TABLAS Y GRÁFICOS PARA EL DISEÑO DE VIGAS VIG AS Y COLUMNAS SOMETIDAS A FLEXIÓN COMPUESTA RECTA Y OBLICUA, DE ACUERDO AL PROYECTO CIRSOC 201-2002 Ing. Susana B. Gea, Dra. Ing. Liz G. Nallim Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Salta. Salta, Argentina RESUMEN La próxima puesta en vigencia de la actualización del Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón, CIRSOC 201, afín con la línea americana de diseño por resistencia con factores de reducción de resistencia variables y de incremento de cargas, requiere de ayudas de cálculo adecuadas. En el presente trabajo se muestra cómo, a través de los posibles diagramas de deformación en rotura y las ecuaciones de equivalencia y empleando la hipótesis de diagrama uniforme de tensiones en el hormigón, se obtuvo en forma exacta los siguientes elementos para el diseño y verificación de secciones de hormigón armado: tablas adimensionales para vigas sometidas a flexión compuesta recta, con armadura simple y doble asimétrica; diagramas de interacción para elementos con armadura doble simétrica sometidos a flexión compuesta recta y elementos comprimidos solicitados por flexión compuesta oblicua. Se incluye dichas tablas y diagramas, para diferentes calidades de hormigón y acero y variadas configuraciones de sección transversal y de armado.
ABSTRACT
Since the Argentine code for reinforced concrete structures, CIRSOC 201, is soon going to be updated according to the American Strength Design Method, new adequate design aids are to be needed. In this paper design aid tables and diagrams are developed in an exact way by means of the possible strain diagrams in failure, the equivalence equations and the rectangular compression diagram for concrete. Adimensional tables for axial load and bending in beams with both simple and non symmetric double reinforcing, interaction diagrams for uniaxial bending loaded members symmetrically reinforced and for biaxial bended, axially loaded columns are presented, each one for different concrete and steel strengths and different rectangular sections and reinforcing distribution.
1. INTRODUCCIÓN Se encuentra próximo a entrar en vigencia en Argentina el Reglamento de Estructuras de Hormigón, CIRSOC 201, el cual adopta como base la escuela americana, el ACI 318-2002. Este, a su vez, tiene entre sus características más innovadoras, respecto de la versión 1999, la incorporación de un coeficiente de seguridad variable en el diseño de secciones sometidas a flexión compuesta, según se detalla en el Capítulo 2. A partir de este cambio, las ayudas de cálculo existentes, como como por 1 ejemplo las desarrolladas en ACI, 1997 , pierden utilidad, siendo necesario el desarrollo de nuevas tablas y gráficos que contemplen la variabilidad de dicho coeficiente de seguridad.
2. SEGURIDAD ESTRUCTURAL Llamaremos Qd a las cargas de servicio especificadas, U a la resistencia requerida y Sn a la resistencia r esistencia nominal nominal del elemento estructural. Los coeficientes de seguridad parciales son denominados factores de reducción de resistencia, φ, y factores de mayoración de cargas, γ i, conformando el método de diseño con factores de carga y resistencia. La seguridad estructural está garantizada si se cumple: Sd U,
(1)
con: Sd = resistencia de diseño Sd = φ . Sn
(2)
U = Σ γ i . Qdi
(3)
La resistencia requerida U se expresa en términos de cargas mayoradas, o de los momentos y fuerzas internas i nternas correspondientes.
Factores de Carga, γ i. Los factores de carga γ i corresponden a carga permanente ( γ D), sobrecarga accidental (!L), presión lateral de tierra (γ H), peso y presión de fluido (γ F), viento (γ w) y sismos (γ E) y difieren en magnitud. Además, estos factores toman diferentes difer entes valores según la combinación de cargas que se adopte y la probabilidad de que estas actúen simultáneamente, de acuerdo al capítulo 9.2 de CIRSOC 201.
Factores de Reducción de Resistencia, φ Los factores de reducción tienen en cuenta las inexactitudes en el cálculo y fluctuaciones en resistencias, mano de obra y dimensiones.
Los factores de reducción de resistencia incluyen la importancia de las consecuencias de la falla de los elementos respecto a toda la estructura y el tipo de falla. Esto último se refiere al grado de advertencia que presenta la misma, lo cual a su vez, está relacionado con la ductilidad y esta a su vez depende de la deformación a la que esté sometido el acero en la fibra más alejada del eje neutro, "t. Solicitación Secciones controladas por tracción Secciones controladas por compresión: Elementos con armadura en espiral que satisface lo especificado en 10.9.3 Otros elementos armados Corte y torsión Aplastamiento del hormigón (excepto para las zonas de anclaje de postesado) Zonas de anclaje de postesado Modelos de bielas (Apéndice A)
φ 0,90 0,70 0,65 0,75 0,65 0,85 0,75
Tabla 1 – Factores de reducción de resistencia φ2 Se dice que una sección está controlada por tracción cuando "t 0.005 (considerando siempre la deformación del hormigón "cu = 0.003). Las secciones controladas por compresión son aquellas para las cuales "t < "y. Para los aceros con tensión especificada de fluencia f y = 420 MPa, el límite es "y = 0.002. Para valores intermedios de "t se considera que la sección se encuentra en zona de transición.
φ = 0,57 + 67 εt 0.90
φ 0.70 0.65
Espiral
φ = 0,48 + 83 εt
Otra Controlada por Compresión
εt= 0,002
Transición
Controlada por Tracción
εt= 0,005
Figura 1 – Variación de φ con la tensión de tracción de la armadura más alejada del eje neutro, "t2
El reglamento permite que el valor de φ se incremente linealmente desde el valor dado para las secciones controladas por compresión hasta el valor dado para las secciones controladas por tracción (Tabla 1 y Figura 1).
3. HIPÓTESIS PARA EL CÁLCULO EN FLEXIÓN COMPUESTA Para el cálculo de secciones sometidas a flexión compuesta se considera las siguientes hipótesis: 1. Se cumple la hipótesis de Bernoulli; es decir, las secciones se mantienen planas hasta la rotura. Así, las deformaciones en acero y hormigón son proporcionales a la distancia al eje neutro. (Figura 2) 2.
b
h
d' εs' c - d'
Nu
Mu
× x
εcu c
d d-c d'
ε
t
Figura 2 – Nomenclatura y deformaciones en una sección sometida a flexión compuesta 3. La máxima deformación utilizable en la fibra comprimida extrema del hormigón en flexión compuesta se asume igual a "c = 0,003. 4. La tensión en la armadura f s por debajo de la tensión de fluencia f y se toma como el producto del módulo elástico del acero E s por la deformación específica del acero "t. Para deformaciones específicas mayores que f y/Es, la tensión en la armadura se considera independiente de la deformación e igual a f y. 5. En el diseño de los elementos de hormigón armado solicitados a flexión se desprecia la resistencia a la tracción del hormigón. 6. Se puede suponer un bloque rectangular de tensiones equivalente en el hormigón, como se muestra esquemáticamente en la Figura 3 (Ver también Tabla 2)
0.85f'c
βc c
a = β1 c
C =α f'c bc
a/2 C = 0.85 f'c ba
T = A f s
T = A f s
Figura 3 – Distribución rectangular equivalente de tensiones en el hormigón
f’c
# 30 Mpa
β1
0.85
Valores de β1 > 30 MPa 0.05(f c` − 30) = 0.85 − 0.65 7
Tabla 2 – Valores de β1 en función de la resistencia especificada del hormigón 2
4. TABLAS PARA EL DISEÑO DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN COMPUESTA RECTA, CON ARMADURA ASIMÉTRICA Sea una sección como la que se indica en la Figura 4, sometida a flexión compuesta, donde M n y Nn son los esfuerzos nominales.
εcu=0.003 Mun
c Nun
at
0.85 f'c C = 0.85 f'c ba
d
z
ys d'
εs
T
Figura 4 – Esquema de resistencia nominal de secciones sometidas a flexión compuesta Las resultantes de las fuerzas internas desarrolladas en el hormigón y el acero están dadas por: T = As f y
(4)
C = 0.85 f’c a b
(5)
Con a = $1c
(6)
La posición del eje neutro queda determinada por el diagrama de deformaciones a través de la siguiente expresión: c=
0.003 d = k cd 0.003 + ε t
(7)
La resistencia nominal a flexión compuesta está dada por: Msn = Mn - Nn . ys = C.z = T.z
(8)
Nn = T – C
(9)
De las condiciones de seguridad U # φ Sn se derivan las expresiones siguientes: - Equivalencia estática de fuerzas Nu = φ (As f y – 0.85 f’c β1 kc d b)
(10)
- Equivalencia estática de momentos Msu = φ 0.85 fc' β1 kc b d2 (1-
β1 kc 2
)
(11)
A fin de dar una solución universal, independiente de los valores particulares de b y d, se adimensionaliza la ecuación (11) msu =
Msu b ⋅ d2 ⋅ f ´c
(12)
Reemplazando la ec. (11) en (12) se obtiene:
β1 ⋅ k c 2
msu = 0.85 ⋅ φ ⋅ β1 ⋅ k c 1 −
(13)
Es importante notar que, a pesar de que m su no depende directamente de f´c, sí lo hace a través de $1. Debido a que kc depende de "t, al igual que φ, si se fija un tipo de hormigón queda determinado $1 y se tiene para cada "t un valor de kc y su correspondiente msu. El valor de la armadura se obtiene despejando A s de la ec. (10): 0.85fc' β1kc ⋅ d ⋅ b + Nu A s = φ ⋅ f y fy
(14)
Para una sección y una resistencia f´c dadas resulta: A s = k s ⋅ d ⋅ b +
Nu φ ⋅ f y
(15)
siendo: 0.85f c' β1k c ks = f y
(16)
A cada valor de "t le corresponde un valor de φ, uno de msu y uno de ks Con esto se construye una tabla (Tabla 3) que tiene validez para acero ADN-420 (lo mismo se efectuó para AM-500). CIRSOC 201, en el cap. 10.3.5, especifica que la deformación neta de tracción, εt, para la resistencia nominal en flexión debe ser mayor o igual que 0.004 para los elementos no pretensados con N d < 0.1 f’c Ag (Ag = área transversal bruta). Por ello, en los casos en que m su resulta en una deformación del acero menor que 0.004 se prefiere colocar doble armadura asimétrica. La resolución de estas situaciones se puede realizar con las expresiones presentadas al pie de la Tabla 3. EJEMPLO Determinar la armadura necesaria para resistir las solicitaciones que se indican: h=60cm d=55cm
Mu
Nu ys
f’c = 25 MPa Mu = 200KNm Nu = 0.1 KN
d´=5cm b=30cm
Resolución: ys= 60/2 – 5 = 25 cm Msu = 200 KNm – 100 KN x 0.25 m = 175 KNm = 0.175 MNm m su =
0.175 = 0.077 0.3 ⋅ 0.55 2 ⋅ 25
Para un hormigón H-25 y msu = 0.077 (sin interpolar se toma msu = 0.08) se obtiene de Tabla 3: k s=56 y φ= 0.9, correspondiendo a "t = 0.02, con lo que resulta: A s = 56 ⋅ 0.3 ⋅ 0.55 +
0.1 = 11.9cm2 0.9 ⋅ 0.042
ACERO f y = 420 MPa ARMADURA SIMPLE Msu = Mu - Nu ys
f'c [Mpa]
β1 ρmín [%]
msuc
msu*
m su =
20 0,85 0,266 msu 0,040 0,044 0,050 0,057 0,066 0,080 0,101 0,135 0,138 0,140 0,143 0,145 0,148 0,151 0,154 0,157 0,160 0,163 0,167 0,170 0,174 0,178 0,182 0,186 0,190 0,195 0,200 0,205 0,204 0,205 0,205 0,206 0,207 0,207 0,208 0,209 0,223 0,238 0,254
ks 22 24 27 31 37 45 57 79 81 83 84 86 88 90 92 94 96 98 101 103 106 109 112 115 118 121 125 129 133 138 142 147 159 172 188 206 306 516 1180
M su b ⋅ d 2 ⋅ f 'c
A s = k s ⋅ b[m ] ⋅ d[m ] +
25 0,85 0,298 m su 0,040 0,044 0,050 0,057 0,066 0,080 0,101 0,135 0,138 0,140 0,143 0,145 0,148 0,151 0,154 0,157 0,160 0,163 0,167 0,170 0,174 0,178 0,182 0,186 0,190 0,195 0,200 0,205 0,204 0,205 0,205 0,206 0,207 0,207 0,208 0,209 0,223 0,238 0,254
ks 27 30 34 39 46 56 72 99 101 103 105 108 110 112 115 117 120 123 126 129 132 136 139 143 147 152 156 161 166 172 178 184 198 215 235 258 382 645 1474
N u [MN ] = [cm 2 ] φ ⋅ 0 .042
30 0,85 0,326 msu 0,040 0,044 0,050 0,057 0,066 0,080 0,101 0,135 0,138 0,140 0,143 0,145 0,148 0,151 0,154 0,157 0,160 0,163 0,167 0,170 0,174 0,178 0,182 0,186 0,190 0,195 0,200 0,205 0,204 0,205 0,205 0,206 0,207 0,207 0,208 0,209 0,223 0,238 0,254
ks 32 36 41 47 55 67 86 119 121 124 126 129 132 135 138 141 144 147 151 155 159 163 167 172 177 182 188 194 200 206 214 221 238 258 281 310 459 774 1769
35 0,81 0,352 msu 0,038 0,042 0,047 0,054 0,064 0,077 0,096 0,130 0,132 0,134 0,137 0,139 0,142 0,145 0,147 0,150 0,153 0,157 0,160 0,163 0,167 0,171 0,175 0,179 0,183 0,187 0,192 0,197 0,196 0,197 0,197 0,198 0,199 0,200 0,201 0,202 0,216 0,232 0,249
ks 36 40 45 52 61 75 96 132 135 138 141 143 146 150 153 156 160 164 168 172 177 181 186 191 197 203 209 215 222 230 237 246 265 287 313 344 510 861 1967
40 0,77 0,376 m su 0,036 0,040 0,045 0,052 0,061 0,073 0,092 0,124 0,126 0,128 0,131 0,133 0,136 0,138 0,141 0,144 0,147 0,150 0,153 0,156 0,160 0,163 0,167 0,171 0,175 0,180 0,184 0,189 0,188 0,189 0,190 0,190 0,191 0,193 0,194 0,195 0,210 0,226 0,243
ks 39 43 49 57 67 81 104 144 147 150 153 156 159 163 166 170 174 178 182 187 192 197 202 208 214 220 227 234 241 249 258 267 288 312 340 374 554 935 2137
εt [%o]
φ
kc
45,00 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 9,75 9,50 9,25 9,00 8,75 8,50 8,25 8,00 7,75 7,50 7,25 7,00 6,75 6,50 6,25 6,00 5,75 5,50 5,25 5,00 4,75 4,50 4,25 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50
0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,87 0,85 0,83 0,81 0,77 0,73 0,69 0,65 0,65 0,65 0,65
0,06 0,07 0,08 0,09 0,11 0,13 0,17 0,23 0,24 0,24 0,24 0,25 0,26 0,26 0,27 0,27 0,28 0,29 0,29 0,30 0,31 0,32 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,38 0,39 0,40 0,41 0,43 0,46 0,50 0,55 0,60 0,67 0,75 0,86
ARMADURA DOBLE A s
∆M su [MNm] 1 = k sc ⋅ b[m] ⋅ d[m] + Nu [MN] + = [cm 2 ] ⋅ d − d' [m] 0.0378
ε's [%o] f's k's
0,10 2,2 420 26,46
0,12 2,04 420 26,46
0,14 1,88 395 28,14
0,16 1,72 361 30,76
d'/d 0,18 1,56 328 33,92
A ' s = k 's ⋅
0,20 1,4 294 37,79
0,22 1,24 260 42,67
∆Msu [MNm ] = [cm 2 ] d − d' [m ] 0,24 1,08 227 48,99
0,26 0,92 193 57,51
Tabla 3 - Tabla de coeficientes adimensionales para el diseño de secciones sometidas a flexión compuesta con armadura asimétrica
5. DISEÑO DE COLUMNAS A FLEXIÓN COMPUESTA OBLICUA En esta sección se describe el procedimiento general desarrollado para el diseño de secciones sometidas a flexión compuesta oblicua. Con frecuencia el proyectista conoce el esfuerzo normal de compresión y los momentos requeridos que solicitan a una sección de columna, como por ejemplo la de la Figura 5. y
Myu Mxu
h
x
Nu
b
Figura 5 – Ejemplo de sección rectangular sometida a flexión compuesta oblicua A fin de generar diagramas de interacción para flexión compuesta oblicua que permitan, con las solicitaciones M xu, Myu y Nu, determinar las correspondientes armaduras, se plantea el esquema de la Figura 6. y
d
α
v
εc=0.003 x c
u d‘
εsi εt
Figura 6 – Planteo esquemático de sección sometida a flexión compuesta oblicua Entre los sistemas coordenados de referencia (x,y) y (u,v) existe la siguiente relación : u = x sen α - y cos α v = x cos α + y sen α
(17) (18)
Para cada valor de α son barridos todos los posibles valores de c (Figura 6) y en cada caso se determina: a. La resultante de compresiones en el hormigón, de acuerdo a la hipótesis de bloque rectangular de tensiones (Fig. 3):
∫
Ncd = φ 0.85 × f c' × β1 × dA
(19)
A *
donde la integral se efectúa usando el sistema de coordenadas (u,v) y sobre el área activa de la sección y φ el valor que corresponde de acuerdo a "t (Figuras 1 y 6). b. La resultante de fuerzas en el acero:
∑
Nsd = φ A si × σ si
(20)
i
donde Asi es la sección transversal de la i-ésima barra de acero que está sometida a la tensión σsi, de acuerdo a su deformación "si. c. El valor del esfuerzo normal Nd: Nd = Ncd + Nsd
(21)
d. El momento resultante de las tensiones de compresión en el hormigón: Mcd = Ncd × v g
(22)
donde vg es la distancia desde el centro de gravedad de la sección activa de hormigón al eje v. e. El momento de diseño resultante de las fuerzas de compresión y tracción de las barras de acero. Msd =
∑N
si
× vi
i
donde vi es la ordenada de la barra i-ésima en en el sistema (u,v) f. El valor del momento de diseño resultante en el sistema (u,v): Md = Mcd + Msd
(23)
g. De (1) se puede igualar: Nu = Nd
(24)
Mu = Md
(25)
A través de la transformación inversa de (17) y (18) y de las coordenadas del centro de gravedad del área activa de hormigón (x g,yg) se obtiene los momentos Mux y Muy en el sistema de coordenadas (x,y). h. A continuación se fija una configuración de armaduras; por ejemplo, barras concentradas en las esquinas o distribuidas en el perímetro (Figura 7)
Figura 7 b d , γ = , f’ c y f y = 420 MPa h h (que es la resistencia a fluencia que corresponde al único tipo de acero en barras admitido por CIRSOC 201 para armaduras longitudinales). También se fija valores determinados para A s,
i. A fin de dar generalidad al problema, se define los adimensionales: Nu bh f c' (267) M m xu = 2xu ' bh f c nu =
m yu =
µ=
(26)
Myd b2h f c'
(27)
A s f y bh f c'
donde A s =
(28)
∑ A
si
i
De esta manera, con las consideraciones realizadas en (j) y reemplazando las expresiones (19) a (23) en las (27) a (28), estas quedan como función únicamente de α, "t y c. Las expresiones (19) a (28) fueron empleadas para desarrollar un programa con el que, en primer lugar, se obtuvo las superficies de interacción como las que se indica en la Figura 8. Para ello, se tuvo en cuenta la limitación que impone CIRSOC 201 al valor de N d: Nu máx = 0.85 φ [0.85 f c’ (Ag – As) + f y As]
(30)
a)
c)
b)
d)
Figura 8 – Superficies de interacción: a) Sección cuadrada, armadura distribuida, µ=0.2; b) Sección cuadrada, armadura concentrada en esquinas, µ=2.0; c) Sección rectangular b/h=0.3, armadura concentrada en esquinas, µ=1.8; d) Sección cuadrada, armadura concentrada en esquinas, µ=0.6 a 1.2, representadas en un solo cuadrante Con el propósito de otorgarles un uso práctico, se volcó las curvas de nivel para una serie de cuantías mecánicas %. La simetría permite que estas curvas puedan ser representadas en octantes, por lo que cada gráfico abarca ocho series de curvas de nivel, cada serie correspondiendo a un plano n d = cte. Se muestra en las Figuras 9 a 13 algunos ejemplos de las series. En todas estas figuras se ha tomado γ =0.9. Las curvas presentadas en las Figuras 9 a 12 corresponden a hormigones con f c’≤30 MPa, mientras que la Figura 13 corresponde a f c’=40 MPa. Por otro lado, la forma de la sección transversal, definida a través de b/h, y las configuraciones de armado son diferentes en las Figuras 9 a 12.
A los fines de este trabajo se mantiene la escala en todas las figuras, lo cual permite evaluar comparativamente las soluciones correspondientes a diferentes relaciones b/h y configuraciones de armaduras. Se observa que las diferencias son mínimas entre los diagramas de interacción para f c’ # 30 y f c’ = 40 (Figuras 12 y 13), ya que sólo cambia β1, de 0.85 a 0.79 respectivamente (Tabla 2).
6. DIMENSIONAMIENTO A FLEXIÓN COMPUESTA RECTA Se trató a la flexión compuesta recta como un caso particular de la flexión oblicua, obteniendo una serie de diagramas de interacción, para diferentes configuraciones de armado, relaciones de forma b/h, γ y f c’. En la Figura 14 se muestra una de estas series.
7. CONSIDERACIONES FINALES En este trabajo se presenta un conjunto de tablas y diagramas que permiten el diseño de secciones de hormigón armado sometidas a flexión compuesta oblicua, según las especificaciones y exigencias del próximo reglamento. Para el trazado de estas curvas se desarrolló un algoritmo general que fue programado en computadora. El mismo considera todas las posibilidades que pueden presentarse en este tipo de solicitación, quedando incluida como caso particular la flexión compuesta recta. El programa es sumamente versátil, pues permite considerar diferentes configuraciones de armadura, relación de forma de la sección transversal, tipo de hormigón y recubrimiento de armaduras. Es importante resaltar que en todas estas ayudas de cálculo se ingresa con las solicitaciones U obtenidas del análisis con las cargas mayoradas con los factores de carga γ i y que el factor de reducción de resistencia φ (variable según la sección se encuentre controlada por tracción, compresión o se encuentre en zona de transición) ya está incluido en las tablas y diagramas. Además, los resultados que se muestra a través de las superficies de la Figura 9 permiten apreciar de manera global y conceptual la capacidad resistente de secciones de diferentes configuraciones y geometrías. Se aprecia claramente en estas la forma que les otorga el factor φ y el aplastamiento superior producido por la limitación en la capacidad resistente de columnas, dada por el reglamento (ec. 29).
Mxu
Para f c’ # 30 MPa
h d
γ = d/h = 0.9
As/4
As/4
×
Myu
f y = 420 MPa
Nu
As/4
b
A s =
0.8
Mxu bh2f c'
mxu =
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ f c'
0.7
nu =
Nu bh f c'
Cuando m xu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu 0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
m2
0,8
Myu b2hf c'
Cuando m xu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
f y' 0,6
myu =
=
0.2
0,3
0,5
0,6
0,7
nd=0,0
0,7
m2
m2
0,6
=
1.5
nd=0,8
nd=0,1
0,5 =
0,8 0,8
m2
2.0
nd=1,0
0,7
0,4
0,6 0,5
1.0 0,4
0,4 0,3
=
=
2.0 =
=
2.0
0,3 =
1.5
0.2
=
0.5
=
= 2.0
= 1.5
= 1.0
=
=
m1
1.5 0.2
1.0 =
0.1
2.0
0.0
=
1.0
0.5
0.1
0.0 0
0
m1 0.1
=
2.0
=
1.5
=
1.0 =0.5
0.2 0,3
=
m1
0.0
=
0.5
=
1.0
=
0.0
=
0.5
=
1.0
=
=
0.2 0.2
1.0
=
1.5
=
2.0
nd=0,2
0,5 0,5
2.0
m2
0,6 0,6
m2
0,7
nd=0,5
0,7 0,7
nd=0,3
m2 0.8
0.1 0.1
0,4 0,4
0,6
0,8
= 2.0 = 2.0
1.5
1.5
nd=0,6
0,5
=
0.5
0,3 0,3 =
0,4
=
0.7
m2 0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,8 0,8
0,7
0,8
Figura 9- Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para sección cuadrada, armadura concentrada en las esquinas, γ =0.9, f c’≤30 MPa
Mxu
Para f c’ # 30 MPa
γ = d/h = 0.9 h d
Myu
×
f y = 420 MPa
Nu
A s =
0.8
0.7
Myu myu = 2 ' b hf c
M mxu = 2xu ' bh f c
b
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ f c'
0,5
Cuando m xu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu 0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
m2
0,8
nd=1,0
0,7
Nu bh f c'
Cuando m xu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
f y' 0,6
nu =
0,6
0,7
0,8 0,8
m2
nd=0,0
0,7
m2
m2
0,6
0,6 =
nd=0,8
2.0
nd=0,1
0,5
0,5 =
1.5 0,4
0,4 =
1.0 =
0,3 =
2.0
0.2
=
1.5 =
0.1
=
m1
2.0 = 1.5
=
=
=
0.5
=
1.0
1.0
=
=
0.0
2.0
0,3
1.5
0.2
1.0 0.1
0.5
0
0
m1
=
2.0 = 1.5
=
0.1
1.0 =0.5
0.2
= =
0.5
=
1.0
=
1.5
0,3
0,4
=
0.0 =
=
0.5
1.0
=
m1
1.5 = 2.0
0.1 0.1
=
0.5
0.2 0.2
=
1.0
0,3 0,3
=
1.5
=
2.0
0,4 0,4
2.0
nd=0,6
0,5
=
0.0
nd=0,2
0,5 0,5 0,6 0,6
0,6
m2
m2
0,7
nd=0,5
0,7 0,7
nd=0,3
m2
0,8
0.8
0.7
m2 0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,4
0,5
0,6
0,8 0,8
0,7
0,8
Figura 10 – Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para sección cuadrada, armadura distribuida, γ =0.9, f c’≤30 MPa
Mxu
Para f c’ # 30 MPa
γ = d/h = 0.9 – b/h = 0.5 hd
×
Myu
f y = 420 MPa
Nu
b
A s =
0.8
0.7
mxu =
Mxu bh2f c'
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ f c'
0,6
0,5
nu =
Nu bh f c'
Cuando m xu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu 0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1 =
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
nd=0,0
0,7
m2
m2
0,6
=
2.0
=
1.5
nd=0,8
nd=0,1
0,5 =
1.5
=
1.0
=
0,8 0,8
m2
2.0
nd=1,0
0,7
Myu b2hf c'
Cuando m xu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
f y'
m2
0,8
myu =
0,6 0,5
1.0 0,4
0,4
0,3
0,3 =
0.5 0.2
0.2 0.1
=
m1
2.0
=
1.5
=
=
1.0
0.0
=
0.5
=
=
1.0
1.5
=
2.0
0.1 0
0
m1 =
0.1
2.0
=
=
1.5
1.0 =0.5
=
=
0.2
=
0.0
=
0.5
=
1.0
0,4
=
1.5
0.5
=
1.0
=
1.5
0.1 0.1 0.2 0.2
1.0
=
1.5
=
2.0
nd=0,2
2.0
0,6
m2
0,5 0,5 0,6 0,6
m2
0,7
nd=0,5
0,7 0,7
nd=0,3
m2 0.8
2.0
0,4 0,4
nd=0,6
0,8
=
0,3 0,3 =
=
=
0.5
0,3
0,5
m1
0.0
0.7
m2 0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,8 0,8
0,7
0,8
Figura 11 – Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para sección rectangular, armadura concentrada en las esquinas, γ =0.9, f c’≤30 MPa.
Mxu
Para f c’ # 30 MPa
γ = d/h = 0.9 – b/h = 0.5 hd
×
Myu
f y = 420 MPa
Nu
A s =
0.8
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ f c'
0.7
nu =
Cuando m xu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu 0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
m2
0,8
Nu bh f c'
Cuando m xu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
f y' 0,6
Myu myu = 2 ' b hf c
M mxu = 2xu ' bh f c
b
0,7
0,8 0,8
m2
nd=1,0
0,7
0,6
nd=0,0
0,7
m2
m2 0,6
0,6
nd=0,8
nd=0,1
0,5
0,5 =
2.0
=
1.5
0,4
0,4 =
2.0
=
0,3 =
1.5
0.2
= =
0.1 =
m1
2.0 = 1.5
0,3
1.0
0.2
0.5
1.0
= 1.0
=
0.0
=
0.5
=
0.5
=
1.5
=
1.0
=
2.0
0.1
0
m1
=
0.1
2.0 = 1.5 = 1.0 =0.5
0.2
=
0.0
=
0.5
=
0,3
0,4
=
=
1.5
=
2.0
=
1.0= 1.5
=
0.1 0.1 0.2 0.2
1.0
=
1.5
=
2.0
0,3 0,3
0,4 0,4
nd=0,6
0,5
m1
2.0
0.5
=
1.0
=
0.0
nd=0,2
0,5 0,5 0,6 0,6
0,6
m2
m2
0,7
nd=0,5
0,7 0,7
nd=0,3
m2
0,8
0.8
0.7
m2 0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,8 0,8
0,7
0,8
Figura 12 - – Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para sección rectangular b/h=0.5, distribuida, γ =0.9, f c’≤30 MPa.
Mxu
Para f c’ = 40 MPa
γ = d/h = 0.9 – b/h = 0.5 hd
×
Myu
f y = 420 MPa
Nu
b
A s =
0.8
0.7
mxu =
Mxu bh2f c'
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ f c'
0,5
Myu b2hf c'
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
nd=0 0
0,7
m2
m2
0,6
n=08
0,5
n=01 =
0,8 0,8
m2
nd=1 0
0,7
Nu bh f c'
Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu
m2
0,8
nu =
Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu
f y' 0,6
myu =
0,6 0,5
2.0 0,4
0,4 =
0,3
=
2.0
= =
= = =
m1
2.0 = 1.5
=
0,3
1.0
1.5
0.2 0.1
1.5
0.2
0.5
1.0
1.0
=
0.5
=
1.5
=
1.0
=
2.0
0.1
0
m1
=
0.1
2.0 = 1.5= 1.0 =0.5
=
=
0.2
=
0,3
0,4
0.0
0.0 = 0.5
0.5
1.5
=
2.0
0.5
=
0.1 0.1
1.0
=
1.5
=
2.0
0,3 0,3
0,4 0,4
nd=0 6
0,5
m1
1.0= 1.5 = 2.0
0.2 0.2 =
1.0
=
=
=
nd=0 2
0,5 0,5 0,6 0,6
0,6
m2
m2
0,7
nd=0,5
m2
0,8
0.8
0.7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,7 0,7
nd=0,3 0,2
0,1
0
0.1
0.2
0,3
0,4
m2 0,5
0,6
0,8 0,8
0,7
0,8
Figura 13 - – Diagramas de interacción para en flexión compuesta oblicua para sección rectangular b/h=0.5, armadura distribuida, γ =0.9, f c’=40 MPa.
Para f c’ # 30 MPa
γ = d/h = 0.9 f y = 420 MPa
mu =
Mu bh2 f c'
Mu = Momento flector obtenido con las cargas mayoradas
nu =
Nu bh f c'
Nu = Esfuerzo normal obtenido con las cargas mayoradas
Ast/2
h
A st =
d
µ ⋅ b ⋅ h ⋅ f c' f y'
Ast/2 d‘
b
1,6 1,5
=
2.0
=
1.5
=
1.0
=
0.5
=
0.0
1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 u
n
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
mu
Figura 14 – Diagramas de interacción para γ =0.9, f c’ # 30 MPa y armaduras concentradas en dos bordes paralelos.
BIBLIOGRAFÍA 1. American Concrete Institute - Design Handbook: Beams, One-Way Slabs, Brackets, Footings, Pile Caps, Columns, Two-Way Slabs, and Seismic Design in accordance with the Strength Design Method of 318-95 – USA -
1997 2. CIRSOC – Proyecto de Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón CIRSOC 201 – Noviembre 2002. 3. Gea, Susana - Flexión Oblicua en Hormigón Armado – Consejo de Investigación , Universidad Nacional de Salta - 1990 4. Portland Cement Association - Notes on ACI 318-02 Building Code Requirements for Structural Concrete with Design Applications – USA – 2002.
