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LIBROS UNIVERISTARIOS Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS LOS SOLUCIONARIOS CONTIENEN TODOS LOS EJERCICIOS DEL LIBRO RESUELTOS Y EXPLICADOS DE FORMA CLARA VISITANOS PARA DESARGALOS GRATIS.
Solucionario primer capitulo
1.
2.
3. 4.
5.
6.
d2 dt 2
d dt
4
d3y dx 3
y
4
3
dy dx
y
0
y
0
3
3
10. cos x y
y4
d2y dx 2 y 2
4
d3y dx 3
dy dx y
Es de 3º orden y 4º grado
Respuesta:
Es de 2º orden y 1º grado
Respuesta:
Es de 1º orden y 1º grado
Respuesta:
Es de 2º orden y 4º grado
Respuesta:
Es de 1º orden y 3º grado
Respuesta:
Es de 3º orden y 1º grado
4
x7 y
cos x
0
sen x y
Por: CALIXTO CARMEN
Respuesta:
2
3x 2 1
d2y dx 2
Es de 2º orden y 1º grado
2
dy dx
y
x2
d2y dx 2
9. x y
dy dx
Respuesta:
5
d2y dx 2
y cos x
d2y dx 2 D .Y
0
c
d 2 y dy . dx 2 dx
7. x 4 8.
R
4
1
Y ARIAS RICALDI
Respuesta:Es de 2º orden y 3º grado
Respuesta:
Es de 2º orden y 3º grado
Respuesta:
Es de 2º orden y 2º grado
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Verificar que la función y x
dy dx
sen t dt , satisface a la ecuación diferencial t
x
x
0
y x sen x
Sea sen t dt 0 t x sen t x sen t sen x y' dt x dt sen x 0 0 t x t x sen t x sen t Entonces : xy ' x dt sen x x dt 0 0 t t y
x
x
x sen x
y
xy '
xy x sen x Satisface a la ecuación diferencial xy ' xy x sen x
Comprobar que la función y dy dx
ex
y
x
x
ex
0
2
2
et dt ce x , satisface a la ecuación diferencial
Sea y
x
ex
y' e y' y y' y
2
et dt ce x
0 x
x 0
2
et dt e x .e x
ex e
x 0
2
ce x
2
et dt ce x
ex
ex x2
x 0
ex
2
et dt ce x x 0
ex
x2
2
et dt ce x
x x2
ex
y' y Dada la función H a
ecuación diferencial H '' a
Por: CALIXTO CARMEN
1 1
cos atdt 1 t2 1 H' a a
Y ARIAS RICALDI
, a
x2
0, probar que H(a) satisface a la
H a
0
INGENIERÍA DE SISTEMAS
1
H a
cos atdt
1 t2 Cambio de variable. t sen dt cos d 1 cos a sen .cos d H a 1 cos 1
1
H a
1 1
H a
1
1
cos a sen
1 1
cos a sen
du
dv cos t sen
1 1 1
cos d
cos a sen
cos 2 d
cos a sen
cos 2 d
Reemplazando (ii) en (i): 1 H a H a H a a 1 H a H a H a a
v
1
d
sen a sen
sen d a
1
y ' 1 x2 y2
sen d sen a sen
a 1 sen a sen sen d 1 a
1
sen a sen
sen d
1
a
1
1
sen a sen
sen d a
0
0......qq.dd .
arcsen xy , satisface a la ecuación diferencial
Sea y y'
arcsen xy xy ' y 1 x2 y 2 y ' 1 x2 y 2
xy ' y
...(i )
cos .sen a sen 1 1 a 1 sen a sen sen d ...(i ) 1 a
Verificar que la función y xy ' y
. 1 sen 2
cos 2 d
cos
1
d
cos a sen .sen 2 d
cos a sen
u
1
sen a sen .sen d
Entonces: 1 H a H a H a a Integrado por partes: 1
1
xy ' y
y ' 1 x2 y 2 xy ' y
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
y ' 1 x2 y2
INGENIERÍA DE SISTEMAS
x
Comprobar que la función x 2
y
xy ' y sen x
y sen t 2 dt , satisface a la ecuación diferencial 0
2
Derivando: x
1
y
y
xy
0
sen t 2 dt
y sen x 2
y 2 sen x 2 Satisface a la ecuación diferencial y
Comprobar que la función y
c1e x
c2 e 2 x
C1 x C2 x
diferencial x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x
x 0
0
sen t dt , satisface a la ecuación t
Sea sen t dt t x sen t sen x y ' C1 C2 dt C2 x 0 t x sen x y '' C2 C2 cos x x y
C1 x C2 x
x
0
x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x
C1 C2
x sen x C2
x 0
sen t dt C2 sen x t
sen x C2 cos x x
x cos x C1 C2 x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x
0
x 0
sen t dt C2 sen x t
0
sen t dt t
0
ez dz , x 0, hallar los valores de “a” tal que la función f definida 1 z e ah x satisface a la ecuación diferencial f x x 3 x x 2 y ' 1 x 3e 2 x dy 0
Sea h x x 2 y ''
x
Si satisface a la ecuacion diferencial
x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x
por
C1 x C2 x
x
Derivando: Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
y
e ah x x
y
ae x ah x .e x3 e x .e
y
e
ah x
x2
...(i )
ae x ah x x 3 ah x .e .e x 3 x 2 ae x .e x
ah x
a
x6 3x x 2
Multiplicando a i
3x x 2 y
a
ae x .eah x x2
3 x
3 x e x
e x ah x 2 .e .x 2 xe ah x x ....(ii ) x4
ah x
Multiplicando (x2) a (ii) ah x
x2 y
a
ah x
exe x
ae 2 x e x2
3ae x e x2
ah x
ah x
a
e xe x
2e
ah x
x
Multiplicando 1 x 3e 2 x a y : 1 x 3e
2x
y
e
ah x
3e 2 x e x
ah x
e x Sumando los nuevos valores: 3a 2 e x e ah x a 2 e 2 x e ah x 3ae x e ah x x2 x2 x2 3a 2 a 2 e x 3a a 3e x 0 x x x 3a 2 x
Verificar x
ah x
ae x e ah x x
a 2e x x
3e 2 x e ah x x
3a a 3e x x
0
0
y ln y , satisface a la ecuación diferencial yy '' y '3 y '2
0
Sea y x ln y y y' y 1 y' y '' 2 y 1 3
yy '' y '
y'
yy '
2
y 1 yy '' y '3 y '2
y 2
3
y 1
y
2
y 1
0
yy '' y '3 y '2
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
0
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Dada la función H a
sen atdt
1
1 t2
1
1 H' a a
ecuación diferencial H '' a Derivando: 1 sen atdt H a 1 1 t2 Cambio de variable: t sen 1 sen a sen .cos d H a 1 cos 1
H a
1
1 1
u
dt cos d 1 1
1
1
sen a sen
d
1
sen a sen . 1 sen 2
cos
1
0
du
sen a sen sen a sen
cos .d cos 2 d
v 0 0
sen .d cos a sen
cos a sen 1 a
1
a sen .d
Reemplazando (i) en (i): 1 cos a sen sen .d 1 H a H a H a 1 a a Respuesta: 1 H a H a H a 0....qq.dd . a 1 H a H a H a a t
Si x t
0
Derivando: x t t.t e
x t
cos a sen sen .d ....(i ) 1 a
1
.d
cos 2 d
sen a sen
dv
H a
sen a sen .sen 2 . d
Entonces: 1 H a H a H a a Integrado por partes: 1
0, probar que H(a) satisface a la
cos a sen .sen d
H a
1
, a
t s e
t t
t s
e s ds, calcular el valor de x '' t
....(ii )
cos a sen sen .d 1 a
1
0
2x ' t
x t
et
0
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
x t
2x t
t
x t
0
t s
t s e
e s .ds
x t 1 k
Probar que la función y diferencial y '' k 2 y
x
2x t
R t senh k x t dt , satisface a la ecuación
0
R x
c1e x
y
Probar que la función y diferencial x 2 y ''
y
c1 c2
y
c2
2 x
ex x
x2
et .dt t
x 1 y
x
c2 e 2 x
et dt , x t
0
0 satisface a la ecuación
x.e x ...(i ) x
e x ...(ii )
Multiplicando por x 2
x2
2
C1 x C2 x
x y'
x t
c1 x 2
x y
x
x a (i ) :
x2
c2
x
2 x
et dt t
x2
x y
x 1 y
x ex
Multiplicando por (x2) a (ii): x2 y c2 xe x x 2 e x También: x2 y x2
x y
x 1 y
x2 y
Dada la función y 2
2
x ln x. y '' x ln x, y '
y
c1 x
c2
0.....qq.dd .
e x
dt n t
Por: CALIXTO CARMEN
x2 e
C1 ln x C2 x
x
ln x 1 y
0
x
1 n x
0
dt , x 1, satisface a la ecuación diferencial ln t
...(i )
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
c1 x2
y
1 n tx
c2
Multiplicando:
yx nx
1 x x n2 x
nx
x n x a (i)
c1 n x c2 x n x
También:
nx 1 y
...(ii )
dt nt
e x
x2
c1 n 2 x c1 nx c2 x nx 1
Sumando: x 2 n 2 x. y
x nxy
e x
dt nt
2c2 x 2 nx x 2
nx 1 y
c2 x
e x
dt nt
No se cumple la igualdad de la ecuación diferencial
No satisface a la ecuación diferencial x
Demostrar que la función diferencial x 2 '' x
x
x0
x
u 1 .eu .du
x xe x
x
x
3x x 2
x0
x0
x e
u 1eu du
para , x
1 x e2 x
' x
x
1 x e .e x2
e x2 1 1 x . x e. x x ex 1 . x x x
x
x2
x
1
1
x
0, satisface a la ecuación
0
u 1 .eu .du
x
ex x
1 x2 ex
x
ex . x2
xe x 1
x x
0
No satisface a la ecuación diferencial
No satisface a la ecuación diferencial
Dada la función
y ln y
1 ln y y '' y '2
y ny
y
y ny
y
y 1
2 xy.e x
1 ex 1 y y
ny y
Por: CALIXTO CARMEN
x 0
2
et dt ,
2
satisface a la ecuación diferencial
2
2 xe x
y y
x
2
2
2
2 xy.e x .....qq.dd .
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
y 1
ny y
y
2
2 xy.e x
2
k
Demostrar que la función y 1 x2 y
xy
y
k x
x2 1
y
k x
x2 1
y
k2y
x 2 1 , satisface a la ecuación diferencial
x
0
1 2x
k 1
. 1 k 1
.
2 x2 1 x2 1
x
x2 1
ky x2 1
ky
1k 2 x
x2 1
2 x2 1 x2 1
y
y
Probar que la función x (t) definida por : x t ecuación diferencial t x
1
3x t
1 t2
dx
1 0
x
2
t2
2
, satisface a la
0
2
Sea x t
x t '
dx
1 0
x2 t 2 1
1 t tx ' t
2 2
2
1 t4 1
3x t
1 t tx ' t
2 2
1
3x t
1 t
Por: CALIXTO CARMEN
2 2
t
1 1 t
2 2
1 t4
3
1 0
dx x2 t
1 2 2
1 t2
2
No satisface a la ecuación diferencial
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Demostrar que la función f (a, b) diferencial 3ab
y Probar que x 2 2 2n 2 y mn x y
2
f
b
2
f b
3a
2b 2
n
2 0
0
f a
cos(mx sen ) cos
1 n
0
e
ax3 bx 2
1
dx, satisface a la ecuación
d , satisface a la ecuación diferencial
Sea 1
y
2 0
x
y'
2 0
y'
2 0
y ''
cos(mx n sen ) cos n d n
1 n
n
1 n
cos(mx sen ) cos
cos(mx sen ) cos
n
1 n
n
1 n
d
x cos(mx sen90) cos 90 cos(mx sen0) cos 0
d
x
1 1
y
m2 n2 x 2n 2 y
y
m2 n2 x 2n 2 y
Probar que y d2y dx 2
y
a x
1 m2 n2 x 2n
2
x
2 0
cos(mx n sen ) cos n d
No satisface a la ecuación diferencial
0
b x2
asenz b cos z dz , satisface a la ecuación diferencial x z
Sea y
0
asenz b cos z dz x z
y' 0 y '' 0
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
2 0
d2y dx 2 d2y dx 2
y
0
asenz b cos z dz x z
y No satisface a la ecuacón diferencial
Verificar que las funciones y1 diferencial 2 x 2 y
3xy
y
x , y2
1 ,x x
0
0 , satisface a la ecuación
Sea y1 y1 ' y1 ''
x 1 2 x 1 3
4x 2 x 2 y '' 3 xy ' y 2
x y '' 5 xy ' y
1
x2
5x
3 2
1 2 x
x
4x 0 No satisface a la ecuación diferencial
Verificar que las funciones y1 diferencial x 2 y
5 xy
4y
x 2 , y2
0
ln x ,x x2
0 , satisfacen a la ecuación
Sea y1 x 2 y1 ' 2 x y1 '' 2 x2 y
5 xy
4y
x2 y
5 xy
4 y 0 No satisface a la ecuación diferencial
Por: CALIXTO CARMEN
2 x2 5x 2 x
4x2
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Demostrar que la función y diferencial 1 x
2
y
2 0
1 x y
log sen 2 y
x 2 cos 2
log
x 1 2
d , satisface a la ecuación
Sea y
log sen 2
2 0
x 2 cos 2
y ' ln sen 90 x 2 cos 90 y ' ln 1
ln sen 0 x 2 cos 0
ln x 2
2 x
y '' 1 x
d
2
y
1 x y
y
1 x
2 0
y 1 x
2
y
1 x y
Dada la función u diferencial x
d 2u dx 2
y
0
du dx
q 2 xu
Demuestre que la función y xy
2ny
Si H t
0
x2
x 2 cos 2
0
e xz dz 0
1 z2
ln x 2 d
No satisface a la ecuación diferencial
A B log x sen 2
xy 1
e
1 x ln 1
log sen 2 x 1 2
log
eqx cos
2 x
2
n 1
d
satisface a la ecuación
, satisface a la ecuación diferencial
cos tx dx , para todo , probar que H t
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
1 H t 2
0
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Sea H t
0
e
x2
cos tx dx
H t ' e cos H t '' H t
e cos 1 H t 2
0
t x
e t x
x2 0
e x2
G t
0
e sen
0 Si satisface a la ecuacion diferencial
x2
Si G t G t
1
e
2
dx , probar que : G t
2
2G t
0
dx t x
2
t x
.2 t
x dx x2
2
x2 t x G t 2 2 e .dx 0 x 0 Respuesta: No se cumple la igualdad de la ecuación diferencial
Verificar si la función y diferencial 1 x 2 y y y y
y
y
c1ebarc sen x
b2 y
xy
barc sen x
es la solución de la ecuación
b
bc1.ebarc sen x
1 x2
1 x2
c2 e
0
barc sen x
c1ebarc sen x c2 e barc sen x bc1 c2b .ebarc sen x .e 1 x2 1 x2 barc sen x b c1.ebarc sen x c2 e 2 1 x b 2x barc sen x c1.ebarc sen x c2 e 2 1 x2 xy
bc2 e
barc sen x
1 x2
b2 y 1 x2
Respuesta: 1 x2 y x x3 y
b2 y
0
No se cumple la ecuación diferencial
Verificar que y de radio r = 1
Por: CALIXTO CARMEN
2
1
y
2
3
es la solución diferencial de las circunferencias
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
Demostrar que : y 2y
e x (c1 c2 e
y
2 xy
y
e x c1 c2 e
y
2 xe x c1 c2 e
0
2
x2
y
x2
2
e x .c2e
dx
x2
2 y 2 xy
0....qq.dd .
Probar que la función y t
t 0
sen t s f s ds es una solución en I de
f t que satisface y 0
yt
dx) es la solución de la ecuación diferencial
dx
2
y 2 xy c2 Respuesta: y 2 xy 2 y
y t
x2
y 0
sobre el intervalo I, el cual contiene cero.
y t
t 0
sen t s t s ds
Según la regla de Leibnitz: F y
y t y t
Dy t
0 t 0
h y
f h y ,y h y
f g y ,y g y
Dt sen t s f s ds sen t t f t
sen t 0 f 0 0
g y
Dy f x, y dx
cos t s f s ds
Recordemos: f t t 0
f o
0 , donde f es una función continúa
y 0
Respuesta: y t y t
y 0
y t
t 0
cos t s f s ds
0
f t ....qq.dd . n 1
Demostrar que y t y 0
y 0
...
contiene al cero.
Por: CALIXTO CARMEN
y
t 0
n 1
t s n f s ds es la solución de y t n 1!
0
f t con
0 donde f es continúa sobre un intervalo I que
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
n 1
t s f s ds n 1!
t
y t
0
n 1
t
y t
0
Dt
t
y t
t s .f s n 1!
n 1 t s
0
y t
y t
f s f s . t s n 1 n 2 !
y 0
Respuesta: n y t f t ...qq.dd .
y
2
x 0
e
x2
ds
n 2
y 0
Comprobar que y
2
t t .f t n 1!
x 0
f 0
t 0
n 1
.f 0 0 n 1!
n 1
0
dy e ds c es la solución de dx s2
e
x
x
ds c
2 dy 1 0 2.e x . dx 2 x Respuesta. 2 dy e x ....qq.dd . dx x
Por: CALIXTO CARMEN
0
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 , en el plano xy, siendo a, b y r constantes arbitrarias. EC . circunferencia: (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 Dx : 2(x h) 2( y k ) y ' =0 Dx2 : 1+y'2 +yy'' ky '' 0 1+y'2 +yy'' k= y'' Dx2 : 0=(2y'y''+y'y''+yy''')y'' y '''(1+y'2 +yy'') y '''(1 y '2 ) 3 y ''2 y ' 0 y '''(1 y '2 ) 3 y ''2 y '
0
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la cisoides y 2
y2
x3 a x
x3
despejamosa a x x3 a x derivamos y2 3x 2 y 2 2 x3 yy ' 1 y4 2 x3 y '
y ( y 2 3x 2 )
2 x3 y '
y ( y 2 3x 2 )
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las rectas con pendiente y la intercepción con el eje x iguales.
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
EC . recta: y=mx+b dado que x=m donde la pendiente: y'=m=x. se observa que para: y=0 y y
x=y' mx b
b= x 2
y '2
y '2
y'x
y '2
xy ' y
Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuyas pendiente y sus intercepciones con el eje y son iguales. EC . recta: y=mx+b dado que y=m donde la pendiente: y'=m=y. se observa que para: x=0 b =y . y mx b y' y'x y ydy ( x 1) dy
0
ydy ( x 1) dy
6
Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuya suma lagebraica de las intercepciones con los ejes coordenados es igual a k. EC. recta y mx b ...................................(a) se sabe que : y ' m del enunciado : x y k . para A( x, 0) : b y ' x. para B ( y, 0) : b
y
remplazando en (a ) : yR y
y ' x.
yR
y '(k
y'x y yR ).......(b)
remplazando yR en (b) : y'x
y
y' k (y'x
y)
( xy ' y )(1 y ') ky ' 0
( xy ' y)(1 y ') ky ' 0
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las estrofoides y 2
y
x 2 (a x) a x
x 2 (a x) despejandoa a x xy 2 x 2 a x 3
2
ay 2 a( y 2
x2 )
x3
xy 2
x 3 xy 2 derivando y2 x2
a
(3 x 2
0
( x4
y2
4x2 y2
2 xyy ')( y 2 x 2 ) 2( x 3 y2 x2 y 4 ) dx 4 x 3 ydy
xy 2 )( yy ' x )
0
( x4 4 x2 y 2
y 4 )dx 4 x3 ydy 0
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 , de radios fijos r en el plano xy siendo a y b constantes.
EC. circunferencia: (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 y k y'
r 2 (x h) 2 ( x h) r 2 (x h) 2
Por: CALIXTO CARMEN
derivando derivando
Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
r
2
(x h)
y ''
r2
( x h) 2
2
r 2 (x h) 2 (x h) 2 ( x h)3
( x h)
y ''
r 2 (x h) 2 (x h) y ''
multiplicando por (x h)
3/ 2
r 2 (x h) 2
y ' y '3 x h
y '(1 y '2 )...............................................(1)
por otro lado : (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 derivando 2(x h)+2(y k )y'=0 derivando (y k )y''= y'2 1................................................(2) Elevando (1) y (2) al cuadrado y sumando se tiene: (x h) 2 +(y k ) 2 y ''2 r 2 y ''2
y '2 (1 y '2 ) 2
(1 y '2 ) 2
(1 y '2 ) 2 (1 y '2 )
(1 y '2 )3
r 2 y ''2
(1 y '2 )3
r 2 y ''2
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es dada: x 2 C1e x
C2 e
2x
y
x2
C2 e
2x
y'
2 x C1e x
y ''
2 C1e x
y
Sea C1e x
2C 2 e 4C 2 e
2x
2x
y '' y ' 2 y
2 C1e x
y '' y ' 2 y
2 2C1e x
y '' y ' 2 y
2 1 x x2
4C 2 e
2x
2C 2 e
2x
2 x C1e x 2x 2x2
y '' y ' 2 y y
C1 x C2 e
2C 2 e
2x
2C1e x
2 x2 2C 2 e
C1e x
C2e
2x
2x
2 1 x x2
x
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
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Sea y
C1 x C2 e
x
y ' C1 x C2 e
x
y '' C1 x C 2 e
x
x 1 y '' xy ' y
x 1 C1 x C 2 e
x 1 y '' xy ' y
x
C1 x C 2 e
x
0
x 1 y '' xy ' y x C1e
x
C2 e
3x
x C1e
x
C2 e
3x
y ' 1 C1e
x
3C2 e
y
x
x C1 x C 2 e
0
Sea y
y '' C1e
x
9C2 e
3x
3x
y '' 4 y ' 3 y
C1e
x
9C2 e
3x
4 1 C1e
y '' 4 y ' 3 y
C1e
x
9C2 e
3x
4 C1e
y '' 4 y ' 3 y
3x 4
x
x
3C2 e 12C2 e
y '' 4 y ' 3 y
3x
3x
3 x C1e 3 x 3C1e
x
x
C2 e 3C2 e
3x 3x
3x 4
C1e 2 x cos 3 x C2 e 2 x sen 3 x
y
Sea y
C1e 2 x cos 3 x C2 e 2 x sen 3 x
y ' 2C1e 2 x cos 3 x 3C1e 2 x sen 3 x 2C2 e 2 x sen 3 x 3C2 e 2 x cos 3 x y '' 4C1e 2 x cos 3 x 6C1e 2 x sen 3 x 6C1e 2 x sen 3 x 9C1e 2 x cos 3 x 4C2 e 2 x sen 3 x 6C2 e 2 x cos 3 x 6C2 e 2 x cos 3 x 9C2 e 2 x sen 3 x y '' 4 y ' 3 y
4C1e 2 x cos 3 x 6C1e 2 x sen 3 x 6C1e 2 x sen 3 x 9C1e 2 x cos 3 x 4C2 e 2 x sen 3 x 6C2 e 2 x cos 3 x 6C2 e 2 x cos 3 x 9C2 e 2 x sen 3 x 4 2C1e 2 x cos 3 x 3C1e 2 x sen 3 x 2C2 e 2 x sen 3 x 3C2 e 2 x cos 3 x C1e 2 x cos 3 x C2 e 2 x sen 3 x
y '' 4 y ' 3 y
0 y '' 4 y ' 3 y
y
Ae 2 x
0
Bxe 2 x
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
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Sea y
Ae 2 x
Bxe2 x
y ' 2 Ae 2 x
2 Bxe2 x
Be2 x
y '' 4 Ae 2 x
4 Bxe2 x
4 Be2 x
y '' 4 y ' 4 y
4 Ae 2 x
y '' 4 y ' 4 y
0
4 Bxe2 x
4 Be2 x 4 2 Ae2 x
y '' 4 y ' 4 y
y
e
x2
C1 C2 e
x2
2 Bxe2 x
Be2 x
4 Ae2 x
Bxe2 x
0
dx
Sea y
C1e x
2
C2 e x
y ' 2 xC1e x
2
2
x2
e
dx
C2 2 xe x
2
y ' 2 xe x C1 C2 e x
2
2
e
e x2
x2
dx 1
dx
C2
2
2 xe x y C2
y 2 x2
x2
2
y '' 4 x e y 2 xe y ' 2e x y y '' 2 xy ' 2 y
2
2
Ae
1 x
Be
2
2e x y
0 y '' 2 xy ' 2 y
y
2
4 x 2 e x y 2 xe x 2 xe x y C2 0
1 x
4 x 3 y '' 6 x 2 y ' y
0
2 x3
y
C1 x.
e dx C2 x x2
y '' x 2 y ' xy
ax b ay b
y
0
c, a, b, c constantes arbitrarias
C1e ax cos bx C2 e ax sen bx, a, b parámetros
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
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Sea y
C1e ax cos bx C 2 e ax sen bx
y'
aC1e ax cos bx bC1e ax sen bx aC 2 e ax sen bx bC 2 e ax cos bx
y ''
a 2C1e ax cos bx abC1e ax sen bx abC1e ax sen bx b 2C1e ax cos bx a 2C2 e ax sen bx abC 2 e ax cos bx abC 2 e ax cos bx b 2C 2 e ax sen bx
y '' 2 ay '
a2
b2 y
0
y '' 2ay ' y
A cos x x sen x
a 2 b2 y
0
B sen x x cos x , A, B constantes
Sea y A cos x Ax sen x B sen x Bx cos x y' A sen x A sen x Ax cos x B cos x B cos x Bx sen x y ' Ax cos x Bx sen x y '' A cos x Ax sen x B sen x Bx cos x xy '' 2 y ' 2 xy
x A cos x A cos x
xy '' 2 y ' 2 xy
Ax sen x B sen x Bx cos x
2 Ax cos x Bx sen x
Ax sen x B sen x Bx cos x
0
xy '' 2 y ' 2 xy x
A sen wt b
x
A sen wt b
dx A cos wt b w dt dx 2 A sen wt b w 2 2 dt dx 2 w2 x A sen wt b w 2 dt 2 dx 2 w2 x 0 dt 2
0
w 2 A sen wt b
d 2x dt 2
w2 x
0
Encontrar la ecuación diferencial que describa la familia de circunferencias que pasan por el origen.
Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI
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EC . circunferencia: (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 ..................(1) como tiene centros en el origen entonces O (0, 0) en (1) : (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 (0 h) 2 +(0 k ) 2 =r 2
h2
(x h) 2 +(y k ) 2 =h 2
k2
r2
k 2 ........................................(2)
derivando (1): Dx : 2( x h) 2( y k ) y ' =0 .......................................(3) Dx :1 ( y k ) y '' y '2
0
2
y' 1 .......................................................(4) y ''
y k
y '2 1 y y '' remplazando (3) en (4) y despejando ( x h ) k
x h
y '( y '2 1) ....................................................(5) y ''
y '( y '2 1) y '' remplazando (4), (5), h y k en (2) se tiene : h
x
y '( y '2 1) y '' ( x2
2
y '2 1 y ''
2
x
y 2 ) y '' 2( y '2 1)( y xy ')
( x2
Por: CALIXTO CARMEN
y '( y '2 1) y ''
2
y '2 1 y ''
2
y
0
y 2 ) y '' 2( y '2 1)( y xy ') 0
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Encontrar la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasa por el origen.
EC.recta : y
mx b......................(1)
se sabe que : m y '. para el punto O(0, 0) comunes para todos : b 0 remplazando en (1) : y y'x 0 y
y'x
0
xy ' y 0 Determinar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el origen y cuyos centros están en el eje x. EC . circunferencia: (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 como pasa por el origen se c umple que : h r k 0 (x r ) 2 +(y 0) 2 =r 2 x2 2r
2 xr r 2 x2
y2 x
y 2 =r 2 .........derivando
(2 x 2 yy ') x ( x 2 x2 2 xyy ' x 2 y 2 0 0
y2 )
2 xyy '
y 2 x2
Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje y.
Por: CALIXTO CARMEN
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EC . circunferencia: (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 como sus centros estan en el eje y se cumple que : h
0 (x 0) 2 +(y k ) 2 =r 2 .........derivando 2x 2( y k ) y ' =0 ..........derivando
despejando k se tiene : x .......................derivando y' y ' xy '' y '2
y k y'
y '3 xy '' y ' 0
y '3 xy '' y ' 0 Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas con vértice en el origen y cuyos focos están en el eje x. EC . parabola: (y k ) 2 =4p(x h) como tiene vertices en el origen se c umple que : h 0 k 0 y 2 =Cx y2 =C .........derivando x 2 xyy ' y 2 0 x2 2 xy ' y
2 xy '
y
Halle la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y 2 LT : y
y0
donde y 2
y '( x0 ) ( x x0 )......................(1) 2 x.
Dx : 2 yy ' 2 y '( x0 )
1 y0
2x .
y' y0 2
Por: CALIXTO CARMEN
1 ..........................(2) y 2 x0 remplazando en (1) :
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y
1 (x y0
y0
y 2 (0) 2
)
y0 constante.
1 ..........................................(3) y' remplaando (3) en (2) : 1 1 y y '( x ) y' 2 y '2 2y'(y xy') 1 0 2 xy '
Dx : y 0
y
Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tiene su centro sobre el eje x. EC . circunferencia: (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 como sus centros estan en el eje x se cumple que : k 0 (x h) 2 +(y 0) 2 =r 2 .........derivando 2(x h) 2 yy ' =0 1 yy '' y '2
.........derivando
0
y '2 yy '' 1 0 Halle la ecuación diferencial de la familia de parábolas con el eje focal paralelo al eje x. y
V h, k 0
F h
p, k
x
EC. parabola: (y k ) 2 =4p(x h) .................................(1)
Por: CALIXTO CARMEN
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como tiene 3 constantes drivamos tres veces la ecuación (1) : 2( y k ) y '
4 p................................................................(2)
2( y k ) y '' 2 y '2
0
( y k ) y '' y '2
( y k ) y ''' y ' y '' 2 y ' y '' 0 de (3) y (4) : y '2 y ''' 3 y ' y ''2
0.....................(3)
( y k ) y ''' 3 y ' y '' 0....(4)
0
y '2 y ''' 3 y ' y ''2
0
Obtenga la ecuación diferencial de l familia de parábolas cuyos vértices y focos están en el eje x. EC . parabola: (y k ) 2 =4p(x h) con vertices en el eje x se cumple que : k 0
y
2
y =C(x h) y2
=C .........derivando x h 2( x h) yy ' y 2 0 ( x h) 2 y 2(x h) .........derivando y' 2=
y'2
V h, k
0
F h
p, k
x
yy '' y'
2
y '2 yy '' 0
yy '' y '2
0
Obtenga la ecuación diferencial de l familia de circunferencias que pasan por (0,-3) y (0,3), y cuyos centros están en el eje x. EC. circunferencia: (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 ........(1) como sus centros estan en el eje x se cumple que : k 0....................................................................(2) del grafico para el punto A(0, 3) (0 h) 2 +(-3 0) 2 =r 2 h 2 9=r 2
....................................................(3)
Por: CALIXTO CARMEN
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(2) y (3) en (1) ( x h) 2
y2
h 2 9......................................(4)
Dx : 2( x h) 2 yy ' 0 x h
yy '
h
yy ' x.........................(5)
remplazando (5) en (4) : ( yy ') 2
y2
2xyy ' x 2
(x
yy ') 2 9
y2 9
0
2xyy ' x 2
y2 9 0
Halle la ecuación diferencial de todas las circunferencias que pasan por los puntos (2,2) y (-2,2).
EC. circunferencia: (x h)2 +(y k )2 =r 2 ..............(1) para el punto A(2, 2) : (2 h) 2 +(2 k ) 2 =r 2 h 2 k 2 4(h k ) 8 r 2 ......................................(2) para el punto B ( 2, 2) : ( 2 h) 2 ( 2 k ) 2
r2
h 2 k 2 4(h k ) 8 r 2 ......................................(3) de (1) y (2) se obtiene que : h k. remplazando h en (3) y en (1). r2
k2
4( k k ) 8 2k 2 8.....................................................(a )
(x+k) 2 +(y k ) 2 =r 2 ...................................derivando 2(x+k) 2( y k ) y ' =0
Por: CALIXTO CARMEN
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x
yy ' ..............................................................(4) y' y' 1 rem plazando h y (4) en (1) se tiene : y
k
(x
k )2
( x+
x
k
x
(
k y'
y2
)2
r2
2k 2
yy ' y' 1 2 ) y'
(
8) y ' ( x 2
2 xy
8
rem plazando k
x
x
yy ' 2 ) y' 1
(x 2
x
k
( x2
2( y2
y 2 2 xy 8)
x
yy ' 2 ) y' 1
8
2 xy
0
dy ( x2 dx
8)
sim plificando :
y 2 2 xy 8)
0
Halle la ecuación diferencial de todas las líneas tangentes a la curva y 2 LT : y
y0
y '( x0 ) ( x x0 ).............................(1)
donde y 2 Dx : 2 yy '
x
y 20
x 1
y'
y '( x0 )
x0 ......................(2)
1 2y 1 ..........................(3) 2 y0
(2) y (3) en (1) : 1 y y0 ( x y 2 0 )................................( a) 2 y0 2 y0 y 2 y 2 0 Dx : 2 y 0 y ' 0
x
y 2 0 ...... se sabe que y0 , constante :
1 0
1 ............................................(5) 2y ' (5) en ( a ) : y0
y
1 2y '
1 2 ) )...........simplificando 2y ' 2y'(2y 4 xy ' 1) 1 2y'(2y 4 xy ' 1) 1 y '( x (
Halle la ecuación diferencial de todas las circunferencias tangentes a la recta y x.
Por: CALIXTO CARMEN
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y y
x C h, k
r c
P x, y
x
0
EC. circunferencia: (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 .............(a) su centro C(h,k) : si EC. recta L es; y x 0. seadlñadistaciadelcentrodelacircunferenciaalarectaL h k
d ( h ,k ), L
h k
r
(1) 2 (1) 2
2
..........................(b)
( b ) en ( a ) : h ) 2 + (y
derivando : (x Dx:
2(x
D 2x
1
h) y '2
2(y (y
h
k )2 =r 2
k )y'= 0
k ) y '' = 0
k
x
2 h
y
k
2
..................(*) (y 1
k ) y '....( c ) y '2 .....( d ) y ''
( d ) en ( c ) : x
h
(d )
(1
y '2 ) y '....... ..............................( e ) y ''
(e) :
( y ' 1)(1 y ' 2 ) ..................( f ) y '' rem plazando ( d ), ( e ) y ( f ) en (*) : h
k
(1 (x
x
y
y '2 ) y' y ''
2
y ) y '' 2
1 (x
y '2 y ''
2
y ) y ''
1 x 2 2y' 1
(x
y y '2
( y ' 1)(1 y ''
y '2 )
2
2
y ) y '' 2 ( x
y ) y ''
2 y ' 1 y '2
2
Por un punto p(x,y) de un curva que pasa por el origen, se traza 2 rectas paralelas a los ejes coordenados, las que determinan un rectángulo con dichos ejes . halar la ecuación diferencial de la curva de modo que esta divida al rectángulo formado en dos regiones, donde el área de la parte derecha sea el triple del área de la parte izquierda. Por: CALIXTO CARMEN
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del enunciado se tiene : 4 4 xy A ydx 3 3 derivando : 4 xy ' y y simplificando : 3 3 xy ' y 3 xy '
y 1
Halle la ecuación diferencial de todas las tangentes a la parábola x 2
2y 1.
Sea L la recta tangente a la parabola en el punto P ( x0 , y0 ) luego su ecuacion sera : LT : y
y0
y '( x0 ) x x0 .............(1) x2 2
donde : y y '( x0 ) de(1) : y Dx : y '
x0
1 2
y'
y0
x0 2 2
x 1 2
x0 2 1 x0 ( x x0 ) 2 2 x0 ...............(3)
y
x0 x
x0 2 2
1 .....(2) 2
(3) en (2) : 2 xy ' y '2 2 y 1 0 2 xy ' y '2 2 y 1 0
Halle la ecuación diferencial de todas las normales de la parábola y 2
Por: CALIXTO CARMEN
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x.
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y
LN
LT P y0 , x0
x
0
sea LN la ecuacion de la recta normal sera en el punto (a, b) : LN : y
y0
mN x x0 ..........................................................(1)
donde mN es la pendiente de la recta normal : propiedad : mN .mT 1 ...............................................(2) del grafico :
b2
a
.....................................................(3) 1 Dx : y 2 x. 2 yy ' 1 y' . Entonces el valor de la 2y 1 pendiente enelpunto de tangencia (a , b ) es : y ' mT ......(4) 2b 1 Ree mplazando (4) en (2) : mN . 1 mN 2b ...........(5) 2b (5) y (3) en (1) :y b= 2b(x b 2 ).........................................(6) viene a ser la ecuacion de la familia de rectas normales pedidas como hay una constante derivamos una vez : y' y' 2b b ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, (7) 2 finalmente, remplazando (7) en (6) : 1 1 2 y y ' y '( x y' ) 2 4 y
1 y' 2
y '( x
1 2 y' ) 4
Determinar la ecuación diferencial de todas las curvas planas y=f(x) tal que la ley que incide en ellas, partiendo de una fuente puntual fija, es reflejada hacia un segundo punto fijo. Suponer que los puntos fijos son (a,0) y (-a,0).
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tenemos : tg
y '.............................................................(1)
ademas : luego :
y 2(
de(2) : tg (
)
pero : tg
y ', tg
(
2 )
)
2 tg tg 1 tg .tg
tg (2 ) y a
.................(2)
x
2
tg .....(3) 1 tg 2
y
ytg
a
x
remplazandoen (3) : y y a x a x 2 y' y y 1 y' 1 . a x a x simplificando : xyy '2 ( x 2
y2
a2 ) y '
xy
xyy '2 ( x 2
yv
y iii
x2 1
x2
y2
ydx
y2 a2 ) y '
xy
derivamdo : 2 x 2 yy ' y
2 yy ' 2 x
y
0
Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que cumple con la siguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de una curva de la familia se trazan las rectas tangentes y normal a ella, el área del triangulo formado por
Por: CALIXTO CARMEN
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dichas rectas con el eje y es igual a en que la tangente corta al eje y.
x 2 y0 , donde y0 es la coordenada del punto 2
en el punto A(0, y N ) LN : y
yN
1 ( x 0) y'
1 ...............(1) y' paraelpuntoB (0, y0 )
yN .
y
LT : y y0
y
y0
y '( x 0)
y ' x.......................(2)
sec umpleque xy0 ( y N y0 ) x Area .............(3) 2 2 remplazando (1) y (2)en (3) : setiene y '2 ( x 1)
yy ' 1 0
y '2 (1 x) yy ' 1 0 Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisface la condición siguiente: ”si por el punto p(x,y) de un curva, en el primer cuadrante ,se traza las retas tangentes y normal a ella, siendo T el punto de intersección de la tangente con el eje OX y N el punto de intersección de la normal con el eje OY, entonces el área del triangulo TON es igual al xy/2, donde O es el origen de las coordenadas. LT : y 0 x LN : y y
y y' yN x y'
y ' x xT xT ..................................(1) y' x 0 y N .................................(2)
xy xT yN .......(3) 2 remplazando (1) y (2) en (3) : del enunciado : A
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xy
x
xyy '2
y y'
x y'
y
xyy '2 x 2 y ' y 2 y ' xy
simplificando : y ' x2
y2
xy
( x2
y2 ) y '
xy
Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente condición:”si por un punto cualquiera p(x,y) de una curva de la familia se trazan las rectas tangentes y normal a la curva, y si además A es el punto de intersección de la recta normal con la recta y=x y B es la intersección de la recta tangente con la recta y=x, entonces el segmento AB tiene longitud 2 .
p ( x, y ), A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) por dato : AB porteoria : AB
2 2
AB
2
2..................(1)
( x1 x0 ) 2 ( y1
y0 ) 2 ......(2)
pero : x0 y0 x1 y1 ............................(3) remplazando (3) en (2) : AB
2
( x1 x0 ) 2 ( x1 x0 ) 2
2( x1 x0 ) 2 ...(4)
igualando (4) y (1) : ( x1 x0 ) 2 1................(5) y x1 para LT : y ' y ' x y ' x1 y x1 x x1
x1
y'x y .....................................(6) y' 1
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1 y x0 x0 x yy ' x0 y ' y ' x x0 yy ' x x0 ......................................(7) y' 1 remplazando (6) y (7) en (5) se tiene : para LN :
y'x y y' 1
yy ' x y' 1
( y '2 1) 2
(x
2
1
simplificando :
y ) 2 ( y '2 1) 2
( y '2 1) 2
( x y ) 2 ( y '2 1) 2
0
Halar la ecuación diferencial perteneciente a las cardioides
r
a(1 sen ) .
r a (1 sen ) dr a cos remplazando a : d dr r cos simplificando : d (1 sen ) (1 sen ) dr r cos d
0
(1 sen )dr r cos d
0
Hallar la ecuación diferencial perteneciente a la estrofoides r
a(sec
tg ) .
r a(sec tg ) derivando dr a(sec tg sec2 ) d dr a(sec tg ).sec d dr r.sec d dr r sec d Encontrar la ecuación diferencial de las siguientes soluciones generales: senh x cosh x a) y A B , A, B constantes x x
b) tanh
x 4
y 2
Por: CALIXTO CARMEN
3 tan
3 x C , C constante 4
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c) y d) y
a cosh C1e
2x
x b , a, b constantes arbitrarias a C2 e 2 x C3 xe 2 x , C1 , C2 , C3 constantes
Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centros en la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
EC . circunferencia: (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 como sus centros estan en la recta y x se cumple : y x, h k . (x h) 2 +(y h) 2 =1.....desarrollando x2
2hx h 2
y2
2hy h 2 =1
2h 2 2h( x y ) ( x 2 y 2 1) 0 resolviendo la EC . cuadratica h 2h
2( x
y)
2( x
2
4.2.( x 2
y 2 1)
2.2 (x
0 1 y'
2 xy x 2
y) y
xy ' x
2 xy x 0
y)
(1 y ') 2 ( x
2.......derivando
yy '
2
y
y)2
(1 y ')1/ 2 2 ( x
y2 2
2 (x
y)2
y )(1 y ') (x
y ) 2 (1 y ') 2
(1 y ')1/ 2 2 ( x y)2
Por: CALIXTO CARMEN
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( x y)2 (1 y ')2
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Hallar la ecuación diferencial de todas las parábolas con eje paralelo al eje y, y tangente a la recta y=x. y
y
EC. parabola
x h
propiedad
y'
Dx : 2( x h)
4 py ' ,
2(a h)
2
4 P( y k )..............(1)
1.................................(2)
x a
aplicando (2).
4p
a h
ademas (a, b) (a, a) ( a h)
2
y
x
2 p.........................(3)
(recta
y
x). En (1)
2
4 p(a k ) ...........................................(4)
x
0
remplazando (3) en (4) : 4 p2
4 p(a k )
(5) en (3) : p k (6) en (1) : ( x h ) 2
p h
a k
a
p k ..........(5)
2p 4( k
p
k
h....(6)
h )( y k )..................(7)
(7) viene a ser la familia de parabolas pedidas : 2(x-h)=4(k-h)y'....................................................(8) 1 2 4( k h ) y '' k h ...........................(9) 2 y '' y' remplazando (9) en (8) : h x ..........(10) y '' 1 y' (10) en (9) : k x ........................(11) 2 y '' y '' (9), (10) y (11) en (7) : (
y' 2 ) y ''
4( y '2
1 )( y 2 y ''
1 2 y ''
x)
y' ) simplificando y ''
2 yy '' 2 xy ' 2 y ' 1
y '2
2 yy '' 2 xy '' 2 y ' 1
Hallar la ecuación diferencial de las curvas tales que la tangente en un punto cualquiera M forme un ángulo
con el eje OX y que verifique
el ángulo que OM forme con el eje OX.
Por: CALIXTO CARMEN
x
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4
siendo
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tg
tg ( tg
tg =
4
1 tg y'
)
4
y x y 1 1. x 1
tg
4 x y x y
.tg
x y x y En la práctica, un cuerpo B de masa m que va cayendo (tal como un hombre que desciende en paracaídas) encuentra un resistencia del aire proporcional a su velocidad instantánea v(t). Usar la segunda ley de Newton para encontrar la ecuación diferencial de la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera. y'
Aplicando la segunda ley de Newton; dv F ma se sabe que: a dt dv mg kv ma m dt dv k g v dt m dv k v g dt m dv k v g dt m
mg
FA
kv
Un circuito en serie contiene un resistor y un inductor, tal como se muestra en la figura. Determine la ecuación diferencial de la corriente i(t) si la resistencia es R, la inductancia es L y la tensión aplicada es E(t). por la ley de kirchoof : vR
vL
vR
iR
E( t )
di dt remplazando L
vL
di dt
Ri
E( t )
Por: CALIXTO CARMEN
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L
di dt
Ri
E (t )
Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor, tal como se muestra en la figura. encuentre la ecuación diferencial para la carga q(t) del capacitor si la resistencia es R, la capacitancia es C y el voltaje aplicada es E(t).
por la ley de kirchhoff : vR
vL
vR
iR
E(t )
Q C remplazando vC
1 idt Ri C
1 idt C
E(t ) 1 idt Ri C
E( t )
¿Cuál es la ecuación diferencial e la velocidad v de un cuerpo de masa m que cae verticalmente a través de un medio que opone una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea ?. Aplicando la segunda ley de Newton; dv F ma se sabe que: a dt dv mg kv 2 ma m dt dv k 2 g v dt m dv k 2 v g dt m dv dt
Por: CALIXTO CARMEN
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mg
FA
k 2 v m
kv 2
g
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