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1. Considere Considere afigura1,bemcomoas relaçõesapres relaçõesapresenta entadas das entre tempos,altur tempos,alturase ase velocidad velocidadesparaencont esparaencontrara rara coeficientederestituição( ). ).
ℎℎ ΔΔ Arranjoexperimentalparaavalia Arranjoexperimentalparaavaliaçãodocoeficiented çãodocoeficientederestituição. erestituição. Pede-se:
a) Proponhaumprocedimentopara Proponhaumprocedimentoparaestimarovalord estimarovalorde e ,combasenamediçãodas ,combasenamediçãodasalturas alturas
ℎ
b) Indiquequaissãoas Indiquequaissãoasgrandezasd grandezasdeinfluêncian einfluêncianoprocedimentopropos oprocedimentoproposto. to. c)
ℎ ℎ e
.
Calculeocoeficientedesensibilidadede naestimativadocoeficientederestituição.
çã
a) Existem diversas formas de se mensurar a altura que a bola atinge para cada intervalo de colisão. O mais simples seria medir com uma régua ou qualquer outro instrumento com escala espacial diretamente o instante em que a bola se mantém parada no ar (quando a velocidade se torna nula devido a aceleração da gravidade impulsionar a bola para baixo enquanto ela tenta subir com a energia cinética do impacto). Porém, esse método é pouco exato, visto que é ineficaz mensurar a altura nesse instante quando o mesmo acontece em frações de segundo, gerando baixa precisão. Outro método mais eficaz seria gravar com um câmera, de resolução e taxa de captura suficientemente elevadas, o experimento para se mensurar a altura com o tempo que for necessário para a obtenção. Outro método também eficaz seria utilizar um feixe de luz (geralmente infravermelho) com um aparato que simule um interferômetro de Michelson para mensurar a distância sem influenciar substancialmente na energia do processo. Em todos os procedimentos propostos, a bola deve efetuar um movimento puramente retilíneo e perpendicular com a base horizontal. Para isso, como é relativamente difícil obter uma superfície eficientemente lisa tanto quanto guiar a bola nessa única direção sem perder energia, se torna necessário utilizar um guia vazado (como um cano PVC) que caiba exatamente a bola em seu interior e que esteja alinhado perpendicularmente com a superfície.
Fernando Freitas Alves
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b) Em todos os procedimentos propostos, fatores como temperatura ambiente, gradientes de temperatura, movimento angular e linear da bola, perdas de energia devido aos choques com a parede do tubo guia, atrito com tais paredes, com a superfície e com o ar, estabilidade no fluxo de ar do local e da vibração dos corpos envolvidos e troca de energia devido a luminescência das luzes envolvidas no processo são grandezas de influência que não são consideradas na conta e que podem ser desconsideradas para se obter uma boa aproximação do coeficiente de restituição.
c)
1 ℎ ⇒ 1 12 ℎ1ℎ ⇒ 1 12 ℎ ⇒ 2
Utilizando a propagação de erro, temos que o coeficiente de sensibilidade de
ℎ
é dado por:
RELEMENBRANDO : ± + ± + + .⏟. .⏟. + .⏟.
. . .
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2. Aconfiguraçãoapresentadanafigura2foiutilizadaparadeterminaçãoexperimentaldocoeficientederestituição para dois sistemas: pedra-vidro (bola de gude colide com superfície de pedra) e madeira-vidro (bola de gude colide com superfície demadeira). Soltando-se a bola emqueda livrede uma altura de , foi realizadaa mediçãodetempoentredoisimpactosconsecutivos,medianteacapturadosinaldeacústicopelomicrofonede eletreto,suaamplificaçãoeapresentaçãonateladeumosciloscópio. Apartirda coletado tempodecorrido entreimpactos subsequentes, foramtraçadas ascurvasapresentadasna figura3eospontosexperimentaisforamdispostosnatabela1.
0,5
Pede-se: a) Determineovalordocoeficientederestituiçãoparacadaumdossistemas. b) Avalie as fontes de incerteza associadas à determinação do coeficiente de restituição pelo procedimento descrito.
Considereasrelações:
2 Δ − 2 , Δ
onde :alturadocilindro, :gravidade,
:tempoentredoisimpactose :coeficientederestituição.
Montagemexperimentalparadeterminaçãodocoeficientederestituição.
Resultadosobtidosnamediçãoentreosintervalosentreimpactos: Fernando Freitas Alves
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Δ
. 19/01/14 – pág. 3/11
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Δ Δ0,40 0,0,2178 0,0,1120 0,8
. Resultadosobtidosnamediçãoentreosintervalosentreimpactos:
1 23 45 6
Δ0,52 0,0,4358 0,0,3248 0,24
Pedra / vidro ( )
Colisão( )
çã
.
Madeira / vidro ( )
Δ
Para se determinar o valor do coeficiente de restituição com os dados coletados, deve-se utilizar uma
mudança de variável a partir das equações descritas, visto que a dependência de
por não é retilínea.
ΔΔ2 ⇒ 2 ⇒ln Δ2l n ⇒ ln ⇒ ± ± ± +Δ 2 Δ 2 1 ⇒ ± Δ 2 +Δ2 ⇒ ± + Δ Δ ±0, 0 1 s ±0, 0 005 m 9, 8 1 m/s 2 29×,810m/s,5 m ≈319, 3 ms ± ± 2 · ≈± 319,23 ms ·0,00,0055 mm≈±0,2 ms
Essa mudança é demonstrada por:
Perceba que agora, a variável
depende linearmente de
. Logo, encontrando a constante de
proporcionalidade usando os dados da tabela, podemos encontrar , pois:
A incerteza da variável Y pode ser estimada pela seguinte propagação de erro:
Assumindo que a incerteza das medidas uma régua de incerteza de o valor e a incerteza de
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feitas no osciloscópio é de
, a altura
, o valor da aceleração da gravidade como exatos
adquirida por e estimando
:
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BC1707: Métodos Experimentais em Engenharia podemos reescrever a tabela com os dados de
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para cada ponto, corrigindo o valor de
Δ Δ e
para a
superfície de madeira de acordo com o valor do gráfico e expandindo os valores com os outros pontos do gráfico:
1 23 45 67 89 1011 12
Colisão( )
obtemos as seguintes curvas:
1,96
Δ 0,0,5425 ±± 0,0,0011 0,0,3384 ±± 0,0,0011 0,0,2284 ±± 0,0,0011 0,0,2107 ±± 0,0,0011 0,0,1164 ±± 0,0,0011 0,0,1130 ±± 0,0,0011
0,0,23 ±± 0,0,55 0,0,56 ±± 0,0,55 0,1,80 ±± 0,0,55 1,1,23 ±± 0,0,55 1,1,45 ±± 0,0,55 1,1,69 ±± 0,0,55
Pedra / vidro
( )
Δ 0,0,4208 ±± 0,0,0011 0,0,1182 ±± 0,0,0011 0,0,1007 ±± 0,0,0011 0,0,0064 ±± 0,0,0011 0,0,0032 ±± 0,0,0011
0,0,58 ±± 0,0,55 1,1,37 ±± 0,0,55 1,2,92 ±± 0,0,55 2,2,48 ±± 0,0,56 3,3,15 ±± 0,0,67
Madeira / vidro ( )
95% −,−, 11±0,±0,0004·12·11,,9966 0,0,8764±0, 0 07 3±0,02
onde suas constantes de proporcionalidades levam aos seguintes valores de coeficientes de restituição com um fator
para obter um intervalo de predição de
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de probabilidade:
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0,785
3. Emtrêsexperimentos diferentes,deixou-secairumabolaping-pong deumaaltura iguala emuma superfíciedegranito.Ossinaisacústicosgeradoscomosimpactosdabolaforamconvertidosempulsoselétricos atravésdeummicrofoneeregistradosno osciloscópio,comorealizadoemsaladeaula.Paracadaexperimento foiobtido,pormétodosdiferentes,umvalordocoeficientederestituiçãodabola.
Coeficientederestituição Deixou-se a bola bater sucessivamente na superfície, gerando o sinal da figura 4. Em seguida, mediram-se os diversosintervalosentrequedasconsecutivas,gerando-seográficodafigura5.
3%
a) Considerando o resultado da interpolação exponencial dos resultados obtidos na figura ( ), determineovalormaisprovávelparaocoeficientederestituição .Lembre-sedequeotempoquedefineo intervalo édadopor .
Δ 2
Paraapresentarcorretamenteonúmerodealgarismos,adotequeaincertezapadrãodestemétodoéde
Resultadoobtidonoosciloscópio.
.
Resultadodotratamentodosdados.
Coeficientederestituição Foimedido5vezesointervalodetempoentreoinstantedoprimeiroimpactoedosegundo.Atabela2contém osresultadosobtidos. Resultadosobtidosemcincomediçõesdointervaloentreoprimeiroeosegundoimpactodabolasobre asuperfície.
12 34 5
Medida
0,0,772322 0,0,771519 0,716 2
Intervalo de tempo ( )
b) Determineo coeficientede restituição( )maisprovável apartirdos resultadosapresentadosna tabela2. Lembre-sequeotempodequedadabolaapartirdorepousopodesercalculadocomo:
9,80 /
adote
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edesprezeasgrandezasdeinfluêncialigadasa .
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Estimeaincertezapadrãoapartirdatabela2euse-aparaindicarovalorde algarismossignificativos.
comonúmerocorretode
coeficientederestituição
Ográficodafigura6foiregistradoparaseobterointervalodetempoentreoprimeiroeosegundoimpactoda bola,comorealizadoemsaladeaula.
Gráficocompicosdetensãocorrespondentesaoprimeiroeosegundoimpactodabolanasuperfície. c)
Determineocoeficientederestituição( ) a partirda figura6.Lembre-se que o tempo de quedada bola podesercalculadocomo
2 3%
9,8 /
e adote . Para indicar o valor de incertezapadrãodestemétodoéde .
com o número correto dealgarismos, considere que a
d) Osresultadosobtidosatravésdosexperimentos1,2e3sãocompatíveis?Justifique,utilizandooconceitode erronormalizado. e) Paraqual(is)dosexperimentosaalturadaquedadabolaéumagrandezademaiorinfluêncianoresultado obtidoparaocoeficientederestituição?
çã
a) Por um lado, temos pela interpolação que: onde as variáveis representam:
Δ ln Δ Δ 2
Podemos então encontrar a seguinte relação linear:
Por outro lado, pela equação teórica:
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ln Δ2l n ln3% ⇒ −,1±0,03≈0,80±0,03 ± ⇒ ± 12 2 ⇒ ±12 ⇒ ± 2 ·0,03 ⇒ ± · 2 2 1± 0,203 2×9 ,800ms,785⁄ m 1±0,015≈0,400±0,006 s 1 0, 7 23 + 0, 7 22 + 0, 7 15 + 0, 7 19 + 0, 7 16 Δ ∑Δ s 0, 7 19 s 5 = 1 ± 1 ∑(Δ Δ ) = 0 , 7 230, 7 19 + 0 , 7 220, 7 19 + 0 , 7 150, 7 19 + 0 , 7 190, 7 19 + 0 , 7 160, 7 19 ± s 51 ±0,004 s Δ 2Δ 2 temos a seguinte relação linear:
Comparando ambas as expressões lineares, concluímos que:
Logo, utilizando a incerteza padrão enunciada de
, o valor do coeficiente de restituição do experimento
1 é dado por:
b) Podemos estimar a incerteza do valor de
Logo, o valor de
através da seguinte propagação de erro:
é dado por:
Por outro lado, o valor de
é dado pela média dos dados da tabela:
e sua incerteza estimada pelo desvio padrão dos mesmos:
Assim, podemos calcular o coeficiente de restituição que depende desses valores encontrados:
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e estimar sua incerteza pela seguinte propagação:
± Δ + 1 Δ ⇒ ± 2 + 2 ⇒ ± Δ + ⇒ ± Δ + Δ 0 , 7 19 s 0, 0 04 s 0, 0 06 s 2 1 ± Δ + 2× 0,400 s 1 ± 0,719 s +0,400 s ≈0,90±0,01 Δ 0,8 s0,1 s0,7 s 3% Δ2 [1±0,03] 2×00,7,4s00 s 1±0,03 ≈0,88±0,03 √ |+| 1, 9 6 95% 1,61 0,96 0,32 1
Logo, concluímos que o valor do coeficiente pelo experimento 2 é dado por:
c)
Utilizando a mesma análise do item b, temos que o valor do coeficiente pelo experimento 3, utilizando o intervalo de tempo
dado pelo gráfico e o erro padrão do enunciado de
,é
dado por:
d) Utilizando o conceito de erro normalizado:
onde
é a incerteza expandida da medida (neste caso, considerando um fator
intervalo de predição de
para obter um
de probabilidade), para comparar cada par de coeficiente de restituição para
cada experimento, temos os seguintes valores:
Podemos perceber que entre os valores do primeiro com o terceiro e do segundo com o terceiro experimento resultaram em um erro normalizado menor que
, o que implica que são valores
confiantemente compatíveis entre cada método respectivo. Por outro lado, a comparação entre os valores
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do primeiro e o segundo experimento resultou um erro normalizado entre
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12 e
. Logo, podemos dizer que
ambos os valores são pouco comparáveis, no entanto, atribuindo incertezas padrões maiores esses valores se tornam mais compatíveis.
e) O experimento que é mais afetado pela altura seu coeficiente de sensibilidade e o da altura.
da queda é aquele que possui uma relação maior entre o
1 1
No entanto, para o experimento 1, temos que:
onde
é desconhecido, visto que não foi mencionado a análise de interpolação utilizada no gráfico deste
experimento. Logo, não podemos presumir a relação entre o coeficiente de sensibilidade do coeficiente de restituição
pela altura
da queda.
Por outro lado, para os experimentos 2 e 3, temos:
tal que:
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1 Δ + 1 1 Δ ⇒ 2 + 2 ⇒ 1 Δ + ⇒ Δ + ⇒ + 1 ⇒ 1 12 2 ⇒ 1 12 ⇒ 121· ⇒ 2
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BC1707: Métodos Experimentais em Engenharia Logo:
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14 1+ ⇒ ∝ 2
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Assim, conclui-se que os experimentos 2 e 3 são igualmente afetados pela altura
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da queda.
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