DISEÑO POR RIGIDEZ Y ANÁLISIS DINÁMICO Para diseñar un eje que transmite potencia y garantizar que sea seguro respecto de los esfuerzos cortantes de torsión y flexionante, los procesos de diseño se han concentrado en el análisis de esfuerzos; pero además del análisis de esfuerzos, la rigidez del eje es un asunto muy importante y existen muchas razones para ello: I.
II.
III.
IV.
Una deflexión radial excesiva del eje puede provocar que queden desalineados los ejes menos activos, con el consecuente bajo rendimiento o desgaste acelerado. Por ejemplo las distancia entre centros de los ejes que tengan engrane de presión no deben variar más que 0.005 pulgadas (0.13mm), aproximadamente, respecto de la dimensión teórica. Habría engranado inadecuado de los diente de los engranajes, y los esfuerzos flexionante y contacto reales podrían ser bastante mayores que los calculados en el diseño. También la deflexión de un eje contribuye de manera importante a su tendencia a vibrar, mientras gira. Un eje flexible oscila en los modos de deflexión y de torsión, lo cual causa movimientos mayores que las deflexiones estáticas debidas solo a la gravedad y a las cargas y los pares torsionales aplicados. Un eje largo y esbelto tiende a azotar y a girar con deformaciones relativamente grandes respecto de su eje teórico. El eje mismo y los ejes que se montan en el deben estar balanceados. Cualquier desbalanceo causa fuerzas centrifugas, las cuales gira con el eje. Los grandes desbalanceos y las altas velocidades de rotación pueden crear fuerzas de magnitud inaceptable, y agitación agitación del sistema giratorio. Un Un ejemplo con el que podríamos familiarizarnos es el de la rueda de un automóvil “desbalanceada”. Al conducir, en realidad se puede sentir la vibración a través del volante. Si se mandan a balancear el neumático y la rueda, se reduce la vibración a magnitudes aceptables. El comportamiento dinámico del eje puede volverse peligrosamente destructivo si funciona cerca de su velocidad crítica
DEFORMACIÓN Y VIBRACIÓN TORSIONAL. T ORSIONAL. Los elementos sometidos a torsión se encuentran en muchas situaciones de ingeniería. La aplicación más común la representan los ejes de transmisión que se usan para transferir potencia de un punto a otro, de una turbina de vapor a un generador eléctrico, o de un motor a una máquina herramienta, o del motor al eje trasero del automóvil. Estos ejes pueden ser sólidos, o huecos. Por ejemplo en un sistema TURBINA-GENERADOR, la turbina ejerce un torque T sobre el eje, y que el eje ejerce un torque igual sobre el generador. El generador reacciona ejerciendo un torque igual y opuesto T´ sobre el eje, y este ejerciendo el torque T’ en la turbina. El funcionamiento de la máquina hace que existan deformaciones en los componentes de ésta, y entre ellos, los ejes.
1.1. Deformación torsional.1.1.1. Esfuerzo cortante torsional. Cuando un par de torsión, o momento de torsión, se aplica a un elemento, tiende a deformarlo por torcimiento, lo cual causa una rotación de una parte del elemento con relación. El caso más frecuente de cortante por torsión, en el diseño de máquinas, es el de un eje redondo que transmite potencia.
Formula del esfuerzo cortante torsional Cuando un eje redondo macizo se somete a un par de torsión, la superficie externa sufre la máxima deformación cortante unitaria y, por consiguiente, el esfuerzo cortante torsional máximo. El valor del esfuerzo cortante torsional máximo se calcula con
Donde: c = radio de la superficie externa del eje e je J = momento polar de inercia
Formula general del esfuerzo cortante torsional Si se desea calcular el esfuerzo cortante torsional en algún punto dentro del eje, se emplea la fórmula más general
Dónde: r = radio de la superficie externa del eje
1.1. Deformación torsional.1.1.1. Esfuerzo cortante torsional. Cuando un par de torsión, o momento de torsión, se aplica a un elemento, tiende a deformarlo por torcimiento, lo cual causa una rotación de una parte del elemento con relación. El caso más frecuente de cortante por torsión, en el diseño de máquinas, es el de un eje redondo que transmite potencia.
Formula del esfuerzo cortante torsional Cuando un eje redondo macizo se somete a un par de torsión, la superficie externa sufre la máxima deformación cortante unitaria y, por consiguiente, el esfuerzo cortante torsional máximo. El valor del esfuerzo cortante torsional máximo se calcula con
Donde: c = radio de la superficie externa del eje e je J = momento polar de inercia
Formula general del esfuerzo cortante torsional Si se desea calcular el esfuerzo cortante torsional en algún punto dentro del eje, se emplea la fórmula más general
Dónde: r = radio de la superficie externa del eje
En las figuras se muestra en forma gráfica que esta ecuación se basa en la variación lineal del esfuerzo constante torsional desde cero, al centro del eje, hasta el valor máximo en la superficie externa. Los cálculos también se aplican a ejes huecos. El resultado es que el eje hueco es más eficiente
Módulo de sección polar Para el diseño, conviene definir definir el módulo de sección polar, Zp :
Entonces la ecuación del esfuerzo cortante máximo por torsión es:
Esta forma de la ecuación del esfuerzo cortante torsional es útil en problemas de diseño, porque el módulo de sección polar es el único término relacionado con la geometría del área transversal.
1.1.2. Deformación por torsión Cuando un eje se somete a un par de torsión, sufre un retorcimiento en el que una sección transversal gira con respecto a otras secciones transversales en el eje. El ángulo de torsión se calcula mediante
Torsión en miembros de sección transversal no circular El comportamiento de miembros con secciones transversales no circulares, al someterse a la torsión, es radicalmente distinto al comportamiento de elementos con secciones transversales circulares. Sin embargo, los factores que as se manejan en el
diseño de máquinas son el esfuerzo máximo y el ángulo total de torsión, para esos elementos. Se manejan las siguientes dos fórmulas: Esfuerzo cortante torsional
Deflexión de secciones no circulares
Estas dos últimas ecuaciones se parecen a las anteriores con la sustitución de Q por Zp y K por J, con los métodos para determinarlos valores de K y Q para varios tipos de secciones transversales que se manejan en el diseño de máquinas (VER ANEXO 1). Esos valores solo son adecuados si los extremos de los miembros son libres para deformarse. Si alguno de los extremos se fija, por ejemplo, soldándolo a una estructura firme, el esfuerzo resultante y el torcimiento angular son muy diferentes
Torsión en tubos cerrados de pared delgada En un método general para tubos cerrados de pared delgada, de casi cualquier forma, se manejan las ecuaciones, con métodos especiales para evaluar K y Q. La siguiente figura muestra uno de esos tubos, que tiene un espesor de pared constante. Los valores de K y Q son;
El esfuerzo cortante calculado con este método es el esfuerzo promedio en la pared del tubo. Para diseñar un miembro que solo resista torsión, o torsión y flexión combinadas, se aconseja seleccionar tubos huecos. Tienen buena eficiencia, tanto en la deflexión como en la torsión.
1.2. Vibración torsional. La vibración torsional es una oscilación con una posición angular hacia una línea central, y es causada por fuerzas de torque oscilatorias por ejemplo, un motor acoplado a una flecha activando un engrane piñón en una caja de engranes tendrá una variación de torque, cada vez que un diente se junta con un diente del otro engrane. Este produce una vibración torsional en la flecha. Es importante cuidar que esas fuerzas no ocurren cerca de las frecuencias de resonancias torsionales, o los niveles de vibración pueden ser muy altos. Debido a que hay semejanzas muy estrechas entre las vibraciones rectilíneas y las torsionales, la teoría y el análisis explicado para las primeras, pueden ser aplicados igualmente para las segundas.
2. VELOCIDAD CRÍTICA Y FRECUENCIA NATURAL.2.1. Velocidad crítica. Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total de eje y de las partes que se le adicionan, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y del amortiguamiento del sistema. La deformación considerada como una función de la velocidad, presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas, teniendo más importancia para el diseñador la velocidad más baja (frecuencia natural),también llamada, primera y ocasionalmente se emplea la segunda; las otras son tan altas que están muy alejadas de las velocidades de operación. En la figura siguiente se muestra la deformada de un eje con dos masas m1 y m2 cuando pasa por la primera y segunda velocidad crítica respectivamente.
Primera velocidad crítica. a. Para un eje que lleva una sola masa (m), Si la propia es pequeña en comparación con la masa que lleva unida, la primera velocidad crítica puede calcularse aproximadamente por:
Donde k es la constante del resorte del eje fuerza requerida para producir una deformación unitaria en el punto de localización de la masa).También puede expresarse como
Donde δ es la deformación Estática, (deformación producida por una fuerza mg, en el punto de localización de la masa), y g es la constante de gravitación.
Es preferible tener una velocidad crítica grande, mucho mayor que la velocidad de funcionamiento; entonces, la rigidez debe ser grande y la masa pequeña. Las variables principales sobre las que tiene control un Diseñador son el material y su módulo de elasticidad E, su densidad ρ, e Diámetro del eje D y su longitud. La siguiente relación funcional puede ayudar a comprender la influencia de cada una de esas variables:
Donde el símbolo
∝, representa proporcionalidad entre las variables. Al emplear esta función como guía, las siguientes acciones pueden reducirlos problemas potenciales por deflexiones o por velocidades críticas 1. Al hacer que el eje sea más rígido se puede evitar el comportamiento dinámico inconveniente 2. Los ejes más grandes tienen mayor rigidez. 3. Las longitudes cortas de los ejes reducen las deflexiones y reducen las velocidades críticas 4. Se recomienda colocar los elementos activos en el eje cerca delos cojinetes de soporte. 5. Al reducir el peso de los elementos soportados por el eje, se reduce la deflexión estática y se reduce la velocidad crítica. . Si bien la mayor parte de los metales tienen relaciones parecidas, las relaciones de los materiales compuestos suelen ser altas. Por ejemplo, los ejes de impulsión largos, para vehículos que deben trabajar a grandes velocidades, son fabricados con frecuencia con materiales compuestos y huecos, mediante fibras de carbón.7. Los cojinetes deben tener gran rigidez, en términos de deflexión radia en función de la carga.8. Los montajes para cojinetes y cajas deben diseñarse con una gran rigidez
b. Para un eje de sección transversal constante Simplemente apoyado en sus extremos, sin otra masa fuera de la propia, la velocidad crítica es muy cercana a:
c. Para un eje de masa despreciable con varias masas concentradas unidas a él , la primera velocidad critica esa aproximadamente:
d. otra aproximación para la primera velocidad critica de un sistema de masas múltiples, es:
Donde Nc es la primera velocidad critica del sistema de masas múltiples, n1 es la velocidad critica que existiría con la presencia aislada de la masa n°1, n2 la velocidad critica con la presencia aislada de la masa n°2, etc. Con cualquiera de estas expresiones se puede calcular la velocidad critica de un sistema con una o varias masas fijas a un eje de sección conocida, de acero; bi apoyado y previo cálculo de las flechas correspondientes, en función de la geometría del eje (sección), distancia entre apoyos y posición de las masas
Ejemplo de aplicación Para el eje escalonado de la figura, sometido a una carga puntual de F= 8 kN, determinar el valor de la flecha máxima, así como el ángulo de inclinación del eje en los apoyos la velocidad critica del árbol. Considerar como modulo de elasticidad, E=210.000 N/mm2
DISEÑO DE EJES POR RESISTENCIA SGUN LA NORMA ASME 1.-INTRODUCCIÓN. Los árboles y ejes son elementos de máquinas, generalmente de sección transversal circular, usados para sostener piezas que giran solidariamente o entorno a ellos. Algunos elementos que se montan sobre árboles y ejes son ruedas dentadas, poleas, piñones para cadena, acoples y rotores. Los ejes no transmiten potencia y pueden ser giratorios o fijos. Por otro lado, los árboles o flechas son elementos que giran soportando pares de torsión y transmitiendo potencia. Los ejes o flechas se usan en todo tipo de maquinaria y equipo mecánico. Aunque es una teoría elemental de los ejes circulares con cargas torsionales estáticas, la mayoría de los ejes están sometidos a cargas fluctuantes de flexión y torsión combinadas con varios grados de concentración de esfuerzos. Para tales ejes el problema es fundamentalmente uno de carga por fatiga. En adición al eje mismo, el diseño debe incluir en forma regular el cálculo de las chavetas y acoplamientos necesarios. La velocidad de operación normal de un eje no debe ser cercana a una velocidad crítica, ya que pueden generarse grandes vibraciones. En este capítulo, se dan ecuaciones para encontrar las deflexiones de ejes con diámetros no uniformes. Partes de máquinas con secciones transversales no circulares son a veces cargadas a torsión; el responsable del diseño debe entonces poder determinar los esfuerzos y deformaciones a que quedan sometidos tales cuerpos.
2.-EJES, ARBOLES Y FLECHAS. 2.1-EJES. Son elementos destinados a que una o más ruedas puedan girar libremente, como es el caso de ejes de vagones de ferrocarril y los ejes delanteros de automóviles de tracción a las ruedas traseras. Los ejes no transmiten potencia y por ello están sometidos solamente a esfuerzos de flexión, con efecto de fatiga los ejes de vagones y sin efecto de fatiga los ejes de automóviles. Los ejes pueden ser redondos y giratorios tal como lo son los de vagones, o tener cualquier otra forma y ser estacionarios, como es el caso de los e jes de automóviles.
2.1.1-DISEÑO DE EJES. Consiste básicamente en la determinación del diámetro correcto del eje para asegurar rigidez y resistencia satisfactorias cuando el eje transmite potencia en diferentes condiciones de carga y operación. Generalmente los ejes tienen sección transversal circular y pueden ser huecos o macizos.
2.1.2-DISEÑO DE EJES DE MATERIALES DUCTILES. Basado en una resistencia, está controlado por la teoría del esfuerzo cortante máximo. La presentación siguiente se basa en ejes de material dúctil y sección transversal
circular. Los ejes de materiales frágiles deben diseñarse en base a la teoría de l esfuerzo normal máximo. Generalmente los ejes están sometidos a torsión, flexión y cargas xy es:
Para cargas de flexión, el esfuerzo de flexión sb (tracción o compresión) es:
Para cargas axiales, el esfuerzo de compresión o tracción s a es:
La ecuación del código ASME para un eje hueco combina torsión y carga axial, aplicando la ecuación del esfuerzo cortante máximo modificada mediante la introducción de factores de choque, fatiga y columna:
Para un eje macizo con carga axial pequeña o nula, se reduce a:
En la cual, en la sección en consideración
Para ejes estacionarios:
kb
kt
Carga aplicada gradualmente
1,0
1,0
Carga aplicada repentinamente
1,5 a 2,0
1,5 a 2,0
1,5
1,0
Para ejes en rotación: Carga aplicada gradualmente Carga repentina (choque menor)
1,5 a 2,0
1,0 a 1,5
Carga repentina (choque fuerte)
2,0 a 3,0
1,5 a 3,0
Sb=esfuerzo de flexión (tensión o compresión), psi Sa=esfuerzo axial (tensión o compresión), psi
2.1.3.-DISEÑO DE EJES POR RIGIDEZ TORSIONAL. Se basa en el ángulo de giro permisible. La cantidad permisible de giro depende de la aplicación particular, y varía desde 0.08 grados por pie para ejes de transmisión.
2.1.4.-DISEÑO DE EJES POR CARGAS FLUCTUANTES. De la ecuación del esfuerzo máximo estático
Se obtiene la ecuación siguiente:
Incluso un momento estático aplicado a un eje dará lugar a una carga cíclica si el eje se encuentra en rotación, creándose un situación de flexión completamente invertida. La situación más frecuente en un eje de transmisión es que este tenga flexión invertida y un torsión permanente o casi permanente. Otra situación, menos común, es el caso de flexión invertida en combinación con torsión invertida. Ambas situaciones de carga requieren ecuaciones de diseño que nos permitan tratar fatiga multiaxial. El procedimiento más frecuentemente aplicado para tratar esas situaciones es reemplazar los patrones de esfuerzo dinámico por patrones estáticos equivalentes de esfuerzos, combinar los esfuerzos estáticos usando medios convencionales y luego aplicar una teoría de falla con base en esos esfuerzos estáticos. Si consideramos el estado más general de esfuerzo asociado con una flexión y torsión combinadas, como se muestra en la figura 3.6, vemos que el estado de esfuerzo biaxial
tiene solo dos componentes activas en el tensor de esfuerza tridimensional. Estas son x xy x resulta del momento flexionante y el xy resulta de la torsión. Podemos usar la ecuación de Soderberg para encontrar un esfuerzo estático equivalente para cada una de las dos componentes fluctuantes.
Donde Kfb es el factor de concentración de esfuerzos por fatiga para flexión y K ft es el factor de concentración de esfuerzos por fatiga para torsión. Debe observarse que estas fórmulas también podrían escribirse con base en la línea de Goodman sustituyendo las Sutl por Syp. La ecuación de diseño resultante sería un poco menos conservadora. Para un estado de esfuerzo biaxial con esas dos componentes de esfuerzo, la teoría de falla por energía de distorsión máxima, también conocida como la teoría de Mises – Hencky, tendría la siguiente expresión:
Elemento cargado por esfuerzo fluctuante.
Haciendo la sustitución de los esfuerzos equivalentes obtendremos una ecuación de diseño de la forma:
Esta ecuación de diseño puede usarse para cualquiera de los dos casos antes mencionados. Consideremos estos en forma separada y veamos cómo se comparan las soluciones con los resultados experimentales dados en la literatura técnica.
2.1.5.-DISEÑO POR FATIGA DE EJES DE TRANSMISION.
2.1.5.1.-FLEXIÓN INVERTIDA CON PAR DE TORSIÓN ESTÁTICO. Para el caso de un par de torsión estático junto con flexión completamente invertida. r prom = 0. Sustituyendo estas relaciones en la ecuación ECUA. 1. Se obtiene:
En esta expresión el esfuerzo por flexión invertida es
Si deseamos ver la línea de falla, debemos hacer N fs = 1 y fijarnos en la igualdad. Esto dará lugar a una expresión de la forma:
2
Si dividimos lados de esta expresión por S YP y reconocemos que el esfuerzo de fluencia en cortante está relacionado con el esfuerzo de fluencia por esfuerzo normal según la expresión:
La ecuación de falla tendrá la forma:
Esta es la ecuación de una curva elíptica, como se muestra en la figura que parece dar un ajuste razonable a los datos experimentales para este tipo de carga. Nos dice que la ecuación 1 es una ecuación razonable para usarse en el diseño de ejes sometidos a flexión invertida y torsión permanente.
2.1.5.2.-FLEXION INVERTIDA CON TORSION INVERTIDA. Para el caso de flexión invertida junto con torsión completamente invertida, sabemos prom prom = 0. Esto da lugar a una forma ligeramente diferente por la ecuación 1:
Ni habremos reemplazos similares en esta ecuación como lo hicimos en el caso 1 para encontrar una curva capaz de predecir la falla. Además de las sustituciones anteriores, haremos:
El resultado será una ecuación de la forma:
Esta relación es una curva elíptica como se muestra en la figura 3.8 que parece proporcionar ajustes razonables a los datos experimentales para este tipo de carga. La concordancia entre esta ecuación y los datos experimentales nos dice que la ecuación 1 es una ecuación razonable para usarse en el diseño de ejes sometidos a flexión invertida y torsión invertida. La ecuación 1 de diseño ha sido proporcionada como un módulo de hoja de cálculo para facilitar su uso en el diseño.
2.2.-ARBOLES. Se conocen como árboles a los elementos giratorios encargados de transmitir potencia, estando por ello sometidos, a veces, a esfuerzos de torsión pura y casi siempre a esfuerzos combinados de torsión y flexión. El esfuerzo de torsión se produce al transmitir torque y la flexión debido a las fuerzas radiales que aparecen según sea la forma como se transmite la potencia a otro árbol (mediante acoplamientos, cadenas de transmisión, correas planas y trapeciales, por medio de engranajes, etc.). Los árboles, en general, quedan expuestos a esfuerzos de fatiga, especialmente en flexión. Los árboles generalmente son redondos y escalonados aunque también existen árboles acodados como los cigüeñales y árboles flexibles.
2.2.1.-DIAMETROS NORMALIZADOS. Para el dimensionamiento de ejes y árboles se dará preferencia, si no existe una buena razón en su contra, a los siguientes diámetros normalizados: 10; 12; 15; 17; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 70; 80; 90; 100; 110; 125; 140; 160; 180; 200; etc., aumentando de 20 en 20 mm. hasta 500 mm. Cuando sobre ellos se deban montar rodamientos. Para los extremos de árboles de motores eléctricos, reductores de velocidad, motorreductores, en aquellas partes donde se montan acoplamientos, poleas, ruedas de cadenas, ruedas de engranajes y otros elementos afines, los diámetros recomendados son los correspondientes a las cifras normativas DIN 323, series R5, RIO, R20 y eventualmente serie R40, que se anotan enseguida: 10; 11; 12; 12,5; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 53; 56; 60; 63; 67; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100; 110; 120; 125; 130; 140; 150 160; 170; 180; 190 200; 210; 220; 240; 250; 260; 280; 300; 320; 340; 360; 380; 400; 420; 450; 480; 500. Siempre que sea posible, para dimensionar los diámetros de los ejes, se dará preferencia a los valores de la serie R5, que son aquellos anotados en tamaño mayor y en negrita. Si lo anterior no es posible, se preferirán los valores de la serie R10, anotados en tamaño mediano y en negrita. Si esto tampoco es posible se usará la serie R20, cuyos valores aparecen anotados en tamaño mediano. Por último se usarán los valores de la serie R40, anotados en tamaño pequeño.
2.2.2.-CALCULO DE ARBOLES Y EJES. Existen varios métodos para el cálculo de árboles y ejes. Algunos precisos, pero sofisticados, que exigen complejos desarrollos matemáticos y alto nivel de ingeniería, como asimismo un preciso conocimiento del comportamiento tanto de los materiales empleados en la confección de los árboles y de los ejes, como de los mecanismos de los cuales éstos forman parte. Otros métodos son más simples en su desarrollo, pero no cuentan con gran exactitud, de tal modo que para compensar el grado de incertidumbre que se produce en su cálculo, se aplican elevados factores de seguridad y factores de servicio, resultando por ello bastante conservadores los valores obtenidos en sus dimensiones. El método que presentamos a continuación forma parte de los últimos mencionados. Es un método simple, publicado hace ya algún tiempo, que ha sido muy usado en el cálculo de árboles y ejes, pero que en la actualidad ha sido desplazado por métodos más recientes y confiables. Se trata del Código ASME que fue presentado como "Código para proyectos de ejes de transmisión" y que a lo largo de varios años ha sido ampliamente utilizado para el cálculo de toda clase de árboles.
Este código utiliza los esfuerzos cortantes para el cálculo de árboles, determinando la resistencia admisible de dos maneras: a) Multiplicando por 0,30 el valor del límite de fluencia en tracción del material (acero) del árbol, expresado en kp/cm2. b) Multiplicando por 0,18 el valor de la resistencia a la ruptura en tracción del material (acero) del árbol expresado en kp/cm2. O sea:
Bien:
Se calcula la resistencia admisible aplicando ambas fórmulas de cálculo (a y b), y se comparan los valores obtenidos, utilizando para el cálculo del diámetro del árbol el que resulte menor de entre ellos. En caso de tratarse del cálculo de un eje, que sufre solamente esfuerzos de flexión y ninguna torsión, se deben aplicar las siguientes fórmulas de cálculo:
O bien:
Como en el caso anterior, se comparan los valores y el que resulta menor se utiliza en los cálculos. Cuando se usa el Código ASME, se deben aplicar también unos coeficientes de servicio llamados coeficientes de choque y fatiga, Ks, y Km, en que:
Ks = "Coeficiente numérico combinando de choque y fatiga a aplicar en cada caso para multiplicar al momento torsor calculado o a la potencia".
Km = "Coeficiente numérico combinado de choque y fatiga a aplicar en cada caso para multiplicar al momento flector calculado.
2.2.3.- TABLA DE VALOR DE “ Ks Y Km ”. TIPO DE CARGA Ejes fijos (esfuerzo de flexión sin inversión)
Ks
Km
- Carga aplicada gradualmente
1,0
1,0
- Carga aplicada repentinamente
1,5 a 2,0
1,5 a 2,0
- Carga constante o aplicada gradualmente
1,5
1,0
- Carga aplicada repentinamente, con choque ligero
1,5 a 2,0
1,0 a 1,5
- Carga aplicada repentinamente, con choque fuerte
2,0 a 3,0
1,5 a 3,0
Ejes giratorios (esfuerzos de flexión con inversión)
2.2.4.-ETAPAS DEL DISEÑO DE ARBOLES. El diseño de árboles comprende básicamente:
Selección del material
Diseño constructivo (configuración geométrica)
Verificación de la resistencia: - estática - a la fatiga - a las cargas dinámicas (por ejemplo cargas pico)
Verificación de la rigidez del árbol: - deflexión por flexión y pendiente de la elástica - deformación por torsión
Análisis Modal (verificación de las frecuencias naturales del árbol)
El material más utilizado para árboles y ejes es el acero. Se recomienda seleccionar un acero de bajo o medio carbono, de bajo costo. Si las condiciones de resistencia son más exigentes que las de rigidez, podría optarse por aceros de mayor resistencia. Es necesario hacer el diseño constructivo al inicio del proyecto, ya que para poder hacer las verificaciones por resistencia, por rigidez y de las frecuencias críticas, se requieren algunos datos sobre la geometría o dimensiones del árbol. El diseño constructivo consiste en la determinación de las longitudes y diámetros de los diferentes tramos o escalones, así como en la selección de los métodos de fijación de las piezas que se van a montar sobre el árbol. En esta etapa se deben tener en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos:
Fácil montaje, desmontaje y mantenimiento.
Los árboles deben ser compactos, para reducir material tanto en longitud como en diámetro (recuérdese que a mayores longitudes, mayores tenderán a ser los esfuerzos debidos a flexión y, por lo tanto, los diámetros).
Permitir fácil aseguramiento de las piezas sobre el árbol para evitar movimientos indeseables.
Las medidas deben ser preferiblemente normalizadas.
Evitar discontinuidades y cambios bruscos de sección, especialmente en sitios de grandes esfuerzos.
Generalmente los árboles se construyen escalonados para el mejor posicionamiento de las piezas.
Generalmente los árboles se soportan sólo en dos apoyos, con el fin de reducir problemas de alineamiento de éstos.
Ubicar las piezas cerca de los apoyos para reducir momentos flectores.
Mantener bajos los costos de fabricación.
Basarse en árboles existentes o en la propia experiencia, para configurar el árbol (consultar catálogos y analizar reductores y sistemas de transmisión de potencia)
2.3.-FLECHAS. 2.3.1.-FACTORES DE CORRECCION Cm Y Ct PARA EL PROYECTO DE FLECHAS (SEGUN CODIGO ASME).
2.3.2.-ESFUERZOS CORTANTES DE CALCULO, SEGUN ASME PARA ARBOLES Y FLECHAS DE ACERO.
= Resistencia máxima del material σf = resistencia a la fluencia del material
2.3.3.-FACTOR DE SEGURIDAD F.S PARA EL DISEÑO DE NORMAS ANSIA-ASME.
FLECHAS SEGÚN
2.3.4.-FACTOR TEORICO DE CONCENTRACION DE ESFUERZOS Kt PARA DIFERENTES CONDICIONES GEOMETRICAS EN FLECHAS (SEGUN NORMAS ANSI-ASME). 2.3.5.-MATERIALES PARA FLECHAS. La mayor parte de las flechas de máquinas se fabrican a partir de un acero al bajo o medio carbono, ya sea rolado en frío o en caliente, aunque también cuando se requiera de su superior resistencia, se aplican aceros de aleación. En flechas de diámetros más pequeños (menores de alrededor de 3 pul de diámetro), se recurre más al acero rolado en frío, y en tamaños mayores se utiliza acero rolado en caliente. La misma aleación, rolada en frío, tiene propiedades mecánicas superiores a las que tienen rolado en caliente, por el trabajo en frío, pero esto se obtiene a costa de esfuerzos residuales a tensión en la superficie. El maquinado para formar cuñeros, ranuras o escalones libera estos esfuerzos locales residuales, pudiendo provocar distorsión. Las barras roladas en caliente deben ser maquinadas en toda su superficie para eliminar la capa exterior carburizada. En tanto que en una superficie rolada en frío ciertas porciones pueden quedarse tal cual, excepto cuando se requiera maquinar hasta cierta dimensión para cojinetes, etcétera. Se pueden adquirir flechas de acero pre-endurecido (30HRC) o rectificado a precisión (recto) en dimensiones pequeñas y maquinarse con herramientas de carburo. También se dispone de flechas de precisión rectificadas totalmente localización angular endurecida (60HRC), pero éstas no pueden ser maquinadas sujetos sobre la flecha.
2.3.6.-POTENCIA EN LA FLECHA.
Es posible determinar la potencia transmitida por una flecha partiendo de los principios básicos. En cualquier sistema en rotación, la potencia instantánea es el producto del par de torsión por la velocidad angular:
Donde w debe aparecer expresado en radianes por unidad de tiempo. Tanto el par de torsión como la velocidad angular pueden variar con el tiempo, aunque la gran parte de la maquinaria rotatoria se diseña para operar durante mucho tiempo a velocidad constante o casi constante. En estos casos, el par de torsión variará con el tiempo. La potencia promedio se determina a partir de:
3.-METODO ADOPTADO POR FAIRES. La ecuación siguiente es una variante de la propuesta por Faires.
Donde: - Sys = 0.5Sy y Sns = 0.5SnMF, para la TECM - Sys = 0.577Sy y Sns = 0.577SnMF, para la TECO/von Mises - SnMF está dada, por ejemplo, por la correspondiente, según el material y la vida esperada, excepto que no se incluye Kcar Por ejemplo, para materiales que exhiben codo KaKbKcKdKe Se’
6
6
en 10 ciclos y nc>10 , SnMF =
- Sm y Sms son los esfuerzos medios normal y cortante respectivamente. - Sas es el esfuerzo alternativo cortante.
4.-PROCEDIMIENTO PROPUESTO POR LA ASME. Para el caso de árboles que cumplan las condiciones dadas para el método anterior y, además, que la sección de análisis sea circular sólida y esté sometida sólo a un par de torsión y a un momento flector constantes, se puede utilizar la norma para el diseño de árboles de transmisión ANSI/ASME B106.1M-1985 (ASME: American Society of Mechanical Engineers; ANSI: American National Standards Institute). Esta norma está basada en datos experimentales, por lo que constituye un método de cálculo adecuado. Aunque este método tiene algunas restricciones más, muchos árboles las cumplen. La norma establece que el diámetro, d, en la sección de análisis puede calcularse con:
De la cual podemos despejar el factor de seguridad:
Donde M y T son los pares de flexión y torsión, respectivamente, los cuales son constantes en la sección de análisis, y K f y Sn se calculan para la carga de flexión (K f y Sn afectan al momento flector, que es el que produce los esfuerzos variables). Las condiciones de las dos últimas ecuaciones anteriores son:
Par de torsión constante: T = T m y Ta = 0, con lo que Sms = T c/J y Sas = 0.
Flexión giratoria con momento constante: M = M m y Ma = 0, pero.
Sm = 0 y Sa = Mc/I. Ver la siguiente figura.
Material dúctil.
Sección transversal circular sólida.
No existe fuerza axial ni otro tipo de carga diferente de torsión y flexión.
A continuación se hace la deducción de la ecuación de la ASME. La figura 7.16 muestra los resultados típicos que se obtienen al someter probetas dúctiles a flexión giratoria y torsión estática combinadas (los primeros ensayos de este tipo fueron hechos en la década de 1930). Los puntos de ensayo siguen una relación elíptica en un diagrama esfuerzo medio cortante, S ms, contra esfuerzo alternativo normal, S a.
Tendencia típica de los datos de ensayo ala fatiga de probetas dúctiles sometidas a una combinación de flexión giratoria y torsión estática. El estándar de la ASME está basado en la línea de falla mostrada en la figura anterior, la cual tiene por ecuación:
Si introducimos el factor de seguridad y los factores que modifican la resistencia a la fatiga, se obtiene:
Los esfuerzos Sa y Sms para una sección circular sólida están dados por:
Recuérdese que a pesar de que el momento flector es constante, el giro del árbol produce un esfuerzo repetido invertido, y la componente alterna del esfuerzo se calcula con dicho par flector. Al reemplazar las tres últimas ecuaciones se obtiene:
Factorizando algunos términos y utilizando la relación de la TECO/Von Mises S ys = 0.577Sy = Sy/ 3, se tiene:
PRIMER EJEMPLO: La figura muestra las fuerzas que actúan sobre un eje de acero que soportan dos engranajes. Los engranajes están acuñados en B y D, A y C son los centros de los cojinetes. El eje transmite 9 hp a 650 rpm. De acuerdo con el código ASME el esfuerzo permisible para una sección sin cuñero es de 12000 psi. Kb=kt=1.5.
Hacer el diagrama de momentos horizontales, verticales y resultantes. Indicar los valores en los puntos de cambio.
Determinar el diámetro necesario para el eje, aproximando hasta 0.01 pulgadas .indicar la sección critica.
SOLUCION:
SEGUNDO EJEMPLO:
El diseño de ejes es un problema básico en la ejecución de proyectos. En él se utiliza el análisis de tensiones y deformaciones, selección de materiales, comportamiento de elementos mecánicos y por supuesto, fundamentos de
proyectos. os textos y manuales para diseño de elementos mecánicos presentan diversos métodos para calcular y dimensionar jes, para evitar su falla por fatiga, estimar sus deformaciones en servicio, velocidades críticas, etc. Por lo tanto, en el resente artículo no se exponen fórmulas de cálculo, simplemente se prefiere presentar los criterios para obtener iseños apropiados.
RITERIOS PARA EL DISEÑO DE EJES ecuerde que un eje se define como un elemento rotatorio, normalmente de sección circular, que soporta elementos iversos y que se usa generalmente para transmitir potencia. n su funcionamiento un eje puede estar sometido a cargas de flexión, tracción, compresión, o torsión; actuando paradamente o en combinación de unas con otras. uando las cargas actúan combinadas es de suponer que las resistencias combinadas: estática y a la fatiga, sean ambas onsideraciones importantes en el diseño. os métodos empíricos de diseño, como el planteado por el código ASME (American Society for Metals), no tienen en uenta las propiedades a la fatiga de los materiales, ni la magnitud de la concentración de esfuerzos. Aunque es una erramienta valiosa debe complementarse con análisis más ingenieriles, que incluyan criterios de diseño contra fallas or fatiga, rigidez del eje y velocidades críticas para evitar resonancias. continuación se exponen algunas recomendaciones a tener en cuenta sobre esos aspectos.
.1 Diseño contra fallas por fatiga
Utilizar materiales con alta tenacidad
Evitar radios de entalladura muy reducidos entre los resaltes del eje. Siempre que sea posible, utilizar cambios de sección graduales
Determinar bien las cargas y establecer el grado de certeza de estas: Dependiendo de cuán definidas estén, más acertados serán los márgenes de seguridad considerados en el dimensionamiento de los ejes. Además, se deben determinar los ciclos de carga esperados durante la vida útil del eje.
Considerar todos los factores que inciden en la reducción de la resistencia a la fatiga, como acabado superficial, tamaño del eje, proceso de manufactura, confiabilidad, temperatura, humedad y corrosión, entre otros.
Evitar concentradores de esfuerzos fuertes, o dos que se refuercen; por ejemplo un cuñero en un cambio de
sección.
Garantizar acabados superficiales de excelente calidad. Los radios de entalladura en los resaltes del eje y sitios adyacentes ameritan acabados superficiales pulidos.
Evitar maquinados burdos, que dejen huellas circunferenciales del buril y puedan propiciar el inicio de grietas.
Como regla general, se deben evitar las soldaduras en los ejes. Si es necesario aplicarlas se debe maquinar las superficies y pulir muy bien para eliminar los defectos superficiales. Además hay que practicar alivio de tensiones. Deben evitarse soldaduras en sitios altamente esforzados en ejes. Se prefieren los ensambles de interferencia en lugar de las soldaduras.
Cuando se realizan ensambles con interferencia hay que hacerlos adecuadamente para mitigar el fenómeno de “ fretting”, que es un proceso erosivo que aparece en los bordes de las piezas ensambladas debido a micro deslizamientos entre ambas superficies que, favorece la generación de micro grietas e inducen la falla por fatiga. En la figura 7 se muestran recursos constructivos para mitigar este efecto.
Figura 7. Fenómeno de "fretting" (a) y (c) y cómo mitigarlo (b), (d), (e) Y (f) [3]
El diseñador debe aplicar las reglas del buen diseño para reducir los efectos de los concertadores de esfuerzos, como se muestra en la figura 8, buscando siempre evitar los cambios bruscos en las direcciones de las líneas de flujo de esfuerzos.
Recursos para reducir los concentradores de esfuerzos
Frecuentemente suele ocurrir que dos concentradores de esfuerzos actúan simultáneamente en el mismo sitio, reforzándose sus efectos. La figura 9 muestra una situación típica para la fijación de un rodamiento donde se tiene resalte con ranura longitudinal; sin embargo se aprecia como el acanalado no se extiende hasta el radio de entalla en el cambio de sección del eje. Cuando se tienen dos concentradores su efecto es algo menor que el producto de ambos, sin embargo para diseño se considera así. Por ejemplo, dos concentradores de esfuerzos de 1.7 y 2 tienen un efecto combinado prácticamente de 3.4, que es muy severo; por lo tanto deben evitarse estas situaciones y cuando no sea posible, ambos deben ser concentradores de bajo factor.
FConcentradores actuando simultáneamente[3]
Resalte 1 + ranura longitudinal 2
.2 Rigidez en el diseño
Los ejes se deforman bajo las cargas de operación. Para cada aplicación específica hay requerimientos de rigidez. Por ejemplo, para el diseño de trenes de engranajes se recomienda que la flecha (desplazamiento transversal) de los ejes no supere 0.005” en los sitios de engrane de los piñones y la deformación angular (dy/dx) de la elástica del eje no supere 0.0005”/pulg (Control del “backlash ” (juego)), con el fin de garantizar buenos engranes para evitar cargas de impacto fuertes durante el funcionamiento de los engranajes.
Para los sitios donde hay rodamientos rígidos de bolas la deformación angular típica no debe exceder 0.0045 radianes.
Generalmente los ejes de máquinas no deben exceder deformaciones por flexión de 0.001”/pie entre cojinetes.
Usualmente los ejes de cajas reductoras y trenes de transmisión de potencia mediante engranajes son “vigas” cortas (L/d<10). Para estos casos se calculan las deformaciones con los mismos métodos empleados para las deformaciones en vigas, pero además hay que considerar los efectos de las fuerzas cortantes, que participan con deformaciones de igual orden de magnitud que las debidas a las flexiones. En el cálculo de estructuras usualmente las vigas son relativamente largas y se desprecian los efectos de las fuerzas cortantes en los cálculos de las flechas.
En el diseño de cajas reductoras compactas con ejes cortos los diámetros de los ejes usualmente son determinados por los rodamientos. Como regla práctica se recomienda seleccionar primero los rodamientos y con base en estos se definen los diámetros de los ejes, para luego verificar su resistencia a la fatiga y el cumplimiento de los requisitos de rigidez. Si los ejes no cumplen se procede al aumento de sus diámetros según sean los requerimientos.
.3 Diseño contra resonancias (velocidad critica)
Los sistemas compuestos por ejes y masas, por ejemplo el rotor de un ventilador, el impeler de una bomba o la turbina de un agitador, son situaciones donde las fuerzas dinámicas debidas al desbalance de los rotores producen oscilaciones transversales en los ejes a la misma frecuencia de operación del ro tor (cps = rev/s) (Todo rotor real tiene algún grado de desbalance que tiende a aumentar con el uso de los equipos). Cuando la velocidad de rotación coincide con la frecuencia natural de las oscilaciones para las vibraciones transversales del sistema rotor-eje, entonces se tiene una situación de resonancia que se debe ev itar. Para agitadores se recomienda que la
velocidad de operación no supere el 60% de la velocidad critica. Para ventiladores se recomienda que no supere el 50%.
Los ejes también pueden estar sometidos a oscilaciones torsionales como es el caso del eje , usualmente largo, de una embarcación. En estos casos se pueden presentar “pulsaciones” reactivas con una frecuencia igual al número de aspas de la hélice, por las revoluciones del eje; si la frecuencia natural torsional del sistema hélice-eje es muy próxima a ese valor, se pueden presentar fallas por fatiga debidas a una amplificación de los esfuerzos de torsión causados por este fenómeno.
En el caso de engranajes también se presentan perturbaciones en el par de torsión sobre los ejes con una frecuencia igual al número de dientes por las revoluciones del eje. En estos casos también se debe hacer un análisis dinámico para determinar las frecuencias naturales torsionales del sistema, con el fin de garantizar que ninguna estará perturbada durante la operación del mismo. Los motores de combustión interna producen pulsaciones con las explosiones de cada cilindro. Los ejes conectados no pueden tener frecuencias naturales cercanas a las producidas por el motor en su rango de operación.
. CONCLUSIONES
No siempre los ejes se diseñan por resistencia mecánica; muchas aplicaciones las determina la rigidez de esos elementos. En tales casos no se justifica utilizar un material costoso como puede ser un AISI 4340 bonificado, cuando se puede escoger un AISI 1020 calibrado, que cuesta menos. Por ejemplo, si se trata de un agitador con un eje de 6” y 6m de largo, la diferencia de precios es de casi 3 millones de pesos. Los manuales de aceros recomiendan los más resistentes para ejes porque es información de aplicación general, además debe entenderse que esos materiales son los mas indicados para ejes con requerimientos exigentes de carga. Estos aspectos económicos son importantes en el diseño de maquinaria y equipos. Es importante aclarar que todos los aceros independientemente de su resistencia, su tratamiento térmico y sus elementos de aleación, tienen los mismos parámetros elásticos (módulo de Young y relación de Poison), lo que significa que bajo cargas iguales las deformaciones son iguales independientemente del acero del eje. Las frecuencias naturales (velocidades críticas) tampoco varían con la calidad de los aceros.
La fabricación de ejes críticos debe confiarse a constructores idóneos y se debe hacer una interventoría rigurosa. Se recomienda: o
Que los materiales sean certificados.
o
Verificar si los ejes han sido enderezados con prensa y chequear qué influencia puede tener esto en el desempeño del eje respecto a sus cargas y su vida útil.
