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Didáctica de la Matemática Prof. Oddos
Compilación realizada, editada y digitalizada por
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C ONSTRUCCIONES ONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS A PARTIR DE SUS LADOS Actividad Actividad 1 Dados los segmentos a y b:
Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a pueden construir dos distintos? ¿Por qué? qué?
a y
otro lado igual a
b. ¿Se
Actividad Actividad 2 Dados los segmentos a , b y c:
Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a lado igual a c. ¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué?
a
,
otro lado igual a b y el otro
Actividad Actividad 3 Dados los segmentos a , b y c.
Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a a , otro lado igual a b y el otro lado igual a c. ¿Se pueden construir construir dos triángulos distintos? distintos? ¿Por qué?
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C ONSTRUCCIONES ONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS A PARTIR DE SUS ÁNGULOS Actividad 4 Dados los ángulos a y b.
Construya si es posible, un triángulo que tenga un ángulo igual a a y otro ángulo igual a b. ¿Pueden construir construir dos distintos? ¿Será cierto que dados dados dos ángulos, siempre es posible construir un triángulo? Actividad 5 a) Construyan, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º, y 75º ¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué? b) Construyan, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º, 105º. ¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué?
CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS A PARTIR DE SUS LADOS Y SUS ÁNGULOS Actividad 6 Dados el segmento a y los ángulos A y B.
Construyan, si es posible, un triángulo en el cual uno de sus lados sea igual al segmento a y los ángulos adyacentes (o sea los que están apoyados en el segmento) sean iguales a los ángulos A y B. ¿Pueden construir construir dos triángulos distintos? distintos? 2
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Actividad 7 Dados los segmentos a y b , y el ángulo A.
Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual al segmento a , otro lado Igual al segmento b y el ángulo que se forma entre estos dos lados sea igual al ángulo A. ¿Pueden construir construir dos triángulos distintos? distintos?
CONSTRUCCIONES
Dibujar tres triángulos (uno acutángulo, otro rectángulo y el tercero obtusángulo) y trazar las alturas. Repetir las construcciones para el trazado de las medianas, de las mediatrices y de las l as bisectrices bisectrices (doce triángulos en total) Observar las construcciones anteriores e indicar si alturas, medianas, mediatrices mediatrices y bisectrices bisectrices se cortan respectivamente en un punto. En caso afirmativo indicar características y propiedades del punto de intersección, intersección, así como el nombre que recibe cada uno de ellos. Verificar las posibles propiedades enunciadas.
2. Construir un rectángulo . Marcar un punto sobre el lado ̅. Trazar la semirrecta ̅. Prolongar el lado ̅ de tal manera que al cortar la semirrecta ̅ determina un punto ℎ. ¿Dónde hay que ubicar el punto para que el lado ̅ sea congruente al segmento ̅ℎ?
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TRIÁNGULOS Plantear y resolver:
1. Calcular la medida de los ángulos interiores del abc
̅ ∥ = 131° = 143°
2. Calcular la medida de a y b
̅ ⊥ ̅ = 61° = 26°
̅ es bisectriz del 3. Calcular la medida de los ángulos indicados, sabiendo que ángulo ; α = 17° y β = 1 2 0 °
4. Calcular la medida de los ángulos interiores del triángulo sabiendo que ̅ es bisectriz del , ̅ ∥ ̅ , ̅= ̅ y = 35°
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CUADRILATEROS 1) Calcular la medida de los ángulos interiores del paralelogramo si: a) = 2 + 78° 78°
y
= 6 − 50° 50°
b) =
c) mide 36º menos que ̂ 2) Demostrar que si un paralelogramo tiene un ángulo recto es un rectángulo. 3) Demostrar que si un cuadrilátero tiene sus ángulos opuestos congruentes es un paralelogramo. 4) Calcular la medida de los ángulos interiores b y d . a) = 27° = 30°
b)
5) Calcular la medida de los ángulos á ngulos interiores a) Del romboide , sabiendo que:
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b) Del rombo , sabiendo que:
c) Del trapecio isósceles , sabiendo que:
d) Del trapecio isósceles , sabiendo que: e)
6) Demostrar que si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos congruentes y paralelos, es un paralelogramo. 7) Demostrar que si un paralelogramo tiene un par de lados la dos consecutivos congruentes, es un rombo. 8) “Calcular la medida de los lados del paralelogr amo amo abcd, de acuerdo a los datos.
a) ̅ = ̅ y el perímetro perímetro es 129,5 cm.
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̅ = − 11 y el perímetro es 100,5 cm. b) ̅ = + 7 ,
c) Uno de los lados mide 9 cm. menos que el otro lado, y el perímetro es de 82 cm. ̅ = 4 − 6 6 y ̅ = ̅. d) ̅ = + 15 ,
9) Demostrar que en todo paralelogramo las diagonales se cortan en su p unto medio. 10)Demostrar 10) Demostrar que las diagonales de un rectángulo son congruentes. 11)De 11) De acuerdo a los datos, calcular la medida de los ángulos interiores de los rombos a)
b)
c)
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12)Calcular 12) Calcular la medida de los ángulos interiores de los romboides a)
b)
13)La 13) La suma de las medidas de los lados no congruentes de un romboide es 42 cm y la diferencia de 12 cm. Calcular la medida de cada lado. 14)El 14) El perímetro de un trapecio isósceles es 50 cm; la medida de la base mayor supera en 6 cm a la de la base menor y la medida de cada uno de los lados congruentes es 1/3 de la medida de la base mayor. Calcular cuánto mide cada lado. 15)Demostrar 15) Demostrar que en todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto al lado desigual es mediana del mismo. 16)Sabiendo 16) Sabiendo que el perímetro de un rectángulo es 14 cm y la diagonal de 5 cm, construirlo. 17)Se 17) Se quiere construir la puerta de una iglesia con forma de rectángulo complementado con un semicírculo en la parte superior. Teniendo en cuenta que sus dimensiones son: 5,60 m de alto y 3,80 m de ancho, calcular la cantidad de madera necesaria. 18)Calcular 18) Calcular el perímetro del polígono sombreado y el área de la región sin sombrear, sabiendo que: omtr cuadrado; perímetro del rectángulo nmts= 56 cm; área del polígono sombreado igual 5/9 del área del cuadrado.
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19) El área de un CD medida en cm2 es 452,38. El diámetro del orificio central es 1,5 cm a) ¿Cuánto mide el radio del círculo mayor? b) Calcular la longitud de la circunferencia circunferencia mayor y de la circunferencia circunferencia menor. 20)Calcular 20) Calcular los perímetros y las áreas de las regiones más oscuras
21)Se 21) Se recortan círculos de 4 cm de radio, de una plancha rectangular de goma eva. De acuerdo al dibujo, ¿Qué parte de la superficie es desperdicio?
22)Hallar 22) Hallar el área del trapecio isósceles abcd sabiendo que su perímetro es de 40 cm.
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23)Calcular 23) Calcular el área de la parte blanca de la escarapela de la figura teniendo en cuenta que el área total es de 113,04 cm².
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LAS CONSTRUCIONES COMO MEDIO PARA EXPLORAR LAS PROPIEDADES DE LAS FIGURAS 1)
Construir un paralelogramo paralelogramo en el cual un lado mide 6 cm y otro lado mide 4 cm. ¿Habrá un solo paralelogramo que que cumpla estas condiciones? condiciones?
2)
Construir un paralelogramo en el cual uno de los lados mida 7 cm; otro lado mide 4 cm y la diagonal mide 11 cm
3)
Construir un paralelogramo paralelogramo en en el cual uno de sus sus lados mida 6 cm y los ángulos adyacentes a dicho lado midan 30° y 150°.
4)
Construir un paralelogramo paralelogramo en en el cual uno uno de sus lados mida 7 cm y los ángulos adyacentes miden 40° y 120°.
5)
Construir un paralelogramo paralelogramo en en el cual un lado mida mida 8cm, otro lado mida 4 cm y la altura correspondiente al lado de 8 cm sea de 3 cm. ¿La construcción es la única posible?
6)
Construir un paralelogramo paralelogramo en en el cual un lado mida mida 7 cm, otro otro lado mida 3cm 3cm y la altura correspondiente al lado de 7 cm mida 4 cm. ¿La construcción es la única posible?
7)
¿Será cierto que si se se conocen conocen tres tres datos datos de un paralelogramo la construcción construcción que se se puede realizar es es única?
8)
Construir un paralelogramo paralelogramo del cual se conoce la medida medida de uno de sus lados lados y la amplitud del ángulo que forman las diagonales.
9)
Dibujar un triángulo ABC. Por el vértice vértice A trazar una paralela m a BC. Por el vértice B trazar una paralela n a AC. Por el vértice C trazar una paralela p a AB. Designar con M a la intersección de m con n, N a la intersección de n con p y P a la intersección de p con m. ¿Será cierto que los puntos A, B y C son puntos medios de los lados del triángulo MNP? ¿Por qué? 10) Sea ABC un triángulo. Se dibuja dibuja una recta que contenga al lado lado AC y se marca los puntos P y Q de manera tal que PC=AQ y A quede entre C y Q mientras que C quede entre A y P. ¿Bajo qué condiciones el triángulo QBP es isósceles?
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TALLER DE PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO Plantear y resolver: 1) Dado el número 7 Escribir el anterior y el posterior. Expresarlo en sistema romano.
2) Calcular el m.c.d y el m.c.m. de , y ( − 1). 3) ¿Cuáles son los números naturales que aumentados en siete s iete unidades son menores m enores que el doble de 6? 4) La suma de tres números consecutivos consecutivos es 33. ¿Cuál es el menor de ellos? 5) Al terminar las clases Silvia repartió entre Sus alumnos del jardín de infantes todos los caramelos, alfajores y chupetines que tenía. Había 65 caramelos, 26 chocolates y 78 alfajores. Todos los chicos recibieron la misma cantidad de cada golosina. ¿Cuántos alumnos tiene tiene Silvia en el jardín de infantes? infantes? 6) La semana pasada se realizó una fiesta en casa de Marta a la que concurrieron 56 invitados de los cuales 30 son del barrio y 15 de ellos son varones . Se sabe que se invitaron en total 20 chicas. ¿Cuántas chicas del del barrio se invitaron? ¿Cuántas no son del del barrio? ¿Cuántos invitados invitados varones hubo en la fiesta? fiesta? ¿Cuántos de los varones que hubo en la fiesta no son del barrio? barrio?
7) El cubo de la diferencia entre cierto número y 5 es igual al producto entre el opuesto de 2 y 4. Calcularlo. 8) Una señora gasta la tercera parte del dinero que lleva en la peluquería, luego dos quintos del resto en la perfumería. Sí aún le quedan $135. ¿Cuánto dinero tenía antes de salir? ¿Cuánto gastó en cada negocio? 9) ¿Cuántos alfileres de 2,5 cm de largo se pueden fabricar, con un alambre de 285 m sabiendo que hay una pérdida de 1,5 mm de alambre por cada alfiler? ¿Cuál es la cantidad total de material desperdiciado? 10) Dadas las siguientes series numéricas y geométricas determinar la expresión general.
7, 11, 15, 19, 23,…
, , ,
,…
1,3,7,…
En la siguiente guarda determinar la expresión general del número de cuadrados claros en función de los oscuros.
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¿Cuál es la fórmula que relaciona la cantidad de hexágonos claros con los oscuros?
Indicar:
Características Características de los-sistemas l os-sistemas posicionales de numeración y ejemplificar. Hacer una breve reseña acerca del origen y evolución de las fracciones.
Dada la siguiente conjetura probar si se cumple para tres números cualesquiera, y, en caso afirmativo demostrar la propiedad (razonamiento deductivo) ‘‘Parece ser que la suma de un número más su doble, más su triplo, es múltiplo de seis"
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Calculo de áreas y volúmenes (Con figuras de análisis)
1) Calcular el área lateral, área total y el volumen de un prisma recto cuadrangular de base regular que mide 19 cm de lado y 36 cm de altura. 2) Hallar el área lateral de un prisma pentágono irregular de 80 cm de altura, si los l ados de las bases miden 30 cm, 10 cm, 28 cm y dos lados de 15 cm cada uno. 3) La faja que rodea un tarro de galletitas cubre únicamente los ¾ de su altura. Si el tarro mide 28 cm de alto u tiene un diámetro de 2 dm. ¿Cuántos cm² mide su faja? 4) Un pintor cobra $ 1,80 el m². ¿Cuánto cobrará por pintar el exterior de un tanque australiano de 4 m de diámetro y 4,5 m de alto? 5) Averiguar cuantos m² de cinc se necesitarán para construir cinco letras L de 30 cm de alto, 25 cm de acho y 10 cm de espesor uniforme. 6) Con 12 dm³ de helado cuántas veces de llenará un molde cónico de 30 mm de radio y 8 cm de altura. 7) Un cajón de 1,20 m de largo, 1 m de ancho y 1,15 m de alto se ha llenado de trigo. Averiguar si se ha ha cubierto en su totalidad totalidad con 452 dm³ de trigo. trigo. 8) ¿Cuántos m³ de hidrogeno contendrá un globo aerostático de 6 m de diámetro? Y ¿Cuántos litros? 9) De un depósito de agua que mide 1,5 m de largo, 1m de ancho y 0,80 m de alto se sacaron 53 baldes de capacidad igual a 18,5 litros. Averiguar cuantos dm³ de agua quedan. 10)Calcular 10) Calcular el volumen de un galpón cuya forma y dimensiones se indican en el dibujo:
11)Un 11) Un salón tiene 9,20 m de largo, 5 m de ancho y 5,50 m de alto. Para aumentar su volumen en 66 m³ será alargado sin modificar el alto y ni el ancho. Averiguar cuál será el volumen del salón una vez ampliado y el largo con el que quedara. 14
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PARCIAL SEGUNDO CUATRIMESTRE PLANTEAR Y RESOLVER:
1. Demostrar que en todo triángulo isósceles isósceles la bisectriz del del ángulo opuesto al lado desigual lo divide en dos triángulos congruentes. (Graficar la situación) 2. Calcular las medidas de los ángulos ángulos interiores de un rombo, rombo, sabiendo que uno de los ángulos exteriores mide 76° menos que el ángulo interior adyacente a él. (Graficar la situación) 3. ¿Cuántos paralelogramos será posible construir que tengan uno de sus lados de 6 cm y que los ángulos adyacentes a él midan 55° y 155 o? Justificar la respuesta. 4. El área de un CD es 452,38 centímetros centímetros cuadrados. El diámetro diámetro del orificio central es 1,5 cm Calcular cuánto mide el radio de la circunferencia circunferencia mayor. Calcular el perímetro del CD.
5. Calcular el área y el perímetro de la zona rayada.
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Parcial Plantear y resolver:
1. De una hoja de papel rectangular de 32 cm de largo y 24 cm de ancho se recorta un logo como muestra la figura. Calcular la cantidad de papel sobrante.
a) La suma de las medidas de los lados no congruentes de un romboide es 42 cm y la diferencia 12cm. Calcular la medida de cada lado. b) Calcular la medida de los ángulos interiores de un rombo, sabiendo que la diagonal mayor forma con uno de los lados del mismo un ángulo de 23° 40'. Justificar. (Graficar la situación) 2. Construir un paralelogramo conociendo un lado y los dos ángulos adyacentes al mismo. (Medida del lado: 7 cm, medida de los ángulos: 30° y 150°) ¿Se puede construir un único paralelogramo usando los datos anteriores? ¿Por qué? 3. Indicar tres actividades referidas a la enseñanza de los números naturales que los alumnos de primer año puedan resolver apoyándose en el castillo numérico. 2) 0
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PRIMER PARCIAL 1) Demostrar usando usando los criterios criterios de congruencia congruencia de triángulos, triángulos, que en todo triángulo isósceles la mediana correspondiente al lado desigual, resulta también mediatriz del mismo. (Graficar la situación) 2) Teniendo en cuenta el gráfico, calcular la medida de los ángulos desconocidos de los triángulos y , sabiendo que ∥ .
3) En un campo con forma de paralelogramo, el largo mide 50 m más que el ancho. Se lo desea cercar con 4 hilos de alambre. Si se usaron 6100 m de alambre ¿cuánto mide cada lado del campo? 4) Dibujar un triángulo escaleno acutángulo y trazar la circunferencia circunscripta. 5) Construir si es posible un triángulo cuyos lados midan 3, 6 y 9 centímetros. Justificar el procedimiento
EXAMEN FINAL MARZO 2013 a) Un piloto prueba su auto de fórmula 1 en una pista circular, pero se rompe el motor a medio camino y sólo recorre 816,4 m. que es la mitad del círculo. ¿Qué diámetro tiene la pista? b) Calcular la medida de los ángulos interiores de un trapecio isósceles sabiendo que uno de los ángulos adyacentes a la base mayor es igual al triplo de la medida de uno de los ángulos adyacentes a la base menor, disminuido en 20 °. Graficar la situación. c) Calcular el área y el perímetro de la región sombreada sabiendo que el `perímetro del cuadrado es de 18 cm.
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PRIMER PARCIAL 1) Plantear y resolver: a) Calcular la medida de la superficie y el perímetro de la región sombreada.
b) Se sabe que la diagonal menor de un rombo forma un ángulo de 50 ° 23’ con unos de los lados del mismo. Calcular la medida de los cuatros ángulos del rombo. Justificar. (Graficar la situación). c) El perímetro de un trapecio isósceles es de 54 cm, la base mayor supera en 6 cm a la base menor y la medida de cada lado oblicuo es la mitad de la medida de la base menor. Calcular cuándo mide cada lado. (Se recomienda hacer la figura de análisis). 2) Dibujar un paralelogramo mnrs y marcar los puntos medios de sus lados (que llamamos a,b,c,d ) ¿Qué tipo de cuadrilátero cuadrilátero es abcd? ¿Por qué? 3) Encontrar las similitudes y las diferencias entre los siguientes problemas: Si en un paquete hay 5 figuritas, f iguritas, ¿Cuántas habrá e 3 paquetes iguales? ¿Cuántas sillas hay en el el patio de la escuela si se ubicaron en 3 filas y 5 columnas? columnas? Si una nena tiene 5 remeras diferentes y 3 pantalones también diferentes, ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir?
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