Solucionario primer capitulo
1.
d 2 dt 2
d dt c
R 4
0
5. 6.
dy
dx 2
dy 4 y dx
dy dx
Respuesta:
Es de 3º orden y 4º grado
Respuesta:
Es de 2º orden y 1º grado
Respuesta:
Es de 1º orden y 1º grado
Respuesta:
Es de 2º orden y 4º grado
Respuesta:
Es de 1º orden y 3º grado
Respuesta:
Es de 3º orden y 1º grado
2
D .Y 3 3 x2 1
7. x 4
Es de 2º orden y 1º grado
5
dy3 dy 2 dx3 dx 2 y 0 2 2 d y dy dy y0 3. . dx 2 dx dx 4. y y cos x 2.
2
Respuesta:
dy
x2
dx
2
dy
2
y4
3 3
dx
3
8.
d 2y dy 2 dy 4 7 dx2 dx 2 dx x y cos x
9. x y 3 y 4 y 0 10. cosx y sen x y 2
4
1
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
Respuesta:Es de 2º orden y 3º grado
Respuesta:
Es de 2º orden y 3º grado
Respuesta:
Es de 2º orden y 2º grado
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Verificar que la función y x x
dy dx
x
sen t
0
t
dt , satisface a la ecuación diferencial
y x sen x
Sea yx y'
x
sen t
0
t
x
0
dt
sen t sen x dt x t
x
sen t
x
0
sen x
dt
t
x sent dt sen x x x sen t dt x sen x 0 t 0 t
Entonces : xy ' x
y
xy ' xy x sen x Satisface a la ecuación diferencial
xy ' xy x sen x y ex Comprobar que la función dy dx
x
0
2
et dt ce x , satisface a la ecuación diferencial
x x2
ye
Sea x
t2
e dt ce y ' e e dt e .e y 'y e e dt ce y ex
x
0
x
x
t2
x
x2
ce x e x
0
x
x
t2
0
y ' y e x x
x
2
e x x
x
0
ex
2
e t dt
x
0
2
e t dt
ce x
2
e x x
ce x
2
y ' y e x x
2
1
Dada la función H a
cos atdt , a 0, probar que H(a) satisface a la 1 t2 1 ecuación diferencialH '' a H ' a H a 0
1
a
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
cos atdt 1 t2 Cambio de variable. H a
1
1
t sen dt cos d 1 cos a sen .cos d 1 1 cos a sen d 1 cos 1 H a sen a sen .sen d 1 1 H a cos a sen .sen2 d 1
H a
Entonces: 1 H a H a a
1
1 cos
H a
Integrado por partes: 1 1 cos a sen cos2 d u cos dv costsen
1
1 1
cosd
cos a sen cosd2
(ii) en (i): Reemplazando 1 H a H a H a 1
a
1 a
H a H a
sen d
du
v
cos a sen cos 2 d
H a
cossen . asen
sen ase n sen d a
...(i )
sen a sen
a 1 as sen en sen d
1
1 1 a 1 sen as en sen d i ...( ) 1 a
1
1
asen . 1 sen2 d
a
1
sen as en sen d
1
a
1senas en
sen d
1
a
0
0......qq.dd .
Verificar que la función y arcsen xy , satisface a la ecuación diferencial xy ' y y ' 1 x 2 y 2
Sea y arcsen xy y'
xy ' y 1 x2 y 2
y ' 1 x2 y2 xy ' y xy ' y y ' 1 x 2 y 2
xy ' y y ' 1 x 2 y 2
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
x
Comprobar que la funciónx y sen t 2 dt , satisface a la ecuación diferencial 0
y xy ' y 2 sen x 2
Derivando: x 1 y sent 2 dt y sen x 2 0
y xy y 2 sen x 2 Satisface a la ecuación diferencial
y c1e x c2 e 2 x
Comprobar que la funcióny C1 x C2 x
x
sen t
0
t
dt , satisface a la ecuación
diferencialx sen x. y '' x cos x. y ' y cos x 0
Sea y C1 x C2 x
x
sen t
0
t x sen t
y ' C1 y '' C2
C2
x sen t sen x t dt C2 x x C1 C2 0 t dt C2 sen x
0
sen x
dt
C2 cos x
x
sen x C cos x 2 x x sen t x sen t x cos x C1 C2 0 dt C2 sen x C1 x C2 x 0 dt t t x sen x. y '' x cos.'x y y cos x 0 Si satisface a la ecuacion diferencial x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x
xsen x C2
x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x 0
x
Sea h x por
ez
dzz x , 0, e f x x 1
hallar los valores de “a” tal que la función f definida
ah x
satisface
x y' 1 x 3e
x 2 y '' 3x
2
2x
dy
a
la
ecuación
diferencial
0
Derivando:
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
y y
ah x e
x ae x x
3
ah x e
.e ahx
x ee. y a
x2
...(i)
ae x eahx . e x . x xae3e 3 ahx2 x
ah x
x
eahx x a e x. x
.
x6
. 2 2 xe ahx
x4
....(ii )
3x x 2
Multiplicando a i
3x x y 3 x ae x.e 3 xxe ah x
x
2
ahx
2
Multiplicando (x2) a (ii) eex ahx ae e 2ahxx aee 3ahx x ee x2 y a 2 2 x x x 2x Multiplicando 1 x 3e a y :
1 x
3e 2x y
ah x
e a
xahx
2
x
x
e
ah x
x
ah x e
3eah2x x e
x
Sumando los nuevos valores: 3ae2e x ahx ae e 2 2ahxx aee 3ahx aexe ahx e ex 2 2 2 x
x
x
ahx
x
3
2x
0
x
3a 2 ae 2 xa 3 a 3e x 0 x
x
x
3a 2 ae 2 xa 3 a 3e x 0 x
x
x
Verificar x y ln y , satisface a la ecuación diferencial yy '' y '3 y '2 0
Sea y
x ln y
y'
y y 1
y' y '' y 1
2 3
2
y y y 12 y 1 y 1 yy '' y '3 y '2 0 yy '' y '3 y '2 0 yy '' y '3 y '2
yy '
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
sen atdt , a 0, probar que H(a) satisface a la 1 t2 1 ecuación diferencialH '' a H ' a H a 0
Dada la función H a
1
1
a
Derivando: 1 sen atdt H a 1 1 t2 Cambio de variable: t sen
dt
1
1
1
H a
sen a sen .cos d
cos
cos d
1 sen a sen d
1
1 cos a sen .sen d 1 H a sen a sen .sen2 . d 1 H a
Entonces:
H a
1 H a
a Integrado por partes:
1
1
1
1 sen
H a
1
cos as en sen d. a
du sen d. cos asen
dv sen a sen cos d .
1
1
1
sen a sen cos2 d
u cos
a sen . 1 sen2 . d
sen a sen
v
a sen sen cos
d .
cos d 2 0 0
H a
1 H a H a
H a
1 H a H a 0....qq.dd .
a Respuesta:
a 1 cos as en sen d . ii ....( ) 1 a
Reemplazando (i) en (i):
1
1
a
sen sen 1acos
1
d
.
a
a
1 H a H a H a 0 a
Si x t t t s et s e s ds, calcular el valor dex '' t 2x' t x t 0
Derivando: t t x t t.t e et
x t 0
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
....(i )
t
2 x t x t 0
x t
t s s e e s .ds
t
x t 2x t x t
Probar que la función y
2
1 k
x
k R t senh
x t dt ,
0
satisface a la ecuación
diferencialy '' k y R x
y c1e x c2 e 2 x
Probar que la función y C1 x C2 x
x 1 y
diferencialx 2 y '' x 2
x y'
2
et
x
t
dt , x 0 satisface a la ecuación
0
2 et
y c1 c2
x
t
.dt
x.e x x
...(i)
ex x e ...(ii) x Multiplicando porx 2 x a (i ) : y c2
x2 x y c1 x 2 x c2 x 2 x
2
et
x
t
dt
x2
x ex
2) a (ii): Multiplicando por (x 2 x 2 x x y c2 xe x e
También: x 2 y x 2 x y
x 1 y
0.....qq.dd .
x 2 y x2 x y x 1 y 0 Dada la función y C1 ln x C2 x x 2 ln 2 x. y '' x ln x,'y
e
x
lnx 1 y 0
dt ,1x , satisface a la ecuación diferencial
ln t
y
c1 x
e dt 1 c2 x x ...(i ) n t n x
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
n x 1 x c1 1 x ...(ii ) y 2 c2 2 x n x n tx
Multiplicando: x n x a (i)
yxn x
c1n x c2 x n x
e
dt
x
n t
x2 e
1 x 2 c nx 1 cx nx2 También: n x 1y c n
1
x
dt n t e
Sumando: x 2 n 2 x.y x nxy nx 1 y
dt
2c2 x 2 nx x 2 c2 x x nt
No se cumple la igualdad de la ecuación diferencial No satisface a la ecuación diferencial x
Demostrar que la función x x 1e
3x
u
x
1
x 2 ' x
diferencialx 2 '' x
0 u 1e du para , x 0, satisface a la ecuación
x e2 x x 0
x
x
x u e du 1 .
u e1 du . u.
u
.
x12 e .e 0 x 12 e 1 1 x . x e x . x x
x0
x
x
x
ex 1 1 e x e x x . x 2 . x 2 x x x x x x 2 x x xe x x e x xe x 1 x 0 No satisface a la ecuación diferencial
No satisface a la ecuación diferencial Dada la función y ln y x
1 ln y y '' y '2 2.xy e
x
x
0
2
e t dt ,
satisface a la ecuación diferencial
2
y n y y 1 e x y n y y
2
2 1 y y 2 xe x
y
y 1 ny y y
2
2
2 xy.e x .....qq.dd .
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
y 1 n y y y 2 xy.e x 2
2
k
Demostrar que la función y x x 2 1 , satisface a la ecuación diferencial
1 x y xy k 2
2
0
y
y
x
k 1
.1 212 1 1 1 . 1
x2 1
k x
x
y k x
x2
k 1
2
x2
x
x
2
ky
y
x2 1
kyx y
2
1k 2 x y 2 x2 1 2 x 1
1
Probar quela función x (t)definida por: x t ecuación diferencial tx
x3t
1 1 t2
2
dx
1
x 0
2
t2
2
, satisface a la
0
Sea x t
x t '
dx
1
x 0
2
t2
2
1
1 t
2 2
1 t4
1 1 1 dx 4 30 2 2 2 2 t t1 tx t
txt' xt 3
1 t 1 t2
tx ' t
1 No satisface al ae cuación diferencial 1 t
3x t
2
1 2
1
2 2
2 2
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Demostrar que la funciónf (a, b) 2
f a3 b 2
diferencial3ab
ax3 bx 2
0
f f b 212 b a
e
dx, satisface a la ecuación
y
Probar que
2 0
x
1
cos(mx nsen ) cos n d , satisface a la ecuación diferencial
y m 22n x 2 n 2 y 0
Sea yx
y'
y'
1
2 0
2 0
cos(mx n sen ) cos n d
1 1 1 cos(mx n sen ) cos n d x cos(mx n sen90) cos9n 0 cos(mx n sen0) cos0n 2 0 1
2 0
cos(mx n sen ) cos n d x
y '' 1
1 1 m 2 n 2 x 2 n2 x 02 cos(mx n sen ) cos n d
y y m 2 n 2 x 2 n 2
No satisface a la ecuación diferencial
y m 22n x 2 n 2 y
Probar que y dy2 dx 2
asenz b cosz
0
xz
dz , satisface a la ecuación diferencial
a b
y x x
2
Sea y
0
asenz b cosz dz x z
y' 0 y '' 0
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
d 2y dx
2
d2y dx 2
asenz b zcos
y 0
xz
dz
y No satisface a la ecuacón diferencial
Verificar que las funciones y1 x , y2
1 x
, x 0 , satisface a la ecuación
diferencial2 x 2 y 3 xy y 0
Sea y1 y1 '
x
1
2 x 1 y1 '' 3 4x 2
x 2 y '' 3 xy ' y x 2 y '' 5'xy
1 1 3 5x 2 x 4x 2
x2
x
y 0 No satisfacea la ecuación diferencial
Verificar que las funcionesy1 x 2 , y2
ln x x2
, x 0 , satisfacen a la ecuación
diferencial x 2 y 5 xy 4 y 0
Sea
x2 y1 ' 2 x y1 '' 2 y1
2
2
2
x y 5 xy 4 y 2 x 5 x 2 x 4 x x 2 y 5 xy 4 y 0 No satisface a la ecuación diferencial
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Demostrar que la función y diferencial 1 x
y 1
2
2 0
log sen2 x 2 cos 2 d , satisface a la ecuación
x 1 x y y log 2
Sea
y
log sen2 x 2 cos 2 d
2
0
2
y ' ln sen 90
ln x
y ' ln 1 y ''
x cos90
ln sen 0 x 2 cos 0
2
2 x
2 2 1x 1 x ln 1 ln x 2 x y 02 log sen2 x 2 cos 2 d x 1 2 1 x y 1 x y y log 2 No satisface a la ecuación diferencial
1 x y 1 xy y 2
qx cos
Dada la funciónu e 2
diferencialx
d u du dx 2
dx
A B xlog sen
0
d 2
satisface a la ecuación
q 2 xu 0
Demuestre que la función y
e xz dz
1 z 0
2 n 1
, satisface ala ecuación diferencial
xy 2 ny xy 1
Si H t
x2
e cos tx 0
dx , para todo, probarque H t
1 H t 0 2
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Sea
0 e cos tx dx H t ' e cos 1 H t '' e cos e sen 1 H t H t 0 Si satisface a la ecuacion diferencial 2 H t
x2
2
Si Gt
x 2 t e dx x 0
, probar que :G t
G2t
0
Gt
G t
2 t x e dx x 0
2
2 t x x
2
e 0
Gt
dxt x .2 x x2
2 t x x
2 xte2 0
2
dx
0
.
Respuesta: No se cumple la igualdad de la ecuación diferencial
Verificar si la función y c1e barcs enx c2 e barcs enx es la solución de la ecuación diferencial 1 x 2 y xy b 2 y
0
y c1e barcsenx y
bc1
c2e
barcsen x
bc
1 x2
.ebarcsenx
2
1 x2
b
c1.ebarcsenx c2e 1 x b 2 x barcsenx y c1.e c 2e 2 1 x2 y
barc sen x
.e
barc sen x
2
y xy
b2
1 x 2
barcsen x
bbc e
1 x 2
1
. barcsenx bce 1 x2
1 x 2 barcsen x
2
y
Respuesta: 1 x 2 y x x 3 y b 2 y
0
No se cumple la ecuación diferencial
Verificar que y
2
3
2 1 y es la solución diferencial de las circunferencias
de radio r = 1
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
2
2
Demostrar que :y e x (c1 c2 e x dx) es la solución de la ecuación diferencial y 2 xy 2 y 0 2
2
y e x c1 c2 e x dx 2
2
y 2 xe x c1 c2 e x dx y 2 xy c2
y
e
x2
.c2e x
2
2 y 2 xy
Respuesta: y 2 xy 2 y 0....qq.dd .
Probar que la funcióny t y t y t
t
t s sen
f s ds es una solución en I de
0
f t que satisfacey 0 y 0 0 , donde f es una función continúa
sobre el intervalo I, el cual contiene cero.
t
0 sen t s
y t
t s ds
Según la regla de Leibnitz: F y
Df x y dx, f h y y h y h y
Dy
g y
y
,f g y y g y
t
0 D sen t s f s ds sen t t f t y t cos t s f s ds y t 0 cos t 0 y t
t
t
t
,
sen t 0 f 0 0 s f s ds
Recordemos: f t t 0
f o y 0 y
0 0
Respuesta: y t y t f t ....qq.dd .
t s 1 f s ds es la solución dey t f t 0 n 1! 1 y 0 0 dondef es continúasobre un intervaloI n
Demostrar quey t
y 0
y 0
...
t
n
n
con que
contiene al cero.
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
1 ts 0 n 1 ! f s ds t s fs1 . ttdsft t . f y t D 0 n 1! n 1! 2 n 1t s f s f s ts . y t 0 1 n 2 ! n y t y t y 0 y 0 f 0 0 n
t
y t
n
t
t
n
0 1. 0 n 1! n
0
n 1
t
Respuesta: n y t f t ...qq.dd .
Comprobar quey 2
0
x
2 dy e s ds c es la solución de dx
e x x
y2
x
0
2
e x ds c
2 dy 1 0 2.e x . dx 2 x Respuesta.
dy dx
e x
0
2
....qq.dd .
x
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias( x a)2 ( y b) 2 arbitrarias.
r 2 , en el plano xy, siendo a, b y r constantes
2
EC . circunferencia: (x h) +(y Dx : 2(x )h 2( y )k y' =0
2
2
k) =r
Dx2 : 1+y' 2+yy''
ky'' 0 1+y'2 +yy'' k= y'' 2 Dx : 0=(2y'y''+y'y''+yy''')y'' y '''(1+y' 2 +yy'') ''(1 y' ' ) 3y ''2 ' y0 2 y y '''(1 y '2 ) 3 y ''2 y ' 0 Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la cisoides y2
x3 ax
y2
a x
1
x3 ax
x3 y2
despejamosa
derivamos
3x 2 y 2 2 x 3 yy ' y4
2'x3 y y( y 2 3x 2 ) 2'x3 y y( y 2 3x 2 ) Hallar la ecuación dife rencial correspondiente a las rectas con pendiente y la intercepción con el eje x iguales.
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
EC . recta: y=mx+b dado que x=m donde la pendiente: y'=m=x. se observa que para: y=0 x=y' b= x 2 'y 2 y mx b y y ' x y '2
y '2 xy ' y r cuyas pen diente y sus Hallar la ecuación diferencial de la familia de ectas intercepciones con el eje y son iguales.
EC . recta: y=mx+b dado que y=m donde la pendiente: y'=m=y. se observa que para: x=0 b =y . y mx b y' y'x y ydy ( x 1)dy 0 ydy ( x 1) dy 6
Hallar la ecuación diferencial de la familia de rectas cuya suma lagebraica de las intercepciones con los ejes coordenados es igual a k.
EC. recta y mx b ...................................(a) se : sabe ' que y
m del: enunciado . x y k
para A( ,x0):
b y ' x. para B( ,y0):
b y remplazando en (a ) : y R y ' x y y
y ' x . yR y'( k remplazando y R en (b ) :
y R).......( b)
' y x y y' k ( y' x y) (' xy)(1 y ') y' ky 0
y ') ky ' 0 ( xy ' y)(1
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
y2 Hallar la ecuación diferencial correspondiente a las estrofoides
x 2 (a x ) ax
y2
x 2 (a x )
ax ay 2 xy 2 x a 2x 2
2
3
despejandoa
3 2
a (y x3 )x 2 xy x xy a 2 derivando y x2
(3 x 2 y 2 2 xyy')(y 2 x 2 ) 2( x 3 xy 2 )(')yy 2 2 y x (x 4 4x 2 y 2 y 4 ) dx 4 x3 ydy 0 0
x
( x 4 4 x 2y 2 y 4 )dx 4 x3 ydy 0 Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de circunferencias ( x a)2 ( y b)2 b constantes.
r 2 , de radios fijos r en el plano xy siendo a y
2
2
2
EC. circunferencia: (x h) +(y k) =r y k r 2 (x h 2 ) derivando y'
( x h ) derivando r 2 (x h 2 )
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
( x h) 2 r 2 (x h 2 ) y '' multiplicando (x por h) 2 2 r (x h) ( x h) ( x h )3 y ' y '3 y '' 2 2 2 2 3/ 2 xh r (x h ) r (x h)
r
2
(x h 2 )
(x h) y '' y '(1 y '2 )...............................................(1) por otro lado : (x h) 2 +(y k ) 2 =r 2 derivando h 2(x )+2(y k)y'=0 derivando (y )y''= y' 2 1................................................(2) k Elevando (1) y (2) al cuadrado y sumando se tiene:
(x h) +(yk y ) y 2
2
''2 '2 (1 y '2 ) 2 (1 y '2 ) 2
yr 2 ''2 y (1 y'2 ) 2 (1 '2 )
(1 y '2 )3 r 22y '' (1 y '2 )3 r 22y '' Encontrar laecuación diferencial cuya solución gener al es dada:
y x 2 C1e x C2 e 2 x Sea
x 2 C1e x C2 e 2 x y ' 2 x C1e x 2C2 e 2 x y '' 2 C1e x 4C2 e 2 x
y
2 C1e x 4C 2 e2 x 2 x C1e x 2C2 e 2 x 2 x 2 C1e x C2 e 2 x
y '' y ' 2y
2C1e x 2C 2 e2 x 2 x 2 x 2 2C1e x 2C 2 e 2 x y '' y' 2y 2 1 x x 2
y y '' y ' 22
y '' y' 2y 2 1 x x 2 y C x C e 1
x
2
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Sea
C1 x C2 e x y ' C1 x C2 e x y '' C1 x C2 e x x 1 y '' xy' y x 1 C1 x C2ex x C1 x C2e x y
x 1 y'' xy'
C1 x C 2 e x
0
y
x 1 y'' xy' y 0 y x C1e x C2 e 3 x Sea y x C1e x
C 2 e 3 x y ' 1 C1e 3C2 e 3 x y '' C1e x 9C2 e 3 x x
C2e 3 x y '' 4y ' 3 y C1e x 9
4 1 C1e x 3C2e
C1e x 9 C2e 3 x 4 C1e y '' 4 y' 3 y 3 x 4 y '' 4y ' 3 y
x
12 C2 e
3x 3x
3 x C1e 3 x 3C1e
x
x
C2 e
3C2 e
3x 3x
y '' 4 y' 3 y 3 x 4 y C1e 2 x cos 3 x C2 e 2 x sen 3 x Sea y C1e 2 x cos 3 x C2 e 2 x sen 3 x x 2C1122 cos 3 x 3C e x sen 3 x 2C e x sen 3 x 3C e x cos 3 x y' e 2222 x y '' 4C1111 e2222 cos 3 x 6C e x sen 3 x 6C e x sen 3 x 9C e x cos 3 x x x 4Ce22222222 sen sen 3 x 3Ce 6 x xCcos e 3 x 6 Ce x cos x3 9 2x 2x 2x y 3 y 4C1e cos 3 x 6C1e senx3 Ce 6 1 x sen y ''4' C e 3 x 9 1 2 x cos 3 x x 4Ce2222 2222 sen x 3Ce 6 x xCcos e 3 x 6 Ce x cos x3 9 sen 3 2x 22x x 4 2Ce11222 xcos x 3Ce 3 x C sen e 3 x 2 Ce sen x3 3 cos 3
Ce1
y y ''4'3
2x
cos x3 Ce
2
x2 x sen 3
y0 y ''4'3 y y0
y Ae2 x Bxe2 x
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Sea y Ae 2 x
Bxe2 x y ' 2 Ae2 x 2 Bxe2 x Be 2 x y '' 4 Ae2 x 4 Bxe2 x 4 Be2 x x y '' 4y' 4 y 4 Ae2 x 4 Bxe2 x 4 Be 2x 42 Ae2 2 Bxe2 xBe2 x
4 Ae2 x Bxe2 x
y ''4 y '4 y 0
2
2
y e x C1 C2 e x dx
y ''4' y 4y 0
Sea y C1e x
2
2
2
C2e x e x dx
y ' 2 xC1e x 2
2
2
2
C2 2 xe x e x dx 1
C e dx
y ' 2 xe x C1 C2 e x
2
2
2
x
2
2 xe x y C2
y
2 x2
y '' 4 x e y
x2
2
2
2
2
2'xe y 2e x y 4 x 2ex y 2 xe x 2 xe x y C2
2e
x2
y
y '' 2 xy ' 2 y 0
y '' 2 xy ' 2 y 0 1
1
y Ae x Be x 4 x3 y '' 6 x 2 y ' y 0 y C1 x.
2 x3
e dx C 2 x x2
y '' x 2 y ' xy 0 ax b ay b c ,a b, c, constantes arbitrarias y C1e ax cos bx Cax2 e sen bx,, a b parámetros
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Sea
C1e ax cos bx Cax2 e sen bx ax y' aC1122 eax cos bx bCax e sen bx axaC e sen bx bC e cos bx 2 ax ax ax ax e cos bx abC e sen bx abC e sen bx b 2C e cos bx y '' a C1111 2 a C e2 ax sen bx a bC e ax2 bx cosa bCeax 2 bx cos b C eax 2bx2 sen y '' 2ay ' a 2 b 2 y 0 y
y '' 2ay ' a 2 b 2 y 0 y A cos x
x sen x
B sen x
x cos x , A, B constantes
Sea
A cos x Ax senx B sen x Bx cos x Asen x A sen x Axcos x B cos x B cos x Bx sen x y ' Ax cos x Bx sen x y '' A cos x Ax senx B sen x Bx cos x x Ax senx B sen xy '' 2 y' 2 xy x A cos x Bx cos x 2 Ax cos x Bx sen x A cos x Ax senx B sen x Bx cos x xy '' 2 y ' 2 xy 0 xy '' 2 y ' 2 xy 0 y
y '
x A sen wt b
x A sen wt b dx dt
A cos wt b w
dx 2 dt 2 dx 2 dt 2 dx 2 dt 2
A sen wt b w 2 w x2
A sen wt bw
2 w A
2 b wt sen
w2 x 0
d2x
w2 x 0
dt 2
Encontrar la ecuación diferencial que describa la familia de circunferencias que pasan por el srcen.
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
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h) 2+(y k) 2=r 2..................(1) (1) : como tiene centros en el(0,0) origen entonces O en 2 2 2 (x h)+ (y k )= r (0 )+ r h2k r 2 2 2 h 2 (0 k )= 2 2 2 (x ) h+(y k) h= 2k 2 ............ ............................(2) derivando (1): Dx :2 ( x h ) 2( y k ) y '= 0 .......................................(3) ) y'' y '2 0 Dx :1 ( y k y '2 1 y k .................................................. .....(4 ) y '' y '2 1 y k y '' (3) (4) en ( ) x h remplazando y despejando y '( y '2 1) xh ................................................... .(5) y '' y '( y '2 1) h x y '' remplazando (4), (5), h y k en (2) se tiene : EC . circunferencia: (x
2
2
y '( y '2 1) y '2 1 y '( y '2 1) x y '' y '' y '' ( x2 y2 ) y '' 2( y '2 1)( y xy ') 0
22
y '2 1 y ''
y
y '2 1)( y xy ') 0 ( x 2 y 2 ) y '' 2(
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Encontrar la ecuación iferencial d de la familiaedrectas que pasa por el srcen.
EC.recta : y mx b......................(1) se sabe que : m
y '.
para el punto O(0,0)
comunes : para todos
b0 1) :remplazando en ( y y'x0 y y'x 0 xy ' y 0 Determinar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el srcen y cuyos centros están en el eje x.
h) 2+(y k) 2=r 2 sec : umple que como pasa por el origen hrk 0 (x r ) 2 +(y 0) 2 =r 2 2 x xr2 r 2 y 2 2=r x2 y 2 2 r ......... derivando EC . circunferencia: ( x
x
0
(2 x 2'yy ) x ( x 2 y 2 ) x2 2
2
2 xyy ' x y 0 2 xyy ' y 2 x 2 Halle la ecuación diferencialde la familiade circunferenciascuyos centros están enel eje y.
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h) 2+(y k) 2=r 2 como sus centros estan en el eje y se cumple que : h0 (x 0) 2 +(y k ) 2 =r 2 .........derivando 2x 2( y )k y'=0 .......... derivando despejando k se tiene : EC . circunferencia: (x
y k y'
x ....................... derivando y'
y ' xy '' y '2
y ' 3 xy '' y'0 y '3 xy '' y '0 Encontrar la ecuación diferencial de la familia de parábolas con vértice en el srcen y cuyos focos están en el eje x.
k) 2=4p(x h) como tiene vertices en el origense c umple que : h 0k 0 EC . parabola: ( y
y 2 =Cx y2 =C .........
derivando
x
2 xyy ' y 2
0
x2 2 xy ' y
2 xy ' y Halle la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y2 2x .
LT : y y0 donde y
2
y '( x0 ) ( x x0 )......................(1) 2x .
Dx :2 yy ' 2 y ' y '( x0 )
1 y0
1 y
..........................(2)
y0 2 2 x0 remplazando (1) en:
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y y0
1
D x : y0
y0
(x 1
y'
y 2 (0 )
2
)
y0 constante.
.................. ................. .......(3)
remplaando(3) en(2) : 1 1 y '( x 2 ) y 2y ' y' y'(y 2 xy') 1 0 2 xy ' y Halle la ecuación iferencial d de lafamilia decircunferencias que tiene su centro sobre el eje x.
EC . circunferencia: (x
h) 2+(y k) 2=r
2
como sus centros estan en el eje x se cumple que :k 0 (x h) 2 +(y 0) 2 =r 2 .........derivando 2(x )h 2 yy' =0 ......... derivando 1 yy '' ' y 2 0
y '2 yy '' 10 Halle la ecuación diferencial de la familia de parábolas con el eje focal paralelo al eje x.
y
V h, k
0
EC. parabola: (y
Fh
p k,
x
k) 2=4p(x h) .................................(1)
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como tiene 3 constantes drivamos tres veces la ecuación (1) :
2( y k ) y ' 4 p................................................................(2) 2 2( y k ) y'' 2y ' 0 ( y k ) y '' y '2 0.....................(3) ( y k ) y ''' y ' y '' 2 y' y '' 0 ( y k ) y ''' 3 y ' y '' 0....(4) de(3) y(4) : '''y' 23 y ' '' y 0y 2 y '2 y ''' 3 y ' y ''2 0 Obtenga la ecuación diferencial de l familia de parábolas cuyos vértices y focos están en el eje x.
EC . parabola: ( y
k) 2=4p(x h)
con vertices en el eje x se cumple que
:
0 y 2 =C(x h) y2 =C ......... derivando xh 2 2( x h) yy ' y 0 ( x h) 2
y
y
0
k
2( x )h ......... derivando y' y'2 yy '' 2= y '2 2 ' y yy '' 0
x V h, k
F h p k,
yy '' y '2 0
Obtenga la ecuación diferencial de l familia de circunferencias que pasan por (0,-3) y (0,3), y cuyos centros están enel eje x.
h) 2+(y k) 2=r 2........(1) como sus centros estan en el eje x se cumple que : EC . circunferencia: (x
k
0....................................................................(2)
del grafico para el punto A(0, 3)
(0 h)2 +(-3 0) 2 =r 2 2 2 h9=r ....................................................(3)
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(2) y (3) en (1) ( x h) 2 y 2 h 2 9......................................(4) Dx : 2( x h )2 yy ' 0 ' x h yy' .........................(5) h yy x (5) (4) remplazando en : 2 2 ( yy ') y ( x yy ') 2 9 2 xyy ' x 2 y 2 9 0 2
2
2xyy ' x y 9 0 Halle la ecuación diferencial de todas las circunferencias que pasan por los puntos (2,2) y (-2,2).
EC . circunferencia: ( x
h) 2+(y k) 2=r 2..............(1)
para el punto (2, 2)A :
(2 h)+2 (2 k )=2 r 2 2 4( h 2 k)2 8h k ......................................(2) r para el punto 2, 2) :B( ( 2 h) 2 ( 2 k )2 r 2 2 4( h 2 k )2 h8 k ......................................(3) r (1) de (2) y se obtiene :que h . k remplazando h en (3) y en (1). r 2k 2 kk4( k ) 8 2 2 8.....................................................(a) 2 (x+k) +(y k )2 =r 2 ................................... derivando 2(x+k) 2( y k ) y '=0
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k x yy ' k ..............................................................(4) y' y ' 1 rem plazando h y (4) en(1) se tiene: xk 2 2 ( x k ) ( )r 2 k22 8re m pla za ndo k y' x yy ' x x yy ' 2 x yy ' 2 y ' 1 2 (x+ ) ( ) 2( ) 8 simplificando: y ' 1 y' y ' 1 y
k
x
( x2 y 2 2 xy 8) y' ( x2 y 2 2 xy 8) dy
( x 2 y2 28 xy )
dx
0
( x 2 y2 2 xy 8) 0
Halle la ecuación diferencial de todas las líneas tangentes a la curva y2 x
LT : y y0 donde y
2
y '( x0 ) ( x x0 ).............................(1) x y 20 x
Dx : 2 yy ' 1 y'
0
......................(2)
1 2y
y ( x0 ) 1 ..........................(3) 2 y0 (2) y (3) en (1) : 1 y y ( x y 2 0 )................................( a) 0 2 y0
'
2
x y 20 2y0 y y 2 0 ...... se, sabe que y:0 constante Dx : 2 y0 y ' 0 1 0 1 y0 ................................ ............(5) 2y ' (5) en ( a): 1 1 2 y y '(x ( ) )...........simplificando 2y' 2y ' 2y'(2y 4 xy '1 ) 1 2y'(2y 4 xy ' 1) 1
Halle la ecuación diferencial de todas las circunferencias tangentes a la recta y x .
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y
y
x
C h, k r
c
P x, y
x
0 EC . circunferencia: (x
h) 2+(y k) 2=r 2.............(a)
su centro C(h,k) : si EC .recta L; es y x 0. seadlñadistaciadelcentrodelacircunferenciaalarectaL d ( h ,k ), L
hk
hk
(1)2 (1)2
r
..........................(b) 2
( b )e n (a ) : d eriva n d o :( x
h ) 2+(y k ) 2=r
2
h
2
k ..................(*) 2
D x : 2(x h) 2(y ) '....( ) k )y'=0 xhy ky c ( 1 y '2 2 2 D x 1 y' ( y k) y'' =0 y k .....( ) d y '' ( d ) en c( ) : (1 y '2 ) xh y '....... ..... ..... ..... ..... .... ..... .( e ) y '' (d ) (e) : ( y ' 1)(1 y '2 ) yxk h f ..................( ) y '' rem p la za n d o( d), ( )e y( f) en(*) :
(1 y '2 ) y '' (x
2
1 y '2 y ''
y '
y ) y'' 2
(x
2
1 ( y ' 1)(1 y ' 2 ) x y 2 y '' 2 y )' y ' 2' y 1 y ' 2
2
2 2
( x y ) y ''2( x y ) y'' 2 y ' 1 y ' Por un punto p(x,y) de un curva que pasa por el srcen, se traza 2 rectas paralelas a los ejes coordenados, las que determinan un rectángulo con dichos ejes . halar laecuación diferencialde la curvade modo que esta dividaal rectángulo formado en dos regiones, donde el área de la parte derecha sea el triple del área de la parte izquierda.
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del enunciado se tiene :
4 4 A ydx 3 3 derivando : 4 xy ' y y simplificando : 3 3 xy ' y xy
3 xy ' y 1 Halle la ecuación diferencial de todas las tangentes a la parábola x2 2 y 1 .
Sea L la rec ta tangente a l a parabola en el punt o P (x 0 ,y 0 ) luego su ecuacion sera : LT : y y0 donde :y
y '( x0 ) x x0 .............(1)
x2 1 y x' 2 2
y '( x0) x0 y0
x0 2
2
1 2
x2 1 0 x x x 0 ( y xx0 ) 2 2 Dx : y ' x0 ...............(3)
de(1)y:
(3) en (2) :
x0 2 0
2
1 .....(2) 2
2 xy' y'22 y 1 0 2 xy ' y '2 2 y 1 0
Halle la ecuación diferencial de todas las normales de la parábola y2 x .
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y LN
LT
P y0 , x0
0
x
sea LN la ecuacion de la recta normal sera en el punto (a b , ):
mN x x0 ..........................................................(1) donde m N es la pendiente de la re cta normal : propiedad : mN .mT 1 ...............................................(2) del grafico : b 2 a .....................................................(3) 1 . 2 yy ' 1 y' . Entonces el valor de la Dx : y 2 x 2y 1 mT ......(4) pendiente enelpunto de tangencia (,) a b es : y ' 2b 1 m : N . 2b 1m Nb 2 ...........(5) Ree mplazando (4)en (2) (5) y (3) en (1) :y b= 2b(x b 2 ).........................................(6) LN : y y0
viene a ser la ecuacion de la familia de rectas normales pedidas como hay una constante derivamos una vez : y ' 2b b
y'
2
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,(7)
finalmente, remplazando (7) en (6) :
y
1 1 2 y ' y '( x y' ) 2 4 1 1 y y ' y '( x y '2 ) 2 4
Determinar la ecuación diferencial de todas las curvas planas y=f(x) tal que la
ley que incide en ellas, partiendo de una fuente puntual fija, es reflejada hacia un segundo punto fijo. Suponer que los puntos fijos son (a,0) y (-a,0).
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y '.............................................................(1) ( 2 ) luego : 2( ) 2 .................(2) tg tg tg de (2) tg : ( )tg (2 ) 2 .....(3) 1 tg tg. 1tg 2 tenemos :tg
ademas : y
pero : tg
y
y ', tg
ytg
a x
ax
y
remplazandoen (3): y y a x a x y y 1 . a x a x
2
y' 1 y '
simplificando : xyy'2 ( x22 y a 2 ) y ' xy
xyy '2 ( x22 y
a 2 ) y ' xy
y v yiii x 2 1
x2
y 2 ydx
derivamdo :
2 x 2 yy ' y
2 yy ' 2 x y 0 Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que cumple con la siguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de una curva de la familia se trazan las rectas tangentes y normal a ella, el área del triangulo formado por
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x 2 y0
dichas rectas con el e je y es igual a
2
, donde y0 es la coordenada del punto
en que la tangente corta al eje y.
en el pu nto A (0,y
N) 1 ( x 0) y'
LN : y y N
y N . y 1 ...............(1) y' paraelpuntoB (0, y0 ) LT : y y0
y '(0x ) y0 y y ' x.......................(2) sec umpleque xy ( y y0 ) x .............(3) Area 0 N 2 2 remplazando (1) y (2)en (3): set iene
y '2 ( x 1) yy ' 10 y '2 (1 x) yy ' 10 Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisface la condición siguiente: ”si por el punto p(x,y) de un curva, en el primer cuadrante ,se traza las retas tangentes y normal a ella, siendo T el punto de intersección de la tangente con eleje OX y N el punto de intersección de normal la con el ejeOY, entonces el área del triangulo TON es igual al xy/2, donde O es el srcen de las coordenadas.
LT : y 0 y ' x xT
x
y y'
xT ..................................(1)
LN : y y N y ' x 0 x y yN .................................(2) y' xy del enunciado :A x yT N .......(3)
2
remplazando (1) y (2) en (3) :
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x y xy x y y' y' xyy '2 xyy''2 x 2 y y 2 y ' xy simplificando : y ' x 2 y 2 xy ( x 2 y 2 ) y ' xy Hallar la ecuación diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente condición:”si por un punto cualquiera p(x,y) de una curva de la familia se trazan las rectas tangentes y normal a la curva, y si además A es el punto de intersección de la recta normal con la recta y=x y B es la intersección de la recta tangente con la recta y=x, entonces el segmento AB tiene longitud 2.
p( x,)y , A( x0 , y0 ), B ( x1 , y1 ) por dato : AB
2
2 AB 2..................(1) 2
( x1 x0 ) 2 ( y1 y0 )2 ......(2) pero : x0 y0 x1 y1 ............................(3) remplazando (3) en (2) : porteoria : AB
AB 2
( x1 x0 )2 ( x1 x0) 2 2( x1 x0 )2 ...(4) igualando (4) y (1):(x 1 x 0 ) 2 1................(5) y x1 para LT : y ' y ' x y ' x1 y x1 x x1 y'x y x1 .....................................(6) y ' 1
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1 y x0 x0 x yy ' x0 y ' y ' x x0 yy ' x ......................................(7) x0 y ' 1 remplazando (6) y (7)en (5)se tiene : para LN :
2
y ' x y yy ' x simplificando : y ' 1 y ' 1 1 ( y'2 1)2 ( x y ) 2 ( y '2 1) 2 ( y '2 1)2 ( x y)2 ( y '2 1) 2 0 Halar la ecuación diferencial perteneciente a las cardioides r a (1 sen ) .
r a (1 sen ) dr d dr d
a cos
r
(1 sen )
remplazando a: cos
simplificando :
(1 sen )dr r cosd 0 (1 sen )dr r cosd 0 Hallar la ecuación diferencial perteneciente a la estrofoides r a (sec tg ) .
r a (sec tg )derivando dr d dr
a(sec tg sec2 ) a(sec tg ).sec
d dr d
r.sec
dr r sec d generales: Encontrar la ecuacióndiferencial delas siguientes soluciones senh x cosh x a) y A B , A, B constantes x x
x y 3 tan 3 x C , C constante 4 2 4
b) tanh
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x b ,, a b constantes arbitrarias a 2x 2 x d) y C1e C2 e C3 xe 2 x , C1 , C 2 , C3 constantes c) y a cosh
Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio 1 con centros en la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
h) 2+(y k) 2=r 2 como sus centros estan en la recta y x secumple : y x, h k . (x h) 2 +(y h ) 2 =1.....desarrollando x 2 2hx h 2 y 2hy2 h 2 =1 2h 2 h2x (y x ) y( 2 2 1) 0 resolviendo la EC . cuadra tica EC . circunferencia: (x
h
2(x
2( x y)
y)
x2 2 4.2.(
y 2 1)
2.2 y2 2 2....... derivando y xy ' x yy ' 0 1 y ' 2 xy x 2 y 2 2 2h (x y )
2 x xy
y ') 2( x y ) 2 ( x y )(1 y ') 0 (1
(1 ') y 21/2 (
x) y 2( x) (1y
2
2
') y
(1 y ')1/ 2 2 ( x y)2 ( x y) 2 (1 y ')2
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Hallar la ecuación diferencial de todas las parábolas con eje paralelo al eje y, y tangente a la recta y=x. y
yx
EC. parabola propiedad '
x h 2 4 P( y k)..............(1) y 1.................................(2) xa
Dx : 2( x h) 4 py ',
yx
aplicando(2).
2(a h ) p 4 a h p 2 .........................(3) ademas ( a ,b ) (a,a ) ( recta y x).E n (1) (a h )2 p4a k( ) 2 ...........................................(4)
0
x
remplazando(3) en(4) :
4 p 2 4 p (a k ) p a k a p k ..........(5) (5) en(3) :p k h p 2 p k h ....(6) (6) en (1): (x h ) 2 k 4( h y k )( )..................(7) (7) viene a ser la familia de parabolas pedidas : 2(x-h)=4(k-h)y'....................................................(8) 2 4( k hy ) '' k h
1 ...........................(9) 2 y '' y' remplazando (9) (8)en : h x ..........(10) y '' 1 y' (10) en (9) : k x . .......................(11) 2 y '' y '' (9), (10) y (11) en (7) : y' 1 1 y' ( ) 2 4( )(y ) simplificando x) y '' 2 y '' 2 y '' y '' '2y 2 '' 2yy ' 2xy ' 1y
y '2 2 yy''2 xy''2' y 1
Hallar la ecuación diferencial de las curvas tales que la tangente en un punto cualquiera M forme un ángulo con el eje OX y que verifique
4
siendo
el ángulo que OM forme con el eje OX.
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g tg
t
4
(
)
y x tg = y 1 tg tg . 1 1. 4 x x y y' x y tg
4
tg
1
y '
x y x y
En la práctica, un cuerpo B de masa m que va cayendo (tal como un hombre que desciende en paracaídas) encuentra un resistencia del aire proporcional a su velocidad instantánea v(t). Usar la segunda ley de Newton para encontrar la ecuación diferencial de la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera.
Aplicando la segunda ley de Newton;
Fma se sabe que:a
dv
k
vg
dt
mg
FA
kv
mg kv ma m dv dt
dv dt dv dt
k
g v m
k m
vg
dv dt
m
Un circuito en serie contiene un resistor y un inductor, tal como se muestra en la figura. Determinela ecuación diferencialedla corrien te i(t) si la resistencia es R, la inductancia es L y la tensión aplicada es E(t).
por la ley de kirchoof : vR
v L E( t )
vR iR
v
L
di dt
remplazando L
di dt
Ri E( t )
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
INGENIERÍA DE SISTEMAS
L
di dt
Ri E (t )
Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor, tal como se muestra en la figura. encuentre la ecuación diferencial para la carga q(t) del capacitor si la resistencia es R, la capacitancia es C y el voltaje aplicada es E(t).
por la ley de kirchhoff : vR vL
E( t )
vR iR
v C
Q
C remplazando
1 C
idt Ri E
1
idt C
(t )
1 C
idt Ri E
(t )
¿Cuál es la ecuación diferencial e la velocidad v deun cuerpo de masa mque cae verticalmente a través de un medio que opone una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea ?.
Aplicando la segunda ley de Newton;
Fma se sabe que:a mg k v
dv dt dv dt
2
g
k m
v2
ma m k m
dv
mg
dt
FA
dv
kv 2
dt
v2
g
dv dt
Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI
k
v2
g
m
INGENIERÍA DE SISTEMAS
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