DI S E ÑO DE CONDU CONDUCC CCII ONE S Y RE DE S
1.
Tuberías en paralelo
Sea una tubería AD como la mostrada en la Figura 5.1. En el punto B esta tubería se ramifica. Se produce una bifurcación, dando lugar a los ramales BMC y BNC, los que concurren en el punto C. La tubería continúa a lo largo de CD.
M
A
B
C
D
N Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo
Se dice que las tuberías BMC y BNC están en paralelo. Ambas t ienen en su origen (B) la misma energía. Lo mismo ocurre con su extremo (C) en el que ambas tienen la misma energía. Se cumple entonces el siguiente principio Energía disponible para BMC = Energía disponible para BNC
La diferencia de energía entre B y C es la energía disponible. disponible. La energía disponible determina, determina, de acuerdo a la naturaleza del contorno y del fluido, las características características del escurrimiento. escurrimiento. La
energía disponible se transforma en energía de velocidad, de presión y elevación. En un conducto horizontal muy largo con velocidad relativamente relativamente pequeña se puede considerar que la energía disponible da lugar íntegramente a la pérdida de carga continua. Nótese que la ramificación ramificación puede ser en la forma de dos o más tuberías, cada una de las cuales tiene s u propio diámetro, longitud y rugosidad. A modo de ilustración se ha efectuado el trazo de la línea de gradiente hidráulica (L. P.) para el sistema mostrado en la Figura 5.2
h
L. P. B- C
A
B
C
D
Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo
Como las tuberías en paralelo se caracterizan por tener la misma energía disponible se producirá en cada una de ellas la misma pérdi da de carga. Sea una representación esquemática de varias tuberías en paralelo
1
Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo
Se cumplirá cu mplirá que
h 1
h f h f h f h h 2
3
4
5
BC
(5-1)
energía disponible se transforma en energía de velocidad, de presión y elevación. En un conducto horizontal muy largo con velocidad relativamente relativamente pequeña se puede considerar que la energía disponible da lugar íntegramente a la pérdida de carga continua. Nótese que la ramificación ramificación puede ser en la forma de dos o más tuberías, cada una de las cuales tiene s u propio diámetro, longitud y rugosidad. A modo de ilustración se ha efectuado el trazo de la línea de gradiente hidráulica (L. P.) para el sistema mostrado en la Figura 5.2
h
L. P. B- C
A
B
C
D
Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo
Como las tuberías en paralelo se caracterizan por tener la misma energía disponible se producirá en cada una de ellas la misma pérdi da de carga. Sea una representación esquemática de varias tuberías en paralelo
1
Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo
Se cumplirá cu mplirá que
h 1
h f h f h f h h 2
3
4
5
BC
(5-1)
h f representa la pérdida de carga en cada uno de los tramos. La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberías es igual al gasto total
Q de la
tubería AB (y de la tubería CD).
Q Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
(5-2)
La ecuación de continuidad debe verificarse verificarse para el nudo B y para el nudo C. Para el cálculo de tuberías en paralelo paralelo se presentan básicamente dos casos. En ambos suponemos conocidas las características de las tuberías, diámetro, longitud y rugosidad, así como las propiedades del fluido. 1.
Se conoce la energía disponible h f entre B y C y se trata de calcular el gasto en cada ramal.
2.
Se conoce el gasto total
Q y se trata de determinar su distribución y la pérdida de
carga. El primero corresponde al caso general de cálculo de tuberías. Se puede proceder, por ejemplo, con la ecuación de Darcy o con cualquier otra, al cálculo del gasto en cada ramal. Se recomienda el siguiente procedimiento. procedimiento. Combinando las ecuaciones de Darcy y continuidad (Q
h
f L
0,0827
f
D
VA ) se
Q2
obtiene
(5-3)
5
expresión en la que,
h f :
pérdida de carga en el tramo considerado
f
:
coeficiente de Darcy
L
:
longitud del tramo considerado
D :
diámetro de la tubería
Q :
gasto
de la que obtenemos inmediatamente
Q 3,477
D
5
f L
1
h2
(5-4)
Para una tubería dada los valores del diámetro y la longitud son constantes. En muchos casos se puede considerar que f también es constante, por lo menos para un determinado
rango de velocidades. Luego, 1
Q K h f 2
(5-5)
A esta ecuación la denominaremos “ecuación de descarga de la tubería”. En ella
D5
K 3,477
(5-6)
f L
si usamos la ecuación de Darcy. Aplicando la ecuación de descarga 5-5 a cada ramal se obtiene el gasto respectivo. La ecuación 5-5 es un caso particular de una ecuación general que toma la forma
Q Kh
x
(5-7)
en donde los valores de K y de x dependen de la ecuación utilizada. Podrían fácilmente obtenerse los valores de K y de x para la ecuación de Chezy, ya estudiada. Posteriormente se obtendrán, por ejemplo, para la ecuación de Hazen y
Williams.
Para el segundo caso se empieza por aplicar la ecuación de descarga a ambos ramales y se obtiene así la relación entre
Q1 y Q2 . Combinando con la ecuación de continuidad se obtiene
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se halla así los gastos parciales. Otro método consiste en plantear las ecuaciones de descarga par a cada ramal y luego sumarlas
K h
x
i
Q
(5-8)
f
Esta ecuación permite la resolución inmediata del sistema, pues
Hay un sistema de conducción que se
pa
caracteriza porque se produce una
ral
ramificación, pero los ramales no
el
concurren en un punto. Este sistema
o.
puede tener un caso particular: que en las bocas de descarga de los ramales la energía sea la misma. Este sistema se considera como un sistema de tubería en
h f o Q es un dato.
E 1 = E 2
E 1
E 2
3
= E 3 Figura 5.4 Tubería ramificada
Ejemplo 5.1 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos L1= 1 000 m
L2= 750 m
D1 = 16’’’
D 2 = 12’’’
f 1 = 0,018
f 2 = 0,018
El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberías.
Solución. Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga deb e ser la misma en ambas. Aplicamos la ecuación 5-3
0 ,0827
f 1 L1
D
2 Q 0 ,0827 f 2 L2 Q 2 1
5 1
5
D 2
2
de donde, Q
L D 5
2
1
2
Q2
5
750 16 3,16 L1 D 2 1000 12 2
1
Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Q 1,78Q 1
Q Q 0,1
2
1
2
Obteniéndose finalmente Q2 = 36 l/s
Q1 = 64 l/s
El método alternativo de solución consiste e n aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 5-4
1
Q 3,477
h
2
obteniéndose 1
Q1 0,0863 h f
2
1
Q2 0,0485 h f 2
sumando Q 0,1348 h
1 2
que es la ecuación de descarga del sistema. Para Q = 0,1 m3/s se obtiene h f = 0,55 m. Al reemplazar este
valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal. El método es extensible a cualquier número de ramales.
Ejemplo 5.2 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos L1= 100 m
L2= 156 m
D1 = 14’’’
D 2 = 12’’’
C 2 = 80 m1/2/s
f 1 = 0,018
Si con la energía disponible el gasto total es de 1 m 3/s, calcular el gasto en cada ramal, teniendo en cuenta que en el ramal 1 hay u na válvula ( K = 2,5).
Solución. En primer lugar aplicamos la ecuación 3-2
f 2
8 g 2
C
= 0,0122
Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en cada ramal
2
2
L V 1
1
2,5
1
D1 2 g
V 1
2
2
2 g
L 2 V 2
D 2 2 g
Reemplazando valores y operando se obtiene V2 1,1V 1 Por continuidad, D
2
1
V
4
1
D
4
2
2
V 1 2
Se obtiene así
V1= 5,57 m/s Q1 = 553 l/s
V2 = 6,13 m/s Q2 = 447 l/s
A modo de verificación se calcula la pérdida de carga en cada tramo obteniéndose h f = 11,97 m, que es la energía disponible. En este problema también se pueden aplicar los métodos alternativos de solución descritos anteriormente.
2.
El problema de los tres reservorios
En la Figura 5.5 se muestran tres estanques (reservorios) ubicados a diferentes niveles y que están comunicados entre sí por un sistema de tuberías que concurren en un punto P. z 1 2
P
3
Figura 5.5 Tres reservorios
Los valores de z corresponden a las cotas piezométricas. En los estanques corresponden a la elevación de la superficie libre. Para el nudo P,
z P representa la suma de la elevación
topográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión. Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal y cotas piezométricas (elevaciones de la superficie libre) de cada estanque. Se busca el gasto en cada ramal y la cota piezométrica del punto P. Para determinados problemas pueden presentarse combinaciones entre los datos e incógnitas mencionados. El sentido del escurrimiento en cada tubería dependerá de la diferencia entre la cota piezométrica del nudo P y la del estanque respectivo. Evidentemente que la cota piezométrica del punto P no puede ser superior a la de los tres reservorios, pues en este caso el punto P debería comportarse como un punto alimentador del sistema. Tampoco puede ser que el punto P tenga una cota inferior a la de los tres estanques, pues entonces todo el caudal concurriría allí lo que implicaría que P fuese un punto de desagüe. La cota del punto P determinará el sentido del escurrimiento en cada ramal. La discusión anterior exclu ye el caso de un sifón. Así por ejemplo, si la cota de P está por encima de los estanques 1 y 2, pero debajo del estanque 3, los sentidos del escurrimiento serán los mostrados en la Figura 5.6.
z P 3
Q Q 1
Q2 P P
z 2 z 3
Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular)
En este caso particular la ecuación de continuidad es
Q1 Q2
Q3
Esto significa que el estanque 3 es alimentador. Podrían hacerse dibujos análogo s para otras combinaciones de cotas piezométricas. Debe verificarse siempre la ecuación de continuidad en el nudo: la suma de los gastos en el nudo, con su propio signo, es cero. Para resolver el problema de los tres reservorios, conociendo los diámetros, longitudes y rugosidades de cada tubería, así como las cotas piezométricas de cada estanque, se sugiere el método siguiente 1.
Suponer un valor para la cota piezométrica del punto P.
2.
Calcular, por simple diferencia, las energías disponibles en cada tramo. Corresponden a las pérdidas de carga h f 1 , h f 2 y h f 3 .
Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal y plantear tentativamente la ecuación de continuidad. 3.
Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación 5-4
D5 12 Q 3,477 h f L
Esta ecuación toma para cada tubería la forma 1
Q K h f 2 Si en lugar de la ecuación de Darcy se quiere usar otra ecuación, como, por ejemplo, la de Hazen y Williams que estudiaremos más adelante, entonces la ecuación genérica es de la forma
Q Kh
x
determinándose los valores de K y de x para la ecuación particular que se está empleando.
K es fácil hacer sucesivos reemplazos y tanteos.
Calculado el valor de 4.
Verificar la ecuación de continuidad en el nudo.
5.
Si la ecuación no quedara verificada, lo que es lo más probable, hay qu e hacer nuevos tanteos, reiniciando el cálculo a partir del punto 1.
6.
A fin de no aumentar el número de tante os conviene auxiliarse con un gráfic o. Así por ejemplo, para la última figura se tiene que la ecuación de continuidad debe ser
Q1 Q2
Q3
Como en un tanteo cualquiera lo más probable es que esta ecuación no se verifique, se tiene que hay un error, que es
Q3
Q1 Q2
El gráfico sería
z P
-
0 Q3 - (Q1 + Q 2 )
+
Cada punto de la curva corresponde a un tanteo. Los puntos se unen con una curva suave. La intersección con el eje vertical significa que
Q3
Q1 Q2 = 0
con lo que queda verificada la ecuación de continuidad y se obtiene los gastos en cada ramal. Para hacer este gráfico es necesario definir previamente el s entido del escurrimiento en cada ramal y escribir la ecuación de continuidad en su forma correspond iente.
Se puede obtener una rápida información sobre el sentido del flujo en el ramal 2 asumiendo en P una cota piezométrica igual a la del estanque 2. Esto implica
Q2 = 0. Comparando Q1 y
Q3 se deduce el sentido del escurrimiento en cada tubería. Una variante de este pr oblema es el de los cuatro reservorios.
1 2 3 4 2
1
3
P1
4
P2
Figura 5.7 Cuatro reservorios El método general se basa en aproximaciones sucesivas. Debe tenerse cuidado de hacer una sola suposición cada vez. Se puede, por ejemplo, iniciar el cálculo suponiendo una cota piezométrica en el nudo P1. Esto determina el flujo en los ramales 1 y 2. Habrá luego que calcular la cota piezométrica en P2. Evidentemente que el flujo entre P1 y P2 es igual a
Q1 Q2 . La pérdida de carga se calcula por ejemplo con la ecuación 5-3 h f
0,0827
f L
Q2
D 5
u otra similar si no se estuviera emplea ndo la ecuación de Darcy.
La forma genérica de esta ecuación es
KQ x
h
en donde los valores de K y x dependen de la ecuación particular empleada (Chezy, Darcy,, Hazen y Williams, etc.). Para el cálculo de K se ha supuesto que el coeficiente de resistencia ( C , f ,
C H , etc.) es constante. Conviene limitar esta constancia del coeficiente a un rango
de valores de la velocidad. Habiendo calculado la cota piezométrica de P2 se calcula los gastos
Q3 y
Q4 y se verifica
luego la ecuación de continuidad. Si ésta no quede satisfecha deberá repetirse el procedimiento y recurrir a un método gráfico.
Ejemplo 5.3 Sea un sistema de tres reservorios. Los datos son z1= 120 m
z = 100 m
z = 80 m
2
L1 =1 000 m
3
L = 2 000 m
L = 1 200 m
2
D1 = 8’’’
3
D = 10’’’
D = 6’’’
2
f1 = 0,02
3
f = 0,018
f = 0,015
2
3
Calcular el gasto en cada uno de los ramales. Solución. A partir de la ecuación
Q 3,477
1
h
2
determinamos la ecuación de descarga de cada ramal 1 2
Q1 0,0145 h 1
Q2 0,0188 h
1 2 2
Q3 0,0074 h
1 2 3
Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo P la c ota 110 m
h = 10 m;
z p = 110 m
2
h = 10 m; 1
h = 30 m;
1 3
2
3
Q = 45,9 l/s Q = 59,5 l/s Q = 40,5 l/s
Q
Q Q = - 54,1 l/s
1
2
3
Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada se hace un nuevo tanteo z p = 105 m
h = 15 m;
Q1 = 56,2 l/s
h = 5 m;
Q2 = 42 l/s
h = 25 m;
Q3 = 37 l/s
1
2
3
Q1 Q2 Q3 = - 22,8 l/s
Haremos algunos tanteos adicionales z p = 101 m
h = 19 m;
Q1 = 63,2 l/s
h = 1 m;
Q2 = 18,8 l/s
h = 21 m;
Q3 = 33,9 l/s
h = 19,5m;
Q1 = 64 l/s
h = 0,5 m;
Q2 = 13,3 l/s
h = 21,5m;
Q3 = 34,3 l/s
h = 20 m;
Q1 = 64,8 l/s
h = 0 ;
Q2 = 0
h = 20 m;
Q3 = 33,1 l/s
1
2
3
Q1 Q2 Q3 = 10,5 l/s
z p = 100,5 m
1
2
3
Q1 Q2 Q3 = 16,4 l/s
z p = 100 m
1
2
3
Q1 Q2 Q3 = 31,7 l/s
Llevando estos valores a un gráfico se obtiene el resultado Q1 = 62 l/s
Q = 27 l/s 2
y la cota piezométrica del punto P es 102 m.
Q = 35 l/s 3
z P -54,1
110
-22,8
-60 -50 -40 -30 -20 -10
0 +10 +20 +30 +40 +50 +60
Q1 - ( Q2 + Q 3)
3.
Bombeo de un reservorio a otros dos
En la Figura 5.8 se muestra un reservorio alimentador 1, una tubería de succión 1, una bomba B, una tubería de impulsión 2, que s e bifurca en las tuberías 3 y 4 para alimentar dos estanques. Considerando que se conoce los diámetros, longitudes y coeficientes de rugosidad de cada tubería, así como las elevaciones de los estanques y la potencia de la bomba, se trata de calcular el gasto en cada ramal. Se sugiere el siguiente método 1.
Suponer un valor para el gasto Q impulsado por la bomba (Q1
2.
Calcular la pérdida de carga
3.
Calcular la cota piezométrica
4.
Calcular la energía H teórica suministrada por la bomba, a partir de la ecuación 4-2,
h
Q2 Q ).
en la tubería 1. 1
z E a la entrada de la bomba.
H
76 Pot Q
H es la energía en metros, Pot es la potencia en HP,, es el peso específico del
fluido en kg/m3 y
Q es el gasto en m3/s.
z 3 3
z 4 3 4
4
z z 1
B 1
2
1
Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos
5.
Calcular la cota piezométrica z S
a la salida de la bomba.
z S
z E H
6.
Calcular la pérdida de carga h
7.
Calcular la cota piezométrica del nudo P
en el tramo 2. 2
z P z S h f
2
8.
Calcular la energía disponible h f
para el tramo 3 3
h f z P z 3 3
9.
Calcular el gasto en la tubería 3 aplicando una ecuación de la forma
Q Kh
x
10. Aplicar los pasos 8 y 9 a la tubería 4. 11. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo
Q2
Q3 Q4
Caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para el gasto impulsado por la bomba. Para no aumentar el número de tanteos se recurre a un método gráfico similar al descrito en el apartado anterior.
Ejemplo 5.4 En el sistema mostrado en la figura hay una bomba que suministra a la corriente una potencia de 40 HP. Calcular el gasto en cada tubería. Considerar f = 0,02 en todas las tuberías. (Para los efectos del problema considerar para la bomba una eficiencia del 100 %).
125 m
120 m
10" 1 800 m 1 500 m
12"
18" 1 300 m
100 m 20"
B
300 m
Solución. La pérdida de carga en las tub erías 1 y 2 viene dada por la ecua ción 5-3
h f 0,0827
f L
D
5
Q
2
La ecuación de descarga en las tuberías 3 y 4 viene dada por la ecuación 5-4
1
Q 3,477
h
2
Reemplazando los datos de cada tramo se obtiene 1
h 14,67Q1
Q3 0,0188 h f 2
2
1
3
h 107 ,63Q2
2
2
1
Q 4 0,0326 h f 2
4
Iniciemos el cálculo suponiendo un gasto Q = 100 l/s (en la bomba). La pérdida de carga en el tra mo 1 es h 14,67Q1 = 0,15 m 1 2
La cota piezométrica a la entrada de la bomba es 99,85 m. La energía teórica suministrada por la bomba es
H
76 40 76 Pot = 30,4 m 1 000 0 ,1 ãQ
La cota piezométrica a la salida de la bom ba es 130,25 m. La pérdida de carga en el tra mo 2 es h 107 ,63Q2 = 1,08 m 2
2
La cota piezométrica en el nudo resulta ser 129, 17 m. La energía disponible (que supone mos se consume íntegramente en fricción) en el tramo 3 es
h = 129,17 - 125 = 4,17 m 3
y el gasto resultante es 1 2
Q3 0,0188h f3 = 38,4 l/s La energía disponible pa ra el tramo 4 es 9,17 m y el gasto resultante e s 1 2 f4
Q4 0,0326 h
= 98,7 l/s
Para que se verifique la ecuación de continuidad se requeriría que
Q 2 Q3 Q 4 o bien,
Q2
Q3 Q4 0
sin embargo encontramos que para el gasto supue sto
Q2
Q3 Q4 = -37,1 l/s
Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos.
Hacemos un nuevo cálculo con Q = 110 l/s y obtenemos Q2
Q3 Q4 = 8,9 l/s
Hacemos un nuevo tanteo con Q = 108 l/s y obtenemos
Q
= Q-1,2 l/s 2
3
4
con Q = 108,7 l/s se obtiene,
Q Q2
Q3 Q4 = 2,1 l/s
Llevando estos valores a un gráfico se obtiene finalmente Q = 108,3 l/s. Redondeando los valores (l/s)s e obtiene
Q = 108 l/s
Q3 = 24 l/s
Q4 = 84 l/s
Q 110 109 108
106 105 104 103 102 101 100 -40
-30
-20
-10
0
+10
+20
Q2 - ( Q3 + Q 4 )
4.
Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente
Sea un estanque alimentador del que sale una tubería de longitud L1 , diámetro D1 y coeficiente de resistencia
f 1 . Esta tubería se bifurca en los ramales 2 y 3. Se conoce la elevación del
estanque y las cotas de descarga. Se trata de calcular el gasto en cada ramal.
z 1 z 2 P
z 3
Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente
El método de cálculo sugerido es el siguiente 1.
Suponer una cota piezométrica en el punto P.
2.
Calcular las energías disponibles para cada ramal
3.
Calcular el gasto en cada tubería. Se puede usar la ecuación de Darcy (5-4).
Q 3,477
D
5
f L
1
h2
o bien otra ecuación de la forma
Q Kh
x
4.
Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo
Q1 Q2 5.
Q3
Caso contrario repetir el procedimien to y/o recurrir a un gráfico auxiliar hasta encontrar el valor de la cota piezométrica del punto P necesaria para satisfacer la ecuación de continuidad.
5.
Conducto que da servicio (filtrante)
Se dice que un conduct o es filtrante cuando a lo largo de su recorrido pie rde parte del gasto que transporta. Es el caso de una tubería que da servicio y que cada cierta distancia tiene una toma (salida de agua). Podría ser una tubería de agua potable que a lo largo de una calle da servicio a cada casa.
Q
0
Figura 5.10 Conducto que da servicio
Resulta evidente que en estas condiciones el gasto de la tubería va disminuyendo, lo mismo que la velocidad, puesto que el diámetro permanece constante. Si admitimos la validez de la fórmula de Darcy y la constancia del coeficiente f se tendría que, en general, dicha fórmula nos indic a que la pérdida de carga es proporcional al cuadra do del gasto y a la longitud.
h f
f L V
2
D 2 g
de donde,
h expresiones en las que
h f : f
:
es la pérdida de carga es el coeficiente de Darcy
L : es la longitud de la tubería D :
es el diámetro
V
:
es la velocidad media
Q
:
K :
es el gasto es igual a 0,0827
f
D
(ec. 5-3) 5
KQ2 L
Q0 . Consideremos que el gasto que sale
En el conducto de la Figura 5.10 el gasto inicial es
q m3/s por metro lineal de tubería. Supondremos que este gasto q
a lo largo del conducto es
es constante. El gasto en cualquier sección
es
Q Q0 qL
(5-9)
siendo L la distancia desde el punto inicial. La pérdida de carga en un tramo muy pequeño es 2
dh f
KQ
dL
y por lo tanto L
h f
KQ2 dL 0
Introduciendo la ecuación (5-9) 2
L
h f
h f
h f
K 0 Q0 qL dL
2 q2 L2 Q0 qL KLQ0 3
KLQ 2
Q0 Q2
0
3
KL h f
Q
2 0
Q 0 Q0 Q
Q0Q Q 2
(5-10)
3
que es la ecuación que nos da la pérdida de carga para un tramo de longitud L en cuyo extremo el gasto es
Q . Para el caso particular que el gasto final Q sea cero KL
2
h f
3
Q0
(5-11)
Significa esta ecuación qu e en este caso la pérdida de carga sería la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante.
Ejemplo 5.5 De un estanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 300 m de longitud. Esta tubería se bifurca en ramales de 6’’ de diámetro y 150 m de largo cada uno. Los extremos descargan libremente a la atmósfera. Uno de los ramales es un conducto filtrante que tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largo de la tubería de modo que la suma de las descargas de todas ellas es igual a la mitad del gasto inicial en ese ramal (la otra mitad desca rga por la boca final). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (15 m debajo de la superficie libre del estanque). Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de carga locales. Considerar f = 0,024, constante e igual para todas las tuberías. Solución.
15 m 0 1 P
0
En un conducto filtrante la pérdida de carga es según la ec. 5-10 h f En este caso particular Q =
Q0 2
KL 3
Q
2
0
2
Q0 Q Q
. Luego,
h f
KL 7
7
2
Q0
3 4
12
0,0827
f L
Q
D 5
2 0
Sustituyendo los datos f , L y D para el conducto filtrante se obtiene h 2112 ,52 Q0
2
0
La pérdida de carga entre el estanque y el nudo es
h
0,0827 fL Q 1718,78Q
f
D
5
2
2
8
8
Debe cumplirse que 1 718,78 Q 2112,52Q 15 m 2
2
(1)
8
0
La pérdida de carga en el otro ramal es h f 1 0,0827
f L D 5
2
Q 3 621,46Q12 1
Debe cumplirse que 1 718,78 Q 3 621,46 Q 15 m 2
2
8
1
(2)
Luego 2 112 ,52 Q 2 3 621,46 Q 2 0
1
Q 1,31 Q 0
1
Este problema particular se hubiera podido resolver más rápidamente, puesto que de antemano se hubiera podido establecer la ecuación Q0
Q1
Continuando, QQ 8
0
Q 1,31Q Q 2,31Q 1
1
1
1
Reemplazando en (2) 2
1 718,78(2,31)2 Q 2 + 3 621,46 Q = 15 1
1
De donde, Q1 = 34,2 l/s
La pérdida de carga
h f
Q 8 = 79 l/s
Q0 = 44,8 l/s
en el ramal principal es 10,73 m. En cada u no de los dos ramales la pérdida de
carga es 4,24 m, lo que hace un total de 14,9 7 m, que es prácticamente ig ual a la energía disponible.
Hay otra forma de calcular un co nducto filtrante y es a partir de la variación de velocidades. Examinemos el caso particular en el que la velocidad final sea cero.
0 x
x L Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante
En la Figura 5.11 se ha hecho una represen tación gráfica de la disminución de velocidad para un tramo de longitud L y velocidad inicial V 0 . Se denomina
V x a la velocidad a la distancia
x del punto inicial. Se cumple que
V 0
V x
L x L
La expresión para la pérdida de carga se obtiene aplicando la ecuación de Darcy a la longitud
dx y luego integrando
f dx V x
dh f
h f
D 2 g
para x
L
L
2 0
D 2 g
0
L x 2 dx
2
L
f V0
x2 x3 2 x
D 2 g
1
2
h f
2
L
3 L
se obtiene
h f
2
f L V 0 3 D 2 g
(5-12)
Significa esta ecuación que en un conducto que da servicio y cuyo gasto final es cero se cumple que la pérdida de carga es la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante. Para el caso en que la velocidad final se a la mitad de la inicial se obtendría.
h f
7
L V02
f 12 D 2 g
(5-13)
6.
Cambio de la rugosidad con el tiempo
Con el uso y el paso de los años aumenta la rugosidad de los conductos y disminuye el gasto que pueden conducir. Este problema está íntimamente vinculado al de la calidad del agua y para su conocimiento se requieren observaciones de muchos años.
Básicamente el fenómeno de envejecimiento de las tuberías tiene dos aspectos: aumento de la rugosidad y disminución de la sección útil. La consecuencia es la disminución de la capacidad. La variación de la rugosidad con el tiempo se expresa así
k t k 0 1 t
(5-14)
siendo
k t :
rugosidad después de transcurrido el tiempo
t
k 0 :
rugosidad inicial (al ponerse en servicio la tubería)
1 :
velocidad de aumento de la rugosidad
Esta expresión debida a Colebrook y White supone q ue la rugosidad se incrementa linealmente con el tiempo. Lamont ha propuesto la Tabla 5.1 para describir la intensidad de aumento de rugosidad
TABLA 5.1 INTENSIDAD DE AUMENTO DE LA RUGOSIDAD
INTENSIDAD
, mm/ año
1
Pequeña
0,012
Moderada
0,038
A p r e c i a b l e
0,12
Severa
0,38
Cuando se diseña una conducción no debe tenerse en cuenta exclusivamente la rugosidad inicial, sino la que se espera se presente, según la calidad de agua y otros factores, dentro de un cierto número de años. De no hacerse esta previsión nos encontraríamos en el futuro frente a una disminución de la capacidad de la tubería. La corrosión es una acción química. Por lo tanto depende de la calidad del agua y de la calidad o naturaleza de la tubería. Las tuberías de fierro fundido, que son sensibles a la corrosión, suelen recu brirse interiormente con una sustancia bituminosa protectora a fin de disminuir la corrosión y mantener la capacidad de diseño de la conducción.
Ejemplo 5.6. Una ciudad se abastece de agua por medio de una tubería de 20’’ de diámetro. Después de 1 año de la puesta en servicio se requiere de 40 HP p or kilómetro de conducci ón, para bombear 400 l/s. Después de 4 años de servicio la potencia requerida para transportar el mismo cauda l aumentó en 10 % ¿Cuál será la potencia necesaria después de 8 años, sabiendo que entonces el caudal requerido será de 600 l/s? ( = 1,1x10-6 m2/s, eficiencia 100 %). Solución. Después de 1 año de servicio la pérdida de carga es
h f
h f 0,0827
f L
D
5
Q
40 76 Pot 1 000 0,4 7,6 m Q
2
o o o
Re
VD
f = 0,0194 m
9 10
5
En el ábaco de Moody se obtiene
k 1 D
= 0,0009. Luego,
k1 = 0,00046 m Un aumento del 10 % en la potencia supone un au mento del 10 % en el valor de f . Luego f = 0,0213 y para el mismo número de Reynold s la rugosidad relativa es k4
D
o o o
= 0,0014
k4 = 0,00071 m
Sabemos que según la ecuación 5-14
k 4 k0 4 1 0,00071 = k 0
4
k = 0,00038 m
1
0 o
Por consiguiente
o o
0,00046 = k0 1
= 0,000083 m/año
1
Después de 8 años de servicio
k 8 k 0 8 1
o o o
k8= 0,001044 m
k 8
0,002055
D
o o o
6
Re = 1,37 x 10
f = 0,0236
h f 0,0827
f L
2
Q = 20,77 m
D 5
Pot
QH QH 76
1000 0,6 20,77 76
= 164 HP
que es la potencia teórica requerida.
7.
Fórmula de Hazen y Williams Willi ams
La fórmula de Hazen y Williams tiene origen empírico. Se usa ampliamente en los cálculos de tuberías para abastecimiento abastecimiento de agua. Su uso está limitado al agua en flujo turbulento, turbulento, para tuberías de diámetro mayor de 2’’ y 2’’ y velocidades que no excedan de 3 m/s. La ecuación de Hazen y Williams Williams usualmente se expresa así
Q 0,000426C 0,000426 C H D 2,63S 0,54
(5-15)
expresión en la que
Q :
gasto en litros por segundo
C H : D :
coeficiente coeficiente de Hazen y Williams Williams
S
:
diámetro en pulgadas pendiente de la línea de energía en metros por
km
Para una tubería dada, la longitud, el diámetro y el coeficiente de resistencia son constantes, luego
Q K h0 ,54
(5-16)
K 0,000426C 0,000426 C H D2,63 L 0,54
(5-17)
siendo
La expresión 5-16 es similar a la ecuación 5-5. Los valores de la constante
C H de Hazen y Williams han sido determin ados
experimentalmente. Son función de la naturaleza de las paredes. (Obsérvese que este
coeficiente
C H es diferente del de Chezy). Los valores usuales son los de la Tabla 5.2
TABLA 5.2 COEFICIENTES DE HAZEN Y WILLIAMS
NATURALEZA DE LAS PAREDES
C H
Extremadamente lisas y rectas
140
Lisas
130
Madera lisa, cemento pulido
120
Acero ribeteado
110
Fierro fundido viejo
95
Fierro viejo en mal estado
60-80
Fuertemente corroído
40-50
Hagamos una breve discusión de la fórmula. -
Si el Diámetro D y la pendiente de la línea de energía
S se mantienen constantes
se
tiene que
C Q1 Q2 C
1
(5-18)
2
C H varía, el gasto variará en la misma proporción.
Significa esto que si el coeficiente
Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías, que tengan el mismo diámetro y el mismo valor de
S . Sus gastos estarán en la misma proporción que sus respectivos
coeficientes de Hazen y Williams. -
Si el diámetro y el gasto permanecen constantes, entonces
C H 1S
0 ,54 1
C H
S 2
0,54
2
C H 1,85 S 2 1 S C 1
H
2
(5-19)
Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto, pero la primera tiene
C H igual a 100 y la segunda igual a 120, entonces
100 120
S2 S 1
1,85
= 0,714
Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la ecuación de Hazen y Williams.
S 0,54
S
h f
Q 0,000426C H D
2,63
Q1,85 1,85 4,866 5,813 10 7 C H D
LQ1,85 5,813107 C 1,85 D 4,866
Para una tubería particular se cumple que
h
Así por ejemplo, si D = 10’’,
h f
KQ1,85
(5-20)
C H = 120 y L = 1,25 km se obtiene
1,25 1,85 4 Q 5,81310 7 022,4 7,345 10 7
h
0,00417Q1,85
Que es la ecuación de descarga para la tubería.
0,00417Q1,85
Ejemplo 5.7 Determinar el gasto que fluye en cada uno de los ramales del sistema de aba stecimiento de agua mostrado en la figura y hallar la presió n en el punto P. 50 m válvula
20 m
1 1
2
10 m P
3
10 m
La elevación del punto P es 10 m. Inicialmente la válvula está completamente abierta. L1 = 5,2 km
C H = 100 (acero usado)
D = 16’’’
1
1
L2 = 1,25 km
C H = 120 (cemento pulido)
D = 10’’’
2
2
L3 = 1,5 km
C H = 120 (cemento pulido)
D = 10’’’
3
3
Si se aumenta la presión en el punto P hasta 20 m de columna de agua (cerrando la válvula ubica da en el ramal 2), determinar el nuevo valor de gasto en cada tubería y la pérdida de carga en la válvula. Solución. La ecuación de Hazen y Williams es 2,63 0, 54 Q 0,000426 C D S H
de donde,
Q
0,000426 C H D 2,63h 0,54
L0,54
Q Kh 0,54 siendo K característico de cada tubería e igual
a
0,000426 C D 2,63 K
H 0,54
L
Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los correspondientes valores de Q1 25,68 h f
0,54 1
Q2 19,33h f
0,54 2
Q3 17 ,52 h f
0,54 3
K
Empecemos por la segunda pa rte del problema. Si la presión en el nudo P es 20 m, entonces
h = 20 m
h = 10 m
1
h = 20 m
2
3
que son las energías disponibles en cada tramo. Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3. La ecuación de descarga no es aplicable al tramo 2 por tener una válvula. Q1 = 129,5 l/s
Q3 = 88,3 l/s
Q será simplemente la diferencia, Q = 41,2 l/s 2
2
Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es h 2
0,004173 Q2
1,85
h = 4,06 m 2
Como la energía disponible es de 10 m resulta que la pérdida de la carga en la válvula es 5,94 m. Para la primera parte del problema el método má s simple consiste en tantear valores para la pr esión en P, calculando luego las energías disponibles en cada tramo y los gastos. Cuando la ecuación de continuidad quede satisfecha se ha encontrado la respuesta.
h f = 25 m
Q1= 146,04
h f = 5 m
Q2= 46,1
1
p P = 15 m
2
h f = 15 m 3
p P = 17,5 m
Q 3= 75,6
h f = 22,5 m 1
Q1= 138
h f
= 7,5 m
Q2= 57,4
= 17,5 m
Q 3= 82,2
2
h f
3
Q1 Q2 Q3 24,3
Q1 Q2 Q3 1,6
Con una presión de 17,5 m en P prácticamente queda satisfecha la ecuación de continuidad. Si se continúan los cálculos se obtiene p P = 17,3 m Q1 = 139 l/s
Q2 = 57 l/s
Q3 = 82 l/s
8.
Diseño de una conducción
Esencialmente el problema de un diseño de tuberías consiste en encontrar el diámetro más adecuado para transportar un gasto dado. La selección del diámetro implica un estudio de a)
Velocidades
b)
Presiones
c)
Costo
Las velocidades excesivas deben evitarse. No sólo pueden destruir la tubería por erosión, sino también hay la posibilidad del golpe de ariete. Las presiones pueden ser negativas o positivas. Las presiones negativas ya fueron estudiadas anteriormente al examinar el comportamiento de un sifón (apartado 4.8). Deben evitarse, pues dan lugar a discontinuidad en el escurrimiento y a cavitación. Tampoco se puede aceptar cualquier presión positiva. Las tuberías, según el material de que están hechas, soportan determinadas presiones. La máxima presión admisible forma parte de la descripción técnica de una tubería. El costo es muy importante. Las condiciones a y b pueden satisfacerse con más de un diámetro. Debe escogerse el más económico. Este concepto será analizado más adelante. Por cierto que en el diseño de una conducción debe tenerse en cuenta los diámetros comerciales disponibles. Hay otros factores que intervienen como la calidad de agua y otros, que escapan a los alcances de este curso. Examinemos el caso genérico de la Figura 5.12. La tubería AB une los dos
estanques.
Se
trata
de
A
determinar el diámetro que debe tener, conociendo la carga disponible H el gasto
y
Q. H
El dibujo muestra el perfil de la tubería de acuerdo al terreno sobre el que debe apoyarse. Se ha trazado aproximadamente la línea de gradiente hidráulica (sobre la hipótesis de diámetro uniforme entre A y B) y, como se observa en el dibujo, se anticipa la presencia de presión negativa en N y quizá una presión muy fuerte en M (positiva).
Figura 5.12 Diseño de una conducción
La inclinación de la línea de gradiente sería
S
H L
Siendo H la diferencia de nivel entre los estanques y L la longitud total de la conducción, supuesta de diámetro uniforme. Se puede fácilmente verificar la intensidad de las presiones en M y N. Si fueran muy grandes habría que utilizar un diámetro diferente para cada tramo y constituir un sistema de tuberías en serie, como se muestra en la Figura 5.13
A L. P.
M N
B
Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción
Se observa que la línea de gradiente (L. P.) aparece quebrada. La conducción está formada por varios tramos de diferentes diámetros. Como una ilustració n de lo anteriormente expuesto podemos examinar el ejemplo 4.14. Se evita así las presiones positivas muy grandes y las presiones negativas excesivas. Al desarrollar dicho ejemplo no se mencionó por qué hay dos diámetros diferentes (8’’ y 6’’). La razón es simple. Si el primer tramo tuviera un diámetro de 6’’, la pérdida de carga sería muy grande y se produciría una fuerte presión negativa al ingreso de la bomba. Para evitar esto se introdujo un tramo con un diámetro mayor (8’’) con lo que disminuyó la velocidad y por consiguiente la pérdida de carga. Siempre debe tenerse presente que en el diseño de una conducción uno de los primeros problemas que debe analizarse es el número de tuberías a usarse (en paralelo). Acá intervienen razones de seguridad, costo y disponibilidad en el mercado.
Ejemplo 5.8 Proyectar la línea de conducción e ntre los estanques A y B siguiendo el perfil del terreno mostrado en la figura. El caudal debe ser de 500 l/s. Se dispo ne de tuberías de 14’’, 16’’, 18’’ y 20’’ de diámetro, para presiones de un máximo de 7 5 lb/pulg 2, C H = 100. 1 225 m
A
1 050 m
1 100 m 2 200 m
N
M B'
960 m
B
Solución. Si usáramos un diámetro constante entre A y B se tendría que
265 = 56,4 m/km 4 ,7
S
La pérdida de carga en tre A y N sería
h f AN 56,4 3,5 197,4 m
La cota piezométrica en N es z N = 1 027,6 m La presión en N es p N = - 22,4 m Es una presión negativa inadmisible. Pensemos entonces en descomponer la tubería en dos tramos: AN y NB. Supongamos que entre A y N el diámetro es constante.
S
La pérdida de carga entre A y M es
175 = 50 m/km 3,5
h f AM
50 1,3 65
m
La cota piezométrica en M es
z M = 1 160 m La presión en M resulta ser
p M = 60 m Esta presión es excesiva. Sólo disponemos de tuberías para 75 lb/pulg 2, lo que equivale a una altura de 52,7 m de columna de agua. Aceptaremos para M una presión máxima de 52,7 m con lo que su cota piezométrica resulta ser 1 152,7 m. La pérdida de carga entre A y M es entonces 72,3 m y la pendiente S es 55,6 m/km. Veamos cuál debe ser teóricamen te el diámetro. De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos D2,63
Q 0,000426 C H S
0,54
o o o
D = 15,5’’’
Si usáramos un diámetro de 16’’ la pérdida de carga sería meno r y la presión en M resultaría mayo r que la admisible. Con un diámetro de 14’’ la pérdida de carga sería notablemente mayor y resultaría en M una presión pequeña, mucho menor que la admisible (lo que en principio es aceptable), pero nos interesa tener en el punto M la presión más alta posible (52,7 m) a fin de disminuir el problema de la presión negativa en N. Utilizaremos para el tramo AM dos diámetros diferentes 14’’ y 16’’ (constituyendo así un sistema de
tuberías en serie). Para 14’’ de diámetro la pendiente S es 89,98 m/km y para 16’’ la pendiente es 46,96 m/km. Sea L la longitud de tubería de 14’’. Debe cumplirse que
89,98 L + 46,96 (1,3 - L ) = 72,3 De donde la longitud L es 0,262 km. La tubería AM queda así descomp uesta en dos tramos: 262 m de
14’’ y 1 038 m de 16’’. Ensayemos diámetros pa ra el tramo MN. Si usáramos 14’’ de diámetro la presión resulta nte en N sería muy baja (negativa). Con 16’’ de diámetro se tendría para el tramo MN una pérdida de carga de 103,3 m, lo que representa para el tramo AN una pérdida de carga de 175 ,6 m y la presión para el punto N es - 0,6 m, valor que es admisible. La cota piezométrica del punto N es 1 049,4 m y la pendiente para el tercer tramo es S
89,4
= 74,5 m
1,2 De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos que el diámetro debería ser 14,6’’. Tal como se hizo con el tramo AM descompondremos en un tramo L de 14’’ y otro de 16’’ de modo que
89,98 L + 46,96 (1,2 - L ) = 89,4
C a p
1 225 m
ít u lo V
M'
B'
is
D eñ o d e co n d u cc io n es y
2 2 7
Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8 es
d
re
De acá se obtiene que L es 0,768 km. Los 4 700 m de conducción se descomponen finalmente así 262 m de 14’’
(A - M’)
1 038 m de 16’’
(M’ - M)
2 200 m de 16’’
(M - N)
432 m de 16’’
(N - B’)
768 m de 14’’
(B’ - B)
Lo que significa 1 030 m de tubería de 14’’ y 3 670 m de tubería de 16’’. En la Figura 5.14 se presenta el trazo de la línea piezométrica.
9.
Diámetro más económico
Cuando se diseña una conducción por tubería no hay solución única. Tanto un diámetro como otros pueden satisfacer las condiciones hidráulicas. De todos los diámetros posibles, que desde el punto de vista puramente hidráulico constituyen soluciones, hay uno que es el diámetro más económico. Se entiende por “diámetro más económico” aquel para el cual resulta mínima la suma de los costos de instalación, operación y servicios del sistema. Si se trata, por ejemplo, de una conducción por bombeo el problema puede ser más complejo, pues hay que empezar por examinar el número de tuberías, en paralelo o en serie, que conformarán la conducción. Por razones de seguridad en el servicio puede convenir tener más de una tubería conformando así un sistema en paralelo. Un análisis nos dirá cuál es la solución más económica. En una instalación por bombeo los costos principales son a) Adquisición e instalación de la tubería. Este costo aumenta con el diámetro. A mayor diámetro, mayor costo. b)
Instalación y operación del equipo de bombeo. Este costo es inversamente proporcional al diámetro. Los diámetros pequeños representan una gran pérdida de carga y por consiguiente requieren de gran potencia. Con los diámetros grandes ocurre lo inverso.
Para la obtención del diámetro más económico de una conducción por bombeo normalmente los datos están constituidos por -
Diámetros disponibles en el mercado
-
Costo de las tuberías
-
Gasto requerido
-
Coeficientes de rugosidad de las tuberías
-
Costo del KW hora
-
Tiempo de amortización
-
Interés
-
Costo de la bomba y el motor, etc
El procedimiento de cálculo es el siguiente a)
Escoger tentativamente un diámetro
b)
Calcular la pérdida de carga h f
c)
Calcular la energía necesaria
d)
Calcular la potencia necesaria
e)
Calcular el costo anual de la potencia necesaria
f)
Calcular el costo del motor y de la bomba
g)
Calcular el costo de la tubería (teniendo en cuenta el diámetro y espesor requeridos)
h)
Calcular el costo de la inversión inicial: tubería, motor y bomba y luego determinar la amortización (en base al número de años útiles del sistema)
i)
Determinar el costo total por año sumando la amortización anual de la inversión inicial ( h ) y el costo anual de la potencia (e )
Si el procedimiento anterior se repite para varios diámetros diferentes se encontra rá finalmente el diámetro más económico.
10.
Redes de tuberías. Método de Hardy Cross
Una red es un sistema cerrado de tuberías. Hay varios nudos en los que concurren las tuberías. La solución de una red es laboriosa y requiere un método de tanteos y aproximaciones sucesivas. Representemos esquemáticamente la red muy simple de la Figura 5.15. Esta red consta de dos circuitos. Hay cuatro nudos. En la tubería MN tenemos u n caso típico de indeterminación: no se puede saber de antemano la dirección del escurrimiento. En cada circuito escogemos un sentido como positivo. Se escoge una distribución de gastos respetando la ecuación de continuidad en cada nudo, y se asigna a cada c audal un signo en función de los circuitos establecidos. Se determina entonces las pérdidas de carga en cada tramo, que resultan ser “positivas” o “negativas”.
M
I
II
B
C
N Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías
Las condiciones que se deben satisfacer en una red son 1.
La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero. Ejemplo
h f
BM
h f MN h f NB 0
2.
En cada nudo debe verificarse la ecuación de continuidad.
3.
En cada ramal debe verificarse una ecuación de la forma
h
KQ x
en donde los valores de K y de x dependen de la ecuación particular que se utilice. Como los cálculos son laboriosos se recurre al método de Hardy Cross. En este método se supone un caudal en cada ramal, verificando por supuesto que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo. Si para un ramal particular se supone un gasto gasto real que llamaremos simplemente
Q , luego
Q Q0 En donde
Q
Q0 este valor será, en principio, diferente al
Q
es el error, cuyo valor no conocemos.
Si tomamos, por ejemplo, la fórmula de Hazen y Williams se tiene que la pérdida de carga en cada tubería es
h
KQ1,85
Si esta ecuación se aplica a los valores supuestos se obtiene
h
0
KQ01,85
La pérdida de carga real será
h
K Q0 Q 1,85
Desarrollando y despreciando los términos pequeños se llega a
h f KQ0
1,85
1,85
h 0
Q0
Q
h
h f
h f 1,85 0 Q Q0
0
De donde, para cada circuito
h f
h f
0 h f Q1,85 0
Q
0
0
De acá obtenemos finalmente el valor de
Q
Q
h f
0
(5-21)
h f
1,85
Q
0
0
Esta es la corrección que debe hacerse en el caudal supuesto. Con los nuevos caudales hallados se verifica la condición 1. Si no resulta satisfecha debe hacerse un nuevo tanteo.
Ejemplo 5.9 Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar todas las tuberías.
M
200 l/s
C H
= 100 en
N
Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es
h
KQ
1,85
siendo
1,72 10 L 6
K
C H 1,85 D4,866 Estas ecuaciones corresponde n a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso se utilizaría las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario. Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. En consecuencia, cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. Se obtiene as í M
200 l/s
B
I
II
+
+ C
-20 +20
N
La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente). Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final. CIRCUITO I
CIRCUITO II
BN
0,03367
CM
0,00969
NM
0,02806
MN
0,02806
MB
0,00692
NC
0,00830
Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga h
en cada circuito aplicando la ecuación
de
0
descarga.
BN
+ 87,23
CM
- 57,93
NM
- 7,16
MN
+ 7,16
MB
- 56,35
NC
+ 34,23
h
f 0
h
= + 23,72
f 0
= - 16,54
Aplicamos ahora la ecuación
Q
h
f 0
1,85
h
f 0
Q0 para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cada circuito
Q
23,72 6,3 1,85 2,04
Q
Q 6
16,54 1,85 1,26
7,1
Q 7
Los nuevos caudales y los correspondientes va lores de la pérdida de carga h f son los siguientes
CIRCUITO I
Tramo
CIRCUITO II
h f
Caudal
BN
+70 - 6
NM MB
= +6 4
Tramo
h f
Caudal
+73,91
CM
-110 + 7 = -103
-51,29
-20 - 6 - 7= -33
-18,09
MN
+20 + 7 + 6 = +3 3
+18,09
-130 - 6 = -136
-61,26
NC
+90 + 7
+39,32
h
5,44
f
Calculamos nuevamente la corrección
Q
Q
= +97
h
f
6,12
5,44 1,85 2,15
1,37
6,12 1,85 1,45
2,28
Q
Q 1
Q 2
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de h f so n
CIRCUITO I
Tramo
CIRCUITO II
h f
Tramo
+76,06
CM
-103 - 2 = -105
Caudal = + 65
BN
+ 64 + 1
NM
- 33 + 1 + 2 = -30
-15,16
MN
+33 - 2 - 1
MB
- 136 + 1 = - 135
-60,43
NC
+97 - 2
h
f
-53,15
= +30 +15,16
= +95
+37,83
h
0,47
Calculamos ahora nuevamente la corrección
Q
h f
Caudal
f
0,16
Q
0,47 0,12 1,85 2,12
Q
Q 0
0,16 1,85 1,41
0,06
Q 0
En consecuencia los caudales son
M
200
30
200
N
Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.
Obsérvese que la condición 1,
h = 0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del f
flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación.
M
B N
Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental
h
BM
h
f
MN
h
f BN
como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos. Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones h
f MC
h f MN h f NC
h
h BNC
f BMC
La condición 3 queda también satisfecha. Tomem os un ramal cualquiera (NC).
D
=
8’’
C H
=
100
Q 0 ,00426 100 82 ,63 63 ,05 0 ,54
L
=
0,6 km
Q 94,7 l/s
h f
=
37,83 m
Valor que está dentro del error aceptado.
Naturalmente que existen programas de cálculo que permiten resolver los problemas de redes muy rápidamente. Sin embargo, el objetivo de este libro es el de profundizar en los conceptos fundamentales, para lo cual es indispensable conocer el cálculo manual de las redes. Posteriormente, en cursos de diseño se podrá aplicar programas que faciliten los cálculos.
2 3 6
H
TABLA 5.3 rá
id li
u
CALCULOS DEL EJEMPLO 5.9 d
a
c e tu b e rí a s y c a n a le s
A rt u ro R
Al aplicar el método de Hardy-Cro ss se sugiere realizar una tabulación como la aquí presentada, que correspond e al ejemplo 5.9. a
ch
o
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo V)
1.
Se tiene dos tuberías en paralelo de 3 000 m de lon gitud cada una. El diámetro de la primera es de 10’’ y el de la segunda de 20’’. La diferencia de nivel entre los estanques comunicados por el sistema en paralelo es de 18 m. Consid erar f = 0,02 para ambas tuberías. Calcular el gasto en cada una.
2.
Se tiene dos tuberías en paralelo. Ambas tienen 2 500 m de longitud. El diámetro de la primera
es de 8’’ y el de la segunda de 14’’. Calcular cuál es la energía necesa ria para que el gasto total sea de 200 l/s. Considerar f = 0,025 en ambas tuberías.
3.
¿Cual sería el gasto en cada una de las tuberías del ejemplo 5.2, si no estuviera la válvula y se mantuviera la misma energía disponible?
4.
¿Cuál sería la energía necesaria para transportar el gasto total del ejemplo 5.2, considerando que no existiera la válvula? ¿Cuales serían los gastos en cada tubería?
5.
Dos estanques están conectados por tres tuberías en paralelo cuyos diámetros son D,2 D y 3 D. Las tres tuberías tienen la misma longitud y el mism o valor de f de Darcy. ¿Cuál es el gasto en la tubería mayor si el gasto en la tubería menor es de 3 0 l/s?
6.
Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura 1 2 B
C 3
L1 = 80 m
D1 = 4’’
f 1 = 0,018
L2 = 120 m
D2 = 6’’
f 2 = 0,018
L3 = 300 m
D3 = 10’’
f 3 = 0,025
La elevación del punto B es 112,80 m La elevación del punto C es 115,10 m La presión del punto B es 4 kg/cm2
La presión del punto C es 2,5 kg/cm 2
7.
Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura 1 2 B
C 3
Q= 0,400 m 3/s
8.
L1 = 220 m
D1 = 8’’
f 1 = 0,025
L2 = 280 m
D2 = 10’’
f 2 = 0,020
L3 = 390 m
D3 = 6’’
f 3 = 0,028
Determinar el gasto en cada ramal del sistema para Q = 2 m3/s 1
9.
L1 = 100 m
D1 = 10’’
f 1 = 0,030
L2 = 120 m
D2 = 8’’
f 2 = 0,025
L3 = 120 m
D3 = 8’’
f 3 = 0,025
L4 = 100 m
D4 = 10’’
f 4 = 0,030
La tubería de alimentación mostrada en la figura tiene una longitud de 50 0 m, un diámetro de 8’’ y un coeficiente f de 0,025. Calcular cuál debe ser la presión p para que el gasto en el
ramal 2 sea de 50 l/s.
p 100 m
L1 = 250 m
D1 = 4’’
f 1 = 0,02
L2 = 300 m
D2 =6’’
f 2 = 0,022
L3 = 100 m
D3 =4’’
f 3 = 0,015
10. En la figura se muestran dos sistemas de tuberías ¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad (para una misma energía disponible)?. Considerar f = 0,02 en todas las tuberías. (a)
Q
20 " 800 m (b)
16 " 500 m
18 "
14 "
1
12 " 300 m 12 "
Q
2
800 m
11. Para el sistema mostrado en la figura se tiene que cuand o el gasto es de 700 l/s la presión en
el punto 3, de empalme con una tubería, es de 1 kg/cm 2. Se trata de aumentar el caudal a 900 l/s. La presión en el punto 3 debe ser 1,5 kg/c m 2. Determinar cuál es el diámetro que debe tener una tubería de 400 m de largo, colocada paralelam ente a la anterior para cumplir con lo señalado ( f es 0,025 en todas las tuberías). z 1
Tramo 1-2 :80 0 m, 24’’ Tramo 2-3 :40 0 m, 18’’ 12. Dos estanques están conectados por dos tuberías en paralelo. Los datos son
L1= 1 200 m
D1 = 12’’
f 1 = 0,022
L2 = 800 m
D2 = 10’’
f 2 = 0,03
Si el gasto en la primera tubería es de 50 l/s. ¿Cuál es el gasto en la seg unda?
13. Entre dos estanques hay una diferencia de nivel de 6 m. Están conectados por un sistema que
consta de un primer tramo formad o por una tubería de 20’’ de diámetro y 2 500 m de longitud. Esta tubería se bifurca dando lugar a ramales de 10’’ y de 2 500 m de longitud cada uno. Estos ramales concurren en paralelo en el segundo estanque. Consid erar f = 0,03 para todas las tuberías. Hallar el gasto.
14. Para un sistema de tuberías en paralelo se tiene
L1= 100 m
D1 = 14’’
f 1 = 0,018
L2 = 156 m
D2 = 12’’
f 2 = 0,0122
Al colocar una válvula en el primer ramal hay una disminución del 11 % en el gasto total. Calcular el valor K de la válvula. 15. Calcular el gasto en cada ramal. H = 30 m
2
válvula 4
1 3
L1 = 120 m
D1 = 6’’
L2 = 130 m
D2 = 4’’
L3 = 130 m
D3 = 4’’
L4 = 120 m
D4 = 6’’
Considerar f = 0,02 para todas las tuberías. En el ramal 2 hay una válvula check totalmente abierta. 16. H
L1 = 200 m
L
L2 = 250 m
= 4
3
00 m
D1 = 4’’
f 1 = 0,02
D2 = 6’’
f 2 = 0,025
D3 = 8’’
f 3 = 0,030
Si la diferencia de nivel H entre ambos estanques es de 10 m, calcular el gasto en cada
ramal. ¿Cuál debe ser el valor de H para que el gasto sea de 300 l/s? Determinar la longitud de una tubería equivalente que reemplace al sistema (para H = 10 m). 17. La tubería 1 tiene 300 m de longitud y 4’’ de diámetro. Suponiendo que esta sea la única
tubería de desagüe, determinar la longitud que debe tener una tubería en paralelo (2) del mismo diámetro para que el gasto en la tubería 1 aumente en 50 %. Calcular cuál sería el porcentaje de aumento en el gasto, si además del tubo anterior se coloc a una tubería (3) en paralelo de 50 m de largo y 3’’ de diámetro. ( f = 0,02 en todas las tuberías)
H
18. Calcular la elevación que debe tener el estanque para que el gasto que ingrese a él sea de 10 l/s. ?
válvula
L1= 150 m L2 = 80 m
D1 = 6’’
L3 = 40 m
D3 =4’’
D2 = 4’’
f =0,025
19. Dos reservorios tienen una diferencia de nivel constante de 220 ft. Están unidos por medio de
una tubería de 9’’ de diámetro y 2,5 millas de largo. A una milla del reservorio más alto la tubería tiene una salida que descarga 1,5 ft3/s.
Asumiendo para f un valor constante de 0,036 calcular la velocidad con la que el agua entra al segundo reservorio. No se consideren pérdidas de cargas locales .
20. En la tubería 1 la velocidad es 1,5 m/s. Calcular el gasto en cada ramal y el valor que debe tener H .
H 1 4
3 2
5
L1= 300 m
L2 = 300 m
L3 = 300 m
L4 = 600 m
L5 = 800 m
D1 = 8’’
D2 = 12’’
D3 = 18’’
D4 = 12’’
D5 = 12’’
Considerar f = 0,018 en todas las tuberías. 21. En el sistema de tres reservorios mostrados en la figura las tuberías tienen un coeficiente de
Darcy igual a 0,025. Se sabe que H 1 H 2 = 10 m; L1= 150 m; L2 = 70 m; L3 = 90 m;
D1 D2 D3 = 6’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de H 1 y H 2 para que Q2 sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de Q1 y Q2 si H 1 fuera cero?. z 1
H 1
2
H 2
3
22. En el sistema de 3 reservorios mostrado en la figura del problema anterior las tuberías tienen un coeficiente C H = 100. Se sabe que H 2 H 1 = 5 m; L1= 800 m; L2 = 600 m; L3 = 1 200 m; D1 D2 D3 = 12’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de H 1 y H 2 para
que Q2 sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de Q1 y Q2 si H 1 fuera cero?.
23. En la figura se muestra una sistema d e 3 reservorios. En la tubería 1 hay una válvula check,
completamente abierta de modo que para un gasto de 250 l/s produce una pérdida de carga de 0,80 m. Calcular la longitud que debe tener la tubería 2. 180 m 1
1
150 m
10" 120 m 2
24. Calcular el gasto en cada uno de los ramales del sistema mostrado en la figura. z 1 2 3
2 1 3
P
z 1 = 100 m
z 2 = 90 m
z 3 = 80 m
L1= 4 km
L2 = 6 km
L3 = 5 km
D1 = 10’’
D2 =8’’
D3 = 6’’
Considerar C H = 120 para todas las tuberías.
25. Hallar el caudal en cada uno de los ramales del sistema 0,30 m 103 m 100 m
P1
Considerar f = 0,028 en todas las tuberías.
26. Calcular la potencia a la salida de la turbina mostrada en la figura (eficiencia 0,9) 218 m
27. El estanque 1 alimenta al sistema mostrado por medio de dos tuberías que totalizan 600 |/s.
Las tuberías se juntan en el punto P e n el que reciben a otra tubería que vien e del estanque 2. Del nudo P sale una tubería en cuyo extrem o hay una turbina. En el punto B la presión es de – 2,5 m ( C H = 100 para todas las tuberías). Determin ar la potencia teórica suministrada por la turbina. 150 m 140 m 1 2 100 m P
36"
4 000 m A
B
28. Calcular la potencia que debe tener la bomba para que el caudal en la tubería 3 sea de 40 l/s ( = 10-6 m2/s). Eficiencia 0,75 126 m
Tubería 1 :
L = 300 m;
D = 18’’;
k = 0,00015 m
Tubería 2 :
L = 1 500 m;
D = 18’’;
k = 0,00015 m
Tubería 3 :
L = 600 m;
D = 10’’;
k = 0,000045 m
Tubería 4 :
L = 600 m;
D = 12’’;
k = 0,000045 m
29. En el sistema mostrado en la figura la bomba B suministra a la corriente una potencia de 76
HP. El gasto es de 250 l/s. Calcular cuál es la elevación de la superficie libre en el estanqu e C. Eficiencia 0,8. válvula K = 2,5
C
2
18 m
5m
1 B
A
L1= 20 m;
D1 = 16’’;
f 1 = 0,025
L2 = 180 m;
D2 = 14’’;
f 2 = 0,018
30. Se tiene una red de distribución de agua. + 0,40 m C + 0,20 m
2 4
0m
B
1 B 1
3
2
5
- 0,30 m A
Los puntos P 1 y P2 se encuentran al nivel 0,0 m. En los puntos A, B y C la presión debe ser de 15 m de columna de agua y el gasto de 8 l/s.
L1 = 200 m L2 = 50 m L3 = 30 m L4 = 80 m L5 = 100 m
Considere f = 0,018 para todos los tubos. Calcular l a
potencia que debe tener la bomba (eficiencia del 85 %).
31. Una tubería de abastecimiento de agu a tiene una longitud de 1 200 m y un diámetro de 24’’. El coeficiente de Darcy es 0,022. La energía disponible e s de 12 m.
Por razones del servicio que da la tubería se requiere aumentar su caudal en 30 %. Hay dos posibilidades. Una, es instalar una bom ba. La otra, es instalar una tubería en paralelo de iguales características a la existente. Cuál de las alternativas es más económica.
La eficiencia de la bomba es 0,8. Para el costo de la tubería y del HP instalado considerar valores del mercado. (Comparar sólo los costos iniciales). 32. Se tiene una tubería de 20’’ de diámetro. Su longitud es de 2 000 m. La energía dispo nible es de 10 m. Calcular el gasto usando: a) La fórmula de Darcy, b) La fórmula de Hazen y Williams. La tubería es muy lisa.
33. El gasto entregado por el sistema mostrado en la figura debe ser 800 l/s. Determinar la potencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es de 0,8. Para todas las tuberías C H =120. 90 m
70 m
34. De acuerdo a la figura, ¿Qué diámetro debe ten er la conducción para elevar 70 l/s?. Las
tuberías son de fierro fundido, nuevas. La potencia de la bomba es 122,3 HP (eficiencia 0,8). El fluido es agua con una viscosidad de 1,4 x 10 -6 m 2/s. Se dispone de tuberías de 6’’, 8’’ y 10’’ de diámetro. La máxima presión negativa admisible es –6 m. 33 m
35. Una tubería de 18’’ de diámetro, fuertemente corr oída, tiene una rugosidad de 1 mm. Con la potencia instalada se bombea en la actualidad un caudal de 300 l/s. Se trata ahora de bombear
un caudal mayor con la misma potencia instalada, cambian do la tubería por una más lisa ( k = 0,00025 m). ¿En cuanto aumentará e l caudal?
36. Una tubería de abastecimiento de agua debe entregar uniformemente a lo largo de su recorrido
0,5 l/s por metro de recorrido. La longit ud total es de 2 000 m y debe llegar al extrem o final 140 l/s. La cota piezométrica inicial es de 42 m y la presión final es de 34 m. La tubería tiene una rugosidad k = 2,5 x 10-4 m. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el diámetro, y la presión que existirá en el punto medio.
37. De un tanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 1 000 ft de longitud. Esta tubería se bifurca
en ramales de 6’’ de diámetro y 500 ft de largo. Los extremos descarga n libremente en la atmósfera. Uno de los ramales tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largo
de la tubería de modo que la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto en la tubería (la otra mitad descarga por la boca final). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (50 ft debajo de la superficie libre del tanque). Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de carga locales. Considerar f = 0,024 (constante).
38. Al cabo de 6 años de uso una tubería de fierro fundido ha duplicado el valor de su rugosidad absoluta.
Calcular la pérdida de carga que tendrá esta tubería, de 12’’ de diámetro, para un gasto de 250 l/s, después de 20 años de servicio. La longitud de la tubería es 1 800 m. 39. Una tubería nueva de 30’’ de diámetro tiene un valor de f igual a 0,0168 para una velocidad de 4,6 m/s. Después de 10 años de servicio tiene un valor de f igual a 0,022, para una
velocidad de 3,5 m/s. Calcular cuál será el valor de f al cabo de 15 años de servicio, para una velocidad de 4 m/s. 40.
Calcular el caudal en cada una de las tuberías de la red. Se sabe que
Tramo
L
D
C H
AB
320 m
8”
90
AC
810 m
6”
120
BC
1 200 m
6”
120
BD
1 000 m
6”
120
6”
110
CD
300 m
En los puntos B, C y D las descargas son de 80, 120 y 200 l/s, respectivam ente.
PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
(Capítulos I al V)
Problema 1
En una tubería de radio r la distribución de velocidades se expresa por
V h 1 x h max r
V
Encontrar las expresiones pa ra el cálculo de los coeficientes de Coriolis y Boussinesq. H allar los valores particulares para x igual 7. Problema 2
La longitud de un tubo cónico vertical es de 10 m. La velocidad en el punto 1 (extremo superior) es de 9 m/s y en el extremo inferior es de 3 m/s (punto 2 ). La presión en el punto 2 equivale a 15 m de columna de agua. Encontrar la presión en el punto 1, en kg/cm 2. El fluido es petróleo de peso específico relativo 0,93. Entre los extrem os 1 y 2 del tubo existe una pérdida de carga h f cuyo valor es
0,98
V1 V2 2 2 g
Problema 3
Unatuberíahorizontalde 10’’ de diámetro y 500 m de largo conduce 0,20 m 3/s de aceite de viscosidad 1,5 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 kg/cm 2 y en el punto final es de 3 kg/cm 2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reyn olds. Problema 4
De un estanque sale una tubería de 4’’ de diámetro cuyo punto de desca rga está 10 m por debajo de la superficie libre del estanque. Las pérdidas de carga en el sistema equivalen a cuatro veces la carga de velocidad. Calcular el gasto y dibujar las líneas de energía y de gradiente hidráulica.
En una tubería hidráulicamente lisa de 0,75 m de diámetro se ha determinado que la distribu ción de velocidades es
V h = 0,937 log h + 3,81
Calcular el gasto. Problema 6
En una tubería horizontal el gasto es de 0,5 l/s. El diámetro es de 6 cm. La visco sidad del fluido es 8 x 10 -4 kg-s/m 2 y su densidad relativa es 0,86. Calcular el valor de la velocidad máxima. Problema 7
En un canal muy ancho, cuyo fond o está constituido por partículas de diámetro uniform e y cuyo tirante es de 2 m, se ha determinado que la distribución vertical de velocida des es
V h = 0,499 ln 75,38 h La temperatura del agua es de 15 °C, Calcular a)
La rugosidad absoluta
b)
La velocidad media
c)
La velocidad máxima
d)
El gasto específico
e)
El coeficiente C de Chezy
f)
La pendiente de la superficie libre
g) A que distancia del fondo la velocidad es igual a la velocidad media h)
La velocidad a una profundidad 0,6 y (a partir de la superficie)
i)
El promedio de las velocidades a las profundidades 0,2 y 0,8 del tirante (a partir de la superficie).
j)
El esfuerzo de corte sobre el fondo.
Problema 8
En un canal muy ancho cuyo tirante es de 1,5 m se ha medido la velocidad a dos profundidades diferentes.
A 0,50 m del fondo se encontró 1,41 m/s y a 1,00 m del fondo la velocidad fue 1,49 m/s. Calcular a)
La velocidad media
b)
La velocidad máxima
c)
La pendiente de la superficie libre
Se tiene una tubería de 1 000 m de largo y 8’’ de diámetro que lleva agua a 20 °C. La tubería es de fierro fundido bastante oxidado. El punto inicial está en la cota 218,50 m y tiene una presión de 2,5 kg/cm 2. El punto final está en la cota 219,20 y tiene una presión de 1 kg/cm 2. a)
Decir si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosa
b)
Calcular el coeficiente C de Chezy
c)
Calcular la velocidad máxima
d)
Calcular el coeficiente f de Darcy
e)
Calcular la velocidad media y el gasto
Problema 10
En un canal muy ancho la velocidad superficial es 2,5 m/s y la velocid ad media es 2,2 m/s. El gasto es de 4 m 3/s/m. Calcular la pendiente de la superficie libre y la rugosidad del fondo. La temperatura
del agua es 20 °C. Problema 11
Demostrar que en una tubería lisa de 30’’ de diámetro en la que circula petróleo de visc osidad 10 -4 m 2/s, la pérdida de carga por kilómetro está dada por la expresión siguiente
h
KV 1,75
siendo h f la pérdida de carga, V la velocidad media y K una constante. La validez de la fórmula
propuesta está limitada a un rango de velocidades comp rendido entre 0,5 y 4 m/s. Hallar el valor numérico de K . Problema 12
Se requiere conducir a través de una tubería d e fierro galvanizado de 1 200 m de longitud, un caudal de 3,5 m 3 /s de aire, a 15 °C. La viscosidad es 1,451 x 10 -5 m 2/s. ¿Qué diámetro de tubería comercial se necesita si la pérdida de carga es de 200 mm de columna de agua?. El pe so
específico del aire es 1,226 kg/m 3 . Problema 13
Se tiene una tubería de 1 000 m de longitud y 0,20 m de diámetro. La rugosida d absoluta es de 1 mm. Circula agua a una velocida d de 4 m/s. La viscosidad es 10 -6 m 2/s. Calcular la pérdida de carga considerando que las paredes son hidráulicamente rugosas.
Por una tubería lisa de 0,40 m de diámetro fluye agua de viscosidad 10 -6 m 2/s. El caudal es de 400 l/s. a)
Hallar la pendiente de la línea piezométrica.
b)
Hallar el espesor de la subcapa laminar.
c)
¿Cuál sería la rugosidad máxima aceptable en la tubería para que siga comportándose como hidráulicamente lisa?
Problema 15
Sabemos que el flujo turbulento en una tubería da lugar a una distribución de velocidades que puede ser descrita por 17
V h V max 1 h r
expresión en la que V h es la velocidad a la distancia h del contorno, V max es la velocidad en el eje, r es el radio de la tubería. Si el gasto en la tubería es Q calcular la energía cinética total en función de Q , r y la densidad
del fluido. Comparar esta energía con la que se obtend ría para el mismo gasto Q si el flujo fuese llaminar. ¿Cómo se explica la diferencia en energía cinética?. Problema 16
En una tubería fluye agua (20 °C) con una velocidad m edia de 2,4 m/s. El coeficiente f de Darcy es 0,019. Hallar el esfuerzo medio de corte sobre el contorno. Problema 17
En una tubería de 4’’ de diámetro fluye agua con una velocidad de 0,8 m/s (20 °C). El coeficiente f
de Darcy es 0,025. Hallar la velocidad de corte. Problema 18
Calcular el diámetro que deb e tener una tubería de fierro fundido nuev o para llevar 0,240 m 3/s. La viscosidad del agua es de 1,2x10 -6 m 2/s. La longitud de la tubería es de 800 m. La pérdida de carga no debe ser superior a 15 m. La veloci dad media no debe ser superior a 3 m/s ni inferior a 1 m/s. Se dispone de tubos de 12’’,14’’ y 16’’.
De un estanque sale una tubería de 0,80 m de diámetro en sus primeros 200 metros y luego 0,60 m de diámetro en los últimos 50 m. La embocadura es redo ndeada ( K= 0,2). La contracción es brusca. La energía disponible es de 10 m. La tem peratura es de 20 °C. La tubería es de fierro fundido nuevo. a)
Hallar el caudal
b)
Hallar la potencia del chorro
c)
¿Qué potencia tendría el chorro si se colocara una boquilla convergente que reduce el diámetro a la mitad? ¿Cuál es el nuevo caudal?. Considerar cV = 0,9
Problema 20
Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6’’ de diámetro en sus
primeros 10 m, 8’’ en sus segundos 10 m y 6’’ en los terceros 10 m. La diferenci a de nivel entre los reservorios es de 10 m. La embocadura es de bordes agudos. Los cambios de sección s on bruscos. Calcular al caudal, y cada una de las pérdidas de carga. Fluye agua a 20 °C. Problema 21
Hallar la longitud que debe tener una tubería de 10’’ de diámetro, cuyo punto de descarg a está 10 m por debajo de su estanque alimentador, para que la pérdida de carga continua sea el 50 % de la energía disponible. La embocadura es con bordes agudos. La tubería es de fierro fundido nuevo.
La temperatura del agua es 15 °C. Problema 22
Calcular el gasto y la pérdida de carga en cada tubería. Consid ere C H = 100.
600 l/s
12"
2 200 m
De un estanque sale una tubería de abastecimient o de agua de 3 200 m de longitud. El primer tramo es de 10’’ y mide 1 200 m. El segundo tramo es de 12’’ y mide 1 300 m. El tercer tramo es d e 10’’.
Toda la tubería es de fierro fundido viejo. Dibujar una curva gasto-energía disponible para valores
de la energía comprendida entre 15 y 40 m. (Se sugiere usar la fórmula de H azen y Williams y el método de la tubería equivalente) Problema 24
Un depósito de almacenamiento de agua descarga por medio de una tubería de 24’’ de diámetro (acero ribeteado) la que recorre 1 800 m y se bifurca en ramales de 12’’ y 14’’. El primero tiene 800 m de longitud y descarga librem ente a la atmósfera en un punto ubica do 25 m debajo de la superficie libre del estanque alimentador.
El ramal de 14’’ tiene una longitud de 1 600 m; de su punto medio sale un ramal de 6’’ y 500 m de largo. Ambas bocas de descarga se enc uentran 10 m por debajo del punto de descarga de la tubería de 12’’. Los ramales son de fierro fundido viejo. Calcular el gasto en cada boca de descarga. Problema 25
Se tiene una tubería de 1 m de diámetro que da servicio a lo largo de su recorrido de modo que cada 0,5 m tiene una salida que descarga 2 5 litros por segundo. El gasto inicial es de 1 m 3/s. Calcular la pérdida de carga que se producirá en el tramo de longitud
L , que es necesario para que el gasto inicial haya disminuido a la mitad. Considere que f es constante e igual a 0,025. Problema 26
De un estanque sale una tubería compuesta d e dos tramos en serie. El primero tiene un diámetro de 0,20 m y una rugosidad absoluta k de 10-4 m. El segundo tiene una longitud de 800 m, un
diámetro de 0,40 m y una rugosidad absoluta k de 5x10 -5 m. La carga disponible es de 50 m. La viscosidad del agua es de 10 -6 m2/s. Calcular la longitud mínima que debe tener el primer tramo para que el segundo tramo se comporte como una tubería hidráulicamente lisa. No considerar pérdidas de carga locales.
