DOMINIO DOMINIO ANALÍTICO ANÁLISIS MATEMÁTICO I - Prof. Gabriel A. Leon
Para hallar el dominio de una función función consideram c onsideramos os las siguientes siguientes situaciones donde se excluyen e xcluyen valores que la función no puede tomar, porque por que no se puede calcular su imagen en el campo de los números reales. reale s. 1° FUNCIONES RACIONALES: Como distinto de cero. Ejemplo 1:
, pedimos que que el denominador debe ser
− ( ) = −+
51≠0 5 5 ≠ 1 ≠ − − ≠ Ejemplo 2:
() = ℝ { }
( ) = + + 2 5 ≠ 0 ≠25 ||≠ √ 25 25 No existe solución soluci ón en ℝ.
() = ℝ
En el último ejemplo, no existen valores valores a excluir, por eso el dominio es todos todo s los números números reales. 2° FUNCIONES DE RAÍCES CON ÍNDICE PAR: Como no existe la raíz cuadrada, o cuarta, de un , entonces necesitamos que la expresión sea mayor o igual a cero.
() = √ 32 3 2 32≥0 3≥2 ≥ () = [ ;∞ Ejemplo 2: () = √2 √ 2 9 () = ℝ Al tratarse de una raíz de índice impar. Ejemplo 1:
En el e l último ejemplo, ejempl o, no no existen existe n valores que no estén definido de finidos, s, ya que la raíz r aíz cúbica de un número negativo negativo si existe.
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3° FUNCIONES LOGARÍTMICAS: Los mayor a cero.
de cualquier logaritmo logaritmo deben ser
Ejemplo 1:
() =ln( =ln (2 4) 24>0 2>4 < − − <2 () =(∞;2)
Ejemplo 2:
() =(3 6) 3 6 > 0 3(2)>0
, es decir
Como es un producto de dos expresiones, analizamos los signos de las mismas. Para que el producto sea positivo, ambas ambas expresiones deben ser positivas o negativas. negativas.
(3 > 0 ∩ 2 > 0) ∪ (3<0 ∩ 2<0) ( > 0 ∩ > 2) ∪ (<0 ∩ <2) Resuelvo la intersección de intervalos, intervalos, luego unión, unión, y resulta:
() =(∞;2)∪(0;∞) Ante una una funció función n que en su estructura dominio es todos todo s los números reales. Ejemplo 1:
, podemos afirmar que su
ℎ() = ++
Como no hay un denominador, de nominador, ni una raíz de índice índic e par, ni un logaritmo, afirmamos que:
ℎ() = ℝ Ejemplo 2:
( ) = −
Si bien existe un denominador, éste nunca nunca será cero, ya que es un número número real, r eal, entonces:
() = ℝ
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Sin embargo, puede pued e ocurrir oc urrir que que una función contenga co ntenga una combinación de condiciones. condiciones. En este caso, c aso, el dominio resulta r esulta de la . Ejemplo 1:
( ) = √−
Primero, Primero , considero que el denomin de nominador ador debe ser distinto de cero. Luego, que el radicando debe de be ser mayor mayor o igual a cero.
22≥0
Por lo tanto, consideran conside rando do las dos condicione co ndiciones, s, resulta:
22>0 2>2 > >1 Ejemplo 2:
() =(1;∞)
( ) = √−+ +
Por un lado, el radicando radi cando debe ser mayor mayor o igual a cero. cero .
24≥0 2≥4 ≤ 4 2 ≤2 Luego, el denominador denominador debe ser distinto de cero.
2≠0 ≠2 Considerando las dos condiciones, condicio nes, resulta que: que:
() =(∞;2)∪(2;2]
√ 2 2 ≠ 0
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