 unión .
Fepresentación grL(ica de la unión de 2 conjuntos, se realia coloreando las regiones representati"as de ambos conjuntos.
0
0
0
0 U $
0 U B HB
:
0 U $ U 0
'etermine la unión en cada caso /i: $ % 1= 2= 3= 4= 5 & 8 $ % 3= 5= > & U8$% /i: # $ % a= b= c= d= e & D $ % a = e& #UD$% /i : 0 $ % 3= 4= 5= A & $ % A= >= & 0 U $ %
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1!
0 U
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ra(ique,
coloree ! Ralle la unión en cada caso. /ean: /ean: 0 $ % 1= 2= 3= 4 & # $ % 2= 4= A= = 1) & $ % 3= 4= 5= A & D $ % 2= 4= A &
/ean: $ % p, a, l, o & 8 $ % l, a, , o &
E $ %26 8 Q $ % 3;1 6
5 9 9 1) & . 299?& 8
B. Intersección de Conjuntos: 'ados los conjuntos ! 8, llamoa intersección al conjunto (ormado por los elementos comunes a los dos conjuntos. 8otación: Fepresentación
8 $ se lee intersección 8
grL(ica
8
'etermine
8
la intersección en cada caso
1. 'ados: 0 $ % 3= 5= >= ? & $ % 2= 3= 4= 5 & allar 0
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1(
8
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2. 'ados: # $ % c, l, a, ", o & D $ % c, a, l & allar #
D
3. 'ados: F $ % m= p= q= r & / $ % a= b= c= d & allar F
/
4. 'ados: C $ % 6 es un número impar & 7 $ % 6 es un número par & allar C
7
C. "i'erencia de Conjuntos 'ado los conjuntos 0 ! . Bbser"a 0
0
/e llama conjunto 0 menos , al conjunto de todos los elementos de 0 ! que no pertenecen al conjunto . /e denota 0 S 0
0
/e llama conjunto menos 0 al conjunto de todos los elementos de ! que no pertenecen al conjunto 0. /e denota 0 a el diagrama colorea ! Ralla el conjunto di(erencia.
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0 $ % 1= 2= 3= 4 & $ % 3= 4= 5= A &
$ % a= b= d= (= g & 8 $ % b= e= d= i= u &
gra(ica:
grL(ica:
0S $
S8$
#$%a=e& D $ % 6 es una "ocal &
F $ % prima"era, "erano, oto+o & / $ % "erano, in"ierno &
gra(ica:
gra(ica:
DS#$ 'e
FS/$
la grL(ica Rallar los siguientes conjuntos. a a m a rc a
Q $ %
c a
C im a
E Q $ %
#uno
Q E $ % 0!acucRo
". "i'erencia Sim8trica de Conjuntos Ca di(erencia simItrica de 2 conjuntos 0 ! , es el conjunto (ormando por los elementos de 0 ! , pero no de ambos OintersecciónP
D
0
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0
# D
1+
D #
#
8
8
8 8
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/ean los conjuntos 0 $ % 1= 2= A= >= & $ % 1= 2= 3= 4 & rL(ica 0
A >
1 2
'etermine
3
0
$ % 3= 4= A= >= &
4
la grL(ica ! Ralle la di(erencia simItrica de:
E $ %1= 2= 3= 4= 5= A& Q $ % 4= 5= A= = 1) &
# $ % 1= 2= 3= 4 & D $ % 5= 4= 3= 2 &
gra(ica:
gra(ica:
ESQ $ % a= e= o & 8 $ % 6 es una "ocal &
0 $ %
=
=
%$=
=
gra(ica:
gra(ica:
Aritmética
8
10
0
& &
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#ractiquemosV /i: 0 $ % 3= 5= >= 4= 11 & $ % 2= 3= 4= 5= A & < $ % 1= 3= 5= A= & 'eterminar
las siguientes operaciones en cada caso:
O0 U P
O
SO0
OS
0 U U <
<
O0
P
0
<
Bbser"a los grL(icos ! completa 0
A
4
>
5
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2
0 S $ 0 S < $ S<$ 0 U $ 0$ 0 < $
<
1 3
1
0
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En cada caso colorea la grL(ica de la operación que se indica
0
0
0
0 U
0
8
0 S
0
0
<
<
O8 S P U O S 8P
O0
O0UPS<
# D
F
D
< 0 F
# S OD U FP
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12
O#SDPUF
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7#OB9EMAS CON CONJUNTOS 0 los nos. Qrancisco, Huan, Qernando, /ara, Foco ! Hulio les gusta tocar uitarra !6o piano. En el siguiente diagrama. $ % tocan guitarra & # $ % tocan piano &
#
Qrancisco Hulio
Qernando Foco
/ ó lo g u i t a r r a
Huan /ara
/ ó l o p ia n o u it a r r a ! # ia n o
En el diagrama distinguimos 3 regiones:
El conjunto S #= corresponde a los que tocan sólo guitarra OQrancisco ! HulioP
El conjunto ! FocoP
El conjunto # S D= corresponde a los que tocan solo piano OHuan ! /araP
#= corresponde a los que tocan guitarra ! piano OQernando
0demLs se obser"a que:
El conjunto : esta con(ormado por los que tocan guitarra OQrancisco, Hulio, Qernando ! FocoP
El conjunto D: estL con(ormado por los que tocan piano OQernando, Foco, Huan ! /araP
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/
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7#OB9EMAS 7#O7UESTOS 1. Bbser"a el diagrama que corresponde a los siguientes conjuntos Q $ %practican (útbol& $ %practican bLsquet&
'e acuerdo al diagrama podemos a(irmar que:
Q /ólo (útbol 4)
Qútbol /ólo ! bLsquet bLsquet
25
5
8 i (ú t b o l n i b L s q u e t
1)
#ractican (útbol:
#ractican
bLsquet:
*******
#ractican
(útbol ! bLsquet:
*******
#ractican
sólo (útbol:
*******
#ractican
sólo bLsquet:
*******
8o
practican ni (útbol ni bLsquet: ***
7otal
. 'e un grupo de 2? alumnos: practican (úbtol ! bLsquet. 1> practican bLsquet. 4 no pre(ieren estos deportes.
cP ?
*******
12
alumnos lle"an gorro. A alumnos lle"an bu(anda. 5 alumnos lle"an gorro ! bu(anda.
J
bP
de personas:
!. 15 alumnos salen a pasear un da de (ro. /:
1)
aP A
*******
dP 1)
J
aP A1
bP 5
cP 3
dP 2
(. /e Rio una encuesta a 34 alumnos que ). 'e un grupo de 3) jó"enes: toman jugo de (resa !6o papa!a. /i:
alumnos pre(ieren sólo jugo de (resa. 1) alumnos pre(ieren (resa ! papa!a. J
aP 1A
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bP 14
cP 12
dP
estudian ! trabajan. sólo trabajban. 4 no estudian ni trabajan. 12
J
aP 1A ! > bP 2) ! cP 14 ! A dP 12 ! 5
1
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EJE#CICIOS 7A#A 9A 1. Bbser"a el siguiente grL(ico ! escribe TG si es "erdado o TQ, si es (also.
- 'el grL(ico: > 3 1
0
1
F
2
)
4
1)
A
?
5
)
)
A
>
5. 'etermine #
D
aP % 2 & cP %2= 3= 4 &
< O
C 78 9
: 4
" 78 9
:
2
A 78 9
: %
A 78 9
:
&
" 78 9
: 6
" 78 9
:
6
C 78 9
: %
C 78 9
:
bP % 2= 5= > & dP %1= 5= A= > &
A. 'etermine F U D aP % 1= 2= 3= 4= 5= A= = ?= 1) & bP % 3= 4= A & cP % 1= 2= 3= 4= 5= A= >= = ?= 1) & dP % 1= 2= 3= 4= 5= A= > &
- 'ados los conjuntos: >. 'etermine #
0 $ % "ocales de la palabra toronja & $ % 6 es un planeta & < $ % a= a= b= b= a &
aP % 2= 5 & cP % 2= 3= 4 &
OD S FP bP % 2 & dP % 5= A &
. /ean los conjuntos iguales: 2. allar: nO0P ; nOP ; nO
bP 12
3. allar: nOPnO0P aP 1)) bP 1
cP 13
# $ % 5= a2= & D $ % ?= 2b= 5 &
dP 14
allar a ; b aP 3
cP 1)24 dP 8.0.
cP >
0 $ % 3m= 1) & $ % 5n= 15 & allar m n
nOP nO
cP 1A
aP
dP 1
bP 1)
cP 15
/i 0 $ % 8 6 5 9 9 & $ % 8 6 > 9 9 ? &
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dP ?
?. /ean los conjuntos iguales:
4. allar
aP 2
bP 4
dP >
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1). allar 0 U aP % A= >= = ? & cP % >= = ? & 11. allar 0
X %b&
bP % A= > & dP % 5= A= >= = ? &
aP 4
aP % A= > & cP % &
1?. allar O bP % ? & dP % A &
aP % A & cP % >= = ? &
bP % ? & dP 8.0.
aP
14. 0 $ % 8 6 W > &
aP % & cP % ?= 1)= 11 &
bP Unitario cP Gacio
aP 2
cP n(inito
bP 1
bP dP % A &
cP )
dP in(inito
23.
cP Qinito
aP 24
1. 'ado el conjunto
8
bP 1A
los
9 1) & cP 4)
dP 3)
24. /i 0 $ % 2= 22= 222= 2222= 2222 & $ % a= b= a= b= a= b= ab= ab= a= b &
$ % %a&= b= c= X &
dP 12
22. El número de elementos del conjunto singletón es:
1>. E $ % % 3= 4 & & aP Unitario bP Gacio
cP 1)
#
1A. Q $ % 6 es una letra del al(abeto &
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bP ?
bP n(inito cP Gacio
aP Unitario bP Qinito
8PU#
21. allar
15. < $ % 8 6 2) 9 9 21 &
dP 3
2). allar nO U 8 U #P
arca la clase de conjunto en cada caso.
%a&
cP A
aP % 4= 5 & bP % 4= 5= A= ?= 1)= 11 & cP % 4= 5= ?= 1)= 11 & dP % 3= ?= 1)= 11 &
13. allar S 0
aP Qinito
$ % 3= 4= 5= A & 8 $ % 4= 5= >= = ? & # $ % ?= 1)= 11 &
bP % >= & dP % > &
aP % >= ? & cP % A= ? &
aP Qinito
bP 5
%X& <
/ean los conjuntos
12. allar: 0
'etermina nO0P nOP aP 4)
!
bP 1A
cP
dP 12
to
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(
to
4 Grado de Primaria
TEMA: 7#O"UCTO CA#TESIANO Huan "iaja para asuntos de negocios, tiene di(erentes reuniones ! lle"a consigo para cada reunión las siguientes prendas: blanco
m a 0ul
ro j o negro
Bbser"amos que Huan tiene A (ormas di(erentes de combinar= cada posibilidad es di(erente la una de la otra ! cada una (orma un par ordenado. 0l primer conjunto lo representamos as. 0 $ % pantalón aul= pantalón negro & 0l segundo conjunto lo representamos as: $ % camisa blanca: camisa color ma, camisa roja & 0l Rallar 0 obtendremos pares ordenados O(ormado por 2 elementosP 0 $ %Opantalón aul, camisa blancaP= Opantalón aul, camisa maP= Opantalón aul= camisa rojaP= Opantalón negro, camisa blancaP= Opantalón negro= camisa maP= Opantalón negro= camisa rojaP&
#ecordamos ue: Un par ordenado= es un conjunto que presenta 2 elementos. Cos cuales tienen un orden establecido ! sus signos de agrupación son los parIntesis.
Aritmética
)
to
4 Grado de Primaria
Ejemplo:
2do < o m p o n e n te
Conc*usiones: Omedias= apatosP O2= 3P
O apatos= mediasP
O3= 2P
mportante: /i se cumple que: O5=aP $ Ob=2P En cada par ordenado las primeras componentes serLn iguales. 5=b
En cada par ordenado, las segundas componentes serLn iguales a=2
EJE#CICIOS 7#O7UESTOS
'e los siguientes pares ordenados indica TG si es "erdadero ó TQ si es (also.
O 3= 1= > P @@.. O
P
O 3 3= P $ O?= 4 2 P@ O
P
O 3 ; 1= 5 P @@.. O
P
O 1= ) P $ O )= 1 P
@@.. O
P
O4=4P
@@.. O
P
O 15= 5 P $ O 15 = 3 P @@. O
P
O 33= 11 P @@.. O
P
O 2= 2 P $ O2 = 2 P @@.. O
P
Fecuerda que: E l # la n o < a r te s ia n o l a c i t r e G
> A 5 4 3 2
0 l a r e c t a R o r i o n t a l s e l e l la m a a b c is a ó e je T , e n I l s e u b ic a n la s p r im e r a s c o m p o n e n t e s d e lo s p a r e s ordenados. 0 la r e c t a " e r tic a l, s e le l la m a o r d e n a d a o e je T ! , e n I l s e u b i c a n la s s e g u n d a s c o m p o n e n t e s d e l o s p a r e s o rd e n a d o s
1 )
1
2
3
4
5
A
>
?
1)
o r i o n t a l
Ubica los pares ordenados en el plano cartesiano Ocoloca sólo la letraP
Aritmética
+
to
4 Grado de Primaria
0 O3= 5P O5=3P < O4=4P ' O1=)P E O)=P
> A 5 4 3 2 1 )
1
2
3
4
5
A
>
?
1)
Ubica los pares ordenados en el plano cartesiano ! une los puntos JDuI (igura esK # O 3= 3 P D O = 3 P F O = ? P / O 3= ? P
1) ? > A 5 4 3 2 1 )
1
2
3
4
5
A
>
?
1)
/i los siguientes pares ordenados son iguales desarrolle ! Ralle el "alor en cada caso: /i: O ?= P $ O (= g P
/i: OA 3= RP $ O i = 5 4P
allar T( S g
allar TR ; i
Aritmética
0
to
4 Grado de Primaria
/i: O12
4 = a2P $ O b= 3A P
/i: Om3 = 4P = O2> = 2nP
allar Ta ; b
allar Tm S n
/i : O 5= p P $ O q = 5 P
/i: O 4 = 25 P $ O 32= !2 P
allar Tp q
allar . !
#ecuerda ue: El producto cartesiano de 2 conjuntos es otro conjunto, (ormado por pares ordenados. Ejemplo: /ean los conjuntos 0 $ % 3= 4= 5 & $ % >= & allaremos el producto cartesiano
A;B /olución: 0 $ % O 3= > P, O 3= P, O 4= > P, O 4= P, O 5= > P, O 5= P & Bbser".: Due en 0 las primera componentes en cada par ordenado son elementos de 0 ! las 2das del conjunto . rL(ica sagital 0 0
3
>
4
5
B;A Aritmética
to
4 Grado de Primaria
/olución: 0 $ % O >= 3 P, O >= 4 P, O > = 5 P, O = 3 P, O = 4 P, O = 5 P &
O
3
>
4
5
0 $ % 3= 5= >= ? & $ % 2= 4= &
E $ % 2= = 1) & Q$%a=e&
allar:
allar:
1P 0 $ %
1P E Q
2P n O0 P $
2P n OE QP
3P 0
3P Q E
4P n O 0P $
4P n OQ EP
Aritmética
2
to
4 Grado de Primaria
EJE#CICIOS 7#O7UESTOS 1. /i 8 $ % a= e= o & $ % m= p &
2. /i ' $ % 1= 2= 3 & E $ % 3= 4 &
allar
allar
8
%$'E$
8
%$E'$
3. /i 0 $ % m= p &
4. /i
$ % 1= 4= 5 &
8 $ % Oa=1P, Oa=2P, Oa=3P, Ob=1P, Ob=2P, Ob=3P&
allar:
'etermine los elementos de los conjuntos:
0
$% 0 8$% 5. /i:
A. /i
# D $ %O>=1P, O>=2P, O>=3P, O>=4P, O>=5P&
0 $ %O2=3P, O2=4P, O2=5P O3=3P, O3=4P, O3=5P&
'etermine los elementos de:
allar la suma de los elementos del conjunto 0.
#
%$D
%$ Aritmética
!/
to
4 Grado de Primaria
EJE#CICIOS 7A#A 9A 1. /i:
2. /i:
Om2= ?P $ O25= n2P
O3 4= 2aP $ O b= P allar Ta;b aP 12
allar m S n
bP 1A
cP 2)
dP 22
aP
3. /i:
cP 3
dP 2
4. /i: O p= 1A P $ O 5= 2q P
O 4= 5! P $ O 4= 1)P
allar p q aP 12
bP 5
allar: OPO!P
bP 1A
cP 2)
dP 22
aP 12
5. /i:
bP 1A
cP 2)
dP 22
A. /i: 0 $ % 3= 4= 5 & $ % m= p &
$ % 5= A& 8$%2&
'etermine uno de los ordenados del conjunto 0
pares
aP Op=4P bP O5=pP cP Om=pP dP Om=sP aP 1 >. /i: # D $ % O2=4P, O2=5P, O2=AP, OA=4P, OA=5P, OA=AP &
bP 2
cP 3
dP 4
. /i: E Q $ %Om=)P, Om=1P, Om=2P& allar los elementos del conjunto E
allar los elementos del conjunto # son: aP % )= 1= 2 & aP %2= 4= 5&
El
par ordenado O2=)P representa un punto en el plano cartesianoK 0 /i 0 ! son conjuntos es un conjuntoK O2= 3= 4P representa un par ordenadoK
Aritmética
cP % 3m &
bP %4= 5= A& cP %2= A&
?. J
aP 1
bP % m &
bP 2
1). 'e la grL(ica sagital ) 1 2
3 4
'etermine uno de los pares del conjunto 0. aP O )= 4P bP O 3 = 4P cP O 3 = 1P
cP 3
!1
to
4 Grado de Primaria
TEMA: NUME#ACI>N Ca numeración es la parte de la aritmItica que ense+a a epresar ! a escribir los números. 8osotros conocemos las ci(ras: )= 1= 2= 3= 4= 5= A= >= = ?
O
Cas ci(ras o arLbigos (ueron creados por los Lrabes. El cero es una ci(ra no signi(icati"a siendo las demLs signi(icati"as.
Fepresentación literal de los números.
Ejemplos: Fepresenta cualquier número de 2 ci(ras O1)= 11= 12= @ ?? P abc Fepresenta cualquier número de 3 ci(ras O1))= 1)1= @ ??= ???P aaa Fepresenta cualquier número de 3 ci(ras iguales O111= 222= 333= 444= 555= AAA= >>>= = ???P aOa 1P Oa 2P Fepresenta un número de 3 ci(ras consecuti"as O123Y= 234= 345= @ >?P ab
"esa'5o: J
Aritmética
bP 4A
!
cP A4
to
4 Grado de Primaria
EJE#CICIOS 7#O7UESTOS 1. /i: 245 $
2. /i:
abc
allar a ; b ; c
3. /i 3)) ; >))) ; 2) ; $
mpqr
32)4
allar: m ; p ; q ; r
4. /i
rstu
abcd $
4U ; 3' ; ?U ; 1<
allar el "alor de Ta, b, c ! d.
5. /i:
A. /i:
a es un número par menor que 4 b es un número impar que se encuentra entre > ! 1). allar:
m $ es un número par comprendido entre 4 ! 1) ! es di"isible entre 3. n $ es una ci(ra no signi(icati"a. allar: mnn
aba
>. /i:
. allar el ma!or numeral de 3 ci(ras di(erentes.
aOa 1P Oa 2P es
un numeral que se encuentra entre 1)) ! 2)). allar el numeral.
Aritmética
!!
abc $
to
4 Grado de Primaria
EJE#CICIOS 7A#A 9A 1. /i:
2. /:
abcd $
3' ; 1< ; 4U ; U
mnp
allar: a ; b ; c ; d aP
bP 15
cP 1A
' 2<
allar el "alor de Tp dP 2)
aP
3. /i: .! $
bP 2
cP 1
dP )
4. /i: 12> ; 5<
pqr $
allar el "alor de T aP A
bP 5
cP 4
allar p ; q ; r dP 1
aP
5. 'etermine el "alor de a ; b ; p en: 5pA
aP 2)
bP 1
ttt
dP ?
aP 1
>. /i: >5m
bP 15
cP 1A
dP 15
bP 3
3aa
cP A
dP ?
El
ma!or numeral de 3 ci(ras es ??? El ma!or numeral de 3 ci(ras di(erente es ?> El menor numeral de 2 ci(ras es 1) El menor numeral de 3 ci(ras iguales es 111.
dP 2)
aP 4
Aritmética
cP 14
. 'e las a(irmaciones JcuLntas son "erdaderasK
p52
allar el "alor de Tm aP
bP 13
A. 'etermine el "alor de t ; a en:
a?b
cP 11
32
!(
bP 3
cP 2
dP 1
to
4 Grado de Primaria
NUME#O CA7IC?A Clamado tambiIn polindrómico. Es aquel numeral cu!as ci(ras que equidistan de los etremos son iguales es decir que se leen igual de derecRa a iquierda o "ice"ersa. Ejemplo: 121
2452
FE
abcba
EJE#CICIOS 7#O7UESTOS /1. /i
abcba $
/(. /i:
114 3. allar Ta
O 4aPO3bPO2c P $ ?
b allar a ; b ; c
/. Si mpqpm $ >A? A
/). /i:
5Op Pq =
es un número
capicua. allar Tp q
/!. /i:
es un capicúa Rallar a ; c. a5c 2
Aritmética
número
/+. /i:
es un número capicua. allar Tm ; n ; p.
!)
O?mPO3nPO 2pP4A?
to
4 Grado de Primaria
EJE#CICIOS 7A#A 9A 1. /i: abc 32 , es un número capicua. 2. /i: 'etermine los "alores de las letras. O2aP O3bP $
aP a $ 3= b $ 2= c $ bP a $ = b $ 3= c $ 2 cP a $ = b $ 2= c $ 3
allar: a ; b aP 3
3. /i:
bP
cP 5
dP >
4. /i:
3OmPn es un número capicúa.
a3p4m es
allar Tm ; n
allar a m p
aP 3
?
bP
cP 5
aP 3
dP >
5. /i:
un número capicúa
bP
cP 5
dP >
A. /i
0<0 $
4)5> A
O2mP52p es
un número capicúa
allar el numeral capicúa
allar el número:
aP 23432 cP 34243
aP 252 cP 5
bP 24342 dP 24442
>. /i:
bP 151 dP 252
. J
E $ 2= 8 $ 1= B $ 3= F $ >= < $ ) 343= >>>=
#0#0
=
abba
'etermine el número capicúa aP 1
FE
aP >2)313)2> bP 2>3)1)3>2 cP >2)131)2>
Aritmética
!+
bP 2
cP 3
dP 4
to
4 Grado de Primaria
A. Sistema de numeración decima* Ca base del sistema decimal es 1)= lo que signi(ica que 1) unidades de un orden cualquiera constitu!en una unidad del orden inmediato superior Ca
numeración decimal consta de órdenes.
Unidades de mi**ones ,M99CM99 "M99 UM99
Unidad Mi**ares ,Mi*esCM
"M
UM
C
"
U
?Z Brden
AZ Brden
5Z Brden
4Z Brden
3Z Brden
2Z Brden
1Z Brden
Z Brden
>Z Brden
C*ase de Unidades
6a*or 7osiciona*: 0 cada ci(ra de un numeral le corresponde un orden: 2>5 43) 1? ocupa el orden Z @@@@ Ca ci(ra 5 corresponde a la UCC @..
341
825
O O O O O O
P P P P P P
760
ci(ra ****** corresponde a las < Ca ci(ra 4 corresponde a las ****** Ca ci(ra ****** ocupa 2Z orden Ca ci(ra ****** corresponde a las < Ca ci(ra 1 corresponde a las ******* Ca ci(ra > corresponde a las ********
B. 9ectura Escritura 2)
4?
A5>
/e di"ide por clases agrupando cada 3 ci(ras de iquierda a derecRa. /e lee cada clase de derecRa a iquierda.
"einte millones cuatroscientos no"enta ! ocRo mil seiscientos ciencuenta ! siete unidades
Aritmética
!0
to
4 Grado de Primaria
N?ME#O
SE 9EE
"M99UM99CM"MUM C " U
5 2>1 )) 324 >>> 23 4)) ))1 1 )34 >15 >2 3))
#es$onde: 1.
Es un número de 4 ci(ras (ormando por los dgitos 2= 3= > ! . 7ermina en 3. El millar mLs próimo es >)))
aP >23
.
bP 4)A)3
cP 4)3)?
Ca ci(ra de las centenas de mil es 2. Ca ci(ra de 3Z orden es 4. 7odas las ci(ras son menores de . Es un número de 5 ci(ras que suman 1.
aP 2)143
(.
cP 2>3
Es ma!or que 4' 3< 5U. Es menor que 4' 3< 1'. Ca ci(ra de las unidades es el triple de la ci(ra de las centenas.
aP 4)3)A
!.
bP >23
bP 2)14A5
cP 1)242?
Es un número de ci(ras. Ca ci(ra de las ', < ! U son iguales a 5. Ca ci(ra de las 'CC ! ' son iguales a 2. Ca ci(ra de las UCC, < ! U son iguales. 0demLs la suma de ci(ras es igual a 22.
aP 2) )5) 525
Aritmética
bP 21 151 525
!
cP 52 )5) 515
to
4 Grado de Primaria
'etermina los números en ci(ras
' o s m il t r e s c ie n to s c u a r e n ta ! s ie t e 7 r e s c i e n to s d o s m il d i e B c R e n t a ! s i e t e m il s e t e n t a ! s i e t e U n m illó n n o " e c ie n t o s m il t r e s < u a tr o c ie n t o s d o s m illo n e s " e in t e 7 r e s m il c u a tr o c i e n t o s q u in c e U n m illó n n o " e c ie n t o s " e in t e m i l d o s
C. 6a*or A
1.6a*or #e*ati=o: Es el "alor que tiene una ci(ra de acuerdo al orden que ocupa. Ejemplo: 2 4 3
3U
G F O3 P $ 3 G F O4 P $ 4 1 ) $ 4 )
4' 2<
G F O2 P $ 2 1 ) ) $ 2 ) )
. 6a*or A
G .0 .O > P $ > G .0 .O 3 P $ 3 G . 0 .O P $
Aritmética
!2
to
4 Grado de Primaria
allar el "alor OG.0.P ! el "alor relati"o OG.F.P del número 35 25. 3 5
2 5
G .0 .
G .0 .
". "escom$osición de un n@mero Ubicamos el número en el tablero de "alor posicional. ' 4
U 3
< )
'
U >
43 )> $ 4' ; 3U ; )< ; ' ; >U $ 4)))) ; 3))) ;
) ; ) ; >
N@mero 43 )53 2) ))> >2 51A ) >)4 1A 3)) ?) 54) 53) ?>3
"escom$osición Forma a U
4) ))) ; 3 ))) ; 5) ; 3 2) ))) ; >
E. #e*ación de Orden ,com$aración#ara comparar números naturales debemos tener presente que: 1. Entre dos o mLs números es ma!or el que tiene mLs ci(ras as:
Aritmética
(/
to
4 Grado de Primaria
3 451 5 c i( r a s
? 4> 4 c i(r a s
2. [ cuando tiene igual cantidad de ci(ras se compara de iquierda a derecRa Rasta encontrar 2 ci(ras di(erentes del mismo orden. 0s: 32 4>? 9 32 5?
porque 4< 9 5<
Ejercicios: comparar ! colocar W, 9 ó $ según corresponda. 341>
***** 2?>
5211 ***** 52??
352?
***** 35?2
315
***** 531
F. Anterior ,antecesor- $osterior ,sucesor- inmediato de un n@mero. 1
;1
0 n t e r io r
8 ú m e ro
43 )>
43 )>?
# o s t e r io r 43 ))
Ejercicios:
'etermine el sucesor de 23?>? aP 23?1
cP 23?)
'etermine el antecesor de 54??? aP 55))
bP 2?3)
bP 54??
cP 54?1))
'etermine la suma del antecesor de >?) con el sucesor de 23? aP 1) 2>?
Aritmética
bP 1)2)
(1
cP 1)2>
to
4 Grado de Primaria
EJE#CICIOS 7A#A 9A /1. Ca descomposición de 2 )3A 41) es:
/+.
a: 2 U0L % C0 6 C 4 1 U !: 2 C0 % 0 6 U0 4 C 1 #: 2 U0L % 0 6 U0 4 C 1 U d: 2 U0L % C0 6 U0 4 1 U
/. Ca descomposición de 32 ))) 4) aP 3UCC ; 4< ; U bP 3'CC ; 4U ; U ; 2UCC cP 3'CC ; 2UCC ; 4< ; U dP 3' ; 2U ; 4< ; U
aP 12 5>5 bP 43 2? cP 4>A 2A4 dP 34 3)) eP 54 1)5
@@@ @@@ @@@ @@@ @@@
12 A>5 43 ?2? 4>A )23 34 2)) 5>4 1)5
/0. Escribe el número sucesor o siguiente: aP A 42 bP 24 3>A cP 2 34A >?4 dP 3?) eP 3 5>? (P 43 )>3 gP ?1 3)A RP 13A 45?
/!. Fepresentar el número de: >' S 2UCC S 5' aP 2 )5) )>) bP > )2) )5) cP 2 5)) >)) dP 2 )5) >))
@@@@@@@. @@@@@@@. @@@@@@@. @@@@@@@. @@@@@@@. @@@@@@@. @@@@@@@. @@@@@@@.
/2. Escribe el número antecesor o anterior:
/(. 'etermine el número de:
aP @@@@@@.... bP @@@@@@.... cP @@@@@@.... dP @@@@@@.... eP @@@@@@....
1' ; 1U ; >U S UCC aP 1 1> ))) bP >1) ))> cP 11) ))> dP )11 ))>
432 ??? 523 A3 ?32 >41 AAA AAA A 444
1/. Escribe el número antecesor ! /). J
es el número impar comprendido entre >) ! ) cu!a suma de ci(ras es 12 aP >5 cP 5>
Aritmética
bP 4 dP >A
(
sucesor a: aP @@@@ 5A ?>A @@@@ bP @@@@ 423 A34 @@@@ cP @@@@ >3 ?>3 @@@@ dP @@@@ 23 ??? @@@@ eP @@@@ 32 ))) @@@@
to
4 Grado de Primaria
TEMA: A"ICI>N "E N?ME#OS NATU#A9ES /1. E(ectúa
/). /umar: 4 >A ; 3 4?A ; 23 >A4 ; 3 >4
aP 13A 4A 321 ; bP A4 4A 533 ; A4A 213 142 32> A14 132 112 13A A42 >42 cP
A4 4A ; dP 142 34> 4 3>A 425 3? 51A
2 A>2 ; 5 345 1 345 A 435
/olución por columnas.
/+. /umar: 2 4&4 % /45 1 &45 &64 2 %45 2'
/.
/olución por (ilas.
Ralla la suma: 5 A 5 ?
c-
3 1 ; 4 1 5 3 2 > 3 ) A 4 )
? > 4 A ? 1 A d-
2 > 5 ; 3 > 3 2 > 5 A
/0. A ; 3 5a2 4d 4A 5c
bP 2 a>4 ; d 12 5 3bA 3 22c
/!. /umar: 1 A)) ; 4>A ; 3?A ; 2> ; >)4 /olución por columnas: 1 A)) ; >) 4>A 2> /uma de los 3?A ; >)4 resultados $
c$
a$
c$
b$
d$
b$
d$
/.
la siguiente tabla considerando los "alores a, b, c.
/(. /umar los siguientes números: /olución por (ilas: A54 ; 34> ; A 41 ; 1 32 ; 1 53 ; )? Sumamos *os resu*tados
A54 ; 34> $ ; A 41 ; 1 32 $ 1 53 ; )? $ ******
Aritmética
a$
(!
a
b
c
26 %6 4& %5 64 62 114 524 1%2 %4& 216 46/ 2 %45 4 536 %46
a;b
a;c
a;b;c
to
4 Grado de Primaria
7#O7IE"A"ES "E 9A A"ICI>N Cas propiedades de adición son:
1 7ro$iedad de C*ausura Ca suma de 2 o mLs números naturales da como resultado otro número natural. a, b 8 Oa ; bP 8
7ro$iedad Conmutati=a El orden de los sumandos no altera la suma. a, b 8 a ; b $ b ; a 3;2$2;3
! 7ro$iedad Asociati=a Ca suma de 3 o mLs números naturales no "ara si se agrupan o se asocian de di(erentes maneras. a, b 8 Oa ; bP ; c $ a ; Ob ; cP O2 ; 3P ; 4 $ 2 ; O3 ; 4P 5;4$2;> ?$?
( E*emento Neutro /i a cualquier número natural se le suma cero O)P el resultado es el mismo número natural. a 8 a ; ) $ a 5;)$5
Aritmética
((
to
4 Grado de Primaria
EJE#CICIOS 7#O7UESTOS /1. Escribe el nombre de la propiedad que justi(ique cada epresión: aP 45 ; ) $ 45 bP Oa;bP;c $ a;Ob;cP cP ;O3;4P $ O;3P;4 dP 4 ; $ ; 4 eP 4 ; ? 8
@@@@@ @@@@@ @@@@@ @@@@@ @@@@@
/. $ 1> ; @@@@@ bP ; @@@ $ @@@@@ cP 15 ; O12;P $ O15;@.P ; @.. dP 3 ; @@@.. 8 eP ) ; @@@@ 15
/!. /i m ; n $ 12.
/(. /i m ; n $ 12.
/). 0plicando la propiedad asociati"a: Fesuel"e las siguientes adiciones. aP O 132 ; 231 P 1) $ 132 ; O 231 ; 1) P
@@@ ; @@.. $ @@@. ; @@@ @@@@@.
@@@@@.
bP 4 3A) ; O3A ; 1 A3AP $ O4 3A) ; 3AP ; 1 A3A
@@@ ; @@.. $ @@@. ; @@@ @@@@@.
@@@@@.
/+. 0plica la propiedad conmutati"a ! completa cada ejercicio. aP 4A ; 2)) $ 2)) ; @@@@@ bP >A ?3A ; 321 $ 321 ; @@@.. @@@@@. $ @@@@@@..
Aritmética
()
to
4 Grado de Primaria
EJE#CICIOS 7A#A 9A /1.
A 5> 4 5A 3 215 24
de matriculados de tu colegio. rados Garones ujeres 7otal 1Z 111 1)? 2Z 123 11A 3Z 123 1) 4Z 11A 11? 5Z 134 1)> AZ 135 1)2 7otal
/+. Ejecuta
la adición comprúebala aplicando propiedad conmutati"a: aP
34 >A2 ;
bP 4>A ; 45 3?A 132
431 1 312 43A
/. /umar los siguientes números: 2 >45= 5>A= 3 42?= 2?= >)
! la
/olución por columnas.
/0. El adminsitrador del #arque de
4>= 3?>= 2A4= ?5= 2?
TCas Ce!endas anotó la cantidad de "isitantes en el último (in de semana.
/olución por (ilas.
/!. /umar los siguientes números:
ni+os
adultos
1 4&3 2 643 2 /63
'/3 1 /'3 1 '63
7otal
compruIbala por los nue"es:
V-er*es S
> 4> ; 4 >34 145 4 4A>
aP J
/(. Ejecuta la siguiente adición !
@@@@@@@@@@@@@ bP J
/). Ejecuta la siguiente adición ! comprueba aplicando propiedad asociati"a: 2> 4> ;
Aritmética
la
@@@@@@@@@@@@@
(+
