DIMENSIONAMIENTO DE ZAPATAS EN SUELOS COHESIVOS NORMALMENTE CONSOLIDADOS PARA LOGRAR IGUALDAD DE ASENTAMIENTOS
Profesor:
Ing. Daniel E. Web Weber
J.T.P.:
Ing. Sebastián Romero
Cimentacione Cimentacioness U.T.N. – Facultad Facultad Regional Regional Santa Fe – 2009
Las fundaciones con cargas distintas, no deben ser calculadas para una presión constante del terreno p S S sino para un mismo asentamiento.
Capítulo Capítulo 16 - Estructura Estructurass de HºAº Tomo III Fritz Leonhardt
1
Problemas de las construcciones cuando hay asentamientos en sus fundaciones.
Problemas de las construcciones cuando hay asentamientos en sus fundaciones.
2
Problemas de las construcciones cuando hay asentamientos en sus fundaciones.
Cuando proyectamos una cimentación, sobre arcilla o suelo arcilloso blando, o sobre grava, arena o suelo arenoso con compacidad relativamente baja (menos del 35 %). Es común llevarla a cabo mediante el concepto de iguales presiones de contacto, sin pensar que ello puede o no conducir a que la cimentación presente fuertes asentamientos diferenciales. Por ello, conviene diseñar, proyectar y construir las cimentaciones formadas por zapatas aisladas, mediante el procedimiento de “asentamientos iguales” y no por el de “presiones iguales”.
3
Asentamientos en Arcillas:
e0
Vv
e=
Vv Vs
=
Vv 1
=
Vv
e = Vv
H=1+e0 Vs=1
Dp
Arena Dh
H
Arcilla Arena
ε= ∆H
H
∆H
H =
Vv
Asentamiento Específico
∆e 0
1 + e0 ∆e 0 ∆H = ⋅H 1 + e0
DH0=De0
e0
H=1+e0 Vs=1
4
av = Coeficiente de compresibilidad [cm2 /Kg] ∆e0 = a v ⋅ ∆p ∆e0
∆H =
1 + e0
⋅H
∆H =
a v ⋅ ∆p ⋅H 1 + e0
mv
av 1 + e0
=
mv = Módulo de elasticidad de compresibilidad volumétrica ∆H = m v ⋅ ∆p ⋅ H
ZAPATAS EN LA SUPERFICIE DEL TERRENO: La ecuación que nos proporciona Terzaghi para el cálculo de asentamientos en suelos normalmente consolidados es: ∆H = m v ⋅ ∆ p ⋅ H
∆H =
∆H ⋅
Compresibilidad de estratos confinados de suelos, compresión del estrato confinado de arcilla normalmente consolidado
P + ∆ P Cc ⋅ H ⋅ log 10 i 1+ e0 Pi
P + ∆P 1 + e0 = log10 i Cc ⋅ H Pi
1 + e0 Cc
=C
Índice de Capacidad de carga
5
1 + e0 Cc
Índice de Capacidad de carga
=C
Para
Cc
= 0,009 ⋅ (L.L. − 10 ) En Arcillas de alta compresibilidad
Cc
=
f (NSPT )
En Arenas
Si se conoce el valor de C cde un estrato de arcilla, el asentamiento que produce una sobrecarga de Dp, puede calcularse con la ecuación: ∆H =
P + ∆P Cc ⋅ H ⋅ log 10 i 1 + e0 Pi
∆H =
S
S=
Asentamientos
P + ∆ P 1 ⋅ H ⋅ log 10 i C Pi
∆P S⋅C = log10 1 + H Pi
∆P S⋅C = log10 1 + H Pi
10
S⋅C H
= 1+
∆P
Pi
∆P = Pi ⋅ 10
S⋅C H
− 1
FÓRMULA Nº 1
6
En la primera ecuación, desarrollada para un estrato compresible, es necesario contar con el espesor de ese estrato. S = H⋅
P + ∆ P Cc ⋅ log 10 i 1+ e0 Pi
Si la profundidad media a la cual ocurre una compresión significativa debido a un incremento de carga ∆P se denominará “profundidad de esfuerzos significantes” y el material dentro de esta profundidad se considera como un estrato compresible de espesor finito.
Si el incremento de carga ∆P
es igual o menor a P i /10, el logaritmo de 1 +
∆P
Pi de la ecuación de Terzaghi es igual o menor a 0,0414
Cc 1 + e 0 Fuera lo suficientemente grande para poder causar un incremento significativo de S.
Entonces se necesitaría que H ⋅
C Sin embargo como H ⋅ 1 + ec
0
Usualmente está comprendido entre 0,1 y 0,3 ello justifica el que se pueda considerar la “profundidad de esfuerzos significantes” h, hasta un nivel en el cual ∆P sea igual o menor a P i / 10
7
Para conocer el incremento de presión ∆P a la profundidad h dado por una carga P en una zapata cuadrada de ancho B, se tiene: ∆P =
P (h + B)2
La presión intergranular inicial en el suelo a la misma profundidad h es igual a:
Pi
= γ n ⋅ h
8
Si se considera que dentro de la profundidad de esfuerzos significantes ∆P es igual que P i / 10, tenemos: ∆P =
γ n ⋅ h
Por lo tanto:
10
Pi γ n ⋅ h = 10 10 =
P (h + B )2 2
P=
P nos queda:
γ n ⋅ h ⋅ (h + B )
10
Si evaluamos la presión a una profundidad de h = 1/3, obtenemos la siguiente ecuación: Sh⋅C h − 1 ⋅ ⋅ γ n 2 = 10 1 3 ⋅ h + B 3
P
Las dos últimas ecuaciones se pueden resolver simultáneamente para las diversas condiciones que pueden causar un asentamiento S determinado. En la última ecuación se han usado las presiones ∆P y P i que hay en el centroide de los diagramas de esfuerzos, considerando con que con ello se obtienen los valores promedio dentro de la profundidad de esfuerzos significantes
9
ZAPATAS EN EXCAVACIONES: Las zapatas se encuentran casi siempre a una profundidad D dentro del suelo, por lo que el esfuerzo intergranular existente antes de la excavación es de:
Pi
= γ n ⋅ (h + D )
Al hacer la excavación y colocar la cimentación, los esfuerzos bajo dicha cimentación serían:
P2 = Pi + ∆P P2 = γ n ⋅ h +
P (h + B)2
El cambio neto en esfuerzo será: ∆Pneto = P2 − Pi = γ n ⋅ h + ∆Pneto =
P (h + B)2
P (h + B )2
− γ n ⋅ (h + D)
− γ n ⋅ D
10
Repitiendo la solución para la profundidad de esfuerzos significantes tenemos: γ n
P=
10
P=
⋅ (h + 11⋅ D ) ⋅ (h + B)
2
S⋅C γ n 2 ⋅ (h + 3 ⋅ D) ⋅ 10 h − 1 ⋅ (h + 3 ⋅ B ) 27
Si en estas ecuaciones se sustituye D por un valor de D = 0, obtenemos las ecuaciones para zapatas en la superficie del terreno.
FÓRMULA Nº 2 D
γ γ n
P=
P
h/2
B 1
0.5
γ γ n
10
2
⋅ (h + 11⋅ D ) ⋅ (h + B)
FÓRMULA Nº 3
h/2
h
γ
1 0.5
P=
S⋅C γ n h 2 ⋅ 10 − 1 ⋅ (h + 3 ⋅ D) ⋅ (h + 3 ⋅ B)
27
11
Obtención de las fórmulas nº 2 y nº 3: γ = γ n
Pi = γ ⋅ (h + D) P Pf = γ ⋅ h + (h + B)2
D
γ γ n
P
h/2
B
h
1 0.5
h/2
∆P =
P (h + B)2
0.5
∆P =
Pi = 10
1
γ γ n
P =
P =
γ ⋅ (h + D) + 10 ⋅ γ ⋅ D
10
P=
γ
10
2
⋅ (h + B ) =
⋅ (h + 11⋅ D) ⋅ (h + B)
2
− γ ⋅ D
γ ⋅ (h + D)
10
γ ⋅ (h + D)
10 γ
10
∆P = Pf − Pi
=
P (h + B )2
− γ ⋅ D
2
+ γ ⋅ D ⋅ (h + B )
2
⋅ (h + 11⋅ D ) ⋅ (h + B )
FÓRMULA Nº 2
Carga a nivel de fundación, que a una profundidad “h” introduce un incremento de presión “ ∆P” y que es equivalente a la décima parte de su tapada.
12
∆P = Pi ⋅ 10
∆P =
∆P =
S⋅C H
− 1
FÓRMULA Nº 1
Incremento de presión a la profundidad del centroide del diagrama de presiones verticales, que se ubica a h/3 del nivel de fundación y hasta donde se produce el 70 % de los asentamientos.
P h + B 3
2
P h + B 3
2
= 10
S⋅C H
− 1 ⋅ Pi
P
h Pi = γ n ⋅ + D 3
Siendo
σ adm
))
SH⋅C h 10 − 1 ⋅ γ n ⋅ ∆P = = + D 2 3 h + B 3
P
S⋅C
h h + D ⋅ + B 3 3
h/6
]
B 1
h/6 h/3
0.5
P = 10 H
D
γ γ n
1 0.5
2
γ γ n
2
− 1 ⋅ γ n ⋅
2 SH⋅C 1 1 P = 10 − 1 ⋅ γ n ⋅ (h + 3 ⋅ D) ⋅ (h + 3 ⋅ B) 3 3
S⋅C
P = 10 H
P=
− 1 ⋅ γ n ⋅
1 1 (h + 3 ⋅ D) ⋅ (h + 3 ⋅ B )2 3 9
S⋅C γ n H 2 ⋅ 10 − 1 ⋅ (h + 3 ⋅ D ) ⋅ (h + 3 ⋅ B ) 27
FÓRMULA Nº 3
Fórmula que relaciona la carga con el asentamiento, la profundidad significativa del estrato, las dimensiones de la zapata y la profundidad de fundación.
13
De la FÓRMULA Nº 2
10 ⋅ P' γ
10 ⋅ P' γ
10 ⋅ P' γ
γ
P=
10
⋅ (h + 11⋅ D) ⋅ (h + B)
2
= (h'+11⋅ D) ⋅ (h'2 +2 ⋅ h'⋅B + B 2 ) = h' 3 +2 ⋅ h' 2 ⋅B + h'⋅B 2 + 11⋅ D ⋅ h' 2 +22 ⋅ h'⋅D ⋅ B + 11⋅ D ⋅ B 2
= h'3 + + h'2 ⋅(2 ⋅ B + 11⋅ D ) + h'⋅(B 2 + 22 ⋅ D ⋅ B) + 11⋅ D ⋅ B 2
Siendo h’ = profundidad significativa de asentamientos
h'3 +h'2 ⋅(2 ⋅ B + 11⋅ D) + h'⋅(B2 + 22 ⋅ D ⋅ B ) + 11⋅ D ⋅ B2 −
10 ⋅ P' γ
=0
FÓRMULA Nº 4
Debemos ligar P’ al asentamiento, siendo P’ la menor carga del grupo de zapatas a calcular De la FÓRMULA Nº 3
27 ⋅ P' γ
27 ⋅ P' γ
P'
P=
S⋅C γ n H 2 ⋅ 10 − 1 ⋅ (h + 3 ⋅ D ) ⋅ (h + 3 ⋅ B )
27
= (h'2 +6 ⋅ h'⋅B + 9 ⋅ B 2 ) ⋅ (h'+3 ⋅ D) ⋅ 10
S⋅C h'
− 1
= (h'3 +6 ⋅ h' 2 ⋅B + 9 ⋅ h'⋅B2 + 3 ⋅ D ⋅ h' 2 +18 ⋅ D ⋅ B ⋅ h'+27 ⋅ D ⋅ B2 )⋅ 10
= [h' +h' ⋅(6 ⋅ B + 3 ⋅ D) + h'⋅(9 ⋅ B + 18 ⋅ D ⋅ B) + 27 ⋅ D ⋅ B ]⋅ 10 γ 3
2
2
2
S⋅C h'
S⋅C h'
− 1
1
− 1 ⋅
27
FÓRMULA Nº 5
14
Reemplazando P’/ g (Fórmula 5), en la Fórmula Nº 4, obtenemos:
h'3 + h'2 ⋅(2 ⋅ B + 11⋅ D) + h'⋅ B2 + 22 ⋅ D ⋅ B
+
11⋅ D ⋅ B2
− S⋅C
− [h' +h' ⋅(6 ⋅ B + 3 ⋅ D) + h'⋅(9 ⋅ B 2 + 18 ⋅ D ⋅ B ) + 27 ⋅ D ⋅ B 2 ]⋅ 10 h ' 3
2
− 1 = 0
FÓRMULA Nº 6
Resumen de cálculos: 1. Calcular el área de fundación de la zapata menos cargada. Af =
P σadm
Calculamos B y D de la zapata
2. Calcular h de Formula Nº 2 3. Con h en Fórmula Nº 3, calcular S x C (C lo sacamos de tabla) 4. Calculamos S para la zapata Nº 1 5. En la zapata Nº 2 no conocemos B y h 6. Con las Formulas Nº 2 y Nº 3 calculamos S x C de la zapata Nº 2 7. Despejamos B y h para que no se produzcan asentamientos diferenciales.
15
PROBLEMA: Se desea cimentar una estructura con varias columnas que presentan fuertes variaciones de cargas entre sí. La condición es que todas tengan el mismo asentamiento permisible, el cual no debe superar los 2,00 cm. La profundidad de cimentación será de 1,50 mts. En donde comienza un estrato de arena limosa bien graduada. La potencia de este estrato es de 6,00 mts., y la carga admisible en el nivel de contacto es de 25 tn/m2. El peso volumétrico de la arena en su estado natural es de 1,76 tn/m3, y el valor de NSPT = 23. Las cargas que se transmiten al nivel de fundación son: P1 = 25 ton; P2 = 36 ton; P3 = 54 ton; P4 = 90 ton.
RESOLUCIÓN: La zapata que fija el comienzo del cálculo es la de menor carga, ya que todas las demás, de mayor carga y mayor superficie, involucran un bulbo de tensiones mayor, y por lo tanto deberán disminuir la presión de contacto para tener igual asentamiento que la de menor carga. A mayor dimensión de zapata, le corresponde un mayor bulbo de tensiones, y por lo tanto un mayor asentamiento. Para que los asentamientos sean iguales, esto se logra disminuyendo la presión de contacto en las zapatas más cargadas. La zapata con menos carga trabaja con la mayor tensión, que es la tensión admisible. Las zapatas cuanto más carga tienen, menor es la tensión de trabajo, respecto de la tensión admisible.
16
B[m]= P1=
B= ?
B= ?
25
B= ?
P2= 36
Z1
γ γ [t/m3] = 1.76 S∗ C [m] = 1.01 S [m] = 1.48 h m] = 1.787
D= 1.50
P3= 54
Z2
Z3
B= ? P4=
90
Z4
Del cálculo de la zapata
S∗ C [m] = 1.008
C=68
3 2 = N
17
18
RESOLUCIÓN: Para la Base Nº 1, tenemos: B=
P= P=
P1 σadm.
γ
10
=
25Tn 25Tn / m2
= 1,00m.
⋅ (h + 11⋅ D) ⋅ (h + B)
2
FÓRMULA Nº 2
S⋅C γ n H 2 ⋅ 10 − 1 ⋅ (h + 3 ⋅ D) ⋅ (h + 3 ⋅ B) FÓRMULA Nº 3 27
h'3 +h'2 ⋅(2 ⋅ B + 11⋅ D) + h'⋅(B2 + 22 ⋅ D ⋅ B ) + 11⋅ D ⋅ B2 − DATOS
10 ⋅ P' γ
= 0 FÓRMULA Nº 4
B = 1,00m.;D = 1,50m;P = 25Tn; γ = 1,76Tn / m3
h'3 +h'2 ⋅(18,50 ) + h'⋅(34,00 ) + 16,50 − 142,045 = 0 h'3 +18,50 ⋅ h'2 +34,00 ⋅ h' = 125,54
Despejamos h’ = ?
19
RESOLUCIÓN: h’ = 1,787 m. S⋅C γ n H P = ⋅ 10 − 1 ⋅ (h + 3 ⋅ D) ⋅ (h + 3 ⋅ B)2 27
FÓRMULA Nº 3
1,76Tn / m3 2 ⋅ 10 1,787 − 1 ⋅ (1,787m + 3 ⋅ 1,50m) ⋅ (1,787m. + 3 ⋅ 1,00m) 25Tn = 27 S⋅C
25Tn ⋅ 27 1,76Tn / m3
S⋅C
= 10 1,787 − 1 ⋅ 6,285 ⋅ 22,896
⋅C 1S,787 3,665 = 10
Despejamos S x C
S x C = 1,008
Con C = 68; Calculamos S = 1,48 cm.
S = 1,48 cm. Es menor que el asentamiento admisible.
ZAPATA 1 P =
γ n 10
∗
(h + 11 ∗ D) ∗ h + B 2
B
P 1
=
25 ton
=
σ adm
25 ton / m
h prueba [m] =
=
2
1m
25
= h
1.787
1 . 76 10 3
(h
+
+ 18 .5 *
h
∗
2
(11 ∗ 1 . 50 )) * h 34 * h
+
P =
n
27
∗
{(h
S∗ C prueba
) *[10(
+ 3 ∗ D
por tanteos [m] =
S ∗C h
] 1}
)
2
25 ∗ 27
∗ h + 3 ∗ B
−
1.01
1.76
V er if ic a
De tabla para N(SPT) = 23 en arena limosa bien graduada
= (1.785 +
)
1.785 3 ∗ 1.5 *
+
3 . 665
3 .6 65
C= 68
3 ∗ 1.00
S [m]
= (S∗ C) / C = 0.0148
S
2
∗ 10
=
[cm] =
10
2
1
125 . 54
=
125.54
Verifica
γ
+
− 1
S ∗ C 1.787
S
∗
C
1 . 787
1.48
menor que el asentamiento admisible
ZAPATA 2
S ∗C )]+ 11∗ D∗ B2 −[h'3+[h'2∗ 6∗ B +3∗ D ]+[h'∗(9∗ B2+18∗ D∗ B)]+(27∗ D* B2)]∗10 ∗10 h' −1 = 0 27
[ (
3 2 2 h´ + h´ ∗ 2∗ B +11∗ D + h´∗ B + 22∗ D∗ B
(
)
P´ [ton] = 36
D [m] = 1.50 h´ [m] =
1.950
3
γ [t/m ]
= 1.76
Se adopta B [m]
= 1.40
Formula 6 0.33171811
Tanteo h' hasta verificar la igualdad a cero de la ecuación de tercer grado, si la carga verificada P' es la del dato, la solucion es la correcta
(2∗ B)+(11∗ D) = 19.30 2
B +(22∗ D∗ B) = 48.16 2
11∗ D∗ B
= 32.34
(6∗ B)+(3∗ D) = 12.90
10
(S∗ C)/ h´
- 1 = 2.29
(h´+11∗ D) [m] = 18.45 (h´+B)
2
Verificación
P ´ [ton] = 36.44
aplicando formula 2
Verificación
P ´ [ton] = 36.38
aplicando formula 3
[m] = 11.2225
2
9*B +(18∗ D∗ B) = 55.44 2
27∗ D∗ B
= 79.38
2
(h´+3∗ B) [m] = 37.8225 (h´+3∗ D) [m] = 6.45
2
Tension de fondo [t/m ] =
18.6
(menor que la tension admisible)
20
ZAPATA 3
S∗ C de zapata 1 [m] =
P´ [ton] = 54
D [m] = 1.50 h´ [m] =
2.125
S [m] = (S∗ C) / C = 0.0148
C= 68
γ
B +(22∗ D∗ B) = 68.15
[t/m3] = 1.76
Se adopta B [m]
(h´+11 ∗ D) [m] = 18.625
11∗ D∗ B2 = 62.74 (6∗ B)+(3∗ D) = 16.20
(h´+B) 2 [m] = 16.605625
9*B2+(18∗ D∗ B) = 86.87
(h´+3∗ B)2 [m] = 63.600625
= 154.00
= 1.950
Verificación
P´ [ton] = 54.43
aplicando formula 1
Verificación
P´ [ton] = 54.41
aplicando formula 2
(h´+3∗ D) [m] = 6.625
ZAPATA 4
14.3
Se adopta B [m] D [m] = 1.50
h´ [m] =
Formula 6 0.14034991
Tension de fondo [t/m 2] =
P´ [ton] = 54
1.48
10 (S∗ C)/ h´ - 1 = 1.98
2
27∗ D∗ B
=
Tanteo h' hasta verificar la igualdad a cero de la ecuación de tercer grado, si la carga verificada P ' es la del dato, la solucion es la correcta
(2∗ B)+(11 ∗ D) = 20.40
2
S [cm]
)]+ 11∗ D∗ B2 − [h'3 + [h'2∗ 6 ∗ B + 3∗ D ]+ [h'∗(9 ∗ B2 +18∗ D∗ B)]+ (27∗ D* B2)]∗ 1027∗ 10S h∗'C −1 = 0
[ (
3 2 2 h´ + h´ ∗(2 ∗ B +11∗ D) + h´∗ B + 22∗ D ∗ B
1.01
2.346
(2∗ B)+(11 ∗ D) = 22.20 2
B +(22∗ D∗ B) = 102.17 11∗ D∗ B2 = 134.02 (6∗ B)+(3∗ D) = 21.60 9*B2+(18∗ D∗ B) = 150.05 27∗ D∗ B2 = 328.96
γ
[t/m3] = 1.76
2.850
Formula 6 0.03401535
Tanteo h' hasta verificar la igualdad a cero de la ecuación de tercer grado, si la carga verificada P ' es la del dato, la solucion es la correcta
10 (S∗ C)/ h´ - 1 = 1.69 (h´+11 ∗ D) [m] = 18.8455
Verificación
P´ [ton] = 89.53
aplicando formula 2
Verificación
P´ [ton] = 89.53
aplicando formula 3
(h´+B) 2 [m] = 26.9932203 (h´+3∗ B)2 [m] = 118.71192 (h´+3∗ D) [m] = 6.8455 Tension de fondo [t/m 2] =
11.0
21
