Chapitre 2 - Ecoulement Surface Libre

Chapitre 2 : Écoulement permanent à surface libre

Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale

Ch 2 : Ecoulement à surface libre

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Plan • • • •

Hypothèses et définitions Écoulement uniforme Écoulement graduellement varié Écoulement brusquement varié



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Plan • • • •




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Hypothèses • Écoulement permanent En un point, les grandeurs caractéristiques de l’écoulement (hauteur d’eau vitesse, débit) restent identiques dans le temps. Ces grandeurs peuvent par contre varier d’un point à l’autre.

• Écoulement continu Le débit est le même partout dans le canal ou la rivière.

• Écoulement bidimensionnel On tient compte de la largeur de la rivière, mais le niveau d’eau ne varie pas transversalement.



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Différents types d’écoulements • Écoulement uniforme

• Écoulement graduellement varié

• Écoulement brusquement varié



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Systèmes d’axes Deux systèmes d’axes de référence sont utilisés couramment – Système classique : x y z – Système associé au fond de la rivière : s y h – Échelle distordue



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Rappel Bernoulli – écoulement en conduite

H = z+

Cote piézométrique

HHHH

= z+

Charge

p

HHHH

HHHH

γ

1

2

Bernoulli Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale

=

+

p

γ

v² 2g

+ J1− 2

v12 p2 v22 z1 + + = z2 + + + J1− 2 γ 2g γ 2g p1


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Comparaison écoulement en conduite/à surface libre

Conduite Cote Piézométrique H

H = z+

γ

+

Niveau de la surface libre

v² 2g

= z+h+

J1− 2 =

HHHH


p

γ HHHH

Perte de charge J

= z+

H = z+h

p

HHHH

HHHH

Charge H

Surface libre

1

2

−


v² 2g

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Définitions Aire mouillée A Surface occupée par l’eau dans une section transversale de l’écoulement

Périmètre mouillé P Longueur opposant un frottement à l’écoulement dans une section transversale de l’écoulement



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Définitions Hauteur d’eau moyenne hm

hm =


A L


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Définitions Rayon hydraulique Rh Rapport entre l’aire mouillée et le périmètre mouillé A Rh = P Plus Rh est grand, plus la section est « efficace »

Thalweg Le thalweg est une ligne de fond définie par les points où le lit de la rivière est le plus profond dans chaque section transversale Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Différentes pentes

S 0 = sin φ Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Plan • • • •




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Écoulement uniforme Dans un canal de pente constante et dont la section transversale ne varie pas (canal prismatique,…), l’écoulement est dit uniforme si : – La profondeur, la section mouillée et la vitesse moyenne restent constantes en toute section du canal. – La ligne de charge, la surface libre et le fond du canal sont parallèles.

En pratique : – Au sens strict rarement réalisé – Dans canal artificiel (section et pente constante), écoulement « à peu près uniforme » – En rivière naturelle, certains résultats du mouvement uniforme utilisables si lignes d’eau et de fond +/- parallèles Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Écoulement uniforme

z 2 − z1 • Pente de fond S 0 = = sin ϕ s2 − s1

S0 = S w = S f

• Pente de la surface libre Sw • Pente de charge Sf Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Écoulement uniforme - Chézy

Équilibre des forces selon s (volume de contrôle de longueur ds) • • • • •

FR = τ P ds avec τ = kV ² Force de frottement Poids propre de l’eau – composante en s FG , s = γ A ds S 0 Pression sur les parois latérales (1) (pas de composante en s) Pression au fond et pression atmosphérique (2)(pas de composante en s) Pression hydrostatique (3) (résultante nulle car mouvement uniforme)



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Écoulement uniforme - Chézy

Équilibre des forces selon s

∑F

s

= 0 ⇒ FR = FG , s

τ P ds = γ A ds S 0 kV ² P ds = γ A ds S 0 γ A V=


k P

V = C Rh S 0 C = Cœfficient de Chézy

S0


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Écoulement uniforme - Manning • Nombreux essais réalisés pour déterminer C en fonction du matériau du canal (20 à 80 m1/2/s) • Problème : C dépend du matériau et du rayon hydraulique • Manning propose une formule V = C Rh S 0

V=

C=

1 1/ 6 Rh n

1 2/3 Rh S 0 n

• n = Coefficient de Manning (m/s1/3) tableau suivant le matériau du canal



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Écoulement uniforme - Manning Parfait



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Écoulement uniforme - Manning

Parfait



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Écoulement uniforme - Manning Débit en fonction de la géométrie de la section et de la pente de fond

1 2/3 V = Rh S 0 n

Q = AV


ARh2 / 3 Q= S0 n


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Manning – section rectangulaire l est la largeur au plafond (fond du canal ou de la rivière) h est la hauteur uniforme (hauteur d’eau en mouvement uniforme)

A=lh

ARh2 / 3 Q= n

P = l + 2h

Rh =

 lh  l h  l + 2 h  S0 =  n

 Q n (l + 2h )2 / 3   h= 5 / 3  S  l  0  Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale

A lh = P l + 2h

2/3

S0

5/3 ( l h) = 2/3 n(l + 2h )

S0

3/ 5

On trouve h par itération


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Exemple – calcul hauteur uniforme l =10 m Q = 25 m³/s n = 0.014 m/s1/3 (béton) S0 = 0.001 Quelle est la hauteur uniforme h ? Ex : valeur de départ h = 2 m

 Q n (l + 2h ) h= 5/ 3  S l  0

2/3

Étape 1 :

Étape 2 :

   

3/ 5

 Q n (l + 2h )2 / 3   h= 5 / 3  S  l  0 

Étape 3 : h = 1.155 m


h = 1.216 m 3/ 5

h = 1.159 m

Étape 4 : h = 1.155 m


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Manning – section rectangulaire

h << l A=lh

P = l + 2h

Rh =

A lh = P l + 2h

Rh ≈ h

ARh2 / 3 l h5 / 3 Q= S0 ≈ S0 n n  Qn h≈ l S 0 

   

3/ 5



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Exercices • 4 exercices • 18 QCM



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Plan • Hypothèses et définitions • Écoulement uniforme • Écoulement graduellement varié – – – –

Introduction et hypothèses Perte de charge Propagation de l’information Axes hydrauliques




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Rappel – écoulement uniforme



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Introduction



28

Introduction



29

Introduction



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Introduction – différents types d’écoulements • Écoulement uniforme

• Écoulement graduellement varié




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Écoulement graduellement varié En écoulement graduellement varié, la hauteur d’eau et la vitesse varient progressivement d’une section à l’autre. • Comment caractériser ces écoulements? • Comment la rivière gère-t-elle l’énergie à sa disposition? • Comment savoir quelle forme va prendre la surface libre en fonction des conditions imposées?



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Hypothèses • Filets fluides quasiment parallèles – Pente de la ligne d’eau Sw pas trop éloignée de la pente de fond – Vitesses parallèles pression hydrostatique

• Pente de fond limitée • Canal prismatique Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Gestion de l’énergie - Perte de charge En écoulement uniforme

S0 = S w = S f

énergie gagnée (S0)= énergie dépensée (Sf) en tout point En écoulement graduellement varié

S0 ≠ S w ≠ S f

énergie gagnée (S0) ≠ énergie dépensée (Sf) en tout point MAIS énergie gagnée (S0)= énergie dépensée (Sf) en moyenne Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Propagation d’une perturbation Créons une perturbation à la surface d’un plan d’eau au repos (ex : cailloux jeté dans une marre)

La perturbation se déplace dans toutes les directions avec la même vitesse

c = gh



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Propagation d’une perturbation Créons à présent cette perturbation à la surface d’un cours d’eau où la vitesse de l’eau est V

Si V < c

Si V > c



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Propagation d’une perturbation

• Vidéo Rem : Identique à la propagation du son et au mur du son Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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V


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V=c



41


V>c



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Propagation d’une perturbation V
Régime subcritique

V=c

Régime critique

V>c

Régime supercritique



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Nombre de Froude Nombre de Froude = Rapport entre la vitesse de l’écoulement et la vitesse de propagation d’une perturbation à la surface de l’eau

V V Fr = = c gh

Permet de classifier les écoulements



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Régime critique V Fr = = 1 c

V =c

• Vitesse critique uc = vitesse de l’écoulement identique à la vitesse de propagation d’une perturbation de surface c

Vc = c = gh • Hauteur critique hc = pour un débit donné, hauteur d’eau correspondant à un écoulement dont la vitesse est égale à la vitesse critique 2

h = 3 c


Ql

g 1 − S 02


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Régime subcritique V
V Fr = < 1 c

• V < c : la vitesse moyenne de l’écoulement est inférieure à la vitesse de propagation d’une perturbation • h > hc le tirant d’eau est plus grand que celui qui correspond au régime critique • Le régime est dit subcritique (ou fluvial), une perturbation peut dés lors remonter de l’aval vers l’amont Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Régime supercritique V >c

V Fr = > 1 c

• V > c : la vitesse moyenne de l’écoulement est supérieure à la vitesse de propagation d’une perturbation • h < hc le tirant d’eau est plus petit que celui qui correspond au régime critique • Le régime est dit supercritique (ou torrentiel), une perturbation ne peut pas se propager de l’aval vers l’amont Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Exercices • 13 QCM



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Introduction et hypothèses Perte de charge – Énergie spécifique Propagation de l’information Axes hydrauliques




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Faible pente – Forte pente de fond • La forme des lignes d’eau va être différente suivant qu’on se trouve en forte pente de fond ou en faible pente de fond • La distinction n’est pas purement géométrique, on détermine si le canal présente une faible ou une forte pente de fond en fonction du débit et de la comparaison entre hauteur uniforme et hauteur critique • Pour un débit donné, il existe trois possibilités : – hu > hc : le canal est en faible pente de fond (écoulement uniforme subcritique) – hu = hc : le canal a une pente critique (écoulement uniforme critique) – hu < hc : le canal est en forte pente de fond(écoulement uniforme supercritique) Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Faible pente – Forte pente de fond Pour un débit donné, la hauteur uniforme et la hauteur critique varient en fonction de la pente :

Pour les valeurs courantes de pente (0

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Axes hydraulique – Faible pente de fond



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Axes hydraulique – Forte pente de fond



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Axe d’amont – Axe d’aval Si à un endroit de la ligne d’eau, h > hc, cela signifie que l’aval peut influencer l’amont (écoulement subcritique) la ligne d’eau est un axe d’aval Si à un endroit de la ligne d’eau, h < hc, cela signifie que l’aval ne peut pas influencer l’amont (écoulement supercritique) la ligne d’eau est un axe d’amont



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Méthode choix axe hydraulique • Calcul de la hauteur uniforme • Calcul de la hauteur critique • Comparaison des deux hauteurs calculées – hu > hc : le canal est en faible pente de fond choisir parmi les axes M (mild slope) – hu < hc : le canal est en forte pente de fond choisir parmi les axes S (steep slope)

• Choisir l’axe en fonction des indications données sur l’amont ou l’aval du problème • Quand on n’a pas d’information sur l’amont ou l’aval on suppose que l’axe tend vers la hauteur uniforme • Particularités quand on traverse la hauteur critique Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Exemple1 Calcul de la hauteur uniforme hu



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Exemple1 Calcul de la hauteur critique hc

Faible pente de fond – axes de type M



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Exemple1 • Aucune perturbation à l’amont • Lac à l’aval



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Exemple2 Calcul de la hauteur uniforme hu



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Exemple2 Calcul de la hauteur uniforme hc

Forte pente de fond – axes de type S



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? Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Plan • • • •




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Introduction

Un écoulement brusquement varié se caractérise par : • Une variation rapide de la hauteur d’eau et de la vitesse moyenne Les filets fluides ne peuvent plus être considérés comme parallèles • Une perte de charge brutale au niveau de la discontinuité (à rapprocher des pertes de charge locales en conduite) • En écoulement permanent : ressaut stationnaire Bureau d'études du génie civil Hydraulique fluviale


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Ressaut stationnaire Ressaut hydraulique stationnaire : brusque surélévation de la surface libre d’un écoulement permanent. Passage d’une hauteur h1 < hc (supercritique) à une hauteur h2 > hc (subcritique)



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Ressaut stationnaire

• • • •

Profondeurs conjuguées : h1 et h2 Hauteur du ressaut : h2 - h1 Longueur du ressaut : λ Perte de charge : J



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Ressaut stationnaire La longueur du ressaut peut être estimée à l’aide de formules empiriques, dont les plus usuelles : λ = 6 (h2 − h1 )

ou

λ = 6 h2

Dans un canal de section rectangulaire, on peut calculer : – La hauteur conjuguée

 h1  8Q ² h2 = 1+ − 1 3 2  2 gL h S ² 1 − 1 0   – La perte de charge au droit du ressaut 3 ( h2 − h1 ) J=

4 h1h2



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Ressaut stationnaire – classification On peut classifier les ressauts hydrauliques en fonction du nombre de Froude dans la section amont

V1 Fr1 = gh1 Fr1>1 car écoulement supercritique



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Ressaut stationnaire – classification 1 < Fr1 < 1.7 Ressaut ondulé La surface de l’eau présente des ondulations, proche du régime critique qui est instable



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Ressaut stationnaire – classification 1.7 < Fr1 < 2.5 Ressaut faible De petits rouleaux apparaissent, la surface de l’eau reste lisse à l’aval



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Ressaut stationnaire – classification 2.5 < Fr1 < 4.5 Ressaut oscillant Jet oscillant tantôt vers le fond du canal, tantôt vers la surface. A chaque oscillation une onde irrégulière se propage vers l’aval (à éviter)



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Ressaut stationnaire – classification 4.5 < Fr1 < 9 Ressaut stable Extrémité des rouleaux et endroit où le jet rapide quitte le fond sont sur la même verticale (dissipation de 45% à 70% d’énergie)



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Ressaut stationnaire – classification Fr1 > 9 Ressaut raide Jet rapide perturbé par la retombée des rouleaux, ondes importantes vers l’aval (dissipation de plus ou moins 85% d’énergie)



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Ressaut



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Mascaret • Ressaut du à la brusque montée du niveau aval d’un fleuve à cause des marées



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Ressaut circulaire



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Utilisation du ressaut • Dissipateur d’énergie – A l’aval d’ouvrages générant des écoulements rapides (supercritique) – On essaie de créer un ressaut stable – Pour forcer la position du ressaut, on crée des bassins de dissipation



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Ressaut noyé • Parfois, le ressaut est refoulé contre l’ouvrage hydraulique (ex : vanne de fond) – Un matelas d’eau apparaît (zone de remous) – La loi de débit de l’ouvrage hydraulique est modifiée



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Chapitre 2 - Ecoulement Surface Libre

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