2- Chapitre I -Généralité sur l'élasticité-

CHAPITRE I

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I- Définition L’élasticité est la propriété physique d'un corps de reprendre sa forme initiale après suppression de la sollicitation. Le corps est parfaitement élastique s'il retrouve complètement sa forme originale après suppression de la charge. Il est partiellement élastique si la déformation produite par les forces externes ne disparaît pas complètement lorsque celles-ci sont annulées. L'expérience montre que, si l'on ne dépasse pas une limite de déformation et donc une contrainte donnée (appelée limite élastique), les matériaux tels que l'acier et les alliages métalliques en général peuvent être considérés comme parfaitement élastiques [7].

II- Tenseur des contraintes Quand un corps est soumis à l'action de forces extérieures, des contraintes s'établissent, par réaction, à l'intérieur de ce corps. Aux contraintes sont associées des déformations. Tant que le comportement du corps se situe dans le domaine élastique, les relations existant entre les contraintes et les déformations sont définies par la théorie de l'élasticité linéaire des milieux continus. Les deux principales hypothèses de cette théorie sont: -

Que les propriétés du corps sont homogènes et ne varient pas d'un point à l'autre.

-

Qu'elles sont les mêmes dans toutes t outes les directions.

Cette seconde hypothèse implique que le milieu est est isotrope.

r

r

r

Figure I.1 : Vecteur contrainte sur les facettes i , j et k en M. r

r

r

Les composantes du tenseur des contraintes (Figure I.1) dans le repère (i , j , k ) sont :

(I.1)

9

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CHAPITRE I

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r

Figure I.2 : Vecteur contrainte sur la facette i en M

III- Tenseur des déformations Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes).

 ε  xx ε =  ε yx   ε zx

ε ε  ε ε  ε ε  xy

xz

yy

yz

zy

zz

(I.2)

L'état de déformation d'un solide est décrit par un champ de tenseur, t enseur, c'est-à-dire que le tenseur des déformations est défini en tout point du solide. On parle de ce fait de champ de déformation. Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le tenseur des déformations est relié au champ de contrainte par la loi de Hooke généralisée.

III.1 Champ de déplacement Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement. Soit A un point du solide au repos ; après déformation, il devient le point A’. On r

appelle déplacement du point A le vecteur u ( A) = AA' r

(I.3)

On peut relier le tenseur des déformations au champ de déplacement : (I.4)

Avec : i, j = (x, y, z)





CHAPITRE I

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IV- Elasticité tridimensionn tridimensionnelle elle Par rapport à un repère ortho normale (O, x 1, x2, x3), considérons un solide quelconque isotrope, linéaire et homogène soumis à des contraintes extérieures. Pour bien définir le comportement entre le système et les contraintes extérieures, on doit donc écrire les différentes relations entre contraintes ( σij), déformations (ε (εij) et déplacements (Ui).

IV.1 Système d’équations en trois dimensions On a besoin besoin de définir 15 équations pour résoudre résoudre un problème problème d’élasticité en en 3 dimensions.

IV.1.1 Loi de HOOKE (isotrope) : Dans le domaine élastique linéaire, la loi de Hooke relie la déformation à la contrainte exercée par l'intermédiaire du module de Young. En 1678, en s'appuyant sur l'expérimentation, Robert Hooke, (1635-1703), établit que, dans le domaine élastique linéaire, l'allongement d'une structure dans une direction donnée était proportionnel à l'effort appliqué dans cette direction, et ceci pour plusieurs matériaux . Si l'on se ramène à la contrainte de traction et à l'allongement unitaire par unité de volume, la loi de Hooke prend alors la forme (I.5). ( I.5). Loi de Hooke dans le cas d’un matériau homogène isotrope :

ε =

σ

(I.5)

E

Avec: ε : allongement σ : contrainte E : module de Young Dans le cas d'un matériau isotrope, si l'on reprend en compte le coefficient de Poisson ν, ν, la loi de Hooke devient :

ε ij =

1 +ν E

σ

ij

−

ν E

σ

kk

δ ij

[6 équations]

(I.6)





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On peut les expliciter autrement sous la forme [2]:

ε   ε   ε   ε   ε    ε

   22    33     23    13    12  11

=

                

1

−ν

− ν

E

E

−ν

E 1

E

E

−ν

− ν

E 1

E

E

E

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

− ν

0

0

0

0

0

0

1 + ν E

0 1 + ν E 0

 0   0    0    0    0   ν 1+   E 

 σ 1 1       σ 2 2       σ 3 3       σ 2 3       σ 1 3        12 σ  

(I.7)

Les relations ci-dessus peuvent être inversées pour donner (I.8)

Avec δij le symbole de Kronecker et εkk est une notation abrégé de la trace du tenseur des déformations (somme des termes diagonaux du tenseur). Ces relations permettent de décrire le l e comportement élastique linéaire d’un matériau.

IV.1.2 Loi de Hooke généralisée (matériau anisotrope) Dans le cas d'un matériau anisotrope, on définit la contrainte et la déformation localement par un tenseur 3×3, le tenseur des contraintes [ σij] et le tenseur des déformations [εij]. Le comportement élastique du matériau est alors modélisé par un tenseur d'ordre 4 [C ijkl] contenant 81 coefficients élastiques. Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur. On a [4]: (I.9) En appliquant la sommation sur les indices k et l. Du fait de ces propriétés de symétrie, le tenseur C ijkl peut être représenté sous la forme d'une matrice 6x6, où les directions représentent les directions de la déformation.





CHAPITRE I

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(I.10)

ε 11      S 1111 ε 22  S 2211 ε    33  S 3311 Ou  = γ  23  S 2311 γ   S  13   1311 γ 12   S 1211

S 1122 S 2222 S 3322 S 2322 S 1322 S 1222

S 1133 S 2233 S 3333 S 2333 S 1333 S 1233

S 1123 S 2223 S 3323 S 2323 S 1323 S 1223

S 1113 S 2213 S 3313 S 2313 S 1313 S 1213

S 1112   σ 11  S 2212 σ 22    S 3312 σ 33  S 2312  τ 23  S 1312  τ 13  S 1212   τ 12 

(I.11)

Pour simplifier l'écriture, on adopte souvent une notation de 1 à 6, avec les axes de compression/traction compression/traction notés de 1 à 3 et les axes de cisaillement notés de 4 à 6. Remarque : 

[σ ] = [C ][ ][ε ]

avec [C ] Tenseur des rigidités



[ε ] = [S ][][σ ]

avec

[S ] Tenseur des complaisances élastiques.

IV.1.2.1 Signification des contraintes élastiques a. Termes diagonaux. Il y a deux types [2]: - Ceux du type S iiii (i ∈ [1,3]), qui sont les rapport des déformations normales aux contraintes normales dans les directions principales, soit :

S

iiii

=

ε = 1 σ E ii

(I.12)

i

ii

Les coefficients S iiii sont les inverses des modules E i. - Ceux de types S ijij (i, j ∈ [1,3]) qui sont les rapport des glissements aux contraintes des cisaillements soit :

S

=

ij

=

1

(I.13)





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Ainsi les six modules d’un matériau anisotrope sont les inverses des termes diagonaux du tenseur S.

b. Termes non diagonaux On définit d’abord, les coefficients de couplages suivants :

i. Coefficients de Poisson ν ij Ils correspondent aux rapports de la déformation transversale à la déformation dans la direction de la contrainte uniaxiale σ ii appliquée, les autres contraintes étant nulles :

ε ν ε ij

=

jj

(I.14)

ii

ii. Coefficients de LEKHNITSKII Il y a deux types : 1) Coefficients d’influence mutuelle de 1

ère

espèce : η i , jk (= η ii , jk )

Ils caractérisent l’allongement dans la direction i, rapporté au glissement du à une contra trainte de cisaille llement dans le plan (j, k); σ jk ≠ 0 , les autres contraintes étant nulles :

η i , jk =

ε γ

ii

(I.15)

jk

2) Coefficients d’influence mutuelle de 2

ème

espèce : η ij , k ( = η ij , kk )

Ils caractérisent le glissement dans le plan (i,j) rapporté à la déformation due à une contrainte normale dans la direction k,

η ij ,k =

σ

kk

ij

(I.16)

ε

kk

iii. Coefficients de CHENTSOV : η ij ,kl Ils caractérisent le glissement dans le plan (i, j), rapporté au glissement du à une contrainte de cisaillement dans le plan (k, l) :







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Ces coefficients de couplage couplage étant définis, il est est possible de détailler les termes non diagonaux :

S

- Ceux du type :

S avec

= iijk

σ

Soit :

jk

S

iijk

; (σ jk ≠ 0)

   jk ε ii .  ⇒ S iijk = S γ jk jkjk jk   S jkjk 

ε σ γ ii

=

= iijk

η

i , jk

G

(I.18)

(I.19)

jk

S

- Ceux de type :

; (σ kk ≠ 0)

ijkk

  S ijkk = σ kk  ⇒ S ijkk = γ ij . S kkkk ε kk ε kk  avecσ kk = S kkkk  ij

Soit :

S

= ijkk

η

ij , k

(I.20)

(I.21)

E

k

S

Ceux de type :

γ S = σ γ avecσ = ij

ijkl

kl

kl

ijkl

; (σ kl ≠ 0)

  γ ij  ⇒ = . S klkl  S ijkl γ kl  

(I.22)





CHAPITRE I

S =

  1   E 1 −  ν 12  E 1   − ν 13   E 1  η  23 ,1  E 1   η 13 ,1   E 1  η  12 ,1   E 1

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−

ν

21

−

ν

31

E 2 1

−

E 2

E 3

ν

1

−

23

E 2

E 3

ν

32

E 3

η

η

E 2

E 3

23 , 2

23 , 3

η

η

E 2

E 3

13 , 2

13 , 3

η

η

E 2

E 3

12 , 2

12 , 3

η

η

G 23

G 13

1, 23

1,13

η

η

G 23

G 13

η

η

G 23

G 13

2 , 23

3 , 23

1

G 23

η

13 , 23

G 23

η

12 , 23

G 23

2 ,13

3 ,13

η

23 ,13

G 13 1

G 13

η

12 ,13

G 13

  G 12  η 2 ,12   G 12   η 3,12   G 12  η 23 ,12  G 12  η 13 ,12   G 12   1  G 12 

η

1,12

(I.24)

Du fait de la symétrie s ymétrie du tenseur S, (S ijkl = Sklij), on a les relations suivantes :

ν = ν ij

ji

(I.25)

E E i

j

  = G jk E i   η ij ,kl η kl ,ij  =  Gkl Gij 

η

i , jk

η

jk ,i

(I.26)

Ainsi, pour définir complètement un matériau dans le cas le plus général d'anisotropie, il faut trois modules d'Young, trois modules de cisaillement, trois coefficients de poisson, trois coefficients de CHENTSOV et neuf coefficients de LEKHNITSKII. Cependant, si le solide admet des plans de symétrie géométrique et mécanique, le





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Dans ce cas on a neuf constantes élastiques indépendantes dans la matrice des complaisances d’un matériau spécialement orthotrope pour un état de contrainte tridimensionnelle (I.28).

ε 11    ε  22  ε   33    γ  23  γ   13  γ 12 

=

 1   E 1   −ν 12   E 1  −ν 13   E 1   0   0    0  

ν

−

21

ν

−

31

E 2 1

−

E 2

E 3

−

ν

E 3

23

ν

32

1



0

0

0

0

0

0

E 2

E 3

0

0

0

0

0

0

0

0

1

G 23

0 1

G 13 0

0 

   0    σ 11    σ 22  0  σ 33      τ 23  0  τ   13   τ 0  12    1  G 12 

(I.28)

IV.1.4 Les équations d’équilibres Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes : ∂ ∂

σ X

ij

+ X

i

= 0

[3 équations différentielles scalaires]

(I.29)

j

Les X i sont les composants des force volumiques.

IV.1.5 Les équations géométriques Les équations géométriques s’écrivent sous la forme : 1  ∂U i

∂U j   + ε ij = 2  ∂ xi   ∂ x j


(I.30)





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V- Elasticité bidimension bidimensionnelle nelle V.1 Système d’équations en deux dimensions On considère que le solide dans le plan (0, x1, x 2), dans ce cas, tous les inconnus qui dépendent de (x 3) sont négligeables, alors les 15 relations précédentes se réduisent à 8 équations à résoudre.

V.1.1 Loi de HOOKE 1. Milieu isotrope

ε ij =

1 +ν E

σ ij −

ν

trace(σ ij )δ ij E

[3 équations]

(I.31)

Avec : i, j=1 ,2

2. Milieu anisotrope La loi de Hooke dans un milieu anisotrope s'écrite sous la forme suivante :

ε = α σ + α σ + α σ ε = α σ + α σ + α σ γ = α σ + α σ + α σ

(I.32)

  S en C .P Où α ij =  ij C ij en D.P; 

(I.33)

11

11

11

12

22

16

12

22

12

11

22

22

26

12

12

16

11

26

22

66

12

Avec :

=

C S ij

ij

−

S 3S S 33 i

j3

; i, j = 1,2,6.

3. Milieu orthotrope

(I.34)





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 1     E 1 ε 11   ν 21 ε 22  =  −    E 1 γ 12    0  

−



ν

0 

12

 σ 11    0 σ 22    τ   12 1  G12 

E 2 1

E 2 0

(I.35)

Il y a donc quatre constantes élastiques indépendantes que sont les deux modules d’Young E1 , E2 , le module de cisaillement G 12 et le coefficient de Poisson ν12 . L’autre coefficient de poisson ν21 est obtenu par les propriétés de symétrie de la matrice des rigidités par rapport à sa diagonale.

E 1 = E 2

ν

(I.36)

ν

12

21

V.1.2 Les équations d’équilibres ∂ σ ij ∂ X j

+ X i = 0

[2 équations]

(I.37)

Avec : i, j= (1 ,2) Les Xi sont les composants des force volumiques.

V.1.3 Les équations géométriques Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :

ε

ij

=

1  ∂U i

 2  ∂ x j 

+

Avec i, j = (1,2)

∂U j   ∂ xi 


(I.38)

2- Chapitre I -Généralité sur l'élasticité-

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