Hyperfréquences Chapitre 2 : Paramètres S Doc.Ing. IMANE HALKHAMS
Plan 1- La matrice [S] 2- Matrices [S] élémentaires 3- Propriétés de la matrice [S]
Plan 1- La matrice [S] 2- Matrices [S] élémentaires 3- Propriétés de la matrice [S]
Plan 1- La matrice [S] 2- Matrices [S] élémentaires 3- propriétés de la matrice [S]
Matrices impédances et admittances La matrice [S ], matrice de répartition ou (( scattering matrix )), est l’outil de base pour l’étude des quadripôles ou des multipôles linéaires en hyperfréquence. Les paramètres S , comme nous le verrons, ont un lien direct entre les transferts de puissance entrée↔sortie d’un quadripôle et la puissance est le paramètre le plus facile à mesurer en hyperfréquence. L’intérêt pratique est donc considérable puisque c’est aussi presque exclusivement des optimisations de transfert de puissance qui sont recherchées dans les systèmes hyperfréquences. Dans ce qui suit nous considérerons des quadripôles tels que celui montré cidessous, c’est à dire des fonctions électriques liant un port d’entrée à un port de sortie. I 2
I 1
V 1
Quadripôle
V 2
Tensions et courants appliqués à un quadripôle.
I 2
I 1
V 1
Quadripôle
V 2
Tensions et courants appliqués à un quadripôle. Une méthode usuelle pour connaître la fonctionnalité d’un quadripôle est de connaître sa matrice de transformation courant-tension, la Matrice Impédance, ou tension-courant, la Matrice Admittance, c’est-à-dire :
(1.1)
La connaissance de l’une de ces deux matrices définit totalement la fonction, pour un quadripôle linéaire. Il subsiste toutefois un problème de taille : Comment mesurer les paramètres qui interviennent dans ces matrices ?
(1.2)
ce qui se lit par exemple [( Z 11 égale le rapport de V 1 sur I 1 lorsque I 2 est nul )], on en déduit aisément une procédure de mesure mettant en jeu successivement des mesures en circuits ouverts pour la matrice impédance [ Z ] — respectivement en court-circuit pour la matrice admittance [Y ] — afin d’en déduire les éléments. En hyperfréquences, Ceci pose toutefois le problème essentiel de la disponibilité d’un bon Circuit Ouvert dans le cas de la matrice [ Z ], et d’un bon Court-Circuit dans le cas de la matrice [Y ], afin de réaliser les conditions d’annulation de courant et/ou de tension. Nous sommes amenés à définir une nouvelle matrice, la matrice [S ] qui aura l’avantage d’être mesurable sur entrée et sortie adaptées, usuellement 50 Ω, ce qui résoudra tous ces problèmes.
Coefficients de réflexion en tension et en courant Définissons dans un premier temps les coefficients de réflexion en tension et en courant d’un réseau à un accès représenté Ci-dessous. Ceci présuppose toutefois que l’on découpe le courant et la tension en une Composante Incidente et une Composante Réfléchie, d’une façon analogue à ce que l’on fait en Optique. I Z0 V + -
ZL
E
Générateur d’impédance interne Z0 chargé par ZL. La charge complexe Z L est branchée aux bornes de la source de tension E d’impédance interne Z 0. Il vient alors : (1.3)
On dit qu’il y a Adaptation lorsque l’impédance de charge est conjuguée de l’impédance de source. (1.4) Alors le Courant Incident est le courant à l’adaptation, soit : (1.5) De même la Tension Incidente est la tension aux bornes de Z L à l’adaptation : (1.6) (1.7)
Des deux relations précédentes, on déduit directement :
Le Courant Réfléchi et la Tension Réfléchie sont alors les différences par rapport aux courant et tension calculés aux bornes de Z L. (1.8)
Soit l’expression du courant réfléchi :
(1.9)
et de la tension réfléchie : cela implique que
(1.10) et donc
De ces relations nous déduisons directement les expressions des coefficients de réflexion en courant et en tension : (1.11)
Il apparaît de façon évidente que si Z 0 est réelle alors ces deux coefficients sont égaux et on a : (1.12)
Bien évidemment nous nous placerons en permanence dans ce cas pour des raisons de simplicité. De plus on utilisera souvent l’ Impédance Réduite z telle que (1.13)
on obtient alors :
(1.14)
Ondes incidentes et réfléchies On définit l’Onde Incidente par la relation :
Seule R0 partie réelle de Z 0 subsiste, on obtient :
(1.15)
(1.16)
De manière similaire on définit l’Onde Réfléchie : on aura :
(1.17)
(1.18)
Alors ces définitions impliquent :
(1.19)
Ceci permet d’introduire naturellement la Tension Réduite, v, et le Courant Réduit , i , par (1.20) Les variables réduites v et i possèdent donc une dimension qui est [V ] [Ω]-1/2 pour v, [ A] [Ω]1/2 pour i.
Matrice [S] Considérons à présent le Multipôle à n accès de la figure suivante :
E j Z0j 1
2
n-1
n
Multipôles Schéma générique d’un multipôle.
Nous pouvons généraliser la notion d’ondes incidentes et réfléchies avec les vecteurs (a) et (b) par :
(1.21)
et (1.22)
La matrice [S ] est alors définie par la relation de passage :
(1.23)
Dans le cas particulier où n = 1, on a b = S.a en grandeur scalaire et donc : (1.24) S : représente le coefficient de réflexion de la charge considérée. a2
a1
Quadripôle b1
b2
Schématisation d’un quadripôle
Dans le cas particulier où n = 2, on a alors affaire à un quadripôle, pour lequel on écrit : (1.25)
En conséquence si a2 = 0, ce qui signifie que la sortie du quadripôle est adaptée, alors S11 = b1/a1 est le coefficient de réflexion vu à l’entrée et S21 = b2/a1 est le coefficient de transmission de l’entrée à la sortie. De même, si a1 = 0, ce qui signifie que l’entrée du quadripôle est adaptée, alors S22 = b2/a2 est le coefficient de réflexion vu à la sortie et S12 = b1/a2 est le coefficient de transmission de la sortie vers l’entrée.
Conditions de mesure des paramètres S: On supposera dans toute la suite que l’impédance de référence vaut 50 Ω
Conditions de mesure des paramètres S:
Plan 1- La matrice [S] 2- Matrices [S] élémentaires 3- propriétés de la matrice [S]
Matrice d’une impédance série
i1
Z
i2
a1 b1
v1
a2
v2 b2
Impédance série sur une ligne. Considérons une impédance z en série dans une ligne. Les lois de Kirchoff et d’Ohm donnent : (2.1) En utilisant les définitions des ondes incidentes et réfléchies de (1.20), Calculer la matrice [S ]de ce quadripôle.
Matrice d’une impédance série i1
Z
i2
a1 b1
v1
a2
v2 b2
Impédance série sur une ligne. En utilisant les définitions des ondes incidentes et réfléchies de (1.20), on trouve aisément : (2.2)
et donc la matrice [S ] d’une impédance série s’écrit :
(2.3)
Matrice d’une impédance parallèle Considérons à présent une admittance y en parallèle sur un tronçon de ligne. Avec les mêmes raisonnements que précédemment calculez la matrice S correspondante:
Avec:
v = v 1 = v 2 i=yv i = i 1 +i 2
Matrice d’un tronçon de ligne : La matrice [S] d’un tronçon de ligne se détermine simplement en appliquant les définitions des paramètres S issues de (1.25) : (1.25)
Ainsi, nous obtenons :
(2.5)
où Ф = (2πl)/λ est la longueur électrique du tronçon de ligne de longueur physique l .
Changement du plan de référence aux accès
ligne
d’un quadripôle
:
[S]
Z0,Ф1 Tronçon de ligne ajouté en entrée d’un quadripôle de matrice [S] connue Imaginons un tronçon de Ligne placé en entrée d’un quadripôle de matrice [S ] connue. Ce tronçon de ligne apporte un déphasage Ф1 lié à la propagation. Si l’on suppose tout d’abord que la sortie est adaptée, alors a2 = 0 et :
– le coefficient de réflexion en entrée subit deux fois le déphasage, donc :
(2.6)
– le coefficient de transmission de l’entrée vers la sortie subit une fois le déphasage, donc
Si l’on suppose à présent que l’entrée est adaptée, alors a1 = 0 et : – le coefficient de réflexion vu de la sortie ne change pas. – le coefficient de transmission de la sortie vers l’entrée subit une fois le déphasage, donc :
En résumé, cela conduit à :
(2.7)
Plan 1- La matrice [S] 2- Matrices [S] élémentaires 3- propriétés de la matrice [S]
Matrice S et puissance: Considérons le composant à 4 ports suivant:
b2 On suppose qu’il existe une onde incidente sur le port 1, alors que toutes les autres ondes incidentes sont nulles: a2=a3=a4=0
a2
b3
a1
a3
b1
b4
a4
Les paramètres sont alors calculés:
S21 ; S31 ; S41
Matrice S et puissance: Comment s’assurer que toutes les autres ondes incidentes sont nulles?
b2
Broncher à la terminaison des ports une impédance adaptée.
a2=0 b3
a1
b1
a3=0 a4=0
b4
Si les ports sont terminés par des impédances adaptées, ZL =Zo, alors
an=0.
En d’autres termes, terminer un port c’est s’assurer qu’aucune onde incidente n’existera sur ce port.
Matrice S et puissance: Remarquez que pour les ports chargés par une impédance adaptée, la tension est égale à la somme des ondes incidentes et réfléchies.
am+bm Et puisqu’il n’y a pas d’onde incidente, alors:
0 + bm Ainsi, nous pouvons exprimer les paramètres S d’un port par:
Ceci peut servir pour déterminer les paramètres S quand m≠n, (ex: S21, S43, S13)
Matrice S et puissance: Maintenant, si les autres ports ne sont pas chargés par des impédances adaptées ? La sortie à n’importe quel port est égale à la somme des ondes transmises vers ce port. Ainsi, pour le port 3 par exemple:
b3 34. 4 + 33.3+ 32.2+ 31.1 D’une manière générale: bm ∑ Smn. an
Matrice S et puissance: Composant adapté, réciproque: Un composant adapté, veut dire que l’impédance d’entrée de chaque port est égale à Zo, et que les autres ports sont chargés par des impédances adaptées également.
En conséquence, le coefficient de réflexion à chaque port est nul. En d’autres termes: bm Smm. Am = 0, pour tout m.
Ainsi: Smm = 0, pour tout port m adapté.
Nous remarquons donc qu’un port adapté représentera toujours une matrice S dont la diagonale est nulle. Ex:
Matrice S et puissance: Composant adapté, réciproque: Pour un composant sans pertes, toute la puissance délivrée à un port devrait éventuellement en sortir !!
An d’autres termes, la puissance n’est pas absorbée par le réseau transformation en chaleur.
pas
de
La puissance incidente sur un port m est reliée à l’amplitude de l’onde incidente à ce port:
+
|| 2
Tandis que de la puissance l’onde réfléchie est définie par: || − 2
La puissance absorbée par le composant est donc: || || ∆ + − 2 2
Exercice: Considérons le quadripôle avec la matrice suivante:
0.1 0.7 ( ) 0.7 0.2 Avec Zo=50 . Nous supposons que l’impédance connectée au port 2 est adaptée. L’expression de l’onde incidente sur le port 1 est donnée par:
1 -j 2 − Avec =0.
Calculez: - Les tensions V1 et V2. - Les courants I1 et I2. - La puissance absorbée par le quadripôle.
Matrice S et puissance: Composant adapté, réciproque: Pour un composant sans pertes, la puissance à l’entrée est égale à la puissance à la sortie:
+ −
∆ + − 0 Comment reconnaître la matrice S d’un quadripôle sans pertes? La matrice S d’un quadripôle sans pertes est dite unitaire, c’est-à-dire que ses colonnes sont orthogonales: - La somme de ses colonnes est égale à 1.
= || 1 - Et le produit des colonnes similaires est nul.
= . ∗ 0
Matrice S et puissance: Composant adapté: Considérons par exemple un composant sans pertes à 3 pôles. On suppose qu’il existe une onde incidente sur le port1 et que tous les autres ports sont terminés par des impédances adaptées. La puissance incidente sur le port 1est donc: || + 2
La puissance de l’onde réfléchie est définie par:
−
||
|. | =|. | . + 1
La puissance totale sortant du composant est:
− − 1 − 2 − 3 |. | . + 1 | . | . +1+|. | . + 1 (|. | |. | +|. | ). + 1 Et puisque le composant est sans pertes, alors la puissance à l’entrée est égale à la puissance à la sortie. D’où: . |. |+|. | 1
Matrice S et puissance: Composant adapté: Si l’onde incident existe sur les autres ports :
. |. |+|. | 1 . |. |+|. | 1 En d’autres termes, les colonnes de la matrice S doivent avoir l’amplitude unité. Un exemple d’une matrice S unitaire:
Matrice S et puissance: Exercice: Soit un composant réciproque à 3 ports avec les paramètres S suivants:
=1/2
=1/ 2
Trouvez les 6 paramètres restants.
=0
Matrice S et puissance: Exercice: Soit un composant réciproque à 3 ports avec les paramètres S suivants:
Nous avons:
=1/2
=0
=1/ 2
1/2 1/ 2 0 Puisque le composant est réciproque, alors:
=
= 1/ √2
=
La matrice devient:
1/2 1/ √2 1/ 2 0
Matrice S et puissance: Exercice: Soit un composant réciproque à 3 ports avec les paramètres S suivants:
=1/ 2
=1/2
Puisque le composant est sans pertes alors:
. |. |+|1/ 2| 1 1/2 |. |+|. | 1 . |. |+|. | 1 . |.|+|. | 1 . |. |+|. | 1 1/ √2
|. | +|0| 1
=0
