Universidad de Guadalajara Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías
Tarea 3A Por: Santiago Campos Herrera 209411399
Diseño de Elementos de Máquinas Profesor: Boris Voronín 2015B
Datos del problema:
v canasta =0.3
m s
D tambor=150 mm Fcarga =500 N
1. Cálculo de la velocidad angular de la flecha de salida. Para efecto de cálculos es conveniente conocer la velocidad angular de la flecha de salida del reductor en función de la velocidad a la que se desplaza la canasta por medio del tambor de salida de movimiento.
m ∗60∗1 03 v ∗60∗1 0 s n salida= canasta =0.3 =38.1970 min−1 π∗Dtambor π∗150 mm 3
1.1.
Conversión de la velocidad de la flecha de salida a velocidad angular
ω salida =38.1971 RPM
[ ]
2π =4 s−1 60
2. Cálculo de la relación de transmisión de la primera etapa para un motor de 8 polos y una velocidad de flecha nominal
nnominal =800 RPM , elegido pues se supone será
suficiente para realizar el trabajo para el reductor a diseñarse.
U 0=
nnominal 800 RPM = =20.9440 n salida 38.197 RPM
3. Cálculo de la relación de transmisión para la primera etapa. Por consideración, para un reductor de dos etapas, la relación de transmisión vendrá
U0 U = U =0.88 U √ 1 2 0 dada por y U 2
U 2=0.88 √ U 0=0.88 √20.9440=4.0270
de ahí que:
U 1=
U 0 20.9440 = =5.2 U 2 4.0270
4. Cálculo de la eficiencia de la transmisión.
total=¿ η2transmisión∗η3rodamientos∗η2acoplamientos η¿ Los exponentes de las eficiencias individuales de la transmisión, rodamientos y acoplamientos son dados por el número de elementos existente en el reductor. Ej. En un reductor de dos etapas existen 2 engranajes, 3 pares de rodamientos y 2 acoplamientos. Los valores de las eficiencias individuales de los elementos del reductor deben ser elegidos de la tabla 1.2.3 del prontuario de acuerdo a las características del reductor. De ahí que: 2
3
2
total=¿ ( 0.96 ) ∗( 0.99 ) ∗( 0.98 ) =0.8588 η¿ 5. Cálculo de la potencia teórica del motor. La potencia que teóricamente será suministrada por el motor eléctrico a utilizar por el reductor está dado por
Pmotor elec . =Τ∗ω ; donde
Τ
se refiere al torque producido
por la carga a través del radio del tambor de salida. Por lo tanto: Si
Τ=
'
F∗D 0.015 m =500 N =37.5 Nm 2 2
−1
Pmotor elec . =Τ∗ω salida =37.5 Nm∗4 s =150 W
5.1. Esta potencia está calculada sin considerar las pérdidas producidas por los elementos del reductor que calculamos para conocer la eficiencia; por lo que la potencia real mínima que debe proveer el motor eléctrico es:
Pmotor elec .
Pmotor elec . calculada 150W = =174.6623 W ηtotal 0.8588
5.2. Debido a que industrialmente no se produce ningún motor con las características necesarias calculadas, entonces elegimos el motor inmediato superior que provea de suficiente potencia al reductor para realizar el trabajo. Para este caso existe un motor industrial de
nnominal =875 RPM
capaz de proveer 746 W o 1 HP elegido de la tabla
1.2.4 del prontuario.
6. Corrección de las relaciones de transmisión. Debido a que las relaciones de transmisión las hemos calculado hasta ahora con valores teóricos, es necesario corregirlos, aplicando la velocidad de flecha real del motor que vamos a utilizar en el diseño del reductor, a los que llamaremos relaciones de transmisión corregidas:
U 0= U 1=
nmotor .elec 875 RPM = =22.9075 nIII 38.197 RPM
U 0 20.9075 = =5.4388 U 2 4.2118
U 2=0.88 √ U 0=0.88 √22.9075=4.0270 7. Cálculo de los dientes de los engranes del reductor Por consideración, los dientes en el engrane 1 y 3 serán 18, que es el número mínimo empírico calculado para que no exista cavitación entre los engranes del reductor.
z 1=z 3=18 7.1. Los dientes de los engranes 2 y 4 están dados por la siguiente expresión y se redondean al número entero superior más cercano:
z 2=z 1∗U 1=18∗5.4388=97.8984 ≈ 98 z 4=z 2∗U 2=18∗4.2118=75.8124 ≈ 76 7.2. A partir de estos valores enteros es necesario volver a corregir el valor de la relación de transmisión:
U0
98 ∗76 = U ∗U = 18 =22..9876 1 2 18
7.3. Es necesario corregir la magnitud de la velocidad de la flecha de salida en base a las correcciones anteriores:
n III=
n1 875 RPM = =38.0639 U 0 22.9876
8. En este punto después de realizadas las correcciones de las relaciones de transmisión y los redondeos de la cantidad de número de dientes es muy recomendable calcular el error o desviación de los cálculos para verificar que no exceda el 5% admisible:
|
ψ=
| |
n III −nflecha de salida 38.0697−38.1970 ∗100= ∗100=0.3484 n flecha desalida 38.1970
|
9. Cálculo de los torques en las flechas. Es evidente que cada uno de los engranes del reductor se verá sometidos a distintos esfuerzos debido a las diferencias que guardan sus dimensiones. Para el posterior cálculo de la dureza que deben tener los elementos debemos calcular el torque al que se someten los elementos: 9.1.
Cálculo torque 1
Τ1=
Pmotor elec . ω1
;
ω1 =
Τ1= 9.2.
π∗n1 π∗875 RPM = =91.6297 s−1 30 30
746 w =8.1414 Nm 91.6297 s−1
Cálculo torque 2 1
Τ2=
1
1
Pmotor elec . [ηtransmisión∗ηrodamientos∗ηacoplamientos ] ω2
n2=
875 RPM =160.7142 RPM 98 18
( )
Τ2=
;
ω2 =
π∗n2
; ω2 = 30
;
n2=
nmotor elec . U1
π∗160.7142 RPM =16.8299 s−1 30
746 W [0.96∗0.99∗0.98] =41.2847 Nm 16.8299 s−1
9.3.
Cálculo torque 3
Τ3=
ω3 =
Pmotor elec . [η2transmisión∗η2rodamientos ∗η1acoplamientos ] ω3
π∗n III
; ω3 = 30
;
746 W [( 0.962 )∗( 0.992 )∗ ( 0.98 ) ] π∗38.197 RPM =4 s−1 ; Τ 3= =169.0722 Nm 30 4 s−1
Flecha 3
Flecha 2
Flecha 1
Símbolo
10. Calculo del engranaje. En este punto es conveniente concentrar los datos obtenidos del reductor e una tabla que agrupe valores obtenidos hasta ahora y valores próximos a calcular tal como la siguiente: Relación de transmisión
Torque
Τ ( Nm)
a
a
1 Etapa
8.1414
5.4388
41.2847
5.4388
2 Etapa
Dureza Brinell HB
ψ bd
K Hβ
σHP
(a)
KA
(MPa)
n (min-1)
875
169.0722
4.2118
>350
0.5
1.15
800
1.35
160.7142
4.2118
>350
0.5
1.1
800
1.35
38.0639
11. Cálculo del engranaje del piñón:
√ 3
' 1
d =K d
Τ 2∗K Hβ∗K a ∗U ±1 ψ bd∗(σ H P )2 ( a)
U2
1
∗1000
√
En donde
K d =77 MP a 3
41.2847∗1.15∗1.35 ∗5.4388 ±1 0.5∗(800)2 ' d 1=77 ∗1000=27.1007 mm 5.43882 3
√ 3
'
d 3=K d
Τ 3∗K Hβ∗K a ∗U ±1 ψ bd∗(σ H P )2 (a )
U2
∗1000
√
169.0722∗1.1∗1.35 ∗4.2118 ±1 0.5∗(800)2 ' d 3=77 ∗1000=47.1193 mm 4.21182 3
12. Se determina el ancho de la corona dentada para un
ψ bd máximo de 5%
b2=ψ bd∗d w =0.5 ( 28.8 mm )=14.4 mm 1
b1=b2 + ( 3 … 5 ) mm=14.4 mm+ 4 mm=18.4 mm b 4=ψ bd ∙ d w =0.5 ( 56.7 )=28.35mm 3
b3 =b4 + (3 …5 ) mm=28.35+4 mm=32.35 mm
13. Se determina el módulo del engranaje:
m1,2(calc )=
d '1 27.1007 mm = =1.5055 z1 18
d '3 47.1193 mm m3,4(calc )= = =2.6177 z3 18
14. De acuerdo las instrucciones del manual de cálculo de reductor en el apartado 4.2.2 se debe dar preferencia a los valores más próximos de la fila uno para m 1 y m3 calculados, por lo que para efectos prácticos se considerará:
m1, (2 )=1.6 15. Cálculo de
d ω=mz
d ω =m1 z 1=1.6∗18=28.8 mm 1
d ω =m2 z 2=1.6∗98=156.8 mm 2
d ω =m3 z3 =3.15∗18=56.7 mm 3
m3, (4 )=3.15
d ω =m4 z 4 =3.15∗76=239.4 mm 4
16.
aw
Cálculo de la distancia interaxial
a w =0.5 ( dω +d ω ) =28.8 mm+156.8 mm=92.8 1
1 (,2)
2
a w =0.5 ( d ω + d ω ) =56.7+239.4=148.05 3 (,4)
3
4
17. Para la determinación del diámetro de paso de los piñones se recurre a la expresión:
D a=m ( z +2 h¿a ) ; En este caso consideraremos h¿a =1 ; por lo tanto: Da (1 )=m1 ( z 1 +2 h¿a )=1.6 (18+ 2 )=32 mm Da (2 )=m2 ( z 2 +2 h¿a ) =1.6 ( 65+2 )=107.2 mm D a (3 )=m3 ( z 3 +2 h¿a ) =3.15 ( 18+2 )=63 mm D a (4 )=m4 ( z 4 + 2h ¿a )=3.15 ( 76+2 ) =245.7 mm
18. Para la determinación de los diámetros de fondo de los piñones utilizamos la expresión:
D f =m ( z−2.5 h ¿a ) ; En este caso consideraremos h¿a =1 ; por lo tanto: D f (1)=m1 ( z1 −2.5 h¿a )=1.6 ( 18−2.5 )=24.8 mm ¿
D f (2)=m2 ( z 2−2.5 h a )=1.6 ( 98−2.5 )=152.8 mm D f (3)=m3 ( z 3−2 .5 h¿a )=3.15 ( 18−2.5 )=48.825 mm D f (1)=m4 ( z 4 −2.5 h ¿a )=1.6 ( 76−2.5 )=117.6 mm
Parámetro
m (mm)
z
1 2 3 4
1.6 1.6 3.15 3.15
18 98 18 76
dw (mm) 28.8 156.8 56.7 239.4
Da (mm)
Df (mm)
32 160 63 245.7
24.8 152.8 48.825 231.525
aw (mm) 92.8 148.05
b (mm) 18.4 14.4 32.35 28.35
APARTADO II 19. Cálculo de contacto de los engranes para la comprobación de los esfuerzos por flexión debidos a las fuerzas tangenciales que aparecen en los polos
19.1. Se calculan los las fuerzas tangenciales que aparecen en los engranes
3
Ft = 1
2 x 10 ∙ T 1 = dw
2 x 103
m ( 8.1414 Nm ) mm =565.375 N 28.8 mm
2 x 103
m ( 41.2847 Nm ) mm =526.59 N 156.8 mm
2 x 103
m ( 41.2847 Nm ) mm =1456.25 N 56.7 mm
2 x 103
m ( 169.0722 Nm ) mm =1404.1119 N 239.4 mm
1
2 x 103 ∙ T 2 Ft = = dw 2
2
3
Ft = 3
2 x 10 ∙ T 2 = dw 3
2 x 103 ∙T 3 Ft = = dw 4
4
Con esto hemos comprobado que las fuerzas tangenciales en los polos de los engranes donde se conectan los cuatro engranes del reductor son significativamente parecidas; por ejemplo
Ft ≈ F t 1
2
pero estas se presentan en sentido opuesto por lo que se anulan, con esto se puede
deducir que se ha realizado la comprobación del cálculo de las fuerzas tangenciales en los engranes.
20. Se procede a calcular las velocidades tangenciales de los engranes:
v 1=
v 2=
v 3=
v 4=
π∗d w ∗n1 1
60∗10 3 π∗d w ∗n2 2
60∗10 3 π∗d w ∗n 2 3
60∗103 π∗d w ∗n3 4
60∗103
=
=
=
=
π∗28.8 mm∗875 mi n−1 m =1.3194 s 3 s ∙ mm 60∗10 min ∙m π∗156.8 mm∗160.7142mi n−1 m =1.3194 s 3 s ∙ mm 60∗10 min∙ m π∗56.7∗160.7142 mi n−1 m =0.4771 s ∙ mm s 3 60∗10 min ∙ m π∗239.4 mm∗38.0639 mi n−1 m =0.4771 s 3 s ∙ mm 60∗10 min ∙ m
Con el cálculo de velocidades verificamos la coherencia de todos los resultado obtenidos hasta ahora pues se puede observar que las velocidades lineares con las que se desplazan los engranes en sus polos entre el engrane 1,2 y 3,4 son iguales. 21. Elección del grado de precisión de los engranes Puesto que manejamos velocidades relativamente bajas es preciso asignarle a nuestro reductor un grado de precisión de valor 9, de acuerdo al criterio de clasificación de reductores pues no necesitamos mucha precisión. Este valor fue determinado con la tabla 4.2.14 del prontuario. 22. Cálculo del factor de carga dinámica del engrane Es un valor en función de la velocidad tangencial, la dureza y el grado de precisión elegido para el reductor. Y podemos estimarlo con la ayuda del apartado 4.2.7 del prontuario. 23. Cálculo del coeficiente
K Hα
Debido que estamos utilizando un engrane recto consideraremos el coeficiente 24. Cálculo de la fuerza unitaria tangencial
K Hα =1
Esta fuerza se produce en los polos de contacto de los engranes. En nuestro reductor de dos etapas se presentarán dos fuerzas tangenciales unitarias; una en el punto de contacto entre el engrane 1,2; la siguiente entre el polo de contacto 3,4.
W Ht =
F t ∙ k H α ∙ k H β ∙k H v ∙ k A 526.59 N∗1∗1.15∗1.18∗1.35 N = =66.9921 b2 14.4 mm
W Ht =
Ft ∙ k H α ∙ k H β ∙ k H v ∙ k A 1404.1119 N∗1∗1.1∗1.06∗1.35 N = =77.9616 b4 28.35 mm
1,( 2)
3,( 4)
( )
2
( )
4
Ft
K Hv
( ms )
(N)
ZE
W Ht
v K Hα
K HB
KA
( mmN )
ZH
MPa ¿
1 2
Zε
σH MPa
) 1 2 3 4
526.59
1.3194
1.18
1
1.15
1.35
66.9921
1.77
275
1
807.7277
1456.25
0.4771
1.06
1
1.1
1.35
77.9613
1.77
275
1
308.9314
25. Se procede al cálculo de los esfuerzos por contacto con las siguientes consideraciones:
ZH
Factor que tiene en cuenta la forma de las superficies conjugadas de los dientes. En engranajes
Z H =1.77
rectos
ZE
Factor que tiene en cuenta las propiedades mecánicas de los materiales de las ruedas. Para los 1
engranajes rectos
Zε
Z E=275 MPa 2
Factor que tiene en cuenta la longitud sumatoria se las líneas de contacto. En dientes rectos
Z ε =1
σ H =Z H ∙ Z E ∙ Z ε ∙
√
W Ht u+ 1 ∙ dw u
66.9921 5.44+1 ∙ =¿ 807.7277 MPa 28.8 mm 5.44 1 2
σ H =1.77∗275 MPa ∗1 √ ¿ 1
1 2
σ H =1.77∗275 MPa ∗1 3
√
77.9613 4.22+1 ∙ =308.9314 56.7 mm 4.22
MPa
26. Posteriormente se calcula el valor de la resistencia límite para ambos piñón y engrane. La resistencia límite del engrane y del piñón son función de la dureza del material. Para el cálculo de la resistencia límite nos apoyaremos de la tabla 4.1.1 del prontuario en el que elegiremos el material idóneo para el maquinado de nuestros elementos. En este caso elegiremos acero ASTM 1045, que tiene dureza superficial Tomando la dureza promedio de este material
HRC=46
HRC=( 42 … 50) .
, podemos verificar su equivalencia
en la escala de dureza Brinell HB=450 al que le corresponde en la gráfica:
H lim ¿ =50∗10 6 ciclos N¿
27. Ahora se calcula el número de ciclos equivalente Partiendo de la expresión para el número de ciclos equivalente:
N H =60∗n∗Lh∗c∗K H E
E
Para esta expresión se obedece la siguiente simbología:
Lh=n años∗365∗nturnos ∗8∗k años∗k dias Para la nomenclatura anterior
naños
corresponde al número de años para el cuál se está
previsto que sea usada la máquina y para mecanismos de la naturaleza de un reductor suele considerarse un valor de 5 años. Para
nturnos , se le asigna el número de turnos de ocho horas que se va a utilizar la máquina, a
este se le puede asignar un valor de 1 hasta 3. La constante
k años
representa el porcentaje decimal en que se utilizará la máquina en un año;
para este caso, si la maquina se utilizará 365 días al año, entonces a esta constante se le asignaría el valor 1 referente al 100% del año.
Lo mismo ocurre para la constante
k dias ; a esta constante se le asigna un valor de 0 a 1
dependiendo de la cantidad porcentual de horas que será utilizada la máquina en un turno; por ejemplo si en un turno de 8 horas la máquina está en operación en realidad únicamente durante 4 horas considerando los paros que se requieren para su operación, entonces a esta constante se le asignaría un valor de 0.5. El factor
KH
E
se determina de acuerdo al ciclograma 4.1.4 del prontuario y a la constante c
se le asigna un valor arbitrario de 1 hasta 2. 27.1.
Aquí calcularemos el factor
Lh para el piñón 1 y el piñón 3
Lh=5∗365∗2∗8∗0.8∗0.95=22192 27.2.
Ahora calcularemos
NH
E1
para el piñón 1
N H =60∗n1 (2 )∗Lh∗c∗K H =60∗875∗22192∗1.5∗1=174 7 . 62∗1 06 E1
E
27.3.
Ahora calcularemos
NH
E3
para el piñón 3
N H =60∗n1 (2 )∗Lh∗c∗K H =60∗161∗22192∗1.5∗1=321.562∗10 6 E1
E
28. Cálculo del factor de durabilidad
√
NH 50∗106 =20 =0.8372 NH 174 7 .62∗1 06 Z N 1 (2 )=20√ ¿ lim ¿
E
√
NH 50∗106 =20 =0. 9111 6 NH 321.562∗1 0 20 Z N 3 (4) = √ ¿ lim ¿
E
29. Cálculo de los esfuerzos de contacto admisibles
σH
lim ¿
∗Z N∗Z V ∗Z R∗Z X
SH σ H =¿ Está expresión deberá desarrollarse para el contacto del piñón-engrane 1(2) y 3(4).
La magnitud de
H lim ¿ σ¿
deberá calcularse de la tabla 4.1.5 para un endurecimiento superficial le
corresponde un valor de aproximadamente 17HRC+200 MPa. Por lo tanto.
H lim ¿ =17∗46+200=982 MPa σ¿
29.1.
SH
El valor de El valor de
corresponde a un coeficiente de garantía que toma un valor de 1.1 o 1.2.
Zx
es el factor que toma en cuenta el tamaño de las ruedas dentadas y se
puede determinar mediante la tabla 4.1.7 del prontuario, pero siempre se cumple que para un diámetro de fondo
d w < 700mm;
Z x =1
lo que satisface a las características de nuestro
reductor. El valor de
Z R es el que toma en cuenta la rugosidad del costado de los dientes y para todos
los valores de rugosidad desde 1.25 y hasta 2.5, El factor
Z R toma un valor de 0.95.
Z v se determina a partir del diagrama 4.1.6 y es el que toma en cuenta la velocidad
de los elementos para ser integrado en la expresión del esfuerzo admisible. Para nuestro caso tomado de la curva HB>350 proveniente de la tabla 4.1.6
Z v1, ( 2)=1
29.2.
Procedemos a hacer la sustitución:
σ H 1,(2)=
982∗0.8372∗1∗0.95∗1 =710.0217 MPa 1.1
σ H 1,(2)=
982∗0.9111∗1∗0.95∗1 =772.6956 MPa 1.1 29.3.
σ H P =2.8 σ e , donde Max
Por último calcularemos el esfuerzo máximo permitido
σ e corresponde al esfuerzo máximo de fluencia para cada material
proveniente de la tabla 4.1.2
σ H P =2.8∗580=1624 MPa Max
Z v3, ( 4 ) =1
NH
H lim ¿ N¿ Z1
50∗10
Z3
50∗10 6
6
E
σH
σ Hlim
MPa
MPa
σHP
Max
ZN
MPa
174.762∗1 0
6
710.0217982 MPa
1624
0.2861
321.562∗1 06
772.6956982 MPa
1624
0.1554
