DIBUJO CRISTALOGRÁFICO

Cristalo grafía - Dibujo Cristalográco

DIBUJO CRISTALOGRÁFICO

Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca

1


UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana” Peruana”

Fundada por Ley 14015 del 13 de febrero de 1962.

FACULTAD DE INGENIERÍA

Escuela Académico Profesional de INGENIERÍA DE MINAS

Asignatura

Cristalografía

Integrantes: Cotrina Angulo ansell !anini" Orrillo Men#o$a Ro%erto Carlos"

Te&as: Di%u'o Cristalogr()i*o Do*ente: Ing" Manuel Os*ar +a&%rano C,il-n

-!"#$Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca

2


UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la Universidad Peruana” Peruana”

Fundada por Ley 14015 del 13 de febrero de 1962.

FACULTAD DE INGENIERÍA

Escuela Académico Profesional de INGENIERÍA DE MINAS

Asignatura

Cristalografía

Integrantes: Cotrina Angulo ansell !anini" Orrillo Men#o$a Ro%erto Carlos"

Te&as: Di%u'o Cristalogr()i*o Do*ente: Ing" Manuel Os*ar +a&%rano C,il-n

-!"#$Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca

2


%&'% '(A)A*+ D%DICAD+

%&

A Dios, uien fue el creador de toda to das s las las co cosa sas, s, el u ue e

.a da dado do

fortale/a 0ara continuar cuando a 0unto de caer .emos estado1 A nuestra familia, ue con su a0o2 a0 o2o o in inco cond ndic icio iona nall no nos s a2u 2uda dan n día

a

día

nuestras

0ara metas

0oder

lograr

tra/adas

2

concluir con 34ito nuestra carrera 0rofesional1 A nu nue estr tro o doc ocen entte, In Ing g1 Man anue uell +scar

5ambrano

C.il6n,

uien


3


nos

brinda

los

conocimientos

necesarios 0ara a0render 2 ser los 0rofesionales ue el mundo reuiere1

ÍNDICE Pág. Portada

02

Dedicatoria

03

Índice

04

Introducción

05

Objetivos

06

Fundaentación !eórica

0"

Pro#ección $s%&rica # 'noónica

0"

Pro#ección $stereográ%ica

0(

)*+icación *ara +a 'eo+og,a

-5

)*+icación *ara +a rista+ogra%,a

-(

Dibujo de un rista+

-/


4


)*+icación *ara e+ dibujo de un rista+

23

ediante e+ *rograa a1Ine r#sta++ogra*# 3.0

23

onc+usiones

33

ib+iogra%,a

34

DIBUJO CRISTALOGRÁFICO I.

INTRODUCCIÓN

na *ro#ección de un crista+ es un edio de re*resentar un crista+ tridiensiona+ en una su*er%icie *+ana bidiensiona+. Di%erentes ti*os de *ro#ección se usan *ara %ines distintos *ero cada una de e++as se ++eva a cabo segn reg+as de%inidas de ta+ anera 7ue +a *ro#ección tiene una re+ación conocida # consta con e+ crista+. 8os dibujos de +os crista+es 7ue se *resentan en este in%ore se conocen coo PROYECCIONES CLINOGRÁFICAS # son de un ti*o ta+ de *ers*ectiva 7ue *arece una %otogra%,a en dos diensiones de+ crista+. $ste es e+ &todo ejor *ara re*resentar e+ crista+ # ucas veces es su*erior a +a %otogra%,a. ti+i9areos todos +os e+eentos de +a ventana

Stereo


5

Cristalo grafía - Dibujo Cristalográco Projection (proyeccin e!tereo"r#fica

%$e+ cua+ *ertenece a +a *+ata%ora de

&a'ne &ry!tallo"rap)y 3.1

:os adecuareos a re*resentar dos ti*os de crista+es; $+ :a+ # e+ s+
II.

OBJETIVOS 

1e*resentar un crista+ en una su*er%icie bidiensiona+ ediante



+as di%erentes *ro#ecciones crista+inas. onocer +as di%erentes *ro#ecciones estereográ%icas. Obtener +a res*ectiva re*resentación estereográ%ica *ara un



crista+ cbico usando e+ *rograa a1Ine r#sta++ogra*# 3.0.


6


III.

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA 1. PROYECCIÓN ESFÉRICA >u*oneos e+ crista+ inscrito en +a es%era donde e+ centro geo&trico de+ crista+ coincide con e+ de +a es%era
7


$s e+ arco corres*ondiente a un eridiano coo origen # e+ eridiano ur= corres*ondiente a+ *o+o. $+ eridiano origen es e+ 7ue corres*onde a+ *+ano crista+ográ%ico %ronta+ es decir e+ %orado *or +os ejes # 9. >e edirá acia e+ sentido de +as agujas de+ re+oj será *ositivo # *odrá variar -(0A. Puede ser negativo en sentido contrario Distancia *o+ar <=; e7uiva+ente a +a +atitud geográ%ica # es e+ arco entre e+ *unto de intersección de+ eje 9 # +a es%era # e+ *o+o de +a cara contado sobre su eridiano < *o+o norte es%&rico # e+ *o+o de +a cara contado sobre e+ eridiano= ?ar,a entre 0 # -(0A +as 7ue están *or encia de ecuador serán a#ores de /0A # *or debajo serán in%eriores a /0A. $n este caso sie*re son *ositivos +os va+ores. !odos +os *o+os situados sobre e+ iso *ara+e+o tendrán igua+ distancia *o+ar # distinto a9iut. >i conoceos +os *aráetros de una res crista+ina tras+aciones # ángu+os *odeos obtener cua+7uier coordenada *o+ar de esa cara nora+ente e+ *riero corres*onde a+ a9iut # +uego +a distancia *o+ar. )deás necesitaos +os ,ndices de i++er notación de +a cara. $n +a *ráctica edios e+ ángu+o entre +as caras *riero ca+cu+aos e+ a9iut <= # +uego +a distancia *o+ar <=. Paso de *ro#ección es%&rica a *ro#ección *+ana. >e uti+i9an dos ti*os de *ro#ección *+ana; gnoónica # estereográ%ica. Priero tras+adaos +os *o+os es%&ricos a un *+ano # *ara e++o e+egios e+ *+ano en e+ 7ue vaos a *ro#ectar # +o denoinaos *o+o %undaenta+. Otra erraienta es e+ *unto de vista desde e+ 7ue se tra9an visua+es o rectas a +os *o+os es%&ricos 7ue cortarán a+ *+ano %undaenta+ en unos *untos deterinados; +as *ro#ecciones 7ue buscaos son +as *ro#ecciones.

2. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 8a *ro#ección estereográ%ica es un sistea de re*resentación grá%ico en e+ cua+ se *ro#ecta +a su*er%icie de una es%era sobre un *+ano ediante aces de rectas 7ue *asan *or un *unto o %oco. $+ *+ano de *ro#ección es tangente a +a es%era o *ara+e+o a &ste


8


# e+ %oco es e+ *unto de +a es%era diaetra+ente o*uesto a+ *unto de tangencia de+ *+ano con +a es%era. 8a su*er%icie 7ue *uede re*resentar es a#or 7ue un eis%erio. $+ rasgo ás caracter,stico es 7ue +a esca+a auenta a edida 7ue nos a+ejaos de+ centro. $n su *ro#ección *o+ar +os eridianos son +,neas rectas # +os *ara+e+os son c,rcu+os conc&ntricos. $n +a *ro#ección ecuatoria+ só+o son +,neas rectas e+ ecuador # e+ eridiano centra+.

Para

trabajar

con

+a

*ro#ección

estereográ%ica es *reciso conocer inicia+ente una serie de t&rinos geo&tricos 7ue nos *eritan de%inir de %ora un,voca cada e+eento estos t&rinos

•

nos

deterinan

su

orientación.

RUMBO O DIRECCIÓN: Dirección 7ue sigue +a +,nea de intersección %orada entre e+ *+ano ori9onta+ # e+ *+ano de+ estrato o estructura geo+ógica con res*ecto a+ :orte o a+ >ur.


9


•

BUZAMIENTO: $s e+ ángu+o de inc+inación o ángu+o diedro co*rendido entre e+ *+ano de +a roca o estructura # e+ *+ano ori9onta+. $s +a +,nea de á@ia *endiente de un estrato. 8a dirección de+ bu9aiento sie*re es *er*endicu+ar a+ rubo o dirección.

PROYECCIÓN DE UN PLANO

>e constru#e una es%era centrada en a+gn *unto BOC de +a tra9a de a%+oraiento de un *+ano geo+ógico inc+inado. $+ *+ano # su *ro+ongación cortarán +a es%era segn un c,rcu+o á@io o c,rcu+o a#or.


10


Re!e"e#$%&'(# )e *# +%#, '#&+'#%), &,# "* ,+,:

2- TIPOS DE REPRESENTACIONES ESTEREOGRÁFICAS $@isten diversas %oras de re*resentación de +os e+eentos *+anos # +inea+es en +a *ro#ección estereográ%ica. !odos e++os se ++evan a cabo ediante e+ e*+eo de +a %a+si++a de u+%% 7ue se obtiene a *artir de +a *ro#ección de +os eridianos # *ara+e+os de +a es%era.


11

Cristalo grafía - Dibujo Cristalográco 

DIAGRAMA DE CÍRCULOS MÁIMOS O DIAGRAMA BETA:

Enicaente se uti+i9a *ara +a re*resentación de e+eentos *+anos. >e obtiene *or *ro#ección sobre e+ *+ano ecuatoria+ de+ c,rcu+o á@io de +a su*er%icie *+ana considerada. $ste c,rcu+o á@io re*resenta +a intersección de+ *+ano con +a es%era. >e uestra e+ diagraa de c,rcu+os á@ios corres*ondiente a+ estudio de un aci9o rocoso. a.

Diagraa de c,rcu+os á@ios
b.

Diagraa de *o+os <*i=.



DIAGRAMA DE POLOS O DIAGRAMA PI


12


uando +as edidas a re*resentar en e+ diagraa son u# nuerosas +a re*resentación ediante c,rcu+os á@ios *uede di%icu+tar +a +ectura de +os resu+tados en +a %a+si++a *or +o 7ue se sue+e recurrir a +os diagraas de *o+os o diagraas *i. $n este ti*o de diagraas se re*resentan nicaente +os *o+os de +os *+anos o rectas es decir +a intersección de +a recta con +a es%era en e+ caso de e+eentos +inea+es o +a intersección de +a nora+ a+ *+ano con +a es%era si se trata de e+eentos *+anos.

D'%/!%0% )e )e#"')%) )e ,+," 8a *ro#ección estereográ%ica de un deterinado e+eento de +a natura+e9a nunca es tan e@acta coo +a de +,neas # *+anos teóricos #a 7ue *resentan irregu+aridades *untua+es %a+ta de ajuste con +a geoetr,a idea+ en ucos casos # *osib+es errores de *recisión. $sto ace 7ue se *rodu9can dis*ersiones 7ue de*endiendo de su agnitud *ueden o no %aci+itar +a inter*retación de un *o+o o un c,rcu+o á@io. De ser as, # *roducirse una gran dis*ersión de datos será *reciso recurrir a un aná+isis estad,stico de una uestra grande de datos con e+ %in de deterinar +a dirección # bu9aiento *redoinantes. $ste aná+isis estad,stico no se *uede rea+i9ar ediante +a *ro#ección estereográ%ica #a 7ue se *roducirá una gran concentración de *untos en +a *arte centra+ de+ diagraa . Para rea+i9ar este aná+isis se recurre a +a *ro#ección e7uirea+ e*+eando +a %a+si++a de >cidt 7ue nos *erite e+ recuento directo de +os *o+os ca+cu+ar su va+or estad,stico *or unidad de su*er%icie # deterinar +as direcciones # bu9aiento *redoinantes. a.

$n *ro#ección e7uiarea+.

b.

$n *ro#ección estereográ%ica

13




F%+"'++%" e"$e!e,/!'&%"

>on coo un trans*ortador de ángu+os en 2D 7ue sirven *ara re*resentar +as orientaciones de +os *+anos # +,neas de +as res*ectivas *ro#ecciones cic+ográ%icas. a# di%erentes ti*os de %a+si++as; ).

F%+"'++%" e3*'%!e%+ 4S&50')$-: geología estructural. onserva +as áreas *ero no +os ángu+os.

.

F%+"'++%" e3*'%#/*+%! 46*+-: cristalografía. onserva +os ángu+os *ero no +as áreas.


14


APLICACIÓNES: Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca

15


8a *ro#ección estereográ%ica *ro*orciona una erraienta %undaenta+ en e+ ca*o de +a ingenier,a geo+ógica. >u *rinci*a+ inter&s estriba en e+ eco de 7ue con e++a *odeos re*resentar orientaciones

16


DETERMINACIÓN DE FAMILIA DE DIACLASAS Para +a deterinación de +os juegos de diac+asas o discontinuidades 7ue a%ectan a un aci9o rocoso sue+en e+aborarse diagraas *i de +os *+anos de discontinuidad. uando +a dis*ersión es u# *e7ueGa %áci+ente *odeos deterinar +os juegos 7ue a%ectan a+ aci9o situándonos sobre +a 9ona de á@ia densidad de *untos. >in ebargo esto no sie*re es as, #a 7ue genera+ente +a dis*ersión es grande debiendo recurrir a &todos estad,sticos 7ue nos *eritan estab+ecer +as 9onas de á@ia concentración de *o+os. Pre*arado e+ diagraa de *o+os se *rocede a contar su densidad *ara +o cua+ sue+e ser conveniente ta+ # coo #a se a coentado con anterioridad e+ uso de +a re*resentación e7uiarea+ 7ue *erite un trataiento estad,stico de +os datos

ANÁLISIS CINEMÁTICO DE ROTURAS EN ROCA Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca

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$n e+ estudio de ta+udes e@cavados en aci9os rocosos sue+e ser u# ti+ +a deterinación de +as discontinuidades e@istentes *ara su *osterior re*resentación estereográ%ica junto con +a re*resentación de+ *ro*io ta+ud. Observando +as orientaciones de +os juegos de discontinuidades # de+ ta+ud *uede ++egarse a deducir ediante un aná+isis senci++o cua+ será e+ ti*o de rotura *redoinante. )deás +a *ro#ección estereográ%ica nos *eritirá en a+gunos de estos casos obtener +as agnitudes angu+ares necesarias *ara e+ cá+cu+o de+ %actor de seguridad de+ ta+ud.

DETERMINACIÓN DEL EJE Y DEL PLANO AIAL DE UN PLIEGUE $+ eje de un *+iegue <%igura -0.a= *uede ca+cu+arse con a#uda de +a *ro#ección $stereográ%ica con tan só+o toar una serie de edidas de orientaciones de +os %+ancos de+ *+iegue <%igura -0.b=. 1e*resentando +os *o+os de estas orientaciones bastará con tra9ar e+ *+ano 7ue contenga estas direcciones # 7ue corres*onderá a un *+ano nora+ a+ eje de+ *+iegue cu#o rubo e inersión vendrán dados *or e+ *o+o de+ citado *+an.


18


8a su*er%icie de carne+a *+ana es *ara+e+a a+ *+ano a@ia+ a+ igua+ 7ue e+ eje de+ *+iegue será *ara+e+o a+ *+ano a@ia+ *or +o 7ue tra9ando en e+ estereograa una dirección e7uiva+ente a +a edida en e+ ca*o *ara +a su*er%icie de carne+a # aciendo 7ue &+ contenga a+ eje
dirección.

OTRAS APLICACIONES EN GEOLOGÍA ESTRUCTURAL $+ e*+eo de +a re*resentación estereográ%ica en geo+og,a estructura+ es innuerab+e. 8os eje*+os ostrados no son ás 7ue una *e7ueGa deostración de+ *otencia+ de +a *ro#ección estereográ%ica *ara +a reso+ución de *rob+eas de geo+og,a estructura+.

8a *rinci*a+ uti+idad de +a *ro#ección estereográ%ica en crista+ogra%,a estriba en e+ eco de 7ue si re*resentaos grá%icaente +as caras de +os crista+es *odreos deterinar +a sietr,a de+ crista+ # *or tanto +a c+ase crista+ina a +a 7ue *ertenece. )deás +a *ro#ección estereográ%ica a+ ser una *ro#ección con%ore *erite +a edida directa de +os ángu+os crista+inos #a 7ue se antiene su verdadera agnitud tras +a *ro#ección.


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DIBUJO DE UN CRISTAL 

REPRESENTACION O DIBUJO ESFÉRICO

Para este ti*o de re*resentación se rea+i9a en +a *+ata%ora de una es%era donde se *rocede a co+ocar a+ crista+ en e+ centro de +a es%era. Posteriorente se tra9a una +,nea *er*endicu+ar a cada cara de+ crista+. 8a intersección de +a +,nea con +a su*er%icie de +a es%era %ora un *unto denoinado B POLO7. Donde cada cara es un *unto <*o+o= adeás direos 7ue +a re*resentación es tridiensiona+


20


FIGURA 1: PROYECCION ESFERICA

FIGURA 2: REPRESENTACION DE LAS CARAS DE UN CRISTAL EN UNA P.E.



REPRESENTACION O DIBUJO ESTEREOGRÁFICO

Para *oder re*resentar +as caras # diversos e+eentos de sietr,a de un crista+H +o ás adecuado seria trabajar con esta *ro#ección #a 7ue nos da a entender con ás %aci+idad +a ubicación de cada e+eento adeás nos busca reducir a una su*er%icie *+ana
FIGURA 8: REPRESENTACION ESTEREOGRAFICA


21


)deás entendeos 7ue esta *ro#ección necesita coo base un *unto e+ cua+ notaos en +a %igura 3 se encuentra en +a base de +a es%era. on este *unto de re%erencia se tra9an +,neas todas dirigidas a este *unto res*ecto de +os *o+os. De esta anera a+ intersectarse con e+ *+ano ecuatoria+ de +a re*resentación es%&rica su*onen una serie de *untos +os cua+es son +a re*resentación estereográ%ica de +os ++aados BPO8O>C

FIGURA 9: VISTA DE UNA PROYECCION ESTEREOGRAFICA

>in ebargo eos dico 7ue +a edida de +os ángu+os de cada cara de un crista+ es crucia+ *ara iaginarnos a+ crista+ en %ora rea+H +o ás conveniente aora es uti+i9ar

BL% #e) )e *7 , ;Re) e"$e!e,/!'&%7< con esto

*odreos saber +a edida # +a gra%icación de +os ángu+os entre +as caras <#a 7ue un *o+o era +a *ro#ección *er*endicu+ar de un *o+o=


22


FIGURA =: REPRESENTACION DE UNA NED 6UFF

De esta anera se *ueden re*resentar +os e+eentos de sietr,a # averiguar +os ángu+os res*ectivos sin ningn inconvenienteH #a 7ue sabeos adeás 7ue +a red de u%% tiene una diensión de 2J *or 2J en cada ce+da. ) continuación vereos +a re*resentación de +os e+eentos de sietr,a de un crista+.

FIGURA >: REPRESENTACION DE UN CRISTAL EN UNA RED DE 6UFF


23


APLICACIÓN USANDO EL PROGRAMA &a'ne &ry!tallo"rap)y 3.0

1- PROCEDIMIENTO:

argaos e+ *rograa e+ *rograa CaRIne Crystallogra!y ".# # abrios +a ce+da de+ c+oruro de sodio #a rea+i9ada coo uestra +os *asos de +as %iguras .

?entana de arine 3.0.

?entana de+

oando o*en ce++.

aceos c+ic en donde seGa+an +as %+ecas

coando )brir.


24


?entana e+da unitaria de+ :a+. 8uego de aber abierto +a ce+da # aber+e dado a+gunos e%ectos coo uestran +as %iguras ( # / *rocedeos a buscar en +a barra de erraientas +a *estaGa

C%+&*+ *ara +uego rea+i9ar +a actividad 7ue re7uerios.

>e+eccionando e+ oando ?ie.

?entanas 'ra*ics # *asos.

FIGURA ?: CELDA CRISTALOGRAFICA DEL N%C+ Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca

25

Cristalo grafía - Dibujo Cristalográco 

>e+eccionar e+ coando S$e!e, P!,@e&$',# de+ en Se&'%+" *ara des*+egar +a ventana de %unciones coo se uestra en +a Figura 5.3.

FIGURA : VENTANA DE FUNCIONES STEREO PROJECTION



acer c+ic i97uierdo en +a o*ción P%!%0e$e!" # e+ so%tare +e ostrará +a ventana >tereogra*ics Projection donde *odrá de%inir +as direcciones +os *o+os # +as tra9as de +a *ro#ección.

FIGURA : VENTANA STEREO PROJECTION 

) continuación *resionaos en e+ botón P,+e" # en e+ botón T!%&e" # en D'!e&$',#" *ara de%inir e+ rango de direcciones u v  < K += 7ue desea considerar. acer c+ic en O. Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca

26




De%inidas +as direcciones +os *o+os # +as tra9as en +a ventana >tereogra*ics Projection Pre%s acer c+ic en OL.


27


C+'&

FIGURA : VENTANA STEREO PROJECTION DEFINIDA $No es necesario %efinir la secci&n %e %irecciones' ya (ue sa)e*os (ue ara ca%a lano tiene sus ín%ices %e +ra,ais- y estos son los *is*os ara las %irecciones' co*o ta*)in sa)e*os (ue la reresentaci&n %e la cara %e un cristal es eren%icular a %ic!a cara- la %irecci&n to*a la *i*a %irecci&n y or en%e ten%r/n la *is*a royecci&n estereogr/fica0 

>e+eccionar e+ coando S$e!e, P!,@e&$',# de+ en Se&'%+" # e+egir +a o*ción C!e%$',# *ara visua+i9ar +a *ro#ección estereográ%ica creada.


28

Cristalo grafía - Dibujo Cristalográco (0,0,1)

(0,-1,1)

(0,1,1)

(1,0,1) (1,-1,1)

(1,-1,0)

(1,1,1)

(1,0,0)

(1,1,0)

(0,1,0)

(0,-1,0)

(1,-1,-1)

(1,1,-1) (1,0,-1)

(0,-1,-1)

(0,1,-1)

(0,0,-1)

FIGURA 1: PROYECCION ESTEREOGRAFICA DEL N%C+ 

$n +a *ro#ección estereográ%ica con +a a#uda de+ cursor de%inios +os va+ores de  # M *ara re*resentar +as coordenadas de +a *osición de +os *o+os de +a *ro#ección. $sta caracter,stica de +a *ro#ección estereográ%ica se encuentra en +a *arte in%erior i97uierda de +a ventana.



sando +a erraienta S$e!. P!,@. 7ue se uestra en +a *arte de +a

F'/*!% 1 usted *odrá asignar otros *o+os con e+ ouse en +as intersecciones de +as tra9as 7ue se encuentren +ibres. )deás de ciertas caracter,sticas i*ortantes 7ue te da dico coando. )deás 7ue


29


e@iste una ventana aco*+ab+e con todas +as *rinci*a+es %unciones de este coando.


30



31


FIGURA 11: COMANDO SPECIALS 4STEREO. PROJECTION.

)ora +o 7ue rea+i9areos es +a uti+i9ación de cada %unción de este coando. Priero se+eccionaos e+ coando N )ng+e it ouse *ara deterinar con +a a#uda de+ cursor de+ trans*ortador +os va+ores ángu+os entre de +os *o+os en +a *ro#ección estereográ%ica <ángu+os entre *+anos=. Para esto debeos acer c+ic en dos *untos o *o+os estereográ%icos *ara 7ue *ueda edir e+ ángu+o entre e++os. (0,0,1)

(0,-1,1)

(0,1,1)

(1,0,1) (1,-1,1)

(1,-1,0)

C+'&

(1,0,0)

(1,1,1)

(1,1,0)

(0,1,0)

C+'&

(0,-1,0)

(1,-1,-1)

(1,1,-1) (1,0,-1)

(0,-1,-1)

(0,1,-1)

(0,0,-1)

FIGURA 11: COMANDO SPECIALS 4STEREO. PROJECTION.Ingeniería de Minas – Universidad Nacional de Cajamarca

32


Para e+ segundo *aso *rocedereos a asignar *o+os nuevos a+rededor de +as tra9as de +a *ro#ección estereográ%ica *ara ser ás *reciso en +as intersecciones de +as tra9as. Para este caso e+ so%tare a*+icara +a +e# de *eriodicidad de +os *o+os # con e+ coando H P,+e '$5 0,*"e de +a %unción >tereo Projection de+ en >*ecia+s *odreos crear nuevos *o+os en +a *ro#ección estereográ%ica. (0,0,1)

(0,-1,1)

(0,1,1) (1,-1,2)

POLO 1 (1,0,1)

(1,-1,1)

(1,1,1)

(1,-2,1)

POLO 2 (1,0,0)

(1,-1,0)

(1,1,0)

(0,1,0)

(0,-1,0)

(1,-1,-1)

(1,1,-1) (1,0,-1)

(0,-1,-1)

(0,1,-1)

(0,0,-1)

POR LA LEY DE PERIODICIDAD TENEMOS:

( h , k ,l ) +( h , k ,l )=( h , k , l ) 1

1

1

2

2

2

3

3

3

POLO1 =( 1, 0 , 1 ) +( 0 ,−1 ,1 )=( 1 ,−1,2 )

POLO2 =( 1 ,−1 , 0 ) +(0 , −1 ,1 )=( 1 ,−1,2 )


33


ontinuando con +as %unciones de+ coando STEREOGRAPICS

PROJECTION teneos a +a %unción H T!%&e !,0 1 P,+e +o 7ue rea+i9a esta %unción es adicionar o 7uitar una tra9a corres*ondiente a un *o+o de +a *ro#ección estereográ%ica

34


IV.



CONCLUSIONES:

Para +a *riera conc+usión direos 7ue +a +as *ro#ecciones estereográ%icas están re*resentadas todos +os *o+os de +a *ro#ección es%&rica # esta *ro#ección estereográ%ica so+o toa a7ue++os *o+os 7ue se encuentran en +a *arte su*erior de +a es%era <+a *ro#ección estereográ%ica divide a +a es%era en dos *artes= *or ende +os *o+os de +as caras de +a *arte in%erior no sa+drán segn +a de%inición vista a+ inicio *ara *oder crear +os *o+os de +a *ro#ección estereográ%ica.



 *or +tio gracias a este in%ore corroboraos a+gunas %óru+as a*+icadas en +a teor,a coo +a 8e# de +a *eriodicidad o 8a re+ación entre ,ndices de *+anos # direcciones.


35


V.

B'+',/!%K%



anua+ de inera+og,a de Dana orne+ius >. ur+but r. >egunda



$dición *ág 35 Q 43. 1I>!)8O'1)FÍ) Q 'ara#



Princi*ios de rista+ogra%,a $ F+int. $ditoria+ Pa9 *ág /6R -02. <+e# de 9onas=



$88 F.'. <-//2=. $ngineering 'eo+og# $d. +acKe++ >cience Inc abridge $$..


36

DIBUJO CRISTALOGRÁFICO

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