DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE MAMPOSTERÍA PARA DISTINTOS NIVELES DE DESEMPEÑO ESTRUCTURAL CON BASE EN ADECUACIONES PROPUESTAS AL MÉTODO SIMPLIFICADO DE ANÁLISIS 1) Jesús Cano Licona ( 1) y Arturo Tena Colunga (2)
Artículo X-02 RESUMEN El método simplificado, muy utilizado en análisis y diseño de estructuras de mampostería, se basa en la distribución de fuerzas laterales en estructuras simétricas con diafragmas rígidos. En este trabajo se comparan las fuerzas cortantes que absorben los muros al utilizar el método simplificado respecto a un método riguroso. Se muestra el impacto de las deformaciones por cortante en la distribución de dichas fuerzas y, con base en estudios paramétricos, se proponen factores de área efectiva para tres distintos niveles de desempeño, caracterizados por el nivel de agrietamiento en la estructura.
ABSTRACT The Simplified Method for seismic analysis (SMSA) allowed by Mexican codes is commonly used for the analysis and design of masonry structures. The method is based on the distribution of lateral forces of symmetric shear-wall structures with rigid diaphragms. In this work, shear forces absorbed by the walls according to the SMSA are compared with respect to those obtained with rigorous 3D analysis. The impact of shear deformations in the 3D distribution of the forces absorbed by the walls is assessed for different wall aspect ratios (H/L). Based on extensive parametric studies, effective area factors (FAE) originally proposed in the SMSA are modified. New F AE are proposed for three different performance levels for the structure: (a) elastic response, (b) completely nonlinear response and (c) partial nonlinear response along the height.
INTRODUCCIÓN Se ha mencionado que el método simplificado propuesto en las Normas Técnicas Complementarias para Estructuras de Mampostería 2004 (NTCM-2004, 2004) constituye la base para el diseño y análisis de un importante número de estructuras hechas con este material. Las estructuras de mampostería se construyen esencialmente con base en muros ligados por un sistema de piso, que en la mayoría de los casos se (1) Alonso y Asociados, Proyecto Estructural, Carretera Federal México Toluca 1725-C5, Col. Lomas de Palo Alto, CP 05110 México, DF. jesuscl@alonsoasoci DF.
[email protected] ados.com.mx (2) Departamento de Materiales, UAM Azcapotzalco, Edificio H, 3er. Piso. Av. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas C.P. 02200 México, D. F.
[email protected]
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Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, A. C.
considera como un diafragma rígido (lo cual debe revisarse). Para estructuras con base en muros es importante evaluar el impacto específico que las deformaciones por cortante tienen, tanto en la ubicación de los centros de torsión de los edificios, como en la distribución de fuerzas cortantes entre los muros de cada entrepiso. Existen estudios previos que han demostrado el impacto de las deformaciones por cortante en la distribución de los centros de torsión mediante la determinación de excentricidades estáticas de entrepiso (i.e., Tena y Pérez, 2000), así como su impacto en la distribución de las fuerzas cortantes absorbidas por los muros (Tena, Pérez y Cano, 2002). Se ha estudiado el caso muy común en que en todos los entrepisos de un edificio se tiene la misma distribución de muros en planta, pero las relaciones de aspecto de los muros, H/L, son distintas entre sí. Esta diversidad de relaciones de aspecto en una misma planta determina la variación de los centros de torsión; si dominan los muros cortos o robustos, H/L<1, las excentricidades se incrementan del último al primer nivel, mientras que al dominar los muros esbeltos, H/L ≥1, ocurre lo contrario. Las NTCM-2004 proponen una expresión para el cálculo de la excentricidad estática conforme al método simplificado, que da resultados razonables cuando se tienen similares relaciones de aspecto en una misma planta; al dominar para muros robustos, la expresión es conservadora, no así para plantas en que dominan muros esbeltos (Tena y Pérez, 2000). El presente trabajo se concentra en comparar las fuerzas cortantes que toman los muros ante eventos sísmicos, calculando dichas fuerzas con el método simplificado propuesto en las NTCM-2004, y con un método de análisis tridimensional que se ha considerado como exacto. Dicho método es el propuesto por el Ing. Julio Damy. Las deformaciones por cortante se incluyen utilizando la analogía de la columna ancha equivalente. Con ello se pretende proponer una expresión para el cálculo del Factor de Área Efectiva, que tome en cuenta de manera indirecta el impacto que las deformaciones por cortante tienen en la forma en que se distribuyen las fuerzas cortantes entre los muros de una misma planta. Como se sabe, el Factor de Área Efectiva es un parámetro importante para el cálculo de las fuerzas cortantes en los muros de acuerdo con el método simplificado. Se estudian tres estados de desempeño estructural con base en el nivel de agrietamiento esperado: comportamiento totalmente elástico, agrietamiento uniforme de los muros en todos los niveles del edificio y agrietamiento uniforme de los muros en los niveles inferiores del edificio. Con base en estudios paramétricos, se presentará una expresión para el cálculo de un factor de área efectiva asociado a cada uno de estos niveles de desempeño estructural. Se seleccionaron modelos simplificados que representan a edificios típicos que se construyen en México para vivienda de interés medio y de interés social, construidos con base en mampostería confinada. Los modelos consideran el caso muy común de tener la misma distribución de muros en todas sus plantas, pero que existen en cada planta muros con diversas relaciones de aspecto H/L. Los modelos representan edificios de tres y cinco niveles, que cumplen con los requisitos impuestos por las NTCM2004 para poder utilizar el método simplificado. Cada uno de los modelos seleccionados se ha analizado con ambos métodos, el método simplificado y el un análisis riguroso en 3D utilizando el método de Damy.
MÉTODO SIMPLIFICADO Este método se basa en una distribución de rigideces simétrica, supone que los muros están ligados por un diafragma rígido, y que la fuerza sísmica se aplica en una sola dirección. De acuerdo con las NTCM-2004,
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pueden despreciarse efectos como esbeltez, torsión, flexibilidad de diafragma y el cálculo de los desplazamientos laterales. Basta con verificar que la suma de las resistencias al corte de los muros sea al menos igual a la fuerza sísmica actuante en cada uno de los niveles. Es por ello que el uso del método simplificado resulta muy atractivo para la práctica profesional, por lo que es muy importante evaluar su nivel de aproximación con respecto a métodos más rigurosos de análisis estructural, lo cual no se había realizado previamente con el nivel de profundidad que se hace en el estudio en que se basa este artículo (Cano, 2005).
MÉTODO MATRICIAL DE DAMY Con el fin de poder comparar la distribución de fuerzas cortantes en los muros obtenidas con un análisis tridimensional riguroso con las que se obtienen al aplicar el método simplificado, se optó por utilizar el método propuesto por el Ing. Julio Damy Ríos para modelar la respuesta tridimensional, incluyendo la posibilidad de incluir la respuesta torsional cuando existan excentricidades matricialmente, apoyándose en matrices de rigidez lateral de los elementos que contribuyen a resistir las fuerzas laterales inducidas por sismo. No se presentará aquí la descripción del método de Damy, la cual se presenta en estudios previos (i.e., Alcocer, 1986, Tena y Pérez, 2000, Cano, 2005). Es importante señalar que para fines del presente estudio, los muros representan a los elementos que resisten las fuerzas laterales inducidas por sismo, la matriz de rigidez lateral de los muros requerida por el método de Damy se determina mediante una condensación estática de los grados de libertad de rotación, como se indica más adelante.
MODELADO DE LOS MUROS Los muros se modelaron como columnas anchas equivalentes, incluyendo las deformaciones por cortante. Posteriormente, mediante una condensación estática de los grados de libertad de rotación se obtiene una viga condensada equivalente en función de los grados de libertad de desplazamiento lateral exclusivamente, como se muestra en la figura 1.
Modelado elástico de los muros Tena (1999) demuestra que para muros cuyo comportamiento es idealizado como elástico lineal, homogéneo e isotrópico (idealización bastante alejada de la realidad del comportamiento de la mampostería, que es heterogénea y anisotrópica), la matriz de rigidez de una columna ancha equivalente con dos grados de libertad por nudo, es de forma indicada por la ecuación 1, y cada uno de los términos que integran esta matriz están dados en las ecuaciones 2 a 5.
− r aax r bax ⎤ r abx ⎡ r aax ⎡[k ´11 ] [k ´12 ]⎤ ⎢⎢ r abx r 11 x − r abx r 12 x ⎥⎥ [k ´] = ⎢ ⎥= ⎣[k ´ 21 ] [k ´22 ]⎦ ⎢− r aax − r abx r aax − r bax ⎥ ⎢ ⎥ − r bax r 22 x ⎦ r 21 x ⎣ r bax
3
(1)
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∆2
θ2
∆2
θ2
∆2
2
H ∆1
θ1
∆1
θ1
∆1
1
H
L Muro de un nivel
Columna ancha Viga condensada equivalente equivalente
Figura 1. Modelado de los muros 12 EI x h 3 (1 + φ y )
r aax
=
r abx
= r bax =
6 EI x h 2 (1 + φ y )
(3)
r 11 x
= r 22 x =
4 + φ y EI x h (1 + φ y )
(4)
r 12 x
= r 21 x =
2 − φ y EI x h (1 + φ y )
(5)
por: φ y
=
(2)
Las deformaciones por cortante están dadas adimensionalmente en función del coeficiente φ y dado 12 EI x GAcy h 2
⎛ r x ⎞ = 24(1 + ν ) ⎜ ⎟ Acy ⎝ h ⎠ A
2
(6)
donde G representa el módulo de rigidez a cortante del muro, A cy es el área de cortante de la sección, ν es el coeficiente de Poisson del material del muro, E es el módulo de elasticidad, I x el momento de inercia de la sección transversal del muro respecto al eje de flexión, y A es el área de su sección transversal. De la ecuación 6 se aprecia que las deformaciones por cortante dependen de la relación entre el radio de giro de la sección transversal r x con respecto a la altura del muro h, y como el radio de giro es función de la longitud del muro L, es obvio que las deformaciones por cortante dependen de la relación de aspecto del muro, H/L, o de manera directa a partir de la ecuación 6, L/H, es decir, si se introduce una coeficiente α que nos da la fracción de L que define el radio de giro para una sección transversal dada, por ejemplo, para la sección transversal rectangular α = 0.287, se tiene que la ecuación 6 puede escribirse nuevamente como: φ y
⎛ α L ⎞ = 24(1 + ν ) ⎜ ⎟ Acy ⎝ h ⎠ A
2
(7)
4
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Por lo tanto, a medida que aumenta la altura del muro (muros esbeltos) se reduce el valor del coeficiente adimensional φy y su influencia se reduce notablemente, pero para muros cuadrados o robustos, h relativamente pequeña, se aumenta el valor de φy y su impacto es significativo en la determinación de la matriz de rigidez, y por ello no pueden despreciarse en la mayoría de los muros.
Modelado de los muros agrietados Como se discute en Tena (2001), Bazán y Meli (1998) presentan que, para fines de análisis, se pueden modelar a sistemas de marcos de concreto-muros de mampostería o muros de mampostería confinada por medio de una columna ancha equivalente (figura 2). Para ello deben definirse propiedades equivalentes para el sistema agrietado considerando que el momento de inercia ( I eq) depende principalmente de la rigidez axial de columnas (o castillos para mampostería confinada) y que debe utilizarse un área de cortante reducida ( Aceq) que permita modelar la separación entre muro y marco. Así, las propiedades geométricas equivalentes son: I eq
= Ac
Aceq
ζ =
λ =
b
2
2
(8)
= (0.37 − 0.12ζ + 0.023λ )( Am + 2 Ac ) b
(9)
(10)
h E c Ac Gm Am
(11) F
=
h
I eq Aceq
b
t A c
A m
A c
Figura 2. Idealización de un muro confinado agrietado como columna ancha equivalente donde Ac es el área de la sección transversal de cada columna (o castillo), Am es el área neta de la sección transversal del muro, ambas sin transformarse, E c es el módulo de elasticidad de los elementos de confinamiento o del marco y Gm es el módulo de cortante del muro. Estas expresiones se desarrollaron para Gm=0.4 E m, donde E m es el módulo de elasticidad del muro. Las expresiones 8 y 9 son válidas para el
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siguiente intervalo de las relaciones de aspecto ζ y de rigideces relativas axiales de los castillos (columnas) con respecto al muro λ (Bazán y Meli, 1998): 0.75 ≤ ζ ≤ 2.5
(12)
0.9 ≤ λ ≤ 11
(13)
MODELOS EN ESTUDIO Se seleccionaron edificios de mampostería tipo de tres y cinco niveles, con altura típica de entrepiso de 2.50 y 2.40 m respectivamente, cuya planta se presenta en la figura 3. Los criterios empleados en su selección así como sus características más relevantes se enuncian a continuación. En todos los casos, los muros de mampostería son de tabique de barro de 14 cm de espesor. Se consideró al edificio con uso de oficinas, y desplantado en terreno tipo III. Por ser de piezas macizas y tener altura total menor a 13m se le asignó un coeficiente sísmico de 0.19. En el caso del edifico de cinco niveles, se seleccionó h = 2.4m para que la altura total del edificio fuera de 12m, y se cumpliera con el requisito impuesto para el método simplificado en cuanto a altura del edificio, la cual debe de ser menor a 13m. 12m MURO 4
m 8
1 O R U M
MURO 5
2 O R U M
MURO 6
MURO 8
MURO 7
3 O R U M
MURO 9
Figura 3. Planta tipo de los modelos en estudio En todos los casos, la distribución de muros en planta es la misma. Se aprecia que existen distintas relaciones de aspecto entre los muros, que como ya se mencionó, es común de los edificios construidos en México y tiene impacto sobre cómo se distribuyen las fuerzas entre los muros. En la dirección Y se emplearon tres muros largos dispuestos simétricamente siempre, mientras que en la dirección X se emplearon seis muros, cuatro perimetrales y dos centrales. Se consideraron cinco casos de estudio, en cada uno de los cuales se mantuvo fija la relación de aspecto del muro central, y se varió la relación de aspecto de los muros laterales. A los muros centrales se les asignó una relación de aspecto desde 0.50 hasta 2.50, a intervalos de 0.5, por lo que los casos de estudio se denotan como: H/L = 0.50, H/L = 1.00, H/L = 1.50, H/L = 2.00 y H/L = 2.50. La figura 4 muestra la elevación tipo de los modelos en estudio y se describen en la tabla 1.
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XV Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, México, DF, Septiembre de 2005 NIVEL 5
m 0 4 . 2
NIVEL 4
m 0 4 . 2
NIVEL 3
m 5 . 2
NIVEL 3
m m 2 4 . 1 2 NIVEL 2
m m 0 5 5 . . 7 2
NIVEL 2
m 4 . 2 NIVEL 1
NIVEL 1
m 5 . 2
m 4 . 2
12m
12m
Figura 4. Edificios de tres y cinco niveles en elevación
Tabla 1. Casos de estudio, representados por la relación de aspecto del muro central Caso 1 2 3 4 5
H/L 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
H (m) 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50
L (m) 5.00 2.50 1.67 1.25 1.00
t (m) 0.14 0.14 0.14 0.14 0.14
Para cada uno de estos casos de estudio, se dieron diferentes valores para la relación de aspecto de los muros laterales, desde H/L = 0.42 hasta H/L = 2.50, por lo que en cada caso de estudio se tiene un total de 43 modelos diferentes. En total se obtienen 215 modelos, divididos en cinco casos de estudio. Se seleccionó este intervalo de valores para la relación H/L del muro central por considerar que dentro de este intervalo caen la mayoría de muros que se construyen en la realidad, desde muros muy robustos, con H/L menor, hasta muros esbeltos, con H/L mayor. Las propiedades de los muros se describen con detalle en Cano (2005). Cada uno de estos modelos se analizó con el método de Damy, y con el método simplificado. Se hizo el mismo tipo de análisis para el edificio de cinco niveles . El análisis consistió en someter a cada uno de estos modelos a un conjunto de fuerzas sísmicas laterales, calculadas de acuerdo con el método estático propuesto en las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo. Dicho vector de fuerzas se mantuvo constante en todos los análisis. Como cargas verticales se incluyó, además del peso propio, la carga viva reducida indicada en el Título Sexto del Reglamento para uso de oficinas. Dichos análisis, se aplicaron a los edificios suponiendo tres condiciones de agrietamiento:
•
Estado elástico: Ninguno de los muros presenta agrietamiento en toda su altura.
•
Estado totalmente agrietado: Los muros se han agrietado en toda su altura y perdido rigidez.
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•
Estado parcialmente agrietado: En el caso del edificio de tres niveles, se consideró que sólo el primer nivel estaba agrietado y los otros dos permanecían elásticos; en el edificio de cinco niveles, se consideraron agrietados los dos primeros niveles, y el resto en estado elástico.
Para el modelado de los muros en estado agrietado, se siguieron las recomendaciones de Bazán y Meli, las cuales se describieron previamente.
ESTUDIO PARA EL COMPORTAMIENTO TOTALMENTE ELÁSTICO Cuando se consideró que todos los muros tienen un comportamiento elástico, los muros se discretizaron conforme a lo descrito previamente, considerando que E= 19.2 ton/cm 2 y ν = 0.25.
Evaluación del método simplificado según las NTCM 2004 En esta etapa se calcularon las fuerzas cortantes de acuerdo con las expresiones propuestas en las normas actuales. El factor de área efectiva, F AE, se determina con las expresiones: F AE = 1
⎛ L ⎞ F AE = ⎜1.33 ⎟ ⎝ H ⎠
si
H
si
H
2
L
L
≤ 1.33
(14)
> 1.33
(15)
La fuerza cortante que absorbe cada muro es directamente proporcional a su área efectiva, calculada como el producto del factor F AE y su área transversal (Tena 2001, Cano 2005), es decir V ui
= V u
F AE i AT i n
∑ F i =1
(16)
AE i AT i
siendo V U el cortante del entrepiso considerado en la dirección de análisis, ATi el área transversal del muro i, y n el número de muros en la dirección de análisis. La expresión 15 permite observar que a los muros esbeltos, cuya relación H/L >1.33, se les asocia una fuerza cortante menor, mientras que a los muros robustos, se les asocia un a fuerza cortante mayor, según indica la ecuación 14. Con la finalidad de obtener una expresión realista para el F AE en función de las relaciones de aspecto de los muros, se realizaron los primeros análisis considerando el factor de área efectiva tal como se indica en las ecuaciones 14 y 15, para posteriormente compararlos con un análisis tridimensional riguroso utilizando el método de Damy, incluyendo las deformaciones por cortante y, a partir de la comparación de los resultados obtenidos con ambos métodos, definir cómo puede ser el F AE de manera que permita obtener mejores aproximaciones de las fuerzas cortantes con el método simplificado para un espectro más amplio de relaciones de aspecto H/L.
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Con la ayuda de programas de computadora desarrollados exprofeso para este trabajo, se procedió al análisis de los cinco casos de estudio descritos en la tabla 1, cada uno de los cuales comprende 43 modelos, asociados a la variación de la relación de aspecto H/L de los muros laterales en dirección X. Los resultados se presentan en la figura 5. En el eje de las abscisas se presentan los valores de H/L de los muros extremos, mientras que en el eje de las ordenadas se presenta el cociente V D/VS, cociente de las fuerzas cortantes obtenidas con el método de Damy, V D, y con el método simplificado, V S, en los muros extremos en dirección X. Las gráficas de la figura 5 permiten ver que la coincidencia de fuerzas, es decir V D/VS = 1.0, ocurre sólo cuando todos los muros de la planta tienen iguales relaciones H/L. Para el caso en que H/L=1 para el muro central, a medida que los muros laterales son más robustos, y con ello las deformaciones por cortante más importantes, observamos que el método simplificado subestima las fuerzas cortantes en los muros. Esta subestimación es distinta para cada uno de los niveles del edificio, llegando a ser del orden de 22% para el tercer nivel, mientras que para el primero, que es el crítico de diseño, la subestimación es del orden del 10%. Si los muros tienden a ser esbeltos, al crecer la relación H/L, las fuerzas cortantes se sobre estiman por parte del método simplificado, siendo el tercer nivel el de mayor sobre estimación.
Figura 5. Comparación de fuerzas cortantes. Método de Damy y método simplificado actual En el caso en que H/L=0.50 para el muro central, se presenta el mismo fenómeno, pero mucho más marcado, ya que el cociente VD/VS llega a ser menor a 0.1 para el tercer entrepiso, mostrando que la fuerza cortante calculada con el método simplificado es del orden de 10 veces la obtenida con el método de Damy. Podemos suponer que esta situación se debe a que al haber dominio de muros robustos en el entrepiso las deformaciones por cortante tienen un papel determinante en la forma en que se distribuyen las fuerzas cortantes entre los elementos resistentes del entrepiso. Lo anterior se comprueba al observar las gráficas correspondientes al caso en que H/L=2.50 para los muros centrales, es decir, muros esbeltos. Existe una mejor coincidencia de fuerzas, ya que el cociente VD/VS tiende a la unidad; sin embargo, para muros robustos las fuerzas cortantes por parte del método simplificado tienden a subestimarse. El factor de área efectiva, tal como se presenta en las NTCM-2004, sobre estima la fuerza cortante que toman los muros a medida que éstos son más esbeltos, mientras que para muros robustos, subestima dicha fuerza. Ello se debe a que para muros esbeltos tienen mayor impacto las deformaciones por flexión que las deformaciones por corte. Dada la relación que existe entre las deformaciones por cortante y las
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propiedades geométricas de la sección transversal del muro, se puede esperar una asignación de fuerzas cortantes diferente que tome en cuenta de una mejor manera el impacto de las deformaciones por cortante. Cabe mencionar que para el edificio de cinco niveles se realizaron los mismos análisis, encontrándose resultados prácticamente iguales a los del edificio de tres niveles.
Estudio de un nuevo Factor de Área Efectiva F AE Se procede ahora a mostrar los resultados obtenidos de los análisis realizados nuevamente con el método de Damy y el método simplificado, pero ahora hemos asociado a todos los muros un factor de área efectiva igual a la unidad, sin importar el valor de su relación de aspecto. Al dividir los resultados del método riguroso, que incluye las deformaciones por cortante, entre los del método simplificado que no las incluye, se definirá cómo impactan las deformaciones de cortante a las estimaciones de fuerzas con el método simplificado en función de la relación de aspecto H/L, y de esta manera, se podrán proponer posteriormente expresiones simples para F AE que permitan aproximar mejor las fuerzas cortantes con el método simplificado. La figura 6 muestra los resultados obtenidos, mientras que los detalles de estas gráficas se presentan en Cano (2005).
Figura 6. Comparación de fuerzas cortantes. Método de Damy y método simplificado, F AE=1.0 para toda relación de aspecto
Forma en que impactan las deformaciones por cortante Analizando el muro en voladizo que se muestra en la figura 7, con los grados de libertad que allí se muestran, la matriz de rigidez asociada es de la forma
⎡ (4 + φ y ) EI 6 EI ⎤ − 2 ⎢ ⎥ h(1 + φ y ) h (1 + φ y ) ⎥ ⎢ [k ] = ⎢ 6 EI 12 EI ⎥ ⎢− 2 ⎥ 3 ( 1 + ) ( 1 + ) h φ h φ y y ⎣⎢ ⎦⎥
(17)
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XV Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, México, DF, Septiembre de 2005 θ ∆
θ ∆
∆
H
Columna ancha equivalente
L
Muro de un nivel
Viga condensada equivalente
Figura 7. Muro de un nivel en voladizo
Como puede consultarse en Tena (1999) y Tena y Pérez (2000), si queremos tomar en cuenta el efecto de ambos grados de libertad sobre el desplazamiento lateral, podemos hacer una condensación estática de los grados de libertad con la expresión k ∆
= k ∆∆ − k ∆θ k θθ −1k θ ∆
(18)
Al hacer las sustituciones y operaciones correspondientes, como puede consultarse en Cano (2005), una expresión para la rigidez lateral del muro de la figura 7 está dada por la ecuación 19, es decir:
[k ∆ ] =
12 EI 3 h (4 + φ y )
(19)
Si involucramos el efecto de las deformaciones por cortante, dado por la ecuación 7, podemos encontrar una expresión en la que aparezcan H y L, altura y longitud del muro, tomados en cuenta en el cálculo del factor de área efectiva. Considerando ν=0.25 para mampostería, y además suponiendo que G=E/2(1+ ν), puede escribirse: φ y
=
12 EI GAc h 2
=
12 EI A
0.4 E h 1.2
2
=
36 EI Ah 2
= 36
r 2 h2
(20)
Se sabe que el radio de giro, r , de la sección es función del área y del momento de inercia de la sección, y este a su vez depende la longitud del muro, por lo que al hacer las manipulaciones algebraicas adecuadas, se llega a que las deformaciones por cortante pueden caracterizarse de la siguiente manera φ y
L ⎞ = 3⎛ ⎜ ⎟ ⎝ h ⎠
2
(21)
por lo que al sustituir la ecuación 21 en la ecuación 19 se encuentra que, para el muro mostrado en la figura 7, la matriz de rigidez lateral es de la forma
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Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, A. C.
[k ∆ ] =
12 EI 2 ⎡ L ⎞ ⎤ ⎛ 3 h ⎢ 4 + 3⎜ ⎟ ⎥ ⎝ h ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣
(22)
El denominador de la ecuación muestra una expresión cuadrática sin término lineal, en la que el término constante representa el impacto de las deformaciones por flexión, mientras que las deformaciones por cortante están caracterizadas por el término cuadrático. Ahora bien, si consideramos un muro de dos niveles (figura 1), se encuentra que las expresiones correspondientes a la matriz de rigidez lateral son de la forma
[k ij∆ ] =
aEt L2
1+ 3
h2
⎡ ⎤ L2 b+c 2 ⎢ ⎥ h ⎢1 − ⎥ 2 4 ⎥ ⎢ L L ⎢ d + e 2 + f 4 ⎥ h h ⎦ ⎣
(23)
donde a, b, c, d, e y f son coeficientes asociados que se obtienen para cada término k ij∆ de la matriz de rigidez fruto de la condensación estática. Como se observa, los polinomios obtenidos de esta condensación son de grado muy superior a las expresiones encontradas para muros de un solo nivel. Resulta claro ver que a medida que crece el número de niveles del muro, las expresiones se vuelven más complicadas, y no sólo eso, sino que resulta necesario el uso de matrices de corrección en lugar de simples expresiones para tomar en cuenta los efectos de flexión tanto como los efectos de cortante (Cano, 2005). Sería poco práctico agregar este tipo de expresiones de corrección en un reglamento de diseño. Auxiliándonos de las gráficas de la figura 6, es posible encontrar una nueva expresión para calcular el factor de área efectiva, con el cual se puedan tomar en cuanta las deformaciones por cortante y el efecto de tener distintas relaciones de aspecto en una misma planta. Se trata de encontrar una expresión del tipo: V D
H ⎞ = f ⎛ ⎜ ⎟V S ⎝ L ⎠
(24)
es decir, una función de H/L, que haga coincidir las fuerzas calculadas con el método simplificado y las del método de Damy. Una expresión del tipo dado en el denominador de la expresión 22 resultaría adecuada, pues es simple para fines de normatividad. De hecho, resulta atractivo pensar en una expresión del tipo de una ecuación cuadrática completa, es decir, de la forma V D
2 ⎡ H H ⎞ ⎤ ⎛ = ⎢c1 + c2 + c3 ⎜ ⎟ ⎥V S L ⎝ L ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣
(25)
en que la expresión entre corchetes nos daría la nueva forma de calcular un nuevo factor de área efectiva. Utilizando métodos convencionales, se calcularon diversos tipos de regresiones a las curvas mostradas en la figura 6, incluyendo ecuaciones de grado superior a dos. Con cada curva encontrada, se analizó nuevamente a los edificios en estudio y se compararon las fuerzas con el método de Damy.
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Finalmente, se encontraron dos expresiones que ajustaban razonablemente bien los datos de ambas curvas, las cuales se presenta a continuación, como una propuesta para calcular el nuevo factor de área efectiva. Un primer cambio respecto a la propuesta actual, es que el valor límite para una u otra ecuación está dado por el valor de H/L=1.0, en lugar de 1.33, como es la propuesta actual de las normas. Ello se debe que en las curvas calculadas, es el valor de uno el que determina el cambio de curvatura en las gráficas trazadas, ya que es únicamente ese valor de la relación de aspecto para el cual coinciden las fuerzas calculadas con el método de Damy y con el método simplificado. Las expresiones son las que se muestran a continuación: F AE = 1.5 +
H ⎞ − 1.5⎛ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠
H L
H
F AE = 2.2 − 1.5
L
2
H ⎞ + 0.3⎛ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠
si
H
si
H
2
L
L
≤ 1.0
(26)
> 1.0
(27)
Los resultados de analizar nuevamente los edificios en cuestión, se ilustran en la figura 8. Aquí es importante indicar que se centró la atención en tener un mejor ajuste para el primer nivel del edificio, que es el que se considera como crítico de diseño, ante la imposibilidad de hacer un ajuste general para todos los niveles, pues como se mencionó anteriormente, para ello se requeriría proponer una matriz con coeficientes de ajuste para cada nivel, lo que deja de ser práctico.
Figura 8. Comparación de fuerzas cortantes. Método de Damy y método simplificado según propuesta para el cálculo del factor de área efectiva FAE
ESTUDIO CUANDO SE CONSIDERA EL AGRIETAMIENTO DE TODOS LOS MUROS En otra etapa del estudio, se modeló a los edificios en cuestión como agrietados en toda su altura. Para poder utilizar el método de Damy con este patrón de agrietamiento, se calcularon propiedades mecánicas y geométricas equivalentes de acuerdo con el método de la columna ancha equivalente, propuesta por Bazán y Meli, como se describe en secciones anteriores. Gráficamente, los edificios se esquematizan según muestra la figura 9, y sus propiedades equivalentes se proporcionan en la tabla 2.
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Tabla 2. Propiedades geométricas y mecánicas equivalentes para el muro 2 (muro central). Edificio tres niveles CASO H/L Lmuro(m) A muro(m2) 0.50 5.00 0.70 0.75 3.33 0.47 1.00 2.50 0.35 1.50 1.67 0.23 2.00 1.25 0.18 2.50 1.00 0.14
2.00 1.33 1.00 0.67 0.50 0.40
Condición Cumple Cumple Cumple Inferior Inferior Inferior
1.139 1.709 2.278 3.417 4.556 5.695
Condición Aceq(m2) Cumple 0.1289 Cumple 0.1475 Cumple 0.1436 Cumple 0.1321 Cumple 0.1244 Cumple 0.1200
Ieq(m4) 0.7813 0.3472 0.1953 0.0868 0.0488 0.0313
NIVEL 5 I eq A ceq
2.40m NIVEL 4
I eq A ceq
2.40m NIVEL 3
NIVEL 3 I eq A ceq
2.5m NIVEL 2
7.50m
NIVEL 2 I eq A ceq
2.5m
I eq A ceq
2.4m
NIVEL 1
NIVEL 1 I eq A ceq
2.5m
I eq A ceq
12m 2.4m
12m
I eq A ce q
2.4m
12m
Figura 9. Patrón de agrietamiento en los edificios de tres y cinco niveles. Agrietamiento en todos los entrepisos del edificio Nuevamente, se manejaron los cinco casos de estudio considerados para el comportamiento totalmente elástico, caracterizados por la relación de aspecto del muro central. Se compararon las fuerzas cortantes obtenidas con ambos métodos y se graficaron los resultados obtenidos. En la figura 10 aparecen las gráficas que se encontraron luego de comparar las fuerzas cortantes según el método de Damy y aquéllas calculadas con la propuesta actual. Resulta claro que el cociente de la fuerza cortante según el método de Damy y la fuerza cortante según el método simplificado llega a ser del orden de tres, por lo que este método subestima de forma importante la fuerza cortante. Este hecho se vuelve más relevante al notar que es el nivel uno donde se presenta la mayor subestimación de fuerzas por parte del método simplificado. Es interesante ver que esta situación se da cuando las relaciones de aspecto de todos los muros de un mismo entrepiso son muy diferentes entre sí. Por ejemplo, para el caso en que la relación de aspecto es H/L=0.50 para el muro central, el cociente máximo en los muros laterales se alcanza cuando los muros son esbeltos, es decir, con relación de aspecto H/L=2.5. No hay que olvidar que para H/L=0.5 las deformaciones por cortante tienen un mayor impacto, al dominar los muros robustos. Es importante mencionar que en la deducción de las ecuaciones utilizadas para modelar según el método de la columna ancha equivalente, se utilizaron muros de un solo nivel en voladizo, mientras que en el presente análisis se ha supuesto que los tres muros están en las mismas condiciones de apoyo y en las mismas condiciones de daño, es decir, continuos y agrietados simultáneamente. Como es de esperarse, ello tiene impacto en el ensamble de la matriz de rigidez utilizada para el método de Damy, lo cual hace
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que las curvas de un mismo caso de estudio se separen más entre sí, contrario a lo que ocurrió en el caso elástico, ya que las curvas de los tres niveles tienen más o menos la misma tendencia.
Figura 10. Comparación de fuerzas cortantes. Método de Damy y método simplificado considerando agrietamiento total y F AE actual. Se pretende ahora determinar algún parámetro que refleje de manera simple y adecuada el impacto tanto de la relación de aspecto de los muros como de sus condiciones de agrietamiento severo. Es decir, se quiere determinar un factor de área efectiva equivalente que considere el agrietamiento de la totalidad de los muros (FAETA, Factor de Área Efectiva de Muros Agrietados en su Totalidad) con el cual puedan evaluarse las fuerzas cortantes en muros cuando se espera en todos ellos un daño severo ante sismos de intensidad considerable. Continuando con la metodología descrita previamente, se asoció a todos los muros un valor unitario al factor de área efectiva, independientemente de su relación de aspecto, y a las gráficas así obtenidas se trazaron regresiones de diversos tipos, hasta encontrar una ecuación cuya curva ajustara razonablemente bien los datos calculados con el método de Damy y con el método simplificado. La expresión propuesta es la de la ecuación 28; los resultados se muestran en la figura 11. 3
F AETA
2
H ⎞ ⎛ H ⎞ ⎛ H ⎞ = 0.1⎛ ⎜ ⎟ − 0.6⎜ ⎟ + 1.1⎜ ⎟ + 1 ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠
(28)
ESTUDIO CUANDO SE CONSIDERA EL AGRIETAMIENTOUNIFORME DE LOS MUROS EN LOS NIVELES INFERIORES Se ha observado ante eventos sísmicos reales y simulados en laboratorio, que las estructuras de mampostería confinada o reforzada se agrietan considerablemente los muros del primer entrepiso (Ruíz, 1995, Arias, Vázquez y Alcocer, 2004). Tratándose de edificios de mayor altura, como es el caso del edificio de cinco niveles que aquí se ha estudiado, el agrietamiento severo puede llegar a presentarse incluso en los muros del segundo entrepiso (Arias, Vázquez y Alcocer, 2004).
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Figura 11. Comparación de fuerzas cortantes. Método de Damy y método simplificado considerando agrietamiento total según F AETA propuesto. En esta fase del estudio, se ha considerado que los edificios estudiados presentan el patrón de agrietamiento de la figura 12, agrietamiento uniforme de todos los muros sólo en el primer nivel del edificio de tres niveles, y en los dos niveles inferiores para el caso del edificio de cinco niveles. NIVEL 5 I
2.40m
Ac
NIVEL 4 I
2.40m NIVEL 3
NIVEL 3 I
2.5m
12m
Ac
I eq A ceq
2.4m
Ac
NIVEL 1
NIVEL 1 I eq A ceq
2.5m
Ac
NIVEL 2 I
2.5m
I
2.4m
NIVEL 2
7.50m
Ac
12m
I eq A ceq
2.4m
12m
Figura 12. Patrón de agrietamiento en los niveles inferiores de los modelos Para usar el método de Damy y modelar este agrietamiento, se toman propiedades mecánicas y geométricas equivalentes, y se hicieron las adecuaciones pertinentes a los programas de computadora utilizados en el ensamble de las matrices de rigidez lateral de los muros. A los niveles inferiores se les asociaron propiedades geométricas equivalentes, de acuerdo a las expresiones propuestas por Bazán y Meli para el método de la columna ancha equivalente, mientras que a los muros de los niveles superiores se les asocian sus propiedades mecánicas y geométricas elásticas. Se analizaron los edificios como se ha venido describiendo en las etapas anteriores. Se comparan las fuerzas cortantes en los muros calculadas con el método de Damy considerando que los muros están agrietados en los niveles inferiores y las fuerzas obtenidas con el método simplificado, para los edificios
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de tres y cinco niveles. Se manejaron los cinco casos de estudio descritos en las secciones anteriores. Los resultados se presentan en la figura 13.
Figura 13. Comparación de fuerzas cortantes. Método de Damy y método simplificado considerando agrietamiento en los niveles inferiores y el F AE actual. En los casos en que la relación H/L=0.5 y H/L=1.0 para el muro central, es claro que el cociente de la fuerza cortante dada por el método de Damy y la calculada con el método simplificado es del orden de cuatro, por lo que existe una subestimación importante por parte del segundo método en el cálculo de la fuerza cortante en los muros laterales. Puede apreciarse que es en el nivel uno en el que se presenta la mayor subestimación de fuerzas. Para el tercer caso de estudio, la subestimación es menos notable, quizá por el hecho de estar dominado por muros esbeltos, en que las deformaciones por cortante tienen menos impacto. Una vez más se aprecia que al haber mayor cantidad de muros robustos en la planta, caso en que H/L=0.5 para el muro central, la influencia de las deformaciones por cortante es importante. En lo que respecta al edificio de cinco niveles, se observó que la mayor subestimación de fuerzas se presenta en el nivel dos, y que también es más marcada el estar la planta dominada por muros robustos. Se pretende ahora determinar un factor de área efectiva equivalente que considere que los muros están agrietados concretamente en los niveles inferiores (F AEPA, Factor de Área Efectiva de edificios Parcialmente Agrietados) con el cual puedan evaluarse las fuerzas cortantes cuando se espera agrietamientos ante sismos que causen el patrón de daño deseado en estructuras de mampostería confinada o reforzada. Posteriormente, se hizo la comparación de fuerzas cortantes ignorando los factores de área efectiva propuestos por las normas actuales, es decir, asociando a todos los muros un factor de área efectiva igual a la unidad, sin importar su relación de aspecto, con la finalidad de ver la tendencia de las curvas que resultan y, a partir de su observación, proponer modelos de regresión adecuados para la definición de factores de área efectiva simples que permitan mejores aproximaciones, sobre todos para el nivel crítico (primer nivel). Utilizando métodos convencionales, se probaron ecuaciones de grado dos, grado tres e inclusive grado cuatro, hasta seleccionar la expresión que se muestra a continuación, con la cual se observó una mejor coincidencia entre las fuerzas cortantes calculadas con ambos métodos. A este factor de área efectiva se le denota por F AEPA, y considera a los muros agrietados en los niveles inferiores.
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3
2
⎛ H ⎞ ⎛ H ⎞ ⎛ H ⎞ F AEPA = 0.04⎜ ⎟ − 0.28⎜ ⎟ + 0.6⎜ ⎟ + 0.6 ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠
(29)
Con la ecuación anterior se repitió el análisis de los modelos que hemos estudiado, y al comparar los resultados con lo obtenido usando el método de Damy, se obtuvieron los resultados presentados en la figura 14.
Figura 14. Comparación de fuerzas cortantes. Método de Damy y método simplificado considerando agrietamiento en los niveles inferiores según F AEPA propuesto.
CONCLUSIONES Del presente estudio y de estudios anteriores, se deduce que era necesario calibrar nuevos Factores de Área Efectiva para el método simplificado que proporcionaran una estimación más razonable de las fuerzas cortantes de los niveles críticos de diseño, que el propuesto actualmente en las Normas Técnicas Complementarias para Estructuras de Mampostería 2004. Como un paso adelante, se consideraron tres niveles de desempeño estructural: (a) comportamiento totalmente elástico de los muros en planta y elevación, (b) comportamiento totalmente agrietado de los muros en planta y elevación y, (c) comportamiento totalmente agrietado de los muros en los niveles inferiores, pero totalmente elástico en los niveles superiores. De los análisis efectuados, se deduce que la concordancia entre las fuerzas cortantes calculadas con el método de Damy y con el método simplificado, se logra sólo cuando todos los muros del entrepiso tienen la misma relación de aspecto, es decir, todos los muros son geométricamente iguales. La anterior configuración espacial de muros es una que generalmente no se presenta en la construcción de edificios reales, puesto que en ellos se tienen muros con muy diversos valores de su relación de aspecto para un mismo entrepiso. La forma real en que se distribuyen las fuerzas cortantes depende del tipo de muros que predominen en un mismo entrepiso, es decir, muros esbeltos o muros robustos. Más aún, tal distribución de fuerzas cortantes no es uniforme en toda la altura del edificio, sino que va variando en los distintos niveles que conforman el edificio. Se propuso un nuevo Factor de Área Efectiva para comportamiento totalmente elástico, F AE, dado por las ecuaciones 26 y 27, con el cual se logra una mejor coincidencia entre las fuerzas cortantes en
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muros calculadas con los métodos seleccionados en este estudio. Se reduce notablemente la subestimación de fuerzas en muros robustos y de los niveles inferiores, por lo que se pueden determinar de forma más precisa las fuerzas cortantes que obran en el nivel crítico de diseño, en particular en los muros de planta baja. Se estudió también el caso en que todos los muros del edificio se han agrietado en planta y elevación. Esta es una condición que se ha presentado en estructuras de mampostería no reforzada (o simple) ante sismos muy intensos, y no debe descartarse que pudiera presentarse en muros deficientemente confinados. En las NTCM-2004 no se presenta recomendación alguna sobre la determinación de fuerzas ante una condición similar de daño. Aquí se ha hecho la propuesta de un Factor de Área Efectiva Para muros Agrietados en su Totalidad, F AETA, dado por la ecuación 28. Se consideró también agrietamiento en los niveles inferiores del edificio, que es el comportamiento que se ha obtenido experimentalmente para estructuras de mampostería confinada diseñadas conforme a las NTCM. Para este nivel de agrietamiento, se propone el Factor de Área Efectiva para muros Parcialmente Agrietados, FAEPA, dado por la ecuación 29. Finalmente, según las NTCM-2004 vigentes, el valor de la resistencia a cortante, V mR , calculado con las expresiones convencionales debe de afectarse por el F AE que proponen dichas normas (ecuaciones 14 y 15). Sin embargo, para fines de determinar V mR , no es correcto suponer áreas mayores a la que por geometría presenta el muro. Por ello, se recomienda que en la determinación resistencias, se sigan utilizando los valores de F AE establecidos por las normas (ecs. 14 y 15) y no los nuevos factores propuestos en este trabajo. Los factores propuestos en nuestro estudio se obtuvieron a partir de métodos de análisis que definen cómo absorben los muros las fuerzas sísmicas en función de sus rigideces a cortante y flexión, y no en cómo se modifica su resistencia en función de su relación de aspecto, que es un parámetro relevante en la determinación de V mR y que debe obtenerse con base experimental, lo que no fue un tema abordado en este trabajo.
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