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atemá ticas 3 er. gr grado
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Mi guel Limón Li món Roj Roj as INSTITUTO NACIONAL PARA LA EDUCACIÓN DE LOS ADULTOS José Antonio Carranza Palacios DIRECCIÓN ACADÉMICA Luz Mar María ía Cast Cast r o Muss Mussot ot UNIDAD DE PRODUCCIÓN DE MEDIOS Claudia Giménez Mercado
AUTORAS Silvia Alatorre Frenk, Natalia de Bengoechea Olguín, Elsa Mendiola Sanz, Mariana Sáiz Roldán Profesoras de la Universidad Pedagógica Nacional COORDINACIÓN GRÁFICA Y CUIDADO DE LA EDICIÓN Greta Sánchez DISEÑO Abel Alonso Villagrán Dolores Marcela Cervantes Inés Olivares ILUSTRACIONES Jorge Mora Suárez Francisco Carrillo Ricardo Aguilar
Guía de Mat Mat emáti cas. cas. Tercer grado secundaria. secundaria. D. R. © 1999, 1999, Inst Inst it uto ut o Nacional Nacional para la l a Educación Educación de l os Adult Adult os, os, INE INEA. Francisco Márquez Núm. 160, Col. Condesa, México, D.F., C.P. 06140. 060499 ISB ISBN en tr t r ámit e Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicación han sido legalmente transferidos al INEA. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita de su legítimo titular de derechos.
Índice Presentación
Unidad I: Aritmética Lecci ón 1: Númer os r eal es Los númer os i r r aci onal es Apr oxi maci ones Lecci ón 2: Not aci ón exponenci al Númer os gr andes Númer os pequeños Operaciones con números en not aci ón exponenci al Lecci ón 3: Or den e i nt er val os La r ect a r eal Int er val os de númer os r eal es Lecci ón 4: P Prr opor ci onal i dad Pr opor ci onal i dad di r ect a Regl a de t r es Pr opor ci onal i dad i nver sa Variaciones proporcionales y no pr opor ci onal es Lecci ón 5: Por cent aj es
10 10 14 20 20 24 27 32 32 35 42 44 48 52 55 60
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Lecci ón 6: Repar t i ci ón pr opor ci onal Lecci Lección ón 7: Pr opiedades opi edades de l as operaciones operaci ones con númer os r eal es Pr opi edades de l a suma La r est a Pr opi edades de l a mul t ip i pl i caci ón La di vi si ón Pot enci as y r aíces Combina mbinaccion iones de va varias rias opera peraccion iones Aplicaciones de las propiedades en la sol uci ón de ecuaci ones
71 75 76 79 81 84 85 88 91
Unidad II: Álgebra Lección ión 8: Poten tencias ias con exponentes tes entero teross Oper aci ones con pot enci as Pr opi edades de l a pot en enci aci ón Lecci ón 9: Pol i nomi os Def i ni ci ones Oper aci ones con pol i nomi os Lección 10: Representación gráfica de algunas expr esi ones al gebr ai cas Lecció ecciónn 11: Ecua cuacione cioness line li neaales con con dos dos incóg incógnit nitaas Ecuaci ones con dos i ncógni t as as Gr áf i ca de una ecuaci ón l i neal Lección Lecci ón 12: Si st emas de ecuaciones ecuaci ones l i neales neal es Resol uci ón gr áf i ca Sistemas sin solución y sistemas con i nf i ni t as sol uci ones
4
102 103 108 111 111 114 125 132 132 136 143 143 148
Lección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuaci ones Lección 14: Problemas que se resuelven por si st em emas de ecuaci ones l i neal es
152 162
Unidad III: Geometría Lecci ón 15: Escal as Lecci ón 16: Lect ur a de di buj os os a escal a Lecci ón 17: Semej anza
176 183 188
Unidad ni dad IV: IV: Est adíst díst i ca y probabilidad Lecci ón 18: Ut i l i dad de l a est adíst i ca Lecci ón 19: Hi st ogr amas Lección 20: Medidas descriptivas de un conj unt o de dat os Lecci ón 21: Pr obabi l i dad
Respuestas a los ejercicios
194 203 212 225
233 233
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Presentación Este libro se diseñó para adultos que estudian la secundaria en un sistema abierto; es la continuación de los libros "Matemáticas I" y "Matemáticas II" de esta misma serie. Para facilitar el uso de este material hemos incluido los contenidos principales que se requieren para abordar este curso. El libro está formado por cuatro unidades: "Aritmética", "Álgebra", "Geometría" y "Estadística y Probabilidad". Las unidades están formadas por lecciones y cada una de ellas trata un tema distinto del contenido de esa unidad. Las lecciones tienen, en general, una explicación del tema con ejemplos y al final de cada cada sección sección una serie eri e de ejerci ej ercicios cios y problema probl emass para el adul adul t o. Al final del libro se encuentran las soluciones a los ejercicios y problemas para que usted pueda comparar sus resultados. En todos los temas se explica desde lo más simple y se llega a los contenidos propios del curso. Como este material está hecho para adultos, se hace referencia a situaciones cotidianas y también se reflexiona sobre la lógica de los contenidos. Las siete lecciones iniciales corresponden a aritmética; son principalmente un repaso del curso anterior, aunque se incorporan algu al gunos nos conteni cont enidos dos nuevos y ej erci er cici cios os diver di verssos. os. La part e más fuerte de este curso es álgebra, que fue introducida
6
informalmente en el primer curso y abordada con algo más de formalidad en el segundo; en este curso se ahonda en su estudio, principalmente, con polinomios y sistemas de ecuaciones lineales. Las tres lecciones de geometría abordan principalmente el uso y construcción de figuras a escala. La unidad dedicada a la estadística y la probabilidad es un avance sobre los contenidos tratados en los cursos anteriores. Le hacemos algunas sugerencias que creemos facilitarán su estudio: •
Vea t odo. odo. Lea Lea con con part part icular icular atenció atenciónn las part part es en las que que se sienta inseguro o sean nuevas para usted. Puede ser también recomendable leer las partes que ya domine: las leerá rápido, rápido, le servirán servirán como como recorda recordatt orio y le l e permi permitt irán ir án acostumbrarse al estilo de este texto y a la notación que usamos.
•
Siempre iempre,, al leer, leer, bus busque que si si se se ilust ilust ra co con ej ej emplo emploss o dibu dibujj os lo que se está explicando y si se hace, identifique lo que lea en la ilustración.
•
No ava avanc ncee sisi no es est á seguro eguro de de pod poder er hace hacerr ust ust ed solo las operaciones o trazos que se hacen en el texto; si para lograrlo necesita hacer varias veces un ejercicio, hágalo.
•
Procure rocure resolve resolverr al meno menoss al gunos unos incisos incisos de t odos odos los ej erci er cici cios os,, aun de los l os t emas que ya domina. domi na. Des Después pués verifique sus respuestas con las que se dan al final del libro y, cuando ya se se si si enta ent a seg segur uro, o, pase pase al si si gui gui ente ent e ej erci er cici cio. o. Se han han inclui i ncluido do muchos muchos ej ercici erci cios os para aquel aquelll os est est udiantes udiant es que requieren más práctica para comprender; quienes no la necesiten pueden hacer sólo unos cuantos de ellos.
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Unidad I
Aritmética
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Lección 1: Números reales Los números irracionales En los grados anteriores estudiamos distintas clases de números: • Vimos en primer luga lugar: los naturales, que son aquellos que si si r ven par par a cont contar. ar. Ej emplos de los l os números naturales son: 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, . .. .. ., 37, . .. .. ., 186, . .. .. ., 1999, . .. .. . • Despué espuéss, est est udiamos udiamos l os números números enteros, enteros, que están formados por los naturales y por los números negativos. Con ellos podíamos indicar pérdidas, temperaturas bajo cero o distancias bajo el mar o la l a ti t i erra. err a. Ej emplos de los l os númer númer os enteros ent eros son: ......, -154, ......, -13, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ......, 18, ......, 189723, ...... • Post ost eriorment eri ormente, e, conoc conocii mos a l os números números racionales, racionales, que están formados por los enteros, las fracciones (que siempre se pueden presentar en forma decimal), y los l os decimal deci males es.. Ej emplos empl os de los l os números racionales raci onales son: son:
10
.... .., -
187 5
, .... ., -2.2 -2.2,, ... .., -1, -1, ... .., -0.5 -0.5,, ... ..0, ..0,
...... , 0.5, .5, ...... 3 , ....., 1, ......, 4
621 , 13
.....
Cuando estudiamos fracciones y decimales, vimos que para convertir fracciones a decimales se divide el numerador entre el denomina denominador. dor. Por ej empl empl o: 1 2
= 1 ÷ 2 = 0.5 0. 5
621 13
= 621 ÷ 13 = 47.769230 47. 769230769230. 769230... .
A veces el cociente tiene una infinidad de cifras, pero hemos visto que estas cifras en algún momento empiezan a aparecer repetidas en un mismo orden, así que, aunque sean infinitas, es posible escribir el número indicando el conjunto de cifras que se repite, y que se llama período, poniendo una curvita arriba de las cifras que lo forman. Por ejemplo: 1 3
= 0. 33333… per o escr i bi mos y la curvita arriba del 3 indica que éste se repite;
0. 3,
1 6
= 0. 1666… per o escr i bi mos y la curvita arriba del 6 indica que es el período;
0. 16,
2 7
= 0.2857 0.285732 3285 8573 7328 2857 573…pero 3…pero escri escribimos bimos 0.2857 0.28573, 3, y la curvita arriba de 28573 indica que es el período, o sea las cifras que se repiten.
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Con los números racionales ya podemos representar casi todas las cantidades que encontramos en la vida cotidiana. Sin embargo, hay otra clase de números, que se escriben con una infinidad de decimales pero que no tienen un período, es decir, no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los números de esta clase reciben el nombre de irracionales y, a diferencia de los racionales, no pueden ponerse en forma de fracción, sino sólo en forma decimal. Los racionales y los irracionales juntos forman el conjunto de los números reales y son los números con los que t r abaj abaj aremos en est est e curso. curso. Hay una infinidad de números irracionales, pero en este curso t r abaj aremos ar emos sólo ól o con algunos de ell el l os, os, que son son los l os más usados usados.. Tal vez usted se pregunte cómo vamos a escribir la infinidad de cifras que tienen los números irracionales. La respuesta es que cuando cuando tr t r abaj abaj amos amos con númer númer os i r r acional acional es, es, nos conformamo confor mamoss con una aproximación, o bien utilizamos algunos símbolos especiales. El primer número irracional que presentaremos es un número que de hecho ya conoce. Usted ha usado el número π (pi) para expresar las fórmulas de la longitud de la circunferencia, del área del círculo y del volumen de la esfera. El número π representa las veces que cabe el diámetro de un círculo en la longitud de la circunferencia. Es decir, si tuviéramos las medidas exactas de la longitud ( C ) de una circunferencia y de su diámetro, ( d ), ), podríamos decir que π = C ÷ d , pero si quisiéramos hacer la división no terminaríamos nunca: podríamos tener tantas cifras decimales como quisiéramos, pero nunca llegaríamos a un residuo igual a cero, ni encontraríamos cifras que formen un período. Esto es, si intentáramos escribir π exact exactam ament ente, e, nunca nunca termi t ermina naríamos ríamos de escribir cifras decimales, por lo que decimos que π es un
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número irracional. A continuación se expresa el número π con sus primeras 54 cifras decimales: π
= 3.141592 3. 1415926535897 6535897932384 932384626433 6264338327950 8327950288419 288419716939 71693999 375105820...
En la práctica, sin embargo, cuando queremos calcular longitudes de circunferencias, áreas de círculos, volúmenes de esferas o para hacer cualquier otro cálculo, en el que aparezca π, podemos usar la aproximación π = 3.1416 o bien, como lo hemos hecho en los dos libros anteriores de este curso, la aproximación π = 3.14. Otro número irracional es √2. El número √2es la medida de la hipotenusa de un tri t rián ánggulo rect r ectán ánggulo cuyos cuyos catetos miden una unidad de longitud.
√2 u 1 u
1 u Si necesitamos hacer cálculos con √2, utilizamos 1.41, que es una aproximación. (Usted puede verificar que 1.412 = 1.9881, que se acerca bastante a 2.) Otros números irracionales son √3y el número e. Una manera de encontrar aproximaciones a estos números es uti ut i l izando izando la calculadora. Para encon encontt rar el primero pri mero sac sacam amos os la raíz cuadrada de 3, y para encontrar el segundo pulsamos la tecla ex que tienen algunas calculadoras y encontramos así l a aproxi aproxima mación ción e = 2.7182818.
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Ejercicio 1 a) En una cal cal culador culador a cal cal cule las l as raíces de 5, 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla que son aproximaciones para los números irracionales √5, √7, √2 y √3. b) Si su calculadora tiene la tecla π, oprímala para ver con qué aproximación representa este número irracional. c) Expres xpr esee en f orma deci decimal, mal, indicando en cada caso el período, los siguientes números racionales: 3 4
,
8 9
,
5 6
,
3 7
,
1 9
,
4 7
,
6 . 15
Aproximaciones En la sección anterior hemos dicho que cuando se trabaja con números irracionales se usan con aproximaciones, ya que es imposible escribir todas sus cifras decimales pues son una infinidad. A veces también es conveniente usar aproximaciones
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con los números racionales. Hay dos maneras de hacer las aproxi aproxima macione cioness: por t runcamient runcamientoo y por redondeo redondeo.. El método del truncamiento consiste en considerar sólo las cifras decimales que nos interesan y "eliminar" las demás. Primero debemos saber con cuántas cifras decimales queremos trabajar o cuántas nos están pidiendo. Supongamos que necesitamos efectuar una multiplicación de decimales y nos piden que expresemos 0.124 el resultado con tres cifras decimales, x 2. 37 usan usando do tr t r unca uncamient miento. o. Por ej emplo, 0868 la multiplicación que se muestra a la 0372 derecha. 0248 0.29388
El resultado tiene cinco cifras decimales y sólo queremos tres, así que "eliminamos" los ochos y escribimos 0.124 x 2.37 ≈ 0.293. Observe que en lugar del signo "=" hemos escrito el signo " ≈" porque el producto 0.124 x 2.37 no es exactamente igual a 0.293, es casi igual, una aproximación. Esto se indica usando el signo " ≈", que se lee "aproximadamente igual a". De manera que "truncar" números es deshacerse de las cifras que no interesan. Para comprender mejor esto, veamos dos ej emplos empl os más, más, en los l os que reali r ealizaremos zaremos operaciones operaci ones y expresaremos los resultados con las cifras decimales que se indican. Resolvamos la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235 y expresemos el resultado con dos cifras decimales mediante truncamiento. El resultado exacto de la suma
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es 62.3297, y al truncar para quedarnos con dos cifras decimales eliminamos las dos últimas, esto es, al 9 y 7. Escribimos entonces: 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.32 Resolvamos ahora la división 1.971 ÷ 8 y expresemos el resultado con tres cifras decimales mediante truncamiento. Al hacer la división obtenemos 1.971 ÷ 8 = 0.246375, pero como sólo queremos tres cifras decimales eliminamos el 375 que aparece al final y nos quedamos con 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246. Otra manera de aproximar números es el redondeo. redondeo. Para comprender est est e método mét odo r egr egr esemos esemos a nues nuestt r o ejemplo ej emplo de la la multiplicación 0.124 x 2.37 = 0.29388. Si utilizamos la recta numérica para representar este resultado, obtenemos un esquema como el siguiente, en el que la ubicación del número que nos interesa está señalada con una flecha vertical:
0.293 0.2931 0.2932 0.2933 0.2934 0.2935 0.2936 0.2937 0.2938 0.2939 0.294
Si queremos utilizar solamente tres cifras decimales para expresar el número 0.29388, vemos que este número está entre 0.293 y 0.294, pero está mucho más cerca de 0.294 que de 0.293. Es decir, si decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.293 mentimos, y si
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decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.294 también mentimos, pero mentimos menos en el segundo caso que en el primero. Entonces la aproximación por redondeo de 0.29388 es 0.294, y escribimos 0.29388 ≈ 0.294: hemos utilizado tres cifras decimales pero a la tercera le hemos aumentado 1. Veamos otro ejemplo. Consideremos ahora la multiplicación 0.124 x 2.38 = 0.29512, y representemos este resultado en un esquema como el anterior:
0.295 0.2951 0. 2951 0.2952 0. 2952 0.2953 0. 2953 0.2954 0. 2954 0.2955 0. 2955 0.2956 0. 2956 0.2957 0. 2957 0.2958 0. 2958 0.2959 0.296
Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar el número 0.29512, vemos que este número está entre 0.295 y 0.296, pero que está mucho más cerca de 0.295 que de 0.296. Ahora la aproximación por redondeo de 0.29512 es 0.295 y escribimos 0.29512 ≈ 0.295: hemos utilizado tres cifras decimales y a la tercera no le hemos aumentado nada. Vemos entonces que con el método de aproximación por redondeo se "eliminan" cifras, pero a veces hay modificaciones en las cifras originales y a veces no. El método se puede resumir de acuerdo con las siguientes reglas: • Se cue cuent ntan an l as cif ras que int eresa eresa dejar dej ar y se observa la primera cifra que se va a eliminar. • Si l a pri prime mera ra cifra cif ra que que se se va va a elimina eli minarr es meno menorr que 5 no hay hay modif modi f i caciones en las l as cif ci f r as que se se dej an. • Si l a pri prime mera ra cifra cif ra que que se se va va a elimina eli minarr es igual igual o mayor que 5, la última cifra no eliminada aumenta en 1.
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Veamos unos ej emplos empl os más de redondeo: r edondeo: Al hacer la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235 encontramos como resultado 62.3297. Si queremos redondear est est e resul resultt ado a dos dos cif ci f r as decimales decimal es,, nos f i j amos amos en la tercera, que es 9; como 9 es mayor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 2, aumenta en 1. Escribimos entonces: 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.33 Observe que este resultado difiere del que habíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento. Al hacer la división 1.971 ÷ 8 tenemos como resultado 0.246375. Si queremos redondear este número a tres cifras decimales decimal es,, nos f i j amos amos en la cuart a, que es 3; como 3 es menor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 6, permanece como está. Escribimos entonces 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246. Observe que en este caso el resultado es el mismo del que habíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento. Redondeemos ahora el número 15.3129635401 a seis cifras decimales decimal es.. Nos f i j amos amos en la sépt séptii ma cifr cif r a, que es 5; como 5 es es igual o mayor que 5, entonces le aumentamos 1 a la última cifra no eliminada, que es 3. Tenemos entonces que 15.3129635401 ≈ 15.312964. Por último, redondeemos el número 7.4296085 a tres cifras decimales. Nos fijamos en la cuarta, que es 6; como es mayor que 5 le aumentamos 1 a la última
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7.429 + 0. 001 7.430
cifra no eliminada, que es 9. Pero como 9 + 1 = 10, ahora tenemos que aumentar 1 a la penúltima cifra no eliminada, que es 2. Tenemos entonces que 7.4296085 ≈ 7.430.
Ejercicio 2 Trunque los siguientes números a tres cifras decimales: a) 0. 356783258 c) 897. 46789 e) 7. 00006
g) 10009. 9001
b) 11.11 .1111111
h) 0.18 .189675872
d) 3.14 .145578
f) 23 235.65 .654
Ejercicio 3 En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla (que son aproximaciones para los números irracionales √5, √7, √2 y √3), truncando a 5 cifras decimales.
Ejercicio 4 Redondee a tres cifras decimales los números de los incisos del ej ercicio erci cio 2. Compar ompar e los l os r esul esultt ados ados con los que obt obt uvo en el ejercicio 2.
Ejercicio 5 Redondee a cinco cifras decimales las raíces del ejercicio 3 y compare los resultados con los obtenidos ahí.
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Lección 2: Notación exponencial En la lección anterior hemos visto cómo trabajar con números reales y cómo para facilitar el trabajo con ellos es conveniente utilizar aproximaciones, usando el redondeo o el truncamiento. En esta lección estudiaremos otra manera de trabajar con números reales. Para ello utilizaremos lo que se conoce como nota not ación exponencial exponencial . Esta notación permite escribir abreviadamente números muy grandes o muy pequeños, o sus aproximaciones. Para ello se escribe el número como un número con una cifra entera, multiplicado por una potencia de 10. Abordaremos este tema, dividiendo la discusión en dos casos:
Números grandes Consi onsi deremos der emos l a velocidad veloci dad de la l a luz: l uz: 300 300 000 000 Km/ Km/ seg. eg. (es decir, l a luz viaj vi aj a 300 300 000 000 kilómet kil ómetrr os cada segundo). egundo). Est e número es grande, tiene muchos ceros a la derecha. Exactamente tiene 5 ceros, de hecho es igual a 3 x 100 000 y como 100 000 = 10 5, tenemos que 300 000 = 3 x 10 5.
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La regla general es que un número que termina en ceros puede expresarse como el producto del número sin ceros multiplicado por 10 elevado a una potencia que es igual a la cantidad de ceros del número original. Veamos otr ot r os ej emplos empl os:: 23 000 000 = 23 x 10 6
(seis ceros en el número original)
1 870 000 000 000 = 187 x 10 10 (diez ceros en el número original) Algunas calculadoras dan sus resultados en forma exponencial, sólo que por lo general usan una sola cifra entera. En los l os ej emplos empl os anter ant erii ores nos nosotr ot r os hemos usado usado enter ent eros os con más de una cifra; sin embargo, con potencias de 10 también podemos expresarlos usando una sola cifra entera y las demás en decimal. Así: 23 000 000 = 23 x 106 = 2.3 2. 3 x 10 10 x 10 106 = 2.3 2. 3 x 107 1 870 000 000 000 = 187 x 10 10 = 1.87 1. 87 x 102 x 1010 = 1.87 1. 87 x 1012
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De est est os ej emplos empl os podemos obtener obt ener la l a regla gener general al para par a expresar un número grande en notación exponencial: • Se cuen cuentt a cuá cuánt ntaas cifras cif ras t iene el el núme número. ro. • Al result result ado ado se se le res r estt a uno uno y se se usa usa como como el exponente de 10. • Enton nt once cess el número número que que va va a mul mul t iplicar ipl icar a la pot pot encia encia de 10 es un número que se forma quitando los ceros del número original y poniendo el punto decimal de modo que quede una cifra a la izquierda del punto. Por ej emplo, empl o, 23 000 000 000 000 tit i ene ocho cif r as. as. Como 8 – 1 = 7, éste es el exponente que debe llevar el 10 y quitando los ceros queda 23, 23, a 23 23 le dej amos amos una cif r a ent ent era y da 2.3. De modo que 23 000 000 = 2.3 x 10 7. Observe que con esta notación estamos expresando que hemos recorrido el punto decimal 7 lugares a la izquierda:
23 000 000 = 2.3 x 10 7 7 lugares Análogamente, 1 870 000 000 000 tiene trece cifras. Como 13 – 1 = 12, ése es el exponente que llevará el 10. El número original sin ceros es 187, con una cifra entera queda 1.87. Así, se tiene que 1 870 000 000 000 = 1.87 x 10 12.
1 870 000 000 000 = 1.87 x 10 12 12 lugares
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Cuando los números no aparecen en notación exponencial, decimos que están en forma desarrollada. En el último ejemplo 1 870 000 000 000 es la forma desarrollada de 1.87 x 10 12. También podemos pasar de la notación exponencial a la forma desarrollada:
1.87 x 10 12 = 1 870 000 000 000 12 lugares
Ejercicio 1 Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números: a) 12567. 8 c) 23. 1452308 e) 31. 164 g) 7 324 561 987
b) 325. 61902 d) 1102400 f ) 3648912 h) 1999
Ejercicio 2 Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales: a) 1.001 x 10 3 b) 7.9 x 107 e) 6.3 x 104 f) 1.010101 x 10 8
c) 5.421023 x 10 3 d) 3.00005 x 10 2 g) 5.8 x 102 h) 2.33 x 101
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Números pequeños Cuando decimos aquí números pequeños nos referimos a números menores a 1. Consideremos para empezar 0.1: este número se lee un décimo, pero ya sabemos que un décimo se escribe como 1 f r acción, así: así: 10 ; t ambién sabemos abemos que 0.01 se l ee un centés cent ésii mo 1 y l a f r acción que l o r epres epr esent entaa es 100 y así así sucesi ucesi vamente. vament e. Si ahora tenemos 0.0120, este número se lee ciento veinte 120 diezmil diezmi l ési ési mos, mos, l o que se escri escribe be 10000 , mient mi entrr as que a 0.00023 0.00023 l e corres corr esponde ponde l a f r acci acci ón 23 . 100 000
En todos t odos est est os ej emplos empl os t enemos f r acciones cuyos denominadores son potencias de 10, así que pueden escribirse así:
0.1 0. 1 =
1 10
0.01 0. 01 =
0. 0120 =
120 10000
120 104
=
1 100
0. 00023 =
=
1 102
23 100 000
=
23 105
Estas fracciones se pueden escribir también como divisiones: 0. 1 =
1 10
120
0.012= 0. 012= 10000 = 0.00023 0. 00023 =
24
1
= 1 ÷ 10
0. 01 01 = 100 =
120 104
23 100 000
=120 ÷ 104
=
23 105
= 23 ÷ 105
1 102
= 1 ÷ 102
Para seguir con el modelo de notación exponencial de los números grandes, escribiremos las divisiones como productos. Esto se hace usando exponentes negativos. Los exponentes negativos sirven para expresar como product product o potenc pot encias ias que es est án divi dividiendo diendo.. Por ej emplo 101 2 –2. Esto es, un divisor con puede escribirse como 1 x 10 –2 exponente positivo se puede escribir como factor con exponente negat negatii vo. Así, l os ej emplos con los que hemos hemos venido t r abaj abaj ando ando quedan: 1 1 –1 –2 0.1 0. 1 = 10 = 1 x 10 –1 0.01 0. 01 = 100 = 101 2 =1 x 10 –2 120
120 104
23 100 000
=
0.012 0. 012 = 10000 = 0.0023 0. 0023 =
–4 = 120 x 10 –4
23 105
–5 = 23 x 10 –5
Los dos últimos ejemplos tienen la parte entera con dos cifras, pero también podemos escribirlos con una cifra entera. Notemos que 120 es igual a 1.2 x 10 2. Ent onces 0.0120 0. 0120 =
120 104
–4. = 120 x 10 -4 = 1.2 x 102 x 10 –4
100 Pero por otra parte, tenemos que 10 2 x 10-4 = 10000 =
1 100
–2. =10 –2
–2. Entonces, podemos escribir 0.0120 como 1.2 x 10 –2
En el otr ot r o ej emplo, empl o, t enemos que 0.00 0. 0002 0233 = –5. x 10 x 10 –5
23 105
–5 = 2.3 = 23 x 10 –5
1 –5 = 10 –4, entonces Pero como 10 x 10 –5 = =10 –4 100000 10000 –4. 0.00023 = 2.3 x 10 –4
25
Para escribir en forma exponencial números pequeños seguimos esta regla: • Recorr ecorr emos emos el punt punt o decimal decimal a la derecha derecha para para que quede después de la primera cifra que sea distinta de 0. • Contamo ont amoss cuánt cuántos os l ugares ugares r ecor ecor r i mos el punt o y esa esa cantidad será el exponente negativo de 10. Por ejemplo, para escribir con notación exponencial los números 0.000034 y 0.00176, hacemos lo siguiente: –5 0.000034 = 3.4 x 10 –5
5 lug l ugares ares
–3 0.00176 = 1.76 x 10 –3
3 lug l ugares ares
Como en el caso de los números grandes, también se puede pasar de notación exponencial a forma desarrollada. Por ejemplo: –6 = 0.000001583 1.583 x 10 –6
–2 = 0.0402587 4.02587 x 10 –2
6 lugares
2 lugares
Ejercicio 3 Utilice notación exponencial con una sola cifra entera para escribir los siguientes números: a) 0. 0. 124 c) 0. 005 e) 0. 0564 b) 0.00 .000675 d) 0.00 .000011 f) 0.0 0.0009742
26
g) 0. 875 h) 0.04 .0491
Ejercicio 4 Escriba en forma desarrollada los siguientes números reales: a) b) e) f)
–4 6.3 x 10 –4 –6 3.12 .12 x 10 –6 –7 52.210 .210 x 10 10 –7 –4 0.03 x 10 –4
c) d) g) h)
–10 1.82 .82 x 10 10 –10 –15 3 x 10 –15 –2 4.001 .001 x 10 10 –2 –2 6687 x 10 10 –2
Operaciones con números en notación exponencial Una de l as ventaj vent aj as de usar usar la l a not not ación exponencial es que facilita la realización de algunos cálculos con números reales, especialmente el producto y la división. Esto es lo que veremos enseguida. Para multiplicar dos números con notación exponencial, por ejemplo 12.07 x 10 7 y 1.02 x 10 4, escribimos el producto: (12.07 x 10 7) x (1.02 x 104) Por la propiedad conmutativa del producto de números reales, que se puede expresar como "el orden de los factores no altera el producto", escribimos: (12.07 x 1.02) x (10 7 x 104)
27
El producto de la izquierda se efectúa como ya hemos aprendido y nos da 12.07 x 1.02 = 12.3114. El producto de la derecha indica que multipliquemos 10 elevado a la 7, o sea 10 multiplicado 7 veces por sí mismo, por 10 multiplicado 4 veces por sí mismo, en total tenemos 10 multiplicado 11 veces por sí mismo. Es decir, 10 7 x 104 = 10 1011. El resultado de la operación es entonces: (12.07 x 1.02) x (10 7 x 104) = 12.3114 x 1011 mul t i pli pl i can can los números números En general lo que se hace es que se mul dados si n con dados contt ar l a pot pot en enc ci a de 10 y el r esul esultt ad ado o se se mult i pli pl i ca por 10 elevado el evado a la l a suma suma de los l os exponentes exponent es de los l os números númer os iniciales. En el ej emplo empl o 12. 12.07 07 x 1.02 1. 02 = 12. 12. 3114 3114 y al sumar sumar l os
exponentes tenemos 7 + 4 = 11 que es el exponente de 10 en el resultado final. Es decir: 7+4 = 12.3114 x 10 11 (12.07 x 10 7) x (1.02 x 104) = (12.07 x 1.02) x 10 7+4
Esta forma de realizar las multiplicaciones se aplica también cuando los exponentes son negativos, o cuando hay una mezcla mezcla de exponent exponentes es posi posi t i vos y negat negatii vos. vos. Por ej emplo: –6) x (1.12 x 10 –2 –2) (1.45 x 10 –6 –4) x (3.1 x 107) (2.7 x 10 –4 –3) (6.6 x 10 4) x (2.2 x 10 –3 –3) (12.4 x 10 3) x (1.3 x 10 –3
–6+(– (–2) 2) = (1. (1. 45 x 1. 12) x 10 10 –6+ –4 +7 = ( 2. 7 x 3. 1) 1) x 10 –4 = ( 6. 6 x 2. 2) 2) x 104+(–3) = (12 (12.4 x 1.3) .3) x 103+ (–3)
–8 = 1.624 x 10 –8 = 8.37 x 103 = 14.52 x 101 = 16.12 x 100
Vale la pena hacer un par de comentarios acerca de los últimos dos ejemplos. En el primero de los dos aparece 10 1. Como hemos visto: 101 = 10 10
28
Y en el último ejemplo aparece 10 0. Este número es igual a 1: 100 = 1 Por l o tant t anto, o, l os r esul esultt ados ados de los l os últ úl t i mos dos ej emplos se pueden expresar como: –3) = (6.6 x 2.2) x 10 4+(–3) =14.52 x 10 1 = 14.52 x 10 (6.6 x 10 4) x (2.2 x 10 –3 –3) = (12.4 x 1. (12.4 x 103) x (1.3 x 10 –3 1. 3) x 103+(–3) = 16.12 x 10 0 = 16.12
En el caso de la división se procede de manera parecida, sólo que ahora en lugar de sumar los exponentes, se restan. Es di viden den los l os números si n cons consii derar der ar l a pot enci enci a de 10, 10, decir, se divi y el el r esul esultt ad ado o se se m mul ultt i pli pl i ca por por 10 elevado elevado a l a dif di f erenci erenci a del exponen exponentt e del del divi di vidend dendo o menos menos el exponen exponentt e del del divi di vis sor. or.
Veamos algunos al gunos ej emplos empl os:: (12.5 x 10 4) ÷ (2 x 102) = (12.5 ÷ 2) x (104 ÷ 10 102) = 6.25 x 10 4 – 2 = 6.25 x 102 –1 (18.6 x 10 4) ÷ (3 x 105) = (18.6 ÷ 3) x 104 –5–5 = 3.2 3. 2 x 10 –1 –2) ÷ (3 x 10 –5 –5) = (15.3 ÷ 3) x 10 –2 –2 –(– –(–5) 5) = 5.1 (15.3 x 10 –2 5. 1 x 103 –3) ÷ (2.1 x 107) = (10.92 ÷ 2.1) x 10 –3 –3 – 7= 5.2 –10 (10.92 x 10 –3 5. 2 x 10 –10 (–12.4 x 10 7) ÷ (4 x 107) = (–12.4 ÷ 4) x 107 – 7 = –3.1 3. 1 x 100 = –3.1 En el caso de la suma y la resta de números reales expresados en notación exponencial no se pueden aplicar estas reglas. La única manera de realizar estas operaciones es expresar ambos ambos números con con el mis mi smo exponen exponentt e, sumarl os o res r estt arl os si n con ons si de derr ar l a pot pot en enc ci a de de 10 10 y al al r esult esult ado mul multt i pli car l o por por 10 eleva el evado do al exponen exponentt e común. común.
29
Por ej emplo, para suma sumarr 12. 12. 07 x 103 y 3.19 3. 19 x 102, podemos empezar expresando el primer sumando de la siguiente manera: 12.07 x 10 3 = 120.7 x 102. Después sumamos 120.7 + 3.19 = 123.89, y a ese resultado lo multiplicamos por 10 2. Entonces tenemos que: (12.07 x 10 3) + (3.19 x 102) = 123.89 x 10 2 Otra manera de realizar esta misma operación es expresando el segundo sumando multiplicado por 10 3, así: 3.19 x 10 2 = 0.319 x 103. Entonces se puede sumar 12.07 + 0.319 = 12.389, y a ese resultado se le multiplica por 10 3. Entonces el resultado es: (12.07 x 10 3) + (3.19 x 102) = 12.389 x 10 3 Una tercera forma de hacer la operación es transformando los dos números a su forma desarrollada. Así, hacemos 12.07 x 103 = 12070, 12070, y 3.19 3. 19 x 102 = 319, y luego sumamos 12070 + 319 = 12389. Tenemos entonces que: (12.07 x 10 3) + (3.19 x 102) = 12389 Los tres resultados son equivalentes, puesto que: 123.89 x 10 2 = 12.389 x 103 = 12389
30
Ejercicio 5 Realice las siguientes operaciones: –6) x (3.12 x 105) a) (1.85 x 10 –6 –2) x (5.7 x 104) b) (8.5 x 10 –2 –3) x (1.3 x 10 –2 –2) c) (8.06 x 10 –3
d) (4.33 x 107) x (6.1 x 106) –5) ÷ (4 x 10 –7 –7) e) (2.4 x 10 –5
f) (3.64 x 106) ÷ (1.4 x 104) –1) ÷ (1.3 x 10 7) g) (3.25 x 10 –1
h) (13.02 x 104) ÷ (4.2 x 104)
Ejercicio 6 Realice las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma desarrollada: a) (2.5674 x 103) + (13.17 x 102) –1) b) (5.47 x 102) + (1.2 x 10 –1 –1) c) (5.47 x 102) + (–1.2 x 10 –1
d) (6.52103 x 10 4) – (652.103 x 10 2) –4) – (4.17x 10 –1 –1) e) (–523.106 x 10 –4 –3) – (–1.1 x 103) f ) (1.1 x 10 –3
31
Lección 3: Or den den e int i nter erva vall os La recta real En la lección anterior presentamos los números reales y vimos que éstos están constituidos por los números racionales y los irracionales. En grados anteriores vimos que a veces es conveniente representar números usando una recta. Así, una manera de representar números naturales era la siguiente:
0
1
2
3
4
5
Al estudiar los enteros también se utilizó esta representación y la recta se veía ahora así: –5 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
Posteriormente estudiamos los racionales y también los agregamos a la recta:
–5 –5
32
–4 -3.5 -3. 5 –3 –3
–2
–1 - 3 4
0 1 1 1.5 2 2
3 3.8 4
5 5.1 5. 1
Ahora, si en la recta pudiéramos representar todos los números racionales y los números irracionales, tendríamos un modelo de los números reales, que se llama r ect ect a real real . Cada punto de la recta representa un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta. Una utilidad de esta recta es ayudarnos cuando requerimos comparar números reales. Como sucedía con los naturales, enteros y racionales, tenemos que de dos números, el mayor es el que aparece más a la derecha en la recta real. Así, de nuevo se tiene que cualquier número positivo y el cero, son mayores que cualquier negativo. Observando la recta vemos por ejemplo que –1 < - 34 porque - 34 apar apar ece, en l a r ecta ect a r eal, más a l a derecha que –1. Esto nos recuerda la regla que habíamos utilizado para comparar enteros y racionales. De dos números negativos el mayor es el que tiene menor valor absoluto, esto es, el menor cuando comparamos sus correspondientes positivos. Usando este mismo ejemplo se tiene que 34 es menor que 1, entonces - 34 es mayor que –1. Para comparar dos reales positivos hacemos lo mismo que con los racionales. Primero comparamos la parte entera: el que tiene mayor parte entera es el mayor, por ejemplo 123.65 es mayor que 99.874 porque 123 es mayor que 99; π es mayor que √2 porque la parte entera de π es 3 y es mayor que la de √2 que es 1. Cuando los números tienen partes enteras iguales, se compara la primera cifra decimal a la derecha del punto: es mayor el número que tiene la mayor cifra decimal en el primer lugar a la derecha del punto. Por ejemplo 25.6 es mayor que
33
25.090 porque la primera cifra decimal del primero es 6, que es mayor que la primera cifra decimal del segundo, que es 0. Si las partes enteras y las primeras cifras decimales de ambos números son iguales, entonces se procede a comparar entre sí las segundas cifras decimales en ambos números. Y así, sucesivamente. Como ya se ha dicho, di cho, l os números númer os i r r acionales acional es se tr t r abajan abaj an en general mediante una aproximación ya que no es posible escribir todas sus cifras decimales. Una vez establecida la aproximación con la que queremos trabajar podemos compararla con otros números como ya se ha explicado aquí.
Ejercicio 1 Escri cr i ba l os símbol os < , = , > según corr cor r esponda: esponda: a) 2.09 2. 0988 b) –π
1.56 1. 5677 –1.9 –1.9
e) π f ) 0.09 0. 0988
34
1.9
c) –3.467 3. 467
3.45 3. 45
d) 12.97
12. 12. 098 098
g) 2 –1.00 1. 0011
h) –1.4 1. 4
√2 - √2
Intervalos de números reales Una manera de utilizar los números reales, que se usará en otras lecciones de este libro, es mediante intervalos. Un intervalo de números r eal eal es es un conj conj unto unt o de númer númer os r eales, eales, t ambién puede verse como un "pedacito" de la recta real, es decir como un segmen egmentt o de la l a recta. rect a. Por ej empl empl o, el que dibuj amos amos aquí: aquí: 2
3. 5
Para referirnos a este segmento de recta usamos lo que se llama intervalo. En este caso se trata del intervalo "de dos a tres punto cinco" y podemos representarlo encerrando los extremos con un paréntesis y separados por una coma, así (2, 3.5). Como podemos observar, identificamos el intervalo mencionando sus extremos, primero el izquierdo, que corresponde al menor de los extremos y luego el derecho. El intervalo "de dos a tres punto cinco" que hemos indicado es el conjunt conj untoo de todos t odos l os números que est est án ent entrr e 2 y 3. 3. 5, es decir, todos los números más grandes que 2 y más chicos que 3.5. Decimos que (2, 3.5) es un int ervalo ervalo abiert abiert o . Por ejemplo 3.6 no est est á en es est e i nterval nt ervaloo por por que es mayor mayor que 3.5. Tampoco Tampoco el 0 está en este intervalo porque es más chico que dos. Podemos preguntarnos si 3.490 estará en el intervalo y la respuesta es sí, porque es mayor que 2 y menor que 3.5. Los extremos de un intervalo abierto no están en él: 2 no está en el intervalo porque no es mayor que 3, y 3.5 tampoco porque no es menor que 3.5.
35
Para saber si un número está en un intervalo dado necesitamos comprobar dos condiciones: • Que sea sea mayor mayor que el ext r emo izquierdo izquier do • Que sea sea menor menor que el ext r emo der der echo Si no se cumple cualquiera de las dos condiciones, el número dado no est est ará en el i nterval nt ervalo. o. Por ej emplo. Pensemos ensemos en el intervalo "de cero a nueve décimos": 0
0. 9
¿Cuáles de los l os si gui gui entes ent es números númer os est est án en est est e int i nter ervalo? valo? 1,
0.91,
1000,
0.899,
–5,
–0.4,
3,
–115.
Debemos decidir cuáles de estos números cumplen las dos condiciones: Ser mayor que 0 Ser menor que 0.9 Rápidamente podemos descartar a 1000, por ser mayor que 0.9. Por la misma razón descartamos a 3 y al 1. Como cualquier negativo es menor que 0 y queremos números mayores que 0, salen todos los negativos. Quedan por decidir: 0.91 0. 91
y 0.899 0. 899..
Ambos cumplen la primera propiedad, son mayores que 0. Pero es necesario que también cumplan la segunda. Ahora 0.91
36
y 0.9 tienen iguales sus primeras cifras decimales, debemos comparar las segundas. Aunque 0.9 no tiene segunda cifra decimal, podemos agregarle un 0 ya que 0.9 = 0.90. Comparando 0.91 con 0.90 vemos que 0.91 > 0.90. Así que 0.91 no cumple la segunda condición, se "sale" del intervalo. Analicemos ahora el segundo número: vemos que 0.899 < 0.9, porque la primera cifra decimal del primero es 8 que es menor que la primera cifra decimal del segundo, que es 9. Entonces 0.899 está en el intervalo. Cuando un número está en un intervalo decimos que "per "per t enece enece" " al intervalo, de otra manera decimos que "no "no pert en enec ece" e" al intervalo. Para t r abaj abaj ar con int i nter ervalos valos son úti út i l es l os símbolos ímbol os > y <. Así, Así, si queremos saber si un número x está en el intervalo (–1.3, 1.1) necesitamos comprobar dos cosas: Si x > –1.3 y Si x < 1.1. Por ej emplo, empl o, nos preg pr egunt untamos amos cuáles de l os si guient es números pertenecen al intervalo (-1.3, 1.1): 2.8,
0.98,
–0.5,
0.5,
–4,
1.2,
1.09,
1.10.
2.8 >–1.3 pero no es menor que 1.1, así que 2.8 no pertenece a (–1.3, 1.1). 0.98 > –1.3, y también 0.98 < 1.1, así que 0.98 sí pertenece al intervalo (–1.3, 1.1).
37
Al revisar los otros números encontramos que: –0.5 –0.5 pert enece enece a (– ( –1.3, 1.1) porque –0.5 –0.5 > –1.3 –1.3 y –0.5 < 1.1 0.5 pert enece enece a (–1.3, (–1.3, 1.1) 1. 1) porque 0.5 > –1.3 y 0.5 < 1.1 –4 –4 no pert per t enece enece a (– ( –1.3, 1.1) porque –4 < –1.3 –1.3 1.2 no pert enece enece a (–1.3, (–1.3, 1.1) porque 1.2 > 1.1 1.09 1. 09 pert per t enece a (–1. (–1.3, 3, 1. 1. 1) porque por que 1.09 1. 09 > –1.3 1. 3 y 1.09 1. 09 < 1.1 1. 1 1.10 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.10 = 1.1 Los intervalos que hemos considerado hasta ahora en nuestros ejemplos son intervalos abiertos: en ellos no están incluidos los extremos. Algunas veces queremos que el intervalo sí incluya a sus extremos. Por ejemplo, si queremos referirnos al conjunto de números formado por el 2, el 5 y todos los números que están entre los dos, escribimos [2, 5] y decimos que [2, 5] es un intervalo cerrado. cerrado . Observe que la diferencia en la notación está dada por la forma de los paréntesis: aquí usamos paréntesis cuadr cuadrado adoss, t ambién l l amados amados corchetes corchet es.. Podemos odemos represent representar ar un intervalo cerrado así: 2
5
Para comprobar si un número x está en un intervalo cerrado, digamos el intervalo [-2.3, -1.4], necesitamos comprobar dos cosas: Que x sea mayor o igual que el extremo inferior. Esto lo escribimos así: a ≥ –2.3 Que x sea menor o igual que el extremo inferior. Esto lo escribimos así: a ≤ –1.4
38
Por ej emplo, empl o, veamos si l os si gui gui entes ent es números númer os pert per t enecen al al intervalo [–2.3, –1.4]: –1.8, –1.8,
0,
1.2,
–1.2,
–2.3,
–2.6,
–1.4,
–1.5
Al analizar cada uno observamos que: –1.8 –1.8 pert enece enece a [ –2.3, –1.4] porque –1.8 –1.8 ≥ –2.3 y –1.8 ≤ –1.4 0 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque 0 > –1.4 1.2 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque 1.2 > –1.4 –1.2 –1.2 no pert enece enece a [ –2.3, –1.4] porque –1.2 –1.2 > –1.4 –1.4 –2.3 –2.3 pert enece enece a [ –2.3, –1.4] porque –2.3 –2.3 ≥ –2.3 y –2.3 ≤ –1.4 –2.6 –2.6 no pert enece enece a [ –2.3, –1.4] porque –2.6 –2.6 < –2.3 –2.3 –1.4 –1.4 pert enece enece a [ –2.3, –1.4] porque –1.4 –1.4 ≥ –2.3 2. 3 y –1.4 1. 4 ≤ –1.4 –1.5 –1.5 pert enece enece a [ –2.3, –1.4] porque –1.5 ≥ –2.3 y –1.5 ≤ –1.4
Combinando las notaciones anteriores podemos escribir intervalos semi-abiertos, semi-abiertos, es decir intervalos que contienen sólo un extremo. Por ejemplo, el intervalo • [ 3, 7)
• (3, 7]
conti contien enee al núm número ero 3, y a t odos dos los núme números ros mayores que 3 y menores que 7. Es decir, x pertenece al intervalo [3, 7) si x ≥ 3 y si x < 7. 7. Decimos que [3, 7) es un intervalo abiert bier t o por por la derecha. derecha . cont contiene iene a t odos odos los núme números ros mayo mayores res que que 3 y menores que 7 y también al número 7. Es decir, x pertenece al intervalo (3, 7] si x > 3 y si x ≤ 7. Decimos que (3, 7] es un intervalo abiert o por por la izquierda. izquierda .
39
En general, si llamamos a y b a dos números cualesquiera y a < b, tenemos:
Representación en símbolos Representación gráfica
Int er er val o abi er er t o
Int er er val o cerrado
(a, b)
[a, b]
a
b
a
Intervalo abierto Intervalo abierto por la l a derecha derecha por la izquierda [a, b)
b
a
(a, b]
b
a
b
Contiene
A todos los números mayores que a y menores que b. Los Los ext extremos remos a y per t enece enecen n b no per al intervalo.
A los números a, b y a todos los que son mayores que a y menores que b . Los Los ext extremos remos a y b pert enece enecen n al intervalo.
Al número a, y a todos los que son mayores que a y menores que b. El extremo ext remo a perr t en pe enec ece e al intervalo, b no perr t en pe enec ece e a él.
A todos los números mayores que a y menores que b y al número b. El extremo a no per per t enece enece al intervalo, b sí pert en enec ece e a él.
x pertenece al int ervalo ervalo si: si:
x>a x
x≥a x≤b
x≥a x
x>a x≤b
Ejercicio 2 En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece al intervalo de la derecha: a) b) c) d)
40
0. 9 –1.56 .56 1.31 2.08
( 1. 7, 2. 3) (–1 (–1.5, .5, 1.5) (1.3, (1. 3, 2) (2.07 (2. 079, 9, 2.081) 2.081)
e) f) g) h) i) j ) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x)
–3.5 3. 5 –0.00 0. 0000 0011 9.000 9. 00011 π
–π π
√2 –2.38 2. 38 5 8 –6 0 –3.28 3. 28 1/ 2 -5/ 2 3. 5 –2.7 2. 7 1.799 3.0001 3.0001 –128.16 128. 16
( –5, 5) (0, 0.5) 0. 5) ( –15, 9.01) 9. 01) (3.1, 3.2 3. 2) (–4, 2) (–π, π) ( 0, π) ( –2.3, 2. 3, –1.8) 1. 8) ( 5, 10] [ 8, 24] [ –6, 0) [ –6, 0) ( –3, 3) [0, 1] (–1, (–1, 0) [ 3, 3. 5) ( –3, –2) (1, 1.8) (3, 4) (–345.12, 345. 12, –128.17] 128. 17]
41
Lección 4: Proporcionalidad La proporcionalidad es un tema que hemos venido estudiando desde el primer grado de secundaria, sobre todo en la lección 7 del segundo curso. La idea de proporcionalidad se sitúa dentro de una relación entre dos clases de cantidades o medidas. Una vez que se establece la relación es posible decir si en ella existe proporcionalidad o no. Veamos algunos ejemplos. Mayra y Lety fueron a comprar dulces, Mayra compró 6 caramelos y pagó $0.15. Lety se llevó 12 caramelos y pagó $0.30. Como vemos, en este ejemplo hay una relación entre la cantidad de dulces y la cantidad de dinero que se paga por ellos. Además esta relación cumple una propiedad que la caracteriza de manera especial. Observemos que Lety compró el doble de caramelos que Mayra, ya que 12 es el doble de 6, pero también Lety pagó 30 centavos, que es el doble de lo que pagó
42
Mayra. En esta relación vemos que a más caramelos, más es lo que hay que pagar y no sólo esto, sino que el aumento es proporcional . Ot r os ej emplos de est est e ti t i po de relaciones rel aciones son las t ablas de precios que tienen algunas taquerías o tortillerías, o los negocios de fotocopiadoras. A las relaciones de este tipo se l es l l ama ama relac rel aciones iones dir ect ect amente proporcionales proporcionales.. Nacho y Manuel tienen cada uno un tanque para almacenar agua, y ambos tanques son idénticos. Para llenarlos tienen que caminar al pozo, llenar sus cubetas y regresar a su casa para vaciarlas en su tanque. Nacho tiene una cubeta de 10 litros, Manuel tiene una cubeta de 20 litros. Por esta razón, cuando el tanque está vacío, para llenarlo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel sólo da 5 vueltas. Al anali analiza zarr est est e ej emplo observamos observamos que hay hay una relación rel ación entre la capacidad de las cubetas y el número de vueltas que hay que dar para llenar tanques iguales. Cuando las cubetas son más grandes se requiere dar menos vueltas. En esta relación, a diferencia de la del primer ejemplo, a más capacidad de las cubetas menos vueltas hay que dar. Por esto decimos que es una relación inversa, inversa, pero además el aumento en la capacidad se relaciona con la disminución en el número de vueltas proporcionalmente, ya que cuando la capacidad de las cubetas es el doble, el número de vueltas se reduce a la mitad. En cada viaje Nacho acarrea 10 litros, mientras que Manuel lleva 20 litros, el doble. Así mismo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel da 5 vueltas, la mitad.
43
Ot r o ej emplo de est est e ti t i po de relaciones rel aciones sucede cuando cuando dos dos vehículos recorren una misma distancia a diferentes velocidades. El que viaj a a mayor mayor velocidad vel ocidad se se lll l evar evar á menos menos t i empo en hace hacerr el recorrido, el que viaja a menor velocidad tardará más en llegar. A este tipo de relaciones se les llama inversamente proporcionales. En las siguientes secciones estudiaremos algunas propiedades de relaciones tanto directa como inversamente proporcionales. Presentaremos ejemplos y situaciones cuyo conocimiento nos puede facilitar la resolución de problemas. Conviene aclarar que no cualquier relación es directa o inversamente proporcional: hay r elaciones el aciones que no son son proporci onal onal es. es. El si guient e es un ej emplo de relación que no es proporcional: El área de un círculo está dada por la fórmula A = πr 2. Entonces si tenemos un círculo de radio 3 cm y usando para π la aproximación 3.1416, el área es igual a 28.2744 cm 2. Si tomamos una circunferencia del doble de radio, esto es de radio 6 cm, al sustituir en la fórmula y hacer los cálculos resulta que el área es 113.0976 cm 2, que no es el doble de 28.2722. Si bien es cierto que a mayor radio, mayor área, el aumento no es proporcional al aumento del radio.
Proporcionalidad directa El primer ejemplo de la sección anterior es un ejemplo de proporcionalidad directa. Para estudiar las propiedades de este tipo de relación vamos a ver el caso de la venta de caramelos y completaremos los datos que faltan en esta tabla.
44
Caramelos
6
A pagar en centavos
15 30
12 18 0
60 60 90
150 150 ($1.50)
90
120 270 270 ($2.70)
Observemos que hay tres columnas completas: las que relacionan 6 caramelos con 15 centavos, 12 caramelos con 30 centavos y 60 caramelos con 150 centavos (o, lo que es lo mismo, con $1.50). Si consideramos el cociente de cantidad a pagar entre el número de caramelos comprados, tenemos 15 = 30 = 150 . 12 60 Como podemos observar, todos estos números 6 son el mismo: están expresados como fracciones distintas pero equivalentes. De hecho todas corresponden al decimal 2.5. En cual cual quier relac rel acii ón direct dir ectam amen entt e proporcional proporcional se cumpl cumpl e este hecho: que el cociente de dos cantidades relacionadas es siempre el mismo, en este caso 2.5. A este cociente se le llama valor valor unitario o const const ant e de propo pr oporr cionali cionali dad dad . En este ejemplo la constante de proporcionalidad representa el precio en centavos de cada caramelo. Como ya se sabe que cada caramelo cuesta 2.5 centavos, para encontrar cuánto se debe pagar por 18 caramelos sólo se requiere multiplicar el valor 2.5 por 18. Al hacer la multiplicación encontramos que 18 x 2.5 = 45. Hay que pagar 45 centavos. Otra manera de razonar es la siguiente: 18 es el triple de 6, entonces hay que pagar el triple de lo que se pagó por 6 caramelos, esto es, 3 x 15 = 45. Con cualquiera de estos procedimientos podemos completar la tabla para 90 y 120 caramelos. Como 90 x 2.5 = 225.0, por 90
45
caramelos se pagan 225 centavos (es decir, $2.25), mientras que por 120 caramelos se pagan 120 x 2.5 = 300 centavos (es decir, $3.00). Existe otra relación importante que cumplen las relaciones direct dir ectam ament entee proporcional proporcional es. es. Al dividir divi dir dos dos cant cantidades idades en una una misma clase, el cociente obtenido es el mismo que al dividir sus correspon correspondient dientes es en la ot ra clas cl ase. e. Por ej emplo, si nos nos f i j amos amos en la clase de los caramelos y dividimos 12 ÷ 6 = 2, también sus correspondientes precios, que son 30 y 15, dan 2 al dividirse. Lo que estamos comprobando aritméticamente es algo que ya sabíamos: como 12 es el doble de 6, 30 es el doble de 15. Veamos otro caso, tomemos dos cantidades en el renglón de los l os caramelos caramel os y divi di vidamos damos una entr ent r e ot r a: 120 120 ÷ 90 90 = 1. 1. 333… 333…, ahora consideremos los correspondientes precios: 300 y 225, al tomar su cociente resulta 300 ÷ 225 = 1.333…Lo que se tiene aquí es que como 120 es 1.333…veces 90, lo que se paga por 120 es 1.333 veces lo que se paga por 225. Para completar los datos que faltan en la tabla, que son la cantidad de caramelos que se pueden comprar con 60, 90 y 270 centavos, podemos utilizar el valor unitario. Si cada caramelo cuesta 2.5 centavos, con 60 centavos se pueden comprar 60 ÷ 2.5 = 24 caramelos. Para resumir lo que se ha discutido aquí observemos que: • El núme número ro de carame caramell os mul mul t iplicad ipl icadoo por por 2. 5 nos nos da la cantidad que se pagará. • La cant cantii dad dad pag pagada ada entre ent re 2.5 nos nos da l a can cantt i dad dad de caramelos caramel os compr comprados ados..
46
• Cualquier ualquier cant cant idad pag pagada ent ent re el número número de caramelos comprados con ella da 2.5.
Ejercicio 1 Termine de completar la tabla de los caramelos del primer ejemplo.
Ejercicio 2 La siguiente tabla se refiere a la cantidad de sacos de abono que se requieren para abonar diferentes áreas de cultivo de acuerdo con su medida en metros cuadrados. Complete la tabla y obtenga l a cons const ant ant e de propo pr oporci rcion onali alida dad. d. Cantidad de t ierra en m 2 Cantidad de abono en sacos
1
2
10 15 3
5
50 75 13. 5 25
42
47
Regla de tres En esta sección veremos una manera corta de resolver algunos problemas de proporcionalidad directa, llamada la r egla egla de tr es. es. Cuando se se sabe sabe que una rel ación ent r e dos clas cl ases es de obj et os es de proporcionalidad directa y se conocen tres datos, es fácil encont encontrr ar el cuar cuar t o. Veamos eamos algunos algunos ej emplos. emplos. Cuatro camisas cuestan $300. ¿Cuánto cuestan cinco camisas? Podemos acomodar la información de la siguiente manera: Cami sas: Cost o:
4 300
5 ?
Llamemos x al costo de las 5 camisas. Entonces tenemos:
Cami sas: Cost o:
4 300
5 x
A este acomodo lo podemos leer de la siguiente manera: "cuatro es a trescientos como cinco es a x ". ". Podemos encontrar x buscando primero la constante de proporcionalidad, que es el precio de una camisa, así: 300 ÷ 4 = 75, y luego multiplicando ese resultado por 5, así: 75 x 5 = 375. Entonces, cinco camisas
48
cuestan $375. Observe que el resultado de 375 se obtuvo de hacer l as operaciones operaci ones 300 x 5 y que otr ot r a manera de expres expr esar ar l as 4 operaci oper aciones ones es así: así: 3004x 5 . Dicho de otra manera, si consideramos nuestro acomodo inicial, Cami sas: Cost o:
4 300
5 x
podemos encontrar el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no está la x y dividiendo ent ent re el t ercero: ercero: x =
300 x 5 1500 = 4 4
= 1500 ÷ 4 = 375
Veamos eamos otr ot r o ej emplo. ¿Cuánto uánt o recorr recor r e un automóvil aut omóvil en 90 90 minut os si viaj vi aj a a 80 kilómetros por hora? Si ahora llamamos x a lo que el automóvil recorre en 90 minutos, podemos acomodar la información así:
49
Distancia: Ti empo:
80 60
x
90
Entonces encontramos el valor de x multiplicando los dos datos existentes en la diagonal en la que no está la x y dividiendo entre el tercero: x = 90 x 80 60
=
7200 60
= 7200 ÷ 60 = 120
El automóvil recorre 120 kilómetros en 90 minutos. Observe que con esta regla no importa cuál es el cuarto dato faltante. Por ejemplo, podemos preguntarnos cuánto tiempo tarda el mismo automóvil del ejemplo anterior en recorrer 50 kilómetros. Entonces tenemos: Di st anci a: Tiempo:
50 x
80 60
Y ahora la regla de tres se resuelve así: x = 50 x 60 80
=
3000 80
= 37.5 37. 5
El automóvil tarda 37 minutos y medio en recorrer los 50 kilómetros. También ambi én podemos preg pr egunt untarnos arnos a qué velocid vel ocidad ad viaj a un automóvil que recorre 125 Km en una hora y cuarto. Podemos resolver este problema de dos maneras. O bien traducimos todo a minutos, entonces tenemos que una hora y cuarto son 60 + 15 = 75 minutos, y la regla de tres queda así:
50
Di st an anci a: Ti empo:
125 75
x
60
y la solución es: x =
125 x 60 75
=
7500 75
=100,
o bien expresamos todo en horas y la regla de tres queda así: Di st an anci a: Ti empo:
125 1 14
x
1
y la solución es: x =
125 x 1 125 1 = 5 14 4
=
125 1
÷
5 4
=
125 1
x
4 5
= 1251x5x 4 =
500 5
= 100.
De cualquier modo, encontramos que la velocidad del automóvil era de 100 kilómetros por hora. Observe que para realizar la regla de tres, necesitamos que las unidades de los elementos de la misma clase fueran siempre las mismas: todas las distancias en kilómetros y todos los tiempos o bien en minutos o bien en horas.
Ejercicio 3 Encuentre, por regla de tres, el valor de x en los siguientes arreglos: a) 15.6 7.2
x
8.4
b) 91 x
3. 9 2. 4
c)
1700 d) 548 25 510 8. 1 x
153 x
51
Ejercicio 4 Resuelva, por regla de tres, los siguientes problemas de proporcionalidad directa: a) Si dos d os t acos cuest cuest an $3.00, ¿cuántos cuánt os t acos podrán podr án comprarse con $36.00? b) Si una una llav ll avee de ag agua l l ena ena tres t res cuart cuart as part part es de un t anque anque en 24 24 minut os, os, ¿cuánt cuántoo tardará t ardará el t anque anque en llenarse? c) Si un mant mantel el mide mi de 1. 1. 20 m de ancho ancho por 1.80 1. 80 m de l argo, argo, ¿qué ancho ancho tendrá t endrá un mant mant el de la l a misma misma proporción si de largo mide 1.50 m? d) Si 46 pers per sonas caben en dos aut obuses, obuses, ¿cuántos autobuses se necesitan para transportar a 115 personas?
Proporcionalidad inversa En esta sección profundizaremos en algunos aspectos de las relaciones de proporcionalidad inversa. Para ello volveremos al segundo ejemplo de la primera parte de esta lección, el de las cubetas. Mostraremos la información conocida en una tabla y dej aremos algunos algunos datos dat os si n revelar r evelar para irl ir l os obteniendo obt eniendo de acuerdo con las propiedades que encontremos. Capacidad de cada cubeta No. de vuelt vuelt as
52
1
2
10 20 12. 5 10
5
40 50 4
En esta relación ya no se cumple lo que pasaba con los caramelos de la sección anterior. Por ejemplo tomamos en el renglón de capacidad de las cubetas y dividimos 20 ÷ 10 = 2, las correspondientes vueltas son 5 y 10, respectivamente, pero 5 ÷ 10 = 12 , que no es i gual gual a 2. Es Est o sucede porque por que l a r elación el ación es proporcional pero no directa, sino inversa, y podemos decir que l os cocient coci entes es o r azones azones obtenid obt enidos os son i nvers nver sos: os: 2 y 12 . Otra relación que se puede encontrar es que al multiplicar la capacidad de las cubetas por el número de vueltas es el mismo, por ej emplo empl o aquí t enemos 10 x 10 10 = 20 20 x 5 = 100. 100. Est e dato dat o nos da información acerca de lo que acarrea cada cubeta en total, esto es 100 litros por cubeta. Con este dato ya es fácil completar la tabla, por ejemplo con la cubeta de 1 litro, se necesitan 100 ÷ 1 = 100 vueltas. Para la de 2 litros se requieren 100 ÷ 2 = 50 vueltas. También podemos saber la capacidad de las cubetas de acuerdo al número de vueltas, si se usaron 4 vueltas para llevar
53
100 litros, en cada vuelta se llevaron 100 ÷ 4 = 25 litros. La capacidad de la cubeta es 25 litros. En resumen tenemos: • El cocien cocientt e de 100 ent entre re el núme número ro de vue vueltlt as nos nos da la capacidad de cada cubeta. • El cociente cocient e de 100 100 ent entrr e la capaci capacidad dad de una una cubet cubetaa nos da el número de vueltas. • Al mult ipli ipl i car car l a cap capac acidad idad de una una cubet cubetaa por por su correspondiente número de vueltas, se obtiene siempre 100. Cabe señalar que en las relaciones de proporcionalidad inversa no se puede aplicar la regla de tres como fue expuesta en la sección precedente.
Ejercicio 5 Complete la tabla de las cubetas y las vueltas.
Ejercicio 6 La siguiente tabla muestra las velocidades de distintos vehículos y el tiempo que tardan en viajar de Cuitzeotlán a Mirabampo. Complete la tabla y encuentre la distancia entre Cuitzeotlán y Mirabampo. Velocidad del vehículo Tiempo que tarda
54
20 24
45 8
75 4
3. 2
80
100 2. 4
120
Variaciones proporcionales y no proporcionales Consideraremos ahora otros ejemplos. En la tienda de abarrotes de don Hilario aparece un letrero que dice "Ventas al mayoreo y menudeo, pregunte por nuestros precios". Un cliente que quiere comprar arroz pide a don Hilario que le dé 9 kilos de arroz. Don Hilario le dice que son $45, pero que por esta misma cantidad de dinero se
55
puede llevar 10 kilos. El cliente no entiende nada y pide a don Hilario que le explique. Para ello don Hilario le muestra una tabla como ésta: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 20
30
40
50
100 100
5
10 15 20 25 30 35 40 45 45 88
132 132
160 160
200 200
400 400
Don Hilario explica a su cliente que a partir de 10 kilos él considera que es compra al mayoreo y baja el precio por kilo. Si observamos bien, al dividir el precio entre la cantidad en las primeras 9 columnas, siempre obtenemos el mismo resultado, 5, por ejemplo 30 ÷ 6 = 40 ÷ 8 = 5, etc. Éste es el precio por kilo si se compran de 1 a 9 kilos. Para estas cantidades existe proporcionalidad. En cambio, a partir de 10 tenemos otras relaciones: 45 ÷ 10 = 4.5, .5, 88 ÷ 20 = 4. 4400,
132 ÷ 30 = 4.40 .40, 160 ÷ 40 = 4,
200 ÷ 50 = 4, 400 ÷ 100 = 4.
Esto es, el precio del kilo de arroz varía según se compre más o menos. Esta relación no es directamente proporcional por lo que acabamos de ver. También podemos notar que no es directamente proporcional si observamos que por 10 kilos se pagan $45, mientras que por 20 kilos, que es el doble de 10, no se paga el doble, que sería 90, sino $88. Otro ejemplo de una proporción que no es directamente proporcional es el siguiente.
56
El volumen de un tanque cilíndrico se calcula sacando el área de la base por la altura. De hecho, si r es el radio del círculo que es la base del tanque y h es la altura, el volumen está dado por la fórmula V = π
x h x r 2
Con esta fórmula vamos a obtener algunos volúmenes de cilindros de 50 cm de altura y de diferentes radios, y vamos a mostrar esta i nforma nfor mación ción en una una tab t abll a. Para π usaremos la aproximación 3.14 y redondearemos los resultados a una cifra decimal. r en
cm V en
cm3
10
20
25
30
35
40
48
50
75
15700 62800 98125 141300 192325 251200 361730 392500 883125
Para ver que no se trata de una relación directamente proporci pr oporcional, onal, obser observaremos varemos un sol soloo cas caso. Por ej emplo empl o par par a 25 25 cm de radio el volumen del cilindro es 98125 cm 3; mientras que para un radio del doble de tamaño, esto es, de 50 cm, el volumen es 392500, que no es el doble de 98125. Con esto basta para saber que la relación no es directamente proporcional.
Ejercicio 7 Las siguientes tablas muestran distintas relaciones entre cantidades de dos clases, algunas son proporcionales y otras no. Entre las proporcionales, algunas son directas y otras son inversas.
57
d) La can cantt i dad dad de gas gasoli olina na que gast ast a un un aut automó omóvil vil varía varía de acuerdo con la velocidad a la que viaja el automóvil. La siguiente tabla muestra cuántos kilómetros por litro de gasolina rinde cierto automóvil, según la velocidad a la que viaja (en kilómetros por hora). Velocidad
40
Rendimiento
9.8
60
80
100 100
120 120
140 140
10.7 17.5 16.8 12.3 11.1
e) Para al al macen macenar ar las l as caj caj as en las que se vende vende ciert cier t o product producto, o, se pueden acomodar los lotes sobre rectángulos que tienen diverso ancho y largo. La siguiente tabla muestra las dimensiones (en metros) que ocupan distintos lotes.
Largo
4
5
6
8
10 12
Ancho
3 2.4 2 1.5 1.2 1
f ) El uso uso del del polvo de horne hornear ar varía varía seg según ún l a alt alt it ud sob sobre re el nivel del mar a la que se utiliza. La siguiente tabla muestra la cantidad de polvo de hornear (en cucharaditas) que se debe util ut il izar izar para para hornea hornearr ciert o pas past el, de acu acuerdo erdo con con la alt alt it ud sobre el nivel del mar (en metros). Altitud
0
500 1000 1500 1000 2500 3000 3500 4000
Polvo de hornear
2
1
7 8
1
3 4
1
5 8
1
1 2
1
3 8
1
1 4
1
1 8
1
59
Lección 5: Porcentajes En las lecciones anteriores estudiamos relaciones de proporcionalidad directa e inversa. En esta lección est est udiaremos udiaremos una relación de propo pr oporci rcion onali alida dadd direct di rect a especial: los porcentajes. Encontr ncont r amos l os porcent por centaj aj es en muchas muchas f acetas acet as de nuest nuest r a vida, como los descuentos, los impuestos, los intereses del banco, las estadísticas en general y otras muchas situaciones. En esta lección estudiaremos cómo usar y resolver problemas en los que intervienen porcentajes. Para ello, veremos algunos ejemplos. Muchas veces, en los productos que se venden en l as t i endas podemos l eer sus conteni cont enidos dos en porcent aj es. es. Por ej emplo empl o al al gunas gunas mermel mer meladas adas t i enen leyendas como 30%de 30%de f rut a nat nat ural, o 25%de 25%de fr uta. ut a. ¿Qué signif signifii ca es est o? El porcent por centaj aj e es una proporci propor ción. ón. El número 25%, que se se lee l ee porr ci ent o ", "veinticinco po ", si gnif ni f i ca 25 de cada 100 100.. Pero, er o, ¿de cuáles cuál es 100? En general, en los productos alimenticios, el 100 se refiere a 100 gramos: si una mermelada tiene 25%de fruta eso significa que de cada 100 gramos de mermelada, 25 gramos son de fruta y lo demás son agua, azúcar y otros ingredientes. En lugar de 25%
60
de fruta, el envase podría decir 25 gramos de fruta por cada 100 gramos de mermelada. Si otra mermelada tiene el 30%de nuevo significa que de cada 100 gramos, 30 corresponden a fruta. Pero, er o, ¿por qué no poner si si mplement mpl ementee 30 30 gr gr amos de fr f r uta, ut a, en lugar de decir 30%de fruta? En parte esto se debe a que en casos como ést ést e, l os porcent por centaj aj es son usados usados como una medida medi da de la la calidad: la mermelada que más fruta contiene proporcionalmente, será de mayor calidad y al hablar en porcentajes, no importa el tamaño del envase y es más fácil comparar calidades. Supongamos que queremos decidir entre una mermelada que que tiene t iene 30 30%de frut fr utaa, como como la del del ej emplo emplo ant anterior, erior, y una una mermelada en envase de 200 gramos que dice tener 40 gramos de fruta. En un primer momento podríamos pensar que ésta es de mejor calidad que la primera que vimos porque tiene más fruta, sin embargo también tiene más agua y azúcar, porque son 200 gramos. Para hacer la comparación necesitamos considerar cant cant i dades dades i gual ual es, es, por ej emplo 100 100 gr gr amos amos de mermelada mermel ada.. Tomaremos entonces sólo la mitad del envase de la segunda mermelada, es decir 100 gramos, por lo tanto tenemos la mitad de fruta, es decir 20 gramos de fruta. En realidad esta mermelada tiene 20%de fruta, o sea que es de menor calidad que la que cont contii ene ene 30%de fruta.
61
Veamos eamos otr ot r o ej emplo: Una tienda departamental anuncia que todos sus productos lácteos están con un 40%de descuento. Esto significa que de cada 100 pesos de compra de estos productos, se van a descontar $40. Como sabemos que el porcentaje es una relación directamente proporcional, si gastamos el doble, la cantidad de dinero descontada es el doble, si gastamos $200, el monto del descuento se duplica: $80. Si se compra sólo $50, la mitad de 100, el monto del descuento será de la mitad, es decir, $20. Vamos a presentar estos resultados en una tabla: Precio 40%de descuento
10
28 6
50
100 100
20
40
140 140 48
200 200 64
80
Podemos observar que 50 x 0.40 = 20; 100 x 0.40 = 40; parr a obt obt en ener er el 40 40%de %de 200 x 0.40 = 80. Lo que vemos es que pa descue descuent nt os de una cant cant i dad, debemos debemos mult mul t i pl i car car ést ést a por 0.40 0. 40
40 o, l o que es l o mis mi smo, por 100 . El valor 0.40 t ambién puede obtenerse al dividir cada descuento entre la cantidad original correspondiente: 20 ÷ 50 = 40 ÷ 100 = 80 ÷ 200 = 0.40. Ya habíamos visto en la lección de proporcionalidad directa, que este resultado, que siempre es el mismo, es el valor unitario o constante de proporcionalidad. Así, para obtener el 40%de 10, podemos realizar la multiplicación 0.40 x 10 = 4. Esto es, el 40% de 10 es 4.
Otra manera de resolver este tipo de problemas es mediante una regla de tres, puesto que tenemos una proporcionalidad directa. Así, por ejemplo, para obtener el 40%de 10, podemos decir "40 es a 100 como x es a 10":
62
Descuent o: o: Pr eci o:
40 100
x
10
y entonces tenemos que: x =
40 x 10 100
=
400 100
=4
Lo que acabamos de ver es que hay dos maneras de calcular el "tanto por ciento" de un número: o bien se multiplica ese número por el tanto por ciento dividido entre cien, o bien se razona mediante una regla de tres. Veamos con las dos maneras cómo calcular el 40%de 28, cantidad a la que llamaremos t : t t
= 0. 40 x 28 = 11. 20
Descuent o: Pr eci o t =
28 x 40 100
40 100
t
28
= 11.20 11. 20
También se puede utilizar cualquiera de las dos maneras para encontrar que el 40%de 140 es 56. Ot r a clase clase de probl emas que se se pres pr esent entan an cuando cuando se se tr t r abaja abaj a con por por centaj cent ajes es,, es cuando cuando se se conoce conoce el r esul esultt ado de de aplicar apli car el porcentaje pero no la cantidad inicial. Tenemos esa situación cuando conocemos la cantidad descontada correspondiente al 40%de una cantidad original pero esa cantidad original es desconocida. Por ejemplo en la tabla vemos que 6 es el 40% de descuento pero no sabemos de qué cantidad. Veamos dos maneras distintas de resolver este problema.
63
Podemos plantear una ecuación, como se hizo en grados anteriores. Si llamamos x a la cantidad desconocida, lo que tenemos es que el 40%de x es 6, es decir: 0.40 x x = 6 Para res r esolver olver l a ecuaci ecuación ón neces necesii t amos amos despej despej ar l a incó i ncóggnit a, x . Para ello hay que dejarla "sola" de un lado de la ecuación, lo que se logra "deshaciendo" el efecto de las operaciones que la están afectando. Aquí aparece multiplicada por 0.40, así que para "deshacer" este efecto dividimos entre 0.40, y aplicamos esta operación en ambos lados de la igualdad para que no se altere: 0.40 x x 0.40
=
6 0.40
y de ahí obtenemos x = 15. La otra manera de resolver el problema es nuevamente usando una regla de tres: ahora el razonamiento es "40 es a 100 como 6 es a x ": ": Descuent o: Pr eci o:
40 100
6 x
Y entonces podemos resolver la regla de tres: x =
100 x 6 40
=
600 40
= 15
Hemos entonces resuelto de dos maneras distintas que 6 es el 40%de 15. Veamos en paralelo cómo se resuelve con las dos maneras maneras el el si guient e problema: pr oblema: ¿de cuánt cuánt o es 40%l 40%laa cant cant i dad de 36? Llamemos y a esa cantidad.
64
0.40 x y = 36 0.40 x y 0.40
=
Descuent o: Pr eci o
36 0.40
90 y = 90
y =
40 100
36 x 100 40
36 y
=90
También se puede utilizar cualquiera de las dos maneras para encontrar que 48 es el 40%de 120. Aquí tenemos la tabla del 40%de descuento completa: Precio
10
15
28
50 100 100 120 120 140 140 160 160 200 200
40%de descuento
4
6 11.20 20
40
48
56
64
80
Como hemos hemos vist vist o en el ej emplo, para obtener obt ener el 40% 40% podemo podemoss mult iplicar ipl icar por 0.40, 0.40, o l o que es l o mismo, mismo, 40 , 100 esto es 40 centésimos. Para obtener el 50%debemos 50 mult i plica pli carr por 0.50 ó 100 , para para obtene obt enerr el 24%por 24%por 24 centésimos, 0.24, para obtener el 4%se debe multiplicar por 4 centésimos, esto es por 0.04. Así, por ejemplo, El 65%de 35 es igual a 0.65 x 35 = 22.75 El 3%de 284 es igual a 0.03 x 284 = 8.82 Veamos por último otra clase de problemas que se presentan con frecuencia con respecto a los porcentajes. En este caso nos interesa saber qué porcentaje es una cantidad de otra. Consi onsi deremos der emos un ej emplo: empl o:
65
En una comunidad tienen 400 hectáreas, de las que 60 son de bosque bosque y 150 de past past i zal. ¿Qué porcent por centaj aj e del t erreno err eno ocupa ocupa el bosque? bosque? ¿Qué porcentaj porcent ajee del t erreno err eno ocupa el pastizal? Como en los casos anteriores, resolveremos el problema del bosque de dos maneras. De acuerdo con la primera, plantearemos una ecuación: supongamos que w es el porcentaje del terreno que ocupa el bosque. Entonces, tenemos que 60 es el w %de 400, lo que se puede expresar de la manera siguiente: w
100
x 400 = 60
Para despejar despej ar est est a ecuación debemos "des "deshacer" las l as operaciones que afectan a w , que son una multiplicación por
66
400 y una división entre 100, y debemos aplicar las operaciones inversas de ambos lados de la igualdad para que ésta se conserve: W
100 W
100 W
100
x 400 ÷ 400 = 60 ÷ 400 60 400
=
= 0.15
W x 100
= 0.15 x 100
100
w = 15 15
Encontramos entonces que las 60 hectáreas de bosque son el 15%del total de las 400 hectáreas que tiene la comunidad. La segunda manera en que podemos resolver este problema es utilizando una regla de tres. Como ahora queremos saber 60 de 400 400 qué porcent aj e es, es, nuest nuest r o razo r azonamient namient o es "60 es a 400 400 como w es a 100": Bosque: Ter r eno:
60 400
w
100
Y entonces resolvemos la regla de tres: w=
60 x 100 400
=
6000 400
= 15
Con lo que obtenemos el mismo resultado que con el otro método. Veamos con los dos procedimientos cómo resolver el problema del pastizal: ahora diremos que las 150 hectáreas de pastizal son el z %de %de las 400 hectáreas del terreno.
67
z
100 z
100 z
100
x 400 = 150
Past i zal
150
z
x 400 ÷ 400 = 150 ÷ 400
Ter r eno
400
100
= 0.375
z X 100
100
z =
150 X 100 400
=
15000 400
= 37.5 37. 5
= 0.375 x 100
z = 37.5
Es decir, el pastizal constituye el 37.5%del terreno de la comunidad.
Ejercicio 1 Haga una tabla para encontrar el 26%de 10, 20, 30, hasta 100.
Ejercicio 2 Haga una tabla para encontrar el 4%de 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150.
Ejercicio 3 Ut il ice el proced procedimi imien entt o que que prefiera prefi era para para encon encontt rar: a) el 21% de 143 c) el 15% de 620 e) el 95% de 52 b) el 5% de 218 d) el 8% de 18973 f ) el 1% de 872
68
Ejercicio 4 Ut il ice el proced procedimi imien entt o que que prefi era para para encon encontt rar: a) b) c) d) e) f)
De qué cant cantii dad es 56 el 7%. De qué cant c ant i dad es 328 el 42%. De qué canti cant i dad es 0.5 0. 5 el 20%. De qué canti cant i dad es 3.2 3. 2 el 87%. De qué canti cant i dad es 42.7 42. 7 el 2%. De qué cant cantii dad dad es 12 el 12%.
Ejercicio 5 Ut il ice el proced procedimi imien entt o que que prefiera pref iera para para encon encontt rar: a) b) c) d) e) f)
Qué porcent aj e es 60 de 1200 1200.. Qué porcent aj e es 893. 893. 5 de 1512 1512.. Qué porcent aj e es 75 de 5640 56400. 0. Qué por por centaj cent aj e es 12 de 12. 12. Qué porcent aj e es 15 de 1500 150000 00.. Qué porcent por centaj aj e es 260 260 de 130. 130.
Ejercicio 6 En una tienda ofrecen el 35%de descuento en todas las lámparas. Complete las celdas vacías de la siguiente tabla.
69
Precio del art ículo ículo en pesos 35%de descuento
38
52
Cantidad a pagar
84 21
95
120
31.50 45. 50
65
Ejercicio 7 En una t i enda de abarr abarrot otes es venden venden j alea de fr utas ut as.. La mar mar ca "Frutita" ofrece la misma calidad en todas sus presentaciones. En el frasco de 500 g la etiqueta dice: "contiene 45%de fruta". a) ¿Q ¿Qué porcentaj porcent ajee de fr f r uta ut a tendrá t endrá el f r asco asco de 250 250 g? b) ¿Q ¿Qué cant cantii dad de fr f r uta ut a tendrá t endrá el f r asco asco de 250 250 g?
Ejercicio 8 Como ust ust ed sabe, sabe, el Impuesto Impuest o al Valor al or Agregado (IVA ( IVA)) es de 15%. a) ¿Cuánto se debe pagar de IVA por un artículo que cuesta $56? b) Si por un artículo se pagó $4.50 de IVA, ¿cuánto cuesta el artículo sin IVA y cuánto cuesta con IVA? c) Por un artículo se pagó $716.45 con todo e IVA. ¿Cuánto costó el artículo sin IVA y cuánto se pagó de IVA? (Sugerencia: el precio del artículo con todo e IVA es el 115%del precio sin IVA.)
Ejercicio 9 ¿En qué por por centaj cent ajee aument aumentaron aron el precio preci o de un producto product o si si ant ant es valía $26.50 y ahora vale $29.90?
70
Lección 6: Repar epar t i ción prop pr opor orciona cionall La repartición proporcional es un tipo de problemas que se presentan cuando hay que repartir una cantidad proporcionalmente a ot ot r a. Para ver cómo es est est o, consi consi deremos el si guient e ej emplo: Juan, Pedro y Camilo aceptaron un trabajo y decidieron que cada uno uno cobraría cobrar ía de acuerdo con las l as horas t r abajadas abaj adas.. Cuando terminaron, habían anotado: "Juan 20 horas, Pedro 12 horas y Camilo 8 horas". Cuando recibieron $800 como pago total debían hacer una repartición proporcional, de manera que cada uno recibiera una cantidad conforme al tiempo trabajado.
71
Considerando que les habían pagado $800 por un total de 40 horas horas,, elaboraron elaboraron la l a siguient siguientee t abl abl a: Camilo Pedro
Juan
Total
Horas trabajadas
8
12
20
40
Pago en $
c
p
j
800 800
En la tabla, lo que debe cobrar cada cual está representado con las letras c , p y j . Para poder completar la tabla, o sea sustituir esas letras por sus respectivos valores, podemos consi consi derar el caso caso de cada tr t r abaj abaj ador ador por separ epar ado. ado. Tenemos una variación directamente proporcional, puesto que el pago en pesos está proporcionalmente relacionado con l as horas t r abaj abaj adas adas. Es decir, decir , se est est án relaciona rel acionando ndo cuat cuat r o cantidades que son proporcionales. Conocemos tres de ellas y debemos encontrar el valor de la cuarta. Podemos entonces usar la regla de tres. Entonces, para Camilo tenemos:
Hor as t r abaj adas Pago en $
8 c
40 800 800
c =
8 x 800 40
= 160
Por lo que Camilo recibe de pago $160. De igual manera se pueden obtener las cantidades correspondientes a Juan y a Pedro.
72
Ejercicio 1 Obtenga el pago que les corresponde a Juan y Pedro y con esos datos complete la tabla del ejemplo.
Ejercicio 2 En una secundaria han destinado la franja posterior del terreno para hacer una huerta que tendrá 90 m de largo. Deciden repartir la huerta, a lo largo, en tres franjas proporcionales al número de grupos por grado escolar, para que cada grupo sea responsable de sus parcelas. a) Compl ompl ete et e l a si guiente uient e t abl abl a. Grado
1º
2º
3º
Grupos
6
5
4
Longitud de la parcela
Total
90 m
b) Obteng bt engaa l a const const ante ant e de proporcionali propor cionali dad. ¿Qué significa en este contexto? ¿Cómo se utiliza para calcular las longitudes de las parcelas?
Ejercicio 3 Don Fulgencio desea repartir entre sus tres nietos, en forma proporci pr oporcional onal a sus edades, edades, l as 36 ovej ovej as que t i ene. ¿Cuántas uánt as
73
ovejas recibirán Erandi, Emilio y Julio si tienen respectivamente 8, 6 y 4 años?
Ejercicio 4 Además, don Fulgencio repartió, del mismo modo, entre sus cuatro hijos el importe de venta de un terreno. Si Federico de 48 años, recibió $1776, ¿cuántos años tiene Lupe que recibió $1480?
74
Lección 7: Propiedades de las operaciones con números reales En las lecciones de aritmética de este curso y los dos anteriores hemos visto las propiedades que tienen las operaciones entre números naturales, enteros y racionales. Los números reales tienen en sus operaciones las mismas propiedades, y en esta lección haremos un resumen de ellas como una manera de concluir el estudio de la aritmética. Es conveniente señalar que lo importante de estas propiedades no es que usted las aprenda de memoria , sino que las pueda utilizar cuando sea necesario, por ejemplo para abreviar abrevi ar algu al gunos nos cálcul os o para despej despej ar ecuaciones y que sepa sepa también qué tipo de operaciones no se pueden hacer. En esta lección, lea las propiedades que se enuncian y siga l os ej emplos empl os.. Los Los conteni cont enidos dos que aquí aquí se se abor abor dan ser serán án ut ut i l i zados zados en las lecciones de la siguiente unidad, y siempre podrá usted regresar a esta lección para consultarlos.
75
Propiedades de la suma La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí. La suma tiene las siguientes propiedades:
•
Conmutatividad. Conmutatividad . La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los sumandos no altera la suma". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así: a+b =b +a Ej emplos empl os:: • 3.25 + 1.04 = 4.29, y también t ambién 1.04 + 3.25 = 4.29 • 15. 15. 87 + (–2. (–2.35 35)) = 13. 13.52 52,, y t ambién ambi én –2. –2.35 35 + 15. 15. 87 = 13. 13. 52 •
2 5
+
1 2
=
4+5 10
9
= 10 , y t ambién ambién
•
1 2
+
2 5
=
5+4 10
=
9 10
Asociatividad. Asociatividad . Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que: a + (b (b + c) = (a ( a + b) + c
76
Ejemplos: • 0.02 0. 0211 + (0.01 (0. 0144 + 0.033 0. 033)) = 0. 0. 021 021 + 0.04 0. 0477 = 0. 0. 068, 068, y también (0.021 + 0.014) + 0.033 = 0.035 + 0.033 = 0.068 • –186.3 186. 3 + (–223. (–223.66 + 202.1) 202. 1) = –186. –186.33 + (–21. (–21.5) 5) = –207. –207.8, 8, y también [–186.3 + (–223.6)] + 202.1 = –409.9 + 202.1 =–207.8
(
1 2
+
y también
(
•
3 4
+
2 3 3 4
)= 34 +( +
1 2
)+ 23
3+4 6
(
=
)= 34 + 3+2 4
7 6
=
9 + 14 12
=
23 12
,
) + 23 = 54 + 23 = 1512+ 8 = 2312
Como da igual en qué orden se efectúen las sumas, lo usual es prescindir de los paréntesis, y marcar sólo a + b + c. En nuest nuest r os ej emplos empl os,, t enemos entonces ent onces 0.02 0. 0211 + 0.01 0. 0144 + 0.03 0. 033, 3, o bien bien –186.3 + (–2 (–223.6) + 202.1, o bien bien
3 4
+
1 2
+
2 3
.
Las propiedades de la conmutatividad y la asociatividad son utilizadas cuando en una suma "acomodamos" los sumandos para f acil acil it ar el proceso. proceso. Por ej emplo, cuando cuando comp compramos ramos pan pan de dulce en una panadería, la dependienta va sumando los precios de las distintas piezas de tal modo que los resultados intermedios sean "cómodos". Digamos que las piezas que tenemos en la charola cuestan $1.50, $0.70, $0.80, $1.30, $0.50 y $1.20.
77
Una manera en que se puede efectuar la suma mentalmente es esta: 1.50 + 0.70 + 0.80 + 1.30 + 0.50 + 1.20
2
+
2
+
2 = 6
Veamos otras propiedades de la suma:
•
Elemento neut r o . El número real 0 sumado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces a+0=a Ej emplos empl os:: • 8763. 8763.218 218 + 0 = 8763.218 8763.218 • 0 + (–56. (–56.41) 41) = –56. –56.51 51 •
1
8 14
+0=1
8 14
•
Elemento inverso. inverso . Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0: si a es un número real, entonces a + (–a (–a) = 0 Ej emplos empl os:: • El inverso i nverso adit adi t i vo de 87. 87.36 36 es –87. 87. 36, 36, porq p orque ue 87. 87. 36 + (–87.36) = 0
78
• El i nverso adit i vo de –4. –4.13 13 es 4.13 4. 13,, porque por que –4. –4.13 13 + 4. 4. 13 = 0 • El i nverso nverso adit i vo de
7 16
es -
7 16
porque
7 16
+
( - 167 ) = 0
La resta La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se t engan engan dos númer númer os r eal eal es, es, se pueden rest rest ar; por ej emplo: 12.3 – 18.7 = –6.4 mi nuendo
sust r aendo
r est a
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números. Las siguientes reglas pueden recordarle cómo es esto: • Si el minue mi nuendo ndo y el sus sustt raendo raendo son son pos posii t ivos, ivos, y el minu mi nuend endoo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el result result ado ado es posi posi t i vo. vo. Por ej empl empl o: 28.7 – 11.2 = 17.5 • Si el minue mi nuendo ndo y el sus sustt raendo raendo son son posit posit i vos vos, y el minue mi nuendo ndo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo. Por ejemplo: 11.2 – 28.7 = –17.5 • Si el minuendo minuendo es es negat negatii vo y el el sust ust raendo raendo es pos posi t ivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se l e pone el signo signo menos menos. Por ej emplo: –28 –28.. 1 – 11. 11. 2 = –39 –39.. 3
79
• Rest est ar un número número pos posit ivo es l o mismo mismo que que suma sumarr un número número negat negativo. ivo. Por ej empl empl o: 28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5 • Rest est ar un número número negat negatii vo es l o mismo mismo que que suma sumarr un número positivo. Por ejemplo: 28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3 –28 –28.. 7 – (–11 (–11.. 2) = –28 –28.. 7 + 11. 11. 2 = 11. 11. 2 – 28. 28. 7 = –17 –17.. 5 Observe que en el último ejemplo hicimos varias transformaciones. Al efectuar la conversión -28.7 – (–11.2) = –28 –28.. 7 + 11. 11. 2 ut i l i zamos zamos el hecho hecho de que r est est ar un número negat negat i vo (-11.2) es lo mismo que sumar su positivo. Después consideramos la suma entre dos números, –28.7 y 11.2, y por la conmutatividad de la suma la expresamos como 11.2 + (-28.7). Posteriormente utilizamos el hecho de que sumar un número negativo (-28.7) es lo mismo que restar su positivo, por lo que 11.2 + (–28.7) = 11.2 – 28.7. Finalmente, tenemos una resta en que el minuendo y el sustraendo son positivos, así que efectuamos la resta y como 28.7 es mayor que 11.2 le ponemos al resultado signo negativo. Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene t odas odas l as propiedade pr opiedadess de la l a suma suma.. Por ej emplo, l a rest rest a no es una operación operación conmut conmutat ativa: iva: 52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.2
80
Propiedades de la multiplicación La multiplicación de números reales es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos factores. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden multiplicar entre sí. Al efectuar multiplicaciones hay que tener cuidado con los signos: • El product product o de dos dos números números de igual igual signo signo si empre empre es posi posi t i vo; • El product product o de dos números números de dist dist int o signo signo si empre empre es negativo. La multiplicación tiene las siguientes propiedades: Conmutatividad . La expresión usual de esta propiedad • Conmutatividad. es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así: axb =b xa Ej emplos empl os:: • 3. 25 x 1. 1. 04 = 3. 38, 38, y ta t ambién 1. 04 x 3. 3. 25 = 3. 38 • 15. 15. 87 x (–2.35) (–2.35) = –37 –37.. 2945 2945,, y t ambién –2.35 –2.35 x 15. 15. 87 = –37.2945 •
2 5
x
1 2
=
2x1 5x2
=
2 10
, y t am ambi én
1 2
x
2 5
=
1x2 2x5
=
2 10
81
•
Asociatividad. Asociatividad . Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que: a x (b ( b x c) = (a ( a x b) x c Ejemplos: • 0.021 x (0.014 x 0.033) 0.033) = 0. 0. 021 021 x 0. 0. 0046 004622 = 0.00000 0.0000097 9702 02,, y también (0.021 x 0.014) x 0.033 = 0.000294 x 0.033 = 0.000009702 • –186. 186.33 x (– ( –223. 223.66 x 202. 202. 1) = –18 –186. 6.33 x (– ( –4518 45189. 9.56 56)) = 8418815.028, y también [–186.3 x (–223.6)] x 202.1 = 41656.68 x 202.1 = 8418815.028 •
3 4
x
(
1 2
y t ambién 6 24
=
)= 34 x ( 12 x 23 )= 34 x 26 = 43 xx 62 = 246 = 14 ( 34 x 12 )x 23 =( 43 xx 21 )x 23 = 38 x 23 = 38 xx 23 =
x
2 3
1 4
Como en el caso de las sumas, da igual en qué orden se efectúen las multiplicaciones, y por eso lo usual es prescindir de l os paréntes parént esii s. En nuest nuest r os ej emplos, emplos, t enemos enemos entonce ent oncess: 0.021 x 0.01 0. 0144 x 0.03 0. 033, 3, o bien bi en –186. 186.33 x (–22 (–223. 3.6) 6) x 202. 202.1, 1, o bien bi en 3 x 1 x 2 . 2 4 3 Cuando se usan letras, se marca sólo a x b x c, o bien, para evitar que el signo x se confunda con la letra x, se marca a b c, c , o bien se usa un punto en vez de la cruz: a·b·c. a·b·c. Es también común prescindir del signo x cuando se señalan productos con los números entre paréntesis: por ejemplo, en vez de escribir (–5) x
82
(–3), podemos escribir (–5)(–3), y en vez de escribir 3 x 4 podemos escribir 3(4). Es decir, cuando no se se señala señala ning nin guna operac oper ación ión ent r e dos números, se efectúa una multiplicación . Otras propiedades de la multiplicación son:
•
Elemento neut r o . El número real 1 multiplicado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces entonces: ax1 =a Ej emplos empl os:: • 8763 8763.. 218 218 x 1 = 8763 8763.. 218 218 • 1 x (–56 (–56.. 41) 41) = –56 –56.. 51 • 1
8 14
x1=1
8 14
•
Element o i nverso nverso . Todo número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, lo que quiere decir que si se multiplican el número y su inverso, el resultado es 1: si a es un número real distinto de cero, entonces ax
1 a
=1
Recuerde que escr escrii bir bi r
1 a
es l o mis mi smo que escr escrii bir bi r 1 ÷ a.
83
Ej emplos empl os:: • El invers inversoo mul mul t iplicati ipl icati vo de 87. 36 es 1 =1 87.36
1 , 87.36
porque porque 87. 36 x
• El i nvers nversoo mult i plica pli catt i vo de –4.13 es -
1 4.13
, porque –4.13 x
(-
1 4.13
) =1
• El invers inversoo mult mult iplicat ipl icativo ivo de
7 16
• El invers inversoo mult mult iplicat ipl icativo ivo de
1 9
porque porque
7 16
x
es 9, porque porque
1 9
x9=1
es
16 7
16 7
=1
La división La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor. Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir; por por ej emplo: emplo: 1.86 ÷ 3.1 = 0.6
di vi dendo
di vi sor
coci ent e
La excepción es que el divisor no puede ser cero . Esto es, no se se puede puede dividir entr e cer cer o .
84
Observe que el dividendo sí puede ser cero, y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero. Por ejemplo, 0 ÷ 5.41 = 0 Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación: • el cociente cocient e de dos números números de igua iguall signo siempre es posi posi t i vo; • el coci coci ent ent e de de dos dos números números de dist dist i nto nt o sisi gno si empre empre es negativo. Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa: 6.42 ÷ 3 = 2.14, y ese resultado es distinto de 3 ÷ 6.42 ≈ 0.467 La división no es tampoco una operación asociativa: ( 8 ÷ 4) ÷ 2 =
8 4 2
=
2 2
= 1, mient mi ent r as que 8 ÷ ( 4 ÷ 2) =
8 4 2
=
8 2
=4
Potenci ot enciaas y r aíces Las propiedades de las operaciones con exponentes serán vistas con mayor detalle en la siguiente lección, pero aquí adelantamos algunos hechos.
85
Elevar un número real a una potencia equivale a multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indica el exponente. Así, 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 –5 –53 = (–5) x (–5) x (–5) = –125 La operación inversa es la raíz, que puede ser cuadrada, raíz tercera, cuarta o quinta, etc. Por ejemplo, como 81 es igual a 3 elevado a la cuarta potencia, la raíz cuarta de 81 es 3, y como –12 –1255 es i gual a –5 –5 eleva el evado do a la l a t ercera ercer a potencia, pot encia, l a raíz r aíz tercer t erceraa de –125 es –5:
√81 = 3 3√-125 = -5 4
La raíz más utilizada es la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un númer númer o a es el número que elevado al cuadrado da a. Cuando se usa raíz cuadrada no se suele poner el 2 arriba del símbolo √. Por ejemplo,
√441 = 2√441 = 21, porque 21 2 = 441 No todos los números reales tienen raíz cuadrada. Todos los pos si t i vos vos y el cero tienen raíz cuadrada, pero no númer númer os r eal eal es po se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo . Para calcular una raíz cuadrada existen procedimientos que son son al al go compl compl i cados cados. La mejor mej or manera es uti ut i l i zar zar una calculadora, o bien intentar encontrar, por aproximación, un número cuyo cuadrado se parezca lo suficiente al número original. Veamos esto con un ejemplo: intentemos encontrar la raíz cuadrada de 87. √87= ?
86
Es decir, buscamos un número que multiplicado por sí mismo dé 87. Lo primero que podemos observar es que ese número está entre 9 y 10, porque 9 2 = 81 (le falta) y 10 2 = 100 (le sobra). Intentemos entonces con el número que está exactamente entre esos dos: 9.5. Vemos que 9.52 = 9.5 x 9.5 = 90.25 o sea que le sobra también. Intentemos ahora con números entre 9 y 9.5, digamos 9.2, 9.3 y 9.4 : 9.22 = 84. 64,
9. 32 = 86. 49
y
9. 42 = 88.36.
Vemos ahora que la raíz cuadrada de 87 es un número que está entre 9.3 y 9.4, porque al cuadrado de 9.3 le falta un poco para llegar a 87 y al cuadrado de 9.4 le sobra un poco. Entonces podemos repetir el procedimiento, buscando ahora el número que está exactamente entre esos dos: 9.35. Vemos que 9.352 = 87.4225 o sea que le sobra también. Entonces el número que buscamo buscamoss est est á entr ent r e 9.3 9. 3 y 9.35, y podemos podemos buscar, buscar, por ej emplo: 9.322 = 86. 8624
y
9. 332 = 87.0489
Ahora sabemos que el número que buscamos está entre 9.32 y 9.33, más cerca del segundo que del primero. De hecho, la diferencia entre 9.33 2 y 87 es muy pequeña, y podemos quedarnos con esta aproximación:
√87 ≈ 9.33
87
o bien podemos seguir el proceso para encontrar una aproximación con más cifras decimales. Si usamos una calculadora, encontraremos una aproximación con bastantes cifras decimales:
√87 ≈ 9.327379053
Combinaciones de varias operaciones Es común que en una misma expresión aparezcan varias operaciones. Aquí mencionaremos dos propiedades.
•
Prioridad de las operaciones. operaciones . Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, no necesariamente se efectúan en el orden en el que están escritas, sino que se deben efectuar en este orden: PRIMERO las operaciones con exponentes y raíces SEGUNDO las multiplicaciones y las divisiones TER TERCERO las las sum sumas as y las l as rest r estas as La única manera de revertir este orden es utilizando paréntesis. Cuando aparecen paréntesis, se efectúan primero las operaciones dentro del paréntesis, siguiendo las reglas recién mencionadas, y después las que aparecen fuera del paréntesis. Si aparecen varios pares de paréntesis, unos dentro de otros, se efectúan primero las operaciones dentro de los paréntesis internos y de ahí se procede de adentro hacia fuera.
88
Ej emplos empl os:: • • • • •
2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14 (2 + 3) x 4 = 5 x 4 = 20 5.26 .26 – 2.1 2 = 5.26 – 4.41 = 0.85 (5.2 (5.266 – 2.1) .1) 2 = 3.162 = 9.9856 –5. 36 – [ 2. 04 x 1. 1. 17 2 ÷ (8.16 + 3.12)] = –5.36 – [2.04 x 1.17 2 ÷ 11.28] = -5.36 – [2.04 x 1.3689 ÷ 11.28] = –5.36 –5.36 – [ 2.79255 2.7925566 ÷ 11. 11. 28] 28] ≈ -5.36 - 0.247567 = –5.607567
Observe que en el último ejemplo fuimos efectuando las operaciones paso a paso, pero que cada vez repetimos el resto de la expresión. Esto es con el fin de que la igualdad se conserve siempre. Cabe anotar que cuando se usa una raya para denotar una división, ésta sirve también como los paréntesis: se deben efectuar primero por separado las operaciones en el numerador y en el denominador, y luego efectuar la división. Por ejemplo: 5 + 32 12 x 0.1 2
=
5+9 12 x 0.01
=
14 0.12
= 116.6 116. 6
Veamos ahora la segunda propiedad:
•
Distributividad. Distributividad . La multiplicación distribuye a la suma y a la resta. Esto quiere decir que si un número multiplica a una suma (o resta), el resultado es el mismo que si se multiplica el número por cada uno de los sumandos y luego se suman ambos productos. Es decir, si a, b y c son tres números reales, la distributividad de la multiplicación con respecto de la suma y a la resta dice que: a x (b ( b + c) = (a ( a x b) + (a ( a x c) a x (b ( b – c) = (a ( a x b) – ( a x c )
89
Ej emplos empl os:: • 5.01 x (3.18 + 2.21) 2.21) = 5. 5. 01 x 5. 5. 39 = 27. 27. 0039 0039,, y tam t ambién bién (5.01 x 3.18) + (5.01 x 2.21) = 15.9318 + 11.0721 = 27.0039 • –1.1 1. 1 x [– [ –6.3 6. 3 – (–2. (–2.4)] 4)] = –1. –1.11 x [– [ –6.3 6. 3 + 2. 2. 4] = –1. –1.11 x (–3. (–3.9) 9) = 4.29, y también [–1.1 x (–6.3)] – [–1.1 x (–2.4)] = 6.93 – 2.64 = 4.29 •
( 45 - 23 )= 12 x ( 1215- 10 ) = 12 x 152 = 21xx152 = 302 , 1 4 1 2 y también ( 2 x 5 ) - ( 2 x 3 ) = 21 xx 54 - 21 xx 32 = 1 2
4 10
x
-
2 6
=
12 - 10 30
=
2 30
La distributividad es una propiedad que utilizamos algunas veces para facilitar algunos cálculos. Por ejemplo, multiplicar por 90 puede ser engorroso, pero no lo es así multiplicar por 100 ni multiplicar por 10, y como 90 = 100 – 10, podemos transformar una multiplicación por 90 en una multiplicación por 100 menos una multiplicación por 10. Así, por ejemplo: 126.15 126. 15 x 90 = 126. 126.15 15 x (100 – 10) = = 126.15 x 100 – 126.15 x 10 = = 12615 – 1261.5 = = 11353.5
90
Aplicación de las propiedades en la solución de ecuaciones En lecci l ecciones ones y gr gr ados anter ant erii ores ya ya hemos hemos t r abajado abaj ado con con ecuaciones. Hemos visto que una ecuación es una igualdad en la que se desconocen uno o más valores. A los valores ncógnit nit as y se representan desconocidos se les llama i ncóg generalmente con letras. Solucionar una ecuación es encontrar despej a ésta, dejándola el valor de la incógnita, para lo cual se despej sola de un lado de la igualdad y efectuando las operaciones que quedan en el otro lado de la igualdad. Este proceso se puede realizar gracias a las propiedades de las operaciones que hemos resumido aquí. A cont contii nuaci nuación ón veremos t r es ej emplos de ecua ecuaciones ciones,, que resolveremos como usted aprendió a hacer en las lecciones 23 a 25 del curso anterior e iremos marcando en cada paso qué propieda propi edades des est est amos amos uti ut i l i zando. zando. El primer ejemplo es el siguiente: Araceli compró un vestido que le costó $79.90 y l e quedar quedar on $20 $20.. 10, 10, ¿cuánt cuántoo dinero diner o tr t r aía Ar acel acel i ? Una maner maneraa de expresar expresar est est a si si t uación usando usando lenguaj lenguaj e algebraico es, en primer lugar, elegir una letra para representar el valor que nos interesa conocer, en este caso la cantidad de dinero que Araceli traía en la bolsa y la vamos a llamar z . Como Aracel racel i t raía z pesos, gastó $79.90 y le quedaron $20.10, podemos expresar esta transacción algebraicamente con la expresión:
91
z – – 79. 79. 90 = 20.10 20.10
La igualdad que aparece arriba es una ecuación y la incógnita o valor que queremos encontrar es z . Como usted sabe, para despejar el valor de z en la ecuación "pasamos sumando" el 79.90 que se encuentra restando del lado izquierdo: z =
92
20.10 + 79.90
Cuando despej amos l a incógnit i ncógnit a y "pasamos "pasamos sumando", hemos puest puest o en j uego uego muchas de las l as propi pr opiedades edades de las l as operaciones que hemos enunciado. A continuación repetiremos este proceso paso a paso y haremos del lado derecho de la página una reflexión acerca de las propiedades que estamos utilizando en cada momento. z -
79.90 = 20.10
(z - 79.90) + 79.90 = 20.10 + 79.90 [ z + (- 79.90) + 79.90 = 20.10 + 79.90 z + [(z + [-
Ésta es la ecuación original. Estamos sumando un mismo número de los dos lados de la igualdad, para que ésta se conserve. Hemos aplicado el hecho de que restar un número positivo es lo mismo que sumar su negativo.
79.90) + 79.90] = 20.10 + 79.90
Hemos aplicado apli cado la asociat asociatii vidad de la suma.
79.90 + (- 79.90)] = 20.10 + 79.90
Hemos aplicado la conmutatividad de la suma.
z + 0 z =
= 20.10 + 79.90 20.10 + 79.90 z = 100
Hemos aplicado la propiedad del inverso aditivo. Hemos aplicado la propiedad del elemento neutro de la suma. Hemos resuelto la operación del lado derecho de la igualdad.
Hemos encontrado así que Araceli tenía $100.00 antes de comprar el vestido. Veamos eamos otr ot r o ej emplo.
93
Rodolfo compró una caja de latas de leche. La caja trae 18 lat as y cost cost ó $150 $150.. 30, 30, ¿cuánto cuánt o cuest cuest a cada lat a? Para plantear este problema llamaremos c al costo de cada lata. Tenemos que: 18 x c = 150.30 Para despej despej ar esta est a ecuaci ecuación ón "pas "pasamos divi di vidi diendo" endo" el 18 que se encuentra multiplicando del lado izquierdo, así: c =
150.30 ÷ 18
Veamos, paso por paso, en qué consiste este "pasar dividiendo divi diendo"; "; como como en el cas caso ant ant erior eri or iremo ir emoss ref l exionando exionando sobre las propiedades que entran en juego:
18 x c = 150.30
Ésta es la ecuación original.
(18 x c ) ÷ 18 = 150.30 ÷ 18
Estamos dividiendo entre un mismo número de los dos lados de la igualdad, para que ésta se conserve.
(c x 18) ÷ 18 = 150.30 ÷ 18
Hemos aplicado la conmutatividad de la multiplicación.
( c x 18) ÷
94
1 = 150.30 150. 30 18
÷ 18
Hemos aplicado el hecho de que dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su invers inversoo mult mult iplicat ipl icativo. ivo.
c x
( 18 x 181 ) = 150.30 ÷ 18 c x
1 = 150.30 ÷ 18
c =
150.30 ÷ 18 c = 8.35
Hemos aplicado la asociatividad de la mult mult iplicac ipl icación. ión. Hemos aplicado la propiedad del del invers inversoo mult mult iplicati ipl icati vo. vo. Hemos aplicado la propiedad del del element elementoo neut neutro ro de la mult mult iplicac ipl icación. ión. Hemos resuelto la operación del lado derecho de la igualdad.
Hemos encontrado así que cada lata de leche cuesta $8.35. Por último, veamos otro ejemplo. Ramona compró un mantel a $162.50 y seis servilletas; en t otal ot al pagó pagó $269 $269.. 90. 90. ¿A cuán cuántt o sali salióó cada servi servill l eta? et a? Si llamamos s al precio de cada servilleta, la ecuación correspondiente al problema se puede plantear así: 6 s + 162.50 = 269.90 Para despej despej ar est est a ecuaci ecuación, ón, t enemos que "deshacer" "deshacer" dos operaciones que afectan a la incógnita s : una una mul mul t iplicac ipl icación ión y una una suma (recuerde que 6 s es lo mismo que 6 x s ). ). Si conociéramos el valor de s , primero efectuaríamos la multiplicación por 6 y al resultado le sumaríamos 162.50, pero como estamos deshaciendo operaciones, empezamos en orden inverso: primero deshacemos la suma, para lo cual "pasamos restando" el 162.50: 6 s = 269.90 – 162.50
95
y después deshacemos la multiplicación, para lo cual "pasamos dividiendo" el 6: s =
269.90 - 162.50 6
Veamos nuevamente, paso a paso, qué propiedades intervienen en este despeje:
6 s + 162.50 = 269.90
Ésta es la ecuación original.
(6 s + 162.50) – 162.50 = 269.90 – 162.50
Estamos restando un mismo número de los dos lados de la igualdad, para que ésta se conserve.
(6 s + 162.50) + (–162.50) = 269.90 – 162.50
Restar un positivo es lo mismo que sumar su negativo.
6 s + [162.50 + (–162.50)] = 269.90 – 162.50
Asociatividad de la suma.
6 s + 0 = 269. 90 – 162. 50
Inver so adi t i vo.
6 s = 269. 90 – 162. 50
Neut r o adi t i vo.
269. 90 - 162.50 (6 s ) ÷ 6 = 269.
Estamos dividiendo entre un mismo número de los dos lados de la igualdad, para que ésta se conserve.
269. 90 - 162.50 (s x 6)÷ 6 = 269.
Conmutatividad de la multiplicación.
6
6
96
( s x 6) x
s x
1 6
=
269.90 - 162.50 6
(6 x 16 ) = 269.90 6- 162.50 s x
1=
269. 269. 90 - 162.50 6
269. 90 - 162.50 s = 269. 6
s =
107.40 6
s = 17.90
Dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su invers inversoo mult mult iplicat ipl icativo. ivo. Asociatividad de la multiplicación. Inver so mul t i pl i cat i vo. Neut r o mul t i pl i cat i vo. Para realizar las operaciones del lado derecho, empecemos por el numerador. Hemos resuelto la operación final del lado derecho de la igualdad.
Cada servilleta valía, entonces, $17.90
97
Con est est os t r es ej emplos empl os hemos pret pr etendi endido do poner poner de de manifiesto todas las propiedades de las operaciones que entran en juego cuando se realiza el despeje de la incógnita en una ecuación. Si n embargo, est est o no si gnifi gnif i ca que al despej despej ar una incógnita sea necesario guardar conciencia de todas las propiedades pr opiedades.. Las Las propieda propi edades des son las l as que j ust ust i f i can el hecho hecho de que se pueda "pasar" sumando o restando, multiplicando o dividiendo, pero en la práctica simplemente se procede al despej despej e si si n t ener ener l as neces necesariame ari ament ntee en cuent cuenta. a.
Ejercicio 1 Encuentre con dos cifras decimales las siguientes raíces cuadradas: a) √879
b) √11
c) √14. 2
d) √1624
Ejercicio 2 Realice las siguientes operaciones: a) 15. 38 – 2. 13 ÷ 3 b)
18.3 18.3 - 2.1 2. 12 5.2
c) 216.2 x (14.2 – 3.2 2) + 135. 1
98
d) 8 x
(
5 4
-
2 3
) + 67
e) [ 2.2 x (5.1 (5. 1 – 4.7) 2 – 1.7] x 4.3 4. 3
f)
5 2 3
x
4 3 5
Ejercicio 3 Pl antee ant ee los si gui gui entes ent es probl pr oblemas emas en form f ormaa de ecuaci ecuación ón y despej despej e la incógnita usando el procedimiento que usted prefiera: a) Un terren t errenoo de de forma rectan rectanggular ular tiene 15 m de frente y 357 metr met r os cuadr cuadrado adoss de supe superf rf i cie. ¿Cuánto mide el terreno de fondo? b) Pablo compró 5 manza manzanas nas y 12 nar nar anj as y pagó $24.00. Si cada manzana costó $3.60, ¿cuánto cuánt o pagó pagó por cada naranj a?
c) Mauri auri cio compró compró un t elevisor elevisor anunc anunciado iado con con el 35%de 35%de descuento. Si pagó $1949.35 por el aparato ¿cuánto costaba originalmente? d) Al ej andr andraa depos deposii t ó $78 $7830 30 pesos pesos en el banco. banco. Un año año después retiró su dinero del banco y le dieron $8847.90. ¿Cuánto uánt o ganó por l os i nt eres er eses es?? ¿Qué porcent por cent aj e representa la ganancia que obtuvo en el año?
99
Unidad ni dad II
Álgebra
101 101
Lección 8: Potencias con exponentes enteros Cuando queremos indicar productos de factores iguales, generalment e usamo usamoss l a not not ación exponenc exponencii al. Por ej emplo podemos expres expr esar ar 11 x 11, 11, como 112 (11 al cuadrado), del mismo modo 8 x 8 x 8 x 8 x 8, puede expresarse como 8 5 (8 a la quinta). Para referirnos a expresiones como las anteriores, también decimos que "el 11 está elevado al cuadrado" o que el "8 está elevado a la quinta potencia". Usted ya ha usado esta notación not ación en l os curs cur sos anter ant erii ores or es y en al al gunas gunas l ecciones ecci ones de este libro. Ahora trataremos de profundizar más en el concepto de potenciación. En la notación exponencial, la base es el factor que debe multiplicarse por sí mismo tantas veces como lo indica el exponente. Así en la expresión 9 5, tenemos: Exponente 95 base
102 102
95 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 5 veces En general, si tenemos un número real cualquiera que llamamos a y un número natural que llamamos n, entonces: an = a x a x a x a x ... .. x a n veces La expresión anterior nos dice que an significa que hay que multiplicar a x a x a..., n veces. Cuando la base de una potencia es un número positivo, el resultado siempre es positivo. Si la base es negativa, el signo del resultado depende del exponente, si el exponente es un número par, el resultado es positivo; si es impar el resultado es negativo. Ej emplos empl os:: • ( –5) 4 = ( –5) (– ( –5) (– ( –5) (– ( –5) = 625 • ( –5) 5 = (–5) (–5) (–5) (–5) (–5) = –3125 Observe que el signo del resultado es consecuencia de las reglas de multiplicación de los números racionales.
Opera per aciones ci ones con pot encia enci as Para poder operar con exponentes hay que tener en cuenta, que:
103 103
•
Si a es un número cualquiera, entonces: a1 = a
Esto significa que si el exponente es uno el resultado es igual a la base de la potencia. Ej emplos empl os:: • • • •
13281 = 1328 0. 041 = 0.04 (–2 (–2456) 1 = –2456 (–0 (–0.37 .378) 1 = –0.378
•
( ) 34 59
1
=
34 59
Si a es un número cualquiera distinto de cero, entonces: a0 = 1 Esto significa que si el exponente es 0 (cero), el resultado de la potencia siempre es igual a 1. Ej emplos empl os::
104 104
• • • •
13280 = 1 (–0 (–0.37 .375) 0 = 1 2. 180 = 1 (–4 (–4.30 .30) 0 = 1
•
( ) =1 34 59
0
Aquí hay que considerar la condición a ≠ 0, ya que no se puede resolver la potencia 0 0. Hasta ahora hemos hablado de exponentes que son números naturales, es decir 0 ó cualquier número entero positivo; pero el exponente de una potencia también puede ser un número entero negativo. En este caso
•
Si a es un número cual cual quiera quier a dis di st i nto nt o de cero, y n es un número número natural, nat ural, ent ent onces onces:: a = -n
( ) = a1 1 a
n
n
Esto significa que cuando el exponente es negativo se debe transformar la potencia en otra cuya base sea el inverso multiplicativo de la base dada, cuyo exponente sea el inverso aditivo del que se tenía. Ej emplos empl os::
( ) = 21 = 2 x 12 x 2 • (–2) (–2) = ( - 1 ) =- 21 =- 18 2 • ( - 1 ) = (–2) = –8 –8 2 • ( 2 ) = ( 3 ) = 81 2 3 16 1 2
• 2 = –3 –3
3
3
=
1 8
3
–3 –3
3
-3
-4
3
4
Hemos dicho que en matemáticas es útil el uso de letras para expresar un número cualquiera, para representar una cantidad
105 105
que no conocemos o para expresar relaciones entre números; entonces, así como usamos los exponentes para indicar productos entre números, también los usamos cuando los números están –3, representados por letras. De este modo podemos escribir 2 x 2, z –3 etc. Por otro lado es importante recordar que si una expresión está encerrada entre paréntesis y elevada a una potencia, esto significa que toda la expresión debe elevarse a la potencia indicada. Por ejemplo: 1
• (5 + 2 – 2)2 = 3.52 = 12.25 • ( x + 2 y )3 = (x + 2 y ) ( x + 2 y ) ( x + 2 y) Ahora veremos ciertas reglas que nos permiten hacer operaciones con potencias.
•
Producto de potencias de igual base . Al mult mult iplica ipli carr dos potencias que tienen la misma base, se obtiene como resultado otra potencia cuya base es la misma que tienen los factores, y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes dados. Es decir decir,, si a es un número cualquiera, y m y n son números enteros: an· am = an + m Ej emplos empl os:: • 56 x 57 = 513 –3 = 10 • 103 x 10 –3 100 –9 x (–14.5) 7 = (–14.5) –2 –2 • (–14 (–14.. 5) –9
106 106
•
Cociente de potencias de igual base . A All dividir dos dos potencias que tienen la misma base, se obtiene como resultado otra potencia cuya base es la misma que tienen el dividendo y el divisor, y cuyo exponente es igual a la resta del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. Es decir, si a es un número cualquiera distinto de cero, y m y n son números enteros: an ÷ am = an – m Ej emplos empl os:: • 85 ÷ 83 = 82 –5 = 67 • 62 ÷ 6 –5 –4 ÷ (–7.03) –3 –3 = (–7.03) –1 –1 • (–7.03) (–7.03) –4
•
Potencia ot encia de ot ot r a pot pot encia. encia . Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene como resultado una potencia cuya base es la misma de la potencia original y cuyo exponente es el producto de los dos exponentes. Es decir, si a es un número cualquiera, y m y n son números enteros: (an)m = an·m Ej emplos empl os:: • (18 (186)2 = 18 1812 –3 = –9 –15 • (–9 (–95) –3 –9 –15 –2) –3 –3 = 6.3 6 • (6.3 (6.3 –2
107 107
Ejercicio 1 Calcule las siguientes potencias: a) 3.53 –2 b) 0.50 –2 c) –3.20 d) 1.281
( )
e) -
3 -4 4
f) (–1.02) 3 g) (–28) 2 h) 0. 0. 53 –12 i) 10 –12 j )
( ) 7 9
-2
–1 k) (–5.4) –1 l) 0.4 2 –3 m) (1.25 ( 1.25)) –3 n) (–1.25) 3
o)
( ) 4 5
-2
p) 109 q) 18760 r ) 1165 s) (–4.2) 2
(
t) -
2 3
)
5
Ejercicio 2 Exprese como potencias cuyos exponentes sean números naturales los resultados de las siguientes operaciones: –2 a) 105 x 10 –2 –10 b) 2 6 x 2 –10 x 25 –3 ÷ 1283 c) 128 –3 d) –344 ÷ (–34) 6
e) (53)4 f) [(–4) 3] 2 g) (3x )5 (3x )2 h) z 8 · z 2 ÷ z 4
–4 i ) ( w 2) –4 –4 j ) (–2 (–2h )3 (–2 (–2h ) –4 (–2 (–2h ) –12 k) a 18 ÷ a –12 –5] –2 –2 l) [( u 3) –5
Propiedades de la potenciación Así como la suma y la multiplicación tienen propiedades, también la operación de potenciación tiene propiedades, que son las que veremos a conti cont i nuaci nuación. ón.
108 108
•
La potencia potenci ación es dist dist r ibut iva con res r especto pecto al producto. producto . Si a y b son dos números cualesquiera y m es un número entero, entonces: (a · b )m = am · b m Ejemplo: • (2 x 5) 3 = 10 103 = 1000, y también 2 3 x 53 = 8 x 125 = 1000 Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar una multiplicación a una potencia dada, podemos seguir cualquiera de los dos procesos siguientes: • Resolver esolver primero pri mero l a mult i plica pli cación ción y despué despuéss elevar elevar el producto a la potencia indicada. • El evar evar a la l a pot potenc encia ia dada dada cada cada uno de los f act act ores y después resolver la multiplicación.
•
La potenciac pot enciación ión es distr distr ibut iva con respecto respecto de la la división. división . Si a y b son dos números cualesquiera, con b distinto de cero, y m es un número entero, entonces: (a ÷ b) m = am ÷ bm Ejemplo: • (6 ÷ 3)2 = 22 = 4, y también 62 ÷ 32 = 36 ÷ 9 = 4 Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar una división a una potencia dada, podemos seguir cualquiera de los dos procesos siguientes:
109 109
• Resolver esolver primer pr imeroo la divisi divisi ón y des después pués elevar elevar el cocient cocientee a l a pot pot encia encia indica i ndicada da.. • El evar evar a la pot poten encia cia dada dada el dividendo dividendo y el divis divi sor y después resolver la división.
•
La potencia potenci ación no es dist dist r ibut iva con respecto respecto de l a suma o la resta. resta. Si a y b son dos números cualesquiera y m es un número entero, entonces en general: (a + b)m ≠ am + bm (a – b) m ≠ am – bm Ej emplos empl os:: • ( 3 + 5) 2 = 82 = 64, pero este resultado es diferente de 3 2 + 52 = 9 + 25 = 34 • (3 – 5) 2 = (–2) 2 = 4, 4, pero este resultado es diferente de 3 2 – 52 = 9 – 25 = –16 Esto significa que si debemos elevar a una potencia dada una suma o una resta debemos: • Resolver esolver primer pr imeroo la operación operación indica i ndicada da y des despué puéss elevar elevar el resultado a la potencia dada.
Ejercicio 3 Resuel esuelva va los sisi gui gui entes ent es ej erci er cici cios os:: a) (5 x 4) 3 b) (103 ÷ 10 102)4
110 110
h) (–8.6 ÷ 4.3) 5 i) (7.23 + 2.77) 6
o) ( r · s · t ) 4 p) ( x · 5y )2
c) (8 + 3) 3 d) (3 – 5) 4 e) (2.1 ÷ 0.3) 2 f) (–5) 3 + (–4) 3 g) (10 x 0.23) 2
j ) [ –19. 19. 56 – (–19 (–19.. 56)] 56)] 8 k) (6z )2 l ) ( y · z ) 3 m) ( c ÷ d )7 n) ( g 7 ÷ g 3)2
q) (3a x 2b )3 –10 ÷ ( 5 · 3)] 2 r ) [ k –10 k k s) ( v 2 ÷ u 3)4 t ) ( p + q )2
Lección 9: Polinomios Nosot osotrr os ya hemos t r abajado abaj ado con dist dist i ntas nt as expres expr esii ones algebraicas desde el primer curso de secundaria y sabemos que en las expresiones algebraicas, las letras representan números. Ahora veremos algo más referente a estas expresiones y cómo podemos operar con ellas recordando las propiedades que hemos visto para las operaciones aritméticas.
Definiciones Comenzaremos por conocer algunos nombres con los que se identifican algunas expresiones algebraicas. • Se llam llama monomio a una expresión algebraica en la que no hay hay sumas sumas ni r est est as. as. Por ej emplo: empl o: 3x z 2, 5 y , - 12 w , ab , etc.
111 111
• Se llam llama binomio a la suma o resta de dos monomios. Por ejemplo: –4 –4m + 2n , 7x + 5x y , – 5x + 8, etc. et c. • Se llam llama trinomio a la suma suma y/ y/ o rest rest a de tr t r es monomi monomios os.. Por ejemplo: 3 1 m + n + 4 2
4.5n , 7.8 x – 5x +
3 x , 7
9y – 2x y – 17, 17, etc. et c.
• Se llam llama polinomio a un binomio, a un trinomio o a la suma y/ o rest rest a de más más de tr t r es monomi monomios os.. Por ej emplo: 8a2 – 27b + 4c – – 25, 25, –2k + 0.5k 2 – k 5 , etc. et c. • A l os monomios monomios que con conff orman un un binomio, t rino ri nomio mio o polinomio también se los llama términos. términos. • Un térmi t érmino no o un un mono monomio mio est est á compue compuesst o por por un número número que multiplica a una o varias variables; este número se llama coeficiente. coeficiente . Por ejemplo, en el término –5 mn el coeficiente es –5 y las letras m y n son variables. En general, cuando el coeficiente es 1, no se escribe: por ejemplo, en el monomio ab el coeficiente es 1. Cuando dos monomios tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras con los mismos exponentes, se dice que son términos semejantes. semejantes. En los l os ej emplos ant ant eriores eri ores t enemos enemos l os si guient es t érminos érmi nos semejan emej antt es: es: 8,
1 n , 2
112 112
17 y 25 4.5n y 2n ;
5y , –5y y 9y ; 2x y y 5x y ; 3 m 4
7x ,
y
–4m ;
7.8x ,
3 x . 7
5x y 5
Observe que los términos -2 k , 0.5k 2 y k no son t érminos érmi nos semejan emej antt es, es, porque aun cuando cuando en en t odos odos apar apar ece la let l etrr a k , ésta está elevada a distintos exponentes en cada uno de los monomios: en –2 k , el exponente es 1, en 0.5 k 2 es 2 y en 5k el exponente exponent e es –1. –1.
Ejercicio 1 Diga si las siguientes expresiones son monomios, binomios, trinomios o polinomios. En el caso en que no sean monomios, indique cuáles son los términos que las componen. a) 67d + 12.4 ed abc c – b) a – – ab + ab – 4
c) 58.7wqyhk e) 78s – – 12r + 41 41u –34 –34v + 87 87 d) t + e + f f) –5h + 5h
Ejercicio 2 En los l os si guient es polinomios poli nomios i ndique l os t érminos érmi nos semejan emej antt es: es: 3
a) 5 ab 4 + a 2b – 4 a 2b
c) –4r – 2s + 28 28r 2
b) m – – 7nm + 2m + 2mn
d) 6 x y + 3x 2y – 7x y 2 + 2x 2y 2
113 113
Operaciones con polinomios En esta sección veremos cómo se opera con polinomios. Empezaremos revisando la suma y resta de polinomios, continuaremos con la multiplicación de polinomios y finalizaremos con la división de un polinomio entre un monomio. Conviene tener presente en estas operaciones que los términos de un polinomio están compuestos de coeficientes numéricos y de letras que representan números, por lo que estaremos aplicando continuamente las propiedades de las operaciones entre números reales que revisamos en la lección 7, así como las propiedades de las operaciones con exponentes que vimos en la lección 8. La suma o resta de dos o más polinomios es la suma o resta de los monomios o términos que los conforman. Por ello, el problema de suma o resta de polinomios se reduce a conocer cómo se opera con monomios. Sólo se pueden resolver las sumas o restas de monomios semejan emej antt es, es, para lo l o cual cual se uti ut i l i zan zan las l as propiedade pr opiedadess de la l a suma suma y resta entre números que usted ya ha visto desde primer grado de secundaria. ecundari a. Cuando tenemos t enemos sumas de t érmi ér minos nos no semej semej antes ant es,, l a dej amos i ndicada ndi cada,, ya que no se se puede avanza avanzarr en su su res r esol oluci ución. ón. Veamos l os si guient es ej emplos empl os:: Si queremos sumar los monomios 3 mn y 4mn , al escribir escribir la suma ya tenemos un binomio: 3mn + 4mn =
114 114
Para resolver la suma indicada podemos pensar del siguiente modo, por un lado tenemos 3 veces el producto mn , y por otro lado lo tenemos 4 veces, si hacemos la suma podemos decir que tenemos 7 veces el producto mencionado. Entonces: 3mn + 4mn = 7mn Un modo más formal de explicar este modo de resolver la operación, es recordando la propiedad distributiva del producto con respect respect o de l a suma. suma. Volvamos a nues nuestt r o ejempl ej emplo: o: 3mn + 4mn = (3 + 4) mn , porque si aplicamos la propiedad distributiva al segundo miembro se obt obt i ene el pri pr i mero. Como 3 + 4 es es 7, lll l egamo egamoss al res r esul ultt ado anterior. Esta forma de "ver al revés" la propiedad distributiva se conoce como sacar acar f act act or común . Se llama factor común al número o letra que está como factor (es decir multiplicando), en distintos términos de un polinomio. En nuestro ejemplo, m y n son fact f actor ores es comunes. comunes. El procedimi procedi mient entoo que hemos hemos seguido eguido en est est e ej emplo puede gener generali ali zarse zarse a l a suma suma y a la res r estt a de dos t érmi ér minos nos semej antes ant es cualesquiera: • El r esult esult ado de la suma suma de térmi t érminos nos semej emej antes nt es es otr o monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos. • El r esult esult ado de de la rest rest a de dos dos t érminos érmi nos semej emej antes nt es es otr ot r o monomio monomio semej semejaante nt e a los ant erior er ior es, es, cuyo coefi coeficiente ciente es la diferencia dif erencia ent entrr e los coefi coeficientes cientes del mi nuendo y el sust ust r aendo.
115 115
• Como los coef coef icient ici entes es son números r eales eales,, al sumar umar los o restarlos se tendrán en cuenta las reglas de operaciones de esos números. Veamos otr ot r o ej emplo. empl o. Supongamos upongamos que t enemos una operación como la siguiente: el monomio 3 x más el binomio 5y – 4x Primero escribimos el trinomio resultante: 3x + 5y – 4x y luego reordenamos los sumandos para poder operar con los términos semejantes: 3x + 5y – 4x = 3x – 4x + 5y = (3 – 4) x + 5y = –1 –1x + 5y Finalmente, como en general no se escribe el coeficiente 1, tenemos que 3x + 5y – 4x = –x + 5y Cuando se resuelven sumas o restas entre términos de un reducen t érminos rminos . polinomio, se dice que se redu Si queremos sumar dos polinomios simplemente reordenamos y agr agr upamos l os t érmi ér minos nos semej antes ant es de cada uno uno de ell os para efectuar, como en los ejemplos anteriores, las operaciones que sean posibles. Si en el polinomio aparecen restas es útil escribirlas como sumas considerando los inversos aditivos, de esta forma será más fácil reagrupar los términos.
116 116
A modo de ejemplo, vamos a efectuar la suma de los siguientes tres polinomios: 2x + 4y – 5;
3x – y + 16; 16;
7y + 3
Primero vamos a convertir las restas que aparecen en el primer polinomio y en el segundo, en sumas 2x + 4y – 5 = 2x + 4y + (–5); 3x – y + 16 = x + (–y ) + 16; Para expresar la suma podemos acomodar los sumandos uno a continuación de otro y después reordenar para agrupar l os t érmi ér minos nos semej antes ant es o podemos acomodar acomodar l os poli pol i nomios en posi posi ción ci ón ver ver t i cal de modo que los t érminos érmi nos semejant emej antes es queden queden en la misma columna. Veamos los dos modos: Pr i mer modo: modo: 2x + 4y + (–5) + 3x + (–y ) + 16 + w + 7y + 3 = = (2x + 3x ) + [4y + (–y ) + 7y ] + w + [(–5) + 16 + 3] = ( 2 + 3) x + ( 4 – 1 + 7) y + w + 14 = 5 x + 10 y + w + 14 Segundo modo: 2x + 4y + (–5) 3x + (–y ) + 16 + 7y + 3 w + w +
5x + 10 10y + 14 14
117 117
Si quisiéramos restar dos polinomios actuamos de forma muy similar, más aún, podemos convertir la resta entre los polinomios en una suma considerando el inverso aditivo de cada uno de los términos del sustraendo. Por ejemplo vamos realizar la siguiente resta: Al polinomio 8 a + 5b – – 4ab , le vamos a restar el polinomio 3ab –2 –2a + 8. Entonces tenemos que: (8a + 5b – – 4ab ) – (3ab –2 –2a + 8) = (8a + 5b – 4ab ) + [–3ab – (–2 (–2a ) + (– 8)] Como ahora se tiene una suma usted puede resolverla del mismo modo en que lo hicimos en el ejemplo anterior y seguramente llegará al resultado: 10 a + 5b – – 7ab – 8. Veamos a continuación cómo efectuar la multiplicación de polinomios. polinomios. Aquí se pueden presentar tres situaciones que analizaremos por separado: el producto de dos monomios, el producto de un polinomio por un monomio y el producto de dos polinomios. Para multiplicar dos monomios no es necesario que éstos sean ean semej semejan antt es. es. Veamos eamos el si guient e ej emplo (4 x 2) (2 x y ) Como cada monomio expresa una multiplicación, tenemos 4 por x 2 que multiplica a 2 por x por y , y nosotros sabemos por las propiedades conmutativa y asociativa del producto que podemos cambiar el orden de los factores y agruparlos como nos convenga,
118 118
para poder multiplicar como ya sabemos hacerlo. La expresión anterior se nos convierte entonces en: (4) (2) ( x 2) ( x ) ( y ) = 8x 3y Habrá observado que al multiplicar ( x 2) ( x ), ), usamos la regla de producto de dos potencias de igual base, es decir sumamos los exponentes. Veamos algunos al gunos ej empl empl os más:
( 12 ) (–3) ( x ) (x ) =- 32 x
( 12 x ) (–3x 4) =
4
5
(–4 (–4pq 2) (–p 3q 5) = 4p 4q 7 (–0.5k ) (7kr ) (–2k 2r ) = 7k 4r 2
La segunda situación que veremos es el producto de un polinomio por un monomio. En este caso aplicamos la propiedad distributiva y cada vez tenemos el producto de dos monomios. Por ejemplo:
(3g + 2h ) ( c ) = 3gc + 2hc
Veamos eamos otr ot r o ej emplo: (5x + 3x z – – 2z 2) ( x z ) = (5 x ) ( x z ) + (3 x z ) ( x z ) – (2 z 2) ( x z ) = 5x 2z + 3x 2z 2 – 2x z 3
119 119
Como el resultado es un polinomio cuyos términos no son semejantes, no podemos reducir términos, por lo que hemos terminado la operación. Finalmente, para multiplicar dos polinomios aplicamos también la propiedad distributiva, recordando que debemos multiplicar cada término de un polinomio por cada término del del otro otr o. Veamos un primer ejemplo: multipliquemos los polinomios (5w + 2) y ( z + 3). Primero distribuiremos el binomio z + 3 multiplicándolo por el binomio 5 w + 2, y después distribuiremos este último multiplicándolo por cada uno de los términos del primero: (5w + 2) ( z + 3) = (5w + 2) ( z ) + (5w + 2) (3) = = (5w ) ( z ) + (2) ( z ) + (5w ) (3) + (2) (3) = = 5wz + 2z + 15 15w + 6 Veamos un segundo segundo ej emplo. empl o. (ab 2 + b 3) (2a – – b ) = Antes de hacer la multiplicación, tal vez resulte más sencillo si expresamos la resta del segundo binomio como suma para poder aplicar la ley de los signos de la multiplicación: (ab 2 + b 3) (2a – – b ) = ab 2 + b 3) [ 2 a + (– b ) ] Ahora procederemos a la multiplicación y haremos las dos distribuciones de una sola vez:
120 120
(ab 2 + b 3) [ 2a + (–b ) ] = ( ab 2) (2a ) + ( b 3) (2 ( 2a ) + ( ab 2) (–b ) + (b 3) (–b ) = = 2a 2b 2 + 2ab 3 – ab 3 – b 4 En este caso, como el segundo y el tercer término son semejan emej antt es, es, podemos podemos r esolver esolver l a rest rest a: 2a 2b 2 + 2ab 3 – ab 3 – b 4 = 2ab 3 – ab 3 = ab 3. Entonces el resultado final de la multiplicación es (ab 2 + b 3) (2 a – – b ) = 2a 2b 2 + ab 3 – b 4 En general para multiplicar polinomios entre sí, se procede de la siguiente manera: • El product product o de dos dos monomios monomios es otr o monom monomio io cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores, y la parte literal está formada por todas las let r as que apa aparr ecen en los f actores ct ores;; cada cada letr let r a tendr á como exponente la suma de los exponentes que tenía en cada factor. • Par a mult mult ipli car car dos dos poli polinom nomios ios se apli aplica ca la propiedad propiedad distributiva de modo que cada término de un polinomio quede mult ipl icado por por cada cada uno de de los t érminos ér minos del otro. Si es posible se reducen términos. • Si en los f actores ct ores apar par ecen r est est as es út il escri escri bir ést ést as como sumas usando el inverso aditivo. • Se debe apl aplicar icar la reg r egla la de los si gnos que se se ha vis vi st o para la multiplicación de números.
121 121
Por último para dividir un polinomio entre un monomio seguimos un proceso muy similar al que aplicamos en la multiplicación. Para poder aplicar más fácilmente la regla de la división de potencias de igual base, resulta útil que cada término del dividendo tenga todas las letras del divisor. Cuando esto no ocurre podemos agregarlas con exponente cero, ya que como cualquier número elevado a la cero es uno, la expresión no cambia aunque la escribamos de distinta forma. Veamos eamos el si guient e ej emplo: (3b 2 + b 3c ) ÷ (2bc ) = Como en el primer término no aparece la letra c que sí está en el divisor la agregamos con exponente 0, y nuestra expresión se convierte en: (3b 2c 0 + b 3c ) ÷ (2 bc ) Ahora aplicamos la propiedad distributiva y dividimos como ya sabemos hacerlo: (3b 2c 0 + b 3c ) ÷ (2 bc ) = (3b 2c 0) ÷ (2bc ) + ( b 3c ) ÷ (2 bc ) =
3 1 –1 –1 b c 2
+
1 2 0 b c 2
=
3 2
+
1 2 b 2
–1 b 1c –1
Entonces, nuestra división queda así: (3b 2 + b 3c ) ÷ (2bc ) =
122 122
3 1 –1 –1 b c 2
+
1 2 b 2
Y también se puede expresar así: 3b 2 + b 3c = 3b + b 2 2bc 2c 2 Observe que a este último resultado podíamos llegar también del siguiente modo: 3b 2 + b 3c = 3b 2 + b 3c = 3b 2 + b 32c = 3b + b 2 2bc 2bc 2bc 2bc 2bc 2c 2 Lo que hicimos aquí fue expresar la división como una suma de fracciones en la que cada una tiene en el numerador y en el denominador sólo un término (es decir, no aparecen sumas ni restas dentro de ninguna fracción), y después tachamos los factores comunes en cada fracción: en la primera tachamos arriba y abajo el factor b , y en la l a seg segunda unda tach t achamo amoss arri arr i ba y abaj abaj o los l os factores b y c . Esto es similar al proceso de simplificación de fracciones que usted estudió en la lección 5 del segundo curso. En general podemos decir que: • El cociente cocient e de dos monomios monomios es otr ot r o monomio monomio cuyo coefi coeficiente ciente es el cociente cociente del coefi coeficiente ciente del dividendo dividendo entre el coeficiente del divisor, y cuya parte literal está formada por todas las letras que aparecen en la operación, en la que cada letra tendrá como exponente la resta del exponente que tenía en el dividendo menos el que tenía en el divisor. • Par a dividir dividi r un poli polinom nomio io entr e un monomio monomio se apli aplica ca la propiedad distributiva de modo que cada término del polinomio quede dividido entre el divisor.
123 123
• Si en el polinomi pol inomioo apa aparr ecen rest rest as es út il escri escri bir ést ést as como sumas usando el inverso aditivo. • Se debe apl aplii car car la reg r egla la de los si gnos que se se ha vis vi st o para la división de números.
Ejercicio 3 Resuelva las siguientes sumas y restas de polinomios:
( 57 w + 23 z )-[ (- 13) z + 95 y ] -[ (- 45 )y - 27 w ]
a) ( x – 7z + 4) + (5x + 4z – 14 )
f)
b) (2x – 3v + 5) – (4y + 6u – – 5) c) ( n + hg – – 2nhg ) + ( nhg – – n + 1) d) (–6d + 4 – 2e ) – (6 d – – 5f + 3) e) (3a + 2b – – 4) – (–3 (–3a + 4b )
g) (5 a – – 3b ) + (–6a – – 2b ) – (3a + 4b ) – (–a –b ) h) (8x 3 – 40x 2 + 50 50x ) + (–20 x 2 + 100x – 125) 125) i ) (2t 4 – t 2 + t – 1) + ( t 5 – t 3 + 3 + 2t ) j ) ( –7k + 2s – – 3q ) – (–2q – – 3k ) + (4k + q – 2s )
Ejercicio 4 Resuelva las siguientes operaciones de polinomios: a) (2x 2y ) (3x 3y 2) b) (8wz 2 – 5z + 4) (3w ) c) ( x 3 – 2x 2 + 2) ( x 3 – 2x + 3) d) (3a + 2b 2) ( a – – b ) e) ( g + h ) ( g – – h ) f) (2w – 3v ) (2 w – – 3v )
124 124
g) ( 2x 2 – 5x y + 6y 2 ) (2x 2 – 5x y + 6y 2) h) ( x 4 – 5x 3 –10 –10x 2 + 15 15x ) ÷ (– 5x ) i ) ( 12q 2d – – 6qd 2 + 24 24qd ) ÷ (3qd ) j ) ( 4r t + 5e 2 – 3e ) (2e – – 4 + r t ) k) ( –8x – 3x 2 – 2x 3 – 4) (– ( – 5x 3 – 2x 2 – 3x – 5) l ) ( 7w 2 – 3wz 2 + 11 11z 3 – 5y ) ÷ (2w 4z 5)
Lección 10: Representación gráfica de algunas expresiones algebraicas En la lección 18 del curso anterior usted aprendió a representar puntos en el plano cartesiano y en la lección 24 del mismo curso aprendió a usar ciertas expresiones algebraicas para referirse a relaciones numéricas. En esta lección vamos a ver cómo representar gráficamente algunas relaciones algebraicas. Recuerde que para representar puntos en el plano se consideran dos ejes perpendiculares: uno horizontal (eje de las x ) que se llama eje de las abscisas, y otro vertical (eje de las y ), ), que es el ej e de las l as ordenada or denadass. Cada ej e repres repr esent entaa una una rect a numéri numérica; ca; donde se se cort an ambos ejes se ubica generalmente el punto (0, 0) y la ubicación en el plano de cualquier otro punto queda determinada por dos valores o coordenadas: el valor de x y el valor de y . Por ejemplo, veamos la representación de los puntos A, B, C y D, cuyas coordenadas son:
125 125
8 C
A = (0, 0) B = ( 2, 4) C = (–3, 6) D = (– ( –6, –5)
y
6
B
4 2 0 A 0 2 -8 -6 -4 -2 -2 -4 D -6 -8
4 6 8
x
Al gunas gunas veces nos i nter nt eres esaa repres repr esent entar ar conj untos unt os de puntos punt os cuyas coordenadas están relacionadas de algún modo entre sí. Para ver cómo es est est o anal anal i zaremos un ej emplo. empl o. Vamos a representar algunos de los puntos cuyas coordenadas presentan la siguiente relación: para cada punto el valor de y es el doble del valor de x . Esta relación puede expresarse de la siguiente manera: y
= 2x
Observe que en este caso no hay nada que nos diga cuál debe ser el valor de las letras que están en la expresión; cuando esto ocurre significa que se está hablando de cualquier par de valores que cumpla la relación establecida; aquí decimos que la letra x y la let let ra y son variables. Algunos de los valores que pueden tomar las l etras et ras x y y que mantengan la relación mencionada son: x = 2, 2, y = 4; 4;
x = –1, y = –2;
x = 5, 5, y = 10 10
Para encontrar otras parejas de valores que cumplan esa relación, le damos un valor cualquiera a x y calculamos el valor de y mult mul t i pli pl i cando cando por 2 ese ese val val or. Por ejemplo ej emplo si si decimos que x vale 4, encontramos que y = 2 x 4 = 8.
126 126
Para registrar los valores de x y de y , puede utilizarse una tabla como la que se muestra a la derecha. En la primera columna se ponen los valores de x (aquí se puede poner cualquier valor), y en la segunda columna los valores que calculamos para y , a part part ir de los que escogimos para x . En la tabla hemos puest puest o las l as parej as de valor val ores es que hemos mencionado ya y algunas más.
x
y
= 2x
2
2x2=4
-1
2 x (-1) = -2
5
2 x 5 = 10
4
2x4=8
0
2x0=0
-
1 2
2 x (-
1 2
) = -1
3 4
2x
3 4
=
Cada una de las par par ej as de valor val ores es (x , y ) así encontradas puede tomarse como las coordenadas de un punto en el plano pl ano cart esi esi ano. ano. Las Las parej as de val val ores que apar apar ecen en la tabla se pueden entonces representar como puntos: esto se muestra en la gráfica siguiente.
3 2
y
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 -4 -3 -2 -1 1 -1 -2
2 3 4
x
5 6
7 8
-3 -4
127 127
y
Si colocamos una regla sobre los puntos de la gráfica, es fácil ver que todos quedan sobre una misma recta, como se muestra en la gráfica de la derecha.
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 Nosotros sólo hemos 0 0 encontrado algunos pares de 1 2 3 4 5 6 7 -4 -3 -2 -1 -1 valores que cumplen la relación -2 -3 planteada pero hay infinidad -4 de ellos, de hecho las coordenadas de cualquier punto que pertenezca a la recta cumplen con la relación dada, y cualquier punto cuyas coordenadas cumplan esa relación está en la recta.
x
8
La relación que acabamos de describir y representar gráficamente es una función, función , y decimos que la recta es la representación gráfica de esa función. Veamos eamos un ej emplo de una relaci r elación ón que también t ambién es f unción pero cuyos puntos no pertenecen a una recta. Ahora diremos que el valor de y es igual al cubo de x , es decir: y
= x 3
Para encontrar los valores vamos a construir una tabla como la anterior, eligiendo algunos valores de x y encontrando cuánto vale vale la l a y correspondiente a cada uno.
128 128
x
y = x 3
-2
(-2) 3 = -8
-1.6
(-1.6)3 = -4.096
- 1. 3
( - 1. 3) = - 2. 197
-1
(-1) 3 = -1
-0.5
(-0.5)3 = -0.125
0
03 = 0
0.5
0.53 = 0.125
1
13 = 1
1.3
1.33 = 2.197
1.6
1.63 = 4.096
2
23 = 8
Con los valores encontrados podemos ubicar los puntos del plano: Es fácil ver que los puntos representados no pertenecen a una recta. Incluso, si unimos los puntos de izquierda a derecha en el orden que aparecen, podemos ver que pertenecen a una curva. Esa curva representa gráficamente a la función
9
y
8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 -3 -2 -1 -1 -2
x
2 3
-3 -4 -5 -6 -7
y = x 3
-8 -9
129 129
Cuando en la expresión algebraica las variables tienen exponente uno (recuerde que en ese caso el exponente no se escribe), la representación corresponde a una recta, y si el exponente es distinto de uno, se obtiene una curva.
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
0
x
1
2 3
Si sabemos que la gráfica es una recta, para dibujarla sólo necesitamos encontrar dos puntos, pero si la gráfica es una curva para poder trazarla debemos ubicar varios puntos, y cuantos más puntos encontremos más fácil será dibujar la curva.
Ejercicio 1 Escri ba en lengua lenguajj e algebraico las l as si guient es r elaciones el aciones entr ent r e los l os valores de la variable x y de la variable y . a) Un número número es i gual a la suma suma de 4 más el doble dobl e de otr ot r o. (Llame y al primer número mencionado.) b) La suma de dos números númer os es i gual a 3. c) Un número número es i gual al cuadrado de otr ot r o. (Llame y al primer número mencionado.) d) Un númer númer o menos menos l a mit ad de otr ot r o es 2. (Llame y al primer número mencionado.) e) Un número es i gual gual al cuadrado de l a suma suma de otr ot r o número más 1. (Llame y al primer número mencionado.)
130 130
Ejercicio 2 Para cada cada una una de de las l as r elacione elaci oness del ej ercicio erci cio 1, encuent encuentrr e al menos seis ei s parej as de números númer os que cumplan cumpl an esa esa rel ación, represente gráficamente los puntos y trace la recta o curva que pasa por ellos. Utilice un par de ejes distintos para graficar los puntos correspondientes a cada función. NOTA: Aunque se puede dar cualquier valor a x , para que usted pueda verificar sus resultados con las soluciones del libro, l e sug suger erii mos que en cada uno de est est os ej erci er cici cios os l e asi asi gne gne a x l os valores que se dan a continuación: –2, –2, –1, -
1 2
, 0,
1 2
, 1, 2;
además de éstos, usted puede asignar los valores que quiera.
Ejercicio 3 Indique para qué relaciones del ejercicio anterior el conjunto de puntos queda sobre una misma recta y para cuáles no.
131 131
Lección 11: Ecuaci cuaciones ones l i neal neal es con dos incógnitas Ecuaciones con dos incógnitas Existen muchos problemas que pueden plantearse a través de ecuaciones con más de una incógnita. Veamos el siguiente ejemplo: María recorrió 10 Km siempre en la misma dirección, una parte del recorrido lo hizo a pie y el resto en camión. ¿Cuántos uánt os kil ki l ómetr ómet r os caminó y cuántos cuánt os r ecorri ecorr i ó en camión? Es claro que la pregunta anterior da lugar a muchas r espues espuestt as. as. Podríamos decir por ej emplo, que María María reco r ecorr r i ó: • • • •
132 132
5 Km a pie pi e y 1 Km a pie pi e y 2.5 Km Km a pie pi e 0.8 Km Km a pie pi e
5 Km en en camión, cami ón, porque por que 5 + 5 = 10 9 Km en camión, porque por que 1 + 9 = 10 y 7.5 Km Km en camión, porque 2.5 + 7.5 = 10 y 9.2 Km Km en camión, porque 0.8 + 9.2 = 10
Ust ed puede encont encontrr ar ot r as parej as de números que pueden ser solución del problema. Pero no cualquier pareja de números es solución del problema. Por ejemplo • Los números 3 y 8 no no son son soluci solución, ón, porque por que 3 + 8 = 11 ≠ 10 • Los númer númer os –1 y 11 t ampoco ampoco son son soluci solución, ón, porque aunque aunque –1 –1 + 11 = 10, 10, María si si empre cami cami nó en la l a mis mi sma dir di r ección y entonces no pudo recorrer –1 Km a pie.
133 133
Si llamamos x a la cantidad de kilómetros que María caminó y si llamamos y a la cantidad de kilómetros recorridos en camión, podemos describir el problema anterior del siguiente modo: x + y = 10 10
A expresiones de este estilo se las denomina ecuaciones de pri pr i mer gr ado con dos i ncógni ncógnitt as o ecuaciones ecuaciones li neales con dos incógnitas. incógnitas. Ya dij i mos que est est e probl pr oblema ema tit i ene muchísi muchísi mas soluci ol uciones ones de las que hemos encontrado sólo algunas. Las soluciones que hemos encontrado: x = 5, y = 5 x = 1,
y = 9 x =
2.5, y = 7.5 x = 0.8, y = 9.2
pueden ser ser expres expr esadas adas como parej par ej as ordenadas or denadas:: (5, 5)
(1, 9)
(2.5, 7. 5)
(0.8, 9. 2)
y
Y est est as parej par ej as ordenadas or denadas nos pueden servir para representar gráficamente las soluciones que hemos encontrado. Para ello consideramos los valores de x como abscisa, y los de y como ordenadas. Así, las primeras soluciones quedarán representadas por los siguientes puntos.
134 134
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 -1 -2
0
x
1
2 3 4
5 6
7
Ejercicio 1 a) Copie opie la gráfica ráf ica ant ant erior. erior. b) Encuent ncuentrr e otr ot r as parej as de números números que sea seann soluci solución ón de la ecuación x + y = 10 y represéntelas en la gráfica, con puntos. c) Tr ace una r ecta ect a que que pas pase por dos puntos punt os cual cual esquier esquieraa de l a gr gr áfi áf i ca. Los Los demás puntos punt os de la l a gr gr áfi áf i ca ¿quedan en la recta o fuera de ella? d) Encuent r e dos parej par ej as de números númer os que NO NO sean sol soluci ución ón de la ecuación x + y = 10 y represéntelas en la gráfica. e) Los Los dos puntos punt os r ecién eci én tr t r azados azados ¿quedan en la rect r ect a o fuera de ella?
Ejercicio 2 Considere la ecuación –2 x + y = –4. y
7
a) Verif eri f ique que las parej parej as (–1, (–1, –6), –6), (0, –4), (2, 0), y (5, 6) son solución de la l a ecuaci ecuación. ón. b) Verif eri f i que que que los puntos punt os que r epres epr esent entan an a esas esas parej as de números están en la gráfica de la derecha. c) Encuentr ncuent r e las coordenadas de los puntos A, B y C que están en la gráfica. d) Verif eri f i que que l as parej as de números números encontradas en el inciso anterior son solución de la ecuación.
6 5 4 3
C
2 1 0 -4 -3 -2 -1 -1 -2
0
x
2 3 4
1
5 6
B
-3 -4 -5 -6
A
-7 -8 -9 -10 -11
135 135
Gráfica de una ecuación lineal Regresemos a nuestra ecuación: x + y = 10 10
Nosot osotrr os hemos r epres epr esent entado ado sól sóloo algu al gunas nas parej as ordenada or denadass y usted ha podido observar (al realizar los ejercicios anteriores) que todos los puntos que representan soluciones están sobre una línea recta. Sabemos que la ecuación anterior tiene y 12 infinidad de soluciones, 11 10 y puede demostrarse 9 que todos los puntos que 8 pertenecen a la siguiente 7 6 recta, son solución de la 5 ecuación. 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
0
x
1
2 3 4
5 6
7 8 9 10 11 12
Observe que hay puntos que pertenecen a la recta y son solución de la ecuación, pero no son respuesta al problema planteado.
Por ej emplo la l a parej a (-1, (- 1, 11) es es solución oluci ón de la ecua ecuación, ción, porque -1 + 11 = 10, pero no puede ser respuesta al problema porque no tiene sentido decir que María caminó –1 Km. Lo que hemos observado con la ecuación x + y = 10, ocurre con todas las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
136 136
(también llamadas ecuaciones lineales), y se puede enunciar del si guient e modo: • Toda ecuación ecuación de pr pr imer gr ado con con dos dos incógnit incógnit as t iene inf ini t as soluciones soluciones.. • Los Los puntos punt os que repres r epresent entaan t odas odas las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas forman una línea recta. Veamos ahora cómo trazar esa recta. Ya sabemos que para trazar una recta sólo necesitamos dos puntos, entonces si queremos representar todas las soluciones de una ecuación lineal, basta con que localicemos los puntos que representan a dos de sus soluciones. Por ejemplo, si queremos obtener la recta que representa todas las soluciones de la ecuación: 6, x – y = 6, buscamos buscamos dos parej par ej as de números númer os que sean sean sol soluci uciones ones y las l as representamos gráficamente; si trazamos la recta que pasa por esos dos puntos, encontramos la gráfica de soluciones de la ecuación. Podemos ver que las l as parej par ej as: as: (9, 3)
y
(2, –4)
son soluciones de la ecuación porque: 9 –3 = 6
y
2 – (– 4) = 6.
137 137
y
Los puntos que representan a estas dos parejas se muestran en la gráfica de la derecha. Ahora podemos trazar la recta que buscábamos.
8 6 4 2 0
0 -4 -2 2 -2 -4
x
4 6 8
10
-6 -8
y
8 6 4 2 0
0 -4 -2 2 -2 -4 -6 -8
x
4 6 8
10
En los l os dos ej emplos empl os que hemos manejado, ha sido fácil encontrar parej as de números númer os que sean sean sol soluci ución ón de la ecuación. En algunos casos esto puede ser un poco menos sencillo. Veamos otro ejemplo:
Se quiere encontrar la recta que representa a todas las soluciones de la ecuación: 3x + 2y = 30. Sabemos que sólo necesitamos dos puntos para determinar la r ecta, ect a, entonce ent oncess bast bast ará con encont encontrr ar dos parej as de números. números. Para ello podemos dar un valor cualquiera a x , por ejemplo 4 y hacer la sustitución correspondiente. Así obtenemos la ecuación 3(4) + 2 y = 30 que tiene una sola incógnita y que usted ya sabe resolver. 3(4) + 2y = 30 30 12 + 2y = 30 30 2y = 30 – 12 y = 18 ÷ 2 y = 9
138 138
Del mismo modo, si decimos que x = 10, tenemos: 3(10 (10) + 2y = 30 30 30 + 2y = 30 30 2y = 30 – 30 y = 0 ÷ 2 y = 0
Usted puede verificar que las parejas (4, 9) y (10, 0), son soluciones de la ecuación. y Y la recta trazada, que 16 pasa por los puntos de 15 14 coordenadas (4, 9) y (10, 13 0), representa a todas las 12 11 soluciones a la ecuación 3 x 10 + 2y = 30. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 -1 -2
0
x
1
2 3 4
5 6
7 8
9 10 11 12
Finalizaremos esta sección haciendo una reflexión acerca de la diferencia entre las soluciones de un problema y las soluciones a la ecuación. Consideremos el si guiente uient e problema probl ema::
Juan decidi deci dióó no gas gast ar las l as monedas de $2 y $5. Al cabo de un tiempo su ahorro ascendía a $120. ¿Cuántas uánt as monedas de $2 y cuántas cuánt as de $5 j unt ó Juan?
139 139
Si llamamos x a la cantidad de monedas de $2 y llamamos y a la cantidad de monedas de $5 podemos describir la situación planteada con la siguiente ecuación lineal 2x + 5y = 120 30 25 20
y
Esta ecuación tiene una infinidad de 15 soluciones, y para trazar 10 5 la gráfica de ellas podemos 0 0 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 encontrar como en el -5 -10 ejemplo anterior dos soluciones; por ejemplo, para x = 0 encontramos y =120 ÷ 5 = 24, y para x = 40 40 encontramos y = (120 – 80) ÷ 5 = 8. Entonces podemos trazar la recta que pasa por los puntos (0, 24) y (40, 8):
x
50 55 60
Observe que la recta contiene a todas las soluciones de la ecuación, sin embargo no todas ellas son respuestas al problema planteado, ya que por tratarse de cantidad de monedas sólo pueden consi consi derarse der arse como posi posi bles bl es r espues espuestt as l as parej as de números naturales.
140 140
Es decir, la gráfica de la página anterior representa a todas las soluciones a la ecuación , pero de todos los puntos que la conforman sólo una y pequeña minoría son 30 25 soluciones al problema . 20 De hecho, si quisiéramos 15 10 graficar solamente las 5 solucione oluci oness al al problema probl ema,, 0 x 0 -5 15 10 20 25 30 35 40 45 50 55 60 encontraríamos una gráfica -10 -5 5 -10 como la que se muestra a la derecha.
Ejercicio 3 Para cada una de las siguientes ecuaciones, encuentre la recta que representa a todas las soluciones. a) –x + y = 4 b) x + y = –2 –2
Ejercicio 4 Considere la ecuación x – y = 3. 3. a) Encuentr ncuentr e la l a recta rect a que que repres r epresent entaa toda t odass l as soluciones. oluciones. b) Complet e las si guient es parej as de números números para que sean ean soluciones de la ecuación. • x = 5, y = • x = –1, y =
141 141
• • • • •
x = x = x = x = x =
, y = 6 , y = –1 –1 2.5, y = , y = 0 0, y =
Ejercicio 5 Trace la gráfica de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones lineales. a) –2x + 2y = 14 14 b) 4 x – 2y = –2 –2
Ejercicio 6 Un terreno rectangular tiene un perímetro de 74 m, y se quiere conocer su largo y su ancho. a) Encuent ncuentrr e una una ecuaci ecuación ón que corres corr espond pondaa al enunciado enunciado del problema, en la que x sea el largo del terreno y y sea su ancho. b) Tr ace l a gráfi gráf i ca de sol soluci uciones ones de la ecuaci ecuación. ón. c) A par par t i r de la gráf gráfica, ica, encuent encuentre re t r es par par ej as de números números que sean sean sol soluci ución ón del probl pr oblema ema y dos parej as que sean sean solución de la ecuación pero no del problema.
142 142
Lección 12: Sistemas de ecuaciones lineales Resolución gráfica Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas. Hemos observado que cada una de ellas admite infinidad de soluciones y hemos encontrado la recta que representa a todas las soluciones de una ecuación lineal. Hast ast a ahor ahoraa hemos hemos t r abajado abaj ado con si t uaciones en las l as cuales una sola ecuación permite expresar la condición que presenta el problema. En muchos casos nos enfrentamos a problemas en los que se plantea más de una condición, por lo que es necesario plantear más de una ecuación. Decimos que las ecuaciones que expresan las condiciones de un problema forman un sistema de ecuaciones. ecuaciones. A continuación veremos cómo resolver, gráficamente, un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Como lo hemos hecho en otras situaciones, empezaremos con un ejemplo:
143 143
La suma de dos números es 12 y su diferencia es 6. ¿Cuáles son esos números? En este problema se nos pide que encontremos dos números que cumplan con dos condiciones: • que su suma suma sea 12 • que su su dif erencia (es deci deci r l a rest rest a de es est os dos números números)) sea 6. Si llamamos x a uno de los números y llamamos y al otro, ot ro, podemos expresar cada condición por medio de una ecuación: • x + y = 12 12 • x – y = 6 A expresiones como la anterior, se las denomina sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y suelen expresarse del siguiente modo: x + y = 12 12 x – y = 6
{
Una forma de encontrar la solución de este problema es buscar pares de valores que cumplan una de las condiciones, por ejemplo que su suma sea 12, y posteriormente ver cuál de ellos cumple también con la segunda. Para comenzar es bueno tener en cuenta que el valor de x debe ser mayor que el de y , de lo contrario la diferencia no sería positiva.
144 144
x
y
x + y
x - y
7
5
12
2
8
4
12
4
8. 5
3. 5
12
5
9
3
12
6
10
2
12
8
11
1
12
10
12
0
12
12
13
-1
12
14
Al llenar la tabla anterior vemos que la pareja de valores x = 9, 9, y = 3 es soluci ol ución ón del probl pr oblema ema ya que 9 + 3 = 12 y 9 – 3 = 6; es decir que estos números cumplen con las dos condiciones que se habían planteado. Podríamos preguntarnos si es la única pareja de valores que cumplen ambas condiciones, pero es imposible pensar en "probar" con todos los números cuya suma sea 12, porque como vimos en la lección anterior, son infinitas las parejas de valores que cumplen una condición de ese estilo. A continuación veremos un método más práctico que nos permite dar solución a este tipo de problemas. Este método recibe el nombre de r esoluci esoluci ón gr gr áfica áfi ca de sist sistemas emas de ecuaciones Para resolver el sistema anterior: 12 x + y = 12 x – y = 6
{
145 145
comenzaremos por encontrar la gráfica de soluciones de cada ecuación, es decir la recta que contiene a todas las soluciones de cada ecuación. Como ya sabemos que cada gráfica es una recta, para encontrarla bastará con elegir dos puntos cualesquiera. En este caso, para la ecuación x + y = 12, podemos tomar los puntos de l as parej as que anot anotamo amoss en la l a tabla t abla anterior. De este modo encontramos la recta que se muestra en la gráfica de la derecha.
16
y
14 12 10 8 6 4 2 0
0 -4 -2 2 -2 -4
x
4 6 8 10 12 14
Como ya dij di j i mos, mos, cada punto punt o de esta recta es solución de la primera ecuación, o lo que es lo mismo, la suma de las coordenadas de cualquiera de ellos es 12. Del mismo modo procedemos para encontrar la recta que representa a todas las soluciones de la ecuación x – y = 6. Así obtenemos la recta siguiente:
Todos los puntos de esta recta son solución de la segunda ecuación, es decir que la diferencia de sus coordenadas es igual a 6.
y
12 10 8 6 4 2 0 -4 -2 -2 -4 -6
146 146
0
x
2
4 6 8 10 12 14
Cada ecuación tiene infinitas soluciones, pero nosotros buscamos una parej a de números que sea sea solución de ambas.
Si trazamos en el mismo par de ej es l as dos r ect as podemos obser observar var que se cruzan en un punto.
y
12 10 8 6 4
A
El punto A pertenece a ambas 2 0 x rectas, por lo que sus coordenadas 0 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 -2 cumplen las dos condiciones o -4 -6 relaciones planteadas: por un lado la -8 suma de sus coordenadas es igual a 12 (línea lisa), y por otro la diferencia de sus coordenadas es igual a 6 (línea punteada). Es decir, si leemos las coordenadas del punto A encontramos los valores de x y de y , que es la solución al problema planteado. Entonces los números buscados son 9 y 3. Para verificar este result result ado ado sus sustt it uimos l a x por 9 y la y por 3 en las dos ecuaciones que forman el sistema: x + y = 12 12
9 + 3 = 12
x – y =
6 9 –3 = 6
Observe que las rectas sólo se cortan en el punto A: podemos afirmar que (9, 3) es el único par de valores que satisface simultáneamente las dos ecuaciones ya que no hay otro punto que pertenezca a ambas rectas.
Ejercicio 1 Resuelva gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
147 147
{
a) 3x + 4y = 10 2x + y = 0 b)
{
c)
{
1 x + y 2
=1 x + y = –5
5x – 4y = 12 x + y = 6
{
d) x + y – 3 = 0 10x – 2y – 6 = 0 e) 4x + 6y = 6 2x + 3y = 12 12
{
f)
{
x – 2y = 1 5x –10 –10y = 5
Sistemas sin solución y sistemas con infinitas soluciones En el ej ercici erci cioo ant ant erior eri or observamos observamos dos si t uaci uacione oness que merecen una consideración especial. Seguramente al resolver el inciso e, habrá llegado a la conclusión de que esas rectas no tienen punto de intersección, no se cortan por ser paralelas. Esto significa que en las rectas no hay punto y 7 alguno que pertenezca a las dos rectas 6 5 por lo que el sistema no tiene solución. 4 Cuando esto ocurre se dice que es un 3 sistema inconsistente . En un caso así, 2 1 aunque cada una de las ecuaciones del 0 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 sistema tiene un número infinito de -1 -2 soluci ol uciones ones,, no hay ning ni nguna una parej a de valores que sean solución de ambas ecuaciones: el sistema no tiene solución.
148 148
x
4
En cambio al resolver el inciso f , nos encontramos con que las gráficas de solución coinciden, todos los puntos de una recta pertenecen también a la otra. Aquí tenemos un sistema que tiene una infinidad de soluciones:
4
y
2 0
0 2 -6 -4 -2 -2 -4
x
4 6
Si observamos los dos sistemas mencionados, podremos notar en ellos características que se presentan en general cuando tenemos sistemas inconsistentes o de infinitas soluciones. Un sistema tiene infinitas soluciones cuando una ecuación se obtiene multiplicando o dividiendo por un mismo número, todos los números que aparecen en la otra, respetando signos y operaciones. En el sistema del inciso f , tenemos: 1ª ecuación ión 1
x
– 2
y
=
2ª ecuación 1 x 5 x – 2 x 5 y = 5 x – 10 y =
1
1x5 5
Los sistemas de ecuaciones, que presentamos a continuación, tienen infinitas soluciones. Usted puede verificarlo encontrando l as r ectas ect as corres corr espond pondii entes ent es.. •
•
{
2x + 4y = 3 x + 2y = 1. 5
•
{
{
2x + 10 10y = –10 x + 5y = –5
•
{
3x – 4 y = 3 –9x + 12 12y = –9 –9 –x + 0.6y = –2.4 2x – 1.2 y = 4.8
149 149
Si observamos ahora el sistema del inciso e, que no tiene solución, podemos notar que los coeficientes de x y de y de una de las ecuaciones se pueden obtener multiplicando por un mismo número los coeficientes correspondientes de la otra, pero esto no ocurre con el término independiente (el que no está acompañado por por letr l etraa).
1ª ecuación ión 4
x
+ 6
y
=6
2ª ecuación 4 x 0.5 0. 5 x + 6 x 0. 5 y = 6 x 0.5 x + 3 y = 12 2
Ot r os ej emplos empl os de si si st emas de ecuaci ecuaciones ones que no tit i enen solución son los siguientes. Usted puede verificarlo encontrando l as r ectas ect as corres corr espondient pondientes es..
•
•
150 150
{
2x + 4y = 10 2x + 4y = 0
•
{
2x + 1y = 4 x + 0.5 y = –5
•
{
0. 3x – 4y = 0 0. 9x – 12y = 10 10
–x + 6y = 24 24 2x – 12y = 8
{
Ejercicio 2 Resuelva gráficamente los siguientes sistemas. Exprese en cada caso los valores de x y de y que satisfacen ambas ecuaciones e indique, si fuera el caso, los sistemas inconsistentes o de infinitas soluciones.
{
{
d) 2x + 2y = 4x + 4y =
b) y – 4x = 2 2y – 8x = 4
{
e) 3x – 4y = 2y + x =
c)
f)
a) –2x + y = 3 x + 2y = – 4
{
3x – y = 7 2x + 3y = 1
{
x – y – 1 = 2x – 3y + 2 =
{
151 151
Lección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones En la lección anterior hemos visto cómo resolver gráficamente un sistema de ecuaciones. Si bien ese método es relativamente sencillo de aplicar, no siempre es fácil leer las coordenadas de un punto. Además del método gráfico, hay varios métodos algebraicos que permiten obtener la solución de un sistema sin necesidad de recurrir a la representación gráfica. En general estos métodos tratan de obtener a partir del sistema de dos ecuaciones una sola ecuación de primer grado con una incógnita, aplicando las propiedades de las ecuaciones que ya conocemos. En esta lección veremos uno de ellos, llamado método mét odo de reducción por suma y resta. En la aplicación de este método se aplican las siguientes propiedades: • Si sumamos (o r est est amos amos) cantidades cant idades i guales a los dos miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación que tiene las mismas soluciones que la primera. • Si mult ipli camos camos (o dividimos) dividimos) los l os dos miembros de una ecua ecuación ción por un mis mi smo número, obtenemos otra ot ra ecuación que tiene las mismas soluciones que la primera.
152 152
A modo de ejemplo vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
{
2x + x –
y y
= =
8 3
Si escribimos la segunda ecuación como x + (–y ) = 3, es fácil observar que (–y ) es el inverso aditivo de y que figura en la primera ecuación. Como queremos llegar a una ecuación con una sola incógnita, aprovechamos la presencia de los inversos aditivos para quedarnos sólo con la x , pero manteniendo las relaciones de igualdad establecidas. Para ello vamos a sumar ( x – y ) (o su igual 3) a ambos miembros de la primera ecuación. Debemos recordar que sólo puede resolver resolversse la l a suma suma de térmi t érminos nos semejan emej antt e, así así que sumaremos: 2 x + x ,
y + (– y )
y
8 + 3.
Tenemos entonces que:
+
2x + x –
y y
= =
8 3
3x +
0
=
11
El resultado de la suma es una ecuación de primer grado con una incógnita que podemos resolver fácilmente, para encontrar de este modo uno de los dos valores que buscábamos.
153 153
3x +
0 = 3x = x =
11 11 11 3
Conociendo onociendo es est e valor valor,, sus sust i t uimos en cual cual quiera quier a de l as ecuaciones originales a la x por 11 . Así obtendremos obt endremos otr ot r a 3 ecuación de primer grado con una incógnita que nos permitirá encontrar el valor de y : x 11 3
– – – –
y y y y y
= = = = =
3 3 3– - 23
11 3
2 3
2
Podemos decir deci r ent onces que l os números númer os 11 y 3 son l a 3 solución del sistema de ecuaciones. También se dice que son l as raíces del si st ema. ema. Veamos eamos otr ot r o ej emplo. Queremos r esolver esolver el si guient e sistema:
{
3x + x +
y y
= =
10 4
Aquí no tenemos inversos aditivos por lo que no servirá efectuar la suma como lo hicimos en el caso anterior, pero si en lugar de sumar restamos el efecto será el mismo. Restaremos (x + y ) (o su igual 4), a ambos miembros de la ecuación 3 x + y = 10, considerando también aquí que la operación debe efectuarse entre ent re t érmino érmi noss semej emej ant ant es: es:
154 154
3x + x +
y y
= =
10 4
2x +
0
=
6
= = =
6
tenemos entonces: 2
x x x
6 2
3
Sust ust i t uyendo uyendo la l a x por este valor en la segunda ecuación, obtenemos: x
3
+ +
y y y y
= = = =
4 4 4 –3 1
Hemos encontrado los dos números que buscábamos: podemos afirmar que la pareja (3, 1) es la solución del sistema. Observe que en las dos ecuaciones de los sistemas anteriores, los coeficientes de las y eran iguales (en cuyo caso restamos) o eran inversos aditivos (en cuyo caso sumamos). Podríamos actuar de modo equivalente si los coeficientes de las x fuesen de ese est est i l o. Por ejemplo ej emplo si si queremos r esolver esolver el si si st ema: ema:
{
3x + 3x +
4y = 2y =
18 12
155 155
Efectuamos una resta como en el último ejemplo y obtenemos una ecuación en la que sólo aparece la y : -
3x + 3x +
4y = 2y =
18 12
0
2y =
6
+
Ahora sólo falta despejar la y para obtener su valor: 0
+
2y = 2y = y = y =
6 6 6 2
3
Reemplazando y por 3 en cualquiera de las dos ecuaciones originales, obtenemos el valor de x : 3x + 4 y 3x + 4 ( 3) 3x 3x x x
= = = = = =
18 18 18 – 12 6 6 3
2
Ent onces, onces, l as r aíces del si st ema de ecuaci ecuaciones ones son la l a parej a (2, 3). Cuando no se presenta ninguna de estas situaciones, debemos multiplicar una o ambas ecuaciones por un número conveniente, para conseguir que una de las incógnitas quede con el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, o con coeficientes que sean
156 156
inversos aditivos. De este modo podremos eliminar por suma o resta a esa incógnita y despejar fácilmente a la otra. Veamos en el si si gui gui ente ent e ejempl ej emploo cómo proceder pr oceder en est est os casos casos..
{
3x + 4x +
4y = 5y =
12 15
Aquí de nada nos serviría sumar o restar estas ecuaciones como están, porque seguiríamos teniendo dos incógnitas. Para igualar los coeficientes de las x , multiplicamos la primera ecuación por 4 (que es el coeficiente de la x en la segunda ecuación), y la segunda por 3 (que es el coeficiente de la x en la primera ecuación). Para igualar los coeficientes de la y , multiplicaríamos la primera ecuación por 5 y la segunda por 4. Recuerde que multiplicar una ecuación por un número es multiplicar por ese número ambos miembros de la igualdad. 4 (3x + 4y ) = 3 (4x + 5y ) =
4 x 12 3 x 15
Así obtenemos un nuevo sistema, que es equivalente al que plantea plant eamos mos ori origginalmente: inalment e:
{
12x + 16y = 12x + 15y =
48 45
En este nuevo sistema, los coeficientes de las x son iguales, por lo que podemos efectuar la resta: 12x + 16y = - 12x + 15y = 0 + 1y =
48 45 3
157 157
Obser bserve ve que en est est e caso caso no t enemos que despej despej ar l a y , porque aquí se ve directamente que y = 3. Entonces hacemos la sustitución correspondiente en cualquiera de las dos ecuaciones originales (en general se elige aquélla en la cual nos parece que resultará más sencillo el proceso). 3x + 3x + 3x +
4y = 4( 3) = 12 = 3x = 3x = x = x =
12 12 12 12 – 12 0 0 3
0
Ahora podemos afirmar que la pareja (0, 3) es la solución del sistema. El método que acabamos de ver es el más general y puede servir en cualquier caso. Usémoslo, por ejemplo, para volver a resolver el primer ejemplo de esta lección:
{
2x + x –
y y
= =
8 3
Aquí multiplicaremos por 2, que es el coeficiente de la x en la primera ecuación, la segunda ecuación y multiplicaremos por 1, que es el coeficiente de la x en la segunda ecuación, la primera; est est o es, es, dej aremos l a primera pri mera ecuación ecuación si si n cambi cambiar: ar: 2x + y 2(x – y )
158 158
= =
8 2x3
Obtenemos entonces: 2x + 2x –
y 2y
= =
8 6
2x + 2x – 0 +
y 2y 3y
= = =
8 6 8 –6
restamos: -
y despej despej amos: amos: 3y = y =
2 2 3
Después sustituimos en una de las ecuaciones: 2x + 2x +
y 2 3
= =
8 8 2 3
2x =
8–
2x =
24 - 2 3
2x =
22 3
x
=
22 3
x
=
11 3
÷2
159 159
2
y obtenemos obt enemos que l as r aíces del si st ema son 11 y 3 : 3 exactamente las mismas que habíamos obtenido la primera vez. Con esto hemos intentado mostrarle que no importa qué método se siga, de todos modos se llega a la misma solución al sistema de ecuaciones.
Ejercicio 1 Verif eri f i que que l as parej as de númer númer os obtenidas obt enidas en los cuat cuat r o ej emplos ant ant eriores eri ores,, son realment e soluci solución ón de l os si st emas emas considerados.
Ejercicio 2 Utilice el método visto en la lección anterior, de resolución gráfica de un sistema de ecuaciones, para encontrar las soluci ol uciones ones del segundo egundo ej ej emplo empl o de est est a lección: lecci ón:
{
3x + x +
y y
= =
10 4
Compare el resultado obtenido con el que se obtuvo en esta lección. ¿Qué observa?
160 160
Ejercicio 3 Aplique el método algebraico que acabamos de ver, para obtener las raíces de los sistemas que resolvió geométricamente, en el ej erci er cici cioo 2 de la l a lección lecci ón ant anter erii or. ¿Qué obser observó vó en los casos casos de sistemas inconsistentes o de infinitas soluciones?
Ejercicio 4 Resuelva algebraicamente los siguientes sistemas y verifique sus resultados. a) –2x – y = 8 – x + 2y = 4
{
{
e) –8x + y = –3 –3 4x – y = –2 –2
{
f)
b) x + y = 10 3x – y = 6
c)
5 x + 3y = 2
d)
3x + 4y = 10 2x + y = 0
10 10 4x – 3y = –23
{
{
{
–3x + y = 6 2x + 3y = 7
161 161
Lección 14: Problemas que se resuelven por sistemas de ecuaciones lineales A continuación veremos algunos problemas que se resuelven con si st emas de ecuaciones y algu al gunos nos ej emplos empl os de cómo plant pl antear ear los l os sistemas para poder resolver fácilmente los problemas. Juan Juan pagó pagó $50 por 3 caj as de t aquetes aquet es y 5 caj as de clavos cl avos.. Pedro edr o compró 5 caj as de t aquetes aquet es y 7 de clavos y tuvo t uvo que pagar pagar $74. ¿Cuál es el preci pr ecioo de cada caj caj a de taquet t aquetes es y de cada caj caj a de clavos cl avos??
162 162
Para plantear la solución de este problema, identificamos en primer lugar aquello sobre lo que se nos pregunta, es decir: ¿qué debemos averiguar? En este caso debemos encontrar dos cant cantii dades dades,, el precio pr ecio de una caj caj a de taq t aquet uetes es y el el precio de una caj caj a de clavos. clavos. En segundo lugar debemos identificar las relaciones (o condiciones) que sobre esas dos cantidades se plantean en el problema. Si llamamos x al precio de una caja de taquetes y llamamos y al pr p r ecio eci o de una caj a de clavos, clavos, podemos expres expr esar ar lo que gastó Juan a través de una ecuación y lo que gastó Pedro por medio de otra. Para ello analicemos la información que nos presenta el problema y veamos cómo expresar algebraicamente las relaciones. Inf or maci ón
Expr esi ón al gebr ai ca
Pr ecio de una caj caj a de taqu t aquet etes es.. Pr ecio eci o de 3 caj as de taquet t aquetes es.. Pr ecio eci o de 5 caj as de taquet t aquetes es.. Pr ecio eci o de una caja caj a de clavos cl avos.. Pr ecio eci o de 5 caj as de clavos cl avos.. Pr ecio eci o de 7 caj as de clavos cl avos..
x pesos 3x pesos 5x pesos
Importe de la compra de Juan. Importe de la compra de Pedro.
3x + 5y = 50 50 5x + 7y = 74 74
y pesos 3y pesos 5y pesos
Ahora ya podemos plant pl antear ear y r esol esolver ver el si si st ema:
{
3x + 5x +
5y = 7y =
50 74
163 163
Como los coeficientes son todos positivos, sabemos que debemos restar para eliminar una de las incógnitas y como todos son números distintos debemos efectuar primero las multiplicaciones convenientes. Por ejemplo si queremos eliminar l a x , multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por 5 y los dos miembros de la segunda por 3 (si se quiere eliminar l a y , se debe multiplicar la primera ecuación por 7 y la segunda por por 5). -
15x + 25y = 15x + 21y = 0 + 4y =
250 222 28
28
Entonces y = 4 =7, ahora ahora sust ust i t uimos y por ese valor en la primera ecuación y obtenemos el valor de x (t ambién ambién podríamos podríamos haber sustituido en la segunda ecuación): 3x + 3x +
5y = 5( 7) = 3x = x =
50 50 50 – 35 15 =5 3
Podemos entonces decir que la caja de taquetes cuesta $5 y la de clavos cuesta $7. Enriqueta es costurera y quiere aprovechar una oferta de botones. El paquete de botones blancos cuesta $15 y el de botones negros $10. Si con $180.00 compró en total 14 paquetes, ¿cuánto gastó en botones blancos?
164 164
Veremos dos maneras de plantear un sistema de ecuaciones para este problema. Según la primera manera, podemos pensar que para responder a la pregunta planteada nos puede ser útil conocer cuántos paquetes de botones blancos compró Enriqueta. Llamemos entonces x a la cantidad de paquetes de botones blancos blancos y, equi equi val val ent ent ement emente, e, l l amemo amemoss y a la cantidad de paquetes de botones negros. Podemos entonces expresar algebraicamente la cantidad total de paquetes comprados, el costo de los paquetes de cada color y el total gastado, lo que nos permitirá encontrar el dato que necesitamos para resolver resolver el problema.
165 165
Inf or maci ón
Expr esi ón al gebr ai ca
Cantidad de paquetes de botones blancos. Cantidad pagada por los botones blancos.
x 15x
Cantidad de paquetes de botones negros. Cantidad pagada por los botones negros.
y 10y
Total de paquetes comprados. Importe de la compra.
x + y = 14 14 15x + 10 10y = 180
Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones:
{
+ y = 14 14 15x + 10 10y = 180 x
Como a nosotros nos interesa conocer x , igualaremos los coeficientes de y . Es decir, para eliminar la y , mult mult iplica ipli camo moss la primera ecuación por 10. -
10x + 10 y = 15x + 10y = – 5x + 0 =
Ent onces despej despej amos l a x : –5 –5x = – 40 x = –40 ÷ (–5) x = 8
166 166
140 180 – 40
Ahora ya sabemos que Enriqueta compró 8 paquetes de botones blancos. Pero lo que queríamos averiguar es cuánto gastó en ellos. Como conocemos el costo de cada uno de esos paquet paquetes es,, t enemos enemos:: 8 x 15 = 120 Hemos llegado a la solución: podemos afirmar que Enriqueta gastó $120 en botones blancos. Observe que según esta manera de resolver el problema, la solución no está dada directamente por el valor de x , sino que necesitábamos ese valor para poder realizar la última operación que nos dio el resultado. Planteemos ahora la segunda manera de resolver el problema. Aquí nos podemos plantear que, como lo que necesitamos es saber cuánto gastó Enriqueta en botones blancos, esa cantidad es la que podemos llamar x , y, equiva equivall ent ent emen ementt e, llamamos y a la cantidad que gastó en botones negros. Ahora la información que tenemos se puede traducir en la siguiente tabla:
Inf or maci ón
Expr esi ón al gebr ai ca
Cantidad pagada por los botones blancos. Cantidad de paquetes de botones blancos.
x x
15
Cantidad pagada por los botones negros. Cantidad de paquetes de botones negros. Importe de la compra. Total de paquetes comprados.
y y
10
x + y = 180 x
15
+
y
10
= 14
167 167
Esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
{
x
+
y
=
180
x
+
y
=
14 14
15
10
Para eliminar la y ahora multiplicamos por 10 la segunda ecuación:
-
x
+ +
y y
= =
180 140
x –
10x 15
+0 =
40
10x 15
Y entonces ent onces despej despej amos l a x : 10x 15
=
40
15x - 10x 15
=
40
5x 15
=
40
3
=
40
x
=
40 x 3 = 120
x –
x
Ahora hemos llegado directamente a la solución: como en esta segunda manera la x representaba lo que Enriqueta gastó en botones blancos, tenemos que gastó $120.
168 168
Observe que las dos maneras dieron lugar a distintos sistemas de ecuaciones, pero que con ambas llegamos al mismo resultado. Y observe también que en ninguna de las dos tuvimos necesidad de encontrar el valor de y , que representaba en el primer caso la cantidad de paquetes de botones negros y en el segundo el dinero pagado por ellos; si lo hubiéramos deseado, también lo hubiéramo hubiér amoss podido calcular. cal cular. Veamos ahora un par de ej emplos empl os más de cómo plant pl antear ear un sistema de ecuaciones: Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 3 y 4 toneladas, se hicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de madera. mader a. ¿Cúantos úant os viaj vi aj es r ealizó eali zó cada camión?
169 169
Si llamamos x a la cantidad de viajes que realizó el primer camión y y a la canti cant i dad de vi vi ajes aj es que reali zó el el segundo egundo camión, camión, podemos expresar algebraicamente la información que nos presenta el problema: Inf or maci ón
Expr esi ón al gebr ai ca
Cantidad de viajes del primer camión. Madera transportada por el primer camión. Canti ant i dad de viaj es del segundo egundo cami camión. ón. Madera transportada por el segundo camión. Total de madera transportada. Total ot al de viaj vi ajes es..
x 3x y
4y 3x + 4y = 80 80 x + y = 23 23
El sistema de ecuaciones es entonces:
{
3x + 4y x + y
= =
80 23
Usted puede resolver el sistema y encontrar los valores de x y de y , para concluir que el primer camión realizó 12 viajes y el segundo 11. La edad de Camila y de su mamá suman 54 años y dentro de 9 años la edad de la mamá será el doble de la edad de Camil ami l a. ¿Cuántos uánt os años t i ene cada una?
170 170
Si llamamos x a la edad de Camila y llamamos y a la edad de l a mamá, mamá, podemos podemos expresar expresar algebraicamente algebraicament e las r elacione elaci oness entr ent r e las edades de ambas que nos presenta el problema. Inf or maci ón Edad actual de Camila. Edad de Camila dentro de nueve años. Edad actual de la mamá. Edad de la mamá de Camila dentro de nueve años. Suma de las edades actuales. Relación entre las edades dentro de nueve años.
Expr esi ón al gebr ai ca x x + 9 y y + 9
54 x + y = 54 y = 2x
171 171
Ahora ya podemos plant pl antear ear el sist sist ema de ecuaciones ecuaciones que ust ust ed puede res r esolver olver::
{
x 2x
+ –
y y
= =
54 0
Seguramente llegó a la conclusión de que Camila tiene 15 años y su mamá 39.
Ejercicio 1 Plantee el sistema que permite resolver cada uno de los siguientes problemas y resuélvalo. a) Jovi Jovi t a y Fel Felii pe hacen hacen pal pal etas et as de chocolat chocolat e par par a vender vender.. La materia prima necesaria para hacer una paleta grande les cuesta $5.00 y para una paleta chica $3.00. Si disponen de $570.00 y quieren hacer 150 paletas, ¿cuántas paletas de cada tamaño podrán hacer? b) El cost cost o de l as entr ent r adas a una f unción unci ón de t ít eres er es es de $30 para los adultos y $20 para los niños. Si el sábado pasado asistieron 248 personas y se recaudaron $5930, ¿cuántos cuánt os adult adul t os y cuántos cuánt os niños ni ños asi asi st i eron er on a la funci f unción ón el sábado? c) Mart ar t a y sus sus amigos ami gos pagar pagar on $109 $109 por 5 hamburgues hambur guesas as y 7 refrescos. Si la semana anterior consumieron 8 hamburguesas y 11 refrescos y la cuenta cuent a fue f ue de $173 $173,, ¿cuánto cuánt o cuest cuest a cada hamburguesa y cada refresco?
172 172
d) El perímetro de un rectángulo es de 40 metros. Si se duplica el largo del rectángulo y se aumenta en 6 metros el ancho, ancho, el perímet per ímet r o queda en 76 76 metr met r os. os. ¿Cuáles son son las medidas originales del rectángulo y cuáles las medidas del r ectáng ect ángul uloo agr agr andado andado?? e) Don Jos Joséé y don Ti Ti burcio burci o fueron f ueron a comprar comprar semil l as para sembrar. Don José compró cuatro sacos de maíz y tres sacos acos de fr f r i j ol, y don Ti Ti burcio burci o compr compr ó tr t r es sacos acos de maíz y dos de fr f r i j ol. La carga de don Jos Joséé fue f ue de 480 480 kil ki l ogr ogr amos amos y la de don Tiburcio de 340. ¿Cuánto pesaban cada saco de maíz y cada saco de frijol? f ) Encuent r e dos números númer os t ales al es que su su suma suma sea sea 40 40 y su dif di f erencia erenci a sea sea 14. 14. g) En una f ábrica ábri ca tit i enen máqui máqui nas nas de ti t i po A y máqui máqui nas de tipo B. La semana pasada se dio mantenimiento a 5 máquinas de tipo A y a 4 del tipo B por un costo de $3405. La semana anterior se pagó $3135 por dar mantenimiento a 3 máquinas de t i po A y 5 de t i po B. B. ¿Cuál es el cost cost o de mantenimiento de las máquinas de cada tipo? h) Las edades edades de Pedr Pedroo y de su papá suman suman 44 años. años. Hace 4 años la edad de Pedro era la octava parte de la de su papá. ¿Cuántos años tiene cada uno?
173 173
Unidad III
Geometría
175 175
Lección 15: Escalas Cuando necesi necesi t amos hacer un dibuj di buj o que se se vea como como la l a reali real i dad que queremos representar pero más pequeño o más grande hacemos un dibujo a escala, escala , que es un dibujo proporcional a la realidad en longitudes. En el siguiente dibujo se representa una muñeca plana de cartón que se usa para exhibir ropa de niña en un aparador; la muñeca mide en la posición en la que está 90 cm de alto y 60 cm de ancho. Un centímetro en el dibujo representa 10 cm de la realidad y decimos que está hecho en una escala de 1 a 10. Esto también se suele escribir así: la escala es de 1:10.
Longitudes en el dibujo en cm 0 1 2 3 4 5
6
0 10 20 30 40 50 60 Longitudes en la realidad en cm
176 176
Del dibuj di buj o podemos podemos r ecuperar l as medidas medi das de la l a muñeca. muñeca. Pongamos algunas de ellas en una tabla: di buj o
muñeca
Ancho de la cintura
2 cm
20 cm
Altura del tronco
3 cm
30 cm
Ancho de las piernas
1 cm
10 cm
Largo de la falda
1.5 cm
15 cm
Largo del pie
1.1 cm
11 cm
Observe que todas las medidas que pusimos en la tabla están en la misma proporción: 2 20
=
3 30
=
1 10
=
1.5 15
=
1.1 11
Aquí la constante de proporcionalidad es un décimo, es decir decir 1 . Cad Cadaa l ong ongi t ud del dibuj o es l a décima décima part part e de l a 10 longitud original; o bien, cada longitud en la muñeca es de diez veces la correspondiente longitud en el dibujo. Para hacer el dibuj di buj o se se consi consi deran der an las l as medidas medi das que conocemos de la muñeca, las relaciones entre sus partes, su posi posi ción ci ón y la escala escala a la que la l a quer quer emos dibuj di buj ar. Aquí, por ejemplo, se consideró para dibujar el brazo que vemos a la derecha que el codo está 10 cm arriba del nivel de la cintura y que del codo al hombro hay 25 cm, de esta manera en el dibujo el codo queda 1 cm arriba del nivel de la cintura y del codo al hombro hay 2.5 cm.
177 177
Podemos volver vol ver a dibuj di buj ar la l a misma misma muñeca con otr ot r a es escala cal a si queremos quer emos un dibuj di buj o más grande o más chico. chi co. Haga Hagamos mos una reducción del dibujo que tenemos: para ello tomamos una escala más chica, es decir una constante de proporcionalidad que sea un número menor que un décimo; probemos con un vigésimo, es decir con una escala de 1 a 20. Con esta escala cada medida en el dibuj o debe ser ser una vigési vigési ma par par t e de la l a medida de la muñeca. muñeca. Consideremos las mismas medidas que antes y calculemos las que tendrá el dibujo dividiendo cada medida de la muñeca entre 20: muñeca
di buj o
Ancho de la cintura
20 cm
1 cm
Altura del tronco
30 cm
1.5 cm
Ancho de las piernas
10 cm
0.5 cm
Largo de la falda
15 cm
0.75 cm
Largo del pie
11 cm
0.55 cm
Observe que también aquí se tiene la misma proporción entre las medidas del dibujo y las de la muñeca y la constante de proporcionalidad es un vigésimo, es decir la escala que escogimos: 1 20
0.5 0.75 0.55 = 1.5 = = 15 = 11 10 30
También podemos calcular de antemano la altura que debe tener el codo con respecto al nivel de la cintura y el largo del codo al hombro: hombr o: 10 = 1 = 0.5 0. 5 y 25 = 5 = 1.25 1. 25.. Podemos ahora 20
178 178
2
20
4
dibuj di buj ar la l a muñeca muñeca con con est est a nueva nueva escala escala eli gi endo el punto punt o de partida que queramos:
Las escalas son muy importantes y se usan mucho porque se necesita representar muchas cosas que no caben en un papel. Se hacen dibujos a escala como el croquis de un departamento o de un barrio, planos de ciudades, mapas de países, planos de aparatos, instructivos para armar muebles, etc. Lo fundamental en un dibuj di buj o a escal escalaa es que se se conser conservan van las l as propi pr opiedades edades y características geométricas de los objetos en el dibujo: las longitudes son proporcionales y los ángulos son los mismos. También ambi én se se pueden hacer dibuj di buj os que no est est én a escal escalaa pero no son tan útiles. A continuación le mostramos dos dibujos de la misma muñeca que presentamos antes pero que no están a escala:
179 179
Obser bserve ve cómo en est est os dibuj di buj os cambian cambi an las l as f ormas or mas de los l os objetos, por ejemplo la forma de la falda o la de la cabeza. Lo que ha cambiado es que son distintos los ángulos en estas figuras. A partir de ellas no podemos saber cuáles son las medidas de la muñeca original, porque no hay proporcionalidad.
Ejercicio 1 a) Cons Consii dere der e el dibuj di buj o de la l a muñeca en escal escalaa de 1 a 10 para llenar la tabla siguiente:
180 180
di buj o
muñeca
Ancho total del modelo. Altura de la muñeca. Boca de la manga. Ancho del cuello. Distancia entre los ojos. b) Consi onsi dere der e el dibuj di buj o de la l a muñeca en escal escalaa de 1 a 20 20 para llenar la tabla siguiente: di buj o
muñeca
Ancho total del modelo. Altura de la muñeca. Boca de la manga. Ancho del cuello. Di st anci anci a ent ent r e los l os oj os. os.
Ejercicio 2 El siguiente croquis corresponde a un departamento. Está en una escala de 1:100.
181 181
Recámara
Recámara
Simbología Paredes normales
Baño
Paredes ar edes baj as (t ipo bal bal cón) cón)
Sala-comedor Ventanas Cocina Baño
Puertas Clóset
Estudio
a) ¿Cuánto uánt o mide de largo l argo el depart depar t amento? ament o? ¿Y de ancho? ancho? ¿Qué área ti t i ene en tot t otal? al? b) ¿Qué dimensi dimensi ones ones t i ene l a cocina? c) ¿Qué dimens di mensii ones t i ene cada uno de los dos dos baños? baños? d) ¿Qué dimens di mensii ones t i enen los clós cl óset et s? ¿Qué área tiene cada uno de ellos? e) ¿Cuál de d e las l as dos r ecámaras ecámar as t i ene mayor área? ár ea? ¿Qué área tiene? f ) ¿Qué l ongi ongi t ud t otal ot al ti t i enen l as ventana vent anass del depar depar t ament amento? o? (Nota: la puerta que da a la terraza y la que da a la azotehuela se consideran como ventanas también, por ser de vidrio.) g) Si se desea desea poner poner cont r a una una par par ed un muebl mueblee que mide 4 m de largo, ¿cabe en el departamento? Si sí, ¿dónde?
182 182
Lección 16: Lectura de dibujos a escala En est est a lección lecci ón le pres pr esent entamo amoss var var i os dibuj di buj os a dif erent es escalas para que practique su lectura y se familiarice con diversas maneras de decir cuál es la escala utilizada. En el si guient e dibuj o se se present presentaa una una par par t e de la Repúbli República ca Mexicana en una escala de 1 a 10 000 000, es decir en una escala de 1:10 000 000. Esto significa que un centímetro del dibujo representa 10 000 000 de centímetros de la realidad y como 10 000 000 cm = 100 Km, tenemos que un centímetro del dibujo representa 100 Km de la realidad. Los datos que podemos obtener con una escala como ésta son aproximaciones un poco burdas pues aquí un milímetro representa 10 Km. a) b) c)
d) Escala 0
100
200
400 Km
g)
e)
f)
183 183
Observe bserve cómo se se marcó la l a escala escala en el dibuj o, est est a forma f orma de hacerlo es usual en mapas y planos, también es usual marcar las longitudes que nos interesan con flechas de dos puntas.
Ejercicio 1 Complete la siguiente tabla con las longitudes marcadas en el mapa anterior y los cálculos que necesite hacer para encontrar las medidas reales: mapa
realidad en cm en km
a) b) c) d) e) f) g)
Ejercicio 2 En la figura de la página siguiente el malabarista pequeño es una reproducción a escala del grande. A partir del dibujo llene la tabla y conteste las preguntas.
184 184
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j )
¿Cuál uál es l a alt ura tot t otal al del malabari malabari st a grande grande?? ¿Cuál es l a alt ura tot t otal al del malaba mal abarr i st a pequeño? pequeño? ¿Cuál es el ancho t otal ot al del malabari mal abarisst a grande? ¿Cuál es el ancho t otal ot al del malaba mal abarr i st a pequeño? ¿Cuánto uánt o mide de ancho l a cader caderaa del malabari mal abarisst a gr gr ande? ¿Cuánto uánt o mide mi de de ancho l a cadera del malabari mal abarisst a pequeño? ¿Cuánto uánt o mide de alt al t o l a cabeza del malabari mal abarisst a grande? ¿Cuánto uánt o mide de al al t o la cabeza cabeza del malabari mal abarisst a pequeño? ¿Cuánto uánt o mide mi de de ancho l a cabeza del malabari mal abarisst a grande? ¿Cuánt uántoo mide mi de de ancho ancho la l a cabeza cabeza del malabaris malabari st a pequeño?
185 185
k) ¿A qué escal escalaa est est á dibuj di buj ado el malabar m alabarii st a pequeño? l ) Un cent cent ímetro ímet ro en en el dibuj o peque pequeño ño ¿a cuánt cuántos os centímet cent ímetrr os del dibuj di buj o grande corres corr espond ponde? e?
Ejercicio 3 En la siguiente página le presentamos un plano de la ciudad de San Cristóbal de las Casas en una escala de 1:10 000. Encuentre aproximaciones a las siguientes medidas: a) ¿Cuánto uánt o hay hay que cami caminar nar para par a ir de la l a es esquina qui na nor noroes oestt e del Zócalo a Bellas Artes? b) ¿Qué l ongi ongi t ud tit i ene l a avenida avenida Insurgent Insurgentes es - Gr Gr al. Ut r i l l a? c) ¿Qué longi longi t ud tit i ene l a calle call e de Guatema uat emall a? d) ¿Cuál es el ancho, en Km. Km.,, de San San Cr Cr i st óbal? óbal ? e) ¿Cuál es el el l argo, en Km. Km.,, de San San Cr Cr i st óbal? f ) ¿Cuáles uál es son l as dimens di mensii ones del exex -convent o de Santo Domingo?
186 186
San Cristóbal de las Casas
Cost Cost a Rica Barrio de mexicanos
Nicaragua Tonalá
Ex-Convento de Sant o Domingo
Chiapa de Corzo Venezuela
Comitán
Tapachula Escuadron 201
28 de agost agost o
Pri mero de mar zo
Flavio A. Paniagua
5 de frebero
Ma. Adeli Adeli na Flores
Real de Guadalupe
Guadalupe Victoria Banamex zocalo
Francisco I. Madero
Diego de Mazariegos
Dr. José José F. Flores
Francisco León
Templo y Arco del Carmen
Bellas Artes
Julio M. Corzo
Fuent uent e: Sna Jolobi Jolobill , S. C. Or ganizaci anización ón de tej t ej edoras de los Altos de Chiapas.
187 187
Lección 17: Semejanza En las l as dos l ecciones ecci ones anter ant erii ores or es hemos t r abajado abaj ado con con fif i guras ur as a escala y hemos hecho algunas observaciones sobre ellas, hemos visto que en las reproducciones a escala las longitudes de las partes que se corresponden son proporcionales y que los ángulos se conservan, es decir que son de la misma medida. Si tenemos dos polígonos que cumplen estas características se dice que son semejantes. semejantes. Hemos vis vi st o cómo leer l eer dibuj di buj os a escal escalaa pero no nos hemos deteni det enido do mucho a ver ver cómo se se tr t r azan. azan. Cuando vemos un objet obj eto, o, a veces más grande que nosotros mismos, al interior de nuestros oj os se forma f orma una i magen magen semej semejan antt e a él, y una si t uaci uación ón muy muy parecida pareci da a la que ocur ocur r e con los r ayos ayos de luz l uz en nues nuestt r os oj os nos permi per mitt e tr t r azar azar f i guras ur as semej antes ant es.. Veamos cómo es es est est o. Trace una recta m y en ella un segmento AB. Sobre la misma recta trace otro segmento del mismo tamaño a partir de B y en dirección contraria a A; llame C al otro extremo de ese segmento. Trace una recta k que cruce a m en A. Trace sobre k dos segmentos AD y DE del mismo tamaño. Trace las rectas BD y CE. Observe que se han formado dos triángulos, BAD y CAE. Estos dos triángulos tienen relaciones interesantes:
188 188
C
m
B A
D
E k
• CA mide el doble que BA BA: est est o es por por que así así lo lo construimos; • AE mide el dobl dobl e que AD: est est o es porque as así lo lo construimos; • También CE CE mide mi de el el doble que BD; est est o no no lo cons const r uimos así, pero usted puede verificar con su compás que así es; • El áng ángulo del vért ice A es part part e de l os dos t ri áng ángulos, ulos, y por lo tanto ese ángulo es igual en los dos triángulos; • Los Los ángul ángulos os de los l os vért i ces B y C son iguales porque por que BD BD y CE son paralelas; • Los ángul ángulos os de los l os vért i ces D y E son igual igual es por l a misma misma razón. En resumen, tenemos dos triángulos con lados proporcionales y ángul ángulos os i guales, ent onces son dos t r i ángul ángulos os semej antes ant es,, o bien, bi en, dos triángulos a escala uno del otro. Podemos expresar esta semej anza anza de l as si gui gui entes ent es maneras: maneras:
•
El triángulo chico está a una escala de 1 a 2 del grande, o, lo que es lo mismo: • Un cent centíme ímett ro del chico repres represen entt a dos dos cent centíme ímett ros del del grande,
189 189
• la cons constt ante nt e de proporci proporcion onaali dad dad es un med medio, io, • el t rián ri ánggulo chico chico es una una reduc reducción ción del del grande. rande.
•
El triángulo grande está a una escala de 2 a 1 del chico, o, lo que es lo mismo: • un cent centíme ímett ro del del grande grande represen representt a medio medio cen centt ímet ímet ro del del chico, • la cons constt ante nt e de propo proporci rcion onaali dad dad es dos dos, • el t riá ri ángulo ngulo gran grande de es es una una ampliación ampliación del del chico. chico.
Dibuje ahora un triángulo FGH, elija un punto P fuera del triángulo, y trace desde P las semi-rectas r , s , t que pasan por F, G y H. t En r t race un segmento FI del mismo K tamaño que PF, en s H G trace un segmento GJ del mismo tamaño que P F I PG, en t t race un segmento HK del mismo t amaño amaño que PH, t odos ell el l os en direcci dir ección ón cont contrr aria ari a a P.
s
J
Una con segmentos los puntos I, J y K. Ahora ha for f ormado mado un t r i ángul ánguloo IJK semej ante ant e a FG FGH, en escala 2 a 1, y el triángulo IJK es una ampliación de FGH. Este método para trazar figuras semejantes o a escala se puede usar con otras figuras y con otras constantes de proporcionalidad. Veamos cómo reducir un trapecio a uno en escala de 1 a 3 con respecto al grande.
190 190
r
Trace un trapecio ABCD, elija un punto Q fuera del trapecio, y desde Q trace las semi-rectas a, b, c, d que pasen pasen res r espect pectii vament vamentee por A, B, C y D.
Q H
G
E d
F C
D
A
a c Mida los segmentos QA, QB, QC, QD, calcule la tercera parte de cada uno de ellos y márquela en la recta correspondiente a partir de Q; llame E, F, G y H a los puntos que obtiene.
B b
Una con segmentos y en ese orden los puntos E, F, G y H. El polígono EFGH es una reducción en una escala de 1 a 3 del trapecio inicial.
Ejercicio 1 a) Tr ace un hexág hexágono ono r egul egular ar y dibuj e una una ampli ampl i ación en una escala de 2 a 1 y una reducción en una escala de 1 a 2. b) Trace un un tr t r iángulo iángulo equil equil átero át ero y dibuj e una una ampli ampliac ación ión en una escala de 1 a 3.
191 191
Unidad IV
Estadística y probabilidad
193 193
Lección 18: Utilidad de la estadística Siempre que hay interés por conocer cierta información, esa información necesariamente se refiere a personas, animales, instituciones, cosas, etc. Supongamos que alguien nos dice que le interesa tener información sobre la "edad" , seguramente le preguntaríamos sobre la edad de quiénes o de qué cosas tiene interés en conocer; podría ser la edad de personas en cuyo caso interesaría saber de cuáles, o podría ser la edad de zonas arqueológicas, de edificios de alguna ciudad, o de los animales de un zool zool ógi ógi co, et c. De hecho hecho no t i ene senti ent i do r eferi ef erirr se a una característica de interés sin decir en quiénes o en qué cosas nos interesa observar esa característica. Algunas veces podemos conocer la información referente a todos t odos l os suj etos et os o cosas cosas específ específii cas que nos i nt eres er esen, en, por ej emplo empl o cada cada diez años años, cuando se reali real i za el censo censo general general de población, se conocen varias características de t odos y cada uno de los habitantes del país. En este caso se dice que se tiene la información de toda la población. población . Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones es muy difícil o imposible conocer la información de todos y cada uno de l os suj et os que nos i nt eres er esan, an, en est est os casos casos se obser observa va la la
194 194
una par par t e de la poblaci poblaci ón ; característica de interés sólo en una lo que se obtiene de este modo es una muestra. muestra.
Por ej emplo, empl o, durant dur antee las l as elecci el ecciones ones se hacen l os sondeos de salida de casilla, que permiten estimar con buenas aproximaciones los resultados de la elección aún mucho antes del conteo de todos los votos. Estos sondeos consisten en preguntarles a algunas personas que acaban de votar por cuál candidato votaron; la información que se registra en cada caso no es cómo votó cada individuo, sino cuántas personas votaron por cada candidato. Cuando se se hace el sondeo se se t r abaja abaj a con una muest muest r a, ya que sólo se conoce el voto de algunos de los votantes. Cuando se tiene el recuento de todos los votos se trabaja con toda la población. En ambos casos nos podemos referir a poblaciones y muest muest r as dis di st i ntas nt as.. Por ej emplo si si habl hablamo amoss de res r esult ult ados ados a nivel odos l os vot an antt es del país , y nacional nos referimos al voto de t odos esa es nuestra población; pero si nos interesan los resultados de una región, un estado, una ciudad o un municipio, entonces las odos l os vot an antt es de esa esa reg r egii ón, poblaciones respectivas serán t odos de es ese est est ado, ado, ciudad o muni muni cipi o ; y las muestras consideradas para predecir resultados deberán tomarse en cada caso de una parte de esas poblaciones. Además de permitir la organización de la información, la estadística aporta técnicas que nos indican cómo seleccionar una parte de la población que nos interesa, para obtener una muestra a partir de la cual se puedan sacar ciertas conclusiones sobre la población.
195 195
Hasta aquí nos hemos referido a dos aspectos importantes: a una (o var var i as) as) característ caract erístii ca(s) ca(s) de int i nterés erés y a los l os suj etos et os o cosas cosas sobre los que se quiere conocer esa característica. La forma de conocer conocer aquell o que nos nos i nteres nt eresaa es var var i ada, ada, por ej emplo si si nos interesara conocer la estatura de los niños que entran a primer grado en una escuela, usaríamos una cinta métrica o una regla; si nos interesara conocer la opinión de las personas sobre un cierto suceso, se lo preguntaríamos, si nos interesara saber qué tipos de árboles hay en un parque podríamos ir y observar cada uno de ellos. Aunque la forma de llevar a cabo la obtención de la información sea distinta, nos referimos a este proceso como "proceso de medición de la variable" y a los resultados obtenidos en ese proceso como a "los valores de la variable". Cada vez que midiéramos la estatura de un niño, obtendríamos un valor de la variable estatura ; cada vez que una una persona persona nos dij di j era er a lo que piensa sobre el suceso en cuestión, obtendríamos un valor de l a va varia ri able opinión ; cada vez que conociéramos a qué clase pertenece un árbol, obtendríamos un valor de la variable clase de árbol . Cuando hemos recolectado toda la información, tenemos colecciones de datos que pueden ser pequeñas o muy grandes. En los cursos de primero y segundo grado usted vio algunas formas estadísticas de ordenar y de describir la información de modo que pueda visualizarse fácilmente, en tablas y gráficas. A modo de repaso vamos a revisar las gráficas que usted vio en cursos cursos ant ant eriores eri ores.. Para ell o veremos un ejemplo: ej emplo: Un asesor de matemáticas que apoyó a un grupo de estudiantes inscritos en el programa de secundaria
196 196
del INEA, aplicó un examen sobre los contenidos de los cursos de modo que cada alumno pudiera valorar su preparación para el examen formal. En la siguiente tabla se presenta la información correspondiente a los alumnos que estaban preparando el examen de tercer grado. En ella aparecen los datos registrados al considerar las siguientes variables: • Tiempo en minutos que tardó cada alumno en resolver el examen; • Sexo de cada alumno: 0 para femenino y 1 para masculino; • Opinión de cada estudiante respecto al nivel de dificultad del examen: 1 fácil, 2 regular y 3 difícil; • Evaluación que hizo el asesor del examen de cada alumno: MB (muy bien), B (bien), R (regular) y M (malo).
197 197
Estudiante
t i empo
sexo
opi ni ón
eval uaci ón
1
105
1
1
R
2
72
1
3
MB
3
85
1
3
B
4
96
0
1
B
5
75
0
2
R
6
95
1
2
R
7
65
0
2
MB
8
70
0
3
B
9
80
1
1
B
10
65
1
3
B
11
80
0
2
R
12
95
1
2
MB
13
106
0
2
B
14
80
0
3
B
15
95
1
2
M
16
110
1
3
R
17
95
1
2
MB
18
85
1
1
B
19
100
1
2
B
20
75
0
1
MB
198 198
Con los datos de la tabla podemos construir tabla de frecuencias y frecuencias relativas, y distintas gráficas. Veamos por ejemplo la tabla y gráfica de la variable opinión . Tabla de frecuencias y frecuencias relativas Frecuencia relativa
Val or
Fr ecuenci a
1 (fácil)
5
5 20
= 0. 25 = 25%
2 (regular)
9
9 20
= 0. 45 = 45%
3 (difícil)
6
6 20
= 0. 30 = 30%
Tot al
20
20 20
= 1 = 100%
La gráfica de barras de la derecha muestra la distribución de las frecuencias correspondientes a los valores de la variable opinión. Usted vio cómo realizar este Frecuencia 12 tipo de gráficas en la lección 20 10 del primer curso y en la lección 8 6 20 del segundo curso de esta 4 serie. Recuerde que para trazar 2 Opinión 0 una gráfica de barras se 1 2 3 consi consi deran der an dos ej es. es. En el horizontal se colocan los valores de la variable y en el vertical los valores de las frecuencias. A partir de cada valor de la variable levantamos una barra cuya altura coincida con el valor de la frecuencia correspondiente.
199 199
Si en lugar de la distribución de frecuencias queremos una gráfica que muestre la relación entre los valores y sus frecuencias relativas correspondientes, procedemos de forma similar sólo que ahora en el eje vertical ubicaremos los valores de frecuencias relativas, cuidando la escala. Frecuencia relativa Este tipo de gráficas nos permite 60% compa comparar rar entre ent re sí inf i nformac ormaciones iones 55% 50% provenientes de conjuntos de 45% datos con diferente cantidad 40% 35% de datos cada uno: la frecuencia 30% relativa o porcentaje da una 25% medida común del total. Usted 20% 15% vio cómo realizar este tipo de 10% gráficas en la lección 20 del 5% Opinión 0% segundo curso. 1
30%
2
3
Otra forma de presentar la misma información es usando una gráfica circular o de pastel. Aquí se 25% considera el círculo como el total y se hace una repartición proporcional (como 3 1 las estudiadas en la lección 6 de este libro) de los 360º del círculo en sectores 2 proporcionales a la frecuencia o a la frecuencia relativa. Este tipo de gráficas se estudiaron en la lección 20 del primer curso. 45%
Sea cual sea la manera de presentar gráficamente la información, lo más importante de una gráfica es su aspecto visual: debe permitir apreciar de un solo golpe de mirada los aspect aspectos os más r elevantes elevant es de los l os datos dat os.. Por ej emplo, en cual cual quiera quier a
200 200
de estas tres gráficas podemos apreciar que hubo más alumnos que tuvieron la opinión "2" que alumnos con las otras opiniones. Es decir, la opinión más frecuente entre estos alumnos fue que el nivel de dificultad examen fue "regular". En general las gráficas no permiten conocer con precisión los números a los que hacen referencia; por ejemplo, al ver la gráfica de barras de frecuencias relativas podemos tener la duda de si la frecuencia relativa correspondiente a la opinión 3 (difícil) es 30%exactamente o si es un por por centaj cent ajee cercano a 30% 30%; en est est e sent sentii do es mej or ut i l i zar zar una tabla de frecuencias relativas, porque ahí sí aparecen los números con precisión. Pero lo que se gana con una gráfica es la imagen global, que permite apreciar, aunque sea sin precisión, las relaciones más importantes entre las frecuencias o las frecuencias relativas correspondientes a cada valor de la variable.
Ejercicio 1 Construya la gráfica de barras de frecuencias para los datos de las siguientes variables y mencione algún aspecto relevante de las relaciones entre esas frecuencias que se pueda percibir al ver la gráfica: a) Sexo b) Evaluación
Ejercicio 2 Construya las gráficas de barras de frecuencias relativas para los datos de las siguientes variables y diga algún aspecto relevante
201 201
de las relaciones entre esas frecuencias relativas que se pueda percibir al ver la gráfica: a) Sexo b) Evaluación
Ejercicio 3 Construya las gráficas circulares de las frecuencias relativas de las siguientes variables, y refiérase a algún aspecto relevante de las relaciones entre esas frecuencias relativas que se pueda percibir al ver la gráfica: a) Sexo b) Evaluación
202 202
Lección 19: Histogramas En las l as l ecciones anteri ant eriores ores repres repr esent entamo amoss gr gr áfi áf i cament camentee alg al gunos unos conj untos unt os de val val ores, ya sea sea con con gr gr áfi áf i cas de barras barr as o con gráfi gráf i cas circulares. Sin embargo con las variables numéricas continuas, estas formas de representación no son útiles, debido al tipo de valores que se presentan. Al hablar de variables numéricas continuas nos referimos a aquellas que pueden tener entre sus valores cualquier número racional, por ejemplo si midiéramos en metros la estatura de personas adultas podríamos encontrar valores como 1.58, 1.47, 1.60, 1.45, 1.72, 1.80, etc.; algo similar ocurre con el peso , en este caso los valores que podríamos encontrar en personas adultas al medir su peso en kilogramos serían como 60, 57.300, 50, 50, 83. 83. 500, 500, et c. Cuando en la práctica tenemos que hacer mediciones de esta naturaleza nos encontramos que la gran mayoría de ellas son distintas y las mediciones iguales se repiten muy pocas veces, entonces la frecuencia con que aparece cada valor es 1 o un número muy pequeño. Además, como los valores varían mucho y debemos respetar la unidad de medida, necesitaríamos una gráfica muy larga y de barritas muy pequeñas que sería más difícil de leer que la misma colección de datos. Veamos un ejemplo:
203 203
En un grupo grup o de 30 j óvenes de 18 a 20 años de una coloni col oniaa del Distrito Federal, se midió la estatura y se obtuvieron los datos que se presentan a continuación, ordenados de menor a mayor: 1. 43 1. 49 1. 52 1. 55 1. 57
204 204
1. 58 1. 59 1. 63 1. 63 1. 63
1. 64 1. 65 1. 65 1. 68 1. 69
1. 70 1. 70 1. 71 1. 72 1. 73
1. 73 1. 73 1. 74 1. 75 1. 75
1. 76 1. 77 1. 82 1. 83 1. 84
Al calcular las frecuencias podemos observar que los únicos valores que tienen frecuencias distintas de 1 son: 1.63 y 1.73, que tienen frecuencias iguales a 3, y 1.65, 1.70 y 1.75, que tienen frecuencias iguales a 2. La gráfica de barras correspondiente a estos datos es la que se muestra aquí. Frecuencia 4 3 2 1 0
Est atur a
Considerando que la finalidad de una gráfica es permi permitt irno ir noss visua visuall izar, izar, f ácilme cil ment nte, e, el conj conj unt unt o de dat dat os y percibir las relaciones entre valores y frecuencias, es claro que esta gráfica no cumple con su objetivo. Aún puede ser más complicado tratar de leer una gráfica circular que contenga estos datos: 1.74
Para poder construir una gráfica que realmente aporte información, se agrupan los valores en intervalos, esto es consi consi deramos der amos j untos unt os l os valores valor es que pertenecen a un mismo intervalo. Por ejemplo, si nos referimos a los valores que son mayores que 1.40 y menores o iguales 1.50, estamos hablando de los dos primeros valores de la lista.
205 205
Veamos como construir una tabla de frecuencias para valores agrupados en intervalos (que también se denominan clases). Primero tenemos que decidir cuáles serán los intervalos, es decir, dónde empieza y termina cada uno de ellos; aquí hay que tener en cuenta lo siguiente: • Todos odos l os int ervalos deben deben t ener ener l a misma misma l ong ongit ud, est est o es es las distancias entre los extremos de los intervalos deben ser las mismas en todos. • Cada ada val val or debe debe pert pert enecer enecer sólo sólo a un int ervalo. Es Est o significa que ningún dato debe quedar fuera de la agrupación y que ningún dato puede pertenecer a dos intervalos distintos. Para que nos quede cómodo nosotros vamos a agrupar los datos de diez en diez centímetros: de 1.40 a 1.50, de 1.50 a 1.60, 1.60 a 1.70, y así sucesivamente. Como las expresiones anteriores no nos nos dicen di cen dónde ubicar ubi car algu al gunos nos números númer os,, como por por ej emplo empl o el 1.70; recurrimos a los intervalos semiabiertos que usted estudió en la lección 3 de este libro. Vamos a usar intervalos abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha, por ejemplo el intervalo (1.40, 1.50]; como ya sabemos en este intervalo están todos los números mayores que 1.40 y menores o iguales a 1.50. De los datos que nosotros tenemos los que pertenecen al intervalo anterior son 1.43 y 1.49; sabemos también que 1.70 está dentro del intervalo (1.60, 1.70]. Para calcular la frecuencia de cada intervalo contamos cuántos datos de los que tenemos pertenecen a ese intervalo. A continuación reproducimos la lista original de datos, pero ahora ponemos en columnas distintas los datos que pertenecen a distintos intervalos:
206 206
1. 43 1. 49 1. 52 1. 55 1. 57
1. 52 1. 55 1. 57 1. 58 1. 59
1. 63 1. 63 1. 63 1. 64 1. 65 1. 65 1. 68 1. 69 1. 70 1. 70
1. 71 1. 72 1. 73 1. 73 1. 73 1. 74 1. 75 1. 75 1. 76 1. 77
1. 82 1. 83 1. 84
Veamos entonces cómo queda nuestra tabla de frecuencias: Int Int ervalo ervalo o clase
Frecuencia
Frecuencia relativa
( 1. 40, 1. 50]
2
0. 07 = 7%
( 1. 50, 1. 60]
5
0. 17 = 17%
( 1. 60, 1. 70]
10
0. 33 = 33%
( 1. 70, 1. 80]
10
0. 33 = 33%
( 1. 80, 1. 90]
3
0. 10 = 10%
Tot al es
30
1 = 100%
A partir de la tabla de frecuencias construimos la siguiente gráfica:
207 207
Una gráfica como 12 ésta recibe el nombre de 10 histograma. histograma. Puede observar 8 6 que una vez establecidas las 4 clases (o intervalos) el proceso 2 0 de construcción es similar al 1. 40 1. 50 1. 60 1. 70 1. 80 1. 90 Est atur a de las gráficas de barras. La dif erencia erencia en el el dibujo dibuj o est est á en la posición de las barras: en el histograma las barras están pegadas, cada una comienza donde acaba la anterior, mientras que en las quehabíamos elaborado anteriormente las barras van separadas unas de otras. Frecuencia
Con una gráfica de esta naturaleza es claro que perdemos la información de sobre los valores individuales, ya no sabemos cuáles fueron los valores obtenidos al medir la estatura de cada j oven, oven, pero ganamo anamoss en inf i nformación ormación globa gl oball . Por ej emplo, una simple ojeada a la gráfica basta para detectar que la gran mayor mayor ía de l os j óvenes óvenes midier mi dieron on ent entrr e 1.60 m y 1. 1. 80 m. Así como se construyó el histograma de frecuencias, también puede construirse el histograma de frecuencias relativas.
Frecuencia recuencia r elati va 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0 1. 40
208 208
1. 50
1. 60
1. 70
1. 80
1. 90 Est atur a
Ejercicio 1 Considere los datos de la variable tiempo de la tabla de datos de la lección anterior y complete la siguiente tabla: cl ase
Fr ecuenci a
Frecuencia relativa
(60, 70] 70] (70, 80] 80] (80, 90] 90] (90, 100] (100, 110] Totales
Ejercicio 2 A part part ir de la ta t abla ant anterior, erior, cons constt ruya: ruya: a) Un his hi st ogr ogr ama de f r ecuencias. ecuencias. b) Un histograma de frecuencias relativas.
209 209
Ejercicio 3 Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de t r abaj abaj o. Con los datos dat os obtenidos obt enidos se cons const r uyó la t abla que se muestra a continuación. cl ase
Fr ecuenci a
Frecuencia relativa
[ 45, 55)
4
0. 03
[ 55, 65)
16
0. 11
[ 65, 75)
36
0. 24
[ 75, 85)
60
0. 40
[ 85, 95)
31
0. 21
[ 95, 105)
0
0
[ 105, 115)
3
0. 02
Tot al es
150
1
Con los datos de la tabla construya: a) Un histograma de frecuencias. b) Un histograma de frecuencias relativas.
210 210
Ejercicio 4 Con base en la información de la tabla anterior conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos uánt os obrer obr eros os f ueron uer on consul consultt ados? ados? b) ¿Cuántos uánt os obrer obr eros os emplean empl ean entr ent r e 65 y 75 minut mi nutos os en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? c) ¿Cuántos uánt os obrer obr eros os emplean empl ean ent ent r e 55 y 75 minut mi nutos os en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? d) ¿Cuántos obreros emplean entre 95 y 105 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? e) ¿Cuántos uánt os obrer obr eros os emplean empl ean más de 85 minut mi nut os en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? f ) ¿Cuántos uánt os obrer obr eros os emplean empl ean menos de 75 75 minut mi nut os en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
211 211
Lección 20: Medidas descriptivas de un conjunto de datos Cuando se recolecta información generalmente se pretende sacar de ella algún tipo de conclusión, a través de uno o varios indicadores que permitan resumir o dar un panorama general de lo que la información aporta. Hasta ahora hemos visto cómo describir un conjunto de datos a través de tablas y de gráficas, pero muchas veces se hace a través de números o de valores de la variable que se estudia. A estas maneras de resumir la información se les llama medidas descriptivas. descriptivas. Entre las medidas descriptivas se encuentran la moda, que es el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, y la media, que es el promed pr omedii o de los l os datos dat os;; t ambién se se usan usan mucho mucho los porcent porcentaj ajes es para referirse a algunas informaciones estadísticas. Ahora revisaremos estas nociones. Para ver cómo se obtiene la moda, consideremos la gráfica de frecuencias de los valores correspondientes a la variables opinión , presentada en la lección 18 de este libro. Recuerde que opinión , es la opinión de cada estudiante con respecto al nivel de dificultad del examen y sus valores son 1 = fácil, 2 = regular y 3 = difícil.
212 212
En esta gráfica vemos que el valor de mayor frecuencia es 2 = r egular, egular, es decir decir,, el valor que más más se repite en el conjunto de datos es 2 = regular. Decimos que "regular" es la moda de este conj conj unto unt o de dat dat os. os.
12 10 8
Frecuencia
6 4 2 0
1
2
3 Opinión
Llamamos moda de un conjunto de datos al valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia, el que se repite más veces. veces. Hay conjunt conj untos os de datos dat os que t i enen más de una moda. moda. Est a medi medi da des descri be al conj unto unt o de dat dat os en la si si guient e manera: al decir que la moda es "regular" estamos diciendo que la opini opi nión ón que más pers per sonas atr at r aj o, en la que más se concent concent r aron las apreciaciones, en la que más personas están de acuerdo, es que el examen es de una dificultad regular. ¡Cuidado! No fue la mayoría la que opinó eso, porque el total de estudiantes es 20 y sólo 9 tienen esa opinión: para que fueran mayoría se necesitaría que fueran más de la mitad, o sea 11 ó más. Observe que aquí no podemos hablar de promedio porque necesitaríamos poder sumar y en la variable opinión los números son sólo etiquetas o códigos para no escribir completas las pal pal abras f ácil, cil , regular regular y dif ícil. Para t rabaj rabaj ar con con la media o promedio se necesita que la medición de la característica de i nterés nt erés sea numéri numérica. ca. Veamos eamos ahora ahora un ej emplo del cálculo cálcul o del promedio. Toño se está entrenando para correr los 100 metros planos en una competencia latinoamericana; esta semana hizo los si guient es t i empos: empos:
213 213
Lunes: Lunes: Mart ar t es: es: Mi ércol ér coles es:: Jueves: Jueves: Vi ernes er nes::
12.5 12. 5 seg, 15.3 15. 3 seg, 10. 10. 8 seg, eg, 11.4 11. 4 seg, y 10.1 10. 1 seg.
El tiempo promedio de esta semana en el entrenamiento de Toño fue de: 12.5 + 15.3 + 10.8 + 11.4 + 10.1 12.02 seg = 5
214 214
Ningún día de la semana hizo Toño un tiempo de 12.02 seg. en la carrera, pero el promedio es la suma del tiempo de cada día entre el número de días y lo que nos dice es que si todos los días hubiera hecho el mismo tiempo en la carrera ese tiempo hubiera sido de 12.02 seg. La media o promed pr omedii o hace hace una dis di st r i bución parej a y se se usa usa mucho para comparar los datos individuales o por grupos con lo que se tendría si la distribución fuera equitativa. Veamos más ejemplos. Los sueldos mensuales en una oficina son los siguientes: el director gana $15 000, los dos jefes de departamento $11 000, los tres analistas de cada departamento $7 000, l a secr secret etari ariaa $2 $2 500 500 y el mensaj mensaj ero er o $1 $1 500 500.. El sueldo uel do promedio en esa oficina es: 15000 + 2(11000)0 + 6(7000) + 2500 + 1500 = 7545.45 11 Observe que en esa oficina 2 personas ganan muy por encima del sueldo promedio, 6 personas ganan un poco por encima del sueldo uel do promedi pr omedioo y 3 personas personas ganan ganan muy por debaj o del sueldo uel do promedio. Lo que nos dice el promedio es que si con el mismo presupuesto todos ganaran lo mismo, cada uno ganaría $7545.45. Otra situación muy frecuente de uso de promedio se da cuando se quiere describir la velocidad con la que un móvil recorrió cierta distancia. Cuando decimos que José viajó a Guadalaj uadalaj ara a un promedio de 90 Km Km por hora est est o no si si gnif i ca que cada hora haya recorrido exactamente 90 Km, sino que se divide el total de kilómetros recorridos entre el total del tiempo
215 215
en horas y se obtiene la velocidad constante a la que se tendría que haber viajado para hacer el viaje en ese tiempo: esto permite describir globalmente la velocidad de traslado. Al final del ciclo escolar un maestro debe concluir si un alumno tiene o no los elementos necesarios para cursar el siguiente grado; para llegar a esa conclusión cuenta con la información que fue registrando de uno u otro modo a lo largo del curso. Es decir que el resultado final de un curso es para cada alumno una síntesis de los resultados que fue teniendo a lo largo del ciclo escolar. Muchas veces el resultado final es el promedio de las calificaciones obtenidas, aunque éstas no hayan sido todas iguales. Los Los porcentajes son especialmente útiles para describir un conj unto unt o de datos dat os.. Regr egr esemos esemos un poco a la opinión sobre el examen de la que hablamos habl amos antes ant es.. Ya vimos que en ese ese conj unto unt o de datos la moda es "regular", puesto que 9 estudiantes opinaron que la dificultad del examen era regular y ninguna otra opinión atr at r aj o más est est udiant udi antes es que 9; pero per o esos esos 9 ¿son pocos o muchos? muchos? Eso depende del total de estudiantes; en este ejemplo tenemos que son 9 de 20 estudiantes, y lo podemos expresar como 9 20
= 0.45 0. 45 =
45 100
. Con est est as operaciones operaci ones est est amos dici di ciendo, endo, de
varias maneras cuántos estudiantes y de un total de cuántos tuvieron esa opinión. Según la primera manera lo estamos diciendo como son, o sea nueve vigésimas partes del total. Según la segunda, estamos considerando el total como una unidad, y entonces tenemos son 45 centésimos de esa unidad. Según la tercera, estamos diciendo que si el total fueran cien, 45 de ellos tendrían esa opinión. Esta última expresión también
216 216
se puede leer como 45 de cada 100 o como 45 por ciento, es decir 45%. En todos t odos los casos casos est est amos dici di ciendo endo que que son son un poco menos m enos de la mit ad. Los porcentaj porcent ajes es,, f r ecuencias ecuencias r elat el atii vas vas o proporcione proporci oness nos permiten describir la distribución de un conjunto de datos r elat el atii vizando vi zando al t otal. ot al. Así, 9 de 20, o 45% 45%, es mucho más más que 9 de 200, que serían serí an 4.5% 4. 5%, y que 9 de 2000, que serían serí an 0.45% 0. 45%. Veamos ahora cómo estas tres medidas descriptivas nos permiten tener una idea global de un conjunto de datos y compa comparar rarll o con con otro. ot ro. Dos maestros de estadística del sistema escolarizado de la Universidad Pedagógica realizaron una encuesta en los grupos que atienden del primer curso para conocer mejor a esta población. Entre lo que les interesaba de los alumnos estaba el ambiente familiar en relación a los estudios. Sobre esto se preguntó el número de años de escolaridad de ambos padres y del hermano mayor; a partir de esta información se construyó una variable escolari da dad d f amil i ar (calculada como la media de las tres de esc precedentes). Se preguntó también sobre la ocupación de los ust o por por l as f i est est as de cada estudiante. Los datos padres y el gust de dos de los grupos se presentan en las tablas de las siguientes páginas. En estas tablas se usaron los siguientes códigos: Ocupación de la madre (y del padre): 1 = Gerente o, dueña(o) de empresa 2 = Empleada(o) 3 = Obrera(o)
217 217
A continuación se presentan las tablas de frecuencias y frecuencias relativas de la ocupación de la madre en ambos grupos y las respectivas gráficas de pastel. Ocupación de la madre. Grupo A. Ocupación
Frecuencia
Frecuencia Relativa
2
2
0. 11 = 11% Ama de casa 78%
4
14
Trabaj a por su su cuenta 6%
0. 78 = 78%
Finada 6%
6
1
0. 06 = 6%
8
1
0. 06 = 6%
Tot al
18
1 = 100%
Empleada mpl eada 11%
Ocupación de la madre. Grupo B. Ocupación
Frecuencia
Frecuencia Relativa
2
5
0. 19 = 19%
4
15
0. 58 = 58%
5
1
0. 04 = 4%
6
5
0. 19 = 19%
Tot al
26
1 = 100%
220 220
Ama de casa 58%
Desempleada 4% Trabaja por su cuenta 19%
Empleada mpl eada 19%
Es pertinente hacer varias observaciones a propósito de estas tablas y gráficas. Aunque en ambos grupos la moda de la ocupación de la madre es ama de casa, esta ocupación la tiene en el grupo A el 78%de 78%de l as madres madr es mient mi entrr as que en el grupo B l a ti t i ene el 58% 58%. Esto significa que en el grupo A predominan más las amas de casa que en el grupo B. Observe que esto ocurre a pesar de que hay más amas de casa en el grupo B (son 15) que en el A (donde son sólo 14): esto es porque 14 de 18 son una proporción mucho mayor que 15 de 26.
221 221
En ambos grupos ocurren valores con frecuencia de 1: en el gr upo A una pers per sona declaró decl aró que su madre madr e t r abaja abaj a por su su cuenta cuent a y otra persona declaró que su madre es finada, mientras que en el grupo B un estudiante declaró que su madre está desempleada (lo que significa que usualmente tiene un trabajo remunerado adicionalmente a ser ama de casa). Sin embargo, en las gráficas de pastel las "rebanadas" correspondientes a estos valores son distintas: son más grandes las "rebanadas" correspondientes a los valores con frecuencia igual a 1 en el grupo A que en el grupo B. Esto se debe a que, como el total de los estudiantes en el grupo A es de 18 y en el grupo B es de 26, una persona en el grupo A es un 6%, mient mi ent r as que en en el grupo grupo B una pers per sona es sólo ól o un 4%. En las tablas se han redondeado las frecuencias relativas a dos decimales por lo que en la tabla del grupo A aparece en los renglones de las ocupaciones 6 y 8 una frecuencia relativa de 0.06 0. 06 = 6%. En En r eali eal i dad 18 , y 0.06 0. 06 es sólo ól o un r edondeo de 0.055555.....; algo análogo ocurre en los demás renglones. Así, l a suma suma de las f r ecuencias ecuencias r elat i vas y los l os porcentaj porcent ajes es que ahí ahí se reg r egii st r an son son 1.01 1. 01 = 101% 101%; si se hubier hubi eraa redondea r edondeado do a t r es decimal deci males es se t endría endr ía 0.056 0. 056 = 56%y 56%y l a suma suma ser sería ía 1.002 1. 002 = 100. 100.2% 2%; como estas diferencias se deben al redondeo de los decimales no se reg r egii st r a en la l a tabl t ablaa una suma suma dis di st i nta nt a de 1 = 100% 100%.
Ejercicio 1 a) Haga aga l a t abla de f r ecuencias ecuencias y fr f r ecuencias ecuencias r elat el atii vas de ocupación del padre para los dos grupos. b) Haga aga la gr gr áfi ca de bar bar r as de por por centaj cent ajes es de ocupación del padre para los dos grupos.
222 222
c) ¿Qué porcent por cent aj e de l os padres padr es del grupo grup o A es campesino? d) ¿De cuánt os de los l os padres padr es del grupo B desconocemos desconocemos la ocupación?
Ejercicio 2 Haga la gráfica de pastel de la distribución de porcentajes de gust ust o por por l as f i est est as de los dos grupos. Para ello, haga la tabla de frecuencias, frecuencias relativas y porcentajes y calcule el ángulo para la gráfica. Anote en la gráfica cada categoría, el áng ángulo corres corr espo pondient ndientee y el porcent porcent aje. aj e.
223 223
Ejercicio 3 a) Encuentr ncuent r e la moda de años años de escol escolari aridad dad de l a madre, madr e, del padre y del hermano mayor de los estudiantes de ambos grupos. b) Compare l as modas de años de escol escolari aridad dad de la l a madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes del grupo A y ordénelas de menor a mayor. c) Encuent ncuentrr e el promedio pr omedio de años años de escolar escolarii dad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes de ambos grupos. d) Compare los l os promedi pr omedios os de años años de escol escolari aridad dad de la madre, del padre y del hermano mayor de los estudiantes del grupo B y ordénelos de menor a mayor.
Ejercicio 4 a) Encuent ncuentrr e la moda de las escolar escolarii dades dades f amili amil i ares de ambos grupos y compárelas. b) Encuent ncuentrr e el el promedio pr omedio de de las escolar escolarii dades dades f amili amil i ares de ambos grupos y compárelos.
224 224
Lección 21: Probabilidad En el curso anterior usted estudió ciertos conceptos básicos de probabilidad y cómo calcular algunos valores de probabilidad a partir del conteo de los casos favorables y los casos posibles. Esta forma de calcular probabilidades se conoce con el nombre de Probabilidad clásica y es muy útil cuando todos los valores elementales tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Sin embargo, hay fenómenos aleatorios cuyos eventos elementales no son equiprobables, es decir en los que no todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, sino que es más fácil que ocurr ocurran an unos unos event event os que otr ot r os. os. Por ej emplo si si t i r amos amos un dado cargado, una cara va a quedar más fácilmente hacia arriba que las otras. Cuando se tiene un fenómeno aleatorio, una forma de valorar la probabilidad de algún evento o de verificar si todos los eventos elementales son equiprobables, es a través de la experimentación. Esto significa que se observa muchísimas veces el fenómeno y de acuerdo a los resultados que se obtienen se estima el valor de la probabilidad de los eventos, esto es, se obtiene un valor aproximado de la probabilidad. Nosotros sabemos que un valor de probabilidad adquiere sentido si pensamos en lo que ocurriría con ese fenómeno a la
225 225
larga ; por
ejemplo decimos que la probabilidad de obtener "águi "águill a" al al t i r ar una moneda es 50% 50%, est est o si si gnif ni f i ca que en una una serie muy larga de tiros aproximadamente la mitad de los resultados serán águila, pero no debemos pensar que esta proporción de águilas se dé en 10, 20, 50 o 100 tiros. Considerando lo anterior, es claro que para poder hacer una estimación de probabilidades basándonos en los resultados obtenidos, sea necesario repetir muchísimas veces el experimento. La mejor forma de entender lo que estamos diciendo es haciéndolo, por lo que le propondremos que realice un experimento. Pero antes es necesario hacer algunas consideraciones sobre la forma de registrar lo que se va observando. Supongamos que queremos estimar la probabilidad de obtener 5, al arrojar un dado. Si el dado estuviera muy bien hecho, las seis caras tendrían la misma probabilidad de quedar hacia arriba y podríamos usar la probabilidad clásica; así l l egaríamos egaríamos a l a conclus concl usii ón de que el valor buscado buscado es 1 . 6
226 226
Esto significa que a la larga aproximadamente la sexta parte de las veces que tiremos el dado, obtendríamos 5 en la cara superior. Para registrar los resultados usaremos una tabla como la siguiente:
Número de tiros en total (n)
Tiros
Cantidad de Cantidad de caras con el caras con el número 5 en número 5 en los últimos 10 todos los tiros tiros r ealiza eali zados dos ( f )
Proporción de 5 en todos los tiros realizados
( ) f n
1 al 10
10
a
a
a 10
11 al 20
20
b
a+b
a+b 20
20 al 30
30
c
a+b+c
a+b+c 30
La manera de llenar la tabla es la siguiente: • En la prime pri mera ra col col umna umna de la ta t abla regis registt ramos ramos los t iros ir os de 10 en 10; • en la seg segun unda da ano anott amos amos l a cant cantidad idad de tit i ros que l l evamos evamos,, contando los que acabamos de hacer y los anteriores; • l a t ercera col col umna umna anot anotam amos os l a can cantt idad de caras caras con con el el número 5 obtenidas en la última decena de tiros; • en l a cuart cuart a l a cant cantii dad dad de caras caras con el número número 5 que que llevamos hasta ese momento; • en la quint quint a columna columna anot anotam amos os l a proporción proporción de caras caras con el número 5 obtenidas hasta ese momento.
227 227
Observe que la cantidad de caras con el número 5 es la frecuencia, f , con la que se presentó este resultado en un número, al que podemos llamar n , de observaciones realizadas; es decir que la proporción es lo mismo que la frecuencia relativa. Aún sin hacer el experimento podemos afirmar que al avanzar en el número de tiros, las diferencias entre las frecuencias relativas de dos renglones seguidos, se irán haciendo cada vez más pequeñas. Cuando los cambios entre las frecuencias relativas de tres o más renglones consecutivos sean muy pequeños, podemos decir que hemos encontrado un valor aproximado de la probabilidad de ocurrencia del 5, es decir, de la probabilidad con la que queda hacia arriba la cara del dado que tiene el número 5. Entonces: Si se se realiza reali za un experi mento ment o aleator aleator io n veces veces, con n suficientemente grande, y la frecuencia del evento A es f, podemos afirmar que la probabilidad del evento A, es aproximadamente igual al valor de la frecuencia relativa de A. Esto lo escribimos así: P (A) ≈
f n
A esta forma de calcular la probabilidad se la denomina Pr obabil obabil idad fr f r ecuencial ecuencial . Con esta definición nosotros podemos estimar a partir de la frecuencia relativa, la probabilidad de que se presenten determinados valores de una variable cualquiera. Por ej emplo, empl o, supongamos upongamos que nos i nter nt eres esara ara saber saber cuál es la probabilidad de que un programa de televisión determinado
228 228
resulte muy interesante para los jóvenes de cierta ciudad y que al consultarlos se hayan obtenido los valores que se presentan en la siguiente tabla: Val or es
Fr ecuenci a
Nada i nt er esant e.
14
Poco i nt er esant e.
32
Int er esant e
75
Bast ant e i nt er esant e
65
Muy i nt er esant e
14
Tot al es
200
Frecuencia relativa
Con los valores obtenidos podemos decir que la probabilidad de que un j oven oven de esa esa ciudad encuent encuentrr e muy int i nteres eresan antt e ese ese prog pr ogrr ama de t elevi el evissi ón es aproximadamen aproxi madamentt e
14 = 200
0.07 0. 07 o 7%.
Est o nos permi per mitt e esper esperar ar que en grupo grande de j óvenes de esa esa ciudad, 7 de cada 100 consideren el programa muy interesante.
Ejercicio 1 Para realizar este experimento debe conseguir un dado. a) Para es est imar l a pr pr obab obabilil idad de obtene obt enerr un 5 al al t irar ir ar su su dado, realice 200 tiros y registre los resultados en una tabla como se mostró. (En lugar de tirar 200 veces el dado
229 229
puede conseguir 10 dados iguales, arrojarlos todos juntos y considerar que el número de cincos que salieron corresponden cada vez a 10 tiros). b) ¿Puede consi consi derar der ar que el dado est est á bien bi en hecho?
Ejercicio 2 Complete la tabla del ejemplo acerca del programa de televisión y responda las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es l a probabil probabi l i dad de que un j oven de esa esa ciudad encuentre poco interesante ese programa de televisión? b) ¿Cuál es l a probabil probabi l i dad de que un j oven de esa esa ciudad encuent encuentrr e bast bast ant ant e i nteres nt eresan antt e ese ese prog pr ogrr ama de televisión? c) ¿Cuál es l a probabil probabi l i dad de que un j oven de esa esa ciudad encuentre ese programa de televisión por lo menos interesante? d) ¿Qué es más probabl pr obable, e, que un j oven de esa esa ciudad ciud ad encuentre ese programa poco interesante o que lo encue encuent ntrr e bas bast ant ant e int i nteres eresan antt e?
230 230
231 231
Respuestas a l os e j e r c i c i os
233 233
Lecci ecci ón 1
Ejercicio 3 √5 ≈ 2.23606; √2 ≈ 1.41421;
Ejercicio 1 a) El número de cifras decimales puede variar de calculadora a calculadora. √5 = 2.2360679 2.236067977 77;; √7 = 2.645751 2.645751311 311;; √2 = 1.414213 1.414213562 562;; √3 = 1.732050 1.73205080 808. 8.
3 4 3 7 4 7
= 0.75;
8 9
Ejercicio 4 a) 0. 0. 357; b) 11. 111; c)89 c)897. 468; d) 3.146; 3.146; e) 7.000; 7.000; f ) 235.654 235.654;; g) 1000 10009. 9.90 900; 0; h) 0.19 0. 190. 0. Son iguales los incisos b), e), f) y g). Son distintos los incisos a), c), d) y h).
b) 3.141592654. c)
√7 ≈ 2.64575; √3 ≈ 1.73205.
5 = 6
= 0.8;
= 0.42 0. 4285 8571 71;;
1 = 9
= 0.57 0. 5714 1428; 28;
6 = 15
0.83;
0.1; 0. 1; 0.4. 0. 4.
Ejercicio 5 √5 ≈ 2.23607; √7 ≈ 2.64575; √2 ≈ 1.41421; √3 ≈ 1.73205. Sólo difiere la primera.
Ejercicio 2 a) 0.356; b) 11.111; c) 897.467; d) 3.145; e) 7.000; f) 235.654; g) 10009.900; h) 0.189.
234 234
Lecci ecci ón 2 Ejercicio 1 a) 1.25678 x 10 4; b) 3.2561902 x 10 2; c) 2.31452308 x 10;
d) 1.1024 x 10 6; e) 3.1164 x 10; f) 3.648912 x 106; g) 7.324561987 x 10 9; h) 1.999 x 10 3.
Ejercicio 2 a) 1001; 1001; c) 5421.023; 5421.023; e) 63000; 63000; g) 580; 580;
b) 790000 79000000; 00; d) 300. 300.00 005; 5; f ) 1010101 101010100; 00; h) 23. 23. 3.
Ejercicio 5 –1; a) 5.772 x 10 –1 b) 48.45 x 102 ; –5; c) 10.478 x 10 –5 d) 26.413 x 10 13; e) 0.6 x 10 2; f) 2.6 x 102; –8 g) 2.5 x 10 –8 h) 3.1.
Ejercicio 6 Ejercicio 3 –1; a) 1.24 x 10 –1 –3 c) 5 x 10 –3 ; –2; e) 5.64 x 10 –2 –1; g) 8.75 x 10 –1
–4; b) 6.75 .75 x 10 –4 –5 d) 1. 1 x 10 –5 ; –3; f) 9.74 .742 x 10 –3 –2. h) 4.9 4.911 x 10 –2
a) 3884.4; b) 547.12; c) 546.88; d) 0; e) -0.46 -0. 4693 93106 106;; f) 1100.0011.
Ejercicio 4 a) 0.00063; b) 0.00000312; c) 0.000 0. 000000 000000 000182 182;; d) 0.000000000000003; e) 0.000005221; f ) 0.00000 0.000003; 3; g) 0.04001; h) 66.87.
Lecci ecci ón 3 Ejercicio 1 a) 2.098 > 1.567; b) –π < –1.9; c) –3.467 < 3.45; d) 12.97 > 12.098;
235 235
Ejercicio 7 a)No es una tabla de variación proporcional. La relación es que mientras más días hay más células, pero no se trata de una proporcionalidad directa ya que por ejemplo en 4 días no hay el doble de células que en 2 días, porque 16 no es el doble de 4. También puede verse que los cocientes de la cantidad de células entre los respectivos días no son constantes. b) Sí es una tabla de propo pr oporci rcion onali alida dadd directa. La constante de proporcionali propor cionali dad es 20. 20. c) Sí es una tabla de proporcionalidad directa. La constante de proporcionalidad es 4. d) No es una tabla de variación proporcional. De 40 a 80 km/ km/ h el rendimien rendimientt o
aumenta con la velocidad, pero no de manera proporcional (por ejemplo, aunque 80 es el doble de 40, 17.5 no es el doble de 9.8), y de 80 80 km/ km/ h en adelant adelantee el rendimiento disminuye con la velocidad, pero no de manera proporcional inversa (por ejemplo, 80 x 17.5 = 1400, mientras que 140 x 11.1 = 1554). e) Sí es una tabla de variación proporcional, y es de variación proporcional inversa. A mayor largo, menor ancho, y en cualquier columna el producto del largo por el ancho es 12, que es la superficie que ocupa el lote de cajas. f) No es una tabla de variación proporcional. A mayor al titud menor cantidad de polvo de hornear, pero no de manera proporcional inversa (por ejemplo, 0 x 2 = 0, mientras que 4000 x 1 = 4000).
237 237
Precio reci o del artículo
70
84
90
35%de 24.50 24.50 29.40 9.40 31.50 31.50 descuento
Ejercicio 9 En 12.83%aproximadamente.
Cantidad a 45.50 45.50 54.60 4.60 58.50 8.50 pagar
Precio del artículo
95
100
120
35%de 33. 25 35 descuento
42
Cantidad a 61. 75 65 pagar
78
Lecci ecci ón 6 Ejercicio 1 p = $240 y j = $400
Ejercicio 2 Ejercicio 7 a) El porcentaje es el mismo por que es la misma calidad, no importa el tamaño del frasco. b)45%de 250, o sea 112.5 g.
Ejercicio 8 a)8.40; b)El artículo cuesta $30; con todo e IVA cuesta $34.50; c) El art ículo si si n IVA IVA cuest cuest a $623; se pagó $93.45 de IVA.
a) Grado
1°
2°
3°
Total
Grupos
6
5
4
15
Long Longitit ud de la 36 m 30 m 24 m parcela
90 m
b)La constante de proporcionalidad es 6 y significa la longitud de las parcelas correspondientes a cada uno de los 15 grupos. Se multiplica por el número de grupos de cada grado.
239 239
Ejercicio 3
Ejercicio 3
Erandi recibe 16, Emilio 12 y Julio 8.
a)Mide 23.8 m de fondo. b)Cada b)Cada nar nar anj a cuest cuest a 50 centavos o sea $0.50. c)La televisión costaba $2999. d)13%.
Ejercicio 4 Lupe tiene 40 años.
Lecc Leccii ón 8 Lecci ecci ón 7 Ejercicio 1 a) 29.65; b) 3.32; c) 3.77; d) 40.30.
Ejercicio 2 a) 14.67, b) aproximadamente 2.67; c) 991.252; d) 5 37 = 5.52 5. 5238 38095 09524 24.. . . ; e) –5.7964; f) 100 =5.555... 18
240 240
Ejercicio 1 a) 42.875; b) 4; c) 1; d) 1.28; 81 e) 256 = 0.316 0. 316406 40625; 25; f) –1.061208; g) 784; h) 0.125; i) 0.000000000001; j ) 81 49 =1.653 =1.6531; 1; 49 1 k) - 5.4 = -0.18 -0. 185; 5; l ) 0.1 0. 16; m) 0.512; 0.512; n) –1.953125; o) 25 = 1.562 1. 5625; 5; 16
p) 1000000000; q) 1; r) 1; s) 17.64; t ) - 32 = –0.131 0. 131687 687.. 243
Ejercicio 2 a) 10 3; b) 21 = 2; 2; c) 1280 = 1; 1; 1 2 d) (-34 ( -34)) -2 = - 34 = e) 5 12; f) (–4) 6 = 46; g) (3x )7; h) z 6; 1 8 –8 – 8 i ) w = w ; j ) (–2 (–2h )0 = 1; 1; k) a 30; l ) u 30.
( ) ( 341 )
( )
Ejercicio 3 a) 8000; b) 10000; c) 113 = 1331; d) (–2) 4 = 16; e) 49; f) –125 + (–64) = –189; g) 5.29; h) –32;
2
;
i) 1000000, j ) 08 = 0; 0; k) 62 z 2 = 36 36 z 2; l ) y 3· z 3; m) c 7 ÷ d 7; n) g 8; o) r 4· s 4· t 4; p) 25 x 2y 2; q) 216 a 3b 3; –36; r ) k –36 s) v 8 ÷ u 12; t ) ( p + q )2: ésta es la única manera de expresar el inciso t).
Lecc Leccii ón 9 Ejercicio 1 a) es un bi bi nomio; sus t érminos érmi nos son 67d y 12.4ed ; b) es un polinomio; sus abc c y 4; términos son a , ab , ab c) es un monomio; d) es un trinomio; sus términos son t , e y f ; e) es un polinomio; sus términos son 78 s , 12r , 41u , 34v y 87; f ) es un binomio; bi nomio; sus sus t érminos érmi nos son –5 h y 5h.
241 241
+ 36 36 y 4 1 h)- 5 x 3 + x 2 + 2 x – 3 i ) 4q – – 2d + 8 j ) 5 er t +10e 3 –26 –26e 2 –16 –16r t +12 +12e + 4r 2t 2 +5e 2r t k) 10x 6 + 19 19x 5 +52x 4 +55x 3 +47x 2 +52x + 20 20 l) 72 5 - 33 3 + 114 2 - 5y4 5 y 3
Ejercicio 2 1
a) a 2 b y (– ( – 2 a 2 b ); ); b) m y 2 m ; 7 nm y 2 mn ; c) no hay térmi t érminos nos semejan emej antt es; es; d) no hay térmi t érminos nos semejan emej antt es. es.
2w z
2w z
2w z
2w z
Ejercicio 3 a) 6x – 3z + 15 4 b) 2 x – 3v – 4y – 6u +10 c) hg – – nhg – – 1 d) –12d – – 2e + 5f + 1 e) 6 a – – 2b – 4 f ) w + z – – y g) –3a – – 8b h) 8 x 3 – 60 x 2 + 150 x –12 –1255 i ) t 5 + 2 t 4 – t 3 – t 2 + 3 t + 2 j ) 0
Ejercicio 4 a) 6 x 5 y 3 b) 24 w 2 z 2 – 15 wz + 12 12w c) x 6 – 2 x 5 – 2 x 4 + 9 x 3 – 6 x 2 – 4 x + 6 d) 3a 2 + 2ab 2 – 3ab –2 –2b 3 e) g 2 – h 2 f ) 4w 2 – 12wv + 9v 2 g) 4x 4 – 20 x 3 y + 49 49x 2y 2 – 60 x
242 242
Lecci ecci ón 10 Ejercicio 1 a) y = 4 + 2x b) y + x = 3, y = 3 – x c) y = x 2 1 d) y – 12 x = 2, y = 2 + 2 x e) y = (x +1)2
Ejercicio 2 a)
x
y = 4 + 2 x
-2
4 + 2 x (- 2) = 0
-1
4 + 2 x (-1) = 2
-1 / 2
1 )=3 4 + 2 x (- / 2
0
4+2x0=4
1 / 2
4 + 2 x 1 / 2 = 5
1
4+2x1=6
2
4+2x2=8
c)
7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2
2 3 4
5
6
7
-3
x
y = x 2
-2
(-2)2 = 4
-1
(-1) 2 = 1
- 1 / 2
(- 1 / 2) = 1/ 4
0
02 = 0
/ 2
1
b) x
y = 3 - x
-2
3 - (-2) = 5
-1
3 - (-1) = 4
-1 / 2
3 - (- 1 / 2) = 7/ 2
0
3-0=3
/ 2
1 3 - / 2 = 5/ 2
1
3-1=2
2
3- 2=1
1
5 4
( / ) 1
2
2
= 1/ 4
1
12 = 1
2
22 = 4 4 3 2 1
00 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2
d)
x
y =
2 3 4
2 + 1/ 1/ 2 x
-2
2+ (-1) = 1
-1
2+ (- 1 / 2) = 3/ 2
-1 / 2
2+(- 1 / 4) = 7/ 4
0
2+0=0
1 / 2
2+1 / 4 = 9/ 4
1
2 +1/ 2 = 5/ 2
2
2+1=3
3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 -1 -2
0
1
2 3 4
-3
243 243
4
Ejercicio 3
3 2 1 0 -3
-2
0
-1
1
3
2
Pertenecen a una recta los puntos que cumplen las relaciones y = 4 + 2x , y = 3 – x y y = 2 + 12 x .
-1
Pertenecen a una curva los puntos que cumplen las relaciones y = x 2, y y = (x +1)2.
-2
e)
x
y =(x+1) 2
-2
(-1)2 = 1
-1
02 = 0
-1 / 2
(1 / 2)2 = 1/ 4
0
12 = 1
/ 2
(3 / 4)2 = 9/ 4
1
22 = 4
2
32 = 9
1
Lección 11 Ejercicio 1 b) Se puede puedenn enco encont ntrar rar muchas muchas parej par ej as de números númer os que son son solución de la ecuación. Por ejemplo, (2.3, 7.7), (0, 10), (10, 0), etcétera.
10
c) Los demás punt os quedan en la recta.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1
244 244
2 3 4
5
d) Se puede encontrar muchas parej as de números númer os que no son solución de la ecuación. Por ejemplo, (7, 8), (1, 1), (–10, –10), etcétera.
e) Los puntos cuyas coordenadas no son solución de la ecuación quedan fuera de la recta.
Ejercicio 3 a) 16 14
Ejercicio 2
12 10 8
a) –2(– 2(–1) + (–6) (–6) = 2 + ( –6) = –4; –4; –2(0) –2(0) + (-4) ( -4) = 0 + (–4) (–4) = –4; –4; –2(2) –2(2) + 0 = –4 –4 + 0 = –4; –4;
6 4 2 0 -6 -4 -2
0
2
4 6 8 10 12
8 7
b)
6 5 4
8 6
3
4
2 1 0 -4 -3 -2 -1 -1 -2
2 0
0
1
2 3 4
0 2 -8 -6 -4 -2 -2 -4
5 6
4 6 8
-6
-3 -4
-8
-5 -6 -7 -8 -9 -10 -11
–2(5) –2(5) + 6 = –10 –10 + 6 = –4 –4 b) A = (–2, (–2, –8); B = (1, –2); C = (3, 2) c) - 2(2(- 2) + (– (–8) = 4+ ( –8) = –4; –4; –2(1) –2(1) + (– ( –2) = –2 –2 + (–2)= (–2)= –4; –4; –2(3) –2(3) + 2 = –6 –6 + 2 = –4 –4
Ejercicio 4 a) 8 6 4 2 0
0 2 -8 -6 -4 -2 -2 -4
4 6 8 10 12
-6 -8
245 245
b) • x = 5 , y = 2 • x = –1 , y = –4 • x = 9 , y = 6 • x = 2 , y = –1 –1 • x =2.5 , y = –0.5 • x =3, y =0 y =-3 • x =0, • Se pueden pueden encont encontrr ar muchas otr ot r as parej as de sol soluci uciones ones..
Ejercicio 6 a) 2 x + 2y = 74 74 b) 45 40 35 30 25 20 15 10
Ejercicio 5
5
0 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -5 -10
a) 14 12 10 8 6 4 2 0
0 2 -8 -6 -4 -2 -2
4 6 8
b) 12 10 8 6 4 2 0
0 2 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 -12
246 246
0
4 6 8 10 12
c) Ust ed pud pudoo ha haber ber encontrado distintas parejas de números. Para verificar si éstas son soluciones del problema tenga en cuenta que deben estar formadas por números en los que tanto x como y sean positivos (puesto que son longitudes) y en los que x sea mayor que y puesto que son respectivamente el largo y el ancho del terreno; es decir, y debe ser mayor que 0 y menor que 18.5, y x debe ser mayor que 18.5 y
menor que 37. Para que las parej as sean sol soluci ución ón de la ecuación pero no del problema, ambos números deben sumar 37 pero deben no satisfacer las condiciones recién descritas.
b) x = –12, y = 7. 7. 8 6 4 2 0
0 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 -2 -4
4
-6 -8
Lecci ecci ón 12
c) x = 4 , y = 2. 10 8
Ejercicio 1
6 4
a) x = –2, y = 4. 4.
2 0
0 2 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8
6 4
-10
2 0
0 -4 -2 2 -2 -4
4 6 8 10
4 6 8 10 12
d) x = 1 , y = 2.
-6 -8 -10 -12 -14 -16
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0 -4 -2 2 -2 -4
4
6 8 10
-6 -8
247 247
e) No tiene solución.
12 10 8
7
6
6 5 4
4 2 0
3
0 2 -6 -4 -2 -2 -4
2 1 0
0 -4 -3 -2 -1 1 -1 -2
-6 2 3 4
4
c) x = 2 , y = –1 –1 10 8
2
4 6
6 4 2 0 -4 -2 0 2 -2 -4
Ejercicio 2
4 6 8
-6 -8 -10
a) x = –2 , y = –1 –1
d) El sistema es inconsistente: no tiene solución.
8 6 4 2 0
0 2 -6 -4 -2 -2 -4
8 4 6
-6
b) Infinitas soluciones, todos los puntos de la recta.
248 248
-8 -10 -12
f) Cada punto de la recta es solución oluci ón del si st ema. ema. 2 0 0 -6 -4 -2 -2 -4
4 6
6 4 2 0
0 2 -6 -4 -2 -2 -4 -6
4 6
e) x = –1 , y = –1 –1
• x = 3, 3, y = 1 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10. 3 + 1 = 4.
4 3 2
• x = 2, 2, y = 3 3 (2) + 4 (3) = 6 + 12 = 18. 3 (2) + 2 (3) = 6+ 6 = 12.
1 0
0 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2
2 3 4
-3 -4
• x = 0, 0, y = 3 3(0) + 4(3) = 12. 4(0) + 5 (3) = 15.
f ) x = 5 , y = 4 8
Ejercicio 2
6 4 2 0
14
0 -4 -2 2 -2 -4
13 12 11 10
4 6 8
9 8 7
Lección 13
6 5 4 3 2
Ejercicio 1 • x =
11 3
, y =
( 113 )+ 23
2
11 2 – 3 3
=
9 3
1 0
0 -2 -1 1 -1
2 3
=
22 2 + 3 3
= 3.
=
24 3
8.
2 3 4
5
Las dos rectas se cruzan en el punto (3, 1), que es la parej a sol soluci ución ón que se había había encontrado al analizar el ejemplo en la lección.
249 249
Ejercicio 3 a) x = –2, y = –1; c) x = 2, 2, y = –1 –1 e) x = –1, y = –1; f ) x = 5, 5, y = 4 En el inciso b) se tiene un sistema de infinitas soluciones. Al igualar el coeficiente de una de las incógnitas y hacer la resta quedó 0 = 0. En el inciso d) se tiene un sistema inconsistente. Al igualar uno de los coeficientes y hacer la resta se llega a una igualdad en la que cero es igual a otro número, lo cual es un r esul esultt ado absurdo. absurdo.
Ejercicio 4 a) x = –4, y = 0; b) x = 4, 4, y =6; c) x = –2, y = 4; d) x = –2, y = 5; 5 e) x = 4 , y = 7; f ) x = –1, y = 3
250 250
Lección 14 Ejercicio 1 a) Si ll amamo mamoss x a la cantidad de paletas chicas y y a la la cantidad de paletas grandes, el sistema y la solución son:
{
x + y = 150 3 x + 5 y = 570
Solución: 90 paletas chicas y 60 paletas grandes. b) Si llam l lamaamos mos x a la cantidad de adultos, y y a la cant cantidad idad de niños, tenemos:
{
x + y = 248 30 x + 20 20 y = 5930
Solución: 97 adultos y 151 niños. c) Si llamamos x al precio de una hamburguesa, y y al precio de cada refresco, tenemos:
{
5 x + 7 y = 109 8 x + 11 11y = 173
Solución: Una hamburguesa cuesta $12 y un refresco $7. d) Si llamamos x al largo y llamamos y al ancho del rectángulo original, tenemos:
{
2 x + 2 y = 40 40 2 (2 x ) + 2 (y + 6) = 76
Solución: medidas originales: 12 metros de largo y 8 metros de ancho; medidas del rectángulo agrandado: 24 metros de largo y 14 metros de ancho. e) Si llamamos x al peso de un saco de maíz, y y al peso peso de cada cada saco saco de fr f r i j ol, tenemos:
{
4 x + 3 y = 480 3 x + 2 y = 340
Solución: Cada saco de maíz pesa 60 Kg y cada saco de f rij ri j ol 80K 80Kg.
f ) Si l l amamos amamos x al mayor de los números, y y al otro otr o, tenemos:
{
x + y = 40 40 x – y = 14 14
Solución: Los números son 27 y 13. g) Si llamamos x al precio de mantenimiento de una máquina de tipo A, y y al precio de mantenimiento de una máquina de tipo B; tenemos:
{
5 x + 4 y = 3405 3 x + 5 y = 3135
Solución: el mantenimiento de las máquinas de tipo A cuesta $345 y el de las máquinas de tipo B cuesta $420. h) Si llamamos x a la edad de Pedro y y a la edad del papá, papá, t enemos enemos:
{
x + y = 44 44 x – 4 = ( y – 4)
251 251
Solución: Pedro tiene 8 años y su papá tiene 36.
Escal a 1 a 20
di bu buj o
muñeca
Ancho total del modelo
3 cm
60 cm
Altura de la muñeca
4.5 cm
90 cm
Boca de la manga
0.5 cm
10 cm
1 cm
20 cm
muñeca
Ancho del cuello Distancia entre los ojos
0.3 cm
6 cm
Lecci ecci ón 15 Ejercicio 1 a) Escal a 1 a 10
252 252
di bu buj o
b)
Ancho total del modelo
6 cm
60 cm
Alt ura de la muñeca
9 cm
90 cm
Boca de la manga
1 cm
Ancho del cuello
2 cm
20 cm
Distancia entre los ojos
0.6 cm
6 cm
Ejercicio 2 10 cm
a) 12 m de larg lar go por 8 m de ancho; el área es 96 m 2; b) 4 m por 2.5 m; c) el grande mide mi de 3 m por por 1.5 1. 5 m; el chico mide 1.5 m por 1 m; d) 2.5 m por 0.5 m; 1.25 m 2; e) la que no tiene terraza, mide 11.75 m2 (la otra tiene 10 m 2); f ) 10. 10. 5 m; m; g) sí, en la par par ed del est est udio.
Lecci ecci ón 16
Ejercicio 2
Ejercicio 1 mapa
realidad en cm en km
a)
1 cm
10000000
100
b)
2 cm
20000000
200
c)
1. 8 cm
18000000
180
d)
6. 6 cm
66000000
660
e)
1. 5 cm
15000000
150
f)
4 cm
40000000
400
g)
2. 2 cm
22000000
220
a) 9 cm; c) 7.5 cm; e) 1.6 cm; g) 2 cm;
b) 3 cm; d) 2.5 cm; f ) 0.53 cm; h) 23 cm;
i) 2 cm; cm; k) de 1:3;
j ) 23 cm; cm; l ) a 3 cm.
Ej ercicio er cicio 3 a) 550 m; b) 1630 m; c) 100 m; d) 1.35 Km; e) 1.63 Km; f ) al sur sur 110 110 m, al est est e 230 230 m, al norte 120 m, al oeste 220 m.
253 253
Lección 17 Ejercicio 1 a)
b)
254 254
b) Hay más alumnos con una evaluación de "bien" (B) que con los otros valores.
Lección 18 Las relaciones que se anotan aquí no son necesariamente las únicas que se ven en las gráficas.
Frecuencia relativa 10 8 6 4
Ejercicio 1
2
a) Hay más hombres (1) que mujeres.
0 M
R
B
MB
Evaluación
Frecuencia
Ejercicio 2
14 12 10 8 6 4 2 0
Sexo
0
a) El 60%de los l os alumnos al umnos son hombres (1) y el 40%son mujeres (0).
1 Frecuencia relativa 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0
1
Sexo
255 255
b) Casi la mitad de los alumnos tuvieron una evaluación de "bien" (B)
b) Casi la mitad del grupo obtuvo "B". 5% 25%
Frecuencia recuencia relat iva
25%
50% M 40%
R B
30% 45%
MB
20% 10% 0% M
R
B
MB
Evaluación
Lección 19 Ejercicio 1
Ejercicio 3 a) El 60%de 60%de los al umno umnoss son hombres.
Hombres 60%
256 256
Muj eres 40%
Clase
Frecuencia
Frecuencia relativa
(60, 70]
3
. 15
(70, 80]
6
. 30
(80, 90]
2
. 10
(90, 100]
6
. 30
(100, 110]
3
. 15
Tot al es
20
1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
a)
a)
Frecuencia
Frecuencia
8
70
7
60 50 40
6 5 4
30
3
20
2
10 0 45
1 0 60
70
80
90
100
110
55
65
85
95
105
115
Tiempo de transporte
Tiempo
b)
b)
Frecuencia recuencia r elati va 35%
Frecuencia recuencia relat iva 40%
30% 25% 20%
35%
15%
30% 25% 20%
10%
15%
5% 0 60
75
10% 70
80
90
100
110
Tiempo
5% 0 45
55
65
75
85
95
105
115
Ti empo de transporte
Ejercicio 4 a) 150; 150; c) 52; 52; e) 34; 34;
b) 36; 36; d) 0; f ) 56. 56.
257 257
Ocupaci cupaci ón del padre Grupo B
Lección 20
Ocupación Frecuencia
Frecuencia relativa
Ejercicio 1 2
5
0.19 = 19%
3
4
0.15 = 15%
6
5
0.19 = 19%
7
1
0.04 = 4%
8
3
0.12 = 12%
9
8
0.31 = 31%
Tot al
26
1 = 100%
a) Ocupaci cupaci ón del padre Grupo A
Ocupación Frecuencia
1
2
3
2
3
2
Frecuencia relativa 0.11 = 11%
0.17 = 17%
0.11 = 11%
5
1
0.06 = 6%
6
3
0.17 = 17%
7
1
0.06 = 6%
Ocupación del padre Grupo A. b)
% 35 30
8
1
0.06 = 6%
25 20 15
9
5
0.28 = 28%
10 5 0
Tot al
258 258
18
1 = 100%
1
2 3
4
5
6 7 8 Ocupación Ocupación
Ocupación del padre Grupo B.
Nada 6% Mucho 28%
% 35
100º
100º
30 25 20
Poco 28%
140º
15 10 Regular 39%
5 0
2 3
6 7
8 9 Ocupación
Gusto por las fiestas. Grupo B c) 6%;
d) 8.
Gusto por Frecuencia Frecuencia Ángulo las fies fi estt as relativa
Ejercicio 2
1
3
0.12 = 12%
42°
Gusto por las fiestas. Grupo A
2
5
0.19 = 19%
69°
3
11
0.42 = 42%
152°
4
7
0.27 = 27%
97°
Total
26
1 = 100%
360°
Gust ust o por Frecuencia Frecuencia Ángulo las fies fi estt as relativa 1
1
0.06 = 6%
20°
2
5
0.28 = 28%
100°
3
7
0.39 = 39%
140°
4
5
0.28 = 28%
100°
Nada 12% Mucho 27% 97º 68º
Total
18
1 = 100%
Poco 19%
360° 152º Regular 42%
259 259
Ejercicio 3 a) En el grupo A, A, l a moda de escolaridad de la madre es 6 años, la del padre es 6 años y la del hermano mayor es 12 años. En el grupo B, la moda de escolaridad de la madre es 6 años, la del padre es 9 años y la del hermano mayor es 12 años. b) En el gr gr upo A, l o más más t ípico ípi co son las madres y los padres con 6 años de escolaridad (es decir, con la primaria concluida) y los hermanos mayores con 12 años de escolar escolarii dad (es decir, con el bach bachilil l erat erat o conc concll uido). uido). Como moda, tienen tanta escolaridad las madres como los padres, y ambos tienen menos que los hermanos mayores. c) En el gr gr upo A, A, l as madres madr es tienen en promedio 5.8 años de escolaridad, los padres
260 260
6.7años y los hermanos mayores 12.6 años. En el grupo B, las madres tienen en promedio 6.9 años de escolaridad, los padres 7.1 años y los hermanos mayores 13.5 años. d) Las madres del grupo B tienen en promedio menos años de escolaridad que los padres, y éstos a su vez tienen menor escolaridad que los hermanos mayores.
Ejercicio 4 a) En el grupo gr upo A, A, l a moda es 7; en el grupo B, la moda es 10. La escolaridad familiar más típica es más alta en el grupo B que en el grupo A. b) En el grupo A, el promedio es 8.3; en el grupo B, el promedio es 9. Los alumnos del grupo B vienen de familias con mayor escolaridad que los del grupo A.
Lecci ecci ón 21 Ejercicio 1 a) Dependiendo ependi endo del dado los resultados que obtenga pueden ser distintos. Lo que puede afirmarse es que las diferencias entre las frecuencias relativas serán cada vez más pequeñas. b) Si el resultado que obtuvo en el inciso anterior es aproximado aproxi mado a 1 = 0.16 0. 167, 7, 6 puede considerar que el dado está bien hecho.
Ejercicio 2 Valores
Frecuencia
Frecuencia relativa
Nada interesante
14
14 = 0.28 = 28% 200
Poco interesante
32
32 = 0.16 = 16% 200
Interesante
75
75 = 0.38 = 38% 200
Bastante interesante
65
65 = 0.33 = 33% 200
Muy interesante
14
14 = 0.28 = 28% 200
Tot al
200
200 = 1 = 100% 200
a) 0.16 0. 16 = 16%; b) 0.33 0. 33 = 33%; c)154/ c)154/ 200= 200=.. 76; 76; d) bas bast ant ant e.
261 261
Notas :
262 262
Notas :
263 263
Guía de Mat Mat emáti cas cas. Tercer grado. gr ado. Para su su edición se se ut il izaron l os t ipos Goudy Old St St yle yl e y Trebuchet Treb uchet MS.
