INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DECISIÓN
Las empresas toman muchas decisiones cruciales, por ejemplo la de introducir o no un nuevo producto o dónde ubicar una nueva planta. El resultado de estas decisiones puede afectar seriamente la rentabilidad futura de la compañía. El campo del análisis de decisión es el marco necesario para tomar este tipo de importantes decisiones. Las empresas toman muchas decisiones cruciales, por ejemplo la de introducir o no un nuevo producto o dónde ubicar una nueva planta. El resultado de estas decisiones puede afectar seriamente la rentabilidad futura de la compañía. El campo del análisis de decisión es el marco necesario para tomar tomar este este tipo de importa importantes ntes decisiones. decisiones. Una decisión puede definirse definirse como el proceso proceso de elegir la la solución para para un problema, problema, siempre y cuando cuando existan al menos dos soluciones alternativas. Es evidente que deben llevarse a cabo varias acciones antes de tomar una decisión. Estas activida actividades des pueden pueden resumirse resumirse de la siguiente siguiente manera manera (donde (donde T. D.= quien toma toma las decisiones decisiones): ):
Etapa 1. El T. D. D. se da cuenta cuenta que existe existe un problem problema. a. Etapa 2. El T. D. recopila recopila datos datos acerca acerca del problema. problema. Etapa 3. El T. D. elabora elabora un un modelo que describe describe el problema. problema. Etapa 4. El T. D. utiliza utiliza el modelo modelo para generar generar soluciones soluciones alternativas alternativas para para el problema. problema. Etapa 5. El T. D. elige entre las soluciones soluciones alternativas. alternativas. Este Este proceso de toma de decisiones decisiones en 5 etapas puede relacionarse relacionarse con las primeras primeras 3 etapas del proceso de resolución resolución de problemas problemas de CA/IO, CA/IO, estas primeras primeras etapas serán: serán:
1- identificación, observación y planteamiento del problema 2.- construcción del modelo 3.- generación de la solución Las etapas 1 y 2 del proceso de toma de decisiones se relacionan con la etapa 1 del proceso de resolución de problemas; la etapa 3 del proceso de toma de decisiones se relaciona con la etapa 2 del proceso de resolución de problemas. Por último, las etapas 4 y 5 del proceso de toma de decisiones corresponden a la etapa 3 del proceso de resolución resolución de problemas. problemas. En esta sección se utilizan enfoques cuantitativos cuantitativos como cualitativos. Se empleara el concepto de “satisfaciente” “satisfaciente” para restringir el número de alternativas y después se usaran métodos cuantitativos para elegir una de éstas. Ashley Washington Washington fabrica y vende pizzas a estudiantes estudiantes del State Ohio College. College. Al mezclar los Caso: Ashley principales principales ingredientes ingredientes de las pizzas y hornearlas hornearlas por anticipado, anticipado, ha podido hacer que el tiempo de 1
espera de sus clientes sea breve en comparación con el de restaurantes de la competencia. Aunque ha vendido una gran cantidad de pizzas, en ocasiones ocasiones Ashley se ha visto obligado obligado a tirar un gran número de pizzas horneadas con anticipación anticipación debido a que la demanda fue inferior inferior a lo que había anticipado. Por esta razón, está buscando una política que pueda utilizar para decidir cuántas pizzas debe hornear con el objeto de maximizar las utilidades. Ashley ha reducido sus alternativas a sólo 4 posibilidades: hornear 150, 160, 170 o 180 pizzas. Ha estudiado los patrones previos de demanda para determinar el número de pizzas que se solicitaron por día, en los últimos 100 días. Ha encontrado lo siguiente. Número Número de pizzas pizzas que se solicita solicitann 150 160 170 180 Número Número de días 20 40 25 15 Ashley ha determinado que muy pocas veces ha tenido una demanda inferior a 150 pizzas o mayor a 180; por eso redujo redujo las alternativa alternativass por día. Este es un ejemplo ejemplo del uso uso de política política satisfaciente satisfaciente para reducir el número de alternativas. Ashley ha determinado que gana $2 por cada pizza que vende y pierde $1 por cada pizza que no vende. Con esta información es posible construir una tabla de utilidades para cada una de las políticas de número de pizzas por hornear y por cada nivel de ventas. Tabla 1. Tabla de utilidades para la Pizzería Ashley Demanda Demanda de pizzas pizzas Número Número de pizzas pizzas que que se hornean con anticipación
150 160 170 180
150
160
170
180
300 290 280 270
300 320 310 300
300 320 340 330
300 320 340 360
Para ilustrar los cálculos de la tabla 1, considérese el caso en el que se hornearon previamente 160 pizzas pero se vendieron vendieron sólo 150. En esta situación la utilidad utilidad bruta sería $2 x 150 = $300, habiendo perdido $10 por las pizzas que no se vendieron y, por ello, se obtendría una utilidad neta de $290. Es posible utilizar utilizar la tabla 1 para determinar determinar el número de pizzas que deben hornearse hornearse previamente para maximizar maximizar las utilidades de la pizzería. Antes de decidir cuál es la política óptima, Ashley también esta considerando mudar su pizzería a un nuevo local, existen tres alternativas de entre las que puede escoger: escoger: permanecer permanecer donde esta, mudarse a 2
espera de sus clientes sea breve en comparación con el de restaurantes de la competencia. Aunque ha vendido una gran cantidad de pizzas, en ocasiones ocasiones Ashley se ha visto obligado obligado a tirar un gran número de pizzas horneadas con anticipación anticipación debido a que la demanda fue inferior inferior a lo que había anticipado. Por esta razón, está buscando una política que pueda utilizar para decidir cuántas pizzas debe hornear con el objeto de maximizar las utilidades. Ashley ha reducido sus alternativas a sólo 4 posibilidades: hornear 150, 160, 170 o 180 pizzas. Ha estudiado los patrones previos de demanda para determinar el número de pizzas que se solicitaron por día, en los últimos 100 días. Ha encontrado lo siguiente. Número Número de pizzas pizzas que se solicita solicitann 150 160 170 180 Número Número de días 20 40 25 15 Ashley ha determinado que muy pocas veces ha tenido una demanda inferior a 150 pizzas o mayor a 180; por eso redujo redujo las alternativa alternativass por día. Este es un ejemplo ejemplo del uso uso de política política satisfaciente satisfaciente para reducir el número de alternativas. Ashley ha determinado que gana $2 por cada pizza que vende y pierde $1 por cada pizza que no vende. Con esta información es posible construir una tabla de utilidades para cada una de las políticas de número de pizzas por hornear y por cada nivel de ventas. Tabla 1. Tabla de utilidades para la Pizzería Ashley Demanda Demanda de pizzas pizzas Número Número de pizzas pizzas que que se hornean con anticipación
150 160 170 180
150
160
170
180
300 290 280 270
300 320 310 300
300 320 340 330
300 320 340 360
Para ilustrar los cálculos de la tabla 1, considérese el caso en el que se hornearon previamente 160 pizzas pero se vendieron vendieron sólo 150. En esta situación la utilidad utilidad bruta sería $2 x 150 = $300, habiendo perdido $10 por las pizzas que no se vendieron y, por ello, se obtendría una utilidad neta de $290. Es posible utilizar utilizar la tabla 1 para determinar determinar el número de pizzas que deben hornearse hornearse previamente para maximizar maximizar las utilidades de la pizzería. Antes de decidir cuál es la política óptima, Ashley también esta considerando mudar su pizzería a un nuevo local, existen tres alternativas de entre las que puede escoger: escoger: permanecer permanecer donde esta, mudarse a 2
Baxter Street, Street, o mudarse mudarse a Epps Brige Brige Road , su decisión se verá influenciada por acciones externas sobre
las cuales no tiene control. Estas acciones externas son las decisiones que otras personas tomarán. Con la ayuda de un asesor financiero, asesor financiero, Ashley ha pronosticado el valor actual de cada una de las decisiones, tomando en cuenta las dos acciones externas (que se consideran mutuamente excluyentes), junto con la posibilidad posibilidad de que que no ocurra ocurra ninguna de las dos acciones. acciones. Estos valores se se muestran muestran en la tabla 2. Tabla 2. Valores presentes de la decisión de ubicación Acción externa
Decisión
Ninguna
Cerrar los antiguos dormitorios
Construir nuevos departamentos
No mudarse
+ $100,000
+ $50,000
+ $20,000
Baxter St.
+ $40,000
+ $150,000
+ $25,000
Epps Bridge Rd
- $20,000
+ $20,000
+ $ 200,000
Puesto que esta decisión sobre ubicación se tomará sólo una vez, no existen datos previos que puedan utilizarse para auxiliar en la decisión. Análisis preliminar del caso de la pizzería Ashley
En este caso, se enfrenta a dos decisiones que Ashley debe tomar con respecto a la operación del restaurante restaurante de pizzas. La primera primera decisión, que se refiere al número de pizzas que han de hornearse con anticipación, es del tipo de las que deben tomarse todos los días que la pizzería opera. En consecuencia, existen datos previos que pueden utilizarse para ayudar a tomar esa decisión sobre política política y emplearse emplearse para calcular calcular probabilidades, probabilidades, las cuales se generan generan a partir de datos existentes existentes y pueden utilizar utilizarse se para determina determinarr una decisión decisión sobre sobre política política que proporcio proporcione ne el máximo máximo de utilidade utilidades. s. Recordar que la probabilidad de que ocurra un evento. Si p es la probabilidad de que ocurra un evento, entonces 0 ≤ p ≤ 1. Conforme más cercana esté p a 1 es más probable que ocurra el evento. La segunda decisión decisión es del tipo de las que no tienen información previa disponible. Las decisiones de este tipo, se toman sólo una vez. Deben basarse en los resultados posibles que han de ocurrir y en la forma en que éstos afectan a quien toma decisiones, el T. D. puede utilizar criterios de toma de decisiones que no tomen en cuenta las probabilidades. Por otro lado, el T. D. podría utilizar probabilidades probabilidades
3
para determinar una decisión. Las probabilidades subjetivas las genera cada individuo que toma decisiones, sin el uso de datos previos.
subjetivas
Tipos de decisiones
En esencia existen tres tipos principales de decisiones. 1. decisiones bajo certidumbre 2. decisiones en las que pueden usarse datos previos para calcular probabilidades que se emplean en toma de decisiones. 3. decisiones para las cuales existen datos previos que permiten calcular probabilidades. Toma de decisiones bajo certidumbre
En los casos que existe sólo un resultado para una decisión se están tomando decisiones bajo certidumbre. Ejemplos de eso son la programación lineal y la programación en enteros. En ambos casos, si se decide que un grupo de variables sea positivo (es decir, si se toma una decisión) no hay duda con respecto a cuál será la utilidad asociada con esa decisión. Toma de decisiones utilizando datos previos
En los casos en los que debe tomarse una decisión en forma repetida y se tienen muchos resultados posibles, y las circunstancias que rodean a la decisión son siempre iguales, se tiene lo que podría denominarse decisiones utilizando datos previos. Dado que es posible valerse de la experiencia pasada para desarrollar probabilidades con respecto a la ocurrencia de cada resultado, en este tipo de toma de decisiones se utilizan modelos en probabilidades. Son tres las condiciones necesarias para este tipo de toma de decisiones. 1.- las decisiones se toman bajo las mismas condiciones 2.- existe más de un resultado para cada decisión 3.- existe experiencia anterior que puede utilizarse para obtener probabilidades para cada resultado. Si cualquiera de estas condiciones no se cumple, entonces no se considera que es una decisión con base en datos previos. Se contemplará un solo modelo cuantitativo de toma de decisiones para emplearlo en la toma de decisiones empleando datos previos Toma de decisiones sin datos previos 4
En los casos en los que una decisión no se toma en forma repetida, o no existe experiencia pasada que pueda utilizarse para calcular probabilidades, o las circunstancias que rodean la decisión cambian de un momento a otro, se considera que la decisión se toma sin datos previos. Se le denomina así debido a que la misma decisión se toma sólo una vez, y como tal, no existe experiencia pasada que ayudó en el proceso de toma de decisiones. Decisiones alternativas
Cuando un T. D. enfrenta un problema que requiere una decisión, una de las acciones que debe emprender antes de llegar a una decisión, es determinar las alternativas sobre las cuales se basará la decisión final. En el caso de la Pizzería Ashley, Ashley tiene cuatro alternativas relacionadas con el número de pizzas que debe hornear con anticipación (150, 160, 170 o 180 pizzas). También tiene tres alternativas con respecto a la ubicación (no mudarse, Baxter Street o Epps Bridge). Este caso ilustra el hecho de que no hacer cosa alguna es también una alternativa que quien toma las decisiones debe considerar. Observar también que sólo se consideran alternativas en verdad viables. Está es una forma de la característica de satisfaciente que se mencionó antes. Los estados de la naturaleza
Una persona que toma decisiones y que enfrenta una situación de decisión en la que pueden producirse resultados múltiples a partir de una estrategia determinada, enfrenta estados de la naturaleza múltiples o acciones externas múltiples. Los estados de la naturaleza son las circunstancias que afectan el resultado de la decisión pero que están fuera del control del T. D. En el caso de la Pizzería Ashley, en la cual se va a tomar una decisión con respecto a cuántas pizzas deben hornearse, los estados de la naturaleza se refieren a los niveles de demanda para las pizzas. Es decir, Ashley no puede controlar el número de pizzas que le solicitaran una noche determinada; aun así, este nivel de demanda tendrá efectos sobre las utilidades que obtenga por cualquier decisión que tome. Con respecto a la decisión sobre la ubicación, de nuevo Ashley enfrenta tres estados de la naturaleza sobre los cuales no tiene control. Estos estados de la naturaleza están influidos por las decisiones que alguna otra persona tomará con respecto a los antiguos dormitorios y los nuevos departamentos. Las decisiones tendrán un efecto inevitable sobre el valor presente de las utilidades, y esto sin importar qué decisión tome Ashley con respecto a la ubicación. De nuevo, y al igual que en la selección de 5
alternativas, es importante considerar sólo condiciones del medio ambiente que tengan un efecto significativo sobre los resultados. Resultados
Para cada combinación de estrategias y estado de la naturaleza habrá un resultado. Este resultado puede expresarse en términos de utilidades (en el caso del problema de elegir el número de pizzas que deben hornearse), puede expresarse en términos de valores presentes (como en el caso de la decisión sobre la ubicación), o puede expresarse en términos de alguna medida no monetaria. Para determinar los resultados es necesario considerar todas las posibles combinaciones de decisiones y de estados de la naturaleza para determinar el resultado que se obtendría sí se utiliza una alternativa dada y si ocurre un estado especifico de la naturaleza. Por ejemplo, en el problema de la ubicación de la pizzería, si Ashley decidiera no mudarse y cerraran los antiguos dormitorios, se calculo que el resultado sería $50,000. En esa situación, dado que había tres alternativas y tres estados de la naturaleza, existen 3 x 3 = 9 resultados que deben calcularse. En general, si existen k alternativas y n estados de la naturaleza, será necesario calcular (k x n) resultados. Con bastante frecuencia los resultados también se denominan pagos y una tabla de resultados se denomina tabla de pagos. Árboles de decisión
Una forma clara y sencilla de estructurar el proceso de toma de decisiones es por medio de un árbol de decisión. Está formado por nodos de acción, nodos de probabilidad y ramas. Un árbol de decisión los nodos se denotarán con un cuadro ( ) y representarán aquellos lugares del proceso de toma de decisiones en los que se toma una decisión. Los nodos de probabilidad se denotarán por medio de un circulo ( ) e indicarán aquellas partes del proceso de toma de decisiones en las que ocurre algún estado de la naturaleza. Las ramas se utilizan para denotar las decisiones o los estados de la naturaleza. También pueden anotarse probabilidades sobre las ramas para denotar la probabilidad de que ocurra un estado determinado de la naturaleza. Por último, se colocan los pagos al final de las ramas terminales del estado de la naturaleza para mostrar el resultado que se obtendría al tomar una decisión particular, y que después ocurra un estado específico de la naturaleza. Como ejemplo de árbol de decisión, considérese el caso de un profesor 6
universitario que está tratando de decidir si debe llevar o no un paraguas a su trabajo el día de hoy. La decisión de llevar el paraguas se muestra como un nodo de acción en la figura 1.
nodo de acción
nodos de probabilidad
Llevar paraguas
No llevar paraguas
Lluvia (0.6)
Despejado (0.4)
Figura 1. Nodos de acción y de probabilidad
Al final de cada una de las ramas que parten de un nodo de acción habrá un nodo de probabilidades u otro nodo de acción. Los posibles estados de la naturaleza comenzarán en los nodos de probabilidad. También se muestran en la figura 2 los posibles estados de la naturaleza para la decisión del profesor. En este caso, se ha anotado también sobre la rama de probabilidad las probabilidades de que haya lluvia o esté despejado de acuerdo con la oficina meteorológica local. Ahora, si se combinan los nodos de acción y los nodos de probabilidad con los pagos para cada combinación se tiene un árbol de decisión. El profesor ha determinado los diversos pagos asociados con las cuatro posibles combinaciones de decisiones y de estados de la naturaleza. Estos pagos se colocan al final de las ramas terminales de probabilidad. El profesor ha decido los siguientes pagos: Llevar paraguas y que no llueva -1 Llevar paraguas y que llueva + 20 No llevar paraguas y que no llueva + 5 No llevar paraguas y que llueva - 40 Utilizando estos pagos es posible construir un árbol de decisión. Este árbol se muestra en la figura 3
Fig. 3 árbol de decisión para la decisión sobre el paraguas. 7
Lluvia (0.6)
+ 20
Llevar paraguas Despejado (0.4)
Lluvia (0.6)
N o l l ev ar p ar a g u a s
Despejado (0.4)
-
1
-
40
+5
Empleando la terminología de alternativas, estados de la naturaleza, resultados, y arboles de decisión, se analizan estos modelos para la toma de decisiones, tanto usando datos previos como sin utilizarlos TOMA DE DECISIONES SIN DATOS PREVIOS En esta parte se analiza un conjunto de modelos de decisión que pueden usarse sin datos previos. No es posible decir que uno de estos modelos es más correcto que cualquier otro. Lo apropiado de cada modelo depende de la opinión del T. D. y de si éste desea o no utilizar probabilidades subjetivas. Al analizar cada modelo se describe bajo qué circunstancias sería apropiado, se usara el problema de ubicación de la Pizzería Ashley como aplicación del modelo. En los tres primeros modelos no se utilizan probabilidades subjetivas para tomar una decisión, en tanto que en los últimos si se hace. Modelo de decisión del pesimista
La persona que toma decisiones y que es pesimista con respecto a los estados de la naturaleza o considera, debido a inseguridad económica, que debe evitar pérdidas altas aun a riesgo de posiblemente perder altas utilidades, se inclinará a utilizar el modelo de decisión que se conoce como modelo de 8
decisión del pesimista.
El principal concepto en el que se basa este modelo es evitar pérdidas elevadas o
inaceptables. Para implantar este concepto de evitar pérdidas se determina el menor resultado para cada estrategia y después se elige la que tenga el mayor de estos resultados menores. Dado que se están maximizando los resultados mínimos, este modelo se conoce también como el del criterio maximín. El procedimiento puede describirse como sigue: Paso 1. Determinar el resultado de menor valor para cada alternativa y registrarlo en una lista. Paso 2. De la lista de resultados elegir el valor máximo. La alternativa asociada con este resultado máximo es la estrategia que debe utilizarse. Como ejemplo del uso del modelo de decisión del pesimista, considerar el resultado para la decisión de ubicación de la Pizzería Ashley (tabla 3). Estados de la naturaleza sin cambio (N1)
Se cierran los antiguos dormitorios (N2)
Se construyen nuevos departamentos (N3)
Permanecer en la ubicación actual (A1)
+ $100,000
+$ 50,000
+ $ 20,000
Mudarse a Baxter Street (A2)
+ $ 40,000
+ $ 150,000
+ $ 25,000
+ $ 20,000
+ $ 200,000
Mudarse a Epps Bridge - $20,000 Road (A3)
Si se aplica ahora el paso 1 del modelo de decisión del pesimista a este problema se pueden listar los resultados mínimos (pagos) y el estado de la naturaleza asociado con cada uno de esos resultados mínimos (tabla 4). Tabla 4. Pagos mínimos para el problema de ubicación
Alternativa A1 A2* A3
Pago Mínimo $20,000 (N3) $25,000 (N3) -$25,000 (N1)
Si después se aplica el paso 2 del modelo se maximizan los valores de la tabla 4 y se encuentra que la alternativa que se elige es la A2 (mudarse a Baxter Street), que da un pago mínimo de $25,000. Es decir Ashley elige la estrategia de menor pago que podría esperar seria de $25,000. Si eligiera cualquiera de las otras dos alternativas el pago podría se menor que esto. 9
Este modelo se denominó modelo de decisión del pesimista. Se supone que sucederá lo peor y después se busca hacer lo mejor bajo esta consideración. En otras palabras, se considera que el medio ambiente es hostil y se trabaja sobre esa base. Otra razón por la que podría decidirse utilizar este modelo es el conjunto de circunstancias que rodean la decisión. En algunos casos no es posible financiar algunos de los resultados ruidosos. Por ejemplo, aunque la estrategia de Baxter Street tiene un pago mínimo de $25,000, el pago mínimo de Epps Bride Road tiene un pago mínimo de $20,000. Si la Pizzería Ashley no puede permitir perdidas como ésta, sería necesario evitar esa posibilidad al no elegir esta estrategia. En la siguiente figura 3, se ha planteado el problema de la pizzería Ashley en un árbol de decisión. Acción
Probabilidad $100,000 o a m b i S i n c Cierran los dormitorios C o nst ru y e n d e p a rt am e nt os
No mudarse
Cierran los dormitorios C o nst ru y en d e p a rt a me n t o s
Mudarse a E s Bride
$20,000 $40,000
m b i o S i n c a
Mudarse a Baxter Street
$50,000
m b i o S i n c a
$150,000 $25,000 -$20,000
Cierran los dormitorios $20,000
Construyen de artamentos $200,000
Figura 3. Árbol de decisión para el problema de Ashley con respecto a mudarse
En este caso existen tres ramas de decisión que corresponden a no mudarse, mudarse a Baxter Street y mudarse a Epps Bridge Road para cada rama de decisión existen tres ramas de estados de la naturaleza asociados con un nodo de probabilidad. Esos corresponden a no mudarse, cerrar los dormitorios y construir nuevos departamentos. Por ultimo, para cada combinación de acción y alternativa existe un pago que se ha colocado en el extremo final de cada una de las ramas terminales. Para elaborar la tabla de pago mínimo para el modelo de decisión del pesimista, todo lo que se necesita hacer es elegir el pago mínimo asociado con cada rama de decisión. 10
Modelo de decisión del optimista
El T. D. que considera que el medio ambiente es propicio será optimista con respecto al resultado, en vez de ser pesimista. Bajo este supuesto, el T. D. determina el mayor pago para cada alternativa y después elige el máximo de éstos. El procedimiento par aplicar el modelo de decisión optimista es el mismo que se utilizo para el modelo de decisión pesimista, pero con una excepción importante. El paso 1 se modificara como sigue: Paso 1. Para cada alternativa, determinar el resultado con el mayor valor y anotarlo en una lista. Paso 2. Dé la lista de resultados, elegir el valor máximo; la alternativa asociada con este resultado máximo es la estrategia que debe seguirse. Como ejemplo del uso del modelo de decisión del optimista considerar de nuevo el problema de la Pizzería Ashley acerca de decidir si debe mudarse o no. si se aplica este modelo de decisión a este problema, el paso 1 produce la lista que se muestra en la tabla 5. Tabla 5. Pagos máximos Pago Alternativ
máximo
a
A1 A2 A3*
+ $100,000 +$150,000 +$200,000
Si después se aplica el paso 2 del modelo de decisión del optimista, se maximizan los valores de la tabla 5 y se encuentra que la alternativa elegida es la A3 (mudarse a Epps bridge Road) con un pago de $200,000. Es decir, si Ashley elige la alternativa de mudarse a Epps Bridge Road, entonces el pago máximo que podría esperar es $200,000. Si se selecciona cualquier otra alternativa el pago sería en definitiva inferior a este valor. Este modelo de decisión se conoce como modelo del optimista porque T. D. tiene también una opinión optimista acerca del medio ambiente. Quien toma las decisiones podría también utilizar este modelo en una situación en la que la cantidad de dinero que puede perderse (pago negativo) es pequeña en comparación con la utilidad que puede alcanzarse. En estos casos, se supone que quien toma las decisiones puede permitirse las perdidas que podrían ocurrir si se utiliza el modelo del optimista. Para el ejemplo, podría haberse elegido la alternativa A3 debido a la magnitud del rendimiento $200,000, que era grande en comparación con la perdida que pudiera haber ocurrido por elegir esa alternativa, $20,000. El T. D. considero que $20,000 no era una pérdida potencial grande al considerar el pago. Modelos de decisión de minimización del arrepentimiento 11
Otro modelo de decisión que representa una opinión bastante pesimista del medio ambiente es el de la minimización del arrepentimiento, también conocido como minimización de las perdidas de oportunidad.
Para comprender este modelo de decisión es necesario definir una pérdida de oportunidad. Para un estado de la naturaleza determinado existen siempre una o más alternativas que producen el mayor pago. Si se elige una estrategia que dé como resultado un pago inferior al máximo para ese estado de la naturaleza en particular, entonces se incurre en una pérdida de oportunidad que es igual a la diferencia entre el pago más alto y el pago que se da con la estrategia elegida, y se siente arrepentimiento. En otras palabras, para un estado determinado de la naturaleza, Perdida de oportunidad = pago máximo – pago por la alternativa seleccionada (ecuación 1) Las perdidas de oportunidad son la cantidad que se pierde cuando la alternativa que eligió no era la mejor. Si la decisión conduce al pago más alto para un estado de la naturaleza particular, no hay pérdida de oportunidad y no se siente arrepentimiento. Como ejemplo del modelo de pérdida de oportunidad o de arrepentimiento considérese el primer estado de la naturaleza (no cambiarse) para el problema de ubicación de la Pizzería Ashley. Esta columna de la tabla 6. Tabla 6. Pagos del primer estado de la naturaleza Alternativ a
A1 A2 A3
Sin cambio (N1) +$100,000 +$40,000 -$20,000
Usando los valores de la tabla 6 se determina que el máximo pago es $100,000 y ocurre para A1 (no mudarse). Tomando este valor y la ecuación (1) puede calcularse la pérdida de oportunidad para cada alternativa, ver siguiente tabla. Tabla 7. Calculo de la perdida de oportunidad para N1 Alternativ a
Pago máximo
A1 A2 A3
$100,000 $100,000 $100,000
- Pago de
= Perdida de
la alternativa
oportunidad
$100,000 $40,000 -$20,000
0 $60,000 $120,000 12
Utilizando el mismo procedimiento puede calcularse la pérdida de oportunidad para el segundo y tercer estados de la naturaleza. Cuando se anotan en una tabla combinada los valores de oportunidad para todos los estados de la naturaleza se tiene una tabla de arrepentimiento. Una tabla de este tipo para el problema de la pizzería Ashley se muestra en la tabla 8. Tabla 8. Tabla de arrepentimiento
Alternativa No mudarse (A1) Mudarse a Baxter Street (A2) Mudarse a Epps Bride Road (A3)
Estado de la naturaleza Cerrar los Construir Sin cambio Antiguos Nuevos (N1) Dormitorios (N2) Departamentos (N3) 0 $100,000 $180,000 $60,000
0
$175,000
$120,000
$130,000
0
Se busca evitar valores grandes de arrepentimiento puesto que están asociados con pérdidas grandes de oportunidad. Esta clase de toma de decisiones es similar al modelo de decisión pesimista, excepto que aquí se busca minimizar las perdidas máximas de oportunidad. Es posible plantear un procedimiento paso a paso para el modelo de decisión de minimización del arrepentimiento de la siguiente manera: Paso 1. Para cada estado de la naturaleza: a.- Determinar el pago más alto. b.- Calcular las pérdidas de oportunidad para cada alternativa, utilizando la ecuación 1. c.- Colocar estos valores de pérdida de oportunidad en una tabla de arrepentimientos. Paso 2. Para cada alternativa de la tabla de arrepentimiento, determinar la pérdida máxima de oportunidad y colocar este valor en una lista. Paso 3. Utilizando la lista del paso 2, determinar la mínima de las perdidas máximas de utilidad. La alternativa correspondiente es que debe elegirse. Si se utiliza este procedimiento paso a paso para generar la tabla de arrepentimientos de la tabla 8, se llega a la lista de valores máximos de pérdida de oportunidad que se muestran en la tabla 9. Tabla 9. Valores del arrepentimiento máximo Alternativ a
Máxima perdida de oportunidad
A1 A2 A3*
$180,000 $175,000 $130,000
13
Utilizando el paso 3, se elige entonces la alternativa A3 (mudarse a Epps Bridge Road) puesto que es el menor valor de la lista de pérdidas máximas de oportunidad con un valor de $130,000. Esta alternativa está marcada con un asterisco en la tabla 9. En este modelo de decisión quien toma las decisiones busca evitar pérdidas elevadas de oportunidad a través de un análisis minimax de la tabla de arrepentimientos. Al hacer esto, quien toma las decisiones minimiza la diferencia máxima que puede ocurrir entre la mejor alternativa para un estado determinado de la naturaleza y cada uno de los resultados. Al elegir una alternativa quien toma decisiones se asegura de minimizar el arrepentimiento máximo o pérdida de oportunidad. Modelo de decisión de maximización del pago promedio
En los casos en los que quien toma las decisiones se enfrenta a alternativas múltiples en las que cada alternativa tiene a su vez resultados múltiples, es una práctica común encontrar el pago promedio para cada estrategia y elegir después la alternativa que tenga el mayor pago promedio. En este modelo de decisión, si existen n resultados para cada alternativa con Oij = pago para la i-ésima alternativa dado el j – ésimo estado de la naturaleza, y V i = pago promedio para la i – ésima alternativa Entonces
Por ejemplo, en el problema del cambio de ubicación de la Pizzería Ashley el pago promedio para la primera alternativa está dada por. V 1 = (100,000 + 50,000 + 20,000) /3 = $56,667 (A1) En tanto que V 2 = (40,000 + 150,000 + 25,000) /3 = $71,667 (A2) y V 3 = (- 20,000 + 20,000 + 200,000) /3 = $66,667 (A3) Utilizando estos valores, quien toma las decisiones elabora una lista de valores promedio similar a la que se realizó en los tres modelos anteriores de decisiones. En este caso, esa lista se muestra en la tabla 10. Cuando se maximizan estos pagos promedio se elige la estrategia A2 (mudarse a Baxter Street). Esta alternativa aparece señalada con un asterisco en la tabla 10. Tabla 10. Pagos promedio 14
alternativ a
Pagos promedio
A1 A2* A3
$56,667 $71,667 $66,667
Se presenta una descripción detallada del modelo de decisión del pago promedio máximo: Paso 1. Para cada alternativa, calcular el pago promedio para todos los estados de la naturaleza y colocar estos valores en una lista. Paso 2. Determinar el mayor valor de la lista de pagos promedio. La alternativa que corresponde a este pago es la que debe seleccionarse. Desde un punto de vista intuitivo no parecería que el modelo de decisión del pago promedio máximo dependa de probabilidades. Sin embargo, al tomar los promedios de los resultados para cada decisión se está diciendo en forma implícita que los resultados son igualmente probables. En términos de probabilidades, la probabilidad de que ocurra cada resultado es igual 1/n en donde n es el numero de resultados. En otras palabras, si pi = probabilidad del i – ésimo resultado, entonces p1 = p2 =. . . = pn = 1/n. Después pueden utilizarse estas probabilidades para calcular el valor monetario esperado (VME) para cada decisión. El VME se basa en el concepto de valor esperado de la teoría de la probabilidad. Si existen, señalemos, n resultados para un experimento en donde cada resultado tiene un rendimiento r j y una probabilidad de ocurrencia de p j, entonces el valor esperado de ese experimento está dado por:
Donde
Por ejemplo, si se lanza un solo dado con la misma probabilidad de ocurrencia para cada uno de los seis lados y el rendimiento fuera igual al número que se obtuvo, entonces el valor esperado de ese experimento sería.
Si el rendimiento está dado en términos de dinero entonces el valor esperado se convierte en el valor monetario esperado. En el caso de probabilidades igualmente posibles, 15
Esta misma fórmula dada en la ecuación 2, lo cual demuestra que el modelo de decisión de pago promedio máximo es lo mismo que utilizar un enfoque de VME máximo con probabilidades iguales. Modelo de probabilidades subjetivas
Aunque no siempre es posible hacer uso de datos previos para calcular probabilidades para la ocurrencia de diversos resultados, pueden utilizarse probabilidades subjetivas. Esas probabilidades se basan en una multitud de experiencias anteriores, que quien toma las decisiones puede emplear para asignar probabilidades a los resultados. Las probabilidades subjetivas son el concepto básico sobre el cual se basan las apuestas. Cada apostador asigna una probabilidad diferente a los diversos resultados de una carrera o de algún otro juego de azar y después avalúa los resultados para decidir cómo debe apostar. Muchos aspectos intervienen en la forma en que el apostador asigna probabilidades incluyendo el número de acciones, el peso que el apostador asigna a cada opción y las experiencias pasadas con respecto al evento. En los negocios, es frecuente que quien toma decisiones deba asignar probabilidades a la ocurrencia de diversos resultados con base en un juicio personal respecto a las condiciones del mercado, a las acciones futuras de un competidor, a la importancia del producto que se considera, etc. En algunas ocasiones la intuición o una “corazonada” conduce a una persona que toma decisiones a asignar probabilidades por razones que no puede definir. Una vez que se asignan las probabilidades subjetivas, quien toma decisiones debe decidir si es adecuado utilizar valores monetarios para los pagos (tanto positivos como negativos) en el cálculo de los valores esperados. En otras palabras, ¿existe una relación lineal entre el dinero implicado y la utilidad que logra quien toma las decisiones con cada resultado? En este caso, la utilidad se refiere a las consecuencias no monetarias de la ocurrencia de un resultado. Si se aplica el análisis utilitario esperado a la Pizzería Ashley y a la decisión con respecto a mudarse se necesitan dos tipos de información. En primer lugar, se debe saber si los dólares que aparecen en la tabla de pagos (tabla 3) representan en realidad todas las consecuencias de cada decisión, tanto monetarias como no monetarias. Si no es así, entonces, sería necesario elaborar una tabla de valores de utilidad para Ashley. En segundo lugar, se debe pedir a Ashley una estimación de la probabilidad de ocurrencia de cada resultado. Después se pueden utilizar el valor esperado para elegir una alternativa. Suponer que Ashley 16
está satisfecho con los valores monetarios de la tabla de pagos como representación de las consecuencias de cada decisión. Estima que existe una probabilidad 0.4 de que no haya acciones externas (resultado 1), una probabilidad 0.3 de que se cierren los antiguos dormitorios (resultado 2) y una probabilidad 0.3 de que se construyan los nuevos departamentos (resultado 3). Ahora es posible calcular los valores utilitarios esperados para cada decisión. A1: VUE 1 = (0.4) (100,000) + (0.3) (50,000) + (0.3) (20,000) = $ 61,000 A2: VUE 2 = (0.4) (40,000) + (0.3) (150,000) + (0.3) (25,000) = $ 68,500 A3: VUE 3 = (0.4) (- 20,000) + (0.3) (20,000) + (0.3) (200,000) = $ 58,000 Utilizando el método de la probabilidad subjetiva, Ashley elegiría la alternativa A2 (mudarse a Baxter Street). Si se usa un árbol de decisión para representar esto el árbol se asemejaría al que aparece en la figura 3, excepto que ahora se incluyen probabilidades en cada rama de resultados (figura 4). Esas probabilidades solo se multiplican por el resultado que aparece al final de cada rama y se suman para todos los resultados de cada una de las ramas de estrategias con el objeto de calcular el valor esperado (VME o VUE) para cada alternativa. Acción
Probabilidad ) o ( 0. 4 i b m a S i n c ( N 1 ) (N2)Cierran los dormitorios (0.3) ( N3 ) C o nst r uy en d e p ar ta m ( e nt os
No mudarse A1
(0.3)
Mudarse a Baxter Street (A2)
Mudarse a Epps Bride (A3)
m b i o n c a i S ( N 1 ) (N2) Cierran los dormitorios (0.3) ( 0 .4 ) ( N3 )C o nst ru y e n d e p e nt o s (0.3) a rt am
$100,000 $50,000 $20,000 $40,000 $150,000 $25,000
-$20,000 .4 ) b i o ( 0 m a c i n (N2) Cierran los dormitorios (0.3) ( N 1 ) S $20,000 (N3) Construyen de artamentos (0.3) $200,000
Figura 4. Árbol de decisión para el problema de a mudarse 17
Como ejemplos de los cálculos de valor esperado utilizando un árbol de decisión considerar la rama A1 (no mudarse). En esta rama si se multiplican los resultados que aparecen al final de cada una de las ramas de estados de la naturaleza por las probabilidades de la rama, y después se suman, se obtiene. (0.4) (100,000) + (0.3) (50,000) + (0.3) (20,000) = $ 61,000 Lo cual es el mismo VUE que se calculó antes para A1, sólo que ahora se utilizo el árbol de decisión en los cálculos. Observar que VUE sería exactamente el mismo para el método del pago promedio máximo, si se remplazan las probabilidades subjetivas por probabilidades igualmente posibles, en este caso, la probabilidad de cada rama sería 0.3333, puesto que existen tres resultados para cada rama de decisión. Comparación de los análisis bayesiano y clásico para la toma de decisiones utilizando datos previos
Cuando existen datos previos disponibles para auxiliarse en la toma de decisiones, es posible utilizar dos tipos de análisis. Se les define en forma amplia como análisis bayesiano y análisis clásico. En el análisis bayesiano se combinan los datos previos (o probabilidades subjetivas) con datos muéstrales o de prueba, utilizando la formula desarrollada por Thomas Bayes. En el análisis clásico se utilizan los datos previos para elaborar una regla de decisión y después se corre una prueba o se toma una muestra. La decisión se toma con base en el resultado de la prueba o muestra. Este es el tipo de análisis que por lo general se enseña en la estadística bajo el nombre de prueba de hipótesis. Por ejemplo, en el caso de la Pizzería Ashley, puede determinarse la demanda esperada por medio del siguiente cálculo: Demanda esperada = (0.2) (150) + (0.4) (160) + (0.25) (170) + (0.15) (180) = 163.5 Con base en la demanda esperada, Ashley podría esperar que la demanda excediera, en promedio, las 160 pizzas por noche. Para probar esta expectativa, puede utilizarse el análisis clásico, primero se plantea la siguiente hipótesis nula, utilizando el valor esperado que se calculo con los datos previos: H 0 = µ ≥ 160 Esta hipótesis nula dice que los datos previos indican que la demanda promedio a largo plazo, o media µ, será mayor o igual a 160 pizzas. Utilizando los datos previos se plantea una hipótesis alternativa de que la demanda es menor de 160 pizzas: H 1: µ < 160 (o que la demanda media es inferior a 160 pizzas)
18
Para tomar una decisión se toma una muestra de los valores de la demanda para cierto número de noches. Con base en esta muestra se podría aceptar la hipótesis nula y asegurar que la demanda media de Ashley es de 160 o más pizzas por noche. Por otro lado, la muestra podría conducir a rechazar la hipótesis nula y a afirmar que, después de todo, la demanda promedio en realidad no es de 160 o más pizzas. En el análisis bayesiano se elabora una matriz de decisión que contiene las consecuencias monetarias de diversas decisiones. Con esta matriz de decisión, en el análisis bayesiano se realiza primero un análisis previo utilizando los datos anteriores. A esto le sigue un segundo análisis o preposterior, en el cual se determina si resultaría útil llevar a cabo pruebas o muestras adicionales. Si el análisis preposterior muestra que las pruebas o las muestras serían económicamente útiles, entonces se lleva a cabo. Si se toma una muestra o se lleva a cabo una prueba, se utilizan los resultados para modificar las probabilidades previas con el objeto de determinar las probabilidades posteriores o “después” de la prueba. Estas probabilidades posteriores combinan tanto los datos previos como resultado de la prueba o muestra. Al comparar el análisis clásico con el bayesiano, se observa que en el primero siempre se procede a realizar una prueba o a recolectar una muestra, pero en el análisis bayesiano sólo se hace esto después de que un análisis preposterior de los datos haya mostrado que pruebas o muestras adicionales serían económicamente valiosas. Esta decisión de probar o muestrear, o no hacerlo, combinada con la modificación de las probabilidades con base en las pruebas, es lo que da al análisis bayesiano ventajas con respecto al análisis clásico, ya que permite una toma de decisiones más económica. Análisis bayesiano
Para comenzar un análisis bayesiano del caso de la Pizzería Ashley, en primer lugar se necesita una matriz de decisión que muestre las consecuencias económicas de diversas decisiones. Para hacer esto, se amplía la tabla de utilidades 1 para convertirla en la tabla de utilidades 13 Tabla 13. Tabla de utilidades Número de pizzas que se hornean con anticipación
150 160 170 180 Fracción de tiempo
Numero
de pizzas
que se
solicitan
150
160
170
180
300 290 280 270 0.20
300 320 310 300 0.40
300 320 340 330 0.25
300 320 340 360 0.15
Esta tabla ampliada incluye los pagos para cada estado de la naturaleza y cada alternativa, y la porción de tiempo en que ocurrió cada estado de la naturaleza. Esta fracción se encuentra dividiendo el número de 19
días de cada estado de la naturaleza entre el número total de días para todos ellos. Se estudiaron 20 + 40 + 25 + 15 = 100 días; por ello, para el primer estado de la naturaleza, la fracción es 20/100 = 0.20. Estas fracciones son equivalentes a probabilidades, dado que se suma es igual a uno y reflejan la proporción de tiempo que ocurrió cada estado de la naturaleza. Considerar que se observará la misma proporción en el futuro. Utilizando esta información, si existen n estados de la naturaleza, es posible calcular el VME para cada alternativa, por medio de la formula que sigue:
Donde
O ij = pago utilizando la i – ésima alternativa si ocurre el j – ésimo estado de la naturaleza P j = probabilidad de que ocurra el
j – ésimo estado de la naturaleza VMEi = valor monetario esperado para la i – ésima alternativa
Si se aplica este modelo de decisión al problema de la Pizzería Ashley, con respecto a cuántas pizzas hornear con anticipación, se tienen los siguientes cálculos: VME 1 = (0.20) (300) + (0.40) (300) + (0.25) (300) + (0.15) (300) = $ 300.00 VME 2 = (0.20) (290) + (0.40) (320) + (0.25) (320) + (0.15) (320) = $ 314.00 VME 3 = (0.20) (280) + (0.40) (310) + (0.25) (340) + (0.15) (360) = $ 316.00 VME 4 = (0.20) (270) + (0.40) (300) + (0.25) (330) + (0.15) (360) = $ 310.50 Después, se anotan estos valores monetarios esperados en una lista a partir de la cual se determina el máximo (ver tabla 14) Tabla 14. Valores monetarios esperados Alternativ a
VME
150 (A1) 160 (A2) 170 (A3) 180(A4)
$300.00 314.00 316.00* 310.50
Se encuentra que el VME es $316 y ocurre para una decisión de hornear 170 pizzas. La interpretación de este valor es que si Ashley horneara 170 pizzas cada noche, entonces su utilidad promedio a largo plazo sería de $316 por noche. Observar que en ningún momento ocurriría este valor en realidad; es un valor promedio para una gran cantidad de aplicaciones de la alternativa bajo condiciones similares. Esta alternativa está marcada con un asterisco en la tabla 14. Se presenta un procedimiento paso a paso para el modelo de decisión VME. Paso 1. Calcular las probabilidades, p ,j para la ocurrencia de cada estado de la naturaleza. 20
Calcular el VME para todas las alternativas utilizando la ecuación (6) y anotar estos valores en una lista. Paso 3. Utilizar la lista de VME´s calculada en el paso 2 para determinar el valor máximo. La alternativa que corresponde al VME máximo es la decisión que debe tomarse. Esta es la porción a priori de un análisis bayesiano
Paso 2.
$300
Uso de árboles de decisión para problemas con datos previos
Al igual que con los problemas de decisión en los que no existen datos previos $300 disponibles, es posible (y en muchas ocasiones aconsejable) utilizar árboles de decisión para determinar cuál es la decisión correcta. En el caso de los problemas$300 en que existen datos previos, se construye un árbol de decisión de la 0 misma forma en que se hizo para otros tipos de problemas, la única diferencia es que se incluyen las $300 probabilidades calculadas en las ramas de probabilidad y estas probabilidades se utilizan para calcular los VME. En el caso de la decisión de la pizzería con respecto a cuántas pizzas hornear $300 con anticipación, habrá cuatro ramas de decisión que corresponden a hornear 150, 160, 170, o 180 pizzas. Al final de cada rama de decisión habrá un nodo de probabilidad que tiene cuatro estados$2900 que corresponden a la demanda de 150, 160, 170, y 180 $314 pizzas. En cada rama de estado de la naturaleza habrá también una $320 0 probabilidad de que ocurra ese estado y al final de cada una de las ramas de estado de la naturaleza habrá un resultado o utilidad para cada decisión y estado de la naturaleza. El árbol de decisión para la pizzería $320 Ashley se muestra en la figura 5 Utilizando los valores de las utilidades y las probabilidades para cada rama de estado de la naturaleza, $320 se calcula el VME para cada nodo de probabilidad utilizando la ecuación 6. Esto es, multiplicando cada probabilidad por la utilidad correspondiente y sumando todos estos productos $280para cada nodo de $316por debajo de cada nodo de probabilidad y el VME máximo está probabilidad. Los VME están anotados 0 anotado bajo el punto de decisión. La decisión a la que corresponde el VME es$310 el número máximo, a largo plazo, de pizzas que deben hornearse: 170 pizzas, en este caso las que arrojan utilidades diarias de $ $340 316. Este problema se denomina comúnmente problema del vendedor de diarios. El $340 nombre proviene de la situación de un vendedor de diarios que intenta decidir cuántos debe comprar cada día para vender. El $270 $310.decidir 50 concepto es exactamente el mismo que el número de pizzas que deben hornearse con 500 anticipación. $300 $330
$360
21
Figura 5. Árbol de decisión para el horneado previo de pizzas
El valor de la información perfecta
22
Con frecuencia surge la siguiente pregunta: ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar la persona que toma las decisiones para obtener información adicional sobre cuáles serán las circunstancias reales? Antes de de responder esta pregunta se necesita conocer el valor de la información misma. Si la información es perfecta, es decir, si la información nos dice exactamente qué es lo que va a ocurrir, resulta bastante sencillo responder la pregunta. Si se conoce con exactitud cuál estado de la naturaleza ocurrirá, es fácil determinar la alternativa que debe elegirse. Se elegiría la alternativa que produce el mayor pago para cada estado de la naturaleza. En el problema de la Pizzería Ashley, para un número determinado de demanda de pizzas, se elegiría hornear con anticipación el número de pizzas que maximizara las utilidades netas. Por ejemplo, para la situación en la que se supiera que habría una demanda de 160 pizzas, las utilidades máximas ocurrieran si se hornearan 160 pizzas, y esa utilidad sería $320. Si se calcula esto para cada uno de los estados de la naturaleza, se generaría la lista que aparece en la tabla 15. Tabla 15. Pagos máximos Pizzas que se solicitan (estados de la naturaleza)
Decisión con Pago máximo
pag o
150 160 170 180
150 160 170 180
$300 $320 $340 $360
Puesto que cada estado de la naturaleza ocurre sólo durante una fracción del tiempo, es posible calcular el valor monetario esperado para el caso de la información perfecta utilizando los pagos máximos y las probabilidades para cada estado de la naturaleza. En el caso que se muestra en la tabla 15, el valor monetario esperado de la información perfecta (VME IP ) se calcula de la siguiente manera. VME IP = (0.20) (300) + (0.4) (320) + (0.25) (340) + (0.15) (360) VME IP = $ 327 Por ello, si se conoce con anticipación qué estado de la naturaleza ocurrirá y si se elije cada vez la decisión que arrojara las máximas utilidades, la utilidad promedio a largo plazo se obtendría $327. En general, esto se plantea de la siguiente manera. 7
23
Donde
O* ij = la máxima utilidad para cada estado de la naturaleza p j = la probabilidad de cada estado de la naturaleza
Para calcular el valor de la información perfecta, lo único que se hace es calcular la diferencia entre el valor monetario esperado para la información perfecta y ese mismo valor monetario esperado sin información perfecta: VPI = VME IP – VME * IP 8 Donde
VIP = valor de la información perfecta VME IP = VME para la información perfecta VME* = VME máximo sin información perfecta
En el caso de la pizzería, VME IP = $327 y VME* = $316, por lo que VIP = $327 - $316 = $11. Puede verse a partir de esto que Ashley estaría dispuesto a pagar hasta $ 11 por día para conocer con anticipación exactamente cuántas pizzas se requerirán cada día. Si la información no es perfecta, o el costo de la información es mayor de $11, entonces podría arreglárselas mejor sin conocer la información en forma anticipada. El valor de la información de prueba
En términos prácticos, por lo general la información proviene de algún procedimiento imperfecto de prueba. Con esto quiere hacerse notar que la información dela prueba no siempre pronostica en forma correcta el estado de la naturaleza que ocurrirá. Por ejemplo, un meteorólogo podría, con base en alguna prueba, pronosticar lluvia y, aun así, este estado de la naturaleza podría ocurrir sólo el 70% de las veces que se hace esta predicción. Debido a esta información en el poder predictivo de las pruebas, el cálculo del valor de la información de prueba es algo más complejo que para la información perfecta. Para comprender el procedimiento que se utiliza para realizar estos cálculos, sea P(N | R) = probabilidad de que ocurra en realidad el evento N, dado que el resultado de la prueba fue R Dado que la prueba es imperfecta, P (N | R) < 1. Por ejemplo, si un meteorólogo está en lo correcto el 70% de las veces, entonces P (N | R) = 0.7, donde N = llueve y R = se pronosticó lluvia. 24
Sin embargo, por lo general se desconocen los valores de P (N | R) (lo cual se lee “probabilidad de N dado R”) puesto que estos valores sólo se conocen después de haber utilizado la prueba las suficientes veces para recopilar datos que permitan calcular probabilidades. Por lo general se conoce lo opuesto, es decir, la probabilidad de que ocurra el resultado de la prueba dado el resultado correspondiente. Esta probabilidad es P (R | N) y puede calcularse utilizando datos históricos para determinar la forma en que se hubiera comportado la prueba si se hubiera utilizado. Por adversidad, la probabilidad P (R | N) no es la probabilidad de prueba P (N | R) que se necesita, puesto que se calculo después de conocer el resultado. Para calcular P(N | R) se usa un resultado bien conocido de la probabilidad, denominado ley de Bayes. Este resultado dice que 9
Por lo general, dos de los valores que aparecen en esta fórmula pueden obtenerse a partir de datos de prueba, y el tercero calcularse a partir de los otros dos. Resulta fácil calcular a partir de datos previos la probabilidad de que la prueba sea exacta, dado que se conoce el resultado real, P (R │ N), y la probabilidad de que ocurra un resultado particular sin importar cuál sea la prueba, P (N). P(N) también puede ser una probabilidad subjetiva basada en la experiencia que tenga en esas situaciones quien toma las decisiones. Esta última probabilidad; P (N), se conoce como probabilidad a priori puesto que se calcula antes de cualquier prueba, mientras que las otras son probabilidades condicionales. La tercera probabilidad que aparece en la ley de Bayes, P (R), es la probabilidad de que ocurra el resultado de prueba R. esta probabilidad puede calcularse por medio del siguiente resultado de la teoría probabilística:
Donde
significa “no N” o “negación de N”. Puesto que y
incluye todos los eventos que no sean N,
pueden ser sumas de diversos valores. Los valores pueden calcularse al mismo tiempo que se obtienen P (R │ N) y P (N).
de
Combinando 9 y 10 se llega a una versión modificada de la ley de Bayes: 11
25
El resultado final, P(N │ R), probabilidad de que ocurra el suceso N dado el resultado de Prueba R, se conoce como probabilidad a posteriori, puesto que se obtiene después del procedimiento de prueba. Una vez que se conocen los valores de la probabilidad a posteriori, es posible emplearlos para llevar a cabo el análisis preposterior con el objeto de determinar si debe llevarse a cabo una prueba o un muestreo. Aplicación a la Pizzería Ashley
Considerar ahora el uso de un procedimiento de pronóstico para la Pizzería Ashley. Recordar que Ashley hornea con anticipación todas las pizzas y necesita conocer cual es la decisión que proporcione las mayores utilidades A Ashley, le ha ofrecido sus servicios una profesora de investigación de mercados de negocios, Carolyn Myers para realizar una prueba experimental para pronosticar el número de pizzas que se ordenaran cada día. Por este servicio le cobrará a Ashley $5 por día. La cuestión es: ¿debe Ashley contratar ese servicio de pronósticos? Si los pronósticos de la profesora tuvieran una exactitud del 100%, se había determinado antes que su valor sería $11. Sin embargo, se ha encontrado que sus pronósticos no tienen una exactitud del 100%, por lo que su valor será un poco menor a éste. Utilizando los datos de ventas anteriores, la profesora ha reunido la tabla de probabilidades de prueba que se muestra en la tabla 16. Tabla 16. Probabilidades de datos
Número de pizzas pronosticado (alternativas) 150 160 170 180
Número de Pizzas que se Solicitaron 150 1/2 1/3 1/6 0
160 1/4 1/2 1/4 0
170 0 1/6 2/3 1/6
180 0 1/6 1/3 1/2
Los estados de la naturaleza que se muestran en la parte superior son el número de pizzas que en realidad se solicitan; los valores de la primera columna son el número de pizzas que la prueba de la profesora había pronosticado. Las probabilidades que aparecen en el cuerpo de la tabla son las probabilidades de que la prueba hubiera pronosticado cada número de pizzas, dado el número que en realidad se solicito. Por ejemplo, en los días en que los en los que se solicitaron en realidad 160 pizzas, la técnica de predicción habría pronosticado 160 pizzas la mitad de las veces, 150 pizzas una cuarta parte de las veces, 170 pizzas una cuarta parte de las veces y nunca 180 pizzas. Estas son probabilidades condicionales que se comentaron antes, es decir P (R | N). 26
Observar en esta tabla que la suma de las probabilidades de cada columna es igual a 1, mientras que la suma por renglón no es igual a 1. Esto se debe a que para un número determinado de pizzas vendidas, tiene que pronosticarse algún número, en tano que no existe relación entre el número pronosticado y el número vendido. Con el objeto de convertir las probabilidades P (R | N) de la tabla 16 a probabilidades P(N | R), es necesario calcular P (R) para cada número de pizzas pronosticado utilizando la ecuación 10:
En la tabla 16, para R = 150, se encuentra que N = 150 y
= 160, 170 y 180. Para calcular las
probabilidades de P(N) y P ( ), se utiliza ahora los valores de la experiencia anterior para el número de pizzas que se solicitaron; es decir, se utiliza la fracción de tiempo que se demandó cada número de pizzas, a partir de la tabla 13: P (150 de demanda) = 0.2 = 1/5 P (160 de demanda) = 0.4 = 2/5 P (170 de demanda) = 0.25 = 1 / 4 P (180 de demanda) = 0.15 = 3/20 A partir de esto y de los valores de la tabla 16 se tiene. P (150 pronosticadas) = P (150 pronosticadas | 150 de demanda) P (150 de demanda) + P (150 pronosticadas | 160 de demanda) P (160 de demanda) + P (150 pronosticadas | 170 de demanda) P (170 de demanda) + P (150 pronosticadas | 180 de demanda) P (180 de demanda) = (1/2) (1/5) + (1/4) (2/5) + (0) (1/4) + (0) (3/20) = 2/10 = 1/5 De manera similar, P (160 pronosticadas) = (1/3) (1/5) + (1/2) (2/5) + (1/6) (1/4) + (1/6) (3/20) = 1/3 P (170 pronosticadas) = (1/6) (1/5) + (1/4) (2/5) + (2/3) (1/4) + (1/3) (3/20) = 7/20 27
P (180 pronosticadas) = (0) (1/5) + (0) (2/5) + (1/6) (1/4) + (1/2) (3/20) = 7/60 Observar que estos cálculos pueden realizarse trabajando con los valores de cada renglón. Cada valor de P (R) es simplemente la suma de los productos de las probabilidades de estados de la naturaleza y las probabilidades correspondientes de cada renglón. También puede observarse que si se suman estas probabilidades de pronosticar cada número de pizzas, se obtiene: 1/5 + 1/3 + 7/20 + 7/60 = 1 Esto es de esperarse, puesto que debe pronosticarse algún número de pizzas, 150, 160, 170 o 180. Utilizando cada uno de los elementos de cada una de las sumas que dieron los valores de P(R) como anotación de una nueva tabla 17. Tabla 17. Tabla modificada de probabilidades conjuntas Número pronosticado de pizzas (alternativas) 150 160 170 180
Número de pizzas Que (estados de la 150 1/10 1/15 1/30 0
160 1/10 1/5 1/10 0
170 0 1/24 1/6 1/24
se
Solicitaron naturaleza)
180 0 1/40 1/20 3/40
Suma 2/10 1/3 7/20 7/60
En donde cada entrada o anotación es P(R │N) P(N) o P(R │ ) P ( ). Por ejemplo, la anotación del tercer renglón y primera columna es igual a P (170 pronosticadas │ 150 de demanda) P (150 de demanda) De la ecuación 11. Se sabe que las probabilidades a posteriori se obtienen por medio de: 11
Utilizando los valores de la tabla 17, es fácil encontrar los valores de esta ecuación. El numerador proviene de los valores de esta tabla y el denominador es la suma para cada renglón. Como dos ejemplos; considerar P (150 demandadas 150 pronosticadas) y P(150 demandadas │ 160 pronosticadas). Para la primera probabilidad, se pasa al primer renglón, primera columna de la tabla 17, para obtener el numerador, P (150 pronosticadas │ 150 demandadas) P (150 demandadas y se utiliza la suma del renglón de 150 pronosticadas para el denominador. El resultado es: P (150 de demanda │ 150 pronosticadas) = 1/10 / 2/10 = 1 / 2 28
Esto significa que la mitad del tiempo que se pronostican 150 pizzas para la demanda, en realidad se solicitan 150. De manera similar, P (160 pronosticada │150 de demanda) P (150 de demanda) P (150 de demanda │ 160 pronosticada) =
= Suma del renglón
1/15 /1/3 = 1 / 5 Este valor significa que si la prueba pronostica una demanda de 160 pizzas, una quinta parte de las veces en realidad se solicitarán 150 pizzas. Si se realizan estos cálculos para cada uno de los valores de la tabla 17, se llega a una tabla de valores en la que cada valor es P (N pizzas se demandaran │R pizzas se pronosticaron). Estos valores se proporcionan en la tabla 18, Tabla 18. Probabilidades a posteriori número de pizzas que se Solicitaron (estados de la Naturaleza) Número de pizzas Pronosticadas (alternativas
150 160 170 180
150 1/2 1/5 2 / 21 0
160 1/2 3/5 2/7 0
170 0 1/8 10 / 21 5 / 14
180 0 3 /40 1/7 9 / 14
Los valores de la tabla 18, son probabilidades P (N │ R) que se desean y que indicaran qué tan útil será la prueba de la profesora. Cada renglón de esta tabla es ahora una distribución completa de probabilidad a posteriori y puede utilizarse para pronosticar los niveles de demanda a través de un análisis preposterior. Ahora se procede a calcular el valor monetario esperado de la prueba de la profesora. Esto se hace eligiendo primero la mejor alternativa para cada uno de los posibles resultados de la prueba, utilizando el criterio del VME. Esto se hace para cada uno de los resultados. Si la prueba de la profesora pronostica que habrá una demanda de 150 pizzas, se utilizan las probabilidades del primer renglón de la tabla 18, para calcular los VME de la tabla de pagos. Esto produce la tabla 19. Tabla 19. Calculo del VME con un pronóstico de 150 pizzas
Número (estados Pizzas horneadas 150 con anticipación (alternativas) 150 300
160
de Pizzas solicitaron que se de la naturaleza) 170 180 VME
300
300
300
$ 300.00 29
160
← Alternativa preferida 170
180 Probabilidad
290 280 270 1/2
320 310 300 1/2
320 340 330 0
320 340 360 0
305.00 295.00 285.00
En la cual puede verse que si se pronostica una demanda de 150 pizzas, la alternativa con el VME más alto es hornear 160 pizzas. Las tablas 20, 21 y 22 muestran estos cálculos para pronósticos de 160, 170 y 180 pizzas. Tabla 20. Calculo del VME con un pronóstico de 160 pizzas
Número Pizzas horneadas con anticipación (alternativas) 150 160 ← Alternativa referida 170 180 Probabilidad
(estados 150 300 290 280 270 1/5
160
de pizzas solicitaron que se de la naturaleza) 170 180 VME
300 300 320 320 310 340 300 330 3/5 1/8
300 320 340 360 3 / 40
$ 300.00 314.00 310.00 302.25
Tabla 21. Calculo del VME con un pronóstico de 170 pizzas
Número
de que de la 170
(estados Pizzas horneadas 150 160 con anticipación (alternativas) 150 300 300 300 160 290 320 320 170 280 310 340 ← lternati a referida 180 270 300 330 Probabilidad 2 / 21 2 / 7 10 / 21
pizzas solicitaron se naturaleza) 180 VME 300 320 340 360 1/7
$ 300.00 317.10 325.70 320.00
Tabla 22. Calculo del VME con un pronóstico de 180 pizzas
Número (estados Pizzas horneadas 150 con anticipación (alternativas) 150 300 160 170 ← lternati a referida 180 Probabilidad
290 280 270 0
16 0 30 0 32 0 31 0 30 0 0
de que de la 170
pizzas solicitaron se naturaleza) 180 VME
300
300
$ 300.00
320
320
320.00
340
340
340.00
330
360
349.30
5 / 14
9 / 14
30
