DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS Sara Esther Jarma Arroyo; María Alejandra Doria Espitia ; Angie Garcés Pérez PROGRAMA DE INGENIERIA DE ALIMENTOS UNIVERSIDAD DE CORDOBA
2011
INTRODUCCIÓN Es importante comenzar por definir que son los bloques incompletos, Es caracterizado porque no todos los tratamientos ocurren en cada bloque. Estos diseños son llamados diseños no ortogonales. Entre estos tenemos:
a) Diseño de Bloque Incompleto Balanceado. b) Diseño de Bloque Incompleto de Tratamiento Balanceado c) Diseño de Bloque Incompleto Parcialmente Balanceado d) Diseño Latice e) Diseño de Bloque Extendido. Si cada bloque contiene el mismo numero de UE que es mayor que el número de tratamientos
f) Diseño de Bloque Trend-free. Es posible que en algunos experimentos que usan diseños por bloques no puedan realizarse los ensayos de todas las combinaciones de tratamiento dentro de cada bloque .Situaciones como éstas ocurren debido a escasez en los recursos del experimento, o por el tamaño físico de los bloques. Por ejemplo, supongamos un experimento en el que el tamaño físico de las probetas sólo alcanza para probar tres puntas en cada probeta. En estos casos es posible usar diseños aleatorizados por bloques en los que cada tratamiento no está presente en cada bloque. Estos diseños se conocen como diseños aleatorizados por bloques incompletos, y el motivo de estudio en este trabajo serán los Diseños de Bloque Incompletos Balanceados .
DISEÑOS POR BIB (BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS) Cuando las comparaciones entre todos los tratamientos tienen la misma importancia, éstas deben elegirse de manera que ocurran en forma balanceada dentro de cada bloque. Esto significa que cualquier par de tratamientos ocurren juntos el mismo número de veces que cualquier otro par. Por lo tanto, un diseño balanceado por bloques incompletos es un diseño por bloques incompletos en el que cualquier par de tratamientos ocurren juntos el mismo número de veces.
ANÁLISIS ESTADÍSTICO: Como es usual, suponemos que existen a tratamientos y b bloques . Se supone además, que se prueban k tratamientos en cada bloque , que cada tratamiento sucede r veces en el diseño (o se repite r veces) y que hay un total de N= a.r = b.k observaciones. Más aún, el número de veces que cada par de tratamientos ocurre en el mismo bloque es λ = r. (k-1) ⁄ a-1
Se dice que el diseño es simétrico si a = b. El parámetro λ debe ser un entero. Para deducir la relación de λ, considérese cualquier tratamiento, por ejemplo el 1.Como el tratamiento 1 ocurre en r bloques, y hay otros k-1 tratamientos en cada uno de esos bloques, existen r.(k-1) observaciones en un bloque que contiene al tratamiento 1. Estas r. (k-1) observaciones deben representar al resto de los a- 1 tratamientos λ veces. Por lo tanto, λ.(a-1) =r. (k-1).
El modelo estadístico es: Yij = μ+ τi + βj + εij En donde yij es la i-ésima observación del j- ésimo bloque, μ es la media general, τ i es el efecto del i_ésimo tratamiento, β j es el efecto del j_ésimo bloque, y εij es la 2
componente del error aleatorio NID (0, σ ). La variación total en los datos se expresa mediante la suma total de cuadrados corregidos (o ajustados). 2
2
SST = Σ Σ yij – (y.. ⁄ N) La variabilidad total puede ser descompuesta
SST = SSTratamientos ajustada + SSBloques + SSε En donde corrige la suma de cuadrados de tratamiento para separar los efectos de tratamiento y de bloque. Esta corrección es necesaria porque cada tratamiento ocurre en un conjunto diferente de r bloques. Por esta razón las diferencias entre los totales de tratamientos no corregidos, y 1., y2. ,…ya. también son afectadas por las diferencias entre los bloques. La suma de cuadrados de los bloques es b
SS = ( Σ
2
__
2
y.j ⁄ k) (y.. / N)
Bloques j=1
En donde y .j es el total del j-ésimo bloque. La SS Bloques tiene b-1 grados de libertad. La suma de cuadrados de tratamiento corregida (o ajustada) es
a
2
SS= k. ΣQ ⁄ λa
tratamientos ajustada i i=1 En donde Qi es el total corregido del i_ésimo tratamiento, el cual se calcula mediante
b
Qi = yi. –(Σ nij .y.j ) ⁄ k , i = 1,2,3….,a J=1 Con nij =1 si el tratamiento i ocurre en el bloque j, n ij = 0 en otro caso. Por lo tanto,
b
(1/k). Σ nij .y.j es el promedio de los totales de
j=1
Los bloques en los que se aplica el tratamiento i. La suma de los totales de tratamiento corregidos siempre será 0. La SS Tratamientos ajustada tiene a -1 grados de libertad. La suma de cuadrados del error se calcula por diferencia
SSε = SST – SSTratamientosajustada - SSBloque Y tiene N-a-b +1 grados de libertad La estadística apropiada para probar la igualdad de los efectos de tratamiento es
F = CMtratamientos ⁄ CMε
Ejemplo planteado: Siete diferentes concentraciones de conservante están siendo estudiadas para determinar su efecto sobre la duración o vida útil de un alimento producido. Sin embargo, la planta piloto sólo puede producir tres ensayos diarios. Como puede existir variación a causa de los días, el analista observa el experimento siete días consecutivos. Este ejemplo es un Diseño Aleatorizado por Bloques, en donde los días se toman como bloques (7 días) y las concentraciones de conservante como los tratamientos (7 concentraciones). Pero existe un problema, es que en la planta piloto sólo pueden llevarse a cabo tres ensayos diarios; es decir, que sólo se pueden probar tres concentraciones por día (bloque) y como son siete concentraciones quedaran cuatro sin probar cada día; de las concentraciones se seleccionan tres al azar de las siete para probarse. Es por este motivo que el Diseño Aleatorizado por Bloque se convierte en un Diseño Aleatorizado por Bloques Incompletos Balanceado.
Ejemplo solucionado: Un ingeniero de alimentos experimentó con el crecimiento de cepas patógenas S. aureus en el tomate en la etapa de almacenamiento a cuatro temperaturas diferentes (25°c, 30°c, 35°c y 40°c) en un Diseño de Bloques Incompleto Balanceado, porque sólo disponía de dos cámaras de cultivo para el estudio, cada corrida del experimento fue un bloque que consistía en dos cámaras de cultivo como unidades experimentales y se asignaron al azar dos temperaturas a las cámaras para cada corrida. Los siguientes datos son las tasas de crecimiento de las cepas patógenas.
Tratamientos (Temperaturas)
Corridas (Bloques) 1
2
3 29,17
25
24,65
-------
30
------
35
4
5
6
Y.i
-------
28,90
-------
82,72
24,38 21,25
-------
-------
25,53
71,16
-------
-------- --------
5,90
18,27
8,42
32,59
40
1,34
2,24
--------
1,83
-------
------
5,41
Y.j
25,99
26,62
50,42
7,73
47,17
33,95
Y..= 191,88
SOLUCIÓN Antes de realizar los cálculos matemáticos, se definirán las hipótesis que se desean probar. Ho : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 (No existe diferencia entre las temperaturas). H1 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3 ≠ µ4 (Existe diferencia entre las temperaturas).
Variable Respuesta: Tasa de crecimiento de la cepa de S. aureus . El significado verbal es: Ho : El nivel de temperatura no influye significativamente en la tasa de crecimiento de la cepa patógena S. aureus H1 : El nivel de temperatura influye significativamente en la tasa de crecimiento de la cepa patógena S. aureus.
Datos a=4 b=6 k=2 r=3, N = ar = bk = (4)(3) = 12
CALCULOS: La Suma Total de Cuadrados:
2
2
2
= (24.65) +(29.17) +….+(1.83) – (191.88) 12
2
SST = 4441.1106 - 3068.1612 SST = 1372.95
La Suma de Cuadrados de Bloque es:
2
2
2
2
2
2
2
= [(25,99) + (26,62) + (50,42) + (7,73) + (47,17) + (33,95) ] / 2 – (191,88) / 12 = 3681,8226 – 3068,1612 = 613,66
Para calcular la suma de cuadrados de tratamiento corregida que tome en cuenta los bloques, primero hay que determinar los totales de tratamientos corregidos:
Q1= (y1.) – (25,99+ 50,42 + 47,17) = 82,72 – 61,79 = 20,93
Q2 = (y1.) – (26,62+ 50,42+ 33,95) = 71,16 – 55,495 =15,66
Q3 = (y1.) – (7,73 + 47,17 + 33,95) = 32,59 – 44,425 = -11,83
Q4 = (y1.) –
(25,99+ 26,62+ 7,73) = 5,41 – 30,17 = -24,76
Se calcula ahora la suma de cuadrados de tratamiento corregida:
2
2
2
2
=2. [(20,93) + (15,66) + (-11,83) + (-24,76) ]/ (1). (4) = 2(1436,307)/4 = 718,15
La suma de cuadrados del error se calcula por diferencia:
SSε = SST – SSTratamientosajustada - SSBloque = 1372,95 – 718,15 – 613,66 = 41,14
Fo= 239.38= 17.46 13.71 Tabla de Análisis de Varianza Fuente de Suma de Grados Variacion cuadrados libertad
de Media de F o cuadrado
Temperaturas 718,15 (Corregidos)
3
239,38
Bloques (No ajustados) Error
613,66
5
122,73
41,14
3
13,71
Total
1372,95
11
17,46
Utilizando un nivel de significancía del 5% ( = 0.05), para encontrar el FTablas (Tablas Fisher) con 3 grados de libertad (a-1) en el numerador y 3 grados de libertad N- a- b +1 en denominador. F,a-1,N-a-b+1 =F0.05,3,3 = 9.28 Comparando el F0 calculado en el análisis de varianza y el FTablas , se puede observar que: F0 > FTablas 17.46 > 9.28 Por tanto, se rechaza la hipótesis nula (H0) y se acepta la hipótesis alternativa (H1). Lo que indica, que el nivel de temperatura influye significativamente en la tasa de crecimiento de la cepa patógena S.aureus en el tomate.
CONCLUSIÓN Después de realizar el anterior trabajo sobre los bloques incompletos balaceados es posible concluir que: Un diseño de bloques incompletos balanceados (BIB), es un arreglo de a símbolos en b conjuntos, cada uno con k (k < a ) símbolos que satisfacen las siguientes condiciones: Símbolo aparece a lo más una vez en cada conjunto. Todo símbolo aparece en exactamente r conjuntos. Cualquier par de símbolos aparecen exactamente λ conjuntos, donde λ es un entero positivo. Se dice que un bloque incompleto balanceado es simétrico si a = b, es decir, que el numero de tratamientos se igual a numero de bloques Mediante la realización del trabajo se logro Identificar cuando se presenta un diseño de bloques incompletos balanceados y su aplicación en situaciones de investigación o estudios relacionado a la ingeniería de alimentos
