4 Los estudios de simulación
4.1. Diseño de experimentos de simulación simulación
experimental de la simulación, subrayando el papel de los model de simulación, sujetos del experimento, como sustitutos de la realid Un estudio de simulación según la metodología que hem establecido busca respuestas a preguntas sobre el sistema obj del estudio a través de la información que le proporcionan l experimentos con el modelo del sistema. Los experimentos busc en general, respuestas a preguntas del tipo ¿qué pasaría s preguntas que pueden plantearse en cualquier etapa del ciclo vida del sistema, tanto en la fase de diseño, en cuyo caso el objeti de las respuestas es encontrar soluciones a las diferentes alternati de diseño, o investigar los posibles efectos de las diferent configuraciones factibles; como en fases posteriores, con un siste ya implantado, cuando se plantea la posibilidad de cambio modificaciones en el sistema existente para ampliar su capacidad operación o para adaptarlo a nuevos requerimientos. En general las respuestas que buscamos mediante l experimentos servirán de soporte a una decisión racional sobre sistema, por lo que nos interesará que las respuestas queden expresa numéricamente, en términos de los valores de las variables de respue que representen las medidas de la utilidad, o del rendimiento espera para la alternativa que nos ocupa de diseño o de cambio del siste Así, por ejemplo, en sistemas de colas cuyo objeto sea dimensionar l
Los estudios de simulac
servicio que permiten un rendimiento óptimo del sistema, ejemplos tales funciones de utilidad o variables de medida del rendimiento pued ser, índices que relacionen el tiempo medio de espera (o la longit media de la cola) con el nivel de utilización de los servidores, o f uncio de coste que engloben el coste de la espera (decreciente cuando incrementa la eficiencia del servicio) y el del servicio (creciente cuan se aumenta el número de servidores, o los servidores existentes reemplazan por otros más eficientes). Las alternativas de diseño, o variante de configuración del siste constituirán una variante del modelo o escenario de simulación con l que realizaremos los experimentos. Para ello ejecutaremos el mod introduciendo como datos las muestras aleatorias de las distribucion de probabilidad correspondientes tal como hemos descrito en el Capít 2. Las ejecuciones del modelo nos proporcionarán las estimaciones los parámetros de interés. Desde un punto de vista metodológico hem de distinguir varios tipos de situación: • Estimación de variables de respuesta. • Estimación de efectos combinados. • Comparaciones entre alternativas de diseño. Con respecto a la estimación de variables de respuesta, longitud media de una cola, el tiempo medio de espera, el porcent de ocupación de los servidores, por ejemplo, ejecutaremos repetid veces el modelo correspondiente a una misma configuración c diferentes muestras aleatorias de input, lo que proporcion variaciones en los resultados debido a las variaciones aleatorias las muestras utilizadas. Ahora bien, para poder asegurar la validez nuestras estimaciones, y en definitiva la validez de las respuestas estudio de simulación, hemos de estar en condiciones de estable cuándo las diferentes estimaciones de los parámetros de medida rendimiento del sistema son debidas a la configuración del sistem cuándo son ocasionadas por las variaciones del muestreo.
particular la de las técnicas de muestreo, la que nos permitirá dar u respuesta correcta a este tipo de cuestiones. No es este el lugar p extendernos sobre el tema, nos limitaremos a apuntar algunas de l técnicas más utilizadas en el ámbito de los estudios de simulación, lector interesado puede encontrar una información detallada en text generales de Estadística y Teoría de Muestras, o en los específicos Kleijnen, «Statistical Techniques in Simulation » [29], y «Statistica l To for Simulation P ractitioners » [30], de las que la primera constituye estos momentos un clásico de las técnicas estadísticas en simulaci Nos limitaremos a comentar aquí que los procedimientos más util iza son los de: • Replicaciones independientes: generando muestr independientes de números aleatorios bien a partir de distint generadores o un mismo generador, de ciclo muy largo, q produzca muestras de base independientes a partir diferentes semillas. • Lotes («Batch Means») resultantes del fraccionamiento submuestras de una muestra de gran dimensión genera con un generador de ciclo muy largo. • Métodos regenerativos, que utilizan muestras de dimensi variable resultantes de la recogida de observaciones sistema entre dos pasos consecutivos por un punto o esta de regeneración (por ejemplo el estado con las colas vací en un sistema de colas), lo que requiere previamente comprobación de que el sistema tiene estados regenerati y la identificación de los mismos. Otro aspecto que también hay que tener en cuenta, p garantizar la calidad de las estimaciones de las variables de respue desde el punto de vista estadístico, es la necesidad de utili estimadores insesgados y de variancia mínima, de espec
importancia estos últimos si después la est imaciones se van a utili para efectuar comparaciones. Una manera de conseguir est objetivos consiste en recurrir a las técnicas de reducción de varian diseñadas específicamente para incrementar la precisión de estimación de las variables de respuesta y facilitar las comparacion entre las técnicas de reducción de variancia más utilizadas simulación figuran el muestreo estratificado, el muestreo selecti la utilización de variables de control y la variables antitéticas. Esta última es una técnica muy discutida en lo que respect sus aplicaciones a la simulación discreta, su objetivo es inducir u correlación negativa entre las sucesivas simulaciones de una mis configuración del sistema. Tocher [37], propuso una implantación m sencilla de esta técnica consistente en ejecutar una de las simulacio a partir de la muestra {u 1, u 2, u 3, ...} de números aleatori uniformemente distribuidos en (0, 1), y la segunda, la antitética a pa de la muestra complementaria {1-u 1, 1-u2, 1-u3, ...}, con la idea de q esta muestra complementaria asegure una correlación negativa en las respuestas de las dos simulaciones. En este caso si X 1 es estimación de la variable de respuesta obtenida en la prim simulación, y X 2 en la segunda, la antitética, entonces: X
1
X X2 2
1
es un estimador insesgado de E(x), y: var
1
X 4
var
X var X 2 2 cov X , X 2 1
1
que al ser comparada con la variancia de dos ejecuciones correlacionadas debe ser menor si las ejecuciones est correlacionadas negativamente. Este efecto esperado no siempre consigue en la simulación de sistemas discretos, especialmente son complejos, debido a las transformaciones complicadas que tal modelos llevan a cabo con las variables de entrada, lo cual hace q no siempre se conserve en el output la correlación negativa del inp
muestreo antitético en la simulación discreta, y asegurar previamente de que las correlaciones negativas entre las variabl de entrada se conservan en las de salida. A la hora de recoger las observaciones producidas por ejecución de la simulación no hay que olvidar el carácter intrínseco la simulación discreta tal como lo establecimos en el Capítulo Recordemos que hemos considerado que la simulación de un siste con estados discretos puede interpretarse como un seguimiento de evolución del sistema entre sus estados, teniendo en cuenta el carác aleatorio del input es obvio que la tal evolución puede considera como un proceso estocástico y como tal podemos considerar dos tip de situación la que corresponde a la fase transitoria del proceso y del estado estacionario. En general la fase transitoria dependerá las condiciones iniciales, mientras que entendemos que la situaci estacionaria, si el sistema la tiene y llega a ella, es independiente su estado de partida. Según los objetivos del estudio de simulació el tipo de sistema tendremos que distinguir entre ambas fases. Si que interesa es estudiar el comportamiento del sistema en la situaci estacionaria deberemos proceder a un proceso previo («warmin g-up durante el que no se recogerán observaciones, durante el cual sistema atraviese la fase transitoria y entre en la estacionaria, a pa de la cual se procederá a recoger observaciones. Sin embargo hemos de olvidar que puede haber situaciones en que es precisame la fase transitoria la que interesa. En general la configuración o las alternativas de diseño de sistema complejo dependen de muchos factores, así por ejemplo, los sistemas de colas las variables de decisión, o factores de dise pueden ser el número de servidores, las características de l servidores (que afecten por ejemplo al tipo de distribución de los tiem de servicio, o, dentro de un mismo tipo, a los parámetros de distribución, como puede ser el caso de los tiempos medios de servi - más rápidos o más lentos -, política de gestión - FIFO, por prioridad
Los estudios de simulac
a la respuesta del sistema, de tipo cuantitativo (número de sirvient tiempo medio de servicio, etc.), o cualitativo (prioridades), que oper a diferentes niveles. En el estudio de simulación interesará identifi el efecto de cada factor, las interacciones entre factores, etc... La técnica de diseño de experimentos en Estadística es la q nos proporcionara las herramientas adecuadas para proceder a l estudios adecuados. Como en el caso anterior nos vamos a limita glosar aquí unos comentarios sobre la aplicación de estas técnica la simulación, las referencias [30], anteriormente citada, y [2 proporcionan una información detallada, aunque hay que resaltar q todo lo que se puede decir para las aplicaciones a la simulación es más que una adecuación de la teoría general del diseño experimentos Estadística por lo que textos generales como el de B Hunter y Hunter [46], o el de Box y Draper [47], constituyen u referencia obligada. En el caso de la simulación hay que hacer una observación c respecto al punto de vista del diseño de experimentos en Estadístic es que en el caso de los experimentos de simulación se trata siem de experimentos controlados, es decir, la impredictibilidad esta origina únicamente por la aleatoriedad del muestreo, no por el modelo, que supone que el analista conoce y domina completamente. Los diseños experimentales que más se utilizan en la prácti de la simulación suelen ser el de variación de un factor cada v los diseños factoriales globales, los fraccionales, los de superfi de respuesta, etc... En la práctica se tiende a evitar los diseñ factoriales completos que para k factores y 2 niveles por fac requieren 2k combinaciones, y si para estimar adecuadamente variable de respuesta para cada combinación hemos de replicar veces cada combinación, hay que realizar un total de m repeticiones de la simulación que puede ser un núme prohibitivamente grande. Siempre que se puede se tiende a utili
con menos observaciones. Así, por ejemplo en un modelo M/M/s si la tasa de utilizaci o factor de carga del sistema varia entre 0,5 y 0,8, y el número servidores entre 1 y 3, un diseño experimental para estos d factores, carga del sistema y número de servidores, con dos nivel cada factor, y cuatro combinaciones posibles de niveles de l factores, es: Combinación 1 2 3 4
0,5 0,8 0,5 0,8
s 1 1 3 3
Para un diseño factorial con k factores y dos niveles por fac suponemos que los efectos de interacción son explicados por el mod de regresión (o superficie de respuesta): k
y i
k 1
0 j x ij j 1
j 1
k
j h
j 1
h x ij xih
i , i
NID 0,
2
que tiene k efectos principales, o de primer orden, j y k(k-1 interacciones de dos factores jh, con errores con distribucion normales independientes (NID) de media cero y variancia constan Interacción entre dos factores, el i y el j por ejemplo, significa que efecto del cambio en el factor i depende del nivel del factor j. La significación de los efectos principales y las interaccion se determina por medio del análisis de la variancia del modelo regresión correspondiente. Así, por ejemplo, en el caso de d factores A y B, el modelo propuesto supone que la relación en la variable de respuesta y los efectos de los niveles de los factor viene dada por:
Los estudios de simulac
y ijk
0 i j i j ij
k
donde yijk es el resultado de la combinación del factor A al nivel i factor B al nivel j en su replicación k-ésima, 0 es el efecto me global, i el efecto principal del factor A al nivel i, j el efecto princi del factor B al nivel j, ij el efecto de la combinación del factor A nivel i con el factor B al nivel j, y ijk es la variancia no explica (residuo o término de error). Como es habitual en el análi estadístico es importante definir claramente las hipótesis que toman en consideración. En este tipo de experimentos lo normal esperar que haya efectos de la interacciones, por lo tanto lo prim que hemos de hacer es verificar si estos son significativos o no, que en caso de que lo sean no habría que proceder a estudiar l efectos principales. En consecuencia las hipótesis nulas son: H0(1): la interacción de A y B no tiene efectos: ij = 0, i y H0(2): el factor A no tiene efectos: i = 0, i H0(3): el factor B no tiene efectos: j = 0, j y las hipótesis alternativas son: H1(1): ij 0, para algún i, j. H1(2): i 0, para algún i. H1(3): j 0, para algún j. Suponiendo que el factor A tiene n niveles, cada uno de l cuales se replica m veces, y que lo mismo ocurre con el factor B denotando por y ..., yi.., y.j., e yij. las sumas: n
n
i 1 j 1 k 1 n
y . . j
n
m
y ij
y
k
y ij
y i j.
y ij
m
y ij i 1 k 1
m
y i..
j 1 k 1
k
m
k
k
k 1
La Tabla 15 muestra el análisis de la variancia.
Los estudios de simulac
hipótesis procede de la manera siguiente: H0 1: ij
0, i
y
j Re chazar H0 1 si:
2
2
S AB
n 1
SE
2
n
2
m 1
F n
2
2
1 ,n
m1
Si se rechaza H0(1), no tiene sentido verificar H0(2) y H0( En caso de que se acepte H 0(1) entonces el modelo se puede si plificar a: y ijk
0 i j ij 2
SA
En cuyo caso se rechaza H0(2) si: n 1 2
se rechaza H0(3) si:
SB
n 1
S
k
S n
2
S B F n m 2n 1 2
2
2
E
A
2 E
m
S
2 AB
2n 1
2
n 1 , n m
F
2
n 1, n m
2n1
2n1
siendo F la función de Fisher evaluad a al nivel de significación y gra de libertad correspondientes. Si el análisis de la variancia ha demostrado que un conjunto efectos (1, 2, ..., n) son significativamente diferentes entonces res pertinente compararlos entre si de manera que se puedan identifi las combinaciones factor-nivel que proporcionan los mejores resultad El estudio se lleva a cabo aplicando las técnica clásicas del análi estadístico de comparaciones múltiples.
4.2. Análisis de resultados
la determinación de la mejor alternativa, como si el propósito simplemente obtener una buena estimación de la variable
poder efectuar buenas estimaciones de las variables de respues así como de la estimación de cuán buenas son las estimacion que estamos obteniendo, pues no hemos de perder de vista carácter aleatorio de los resultados producidos por una simulaci Los métodos a utilizar dependen de las características sistema y en especial de si se trata de sistemas con un horizo finito, es decir sistemas para los cuales llega un momento en que ha alcanzado cierto objetivo, se ha realizado una tarea, se ha llega a una condición a partir de la cual el proceso se repite, se completado un ciclo, etc.; o de un sistema con un horizonte infinito una posibilidad de entrar en un estado estacionario). Ejemplos primer tipo de situaciones pueden ser procesos productivos en l que el horizonte temporal de fabricación de un producto e determinado de antemano, de gestión de inventarios con horizont temporales dados, etc., es decir sistemas cuyo ciclo de vida es fin (lo que, dicho sea de paso, ocurre con todos los sistemas reale pero en muchas otras situaciones no hay razones para suponer, menos en teoría, que hay un suceso especial cuya ocurren determina el final de la simulación, se trata entonces de sistem para los que el horizonte temporal puede considerar indefinidamente largo, la cuestión entonces es si afectan o no l condiciones iniciales, es decir si el sistema tiene o no esta estacionario y si lo que nos interesa es estudiar el comportamie del sistema en la fase transitoria o en el estado estacionario. El análi estadístico del estado estacionario es más delicado puesto que h que tener en cuenta aspectos tales como la correlación que present los resultados, o el no siempre claro de a partir de qué momento puede considerar que el sistema ha entrado en el estado estaciona Las condiciones de esta monografía no permiten tratar exhaustivame el tema, cualquiera de las referencias básicas que hemos venido citan dedican espacio suficiente a estas cuestiones, pero entre est referencias subrayaré el trato que le dan el texto de Law y Kelton [2 y el de Bratley, Fox y Schrage [28], que han inspirado este resume
Los estudios de simulac
rendimiento de un sistema estocástico se expresa habitualmente términos de un intervalo de confianza, relacionado i ntuitivamente c la idea de precisión, que depende de las dimensiones y característi de la muestra de observaciones utilizada para realizar la estimaci En general el problema del intervalo de confianza se puede plant desde dos puntos de vista, en el primero, denominado de la mue de dimensión fija , se especifica de antemano el número observaciones con la esperanza de que la precisión resultante s suficiente, mientras que en el segundo, denominado de muest secuencial , se especifica de antemano la precisión requerida, se u una muestra y partir de los resultados que proporciona se determi si se han de recoger o no observaciones adicionales. La obtenci de un intervalo de confianza requiere hipótesis subyacentes normalidad e independencia, lo que en las condiciones de simulación exige que se haya de recoger un número de observacion suficientemente grande como para que las condiciones del teore del límite central nos permitan ignorar la posible no normalidad las observaciones, que se utilice algún procedimiento que perm superar las implicaciones de la falta de independencia entre l muestras, especialmente cuando se trata de simulaciones de estad estacionarios, y que utilice algún procedimiento que permita corre el posible sesgo causado por las condiciones iniciales cuando simulan estados estacionarios. El análisis del rendimiento esperado de un sistema con horizonte finito consiste habitualmente en obtener una estimaci puntual del mismo y un intervalo de confianza o estimación del er cuadrático medio de dicha estimación puntual. La obtención de e estimación a partir de una muestra de observaciones producidas la simulación se realiza por medio de las técnicas habi tuales del análi estadístico, es decir determinar un estimador puntual ¯ y a ser posi insesgado y de variancia mínima, que esté aproximadame normalmente distribuido y cuya desviación estándar se pueda esti adecuadamente.
simulación (número que quizás haya que determinar secuencial ment e yi es la observación de la variable de rendimiento proporcionada la i-ésima simulación, i = 1, 2, ...., m, entonces: m
y
yi i 1
(4.1
m m
s
2
yi y
2
i 1
m 1
son independientes y están idénticamente distribuid entonces y¯es un estimador insesgado del rendimiento esperad s2/m es un estimador insesgado de la variancia. Si además la están normalmente distribuidas, entonces un intervalo de confian para el rendimiento esperado viene dado por: i
y k
s
2
m
donde k es la ordenada que da la probabilidad (1- )/2 en la cola de distribución t de Student con m-1 grados de libertad, siendo coeficiente de probabilidad que determina la región crítica p aceptación del intervalo. Con respecto al análisis del estado estaciona comentaremos simplemente que para satisfacer las condicion anteriormente establecidas, sobre la eliminación de las posibl influencias de los estados de partida, se han propuesto multitud procedimientos [27,28] que en esencia conducen a determinar c es el número de observaciones iniciales que hay que desech Resuelta esta cuestión el problema es entonces cómo proceder c observaciones que no son independientes. Sin ánimos de exhaustivos y para dar al lector una idea simple de los métod estadísticos que se han ido desarrollando mencionaremos los tr más utilizados:
• Procedimientos por lotes («Batch Means»), • Métodos Regenerativos, • Análisis Espectral, que pasamos a resumir. A) Procedimientos por lotes
la simulación {y 1, y2, ..., ym}, posiblemente correlacionadas. Definim m
y i
y
m
i 1
m
2
s y
y i y m 1 2
i 1
siendo b la dimensión de los lotes (definida posiblemente a partir un estudio estadístico previo) tal que m sea un múltiplo de b, y consecuencia n = m/b sea entero. Hagamos: x j
jib
yi i 1 j 1 b
b
media del j-ésimo lote de observaciones de dimensión b. A partir aquí podemos calcular: n
x
x j
n
j 1
n
2
sx
2
x j x n 1 j 1
El objetivo de nuestro estudio de simulación es, en teoría, esti lim E y i ¯]. El método de los lotes estima a partir i est adí sti co y¯. D e l as def ini cio nes se dedu ce que y¯ =x¯ . S i l observaciones yi son independientes s 2x /m es un estimador insesga de var [y ¯], pero como en general las observaciones procedentes de simulación están correlacionadas entonces: y var y
var
1
m
2
m
m
2
1
m
i 1 j i 1
cov
y i , y j
de covariancia, lo que en la práctica implica una infraestimación de ¯ [y] ya que las y i están correlacionadas positivamente. Otro estima insesgado bajo la hipótesis de independencia es s 2x/m, aunque en caso de correlación de las y i este estimador también está sesgado está menos que el anterior porque la correlación entre las x j tiend ser menor que entre las y i. El método de los lotes en su versión de muestra de dimensi fija opera de la manera siguiente: 1. 2. 3. 4.
Formar n lotes de observaciones x j. Calcular ¯ x y s2x. Utilizar x¯ como estimador puntual de . Utilizar ¯ x¯± ksx / n como estimador del intervalo de confian para . (k es el valor correspondiente de la distribución t de Stud con n-1 grados de libertad).
Las referencias citadas [27,28] proporcionan versiones m sofisticadas para la implantación del método de los lotes por muestr secuencial que utilizan un procedimiento de «jackknifing» para esti la correlación serial y en función de ella determinar la evolución proceso de generación secuencial de la muestra. En el ejemplo del puesto de peaje de la autopista hem aprovechado las características del GPSS para repetir 21 veces simulación, simulando las llegadas de 240 vehículos en cada repetici de manera que quedase garantizada la independencia de las muest de números aleatorios utilizadas en cada ejecución. En realidad lo q hemos hecho ha sido aplicar el método de los lotes como procedimie de estimación de resultados. Suprimiendo la primera ejecución, cu función es la de inicializar el sistema y suprimir, de forma aproxima la posible influencia del período transitorio, de manera que podam considerar que las siguientes repeticiones tienen lugar cuando
sistema ha alcanzado el estado estacionario, los resultados de las repeticiones correspondientes a cada uno de los lotes qued resumidas en la Tabla 16. La primera columna contiene los porcentajes de utilización puesto de peaje, la segunda la estimación de los tiempos medios pago, es decir la duración media del proceso de pago del peaje, tercera columna registra las longitudes de las máximas colas que han observado durante la simulación del lote correspondi ente, la cua las estimaciones que la simulación proporciona de las longitudes medi de las colas, la quinta columna corresponde a los tiempos medios espera estimados, y la sexta el estado final de la cola al terminar simulación correspondiente, es decir el número de vehículos q estaban esperando en la cola cuando se ha terminado la ejecución lote. Ese estado final de un lote es el inicial del lote siguiente dado q hemos utilizado la instrucción RESET del GPSS. Los resultados de cada lote corresponden lo que hem denominado las x j, aplicando el procedimiento propuesto hubiésem obtenido las medias e intervalos de confianza mostrados en la Tabla 1 Ahora estamos en condiciones de profundizar la interpretaci de resultados que esbozamos en la Sección 3.4. La impresión de qu puesto de peaje esta operando en condiciones de casi saturación que confirmada por los resultados que proporciona el análisis estadístico los lotes, una ocupación media del 86,5%, con un intervalo de confian al 5%, lo suficientemente pequeño como para reforzar la conclusión que la ocupación experimenta muy poca variación a lo largo del perío de tiempo estudiado. Con respecto a los otros parámetros de inter cola máxima, longitud media de la cola y tiempo medio de espera, solo resultan significativos los altos valores obtenidos, casi 15 coch en promedio, como número máximo de vehículos que en un mome dado están esperando a pagar, casi 5 coches en promedio esperand pagar, y un tiempo de espera para efectuar el pago que en prome supera ligeramente el minuto, sino que, además, presentan una a
variabilidad, especialmente los tiempos de espera, como, por otra par era de esperar dada la variabilidad del proceso de pago. Este análi podría ampliarse estudiando la posible influencia del estado inicial e proceso. B) Métodos regenerativos
sistemas tienen puntos de renovación o regeneración, a partir de l cuales el comportamiento del sistema es independiente de su pasa El ejemplo típico es la llegada de un cli ente a una cola cuando el siste está vacío. La idea propuesta y desarrollada por Iglehart [48], pue interpretarse como una generalización del método de los lotes en que estos en vez de tener longitud fija tienen una longitud variable q corresponde a la longitud del ciclo entre dos pasos consecutivos un punto de regeneración, si hacemo s que a cada ciclo entre do punt de renovación sucesivos corresponda a una observación tenemos
debido a las condiciones iniciales. Desgraciadamente la consecución de la independencia tie un precio, el del sesgo de las estimaciones obtenidas. La aparición un sesgo en las estimaciones por el método regenerativo est causadas porque en general los estimadores son cocientes de variabl aleatorias y en general el valor esperado de un cociente no es cociente de los valores esperados. Un ejemplo típico es la estimaci del cociente entre el tiempo total de espera en un sistema de col durante un ciclo y el número de clientes servidos durante ese ciclo Suponiendo que xi e yi denotan respectivamente el numerado el denominador del i-ésimo ciclo nuestro objetivo es estimar el cocie E(xi) / E(yi) y su intervalo de confianza. Sea n el número de cicl simulados, definamos ¯, x ¯ y, s2x, y s2y de la manera habitual. Hagam z
x
y n
2
s x y
s
2
xi x y i y n 1 i 1
s 2zs y z 2
2
x
x
2
2
sy
entonces es la estimación puntual sesgada de E(xi) / E(yi), y su interv de confianza viene dado por: z ks y n siendo k la ordenada apropiada de la distribución normal. En referencia citada [48], Iglehart recomienda la utilización estimadores "jackknife" cuando las longitudes de los ciclos no s muy largas, entonces si z˜ es el estimador jackknife de z¯ el interv de confianza es: ~z k~s y n donde: ~s 2 s 2 2~zs 2 ~z 2 s 2 y y x
x
Aunque los procedimientos regenerativos tienen toda una serie ventajas ya que no están afectados por los problemas transitorios inicial producen observaciones independientes, son fáciles de aplicar, etc., están completamente libres de problemas ya que las longitudes de los cicl son desconocidas de antemano y estos pueden ser muy largos o m cortos y no siempre es fácil identificar los puntos de regeneración, o demost que un tipo de punto dado es de regeneración para un sistema dado. C) Análisis espectral
estimación de resultados por simulación con una familia que, si bi en sus formas sencillas no proporciona buenos resultados, ha abie una amplia perspectiva en el campo del análisis de resultados en simulación. Dado que las observaciones producidas por la simulaci están correlacionadas se trata de producir estimadores que trat explícitamente esta correlación. Una posibilidad estriba en recoger l observaciones a intervalos discretos igualmente espaciados en tiempo. La secuencia de resultados así obtenida puede considera la observación de una serie temporal para la cual tenemos: n
y
y
n
t
t 1
C j
E y y j u para j 0, 1, 2, , n
C j
y yy j y n j
t
t
n
t
t
t
j 1
y bajo la hipótesis de que la secuencia {y t} es estacionaria covarian es decir, que C j no depende de t: y C 0 2 1 j n C j j n 1
var
n
1
si sustituimos C j por C j son dependientes entonces C j en general el estimador truncado
¯] resulta que cuando la
C0 2 1 j n C j j m
Vm
n
1
es mucho mejor estimador de var [y ¯] para m<
~
Vm
m
n
1
wm
El origen de esta función de ponderación radica en el hecho que la densidad espectral f es la transformada de Fourier de secuencia covariante: f
1
C j 2 j
cos
j,
y si comparamos las expresiones para f(0) y Vm nos percatamos que Vm es un estimador natural truncado de 2 f(o)/n, aunque no m bueno.
