PRINCIPIOS DE TEORÍA DE MECANISMOS Y MÁQUINAS (avanzada)
Sistema SI Segunda edición Corregida y modificada
BORIS F.VORONIN
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA - 2017
BORÍS F. VORONIN
PRINCIPIOS DE TEORIA DE MECANISMOS Y MÁQUINAS (avanzada) Sistema SI Segunda edición Corregida y modificada
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA CUICEI-2017
CONTENIDO PREFACIO DE LA SEGUNDA EDICIÓN.............................................................. 7 PREFACIO DEL PRIMER TOMO DE LA PRIMERA EDICIÓN..........................8 8 PREFACIO DEL SEGUNDO TOMO DE LA PRIMERA EDICIÓN.....................10 UNIDADES....................................................................................................................12 Parte I
ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS ARTICULADOS…..14
Capítulo 1
ESTRUCTURA Y CLASIFICACIÓN DE MECANISMOS...............15
1.1 1.1.1 1.1.2 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6
Estructura de mecanismos..................................................................................15 Términos y definiciones.....................................................................................15 Cadena cinemática y formación del mecanismo................................................19 Mecanismos, su estructura y clasificación.........................................................23 Tipos principales de mecanismos articulados...................................................23 Mecanismos con pares cinemáticos superiores.................................................28 Movilidad de un sistema mecánico....................................................................31 Análisis estructural de mecanismos articulados................................................34 Equivalencia del par cinemático superior……….............................................43 Síntesis estructural de un mecanismo real.........................................................46 Problemas 1........................................................................................................49
Capítulo 2 SÍNTESIS DE MECANISMOS ARTICULADOS……………………51 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
Condiciones del desplazamiento de los eslabones........................................... 51 Metódica de la síntesis geométrica...................................................................55 Nociones comunes..............................................................................................55 Síntesis de mecanismos por la relación de velocidades promedio................... 59 Síntesis por una determinada ley de movimiento............................................. 69 Síntesis de mecanismos con seis eslabones......................................................82 Introducción a la síntesis de mecanismos por la trayectoria dada....................84 Problemas 2........................................................................................................88
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Capítulo 3 ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS ARTICULADOS 3.1 3.1.1 3. 2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4
90
Nociones generales........................................................................................... 90 Movimiento y sus propiedades......................................................................... 90 Método gráfico del análisis cinemático............................................................ 98 Principios del método gráfico........................................................................... 98 Metódica de la construcción de los polígonos vectoriales para los mecanismos de primera clase........................................................................................ 101 Construcción de polígonos vectoriales para el grupo estructural de segunda clase de primera variedad................................................................................. 108 Construcción de polígonos vectoriales para el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad................................................................................... 115 Construcción de polígonos vectoriales para los grupos estructurales de segunda clase de segunda, cuarta y quinta variedad................................................ 124 Ejemplo del análisis cinemático de un mecanismo...........................................128 Método analítico del análisis cinemático..........................................................134 Construcción analítica del mecanismo, ecuación del mecanismo.................... 135 Principios del método analítico del análisis cinemático................................... 137 Análisis cinemático por medio de los diagramas..............................................152 Problemas 3.......................................................................................................160
Capítulo 4 ANÁLISIS Y SÍNTESIS DINÁMICO DE MECANISMOS ARTICULADOS……………………………………………………………. 161 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.4 4.4.1 4.4.2
Conceptos generales………………………………………………………..... 161 Cálculo de fuerzas………………………………………………………….... 165 Nociones generales……………………………………………………………165 Cálculo de fuerzas (método gráfico)……………………………………….....169 Teorema de Zhukovskiy……………………………………………………... 189 Método analítico del cálculo de fuerzas …………………………………….. 191 Síntesis dinámica de mecanismos…………………………………………..... 193 Conceptos generales……………………………………………………......... 193 Masa y momento de inercia equivalente…………………………………….. 197 Fuerza y momento de par de fuerzas equivalentes………………………….. 198 Ecuación del movimiento del mecanismo…………………………………... 203 Características principales del movimiento del mecanismo……………........ 206 Método gráfico analítico del análisis y de la síntesis dinámica de mecanismos……………………………………………………………………….…... 206 Método analítico del análisis y de la síntesis dinámico……………………….215 Balanceo.............................................................................................................217 Balanceo estático de un disco…….………………………………….............. 218 Balanceo dinámico de un rotor………………………………………………….. 220 4
4.4.3
Balanceo de mecanismos articulados………………………………………… 226 Problemas 4………………………………………………………………….. 232
Parte II ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS CON PARES CINEMÁTICOS SUPERIORES....................................................................... 234 Capítulo 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.2 5.2.1 5.2.2
Conocimientos comunes sobre los mecanismos con pares cinemáticos superiores............................................................................................... 235 Transmisión del movimiento mediante un par cinemático superior………..... 235 Teorema general de engranajes.………………………………………..……. 239 Teorema de Willis sobre la relación de transmisión instantánea……............. 240 Velocidad del deslizamiento en el par cinemático superior.………………… 242 Nomenclaturas angulares en los mecanismos con pares cinemáticos superiores…………………………………………………………………………….. 245 Métodos comunes en el análisis y la síntesis de los mecanismos con pares cinematicos superiores ………………………………………………………… 246 Método gráfico de la síntesis de engranajes...………………………….......... 246 Método matricial..……………………………………………………………. 248
Capítulo 6 6.1 6.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.5
TEORÍA COMÚN DE ENGRANAJES.......................................... 234
DISEÑO DE MECANISMOS DE LEVAS………………………… 254
Conocimientos comunes sobre los mecanismos de levas…………................. 254 Análisis del movimiento del seguidor…..…………………………................. 255 Síntesis de mecanismos de levas………………………................................... 259 Método gráfico de la determinación del radio del círculo base para los mecanismos con el seguidor de cuña, con el de rodillo y con el seguidor de zapata curva………………………………………………………………………….. 260 Método analítico de la determinación del radio del círculo base……….......... 268 Método gráfico de la determinación del centro de rotación de la leva del mecanismo con el seguidor de cara plana.………………………………………. 278 Método analítico de la determinación del centro de rotación de la leva del mecanismo con el seguidor de cara plana……………………………………. 281 Construcción del perfil de la leva……………………………………………. 285 Método gráfico de la construcción del perfil de la leva……………………… 285 Método de coordenadas polares de la construcción del perfil de la leva…….. 289 Construcción del perfil de la leva en forma paramétrica…………………….. 296 Determinación del radio del rodillo y del radio de curvatura del perfil de la leva………………………………………………………………………….... 303 5
6.5.1 6.5.2
Elección del radio del rodillo para los mecanismos con el seguidor de rodillo…………………………………………………………………………303 Método analítico de la determinación del radio de curvatura del perfil de la leva…………………………………………………………………..………..304 Problemas 6………………………………………………………………...... 311
Capítulo 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.3 7.3.1 7.3.2 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3
MECANISMOS DE ENGRANES………………………………… 314
Conocimientos básicos sobre mecanismos de engranes……………..…........ 314 Geometría de engranajes planos…………………………………………….. 317 Evolvente y sus propiedades………………………………...………………. 317 Cremallera y sus elementos…………………………………………………. 319 Engranaje del engrane cilíndrico con la cremallera………………..………... 323 Engranaje de dos engranes……………………………………..…….……... 333 Características cualitativas de engranajes.........................…………................335 Interferencia en el proceso de maquinado de los dientes de una rueda dentada ……………................................................................................................. 340 Geometría de engranajes espaciales………………………………………… 345 345 Geometría de engranajes cónicos………………………………………………... Geometría del engranaje de tornillo sin fin……………………………………352 Trenes de engranes………………………………………………................... 359 Diseño de trenes de engranes simples y compuestos…………....................... 359 Diseño de mecanismos epicíclicos………………………...………................ 364 Diseño de transmisiones ondulatorias……...................................................... 379 Problemas 7……………………………………………………………..…… 383 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS.………..... 386 ÍNDICE……………………………………………………………………… 388 BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………….… 391 APÉNDICE…………………………………….…………………………… 392
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PREFACIO DE LA SEGUNDA EDICIÓN La primera edición del libro fue editada en Universidad de Guadalajara en forma de dos tomos, el primer tomo “Análisis y Síntesis de Mecanismos Articulados” fue editado en 2006 y el segundo “Análisis y Síntesis de Mecanismos con Pares Cinemáticos Superiores” en 2010. En la segunda edición el material de ambos se presenta en forma de un solo tomo en que están conservadas la estructura y el orden en la presentación del material. El texto y las figuras fueron sometidos a la revisión y corrección completa. En el texto presente se tomó en cuenta la experiencia del autor en la enseñanza de la materia en Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica y Licenciatura en Ingeniería Mecánica Eléctrica de Universidad de Guadalajara. En el libro el lector encontrará nuevas ideas presentadas en el análisis cinemático de mecanismos articulados y en el cálculo de mecanismos de levas planos que en forma concisa fueron publicadas en revistas científicas. Una gran parte del libro está presentada en forma de metódica del cálculo de mecanismos articulados planos y de mecanismos de pares cinemáticos superiores que esencialmente alivia el aprendizaje de la materia. Problemas concretos resueltos en el análisis y la síntesis de mecanismos esencialmente completan el trabajo. En la presentación de todo el material se tomó el principio general del sistema educativo: desde los simples a los complejos. El libro está destinado para el aprendizaje de la materia “Teoría de Mecanismos y Máquinas” en el sistema de educación superior, también va a ser muy útil para los ingenieros mecánicos en el diseño de sistemas mecánicos. El libro está redactado de modo para que el lector pueda estudiar su contenido en forma independiente. En comparación con la primera edición prácticamente cada capítulo se finaliza por problemas a resolver y se finaliza por Apéndice donde se presentan problemas completamente resueltos. Agradezco mucho a las autoridades de Universidad de Guadalajara por su apoyo en la edición del primer y segundo tomo. Agradezco a profesores de UDG por su apoyo en la redacción del libro y personalmente al Profesor Investigador el Dr. Mariano David Zerquera Izquierdo por la particpación en la redacción del primer y segundo tomo y al Profesor de Universidad Autónoma de Puebla M.C. Marco Antonio Cruz Gómez por sus notas importantes en el primer tomo que encontró lugar en la segunda edición. Estaría muy agradecido a todos los lectores del libro por su opinión, notas y sugerencias que se puede enviar por correo electrónico a:
[email protected]. GRACIAS!
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PREFACIO DEL PRIMER TOMO DE LA PRIMERA EDICIÓN El libro “Principios de Teoría de Mecanismos y Máquinas” (avanzada) se formó sobre la base de la experiencia en la impartición de clases de “Teoría de Mecanismos y Máquinas” en el instituto Politécnico de Kama (Rusia, c. Naberegnie Chelní) y de “Análisis y Síntesis de Mecanismos y Máquinas” en la maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica Eléctrica de Universidad de Guadalajara (México, c. Guadalajara). En la preparación de la edición se tomó en cuenta las caracteristicas concretas de México. Para la investigación de mecanismos se emplean tanto métodos gráficos como analíticos. Los métodos gráficos no tienen alta exactitud, aproximadamente de tres a cinco por ciento, pero son muy claros y evidentes. Las cualidades positivas los hacen preferibles en la preparación de ingenieros mecánicos y la exactitud es admisible para la mayor parte de tareas de ingenieria mecánica. Por eso este método tiene un gran empleo práctico tanto en la enseñanza pedagógica como en la industria. Debido a la evidencia y claridad, los métodos gráficos ampliamente se presentan al inicio de cada capítulo. El empleo de estos métodos esencialmente alivia el estudio de la matéria y aclara mucho los métodos analíticos. Los métodos analíticos están presentados en la forma más oportuna para la creación de Software mediante el cual el ingeniero pudiera resolver problemas comenzando desde Análisis y Síntesis Estructural. El objetivo de Teoría de Mecanismos y Máquinas es el estudio de partes de las máquinas compuestas de cuerpos que convencionalmente se consideran absolutamente rígidos y duros. En el libro no están presentados aquellos con elementos flexibles (por ejemplo transmisiones de banda), ni elásticos. En la mayoría de los casos los mecanismos trabajan en lubricante entonces la influencia de las fuerzas de fricción en el trabajo de éstos es muy pequeña. Esto permite, para no complicar la enseñanza, no tomar en cuenta las fuerzas de fricción en los cálculos. Aquí se presenta el Tomo I “Análisis y Síntesis de Mecanismos articulados” que es el fundamento para el análisis de todos los mecanismos. El libro comienza con el capítulo 1 “Estructura y Clasificación de Mecanismos” en que están presentadas nociones principales, la estructura de los mecanismos y se muestra principios de la elección y de la construcción del esquema estructural de estos. Sobre la base de la teoría de los mecanismos articulados se tomó el método de Assúr. Su empleo permite dividir todos los mecanismos articulados en clases, que determina la elección de los métodos de su construcción, del análisis y de la síntesis. El diseño de un mecanismo comienza con la determinación de las magnitudes de sus elementos que se presenta en el capítulo 2 “Síntesis Geométrica de Mecanismos 8
articulados”. En éste se presentan las leyes y los métodos que permiten optimizar las dimensiones de los mecanismos y sus elementos. El capítulo 3 “Análisis Cinemático de Mecanismos articulados” estudia el movimiento de los elementos de mecanismos, determina los parámetros de éste. Los parámetros del movimiento, las velocidades y aceleraciones, se determinan en conjunto. La estructura de las ecuaciones vectoriales se presenta en forma universal, la cual no depende de tipos de las uniones de los elementos entre ellos. El análisis cinemático anticipa al “Análisis Dinámico de Mecanismos” que se presenta en el capítulo 4. Sus resultados sirven como datos para la determinación de las fuerzas y de los momentos de par de fuerzas que actúan sobre los elementos de los mecanismos. El “Análisis Dinámico de Mecanismos” consta de tres partes principales: análisis de fuerzas, análisis y síntesis dinámico y balanceo. En el análisis de fuerzas se determinan las fuerzas que actúan sobre los elementos del mecanismo y en sus uniones. Mediante el análisis dinámico se determina la interacción dinámica (interacción en el movimiento) de los elementos y en la síntesis dinámica se ilustran principios de la formación de los mecanismos con mejores cualidades. En el balanceo se presentan nociones sobre el equilibrio dinámico de todo el sistema y recomendaciones para disminuir sus vibraciones. En las “Notas a pie” se ilustran numerosas aclaraciones complementarias y referencias a las fuentes usadas y en Bibliografía se presenta la lista de libros, que se recomiendan para el estudio complementario. Se finaliza el libro con una cantidad de ejercicios para el aprendizaje individual y un ejemplo de muestra en que se presenta el empleo práctico de varios métodos presentados. El libro está destinado para el aprendizaje de la materia “Teoría de Mecanismos y Máquinas” en Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica y en Licenciatura en Ingeniería Mecánica Eléctrica, además será muy útil para los ingenieros mecánicos que trabajan en elaboración de diseños de sistemas mecánicos. El autor ha tratado de redactar el libro de modo, para que el lector pueda estudiar su contenido en forma autodidacta. El autor agradece mucho a los alumnos de maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica de CUCEI de Universidad de Guadalajara, que fueron los primeros lectores benévolos del manuscrito, a muchos profesores de CUCEI por su ayuda inapreciable en preparación de éste.
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PREFACIO DEL SEGUNDO TOMO DE LA PRIMERA EDICIÓN A la atención del lector se presenta el segundo tomo de “Principios de Teoría de Mecanismos y Máquinas” (avanzada) que obtuvo nombre “Análisis y Síntesis de Mecanismos de Pares Cinemáticos Superiores”. Éste es una continuación del Tomo I editado por Universidad de Guadalajara en el año 2006 nombrado como “Análisis y Síntesis de Mecanismos Articulados”. El material del presente era aprobado por alumnos de Licenciatura de la carrera “Ingeniaría Mecánica Eléctrica” de CUCEI de Universidad de Guadalajara. El estilo de presentación del material desarrollado en el primer tomo se mantiene en el presente. Es decir, primero se presentan explicaciones y resolución de problemas en forma gráfica y luego lo mismo en forma analítica. El empleo de métodos gráficos esencialmente alivia el estudio de la matéria y aclara los métodos analíticos. Los métodos analíticos están presentados en la forma más oportuna para la creación de Software mediante el cual el ingeniero puede realizar cálculos concretos con la mayor precisión. Aquí se necesita recordar que en los mecanismos articulados, o mecanismos de pares cinemáticos inferiores, los eslabones se acoplan entre sí mediante los pares cinemáticos de rotación o de traslación (término sustituido por deslizantes en la segunda edición), es decir mediante los pares cinemáticos formados por las superficies cilíndricas o planas. Éstos son: mecanismos de balancín, de colisa, de biela-manivela-corredera, etc. En los mecanismos de pares cinemáticos superiores hay eslabones que se acoplan entre sí mediante los pares cinemáticos formados por líneas o puntos. Éstos son: mecanismos de levas, mecanismos de engranes, mecanismos de cruz de Malta, etc. Aunque éstos se púede sustituir por mecanismos articulados y para el estudio emplear las leyes y reglas presentadas en el primer tomo, las leyes y reglas especiales presentadas en el presente tienen mayor eficiencia. El libro se finaliza con “Apéndices” en que se presenta la aplicación práctica del material teórico: cálculo de un mecanismo de leva con el seguidor del movimiento lineal alternativo de rodillo, cálculo de un engranaje recto y de un mecanismo planetario. Para visualizar la forma del diente del engrane se muestra un método original para la construcción de su perfil. Para fijar los conocimientos obtenidos por los alumnos en los apéndices se presentan problemas escogidos para labor de una manera independiente. En las Notas a Pie se dan numerosas aclaraciones, comentarios y referencias y en Bibliografía se presenta la lista de libros que se recomiendan para el estudio complementario.
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El material presentado está destinado para el aprendizaje de la materia “Teoría de Mecanismos y Máquinas”, también será útil para los ingenieros mecánicos diseñadores de máquinas. Agradezco a mi amigo y redactor del libro el Dr. Mariano David Zerquera Izquierdo por su apoyo y preparación del libro para la edición en México. También agradezco a mis alumnos de licenciatura que fueron los primeros lectores benévolos de éste, a numerosos profesores de CUCEI de UDG que me apoyaron en la preparación de esta edición. Agradezco a las autoridades de CUCEI, al Rector el Dr. Víctor González Alvares, al Secretario Académico el Dr. Carlos Pelayo Ortiz, al jefe de la Unidad de Difusión el Mtro. Jaime Francisco Almaguer Medina por la confianza para editar este libro cuyo contenido no tiene análogos en México.
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UNIDADES En Teoría de Mecanismos y Máquinas se usan los siguientes términos principales: Materia (viene del latino māteria que significa “sustancia”). Se comprende como la sustancia que llena todo el espacio tridimensional o que contiene el cuerpo. Tiempo (viene del latino tempus). Duración de los fenómenos sujetos a cambio. Tiempo es la cuarta propiedad del espacio tridimensional, es la condición de existencia de la materia. Inercia (viene del latino inertia que significa “inactividad, estancamiento”). Propiedad de la materia de resistir a cualquier influencia por cambiar el estado de movimiento o reposo del cuerpo. Toda la materia está en movimiento. El reposo se comprende como un caso particular del movimiento, cuando se examina el movimiento relativo de un cuerpo con respecto al otro o con respecto al sistema de coordenadas de referencia. Masa (viene del griego µάζα). Cantidad de la materia que contiene un cuerpo. Es la medida de inercia del cuerpo. Fuerza (viene del inglés force). Magnitud física que mide la intensidad de interacción mecánica de dos cuerpos, es la medición cuantitativa de interacción de dos cuerpos. En la tabla que sigue se presentan unidades más usadas en los cálculos. Tabla de Unidades
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Prolongación de Tabla de Unidades
En adelante se emplean las unidades del Sistema Internacional (SI).
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Parte I
ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS ARTICULADOS Teoría de Mecanismos y Máquinas abarca dos partes principales del diseño de un sistema mecánico: Análisis y Síntesis. La tarea principal de Análisis es la realización de procedimientos probatorios para la definición de la concordancia del diseño de un sistema mecánico a los requisitos previamente planteados. El problema de Síntesis consiste en la elaboración del sistema mecánico, que correspondería a las condiciones concretas previamente elaboradas. El diseño de cualquier sistema mecánico comienza con el análisis de su estructura que de primeros pasos permite determinar o limitar el objeto del diseño.
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Capítulo 1 ESTRUCTURA Y CLASIFICACIÓN DE MECANISMOS Normalmente, al ver algún auto u objeto con elementos móviles lo llamamos “máquina” sin dar importancia a esta palabra. Por eso antes de estudiar el texto es necesario definir su significado. Máquina. Tal nombre recibe cualquier sistema mecánico del origen artificial que utiliza la energía mecánica para aliviar o sustituir por completo el trabajo del ser humano. Las máquinas sirven: para la transformación de una energía en otra, por ejemplo de energía eléctrica en mecánica (máquinas eléctricas), de energía de gases o líquidos sometidos a la presión en mecánica (máquinas neumáticas e hidráulicas); para el desplazamiento de materiales (máquinas de transporte); para la transformación de materiales (máquinas herramienta, máquinas de prensa y otras); para la transmisión o transformación de información (máquinas copiadoras, máquinas para escribir, etc.). Las calculadoras electrónicas y computadoras contemporáneas no son máquinas ya que la transformación y transmisión de la información ocurre sin el uso de la energía mecánica. Sin embargo éstas en su estructura pueden tener máquinas, por ejemplo, el disco duro de una PC es una máquina en que se realiza el movimiento de los elementos destinados para leer y grabar la información, etc. Todas las máquinas están compuestas por tres elementos: uno, que transforma un tipo de energía en energía mecánica, por ejemplo eléctrica o química de combustible, en mecánica, otro elemento que transmite la energía mecánica y el tercer elemento que utiliza la energía mecánica para realizar el trabajo útil, por ejemplo llanta, cuchilla, troquel, etc. El elemento intermedio que está destinado para la transmisión de la energía mecánica se denomina mecanismo. Teoría de Mecanismos y Máquinas está dedicada al estudio de éste. 1.1 Estructura de mecanismos Antes de la elaboración de los planos del diseño de un mecanismo el ingeniero desarrolla la idea de éste en forma esquemática en la cual se muestran los elementos del mecanismo y sus uniones. El capítulo actual está dedicado al estudio de leyes y reglas de la formación de un mecanismo ya que la elección correcta de su estructura esencialmente pronostica un buen diseño y, por consiguiente, el trabajo correcto de la máquina. 1.1.1 Términos y definiciones En el inicio del capítulo presente fue ilustrada una presentación del mecanismo como una parte de la máquina. De otro modo el mecanismo se puede presentar como 15
conjunto de los elementos móviles, cuyo propósito es la transmisión de la energía mecánica. Los elementos, que forman un mecanismo, se conocen como eslabones. En Teoría de Mecanismos y Máquinas los eslabones se consideran como cuerpos absolutamente rígidos y duros1. Por su construcción cada eslabón puede ser simple o complejo. Por ejemplo en la figura 1.1a se muestra un eslabón simple, que es una pieza sólida, y en la figura 1.1c el eslabón complejo, que está compuesto por b) c) d) dos elementos unidos mediante remaches, a) tornillos o soldadura. Los elementos que Figura 1.1. Tipos de los eslabones: a) un integran en un eslabón complejo no tienen el eslabón simple, b) la imagen esquemática del movimiento relativo uno con respecto al otro eslabón simple, c) un eslabón complejo y d) y representan un solo cuerpo. En la figura la imagen esquemática del eslabón complejo. 1.1b se ilustra la imagen esquemática del eslabón simple, presentado en la figura 1.1a, y en la figura 1.1d la imagen esquemática del eslabón complejo, presentado en la figura 1.1c. NOTA. Los líquidos, los gases y los resortes NO son eslabones. Para transmitir la energía mecánica y realizar el trabajo deseable todos los eslabones del mecanismo deben ser móviles. Por lo tanto a uno o varios eslabones se les da una cantidad de parámetros independientes que de una sola manera definen la posición de éstos. En Mecánica estos parámetros se conocen como b) a) coordenadas generalizadas. Las Figura 1.2. Distancia lineal sA o angular φ coordenadas generalizadas pueden ser son las coordenadas generalizadas que de presentadas en forma de la distancia sA entre una sola manera definen la posición del dos posiciones de un solo punto de un eslabón eslabón en un sistema de coordenadas xy. que se desplaza por una línea o curva (véase la figura 1.2a) o la distancia angular φ entre dos posiciones del eslabón que gira (véase la figura 1.2b). Debido a la acción de las fuerzas externas, que actúan sobre los eslabones, las coordenadas generalizadas cambian en el tiempo. En Mecánica es conocido que al colocar libremente un cuerpo en un sistema de coordenadas espacial, el cuerpo experimentará seis movimientos independientes: tres 1
En la primera etapa del diseño los eslabones se consideran como cuerpos absolutamente rígidos y duros con los acoplamientos entre ellos sin holgura. Después de la determinación previa de las dimensiones de los eslabones y de las fuerzas que actúan sobre ellos, con el objetivo de precisión, puede ser tomado en cuenta la elasticidad de los materiales de que están procesados los eslabones y la holgura tecnológica de su unión.
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del desplazamiento lineal a lo largo de los ejes X, Y y Z y tres giratorios alrededor de estos ejes (véase la figura 1.3). En Teoría de Mecanismos y Máquinas cada movimiento independiente de un cuerpo se denomina grado de libertad. Entonces las seis coordenadas generalizadas que de una sola manera definen la posición del cuerpo en un sistema de coordenadas espacial numéricamente son iguales a los seis grados de libertad. Ya que el mecanismo se destina para la transmisión de la energía mecánica es por eso todos los eslabones deben ser unidos con la posibilidad de moverse uno con respecto al otro. La unión móvil de dos eslabones se denomina par cinemático. Esta unión les impone a los eslabones varias restricciones al movimiento Figura 1.3. Un cuerpo duro colocado relativo. Esto permite clasificar los pares cinemáticos. La clase libremente en un sistema del par cinemático determina el número de restricciones que éste de coordenadas espacial impone sobre los eslabones unidos. En la figura 1.4 están obtiene seis grados de presentados pares cinemáticos clasificados en concordancia con libertad. esta regla. En la figura 1.4a se muestra el par cinemático de primera clase que impone a los eslabones unidos, esfera y plano, una sola restricción, les restringe un movimiento relativo a lo largo del eje Y. La esfera no puede atravesar el plano, ya que son eslabones absolutamente rígidos y duros, y no puede apartase, ya que en este caso desaparece el par cinemático. En la figura 1.4d se ilustra el par cinemático esférico de tercera clase (R=3) y en la figura 1.4f el par cinemático esférico de cuarta clase, que es el esférico de tercera clase en que el pasador impone a los eslabones unidos una restricción adicional, etc. En las figuras 1.4e y 1.4g son mostradas las imágenes esquemáticas de los pares cinemáticos esféricos de tercera y cuarta clase respectivamente. En la figura 1.4i se ilustra la imagen esquemática del par cinemático de cuarta clase presentado en la figura 1.4h y en las figuras 1.4k, 1.4l y 1.4m se muestran diferentes imágenes esquemáticas del par cinemático de quinta clase, presentado en la figura 1.4j, que, por el movimiento relativo de los eslabones unidos, se denomina deslizante. En las figuras 1.4o, 1.4p y 1.4q se muestran diferentes imágenes esquemáticas del otro par cinemático de quinta clase, presentado en la figura 1.4n, que, por el movimiento relativo de los eslabones, se nombra de rotación. Los pares cinemáticos de quinta clase imponen a los eslabones unidos cinco restricciones, es decir permiten el movimiento relativo de los eslabones en un solo plano por eso a veces los llaman planos. Los demás, desde el par cinemático de primera clase hasta el de cuarta clase, los llaman espaciales ya que el movimiento relativo de los eslabones puede ser realizado en el espacio tridimensional. En la figura 1.4r se muestra un par cinemático que se conoce con el nombre de tornillo – tuerca. En éste los eslabones experimentan dos movimientos relativos: giratorio con respecto a un eje y lineal a lo largo de este eje. Estos movimientos son recíprocamente perpendiculares, es decir, se realiza el movimiento relativo espacial, pero, ambos 17
movimientos no son independientes, su relación cinemática depende del paso de la rosca por eso este par cinemático también es de quinta clase. La superficie, la línea o el punto por medio de que un eslabón toca al otro en el par cinemático se conocen como elemento del par cinemático. Este concepto permite dividir los pares cinemáticos en inferiores y superiores2. El par cinemático inferior es aquel que une los eslabones por medio de las superficies. Como se observa en la figura
Figura 1.4. Clasificación de pares cinemáticos. 2
La división de pares cinemáticos en inferiores y superiores por primera vez fue empleada por el mecánico alemán F.Reuleaux (1829-1905).
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1.4n los elementos del par cinemático son dos superficies cilíndricas, la superficie interna del orificio de un eslabón y la externa del eje del otro, y dos planas, caras de los eslabones. Las superficies cilíndricas permiten realizar solamente el movimiento giratorio de los eslabones uno con respecto al otro y las planas no permiten el desplazamiento axial. En el par cinemático superior los eslabones tocan mediante líneas y puntos. Por ejemplo, los elementos del par cinemático presentado en la figura 1.4a son dos puntos, uno que pertenece a la esfera y el otro al plano, y los del presentado en la figura 1.4b son dos líneas. Para que el mecanismo funcione suavemente, sin interrupciones y choques en los pares cinemáticos, sus elementos deben constantemente estar en contacto, esta condición se denomina condición de cierre del par cinemático. La condición de cierre de los pares cinemáticos inferiores garantiza la forma de los elementos de éstos, con todo eso la unión de dos eslabones en el par cinemático se considera sin holgura. Por ejemplo la condición del cierre de los pares cinemáticos de rotación garantiza la forma cilíndrica de sus elementos, en que uno es externo y el otro interno. Los pares cinemáticos superiores son abiertos, los elementos que pertenecen a diferentes eslabones pueden apartarse. Por eso para realizar la condición del cierre del par cinemático hay que tomar medidas adicionales. El cierre del par cinemático superior puede ser realizado mediante la aplicación de la fuerza, por ejemplo mediante la fuerza de gravedad, del resorte, del gas sometido a la presión, etc. Esta condición se conoce como cierre por fuerza. El cierre del par cinemático superior también puede ser realizado por la forma geométrica de los elementos del par cinemático, éste se llama de cierre geométrico. Por ejemplo, una esfera colocada entre dos superficies planas o en una ranura forma un par cinemático superior del cierre geométrico. Para concluir la presentación de los pares cinemáticos hay que subrayar que los elementos de éstos pueden rodar o deslizar uno con respecto al otro pero no pueden cruzar uno a otro, ya que los eslabones son cuerpos absolutamente rígidos y duros, no pueden cambiar el carácter de contacto, por ejemplo superficial por lineal, ya que esto cambia la estructura y el esquema del mecanismo, o perder el contacto. Si los elementos del par cinemático dejan de estar en contacto desaparece la unión de los eslabones por consiguiente desaparece el par cinemático. 1.1.2 Cadena cinemática y formación del mecanismo En la formación de un mecanismo un etapa muy importante es la creación de una cadena cinemática, es decir, creación de un conjunto de los eslabones unidos mediante los pares cinemáticos. Cadenas cinemáticas se dividen en cerradas y abiertas, en simples y complejas, en planas y espaciales.
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Si en una cadena cinemática cada eslabón forma pares cinemáticos al menos con dos otros eslabones tal cadena se llama cerrada. Un ejemplo de ésta se muestra en la figura 1.5a donde todos los eslabones se unen sucesivamente uno tras otro mediante los pares cinemáticos formando una figura geométrica cerrada. Si en una cadena cinemática hay al menos un eslabón que forma un solo par cinemático con el otro, tal cadena recibe el nombre de abierta. Como se observa en la figura 1.5b el eslabón 2 en sus extremos forma a) b) tres pares cinemáticos con los eslabones Figura 1.5. Tipos de cadenas cinemáticas: 1, 3 y 4, pero cada uno de los últimos a) cerrada y b) abierta. forma un solo par cinemático con el eslabón 2. Si cada eslabón forma pares cinemáticos no más que con dos otros eslabones tal cadena se conoce como simple, en otro caso es compleja. Por ejemplo la cadena cinemática presentada en la figura 1.5a es simple y en la figura 1.5b es compleja ya que el eslabón 2 forma pares cinemáticos con tres eslabones. En una cadena cinemática plana los puntos de los eslabones se mueven en un solo plano o en planos paralelos y en espacial los puntos de los eslabones trazan curvas espaciales o sus trayectorias están en planos cruzados. Por ejemplo, en la cadena cinemática presentada en la figura 1.5a los eslabones 1 con 2, 2 con 3, 3 con 4 y 5 con 1 forman pares cinemáticos de rotación cuyos ejes son perpendiculares a un solo plano y el par cinemático que une los eslabones 4 con 5 es deslizante que realiza el movimiento relativo en el mismo plano o en el plano paralelo a éste. Por eso las trayectorias de los puntos de los eslabones están en un solo plano o en planos paralelos. Entonces esta cadena cinemática es plana. La cadena cinemática presentada en la figura 1.5b es espacial ya que los puntos del eslabón 3 pueden trazar trayectorias en el plano cruzado con los planos de los eslabones 1, 2 y 4 y trazar trayectorias espaciales. Habitualmente en los esquemas los eslabones se marcan por cifras arábicas y los pares cinemáticos mediante letras mayúsculas del alfabeto latino. A menudo es más cómodo presentar los eslabones marcados por las mismas letras. Por ejemplo en el esquema 1.5a el eslabón 2 se puede marcar como el eslabón BC. Para que una cadena cinemática sea mecanismo, cada uno de los eslabones debe tener un movimiento determinado que realice una ley concreta. Por ende el mecanismo solamente puede ser una cadena cinemática cerrada con un eslabón inmóvil. El eslabón inmóvil se denomina base. Cada mecanismo tiene dos eslabones principales el eslabón de entrada y el de salida. Como el eslabón de entrada se elige un eslabón al que está aplicada la ley del 20
movimiento más simple. Como la ley del movimiento más simple se considera const o v const . Como el eslabón de salida se elige aquel que realiza la ley del movimiento deseada. Para obtener esta ley se crea el mecanismo. Los mismos eslabones también pueden ser nombrados como el motriz y el seguidor. El eslabón motriz es aquel que pone en el movimiento los otros eslabones del mecanismo. El movimiento de todos los eslabones se efectúa debido a las fuerzas externas aplicadas al eslabón motriz. La suma de trabajos de todas las fuerzas aplicadas al eslabón motriz es positiva. Seguidor es un eslabón que gastando la energía mecánica adquirida realiza el trabajo deseado. Para la realización del trabajo de este eslabón se fabrica el mecanismo. La suma de trabajos de las fuerzas aplicadas al seguidor es negativa. Para la realización del trabajo deseado el eslabón motriz recibe la energía mecánica y el seguidor gasta esta energía. Los términos el eslabón de entrada y el de salida se usan en el análisis estructural, en la síntesis geométrica de mecanismos y en el análisis cinemático de mismos y los términos el eslabón motriz y el seguidor se usan en el análisis y síntesis dinámica. Para comprender mejor la diferencia entre los términos “el eslabón motriz”, “el eslabón de entrada”, “el seguidor” y “el eslabón de salida” se toma, como un ejemplo, el mecanismo de biela-manivela-corredera, que es principal tanto para el motor de combustión interna como para la bomba de pistón. Éste está compuesto por el pistón, biela y cigüeñal. En el motor de combustión interna la fuerza de gases expandidos en el cilindro empuja el pistón. El movimiento alternativo del pistón se transmite a otros eslabones y se transforma en el movimiento giratorio del cigüeñal. Entonces para el motor de combustión interna el pistón es el eslabón motriz y el cigüeñal es el seguidor. En la bomba de pistón un motor (eléctrico, de combustión interna u otro) con aplicación del momento de par de fuerzas pone el cigüeñal en el movimiento giratorio que se transforma en el movimiento alternativo del pistón para la compresión de gases. Entonces el cigüeñal es el eslabón motriz y el pistón es el seguidor. Sin embargo, en el motor de combustión interna, también en la bomba de pistón, el cigüeñal realiza la ley del movimiento más simple = const , entonces este eslabón es el de entrada. El pistón realiza el movimiento lineal alternativo, para realizar esta ley se crea el mecanismo. El mecanismo puede tener varios eslabones de entrada y varios de salida. Por ejemplo el motor de combustión interna y la bomba de pistón tienen varios eslabones de salida que son los pistones, y solamente uno de entrada que es el cigüeñal. Dependiendo del problema a resolver un mecanismo se presenta en forma del esquema estructural o cinemático. El esquema estructural es la presentación gráfica del mecanismo en que se muestra la disposición reciproca de los eslabones, tipos y disposición de los pares cinemáticos. El esquema cinemático es uno estructural con indicación de longitudes de los eslabones. El esquema estructural se emplea para el análisis estructural y el esquema cinemático para el análisis cinemático y dinámico. En el esquema cinemático los eslabones se construyen a escala. En general la escala se 21
determina como la relación entre la magnitud física y la longitud del segmento que representa dicha magnitud física, es decir: Escala =
Magnitud física . Longitud del segmento que representa la magnitud física
(1.1)
Comúnmente la escala se marca por la letra griega μ y se identifica en subíndice por el símbolo de la magnitud física que ésta representa, L = longitud, v = velocidad, a = aceleración, etc. Por ejemplo, la escala del esquema cinemático de un mecanismo se presenta como: L
Li m , ..., li mm
(1.2)
donde Li es la longitud de un eslabón, se mide en metros, y li es la longitud del segmento que representa este eslabón, se mide en milímetros. Toda la variedad de los mecanismos que se emplean en la manufactura se divide en los mecanismos planos y espaciales. Las cadenas cinemáticas planas forman los mecanismos planos y las espaciales los espaciales. Los mecanismos planos, en que todos los eslabones se unen mediante los pares cinemáticos inferiores, se nombran como mecanismos de eslabones articulados o simplemente mecanismos articulados y los que en su estructura tienen pares cinemáticos superiores obtienen diferentes nombres que depende del tipo del par cinemático. Por ejemplo mecanismo de leva, mecanismo de engranes, mecanismo por fricción, etc. A veces en los esquemas estructurales y cinemáticos algunos pares cinemáticos están diseñados coincidentes o con una distancia muy pequeña entre ellos, en este caso éstos se marcan por una sola letra. Por ejemplo en la figura 1.6b se muestra la unión de los eslabones k y j con el i mediante dos pares cinemáticos de rotación. Éstos están marcados por una sola letra A. Igualmente por una sola letra A están marcados los pares cinemáticos de rotación y deslizante presentados en el otro esquema ilustrado en la figura 1.6c. Aquí hay que aclarar que un par de eslabones forma un solo par cinemático. En la figura 1.6a se observa que el a) b) c) elemento del par cinemático del eslabón i está hecho en Figura 1.6. Casos cuando dos pares cinemáticos es más forma de pivote cilíndrico. conveniente indicar por una sola letra. 22
Los elementos de los pares cinemáticos de los eslabones k y j están hechos en forma de orificios por eso estos eslabones no pueden formar un par cinemático entre ellos. Por ende los eslabones k y j, presentados en la figura 1.6b, no forman par cinemático entre ellos sino forman con el eslabón i. 1.2 Mecanismos, su estructura y clasificación 1.2.1 Tipos principales de mecanismos articulados Los mecanismos pueden tener cualquiera cantidad de eslabones. El mecanismo más simple tiene solamente dos eslabones: la base y un eslabón móvil. Por ejemplo en la figura 1.7a se muestra el esquema de uno de ellos que puede ser representante del motor eléctrico o de la turbina de gases. En éste los eslabones 1 y 2 están unidos mediante el par cinemático de rotación A. En la figura 1.7b se ilustra el esquema del otro mecanismo que es de una prensa hidráulica o neumática. Éste también es un mecanismo de dos eslabones. Este mecanismo está compuesto por el cilindro 1 y el pistón 2, su unión se realiza mediante a) b) el par cinemático deslizante A. Figura 1.7. Ejemplos de mecanismos de dos eslabones en que los eslabones están unidos mediante: a) el par cinemático de rotación mecanismos y b) el par cinemático deslizante.
Otro tipo de simples consta de tres eslabones. Por ejemplo el mecanismo de cuña, que se ilustra en la figura 1.8a, se compone por dos cuñas 2 y 3 y la base 1. Los eslabones de éste forman solamente pares cinemáticos deslizantes. Este mecanismo se emplea en diferentes dispositivos de máquinas herramienta, en la juntura de los vagones de trenes ferrocarrileros, etc. Un ejemplo más del mecanismo de tres eslabones se muestra en la figura 1.8b que es el esquema de un mecanismo de prensa de tornillo. Éste también está compuesto por la base 1, el tornillo 2 y el pistón 3. Los eslabones están unidos mediante los pares cinemáticos: de tornillotuerca, que une la base 1 con el tornillo 2; de rotación, que une el tornillo 2 con el pistón a) b) 3 y deslizante, que une el Figura 1.8. Ejemplos de mecanismos de tres eslabones: a) el pistón 3 con la base 1. El mecanismo de cuña, b) un mecanismo de prensa. 23
brazo 4, por medio de que el tornillo se pone en movimiento, no es eslabón. Su movimiento a lo largo de su eje no provoca ningún movimiento de otros eslabones. Por consiguiente el brazo 4 junto con el tornillo 2 forma un solo eslabón. En la tabla 1.1 se muestra un grupo de mecanismos articulados de cuatro eslabones. Los Tabla 1.1. Tipos principales de mecanismos articulados
eslabones de éstos tienen nombres específicos: 24
Manivela. Es un eslabón móvil de un mecanismo que está unido con la base mediante el par cinemático de rotación y realiza el movimiento giratorio completo (igual a 2 radian). Dependiendo del problema a resolver como manivela puede ser elegido un eslabón con el ángulo de giro menor de 360°. Balancín. Es un eslabón móvil de un mecanismo que está unido con la base mediante el par cinemático de rotación y realiza el movimiento oscilatorio con respecto a la base. Biela. Es un eslabón móvil de un mecanismo que está unido con otros eslabones móviles mediante los pares cinemáticos de rotación. Corredera. Es un eslabón móvil de un mecanismo que está unido con el otro eslabón móvil o inmóvil mediante el par cinemático deslizante. La corredera larga, en comparación con el otro eslabón con que forma el par cinemático deslizante, se denomina guía. Colisa. Es un eslabón móvil de un mecanismo que está unido con la base mediante el par cinemático de rotación y con el otro eslabón móvil mediante el par cinemático deslizante. En las figuras 1 y 2 de la tabla 1.1 se ilustran mecanismos que tienen solamente pares cinemáticos de rotación. Estos mecanismos se emplean para la transformación del movimiento giratorio de un eslabón en el giratorio u oscilatorio del otro. Si un eslabón gira completamente y el otro oscila entonces éste mecanismo se lama de balancín, éste está presentado en la figura 1. Si ambos eslabones oscilan, así como se muestra en la figura 2a, entonces este mecanismo será mecanismo de doble balancín. Si ambos eslabones del mecanismo giran completamente alrededor de los ejes fijos, que se muestra en la figura 2b, éste tendrá el nombre de mecanismo de doble manivela. Dependiendo del destino del mecanismo, por el eslabón de entrada puede ser elegido cualquier de ellos. Si en el mecanismo 1 de la tabla 1.1 se alarga el eslabón 4 hasta el infinito, el arco de la circunferencia que traza el punto C del eslabón 4, se transforma en una recta. En éste caso el par cinemático de rotación D se sustituye por el deslizante y el mecanismo de balancín se transforma en el de biela-manivela-corredera ilustrado en la figura 3. En las figuras 4 se muestran mecanismos de colisa. Dependiendo de la correlación entre la longitud de la manivela 2 y la distancia entre los centros A y C éstos pueden ser de colisa giratoria presentada en la figura 4a u oscilatoria presentada en las figuras 4b y 4c. Los mecanismos articulados se emplean mucho en prensas, acepilladoras, máquinas de agricultura, transportadoras, máquinas para moler la piedra, bombas, en automotriz, etc. Por ejemplo el mecanismo de biela-manivela-corredera es el principal tanto para el 25
motor de combustión interna como para la bomba de pistón. El mecanismo de colisa oscilatoria, presentado en la figura 4b de la tabla 1.1, es el principal de acepilladoras no grandes. A veces en los mecanismos la longitud de la manivela resulta demasiado pequeña. En éste caso la manivela se realiza en forma de excéntrica. En la figura 1.9a se ilustra un mecanismo de este tipo. La excéntrica se realiza en forma de la espiga 2 con el diámetro mayor que la longitud de la carrera de la corredera 4. Mediante los mecanismos articulados se pueden generar trayectorias especiales de algunos puntos de los eslabones o disposición especial de algunos de sus eslabones. Uno de ellos conocido como mecanismo de Roberts3 está presentado en la figura 1.9b. El punto E de la biela de este mecanismo traza un segmento aproximadamente rectilíneo si 1 BC AD y AB CD 4. 2
a)
b)
c) d) Figura 1.9. Ejemplos de mecanismos articulados de uso especial: El punto E del mecanismo de a) mecanismo con la manivela en forma excéntrica; b y c) mecaChebishev presentado en la nismos de trayectoria recta y d) pantógrafo.
figura 1.9c también se mueve por una línea aproximadamente recta si las longitudes de los eslabones tienen las siguientes proporciones: AC D B , A D 0.833 A C , BC 0.5 AC y B E C E . Para este mecanismo la longitud del segmento en que se genera la trayectoria rectilínea es igual a 1.13 AC 5. El mecanismo presentado en la figura 1.9d es notable debido a que todas las posiciones de la regla KM son paralelas a AD si AB=DC, BC=AD, GH=EF y EG=FH. Este mecanismo se llama pantógrafo y se emplea mucho en las máquinas copiadoras, en dispositivos para la realización de dibujos técnicos a mano, etc.
3
Samuel Roberts (1827-1913) era un matemático y mecánico inglés. Joseph Edward Shigley, John Joseph Uicker, Jr., Teoría de Mecanismos y Máquinas. McGRAW-HILL, 1990, (p.24). 5 Teoría de Mecanismos y Máquinas. En redacción del Dr. V.A.Gavrilenko. Moskú, “Vischaya Shkola”, 1973, (p.p.18-19).
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Mecanismos articulados pueden ser no solamente planos sino también espaciales. En las figuras de la tabla 1.1 y en la figura 1.9 se ilustran solamente mecanismos planos y en la figura 1.10 se muestra un mecanismo articulado espacial conocido como el acoplamiento de Hooke. En éste los eslabones se unen mediante los pares cinemáticos de rotación pero los puntos de realizan el movimiento espacial. Los componentes del acoplamiento de Hooke son: la cruceta 1, que es la biela, y los yugos 2 y 3, que son las manivelas. Los pares cinemáticos son de rotación por consiguiente es un mecanismo articulado. Sus ejes se cruzan en el punto A que es el centro de la esfera por la cual se mueven los puntos de los yugos en el movimiento Figura 1.10. Esquema del giratorio de los ejes del acoplamiento, resulta que acoplamiento de Hooke. los puntos realizan el movimiento espacial. Del acoplamiento de Hooke se emplea para el acoplamiento de dos flechas con los ejes cruzados. El uso mayor de ésta se encuentra en el campo automotriz, en las máquinas de agricultura, etc. En la figura 1.11a se muestra el esquema de un mecanismo de la máquina de pistón con el cilindro 4 oscilante. El cilindro 4 es la colisa y el pistón 3 es la corredera o guía, así como se nombró en el esquema 4c de la tabla 1.1. Estos mecanismos con mayor frecuencia se usan como motores en sistemas de manejo, en bombas no grandes, etc.
a)
b)
c)
Figura 1.11. Esquemas de algunos mecanismos de colisa: a) de una bomba neumática, b) elipsógrafo de Cardano y c) el acoplamiento de Oldham.
En la figura 1.11b se muestra un mecanismo conocido con el nombre de mecanismo de Cardano6. Éste tiene dos correderas 2 y 4 unidas por la biela 3 mediante los pares cinemáticos de rotación A y B. Las correderas forman con la base 1 los pares cinemáticos deslizantes A y B y se desplazan por las guías OA y OB de la base. Las guías se cruzan a un ángulo β. El punto C de la biela está en el extremo del triángulo isósceles ACB. El fin de este mecanismo es la generación de circunferencias y elipses. Para que el punto C trazara la trayectoria en forma de una circunferencia el ángulo ACB debe ser igual a 2β. En este caso el radio r será igual a AC o BC, los puntos A y B se
6
Cardano G. (1501-1576): doctor y matemático milanés, que investigó el movimiento de mecanismos, principalmente en relojes y moledoras, ideó el sistema de transmisión, el cardan. (Diccionario Enciclopédico, Pequeño LAROUSSE, 2003).
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mueven por las líneas rectas, los demás por elipses 7 (la prueba matemática de la configuración de las curvas, que trazan los puntos del eslabón 3, será presentada en el capítulo 2.2.5). En la industria el mecanismo de Cardano se emplea en sistemas mecánicos de manejo del flujo de los materiales, en los mecanismos elipsógrafos, etc. En la figura 1.11c se muestra el acoplamiento de Oldham que es un mecanismo con dos colisas. Mediante este acoplamiento se obtiene la igual velocidad angular de las flechas. El acoplamiento de Oldham se emplea mucho en las máquinas para el ensamble de las flechas con los ejes paralelos. 1.2.2 Mecanismos con pares cinemáticos superiores Cada uno de los mecanismos con pares cinemáticos superiores tiene su propio nombre. Aquí se presentan unos de éstos: mecanismo de leva, engranaje, mecanismos por fricción, mecanismo de ginebra y mecanismo de trinquete. Mecanismo de leva, está presentado en la figura 1.12. Es uno que está compuesto por tres eslabones: la base 1 y dos eslabones móviles uno de los que es la leva 2 y el otro seguidor 4. En la figura 1.12 el seguidor 4 está hecho en forma de la corredera con rodillo 3. El rodillo 3 se emplea de forma cilíndrica por eso el movimiento giratorio de éste con respecto a su eje no ejerce ninguna influencia a la ley del movimiento de los eslabones por consiguiente el rodillo forma con la corredera un solo eslabón. La leva 2 es un eslabón con el perfil cilíndrico de curvatura variable. Ya que la forma del perfil de la leva y del rodillo es cilíndrica entonces ambos se conectan por una línea, por consiguiente la leva forma con el rodillo 3 del seguidor 4 el par cinemático superior. La principal ventaja de este mecanismo es la capacidad de realizar Figura 1.12. cualquier ley del movimiento del seguidor con la ley dada de la leva. Eesquema de un La forma de la leva depende de la ley del movimiento que debe mecanismo de leva realizar el seguidor y la forma del extremo del seguidor, que toca la donde 1 es la base, superficie de la leva, se elige más simple (plano, cilíndrico, de cuña, 2 es la leva, 3 es el etc.). En la figura 1.12 se muestra el mecanismo de leva de cierre del rodillo y 4 es el seguidor. par cinemático superior mediante la fuerza. En éste el seguidor ejerce el movimiento lineal alternativo y la leva el giratorio uniforme. La industria utiliza muchos otros mecanismos de leva, su diseño depende del propósito a alcanzar. La alta exactitud de transformación de la ley del movimiento de un eslabón en la del otro junto 7
Teoría de Mecanismos y Máquinas. En redacción del Dr. V.A.Gavrilenko. Moskú, “Vischaya Shkola”, 1973, (p. 22).
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con alto rendimiento y las magnitudes pequeñas del mecanismo se le da una ventaja muy grande en comparación con otros mecanismos contemporáneos. Engranaje, es un mecanismo compuesto por la base y dos ruedas dentadas. El esquema de éste se muestra en la figura 1.13. Las ruedas se unen con la base mediante los pares cinemáticos de rotación y el acoplamiento entre las ruedas se realiza mediante los dientes. El flanco de los dientes tiene forma de una superficie cilíndrica de curvatura variable por eso el carácter de contacto de los dientes es una línea, por lo tanto los dientes de engranes forman el par cinemático superior. Estos engranajes sirven para la transmisión de la energía mecánica mediante el movimiento giratorio de los eslabones. El movimiento giratorio se puede transmitir no solamente mediante las ruedas dentadas sino por medio de la fuerza Figura 1.13. Esquema de un de fricción. Los mecanismos de éste tipo se llaman mecanismo de engranes. mecanismos por fricción o engranajes de fricción8. El mecanismo por fricción más simple tiene tres eslabones: la base y dos ruedas cilíndricas o cónicas. En la figura 1.14a se muestra uno de estos con ruedas cilíndricas. El cierre del par cinemático superior en estos mecanismos se realiza con aplicación de la fuerza F que provoca la fuerza de fricción en el par cinemático superior. Otro mecanismo por fricción se muestra en la figura 1.14b que transforma el movimiento giratorio uniforme de un eslabón al movimiento giratorio variable (sin etapas) del otro. Éste es conocido como variador de velocidad. En este a) b) mecanismo el disco 2 Figura 1.14. Mecanismos de fricción: a) con la relación de transmisión realiza el movimiento constante y b) variador de velocidad. giratorio con la velocidad angular constante ω2 = const . Debido a la posibilidad de desplazar el disco 3 a lo largo de la flecha 4 en la dirección radial del disco 2, ésta obtiene la velocidad angular variable. Si el disco 3 se desplaza hasta la otra posición con respecto al eje de rotación del disco 2 la flecha 4 cambia sentido del movimiento giratorio. 8
Diccionario Moderno de Ingeniería Mecánica. Tomo I. Prentice Holl. Hispanoamericana, S.A., 1999, (p. 94).
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Mecanismo que se muestra en la figura 1.15a es uno de los mecanismos de engranes que sirve para la transformación del movimiento giratorio uniforme en el intermitente. Éste se conoce como mecanismo de cruz de Malta9 por la forma del eslabón 3, también se conoce como la rueda de Ginebra10. El mecanismo está compuesto por la manivela 1 que gira uniformemente. Durante una sola revolución de la manivela 1 el muñón 2 entra en la ranura de la rueda de Ginebra 3 y le da una sexta de la revolución. Para que la rueda 3 no gire durante el tiempo de ausencia de contacto con el muñón 2, b) a) ésta se fija mediante la Figura 1.15. Mecanismos de movimiento intermitente: a) de Ginebra, placa de fijación b) de trinquete. cilíndrica de la manivela 1. En el esquema presentado en la figura 1.15a se observa, que para evitar el choque durante el acoplamiento del muñón 2 con la rueda 3, la trayectoria del muñón 2 en el inicio del acoplamiento debe ser tangente a la ranura de la rueda de Ginebra 3. Por eso el mecanismo, en comparación con otros mecanismos intermitentes, produce mínimo choque. Para que el mecanismo trabaje correctamente, en el momento de conexión del muñón 2 con la ranura de la rueda de Ginebra 3 la placa de fijación de la manivela 1 debe salir del acoplamiento con la rueda 3. Los mecanismos de la rueda de Ginebra se emplean mucho en las máquinas herramienta automáticas, en dispositivos, en aparatos cinematográficos, etc. Dependiendo del número de ranuras en una sola revolución de la manivela 1 la rueda 3 gira 1/3, 1/4, 1/5, etc. de la revolución. En la figura 1.15b se muestra otro mecanismo intermitente que se llama mecanismo de trinquete. Éste se usa para transformar el movimiento lineal u oscilatorio alternativo de un eslabón en el giratorio intermitente del otro. En la figura se observa que por medio de la uña 4 de la corredera 3 la rueda 2 recibe el movimiento circular intermitente. La segunda uña 5 previene el retorno de la rueda 2, cuando la corredera 3 se moverá en el sentido opuesto para prepararse para la otra marcha. Mecanismos de trinquete se emplean en algunos gatos, grúas no grandes, relojes mecánicos, bicicletas, transportadores, etc. 9
Tal forma tenía el blasón de la Orden de Malta, nombre con que se conoce la orden soberana militar y hospitalaria de San Juan de Jerusalén, de Rodas y de Malta. (Diccionario Enciclopédico, Pequeño LAROUSSE, 2003). 10 El nombre deriva del primer dispositivo usado en relojes mecánicos, siendo Suiza y Ginebra importantes centros de manufactura relojera.
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1.2.3 Movilidad de un sistema mecánico La capacidad de un sistema mecánico servir como un mecanismo, que sería capaz transmitir la energía mecánica, se evalúa por movilidad. Determinando la movilidad de antemano, en el estado de la elaboración del esquema, se puede definir la clase del sistema mecánico: si se trata de un mecanismo o de estructura. Bajo la movilidad se entiende el número de parámetros de entrada independientes o el número de grados de libertad. Ya que cada eslabón en el espacio tridimensional tiene 6 grados de libertad: tres giratorios con respecto a los ejes del sistema de coordenadas X, Y, Z y tres lineales a lo largo de los mismos (véase la figura 1.3), por lo tanto N eslabones colocados libremente en el espacio tridimensional tendrán 6 N grados de libertad. Al tomar un eslabón como
base, los restantes van a tener 6 N 1 número de grados de libertad. Recuérdese que un mecanismo es una cadena cinemática cerrada en que los eslabones se unen mediante los pares cinemáticos que imponen unas cuantas restricciones a los eslabones unidos. Entonces cada par de eslabones, en el movimiento relativo, pierde el número de grados de libertad igual al número de restricciones impuestas. Por consiguiente el número de grados de libertad del sistema mecánico será igual a la diferencia entre la suma del número de grados de libertad de todos los eslabones móviles y la suma del número de restricciones que les imponen los pares cinemáticos, o sea:
Q 6 N 1 j1 2 j2 ... 5 j5
(1.3)
donde N es el número de eslabones que forman el sistema mecánico, j1, j2, ... .j5 son el número de pares cinemáticos de primera clase, de segunda clase, etc. Los coeficientes de 1 a 5 que acompañan el número de pares cinemáticos en la fórmula (1.3) son el número de restricciones, que impone cada par cinemático de la clase correspondiente, sobre los eslabones unidos. Ejemplo. En la figura 1.16 está presentado el esquema de un sistema mecánico. Hay que determinar su movilidad. Éste está compuesto por cuatro eslabones, entonces N 4 , que están unidos mediante los pares Figura 1.16. Esquema de un sistema cinemáticos presentados en la tabla 1.2. mecánico. El número de grados de libertad de este sistema mecánico será igual a:
Q 6 4 1 3 1 4 1 5 2 1. 31
(1.4)
El resultado manifiesta que el esquema presentado es de un mecanismo. Poniendo en movimiento un Tabla 1.2. Descripción de los pares cinemáticos del sistema mecánico en la solo eslabón los figura 1.16. restantes van a ejercer los movimientos correspondientes al movimiento de éste. En los mecanismos planos, la superficie plana aplica a los eslabones tres restricciones adicionales, es decir, permite solo tres movimientos independientes, dos lineales a lo largo de los ejes X e Y y uno giratorio alrededor del eje Z (véase la figura 1.17). Si en los mecanismos espaciales los pares cinemáticos se dividen en clases, en los mecanismos planos se dividen en inferiores y superiores. Los pares cinemáticos inferiores imponen a los eslabones unidos dos restricciones (permiten un solo movimiento relativo: giratorio o deslizante) y los superiores una sola restricción (permiten a los eslabones unidos dos movimientos relativos: uno giratorio y otro deslizante). Por consiguiente, para un mecanismo plano el número de grados de mediante la siguiente fórmula:
q 3 n 1 psup. 2 pinf. ,
Figura 1.17. Diagrama que ilustra los movimientos permisibles de un cuerpo colocado en un plano.
libertad se determinará
(1.5)
donde n es el número de eslabones que forman el sistema mecánico plano, psup. es el número de pares cinemáticos superiores, pinf. es el número de pares cinemáticos inferiores. Los coeficientes 1 y 2 que acompañan el número de pares cinemáticos superiores e inferiores en la fórmula (1.5) son el número de restricciones que impone cada par cinemático correspondiente sobre los eslabones unidos Ejemplo: Determinar la movilidad del sistema Figura 1.18. Ejemplo de un sistema mecánico plano. mecánico presentado en la figura 1.18. En la tabla 1.3 se presentan los pares cinemáticos que unen los eslabones del sistema mecánico, todos los pares cinemáticos son inferiores. El número de grados de libertad de éste será: 32
q 3 6 1 0 2 7 1.
(1.6)
En la figura 1.18 se observa que la Tabla 1.3. Descripción de los pares cinemáticos del posición de todos los eslabones será sistema mecánico mostrado en la figura 1.18. determinada si es determinada la posición de uno solo de ellos. Entonces el sistema mecánico presentado es un mecanismo con un solo grado de libertad o una coordenada generalizada. En los mecanismos planos el número de grados de libertad es conveniente relacionar con el número de eslabones de entrada. Entonces este mecanismo tiene un solo eslabón de entrada. Como el eslabón de entrada puede ser elegido el eslabón 2 al que puede ser designada la ley del movimiento 2 const . El número de grados de libertad del sistema mecánico presentado en la figura 1.19 es igual a: q 3 5 1 0 2 6 0 . (1.7) Esto significa que este sistema mecánico no tiene eslabones móviles que es característico para las estructuras. Además la igualdad a cero del número de grados de libertad da una información más, que el esquema es de una estructura estáticamente determinada. Si en un Figura 1.19. Ejemplo de una sistema mecánico el estructura. Ésta tiene el número de número de grados de grados de libertad igual a cero. libertad es negativo entonces éste será una estructura estáticamente indeterminada. En este caso el número de grados de libertad q manifestará la cantidad de incógnitas que excede al número de ecuaciones que se puede deducir Figura 1.20. Ejemplo de un para su cálculo. mecanismo de dos grados de libertad que tiene dos eslabones El número de grados de libertad del sistema mecánico de entrada.
presentado en la figura 1.20 es igual a:
q 3 5 1 0 2 5 2 .
(1.8)
El resultado manifiesta que el esquema es de un mecanismo con dos coordenadas generalizadas o con dos eslabones de entrada. Por consiguiente para que todos los 33
eslabones del mecanismo realicen la ley del movimiento determinada es necesario designar la ley del movimiento concreta a dos eslabones, por ejemplo al 2 y al 5. 1.2.4 Análisis estructural de mecanismos articulados Así, de esta manera, calculando el número de grados de libertad de un sistema mecánico se puede identificarlo como: mecanismo con un solo eslabón de entrada, mecanismo con varios eslabones de entrada o estructura. Pero con el enfoque formal en la determinación del número de grados de libertad no siempre se puede obtener resultados correctos. Esto puede ser demostrado mediante el análisis de los siguientes ejemplos. En el esquema presentado en la figura 1.21a se considera: AB DC y AD BC . Éste tiene cuatro eslabones y cuatro pares cinemáticos inferiores. Su número de grados de libertad es igual a:
q 3 4 1 0 2 4 1. Entonces el esquema presentado es de un mecanismo con un solo eslabón de entrada. Análisis muestra que la posición del eslabón 2 de una sola manera determina la posición de los demás.
a)
(1.9)
b)
c)
e)
d)
En la figura 1.21b es Figura 1.21. Ejemplos que ilustran sistemas mecánicos con restricciones excesivas y grados de libertad superfluas. mostrado el mismo mecanismo al cual es adicionado el eslabón 5 de longitud igual al 3 y 1 instalado paralelamente a éstos. El eslabón 5 se une con el 2 y 4 por medio de los pares cinemáticos de rotación E y F. El número de grados de libertad de éste es:
34
q 3 5 1 0 2 6 0 .
(1.10)
Es decir, el cálculo formal del número de grados de libertad indica que el esquema presentado es de una estructura y los eslabones no deben tener movimiento relativo uno con respecto al otro. Pero el análisis mental del esquema muestra que los eslabones no han perdido la capacidad de realizar un movimiento relativo y su capacidad para transmitir energía mecánica no ha modificado. Además, el eslabón 5 disminuye la fuerza que actúa sobre los eslabones 3 y 1. La contradicción entre el análisis y el cálculo formal se explica por aquello que el eslabón 5 con dos pares cinemáticos adicionales representa una restricción excesiva. Pero, si el eslabón 5 no es paralelo al 3, es lo que se muestra en la figura 1.21c, o tiene otra longitud, el mecanismo se convierte en una estructura con movilidad igual a q 0. Cálculo formal del número de grados de libertad del mecanismo presentado en la figura 1.21d es igual a q 2, pero el giro del rodillo cilíndrico 5 alrededor de su eje no ejerce ninguna influencia en la ley del movimiento de los eslabones. Por ende, este grado de libertad es superfluo. La unión de los eslabones 5 y 6 en uno solo, de modo como se muestra en la figura 1.21e, excluye del mecanismo un grado de libertad y el mecanismo obtiene q1. Sin embargo, este procedimiento se puede hacer solamente en el análisis teórico y no en la práctica. Cambio de la fricción de rodamiento en el par cinemático superior E en la figura 1.21d por la fricción de rozamiento en la figura 1.21e aumenta el desgaste de los eslabones 3 y 6 que empeora la calidad del mecanismo. De lo dicho, se puede concluir, que con el cálculo formal del número de grados de libertad no siempre es posible obtener la respuesta única y exacta al problema de la definición de la movilidad del sistema mecánico. La respuesta única y exacta lo da solamente el análisis estructural de Assúr11. Assúr demostró que cualquier mecanismo articulado plano puede ser formado mediante la unión con uno o varios mecanismos primarios de una o varias cadenas cinemáticas de la movilidad nula. Además, dichas cadenas cinemáticas deben ser unidas al menos con dos eslabones del mecanismo primario, por ejemplo, un eslabón se une al eslabón móvil del mecanismo primario y el otro a la base. Las cadenas cinemáticas con la movilidad nula se denominaron grupos estructurales. El mecanismo primario, o el mecanismo de primera clase12, es una cadena cinemática abierta compuesta por la base y un eslabón móvil. En las figuras 1.22a y 1.22b están
11
Assúr L.V. (1878-1920): profesor del Instituto Politécnico de Petersburgo (Rusia). Fundador del análisis y síntesis de los mecanismos articulados mediante los grupos estructurales. 12 Artobolevskiy I.I. Teoría de Mecanismos y Máquinas. Moscú, Nauka. 1988.
35
presentados dos tipos de mecanismos primarios. El número de grados de libertad de cada uno de ellos es:
q 3 2 1 0 2 1 1 .
(1.11)
Grupo estructural es una cadena cinemática abierta que se forma por los eslabones móviles del mecanismo que se convierta en una estructura con movilidad nula si los pares cinemáticos externos se unen con la base (véase la figura 1.23f). Para la Figura 1.22. Dos tipos de mecanismos de formación del mecanismo, la importancia de primera clase: a) con el par cinemático de igualdad a cero del número de grados de rotación y b) con el par cinemático deslizante. libertad de grupos estructurales consiste en que si con uno o varios mecanismos de primera clase de movilidad igual a uno se unen grupos estructurales de movilidad nula, entonces el número de grados de libertad del mecanismo completo será igual al número de mecanismos primarios. Para definir cuál cadena cinemática puede ser un grupo estructural hay que determinar la correlación entre el número de eslabones y el número de pares cinemáticos. Para esto se emplea la fórmula (1.5). Pero ya que el grupo estructural forman solamente eslabones móviles esta fórmula se presentará así:
q 3 n 2 pinf. 0 ,
(1.12)
que es más conveniente presentar en la siguiente forma:
n 2 . pinf. 3
(1.13)
Tomando en cuenta que el número de eslabones y el número de pares cinemáticos pueden ser solo números enteros, en la fórmula 1.13 el nominador y denominador se multiplican por un número entero k, con esto se obtiene:
n 2k , pinf. 3 k es lo que permite clasificar los grupos estructurales. En la tabla 1.4 se muestra dicha clasificación. Si se toma k 1 el grupo estructural se nombrará de segunda clase formado
(1.14)
Tabla 1.4. Definición de la clase del grupo estructural.
36
por dos eslabones móviles y tres pares cinemáticos, si se toma k = 2 de tercera clase etc. El grupo estructural de segunda clase se puede dividir en variedades que dependerá de la combinación de los pares cinemáticos de rotación y deslizantes. En adelante el número del grupo estructural se marcará por los números romanos y la variedad, en subíndice, por los números árabes. En las figuras 1.23a - 1.23e se muestran las variedades del grupo estructural de segunda clase y en la figura 1.24 un ejemplo del grupo estructural de tercera clase. El grupo estructural de segunda clase está compuesto por dos eslabones móviles y tres pares cinemáticos uno de los que es interior que une los eslabones del propio grupo estructural y los otros dos son externos que unen los eslabones del grupo estructural con otros eslabones del mecanismo o con los eslabones del mecanismo de primera clase. Si todos los pares cinemáticos del grupo estructural son de rotación entonces éste se identificará como de segunda clase de primera variedad y se marcará como II1, éste se muestra en la figura 1.23a. Si en el grupo estructural de segunda clase de primera
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Figura 1.23. Clasificación de grupos estructurales de segunda clase.
variedad un par cinemático de rotación externo se sustituye por el par cinemático deslizante, el grupo se convierte en el grupo estructural de segunda clase de segunda variedad (II2) presentado en la figura 1.23b. Si en el grupo estructural II1 el par cinemático interior se sustituye por el deslizante, el grupo será de segunda clase de tercera variedad (II3) véase la figura 1.23c. Si en el grupos estructural II1 ambos pares cinemáticos de rotación externos se sustituyen por deslizantes se obtiene el grupo estructural de segunda clase de cuarta variedad (II4) presentado en la figura 1.23d. Al sustituir en el grupo estructural II1 el par cinemático interior y uno externo por los pares cinemáticos deslizantes el grupo se convierte en el grupo estructural de segunda clase de quinta variedad (II5), éste está presentado en la figura 1.23e. El grupo 37
estructural con todos los pares cinemáticos deslizantes no existe ya que se convierte en el mecanismo de cuña presentado en la figura 1.8a. NOTA. El grupo estructural forman solamente los eslabones móviles del mecanismo unidos mediante el par cinemático interior. Los pares cinemáticos externos se forman por los eslabones del mismo grupo estructural y los de otros grupos estructurales o de mecanismos de primera clase. Los eslabones que no entran en el grupo estructural pero forman pares cinemáticos con sus eslabones en los esquemas estructurales se muestran en líneas Figura 1.24. Un grupo estructural de tercera clase. discontinuas. Los mecanismos también se dividen en clases 13. La clase de un mecanismo determina el grupo estructural de la clase mayor que entra en su estructura. Por ejemplo, si un mecanismo forman varios mecanismos de primera clase y grupos estructurales de segunda clase entonces éste será de segunda clase. Pero si en el mecanismo entra un solo grupo estructural de tercera clase se identificará como de tercera clase. Esto se necesita definir de antemano con el análisis estructural ya que el método de la construcción del esquema cinemático, de la síntesis y del análisis cinemático de mecanismos de diferentes clases es diferente. Por ejemplo, el esquema cinemático del mecanismo de segunda clase se construye mediante el método de marcas, pero el esquema cinemático el mecanismo de tercera clase mediante el método de superposiciones geométricas. El análisis cinemático de los mecanismos de segunda clase se realiza mediante polígonos vectoriales y el de los mecanismos de la mayor clase con el uso de los puntos especiales de Assúr14. El análisis estructural del mecanismo consiste en el desprendimiento consecutivo del mecanismo completo de los grupos estructurales y de mecanismos de primera clase. Metódica del análisis es la siguiente: 1. En el mecanismo se detectan los pares cinemáticos superiores y se sustituyen por cadenas cinemáticas con los pares cinemáticos inferiores (véase el capítulo 1.2.5.). 2. Se eligen el eslabón de entrada y el de salida, si éstos no se dan de antemano.
13
La clasificación de mecanismos, elaborada por L.V.Assúr, es muy amplia y provee todas las vías del desarrollo de mecanismos y máquinas en la época mecánica. Pero la manufactura actual va por la ruta de simplificación de construcción de mecanismos. Es muy raro el empleo actual de mecanismos de tercera clase y prácticamente no se emplean mecanismos de la clase mayor. Por eso en adelante, para la investigación de mecanismos, se consideran solamente mecanismos de segunda clase y a veces se mencionan mecanismos de tercera clase. 14 El análisis cinemático de mecanismos de tercera clase no está presentado en esta edición.
38
3. Se desprenden del mecanismo los grupos estructurales que en su estructura incluyen eslabones de salida. 4. Luego uno por uno se desprenden otros grupos estructurales. 5. Por fin, después del desprendimiento de todos los grupos estructurales, debe quedar un número de mecanismos de primera clase que sea igual al número de grados de libertad del mecanismo analizado. Si resulta que el esquema de un sistema mecánico está formado solamente por grupos estructurales, entonces éste es de una estructura con el número de grados de libertad igual a cero. NOTA. Durante el desprendimiento del mecanismo de los grupos estructurales y de los mecanismos de primera clase es necesario prestar atención a aquello que cada eslabón y cada par cinemático sea parte de un solo grupo estructural o de un solo mecanismo de la primera clase. Ejemplo: Realizar el análisis estructural del sistema mecánico que está presentado en la figura 1.25a. El número de grados de libertad de éste es igual a:
a)
b)
q 3 6 1 0 2 7 0 1 . (1.15) En el sistema mecánico presentado, el c) d) eslabón 2 se elige de entrada y el 6 de Figura 1.25. An álisis estructural del mecanismo: salida. Así pues el análisis comienza a) esquema estructural, b) grupo estructural de con el desprendimiento del sistema segunda clase de tercera variedad, c) grupo mecánico del eslabón 6 y luego a éste estructural de segunda clase de quinta variedad y se adjunta el eslabón 5 que se une con d) mecanismo de primera clase. el 6 mediante el par cinemático deslizante D. Para que la cadena cinemática sea un grupo estructural a ésta se adicionan dos pares cinemáticos externos: de rotación E, que une el eslabón 6 con la base 1, y de rotación D, que une el eslabón 5 con el 4. El grupo estructural descrito está presentado en la figura 1.25b en que el par cinemático deslizante D es interior y los E y D de rotación son externos por consiguiente esta cadena cinemática se identifica como el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad. El siguiente grupo estructural está presentado en la figura 1.25c. Éste está formado por los eslabones 4 y 3 unidos mediante el par cinemático deslizante B y por los siguientes 39
pares cinemáticos externos: C deslizante, que une el eslabón 4 con base 1, y B de rotación, que une el eslabón 3 con el eslabón 2. Según la clasificación presentada ésta cadena cinemática es el grupo estructural de segunda clase de quinta variedad. Por último queda la cadena cinemática formada por el eslabón 2 y la base 1 unidos mediante el par cinemático de rotación A, que se presenta en la figura 1.25d. Según la clasificación esta cadena cinemática es el mecanismo de primera clase. Conclusiones: Puesto que en el análisis estructural quedó un solo mecanismo de primera clase entonces el sistema mecánico analizado es un mecanismo con un solo eslabón de entrada, no tiene restricciones excesivas, ni grados de libertad superfluo que coincide con el cálculo formal del número de grados de libertad. Ya que el mecanismo está formado por un mecanismo de primera clase y por grupos estructurales de segunda clase, entonces, éste es de segunda clase. A veces es muy cómodo presentar el mecanismo mediante la fórmula de construcción del mecanismo en que los grupos estructurales y los mecanismos de primera clase se presentan mediante símbolos en el orden en que las partes del mecanismo se unen entre sí. Por ejemplo el mecanismo primario presentado en la figura 1.25d se presentará mediante el símbolo I 1,2 , que significa, que es un mecanismo de primera clase formado por los eslabones 1 y 2. El grupo estructural presentado en la figura 1.25b se presentaría mediante el símbolo II3 5,6 , que significa, que éste es el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad formado por los eslabones 5 y 6, etc. Por eso la fórmula del mecanismo mostrado en la figura 1.25a se presentará en forma:
I 1,2 II5 3,4 II3 5,6 ,
(1.16)
es decir, al mecanismo de primera clase, formado por la base 1 y el eslabón 2, se incorpora el grupo estructural de segunda clase de quinta variedad, formado por los eslabones 3 y 4, y a éste se adjunta el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad, formado por los eslabones 5 y 6. En la figura 1.26 se muestra un mecanismo que consta del mecanismo de primera clase I 1,2 y de dos grupos estructurales de segunda clase de segunda variedad II2 3,4 y II2 5,6 que se acoplan con el primero. Éste tendrá la siguiente fórmula de construcción:
40
Figura 1.26. Un mecanismo compuesto por un mecanismo de primera clase y dos grupos estructurales de segunda clase de segunda variedad.
II2 (3, 4) I (1, 2)
.
(1.17)
II3 (5, 6) Otro ejemplo. Analizar la estructura del sistema mecánico, presentado en la figura 1.27. 6
D
C
6
C
D
El sistema mecánico se forma por 6 eslabones. Los pares 4 cinemáticos que unen los 4 eslabones están presentados en 3 3 2 B B la tabla 1.5. El número de A grados de libertad de éste es 1 q 1. En igual a correspondencia con el número c) de grados de libertad calculado E E el esquema es de un mecanismo 5 5 con un solo eslabón de entrada. b) a) Como el eslabón de entrada se Figura 1.27. Ejemplo del análisis estructural elige el 2 y como el de salida el 6. La resolución del problema se presenta en tres variantes.
2 A 1
Primer variante. Sucesivamente, uno por uno, del sistema mecánico se desprenden los eslabones y los pares cinemáticos de Tabla 1.5. Descripción de los pares cinemáticos del modo para que éstos formen grupos mecanismo de la figura 1.27. estructurales o mecanismos de primera Par Eslabones que lo Tipo del par cinemático forman cinemático clase. Ya que el análisis estructural A 1 2 De rotación comienza con el desprendimiento del B 2-3 -“mecanismo de cadenas cinemáticas que B 3-4 Deslizante incluyen eslabones de salida, por ende el C 4-6 De rotación primero que se desprende es la cadena D 6-1 Deslizante cinemática formada por los eslabones 6 E 4-5 Deslizante E 5-1 De rotación y 4 unidos mediante el par cinemático de rotación C. A esta cadena cinemática se adjuntan los pares cinemáticos externos D y B, que son deslizantes. Formalmente tal cadena cinemática puede ser un grupo estructural. Pero los otros eslabones y pares cinemáticos: el eslabón 5 con los pares cinemáticos de rotación E y de traslación E, el eslabón 3 junto con el 2 y con los pares cinemáticos de rotación A y B, también la base 1, no forman ni grupos estructurales, ni mecanismos completos. Esto significa, que el análisis estructural mostrado es erróneo. Por eso se realiza el segundo variante. 41
Segundo variante. Suponiendo que los eslabones 6 y 4 unidos mediante el par cinemático de rotación C pueden formar el grupo estructural, entonces a éstos se adjuntan los pares cinemáticos externos deslizante D y el de rotación E. Luego se desprende el grupo estructural formado por los eslabones 3 y 2 unidos mediante el par cinemático de rotación B y dos pares cinemáticos externos: deslizante B y de rotación A. El último se desprenderá el eslabón 5 unido con la base mediante el par cinemático de rotación E que se considerará el mecanismo de primera clase. Así pues formalmente tal análisis estructural es correcto, pero el eslabón de entrada es el 5 y no el 2 que no corresponde a las condiciones de la tarea. Además la colisa 5 no puede servir como el eslabón de entrada. Tercer variante. Ya que el primer y segundo variantes del análisis estructural resultaron no correctos entonces del mecanismo hay que desprender la cadena cinemática compuesta por cuatro eslabones 6, 4, 5 y 3 unidos mediante tres pares cinemáticos que son: C de rotación, que une el eslabón 6 con el 4, B deslizante, que une el eslabón 4 con el 3 y E deslizante, que une el eslabón 4 con el 5. Para que esta cadena cinemática sea un grupo estructural, a ésta se adicionan los siguientes pares cinemáticos: D deslizante, que une el eslabón 6 y la base 1, B de rotación, que une los eslabones 3 y 2 y E de rotación, que une el eslabón 5 con la base 1. Esta cadena cinemática se presenta en la figura 1.27b. Según la clasificación presentada la cadena cinemática presentada es el grupo estructural de tercera clase. La última cadena cinemática forman el eslabón 2 y la base 1 unidos mediante el par cinemático de rotación A, presentada en la figura 1.27c, que es el mecanismo de primera clase. Puesto que con el análisis estructural el último quedó un solo mecanismo de primera clase entonces el esquema completo es de un mecanismo con un solo eslabón de entrada, que corresponde al cálculo formal del número de grados de libertad. Además debido a que el mecanismo está compuesto por un mecanismo de primera clase y un grupo estructural de tercera clase entonces el mecanismo completo es de tercera clase. NOTA. De todo lo que fue mostrado en este capítulo se puede formular la siguiente regla. Para crear un mecanismo de segunda clase de un solo grado de libertad hay que tomar un solo mecanismo de primera clase y a éste adjuntar un grupo estructural de segunda clase de modo que un eslabón del grupo estructural se uniera con el eslabón móvil del mecanismo de primera clase y el otro con la base. El siguiente grupo estructural debe ser adjuntado al mecanismo creado del modo igual, un eslabón del grupo estructural debe ser unido con el eslabón móvil del mecanismo de primera clase o con uno de los eslabones del grupo estructural anterior y el otro con la base, etc. 1.2.5 Equivalencia del par cinemático superior El método del análisis de un mecanismo plano con pares cinemáticos superiores depende del tipo de éste. Sin embargo, a veces, para su análisis, es más fácil utilizar 42
métodos que se usan para el análisis de los mecanismos articulados. En éste caso el par cinemático superior se sustituye por una cadena cinemática con los pares cinemáticos inferiores de modo que ambos mecanismos sean equivalentes. Ambos mecanismos serán equivalentes solamente en el caso cuando sus propiedades son iguales, es decir, cuando ellos tienen igual número de grados de libertad y la ley del movimiento de los eslabones es idéntica. Para determinar el primer índice de la propiedad de estos mecanismos, se considera que uno tiene pares cinemáticos tanto superiores como inferiores y el otro solamente inferiores, entonces: * 3 n* 1 psup. 2 pinf. 3 n** 1 2 pinf.** .
(1.18)
En la ecuación (1.18) por un solo asterisco están marcados el número de eslabones y el número de pares cinemáticos del mecanismo con pares cinemáticos inferiores y superiores y por dos asteriscos del mecanismo con solo pares cinemáticos inferiores. Resolviendo (1.18) con respecto al número de pares cinemáticos superiores resulta que: ** * psup. 2 pinf. pinf. 3 n** n* .
(1.19)
Entonces para un solo par cinemático (psup. = 1) la igualdad 1.19 será válida en el caso
** * cuando pinf. pinf. 2 y
n
**
n* 1. Esta relación del número de pares cinemáticos
inferiores y del número de eslabones en una cadena cinemática equivalente a un solo par cinemático superior lleva a la siguiente conclusión: un mecanismo con pares cinemáticos inferiores será equivalente al mecanismo con un solo par cinemático superior si el par cinemático superior se sustituye por un solo eslabón acompañado por dos pares cinemáticos inferiores. Por ejemplo, para el mecanismo de leva, presentado en la figura 1.28a, compuesto por la base 1, la leva 2 y el seguidor de rodillo 3, el mecanismo equivalente será formado por la manivela AB*, la biela B*C y la corredera 3. En este mecanismo el par cinemático superior B, de contacto del rodillo con la leva, se sustituye por la biela B*C acompañada por dos pares cinemáticos de rotación B*. Para que la ley del movimiento del seguidor del mecanismo equivalente sea igual a la del mecanismo de leva, los pares cinemáticos inferiores deben estar dispuestos en los centros de curvatura de las superficies conjugadas del par cinemático superior. El centro de curvatura del rodillo es conocido por eso el par cinemático C estará ubicado en el centro de rotación del rodillo. La curva de la leva es variable por eso el centro de curvatura cambia de posición. De Geometría es conocido un método gráfico de la 43
determinación del centro de curvatura de una curva. Éste consiste en lo siguiente: por ambos lados del punto B de contacto del rodillo con la leva (véase la figura 1.28b) se trazan dos cuerdas de longitud más pequeña posible y de sus mitades se trazan líneas perpendiculares. El centro de curvatura estará en la intersección de las perpendiculares. Para el mecanismo de leva con el seguidor de cara plana presentado en la figura 1.28c el centro de curvatura del seguidor está en el infinito, por eso el par cinemático superior B se sustituye por la colisa B*B acompañada por dos pares cinemáticos: B deslizante y B*
a)
b)
c)
Figura 1.28. Mecanismos de leva y sus mecanismos equivalentes.
de rotación. La disposición del par cinemático deslizante B no tiene duda y la del centro del par cinemático de rotación B* está en el centro de curvatura de la leva. Entonces, el mecanismo equivalente será formado por la manivela AB*, la colisa B*B y la corredera 3. Ejemplo. Realizar el análisis estructural del mecanismo presentado en la figura 1.29a. Tabla 1.6. Descripción de los pares cinemáicos del En la tabla 1.6 se presenta la mecanismo de la figura 1.29a. descripción de los pares cinemáticos uno de los que, el B, es superior formado por el muñón 4 de la manivela 2, hecha en forma de disco, que se conecta con la superficie plana de la ranura de la corredera 3. Entonces el número de grados de libertad de éste será:
q 3 3 1 11 2 2 1 .
44
(1.20)
Con el análisis detallado del movimiento del muñón 4 en la ranura del eslabón 3 se llega a una conclusión que éste realiza junto con la manivela 2 a la vez dos movimientos relativos: el giratorio con respecto a la corredera 3 y deslizante con respecto a la superficie plana de la ranura del eslabón 3. Entonces la cadena cinemática equivalente será presentada por la corredera 2* unida con la corredera 3 mediante el par cinemático deslizante y con la manivela 2 mediante el par cinemático de rotación, es lo que está presentado en la figura 1.29b. La descripción de los pares cinemáticos de éste está presentada en la tabla 1.7. Entonces el número de grados de libertad del mecanismo equivalente será:
b)
a)
Figura 1.29. Análisis estructural del modelo físico: a) modelo físico, b) esquema estructural equivalente del mismo mecanismo con el par cinemático superior B sustituido por el eslabón 2* y dos pares cinemáticos inferiores B de rotación que une el eslabón 2 con 2* y B deslizante que une el eslabón 2* con 3.
q 3 4 1 2 4 1 .
(1.21)
Tabla 1.7. Descripción de los pares cinematicos del
Así pues por el primer índice el mecanismo de la figura 1.29b. esquema presentado en la figura 1.29b es equivalente al mecanismo presentado en la figura 1.29a. Para realizar el segundo índice, la aplicación de la misma ley de movimiento, la longitud de la manivela LAB en la figura 1.29b debe ser igual a la distancia desde el centro de rotación del disco 2 hasta el centro del muñón 4 en la figura 1.29a. Aquí es conveniente mostrar una vez más que el cálculo formal del número de grados de libertad no siempre da un resultado correcto. Por ejemplo el esquema presentado en la figura 1.30 tiene misma cantidad y calidad de eslabones y pares cinemáticos que el esquema presentado en la figura 1.29b por consiguiente el cálculo formal mostrará el número de grados de libertad de éste q=1. Pero los pares cinemáticos deslizantes B y C tienen 45
Figura 1.30. Esquema de una estructura con el número de grados de libertad q = 1 y un grado de libertad superfluo.
igual orientación por consiguiente el eslabón 3 obtiene un grado de libertad superfluo ya que el movimiento del eslabón 3 a lo largo de la línea BC no ejerce ninguna influencia al movimiento de los demás. Al restar de la q el número de grados de libertad superfluo resultará q=0, por consiguiente el esquema analizado es de una estructura. 1.2.6 Síntesis estructural de un mecanismo real En el capítulo 1.2.4 fue mostrado el análisis estructural de los mecanismos ideales en que los eslabones son absolutamente rígidos y duros y la unión entre ellos se realiza sin holgura. Los mecanismos fueron divididos en los planos y espaciales. En la mayoría de los casos la presentación de los mecanismos en esta forma es aceptable. Pero, a veces, aparecen problemas, cuando se necesita tomar en cuenta la deformación elástica de los eslabones, errores en la fabricación y montaje. En este caso el análisis estructural del mecanismo como plano no es correcto y debe ser resuelto como espacial. En la figura 1.31a se muestra un ejemplo de la unión de dos eslabones de un mecanismo plano mediante un cojinete, que es un casquillo cilíndrico de un eslabón y el pivote también de forma cilíndrica del otro. Al inicio de trabajo (inmediatamente después de la fabricación), el cojinete se considera de quinta clase en que los eslabones se unen mediante las superficies cilíndricas. Después de algún tiempo de trabajo, debido a la acción de las fuerzas externas, las superficies del cojinete se someten el desgaste inicial. Con esto ambos elementos del par cinemático, o uno de ellos, adquiere una forma distinta de la cilíndrica, aproximadamente tal como está presentada en la figura 1.31b. Es a) b) decir, el par cinemático de quinta clase se convierte en uno de tercera Figura 1.31. Ejemplo de la transformación del par clase. Tal transformación del par cinemático de rotación por la causa de desgaste. cinemático resulta debido a que las fuerzas externas son variables, los eslabones del mecanismo en realidad son flexibles y no se mueven en los planos absolutamente paralelos sino realizan el movimiento espacial. Este proceso de ajuste de los elementos del par cinemático se nombra de asentamiento. Si, por alguna causa, sobre el par cinemático no ajustado va a actuar una fuerza demasiado grande, podrá ocurrir el desgaste acelerado o la destrucción de uno de los eslabones así como se muestra en la figura 1.32 en que los dientes del engrane son quebrados debido a una presión excesiva al borde del engrane. 46
Los ingenieros mecánicos perfectamente conocen este problema, por eso recomiendan al inicio de la explotación de una máquina cargarla con las fuerzas externas menores que las nominales. También, a veces, en el proceso de maquinado de los elementos del par cinemático se les da la forma adaptada a las fuerzas y deformaciones variables. Un ejemplo: a los dientes de una de las ruedas dentadas de un par de engranes cilíndricas se les da la forma de barril ligero para evitar el contacto en el borde del engrane. Otro ejemplo. Si hay peligro, que los ejes de los soportes de una flecha, debido a la deformación elástica o errores de montaje, no pueden ser perfectamente alineados, se emplean los cojinetes instaladas en una cama esférica o rodamientos esféricos, etc. Esto muestra que el uso de la fórmula (1.5) simplifica el análisis estructural pero esconde los errores en el diseño y fabricación de un mecanismo. Figura 1.32. Destrucción parcial de En seguida se muestra el método de la síntesis los dientes debido al contacto estructural de un mecanismo plano que toma en cuenta localizado en el borde de la corona la flexibilidad de los eslabones y la variabilidad de las dentada.
fuerzas aplicadas. Para la presentación de éste método se elige el mecanismo de bielamanivela-corredera presentado en la figura 1.33a. El número de grados de libertad de éste, como de un mecanismo absolutamente plano, será:
q 3 n 1 psup. 2 pinf. 3 4 1 0 2 4 1.
(1.22)
Si se toman en cuenta las condiciones reales de la fabricación, de montaje y del trabajo de este mecanismo hay que calcular el número de grados de libertad correspondiente al mecanismo espacial empleando la fórmula (1.3). Entonces, el mecanismo de cuatro eslabones unidos mediante 4 pares cinemáticos de quinta clase tendrá el número de grados de libertad igual a:
Q 6 N 1 j1 2 j2 ... 5 j5 6 4 1 5 4 2 .
(1.23)
Al suponer que el mecanismo tiene un solo eslabón de entrada y, por supuesto, debe tener el número de grados de libertad igual a uno, entonces, éste tendrá el número de restricciones excesivas igual a:
Rexc. 1 Q 1 2 3 .
(1.24)
Este resultado muestra que para el funcionamiento correcto del mecanismo, hay que excluir 3 restricciones excesivas.
47
a)
b)
Figura 1.33. Ejemplo de modificación estructural de un mecanismo para la exclusión de restricciones excesivas.
Al analizar las condiciones de trabajo del mecanismo, por ejemplo de una bomba de pistón, se puede llegar a una conclusión que para obtener un mecanismo con el número de grados de libertad igual a uno se necesita modificar los pares cinemáticos B, C y D de quinta clase por los pares cinemáticos de cuarta clase. En la figura 1.33b se muestra el mecanismo modificado en que se emplean los pares cinemáticos B y C esféricos de cuarta clase y el par cinemático D cilíndrico también de cuarta clase. Entonces, el mecanismo nuevo tendrá el número de grados de libertad igual a:
Q 6 4 1 4 3 5 1 1 .
(1.25)
En el esquema presentado en la figura 1.33b se observa que los errores pequeños y grandes en la fabricación y montaje no ejercen ninguna influencia negativa sobre el trabajo del mecanismo. Para obtener el mismo efecto, pero de otro modo, se realizan modificaciones en los motores de combustión interna. Por ejemplo los pares cinemáticos B y C de rotación de quinta clase se modifican por los pares cinemáticos cilíndricos de cuarta clase, que permite el desplazamiento axial relativamente pequeño de los eslabones. La parte superior del pistón se fabrica en forma circular y la parte inferior elíptica que compensa desviaciones angulares entre los ejes geométricos del cilindro y del pistón. Hay que complementar, que el análisis estructural es un proceso creativo, no tiene un esquema rígido de la resolución. Los pares cinemáticos no se pueden modificar formalmente, en forma arbitraria o por algún esquema fija, sino en concordancia con las condiciones de trabajo y los métodos de la fabricación y montaje de los eslabones.
48
PROBLEMAS 1 Problema 1.1. Numerar los eslabones y marcar los pares cinemáticos en los esquemas estructurales presentados en las figuras P1.1, P1.2 y P1.3. Describir los pares cinemáticos. Calcular el número de grados de libertad de éstos. Determinar si tienen grados de libertad superfluos o restricciones excesivas. Definir a qué tipo de ensamble pertenecen los esquemas estructurales: a mecanismos o estructuras. Explicar el significado del número de grados de libertad calculado.
Figura P1.1.
Figura P1.2.
Figura P1.3.
Problema 1.2. Numerar los eslabones y marcar los pares cinemáticos de los esquemas estructurales presentados en las figuras de P1.4 a P1.12. Describir los pares cinemáticos. Calcular el número de
Figura P1.4.
Figura P1.7.
Figura P1.5.
Figura P1.8.
Figura P1.10.
Figura P1.11.
49
Figura P1.6.
Figura P1.9.
Figura P1.12.
grados de libertad de éstos. Definir a qué tipo de ensamble pertenecen los esquemas estructurales: mecanismo o estructura. Definir el número de eslabones de entrada. Problema 1.3. En los esquemas estructurales presentados en las figuras de P1.4 a P1.12 realizar el análisis estructural. Comparar los resultados del análisis estructural con el número de grados de libertad calculado.
50
Capítulo 2 SÍNTESIS DE MECANISMOS ARTICULADOS La continuación lógica después del análisis estructural y la elección del esquema del mecanismo es la determinación de las longitudes de los eslabones de éste en correspondencia con los requisitos dados. Este proceso en Teoría de Mecanismos y Máquinas se llama síntesis geométrica de mecanismos15. En la industria, en la mayoría de los casos, se emplean mecanismos para la transformación del movimiento giratorio de un eslabón en el oscilatorio o lineal alternativo del otro. También se resuelve el caso contrario, para la transformación del movimiento lineal alternativo de un eslabón en el giratorio u oscilatorio del otro. Por eso uno de los problemas, que se plantea, es garantizar la existencia en el mecanismo de la manivela, es decir del eslabón que gire completamente. Se pueden distinguir varias variantes de la síntesis: por algunas posiciones de los eslabones, por la relación entre la ley del movimiento del eslabón de salida y la del eslabón de entrada, por la trayectoria previamente elegida, por algunos parámetros cinemáticos. En este capítulo se muestra la síntesis solamente por la ley del movimiento de un eslabón presentada en forma de la velocidad promedio y algunos ejemplos de la síntesis por la trayectoria dada. 2.1 Condiciones del desplazamiento de los eslabones En la síntesis de un mecanismo hay que distinguir dos condiciones que tienen influencia en el desplazamiento de los eslabones. La primera condición se relaciona con la interacción de las fuerzas aplicadas, ya que para la realización del trabajo deseado las fuerzas motrices deben vencer las de resistencia. La segunda consiste en que las dimensiones geométricas de los eslabones deben asegurar el movimiento de éstos en correspondencia con la ley del movimiento elegida. Para la determinación de la primera condición se examina el mecanismo de bielamanivela-corredera presentado en las figuras 2.1a y 2.1b. En éste los puntos C de los eslabones 3 y 4 tienen el movimiento lineal y pasan sucesivamente a través de los puntos C(1) y C(2) . Los puntos B de los eslabones 2 y 3 giran con respecto al A1 de la base 1 y pasan sucesivamente a través de los puntos B(1) y B(2) correspondientes a los
C(1) y C(2) . Los puntos B(1) y B(2) , C(1) y C(2) se consideran extremos para este mecanismo.
15
Síntesis es el diseño del esquema de un mecanismo en correspondencia con las propiedades planteadas. (Kraynev A.F. 1981. Diccionario-Prontuario de mecanismos, Mashinostroenie, Moscú, p. 326)
51
Para el mecanismo mostrado en la figura 2.1a el eslabón 4 es el motriz y el 2 es el seguidor. Entonces al eslabón 4 está aplicada la fuerza motriz Fmot. y al 2 el momento de fuerza de resistencia Mres.. Se considera que la magnitud de la fuerza Fmot. y la del momento de fuerza Mres. no cambian en el tiempo. La fuerza Fmot. en el par cinemático C se transmite al eslabón 3 desde el 4 y luego en el par cinemático B desde el eslabón 3 al 2 obteniendo la magnitud de F23.
a)
b)
Figura 2.1. Condiciones dinámicas de trabajo del mecanismo de biela-manivela-corredera: a) cuando el eslabón motriz es la corredera; b) cuando el eslabón motriz es la manivela
Como es conocido de Mecánica, la magnitud de la potencia que desarrolla la fuerza F23 es igual a:
Pmot . F23 vB 2 cos 23 ,
(2.1)
donde vB2 es la velocidad del punto B del eslabón 2 y α23 es el ángulo de presión, que es el ángulo entre el vector fuerza y el vector velocidad del punto de aplicación de esta fuerza. Por ende, si el ángulo de presión es igual a cero la potencia tendrá la magnitud máxima. Con el aumento de este ángulo la magnitud de la potencia disminuye y cuando 23 90 será igual a cero Pmot . 0 . NOTA. Vector es una forma de presentación gráfica o analítica de una magnitud física que tiene orientación. Gráficamente un vector se muestra en forma de un segmento que se caracteriza por módulo (longitud del segmento), dirección y el punto de aplicación. Al contrario con el movimiento uniforme ω2 const , la magnitud de la potencia del momento de fuerza de resistencia no cambia y es igual a:
Pres. M res. ω 2 .
(2.2)
Así pues el mecanismo puede ocupar posiciones en que Pmot . Pres . . Éstas se denominan posiciones muertas en que el mecanismo puede pararse. Para el mecanismo examinado estas posiciones son extremas AB(1)C(1) y AB(2)C(2) . Por consiguiente para este 52
mecanismo el parámetro limitativo es el ángulo de presión α23. La situación se complica si se toman en cuenta las fuerzas de fricción en los pares cinemáticos. Otra situación ocurre cuando el eslabón 2 del mecanismo es el motriz y el 4 es el seguidor, éste está presentado en la figura 2.1b. En este mecanismo la interacción de las fuerzas en el par cinemático B es la más favorable para la fuerza motriz aplicada al eslabón 2 porque el ángulo de presión cambia de 0°, en las posiciones extremas, hasta L algún mínimo min arcsen AB , pero menor de 90°. LBC Para examinar la interacción entre las fuerzas en el par cinemático C hay que descomponer la fuerza F43 en la normal F43n F43 sen 43 y la tangencial
F43 F43 cos 43. Entre éstas la componente F43 es la fuerza motriz y tiene que vencer todas las fuerzas de resistencia. La componente F43n directamente no ejerce ninguna influencia en el movimiento de los eslabones del mecanismo ya que su trabajo es igual a cero. Pero esta fuerza provoca la fuerza de fricción en el par cinemático deslizante F fr . f F43n , donde f es el coeficiente de fricción. Las fuerzas de fricción son de resistencia, actúan entre dos superficies que están en contacto, su sentido es opuesto al sentido del movimiento de una superficie con respecto a la otra. Así pues, la fuerza motriz F43 debe vencer la suma de las fuerzas Fres. Ffr . . Por consiguiente, si incrementa el ángulo de presión α43 incrementa la magnitud de la suma de las fuerzas de resistencia F Fres. + f F43 sen 43 y disminuye la magnitud de la componente F43 F43 cos 43 . En este análisis se puede concluir que para este mecanismo el parámetro limitativo es el ángulo de presión α43 el que puede provocar las fuerzas de resistencia grandes y como resultado el aumento de las magnitudes de los eslabones. Así pues resulta que en los mecanismos una gran importancia tiene la magnitud de los ángulos de presión. Por consiguiente en los cálculos los ángulos de presión están limitados por una magnitud admisible αadm.. Por ejemplo para los mecanismos con solo pares cinemáticos de rotación se recomienda elegir el ángulo de presión en límites adm. 45...60 y para los con pares cinemáticos deslizantes adm. 30...45 16. En la síntesis no es necesario comprobar los ángulos de presión en todas las posiciones de los eslabones del mecanismo sino cuando hay riesgo que la condición adm . puede ser no realizada, es decir en las posiciones en que el ángulo de presión puede alcanzar magnitudes máximas. Sin embargo la condición adm . es permisible en la marcha de retorno ya que en ausencia de la fuerza de resistencia aplicada al seguidor sobre los eslabones actúan otras muy pequeñas. 16
Teoría de Mecanismos y Máquinas. En redacción del Dr. V.A.Gavrilenko. Moskú, “Vischaya Shkola”, 1973. (p.116).
53
Para la explicación de la segunda condición se elige el mecanismo de balancín presentado en la figura 2.2. En éste los eslabones 1, 3 y 4 son largos y el 2 es más corto. Para que el eslabón 2 sea manivela éste debe girar completamente es decir los eslabones deben pasar de la posición ABCD a la misma sucesivamente ocupando las posiciones AB(1)C(1) D , AB(2)C(2) D y AB(3)C(3) D . Sea a la longitud del eslabón más corto, b y c son las longitudes de los eslabones más largos y d la de la base. Aplicando las proporciones entre las longitudes de los lados en el triángulo BCD , se puede presentar la siguiente desigualdad:
ad bc
(2.3)
y en el triángulo B(2)C(2) D la siguiente:
d a bc.
(2.4)
Lo mismo resultará si se analizan los triángulos AC(1) D y AC(3) D . La desigualdad (2.3) garantiza el cumplimiento de la desigualdad (2.4) con cualquier correlación de las longitudes de los eslabones 3 y 4. Si el eslabón más largo es el 3 o el 4 la correlación (2.3) aumenta. Figura 2.2. Condiciones geométricas de trabajo del mecanismo de balancín.
Entonces la desigualdad (2.3) se puede presentar en la siguiente forma a d b c que se fórmula del siguiente modo: el eslabón más corto puede ser manivela si la suma de las longitudes del eslabón más corto y del más largo es menor que la suma de los otros eslabones. Esta tesis se denomina teorema de Grashof que establece las condiciones de existencia de la manivela. La ejecución del teorema de Grashof junto con la toma en cuenta de la influencia del ángulo de presión sobre el trabajo del mecanismo son las condiciones principales que se toman en consideración para la síntesis de los mecanismos articulados. El teorema de Grashof permite clasificar los mecanismos articulados presentados en la tabla 1.1 del siguiente modo: Mecanismo de balancín que está presentado en la figura 1 de la tabla 1.1. La proporción entre las longitudes de los eslabones satisface las condiciones del teorema de Grashof. El eslabón más corto es la manivela que está unido con la base mediante el par cinemático de rotación. 54
Mecanismo de doble balancín presentado en la figura 2a de la tabla 1.1 se obtiene en dos casos. Primer caso es cuando la proporción entre las longitudes de los eslabones no corresponde a las condiciones del teorema de Grashof y el segundo es cuando la proporción corresponde a las condiciones del teorema de Grashof y por el eslabón más corto se elige la biela. Mecanismo de doble manivela que está presentado en la figura 2b de la tabla 1.1. Para estos mecanismos es característico que la proporción entre las longitudes de los eslabones corresponde a las condiciones del teorema y como la base se elige el eslabón más corto. Si el teorema de Grashof se cumple, entonces el eslabón más corto gira completamente. En el caso, cuando a c y b d , que se muestra en la figura 2.3, el mecanismo se convierta en el de doble manivela en que Figura 2.3. El mecanismo de doble manivela. los eslabones en una de las posiciones extremas están alineados. En esta posición el movimiento del seguidor es indeterminado ya que puede moverse en un sentido o en el contrario. 2.2 Metódica de la síntesis geométrica 2.2.1 Nociones comunes Como fue notado, el mecanismo se crea para que el eslabón de salida del mecanismo realice la ley del movimiento previamente dada. Ya que en el mecanismo el eslabón de salida y el de entrada están unidos en una cadena cinemática cerrada, entonces la ley del movimiento del eslabón de salida estrictamente depende de la ley del movimiento del eslabón de entrada. Esta dependencia se presenta en forma de la relación de transmisión o en forma de la función de transmisión. Si ambos eslabones giran se emplea el término de la relación de transmisión que es la razón de la velocidad angular del eslabón de entrada sobre la velocidad angular del eslabón de salida. La relación de transmisión se marca con el símbolo e y se identifica en subíndices con los números de eslabones que representa la dicha relación de transmisión. Para el mecanismo de 4 eslabones mostrado en la figura 2.4a en que a) b) el eslabón 2 es el de entrada y el 4 es el de salida la relación de Figura 2.4. Para la explicación de diferencia entre la transmisión será presentada por: relación de velocidades y la función de transferencia. 55
u 2,4
ω2 , ω4
(2.5)
donde ω 2 es la velocidad angular del eslabón de entrada 2 y ω 4 es la del eslabón de salida 4. Si un eslabón tiene el movimiento giratorio y el otro el movimiento del desplazamiento lineal por una recta, así como el eslabón 4 del mecanismo presentado en la figura 2.4b, se emplea el término de la función de transmisión, que es la razón de la velocidad angular del eslabón de entrada sobre la velocidad del eslabón de salida. Ésta obtiene la siguiente forma: f 2,4
ω2 . v4
(2.6)
En el mecanismo con un solo grado de libertad el movimiento del eslabón de salida es simultáneo con el de entrada que permite presentar los parámetros del movimiento del eslabón de salida en función de los parámetros del movimiento del eslabón de entrada. Por eso la relación de transmisión o la función de transmisión a menudo se presentan en forma de la función de posicionamiento. El diseño de un mecanismo es un proceso complejo en que deben ser tomadas en cuenta muchas condiciones. Por ende para disminuir la cantidad de incógnitas, para la mayor parte de los mecanismos, como el eslabón de entrada se elige la manivela. Por consiguiente, la primera condición, que debe ser tomada en cuenta es la de cumplimiento del teorema de Grashof. La segunda condición es el cumplimiento de desigualdad adm . , de lo contrario, el mecanismo tendrá bajo rendimiento o debido a las posiciones muertas deja de funcionar. Con todo eso deben ser tomados en cuenta límites de las longitudes de los eslabones, límites del desplazamiento de algunos de ellos y la posible intersección (interferencia) entre ellos. Uno de los requisitos que se plantean ante la síntesis es garantizar el cumplimiento de la ley del movimiento previamente elegida. Pero en la mayoría de los casos ésta no se resuelve exactamente sino con una aproximación. Por consiguiente deben ser elegidas las desviaciones admisibles de la ley obtenida del movimiento con respecto a la dada. Para generalizar la resolución de los problemas de la síntesis, a veces, las longitudes de los eslabones se presentan en magnitudes relativas. Con esto uno de los eslabones se toma como unitario y las longitudes de los demás en proporción a éste. En algunos 56
casos las longitudes de algunos eslabones y sus coordenadas de inicio se eligen arbitrariamente. Para la síntesis se emplean métodos analíticos y gráficos. Los métodos analíticos son laboriosos y demasiado formales, la visualización de los resultados es limitada. Por eso los cálculos se analizan y se justifican mediante los métodos gráficos. Los métodos gráficos son muy claros, en su resolución son muy simples y pueden jugar un papel independiente. Los métodos gráficos permiten rápidamente analizar muchas variantes pero tienen baja exactitud. Para precisar las dimensiones de los eslabones, después de la elección de una variante, se pueden emplear los métodos analíticos. Los medios modernos permiten unir los dos en uno solo. Estos medios simplifican mucho la resolución de los problemas de la síntesis permite rápidamente analizar el esquema y obtener resultado con alta exactitud. Métodos de la construcción gráfica de los esquemas cinemáticos de los mecanismos de segunda clase y de clase mayor son diferentes. Si para la construcción de los mecanismos de segunda clase se emplea el método de marcas, para los mecanismos de la mayor clase se emplea el método de superposiciones geométricas. El método de marcas se muestra en la figura 2.5. En éste se considera que las longitudes de los eslabones son conocidas, también es conocido el ángulo φ2 de la posición de la manivela 2. Al principio se determina la configuración y la posición de la base que está dada en coordenadas de los puntos A, que en general se ubica en el inicio del sistema de coordenadas x, y, y del punto Figura 2.5. Construcción de un mecanismo D (xD, yD). Después, a partir del punto A mediante el método de marcas. se traza la circunferencia del radio AB, que corresponde a la trayectoria del punto B del eslabón 2, y a un ángulo φ2 se traza el eslabón 2. Para determinar la posición de otros eslabones a partir del punto B con el radio BC se traza el arco a a y a partir del punto D con el radio DC el arco b b . En la intersección de estos arcos se halla el punto C. Al unir el punto B con el C y el C con el D mediante las líneas rectas se determinan las posiciones de los eslabones 3 y 4 respectivamente. El esquema cinemático del mecanismo se construye a escala μL, que se calcula por la fórmula (1.2), donde como datos se toman la longitud de uno de los eslabones del 57
mecanismo real en metros y la longitud del segmento que representa el mismo eslabón en el esquema cinemático en milímetros. La longitud del eslabón se marca por la letra L con indicación, en subíndice, por cifras arábigas que indican la pertenencia de éste al eslabón concreto, o por letras latinas mayúsculas que determinan los extremos de éste. La longitud del segmento puede ser marcado por la letra l con indicación en subíndices por cifras o letras mayúsculas que indican la pertenencia de éste al eslabón concreto o simplemente por letras mayúsculas que determinan los extremos del segmento que representa el eslabón. Por ejemplo, la longitud real del eslabón 3 del mecanismo presentado en el esquema de la figura 2.5, puede ser marcado como L3 o LBC y la longitud del segmento del mismo eslabón como l3, lBC o simplemente BC. El valor de la escala depende de la magnitud del diseño. Para el cálculo de la escala se puede elegir la longitud de cualquier eslabón, sin embargo con la mayor frecuencia se elige la de la manivela. Por eso la escala del esquema cinemático del mecanismo presentado en la figura 2.5 puede ser presentada como:
μL
LAB ...,m mm . AB
(2.7)
Las longitudes de los segmentos de otros eslabones del mecanismo se presentan a misma escala. Por ejemplo las longitudes de los segmentos y las coordenadas de los L puntos de los eslabones del esquema cinemático se calculan como BC BC ...,mm , μL L x AD AD ...,mm , etc. μL Para la construcción del esquema cinemático del mecanismo de tercera clase, así como está presentado en la figura 1.27, no se emplea el método de marcas sino el método de superposiciones que consiste en lo siguiente. Que sean dadas: las longitudes de los eslabones, la disposición mutua de los pares cinemáticos A y F en coordenadas xAF e yAF, la disposición del par cinemático D en la coordenada yAD y el ángulo φ2 de la posición de la manivela 2. Figura
2.6.
Empleo
del
método
de
Igualmente, como para los mecanismos de superposiciones para la construcción del esquema segunda clase, al inicio se marca la cinemático del mecanismo de tercera clase. 58
posición de los pares cinemáticos A, F y se traza la línea x x que determina la coordenada del par cinemático D y, por consiguiente, determina la trayectoria del punto C de la corredera 6. Luego se traza la circunferencia de radio AB que corresponde a la trayectoria del punto B tanto del eslabón 2 como del 3 y a un ángulo φ2 se traza el segmento AB. Éste determina la posición de la manivela 2. Posteriormente se traza el arco b b del radio FE de la trayectoria del punto E del eslabón 5. Así pues de este modo se determinan la posición única del punto B del eslabón 2 y una cantidad infinita de los puntos C y E por consiguiente la posición de los eslabones 3, 4, 5 y 6 todavía no está determinada. Para determinar la posición de los eslabones arbitrariamente se marcan varias posiciones del punto C y a partir de éstos mediante el método de marcas con el radio igual a la longitud del segmento CE se hallan las posiciones de los puntos E correspondientes a las posiciones de los puntos C. Al unir los puntos C y E mediante líneas rectas se determinan varias posiciones del segmento CE. Si ninguna de éstas pasa a través del punto B, mediante el método de sucesivas aproximaciones se halla tal posición del segmento CE, que a la vez pasa a través de los tres puntos C, B y E. Se puede emplear otro método. Sobre una película transparente, por ejemplo acetato, se traza el segmento CE. Desplazando el punto C del segmento sobre la línea x x y a la vez el punto E sobre el arco b b , se busca la coincidencia del segmento con el punto B del eslabón 2. De este modo se hallan las posiciones de los puntos C y E. 2.2.2 Síntesis de mecanismos por la relación de velocidades promedio Los mecanismos articulados tienen muchas aplicaciones. Para transformar el movimiento giratorio del rotor de un motor en el movimiento lineal alternativo para la realización de operaciones cíclicas así como: distribución automática de los productos ya procesados, el movimiento de la sierra de una acepilladora de corte del metal, etc. El seguidor de estos mecanismos tiene dos movimientos distintos. Uno principal con finalidad de realizar el trabajo útil que se denomina de carrera de trabajo y el otro que regresa la herramienta a la posición de inicio para prepararse para el otro ciclo que se nombra de carrera de retorno. En la mayoría de los casos con el movimiento uniforme de la manivela la velocidad del seguidor es variable y depende de la posición de ésta. Por eso en cada carrera se determinan las velocidades promedio: para la carrera de s s trabajo así v prom . tr . y para la de retorno como v prom. ret . . En estas fórmulas s es la t ret . t tr . carrera del seguidor, la distancia entre las posiciones extremas del éste, ttr. es el tiempo en que el seguidor realiza la carrera de trabajo y tret. es el tiempo del movimiento de retorno. 59
Las fuerzas que actúan sobre los eslabones en la carrera de trabajo son mayores que en la de retorno por eso para disminuir el tiempo del ciclo las velocidades se eligen diferentes, como es habitual v prom. tr . v prom.ret . . Por esta razón estos mecanismos se denominan mecanismos de retorno rápido. La cinemática de estos mecanismos se caracteriza por el coeficiente de cambio de la velocidad promedio: K
v prom.ret v prom .tr .
.
(2.8)
Síntesis del mecanismo de balancín. En la figura 2.7 se muestra el método gráfico de la síntesis del dicho mecanismo. Que sean dados los siguientes datos: la carrera del punto C del balancín en forma de la longitud del segmento LCC1 , el coeficiente de cambio de la velocidad promedio K y el ángulo de presión admisible αadm.. Se considera que la manivela AB gira uniformemente 2 const . La tarea consiste en la determinación de las longitudes de los eslabones y de la ubicación del centro de rotación de la manivela. Para esto al principio se elige la escala μL en que va a ser construido el esquema cinemático del mecanismo.
Figura 2.7. Síntesis del mecanismo de balancín.
La resolución del problema comienza con la determinación de la relación entre el coeficiente K y las velocidades promedio del mecanismo. Sea el movimiento del 60
balancín desde la posición CD hasta la C(1)D indicado como la carrera de trabajo con el ángulo φtr. y desde la posición C(1)D hasta la CD como la carrera de retorno con el ángulo φret.. Entonces, se tiene:
K
ω4 ret. φtr . . ω4tr . φret .
(2.9)
Al marcar el ángulo entre dos posiciones extremas de la biela como θ, en la figura 2.7 se observa que en transcurso del tiempo de la carrera de trabajo ttr. la manivela gira un ángulo φtr . 180 y en el tiempo de retorno tret un ángulo φ ret . 180 . Por consiguiente, para un movimiento uniforme de la manivela resulta que: K
φtr . 180 . φ ret . 180
(2.10)
Resolviendo la ecuación (2.10) con respecto al ángulo θ se tiene:
180
K 1 . K 1
(2.11)
El método gráfico de la síntesis se basa en el uso del teorema del ángulo inscrito conocido en Geometría. En correspondencia con este teorema, ya que el triángulo (1) , el ángulo en el triángulo CAC(1) y CAC(1) tienen la misma base el arco CC CAC(1) es igual a la mitad del ángulo en el triángulo CFC(1) , donde F es el centro de la circunferencia del radio r. Entonces mediante la fórmula 2.11 se calcula el ángulo y a escala μL se traza el segmento CC(1). A través de los puntos extremos C y C(1) a un ángulo con respecto al segmento CC(1) se trazan dos líneas a a y a1 a1 y luego en los puntos C y C(1) se trazan las perpendiculares a éstas. El punto de la intersección de las perpendiculares se marca con la letra F. A través de los puntos C y C(1) a partir del punto F se traza la circunferencia del radio r. Así pues, según el teorema del ángulo inscrito, cualquier punto ubicado en la circunferencia puede ser el centro de rotación de la manivela. Por consiguiente es posible construir una cantidad infinita de mecanismos con el mismo coeficiente K. Pero, no cualquier mecanismo satisface la condición adm . . Para definirlo arbitrariamente se elige la longitud del balancín CD y al construirlo en dos posiciones extremas CD y C(1)D se define la carrera angular del balancín δ. Para que sea más fácil la definición de la longitud del balancín y su construcción en las posiciones extremas, a 61
partir del punto F se traza la línea FE perpendicularmente al segmento CC(1) y sobre ésta arbitrariamente se elige el punto D como el centro de oscilación del balancín. Así pues, de tal manera se determina la longitud del segmento CD correspondiente a la del eslabón 4. Como se ilustra en la figura 2.7, en la posición extrema ABCD la magnitud del ángulo de presión es mayor que en la ABC(1)D, en que la línea b b es de la dirección de la velocidad del unto C del balancín y la línea BC es la dirección de la acción de la fuerza, por eso esta posición se elige como la principal para la determinación del centro de rotación A de la manivela. Para definir el segmento AC, a través del punto C se traza la línea b b perpendicularmente al segmento CD y con respecto a éste, al ángulo de presión α17, se traza la línea c c hasta la intersección con la circunferencia del radio r. El punto de la intersección de éstas se marca con la letra A que se considera el centro de rotación de la manivela. Al unir el punto A con el C y el A con el C(1) se determinan dos posiciones extremas de la manivela y de la biela, en que la manivela y la biela están alineadas. Luego a partir C * por magnitud igual a radio AC hasta la intersección del punto A se traza el arco C (1)
(1)
con el segmento AC. Por estas construcciones se tiene que AC(1) BC AB y
AC* AB BC CC* . Ya que AC * AC(1) resulta que CC * 2 AB , donde la longitud del segmento que representa la manivela es igual a: CC * AB . 2
(2.12)
Luego se calculan las longitudes naturales de los eslabones del mecanismo: entonces la longitud de la manivela será igual LAB μ L AB , de la biela se calculará por LBC μ L BC , del balancín como LDC μ L DC y la longitud la base será igual a LAD μ L AD . Para obtener el mecanismo con mejor correlación entre las longitudes de los eslabones se analizan varios esquemas modificando la longitud del balancín LCD, el ángulo de la carrera del balancín o variando algunos otros datos. Método analítico de la síntesis se resuelve con el uso de la interpretación gráfica presentada en la figura 2.7. Para mostrar la resolución de éste se consideran los mismos datos que se usaron para el método gráfico. El cálculo se resuelve en valores naturales.
17
Para asegurar el cumplimiento de la condición adm . el ángulo de presión ɑ se elige un poco menor al admisible
adm. 2...3 .
62
Por la fórmula (2.11) se calcula la magnitud del ángulo y, ya que ψ=2 , en el triángulo CFE se determinan las longitudes LFC y LFC(1) mediante:
LFC(1) LFC
LCC(1) 2 sen
.
(2.13)
En correspondencia con las características del mecanismo se elige la carrera angular δ del balancín y en el triángulo CFE se determina LDC mediante:
LDC
LCC(1) δ 2 sen 2
,
(2.14)
o, eligiendo la longitud LDC se determina la carrera angular del seguidor:
2arcsen
LCC(1) 2 LDC
.
(2.15)
En el triángulo ACF se determina LAC : LAC 2 LFC cos ACF ,
(2.16)
donde ACF γ DCF , en que el ángulo γ 90 . Para determinar el ángulo DCF a través del punto D se traza la línea d d paralela a FC donde se observa que el ángulo DCF es igual al ángulo que forma la línea d d con el segmento DC. Puesto que el segmento CF forma un ángulo θ con respecto al FE entonces la línea δ d d también forma el ángulo θ con respecto al segmento DE entonces DCF . 2 Luego en el triángulo ACD se determina la longitud de la base LAD :
LAD LAC 2 LDC 2 2 LAC LDC cos γ ,
(2.17)
y en el triángulo AC1 D la longitud del segmento LAC1 :
LAC1 = LAC 2 + LCC1 2 - 2 LAC LCC1 cos ACC1 ,
63
(2.18)
δ donde ACC1 90 γ . En la figura 2.7 el ángulo ACC1 DCE γ y en el 2 triángulo DCE el ángulo DCE 90 . 2 Los últimos parámetros que se determinan es la longitud de la manivela:
LAB =
LAC - LAC1 2
(2.19)
y la de la biela: LBC L AC L AB .
(2.20)
Los métodos analíticos son demasiado formales y no dan al ingeniero el sentido de la confianza completa en el resultado por eso los cálculos se analizan y se justifican mediante los métodos gráficos. Para su justificación se eligen ciertas condiciones complementarias limitativas, por ejemplo, longitud de la biela, longitud de la base, o las longitudes de algunos eslabones en proporción entre ellos. Síntesis del mecanismo de biela-manivela-corredera. En la figura 2.8 se ilustra el método gráfico de la síntesis de dicho mecanismo. Se supone que para la síntesis del mecanismo se conocen los siguientes datos: la carrera de la corredera s, el coeficiente de cambio de la velocidad promedio K y el ángulo de presión admisible αadm. o la magnitud de la excentricidad e , que es la distancia más corta entre la guía de la corredera 4 y el eje de rotación de la manivela 2. La manivela realiza el movimiento giratorio con la velocidad angular uniforme ( ω2 const ). La construcción del esquema cinemático de este mecanismo se considera como una de las variantes de la síntesis del Figura 2.8. Síntesis del mecanismo de biela-manivelamecanismo de balancín. corredera.
64
La síntesis se resuelve en el siguiente orden18. Empleando la fórmula (2.11) se calcula el ángulo θ. Ya que es conocida la carrera s de la corredera, en la figura 2.8 se representa como el segmento C(1)C(2), a través de los puntos C(1) y C(2) a un ángulo 90 con respecto al segmento indicado se trazan dos rectas y en la intersección de éstas se halla el punto F que será el centro de la circunferencia del radio r. Entonces, en correspondencia con el teorema sobre el ángulo inscrito, sobre esta circunferencia se puede hallar una cantidad infinita de los centros de rotación de la manivela. Si está dada la excentricidad e 0 entonces el centro de rotación A se hallará en la intersección de la circunferencia con la línea trazada paralelamente a segmento C(1)C(2) a la distancia e. En el caso analizado la limitante es el ángulo de presión α. En la figura 2.8 se observa que el ángulo de presión obtiene la magnitud máxima en la posición extrema AB(2)C(2) con esto se detecta que el aumento de la excentricidad e aumenta α. Por eso desde el punto C(2) a un ángulo adm. 2...3 19 se traza la recta hasta la intersección con la circunferencia. El punto de intersección se considerará el centro de rotación de la manivela A. Uniendo el punto A con el C(1) se halla otra posición extrema del mecanismo. Luego desde el punto A se traza el arco de radio AC(2) hasta la intersección con la línea AC(1). La longitud de la manivela se determinará como la mitad del segmento C(1)C * : AB
C(1)C * 2
.
(2.21)
Método analítico se realiza a base de la figura 2.8. Cálculo de las dimensiones de los eslabones se realiza del siguiente modo. En el triángulo C(1)C(2) F de la figura 2.8 se tiene:
r
s . 2 sen
(2.22) Figura 2.9. Construcción adicional para el la empleo en el método analítico de la síntesis del mecanismo de biela-manivela-corredera.
La determinación de la longitud de distancia L AC( 2 ) se ilustra con la construcción
adicional presentada en la figura 2.9. En ésta el punto F se une con los A y C(2) y ya que Todas las construcciones gráficas se realizan a escala L . Pero aquí y en adelante, con el objetivo de hacer el texto conciso y presentación de esquemas en forma más simple, la indicación de escala se omite. 19 Al analizar el movimiento de los eslabones del mecanismo se puede notar, que en algunas posiciones intermedias entre dos extremas, el ángulo de presión podrá ser más grande que el admisible. Estos casos son aceptables si las posiciones están en la fase de retorno. 18
65
los puntos A y C(2) se ubican en la circunferencia con el centro en el punto F entonces el triángulo AFC( 2) es isósceles. A través de los puntos A y C(2) se traza el segmento AC(2) y posteriormente la perpendicular FE al mismo. Si desde el punto F bajar la perpendicular FD a la trayectoria del punto C de la corredera entonces el ángulo C 2 FD será igual al θ, el ángulo EFD igual al de presión ɑ, el segmento AC(2) en el triángulo AFC( 2) será igual a:
LAC ( 2 ) 2 r sen ,
(2.23)
y la excentricidad e se calculará por:
e LAC ( 2) sen .
(2.24)
Para determinar la longitud de L AC (1) en la figura 2.8 en el triángulo AFC(1) se determina el ángulo AFC (1) 2 2 2 y luego:
LAC(1) 2 r sen .
(2.25)
La longitud de la manivela se calculará como la mitad de la diferencia entre L AC(1) y
LAC( 2 ) : LAB
LAC(1) LAC( 2 ) 2
.
(2.26)
Síntesis del mecanismo de colisa con colisa oscilante mediante el método gráfico se ilustra en la figura 2.10. Para la síntesis se tiene como datos: el coeficiente K y la distancia s entre las posiciones extremas del punto D de la colisa. El ángulo de presión en los datos no está incluido ya que el vector fuerza que actúa en el par cinemático deslizante es perpendicular al vector velocidad relativa. Por lo tanto el ángulo de presión siempre es igual a 90°, que es muy favorable para un mecanismo con la manivela aceptada como el eslabón motriz. Figura
2.10. Síntesis geométrica mecanismo de colisa oscilante.
66
del
En la figura 2.10 se observa que: K
180 , 180
(2.27)
donde es el ángulo de la carrera de la colisa. Entonces el ángulo será igual a:
K . K
(2.28)
Construcción gráfica se realiza en el siguiente orden. Utilizando la escala del esquema y la carrera s del punto D, se traza el segmento D(1)D(2). Luego a través de los puntos D(1) y D(2), a un ángulo 90 , se trazan dos líneas que se considerarán las posiciones 2 extremas de la colisa. En la intersección de éstas se pone el par cinemático de rotación C que une la colisa con la base. Después a partir del punto C se traza la perpendicular al segmento D(1)D(2) que dividirá el ángulo de la carrera angular de la colisa en dos mitades. Al trazar el arco de radio CD(1), desde el punto de intersección de la perpendicular con el arco se mide la distancia mínima hmin. entre el punto B de la manivela y el punto D de la colisa. La magnitud de ésta depende del destino y la construcción de la máquina, pero hay que tomarla lo menos posible. Después, escogiendo el radio AB se determina la posición del par cinemático A. El proceso de la elección del radio AB se realiza mediante la sucesiva aproximación de modo que la circunferencia trazada con el radio AB sea tangente a ambas posiciones extremas de la colisa y atraviese el punto B* de la posición más alta del punto B de la manivela. Para la determinación de la posición del par cinemático A y del radio AB también se puede usar el siguiente método. En una hoja transparente, por ejemplo en acetato, se trazan los ejes perpendiculares y el punto de intersección se marca como A. Luego desde el punto A se trazan dos líneas un ángulo con respecto al eje horizontal. La imagen se 2 aplica al esquema del mecanismo de modo que los ejes verticales coincidan. Desplazando la imagen a lo largo del eje vertical del esquema se halla tal posición del punto A que los segmentos AB(1), AB(2) y AB* sean iguales. Facilitan mucho la búsqueda de la igualdad de los segmentos AB(1), AB(2) y AB* circunferencias concéntricas trazadas a partir del punto A. Al definir la longitud de la manivela AB se determina la longitud de la base AC.
67
Método analítico se realiza a base de la figura 2.10. Para esto se usan los mismos datos que fueron empleados en el método gráfico. Al principio se determina la longitud de la colisa:
LCD
s 2 sen 2
.
(2.29)
Luego se elige la distancia H min L hmin y se determinan las longitudes: de la manivela LAB y de la base LAC. Usando la figura 2.10 se tiene: LCD LCA LAB H min ,
(2.30)
LAB = LCA sen . 2
(2.31)
también:
Al sustituir (2.31) en (2.30), simplificando y despejando se tiene:
LCA
LCD - H min . 1 sen 2
(2.32)
Por fin usando (2.31) se determina la longitud de la manivela LAB. Método gráfico de la síntesis del mecanismo de colisa con colisa giratoria se ilustra en la figura 2.11. En éste la manivela gira con la velocidad angular constante y la colisa realiza el movimiento giratorio completo con la velocidad angular variable. Como se observa en la figura 2.11, con el giro de la manivela en el sentido contra del reloj, la velocidad promedio del movimiento de la colisa en el paso desde la posición AB(1) hasta la AB(2) será menor que la velocidad promedio del movimiento en el paso desde la posición AB(2) hasta la AB(1). En las posiciones extremos de la manivela que son AB(1) y AB(2):
68
Figura 2.11. Síntesis geométrica del mecanismo de colisa giratoria.
4
vB 4 2 LAB cos 2 LBC LAB cos
(2.33)
Entonces
donde se tiene:
180 2 , K 180 2
(2.34)
90 K 1 . K 1
(2.35)
Para el diseño se tiene como datos: el coeficiente K y la longitud del eslabón 4, que determina el diámetro de la circunferencia que traza el punto D. La construcción gráfica está mostrada en la figura 2.11. El orden de la construcción es el siguiente. Al inicio se traza la circunferencia del radio CD y luego se marca la distancia más corta hmin entre el punto D de la colisa y el punto B de la manivela. Para definir las coordenadas del par cinemático A, así como en el ejemplo anterior, empleando el método de sucesivas aproximaciones se trazan circunferencias del radio AB* de modo que los segmentos AB(1) y AB(2) formen un ángulo θ con respecto al eje horizontal de la circunferencia del radio CD. Construcción analítica se realiza a base de la figura 2.11. Al principio se elige la distancia H min entre el punto D y B y al presentar LCD LCA LAB hmin y L - H min LCA = LAB sen , se determina la longitud de la manivela LAB CD y luego la de 1 sen la base LCA . 2.2.3 Síntesis por una determinada ley de movimiento Para mostrar la síntesis por la ley del movimiento dada se eligen el mecanismo de balancín y el de biela-manivela-corredera. La ley del movimiento se representa en forma de la dependencia funcional a la coordenada angular o lineal del eslabón de entrada de la coordenada angular o lineal del eslabón de salida. Esta ley puede ser dada en forma gráfica o en función analítica. Para los cálculos es muy práctico presentar la ley del movimiento con el tiempo excluido. 69
Sea dada la función de la velocidad del eslabón de salida j en forma v j
ds j
. Si ésta se dt multiplica y se divide por di , donde φi es la coordenada generalizada del eslabón de ds d i d i es la velocidad angular ωi del eslabón i, entrada i, resulta que v j j . Ya que dt d i dt ds ds j se tiene que v j j i , donde se denomina análogo de velocidad. Asimismo d i di
aj
d 2s j
d 2s j
d 2s j
i , en que se llamará análogo de aceleración. Igualmente se dt 2 d i 2 di 2 pueden presentar las dependencias cinemáticas si el eslabón de salida j tiene el movimiento giratorio u oscilatorio. Así pues, la velocidad angular obtiene la siguiente d 2 j 2 d j d j es el forma j , en que i y la aceleración angular la siguiente j i d i 2 d i d i d 2 j análogo de velocidad angular y es el análogo de aceleración angular. Por eso d i 2 los gráficos y las funciones analíticas se pueden presentar en forma: s j s j i , s j sj i y s j sj i o j j i , j j i , j j i . 2
Síntesis del mecanismo de balancín. Por medio del mecanismo de balancín, así como es mostrado en la figura 2.12, el movimiento giratorio completo de la manivela 2 se transforma en el oscilatorio del balancín 4. Por eso la ley del movimiento puede ser presentada en forma de la dependencia funcional a la posición angular de la manivela φ de la posición angular del balancín γ. Ésta se presenta mediante la función analítica , , o en la forma de uno de los gráficos que se muestran en las figuras 2.13a, 2.13b y 2.13c. A veces la dependencia gráfica se presenta reducida, en forma de la función ilustrada en la figura 2.13b o ilustrada en la figura 2.13c. Pero, para la síntesis se necesita usar la dependencia funcional a la posición angular del eslabón de entrada de la posición angular del eslabón de salida . Tal dependencia se determina mediante la integración analítica o gráfica mostrada en el capítulo 3.4. Puesto que el logro exacto de la ley del movimiento dada es un problema muy complicado, el problema de la síntesis se reduce a la definición de longitudes de los eslabones que garantizarían la realización de la ley del movimiento del eslabón de salida con el acercamiento máximo a la ley dada. La aproximación de la ley del movimiento obtenida a la dada se evalúa por la desviación del promedio admisible el que debe ser conocido como dato o aceptado de valores prácticos. 70
La tarea no podrá ser resuelta si está dada solamente la ley del movimiento porque tendrá muchas incógnitas. En general deben ser dados algunos otros datos, por ejemplo, la longitud de la base LAD y la longitud del balancín LDC. Por consiguiente, el problema consistirá en la definición de las longitudes de los eslabones restantes: de la manivela 2 y de la biela 3. Este problema se resuelve por medio del método de tres posiciones que se basa en el método gráfico de la determinación del centro de curvatura de una curva presentado el capítulo 1.2.5.
Figura 2.12. Empleo del método de tres posiciones para la determinación de longitudes de los eslabones.
Figura 2.13. Presentación gráfica de la ley del movimiento del eslabón de salida en función de la ley del movimiento del eslabón de entrada.
Figura 2.14. Pasos posteriores de la síntesis del mecanismo de balancín después de la determinación de la primera posición del mecanismo.
71
Método gráfico se realiza a base del método de tres posiciones. Este método consiste en lo siguiente. Si mediante tres posiciones del balancín 4 se determinan tres posiciones del punto C, la C(0), la C(1) y la C(2) (véase la figura 2.12), entonces, a través de estos puntos se puede trazar una sola curva a a que constituirá el arco de la circunferencia con un centro determinado. El centro del arco se determinará mediante la intersección de las perpendiculares trazadas de las mitades de los segmentos C(1)C(0) y C(0)C(2). Al suponer que a a es la trayectoria del punto C, en el punto de la intersección de las perpendiculares se ubicará el par cinemático B(0) que va a unir los eslabones 2 y 3. Así, de una sola manera, se determinarán las longitudes de la manivela 2 y de la biela 3. Para mostrar este método se toman los siguientes dados: el esquema estructural y la ley del movimiento del balancín en forma de un gráfico , así como está presentada en la figura 2.13a. Un ejemplo de ésta se muestra en la figura 2.12. Para disminuir la cantidad de incógnitas y tomando en cuenta las dimensiones del mecanismo real se eligen en valores naturales la longitud de la base LAD y del balancín LDC. Luego eligiendo escala se determinan las longitudes de los segmentos AD de la base y DC del balancín. En la figura 2.12 está presentado el esquema cinemático dispuesto de modo que la base AD coincida con el eje de abscisa X del sistema de coordenadas (x, y). El movimiento giratorio de la manivela contra del reloj se considera positivo ya que el vector velocidad angular tiene sentido coincidente con el sentido positivo del eje Z, en la figura 2.12 no están mostrados. Como la coordenada generalizada se considera el ángulo entre la manivela y la base. Como la coordenada angular del balancín, correspondiente a la generalizada, se considera el ángulo γ entre el balancín y la base. Para la construcción gráfica se llevan a cabo los siguientes pasos. Puesto que todos los diagramas se construyen con el origen en la posición de inicio del mecanismo se supondría que debe ser conocida la posición de inicio de la manivela. Sin embargo ésta todavía es desconocida ya que como la posición de inicio se elige una de las extremas del mecanismo. Ésta es posible definir solamente a finales de la síntesis cuando las longitudes de los eslabones serán determinadas. Por esta razón en el gráfico en la figura 2.13a arbitrariamente se elige el ángulo de partida part. de entre 1 part . . El ángulo de partida será el de inicio de la síntesis que no se debe 2 confundir con el ángulo de la posición de inicio del mecanismo. En la figura 2.13a por ambos lados del ángulo part. se eligen dos otras posiciones de la manivela marcados como (1) y (2) y en el gráfico se determinan los ángulos de la posición del balancín γpart., γ(1) y γ(2) correspondientes a los de la posición de la
72
manivela. En la figura 2.12 en el sistema de coordenadas (x, y) a escala L se traza el segmento AD(0) y a un ángulo (0) part . el segmento D(0)C(0). Para construir otras dos posiciones del mecanismo se emplea el método de Willis del movimiento opuesto20. En correspondencia con este método a todo el mecanismo se le proporciona el movimiento con la velocidad angular igual a la de la manivela, pero en el sentido opuesto. En el movimiento opuesto del mecanismo, la manivela resultará inmóvil y los otros eslabones, incluyendo la base, se ponen en el movimiento alrededor del eje de rotación de la manivela con la velocidad angular igual a 2 . Así de tal
manera se traza el segmento AD(1) con un ángulo (1) part .
con respecto al
segmento AD(0), que es la posición de la base en el movimiento opuesto, y desde el punto D(1) se traza el segmento D(1)C(1) a un ángulo γ(1) con respecto al segmento AD(1). Asimismo se traza el segmento AD(2) un ángulo (2) part . con respecto al AD(0) y el
segmento D(2)C(2) a un ángulo γ(2) con respecto al AD(2). Después se trazan los segmentos C(0)C(1) y C(0)C(2) y desde las mitades de éstos, marcados como E y F, se trazan las perpendiculares hasta la intersección mutua. La intersección de las perpendiculares se considera el centro de curvatura de la curva a a y por consiguiente la coordenada del par cinemático B(0). Al unir el punto B(0) con el A y el B(0) con el C(0) se determinan las longitudes de la manivela 2, de la biela 3 y el ángulo φ(0) entre la manivela y la base. Hay que aclarar, que el ángulo φ(0) numéricamente no es igual al part. ya que éstos tienen diferente sentido. Según el gráfico presentado en la figura 2.13a part. es el ángulo entre una de las posiciones de la manivela del mecanismo y una de las dos posiciones extremas de ésta todavía desconocidas y φ(0) es el ángulo entre la manivela y la base dispuestas en el sistema de coordenadas que fue determinado mediante la construcción gráfica (véase la figura 2.12). Esta posición de la manivela no está relacionada con la posición de inicio del mecanismo. Entonces con esta presentación gráfica se obtiene el esquema cinemático del mecanismo que va a realizar la ley del movimiento dada en el rango del ángulo (1) (0) (2) . Puesto que la tarea consiste en la construcción de un mecanismo que garantizaría la realización de la ley del movimiento dada en el giro completo de la manivela, por eso el esquema construido en una sola posición es insuficiente. Para la búsqueda de las siguientes posiciones se fija la posición B(0) del par cinemático B y la posición de los segmentos AD(2) y D(2)C(2) que están presentados en la figura 2.14. Luego en el gráfico 2.13a se elige otro ángulo φ(3) y el γ(3) correspondiente a φ(3). 20
El método del movimiento opuesto por primera vez fue empleado por el notorio científico inglés del sigo XIX R.Willis (1800-1875) para el cálculo de mecanismos planetarios. Este método se usa en otros casos por eso con mucha frecuencia lo nombran como el método de Willis.
73
Después se traza el segmento AD(3) a un ángulo (3) part . con respecto al AD(0) y el segmento D(3)C(3) un ángulo γ(3) con respecto al AD(3). Entonces a traves de los puntos C(0), C(2) y C(3) se puede trazar otra circunferencia b b con el centro en el punto B(2) que se halla así. Al trazar el segmento C(3)C(2) desde la mitad de éste, marcada como K, se traza otra perpendicular hasta la interseción con la FB(0), en la intersección de éstas se halla otro punto B(2). Así de esta manera se halla la segunda posición de los eslabones del mecanismo y por consiguiente las longitudes de la manivela AB(2) y de la biela B(2)C(2). Así pues, variando el ángulo φ se determinan varias posiciones del punto B que por fin formarán una curva cerrada. Nótese, que en todas las posiciones del mecanismo la longitud de la manivela y de la biela son diferentes. Pero cada una éstos debe tener la medida única. Por eso al analizar todas las posiciones de los puntos B definitivamente se eligen las longitudes de la biela y de la manivela. Después de la determinación de las longitudes de los eslabones hay que comprobar los valores de éstos. Esto se realiza mediante la comparación de la ley del movimiento del estlabón de salida del mecanismo construido con la dada y determinar su desviación. Para esto como la posición de inicio se elige una de las dos posiciones extremas AB*C*D o AB**C**D presentadas en la figura 2.15a. Luego, girando la manivela se construyen otras posiciones de los eslabones y midiendo los ángulos de la posición del balancín se construye el gráfic (i ) (i ) (i ) que en la figura 2.15b está presentada en líneas
discontínuas.
a)
b)
Figura 2.15. Diagrama que ilustra la evaluación de la exactitud de realización de la ley del movimiento dada en la síntesis del mecanismo de balancín.
Las desviaciones de las coordenadas del seguidor se determinan para cada posición del mecanismo como:
(i ) (i ) (i ) dat . ,
74
(2.36)
donde (i ) dat . es el ángulo de la posición del seguidor en correspondencia con los datos, γ(i) es el ángulo de la posición del seguidor obtenido por medio del mecanismo construido. Como criterio se considera el módulo de la desviación del promedio:
1 n pr . (i ) (i ) dat . n i 1
(2.37)
donde i = 1, 2, 3...n es el número de la posición en que fue determinada la desviación; o con la mayor exactitud, la raíz cuadrada de la desviación del promedio: n
pr .
i 1
(i )
( i ) dat . n
2
.
(2.38)
La desviación del promedio se compara con la admisible pr . adm. . En el caso cuando la desviación admisible se toma en magnitudes relativas éstas también se calculan en cada posición en dichas magnitudes:
(i )
o
(i ) %
(i ) (i ) dat . (i ) dat.
(i ) (i ) dat . (i )dat .
100% .
(2.39)
(2.40)
Luego por las fórmulas mismas que (2.37) o (2.38) se determinan las desviaciones promedios y se comparan con los valores admisibles. Comúnmente se resuelven varias variantes con diferentes LAD y LDC. Desde éstas se elige una que tiene desviaciones no mayores que admisibles, con la mejor correlación de longitudes de los eslabones y con los ángulos de presión en las posiciones extremas no mayores que los admisibles. Método analítico se realiza a base de las formas geométricas presentadas en las figuras 2.12, 2.13 y 2.14. Usando la figura 2.12 se determinan las coordenadas:
75
del punto C(0):
xC( 0 ) = LAD + LDC cos (0) yC( 0 ) = LAD + LDC sen (0)
,
(2.41)
xC(1) = LAD cos (1) part. LDC cos (1) (1) part. del punto C(1) :
, yC(1) = LAD sen (1) part. LDC sen (1) (1) part.
xC( 2) LAD cos (2) part. LDC cos ( 2) (2) part. del punto C(2): y L sen , C( 2 ) AD part. LDC sen (2) (2) part. ( 2)
del punto E:
xE yE
y del punto F:
xF yF
(2.42)
(2.43)
xC( 0 ) xC(1) 2 yC( 0 ) yC(1)
(2.44)
2 xC( 0 ) xC( 2 ) 2 . yC( 0 ) yC( 2 )
(2.45)
2
Luego se calculan los ángulos β(1) y β(2):
(1) arctan
(2) arctan
yC( 0 ) - yC(1) xC( 0 ) - xC(1) yC( 0 ) - yC( 2 ) xC( 0 ) - xC( 2 )
,
(2.46)
.
(2.47)
En la determinación de los ángulos β(1) y β(2) hay que tener en cuenta, que para el esquema presentado su magnitud podrá tener valores solamente en el rango de 0° a 180°. Luego mediante el sistema de ecuaciones se determinan las longitudes de las perpendiculares LFB( 0 ) y LEB ( 0 ) :
76
xF - LFB sen (2) = xE - LEB (0)
sen (1)
(0)
yF - LFB cos (2) = y E - LEB (0)
(2.48)
cos (1)
(0)
y se calculan las coordenadas del punto B(0): xB( 0 ) = xF - LFB( 0 ) sen (2) yB( 0 ) = y F - LFB( 0 ) cos (2)
.
(2.49)
A continuación se calcula el ángulo φ(0): (0)
yB arctan ( 0 ) xB (0)
,
(2.50)
la longitud de la manivela:
LAB xB (0)
2
(0)
yB
(0)
2
,
(2.51)
y la de la biela:
LB
(0)
C( 0 )
xC( 0 ) xB( 0)
2
yC( 0 ) yB( 0 )
2
.
(2.52)
Después de la determinación de los parámetros del mecanismo en la posición de partida, se determinan los parámetros para otras posiciones. Utilizando la figura 2.14 se determinan las coordenadas del punto C(3):
xC(3) = LAD cos - (3) - part. + LDC cos (3) - (3) - part.
yC( 3) = LAD sen - (3) - part. + LDC sen (3) - (3) - part.
,
(2.53)
del punto K: xK yK
y del ángulo β(3):
xC( 3) xC( 2 ) 2 yC(3) yC( 2 ) 2 77
,
(2.54)
yC yC( 3) (3) arctan ( 2 ) xC xC ( 3) ( 2)
.
(2.55)
Luego, mediante el sistema de ecuaciones: xK - LKB( 2) sen (3) xF - LFB( 2 ) sen (2) yK - LKB( 2 ) cos (3) yF - LFB( 2 ) cos (2)
,
(2.56)
se determinan LKB( 2 ) y LFB( 2 ) . Se calculan las coordenadas del punto B(2): xB( 2 ) = xK - LKB( 2 ) sen (3) yB( 2 ) = yK - LKB( 2 ) cos (3)
,
(2.57)
la longitud de la manivela
LAB( 2 )
2
xB( 2 )
yB( 2 )
2
(2.58)
y la de la biela
LB( 2 )C( 3)
xC( 3) xB( 2 )
2
yC( 3) yB( 2 )
2
.
(2.59)
Luego se calcula el ángulo de la posición de la manivela φ(2): yB (2) arctan ( 2 ) xB ( 2)
.
(2.60)
Después de la determinación de las coordenadas de todos los puntos B(i) y de las longitudes de los eslabones 2 y 3 en todas las posiciones del mecanismo se determinan las longitudes de éstos como promedio: la longitud de la manivela n
LAB pr .
L i 1
AB( i )
n
y la de la biela 78
(2.61)
n
LBC pr .
L i 1
B( i )C( i )
n
.
(2.62)
Después utilizando la figura 2.15a se determinan los ángulos de la minevela φ y del balancín γ en dos posiciones extremas del mecanismo, una que corresponde a la posición AB*C*D:
L L
AB pr.
+ LBC pr. cos * LDC cos * LAD 0
* * AB pr. + LBC pr. sen LDC sen 0
,
(2.63)
y otra que corresponde a la posición AB**C**D:
L L
AB pr.
LBC pr. cos ** LDC cos ** LAD 0
** ** AB pr. LBC pr. sen LDC sen 0
.
(2.64)
Una de las posiciones extremas se elige como la de inicio y girando la manivela con el paso se determinan otras posiciones de los eslabones. Para esto se emplea el siguiente sistema de ecuaciones:
sen
L
LAB cos 0 i LBC cos (i ) LDC cos (i ) LAD 0 LAB
0
i
BC sen ( i ) LDC sen ( i ) 0
,
(2.65)
donde δ es la posición angular de la biela BC con respecto al eje X. Nótese que los sistemas de ecuaciones (2.63), (2.64) y (2.65) son paramétricos. Cada uno tiene dos incógnitas por eso más conveniente resolverlas mediante el método iterativo. Al final, usando las fórmulas (2.37), (2.38) o (2.39), (2.40) se calculan las desviaciones de la ley del movimiento del seguidor del mecanismo construido y se comparan con las admisibles. Síntesis de mecanismos de biela-manivela-corredera. Para el mecanismo ilustrado en la figura 2.16a la metodología principal es semejante a la presentada para el mecanismo de balancín. Se considera que la conocida es la excentricidad e y desconocida es la posición de inicio de la manivela. La característica principal del mecanismo se presenta ds en forma vC 2 C , por eso el gráfico del desplazamiento de la corredera se presenta d en función del ángulo de giro de la manivela, ésta está representada en la figura 2.16b. 79
Igualmente como en el ejemplo anterior la síntesis se muestra al principio en forma gráfica y luego en forma analítica. Método gráfico se realiza a base del método de tres posiciones. Para la construcción del
a)
b)
Figura 2.16. Empleo del método de tres posiciones para la determinación de longitudes de los eslabones para una sola posición del mecanismo de biela-manivela-corredera.
esquema cinemático mediante este método en el sistema de coordenadas (x, y) se traza la base de modo que coincida con el eje X. En el inicio del sistema de coordenadas se dispone el par cinemático A que va a unir la manivela 2 con la base 1. Luego paralelamente al eje X del sistema de coordenadas a una distancia e se traza la guía de la corredera 4. Para trazar la guía correctamente en todas las posiciones posteriores del mecanismo se traza la circunferencia de radio r e , en este caso la guía se trazará tangente a esta circunferencia. Después, en el diagrama presentada en la figura 2.16b, arbitrariamente se elige el ángulo de partida φpart. y en el sistema de coordenadas (x, y), también arbitrariamente, se elige la posición del punto C(0) de la corredera 4. Luego empleando el método de tres posiciones, se determinan las coordenadas del punto B. Para esto, a partir del ángulo φpart. en el diagrama se eligen los ángulos φ(1) y φ(2) y se determina incremento de las distancias s(1) y
s( 2) correspondientes a los ángulos φ(1) y φ(2). Luego empleando el método del movimiento opuesto se construyen dos otras posiciones de la base con los ángulos ((1) part . ) y
(2) part. y en éstas se marcan
otras posiciones de la corredera C(1) y Figura 2.17. Síntesis del mecanismo de bielaC(2). En la intersección de las manivela-corredera en correspondencia con la ley del perpendiculares trazadas de las movimiento dada. 80
mitades de los segmentos C(0)C(1) y C(0)C(2), se halla el punto B(0). Al determinar las coordenadas del punto B(0) se determinan las longitudes de la manivela L AB( 0 ) , de la biela LB( 0 )C( 0 ) y el ángulo de la posición de la manivela φ(0).
Luego, empleando el método semejante al mecanismo de balancín se construyen otras posiciones del mecanismo, así como la tercera posición ilustrada en la figura 2.17, y se determina la segunda posición del par cinemático B. Al determinar las longitudes de los eslabones se determinan las posiciones extremas del mecanismo, que está presentado en la figura 2.18. Eligiendo una posición extrema como de inicio, se construye el gráfico del movimiento del seguidor 4 en función de la posición de la manivela φ2 y por las fórmulas (2.37), (2.38) o (2.39) y (2.40) se calculan las desviaciones de la ley del movimiento del seguidor Figura 2.18. Determinación de las posiciones construido y se comparan con las extremas del mecanismo de biela-manivela-corredera. admisibles. Método analítico se realiza a base del método gráfico. Para la resolución mediante este método, se toman las coordenadas de los puntos C(0), C(1) y C(2) del seguidor en magnitudes reales: xC( 0 ) LC yC( 0 ) e
x
sen
,
(2.66)
xC(1) = xC( 0 ) + s(1) cos (1) part. e sen (1) part. yC(1)
y
C( 0 )
x
+ s(1)
sen
(1)
xC( 2 ) = xC( 0 ) + s(2) cos (2) part. e sen (2) part. yC( 2 )
C( 0 ) + s(2)
(2.67)
part. e cos (1) part.
(2) part. e cos (2) part.
.
(2.68)
El orden de la siguiente resolución es semejante al seguido para el mecanismo de balancín. Como resultado de esto se obtienen las longitudes de los eslabones. Luego, por medio de las fórmulas: 81
* LB*C* - LAB* sen e 0
xC* LB*C* - LAB* cos *
o
,
(2.69)
** LB**C** - LAB** sen e 0 ,
(2.70)
xC** LB**C** - LAB** cos **
se determinan los ángulos φ de la posición de la manivela en dos posiciones extremas del mecanismo (véase la figura 2.18), donde * * . Eligiendo una de éstas como la posición de inicio se calculan las desviaciones de la ley del movimiento del seguidor del mecanismo construido. Si se elige la posición AB*C*, entonces, empleando el incremento se hallan otras posiciones del mecanismo:
xCi = LAB cos * (i ) LBC cos (i )
yC i = LAB sen * (i ) LBC sen (i ) e 0
,
(2.71)
si como la posición de inicio se elige la AB**C**, entonces, se utiliza:
xC( i ) = LAB cos ** (i ) LBC cos (i ) yC( i ) = LAB sen (i ) LBC sen (i ) e 0 **
.
(2.72)
Posteriormente se determinan las desviaciones en cada posición y se comparan con las admisibles. La resolución de esto es semejante a la del mecanismo de balancín. 2.2.4 Síntesis de mecanismos con seis eslabones Por lo general el mecanismo plano de seis eslabones se forma por el mecanismo de primera clase unido con el grupo estructural de segunda clase de primera o de tercera variedad. Éstos forman el mecanismo de balancín, el de colisa oscilante o giratoria. El último grupo estructural puede ser el de segunda clase de segunda variedad, presentado en la figura 2.19a, el de cuarta variedad, presentado en la figura 2.18b, o de quinta variedad, presentado en la figura 2.19c. El último el grupo estructural del mecanismo presentado en la figura 2.19a es de segunda clase de segunda variedad. Para obtener las magnitudes mínimas de los eslabones y asegurar el cumplimiento de la condición adm. en límites de trabajo del 82
mecanismo se necesita elegir una posición de la guía de modo que el eje x x divida la altura del arco f en dos partes iguales. En éste caso el ángulo de presión va a tener la magnitud máxima tanto en la posición extrema del mecanismo B(1)C(1) como en la media de la carrera de la corredera B2C2, por eso:
max. arcsen
f adm. . 2 lBC
(2.73)
Para el mecanismo con el grupo estructural de segunda clase de cuarta variedad, ilustrado en la figura 2.19b, el ángulo de presión en el par cinemático deslizante es igual a cero, pero en el par cinemático de rotación la magnitud de en las posiciones extremas de la corredera 6 es máxima. Por eso las longitudes de los eslabones se eligen cuando la corredera se encuentra en las posiciones extremas, donde:
a)
c)
b)
Figura 2.19. Explicación gráfica de la síntesis de los mecanismos de seis eslabones.
s arctan 2 lBD
adm. .
(2.74)
El ángulo de presión en los pares cinemáticos deslizantes del grupo estructural de segunda clase de quinta variedad, presentado en la figura 2.19c, es igual a cero. Pero cuando el par cinemático de rotación B no coincide con la línea x x la fuerza, que actúa sobre el par cinemático deslizante, va a producir el momento de fuerza que será proporcional a la mitad de la altura del arco f. Un valor grande del momento de fuerza provoca la fuerza grande de reacción en el par cinemático deslizante C y, por consiguiente, la fuerza de fricción grande.
83
Como el ejemplo en las figuras 2.20 se muestra la formación de tres diferentes mecanismos. Todos tienen como básico el mecanismo de balancín que consta del mecanismo de primera clase, compuesto por los eslabones 1 y 2, y del grupo estructural de segunda clase de primera variedad, compuesto por los eslabones 3 y 4. Su distinción consiste en el a) b) c) empleo de los grupos estructurales finales que Figura 2.20. Un ejemplo de la formación de los mecanismos de seis son: de segunda clase de eslabones por el mecanismo de primera clase, el grupo estructural de segunda variedad, segunda clase de primera variedad y los grupos estructurales de segunda clase a) de segunda variedad, b) de cuarta variedad y c) de presentado en la figura quinta variedad. 2.20a, de segunda clase de cuarta variedad, presentado en la figura 2.20b, y de segunda clase de quinta variedad presentado en la figura 2.20c. 2.2.5 Introducción a la síntesis de mecanismos por la trayectoria dada En la práctica a veces aparecen problemas de la transformación del movimiento de modo que la trayectoria de algún punto tenga el carácter lineal o de una curva elegida. A continuación se presentarán algunos ejemplos de generación de líneas rectas y de ciertas curvas con el empleo de mecanismos articulados. En el capítulo 1.2.1 fue mostrado que el mecanismo de Cardano puede generar elipses y circunferencias. Se puede comprobar que esto es correcto. Para la comprobación de lo dicho es suficiente determinar la forma de la trayectoria del punto D de la biela 3 del mecanismo ilustrado en la figura 2.21. En el sistema de coordenadas (x, y) la ecuación del punto D es de forma:
x
C
o
Figura 2.21. Esquema del mecanismo de (elipsógrafo) para generar (2.75) Cardano círcunferencias y elipses.
xD y D b , 2
2
2
y
y D xD a 2 . 2
B
84
2
(2.76)
Las ecuaciones (2.75) y (2.76) pueden ser presentadas en forma:
x
y
y
y xD D2 1 2 b b
(2.77)
xD yD 1. a2 a2
(2.78)
2
C
2
2
B
2
xC xD y -y cos ACB y B D sen ACB , entonces, las ecuaciones (2.77) y b a (2.78) obtienen las siguientes formas:
Ya que
yD2 cos ABC 2 1 b
(2.79)
xD 2 sen ABC 2 1. a
(2.80)
2
2
y
Después de ciertas modificaciones las ecuaciones (2.79) y (2.80) se presentarán así: 2
2
yD xD 1. b2 a2
(2.81)
Como es conocido de matemáticas, la ecuación (2.81) corresponde a la de una elipse, por eso la curva que traza el punto D es elíptica, esto da el nombre al mecanismo como elipsógrafo. Si el punto D se encuentra en el centro del eslabón 3 ( a b ), en la figura 2.21 obtiene la posición D*, éste trazará la circunferencia de radio: 2
2 L r BC xC xD* yD* 2 . 2 2
(2.82)
Ya que xC 2 x D * , la ecuación (2.82) se convierte en:
r 2 xD* 2 yD* 2 .
85
(2.83)
El matemático ingles Samuel Roberts (1827-1913) examinando el pantógrafo de Sylvester21, presentado en la figura 2.22, en que el punto E traza una curva, comprobó que la trayectoria del punto F es semejante a la trayectoria del punto E y gira con respecto a la misma un ángulo . Al examinar la semejanza de los triángulos BCE y DFC , también las igualdades de los segmento AD BC , AB DC y de los ángulos ABE ADF se observa que los triángulos ABE y ADF son AE BE semejantes. Con esto resulta que y AF AD EAF CDF . Empleando esta prueba Figura 2.22. Matemático Samuel Roberts Samuel Roberts formuló el teorema que obtuvo comprobó, que la trayectoria del punto F es su nombre: “la misma curva del mecanismo semejante a la trayectoria del punto E y articulado de cuatro eslabones puede ser está girada respecto a la misma al ángulo . reproducida al menos por tres diferentes mecanismos articulados”. La importancia del teorema de Roberts consiste en que, si existe un mecanismo, que reproduce una curva, entonces se pueden hallar dos otros mecanismos que podrán reproducir la misma curva y elegir el mejor de ellos 22. El científico ruso P.L.Chebishev (1821-1894), empleando la teoría elaborada por él sobre la aproximación de las funciones descubrió una serie de mecanismos que reproducen la trayectoria previamente elegida. En la figura 2.23a está presentado uno de éstos que con la correlación de las longitudes de los eslabones (BC=CF=CD=2.5AB, AD=2AB)23 permite definir una distancia F1F2 suficientemente grande en que la trayectoria del punto F de la biela 3 prácticamente es recta y F const . Otro mecanismo de una línea recta es el mecanismo de Watt, que se muestra en la figura 2.23b. Si los eslabones 2 y 4 tienen la igual longitud, y el punto E está en la mitad del eslabón 3 el punto E trazará una curva, una parte de que se aproxima mucho a una línea recta. El mecanismo de Watt se utiliza sobre el eje trasero en suspensiones de algunos autos para la prevención del desplazamiento lateral del chasis, permitiendo al mismo tiempo, moverse en la dirección vertical.
21
James Joseph Sylvester (1814-1897), matemático británico, elaboró la teoría de transformación de curvas. N.I.Levitsky. Teoría de mecanismos y máquinas. Moscú. Edición “Nauka”, 1979, (p. 393) 23 Teoría de Mecanismos y Máquinas. Bajo la redacción del Dr. V.A.Gavrilenko. Moskú, “Vischaya Shkola”, 1973, (p. 135). Joseph Edward Shigley, John Joseph Uicker, Jr., Teoría de Mecanismos y Máquinas. McGRAW-HILL, 1990, (p. 24). 22
86
a)
b)
c)
Figura 2.23. Tres mecanismos que generan línea aproximadamente recta.
El punto C del inversor de Peaucillier, ilustrado en la figura 2.23c, también genera una línea aproximadamente recta si se toman las siguientes longitudes BE = ED = DC = CB de modo que los puntos A, E y C estén en una línea recta. En este caso AE AC const y las curvas, generadas por los puntos E y C, son inversas una de otra. Si el par cinemático F es equidistante de los puntos A y E ( AF FE ) el punto E va a trazar un arco circular y el punto C una línea recta.
87
PROBLEMAS 2 Problema 2.1. Construir el esquema cinemático del mecanismo de balancín presentado en la figura P2.1. Los datos son los siguientes: el coeficiente de cambio de la velocidad promedio, K 1.17 ; el desplazamiento del punto, C sC 0.24m ; el desplazamiento angular del balancín, 4 50 ;
LCE 0.3 LBC ; el ángulo de presión admisible, adm . 38 .
Figura P2.1.
Problema 2.2. Empleando los métodos analíticos determinar las longitudes de los eslabones del mecanismo presentado en la figura P2.1. Los datos son los mismos que en el problema 2.1. Gráficamente comparar los resultados obtenidos. Problema 2.3. Construir el esquema cinemático del mecanismo de biela-manivela-corredera presentado en la figura P2.2. Los datos son los siguientes: el coeficiente de cambio de la velocidad promedio, K 1.1 ; el desplazamiento de la corredera, sC 0.3, m ; el ángulo de presión admisible, adm . 16 . Problema 2.4. Empleando los métodos analíticos determinar las longitudes de los eslabones del mecanismo presentado en la figura P2.2. Los datos son los mismos que en el problema 2.3.
Figura P2.2.
Gráficamente comparar los resultados recibidos. Problema 2.5. Construir el esquema cinemático del mecanismo de colisa oscilante presentado en la figura P2.3. Los datos son los siguientes: el coeficiente de cambio de la velocidad promedio, K 1.60 ; el desplazamiento del punto D, sD 0.40, m ; la distancia más corta entre el punto B y el punto D elegir igual a 0.15 LCD .
Figura P2.3.
Problema 2.6. Empleando los métodos analíticos determinar las longitudes de los eslabones del mecanismo presentado en la figura P2.3. Los datos son mismos que en el problema 2.5. Gráficamente comparar los resultados recibidos.
88
Problema 2.7. Construir el esquema cinemático del mecanismo de colisa giratoria presentado en la figura P2.4. Los datos son los siguientes: el coeficiente de cambio de velocidad promedia, K 1.48 ; la longitud de la colisa, LCD 0.30, m ; la distancia más corta entre el punto B y el punto D elegir igual a 0.15 LCD . Problema 2.8. Empleando los métodos analíticos determinar las longitudes de los eslabones del mecanismo presentado en la figura P2.4. Los datos son mismos que en el problema 2.7. Gráficamente comparar los resultados recibidos.
Figura P2.4.
89
Capítulo 3 ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS ARTICULADOS 3.1 Nociones generales Análisis cinemático (cinemática viene del griego κινεω, o kineo, que significa “movimiento”) persigue dos metas principales. La primera consiste en la determinación de la correspondencia de la ley del movimiento del eslabón de salida del mecanismo construido en el proceso de la síntesis a la ley del movimiento dada y la segunda en la obtención de los datos para el cálculo de las fuerzas que actúan sobre los eslabones y en los pares cinemáticos. Análisis cinemático toca problemas del movimiento de los eslabones y de los puntos de éstos por eso al principio se necesita detenerse en la definición de las características del movimiento. 3.1.1 Movimiento y sus propiedades El movimiento de los eslabones y de los puntos de éstos se estudia en el sistema de coordenadas cartesiana, es decir en el espacio limitado por tres planos ortogonales que en la intersección mutua forman tres ejes ortogonales X, Y y Z. La posición de un cuerpo en un sistema de coordenadas determina las coordenadas de dos puntos o la coordenada de un solo punto y el ángulo que forma este cuerpo con respecto a los ejes del sistema de coordenadas. Movimiento (mecánico) se define como cambio de posición de una sola partícula en el espacio de un sistema de coordenadas o experimentan los cuerpos en el mismo espacio o con respecto a otros cuerpos. En el espacio tridimensional absolutamente todo está en movimiento, el reposo de un cuerpo o de una partícula se considera un caso particular del movimiento cuando éste se toma como referencia. Movimiento tiene sentido pero no tiene valor. Cuando el movimiento se aplica a un solo punto entonces éste caracterizan: Trayectoria es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas por las cuales pasa el punto. Gráficamente se presenta como como una recta o una curva. Desplazamiento (rectilíneo o curvilíneo) es la longitud del camino que recorre el punto y corresponde a la distancia entre la posición inicial y final de su trayectoria. La 90
posición de un solo punto en un sistema de coordenadas se define mediante las proyecciones de este punto sobre los ejes del sistema de coordenadas. Dirección es el ángulo que forma la trayectoria del punto con una línea imaginaria que, por lo general, es horizontal. Sentido es aquello que determina la orientación del movimiento de un punto en el sistema de coordenadas de referencia, es decir, si el punto se ha movido hacia la derecha, hacia la izquierda, arriba, abajo, derecho, atrás, etc. Cuando el movimiento se aplica a un cuerpo entonces éste caracterizan: Desplazamiento (angular) es el ángulo que recorre el cuerpo en el movimiento giratorio y corresponde al ángulo entre la posición inicial y final del cuerpo. Sentido del desplazamiento angular es aquello que determina la orientación del desplazamiento angular del cuerpo. Se distinguen dos sentidos del movimiento angular de un cuerpo: sentido del reloj y sentido contra del reloj (sentido horario o anti horario). Los parámetros que definen la posición y el carácter del movimiento de un solo punto son: las coordenadas de la posición instantánea en un sistema de coordenadas, la velocidad y la aceleración del movimiento de este punto. Los parámetros que definen la posición y el carácter del movimiento de un cuerpo son: las coordenadas angulares de su posición instantánea en un sistema de coordenadas, la velocidad angular y la aceleración angular del mismo. Todos los cuerpos ejercen movimientos complejos que pueden ser descompuestos en dos simples: movimiento de un solo punto por una trayectoria y movimiento giratorio del cuerpo con respecto a este punto. El análisis cinemático se resuelve en sistemas de coordenadas cartesianas con esto un sistema se elige como de referencia y se considera inmóvil y el otro se considera móvil con respecto al primero. El movimiento del punto en el sistema de coordenadas de referencia se llama absoluto y el movimiento del mismo punto en el sistema de coordenadas móvil relativo. El movimiento del sistema de coordenadas móvil en el sistema de referencia se nombra de traslación. El ejemplo de éstos conceptos se ilustra en la figura 3.1 en que el sistema de coordenadas 91
Figura 3.1. El diagrama que ilustra la definición del movimiento relativo, de traslación y absoluto.
(x, y) está fijo a la base con el inicio en el punto A125 por eso es inmóvil y se considera de referencia. Uniendo el eslabón 2 con la base mediante el par cinemático de rotación A y fijando en el punto B del eslabón 2 el sistema de coordenadas (x*, y*) se recibe el eslabón que traslada el sistema de coordenadas (x*, y*) en el sistema de coordenadas de referencia (x, y). Si en el sistema de coordenadas (x*, y*) se coloca el eslabón 3 que se une con el 2 mediante el par cinemático B entonces el movimiento del punto C del eslabón 3 en el sistema de coordenadas (x*, y*) será relativo el movimiento del mismo punto en el sistema de coordenadas de referencia será absoluto y el movimiento del sistema de coordenadas (x*, y*) en el (x, y) será de traslación. El movimiento de los puntos de los eslabones se manifiesta en las velocidades y aceleraciones que se presentan en forma de los vectores. La diferencia entre los vectores velocidades absolutas, relativas y de traslación se muestra en subíndices. Por ejemplo la velocidad absoluta del punto C del eslabón 3 en el sistema de coordenadas de referencia se marca como vC3, la velocidad relativa del mismo punto con respecto al punto B del eslabón 2 se marca como vC3B2 y la velocidad del punto B del eslabón 2, que es de traslación, en la misma forma como la absoluta, vB2. Hay que subrayar, que los puntos de un eslabón móvil no realizan movimiento relativo entre ellos ni en el movimiento lineal, ni en el giratorio. Este concepto se puede mostrar con el ejemplo presentado en la figura 3.2. Al girar el eslabón 2 un ángulo φ en el sistema de coordenadas (x, y, z) con respecto al eje Z se observa que las líneas paralelas trazadas sobre el eslabón perpendicularmente a éste no cambian su posición relativa, por consiguiente los puntos del mismo tampoco cambian su posición uno con respecto al otro ya que los eslabones son cuerpos absolutamente rígidos y duros. Es correcto hablar sobre el movimiento relativo de un punto de un eslabón con respecto al del otro, Figura 3.2. Dos líneas cuando estos eslabones están unidos mediante un par paralelas trazadas sobre el cinemático, o sobre el movimiento relativo de un punto de eslabón 2 no cambian su un eslabón con respecto a un sistema de coordenadas móvil posición relativa al girarlo un ángulo φ con respecto el o con respecto al sistema de coordenadas de referencia. sistema de coordenadas.
Velocidad (viene del latín velocitas) es un parámetro del movimiento relativo que habitualmente se define como “rapidez de cambio de la posición, o bien rapidez del desplazamiento de un punto con respecto a un marco de referencia”.26 El término velocidad se aplica cuando se trata de la rapidez del desplazamiento de un solo punto por una recta o curva con respecto al sistema de coordenadas de referencia o con respecto a los puntos del otro eslabón si éstos están unidos mediante un par cinemático. 25
Aquí y en adelante con subíndices se marcará la pertenencia del punto a un eslabón concreto. G.H.F.Nayler. Diccionario moderno de Ingeniería Mecánica. Edición bilingüe. Tomo II. Prentice Hall. 1999, p.p.284285. 26
92
La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial. En virtud de su carácter vectorial la velocidad es determinada por el módulo, por la dirección del desplazamiento y por el punto de su aplicación. El vector velocidad es tangente a la trayectoria del desplazamiento del punto, así como se observa en las figuras 3.3a y 3.3b, el sentido del vector determina el sentido del movimiento. Por ejemplo el vector velocidad del movimiento de un caracol v , ilustrado en la figura 3.3a, es tangente a la trayectoria de su movimiento que en este momento es una línea recta. Si b) a) las velocidades de todos los puntos del objeto son iguales Figura 3.3. El vector velocidad (lineal o circular) v es desplazamiento del punto, el entonces la velocidad de un solo tangente a la trayectoria de vector velocidad angular es perpendicular al plano del punto se puede aplicar a todo el movimiento giratorio del cuerpo. cuerpo. El vector velocidad v del movimiento del punto A de un eslabón que gira con respecto al punto O del sistema de coordenadas (x, y, z), presentado en la figura 3.3b, también es tangente a la trayectoria del movimiento del punto, que es la circunferencia de radio r ubicada en el plano del movimiento del cuerpo. Sentido del vector toma sentido del desplazamiento angular del eslabón. Galileo Galilei (1564-1642) fue el primero quien llegó a un concepto de velocidad dividiendo la distancia recorrida por una partícula en unidad de tiempo:
v
ds , dt
(3.1)
donde ds es el incremento infinitesimal, o bien diferencial, del desplazamiento s, se mide en metros (m) y dt es el tiempo en que sucedió el incremento del desplazamiento en segundos (s) por eso la velocidad se mide en m s o ms 1 .
La rapidez del desplazamiento angular de un cuerpo en un marco de referencia de coordenadas se comprende como la velocidad angular. La velocidad angular (viene del ingles angular velocity) es “taza de cambio del desplazamiento angular”26 y se determina como:
d , dt
93
(3.2)
donde dφ es el incremento infinitesimal (diferencial) del desplazamiento angular del cuerpo, se mide en radianes (rad), entonces la velocidad angular se mide en (rad/s). Habitualmente la indicación del ángulo en radianes se evita y la unidad de la velocidad angular se marca en forma (s-1). El cuerpo en el movimiento giratorio puede tener la velocidad angular constante ( const ), que se denomina uniforme, o variable ( var ). La velocidad tangencial (circular) v de un punto y la velocidad angular del cuerpo son magnitudes vectoriales. El vector velocidad v se aplica al punto, el vector velocidad angular se aplica al plano en que se realiza el movimiento giratorio del eslabón. Vector velocidad instantánea v de cualquier punto del cuerpo absolutamente rígido que gira con la velocidad angular se determinada por la fórmula:
v r,
(3.3)
donde r es el radio vector del punto, con el origen dispuesto en el inicio del sistema de coordenadas coincidente con el eje de giro del cuerpo; v es el vector velocidad tangencial del punto ubicado a la distancia r desde el eje de giro del cuerpo. Los vectores v , y r son mutuamente ortogonales, el sentido del vector se puede determinar mediante la regla de tornillo derecho. Por ejemplo en la figura 3.3b se muestra el movimiento giratorio del eslabón contra del reloj, entonces el sentido del vector velocidad angular va a ser coincidente con el sentido del eje Z del sistema de coordenadas (x, y, z). Este sentido se considera positivo. La magnitud escalar de la velocidad tangencial de punto y de la velocidad angular del eslabón se relacionan por:
v r,
(3.4)
donde r es el radio de la trayectoria que traza este punto en el movimiento giratorio del cuerpo con respecto al centro de rotación. Para el movimiento uniforme, si se conoce la velocidad de rotación del cuerpo n, que se mide en revoluciones por minuto (RPM, rev/min o simplemente min-1), la velocidad angular se calcula por:
n ..., s 1 . 30
(3.5)
Aceleración es una magnitud física de carácter vectorial que mide la rapidez de cambio de la velocidad del movimiento de un punto del cuerpo. En general el punto puede moverse con la velocidad constante v const y variable v var . Si el punto se mueve con la velocidad constante entonces la aceleración de su movimiento es igual a cero. El movimiento de un punto con la velocidad variable puede 94
ser acelerado y disminuido, por ejemplo por frenado. En el movimiento acelerado el sentido del vector aceleración coincide con el sentido del vector velocidad y en el movimiento disminuido el vector aceleración es opuesto al de la velocidad (véase la figura 3.4a). El vector aceleración es tangente a la trayectoria del movimiento del punto. La aceleración se determina mediante: dv d 2 s a dt dt 2
(3.6)
se mide en metros por un segundo al cuadrado (m/s2) o (m s-2). En el movimiento giratorio la velocidad de la variación de la velocidad angular de un cuerpo se identifica como la aceleración angular que se determina como:
se mide en
d 2 , dt 2
(3.7)
rad s o s . 2
2
En la figura 3.4b se muestra el eslabón i que ejerce el movimiento giratorio con respecto al punto A del eslabón k con la velocidad angular ωi y la aceleración angular αi. La aceleración angular provoca la aceleración tangencial del a) movimiento del punto Bi b) Figura 3.4. Aceleraciones en el movimiento lineal y giratorio. con respecto al Ak. La a) En el movimiento el vector aceleración puede tener diferente magnitud de ésta se relaciona con la sentido: en el arranque, que es el movimiento acelerado, el vector aceleración coincide con el sentido del vector velocidad y en el aceleración angular del frenado es opuesto. siguiente modo: b) En el movimiento giratorio del eslabón i con respecto al k la aBiAk i r .
n aceleración del punto Bi se descompone en la normal a BiAk , centrípeta (3.8) y tangencial aBiAk . En el movimiento acelerado la aceleración angular αi y la tangencial aBiAk son positivas y en el frenado negativas.
El vector aceleración tangencial es tangente a la trayectoria del movimiento del punto. Cuando el movimiento giratorio del eslabón i es acelerado entonces el sentido de la aceleración angular i coincide con el sentido de la velocidad angular ωi por consiguiente el sentido del vector 95
aceleración tangencial a BiAk también va a coincidir con el sentido del vector velocidad v BiAk y en el movimiento disminuido serán opuestos.
En el movimiento giratorio tanto variable como uniforme sobre los puntos del cuerpo actúa la aceleración normal, perpendicular a la tangente a la trayectoria del movimiento del punto. Ésta está relacionada con el cambio de la dirección del vector velocidad del punto. El vector aceleración normal se ubica en la línea radial que pasa a través del centro de rotación del eslabón y tiene sentido hacia este centro por eso en Mecánica la aceleración normal se denomina como centrípeta (que se tiende al centro). Su magnitud es igual al producto de la velocidad angular al cuadrado por la distancia de este punto desde el centro de rotación del eslabón. La aceleración normal es una de las componentes del movimiento giratorio relativo de un punto del eslabón con respecto al sistema de coordenadas de referencia. Entonces sobre el punto B del eslabón i que ejerce el movimiento giratorio con respecto al punto A del k, presentado en la figura 3.4b, además de la aceleración tangencial, actúa la aceleración normal de magnitud: n aBiAk i2 r .
(3.9)
En la figura 3.5 se muestran dos eslabones móviles i y j dispuestos en el sistema de coordenadas (x, y, z) fija a la base k de modo que el eslabón i se une con la base mediante el par cinemático de rotación A y el j con el i mediante el par cinemático deslizante B. Con el movimiento giratorio del eslabón i con respecto al sistema de coordenadas (x, y, z) con la velocidad angular ωi el eslabón j experimenta un movimiento complejo, giratorio junto con el i con respecto al mismo sistema de coordenadas y deslizante Figura 3.5. El diagrama que ilustra con respecto al eslabón i con la velocidad relativa vBjBi. el modo de la determinación del La acción de estos dos movimientos provoca la sentido de la aceleración de Coriolis. aceleración relativa en el par cinemático deslizante que se denomina de Coriolis. El efecto de la aceleración de Coriolis se puede explicar más claro mediante el esquema presentado en la figura 3.6. En éste la partícula A se mueve con la velocidad vr por la superficie del disco en la dirección hacia el borde. El disco gira con respecto al eje O con la velocidad angular . Ya que la velocidad de la partícula con respecto al sistema de coordenadas de referencia en el movimiento junto con el disco Figura 3.6. Esquema que ilustra la es proporcional a la distancia de ésta desde el apariencia de la aceleración de Coriolis. 96
centro de rotación del disco, entonces en la posición A1 la velocidad de la partícula será v1 r1 y en la posición A2 v2 r1 r . El incremento de la velocidad, v v2 v1 , ocurre en el tiempo t , que recorre la partícula con la velocidad vr desde la posición A1 a la A2. Como es conocido, la razón del incremento de la velocidad v por el incremento del tiempo t es la aceleración, que obtuvo el nombre del científico francés Gaspard-Gustave Coriolis, el que en 1836 presentó la versión matemática de esta aceleración. Con el uso de los argumentos presentados más arriba, no se obtiene una fórmula exacta para la determinación de la aceleración de Coriolis, ya que ésta provoca la fuerza de Coriolis, que cambia la trayectoria de la partícula. Debido a la acción de la fuerza de Coriolis sobre la partícula, ésta no ejerce el movimiento por una recta radial, sino por una curva mostrada en la figura 3.5 mediante una línea discontinua. Sin embargo, los razonamientos expuestos explican en forma muy sencilla el origen del efecto de esta aceleración. La aceleración de Coriolis es el producto vectorial:
c a BjBi 2 i v BjBi ,
(3.10)
que es el tercer vector, ortogonal al vector velocidad angular i , que se considera de traslación, y al vector velocidad relativa v BjBi . Su magnitud es igual a: c aBjBi 2 i vBjBi .
(3.11)
Determinar el sentido de la aceleración de Coriolis es más complicado que determinar el sentido de la aceleración normal y tangencial. En Mecánica se recomienda determinarlo mediante la regla de la mano derecha. En Teoría de Mecanismos y Máquinas se usa la siguiente regla, el sentido de la aceleración de Coriolis determina el sentido del vector velocidad relativo v BjBi , presentado en la figura 3.5, girado a 90° en el sentido del movimiento giratorio del eslabón más largo. La validez de esta regla se puede obtener examinando una vez más la figura 3.6. Con el movimiento de la partícula desde el centro de rotación del disco hacia el borde con la velocidad vr la partícula va a experimentar el incremento de la velocidad tangencial v , entonces el movimiento tangencial de la partícula es acelerado o positivo, coincidente con el vector velocidad del punto A2 del disco. Al tomar el vector vr y girarlo a 90° en el sentido del movimiento giratorio del disco, en la figura contra del reloj, se observa que el vector vr tendrá sentido coincidente con el incremento de la velocidad tangencial de la partícula.
97
Hay que completar, que la velocidad relativa vBjBi presentada en la figura 3.5 habitualmente es variable. Por eso el movimiento deslizante del punto B del eslabón j con respecto al punto B del i puede ser tanto acelerado como disminuido. Esta aceleración es tangente a la trayectoria del movimiento del punto B del eslabón j con . respecto al B del i que se marca como aBjBi Análisis cinemático de mecanismos articulados se resuelve mediante métodos gráficos y analíticos. 3.2 Método gráfico del análisis cinemático 3.2.1 Principios del método gráfico Método gráfico, que se usa en Teoría de Mecanismos y Máquinas para la resolución de las ecuaciones vectoriales, se denomina método de polígonos vectoriales. El método consiste en la construcción de una figura geométrica formada por los vectores. Para emplearlo hay que mencionar la regla de la suma vectorial que usa el método de triángulo presentado en Cálculo Vectorial. Ésta consiste en la disposición gráfica de un vector a continuación del otro, es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el final del vector anterior. El vector resultante es aquél que parte del origen del primer vector y finaliza en el final del vector último. El uso de esta regla se muestra en la figura 3.7 en que de diferente modo se operan los vectores presentados en la figura 3.7a. Los polígonos vectoriales se construyen a partir del polo, indicado como “p”.
a)
b)
c)
d)
Figura 3.7. Diagrama que ilustra el modo de la construcción de los polígonos vectoriales como resolución de ecuaciones vectoriales.
En la figura 3.7b se muestra la solución gráfica de la ecuación (3.12): E A BC D,
(3.12)
En esta figura sucesivamente, uno por uno, se unen en forma de un circuito poligonal en el cual el final del vector anterior es el origen del vector posterior. El vector resultante 98
E cierra elcircuito, su origen se ubica en el origen del primer vector, que en la ecuación 3.12 es el A , y el final está en el final del vector último, que es el D . La ecuación vectorial 3.13: F A B C D,
(3.13)
se en la figura 3.7c en que el vector resuelva mediante el polígono vectorial presentado C tiene sentido opuesto al sentido del vector C presentado en la figura 3.7a. La solución de la ecuación 3.14 A B C D G 0
(3.14)
se muestra en la figura 3.7d en que el origen de todos los vectores está aplicado en el final del vector anterior. En la solución de la ecuación (3.14) la indicación del polo se evita ya que el origen de cualquier vector puede servir como polo. Además en la resolución de la ecuación 3.14 se puede considerar que el resultante de la suma de los vectores es un vector nulo en que la longitud del segmento, que representa este vector, es igual a cero. Mediante el método de polígonos vectoriales se determinan las velocidades y las aceleraciones de los puntos característicos de los eslabones que en general se ubican en los pares cinemáticos. Para que el material posterior sea más claro hay que definir diferencia cinemática entre los pares cinemáticos de rotación y deslizantes. En la figura 3.8a están presentados los eslabones i y j unidos mediante el par cinemático de rotación A. Los puntos Ai y Aj que pertenecen a dichos eslabones están situados en el eje geométrico del par cinemático y se proyectan sobre el plano en un solo punto. Por consiguiente las proyecciones de los orígenes de los vectores velocidades v Ai y v Aj se ubicarán en el mismo punto. Así pues el punto de aplicación de los vectores es conocido de antemano. Puesto que a través de un a) b) solo punto se puede trazar una cantidad infinita de las Figura 3.8. Diagrama que ilustra diferencia en el movimiento rectas entonces la dirección relativo de los puntos Ai y Aj, de los eslabones i y j, unidos de los vectores velocidades mediante el par cinemático a) de rotación y b) deslizante. v Ai y v Aj es desconocida. Tampoco son conocidas las magnitudes de las velocidades de estos puntos. Puesto que 99
los eslabones están unidos mediante el par cinemático de rotación entonces las velocidades de los puntos Ai y Aj son iguales ( vAi vAj ) por consiguiente la velocidad relativa entre ellos es igual a cero vAiAj vAjAi 0 . Además, debido a que los eslabones están unidos mediante el par cinemático de rotación, en que los eslabones giran libremente uno con respecto al otro, las velocidades angulares de los eslabones son diferentes i j . Lo mismo hay se aplica a las aceleraciones de los puntos: aAi aAj ,
aAiAj aAjAi 0 y las aceleraciones angulares de los eslabones i j . Puesto que cada vector es determinado por magnitud, dirección y por el punto de aplicación, entonces con este breve análisis se puede concluir que cada par cinemático de rotación implica dos incógnitas, magnitud y dirección de los vectores velocidades (aceleraciones) y uno conocido, el punto de aplicación de los vectores. En el par cinemático deslizante, que se ilustra en la figura 3.8b, los puntos Ai y Aj pertenecen a los eslabones i y j que se desplazan uno con respecto al otro. Por consiguiente la velocidad relativa v AiAj 0 , con todo eso v AiAj v AjAi . Dirección del vector velocidad relativa v AiAj es conocido, coincide con la dirección del eslabón más largo, pero la magnitud y el punto de aplicación de éste son desconocidos. El punto de aplicación es desconocido ya que en el par cinemático deslizante hay una cantidad infinita de los puntos en que pueden ser aplicados los vectores. Puesto que la velocidad relativa de los puntos no es igual a cero por consiguiente las velocidades de los mismos puntos con respecto a los del sistema de coordenadas de referencia son diferentes v Ai v Aj . Sin embargo para el par cinemático deslizante es característico que las velocidades angulares de los eslabones son iguales i j . Lo mismo se puede resumir para las aceleraciones de los puntos: a Ai a Aj , a AiAj a AjAi 0 y las aceleraciones angulares de los eslabones i j . Así pues, el par cinemático deslizante también implica dos parámetros desconocidos, magnitud y el punto de aplicación de los vectores velocidades (aceleraciones) y uno conocido, la dirección del vector velocidad (aceleración) relativo. El análisis cinemático comienza con la deducción de las ecuaciones vectoriales. En Algebra Vectorial es conocido que una ecuación vectorial se sustituye por dos escalares. Entonces para que un sistema de ecuaciones sea determinado el número de incógnitas debe ser igual al número de ecuaciones. Para definir esta correlación se toma una cadena cinemática compuesta por n eslabones unidos mediante pinf. pares cinemáticos inferiores. Así pues resulta, que para definir la posición de un solo eslabón en el sistema de coordenadas plano, igualmente definir sus parámetros cinemáticos, hay que deducir tres ecuaciones escalares, las coordenadas X e Y de un solo punto y la posición angular del mismo eslabón. Entonces para n eslabones hay que deducir 3n ecuaciones escalares.
100
Ya que cada par cinemático inferior implica dos incógnitas, entonces pinf. pares cinemáticos van a implicar 2 pinf . incógnitas. Así pues debe cumplirse:
3 n 2 pinf. ,
(3.15)
que completamente coincide con la definición del grupo estructural de Assur. Entonces, el grupo estructural de Assur es una cadena cinemática que satisface a las condiciones del análisis cinemático. En el Análisis Estructural se conoce que cualquier mecanismo se compone por los mecanismos primarios y grupos estructurales de Assur. Esto determina la metódica de la construcción de polígonos vectoriales de las velocidades y aceleraciones. Al principio el mecanismo se descompone en los mecanismos de primera clase y grupos estructurales de Assur. Ya que datos cinemáticos completos, la velocidad angular y la aceleración angular, se aplican al eslabón móvil del mecanismo de primera clase entonces el análisis cinemático comienza con el análisis de éste y luego se continúa uno por uno con los grupos estructurales hasta el último. NOTA. El análisis cinemático de los mecanismos de primera clase y de los grupos estructurales de segunda clase de primera y de tercera variedad es el más común, sus elementos se pueden aplicar a los otros grupos estructurales. Por ende, en éste capítulo la metódica de la deducción de las ecuaciones vectoriales y de la construcción de los polígonos vectoriales del mecanismo de primera clase y de los grupos estructurales mencionados se estudia detalladamente. 3.2.2 Metódica de la construcción de los polígonos vectoriales para los mecanismos de primera clase Para el mecanismo con el par cinemático de rotación. El esquema cinemático de este L mecanismo está presentado en la figura 3.9a a escala L AB ..., m mm . AB NOTA. En muchos casos, para no sobrecargar el texto y las fórmulas, la indicación en subíndices de la pertenencia de los puntos a los eslabones concretos es posible evitar de modo como se presenta en la fórmula anterior de escala del esquema cinemático del mecanismo. El mecanismo analizado está compuesto por la base 1 y la manivela 2 unidos mediante el par cinemático de rotación A de modo que el par cinemático A coincide con el inicio del sistema de coordenadas (x, y). Para este mecanismo son conocidos: la configuración y las dimensiones de la manivela 2, la coordenada generalizada φ2 que determina la 101
posición angular de la manivela en el sistema de coordenadas (x, y), la magnitud y el 1 sentido de la velocidad angular 2 ..., s y la de la aceleración angular 2 ..., s 2 . Para que el método sea más claro al principio se muestra la construcción del polígono vectorial para el caso particular, pero más común, cuando la manivela 2 tiene la velocidad angular constante 2 const . En este caso 2 0 . Antes de todo se deduce la ecuación vectorial de velocidades que va a presentar la velocidad absoluta como la suma vectorial de la velocidad de traslación y de la relativa. Para esto se aplican los conocimientos presentados en el capítulo 3.1.1. Entonces para el mecanismo presentado en la figura 3.9a la velocidad del punto A1, que pertenece a la μL =…, m/mm
a)
μv =…, m s-1/mm
μa =…, m s-2 /mm
c)
b)
μa =…, m s-2 /mm
d)
Figura 3.9. Construcción de polígonos vectoriales para el mecanismo de primera clase con el par cinemático de rotación.
base, se considerará como de traslación por consiguiente es conocida tanto por magnitud como por dirección vA1 0 . La velocidad del punto B2 con respecto al A1 será relativa que también es conocida por magnitud y dirección. Su magnitud es igual a vB 2 A1 2 LAB ..., m/ s , su dirección es tangente a la trayectoria del punto B2 en el movimiento con respecto al A1 o perpendicular al segmento A2B2, el sentido del vector lo determina el sentido de la velocidad angular 2 . Así pues, la ecuación vectorial será presentada por:
vB2 vA1 vB2 A1 .
(3.16)
NOTA. En Teoría de Mecanismos y Máquinas, para facilitar la resolución de las ecuaciones vectoriales, los vectores conocidos por magnitud y dirección se subrayan con dos líneas y los vectores conocidos solamente por dirección se subrayan con una sola línea. Además, los vectores conocidos solamente por dirección se marcan con los símbolos ( ), si es paralelo, o ( ), si es perpendicular, al segmento correspondiente del esquema cinemático.
102
En la ecuación (3.16) hay solamente dos incógnitas, la magnitud y dirección del vector v B 2 . Puesto que una ecuación vectorial se sustituye por dos escalares, entonces es determinada y puede ser resuelta mediante el polígono vectorial. La construcción del polígono vectorial se muestra en la figura 3.9b que se realiza del siguiente modo. Tomando en cuenta el área, necesaria para la presentación del polígono vectorial, se elige la longitud del vector a1b2 que va a representar el vector velocidad
v B 2 A1 en el polígono vectorial y se calcula la escala del mismo: v
vB 2 A1 ..., ms -1 mm . a1b2
(3.17)
La construcción del polígono vectorial de velocidades comienza con el polo pv. Por consiguiente, ya que el vector velocidad v A1 es nulo, entonces la longitud del vector pv a1 es igual a cero, por eso en correspondencia con la ecuación (3.16) desde el polo pv se traza el vector de longitud igual a a1b2 . Para no perder la relación de los puntos de los polígonos vectoriales con los del esquema cinemático en la figura 3.9b en el polo también está presentado el símbolo a1. Ya que los puntos A1 y A2 de los eslabones se ubican en el par cinemático de rotación, por consiguiente el punto A2 adquiere la velocidad igual a la de A1. Entonces en el polígono vectorial en el polo estará presentado el símbolo a2. NOTA. Polo es el origen de todos los vectores que representan las velocidades absolutas. Los extremos de los vectores se marcan por letras latinas minúsculas correspondientes a los puntos del esquema cinemático en que se aplican los vectores velocidades. Así pues en correspondencia con la ecuación (3.16) resulta que el vector pvb2 va a representar la velocidad absoluta del punto B2 de la manivela, el vector pv a1 , que es nulo, la velocidad del punto A1 y el vector a1b2 la velocidad relativa del movimiento del punto B2 con respecto al A1.
Del modo igual se puede determinar la velocidad del punto C del eslabón 2. Pero es más fácil emplear el teorema de semejanza de triángulos conocido en Geometría. El uso de éste consiste en lo siguiente. Uniendo el punto C2 con los A2 y B2 del segmento A2B2 del esquema cinemático del mecanismo se construye el triángulo A2 B2C2 presentado
en la figura 3.9a. Luego sobre el vector a2b2 del polígono vectorial se construye el triángulo a2b2c2 semejante al A2 B2C2 . Con esto se toma en cuenta que los triángulos 103
A2 B2C2 y a2b2c2 serán semejantes solo en el caso cuando se cumplen dos siguientes condiciones: 1. Cuando las proporciones de los lados de los triángulos son en magnitud a2b2 bc ca 2 2 2 2 . A2 B2 B2C2 C2 A2 2. Cuando el sentido de la lectura de los símbolos a2 , b2 y c2 en el polígono vectorial es igual al sentido de la lectura de las letras A2 , B2 y C2 en el esquema cinemático del mecanismo. Por ejemplo, en la figura 3.9a las letras A2 , B2 y C2 desde la A2 hasta la C2 se leen en el sentido contra del reloj, en el polígono vectorial, presentado en la figura 3.9b, las letras a2 , b2 y c2 también son leídas contra del reloj. Al unir el punto c2 con el polo pv se determinará la velocidad absoluta del punto C del eslabón 2 del mecanismo: vC 2 v pvc2 ...,m/ s . Todo lo que se ha presentado para las velocidades es aplicado para las aceleraciones. Entonces la ecuación vectorial para el punto B2 también será presentada en forma de la suma vectorial de la aceleración de traslación, que es del punto A1, y de la relativa, que es la aceleración del punto B2 en el movimiento con respecto al A1, su forma es:
aB2 a A1 aB2 A1 .
(3.18)
En la ecuación (3.18) solamente la aceleración de traslación a A1 es conocida por magnitud y dirección, por consiguiente tiene cuatro incógnitas y en la forma presentada no puede ser resuelta. Para disminuir la cantidad de incógnitas, en la ecuación (3.18) la
aceleración relativa aB2 A1 se descompone en la normal y tangencial. Entonces definitivamente la ecuación (3.18) obtiene la siguiente forma:
n a B 2 a A1 a B 2 A1 a B 2 A1 ,
(3.19)
n donde aB2 A1 es la aceleración normal, o centrípeta, su magnitud es igual a
aBn 2 A1 2 LAB ...,m/ s2 ,
(3.20)
es dirigida paralelamente al segmento A2B2 del esquema cinemático y su sentido es desde el punto B2 hacia el A1; 104
aB 2 A1 es la aceleración tangencial, tangente a la trayectoria del punto B2 por consiguiente se debe trazar perpendicularmente al segmento A2B2. Para este caso, ya que el movimiento de la manivela es uniforme 2 const y 2 0 , la aceleración
tangencial es igual a cero, aB 2 A1 2 LAB 0 . Entonces en la ecuación (3.19) todos los términos del miembro derecho ya son conocidos por magnitud y dirección, por eso están subrayados por dos líneas, y el miembro izquierdo queda desconocido tanto por magnitud como por dirección, es conocido solamente el punto de aplicación del vector. Definitivamente la ecuación (3.19) es determinada y puede ser resuelta mediante el polígono vectorial. La construcción del polígono vectorial comienza con la elección de escala:
a
aBn 2 A1 ..., m s 2 / mm . a1b2
(3.21)
En la figura 3.9c se muestra el polígono vectorial como solución de la ecuación (3.19). En éste desde el polo pa se traza el vector pa a1 , que es nulo, y luego a éste se añade el n vector a1b2 que es la representación gráfica de la aceleración normal aB 2 A1 . Este vector se traza paralelamente al segmento A2 B2 del esquema cinemático del mecanismo y tiene sentido desde el punto B2 hacia el A1. Ya que la aceleración normal está aplicada en el punto B2 del mecanismo el final de este vector se marca por el símbolo b2. Teniendo en cuenta que aB 2 A1 0 con éste se finaliza la resolución de la ecuación (3.19) y el vector pa b2 del polígono vectorial representará la aceleración absoluta. El representante de la n aceleración relativa sumatoria a B 2 A1 a B 2 A1 a B 2 A1 será el vector a1b2 . Puesto que
a A 2 a A1 entonces en el mismo polo también se adiciona el símbolo a2.
La aceleración del punto C del eslabón 2 se determinará mediante el teorema de semejanza. Para esto sobre el vector a 2 b2 se construye el triángulo a2b2c2 semejante al a2b2 b2 c2 c2 a2 . La ubicación AB BC CA correcta del punto c2 en el polígono vectorial se determinará con la lectura de los símbolos a2, b2 y c2 que debe tener el mismo sentido que el sentido de la lectura de las letras A2 , B2 y C2 del esquema del cinemático del mecanismo.
A2 B2C2 . Para esto se utilizan las proporciones:
Para el mecanismo presentado en la figura 3.9a, para el caso general, cuando el movimiento de la manivela no es uniforme ( v2 var y 2 0 ), los polígonos vectoriales se construyen del siguiente modo. 105
Para la construcción de polígono vectorial de velocidades se usará la ecuación (3.16) y el polígono vectorial de velocidades será igual al de la figura 3.9b. Pero la ecuación (3.19) se completará por la aceleración tangencial que es conocida por la magnitud, por la dirección y por el punto de aplicación:
aB 2 A1 2 LAB ,m/ s2 .
(3.22)
Igualmente como en el caso anterior al principio utilizando (3.20) se calcula la aceleración normal, utilizando (3.22) se calcula la aceleración tangencial y utilizando (3.21) se elige la escala:
aBn 2 A1 a ..., m s 2 / mm . * a1b2
(3.23)
NOTA. Ya que en la construcción de los polígonos vectoriales de aceleraciones pueden ser varios vectores aplicados en un solo punto, el final de éstos se marca por una sola letra, pero para distinguiros hay que utilizar cualquier otro signo adicional, por ejemplo asterisco (*). Así pues desde el polo pa se construye el vector pa a1 0 , luego a éste se adiciona el vector a1b2* , que representará la aceleración normal, y al final de éste se adicionará el vector b2*b2 por magnitud igual a b2*b2 B 2 A1 ..., mm que representará la aceleración a
tangencial aB 2 A1 . Con los razonamientos anteriores en el polo también se presentarán los símbolos a1 y a2. La aceleración tangencial es tangente a la trayectoria del punto B2 por lo tanto se traza perpendicularmente al segmento A2 B2 , su sentido determina el sentido de la aceleración angular 2 que en el esquema cinemático es a favor del reloj. La aceleración relativa sumatoria se determinará mediante:
n a B 2 A1 a B 2 A1 a B 2 A1
(3.24)
Que en el polígono vectorial se presentará como la suma de los vectores a1b2* y b2*b2 . La magnitud de la aceleración relativa sumatoria se determinará mediante:
a B 2 A1 a a1b2 ..., m s 2 . La aceleración absoluta del punto B2 se determinará por: 106
(3.25)
a B 2 a A1 a B 2 A1 ,
(3.26)
en que los términos del miembro derecho ya son conocidos tanto por magnitud como por dirección. La magnitud de la aceleración absoluta del punto B2 se calculará por:
a B 2 a pa b2 ..., m s 2 .
(3.27)
Nótese que las magnitudes presentadas en las ecuaciones (3.25) y (3.27) son iguales, pero su significado es diferente, uno, en (3.25), representa la aceleración relativa y el otro, en (3.27), la aceleración absoluta. Para la determinación de la aceleración del punto C2 también se emplea el teorema de semejanza de triángulos. Para esto en el polígono vectorial presentado en la figura 3.9d sobre el vector a2b2 se construye el triángulo a2b2 c2 semejante al A2 B2C2 . La magnitud de la aceleración absoluta del punto C del eslabón 2 del mecanismo se determinará mediante la fórmula análoga a la (3.27). Mecanismo primario con el par cinemático deslizante. Éste está presentado en la figura 3.10a en que el eslabón móvil es la corredera 2 que realiza el movimiento lineal sobre la base 1. La coordenada generalizada de este mecanismo es la xB de recorrido del punto B de la corredera 2 b) desde el punto A1. La ecuación vectorial de velocidades para el punto B2 se presentará así:
c)
v B 2 v B1 v B 2 B1 .
a)
(3.28) Figura 3.10. Construcción de polígonos vectoriales para el mecanismo de primera clase con el par cinemático deslizante. La resolución de la ecuación (3.28) en forma del polígono vectorial se muestra en la figura 3.10b en que el vector velocidad relativa v B 2 B1 está representado por el segmento:
b1b2
vB 2 B1 . v
(3.29)
La velocidad absoluta del punto B2 será representada por el vector pvb2 de longitud igual al vector b1b2 .
La ecuación vectorial de aceleraciones se presentará en forma: 107
a B 2 a B1 a B 2 B1 ,
(3.30)
en que solamente la aceleración de traslación aB1 es conocida por magnitud y dirección ya que su magnitud es igual a cero. Entonces la ecuación (3.30) tiene cuatro incógnitas por consiguiente es indeterminada y en forma presentada no puede ser resuelta. Ya que el eslabón 2 está unido con la base 1 mediante el par cinemático deslizante, entonces la aceleración relativa aB2B1 se descompone en la de Coriolis y la tangencial.
c a B 2 B1 a B 2 B 1 a B 2 B1 .
(3.31)
Así pues definitivamente la ecuación (3.30) obtendrá la siguiente forma:
c a B 2 a B1 a B 2 B1 a B 2 B1 .
(3.32)
En la ecuación (3.32) todos los términos del miembro derecho son conocidos por magnitud y dirección, en que aB1 0 , ya que el punto B1 pertenece a la base, aBc 2 B1 2 1 vB 2 B1 0 ya que 1 0 y aB 2 B1 es dado o previamente determinado. Entonces resulta que la ecuación (3.32), tiene solamente dos incógnitas, la magnitud y dirección del vector a B 2 , por consiguiente es determinada. El polígono vectorial, como aB 2 B1 resultado de la resolución de esta ecuación, se presentará por el segmento pab2 a mostrado en la figura 3.10c. 3.2.3 Construcción de polígonos vectoriales para el grupo estructural de segunda clase de primera variedad En la figura 3.11a se ilustra el esquema cinemático del grupo mencionado construido a escala L. Como los datos, necesarios para el cálculo, se eligen las magnitudes y sentidos de las velocidades y aceleraciones absolutas de los puntos Bk y Dm los que para el grupo estructural adquieren estatuto de traslación. NOTA. Aquí y en adelante se presenta el análisis cinemático solamente para los grupos estructurales que forman los mecanismos de segunda clase de un solo grado de libertad. Por consiguiente un eslabón móvil del grupo estructural, en este caso el eslabón j, se une con la base m. Como es conocido en Mecánica los parámetros cinemáticos de cualquier eslabón serán determinados si son conocidas: la velocidad (aceleración) de un solo punto y su velocidad (aceleración) angular, o las velocidades (aceleraciones) de dos puntos de éste. 108
Por eso al principio hay que escoger los objetos del análisis, a saber escoger los puntos por medio de que se puede determinar los parámetros cinemáticos completos de los eslabones i y j. Entonces las velocidades y las aceleraciones de los puntos Bi y Dj de los eslabones i y j, que se ubican en los pares cinemáticos externos B y D correspondientemente, se consideran conocidas por magnitud y dirección. Esto es debido a que los eslabones i y j están unidos con el k y m mediante los pares cinemáticos de rotación por consiguiente los puntos Bi y Dj adquieren las velocidades y las aceleraciones de los puntos Bk y Dm correspondientemente. Resulta que son desconocidas las velocidades y aceleraciones de los puntos Ci y Cj que se ubican en el par cinemático interior C. Así pues los parámetros cinemáticos de los puntos Ci y Cj van a ser el objeto del análisis cinemático.
b) c)
a)
d) e) Figura 3.11. Construcción de los polígonos vectoriales de velocidades y aceleraciones para el grupo estructural de segunda clase de primera variedad para el caso común cuando uno de los eslabones est á unido con la base (en la figura es el eslabón j).
Construcción del polígono vectorial de velocidades. Para deducir las ecuaciones vectoriales de las velocidades mentalmente los eslabones i y j se separan en el par cinemático C. Tomando en cuenta que la velocidad vBk, del punto B del eslabón k, es de traslación para el eslabón i y vDm es de traslación para el eslabón j se deducen las ecuaciones para los puntos Ci y Cj separadamente. La forma de éstas es:
vCi v Bk vCiBk ,
(3.33)
v Cj v Dm v CjDm .
(3.34)
109
Cada una de las ecuaciones (3.33) y (3.34) tiene tres incógnitas: la magnitud y dirección de las velocidades absolutas v Ci y v C j y la magnitud de las velocidades relativas vCiBk y vCjDm . Ya que cada ecuación vectorial se sustituye por dos escalares y tiene tres incógnitas, entonces son indeterminadas y separadamente no pueden ser resueltas. Para disminuir la cantidad de incógnitas los eslabones i y j nuevamente se unen mediante el par cinemático de rotación C. Esta unión se expresa mediante:
v Ci v Cj
(3.35)
que permite las ecuaciones (3.33) y (3.34) presentar en forma de una:
v Bk vCiBk v Dm vCjDm . BC
(3.36)
CD
En la ecuación (3.36) se observa que el eslabón i está unido con el k mediante el par cinemático de rotación por consiguiente la dirección del vector velocidad vCiBk es perpendicular al segmento BC del esquema cinemático y por la misma razón el vector velocidad vCjDm es perpendicular al segmento CD. Así pues la ecuación (3.36) tiene solamente dos incógnitas, las magnitudes de las velocidades relativas vCiBk y vCjDm , entonces es determinada y puede ser resuelta mediante un polígono vectorial. En la figura 3.11b se ilustra el polígono vectorial de las velocidades construido. El orden de la construcción es el siguiente: 1. Se elige la escala del polígono vectorial. Para esto se elige la longitud del segmento que en el polígono vectorial representará el vector de la magnitud conocida y no es igual a cero. Por ejemplo se elige la longitud del vector pv bk que será representante del
vector velocidad v Bk . Con esto se calcula la magnitud de la escala:
v
vBk . pvbk
(3.37)
2. Desde el polo pv se traza el vector pv bk . Puesto que el punto Bi tiene misma velocidad que el Bk entonces el final del vector pv bk también se marca por el símbolo
bi. Dado que el punto bk del polígono vectorial debe ser el origen del vector vCiBk , representado por el vector bk ci , todavía desconocido por magnitud y sentido, entonces a través de este punto se traza una línea perpendicular al segmento BC del esquema cinemático. 110
3. Puesto que el miembro izquierdo de la ecuación (3.36) no tiene datos suficientes la resolución continúa con la del miembro derecho. Para esto a través del mismo polo pv se
traza el segmento correspondiente al vector vDm . Ya que vDm es un vector nulo entonces
el origen y final de éste coinciden y quedan en el polo por esta razón el polo también se marca por el símbolo dm. Hay que completar que la velocidad del punto Dj también es igual a cero, entonces el polo pv de modo igual se marca por en el símbolo dj. 4. A continuación, en correspondencia con la ecuación (3.36) a través del punto dm, o polo pv, se traza una línea perpendicular al segmento CD del esquema cinemático. El punto de intersección de las líneas perpendicular a BC y perpendicular a CD se marca por el símbolo c que va a unir los símbolos ci y cj. Con esto se finaliza la resolución de la ecuación (3.35). Entonces el vector bk ci va a representar el vector velocidad relativa v CiBk v bk ci y el vector d m c j va a representar el vector velocidad relativa v CjDm v d m c j . El sentido de los vectores se determina mediante la regla de la suma
vectorial. Ya que, según la ecuación (3.36), el vector vCiBk debe ser sumado con el v Bk entonces para el vector bk ci el punto bk es el origen y el punto ci será el final. Del mismo modo se determina el sentido del vector vCjDm . NOTA. En adelante, al familiarizarse con las marcaciones de los puntos, es posible todos los puntos que tienen misma velocidad, o aceleración, marcar por una sola letra. Por ejemplo en el polo pv evitar la inclusión de marcaciones adicionales así como “dm” y “dj”, el punto de intersección de las perpendiculares a los segmentos BC y CD marcar por una sola letra “c” sin indicación de pertenencia de los puntos a los eslabones concretos. Sin embargo con el objetivo educativo en este libro será guardada la marcación antes aceptada. 5. Ahora se puede pasar a la determinación de la velocidad del punto Ei que se determina con el uso del teorema de semejanza de triángulos. Ya que el punto E pertenece al eslabón i marcado en los extremos con los símbolos Bi y Ci entonces en el polígono vectorial se busca un segmento con los mismos símbolos que es el vector bici . Así pues sobre éste se construye el triángulo bi ci ei semejante al BCEi . Las bc c e eb proporciones de las longitudes de los lados de éstos serán: i i i i i i . La BC CE EB ubicación correcta del punto ei en el polígono vectorial se determinará con la definición del sentido de la lectura de las letras B, C, Ei en el esquema cinemático y bi , ci , ei en el polígono vectorial. Luego al unir el punto ei con el polo pv se determinará la longitud del vector p v ei que representará la velocidad absoluta del punto E del eslabón i.
111
6. Para la determinación de la velocidad absoluta de los puntos c tanto del eslabón i, como del j hay que regresar a una de las ecuaciones (3.33) o (3.34). Por ejemplo se regresa a la ecuación (3.33) que se presentará en forma:
vCi vBk vCiBk ,
(3.38)
en que todos los términos del miembro derecho ya son conocidos por magnitud y dirección por consiguiente es determinada. Resolviendo la ecuación (3.38) mediante el polígono vectorial presentado en la figura 3.11b resulta que el vector p v ci va a representar el vector velocidad v Ci . Puesto que v Cj v Ci , entonces este vector también representará la velocidad absoluta del punto Cj. Magnitudes de las velocidades relativas de los puntos de los eslabones se determinarán del siguiente modo:
y
vCjDm v dmc j ,
(3.39)
vCiBk v bk ci ,
(3.40)
las magnitudes de las velocidades absolutas de los puntos Ci y Cj
vCj vCi v pv ci
(3.41)
y la magnitud de la velocidad del punto E del eslabón i
vEi v pvei .
(3.42)
A pesar de que las magnitudes presentadas en las ecuaciones (3.39) y (3.41) son iguales, su significado es diferente, el primero representa la velocidad relativa y el segundo la absoluta. Como se observa en la figura 3.11b a aliviar la construcción del polígono vectorial las líneas que indican la dirección de las velocidades desconocidas por magnitud se marcan por los símbolos de la dirección, si una es perpendicular al segmento BC del esquema cinemático como B C , o perpendicular a CD así C D . 7. Por último se determinan las magnitudes y los sentidos de las velocidades angulares de los eslabones i y j:
i
vCiBk , LBC
112
(3.43)
j
vCjDm LCD
.
(3.44)
Los términos en las fórmulas (3.43) y (3.44) se pueden presentar mediante los segmentos del polígono vectorial y los del esquema cinemático. Por ejemplo bc d c i v k i y j v m j . El sentido de las velocidades angulares define el de las L BC L CD relativas. Esto se define del siguiente modo. Mentalmente los eslabones i y j se separan uno del otro en el par cinemático C y el eslabón k se pone inmóvil y el eslabón m queda la base. Esta modificación se presenta en las figuras 3.11d y 3.11e. En los puntos Ci y Cj de los eslabones se aplican los vectores velocidades relativas correspondientes: en el punto Ci el vector velocidad vCiBk y en el punto Cj el vector vCjDm . El sentido de los vectores velocidades indicará el sentido de las velocidades angulares. Construcción del polígono vectorial de aceleraciones. Por analogía con la deducción de las ecuaciones vectoriales de velocidades, los eslabones i y j mentalmente se separan en el par cinemático C y las ecuaciones vectoriales de las aceleraciones se presentan para los puntos Ci y Cj separadamente:
aCi aBk aCiBk ,
(3.45)
a Cj a Dm a CjDm .
(3.46)
En las ecuaciones (3.45) y (3.46) solamente las aceleraciones aBk y aDm son conocidas por magnitud y dirección ya que son del movimiento de traslación, las demás son desconocidas por eso estas son indeterminadas y no tienen solución. Para resolverlas se disminuye la cantidad de incógnitas mediante la descomposición de las aceleraciones relativas. Ya que los eslabones i y j están unidos con los k y m mediante los pares cinemáticos de rotación, entonces, sobre los puntos Ci y Cj van a actuar las aceleraciones normales (centrípetas) y las tangenciales. Entonces las aceleraciones relativas se pueden presentar como la suma vectorial de la aceleración normal y tangencial, o sea:
y
n a CiBk a CiBk a CiB k
(3.47)
n aCjDm aCjDm aCjDm .
(3.48)
n n a En las ecuaciones (3.47) y (3.48) las aceleraciones normales a CiBk y CjDm son conocidas n i 2 LBC tanto por magnitud como por dirección. Sus magnitudes se calculan por: aCiBk 113
n y aCjDm j 2 LDC , donde ωi y ωj son calculados en las fórmulas (3.43) y (3.44). Los vectores aceleraciones normales se aplican en los puntos C de los eslabones n n correspondientes, a CiBk en el punto Ci y a CjDm en el Cj y están dirigidas paralelamente a los segmentos BC y CD, correspondientemente, hacia los centros de rotación, que para n n a la aceleración a CiBk será el punto B del eslabón k y para la CjDm el punto D del m. Los vectores aceleraciones tangenciales a CiBk y aCjDm se conocen solamente por dirección, a CiBk es perpendicular a BC y aCjDm es perpendicular a CD.
Ahora se puede unir los eslabones i y j mediante el par cinemático C. Puesto que el par cinemático C es de rotación, entonces al sistema de ecuaciones (3.45) y (3.46) se añade:
aCi aCj .
(3.49)
Sustituyendo en (3.44) y (3.45) las aceleraciones relativas por (3.46) y (3.47) y tomando en cuenta (3.49) se tiene:
n n a Bk a CiBk a CiBk a Dm a CjDm a CjDm . BC
Al elegir la escala a
(3.50)
CD
aBk se construye el polígono vectorial de aceleraciones que se pabk
presenta en la figura 3.11c. En correspondencia con la ecuación (3.50) desde el polo pa se traza el vector pa bk que representa aBk el vector aceleración absoluta del punto B del eslabón k. En correspondencia con la ecuación (3.50) al el final de éste se aplica el n vector b k c i* que representará la aceleración normal a CiBk el que se trazará paralelamente al segmento BC del esquema cinemático del grupo estructural con el sentido desde el n aCiBk * punto C hacia el B. La magnitud del segmento de este vector se calcula por bk ci . a Luego a través del final del punto ci* se traza una línea perpendicular a BC sobre que debe estar la aceleración tangencial a CiBk . Ya que el miembro izquierdo de la ecuación (3.50) no tiene datos suficientes la resolución se continúa con la del miembro derecho. A la solución de proceso es el mismo que de la izquierda, con esto se toma en cuenta que aDm 0. La intersección de las líneas BC y DC se marca por el símbolo c y adicionalmente con los ci y cj. Mediante la regla de la suma vectorial se determina el sentido de las aceleraciones tangenciales. Uniendo el punto bk con el ci se determina el vector bk ci que representará la aceleración relativa sumatoria del punto C del eslabón i 114
en el movimiento con respecto al B del k que en forma vectorial se presentará como
n aCiBk aCiBk aCiBk . Asimismo se determina el vector d m c j que representará la
aceleración relativa sumatoria del punto C del eslabón j en el movimiento con respecto n al D del m su forma vectorial es a CjDm aCjDm aCjDm . La aceleración absoluta de los puntos C será representada por el vector pac por eso se calcula mediante aCi aCj a paci . Luego se determinan las magnitudes de las aceleraciones a ci*ci y aCjDm tangenciales relativas: aCiBk a c*j c j .
aCiBk Las aceleraciones angulares de los eslabones se calculan por las fórmulas i y LBC aCjDm j . Su sentido define el sentido de los vectores aceleraciones relativas LDC tangenciales aplicadas en los puntos Ci y Cj de los eslabones correspondientes, es lo que se muestra en las figuras 3.11d y 3.11e.
3.2.4 Construcción de polígonos vectoriales para el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad En la figura 3.12a está presentado un grupo estructural que se usa en el caso común: en los mecanismos de segunda clase con un solo grado de libertad. El grupo está compuesto por la colisa j y la corredera i unidos mediante el par cinemático deslizante B. El eslabón j a su vez se une con la base m mediante el par cinemático de rotación D y el eslabón i con el k mediante el par cinemático de rotación B. Con todo eso el eje geométrico del par cinemático de rotación B atraviesa la línea de simetría de la colisa j. Para el análisis se eligen los datos siguientes: las velocidades y aceleraciones de los puntos Bk y Dm. Ya que m es la base entonces vDm 0 y aDm 0 . Mediante los razonamientos antes expuestos para el análisis cinemático del grupo estructural de segunda clase de primera variedad se analiza el presente para definir el punto, o los puntos, que no tienen parámetros cinemáticos suficientes para definir los parámetros cinemáticos completos de los eslabones. Puesto que el eslabón i y j están unidos mediante el par cinemático deslizante entonces i j también i j . Con todo eso el eslabón i está unido con el k mediante el par cinemático de rotación B por consiguiente vBi vBk y aBi aBk . El eslabón j está unido con el m mediante el par cinemático de rotación D. Ya que el eslabón m es la base entonces vDj vDm 0 y aDj aDm 0 . Así pues quedan desconocidas la velocidad y la aceleración solamente del punto B del eslabón j. Con esto hay que notar que el punto Bj 115
realiza dos movimientos relativos de carácter diferente: giratorio con respecto al punto Dm, ya que el eslabón j está unido con el m mediante el par cinemático de rotación, y lineal con respecto al punto Bi, ya que el eslabón j está unido con el i mediante el par cinemático deslizante. Por consiguiente la obtención de los parámetros cinemáticos del punto Bj van a ser el objetivo del análisis para este grupo estructural. Con todo eso en las ecuaciones vectoriales el vector velocidad y el vector aceleración del punto Bi y también del punto Dm se debe considerar como de traslación.
a) c)
Construcción del polígono vectorial de velocidades. Ya que el punto Bj realiza dos d) e) movimientos de carácter diferente para facilitar la Figura 3.12. Construcción de polígonos vectoriales de deducción de las ecuaciones velocidades y aceleraciones para el grupo estructural de vectoriales de las velocidades el segunda clase de tercera variedad. eslabón j se separa del m en el par cinemático de rotación D. Con esto el eslabón j queda unido con el eslabón i mediante el par cinemático deslizante B. Así pues la ecuación vectorial de la velocidad absoluta del punto Bj relacionado con el Bi tendrá los siguientes componentes: la velocidad del punto Bi como de traslación y la velocidad del punto Bj con respecto al Bi como relativa o sea:
v Bj v Bi v BjBi .
(3.51)
Luego el eslabón j se separa del i y se une con el m. Entonces el eslabón j va a girar con respecto al m en el par cinemático D. Así pues la ecuación vectorial para el mismo punto Bj tendrá los siguientes componentes: la velocidad del punto Dm como de traslación y la velocidad del punto Bj con respecto al Dm como relativa. Por consiguiente la ecuación vectorial va a tener la siguiente forma: 116
v Bj v Dm v BjDm .
(3.52)
Ya que el eslabón i está unido con el k mediante el par cinemático de rotación entonces el punto Bi, en la ecuación (3.51), va a adquirir la velocidad del punto Bk por consiguiente se completará por:
vBi vBk .
(3.53)
Las ecuaciones (3.51) y (3.52) son deducidas para un solo punto que debe tener la velocidad única, entonces el sistema de ecuaciones (3.51)…(3.53) se presentará en forma de una:
v Bi v BjBi v Dm v BjDm .27
(3.54)
BD
BD
En la figura 3.12c se ilustra la resolución gráfica de la ecuación (3.54). La construcción del polígono vectorial es semejante a la construcción que fue presentada para el grupo estructural anterior. Al elegir la escala μv (para la elección de escala se toma cualquier vector no nulo conocido por magnitud, en este caso v v Bi , desde el polo pv se traza p v bi
el vector p v bi que es la representación gráfica del vector velocidad v Bi y, en correspondencia con la ecuación (3.54), a través del punto bi se traza la línea paralela BD sobre que debe estar el vector v BjBi la longitud del segmento del que todavía es desconocido. Luego se pasa a la resolución del miembro derecho. Ya que vDm 0 por consiguiente la longitud del vector pv d m 0 por eso a través del polo se traza la línea perpendicular a BD sobre que debe estar el vector d m b j 0 que representará el vector velocidad v BjDm . El punto de intersección de la línea paralela a BD y perpendicular a BD se marca por la letra bj. Después, empleando la regla de la suma vectorial se determina el sentido de los vectores bib j y p v b j . Utilizando una de las ecuaciones (3.51) o (3.52) se determina la magnitud de la velocidad absoluta v B j del punto B del eslabón j. Seguidamente utilizando la fórmula igual a (3.39) y (3.41) se determinan las magnitudes da las velocidades vBj v pvb j , vBjDm v dmb j y vBjBi v bb i j . Las velocidades angulares de los eslabones i y j son iguales y se determinan por:
27
A pesar de que v B i v B k en la ecuación (3.48) en lugar de
con el i mediante el par cinemático deslizante B y no con el k.
117
vBi
no se puede presentar
v Bk
ya que el eslabón j se une
i j
vBjDm LBD
,
(3.55)
donde LBD L BD. El sentido de la velocidad angular determina el sentido del vector v BjDm aplicado en el punto B del eslabón j que se muestra en la figura 3.12e. Construcción del polígono vectorial de aceleraciones. Usando los mismos razonamientos que anteriores, se obtienen las ecuaciones vectoriales de las aceleraciones para el punto Bj para los dos casos. El primer caso es cuando el eslabón j se separa del m en el par cinemático de rotación D y queda unido con el eslabón i mediante el par cinemático deslizante B. Para este caso la ecuación vectorial se presentará como:
c a Bj a Bi a BjBi a BjBi .
(3.56)
El segundo caso es cuando el eslabón j se desune del eslabón i y se une con el m mediante el par cinemático de rotación D. Para este caso la ecuación vectorial de la aceleración absoluta del mismo punto Dj será presentada por:
n a Bj a Dm a BjDm a BjDm .
(3.57)
Ya que el eslabón i está unido con el k mediante el par cinemático de rotación, entonces el sistema de ecuaciones (3.56) y (3.57) se completa por:
aBi aBk .
(3.58)
Puesto que las dos ecuaciones (3.56) y (3.57) son deducidas para un solo punto Bj entonces el sistema de ecuaciones (3.56)…(3.58) se presentará en forma de una sola:
c n a Bi a BjBi a BjBi a Dm a BjDm a BjDm .
(3.59)
BD
BD
En la ecuación (3.59) la aceleración a Bc jB i es conocida por magnitud y dirección, su magnitud es igual a: c a BjBi 2 j v BjBi .
(3.60)
El sentido de la aceleración de Coriolis determinan los componentes de la ecuación (3.60), es decir, en el polígono vectorial de velocidades se toma el vector bib j , que es 118
representante del vector velocidad relativo v BjBi , y gira a 90° en el sentido de la velocidad angular ωj, es lo que se ilustra en la figura 3.12a. Para evitar errores posibles en la determinación del sentido de la aceleración de Coriolis es práctico utilizar un lápiz o bolígrafo como un vector, dirigir su punta en el sentido del vector bib j y girarlo en el sentido de la velocidad angular ωj, que en la figura 3.12a es contra del reloj. n también es conocida por magnitud y dirección. Su La aceleración normal a BjDm n magnitud es de a BjDm j 2 LBD y dirección es paralelo al segmento BD. Ya que el punto
n
Dm es el centro de rotación del eslabón j entonces el sentido del vector aceleración a BjDm será desde el punto Bj hacia el Dm. La resolución gráfica de la ecuación (3.59) se ilustra en la figura 3.12d construida a escala a
aBk . Entonces en correspondencia con la ecuación (3.59) primeramente se pabk
suman los vectores que se conocen tanto por magnitud como por dirección. Con el vector a Bi a Bk , representado en el polígono vectorial por el vector pa b k , se suma el
c c aBjBi * * vector a BjBi , representado por el vector bk b j cuyo longitud es igual a bk b j , y con
a el a Dm , representado por el vector padm de longitud igual a cero, se suma el vector n n aBjDm ** ** . Luego, a a BjDm , representado por el vector dmbj cuya longitud es igual a d mb j
a * través del final del vector bk b j se traza la línea B D y a través del final del vector dmb**j se traza la línea BD . La intersección de estas dos líneas se marca por el símbolo
bj que determina las longitudes y los sentidos de los vectores aceleraciones tangenciales a B jB i y a BjDm . Al unir el polo pa con el punto bj se determina el vector aceleración n relativo sumatorio a BjDm a BjDm a BjDm y al mismo tiempo absoluto a Bj . Al medir las longitudes de los segmentos y multiplicarlos por la escala μa se determinan las magnitudes de las aceleraciones correspondientes.
Al determinar la magnitud de la aceleración relativa tangencial a BjDm se halla la aceleración angular tanto del eslabón j como del i:
i j
aBjDm
LBD
119
.
(3.61)
El modo de la determinación del sentido de la aceleración angular de los eslabones se muestra en la figura 3.12e. Construcción de polígonos vectoriales de las velocidades y aceleraciones para el caso general cuando el eje del par cinemático de rotación B no atraviesa el eje de simetría del par cinemático deslizante. El esquema cinemático de éste se ilustra en la figura 3.13a. Para el análisis se eligen los datos iguales a los del ejemplo anterior. Entonces empleando mismos razonamientos, que en el ejemplo anterior, se concluye que se necesita determinar las velocidades y las aceleraciones de los puntos E que pertenecen al eslabón i y al j, también la velocidad y la aceleración angular de los eslabones i y j. Con este análisis hay que tener en cuenta que el eslabón i realiza dos movimientos distintos: giratorio en el par cinemático de rotación B con respecto al eslabón k y deslizante en el par cinemático E con respecto al b) eslabón j. La resolución se simplifica mucho si se emplea el siguiente método28. Mentalmente el esquema se a) modifica de modo que el par cinemático E coincida con el B. Éste se considera ficticio (en adelante todo lo que se refiere al d) mecanismo ficticio c) se marca en el Figura 3.13. Construcción de polígonos vectoriales para el grupo estructural superíndice con el de segunda clase de tercera variedad para el caso general cuando el eje del símbolo F), por par cinemático de rotación B no coincide con el eje de simetría del par eso el eslabón j se cinemático deslizante E. 28
Teoría de Mecanismos y Máquinas. Bajo la redacción del Dr. V.A.Gavrilenko. Moskú, “Vischaya Shkola”, 1973, (p.p. 82-86).
120
marcará como j(F), el eslabón i como i(F) y el par cinemático E como E(F). Con esta F modificación el punto E i va a coincidir con el punto Bi y ya que se ubicará en el par cinemático de rotación obtendrá la misma velocidad y la misma aceleración que el punto B del k. Así pues resulta que se necesita determinar la velocidad y la aceleración solamente del punto E j F que pertenece al eslabón j. Entonces para este punto el sistema de ecuaciones de las velocidades será presentado de la siguiente manera:
v Ej F v Ei F v Ej F Ei F F v E j v Dm v E jF Dm . v Ei F v Bk
(3.62)
Luego el sistema de ecuaciones (3.62) se presentará en forma de una sola:
v Ei F v E j F Ei F v Dm v E j F Dm . ED
E
F
(3.63)
D
F Al elegir la escala μv desde el polo pv se traza el vector pvei que representa el vector F velocidad v Ei que es igual a v Bk . Luego, en correspondencia con la ecuación (3.63), a través del punto ei F del polígono vectorial se traza la línea paralela al segmento E ( F ) D del esquema cinemático ficticio, que en la figura 3.13 a se muestra en línea discontinua. Después, ya que vDm 0, con el inicio en el polo se traza la línea p v e j F perpendicularmente al segmento E(F)D. El punto de intersección de estas dos líneas se marca por el símbolo
ej
F
y será el fin de la resolución de la ecuación (3.63).
F F Empleando la regla de la suma vectorial se determinan el sentido del vector ei e j , que F representa el vector velocidad v E E , y del pve j que representa el vector velocidad j
F
i
F
absoluto del punto E j F . Luego se determina la velocidad del punto E j . Para ello se emplea el teorema de semejanza de triángulos. Sobre el segmento E ( F ) D del esquema cinemático se construye
F el triángulo DE E y sobre el vector d j e j del polígono vectorial se construye el F
F F triángulo d j e j e j semejante al DE E . Uniendo el polo pv con el punto ej se determina el vector p v e j , que define la magnitud y el sentido de la velocidad absoluta del punto Ej:
121
vEj v pv e j .
(3.64)
Lo último que queda es la determinación de la velocidad del punto E del eslabón i. Este punto tiene los siguientes movimientos relativos: deslizante con respecto al punto E del eslabón j y giratorio con respecto al punto B del k. Entonces se deduce el siguiente sistema de ecuaciones:
vEi vBk vEiBk , vEi vEj vEiEj
(3.65)
que se presenta en forma de una:
vBk vEiBk vEj vEiEj . BE
(3.66)
ED
Así pues, en correspondencia con la ecuación (3.66), a través del punto bk del polígono
vectorial se traza la línea perpendicular a BE y a través del punto ej del vector pvej la
línea paralela a ED. El punto de intersección de éstas se marca por el símbolo ei, uniendo este punto con el polo pv se determina el vector p v ei correspondiente al vector velocidad absoluta del punto Ei. La magnitud de la velocidad se calcula mediante vEi v pvei . Las magnitudes de otras velocidades se determinan mediante:
vEiBk v bk ei , vEiEj v e j ei . La velocidad angular de los eslabones i y j se determina
como:
i j
o mediante
v EiBk , LBE
i j
vEj LED
.
(3.67)
(3.68)
En la figura 3.13c se muestra el modo de la determinación del sentido de la velocidad
angular ωi si para el cálculo se elige la fórmula (3.67). Para esto el vector v EiBk se coloca
en el punto E del eslabón i que mostrará el sentido de la velocidad angular ωi. Usando mismos fundamentos, se obtiene el sistema de ecuaciones de las aceleraciones para el punto E(F):
122
c a EjF a Ei F a EjF EiF a Ej F Ei F n a EjF a Dm a EjF Dm a EjF Dm , F a Ei a Bk
(3.69)
c n 2 donde aE F E F 2 j vE F E F y aE F Dm j LE F Dm . El modo de la determinación del j
i
j
i
j
sentido de la aceleración de Coriolis se ilustra en la figura 3.13c. Así pues el sistema de ecuaciones (3.69) se presenta en forma de una sola: c n a Ei F a E j F Ei F a E j F Ei F a Dm a E j F Dm a E j F Dm .
(3.70)
F E D
ED
En la figura 3.13d se muestra el polígono vectorial de aceleraciones como solución de la ecuación (3.70). En correspondencia con ésta al principio se suman los vectores que se
c F conocen tanto por magnitud como por dirección a Ei , que es igual a aBk , con a EjF Ei F , n el final de que en el polígono vectorial está marcado como e jF ** , y aDm con aEjFDm , el final de que en el polígono vectorial está marcado por e j F * . En la figura 3.13d se tomó en cuenta que la aceleración aDm es igual a cero por consiguiente el origen del vector
n c aEjFDm se ubica en el polo pa. Luego a través del final del vector a EjF Ei F se traza la n F línea E D y a través del final del vector aEjFDm la línea E D. El punto de
intersección de éstas determina las longitudes y los sentidos de los vectores correspondientes. En la figura 3.13d este punto está marcado como e j F . Al unir el polo pa con el punto e j F se determina el vector aceleración relativo del punto ficticio E j F n con respecto al punto Dm a E j F Dm a E j F Dm a E jF Dm . Luego se determina la aceleración del punto Ej. Para ello en el polígono vectorial sobre
F F el vector d j e j se construye el triángulo d j ej F e j semejante al triángulo DE E . Después se deducen las ecuaciones para el punto Ei. Ya que el punto E del eslabón i tiene un movimiento giratorio con respecto al punto B del eslabón k y deslizante con respecto al punto E del j se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
c a Ei a Ej a EiEj a EiEj n , a Ei a Bk a EiBk a EiBk 123
(3.71)
que se presenta en forma de una:
c n a Ej a EiEj a EiEj a Bk a EiBk a EiBk .
(3.72)
BE
ED
La resolución gráfica de la ecuación (3.72) es igual a la de las resoluciones de las ecuaciones anteriores y está presentada en la figura 3.13d. Uniendo el polo pa con el punto ei del polígono vectorial se determina la aceleración absoluta del punto e del eslabón i, su magnitud es igual a aEi a pa ei . Al determinar las aceleraciones de los puntos, se halla la aceleración angular de los eslabones, ésta se determina por una fórmula: aEiBk i j , LBE
(3.73)
* donde aEiBk a ei ei , o por la otra:
i j
a E F Dm j
LBD
,
(3.74)
donde aE F Dm a e j e j . F *
j
El modo de la determinación del sentido de la aceleración angular de los eslabones se muestra en la figura 3.13c cuando para la aceleración angular se elige la fórmula (3.73). Con esto se finaliza el análisis cinemático del grupo estructural de segunda clase de tercera variedad. 3.2.5 Construcción de polígonos vectoriales para los grupos estructurales de segunda clase de segunda, cuarta y quinta variedad Las ecuaciones, correspondientes a los grupos estructurales de segunda clase de segunda, cuarta y quinta variedad, son semejantes a las de los de segunda clase de primera y tercera variedad. Por eso su obtención y resolución se presenta en forma concisa. Grupo estructural de segunda clase de segunda variedad. En la figura 3.14a a escala L se muestra el esquema del caso particular, pero más usado en la práctica, cuando el eje geométrico del par cinemático de rotación E atraviesa la guía m m . Con todo eso la guía m m pertenece a la base. 124
Los datos para el cálculo se eligen siguientes: la disposición de los eslabones i y j, la longitud del eslabón i, la velocidad y la aceleración del punto B del eslabón k. El sistema de ecuaciones de las velocidades es el siguiente:
v Ei v Bk v EiBk v Ej v Em v EjEm . (3.75) v Ei v Ej
a)
Luego el sistema de ecuaciones (3.75) se presenta en forma de una:
v Bk v EiBk v Em v EjEm .(3. 76) BE
m m
c) b) Figura 3.14. Construcción de polígonos vectoriales para el grupo estructural de segunda clase de segunda variedad.
Al resolver la ecuación (3.76) mediante el polígono vectorial ilustrado en la figura 3.14b se determinan las longitudes de los vectores eb i k y pv e j y mediante la regla de la suma vectorial se determinan sentidos de los vectores correspondientes. Al medir las longitudes de los vectores eb i k y p v e j se calculan las magnitudes de las velocidades vEj v pv e j , vEiBk v bk ei y luego la velocidad angular del eslabón i i v EiBk . L BE
Por analogía con el sistema de ecuaciones de las velocidades el sistema de ecuaciones de las aceleraciones será el siguiente: n a Ei a Bk a EiBk a EiBk c a Ej a Em a EjEm a EjEm . a Ei a Ej
(3.77)
o en forma de una:
n c a Bk a EiBk a EiBk a Em a EjEm a EjEm , BE
m m
125
(3.78)
c n 2 m v EjEm 0 ya que m 0 . i2 LBE y a EjEm donde aEiBk
La resolución de la ecuación (3.78) se ilustra en la figura 3.14c. Con la resolución de a esta ecuación se determinan aEj a pae j , aEiBk a bkei y i EiBk , donde LBE aEiBk a ei*ei .
Grupo estructural de segunda clase de cuarta variedad. En la figura 3.15a se ilustra el esquema cinemático del grupo estructural mencionado donde el eje geométrico del par cinemático de rotación B atraviesa la guía k k del par cinemático deslizante B y el eslabón m es la base. Para el cálculo y la construcción de los polígonos vectoriales están dadas: la disposición de los eslabones la velocidad y la aceleración del punto B del eslabón k y la velocidad angular del mismo eslabón k. Para este grupo estructural la tarea consiste en la determinación de la velocidad y aceleración de los puntos Bi y Ej. De todo lo dicho el a) b) c) sistema de Figura 3.15. Construcción de polígonos vectoriales del grupo estructural de ecuaciones de las segunda clase de cuarta variedad. velocidades está dado por: v Bi v Bk v BiBk v Ej v Em v EjEm . (3.79) v Bi v Bj v Ej
v v En el sistema de ecuaciones (3.79) Bi Bj ya que los eslabones i y j están unidos mediante el par cinemático de rotación y v Bj v Ej ya que el eslabón j está unido con el m mediante el par cinemático deslizante y el eslabón m es la base. Luego el sistema de ecuaciones (3.79) se presenta en forma de uno:
v Bk v BiBk v Em v EjEm . k k
BE
126
(3.80)
En la figura 3.15b está presentado el polígono vectorial de velocidades como el resultado de la resolución de la ecuación (3.80). El sistema de ecuaciones de aceleraciones está dado por: c a Bi a Bk a BiBk a BiBk c a Ej a Em a EjEm a EjEm , a Bi a Bj a Ej
o
(3.81)
c c a Bk a BiBk a BiBk a Em a EjEm a EjEm , k k
(3.82)
BE
c c 2 m v EjEm 0 . donde aBiBk 2 k vBiBk y a EjEm
La resolución de la ecuación (3.82) está presentada en la figura 3.15c. Grupo estructural de segunda clase de quinta variedad. El esquema cinemático de este grupo se ilustra en la figura 3.16a, donde el eslabón m es la base. La distinción de éste grupo estructural de los demás consiste en que un par cinemático externo E y el interior B son deslizantes. Ya que los eslabones i, j y m se unen mediante los pares cinemáticos deslizantes, entonces, las velocidades angulares de éstos son iguales: i j m . Puesto que el eslabón m es la base entonces m 0 , por consiguiente las velocidades angulares de los eslabones i y j también son iguales a cero.
a)
El eslabón k y el i están unidos mediante el par cinemático de rotación B, entonces, la velocidad y b) c) la aceleración del punto Bi es igual Figura 3.16. Construcción de polígonos vectoriales del a la velocidad y la aceleración del grupo estructural de segunda clase de quinta variedad. 127
punto B del k, así pues la tarea consiste en la determinación de las velocidades y aceleraciones de los puntos B y E del eslabón j. Con todo eso las velocidades de estos puntos son iguales ya que el eslabón j realiza el movimiento lineal con respecto a la base. Así pues el sistema de ecuaciones de las velocidades de estos puntos va a ser presentada en la siguiente forma:
v Ej v Bj v Bi v Ej
v Em v EjEm v Bi v BjBi , v Bk v Bj
(3.83)
o en forma de una:
v Bi v BjBi v Em v EjEm . y y
(3.84)
x x
La resolución de la ecuación (3.84) está presentada en la figura 3.16b. De modo semejante el sistema de ecuaciones de las aceleraciones va a tener forma:
c a Ej a Em a EjEm a EjEm c a Bj a Bi a BjBi a BjBi , a Bi a Bk , a Ej a Bj
(3.85)
o en forma de una: c
c
a Bi a BjBi a BjBi a Em a EjEm a EjEm , y y
(3.86)
xx
c c donde aEjEm 2 m vEjEm 0 y aBjBi 2 j vBjBi 0 ya que j m 0 . La resolución de la ecuación (3.86) se muestra en la figura 3.16c.
3.2.6 Ejemplo del análisis cinemático de un mecanismo En la figura 3.17a se muestra el esquema de una bomba aspirante de émbolo. Para asegurarse que el esquema presentado es de un mecanismo se calcula el número de grados de libertad: 128
q 3 6 1 0 2 7 1.
(3.87)
De acuerdo con el cálculo del número de grados de libertad se concluye que el esquema presentado es de un mecanismo que tiene un solo eslabón de entrada. Como el eslabón de entrada se elige la manivela 2, y como el de salida, el pistón 6. El primer grupo estructural es de segunda clase de segunda variedad presentado por los a) eslabones 6 y 5 unidos mediante el par cinemático de rotación E, que es interior. Al éste se adicionan los pares cinemáticos externos: de rotación D, que une el eslabón 5 con el 4, y deslizante E, que une el eslabón 6 con la base 1. El segundo grupo estructural es de segunda clase de tercera variedad formado por los eslabones 4 y 3 unidos mediante el par b) c) cinemático deslizante B. Figura 3.17. Análisis cinemático del mecanismo de bomba. Los pares cinemáticos externos son: de rotación C que une el eslabón 4 con la base 1 y de rotación B que une el eslabón 3 con la manivela 2. El mecanismo de primera clase lo forman la manivela 2 y la base 1 unidos mediante el par cinemático de rotación A. El análisis estructural confirma que el esquema presentado es de un mecanismo con un solo grado de libertad ya que en su estructura entra un solo mecanismo de primera clase, además el mecanismo es de segunda clase ya que los grupos estructurales son de segunda clase. La fórmula del mecanismo se presentará por: I 1,2 II3 3,4 II2 5,6 . 129
(3.88)
Para el análisis cinemático de este mecanismo se eligen los dados siguientes: las longitudes de los eslabones, las coordenadas xc, xe e yc, en metros, las coordenadas de los centros de gravedad G4 y G5 de los eslabones 4 y 5. La ley del movimiento de la 1 manivela está dada por n2 ...,min , con esto n2 const . Al principio se construye el esquema cinemático a escala µL (ver la figura 3.17a). Si la meta principal del análisis es la determinación de la ley del movimiento del eslabón de salida en función de la ley del movimiento del eslabón de entrada, los polígonos vectoriales de las velocidades y los de las aceleraciones deben ser construidos para todas las posiciones de los eslabones que corresponden a las de la manivela en el giro completo. Para la realización de esto se diseña el esquema cinemático en dos posiciones extremas AB0CD0E0 y AB´CD´E´ y una de ellas se elige como la de inicio (en la figura 3.17a como la posición de inicio está elegida la AB0CD0E0). Luego la circunferencia de la trayectoria del punto B2, partiendo de la posición de inicio, se divide en una cantidad de partes iguales. En correspondencia con éste se determinan las posiciones de la manivela 2. Las posiciones de otros eslabones, correspondientes a las de la manivela, se construyen mediante el método de marcas. Para el análisis cinemático se toma la posición 3 de la manivela 2 que dio giro con respecto a la posición de inicio un ángulo φ2. El análisis cinemático comienza con la deducción de la ecuación vectorial de la velocidad del punto B2 del mecanismo de primera clase:
vB 2 v A1 vB2 A1 , donde vA1 0 , vB2A1 2 LAB ...,m/ s en que 2
(3.89)
n2 ..., s 1 . 30
v El vector velocidad B2A1 es perpendicular al segmento AB y su sentido determina el de
la velocidad angular de la manivela 2. Al elegir la longitud del vector a1b2 , se calcula la escala del polígono vectorial de velocidades v v B 2 A1 ..., m s 1 mm y luego desde el a1b2 polo pv se traza el vector a1b2 , ya que el vector pv a1 0 , es lo que se presenta en la figura 3.17b. Ya que el eslabón 3 está unido con el 2 mediante el par cinemático de rotación las velocidades de los puntos B3 y B2 son iguales. Por esta razón el final del vector a1b2 también se marca por el símbolo b3. El siguiente se deduce el sistema de ecuaciones para el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad que será presentada por: 130
v B 4 v B3 v B 4 B3 , v B 4 v C 1 v B 4C 1
vB3 vB2
en que
(3.90)
(3.91)
Al presentar el sistema de ecuaciones (3.90)…(3.91) en forma de una sola, resulta:
v B3 v B 4 B 3 v C1 v B 4C1 . BC
BC
(3.92)
La solución de la ecuación (3.92) se presenta en forma del polígono vectorial construido como prolongación de la solución de la ecuación (3.89), es decir, a través del punto b3 del polígono vectorial se traza la línea paralela a BC. Luego, ya que vC1 0 , desde el polo pv se traza la línea perpendicular a BC. El punto de la intersección de las líneas paralela a BC y perpendicular a BC se marca el símbolo b4 lo que determina la por magnitud y el sentido de los vectores b3b4 y pvb4 . Así pues vB4B3 v bb 3 4 ,m/ s , vB4 v pvb4 ...,m/ s , vB4C1 v cb 1 4 ...,m/ s . Luego se calculan las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4. Ya que ambos eslabones están unidos mediante el par cinemático deslizante, entonces 3 4
3 4
vB4C1 ...,s1 , o presentando en segmentos LBC
v c1b4 ...,s1 . L BC
Para determinar las velocidades de los puntos D4 y G4 se emplea el teorema de semejanza en forma
c4d4 c4b4 y c4 g 4 c4b4 respectivamente. La ubicación correcta de CD CB CG4 CB
los puntos d4 y g4 determina el sentido de la lectura de las letras en el esquema cinemático del mecanismo y en el polígono vectorial que debe ser igual. Luego se determina la magnitud de la velocidad del punto D4 como vD4 v pvd4 ...,m/ s y del punto G4 como vG4 v pv g4 ...,m/ s . Después se deduce el sistema de ecuaciones:
v E 5 v D 4 v E 5D4 v E 6 v E1 v E 6 E1 , vE6 vE5 donde se tiene: 131
(3.93)
v D 4 v E 5 D 4 v E1 v E 6 E1 . DE
(3.94)
y y
Entonces a través del punto d4 del polígono vectorial se traza la línea DE, y ya que vE1 0 a través del polo la línea y y . Al resolver la ecuación (3.94) se determinan: vE5D4 v d4e5 ...,m/ s , vE6 v pve6 ...,m/ s , vE6E1 v ee y luego 1 6 ...,m/ s v d e 5 E 5 D 4 v 4 5 ..., s 1 . LDE L pv e Para determinar la velocidad del punto G5 se emplea el teorema de semejanza en forma: d 5 g 5 d 5 e5 . Al unir el punto g5 con el polo se determina la velocidad absoluta del DG 5 DE
punto G5 donde vG5 v pv g5 ...,m/ s . En el polígono vectorial se puede observar que en el polo pv también están presentados los símbolos a1, a2, c1, c4 y e1 ya que estos puntos de los eslabones del mecanismo tienen la velocidad igual a cero. Luego se deducen las ecuaciones vectoriales de las aceleraciones. Del punto B2 del mecanismo de primera clase:
n a B 2 a A1 aB 2 A1 a B 2 A1 ,
(3.95)
n 2 2 donde aA1 0 , aB 2 A1 2 LAB ...,m/ s y aB2 A1 0 ya que 2 = const .
aBn 2 A1 ...,ms2 mm , El polígono vectorial de aceleraciones se construye a escala a a1b2 donde ab 1 2 es la longitud del vector en el polígono vectorial que representará el vector
aceleración aBn 2 A1 . En la figura 3.17c se muestra dicho polígono vectorial que se construye del siguiente modo. Ya que aA1 0 el vector a1b2 se traza desde el polo pa y luego se deduce el sistema de ecuaciones para el punto B4 del grupo estructural de segunda clase de tercera variedad:
c a B 4 a B 3 a B 4 B3 a B 4 B 3 n a B 4 a C1 a B 4 C1 a B 4 C1 , a B3 a B 2
132
(3.96)
o
c n a B3 a B 4 B3 a B 4 B3 aC1 a B 4C1 a B 4C1 , BC
BC
(3.97)
aC1 0 , aBc 4 B3 2 4 vB4 B3 ...,m/ s2 , aBn 4C1 42 LBC ...,m/ s2 . donde En correspondencia con la ecuación (3.97), a través del punto b3 del polígono vectorial se aBc 4 B 3 * * ...,mm y a través del punto b4* se traza la traza el vector b3b4 de longitud b3b4
a línea BC . Luego, del polo, ya que aC1 0 , se traza el vector c1b4** paralelamente al aBn 4C1 ** ...,mm y el sentido es desde el punto B segmento BC. Su longitud es c1b4 a ** hacia el C del eslabón 4. Después, a través del punto b4 , se traza la línea BC . Al y BC , marcado como b4, se determinan las longitudes y los sentidos de los vectores b4*b4 , b4**b4 .
definir el punto de intersección de las líneas
BC
Al resolver la ecuación (3.97) en el polígono vectorial se determina el vector sumatorio
n a B 4C1 a B 4C1 a B 4C1 y luego la magnitud de la aceleración relativa sumatoria
aB 4C1 a c1b4 ..., m/ s 2 , la de la aceleración tangencial del movimiento del punto B4 * 2 con respecto al B3 aB 4B3 a b4b4 ...,m/ s , la de la aceleración absoluta del punto B4
aB 4 a pab4 ...,m/ s 2 , la de la aceleración tangencial del punto B4 en el movimiento ** 2 con respecto a la base aB 4C1 a b4 b4 ...,m/ s y la magnitud de la aceleración angular
aB 4C1 ...,s2 . Seguidamente, empleando el teorema tanto del eslabón 3 como del 4, 4 LBC de semejanza, se determinan las longitudes de los segmentos pa d 4 CD
pab4 ...,mm BC
pab4 ...,mm . Luego se determinan las magnitudes de las aceleraciones BC 2 del punto D del eslabón 4 aD 4 a pa d4 ...,m/ s y del punto G4 del mismo eslabón 4 a g 4 a pa g 4 ..., m/ s 2 .
y pa g 4 CG4
Luego, para el grupo estructural de segunda clase de segunda variedad, se deduce el sistema de ecuaciones para los puntos E5 y E6:
133
n a E 5 a D 4 a E 5 D 4 a E 5D 4 c a E 6 a E1 a E 6 E1 a E 6 E1 . a E6 a E5
(3.98)
que se presenta en forma de una:
n c a D 4 a E 5 D 4 a E 5 D 4 a E1 a E 6 E 1 a E 6 E 1 , DE
(3.99)
y y
donde aEn 5D 4 52 LDE ...,m/ s2 y aEc 6 E1 2 1 vE 5 E1 0 . La ecuación (3.99) se resuelva del siguiente modo. En correspondencia con la ecuación (3.99) desde el punto d4 del polígono vectorial se traza el vector d 4 e5* de magnitud
aEn 5D4 de ...,mm paralelamente al segmento DE del esquema cinemático desde el a * punto E hacia el D. Luego a través del punto e5 se traza una línea DE . Después, ya * 4 5
c que aE1 0 y aE6E1 0 , desde el polo se traza la línea
y y . La
intersección de la
y y
con la DE determina las magnitudes y los sentidos de los vectores antes desconocidos a E 5 D 4 y aE6E1 . Seguidamente, se determina el vector sumatorio por
línea
n la fórmula a D 4 E 5 a E 5 D 4 a E 5 D 4 . Luego empleando el teorema de semejanza de
DG5 ...,mm y del pag5 DE correspondiente a la aceleración absoluta del punto G5. Por último se calculan la magnitud de la aceleración relativa tangencial del movimiento del punto E5 con respecto
triángulos se determina la longitud del segmento d5 g5 d5e5
E 5D4
al D4 a
aE 5D 4 a e e ...,m/ s , la aceleración angular del eslabón 5 5 ...,s2 , LDE * 5 5
2
2 la aceleración absoluta del punto E del eslabón 6 aE 6 a pae6 ...,m/ s y la
aceleración del punto G5 a g 5 a pa g 5 ..., m/ s 2 . 3.3 Método analítico del análisis cinemático Existen diferentes métodos analíticos del análisis cinemático de mecanismos articulados. Por ejemplo Levitskiy N.I. y Marghitu, Dan B., Crocker, Malcolm J. 29 para 29
Levitskiy N.I. Teoría de Mecanismos y Máquinas. Moskú, “Nauka”, 1979, (p.p. 53-84) y Marghitu, Dan B., Crocker, Malcolm J. Analisis Elements of Mechanisms. Cambridge, University Press, 2001, (p.p. 21-82).
134
el análisis cinemático recomiendan el empleo de las ecuaciones en forma cuadrática, K.V.Frolov, S.N.Sumskiy, Joseph Edvard Shigley con John Joseph Uicker Jr. y otros, el empleo del Algebra Vectorial para algunos mecanismos concretos. A continuación se muestra el empleo del Algebra Vectorial relacionado con los grupos estructurales de Assur31. El empleo de este método permite realizar el análisis cinemático de los mecanismos de cualquier complejidad. El método es universal elaborado para el análisis cinemático de los mecanismos planos de segunda clase. 3.3.1 Construcción analítica del mecanismo, ecuación del mecanismo El análisis cinemático de un mecanismo con el empleo del método analítico, así como con el empleo del método gráfico, comienza con la construcción del esquema cinemático. Para comprender las bases de la construcción analítica del mecanismo es necesario recordar las nociones básicas que identifican el mecanismo como una cadena cinemática cerrada con un eslabón inmóvil y el número de los grados de libertad igual a uno o más que uno. Para no complicar las explicaciones aquí y en adelante se eligen solamente los mecanismos con el número de grados de libertad igual a uno. Si, a veces, se necesita construir y analizar un mecanismo con el número grados de libertad más que uno su investigación será no más complicada si las leyes del movimiento de los eslabones de entrada y las de salida estén unidas por la relación de transmisión o por la función de transmisión. Para mostrar la construcción analítica se elige el mecanismo de biela-manivelacorredera compuesto por el mecanismo de primera clase y el grupo estructural de segunda clase de segunda variedad. Se supone que son dadas: las longitudes de los eslabones LAB y LBC, la coordenada generalizada φ2 y la coordenada (yC) de la posición de la guía de la corredera. En la figura 3.18 se ilustran las etapas del ensamble analítico del mecanismo de bielamanivela-corredera. La lógica de éste es la siguiente. El mecanismo de primera clase presentado en la figura 3.18a se coloca en el sistema de coordenadas (x, y) de modo que
Teoría de Mecanismos y Máquinas. Bajo la redacción de K.V.Frolov. Moskú, “Vischaya Shkola”, 1987, (p.p. 102-109), S.N.Sumskiy ”El cálculo de características cinemáticas y dinámicas de mecanismos articulados” Moscú, Mashinostroenie, 1980, (p.p. 8-31) y Joseph Edward Shigley, John Joseph Uicker, Jr., Teoría de Mecanismos y Máquinas. McGRAW-HILL, 1990, (p.p. 156-159). 31 Boris F.Voronin, Jesús A. Álvarez Sanchez. Un método Analítico del Análisis Cinemático de Mecanismos Articulados. Revista Iberoamericana de ingeniería Mecánica. Vol 12, Núm. 1, ISSN 1137-2729. UNED, Madrid, España, 2008, (p.p. 0514). Aquí y en adelante se considera que el sistema de coordenadas plano es fija a la base.
135
el par cinemático A coincida con el inicio del sistema de coordenadas, el sistema de ecuaciones de este mecanismo se presentará en forma:
b) c) a) Fig. 3.18. Representación gráfica de la formación del mecanismo mediante el método analítico.
xB2 = xA1 LAB cos 2 yB2 = yA1 LAB sen 2
.
(3.100)
Asimismo la ecuación del grupo estructural de segunda clase de segunda variedad ilustrada en la figura 3.18b, colocado en el sistema de coordenadas (x*, y*), obtendrá la siguiente forma:
xC 4 xB 3 LBC cos 3 , * * y y L sen C 4 B 3 BC 3 *
*
(3.101)
donde yC 4 yC . *
Colocando el mecanismo de primera clase y el grupo estructural en un solo sistema de coordenadas (x, y) y uniendo los eslabones 2 y 3 mediante el par cinemático de rotación B, éste se convierte en un mecanismo para el cual se cumplen las siguientes igualdades:
xB 3 xB 2 ; * yB3 yB 2
(3.102)
xC 4 xC . * yC 4 yC
(3.103)
*
*
Por último se recibe:
xC 4 xA1 LAB cos 2 LBC cos 3 yC 4 yA1 LAB sen 2 LBC sen 3 136
.
(3.104)
El sistema de ecuaciones (3.104) presenta un circuito cinemático cerrado y se denomina la ecuación del mecanismo. Este sistema está compuesto por dos ecuaciones escalares y tiene dos incógnitas, la coordenada xC4 y el ángulo 3, por eso es determinada. La ecuación en forma (3.104) se ilustra en numerosos libros y no es el objetivo presentarla una vez más. El objetivo de éste es mostrar que no es necesario obtener la ecuación de un mecanismo completo como una cadena cinemática cerrada, sino es suficiente tener ecuaciones de partes de este mecanismo. Es decir obtener la ecuación del mecanismo de primera clase así como la (3.100), de grupos estructurales como (3.101) y del modo de sus uniones presentadas así como (3.102) y (3.103). 3.3.2 Principios del método analítico del análisis cinemático En la figura 3.19 se ilustra el esquema de un grupo estructural convencional colocado en el sistema de coordenadas (x, y). En éste los eslabones i y j forman los pares cinemáticos externos B y D con los eslabones k y m respectivamente que son de rotación. El par cinemático interior C que une los eslabones i y j puede ser tanto de rotación como deslizante. La longitud del eslabón i presentado como la distancia entre los puntos Bi y Ci se considera constante y la distancia entre los puntos Dj y Cj depende del tipo del par cinemático por consiguiente puede ser variable. Por lo tanto los puntos Ci y Cj se encuentran uno del otro sobre la distancia LCiCj pero en el momento del registro coinciden. Se considera, que están dados: 1. El ángulo i de la posición del eslabón i. 2. Las coordenadas del punto B del eslabón k por consiguiente se conocen las coordenadas del Figura 3.19. Esquema estructural convencional. punto B del i.
del
grupo
3. La magnitud y dirección de la velocidad y de la aceleración del punto B del eslabón k. Entonces, en la figura 3.19 el posicionamiento del punto C del eslabón j se define mediante el siguiente sistema de ecuaciones: xCj = xBk + LBC cos i LCjCi cos j yCj = y Bk + LBC sen i LCjCi sen j
137
.
(3.105)
En general el ángulo γj puede ser relacionado con el γi mediante j i por eso el sistema de ecuaciones (3.105) puede ser presentado así: xCj = x Bk + LBC cos i LCjCi cos i yCj = y Bk + LBC sen i LCjCi sen i
.
(3.106)
Al diferenciar (3.106) con respecto al tiempo se obtiene el sistema de ecuaciones de la velocidad del punto Cj: x Cj = x Bk L BC i sen i LCjCi cos i LCjCi i sen i y Cj = y Bk + LBC i cos i LCjCi sen i LCjCi i cos i
,
(3.107)
Comparando el sistema de ecuaciones (3.107) con el método de polígonos vectoriales se puede concluir que xBk e y Bk son los componentes del vector velocidad del punto B del eslabón k, ésta en la ecuación (3.107) se considera como la velocidad de traslación. La diferencial i es la velocidad angular del eslabón i. Entonces, el término LBC i es la velocidad del punto C del eslabón i en el movimiento giratorio con respecto al B del k. La diferencial LCjCi es la velocidad del movimiento lineal del punto C del eslabón j con respecto al C del i cuando los eslabones i y j están unidos mediante el par cinemático deslizante. Al diferenciar el sistema de ecuaciones (3.107) se tiene: xCj = xBk LBC i sen i LBC i 2 cos i 2 LCjCi i sen i LCjCi cos i LCjCi i sen i LCjCi i 2 cos i
. (3.108) yCj = y Bk + LBC i cos i LBC i 2 sen i 2 LCjCi i cos i LCjCi sen i LCjCi i cos i LCjCi i 2 sen i
Comparando el sistema de ecuaciones (3.108) con el método de polígonos vectoriales se concluye que en el sistema de ecuaciones (3.108) los términos xBk y yBk son los del vector del movimiento de traslación acelerado. La diferencial i es la aceleración angular del eslabón i, entonces, el término LBC i es la aceleración tangencial del punto
Ci en el movimiento giratorio con respecto al Bk y el término LBC i es la aceleración normal (centrípeta) del mismo. La diferencial LCjCi es la aceleración tangencial del movimiento del punto Cj con respecto al Ci cuando los eslabones i y j están unidos 2
138
mediante el par cinemático deslizante y el término 2 LCjCi i es la aceleración de Coriolis en el mismo par cinemático. Ya que en el momento de registro LCjCi 0 , por consiguiente, en los sistemas de
i 0 y LCjCi i 2 0 entonces ecuaciones (3.105), (3.107) y (3.108) LCjCi i 0 , LCjCi definitivamente el sistema de ecuaciones (3.105) obtiene forma: xCj = xBk + LBC cos i yCj = y Bk + LBC sen i
,
(3.109)
el sistema (3.107) la siguiente: xCj = x Bk L BC i sen i LCjCi cos i y Cj = y Bk + L BC i cos i LCjCi sen i
,
(3.110)
y (3.108) la siguiente: xCj = x Bk L BC i sen i LBC i 2 cos i 2 LCjCi i sen i LCjCi cos i yCj = y Bk + LBC i cos i LBC i 2 sen i 2 LCjCi i cos i LCjCi sen i
. (3.111)
En lo adelante en los sistemas de ecuaciones (3.110) y (3.111) es más conveniente presentar las diferenciales en la forma más usada: L en forma de v, L como a, como ω y como indicando en subíndices la pertenencia de estos parámetros a cierto punto del eslabón concreto o al cierto eslabón. Así, como en los análisis cinemático mediante el método de polígonos vectoriales, en forma detallada se presentarán las ecuaciones solamente para el mecanismo de primera clase y para los grupos estructurales de segunda clase de primera y de tercera variedad. Las ecuaciones para los grupos estructurales se muestran para el caso general, cuando los eslabones k y m, que forman los pares cinemáticos externos pero no entran en los grupos estructurales, son móviles. Para el mecanismo de primera clase presentado en la figura 3.20 el sistema de ecuaciones (3.109), (3.110) y (3.111) se presentarán en las siguientes formas: la ecuación del mecanismo primario:
xB 2 = xA1 + LAB cos 2 yB 2 = yA1 + LAB sen 2 139
,
(3.112)
el sistema de ecuaciones de la velocidad del punto B2:
xB 2 = x A1 LAB 2 sen 2 ; y B 2 = y A1 + LAB 2 cos 2
(3.113)
y el de la aceleración del mismo punto B2:
xB 2 = x A1 LAB 2 2 cos 2 LAB 2 sen 2 y B 2 = y A1 LAB 2 2 sen 2 + L AB 2 cos 2
Figura 3.20. Para la deducción de ecuaciones del mecanismo . (3.114) de primera clase.
Para el movimiento uniforme cuando 2 const el sistema de ecuaciones (3.114) tendrá forma:
xB 2 x A1 LAB 2 2 cos 2 y B 2 y A1 LAB 2 2 sen 2
.
(3.115)
Para el grupo estructural de segunda clase de primera variedad presentado en la figura 3.21. El sistema de ecuaciones para el punto Ci del grupo estructural mencionado tendrá la siguiente forma:
xCi = xBk + LBC cos i yCi = yBk + LBC sen i
,
(3.116)
y para el punto Cj la siguiente: xCj = xDm + LDC cos j yCj = y Dm + LDC sen j
.
(3.117) Figura 3.21. Para deducción de ecuaciones del grupo estructural de segunda clase de primera variedad.
Los sistemas de ecuaciones (3.116) y (3.117) tienen cada uno tres incógnitas: las coordenadas del punto Ci en (3.116) y del Cj en (3.117) y los ángulos i y j por consiguiente son indeterminados. Ya que los eslabones están unidos mediante el par cinemático de rotación, entonces:
xCi xCj yCi yCj 140
(3.118)
que permite los sistemas de ecuaciones (3.116) y (3.117) presentarlas en forma de uno solo:
xBk + LBC cos i xDm + LDC cos j y Bk + LBC sen i yDm + LDC sen j
.
(3.119)
En el sistema de ecuaciones (3.119) quedan solamente dos incógnitas, los argumentos i y j. Éstos se calculan mediante el método iterativo. Luego utilizando (3.116) se determinan las coordenadas xCi e yCi del punto Ci o utilizando (3.117) las coordenadas x C j e y Cj del punto Cj. Utilizando (3.110) para el punto Ci y el Cj se deduce el sistema de ecuaciones de las velocidades:
xCi = xBk LBC i sen i , yCi = y Bk + LBC i cos i xCj = x Dm LDC j sen j y Cj = y Dm + LDC j cos j
(3.120)
,
(3.121)
donde las incógnitas son el vector velocidad del punto Ci presentado en las coordenadas xCi , yCi , el vector velocidad del punto Cj en las coordenadas xCj , yCj y las velocidades angulares de los eslabones ωi y ωj. Al utilizar
xCi xCj y Ci y Cj
,
(3.122)
los sistemas de ecuaciones (3.120) y (3.121) se presentan en forma de uno: x Bk LBC i sen i x Dm LDC j sen j y Bk + LBC i cos i y Dm + LDC j cos j
,
(3.123)
con que se determinan las velocidades angulares de los eslabones ωi y ωj. Luego, utilizando (3.120) o (3.121) se determinan los componentes xCi e y Ci de la velocidad del punto Ci o los componentes x C j e y Cj de la velocidad del punto Cj. 141
Igualmente utilizando (3.111) para los puntos Ci y Cj se deduce el sistema de ecuaciones de las aceleraciones: xCi = xBk LBC ωi 2 cos i LBC α i sen i yCi = y Bk LBC ωi 2 sen i + LBC α i cos i
,
xCj = x Dm LDC ω j 2 cos j LDC α j sen j yCj = y Dm LDC ω j 2 sen j + L DC α j cos j
xCi xCj yCi yCj
(3.124)
,
,
(3.125)
(3.126)
donde las incógnitas son el vector aceleración del punto Ci presentado en coordenadas xCi , yCi , el vector aceleración del punto Cj presentado en las coordenadas xCj , yCj y las aceleraciones angulares de los eslabones i y j. Presentando el sistema de ecuaciones (3.124)…(3.126) en forma de una: x Bk LBC ω i 2 cos i LBC α i sen i x Dm LDC ω j 2 cos j LDC α j sen j y Bk LBC ω i 2 sen i + LBC α i cos i y Dm LDC ω j 2 sen j + LDC α j cos j
, (3.127)
se calculan las aceleraciones angulares de los eslabones i y j y luego, mediante (3.124) la aceleración del punto Ci en componentes xCi e yCi o (3.125) la aceleración del punto Cj en componentes xC j e yCj . Al definir los parámetros cinemáticos de los puntos característicos de los eslabones se hallan las coordenadas del punto E del eslabón i, las cuales son: xEi = xBk + LBE cos i i y Ei = y Bk + LBE sen i i
,
(3.128)
la velocidad del mismo punto: x Ei = x Bk LBE i sen i i y Ei = y Bk + LBE i cos i i
y la aceleración:
142
(3.129)
x Ei x Bk LBE i 2 cos i i LBE i sen i i y Ei y Bk LBE i 2 sen i i LBE i cos i i
.
(3.130)
Para el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad se elige un caso general presentado en la figura 3.22 cuando el punto C del eslabón i no coincide con el Bi y el eslabón m es móvil. Para el grupo estructural presentado el sistema de ecuaciones del posicionamiento del punto Cj se presentará en la siguiente forma: xCj x Bk LBC cos i yCj y Bk LBC sen i
,
(3.131)
y la siguiente xCj xDm LDC cos j yCj y Dm LDC sen j
.
(3.132)
Ya que en este grupo las posiciones angulares de los eslabones i y j están relacionados mediante j i , por lo tanto el sistema de ecuaciones (3.132) obtiene la siguiente forma: xCj x Dm LDC cos i yCj y Dm LDC sen i
.
(3.133)
Figura 3.22. El esquema general del grupo estructural de segunda clase de tercera variedad para la Al presentar (3.131) y (3.133) en forma de uno solo deducción de ecuaciones.
resulta:
x Bk LBC cos i x Dm LDC cos i y Bk LBC sen i y Dm LDC sen i
.
(3.134)
El sistema de ecuaciones (3.134) tiene solo dos incógnitas, el ángulo γi y la distancia LDC por lo tanto es determinada. Al definir las incógnitas se regresa al sistema de ecuaciones (3.131) o (3.133) para definir las coordenadas del punto Cj. Aplicando el sistema de ecuaciones (3.110) para el punto Cj relacionado con el Ci se tiene:
143
x Cj x Bk L BC i sen i vCjCi cos i y Cj y Bk LBC i cos i vCjCi sen i
,
(3.135)
y para el punto Cj relacionado con el Dm, con la toma en cuenta que i j , se tiene: xCj x Dm LDC i sen i y Cj y Dm LDC i cos i
.
(3.136)
Presentando los sistemas de ecuaciones (3.135) y (3.136) en forma de una se recibe: x Bk LBC i sen i vCjCi cos i x Dm LDC i sen i y Bk LBC i cos i vCjCi sen i y Dm LDC i cos i
,
(3.137)
en que las incógnitas son la velocidad angular ωi y la relativa vCjCi por consiguiente es determinada. Resolviendo la ecuación (3.137) se regresa a la resolución de (3.135) o (3.136) para determinar los componentes x C j e y Cj de la velocidad absoluta del punto Cj. Del mismo modo aplicando (3.111) para el punto Cj relacionado con el Ci se deduce el sistema de ecuaciones de la aceleración del punto Cj. Su forma es: xCj x Bk LBC i 2 cos i 2 vCjCi i sen i LBC i sen i aCjCi cos i yCj y Bk LBC i 2 sen i 2 vCjCi i cos i LBC i cos i aCjCi sen i
, (3.138)
y para el punto Cj relacionado con el Dm se recibe la siguiente forma: xCj x Dm LDC i 2 cos i LDC i sen i yCj y Dm L DC i 2 sen i LDC i cos i
.
(3.139)
Al presentar los sistemas de ecuaciones (3.138) y (3.139) en forma de una se recibe:
144
xBk LBC i 2 cos i 2 vCjCi i sen i LBC i sen i aCjCi cos i xDm LDC i 2 cos i LDC i sen i
(3.140) y Bk LBC i 2 sen i 2 vCjCi i cos i LBC i cos i aCjCi sen i y Dm LDC i 2 sen i LDC i cos i
en que las incógnitas son αi y aCjCi. Luego utilizando (3.139) o (3.140) se determinan los componentes de la aceleración del punto Cj. Para determinar la velocidad del punto C del eslabón i se aplica el sistema de ecuaciones igual a (3.129) que fue empleado para la determinación de la velocidad del punto E del eslabón i del grupo estructural de segunda clase de primera variedad:
xCi xBk LBC i sen i . yCi y Bk LBC i cos i
(3.141)
La aceleración del punto C del eslabón i será determinada con el uso del sistema de ecuaciones analógico a (3.130): xCi x Bk LBC i 2 cos i LBC i sen i yCi y Bk LBC i 2 sen i LBC i cos i
.
(3.142)
Para el caso particular cuando el punto Bi coincide con el Ci el sistema de ecuaciones (3.134) obtiene forma: x Bk xCi xCj xDm LDC cos j y Bk yCi yCj y Dm LDC sen j
,
(3.143)
donde desconocidas son LDC y γj. El sistema de ecuaciones (3.137) se presentará como: x Bk vCjCi cos j x Dm LDC j sen j y Bk vCjCi sen j y Dm LDC j cos j
y el sistema de ecuaciones (3.140) se presentará así: 145
,
(3.144)
x Bk 2 vCjCi i sen j aCjCi cos j x Dm LDC i 2 cos j L DC i sen j y Bk 2 vCjCi i cos j aCjCi sen j y Dm L DC i 2 sen j LDC i cos j
. (3.145)
Para el caso cuando el eslabón m es la base en los sistemas de ecuaciones (3.143), xDm 0 e yDm 0. (3.144) y (3.145) se considerará xDm 0, yDm 0, Para el grupo estructural de segunda clase de segunda variedad que se ilustra en la figura 3.23. Se considera el caso particular cuando el eje del par cinemático de rotación C atraviesa la guía del par cinemático deslizante. La ecuación del grupo estructural tiene la siguiente forma:
xCi xBk LBC cos i
(3.146)
yCi yBk LBC sen i con todo eso xCi xCj yCi yCj
.
(3.147)
El sistema de ecuaciones de las velocidades de los puntos Ci y Cj la siguiente: xCj xCm vCjCm cos m y Cj y Cm vCjCm
Figura 3.23. Esquema del grupo estructural
, (3.148) de segunda clase de segunda variedad sen m aceptada para la deducción de ecuaciones.
xCi xBk LBC i sen i , yCi y Bk LBC i cos i xCi xCj y Ci y Cj
(3.149)
,
(3.150)
y el de las aceleraciones de los mismos la siguiente: xCj xCm 2 vCjCm m sen m aCjCm cos m yCj yCm 2 vCjCm m cos m aCjCm sen m
146
,
(3.151)
xCi x Bk LBC i 2 cos i LBC i sen i yCi y Bk LBC i 2 sen i LBC i cos i xCi xCj yCi yCj
,
.
(3.152)
(3.153)
Para el caso cuando el eslabón m es la base, m 0 , xCm 0 , yCm 0, xCm 0 e yCm 0. Para el grupo estructural de segunda clase de cuarta variedad mostrado en la figura 3.24 en que se toma el caso particular cuando el eje del par cinemático interior de rotación B atraviesa las guías de los pares cinemáticos externos deslizantes B y C. Entonces, la ecuación del grupo estructural en las coordenadas de los puntos Bi y Bj se presentará así: xBj xCm LBC cos m y Bj yCm LBC sen m xBi xBj xBk yBi yBj yBk
,
.
(3.154)
(3.155)
El sistema de ecuaciones de las velocidades de los puntos Bi y Bj se presentará en forma:
xBi xBk vBiBk cos k , y Bi y Bk vBiBk sen k xCj xCm vCjCm cos m y Cj y Cm vCjCm sen m
,
(3.156) Figura 3.24. Esquema del grupo
(3.157)
estructural de segunda clase de cuarta variedad aceptada para la deducción de ecuaciones.
x Bi x Bj xCj y Bi y Bj y Cj
(3.158)
y el sistema de ecuaciones de las aceleraciones de mismos puntos la siguiente:
xBi xBk 2 vBiBk k sen k aBiBk cos k , yBi yBk 2 vBiBk k cos k aBiBk sen k 147
(3.159)
xCj xCm 2 vCjCm m sen m aCjCm cos m yCj yCm 2 vCjCm m cos m aCjCm sen m xBi xBj xCj y Bi y Bj yCj
.
,
(3.160)
(3.161)
Para el grupo estructural de segunda clase de quinta variedad presentado en la figura 3.25 en que se toma el caso particular pero más usado cuando el eslabón m es la base. El sistema de ecuaciones de este grupo estructural será el siguiente:
xBi xBk yBi yBk xCj xCm yCj yCm
,
(3.162)
.
(3.163)
Teniendo en cuenta que i j m 0 el sistema de ecuaciones de la velocidad del punto C del eslabón j obtiene la forma siguiente: x Bj x Bi v BjBi cos m y Bj y Bi v BjBi sen m
xCj xCm vCjCm cos m y Cj y Cm vCjCm sen m
xBi xBk , yBi yBk xCj x Bj y Cj y Bj
.
,
, (3.164)
(3.165)
(3.166)
(3.167) Figura 3.25. Para la deducción de
ecuaciones para el grupo estructural de segunda clase de quinta variadad.
y el de la aceleración: x Bj x Bk a BjBk cos m y Bj y Bk a BjBk sen m
148
,
(3.168)
xCj xCm aCjCm cos m yCj yCm aCjCm sen m
xBi xBk , yBi yBk xCj xBj yCj y Bj
.
,
(3.169)
(3.170)
(3.171)
El análisis cinemático del mecanismo de segunda clase con el uso del método analítico se lleva a cabo en el mismo orden en que fue presentado el análisis cinemático mediante el método de polígonos vectoriales. Comprobación de validez del método analítico presentado. El método analítico para un ingeniero mecánico no es claro ya que a través de las ecuaciones no se visualizan sentidos de los vectores. Por eso es válido presentar los cálculos de un mecanismo y compararlos con el método de polígonos vectoriales. En seguida se ilustra el empleo del método analítico para el mecanismo de colisa presentado en la figura 3.26. El mecanismo está compuesto por el mecanismo de primera clase, presentado por la manivela 2 unida con la base 1 mediante el par cinemático de rotación A, y el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad, presentado Figura 3.26. Esquema del por la corredera 3 y la colisa 4 unidos mediante el par estructural cinemático deslizante B. La corredera 3 se une con la manivela mecanismo de colisa. del mecanismo de primera clase mediante el par cinemático de rotación B y la colisa 4 se une con la base 1 mediante el par cinemático de rotación C. El mecanismo está colocado en el sistema de coordenadas (x, y) de modo que el inicio del sistema de coordenadas coincide con el par cinemático C del mecanismo y el par cinemático A se ubica sobre el eje Y. Para los cálculos se eligen los siguientes datos: LAB 0.1m; LAC 0.2m; la velocidad angular de la manivela se toma igual a 2 50 s-1 ; con todo eso 2 const . Los cálculos se realizan para las tres posiciones de la manivela: 2 = 45 , 2 = 135 y 2 = 225 . Los sistemas de ecuaciones para el cálculo del mecanismo de primera clase se consideran siguientes: de las coordenadas del punto B2: 149
xB 2 xA1 LAB cos 2 yB 2 yA1 LAB sen 2
,
(3.172)
donde las coordenadas del punto de referencia A1 son: xA1 0 yA1 0.2
;
(3.173)
del vector velocidad del punto B2: xB2 x A1 LAB 2 sen 2 y B2 y A1 LAB 2 cos 2
(3.174)
y del vector aceleración del mismo punto: x B 2 x A1 L AB 2 2 cos 2 y B 2 y A1 L AB 2 2 sen 2
.
(3.175)
xA1 0 y yA1 0 . En los sistemas de ecuaciones (3.174) y (3.175) x A1 0 , y A1 0 , Para el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad al principio se determina el ángulo γ4 y la longitud LBC mediante:
xB 4 xC1 LBC cos 4 yB4 yC1 LBC sen 4
xB 4 xB3 xB2 yB 4 yB3 xB 2
,
.
(3.176)
(3.177)
Luego se calcula la velocidad del punto B4, la velocidad relativa vB4B3 y la velocidad angular ω4. En seguida se presenta el sistema de ecuaciones para la determinación de estos parámetros:
xB 4 xB3 vB 4 B3 cos 4 , y B 4 y B3 vB 4 B3 sen 4
(3.178)
xB 4 xC1 LBC 4 sen 4 . y B 4 yC1 LBC 4 cos 4
(3.179)
150
Después se calcula la aceleración absoluta del punto B4 , la aceleración tangencial aB4B3 y la angular α4 que se calculan mediante el siguiente sistema de ecuaciones:
xB 4 x B 3 2 v B 4 B 3 4 sen 4 aB 4 B 3 cos 4 , y B 4 y B 3 2 v B 4 B 3 4 cos 4 a B 4 B 3 sen j x B 4 xC 1 LBC 4 2 cos 4 LBC 4 sen 4 y B 4 yC 1 LBC 4 2 sen 4 LBC 4 cos 4
,
(3.180)
(3.181)
En la tabla 3.1 se presenta la solución de los problemas mediante polígonos vectoriales y mediante el método analítico. Los resultados muestran plena coincidencia tanto por la magnitud, como por el sentido de los vectores. Prolongación de la tabla 3.1.
151
Tabla 3.1. Análisis comparativo del cálculo cinemático del mecanismo de colisa mediante el método analítico y el método gráfico.
xB 2 yB 2 , etc. Para Hay que tener en cuenta que vB 2 x B 2 y B 2 , aB 2 los cálculos posteriores en el método analítico del análisis cinemático de los mecanismos con el eslabón de salida del movimiento lineal alternativo es muy importante disponer el mecanismo de modo para que el eslabón de salida realice el movimiento paralelamente a un eje del sistema de coordenadas paralelamente al eje X o al Y. 2
2
2
2
Conclusión. A partir de estos cálculos se puede notar plena coincidencia de los resultados tanto en la magnitud como en el sentido de los vectores. 3.4 Análisis cinemático por medio de los diagramas Empleando el método de polígonos vectoriales o el método analítico se reciben datos completos que pueden usarse tanto para la evaluación de la desviación de la ley del movimiento del eslabón de salida con respecto a la ley del movimiento previamente dada, como para los cálculos posteriores. Pero éstos son complicados y exigen mucho 152
tiempo para su resolución. En algunos casos es suficiente tener dependencias analíticas o gráficas de los parámetros del movimiento de un solo eslabón. Esto se obtiene mediante los métodos de la derivación e integración gráfica o analítica. Si una función está presentada en forma analítica, otras funciones se obtienen por medio de la derivación o integración analítica de ésta. Los procesos de la derivación e integración analítica se conocen bien en el Cálculo y aquí no están presentados. Si una función está dada en forma de tabla, en forma de un gráfico o fue obtenida por medio de una graficadora se emplea el método gráfico o numérico. Posteriormente por su claridad y evidencia se muestra un método gráfico. Derivación gráfica. Los principios de la derivación gráfica son los siguientes. En df x A de una función f(x) en el punto A se presenta como la Cálculo la derivada dx tangente del ángulo de la tangente al gráfico de la función f(x) en este punto. Entonces, la derivada se determina por medio del gráfico f(x) al trazar una recta tangente a la curva en el punto A que se presenta como:
df x A dx
tan A . Sin embargo a través de un solo
punto se pueden trazar una cantidad infinita de las rectas por consiguiente trazar una recta tangente a la curva es muy difícil por eso este método no es seguro. En Teoría de Mecanismos y Máquinas para la derivada se emplea el método de cuerdas. Se elige un mecanismo con el número de grados de libertad igual a uno. Sea necesario definir la ley del movimiento del eslabón de salida en función de la ley del movimiento del eslabón de entrada en forma de la variación de la velocidad de un punto o angular del eslabón. Se supone que es conocido el gráfico de la variación del desplazamiento de un solo punto o angular de este eslabón. En el capítulo 2.2.3 fue mostrado, que la ley del movimiento es más conveniente presentarla con el tiempo excluido mediante los análogos de velocidades o análogos de aceleraciones. Entonces para los mecanismos la velocidad de un punto A de un eslabón j se presentará como:
vAj
dsAj d i
i ,
(3.182)
i ,
(3.183)
y la angular del mismo eslabón así:
j
d j d i
153
donde φi es el desplazamiento angular del eslabón de entrada i de un mecanismo y ωi es la velocidad angular del mismo eslabón, sAj es el desplazamiento del punto A del eslabón j relacionado con el i, γj es el desplazamiento angular del mismo eslabón j. dsAj d j Entonces es el análogo de velocidad del punto Aj y es el análogo de di d i velocidad angular del eslabón j. En la figura 3.27a se muestra un diagrama del desplazamiento s de un punto del eslabón de salida en función del desplazamiento angular φ del eslabón de entrada. El desplazamiento angular del eslabón de entrada se sitúa en el eje de abscisas x (φ) a escala:
..., rad / mm , x
donde φ es el desplazamiento angular del eslabón de entrada, en radianes. Como es habitual el desplazamiento angular se mide desde la posición de inicio del mecanismo, en que como la posición de inició se elige una de las extremas, y x es la distancia en milímetros correspondiente al desplazamiento angular φ.
(3.184)
a)
El desplazamiento s de un punto del eslabón de salida está trazado de modo que coincide con el eje de ordenadas y. Su escala es:
b) Figura 3.27. Derivación gráfica mediante el método de cuerdas.
s s ..., m / mm , (3.185) y donde s es el desplazamiento de un punto del eslabón de salida, en metros, e y es la distancia, marcada en el eje de ordenadas y, correspondiente al desplazamiento s, en milímetros.
154
La tarea consiste en la presentación de la ley de la variación de la velocidad del movimiento del eslabón de salida en función del desplazamiento angular del eslabón de entrada. El orden de la derivación es el siguiente: 1. Se construyen dos sistemas de coordenadas, uno superior, para el gráfico del desplazamiento s = s(φ), y el otro inferior, para la construcción del gráfico del análogo ds ds de velocidad . En el primer sistema de coordenadas, en los ejes x(φ) e y(s) a d d escalas μφ y μs, respectivamente, calculadas por las fórmulas (3.184) y (3.185), se construye el gáfico del desplazamiento que se ilustra en la figura 3.27a. Luego, el eje de abscisas x(φ) se divide en varios intervalos iguales 0 - 1, 1 - 2, 2 - 3, etc. A través de los puntos 0, 1, 2, 3, etc. se trazan líneas paralelas al eje de ordenadas y los puntos de intersección de éstas con el gráfico se marcan como 0´, 1´, 2´, 3´, etc. En las mitades de los intervalos se trazan líneas paralelas al eje de ordenadas enumeradas como 01, 12, 23, etc. que se bajan hasta el eje x(φ) del sistema de coordenadas del análogo de velocidades. 2. Se traza la prolongación del eje de abscisa x(φ) del sistema de coordenadas del análogo de velocidades, ilustrado en la figura 3.27b, y sobre ésta se marca el punto D a una distancia H a la izquierda con respecto el inicio del sistema de coordenadas. La distancia H se denomina base de la derivación y el punto D como polo de la derivación. 3. A través de los puntos 0´ y 1´, 1´ y 2´ etc. del gráfico del desplazamiento se trazan cuerdas y paralelamente a éstas desde el polo D de la base de la derivación se trazan los
ds . Desde los puntos de intersección de los d
rayos hasta la intersección con el eje y
ds se trazan líneas paralelas al eje x(φ) hasta la intersección con d
rayos con el eje y
las líneas 01, 12, 23, etc. trazadas en las mitades de los mismos intervalos. Al unir todos los puntos de intersección mediante una curva suave se obtiene el gráfico de la variación del análogo de velocidad de un punto del eslabón de salida en función de la posición angular del eslabón de entrada. 4. Empleando las escalas s y φ se calcula la escala del gráfico del análogo de velocidad. En el gráfico ilustrado en la figura 3.27b se tiene:
155
ds v y , d
(3.186)
y H tan .
(3.187)
donde
En el gráfico del desplazamiento ilustrado en la figura 3.25a se tiene:
tan
dy ds . dx s d
(3.188)
Al sustituir (3.188) en (3.187) y (3.187) en (3.186) queda:
ds ds v H . d s d
(3.189)
Así pues, se tiene:
v
1 s ..., mrad-1 mm . H
(3.190)
5. Luego se determina la velocidad de un punto de eslabón de salida en magnitudes físicas para todas las posiciones:
v v y ..., m s .
(3.191)
Si el eslabón de salida tiene un movimiento giratorio, entonces en vez del gráfico del desplazamiento lineal de un solo punto se construye la del desplazamiento angular del eslabón y con esto se recibe el gráfico del análogo de velocidad angular. En este caso la fórmula (3.190) se transforma en:
1 ..., mm1 , H
(3.192)
j y j i ..., s 1 ,
(3.193)
y la (3.191) en:
156
donde yj es la ordenada adquirida en el gráfico de velocidades angulares del eslabón de salida, y ωi es la velocidad angular del eslabón de entrada. La validez de la derivación gráfica se puede comprobar con la definición de las siguientes indicaciones conocidas en Matemáticas. Los puntos de intersección del gráfico del análogo de velocidad con el eje x(φ) deben coincidir con los puntos extremos, mínimo y máximo, del gráfico del desplazamiento ya que en los puntos ds extremos las tangentes son paralelas al eje x(φ) entonces 0 . Además, si alguna d ds parte del gráfico del desplazamiento es recta entonces const . Esto en el gráfico del d análogo de velocidad se presenta con una línea recta paralela al eje x(φ), en la figura 3.27b se presenta entre los puntos 3´4´ y 5´6´. Integración gráfica. Básicamente una integral es una suma de infinitos sumandos infinitamente pequeños. Así pues la integral de una función f x es igual al área A de la región del plano limitada entre el gráfico f, el eje X y las líneas verticales x a y x b : b
f x dx A .
(3.194)
a)
a
La integral de una inversa a la entonces, la correspondiente a tendrá forma:
función es derivada, ecuación la (3.182)
k
1 s v d . (3.195) 0
b)
En la figura 3.28a en el Figura 3.28. Integración gráfica mediante el método de cuerdas. sistema de coordenadas (x, y´) se muestra el gráfico de la variación de la velocidad de un punto del eslabón de salida en función del ángulo de giro del eslabón de entrada. En el gráfico, la posición angular del eslabón de entrada se sitúa en el eje de abscisas x a escala, que se calcula por la fórmula (3.184). La velocidad está presentada en forma de análogo de velocidad y 157
ds a escala que se determina por la fórmula d
está situada en el eje de ordenadas y
1 ds . En la parte inferior del sistema de coordenadas (x, y´), se traza el sistema y´ d (x, y) en que sobre el eje y(s) se marca el desplazamiento de un punto del eslabón de salida. v
Para la integración gráfica, el eje de abscisas se divide en varios intervalos iguales marcados como 0 - 1, 1 - 2, etc. y a través de los puntos 1, 2, 3, etc. se trazan líneas verticales hasta la intersección con la curva del gráfico y con el eje de abscisas del sistema de coordenadas (x, y). Los puntos de intersección de las verticales con la curva del gráfico se marcan como 1´, 2´, 3´ etc. Después, en cada intervalo se calcula el área del plano de la región, limitada entre el eje X y la curva del gráfico. Luego en el eje de ordenadas del sistema de coordenadas (x, y) se ponen marcas con el incremento de la distancia correspondiente al incremento del área total. Pero este método se considera muy complicado. El método más simple consiste en lo siguiente 33: 1. Se prolonga el eje de abscisa del sistema de coordenadas x, y , ilustrado en la figura 3.28a, y sobre éste se elige el punto D a una distancia H a la izquierda con respecto al inicio del sistema de coordenadas. El punto D se denomina polo de integración y la distancia H base de integración. Luego, en límites de un intervalo el área del trapecio curvilíneo se sustituye por un rectangular de igual área. Esto se consigue si la curva del gráfico se corta con segmentos paralelos al eje X de modo que el área que se adiciona al rectángulo, en la figura 3.26a está marcado con el signo (+), sería igual al área que se resta, este área está marcado con el signo (-). Estos segmentos se prolongan hasta la
ds . Luego los puntos de intersección se unen con el polo D d mediante los rayos y con esto se definen los ángulos 01 , 12 de las pendientes de los intersección con el eje y
rayos. 2. En el sistema de coordenadas (x, y) desde el origen se traza la recta 0 1 , paralelamente al rayo trazado un ángulo 01 , luego desde el final de éste se traza la línea 1 2 paralelamente al rayo trazado un ángulo 12 , etc. Por fin los puntos de intersección 0, 1 , 2 , etc. se unen mediante una curva suave.
3. Se calcula la escala del gráfico. Ya que el proceso de integración es inverso al de la derivación, entonces, usando la fórmula (3.190) se tiene:
33
L.P.Smirnov. Cinemática de Mecanismos y Máquinas. M.-L., GIZ, 1926.
158
s v H ..., m mm .
(3.196)
4. Se calcula el desplazamiento físico de un punto del eslabón de salida para una posición i del eslabón de entrada:
si s yi ..., m .
(3.197)
En la integración gráfica hay que tomar en cuenta, que los puntos de intersección del gráfico de análogo de velocidad con el eje X deben coincidir con los puntos extremos, mínimos y máximos, del gráfico del desplazamiento, porque en éstos las tangentes son ds paralelas al eje X, por consiguiente 0 . Además, si el gráfico del análogo de d ds velocidad, en alguna parte, es paralela al eje X, entonces, const y la parte d correspondiente del gráfico del desplazamiento será una recta. Si en el gráfico del análogo de velocidad algún punto es extremo (máximo o mínimo), la curvatura del gráfico del desplazamiento cambia la dirección. Para que la derivación e integración sean más exactas, se recomienda, en los intervalos, en que los gráficos cambian bruscamente, dividir el eje X en intervalos más pequeños. En la práctica se emplean otros métodos de derivación e integración, pero todos tienen el mismo basamento matemático.
159
PROBLEMAS 3 Problema 3.1. En la figura P3.1 mediante los polígonos vectoriales determinar las velocidades y aceleraciones de los puntos E, G3 y G4 de los eslabones 3 y 4, las velocidades y aceleraciones angulares de mismos eslabones. Los datos son los siguientes: las longitudes de los eslabones son en el problema 2.1, con todo eso o
LBG3=1/3LBC, LDG4=1/3LDC, 2 50 y la frecuencia de rotación de la manivela es n2=800 rev/min.
Figura P3.1.
Problema 3.2. En la figura P3.2 mediante los polígonos vectoriales determinar la velocidad y aceleración de los puntos C del eslabón 4 y del G del eslabón 3, la velocidad y aceleración angular del eslabón 3. Los datos son los siguientes: las longitudes de los eslabones son en el problema 2.2, con todo eso LBG3=1/3LBC, 2 230 y frecuencia de rotación de la manivela es n2=1200 rev/min.
o
Figura P3.2.
Problema 3.3. En la figura P3.3 mediante los polígonos vectoriales determinar la velocidad y aceleración del punto D y G del eslabón 4, las velocidades y aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4. Datos son siguientes: las longitudes de los eslabones son en el problema 2.3, con todo eso LCG3=1/2LCD, φ2=230° y frecuencia de rotación de la manivela es n2=100 rev/min. Problema 3.4. En la figura P3.4 mediante los polígonos vectoriales determinar la velocidad y aceleración de los puntos D y G del eslabón 4, las velocidades y aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4.
Figura P3.3.
Los datos son los siguientes: las longitudes de los eslabones se toman en el problema 2.4, con todo eso LCG3=1/2LCD, φ2=285° y frecuencia de rotación de la manivela es n2=700 rev/min. Figura P3.4.
160
Capítulo 4 ANÁLISIS Y SÍNTESIS DINÁMICO DE MECANISMOS ARTICULADOS Dinámica (viene del griego δύναµις que significa fuerza) es una parte de mecánica en que se estudian las causas del movimiento mecánico. Dinámica opera con tales conceptos como masa, fuerza, impulso, energía. Dinámica se divide en dos partes principales Cálculo de Fuerzas y Síntesis Dinámica. La meta principal del Cálculo de Fuerzas es la determinación de los factores que favorecen a la realización del trabajo deseable. Mediante Cálculo de Fuerzas se determinan las fuerzas que actúan en los pares cinemáticos y los momentos de par de las fuerzas que actúan sobre los eslabones. Posteriormente estos datos se emplean para el cálculo de tensión, rigidez, solidez, desgaste de las piezas de los mecanismos. Es decir Cálculo de Fuerzas sirve para la determinación de las dimensiones de las piezas y finalmente del tamaño del mecanismo. Con Síntesis Dinámica se determina la influencia de las fuerzas aplicadas a la ley del movimiento del eslabón de entrada que al principio se toma como const , se determinan los factores necesarios para la realización de la ley del movimiento requerido. Un problema muy importante que se resuelve mediante Síntesis Dinámica es la exclusión o disminución de vibraciones. 4.1 Conceptos generales Ya que este capítulo está dedicado al estudio de la influencia de la fuerza sobre el movimiento de los eslabones del mecanismo, tiene interés examinarla con más detalles. Fuerza es una modelación del proceso de interacción de dos cuerpos que permite medir la intensidad de interacción entre ellos. La fuerza es caracterizada por magnitud, dirección y por el punto de aplicación por consiguiente se presenta como vector fuerza con el origen en el punto de aplicación. Se considera que a través del punto de aplicación de la fuerza pasa la línea de acción que es una recta a lo largo de que está dirigida la fuerza. Es característico que el efecto de acción de la fuerza no se cambia con el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza a lo largo de esta línea. Por ejemplo, las fuerzas de choque mutuo de dos bolas, ilustrado en la figura 4.1, están aplicadas en el punto de contacto. En este punto interaccionan dos fuerzas, la fuerza Fij de acción de la bola i sobre la j y la Figura 4.1. Las fuerzas de interacción de dos fuerza Fji de reacción de la bola j sobre la bolas i y j que chocan entre sí están aplicadas en i. Su magnitud es igual pero sentido el punto de contacto, son iguales en magnitud y opuesto. La fuerza de la atracción mutua opuestas en dirección F ji F ij . 161
entre la Tierra y la Luna no tiene el punto de contacto, pero tiene una línea de acción de la fuerza sobre que se ubica dicha fuerza. Sin embargo no todas las fuerzas se aplican en un solo punto. Por ejemplo la fuerza de acción de la presión de líquidos y gases comprimidos sobre un pistón es aplicada sobre todo el área de la superficie de la parte superior del pistón en forma de las fuerzas unitarias. Pero para simplificar los cálculos todas éstas se sustituyen por una resultante que se aplica en el centro del área:
F p A, N,
(4.1)
donde p es la presión de líquido o gas en N/m2 y A es el área de la superficie en m2. La masa de un eslabón se distribuye por todo el volumen del cuerpo, por eso la gravitación y la inercia actúan sobre todas las partículas del cuerpo provocando la acción de las fuerzas de gravedad y de inercia unitarias. Para simplificar en los cálculos la presentación de las fuerzas de gravedad y de inercia, aplicadas a todas las partículas del cuerpo, éstas se sustituyen por una sola aplicada en el centro de gravedad. La acción de dos fuerzas paralelas de igual magnitud y sentido opuesto dispuestas en un solo plano a una distancia r una de otra, ilustradas en la figura 4.2, se denomina momento de par de las fuerzas también llamado como cupla o torque. La distancia r entre las líneas de la acción de estas fuerzas se nombra brazo de par34 de fuerzas y el plano en que se dispone el par de fuerzas se llama plano de par de fuerzas. Elmomento de par de las fuerzas es el producto vectorial del brazo de par r por la fuerza F :
M r F
Figura 4.2. Un par de fuerzas paralelas F del sentido contrario dispuestas en un solo plano a la distancia r una de otra se sustituye por el momento de par de fuerzas M.
y constituye otro vector que está aplicado perpendicularmente al plano de par. Su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha o la regla de tornillo derecho. El vector principal para un par de fuerzas sirve el vector nulo por consiguiente la acción de un par de fuerzas sobre el cuerpo por completo se caracteriza por su momento de par principal, que es un vector libre, que no depende del polo. Este vector se denomina como el momento de par de las fuerzas. La magnitud del momento de par de las fuerzas se determina como el producto escalar:
M F r, Nm. 34
(4.2)
Brazo de par es el vector que mide la distancia más corta entre las líneas de acción de las fuerzas.
162
(4.3)
Las fuerzas se dividen en dos grupos: externos e internos. En el primer grupo entran las fuerzas, que actúan sobre el mecanismo desde fuera. Un grupo muy grande de éstas presenta las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas de resistencia. A su vez las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas de resistencia se dividen en las de resistencia de trabajo útil, y las de trabajo perdido. Las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas de resistencia útil son las que se utilizan para el cambio del estado de los materiales o para el cambio de sus coordenadas, por ejemplo, las fuerzas de corte de material, de golpe en el proceso de forja, de transporte, etc. El mecanismo se diseña y se construye para la generación de las fuerzas capaces vencer las de resistencia útil. Las fuerzas de resistencia útil se determinan mediante los cálculos o experimentos y se presentan en forma de gráficos o tablas. La magnitud y el punto de aplicación de las fuerzas de resistencia útil deben ser conocidas de antemano. Las fuerzas de trabajo perdido son las de fricción, de resistencia del medio ambiente, etc. Los datos de éstas podrán ser obtenidos mediante los cálculos, de prontuarios, o por medio de experimentos. Debido a que estas fuerzas por magnitud son demasiado pequeñas en comparación con las demás, las fuerzas de trabajo perdido al principio no se toman en cuenta. Pero en el caso de cálculo del rendimiento del mecanismo la consideración de estas fuerzas es obligatoria. Las fuerzas motrices Fmot. y los momentos de par de las fuerzas motrices Mmot., también son externas y están aplicadas sobre los eslabones motrices. NOTA. En Cálculo de Fuerzas y Síntesis Dinámica los eslabones de entrada y de salida cambian su significado. Uno de ellos se convierte en el eslabón motriz y el otro en el seguidor. Al eslabón motriz se aplica la fuerza motriz que debe vencer todas las fuerzas de resistencia y al seguidor se aplica la fuerza de resistencia útil. Las fuerzas de gravedad y las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas de inercia también se consideran como las de resistencia. El trabajo, que realizan estas fuerzas en un ciclo de funcionamiento del mecanismo, es igual a cero. El segundo grupo, son las fuerzas internas. Éstas son las de interacción de los eslabones y actúan en los pares cinemáticos. Estas fuerzas se nombran como las fuerzas de acción y las de reacción sus magnitudes son iguales pero sentidos opuestos. En el análisis dinámico, así como en el cinemático, todos los eslabones se consideran como cuerpos absolutamente rígidos y duros porque su deformación es demasiado pequeña en comparación con su desplazamiento, la unión de los eslabones en los pares cinemáticos se considera sin holgura. A veces, cuando esto es muy importante, se toman en cuenta la deformación de los eslabones y la deformación de los elementos de los pares cinemáticos. 163
El análisis dinámico se basa en las tres leyes de Newton. En la figura 4.3 se muestra la primera edición del libro de Newton “Philosophiæ naturalis principia matematica”35, con manuscritos del autor, editado en Julio de 1686 en que por primera vez fueron publicados los principios que actualmente se conocen como las leyes de Newton. La interpretación actual de éstas es la siguiente: 1. Una partícula se mantendrá en reposo o continuará moviéndose en una recta con una velocidad constante si la suma de todas las fuerzas, que actúan sobre ésta, es igual a cero, se dice que las fuerzas están en equilibrio. 2. Si la suma de todas las fuerzas, que actúan sobre una partícula, no es igual a cero, la partícula experimentará una aceleración proporcional a la fuerza resultante y se moverá en la dirección de acción de ésta. 3. Dos partículas que actúan recíprocamente producen un par de fuerzas. Éstas actúan a lo Figura 4.3. Ejemplar de Newton de la largo de la normal común, tienen magnitudes primera edición, con correcciones manuscritas del propio autor. iguales y sentidos opuestos. Para una partícula o un cuerpo la primera y segunda leyes de Newton se resumen mediante las siguientes ecuaciones: 1. Para una partícula:
F m a , donde m es la masa de la partícula y
(4.4)
a es la aceleración.
2. Para un cuerpo que experimenta el movimiento giratorio:
M J .
(4.5)
donde J es el momento de inercia, que es una medida de la inercia rotacional del cuerpo con respecto a un eje y es la aceleración angular del cuerpo. En las ecuaciones (4.4) y (4.5) el signo (-) significa, que el sentido del vector fuerza de inercia y del momento de par de las fuerzas de inercia es opuesto al sentido de la aceleración de la partícula o aceleración angular del cuerpo correspondientemente. 35
http://es.wikipedia.org/wiki/Philosophi%C3%A6_Naturalis_Principia_Mathematica (consultado 11.09.2011.).
164
Con el empleo de la primera y segunda leyes de Newton se determinan las fuerzas de gravedad y las de inercia. También la primera y segunda leyes determinan las condiciones de equilibrio de las fuerzas. Con el empleo de la tercera ley de Newton, en el cálculo se determinan las fuerzas de interacción de los eslabones, las fuerzas que actúan en los pares cinemáticos. Estas fuerzas son internas y son de acción y reacción. Cuando se examina la interacción de los eslabones i y j entonces un vector fuerza se presenta en forma F ji , que se descifra como la fuerza de acción sobre el eslabón j del i, y la fuerza igual por magnitud y opuesta por el sentido se escribe como F ij . 4.2
Cálculo de fuerzas
4.2.1 Nociones generales El análisis de fuerzas de un mecanismo será realizado, si son conocidas: las longitudes de los eslabones, sus masas y los momentos de inercia, las coordenadas de los centros de gravedad, los parámetros cinemáticos de los eslabones (las velocidades y las aceleraciones de los centros de gravedad, las velocidades y las aceleraciones angulares de los eslabones), también si son conocidas las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas de resistencia útil. Realizar el cálculo de las fuerzas sería muy complicado sin la aplicación del principio de D'Alambert36. Éste se fórmula del siguiente modo si a un cuerpo absolutamente rígido y duro, al que están aplicadas las fuerzas internas y externas, adicionalmente aplicar las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas de inercia, el cuerpo estaría como en equilibrio estático que permite para el cálculo dinámico emplear las ecuaciones de equilibrio estático. Entonces conforme al principio D'Alambert el cuerpo i se encontrará como si en el equilibrio estático si: 1. La suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo i, incluyendo las de inercia, es igual a cero:
F (i ) 0 .
(4.6)
2. La suma de los momentos de par de las fuerzas aplicados al cuerpo i con respecto a un punto B, incluyendo los momentos de par de las fuerzas de inercia, también es igual a cero: 36
Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) fue un enciclopedista, matemático y filósofo francés, uno de los máximos exponentes del movimiento ilustrado.
165
M B ( Fi ) 0 .
(4.7)
La ecuación (4.6) constituye una suma vectorial, por eso puede ser resuelta mediante el polígono vectorial. La ecuación (4.7) también constituye una suma vectorial, pero en el mecanismo plano, todos los vectores M i son paralelos ya que son perpendiculares al plano de par, que es el plano del movimiento de los eslabones, por consiguiente la ecuación vectorial (4.7) se convierta en la escalar:
M
B
( Fi ) 0 .
(4.8)
En la ecuación (4.8) los momentos de par de las fuerzas tienen solamente dos sentidos: del reloj y contra del reloj. En Teoría de Mecanismos y Máquinas, así como en Mecánica, el momento de par de las fuerzas del sentido contra del reloj se considera positivo (+) y del sentido del reloj negativo (-). La fuerza de inercia principal del eslabón i es aplicada en el centro de gravedad. La magnitud de ésta se calcula por la fórmula:
Fi in mi aGi , N ,
(4.9)
donde mi es la masa del eslabón i y aGi es la aceleración del centro de gravedad del mismo. Su sentido es opuesto al de la aceleración de éste punto. En los cálculos la indicación del signo (-) se evita si el sentido del vector fuerza se presenta en el esquema de aplicación de las fuerzas. La magnitud del momento de par de las fuerzas de inercia se calcula por la fórmula:
M i in J Gi i , N m
(4.10)
donde JGi es el momento de inercia con respecto al eje que pasa a través del centro de gravedad y i es la aceleración angular del eslabón. El momento de par de las fuerzas de inercia está aplicado al eslabón y su sentido es opuesto al de la aceleración angular de éste. En las fórmulas la indicación del signo (-) también se evita. En los mecanismos articulados los eslabones están unidos mediante los pares cinemáticos inferiores, que son de rotación y deslizantes. Por eso desde el punto de vista de interacción de las fuerzas es muy importante definir la diferencia entre los pares cinemáticos.
166
Como es conocido en Mecánica las fuerzas, que actúan en los pares cinemáticos, están distribuidas por las superficies de toque en forma de fuerzas unitarias qk dirigidas perpendicularmente a dichas superficies. Como es conocido en Mecánica, las fuerzas, si no se toma en cuenta la acción de las fuerzas de fricción, están dirigidas perpendicularmente a la superficie de contacto de dos cuerpos. Por eso en el par cinemático de rotación actúan las fuerzas unitarias dirigidas al centro del par cinemático que cambian por una parábola, así como se ilustra en la figura
n
1
4.4a. Para simplificar el cálculo, la suma de ellas sustituye una resultante F ji q k , o k F ij F ji , que pasa a través del eje geométrico del par cinemático. Así pues se considera que en el par cinemático de rotación el punto de aplicación de la fuerza F ji es conocido y está ubicado en el eje geométrico del par cinemático por consiguiente las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza son conocidas. Puesto que a través de un solo punto se puede trazar una cantidad infinita de rectas entonces la dirección de la fuerza y su magnitud son desconocidas. Las últimas son el objeto de cálculo de fuerzas. En el par cinemático deslizante presentado en la figura 4.4b las fuerzas unitarias qk también actúan perpendicularmente a la superficie del par cinemático. La suma de éstas se sustituye por un par de fuerzas * ** F ij y F ij aplicadas en los extremos a) b) de la corredera i. La magnitud de Figura 4.4. Interacción de los eslabones en el par éstas en el caso común puede ser cinemático de rotación a) y deslizante b). diferente. Para simplificar el cálculo, * ** las fuerzas F ij y F ij se sustituyen por una sola resultante F ij o F ji , aplicada a una distancia h. La línea de acción de esta fuerza es perpendicular al par cinemático, pero el punto de su aplicación, la coordenada h, y la magnitud son desconocidas. Así, en el par cinemático deslizante la fuerza también dos veces es desconocida, es conocida solamente la dirección de acción de la fuerza, es perpendicular al par cinemático. Los parámetros desconocidos se determinan en el proceso de cálculo de fuerzas. Por consiguiente tomando en cuenta este breve análisis se puede concluir, que en todos los pares cinemáticos inferiores las fuerzas de interacción tienen dos incógnitas: magnitud y dirección en el par cinemático de rotación y magnitud y el punto de aplicación en el par cinemático deslizante. Este análisis hay que completar por aquello que en el par cinemático de rotación la suma de los momentos de par de las fuerzas aplicados a un eslabón no es igual a la suma de 167
los momentos de par de las fuerzas aplicadas al otro M j M i y en el par cinemático deslizante la suma de los momentos de par de las fuerzas aplicados a un eslabón por magnitud es igual la suma de los momentos de par de las fuerzas aplicados al otro eslabón, pero tiene sentido opuesto M ji Mij . Asimismo se analiza la acción de las fuerzas cuando en los cálculos se toma en cuenta las fuerzas de fricción. En el par cinemático deslizante presentado en la figura 4.5a la n fuerza normal F jin genera la de fricción Ffr. f Fji , donde f es el coeficiente de fricción. El vector de esta fuerza es tangente a los elementos del par cinemático y tiene sentido opuesto al sentido de la velocidad relativa vji. Debido a la acción de la fuerza de fricción, la resultante Fji se declina con respecto a la normal un ángulo β. Éste se nombra ángulo de fricción. La tangente del ángulo de fricción en magnitud es igual al coeficiente de fricción tan f . Entonces para este par cinemático es conocida la dirección de la fuerza resultante, pero desconocidas son la magnitud y el punto de aplicación. En el par cinemático de rotación presentado en la figura 4.5b la resultante Fij también se declina con respecto a la normal F ijn un ángulo β por eso la línea de acción no atraviesa el eje geométrico del par a) b) Figura 4.5. Influencia de la fuerza de fricción sobre las cinemático, sino que es tangente al fuerzas de interacción de los eslabones en los pares círculo del radio cinemáticos a) deslizante y b) de rotación.
r
D sen . Este 2
círculo se denomina círculo de fricción. Ya que el ángulo de fricción es pequeño, no es más que 10°, se admite que sen tan f , por eso el radio de fricción se calcula como
r
D f . Así pues, en éste par cinemático es conocido el punto de aplicación de la 2
fuerza resultante, pero su magnitud y dirección son desconocidas. Con este breve análisis se puede concluir, que el efecto de las fuerzas de fricción no complica cálculo. En los cálculos, cuando las desviaciones relacionadas con las condiciones de trabajo del mecanismo no son importantes, el coeficiente de fricción se elige como el promedio de los valores presentados en los prontuarios. Cuando se necesita definir datos más exactos esto se lleva a cabo por medio de los experimentos. En la mayoría de los casos la influencia de la fuerza de fricción en el trabajo del mecanismo es muy pequeña, por eso en los cálculos no se toma en cuenta. Pero si se 168
necesita determinar el rendimiento del mecanismo, o usar la fuerza de fricción como una principal para la realización del trabajo deseado, tomarla en cuenta es obligatorio. Volviendo а la metódica del cálculo de las fuerzas hay que tener en cuenta que realizar el cálculo a la vez para todo el mecanismo es imposible, ya que el número de incógnitas supera el número de ecuaciones. Por consiguiente hay que determinar una cadena cinemática que podría ser usada para el cálculo. Una cadena cinemática será estáticamente determinada si el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones escalares deducidas. Se toma una cadena cinemática compuesta por n eslabones y pinf pares cinemáticos inferiores. Así pues según el análisis antes expuesto cada fuerza aplicada en un solo par cinemático inferior tiene dos incógnitas. Por consiguiente las fuerzas aplicadas en pinf pares cinemáticos inferiores van a tener 2 pinf. incógnitas. Para que una cadena cinemática esté en equilibrio estático cada eslabón de la cadena cinemática también debe estar en equilibrio estático. Entonces para n eslabones de una cadena cinemática se debe deducir 3 n ecuaciones escalares, una ecuación escalar de la suma de los momentos de par de las fuerzas y una ecuación vectorial de la suma vectorial de fuerzas que se sustituye por dos escalares. Para que una cadena cinemática esté estáticamente determinada debe ser satisfecha la igualdad 2 pinf. 3 n , en que se recibe
n 3 . Este pinf. 2
resultado corresponde a la definición del grupo estructural de Assúr que permite concluir, que el grupo estructural de Assúr es una cadena cinemática estáticamente determinada. Cálculo de fuerzas se realiza en el orden siguiente. El mecanismo se descompone en los grupos estructurales y los mecanismos de primera clase de modo que todas las fuerzas externas, incluyendo las fuerzas de inercia, sean aplicadas a los eslabones móviles de los grupos estructurales y la fuerza desconocida sea aplicada al eslabón móvil del mecanismo de primera clase. El cálculo comienza con el grupo estructural al que pertenece el seguidor ya que a éste se aplica la fuerza o el momento de par de las fuerzas de resistencia útil. Luego sucesivamente uno por uno se resuelven otros grupos estructurales y se acaba el cálculo por la resolución del mecanismo de primera clase. 4.2.2 Cálculo de fuerzas (método gráfico) El objetivo de cálculo de fuerzas es la determinación de todos los desconocidos, es decir, de la magnitud y el sentido de todas las fuerzas y de las coordenadas de los puntos de su aplicación. Aquí detalladamente se muestra cálculo de fuerzas para el grupo estructural de segunda clase de primera variedad y para el grupo estructural de segunda 169
clase de tercera variedad ya que con éstos se abarca todos los elementos del cálculo que se usan para los otros grupos estructurales. El último se presenta cálculo de fuerzas aplicadas al mecanismo de primera clase. A final se ilustra cálculo de fuerzas de un mecanismo de segunda clase. Metódica de cálculo de fuerzas para el grupo estructural de segunda clase de primera variedad. En la figura 4.6a se ilustra el esquema de aplicación de las fuerzas a los eslabones del grupo estructural construido a escala L ...,m mm . El grupo está in. in. sometido a la acción de las fuerzas externas: de inercia F i , F j y de gravedad W i ,
W j aplicadas en los centros de gravedad G de los eslabones correspondientes, los in. momentos de par de las fuerzas de inercia M i y M inj . , aplicados a los eslabones i y j, respectivamente, y el momento de par de las fuerzas de resistencia útil Mres. ut. . En los pares cinemáticos actúan las siguientes fuerzas, en el par cinemático interno C las fuerzas F ij y F ji igual por la magnitud y opuestas por el sentido. Para evitar la modificación de equilibrio estático de los eslabones i y j, los eslabones k y m ausentes en los pares cinemáticos externos B y D deben ser sustituidos por las fuerzas de acción F ik y F jm , respectivamente. Ya que todas estas fuerzas están aplicadas en los pares cinemáticos de rotación entonces el punto de aplicación de los vectores es conocido y se encuentra en el eje geométrico de los pares cinemáticos, pero su magnitud y dirección son desconocidas. Por eso el sentido de los vectores F ik y F jm se elige arbitrariamente, es lo que se muestra en el esquema de aplicación de las fuerzas presentado en la figura 4.6a.
a)
b)
Figura 4.6. Diagrama construido para el cálculo de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural de segunda case de primera variedad: a) esquema de aplicación de las fuerzas, b) polígono vectorial de las fuerzas.
170
La presentación de las fuerzas F ij y F ji aplicadas en el par cinemático interno C se puede evitar ya que la suma de éstas es igual a cero, por lo tanto no ejercen ninguna influencia en el desequilibrio del grupo estructural. Se analiza el equilibrio de las fuerzas aplicadas al grupo estructural. Para que éstas estén en equilibrio estático deben estar en equilibrio todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre cada eslabón. En forma general esta idea se expresa del siguiente modo:
y
F i 0
(4.11)
F j 0
(4.12)
o en forma detallada:
in F ik W i F i F ij 0 ,
(4.13)
in F jm W j F j F ji 0 .
(4.14)
Cada una de las ecuaciones (4.13) y (4.14) se sustituye por dos escalares, pero tiene cuatro incógnitas, en la ecuación (4.13) son desconocidas la magnitud y dirección de las fuerzas Fik y Fij, y en la ecuación (4.14) la magnitud y dirección de las fuerzas Fjm y Fji. Por eso éstas son indeterminadas y no tienen resolución directa. Para resolverlas hay que disminuir la cantidad de incógnitas. Esto se resuelve del siguiente modo. Las fuerzas aplicadas en los pares cinemáticos externos B y D se descomponen en las normales y tangenciales. La fuerza Fik , aplicada n en el par cinemático B, se descompone en la normal Fik y tangencial Fik y en el D en la
F jmn y F jm . Las componentes normales Fikn y F jmn se dirigen a lo largo de los segmentos BC y CD, respectivamente, y las tangenciales Fik y F jm perpendicularmente a los mismos. El sentido de los componentes se presenta de acuerdo al sentido de los vectores de las fuerzas resultantes antes elegidos.
Ya que ambos eslabones están unidos mediante el par cinemático de rotación por consiguiente deben estar en equilibrio estático los momentos de par de las fuerzas aplicados a cada eslabón separadamente. Las ecuaciones de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas se deducen con respecto a los puntos de los eslabones ubicados en este par cinemático que se expresa mediante:
M F 0, Cj
i
171
(4.15)
M F 0.
y
Ci
(4.16)
j
Con este procedimiento en las ecuaciones (4.15) y (4.16) se excluyen las fuerzas Fik y Fij que actúan en el mismo par cinemático C y los momentos de par de fuerzas n producidas por las fuerzas normales Fik y F jmn ya que los brazos de par de todas éstas son iguales a cero. En forma detallada las ecuaciones (4.15) y (4.16) se presentan como:
Fik LBC Wi hi L Fi in. hiin. L Mi in 0
(4.17)
Fjm LDC W j h j L Fjin. hinj . L M j in M res .ut . 0 .
(4.18)
Las ecuaciones (4.17) y (4.18) es más conveniente presentar en forma más concisa con la exclusión de la multiplicación de los segmentos a escala. En este caso, los momentos de par de las fuerzas, que se aplican a los eslabones del mecanismo Miin, Mjin y Mres.ut, * BC hay que adaptar al esquema cinemático, por ejemplo M iin. M iin. . Ya que LBC BC 1 M iin. in . * el entonces se tiene M i . Del mismo modo los otros momentos de LBC L L par de las fuerzas adaptados al esquema cinemático serán presentados de la siguiente M inj. M * in. * y M res.ut . res.ut . . Así pues, definitivamente se tiene: manera: M j L L
Fik BC Wi hi Fi in. hiin. M iin. 0, *
(4.19)
Fjm DC W j h j F jin. h inj . M inj . M res.ut . 0 . *
*
(4.20)
Para la presentación de las ecuaciones (4.17) y (4.18) se puede emplear otro método, método de descomposición de los momentos de par de las fuerzas en un par de fuerzas. in. Por ejemplo el momento de par de las fuerzas de inercia Mi se descompone en el par ** * M iin. y Fi in. de magnitud igual a Fi in. , pero del sentido opuesto. LBC Estas fuerzas se aplican en los extremos del eslabón i perpendicularmente al segmento BC una de las cuales se aplica en el punto B del eslabón i y la otra en el C del mismo. El sentido de estas fuerzas determina el sentido del momento de par de las fuerzas de in. inercia Mi . En este caso, las ecuaciones (4.17) y (4.18) se presentarán como:
de fuerzas Fi in. *
172
Fik BC Wi hi Fi in. hiin. Fi in. BC 0,
(4.21)
Fjm DC W j h j Fjin. hinj . Fi in. DC Fres.ut . DC 0 ,
(4.22)
*
*
donde las fuerzas
F , F y F *
in .
i
in . j
*
*
res .ut .
*
están aplicadas en los puntos Bi y Dj
respectivamente (en la figura 4.6a no están presentadas). Debido a que las fuerzas
F , F in .
i
**
in. j
**
y Fres .ut .
**
se
aplican
en
los
puntos
C
de
los
eslabones
correspondientes, los brazos de par de éstas son iguales a cero, por lo tanto los momentos de par de las fuerzas de éstas en las ecuaciones (4.21) y (4.22) no se presentan. Cada una de las ecuaciones (4.19) y (4.20) tiene solamente una incógnita Fik y Fjm , respectivamente, por consiguiente es determinada.
Con la resolución de las ecuaciones (4.19) y (4.20) se determina la magnitud y sentido de las componentes tangenciales Fik y Fjm . Si, como resultado la magnitud de una componente tangencial obtiene el signo positivo, entonces, su sentido, tomado previamente, coincide con el resultado, si negativo, entonces, el sentido real de la componente es opuesto. En este caso el esquema de aplicación de las fuerzas no cambia sino el resultado se toma en cuenta en los cálculos posteriores. Para comprender mejor el modo de aplicación de este concepto, convencionalmente (para el ejemplo presente) se toma en consideración, que en el proceso de la resolución de la ecuación (4.20) la componente Fjm resultó con el signo negativo (-). Ahora se puede pasar a la resolución de las ecuaciones (4.13) y (4.14) presentando la ecuación (4.13) en la misma forma y la (4.14) así:
in F jmn Fjm W j F j F ji .
(4.23)
Ya que en el par cinemático interno C las fuerzas F ij F ji entonces la ecuación (4.23) se puede presentar en forma:
in Fjmn Fjm W j F j F ij . Sustituyendo la ecuación (4.24) en (4.13) resulta:
173
(4.24)
n in. in . n F ik F ik W i F i F j W j F jm F jm 0 .
(4.25)
En forma general la ecuación (4.25) se presenta como:
F i, j 0 .
(4.26)
En la deducción de las ecuaciones vectoriales de las fuerzas así como (4.25) hay que respetar dos reglas: 1. Los términos de las fuerzas aplicadas a diferentes eslabones en las ecuaciones vectoriales deben ser agrupados por el eslabón y por el punto de aplicación. Por ejemplo, en la ecuación (4.25) se observa que están agrupados los términos de las fuerzas aplicadas al eslabón i y luego al j, también están agrupados los términos de las fuerzas que están aplicadas en el punto B del eslabón i y en el D del j. 2. El primer y el último término de la ecuación deben ser presentados por las fuerzas n n que tienen componentes desconocidas. Por ejemplo las fuerzas F ik y F jm son conocidas por dirección y por el punto de aplicación, pero son desconocidas por magnitud. La ecuación (4.25) se resuelve mediante el polígono vectorial presentado a escala:
Fi in. F in. ..., N mm , fi
(4.27)
in. in. donde Fi es una de las fuerzas conocidas por magnitud y dirección y fi es la longitud del segmento que representará esta fuerza en el polígono vectorial.
La resolución de la ecuación (4.25) comienza con la construcción de la línea paralela a BC sobre que debe ser hallado el vector del polígono vectorial correspondiente a la
fuerza Fikn (véase la figura 4.6b). Luego sucesivamente, de acuerdo con la ecuación (4.25) y la regla de la suma vectorial, se construyen otros vectores que representan Fik W ..., mm , wi i ...,mm , etc. Finaliza fuerzas correspondientes, por ejemplo fik F F el polígono vectorial la línea paralela a CD trazada hasta la intersección con la línea paralela a BC. Ya que la suma vectorial debe ser igual a cero entonces el final del vector último debe ser ubicado en el origen del primer vector. Así, de este modo, se determina n n la magnitud y el sentido de los vectores desconocidos F ik y F jm . 174
Acuérdese que como resultado de la resolución de la ecuación (4.18) el vector F jm resultó negativo (-), en el polígono vectorial este vector está trazado en el sentido opuesto al que fue previamente presentado en el esquema de aplicación de las fuerzas ilustrado en la figura 4.6b. Luego en el mismo polígono vectorial se determinan las magnitudes y los sentidos de n n las fuerzas sumatorias: F ik F ik F ik y F jm F jm F jm .
Por último se determinan las fuerzas, que actúan en el par cinemático C ( F ij o F ji ). Para esto se deduce la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas a uno de los dos eslabones, por ejemplo al eslabón i. En forma general esta ecuación se presenta así:
F i 0
(4.28)
que en forma detallada se presentará como: in. F ik W i F i F ij 0 .
(4.29)
La ecuación (4.29) tiene solamente uno incógnito, la magnitud y dirección de la fuerza F ij . Para la resolución de la ecuación (4.29) se usa el polígono vectorial presentado en
la figura 4.6b en que en correspondencia con la ecuación (4.29) el origen del vector F ij
in . estará en el final del vector F i y el final en el origen del F ik .
Metódica de cálculo de fuerzas aplicadas al grupo estructural de segunda clase de tercera variedad. En la figura 4.7a se ilustra el esquema de aplicación de las fuerzas a los eslabones del grupo estructural. La fuerza F ik aplicada en el punto D del eslabón i representa el efecto de la reacción del eslabón k. Ya que el D es el par cinemático de rotación entonces la dirección de la fuerza F ik se elige arbitrariamente. La diferencia del grupo estructural de segunda clase de tercera variedad del anterior consiste en que los eslabones están unidos mediante el par cinemático deslizante. Este par cinemático se caracteriza por lo que la suma de los momentos de par de las fuerzas aplicadas al eslabón j de modo igual recibe el eslabón i ya que M ji Mij . Por eso al principio se deduce la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicados a los dos eslabones del grupo estructural. Esta ecuación se deduce con respecto al punto B del eslabón m ubicado en el par cinemático de rotación B. En forma general la ecuación se presenta como:
175
M F , F 0,
(4.30)
Fik DB Wi hi Fi in. hiin. M iin. W j hj Fjin. h j Fres.ut .hres.ut . 0 ,37
(4.31)
Bm
i
j
o en la forma detallada: *
donde M
in . * i
M iin. . L
Con la resolución de la ecuación (4.31) se determina la magnitud y el sentido de la fuerza F ik .
n Al tomar en cuenta que la dirección de las fuerzas F ik y F ij es conocida, el vector n fuerza F ik es paralelo al segmento BD y el F ij que actúa en el par cinemático deslizante es perpendicular a CD, se puede determinarlas con la deducción de la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas al eslabón i, que en forma general se
b)
a) Figura 4.7. Diagrama construido para el cálculo de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural de segunda case de tercera variedad: a) esquema de aplicación de las fuerzas; b) polígono vectorial de las fuerzas. 37
Nótese que en el esquema cinemático del grupo estructural la longitud del eslabón j es demasiado pequeña, en comparación con el i, por eso el momento de inercia del eslabón j se considera igual a cero, por consiguiente M inj. 0 .
176
presenta así:
F i 0
(4.32)
n in. F ik F ik W i F i F res.ut . F ij 0 .
(4.33)
o en forma detallada como:
Resolviendo la ecuación (4.33) mediante el polígono vectorial presentado en la figura n 4.7b se define la magnitud de las fuerzas Fik y Fij . El sentido de éstas se determina por la regla de la suma vectorial.
Luego se determinan los elementos faltantes: la magnitud y dirección de la fuerza F jm y
el punto de aplicación de la fuerza F ij .
La magnitud y dirección de la fuerza F jm se determinan con la deducción de la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural. La forma general de ésta es:
F i, j 0 ,
(4.34)
in. in. F ik W i F i F res .ut . W j F j F jm 0 ,
(4.35)
y la detallada:
donde la fuerza F jm es desconocida tanto por magnitud como por dirección. La
magnitud y dirección de la fuerza F jm se determina como el vector resultante que
in. finaliza el polígono vectorial. Su origen está en el final del vector F j y el final en el origen del F ik .
Por último se halla el punto de aplicación de la fuerza F ij . Éste se determina mediante la ecuación:
M F 0. Dk
i
(4.36)
En la figura 4.7a los brazos de par de las fuerzas están trazados para la deducción de la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas con respecto al punto Bm. 177
Entonces para resolver la ecuación (4.36) hay que trazar los brazos de par con respecto al punto D del eslabón k que complica mucho la lectura del esquema.
Teniendo en cuenta que F ji F ij es más simple y más claro deducir la ecuación de equilibrio de los momentos de par delas fuerzas aplicados al eslabón j que determinará el punto de aplicación de la fuerza F ji . Esta ecuación se presentará para el eslabón j con respecto al punto Bm:
M F 0 . Bm
j
(4.37)
En forma detallada la ecuación (4.37) se presenta como:
W j h j F jin. hinj . Fji h ji 0 .38
(4.38)
El parámetro que se busca es el brazo de par hji que determina la ubicación del punto de aplicación de la fuerza F ji , asimismo y del punto de aplicación de la fuerza F ij . Cálculo de las fuerzas aplicadas a los eslabones de los grupos estructurales de segunda clase de segunda, cuarta y quinta variedad. Aplicando igual razonamiento se realiza cálculo de fuerzas de otros grupos estructurales. En la tabla 4.1 se presentan las ecuaciones en el orden de la resolución y los parámetros que se determinan mediante cada ecuación. Cálculo de las fuerzas aplicadas a los eslabones del mecanismo de primera clase. Como es conocido, en los mecanismos de primera clase los eslabones pueden ser unidos mediante el par cinemático de rotación o deslizante. Ya que en las máquinas es más usado el mecanismo de primera clase con el par cinemático de rotación, aquí se presenta la resolución solamente para éste. En la figura 4.8a se muestra la aplicación de las fuerzas que actúan sobre los eslabones del mecanismo de primera clase. El eslabón 2 está sometido a la acción de la fuerza F 2i aplicada en el punto B. Ésta es la fuerza de acción del eslabón i del grupo estructural unido con el eslabón 2 mediante el par cinemático B. En el par cinemático A, que une el eslabón 2 con la base 1, actúan las fuerzas F 21 F 12 de interacción del eslabón 2 con la base 1. Con estas fuerzas el mecanismo quedaría en desequilibrio si no adicionar la fuerza de compensación Fcomp.. La dirección y el punto de aplicación de esta fuerza son conocidos ya que dependen del destino y del diseño de la máquina. Dependiendo del diseño de la máquina la fuerza de compensación puede ser sustituida por el momento de par de las fuerzas de compensación Mcomp.. 38
Si en la ecuación no hay momentos de fuerzas la multiplicación de los brazos de par por la escala L se evita.
178
Tabla 4.1. Conjunto típico de las ecuaciones para los grupos estructurales de segunda clase de segunda, cuarta y quinta variedad.
Al principio se deduce la ecuación de equilibrio 2 con respecto al punto A1 de los momentos de par de las fuerzas aplicados a la manivela:
M F 0, A1
2
(4.39)
o en forma detallada será presentada así:
F2i h2i Fcomp. hcomp. 0 .
(4.40)
Con la resolución de la ecuación (4.40) se determina la magnitud y el sentido de la fuerza F comp. (en la figura 4.8a ambas fuerzas giran el eslabón 2 contra del reloj por consiguiente en la ecuación (4.40) a los momentos de par de las fuerzas está aplicado el signo positivo). Con la resolución de la ecuación (4.40) la fuerza Fcomp. obtendrá el
a)
Figura 4.8. Diagrama construido para el cálculo de fuerzas del mecanismo de primera clase: a) esquema de aplicación de las fuerzas; b) polígono vectorial de las fuerzas.
signo negativo (-) que significa que el
sentido real de la fuerza Fcomp. es opuesto al presentado en la figura 4.8a.
179
b)
Luego se deduce la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas al eslabón 2:
F 2 0
(4.41)
F 2i F comp. F 21 0 .
(4.42)
que tiene la siguiente forma detallada:
Con la elección de escala μF y construcción del pólígono vectorial presentado en la figura 4.8b se determina la magnitud y el sentido de la fuerza F 21 . NOTA. Como se ve a partir de este análisis, la magnitud y dirección de la fuerza de compensación cambia de modo para que el mecanismo realice una ley de movimiento dada. La fuerza motriz aplica al eslabón motriz un motor de potencia limitada, su magnitud y dirección es constante. La fuerza motriz debe vencer todas las fuerzas de resistencia, ya que la magnitud y dirección de las fuerzas de resistencia varía en el tiempo entonces la velocidad angular del eslabón motriz también varía. La fuerza de compensación se determina mediante cálculo de fuerzas, la fuerza motriz se determina mediante la síntesis dinámica presentada en el capítulo 4.3. La fuerza F21 también tiene magnitud y dirección variable. Esta fuerza provoca la de reacción F12 que actúa sobre la base y provoca la vibración de la máquina. La vibración se estudia en el capítulo 4.4. y se resuelva mediante el balanceo. Después del cálculo de fuerzas, se realiza el diseño previo del mecanismo que da la posibilidad de precisar las dimensiones de los eslabones, sus masas y las coordenadas de los centros de gravedad. Si la diferencia entre los datos previamente elegidos y los obtenidos mediante el cálculo es grande el proceso se repite. Ejemplo del cálculo de fuerzas: Determinar la magnitud y sentido de la fuerza de compensación y de las fuerzas, que actúan en los pares cinemáticos del mecanismo de la máquina acepilladora en la posición presentada en la figura 4.9a. NOTA. El problema se presentará y se resolverá en forma general. Para los cálculos se eligen los siguientes datos: el esquema cinemático construido a escala L ..., m mm que se ilustra en la figura 4.9a, la ley de la variación de la fuerza de resistencia útil Fres.ut.. Esta fuerza se presenta al ciclo completo y se muestra en la figura 4.9b a escala F ..., N mm . También está dada la frecuencia de rotación de la manivela en forma n2 ..., rev min , con todo eso están dadas las masas de los eslabones m, los momentos de inercia JG de éstos con respecto al centro de gravedad y las coordenadas de los centros de gravedad G. El centro de gravedad de la manivela se elige 180
ubicado en el centro de rotación A. Los datos últimos previamente se toman en la experiencia, por la analogía con los otros mecanismos. Después del análisis dinámico y diseño preliminar del mecanismo estos datos podrán ser corregidos. El orden de la resolución es el siguiente: 1. Se construyen los polígonos vectoriales de velocidades y aceleraciones. En la figura 4.9c se muestra el polígono vectorial de velocidades y en la figura 4.9d el de aceleraciones. Se determinan las magnitudes de las velocidades y aceleraciones de los
b)
a)
c) d) Figura 4.9. Esquema de la acción de la fuerza de corte de metal sobre la cuchilla de acepilladora: a) esquema cinemático; b) diagrama de la fuerza de corte que actúa sobre la cuchilla; c) polígono vectorial de velocidades; d) polígono vectorial de aceleraciones. 181
puntos de los eslabones ubicados en los pares cinemáticos y en los centros de gravedad. También se determinan las magnitudes de las velocidades y aceleraciones angulares de los eslabones. 2. Se determina la magnitud y el sentido de las fuerzas aplicadas a los eslabones. Para esto se usan el polígono vectorial de velocidades y el de aceleraciones. En la figura 4.10a se muestra el esquema de las fuerzas aplicadas a los eslabones del mecanismo. La fuerza de resistencia útil se aplica al punto F del seguidor 6. Puesto que esta fuerza es de resistencia entonces toma sentido opuesto al sentido del vector velocidad de este punto presentado en la figura 4.9c. En correspondencia con el diagrama de la variación de esta fuerza, presentado en la figura 4.9b, en la posición indicada es de corte. Por su magnitud es máxima Fmax . ..., N . Para trazar correctamente el sentido de las fuerzas de inercia en la figura 4.10b una vez más se presenta el polígono vectorial de aceleraciones. Entonces en los centros de gravedad se aplican los vectores fuerzas de inercia que se muestra en la figura 4.10a. El sentido de éstas se toma opuesto al sentido de los vectores aceleraciones de los centros de gravedad. b) a) Su magnitud se calcula por Figura 4.10. Esquema de la carga de los eslabones del mecanismo: F in . m aG ..., N . a) polígono vectorial de las aceleraciones; b) esquema de las fuerzas Además en los centros de aplicadas a los eslabones del mecanismo. gravedad se aplican las fuerzas de gravedad W m g ..., N que se dirigen hacia abajo. En el esquema 4.10a también se muestran los momentos de par de las fuerzas de inercia que se calculan como M in . J G ..., N m . El sentido de éstos se elige opuesto al sentido de las aceleraciones angulares de los eslabones. 3. El mecanismo se descompone en los grupos estructurales de Assúr y los mecanismos de primera clase. En correspondencia con la regla del análisis estructural éstos son. El 182
grupo estructural de segunda clase de segunda variedad compuesto por los eslabones 6 y 5 unidos mediante el par cinemático de rotación E. A este grupo están adicionados los pares cinemáticos externos: deslizante F, formado por los eslabones 1 y 6, y de rotación D, formado por los eslabones 5 y 4. El siguiente grupo estructural es de segunda clase de tercera variedad formado por los eslabones 4 y 3 unidos mediante el par cinemático deslizante B y por los pares cinemáticos externos: de rotación B formado por los eslabones 3 y 2 y C formado por los eslabones 4 y 1. El último es el mecanismo de primera clase formado por los eslabones 1 y 2 unidos mediante el par cinemático de rotación A. La fórmula estructural del mecanismo es 1, 2 3 3, 4 2 5, 6 . 4. Puesto que la fuerza de resistencia útil está aplicada al seguidor 6, que pertenece al grupo estructural de segunda clase de segunda variedad, el cálculo comienza con este grupo. En la figura 4.11a se muestra el esquema de aplicación de las fuerzas a los eslabones del grupo mencionado en que los eslabones ausentes 4 y 1, que no entran en el grupo estructural pero forman los pares cinemáticos D y F, se sustituyen por las fuerzas de reacción: F54, aplicada en el punto D5, y F61, aplicada en el punto F6. La fuerza F61 es conocida por dirección, pero es desconocida por magnitud y por el punto de aplicación, por eso en el esquema de la figura 4.11a se aplica en el punto arbitrario perpendicularmente al segmento EF su sentido también se toma arbitrario.
a)
La fuerza F54 está aplicada en el punto D5 que se ubica en el par cinemático de rotación entonces desconocidas son magnitud y dirección. El sentido de esta fuerza se elige arbitrariamente. Para disminuir la cantidad de incógnitas la fuerza F54 se descompone en la normal F54n y tangencial F54 . Las fuerzas de reacción F65 y F56, aplicadas en los puntos E de los eslabones 5 y 6, en el esquema no se presentan ya que la suma de éstas es igual a cero.
b) Figura 4.11. Esquema de la carga de los eslabones del grupo estructural de segunda clase de segunda variedad: a) esquema de aplicación de las fuerzas; b) polígono vectorial de las fuerzas.
183
Cálculo de fuerzas se realiza en el siguiente orden: a) Se determina la magnitud y el sentido de la componente F54 . Para esto se deduce la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicados al eslabón 5:
M F 0. E6
5
(4.43)
En forma detallada la ecuación (4.43) es:
F54 DE W5 h5 F5in. h5in.
M5in. 0. L
(4.44)
Se considera que con la resolución de la ecuación (4.44) la fuerza F54 obtiene el signo positivo. b) Puesto que la dirección de las fuerzas F54n y F61 es conocida se deduce la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural:
F 5, 6 0 .
(4.45)
La ecuación (4.45) en forma detallada queda como:
n in. in. F54 F54 W5 F5 F 6 W 6 F res.ut. F 61 0 .
(4.46)
La ecuación (4.46) se resuelva mediante el polígono vectorial construido a escala F F res.ut . ..., N mm ilustrado en la figura 4.11b. En la ecuación (4.46) y en la figura f res.ut . 4.11b se observa que las fuerzas F6in . y Fres .ut . están presentadas separadas por la fuerza de gravedad W6 . Esto está hecho para la mejor presentación y lectura del polígono vectorial ya que estas fuerzas tienen igual dirección. Con la resolución de la ecuación (4.46) se determina la magnitud y el sentido de las fuerzas F54n y F61. El sentido de éstas se determina mediante la regla de la suma vectorial. Como se observa en la figura 4.11b n los vectores fuerzas F 54 y F 61 resultaron con el sentido opuesto al previamente presentado en la figura 4.11a. La magnitud de las fuerzas buscadas está dada por:
y
F54n F f 54n ..., N , F61 F f 61 ..., N . 184
(4.47) (4.48)
c) Se determina la magnitud y el sentido de la fuerza F56 que actúa en el par cinemático interno E con que actúa sobre el eslabón 5 el 6. Para esto se deduce la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas al eslabón 5:
F 5 0 .
(4.49)
En forma detallada la ecuación (4.49) se presenta como: in . F 54 W 5 F 5 F 56 0 ,
n
(4.50)
donde F 54 F 54 F 54 . La ecuación (4.50) se resuelva con el uso del mismo polígono vectorial que se muestra en la figura 4.11b. Con esto en correspondencia con la ecuación (4.50) el origen del in . vector fuerza F 56 se ubicará en el final del vector F 5 y el final en el origen del F 54 . NOTA. De igual manera se puede deducir la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas al eslabón 6. En este caso se determinará la fuerza F65 igual por magnitud a la fuerza F56 y opuesta por dirección. d) Se calcula la longitud del brazo de par h61 que determinará el punto de aplicación de la fuerza F61. Para esto se deduce la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicados al eslabón 6. La ecuación se deduce con respecto al punto E del eslabón 5 ubicado en el par cinemático de rotación:
M F 0, E5
o
F
res.u .
6
F6in. h6in. W6 h6 F61 h61 0 .
(4.51) (4.52)
Con la resolución de la ecuación (4.52) se finaliza el análisis del grupo estructural. 5. A continuación se analiza el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad. En la figura 4.12a se ilustra el esquema de aplicación de las fuerzas a los eslabones del éste. Con esto en el punto D4 se aplica la fuerza F45 igual por magnitud a la F54 y opuesta por el sentido. En el punto C4 se aplica la fuerza F41 de acción de la base 1 sobre el eslabón 4 y en el B del eslabón 3 se aplica la fuerza F32 de acción de la manivela 2. Ya que las fuerzas últimas están aplicadas en los puntos ubicados en los pares cinemáticos de rotación su sentido se elige arbitrariamente. El cálculo se realiza en el siguiente orden: 185
a) La fuerza F41 se descompone en la normal F41n y tangencial F41 . Ya que los eslabones 3 y 4 están unidos por el par cinemático deslizante se deduce la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicados a los eslabones del grupo estructural. La ecuación se deduce con respecto al punto B del eslabón 2:
M F , F 0, B2
3
(4.53)
4
o en forma detallada:
F41 BC W4 h4 F4in. h4in.
M4in. F45 h45 0 ,(4.54) L
en que se determina la componente F41 . En la ecuación (4.54) no se presentan los momentos de par de las fuerzas que pueden provocar las in. fuerzas W3 y F3 ya que los brazos de par de éstos son iguales a cero. n c) Ya que la dirección de las fuerzas F 41 y F 43 es conocida se deduce la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas al eslabón 4:
F 4 0 .
a)
(4.55)
La fuerza F 43 en la figura 4.12a no está presentada ya que para estructural es el grupo interna y la suma de F 43 y F 34 es igual a cero, pero para el eslabón 4 es externa. Esta fuerza está aplicada en el par cinemático deslizante B por consiguiente es perpendicular al segmento CD el punto de aplicación de esta fuerza todavía es desconocido. En forma detallada la ecuación (4.55) será presentada por:
b) Figura 4.12. Diagrama que ilustra el metido gráfico de cálculo de para el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad: a) esquema de aplicación de las fuerzas; b) polígono vectorial de las fuerzas.
n in. F 41 F 41 W 4 F 4 F 45 F 43 0 .
186
(4.56)
La ecuación (4.56) es vectorial y se resuelva mediante el polígono. Para esto se elige la escala:
F
W4 ..., N mm , w4
(4.57)
y se construye el polígono vectorial, el que está ilustrado en la figura 4.12b. Con esto se n determina la magnitud de las fuerzas F41 y F4339. Usando el mismo polígono vectorial se halla la fuerza sumatoria:
n F 41 F 41 F 41 .
(4.58)
d) Se mantiene como incógnita la magnitud y dirección de la fuerza F32. Para determinarla, se deduce la ecuación de equilibrio de las fuerzas, aplicadas al grupo estructural:
o
F 3, 4 0 ,
(4.59)
in. F 41 W 4 F 4 F 45 W 3 F 3 F 32 0 .
(4.60)
La ecuación (4.60) se resuelvacon el uso del mismo polígono vectorial mostrado en la figura 4.12b. El vector fuerza F 32 finaliza el polígono vectorial, su origen se ubica en el in . final del vector F 3 y el final en el origen del F 41 . e) Para la determinación del punto de aplicación de la fuerza F34, que es contraria a la fuerza F43, se deduce la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicadas al eslabón 3. La ecuación se deduce con respecto al punto B2 que se ubica en el par cinemático de rotación:
M F 0 . B2
3
(4.61)
En forma desarrollada la ecuación (4.61) se presenta como:
W3 h3 F3in. h3in. F34 h34 0 .
(4.62)
Como se observa en el polígono vectorial el sentido de la fuerza F41n resultó opuesto al presentado en el esquema de la figura 4.12a.
39
187
El punto de aplicación de la fuerza F34 se manifiesta en la magnitud del brazo de par h34. in . Ya que los vectores fuerzas W 3 y F 3 están aplicados en el punto B3 por consiguiente in. los brazos de par h3 y h3 son iguales a cero entonces h34 0 . 6. Por último se analiza el mecanismo de primera clase. En la figura 4.13a se muestra el esquema de aplicación de las fuerzas a los eslabones de éste. En el punto B del eslabón 2 se aplica la fuerza F23 en magnitud igual a la F32 y opuesta por el sentido. El cálculo se realiza en el siguiente orden: a) Para que el mecanismo de primera clase esté en equilibrio, a la manivela 2 se aplica la fuerza de compensación Fcomp.. Se supone, que según el diseño del mecanismo, ésta es perpendicular al eslabón 2 y se aplica en el punto B2. Su sentido se elige arbitrariamente. b) Se deduce la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicados a la manivela 2. La ecuación se deduce con respecto al punto A de la base 1 que se ubica en el par cinemático de rotación:
M F 0 , A1
o
2
Fcomp . AB F23 h23 0 .
(4.63) a)
b)
(4.64) Figura 4.13. Diagrama construido para la
resolución del mecanismo de primera clase: a) esquema de aplicación de las fuerzas; en que se determina la magnitud y el sentido b) polígono vectorial de las fuerzas.
de la fuerza Fcomp.
c) Al deducir la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas al eslabón 2
F 2 0 ,
(4.65)
que en forma detallada se presenta como, F 23 F comp. W 2 F 21 0 ,
(4.66)
W2 ..., N mm se determina la magnitud y el sentido de la fuerza w2 F21 de acción sobre el eslabón 2 de la base 1. y elegir la escala F
Con esto se lleva a cabo el cálculo de fuerzas en una sola posición. Si es necesario, se realiza el mismo cálculo en todas las posiciones del mecanismo. Mediante cálculo de 188
fuerzas se determina la magnitud y el sentido de las fuerzas aplicadas en los pares cinemáticos del mecanismo y se determina la magnitud y dirección de la fuerza de compensación. 4.2.3 Teorema de Zhukovskiy40 A veces los ingenieros plantean el problema más simple, recibir solamente la fuerza de compensación. Para ello se usa el Teorema de Zhukovskiy, que simplifica la obtención del resultado con alta exactitud y rapidez. El método con el uso del Teorema de Zhukovskiy se denomina Método de Zhukovskiy y puede ser utilizado para la resolución de otros problemas de Dinámica o para examinar los resultados del cálculo de fuerzas. El Teorema se basa en la igualdad a cero de la suma de trabajos de todas las fuerzas aplicadas a los eslabones del mecanismo: n
T i 1
i
0.
(4.67)
Al multiplicar los miembros de la ecuación (4.67) por dt se recibe: n
P i 1
i
0,
(4.68)
donde Pi es la potencia ejercida por la fuerza Fi. Para justificar el Teorema al punto D del eslabón i del mecanismo de primera clase se aplica una sola fuerza F. Entonces la potencia ejercida por esta fuerza se determinará como:
P F vD cos ,
(4.69)
siendo vD la velocidad del punto de aplicación de la fuerza F y es el ángulo entre el vector fuerza y el vector velocidad del punto de aplicación de dicha fuerza. Si el vector velocidad del punto de aplicación de la fuerza gira a un 90° (véase la figura 4.14b), la ecuación (4.69) obtiene la siguiente forma:
40
N.E.Zhukovskiy (1847-1921) era un científico ruso especialista en el área mecánica. Es el autor de muchos trabajos científicos en el área de mecánica aplicada, teoría de regulación automática, teoría de máquinas y dinámica de aviones.
189
P F vD sen 90 ,
(4.70)
donde el producto vD sen 90 es igual al brazo de par h, que se toma desde el polo
pv, con el cual la fuerza F actúa sobre el vector pv b . El Teorema de Zukovskiy se fórmula del siguiente modo: si la fuerza aplicada en un punto del eslabón trasladar a uno similar del polígono vectorial de velocidades girado a 90 , se producirá el momento de par de las fuerzas con respecto al polo del polígono vectorial proporcional a la potencia mecánica que ejerce esta fuerza41. El método con el empleo del Teorema de Zhukovskiy lo llaman método de Palanca de Zhukovskiy. a) b) Figura 4.14. Interpretación gráfica del teorema de Zhukovsky.
Al aplicar el principio de D’Alambert al Teorema de Zukovskiy, en que bajo la acción de todas las fuerzas, incluyendo las de inercia, el mecanismo estará en equilibrio estático, resultará que en equilibrio estático también estará la palanca de Zukovskiy. Entonces la ecuación (4.70) obtiene la siguiente forma: n
F v sen 90 i 1
i
i
i 0 ,
(4.71)
Así pues, para la determinación de la fuerza de compensación es suficiente examinar el equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicados al polígono vectorial de velocidades girando a 90 . Las fuerzas se aplican en los puntos del polígono vectorial similares a los de los eslabones del mecanismo y la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas se deduce con respecto al polo. El uso del Teorema se muestra con el ejemplo siguiente. Ejemplo. Para el mecanismo de la m acepilladora, presentado en la figura 4.9a, determinar la fuerza de compensación mediante el método de palanca de Zhukovskiy. Éste se logra del siguiente modo. El polígono vectorial de velocidades presentado en la figura 4.9c gira a 90° y las fuerzas aplicadas a los eslabones del mecanismo (véase la figura 4.10a) se aplican en los puntos similares a los del mecanismo así como se muestra en la figura 4.15. Por ejemplo, las fuerzas Fres.ut. y F6in . en su sentido se aplican en el punto e6 del polígono vectorial, la fuerza de gravedad W6 también se aplica en el punto 41
El sentido de giro del polígono vectorial de velocidades no tiene importancia.
190
e6, W5 en el punto g5 y W4 en el punto g4. Las fuerzas F3in . y W3 se aplican en el punto b3. Los momentos de par de las fuerzas se descomponen en los pares de fuerzas que se aplican en los extremos de los segmentos de los vectores velocidades correspondientes. Por ejemplo el momento de par de las fuerzas M 5in. se descompone en el par de fuerzas F5* y F5** que se aplican en los puntos e5 y d5 respectivamente, el sentido de estas fuerzas indica el del momento de par de las fuerzas M 5in. que gira el eslabón 5 en el sentido del reloj. El par de fuerzas F4* ´ y F4** , que representan el momento de par de las fuerzas M 4in. descompuesto se aplican en los puntos d4 y en el polo pv, respectivamente. Y en el punto b2 perpendicularmente al segmento pvb2 del polígono vectorial se aplica la fuerza de compensación Fcomp., su sentido se elige arbitrariamente. Entonces la ecuación de equilibrio de fuerzas aplicadas al Figura 4.15. Palanca de Zhukovskiy. polígono vectorial será presentada así:
Fcomp. pv b2 Fres.ut. F6in. pv e6 F5in. h5in. W5 h5 F5* h5* F5** h5** F4* pv d4 F4in. h4in. W4 h4 W3 h3 0,
(4.72)
en la cual se determina la magnitud y el sentido de la fuerza de compensación. En la in. ecuación (4.72) las líneas de la acción de las fuerzas W6, F3 pasan a través del polo pv por consiguiente los brazos de par de estas son iguales a cero y los momentos de par, que podrían provocar estas fuerzas, también son iguales a cero. 4.2.4 Método analítico del cálculo de fuerzas Mediante el método analítico de análisis cinemático se reciben magnitudes y sentidos de las velocidades y aceleraciones de los puntos de los eslabones ubicados en los pares cinemáticos, se determinan las aceleraciones de los centros de gravedad, también las velocidades y aceleraciones angulares de los eslabones. Para determinar las fuerzas mediante el método analítico se tiene en cuenta el sentido de la velocidad del punto del seguidor, en que se aplica la fuerza de resistencia útil, si el 191
eslabón hace un movimiento lineal, o el sentido de la velocidad angular del eslabón, si éste realiza un movimiento de rotación y está cargado por un momento de par de las fuerzas. También se toma en consideración la magnitud y el sentido de las aceleraciones de los centros de gravedad de los eslabones y la magnitud y el sentido de las aceleraciones angulares de éstos. Para el cálculo de fuerzas mediante el método analítico deben ser conocidas las masas, los momentos de inercia de los eslabones y la magnitud de la fuerza o del memento de par de fuerzas de resistencia útil. Para los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo es práctico elegir la ubicación del mecanismo de modo para que el par cinemático deslizante sea paralelo al eje X o Y. Al principio se selecciona una de las posiciones extremas de la manivela y para ésta se determina la posición de los otros eslabones (véase el capítulo 3.3.1). Después se determina sentido de la fuerza de resistencia útil o del momento de par de las fuerzas de resistencia útil. El sentido del vector fuerza de resistencia útil aplicado al seguidor se elige opuesto al sentido del vector velocidad del punto de aplicación de la fuerza y el momento de par de las fuerzas de resistencia útil se elige opuesto al sentido de la velocidad angular. Luego se determinan la magnitud y el sentido de las fuerzas de gravedad y de las de inercia. Éstas se aplican en los centros de gravedad de los eslabones. Puesto que los vectores aceleraciones de los centros de gravedad se presentan descompuestos en los ejes X e Y del sistema de coordenadas (x, y) los vectores fuerzas también se presentan en componentes. Por ejemplo la fuerza de inercia aplicada en el centro de gravedad de un eslabón i se presenta como:
Fi in. x mi xGi Fi in. y mi yGi .
(4.73)
El momento de par de las fuerzas de inercia aplicado al mismo eslabón se presentará así:
Miin. J Ai i ,
(4.74)
donde JAi es el momento de inercia del eslabón i con respecto al eje ubicado en el punto A y αi es la aceleración angular del eslabón i. La magnitud y dirección de las fuerzas de gravedad se toman en forma:
Wi y mi g .
(4.75)
Éstas son paralelas al eje Y del sistema de coordenadas y tienen un solo sentido, contrario al sentido del mismo eje.
192
Luego el mecanismo se descompone en grupos estructurales de Assúr y mecanismos de primera clase. El cálculo se resuelve en el mismo orden en que se realiza mediante el método de polígonos vectoriales. 4.3 Síntesis dinámica de mecanismos 4.3.1 Conceptos generales En la resolución de los problemas de la cinemática y del cálculo de fuerzas la velocidad angular de la manivela se considera constante. Para que esto se realice, la magnitud y el sentido de la fuerza de compensación cambian y dependen de la posición de los eslabones del mecanismo. Por lo tanto, el cálculo de fuerzas analiza el caso abstracto, del cambio de la fuerza de compensación de modo para que la manivela realizaría una ley del movimiento concreta. a)
b)
En realidad la manivela se Figura 4.16. Casos posibles de la variación de la velocidad pone en movimiento mediante angular de la manivela bajo la acción de las fuerzas aplicadas a un motor eléctrico o de los eslabones de una máquina. combustión interna de potencia limitada por eso los parámetros cinemáticos están en dependencia de las fuerzas que actúan sobre los eslabones. Debido a la acción de estas fuerzas puede ocurrir que el mecanismo tiene una irregularidad de la velocidad de rotación de la manivela demasiado grande, así como se muestra en la figura 4.16a, o cuando la potencia del motor es deficiente para vencer las fuerzas de resistencia, en este caso el mecanismo se detiene de modo como se muestra en la figura 4.16b. El objetivo principal del cálculo dinámico es la determinación del movimiento de los eslabones del mecanismo bajo la acción de las fuerzas aplicadas, la determinación de las causas que influyen en el movimiento y la determinación de los parámetros necesarios para la realización de la ley del movimiento requerida. Cálculo dinámico resuelve tres problemas: 1. Determinación de la ley del movimiento de la manivela bajo la acción de las fuerzas aplicadas. Este problema se denomina análisis dinámico.
193
2. Determinación de los parámetros del mecanismo necesarios para la realización de la ley del movimiento dada que se nombra síntesis dinámica. En la mayoría de los casos el ingeniero resuelva este problema de dinámica. 3. Determinación de los medios para excluir o disminuir la vibración. La resolución de este problema con el fin de exclusión o disminución de la vibración se nombra balanceo. Como basamento para el análisis y la síntesis dinámica del mecanismo de un solo grado de libertad se usa el Teorema sobre el cambio de la energía cinética conocido en Mecánica. El Teorema manifiesta que el cambio de la energía cinética procede bajo la acción de las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas externas42 aplicados a todos los eslabones del mecanismo. Matemáticamente este concepto se presenta en la siguiente forma:
E .c. E .c.0 T ,
(4.76)
donde E.c.0 es la energía cinética del mecanismo al inicio del movimiento, E.c. es la energía cinética que tiene el mecanismo al final del movimiento, T es la suma de trabajo de todas las fuerzas y de todos los momentos de par de las fuerzas aplicados a los eslabones del mecanismo. Ya que el mecanismo se compone por varios eslabones unidos mediante los pares cinemáticos que permiten realizar el movimiento relativo la ecuación (4.76) se presenta en forma: n
n
n
i 1
i 1
i 1
E .c.i E .c.i.0 Ti ,
(4.77)
donde n es el número de eslabones del mecanismo, E.c.i es la energía cinética del eslabón i al final del movimiento, E.c.i.0 es la energía cinética del mismo eslabón al inicio del movimiento, Ti. es el trabajo de todas las fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas externas aplicados al mismo eslabón. En el mecanismo plano los eslabones realizan movimientos simples y complejos. Los movimientos simples son giratorios y lineales y el movimiento complejo es la combinación de los dos simples. Si el eslabón realiza el movimiento lineal, su energía cinética se determina por: 42
Las fuerzas y los momentos de fuerzas externas son: las motrices, de resistencia útil, de trabajos perdidos, las de gravedad y las de fricción en los pares cinemáticos. En la síntesis dinámica no se toman en cuenta las fuerzas de inercia y las internas.
194
mi vi2 E.c.i , 2
(4.78)
donde mi es la masa del eslabón i y vi es la velocidad del mismo. Si un eslabón gira alrededor de un eje A, la energía cinética se calcula mediante: E .c.i
J Ai i2 , 2
mi vGi2 J Gi i2 E.c.i , 2 2
o
(4.79)
(4.80)
donde JAi es el momento de inercia del eslabón i con respecto al centro de rotación Ai, ωi es la velocidad angular del eslabón, vGi es la velocidad tangencial del centro de gravedad del eslabón en el movimiento de éste con respecto al punto Ai, JGi es el momento de inercia del eslabón con respecto al eje que pása a traves del centro de gravedad perpendicularmente al plano de par. El movimiento complejo de un eslabón se presenta como la suma del movimiento lineal del centro de gravedad y del giratorio del mismo con respecto a este centro. La energía cinética para este caso se calcula por la fórmula idéntica a (4.80) es decir: mi vGi2 J Gi i2 E.c.i . 2 2
(4.81)
Así pues, la energía cinética de todo el mecanismo se determina como:
mi vGi2 J Gi i2 E.c. E.c.i . 2 2 i 1 i 1 n
n
(4.82)
Sobre los eslabones del mecanismo actúa el sistema de las fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas. La suma de tabajos de éstos se calcula por: l Ti Fi cos i ds M i d , i 1 i 1 l0 0 n
n
(4.83)
donde Fi y Mi son las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas aplicados a los
eslabones, i es el ángulo entre el vector fuerza Fi y el vector velocidad del punto de 195
aplicación de esta fuerza, l0 y l son las posiciones que corresponden al inicio y al final del punto de aplicación de la fuerza Fi, φ0 y φ son las posiciones angulares del eslabón i al inicio y al final del movimiento. Al sustituir las ecuaciones (4.82) y (4.83) en (4.77) se tiene: n l mi vGi2 J Gi i2 E.c.0 Fi cos i ds M i d . 2 2 i 1 i 1 l0 0 n
(4.84)
En la ecuación (4.84) las velocidades de los centros de gravedad y las angulares de los eslabones son desconocidas, por eso la cantidad de incógnitas es mayor que la de ecuaciones, por consiguiente su resolución se presenta demasiado complicada. Pero, en los mecanismos con un solo grado de libertad la ley del movimiento de los eslabones depende de la ley de un solo eslabón. Esto permite agrupar las propiedades de todos los eslabones en la propiedad de uno solo que tiene el nombre de mecanismo equivalente. En este caso, el problema se reduce a la determinación de una sola función y su resolución esencialmente simplifica. En la figura 4.17 se muestran dos idénticos esquemas del mecanismo equivalente. Para el mecanismo mostrado en la figura 4.17a, como la coordenada generalizada se toma el desplazamiento circular del punto B por el arco B0B. El punto B tiene los siguientes parámetros cinemáticas: la velocidad vB y la aceleración aB. En el punto B se concentra la masa equivalente meq.. En el mismo punto están aplicadas todas las fuerzas: de resistencia útil equivalente Freseq..ut. y la motriz Fmot.. La energía cinética del mecanismo es igual a: m eq . v B2 E.c. . El punto B, en que 2 se concentran todas las propiedades del mecanismo b) a) equivalente, se nombra como Figura 4.17. Dos modelos idénticos del mecanismo punto de equivalencia. equivalente.
Para el mecanismo mostrado en la figura 4.17b todas las propiedades se concentran en el eslabón que tiene nombre de eslabón de equivalencia. La coordenada generalizada de éste es el desplazamiento angular φ. El eslabón tiene los siguientes parámetros cinemáticas: la velocidad angular ω y la aceleración angular . Al eslabón de eq.
equivalencia están aplicados el momento de inercia equivalente J , el momento de par eq. de las fuerzas de resistencia útil equivalente Mres .ut. y el momento de par de las fuerzas 196
motrices Mmot. La energía cinética del eslabón de equivalencia está dada por: J eq . 2B E.c. . 2 4.3.2 Masa y momento de inercia equivalentes Masa equivalente. En Física la masa es la cantidad de la materia que contiene el cuerpo. Masa se manifiesta en inercia por eso masa de cada eslabón del mecanismo real se caracteriza por inercia y el momento de inercia. Entonces para el mecanismo equivalente presentado en la figura 4.17a convencionalmente la masa y el momento de inercia de todos los eslabones del mecanismo real se sustituyen por una sola masa equivalente que se aplica en el punto de equivalencia B. La masa equivalente es una ficticia destinada para resolver los problemas de dinámica. La sustitución de la masa real de todo el mecanismo por una equivalente debe ser hecha de modo que ésta no modifique la ley del movimiento de los eslabones. Es decir, la ley del movimiento del punto B del mecanismo equivalente debe ser idéntica a la ley del movimiento del punto B del mecanismo real. Esto se realiza en el caso cuando la energía cinética de la masa equivalente E.c.eq., aplicada en el punto de equivalencia, sea igual a la del mecanismo real E.c., es decir, igual a la suma de la energía cinética de todos los eslabones del mecanismo:
E.c.eq. E.c. E.c.1 E.c.2 ... E.c.n1 E.c.n .
(4.85)
Al tomar en cuenta que la energía cinética de la masa equivalente meq. aplicada en el meq . vB2 eq. punto B que se mueve con la velocidad vB es igual a E.c. , y la energía 2 mi vGi2 J Gi i2 cinética del eslabón i es igual a E.c.i , entonces, la ecuación (4.85) 2 2 obtiene la siguiente forma: 2 m n 1 vG2 , n 1 J G , n 1 n2 1 m n vG2 , n J G , n n2 m eq . v B 2 m1 vG 12 J G 1 1 ... 2 2 2 2 2 2 2
(4.86)
mediante que se halla la masa equivalente buscada: 2
m
eq .
2
v v v m1 G1 J G1 1 ... mn1 G , n1 J G , n1 n1 mn G , n J G , n n . (4.87) vB vB vB vB vB vB
197
Momento de inercia equivalente. Para el otro mecanismo presentado en la figura 4.17b como el parámetro principal se elige el momento de inercia aplicado al eslabón de equivalencia. Por eso la ecuación (4.86) se transforma en: 2 m n 1 vG , n 1 2 J G , n 1 n 1 2 m n vG , n 2 J G , n n 2 J eq . 2 m1 vG 12 J G 1 1 . (4.88) ... 2 2 2 2 2 2 2
Por consiguiente el momento de inercia equivalente se determina como: 2
J
eq.
2
v v v m1 G1 J G1 1 ... mn 1 G , n1 J G , n 1 n1 mn G , n J G, n n . (4.89)
Hay que notar, que la masa equivalente y el momento de inercia equivalente son parámetros que en el caso común varían. Pero algunos mecanismos, así como, ventiladores, turbinas, etc. tienen la magnitud de la masa y del momento de inercia prácticamente constante. 4.3.3 Fuerza y momento de par de fuerzas equivalentes La sustitución de las fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas aplicados a los eslabones del mecanismo por la fuerza o el momento de par de las fuerzas equivalentes tampoco debe modificar la ley del movimiento de los eslabones del mecanismo. Por eso el diferencial del trabajo de la fuerza equivalente, o del momento de par de las fuerzas equivalentes, debe ser igual a la suma de las diferenciales de los trabajos de las fuerzas y de los momentos par de las fuerzas aplicados a los eslabones del mecanismo. Fuerza equivalente. Para mostrar el proceso de equivalencia de las fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas se elige, como un ejemplo, el mecanismo de bielamanivela-corredera ilustrado en la figura 4.18a. En la figura 4.18b está presentado el polígono vectorial de velocidades de éste. Como la coordenada generalizada se considera el arco B0B que es el desplazamiento del punto B2. Sea el mecanismo está sometido a la acción de las fuerzas F4 y F4* aplicadas al eslabón 4, de la fuerza F3 aplicada en el punto G3 del eslabón 3, a la acción del momento de par de las fuerzas M3 aplicado al mismo eslabón 3 y del momento de par de las fuerzas M2 aplicado al eslabón 2. Para simplificar el análisis del movimiento de los eslabones del mecanismo todas las fuerzas y momentos de par de las fuerzas se sustituyen por una sola fuerza equivalente aplicada en el punto de equivalencia. Para el mecanismo presentado como el punto de equivalencia se elige el B del eslabón 2. Considerándose que el eslabón 4 se mueve por la trayectoria paralela al eje X con la velocidad vC, el diferencial del trabajo, que realiza la fuerza F4, estará dada por: 198
dTF 4 F4 dsC 4 cos4 ,
(4.90)
donde dsC4 es el diferencialdel desplazamiento del punto C del eslabón 4, β4 es el ángulo entre el vector fuerza F 4 y el vector velocidad del punto C4. Al mismo tiempo el diferencial de trabajo de la fuerza FFeq4. , aplicada en el punto de equivalencia B2 del mecanismo equivalente mostrado en la figura 4.18c se determina por:
dTFeq4. FFeq4. dsB 2 cos 2 ,
(4.91)
donde dsB 2 es el diferencial del desplazamiento del punto B del eslabón 2, β2 es el eq . ángulo entre el vector fuerza F F 4 y el vector velocidad del punto B2.
a)
b)
c)
d)
Figura 4.18. Un ejemplo de equivalencia de las fuerzas y de los momentos de fuerzas aplicados a los eslabones del mecanismo de biela-manivela-corredera: a) equivalencia a un solo punto; b) equivalencia al eslabón.
Ya que dTFeq4. debe ser igual a dTF4, entonces:
FFeq4. dsB 2 cos 2 F4 dsC 4 cos 4 , donde 199
(4.92)
FFeq4. F4
dsC 4 cos 4 . ds B 2 cos 2
(4.93)
Al dividir y multiplicar la ecuación (4.93) por dt se tiene: FFeq4 . F4
vC 4 cos 4 . v B 2 cos 2
(4.94)
En el cálculo, como una regla, la fuerza equivalente se considera tangente a la trayectoria del punto B2 por eso el cos 2 1 y la ecuación (4.94) obtiene la siguiente forma: FFeq4 . F4
vC 4 cos 4 . vB 2
(4.95)
El diferencial de trabajo de la fuerza F4* es igual a cero ya que su vector es perpendicular al diferencial del desplazamiento del punto C4. Por eso la fuerza equivalente también es igual a cero. Pero esta fuerza genera la de fricción cuya diferencial de trabajo no es igual a cero. Asimismo, en los pares cinemáticos los trabajos de las fuerzas de reacción son iguales a cero, pero las de fricción, ejercidas por las de reacción, efectúan los trabajos cuyas diferenciales no son iguales a cero. Si se necesita realizar los cálculos con la toma en cuenta de las fuerzas de fricción hay que considerar, que los trabajos ejercidos por éstas, son negativos en comparación con los trabajos ejercidos por otras fuerzas, que podrán ser tanto positivos como negativos. Las fuerzas de gravedad están aplicadas a la base y sus diferenciales también son iguales a cero. Del mismo modo se determina la relación entre la fuerza equivalente FMeq3. y el momento de par de las fuerzas M3. El diferencial de trabajo, ejercido por la acción del momento de par de las fuerzas M3 es:
dTM 3 M3 d 3 ,
(4.96)
donde d3 es el diferencial del desplazamiento angular del eslabón 3, y el diferencial de trabajo de la fuerza equivalente es:
dTMeq3. FMeq3. dsB 2 cos 2 . eq. Así pues, ya que dTM 3 debe ser igual a dTM3 resulta:
200
(4.97)
M3 d3 FMeq3. dsB2 cos2 ,
(4.98)
d 3 . ds B 2 cos 2
(4.99)
FMeq3. M 3
por fin:
Al dividir y multiplicar el miembro derecho de la ecuación (4.99) por dt y teniendo en eq. cuenta que FM 3 es tangente a la trayectoria del punto B resulta: FMeq3. M 3
3 . vB 2
(4.100)
Del mismo modo se obtienen las fuerzas equivalentes de otras fuerzas y los momentos de par de las fuerzas:
FFeq3 . F3
vG 3 cos 3 , vB 2
FMeq2. M 2
y
2 . vB 2
(4.101)
(4.102)
La ecuación (4.102) se puede simplificar. Ya que vB2 2 LAB entonces resulta:
FMeq2.
M2 . L AB
(4.103)
Todas las fuerzas equivalentes se aplican en un solo punto de equivalencia B2 del mecanismo equivalente y tienen la misma dirección que permite sustituirlas por una sola: F
eq .
n
Fi eq . FMeq2. FFeq3 . FMeq3. FFeq4. .
(4.104)
i 1
Al presentar la ecuación (4.104) en forma detallada definitivamente se tiene: F eq .
1 M 2 2 F3 vG 3 cos 3 M 3 3 F4 vC 4 cos 4 . vB 2
(4.105)
Cálculo del momento de par de las fuerzas equivalentes. Este cálculo también se basa en la condición de igualdad de la suma de los diferenciales de los trabajos de los 201
momentos de par de las fuerzas aplicados al mecanismo equivalente a la suma de los trabajos de las fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas aplicados a los eslabones del mecanismo real. A modo de ejemplo también se elige el mismo mecanismo de biela-manivela-corredera mostrado en la figura 4.18a. El diferencial del trabajo, que ejerce la fuerza F4 es igual a la obtenida en la ecuación (4.90) y el diferencial del trabajo del momento de par de las fuerzas equivalentes mostrado en la figura 4.18d se expresa mediante:
dTFeq4. M Feq4. d 2 ,
(4.106)
eq.
donde M F 4 es el momento de par de las fuerzas equivalentes ejercido por la fuerza F4, dφ2 es el diferencial del desplazamiento angular del eslabón de equivalencia 2. eq. Ya que dTF 4 dTF 4 , se tiene:
de donde
M Feq4. d2 F4 dsC 4 cos 4 ,
(4.107)
dsC 4 cos 4 . d 2
(4.108)
M Feq4. F4
Al dividir y multiplicar el miembro derecho de la ecuación (4.108) por dt se tiene:
M Feq4. F4
vC 4 cos 4 . 2
(4.109)
Igualmente se obtienen todos los momentos de par de las fuerzas equivalentes ejercidas por otras fuerzas y los momentos de par de las fuerzas aplicados a los eslabones del mecanismo:
3 , 2
(4.110)
vG 3 cos 3 , 2
(4.111)
2 M2. 2
(4.112)
M Meq3. M 3 M Feq3. F3
M Meq 2. M 2
202
Al final, se obtiene la sumatoria del momento de par de las fuerzas equivalentes: M
eq .
n
M ieq . M Meq 2. M Feq3. M Meq 3. M Feq4. .
(4.113)
i 1
Sustituyendo (4.108), (4.109), (4.110), (4.111) en (4.113) se tiene: 1 M eq . F4 vC 4 cos 4 M 3 3 F3 vG 3 cos 3 M 2 . 2
(4.114)
4.3.4 Ecuación del movimiento del mecanismo Para obtener la ecuación del movimiento del mecanismo el término izquierdo de la ecuación (4.84), que es de la energía cinética del mecanismo, se sustituye por la energía cinética de la masa equivalente:
mi vGi2 J Gi i2 meq. v 2 . 2 2 2 i 1 n
(4.115)
Asimismo en la misma ecuación (4.84) la energía cinética del mecanismo en la posición de inicio se sustituye por la energía cinética del mecanismo equivalente en la posición de inicio: E.c.0
m0eq. v02 , 2
(4.116)
eq.
donde m0 es la masa equivalente del mecanismo al inicio del movimiento, v0 es la velocidad inicial del punto de equivalencia. El miembro derecho de la ecuación (4.84) es la suma de las diferenciales de trabajos de todas las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas aplicados al mecanismo. Ya que la base de la obtención de las fuerzas equivalentes es la condición de igualdad de la suma de las diferenciales de todos los trabajos reales a la de las diferenciales de los trabajos equivalentes, entonces: l l n l eq. eq . cos F ds M d F ds F ds . Fi Mi i i i i 1 l0 i 1 l0 0 l0 n
203
(4.117)
Al sustituir en el miembro derecho de la ecuación (4.117) la suma de las diferenciales de todas las fuerzas equivalentes por el trabajo de la fuerza equivalente sumatoria se tiene: l l eq. Fi cos i ds M i d F ds . i 1 l0 l0 0 n
(4.118)
Sustituyendo las igualdades (4.115), (4.116) en el miembro izquierdo en la ecuación (4.84) y la ecuación (4.118) en el miembro derecho de la misma se recibe: l
m eq . v 2 m0eq . v02 F eq . ds . 2 2 l0
(4.119)
La ecuación (4.119) se denomina como la equación del movimiento del mecanismo en forma energética. Utilizando la ecuación (4.119) se recibe la velocidad del punto de equivalencia: l
v
2 F eq. ds l0
meq.
m0eq. v02 eq. . m
(4.120)
Teniendo en cuenta que l
F
eq .
ds T ,
(4.121)
l0
la ecuación (4.120) queda como:
v
2 T meq .
m0eq. v0 2 . meq.
(4.122)
Si las masas y los momentos de inercia, las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas están referidos no al punto de equivalencia sino al eslabón de equivalencia, entonces la ecuación (4.84) con la consideración de la igualdad (4.121) tendrá la siguiente forma:
J eq. 2 J 0eq. M eq. d T , 2 2 0 204
(4.123)
con que se recibe la ecuación de la velocidad angular del mecanismo equivalente:
2 T J eq.
J 0eq. 02 . J eq .
(4.124)
Así pues las ecuaciones (4.122) y (4.124) representan las ecuaciones del movimiento en forma integral de la energía. Pero, a veces, es más útil presentarlas en forma diferencial. En este caso la ecuación (4.84) se presenta como:
d E.c. E.c.0 d T .
(4.125)
En la ecuación (4.125) dE .c.0 0 , ya que E.c.0 const , y el miembro d T se define l eq. en la ecuación (4.121). Ya que d T d F ds , en que d T F eq. ds , l 0 entonces, la ecuación (4.125) se presentará mediante:
o así:
dE .c. F eq . ds ,
(4.126)
dE.c. F eq. . ds
(4.127)
meq. v 2 v 2 dmeq. dE.c. dv meq. v 2 d meq . v En la ecuación (4.127) E.c. , entonces, 2 ds ds 2 2 ds y la ecuación (4.122) obtiene la siguiente forma: m
eq .
dv dm eq. v 2 F eq. . dt ds 2
(4.128)
La ecuación (4.128) se denomina como la equación del movimiento del mecanismo en forma diferencial. Ésta se resuelva con respecto a la velocidad del punto de aplicación de las masas y de las fuerzas equivalentes. Si las fuerzas y las masas se aplican al eslabón de equivalencia, la ecuación (4.128) obtiene la siguiente forma:
J
eq .
d dJ eq . 2 M eq . dt d 2 205
(4.129)
que se resuelva con respecto a la velocidad angular del eslabón de equivalencia al que están aplicados los momentos de inercia y los momentos de par de las fuerzas equivalentes. 4.3.5 Características principales del movimiento del mecanismo En general el régimen del movimiento de un mecanismo se divide en tres fases que esquematicamente estan mostradas en la figura 4.19: fase del arranque (tarr.), cuando el mecanismo se pone en marcha y la velocidad del movimiento del mecanismo incrementa, fase del movimiento estable (test.), cuando la velocidad promedio es constante ( prom. const ) y fase del movimiento de frenado (tfr.), cuando la velocidad del movimiento del mecanismo disminuye hasta la detención. El régimen de trabajo de un mecanismo depende del tipo de la máquina. Por ejemplo, el régimen del movimiento del ventilador de una empresa tiene el tiempo del movimiento estable mucho más largo, que la suma del tiempo del arranque y del frenado. Además, la irregularidad de la velocidad angular de la Figura 4.19. Diagrama típico del movimiento flecha del motor eléctrico practicamente es de la manivela de un mecanismo. igual a cero, ya que el momento de inercia equivalente tiene la magnitud constante y el momento de la fuerza equivalente tampoco varia. El trabajo de un mecanismo de una máquina herramienta, por ejemplo de un torno, puede tener el tiempo del movimiento estable practicamente igual a la suma del tiempo del arranque y del frenado, además el movimiento estable puede tener la irregularidad de la velocidad angular de la flecha del motor eléctrico muy grande. El movimiento del arranque y el movimiento del frenado son movimientos del régimen inestable, que se caracteriza por una velocidad aperiodica, es decir, velocidad que cambia instantaneamente hasta el establecimiento de inmovilidad o movimiento estable. En el movimiento estable la velocidad promedio es constante. Las ecuaciones (4.122), (4.124), (4.128) y (4.129) se emplean para la investigación del movimiento tanto estable, como inestable. 4.3.6 Método gráfico analítico del análisis y de la síntesis dinámica de mecanismos Para el análisis del movimiento tanto estable como inestable de un mecanismo deben ser conocidos: el esquema cinemático, las características de los eslabones (masas, momentos de inercia, coordenadas de los centros de gravedad), las características de las 206
fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas aplicados al eslabón motríz y a los seguidores, también deben ser conocidas las circunstancias iniciales del movimiento. Las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas aplicados a los seguidores pueden ser presentados en forma analítica o gráfica. Un problema consiste en la definición de la ley del movimiento del eslabón motriz bajo la acción de las fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas aplicados, y el otro en la definición de la masa o del momento de inercia del eslabón de equivalencia necesaria para la realización de la ley dada del movimiento del seguidor. El primer problema es el de análisis y se usa para la investigación del movimiento de un macanismo tanto en la fase estable, como en las fases inestables. El segundo problema es el de la síntesis. Como regla el problema de la síntesis se emplea para la fase del movimiento estable. Análisis del movimiento inestable de una máquina. Para el análisis se elige la ecuación (4.122) o (4.124) del movimiento en fórma energética. El órden del análisis es el siguiente: 1. Se sustituye el mecanismo real por uno equivalente. Se elige uno de los modelos del mecanismo equivalente por ejemplo tal como es presentado en la figura 4.17b. Por una fórmula análoga a (4.89) se calcula el momento de inercia equivalente y por la fórmula análoga a (4.114) el momento de par de las fuerzas equivalente. En el sistema de coordenadas (φ, Jeq.) presentado en la figura 4.20a se construye el gráfico de la variación del momento de inercia equivalente Jeq. en dependencia del ángulo de giro de la manivela43. Las escalas de las magnitudes son μφ, (rad/mm) y μj, (kg m2/mm), respectivamente. Para la mejor conformidad de construcciones posteriores el gráfico se construye girado a 90° así como es mostrado en la figura 4.20a. 2. En el sistema de coordenadas (Meq., φ) se construyen los diagramas del momento de eq . eq . y del momento de par de par de las fuerzas de resistencia equivalente M res . M res . eq . eq . eq . . Tomando M mot las fuerzas motrices equivalente M mot . M mot . . como positivo y eq . eq . M res. con su signo, positivo si su sentido coincide con el sentido de M mot . y negativo si eq . su sentido es opuesto al de M mot . , se construye el gráfico del momento de par de las fuerzas resultantes M Req. . M Req. . presentada en la figura 4.20b. Si las fuerzas de gravedad y las de fricción son considerables, entonces, los momentos de par de las fuerzas equivalentes de éstas, también deben ser incluidos en el M Req. . como los momentos de par de las fuerzas de resistencia. La escala de Meq. es M ..., N m mm y la escala del desplazamiento angular es ..., rad mm .
43
El análisis del movimiento del mecanismo como regla comienza desde la posición de inicio. Por eso los gráficos del momento de inercia equivalente Jeq. y del momento de par de las fuerzas equivalente Meq. se construyen desde ésta posición.
207
3. Ya que la suma de trabajos es
T M
eq .
d , entonces, usando la integración
0
gráfica se construye el diagrama de trabajo del momento de par de las fuerzas equivalente resultante T el ejemplo de que se presenta en la figura 4.20c. La escala del éste se determina por la fórmula T M H ..., N m mm , donde H es la base de integración. En correspondencia con el Teorema sobre el cambio de la energía cinética T E.c. , el gráfico de T al mismo tiempo es el gráfico de E .c. . Al transformar la ecuación (4.124) resulta: i
2 J ieq.
J 0eq. 0 2 E.c.i . 2
(4.130)
a)
b)
d)
c)
Figura 4.20. Construcción del diagrama de energía-masa para el movimiento inestable.
208
J 0eq. 0 2 En la ecuación (4.130) el término es la energía cinética del eslabón de 2 J eq. 2 equivalencia al inicio de movimiento. Considerando 0 0 E.c.0 y realizando la 2 sustitución correspondiente en (4.130), se tiene:
i
2 E.c.i E.c.0 . J 0eq .
(4.131)
La energía cinética de inicio E.c.0 se calcúla con los datos iniciales ω0 y J 0 eq. (la magnitud de J 0 eq. en el gráfico en la figura 4.20a está representada por el segmento 0b0).
E.c.0 . Ésta en la figura 4.20c se marca T como el punto a0 y se elige como el origen del sistema de coordenadas E .c., . Entonces, en todas las posiciones las ordenadas son la magnitud iésima de E .c.i E .c.0 E.c.i , por eso la ecuación (4.131) se puede presentar como: 0
Se determina la distancia y E .c. como yE .c.0
i
2 E.c.i . J i eq.
(4.132)
Usando la ecuación (4.132) se construye el gráfico . Los gráficos T y presentadas en la figura 4.20c claramente indican que el mecanismo está en el proceso de la aceleración ya que la energía cinética incrementa. Esto es debido al exceso del trabajo de la fuerza motriz con respecto al trabajo sumatorio de las de resistencia. 4. El gráfico se puede obtener sin el uso de la ecuación (4.132) empleando el método gráfico elaborado por F.Wittenbauer44. Para este se construye el diagrama que representa la relación entre la energía cinética y el momento de inercia del eslabón de equivalencia E.c. E.c.J eq. , ésta obtuvo el nombre de Wittenbauer o también se nombra el diagrama de energía-masa. El diagrama de energía-masa se construye con el uso del diagrama de la variación de la energía cinética E .c. y del momento de
44
Ferdinand Wittenbauer (1857-1922) era un investigador alemán, conocido por sus trabajos en el área de elaboración de métodos gráficos en la investigación de cinemática y dinámica de máquinas.
209
inercia J eq . del eslabón de equivalencia con el parámetro φ excluido. La construcción de ésta para el movimiento inestable está presentada en la figura 4.20d. Para su obtención se construye el sistema de coordenadas con los ejes X (Jeq.) e Y (E.c.). En los gráficos J eq . y E .c.eq . desde los puntos del mismo número, por ejemplo a2 y b2 (véase las figuras 4.20a y 4.20c), se trazan rectas en el sistema de coordenadas (x, y) hasta la intersección mútua. El punto de la intersección se marca con la letra c2 (véase la figura 4.20d). Luego todos los puntos ci se unen con una curva suave. Al unir mediante un rayo el punto ci con el origen O del sistema de coordenadas (x, y) se determina el ángulo ψi que forma el rayo con el eje X mediante que se puede obtener la velocidad angular del eslabón de equivalencia en la posición i. Ya que J E.c.i E.c.i , yi y xi eq.i resulta que tan i J E .c. E .c. J eq.i J donde
E.c.i E .c. tan i . J ieq. J
Sustituyendo en la fórmula (4.132) la razón
i 2
(4.133)
E.c.i por (4.133) se tiene: J eq . i
E .c. tan i . J
(4.134)
En la fórmula (4.134) se observa que la velocidad angular ωi del eslabón de equivalencia en la posición iésima es proporcional a la raiz cuadrada de la tangente del ángulo ψi del rayo Oci. El diagrama de energía-masa muestra la influencia de diferentes factores sobre la ley del movimiento del eslabón de equivalencia. Por ejemplo, si las fuerzas aplicadas no cambian y el momento de inercia del mecanismo disminuye, es decir, si se reduce yE.c.0, entonces, el diagrama de energía-masa se acerca al eje Y y la magnitud de los ángulos ψi incrementan. Esto significa el incremento de la aceleración del movimiento del eslabón. Usando el diagrama de energía-masa se puede resolver la tarea opuesta, obtener parámetros del mecanismo necesarios para la realización de la ley del movimiento dada, es decir resolver la tarea de la sintesis. Síntesis dinámica de un mecanismo (método de Wittenbauer del cálculo del volante). La síntesis se efectúa para el régimen del movimiento estable, es decir, cuando los parámetros cinemáticos son una función periódica del tiempo. En la figura 4.16a está 210
presentado el gráfico del movimiento estable. Como se observa, la ley del movimiento tiene un caracter ciclico, es decir, los parámetros cinemáticos se repiten en un ciclo que se caracteriza por el tiempo tc.. El movimiento estable puede ser conocido solamente en el caso cuando dentro de un ciclo la suma de los trabajos de todas las fuerzas, de la fuerza motriz y de las de resistencia, aplicadas al mecanismo es igual a cero:
T 0 .
(4.135)
Entonces, para que sea válida la igualdad (4.135) el trabajo de la fuerza motriz debe ser igual a la suma de trabajos de las fuerzas de resistencia:
Tmot.
T
res .
.
(4.136)
La ecuación (4.136) es la del balance energético del mecanismo, es decir, la energía cinética en un ciclo no cambia E.c. 0 , por eso la velocidad angular se repite de un ciclo al otro. Como se observa en (4.124) la velocidad angular es la función de los parámetros T y Jeq. que cambian su magnitud en transcurso de un ciclo. Por eso la velocidad angular del mecanismo equivalente también cambia su valor de ωmin. a ωmax como se muestra en la figura 4.16a. La diferencia entre ωmin. y ωmax. caracteriza la irregularidad del movimiento del mecanismo equivalente. Cuantitativamente ésta se caracteriza por el coeficiente de irregularidad:
max min , prom.
(4.137)
donde la velocidad promedio ωprom. en un solo ciclo se calcula como:
prom.
max min . 2
(4.138)
La ecuación (4.137) muestra, que a menor magnitud de ε el mecanismo trabaja más tranquilo y, por supuesto, el trabajo ideal sería con 0 . La variación de la velocidad y de la aceleración de un mecanismo durante el ciclo provoca las fuerzas dinámicas45 adicionales, que reduce la longevidad y la fiabilidad de un mecanismo. Por eso los diseñadores y fabricantes de las máquinas se preocupan por disminuir ε. Pero disminuir 45
Las fuerzas dinámicas son aquellas que se provocan por las aceleraciones y cambian en magnitud y sentido.
211
ε hasta el cero en la mayoría de los casos es imposible o económicamente injustificado. La práctica muestra, que cada tipo de la máquina tiene su coeficiente de irregularidad económicamente aceptable. Por ejemplo, las máquinas herramienta tienen económicamente justificado el coeficiente de irregularidad de 0.02 a 0.4, las máquinas textiles 0.01…0.02, los motores para electrogeneradores 0.003…0.01, etc. 46. En la ecuación (4.137) se recibe:
y
min max prom .
(4.139)
max min prom. ,
(4.140)
max min prom. 1 , 2
(4.141)
o finalmente queda:
por consiguiente, la variación de la velocidad está en los límites de velocidad promedio.
con respecto a la 2
Analizando la ecuación (4.141) y la figura 4.20d se llega a una conclusión que el incremento del momento de inercia del mecanismo equivalente Jeq. aleja la curva de energía-masa desde el eje Y que disminuye la magnitud del ángulo ψi y la amplitud de la variación del mismo. Esto, a su vez, disminuye la diferencia entre ωmin y ωmax. Este análisis constituye la base de la síntesis dinámica. La mayor parte de los mecanismos tiene uno o varios eslabones que giran completamente. Éstos se unen en un grupo, y los demás, que tienen el movimiento más complejo, en otro. Uno de los eslabones que gira completamente se elige como el de equivalencia con la velocidad angular promedio ωprom. y el coeficiente de irregularidad ε. Al acoplar al eslabón de equivalencia un elemento complementario, que se nombra eq . volante47, con el momento de inercia J vol . y aplicarle los momentos de inercia equivalentes de otros eslabones del mismo grupo, se recibe el momento de inercia sumatoria: eq . J I.eq . J 1eq . J 2eq . ... J vol .
46
(4.142)
Teoría de Mecanismos y Máquinas. Bajo la redacción del Dr. V.A.Gavrilenko. Moskú, “Vischaya Shkola”, 1973, (p. 484). 47 Volante es un elemento macizo hecho en forma de una llanta que se acopla con una flecha de un eslabón del mecanismo que gira completamente y sirve para disminuir la irregularidad del movimiento del mecanismo en un solo ciclo.
212
La suma de los momentos de inercia equivalentes del otro grupo de eslabones también se aplica en el mismo eslabón de equivalencia y se marca como J II.eq. . Entonces, el momento de inercia del mecanismo equivalente resulta como: J eq . J I.eq . J II.eq .
(4.143)
que permite determinar los parámetros del mecanismo empleando el método gráfico. Para ésto se construye el sistema de coordenadas con los ejes Y(E.c.) y X(Jeq.) y en éste el gráfico de energía-masa E.c. E.c. J II.eq. , esto está presentado en la figura 4.21. En
comparación con el gráfico de energía-masa para el movimiento inestable, que es una curva abierta, presentada en la figura 4.20d, la grafica para el movimiento estable es una curva cerrada. Puesto que la velocidad angular ωi del eslabón de equivalencia es proporcional a la tangente del ángulo ψi que forman el rayo trazado desde el origen del sistema de coordenadas (x, y) al punto i del diagrama de energía-masa y el eje X(Jeq.) se obtienen las propiedades que debe tener el mecanismo equivalente para que las magnitudes de ωmax y ωmin esten en límites de . Para esto en la fórmula (4.141) se 2 calcula la magnitud de ωmax y ωmin. Luego al presentar (4.134) en forma:
2 *max min arctan J max min , 2 E .c .
(4.144)
se calculan *max y *min . Trazando los rayos un ángulo *max y *min al diagrama de enería-masa se determina el punto de la intersección de éstas el que se considera el origen O* del nuevo sistema de Figura 4.21. Construcción del diagrama de Wittenbauer para el * * coordenadas (x , y ). cálculo del volante.
La distancia entre el punto O* del sistema de coordenadas (x*, y*) y el O del (x, y) es la magnitud de J I.eq. trazada a escala μJ. Su magnitud está dada por: LO*O
J I.eq. . J
La fórmula (4.141) se puede simplificar tomandola en forma: 213
(4.145)
2
2 max min
2 prom.
1 , 2
(4.146)
donde 2
2 1 1 . 2 2
(4.147)
2 En la fórmula (4.147) el término resulta demasiado pequeño por lo que se puede 4 despreciar. Entonces, la fórmula (4.144) definitivamente se presentará como:
'max min arctan J 2 prom. 1 . 2 E .c .
(4.148)
En la fórmula 4.148 se observa que la eficiencia de la realización de la irregularidad del movimiento del mecanismo equivalente en límites de es más alta cuando como el 2 eslabón de equivalencia se elige el que tiene la velocidad angular más grande. A pesar de la aparente simplicidad de los cálculos, la aplicación práctica del método gráfico es muy complicada. Esto es debido a que la distancia LO*O resulta muy grande y el punto O* se encuentra fuera de límites de la presentación gráfica. Para agilizar los cálculos se utilizan los puntos de intersección a y b de las tangentes con el eje Y presentado en la figura 4.21. Así pues en los triángulos OO*a y OO*b se tiene:
ab aO bO LO*O tan *max tan *min ,
(4.149)
donde
LO*O
tan
* max
ab . tan *min
(4.150)
Así de esta manera, midiendo el segmento ab y empleando la fórmula (4.150) se determina la distancia LO*O y luego el momento de inercia del eslabón de equivalencia:
J I.eq. J LO*O . 214
(4.151)
Sin embargo es posible definir J I.eq. sin la determinación de la distancia LO*O . Para esto sustituyendo (4.148) y (4.151) en (4.149) y después de algunas simplificaciones resulta:
J I.eq. J ab 2prom . 2 . J 2 E .c .
(4.152)
Por fin se halla el parámetro buscado es: J I.eq.
E .c. ab . 2prom.
(4.153)
4.3.7 Método analítico del análisis y de la síntesis dinámica Para realizar el análisis y síntesis dinámico de un mecanismo mediante método analítico, se eligen los resultados del análisis cinemático, presentado en el capítulo 3.3.2. Entre los eslabones, que giran completamente, se elige uno como el mecanismo equivalente. Tomando en cuenta las figuras 4.17a y 4.17b se elige el tipo del esquema del mecanismo equivalente. Tomando una posición extrema como la inicial, el ángulo de giro completo del mecanismo equivalente se divide en N partes iguales. Para todas las posiciones del mecanismo en las ecuaciones (4.87) y (4.105) o (4.89) y (4.114) se calculan las magnitudes de meq. y Feq. o Jeq. y Meq. respectivamente. Empleando métodos numéricos para cada posición se calcúla la suma de los trabajos de las fuerzas equivalentes l
T F
i
eq .
ds o la suma de los trabajos de los momentos de par de las fuerzas
l0
equivalentes
T M
eq . i
d . Luego usando la fórmula (4.122) se calcula la velocidad
0
del punto de equivalencia o usando la (4.124) la velocidad angular del eslabón de equivalencia. Para el cálculo del volante se usa la ecuación del momento de inercia del eslabón de equivalencia. Para esto al eslabón de equivalencia se aplican los momentos de inercia de todos los eslabones del mecanismo. El mecanismo tiene eslabones con la relación de velocidades constante con respecto al eslabón de equivalencia y eslabones con la relación de velocidades variable. La suma de los momentos de inercia de los eslabones con la relación de velocidades variable es pequeña en comparación con el momento de inercia del volante, por eso, para la mayor parte de los problemas, ésta se puede 215
despreciar. Entonces el momento de inercia del mecanismo equivalente será J Ieq. y la energía cinética del eslabón de equivalencia se determinará mediante: E.c.1
J Ieq . 12 . 2
(4.154)
En la ecuación (4.154) J Ieq . const ya que la parte variable está excluida, por ello la magnitud del momento de inercia del eslabón de equivalencia no dependerá de la 2 J Ieq. 1max posición del mecanismo. Sin embargo la energía cinética varía de E .c.1 max a 2 2 J Ieq. 1min ya que el eslabón de equivalencia gira con la velocidad variable de E .c.1 min 2 ωmin a ωmax. Entonces, E .c. E.c.1 max E .c.1 min . Al sustituir en ésta E.c.1max y E.c.1min por su significado se tiene: E.c.
J1eq. 2 J1eq . 2 1 max 1 min 2 1 max 1 min 1 max 1 min . 2
(4.155)
La ecuación (4.155) puede ser presentada como:
E.c. J Ieq . prom. 1 max 1 min .
(4.156)
Tomando en cuenta (4.141) la ecuación (4.156) tendrá la siguiente forma:
E.c. J Ieq. 2prom. .
(4.157)
Resolviendo (4.157) con respecto a J Ieq. se tiene: J Ieq.
E.c. . 2prom.
(4.158)
Para obtener el movimiento giratorio del eslabón de equivalencia con irregularidad igual a ε la fórmula (4.158) será principal. En la fórmula (4.158) se observa que con la disminución de ε, proporcionalmente aumenta J Ieq. y la masa del volante. Pero con el aumento de ω, en una dependencia cuadrática disminuye J Ieq. . Esto último aprovechan los diseñadores para disminuir el peso del mecanismo. El volante colocan en el eje que tiene mayor velocidad o el mecanismo complementan con una transmisión para obtener una velocidad más grande. 216
El volante en el mecanismo juega papel de acumulador de la energía cinética. Cuando el trabajo de la fuerza motriz es mayor que el de las de resistencia el volante absorbiendo la energía cinética excesiva no permite incremento demasiado de la velocidad del mecanismo, cuando el trabajo de las fuerzas de resistencia es mayor que el de la motriz el volante descargando la energía cinética al mecanismo vence las fuerzas de resistencia y con esto guarda la velocidad en límites admisibles. 4.4 Balanceo En correspondencia con la primera ley de Newton un cuerpo se mantendrá en reposo o continuará moviéndose en una recta con una velocidad constante si la suma de todas las fuerzas, que actúan sobre éste, es igual a cero. Al contrario si el cuerpo se mueve en una recta con una velocidad variable o por una curva con una velocidad constante o variable entonces sobre el cuerpo actuarán las fuerzas de inercia de magnitud y dirección variables. Si el cuerpo está unido con el otro mediante un par cinemático entonces sobre este cuerpo actuarán mismas fuerzs que se manifesta en la vibración 48. En la mayoría de los casos la acción de la vibración sobre los eslabones de un mecanismo es negativa 49. Los procedimientos con el objetivo de la exclusión, o al menos disminución de la vibración, se llama balanceo. La mayor parte de los eslabones del mecanismo tienen movimiento lineal alternativo, oscilatorio o giratorio. Al principio de los estudios de los mecanismos los eslabones se consideran como cuerpos absolutamente rígidos y duros de densidad uniformemente distribuido por el volumen del cuerpo. Pero realmente las partes del volumen de los eslabones tienen densidad diferente, su forma real tiene partes con un peso menor, o mayor, que en otras. La geometría de los eslabones, su orientación con respecto al eje de rotación, no son ideales. Por eso el centro de gravedad no coincide con el eje geométrico de rotación del eslabón que en el proceso del movimiento giratorio genera la fuerza centrífuga. Ésta girandose junto con el cuerpo actúa sobre todo el sistema mecánico provocando su oscilación. Para la mejor comprensión del proceso el primero se muestra el proceso de balanceo de un disco que tiene el movimiento giratorio completo con respecto a su eje geométrico.
48
Vibración mecánica es la oscilación de cuerpos sólidos de carácter periódico o casi periódico, que genera ondas sonoras. En algunas máquinas se aprovecha la vibración, por ejemplo en las máquinas para disminuir la fuerza de fricción entre las piezas que realizan el movimiento relativo, o en las máquinas para el apisonamiento del terreno o disolución de cemento. En éstas se aprovecha la vibración para disminuir la fuerza de fricción entre las partículas del material movedizo. 49
217
4.4.1 Balanceo estático de un disco Como un disco se considera una figura geométrica de forma circular con la longitud menos de 0.1 del diámetro, los demás se consideran cilindros. Balanceo estático. Se supone que el plano del disco es perpendicular al eje geométrico de rotación pero el centro de gravedad está desplazado con respecto al eje geométrico a una distancia r. En el movimiento giratorio del disco el centro de gravedad va a provocar la fuerza centrífuga F m r 2 que gira junto con el disco con respecto al dicho eje geométrico. Así, el problema consiste en la realización de procedimientos para hacer coincidir el centro de gravedad del disco con el eje geométrico de rotación. Esto se puede hacer colocando el disco dispuesto en una flecha perfectamente recta sobre dos rieles rígidos y duros perfectamente paralelos y horizontales así como se muestra en la figura 4.22. Se supone que el eje puede rodar sobre los rieles prácticamente sin la perdida por fricción. Entonces en cualquier posición arbitraria, debido a la no coincidencia del centro de gravedad del disco con el eje geométrico, la fuerza de gravedad W generará el momento de par de las fuerzas M m g r . Se dice que el disco está en la posición de desequilibrio. El momento de par de las fuerzas pondrá el disco en movimiento el que se moverá hasta el reposo. En la posición del reposo la línea de acción de la fuerza va a Figura 4.22. Balanceo pasar a través del centro de gravedad y del centro de rotación del estático del disco. disco. Se dice que el disco está en la posición de equilibrio estable. En la figura 4.23 están presentados tres tipos de equilibrio conocidos en Mecánica. En la figura 4.23a se presenta el caso de equilibrio inestable, cuando el objeto está en la posición de la energía potencial máxima. Al mover ligeramente el objeto éste va a seguir moviéndose. En la figura 4.23b se muestra el equilibrio estable, cuando el objeto está en la posición de la energía potencial mínima. En la figura 4.23c se muestra el equilibrio indiferente en que el objeto esta en equilibrio en cualquiera posición. El proceso del balanceo consiste en lo siguiente. En la posición de equilibrio estable del disco, cuando la a) b) c) línea de acción de la fuerza de gravedad pasa a Figura 4.23. Tres tipos de equilibrio través del centro de rotación, en la parte más ligera, en mecánica: a) equilibrio inestable; b) se coloca una masa de corrección mcor. a una equilibrio estable y c) equilibrio distancia rcor. desde el centro de rotación hasta que indiferente. el disco esté en equilibrio indiferente, es decir cuando el disco se mantendrá en reposo en cualquiera posición al ponerlo en movimiento. En éste caso por medio de la masa de corrección el centro de gravedad del disco se dispone de modo que coincida con el eje geométrico de rotación. 218
Con el resultado igual, en vez de la disposición de la masa de corrección en la parte más ligera se puede quitar una masa desde la parte más pesada. Balanceo dinámico de un disco. El balanceo estático no es muy sensible y con mayor frecuencia se usa para discos no importantes que tienen velocidad de rotación no grande. Por ejemplo en automotriz se considera que se puede realizar el balanceo estatico para las ruedas traseras, si la velocidad del automóvil no supera 100 km/hra. Una sensibilidad mayor tiene la máquina balanceadora presentada en la figura 4.24 que mide la acción de la fuerza centrífuga durante el movimiento de rotación. En el proceso de giro con respecto al centro de rotación del disco la masa desplazada produce la fuerza 2 centrífuga oscilatoria F m r que se transmite al sistema mecánico del equipo y se manifiesta en la presión periódica sobre el soporte. Esta presión la registra el captador de la fuerza o del desplazamiento. La coordenada angular de la posición del disco es medida por el captador correspondiente. Ambos captadores funcionan simultaneamente y los resultados se analizan en la computadora. De tal modo se detecta la magnitud de la fuerza centrífuga y la coordenada angular de ésta con respecto a la máquina. Ya que la velocidad angular es constante, la fuerza F depende solamente del producto mr . Éste se denomina desbalance de masa, sus términos son: m la masa del disco y r la distancia desde el centro de gravedad hasta el centro de rotación. Para que el disco esté balanceado debe ser satisfecha la igualdad:
m r mcor . rcor . ,
(4.159)
donde mc. es la masa de corrección y rc. es el radio de corrección. Uno de los parámetros Figura 4.24. Balanceo dinámico de un disco. mcor. o rcor. se elija arbitrariamente y el otro se determina por la igualdad (4.159). La masa de corrección mcor. debe estar en la línea de corrección a distancia rcor. con respecto al eje de rotación. Dependiendo de la construcción de la máquina balanceadora y del método del balanceo ésta puede ser tomada como una masa complementaria, si se coloca en la mitad del disco mas ligera, o extraida del disco una cantidad de la masa igual a mcor., si se dispone en la mitad mas pesada.
219
4.4.2 Balanceo dinámico de un rotor El rotor es una figura geométrica de forma principalmente cilíndrica que se sostiene en los soportes y realiza el movimiento giratorio. Balanceo dinámico. Si el plano del disco no es perfectamente perpendicular al eje gemétrico de rotación o tiene la longitud considerable con respecto al diámetro entonces éstos deben ser considerados como rotores y sometidos al balanceo dinámico. Se distinguen dos grupos de rotores: rígidos y flexibles. El rotor rígido se considera como el cuerpo que se somete a las leyes de la mecánica del cuerpo sólido. Los cálculos para el balanceo de rotores se lleva a cabo empleando el método de cinetoestática, es decir por medio del principio de D’Alambert. Sea el rotor, presentado en la figura 4.25, tiene tres elementos m1, m2 y m3 cuyos centros de gravedad están a distancia radial r1, r2 y r3 con respecto al eje geométrico de rotación del mismo. En el proceso de rotación el desplazamiento de los centros de gravedad provoca las fuerzas centrífugas F1, F2 y F3 cuya suma no es igual a cero. Ya que el rotor constituye un cuerpo rígido, la suma vectorial de las fuerzas reales se sustituye por un vector fuerza principal del sistema
mi 2 ri ,
(4.160)
aplicado en el centro de gravedad del rotor m, y el momento de par de las fuerzas principal
M mi 2 ri zi . (4.161) En las ecuaciones (4.161) y (4.161) mi es la masa de un elemento i del rotor, ri es el desplazamiento radial del centro de gravedad de éste Figura 4.25. Las fuerzas centrífugas F1, F2 y F3 se sustituyen con respecto al eje por el vector fuerza principal , aplicado en el centro de geométrico del rotor y zi es el gravedad del rotor m, y el momento de fuerza principal M. desplazamiento axial del centro de gravedad del elemento con respecto al centro de gravedad del rotor. La fuerza principal Φ constituye la parte estática del desbalance y el momento de par de las fuerzas principal M la parte dinámica. Si 0 y M 0 entonces el rotor es estáticamente no balanceado. Esto tiene lugar cuando el rotor tiene forma de un disco colocado perpendicularmente al eje geométrico de rotación presentado en el capítulo 4.4.1. Si 0 y M 0 se considera que el rotor es dinámicamente no balanceado. 220
En la mayoría de los casos 0 y M 0 . Ya que el rotor constituye un cuerpo rígido, el conjunto del vector fuerza y del momento de par de las fuerzas M se puede sustituir por dos fuerzas centrífugas F1 y F2 aplicadas en los planos convencionales paralelos presentados en la figura 4.26. Para obtener los parámetros de las fuerzas F1 y F2 se usan diferentes sistemas mecánicos uno de los que se muestra en el esquema de la figura 4.26. En éste el rotor se coloca sobre los soportes y se pone en el movimiento giratorio con una velocidad angular const . La acción de las fuerzas centrífugas F1 y F2 se registra por captadores de fuerzas. A la vez el captador de posicionamiento registra la posición angular del rotor. Las señales de los captadores son analizadas por la computadora que dirige la máquina de corrección. Hay que notar, que las máquinas de balanceo dinámico no determinan las fuerzas y coordenadas del desbalance de masas reales, sino registran las fuerzas que actúan sobre los soportes. Por eso la posición de los planos de corrección es convencional que da oportunidad de elegirlos. Pero, si se necesita realizar el balanceo de una flecha flexible, la medición y corrección deben ser realizadas en diferentes planos. La Figura 4.26. Esquema de una máquina automática de balanceo dinámico de rotores. distancia entre los planos se elige con la toma en cuenta de la rigidez de la flecha en cada parte. A veces se encuentran dificultades en la realización del balanceo con el empleo de las máquinas que existen en el mercado. Para evitarlas, se utiliza el método que se presenta más adelante.
a) b) Figura 4.27. Esquema de balanceo de un rotor. a) Esquema de la máquina de balanceo compuesta de: 1. Base inmóvil; 2. Mesa oscilante; 3. Resorte; 4. Rotor; 5. Medidor de la amplitud de oscilación. b) Presentación en forma vectorial de las amplitudes de la oscilación que pueden provocar las fuerzas centrífugas debido al desbalance de masa m del mismo rotor y de la masa correctora m1.
El objetivo del balanceo con el uso de este método consiste en la excepción de una de las fuerzas centrífugas. En la figura 4.27a se muestra el esquema de la máquina que, debido al bajo 221
costo y claridad del método, se emplea en la enseñanza. Ésta está compuesta por la base inmóvil 1 y la mesa oscilante 2 un extremo de que se une con la base 1 mediante el par cinemático de rotación y el otro se apoya mediante el resorte 3. El rotor 4, sobre que se eligen dos planos convencionales de corrección P1 y P2, se coloca en soportes de la mesa oscilante 2 de modo que un plano de corrección, por ejemplo P1, coincida con el eje del par cinemático de rotación y el otro P2 esté sobre la parte de la mesa 2 apoyada por el resorte 3. Con el movimiento giratorio del rotor la fuerza centrífuga F1 que se ubica en el plano P1 pasará a través del eje del par cinemático de rotación por consiguiente no provocará la oscilación de la mesa oscilante con respecto a la base 1. La fuerza centrífuga F2 que actúa en el plano P2 actuará sobre el resorte 3 provocando la oscilación de la mesa 2. La magnitud de la fuerza centrífuga se puede medir directamente, mediante captadores, o indirectamente, midiendo la amplitud de oscilación, por ejemplo usando el indicador de carátula modificado de modo que permita fijar la amplitud máxima. La amplitud se puede medir con la velocidad angular constante del rotor, pero la precisión mayor es cuando las mediciones se toman en la frecuencia de resonancia. Cualquier sistema mecánico tiene su propia frecuencia de la vibración ωpr.. Ésta es una de las propiedades del sistema mecánico. Si sobre el sistema mecánico actúa la fuerza periódica externa con la frecuencia ωext., aun no grande, el sistema mecánico empieza a vibrar y la amplitud de la vibración va a incrementar con el acercamiento de la frecuencia de vibración externa a la propia del Figura 4.28. Efecto de resonancia. La frecuencia propia de la vibración del sistema mecánico sistema mecánico y con 1. ωpr.; 2. La curva de resonancia destructiva cuando la ext . pr . el sistema mecánico frecuencia de vibración externa ωext. se acerca a la propia del entra en resonancia. Con esto la sistema mecánico en ausencia de absorción de la energía de amplitud incrementa, la vibración; 3 y 4. Las curvas de resonancia con diferente modo de absorción de la energía de vibración: 3. La teóricamente hasta el infinito resistencia por aire y 4. La absorción de la energía de (véase la curva 2 de la figura vibración por la fricción. 4.28), y el sistema mecánico puede ser destruido. La demasiado grande amplitud en la resonancia se evita si la velocidad de cambio de la frecuencia externa es muy grande que rápidamente atraviesa el punto de resonancia del sistema mecánico y el sistema mecánico no llega hasta el estado de destrucción, o por medio de la absorción de la energía mecánica (véase la curva 4 en la figura 4.28) mediante la fricción, amortiguadores etc. Este efecto en la resonancia se utiliza en el esquema de la máquina de balanceo presentada en la figura 222
4.27a. Ya que la frecuencia propia del sistema mecánico es una constante las mediciones de la amplitud de la vibración tampoco cambian. En el estudio se realizan tres ensayos y en cada uno se define la amplitud máxima de la vibración. Para obtener la magnitud de la amplitud con la mayor exactitud cada ensayo se realiza con varias tentativas, no menos de tres, y luego se calcula la amplitud promedia. En todas las tentativas de los ensayos, el rotor se pone en marcha y se acelera hasta una velocidad angular mayor que la de resonancia y se deja en el movimiento giratorio libre. Gracias a la resistencia de aire y de las fuerzas de fricción el rotor disminuye la velocidad de rotación, pero disminución de la velocidad es mucho menor que en la puesta en marcha. Cuando el movimiento giratorio del rotor pasa por el punto de la frecuencia propia del sistema mecánico la amplitud de la vibración de la mesa oscilatoria aumenta muchas veces y el indicador registra la amplitud máxima. El primer ensayo se realiza con la puesta en marcha del rotor así como es, sin ningunas modificaciones, y con esto se mide la amplitud A. En el segundo ensayo en el plano de corrección P2 a una distancia r1 con respecto al eje de giro del rotor se fija una masa complementaria m1 y con esta se mide la amplitud A*. En el tercer ensayo el plano P2 junto con la masa complementaria m1 gira a un 180° y con esto se mide la amplitud A**. En forma vectorial los resultados de los tres ensayos están presentados en la figura 4.27b. Se considera que en todos los ensayos la dependencia entre la amplitud y el desbalance A de masa mr es idéntica y tiene un factor igual a μ i ,mm/ gr m por consiguiente m ri éstos se puede presentar así: en el primer ensayo se mide la amplitud producida por el desbalance de la propia masa del rotor:
A μ m r ,
(4.162)
donde mr es el desbalance de masa del rotor transferido al plano P2; en el segundo ensayo se mide la suma vectorial de la amplitud producida por el desbalance de masa propia del rotor mr y por la masa complementaria m1:
donde
A* A A1 ,
(4.163)
A1 μ m1 r1 ,
(4.164)
223
y en la tercera prueba se mide la siguiente suma vectorial:
A** A A1 .
(4.165)
Entonces la resolución del problema se reduce a la determinación del factor μ . Este se determina si es conocido el valor de la amplitud A1. El valor y la dirección de la amplitud A1 se determina con la resolución del sistema de ecuaciones (4.163) y (4.165). Es posible resolverlo mediante polígonos vectoriales y analíticamente. Para la resolución del problema planteado mediante el polígono vectorial hay que de las ecuaciones (4.163) y (4.165) excluir el vector desconocido A1 , para éste se realiza lo siguiente. En la ecuación (4.163) se determina:
* A1 A A .
(4.166)
Al sustituir (4.166) en la ecuación (4.165) se tiene:
o
* ** A 2A A ,
(4.167)
A** A* 2 A .
(4.168)
En la figura 4.29 se ilustra la resolución de las ecuaciones (4.168) y (4.163) mediante el polígono vectorial. Resolviendo la ecuación (4.168) a escala μA se traza el segmento 2A CE 2a , mm . A través de los extremos del segmento CE se trazan dos arcos uno A A* A** ** con el radio a y el otro con el radio a . En la intersección de los arcos se A A ubica la solución de la ecuación (4.168). Resolviendo la ecuación (4.166) se determina la longitud del segmento a1. Con esto se determina la magnitud de la amplitud A1 A a1 y los ángulos γ y β de la orientación *
del vector A1 con respecto al A . Ahora se puede determinar la magnitud del factor Figura 4.29. Polígono vectorial auxiliar de amplitud para el cálculo de la masa A 1 y la magnitud del desbalance de la correctora. m1 r1 224
A . La magnitud de la masa de corrección y el punto de su aplicación se determina mediante la igualdad m r mcor . rcor . . En la mayoría de los casos se elige la magnitud de rcor. y después se determina mcor.. masa del rotor m r
El balanceo se finaliza con una o dos pruebas. La masa correctora mcor. se coloca a la distancia rcor. con respecto al centro de rotación del rotor, y se desplaza un ángulo α o con respecto a la línea de aplicación de la masa m1, luego el rotor se pone en marcha. Si la amplitud es muy grande, puede ser más grande que en las tentativas, la masa correctora gira un 180° y el rotor se pone en marcha nuevamente. Si todos los pasos fueron realizados correctamente con una de las dos posiciones de la masa correctora, la amplitud en el punto de resonancia del sistema mecánico se aproxima a cero. La resolución analítica se obtiene con el uso de los triángulos CEF y CDF . Empleando el Teorema de cósenos en el triángulo CEF , se tiene: EF 2 CF 2 CE 2 2 CF CE cos FCE .
(4.169)
Presentando los términos en la ecuación (4.169) en forma de las amplitudes correspondientes, se tiene:
A A 2 A **
2
*
2
2
2 A* 2 A cos FCE .
(4.170)
En la ecuación (4.170) se determina el ángulo FCE y, luego, en el triángulo CFD se determina la magnitud de A1:
A1
2
A* A 2 A* A cos FCE . 2
2
(4.171)
Después, en el mismo triángulo CFD se determina el ángulo γ como: A 2 A 2 A* 2 1 . arccos 2 A1 A
(4.172)
o
Luego se determina el ángulo 180 . Al realizar el balanceo del rotor en un plano de corrección, al rotor se da vuelta a 180 0 para realizar el balanceo en el otro plano.
225
4.4.3 Balanceo de mecanismos articulados En comparación con el rotor, el mecanismo articulado es un sistema de eslabones con la variable configuración geométrica, los centros de gravedad Gi cambian su posición con respecto a la base y trazan curvas cerradas, las distancias ri de los centros de gravedad en el sistema de coordenadas plana varían. La tarea principal del balanceo de mecanismos articulados consiste en la excepción o disminución de las acciones dinámicas sobre la base. En el capítulo 4.4.2 se muestra que la acción de todas las fuerzas que actúan sobre los in. elementos del rotor se puede sustituir por el vector principal de la fuerza de inercia presentada en (4.160) y el momento de par de las fuerzas de inercia M in . presentada mediante (4.161). Lo mismo es válido para un mecanismo articulado plano. Mediante el ejemplo mostrado en la figura 4.30 se examina el sistema de las fuerzas externas que actúan sobre los eslabones del mecanismo de balancín. El mecanismo tiene dos soportes A y D, en que actúa un grupo de las fuerzas F21, que actúa sobre la manivela 2 como la reacción de la base y F41 que actúa sobre el balancín 4. Otro grupo de las fuerzas externas son las fuerzas de gravedad Wi que están aplicadas en los centros de gravedad de los eslabones. Con todo eso en el centro de gravedad del mecanismo G está aplicada la fuerza de gravedad de todo el mecanismo WG Wi . A las fuerzas externas también pertenecen las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas del resistencia útil y las fuerzas y los momentos de par de las fuerzas motrices que están sumados en F y ( M ), en la figura 4.30 convencionalmente no se muestran. Al aplicar a los eslabones las fuerzas de inercia Fi in . y los momentos de par de las fuerzas de inercia M iin. , Figura 4.30. Esquema para la determinación de las coordenadas del centro de gravedad del mecanismo de trasladarlas al centro de gravedad del balancín. mecanismo y sumarlas, se recibe:
in . n in . in . in . in . Φ Fi F2 F3 F4 . i 1
in . El vector sumatorio Φ es el vector principal de la fuerza de inercia. 226
(4.173)
Entonces la ecuación de equilibrio de las fuerzas que actúan sobre el mecanismo será la siguiente: in . F 1S + F + W G + 0 ,
(4.174)
donde se tiene: in . = F 1S + F + W G .
(4.175)
En la ecuación (4.175) F1S es la fuerza resultante de acción de la base sobre el sistema de los eslabones móviles.
* ** Es más práctico descomponer la fuerza F1S presentándola así F1S F1S F1S , * donde F1S sería la componente que provoca la fuerza de gravedad, las fuerzas de ** resistencia útil y la fuerza motriz y la componente F1S sería la que provocan las fuerzas de inercia. Entonces, la igualdad (4.175) se puede dividir en dos * ** in . F F W 0 y F G 1S 1S 0 . La primera igualdad no depende de la velocidad o del movimiento acelerado de los eslabones y, como regla, es pequeña. La segunda es proporcional a ω2 y puede ser muy grande. A través de los soportes esta fuerza actúa sobre la base provocando vibraciones. Lo mismo ocurre con la acción del momento de par de las fuerzas de inercia principal M in . . Así pues, se puede concluir, que sobre el mecanismo actúa la fuerza de inercia principal in . in . y el momento de par de las fuerzas de inercia principal M in . . Si 0 y Min . 0 , se considera que el mecanismo está desbalanceado estáticamente y dinámicamente. Para que el mecanismo esté completamente balanceado se necesita que sean satisfechas las dos condiciones:
y
in . 0
(4.176)
Min . 0 .
(4.177)
El cumplimiento de ambas constituye un problema muy complicado de las que más difícil es la realización del balanceo dinámico, es decir, el cumplimiento de la igualdad (4.177). Por eso en la mayoría de los casos se realiza solamente el balanceo estático, es decir, el cumplimiento de igualdad (4.176). Pero, en muchos casos éste tampoco se puede realizar completamente. Si no se logra la realización total de la igualdad (4.176) se realiza el balanceo estático parcial. Aquí no se han presentado los métodos exactos, 227
ni aproximados del balanceo total de los mecanismos articulados sino, como un ejemplo, los métodos del balanceo estático de mecanismos más conocidos. Un mecanismo articulado se somete a las leyes Newton así como el cuerpo sólido. Ya que para éste todas las fuerzas aplicadas en los eslabones pueden ser sustituidas por una sumatoria aplicada en el centro de gravedad del mecanismo, entonces la primera y in . segunda leyes de Newton se expresan mediante la siguiente relación: m aG . Así pues, para que la ecuación (4.176) sea realizada, la aceleración del centro de gravedad aG debe ser igual a cero. Ésta condición se logra en el caso cuando el centro de gravedad del sistema mecánico tiene la velocidad constante vG const o igual a cero. Así pues, primeramente es necesario determinar las coordenadas del centro de gravedad del mecanismo. La determinación de las coordenadas del centro de gravedad se basa en el Teorema50 que se fórmula de tal modo: el centro de gravedad de un mecanismo determina el vector r G , igual a la suma geométrica de los vectores h i de los puntos principales de los eslabones, constantes por módulo y dirigidos paralelamente a los ejes de los eslabones correspondientes. El modulo del vector principal se determina por la fórmula:
hi
mi LGi mi 1 mi 2 ... mn Li n
m i 1
,
(4.178)
i
donde mi es la masa del eslabón i; Li es la longitud del mismo eslabón; n es el número de los eslabones en el mecanismo; LGi es la distancia desde el origen del eslabón hasta el centro de gravedad. Entonces para el mecanismo presentado en la figura 4.31 el centro de gravedad se determinará mediante:
rG h 2 h 3 h 4 ,
(4.179)
m2 LG 2 m3 m4 L2 m L m4 L3 m L , h3 3 G 3 , h4 4 G 4 y m m2 m3 m4 . m m m La suma (4.179) en la figura 4.31 se muestra en líneas discontinuas.
donde h2
50
V.A.Shepetilnikov “Balanceo de Mecanismos”, Moscú, Mashinostroenie, 1982, (p.p. 13…16).
228
Para mostrar uno de los métodos del balanceo estático se elige el mecanismo de biela manivela-corredera presentado en la figura 4.31, en que el vector r G es variable y el centro de gravedad G traza la trayectoria, que se puede determinar mediante la ecuación igual a la (4.179). Para este mecanismo el vector principal se determina por la fórmula igual a la (4.175), sus componentes tienen forma idéntica por eso aquí no se presentan. En la ecuación (4.179) el término h4 es constante tanto por magnitud como por dirección por eso no ejerce ninguna influencia a la variación de r G . Por consiguiente para que el mecanismo sea estáticamente balanceado debe ser resuelta la siguiente igualdad: (4.180) h 2 h3 0 , en que debe la ser excluida igualdad h 2 h 3 , ya que estos vectores en general no son paralelos. Resulta que para que el mecanismo sea completamente estáticamente balanceado Figura 4.31. Esquema para la determinación del centro de deben ser resueltas dos siguientes igualdades: gravedad del mecanismo de biela-manivela-corredera.
y
h2 0
(4.181)
h3 0 ,
(4.182)
m2 rG 2 m3 m4 L2
(4.183)
m3 LG 3 m4 L3 .
(4.184)
en las cuales se tiene:
y
Para que se realicen las igualdades (4.183) y (4.184) las magnitudes de rG2 y LG3 deben ser negativas, es decir:
y
rG 2 0
(4.185)
lG 3 0 .
(4.186)
229
En la práctica las desigualdades (4.186) y (4.187) se realizan cuando se emplean contrapesos, así como se muestra en la figura 4.32. Pero, como se observa en la figura 4.32, la construcción real del mecanismo así como éste resulta muy complicada, por eso en la mayoría de los casos el balanceo estático completo se sustituye por el parcial. Se pueden emplearse varios modos de la resolución, pero aquí se presenta uno más práctico en que los módulos h2 y h3 en la igualdad (4.173) se eligen de modo paraque el
punto c del vector h3 esté sobre el eje Ax que está Figura 4.32. Esquema de balanceo estático completo del presentado en la figura mecanismo de biela-manivela-corredera. 4.33. Entonces, la condición buscada será la semejanza geométrica de los triángulos ABC y Abc , que no cambia en el proceso del movimiento. En éste caso el punto c del vector h3 siempre se ubicará en el eje Ax. La traslación completa del punto C del eslabón 4 es igual a 2LAB y, según la semejanza de los triángulos, la traslación del
punto c del vector h3 , igualmente del centro de gravedad del mecanismo, es igual a 2h2 . Por eso, para que la amplitud de la Figura 4.33. Esquema de balanceo estático parcial del mecanismo de vibración sea menor, es biela-manivela-corredera. .
necesario obtener menor módulo del vector h2 .
En las semejanzas de los triángulos ABC y Abc se tiene: h2 h 3 , L AB L BC
donde al tomar en cuenta las correlaciones (4.178) resulta:
230
(4.187)
LG 2
m 3 L2 L3 LG 3 . m 2 L3
(4.188)
La ecuación (4.188) es la dependencia analítica entre magnitudes de las masas y magnitudes geométricas de los eslabones 2 y 3 del mecanismo. El centro de gravedad de éste realiza el movimiento oscilatorio a lo largo del eje Ax. Entonces, eligiendo la masa m2 como la suma de la masa del eslabón y la masa correctora, se puede determinar la ubicación del centro de gravedad necesario del eslabón 2. En la ecuación (4.188) se observa, que si LG3 L3 , es decir, si el centro de gravedad del eslabón 3 se encuentra entre el punto B y el C, entonces, la disposición del centro de gravedad del eslabón 2 debe estar fuera de éste, es decir LG2 debe ser negativo. La línea de acción del vector
in .
principal atraviesa el punto A, que es favorable en la disminución del momento de par de las fuerzas de inercia principal M in . , por eso este modo del balanceo se emplea en el campo automotriz. La ecuación (4.188) permite otra solución, cuando LG2 0 , entonces debe ser LG3 L3 y el centro de gravedad del eslabón 3 debe estar fuera de éste, fuera del punto C. Matemáticamente esta solución es correcta pero prácticamente no puede ser realizada. Hay que complementar, que antes fue mostrado el modo del balanceo del mecanismo con eslabones que se encuentran en un solo plano. En realidad los eslabones se ubican en planos paralelos, por eso en el mecanismo estáticamente bien balanceado aparece el momento de par de las fuerzas de inercia en el plano perpendicular al plano (x, y). Para excluir o disminuir éste en la práctica se emplea los métodos siguientes:
Figura 4.34. Esquema de balanceo parcial del mecanismo del motor de combustión interna.
1. Se disminuye la distancia entre los planos, que disminuye la magnitud del momento de par de las fuerzas. 2. Se construye el mecanismo con la simetría de espejo así como se muestra en la figura 4.34.
231
PROBLEMAS 4 Datos comunes: 1. Peso de los eslabones móviles se determinan por la fórmula W L , donde es el peso unitario del eslabón y L es la longitud del mismo. Considerar 250, N m . 2. Peso de la corredera en la figura P4.2 se elige como W ´ 0.4W , donde W es el peso del eslabón móvil con que la corredera se une mediante el par cinemático de rotación. En los mecanismos de colisa el peso de la corredera no se toma en cuenta. 3. Centro de gravedad de la manivela se elige en el centro de rotación y el centro de gravedad de los otros eslabones está indicado en los esquemas. 4. Momentos de inercia de los eslabones móviles con respecto a los ejes que atraviesan el centro de 2 2 gravedad de los mismos se toma como JG 0.175mL , kgm , donde m es la masa del eslabón en kg y L es su longitud en metros. Problema 4.1. Mediante los polígonos vectoriales determinar la fuerza de compensación y las fuerzas que actúan en los pares cinemáticos del mecanismo presentado en la figura P4.1. Las longitudes de los eslabones se toman en el problema 2.1 y los datos cinemáticos en el problema 3.1. La fuerza de resistencia útil es de Fres.ut. 2000,N. Problema 4.2. Empleando el método de Zhukovskiy determinar la fuerza de compensación.
Figura P4.1.
Comparar los resultados. Problema 4.3. Mediante los polígonos vectoriales determinar la fuerza de compensación y las fuerzas que actúan en los pares cinemáticos del mecanismo presentado en la figura P4.2. Las longitudes de los eslabones se toman en el problema 2.2 y los datos cinemáticos en el problema 3.2. La fuerza de resistencia útil es de Fres.ut. 4000,N.
Figura P4.2.
Problema 4.4. Empleando el método de Zhucovskiy determinar la fuerza de compensación. Comparar los resultados. Problema 4.5. Mediante los polígonos vectoriales determinar la fuerza de compensación y las fuerzas que actúan en los pares cinemáticos del mecanismo presentado en la figura P4.3. 232
Las longitudes de los eslabones se toman en el problema 2.3 y los datos cinemáticos del problema 3.3. Mres.ut. 700,Nm. Problema 4.6. Empleando el método de Zhucovskiy determinar la fuerza de compensación. Comparar los resultados. Problema 4.7. Mediante los polígonos vectoriales determinar la fuerza de compensación y las fuerzas que actúan en los pares cinemáticos del mecanismo presentado en la figura P4.4.
Figura P4.3.
Las longitudes de los eslabones se toman en el problema 2.4 y los datos cinemáticos en el problema 3.4. Fres.ut. 300,N. Problema 4.8. Empleando el método de Zhukovskiy determinar la fuerza de compensación. Comparar los resultados.
Figura P4.4.
233
Parte II
ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS CON PARES CINEMATICOS SUPERIORES En los mecanismos con pares cinemáticos superiores la transmisión de la energía mecánica se realiza mediante los pares cinemáticos en que los elementos del par cinemático son líneas o puntos. Estos mecanismos por la estructura son muy simples, constan de tres eslabones: la base y dos eslabones móviles. La superioridad de éstos, con respecto a los mecanismos articulados, es la capacidad de realizar cualquier ley del movimiento del eslabón de salida con la determinada ley del movimiento eslabón de entrada. Mediante estos mecanismos se realizan: la transformación del movimiento de rotación uniforme en el lineal alternativo u oscilante (mecanismos de levas), la transformación del movimiento de rotación uniforme en el movimiento de rotación con la velocidad varíale (transmisiones de engranes) o la transformación del movimiento de rotación uniforme en el intermitente (mecanismos de Ginebra, mecanismos de trinquete), etc. Tal variedad de estos mecanismos les permiten ocupar un lugar dominante en la manufactura.
234
Capítulo 5 TEORÍA COMÚN DE ENGRANAJES 5.1
Conocimientos comunes sobre los mecanismos con pares cinemáticos superiores
Cualquier sistema mecánico destinado para la transmisión de la energía mecánica mediante un par cinemático superior se denomina engranaje51. El engranaje transmite el movimiento mediante la forma curvilínea de uno de los eslabones o mediante la fuerza de fricción. Las superficies que interaccionan directamente entre sí en el par cinemático superior, asegurando la ley de movimiento requerida, se denominan conjugadas52. A pesar de que cualquier par cinemático superior es posible sustituir por una cadena cinemática con pares cinemáticos inferiores, véase el capítulo 1.2.5, para la síntesis y el análisis de mecanismos con pares cinemáticos superiores es más efectivo el uso de métodos especiales destinados para la investigación de engranajes concretos. Seguidamente se muestran las nociones básicas que se utilizan para la investigación de éstos. 5.1.1 Transmisión del movimiento mediante un par cinemático superior Para la transmisión del movimiento a través de un par cinemático superior se emplean mecanismos planos y espaciales. El mecanismo espacial, presentado en las figuras 5.1a y 5.1b, muestra un caso general de la transmisión del movimiento giratorio. Esta transferencia se realiza a través de la interacción directa de los eslabones 1 y 2 con ejes I y II que se cruzan. Los eslabones mantienen contacto en una línea recta k k . La distancia más corta entre los ejes I y II se denomina entreeje y se marca con la letra a. En la figura 5.1b las velocidades angulares ω1 y ω2 de los eslabones se presentan en forma de vectores. El ángulo δ0 entre ellos se llama ángulo entre los ejes. Sin embargo, en los cálculos del análisis y de la síntesis de los mecanismos con pares cinemáticos superiores con mayor frecuencia se usa el ángulo complementario 180 o 0 que a menudo se nombra igualmente ángulo entre los ejes. Para este mecanismo el movimiento relativo es de tornillo. Esto se puede justificar con el empleo del método de Willis del movimiento opuesto. Al proporcionar a todo el mecanismo el movimiento giratorio con la velocidad angular igual a la del eslabón 2, que en las figuras 5.1a y 5.1b se considera como el seguidor, y con el sentido opuesto el 51
G.H.Nayler. 1999. Diccionariao Moderno de Ingeniería Mecánica. Edición Bilingüe. Tomo I. Primera edición. Prentice Hall, México. (p.p. 92...98). 52 A.F.Kraynev. 1981. Diccionario-Prontuario de Mecanismos. “Mashinostroenie”, Moscú. Rusia. (p. 335).
235
eslabón 2 se pone inmóvil y la línea de contacto k k se convierte en el eje instantáneo del movimiento del eslabón 1 con respecto al 2. Para que los eslabones mantengan la misma línea de contacto, el eslabón 1 junto con el movimiento giratorio con respecto al eje k k debe realizar el movimiento de deslizamiento paralelo al eje II. La suma de estos dos movimientos es de tornillo. En el transcurso del movimiento del eslabón 1 con respecto al 2, el eje instantáneo cambia su posición con respecto a eslabón 2, generando una superficie reglada que recibe el nombre de axóide (viene del inglés axis - eje). Lo mismo se recibe con el movimiento del eslabón 2 con respecto al 1. Tal presentación del movimiento de un eslabón se debe al matemático y general francés Jean-Víctor Poncelet (1788-1867) por eso el movimiento continuo de un eslabón con respecto al otro a veces lo nombran el movimiento de Poncelet. Para los mecanismos de ejes cruzados los axóides son hiperboloides de una hoja.
a)
Así pues, la velocidad del punto O1 con respecto al O2 en el sistema de coordenadas del eslabón 2 se presentará mediante la siguiente ecuación vectorial: v12 v des . v gir . ,
(5.1)
b) donde v des. es la velocidad del deslizamiento del c) eslabón 1 en el movimiento con respecto al 2, que se considera como la velocidad de traslación, y v gir . es la velocidad relativa del Figura 5.1. Correlaciones cinemáticas en los engranajes espaciales. punto O1 con respecto al O2 en el movimiento giratorio. En la figura 5.1c se ilustra el polígono vectorial de las velocidades como la solución de la ecuación (5.1). En la síntesis de los engranajes la ley del movimiento de las superficies conjugadas es dada que establece la correlación entre los vectores 1 y 2 . Entonces, si es dado un solo vector se considera conocido el otro. Esto permite determinar los vectores de la velocidad angular relativa 12 21 mediante:
236
o
2 1 21 ,
(5.2)
12 1 2 .
(5.3)
En general los vectores 1 y 2 pueden ser paralelos y cruzados. Módulo del vector velocidad relativa 21 o 12 se determina en la figura 5.1b mediante el teorema de cósenos: 21 12 22 2 1 2 cos 0 12 22 2 1 2 cos .
(5.4)
Los parámetros cinemáticos de los eslabones del mecanismo se relacionan con los geométricos del siguiente modo. El eje instantáneo de tornillo k k interseca la línea O1O2 en el punto P. Al trazar a través de este punto el plano J J perpendicularmente al eje instantáneo k k resultará que las proyecciones de los vectores 1 y 2 sobre este plano serán iguales y la proyección del 21 será igual a cero. Por eso:
r 1 1 cos 1 r 2 2 cos 2 .
(5.5)
en que resulta:
u 1,2
1 r2 cos 2 . 2 r1 cos 1
(5.6)
La razón (5.6) en Teoría de Engranajes se denomina relación de transmisión. En el análisis y la síntesis de mecanismos es importante conocer la dirección de la línea del tornillo. Esta se determina mediante la ecuación (5.6) que, después de ciertas modificaciones, se convierte en:
tan 1
r 1 u 1,2 r 2 sen
1 . tan
(5.7)
Hay que notar, que en la industria el engranaje con los eslabones hechos en forma de hiperboloide de una hoja prácticamente no se emplea. En esta forma se emplean la zona la central b y la c. La zona b se utiliza para la formación de los engranajes de tornillo sin fin, si el número de dientes del eslabón de entrada es de 1 a 4, o de los engranajes helicoidales de ejes paralelos y cruzados. Las zonas c la ocupan los engranajes del tipo helicoidal (en inglés spiral bevel gear) presentado en la figura 5.2, que se emplean en las transmisiones de automotriz. 237
En la figura 5.3 está presentado el esquema de un engranaje con las flechas I y II paralelas unidas mediante las ruedas dentadas 1 y 2 que están dispuestas en el plano perpendicular al plano de las flechas. Las ruedas transmiten el movimiento giratorio con las velocidades angulares 1 y 2 respectivamente. Para este mecanismo la velocidad Figura 5.2. Engranaje helicoidal (a de deslizamiento a lo largo del eje instantáneo es spiral bevel gear). Reproducido de igual a cero, entonces el movimiento de tornillo se http://en.wikipedia.org/wiki/Spiral_bevel_gear . transforma en el giratorio simple. Los ejes instantáneos toman la dirección paralela a los ejes de las flechas I y II por eso los axóides de los eslabones son cilindros de radio constante o variable. Si el sentido de las velocidades angulares de los eslabones es opuesto entonces los cilindros se conectan por fuera, tal engranaje se nombra externo. Si las velocidades angulares de los eslabones tienen igual sentido, los cilindros se conectan por dentro de uno de ellos, tal engranaje se nombra interno (en la figura no está presentado). Ya que las ruedas, en el caso general pueden ser no circulares la relación de transmisión puede ser variable. Si en el movimiento estable el eslabón 1 tiene la velocidad angular constante, la relación de transmisión Figura 5.3. Correlaciones instantánea se presentará en función del ángulo de giro cinemáticas en los engranajes del mismo: planos. u 1,2
1 d 1 dt f 1 . 2 d 2 dt
(5.8)
En el plano perpendicular al eje instantáneo, las velocidades v1 y v2 de los puntos P1 y P2 serán iguales, por eso la velocidad relativa será igual a cero, con todo eso v P1 v P 2 , entonces 1 r1 2 r2 y: u 1,2
1 r 2 , 2 r1
(5.9)
donde el signo (+) se relaciona con el engranaje interno y (-) con el externo. Así pues el eje instantáneo divide el entreeje a en segmentos inversamente proporcionales. En Teoría de Mecanismos y Máquinas el punto P, que se ubica en el eje instantáneo, se denomina polo de engranaje. 238
En la figura 5.4 se muestra el engranaje cónico en que los axóides son conos con los ángulos δ1 y δ2 y los ejes de los engranes 1 y 2 se intersecan en el punto O. Los ángulos δ1 y δ2 determinan la posición del eje instantáneo de los eslabones. La relación entre los parámetros geométricos y los cinemáticos de los eslabones es la siguiente: 1 sen 1 2 sen 2 ,
(5.10)
1 sen 2 . 2 sen 1
(5.11)
en que se tiene: u 1,2
Figura 5.4. Correlaciones geométricas y cinemáticas en los engranajes cónicos.
5.1.2 Teorema general de engranajes El teorema general de engranajes establece la relación entre la geometría de las superficies conjugadas y la ley del movimiento de los eslabones. En la figura 5.5 se muestra la transmisión del movimiento de la superficie F1 a la F2 que están en contacto en el punto K. Con esto el punto K1, de la superficie F1, tiene la velocidad vK 1 y el punto K2 de la F2 obtiene la velocidad vK 2 . Para determinar la velocidad vK 2 se deduce la siguiente ecuación vectorial: v K 2 v K1 v K 2K1 ,
(5.12)
donde el vector v K 1 es conocido por magnitud y dirección y el v K 2 solamente por dirección. La línea trazada tangente a la superficie F1 en el punto K1 también es tangente a la F2 en el punto K2. La línea n n trazada a través del punto K perpendicularmente a la define la normal Figura 5.5. Las superficies de los común de éstas. eslabones en el par cinemático no pueden separarse, ni intersecarse. La velocidad v K 2 se determina con la toma en cuenta de las condiciones de la obtención del par cinemático superior. Ya que lo forman las superficies de los eslabones absolutamente duros, entonces éstas pueden girar una sobre la otra, deslizarse una con respecto a otra, pero no pueden apartarse, ni intersecarse. Con esto se llega a una conclusión que las proyecciones de las velocidades v K 1 y v K 2 sobre 239
la línea n n son iguales y que la velocidad relativa v K 2 K 1 está en la línea que se expresa mediante:
n v K 2 K1 0 .
(5.13)
La expresión (5.13) en Teoría de Mecanismos y Máquinas se denomina el teorema general de engranajes y se fórmula del siguiente modo: en el punto de contacto de las superficies conjugadas el vector velocidad relativo es perpendicular a la normal común. Al tomar en cuenta (5.12) la velocidad relativa v K 2 K 1 se halla mediante la siguiente ecuación vectorial:
v K 2K1 v K 2 v K1 .
(5.14)
Ésta se determina mediante el polígono vectorial presentado en la figura 5.5. 5.1.3 Teorema de Willis sobre la relación de transmisión instantánea Teorema de Willis53 es el principal de engranajes para los mecanismos planos. Para la prueba del teorema se elige un mecanismo simple compuesto por la base y dos eslabones móviles 1 y 2 presentados en la figura 5.6. Los eslabones se unen con la base mediante los pares cinemáticos de rotación O1 y O2 y transmiten el movimiento giratorio de uno al otro mediante el contacto directo de las superficies conjugadas F1 y F2. En el punto de contacto K están ubicados los puntos K1 y K2 que corresponden a las superficies F1 y F2 respectivamente. Los radio vectores r K 1 y r K 2 en la figura 5.6 marcan las distancias de los puntos K1 y K2 desde los centros de rotación O1 y O2 respectivamente. A través del punto de contacto K se traza la línea tangente a las superficies y perpendicularmente a la normal común n n . Sobre la normal n n desde los puntos O1 y O2 se trazan perpendiculares O1N1 y O2N2. Al aplicar los principios del teorema general de engranajes se puede concluir que todos los puntos de contacto están en la normal n n entre los puntos N1 y N2. Si suponer que los puntos de contacto pueden estar fuera del segmento N1N2 resultará que las superficies F1 y F2 no tocan uno a otro sino intersecan que es imposible para los eslabones rígidos y duros. La normal común n n cruza la línea O1O2 en el punto en el punto de contacto K las P. Entonces proyecciones de los vectores velocidades v K 1 y v K 2 de los puntos K1 y K2 sobre la 53
Willis R. 1841. Principles of mechanism. London, Inglaterra.
240
normal común n n son iguales. La proyección del vector velocidad v K1 sobre la n n se expresa como: vKn 1 1 LO1N 1 y la de v K 2 como: vKn 2 2 LO 2 N 2 . Puesto que n n v K 1 v K 2 , entonces, 1 LO1N 1 2 LO 2 N 2 , donde resulta que:
u 1,2
1 L O2N 2 . 2 LO1N1
(5.15)
Al presentar LO1N 1 LO1P cos y LO 2 N 2 LO 2 P cos se tiene:
u 1,2
1 L O2P . 2 LO1P
(5.16)
El teorema de Willis se fórmula del siguiente modo: la normal común n n trazada a través del punto de contacto de las superficies del par cinemático superior, divide el entreeje a en segmentos inversamente proporcionales a las velocidades angulares. El punto P de intersección de la normal n n con el entreeje O1O2 se denomina polo de engranaje, las curvas a a y b b que en el movimiento giratorio de los eslabones son el lugar geométrico de los polos P en los sistemas de coordenadas correspondientes se nombran como polóides. Al proyectar los vectores v K 1 y v K 2 sobre la tangente se reciben los vectores v K1 y v K 2 que determinan las velocidades del movimiento del punto de contacto K sobre las superficies F1 y F2 respectivamente. La diferencia entre éstas v rel . v K 2 v K 1 determina la velocidad del movimiento relativo de una superficie con respecto a la otra.
Figura 5.6. La normal común divide el entre eje en segmentos inversamente proporcionales a las velocidades angulares.
La fórmula (5.16) fue obtenida para el engranaje externo, es decir, para el engranaje con el opuesto sentido del movimiento giratorio de los eslabones en que el polo del engranaje P está entre los centros O1 y O2. Para el engranaje interno los eslabones tienen igual sentido del movimiento giratorio y el polo se ubica fuera del entreeje. En este caso la fórmula (5.16) adquiere el signo positivo. 241
5.1.4 Velocidad de deslizamiento en el par cinemático superior Para todos los mecanismos, que sea con pares cinemáticos superiores o inferiores, es característico que la transmisión del movimiento de un eslabón al otro se realiza con el deslizamiento mutuo de los elementos de los pares cinemáticos. Del valor de éste depende la rapidez del desgaste de las superficies que están en contacto y las pérdidas de la energía mecánica. En seguida se analiza la influencia de la velocidad de deslizamiento sobre el trabajo del mecanismo. La rapidez del desgaste depende de las condiciones de trabajo del mecanismo, de la temperatura y de las condiciones de lubricación. Debido a la pérdida de la energía mecánica el rendimiento de todos los mecanismos es menos que 1. Así pues una parte de la energía mecánica realiza el trabajo útil y la otra, que habitualmente es menor que la primera, el trabajo perdido que se transforma en la energía calorífica. Sin embargo a veces el trabajo perdido de un mecanismo es tan grande que se necesita disipar el calor producido mediante mecanismos adicionales ya que el calor modifica las condiciones de trabajo del mecanismo. Para un mecanismo abierto, no aislado del medio ambiente, que trabaja en seco sin lubricante o en lubricante viscoso, se considera que las superficies en el par cinemático están sometidas al desgaste abrasivo. Para disminuir el efecto negativo de éste, los mecanismos se diseñan de modo que las velocidades de deslizamiento de los elementos de los pares cinemáticos sean menores. Los mecanismos cerrados son aislados del medio ambiente y en el caso general trabajan en un baño de lubricante. En la figura 5.7 se muestra la acción de un efecto que aparece en los pares cinemáticos de estos mecanismos en que la velocidad de deslizamiento vdes. provoca la aparición de la cuña de lubricante con el ángulo de ataque α. Ésta provocando la fuerza de sustentación forma una película delgada que separa las superficies 1 y 2. La película evita el contacto directo de las superficies y con esto disminuye el desgaste. Pero el grosor de la película del lubricante depende de la velocidad de deslizamiento, la mayor velocidad aumenta el grosor. Así pues para disminuir el desgaste en los mecanismos cerrados la velocidad de deslizamiento debe ser grande, pero hasta cierto límite que depende de la viscosidad del lubricante. Para la mayor velocidad se elige un lubricante de menor viscosidad y la menor velocidad requiere la Figura 5.7. La velocidad de deslizamiento viscosidad mayor. Por lo tanto la determinación en lubricante líquido provoca la fuerza de de la velocidad de deslizamiento juega un papel sustentación que separa las superficies muy importante tanto en la síntesis como en el conjugadas previniendo el contacto directo. análisis de los mecanismos. 242
Las superficies F1 y F2 presentadas en la figura 5.8 forman un par cinemático superior, en que, conforme al teorema general de engranajes, la velocidad relativa en el punto de contacto K es perpendicular a la normal común. En el movimiento giratorio de los eslabones, los puntos K1 y K2, que pertenecen a las superficies F1 y F2, en este momento coinciden y se mueven por la línea c c con las velocidades:
y
c v K 1 v K1 v K 1
(5.17)
c vK 2 vK 2 vK 2 ,
(5.18)
donde vK1 y vK2 son las velocidades de los puntos K1 y K2 junto con las superficies F1 y F2 respectivamente. Éstas son las de traslación y se determinan como productos vectoriales v K 1 1 r K 1 y v K 2 2 r K 2 . Los vectores v K1 y v K 2 son las velocidades del movimiento relativo, del movimiento del punto K1 sobre la superficie F1 y del K2 sobre la F2 respectivamente. Puesto que ambos eslabones forman un par cinemático superior las velocidades vKc 1 y vKc 2 son las proyecciones de las vK1 y vK2 sobre la normal común n n y, conforme al teorema general de engranajes, son Figura 5.8. La velocidad de deslizamiento iguales por magnitud. Por eso las ecuaciones en el par cinemático superior se define así: (5.17) y (5.18) se pueden presentar en forma de v K 2 K 1 v K 2 v K1 . una sola:
v K1 v K1 v K 2 v K 2 ,
(5.19)
o modificando la ecuación (5.19) se recibe: v K1 v K 2 v K 2 v K1 .
(5.20)
En la ecuación vectorial (5.20) v K 1 v K 2 es la velocidad del deslizamiento de la superficie F1 sobre la F2 en el punto de contacto K. Así pues, la velocidad del deslizamiento de la superficie F1 sobre la F2 en el punto de contacto K es igual a la resta vectorial de las velocidades absolutas de los puntos de contacto de los eslabones 1 y 2. 243
La ecuación (5.20) se puede resolver grafica o analíticamente. La resolución gráfica en forma general se muestra en la figura 5.8. Para resolverla analíticamente es necesario obtener las ecuaciones de los radios vectores r K 1 y r K 2 y diferenciarlos. Pero es más simple determinar la velocidad de deslizamiento empleando el método de Willis del movimiento opuesto54 presentado en la figura 5.9. En ésta proporcionando a todo el mecanismo el movimiento complementario con la velocidad angular igual a 1 los eslabones obtendrán las siguientes velocidades angulares: el eslabón 1 1* 1 1 0 , la base 1 y el eslabón 2
*2 2 1 . Con esto el polo P se convertirá en el centro instantáneo de giro del eslabón 2 con respecto al 1. Ya que 1* 0 entonces la velocidad v*K 1 del punto K1 resultará igual a cero y la velocidad del punto K2 obtendrá la magnitud v*K 2 L KP *2 . Puesto que el punto K1 en el movimiento opuesto es inmóvil, entonces la velocidad v*K 2 es la de deslizamiento. Definitivamente ésta se expresa Figura 5.9. El diagrama mediante: que ilustra el método de
vdes. vK 2 K 1 LKP 2 1 ,
Willis para la determinación (5.21) de la velocidad de deslizamiento.
en que el signo (+) se aplica a los engranajes externos y (-) a los internos. Analizando la fórmula (5.21) se puede llegar a una conclusión que la velocidad de deslizamiento en el polo de engranaje es igual a cero ya que LKP es igual a cero. La igualdad a cero de la velocidad de deslizamiento en el polo de engranaje juega un papel negativo en el trabajo de los engranajes. Con la nula velocidad de deslizamiento se destruye la película del lubricante y las superficies tocan directamente. En el polo de engranaje la velocidad de deslizamiento cambia el sentido es lo que cambia el sentido de la fuerza de fricción. Cambio del sentido de la fuerza de fricción provoca la fatiga del material del engranaje en el polo. Con esto la superficie se destruye en forma de desprendimiento de las partículas menudas que posteriormente lleva al desgaste abrasivo. En la práctica de ingeniería mecánica este efecto se conoce como picadura o pitting (en inglés pitting corrosion que es el desgaste superficial). Por esta razón en 54
Teoría de Mecanismos y Máquinas. 1933. Bajo la redacción del Dr. V.A.Gavrilenko. “Vischaya Shkola”, Moskú, Rusia, (p.p. 145 - 146).
244
Diseño de Máquinas cálculo de los engranajes por contacto se realiza para el polo de engranaje. En los cálculos con la mayor frecuencia no se usa la velocidad de deslizamiento, sino el factor de deslizamiento, que es la razón de la velocidad de deslizamiento sobre la velocidad del movimiento del punto de contacto sobre la superficie. Entonces los factores de deslizamiento se determinarán como:
y
K1
vK 2 K 1 vK 1
(5.22)
K 2
vK 2 K 1 . vK 2
(5.23)
5.1.5 Nomenclaturas angulares en los mecanismos con pares cinemáticos superiores El ángulo principal de un engranaje es el ángulo de engranaje que en la figura 5.10 se marca mediante el símbolo α. Éste se mide entre la normal común n n y la línea perpendicular a la entreeje O1O2. El ángulo de engranaje numéricamente es igual al ángulo entre los segmentos O1N1 y O2N2 trazados perpendicularmente a la normal n n y la línea O1O2. En el proceso de la interacción de los eslabones la fuerza que actúa en el par cinemático superior está sobre la normal común n n . Angulo entre el vector fuerza y el vector velocidad del punto de aplicación de ésta es el ángulo de presión. Ya que vK1 es la velocidad del punto K1 y v K2 es la del K2 entonces el ángulo entre el vector v K 1 y la normal n n es el ángulo de presión en el punto de contacto K para el eslabón 1 y el ángulo entre el vector v K 2 y la misma normal será el ángulo de presión en el mismo punto K para el eslabón 2 que se marcan como αK1 y αK2 respectivamente. Así pues en el polo P el ángulo de presión tanto para el punto K1 como para el K2 será igual a α, por consiguiente en Diseño de Máquinas este ángulo se Figura 5.10. Presentación gráfica de considera como ángulo de presión de engranaje que ángulos principales en los mecanismos se elige para los cálculos de engranajes omitiendo de pares cinemáticos superiores. 245
otros puntos de contacto. Angulo agudo entre el radio vector r K y la tangente trazada a través del punto de contacto K también es igual al ángulo de presión en el punto K ya que la tangente , como se observa en la figura 5.11, es paralela al segmento ON.
En los cálculos a veces no se usa el ángulo de presión, sino el ángulo de transmisión. Éste es el ángulo agudo entre la normal n n y los radios vectores r K 1 y r K 2 de los eslabones. Por ejemplo, en la figura 5.10 el ángulo O1KN1 es el ángulo de transmisión para el eslabón 1 y O2 KN 2 para el eslabón 2. La determinación de los ángulos presentados tiene mucha importancia en el diseño mecánico ya que con Figura 5.11. El ángulo αK tiene el esto se determinan las condiciones de la transmisión de nombre de ángulo de presión del elemento F en el punto K. las fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas. 5.2 Métodos comunes en el análisis y la síntesis de los mecanismos con pares cinemáticos superiores Para el análisis y la síntesis de mecanismos con pares cinemáticos superiores, así como para los mecanismos con pares cinemáticos inferiores, se usan métodos gráficos y analíticos. En el presente los métodos gráficos se muestran primeros ya que aclaran mucho los analíticos. 5.2.1 Método gráfico de la síntesis de engranajes La tarea para la síntesis de un mecanismo se plantea de tal modo. Determinar la configuración del perfil de un eslabón móvil si son conocidos: perfil del otro, conjugado al primero, y función cinemática del movimiento relativo de los eslabones. Para este fin se pueden emplear diferentes métodos gráficos. En seguida se presenta uno de ellos a base del que está el método de F. Reuleaux55.
55
F. Reuleaux (1829-1905), es un científico alemán. F. Reuleaux fue uno de los pioneros en elaboración de la teoría de estructura de mecanismos, resolvió algunos problemas de la síntesis cinemática de mecanismos.
246
Datos para la construcción se eligen siguientes: configuración del perfil F1 del eslabón 1 y del polóide a a y la ley del movimiento del eslabón 2, presentado en la figura 5.12a en forma de un gráfico. En la figura 5.12b se ilustra la construcción gráfica del perfil F2 del eslabón 2 conjugado al F1 del eslabón 1 y del polóide b b de éste, necesario para la realización de la ley del movimiento presentada en la figura 5.12a. En los pares cinemáticos de rotación O1 y O2, que unen los eslabones 1 y 2 con la base, se colocan los sistemas de coordenadas inmóviles S1 x1, y1 y
S2 x2 , y2 y móviles S1* x1* , y1*
y
S 2* x2* , y2* . Con esto el sistema de
a)
coordenadas S1* es móvil con respecto al S1 y S 2* es móvil con respecto al S2. Todos los elementos del eslabón 1, el perfil F1 y el polóide a a , se fijan en el sistema de coordenadas móvil S1* y todos los elementos del eslabón 2 (todavía desconocidos) se fijan en el sistema de coordenadas móvil S 2* . La posición de los eslabones, cuando el sistema de coordenadas S1* coincide con el S1 y el S 2* con el S2, se considera como la de inicio. En esta posición el punto de intersección del polóide a a con la línea O1O2 se marca con la letra P. A través de éste se traza la normal n n al perfil F1. Teniendo en cuenta el b) teorema de Willis sobre la relación de transmisión instantánea se considera que Figura 5.12. Método de F. Reuleaux de la el punto P es el polo de engranaje y la construcción gráfica del perfil F2 conjugado al F1. normal n n es la común que pertenece tanto al perfil F1 como al F2. Por consiguiente el punto K de la intersección de la normal n n con el perfil F1 será de contacto de ambos perfiles, por eso el punto K también pertenece al perfil F2. Los otros puntos del F2 se determinan del siguiente modo.
247
El sistema de coordenadas S1* gira un ángulo 1 junto con éste gira el perfil F1 y el polóide a a . En la figura 5.12b éstos, en la nueva posición, están marcados como F1* y a* a* . En la intersección del polóide a* a* con la línea O1O2 se marca la nueva posición del polo con la letra P* y a través de éste se traza la normal n* n* al perfil F1* . El punto de intersección de la n* n* con el perfil F1* se marca con la letra K*. Tomando en cuenta el diagrama del desplazamiento presentado en la figura 5.12a al girar el sistema de coordenadas S1* un ángulo 1 el sistema de coordenadas S 2* girará un ángulo 2 . Con todo eso el punto K* y el polo P* que pertenecen al perfil F1* también pertenecerán al perfil F2* . En esta posición el punto K* y la normal n* n* se fijan en el sistema de coordenadas S 2* . Al girar el sistema de coordenadas S 2* hacia atrás, hasta la coincidencia con la posición de inicio S2, los elementos fijados obtendrán las siguientes posiciones: el polo P* la posición P1, la normal n* n* la posición n1 n1 y el punto K* obtendrá la posición K 21 . Al unir todos los puntos K 2i mediante una curva suave se construye el perfil F2 y al unir todos los puntos Pi se construye el polóide del eslabón 2. Otro método, conocido como el método de Willis del movimiento opuesto, será presentado en el capítulo 6.3.3 por eso aquí no se muestra. 5.2.2 Método matricial Como es conocido todos los mecanismos se dividen en espaciales y planos. Los últimos son el caso particular de los espaciales cuando sobre éstos están impuestas ciertas restricciones que permiten el movimiento en un solo plano o en planos paralelos. Aquí se muestra uno de los métodos de la síntesis y del análisis de los mecanismos planos. Éste consiste en el empleo del cálculo matricial para la determinación de las coordenadas de los puntos de las superficies conjugadas, de las velocidades y aceleraciones de estos puntos y de sus características cualitativas. Al principio hay que recordar conocimientos básicos del cálculo matricial. La matriz, es un arreglo bidimensional de números presentados en forma de una tabla. Las líneas horizontales de números en una matriz se denominan filas y las verticales columnas. Por ejemplo:
248
A
a11 a21
a12 a22
... a1n ... a2 n
... ... ... ... am1 am 2 ... amn
,
(5.24)
donde aij es el elemento de la matriz, m es el número de la fila y n es el número de la columna. Si el número de filas es igual al número de columnas tal matriz se denomina cuadrada. La matriz compuesta por elementos dispuestos en una sola columna se llama matriz de una sola columna. Por ejemplo, las coordenadas de un solo punto en el sistema de coordenadas espacial en forma matricial se presentará así:
x r y .
(5.25)
z La matriz de tipo:
1 0 0 A 0 1 0
(5.26)
0 0 1 es la matriz unitaria.
a11
a21
a31
La matriz A a12
a22
a32
*
a11
a12
a13
obtenida de la A a21 a22
a23
por medio de
a13 a23 a33 a31 a32 a33 disposición de las filas de la matriz A en el orden de columnas se denomina matriz transpuesta. En la matriz simétrica los elementos aij y aji son iguales. Por ejemplo:
1
2
3
A 2
4
5 .
3 5
249
7
(5.27)
Como resultado de la suma algebraica de dos matrices del mismo orden es una matriz de igual orden, donde cada elemento es la suma de los elementos correspondientes de las matrices sumadas. Por ejemplo la suma de las matrices
a11
a12
a13
A a21 a22
a23
a31 a32
a33
b11
b12
b13
y B b21 b22 b23
b31 b32
c11
c12
es la C A B c21 c22
b33
c31 c32
c13 c23 , (5.28) c33
donde c11 a11 b11 , c12 a12 b12 , etc. La multiplicación de una matriz por un elemento escalar será otra matriz del mismo orden en que cada elemento es el producto del elemento de la matriz primaria por el elemento escalar:
a11
a12
A a21 a22 a31 a32
a13
a11
a12
a13
a23 a21 a22 a23 . a33
a31 a32 a11
(5.29)
a33 a12
a13
Con la multiplicación de una matriz cuadrada A a21 a22
a23
a31 a32
a33
b11
b12
por otra matriz
b13
cuadrada B b21 b22 b23 se recibe la tercera matriz del mismo orden
b31 b32
b33 c11
c12
C c21 c22 c31 c32
c13 c23 ,
(5.30)
c33
en que cada elemento de la matriz resultante es la suma de los productos de la fila del multiplicando por la columna del multiplicador, es decir c11 a11 b11 a12 b21 a13 b31 , etc. La diferencial de la matriz es la diferencial de sus componentes. Por ejemplo, la diferencial de la matriz (5.24) con respecto a la variable t será presentada por:
250
da11 dt da21 dA dt dt ...
da12 dt da22 dt ...
dam1 dt
dam 2 dt
... ... ... ...
da1n dt da2n dt . ...
(5.31)
damn dt
Enseguida se muestran nociones del uso de las matrices en Teoría de Mecanismos y Máquinas. En la figura 5.13 se ilustran dos sistemas de coordenadas planos: S0 x0 , y0 que es inmóvil y
S1 x1 , y1
móvil, dispuestos en un solo plano. El
inicio del sistema de coordenadas S1 está desplazado con respecto al S0 a una distancia a, a lo largo del eje x0, y a una b, a lo largo del eje y0. Además, el sistema de coordenadas S1 gira con respecto al sistema S 0 con la velocidad angular d . En correspondencia con la ley s s t en dt Figura 5.13. Las coordenadas de un el sistema de coordenadas S0 se mueve el punto A solo punto presentado en diferentes por la trayectoria c c con la velocidad vA. sistemas. Para el ejemplo analizado xA0 e yA0 son las coordenadas del punto A presentadas en el sistema de coordenadas S0. Al usar las reglas de la geometría analítica las coordenadas del mismo punto A en el sistema de coordenadas S1 se presentarán como:
x A1 x A0 cos y A0 sen a cos b sen y A1 x A0 sen y A0 cos a sen b cos
.
(5.32)
Si φ, a y b son coeficientes variables en función del tiempo t entonces el sistema de ecuaciones (5.32) será la trayectoria del movimiento del punto A presentada en el sistema de coordenadas S1. En el cálculo matricial es conocido, que es más conveniente expresar los coeficientes de las coordenadas xAi y yAi en forma de elementos de la matriz de la tercera orden. Para esto se necesita presentar el sistema de ecuaciones (5.32) en forma homogénea, cuando el número de ecuaciones es igual al número de elementos. En este caso el sistema de ecuaciones se completa por las coordenadas homogéneas. Con las coordenadas 251
homogéneas la posición del punto en el sistema de coordenadas x A0 , y A0 , z A0 define los tres valores x*A0 , y *A0 y t *A0 . Éstos a la vez no son iguales a cero y se relacionan con xA0 e yA0 del siguiente modo:
e
x*A0 x A0 * t A0
(5.33)
y*A0 y A0 * . t A0
(5.34)
En las ecuaciones (5.33) y (5.34) se puede observar que en éstas hay solamente dos variables independientes. Igualmente, para la determinación de la posición del punto A en sistema de coordenadas S1 se usan las coordenadas homogéneas x*A1 , y *A1 y t *A1 unidas mediante:
e
x*A1 x A1 * t A1
(5.35)
y*A1 y A1 * . t A1
(5.36)
Al considerar t*A1 t*A0 1 se obtiene la posibilidad de pasar de nuevas coordenadas a las habituales o realizar el procedimiento opuesto. Así pues, mediante las coordenadas homogéneas la posición del punto A se presentará como: A (xA0, yA0, tA0) y
(5.37) A (xA1, yA1, tA1). (5.38)
Realizando un cambio de nomenclaturas el sistema de ecuaciones (5.32) se presentará como:
x A1 x A0 cos y A0 sen t A0 a cos b sen y A1 x A0 sen y A0 cos t A0 a sen b cos . t A1 t A0 1 252
(5.39)
En forma matricial el sistema de ecuaciones (5.39) se presentará mediante: r1 M 10 r 0 ,
(5.40)
donde r1 y r0 son las matrices de una columna de radios vectores del mismo punto presentados en los sistemas de coordenadas S1 y S0, respectivamente, M10 es la matriz de transferencia al sistema de coordenadas S1 del S0. Su forma es: cos
sen a cos b sen
M 10 sen cos a sen b cos . 0
0
(5.41)
1
Desarrollando (5.40) se tiene: x1
cos
sen a cos b sen x0
y1 sen cos a sen b cos y0 . t1
0
0
1
(5.42)
t0
que definitivamente se presentará así:
x1 x0 cos y0 sen t0 a cos b sen y1 x0 sen y0 cos t0 a sen b cos . t1 t0 1 Que totalmente corresponde a (5.39).
253
(5.43)
Capítulo 6 DISEÑO DE MECANISMOS DE LEVAS 6.1 Conocimientos comunes sobre los mecanismos de levas Mecanismo de leva, tal nombre recibe uno de los mecanismos con pares cinemáticos superiores que tiene un eslabón con la superficie de curvatura variable, éste se nombra leva. Otro eslabón que está en contacto directo con la leva y realiza la ley dada del movimiento se denomina seguidor. Las ventajas de los mecanismos de levas son la simplicidad constructiva, tienen solamente tres eslabones, y capacidad de realizar cualquier ley del movimiento. En la figura 6.1 se ilustran varios tipos de mecanismos de levas. Estos se dividen en dos grupos: planos, presentados en las figuras 6.1a, 6.1b, 6.1c, 6.1d, 6.1f, 6.1g, 6.1h, 6.1j, y espaciales, 6.1e. En los mecanismos planos los eslabones se mueven en un solo plano o en planos paralelos y en los espaciales en planos cruzados. Por tipo de movimiento del seguidor los mecanismos de levas se dividen en mecanismos con seguidor del movimiento lineal alternativo, que están ilustrados en las figuras 6.1a, 6.1b, 6.1c, 6.1d, 6.1f, 6.1g y 6.1j, y con seguidor del movimiento oscilante, presentados en las 6.1e y
a)
c)
b)
d)
e)
g) f)
h) Figura 6.1. Clasificación de mecanismos de levas.
254
j)
6.1h. El elemento del par cinemático superior de la leva es curvilíneo y el del seguidor puede ser diferente: de una sola línea presentados en las figuras 6.1a y 6.1j, éstos se denominan como mecanismos de levas con seguidor de cuña; de un plano, mostrados en las figuras 6.1b y 6.1g que se nombran como mecanismos con seguidor de cara plana; de un rodillo, presentados en las figuras 6.1c, 6.1d y 6.1f, que son mecanismos con el seguidor de rodillo; y de zapata curva, presentado en la figura 6.1h. En el movimiento uniforme de leva, el seguidor realiza el movimiento alternativo, por consiguiente los elementos del par cinemático superior siempre deben estar en el contacto directo. El contacto constante del seguidor con la leva se realiza mediante la aplicación de la fuerza, por ejemplo de resorte o gas comprimido, que se muestra en las figuras 6.1a, 6.1b, 6.1c, 6.1d, 6.1f, 6.1j y 6.1h, por eso se les llaman mecanismos de levas con cierre mediante la fuerza del par cinemático. En las figuras 6.1e, 6.1f y 6.1g están mostrados los mecanismos con cierre geométrico del par cinemático superior. En estos mecanismos el contacto permanente de los elementos de par cinemático es proporcionado por la configuración geométrica del seguidor, presentado en la figura 6.1g, o de la leva, presentado en las figuras 6.1e y 6.1f. 56. Si el eje de la simetría del seguidor del movimiento lineal alternativo pasa a través del centro de rotación de la leva, estos mecanismos se llaman como centrales, los demás excéntricos. En los últimos el desplazamiento del eje de la simetría del seguidor, con respecto al eje de rotación de la leva, se denomina excentricidad. En el caso común la leva es el eslabón motriz que tiene el movimiento giratorio uniforme. El seguidor lo transforma en el movimiento lineal alternativo, oscilante o intermitente. Pero en interruptores eléctricos, en cronómetros mecánicos, así como está presentado en la figura 2.1f, en bolígrafos, etc. el eslabón motriz es el seguidor al que se proporciona el desplazamiento lineal u oscilante. En adelante se muestra el estudio solamente de mecanismos planos con la leva como el eslabón motriz. 6.2 Análisis del movimiento del seguidor La figura 6.2 muestra un mecanismo de leva con el seguidor de cuña, en éste el seguidor se conecta con la superficie del perfil de la leva por una línea. Este mecanismo es distinguido por lo que el desenrollo del perfil de la leva es la copia exacta de ley del movimiento del seguidor. En este mecanismo, el movimiento giratorio uniforme de la leva se transforma en el movimiento cíclico lineal del seguidor. Este movimiento se divide en fases que dependen del perfil de la leva, por consiguiente en la figura 6.2 están 56
El trabajo de los mecanismos con el cierre del par cinemático superior por fuerza y geométrico es diferente. En los mecanismos con el cierre por fuerza del par cinemático superior la leva es el eslabón motriz solamente en la fase de subida. En la fase de retorno el eslabón motriz es el seguidor. En los mecanismos con el cierre geométrico del par cinemático superior la leva es el eslabón motriz tanto en la fase be subida como en la de retorno.
255
aplicadas al perfil de la leva. Estas son: la fase de subida, cuando el seguidor se aleja del centro de rotación de la leva, la de detención superior, cuando el seguidor está en reposo en la posición más alejada desde el centro, la fase de retorno, cuando el seguidor regresa en la posición de inicio y la de detención inferior, cuando el seguidor está en reposo en la posición más cercana al centro de rotación de la leva. El círculo del radio r0, que determina la posición del seguidor en la fase de detención inferior, tiene el nombre de círculo base. En el análisis y la síntesis de mecanismos de levas la ley del movimiento del seguidor se expresa en forma de un gráfico, una tabla, o en forma analítica, donde, para la mayor comodidad, el desplazamiento no se expresa en función del tiempo, sino en función del ángulo de giro de la leva φ. Para presentarla en forma de un gráfico, se construye un sistema de coordenadas cartesiana en que sobre el eje Y se marca la magnitud del desplazamiento lineal o angular del seguidor y sobre el eje X el desplazamiento angular de la leva. Para los mecanismos de levas con el seguidor del movimiento lineal alternativo el desplazamiento lineal del seguidor se presenta a escala L ..., m mm , y para los mecanismos con el seguidor oscilante el desplazamiento angular se
Figura 6.2. Fases del perfil de la leva correspondientes a las de la ley del movimiento del seguidor.
presenta a escala ...,grad mm o
...,rad/ mm . El desplazamiento angular de la leva se presenta a escala ...,grad mm o ...,rad mm . El ángulo completo del giro de la leva, marcado sobre el eje X, se divide en fases del mismo nombre que las del perfil de la leva: de subida, de detención superior, de retorno y la de detención inferior, de modo como se muestra en la figura 6.3. En la mayoría de los casos la marcación de la fase de detención inferior se evita. La elección del gráfico del desplazamiento es una etapa muy importante. Al gráfico se le plantean ciertos requisitos así como: minimización del tamaño del mecanismo, reducción o exclusión de Figura 6.3. Presentación gráfica de la ley del movimiento del golpes en el par seguidor. 256
cinemático superior y simplicidad de fabricación del perfil de la leva. Para resolver esta tarea se le da la preferencia a los métodos analíticos que permiten utilizar las técnicas modernas. En la tabla 6.1 están presentadas ecuaciones 57 de algunos gráficos que se usan en la industria actual para cálculo y fabricación de mecanismos de levas. Tabla 6.1. Leyes del movimiento del seguidor en función de la ley del movimiento de la leva más usadas en el diseño mecánico.
57
Joseph Edward Shigley, John Joseph Uicker, Jr., 1990. Teoría de Mecanismos y Máquinas. McGRAW-HILL, México, (p.p. 221-230).
257
Prolongación de la tabla 6.1.
El primer gráfico representa un solo escalón. Esta puede ser realizada solamente en la fase de retorno de los mecanismos con el cierre del par cinemático superior por fuerza. Esta se usa cuando se necesita bruscamente cambiar la posición del seguidor desde la parte superior a la inferior. Ya que el seguidor tiene masa y para la realización del contacto constante de los eslabones se aplica la fuerza al final de la realización del trabajo se provoca golpe duro del seguidor sobre la superficie del perfil de la leva. Los golpes duros producen ruido, desgaste excesivo y, a veces, ruptura de los eslabones. Sin embargo, algunos mecanismos trabajan con golpes duros cuando a finales del ciclo se necesita hacer cierto procedimiento con velocidad grande del seguidor. Por ejemplo, este gráfico se usa en el mecanismo del despertador de relojes mecánicos para poner en 258
marcha el timbre, también se usa en los mecanismos de conexión o interrupción de la corriente eléctrica para disminuir el efecto negativo del arco eléctrico, etc. Para no provocar el desgaste excesivo de los eslabones, el empleo de esta ley se permite con la velocidad de rotación de la leva muy pequeña. El gráfico 2 corresponde a la ley del movimiento lineal. En las fronteras también se realiza un golpe ya que la velocidad cambia bruscamente y la aceleración se aproxima al infinito. Pero el golpe es menor que en el primer caso. Esta ley no se usa para realizar el movimiento completo sino como parte intermedia que une otros dos elementos del gráfico del desplazamiento. En los mecanismos de levas con el cierre geométrico del par cinemático superior, en que la leva es el eslabón motriz tanto en la fase de subida como en la de retorno, también en los con el cierre por fuerza en los mecanismos que trabajan con velocidades grandes, el golpe se debe evitar. Los gráficos de la 3 a la 8 ilustran los gráficos estándar del movimiento armónico simple. Éstas suavizan el paso de una ley del movimiento a la otra ya que en una frontera, los gráficos de 3 a 6, o en ambas, los gráficos 7 y 8, tienen un valor de aceleración determinado. Los gráficos 7 y 8 son notables ya que con el ángulo de retorno igual al de subida, la leva representa un disco excéntrico del radio constante. En este mecanismo el centro de rotación del disco se desplaza, con respecto al centro H . Los gráficos 7 y 8 son del movimiento geométrico, a una excentricidad e 2 completo y las de 3 a 6 son del movimiento medio completo y funcionan junto con otros gráficos. Los gráficos de 9 a 14 son semicicloidales. La superioridad de éstos consiste en que en las fronteras, la aceleración es igual a cero, por consiguiente el mecanismo trabaja sin golpes. Los gráficos 15 y 16 son de armónico modificado, en una frontera tienen la aceleración igual a cero y en la otra determinada. Todos los gráficos tienen presentación matemática simple y satisfacen prácticamente todas las necesidades de la industria. 6.3 Síntesis de mecanismos de levas La síntesis de un mecanismo es el diseño que corresponda a los requisitos previamente planteados. En el caso del diseño de un mecanismo de leva los requisitos son los 259
siguientes: realización de la ley dada de movimiento del seguidor en correspondencia con la ley del movimiento de la leva y tamaño mínimo del mecanismo. Como parámetros iniciales, para realizar el proyecto de un mecanismo de leva, se consideran: esquema estructural, la ley del movimiento de la leva 1 1 t y la ley del movimiento del seguidor. En la mayoría de los casos la primera ley tiene forma 1 const y la última puede tener forma v2 v2 t , para los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo, o 2 2 t , para los con el seguidor oscilante. También se debe tomar en cuenta el ángulo de la fase de subida βsub., el de la detención superior βdet.sup. y el del retorno βret.. Si la ley del movimiento del seguidor y los ángulos de las fases no son dados, éstos se eligen en correspondencia con las condiciones del proceso tecnológico, que debe realizar la máquina. En este caso los ángulos de las fases se determinan conforme al ciclo de trabajo. La duración y la sucesión del movimiento del seguidor en un ciclo deben estar en correspondencia con el movimiento de otros eslabones de la máquina o en correspondencia con el movimiento de los eslabones de otras máquinas.
El tamaño mínimo del mecanismo determina la magnitud de radio del círculo base r0. Los métodos de la determinación del radio del círculo base para los mecanismos de la leva con el seguidor de cuña, con el de rodillo y con el seguidor de zapata curva y para el mecanismo con el seguidor de cara plana son distintos. El radio del círculo base puede ser determinado mediante los métodos gráficos y analíticos. Como es habitual en esta edición los primeros se presentan métodos gráficos y luego, a base de métodos gráficos, se presentan métodos analíticos. 6.3.1 Método gráfico de la determinación del radio del círculo base para los mecanismos de levas con el seguidor de cuña, con el de rodillo y con el seguidor de zapata curva La determinación del radio del círculo base r0, para este tipo de mecanismos, se basa en el teorema sobre el centro de rotación de la leva y la limita el ángulo de presión. El teorema sobre el centro de rotación de la leva se fórmula del siguiente modo: centro de rotación de la leva se ubica en la recta, que se traza paralelamente a v normal común n n a una distancia igual al segmento , donde v es L velocidad de la punta del seguidor, ω es la velocidad angular de la leva y μ L es escala en que se representa el segmento.
el la la la
La validez de este concepto se muestra con el ejemplo presentado en la figura 6.4. En la figura se muestra el mecanismo de leva con el seguidor 2 oscilante que toca el perfil de 260
la leva 1 en el punto B. Al trazar a través de este punto la normal n n al perfil de la leva, resulta que la normal es la común para ambos eslabones. El ángulo α entre la normal n n y el vector velocidad vB es el de presión. Como se observa en la figura, la normal n n atraviesa el entre eje O1O2 en el punto P constituyendo el polo de engranaje. Según el teorema de Willis sobre la relación de transmisión instantánea, presentado en el Figura 6.4. Esquema que acompaña el teorema sobre el centro de rotación de la leva. capítulo 5.1.3, el polo de engranaje P divide el entre eje O1O2 en partes inversamente proporcionales a las velocidades angulares, es decir: O1P 2 . O2 P 1
(6.1)
Al trazar el segmento O1C paralelamente al seguidor 2 hasta la intersección con la normal n n se construye el triángulo O1CP que resulta semejante al O2 BP , que permite sustituir la igualdad (6.1) por:
O1C 2 . O2 B 1
(6.2)
Trazando el segmento BD como prolongación del eslabón 2 de magnitud igual a O1C y a través del punto D la recta m m paralela a la n n , resulta que la m m pasa por el centro de rotación de la leva O1. Puesto que las rectas m m y n n son paralelas y el segmento BD es igual a O1C, entonces, la igualdad (6.2) es posible presentarla así:
BD 2 , O2 B 1
(6.3)
en que se recibe:
BD
2 O2 B 2 L2 , 1 L 1
donde L2 es la longitud del seguidor. 261
(6.4)
Ya que 2 L2 es la velocidad vB de la punta del seguidor, entonces, al presentarla en forma vB 1 sB , donde sB es el análogo de velocidad del punto B, la fórmula (6.4) se presentará así:
BD
vB s s 1 B B , L 1 L 1 L
(6.5)
que significa, que el segmento BD por magnitud es igual al análogo de velocidad de la punta del seguidor trazado a escala μL. El teorema sobre el centro de rotación de la leva es justa para todos los mecanismos, con el seguidor de cuña, con el de rodillo y con el seguidor de zapata curva y tiene la aplicación práctica siguiente: para cada una posición i del seguidor el centro de rotación de la leva se ubica en recta m m trazada un ángulo de presión α a través s del punto Di del segmento Bi Di Bi . L En la presentada forma de la determinación del centro de rotación de la leva y por consiguiente del radio de base está incluido el ángulo de presión . Enseguida se muestra la influencia de éste en el trabajo del mecanismo. Como es conocido en el análisis dinámico, cualquier sistema mecánico estará en equilibrio si la suma de todas las fuerzas y de todos los momentos de par de las fuerzas, aplicados a los eslabones, son iguales a cero. Referente a los mecanismos de levas es suficiente examinar las condiciones de equilibrio del seguidor. En la figura 6.5 se muestra el mecanismo de leva con el seguidor del movimiento lineal alternativo con la punta hecha en forma de cuña. Sobre el seguidor actúa la fuerza motriz F21. Ésta está dirigida a lo largo de la normal común n n que forma con el eje de la simetría del seguidor el ángulo de presión α. Esta fuerza se descompone en la F21 sen , dirigida perpendicularmente al seguidor, y la F21 cos , dirigida a lo largo de éste. La fuerza
Figura 6.5. Esquema de acción de las fuerzas aplicadas al seguidor de un mecanismo de F21 cos es paralela al vector leva.
262
velocidad v B2 del punto B del seguidor y tiene el mismo sentido, por consiguiente realiza el trabajo positivo. Esta fuerza empujando el seguidor vence todas las fuerzas de resistencia. El trabajo de la fuerza F21 sen es igual a cero ya que su vector es perpendicular al vector vB2 . Por eso directamente no influye en el proceso del movimiento, sino provoca l b las fuerzas de reacción en el par cinemático inferior. Estas son: F21 sen y b l F21 sen . Bajo la acción de estas fuerzas aparece la fuerza de fricción en el par b 2l b cinemático deslizante F fr. F21 f sen , donde f es el coeficiente de fricción. b La fuerza de fricción tiene sentido contrario al vector vB2 , por eso produce el trabajo negativo. Además de la fuerza de fricción sobre el seguidor actúan otras fuerzas: de resistencia útil F res .ut . , de inercia F2in. m2 a B 2 , donde aB 2 es la aceleración del seguidor y m2 es la masa del mismo, y la fuerza de gravedad del seguidor W2 m2 g . Entonces, para que el seguidor esté en equilibrio debe ser satisfecha la siguiente igualdad:
2l b in. F21 cos F21 f sen Fres.ut. F2 W2 . b
(6.6)
En la ecuación (6.6) se observa que con el incremento del ángulo de presión α el miembro izquierdo disminuye y el miembro derecho aumenta. Por fin, con algún valor crítico del ángulo de presión αcr. la magnitud de la fuerza F21 cos será insuficiente para vencer todas las fuerzas de resistencia y el mecanismo parará. Por eso, para los mecanismos de levas con el seguidor de cuña, con el de rodillo y con el seguidor de zapata curva la condición necesaria para la realización del trabajo útil es el cumplimiento de la desigualdad adm. , donde adm. es el ángulo de presión admisible. En la práctica del diseño de máquinas, en los cálculos previos, para los mecanismos de levas con el seguidor del movimiento lineal alternativo se elige o o o adm. 15...30 y para los mecanismos con el seguidor oscilante adm. 20 ...45 . En la síntesis de mecanismos de levas con el seguidor oscilante y con el del movimiento lineal alternativo con la punta hecha en forma de cuña, de rodillo y de zapata curva después de la elección del ángulo de presión se determina la magnitud del radio del círculo base. El radio del círculo base define la disposición del centro de rotación de la 263
leva que se determina mediante el método gráfico y analítico. Como es habitual para la presente edición el primero se muestra el método gráfico. La aplicación gráfica del teorema sobre el centro de rotación de la leva se muestra en la figura 6.6 en que de una sola manera se determina el radio mínimo del círculo base. Para esto en los ejes del sistema de coordenadas s, , presentado en la figura 6.6a, se construye el gráfico del desplazamiento s s ( ) . Diferenciándolo mediante el método gráfico o analítico se recibe el gráfico del análogo de velocidad s s presentado en la figura 6.6b. Luego, en la prolongación del eje φ del gráfico del desplazamiento, se construye el sistema de coordenadas s , s , que se muestra en la figura 6.6c, y mediante la fórmula (6.5) se calculan los segmentos BD para cada posición del seguidor que se trazan en el sistema de coordenadas s , s . Uniendo todos los puntos D de estos segmentos mediante una curva suave se construye el gráfico adicional s s s . Para facilitar la construcción del gráfico adicional se puede usar la línea de escala p p que se construye inclinada con respecto al eje s en el sentido de rotación de la leva un BD ángulo arctan . Ya y s que BD B y el segmento L s y B , entonces, v
arctan v . l
a)
c)
b)
Figura 6.6. Aplicación del teorema sobre el centro de rotación de la leva para los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo.
Los puntos D del gráfico se encuentran en la intersección de las líneas de transferencia de los puntos del mismo número desde el gráfico del desplazamiento de la figura 6.6a y desde el gráfico del análogo de velocidades de la figura 6.6b. En correspondencia con las fases de trabajo del mecanismo el gráfico también tiene la fase de subida, en la figura 6.6c es la parte izquierda con respecto al eje s, y la de retorno, la parte derecha. Trazando la línea sub. sub. tangente a la fase de subida del 264
gráfico adicional un ángulo adm. se llega a la conclusión que en esta línea se puede elegir una cantidad infinita de los puntos que van a satisfacer la condición adm. para todas las posiciones de la leva en la fase de subida. De modo igual, trazando la tangente ret . ret . a la fase de retorno, se puede elegir una cantidad infinita de los puntos que van a satisfacer a la condición adm. para la fase de retorno. Al trazar tangentes a ambas fases del gráfico adicional en la intersección de las sub. sub. y ret . ret . se hallará un solo punto en que es satisfactoria la condición adm. para todas las posiciones de la leva tanto para la fase de subida como para la de retorno. Entonces el punto de intersección de éstas se puede elegir como el centro de rotación de la leva. La circunferencia trazada a través del punto B0 a partir del punto de intersección de las tangentes, será la del círculo base de radio r rmin trazada a escala L ...,m mm . Como se observa en la figura 6.6, como el centro de rotación de la leva se puede elegir cualquier punto dentro de la zona que está en el triángulo formado por ambas tangentes más abajo al punto de intersección de éstas. Para obtener un mecanismo con magnitudes mínimas, como el centro de rotación de la leva también se puede elegir el punto de intersección de las tangentes. En la práctica, si se toma en cuenta errores posibles en el diseño y en la fabricación, para que la realización de la condición adm. sea cumplida en todas las posiciones de la leva, se elige r 1.03 1.05 rmin . Para la determinación del centro de rotación de la leva también se toman en cuenta otros datos y requisitos, por ejemplo: excentricidad, tamaño requerido del mecanismo, rendimiento, etc. El modo de la determinación del centro de rotación de la leva, presentado en la figura 6.6, se usa para los mecanismos con el cierre geométrico del par cinemático superior. Esto es debido a que la leva es el eslabón motriz tanto en la fase de subida como en la de retorno, por eso la condición adm. debe ser satisfactoria para ambas fases. En los mecanismos con el cierre por fuerza del par cinemático superior, la leva es el eslabón motriz solamente en la fase de subida, en la fase de retorno el eslabón motriz es el seguidor. Por eso para estos mecanismos es suficiente construir el gráfico adicional solamente para la fase de subida, que está presentado en la figura 6.7. Para estos mecanismos la zona de existencia de los centros de rotación de la leva estará en el triángulo formado por la tangente 1 1 , trazada a la fase de subida del gráfico adicional un ángulo adm. , y la recta 0 0 , trazada a través del inicio del sistema
265
de coordenadas B0 un ángulo adm. con respecto al eje s del sistema de coordenadas s, s . La elección del centro de rotación de la leva depende de los requisitos adicionales. Si uno de los requisitos es obtener las magnitudes mínimas del mecanismo, entonces, para la determinación del centro de rotación de la leva se elegirá el punto de intersección de las rectas 1 1 y 0 0 y el radio r0 se tomará igual o mayor que rmin , que se muestra en la figura 6.7. Si se diseña el mecanismo central, cuando el eje del seguidor atraviesa el centro de rotación de la leva, se toma r0 r
*
debe ser excéntrico con e 0 , entonces r0 r
min , **
min
pero si .
Figura 6.7. Determinación del Igualmente se determina el radio del círculo base de la centro de rotación de la leva leva para los mecanismos con el seguidor oscilante. En la para los mecanismos con el cierre del par cinemático figura 6.8 se muestra que para los mecanismos con el superior mediante la fuerza.
cierre por fuerza del par cinemático superior debe cumplirse la siguiente desigualdad r0 r siguiente r0 rmin .
*
min
y para los con el cierre geométrico la
Para estos mecanismos, para la construcción del gráfico adicional, se usa la dependencia donde ψ es el desplazamiento angular del seguidor. En estos mecanismos, debido a que el seguidor cambia su posición angular, los segmentos BD también cambian de posición. Si para los mecanismos de levas con el seguidor del movimiento lineal alternativo la construcción de las tangentes al gráfico adicional no tiene dificultades, ya que todos los segmentos BD son paralelos, para los con el seguidor oscilante, construirlas es complicado. Para estos mecanismos es práctico el siguiente método. En una película transparente, por ejemplo en acetato, se traza una recta horizontal y a ésta una perpendicular. El punto de intersección de estas dos líneas se marca con la letra D. A través de este punto con Figura 6.8. Determinación del centro de rotación una pendiente igual al ángulo αadm. con de la leva para los mecanismos con el seguidor respecto a la perpendicular y con sentidos oscilante. 266
opuestos se trazan dos rectas sub. sub. y ret . ret . . Al mover la película sobre el gráfico de modo que a la vez el punto D esté sobre la curva del gráfico adicional y la línea horizontal atraviese el punto O2 se determina una sola posición en que una de las rectas, por ejemplo sub. sub. , sea tangente al gráfico. De igual modo al mover otra vez la película sobre el gráfico adicional se define la posición de la otra tangente ret . ret . . Para la determinación del centro de rotación de la leva se necesita elegir la magnitud del ángulo de presión admisible. Para el caso cuando los únicos requisitos son, que el mecanismo de leva tenga menor magnitud y que el ángulo α sea menor o igual a αadm., se usan las recomendaciones generales antes presentadas. En este caso se debe tomar en cuenta, que si el radio del círculo base r0 se aproxima a rmin. el ángulo de presión, para dos posiciones de la leva, se aproximará al máximo admisible y las fuerzas de reacción en el par cinemático superior serán máximas. Con esto el rendimiento del mecanismo será mínimo y el desgaste de los eslabones en el par cinemático superior será máximo. Si uno de los requisitos es el diseño del mecanismo de alto rendimiento se debe tomar en cuenta el coeficiente de incremento de las fuerzas 58:
F21 , F
(6.7)
donde F21 es la fuerza de acción sobre el seguidor de la leva mostrado en la figura 6.5 y F es la suma de las fuerzas de resistencia F Fres.ut . F2in. W2 F fr . . En las fórmulas (6.6) y (6.7) se obtiene la ecuación para la obtención del ángulo de presión admisible:
cosadm.
1 max
.
(6.8)
Para obtener un mecanismo con magnitudes no grandes y de alto rendimiento, se necesita elegir un valor óptimo del rendimiento instantáneo. Aquí hay que notar que en Teoría de Mecanismos y Máquinas se distinguen el rendimiento en un solo ciclo y el instantáneo. El rendimiento en un solo ciclo es la razón del trabajo que realiza la fuerza de resistencia útil sobre el trabajo que realizan todas las fuerzas registradas en un solo ciclo del movimiento estable, es decir:
58
Tres.ut. , T
Reshetov L.N. Mecanismos de levas. Mashguiz, 1953. Moscú, Rusia.
267
(6.9)
y el rendimiento instantáneo es la razón de la potencia de las fuerzas externas, que actúan sobre el seguidor, sobre la potencia de la fuerza aplicada al eslabón motriz: in.
Pseg . Pmot .
.
(6.10)
En la fórmula (6.10) la fuerza motriz se determina mediante el análisis de fuerzas presentado en el capítulo 4.2 con la toma en cuenta de las fuerzas de fricción en los pares cinemáticos. Para los mecanismos de levas con el seguidor del movimiento lineal alternativo, el rendimiento instantáneo se determina por la fórmula59:
2l in. 1 1 f tan , b
(6.11)
donde l y b son los parámetros presentados en la figura 6.5. Entonces, cuando en la ecuación (6.11) la magnitud α se sustituye por αadm. se determina la magnitud óptima del rendimiento. Comparando αadm., opt. y rmin de varios mecanismos se elige el que tiene mejores cualidades para las condiciones conocidas. Ahora se puede pasar al método analítico de la determinación del centro de rotación de la leva. 6.3.2 Método analítico de la determinación del radio del círculo base60 Para los mecanismos de levas con el seguidor del movimiento lineal alternativo, como fundamental, se toma la interpretación gráfica antes expuesta. En estos mecanismos el centro de rotación de la leva se ubica en la intersección de dos líneas tangentes al gráfico adicional. Por eso se necesita determinar dos líneas tangentes al gráfico adicional, presentarlas en forma analítica y definir el punto de su intersección. Para una mejor comprensión del método, se elige un mecanismo con el cierre por fuerza del par cinemático superior con excentricidad diferente de cero e 0 . Para este mecanismo en la fase de subida el eslabón motriz es la leva y en la de retorno es el seguidor, por eso el ángulo de presión es limitado solamente para la fase de subida. Debido a esto es suficiente construir el gráfico adicional s s s solamente para esta fase. 59
Levitskiy N.I. 1939. Teoría de Mecanismos y Máquinas. “Nauka”, Moskú, Rusia, (p.p. 134-136). Boris F. Voronin, Salvador Gutiérrez-Alcalá. (2010). Diseño analítico de los mecanismos planos de levas de magnitud mínima. Revista Iberoamericana de ingeniería Mecánica, Vol. 14, Núm. 1. ISSN 1137-2729. UNED, Madrid, España, p.p. 3-14. 60
268
En la figura 6.9 se muestra la presentación gráfica del dicho gráfico que está construido en el sistema de coordenadas s, s a escala L . Donde s es el desplazamiento de la punta del seguidor y s es el análogo de velocidad de esta punta en la misma posición. Ya que el centro de rotación de la leva debe ser desplazado con respecto a la línea de acción del seguidor a una distancia e 0 entonces a esta distancia se traza la línea a a paralelamente al eje s. El gráfico está construido para una sola posición del mecanismo que se reduce a un solo punto D con las coordenadas s y s. Puesto que el punto D pertenece al gráfico adicional entonces éste puede ser el de tangencia de la línea . Al trazar la al ángulo de presión admisible adm. con respecto al eje s, en la intersección de ésta con la recta a a se encuentra el punto O que se considera el centro de rotación de la leva para la posición elegida. La circunferencia trazada a partir de este punto a través del inicio del sistema de coordenadas B0 será la del círculo base con el Figura 6.9. Diagrama que ilustra la radio de magnitud mínima rmin . determinación del centro de rotación de la leva mediante el método analítico.
Utilizando la figura 6.9 se tiene:
rmin . Dado que Od
Od 2 e2 ,
(6.12)
BD e ds s , donde s s y su derivada es BD s , resulta: tan adm. d 2
s e rmin . s e2 . tan adm.
(6.13)
NOTAS. 1. En todos los cálculos analíticos aquí presentados, la excentricidad e ubicada a la derecha desde el eje s, se toma con el signo positivo y a la izquierda con el negativo. 2. Para ser conciso aquí y en adelante, en las ecuaciones, los segmentos BD se sustituyen por sus equivalentes análogos de velocidades s con subíndices correspondientes.
269
Ya que la posición del mecanismo fue tomada arbitrariamente entonces el gráfico puede tener puntos en que el ángulo de presión va a tener mayor magnitud que admisible. Para que la condición adm . sea satisfactoria en todas las posiciones del mecanismo la recta debe ser tangente al gráfico formado por el conjunto infinito de los puntos D y la magnitud de rmin . debe ser máxima. En Cálculo se conoce que una función de una variable tendrá un valor extremo, mínimo o máximo, en el punto en que la derivada, con respecto a la variable independiente, es igual a cero. Para el presente caso dicha condición es obtenida de la igualación a cero de la derivada de la ecuación (6.13) con respecto al ángulo de giro de la leva, es decir:
r 0 .
(6.14)
Esta derivada tiene la siguiente forma:
1
2 r s s tan adm . s s tan adm. e e 2 tan 2 adm. 2 ,
(6.15)
donde s es análogo de aceleración. Analizando la ecuación (6.15) se llega a una conclusión, que la (6.14) se cumpla en dos casos: 1. cuando el primer factor
s s tan adm.
s s tan adm. e e tan adm. 2
2
2
2. cuando el primer factor
1 2
es igual a cero y el segundo
es determinado;
s s tan adm.
s s tan adm. e 2 e 2 tan 2 adm.
1 2
es determinado y el segundo
tiende al infinito.
El segundo caso formalmente se cumple solamente con adm. 90 que está fuera de límites reales para los mecanismos de levas. Entonces, resulta válido solamente el primer caso el que se puede presentar en forma:
s s tan adm. .
(6.16)
Para mostrar su aplicación práctica considere el ejemplo de un mecanismo de leva plano con el cierre mediante la fuerza del par cinemático superior. Se consideran los siguientes datos: el ángulo de la fase de subida como sub. 130º ; la carrera del seguidor igual a H 0.04m ; la excentricidad igual a e 0 y el ángulo de presión admisible en 270
magnitud adm. 30 º . Para este mecanismo se elige la función del desplazamiento en la siguiente forma:
s
H 2
1 cos . sub.
(6.17)
Entonces su primera derivada con respecto a la variable independiente φ resulta ser: H sen . 2 sub. sub.
(6.18)
2 H s 2 cos . 2 sub. sub.
(6.19)
s
y la segunda:
Al sustituir las ecuaciones (6.18) y (6.19) en (6.16), simplificando y despejando, se obtiene la fórmula para la obtención del valor del ángulo de la posición de la leva * cuando la es tangente al gráfico adicional: *
sub. arctan . tan sub. adm.
(6.20)
Sustituyendo los coeficientes y las variables en la ecuación (6.20) por sus valores o numéricos resulta * 48.65 . Haciendo lo mismo en las ecuaciones (6.13) y (6.18) y sustituyendo en (6.13) los términos y coeficientes por sus valores, se tiene rmin 0.03197 m o rmin 31.97 mm . A continuación, usando los mismos datos, se comprueba la validez del método analítico mediante el método gráfico. En la tabla 6.2 se muestran resultados de los cálculos, a partir de las fórmulas (6.13) y (6.18), necesarios para la construcción del gráfico adicional y en la figura 6.10 se presenta el gráfico adicional construido en el sistema de coordenadas s, s . Para confirmar la validez, el gráfico está acompañado con las reglas de escala. Ya que e 0 , entonces el centro del círculo base debe ser en el punto O1 de la intersección de la tangente con el eje s. Al trazar desde éste la circunferencia a 271
través del inicio del sistema de coordenadas B0 y medir el radio se tiene: rmin 32.0mm . La comparación del resultado analítico con el obtenido mediante el método gráfico manifiesta plena coincidencia de los resultados. Ahora usando la misma figura hay que adicionar lo siguiente. Si uno de los requisitos del diseño es la obtención del mecanismo de magnitudes mínimas, entonces, el centro de rotación de la leva se ubicará en la intersección de la tangente con la recta 0 0 que se traza a través del inicio del sistema de coordenadas s, s un ángulo * adm. . Entonces, el radio mínimo rmin será igual al segmento OB0. Al usar la figura O1B0 6.10, se concluye que r *min . 2cos adm.
Tabla 6.2. Datos para la construcción de la gráfica adicional.
Figura 6.10. Prueba gráfica de la validez del método analítico para el mecanismo con el cierre del par cinemático superior por fuerza.
Para la determinación del punto de intersección de las rectas y, como consecuencia, del centro del círculo base, resulta más conveniente usar la forma paramétrica que consiste en lo siguiente. Al definir las coordenadas del punto de tangencia de la al gráfico adicional, por ejemplo del punto D con las coordenadas s y s´ presentada en la figura 6.11, también teniendo en cuenta que el segmento BD es el análogo de velocidad s´, la ecuación de la tangente se presentará en la siguiente forma:
x s t sen adm. y s t cos adm. donde t es el parámetro de la tangente . 272
.
(6.21)
Si uno de los requisitos es que el centro de rotación de la leva se ubique en la recta a a , trazada a una distancia e con respecto a la trayectoria del movimiento de la punta del seguidor, entonces se busca el punto de intersección de ésta con la tangente . Al presentar la ecuación de la recta a a mediante:
xa e ya t a
,
(6.22)
donde ta es el parámetro de la recta a a , el punto de intersección de éstas se determinará mediante:
xa x ya y
.
(6.23)
Sustituyendo (6.21) y (6.22) en (6.23) y después de algunas simplificaciones resulta:
s e Od ta s. tan adm.
(6.24)
Fig. 6.11. El esquema que acompaña la determinación del punto de intersección de la con 0 0 en forma paramétrica.
En la figura 6.11 se observa que el radio mínimo del círculo base es igual al segmento OB0, por eso se tiene: 2
rmin . OB0 ta
2
s e e s e2 . tan adm. 2
(6.25)
Hay que notar, que la fórmula (6.25) completamente coincide con la (6.13), pero es obtenida de otro modo. Si es necesario construir un mecanismo con dimensiones mínimas, se busca el punto de intersección de la tangente con la recta 0 0 , que pasa a través del punto B0. La ecuación de la recta 0 0 se presentará así
x0 t0 sen adm. y0 t0 cos adm.
273
(6.26)
mientras que la es de la forma (6.21). La intersección de la recta 0 0 con la tangente se determinará mediante:
x0 x y0 y
.
(6.27)
La resolución de la igualdad (6.27) en la figura 6.11 está marcada con el símbolo O*. Entonces al sustituir (6.21) y (6.26) en (6.27) se tiene:
r *min t0
s tan adm. s . 2sen adm.
(6.28)
Para el mecanismo con el cierre geométrico del par cinemático superior se trazan tangentes al gráfico adicional tanto a la fase de subida como a la de retorno, por esta razón se formulan ecuaciones iguales a la (6.16) para ambas fases. En la figura 6.12 se muestra este caso. Con esto se supone que D1 es el punto de tangencia de la recta 1 1 al gráfico adicional en la fase de subida y D2 es el de tangencia de la 2 2 en la fase de retorno. Entonces el punto O, de intersección de éstas, será el centro del círculo base de radio rmin., su magnitud será igual al segmento OB0. En forma paramétrica la resolución es como sigue: la ecuación de la tangente 1 1 se presentará así:
x1 s1 t1 sen adm. y1 s1 t1 cos adm.
,
Figura 6.12. Diagrama para la formulación de las ecuaciones que definen el centro de rotación de la (6.29) leva de los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo del cierre geométrico del par cinemático superior.
y la de la 2 2 como:
x2 s2 t2 sen adm. y2 s2 t2 cos adm.
274
.
(6.30)
El punto de intersección O de éstas se determinará mediante la siguiente igualdad:
x1 x2 y1 y 2
.
(6.31)
La resolución de la ecuación (6.31) obtiene la siguiente forma:
t2
s1 s2 s s 1 2 . 2cos adm. 2sen adm.
(6.32)
Al sustituir el coeficiente t2 en (6.30) por su valor en (6.32) se obtiene:
1 x2 s1 s2 s2 s1 tan adm. 2 , 1 y2 s1 s2 s1 s2 cot adm. 2 y como consecuencia:
rmin OB0 x2 2 y2 2 .
(6.33)
(6.34)
Para los mecanismos de levas con el seguidor oscilante la diferencia de la determinación del centro de rotación de la leva con respecto a los presentados consiste en que la punta del seguidor, o el centro del rodillo, se traslada por el arco de la circunferencia de radio igual a la longitud del seguidor L2. Si en la presentación gráfica la sustitución del arco por una cuerda es admisible, en los cálculos analíticos ésta se puede evitar. Puesto que la ley del movimiento del seguidor se presenta como 2 f 1 , donde 2 es el ángulo de oscilación del seguidor, la ecuación (6.13) tendrá la siguiente forma: 2 rmin 2 L2 . tan adm.
(6.35)
Esta ecuación está presentada para el caso cuando la cuerda, que pasa a través de los puntos extremos de la trayectoria de la punta del seguidor, atraviesa el centro de rotación de la leva. Para otros casos la ecuación tendrá otra forma. Al igualar la derivada de la ecuación (6.35) a cero se obtiene la posición angular φ* de la leva y, por consiguiente, la *2 del seguidor cuando la recta es tangente al gráfico adicional.
275
Si el mecanismo es con el cierre por fuerza del par cinemático superior, entonces, se busca la tangente solamente para la fase de subida. Suponiendo que el punto D presentado en el esquema de la figura 6.13 es el de tangencia de la al gráfico adicional entonces en la intersección de ésta con la 0 0 trazada a través del punto B0 un ángulo αadm. se hallará el punto O del centro del círculo base de radio rmin.*. Empleando el teorema de cósenos en el triángulo DAB0 se tiene:
B0 D
L2 BD 2 L22 2 L2 L2 BD cos ,
(6.36)
donde ψ es la posición angular del seguidor con respecto a la del inicio. Luego empleando BD AB0 se el teorema de senos 0 sen sen ADB0 determina el ángulo AB sen ADB0 arcsen 0 y después se B D 0 determinan los ángulos:
B0 DO 90o adm. ADB0 y
DOB0 2 adm. .
Figura 6.13. Diagrama para la formulación de las ecuaciones para la determinación del (6.37) centro de rotación de la leva de los mecanismos con el seguidor oscilante con el (6.38) cierre del par cinemático superior mediante la fuerza.
Posteriormente, empleando el teorema de senos
OB0 DB0 , en que sen B0 DO sen DOB0
sustituyendo el ángulo B0 DO por (6.37), el DOB0 por (6.38), despejando y simplificando, se determina el radio mínimo del círculo base:
r*min. OB0
DB0 cos adm. ADB0 . sen 2adm.
(6.39)
El empleo del método paramétrico, mucho simplifica los cálculos. En la figura 6.14 se muestra la presentación gráfica que ilustra este método. Sobre el segmento AB0 se construye el sistema de coordenadas s, s con el inicio en el punto B0 y se formulan las ecuaciones de la recta 0 0 y de la tangente 1 1 , es decir:
276
x0 t0 sen adm.
(6.40)
y0 t0 cos adm. y
x1 L2 L2 B1D1 cos 1 t1 sen adm. 1 y1 L2 B1D1 sen 1 t1 cos adm. 1
,
(6.41)
respectivamente. Donde t0 es el parámetro de la recta 0 0 y t1 es el de la tangente 1 1 . El punto de intersección de éstas se determinará mediante:
x0 x1 y0 y1
.
(6.42)
Ya que B1D1 es s1 , entonces el sistema de ecuaciones (6.41) obtiene la siguiente forma:
x1 L2 L2 s1 cos1 t1 sen adm. 1 y1 L2 s1 sen1 t1 cos adm. 1
.(6.43)
Sustituyendo (6.40) y (6.43) en (6.42) y Figura 6.14. Ilustración gráfica para la obtención después de ciertas simplificaciones se tiene: de las ecuaciones en forma paramétrica para los mecanismos con el seguidor oscilante.
r *min . t0
L2 cos adm. 1 L2 s1 cos adm. . sen 2 adm. 1
(6.44)
En la figura 6.14 también se muestra el modo de la determinación del centro del círculo base de radio mínimo del mecanismo con el cierre geométrico del par cinemático superior. Éste se ubica en el punto de intersección de la línea 1 1 tangente a la parte de subida del gráfico adicional y 2 2 tangente a la de retorno, es decir:
x1 x2 y1 y2
.
(6.45)
Suponiendo que el punto D2 es el de tangencia de la recta 2 2 a la parte de retorno, entonces el radio rmin. será igual al segmento O2B0.
277
Igualmente como en el ejemplo anterior, se deduce el sistema de ecuaciones de la tangente 2 2 , que tendrá la siguiente forma:
x2 L2 L2 s2 cos 2 t2 sen adm. 2 y2 L2 s2 sen 2 t2 cos adm. 2
(6.46)
y de la 1 1 que va a tener la forma (6.43). Al sustituir (6.43) y (6.46) en (6.45) se determina t1=O2D1 y t2=O2D2. Luego, sustituyendo en el sistema de ecuaciones (6.43) el coeficiente t1 por su valor se determinan las coordenadas x1 e y1 del punto O2 y empleando la fórmula igual a (6.34) se calcula rmin.. 6.3.3 Método gráfico de la determinación del centro de rotación de la leva del mecanismo con el seguidor de cara plana En los mecanismos de levas con el seguidor de cara plana el ángulo de presión no depende de la posición de la leva. Si la cara es perpendicular a la línea de acción del seguidor, el ángulo de presión en el par cinemático superior será igual a cero en todas las posiciones de la leva. Por consiguiente la condición adm. pierde significado y la fuerza motriz completamente se usará para el vencimiento de las fuerzas de resistencia. No obstante, como se observa en la figura 6.15, el punto de contacto B no coincide con el eje del seguidor y se traslada a lo largo de la cara, que provoca en el par cinemático deslizante C el momento de par de las fuerzas y por consiguiente las fuerzas de fricción. Si en los mecanismos de levas con el seguidor de cuña, de rodillo y de zapata curva el Figura 6.15. Esquema del incremento de las magnitudes de la leva es favorable, mecanismo de leva con el seguidor ya que esto disminuye las fuerzas de reacción en el par cinemático deslizante, en los mecanismos con el de cara plana. seguidor de cara plana el incremento de las dimensiones de la leva aumenta la magnitud del momento de par de las fuerzas y por consiguiente aumenta las fuerzas de fricción en este par cinemático. La disminución de las dimensiones de la leva tampoco se puede hacer sin límites ya que la forma del perfil de la leva puede obtener una parte plana o cóncava 0 que provocará golpes
278
duros. Así pues, para el mecanismo con el seguidor de cara plana el perfil de la leva debe ser convexo, que se expresa como:
0 i .
(6.47)
Esta condición se determina mediante el análisis del mecanismo equivalente, los conceptos principales de que están presentados en el capítulo 1.2.5. Para el mecanismo de leva de cara plana el mecanismo equivalente será formado por un mecanismo de primera clase, compuesto por la base y la manivela O1A, presentado en la figura 6.15, y el grupo estructural de segunda clase de quinta variedad, compuesto por dos correderas AB y BC. Al construir el polígono vectorial de aceleraciones a escala μL con el polo en el par cinemático de rotación A resulta que el polígono vectorial coincide con el triángulo O1 Ab del mecanismo equivalente, con esto se recibe:
r0 s B sB .
(6.48)
r0 s B sB 0 ,
(6.49)
Para el caso 0 se tiene:
y para el lo siguiente r0 sB sB
1 que se puede presentar en forma: 0
1 0, r0 sB sB
(6.50)
Sin embargo la desigualdad (6.50) se cumple solamente en el caso cuando el denominador es positivo, es decir cuando se cumple la desigualdad (6.49). Entonces, la condición (6.47) se reduce a la desigualdad (6.49), que en Teoría de Mecanismos y Máquinas se denomina desigualdad de Herónimus61. En la ecuación (6.49) se tiene:
1
sB . r0 sB
(6.51)
Al tomar 1 tan 45 , se recibe que:
61
J.L.Herónimus. 1933. Determinación del perfil de la leva por el movimiento dado de seguidor. “Técnica del flota aérea”, N3, Moscú, Rusia.
279
tan 450
sB . r0 sB
(6.52)
La fórmula (6.52) permite definir el centro de rotación de la leva empleando tanto métodos gráficos, como analíticos. La fórmula (6.52) tiene la siguiente interpretación gráfica. En el sistema de coordenadas s, s se construye el gráfico adicional s s s a escala µL. El modo de construcción del gráfico para el mecanismo con seguidor del movimiento lineal alternativo es el siguiente. En el sistema de coordenadas s, se construye el gráfico del desplazamiento del a) seguidor s s , que se muestra en la d) figura 6.16a. Luego, al derivarlo b) dos veces, se construye el gráfico de análogo de aceleraciones s s , que se presenta en la figura 6.16c. Después, en el sistema de coordenadas s, s , construido en la prolongación del eje φ del sistema s, se construye c) el gráfico adicional s s s . Éste está presentado en la Figura 6.16. Construcción del diagrama complementaria para los figura 6.16d. mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo.
280
Para facilitar la construcción del gráfico se usa la línea de escala p p que forma el ángulo arctan a con respecto al eje s. Luego en la porción negativa del gráfico L adicional a un ángulo 45° se traza la tangente . Si la excentricidad e 0 entonces el punto de la intersección de la tangente con el eje s se considera el centro de rotación de la leva del círculo base de radio mínimo rmin . así como se muestra en la figura 6.16d.
Si el mecanismo es con el seguidor oscilante, entonces el sistema de coordenadas s, s se construye de modo que el eje s coincida con la cuerda trazada a través de los puntos de contacto extremos del seguidor con la leva y el eje s coincida con la línea trazada a través del punto O2 de oscilación del seguidor, que está presentado en la figura 6.17. Los segmentos de Figura 6.17. Determinación del centro de los análogos de las aceleraciones se construyen rotación de la leva del mecanismo con el en los rayos, partidos desde el centro de seguidor oscilante. oscilación del seguidor O2. El centro de rotación de la leva se determina en el punto de intersección de la tangente trazada a la porción negativa del gráfico adicional con el eje s, si el centro de rotación de la leva debe ser ubicado en este eje. 6.3.4 Método analítico de la determinación del centro de rotación de la leva del mecanismo con el seguidor de cara plana 62 Para el mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo se utilizan los razonamientos expuestos. Con esto la fórmula (6.49) es más conveniente presentar en la siguiente forma:
r0 sB sB .
(6.53)
Así como en el ejemplo presentado en el capítulo 6.3.2 el radio mínimo debe tener valor máximo. Esto permite emplear el enfoque ya expuesto. El método consiste en la igualación a cero de la derivada de la ecuación (6.53), es decir:
r s s 0 . 62
(6.54)
Boris F. Voronin, Salvador Gutiérrez-Alcalá (2010). Diseño analítico de los mecanismos planos de levas de magnitud mínima. Revista Iberoamericana de ingeniería Mecánica, Vol. 14, Núm. 1. ISSN 1137-2729. UNED, Madrid, España, pp. 3-14.
281
Por consiguiente con la resolución de la ecuación (6.54) se determina la posición * angular de la leva en la cual la recta, trazada a 45º con respecto a la trayectoria del seguidor, es tangente a la parte negativa del gráfico adicional s s s . A continuación se muestra un ejemplo con el uso de este método. Para esto se elige la siguiente ley de movimiento del seguidor en la fase de retorno:
1 2 s H 1 sen , 2 s
2H 2 sen , 2
s s
H 2 1 cos , 4 H 2 cos , 3 2
(6.55)
donde H es la carrera del seguidor, φ es la posición angular de la leva y β es el ángulo de la fase de retorno de la misma. Para el cálculo se eligen los siguientes datos: la excentricidad e 0 , la carrera del seguidor H 0.2,m y el ángulo de la fase de retorno
60º . El ángulo de la fase de subida no se tomará en cuenta. Para el ejemplo seleccionado la ecuación (6.53) tiene la siguiente forma:
1 2 2 H 2 r0 H 1 sen 2 sen 2
(6.56)
y la (6.54) la que sigue: H r
2 4 2 2 1 cos cos . 2
(6.57)
Para que la recta trazada un ángulo 45° sea tangente al gráfico adicional debe ser satisfecha la igualdad: r 0 .
(6.58)
Al analizar la ecuación (6.57) se puede concluir que la ecuación (6.58) será satisfecha en un solo caso, cuando el coeficiente, que está entre los paréntesis, es igual a cero. Su solución tiene la siguiente forma:
282
*
2 . arccos 2 2 2 4
(6.59) o
Sustituyendo en (6.59) el ángulo por su valor numérico, se tiene * 15.272874 y, resolviendo la (6.56) con el valor de * obtenido, se recibe rmin 0.09645m o rmin 96.45 mm . El método, así como en el ejemplo anterior, se comprueba a través de su contraparte gráfica. La tabla 6.3 incluye los datos necesarios para la construcción del gráfico adicional y en Tabla 6.3. Datos para la construcción del diagrama adicional
Figura 6.18. Prueba de la validez del método analítico de la determinación del centro de rotación de la leva del mecanismo con el seguidor de cara plana mediante la construcción gráfica. 283
la figura 6.18 se presenta la resolución gráfica del problema. En el sistema de coordenadas s, s se construye el gráfico adicional para la fase de retorno y a un ángulo 45º, con respecto al eje s , se traza la tangente a su porción negativa. El punto O1 de intersección de la tangente con el eje s se considera el centro de rotación de la leva cuyo radio del círculo base va a tener magnitud mínima. La longitud del segmento entre el punto O1 y el inicio del sistema de coordenadas indica la magnitud del radio mínimo del círculo base de la leva. Al medir la longitud de éste con la regla de escala se obtiene rmin 97 mm , que manifiesta plena coincidencia con el enfoque analítico presentado. El método presentado también se puede usar para el mecanismo con el seguidor oscilante en que la ley del movimiento se presentará en forma f , donde φ es el ángulo de giro de la leva y es el de oscilación del seguidor. Para este mecanismo la ecuación (6.53) toma la siguiente forma:
r0 L2 ,
(6.60)
donde es el análogo de aceleración angular del seguidor en la posición , L2 es la longitud convencional del seguidor, se toma la distancia entre el eje de oscilación y el punto de contacto. Debido a que el punto de contacto cambia de posición, la longitud convencional es variable. Entonces la derivada de (6.60) obtiene la siguiente forma:
r L2 L2 0 ,
(6.61)
donde L2 es la velocidad del movimiento del punto de contacto sobre la superficie del seguidor. Al analizar la ecuación (6.61) se llega a una conclusión que ésta es de soluciones múltiples, ya que tiene dos incógnitas L2 y L2 . Para resolverla es necesario usar métodos numéricos con el análisis posterior de los resultados o, que es más práctico, excluir una de las incógnitas. Por ejemplo, es posible excluir de las incógnitas la variabilidad de la longitud del seguidor eligiendo la magnitud constante de ésta tomando L2 const . En este caso L2 0 y ya que L2 0 la ecuación (6.61) obtiene la siguiente forma: .
(6.62)
Con la resolución de la ecuación (6.62) se encuentra la posición angular de la leva * en que la línea, trazada un ángulo 45° es tangente al gráfico adicional. Luego al sustituir los datos obtenidos en (6.60) se calcula el radio mínimo rmin de la leva. 284
6.4 Construcción del perfil de la leva Para que en adelante sean claros los procedimientos en el análisis y en la síntesis de mecanismos con pares cinemáticos superiores, es conveniente ponerse de acuerdo con los siguientes términos: cualquier acoplamiento mediante el par cinemático superior se nombrará engranaje; método, que se usará para la obtención de un perfil mediante el otro con la configuración distinta de la que se obtiene, como método de generación; acoplamiento de la herramienta de corte con la materia prima, se llamará engranaje de generación; la superficie que se obtiene mediante el método de generación, obtendrá nombre superficie generada y el contorno del filo de la herramienta de corte que genera la superficie generada como generador o superficie generadora. El maquinado de las levas de los mecanismos con el seguidor de rodillo y de zapata curva se puede realizar de modo que la forma de la superficie generadora repita la de la punta del seguidor que toca la superficie del perfil de la leva. En este caso el engranaje de generación repite el del mecanismo real. Por eso, en muchos casos, para estos mecanismos es suficiente determinar el perfil de la curva de paso que traza el centro del rodillo o el centro de la curvatura de zapata curva con respecto a la leva. Sin embargo, este se puede realizar solamente en el proceso de fresado. El rectificado de la leva, como es habitual, se realiza con la piedra de esmeril de otro diámetro en que el engranaje de generación no coincide con el engranaje del mecanismo real. Además, el engranaje de los mecanismos de levas con el seguidor de cuña y de cara plana es irrepetible en el maquinado de las levas. Entonces para el maquinado de las levas de estos mecanismos se necesita obtener no solamente el perfil de la curva de paso sino también el de la superficie del perfil de la leva. Posteriormente la configuración de éste permite obtener el perfil de la curva de paso de la herramienta de corte. Más adelante se presentan el método gráfico y los analíticos de la construcción del perfil de la leva. Así como antes el primero se muestra el método gráfico. 6.4.1 Método gráfico de la construcción del perfil de la leva En la construcción gráfica del perfil de la leva se usa el método de Willis del movimiento opuesto según el cual a todo el mecanismo se le proporciona el movimiento giratorio con respecto al centro de rotación de la leva con la velocidad angular igual a la de la leva en el sentido opuesto. Con esto la leva, con respecto al sistema de coordenadas inmóvil, se pone inmóvil y el resto del mecanismo, incluyendo la base, gira con respecto al centro de rotación de la leva con la velocidad angular 1 . En las figuras 6.19…6.21 se muestra la aplicación gráfica de este método. En la figura 6.19 se muestra el uso del método de Willis para la construcción del perfil de la leva del mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo de rodillo y en la figura 6.20 del mecanismo con el seguidor de cara plana. En la figura 6.21 se muestra el uso de 285
mismo método para la construcción del perfil de la leva del mecanismo con el seguidor oscilante de rodillo. Datos principales para la construcción son los siguientes: radio del círculo base r0 y la ley del movimiento del seguidor. La ley del movimiento del seguidor puede ser presentada en forma analítica, gráfica o en forma de tabla. Para la mejor comprensión del método, la explicación de la construcción del perfil de la leva se divide por el tipo del movimiento del seguidor en dos grupos: en los mecanismos de levas con el seguidor del movimiento lineal alternativo, que sea con la punta en forma de cuña, de rodillo, de zapata curva o de cara plana, y los con el seguidor oscilante. Para la construcción del perfil de la leva del mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo de rodillo, de zapata curva y de cuña además de los datos antes presentados se les da la excentricidad e. En mecanismos con el seguidor de cara plana la línea de la acción del seguidor, como regla, pasa a través del centro de rotación de la leva, por consiguiente e 0 . Para todos estos mecanismos la ley del movimiento del seguidor se presenta en forma sB f . Antes que nada se construye el gráfico del desplazamiento del seguidor. Éste se construye en el sistema de coordenadas s, en que el eje s se traza paralelamente a la línea de acción del punto B del seguidor y el eje φ coincidente con la línea que pasa a través de este punto en la posición cuando el punto B del seguidor está en la frontera del círculo base y de la fase de subida. En el gráfico del desplazamiento se indica la fase de subida y la de retorno, en las figuras 6.19 y 6.20 la fase de retorno no está presentada, y luego cada una de estas fases se divide en varias partes iguales. El movimiento opuesto del Figura 6.19. Método gráfico de la construcción de perfil de la leva mecanismo se manifiesta en del mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo el giro de la base del de rodillo. 286
mecanismo con respecto al centro de rotación de leva O1, que en las figuras 6.19 y 6.20 se marca como O10*. Ya que en un ciclo la base gira un ángulo 2 radian entonces éste se divide en fases correspondientes a las del gráfico del desplazamiento. Luego la fase de subida y la de retorno se dividen en un número de partes igual al número de partes en que se dividen las mismas fases en el gráfico del desplazamiento. Las posiciones de la base del mecanismo indican los rayos trazados a través del centro de rotación de la leva, en las figuras 6.19 y 6.20 éstas están enumeradas como O11*, O12*, O13*, etc. Después para cada posición de la base se traza la trayectoria del punto B del seguidor. Para los mecanismos con el seguidor de rodillo, de zapata curva, de cuña y de cara plana presentados en las figura 6.19 y 6.20, la trayectoria del punto B es una recta trazada a una distancia e paralelamente a la posición de la base. Para Figura 6.20. Método gráfico de la construcción del perfil de la leva facilitar la construcción de del mecanismo con el seguidor de movimiento lineal alternativo de la trayectoria del punto B cara plana. del seguidor, desde el centro de rotación de la leva se traza una circunferencia del radio e, por eso la trayectoria del punto B se traza tangente a esta circunferencia. Si e 0 entonces la trayectoria del punto B coincide con la línea de la base. En el diseño de los mecanismos de levas con el seguidor de rodillo, de zapata curva y de cuña al principio se construye la curva de paso que traza el centro B del rodillo o de zapata curva, o la punta de la cuña. Los puntos que pertenecen a la curva de paso se hallan en la intersección de la trayectoria del punto B del seguidor con la línea de transferencia de los puntos correspondientes desde el gráfico del desplazamiento. Al unir todos los puntos de intersección mediante una curva suave se construye la de paso. Luego se construye el perfil de la leva. Para los mecanismos de levas con el seguidor de cuña, la curva de paso y el perfil de la leva coinciden. Para los con el seguidor de rodillo y de zapata curva, éstos son diferentes. Para estos mecanismos el perfil de la leva se construye como la curva equidistante de la de paso con una distancia igual al radio del rodillo o de la configuración de la zapata curva. Por ejemplo, para el mecanismo con el seguidor de rodillo presentado en la figura 6.19, el perfil de la leva se construye como la curva tangente a las circunferencias del radio igual al del rodillo con el centro partido sobre la curva de paso. 287
La construcción del perfil de la leva del mecanismo de leva con el seguidor de cara plana es diferente. Esto es debido a que el punto B define la posición de la cara con respecto al centro de rotación de la leva y no forma la curva de paso, ni el perfil de la leva. Como se observa en la figura 6.20 en estos mecanismos el perfil de la leva se traza como una curva suave tangente a las perpendiculares restablecidas en los puntos B del seguidor. Para el mecanismo con el seguidor oscilante, así como se muestra en la figura 6.21, además de los datos presentados al principio del capítulo se le da la distancia entre los centros O1O2. Con todo eso la ley del desplazamiento del seguidor se presenta en una forma f , o en la otra sB f cuando el arco de la trayectoria de la punta del seguidor se simplifica hasta una línea recta. El diseño del mecanismo de leva con el seguidor oscilante se realiza de modo que los ángulos de presión en el inicio y en el final de la fase de subida sean iguales. Por eso el centro de rotación de la leva se elige sobre la cuerda que pasa a través de los puntos extremos de la trayectoria de la punta del seguidor. Luego en la mitad de ésta se traza una perpendicular en que debe ser ubicado el centro de oscilación O2 del seguidor. Éste se determina en la intersección del arco del radio LO1O2 trazado a partir del punto O1 con la perpendicular. Los puntos O1 y O2 se unen con la línea axial O1O2 que caracteriza la posición de inicio de la base del mecanismo.
Figura 6.21. Método gráfico de la construcción de perfil de la leva del mecanismo con el seguidor oscilante de rodillo.
288
Igualmente como en los ejemplos anteriores al principio, en el sistema de coordenadas s, , se construye el gráfico del desplazamiento del seguidor. El sistema de coordenadas se construye de modo que el eje s sea paralelo a la cuerda trazada a través de los puntos extremos de la trayectoria de la punta del seguidor y el eje φ sea paralelo a la perpendicular trazada en la mitad de la misma. El inicio del sistema de coordenadas se ubica en la línea que pasa a través del inicio del desplazamiento del punto B del seguidor. El movimiento opuesto del mecanismo se manifiesta en el giro de la línea axial O1O2 con respecto al centro de rotación de leva O1. Ya que en un ciclo la base gira con respecto al centro de rotación de la leva un ángulo 2 radian, entonces, a partir de la posición de inicio de la base, este ángulo se divide en las fases correspondientes a las del gráfico del desplazamiento y las fases se dividen en un número de partes igual al número de partes en que se dividen las fases del gráfico del desplazamiento. Luego a partir del punto O1 se traza la circunferencia del radio LO1O 2 y en la intersección de ésta con los rayos trazados a través del centro de rotación de la leva, se definen otras posiciones del centro de oscilación del seguidor O2 que están enumerados con cifras con asterisco. Después para cada posición del mecanismo se traza la trayectoria del punto B del seguidor presentada por el arco trazado a partir de los puntos O2 con el radio igual a la longitud del seguidor LO 2 B . En la intersección de este arco con la línea de transferencia de los puntos desde el gráfico del desplazamiento se hallan los que pertenecen a la curva de paso. De igual modo, como para los ejemplos anteriores, al unir todos los puntos de intersección mediante una curva suave se construye la curva de paso. El perfil de la leva se construye como la curva equidistante de la de paso con una distancia igual al radio del rodillo. 6.4.2 Método de coordenadas polares de la construcción del perfil de la leva Sistema de coordenadas polares es uno en que la posición de un punto se define por un ángulo, que determina la posición angular de una línea denominada eje polar trazada desde el origen de referencia, y una distancia del punto desde este origen, llamada como radio vector. Para los mecanismos de levas el método en forma general se presenta del siguiente modo. Se toma el mecanismo de leva en la posición de inicio 0 . Como la de inicio se elige el punto inicial de la fase de subida. En esta posición el punto de toque del seguidor con la curva de paso de la leva se ubica en el círculo base. El radio vector de este punto será el origen de paso y se toma como el eje polar el que se fija a la leva. Con respecto al eje 289
polar se definen las posiciones de los radios vectores de otros puntos del seguidor que tocan la curva de paso de la leva. Así pues, al girar la leva con respecto al centro de rotación con la velocidad angular ω1, junto con ella va a girar el eje polar y el seguidor va a realizar el movimiento, correspondiente a la ley dada. Las coordenadas de un punto del seguidor, para cierta posición de la leva, determinan: la magnitud del radio vector r , que es la primera coordenada polar, y la distancia angular de este punto con respecto al eje polar, que es la segunda coordenada polar. Para el mecanismo con el seguidor de rodillo se debe definir las coordenadas del centro del rodillo que determinan la curva de paso y las del punto de contacto del rodillo con la leva que definen el perfil de la leva. Para el mecanismo con el seguidor de cara plana el perfil de la leva definen los puntos de contacto de la cara con la superficie del perfil de la leva. Para los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo la ley del movimiento del seguidor se expresa así s , s , s , donde s, s, s son el desplazamiento lineal, el análogo de velocidad y el análogo de aceleración de la punta del seguidor, y para los mecanismos con el seguidor oscilante se expresa en forma , , , donde , , son el ángulo del desplazamiento del seguidor, el análogo de velocidad angular y el análogo de aceleración angular del seguidor respectivamente. Construcción del perfil de la leva de los mecanismos con el seguidor de rodillo. En las figuras 6.22 y 6.24 están mostrados dos esquemas del mecanismo de leva con el seguidor de rodillo. Uno es con el seguidor del movimiento lineal alternativo, presentado en la figura 6.22, y el otro es con el seguidor oscilante, mostrado en la figura 6.24. Al inicio del movimiento el seguidor toca el círculo base de la leva y ocupa la posición B. Al girar la leva con respecto al centro de rotación O1 un ángulo φ el punto B de la leva se traslada a la posición B0 y el B del seguidor a la posición B* situado a una distancia sB2 desde la B. Entonces para la nueva posición de la leva el radio vector r B , que en la figura 6.22 es igual al * segmento O1B , será el primer eje polar. El segundo eje polar será el ángulo de la distancia * angular del primer eje polar O1B desde la 290
Figura 6.22. Esquema auxiliar para la construcción analítica de la curva de paso de los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo.
posición inicial del punto de contacto del seguidor con la curva de paso, que es el segmento O1B0. Estas dos coordenadas, el radio vector r B y el ángulo , determinan la ubicación del punto de toque del seguidor con la curva de paso de la leva. Entonces, al examinar la figura 6.22 para el mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo para el punto B ubicado en la curva de paso la primera coordenada polar en el triángulo O1 BD se determinará mediante:
rB O1D 2 DB* e 2 s B 2 r0 2 e 2 2
2
,
(6.63)
* y la segunda, que es el ángulo δ entre el segmento O1B0 y el O1B , se calculará por:
0 .
(6.64)
Los términos en la fórmula (6.63) son conocidos y en la (6.64) son:
y
e 0 arcsen , r0
(6.65)
e arcsen rB
(6.66)
.
La aplicación del método de coordenadas polares para la determinación del perfil de la leva se ilustra en la figura 6.23a, en que las coordenadas polares del perfil de la leva determinan los puntos de contacto C del rodillo con la superficie de la leva. Las * coordenadas polares de este punto son el radio vector r C y el ángulo CO1B . Como es conocido en el teorema general de engranajes (véase el capítulo 5.1.2) el punto de contacto C del rodillo con la leva se ubica en la normal común n n que se define de una sola manera ya que atraviesa el centro de rotación del rodillo B y su dirección, según el mismo teorema, es perpendicular a la velocidad relativa de las superficies conjugadas. Entonces, para definir el radio vector rC en la figura 6.23 se traza la normal común n n hasta la intersección con el eje que pasa a través del centro de rotación de la leva O1 perpendicularmente a la trayectoria del seguidor. El punto de intersección se marca * con la letra A y en el triángulo O1B C se determina la magnitud de la primera coordenada polar: 291
rC rB 2 rr 2 2 rB rr cos O1 B * A ,
(6.67)
donde rr es el radio del rodillo. En la fórmula (6.67) el ángulo O1B A se obtiene en el triángulo O1 B * A . Para determinarlo y con esto determinar la orientación angular de la normal común n n se deduce la ecuación vectorial de velocidades: *
v B 2 v B1 v B 2 B1 .
b)
(6.68)
En la figura 6.23b se muestra el polígono vectorial, como la resolución de la ecuación (6.68). Al analizar el polígono * vectorial y el triángulo O1 AB se llega a una conclusión que el triángulo pvb1b2 a) del polígono vectorial es semejante al Figura 6.23. Esquema auxiliar para la O1 AB* . Esto establece la correlación determinación de las coordenadas polares del entre los análogos de velocidades y los punto de contacto para los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo. * segmentos del triángulo O1 AB del esquema del mecanismo, donde el segmento O1A, por magnitud, es igual al análogo de velocidad ( sB 2 ) del punto B del seguidor, el radio vector r B es igual al sB1 y el segmento AB* al análogo de velocidad sB 2 B1 presentados a escala L. Así pues, utilizando dicha igualdad, en la figura 6.23a se determina el análogo de velocidad del movimiento del punto B del seguidor con respecto al B de la leva. Éste tiene la siguiente forma:
sB 2 B1 AB* AD 2 DB* , 2
(6.69)
donde AD AO1 O1D y DB* DB BB* . Ya que AO1 es sB 2 , O1D es la excentricidad e, DB r0 2 e 2 y BB* es s B 2 , entonces:
sB 2 B1
r0 e sB 2 2
2
292
s 2
B2
e . 2
(6.70)
* * Por último, en el triángulo O1B A se determina el ángulo O1B A como: 2 2 2 r s s B 2 B1 B2 O1B* A arccos B , 2 r s B B 2 B1
(6.71)
en que rB se determina por la fórmula (6.63). Al determinar por la fórmula (6.63) la primera coordenada polar, se halla la segunda, que es el ángulo CO1B0 , que está dada por:
CO1B0 ,
(6.72)
donde el ángulo se determina por la fórmula (6.64) y γ así: r 2 rC 2 rr 2 arccos B . r r 2 B C
(6.73)
En la figura 6.24 se muestra el mecanismo de leva con el seguidor oscilante de rodillo. En ésta, mediante O1O20B0 se marca la posición de inicio de la base y del seguidor con respecto a la leva, y mediante O1O2B* al girar la leva un ángulo φ. Para el centro del rodillo B del seguidor ubicado en la curva de paso, la primera coordenada polar será el radio vector r B y la segunda el ángulo . La primera coordenada polar se Figura 6.24. Esquema auxiliar para la construcción del determina a partir del triángulo perfil de la leva para los mecanismos con el seguidor oscilante. * OO B mediante: 1 2 rB L2 2 LO1O 2 2 2 L2 LO1O 2 cos O1O2 B* , * donde el ángulo OO 1 2 B se calcula por:
293
(2.74)
* OO 1 2B .
(6.75)
En la fórmula (6.75) el ángulo se calcula en el triángulo O1O20 B0 mediante: L2 2 LO1O 2 2 r0 2 arccos , 2 L L 2 O1O 2
(6.76)
y el ψ se toma en la ley del movimiento del seguidor presentada en forma analítica, gráfica o en forma de tabla. La segunda coordenada polar, el ángulo , se obtiene mediante:
B*OO 1 2 B0OO 1 20 ,
( 6.77)
donde el ángulo B*O1O2 se determina como: rB 2 LO1O 2 2 L2 2 B O1O2 arccos , r L 2 B O1O 2 *
(6.78)
y el ángulo B0O1O20 en el triángulo O1O20 B0 se determina por: r 2 LO1O 2 2 L2 2 B0O1O20 arccos 0 . 2 r L 0 O1O 2
(6.79)
Para la determinación de las coordenadas polares de los puntos de contacto C se usan razonamientos iguales a los presentados para el mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo. Al trazar en la figura 6.24a una recta O1A paralelamente a O2B* y construir el polígono vectorial de velocidades para el punto B* del seguidor a escala L, que se muestra en la * figura 6.24b, se llega a la conclusión de que los triángulos pvb1b2 y O1B A son semejantes. Por eso, como en el ejemplo anterior, sB 2 O1 A , donde sB 2 L2 , sB1 rB * y sB 2 B1 AB .
Entonces la primera coordenada polar en la figura 6.24a es el radio vector r C que se determinará por la fórmula: rC rB 2 rr 2 2 rB rr cos O1B * A . 294
(6.80)
* En el triángulo O1B A se determina
sB 2 B1 AB *
sB 2
2
rB 2 2 sB 2 rB cos AO1B* ,
(6.81)
* * donde AO1B O1B O2 ya que AO1 es paralelo a B*O2. Entonces:
rB 2 L2 2 LO1O 2 2 AO1B arccos . r L 2 B 2
(6.82)
La segunda coordenada polar, el ángulo CO1 B0 , se determinará mediante: CO1B0 ,
(6.83)
donde se calcula por la fórmula (6.77) y γ con el uso de la fórmula igual a (6.73). Construcción del perfil de la leva de los mecanismos con el seguidor de cara plana. En la figura 6.25a se muestra el esquema de este mecanismo. Las coordenadas polares para éste son: el radio vector rB del punto de contacto C de la cara con el perfil de la leva y el ángulo de la posición de este punto con respecto al eje polar O1B0. La primera coordenada polar se determina en el b) * triángulo O1B C mediante: rB
r0 sB 2
2
e2 .
(6.84)
Para determinar el desplazamiento e del punto de contacto de la cara con el perfil de la leva se emplean los razonamientos iguales a los presentados para los mecanismos con el seguidor de rodillo. la Al deducir ecuación vectorial de velocidades v B 2 v B1 v B 2 B1 y construir el polígono vectorial a escala μL se observa a) * que el triángulo O1B C en la figura 6.25a es Figura 6.25. Esquema auxiliar para semejante al polígono vectorial de velocidades la construcción analítica del perfil de presentado en la figura 6.25b. Entonces: rB sB1 , la leva del mecanismo con el
O1B* sB2 B1 y
seguidor de cara plana.
e sB 2 .
Por consiguiente la fórmula (6.84) adquiere la siguiente forma: 295
(6.85)
rB
r0 sB 2 sB 2 2
2
,
(6.86)
La segunda coordenada polar, el ángulo δ, que define la posición angular del radio vector r B con respecto al eje polar O1B0, se determina mediante:
donde
,
(6.87)
s arctan B 2 . r0 sB 2
(6.88)
Para este mecanismo hay que adicionar que el uso de la fórmula (6.85) también permite definir la magnitud de la cara plana que es igual a la magnitud de e máxima. Para esto se deriva la ecuación (6.85) y la derivada se iguala a cero. Con esto se tiene: e sB 2 0 .
(6.89)
Con la resolución de la ecuación (6.89) se determina el ángulo φ* de la posición de la leva cuando la magnitud de e es máxima. Luego el resultado de éste se utiliza en (6.85) para determinar emax..
b)
6.4.3 Construcción del perfil de la leva en forma paramétrica En la figura 6.26 se ilustra la interpretación gráfica de este método según el cual se construye dos sistemas de coordenadas con el inicio en el centro de rotación de la leva O1. Un sistema S(x, y), se elige inmóvil, unido a) rígidamente con la base y en éste se coloca el seguidor. El otro S1(x1, y1) se Figura 6.26. Esquema auxiliar para la deducción de elige móvil, unido rígidamente con la las ecuaciones de construcción del perfil de la leva en leva. El sistema de coordenadas móvil forma paramétrica, para el mecanismo con el S1 junto con la leva gira con respecto al seguidor del movimiento lineal alternativo de rodillo. centro de rotación O1 con la velocidad angular ω1 con respecto al sistema de coordenadas inmóvil S. Con esto el seguidor obtiene el movimiento en el sistema de coordenadas S correspondiente al movimiento de la leva. En el sistema de coordenadas S se definen las coordenadas del punto B del 296
seguidor. Al presentar las mismas coordenadas en el sistema de coordenadas S1 se obtiene la ecuación de la curva de paso. Para definir la ecuación del perfil de la leva se hallan las condiciones de engranaje que definen las coordenadas del punto de contacto C de la superficie generadora con la que se genera. Al transferir las coordenadas de este punto en el sistema de coordenadas móvil S1, se obtiene la ecuación de la superficie que se genera. Aquí hay que notar que en la construcción del perfil de la leva mediante esta forma, el movimiento giratorio de la leva en el sentido contrario al reloj, con respecto al sistema de coordenadas inmóvil, se considera positivo ya que el sentido del vector velocidad angular de la leva coincide con el sentido del eje Z del sistema de coordenadas. Para obtener la ecuación de engranaje se usa el teorema general de engranajes, que se expresa mediante la ecuación (5.13). El método se ilustra con el mecanismo de leva con el seguidor del movimiento lineal alternativo de rodillo presentado en la figura 6.26a. Para este mecanismo se toman los siguientes datos: el radio del círculo base r0 de la leva, la ley del movimiento del seguidor y la excentricidad e. A partir del punto O1 se construyen dos sistemas de coordenadas: inmóvil S(x, y), unido rígidamente con la base en que se coloca el seguidor, y móvil S1(x1, y1), unido rígidamente con la leva que gira con respecto al punto O1 con la velocidad angular ω1 con respecto al sistema S. El seguidor colocado en el sistema de coordenadas S define las coordenadas del punto B* del mismo y del C del contacto del rodillo con el perfil de la leva. Al inicio del movimiento el centro de rotación del rodillo del seguidor estará en la posición B, que se ilustra en la figura 6.26. Al girar la leva junto con el sistema de coordenadas S1 un ángulo φ1, el punto B, que pertenece a la leva, se trasladará a la posición B0, el B, que pertenece al seguidor, se trasladará a la posición B* y el punto de contacto del rodillo con el perfil de la leva resultará en la posición C. La tarea consiste en la determinación de las coordenadas de los puntos B del seguidor y de los C del rodillo en el sistema de coordenadas móvil S1 que con el movimiento uniforme de la leva van a presentar la ecuación de la curva de paso y del perfil de la leva. La curva plana en teoría de engranajes, en forma general, se presenta como:
r f ,
(6.90)
o, pasando a las proyecciones sobre los ejes del sistema de coordenadas, mediante:
297
x f y
.
(6.91)
Las coordenadas de los mismos puntos en el sistema de coordenadas móvil S1, en forma general, se presentan así: r1 M 10 r ,
(6.92)
donde M10 es la matriz de transferencia en el sistema de coordenadas S1 desde el S y r es el radio vector del punto del seguidor presentado en el sistema de coordenadas S. Para el esquema presentado en la figura 6.26a, la matriz de transferencia estará presentada en la siguiente forma:
cos 1
sen 1 0
M 10 sen 1 cos 1 0 . 0
0
(6.93)
1
y el radio vector r, presentado en función de las coordenadas del punto B del seguidor escritas en el sistema de coordenadas S como: xB 2 e yB 2 sB 2 r0 2 e 2
,
(6.94)
Al multiplicar (6.93) por (6.94) se obtiene la ecuación de la curva de paso, su forma es:
xB1 e cos 1 sB 2 r0 2 e 2 sen 1
yB1 e sen 1 sB 2 r0 e 2
2
cos
.
(6.95)
1
Luego se deduce la ecuación de la curva del perfil de la leva. Ésta se obtiene mediante razonamientos iguales a los que fueron empleados en el método de coordenadas polares. Al deducir la ecuación vectorial de velocidades: v B 2 v B1 v B 2 B1 ,
(6.96)
se construye el polígono vectorial, el que se muestra en la figura 6.26b. Luego en el esquema del mecanismo presentado en la figura 6.26a se traza la normal común n n a través del centro de rotación B del rodillo hasta la intersección con el eje X. Con esto se 298
obtiene el triángulo O1B* A que resulta semejante al pvb1b2 del polígono vectorial de velocidades. De la similitud de los triángulos resulta que la magnitud del segmento AB* es igual a la del análogo de velocidad sB 2 B1 diseñado a escala μL, el segmento O1A al sB 2 y la magnitud del radio vector r B , el que en (6.94) se determina mediante: rB
xB 2
2
y B 2 e2 sB 2 r02 e 2 , 2
(6.97)
es igual al análogo de velocidad sB1 . Con estos razonamientos se determina el ángulo β de la dirección de la normal común n n . Éste va a tener la siguiente forma: sB 2 e arctan s r 2 e2 0 B2
.
(6.98)
Luego se definen las coordenadas del punto C del rodillo presentado en el sistema de coordenadas S:
xC 2 e rr sen yC 2 sB 2 rr cos r0 2 e 2
.
(6.99)
Al multiplicar (6.93) por (6.99) se obtiene la ecuación del perfil de la leva. Su forma es:
xC1 e rr sen cos 1 sB 2 rr cos r0 2 e 2 sen 1
yC1 e rr sen sen 1 sB 2 rr cos r0 e cos 1 2
2
.
(6.100)
Para el mecanismo con el seguidor oscilante de rodillo, mostrado en la figura 6.27a, se toman los datos siguientes: el radio del círculo base de la leva r0, la longitud del seguidor L2, la distancia entre los centros LO1O2 y la ley de movimiento del seguidor que se expresa como 2 f 1 o mediante sB 2 f 1 , donde ψ2 es el desplazamiento angular del seguidor y sB2 es el desplazamiento lineal de la punta del mismo. Si la distancia entre los centros no se conoce, entonces, el centro de rotación de la leva se elige sobre la cuerda que pasa a través de los puntos extremos de la trayectoria del punto B. La leva gira en el par cinemático de rotación O1 con velocidad angular ω1. Igualmente como en el ejemplo anterior, a partir del centro de rotación de la leva O1 se construyen los sistemas de coordenadas: inmóvil S(x, y) y móvil S1(x1, y1). En la figura 6.27a está presentado el esquema del dicho mecanismo colocado en el sistema de 299
coordenadas S de modo que la base del mecanismo O1O2 coincida con el eje X. El sistema de coordenadas S1 se une rígidamente con la leva y gira junto con ésta con respecto al punto O1 en el sistema de coordenadas S. El seguidor 2 se coloca en el sistema de coordenadas S en que se definen las coordenadas del punto B de éste y del C del contacto del rodillo con el perfil de la leva. En la fase de subida la posición de inicio del centro de rotación del rodillo del seguidor es B. Al girar la leva un ángulo φ1, el punto B, que pertenece a la leva, se traslada a la posición B0 y B, que pertenece al seguidor, a la B*. Entonces al girar la leva junto con el sistema de coordenadas S1 un ángulo φ1 el seguidor ocupará la posición O2B* y el punto de contacto del rodillo con el perfil de la leva se ubicará en la posición C. Para este mecanismo la tarea también consiste en la determinación de las coordenadas de los puntos B, ubicados en la curva de paso, y de los C, que definen el perfil de la leva. El procedimiento del cálculo es semejante al del anterior.
b)
a) Figura 6.27. Diagrama para la obtención de las ecuaciones de la construcción del perfil de la leva en forma paramétrica para el mecanismo con el seguidor oscilante de rodillo.
La ley del movimiento del seguidor puede ser dada en dos formas. En la dependencia del ángulo de giro del seguidor en función del ángulo de giro de la leva: 2 2 1 , 2 2 1 y 2 2 1 , donde 2 es el desplazamiento angular del seguidor, 2 es el análogo de velocidad angular y 2 es el análogo de aceleración angular del mismo. Si el arco de la trayectoria del seguidor se simplifica hasta una recta, entonces se toma la dependencia del desplazamiento lineal de la punta del seguidor en función del ángulo de giro de la leva. La forma de su expresión es la misma que está presentada en la tabla 6.1. La velocidad del punto B del seguidor vB2 y la angular 2 de éste se relacionan entre sí del siguiente modo vB 2 L2 2 . El análogo de velocidad se presenta v como: s B 2 B 2 . 1
300
Aquí la ley del movimiento del seguidor se toma en forma de la dependencia del ángulo de giro del seguidor en función del ángulo de giro de la leva. Entonces las coordenadas del punto B del seguidor se presentarán en el sistema de coordenadas S así:
xB 2 LO1O 2 L2 cos 2 yB 2 L2 sen 2
,
(6.101)
donde el ángulo se determina por la fórmula: L2 2 LO1O 2 2 r0 2 arccos . 2 L2 LO1O 2
(6.102)
Al multiplicar (6.93) por (6.101) se recibe la ecuación de la curva de paso: xB1 LO1O 2 L2 cos 2 cos 1 L2 sen 2 sen 1 yB1 LO1O 2 L2 cos 2 sen 1 L2 sen 2 cos 1
.
(6.103)
Las coordenadas del punto de contacto C en el mismo sistema de coordenadas S se presentarán mediante:
xC 2 LO1O 2 L2 cos 2 rr sen yC 2 L2 sen 2 rr cos
,
(6.104)
donde β es el ángulo de orientación de la normal común n n con respecto al sistema de coordenadas S. Al trazar en la figura 6.27a la línea O1A paralelamente a O2B* y la normal n n hasta la intersección con ésta se obtiene que:
O1B* A B*O1 y ,
(6.105)
x donde B*O1 y arctan B 2 . yB 2
Para determinar el ángulo O1 B* A se deduce la ecuación vectorial de velocidades: v B 2 v B1 v B 2 B1 ,
301
(6.106)
y, para la resolución de ésta, se construye el polígono vectorial que está presentado en la figura 6.27b. Comparando el triángulo del polígono vectorial pvb1b2 con el triángulo
O1B* A se llega a una conclusión que éstos son semejantes. Entonces empleando el procedimiento antes expuesto, se concluye que rB es igual a sB1 trazado a escala L, O1A es igual a sB 2 y AB* a sB 2 B1 trazados a la misma escala. Entonces la ecuación para la determinación del ángulo O1 B* A se presenta como:
rB 2 sB 2 B1 2 sB 2 2 O1B A arccos , 2 r s B B 2 B1 *
(6.107)
donde la magnitud del radio vector rB se determina por:
xB 2 yB 2 2
rB
2
,
(6.108)
el análogo de velocidad del punto B2 por la fórmula: sB 2 L22
(6.109)
y la velocidad relativa sB 2 B1 se determina mediante:
sB 2 B1 AB* rB 2 sB 2 2 rB sB 2 cos AO1B * . 2
(6.110)
o en forma 2
L L sB 2 B1 rB 2 2 2 2 rB 2 2 cos AO1B* . L L
(6.111)
Por fin, multiplicando (2.93) por (2.104) se obtiene el sistema de ecuaciones de la curva del perfil de la leva, su forma es: xC1 LO1O 2 L2 cos 2 rr cos cos 1 L2 sen 2 rr sen sen 1 yC1 LO1O 2 L2 cos 2 rr cos sen 1 L2 sen 2 rr sen cos 1
.(6.112)
Para el mecanismo con el seguidor de cara plana se toman los datos siguientes: el radio del círculo base de la leva r0 y la ley del movimiento del seguidor.
302
En la figura 6.28a está presentado el esquema del mecanismo, colocado en el sistema de coordenadas inmóvil S x, y de modo que el par cinemático de rotación O1 coincida con el inicio del sistema de coordenadas S. También se presenta el sistema de coordenadas móvil S1 x1, y1 con el inicio coincidente con el inicio del sistema de coordenadas S. Éste está unido rígidamente con la leva y gira con respecto al punto O1 en el sistema S con la velocidad angular ω1. Para este mecanismo la resolución de la tarea se facilita ya que la dirección de la normal común n n es conocida, es perpendicular a la cara plana. Los pasos del cálculo son los siguientes. Por la fórmula (6.86) se determina el radio vector r B del punto de contacto de la cara del seguidor con el perfil de la leva, luego por la fórmula (6.88) el ángulo de orientación del radio vector r B . Después, el punto C2 del seguidor se presenta en el sistema de coordenadas S, la forma de éste es:
xC 2 rB sen yC 2 rB cos
,
(6.113)
Al multiplicar (6.93) por (6.113) se obtiene la ecuación del perfil de la leva:
xC1 rB sen cos 1 cos sen 1 yC1 rB sen sen 1 cos cos 1
b)
a)
Figura 6.28. Esquema para la obtención de las ecuaciones de la construcción del perfil . (6.114) de la leva en forma paramétrica para los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo de cara plana.
6.5 Determinación del radio del rodillo y del radio de del perfil de la leva 6.5.1 Elección del radio del rodillo para los mecanismos con el seguidor de rodillo A veces en el diseño de los mecanismos ocurre que una parte del espacio está ocupado por dos perfiles que mutuamente se cruzan. Este fenómeno se denomina interferencia. Para los mecanismos con el seguidor de cara plana, el cumplimiento de la desigualdad de Herónimus (6.48) de una sola manera excluye cualquier tipo de interferencia, es decir excluye partes del perfil de la leva cóncavo, agudo o plano. Para los mecanismos con el seguidor de rodillo la condición r0≥rmin. no garantiza ausencia de la interferencia. 303
Si la interferencia ocurre en el proceso de maquinado, entonces la superficie de la pieza, ya hecha en una posición de la herramienta de corte, se corta con la misma en la otra posición. Este efecto se muestra en la figura 6.29, para el caso cuando el rodillo es una fresa. Si en lugar de la fresa, la superficie del perfil de la leva toca el rodillo del seguidor, entonces se realiza la ley del movimiento distinto al programado. Para evitarlo, existe una recomendación práctica, elegir radio del rodillo entre dos valores rr 0.7 min , donde min es el radio de curvatura mínima, y rr 0.4 r0 63. Hay otros límites. Por ejemplo el radio del rodillo no debe ser menor que el del muñón rr 1.6 2.0 muñ. (véase ibídem), donde el radio del muñón depende de la magnitud de la fuerza que actúa en el par cinemático. Además, en la elección del radio del rodillo se debe tomar en cuenta esfuerzos de contacto en el par cinemático superior. Hay recomendaciones de la elección del radio del rodillo en límites 0.5 min rr 0.7 min 64. Al tomar en cuenta todos los requisitos en la elección del radio del rodillo a veces se toma la decisión de aumentar ρmin., lo que, si la ley del movimiento no se modifica, va a exigir el incremento de r0.
Figura 6.29. Ejemplo de la interferencia del perfil de la leva en los mecanismos con el seguidor de rodillo.
Así pues para garantizar el funcionamiento correcto del mecanismo de leva se requiere la determinación del radio de curvatura del perfil de la leva. Para la determinación del radio de curvatura se usa un método gráfico igual al presentado en el capítulo 1.2.5. Más adelante se presenta un método analítico para la determinación del radio de curvatura. 6.5.2 Método analítico de la determinación del radio de curvatura del perfil de la leva65 La curvatura del perfil de la leva se determina no solamente para el cálculo del radio del rodillo sino también para la determinación de los esfuerzos de contacto que determinan la rapidez del desgaste y, por consiguiente, el tiempo de vida del mecanismo. El esfuerzo de contacto se determina por la fórmula de Hertz y depende de la configuración de las superficies conjugadas en la línea o en el punto de contacto. Por ejemplo, para las superficies cilíndricas el esfuerzo de contacto se obtiene mediante: 63
Teoría de Mecanismos y Máquinas. 1933. Bajo la redacción del Dr. V.A.Gavrilenko. “Vischaya Shkola”, Moskú, Rusia, (p. 181). 64 N.I.Levitsky. 1939. Teoría de mecanismos y máquinas. “Nauka”, Moscú, Rusia, (p. 493). 65 Voronin B.F., Villalobos Hernández Gustavo. (2010). Determinación del radio de curvatura de le leva de un mecanismo plano. Revista Iberoamericana de Ingeniería Mecánica. Vol. 14, Nº 1, pp. 15-25. ISSN 1137-2729. Universidad Nacional de Educación a Distancia, España.
304
Z max 0.418
q Eeq. eq.
.
(6.115)
Q , en que Q es la L fuerza de acción y L es la longitud de la línea de contacto; Eeq. es el módulo de 1 1 1 1 elasticidad equivalente de los elementos que están en contacto, , Eeq. 2 E1 E2 donde E1 y E2 son los módulos de elasticidad de los materiales de los elementos que están en contacto; y eq. es el radio de curvatura equivalente de las superficies conjugadas: En la fórmula (6.115) q es la fuerza unitaria que se calcula como q
1 1 1 , eq . r1 r2
(6.116)
donde r1 y r2 son los radios de curvatura de las superficies conjugadas en la línea de contacto. En la fórmula (6.116) el signo (-) corresponde al contacto interno, cuando una de las superficies es cóncava y la otra es convexa. Si la curvatura de la superficie del seguidor, que toca la de la leva es conocida y tiene contornos simples: un plano con r , si la leva es con el seguidor de cara plana, una circunferencia, si el seguidor es de rodillo, o r 0 , si la punta del seguidor está hecha en forma de cuña, la curvatura de la leva es variable y para determinarla se necesita tener la ecuación de ésta. Para el mecanismo con el seguidor de cara plana el radio de curvatura del perfil de la leva se calcula por la fórmula de Herónimus (6.48). Para los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo con la punta hecha en forma de cuña, de rodillo y de zapata curva es conocida la fórmula: 66
paso
3 2
r0 s s rr . 2 2 r s 2 s s r s 0 0 2
66
2
(6.117)
Joseph Edward Shigley, John Joseph Uicker, Jr., 1990. Teoría de Mecanismos y Máquinas. McGRAW-HILL, México, (p. 248), véase también en: Norton, Robert L. 2005. Diseño de Maquinaria. Una introducción a la Síntesis y al Análisis de Mecanismos y Máquinas, McGraw-Hill, México, p. 339.
305
donde es el radio de curvatura de la superficie del perfil de la leva en la línea de contacto, rr es el radio de rodillo, s es la magnitud del desplazamiento del seguidor, r0 es el radio del círculo base de la leva, s es el análogo de velocidad del seguidor y s es el análogo de aceleración del mismo. Sin embargo la fórmula (6.117) no tiene la aplicación amplia ya que es obtenida para el caso particular cuando la excentricidad e 0 . Enseguida se muestra el método para el caso común con e 0 . Éste se basa en la interpretación matemática de la determinación de la curvatura de una curva plana, conocida en matemáticas68:
k
d , ds
(6.118)
donde ds es el arco infinitamente pequeño de la curva en el punto en que se calcula el radio de curvatura y d es el ángulo del mismo arco. Al aplicar la ecuación (6.118) a la curva de paso de los mecanismos de levas con el seguidor de cuña, de rodillo o de zapata curva, y luego multiplicar y dividir por dφ, donde φ es el ángulo de giro de la leva, ésta obtendrá la siguiente forma:
k
1 paso
d d 1 1 d , ds d 1 s d 1
(6.119)
donde paso es el radio de curvatura de la curva de paso, s es el análogo de velocidad d del deslizamiento del punto, que pertenece a la curva de paso, sobre la misma y es d 1 el análogo de velocidad de la variación del ángulo de orientación del vector de esta velocidad, provocada por el deslizamiento del punto sobre la curva. Al presentar el mecanismo en un sistema de coordenadas S(x, y) se tiene: arctan
y , x
(6.120)
donde x e y son las proyecciones sobre los ejes de un sistema de coordenadas S del análogo de velocidad del deslizamiento del punto de la curva de paso de la leva sobre la misma. Con esto, la derivada de (6.120) tendrá la siguiente forma:
68
Edwards C.H., Penny David E. 2002. Calculus with Analytic Geometry. Prentice Hall, New Jersey, 1994, (p.p.302-329); Simmons F.George. Cálculo y Geometría Analítica. McGRAW-HILL, México, (p.p. 631-635).
306
d x y x y , 2 2 d 1 x y
(6.121)
donde
x
2
y
2
s
(6.122)
es el análogo de velocidad del deslizamiento del punto de la curva de paso sobre la misma. Así pues, la ecuación (6.121) obtendrá la siguiente forma:
k paso.
x y x y
s
3
,
(6.123)
y el radio de curvatura de la curva de paso, la siguiente:
paso
1 k paso.
s
3
x y x y
.
(6.124)
Ya que el seguidor toca la curva de paso en un solo punto, para el seguidor de rodillo este será el punto B2, entonces s también es el análogo de velocidad del deslizamiento del punto B2 del seguidor sobre la curva de paso de la leva o la velocidad relativa vB2B1 del punto B2 con respecto al B1. Para utilizar la igualdad (6.124) hay que usar la ecuación de la curva de paso. La obtención de ésta detalladamente está presentada en el capítulo 6.4.3. Así pues, para el mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo con la punta hecha en forma de cuña, de zapata curva y de rodillo la ecuación de la curva de paso se presenta como (6.95) y para los mecanismos con el seguidor oscilante mediante (6.103). Seguidamente se muestra la obtención de las ecuaciones del radio de curvatura para los mecanismos con el seguidor del movimiento lineal alternativo para el caso general e 0 y para el mecanismo con el seguidor oscilante 67. En la tabla 6.4 se presenta la ecuación de la curva de paso su primera y segunda derivadas, obtenida en (6.95), y en la tabla 6.5 lo mismo para el mecanismo de leva con el seguidor oscilante.
67
Boris F. Voronin, Gustavo Villalobos-Hernández. (2010). Determinación del radio de curvatura de la leva de un mecanismo plano. Revista Iberoamericana de ingeniería Mecánica, Vol. 14, Núm. 1. UNED, Madrid, España. ISSN 11372729. p.p. 15-25.
307
Tabla 6.4. Ecuación de la curva de paso y sus derivadas para el mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo.
xB1 e cos 1 sB 2 r0 2 e 2 sen 1
yB1 e sen 1 sB 2 r0 2 e 2 cos 1
e cos s r e sen s cos e cos s r e sen 2 s cos s sen e sen s r e cos 2 s sen s cos
xB1 e sen 1 sB 2 yB1 xB1 yB1
r0 2 e 2 cos 1 s B 2 sen 1 2
1
B2
0
1
B2
0
2
2
2
1
B2
B2
1
1
2
1
B2
1
B2
1
2
0
1
B2
1
B2
1
Tabla 6.5. Ecuación de la curva de paso y sus derivadas para el mecanismo con el seguidor oscilante. xB1 LO1O 2 cos 1 L2 cos 2 1 yB1 LO1O 2 sen 1 L2 sen 2 1
xB1 LO1O 2 sen 1 L2 (1 2 )sen 2 1 yB1 LO1O 2 cos 1 L2 (1 2 )cos 2 1
xB1 LO1O 2 cos 1 L2 2 sen 2 1 L2 1 2 yB1 LO1O 2 sen 1 L2 2 cos 2 1 L2 1 2
2
2
cos 2 1
sen 2 1
El nominador en la ecuación (6.124), la velocidad del deslizamiento del punto del seguidor sobre la curva de paso, se puede obtener utilizando la fórmula
sB 2 B1
x y 2
B 2 B1
B 2 B1
2
. Pero es más fácil obtenerla mediante los razonamientos
expuestos en el capítulo 6.4.3. Por eso para el desarrollo de (6.124) para el mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo se utiliza la ecuación (6.70) y para el mecanismo con el seguidor oscilante (6.81). Así pues al sustituir el nominador en (6.124) por (6.70) y los términos en el denominador por los parámetros presentados en la tabla 6.4 para el mecanismo con el seguidor del movimiento lineal alternativo el radio de curvatura se recibe en la siguiente forma:
paso
sB 2
r0 e sB 2 2
r0 e sB 2 2
2
2
2
r0 e sB 2 2
308
2
3
2 sB 2 e 2
2 s e 3s 2
2
B2
B2
e
(6.125)
y para el mecanismo con el seguidor oscilante en la siguiente: 3 2
L L 12 2 LO1O2 L2 12 cos 2 , (6.126) paso 3 2 2 LO1O2 L2 12 LO1O2 L2 2 sen 2 LO1O2 L2 cos 2 12 2 2 2 O1O2
2 2
2
Para el mecanismo con seguidor del movimiento lineal alternativo para el caso particular cuando e 0 la ecuación (6.125) adquiere la siguiente forma:
paso
3 2
r0 sB 2 sB 2 2 2 sB 2 r0 sB 2 r0 sB 2 2 sB 2 2
2
(6.127)
que coincide con la fórmula (6.117) presentada en los libros de otros autores. Existe diferencia solamente en el signo del denominador y, por supuesto, en el signo del radio de curvatura. Al realizar el cálculo mediante la fórmula (6.117), el radio de curvatura de la curva convexa obtiene el signo positivo (+) y de la cóncava negativo (–). Al aplicar la fórmula (6.127) los signos son contrarios. Entonces la diferencia consiste en la determinación del signo del radio de la curvatura y, por consiguiente, en la definición de la forma correcta de la curva. Para determinarlo se toma el ejemplo que se muestra en la figura 6.30. En éste está trazada una curva que tiene dos partes. Una cóncava, en el punto A, con el centro de curvatura ubicado fuera de la curva, fuera del espacio limitado por los planos del sistema de coordenadas S x, y, z de un lado y la curva del otro. La otra es convexa, en el punto B, con el centro de curvatura ubicado dentro de la curva, dentro del espacio indicado. En la figura 6.30 el sentido del vector velocidad de deslizamiento del punto sobre la curva en el Figura 6.30. Diagrama que ilustra que la curva punto A, marcado como el vector v A , es igual cóncava tiene el signo positivo y la convexa como en el B, marcado por el vector v B , de negativo. d izquierda a derecha. Pero el vector velocidad angular del movimiento giratorio de la dt normal a la curva provocado por el movimiento del deslizamiento del punto sobre la curva en el punto A coincide con el sentido del eje Z del sistema de coordenadas y en el punto B es contrario. Entonces, en el primer caso la curvatura kA tiene signo positivo y en el segundo kB negativo. 309
Al aplicar lo determinado a los mecanismos de leva se puede concluir que la forma de la curva de paso (cóncava o convexa) define el sentido de la velocidad angular de la normal, provocado por el deslizamiento de la punta del seguidor sobre la curva de paso. Esto permite llegar a la siguiente conclusión, en los cálculos el radio de curvatura de la curva convexa tiene signo negativo y de la cóncava positivo. De lo anterior resulta que la ecuación (6.125) de una sola manera define la magnitud del radio de curvatura de la curva de paso y la forma de ésta. Lo mismo se puede aplicar y a la ecuación (6.126) ya que fue obtenida con mismos razonamientos y con el mismo aparato matemático.
310
PROBLEMAS 6 Tareas comunes para la síntesis de los mecanismos de leva. Gráficamente definir el centro de rotación de la leva. Con el cálculo de magnitud del radio mínimo del círculo base rmin. comprobar la exactitud del método gráfico. Gráficamente construir el perfil de la leva. Definir el radio de curvatura de la leva para la posición del seguidor igual a 160 .
Problema 6.1. Para el mecanismo de leva con seguidor del movimiento lineal alternativo con la punta hecha en forma de cuña con el cierre por fuerza del par cinemático superior, mostrado en la figura P6.1, se eligen los datos siguientes: la marcha del seguidor s 0.015, m ; la excentricidad e 0.005, m ; el ángulo de la fase de subida 180 °; el ángulo de la fase de detención superior 40°; el ángulo de la fase de retorno 50°; el ángulo de presión admisible adm. 15 . La ley del movimiento del seguidor se elige la siguiente: en la fase de subida
1 2H H y H k sen 2 k ; y 1 cos 2 k ; y 2 sen 2 k ; (aquí 2 1 Figura P6.1. y H 1 k sen 2 k ; k ) y en la fase de retorno: 2 sub. 2H H y 1 cos 2 k ; y 2 sen 2 k , (aquí k ). Donde φ es el ángulo de giro de la ret . leva, βsub. es el ángulo de la fase de subida, βret. es el ángulo de la fase de retorno, H es la altura máxima del gráfico del desplazamiento. Problema 6.2. Para el mecanismo de leva de rodillo con el seguidor del movimiento lineal alternativo con el cierre del par cinemático superior mediante la fuerza, mostrado en la figura P6.2, se eligen los datos siguientes: la marcha del seguidor s 0.020, m ; la excentricidad e 0.004, m ; el ángulo de la fase de subida 160°; el ángulo de la fase de detención superior 40°; el ángulo de la fase de retorno 30°; el ángulo de presión admisible adm. 23 . La ley del movimiento del seguidor se elige la siguiente: en la fase de subida
Figura P6.2.
311
H 2 H y H sen k ; y ) y en la fase de retorno cos k ; y 2 sen k ; (aquí k sub. 2 sub. 4 sub. 2 2 2 H 2 H y H cos k ; y ). Donde φ es el ángulo sen k ; y 2 cos k ; (aquí k ret . 2 ret . 4 ret . 2 2 2 de giro de la leva, βsub. es el ángulo de la fase de subida, βret. es el ángulo de la fase de retorno, H es la altura máxima del gráfico del desplazamiento. Problema 6.3. Para el mecanismo de leva con el seguidor de cara plana del movimiento lineal alternativo, mostrado en la figura P6.3, se eligen los datos siguientes: la marcha del seguidor s 0.025, m ; el ángulo de la fase de subida 100 °; el ángulo de la fase de detención superior 30 °; el ángulo de la fase de retorno 30°. La ley del movimiento del seguidor se elige la siguiente: en la fase de subida H 2H 1 (aquí 1 cos 2 k ; y 2 sen 2 k , y H k sen 2 k ; y sub. sib. 2
1 ) y en la fase de retorno y H 1 k sen 2 k ; sub. 2 H 2 H y 1 cos 2 k ; y 2 sen 2 k , (aquí k ). Donde φ es el ret . ret . ret . ángulo de giro de la leva, βsub. es el ángulo de la fase de subida, βret. es el ángulo de la fase de retorno, H es la altura máxima del gráfico del desplazamiento. k
Figura P6.3.
Problema 6.4. Para el mecanismo de leva con el seguidor del movimiento lineal alternativo de cara plana, mostrado en la figura P6.4, se eligen los datos siguientes: la longitud del seguidor L 0.060, m , la marcha del seguidor s 0.03, m , el ángulo de la fase de subida 150 °; el ángulo de la fase de detención superior 20°, el ángulo de la fase de retorno 30°, el ángulo de presión admisible adm. 40 . La ley del movimiento del seguidor en la fase de subida H H y 1 cos k , y sen k , 2 2 sub.
2 H y 2 cos k , (aquí k ) y en la de retorno 2 sub. sub. H H y 1 cos k , y sen k , 2 2 ret . 2 H y 2 cos k , (aquí k ), donde φ es el 2 ret . ret . Figura P6.4. ángulo de giro de la leva, βsub. es el ángulo de la fase de subida, βret. es el ángulo de la fase de retorno, H es la altura máxima del gráfico del desplazamiento.
312
Problema 6.5. Para el diseño del mecanismo de leva con el cierre geométrico del par cinemático superior con seguidor del movimiento lineal alternativo de rodillo presentado en la figura P6.5 se eligen los datos siguientes: la excentricidad e 0.03, m , la marcha del seguidor s 0.01,m , ángulo de la fase de subida 90°, ángulo de la fase de detención superior 10°, ángulo de la fase de retorno 30°, ángulo de presión admisible adm. 25 . La ley del movimiento del seguidor se elige la siguiente: H 1 en la fase de subida y H k 1 cos 2 k , sen 2 k , y sub. 2
y
2H sen 2 k 2sub.
(aquí
k
) y en la fase de retorno sub.
H 1 y 1 cos 2 k , y H 1 k sen 2 k , ret . 2 Figura P6.5. 2H y 2 sen 2 k (aquí k ). Donde φ es el ángulo de giro de ret . ret . la leva, βsub. es el ángulo de la fase de subida, βret. es el ángulo de la fase de retorno, H es la altura máxima del gráfico del desplazamiento.
313
Capítulo 7 7.1
MECANISMOS DE ENGRANES
Conocimientos básicos sobre los mecanismos de engranes
Mecanismo destinado para la transmisión de la potencia mecánica entre las distintas partes de una máquina mediante las ruedas dentadas se denomina engranaje. Los engranajes están formados por dos ruedas dentadas, llamadas engranes, de las cuales la menor se denomina piñón y la mayor rueda o corona. La rueda es un engrane con los dientes procesados en la superficie externa y la corona con los dientes procesados en la superficie interna. A veces la parte dentada de cualquier engrane la llaman corona. La unión de los engranes con la base se efectúa mediante los pares cinemáticos inferiores de rotación, y la unión de éstos entre sí mediante el par cinemático superior ya que los dientes de engranes tocan por una línea o por un punto. Los dientes que están en contacto entre sí forman un engranaje, se dice que las ruedas dentadas engranan. En el proceso de trabajo los dientes de un engrane periódicamente empujan los del otro transmitiendo el movimiento de rotación o transformando el movimiento de rotación en el de traslación y viceversa. Esto permite presentar el engranaje como un mecanismo de leva múltiple donde los dientes de un engrane sirven como levas y los del otro como seguidores. Por eso los engranajes y los mecanismos de levas se someten a las mismas leyes. En la figura 7.1 se muestran diferentes tipos de engranajes y d) c) mecanismos de b) a) engranes. En la figura 7.1a el movimiento giratorio se transmite por el engranaje e) f) g) h) externo y en la figura 7.1c por el engranaje interno. En los engranajes externos las ruedas dentadas giran en sentidos opuestos y en los j) l) k) i) internos en igual Figura 7.1. Clasificación de engranajes. sentido. En la figura 7.1b se muestra el engranaje de la rueda dentada con la cremallera. Este engranaje transforma el movimiento giratorio en el lineal o viceversa. 314
Los engranajes presentados en las figuras 7.1a y 7.1c son con los ejes paralelos y presentados en las figuras 7.1d y 7.1e son con los ejes cruzados, éstos se denominan engranajes helicoidales. El engranaje presentado en la figura 7.1f es con los ejes que intersecan, este engranaje forman dos ruedas dentadas cónicas. En la figura 7.1g se muestra el engranaje que permite transmitir el movimiento giratorio entre las flechas con el ángulo de intersección de sus ejes variable. Éstos se denominan engranajes biparamétricos69 ya que tienen dos parámetros del movimiento independientes: el movimiento giratorio con respecto a sus ejes y el oscilatorio de la variación del ángulo de intersección de los ejes. Los engranajes presentados en las figuras 7.1a, 7.1b, 7.1c son planos y los presentados en las figuras 7.1d y 7.1g son espaciales. En las figuras de 7.1h a 7.1l se muestran mecanismos de engranes compuestos por la base y uno o varias ruedas dentadas antes presentadas, éstos se denominan trenes de engranes. La relación de transmisión en los trenes de engranes es constante. Si la relación de transmisión es variable entonces este mecanismo lo nombran como caja de cambios, caja de velocidades o simplemente caja. En el tren de engranes los ejes de engranes pueden ser paralelos, así como está presentado en las figuras 7.1h y 7.1j o cruzados, presentado en la figura 7.1i. Si en el mecanismo presentado en la figura 7.1i el engrane menor se realiza con el número de dientes de 1 a 4, éste se fabrica en forma de tornillo, entonces el mecanismo lo llaman como de tornillo sin fin. Si el engrane menor se realiza con el número de dientes más de 7 entonces se recibe un mecanismo con el engranaje helicoidal. Sin embargo el uso mayor en la industria tienen los engranes helicoidales con los ejes paralelos, así como está presentado en la figura 7.1j. En la mayoría de los casos se usan mecanismos con los ejes de engranes inmóviles, que se muestra en las figuras 7.1h, 7.1i y 7.1j. Si en el mecanismo hay engranes con los ejes móviles, por ejemplo el eje del engrane 4 en la figura 7.1k, tal mecanismo se llama planetario o diferencial. El mecanismo planetario tiene una de las ruedas dentadas centrales 2 o 3 inmóvil, fija a la base, y el mecanismo diferencial tiene todas las ruedas dentadas móviles. El mecanismo planetario tiene un solo grado de libertad por eso tiene un solo eslabón de entrada pero puede tener varios eslabones de salida que depende de la aplicación de éste. Los mecanismos diferenciales tienen varios números de grados de libertad, en la mayoría de los casos igual a dos, por consiguiente, varios eslabones de entrada. Los mecanismos diferenciales ampliamente se usan en automotriz para la transmisión de la energía mecánica a las ruedas motrices. Con el empleo de éste se evita le deslizamiento de las llantas por la superficie de la carretera cuando el automóvil cambia la dirección. En la figura 7.1l se muestra el esquema de un mecanismo con el 3 engrane flexible engranado con el rígido 4. Éste se denomina ondulatorio (en inglés harmonic drive). En 69
El autor de los engranajes biparamétricos es el científico ruso E.P.Soldatkin. Una gran aportación teórica fue hecha por otros científicos rusos: M.L. Erijov, L.V. Korostelev, L.N. Krilov, F.L. Litvin, etc. El autor del presente libro participó en el desarrollo de la teoría de los engranajes biparamétricos, empleando métodos numéricos se lo llevó a cabo estudio geométrico de éstos.
315
este mecanismo el engrane rígido 4 se efectúa con los dientes internos y el flexible 3 con los dientes externos. La transmisión de la energía mecánica se realiza debido a la acción del eslabón 1 sobre el engrane flexible 3 que se denomina generador de onda. El generador de onda 1 en el movimiento giratorio mediante las ruedas 2 deforma el engrane flexible 3 de modo que sus dientes entran en el espacio entre los dientes del engrane rígido 4. Ya que el número de dientes del engrane flexible es menor que el del rígido, la onda de deformación provoca el movimiento giratorio del engrane flexible con respecto al rígido en el sentido opuesto al sentido de giro del generador. En la mayoría de los casos el engrane rígido es inmóvil unido con la base. En este mecanismo el generador de onda es el eslabón de entrada y el flexible es el de salida. Si el inmóvil es el engrane flexible, entonces gira el rígido en el sentido coincidente con el sentido del movimiento del generador. Singularidad de las transmisiones ondulatorias consiste en que mediante un mecanismo muy simple se realiza la relación de transmisión muy grande, hasta u1,3 1000 . La variedad de engranajes es muy grande. En la figura 7.2 se muestran esquemas de engranajes cilíndricos con los ejes paralelos con diferente forma longitudinal de los dientes. En la figura 7.2a está presentado el esquema del engranaje cilíndrico recto compuesto por dos engranes con los dientes rectos. En las figuras 7.2b y 7.2c se muestran los helicoidales con diferente ángulo de b) a) c) d) e) la hélice: en la figura 7.2b se muestra el Figura 7.2. Clasificación de engranajes helicoidal con el ángulo de la hélice hasta 30° y cilíndricos por la forma longitudinal de los en la figura 7.2c el engranaje con el ángulo de la dientes. hélice muy grande, cerca de 90°. Singularidad del último consiste en la simplicidad del perfil de los dientes de engranes. El flanco de los dientes es casi rectilíneo por eso se puede procesarlos en el torno. Debido a la alta resistencia de los dientes a la flexión estos engranajes pueden transmitir un torque muy grande. El número de dientes de los engranes depende del diámetro y del ancho de éstos. En la figura 7.2d se presenta el esquema del engranaje de doble hélice que fueron inventados por el fabricante francés de automóviles André Citroën70 y en la 7.2e el engranaje con los dientes curvilíneos. La superioridad de los dos últimos con respecto a los engranajes helicoidales consiste en que no generan la fuerza axial, pero exigen muy alta precisión de la instalación axial.
70
El objetivo que consigue el engranaje de doble hélice es eliminar el empuje axial que tienen los engranajes helicoidales simples. Los dientes de los dos engranes forman una especie de V.
316
7.2 Geometría de engranajes planos Para transmitir el movimiento de un engrane al otro sin interrupción y choques entre los dientes, los dientes no deben apartarse ni intersecarse, deben suavemente entrar en contacto, por eso sus perfiles deben tener una forma adecuada. Para esto se puede utilizar cualquier curva: cicloide (engranajes cicloidales), arco de una circunferencia (engranajes de Novikov71), evolvente (engranajes evolventes, en E.U. los llaman de involuta72), etc. En la maquinaria dominan los engranajes con dientes con el perfil evolvente. Los otros son sensibles a los errores en el entreeje. Por eso aquí y más adelante va a ser presentado el análisis y la síntesis solamente de engranajes evolventes. 7.2.1 Evolvente y sus propiedades Evolvente (viene del latino evolvens que significa “el despliegue”) es una curva que traza el punto de una recta que gira sobre otra curva sin deslizamiento, en particular sobre un círculo. La evolvente también se puede obtener como la curva generada por un punto de una cuerda cuando ésta se desenrolla de un círculo. Por eso la evolvente también se puede presentarla como el despliegue de un círculo. En la figura 7.3 está presentado el proceso de la obtención de la evolvente que consiste en lo siguiente. En el sistema de coordenadas S x, y se coloca el círculo del radio rb cuyo centro se ubica en el inicio O del sistema de coordenadas. Este círculo es el principal para la generación de la evolvente por eso se denomina círculo base. En el punto K0 se coloca la línea n n tangente al círculo y gira sin deslizamiento sobre éste. La curva, que traza el
Figura 7.3. El punto K de la recta n - n que gira sobre el círculo del radio rb sin deslizamiento, traza una evolvente.
71
M.L.Novikov. 1958.Transmisiones de engranes dentados con el engranaje nuevo. Edición VVIA de N.E.Ghukovsky, Moscú, Rusia. 72 Por simplicidad de la formulación y presentación de la curva aquí se tomó el nombre de “evolvente” aunque teóricamente el nombre “involuta” es más exacto. Involuta se formula en forma muy complicada: Involuta de una curva es otra curva de la cual ésta es la evoluta. Evoluta de una curva dada es el lugar de su centro de curvatura. Una curva tiene una sola evoluta pero un número infinito de involutas.( G.H.F.Nayler. 1999. Diccionario moderno de Ingeniería Mecánica. Tomo I. Primera edición. Prentice Hal, México, p.p. 108 y 138).
317
punto K de la n n, es la evolvente. En la figura 7.3 están mostradas dos ramas de esta curva. En Teoría de Mecanismos y Máquinas el círculo base se considera evoluta73 de la evolvente ya que en ésta se ubican los centros de curvatura de la curva generada. La evolvente es una curva infinita con el inicio en el punto K0. Las ramas de ésta forman el lado izquierdo y el derecho de los dientes. La recta n n que cruza la evolvente en el punto Kx ubicado a la distancia rx desde el centro del círculo base, es la normal al perfil en este punto. Si a través del punto Kx se traza la línea perpendicularmente a la n n, entonces será la tangente al perfil en este punto. El punto Nx de tangencia de la n n al círculo base es el centro de curvatura de la evolvente en el punto Kx y el segmento NxKx es el radio de la curvatura. Ya que n n gira sin deslizamiento sobre el círculo base, entonces, la longitud del segmento NxKx es igual a la del arco N x K 0 . El ángulo αx entre el radio vector OKx y el segmento ONx es igual al ángulo entre el radio vector OKx y la . Este ángulo se llama ángulo de presión en el punto Kx de la evolvente. El ángulo x entre el radio OK0 y radio vector OKx se denomina ángulo de la evolvente. En Teoría de Mecanismos y Máquinas lo llaman involuta del ángulo αx y se marca como: x inv x . El valor de este se define de la igualdad N K N K . Ya que el arco N K r y la recta N K r tan x
0
x
x
x
0
b
x
x
x
x
b
x
entonces resulta:
x inv x tan x x .
(7.1)
Con todo eso se observa que cuando la normal n n gira por el círculo base con la velocidad angular , el punto Kx, que pertenece a la n n, va a deslizar por la normal, con respecto al Nx, con la velocidad igual a la del desplazamiento del punto Nx, que pertenece al círculo base, por la circunferencia del mismo:
vKx Nx r0
(7.2)
En la figura 7.3 también se establece la relación entre el radio rx y el ángulo αx: rx
rb . cos x
(7.3)
Las formulas (7.1) y (7.3) son principales que caracterizan una evolvente. Sumando lo presentado para caracterizar la geometría de engranajes con el perfil evolvente de los dientes se llega a la siguiente conclusión: 1. Evolvente es una curva infinita con el inicio en el punto ubicado en el círculo base, por consiguiente dentro del círculo base la evolvente puntos no tiene. 318
2. El punto Nx, en que la normal n n toca el círculo base, es el centro de curvatura de la evolvente en el punto Kx y la longitud del segmento NxKx es el radio de curvatura de la evolvente en este punto. 3. El ángulo de presión αx en el punto Kx de la evolvente se relaciona con el radio de curvatura de la misma en este punto por medio: x rb tan x . En el punto K0, que es el inicio de la evolvente, el radio de curvatura y el ángulo de presión αx son iguales a cero, con el incremento de αx incrementa la magnitud del radio de curvatura y el ángulo de presión. 7.2.2 Cremallera y sus elementos En el capítulo 7.2.1 fue mostrado el proceso de generación de la evolvente como de una curva geométrica. Ahora es posible hacer el siguiente paso, a la aplicación de éste para la generación de los dientes de engranes y cálculo de sus parámetros. Las explicaciones serán más claras con las construcciones que están presentadas en la figura 7.4. Se toman dos sistemas de coordenadas: S x, y , que es
inmóvil, y S1 x1 , y1 móvil. Los inicios de éstos coinciden y se ubican en el punto O. El círculo base se fija en el sistema de coordenadas S1 de modo que el centro de rotación coincida con el punto O. En el sistema de coordenadas S se fija la línea n n a un ángulo α con respecto al eje x tangente al círculo base en el punto N.
En la figura 7.4 se observa que la n n cruza el eje y del Figura 7.4. Presentación del modo de la obtención del mismo sistema de coordenadas S en perfil de un engrane mediante las cremalleras base con el perfil el punto P. A través de este diferente. punto se traza la recta a a perpendicularmente al eje y. Si a través del mismo punto se traza una circunferencia de radio r y se fija al sistema de coordenadas S1, entonces, la recta a a resultará tangente a la circunferencia de este radio. En un punto C de la n n se traza la perpendicular hasta la intersección con la línea a a, el punto de intersección se marca por la letra B y se fija a ésta. 319
Al girar el sistema de coordenadas S1 con respecto al S con la velocidad angular ω junto con ésta va a girar el círculo base de radio r. Si simultáneamente el punto B junto con la recta a a y la se traslada paralelamente al eje x del sistema de coordenadas S de modo que la recta a a rodea sobre el círculo de radio r sin deslizamiento, entonces la velocidad del movimiento de ésta será igual a:
vB r .
(7.4)
Con este movimiento coordinado del sistema de coordenadas S1 y de la línea a a junto con la el punto C, de intersección de la n n con la , tendrá un movimiento a lo largo de la n n y de la . Al tomar la posición del punto de tangencia N fijo al sistema de coordenadas S, entonces la velocidad del desplazamiento del punto C por la normal n n con respecto al punto N será igual a:
vC N vB cos .
(7.5)
Al tomar en cuenta (7.3) y obtener:
r0 , cos
(7.6)
vC N r0 .
(7.7)
r resulta que:
La fórmula (7.7) tiene plena coincidencia con la (7.2) que expresa la velocidad del movimiento relativo del punto Kx con respecto al Nx cuando la línea n n gira sin deslizamiento por el círculo base del radio rb y el punto Kx traza la evolvente (véase la figura 7.3). Con esto se llega a la conclusión que el punto C de la intersección de la línea con la n n en el sistema de coordenadas S1 va a trazar una evolvente, la línea n n será la normal y la la tangente a la evolvente. Del mismo modo, mediante el punto de intersección de la normal n2 n2 con la tangente 2 2 , se obtiene otra evolvente que tiene perfil de espejo simétrico al primero. Ambas tangentes y 2 2 forman un espacio que en una pieza del material duro forma el perfil izquierdo y el derecho de un diente del engrane. Las tangentes y 2 2 , dispuestas a un paso igual a lo largo de la línea a a, forman una figura geométrica que se denomina cremallera. El perfil de la cremallera se usa para el cálculo de la geometría de engranes y engranajes y se denomina cremallera base, también forma igual tiene una herramienta de corte con el mismo nombre cremallera. El ángulo α que forma la parte recta de la cremallera con el eje y es uno de los parámetros principales y se llama ángulo del perfil de la cremallera o ángulo de presión. 320
Ya que la recta a a y la circunferencia del radio r en el punto P giran sin deslizamiento, entonces este punto es el polo de engranaje de la cremallera con el engrane, por eso la recta a a obtiene el nombre de línea poloidál y la circunferencia del radio r OP 1 circunferencia poloidál. En las ecuaciones (7.5 - 7.7) resulta que la misma evolvente se puede obtener mediante la cremallera con otro ángulo del perfil α. En la figura 7.4 en líneas punteadas se * * muestra un ejemplo donde la normal n* n* con la tangente forma la cremallera con el ángulo del perfil α* distinto del α. Pero con el movimiento síncrono lineal de la * * cremallera y giratorio de la circunferencia del radio r O1 P ésta va a formar la misma evolvente que la del perfil α. Esto es posible ya que en ambos casos el círculo base es el mismo. Para obtener la misma evolvente mediante diferentes cremalleras las velocidades y los ángulos del perfil de éstas deben ser relacionados mediante v* cos 73 . v cos * Sumando lo presentado se llega a la siguiente conclusión: 1. El punto de intersección de la normal n n con la recta es el punto de toque de la a la evolvente. 2. Con el movimiento giratorio del engrane con la velocidad angular ω y el desplazamiento lineal simultáneo de la cremallera con la velocidad r v b , el punto de cos intersección de la normal n n con la Figura 7.5. Parámetros de la cremallera. recta deslizará por la n n y por la formando una evolvente fija al círculo base. 3. Una sola evolvente es posible obtener mediante las cremalleras con diferente ángulo de perfil α. 73
E.I. Podzharov 1999. Selection of the Optimal Parameters of the Rack -Tool to Ensure the Maximum Gear Tooth Profile Accuracy. Gear Technology. The Journal of Gear Manufacturing, January / February, EU, p.p. 34 -33.
321
En la figura 7.5 se muestra el perfil teórico de una cremallera los dientes de que forman la cavidad entre los dientes de engranes. La parte principal de la cremallera es la trapezoidal con flancos rectos, esta parte forma el perfil evolvente de los dientes de las ruedas dentadas. La parte trapezoidal se une suavemente con la cresta y con el fondo mediante las curvas de transición (en inglés transition curve). En general la curva de transición se elige circular de radio ρf. Por la altura los dientes de la cremallera se dividen mediante la línea media en dos partes iguales la cabeza y el pie. La distancia entre los dientes se denomina paso y se toma igual a p m , donde m es el módulo que se mide en milímetros. El módulo es el segundo parámetro principal de la cremallera y del engrane. El módulo y el ángulo α del perfil de la cremallera son estandarizados. En la tabla 7.1 están presentados módulos normados por GOST 9563-60 (Rusia) que tiene dos filas, con esto la fila 1 es preferible para la elección. Éstos están aceptados por todos los países que admiten el sistema internacional SI. El paso de la cremallera en la línea media se divide en dos partes iguales, grosor de los dientes y anchura de la cavidad
1 fila 2 fila
1.0 1.125
Tabla 7.1. Módulos según GOST 9563-60 usados en Rusia Módulo (mm) 1.25 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 1.335 1.35 2.25 2.35 3.5 4.5 5.5 3.0
8.0 9.0
10.0 11.0
* entre ellos: p u p s p . La altura de la cabeza y del pie se toma igual a: He he m , * donde he es el coeficiente de la altura de la cabeza de los dientes. La altura de las curvas de transición se toma igual a: C c* m , donde c* es el coeficiente de la holgura radial en el engranaje de dos engranes entre la cresta de un engrane y el fondo del otro.
Tabla 7.2. Magnitud de elementos de los engranes usados por normas de diferentes países. * α he c* Norma que acepta f* 20.00 1.00 0.25 0.250 --20.00 1.00 0.25 0.300 AGMA 201 02-68 (E.U.) 20.00 1.00 0.25 0.335 JIS B 1301-32 (Japón) 20.00 1.00 0.25 0.400 GOST 13355-68 (Rusia) 20.00 1.00 0.35 0.300 --20.00 1.00 0.40 0.400 --20.00 1.20 0.50 0.300 --22.50 1.00 0.25 0.400 --25.00 1.00 0.25 0.318 AGMA 201 02-68 (E.U.) 14.50 1.00 0.153 0.430 AGMA 201 02-68 (E.U.)
En la tabla 7.2 están presentados datos de la cremallera y las normas que los aceptan. La cremallera con los parámetros: 20o , he* 1 y c* 0.25 es la más común para las Normas ISO 53-34, AGMA 201.02-68, JIS B 1301-32, GOST 13355-68 y la norma polaca PN-38/m-8850374. El contorno de la cremallera física que se usa como la herramienta de corte puede tener ciertas modificaciones que toman en cuenta propiedades especiales de engranajes. 74
Gonzalo Gonzáles Rey. 2001.Cálculo de Engranajes Cilíndricos según Normas ISO. Habana, Cuba.
322
7.2.3 Engranaje del engrane cilíndrico con la cremallera En la industria para el corte de los dientes de un engrane se usan dos métodos: el método de copiado y el método de generación. En el método de copiado se usan las herramientas de corte en forma de una cuchilla o fresa de disco con el filo que exactamente repite el perfil del espacio entre los dientes del engrane. La ω herramienta de corte, si es una fresa de vpaso. disco así como se muestra en la figura a) b) 7.6a, efectúa el movimiento giratorio Figura 7.6. a) Maquinado de un engrane mediante el con respecto a su eje, que es de corte, y método de copiado y b) Mecanismo divisor para el el movimiento de avance, el maquinado de engranes mediante el método de desplazamiento de la herramienta a lo copiado. largo del espacio entre los dientes formando este espacio. Después de la formación de una cavidad la herramienta de corte regresa a su posición de inicio y la materia prima gira el ángulo de paso para prepararse para formar otra cavidad. Para girar exactamente la materia prima al ángulo de paso, se usa el mecanismo divisor. En la figura 7.6b está presentado uno con la división manual. El método de copiado es barato, usa las máquinas fresadoras universales, pero tiene baja exactitud y escasa productividad, por consiguiente se usa en talleres pequeños. Como herramientas de corte se usan fresas de disco modulares. Cada fresa abarca varios engranes con diferente número de dientes. Por supuesto una sola fresa forma la evolvente exacta solamente de uno de los engranes los demás van a tener cierta desviación. Para el método de generación se usa una cremallera o una fresa helicoidal, que se denomina fresa madre. La fresa madre que es una herramienta de corte con el perfil en la sección normal (perpendicular a la línea helicoidal ubicada en el cilindro medio) casi igual al de la cremallera. Este método es continuo por eso tiene mayor productividad y tiene más alta exactitud que el de copiado que le permitió ocupar una posición dominante en la industria. Más adelante se presenta solamente el proceso de éste. El diente de un engrane se forma mediante el movimiento simultáneo de la materia prima y de la herramienta de corte. En el caso del uso de la cremallera como la herramienta de corte los movimientos de la materia prima y de la herramienta de corte serán los siguientes: 1. El movimiento de corte que realiza la cremallera en la dirección coincidente con la de los dientes del engrane que se procesa.
323
2. El movimiento de generación, que es la combinación de dos movimientos: giratorio de la materia prima con respecto a su eje y lineal de la cremallera, tangente al cilindro de la materia prima. Con esto automáticamente se efectúa la división del perímetro de la materia prima correspondiente al número de dientes del engrane. Tomando en cuenta las ecuaciones (7.4) y (7.6) la relación de la velocidad del movimiento tangencial de la cremallera con el giratorio de la materia prima será la siguiente:
vcr .
rb , cos
(7.8)
donde vcr . es la velocidad del movimiento tangencial de la cremallera y es la velocidad angular de la materia prima. En lugar de la cremallera, es más usada la fresa madre que se muestra en la figura 7.7a. Con el movimiento giratorio de la fresa madre con respecto a su eje, que es de corte, el flanco de la hélice corre en la dirección tangencial con a) b) respecto a la superficie cilíndrica del Figura 7.7. a) Fresa madre; b) Maquinado de los engrane. Con este movimiento, el dientes de un engrane mediante el método de movimiento giratorio simultáneo de la generación. materia prima con respecto a su eje, correspondiente al movimiento del flanco de los dientes de la fresa madre y el movimiento de avance de la fresa en la dirección coincidente con la dirección de los dientes del engrane, se realiza a la vez la división del perímetro del cilindro del engrane en una cantidad de los dientes, correspondiente al paso de la hélice, y el corte de la materia prima, formando los dientes a toda la anchura del engrane. Para el procesado de engranes mediante este método se usan máquinas especiales que se llaman fresadoras generadoras. El proceso de generación en una de éstas está presentada en la figura 7.7b. Los engranes también pueden ser procesados en las máquinas talladoras para engranes así como se muestra en la figura 7.8. En ésta para procesar los engranes se usa un piñón cortador que es una herramienta de corte con el filo en forma de los dientes de un engrane. En este caso la herramienta realiza el movimiento de corte paralelo a la dirección de los dientes del engrane que se genera y el movimiento de generación: giratorio del piñón cortador y simultáneo giratorio de la materia prima con respecto a sus ejes. El movimiento de generación se efectúa mediante la siguiente relación de z transmisión ue,c e. c. , donde ωe. y ωc son las velocidades angulares del engrane y c. ze. del piñón cortador respectivamente, zc. es el número de dientes del piñón cortador y ze. es el número de dientes del engrane que se procesa. 324
Para que un par de engranes sea conjugado ambos deben tener idénticos parámetros principales: módulo, ángulo de presión y ángulo de la hélice de los dientes. Por eso para el cálculo de los engranes y engranajes se usa la cremallera base con los parámetros iguales.
Piñón cortador
Engrane
El diámetro del cilindro, en que el paso circular entre los dientes es igual al paso de la cremallera se llama diámetro de paso, que se marca por d. Ya que p m y Figura 7.8. Maquinado de la parte interna de la corona dentada de un engrane biparamétrico pz d , donde z es el número de dientes en la máquina talladora para engranes del engrane, resulta:
d mz .
(7.9)
El diámetro del círculo base se presentará mediante:
db d cos .
(7.10)
La relación de los parámetros del diámetro del círculo base con los otros diámetros del engrane es la siguiente. Utilizando (7.3) se tiene, que en el diámetro arbitrario dx el d ángulo de presión es igual a co s x b , o teniendo en cuenta (7.10) resulta: dx
cos x
d cos . dx
(7.11)
El paso circular en el diámetro dx se presentará como: px p
cos , cos x
(7.12)
entonces, el paso en el círculo base se presentará mediante:
pb p cos .
(7.13)
En la figura 7.9 se muestra un diente de un engrane con indicación de los parámetros principales. Éstos son: 325
el diámetro exterior:
De d 2 he* m m z 2 he* ;
(7.14)
Df d 2 he* c* m m z 2 he* c* .
(7.15)
y el diámetro de fondo:
El grosor de los dientes en la circunferencia de paso se calculará por:
s 0.5 p
m , 2
(7.16)
y el grosor en el diámetro arbitrario dx por:
sx
s dx d x inv x inv . d
(7.17)
Al tomar db como db d cos , el diámetro Figura 7.9. Presentación general de parámetros de la circunferencia de paso como d mz y de los dientes de un engrane. db dx mediante d x , la formula (7.17) cos x obtendrá la siguiente forma:
sx m
cos z inv inv x . cos x 2
(7.18)
Los dientes de los engranajes se procesan de modo que la línea media de la cremallera gire sobre la circunferencia de paso sin deslizamiento. Mediante el desplazamiento m de la cremallera en la dirección radial, con respecto al centro de rotación del engrane, se forma un número infinito de engranes con parámetros distintos. El desplazamiento m , en correspondencia con las normas ISO, se denomina corrección del engrane donde es el coeficiente de corrección. En la figura 7.10 están presentados tres esquemas de diferente disposición de la cremallera.
326
En el primer caso, presentado en la figura 7.10a, la línea media toca la circunferencia de
a)
c)
b)
Figura 7.10. Obtención de los engranes: a) “nulo”, b) “positivo” y c) “negativo” mediante el desplazamiento radial de la cremallera.
paso d, entonces el desplazamiento de la cremallera es igual a 0 . Con esto se recibe el engrane con el grosor de los dientes en la circunferencia de paso igual al de la cavidad entre los dientes. Este tipo de engranes se nombra nulo. En el segundo caso presentado en la figura 7.10b la cremallera se aleja con respecto al centro de rotación del engrane, por eso la línea media no tiene puntos comunes con la circunferencia de paso. El coeficiente de corrección de este engrane es 0 por eso se nombra positivo. Para los engranes con la corona dentada externa el desplazamiento positivo Figura 7.11. El desplazamiento positivo aumenta el aumenta el grosor de los dientes en la grosor de los dientes en el diámetro de paso y el riesgo de agudeza en el diámetro exterior. circunferencia de paso d y en la circunferencia del fondo Df, en el diámetro exterior De el grosor de los dientes disminuye. En el tercer caso, presentado en la figura 7.10c, los dientes del engrane se procesa con 0 . En este caso la línea media de la cremallera cruza la circunferencia de paso del engrane. Este tipo de engranes es negativo. Con el desplazamiento negativo de la cremallera el grosor de los dientes aumenta en el diámetro exterior y disminuye en el diámetro de paso y en el diámetro de fondo. En la figura 7.11 se muestra el diente de un engrane con el desplazamiento positivo de la cremallera. Los diámetros de éstos engranes se calculan por las siguientes formulas: 327
diámetro exterior como:
De m z 2 he* ;
(7.19)
D f m z 2 he* c* .
(7.20)
y diámetro de fondo por:
Usando la figura 7.11 puede ser obtenido el grosor de los dientes en la circunferencia de paso. Éste se calcula por:
s m 2 ; 2
(7.21)
donde es el coeficiente de cambio del grosor de los dientes relacionado con el desplazamiento de la cremallera. Ya que m tan se tiene:
s m 2 tan . 2
(7.22)
Tomando en cuenta la formula (7.18) se recibe el grosor de los dientes en el diámetro arbitrario dx:
sx m
cos 2 tan z inv inv x . cos x 2
(7.23)
En la figura 7.12 se muestra la corona dentada de un engrane con los dientes internos que se procesan en la máquina talladora para engranes presentada en la figura 7.8. Para cálculo de este engrane, así como para cálculo de los engranes con la corona dentada con los dientes externos, se usa la misma cremallera base, que en la figura 7.12 se muestra en líneas discontinuas. Los parámetros de este engrane se Figura 7.12. Parámetros del engrane con la corona dentada interna. calculan del siguiente modo: 328
diámetro de paso d se calcula por la formula (7.9); diámetro exterior como:
De m z 2 he* ,
(7.24)
Df m z 2 he* c* ,
(7.25)
diámetro de fondo mediante:
y grosor de los dientes en la circunferencia de paso como:
s m 2 tan . 2
(7.26)
El grosor de los dientes en el diámetro arbitrario dx se calcula mediante la fórmula sx s d x inv x inv . En forma desenrollada es como sigue:
sx m
cos 2 tan z inv inv x . cos x 2
(7.27)
El flanco del diente de un engrane recto hay que considerarlo como un conjunto infinito de las evolventes idénticas dispuestas en los planos perpendiculares al eje del engrane. Éstos se forman debido al movimiento de corte del filo de la herramienta paralelamente al eje del engrane. Entonces, el círculo base es la proyección del cilindro base sobre el plano perpendicular al eje del engrane y la normal n n es la proyección de un plano tangente al cilindro base. La intersección del plano normal con el flanco es una recta paralela al eje del engrane. Mediante la misma cremallera se obtienen engranes helicoidales. La diferencia de las ruedas dentadas helicoidales de los engranes rectos consiste en que el vector velocidad de corte vc forma un ángulo β con el vector velocidad de generación vg., que se muestra en la figura 7.13a. Para estos engranes la intersección del flanco de los dientes con el cilindro de paso es una línea helicoidal, que forma con el eje del engrane un ángulo β. Para los engranes helicoidales, este ángulo también es uno de los parámetros principales. Para este tipo de engranes se definen parámetros tanto en la sección normal como transversal. La sección normal se toma en el plano perpendicular al vector velocidad de
329
corte vc., perpendicular a la dirección de los dientes, y transversal se toma en el plano paralelo al vector velocidad vg. , perpendicular al eje geométrico del engrane. Los parámetros de engranes en la sección normal, en la figura 7.13 es la A A , y transversal son diferentes ya que el cilindro de paso en la sección normal obtiene forma de un elipse, así como se muestra en la figura 7.13b. Los cálculos se realizan con la toma como base el eje menor de la elipse. Entonces el diámetro de paso inscrito se calcula por: dn
d , cos
(7.28)
donde d es el diámetro de paso del engrane en la sección transversal. El engrane cilíndrico que tenga el diámetro de paso igual a dn se denomina engrane equivalente por eso en lo adelante los parámetros de éste se marcan en el superíndice por el símbolo eq. Los parámetros en la sección transversal se marcarán en el superíndice por el símbolo tr. Entonces, los otros parámetros del engrane equivalente están dados por: el número de dientes del engrane equivalente se calcula por: z eq .
z cos
75
,
(7.29)
a)
el módulo meq. se toma igual al de la cremallera:
meq. m ,
(7.30)
el ángulo de presión en el cilindro de paso es igual al del perfil de la cremallera:
eq. .
(7.31) Figura
b)
7.13. Esquema de maquinado de un engrane helicoidal Al tomar en cuenta (7.26, 7.27 y 7.28), el diámetro de mediante la cremallera.
paso del engrane equivalente se calculará por:
75
Hay que tomar en cuenta que el número de dientes del engrane z es una cifra entera y el número de dientes del engrane equivalente zeq. no se redondea y se toma hasta el segundo signo después del punto.
330
d eq. mzeq. ,
(7.32)
el diámetro exterior, se calculará como:
D eeq . d eq . he * m ,
(7.33)
. D eq d eq . he * c * m f
(7.34)
el diámetro de fondo así:
y el diámetro del círculo base se calculará mediante:
dbeq. d eq. cos .
(7.35)
Para determinar los parámetros del engrane helicoidal en la sección transversal hay que definir la correspondencia de los parámetros principales de la sección transversal a la normal. La relación entre el ángulo del perfil normal y del transversal en el cilindro de paso se observa con mayor evidencia al tomar el perfil de un diente de la cremallera. En la figura 7.14 se muestra un diente de la cremallera cortado con los planos P1 y P2. El plano P1 es perpendicular a la dirección de los dientes del engrane helicoidal, perpendicular al vector velocidad de corte, este plano es el normal. El plano P2 está trazado a un ángulo β con respecto al P1, perpendicularmente al eje del engrane, este plano es el transversal. Así pues, en la figura 7.14 se reciben las siguientes a atr. tr . relaciones: tan y tan . Ya que H H resulta que: tr . cos
tan tr .
tan . cos
(7.36)
Debido a esto, el paso entre los dientes en la Figura 7.14. Relación de los sección transversal se relaciona con el paso en la parámetros de la cremallera entre la normal como: p tr .
p , donde p m y el sección normal y la transversal. cos
331
m . El número de cos dientes del engrane en la sección transversal es igual a z. Es evidente que los otros parámetros del engrane se calculan por las siguientes formulas:
modulo en la sección transversal se determina mediante: m tr .
el diámetro de paso como:
d tr . mtr . z ;
(7.37)
Detr. d tr. he* m ;
(7.38)
Dtrf . d tr. he* c* m
(7.39)
el diámetro exterior por la fórmula:
el diámetro de fondo por:
y el diámetro del círculo base como:
dbtr . d tr . cos tr . .
(7.40)
En la documentación, como es habitual, el ángulo de la hélice se indica en el diámetro de paso. El ángulo de la hélice en el diámetro arbitrario dx se relaciona con éste mediante: d dx , tan tan x
(7.41)
dx tan , d
(7.42)
de donde se recibe:
tan x
por consiguiente el ángulo de la hélice en el cilindro de base será igual a:
tan b
db tan . d
332
(7.43)
7.2.4 Engranaje de dos engranes El engranaje puede ser compuesto por dos engranes cortados con el desplazamiento de la cremallera base diferente. Con esto los engranes pueden ser acoplados de modo que las circunferencias de los diámetros de paso tocan uno al otro, este tipo de engranaje se muestra en la figura 7.15a, se cruzan, que se presenta en la figura 7.15b, o se sitúan a cierta distancia una desde la otra, que se muestra en la figura 7.15c. El primer caso se obtiene cuando la suma de los coeficientes de corrección es igual a cero, 1 2 0 . Este caso sucede cuando los dientes de los dos engranes están cortados sin el desplazamiento de la cremallera base 1 2 0 o cuando los dientes de los dos engranes están cortados con la corrección de igual magnitud y el sentido opuesto 1 2 . En la ingeniería mecánica los engranajes con 0 se denominan engranajes nulo. Para este engranaje es característico que el ángulo de presión α es igual al ángulo del perfil de la cremallera y el entreeje es igual a la suma de los radios de m z1 z 2 paso a r1 r2 . 2 En el segundo caso la suma de los desplazamientos de la cremallera es negativa 1 2 0 este tipo de engranajes se llama negativo. Para los engranajes negativos es característico que el entreeje es menor que la suma de los radios de paso de los engranes aw a , las circunferencias de paso se cruzan y el ángulo de presión es menor que el del perfil de la cremallera w .
c) a) b) Figura 7.15. Tres tipos de engranajes evolventes: a) nulo, b) negativo y c) positivo.
En el tercer caso la suma de los desplazamientos de la cremallera base de los engranes es positiva 1 2 0 a este tipo de engranajes se da nombre de positivo. Para los 333
engranajes positivo el entreeje es mayor que la suma de los radios de paso de los engranes aw a y el ángulo de presión es mayor que el del perfil de la cremallera base w . La diferencia entre el entreeje del engranaje no nulo y nulo aw a ym se denomina desviación del entreeje donde y es el coeficiente de la desviación del entreeje. Hay que notar que la magnitud del coeficiente de la desviación del entreeje de dos engranes acoplados no es igual a la suma de los coeficientes de corrección de éstos y . Por eso es muy importante la definición de y ya que la magnitud de éste define la magnitud del entreeje. Cálculo del coeficiente de la desviación del engranaje se basa en la consideración que los dientes de un engrane entran en el espacio entre los dientes del otro sin holgura. Ya que las circunferencias poloidales de engranes giran uno con respecto al otro sin deslizamiento, entonces, los pasos de éstos son iguales: pw1 pw2 . Puesto que cos cos cos cos y m entonces resulta, que: m pw p m cos w1 cos w 2 cos w cos w w1 w2 w ,
(7.44)
donde w es el ángulo de presión del engranaje. Ya que el diente de un engrane entra sin holgura en el espacio entre los del otro, entonces:
sw1 uw2
(7.45)
y sw2 uw1 , donde s w1 y sw2 es el grosor de los dientes de los engranes en el diámetro poloidál, uw1 y uw2 es el espacio entre los dientes en el mismo diámetro. Tomando en cuenta (7.23) se deduce la fórmula para el cálculo del grosor de los dientes de un engrane en el diámetro poloidál:
sw1 m
cos 2 1 tan z1 inv w1 inv , cos w1 2
y el espacio entre los dientes del otro:
334
(7.46)
uw2 pw2 sw2 m
cos 2 2 tan z2 inv w2 inv . cos w2 2
(7.47)
Teniendo en cuenta (7.44) y (7.45) simplificando y despejando resulta que:
inv w inv 2
1 2 tan . z1 z 2
(7.48)
Mediante la fórmula (7.48) se calcula la magnitud del ángulo de presión del engranaje αw. Luego examinando las figuras 7.15b y 7.15c el entreeje se calcula por:
aw
Al presentar rb1
rb1 rb2 . cos w
(7.49)
m z1 mz cos y rb 2 2 cos se tiene: 2 2
aw
m z1 z2 cos . 2 cos w
(7.50)
Presentando el entreeje mediante:
aw y m
m z1 z2 2
(7.51)
y resolviendo con respecto al coeficiente de la desviación del entreeje se tiene:
y
z1 z2 cos 1 . 2 cos w
(7.52)
7.2.5 Características cualitativas de engranajes La posibilidad de un mecanismo de engranes de realizar un trabajo útil depende de las características cualitativas más importantes de los que son: relación de contacto, factor de deslizamiento y radio de curvatura equivalente. Relación de contacto del mecanismo de engranes caracteriza la suavidad de la entrada de los dientes en el engranaje y de la salida del engranaje, que es muy importante para el trabajo sin golpes en las máquinas. La magnitud de la relación de contacto como 1 335
muestra que cada par de dientes de engranes entra en contacto antes que salga el anterior. Por esta razón el engranaje con 1 no es permisible ya que éste va a trabajar con interrupción y los dientes van a entrar en contacto con golpes, en el peor caso el mecanismo se bloquea. Tomando en cuenta la deformación elástica de los dientes de engranes, provocada por las fuerzas en el engranaje y errores en la fabricación, en el diseño mecánico la relación de contacto mínimo se toma igual a min. 1.05 76. En el engranaje mostrado en la figura 7.16 la normal común nn cruce el entreeje O1O2 en el polo P y es tangente a los círculos de base de los engranes en los puntos N1 y N2. Ya que la evolvente no tiene puntos dentro del círculo base, por consiguiente, los puntos de contacto K deben estar ubicados en la normal n n dentro del segmento N1N2 que se denomina línea de acción. En la figura 7.16 se observa, que con el sentido indicado del movimiento giratorio de los engranes, el diente del engrane 1 entra en contacto con el diente del engrane 2 en el punto B2, que es la intersección Figura 7.16. Diagrama que ilustra límites de contacto de de la circunferencia del dientes de engranes. diámetro exterior De2 con la línea de acción N1N2, y sale del contacto en el punto B1, de la intersección de la circunferencia del diámetro exterior De1 con la línea de acción. El segmento B1B2, en que se realiza el contacto de los dientes de dos engranes, se llama línea de contacto.
76
Número entero de relación de contacto es el número de par de dientes que están en contacto en un ciclo entero de trabajo del engranaje, las cifras decimales indican la parte del tiempo cuando en el engranaje se encuentra otro par de dientes. Por ejemplo la relación de contacto igual a 1.2 significa que 20 por ciento del tiempo total, en el engranaje están dos pares de dientes y 80 por ciento, un solo par.
336
Desde el inicio del contacto hasta el final, el engrane 1 gira un ángulo φ1 y el 2 el ángulo φ2. La razón del ángulo de giro φ sobre el paso angular τ, que es el ángulo entre dos 2 dientes vecinos , es la relación de contacto, es decir: z
1 2 . 1 2
(7.53)
Ya que nn gira sobre el círculo base sin deslizamiento entonces para el engrane 1 se puede presentar: LB 1B 2 rb1
1
y
1
(7.54)
pb , rb1
(7.55) donde LB1B2 es la longitud del segmento B1B2 y pb es el paso entre los dientes en el círculo base. Al sustituir (7.54) y (7.55) en (7.53) resulta:
En
la
figura
7.16
se
tiene:
LN 1B1 lN1P rB1 tan a1 tan w presentar rb1
L B1 B 2 . p b1
(7.56)
LB1B 2 LN1B1 LN1P LN 2 B 2 LN 2 P , en que y LN 2 B 2 lN1P rB 2 tan a 2 tan w . Al
m z1 m z2 cos , rb 2 cos y pb m cos se tiene que: 2 2
z1 z tan a1 tan w 2 tan a 2 tan w . 2 2
(7.57)
En la formula (7.57) se puede observar, que con el aumento del número de dientes, aumenta la relación de contacto, pero no hasta el infinito ya que disminuye la resta entre los paréntesis. Si se toman los parámetros estándares: 20 , ha* 1 , entonces se recibe
la relación de contacto máximo con z1 z2 . Esta relación de contacto corresponde al engranaje de dos cremalleras que será igual a 1.98 . Con el aumento de la desviación del entreeje, se disminuye la relación de contacto. Esto hay que tenerlo en cuenta en el diseño de engranajes para evitar una relación de contacto menor que la admisible. 337
En la figura 7.16 se puede obtener una información más. Si desde el punto B1 se traza el arco a partir del centro de rotación O2 hasta la intersección con el perfil del diente del engrane 2, entonces la parte a2b2 de la evolvente indicará la parte activa del diente. Igualmente se define la parte activa a1b1 del diente del engrane 1. Factor de deslizamiento caracteriza la influencia de los parámetros geométricos a la velocidad del deslizamiento de los flancos de los dientes de engranes. En el capítulo 5.1.4 en forma general fue mostrada la influencia de la velocidad de deslizamiento y de las condiciones de trabajo al desgaste de los eslabones en un par cinemático superior. La intensidad del desgaste depende de muchos factores entre los cuales más importantes son: la fuerza de interacción de los dientes en el par cinemático, la velocidad de deslizamiento, la temperatura del medio ambiente, la presencia y la calidad del lubricante. La influencia de la fuerza, de la temperatura y de las condiciones de lubricación es una esfera de atención de otras materias. Teoría de Mecanismos y Máquinas estudia la influencia de la velocidad de deslizamiento al desgaste, que habitualmente es expresada mediante el factor de deslizamiento:
vdes. , v
(7.58)
donde vdes. es la velocidad de deslizamiento en el punto de contacto y vτ es la velocidad del movimiento del punto de contacto sobre el flanco del diente del engrane. Durante una sola revolución del engrane con el número menor de dientes, el segundo realiza una revolución no completa, por consiguiente, sus dientes van a entrar en contacto con menor frecuencia y su desgaste será menor que el del primer engrane. Por eso para comparar el desgaste entre los dientes de dos engranes el factor de deslizamiento del primer engrane se multiplica por la relación de transmisión, o del segundo se divide por ésta:
1
2
v1 des. v1
.
v2 des. v2 u1, 2
(7.59)
.
(7.60)
Al utilizar la figura 7.17 y la formula (5.22) la velocidad de deslizamiento para el punto B del engrane 1 será presentada por: vB1 des . LB1P 2 1 rb1 tan B1 tan w 2 1 , 338
(7.61)
y la velocidad del movimiento del punto de contacto sobre el flanco del diente del engrane 1 en el mismo punto será expresada como:
vB1 rb1 1 tan B1 .
(7.62)
Sustituyendo (7.61) y (7.62) en (7.60) el factor de deslizamiento para el primer engrane va a obtener la siguiente forma: z tan B1 tan w . 1 1 2 tan z 1 B1
(7.63)
y para el segundo la siguiente: z tan B 2 tan w . 2 1 2 z1 tan B 2
(7.64)
Para los engranajes internos las formulas (7.63) y (7.64) se presentarán así: z tan B1 tan w , 1 1 2 z tan 1 B1
y
z tan B 2 tan w . 2 1 2 tan z 1 B2
(7.65)
(7.66)
Figura 7.17. Diagrama auxiliar para la determinación del factor de deslizamiento en el punto de contacto B1.
En las formulas (7.63) y (7.64) resulta que el factor de deslizamiento incrementa con el alejamiento desde el polo de engranaje. En la figura 7.18 se muestra la variación del factor de deslizamiento por la altura de un diente. En ésta se observa que el incremento más intensivo del factor de deslizamiento está en el pie del diente y en el polo es igual a cero 1 0 y 2 0 . Figura 7.18. Diagrama que ilustra el área de trabajo del flanco de un diente del engrane.
Radio de curvatura equivalente define, en el engranaje de dos engranes, el valor del esfuerzo de contacto. De la magnitud de éste depende la rapidez del desgaste y por consiguiente el tiempo de vida del mecanismo.
339
El esfuerzo de contacto se determina para los engranajes rectos por la fórmula (6.115) donde el radio de la curvatura equivalente se calcula en el polo de engranaje por las siguientes razones: 1. Teniendo en cuenta la relación de contacto, que habitualmente es menor que 2, en el polo del engranaje con mayor probabilidad en contacto estará un solo par de dientes. 2. En el polo del engranaje la velocidad de deslizamiento es igual a cero por consiguiente la película del lubricante se destruye y los dientes se encuentran en el contacto directo sin la película de lubricante. También en el polo del engranaje el rozamiento cambia el sentido con esto cambian el sentido los esfuerzos tangenciales que provoca apariencia de micro grietas que se desarrollan en la picadura. Al iniciar, la picadura se distribuye por todo el flanco que provoca ruido y desgaste excesivo de todo el mecanismo. Utilizando el método principal de generación de la evolvente como el despliegue de la circunferencia del círculo base, se puede concluir que la longitud del segmento N1P en la figura 7.17 es igual al radio de curvatura de la evolvente en el polo del primer engrane y N2P es el radio de curvatura en el polo del segundo engrane. Por lo tanto los radios de curvatura de los engranes que están en el engranaje se puede presentar mediante:
r1 N1P y
m z1 cos tan w 2
(7.67)
m z2 cos tan w . 2
(7.68)
r2 N2 P
Sustituyendo (7.67) y (7.68) en (6.116) se tiene:
eq.
m z1 z 2 cos tan w . z1 z 2 2
(7.69)
7.2.6 Interferencia en el proceso de maquinado de los dientes de una rueda dentada Interferencia en el proceso de corte de los dientes de un engrane se produce cuando una de las partes activas del perfil evolvente del diente del engrane es cortada por la misma herramienta de corte. Estos se consideran como defectos no permisibles en el procesado de los dientes.
340
En el presente texto se muestran tres tipos de interferencia en el engranaje de un engrane con la herramienta de corte: socavación, agudeza de los dientes y corte de la cresta de los dientes de engranes con la corona dentada interna. Socavación. En el capítulo 7.2.1 fueron presentadas las propiedades de la evolvente una de las que indica que la evolvente dentro del círculo base puntos no tiene. Por lo tanto los puntos de la parte trapezoidal de los dientes de la cremallera, que tocan los flancos del engrane que se está procesando, están solamente en la línea de acción de la normal común n n del engranaje. Ya que la línea de acción es limitada por el punto N de toque de la nn con el círculo base del engrane entonces, los puntos del flanco de los dientes de la cremallera, que están más abajo del punto N, cortan la raíz del diente que se manifiesta en socavación es lo que se muestra en la figura 7.19. La socavación perjudica el engrane ya que debilita el diente en la raíz, disminuye la parte activa Figura 7.19. Socavación en el engranaje del del diente, por consiguiente, disminuye la engrane con la cremallera. relación de contacto. En la figura 7.20 se muestra la condición con que es evitada la socavación. Esta condición consiste en que el punto B del flanco de los dientes de la cremallera no debe cruzar la normal nn más abajo del punto de tangencia N de ésta con el círculo base. Entonces la socavación se evita con la corrección positiva m 0 o con el aumento del número de dientes. Es atractivo definir el número mínimo de dientes que se necesita para obtener un engrane sin la corrección m 0. Así pues la distancia más corta desde la trayectoria del punto B del extremo del flanco del diente de la cremallera base d hasta el eje del engrane será: he* m y 2 la proyección del segmento ON sobre el mismo eje va a ser determinada por rb cos . Para evitar la socavación debe ser realizada la siguiente desigualdad:
d * he m rb cos 2
Figura 7.20. Para evitar la socavación la línea b b de la trayectoria del punto B de la cremallera no (7.70) debe cruzar la normal común n n más abajo del punto N.
341
Al tomar d mz y rb
d mz cos cos se tiene: 2 2 z min .
2 he* . sen 2
(7.71)
Para el caso común: he* 1 y 20 , resulta zmin. 17.097 . Puesto que el número de dientes es una cifra entera se toma zmin. 17 . Para disminuir las dimensiones de los mecanismos, los engranes diseñan con un número mínimo posible de los dientes. Por eso para evitar la socavación con el número de dientes menor que 17 se necesita procesar engranes corregidos. En este caso la desigualdad (7.70) se presentará como:
d he* m m rb cos , 2
(7.72)
de donde resulta:
min . he*
z sen 2 . 2
(7.73)
La fórmula (7.73) se puede relacionar con el número mínimo de dientes para el engrane sin corrección. Ésta tendrá la siguiente forma:
z min . he* 1 . z min .
(7.74)
Agudeza de los dientes es un tipo de interferencia que aparece cuando ambos perfiles de un solo diente, el derecho y el izquierdo, se intersecan en la circunferencia del diámetro exterior del engrane o dentro de éste. La agudeza de los dientes debilita la cresta de los dientes de éstos y disminuye su altura, lo que reduce la relación de contacto. La agudeza puede suceder con la corrección positiva demasiado grande y se controla con el cálculo del grosor de los dientes en el diámetro exterior. Presentando (7.23) para este caso se tiene:
se m
cos 2 tan z inv inv e . cos e 2
342
(7.75)
Para evitar la quebradura en la cresta de los dientes, en el diseño mecánico se admite un grosor de los dientes en el diámetro exterior en límites se 0.2 m . Corte de la cresta de los dientes de engranes con la corona dentada interna. Para que sea más claro hay que presentar el proceso de maquinado de los engranes con la corona dentada interna. Los dientes del engrane con la corona dentada interna se cortan en una máquina talladora para engranes con el empleo de la herramienta de corte que tiene el filo hecho en forma de un piñón cortador. En la figura 7.21 se muestra el esquema del engranaje del engrane 2 con el piñón cortador 1. Examinando la figura se puede concluir, que el corte de la cresta de los dientes puede suceder en tres casos: 1. Cuando el perfil del diente del engrane atraviesa la línea de acción en un nivel más bajo que el punto de tangencia N1 de la normal común n n con el círculo base del piñón cortador 1. 2. Cuando el perfil del diente del engrane atraviesa la línea de acción en un nivel más bajo que el punto de tangencia N2 de la normal común n n con el círculo base del engrane 2. 3. Debido al movimiento radial de la herramienta de corte a la profundidad igual a la altura de los dientes. El primer caso y el segundo tienen relación con una de las propiedades de la evolvente que indica que ésta no tiene puntos dentro del círculo base. Este efecto en los engranes con dientes externos se manifiesta en socavación y en los engranes con dientes internos en el corte de la cresta. Según las investigaciones hechas por el científico ruso V.A.Gavrilenko y sus alumnos 77 el primer caso para los engranes nulos se evita cuando:
z2min.
0.02924 z12 1 , 0.05548 z1 1
(7.76)
y el coeficiente de corrección para los engranes se toma como:
z 2h
2 a1
z 2 z12 2 z2 z1 sen 2 4 2 ha1 z1
77
.
(7.77)
V.A.Gavrilenko. 1969. Fundamentos de la teoría de transmisión de engranes evolventes. “Mashinostroenie”, Moskú, Rusia, (p.p. 192-193).
343
El segundo caso se evita cuando no ocurre el primero. El tercer caso se relaciona con el método de corte de engranes con la corona dentada interna que se realiza del siguiente modo. El piñón cortador realiza el movimiento oscilatorio en la dirección coincidente con la de los dientes del engrane. Este movimiento es de corte, cuando se realiza el corte del material de la materia prima, y retorno a la posición de inicio para realizar otro movimiento de corte. Al mismo tiempo el piñón cortador y la materia prima realizan el movimiento de generación, el movimiento giratorio del piñón cortador y de la materia prima con respecto a sus ejes. Estos movimientos son simultáneos y se realizan en correspondencia con la relación de transmisión: u1, 2
1 z 2 , 2 z1
(7.78)
donde z1 es el número de dientes del piñón cortador y z2 es el número de dientes del engrane que se procesa. Al inicio del proceso de maquinado, la cresta del piñón cortador toca la superficie cilíndrica de la materia prima, que será el diámetro exterior del engrane futuro. Luego al piñón cortador se le proporciona el movimiento radial a la profundidad igual a la profundidad de corte. En este movimiento puede suceder que algunos dientes del piñón cortador cortan la parte de la cresta del Figura 7.21. Diagrama que ilustra tres casos engrane que se procesa. Este tipo de posibles de corte de cresta de dientes de engranes interferencia fue investigado y con la corona dentada interna. presentado por la científica rusa N.A.Skvortsova78. Entonces, según la presentación de N.A.Skvortsova el corte de la cresta del diente del engrane se evita en el caso cuando la diferencia entre los puntos extremos de la cresta del engrane y del diente del piñón cortador es positiva, es decir cuándo:
X B 2 X B1
De 2 D sen 2 2 e1 sen 1 1 0 , 2 2
78
N.A.Skvortsova, D.M. Lukichev. 1962. Nuevos métodos de cálculo y diseño de las máquinas, de aumento de su seguridad y tiempo de vida. Edición 5. GOSINTY, Moscú, Rusia.
344
(7.79)
donde De2 y De1 son los diámetros exteriores del engrane que se procesa y del piñón cortador, respectivamente; φ1 y φ2 son los ángulos de giro de la herramienta de corte y del engrane respectivamente; δ1 es el ángulo de la mitad del grosor del diente del piñón cortador en el diámetro exterior; δ2 es ángulo de la mitad de la anchura de la cavidad en el diámetro exterior del engrane. Al tomar 1 u1, 2 2 , donde u1, 2 1 es la relación de transmisión entre el piñón 2
cortador 1 y el engrane 2, se puede determinar la magnitud de φ cuando la diferencia entre los puntos B2 y B1 sea mínima. Entonces para evitar el corte de la cresta de los dientes del engrane debe ser:
X B 2 X B1 min . 7.3
De 2 D sen 2 2 e1 sen u1, 2 2 1 0 . 2 2
(7.80)
Geometría de engranajes espaciales
7.3.1 Geometría de engranajes cónicos En la figura 7.22 es mostrado el esquema cinemático del engranaje cónico con el ángulo entreeje δ0 constante. El ángulo complementario 180o 0 es de cálculo, que a menudo se nombra igualmente como el ángulo entreeje. Los engranajes cónicos se forman por engranes con los dientes procesados sobre la superficie cónica, sus ejes se cruzan. Los axóides 1 y 2 de los engranes son conos que giran uno sobre el otro sin deslizamiento. Los ejes y los axóides se cruzan en un punto O. Uno de los principales parámetros del engranaje es la
relación de transmisión u1,2 1 . La relación de transmisión 2
se relaciona con los ángulos de conos δ1 y δ2. Para definir ésta se deduce la ecuación vectorial de velocidades angulares: Figura 7.22. Esquema para la (7.81) auxiliar determinación de la relación de transmisión en un engranaje cónico.
21 2 1 y se construye el polígono vectorial. 345
El vector velocidad angular relativo 21 define la dirección del eje instantáneo de giro Op en el movimiento relativo de los engranes del engranaje. La posición del eje Op con respecto a los ejes de giro de los engranes OO1 y OO2 definen los ángulos δ1 y δ2 de los axóides 1 y 2.
Al trazar la perpendicular ac al vector 21 desde el punto a del polígono vectorial se observa que 1 sen 1 2 sen 2 donde resulta
u1,2
1
sen 2
2
sen 1
1 sen 2 . 2 sen 1
. Por eso:
(7.82)
Puesto que los axóides giran uno sobre el otro sin deslizamiento, entonces, las circunferencias poloidales de diámetros dp1 y dp2, que están en la base de los axóides, también giran sin deslizamiento, por consiguiente, los pasos entre los dientes de engranes en las circunferencias poloidales son iguales:
p p mp
d p1 z1
d p2 z2
,
(7.83)
por eso:
d p1 m p z1
(7.84)
y
d p 2 mp z2 .
(7.85)
Ya que la línea Op es común entonces: LOP
d p1 2sen 1
d p2 2sen 2
.
(7.86)
En la dependencia (7.86) se recibe: u1,2
1 sen 2 z2 . 2 sen 1 z1
(7.87)
En la figura 7.23 se muestra el modo de la Formación del flanco de los dientes de un engrane cónico. En la figura se muestra cono base, que es la superficie reglada formada por el conjunto infinito de rectas que parten de un solo punto y atraviesan el círculo base de este cono. El ángulo δb que forman el eje OB y una de las rectas KB es el ángulo del cono base. La superficie del cono la toca el plano P, que es el despliegue de la misma 346
superficie, de modo que el vértice B de éste se encuentre en el punto de partida de las rectas y el lado curvo sea tangente a la circunferencia del círculo base. Al girar el plano P sobre la superficie del cono sin deslizamiento el punto K, ubicado en un extremo del mismo plano, trazará la evolvente K0K que se ubique en la superficie de una esfera. Por eso ésta se denomina evolvente esférica. Entonces, todos los puntos de la recta KB van a trazar evolventes esféricas y la recta va a Figura 7.23. Diagrama que muestra la naturaleza esférica de la formar la superficie de la evolvente del engrane cónico y la formación del flanco del diente. evolvente cónica. En la figura 7.23 también se observa que si se alarga la longitud del cono, la distancia OB, hasta el infinito, es decir, si se elige el ángulo δ igual a cero, el cono se convertirá en un cilindro y la evolvente esférica se convertirá en la evolvente plana, con esto la superficie de la evolvente cónica se convierte en la de la evolvente cilíndrica. La última se usa como flanco de los dientes de las ruedas dentadas rectas cilíndricas. Entonces los engranes cilíndricos se puede considerar como el caso particular de los cónicos. La línea de intersección del flanco con la axóide puede tener diferentes formas: de una recta que coincida con la línea generatriz del cono, helicoidal, evolvente, curvilínea trazada por el arco de la circunferencia u otra curva. Aquí se muestra el proceso de la obtención y del cálculo solamente de los engranes de dientes rectos. En la figura 7.24 se muestra el engrane cónico. Sus parámetros están presentados por los parámetros de cuatro conos: cono de base, en la figura no se muestra, cono exterior con el diámetro Da, cono de paso con el diámetro d y cono de fondo con el diámetro Df. Los conos tienen el mismo vértice, el punto O. La longitud L entre el vértice O y la circunferencia d del cono de paso se toma como distancia del cono y la distancia B como el ancho de la corona dentada. Sin embargo el uso de la superficie esférica de la evolvente en los cálculos es muy complicado ya que ésta no es posible desenrollarla y convertirla en una superficie plana. 347
Tomando en cuenta que la altura de los dientes es esencialmente menor que el radio de la esfera la superficie esférica se simplifica mediante la sustitución por el cono adicional coaxial al cono de paso del engrane. Esta medida permite simplificar los cálculos. El cono adicional se construye de modo que la superficie cónica sea perpendicular a la del cono de paso, que está presentado en la figura 7.24. Ahora la proyección del diente sobre la superficie del cono Figura 7.24. Diagrama que ilustra los principios de la sustitución de la esfera por el cono adicional y de la sustitución del engrane cónico por el adicional se puede cilíndrico equivalente. desenrollar en un plano y presentar el engrane cónico como cilíndrico, éste se denomina engrane equivalente. Los parámetros del engrane equivalente se marcan por el superíndice eq. Los engranes cónicos, así como cilíndricos, se obtienen con el uso del método de generación, que se realiza mediante el movimiento giratorio de la materia prima con respecto al engrane de generación imaginario de forma plana, así como se presenta en la figura 7.25. El engrane plano de generación juega el mismo papel que la cremallera base para los engranes cilíndricos, por eso aquí se denomina engrane base. El modo de corte de los dientes depende del tipo de la máquina herramienta que, en general, puede usar tres modelos de engranes de generación. La mayor parte de los modelos de las máquinas están construidas con el uso del engrane base que tiene crestas de los dientes dispuestas en un plano y el ángulo del cono del axóide se calcula con la toma en cuenta del ángulo del pie del diente del engrane cónico γ. La ventaja de esta máquina consiste en su alta rigidez y, por supuesto, en alta productividad. La desventaja consiste en que el axóide del engrane base de crestas planas no es plano. Por eso el par de engranes, con los dientes procesados con el uso del mismo engrane base no es conjugado, el contacto de los dientes no es lineal sino puntual y la relación de transmisión, dentro del engranaje de un par de dientes, es variable. Pero estos defectos son despreciablemente pequeños y no se toman en cuenta.
348
Figura 7.25. Esquema de corte de los dientes de un engrane cónico mediante el método de generación.
El trabajo de la máquina herramienta es cíclico. En un solo ciclo se realiza el movimiento de generación y de corte para formar un solo diente. En el proceso de corte de los dientes se utilizan dos cortadores que realizan el movimiento lineal alternativo a lo largo del espacio entre los dientes. En el movimiento de generación el engrane realiza el movimiento giratorio alrededor de su eje OO y los cortadores giratorio alrededor del eje OOh del engrane base. Para procesar otro diente el engrane y los cortadores regresan 2 a la posición de inicio en que el engrane gira el ángulo de división . z En la mayoría de los casos el engranaje cónico se compone por engranes nulos 2 1 0 o por engranes con desplazamiento del engrane base opuesto: 2 1 . Seguidamente se presentan fórmulas para el cálculo de las dimensiones principales del engrane cónico para el caso general, con la corrección. Se determina el número de dientes del engrane base:
zb
1 z12 z 22 2 z1 z 2 cos , sen
349
(7.88)
donde 1 2 es la suma de los ángulos de conos de paso en el engranaje. Para el o
caso 90 : zb
z12 z 22 .
(7.89)
El diámetro de paso se calcula por:
d mz
(7.90)
y la distancia del cono L mediante: L
d mz . 2 sen 2 sen
(3.91) o
Hay que notar que el engrane base se reglamenta por varios parámetros: 20 , ha* 1.2 y c* 0.2. Sin embargo, se permite tomar módulo m no estándar hasta con decimales, cambiar el ángulo de presión α y producir engranes con grosor de los dientes en el diámetro de paso no igual a la anchura del espacio entre ellos. Esta libertad relativa en el corte de los dientes de engranes cónicos es debido a que cada par de engranes es individual y la construcción de la máquina herramienta permite, en ciertos límites, cambiar la posición de los cortadores. Se calcula la anchura de la corona dentada:
B kb L ,
(7.92)
donde kb 0.2...0.3 79. Puesto que el paso en los diámetros de la circunferencia de paso del engrane cónico y del cilíndrico equivalente es el mismo, entonces para el engrane cónico y su engrane equivalente se puede presentar:
p
d d eq . eq . , z z
(7.93)
de donde resulta:
79
Teoría de Mecanismos y Máquinas. Bajo la redacción de K.V.Frolov. Edición de MGTU de nombre N.E.Bauman, Moscú, 2004.
350
z
eq .
d eq . 80 . z d
(7.94)
Los parámetros del engrane equivalente son los siguientes:
y
d eq. m z eq. ,
(7.95)
dbeq. d eq. cos ,
(7.96)
D a eq . d eq . h a * m
(7.97)
D f eq . d eq . ha * c * m .
(7.98)
Engranaje de dos engranes cónicos se muestra en la figura 7.26 que está compuesto por dos engranes 1 y 2. Los axóides de los engranes son conos con los ángulos de los conos δ1 y δ2 y diámetros de paso d1 y d2 respectivamente. Los axóides son situados de modo que los vértices se encuentran en el punto O, tocan por la línea poloidál OP y giran uno por el otro sin deslizamiento. Adicionalmente en la parte trasera de los engranes están construidos conos coaxiales. Los axóides de éstos son perpendiculares a los de los engranes cónicos y sus vértices se encuentran en los O1* O2* puntos y respectivamente. Como el despliegue de éstos, sobre el plano construido perpendicularmente a la línea poloidál OP, están construidos los engranes cilíndricos equivalentes. Los diámetros de las circunferencias poloidales de éstos son d1eq. y d2eq. .
Figura 7.26. Engranaje de dos engranes cónicos.
80
El número de dientes del engrane cónico es una cifra entera y el del engrane equivalente se toma hasta el segundo valor después del punto.
351
La relación entre el número de dientes de los engranes cónicos y cilíndricos equivalentes se puede establecer examinando las circunferencias de paso del engrane cónico y del equivalente mediante:
y
d1eq .
d1 m z1 m z1eq . , cos 1 cos 1
(7.99)
d 2eq .
d2 m z2 m z 2eq . . cos 2 cos 2
(7.100)
z1eq.
z1 , cos 1
(7.101)
z 2eq .
z2 . cos 2
(7.102)
Por eso:
y
La relación de transmisión del engranaje cónico está dada por: u1, 2
1 z 2 2 z1
(7.103)
y la del equivalente se expresa mediante:
z2eq. z cos 1 cos 1 u eq. 2 u1, 2 . z1 cos 2 z1 cos 2 eq. 1, 2
(7.104)
Los parámetros restantes del engranaje equivalente y de los engranes equivalentes: ángulo de presión, diámetro del círculo base, diámetro exterior de los engranes, relación de contacto, etc. se calculan por las formulas iguales a las que se emplean para el cálculo de los engranes cilíndricos. 7.3.2 Geometría del engranaje de tornillo sin fin En el capítulo 5.1.1 están presentados conceptos generales de los engranajes mediante el engranaje hiperboloide. En éste la zona b b de la figura 5.1 fue presentada como la zona de los engranajes helicoidales de ejes cruzados y de los engranajes de tornillo sin fin. Entre éstos, en este capítulo, se presentan engranajes de tornillo sin fin por ser usados con mayor frecuencia en la industria metalmecánica. 352
La superioridad de engranajes de tornillo sin fin consiste en que mediante este engranaje es posible realizar la relación de transmisión en un rango muy grande de 5 hasta 500. Los engranajes de tornillo sin fin son silenciosos, tienen contacto prácticamente lineal, por eso transmiten cargas muy grandes, pero tienen bajo rendimiento 0 .5 0 ...0 .9 2, que se manifiesta en la generación de gran cantidad de calor. Para disminuir la temperatura del mecanismo, a veces, se necesita emplear enfriamiento con el uso de mecanismos adicionales para disipar el calor. Los engranajes de tornillo sin fin se usan mucho en reductores, cadenas de división de máquinas herramienta, en la construcción de grúas, etc. El mecanismo tiene dos eslabones principales tornillo y rueda dentada o corona. El tornillo puede tener una o varias roscas, o entradas, que engranan con los dientes de la corona. A veces el número de entradas lo nombran como el número de dientes así como en el engranaje cilíndrico. Al girar el tornillo una sola revolución el engrane girará un ángulo igual al número de entradas de la rosca. Con el movimiento giratorio continuo uniforme del tornillo, el engrane también va a tener el movimiento giratorio continuo uniforme. La relación de transmisión de éste se determina mediante: u1, 2
1 z 2 , 2 z1
(7.105)
donde z1 es el número de entradas del tornillo, y z2 es el número de dientes de la corona. En la figura 7.27 se muestran engranajes de dos tipos de tornillo sin fin: cilíndrico presentado en la figura 7.27b y glóbico presentado en la figura 7.27c. En la figura 7.27a se muestra la proyección de tornillo sin fin en la sección transversal. En el engranaje de tornillo sin fin, mostrado en la figura 7.27b, así como en los engranajes del engrane cilíndrico con la cremallera, encuentran en contacto no más que dos pares de dientes, por eso su potencia es reducida. En el engranaje glóbico, presentado en la figura 7.27c, se encuentran en contacto varios pares de dientes. Su capacidad en la transmisión de la carga es esencialmente mayor. Sin embargo, en la industria se usan más los engranajes de tornillo cilíndrico. Éstos tienen mejores características dinámicas y se emplean en reductores y multiplicadores con velocidades grandes. Una característica muy importante de algunos mecanismos de tornillo sin fin es el frenado automático. Frenado automático es un efecto que consiste en la posibilidad de transmitir el movimiento solamente cuando se aplica la fuerza al tornillo y no a la corona. El efecto de frenado automático se manifiesta en los tornillos sin fin cuando el ángulo de la hélice de la rosca β en el diámetro de paso es menor o igual al ángulo de fricción, es decir cuando arctan f , donde f es el coeficiente de fricción. Esta capacidad permite no utilizar frenos en los mecanismos de grúas no grandes para
353
levantamiento de carga y no utilizar frenos en otros mecanismos en que hay que impedir el retorno del mecanismo.
a)
b) c)
Figura 7.27. Vistas de engranajes de tornillo sin fin: a) en la sección transversal del tornillo, b) de tonillo cilíndrico y corona glóbica en la sección axial del tornillo y b) de tornillo glóbico y corona glóbica en la sección axial del tornillo.
Para obtener engranaje conjugado, la corona se procesa mediante la fresa madre de perfil igual al del tornillo que debe estar en contacto con la corona. El engranaje de la fresa madre con la corona repite el engranaje de la corona con el tornillo. La diferencia entre la fresa madre y el tornillo sin fin consiste solamente en que para formar la holgura radial entre la cresta de la rosca de tornillo y el fondo de la corona la altura de la rosca de la fresa madre se hace más grande a magnitud de c*m, donde c* es el coeficiente de la holgura radial y m es el módulo de engranaje. Además, para que en el engranaje sea formada la capa de lubricante entre el flanco de los dientes de la corona y el de la rosca, el grosor de la rosca de la fresa madre se hace un poco mayor. La elección de la holgura que forma la fresa madre depende del destino del mecanismo de tornillo sin fin. Los dientes de la corona es procesado en la misma máquina fresadora generadora de engranes en que se maquina el engrane cilíndrico. Los dientes de la corona es procesado en la misma máquina fresadora generadora de engranes en que es procesado el engrane cilíndrico. La diferencia en el maquinado del engrane cilíndrico y de la corona para el engranaje de tornillo sin fin consiste en lo siguiente. Los dientes del engrane cilíndrico son procesados con la distancia del , 354 constante, con el movimiento de la fresa madre a lo largo de los dientes del engrane futuro, y la corona para el engranaje del tornillo sin 354
fin es procesada con la variación del entreeje entre el eje de la fresa madre y de la corona con el avance radial de la fresa a la profundidad igual a la altura de los dientes. La rosca de los tornillos sin fin, en la mayoría de los casos, es procesada en tornos mediante cortadores hechos en forma de trapecio. La forma del flanco de éste depende de la orientación de los filos del cortador con respecto a la línea helicoidal en el cilindro de paso. En la figura 7.28a el cortador se instala de modo que el plano superior sea paralelo al eje del tornillo. Con esto la sección de la cavidad con el plano que pasa a través del eje del tornillo obtiene la forma del filo del cortador. Los flancos, en la sección con el plano transversal al eje del tornillo, obtienen la forma de espira de Arquímedes. Por eso el tornillo lo nombran de arquímedes. A pesar de la simplicidad del afilado e instalación del cortador, este método se usa para el procesado de tornillos de una o dos entradas. Esto es debido a que las condiciones de corte del material para el filo derecho e izquierdo son diferentes, lo que puede provocar errores en la formación de la rosca. Para procesar tornillos con un número de entradas mayor que dos en la mayoría de los casos se usa el método presentado en la figura 7.28b. En éste el corte de la rosca se realiza mediante un cortador trapezoidal instalado de modo que el plano superior del cortador sea perpendicular a la línea helicoidal en el cilindro de paso. En este caso la cavidad obtiene la forma trapezoidal en el plano perpendicular a la línea helicoidal del cilindro de paso, los filos del cortador están en condiciones de corte del material prácticamente iguales. Al trazar el plano perpendicularmente al eje del tornillo, en la sección de este con el flanco de la rosca, se forma una curva que tiene el nombre de convoluta, por eso estos tornillos se denominan de tornillos de convoluta. El procesado de la rosca presentado en la figura 7.28b, se usa para obtener roscas no grandes de una y varias a) b) entradas con el módulo hasta 3 mm. En la figura 7.28c se muestra el esquema de procesado de la rosca mediante dos cortadores que forman el lado derecho e izquierdo separadamente. En este caso los cortadores también se instalan de modo que el plano superior de cada cortador sea perpendicular a la línea helicoidal en el cilindro de paso. Con este método la rosca obtiene la forma trapezoidal en el plano perpendicular a la línea helicoidal en el cilindro de paso. Este método se usa para obtener roscas grandes con el módulo mayor a m3.5mm. La elección del 355
c)
d)
Figura 7.28. Relación del tipo del perfil del flanco de la rosca con el modo de maquinado: a) tornillo con el perfil de espira de Arquímedes; b) y c) tornillo con el perfil de convoluta; d) tornillo con el perfil de la rosca cóncava.
modo de corte también depende de la potencia del torno y de la rigidez del sistema MhDP (Máquina herramienta-Dispositivo-Producto). El tornillo también puede ser procesado con el uso de una fresa trapezoidal o circular cónica, pero en este caso el flanco de la rosca no será lineal. En muchos casos el uso de tornos o máquinas fresadoras se toma como un proceso preliminar. Después del corte de la rosca los tornillos se someten al tratamiento térmico y luego a la rectificación. El rectificado se realiza mediante piedras de esmeril circulares cónicas. Por eso después del rectificado los tornillos obtienen un perfil no lineal. Desde los años 50 del siglo XX en Alemania81, luego en Rusia y otros países europeos, se emplea el engranaje de tornillo sin fin con la rosca de tornillo cóncava procesada mediante un cortador con filos formados por una circunferencia de radio r. El esquema del maquinado de este tornillo se presenta en la figura 7.28d. La superioridad de este perfil, con respecto a los formados por cortadores trapezoidales, consiste en la mayor rigidez de los dientes de la corona y mejores condiciones para formar la cuña de lubricante. Según las investigaciones realizadas por F.L.Litvin82, en los engranajes con la rosca de tornillo con perfil trapezoidal, las líneas de contacto forman con el vector velocidad de deslizamiento un ángulo de 0° a 30°, que se muestra en la figura 7.29a, y en los engranajes de tornillo sin fin con perfil de la rosca cóncava un ángulo de 60° a 90°, que se muestra en la figura 7.29b. Entonces, con otras condiciones iguales, en el a) b) engranaje de tornillo sin fin con la rosca Figura 7.29. La orientación de las líneas de contacto con respecto a vector velocidad de deslizamiento: a) en el engranaje con el perfil de la cóncava el grosor de la rosca trapezoidal y b) con la rosca cóncava. cuña de lubricante es más grande, lo que esencialmente aumenta el rendimiento de la transmisión y disminuye el desgaste. En las figuras 7.30a y 7.30b se presenta el engranaje de tornillo sin fin con la indicación de parámetros principales de los elementos de la transmisión. Seguidamente se muestra cálculo de los parámetros geométricos de la transmisión y de sus elementos: del tornillo y de la corona.
81 82
G.Niemann, E.Heyler. 1953. Untersuchungen an Schneckengetrieben, VDI 95, p.p. 141-153. F.L.Litvin. 1968. Teoría de engranajes. Nauka, Moscú, Rusia, p.p. 390-431.
356
Así como en las transmisiones de engranajes cilíndricos o de cónicos las transmisiones z de tornillo sin fin se caracteriza por la relación de transmisión u1, 2 2 , donde z1 es el z1 número de entradas de la rosca de tornillo, como es habitual de 1 a 4, y z2 es el número de dientes de la corona, habitualmente de 18 a 300. Los parámetros geométricos de la transmisión de tornillo sin fin define el entreeje aw, que depende de los parámetros de la corona y del tornillo. Los parámetros principales del tornillo y de la corona son el módulo m, presentado en la tabla 7.1, el número de entradas del tornillo z1 y el número de dientes de la corona z2. Para simplificar el cálculo se usa así llamado factor del diámetro de paso de tornillo q que relaciona el diámetro de paso de tornillo con el módulo. Con esto el diámetro de paso del tornillo se determina mediante:
d1 qm .
(7.106)
El paso axial se determina de modo igual al de la cremallera para los engranes cilíndricos:
p m . (7.107) Otros parámetros tornillo son:
del
el diámetro exterior: De1 d1 2 he* m , (7.108)
donde he* es el coeficiente de la altura de la cabeza de los dientes. Como es habitual he* se elige igual a 1; el diámetro de fondo:
b)
a)
c)
Figura 7.30. Parámetros del engranaje de tornillo sin fin.
D f 1 d1 2 m he* c* ,
*
(7.109)
donde c es el coeficiente de la holgura radial entre la cresta de los dientes de la corona y el fondo del tornillo el que con la mayor frecuencia se toma igual a 0.25. Entonces, la altura de la cabeza de la rosca se toma como: 357
he1 he* m
(7.110)
y la altura del pie en magnitud:
h f 1 m he* c* .
(7.111)
El ángulo de la hélice de la rosca en el diámetro de paso, en la figura 7.30c se presenta como despliegue de la hélice sobre un plano que se determina mediante: d 1 arctan
p , d1
(7.112)
1 . q
(7.113)
o tomando en cuenta (7.106) y (7.107) como: d 1 arctan
En cualquier otro diámetro x el ángulo de la hélice se calcula mediante: tan x
d1 tan d 1 . dx
(7.114)
El paso axial de la rosca se divide en dos partes iguales: grosor de la rosca y la anchura de la cavidad, entonces:
up sp
p m . 2 2
(7.115)
Sobre la base de las formulas obtenidas para los engranes cilíndricos, los parámetros de la corona, en la sección media de la corona, se calculan por las formulas siguientes: diámetro exterior:
diámetro de fondo:
De2 m z2 22 2 he* ;
(7.116)
Df 2 m z2 2 he* 2 c* ;
(7.117)
grosor de los dientes en la circunferencia de paso se calcula por: 358
s2 m 2 2 tan . 2
(7.118)
Para el engranaje, el entreeje se calcula por la fórmula:
q z2 aw m 2 . 2
(7.119)
La corrección 2 m de la corona se elige no igual a cero con el objetivo para que el engranaje pudiera entrar en el espacio constructivo del mecanismo. El coeficiente de corrección 2 se elige en límites 1, con preferencia se toma la corrección positiva, con esto el diente de la corona obtiene mayor rigidez. 7.4 Trenes de engranes 7.4.1 Diseño de trenes de engranes simples y compuesto Las transmisiones de engranes sirven tanto para la reducción (reductores), como para el incremento (multiplicadores) de la velocidad del eslabón de salida con respecto a la del eslabón de entrada. El momento de par de las fuerzas, más apropiado como torque, aplicado a una flecha, se relaciona con la potencia mediante: P T , W,
(7.120)
donde P es la potencia en vatios; T es el torque en N m y ω es la velocidad angular de la flecha en rad/s o s-1. Por eso para obtener en la salida una fuerza grande la mayor parte de las máquinas usa reductores. Esto permite con la potencia no grande y ω menor recibir torque grande. Los multiplicadores se usan para obtener velocidades mayores de los que desarrollan los motores contemporáneos, por ejemplo, para girar el tambor de las máquinas separadoras de grasa en la industria lechera, para girar el volante de un giroscopio, para girar la flecha del generador eléctrico en molinos eólicos, ya que las turbinas del viento no desarrollan una velocidad de rotación grande, etc. Tanto la reducción como la multiplicación de la velocidad angular se realiza mediante un solo par de engranes o mediante la combinación de varios pares. Los mecanismos compuestos por los engranes con los ejes inmóviles se denominan trenes de engranes simples o compuesto, esquemas de éstos están presentados en las figuras 7.31, 7.32, 7.33 y 7.34. En la figura 7.31 está presentado un tren de engranes simple y en las figuras 7.32, 7.33 y 7.34 trenes de engranes compuesto. Los trenes tanto 359
simples como compuesto pueden ser formados por engranajes cilíndricos, presentados en las figuras 7.31, 7.32 y 7.34, por engranajes cilíndricos combinados con cónicos, presentado en la figura 7.33 o combinados con engranajes de tornillo sin fin. La característica principal de cualquier tren de engranes es la relación de transmisión. La relación de transmisión es la razón de la velocidad angular del eslabón de entrada sobre la del eslabón de salida: u1, n
1 . n
(7.121)
Puesto que la relación de transmisión de un engranaje se define de modo como u1, 2
1 z 2 , donde el signo 2 z1
(-) se aplica al engranaje externo y (+) al engranaje interno, entonces la relación de transmisión del mecanismo presentado en la figura 7.31 se Figura 7.31. Tren de engranes simple con ruedas locas 2 y 3. calcula por:
u1, 4 u1, 2 u2,3 u3, 4
1 2 3 z2 z3 z4 z 4 . 2 3 4 z1 z2 z3 z1
(7.122)
En la formula (7.122) resulta que el número de dientes de los engranes intermedios z2 y z3 no ejerce ninguna influencia en la magnitud de la relación de transmisión. Por eso estos engranes se denominan ruedas locas. Ruedas locas se emplean cuando se necesita cambiar sentido de giro de la flecha de salida, por ejemplo en la caja de cambios de un auto para cambiar el movimiento de avance por hacia atrás. La relación de transmisión se puede definir empleando el método gráfico llamado como método de polígonos vectoriales. Para mostrarlo se toma el primer engranaje de la figura 7.31 formado por los engranes 1 y 2. Al trazar desde el polo de engranaje P el segmento PB, que representará el vector velocidad del engrane 1 en el polo, y unir el punto B con el centro de rotación O1 entonces la línea O1B será la de distribución de las velocidades de los puntos del engrane 1. Entonces esto se puede presentar como: 1
v PB L L tan 1 . r1 v O1 P v 360
(7.123)
Ya que en el polo P el engrane 2 tiene misma velocidad entonces al unir de igual manera el punto B del engrane 2 con el centro de rotación O2 resultará: 2
v PB L L tan 2 . r2 v O2 P v
(7.124)
Así pues, la relación de transmisión del primer engranaje del mecanismo estará dada por: u1, 2
1 tan 1 , 2 tan 2
(7.125)
y para el mecanismo completo por: u1, 4
1 tan 1 . 4 tan 4 (7.126)
En la formula (7.126) se puede notar que para determinar la relación de transmisiónde un tren de engranes la longitud del vector PB puede ser tomada arbitrariamente, pero los elementos del esquema del mecanismo deben ser presentados a un escala concreto. En los trenes compuesto, la velocidad de rotación de las flechas cambia cada par de engranes. Un par de engranes es una etapa de cambio de velocidad, por eso el mecanismo formado por varios engranajes se denomina tren de varias etapas. En la figura 7.32 se muestra un tren de dos etapas, la Figura 7.32. Un tren de engranes de dos relación de transmisión de éste se determinará etapas. mediante: z z u1, 4 u1, 2 u2, 3 1 2 2 4 , (7.127) 2 3 z1 z3 Tomando en cuenta (7.122) y (7.127) la fórmula para el cálculo de la relación de transmisión, en forma general, se presentará como:
361
u1, n u1, 2 ...un1, n
1 n1| mz z 1 2 ... n , ... 2 n z1 zn1
(7.128)
donde n es el número de engranes y m es el número de engranajes, o etapas, externos que forman el tren. Entonces, si en el cálculo se obtiene resultado positivo, el eslabón de salida va a girar en el mismo sentido que el eslabón de entrada, si es negativo, va a girar en el sentido opuesto. Expresando la formula (7.128) mediante la forma (7.126) se tiene: u1, n
1 tan 1 . n tan n
(7.129)
Para el mecanismo combinado con incrustación de engranajes con los ejes intersecantes, por ejemplo cónicos, así como se muestra en la figura 7.33, o con los ejes cruzados así como de tornillo sin fin, el signo de la relación de transmisión pierde el significado. En este caso sobre la carcasa de un tren de engranes se traza el sentido preferible del giro de la flecha del eslabón de entrada y del de salida.
Figura 7.33. Un tren de engranes combinado con un engranaje cónico (engranes 1 y 2) y un cilíndrico (engranes 3 y 4).
En muchos casos hay que diseñar un mecanismo de modo que las flechas del eslabón de entrada y del de salida se encuentren en un solo eje geométrico, éstos se b) a) denominan coaxiales. En la figura 7.34a y 7.34b se ilustra dos Figura 7.34. Trenes con los ejes del eslabón de entrada y trenes de engranes coaxiales. El de salida alineados: a) de dos etapas de engranajes mecanismo presentado en la externos, b) con un engranaje interno. figura 7.34a es de dos etapas de engranajes externos, y en la figura 7.34b es con un engranaje interno (los engranes 2 y 3). En el mecanismo 7.34a los ejes del eslabón de entrada y del de salida giran en igual sentido. En el mecanismo presentado en la figura 7.34b la rueda loca 2 sirve para alinear los ejes del eslabón de entrada y del de salida, los ejes del eslabón de entrada y del eslabón de salida en este mecanismo giran en el sentido opuesto. La meta principal en el diseño mecánico de las transmisiones de engranes es la satisfacción a los criterios previamente elegidos así como: anchura y altura mínima o máxima, magnitud o peso mínimo o máximo, con todo eso debe ser logrado la relación 362
de transmisión requerida. En la tabla 7.3 se ilustran los recomendables límites para la elección de la relación de transmisión de diferentes engranajes. Para los reductores del uso general, el criterio más importante es la masa. En el caso común la obtención de un valor del tren mediante un solo par de engranes es irrazonable ya que con esto aumenta mucho su altura y masa. Si la relación de transmisión se puede llevar a cabo mediante reductores con diferente número de etapas entonces se toma en cuenta los principios siguientes: si la altura y anchura no tienen importancia se elige el menor número de etapas, en este caso el reductor resulta más simple y más barato; si la altura y anchura deben ser menores, entonces se toma el mayor número de etapas. Tabla 7.3. Recomendaciones para la elección de la relación de transmisión del mecanismo de un etapa Relación de transmisión Tipo de la transmisión Recomenmáx. dable Cerrada: Cilíndrica: De alta velocidad 3.1...5.0 8 De baja velocidad 2.5...4.0 6.3 Engranajes helicoidales y de doble hélice 3.0...5.0 8 Cónica: De dientes rectos 2.0...3.0 5 De dientes helicoidales 4.0...6.0 3 Abierta: Cilíndrica 4.0...3.0 12 Cónica 3.0...5.0 3 De tornillo sin fin: z1=1 28...50 80 z1=2 14...40 60 z1=4 8.0...30 40
Para realizar el diseño más simple en la mayoría de los casos la lubricación de engranes se efectúa mediante el hundimiento de coronas de engranes. La profundidad del hundimiento se elige no más que un tercio del radio del engrane. En estos reductores la magnitud de la relación de transmisión no se divide en forma igual entre las etapas. En el caso de la división de la relación de transmisión en forma igual entre las etapas, se hunde en lubricante solamente la corona del engrane mayor de la etapa de la velocidad más baja. Los engranes del engranaje de alta velocidad van a trabajar prácticamente sin lubricante, en seco. Para evitar esto la magnitud de la relación de transmisión de la etapa de la alta velocidad se tomar mayor que la de la baja velocidad. La proporción de éstos se toma como: ua.v. 1.25 ub.v. , ua.v. 1.40 ub.v. o ua.v. 1.60 ub.v. .83 En la tabla 7.4 están presentadas recomendaciones para la elección de la relación de transmisión y distribución de ésta entre las etapas. Con todo eso en el diseño de las máquinas se toma en cuenta que la exactitud cinemática del tren depende de la cantidad de etapas. Mayor cantidad de etapas lleva mayor error cinemático del mecanismo.
83
Kurmaz L.V., Skoybeda A.T. 2005. Elementos de máquinas. Diseño. Material didáctico. “Vishaya shkola”, Moscú, Rusia, p.p 12-13. Véase también en: Teoría de Mecanismos y Máquinas. 1983. Bajo la redacción de K.V.Frolov. “Vischaya Shkola”, Moskú, Rusia, (p.p. 435-445).
363
7.4.2 Diseño de mecanismos epicíclicos Mecanismos epicíclicos tal nombre reciben los mecanismos compuestos por engranes cilíndricos o cónicos que incluyen en su estructura engranes con ejes móviles. Engranes con ejes móviles realizan movimientos complejos, giratorio alrededor de su eje y junto con su eje Tabla 7.4. Recomendaciones para la elección de la relación de transmisión de alrededor de reductores y distribución de la relación de transmisión entre las etapas. los ejes de Reductores cilíndricos: De dos etapas engranes con u1,4 7.0...45 umax. 55 ; los ejes De tres etapas u1, 2 u3, 4 ; u1, 2 1.2...1.25 u1, 4 inmóviles. Con De etapas múltiple u1,6 30...200 umax. 300 ; u1,2 u3,4 u5,6 este movimiento u1, n u1, 2 u1,4 ... un1, n ; u1,2 u3,4 ... un1, n los puntos de Reductores cónico cilíndricos: engranes con utotal 6.3...31.5 ; De dos etapas los ejes De tres etapas ucon. u cil . ; u con. 0.9 utotal móviles trazan en el sistema utotal 20...160; ucon. ucil.1 ucil.2 de Reductores de tornillo sin fin: coordenadas De un etapa u1,2 8.0...80 inmóvil De dos etapas utot. 100...4000 epicicloides, es lo que les da este nombre a los mecanismos. Mecanismos epicíclicos pueden tener un solo grado de libertad y más que uno. En la figura 7.35 se muestra uno que tiene un solo grado de libertad por consiguiente tiene un solo eslabón de entrada. Éste se denomina planetario. Este mecanismo está compuesto por engranes coaxiales cilíndricos el 1, que gira con respecto al eje inmóvil, y el 3, inmóvil, fijo a la base. Entre el engrane 1 y 3 está dispuesto el engrane 2 que se engrana a la vez con el 1 y con el 3. Este engrane es de eje 7.35. Un móvil y realiza el movimiento giratorio con respecto a su eje Figura mecanismo planetario: y junto con su eje planetario satelital, el movimiento giratorio con respecto al eje de los engranes 1 y 3. Para que este 1. Engrane sol, 2. Satélite, 3. Corona, 4. Brazo. engrane realice tal movimiento su eje forma el par cinemático de rotación con el eslabón 4 que gira con respecto al mismo eje que el engrane 1 y 3. Por la disposición mutua y el movimiento relativo el engrane 1 se denomina sol, el 2 satélite, el 3 corona y el eslabón 4 brazo. Con todo eso ya que los engranes 1 y 3 tienen el mismo eje geométrico, a veces se denominan como centrales. En los reductores formados por estos mecanismos habitualmente como el eslabón de entrada se elige el sol 1 y como el eslabón de salida el brazo 4. 364
En la figura 7.36 se muestra otro mecanismo epicíclico 2 denominado diferencial. Éste tiene dos grados de libertad por 3 consiguiente tiene dos eslabones de entrada. El mecanismo 1 diferencial presentado está formado por engranajes cónicos en que los engranes centrales 1 y 3 engranan con los engranes 2 que forman pares cinemáticos de rotación con el brazo 4. Este mecanismo se usa mucho en automotriz. En éste el brazo 4 se une 4 con el motor y los engranes centrales 1 y 3 con las ruedas motrices del automóvil. Si el auto se mueve por una recta entonces los engranes 2 sirven como acoplamientos y giran los Figura 7.36. Un engranes 1 y 3 en un solo sentido. En el caso cuando el auto se mecanismo epicíclico mueve por una curva los engranes 2 girándose en el par llamado diferencial. cinemático de rotación con respecto al brazo 4 permiten obtener a los engranes 1 y 3 las velocidades angulares diferentes. Con esto se evita el deslizamiento de las llantas por la cara de la carretera. Seguidamente se presenta el estudio de mecanismos planetarios. Habitualmente el mecanismo planetario real tiene varios simétricamente distribuidos satélites. Esto tiene varios objetivos: disminuye el tamaño del mecanismo ya que el flujo de la potencia se divide en varios paralelos, disminuye la carga a los soportes de los engranes centrales, mejora el balanceo del mecanismo. Uno de los parámetros principales de un mecanismo planetario, así como de cualquier otro mecanismo que transmite la energía mecánica, que sea un reductor, multiplicador o caja de cambio de velocidades, es la relación de transmisión. En la figura 7.37a y 7.37b se muestra el esquema constructivo del mecanismo planetario típico cuyo esquema estructural se muestra en la figura 7.35. Este mecanismo está compuesto por engranes cilíndricos centrales sol 1 y corona 3 y tres satélites 2. La corona 3 es inmóvil y forma con el cuerpo del mecanismo (base) un solo eslabón. Los satélites 2 están engranados a la vez con el engrane sol 1 y con la corona 3. Su eje está unido con el brazo 4 mediante el par cinemático de rotación. Al proporcionar al engrane sol 1 el movimiento giratorio éste, debido al acoplamiento de los dientes con los de los satélites, gira los satélites 2. Pero ya que los satélites 2 del otro lado se engranan con la corona 3, que es inmóvil, los satélites mediante los ejes empujan el brazo 4 y lo giran en el mismo sentido que el engrane sol 1. De este modo se transmite el movimiento giratorio desde el engrane sol 1 al brazo 4. La relación de transmisión del mecanismo planetario es constante por eso éstos se usan como reductores o multiplicadores. La relación de transmisión de reductores planetarios con el engrane sol, elegido como el eslabón de entrada, y el brazo, como el de salida, se determina por la fórmula:
u1, 4
1 , 4
365
(7.130)
donde ω1 es la velocidad angular del engrane sol y ω4 es la del brazo. Para definir la relación de transmisión se puede aprovechar el método de polígonos vectoriales presentado en capítulo 7.4.1 que para el mecanismo planetario mostrado en las figuras 7.37 a y b se presenta en la figura 7.37c. En correspondencia con este método, en el eje de abscisa se proyectan los puntos característicos del mecanismo así como polos de engranajes y los ejes de engranes que en el sistema de coordenadas construida se marcan con letras minúsculas. Desde estos puntos a escala μv se trazan las velocidades paralelamente al eje de ordenadas. Así pues desde el punto a, en el sistema
c)
a)
b)
Figura 7.37. Esquema constructivo del mecanismo planetario, en que: a) es la sección lateral y b) es la vista frontal. c) La presentación del análisis cinemático del mecanismo mediante el método de polígonos vectoriales.
de coordenadas L, v se traza el vector aa* que representará la velocidad de los puntos A1 y A2. La línea 1 1 trazada a través de los puntos O y a* será la de distribución de las velocidades de los puntos del engrane sol 1. Ya que el satélite 2 está engranado con el 1 en el polo A entonces el punto A de éste va a tener misma velocidad. Puesto que el satélite 2 al mismo tiempo está engranado con la corona 3, que es inmóvil, entonces el punto C del satélite 2 obtiene la velocidad nula. La línea 2 2 trazada a través del punto c y el a* del polígono vectorial determinará la línea de distribución de las velocidades de los puntos del satélite 2. En esta línea se halla la velocidad del centro de rotación B del satélite 2 en que mediante el par cinemático de rotación el satélite 2 se une con el bazo 4. Entonces el vector bb* va a representar tanto la velocidad del punto B del satélite 2 como del punto B del brazo 4. Ya que el punto O del brazo 4 tiene la velocidad nula entonces la línea 4 4 , trazada desde el punto b* a través del punto O del sistema de coordenadas, representará la línea de distribución de las velocidades de los puntos del 366
brazo 4. Midiendo los ángulos ψ1 y ψ4, que forman las líneas 1 1 y 4 4 con el eje de abscisa, se determinará la relación de transmisión del mecanismo: u1, 4
tan 1 . tan 4
(7.131)
Sin embargo este método se puede utilizar solamente para el análisis cinemático. Para la síntesis se usa un método analítico el que se basa en el método de Willis del movimiento opuesto que establece la relación entre los parámetros geométricos y cinemáticos. En correspondencia con este método, mentalmente a todo el mecanismo, incluyendo la base, se proporciona el movimiento giratorio con la velocidad angular igual a la del Tabla 7.5. Velocidades angulares de los eslabones del mecanismo planetario y del opuesto Eslabón Velocidad angular de los eslabones en el Velocidad angular de los eslabones en el mecanismo planetario mecanismo opuesto
1
1(3)
1(4) 1(3) (3) 4
2
(3) 2
(3) (3) (4) 2 2 4
3
3(3) 0
(3) (4) 3 0 4
4
(3) 4
(3) (3) (4) 4 4 4 0
brazo pero en el sentido opuesto. Con esto el brazo se pone inmóvil y los otros eslabones obtienen velocidades angulares que se presentan en la tabla 7.5. NOTA. En la notación de las velocidades angulares de los eslabones y de la relación de transmisión en el subíndice se indica el número del eslabón y en el superíndice, entre paréntesis, el número del eslabón inmóvil con el que es presentado este parámetro. Por ejemplo, 1(3) indica la velocidad angular del engrane 1 cuando inmóvil es el engrane 3 y 1(4) indica la velocidad angular del mismo eslabón con el brazo 4 inmóvil. Debido a que el brazo 4 obtiene la velocidad angular igual a cero el mecanismo planetario se convierta en el compuesto con los ejes de los engranes inmóviles. Para 1(4) 1(3) (3) (4) 4 , cada par de engranes de este mecanismo se puede presentar: u1, 2 (4) (3) (3) 2 2 4 (4) u2,3
(4) (3) (3) 2 2 4 . Así pues, para el mecanismo compuesto, con el engrane 1 como (4) (3) 3 4
el eslabón de entrada y el 3 como el de salida, la relación de transmisión será presentada por:
367
u1,(4)3
donde
3 1
3
4
(3) (3) 1(4) (4) 1(3) (3) 1(3) (3) 1(3) 2 4 2 4 4 , 1 (4) (3) (3) (3) (3) (3) (4) 2 3 2 4 4 4 4
(7.132)
es la relación de transmisión del mecanismo planetario u1,(3)4 con el eslabón 1
(el engrane sol) como de entrada, el 4 (el brazo) como el de salida y con la corona 3 inmóvil. Entonces en la ecuación (7.132) resulta ser: (7.133) u1,( 4)3 1 u1,(3)4 que se puede presentar como:
u1,(3)4 1 u1,( 4)3 .
(7.134)
(4) Ya que u1,3 es la relación de transmisión del mecanismo compuesto entonces utilizando:
u1,( 4)3 1
1
z3 , z1
(3.135)
se llega a una forma muy simple para el cálculo de la relación de transmisión del mecanismo presentado en la figura 7.38:
z z (4) u1,(3)4 1 u1,3 1 3 1 3 . z1 z1
(7.136)
La fórmula (7.136) se puede presentar en la siguiente forma: u1,( 34) u 1,( 43) 1 ,
(7.137)
que manifiesta que la suma de la relación de transmisión del mecanismo planetario y del compuesto es igual a uno. La fórmula (7.137) es válida para cualquier mecanismo planetario. En la práctica de ingeniería mayor empleo tienen cuatro esquemas de los mecanismos planetarios que están presentados en la figura 7.38 uno con el satélite de un solo engrane, mostrado la figura 7.38a, y los demás con el satélite, compuesto por dos engranes. En todos los mecanismos los ejes del brazo 4 y de los engranes centrales 1 y 3 son coaxiales, frenando uno de éstos, se puede obtener tres diferentes velocidades en la salida. Esta cualidad se utiliza mucho en cajas de cambio mecánicas y automáticas de autos. En la figura 7.39 se muestra caja de 14 velocidades de la marca Speedhub para 368
bicicletas. Ésta sirve para variar la frecuencia de rotación y torque en el rango más grande que permite la fuerza muscular del ser humano. La singularidad de los mecanismos presentados en las figuras 7.38c y 7.38d consiste en que con éstos se puede b) c) d) a) obtener la relación de Figura 7.38. Esquemas principales de mecanismos planetarios. transmisión muy grande. En estos mecanismos, como es habitual, el eslabón de entrada es el brazo 4 y el eslabón de salida es el engrane 1 o 3. Al tomar en la figura 7.38d el brazo como el eslabón de entrada y el engrane 1 como el eslabón de salida, la relación de transmisión estará dada por: (3) u4,1
1 1 (4) , u1,(3)4 1 u1,3
(7.138)
donde la relación de transmisión del mecanismo compuesto se presentará como: (4) u1,3
z z 2 3* . z1 z2
(7.139)
Tomando z1 99 y z3 100 , también z2 98 y z2* 99 , se
Figura 7.39. Esquema de la caja de velocidades planetaria de marca para Speedhub 500/14 bicicletas.
(3)
(4) tiene u 1,3 0 .9 9 9 8 9 7 9 6 9 y u 4,1 9801 . Sin embargo el rendimiento de este mecanismo es muy bajo. Si se toma el coeficiente de pérdidas en un engranaje interno 4 4 para el mecanismo con el brazo detenido como: f1,2 f 2* , 3 0.02 y el coeficiente de
pérdidas en los valeros de los soportes, que son tres pares, como: f val . f13 0.0053 125 10 9 , donde f1 0.005 es el coeficiente de pérdidas de un solo par de valeros, entonces el rendimiento de la transmisión, sin tomar en cuenta las pérdidas en el revolvimiento del lubricante, será el siguiente: f4,1
1
3
4 3 4 1 1 u4,1 f1,2 f * fval.
2 ,3
1 1 1 9801 0.02 0.02 125 109
369
0.00256 . (7.140)
Es decir aproximadamente 99.7 por ciento de la energía mecánica se convierta en calorífica. En la tabla 7.6 se muestran algunas propiedades de ciertos mecanismos planetarios84. En éstos la relación de transmisión se presenta limitada por las mismas razones que fueron presentadas para los mecanismos compuestos.
Tabla 7.6. Relación de transmisión y rendimiento de ciertos mecanismos planetarios.
En el caso cuando se necesita diseñar un mecanismo con valor del tren que esté fuera de estos límites, se pasa al diseño de mecanismos más complejos. El diseño de uno de éstos se muestra en la figura 7.40a. Éste es el mecanismo planetario de dos etapas, el que esquemáticamente (véase la figura 7.40a) está compuesto por dos mecanismos de la variante 1 de la tabla 7.6. El siguiente desarrollo de los mecanismos planetarios se encuentra en el diseño de las transmisiones con tres engranes centrales. En la figura 7.41a se muestra uno de éstos que tiene en su estructura tres engranes centrales 1, 3 y 3 *, el satélite presenta un bloque compuesto por dos engranes 2 y 2* y el brazo 4. En este mecanismo, el engrane central 1 84
Kudravcev V.N. y otros. 1977. Mecanismos planetarios. Prontuario. “Mashinostroenie”, Leningrado, URSS. p.p. 13-16.
370
es el eslabón de entrada. Como el eslabón de salida se usa el engrane 3*. El brazo 4 es suelto que gira libremente. La cualidad de este mecanismo con respecto a los demás consiste en alto rendimiento de 0.90 a 0.80 en un rango de la relación de transmisión u1, 33* de 20 a 500. a)
Para el análisis y la síntesis cinemática, este mecanismo se Figura 7.40. Mecanismo planetario divide en dos más de dos etapas: a) esquema estructural del mecanismo; b) plano b) simples: uno incluye del mecanismo. los engranes centrales 1 y 3, el satélite 2. Para este mecanismo el engrane sol 1 será de entrada y el brazo 4 de salida. El otro mecanismo incluye los * engranes centrales 3 y 3 , el satélite compuesto por los engranes 2 y 2* y el brazo 4. Para este mecanismo el brazo 4 será el eslabón de entrada y el engrane 3* el de salida. Teniendo en cuenta las formulas (7.136) la relación de transmisión del primer mecanismo será presentada por: a) b)
Figura 7.41. Análisis cinemático de un mecanismo de tres z (3) (4) u1,4 1 u1,3 1 3 , (7.141) engranes centrales. z1
y para el segundo mecanismo, teniendo en cuenta las formulas (7.138) y (7.139), la relación de transmisión se determinará mediante:
u4,(3)3*
1 u3(3) * ,4
1 1 u3(4) * ,3
z3* z2 1 . z2* z3 z * z2 z * z3 3 2 1 z3* z2
(7.142)
Entonces para el mecanismo completo en la figura 7.41a la relación de transmisión será presentada por: 371
z 2 z 3* z1 z3 z 2 z3* . z3 (3) u1,(3)3* u1,(3)4 u 4, 1 3* z1 z 2 z3* z3 z 2* z1 z 2 z * z3 z * 3 2
(7.143)
La relación de transmisión se comprueba con la construcción de polígonos vectoriales presentados en la figura 7.41b. En éste se proyectan los puntos A, B, C y D del mecanismo en el eje L del sistema de coordenadas (L, v ). Las velocidades de los puntos indicados se trazan paralelamente al eje de ordenadas v. Entonces al inicio se traza el
vector aa* de la velocidad del punto A del engrane 1. Trazando la línea 1 1 desde el punto a* a través del punto O se halla la línea de distribución de las velocidades de los puntos del engrane 1. Puesto que con el engrane 1 está engranado el satélite 2 entonces igual velocidad va a tener el punto A del satélite 2. Ya que el engrane 3 es inmóvil, entonces el punto C de éste va a tener la velocidad igual a cero. Puesto que el satélite 2 engrana con la corona 3 en el punto C, entonces este punto del satélite va a tener la velocidad igual a cero. Al unir el punto c con el a* mediante la recta 2 2 se halla la línea de distribución de las velocidades de los puntos del satélite 2. En la intersección de la línea 2 2 con la Dd se halla el vector dd* de la velocidad del punto D del satélite 2* y por consiguiente del punto D de la corona 3*. La línea 3 3 trazada desde el punto d* a través del inicio del sistema de coordenadas O es la de distribución de las velocidades de los puntos de la corona 3*. Trazando un vector desde el punto b hasta la intersección con la línea 2 2 , se define la velocidad bb* del punto B del eje del satélite y del punto B del brazo 4. De modo igual, como en lo anterior, se construye la línea 4 4 de distribución de las velocidades de los puntos del brazo 4. Al definir las magnitudes de *
*
los ángulos ψ1, ψ3* y ψ4 de las pendientes de las líneas 1 1 , 3 3 y 4 4 con respecto al eje L, se define la relación de transmisión del mecanismo con el engrane 1 como el eslabón de entrada y el 3* como el de salida: *
u1, 3* 3
tan1 , 3*
*
(7.144)
también se puede determinar la relación de transmisión entre el engrane 1 y el brazo 4: u1, 4 3
tan 1 . tan 4
(7.145)
Cuando en un mecanismo diferencial que tiene dos grados de libertad dos eslabones móviles se unen mediante un eslabón con eje inmóvil, éste se convierta en un mecanismo diferencial cerrado con un solo grado de libertad. En la figura 7.42a se muestra uno de éstos, en que la corona 3 y el brazo 4 se unen mediante el eslabón 5 con el eje inmóvil. El número de grados de libertad de este mecanismo es igual a:
372
q 3 n 1 1 psup. 2 pinf. 3 6 1 1 4 2 5 1,
(7.146)
donde psup. es el número de pares cinemáticos superiores o el número de engranajes, en el esquema psup. 4 , y pinf. es el número de pares cinemáticos inferiores, en el esquema
pinf. 5 . Así pues, estos mecanismos, así como los planetarios, tienen un solo eslabón de entrada, pero no tienen engranes centrales inmóviles. Mecanismos diferenciales cerrados, en comparación con los planetarios simples, tienen mejor correlación entre el rendimiento y la relación de transmisión. Además, debido a la división de la potencia en dos
a)
b)
Figura 7.42. Análisis cinemático de un mecanismo diferencial cerrado.
flujos paralelos, permiten obtener mayor torque en la salida por consiguiente pueden tener menor tamaño. Como el eslabón de entrada en este mecanismo puede ser elegido el engrane 1 y como el eslabón de salida el 5. El análisis cinemático mediante el método gráfico de éste se muestra en la figura 7.42b en que la construcción de los polígonos vectoriales comienza con la construcción del vector velocidad del punto D o E del eslabón 5. Con esto se hallan las líneas de distribución de las velocidades de los eslabones 5, 3 y 4 que definen la ubicación de los puntos b* y c* de los puntos B y C de los eslabones 2 y 3. Al trazar la línea 2 2 de la distribución de las velocidades de los puntos del satélite 2, se halla la velocidad del punto A tanto del eslabón 2 como del 1. Por fin la relación de transmisión del mecanismo estará dada por: u1, 5
tan 1 . tan 5
373
(7.147)
Para la obtención de las ecuaciones para la síntesis cinemática se usa el mismo método de Willis del movimiento opuesto. Deteniendo el brazo 4 para los engranes 1, 2 y 3 se tiene:
1 4 z3 , 3 4 z1
(7.148)
para los 3* y 5 lo siguiente: 3 z 5 , 5 z 3´
(7.149)
de donde resulta que:
z5 . z 3´
3 5
(7.150)
Para los engranes 4* y 5* se tiene:
4 z5* , 5 z4*
(7.151)
de donde resulta:
4 5
z5* z4*
.
(7.152)
Sustituyendo (7.150) y (7.152) en (7.148) y después de ciertas simplificaciones se recibe:
u1,5
1 z5* z3 z5 z5* . 5 z4* z1 z3* z4*
(7.153)
Cálculo del número de dientes de los engranes de mecanismos planetarios es un proceso principal en la síntesis de mecanismos planetarios. Éste se realiza después de la elección del esquema estructural del mecanismo y de la determinación de la relación de transmisión. En este proceso se calcula el número de dientes de los engranes y el número de satélites de modo que la relación de transmisión calculada del mecanismo planetario no tenga diferencia grande con respecto a la elegida. Ya que el número de 374
dientes y el número de satélites deben ser enteros, entonces, al sustituir en (7.134) el (4)
término u1, 3 por su valor, representado a través del número de dientes de engranes, se (3)
obtiene la relación de transmisión ( u1,4 ) diferente al elegido. El resultado se considera satisfactorio si la relación de transmisión calculada tiene diferencia con respecto a la elegida no más de 5 por ciento. En los mecanismos planetarios los ejes del brazo y de los engranes centrales deben estar en el mismo eje geométrico. Esta condición se denomina condición de coaxiabilidad. Al tomar que todos los engranes están procesados sin corrección, entonces, para el m z1 m z2 m z3 m z2 , esquema 7.38a esta condición estará dada por: a1,2 a2,3 , o 2 2 2 2 en que resulta:
z1 z2 z3 z2
(7.154)
y para el esquema 7.39b la misma condición estará dada por:
z1 z2 z3 z2* .
(7.155)
Del mismo modo se define la condición de coaxiabilidad para otros mecanismos. Una de las ventajas de los mecanismos planetarios es el uso de varios satélites que dividen el flujo de la potencia en varios paralelos y con eso en un volumen pequeño se transmite una potencia grande. Para que el mecanismo no se bloquea, los satélites deben ser distribuidos en el espacio entre los engranes centrales de modo que los dientes de los engranes vecinos no toquen uno con otro. La condición que limita el número de satélites en el espacio entre los engranes centrales se denomina condición de vecindad. En la figura 7.43 se muestra la situación cuando se efectúa la condición de vecindad para el esquema presentada en la figura 7.38b. Esta condición se efectúa cuando el espacio entre las Figura 7.43. Explicación gráfica de la crestas m * de los dientes de los satélites condición de vecindad. vecinos más grandes, que son 2*, es suficiente para que los dientes no se enganchen y su rotación sea libre, aquí δ* es el coeficiente de la distancia entre las crestas de los dientes de los satélites vecinos. Entonces el número 375
máximo de los satélites que se puede instalar en el espacio entre los engranes centrales es igual a: K
2 ,
(7.156)
donde γ es el ángulo entre los satélites vecinos:
arctan
aA,B 2R4
.
(7.157)
En la fórmula 7.157 el símbolo aA,B es el entreeje de los satélites vecinos y R4 es la distancia entre el eje del engrane sol 1 y del satélite 2, o entre el eje del engrane corona 3 y del satélite 2*. Tomando:
y
aA, B m z2* 2 ha* * ,
(7.158)
z z2 R4 m 1 , 2
(7.159)
se recibe:
arctan
z2* 2 ha* * z1 z2
.
(7.160)
Así pues definitivamente el número máximo de los satélites se puede presentar por: K max . arctan
2 . z2* 2 ha* *
(7.161)
z1 z2
Sin embargo en el espacio entre los engranes centrales no se puede instalar cualquier número de satélites limitado por el número Kmax.. En el diseño de las máquinas los ingenieros pretenden realizar un diseño simétrico del mecanismo planetario, es decir distribuir los satélites simétricamente en el espacio entre los engranes centrales. Con esto se logra lo siguiente: los satélites se cargan de modo igual, se garantiza la división simétrica de la potencia en los flujos iguales, simplifica el balanceo y el ensamble del mecanismo. Esta simetría de distribución de los satélites permite evitar la necesidad de la instalación de contrapesas. Entonces se necesita definir el número racional de los satélites que se puede instalar. 376
Para que sea más clara la última condición hay que regresar al cálculo del número de grados de libertad del mecanismo como mecanismo real. Para esto se analizará la movilidad del mecanismo presentado en la figura 7.37b. Éste está compuesto por 6 eslabones: la base 3, el engrane sol 1, tres satélites 2 y el brazo 4. En el mecanismo el engrane sol 1 y el brazo 4 forman un par cinemático inferior cada uno con la base 3 y los satélites 2 forman tres pares cinemáticos inferiores con el brazo 4. Al mismo tiempo los satélites 2 forman pares cinemáticos superiores con el engrane sol 1 y con la corona 3. Considerando el mecanismo como idealmente plano resulta que q 3 n 1 1 ps 2 pin. 3 6 1 1 6 2 5 1, es decir el mecanismo real tiene
Rexc. 1 q 1 1 2 restricciones excesivas y presenta una estructura que significa lo siguiente. Al principio del ensamble el engrane sol 1 y el brazo 4 giran libremente. Con la instalación del primer satélite el engrane sol 1 mediante el satélite 2 se engrana con la corona 3 formando un mecanismo entero con la relación de transmisión concreta. Entonces los otros satélites ya no pueden ser instalados en cualquiera posición del brazo del mecanismo. Para realizar el ensamble completo debe cumplirse la condición denominada condición de ensamble. Para definirla se toma el esquema presentada en la figura 7.44. En éste, los satélites están realizados en forma de bloques compuestos por dos engranes: el engrane 2 que se engrana con el engrane sol 1 y el 2* que se engrana con la corona 3. Se considera que los satélites son idénticos con la igual orientación de los dientes de engranes y que el ensamble de los satélites en los ejes del brazo se realiza en una sola posición. Como posición de ensamble, convencionalmente, se toma la vertical, que pasa a través del centro de los engranes centrales y el eje de simetría de la cavidad entre los dientes de la corona 3. En esta posición el eje del satélite coincide con la vertical y los dientes de los engranes del primer satélite entran a la vez en las cavidades entre los dientes de la corona 3 y del engrane sol 1. Para que en la misma posición se instale el segundo satélite, al engrane sol se le proporciona el movimiento giratorio un ángulo 1* 2 N . Puesto que en esta z1
Figura 7.44. Referencia a posición el eje del satélite puede no coincidir con la vertical, al la condición de ensamble. engrane sol se le proporciona varias vueltas enteras
adicionales. Presentando éstas como 1** 2C definitivamente se tiene:
1 1* 1** 2 C
2 N N 2C . z1 z1
Con esto el brazo girará un ángulo: 377
(7.162)
4
1 3 . e1,4
(7.163)
Pero, para que el eje del satélite coincida con la vertical, el ángulo de giro del brazo debe ser igual a:
4
2 , K
(7.164)
donde K es el número óptimo de satélites. Sustituyendo (7.162) en (7.163) e igualando (7.163) y (7.164) resulta que:
K
z1 u1,(3)4 N z1 C
.
(7.165)
En la resolución de la ecuación (7.165) hay que tener en cuenta que K, z1, N y C deben ser números enteros. Para el caso más simple, C 0 , se tiene:
K
z1 u1,(3)4 N
.
(7.166)
El orden del cálculo de los dientes del mecanismo planetario es el siguiente: 1. Se elige el esquema estructural del mecanismo y valor de la relación de transmisión. La elección de la relación de transmisión depende del destino de la máquina. 2. Utilizando (7.134) y la condición de coaxiabilidad, se calcula el número de dientes de los engranes y se precisa la relación de transmisión. En este etapa hay que evitar la socavación del engrane menor, si el número de dientes es menor, que se calcula por (7.71). 3. Utilizando (7.161) se calcula el número máximo de los satélites. 4. Tomando en cuenta la condición de ensamble y utilizando (7.165) o (7.166) se calcula el número óptimo de los satélites. Con esto debe tener preferencia la mayor cantidad de satélites. Pero hay que tener en cuenta que mayor cantidad de satélites aumenta el número de restricciones excesivas que exigirá mayor exactitud en la fabricación. 378
Si en el cálculo no se obtiene resultados satisfactorios entonces se debe corregir la relación de transmisión, en límites permisibles, o corregir el número de dientes del engrane menor y repetir el cálculo. 7.4.3 Diseño de transmisiones ondulatorias Los mecanismos del engranaje ondulatorio o las transmisiones de onda, es una de las variedades de las transmisiones mecánicas. El nombre de “ondulatorio” se relaciona con el modo de la transferencia del movimiento mecánico realizado mediante la deformación ondulatoria de uno de los eslabones. Por primera vez reductores ondulatorios empezaron fabricar en Estados Unidos con el uso de patentes de C.W.Musser registrados en 1959 en EU. Las ventajas de estos mecanismos son las siguientes. La posibilidad de obtener la relación de transmisión muy grande, de 60 a 320 en un espacio pequeño. Con esto los mecanismos ondulatorios debido al pequeño desplazamiento relativo entre los dientes tienen bajas pérdidas de energía mecánica que asegura su alto rendimiento, de 0.85 a 0.8. En el engranaje ondulatorio están engranados varios pares de dientes a la vez que esencialmente disminuye la carga de los dientes en comparación con otros mecanismos. Además estos mecanismos permiten realizar la transmisión del movimiento giratorio a través de las paredes herméticas, separando dos ambientes diferentes, por ejemplo: la atmósfera desde el vacío, el ambiente químicamente agresivo desde el ambiente de trabajo del ser humano, etc. También los engranajes ondulatorios permiten utilizar el espacio dentro de la transmisión, por ejemplo, dentro de éste es posible colocar un motor eléctrico u otros dispositivos complementarios. Esto permite aumentar la precisión cinemática del engranaje y la suavidad del trabajo de la transmisión mecánica. Todas estas ventajas resultan atractivas para los ingenieros. El esquema principal de la transmisión de onda se muestra en la figura 7.45 el que está compuesta por tres eslabones: el generador de onda 1, el engrane flexible 2 con los dientes externos y el engrane rígido cilíndrico 3 con los dientes internos unido rígidamente con el cuerpo del mecanismo (base) 4. Existen variantes de las transmisiones de onda con engranes cónicos, o con los dientes procesados sobre la cara del disco. El engrane flexible, de un lado tiene tope cilíndrico y del otro está unido con el generador de onda 1. El generador de onda en el movimiento giratorio, a través de las bolas, provoca una onda de deformación del engrane flexible 2 el que, en la parte de la mayor deformación, entra en el engranaje con el engrane rígido y, en la parte de la deformación menor, sale del engranaje.
379
Para imaginarse el modo de funcionamiento del mecanismo ondulatorio se toma el engrane rígido con un número de dientes igual a z3 y el engrane flexible con el número
de dientes z2 . Con todo eso, z3 z2 , y la diferencia z3 z2 es igual al doble del número de las ondas de deformación. Entonces con una revolución del generador de onda el engrane flexible gira con respecto al rígido en el sentido contrario al del movimiento giratorio del generador un ángulo igual a la diferencia del número de pasos del engrane rígido y del flexible z3 z2 .
Figura 7.45. Esquema de una transmisión de onda.
Es evidente que la relación de transmisión del mecanismo con el engrane rígido inmóvil, el generador de onda como el eslabón de entrada y el engrane flexible como el eslabón de salida será determinado por: u1,2 3
z2 . z3 z 2
(7.167)
A veces estos mecanismos se usan con el engrane flexible inmóvil. En este caso el generador de onda es el eslabón de entrada y el rígido con el cuerpo es el eslabón de salida. Para este mecanismo el sentido del movimiento del generador y del engrane rígido coinciden y la relación de transmisión será determinada por: u1,3 2
z3 . z3 z 2
(7.168)
Con esto se obtienen las formulas muy simples para la determinación de la relación de transmisión con el generador de onda (g.) como el eslabón de entrada y el engrane flexible (f.) como el de salida:
380
u g , f r
zf. N
,
(7.169)
o con el generador de onda como el eslabón de entrada y el engranaje rígido (r.) como el eslabón de salida
zr . , N
u g ,r f
(7.170)
donde N es el número de ondas del generador de onda, que puede ser 1, 2, 3, etc. En el superíndice en las formulas (7.167…7.170), así como en los mecanismos planetarios, se indica en número del eslabón inmóvil. El cálculo comienza con la elección de la relación de transmisión85 y el cálculo del número de dientes del engrane rígido y flexible. Para esto se usan las formulas (7.167) y (7.168). Luego empleando conocimientos de Mecánica de Materiales, se calcula la resistencia y rigidez de torcer el engrane flexible y con esto determinar el diámetro de la superficie media dmf de éste. Luego se calcula el módulo de engranaje:
m*
d mf zf
.
(7.171)
El resultado obtenido se redondea hasta el estándar más cercano. Luego se determina el diámetro de paso de los engranes: del engrane rígido: y del flexible:
dr mzr
(7.172)
df mzf ,
(7.173)
asimismo se determina el grosor h del aro del engrane flexible. Para este cálculo se usa la siguiente formula experimental:
zf h 60 m z f 104 . 5
(7.174)
La longitud del engrane flexible se elige en límites de 0.05dmf a 1.1dmf .
85
Teoría de Mecanismos y Máquinas. 2004. Bajo la redacción de K.V.Frolov. Edición de MGTU de nombre N.E.Bauman.
381
Los dientes del engrane flexible se procesan en las máquinas talladoras universales para engranes. Con esto el engrane flexible se deforma de modo igual a que va a obtener en el mecanismo. En el procesado de los dientes se toma en cuenta las modificaciones de contacto con la deformación radial y de la torsión del engrane flexible. Tomando en cuenta estas deformaciones se puede obtener un contacto prácticamente superficial de los dientes en el engranaje.
382
PROBLEMAS 7 DISEÑO DE ENGRANAJES Problema 7.1. Diseñar un engranaje externo compuesto de dos engranes rectos con los datos siguientes: módulo de engranaje m 3, mm ; ángulo del perfil de la cremallera base 20 ; coeficiente de la altura de la cabeza de los dientes he 0.8 ; coeficiente de la holgura radial entre los dientes de engranes c * 0 .3 ; *
número de dientes del piñón z1 14 ; número de dientes de la rueda z2 17 . Tarea 1. Calcular parámetros principales de engranes (diámetro de paso d, diámetro del círculo base db, diámetro exterior De, diámetro de fondo Df, grosor de los dientes en la circunferencia de paso). Tarea 2. Definir el entreeje aw. Tarea 3. Determinar la magnitud de relación de contacto del engranaje. Tarea 4. Construir diente del piñón, presentar sus parámetros principales, calcular la magnitud del grosor de los dientes en el diámetro exterior. Tarea 5. Construir el esquema del engranaje con la indicación de los parámetros de engranes, de la línea de acción y de la línea de contacto. Problema 7.2. Diseñar un engranaje externo compuesto de dos engranes rectos con los datos siguientes: módulo de engranaje m 3.5, m m ; ángulo del perfil de la cremallera base 20 ; coeficiente de la altura de la * cabeza de los dientes he 1; coeficiente de la holgura radial entre los dientes de engranes c * 0.25 ;
número de dientes del piñón z1 16 ; número de dientes de la rueda z2 21. Tarea 1. Calcular los parámetros principales de engranes (diámetro de paso d, diámetro del círculo base db, diámetro exterior De, diámetro de fondo Df, grosor de los dientes en la circunferencia de paso). Mediante los cálculos asegurar la distancia entre los centros aw 65,mm. Tarea 2. Determinar la magnitud de la relación de contacto del engranaje. Tarea 3. Construir el diente del piñón, presentar sus parámetros principales, calcular la magnitud del grosor de los dientes en el diámetro exterior. Tarea 4. Construir el esquema del engranaje con la indicación de los parámetros de engranes, de la línea de acción y de la línea de contacto.
383
Problema 7.3. Diseñar un engranaje externo compuesto de dos engranes rectos con los datos siguientes: módulo de engranaje m 4, m m ; ángulo del perfil de la cremallera base 20 ; coeficiente de la altura de la * cabeza de los dientes he 1; coeficiente de la holgura radial entre los dientes de engranes c * 0.25 ; número de dientes del piñón z1 16 ; número de dientes de la rueda z2 28.
Tarea 1. Calcular los parámetros principales de engranes (diámetro de paso d, diámetro del círculo base db, diámetro exterior De, diámetro de fondo Df, grosor de los dientes en la circunferencia de paso). Mediante los cálculos asegurar la distancia entre los centros aw 88,mm . Tarea 2. Determinar la magnitud de la relación de contacto del engranaje. Tarea 3. Construir el diente del piñón, presentar sus parámetros principales, calcular la magnitud del grosor de los dientes en el diámetro exterior. Tarea 4. Construir el esquema del engranaje con la indicación de los parámetros de engranes, de la línea de acción y de la línea de contacto. Problema 7.4. Diseñar un engranaje externo compuesto de dos engranes rectos con los datos siguientes: módulo de engranaje m 3, mm ; ángulo del perfil de la cremallera base 20 ; coeficiente de altura de la cabeza de los dientes he* 0.8 ; coeficiente de la holgura radial entre los dientes de engranes c * 0 .3 ; número de dientes del piñón z1 11; número de dientes de la rueda z2 33. Tarea 1. Calcular los parámetros principales de engranes (diámetro de paso d, diámetro del círculo base db, diámetro exterior De, diámetro de fondo Df, grosor de los dientes en la circunferencia de paso). Mediante los cálculos asegurar la distancia entre los centros aw 66,mm Tarea 2. Determinar la magnitud de la relación de contacto del engranaje. Tarea 3. Construir el diente del piñón 1, presentar sus parámetros principales, calcular la magnitud del grosor de los dientes en el diámetro exterior. Tarea 4. Construir el esquema del engranaje con la indicación de los parámetros de engranes, de la línea de acción y de la línea de contacto. Problema 7.5. Para el mecanismo planetario presentado en la figura P7.1 con el brazo 4 como el eslabón de entrada y el engrane 1 como el de salida calcular el número de dientes de engranes y el número de satélites para 3 asegurar la relación de transmisión u4,1 0.2 con el error no más de 5 por ciento. Mediante el método de polígonos vectoriales confirmar la relación de transmisión calculada. 384
Problema 7.6. El número de dientes de los engranes del mecanismo planetario presentado en la figura P7.2 es el siguiente: z1 18 , z2 36 , z2* 20 y z3 74. Definir la magnitud de la relación de transmisión con el engrane 1 como el eslabón de entrada y el brazo 4, como de salida. Mediante el método de polígonos vectoriales confirmar la relación de transmisión calculada. Problema 7.7. El número de dientes de los engranes del mecanismo planetario mostrado en la figura P7.3 es el siguiente: z1 98, z2 36 , z2´ 38 y z3 100 . Definir la magnitud de la relación de transmisión e4,1 con el brazo 4, como el eslabón entrada y el engrane 1 como de salida. Mediante el método de polígonos vectoriales confirmar la relación de transmisión calculada. Problema 7.8. El número de dientes de los engranes del mecanismo planetario mostrado en la figura P7.4 es el siguiente: z1 20 , z2 36 , z2´ 28 y z3 28. Definir la magnitud de la relación de transmisión u4,1 con el brazo 4, como el eslabón entrada y el engrane 1 como de salida. Mediante el método de polígonos vectoriales confirmar la relación de transmisión calculada.
Figura P7.1.
Figura P7.3.
Figura P7.2.
385
Figura P7.4.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS Capítulo 1 ESTRUCTURA Y CLASIFICACIÓN DE MECANISMOS Problema 1.1. Figura P1.1. Q=1. Es un mecanismo espacial con un grado de libertad. Figura P1.2. Q=0. Es una estructura. Figura P1.3. Q=1. Es un mecanismo espacial con un solo grado de libertad y un grado de libertad superfluo. Problemas 1.2 y 1.3. Figura P1.4. q=1. Es un mecanismo plano de tercera clase con un solo eslabón de entrada. Figura P1.5. q=0. Es una estructura. Figura P1.6. q=2. Es un mecanismo plano de segunda clase con dos eslabones de entrada, la formula estructural de éste es Icl.-II2-Icl.. Figura P1.7. q=2. Es un mecanismo plano de segunda clase con dos eslabones de entrada, la formula estructural de éste es.Icl.-II2-Icl.-II2. Figura P1.8. q=0. Es una estructura. Figura P1.9. q=1. Es un mecanismo plano de segunda clase con un solo eslabón de entrada, la formula estructural de éste es (Icl.-II3-II2). Figura P1.10. q=1. Es un mecanismo plano de segunda clase con un solo eslabón de entrada, la formula estructural de éste es (Icl.-II3-II1). Figura P1.11. q=1. Es un mecanismo plano de segunda clase con un solo eslabón de entrada, la formula estructural de éste es (Icl.-II3-II5). Figura P1.12. q=1. Es un mecanismo plano de segunda clase con un solo eslabón de entrada, la formula estructural de éste es (Icl.-II3-II4). Capítulo 2 SÍNTESIS DE MECANISMOS ARTICULADOS Problemas 2.1 y 2.2. LAB =0.1136m, LBC = 0.3352m, LDC = 0.2839m, LAD = 0.3537m, LCE = 0.1m, con α = αadm. = 38°. Problemas 2.3 y 2.4. LAB = 0.1473m, LBC = 0.4075m, e = 0.0717m con α = αadm. = 16°. Problemas 2.5 y 2.6. LAB = 0.1255m, LCD = 0.5640m, LAC = 0.3539m. Problemas 2.7 y 2.8. LAB = 0.1962m, LAC = 0.05875m. Capítulo 3 ANÁLISIS CINEMATICO DE MECANISMOS ARTICULADOS Problema 3.1. vB2 = 9.517m/s, vC4 = 7.397m/s, vE3 = 7.01m/s, vG3 = 8.685m/s, vG4 = 2.466m/s, ω3 = 11.29rad/s, ω4 = 26.056rad/s, aB2 = 797.2885m/s2, aC4 = 599.2m/s2, aE3 = 653.9626m/s2, aG3 = 679.8367m/s2, aG4 = 199.7335m/s2, α3 = 1817.3rad/s2, α4 = 1994.845rad/ s2. Problema 3.2. vB2 = 18.51m/s, vC4 = 8.14m/s, vG3 = 14.5m/s, ω3 = 33.7rad/s, aB2 = 2326m/s2, aC4 = 1910m/s2, aG3 = 2019.7m/s2, α3 = 4359.7rad/ s2. 386
Problema 3.3. vB2 = 2.05m/s, vB4 = 2.0m/s, vD4 = 3.8m/s, vG4 = 1.9m/s, ω4 = 12.8rad/s, aB2 = 21.5m/s2, aB4 = 31.17m/s2, aD4 = 60m/s2, aG4 = 30m/s2, α4 = 115.14rad/ s2. Problema 3.4. vB2 = 9.2m/s, vB4 = 7.553m/s, vD4 = 6.87m/s, vG4 = 3.4m/s, ω4 = 12.18rad/s, aB2 = 674.3m/s2, aB4 = 384.76m/s2, aD4 = 535.88m/s2, aG4 = 535.88m/s2,α4 = 267.9rad/ s2. Capítulo 4 ANÁLISIS Y SÍNTESIS DINAMICO DE MECANISMOS ARTICULADOS Problemas 4.1 y 4.2. Fcomp.=-1989.75 N (el signo negativo de la fuerza de compensación significa, que tiene sentido opuesto al sentido del movimiento del punto B2. Problemas 4.3 y 4.4. Fcomp.=15750.4 N. Problemas 4.5 y 4.6. Fcomp.=2411.4N. Problemas 4.7 y 4.8. Fcomp.=74.6N.
387
ÍNDICE A Aceleración definición 94 angular, 95 de Coriolis, 96 normal 96 tangencial 95 Agudeza de los dientes 341 Análisis definición 14 cinemático 90 dinámico 163, 193 estructural 34 Ángulo de presión 52, 245, 260, 318 Altura de la cabeza de los dientes 322 Amplitud 212, 222 Análogo de velocidad 154 Anchura de la cavidad 322 Ángulo de engranaje 245 de fricción 168 de partida 72 de presión 52, 245, 318 de transmisión 246 entre los ejes 234 Assur grupo estructural 36 método 35, 169 Axóide 236, 345 B Balanceo 180, 194 217 estático de disco 218 dinámico de rotor 220 de mecanismos articulados 226 Balancín 25 Base 20 Biela 25 Brazo de un par de fuerzas 161 C Cadena cinemática 19
Caja de cambios 315, 360 Cálculo de fuerzas 169 dinámico 193 Cardano, mecanismo 27, 84 Carrera de trabajo 59 de retorno 59 Centro de gravedad 162, 166 de rotación de la leva 256, 260, 269 278 Ciclo 60, 210, 258 Cicloide 317 Cierre del par cinemático 18 Círculo base 256, 281, 317 de fricción 168 Citroën 316 Coeficiente de incremento de las fuerzas 267 de irregularidad 211 de corrección 326 Colisa 25 Colisa oscilante 66 Condición de coaxiabilidad 375 de ensamble 377 de vecindad 375 Contrapesas 376 Coordenada generalizada,33 Coriolis 96 Corona 314, 328, 344 364 Corredera 25 Cremallera 314, 319 Cresta 322, 341 Cupla 161 Cuña de lubricante 242, 356 Curva de paso 285 Curvatura 303 Ch Chebishev, 26, 86 D D’Alambert, 190 Desbalance 219 388
Desgaste 35, 46 Desplazamiento 15, 51, 90 Desplazamiento angular 91 Diagrama 72, 152 Diámetro exterior 326 de fondo 326 de paso 325 Diente 314, 318 Dirección 52, 91 E Ecuación del mecanismo 135 Ecuación del movimiento del mecanismo 203 Elipsógrafo 28, 85 Energía cinética 208 mecánica 15 Engranaje definición 28, 235, 285, 314, 322, 331 biparamétrico 314, 325 cónico 345 de tornillo sin fin 237, 352 helicoidal 237, 323 Engrane equivalente 330, 348 Entreeje 235, 354 Equilibrio 164, 165, 169, 218 Esquema estructural 21 Escala 21, 57, 101, 170 Eslabón definición16 de entrada 20 de salida 21 motriz 21, 163, 254 Estructura 31 Evolvente definición 317 esférica 347 Excentricidad 259 F Factor de deslizamiento 245
Fases del movimiento 206, 256 Fuerza definición 161 de compensación 178 de fricción 29, 53, 168 de resistencia 52, 162, 180 de inercia 164, 192 de gravedad 184 equivalente 198 motriz 53, 162, 180 normal 168 tangencial 171 Función de transmisión 55, 135 Fresa madre 323 G Generación, método 285, 324 Ginebra, mecanismo 30 Grado de libertad 17, 33 Grashof 56 Grupo estructural convencional 137 de Assur 35 Guía 25, 27 H Hélice 324, 332, 353 Herónimus, desigualdad 279 Hertz 304 Holgura 19, 163 Hooke, junta 27 I Inercia 12 Interferencia 303, 340 Irregularidad 193 L Leva 22, 254 Línea de acción 161, 218 de contacto 336 Lubricante 338 M Malta, cruz 30
Manivela 25 Máquina 15 Masa 12 equivalente 196 Mecanismo definición 15, 16 de retorno rápido 60 epicíclico 363 planetario 364 diferencial 364 de leva 254 Método de marcas 57 de generación 285, 317 iterativo 141 matricial 248 de superposiciones 58 Momento de par de fuerzas 162, 198 de fuerza equivalente 198 de inercia 164.226 de inercia equivalente 197 Movilidad 31 Movimiento definición 90 absoluto 91 de traslación 91 relativo 91 N Newton 164 Normal común 239, 336 O Oldham, acoplamiento 28 Oscilación 25, 217 Oscilante 222, 260 P Palanca de Zhukovskiy 188 Pantógrafo 26 Par cinemático clasificación 17 deslizante 17 de rotación 17 Paso 322 Peaucillier, inversor 86 Piñón 314 389
Pitting 244 Plano de par 162 Polo de engranaje 238, 261, 321, 360 de polígono vectorial 98 Polóide 241 Polígono vectorial 101, 166, 236, 279 Poncelet 236 R Radio de curvatura equivalente 305, 335 del perfil de la leva 303 de fricción 168 Relación de contacto 335 Relación de transmisión 55, 135, 237, 261, 315 Regla de la suma vectorial 111 Rendimiento 265, 353 Reuleaux, método 246 Resonancia 222 Restricción 17 Roberts 26, 86 Rodillo 255 Rotor 220 Rueda dentada 314, 340 S Seguidor 21, 28, 191 Sentido definición 91 del desplazamiento angular 91 Sylvester, pantógrafo 86 Síntesis definición 14 dinámica 193, 210 de mecanismos de levas 256 estructural 46 geométrica 51, 55, 59 por la ley dada 69 por la relación de velocidades promedio 59 por la trayectoria dada
84 Socavación 341 Superficies conjugadas 236 Superficie generada 285 Superficie generadora 285 Superficie reglada 346 T Teorema de Grashof 54 del ángulo inscrito 61 de Samuel Roberts 86 de Zhukovskiy 189 general de engranajes 239 de Willis sobre la relación de transmisión instantánea 240 sobre el centro de rotación de la leva 260 Torque 162, 359 Transmisión ondulatoria 379 Traslación 91 Trayectoria 90 Tren de engranes 315, 359 Trinquete, mecanismo 30 U Unidades 12 V Variador 29 Vector 51, 92 Velocidad definición 92 angular 93 de rotación 94 Vibración 217 Volante 210 W Watt, mecanismo 86 Willis, método 73, 261, 283, 367 Wittenbauer 209
390
BIBLIOGRAFÍA 1 Baranov G.G. 1985. Curso de la Teoría de Mecanismos y Máquinas. Mir, Moscú. 2 Calero Pérez, Roque, Carta González, José Antonio. 1999. Fundamentos de Mecanismos y Máquinas para Ingenieros. McGRAW-HILL, Madrid. 3 Dijks Man, E. A. 1981. Cinemática de mecanismos. LIMUSA, México. 4 Erdman, Artur G., Sandor, George N. 1998. Diseño de Mecanismos. Análisis y Síntesis. PRENTICE HALL, México. 5 Foix, Salvador Carbona, Costa, Daniel Clos. 2001. Teoría de Máquinas. Edicions de la Universidad Politécnica de Catalunya. 6 Ham C. W., Crame E. J., Rogers W. L. 1964. Mecánica de Máquinas. Mc GRAW-HILL, New York. 7 Litvin, F.L. 1964, “The use of the kinematic method to determine the relationship between the curvatures of reciprocally enveloped surfaces and the condition for avoidance of undercutting the teeth.” Proceedings of TMM seminar, issue N 103, Moscow, “Nauka”. 8 Litvin, F.L. 1994, Gear Geometry and Applied Theory, PTR Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. 9 Mabie, Hamilton H., Reinoldz, Charles F. 2004. Mecanismos y Dinámica de Maquinaria. Limusa, México. 10 Marghitu, Dan B., Crocker, Malcolm J. 2001. Analisis Elements of Mechanisms. Cambridge, University Press. 11 Martínez, Josep-Lluís Suñer, Montoya, Francisco Jisé Rubio y otros. 2001. Problemas resueltos de Teoría de Máquinas y Mecanismos, Universidad Politécnica de Valencia, España. 12 Martínez, Josep-Lluís Suñer, Montoya, Francisco Jisé Rubio y otros. 2004. Teoría de Máquinas y Mecanismos. Problemas resueltos. Alfaomega, México. 13 Montufar, Cándido Palacio. 1998. Análisis y Síntesis de Mecanismos. Tomo I y II. Instituto Politécnico Nacional, México. 14 Norton, Robert L. 2009. Diseño de Maquinaria. Una introducción a la Síntesis y al Análisis de Mecanismos y Máquinas, McGraw-Hill, México. 15 Segura, León Gerardo Carrizosa, Padilla, María Guadalupe Rivera. 2000. Introducción a los Mecanismos. Instituto Politécnico Nacional, México. 16 Shigley, Joseph Edvard, Uicker, John, Joseph Jr. 1990. Teoría de Mecanismos y Máquinas. McGRAW-HILL, México.
391
APÉNDICE EJEMPLO DE MUESTRA I. DISEÑO DEL MECANISMO PARA UNA MÁQUINA TALLADORA Se diseña el mecanismo para una máquina talladora. Para esto al principio se elige el esquema estructural de un sistema mecánico y se realiza el análisis de éste. En la figura I.1a se muestra el esquema que se propone para el diseño de la máquina talladora. El análisis consta de 4 problemas: determinación de movilidad del sistema mecánico, análisis cinemático, cálculo de fuerzas y síntesis dinámico. Resolución del problema 1. DETERMINACIÓN DE MOVILIDAD DEL SISTEMA MECÁNICO Este problema se realiza en el siguiente orden:
Tabla I.1. Presentación de los pares cinemáticos
a) Se examinan los pares cinemáticos. La presentación de éstos se muestra en la tabla I.1. b) Se calcula el número de grados de libertad: q 3 n 1 psup. 2 pinf. 3 6 1 0 2 7 1
(I.1)
c) Se analiza la estructura del sistema mecánico. En la figura I.1a se presenta el esquema estructural del sistema mecánico que se descompone al grupo estructural de segunda clase de cuarta variedad presentado en la figura I.1b, al grupo estructural de segunda clase de tercera variedad, presentado en la figura I.1c y al mecanismo de primera clase, presentado en la figura I.1d.
a)
b) c) d) Figura I.1. Análisis estructural del mecanismo de la máquina talladora. 392
Conclusiones: El análisis realizado manifiesta que el esquema presentado es de un mecanismo que tiene un solo eslabón de entrada, no tiene restricciones excesivas, ni grados de libertad superfluos. La fórmula estructural de este
mecanismo se expresa mediante: I 1, 2 I I3 3, 4 I I 4 5, 6 . Ya que el mecanismo forman solamente el mecanismo de primera clase y grupos estructurales de segunda clase entonces el mecanismo pertenece a los de segunda clase, por lo tanto el análisis cinemático se realizará mediante polígonos vectoriales. Enseguida se presenta la resolución del problema 2 que es el análisis cinemático. Para esto en la figura I.2 se presenta el esquema estructural con indicación de los parámetros, que se debe elegir, y como el eslabón de entrada se elige el eslabón 2. Resolución del problema 2. ANÁLISIS CINEMÁTICO DEL MECANISMO Análisis cinemático se realiza con la coordenada generalizada igual a 2 90 aplicada a la manivela 2 y la frecuencia de rotación n2 320 min 1 . Las longitudes de los eslabones se toman las siguientes: LAB 0.075 m ; LAC 0.135 m ; LBG 3 0.216 m ; LCD 0.243 m . Los pares cinemáticos A y C se ubican en una línea horizontal. Se construye el esquema cinemático del mecanismo. Para esto se elige la longitud del segmento AB 25 mm y se calcula la escala del esquema cinemático: L
LAB 0.075 0.003 m mm .(I.2) AB 25
Las longitudes de los otros segmentos serán las siguientes: de L 0.135 de AC AC 45 mm , L 0.003 Figura I.2. Esquema estructural del mecanismo de la maquina L 0.243 CD CD 81 mm y del talladora. L 0.003 segmento que determina la ubicación del centro de gravedad G3 del eslabón 3, L 0.216 BG3 BG 3 72 mm . L 0.003 Mediante la medición se determinan los segmentos: BC 51 mm y BD 144 mm . NOTA. Para que la dirección de los vectores velocidades y vectores aceleraciones exactamente corresponda a la de los eslabones la construcción de los polígonos vectoriales de las velocidades y de las aceleraciones se presentará más cerca posible al esquema cinemático del mecanismo. Construcción del polígono vectorial de velocidades a) Se determina la velocidad angular del eslabón 2: 2
n2 320 33.5 s 1 . 30 30
393
(I.3)
b) Se deduce la ecuación vectorial del mecanismo de primera clase:
v B 2 v A1 v B 2 A1 ,
(I.4)
donde v A1 0 y vB 2 A1 2 LAB 33.5 0.075 2.5125 m s .
c) Se elige la longitud del segmento a1b2 50 mm , que representará el vector velocidad v B 2 A1 en el polígono vectorial, y se calcula la magnitud de la escala del polígono vectorial de velocidades: v
vB 2 A1 2.5125 0.05 m s 1 mm . a1b2 50
(I.5)
Ya que v A1 0 , entonces la longitud del vector pv a1 , que representaría el vector velocidad v A1 en el polígono vectorial, también es igual a cero, por eso el punto a1 del final del vector pv a1 se ubicará en el mismo polo. Por lo tanto el origen del vector a1b2 va se ubicará en el polo pv . El polo adicionalmente se marcará con los símbolos (a1, a2, c1, c4, d1), que son vectores nulos de los puntos correspondientes del mecanismo. La solución de la ecuación (I.4) está presentada en la figura I.3b en forma del vector a1b2 . Ya que v B 3 v B 2 el extremo del vector a1b2 adicionalmente se marca con el símbolo b3. d) Se determina el sistema de ecuaciones vectoriales de las velocidades del punto C del eslabón 3 del grupo estructural de segunda clase de tercera variedad. Puesto que el eslabón 3 gira en el par cinemático B con respecto al eslabón 2 y desliza en el par cinemático deslizante C entonces resulta que v C 3 v B 2 vC 3 B 2 y v C 3 vC 4 v C 3C 4 . Ya que el eslabón 4 está unido con la base mediante el par cinemático de rotación entonces vC 4 vC1 . Al unir las primeras dos ecuaciones en una se tiene:
v B2 vC 3B2 vC 4 vC 3C 4 . BC
(I.6)
BC
Para resolver la ecuación (I.6) a través del punto b2 del polígono vectorial se traza la línea BC y ya que vC 4 0 desde el polo pv se traza la línea BC . El punto de intersección de éstas se marca con el símbolo c3 . Al aplicar la regla de la suma vectorial se determina el sentido de los vectores vC 3B 2 y v C 3C 4 . b3 c3 b3 g 3 bc bd y 3 3 3 3 , se BC BG BC BD determinan los segmentos, correspondientes a las velocidades relativas de los puntos G3 y D3 que en el polígono vectorial están marcados como b3 g3 y b3d3 . Al unir los puntos g3 y d3 del polígono vectorial con el polo pv se determinan longitudes de los vectores pv g3 y pv d3 que representarán las velocidades absolutas de los puntos G3 y D3.
d) Empleando el teorema de semejanza, mediante las proporciones
394
e) Se deduce el sistema de ecuaciones vectoriales de las velocidades de los puntos D del eslabón 5 y del 6:
v D5 v D3 v D5D3 v D 6 v D1 v D 6 D1 , (I.7) v D6 v D5 en que resulta:
v D3 v D5 D3 v D1 v D 6 D1 . BD
y y
a)
(I.8) Para la resolución de la ecuación (I.8), en el polígono vectorial a través del punto d3 se traza la línea BD y a través del polo la línea y y es lo que se muestra en la figura I.3b. El punto de intersección de éstas adicionalmente se marca con los símbolos d5 y d6 ya que los eslabones 5 y 6 están unidos mediante el par cinemático de rotación. Luego se determina el sentido de los vectores velocidades relativas v D 5 D 3 y v D 6 D1 .
b)
c)
f) Se miden las longitudes de los segmentos y se determinan las Figura I.3. Construcción de polígonos vectoriales de velocidades y de velocidades de los puntos aceleraciones. de los eslabones y las velocidades angulares de los mismos: vC 3 B 2 v b2 c3 0.05 24 1.2 m s ; vC 3 vC 3C 4 v pv c3 0.05 43 2.15 m s ; vG 3 v pv g3 0.05 45 2.25 m s ; vD 5 D 3 v d5 d3 0.05 19 0.95 m s ; vD 3 v pv d3 0.05 62 3.1 m s ; vD 6 vD 5 v pv d6 0.05 51 2.55 m s v bc 0.05 24 y 5 4 3 C 3 B 2 v 2 3 7.843 s 1 . El sentido de la velocidad angular ω3 LBC L BC 0.003 51 determina el sentido del vector vC 3B 2 . Al aplicar el vector vC 3B 2 en el punto C3 se observa que el 395
eslabón 3 bajo la acción del vector gira en el par cinemático B con respecto al punto B2 en el sentido del reloj que se muestra en la figura I.3a. Construcción del polígono vectorial de las aceleraciones a) Se determina la ecuación vectorial de aceleraciones para el mecanismo de primera clase: n a B 2 a A1 a B 2 A1 a B 2 A1 ,
(I.9)
donde a A1 0 , aB 2 A1 0 ya que 2 const y aBn 2 A1 2 2 LAB 33.52 0.075 84.169 m s 2 .
b) Puesto que a A1 0 y aB 2 A1 0 la resolución de la ecuación (I.9) representa el vector a1b2 trazado desde el polo pa que se ilustra en la figura I.3c. Su longitud se toma igual a a1b2 51 mm por eso la magnitud de la escala del polígono vectorial tendrá la siguiente magnitud:
a
aBn 2 A1 84.169 1.65 ms-2 mm . a1b2 51
(I.10)
Ya que a B 3 a B 2 el extremo del vector a1b2 adicionalmente se marcará con el símbolo b3 y el polo pa se marcará con los símbolos (a1, a2, c1, c4, d1) que representarán los vectores nulos de los puntos correspondientes del esquema cinemático. c) Se deduce el sistema de ecuaciones de aceleraciones para el grupo estructural de segunda clase de tercera variedad: n a C 3 a B 2 a C 3 B 2 aC 3 B 2 c a C 3 a C 4 a C 3C 4 a C 3C 4 . (I.11) a C 4 a C1 Ya las primeras dos ecuaciones son presentadas para un solo punto, entonces: n c a B 2 a C 3 B 2 a C 3 B 2 a C 4 a C 3C 4 a C 3C 4 , BC
aCn 3 B 2 32 L BC
donde c C 3C 4
a
o
(I.12)
BC
aCn 3 B 2 7.8432 0.003 51 9.41 m s 2 ;
también
2 3 vC 3C 4 2 7.843 2.15 33.72 m s . Las longitudes de los vectores aceleraciones 2
conocidos
pa c3**
por
magnitud
y
dirección
son
las
siguientes:
aCn 3B 2 9.41 bc 6 mm a 1.65 * 2 3
y
aCc 3C 4 33.72 20 mm . a 1.65
La solución de la ecuación (I.12) se presenta en la figura I.3c en que, según la ecuación (I.12), desde el n punto b2 del polígono vectorial se traza el vector b2 c3* correspondiente al vector aceleración aC 3 B 2 y 396
desde el final de éste se traza la línea BC . Luego a través del polo pa se traza el vector pa c3** c correspondiente al vector aceleración de Coriolis aC 3C 4 y desde el final de éste se traza la línea BC . El punto de intersección de éstas se marca con el símbolo c3. Aplicando la regla de la suma vectorial se determina el sentido de los vectores aC 3 B 2 y aC 3C 4 .
n c d) Después se determinan las aceleraciones sumatorias: aC 3 B 2 a C 3 B 2 a C 3B 2 , aC 3C 4 a C 3C 4 a C 3C 4 y b3 c3 b3 g 3 bc bd y 3 3 3 3 se BC BG BC BD determinan longitudes de los segmentos b3 g3 y b3d3 . Al unirlos con el polo del polígono vectorial se determinan longitudes de los vectores pa g 3 y pa d3 correspondientes a las aceleraciones absolutas de los puntos G3 y D3 respectivamente.
empleando el teorema de semejanzas, mediante las proporciones
e) Se deduce el sistema de ecuaciones de las aceleraciones para el grupo estructural de segunda clase de cuarta variedad:
c a D 5 a D 3 a D 5D 3 a D 5 D 3 c a D 6 a D1 a D 6 D1 a D 6 D1 . a D 6 a D5
(I.13)
Entonces: c c a D 3 a D 5 D 3 a D 5 D 3 a D1 a D 6 D1 a D 6 D1 . BD
(I.14)
y y
En la ecuación (I.14) aDc 5 D 3 2 3 vD 5 D 3 2 7.843 0.95 14.9 m s 2 . La longitud del segmento correspondiente a la aceleración de Coriolis aDc 5 D3 tiene valor d3d5*
aDc 5D 3 14.9 9 mm y de a 1.65
aDc 6 D1 2 1 vD 6 D1 0 .
Después de la resolución de la ecuación (I.14) se miden las longitudes de los vectores principales: y se calculan los valores de las aceleraciones absolutas: aC 3 a pa c3 1.65 28 46.2 m s 2 ; aD 3 a pa e3 1.65 27 44.6 m s 2 ;
aG 3 a pa g3 1.65 21 34.65 m s 2 ;
* D 5 aD 6 a pa e5 1.65 39 64.4 m s 2 ; aC 3 B 2 a c32 c3 1.65 25 41.25 m s 2 . Se calcula la
aceleración angular de los eslabones 3, 4, y 5: 5 4 3
aC 3 B 2 41.25 269.6 s-2 . L BC 0.003 51
Resolución del problema 3. CÁLCULO DE FUERZAS En el cálculo de fuerzas la manivela 2 será el eslabón motriz y el eslabón 6 el seguidor. Cálculo se realizará para el régimen del movimiento de los eslabones estable que se caracteriza por la velocidad angular de la manivela ω2 const . 397
Para cálculo de fuerzas se toman los siguientes datos: masas de los eslabones en magnitud m2 4 kg ; m3 12.23 kg ; m4 5.1 kg ; m5 4 kg ; m6 6.1 kg . Los centros de gravedad de los eslabones 2, 4, 5 y 6 coinciden con los ejes geométricos de los pares cinemáticos de rotación correspondientes, el centro de gravedad del eslabón 3 se ubica en el punto G3. Los momentos de inercia de los eslabones se eligen como: J2=J4=J5=J6=0, J 3 0.12 kg m 2 . La fuerza de resistencia útil se toma en magnitud Fres.ut . 950 N y se aplica en el punto E del eslabón 6 a distancia H F 0.068 m desde la guía. En la figura I.4a esta presentado el esquema de aplicación de las fuerzas a los eslabones del mecanismo. Las fuerzas de gravedad W2, W3, W4, etc. se ubican en las líneas verticales que atraviesan los centros de gravedad de los eslabones y tienen el sentido de arriba abajo. Las fuerzas de inercia F3in. , F5in . ., F6in . también están aplicadas en los centros de gravedad de los eslabones correspondientes y tienen el sentido contrario al de las aceleraciones de los mismos. Para definir el sentido de estas fuerzas en la figura I.4c se presenta el polígono vectorial de aceleraciones. Asimismo se determina el sentido del momento de par de las fuerzas de inercia M 3in. aplicado al eslabón 3 el cual tiene sentido opuesto al sentido de la aceleración 3 angular del eslabón. En el punto D del eslabón 6 a una distancia HF está aplicada la fuerza de resistencia útil Fres.ut. a) presentada en la figura I.2. El sentido de ésta es opuesto al de la velocidad del punto de su aplicación que se define en el polígono vectorial de velocidades presentado en la figura I.4b. Como se observa en las figuras I.4b y I.4c los polígonos vectoriales están presentados sin escala ya que para definir el sentido de las fuerzas es b) c) suficiente tener el sentido de las velocidades y Figura I.4. Esquema de las fuerzas aplicadas a los eslabones del mecanismo. aceleraciones
398
correspondientes. a) Se determinan las magnitudes de las fuerzas de gravedad W2 m2 g 4 9.81 39.24 N ; W3 12.23 9.81 119.98 N ; W4 5.1 9.81 50.0 N ; W5 4 9.81 39.24 N ; W6 6.1 9.81 59.84 N ; de
las
de
inercia
F3in. m3 aG 3 12.23 34.65 423.77 N ;
F5in. m5 aE 5 4 64.4 257.6 N ;
F6 in. m6 a E 6 6.1 64.4 392.84 N y del momento de par de las fuerzas de inercia aplicada al eslabón
3 M 3in. J 3 3 0.12 269.6 32.35 N m . La fuerza de resistencia útil Fres.ut, aplicada en el punto E del eslabón 6 se sustituye por la fuerza de magnitud igual a la Fres.ut, aplicada en el punto D del eslabón 6, y por el momento de par de las fuerzas M res.ut . Fres .ut . H F 950 0.068 64.6 N m . b) Puesto que el eslabón 6 es el seguidor, al principio se determinan las condiciones de equilibrio de las fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas aplicados a los eslabones del grupo estructural de segunda clase de cuarta variedad. En la figura I.5 está presentado el esquema de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural mencionado. Para que no se modifiquen las condiciones de equilibrio del grupo estructural, el eslabón ausente 3, que forma el par cinemático deslizante D con el eslabón 5, se sustituye por la fuerza F53 y la base 1, que forma con el eslabón 6 el par cinemático deslizante D, se sustituye por la fuerza F61. Debido a que estas fuerzas actúan en los pares cinemáticos deslizantes, las líneas de acción de éstas son perpendiculares a los pares cinemáticos correspondientes, la magnitud y el punto de su aplicación son desconocidos. En la figura I.5 esta idea se expresa en que el sentido y el punto de aplicación de las fuerzas mencionadas se eligen arbitrariamente. Puesto que los eslabones 5 y 6 están unidos mediante el par cinemático de rotación y la dirección de las fuerzas F61 y F53 es conocida, primero se deduce la ecuación vectorial de equilibrio de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural:
a) b) Figura I.5. Esquema para el cálculo de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural de segunda clase de cuarta variedad: a) esquema de aplicación de las fuerzas y b) polígono vectorial de éstas.
F 5, 6 0 .
(I.15)
La ecuación (I.15) en la forma desarrollada se presentará así: in. in. F53 W5 F 5 W 6 F 6 F res.ut. F 61 0 , La resolución de la ecuación (I.16) se realiza en el siguiente orden:
399
( I.16)
1. Se calcula la escala del polígono vectorial. Para esto se elige la longitud del segmento f res .ut . 95 mm , que va a representar en el polígono vectorial la fuerza de resistencia útil Fres.ut..: F
Fres .ut . 950 10 N mm . f res.ut . 95
(I.17)
2. Se determinan las longitudes de los segmentos de otras fuerzas conocidas por magnitud: W 39.24 w5 5 3.94 mm ; F 10
f 6in.
f
in. 5
F5in. 257.6 25.76 mm ; F 10
w6
W6 59.84 5.98 mm ; F 10
F6in. 392.84 39.28 mm . F 10
3. Se construye el polígono vectorial de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural. En la figura I.5b se muestra el polígono vectorial mencionado. En éste al principio se traza la línea BC en que debe estar el vector f53 que representará el vector fuerza F 53 y en correspondencia con la ecuación I.16 desde algún punto de ésta se traza el vector w5 . Luego sucesivamente se suman los otros in. in. in. vectores f 5 , w6 , f 6 . Por fin, al final del vector f 6 se aplica el vector f res.ut . y desde el final de éste se traza la línea y y . La intersección de las líneas BC y y y determina la magnitud y el sentido de las fuerzas F61 y F53. Para la determinación del sentido de estas fuerzas se toma en cuenta la consideración siguiente. Para que la suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas sea igual a cero el vector final debe tener magnitud igual a cero. Por eso el polígono vectorial debe formar una cadena de vectores cerrada, en que el final de cada uno de ellos debe ser el inicio del vector siguiente. Hay que prestar atención a que en el polígono vectorial presentado en la figura I.5b el sentido de la fuerza F53 resultó contrario al elegido previamente en el esquema de la figura I.5a. Luego midiendo las longitudes de los vectores en el polígono vectorial se calculan las magnitudes de las fuerzas buscadas: F61 F f 61 10 11 110 N y F53 F f 53 10 23 230 N . Después se determina la magnitud y el sentido de la fuerza F56 o de F65, de interacción de los eslabones 5 y 6 en el par cinemático de rotación D. Para este se deduce la ecuación vectorial de las fuerzas aplicadas a uno de ellos. Por ejemplo, la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas al eslabón 5 será presentada en la siguiente forma F 5 0 , que en forma desarrollada resultará:
in. F 53 F 5 W 5 F 56 0 ,
(I.18)
donde la fuerza F56 es desconocida por magnitud y dirección. Para la resolución de la ecuación (I.18) se usa el mismo polígono vectorial de la figura I.5b en que el vector f 56 es el resultante. Al medir la longitud del vector f 56 se tiene: F56 F f56 10 51 510, N . 400
(I.19)
La fuerza F65 es igual por magnitud a la F56 y contraria por el sentido. Se determina el punto de aplicación de las fuerzas F61 y F53. Para esto se deducen las ecuaciones de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicados al eslabón 5 y al 6 que en la forma general se presentan como: M D 5 F6 0 y M D 6 F5 0 . La forma desarrollada de éstas será la siguiente:
M F F D5
y
6
61
h61 W6 h6 F6in. h6in. Fres.ut . hres .ut . F65 h65
M F F D6
5
53
M res .ut . 0 L
h53 W5 h5 F5in. h5in. F56 h56 0 .
(I.20) (I.21)
En la ecuación (I.21) resulta:
W6 h6 F6in. h6in. Fres .ut . hres.ut . F65 h65 h61
F61
M res .ut . L
.
(I.22)
Al sustituir los valores en (I.22) se tiene:
h61
59.84 0 392.84 0 950 0 510 0 110
64.6 0.003 195.75 mm .
(I.23)
El signo negativo del resultado manifiesta que el punto de aplicación de la fuerza F61 está por el lado contrario con respecto al punto D5 que fue elegido previamente y presentado en la figura I.5. En la ecuación (I.21) los brazos de par de las fuerzas de h5, h5in . y h56 son iguales a cero, por lo tanto h53 0 . c) El siguiente se analiza equilibrio de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural de segunda clase de tercera variedad. En la figura I.6a está presentado el esquema de aplicación de las fuerzas y de los momentos de par de las fuerzas al grupo mencionado. En éste la fuerza F35 es de magnitud igual a la F53 y opuesta por el sentido. Puesto que la fuerza F32 está aplicada en el par cinemático de rotación B entonces su magnitud y dirección son desconocidas. Por eso la dirección de ésta se tomó arbitraria que después se descompone en la normal y tangencial. Ya que los eslabones del grupo estructural están unidos mediante el par cinemático deslizante y el grupo estructural está unido con la base mediante el par cinemático de rotación, al principio se deduce la ecuación de los momentos de par de las fuerzas aplicados al grupo estructural con respecto al punto C del eslabón 2:
M F , F 0, C2
3
4
que en la forma desarrollada se presenta como: 401
(I.24)
F23 BC M 3in. F3in. h3in. W3 h3 F53 CD 0 . *
(I.25)
a)
b) Figura I.6. Esquema para el cálculo de las fuerzas aplicadas a los eslabones del grupo estructural de segunda clase de tercera variedad: a) esquema de aplicación de las fuerzas y b) polígono vectorial de éstas.
402
M 3in. 32.35 10784 N mm ; BC 51 mm ; h3in. 9 mm ; h3 17 mm ; En la ecuación (I.25) M L 0.003 CD 93, mm y F35 230, N . Así pues resulta: in. * 3
M3in. F3in. h3in. W3 h3 F53 CD *
F23
BC
10784 423.77 9 119.98 17 230 93 242.75, N . (I.26) 51
En el par cinemático deslizante C actúan las fuerzas F43 y F34. Su punto de aplicación es desconocido, pero es conocida la dirección de éstas. Lo último permite deducir la ecuación de equilibrio de las fuerzas aplicadas al eslabón 3. En la deducción de esta ecuación hay que tener en cuenta que el eslabón 4 es ausente por consiguiente se sustituye por la fuerza F34:
n in. F 3 F F F W F F 34 0 . 32 32 3 35 3 Al
elegir
F 5 N mm
se
calculan:
f 23
(I.27)
F23 242.75 48.55 mm ; F 5
F3in. 423.77 W 119.98 F 230 f 84.75 mm ; w3 3 24 mm ; f35 35 46 mm y mediante el 5 F F 5 F 5 polígono vectorial, presentado en la figura I.6b, se resuelva la ecuación (I.27). in. 3
Después de la medición de las longitudes de los segmentos f23n y f34 se determina la magnitud de las fuerzas correspondientes:
F32n F f 23n 5 63 315 N y F34 F f34 5 114 570 N .
(I.28)
Luego se determina la magnitud y dirección de la fuerza sumatoria F32:
n F 32 F 32 F 32 ,
(I.29)
que se resuelva en el mismo polígono vectorial presentado en la figura I.6b. Al medir la longitud del vector f32 se determina la magnitud de la fuerza: F32 F f 32 5 79 395 N .
(I.30)
Luego, se determina la fuerza de acción de la base sobre el eslabón 4. Para esto se deduce la ecuación vectorial de las fuerzas que actúan sobre los eslabones del grupo estructural: in . F 3, 4 F 32 F 3 W 3 F 35 W 4 F 41 0 .
(I.31)
Como se observa, en la ecuación (I.31) está excluida la fuerza F34 ya que en el par cinemático deslizante también actúa la fuerza F43 de magnitud igual y sentido contrario. La suma de estas es igual a cero. Para la resolución de la ecuación (I.31) se calcula la longitud del vector que representará la
403
W4 50 10 mm y utilizando el polígono vectorial presentado 5 F en la figura (I.6b) se resuelva la ecuación (I.31). El vector fuerza F 41 está aplicado en el par cinemático de rotación C por consiguiente son desconocidos tanto su magnitud como la dirección. En
fuerza de gravedad del eslabón 4 w4
el polígono vectorial este vector fuerza está representado por el segmento f 41 . El origen de éste se
ubica en el final del vector w4 y el final en el origen del vector f32 . Al medir la longitud del vector
buscado f 41 se calcula F41 F f 41 5 105 525 N . Por último se determina el punto de aplicación del vector fuerza F 34 . Para esto se deduce la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas que actúan sobre el eslabón 4:
M F F C1
4
43
h43 W4 h4 0 ,
(I.32)
donde h43
W 4 h4 0. F43
(I.33)
El resultado manifiesta que la línea de acción de las fuerzas F43 y F34 pasa a través del eje del par cinemático de rotación C. d) Se determinan las condiciones de equilibrio estático del mecanismo de primera clase. En la figura I.7 está presentado el esquema de acción de las fuerzas aplicadas a los eslabones de éste. Entre las fuerzas la fuerza F23 es de acción sobre el eslabón 2 del 3 que en magnitud es igual a la F32 y opuesta por el sentido, el punto de aplicación de la fuerza se toma el B2. Además en el par cinemático A actúan las fuerzas F12 y F21 de interacción de la base 1 con la manivela 2. Estas fuerzas tienen igual magnitud y el sentido contrario, la suma de estas es igual a cero. Para que el mecanismo de primera clase esté en equilibrio, en el punto B2 se aplica la fuerza de compensación Fcomp., su b) dirección y sentido se elige arbitrariamente. En la figura I.7 esta fuerza está aplicada en el punto B2 perpendicularmente al eslabón 2. a) Al principio se determina la magnitud de la fuerza Fcomp.. Para éste se deduce la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicadas al eslabón 2 con respecto al punto A1:
M F F A1
2
23
Figura 1.7. Esquema para el cálculo de las fuerzas aplicadas al mecanismo de primera clase: a) esquema de las fuerzas aplicadas al eslabón 2 y b) el polígono vectorial de las mismas.
h23 Fcomp. AB 0 ,
(I.34)
donde h23 se obtiene en la figura I.7a mediante la medición. Luego utilizando (I.34) se calcula: Fcomp .
F23 h23 395 24.5 387.1 N . AB 25
404
(I.35)
Después se determina la fuerza F21 de acción sobre el eslabón 2 de la base 1. Para esto se deduce la ecuación vectorial de equilibrio estático de las fuerzas aplicadas al eslabón 2:
F F F W 2 23 comp . 2 F 21 0 ,
(I.36)
que se resuelva mediante el polígono vectorial. Al elegir la escala del polígono vectorial F 10, N mm en correspondencia con la ecuación (I.36) se F 395 suman los vectores presentados en segmentos: f 23 23 39.5 mm ; 10 F
Fcomp.
387.1 W 39.24 38.7 mm , w2 2 3.24 mm . El polígono vectorial, como resolución F 10 10 F de la ecuación (I.36), está presentado en la figura I.7b en que la incógnita f21 se halla como el vector resultante. Al medir su longitud se determina la fuerza buscada F21 F f 21 10 9 90 N . fcomp.
Comprobación del cálculo de las fuerzas mediante el método de palanca de Zhukovkiy. Para esto se construye el polígono vectorial de velocidades girado a 90° a una escala arbitraria y en los puntos similares a los del mecanismo se aplican las fuerzas correspondientes así como está presentado en la figura I.8. Así pues, en el punto pv se aplica la fuerza de gravedad W2 y la W4, en el g3 la W3 y la fuerza de inercia F3in. , en los puntos d5 y d6 (que en el polígono vectorial coinciden) las fuerzas W5 y W6 y las fuerzas F5in. y F6in. y luego en el punto d6 se aplica la fuerza de resistencia útil Fres.ut.. El momento de par de las fuerzas de inercia M 3in. , aplicado al eslabón 3, se descompone en las fuerzas F3* y F3** que se aplican perpendicularmente al segmento b3d3 del polígono vectorial en los puntos
Figura I.8. Palanca de Zhukovskiy.
405
M 3in. 32.35 74.88 N su extremos b3 y d3. Las magnitudes de éstas son iguales a F F L BD 0.003 144 * 3
** 3
sentido determina el sentido del momento de par de las fuerzas M 3in. . El momento de par de las fuerzas de resistencia útil M res .ut . no se presenta ya que el eslabón 6 es demasiado corto. Por último en el punto b2 se aplica la fuerza de compensación Fcomp.. Se deduce la ecuación de equilibrio de los momentos de par de las fuerzas aplicados a la palanca de Zhukovskiy que se deduce con respecto al polo pv:
M F F pv
res.ut.
* W5 W6 F5in. F6in. pvd6 F3in. h3in. W3 h3 F3* h3* F3** h3** Fcomp . pvb2 0 ,
(I.37)
de donde resulta; * comp.
F
F
res .ut .
W5 W6 F5in. F6in. pv d6 F3in. h3in. W3 h3 F3* h3* F3** h3** pvb2
.
(I.38)
* Como resultado de la resolución de la formula (I.38) será Fcomp. 393.6 N .
La
%
no * comp .
F
coincidencia
Fcomp. * comp.
F método gráfico.
100%
de
los
resultados
está
dada
por:
393.6 387.1 100 1.65% , que es menos de 3% admisibles para el 393.6
Resolución del problema 3. SÍNTESIS DINÁMICA Para los cálculos se elige el coeficiente de irregularidad de la velocidad angular de la manivela en magnitud 0.05 . Síntesis dinámica consiste en la determinación de las condiciones necesarias para el cumplimiento de la ley del movimiento dada en los límites permisibles. Entonces la ley del movimiento dada es de 2 32016 , s 1 . En la figura I.9a está presentado el mecanismo analizado, en 12 posiciones. Sobre los eslabones actúan las fuerzas externas: el momento de par de las fuerzas motriz Mmot., las fuerzas de gravedad W3, W5, W6 y la fuerza de resistencia útil Fres.ut., la ley de la variación de esta fuerza está presentada en la figura I.9b. Las flechas en la figura I.9b indican la fase del movimiento del seguidor. Las fuerzas de gravedad de la manivela 2 y de la colisa 4 actúan sobre la base y no ejercen ninguna influencia sobre la ley del movimiento del mecanismo, por eso no están presentes. En la figura I.10 están presentados los polígonos vectoriales de las velocidades para todas las 12 posiciones de los eslabones del mecanismo. Para el análisis se elige el mecanismo equivalente mostrado en la figura I.9c que gira con respecto al eje A con la velocidad angular ω2. Al mecanismo están aplicadas las fuerzas equivalentes: el momento eq . eq . de par de las fuerzas motriz M mot La propiedad principal del . y el de las de resistencia M res. eq. mecanismo equivalente es el momento de inercia equivalente J . 406
Para no complicar el texto, todos los cálculos de las características dinámicas del mecanismo equivalente estarán presentados en la tabla I.2. En ésta β3 es el ángulo entre la fuerza de gravedad del eslabón 3 y la velocidad del centro de gravedad, β5 y β6 son los ángulos entre las fuerzas de gravedad de los eslabones 5 y 6 y las velocidades de los puntos de su aplicación. Los últimos tienen la magnitud igual a 0° o 180°. El ángulo β entre la fuerza de resistencia útil y la velocidad del punto de su aplicación en todas las posiciones es igual a 180° por eso cos 1 . Cálculo dinámico se realiza en el siguiente orden:
a)
b) c) Figura I.9. Construcciones para la síntesis dinámica del mecanismo: a) presentación del mecanismo en doce posiciones, b) diagrama de la variación de la fuerza de resistencia útil, c) esquema de acción de las fuerzas sobre el mecanismo equivalente. a) Al elegir las escalas M 1 N m mm y 0.052 rad mm se construye el gráfico del momento de par de las fuerzas equivalente como la suma de todas las fuerzas de resistencia M reseq.. MWeq3. MWeq5. MWeq6. M reseq..ut. en función de la variación del ángulo de giro de la manivela φ. Este gráfico está presentada en la figura I.11a. eq. b) Se toma la base de integración H 46, mm e integrando gráficamente la función M res . f se construye el gráfico de trabajo de las fuerzas de resistencia Tres. que está presentada en la figura I.11b. La escala de la construcción del gráfico tiene valor T M H 0.052 1 46 2.39 N m mm
407
Figura I.10. Construcción de polígonos vectoriales de velocidades para las doce posiciones del mecanismo. Para obtener la mayor exactitud, los rangos de φ desde 7 a 9 y desde 11 a 0 están divididos en partes 408
más pequeños (en la figura I.11 esto no se muestra). c) En el mismo sistema de coordenadas se construye el gráfico de trabajo de la fuerza motriz. Con todo eq. eso se toma en cuenta que el momento de par de las fuerzas motriz es constante M mot . const . Por eso la ecuación del trabajo del mismo va a tener la siguiente forma: eq . eq . Tmot . M mot . d M mot . Tmot . 0 ,
(I.39)
donde (Tmot.)0 es el valor del trabajo de la fuerza motriz al inicio del ciclo. De lo anterior se observa que el gráfico del trabajo de la fuerza motriz es una recta. Ya que se analiza el movimiento del mecanismo en un solo ciclo, entonces, se puede tomar Tmot . 0 0 , eq . por eso resulta Tmot . M mot . .
Tabla I.2. Datos para la construcción del diagrama de energía masa.
409
a)
b)
Figura I.11. Construcción del diagrama de trabajo de las fuerzas de resistencia y definición del diagrama de trabajo de la fuerza motriz. Dentro de un ciclo con el paso de la manivela de una a otra posición la energía cinética del mecanismo cambia su valor. Su incremento se determina por la dependencia E.c.i Tmot .i Tres.i . Para el
mecanismo analizado el diagrama E.c. f está presentado en la figura I.11b. Puesto que el 410
movimiento del mecanismo es estable entonces al inicio y al final de la posición de la manivela la energía cinética queda igual, es decir el incremento de la energía cinética en un ciclo es igual a cero E.c. 0 , el gráfico Tmot . f resultará como el reflejo de espejo de una recta que une el inicio y el final del gráfico Tres . f , es lo que está presentado en la figura I.11b. Al derivar la función eq . Tmot . f se obtiene el gráfico de M mot . f que es una recata paralela al eje de abscisa φ.
d) Se determina el momento de inercia del volante. Para esto, en los ejes E.c. y Jeq. se construye el diagrama de energía-masa. Para su construcción se usan el diagrama de la variación de la energía cinética E.c. f presentada en la figura I.12a diseñada a escala E , y el diagrama de la variación del momento de inercia equivalente J eq. f presentado en la figura I.12b, diseñada a escala J . Los puntos del diagrama de energía-masa presentada en la
b)
a) c) Figura I.12. Construcción del diagrama energía -masa y determinación del momento de inercia del volante.
411
figura I.12c se encuentran en la intersección de las líneas trazadas de los puntos similares de los diagramas E.c. f y J eq. f . El diagrama de energía-masa se construye como la curva suave que une todos los puntos de la intersección de estas líneas. Luego en el diagrama de energía-masa se trazan tangentes 1 y 2 bajo los ángulos:
max. arctan J 2prom. 1 , min. 2 E donde ωprom. es la velocidad angular promedio. En los datos aceptados prom. y el coeficiente de irregularidad es de 0.05 .
(I.40) n 320 33.5 s 1 30 30
Al sustituir los términos en la formula (I.40) se tiene: max . 12.45 y min . 11.3 . El momento de inercia del volante se determina como la distancia entre el punto de intersección de las tangentes 1 y 2 y el inicio del sistema de coordenadas del diagrama de energía-masa presentado en la figura I.12c. Ya que el punto de intersección de las tangentes está fuera del gráfico la magnitud del momento de inercia del volante se determina con el empleo del segmento mn entre los puntos de intersección de las líneas 1 y 2 con el eje E.c. del diagrama de energía-masa. Entonces en la construcción gráfica se tiene: J vol .
mn , tan max. tan min.
(I.41)
que después de algunas transformaciones adquiere forma:
J vol .
E mn . J 2prom.
(I.42)
Al sustituir los términos en la formula (I.42) por sus valores, resulta:
J vol .
E mn 2.39 33 7.13 kg m 2 . 2 J prom. 0.03 33.5
(I.43)
El volante se fabrica en forma de la rueda con una llanta maciza, que se une con el cubo mediante los rayos. Por eso se puede, con cierta aproximación, tomar la masa del volante distribuida uniformemente por el círculo del diámetro D el que se determina como:
D
5
4 g J vol . ,
(I.44)
donde γ es la densidad del material del que se fabrica el volante, g 9.81 m s2 es la gravedad, y
h son los parámetros geométricos relativos, donde b es la altura de la llanta y h es el grosor. D
412
b D
Si se toma, para el ejemplo presente, 0.1 , 0.2 , 7850 kg m3 , resultará D 0.9 m . Para evitar la destrucción del volante bajo la acción de las fuerzas centrífugas para volantes fabricados de hierro fundido la velocidad circular debe ser v 50 m s y para volantes de acero v 100 m s . Para D 33.5 0.9 el volante calculado v prom. 15 m s , que es menor que permisible para volantes de 2 2 hierro fundido. Otras dimensiones del volante serán: b D 0.1 0.9 0.09 m y h D 0.2 0.9 0.18 m .
EJEMPLO DE MUESTRA II. SÍNTESIS DE UN MECANISMO DE LEVA En la figura II.1 está presentado el esquema del mecanismo de leva con el seguidor del movimiento lineal alternativo de rodillo con el cierre del par cinemático superior mediante la fuerza. Tarea: Diseñar el mecanismo mostrado con los datos siguientes: la marcha del seguidor H 0.035 m ; el ángulo de la fase de subida sub . 90 , de la fase de detención superior det.sup. 10 y de la fase de retorno ret . 20 ; el ángulo de presión admisible adm. 30 . La ley del movimiento del seguidor se
1 elige en forma: en la fase de subida así y H k sen 2 k , 2 H 2H y 1 cos 2 k , y 2 sen 2 k , (donde k ) y en la fase sub. 1 H y H 1 k sen 2 k , y 1 cos 2 k , 2 2H ). En estas fórmulas φ es el ángulo y 2 sen 2 k , (en que k ret . de giro de la leva, βsub. es el ángulo de la fase de subida, βret. es el ángulo de la fase de retorno, H es la altura máxima del diagrama del desplazamiento. de retorno
así
El trabajo realiza 4 problemas: determinación de la magnitud del radio Figura II.1. mínimo del círculo base rmin. de la leva; cálculo de la magnitud del radio mínimo del círculo base rmin. mediante el método analítico; construcción de la curva de paso de la leva y definición del punto de la curva de curvatura mínima; cálculo de la magnitud del radio de curvatura en el punto de la curvatura mínima, definición de la magnitud del radio del rodillo y construcción del perfil de la leva mediante el método gráfico. Resolución del problema 1. DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE ROTACIÓN DE LA LEVA MEDIANTE EL MÉTODO GRÁFICO 1. Puesto que el mecanismo que se analiza pertenece a los mecanismos con el cierre del par cinemático superior mediante la fuerza, entonces el diagrama adicional será construida solamente para la fase de subida.
413
2. Utilizando las formulas de la ley del movimiento en la fase de subida y en la de retorno se calculan los datos de las coordenadas de los puntos del diagrama del desplazamiento y , del análogo de velocidades y y del análogo de aceleraciones y . Los resultados de los cálculos se presentan en la tabla II.1.
Para la construcción se toma la altura del diagrama igual a h 35, mm y la longitud de la suma de los ángulos de las fases de subida, de detención superior y de retorno igual a l 120 mm . Se calcula la escala del desplazamiento s
H 0.035, m 0.001 h 35, mm
m mm
(II.1)
y la del ángulo de giro de la leva
sub. det .sup. ret . l
90 10 20 0.01745
180 120, mm rad mm
(II.2)
4. Derivando gráficamente el diagrama del desplazamiento se construye el diagrama de velocidades. El diagrama se construye en los ejes del sistema de coordenadas ds , presentada en la d
Tabla II.1. Tabla auxiliar para la construcción de los diagramas del desplazamiento y de las velocidades del seguidor.
3. Utilizando los datos en la tabla II.1, en los ejes del sistema de coordenadas s, se construye el diagrama del desplazamiento del seguidor s s que se muestra en la figura II.2a.
414
figura II.2b. La derivación se realiza mediante el método de cuerdas presentado en capítulo 3.4. El proceso es el siguiente: a) Se elige la base b de la derivación, para este ejemplo se toma b 35mm . b) Se calcula la escala del diagrama de velocidades:
1 s 0.001 0.001637 m mm rad , h 35 0.01745
b)
a)
c) La parte del eje de abscisa, que corresponde a la fase de subida, se divide en 10 partes iguales. Al unir dos puntos vecinos del diagrama mediante una cuerda, por ejemplo los puntos 3 y 4, desde el inicio de la base de derivación, que es el punto B, se traza la línea paralela a la cuerda hasta la intersección con el ds eje y desde el punto de d intersección se traza la línea paralela al eje de abscisa hasta la intersección con la línea que se baja desde la mitad de la cuerda del diagrama del desplazamiento. Entonces el punto de intersección de éstas se considera perteneciente al diagrama de velocidades.
(II.3)
d) Al construir el diagrama de velocidades se construye el diagrama adicional que se presenta en la figura II.2c). Para esto en la prolongación del eje de abscisas del diagrama del desplazamiento se construye el sistema de coordenadas ds s, . d
c)
Para facilitar la construcción del diagrama se traza la línea de escala p p inclinada con respecto al eje de ordenadas en el sentido de rotación de la leva un ángulo:
415
Figura II.2. Determinación del centro de rotación de la leva mediante el método gráfico.
v
0.001637 arctan v arctan 58.58. 0.001 l
(II.4) .
e) Transfiriendo los puntos del mismo número del diagrama del desplazamiento y del diagrama de ds velocidades al sistema de coordenadas s, , se hallan los puntos que pertenecen al diagrama d
ds * adicional s, . Por ejemplo, en la figura II.2 se muestra la determinación del punto 3 del d diagrama adicional que está ubicada en la intersección de las líneas de transferencia del punto 3 del diagrama del desplazamiento y del 3 del diagrama de velocidades. Uniendo todos los puntos mediante una línea suave se construye el diagrama adicional.
ds f) Al trazar la línea a través del inicio del sistema de coordenadas s, un ángulo αadm. con d ds y 1 1 tangente al diagrama adicional al mismo ángulo en la intersección de respecto al eje d éstas se halla el centro de rotación de la leva O con el radio del círculo base r0 de magnitud mínima. Al medirlo resulta que r0 rmin. 33.5 mm . Ya que en los datos no hay otros requisitos, entonces el mecanismo de leva se debe construir de magnitud mínima. Con esto el centro de rotación de la leva va a ser desplazado, con respecto a la línea de acción del seguidor, a una excentricidad igual a e rmin. sen adm. 33.5 sen 30 16.75 mm . Resolución del problema 2. CÁLCULO DE MAGNITÚD DEL RADIO MÍNIMO DEL CÍRCULO BASE Rmin. MEDIANTE EL MÉTODO ANALÍTICO Para esto: a) Usando la formula (6.16) del capítulo 6 se calcula el ángulo de la posición de la leva cuando el radio del círculo base va a tener magnitud mínima. Al sustituir los argumentos en ésta por sus elementos presentados en la ley del movimiento del seguidor se tiene: 2 sen 2 k 1 cos 2 k tan adm. .
(II.5)
Sustituyendo en la formula (II.5) los coeficientes por sus valores y después de algunas simplificaciones resulta: 4sen 4 tan 30 cos 4 tan 30 .
Para la resolución de la (II.6) se usa el método de iteración que da un resultado de 40.893 .
416
(II.6)
1 b) Sustituyendo los coeficientes por sus valores en s y H k sen 2 k de la ley del movimiento 2 del seguidor se tiene:
40.893 1 2 180 40.893 1 s H k sen 2 k 0.035 sen 0.01432746 m . 2 90 2 90 c) Al hacer lo propio en s
s
H 1 cos 2 k se tiene:
H 0.035 1 cos 2 k 0.5
2 180 40.893 1 cos 0.043653753 m rad . 90
d) Sustituyendo los términos y coeficientes en rmin .
* rmin.
(II.7)
(III.8)
s tan adm. s por sus valores se recibe: 2 sen adm.
0.01432746 tan 30 0.043653753 0.03538 m . 2sen 30
(II.9)
El resultado negativo en el cálculo de rmin. muestra que el centro de rotación de la leva está en la parte ds * negativa del sistema de coordenadas s, . Finalmente se tiene: rmin. 35.38 mm y con éste: d * sen adm. 35.38sen 30 17.69 mm . e rmin.
(II.10)
Comparando ambos resultados resulta que el error del método gráfico es en magnitud de:
* rmin. rmin. * rmin.
0.0335 0.03538 0.03538
100% 5.3% ,
(II.11)
que es admisible para el método gráfico. La exactitud del método gráfico se puede aumentar si para la obtención del diagrama de velocidades se utiliza la derivación analítica. Resolución del problema 3. CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA DE PASO En la figura II.3 se muestra el proceso de la construcción de la curva de paso. Para esto se construye el diagrama del desplazamiento del seguidor presentado en el sistema de coordenadas s, a escalas antes calculadas L s 0.001 m mm y 0.01745 rad mm . En el diagrama las fases de subida βsub. y de retorno ret. se dividen en 10 partes iguales. Luego, partiendo desde el inicio del sistema de 417
coordenadas, se traza la línea de acción del seguidor y después a una distancia e 16.75 mm desde la * 35.38 mm se halla el centro de rotación de la leva O. A partir línea de acción del seguidor con rmin.
de este punto se traza la circunferencia de radio r0 rmin. . Después, empleando el método de Willis del movimiento opuesto, el mecanismo se pone en movimiento giratorio con respecto al punto O con la velocidad angular igual a la de la leva pero en el sentido opuesto. Con esto la leva resulta inmóvil y el seguidor junto con la base va a tener el movimiento giratorio contrario al de la leva.
Figura II.3. Construcción de la curva de paso y del perfil de la leva.
La presentación gráfica de este movimiento consiste en lo siguiente. A partir del punto O se traza la circunferencia auxiliar de radio r e . Luego, partiéndose desde la posición de inicio del seguidor se trazan tangentes a esta circunferencia con el ángulo entre éstos igual al de la fase de subida, de detención superior y de retorno. Después el ángulo de la fase de subida sub. y el de la fase de retorno ret. se dividen en 10 partes iguales, así como las mismas fases se dividen en el diagrama del desplazamiento. Luego los puntos del diagrama del desplazamiento se transmiten hasta la línea de la posición de inicio del seguidor y partiéndose desde el punto O hasta la intersección con la posición correspondiente del seguidor. Tomando, como el ejemplo el punto 4, en la figura II.3 con la flecha se muestra la localización de éste. Al unir todos los puntos de intersección con una línea suave se construye la curva de paso.
418
Resolución del problema 4. CÁLCULO DEL RADIO DE CURVATURA EN EL PUNTO DE CURVATURA MÍNIMA. DEFINICIÓN DEL RADIO DEL RODILLO Y CONSTRUCCIÓN DEL PERFÍL DE LA LEVA Examinando la figura II.3 se observa que el radio de curvatura mínimo puede ser en la fase de retorno entre las posiciones 9* y 8*. Se toma la posición media entre éstas. Para ésta el parámetro k va a tener la magnitud igual a: k
0.15 ,
(II.12)
y los demás van a tener las magnitudes siguientes:
1 y H 1k sen 2k 34.2565, 2
(II.13)
H 1 cos 2k 41.332 ,
(II.14)
2 H sen 2 k 1460.128 . 2
(II.15)
y
y
y
El radio de base y la excentricidad se toman del cálculo analítico:
* r0 rmin. 35.38, mm y
e r0 sen adm. 35.39sen 30 17.69, mm . Empleando para el cálculo la formula (6.125) del capítulo 6 se recibe:
paso
sB 2
r0 e sB 2 2
r0 2 e2 sB 2
2
2
3
2 sB 2 e 2
r0 2 e 2 sB 2
2
2 sB 2 3 e sB 2 e2 2
6.4355, mm .
(II.16)
El signo (-) del radio de curvatura manifiesta que la curva es convexa. Ya que el radio del rodillo se toma en límites: rr 0.7 min. y rr 0.4 0 , entonces, resulta que
rr 0.7 min. 4.5 mm .
(II.17)
Partiendo desde la curva de paso las circunferencias del radio rr y trazando una línea suave tangente a éstas se construye el perfil de la leva que se presenta en la figura II.3.
EJEMPLO DE MUESTRA III. DISEÑO DE UN ENGRANAJE Se diseñará el engranaje externo que forman dos engranes rectos con los datos siguientes: módulo de engranaje m 5 mm ; ángulo del perfil de la cremallera base 20 ; coeficiente de la altura de la cabeza de los dientes he* 1 ; coeficiente de la holgura radial entre la cresta de un engrane y el fondo 419
del otro c* 0.25 ; número de dientes del piñón z1 10 ; número de dientes de la rueda z2 49 . Con todo eso hay que realizar el engranaje para que la distancia entre los ejes de engranes sea aw 148 mm . El trabajo realiza de 4 problemas: cálculo de los parámetros principales de engranes (diámetro de paso d, diámetro del círculo base db, diámetro exterior De, diámetro de fondo Df, grosor de los dientes en el círculo de paso) y parámetros principales del engranaje; determinación de la magnitud de la relación de contacto del engranaje; construcción del perfil del diente del piñón, presentación de sus parámetros principales y cálculo de la magnitud del grosor de los dientes en el diámetro exterior; construcción del esquema cinemático del engranaje con la presentación de los parámetros de engranes, de la línea de acción y de la línea de contacto. Resolución del problema 1. CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS PRINCIPALES DE LOS ENGRANES 1) El piñón tiene el número de dientes z1 zmin. ( zmin. 17 para el engrane con 20 ) por eso para evitar la socavación debe ser maquinado con el desplazamiento positivo de la cremallera base. El coeficiente de corrección se calcula por la formula (7.74) del capítulo 7:
z 10 1 min. he* 1 11 0.41176 . z min. 17
(III.1)
Redondeando el resultado de cálculo también tomando en cuenta los errores posibles en la fabricación para el cálculo posterior se toma 1 0.42 . 2) Ya que la rueda tiene el número de dientes igual a z2 49 , entonces éste se puede maquinar sin desplazamiento. Sin embargo el engranaje debe ser elaborado para una distancia entre los centros concreta, por eso se necesita definir el desplazamiento admisible de la cremallera base. Para este se usa la misma fórmula que en (III.1). Entonces:
z 49 2 max. he* 1 1 1 1.88 . z 17 min.
(III.2)
3) Se calculan los diámetros de paso:
y
d1 m z1 5 10 50 mm
(III.3)
d2 m z2 5 49 245 mm
(III.4)
y los diámetros de base:
y
d b1 d1 cos 50 cos 20 46.9846 mm
(III.5)
d b 2 d 2 cos 245 cos 20 230.225 mm .
(III.6)
4) Para el engranaje nulo la distancia entre los centros debe ser igual a: 420
z z 10 49 a m 1 2 5 147.5 mm . 2 2
(III.7)
Resulta que aw a que manifiesta que el engranaje debe ser positivo. 5) Se calcula el ángulo de presión del engranaje. Modificando la formula (7.49) del capítulo 7 se tiene:
d d 46.9846 230.225 w arccos b1 b 2 arccos 20.525 . 2 148 2 aw
(III.8)
6) Modificando la formula (7.48) del capítulo 7 para el cálculo del coeficiente de corrección del engrane 2 se tiene:
2
z1 z2 inv w inv 2 tan
1
10 49 inv 20.525 inv 20 2 tan 20
0.42 0.319 .
(III.9)
Resulta que 2 2 max. , entonces la magnitud de la corrección calculada no provocará la socavación. 7) Se calculan el diámetro exterior y el diámetro de fondo de los engranes. Para el cálculo del diámetro exterior se utiliza la formula (7.19) del capítulo 7: De1 m z1 2 he* 1 5 10 2 1 0.42 64.2 mm De 2 m z2 2 he* 2 5 49 2 1 0.319 251.81 mm
(III.10) (III.11)
y para el cálculo del diámetro de fondo la (7.20) del capítulo 7: D f 1 m z1 2 he* 1 c* 5 10 2 1 0.42 0.25 41.7 mm
D f 2 m z 2 2 he* 2 c* 5 49 2 1 0.319 0.25 229.31 mm .
(III.12) (III.13)
8) Para el cálculo del grosor de los dientes en el diámetro de paso se usa la formula (7.22) del capítulo 7. Entonces el grosor de los dientes del piñón en el diámetro de paso es:
s1 m 2 1 tan 5 2 0.42 tan 20 9.383 mm 2 2
(III.14)
s2 m 2 2 tan 5 2 0.319 tan 20 6.693 mm . 2 2
(III.15)
y de la rueda es:
9) Dado que el número de dientes del piñón es menor a 17 y se realiza con un desplazamiento positivo hay que asegurar que no tiene dientes agudos. Esto se realiza con el cálculo del grosor de los dientes 421
en el diámetro exterior. Para esto se usa la formula (7.23) del capítulo 7 en que el primero se determina el ángulo de presión en el diámetro exterior:
r 23.4923 e1 arccos b1 arccos 42.9585 r 32.1 e1
(III.16)
y luego el grosor de los dientes en este diámetro: se1 m
cos 2 1 tan z1 inv e1 inv cos e1 2
cos 20 5 cos 42.9585
Conclusión:
. 2 2 0.42 tan 20 10 inv 42.9585 inv 20 1.36 mm
(III.17)
se1 1.36 0.272 0.2 , que es admisible para los engranajes. m 5
10) En el proceso de maquinado hay que realizar el control dimensional de los engranes que se realiza mediante la medición del grosor de los dientes. En la mayoría de los casos éste se mide a una distancia igual a la altura de la cabeza he* m desde la cresta de los dientes. Entonces al principio se calculan los diámetros de las circunferencias en que debe ser realizada la medición que para el primer engrane va a ser:
dm1 De1 2 he m 64.2 2 5 54.2 mm ,
(III.18)
dm2 De 2 2 he m 251.81 2 5 241.81 mm .
(III.19)
y para el segundo:
Luego se calculan ángulos de presión en los diámetros dm1 y dm2:
y
r 23.4923 m1 arccos b1 arccos 29.90 27.1 rm1
(III.20)
r 115.1125 m 2 arccos b 2 arccos 17.81 . 118.07 rm 2
(III.21)
Por fin, empleando la formula (7.23) del capítulo 7 se calcula el grosor de los dientes en los diámetros de medición que para el piñón éste será igual a: s x1 m
cos 2 1 tan z inv x1 inv cos x1 2
cos 20 5 2 0.42 tan 20 10 inv 29.90 inv 20 0 8.096 mm cos 29.90 2 y para el engrane igual a: 422
,
(III.22)
sx 2 m
cos cos x 2
2 2 2 tan z inv x 2 inv
cos 20 5 2 0.319 tan 20 49 inv17.81 inv 20 7.69 mm . cos17.81 2
(III.23)
Hay que tener en cuenta que sm1 y sm2 son longitudes de los arcos y el grosor se mide no sobre el arco sino sobre la cuerda, entonces la longitud de la cuerda del piñón será igual a:
s 8.096 s m1 d m1 sen m1 54.2sen 8.066 mm , 54.2 d m1
(III.24)
y del engrane la siguiente:
s 7.69 s m 2 d m 2 sen m 2 236.14sen 7.508 mm . 241.81 d m2
(III.25)
Resolución del problema 2. CÁLCULO DE LA RELACIÓN DE CONTACTO Empleando la formula (7.57) del capítulo 7 se calcula la relación de contacto del engranaje de dos engranes, donde se usan los datos antes calculados, así como: w arccos 20.525 , e1 42.9585
r 115.1125 y e 2 arccos b 2 arccos 23.896 . Entonces: 125.905 re 2 z z 1 tan e1 tan w 2 tan e 2 tan w 2 2 . 10 49 tan 42.9585 tan 20.525 2 tan 23.896 tan 20.525 1.42 2
(III.26)
Que es satisfactorio para el engranaje. Resolución del problema 3. CONSTRUCCIÓN DEL PERFIL DEL DIENTE DEL PIÑÓN La construcción del diente del engrane se puede realizar mediante diferentes métodos. Para este caso se toma el método de Willis del movimiento opuesto. Con esto el primer paso consiste en la construcción del perfil de la cremallera base presentado en la figura III.1a. Para observar la validez de la construcción en la figura III.1c está presentada la regla de escala. Los datos para la construcción son los siguientes: ángulo del perfil de la cremallera base 20 ; paso p m 5 15.708 mm ; altura de la cabeza de los dientes he* m 5 mm ; holgura radial
c* m 0.25 5 1.25 mm . Ya que en el engranaje de la cremallera con el engrane la línea media gira sobre la circunferencia de paso sin deslizamiento, entonces paralelamente a la línea media a la distancia igual a la de corrección 1 m 0.42 5 2.1 mm se traza la línea poloidál. Para realizar el método de Willis del movimiento opuesto por ambos lados de la línea de simetría de la cavidad entre 423
los dientes de la cremallera base la línea media se divide en varias partes iguales. Para que el diente resulte completo, la longitud total L de la línea poloidál dividida, debe ser mayor a la del paso p. Para facilitar la construcción del perfil del diente del engrane se puede usar un prototipo de la cremallera base hecho de algun material transparente, por ejemplo de acetato, con todas las líneas de construcción. Después sobre una hoja de papel, así como cartolina, se trazan líneas axiales y circunferencias del diámetro de paso d1, del diámetro de base db1, del diámetro exterior De1 y del diámetro de fondo Df1. Por ambos lados de la lína de simetría del diente, se trazan dos rayos con el 2L y ángulo entre ellos igual a d1 el arco entre ellos se divide en la cantidad de partes iguales a la cantidad en que es dividida la línea poloidál. Estos puntos se unen mediante los rayos con el centro del engrane. Luego se coloca el prototipo de modo que la línea poloidál sea tangente al diámetro de paso y los puntos de la división del mismo número coincidan, por ejemplo el punto 4 de la línea poloidál con el punto 4 de intersección del rayo con la circunferencia del diámetro de paso d1. En esta posición el contorno de la cremallera base se copia sobre la hoja de papel. El conjunto de todas las posiciones del prototipo trazadas van a formar el contorno del diente del engrane es lo que está presentado en la figura III.1b.
a)
b)
c) Figura III.1. Construcción del perfil del diente del engrane 1.
Como se sabe, trazar una línea exactamente tangente a una circunferencia es muy dificil. Por eso para facilitar la toma de posición de la línea poloidál del prototipo de la cremallera exactamente tangente a la circunferencia de paso en los puntos de la división de la línea poloidál del prototipo hay que trazar líneas perpendiculares y hacerlos coincidir con los rayos correspondientes del engrane (en la figura 2.1 no están mostradas).
424
Resolución del problema 4. ENGRANAJE
CONSTRUCCIÓN DEL ESQUEMA CINEMÁTICO DEL
En la figura III.2a se muestra el esquema del engranaje diseñado a escala L 0.001 m mm y en la figura III.2b la regla de escala, para la confirmación de la validez de la construcción. En ésta la línea n n es la normal común, N1 N2 es la línea de acción y B1 B2 es la parte de la línea de acción en que los dientes de engranes están en contacto. En la figura III.2a se observa que el punto B2 de la intersección de la circunferencia de cresta de la rueda 2 con la línea de acción N1 N2 se encuentra dentro de ésta. Esto significa que el diente de la rueda no tiene puntos comunes dentro del círculo base del engrane 1 ni con la curva de transición. En el caso cuando la cresta de los dientes de un engrane tiene puntos comunes con los puntos ubicados dentro del círculo base del otro engrane o puntos comunes con la curva de transición entonces se trata sobre la interferencia de los perfiles. En este caso el engranaje no puede funcionar debido a la interferencia de perfiles. Este caso se puede detectar mediante el método analítico. Tomando en la figura III.2a: D A aw e 2 cos e 2 w y 2 d B b1 cos w para evitar la 2 interferencia debe cumplirse AB. Para el engranaje analizado
se
tiene:
b) a) Figura III.2. Construcción del esquema de engranaje.
A 148 125.905cos 23.896 20.525 22.13 mm
y
B 23.4923cos 20.525 22.00 mm . Así resulta que A B . Este cálculo confirma la ausencia de la interferencia en el engranaje.
425
EJEMPLO DE MUESTRA IV. CÁLCULO DE UN MECANISMO PLANETARIO La relación de transmisión del mecanismo planetario mostrado en la figura IV.1 se toma en magnitud 3 e1,4 7.0 . Se calculará el número de dientes de los engranes y el número de los satélites del mecanismo planetario. Se comprobará la relación de transmisión obtenida mediante el método gráfico. RESOLUCIÓN: 1. Determinación del número de los dientes de los engranes y del número de satélites Teniendo en cuenta la formula (7.134) del capítulo 7
la relación de z (3) (4) transmisión será presentada en forma: e1,4 , donde e1,3 3 . Para 1 e1,3 z1 el mismo mecanismo la condición de coaxiabilidad será presentada por la formula (7.154) o en forma z1 2 z 2 z3 . Se considera que los engranes se 4
maquinan mediante la cremallera con el ángulo de perfil igual a 20 sin desplazamiento. Para evitar la socavación se toma el número de dientes del Figura IV.1. Esquema del piñón z1 18 . Entonces la relación de transmisión y la condición de estructural mecanismo planetario. coaxiabilidad van a formar el sistema de dos ecuaciones, así como: (3) (4) e1,4 1 e1,3 1 (1)
z3 7, 18
z1 2 z2 18 2 z2 z3 .
(IV.1) (IV.2)
Resolviendo ambas ecuaciones se tiene: z2 45 y z3 108 . Al emplear nuevamente la fórmula de la relación de transmisión del mecanismo planetario (7.134) del capítulo 7 se tiene: (3) e1,4 1 1
z3 108 1 1 7, z1 18
(IV.3)
entonces la desviación de la relación de transmisión es igual a cero. Empleando la condición de vecindad presentada en la fórmula (3.161) del capítulo 7 se calcula el número máximo de satélites. Para el cálculo se toma he* 1 y * 0 , entonces:
K max.
2 2 9.8 . * * z2 2 he 45 2 1 0 arctan arctan 18 45 z1 z2
Se calcula el número de los satélites con la toma en cuenta de la condición de ensamble: 426
(IV.4)
K
(3) z1 e1,4
N z1 C
Al tomar, para el caso más simple, C 0 se puede definir varias soluciones cuando K y N son cifras enteras que se muestra en la tabla IV.1:
18 7 . N 18 C
(IV.5)
Tabla IV.1. Valor de K con la variación de N Variante 1 2 3 4 5 6 N 126 63 42 21 18 14 K 1 2 3 6 3 9
Entonces el número de satélites K se puede tomar en un rango muy amplio. Esta elección depende de las condiciones adicionales. Para la elección también se debe tomar en cuenta que con el aumento del número de satélites aumenta el número de restricciones excesivas. Si se toma el mecanismo como perfectamente plano con un solo satélite, entonces éste va a tener el número de restricciones igual a cero, con dos satélites rexc. 1 y con nueve satélites ya va a tener seis restricciones excesivas que va a exigir el empleo de alta tecnología para asegurar alto grado de exactitud en la fabricación de las piezas. Como es habitual el número de satélites óptimo se toma igual a K 3 por eso es muy atractivo la resolución del variante tres y quinto de la tabla IV.1. 2. Confirmación de la magnitud de la relación de transmisión mediante el método gráfico En la figura IV.2a se muestra el esquema del mecanismo a una escala elegida. Para que la construcción se observe mejor en la figura IV.2b se muestra la regla de escala. En la figura IV.2a los puntos principales están marcados con letras mayúsculas y en la figura IV.2c sobre una línea vertical las proyecciones de las mismas.
Entonces, desde el punto a se traza el vector aa * de la velocidad del punto A del engrane sol 1. La longitud del vector se elige arbitrariamente puesto que en el proceso de la determinación de la relación de transmisión no se toma en cuenta. Al unir el punto a* con el punto 0 se construye la línea de distribución de las velocidades de los puntos del engrane sol. Debido al engranaje la misma velocidad obtiene el punto A del satélite 2. Puesto que las velocidades de los puntos C del engrane corona 3 y del satélite 2 son iguales a cero, al trazar la línea a*c se construye la línea de distribución de las velocidades de los puntos del satélite 2. Entonces trazando el vector bb * desde la vertical hasta la intersección con la línea a*c se define la velocidad del punto B del satélite. La misma velocidad va a tener el punto B del brazo 4. Entonces uniendo los puntos b* con el punto 0 se construye la línea de distribución de las velocidades de los puntos del brazo 4. Al medir los 427
c)
b)
a)
Figura IV.2. Comprobación de la magnitud de la relación de transmisión mediante el método gráfico.
ángulos 1 22.0 y 4 70.5 de inclinación de las líneas 0a* y 0b*se define la magnitud de la relación de transmisión del mecanismo planetario:
tan 4 tan 70.5 6.99 e1,4 tan 1 tan 22 que perfectamente confirma la validez de los cálculos.
428
(IV.6)
