DIAZ de SANTOS Inferencia Estadística - Miguel Ángel Gómez Villegas

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Miguel Ángel Gómez Villegas Catedrático de Estadística e Investigación Operativa Departamento de Estadística e Investigación Operativa Facultad de Ciencias Matemáticas Universidad Complutense de Madrid


DIAZ DE SANTOS

© Miguel Ángel Gómez Villegas, 2005

Reservados todos los derechos. «No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright». Ediciones Díaz de Santos Internet: http://www.diazdesantos.es E-Mail: [email protected] ISBN: 84-0000-000-X Depósito legal: M. 49.000-2004 Diseño de cubierta: Fotocomposición: Fer, S. A. Impresión: Edigrafos, S. A. Impreso en España

A la memoria de mi padre Joaquín, a mi madre Carmen y a la memoria de mi tío Angel, mi primer maestro.

PRÓLOGO Este libro contiene el material necesario para un curso de Inferencia Estadística de un año de duración. Aunque todavía en algunos planes de estudio, tanto de licenciaturas como de ingenierías, existe un curso sobre Cálculo de Probabilidades y Estadística, cada vez es más frecuente el abordar el estudio de la Inferencia Estadística en un curso propio separado del Cálculo de Probabilidades. En esta línea este texto está pensado para estudiantes de Estadística, en Matemáticas, Biología, Economía, Informática, Ingenierías, Medicina, Psicología, Sociología, y en definitiva para los que estén interesados en modelizar la incertidumbre mediante la probabilidad para extraer conclusiones de esta modelización. El libro recoge lo que en mi opinión es la naturaleza de la Estadística moderna: un equilibrio entre el análisis de datos -con especial atención a las representaciones gráficas-, y los modelos matemáticos, ambas cosas realizadas con el creciente concurso del ordenador. Los prerrequisitos incluyen nociones de probabilidad básica, además de los resultados usuales de cálculo, álgebra matricial y análisis real. Los teoremas y demostraciones se incluyen cuando su enunciado y su demostración son necesarios para una correcta comprensión del texto y siempre que se mantengan dentro del nivel de complejidad y abstracción que se ha querido dar al libro. Al final de cada capítulo se incluye una colección de aproximadamente 25 problemas, cuya solución detallada ha sido realizada en colaboración con la profesora Paloma Maín Yaque. En cuanto al contenido del texto, los dos primeros capítulos constituyen la introducción a la "Teoría de la Inferencia Estadística", estudian los estadísticos muestrales, los diagramas de tallos y hojas y de cajas, las distribuciones asociadas al muestreo con la distribución normal, los estadísticos ordenados y los principios de reducción de datos. Se recomienda especialmente la atenta lectura de los principios de verosimilitud, suficiencia y condicionalidad; el significado de los mismos, junto al teorema de Birnbaum, son fundamentales para una correcta interpretación de los distintos procedimientos que integran la Inferencia Estadística. También se ha incluido el concepto de intercambiabilidad como una manera más razonable que la independencia para recoger la información suministrada por la muestra. Este concepto es de capital importancia pues justifica la aproximación bayesiana IX

X X


a la inferencia. Los Capítulos 3, 4 y 5, se dedican a la estimación por punto, la estimación por regiones y el contraste de hipótesis, que constituyen el núcleo central de la Inferencia Estadística. Un aspecto importante en la manera de desarrollar estos capítulos, es la diferenciación entre los métodos de obtención de las distintas técnicas y los métodos de evaluación de las mismas, que son tratados a continuación. Este tratamiento permite que los tres métodos usados para eliminar la incertidumbre presenten una estructura uniforme. Los tres Capítulos finales contienen aplicaciones específicas, así el Capítulo 6 es una introducción a la Teoría de la Decisión Estadística, el Capítulo 7 aborda el Análisis de la Varianza y la Regresión Lineal y el Capítulo 8 la Inferencia no Paramétrica. Tres aspectos hacen singular, en mi opinión, a este libro. El primero es que los métodos bayesianos y los clásicos son desarrollados a la vez sin ningún tipo de menoscabo de unos frente a otros, aunque el autor es partidario de la aproximación bayesiana. Así a continuación de los estimadores por punto clásicos se estudian los estimadores por punto bayesianos. Después de los intervalos de confianza los intervalos creíbles y siguiendo a los contrastes de hipótesis mediante la teoría de Neyman y Pearson, los contrastes bayesianos y los factores Bayes. Además, tras cada método, según corresponda, se estudia su comportamiento frente a la distribución en el muestreo, recogido en el criterio del error cuadrático medio, y frente a la distribución inicial, recogido en la pérdida final esperada. El estudio conjunto de estas dos aproximaciones hace que se haya incluido en el Capítulo 7 el análisis bayesiano de la varianza, que no está en otros textos de nivel parecido, ya que o sólo utilizan la aproximación clásica o sólo la aproximación bayesiana. Así mismo, en el Capítulo 6, sobre la "Teoría de la Decisión Estadística", se incluye la paradoja de Stein, presentada de la manera más elemental posible, para poner de manifiesto las anomalías que presentan los métodos clásicos cuando la dimensión del parámetro es mayor o igual que tres. El segundo aspecto es que al final de cada Capítulo se incluye una aproximación histórica de la evolución de las ideas que han sido desarrolladas en el mismo, incluyendo unas pinceladas biográficas de quienes más han contribuido al desarrollo de las mismas. El tercer aspecto es la publicación de la solución detallada de los ejercicios de final de capítulo como un eficaz complemento de las ideas desarrolladas. Con frecuencia, el alumno echa de menos una colección de ejercicios resueltos que le permitan aclarar y comprobar si ha asimilado correctamente los conocimientos expuestos. No se discute en el texto ningún paquete de programas, pero en la resolución de los problemas se ha utilizado S, SPSS y Statgraphics; pudiendo utilizarse otros paquetes también. El libro ha sido empleado para impartir durante todo un curso 4 horas de clase y una de laboratorio por semana. La utilización de un paquete estadístico permite tratar problemas más reales y

PRÓLOGO

XI XI

ayuda a aclarar aspectos que de otra manera son más difíciles de comprender. Quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas a las que debo mis conocimientos en el campo de la Estadística, desde aquella primera versión traducida al castellano del libro de Cramér en el que por primera vez leí sobre estas ideas y aquellas primeras clases que, impartidas por el profesor Sixto Ríos, me pusieron en contacto con la Estadística en la Licenciatura de Matemáticas de la Universidad Complutense. A todos los compañeros, tanto los anteriores como los actuales, del Departamento de Estadística e Investigación Operativa de la Complutense de Madrid, muchas gracias, y en particular a los profesores Jesús Artalejo, Antonio Gómez, Eusebio Gómez, Paloma Maín, Javier Montero, Luis Sanz y Teófilo Valdés, que me han sugerido cambios y aclaraciones. Finalmente quiero dar las gracias a Pedro Ortega por su trabajo de verter el manuscrito inicial al Latex. Madrid, enero de 2005.

Índice general PRÓLOGO

IX

1. INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Estadísticos muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Estadística descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Medidas de centralización . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Diagramas de tallos y hojas y de caja . . . . . . . . . 1.4. Propiedades asintóticas de los momentos muestrales . . . . . 1.5. Distribuciones en el muestreo asociadas a la distribución normal 1.5.1. Distribución de la media muestral . . . . . . . . . . . 1.5.2. Distribución del momento muestral respecto al origen de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Distribución del cociente entre la media muestral y el momento respecto al origen de orden dos . . . . . . . 1.5.4. Distribución del cociente de momentos de orden dos respecto al origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Estadísticos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Distribución marginal del estadístico muestral de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Distribución conjunta de varios estadísticos ordenados 1.6.3. Recubrimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Variables aleatorias intercambiables . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Aproximación histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Solución a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 9 11 12 14 16 21 21 22 25 29 33 33 35 37 39 43 44 48

2. REDUCCIÓN DE DATOS: ESTADÍSTICOS SUFICIENTES, ANCILARIOS, COMPLETOS E INVARIANTES 59 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2. Estadísticos suficientes y minimal suficientes . . . . . . . . . . 59 XIII

XIV XIV

ÍNDICE GENERAL


2.3. Estadísticos ancilarios y completos . 2.4. Estadísticos invariantes . . . . . . . 2.5. Principios de reducción de datos . . 2.5.1. Principio de verosimilitud . . 2.5.2. Principio de suficiencia . . . . 2.5.3. Principio de condicionalidad . 2.5.4. Teorema de Birnbaum . . . . 2.6. Aproximación histórica . . . . . . . . 2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Solución a los ejercicios . . . . . . .

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65 70 72 72 74 74 75 78 79 82

3. ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Propiedades de los estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Estimadores centrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Estimadores consistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Estimadores bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Criterios de comparación de estimadores . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Error cuadrático medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Pérdida final esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Estimadores centrados de mínima varianza . . . . . . . . . . 3.5. Cota para la varianza de un estimador . . . . . . . . . . . . . 3.6. Métodos de construcción de estimadores . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Método de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Método de la máxima verosimilitud . . . . . . . . . . 3.6.3. Propiedades asintóticas de los estimadores de máxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4. Método bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5. Propiedades asintóticas de los estimadores bayesianos 3.7. Aproximación histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Solución a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 96 96 98 100 104 105 107 109 118 127 127 129

4. ESTIMACIÓN POR REGIONES DE CONFIANZA 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Métodos de obtención de intervalos de confianza . . . . . 4.3. Intervalos de confianza asociados a la distribución normal 4.4. Intervalos de confianza para muestras grandes . . . . . . . 4.5. Regiones de confianza bayesianas . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Aproximación histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Solución a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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135 138 139 140 142 147

169 . 169 . 171 . 177 . 182 . 183 . 186 . 188 . 191

ÍNDICE GENERAL

XV XV

ÍNDICE GENERAL

5. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 207 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.2. Métodos de construcción de contrastes de hipótesis . . . . . . 211 5.2.1. Contrastes de la razón de verosimilitudes . . . . . . . 211 5.2.2. Contrastes de la razón de verosimilitudes en el caso normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.2.3. Distribución asintótica de la razón de verosimilitudes . 221 5.2.4. Contrastes bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.2.5. Contrastes invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 5.3. Criterios de comparación de contrastes . . . . . . . . . . . . . 230 5.4. Contrastes de hipótesis unilaterales y bilaterales . . . . . . . 236 5.5. Dualidad entre contrastes de hipótesis y regiones de confianza 241 5.6. Aproximación histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 5.7. Elercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 5.8. Solución a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 6. TEORÍA DE LA DECISIÓN 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Métodos de inferencia en la teoría de la decisión 6.2.1. Estimación por punto . . . . . . . . . . . 6.2.2. Estimación por regiones de confianza . . . 6.2.3. Tests de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Obtención de reglas bayes y de reglas minimax . 6.4. Reglas admisibles y clases completas . . . . . . . 6.5. Paradoja de Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Aproximación histórica . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Solución a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

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271 271 274 274 274 275 276 280 283 290 291 296

7. ANÁLISIS DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL 315 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 7.2. Análisis de la varianza con un sólo factor . . . . . . . . . . . 315 7.3. Análisis de la varianza con dos factores . . . . . . . . . . . . . 325 7.4. Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 7.4.1. Regresión lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 7.4.2. Regresión lineal múltiple: aproximación matricial . . . 337 7.5. Aproximación bayesiana del análisis de la varianza . . . . . . 349 7.6. Aproximación histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 7.8. Solución a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

XVI XVI


ÍNDICE GENERAL

8. ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA 389 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 8.2. Ajustes relativos a la distribución multinomial . . . . . . . . . 390 8.2.1. Bondad del ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 8.2.2. Homogeneidad entre varias muestras . . . . . . . . . . 396 8.2.3. Tablas de contingencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 8.3. Aplicaciones de los estadísticos ordenados . . . . . . . . . . . 401 8.3.1. Intervalos de tolerancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 8.3.2. Intervalos de confianza para los cuantiles . . . . . . . 404 8.3.3. Contrastes de hipótesis sobre los cuantiles . . . . . . . 405 8.4. Problemas no paramétricos relativos a una muestra . . . . . . 407 8.4.1. Contrastes de Kolmogorov-Smirnov para una muestra 407 8.4.2. Contrastes de localización . . . . . . . . . . . . . . . . 413 8.4.3. Contrastes de normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . 421 8.4.4. Valores discordantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 8.4.5. Estimación no paramétrica de densidades . . . . . . . 425 8.5. Problemas no paramétricos relativos a dos muestras . . . . . 429 8.5.1. Contrastes de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras 429 8.5.2. Test de la mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 8.5.3. Test de Mann-Whitney-Wilcoxon . . . . . . . . . . . . 438 8.5.4. Test de Kruskal-Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.6. Contrastes no paramétricos de independencia . . . . . . . . . 444 8.6.1. Test de Kendall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 8.6.2. Test del coeficiente de correlación de los rangos de Spearman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 8.7. Aproximación histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 8.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 8.9. Solución a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 DISTRIBUCIONES USUALES

477

TABLAS

481

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

501

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES

1.1.

INTRODUCCIÓN

Dentro del Cálculo de Probabilidades se pretende calcular la probabilidad de ciertos sucesos a partir de probabilidades calculadas de otros sucesos más simples. Así, si se supone que un determinado experimento aleatorio se puede modelizar mediante una variable aleatoria de Bernoulli de parámetro conocido, la probabilidad de que el suceso éxito se presente en dos repeticiones consecutivas del experimento es 2 . En esta línea, se dice que el Cálculo de Probabilidades utiliza un razonamiento deductivo. Así, tras modelizar la incertidumbre mediante la probabilidad, es posible utilizar dicho razonamiento para llegar a obtener probabilidades de sucesos más complicados a partir de las probabilidades de sucesos más simples. En cuanto a la Inferencia Estadística, Cramér (1945) dice: El objetivo fundamental de la Teoría Estadística consiste en investigar la posibilidad de extraer de los datos estadísticos inferencias válidas. Se admite que los datos estadísticos deben de poseer una característica 1

22

CAP. 1. INTRODUCCIÓN AESTADÍSTICA LA ESTADÍSTICA MATEMATICA INFERENCIA

que tiene un significado preciso, que es la aleatoriedad. Fisher (1958) dice que la ciencia estadística es esencialmente una rama de la matemática aplicada: La Estadística puede ser mirada como el estudio de poblaciones, como el estudio de la variación y como el estudio de métodos de reducción de datos. y añade Fisher que el significado original de la palabra Estadística sugiere que ésta surge con el objetivo de estudiar colectivos humanos viviendo en unión política, aunque más tarde ha ido ampliando su campo de aplicación primero a la Biología y, después, a la Economía y a todas las restantes ciencias experimentales. Lindley (1965) ve la Estadística como el análisis de cómo los grados de opinión son alterados por los datos. Kendall y Stuart (1969) afirman: La Estadística es la rama del método científico que se enfrenta con datos obtenidos contando o midiendo elementos de poblaciones asociadas a fenómenos naturales. Breiman (1973) dice: La diferencia entre un modelo probabilístico y un modelo estadístico es que en el primero la probabilidad está totalmente especificada, mientras que en el segundo la distribución de probabilidad es desconocida. Todo lo que se conoce son algunas características de esta distribución de probabilidad. Cox (1973) establece: La Estadística pretende elegir un elemento de entre una familia P de modelos de probabilidad, que en la mayor parte de los casos es conocida excepto por un número limitado de parámetros desconocidos, para responder a ¿son los datos consistentes con la familia P? Suponiendo que los datos han sido obtenidos de uno de los modelos de P, ¿qué puede concluirse sobre los valores de los parámetros desconocidos o acerca de los valores de observaciones extraídas del mismo modelo? Por último, según Lehmann (1978): La Estadística trata de la recogida de datos así como de su análisis e interpretación.

1.1.INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 33 Basados en las definiciones anteriores se puede decir que la Inferencia Estadística pretende, dados unos datos sujetos a incertidumbre, obtener el conocimiento de los parámetros, en un sentido amplio, del modelo de Cálculo de Probabilidades que aceptablemente se ajuste a dichos datos. En este sentido, la Inferencia Estadística utiliza un razonamiento de tipo inductivo. Un proceso de fabricación, a lo largo del tiempo, puede producir a veces algún elemento defectuoso. La probabilidad de que un elemento cualquiera sea defectuoso es desconocida. De toda la producción se extraen al azar n elementos y con estos datos se trata de conjeturar el valor de . El ejemplo explicita los elementos con los que se va a trabajar: a saber, una población, una muestra: los n elementos observados; y una distribución de probabilidad. La población se puede considerar que es una variable aleatoria con distribución de Bernoulli de parámetro , donde es la probabilidad de producir un elemento defectuoso, los n elementos son la repetición con independencia, de n variables aleatorias de Bernoulli y lo que se pretende, q S

{l

q S q3 {l

(1 ) 1 , basados en la distibución de probabilidad de la muestra es conocer el valor de . En la misma línea se puede considerar un ejemplo un poco más complicado. Se suponen almacenadas gran cantidad de semillas en condiciones constantes de temperatura y humedad. Las semillas se van deteriorando a lo largo del tiempo, de tal forma que existirá una función u(w) que indique la proporción de semillas que en el instante w continúan siendo válidas. Si en sucesivos instantes de tiempo w1 > ===> wv se toman cada vez n semillas y se observa que continúan válidas u1 > ===> uv ; se trataría de determinar la función u(w) al menos en los instantes wl con l = 1> ===> v. En este caso la distribución de probabilidad de la muestra viene dada por v ¡ ¢ Q q ul q3ul . En esta situación no existe el parámetro o ul (u(wl )) (1 u(wl )) 1

l=1

más bien el parámetro, en sentido amplio, es la función u(w). Por último, un experimentador realiza q observaciones {1 > ===> {q con vistas a determinar una cantidad , que él desconoce, pero supone que estas observaciones pueden ponerse en la forma {l = + %l l = 1> ===> q. Donde %l son los errores contenidos en cada observación que se suponen independientes y distribuidos mediante una distribución Q (0> ) normal de media cero y de desviación típica desconocida. La distribución de probabilidad de la muestra viene dada a partir del producto de q variables Q (0> ). En este caso se desea determinar el valor del parámetro desconocido . Todas estas situaciones pueden resumirse en que se tiene una v.a. [ y sobre la -álgebra de Borel de R, está definida una familia de distribuciones de probabilidad P = {S | 5 }. A lo largo de lo que sigue se irá concretando el problema en distintas direcciones. Así, se hablará de la estimación por punto cuando sólo se esté interesado en la elección de un determinado valor para , se hablará de la estimación por intervalo cuando se quiera obener un subconjunto de al que pertenezca la distribución con la que se está trabajando, y se hablará del contraste

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de hipótesis cuando se pretenda únicamente elegir entre dos subfamilias de distribuciones de probabilidad P y P 0 . A continuación se estudiará la Teoría de la Decisión como un modelo más general que unifica las aproximaciones anteriores, para acabar trasladando estos problemas al caso no paramétrico.

1.2.

ESTADÍSTICOS MUESTRALES

El modelo matemático de la Inferencia Estadística viene dado por una variable aleatoria [ a la que se llama universo o población cuya función de distribución I viene determinada por algún elemento de una familia P de distribuciones de probabilidad. En los ejemplos dados en la sección 1.1 I era la distribución de Bernoulli de parámetro , o la normal de media y varianza desconocida, o una Elqrpldo(q> (w)) con (w) variable. El problema es determinar determinar el el elemento elementode delalafamilia familiade dedistribuciones distribucionesde deprobprobabilidad para[. X. Para esto de dispone de de cierta cierta información información que quese seconcreta concreabilidad para se dispone mediante la observación de una muestra. Definición 1.2.1 (muestra aleatoria simple) Dada una población [ se llama muestra aleatoria simple de tamaño q a la repetición de [1 > ===> [q variables aleatorias independientes con distribución igual a la de [. Es decir, la función de distribución de la muestra ({1 > ===> {q ) es q Y I ({l ) I ({1 > ===> {q ) = l=1

donde I ({) es la función de distribución de la población [ que como se ha dicho sigue dada por un elemento de P. ¥ Cuando la población [ tiene un número finito de elementos, {1 > ===> {Q se dispone, básicamente de dos procedimientos para obtener una muestra de tamaño q, q Q . En el primero se puede suponer que cada elemento tiene la misma probabilidad de ser escogido y por tanto ésta es Q1 , es decir sería equivalente a suponer que los Q elementos están metidos en una urna y que se extrae sucesivamente con reposición cada elemento de la urna con probabilidad Q1 , por tanto 1 Q > ===>{{QQ}.}. siendo cualesquieraelementos elementospertenecientes pertenecientesaalalacolección colección{{ {{1 >1===> siendo {{11 yy {{22 cualesquiera En el símil de la urna esto equivale a ir sacando valores con reeemplazamiento. Observamos por tanto que se cumple S {[2 = {2 |[1 = {1 } =

S {[1 = {1 > ===> [q = {q } =

1 Qq

1.2.INTRODUCCIÓN ESTADÍSTICOS MUESTRALES A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 55 y que esta manera de muestrear está de acuerdo con la Definición 1.2.1. No obstante, utilizar este procedimiento con el fin de conocer la población {{1 > ===> {Q } no parece lo más razonable, ya que se podría observar varias veces el mismo elemento. El otro procedimiento posible consiste en suponer que los elementos se extraen sin reemplazamiento. Así el primer elemento es escogido con probabilidad Q1 , y para la obtención del segundo todos los elementos tienen la misma probabilidad pero el elemento a escoger ha de ser diferente del primero; en el símil de la urna sería equivalente a dejar fuera el primer elemento observado y extraer cualquiera de los restantes con equiprobabilidad, con lo que ½ S {[2 = {2 |[1 = {1 } =

0

1 Q31

si {2 = {1 6 {1 si {2 =

En el caso de obtención de la muestra de una población finita sin reemplazamiento no se satisfacen las condiciones de la Definición 1.2.1. Es curioso entonces que el procedimiento de obtener una m.a.s. de una población sea el no intuitivo cuando la población es finita. También es importante el observar que aunque las q variables en el muestreo de una población finita sin reemplazamiento no son independientes, sin embargo las variables están idénticamente distribuidas con distribución marginal S {[l = {} = Q1 para cada { 5 {{1 > ===> {Q } y cada l = 1> ===> q. En efecto, basta observar que S {[1 = {} = Q1 y que por el teorema de la probabilidad total S {[2 = {} =

Q X

S {[1 = {l }S {[2 = {|[1 = {l }

l=1

pero S {[2 = {|[1 = {l } = 0 si { = {l y en otro caso S {[2 = {|[1 = 1 {l } = (Q31) ya que todos los elementos disponibles se escogen con la misma probabilidad, luego S {[2 = {} =

Q X 1 1 1 = = Q Q 1 Q m=1 m6=l

El mismo razonamiento puede aplicarse de forma sucesiva hasta alcanzar q. Si Q es suficientemente grande con respecto a q el muestreo sin reemplazamiento puede aproximarse por el muestreo con reemplazamiento en el sentido de que las probabilidades calculadas tanto en un tipo de muestreo como en el otro, son prácticamente iguales. Ejemplo 1.2.1 Dada una población finita de Q = 500 elementos {1> 2> ===> 500} de la que se extraen muestras de tamaño q = 5, la probabilidad de que todos los valores

66


muestrales sean mayores que 100 cuando se extraen con reemplazamiento es S {[1 A 100> ===> [5 A 100} = =

5 Q

S {[l A 100} ¶ 400 v = 00 32768= 500

l=1 μ

Cuando se extraen sin reemplazamiento la probabilidad es μ ¶μ ¶ 400 100 5 0 μ ¶ S {[1 A 100> ===> [5 A 100} = = 00 326035> 500 5 lo que parece una aproximación aceptable. ¥ Existen otros tipos de muestreo, que en determinadas situaciones prácticas pueden parecer más interesantes, de hecho existen libros enteros dedicados al estudio de los distintos tipos de muestreo. A lo largo del resto del libro, se usará la Definición 1.2.1 como definición de muestra aleatoria correspondiente a una población. Frecuentemente no se trabaja con toda la muestra, tanto por resumir la información como para mimetizar ciertos elementos de la población, por lo que se introduce la siguiente definición. Definición 1.2.2 (estadístico muestral) Dada ([1 > ====> [q ) una muestra aleatoria simple de la población [, a toda i : Rq $ Rn función conocida medible, se la llamará estadístico muestral. Ejemplo q 1.2.2 P [ = q1 [l y l=1

V2 =

1 q31

q P

([l [)2 son estadísticos muestrales. El

l=1

primero es, el conocido como la media muestral y al segundo se le denomina la cuasivarianza muestral. ¥ A continuación se introducen estadísticos muestrales particulares. Definición 1.2.3 (momentos centrales) Se llama momento muestral respecto al origen de orden n a 1X n [l q q

dn =

n A 0=

l=1

El momento de orden uno, es la media muestral, ya citado en el Ejemplo 1.2.2, que se acostumbra a notar por [= Se llama momento muestral respecto al centro de orden n a q 1X ([l [)n n A 0= en = q l=1

1.2.INTRODUCCIÓN ESTADÍSTICOS MUESTRALES A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 77

¥

El momento respecto al centro más utilizado es e2 , la varianza muestral. Es fácil ver que

μ ¶ n en = dn {dn31 + === + (1)n {n = 1

Por consiguiente los momentos muestrales respecto al centro, pueden calcularse en función de los momentos muestrales respecto al origen. En particular la varianza muestral puede ponerse como 2

e2 = d2 [ = Intuitivamente los momentos respecto al origen son medidas de centralización, indican alrededor de qué valores se concentran las observaciones, mientras que los momentos respecto al centro son medidas de dispersión, valores altos indican una mayor dispersión de las observaciones. Proposición 1.2.1 Dada una m.a.s. de tamaño q de una población [ con momento de segundo 2 orden finito, se tiene que H[[] = y Y [[] = q ; siendo = H[[] y 2 = Y [[]= Demostración: " q # q q 1X 1X 1X H [l = H[[l ] = = q q q l=1 l=1 l=1 "μ ¶2 # q 1 P 2 Y [[] = H[([ ) ] = H ([l ) q l=1 5 6 q q q P P P = q12 H 7 ([l )2 + 2 ([l )([m )8 " =

1 q2

l=1

q P

l=1

l=1

Y [[l ] + 2

q P P ¯~=1 mAl

m=1 mAl

#

H[[l ]H[[m ] =

2 q

ya que el segundo sumando es nulo. La hipótesis H[[ 2 ] ? +4 es necesaria para asegurar la existencia de y 2 . Proposición 1.2.2 Dada una m.a.s. de tamaño q de una población con momento poblacional de cuarto orden finito, 4 = H[[ 4 ] ? +4, se tiene que (1.2.1)

H[e2 ] = Y [e2 ] =

q31 2 q 4 3 22 32 2 2 4 q2 2 q

+

4 +3 22 q3

donde n es el momento poblacional de orden n respecto al centro, n = H[([ 1 )n ].


88

Demostración: Sólo se comprobará la primera expresión. Obsérvese que

i 1 Xh 2 H[[l2 ] + H[[ ] 2H[[l [] q q

H[e2 ] =

l=1

siendo inmediato el comprobar que 2

H[[l2 ] = 2 + 2

H[[ ] =

2 + q2 q

H[[l [] =

2 + q2 = q

Ahora es inmediato el comprobar que H[V 2 ] = 2 > la esperanza de la cuasi-varianza muestral V 2 dada por 1 X V = ([l [)2 q1 q

2

(1.2.2)

l=1

es la varianza poblacional. ¥ En la Sección 3.2 se verá la conveniencia de utilizar estadísticos muestrales que tengan de media el parámetro que se pretende estimar. Los momentos muestrales, también pueden introducirse en el caso de muestras de variables q dimensionales. Tan solo se va a abordar en este libro el caso de poblaciones bivariantes. Así, para una m.a.s. ({1 > |1 )> ===> ({q > |q ) se pueden definir los momentos marginales respecto al origen 1X n {l q q

(1.2.3)

dn0 =

1X n |l q q

d0n =

l=1

nA0

l=1

y los momentos muestrales marginales respecto al centro 1X ({l {)n q q

(1.2.4)

en0 =

1X (|l |)n q q

e0n =

l=1

nA0

l=1

pero esta vez se pueden definir además momentos cruzados, el más utilizado es 1X ({l {)(|l |) q q

(1.2.5)

e11 =

l=1

la covarianza muestral y que también acostumbra a notarse como e{| . Se define el coeficiente de correlación muestral mediante (1.2.6) donde e2{ = e20 y e2| = e02 .

u=

e{| e{ e|

1.3.INTRODUCCIÓN ESTADÍSTICA A LA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 99

1.3.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Antes de continuar con el estudio de los momentos, para inferir a partir de ellos características de la población en estudio, se debe tener en cuenta que también es posible no pasar de la etapa de obtención de la muestra y realizar únicamente lo que se llama Estadística Descriptiva. Se entiende ésta como el resumen de los datos, o en terminología más actual el Análisis de Datos. Estos procedimientos, muchos de los cuales incluyen representaciones gráficas, son útiles para revelar la estructura de los datos, que frecuentemente vendrán escritos en columnas dentro de una página o registrados en una salida de un ordenador. Lo primero que se debe tener en cuenta es que, desde este punto de vista, se debe empezar diferenciando entre variable cualitativa, cuando las observaciones sólo pueden clasificarse en categorías no numéricas, como por ejemplo el grupo sanguíneo, tipo de estudios, etc., y variables cuantitativas que son las que toman valores numéricos, como ingresos, número de llamadas a una centralita, altura, etc. De las primeras variables sólo se pueden hacer representaciones gráficas, que permitan hacerse idea de la variable en estudio, existiendo una gran variedad de representaciones; las más frecuentes suelen ser el diagrama de rectángulos y el diagrama de sectores. Ejemplo 1.3.1 Se clasifica una colección de 155 coches, 85 europeos, 26 americanos y 44 japoneses, de acuerdo con el lugar de fabricación. Estos datos pueden representarse gráficamente mediante el diagrama de rectángulos y el diagrama de sectores contenidos en la Figura 1.1

1 3

0,8 0,6 0,4

1

0,2 0 1

2

3

2

Figura 1.1. Diagrama de rectángulos y diagrama de sectores correspondientes al Ejemplo 1.3.1.


10 10

Las variables cuantitativas, por su parte, pueden clasificarse en discretas y continuas, las primeras sólo pueden tomar una cantidad finita o numerable de valores y las segundas pueden tomar cualquier valor en un intervalo acotado o no. Con independencia de si la variable cuantitativas es discreta o continua, y dependiendo básicamente del número de datos de que se disponga, a veces conviene agrupar los n elementos observados en distintas clases F1 > F2 > ===> Fn , siendo {1 > {2 > ===> {n los representantes de las clases y q1 > q2 > ===> qn las frecuencias absolutas, esto es, el número de observaciones dentro de cada clase. Se denota por i1 > i2 > ===> in a las frecuencias relativas n n P P ql = q y il = 1. dentro de cada clase, donde il = ql @q, se verifica que l=1

l=1

Alternativamente si el número de valores es grande se pueden construir las clases, para llegar a la tabla de frecuencias. Otro problema que hay que resolver es el decidir el número de clases s distintas a considerar, generalmente igual a q. También hay que tener presente que cuando los datos se observan pasando antes por una tabla de frecuencias se pierde algo de la información que se tiene cuando se consideran los datos directamente, a cambio se facilita el manejo y la interpretación de los mismos.

Al mismo tiempo se deben escoger los límites que definen los intervalos, de forma que las clases sean de la misma longitud, al menos la mayor parte de ellas, y de manera que cada observación pueda ponerse con precisión en una única clase. Ejemplo 1.3.2 Los siguientes datos, tomados de McPherson (1990), recogen los niveles de colesterol sangre medidos en miligramos de 135 personas: Ejemplo en 1.3.2 Los siguientes datos, tomados de McPherson (1990), recogen los niveles de colesterol en sangre medidos en miligramos de 135 personas: 145 175 192 204 209 217 225 238 253 267 292

145 175 194 204 211 217 227 239 253 267 294

146 175 194 204 211 218 277 241 253 268 296

158 175 195 205 211 218 227 242 254 268 300

158 175 196 205 212 218 227 242 254 268 345

163 178 196 205 212 218 228 243 254 268

168 180 198 205 212 221 230 243 256 273

168 180 198 205 214 221 235 245 256 274

168 180 198 206 214 221 235 245 257 278

168 181 198 206 214 221 235 245 257 283

172 181 201 206 216 223 236 247 261 284

174 187 201 207 217 224 237 248 262 285

175 187 201 208 217 225 238 252 266 289

1.3.INTRODUCCIÓN ESTADÍSTICA A LA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 11 11 Estos datos se clasifican en 11 clases en la siguiente tabla de frecuencias:

Clases 130 150 150 170 170 190 190 210 210 230 230 250 250 270 270 290 290 310 310 330 330 350

Marcas de clase

frecuencias

140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

3 7 16 27 32 18 20 7 4 0 1

frecuencias relativas 0’022 0’052 0’118 0’200 0’237 0’133 0’148 0’052 0’030 0’000 0’007

La tabla permite extraer consecuencias elementales de la colección de datos, en primer lugar el único dato contenido en la última clase, parece ser inusual y puede deberse quizás a una errata de transcripción, un tratamiento estadístico de estas observaciones puede verse en la Sección 8.4.4. En segundo lugar, más de la mitad de los valores tienden a concentrarse sobre las 5 clases más bajas, por lo que la distribución parece asimétrica. ¥ Algunos autores reservan el nombre de variables estadísticas para las colecciones de datos cuando no se hace referencia a la distribución de probabilidad poblacional sobre la que se quieren inferir resultados, no considerándose por lo tanto a éstos datos como una muestra. Aquí no se va a establecer esta distinción.

1.3.1.

Medidas de centralización

Una medida de centralización o localización indica el centro de una colección de números. Si los números provienen de diferentes medidas de la misma cantidad una medida de localización se utiliza para conjeturar el valor de esa cantidad. En otras situaciones la medida de localización representa un resumen de la colección de números, como cuando se dice, la nota media de una clase en un examen es 6’5. Ya se han visto una colección de medidas de localización, los momentos muestrales respecto al origen incluidos en la Definición 1.2.3, el que se usa con mayor frecuencia es el primero { = d1 que cuando los datos están agrupados pasa a ser n X {= il {l = l=1


12 12

La media muestral presenta el inconveniente de depender de todas las observaciones y se ve muy afectada por los valores extremos. Por este motivo se recurre a definir otras medidas de centralización que sean más robustas, es decir menos vulnerables en el sentido antes citado. Definición 1.3.1.1 (mediana muestral) Dada una colección finita de elementos la mediana muestral P es el valor central, entendiendo como tal el valor P = {([ q2 ]+1) si q es impar y P = ´ ³ 1 { q +{ q 2 ( ) ( +1) si q es par. 2

2

Por [{] se entiende la parte entera de { y {(1) === {(q) es la muestra ordenada. Definición 1.3.1.2 (media truncada) Para una colección finita de elementos se llama media truncada de orden con 0 ? ? 00 5, a la media { de los elementos que quedan de quitar el 100 % más bajo y el 100 % más alto de los mismos. Formalmente { =

¡ ¢ 1 {([q]+1) + === + {(q3[q]) q 2[q]

Las medias truncadas más usadas son {00 1 y {00 2 = Ejemplo 1.3.1.1 Para la colección de datos 35 69 72 77 79 79 84 85 86 87 95 la mediana muestral es P = 79 y la media truncada correspondiente a = 00 2 es {00 2 = 17 (72 + 77 + === + 86) = 800 2857

1.3.2.

Medidas de dispersión

Una medida de dispersión o escala indica lo alejados que están los datos respecto a un valor central. Los momentos muestrales respecto al centro, ver Definición 1.2.3, son todos ellos medidas de dispersión. El más usado es véase la Expresión que cuando los datos la cuasivarianza muestral, ver Expresión 1.2.2,1.2.2, que cuando los datos están están agrupados la forma agrupados toma toma la forma 1 X il ({l {)2 V = q1 2

n

l=1

donde il es la frecuencia relativa con que aparece el valor {l , es decir el cociente entre el número de veces que aparece {l partido por el número total

1.3.INTRODUCCIÓN ESTADÍSTICA A LA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 13 13 de observaciones q= La cuasivarianza muestral también presenta el inconveniente de ser muy sensible a errores en los datos; por lo que en homogeneidad con las medidas de localización se recurre a definir otras medidas de dispersión. Definición 1.3.2.1 (cuantiles; recorrido intercuartílico) Dada una colección finita de q números se llama cuantil muestral de orden s, con s 5 (0> 1) al valor { entendiendo como tal el valor {([qs]+1) si qs no es un número entero y 12 ({(qs) + {(qs+1) ) si qs es un número entero. Los cuantiles muestrales más usados son la mediana que se corresponde con s = 1@2 (véase la Definición 1.3.1.1) y los tres cuartiles que se corresponden el primer cuartil con s = 1@4, el segundo cuartil con s = 2@4 (coincide con la mediana), y el tercer cuartil con s = 3@4= Se denomina recorrido intercuartílico muestral (RIM), a la diferencia entre el tercer y primer cuartil muestrales de la misma forma que se denomina recorrido intercuartílico poblacional a la diferencia entre el tercer y primer cuartil poblacional. Se recuerda que dada una función de distribución I se define cuantil poblacional de orden s, al valor {s tal que se verifique (1.3.2.1)

I ({s ) s

y

S {[ {s } 1 s

o de forma equivalente s I ({s ) s + S {[ = {s }= La definición de cuantil muestral puede hacerse de la misma forma cambiando la función de distribución poblacional por la función de distribución empírica, (véase la Definición 1.4.1). Aquí se ha preferido dar una definición esencialmente idéntica, pero que cambie todo un intervalo por un único valor, la semisuma de los extremos. Definición 1.3.2.2 (mediana de las desviaciones absolutas) Dada la colección de q números se llama mediana de las desviaciones absolutas MDA, a la mediana de los números |{l P |, donde P es la mediana muestral. Es también una medida robusta de dispersión en el sentido de que no es demasiado sensible a observaciones erróneas o atípicas. Ejemplo 1.3.2.1 Para la colección de datos 35 69 72 77 79 79 84 85 86 87 95 la cuasivarianza muestral es v2 = 2470 89, el primer cuartil es 72 el tercer cuartil es 86, el recorrido intercuartílico (RIM) es 14, la mediana muestral es 79 y la mediana de las desviaciones absolutas (MDA) es 7.


14 14

1.3.3.

Diagramas de tallos y hojas y de caja

Como ya se ha dicho, la representación más extendida de una colección de datos es mediante la tabla de frecuencias, sin embargo existen otras representaciones adecuadas, que están a medio camino entre la representación numérica y gráfica. Éstas son el diagrama de tallos y hojas y el diagrama de caja, principalmente. El diagrama de tallos y hojas se construye realizando los siguientes pasos: a) se redondea la colección de datos a dos o tres cifras b) las cifras de orden superior determinan los tallos normalmente de una o dos cifras c) a continuación se escribe una raya vertical y se pone la cifra de las unidades de orden inferior que determina las hojas así los datos 1236, 1278 darían lugar, redondeados a tres cifras, a 124, 128 ambos se corresponderían con el tallo 12 y darían lugar a las hojas 4 y 8 con lo que su representación en el diagrama sería 12|48 Ejemplo 1.3.3.1 Para los datos 256 256 257 257 261 262 266 267 267 268 268 268 268 273 274 278 283 284 el diagrama de tallos y hojas correspondiente viene dado por ¯ 4 25 ¯¯ 6677 (13) 26 ¯¯ 126778888 5 27 ¯¯ 348 2 28 ¯ 34 Siguiendo una práctica usual se han incluido delante de los tallos las frecuencias acumuladas hasta llegar al tallo que contiene a la mediana, que se indica con paréntesis. Se observa que las hojas juegan gráficamente el mismo papel, que las frecuencias absolutas correspondientes a las clases en la tabla de frecuencias, con la ventaja de que informan de los valores que realmente toma la variable. ¥ El diagrama de caja es también una representación a medio camino entre numérica y gráfica y recoge la mediana, el recorrido intercuartílico, la presencia de posibles valores discordantes o atípicos, junto con una indicación de la posible asimetría de los datos. El diagrama de caja se construye de la siguiente forma:

1.4 INTRODUCCIÓN PROPIEDADES ASINTÓTICAS DE LOS MOMENTOS. A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 15 15 a) se representan tres líneas horizontales correspondientes a la mediana y al primer y al tercer cuartil, que dan lugar a la caja; b) se trazan dos rectas horizontales, de menor tamaño que las que delimitan la caja y que cubran las observaciones que queden dentro del primer cuartil menos 1’5 RIM y del tercer cuartil más 1’5 RIM; c) se representan por un punto las observaciones que quedan por debajo del primer cuartil menos 1’5 RIM y por encima del tercer cuartil más 1’5 RIM si es que existen. Los diagramas de caja no están estandarizados, la estructura que se acaba de explicar es la más extendida con modificaciones mínimas. Esta representación da una idea de donde se encuentra el centro de la colección, mediante la mediana; de la dispersión de los datos, mediante el RIM; de la asimetría de los mismos, mediante la distancia de los cuartiles a la mediana y por último informa de la posible existencia de observaciones discordantes, o que desentonan demasiado con los restantes datos en el sentido establecido en c). Ejemplo 1.3.3.2 Para los datos del Ejemplo 1.3.2 el diagrama de caja está recogido en la Figura 1.3.3.1 los datos para su constucción son: la mediana 218, el primer cuartil 198 y el tercer cuartil 248. El dato atípico 345 ha dado lugar al

Figura 1.3.3.1. Diagrama de caja correspondiente al Ejemplo 1.3.3.2. punto aislado por encima de las rectas horizontales. Se observa la ligera asimetría de los puntos por encima de la mediana.


16 16

1.4.

PROPIEDADES ASINTÓTICAS DE LOS MOMENTOS MUESTRALES

El objetivo de esta sección es demostrar que los momentos muestrales convergen casi seguro a sus correspondientes momentos poblacionales, lo que justificará la utilización de los primeros para estimar los segundos en una población. La aproximación será entonces mayor cuanto mayor sea el tamaño muestral. Además se incluye la función de distribución empírica. Teorema 1.4.1 Si una población tiene momentos de orden n, el momento muestral respecto al origen de orden n, converge, casi seguro, al momento poblacional respecto al origen de orden n f=v= dn $ n = Demostración: Basta ver que por la ley fuerte de Kintchine (Loève (1963) pág. 239) dada una sucesión de v.a. {\q }qMN con H[|l ] = ? +4 se sigue que f=v= \ q $ P \l . El resultado se obtiene tomando \l = [ln = donde \ q = q1 Teorema 1.4.2 Si una población tiene momentos de orden n, el momento muestral respecto al centro de orden n, converge, casi seguro, al momento poblacional respecto al centro de orden n f=v= en $ n = Demostración: Si se tiene en cuenta que μ ¶ n en = dn { dn31 + === ± {n 1 (l)

y que si {[q }qMN l = 1> ===> s converge c.s. a [ (l) y es j una función continua de Rs en R, entonces f=v=

(s) (1) (s) j({(1) q > ===> {q ) $ j({ > ===> { )>

$ resultado que se demuestra fácilmente, ya que si se denota por [ q = $ $ $ $ $ f=v= (1) (s) ([q > ===> [q ) y [ = ([ (1) > ===> [ (s) ), por [ q $ [ S { l´ım [ q = [ } = q<" $ $ $ 1. Pero el suceso l´ım [ q = [ está contenido en el suceso l´ım j( [ q ) = {<" q<" $ $ $ $ j( [ ) puesto que si l´ım [ q = [ aplicando j se sigue que j( l´ım [ q ) = q<" q<" $ $ $ j( [ ) y por ser j continua l´ım j( [ q ) = j( l´ım [ q ); luego q<"

q<"

$ $ S { l´ım j( [ q ) = j( [ )} = 1 q<"

1.4 INTRODUCCIÓN PROPIEDADES DE LOSY MOMENTOS. A LA ASINTÓTICAS ESTADÍSTICA MATEMÁTICA ESTADÍSTICOS MUESTRALES 17 17 (l)

tomando como j la expresión para en y como [q los momentos respecto al f=v= origen al variar l, se obtiene que en $ n = ¥ También se puede probar la convergencia en ley de los momentos muestrales hacia la distribución normal. Teorema 1.4.3 Si la población tiene momentos de orden 2n respecto al origen entonces se tiene la siguiente convergencia en ley d n s L qn q $ ] Q (0> 1)= 2n 2n Demostración: Basta utilizar el teorema central del límite, {\q } con v.a.i.i.d= con momento de segundo orden y H[\q ] = Y [\q ] = 2 ? +4 s entonces \ 3 q $ ] Q(0> 1)= Se puede considerar entonces \q = [qn , dn = \ con lo que = n y 2 = 2n 2n = ¥ La convergencia en ley de los momentos muestrales respecto al centro queda recogida en el siguiente resultado: Teorema 1.4.4 Si existe el momento poblacional respecto al origen de orden 2n entonces s en n L qq $ ] Q 5 (0> Q (0> 1)=1)= 2n 2n 2n n31 n+1 + n 2 2n31 2 Demostración: Puede verse en Cramér (1973) pág. 419 y se apoya en el Lema 1.4.1 que tiene interés por sí mismo por lo que se va a demostrar a continuación. Además el siguiente resultado, que relaciona la convergencia en ley con la convergencia en probabilidad, también será de utilidad en el estudio de convergencias a lo largo del texto. Teorema 1.4.5 (Slutsky) L S Si [q $ [ y \q $ d entonces se tiene que L

I) \q [q $ d[ L II) [q + \q $ [ + d Demostración: puede verse en Bickel y Doksun(1977) pág. 461. Lema 1.4.1 Si {dq } es una sucesión de constantes con l´ım dq = +4 y d es un número L

q<"

fijo, tal que dq ([q d) $ [, entonces para cualquier función j : R $ R con derivada continua y no nula en d, se tiene que L

dq (j([q ) j(d)) $ j 0 (d)[


18 18

Demostración: Si se desarrolla j([q ) alrededor de j(d) en serie de Taylor, se tiene j([q ) = j(d) + ([q d)j 0 (d0q ) S

donde |d0q d| |[q d|. Ahora bien de las hipótesis se sigue que [q $ d ya que si se considera [q d = d1q [dq ([q d)] como la expresión entre corchetes converge en ley a [ y d1q $ 0, por el Teorema de Slutsky se S

S

tiene que [q d $ 0= Por tanto d0q $ d. Como q (j([q ) j(d)) = S dq ([q d)j 0 (d0q ) y la función j 0 es continua en d, entonces j 0 (d0q ) $ j 0 (d) por lo que aplicando otra vez el Teorema de Slutsky se obtiene el resultado deseado. ¥ Debido a su carácter más elemental, se incluye la obtención de la distribución asintótica del momento muestral respecto al centro más sencillo: la varianza muestral. Teorema 1.4.6 Para m.a.s. de una población con momento 4 finito, la distribución límite q P de e2 = q1 ([l [)2 es tal que 1

p s L q(e2 2 ) $ ] Q (0> 4 4 ) Demostración: Se puede poner e2 =

1X 1X ([l ([ ))2 = (\l \ )2 q q q

q

l=1

l=1

donde las variables \l = [l son independientes, tienen de media 0 y de varianza 2 = Como q 1X 2 2 e2 = \l \ q l=1

se tiene que s s q(e2 2 ) = q

Ã

1X 2 \l 2 q q

!

s 2 q\ =

l=1

Pero

como

s 2 q\ = (q1@4 \ )2

y

s q1@4 \ = q31@4 q\ ;

s L q\ $ ] Q (0> )

1.4 INTRODUCCIÓN PROPIEDADES DE LOSY MOMENTOS. A LA ASINTÓTICAS ESTADÍSTICA MATEMÁTICA ESTADÍSTICOS MUESTRALES 19 19 S

(en virtud del Teorema 1.4.3) y q31@4 $ 0; luego por el Teorema de Slutsky, L q1@4 \ $ 0 y por tanto converge también en probabilidad, con lo que su s 2 cuadrado, q\ converge en probabilidad hacia 0. Por el Teorema 1.4.3, ! Ã q p s 1X 2 L 2 q \l $ ] Q (0> 4 4 )> q l=1

puesto que

# # " q q 4 Y [\l2 ] 1X 2 1X 2 2 = 4 = H \l = | Y \l = q q q q "

l=1

l=1

Otra vez más por el Teorema de Slutsky Ã q ! p s s 2 L 1X 2 q \l 2 q\ $ ] Q (0> 4 4 )= q l=1

Ejemplo 1.4.1 Si se sabe que

s L q(]q ) $ [

donde [ Q (0> ()), lo que ocurre por ejemplo para ]q = [ en una población con momento de orden 2 finito y media , entonces s L q(j(]q ) j()) $ \ con \ Q (0> |j 0 ()|()), sin más que exigir que j tenga derivada continua y no nula en el punto = Ejemplo 1.4.2 (estabilización de la varianza) Dada una v.a., si se conoce la distribución asintótica de una función sencilla de ella, como ocurre en el Ejemplo 1.4.1, se puede tratar de obtener una función cuya varianza se independiente de = Por ejemplo, si [ sigue una distribución de Poisson P(), entonces, por el teorema central del límite ¢ L s ¡ q [ $ ] s con ] Q (0> )> s L q(j([) j()) $ \ s s con \ Q (0> |j 0 ()| )= Se trata de obtener una función j tal ques j 0 () no dependa de = Esto se consigue, por ejemplo, con j() = , pues s s 0 1 j () = 2 . Por tanto j([) = [ es tal que s ´ L s ³p q [ $ \ con \ Q (0> 1@2)=


20 20

Ejemplo 1.4.3 Para una población de Bernoulli de parámetro > la distribución asintótis ca de q[(1 [) puede calcularse, debidamente centrada, a partir de la distribución de [. Por el teorema central del límite se sabe que p ¢ L s ¡ q [ $ ] Q (0> (1 )) luego si se considera j() = (1 ) se sigue, aplicando el Lema 1.4.1, que p s L q([(1 [) (1 )) $ ] 5 Q (0> |1 2| (1 ))= ¥ Otro estadístico muestral importante es la función de distribución empírica o muestral. Definición 1.4.1 (distribución empírica) Dada una realización particular de una muestra ({1 > ===> {q ) viene definida mediante ; { ? {(1) ? 0 si n n = 1> ===> q 1 IqW ({) = { { ? {(n+1) si (n) = q 1 si { {(q) donde se recuerda que ({(1) > ===> {(q) ) es la muestra ordenada de menor a mayor. ¥

Alternativamene la función IqW ({) puede ponerse como 1X L(3">{] ({l )= q q

(1.4.1)

IqW ({) =

l=1

f=v=

Para todo { se verifica que IqW ({) $ I ({), siendo I ({) la función de distribución de la población. En efecto, haciendo \l = L(3">{] ({l ) se tiene que H[\l ] = I ({), Y [\l ] = I ({)[1 I ({)] y IqW ({) = \ = Aplicando ahora la ley fuerte de los grandes números se obtiene la convergencia c.s. citada. Además, de la Expresión (1.4.1) se sigue, por el teorema central del límite, que s I W ({) I ({) L qp q $ ] Q (0> 1)= I ({)[1 I ({)] La convergencia casi seguro puede refinarse aún más como indica el siguiente teorema, que es llamado por algunos el teorema central de la estadística.

1.5.INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIONES EN EL MATEMÁTICA MUESTREO A LA ESTADÍSTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 21 21 Teorema 1.4.7 ( Glivenko-Cantelli) Si se tienen m.a.s. de tamaño q de una población [, con función de distribución I ({), para cualquier número real positivo arbitrario %, se tiene que ½ ¾ W l´ım S sup|Iq ({) I ({)| % = 0= q<"

{MR

Demostración: La demostración puede verse en Fisz (1963) pág. 391. ¥ Es importante señalar que en este teorema la probabilidad del primer miembro está obtenida a partir de la distribución I ; por lo que sería más correcto emplear la notación SI en lugar de S= En virtud del Teorema 1.4.7 si se quiere determinar de forma aproximada la función de distribución, se puede obtener una m.a.s. de tamaño q gande, construir a partir de ella la función de distribución empírica IqW y esperar que IqW ({) sea una buena aproximación de I ({)= Ejemplo 1.4.4 W (0) a partir Es inmediato, mediante un programa de ordenador, construir I100 de una m.a.s. de una población Q (0> 1). Por ejemplo, simulando una muestra de 100 valores de la distribución Q (0> 1) se observa que son 52 menores o W (0) = 0> 52. Es sabido que el valor de iguales que 0, por lo tanto es I100 la función de distribución de la Q (0> 1) en el punto 0 es 00 5, por lo que la aproximación es bastante buena.

1.5.

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO ASOCIADAS A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

El Teorema de Glivenko-Cantelli justifica de alguna manera, la sustitución de los parámetros desconocidos de la función de distribución de la población, por sus características análogas calculadas a partir de la muestra. Es por tanto interesante estudiar las distribuciones de los estadísticos muestrales cuando la población de partida es conocida. Debido al papel central de la distribución normal en el Cálculo de Probabilidades, se estudia a continuación la distribución de los momentos muestrales cuando la población es normal.

1.5.1.

Distribución de la media muestral

Dada una m.a.s. de tamaño q de una población X con distribución Q (> ), se sigue que la distribución de la media muestral [ es una Q(> Iq )=

22 22


En efecto, la función característica de la media muestal es l qw

*[ (w) = H[h

q P 1 2

[l

lw3 12 q w2

=h

2 l qw 3 12 2 w2 q

] = [*[ ( qw )]q = h

q

que es la función característica de la distribución Q (> Iq )=

1.5.2.

Distribución del momento muestral respecto al origen de orden dos

Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (0> ) la distribución de q P d2 = 12 [l2 viene dada por 1

(1.5.2.1)

j(|) =

μ ¶q@2 q q 1 q h3 22 | | 2 31 q 2 q@2 2 ( 2 )

| 0=

con

Procediendo por pasos sucesivos, si [ tiene distribución Q(0> 1) la distribución de [ 2 es una gamma (d = 12 > s = 12 ), ya que para | 0 s s s S {[ 2 |} = S { | [ |} = 2( |) 1 con la función de distribución de la v.a. Q (0> 1). Derivando respecto de | s i[ 2 (|) = *( |)| 31@2 donde * es la función de densidad de la Q (0> 1)= Por tanto, la densidad de [ 2 1 1 es I12 h3 2 { {3 2 , con { 0= Como la función característica de la distribución q ¢3s ¡ P [l2 , cuando Gamma (d> s) es 1 2lw , se sigue que la distribución de d 1

[l se distribuye Q (0> 1), es una Gamma (d = 12 > s = q2 ), es decir (1.5.2.2)

i ({) =

1 2q@2 ( q2 )

1

q

h3 2 { { 2 31

con

{ 0=

A una v.a. con esta densidad se la denomina variable aleatoria "2q , donde el parámetro q recibe el nombre de número de grados de libertad= Es fácil establecer (ver Ejercicio 1.9.14) que la media de la distribución "2q es q y que su varianza es 2q. En la Figura 1.5.2.1 pueden verse distintas representaciones de la función de densidad al variar el número de grados de libertad.

1.5 INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 23 23

Figura 1.5.2.1. Funciones de densidad de la v.a. "2q para q = 2> 5> 10= Se puede entonces introducir la siguiente distribución. Definición 1.5.1 (distribución "2q ) Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (0> 1) ([1 > ===> [q ) la v.a. \ = q P [l2 tiene una distribución "2q con q el número de grados de libertad, o l=1

de forma equivalente cuando su función de densidad es i"2q ({) =

(1.5.2.2)

1 q 1 h3 2 { { 2 31 2q@2 ( q2 )

con

{0

Al final del libro, en el Apéndice titulado Tablas, la Tabla 4 recoge cuantiles útiles de la distribución "2q para diferentes valores de q. A título de ejemplo la probabilidad de que la distribución "224 tome un valor superior a 360 4 es 1 00 95 = 00 05. La distribución "2q puede generalizarse al caso en que las variables [l sean independientes pero tengan distribución Q (l > 1) q P [l2 es con l 6= 0. Ya que la función característica de l=1

lw

H[h

q P l=1

[l2

] = = =

R

R

lw

=== h

1 (2)q@2

R

q P 1

1 {2m 3 2

h

q P

({m 3m )2

m=1

1 g{1 ===g{q (2)q@2 q q 2 S S m m 1 ({m 3 132lw )2 3 (13 132lw ) 2

R 3 132lw 2 m=1 === h

R 1 1 h3(13 132lw ) (2)q@2

m=1

m ({m 3 132lw )2 3 132lw 2 m=1

R === h

g{1 ===g{q

q S

g{1 ===g{q

24 24


donde =

1 2

q P 1

2m = Como 1

h3(13 132lw ) (1 2lw)3q@2 = h3 (1 2lw)3q@2 =

h3

" P m=0

m m! (1

" P m=0

m m!(132lw)m q

2lw)3( 2 +m)

mediante el teorema de inversión de la función característica, (véase Loève(1963) pág. 188), se obtiene la función de densidad, que resulta ser R +" 3lw{ 1 *(w)gw i ({) = 2 3" h " P { q m (1.5.2.3) h3 m! q +m 1 q h3 2 { 2 +m31 con { 0 = m=0

22

K( 2 +m)

densidad correspondiente a la v.a. "2q no centrada con parámetro de no q P centralidad = 12 2m y q número de grados de libertad. 1

¥

Para obtener la distribución de otros momentos muestrales, se necesita el siguiente resultado que recoge la distribución de ciertas funciones de v.a. normales. Lema 1.5.1 Dada una m.a.s. de tamaño q ([1 > ===> [q ) de una población Q (0> ), si se construyen las v.a. 3 4 [1 E F \l = f0l [ = (fl1 > ===> flq ) C ... D l = 1> ===> s [q donde s es menor que q> con f0l fm = lm ( lm = 1 si l 6= m), la v.a. s q X X 2 [l \l2 > ]= l=1

es tal que \1 > ===> \s .

] 2

"2q3s ,

l=m

y

lm = 0 si

l=1

y además la v.a. ] es independiente de las variables

Demostración: Inicialmente se determinan q s vectores más fl de dimensión q × 1 para l = s + 1> ===> q> que sigan cumpliendo la restricción f0l fm = lm ; esto siempre es posible ya que se puede encontrar en Rq una base ortonormal de q elementos cuyos s primeros vectores sean los vectores fl , l = 1> ===> s. Se tiene entonces \l = f0l X

l = 1> ===> q

1.5 INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 25 25 o escrito matricialmente Y = FX= Es claro que H[\l ] = f0l H[[] = 0 y por ser las variables \l combinaciones lineales de variables normales, tienen distribución normal de media 0, varianza 2 y son independientes, pues Fry(\l > \m ) = 2

q X

fln fmn = 2 lm =

n=1

Si ahora se expresa la variable aleatoria ] en función de las v.a. \l ] = X0 X

s X

\l2 = Y0 FF 0 Y

l=1

s X

\l2 =

l=1

con lo que ] es independiente de \1 > ===> \s y además Definición 1.5.2.1, tiene distribución "2q3s .

q X

\l2

l=s+1 ] , 2

de acuerdo con la

Teorema 1.5.1 (Fisher) Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) se tiene que e2 , momento muestral respecto al centro de orden 2 y [, media muestral, son variables aleatorias independientes, además [ tiene distribución Q (> Iq ) y q e22 tiene distribución "2q31 . Demostración: Basta observar que qe2 = =

q P

([l [)2 =

l=1 q P

q P

([l ([ ))2

l=1

¢2 ¡ ([l )2 q [ =

l=1

Dado que \l Q (0> ), se puede aplicar el Lema 1.5.2.1 con s = 1> 3 4 [1 ¶ μ 1 1 E F .. \1 = s > ===> s C D . q q [q y ] = qe2 . Entonces q e22 "2q31 es independiente de \1 y, por tanto, también de [. En definitiva, en m.a.s. de una población Q (> ), la media muestral [ y la cuasivarianza muestral son v.a. independientes y además son conocidas sus distribuciones.

1.5.3.

Distribución del cociente entre la media muestral y el momento respecto al origen de orden dos

Para encontrar la distribución de este cociente es necesario introducir la distribución de Student, la segunda distribución en el muestreo asociada

26 26


a poblaciones normales. Se supone que [> [1 > ===> [q son v.a. independientes con distribución Q (0> ), y se pretende encontrar la distribución de la variable [

Wq = s

(1.5.3.1)

1 q

=

q P

[l2

l=1

Para determinar su función de densidad, se puede suponer que todas las variables son Q (0> 1) ya que dividiendo por numerador y denominador ]

W =s 1 q

q P l=1

= ]l2

] \

las v.a. ]l Q (0> 1). Con ello las funciones de densidad de ] e \ , véase la Expresión 1.5.2.2, son 1 2 1 i (}) = s h3 2 } para } 5 R, 2 q q 2 q2 i (|) = q 31 q h3 2 | | q31 para | A 0> 2 2 ( 2 )

y la densidad conjunta de ] e \ es i (}> |) = i (})i (|)= Haciendo el cambio W = \] X = \ , cuyo jacobiano vale X , se obtiene como densidad conjunta de W y X 1

2 +q)x2

i (w> x) = nh3 2 (w donde n = qq@2 @(2 ginal mediante

q31 2

Z i (w) =

xq

para w 5 R x 0

( 12 )( q2 ))= La densidad de W se obtiene como marZ

+"

i (w> x)gx = n

0

0

+"

1

2 +q)x2

h3 2 (w

xq gx

el cambio en la integral x2 = { hace que ésta quede Z Z +" 1 +" 3 q+w2 { q 3 1 3 12 (w2 +q)x2 q h x gx = h 2 { 2 2 g{ 2 0 0 y mediante la expresión Z 0

+"

h3d{ {s31 g{ = (s)d3s

1.5 INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 27 27 con d =

q+w2 2

ys=

q 2

+ 12 , se tiene que la integral vale 1 2

μ

q + w2 2

¶3 q+1 2

μ

q+1 2

¶

de donde q

(1.5.3.2)

q2

1 i (w) = q 1 1 q 3 2 2 2 2 ( )( ) 2

2

μ

q + w2 2

¶3 q+1 2

μ

q+1 2

¶ =

Se llega así a la siguiente definición. Definición 1.5.3.1 (distribución de Student) Dadas las v.a. independientes [> [1 > ===> [q con distribución Q (0> 1) la v.a. ,s q 1 P Wq = [ [l2 tiene una distribución Wq de Student con n grados de q l=1

libertad. De forma equivalente, una v.a. Wq tiene esta distribución, cuando su función de densidad es ¢ ¡ μ ¶3 q+1 2 q+1 w2 2 w 5 R. iWq (w) = s ¡ 1 ¢ ¡ q ¢ 1 + (1.5.3.3) q q 2 2 Es fácil establecer (véase el Ejercicio 1.9.15) que la media de la distribuq si q A 2= ción Wq es 0 y que la varianza es Y [Wq ] = q32

Figura 1.5.3.1. Funciones de densidad de la v.a. de Student para q = 5> 10> 30= En la Figura 1.5.3.1 pueden verse distintas representaciones de la función de densidad (1.5.3.3), al variar el número de grados de libertad q= Al final del libro en el Apéndice titulado Tablas, la Tabla 5 recoge cuantiles útiles de la distribución Wq para diferentes valores de q. A título de ejemplo, para la W25 se pueden calcular dos valores, lo más próximos posible, de manera que sea 00 9 la probabilidad de que la v.a. W25 esté entre ellos. Por simetría ha de ser S {w ? W25 ? w} = 00 9

28 28


o lo que es lo mismo S {W25 w} = 00 95 de donde estos valores son -10 708 y 10 708. Si en (1.5.3.1) la variable [ tiene una distribución Q (> ) y las v.a. restantes tienen distribución Q (0> ), entonces las v.a. Wq tiene la llamada distribución Wq de Student no central, su función de densidad puede verse en Giri(1993) pág. 202. Además, se observa que el denominador de la expresión que define Wq es la raíz cuadrada de una variable con distribución "2q dividida por su número de grados de libertad, mientras que el numerador tiene distribución Q(0> 1) e independiente de la variable "2q . Esto permite establecer el siguiente corolario. Corolario 1.5.3.1 Para m.a.s. de tamaño n de una población Q (> ) la distribución de la variable [ s Wq31 = q V con V 2 la cuasivarianza muestral, es una distribución de Student con q 1 grados de libertad. s Demostración: La variable [3 q tiene distribución Q (0> 1) y la vari 2 able (q 1) V2 tiene distribución "2q31 como por el teorema de Fisher, ver Teorema 1.5.2.1, ambas son independientes, se sigue el resultado. ¥ Una segunda aplicación de la distribución de Student permite encontrar la distribución en el muestreo de ciertos estadísticos en distintas poblaciones normales. Corolario 1.5.3.2 Si ([1 > ===> [p ) es una m.a.s. de una población Q (1 > ) e (\1 > ===> \q ) es una m.a.s. de una población Q (2 > ) y además son independientes, entonces la distribución de Wp+q32 =

(1.5.3.4)

[ \ (1 2 ) q > 1 Vs p + q1

donde (1.5.3.5)

Vs2 =

£ ¤ 1 (p 1)V12 + (q 1)V22 > p+q2

recibe el nombre de cuasivarianza muestral ponderada, con V12 y V22 las cuasivarianzas muestrales respectivas, y su distribución es una W de Student con q + p 2 grados de libertad.

1.5 INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 29 29 Demostración: La diferencia de medias muestrales [ \ se distribuye q 1 1 Q (1 2 > p + q ) tipificando esta variable se obtiene una distribución

Q (0> 1). El Teorema de Fisher y la reproductividad de la distribución "2 V2 V2 hace que (p 1) 12 + (q 1) 22 se distribuya como una variable "2p+q32 , siendo además independiente de [ \ . Finalmente, de la Definición 1.5.3.1 se sigue el resultado. ¥ El razonamiento que se ha seguido es también aplicable aunque las dos varianzas de las poblaciones sean diferentes, en este caso la Expresión expresión (1.5.3.4) depende de los valores 21 y 22 , hecho que será de capital importancia más adelante, véase la Sección 4.3.

1.5.4.

Distribución del cociente de momentos de orden dos respecto al origen.

Dadas dos m.a.s. ([1 > ===> [p ) e (\1 > ===> \q ) independientes y con distribución Q (0> 1) se trata de calcular la función de densidad del cociente p P

1 p

Ipq =

(1.5.4.1)

Como

p P l=1

[l2

l=1 q P

1 p

l=1

\l2

=

[l2 tiene de distribución una "2p y

q P l=1

\l2 tiene una distribución

"2q , notando por Ipq = X@Y se tiene que la función de densidad de X es p

p p p2 i (x) = p p x 2 31 h3 2 x 2 2 ( 2 )

para x 0

luego la función de densidad conjunta de X y Y , dada su independencia es p

1

q

i (x> y) = nx 2 31 y 2 31 h3 2 (pq+qy) siendo

p

n=

para x 0> y 0

q

p 2 q2 2

p+q 2

q ( p 2 )( 2 )

haciendo el cambio V = YX y W = Y , con lo que X = VW y Y = W , el jacobiano es W y se sigue que p

q

i (v> w) = n(vw) 2 31 w 2 h3

pv+q w 2

con lo que si se utiliza que μ ¶μ ¶ p+q Z +" p+q pv+q p+q pv + q 3 2 w 31 3 w 2 h 2 gw = 2 2 0

30 30


se obtiene que la función de densidad marginal de la variable V es

(1.5.4.2)

¡ ¢ p+q p+q p q p 2 i (v) = ¡ p ¢ ¡ q ¢ p 2 q 2 v 2 31 (pv + q)3 2 para v A 0 2 2

Este desarrollo induce la siguiente definición.

Definición 1.5.4.1 (distribución de Snedecor) Dadas las m.a.s. ([1 > ===> [p ) de una población Q (0> 1) e (\1 > ===> \q ) de una población Q (0> 1), si ambas muestras son independientes, la v.a. 1 p

Ip>q =

1 q

p P l=1 q P l=1

[l2 \l2

tiene una distribución I de Snedecor con (p> q) grados de libertad, o de forma equivalente, una v.a. tiene esta distribución cuando su función de densidad es

(1.5.4.2)

¡ p ¢ p ¡ p+q ¢ ³ 2 p p ´3 p+q 2 i ({) = q ¡ p ¢ ¡ q2 ¢ { 2 31 1 + { q 2 2

para { A 0

Es sencillo obtener (véase el Ejercicio 1.9.16) que la media de la v.a. Ip>q es H[Ip>q ] = q@(q 2) si q A 2 y que la varianza es

Y [Ip>q ] =

2q2 (p + q 2) p(q 2)2 (q 4)

si q A 4= En la Figura 1.5.4.1 pueden verse algunas representaciones de la función de densidad de Snedecor con distintos grados de libertad. De la definición de la v.a. de Snedecor se sigue que si la distribución de [ es una Ip>q , entonces la distribución de [ 31 es una Iq>p . Resultado útil a la hora de determinar los cuantiles de la distribución de Snedecor. También es fácil comprobar que si la distribución de la v.a. [ es una Wq de Student, la distribución de la v.a. [ 2 es la distribución de Snedecor I1>q =

1.5 INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 31 31

Figura 1.5.4.1. Funciones de densidad de las v.a. Ip>q de Snedecor .

final del dellibro, libro,enen Apéndice titulado Tablas, Al final el el Apéndice titulado Tablas útiles,lalaTabla Tabla66recoge recoge los cuantiles de órdenes 0,95 y 0,975 de la distribución Ip>q para diferentes valores de p y q. Como utilización de la Tabla, si se quiere calcular para la distribución de Snedecor I5>4 la probabilidad

S {I5>4 A 9} = 1 S {I5>4 9}

sólo se podría acotar esta probabilidad, de acuerdo con la Figura 1.5.4.2, y se sabría que está entre 00 025 = 1 00 95 y 00 05 = 1 00 95. Con el concurso de cualquier paquete estándar de estadística se puede aproximar esta probabilidad por 00 0268. Si se quiere calcular la probabilidad

S {I5>4 00 16}

se puede utilizar el hecho de que si [ tiene distribución de Snedecor Ip>q la variable aleatoria [ 31 tiene de distribución Iq>p . Por lo tanto

32 32


Figura 1.5.4.2. Acotación de la probabilidad S {I5>4 9}.

S {I5>4 00 16} = S {I4>5 A 00 1631 } = S {I4>5 A 60 25} Trabajando como antes, a partir de la Tabla de la I4>5 sólo se obtiene que

S {I4>5 50 19} = 00 95 S {I4>5 7> 39} = 00 975= Otra vez con el concurso informático puede verse que S {I4>5 6> 25} = 00 965

y la probabilidad deseada es S {I5>4 00 16} = 1 00 935 = 00 035= La distribución de Snedecor no centrada, se obtiene como el cociente de dos "2 independientes entre sus grados de libertad respectivos, y cuando la distribución del numerador únicamente es no centrada. La expresión de su función de densidad puede verse, por ejemplo, en Giri (1993) pág. 203. Se observa que en la definición de la distribución de Snedecor se puede partir de poblaciones Q (0> ), pues el valor de la varianza se simplifica al estar en el numerador y el denomindador. Como aplicación, se puede encontrar la distribución del cociente de cuasivarianzas muestrales. Corolario 1.5.4.1 Si ([1 > ===> [p ) es una m.a.s. de una población Q (1 > 1 ) e (\1 > ===> \q ) es una m.a.s. de una población Q (2 > 2 ) y ambas muestras son independientes, la v.a. (1.5.4.3)

Ip31>q31 =

V12 22 V22 21

1.6.INTRODUCCIÓN ESTADÍSTICOS ORDENADOS A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 33 33 donde V12 y V22 son las cuasivarianzas muestrales respectivas, tiene una distribución de Snedecor con (p 1> q 1) grados de libertad.

1.6.

ESTADÍSTICOS ORDENADOS

Como se ha visto, la función de distribución empírica de la muestra IqW converge casi seguro y uniformemente a la función de distribución de la población I . Es intuitivo por tanto, basarse en los estadísticos ordenados [(1) > ===> [(q) para conocer características de ésta distribución. Además ya se ha dicho que existen estadísticos, que son función de los estadísticos muestrales y que dependen poco de observaciones muy grandes o muy pequeñas. Entre los estadísticos muestrales función de los estadísticos ordenados es importante el recorrido muestral, U = [(q) [(1) que es también una medida de la dispersión de la muestra y que por tanto cabe esperar que suministre información de la dispersión de la población. Ya se han definido la mediana muestral, véase la Definición 1.3.1.1, y los cuantiles muestrales, véase la Definición 1.3.2.1. Como los estadísticos ordenados son funciones de la muestra y los valores muestrales son funciones de la función de distribución de la población, cabe pensar que también los estadísticos muestrales permitan estudiar características de la población.

1.6.1.

Distribución marginal del estadístico muestral de orden n

Cuando la distribución de la población es discreta, la distribución del estadístico [(n) puede verse en el Ejercicio 5.9.1. El siguiente teorema estudia el caso en que la distribución de la población sea continua. Teorema 1.6.1.1 La función de distribución de [(n) , el estadístico muestral ordenado de orden n de una población con función de distribución continua I ({) y función de densidad i ({), viene dada por (1.6.1.1)

q μ ¶ X q I[(n) (|) = (I (|))l (1 I (|))q3l l l=n

y su función de densidad (1.6.1.2)

i[(n) (|) =

q! (I (|))n31 (1 I (|))q3n i (|)) (n 1)!(q n)!

Demostración: El suceso {[(n) |} es equivalente al suceso {al menos n valores muestrales son menores que |}, de donde se sigue la expresión

34 34


(1.6.1.1). La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución: i[(n) (|) =

q £¡ ¢ P q l=n

l(I (|))l31 i (|)(1 I (|))q3l ¡q¢ ¤ l (I (|))l (q l)(1 I (|))q3l31 i (|) l

Si se cancelan términos y se tiene en cuenta que para l = q en la Expresión (1.6.1.1) no aparece el término en la potencia 1 I (|), se obtiene el enunciado. ¥ Para demostrar el teorema anterior, se puede recurrir al siguiente razonamiento, más directo, que admite una fácil generalización para obtener la densidad conjunta de varios estadísticos ordenados. El razonamiento se basa en la distribución trinomial. De acuerdo con la definición de derivada i[(n) (|) = l´ım

{|<0

= l´ım

{|<0

k-1

|

I[(n) (|+{|)3I[(n) (|) {|

=

S {|?[(n) $|+{|} {|

1

| + |

n-k

Figura 1.6.1.1. Imagen de la muestra para que el estadístico ordenado sea compatible con [(n) = |= Por lo tanto, para que se dé el suceso {[(n) |}, de acuerdo con la Figura 1.6.1.1, ha de haber en la muestra n 1 observaciones en el intervalo (4> |], una en el intervalo (|> | + |) y q n observaciones en el intervalo (| +|> +4)= Las probabilidades respectivas de los tres intervalos son I (|)> I (| + |) I (|) y 1 I (| + |); luego mediante la distribución trinomial se tiene S {| [(n) | + |} = q! (I (|))n31 (I (| + |) I (|))(1 I (| + |))q3n = (n 1)!1! (q n)! si se dividen ambos miembros por |, se toman límites y se utiliza la continuidad de I> se obtiene que i[(n) (|) puede ponerse como (1.6.1.2).

Teorema 1.6.1.2 Si ] es [(n) el estadístico muestral ordenado de orden n, se nota por }s el cuantil de orden s de la función de distribución de la variable aleatoria, con

1.6.INTRODUCCIÓN ESTADÍSTICOS ORDENADOS A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 35 35 n = [qs], y si la función de distribución de la población tiene función de densidad continua y estrictamente positiva en }s , se tiene que μ

q s(1 s)

¶1@2

L

i (}s )([(n) }s ) $ ]

con ] v.a. Q (0> 1)= Demostración: Puesto que q μ ¶ X q I[(n) ({) = (I ({))m (1 I ({))q3l > l l=n

si se aproxima la distribución Binomial por la Normal correspondiente, se puede aproximar I[(n) ({) mediante Ã 1

(1.6.1.3)

n qI ({) p qI ({)(1 I ({))

! >

siendo la función de distribución de la v.a. Q (0> 1). Por tanto ) (μ ¶1@2 q i (}s )([(n) }s ) = S {[(n) xs } S s(1 s) donde

Ã ,"μ xs = {

q s(1 s)

¶1@2

#! i (}s )

+ }s

y mediante (1.6.1.3) 1 I[(n) (xs ) = 1 ((s I (xs ))@[ I (xs )(1 I (xs ))]1@2 )= q Si se toman límites cuando q tiende a infinito y se elimina la indeterminación por la regla de L’Hôpital, se obtiene que dicho límite vale ! Ã {(s(1 s))1@2 i (}s )@s(13s)1@2 = 1 ({) = ({)= 1 i (}s )

1.6.2.

Distribución conjunta de varios estadísticos ordenados

El razonamiento de la distribución trinomial que se ha seguido para encontrar la distribución marginal del estadístico muestral de orden n, puede generalizarse para hallar la distribución conjunta de cualquier subconjunto de u estadísticos muestrales ordenados [(n1 ) > ===> [(nu )

con 1 n1 ? n2 ? === ? nu q.

36 36

CAP. 1. INTRODUCCIÓN AESTADÍSTICA LA ESTADÍSTICA MATEMATICA INFERENCIA La configuración de la muestra puede verse en la Figura 1.6.2.1.

n1 1

|1

n2 n1 1

n1

|2 · · · n2

|u31

nu nu31 1

|u

q nu

nu

nu31

Figura 1.6.2.1. Configuración muestral compatible con X(n1 ) =y1 ,...,X(nu ) =yu = Si se desprecian los infinitésimos, ya que van a desaparecer al tomar límites, se puede utilizar la distribución multinomial para obtener que la función de densidad conjunta viene dada por (1.6.2.1) q! (I (|1 ))n1 31 i[(n1 ) ===[(nu ) (|1 > ===> |u ) = n1 1!n2 n1 1!===nu nu31 1!q nu ! (I (|2 ) I (|1 ))n2 3n1 31 ===(I (|u ) I (|u31 ))nu 3nu31 31 (1 I (|u ))q3nu i (|1 )===i (|u ) con 4 ? |1 === |u ? +4 con 4 ? |1 === |u ? +4 Esta expresión obviamente hay un un obviamente se se convierte convierte en en(1.6.1.2) (1.6.1.2)cuando cuandossólo sólo hay estadístico ordenado, además toma la forma siguiente cuando el subconjunto incluye a todos los estadísticos ordenados. (1.6.2.2) i[(1) >===>[(q) (|1 > ===> |q ) = q!i (|1 )===i (|q ) para 4 ? |1 |2 === |q ? +4 Ejemplo 1.6.2.1 Dada una m.a.s. de una población Uniforme(0> 1), usando la Expresión (1.6.1.2) se obtiene que la función de densidad del estadístico ordenado muestral de orden n es i[(n) (|) =

q! | n31 (1 |)q3n n 1!q n!

para

| 5 (0> 1)

que corresponde a una distribución Ehwd(n> q n + 1)= Además la función de densidad conjunta del mínimo y del máximo es, según la Expresión (1.6.2.1), i[(1) [(n) (|1 > |q ) = q(q 1)(|q |1 )q32

para 0 |1 |q 1

y la función de densidad conjunta de la muestra ordenada es, de acuerdo con la Expresión (1.6.2.2), i[(1) ===[(q) (|1 > ===> |q ) = q! ¥

para

0 |1 === |q 1=

1.6.INTRODUCCIÓN ESTADÍSTICOS ORDENADOS A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 37 37 La distribución del rango o recorrido muestral, U = [(q) [(1) , puede calcularse a partir de la expresión (1.6.2.1). La densidad conjunta de [(1) y [(q) es i[(1) [(q) (|1 > |q ) = q(q 1)(I (|q ) I (|1 ))q32 i (|1 )i (|q ) para 4 ? |1 ? |q ? +4= Haciendo el cambio, U = |q |1 y V = |q , se obtiene iU>V (u> v) = q(q1)(I ({)I (vu))q32 i (vu)i (v)

u A 0> v 5 R>

para

de donde la distribución marginal del recorrido U es (1.6.2.3) Z +" (I (v) I (v u))q32 i (v u)i (v)gv iU (u) = q(q 1)

para

u A 0=

3"

Ejemplo 1.6.2.2 Para m.a.s. de una poblacion Uniforme(0> 1), la función de densidad del recorrido muestral U = [(q) [(1) es R1 iU (u) = q(q 1) u uq32 gv = q(q 1)uq32 (1 u)

1.6.3.

para 0 u 1

Recubrimientos

Se introduce el concepto de recubrimiento para su utilización en aplicaciones posteriores, relacionadas con la inferencia no paramétrica. La idea es estudiar la probabilidad que la distribución de la población asigna a distintos intervalos, más concretamente. Dado el estadístico muestral ordenado [(1) > ===> [(q) > se llaman recubrimientos a los estadísticos Fl , l = 1> ===> q definidos mediante: F1 F2

= I ([(1) ) = I ([(2) ) I ([(1) ) .. .

Fq

= I ([(q) ) I ([(q31) )

Véase la Figura 1.6.3.1. La suma de recubrimientos permite calcular el valor de la función de distribución en los distintos estadísticos ordenados.

38 38


Figura 1.6.3.1. Representación de los recubrimientos. Es claro que la función de densidad conjunta de I ([(1) )> ===> I ([(q) ), cuando I es continua, es iI ([(1) )>===>I ([(q) ) (x1 > ===> xq ) = q!

si

0 x1 ? x2 ? === ? xq 1

ya que la variable X = I ([) tiene distribución Uniforme(0> 1) pues X = I ([) pertenece al intervalo [0> 1] y S {X x} = S {I ([) x} = S {[ I 31 (x)} = I I 31 (x) =x y la única v.a. que tiene como función de distribución T(x) = x es la variable Uniforme(0> 1)= Para el cálculo de la distribución conjunta de los q recubrimientos, como I ([(1) ) = F1 I ([(2) ) = F1 + F2 .. . I ([(q) ) = F1 + F2 + === + Fq y el jacobiano de esta transformación vale 1, se sigue que (1.6.3.1)

iF1 ===Fq (f1 > ===> fq ) = q! si

fl 0 y

q X

fl 1=

l=1

Si ahora se quiere hallar la función de densidad de la suma de un número arbitrario de u recubrimientos Fl1 +===+Flu , debido a la simetría de (1.6.3.1) bastará encontrar la distribución de F1 + === + Fu = I ([(u) )= La función de

1.7.INTRODUCCIÓN VARIABLES ALEATORIAS INTERCAMBIABLES A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 39 39 densidad iFl1 +===+Flu (|) coincide con iI ([u ) (|) y, por la expresión (1.6.1.2), se sigue que iF1 +===+Flu (|) =

q! | u31 (1 |)q3u L(0>1) (|)= (u 1)! (q u)!

En particular, la función de densidad del recubrimiento Fl es la misma para cualquier l y vale (1.6.1.3)

iFl (|) = q(1 |)q31 L(0>1) (|)=

1 , se conSe trata de una distribución Ehwd(1> q)= Como es H[Fl ] = q+1 cluye que los recubrimientos se reparten con densidad dada por la expresión 1 (1.6.1.3) y su amplitud esperada vale q+1 , lo mismo para todos ellos.

1.7.

VARIABLES ALEATORIAS INTERCAMBIABLES

Como ya se ha dicho, la Inferencia Estadística permite modelizar la incertidumbre ayudada por el modelo de probabilidad del que se supone que provienen los datos que se están analizando. Como consecuencia de este proceso hay que determinar a partir de los datos disponibles el valor de ciertos parámetros, que van a caracterizar la población con la que se está trabajando. Más adelante, Sección 8.2.1. se aprenderá a verificar si el modelo que se ha supuesto puede considerarse como correcto, o si por el contrario debería ser cambiado. Se puede pensar que la manera de ajustar el modelo, es siempre a través de una muestra aleatoria simple, sin embargo existen otros tipos de muestras que permiten modelizar la incertidumbre que aparece en los experimentos con los que trata la Estadística. Al estudio de tales nociones se va a dedicar esta sección. Supóngase para fijar ideas que se observa repetidas veces una población [ v.a. discreta. Si la muestra es aleatoria simple de tamaño q, se tiene que para cualquier p ? q (1.7.1)

S {[p+1 = {p+1 > ===> [q = {q |[1 = {1 > ===> [p = {p } = = S {[p+1 = {p+1 > ===> [q = {q }

ya que por ser independientes las componentes de la muestra S {[p+1 = {p+1 > ===> [q = {q > [1 = {1 > ===> [p = {p } =

q Y l=1

y S {[1 = {1 > ===> [p = {p } =

p Y l=1

S {[ = {l }=

S {[ = {l }

40 40


Sin embargo (1.7.1) no parece intuitivo, ya que dice que no se aprende de la experiencia pasada hasta p. La noción de aleatoriedad parece mejor capturada si se dice que S {[1 = {1 > ===> [q = {q } no depende de como se ordenen las q variables aleatorias. Esta idea, más bien de simetría que de dependencia, es la que pretende recoger la siguiente definición. Definición 1.7.1 (v.a. intercambiables) La colección de v.a. [1 > ===> [q se dice intercambiable si su distribución conjunta verifica S {[1 {1 > ====> [q {q } = S {[1 {u(1) > ===> [q {u(q) } para cualquier permutación de los q índices. Esto equivale, si existe función de densidad, a que i ({1 > ====> {q ) = i ({u(1) > ===> {u(q) ) y, si existe función de masa, a que s({1 > ====> {q ) = s({u(1) > ====> {u(q) )= Ejemplo 1.7.1 (tiradas de una chincheta) Se considera una muestra, en las mismas condiciones siempre, de tiradas de una chincheta, y se hace [l = 1 si en la tirada i-ésima la punta queda arriba y [l = 0 en caso contrario. En esta situación el orden es irrelevante y la sucesión de unos y ceros {1 > ====> {q es intercambiable en el sentido de la Definición 1.7.1. Si por el contrario se tiran alternativamente una chincheta y una moneda y si al tirar la moneda se hace [l = 1 si sale cara y [l = 0 en caso contrario, la sucesión {1 ===={2q de unos y ceros no será intercambiable, y sí que lo será la sucesión de las tiradas impares (correspondiente a la chincheta) entre sí y la sucesión de las tiradas pares (correspondientes a la moneda). ¥ Desde luego es evidente que si la muestra ([1 > ====> [q ) es aleatoria simple, la colección de las q variables aleatorias es intercambiable. i ({1 > ====> {q ) = i ({u(1) > ====> {u(q) ) =

q Y l=1 q Y l=1

i ({l ) i ({u(l) ) =

q Y

i ({l )

l=1

ya que todas las densidades son iguales a la densidad de la población. El concepto de intercambiabilidad es más débil, por tanto, que el concepto de independencia. Ambos conceptos no son equivalentes, como pone de manifiesto el siguiente contraejemplo.

1.7.INTRODUCCIÓN VARIABLES ALEATORIAS INTERCAMBIABLES A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 41 41 Ejemplo 1.7.2 Supongamos tres v.a. [1 > [2 > [3 cada una de las cuales puede tomar el valor 0 o el valor 1 con función de masa definida mediante S {[1 = 0> [2 = 1> [3 = 1} = S {[1 = 1> [2 = 0> [3 = 1} = S {[1 = 1> [2 = 1> [3 = 0} = 13 = Cualquier otra combinación de valores tiene probabilidad cero, tanto de las tres en bloque como de dos o de una de las variables. Es evidente que la colección {[1 > [2 > [3 } es intercambiable pero las variables no son independientes, ya que S {[1 = 0> [2 = 1> [3 = 1} =

1 3

pero S {[1 = 0}S {[2 = 1}S {[3 = 1} = 0= Es más, puede probarse que la sucesión no se puede extender a una cuarta v.a. [4 que tome el valor cero o uno, de manera que la colección {[1 > [2 > [3 > [4 } sea intercambiable, véase el Ejercicio 1.9.21. ¥ El desarrollo en profundidad del concepto de intercambiabilidad se sale fuera del ámbito de un curso introductorio como éste, pero se recoge el siguiente teorema, sin demostración, para que se tenga un mejor conocimiento de su significado. Teorema 1.7.1 (representación de v.a. intercambiables 0-1) Dada una colección de v.a. intercambiables que toman los valores 0 ó 1, existe una función de distribución T() tal que la funcion de masa S {[1 = {1 > ====> [q = {q } puede ponerse como Z (1.7.2)

S {[1 = {1 > ====> [q = {q } =

q 1Y

0 l=1

{l (1 )13{l gT()=

La demostración puede verse en Sudderth (1976). ¥ Interesa enfatizar el significado intuitivo del teorema, que está diciendo que si la muestra es de v.a. intercambiables con valores 0 ó 1, se puede modelizar de manera que las v.a. [l | sean independientes y con distribución de Ehuqrxool(); y el valor de se puede suponer obtenido mediante una función de distribución, lógicamente en el intervalo [0> 1]. Es decir que si en una determinada situación práctica, existe incertidumbre sobre variables aleatorias que toman valores 0 ó 1 y las variables son intercambiables, entonces se

42 42


puede suponer que se está trabajando con una distribución de probabilidad de la forma Z 1Y q {l (1 )13{l ()g()> S {[1 = {1 > ====> [q = {q } = 0 l=1

siendo () una densidad en el intervalo [0> 1], es decir, una función positiva tal que Z 1

0

()g = 1=

La noción de v.a. intercambiables, fué introducida por De Finetti (1972) y es central en la aproximación a la inferencia que recibe el nombre de inferencia bayesiana. El siguiente ejemplo, pone de manifiesto la diferencia entre independencia e intercambiabilidad en el contexto de v.a. cero-uno. Ejemplo 1.7.3 La colección de v.a. [l | son i.i.d. con distribución [l | Ehuqrxool() y es una v.a. con distribución uniforme en el intervalo (0> 1) X (0> 1)= Las y=d= [1 > ===> [q son intercambiables y sin embargo no son independientes, con lo que la colección ([1 > ===> [q ) no es una m.a.s. En efecto, por el teorema de la probabilidad total en su versión continua Z 1 S {[1 = {1 > ===> [q = {q |}g S {[1 = {1 > ===> [q = {q } = 0

por ser [l | independientes y con distribución de Ehuqrxool() q q P P Z S {[1 = {1 > ===> [q = {q } =

1

0

1

{l

q3

(1 )

1

{l

g=

Finalmente, por la definición de la función Ehwd q q P P q q {l q3 {l R1 P P 1 (1 ) 1 g = Ehwd( {l + 1> q {l + 1) 0 = siendo w =

q P l=1

w!(q3w)! (w31)!

1

1

{l = Por lo tanto las v.a. [1 > ===> [q son intercambiables.

Por otro lado S {[l = {l } = = y evidentemente

R1

{l 13{l g 0 (1 ) {l !(13{l )! 2

w!(q w)! Y {l !(1 {l )! 6= (w + 1)! 2 q

l=1

luego las variables [l no son independientes.

1.8.INTRODUCCIÓN APROXIMACIÓN HISTÓRICA A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 43 43

1.8.

APROXIMACIÓN HISTÓRICA

Inicialmente la utilidad de la estadística era únicamente descriptiva. Su objetivo era ordenar datos y representarlos mediante tablas y gráficos. Quizás uno de los primeros en usar representaciones de distribuciones de frecuencias en un par de ejes coordenados fué D’Alembert (1728-1777). La utilización sistemática de estas representaciones de datos en tablas de frecuencias, hubo de esperar hasta Quetelet (1796-1874), a quien también se le debe el término momento. La representación gráfica en forma de nubes de puntos se debe a los estudios relacionados con la astronomía. El primer recurso a observaciones numerosas de una misma magnitud, aparece en la obra de Tycho Brahe (1546-1601), quien al estudiar un conjunto de datos sobre el movimiento de los planetas recurre por primera vez a la media aritmética para eliminar los errores de las observaciones. No todos los investigadores se mostraron partidarios de esta manera de proceder. Uno de los defensores de la utilización de la media aritmética, y que calculó su distribución bajo normalidad, fue Simpson en 1755. En esta misma época es introducida la mediana por Boscovich, su contribución puede verse en Sheynin (1973). La desviación típica fué introducida por Karl Pearson (1857-1936) en 1892 y la varianza, aunque como momento ya era conocida, no fué utilizada con tal nombre hata 1918 por Fisher (1890-1962), quien la introduce en un trabajo sobre genética. En cuanto a la historia de la utilización de los estadísticos ordenados, es Laplace (1749-1827) quien, en 1818, en su Teoría Analítica de las Probabilidades las emplea por primera vez, al relacionarlos con la estimación de parámetros en un modelo lineal. Galton en 1875 estudia la distribución de la mediana muestral bajo normalidad. Edgeworth obtiene la distribución de la mediana cuando la población tiene colas más altas que la distribución normal. Así, estos estudios se encauzan hacia la robustez, en el sentido de utilizar características muestrales cuya distribución con el muestreo no se vea demasiado afectada si dejan de cumplirse las suposiciones de normalidad. Comentarios relacionados con estos aspectos pueden verse en el capítulo dedicado a la inferencia no paramétrica. La distribución "2 fué introducida por Karl Pearson alrededor de 1900, al estudiar el problema de ajuste entre una distribución poblacional y unos datos muestrales. En 1904, la generalización de este problema al caso en que existan parámetros desconocidos en la distribución, dió lugar a que William Sealy Gosset (1876-1937) introdujera la distribución de Student, así llamada por ser Student el pseudónimo utilizado por Gosset para comunicar los resultados de sus investigaciones con muestras pequeñas, pues la empresa de elaboración de cerveza en la que trabajaba impedía la divulgación de los resultados obtenidos por sus empleados. Snedecor (1881-1974), estadístico estadounidense, introdujo la distribu-

44 44


ción que lleva su nombre alrededor de 1907. Snedecor trabajó en el laboratorio de estadística del University College fundado por Karl Pearson, junto a Student y Fisher. En agradecimiento a la importante aportación de Fisher a la Inferencia Estadística, Snedecor le dedicó la distribución del cociente de distribuciones "2 y la denotó mediante la letra I=

1.9.

EJERCICIOS

1.9.1 Sea [ una población de Bernoulli(1@2) y se consideran todas las m.a.s. posibles de tamaño 3. Para cada muestra calcúlense [ y V 2 , la media y la cuasivarianza muestrales y determínense sus distribuciones en el muestreo. 1.9.2 De una población con media desconocida y varianza 1, se toma una m.a.s. de tamaño q. ¿Cuál debe ser éste para que la media muestral diste en valor absoluto de la media de la población menos que 00 5, con una probabilidad mayor o igual que 00 95? 1.9.3 Para los datos del Ejemplo 1.3.2 a) Constrúyase un histograma de frecuencias. b) Constrúyase un diagrama de tallos y hojas. c) Obténgase la media y la mediana. d) Determínese el recorrido intercuartílico. 1.9.4 Los caudales horarios en p3 por segundo de dos crecidas del río Ebro en la localidad de Sobrón han sido: crecida 1 28 29 29 29 29 30 31 32 33 34 38 41 49 64 80 107 139 153 168 183 194 205 220 232 243 258 270 280 290 301 318 324 333 343 354 374 397 406 418 424 424 412 391 crecida 2 26 27 28 29 31 35 40 71 73 74 75 76 78 79 105 109 110 107 104 100 98 73 70 68 68 66 64 62

46 81 95 61

52 84 89 61

58 88 85 60

68 92 80 60

70 100 77 60

Constrúyase el diagrama de caja de cada crecida. 1.9.5 Sean ([1 > ===> [q ) e (\1 > ===> \q ) dos m.a.s. independientes de dos poblaciones Q (0> 4) y Q (1> 3). Calcúlese S {[ A \ }=

1.9.INTRODUCCIÓN EJERCICIOS A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 45 45 1.9.6 Dada una m.a.s. de tamaño q, calcúlese la distribución de la media muestral [, cuando la población es: a) de Bernoulli. b) Gamma. c) Exponencial. d) De Cauchy. 1.9.7 Sea ([1 > ===> [q ) una m.a.s. de una población Q (> ) y [q+1 una v.a. Q (> ) independiente de la muestra anterior. Calcúlese la distribución de la v.a. r q [q+1 [ > \ = q+1 V siendo V 2 la cuasivarianza muestral. 1.9.8 Una colección consiste en cuatro elementos numerados 1> 2> 3 y 4. Se extraen dos elementos sin reemplazamiento y se nota por ([1 > [2 ) los valores obtenidos. Se pide: a) Distribución conjunta de ([(1) > [(2) )= b) Distribución de la media muestral [. 1.9.9 Sea ([1 > ===> [q ) una m.a.s. de una población de Ehuqrxool(). Obténgase la distribución en el muestreo de la cuasivarianza muestral V 2 = 1.9.10 Demuéstrese que dada una m.a.s. ([1 > ===> [q ) de una población Q (> ), las v.a. [ y [l [ son independientes para todo l. 1.9.11 Sea ([1 > ===> [6 ) una m.a.s. de una población Q (0> 1)= Se definen las v.a. \1 = ([1 + [2 + [3 )2 + ([4 + [5 + [6 )2 [1 + [2 \2 = p 2 [3 + [42 + [52 Determínense dos valores n1 y n2 tales que S {\1 A n1 } = S {\2 A n2 } = 00 1=


46 46

1.9.12 Dada una m.a.s. ([1 > ===> [q ) de una población Q (> ) se construyen [n = [n = Vn22 = Vn =

n X n 1X [l 1 n n l=1 [l l=1n X n 1 X ([l 1 n31 n31 l=1 ([l l=1

q X q X 1 [l 1 q3n q3n l=n+1 [l l=n+1 q X q 1 X 2 Vq3n31 = q3n31 ([l 1 2 Vq3n31 = q3n31 ([l l=n+1 l=n+1

[ q3n = [ q3n = [ n )22 [n)

[ q3n )22 [ q3n )

Calcúlese la distribución de las v.a.: ¤ £ Calcúlese la distribución de las 2v.a.: ¤ 2 @ 2 a)£(n 1)Vn22 + (q n 1)Vq3n31 2 a) (n 2 21)Vn + (q n 1)Vq3n31 @ 2 b)Vn2 @Vq3n31 1.9.13 Dada una sucesión {[q } de v.a. independientes con distribución Q (0> 1) y un entero positivo n, se define ! ,Ã ! Ã n n+p 1 X 2 1X 2 In>p = [l [l = n p l=1

Pruébese que

l=n+1

L 1 [ In>p $ p$4 n

donde [ "2n = 1.9.14 Pruébese que para todo { 5 R la función de distribución empírica IqW ({) converge en probabilidad a la función de distribución de la población I ({)= 1.9.15 Dadas dos m.a.s. independientes ([1 > ===> [p ) de una población Q (1 > ) e (\1 > ===> \q ) de una población Q (2 > ) respectivamente y dos números reales y , hállese la distribución de la v.a. ]= donde Vs2 =

([ 1 ) + (\ 2 ) q > 2 2 Vs p + q

1 ((p 1)V12 + (q 1)V22 ) p+q2

y siendo V12 y V22 las cuasivarianzas muestrales. 1.9.16 Demuéstrese que si [ tiene distribución "2q , entonces H[[] = q

Y [[] = 2q=

1.9.INTRODUCCIÓN EJERCICIOS A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 47 47 1.9.17 Demuéstrese que si [ tiene distribución de Student Wq con q grados de libertad, entonces si q A 2 H[[] = 0

Y [[] =

q q32 =

1.9.18 Demuéstrese que si [ es una v.a. con distribución de Snedecor Ip>q , entonces si q A 4 H[[] =

q q32

Y [[] =

2q2 (p+q32) = p(q32)2 (q34)

1.9.19 Demuéstrese que para una m.a.s. de tamaño q de una población con distribución discreta dada por la función de masa S {[ = {l } = sl

l = 1> 2> ===

la distribución del estadístico ordenado [(n) es discreta y viene dada por q μ ¶ X q S {[(1) {l } = (I ({l ))m (1 I ({l ))q3m m m=n q μ ¶ X ¤ q £ S {[(n) ={l } = (I ({l ))m (1 I ({l ))q3m (I ({l31 ))m (1 I ({l31 ))q3m = m m=n

1.9.20 La duración media de una m.a.s. de 10 bombillas de una población de desviación típica 425 horas, fué de 1327 horas. Una m.a.s. independiente de la anterior de tamaño 6 de una población con desviación típica de 375 horas, arrojó una duración media muestral de 1215 horas. Si las medias de las dos poblaciones se suponen iguales, ¿qué probabilidad tiene el obtener una desviación en las medias muestrales menor que la que se ha obtenido? 1.9.21 Dadas las v.a. [1 , [2 y [3 que toman los valores cero o uno, se define la distribución de probabilidad S {[l = {l } = 0 si {l = 0> 1 S {[l = {l > [m = {m } = 0

l = 1> 2> 3

si {l > {m = 0> 1

l> m = 1> 2> 3

S {[1 = 0> [2 = 1> [3 = 1} = S {[1 = 1> [2 = 0> [3 = 1} = S {[1 = 1> [2 = 1> [3 = 0} = 13 = Demuéstrese que la distribución de probabilidad no puede extenderse a una cuarta v.a. [4 que tome los valores cero o uno, de manera que la colección [1 > [2 > [3 > [4 sea intercambiable.

48 48


1.10.

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

1.10.1 La distribución muestral queda recogida en la siguiente tabla v2 =

{ 1 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 1/3 0

muestras 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 2

P

{l 32 {2

0 1/3 1/3 1/3 1@3 1/3 1/3 0

P 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

por lo tanto { ¯ S

0 1/8

1/3 3/8

2/3 3/8

v2 S

1 1/8

0 1/4

1/3 3/4

1.10.2 De acuerdo con la desigualdad de Tchebyche

S {|[ H[[] nG[[]}

si se aplica con [> H[[] = y G[[] =

I1 q

1 n2

se pretende que

S {|[ | 00 5} 00 95 o lo que es lo mismo S {|[ | A 00 5} 00 05 de donde 80=

1 n2

= 00 05 y

In q

= 00 5 de manera que q ha de ser por lo menos

1.10. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 49 49 1.10.3 a)

Figura 1.10.1. Histograma correspondiente al Ejercicio 1.10.3. b) Si se toman dos cifras significativas para los tallos, se obtiene el siguiente diagrama de tallos y hojas 3 5 10 19 26 36 53 (71) 64 51 42 33 22 13 10 6 3 1

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 34

5 8 3 2 0 2 1 1 1 0 1 2 1 3 3 2 0 5

5 8 8 4 0 4 1 1 1 5 2 3 2 4 4 4 1

6 8 5 0 4 1 1 1 5 2 3 6 8 5 6

8 5 1 5 4 2 1 5 3 3 7

8 5 1 6 4 2 3 6 3 4 7

5 7 6 4 2 4 7 5 4 8

5 7 8 5 4 5 8 5 5 8

58 8 5 4 5 8 7 6 8

8 5 4 7 9 8 6 8

8 55666789 677778888 7778

77

9

Se puede repetir, redondeando los datos a dos cifras, la de orden superior para los tallos y la de orden inferior para las hojas. c) La media { = 135 y la mediana, al ser un número impar de observaciones, viene dada por {(68) = 218=

50 50


d) El primer cuartil es {(34) = 198 y el tercer cuartil {(102) = 248= Por lo que el RIM= 50= 1.10.4 Para construir el diagrama de cajas correspondiente a la crecida 1, de acuerdo con la Sección 1.3.3, el cuartil de orden 1@4 es {(12) = 41, el cuartil de orden 3@4 es {(34) = 343 y la mediana es {(24) = 232. El primer cuartil menos 10 5 RIM es 412 luego por ese lado no hay observaciones atípicas y la recta horizontal izquierda se situa en {(1) = 28, de forma análoga 343 + 10 5RIM es 795 luego la recta horizontal derecha se coloca en {(45) = 424. Procediendo de manera análoga con la crecida 2 el cuartil de orden 1@4 es 1@2(|(12) + |(13) ) = 1@2(60 + 60) = 60 el cuartil de orden 3@4 es 1@2(|(16) + |(97) ) = 1@2(85 + 88) y la mediana es 1@2(|(24) +|(25) ) = 1@2(71+73) = 72. La cota inferior es 6010 5·260 5 = 200 25 luego el valor mínimo del diagrama es |(1) = 26 y la cota superior es 860 5 + 10 5 · 260 5 = 1260 25 luego el valor máximo del diagrama es |(48) = 110, en esta crecida tampoco hay observaciones atípicas.

Ejercicio 1.10.4. Figura 1.10.2. Representacion de los diagramas de cajas del ejercicio Si se representan los dos diagramas se obtiene la Figura 1.10.2 en la que se observa que la crecida 1 es asimétrica con más valores por debajo de la mediana que por encima, mientras que los valores de la crecida 2 son más homogéneos y simétricos. 1.10.5 q ³ Como [ \ Q 1> 16 25 +

9 25

´ = Q (1> 1) se sigue que

S {[ A \ } = S {[ \ A 0} = S {[ \ + 1 A 1} = S {] A 1}

1.10. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 51 51 donde ] Q (0> 1), y de las tablas de la distribución normal se obtiene que dicha probabilidad es 00 1587= 1.10.6 q P [l Binomial (q> )> a) Para la distribución de Bernoulli ()> como l=1

q q P 1 P S {[ = w|} = S { [l = w|} = S { [l = qw} q l=1 l=1 μ ¶ q w 1 q(13w) = (1 ) , w = 0> > ===> 1= qw q

b) Mediante la función característica μ ¶ lw 3s *[ (w) = 1 d se sigue que q *P

l qw

[l @q

(w) = H[h

l=1

q P l=1

[l

w

w

] = H[hl q [1 ]===H[hl q [q ]

· μ ¶¸q μ ¶ lw 3qs w = 1 = * q dq

que es la fución característica de la distribución Gamma(qd> qs) y por tanto ¯ ésta es la distribución de [= c) Es un caso particular del anterior ya que [ H{srqhqfldo() = ¯ Jdppd(q> q)= Jdppd(> 1) luego [ d) Si [ Fdxfk|(> )> es decir " μ ¶ #31 { 2 1 1+ > i ({|> ) = con función característica *[ (w) = hlw h3|w| , entonces · μ ¶¸q w = hlw h3|w| *[ (w) = *[ q ¯ Fdxfk|(> )= luego curiosamente, [ 1.10.7 q La distribución de [q+1 [ Q (0> q+1 q ) luego la variable tipificada q [q+1 3[ q q+1 Q(0> 1). Por otro lado de acuerdo con el teorema de Fisher, 2

teorema 1.4.2.1, (q1) V2 "2q31 , de donde al ser esta v.a. independiente de

52 52


la anterior, mediante la definición de la distribución de Student, definición 1.4.3.1, se tiene r q [q+1 [ Wq31 = V q+1 1.10.8 1 y por a) Mediante enumeración se sigue que S {[1 = {1 > [2 = {2 } = 12 1 lo tanto S {[(1) = {(1) > [(2) = {(2) } = 6 ya que hay dos parejas ({1 > {2 ) y ({2 > {1 ) que se aplican en el mismo par ({(1) > {(2) ). ({(1) > {(2) ) (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)

S 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

b) Para obtener la distribución de la media muestral, trabajando con cada par ({(1) > {(2) ) se obtiene { ¯ S

1’5 1/6

2 1/6

2’5 2/6

3 1/6

3’5 1/6

1.10.9 2 Al desarrollar el cuadrado ([l [)2 = [l2 2[l [+[ se obtiene fácilmente que q q P P [l (q [l ) l=1 l=1 2 V = (q 1)q como

q P l=1

[l Elqrpldo(q> ), en general si

dan la misma imagen por V 2 ,

n(q3n) (q31)q

q P l=1

[l = n

y

q P l=1

[l = q n

salvo que q sea par, que en ese caso solo

n(q3n) q hay un valor n = que se transforma en 4(q31) . Por lo tanto V 2 = (q31)q con probabilidades sn + sq3n si q es impar par y ycaso casocontrario contrariovale vale la la misma q expresión, salvo para n = q2 que V 2 = 4(q31) con probabilidad s q2 . Donde ¡ ¢ sn = qn n (1 )q3n > n = 0> 1> ===> [q@2]= q 2

1.10.10 Como ambas variables son normales, basta ver que son incorreladas. Fry([> [l [) = H[[([l [)]

1.10. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 53 53 ya que · ¸ 1 1 1 H[[l [] = H [1 === + (1 )[l === [q q q q μ ¶ 1 q1 + 1 = = 0> q q pero

2 H[[[l [ ] = + q 2

2

μ

2 + 2 q

¶ =0

por ser ¶ ¸ ·μ q1 1 1 1 1 [1 + === + [l + === + [q [l = H[[1 [l ] + H[[l2 ] H q q q q q q1 2 1 2 + ( + 2 ) = q q 2 = 2 + q 2

2

2

y la expresión H[[ ] = q +2 puede obtenerse de Y [[] = H[[ ](H[[])2 , luego Fry([> [l [) = 0= 1.10.11 s s Se tiene que [1 + [2 + [3 Q (0> 3) y [4 + [5 + [6 Q (0> 3) con ambas independientes, luego ¾ ½ n1 \1 A S {\1 A n1 } = S 3 3 (μ ) μ ¶ ¶ [1 + [2 + [3 2 [4 + [5 + [6 2 n1 s s =S + A 3 3 3 ½ ¾ n1 = S "22 A = 00 1> 3 de donde

n1 3

= 40 6052 y por tanto n1 = 130 816= (

s ([1 + [2 )@ 2

p A [32 + [42 + [52 @3 ) ( r 3 n2 > = S W3 A 2

S {\2 A n2 } = S

r

3 n2 2

)

en virtud de la definición de q la distribución de Student, Definición 1.4.3.1. De las Tablas se sigue que 32 n2 = 10 638 y por tanto n2 = 10 337=

54 54


1.10.12 a) La expresión dada puede ponerse como (n 1)

2 Vq3n31 Vn2 + (q n 1) 2 2

cada sumando es una "2n31 y "2q3n31 ambas independientes, luego la suma se distribuye "2q32 = b) Si se observa que Vn2

2 Vq3n31

=

2 1 Vn 2 n31 2 Vq3n31 q3n31

n1 qn1

se tiene que el primer factor tiene distribución de Snedeckor In31>q3n31 > por lo tanto

Vn2 2 Vq3n31

n31 q3n31 In31>q3n31 =

1.10.13 Por la ley fuerte de los grandes números,

1 p

n+p P l=n+1

[l2 converge casi seguro

a H[[l2 ] = 1. Si se aplica el teorema de Slutsky, Teorema 1.3.5, el cociente n P [l2 ; pero al ser esta expresión converge en ley a donde converja en ley n1 l=1

constante como función de p y con distribución n1 "2n se obtiene el resultado. 1.10.14 Basta observar que IqW ({) =

1 q

q P l=1

L(3">{] ({l ) =

1 q

q P l=1

\l , donde \l = L(3">{] ({l ).

Por la ley fuerte de los grandes números IqW ({) converge casi seguro a H[\l ] = S {[l {} = I ({), en particular en probabilidad. 1.10.15 Como [ Q (1 > Ip )> \ Q (2 > Iq ) se sigue que ([ 1 ) + (\ 2 ) q Q (0> 1)= 2 2 p + q V2

V2

V2

Por otro lado (p + q 2) s2 = (p 1) 12 + (q 1) 22 y estos dos sumandos tienen sendas distribuciones "2 e independientes luego su suma tiene distribución "2p+q32 . Numerador y denominador son v.a. independientes luego de acuerdo con la definición de la distribución de Student, Definición 1.4.3.1, el cociente ] Wp+q32 = 1.10.16 Como la densidad de la v.a. "2q es i"2q ({) =

1 q 1 h3 2 { { 2 31 q 2 ( 2 ) p q

con

{A0

1.10. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 55 55 se tiene que H[[] =

1 q 2 2 ( q2 ) Z

como

0

+"

Z

+"

0

1

q

{h3 2 { { 2 31 g{ =

1 q 2 2 ( q2 )

Z

+"

0

1

q

h3 2 { { 2 g{

h3d{ {s31 g{ = d3s (s), d A 0> s A 0

la integral tiene esta forma particular con d = 12 s = q2 + 1, de donde μ ¶3 q 31 ³ ´ 2 1 q 1 +1 = H[[] = q q 2 2 2 ( 2 ) 2 Si se utiliza la expresión recursiva para la función gamma (s) = (s 1)(s 1) se obtiene que H[[] = q= Para el cálculo de la varianza, el mismo tipo de razonamiento lleva a ³q ´ H[[ 2 ] = 2q +1 2 esta vez con d = hace que

1 2

y s=

q 2 +2.

La sustitución en la expresión de la varianza

Y [[] = H[[ 2 ] (H[[])2 = 2q(

q + 1) q2 2

= 2q= 1.10.17 Como la densidad de la v.a. de Student con q grados de libertad es ¡ ¢ μ ¶3 q+1 2 {2 1 q+1 2 iWq ({) = s 1+ 1 q q q ( 2 )( 2 ) se tiene que

con { 5 R

¡ ¢ Z +" 1 q+1 {2 q+1 2 ¡1¢ ¡q¢ H[[] = s {(1 + )3 2 g{ q q 2 2 3"

y por ser el integrando función impar (i ({) = i ({)) la integral es nula. Para el cálculo de la varianza Z +" ) 1 ( q+1 {2 3 q+1 2 2 2 { (1 + ) 2 g{ = Y [[] = H[[ ] = s q q ( 12 )( q2 ) 3" ¡ ¢ Z +" {2 q+1 1 q+1 2¡ ¢ ¢ ¡ s 2 {2 (1 + )3 2 g{ = 1 q q q 2 2 0

56 56


³ si se hace el cambio | = 1 +

{2 q

´31

, la expresión anterior toma la forma

¡ ¢ Z 1 q+1 q 1 2 Y [[] = ¡ 1 ¢ ¡ q ¢ q | 2 32 (1 |) 2 g| 2 2 0 como

Z

1 0

{s31 (1 {)t31 g{ =

(s)(t) (s + t)

la integral es de esta forma con s = q2 1 obtiene q = Y [[] = q2

, sA0 tA0 t =

3 2

1.10.18 Como la densidad de la v.a. de Snedecor es ³ ³ p ´ p ¡ p+q ¢ p p ´3 p+q 2 2 ¡ p ¢ 2 ¡ q ¢ { 2 31 1 + { iIp>q ({) = q q 2 2

y simplificando se

con

{A0

se sigue que H[[] =

³p´p 2

q

¢ Z +" ¡ p+q p+q p p 2 ¡p¢ ¡q¢ { 2 (1 + {)3 2 g{ q 2 2 0

esta expresión se puede reducir a la función beta, si se hace el cambio ³ p ´31 1| = 1+ { q q p (1

|)32 g| y se obtiene ³ p ´ p ¡ p+q ¢ Z 1 ³ q ´ p p p+q q p 2 2 ¡p¢ 2 ¡q¢ (1 |)32 g| | 2 (1 |)3 2 (1 |) 2 H[[] = q p p 2 2 0 ¢ ¡ Z p+q q q 1 p 2 = ¡p¢ ¡q¢ | 2 (1 |) 2 32 g| 2 2 p 0

con lo que g{ =

si se utiliza la definición de la función beta con s = p 2 +1 y t = obtiene que ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ + 1 q2 1 p+q q p 2 2 ¢ ¡ H[[] = ¡ p ¢ ¡ q ¢ 2 2 p p+q 2

q 2

1 se

y mediante la expresión recursiva de la función Gamma, se llega a que H[[] =

q q2

expresión que curiosamente no depende de p=

1.10. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICOS MUESTRALES 57 57 Para la obtención de la varianza de la distribución de Snedecor, se necesita calcular ³ p ´ p ¡ p+q ¢ Z +" p ³ p ´3 p+q 2 2 2 ¡p¢ 2 ¡q¢ H[[ ] = { 2 +1 1 + { g{ q q 2 2 0 el mismo cambio y la definición de la función beta con s = t = q2 2, lleva a que ¡ ¢ ¡ ¢ p 2 q2 2 ³ q ´2 2 2 + ¡ ¢ ¡q¢ H[[ ] = p p ¡p 2 ¢ p 2 2 +1 (p + 2)q2 q = ¡q 2 ¢ ¡q 2 ¢ 2 = p (q 2)(q 4)p 2 1 2 2

p q

+2

y

de donde la varianza es q2 (p + 2)q2 p(q 2)(q 4) (q 2)2 2q2 (p + q 2) = = p(q 2)2 (q 4)

Y [[ 2 ] =

1.10.19 © ª El suceso [(n) {l es equivalente al suceso {en la muestra haya n o más valores menores o iguales que {l } y este número sigue una distribución Elqrpldo(q> I ({l ))> de donde μ ¶ q P q (I ({l ))m (1 I ({l ))q3m = S {[(n) {l } = m=n m El valor de la función de masa se obtiene ahora de considerar que S {[(n) = {l } = S {[(n) {l } S {[(n) {l31 }= 1.10.20 Parece razonable hacer la suposición de que la duración de una bombilla tiene sigue una distribución Q (> ), de donde 1 2 [ 10 Q (> s ) \ 6 Q (> s ) 10 6 por lo tanto

r [ 10 \ 6 Q (0>

y se necesita calcular

21 22 + = Q (0> 2030 71) 10 6 ½

112 [ 10 \ 6 S {[ 10 \ 6 112} = S 0 203 71 2030 71 0 = S {] 0 55}

¾

58 58


donde ] Q (0> 1)= Por tanto la probabilidad pedida es aproximadamente de 00 71= 1.10.21 Si se pudiera extender, debería cumplirse que S {[1 = 0> [2 = 1> [3 = 1> [4 = 0} = = S {[1 = 0> [2 = 0> [3 = 1> [4 = 1} pero, por las propiedades de la probabilidad, el primer miembro debe valer S {[1 = 0> [2 = 1> [3 = 1> [4 = 0} = = S {[1 = 0> [2 = 1> [3 = 1} S {[1 = 0> [2 = 1> [3 = 1> [4 = 1} 1 = S {[1 = 1> [2 = 1> [3 = 1> [4 = 0} 3 y esta última probabilidad es igual a cero, ya que S {[1 = 0> [2 = 1> [3 = 1> [4 = 0} S {[1 = 1> [2 = 1> [3 = 1} = 0 de donde se deduce que 1 S {[1 = 0> [2 = 1> [3 = 1> [4 = 0} = = 3 Sin embargo si se parte de S {[1 = 0> [2 = 0> [3 = 1> [4 = 1} S {[1 = 0> [2 = 0> [3 = 1} = 0 entonces ha de ser S {[1 = 0> [2 = 0> [3 = 1> [4 = 1} = 0 y no puede darse por tanto la intercambiabilidad en las cuatro variables.

Capítulo 2

REDUCCIÓN DE DATOS: ESTADÍSTICOS SUFICIENTES, ANCILARIOS, COMPLETOS E INVARIANTES 2.1.

INTRODUCCIÓN

Hasta ahora se han estudiado procedimientos para determinar la distribución en el muestreo de diversos estadísticos. En un problema paramétrico de estimación, se está interesado en utilizar la información en sentido amplio, para a apartir de una muestra aleatoria simple de una población X con función de distribución perteneciente a una familia paramétrica, conjeturar el valor del parámetro desconocido con el que se distribuye la muestra. A tal fin lo primero que se hace es mostrar cómo se resume la información disponible mediante los estadísticos suficientes.

2.2.

Estadísticos suficientes y minimal suficientes

Se empieza introduciendo el concepto de estadístico suficiente con un ejemplo. Con m.a.s. de tamaño q de una población de Ehuqrxool(), la 59

CAP. 2. REDUCCIÓN INFERENCIA ESTADÍSTICA

60 60

DE DATOS

función de masa de la muestra es q q X X {l

S ({1 > ===> {q |) =

1

q3

(1 )

{l 1

,

{l = 0> 1 para todo l> 5 [0> 1]=

Parece intuitivo, que para determinar no es necesario saber las posiciones en que se han producido los éxitos. Bastará saber cuál es el número q X {l . total w = 1

La función de masa puede ponerse como μ ¶ 1 q w S ({1 > ===> {q |) = (1 )q3w ¡q¢ w w donde lo importante es que ha podido factorizarse en una parte, que depende q X [l y que es la única que de la muestra a través del estadístico W = 1 ¡ ¢31 depende de , y en qw que no depende de . Se puede pensar entonces en la muestra como obtenida en¡dos ¢ etapas consecutivas, en la primera se observa W = w con probabilidad qw w (1 )q3w y en la segunda se sortean las posiciones en las que van a colocarse los w éxitos, con lo¡que ¢31cada muestra . compatible con el valor de W = w tendrá de probabilidad qw q X [l resume toda la informaEs claro entonces que el estadístico W = 1

ción que respecto a nos suministra la muestra, ya que conocido el valor del estadístico se puede construir la muestra mediante un mecanismo independiente del valor de . Definición 2.2.1 (estadístico suficiente) W ([1 > ===> [q ) es un estadístico suficiente para la familia de funciones de $ distribución P = {I ( { |)| 5 } cuando la distribución de probabilidad de la muestra condicionada por el estadístico es independiente de . ¥ El problema con esta definición es su poca operatividad, ya que se necesita tener previamente el candidato a estadístico suficiente, para después comprobar si lo es. Por este motivo se utiliza el siguiente teorema debido a Halmos y Savage. Teorema 2.2.1 (factorización) Un estadístico W ([1 > ===> [q ) es suficiente, si existen funciones reales positivas k y j tales que i ({1 > ===> {q |) = k({1 > ===> {q )j (W ({1 > ===> {q )) donde i es la función de masa o de densidad de la muestra.

2.2. ESTADÍSTICOS SUFICIENTES Y SUFICIENTES, MINIMAL SUFICIENTES REDUCCIÓN DE DATOS: ESTADÍSTICOS ANCILARIOS, ...

61 61

Se recoge la demostración en el caso discreto, la demostración general puede verse en Lehmann (1986) páginas 54 y 55. Si se tiene la factorización basta poner i ({1 > ===> {q |) i (w|)

i ({1 > ===> {q |w) =

si W ({1 > ===> {q ) = w y cero en caso contrario. Cuando no es cero, sustituyendo queda j (w)k({1 > ===> {q ) i ({1 > ===> {q |w) = X j (w)k(|1 > ===> |q ) ||W (|)=w

simplificando j (w) se obtiene k({1 > ===> {q ) X k(|1 > ===> |q )

i ({1 > ===> {q |w) =

||W (|)=w

en las dos opciones cero o esta cociente, son independientes de = Recíprocamente, si i ({1 > ===> {q |w) no depende de , como i ({1 > ===> {q |) = i (w|)i ({1 > ===> {q |w> )

(2.2.1) se puede tomar

j (w) = i (w|)

y

k({1 > ===> {q ) = i ({1 > ===> {q |w)

con lo que se obtiene la descomposición deseada. Ejemplo 2.2.1 Para encontrar un estadístico suficiente, con m.a.s. de tamaño q de una población de Poisson de parámetro , S rlvvrq(), se tiene que q P

3q

i ({1 > ===> {q |) = h

1

{l

@

q Q l=1

{l !

con lo que

W =

q X l=1

q P

[l , j (w) = h3q l=1

[l

y k({1 > ===> {q ) =

Ãq Y

!31 {l !

=

1

¥ Se observa que siempre la propia muestra y el estadístico ordenado ([(1) > ===> [(q) ) son estadísticos suficientes.


62 62

DE DATOS

Además si el estadístico W es suficiente para P cualquier biyección X = X (W ) también lo es, pues de acuerdo con el teorema de factorización, si la población tiene función de densidad i ({1 > ===> {q |) = k({1 > ===> {q )j (W ({1 > ===> {q )) = k({1 > ===> {q )j (X ) luego, se obtiene la factorización deseada también en función de X . Si V([1 > ===> [q ) es un estadístico suficiente para P y W ([1 > ===> [q ) es otro estadístico, también es suficiente el estadístico (V([1 > ===> [q )> W ([1 > ===> [q )) ya que i ({1 > ===> {q > v> w|) i ({1 > ===> {q |v> w) = i (v> w|) 1 >===>{q >v|) que coincide con ahora bien está última expresión es igual a i ({ i (v|)i (w|) i ({1 > ===> {q |v)(i (w|v))31 donde este último factor no depende de para cualquier estadístico W ya que X i (w|v) = i ({1 > ===> {q |v)=

{|W ({)=w

Este último enunciado es por otra parte muy intuitivo, si con V se tiene recogida información suficiente para , al añadir W no se gana información, de todas formas es claro que la suficiencia ha sido introducida con el objetivo contrario de resumir la información en lugar de aumentarla. Una definición más rigurosa de estadístico suficiente puede verse en Garcia Nogales (1991) pág. 102. Ejemplo 2.2.2 Con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> 0 ) con 0 conocida, el estadístico W ([1 > ===> [q ) = [ es suficiente. Ya que puede escribirse μ i ({1 > ===> {q |) =

1 s 20

¶q

1 2 2 0

3

h

q P 1

{2l

q 2 ({3 2 )

h 0

con lo que μ k({1 > ===> {q ) =

1 s 20

¶q

3

h

1 2 2 0

q P 1

{2l

q 2 ({3 2 )

y j (W ([1 > ===> [q )) = h 0

=

Ejemplo 2.2.3 s Con m.a.s. de tamaño q de una población Q (0 > ) con 0 conocida, el q P estadístico W ([1 > ===> [q ) = ([l 0 )2 es suficiente, pues 1

μ i ({1 > ===> {q |) =

1 s 2

¶q

1 3 2

h

q P

({l 30 )2

l=1

2.2. ESTADÍSTICOS SUFICIENTES Y SUFICIENTES, MINIMAL SUFICIENTES REDUCCIÓN DE DATOS: ESTADÍSTICOS ANCILARIOS, ...

63 63

con lo que μ k({1 > ===> {q ) = 1

y

j (W ({1 > ===> {q )) =

1 s 2

¶

1 3 2

h

q P

({l 30 )2

l=1

=

Ejemplo 2.2.4 Con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ), siendo μy desconocidas, ¶ q q P P $ 2 [l > [l es puede comprobarse que el estadístico W ([1 > ===> [q ) = 1

suficiente.

1

Ejemplo 2.2.5 Para m.a.s. de tamaño q de una población X ( 2 > 2 ), compruébese que $ W ([1 > ===> [q ) = ([(1) > [(q) ) es suficiente para . Si la población es X (0> ), también son suficientes los estadísticos ([(1) > [(q) ) y [(q) . ¥ Esto lleva al concepto de estadístico minimal suficiente, tratando de encontrar el estadístico suficiente que más resuma la información. Para introducir este concepto es conveniente cambiar el punto de vista desde el que se considera un estadístico. Cualquier estadístico determina una partición del espacio muestral y recíprocamente, dada una partición del espacio muestral, asignándole un valor a cada clase se tiene definido un estadístico. De esta manera se hablará de partición suficiente, como la asociada a un estadístico suficiente y se introduce la siguiente definición. Definición 2.2.2 (estadístico minimal suficiente) Un estadístico W es minimal suficiente si su partición asociada es suficiente y es la menos fina entre todos los estadísticos suficientes V. Se entiende que la partición asociada a un estadístico W es menos fina que la asociada a otro estadístico V si toda clase de la partición asociada a W es unión de clases de la partición asociada a V. Teorema 2.2.2 (caracterización de estadísticos minimal suficientes) La relación de equivalencia que coloca en la misma clase dos puntos mues$ $ $ $ { = ({1 > ===> {q ) e | = (|1 > ===> |q ) si y sólo si el cociente i ( { |)@i ( | |) trales no depende de , induce una partición minimal suficiente y por tanto determina un estadístico minimal suficiente. Demostración: es inmediato ver que la relación definida es de equivalencia, luego si se asigna a cada clase del conjunto cociente un valor del estadístico, queda definido un estadístico suficiente. En efecto si se nota por $ $ { ) = w, y { 5 Dw se sigue que Dw a la clase en la que W ( ¶31 μ $ $ P i ( { |) i ($ | |) i ( { |) $ = i ( { |w> ) = = P $ $ i (w|) i ( | |) 3 < | MDw i ( { |) 3 < | MDw


64 64

DE DATOS

expresión que es independiente de = Sea cualquier otro estadístico V suficiente, se va a comprobar que si $ $ $ $ V( { ) = V( | ) = v, es decir { e | están en la misma clase de V, entonces $ $ W ( { ) = W ( | ), con lo que la partición asociada a W , es menos fina que la correspondiente a V. En efecto $ i ( { |) = $ i ( | |)

< i (3 { |) i (v|) < i (3 | |) i (v|)

=

$ i ( { |v) $ i ( | |v)

$ $ { e | . Por ser V donde v es el valor de la clase por V que contiene a un estadístico suficiente, numerador y denominador de esta expresión no $ $ { e dependen de luego | están en la misma clase de la partición asociada a W= ¥ Ejemplo 2.2.6 q P [l es un Para m.a.s. de tamaño q de una población de Bernoulli(), l=1

estadístico minimal suficiente, ya que q q q q P P P P {l 3 |l |l 3 {l i ({1 > ===> {q |) = l=1 l=1 (1 )l=1 l=1 i (|1 > ===> |q |)

y este cociente es independiente de cuando

q P l=1

{l =

q P l=1

|l=

Teorema 2.2.3 Si la distribución de la muestra es de la familia exponencial k-paramétrica, es decir n P < 3 < fl ( )Wl (3 {) $ $ $ i ({ > ===> { | ) = f( )k( { )hl=1 1

q

$ $ $ $ $ f l = (f1 ( l )> ===> fn ( l )), y existen valores 1 > ====> n tales que los vectores $ $ l = 1> ===> n son linealmente independientes, entonces el estadístico W ( [ ) = $ $ (W1 ( [ )> ===> Wn ( [ )) es minimal suficiente. Demostración: Basta observar que n P < 3 $ < 3 < 3 $ $ k( { ) 1 fl ( )[Wl ( { )3Wl ( | )] i ( {| ) h $ = k( $ $ |) i ( ||)

n P $ $ $ $ fl ( )[Wl ( { )Wl ( | )] = y este cociente es independiente de si y sólo si

0 con lo que el sistema homogéneo n P l=1

$ $ $ fl ( m )[Wl ( { ) Wl ( | )] = 0

1

m = 1> ===> n

2.3. ESTADÍSTICOS ANCILARIOS Y COMPLETOS REDUCCIÓN DE DATOS: ESTADÍSTICOS SUFICIENTES, ANCILARIOS, ...

65 65

$ $ { )Wl ( | ) = 0, l = 1> ===> n y el estadístico solo admite la solución trivial Wl ( $ $ $ $ W ( [ ) = (W1 ( [ )> ===> Wn ( [ )) es minimal suficiente. ¥ Ejemplo 2.2.7 $ Para una población Q (> ) con = (> ) es q q P ¶q P {l 3 12 {2l 1 2 2 l=1 s h l=1 2 ¡P P ¢ $ [l > [l2 es minimal suficiente, luego el estadístico W ([1 > ===> [q ) = ¢ ¡ $ $ ya que en ¡ 2 > ¢21 2 existen 1 = ( = 0> 2 = 1) y 2 = ( = 1> 2 = 1) $ $ f 1 = 0> 12 y f 2 = (1> 12 ) linealmente independientes. con

$ i ({1 > ===> {q | ) =

2.3.

μ

ESTADÍSTICOS ANCILARIOS Y COMPLETOS

Intuitivamente el concepto de estadístico ancilario es opuesto al concepto de estadístico suficiente, es decir un estadístico ancilario es el que no da información sobre el parámetro. Posteriormente se verá que las cosas no son tan estrictas, pero la idea puede ser válida como aproximación intuitiva. Definición 2.3.1 (estadístico ancilario) El estadístico X ([1 > ===> [q ) es ancilario para , si su distribución es independiente de = Ejemplo 2.3.1 Para una población Q (> 0 ) con 0 conocida, con m.a.s. de tamaño q se = [1 [2 tiene de distribución Q (0> s2 0 ), que no depende tiene que X ([) de , por lo que X es un estadístico ancilario para . ¥ Puesto que la distribución de un estadístico ancilario no depende del parámetro, parece natural esperar que un estadístico ancilario para sea independiente de cualquier otro estadístico suficiente, que ésto es cierto pero añadiendo una propiedad más, la de completitud, ha sido probado por Basu (1955). Por lo tanto, antes de demostrar este resultado se pasa a desarrollar la noción de completitud. Definición 2.3.2 (familia de distribuciones completa) $ La familia P = {i ( { |)| 5 } es completa si para cualquier función real $ $ $ j( { ) tal que H j( [ ) = 0 para todo 5 se sigue que g( [ ) es nula $ { ) es cero salvo en un conjunto de casi seguro respecto de , es decir, j( $ { |) para todo = probabilidad cero, calculada a partir de i (


66 66

DE DATOS

Ejemplo 2.3.2 La familia P = {{ (1 )13{ ; { 5 {0> 1}| 5 (0> 1)} es completa. Ya que si H j([) = 0 para todo 5 (0> 1) ha de ser j(1) + j(0)(1 ) = 0 para todo 5 (0> 1), luego j(0) = j(1) = 0= También la familia P = {Elqrpldo(q> )| 5 (0> 1)} es completa. Ya que si H j([) = 0 para todo 5 (0> 1) ha de ser μ ¶ μ ¶ q q l q31 j(0)(1 ) + j(1) + === + j(l) (1 ) (1 )q3l + === + j(q)q 1 l μ ¶ q P q = (1 )q j(l) (@(1 ))l = 0> l l=0 q

que es un polinomio de grado q en @(1 ), luego para que sea nulo ha de ser j(0) = === = j(q) = 0= Ejemplo 2.3.3 La familia P = {Q (0> )| desviación típica 5 R+ } no es completa, ya que j([) = [ es tal que H j([) = 0 para todo 5 R+ = Definición 2.3.3 (estadístico completo) El estadístico W ([1 > ===> [q ) es completo si su familia de distribuciones de probabilidad P = {i (w|)| 5 } es completa. ¥ Es importante resaltar, que se debe trabajar con la familia de distribuciones del estadístico obtenida a partir de la distribución de la muestra. Ejemplo 2.3.4 Para muestras de tamaño uno de una población Q (0> ) con la desviación típica, el estadístico W ([) = [ 2 es completo. Ya que su familia de distribuciones es ¯ ) ( 1 ¯ 3 2 3 12 w 3 1 ¯ P = s s h 2 w 2 ; w 5 R ¯ 5 R+ ¯ 2 y si

Z 0

+"

1

1

j(w)h3 22 w w3 2 gw = 0

; 5 R+

ha de ser j(w) = 0. Esto es intuitivo al variar , de todas formas un razonamiento riguroso se basa en la unicidad de la transformada de Laplace.


67 67

Ejemplo 2.3.5 Para m.a.s. de tamaño q de una población [ normal de media μ q y deq ¶ P P 2 $ desviación típica , con 5 (0> +4) el estadístico W ([1 > ===> [q ) = [l > [l l=1

no es completo ya que μ 2

q P

l=1

μ

¶2 [l

(q + 1)

q P

l=1

[l2

l=1

¶

es un estimador insesgado de cero. Para comprobarlo basta utilizar que $2 # q P "μ # ¶2 [l 3q q P H [l = q2 (1 + q), pues l=1 q2 se distribuye según una l=1 ·μ q ¶¸ q P 2 P ([l 3)2 2 [l = 2q2 , pues se distribuye distribución "1 , y que H 2 según una distribución "2q .

l=1

l=1

¥ Para aclarar el significado de la completitud, que radica en la cantidad de elementos que contenga la familia P, se tiene el siguiente enunciado. Ejemplo 2.3.6 © ª La familia P = Q1 L{1>2>===>Q} ({)> { 5 N> Q 5 N+ > donde N es el conjunto de los números naturales, es completa, pero si se quita la distribución correspondiente al valor Q = Q0 , la función ; si { = Q0 ? f j({) = f si { = Q0 + 1 = 0 @ {Q0 > Q0 + 1} si { 5 es un estimador insesgado de cero. ¥ De todas formas se dispone de una herramienta muy útil para encontrar estadísticos completos. Teorema 2.3.1 (existencia de estadísticos completos) Para la familia de distribuciones exponencial k paramétrica n P < fl ()Wl (3 {) $ $ P = {f( )k( { )h 1 | 5 Rn }>

$ $ $ f = (f1 ( )> ===> fn ( )) : $ Rn contiene un si la imagen de la aplicación $ $ $ $ rectángulo abierto de Rn , entonces el estadístico W ( [ ) = (W1 ( [ )> ===> Wn ( [ )) es completo.


68 68

DE DATOS

La demostración puede verse en Lehmann(1986) pág. 142. $ Además, en este caso se tiene asegurada la suficiencia del estadístico W , mediante el teorema de factorización; y por el Teorema 2.2.3 también se $ sigue que W es un estadístico minimal suficiente. Ejemplo 2.3.7 Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) de media y desviación típica , con 5 (0> +4) se tiene que μ i ({1 > ===> {q |) =

1 s 2

¶q

q

1

h3 22 h

S

{l 3

1 2 2

S

{2l

$ f = (f1 ()> f2 ()) = ( 1 > 212 ). Por tanto cuando 5 (0> +4) la luego $ f puede representarse mediante { = 1 , | = 12 {2 imagen de la aplicación

f () para el Ejemplo 2.3.7. Figura 2.3.1. Representación de $ que es una rama de parábola, véase la Figura 2.3.1, y que por tanto no 2 contiene a ningún abierto μ q de qR . El ¶ teorema no permite afirmar que el P P $ $ 2 [l > [l sea completo. De hecho no lo es; ver estadístico W ( [ ) = l=1

l=1

el Ejemplo 2.3.5. ¥ Ahora se puede enunciar el resultado referido a los estadísticos ancilarios. Teorema 2.3.2 (Basu) Si W ([1 > ===> [q ) es un estadístico suficiente y completo y X ([1 > ===> [q ) es un estadístico ancilario, entonces W y X son independientes. Demostración: Basta ver, utilizando funciones de densidad, que i (x|w) es independiente de . Además i (x) = i (w|)i (x|w)


69 69

luego la esperanza de la función j(w) = i (x|w)i (x) respecto a la distribución de W es cero, y por la completitud de W se sigue el resultado. ¥ El teorema puede utilizarse, para probar la independencia de ciertos estadísticos, para los que sea fácil comprobar su completitud. Ejemplo 2.3.8 Para una m.a.s. de tamaño q de una población X qli ruph(0> ) se sigue que [(1) [(q)

y [(q) son independientes. Puede comprobarse mediante el teorema de factorización que [(q) es

suficiente y que, además, es completo. El resultado se sigue, de ver que es ancilario: Z I [(1) (w) = i[(q) (|)I[(1) (w|)g| (2.3.1)

[(1) [(q)

0

[(q)

como es fácil ver que ; |0 ? ¡ 0¢ si | q I[(q) (|) = | 5 [0> ] si = 1 |0 si se sigue que i[(q) (|) = q | q31

μ ¶q 1 , 0 ? | ? =

Por otra parte I[(1) (w|) = 1 S {[(1) A w|} = 1 S q {[ A w|} ; w| ? 0 A ? ³ 0 ´q si 3w| = 1 si w| 5 [0> ] A = 1 w| si por lo que sustituyendo en (2.3.1) (2.3.2)

q I [(1) (w) = q [(q)

Z 0

|

q31

q g| q

Z 0

³ | ´q q31 1w | g|=

El primer sumando vale 1 y el segundo sumando se reduce a una función que no depende de mediante el cambio | = {> por lo que la Expresión (2.3.2) no depende de . ¥ El siguiente ejemplo muestra cómo, mediante el teorema de Basu, se puede obtener el resultado, ya demostrado, de que para poblaciones normales los estadísticos [ y V 2 son independientes.

70 70


DE DATOS

Ejemplo 2.3.9 Para m.a.s. de tamaño q de una población [ 5 Q (> ) se tiene que [ es 2 suficiente y completo y además (q 1) V2 es ancilario, pues la distribución "2q31 es independiente de , luego [ y V 2 son independientes por el Teorema de Basu.

2.4.

ESTADÍSTICOS INVARIANTES

En algunas situaciones, el problema de estimación tiene una estructura que permite también reducir la información muestral. Es intuitivo que si se supone un experimento en el que se busca medir la longitud de una pieza en centímetros a partir de diferentes medidas en centímetros, el resultado debe ser el mismo, mediante un cambio de unidades adecuado, es decir, si las medidas pasan a tomarse en metros. Otras veces la estructura del problema es tal que sabiendo el valor que debe tener en determinados puntos muestrales se tiene unívocamente determinado el valor de una función de para otra función de los anteriores puntos muestrales. Así por ejemplo, si para determinar la probabilidad con la que una moneda sale cara, , si en vez de conocer el número de caras que se han presentado en q lanzamientos se sabe el número de cruces, lo que se puede estimar ahora es 1 en lugar de = Para concretar el concepto de estadístico invariante, hay que definir previamente ciertos conceptos. Definición 2.4.1 Un conjunto de funciones G = {j : X $ X } definidas sobre el espacio muestral forman grupo, respecto a la operación de composición de aplicaciones, cuando se cumplen las dos condiciones: 1) Para para toda j 5 G existe j 0 5 G tal que j 0 (j({)) = {, para todo punto muestral. Se dice que j 0 es la aplicación inversa de j= Dadas dos funciones j y j 0 de G existe j” de G tal que j 0 j({) = j”({) 2) dadas para todo punto muestral. Se dice que G es cerrado respecto a la composición de aplicaciones. La pertenencia al grupo G de la aplicación identidad se sigue de las dos propiedades introducidas. Ejemplo 2.4.1 Para una población con distribución binomial Elqrpldo(q> ) con X = {0> 1> ===> q} el conjunto formado por las dos aplicaciones G = {h({) = {> j({) = q {} es un grupo, ya que cada aplicación del conjunto es inversa de si misma y es cerrada. Definición 2.4.2 (familia de distribuciones invariante) $ La familia de distribuciones P = {i ( { |)| 5 } se dice invariante por el $ grupo de transformaciones G = {j : X $ X } si cuando [ se distribuye

2.4. ESTADÍSTICOS INVARIANTES REDUCCIÓN DE DATOS: ESTADÍSTICOS SUFICIENTES, ANCILARIOS, ...

71 71

$ $ { |) , se sigue que para cualquier j perteneciente a G j( [ ) mediante i ( $ { |0 ) con 0 5 . Se acostumbra a notar 0 = j() se distribuye mediante i ( a la aplicación de en que se corresponde con j= Ejemplo 2.4.2 Para el caso de la distribución Elqrpldo(q> ) tratado en el Ejemplo 2.4.1, las aplicaciones correspondientes son h() = y j() = 1 . ¥ Ya se puede introducir el concepto de estimador invariante frente a un grupo de transformaciones. Definición 2.4.3 (estadístico invariante) Si G es un grupo de transformaciones que deja invariante a la familia de $ distribuciones P = {i ( { |)| 5 }, un estadístico W es invariante, respecto al grupo de transformaciones G = {j : X $ X } si para todo j de G se tiene $ $ { )= { ) = jW ( que W j( Ejemplo 2.4.3 Para la población Elqrpldo(q> ) con muestras de tamaño 1 el estadístico W ([) = [ q es invariante respecto al grupo G = {h({) = h> j({) = q {}, ya que { W j({) = W (q {) = 1 q ³{´ { j¯W ({) = j¯ =1 q q ¥ Un estadístico es invariante cuando la estimación que se hace al observar $ $ { ). { transformada por j coincide con la que se hace si se observa j( El problema para la consideración de los estadístivos invariantes, es que se requiere descubrir primeramente el grupo G de transformaciones. Ejemplo 2.4.4 Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> 0 ), con 0 conocida y 5 q P $ R, el estadístico W ( [ ) = q1 [l es invariante para el grupo de traslaciones l=1

G = {jd : X $ X > jd ({1 > ===> {q ) = ({1 + d> ===> {q + d) con d 5 R}. ¥ Las ideas anteriores son válidas en el caso en que el parámetro sea k-dimensional. Ejemplo 2.4.5 Para m.a.s. de tamaño q, la familia de distribuciones normales de media 1 = y de varianza 2 = 2 , con 5 R y 2 5 (0> +4) es invariante por

72 72


DE DATOS

el grupo de transformaciones G = {jd>e ({1 > ===> {q ) = (d{1μ+ e> ===> d{q +¶e)}= q q P P [l [l2 no Se obtiene que j d>e (> 2 ) = (d + e> d2 2 )= El estadístico 1 1 ¡ ¢ es invariante, mientras que si que lo es [> V 2 =

2.5.

PRINCIPIOS DE REDUCCIÓN DE DATOS

En este capítulo se han estudiado distintos procedimientos de resumir la información suministrada por la muestra. Estos procedimientos son; en último término estadísticos y sobre ellos, o a través de ellos, se estiman los valores desconocidos de la población. Se va a introducir un estadístico más que es la verosimilitud o la función de verosimilitud, que también puede ser utilizado para resumir los datos; finalmente se consideran todos los estadísticos como entes que dan información y a esta información se le va a llamar evidencia. Desde este punto de vista, se cambia, sólo en esta sección, el nombre de estadístico por el de principio y así se habla de principio de suficiencia, de principio de verosimilitud y de principio de invariancia, en lugar de estadístico suficiente, de función de verosimilitud y de estadístico invariante, respectivamente. En este contexto se demuestra el Teorema de Birnbaum, un resultado que relaciona los estadísticos suficientes y la función de verosimilitud y que pone de manifiesto las implicaciones de los distintos métodos de inferencia.

2.5.1.

Principio de verosimilitud

La idea es considerar la distribución de probabilidad de la muestra, no como función de { = ({1 > ===> {q ) sino como función del parámetro desconocido.

Definición (función de Definición2.5.1.1. 2.5.1 (función de verosimilitud) verosimilitud) $ Dada la familia P = {i ( { |)| 5 } de distribuciones de probabilidad donde i (=|) es una función de densidad o de masa y supuesto que se ha ob$ { = ({1 > ===> {q ) la función de definida mediante servado el valor muestral $ $ { ) = i ( { |) O(| se llama función de verosimilitud. Ejemplo2.5.1.1. 2.5.1 Ejemplo Para una muestra de tamaño 1 de una población X qliruph(0> ), la función de densidad y de verosimilitud están representadas en la Figura 2.5.1.1 donde se observa la drástica diferencia entre ambas.

2.5. PRINCIPIOS DEDATOS: REDUCCIÓN DESUFICIENTES, DATOS ANCILARIOS, ... REDUCCIÓN DE ESTADÍSTICOS

73 73

¥

Figura 2.5.1.1. Función de densidad y de verosimilitud para la población Uniforme(0> )=

Como se anticipaba, el principio de verosimilitud especifica como debe usarse la función de verosimilitud para la reducción de datos. Definición2.5.1.2. 2.5.1.1(principio (principio verosimilitud) Definición dede verosimilitud) $ $ $ $ { e Si | son dos puntos muestrales, tales que, existe una constante f( { > |) que no depende de verificando $ $ $ $ | ) para todo > { ) = f( {> | )O(| O(| entonces la evidencia estadística que suministran ambos puntos debe ser $ $ { ) = Hy(H2 > | ). idéntica, es decir, Hy(H1 > ¥ Dos aspectos son importantes en esta definición. El primero es que la evidencia estadística se toma en sentido amplio y no se define, así puede ser ésta un estadístico muestral, un estadístico suficiente, un intervalo de confianza etc. El segundo es que las dos funciones de verosimilitud no tienen por qué estar obligatoriamente definidas en el mismo espacio muestral. Realmente la evidencia estadística debe expresarse como $ $ Hy(H> { ) donde H = (X > > P = {i ( { |)}) la evidencia depende del experimento bajo estudio H y del punto muestral observado. Con lo que del principio de verosimilitud, Definición 2.5.1.2, 2.5.1.1, se $ $ { ) = Hy(H2 > | ) con concluye que Hy(H1 > $ $ H1 = (X > > P1 = {i ( { |)}) y H2 = (Y> > P2 = {j( | |)})=


74 74

DE DATOS

Ejemplo Ejemplo2.5.1.2. 2.5.1.1 La evidencia que se obtiene de un modelo Elqrpldo(q> ) sobre , cuando se observan w éxitos en n repeticiones, es la misma que la obtenida de un modelo Binomial negativo(w> ), siempre que se suponga que se han realizado q repeticiones hasta obtener w éxitos. En efecto en el primer caso μ ¶ q w i (w|) = (1 )q3w w y en el segundo i (n repeticiones hasta obtener w éxitos|) =

μ ¶ q1 w (1 )q3w w1

por tanto se puede aplicar el principio de verosimilitud con f(w> q) = qw . Es decir, si para estimar la probabilidad con la que sale cara una moneda, se tira ésta q veces y es w el número de caras que se han presentado (modelo binomial), se obtiene la misma evidencia para , que si se repite el experimento hasta observar w caras y para ello ha habido que realizar q tiradas.

2.5.2.

Principio de suficiencia

El concepto de estadístico suficiente, también puede trasladarse a principio,. mediante Definición 2.5.2.1 (principio de suficiencia) $ $ { |)| 5 }) si W ( { ) es un esEn un experimento H = (X > > P = {i ( $ $ tadístico suficiente para y se tiene que W ( { ) = W ( | ), entonces los dos $ $ { e puntos muestrales, | , suministran la misma evidencia estadística, es $ $ | ). decir Hy(H> { ) = Hy(H> Ejemplo 2.5.2.1 En un experimento consistente en la repetición de q pruebas de Bernoulli, la evidencia estadística que se obtiene de dos puntos muestrales con el mismo número de éxitos es la misma.

2.5.3.

Principio de condicionalidad

Dados dos experimentos H1 = (X1 > > P = {i1 ({1 |)| 5 }) y H2 = (X2 > > P = {i2 ({2 |)| 5 }) considérese el experimento mixto, en el que dependiendo de una v.a. M, que toma el valor 1 ó 2 con probabilidad 1@2, se observa el experimento HM . Formalmente se nota al experimento mixto por H W = (X W > > {i W ({W |)| 5 }) donde {W = (m> {m ) y i W (m> {m |) = 1 2 im ({m |), entonces el principio de condicionalidad permite afirmar que Hy(H W > (m> {m )) = Hy(Hm > {m )=


75 75

El principio de condicionalidad dice algo bastante intuitivo: mecanismos aleatorios que no dependan del valor a determinar , no proporcionan evidencia sobre él. Posteriormente, al tratar los contrastes de hipótesis, se consideran problemas en los que a veces se sugiere aleatorizar, para conseguir un test de tamaño determinado; pues bien según el principio de condicionalidad este tipo de actuación no suministra información sobre y no necesita ser considerado. El valor 12 (probabilidad con la que toma valores la v.a. M) puede ser sustituido por otro cualquiera sin modificar el significado del principio de condicionalidad; lo sustancial es que la distribución de la v.a. M no dependa de , el parámetro a determinar.

2.5.4.

Teorema de Birnbaum

El siguiente enunciado relaciona los tres principios, de verosimilitud, suficiencia y condicionalidad, y tiene un significado importante para establecer consecuencias de las distintas aproximaciones que pueden darse en la inferencia estadística. Teorema 2.5.4.1 (Birnbaum) El principio de verosimilitud es equivalente a los principios de suficiencia y condicionalidad. $ $ Demostración: Dados dos puntos { e | en dos experimentos H1 > H2 $ $ $ $ tales que O1 (| { ) = f( { > | )O2 (| | ), sobre el experimento mixto H W construido a partir de H1 y H2 mediante el principio de condicionalidad, se define el estadístico ; $ $ $ ? (1> { ) si m = 1 y { 1 = { $ $ $ (1> { ) si m = 2 y | {2 =$ W (m> { m) = = $ (m> { m ) en el resto

m = 1> 2

$ $ { ) y (1> |)y es decir, el estadístico W asigna el mismo valor a los puntos (1> 2 $ es la identidad para el resto. El estadístico W es suficiente ya que i ((1> { )|W = $ $ $ $ $ $ $ $ $ | )|W = (1> { )) = f( {> | )@(1+f( {> | )), (1> { )) = (1+f( {> | ))31 , i ((2> $ $ $ $ 0 i ((m> { m )|W = (m> { m )) = 1 y i ((m> { m )|W = (m> { m )) = 0 esto es, no depende del parámetro. Siendo i la distribución condicionada por el estadístico y donde se ha tenido en cuenta que $ $ $ { )|) + i W ((2> | )|) i (W = (1> { )|) = i W ((1> $ $ 1 1 = 2 i1 ( { |) + 2 i2 ( | |) $ $ = 12 O1 (| { ) + 12 O2 (| |) $ $ $ = 12 O1 (| { )[1 + f( {> | )]

76 76


DE DATOS

con lo que $ $ i ((1> { )|W = (1> { )) = = = =

< i W ((1>3 { )|) < i (W =(1>3 { )|) < 1 {) O (|3 2 1 < 3 < 1 1 |) O (| { )+ 2 O2 (|3 2 1 < 3 1 { ) O (| 1 2 < 3 < < 3 < 3 1 1 { )+ {) O (| F( { > | )O1 (|3 1 2 2 $ $ 31 [1 + f( { > | )]

análogamente para los otros valores. Si se aplica el principio de suficiencia, ha de ser $ $ { )) = Hy(H W > (2> | )) Hy(H W > (1> y mediante el principio de condicionalidad $ $ Hy(H W > (1> { )) = Hy(H1 > {) $ $ W Hy(H > (2> | )) = Hy(H > | ) 2

por lo tanto se tiene demostrado que $ $ { ) = Hy(H2 > |) Hy(H1 > con lo que se obtiene el principio de verosimilitud. Recíprocamente, para el principio de condicionalidad. Sea H W el experimento mixto de H1 y H2 . Como O(|m> {m ) = i W (m> {m |) $ { m |) = 12 im ( $ 1 { m )> = 2 Om (| se tiene que en los dos experimentos H W y Hm es 1 $ $ O(|m> { m ) = Om (| { m) 2 y por el principio de verosimilitud $ $ { m )) = Hy(Hm > { m )= Hy(H W > (m> Por último, para demostrar que se cumple el principio de suficiencia $ H yydos {) = considérese un un experimento experimento E dospuntos puntos muestrales muestrales tales tales que que W ( considérese $ W ( | ), siendo W un estadístico suficiente. Por el teorema de factorización, Teorema 2.2.1, se tiene $ $ $ i ( | |) = k( | )j (W ( | )) $ $ = k( | )j (W ( { )) < 3 |) i ($ { |) = k( < k(3 {)


77 77

Es decir, $ $ $ $ O(| | ) = f( {> | )O(| {) $ $ $ $ {> | ) = k( | )|k( { ). Por el principio de verosimilitud con f( $ $ Hy(H> { ) = Hy(H> |) y por tanto se cumple el principio de suficiencia. ¥ El significado del teorema de Birnbaum es importante desde el punto de vista de los fundamentos de la Estadística, muchos de los procedimientos estadísticos usuales violan el principio de verosimilitud, en concreto los procedimientos que se basan en la distribución muestral del estadístico pueden hacerlo. Si se pasa de un modelo binomial a uno binomial negativo, la función de masa cambia y por tanto las propiedades del estimador también pueden cambiar. Sin embargo a la luz del teorema esto significa contradecir el principio de suficiencia, que es compartido por toda aproximación a la inferencia, o el principio de condicionalidad que parece bastante aséptico. El teorema de Birnbaum constituye uno de los motivos por los que el principio de verosimilitud no es universalmente aceptado, a pesar de que como se verá, la función de verosimilitud posee muchas buenas propiedades estadísticas. Los procedimientos bayesianos, que serán introducidos en la Sección 3.2.3, por estar basados en la distribución de probabilidad final satisfacen el principio $ $ { e de verosimilitud, ya que si | cumplen $ $ $ $ O2 (| | ) = f( {> | )O1 (| {) $ $ { ) y 2 (| | ), cuando la inicial viene Las distribuciones finales 1 (| dada por (), son iguales: $ 2 (| |) = =

< 3 | |) U ()i2 ( 3 < ()i ( 2 | |)g X < 3 { |) U ()i1 ( 3 < X ()i1 ( { |)g

$ { )= = 1 (|

{ del primer Por tanto la evidencia estadística que se obtiene mediante $ experimento $ $ Hy(H1 > { ) = 1 (| {) | del segundo experimento coincide con la que se obtiene mediante $ $ $ | ) = 2 (| |) Hy(H2 >

78 78

2.6.


DE DATOS


Las primeras propiedades de los estadísticos, están al menos en germen, en los trabajos de Laplace, pero quienes las estudian de una forma más sistemática son Karl Pearson y Fisher. Karl Pearson (1857-1936) nace en Londres. Hijo de un abogado, estudia leyes para satisfacer a su padre, aunque simultanea estos estudios con los de matemáticas, en el King College de Cambridge. Con 22 años se marcha a Alemania a hacer su doctorado y estudia física y metafísica, a su vuelta es profesor de matemáticas y mecánica en el University College de Londres. A partir de 1911 se convierte en profesor de ingeniería en la misma institución. Fué un partidario convencido de la teoría de la evolución de las especies, introducida por Darwin, y también un ferviente socialista. En 1889 Galton publica su libro Herencia Natural y Weldon se incorpora a la cátedra de zoología en el University College. La necesidad de verificar numéricamente lo expuesto por Galton y de dar respuestas a las cuestiones de clasificación planteadas por el zoólogo, llevan a Karl Pearson a desarrollar diferentes distribuciones para resolver las cuestiones que le van planteando. Inicialmente Karl Pearson recurre a representaciones gráficas de los datos, para posteriormente desarrollar su célebre familia de curvas e introducir procedimientos de ajustes. Así entre 1893 y 1906 publica unos 100 artículos acerca de la teoría de la estadística y sus aplicaciones, entre estos trabajos, están incluidas las Tablas para estadísticos y biometristas, destinadas a ayudar a realizar ajustes de curvas a nubes de puntos, y sus estudios sobre la correlación. Retrata la forma de ser de Karl Pearson, que en su primera época como profesor, al hacer una verificación de la falta de aleatoriedad de los resultados de una ruleta, escribe al gobierno francés, recomendándole que cierre los casinos y envíe sus fondos a la Academia de Ciencias para la fundación de un laboratorio de probabilidad. Entre 1895 y 1897, Karl Pearson realiza sus estudios sobre correlación y regresión y obtiene la distribución del coeficiente de correlación muestral para una distribución normal bivariante. El célebre método de ajuste de la "2 está incluido en una memoria, publicada en el año 1900; posteriormente lo generaliza a tablas de contingencia en el año 1904. Mantuvo una polémica con Fisher respecto al número de grados de libertad de la "2 cuando parte de los parámetros desconocidos de la población son estimados de la muestra. Entre los años 1921 y 1933 da en el University College de Londres una serie de conferencias que se han convertido en un clásico para cualquier persona interesada en el estudio de la historia de la estadística. Con una gran simplificación podría decirse que a Karl Pearson se le debe el fuerte auge del método de los momentos para la determinación de los parámetros, y un estudio bastante completo de las familias de curvas

2.7. EJERCICIOS REDUCCIÓN DE DATOS: ESTADÍSTICOS SUFICIENTES, ANCILARIOS, ...

79 79

que obtuvo para ajustar a distintos fenómenos, como solución de ecuaciones diferenciales para distintos valores de las constantes; así clasificó la solución en cinco tipos de curvas que incluían a la beta simétrica, la beta asimétrica, la gamma y la normal. El resto de las propiedades de los estimadores, junto con otros muchos resultados, se deben a Fisher (1890-1962), sin duda el estadístico más influyente y que más contribuciones de conceptos y resultados ha realizado. Una sucinta biografía de Fisher puede verse en la Sección 4.6. A él se deben los conceptos de consistencia, eficacia, suficiencia y ancilariadad, así como el método de la máxima verosimilitud, el diseño de experimentos y el análisis de la varianza, (véase el Capítulo 7). Un amplio estudio de la biografía y las contribuciones estadísticas de Fisher se encuentra en Girón y Gómez Villegas (1998). Con referencia a los fundamentos de la inferencia estadística se debe citar a Allan Birnbaum (1923-1976), quien estudió en Berkeley, ciencias, filosofía y matemáticas, trabajó en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas e impartió clases como profesor visitante en varias universidades europeas y americanas, como Stanford, Londres, Cambridge etc. Su resultado de 1962 que relaciona los conceptos de verosimilitud, suficiencia y condicionalidad, es de capital importancia para entender los fundamentos de las principales aproximaciones a la inferencia estadística.

2.7.

EJERCICIOS

2.7.1 Sea [ una observación de una población Q (0> ). ¿Es |[| un estadístico suficiente? 2.7.2 Encuéntrese un estadístico suficiente para m.a.s. de tamaño q de cada una de las poblaciones siguientes: a) Ehwd(> ), A 0> A 0= b) Jdppd(d> s)> d A 0> s A 0= 1 L ({) con Q1 ? Q2 , enteros posic) sQ1 Q2 ({) = Q2 3Q 1 {Q1 +1>Q1 +2>===>Q2 } tivos. d) i ({|) = h3{+ L(>+") ({), 5 R. 1 2 1 I h3 22 (ln {3) L(0>+") ({), { 2 (1 s)s{3 L{>+1>===} ({), 5 R

e) i ({|> ) = f) s({|> s) =

5 R> A 0= 0 ? s ? 1=

2.7.3 Para m.a.s. de tamaño q de una población Xqli ruph(> 4), 5 R> pruébese que ([(1) > [(q) ) es un estadístico suficiente pero no completo.


80 80

DE DATOS

2.7.4 Para m.a.s. de tamaño q de una población con función de densidad i ({|) = h3({3) L(>+") ({)> 5 R>. a) Pruébese pruébese que [(1) es un estadístico suficiente y completo,. b) Mediante mediante el teorema de Basu, pruébese que [(1) > el mínimo, y V 2 , la cuasivarianza muestral, son independientes. 2.7.5 Para una población discreta dependiente de un parámetro , ¿es W ([1 > ===> [q ) = ([1 > ===> [q31 ) un estadístico suficiente para ? 2.7.6 Para m.a.s. de tamaño q de una población con función de densidad i ({|) = pruébese que el estadístico

q P l=1

{ 3 1 {2 h 2

{ A 0, A 0>

[l no es suficiente.

2.7.7 Para m.a.s. de tamaño q de una población con parámetro de centralización y de escala > μ ¶ 1 { i ({|> ) = i y dos estadístico W1 y W2 que verifiquen Wl (d{1 + e> ===> d{q + e) = dWl ({1 > ===> {q )

l = 1> 2

para cualesquiera valores d> e con d A 0>. a) Pruébese pruébese que WW12 es un estadístico ancilario para (> ),. V la U= =[ [(q) [(1) b) Sea sea U la cuasidesviación cuasidesviación típica típica muestral. muestral. Verifíquese Verifíquese Verifíquese (q)[ (1) yy V que U es un estadístico ancilario. V 2.7.8 Sea Q una variable aleatoria que toma los valores 1> 2> === con probabilidades " P s1 > s2 > === con sl = 1. Si primero se observa Q = q y a continuación se l=1

realizan q experimentos de Ehuqrxool() obteniéndose { éxitos. Pruébese, que, de acuerdo con el principio de verosimilitud, se debería obtener la misma evidencia estadística del par (q> {) que del resultado {. 2.7.9 Para una población, con función de masa dada mediante S {[ = 1|} =

S {[ = {|} = (1 )2 { L{0>1>===} ({)

con 5 (0> 1), y una muestra de tamaño 1, ¿es [ un estadístico completo?

2.7. EJERCICIOS REDUCCIÓN DE DATOS: ESTADÍSTICOS SUFICIENTES, ANCILARIOS, ...

81 81

2.7.10 Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) donde es un número μq ¶ q P P 2 real conocido, ¿es W ([1 > ===> [q ) = [l > [l un estadístico suficiente y completo para ?

l=1

l=1

2.7.11 Para m.a.s. de tamaño q de una población X qliruph(> + 1) con A 0. a) Encuéntrese un estadístico suficiente para = b) ¿Es el recorrido muestral U = [(q) [(1) un estadístico ancilario? c) ¿Se podría generalizar la parte b) a una familia de distribuciones con parámetro de localización , es decir, si I ({|) = I ({) es U = [(q) [(1) un estadístico ancilario? 2.7.12 Para m.a.s. de tamaño q de una población, con función de densidad dada mediante i ({|) = i ({ ), se considera el grupo de transformaciones G = {jd ({1 > ===> {q ) = ({1 + d> ===> {q + d)|d 5 R}. Pruébese que si H0 [ = 0, entonces el estimador [ es insesgado e invariante para . 2.7.13 Sea [1 > ===> [q una m.a.s. de tamaño q de una población de parámetros de ¢ ¡ centralización y de escala conocida, es decir i ({|> ) = 1 i {3 . Se quiere estimar el parámetro y se consideran los dos grupos de transformaciones G1 = {jd>f ({1 > ===> {q ) = (f{1 + d> ===> f{q + d)|d 5 R f A 0} y G2 = {jd ({1 > ===> {q ) = ({1 + d> ===> {q + d)|d 5 R } Pruébese que los estimadores de la forma W ([) = [ + n, con n distinta de cero, no son invariantes respecto a G1 y sí lo son respecto a G2 = 2.7.14 Dada una observación [ = { de una población con función de masa μ ¶|{| s({|) = (1 )13|{| L{31>0>1} ({) con 0 1 2 a) ¿Es [ un estadístico completo? b) ¿Es |[| un estadístico minimal suficiente y completo? c) ¿Es el estadístico ] ancilario? ½ [@|[| si [ 6= 0 ]= 0 si [ = 0


82 82

DE DATOS

2.7.15 Se considera una m.a.s. de tamaño q de una población con función de densidad (ln ){ L ({) con A 1 i ({|) = 1 (0>1) a) Encuéntrese un estadístico suficiente. b) ¿Es el estadístico de a) minimal suficiente? ¿Es completo? 2.7.16 Se considera una m.a.s. de tamaño q de una población con función de densidad 2{ i ({|) = 2 L(0>) ({) con A 0 ¶ μq Q [l > [(q) suficiente para ? ¿Es minimal sua) ¿Es el estadístico l=1

ficiente? b) ¿Es completo el estadístico [(q) ?

2.8.


2.8.1 Como la función de densidad es 1 1 2 h3 2 |{| i ({|) = s 2

por el Teorema 2.2.1 (factorización) se tiene que i ({|) = k({)j(|{||) con k({) =

I1 2

1

2

y j(|{||) = 1 h3 2 |{| ; luego el estadístico |{| es suficiente.

2.8.2 a) Como [ Ehwd(> ) su función de densidad es, i ({|> ) =

1 {31 (1 {)31 E(> )

0 ? { ? 1> A 0> A 0

de donde i ({1 > ===> {q |> ) =

1 E(> )

μ

q Q

l=1

¶31 μ {l

q Q

¶31 (1 {l )

l=1

l = 1> ===> q. Por el teorema con 0 ? {l ? 1 para todo μ 2.2.1 (factorización) se ¶ q q Q Q $ [l > (1 [l ) es un estadístico suficiente. tiene que W ({1 > ===> {q ) = l=1

l=1

2.8. SOLUCIÓN LOS EJERCICIOS REDUCCIÓNADE DATOS: ESTADÍSTICOS SUFICIENTES, ANCILARIOS, ...

83 83

b) Como [ Jdppd(d> s) la densidad de la población es, i ({|d> s) = de donde

ds 3d{ s31 h { (s)

{ A 0> d A 0> s A 0

q P μ q ¶s31 dqs 3d l=1 {l Q i ({1 > ===> {q |d> s) = q h {l (s) l=1

con {l A 0 para todo l = 1> ===> q= Por el teorema 2.2.1 (factorización) el estadístico suficiente es μq ¶ q Q P $ W ([1 > ===> [q ) = [l > [l = l=1

l=1

c) Si [ tiene como función de masa la de la uniforme discreta entre Q1 y Q2 , la función de masa de la muestra es ¶q μ 1 L{Q1 +1>===>+"} ({(1) )L{3">===>Q2 } ({(q) ) S {{1 > ===> {q |Q1 > Q2 } = Q2 Q1 luego por el teorema de factorización el estadístico suficiente es $ W ([1 > ===> [q ) = ([(1) > [(q) )= d) Como la función de densidad de la muestra es 3

i ({1 > ===> {q |) = h

q P l=1

{l +q

L[>+") ({(1) )

el estadístico suficiente, es por el teorema de factorización W ([1 > ===> [q ) = [(1) = e) La función de densidad de la muestra es i ({1 > ===> {q |> ) =

q Q l=1

1

s {l q ( 2)q

3

h

1 2 2

q P

(ln {l 3)2

l=1

con {l 0 para todo l = 1> ===> q= Por el Teorema 2.2.1 (factorización), si se desarrolla el cuadrado del exponente para separar la dependencia del parámetro y de la muestra, se obiene que el estadístico suficiente es μq ¶ q P 2 P $ ln [l > ln [l = W ([1 > ===> [q ) = l=1

l=1


84 84

DE DATOS

f) Al ser la función de masa de la muestra q P S {{1 > ===> {q |> s} = (1 s)q sl=1 · L] + ({(1) )

{l 3q q Q l=1

L[>+") ({(1) )·

L] + ({l {(1) )

el estadístico suficiente es q P $ W ([1 > ===> [q ) = ([(1) > [l )= l=1

2.8.3 La función de densidad de la muestra es i ({1 > ===> {q |) =

1 L ({ )L ({ ) (3)q [>+") (1) (3">4] (q)

por tanto, de acuerdo con el Teorema 2.2.1 (factorización), es un estadístico suficiente para $ W ([1 > ===> [q ) = ([(1) > [(q) )= Para ver que este estadístico no es completo, se comprueba que la función i ([(1) > [(q) ) =

q+1 q+1 [ [ q + 4 (1) 4q + 1 (q)

tiene de media cero y no es idénticamente nula. Para ello la función de distribución de [(1) viene dada por I[(1) (x) = S {[(1) x} = 1 S q {[1 A x} ¶q μZ 4 1 =1 gx 3 μ ¶ 4 x q =1 3 con lo que la función de densidad de [(1) es μ ¶ 4 x q31 L[>4] (x) i[(1) (x) = q 3 y por lo tanto

Z

4

x (4 x)q31 gx q (3) expresión que puede calcularse haciendo el cambio } = 4 q, con lo que Z 3 q H[[(1) ] = (4 })} q31 g} (3)q 0 q+4 = = q+1 H[[(1) ] =

q


85 85

Para el cálculo de la función de densidad del máximo [(q) se utiliza I[(q) (y) = S {[(q) y} = S q {[ y} ¶q μ μZ y ¶ 1 y q gy = = 3 3 de donde i[(q) (y) =

q (y )q31 L[>4] (y) (3)q

por lo tanto la esperanza de [(q) es Z

4

q (y )q31 gy (3)q Z 3 q = y(y )q31 gy (3)q

H[[(q) ] =

y

que con el cambio } = y puede ponerse H[[(q) ] =

4q + 1 = q+1

Por lo que se sigue que la función j([(1) > [(q) ) tiene de media cero. 2.8.4 a) La función de densidad de la muestra es 3

i ({1 > ===> {q |) = h

q P l=1

{l +q

L(3">{(1) ] ()

de donde de acuerdo con el Teorema 2.2.1 (factorización) es [(1) un estadístico suficiente. Para comprobar que es completo, su función de distribución es I[(1) (|) = S {[(1) |} = 1 S {[(1) A |} = 1 S q {[ A |} = 1 (1 I (|))q con I (|) = 1 h3|+ , para | > de donde i (|) = qhq(3|) L[>+") (|)= Se debe comprobar si de la expresión Z +" j(|)i (|)g| = 0

para todo A 0 se sigue que la función j es nula casi seguro S . Pero dicha expresión implica que ha de ser Z +" j(|)h3q| g| = 0 para todo >


86 86

DE DATOS

sin más que aplicar, que en general si la función i ({> ) es integrable respecto a{ Z e() g i ({> )g{ = i (e()> )e0 () i (d()> )d0 () g d() Z e() C i ({> )g{= + d() C De donde se sigue que j()h3q = 0 para todo , por lo que j() ha de ser cero. Se hace notar que se ha hecho la comprobación solo para las funciones j(|) que sean integrables Riemann, desde un punto de vista práctico esta matización no tiene interés, ya que las funciones que son integrables Riemann son virtualmente cualquier función que se pueda ocurrir, una demostración más rigurosa ha de basarse en la Teoría de la Medida y se saldría fuera de los prerrequisitos previstos para este libro. b) En virtud de la parte anterior bastará comprobar que la cuasivarianza muestal es un estadístico ancilario para , ver definición 8.3.1, ya que de acuerdo con el Teorema 2.3.2 (de Basu) un estadístico suficiente y completo [(1) y un estadístico ancilario V 2 , han de ser independientes. Si se expresa la cuasivarianza muestral como q q 1 P 1 P ([l [)2 = ([l ([ ))2 q 1 l=1 q 1 l=1 q 1 P = (]l ])2 q 1 l=1

V2 =

las variables aleatorias ]l tienen distribución independiente de ya que es i (}|) = i ({|) 0 = h3{ L[0>+") ({) como se comprueba fácilmente. 2.8.5 Mediante la definición de suficiencia, basta ver que i ({1 > ===> {q )i ({1 > ===> {q31 |{1 > ===> {q ) i ({1 > ===> {q31 ) i ({1 |)===i({q |) = = i ({q |) i ({1 |)===i({q31 |)

i ({1 > ===> {q |{1 > ===> {q31 ) =

la distribución condicionada depende de ; luego el estadístico no es suficiente. 2.8.6 De acuerdo con el Teorema 2.2.2 (caracterización de estadísticos minimal


87 87

suficientes), el cociente q Q

i ({1 > ===> {q |) = i (|1 > ===> |q |)

l=1

{l h

q Q l=1

es independiente de cuando

q P l=1

{2l =

1 3 2

|l h

q P l=1

W ([1 > ===> [q ) =

1 3 2

q P l=1 q P l=1

{2l

|l2

|l2 . Luego es q P l=1

[l2

el estadístico minimal suficiente, como el estadístico q P l=1

q P l=1

[l no es función de

[l2 , ya que los puntos $ { = (1> 0> ===> 0) e $ | = (0> 1> 0> ===> 0) dan la

misma imagen por el segundo estadístico y son distintos para el primero, se q P [l no es suficiente. tiene que el estadístico l=1

2.8.7 a) Por las propiedades de W1 y W2 , se sigue que W1 (d{1 + e> ===> d{q + e) W1 ({1 > ===> {q ) = W2 ({1 > ===> {q ) W2 (d{1 + e> ===> d{q + e) si se hace el cambio a las variables ]l = tiene que el cociente

[l 3

cuya densidad es i ({|0> 1) se

W1 (d(}1 + ) + e> ===> d(}q + )e) dW1 (}1 > ===> }q ) = W2 (d(}1 + ) + e> ===> d(}q + ) + e) dW2 (}1 > ===> }q ) es ancilario para (> )= b) Mediante la notación U([1 > ===> [q ) = [(q) [(1) s q 1 P V([1 > ===> [q ) = ([l [)2 q 1 l=1 se cumple la parte a) para W1 = U W2 = V, ya que U(d[1 + e> ===> d[q + e) = d[(q) + e (d[(1) + e) = d([(q) [(1) ) = dU([1 > ===> [q )


88 88

DE DATOS

s

q 1 P (d[l d[)2 q 1 l=1 s q 1 P =d ([l [)2 = dV([1 > ===> [q ) q 1 l=1

V(d[1 + e> ===> d[q + e) =

y por lo tanto U@V es ancilario para (> )= 2.8.8 Si primero se observa Q = q y a continuación se realizan q experimentos de Ehuqrxool(), es s(q> {) = sq { (1)q3{ donde q y sq = S {Q = q}. De otro lado, si directamente ¡ ¢ se observan { éxitos en q experimentos de Ehuqrxool(), es s({) = ¡ q{¢ { (1 )q3{ se sigue que ambas funciones de verosimilitud difieren en q{ s31 q que no depende de , luego Hy(H1 > ({> q)) = Hy(H2 > {)= 2.8.9 El estadístico j([) = [ tiene de media cero y no es nulo H [[] = + (1 )2 donde V() = por lo que

V 0 ()

=

" P l=1 " P l=1

ll31 = + (1 )2 V 0 ()

l =

1

1 (13)2

H [[] = + (1 )2

1 =0 (1 )2

luego [ no es un estadístico completo. 2.8.10 Es suficiente, ya que q P 3 12 ({l 3)2 1 2 l=1 i ({1 > ===> {q |) = s h ( 2)q q q P P 2 3 12 {2l 3 q + {l 1 2 2 l=1 l=1 = s h ( 2)q

y por el Teorema 2.2.1 (factorización) $ W ([1 > ===> [q ) = es un estadístico suficiente.

μ

q P

l=1

[l >

q P l=1

[l2

¶


89 89

Sin embargo no es completo para , ya que como ·q ¸ P H [l = q l=1 5 6 "μ ¶2 # q q q P P 9P : H = H 7 [l2 + [l [l [m 8 = (1 + q 2 ) 2 q l=1

l=1

la función $ j( W ) =

1 1 + q2

l=1 l6=m

μ

q P

l=1

¶2 [l

q P 1 [2 2 1 + l=1 l

no es nula y tiene de media cero para todo = 2.8.11 a) Como la función de densidad de la muestra es i ({1 > ===> {q |) = L[>{(q) ] ({(1) )L[{(1) >+1] ({(q) ) es claro, por el teorema de factorización, Teorema 2.2.1 que el estadístico W ([1 > ===> [q ) = ([(1) > [(q) ) es suficiente. b) Se debe encontrar la distribución del recorrido muestral, esto puede hacerse calculando la distribución conjunta de ([(1) > [(q) ) y por ejemplo un cambio a (U> [(1) ), para pasar a obtener la distribución marginal de U. Sin embargo es mas cómodo observar que Z +1 © ª i[(q) ({)S { [(1) u g{ S {U u} =

como S {[(q) {} = S q {[ {} = ({ )q

si { 5 (> + 1)

resulta i[(q) ({) = q({ )q31 L[>+1] ({) además S {[(1) { u} = S q {[ { u} = ( + 1 { + u)q es

Z S {U u} = q

+1

si { 5 (> + 1)

({ )q31 ( + 1 { + u)q g{

expresión que mediante el cambio | = { se convierte en Z 1 S {U u} = q | q31 (1 |+)q g| 0


90 90

DE DATOS

que no depende de , luego el estadístico recorrido muestral es ancilario. c) Desde luego que en el caso de la distribución uniforme X (> + 1) con A 0 es I ({|) = L[0>1] ({ ), luego es un parámetro de localización. En el caso general en que I ({|) = I ({ ), se puede observar que S {U u|} = S {[(q) [(1) u|} si se hace el cambio ]l = [l , se tiene que ](q) ](1) = [(q) [(1) y evidentemente que la distribución de las variables ]l es independientes de ya que S {] }} = S {[ }} = S {[ } + } = I[ (} + ) = I (}) donde esta última distribución es I ({|), que obviamente es independiente de . Por último si la distribución de las v.a. ]l es independientes de también lo es la distribución de ](1) y de ](q) . 2.8.12 Para ver que [ es un estimador insesgado, como H [[] = H [[] se tiene Z H [[] = {i ({ )g{ si se hace el cambio | = {

Z

H [[] =

(| + )i (|)g|

= al ser H0 [[] = 0= Para ver que [ es invariante se observa que si [ se distribuye según > jd ([) = [ + d se distribuye mediante j d () = d + , luego $ W jd ( [ ) = W ([1 + d> ===> [q + d) = [q + d y por otro lado $ j d W ( [ ) = j d ([) = [ q + d= 2.8.13 La transformación que se corresponde con jd>f ({) = f{+d es j d>f () = d+f, ya que la densidad de | = f{ + d es ¯ ¯ ¯ g{ ¯ j(|) = i ({(|)) ¯¯ ¯¯ g| μ ¶ | (d + f) 1 1 = i f |f| μ ¶ | (d + f) 1 i = = f f


91 91

Por lo tanto, para ver si el estimador [ + n es invariante, se tiene que $ W jd>f ( [ ) = f[ + d + n> por otro lado $ j d>f W ( [ ) = j d>f ([ + n) = d + ([ + n)f con lo que el estimador [ + n no es invariante si n es distinto de cero. Por el contrario, la transformación jd ({) = { + d, es claro que j d () = d + , de donde $ W jd ( [ ) = W ([1 + d> ===> [q + d) = [ + n + d> mientras que $ j d W ( [ ) = j d ([ + n) =d+[ +n y se sigue, que los estimadores de la forma [ + n, son invariantes por el grupo G2 = 2.8.14 a) [ no es un estadístico completo, ya que j(1) + j(0)(1 ) + j(1) = 0 2 2 es equivalente, a que para todo ha de ser 2j(0) + [j(1) 2j(0) + j(1)] = 0 con lo que j(0) = 0> j(1) = j(1)= Por tanto la función j({) = |{| no es nula y tiene de media cero. b) Por el Teorema 2.2.2 (caracterización de estadísticos minimal suficientes), la relación que permite colocar a dos puntos {> | en la misma clase, debe ser ¡ ¢|{| (1 )13|{| 2 = |{|3||| (1 )|||3|{| ¡ ¢||| 13||| (1 ) 2 y esta expresión es independiente de , si y solamente si |{| = |||, luego el estadístico |[| es minimal suficiente. Además este estadístico es completo, ya que toma los valores ½ 0 con probabilidad 1 |[| = 1 con probabilidad

92 92


DE DATOS

luego si existe j(|{|) de media cero para todo , ha de verificar j(0)(1 ) + j(1) = 0 de donde j(0) = 0 y j(1) = j(0); j es la función cero. c) El estadístico ] no es ancilario ya que su distribución es ; ? 1 con la S {[ = 1} = 2 ]= 1 con la S {[ = 1} = 2 = 0 con la S {[ = 0} = 1 que obviamente depende de = 2.8.15 a) La función de densidad muestral viene dada por q P

i ({1 > ===> {q |) =

(ln )q (

1

1)q

{l

q Q l=1

L(0>1) ({l )

pertenece a la familia exponencial uniparamétrica, es decir es de la forma < 3 $ f()k( { )hf1 ()W1 ( { ) q P $ {) = {l , por lo que de acuerdo con el Teorema con f1 () = ln y W1 ( l=1

2.2.1 (factorización), W1 es un estadístico suficiente. q P $ {) = [l es minimal suficiente, ya que b) El estadístico W1 ( l=1

por pertenecer la distribución muestral a la exponencial uniparamétrica con f1 () = ln A 1, contiene un vector de dimensión uno linealmente independiente, es decir un escalar distinto de cero, véase el Teorema 2.2.3. Por último, W1 es completo, ya que de acuerdo con el Teorema 2.3.1 (existencia de estadísticos completos), la imagen de A 1 por ln contiene un rectángulo de R1 es decir, un intervalo. 2.8.16 a) La función de densidad muestral es μ ¶q q q Q Q 2 {l L(0>) ({l ) i ({1 > ===> {q |) = 2 l=1 l=1 μ ¶q q Q 2 {l L([(q) >+") () = 2 l=1 luego de acuerdo con el Teorema 2.2.1 (factorización), [(q) es un estadístico q Q [l también es suficiente. suficiente y si se añade el estadístico l=1


93 93

De todas formas parece intuitivo que la información que suministra este último es redundante y que el estadístico minimal suficiente va a ser [(q) . En efecto si se aplica la condición necesaria y suficiente de construcción de la partición minimal suficiente, consiste en hacer que la siguiente expresión sea independiente de q Q {l L $ ([(q) >+") () i ( { |) l=1 = q $ Q i ( | |) L () |l (\(q) >+") l=1

que obliga a que [(q) = \(q) = b) Para ver la completitud, al depender el soporte de la distribución muestral de , no se está en la familia exponencial, luego se procede a comprobarlo directamente pasando por la distribución de W = [(q) ; si w 0 ? 0 ¡ w ¢2q I[(q) (w) = w 5 (0> ) si = 1 si w luego se trata de ver, si de la expresión Z j(w)i[(q) (w)gw = 0 ; A 0 0

se sigue que j es la función cero. Es decir se tiene que Z w2q31 j(w)gw = 0 ; A 0= 0

Si se deriva respecto de y se utiliza la regla de derivación dada en el Ejercicio 2.8.4, parte a), se obtiene que ha de ser j () 2q31 = 0 ; A 0= q 11, a lo más tiene Ahora bien, como 2q31 esesun unpolinomio polinomiodedegrado grado2q 2q 1 soluciones luego para que el producto sea cero para todo positivo, ha de ser j() = 0, por lo que [(q) es un estadístico completo.

Capítulo 3

ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA 3.1.

INTRODUCCIÓN

En los capítulos anteriores se ha visto, cómo reducir adecuadamente la información suministrada por la muestra. En éste capítulo se va a estudiar cómo se puede estimar el valor de desconocido con el que ésta se distribuye. Para ello dada la familia de distribuciones de probabilidad mediante P = {i ({|) | 5 } se introduce la siguiente definición: Definición 3.1.1 (estimador por punto) Dada la muestra ([1 > ===> [q ) de una población con distribución de probabilidad que se supone pertenece a P = {i ({1 > ===> {q |)| 5 }, se llama estimador por punto de a cualquier función medible W que aplique el espacio muestral X > X = ([1 > ===> [q ) de muestras posibles, en el espacio paramétrico, es decir W : X $ ¥ En algún contexto se puede estar interesado en una función del parámetro k() en lugar del propio valor , en estos casos se supondrá automáticamente la sustitución de por k(). Un estimador por punto, es pues un estadístico que se emplea para determinar el valor desconocido = Ejemplo 3.1.1 Si la familia de distribuciones de probabilidad es P = {{ (1){ L{0>1} ({)| 5 (0> 1)}, con m.a.s. de tamaño q> un estimador por punto para es W ([1 > ===> [q ) = 95

q 1 P [l q l=1

CAP. 3. ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA INFERENCIA ESTADÍSTICA

96 96 ¥

La Definición 3.1.1. es válida para el caso en que el parámetro de interés sea n-dimensional, sin más que considerar W y como n-dimensionales. Ejemplo o n³ 3.1.2´q S 3 12 ([l 3)2 + un estimador puntual para I1 2 h | 5 R> 5 R Si P = 2 $ $ = (> 2 ) viene dado por W ([1 > ===> [q ) = ([> V 2 ), con [=

q 1 P [l q l=1

y

V2 =

q 1 P ([l [)2 q 1 l=1

¥ En muchos casos existirán candidatos obvios a ser estimadores, pero con frecuencia también se dispondrá de distintos estimadores para un mismo problema.

3.2.

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES

En esta sección se introducen una serie de propiedades, que en determinados contextos, parecen razonables que tengan los estimadores. No obstante, no hay una mejor propiedad a solicitar y en general distintos marcos reales aconsejan demandar distintas propiedades.

3.2.1.

Estimadores centrados

Parece deseable que si se utiliza un estimador varias veces en una misma situación, la media del valor que se utiliza respecto a la distribución de la muestra, sea el valor que se quiere estimar. Definición 3.2.1.1 (estimador centrado) $ W es un estimador centrado para k() cuando H W ( [ ) = k() para todo 5 = En general se llama sesgo de un estimador para a la diferencia $ e (W ) = H W ( [ ) Ejemplo 3.2.1.1 Para cualquier población que tenga media, la media muestral [ es un esti= = mador centrado de k() = H[[] puesto que H [ = H[[] De hecho se tiene que H[dn ] = n , luego el momento muestral de orden n respecto al origen, es un estimador centrado del momento poblacional de orden n respecto al origen de la población. En general no es cierto un resultado análogo para los momentos respecto al centro ya que para el momento de orden 2 respecto al centro precisamente se ha introducido la cuasivarianza

3.2. PROPIEDADESESTIMACIÓN DE LOS ESTIMADORES PUNTUAL PARAMÉTRICA muestral V 2 = 1.2.2.

1 q31

q P

97 97

([l [)2 , para que H[V 2 ] = 2 , véase la Proposición

l=1

Ejemplo 3.2.1.2 Para muestras de tamaño uno de una población de Ehuqrxool(), con 5 (0> 1), no existe estimador centrado para k() = 2 , pues debería ser W (1) + W (0)(1 ) = 2 para todo , lo que es obviamente imposible, ya que un polinomio de grado dos puede tener a lo más dos raíces distintas. Ejemplo 3.2.1.3 Para muestras de tamaño uno de una población de Ehuqrxool(), con 5 [0> 1] existe un estimador centrado para k()=, ya que ha de ser, W (1) + W (0)(1 ) = para todo , y esto lo satisface el estimador W (0) = 0> W (1) = 1. ¥ Los dos últimos ejemplos, ponen de manifiesto que pueden no existir estimadores centrados y que si W es un estimador centrado para , k(W ) no tiene por qué ser un estimador centrado para k(). El siguiente ejemplo muestra que, en determinadas situciones, un estimador centrado puede resultar absurdo. Ejemplo 3.2.1.4 Para una población de Poisson(), con 5 (0> 4), si se quiere estimar la función k() = h33 con muestras de tamaño uno mediante un estimador centrado W , éste debe cumplir " P l=0

o lo que es lo mismo

h3

l W (l) = h33 l!

" l " l P P W (l) = (2)l l=0 l! l=0 l!

con lo que W (l) = (2)l es el estimador centrado que es negativo para los valores impares de l, con lo que de hecho W no es un estimador de k() ¥ El que un estimador sea insesgado depende de su distribución en el muestreo, sin embargo cuando se emplea el valor particular del estimador, éste sólo depende de la muestra particular observada. La concreción matemática de esta idea, lleva a la noción del principio de verosimilitud, véase la Sección 2.5.1, que dice básicamente, que un estimador sólo debe depender del


98 98

$ { observado. Se recoge a continuación el siguiente ejemplo relacionado valor con estas ideas. Ejemplo 3.2.1.5 Para estimar el voltaje promedio de un circuito eléctrico se realiza una observación de una v.a. [ con distribución Q (> 0 ) con 0 conocida, observándose que la lectura es de 200 voltios. Un estimador centrado de es [ q por tanto cuando el tamaño es q = 1 la propia observación [ es el estimador centrado. Supongamos que al examinar el aparato más detenidamente se ve que no marcaba por encima de 250 voltios, es decir que la lectura tiene una distribución normal truncada por [ 250, al haber cambiado la distribución de la población, [ ya no es un estimador centrado de , a pesar de que seguro que la lectura de 200 ha sido hecha correctamente. ¥ Por otro lado es conveniente en algunas situaciones trabajar con estimadores centrados o faltos de sesgo. Así en una situación en la que se disponga de los estimadores W1 > W2 > ===> Wq si se reúne la estimación de , que q P Wl , y todos son insesgados da cada uno de ellos, en el estimador W = q1 para , W también lo es. Como Y [W ] =

1 q2

q P l=1

l=1

Y [Wl ] si todas las varianzas de 2

los estimadores están acotadas, por ejemplo por 2 , se sigue que Y [W ] ? q expresión que tiende a cero cuando q aumenta, por lo que la distribución de W se concentra en el valor que se quiere estimar; por el contrario si los estimadores hubieran tenido sesgo, el estimador W se hubiera concentrado alrededor de su media + e() y habría sido inadecuado.

3.2.2.

Estimadores consistentes

Otra propiedad deseable que puede exigirse a un estimador, es que tienda al valor que se quiere estimar, cuando el tamaño muestral crece. Es importante subrayar dos aspectos relacionados con esta propiedad, el primero, es que se trata de una propiedad asintótica y el segundo, que depende de la manera en que se concrete el tipo de convergencia a utilizar. Es usual utilizar la convergencia en probabilidad y en este sentido se utiliza la siguiente definición: Definición 3.2.2.1 (estimador consistente) Una sucesión de estimadores Wq = W ([1 > ===> [q ) es consistente para el parámetro si para todo 5 la sucesión Wq converge en probabilidad a , es decir, si para cualquier % positivo se tiene l´ım S {|Wq | %|} = 1

q<"

para todo 5 .

3.2. PROPIEDADESESTIMACIÓN DE LOS ESTIMADORES PUNTUAL PARAMÉTRICA

99 99

Ejemplo 3.2.2.1 Si el parámetro es el momento poblacional respecto al origen de orden n, es decir = n , entonces el momento muestral respecto al origen de orden q P [ln es un estimador consistente. n dn = q1 l=1

¥ Una condición suficiente de consistencia viene dada por el siguiente enunciado: Proposición 3.2.2.1 Si Wq es una sucesión de estimadores tales que para todo l´ım H [Wq ] =

l´ım Y [Wq ] = 0

q<"

q<"

entonces la sucesión de estimadores es consistente. Demostración: Ya que para cualquier % se tiene S {|Wq | A %|} %32 H [(Wq )2 ] y si se suma y se resta H [Wq ] en la expresión del cuadrado del segundo miembro, se obtiene que S {|Wq | A %|} %32 [Y [Wq ] + (HWq )2 ] expresión que, en virtud de las hipótesis, tiende a cero cuando q tiende a infinito. ¥ Se observa que la proposición dice que si la sucesión de estimadores tiene asintóticamente sesgo cero, es decir, l´ım e(Wq > ) = 0, y la varianza de la q<" sucesión tiende a cero; entonces la sucesión de estimadores es consistente. Ejemplo 3.2.2.2 Con m.a.s. de tamaño q de una población de Bernoulli(), el estimador μq ¶ P 1 Wq = [l + 1 q+2 1 es consistente para . Ya que l´ım H[Wq ] = l´ım

q<"

q<"

q + 1 = q+2

y q(1 ) =0 q<" (q + 2 1)2

l´ım Y [Wq ] = l´ım

q<"

por lo que aplicando la Proposición 3.2.2.1 el estimador es consistente.

100 100

3.2.3.


Estimadores bayesianos

En algunas se se puede tener información suficiente sobresobre el pará, algunassituaciones, situaciones, puede tener información suficiente e, como para poder considerar a este una variable aleatoria. Inicialmente metro para como poder considerar a éste una variable aleatoria. Inicialmente la inla incertidumbre sobre e puede modelizarse por una distribución de probabili puede certidumbre sobre modelizarse por una distribución de probabilidad, dad,recibe que recibe el nombre de distribución inicial o a priori, y que se denotará que el nombre de distribución inicial o a priori, y que se denotará por (), por /(una función de masa o de densidad según proceda. e), una función de masa o de densidad según proceda.Cuando Cuandoseseobserva obseruna muestra, sese calcula posteriorimediante mediante va una muestra, calculalaladistribución distribución final final o aa posteriori (3.2.3.1)

()i ({1 > ===> {q |) p({1 > ===> {q )

(|{1 > ===> {q ) =

donde p es la llamada distribución predictiva, dada por Z p({1 > ===> {q ) = ()i ({1 > ===> {q |)g X

La idea es que antes de tomar la muestra, la información sobre viene dada por () y tras la experimentación se debe utilizar (|{1 > ===> {q )= El estimador bayesiano de es toda la distribución final y por extensión cualquier medida de centralización correspondiente a esta distribución. Ejemplo 3.2.3.1 Si la información sobre para una población de Bernoulli() viene recogida por () = L(0>1) (), tras de observar una m.a.s. de tamaño q la distribución final viene dada por q P

(|{1 > ===> {q ) = Z

1

{l

1

=

1

(13)

q P

1

0 q P

q P

q3

{l

{l

q3

(13)

1

q3

(13)

E(

1

L(0>1)

q P

q P

q P

{l

1

1

q P

{l +1>q3

luego la distribución a posteriori es una Ehwd(|

{l

1

q P 1

{l

g

L(0>1) () {l +1)

{l + 1> q

q P 1

{l + 1).

¥ El sentido de los estimadores bayesianos es que toda la información sobre > una vez que se observa la nuestra está contenida en la distribución final. Es decir, para los estimadores bayesianos la distribución en el muestreo no tiene demasiado interés, el protagonista es la distribución final y se trabaja condicionado por la muestra ({1 > ===> {q ) particular obtenida. Véase el principio de verosimilitud en la Sección 2.5.1. Todos los elementos que han sido estudiados en el capítulo anterior estaban referidos a la distribución en el muestreo, por lo tanto no se aplican


101 101

a los estimadores bayesianos. Lo único que hay que añadir es que, dentro de los estadísticos, el concepto de estadístico suficiente admite una definición diferente más adecuada al contexto bayesiano pero que es equivalente en condiciones muy generales al concepto de suficiencia desarrollado en la Sección 2.2, véase Lehman (1986) pág. 21, y que se pasa a estudiar. Definición 3.2.3.1 (estadístico suficiente bayesiano) W ([1 > ===> [q ) es un estadístico suficiente bayesiano para la familia P = $ {i ( { |)| 5 } si, cualquiera que sea la distribución inicial (), se tiene que la distribución final dada por la muestra y por el valor del estadístico son la misma. Es decir, (|{1 > ===> {q ) = (|w) con W ({1 > ===> {q ) = w= ¥ Así, en el Ejemplo 2.2.6 para el modelo de Bernoulli() el estadístico q P W ({1 > ===> {q ) = {l es suficiente en el sentido bayesiano respecto a la disl=1

tribución inicial () = L(0>1) (), pues (|w) = =

()i (w|) p(w) L(0>1) ()(qw)w (13)q3w U1 q w q3w g 0 ( w ) (13)

expresión que coincide con (|{1 > ===> {q ). De todas formas ambas definiciones de suficiencia son equivalentes. Proposición 3.2.3.1 Decir que W ({1 > ===> {q ) es suficiente para en el sentido de que la distribución de probabilidad de la muestra condicionada por el estadístico es independiente de , es equivalente a que para cualquier distribución inicial () sea (|{1 > ===> {q ) = (|w) con W ({1 > ===> {q ) = w= Demostración: Si W es suficiente de acuerdo con la Definición 2.2.1, $ $ $ { |) = i (w|)i ( { |w> ) y que i ( { |w> ) no depende teniendo en cuenta que i ( de , se tiene $ ()i (w|)i ( { |w> ) $ X ()i (w|)i ( { |w> )g

(|{1 > ===> {q ) = R de donde

()i (w|) = (|w)= X ()i (w|)g

(|{1 > ===> {q ) = R Recíprocamente

i ({1 > ===> {q |) = =

(|{1 >===>{q )p({1 >===>{q ) () (|w) p({ 1 > ===> {q ) ()


102 102

el primer factor de este producto depende de y de la muestra sólo a través de w y el segundo depende únicamente de la muestra, luego se tiene la factorización en función de W , con lo que W es suficiente. ¥ A continuación se recoge el cálculo de las distribuciones finales para algunos modelos usuales. Ejemplo 3.2.3.2 Para m.a.s. de tamaño q de una población de Ehuqrxool()> si se supone que la información inicial sobre viene dada por la función de densidad Ehwd(0 > 0 ), es decir () =

1 0 31 (1 ) 0 31 (0 > 0 )

como

q P

i ({1 > ===> {q |) =

1

{l

con 5 (0> 1), q P

q3

(1 )

1

{l

>

se obtiene como densidad final S

S

0 + {l 31 (1 ) 0 +q3 {l 31 P P (|{1 > ===> {q ) = E(0 + {l > 0 + q {l ) que es una Ehwd(1 > 1 ) con parámetros X 1 = 0 + {l X {l 1 = 0 + q Ejemplo 3.2.3.3 Si la población es Q (> ) con conocida y la distribución inicial sobre es Q (0 > 0 ), se tiene que (3 )2

0 31 1 2 () = s h 2 0 20 q ¶q 3 1 P μ ({l 3)2 1 2 2 1 i ({1 > ===> {q |) = s h 2

con lo que la función de densidad final será, de acuerdo con la expresión 1 (30 )2 2 2 0

3

(|{1 > ===> {q ) =

h

R +"

3

1 (30 )2 2 2 0

3

S ({l 3)2

1 2 2 0

S ({l 3)2

h g s Como por otra parte, dada una v.a. Q (H> Y ) se sigue que Z +" s s 1 H2 1 2 H h3 2Y + Y g = 2 Y h 2 Y (3.2.3.2) 3"

3"

h

1

h3 22

=


103 103

expresión que permite calcular la integral que aparece en el denominador de la distribución final, y como 3

(|$ {)=

h

R +" 3"

1 (2 320 ) 2 2 0

3 12 (

h

3

h

1 (2 32{)2 2 2 @q

1 + 21 )2 +( 02 + 2{ ) @q @q 2 0 0

g

se obtiene, con el concurso de (3.2.3.1), que 1 1 1 = 2+ 2 Y 0 @q $ {= H { = 02 + 2 Y 0 @q de donde la función de densidad final es Q (1 > 1 ) con 1 =

r 2r 1 20

1 = ³

+ +

{ 2 @q 1 2 @q

1 1 20

+

1 2 @q

´1@2 =

La media 1 de la distribución final se puede poner como media ponderada de la media de la distribución inicial y de la media muestral, en la forma 2 q 20 1 = 2 + {= + q 20 0 2 + q 20 Además si 0 tiende a infinito la media de la distribución final tiende a ser {, es decir cuando la información inicial es muy pequeña, el efecto de la distribución a priori prácticamente no se refleja en la distribución final. Cuando la varianza poblacional 2 tiende a infinito la media muestral, informa poco del valor de y la media de la distribución final, tiende a aproximarse a la media de la distribución inicial. ¥ Como se ha visto en estos ejemplos, facilita bastante los cálculos, el hecho de que la distribución inicial y final pertenezcan a la misma familia de distribuciones. Por este motivo se introduce el la siguiente concepto. definición: Definición 3.2.3.2 (familia conjugada) $ $ )| 5 } se dice conjuUna familia de distribuciones iniciales S = {(| gada de la familia de funciones de masa o de densidad de la población P = $ {i ( { |)| 5 }, cuando para cualquier distribución inicial perteneciente a S , la distribución final también pertenece a S cualquiera que sea la muestra $ 0 ) la distribución obtenida. Es decir, si la distribución inicial es () = (| $ $ $ $ final es (| { ) = (| 1 ) con 0 y 1 pertenecientes a =

104 104


¥ De acuerdo con la definición, la familia Beta es conjugada de la familia de Bernoulli y la familia normal es conjugada de la familia normal. De todas formas, la elección de una familia conjugada para un problema particular, no debe apoyarse en la facilidad de cálculo, sino en ver si algún miembro de la familia conjugada recoge correctamente la información que se tiene sobre el parámetro. En la práctica el problema con la aproximación bayesiana suele ser que la utilización de distintas distribuciones iniciales, con la misma información muestral, lleva a diferentes distribuciones finales. Frecuentemente, si el tamaño muestral es grande, las distribuciones finales serán muy parecidas. Como pone de manifiesto el ejemplo siguiente. Ejemplo 3.2.3.4 La proporción de enfermos en una determinada colectividad, puede ser modelizada mediante una v.a. con distribución Beta. Si de estudios previos puede suponerse que tiene distribución Ehwd( = 5> = 10) y al observar una m.a.s. de tamaño q = 100 se observan 20 individuos enfermos, el esti100 P mador bayesiano sería, de acuerdo con el Ejemplo 3.2.3.2, (| {l = 20) 1

una distribución Ehwd(|1 = 25> 1 = 90). Nótese que la distribución inicial Ehwd(| = 5> = 10) cumple que S { 00 5} = 00 91> S { 00 3} = 00 416 y S { 00 8]} = 00 199. Si se hubieran escogido unos parámetros iniciales de = 5 y = 15 en ese caso la distribución inicial hubiera dado S { 00 5} = 00 99, S { 00 3} = 00 718 y S { 00 8} = 1> con lo que la distribución final hubiera sido Ehwd(|1 = 25> 1 = 95), en ambos casos 100 P la probabilidad final S { 00 5| {l = 20} es aproximadamente uno. Con 1

frecuencia suele ocurrir que la información muestral domina a la información inicial, como ha ocurrido aquí, de cualquier forma la información inicial ha de ser escogida cuidadosamente de acuerdo con ·la información¸disponible. 100 P [l = 20 se obtiene Si se resume la distribución final por su media H | l=1

00 217 para la primera distribución inicial y 00 208 para la segunda, dos valores muy parecidos.

3.3.

CRITERIOS DE COMPARACIÓN DE ESTIMADORES

Las propiedades estudiadas de los estimadores sirven para restringir la búsqueda de los adecuados a las distintas situaciones. En general el conjunto de los estimadores disponibles suele ser amplio, por lo que se hace necesario disponer de criterios para poder comparar y eventualmente quedarse con un estimador.

3.3. CRITERIOS DEESTIMACIÓN COMPARACIÓN DE ESTIMADORES PUNTUAL PARAMÉTRICA

105 105

La rama de la estadística que se ocupa de manera extensiva de evaluar los distintos procedimientos estadísticos, es la teoría de la decisión, sin embargo se van a ver aquí como introducción dos criterios de comparación de estimadores: el del error cuadrático medio, adecuado para los estimadores contemplados de acuerdo con la distribución en el muestreo y el de la pérdida final esperada, adecuado para los estimadores bayesianos, aquellos en los que el parámetro es considerado como una variable aleatoria con distribución inicial.

3.3.1.

Error cuadrático medio

El criterio del error cuadrático medio compara estimadores promediando alguna medida de precisión respecto a todas las muestras posibles. Definición 3.3.1 (error cuadrático medio) Dado el estimador W ([1 > ===> [q ) de se llama error cuadrático medio (HFP ) a la expresión función de (3.3.1.1.)

HFPW () = H [(W )2 ]

El HFP es la media de los cuadrados de las diferencias entre los valores que se estiman para y el valor del parámetro. En general cualquier función positiva sería válida para ser utilizada en la Expresión (3.3.1.1), pero la cuadrática, por la facilidad de su tratamiento analítico, y porque puede ser interpretada en función de la varianza del estimador y de su sesgo, es la más usada. ¥ En efecto, se comprueba fácilmente que HFPW () = Y du [W ] + e2 [w] el HFP es la suma de la varianza del estimador y del cuadrado del sesgo. Por lo tanto si el estimador es centrado el HFP coincide con la varianza del estimador. Ejemplo 3.3.1.1 Para una población de Ehuqrxool(), con m.a.s. de tamaño q el HFP de [ coincide con su varianza y vale HFP[ () =

(1 ) q

Ejemplo 3.3.1.2 Con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) se sabe que los estimadores insesgados de ambos parámetros son [ para y V 2 para 2 respectivamente.


106 106 De donde

2 q 2 4 HFPV 2 ( 2 ) = Y du[V 2 ] = q1 HFP[ () = Y du[[] =

Si se emplea como estimador para 2 la varianza muestral e2 =

1 q

[)2 que es sesgado, con sesgo e [e2 ] =

q P

([l

l=1

2 q1 2 2 = q q

se tiene que HFPe2 ( 2 ) =

2(q 1) 4 4 2q 1 4 + 2 = 2 q q q2

con lo que el estimador sesgado e2 tiene menor HFP que el estimador 2 insesgado V[, cualquiera que sea el valor de 2 . ¥ El ejemplo anterior muestra, que en algunos casos, de acuerdo con este criterio, puede ser mejor utilizar estimadores con un pequeño sesgo siempre que permitan una mayor reducción de la varianza.

Ejemplo 3.3.1.3 Para el caso normal de varianza conocida, se pueden comparar los siguientes estimadores para la media , mediante el criterio del HFP . q P $ $ $ W1 ( [ ) = [ W2 ( [ ) = fl [l W3 ( [ ) = l=1 q P fl l=1

1 2

$ W4 ( [ ) = 12 [ +

=1

con lo que se obtiene 2

HFPW1 () = q ¡ ¢2 HFPW3 () = 12

HFPW2 () = 2 HFPW4 () =

q P l=1

1 2 4 q

f2l

+ 14 ( 12 )2

1 4

3.3. CRITERIOS DEESTIMACIÓN COMPARACIÓN DE ESTIMADORES PUNTUAL PARAMÉTRICA

107 107

Figura 3.3.1.1. Comparación de los HFP correspondientes a varios estimadores en el Ejemplo 3.3.1.3. El estimador W1 lleva a excluir al estimador W2 , de acuerdo con la Figura 3.3.1.1, sobre todo a medida que el tamaño muestral aumenta. ¥ En general, una vez que se introduce un criterio, éste permite excluir a los estimadores inadmisibles. De acuerdo con el criterio del HFP un estimador W 0 es inadmisible si existe un estimador W tal que HFPW () HFPW 0 () para todo perteneciente a y para algún valor de la desigualdad es estricta. No obstante suele ocurrir, como en el Ejemplo 3.3.1.3, que no es posible quedarse con un único estimador como el mejor, por este motivo lo que se hace es utilizar el criterio en la clase más pequeña de los estimadores que tengan una propiedad que sea deseable para el problema con que se esté trabajando.

3.3.2.

Pérdida final esperada

El criterio de la pérdida final esperada compara estimadores promediando las diferencias entre el valor del estimador y el valor del parámetro respecto a la distribución final sobre los distintos valores de . Es adecuado por tanto cuando se tenga información sobre el parámetro que permita considerar a éste como una variable aleatoria con información inicial dada por () es decir, esta indicado este criterio para estudiar los estimadores desde el punto de vista bayesiano. A tal fin se introduce la siguiente definición. Definición 3.3.2.1 (pérdida final esperada) Dado el estimador W ([1 > ===> [q ), la distribución inicial () y definida la función de pérdida O(w> ), donde w son los valores que toma el estimador, es

108 108


decir W ({1 > ===> {q ) = w. Se define la S I HW o el riesgo a posteriori como (3.3.2.1)

S I HW = H[O(w> )|[1 = {1 > ===> [q = {q ]

donde dicha esperanza está calculada respecto a la distribución final dada por (|{1 > ===> {q ). Se observa que el valor de la muestra es fijo y que la variable aleatoria es , a diferencia de lo que ocurre con el HFP ; donde la variable aleatoria es el estadístico, véase la Expresión (3.3.1.1). ¥ Cualquier función positiva es válida como función de pérdida, pero suele trabajarse con la pérdida cuadrática. De hecho cuando no se diga que función de pérdida se toma para el cálculo de la S I H se entenderá la pérdida cuadrática. En general mediante la S I H se obtiene un único número, por lo que siempre es posible comparar los estimadores, téngase en cuenta que el punto muestral es fijo, por este motivo en gran cantidad de situaciones puede determinarse el estimador óptimo mediante este criterio, que recibe el nombre, por extensión, de estimador Bayes, o estimador bayesiano, véase la Sección 3.2.3. Ejemplo 3.3.2.1 Para una población de Ehuqrxool(), con m.a.s. de tamaño q, pérdida cuadrática e información inicial dada por una distribución Ehwd(0 > 0 ) se sabe, por el Ejemplo 3.2.3.1, que la densidad final para viene dada por una Ehwd(1 > 1 ) donde los parámetros son 1 = 0 + por lo tanto

q P 1

{l

y

qP q P 1 = 0 + {l {+l 1 1 1

$ S I HW = H[(w )2 | {]

$ { ] , la expresión que se hace mínima como función de w cuando es w = H[| media de la distribución final, véase el Ejercicio 3.8.11, y para dicho valor es S I HW =

1 1 (1 + 1 )2 (1 + 1 + 1)

con lo que el estimador Bayes es 0 + W ([1 > ===> [q ) = la esperanza de la distribución final.

q P 1

[l

0 + 0 + q

3.4. ESTIMADORESESTIMACIÓN CENTRADOS DEPARAMÉTRICA MÍNIMA VARIANZA PUNTUAL

109 109

Ejemplo 3.3.2.2 Para una población Q (> ) con conocida con m.a.s. de tamaño q y función de pérdida cuadrática, si la información inicial viene dada por una Q (0 > 0 )> se sigue, de acuerdo con el Ejemplo 3.2.3.1, que la densidad final es Q (1 > 1 ) donde 1 =

0 @ 20 + q{@ 2 1@ 20 + q@ 2

21 =

1 1@ 20 + q@ 2

por lo tanto el estimador bayesiano es 1 y la S I H1 = 21 . Si se toma como función de pérdida O(w> ) = |w |, entonces $ S I HW = H[|w || {] expresión que se hace mínima para la mediana de la distribución final, véase el Ejercicio 3.8.14, por lo que el estimador bayesiano es W ([1 > ===> [q ) = 1 la mediana de la distribución final, véase la Expresión (1.3.2.1).

3.4.

ESTIMADORES CENTRADOS DE MÍNIMA VARIANZA

Se va a tratar ahora un caso, históricamente el primero, en el que si se restringe la clase de estimadores a utilizar, el criterio del error cuadrático medio, permite escoger un estimador óptimo. La clase va a ser la de los estimadores centrados y por tanto el HFP coincide con la varianza del estimador. Desgraciadamente, y con frecuencia, la clase de estimadores en que se busca el óptimo queda muy reducida. Definición 3.4.1 Si se nota por k() la función a estimar y se considera la clase de estimadores Uk = {W ([1 > ===> [q )|H W = k() con H W 2 ? +4 ; 5 } Se llama estimador centrado de mínima varianza (HFP Y ) al estimador W de esta clase tal que para cualquier otro W 0 perteneciente a Uk cumpla que Y [W ] Y [W 0 ] para todo perteneciente a = ¥ El siguiente teorema recoge una caracterización del HFP Y=

110 110


Teorema 3.4.1 Dada la clase Uk de la Definición (3.4.1) que para k = se convierte en la clase Uk = {i ([1 > ===> [q )|H i =

con H i 2 ? +4 ; 5 }

entonces, el estimador W perteneciente a la clase Uh es el estimador óptimo con el criterio del HFP si y solamente si H [W i ] = 0 para todo de y para toda función i perteneciente a U0 = $ Demostración: Sea W óptimo. Si i ( { ) 5 U0 y es H [i 2 ] = 0 , entonces i es cero casi seguro y por tanto sea o no W el estimador óptimo es H [W i ] = 0. Se puede entonces suponer que H [i 2 ] es estrictamente mayor que cero. Si H [W i ] es distinta de cero para algún valor 0 , se puede construir un estimador con varianza, en el punto 0 estrictamente menor que W . Sea W + i . Y0 [W + i ] = H0 [(W + i H0 W H0 i )2 ] = H0 [(W H0 W + i )2 ] = = Y0 [W ] + 2 H0 i 2 + 2H0 [(W H0 W )i ] y por ser H0 [i ] = 0 se puede poner Y0 [W + i ] = Y0 [W ] + 2 H0 i 2 + 2H0 [W i ]= Como H0 [W i ] es distinta de cero se tiene que si H0 [W i ] ? 0, entonces H Wi para cualquier 5 (0> 2 H0 i 2 ) se sigue que 0

(3.4.1)

2 H0 i 2 + 2H0 [W i ] ? 0

con lo que, al menos para ese 0 , es Y0 [W + i ] ? Y0 [W ]= H

Wi

Si por el contrario es H0 [W i ] A 0, entonces para cualquier 5 (2 H0 i 2 > 0) 0 se obtiene también (3.4.1) y la conclusión es la misma. Recíprocamente, si se supone que para cualquier i 5 U0 y cualquier es H [W i ] = 0 para algún estimador W de Uk , se sigue que W es óptimo en Uk . En efecto para W 0 cualquier otro estimador perteneciente a Uk , W W 0 pertenece a la clase U0 ya que H [W W 0 ] = k() k() = 0 y (3.4.2.)

H [(W W 0 )2 ] = H [W 2 ] + H [W 02 ] 2H [W W 0 ]>


111 111

el segundo miembro de (3.4.2) está acotado, ya que W y W 0 pertenece Uk y H [W W 0 ] está acotada también ya que si se denota por el coeficiente de correlación lineal es (W> W 0 ) =

H [W W 0 ] k2 () 1= (Y [W ]Y [W 0 ])1@2

En virtud de la hipótesis, si se considera como i a la diferencia W W 0 , habrá de ser H [W (W W 0 )] = 0 o lo que es lo mismo H [W 2 ] = H [W W 0 ] de donde se sigue que Y [W ] = Fry (W> W 0 ) y por lo tanto Fry (W> W 0 ) = (W> W ) = (Y [W ]Y [W 0 ])1@2 0

μ

Y [W ] Y [W 0 ]

¶1@2 1

luego Y [W ] Y [W 0 ]= ¥ Como subproducto de esta demostración se tiene el siguiente resultado. Corolario 3.4.1 El HFP Y es único. Si existieran dos W y W 0 por la última parte de la demostración del Teorema 3.4.1 sería H [W (W W 0 )] = 0 y por lo tanto el coeficiente de correlación lineal habría de ser (W> W 0 ) = 1

para todo 5

o lo que es equivalente W 0 = d()W + e(), por lo que H [W 0 ] = d()W H [W ] + e() o bien k() = d()k() + e()= De donde ha de ser e() = 0 y d() = 1, con lo que W ha de coincidir casi seguro con W 0 para todo = Corolario 3.4.2 $ $ { ) y W2 ( { ) son HFP Y para k1 () y k2 () respectivamente, entonces Si W1 ( $ $ k2(). e1 W1 ( { ) + e2 W2 ( { ) es el HFP Y para la función de e1 k1 () + e2 ().


112 112

Demostración: Basta observar que para cualquier i 5 U0 se tiene H [(e1 W1 + e2 W2 )i ] = e1 H [W1 i ] + e2 Hj [W2 i ] = 0= ¥ Mediante el Teorema 3.4.1, es posible obtener el HFP Y como ponen de manifiesto los dos ejemplos que siguen. Ejemplo 3.4.1 Para una población de Bernoulli(), puede verse que X0 = {0({) = 0}= Es decir, el único estimador insesgado de cero es la función cero; luego cualquier estimador insesgado de , por ejemplo W ([) = [, es el HFP Y para . Además no hay otro por ser éste único. Ejemplo 3.4.2 Con muestras de tamaño uno de la distribución uniforme discreta y para = Q , es fácil ver que W ([) = 2[ 1 es un estimador insesgado de Q , como la clase U0 solo contiene a la función cero, W es también el HFP Y para Q . Si ahora se elimina de la familia de distribuciones discretas la distribución correspondiente al valor q0 de Q , puede verse que X0 = {cero, if con f 5 R} donde

; si { 6= q0 > q0 + 1 y { = 1> 2> 3> === ? 0 f si { = q0 if ({) = = f si { = q0 + 1

Luego W ([) = 2[ 1 no es el HFP Y para Q , ya que Hq0 +1 [(2[ 1)if ([)] =

2f q0 + 1

y de acuerdo con el Teorema 3.4.1, si fuera óptimo, esta esperanza debería haber sido nula. Sin embargo si se define Z (q0 ) = Z (q0 + 1) = 2q0 y se deja igual que antes en los restantes valores. Z ([) = 2[ 1, se comprueba que es óptimo, para la nueva clase de distribuciones (las uniformes discretas menos la correspondiente al valor q0 ). Este es un ejemplo de la existencia de estimador óptimo sin que exista estadístico completo, véase la Definición 2.3.3. ¥ El siguiente enunciado permite excluir a ciertos estimadores como candidatos a óptimos.


113 113

Teorema 3.4.2 El HFP Y ha de ser función simétrica de las observaciones. Demostración: en otro caso el estimador W =

1 P W ([1 > ===> [q )> q!

donde es una permutación de los q primero número naturales y entendiendo como W ([1 > ===> [q ) el valor del estadístico W en la muesta obtenida al permutar lo índices de acuerdo con , es un estimador mejor que W . Es claro que H[W ] = H[W ] = k() y que ( ) P P 1 Y [W ] + Fry (W > W0 ) Y [W ] = (q!)2 6=0 y como (W > W0 ) =

Fry (W > W0 ) 1 (Y [W ]Y [W0 ])1@2

se sigue que Fry (W > W0 ) Y [W ] con la desigualdad estricta a no ser que W sea simétrico. Entonces se tiene que 1 {q!Y [W ] + q!(q! 1)Y [W ]} (q!)2 1 = Y [W ](1 + q! 1) = Y [W ] q!

Y [W ] ?

y W no sería óptimo. ¥ Un método para encontrar el HFP Y consiste en restringirse a los estadísticos que sean función del estadístico suficiente, como demuestra el siguiente enunciado. Teorema 3.4.3 (Rao-Blackwell) Para estimar k() se nota por Uk , como en la Definición 3.4.1, a la clase de los estimadores centrados de k() con varianza finita, si V es un estadístico suficiente y W pertenece a la clase Uk , entonces H[W |V] es un estimador de la clase Uk tal que (3.4.3)

Y (H[W |V]) Y [W ]

para todo perteneciente a . Además la igualdad en (3.4.3) se verifica si y sólo si H[W |V] coincide casi seguro con W respecto a todo perteneciente a .


114 114

Demostración: se tiene que (3.4.4)

H [W ] = H H[W |V] = k()>

donde se observa que en (3.4.4), la esperanza respecto a la distribución de W condicionada por V es independiente de , por ser V un estadístico suficiente. De acuerdo con la desigualdad de Cauchy-Schwarz que dice que para dos v.a. [ e \ se tiene que H 2 [[\ ] H[[ 2 ]H[\ 2 ] (véase Rao (1973), pág. 54), se sigue que H[W |V] es un estimador de la clase Uk pues H 2 [W |V] = H 2 [W × 1|V] H[W 2 |V] de donde H H 2 [W |V] H H[W 2 |V] = H W 2 expresión que es finita por pertenecer W a la clase Uk . Además como H[W |V] y W tienen ambos de media k(), se sigue, de la última desigualdad restando k2 (), que la Expresión (3.4.3) es cierta. Por último si es H[W |V] = W se da la igualdad en (3.4.3) y recíprocamente, si es Y (H[W |V]) = Y (W ) es porque

H 2 [W |V] = H[W 2 |V]=

Entonces si se efectúa el desarrollo de (3.4.5)

H [(W H[W |V])2 ]

= H W 2 + H H 2 [W |V] 2H [W H[W |V]] = 2H W 2 2H [W H[W |V]]

como H [W H[W |V]] = H H[W H[W |V]|V] = H H 2 [W |V] = H H[W 2 |V] = H W 2 = ¥

Luego (3.4.5) es cero y por tanto W ha de coincidir casi seguro con H[W |V]=

Decir que W y H[W |V] coinciden, es equivalente a decir que W es función de V. Por otro lado la hipótesis de suficiencia del estimador V sólo se utiliza para poder considerar a H[W |V] como un estimador. Realmente el teorema dice que, dado un estimador W> al tomar la esperanza condicionada por un estimador, en este caso V, la varianza de W disminuye. Además, salvo tecnicismos matemáticos, todo se ha reducido a ver que (3.4.6)

Y du [W ] = Y du(H[W |V]) + H (Y duH[W |V])


115 115

donde el segundo sumando del segundo miembro es evidentemente no negativo y por tanto la varianza del estimador H[W |V] es siempre menor o igual que la varianza del estimador W . La relación entre la ausencia de sesgo y la propiedad de completitud viene recogida en el siguiente enunciado. Teorema 3.4.4 (Lehmann-Scheé) $ Dada la familia de distribuciones de probabilidad de la muestra P = {i ( { |)| 5 }, si para estimar k() la clase Uk es no vacía y existe un estadístico V([1 > ===> [q ) suficiente y completo, entonces H[W |V], para cualquier W perteneciente a Uk , es el HFP Y para k(). Demostración: Basta observar que para cualquier estadístico W 0 perteneciente a Uk , por el teorema de Rao-Blackwell Y [H[W 0 |V]] Y [W 0 ] y, como H[W 0 |V] es un estadístico función de V, que es completo, ha de coincidir con H[W |V], con lo que el estimador H[W |V] es óptimo. ¥ Se observa entonces que siempre que exista un estadístico completo y suficiente, el estadístico función de él que sea centrado para la función a estimar, es el estimador óptimo en la clase de los estimadores centrados, pero es a costa de que la clase de los centrados función del suficiente y completo sólo contiene a un elemento, que obviamente es el óptimo. Ejemplo 3.4.3 Con m.a.s. de tamaño q de una población de S rlvvrq(), para encontrar el q P [l estimador óptimo para > en la clase de los centrados, se tiene que V = es un estadístico suficiente que también es completo, pues

l=1

S 1 3q (ln ) {l S {[1 = {1 > ===> [q = {q |} = Q h h q {l ! l=1

es una familia exponencial uniparamétrica, por el Teorema 2.2.1 V es suficiente y ln contiene un abierto de R> luego por el Teorema 2.3.1 es completo. Además como ·q ¸ P [l = q> H l=1

resulta que [ es función del estadístico suficiente y completo, luego es el óptimo para su media, que es . Si se quiere el HFP Y para k() = h3 , es decir para la probabilidad de que la variable aleatoria valga cero, se debe encontrar un estimador insesgado


116 116

$ W ( [ ) de k(), para luego calcular H[W |V] que será el estimador óptimo de acuerdo con el Teorema 3.4.4. Un mecanismo simple para encontrar un estimador insesgado en estas situaciones, consiste en utilizar estimadores de la forma ½ 1 si [1 = 0 W ([1 > ===> [q ) = 0 si [1 6= 0 con lo que obviamente H W = S {[1 = 0} = h3 ¯q · ¯q ¸ ½ ¾ ¯P ¯P ¯ ¯ y todo se reduce a obtener H W ¯ [l = v = S [1 = 0 ¯ [l = v = 1

Pero

1

½q P

¾ ¯q ¾ S {[1 = 0} S ½ [l = v ¯P 2 ½q ¾ S [1 = 0 ¯¯ [l = v = P 1 S [l = v 1

y como

n P l=1

[l tiene distribución de S rlvvrq(n) , se llega a que q · ¯q ¸ · ¸P [l ¯P q 1 1 H W ¯¯ [l = v = q 1

es el HFP Y para k() = h3 . Ejemplo 3.4.4 Para m.a.s. de tamaño q de una población exponencial de parámetro i ({|) = h3{ , { A 0, con A 0 si se pretende encontrar el estimador óptimo entre los insesgados para , q P [l es un estadístico suficiente y puede comprobarse que V([1 > ===> [q ) = l=1

completo, y que su esperanza es q . Por lo tanto [ es el HFP Y para su media, k() = 1 . Sin embargo como se necesita un estimador insesgado para , puede ponerse que 5 6 Z +" q 9 1 : 31 9 : h3v vq31 gv = v H 7 q 8 P (q) 0 [l l=1

3.4. ESTIMADORESESTIMACIÓN CENTRADOS DEPARAMÉTRICA MÍNIMA VARIANZA PUNTUAL ya que

q P l=1

117 117

[l tiene como distribución una Jdppd(d = > s = q). Si se

utiliza la igualdad

Z

+"

0

h3d{ {s31 g{ = d3s (s)

se sigue que 6

5 9 H9 7

1

q P

l=1 q31 de donde P q

[l

q : : = 3(q31) (q 1) = > 8 (q) q1

es el HFP Y para .

[l

l=1

Ejemplo 3.4.5 Para determinar con m.a.s. de tamaño q de una población de Ehuqrxool() el HFP Y primero para la función k1 () = y después para k2 () = (1 ); se observa que · ¸ q P q {l ) S {[1 = {1 > ===> [q = {q |} = (1 ) exp (ln 1 l=1 con lo que es fácil verificar que V =

q P l=1

[l

es un estadístico suficiente

y completo. Luego [ es un estimador centrado para k1 () y por tanto el HFP Y para . Para la función k2 () = S {[1 = 1> [2 = 0|} todo se reduce a encontrar H[W |V] con ½ 1 si [1 = 1 y [2 = 0 W ([1 > ===> [q ) = 0 en el resto como · H W

q P ¯q ¸ S {[1 = 1> [2 = 0|}S { [l = v 1|} ¯P 3 ¯ [l = v = q ¯ P 1 S { [l = v|} 1

q P [l se distribuye según una Elqrpldo(q 2> ), se sigue, utilizando que 3 que ¸ · ¯q ¯P v(q v) ¯ H W ¯ [l = v = q(q 1) l=1 q q P P [l (q3

con lo que

l=1

l=1

q(q31)

[l )

es el HFP Y para k2 () = (1 )=


118 118

Ejemplo 3.4.6 En el caso de m.a.s. de tamaño q de una población normal, la función de densidad de la muestra es q μ ¶q 3 1 P ({l 3)2 2 1 2 1 i ({1 > ===> {q |> 2 ) = s h (3.4.7) 2 q P por lo tanto, si la media es conocida, el estadístico ([l )2 es suficiente y completo para

2 ;

luego

1 q

q P 1

1

2

([l )

que es centrado y función del

suficiente y completo, es el estimador óptimo. Si el parámetro de interés continua siendo 2 , pero la media es desconocida, se puede poner (3.4.7) en la forma μ ¶q S q 1 S 2 1 2 i ({1 > ===> {q |> ) = s h3 22 h 2 {l 3 22 {l (3.4.8) 2 Se trata de la familia exponencial biparamétrica y se tiene que el es¶ μq q P P $ 2 [l > [l es suficiente y completo para tadístico W ([1 > ===> [q ) = 1 1 $ = (> 2 ), verifíquese. Luego por el Teorema 3.4.4, la cuasivarianza muestral, que puede escribirse como " ¶2 # μq q P P 1 2 2 [ [l @q > V = q1 1 l 1 es el estimador óptimo para 2 = Si el parámetro de interés es ahora , con 2 conocida puede ponerse (3.4.7) en la forma q q P μ ¶q 3 q 3 1 P {2l 2 {l 2 2 1 2 2 l=1 i ({1 > ===> {q |> 2 ) = s h h l=1 > (3.4.9) 2 que es una familia exponencial uniparamétrica. Se sigue que W ([1 > ===> [q ) = q P [l es un estadístico suficiente y completo para , luego [ que, es función 1

de W y es insesgado, es el estimador óptimo para . Por último, cuando ambos parámetros son desconocidos, la Expresión (3.4.8) permite afirmar que ([> V 2 ), que es función del estadístico suficiente y completo, y que es insesgado para (> 2 ) es el estimador óptimo.

3.5.

COTA PARA LA VARIANZA DE UN ESTIMADOR

Se va a estudiar en esta sección un procedimiento indirecto para encontrar el estimador óptimo, mediante el criterio del HFP en la clase de los

3.5. COTA PARA LA VARIANZA DE UN ESTIMADOR ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA

119 119

estimadores insesgados. La idea es lograr una cota alcanzable para la varianza de cualquier estimador insesgado, de manera que cuanto más próxima sea la varianza de un estimador a la cota, mejor será el estimador con que se está trabajando. Con el fin de obtener esta cota, es necesario introducir ciertas condiciones de regularidad, sobre la familia de distribuciones de probabilidad; la primera, básicamente, dice que el recorrido de la población no puede depender del parámetro a estimar y la segunda, relativa a la clase de estimadores a utilizar, exige que la derivación e integración conmuten. Más concretamente, han de satisfacerse las dos condiciones siguientes: R1) El conjunto V = {({1 > ===> {q ) 5 X |i ({1 > ===> {q |) A 0} C i ({1 > ===> {q |). sea independiente de y que para todo exista C Al conjunto V se le denomina soporte de la distribución i= R2) Para la clase Uk , de los estimadores insesgados de la función de interés k() que tienen varianza finita, ha de cumplirse que Z g W ({1 > ===> {q )i ({1 > ===> {q |)g{1 ===g{q g X Z C = W ({1 > ===> {q ) i ({1 > ===> {q |)g{1 ===g{q C X

y que esta expresión sea válida también cuando W ({1 > ===> {q ) = 1, aunque obviamente la unidad no es un estimador centrado de la función de interés. Se llama información de Fisher, que sobre suministran m.a.s. de tamaño q a la expresión "μ ¶2 # C Lq () = H ln i ([1 > ===> [q | (3.5.1) C que alternativamente puede ponerse como ¶2 Z μ 1 C i ({1 > ===> {q |) Lq () = g{1 ===g{q = C i ({1 > ===> {q |) X Se ha empleado notación de función de densidad, los mismos requisitos han de cumplirse para funciones de masa. En la práctica es interesante, sin comprobarlo directamente, saber que las condiciones R1) y R2) son satisfechas. Así si la función de masa o de densidad de la muestra es exponencial uniparamétrica, es decir i ({1 > ===> {q |) = f()k({1 > ===> {q )h()w({1 >===>{q )


120 120

siendo () una función derivable en tal que 0 () 6= 0 para todo 5 , entonces se cumplen las dos condiciones de regularidad, (puede verse en Bickel y Doksum (1977) pág. 127). Teorema 3.5.1 (cota de Fréchet-Cramér-Rao) Si se verifican las condiciones de regularidad R1) y R2) y la información de Fisher es Lq () ? +4, se tiene que la función k() a estimar es derivable y $ $ que para cualquier estimador de la clase Uk = {W ( [ )|H W ( [ ) = k() con H W 2 ? +4} se cumple [k0 ()]2 Y [W ]Lq ()

; 5 =

Además, la igualdad se da, si y solamente si, existe una función N() tal que C $ $ ln i ( { |) = N()[W ( { ) k()] ; 5 = C Demostración: Para ver que k() es derivable como es $ H [W ( [ )] = k() por R2) se tiene que (3.5.2)

k0 () =

Z X

C $ $ $ { |)g { W ( { ) i ( C

bastará acotar el valor · μ ¸ ³ ¶1@2 $ ´1@2 $ $ $ C C H |W ( [ )|| ln i ( [ |)| H [W 2 ( [ )] H [( ln i ( [ |))2 ] C C y en virtud de las hipótesis, estos dos productos están acotados. Por otro lado, a partir de la igualdad Z i ({1 > ===> {q |)g{1 ===g{q = 1 X

se sigue, derivando en los dos miembros y usando la condición R2), que ¸ · $ C ln i ( [ |) = 0= H (3.5.3) C Obsérvese que también es necesaria la condición R1) para la obtención $ $ C { ) y C ln i ( { |), se de esta expresión. Si se calcula la covarianza entre W ( tiene que ¶ ¸ μ · $ $ C $ C $ Fry W ( [ )> ln i ( [ |) = H W ( [ ) ln i ( { |) (3.5.4) C C


121 121

ya que por la Expresión (3.5.3) la media de la segunda variable es nula. Por la Expresión (3.5.9) se sigue que (3.5.4) puede ponerse como ¶ μ $ $ C ln i ( [ |) = k0 () Fry W ( [ )> C luego utilizando que el cuadrado del coeficiente de correlación es siempre menor o igual que 1, ha de ser por (3.5.3) [k0 (|)]2 Y [W ] . H [(

$ C ln i ( [ |))2 ] C

Con lo que se tiene la primera parte del teorema. Además, por las propiedades del coeficiente de correlación, la desigualdad se convierte en igualdad si y solamente si, para cada las variables $ $ C C ln i ( { |) y W ( { ) están relacionadas linealmente. Es decir C $ $ ln i ( { |) = D() + E()W ( {) C y ya que el primer miembro tiene de media 0, véase (3.5.3), se puede tomar N() = E() con lo que se obtiene la expresión deseada. ¥ Se observa que si la información de Fisher Lq () es cero también lo es 0 k () y en caso contrario, dividiendo en el enunciado de la Cota de FCR por Lq () se sigue que [k0 ()]2 = Y [W ] Lq () Es claro, que cuando Lq () sea grande la expresión del segundo miembro de esta acotación será pequeña y por tanto se puede interpretar, que en ese caso, los estimadores de Uk tendrán menor varianza, al menos como cota inferior, por lo que se puede decir que el experimento da mayor información sobre la función del parámetro k(). Esto constituye una primera justificación de por qué se llama información a la expresión Lq (). Corolario 3.5.1 Bajo las hipótesis del teorema anterior, si k() = , es decir se toman los estimadores insesgados para , se tiene que Y [W ]

1 = Lq ()

El cálculo de la información de Fisher, Lq () puede hacerse mediante (3.5.3) ya que

Lq () = qL1 () q C P C ln i ({1 > ===> {q |) = ln i ({l |)= C l=1 C


122 122

Si se eleva esta última expresión al cuadrado y se emplea (3.5.3) para cada l, se sigue que al ser la m.a.s., la esperanza de los productos cruzados es nula y por lo tanto "μ "μ ¶2 # ¶2 # q P C C ln i ([1 > ===> [q |) ln i ([l |) = = H H C C l=1 Esta expresión, completa el significado de Lq (), ya que parece lógico pensar que la información suministada por m.a.s. de tamaño q sea q veces la información que suministra una muestra de tamaño uno. Ejemplo 3.5.1 Con m.a.s. de tamaño q de una población de Ehuqrxool(), para el cálculo q P {l de la Cota de I FU para los estimadores de , se tiene que con | = |=1 l=1

dichos estimadores han de verificar q P |=0

W (|)| (1 )q3| = =

Se sigue, que por ser ambos miembros polinomios en q q ¤ P g P C £ | (1 )q3| > W (|)| (1 )q3| = W (|) g |=0 C |=0

luego se satisfacen las dos condiciones de regularidad. Alternativamente se trata de la familia exponencial uniparamétrica con 0 () no nula. "μ ¶2 # C ln S {[|} L1 () = H C "μ

se convierte en H con lo que es L1 () = Entonces

1 (13)

[ (1 )

¶2 # =

Y [[] 2 (1 )2

y por lo tanto Lq () =

Cota de I FU =

q (13) .

(1 ) > q

de donde se deduce que el HFP Y para es [ q , que es el estimador que tiene dicha varianza. Si se puede derivar otra vez la Expresión (3.5.2) (más adelante se verán condiciones bajo las que ésto es posible) se tiene que e ¸ · 2 $ C ln i ( [ |) Lq () = H (3.5.6) C2


123 123

expresión que con frecuencia es más fácil de calcular. En efecto, para obtener (3.5.6) basta utilizar que C C 1 $ ln i ( { |) = i ($ { |) $ C i ( { |) C

(3.5.7)

$ { |) , queda si se deriva (3.5.7) respecto a , y se multiplica por i ( ·

¶2 ¸ μ C C2 C2 $ $ $ $ $ i ( { |) ln i ( { |) i ( { |) = i ( { |) (1@i ( { |)) C C2 C2

{ y utilizando 3.5.7 e integrando en $ · H

"μ ¶2 # ¸ ¸ · 2 $ $ $ C2 C C ln i ( [ |) ln i ( [ |) = H i ( [ |) H C C2 C2

pero por la hipótesis de regularidad, el primer sumando del segundo miembro es nulo. Ejemplo 3.5.2 Para una población de S rlvvrq(), con m.a.s. de tamaño q, si se quiere estimar , se tiene ln s({|) = + n ln ln {! con lo que C { ln s({|) = 1 + C y

1 C2 ln s({|) = 2 { C2

de donde se deduce que ¸ · 2 1 1 C H 2 ln s([|) = 2 H [[] = C y por tanto es L1 () = 1 . Véase que existe regularidad suficiente. Se ha obtenido entonces que Lq ()= q y la Cota de I FU= q . Luego el estimador [ cuya varianza coincide con la Cota es óptimo. Véase el Ejemplo 3.4.3. Corolario 3.5.2 Bajo las hipótesis de regularidad del Teorema 3.5.1, suponiendo válida la $ Expresión (3.5.6) y si existe algún estimador W ( [ ) de la clase Uk cuya varianza alcance la Cota de I FU> ha de poderse factorizar (3.5.8)

C qL1 () $ ln i ( { |) = 0 [W ($ { ) k()]= C k ()

124 124

CAP. 3. ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA INFERENCIA ESTADÍSTICA Demostración: por el Teorema 3.5.1 la Cota es alcanzable si

C $ $ ln i ( { |) = N()[W ( { ) k()]> C derivando respecto de se tiene C2 $ $ ln i ( { |) = N 0 ()[W ( { ) k()] N()k0 () C2 y si se toman esperanzas ¸ · 2 $ C H ln i ( [ |) = N()k0 ()> C2 o lo que es lo mismo N() =

Lq () qL1 () = 0 = 0 k () k ()

¥ La Expresión (3.5.8) permite construir directamente el estimador W , la función k() y el valor de la Cota a menos de constantes aditivas y multiplicativas. En el Ejemplo 3.5.1 es ¶ μ q q P P $ C 1 1 $ ln S { [ = { |} = {l q {l C 1 l=1 l=1 sacando factor común

q P l=1

[l , se puede poner

$ $ q C { |} = ln S { [ = [[ ] C (1 ) luego [ es el HFP Y para k() = y la Cota de I FU vale (13) q . Se observa que se pueden multiplicar y restar [ y por sendas constantes con lo que se mantendría la factorización dada en (3.5.7). Todavía se puede concretar más respecto a poder alcanzar la Cota de I FU, pero ésto está relacionado con que la familia de distribuciones de probabilidad sea la exponencial uniparamétrica con mínimas suposiciones adicionales, lo que resta importancia a este método para construir HFP Y . Teorema 3.5.2 Si la familia de distribuciones de probabilidad verifica las condiciones de regularidad R1 y R2 y la Cota de I FU es alcanzable, entonces la familia es exponencial uniparamétrica, es decir se puede escribir como < 3 $ $ i ( { |) = f()k( { )h()W ( { ) (3.5.9) y además es W el estadístico que alcanza la Cota. Recíprocamente, si la muestra se distribuye mediante (3.5.9) con 0 () no nula, entonces W alcanza la Cota de I FU.


125 125

Demostración: si se alcanza la Cota, por el Teorema 3.5.1, ha de ser C $ $ ln i ( { |) = N()[W ( { ) k()] C integrando respecto de se obtiene $ $ $ ln i ( { |) = D()W ( { ) + E()U( {) que equivale a

< 3 < 3 $ i ( { |) = hE() hU( { ) hD()W ( { ) =

$ { |) es de la forma (3.5.9) se sigue que Recíprocamente, si i ( C f0 () $ $ ln i ( { |) = + 0 ()W ( {) C f() que es de la forma

$ N()[W ( { ) k()] 0

f () donde N() = 0 () y k() = f() 0 () = ¥ Para el Ejemplo 3.5.1 con m.a.s. de tamaño q de una población de Bernoulli es q P

S {[1 = {1 > ===> [q = {q |} =

1

{l

q P

q3

(1 )

1

{l

expresión que puede ponerse alternativamente como (1 )q h[ln( 13 )]

S

{l

1 luego () = ln 13 , 0 () = (13) que no es nula y k() = q= Se trata pues de la pués Pfamilia exponencial uniparamétrica, () tiene derivada no nula, [l el HFP Y que alcanza la Cota para k() = q= luego es Condiciones más generales que las dadas por R1 y R2 y que aseguren que se satisfacen las dos hipótesis de regularidad, pueden verse en Lehman $ { ) es una función acotada, la función de (1959) pág. 52-53. En esencia si !( dada mediante la integral Z < 3 $ $ $ !( { )hW ( { ) k( { )g { X

es una función analítica. El teorema recogido en Lehmann de hecho es más general, pero aquí sólo se necesita para la familia exponencial uniparamétrica, que es para la que se puede alcanzar la Cota de I FU=

126 126


Ejemplo 3.5.3 Para m.a.s. de tamaño q de una distribución de S rlvvrq(), por pertenecer la distribución de Poisson a la familia exponencial y darse las condiciones de regularidad, pues 0 () = 1 con q P (ln ) {l 1 l=1 S {[1 = {1 > ===> [q = {q |} = h3q q h Q {l !

1

Al tomar logaritmos y derivar se obtiene $ $ q C { |} = [[ ] ln S { [ = C luego, a menos de constantes, [ es el HFP Y para , y qL1 () = qL1 () k0 () vale q ; luego la Cota de I FU para los estimadores insesgados de es Lq31 () = q = ¥ Aún existiendo HFP Y puede ocurrir que éste no alcance la Cota. Ejemplo 3.5.4 Para m.a.s. de tamaño q de una distribución exponencial de parámetro , i ({|) = h3{ con { A 0 A 0, se puede ver que se satisfacen las q31 condiciones de regularidad y que Lq () = q2 . Sin embargo es W = S [l 2

el HFP Y para con varianza q32 . Lo que ocurre es que de acuerdo con el Corolario 3.4.4, la Cota de I FU es alcanzable para la función 1 por el estimador [ y vale q1 2 =

¥ Pese a estas limitaciones se introduce el siguiente concepto. Definición 3.5.1 (estimador Eficiente) $ W lo es para una familia P = {i ( { |)| 5 } y para la función k(), si su varianza alcanza la Cota de I FU y el estimador tiene de media k()= ¥ Realmente sólo tendría sentido su cálculo en la familia exponencial uniparamétrica y para la función k() conveniente. A pesar de todo, y principalmente por motivos históricos, se sigue usando el concepto.

3.6. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN CONSTRUCCIÓN DE ESTIMADORES PUNTUAL PARAMÉTRICA

127 127

Definición 3.5.2 (eficiencia de un estimador) Se llama eficiencia de un estimador insesgado para la función k(), a la expresión [k0 ()]2 hi (W ) = Lq ()Y [W ] Es decir, es el cociente entre la varianza mínima y la varianza del estimador. ¥ Claramente la eficiencia es siempre menor o igual que 1 y un estimador eficiente, alcanza la Cota de I FU y tiene de eficiencia 1. Ejemplo 3.5.5 Para la distribución de S rlvvrq(), se tiene que [ para estimar tiene H [[] = , Y [[] = q , y que Lq () ? q , véase el Ejemplo 4.5.3, luego hi ([) =

1 q q

=1

y el estimador [ es eficiente.

3.6.

MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN DE ESTIMADORES

Anteriormente se han estudiado las propiedades que deseablemente ha de tener un estimador, se van a estudiar ahora métodos que permitan construir estimadores en situaciones bastante generales y que en contextos amplios den lugar a estimadores con buenas propiedades. Se supondrá el esquema habitual, una familia de distribuciones de probabilidad sobre una población, $ de manera que se desconozca un parámetro 5 Ru . Se trata de obtener $ $ $ $ estimadores W ([1 > ===> [q ) para o para alguna función vectorial k ( ).

3.6.1.

Método de los momentos

Este método es debido a Karl Pearson e históricamente fué el primero que se utilizó de forma sistemática para ajustar parámetros de distribuciones a colecciones de datos. Se recuerda que n = H[[ n ] es el momento poblacional q P [ln es el momento muestral de orden n respecto al origen y que dn = q1 1

de orden n respecto al origen. Para poner de manifiesto la dependencia del momento n respecto del parámetro, se escribirá n = n (1 > ===> u ). El método de los momentos para construir estimadores consiste en resolver en 1 > ===> u el sistema ¾ n (1 > ===> u ) = dn (3.6.1.1) n = 1> ===> u


128 128

u ([1 > ===> [q ). 1 ([1 > ===> [q )> ===> b cuyas soluciones se denotan por b Ejemplo 3.6.1.1 Para m.a.s. de tamaño q de una población de Bernoulli( ) en este caso = [ es el estimador por el u = 1, 1 () = y d1 = [, por lo tanto b método de los momentos. Ejemplo 3.6.1.2 Para una población con distribución de Poisson() se necesita una sóla = [. ecuación, 1 () = y d1 = [ luego el estimador es b Ejemplo 3.6.1.3 Para una población [ con distribución Q (> ) con ambos parámetros des$ conocidos = (> ) es u = 2 y se debe resolver el sistema < =[ @ q 1 P 2 2 2 + = q [l > l=1

lo que lleva a b=[ y b=

q P s e2 la desviación típica muestral q1 ([l [)2 =

¥ Algunas veces, por comodidad, se igualan u momentos centrales en lugar de los momentos respecto al origen, por lo que el procedimiento de construcción dado por las ecuaciones (3.6.1.1) no ha de ser tomado de forma estricta. Si se está interesado en una parametrización diferente, es decir en lu$ $ $ gar de en = (1 > ===> u ) en * ( ) = (*1 (1 > ===> u )> ===> *u (1 > ===> u )) se u y tomar 1 > ===> b pueden estimar previamente los u parámetros mediante b * (*1 (b 1 > ===> b u )> ===> *u (b 1 > ===> b u )), o bien se pueden como estimadores de expresar los momentos poblacionales n en función de (*1 > ===> *u ) y resolver las ecuaciones en *1 > ===> *u . Es decir (3.6.1.1) tomaría la forma

(3.6.1.2)

n (*1 > ===> *u ) = dn n = 1> ===> u

¾

con lo que se obtendrían los estimadores b u ([1 > ===> [q )) = (b *1 ([1 > ===> [q )> ===> * * = (*1 > *2 ) con Así en el Ejemplo 3.6.1.3 se podría haber puesto $ *1 (> ) = *2 (> ) = 2


129 129

b 1 ([1 > ===> [q ) = [ y * con lo que puede verse que se obtiene * b 2 ([1 > ===> [q ) = e2 . Sin embargo esta especie de invariancia no ocurre en general. Frecuentemente los estimadores, obtenidos por el método de los momentos son consistentes, véase la Sección 3.2.2. Esto se debe a que los momentos muestrales convergen casi seguro a sus respectivos momentos poblacionales; entonces, si la transformación que pasa de (1 > ===> u ) a (1 > ===> u ) es biyectiva con funciones inversas continuas l = *l (1 > ===> u ), se sigue que b l = *l (d1 > ===> du ) converge casi seguro a *l (1 > ===> u ) = l . No pueden establecerse propiedades generales para los estimadores obtenidos por el método de los momentos, no obstante en algunos casos pueden tener eficiencia pequeña para tamaño muestral fijo e incluso de manera asintótica, puede verse en Fisz(1963) pág. 484.

3.6.2.

Método de la máxima verosimilitud

Este método fué propuesto y desarrollado por Fisher (1921, 1925); las referencias pueden verse en el ya citado libro de Fisz. Es el método más importante por estar basado en un principio de reducción de datos bastante natural, véase la Sección 2.5.2, 1, y es el que goza de mejores propiedades, sobre todo para tamaños muestrales grandes. El concepto se introduce mediante un ejemplo. Una urna contiene bolas blancas y negras, hasta un total de 4 pero se desconoce la proporción de blancas, con lo que el espacio paramétrico es = { 14 > 12 > 34 }. Se supone que se observan dos bolas con reemplazamiento con lo que al ser el estadístico suficiente W = [1 + [2 , el número de bolas blancas, se puede construir la Tabla 6.3.2.1 = = =

1 4 1 2 3 4

W =0 ¡ 3 ¢2 = 00 5625 ¡ 41 ¢2 = 0b25 00 85 ¡ 21 ¢2 = 00 0625 4 Tabla 6.3.2.1.

W =1 = 00 375 = 00 5 = 00 375 Obtención del 2 14 43 2 12 21 2 14 43

W =2 ¡ 1 ¢2 = 00 0625 ¡ 41 ¢2 = 00 25 ¡ 23 ¢2 = 00 5625 4 EMV.

El estimador de máxima verosimilitud, en lo sucesivo HP Y , será aquel que dado W ([1 > ===> [q ) asigne a el valor, de los tres posibles, que dé mayor probabilidad al suceso observado, es decir 1 b (0) = 4

1 b (1) = 2

3 b (2) = = 4

Para el caso en que se tenga una variable aleatoria con función de densidad $ $ i ( { |) se escogerá el que haga máximo i ( { |·) como función de . Definición 3.6.2.1 (estimador de máxima verosimilitud) $ Dada una realización ({1 > ===> {q ) de una m.a.s. de P = {i ( { |)| 5 }> se representa por O(|{1 > ===> {q ) a la función de densidad o de masa de la


130 130

muestra, como función de > a la que se le da el nombre de función de vero : X $ se denomina de máxima verosimilitud similitud. Un estimador b |{1 > ===> {q ) = máxO(|{1 > ===> {q )= si O(b MX

¥ El HP Y dada la muestra ({1 > ===> {q ) es el valor de que hace más probable el punto muestral que se ha observado. Lo primero que se señala es que puede ocurrir que el máximo no sea alcanzable, se convierta en un supremo y entonces no existiría HP Y . Como el máximo de una función y su logaritmo neperiano coinciden, con frecuencia se tabaja con el logaritmo neperiano de la función de verosimilitud para facilitar los cálculos. Ejemplo 3.6.2.1 Para una población de Ehuqrxool() con m.a.s. de tamaño q la función de verosimilitud es S

O(|{1 > ===> {q ) =

{l

S

(1 )q3

{l

5 [0> 1]

y su logaritmo neperiano es ln O(|{1 > ===> {q ) =

X

³ X ´ {l ln(1 ) {l ln + q

con lo que derivando respecto a se obtiene P C q {l 1X ln O(|{1 > ===> {q ) = {l C 1 = [ que obviamente está contenido en e igualando a cero se llega a que b el intervalo [0> 1]. La derivada segunda respecto a , particularizada en [ lleva a ¯ P ¯ ¯ C2 1 X q {l ¯¯ ¯ { ln O(|{ > ===> { ) = 1 q ¯ l (1 )2 ¯[ C2 2 [ =

q[ [

2

q q[ (1 [)2

y los sumandos de esta expresión son obviamente negativos, por serlos sus numeradores, luego [ es un máximo local que al ser interior al recinto y el = [ es el HP Y= único máximo local, es el máximo global. Por tanto b ¥

En general si 5 Ru , se considera el sistema

(3.6.2.1)

C Cm

ln O(1 > ===> u |{1 > ===> {u ) = 0 m = 1> ===> u

)


131 131

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones de verosimilitud y a sus soluciones se les llama HP Y en sentido débil. Se advierte que no siempre ambos estimadores tienen que coincidir. Además, y curiosamente, las buenas propiedades que poseen los estimadores de máxima verosimilitud radican más bien en satisfacer la Ecuación (3.6.2.1) que en su caracter de ser máximos, como se verá en la Sección 3.6.3. Si la función de verosimilitud es una función cóncava de para todo $ { = ({1 > ===> {q ) y su máximo no se alcanza en la frontera de , punto entonces el sistema (3.6.2.1) tiene como solución el HP Y . Ejemplo 3.6.2.2 $ Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) con = (> ) es $ $ O( | {)=

μ

1 s 2

¶q

3

h

1 2 2

q P 1

para maximizar esta función, se puede utilizar que

({l 3)2

q q P P ({l d)2 ({l {)2 , 1

1

con lo que el problema queda reducido a una dimensión con b = {. La obtención del máximo en de la función q μ ¶q 3 1 P ({l 3{)2 2 1 2 1 s h 2 puede hacerse tomando logaritmos neperianos y derivando respecto a > con lo que se obtiene P $ q C ({l {)2 $ ln O( | { ) = + C 3 s expresión que igualada a cero lleva a b = e2 . Como la derivada segunda es $$ q 3q C2 { ) = 2 4 e2 = ln O( | C2 1@2

1@2

su particularización en = e2 es - 2q b = e2 e2 que al ser negativa, hace que sea un mínimo local, pero como cuando tiende a +4 y a 4 la función a maximizar tiende a cero, se convierte en un mínimo global. Luego el HP Y q s P $ es = ({> e2 ) donde e2 = q1 ({l {)2 es la varianza muestal. l=1

Ejemplo 3.6.2.3 Para m.a.s. de tamaño q de una población Uniforme(0> ) con 0, la función de densidad es i ({|) = 1 L[0>] ({), que se puede poner como 1 O(|{) = L[{>+") ()L(3">{] (0)


132 132

si se emplea ahora que L(d>e) ({)L(f>g) (f) = L(máx{d>f}>m´ın{e>g}) ({) se sigue que q q Q 1 Q $ O(| { ) = q L[{l >+") () L(3">{l ] (0) 1 1 1 = q L[{(q) >+") ()L(3">{(1) ] (0)

con lo que la función de verosimilitud es la de la Figura 3.6.1

Figura 3.6.1. Función de verosimilitud para una población X (0> )= = {(q) . Este estimador es siempre El máximo en [0> +4) se obtiene en b menor que , y no es centrado ya que H[[(q) ] =

q = q+1

¥ Este ejemplo, pone de manifiesto la drástica diferencia existente en considerar la distribución de probabilidad como función de en lugar de como $ {. función de las observaciones Ejemplo 3.6.2.4 Para m.a.s. de tamaño q de una población X ( 12 > + 12 ) se tiene, análogamente al ejemplo anterior, que O(|{) = L[3 1 >+ 1 ] ({) 2

2

= L[{3 1 >{+ 1 ] () 2

2


133 133

con lo que O(|{1 > ===> {q ) = L[{(q) 3 1 >{(1) + 1 ] () 2

2

y por tanto cualquier valor comprendido en el intervalo [{(q) 12 > {(1) + 12 ] es HP Y , en particular lo es 12 ({(1) + {(q) )= Por consiguiente, no es cierto que el HP Y sea siempre un estadístico suficiente. ¥ Se pasa a estudiar ahora algunas propiedades del HP Y . Proposición 3.6.2.1 Dada la familia P de distribuciones de probabilidad de la muestra, el HP Y siempre es función del estadístico suficiente. Demostración: se emplea notación de función de densidad, lo mismo es válido para el caso discreto. Se tiene que por el teorema de factorización, teorema 2.2.1, ha de ser i ({1 > ===> {q |) = k({1 > ===> {q )j (W ({1 > ===> {q )) donde ambas funciones son no negativas. Luego maximizar en el primer miembro, es equivalente a maximizar en la función j del segundo, con lo =b (W )= que se obtiene b ¥ La proposición no dice que el HP Y sea el mismo suficiente, sino que es función del suficiente, véase el Ejemplo 3.5.2.4 donde el estadístico suficiente es ([(1) > [(q) ) no siéndolo 12 ([(1) + [(q) ). La siguiente propiedad va a ser la de invariancia del HP Y , pero invariancia en sentido diferente al empleado anteriormente para los estimadores, véase la Sección 2.4. En concreto se trata de estudiar cómo se comporta el HP Y cuando se realiza un cambio en el parámetro mediante una función k() = . Supóngase que se está interesado inicialmente en estudiar la desviación típica de la población y posteriormente se quiere encontrar el HP Y de la varianza, lo que se va a obtener es que el HP Y para = 2 es el cuadrado del HP Y para = = Proposición 3.6.2.2 $ Dada la familia P = {i ( { |)| 5 } de funciones de densidad o de masa, $ si se nota por O(| { ) la función de verosimilitud para , mediante una reparametrización dada por la función k : $ se llama verosimilitud inducida por la función k a $ $ P (| { ) = sup O(| {) MX

donde = { 5 |k() = }=


134 134

Se sigue que el HP Y para con la verosimilitud inducida, viene dado por b = k(b ), donde b es el HP Y para con la verosimilitud O= Demostración: basta observar que $ b P (| {)=

$ $ { ) O(b | {)= sup O(|

e |k()=

$ $ { ) = sup sup O(| {) = sup O(|

M\ MX

b$ P (| {) luego todas las desigualdades se convierten en igualdades y se obtiene el resultado deseado. ¥ Obsérvese que en realidad, siempre que se haga una reparametrización, se debería construir la función de verosimilitud inducida P . En la práctica esto no se hace, aunque se supone para que la proposición sea válida. Ejemplo 3.6.2.5 Ciertas componentes de un sistema tienen duración exponencial de media 1 { i ({|) = h3 ,

{ A 0 con A 0=

Para m.a.s. de tamaño q se desea estimar por el método de la máxima verosimilitud la probabilidad de que una componente falle antes del tiempo w> con t un valor conocido. El parámetro de interés es ½ ¾ w k() = S {[ w|} = 1 exp = Para obtener el HP Y para , la verosimilitud viene dada por ½ ¾ q 1P $ 3q {l O(| { ) = exp l=1 de donde

q 1P $ ln O(| { ) = q ln {l l=1

con lo que (3.6.2.2)

q q C 1 P $ ln O(| {)= + 2 {l C l=1

= [ al igualar a cero la expresión anterior. y se obtiene la solución b


135 135

Como la derivada segunda es C2 2 X q $ {l> ln O(| { ) = C2 2 3 32

que particularizada en [ toma el valor q[ entonces la Expresión (3.6.2.2) tiene un máximo local, que se convierte en global al tender a cero la verosimilitud cuando tiende a ±4, con lo que [ es el HP Y para . De acuerdo con la Proposición 3.6.2.2 el HP Y para k() es o n 31 = k(ˆ) = 1 exp w[

3.6.3.

Propiedades asintóticas de los estimadores de máxima verosimilitud

Esta sección está dedicada a ver, que bajo condiciones bastante generales, los estimadores de máxima verosimilitud (HP Y ) son consistentes y asintóticamente normales. Teorema 3.6.3.1 (consistencia del HP Y ) $ { |) tienen soporte Si es un subconjunto de R, todas las funciones i ( $ { |) es derivable en un conjunto abierto D de , existe una común y ln i ( $ q ( { ) de la ecuación de verosimilitud sucesión de raíces b C $ ln i ( { |) = 0 C

(3.6.3.1)

q converge en probabilidad a . Es decir la tal que para todo de D, b q es consistente. sucesión b Demostración: se trata de comprobar que para todo % A 0 (3.6.3.2)

$ $ l´ım S { { q ; |b q ( { q ) | A %|} = 0=

q<"

Para cualquier valor de D y cualquier positivo se sigue que Z i ({| ± ) g{ 0 i ({|) ln (3.6.3.3) i ({|) X ya que ln | | 1. Por tanto q 1 P (ln i ({l | ± ) ln i ({l |)) q l=1

converge en probabilidad a

· ¸ i ([| ± ) H [ln i ([| ± ) ln i ([|)] = H ln i ([|)


136 136

que es una cantidad negativa por (3.6.3.3). De manera que con probabilidad uno bajo , ha de ser $ $ ln O( ± | { ) ln O(| { ) 0= $ { ) es cóncava en el intervalo ( > + ) En resumen la función ln O(| como indica la Figura (3.6.3.1) y al ser una función continua en , ha de q con tangente horizontal con lo que se cumple haber un punto en el abierto b (3.6.3.2). ¥

Figura 3.6.3.1. Representación del logaritmo de la función de verosimilitud. De todas formas el teorema es útil, sólo cuando existe una única raíz de la ecuación de verosimilitud, ya que entonces esa raíz ha de ser el estimador consistente, en caso contrario no se sabría cuál de las raíces al variar q, va a dar lugar a la sucesión consistente. Teorema 3.6.3.2 (distribución asintótica del HP Y ) Para m.a.s. de una población con función de densidad i ({|), si se verifican las dos condiciones siguientes: C3 ln i ({|) y está H1) En un intervalo abierto D de R existe C ¯ 3 3 ¯ ¯C ¯ acotada por una función P ({) integrable, es decir ¯ C3 ln i ({|)¯ ? P ({) con H [P ([)] ? n para cualquier perteneciente a D=£ ¤ C D H ln i ([| ) = 0, H2) Existe al menos un valor de con 0 0 0 C i h 2

C 1 = 0 y 0 ? L1 (0 ) ? +4, donde L1 (0 ) es la inH0 i ([| 2 i ([| 0 ) 0 ) C formación de Fisher, véase (3.5.1). q de raíces de la ecuación de Entonces cualquier sucesión consistente b verosimilitud verifica la siguiente convergencia en ley ! ! Ã Ã s 1 1 L L p q(b q 00)) $ $ ]] Q Q 0> 0> p (3.6.3.5) LL11( (00))


137 137

$ C Demostración: si se denota por v() = C ln i ( { |) y se desarrolla esta función alrededor del valor 0 citado en H2), se obtiene 2 b q W ( q 0 ) q 0 ) + vv” (q ) v(b q ) = v(0 ) + v0 (0 )(b 2

q ) = 0 se puede poner: donde |b q Wq | |b q 0 |, y al ser v(b I1 v( 0 ) s b q i q(q 0 ) = h q 30 W e 1 0 q v ( 0 ) + v”( q ) 2

(3.6.3.6)

En esta última expresión, se tiene que q C2 1 0 1 P v (0 ) = ln i ({l |0 ) q q l=1 C2

que converge con probabilidad uno, bajo 0 , a L1 (0 ). Por otra parte ¯ ¯ q ¯ C3 q ¯ 1 P 1 P 1 W W ¯ ¯ |v”(q )| ln i ({l |q )¯ P ({l ) ¯ 3 q q l=1 C q l=1 W 1 q |v”( q )| ? n. e 0) que v”(Wq ) (q 3 2

y de acuerdo con H1)

q converge en probabilComo además b

idad a q , se sigue converge en ley a cero, por lo tanto el denominador de la expresión (3.6.3.6) converge en probabilidad, bajo 0 > a L1 (0 ). Para el numerador, mediante el teorema central del límite aplicado q P C a q1 v(0 ) = q1 C ln i ({l | 0 ) se tiene la convergencia en ley bajo 0 l=1

³ p ´ 1 L s v(0 ) $ ] Q 0> L1 (0 ) q de donde se cumple (3.6.3.5), sin más que aplicar el Teorema de Slutsky (véase el Teorema 1.4.5). ¥ Una condición que permite asegurar que se cumple H2) puede verse en Lehmann y Casella (1998), pág. 450. Ejemplo 3.6.3.1 Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) con 5 R, la distribuq P s [l es tal que q [ q3 ción asintótica de la media muestral [ q = q1 l=1

converge en ley bajo a una v.a. Q (0> 1). Este resultado, que ya se sabía por el teorema central del límite, puede obtenerse mediante la aplicación C3 del Teorema 3.6.3.2; ya que como existe C 3 ln i ({|) y vale cero, se da la


138 138

acotación H1) con £C ¤ P ({) = 0. También se verifica H2) pues para todo ? 0 ln i ([|) = 12 H [[ ] = 0. H C · H

¸ C2 1 i ([|) = H [[ ] = 0 i ({|) C2

y el valor de la información de Fisher es L1 () = el HP Y se tiene la convergencia enunciada.

1 2 ,

por lo tanto al ser [ q

¥ En general se estará interesado en estimar una función k(), si ésta tiene q es el HP Y para , puede probarse que se derivada continua en 0 y b obtiene la convergencia en ley bajo 0 de (3.6.3.7)

s k(b q ) k(0 ) q $ ] Q (0> 1) |k0 (0 )| s L1 (0 )

(véase el Ejercicio 3.7.31) Ejemplo 3.6.3.2 Para m.a.s. de tamaño q de una población [ Ehuqrxool() se puede obtener un estimador del cociente entre la probabilidad de éxito y fracaso ; como el HP Y para es [ q , se tiene que el estimador para k() k() = 13 s [ 3 13 [ t $ ] Q (0> 1 ) en ley bajo . es k([) = 13[ y es tal que q 13[ 13

¥ Como se verá en el Capítulo 4 al estudiar las regiones de confianza, la utilización de la distribución asintótica de los HP Y , permitirá la determinación de regiones de confianza aproximadas.

3.6.4.

Método bayesiano

Como ya se ha dicho en la Sección 3.2.3, en situaciones donde tenga sentido considerar a como una variable aleatoria con función de densidad o de masa dada por (), toda la información sobre suministada por la m.a.s. de tamaño q queda recogida en la distribución final (|{1 > ===> {q ). Esta distribución es realmente el estimador bayesiano es decir, es el resultado de utilizar el método de estimación bayesiano. Si se quiere utilizar un valor de en lugar de toda la distribución de probabilidad final, se puede utilizar H[|{1 > ===> {q ] la media de la distribución final. La justificación para esta decisión está en utilizar la S I H con función de pérdida cuadrática y tomar como estimador Bayes el que minimiza la pérdida final esperada, véase la Sección 3.3.2, a este estimador por extensión se le llama también estimador Bayes o estimador bayesiano, como se dijo


139 139

en la sección citada. Si se utiliza otra función de pérdida el mécanismo es el mismo, así por ejemplo, si la función de pérdida es el valor absoluto, el estimador bayesiano que minimiza la S I H es la mediana de la distribución final, véase el Ejercicio 3.8.14. Ejemplo 3.6.4.1 Para una población de Ehuqrxool(), con m.a.s. de tamaño q, si la información inicial sobre viene recogida por la distribución uniforme () = L(0>1) () el estimador bayesiano, la distribución final es q P

{l

q3

q P

{l

l=1 (1 ) l=1 L(0>1) () (|{1 > ===> {q ) = q q P P {l q3 {l R1 l=1 (1 ) l=1 g 0 P P la distribución Ehwd(| {l + 1> q {l + 1)> y por extensión el estimador bayesiano es la media de la distribución final X {l + 1)@(q + 1)= W ({1 > ===> {q ) = (

3.6.5.

Propiedades asintóticas de los estimadores bayesianos

Al igual que se ha hecho al estudiar el método de la máxima verosimilitud y sus propiedades asintóticas, se van a ver condiciones que aseguren que los estimadores bayesianos son consistentes y asintóticamente eficientes. Teorema 3.6.5.1 (distribución asintótica de la distribución final) Dada una m.a.s. con función de densidad i ({|), si se verifican las condiciones H1) y H2) del Teorema 3.6.3.1 y además se cumplen las condiciones: H3) la función de densidad inicial es continua y positiva para todo 5 , con Z ||()g ? +4 H4) para cada A 0, existe % A 0 tal que la probabilidad del suceso ¾ ½ 1 sup (ln i ({|) ln i ({|0 )) % |30 |D q tiende a 1 cuando q $ 4= q es el estimador bayesiano para () con pérdida cuadrátiEntonces si e ca, se tiene la siguiente convergencia en ley bajo 0 p s L q(e q 0 ) $ ] Q (0> 1@ L1 (0 )) (3.6.5.1) q es consistente y asintóticamente eficiente. con lo que e


140 140

Demostración: Puede verse en Lehmann y Casella (1998), pág. 490. ¥ Es importante señalar que para la familia exponencial uniparamétrica, expresada como (3.6.5.2)

i ({l |) = hW ({l )3D()

se verifican todas las condiciones de regularidad recogidas en el Teorema 3.6.5.1 y relativas al modelo de muestreo, la comprobación puede verse en Lehmann y Casella (1998), Ejemplo 8.4 pág. 491. Otras aproximaciones asintóticas pueden verse en Berger (1985) pág. 224. Es interesante observar la similitud entre la aproximación desde el punq , que se disto de vista de la distribución p en el muestreo del HP Y b 31 tribuye asintóticamente Q (0 > ( qL1 (0 )) ), Teorema 3.6.3.2, y la distribup q que es también Q (0 > ( qL1 (0 ))31 )= ción asintótica del estimador bayesiano e Ejemplo 3.6.5.1 Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> 1), si la densidad inicial ³ ´ $ q{ I 1 { ) es una Q 1+q () es una Q (0> 1) se sigue que (| > 1+q , véase el Ejemplo 3.2.3.2. Como la información de Fisher es L1 (0 ) = 1 la distribución ´ s ³ q{ asintótica de q 1+q 0 es una Q (0> 1), de acuerdo con el Teorema 3.6.5.1.

3.7.


La emergencia de la estadística matemática puede decirse que se produce entre los años 1885 y 1925. En esta época ya se ha realizado el fuerte desarrollo de la Biología y de la Teoría del Seguro y existen los desarrollos matemáticos de la Teoría de errores y la Teoría de la integración de Riemann, siendo conocidos los trabajos de fundamentación de la matemática debidos a Cantor, Péano y Borel. Paralelamente, la necesidad de manejar adecuadamente la incertidumbre se hace patente dentro de la Astronomía y la Biología y el campo de los datos se extiende en dominios de la Agronomía, la Biometría, la Psicología y la Economía. El primer problema de inferencia paramétrica parece que fué planteado por Jacob Bernoulli (1654-1705) en su libro el Arte de la Conjetura de 1713. Consistió en tratar de dar un valor numérico al parámetro probabilidad de éxito, asociado a un experimento de Bernoulli. Algunos años más tarde la obra de Thomas Bayes (1701-1761) publicada póstumamente en 1763 y titulada Un ensayo hacia la resolución de un

3.7. APROXIMACIÓN HISTÓRICA ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA

141 141

problema en la doctrina del azar contiene el método de estimación bayesiano que consiste en la utilización de la probabilidad final, véase la Sección 3.6.4 aunque Bayes solo utiliza la distribución inicial uniforme. La primera traducción al castellano del ensayo de Bayes puede verse en Gómez Villegas y otros (2001). El método es redescubierto por Laplace (1749-1827) y generalizado por éste al caso en que la distribución inicial no sea la distribución uniforme. El método de los momentos es introducido por Karl Pearson (1857-1936) a finales del siglo XIX, para aproximar densidades a nubes de puntos, véase la Sección 2.6. En 1912 Fisher (1890-1962) introduce la función de verosimilitud y el método de la máxima verosimilitud, para estudiar después el concepto de estimador suficiente y consistente. Más tarde, en 1920 Fisher introduce la noción de información que lleva su nombre y demuestra la independencia de la media y la varianza muestrales en el caso normal. Una exposición algo más extensa acerca de la vida de Fisher y sus contribuciones a la estimación estadística se encuentra en la Sección 4.6. La sustitución de una colección de puntos por uno sólo, en concreto por la media muestral, se debe inicialmente al astrónomo Tycho Brahe (15461601), que trataba de utilizar medidas experimentales para determinar la posición de estrellas en el cielo. Si se tuviera que citar a alguien como el que más lejos llegó en los aspectos descriptivos de una colección de puntos para obtener conclusiones estadísticas, sin duda sería Adolphe Quetelet (1796-1874). Ligado a la Astronomía en su observatorio de Bruselas, este belga, va a ser el causante, entre otras cosas, del fenómeno llamado quetelismo, consistente en aproximar los fenómenos que dan lugar a un número suficiente de datos, por una distribución normal. También se debe a él el concepto de hombre medio, que al igual que el de promedio o tipo, permitiría hacer comparaciones entre distintos colectivos. Nace en Gante donde obtiene su doctorado en 1819. Enseña matemáticas en el Ateneo de Bruselas y visita París en 1823; allí recibió instrucción de Laplace sobre probabilidades, de Arago sobre Astronomía y de Bouvard sobre Meteorología. En 1832 funda el observatorio astronómico de Bruselas al que estuvo ligado durante toda su vida. Dos años más tarde fue elegido secretario perpetuo de la Academia Real de Bélgica y en 1851 lanza la idea de un congreso internacional sobre Estadística para aunar y desarrollar trabajos sobre esta ciencia. En sus Cartas a su alteza real el duque reinante de Saxe—Coburgo y Gotha sobre la teoría de las probabilidades aplicada a las ciencias morales y polítcas publicadas en 1846, recoge sus ideas sobre el hombre medio y explica su utilidad a la hora de hacer comparaciones. No dejó de tener sus adversarios; asi Cournot afirmaba que el hombe medio, si fuese forzado a existir, podía ser un monstruo, análogamente a como la media de todos los triángulos posibles no tenía por qué ser un triángulo.

142 142


De todas formas, el concepto de hombre medio servía para suavizar las desviaciones aleatorias y revelar las regularidades que podían caracterizar las leyes de la llamada en su época física social, antecedente de la actual Sociología. La aproximación de cualquier fenómeno aleatorio por la distribución normal, la otra idea capital de Quetelet, radicaba en el Teorema de límite que había obtenido Laplace, y que de manera informal era interpretado por Quetelet en el sentido de que si las causas accidentales de cualquier fenómeno fueran suficientemente numerosas, el fenómeno en cuestión debería aproximarse a la distribución normal. De hecho, la conexión entre la distribución normal y la idea de suma de causas independientes y accidentales le llevó a aproximar la distribución normal para una nube de puntos a partir de la distribución binomial. Lo que es claro es que la contribución de Quetelet dejó allanado el camino, para la modelización de la incertidumbre mediante diferentes modelos estocásticos. Un estudio más detallado de la vida y de la obra de algunos estadísticos puede consultarse en Gómez Villegas (2004).

3.8.

EJERCICIOS

3.8.1 Para m.a.s. de tamaño q de una población de Ehuqrxool(), si k() = 1 es la función a estimar, demuéstrese que no existe estimador centrado para k() q P [l = basado en el estadístico l=1

3.8.2 Para una m.a.s. de tamaño q de una población de Ehuqrxool() encuéntrese un estimador insesgado de k() = 2 . 3.8.3 Sea [ = { una observación de una población de S rlvvrq()= ¿Existe un estimador insesgado para k() = 1 ? 3.8.4 Dada una m.a.s. de tamaño q de una población X qli ruph( 12 > + 12 ), estúdiese si el estimador [(q) [(1) es centrado para . 3.8.5 Para una m.a.s. de una población Q (> 1) y siendo k() = 2 la función a 2

estimar, demuéstrese que W ([1 > ===> [q ) = [ q1 es el HP Y para k(). ¿Es W ([1 > ===> [q ) un estimador consistente?

3.8. EJERCICIOS

143 143

ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA

3.8.6 Supóngase que se tienen dos variables independientes [ e \ con media común y diferentes varianzas 2[ y 2\ . Entre todos los estimadores centrados de la media del tipo aa [ + (1 d)\ encuéntrese el valor de d, en términos de las varianzas conocidas 2[ , 2\ , que minimice la varianza. 3.8.7 Para una m.a.s. de tamaño q de una población Ehwd(> 2) i ({|) = ( + 1){31 (1 {)L(0>1) ({) con A 0 ¿Es consistente para el estimador 2[@(1 [) ? 3.8.8 Sean [1 > ===> [q variables aleatorias i.i.d. con distribución de S rlvvrq() y supuesto que la información inicial sobre viene recogida por una distribución Jdppd(|d> s) , d A 0> s A 0. a) Pruébese que la familia Gamma es conjugada respecto a la población de Poisson. b) Calcúlese la media y la varianza de la distribución final. 3.8.9 En una población Q (> ) con ambos parámetros desconocidos se está interesado en estimar el parámetro 2 . A partir de m.a.s. de tamaño q, se sabe q 2 1 P ([l [)2 es la cuasivarianza muestral, (q1) V2 "2q31 . que si V 2 = q31 l=1

Si se elige como distribución inicial para 2 una densidad de la familia ) ( μ ¶s+1 1 ds 3 d2 2 2 h > 0 ? ? +4> s A 0> d A 0 P = ( |d> s) = (s) 2 a) Demuéstrese que la distribución inicial de la v.a. 12 es una Jdppd(d> s). A la densidad dada por cada elemento de P se le llama Jdppd Lqyhuvd(d> s)= b) Demuéstrese que la familia P es conjugada respecto de ½ ¾ V2 F = (q 1) 2 "2q31 c) Calcúlese la media y la varianza de la distribución final. 3.8.10 Sea [1 > ===> [q una m.a.s. de una población Q (> ). Se definen los estimadores de 2 W1 ([1 > ===> [q ) =

q 1 P ([l [)2 q l=1

W2 ([1 > ===> [q ) =

a) Compárese el sesgo de ambos estimadores.

q 1 P ([l [)2 q 1 l=1

144 144

CAP. 3. ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA INFERENCIA ESTADÍSTICA b) Mediante el criterio del HFP compruébese que HFPW1 ( 2 ) =

(2q 1)4 q2

HFPW2 ( 2 ) =

2 4 q1

c) Pruébese que entre todos los estimadores de la forma W1 ([1 > ===> [q ), con 5 R> el óptimo, de acuerdo con el criterio del error cuadrático medio, q = se obtiene para = q+1 3.8.11 Si la información inicial sobre viene dada por la función (), bien de densidad o de masa, con momento de orden dos finito y se supone que la pérdida en que se incurre por estimar mediante W ({1 > ===> {q ) es la cuadrática O(> W ) = ( W )2 , demuéstrese que la pérdida final esperada S I HW es mínima cuando W ({1 > ===> {q ) = H[|{1 > ===> {q ], y que el valor de la pérdida esperada coincide con la varianza de la distribución final. 3.8.12 Calcúlese la S I H para el estimador bayesiano del Eejercicio 3.7.8. 3.8.13 Calcúlese la S I H para el estimador bayesiano del Ejercicio 3.7.9. 3.8.14 Compruébese que si la información inicial sobre viene dada por una función de distribución I ()> y se supone que la pérdida en que se incurre por estimar mediante W ({1 > ===> {q ) es el valor absoluto de la diferencia O(> W ) = |W |, entonces la pérdida final esperada S I HW es mínima, cuando el estimador W ({1 > ===> {q ) = W es la mediana de la distribución final. 3.8.15 A una persona se le pasa un test de inteligencia, cuyo resultado [ se supone que sigue una distribución Q (> = 10), donde es su nivel de inteligencia real. Supóngase que en el colectivo a que pertenece la persona, la inteligencia se distribuye Q (100> 0 = 15). ¿Cuál sería el estimador bayesiano de si se supone pérdida cuadrática? ¿cuánto valdría éste si la persona obtiene como resultado del test el valor 110? ¿cuál es el valor de la S I H correspondiente? 3.8.16 Se tiene la sospecha de que una moneda esta sesgada en el sentido de que su probabilidad de cara es menor que 00 5. Si esta información se modeliza mediante una distribución Ehwd(10> 8) como distribución inicial ¿cuál es el estimador bayesiano cuando después de tirar la moneda 50 veces se obtienen 20 caras? Utilícese como función de pérdida el valor absoluto.

3.8. EJERCICIOS

145 145

ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA

3.8.17 La proporción de votantes a un determinado partido político en unas elecciones es desconocida y su distribución inicial es una Ehwd(4> 10). a) Se toma una m.a.s. de 1000 votantes y se encuentra que 125 van a votar al partido citado. Con pérdida cuadrática, ¿cuál sería el estimador bayesiano para ? b) Si se cambia el sistema de muestreo y se necesitan 1000 personas hasta conseguir 125 que voten al partido político ¿cuál sería el estimador bayesiano para con pérdida cuadrática? c) ¿Qué conclusión se obtiene de las respuestas dadas en relación con el principio de verosimilitud? 3.8.18 Sea [1 > ===> [q una m.a.s. de una población H{srqhqfldo() , es decir i ({|) = h3{ L(0>+") ({) con A 0 a) Pruébese que la Cota de Frechet-Cramér-Rao para estimadores cen2 trados de es q = b) Pruébese que

q31 q[

es el HFP Y para , con HFP =

2 q32 .

3.8.19 Para m.a.s. de tamaño q de una población con distribución Elqrpldo Q hjdwlyd(1> ) s({|u> ) =

μ ¶ {+u1 u (1 ){ {

{ = 0> 1> 2> === frq

A0

obténgase el HFP Y para k() = S {[ = 0|}= 3.8.20 Sea [1 > ===> [q una m.a.s. de una población de Ehuqrxool() y sea v un número entero conocido 0 ? v ? q. Encuéntrese el HFP Y para las funciones: a) k() = v = b) k() = v + (1 )q3v . 3.8.21 Para m.a.s. de tamaño q de una población H{srqhqfldo() i ({|) = h3{ L(0>+") ({) con A 0 obténgase el HFP Y para k() = I ({|) = 1 h3{ , siendo { un número real fijado de antemano.


146 146

3.8.22 Para m.a.s. de tamaño q de poblaciones con las funciones de densidad o masa siguientes, encuéntrese la Cota de Frechet-Cramér-Rao y el estimador eficiente, si existe. { 3 a) i ({|) = 1 h L(0>+") ({) con A 0= { = 0> 1> 2> === con 0 ? ? 1= b) s({|) = (1 ){ 3 12 (ln {)2 1 I 2 L(0>+") ({) con A 0= c) i ({|) = { 2π h 3.8.23 Para m.a.s. de tamaño q de una población con función de densidad dada mediante { + 1 3{ i ({|) = h L(0>+") ({) con A 0= ( + 1) Obténgase un estimador centrado para k() = Cota de FCR.

(3+2)(2+) +1

que alcance la

3.8.24 Para una población con función de densidad Jdppd(> s) con s conocido i ({|) =

s 3{ s31 h { L(0>+") ({) con A 0> s A 0 (s)

calcúlese el estimador de para m.a.s. de tamaño q por el método de los momentos. 3.8.25 Dada una observación [ de una población Q (0> ), se pide: a) Obténgase un estimador insesgado para 2 = b) ¿Cuál es el estimador de máxima verosimilitud para ? c) Discútase cómo estimar por el método de los momentos. 3.8.26 Para m.a.s. de tamaño q de una población X qli ruph(0> ) encuéntrense los estimadores de mediante el método de la máxima verosimilitud y el método de los momentos. 3.8.27 EMV P para en los siguientes casos: Determínese, con m.a.s. de tamaño q> el HY a) i ({|) = 1 L{1>2>===>} ({) con entero positivo. b) i ({|) = 12 h3|{3| con 5 R. c) i ({|) = h3{+ L[>+") ({) con 5 R. d) i ({|) = {31 h3{ L[0>+") ({) con A 0 y un número real conocido. e) i ({|) = (1 {)31 L[0>1] ({) con 1= f) i ({|) =

13 {

231 13

L(0>1] ({) con

1 2

? 1=

3.9. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA

147 147

3.8.28 Para m.a.s. de tamaño q de una población Q(> 1) sólo se registra si cada observación es menor, igual que cero, o mayor. Si se sabe que ha habido p valores, con p ? q, menores o iguales que cero, encuéntrese el HP Y de . 3.8.29 Una distribución normal bivariante tiene de vector de medias (1 > 2 ) con 1 2 y matriz de covarianza = L. A partir de una m.a.s. de tamaño q, obténgase el HP Y de (1 > 2 )= 3.8.30 s Para m.a.s. de tamaño q de una población Q(> ) con A 0, se pide: > el HP Y para , es una raiz de la ecuación de a) Demostrar que b q P 2 [l2 = segundo grado + d2 = 0, donde d2 = q1 l=1

? b) ¿Cuál es la distribución asintótica de b

3.8.31 Demuéstrese que si se dan las condiciones de regularidad del Teorema 3.6.3.2 y se desea estimar una función del parámetro k() con derivadas continua en 0 , se tiene la convergencia en ley bajo 0 s L 1 )= q(k(b ) k(0 )) $0 |k0 (0 )|Q (0> p L1 (0 ) 3.8.32 Encuéntrese la distribución final asintótica para m.a.s. de tamaño 50 de una población de Ehuqrxool(). Particularícese al caso en que en las 50 repeticiones se obtenga 12 éxitos. ¿Cuál sería la distribución final exacta si la densidad inicial es la distribución X qli ruph(0> 1)?

3.9.


μq ¶ 3.9.1 P [l tal que Si existiera un estadístico W l=1

μ ¶ q { 1 W ({) (1 )q3{ = { {=0 q P

el límite del primer miembro de esta igualdad debería coincidir con el límite del segundo miembro, pero esto es imposible ya que μ ¶ q P q { l´ım W ({) (1 )q3{ = W (0) <0 {=0 { mientras que l´ım

<0

1 = +4=


148 148

3.9.2 Para construir un estimador centrado para 2 , como S {[l = 0} = 1 y S {[l = 1} = es claro que ½ 1 si [1 [2 = 1 W ([1 > ===> [q ) = 0 resto que tiene de media el valor buscado H W = S {[1 [2 = 1|} = S {[1 = 1|}S {[2 = 1|} = 2 = 3.9.3 Si existiera debería cumplir H [W ([)] = W (0)h3 + W (1)h3 + W (2)h3 =

1

2 + === 2!

multiplicando ambos miembros por h , debería verificarse W (0) + W (1) + W (2)

2 + === = h 2

lo que es imposible, obviamente, luego no existe estimador insesgado. 3.9.4 Si se denota por X = [(q) se tiene que I[(q) (x) = S {[(q) x} = S q {[ x} = ; si x ? 12 ? 0 1 q (x + 2 ) si 12 x + = = 1 si x + 12 luego la función de densidad del máximo es μ ¶ 1 q31 j(x) = q x + L[3 1 >+ 1 ] (x) 2 2 2 de donde

Z H[X ] =

+ 12

3 12

μ ¶ 1 q31 xq x + gx 2

que haciendo el cambio } = x + Z 0

1

1 2

puede verse que

μ ¶ 1 1 q + = q }+ } q31 g} = 2 q+1 2

1 2


149 149

De manera análoga, si se denota por Y = [(1) se sigue que I[(1) (y) = S {[(1) y} = 1 S {[(1) A y} ÃZ !q + 12 q = 1 S {[ A y} = 1 g{ μ ¶q 1 =1 + y 2

y

luego la función de densidad del mínimo es k(y) = q( + de donde

Z H[Y ] =

1 y)q31 L[3 1 >+ 1 ] (y) 2 2 2

+ 12

3 12

yq( +

1 y)q31 gy 2

que haciendo el cambio } = + 12 y puede comprobarse que Z 1 q 1 1 q( + })} q31 g} = + 2 2 q + 1 0 Por lo tanto 1 q q 1 + ( + ) + q+1 2 2 q+1 q1 = q+1 no es un estimador centrado de =

H[[(q) [(1) ] =

luego [(q) [(1)

3.9.5 La función de densidad de la muestra es exponencial uniparamétrica q P 3 12 ({l 3)2 1 i ({1 > ===> {q |) = s h l=1 ( 2)q q q P P 1 {l {2l q 2 32 1 = s h l=1 h3 2 h l=1 = ( 2)q

Mediante el Teorema 2.3.1, como 5 R y contiene un abierto de R el q P [l es completo. El estimador del enunciado es función del estadístico l=1

estadístico suficiente y completo, la suficiencia se sigue del Teorema 2.2.1, (factorización) y es centrado · ¸ 1 1 2 2 H [ = H [[ ] q q 2 1 = + 2 q q

150 150

CAP. 3. ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA INFERENCIA ESTADÍSTICA 2

ya que Y [[] = H[[ ] (H[[])2 , luego · ¸ 1 2 = 2 H [ q y según el Teorema 3.4.4 (Lehmann-Scheé) es el ECMV para 2 = Por último es un estimador consistente, ya que q1 tiende a cero y como [ Q (> I1q ) se tiene la convergencia en ley s L q([ ) $ ] Q (0> 1) 2

luego mediante el Lema 1.4.1 1.5.1 con k([) = [ > k() = 2 se sigue la convergencia s 2 L q([ 2 ) $ |k0 ()|] Q (0> 2)= Mediante la expresión 2

[ 2 2 s s [ = 2@ q q 2

2

y el Teorema 1.4.5 1.5.5 (Slutsky) se tiene la convergencia en ley 2

L

[ 2 $ 0 y por converger en ley a una constante, se tiene también la convergencia en probabilidad. 3.9.6 Si se denota por W = d[ + (1 d)\ se tiene Y [W ] = d2 2{ + (1 d)2 2| ya que [ e \ son variables aleatorias independientes. Al imponer g Y [W ] = 2d 2{ 2(1 d) 2| = 0 gd se sigue que ha de ser d = 2| @( 2{ + 2| ). Como al particularizar en la derivada segunda el valor de d se obtiene un valor positivo, se corresponde con un mínimo. 3.9.7 Por el teorema central del límite, se tiene la convergencia en ley s q([

L ) $ ] Q +2

Ã

1 0> 2+

r

3+

!

3.9. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA si se parametriza en función de * =

+2

mediante el Lema 1.3.1 con k([) =

2[ 13[

151 151

, se tiene alternativamente r ¶ μ s 2* 1* L q([ *) $ ] Q 0> 2 3*

s q

μ

2[ 2* 1* 1[

¶

se tiene la convergencia en ley

r μ ¶ 2* 1* $ |k (*)|Q 0> 2 3* L

0

y como k0 (*) = 2@(1 *)2 se sigue que r μ ¶ s 2* 2[ 2* L 1* q Q (0> 1) $ 1* 2 3* 1[ que si se escribe en función de = 2*@(1 *) toma la forma r μ ¶ s 2[ L +2 Q (0> 1) = q $ 2 +3 1[ 2[ Luego, mediante la aplicación del Teorema de Slutsky, 13[ converge en probabilidad a y, por tanto, el estimador es consistente para . Un método de prueba alternativo consiste en utilizar que el EMV para es precisamente 2[@(1 [) y por lo tanto se conoce su distribución asintótica.

3.9.8 a) De acuerdo con la definición de familia conjugada, Definición 3.2.3.2, se trata de ver que si la información inicial es un miembro de P = $ $ ds h3d s31 con = (d> s) d A 0> s A 0} y la distribución de {(| ) = K(s) $ P{l { |) = h3q Q > A 0 la distribución final también es la población es i ( q {l !

l=1

de P.

(|d0 > s0 )s({1 > ===> {q |) (|{1 > ===> {q ) = R +" (|d0 > s0 )s({1 > ===> {q |)g 0 q P ds h3d0 s0 31 1 h3q l=1 {l q Q K(s0 ) {l !

=

l=1

R

q P { ds h3d0 s0 31 1 h3q l=1 l g q Q K(s0 )

{l !

l=1

=

h(3d0 +q) s0 +P{l 31 $ = (| 1) (d0 + q> s0 + {l )


152 152

con d1 = d0 + q s1 = s0 + {l , con lo que se obtiene como densidad final una en P y por tanto la familia Gamma es conjugada respecto a la población de Poisson. b) De acuerdo con las propiedades de la distribución Gamma se tiene sd00++q{ q s0 + q{ H[|{1 > ===> {q ] = Y [|{1 > ===> {q ] = = q sd00++q{ (d0 + q)2 3.9.9 a) La densidad de la v.a. { = ({) =

¯ 2¯ ¯ ¯ 32 viene dada por al ser ¯ g g{ ¯ = {

1 2 ,

ds s+1 3d{ 32 { h { Jdppd(d> s)= (s)

b) Si la densidad inicial es ( 2 |d> s), la densidad final viene dada por 2

2

( 2 |d> s)i"2q31 ((q 1) v 2 | 2 )

2

( |V ) = R +" 0

2

( 2 |d> s)i"2q31 ((q 1) v 2 | 2 )g 2

( 32 )s+

= R +" 0

=

q31 2

( 32 )s+

ds11

(s1 )

h3

q31 2

32 (d+ q31 v2 ) 2

h3

( 32 )s1 +1 h3

32 (d+ q31 v2 ) 2

g 2

32 d 1

2 2 1 y d1 = d + q31 con s1 = s + 2 V . Luego es de la forma ( |d1 > s1 )= c) Para el cálculo de la media de la distribución final, se observa que Z +" ds 32 2n 2n ( 32 )s+1 h3d g 2 HH [ ] = (s) 0 Z +" ds 32 = ( 32 )s3n+1 h3d g 2 (s) 0 ¯ 2¯ ¯ ¯ 32 mediante el cambio { = 32 con ¯ g g{ ¯ = { , puede ponerse q31 2

H[ 2n ] =

ds (s)

Z

+"

0

3 3d{ {s3n+1 h g{

y por propiedades de la función Gamma ds 3s+n d (s n) (s) (s n) = dn (s)

H[ 2n ] =

2

d , Y [2 ] = (s31)d2 (s32) = Por lo tanto para obtener la con lo que H[ 2 ] = s31 distribución final, basta sustituir d1 y s1 en estas expresiones.

3.9. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA 3.9.10 a) Para el cálculo del sesgo como W1 = mientras que H[W2 ] = 2 , luego

q31 2 q V

153 153

es H[W1 ] =

q31 2 q

2 , e2 (W2 ) = 0= q b) Como el HFP es igual a la varianza más el cuadrado del sesgo, e2 (W1 ) =

se tiene HFPW1 ( 2 ) = Y2 (W1 ) + 2

4 q2

2

y como (q 1) V2 "2q31 es Y [(q 1) V2 ] = 2(q 1)> de donde Y2 (W1 ) = 2 2 4 q31 y como H[W1 ] = q31 q , se sigue que q2 4 4 2(q 1) + q2 q2 2q 1 4 = = q2

HFPW1 ( 2 ) =

22 Al ser W2 = V 2 > del del hecho hecho de que que la la varianza varianzade delaladistribución distribución"" q31 q sea 2(q 1) se sigue que ¸ · qW1 HFPW2 ( 2 ) = Y2 (W2 ) = Y2 q1 · 2 ¸ = Y2 "2 q 1 q31 4

=

(q 1)2 2 4 = = q1

2(q 1)

c) Si se denota por W = W1 , como HFPW ( 2 ) = Y2 (W ) + e22 (W ) y q1 qq2 2 22 e2 (W ) = H2 (W ) )==HH 2 (W 1 )1 ) 2(W q1 2 2 = q al sustituir se obtiene μ ¶2 q1 q1 2 2 HFPW ( 2 ) = 2 2 4 2 + q q μ ¶2 q1 2 4q 1 4 = 2 + 1 = q2 q Y2 (W ) = 2 Y2 (W1 ) = 2 2 4


154 154

q , Derivando respecto de e igualando a cero, se obtiene que = q+1 comprobándose fácilmente que se corresponde con un mínimo. Por tanto el q q 1 P W1 = q+1 ([l [)2 estimador con HFP mínimo de la forma W1 es q+1 l=1

2q31 4 = (q+1)2

y su error cuadrático medio es

3.9.11 Si se denota por W W ({1 > ===> {q ) = H[|{1 > ===> {q ], para cualquier estimador W ({1 > ===> {q ) la pérdida final esperada (S I H) es Z $ $ 2 { )g S I HW = H[( W ) | { ] = ( W )2 (| X

$ $ { ] + H[(W W W )2 | {] = H[( W W )2 | ya que

Z 2(W W W )

X

$ { )g = 0= ( W W )(|

$ Como H[(W W W )2 | { ] = (W W W )2 se obtiene que $ S I HW = Y [| { ] + (W W W )2 $ { ]. Lo por lo tanto el valor mínimo se obtiene para W = W W y vale Y [| que se afirma, es que las desviaciones cuadráticas de una variable aleatoria respecto a un punto se hacen mínimas, cuando el punto es la media de la distribución. 3.9.12 $ { ] la media de la De acuerdo con el Ejercicio 3.8.11, será S I HW W = H[| distribución final, y como de acuerdo con el Ejercicio 3.7.8 8 la distribución q P {l ), el estimador bayesiano final es una Gamma (d1 = d0 + q> s1 = s0 + $ {) = es W W (

s0 +

q P

l=1

l=1

{l

d0 +q

$ {] = y S I HW W = Y [|

s0 +

q P

l=1

{l

(d0 +q)2

=

3.9.13 $ { ] y por el Ejercicio De acuerdo con el Ejercicio 3.8.11, será S I HW W = H[| $ {) = 3.8.9 apartado c), la media de la distribución Gamma-Inversa es W W ( d+ q31 V2 2 s32+ q31 2

y S I HW W = ¡

¢ q31 2 2 2 V ¢2 ¡ q31 s + q31 2 2 2 ¡ d+

s+

¢= 3

3.9.14 En efecto sea W tal que I (W |{1 > ===> {q ) = 12 , la mediana de la distribución final. Si se supone inicialmente que W ? W , con W = W ({1 > ===> {q ) cualquier


155 155

valor, se tiene ; W si W ? W W W | | | W | = 2 ( + W ) si W W = W W si W luego se obtiene la siguiente acotación | W | | W | (W W )L(3">W ] () + (W W )L[W >+") () Si se integra en los dos miembros respecto a la distribución final Z

{) (| ||W |)gI (|$

Z

W

X

W

3"

{ )+ ( W )gI (|$

Z

W

+" W

$ {) (W W )gI (|

$ $ { } + (W W )S { W | {} pero el segundo miembro vale (W W )S { W | y por la definición de mediana vale cero, por lo tanto siempre es cierto que Z Z $ $ {) { )= | W |gI (| | W |gI (| X

X

Se tiene entonces que el mínimo de las desviaciones en valor absoluto respecto a una constante se alcanza para la mediana. Se observa que si W ? W ; W si W ? W W W ( + W ) 2 si W W | | | W | = = W W si W y se puede seguir el razonamiento anterior con modificaciones obvias. 3.9.15 La información muestral viene dada por i ({|) una distribución Q (> 10) y la inicial por () con distribución Q (100> 15), entonces, de acuerdo con el Ejemplo 3.3.2.2, la información final (|{) se distribuye Q (1 > 1 ) con 1 = 21 =

0 + q {2 20 1 + q2 20

μ

1 q + 20 2

=

100 225 1 225

¶31

{ + 100 400 + 9{ 1 = 13 + 100 μ ¶ 1 31 1 + = = 690 23= 225 100

El valor del estimador bayesiano con pérdida cuadrática, véase el Ejercicio 3.8.11, es la media de la distribución final 1 que cuando { = 110 vale (400 + 9 · 110)@13 = 1060 923 y la S I H es la varianza de la distribución final 690 23=


156 156

3.9.16 s({|) Ehuqrxool() Ehuqrxool() Lainformación informaciónmuestral muestralviene vienedada dadapor pors({|) una distribución La una distribución de de y la inicial por () con distribución Ehwd(10> 8), entonces de acuerdo con el $ { ) tiene distribución Ehwd(1 > 1 ) Ejemplo 3.3.2.1 la información final (| donde 50 50 P P 1 = 0 + {l = 10 + 20 = 30 1 = 0 + q {l = 8 + 50 20 = 38= 1

1

El valor del estimador bayesiano con pérdida el valor absoluto, véase el Ejercicio 3.8.14, es la mediana de la distribución final. Con el concurso de un paquete estadístico se obtiene que W = 00 44= 3.9.17 a) La información inicial viene dada por ()> una Ehwd(4> 10) y la información muestral i ({|) es una distribución de Ehuqrxool(), por tanto 1000 P $ { > + { ) se distribuye mediante una Ehwd( + la distribución final (| 0

1000

1000 P l=1

l=1

l

0

{l ) = Ehwd(129> 885). De donde el estimador bayesiano es la media

de la distribución final y vale 00 127= b) La información inicial es¡ la ¢misma que en la parte a) y la disu |3u con | = u> u + 1> === tribución muestral es S {||u> } = |31 u31 (1 ) donde | es el número de votantes examinados hasta obtener por primera vez 125 que voten al partido en estudio; esta variable tiene una distribución Binomial Negativa(125> ). La distribución final ¡ ¢ u 0 31 1 13u (1 ) 0 31 |31 u31 (1 ) E(0 > 0 ) (|| = 1000) = R 1 ¡ ¢ u 0 31 1 13u g (1 ) 0 31 |31 u31 (1 ) 0 E(0 > ) 0

de donde el estimador bayesiano es el mismo de la parte a). c) Las dos funciones de verosimilitud coinciden en la parte que dependen de luego la evidencia que se obtiene, mediante el estimador bayesiano, es idéntica, de donde se sigue que el estimador bayesiano cumple el principio de verosimilitud. 3.9.18 a) Al tratarse de la familia exponencial uniparamétrica 3

i ({1 > ===> {q |) = q h

q P

{l

l=1

como el soporte es independiente de y la función () = tiene derivada no nula y continua, se verifican las dos condiciones de regularidad, ver comentario tras el Teorema 3.5.2. Además ¸ ¸ · ·2 2 1 1 C C ([|) i ([|)= =2 2 L1 () = HJ| 2 ln2 iln C C

3.9. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA ya que

C2 C2

157 157

ln i ([|) = 12 , por tanto la cota para k() = es Frwd gh I FU =

1 2 = = Lq () q

$ f () = , y como esta imagen contiene b) Por el Teorema 2.3.1 es q P [l es un estadístico completo. El un rectángulo abierto de R , luego l=1

resto se sigue del Ejemplo 3.4.4. Por el Teorema 3.5.2 se sigue que como en este caso se está en la familia exponencial uniparamétrica, se alcanza la Cota de I FU pero para la función k() = 1 ya que μ ¶ 1 C $ ln i ( { |) = q [ C de ahí la aparente contradicción entre las partes a) y b).

3.9.19 La función de masa de la muestra es q P

S {{1 > ===> {q |} = q (1 )l=1 de donde el estadístico

q P l=1

{l

[l es suficiente.

Además, puesta la función de masa en la forma q P

S {{1 > ===> {q |} = q l=1

{l ln(13)

y como la imagen de ln(1 ) contiene un abierto de R, el estadístico

q P l=1

[l

es también completo, por el Teorema 2.3.1. ·q ¸ P [l = q 13 Como H se puede utilizar el teorema de Lehmann l=1

Scheé, Teorema 3.4.4. Para ello un estimador centrado, sencillo, para es ½ 1 si [1 = 0 W ([1 > ===> [q ) = 0 resto


158 158

todo se reduce a calcular H[W |V = v] que será el HFP Y para = q P = 0> [l = v} S {[ 1 q P l=1 [l = v} = H[W |V = v] = S {[1 = 0| q P l=1 S { [l = v} S {[1 = 0}S { =

S{

q P

l=1

= ya que

q P l=2

l=1

q P

l=2

[l = v}

[l = v}

¡v+q32¢ q31 (1 )v v ¢ q = ¡q+v31 (1 )v v

q1 q+v1

[l tiene distribución Elqrpldo Q hjdwlyd(q 1> ) y

distribución Elqrpldo Q hjdwlyd(q> ) con lo que H[W |V = v] lo que el estimador pedido es q1 W W ([1 > ===> [q ) = = q P q+ [l 1

q P

[l tiene l=1 q31 = q+v31 = Por

l=1

3.9.20 La función de masa de la muestra es q P

{l

q3

S {{1 > ===> {q |} = l=1 (1 ) q P = (1 )q hl=1

q P

{l

l=1

{l ln(@13)

por el Teorema 2.2.1 (de factorización) el estadístico

q P l=1

[l es suficiente

y por el Teorema 2.3.1 la imagen, cuando recorre el intervalo [0,1], de q P [l es además ln(@1 ) contiene un abierto de R, luego el estadístico l=1

completo. a) Un estimador centrado para k() = v es ½ 1 si [1 = === = [v = 1 W1 ([1 > ===> [q ) = 0 resto

luego por ·el teorema de ¸Lehmann-Scheé, Teorema 3.4.4, el HFP Y para q P [l = w . Esta esperanza es igual a v es H W1 | l=1

S {[1 = === = [v = 1|

q P l=1

S {[1 = === = [v = 1> [l = w} =

S{

q P

l=1

q P l=1

[l = w}

[l = w}


159 159

pero esta última expresión vale S {[1 = === = [v = 1> S{

q P

l=1

q P l=v+1

[l = w}

[l = w}

μ ¶ q v w3v (1 )q3w wv μ ¶ = q w (1 )q3w w μ ¶ qv wv = μ ¶ q w v

luego el estimador óptimo para v es W1W ([1 > ===> [q )

μ q v ¶, μ q ¶ = P q q P [l v [l l=1

l=1

b) De manera análoga un estimador centrado para k() = (1)q3v es

½ W2 ([1 > ===> [q ) =

luego el HFP Y para (1)q3v

1 si [v+1 = 0> ===> [q = 0 0 resto · ¯q ¸ ¯P es H W2 ¯¯ [l = w . Es fácil comprobar l=1

que esta esperanza vale μ W2W ([1 > ===> [q )

=

, v ¶ μ q ¶ q q P P [l [l

l=1

l=1

Aplicando el Corolario 3.4.2, el HFP Y para k() = v + (1 )q3v es μ qv ¶ μ v ¶ + P q q P [l v [l l=1

μ q ¶ q P [l

l=1

l=1

3.9.21 Por ser la función de densidad de la muestra

q

3

i ({1 > ===> {q |) = h

q P l=1

[l


160 160 el estimador W =

q P l=1

[l es suficiente, Teorema 2.2.1 (factorización) y por

contener un abierto en R, es además completo, Teorema 2.3.1. El estadístico siguiente es centrado para k() = 1 h3{ ½

1 si [1 { 0 resto

W ([1 > ===> [q ) =

¸ · ¯q ¯P luego por el Teorema 3.4.4 (Lehmann-Scheé), el HFP Y es H W ¯¯ [l = w = l=1 Pero esta esperanza vale Z 0

{

i ({1 |

q P l=1

Z [l = w)g{1 =

0

Z =

{

0

i ({1 > i(

q P

l=1 q P

l=1

{

[l = w) g{1

[l = w)

q i ({1 |)iP

[l

(w {1 |)

1 q iP

l=2

[l

(w)

g{1

l=1

y en virtud de la reproductividad de la función Jdppd q P l=1 q P l=2

[l Jdppd(> q) [l Jdppd(> q 1)

por lo que haciendo operaciones se obtiene que · H W

3P 4q31 q ¯q ¸ [l { E F ¯P F ¯ [l = w = 1 E l=1 q ¯ C P D l=1 [l l=1

es el HFP Y para 1 h3{ = 3.9.22 a) Por pertenecer i ({1 > ===> {q |) a la familia exponencial uniparamétrica, si existe estimador W eficiente para k() debe poderse factorizar C ln i ({1 > ===> {q |) = N()(W k()) C donde N() =

Lq () > k0 ()


161 161

véase el Corolario 3.5.3. Como es q P

ln i ({1 > ===> {q |) = q ln

l=1

Á {l

q C ln i ({1 > ===> {q |) = 2 ({ ) C de donde el estimador [ es eficiente para la función k() = . Además Lq () = q@2 y la Cota de FCR es 2 @q= b) Análogamente μ ln i ({1 > ===> {q |) = q ln +

q P

l=1

de donde q C ln i ({1 > ===> {q |) = C 1

¶ {l ln(1 )

μ ¶ 1 {

por el Corolario 3.5.3 al pertenecer la distribución a la exponencial uniparamétrica, si existe estimador W eficiente ha de poderse factorizar, con lo que es [ el estimador eficiente para la función k() = 13 y q Lq () = 0 k () 1 = de donde la Cota de FCR es 13 q2 c) En este caso la función de densidad de la muestra es i ({1 > ===> {q |) = μ

q Q

l=1

¶

3

1

s {l q ( 2)q

h

1 2 2

q P

(ln {l )2

l=1

luego es exponencial uniparamétrica. Además C q ln i ({1 > ===> {q |) = 3 C por lo que el estimador 23 y

1 q

q P

μ

q 1 P (ln {l )2 32 q l=1

(ln [l )2 es eficiente para la función de k() =

l=1

q Lq () = 3= 0 k () tanto es es ILnq () Por lo tanto (e) = =

2n 2n 2 e

¶

y la Cota de FCR es

2e q

4

=


162 162

3.9.23 La función de densidad de la muestra es q Q

i ({1 > ===> {q |) =

({l + 1)

l=1 q

( + 1)q

q P

1 3q { ()l=1 l

h

;

derivando respecto a su logaritmo se obtiene μ ¶ (2 + 1) C q ln i ({1 > ===> {q |) = 2 { C +1 si existe estimador eficiente para alguna función k(), de acuerdo con el Teorema 3.5.2, debe ser para la función (2+1) a menos de una constante; +1 es decir (2 + 1) +n k() = +1 e igualando k() = eficiente es [ + 6=

(3+2)(2+) +1

se obtiene n = 6= Por lo tanto el estimador

3.9.24 De acuerdo con lo expuesto en la Sección 3.6.1 1 () = H [[] = s ha de igualarse al momento muestral de orden uno respecto al origen [, de donde b = [s = 3.9.25 a) El estimador insesgado para 2 es [ 2 ya que H[[ 2 ] = H[([ )2 ] con = 0 luego H[[ 2 ] = 2 . b) La función de verosimilitud es 1 {2 1 O(|{) = s h3 2 2 2

y se trata de maximizarla en para { fijo. Para ello si se toman logaritmos s 1 {2 ln O(|{) = ln 2 ln 2 2 de donde

1 C {2 ln O(|{) = + 2 C al igualar a cero se obtiene que b = |{| que si se sustituye en la segunda derivada C2 {2 1 ln O(|{) = 3 (C)2 2 4 vale {22 luego es un máximo ya que es interior al recinto, salvo que sea |{| = 0 en cuyo caso no existiría HP Y=


163 163

c) Según (3.6.1.1) se debe igualar 1 () = d1 pero 1 () no depende de , luego estrictamente no tendría sentido el método. No obstante parece natural escoger el momento de orden dos respecto al origen 1 () = H[[ 2 ] = 2 e igualar con el correspondiente momento muestral respecto al origen de orden dos, que al ser la muestra de tamaño uno es [ 2 , por tanto la ecuación es 2 = [ 2 y b = |[|= 3.9.26 = [(q) , véase el Ejemplo 3.6.2.3. Para el método de los El HP Y es b momentos hay que igualar 1 () = 2 con [ de donde b = 2[= 3.9.27 a) La función de verosimilitud es q 1 Q L ({l ) q l=1 {1>2>===>} q 1 Q L] ({l ) = L{{(q) >{(q) +1>===} () = q l=1

O(|{1 > ===> {q ) =

a medida que aumenta uno a uno desde {(q) esta función disminuye, luego = [(q) . es b b) Se trata de maximizar en q P 1 3 l=1 |{l 3| O(|{1 > ===> {q ) = q h 2

o lo que es equivalente, obtener que minimice

q P

|{l |. Pero este valor

l=1

es la mediana muestral; el valor central si q es impar y cualquier valor comprendido entre los dos centrales si q es par, véase el Ejercicio 3.8.14. c) La función de verosimilitud es 3

O(|{1 > ===> {q ) = h

3

=h

q P l=1 q P

q {l +q Q l=1 {l +q

l=1

L[>+") ({l )

L(3">{(1) ] ()

expresión que, como función de > es máxima cuando es lo mayor posible, = [(1) = es decir es b d) Como la función de verosimilitud es μ O(|{1 > ===> {q ) = ()q

q Q

l=1

¶

3

{31 h l

q P l=1

{ l


164 164

su logaritmo neperiano ln O(|{1 > ===> {q ) = q ln + q ln +

q P

( 1) ln {l

l=1

q P l=1

{l

si se deriva y se iguala a cero q q P C ln O(|{1 > ===> {q ) = { C l=1 l

= queda que es un máximo local en el valor b segunda derivada en él es negativa y vale global al ser interior al recinto. e) De manera análoga

q2 ,

O(|{1 > ===> {q ) = q

q Q

μ

1 q

q P l=1

¶31 {l

> ya que la

que se convierte en un máximo

(1 {l )31

l=1

su logaritmo neperiano es ln O(|{1 > ===> {q ) = q ln + ( 1)

q P l=1

ln(1 {l )

con derivada

q C q P ln(1 {l ) ln O(|{1 > ===> {q ) = + C l=1 μ ¶31 q P ln(1 {l ) su solución al igualar a cero es q1 , si esta expresión es l=1

mayor que 1 es el HP Y ya que la derivada segunda es q2 y el punto pertenece a la región 1 luego es un máximo global. En caso contrario este valor es menor estricto que 1 y por ser la función decreciente el máximo se alcanza en 1, luego en cualquier caso ( μ ¶31 ) q P 1 b = ln(1 {l ) = m´ ax 1> q l=1 f) La función de verosimilitud es μ ¶ q 231 Q 13 { O(|{1 > ===> {q ) = 1 l=1 l su logaritmo neperiano es ln O(|{1 > ===> {q ) = q ln q ln(1 ) +

q 2 1 P ln {l 1 l=1


165 165

cuya derivada vale q P C q q 1 ln {l ln O(|{1 > ===> {q ) = + + 2 C 1 (1 ) l=1 ¢31 ¡ = 1 q1 ln {l que tiene como raiz al igualarla a cero b . Como la derivada segunda es

P C2 q q 2 ln {l ln O(|{1 > ===> {q ) = 2 + + (1 )2 (1 )3 C2 que en ese punto es negativa, será el estimador si satisfaceP la restricción de ln {l A 0, pero ? 1 ya que q1 estar en el intervalo [1@2> 1). Desde luego b 1 b en general no tiene por qué ser 2 , luego el HP Y es ( μ ¶31 ) q P 1 1 b > 1 = ln [l = m´ ax 2 q l=1 3.9.28 En lugar de conocer la muestra inicial, se informa de la suma hasta q, de variables aleatorias \l tales que ½ 1 si [l 0 \l = 0 si [l A 0 por lo tanto S {\l = 1|} = S {[l 0|} = S {[l |} = S {] } = () = 1 () con la función de distribución de la v.a. Q (0> 1)= Por la propiedad de invariancia del HP Y si se nota por = 1 () se puede estimar b a ). De acuerdo = 31 (1 b partir de \1 > ===> \q , con lo que el EMV de será b con el Ejemplo 3.6.2.1 es b =p q , de donde p b = 31 (1 )= q = 00 524 aproximadamente. Por ejemplo, con q = 10 y p = 3 sería b 3.9.29 La función de verosimilitud vale μ O(1 2 |{1 |1 > ===> {q |q ) = μ =

1 s 2 1 s 2

¶q

3 12

h ¶2q

q P

l=1

% 3 12

h

({l 31 )2

q P

μ

1 s 2 q P

({l 31 )2 +

l=1

¶q

3 12

h

(|l 32 )2

l=1

&

q P

(|l 32 )2

l=1


166 166

por lo tanto maximizarla en 1 > 2 es equivalente a minimizar el exponente q P

({l 1 )2 +

l=1

q P

(|l 2 )2 =

l=1

q P

({l {)2 +q({1 )2 +

l=1

q P

(|l |)2 +q(|2 )2

l=1

1 = {> b 2 = |. Por lo tanto si { | ya se ha lo que se logra haciendo b obtenido el HP Y , caso contrario el máximo se encontrará en la frontera de la región 1 2 , es decir habrá que buscar el mínimo de q({ )2 + q(| )2 = {+| que se obtiene, si se deriva y se iguala a cero, en b 2 , la segunda derivada {+| vale uno luego 2 se corresponde con un mínimo. En resumen el HP Y es ( ({> |) ³ ´ si { | (b 1 > b 2 ) = {+| {+| si { ? | 2 > 2 3.9.30 La función de verosimilitud es μ O(|{1 > ===> {q ) =

1 2

¶q@2

1 3 2

h

q P

({l 3)2

l=1

de donde q q q 1 P ln O(|{1 > ===> {q ) = ln 2 ln ({l )2 = 2 2 2 l=1

Por lo tanto la ecuación de verosimilitud es q q C 1 P q1 1P ln O(|{1 > ===> {q ) = + 2 ({l )2 + ({l ) C 2 2 l=1 l=1 q 1 P q q + 2 {2 = 2 2 2 l=1 l

que al igualarla a cero y dividirla por q queda 2 + d2 = 0= I

I

2 2 Las dos raíces son 12 + 134d y 12 134d de donde por ser 2 2 negativa la Isegunda, la sucesión consistente de raíces que es el HP Y es 2 b = q = 12 + 134d 2 Para encontrar su distribución asintótica, por el Teorema 3.6.3.2 se observa que se cumple H1) ya que en cualquier abierto de A 0 existe

C3 1 1 ({ )2 1 ln i ({|) = 3 + 3 (4{ 3 ) + 2 3 4 2 C

3.9. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS ESTIMACIÓN PUNTUAL PARAMÉTRICA ·

además H

167 167

¸ 1 3 1 C3 1 3 ln i ([|) = 3 + 3 ( 2 ) + 2 C

función que está acotada al ser un polinomio en 1 en cualquier intervalo que no contenga al cero. También se verifica H2) ya que para cualquier ¸ · 1 1 1 C H ln i ([|) = + 2 H [([ )2 ] + H [[ ] C 2 2 =0 h es H

i

C2 1 i ([|) C2 i ([|)

= 0 con L1 () finito ya que

1 1 1 C2 1 2 2 ln i ([|) = 2 ({ 2 ) 3 ({ ) 2 ({ ) C luego

· L1 () = H

¸ C2 2 + 1 2 ln i ([|) = C 22

de donde de acuerdo con el Teorema 3.6.3.2 se tiene la convergencia en ley, q s b L 31@2 1 1 q(q ) $ ] Q (0> L1 ()) es decir ] Q (0> + 2 )= 3.9.31 Basta ver que en virtud del Teorema 3.6.3.2 se tiene la convergencia en ley s b L q(q 0 ) $ Q (0> s 1 ) por lo que de acuerdo con el Lema 1.3.1 con L1 (0 ) s s L q )k(0 )) $ j() = k() y dq = q se sigue la convergencia en ley q(k(b k0 (0 )] donde ] Q (0> s 1 )= L1 (0 )

3.9.32 Tras comprobar las condiciones de regularidad del Teorema 3.6.5.1, la disq > (qL1 (q ))31@2 ), luego como ln s({|) = { ln + (1 tribución final es Q (b C C2 { 13{ ln s({|) = { 13{ {) ln(1) se sigue que C 13 y C2 ln s({|) = 2 (13)2 de donde · ¸ 1[ [ L1 () = H 2 + (1 )2 1 = (1 ) q ) = y por tanto qL1 (b

q [(13[)

ya que el HP Y de es [. De donde μ q ¶ , que particularizada en la distribución final!asintótica es Q [> [(13[) q


168 168 q = 50 y

50 P l=1

{l = 12 se convierte en Q (00 24> 00 06)= Si la distribución ini-

cial es () Ehwd(1> 1), como la distribución muestral es s({1 > ===> {q |) = q q P P μ q ¶ {l q3 {l P {l una distribución l=1 (1 ) l=1 la distribución final es | l=1 μq ¶ q P P {l + 1> q {l que se reduce a una Ehwd(12> 38). Mediante el Ehwd l=1

l=1

concurso del ordenador puede comprobarse la perfecta aproximación de la distribución Normal a esta Beta.

Capítulo 4

ESTIMACIÓN POR REGIONES DE CONFIANZA 4.1.

INTRODUCCIÓN

Hasta ahora se ha estudiado cómo eliminar la incertidumbre en la determinación de un parámetro mediante la utilización de un estimador por punto. Este procedimiento parece demasiado drástico y es más natural tratar de determinar una región, función de la muestra, dentro de la cual se pueda asegurar, de alguna forma que esté contenido el parámetro. Como la incertidumbre se modeliza por la probabilidad, se busca una región que tenga probabilidad alta de contener al parámetro y para facilitar su manejo e interpretación se tratará de conseguir regiones que sean un intervalo, si el parámetro es unidimensional, o un rectángulo, en más dimensiones. Para introducir la estimación por regiones de confianza se empieza por el siguiente ejemplo introductorio. Se quiere determinar la distancia a la que un lanzador puede arrojar su jabalina, para lo cual se dispone de una sucesión particular de lanzamientos {1 > ===> {q . Parece razonable suponer que los datos constituyen una m.a.s. de tamaño q de una población [ con distribución Q (> ), de esta forma cada {l distará de una cantidad aleatoria con distribución Q (0> ). Para simplificar la exposición se supondrá que la desviación típica es conocida. Dado que [ Q (> Iq ), se pueden determinar dos valores de las tablas de la distribución Q (0> 1), tales que S {10 96 ] 10 96} = 00 95 donde ] =

[3 s q,

o alternativamente se cumple que

S {10 96

[ s q 10 96|} = 00 95 169

170 170

CAP. 4. ESTIMACIÓN POR REGIONES DE CONFIANZA INFERENCIA ESTADÍSTICA

independientemente del valor que tenga la media de la población. Gráficamente, véase la Figura 4.1.1, el conjunto de puntos 10 96 ] 0 1 96 es equivalente a {[ s 10 96 ? ? [ + s 10 96} = {([) ? ? ([)} q q

Figura 4.1.1. Esquema de obtención de la región de confianza para en el caso Q(> ) con conocida. Es decir que para cualquier valor el intervalo aleatorio ¶ μ 0 0 [ s 1 96> [ + s 1 96 q q tendrá una probabilidad de contener a igual a 00 95. Entonces se toma como estimador de confianza dicho intervalo basado en esta propiedad. El problema se presenta al tratar de interpretar, una vez ³ ´ tomada una 0 0 I I muestra particular, el intervalo [ q 1 96> [ + q 1 96 diciendo que

tiene una probabilidad 00 95 de contener a . Si se supone que los lanzamientos, seis veces consecutivas, son 890 90> 900 02> 890 92> 910 10> 880 71 y 900 51 con lo que³ [ = 900 03, y que el valor ´de es 00 8, el intervalo de confianza 00 8 00 8 0 > 900 03 + I 1 96 = (890 39> 900 67). para es 900 03 I 6 6 Es claro que una vez tomada la muestra particular, dicho intervalo contendrá o no, puesto que es constante, al valor de correspondiente a la media

4.1 OBTENCIÓN ESTIMACIÓN DE INVERVALOS DE CONFIANZA. POR REGIONES DE CONFIANZA

171 171

de la población. Interpretando la probabilidad como límite de frecuencias, se suele decir que si en Q repeticiones que se hicieran tomando grupos de 6 observaciones con distribución Q (> ), si se determina cada vez el intervalo particular para lo resultados obtenidos, el número de veces q que el intervalo q cubriría el valor , estaría en la proporción Q y este valor se aproximaría a 0 0 95= Con base en estas ideas se introduce la siguiente definición. Definición 4.1.1 (región de confianza) $ Dada una familia de distribuciones de probabilidad P = {i ( { |)| 5 } se llama región de confianza de grado 1 basada en una m.a.s. de tamaño q, a una región V([1 > ===> [q ) del espacio paramétrico tal que S {V([1 > ===> [q ) 3 |} 1 ; 5 con 5 (0> 1) y normalmente pequeño. Si es un subconjunto de R y V([1 > ===> [q ) = (([1 > ===> [q )> ([1 > ===> [q )), se habla entonces de un intervalo de confianza. Pudiendo ser uno de los extremos infinito. ¥ En esta definición se admite tácitamente que cuando la distribución de $ V( [ ) sea continua se puede alcanzar el valor 1 y que en caso contrario la probabilidad del primer miembro es el valor más próximo a 1 por exceso que sea posible, con el fin de no aumentar innecesariamente la probabilidad y por tanto el tamaño de la región de confianza. Ejemplo 4.1.1 ´ ³ 0 r I } > [ + } Si [ es Q (> 0 ) con 0 conocida [ I es un intervalo q 2 q 2 de grado de confianza 1 para la media y con } 2 tal que (} 2 ) = 1 2 , siendo la función de distribución de la v.a. Q (0> 1)= ¥ Siempre es deseable hacer que la medida de la región de confianza sea mínima, entre todas las del mismo grado de confianza 1 . Esto lleva, en el Ejemplo 4.1.1, a tomar unos valores de } 2 y de } 2 opuestos, es fácil comprobar que cualesquiera otros dan una amplitud mayor, debido a la simetría de la distribución normal. Frecuentemente puede conseguirse que S {V([1 > ===> [q ) 3 |} = 1 ; 5 , pero si la distribución de V([1 > ===> [q ) es discreta esto puede no ser posible, por lo que hay que contentarse, con el mayor estricto.

4.2.

MÉTODOS DE OBTENCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA

Como se ha visto en el Ejemplo 4.1.1, el método de construcción del s q es una intervalo de confianza se ha basado en que, para cada , [3 0

172 172


varaible aleatoria cuya distribución no depende de , el parámetro desconocido, y que en su expresión todo es conocido, salvo el parámetro = Esta variable aleatoria, ha permitido trasladar un enunciado de probabilidad sos q, a un enunciado en términos de confianza de que bre la v.a. W = [3 0 ´ ³ 0 r I = Esta acción de } > [ + } se encuentre entre dos extremos [ I q 2 q 2 pivotar la probabilidad admite una formulación bastante general y es la que ha dado el nombre a la variable W ([1 > ===> [q ; ) de variable pivotal. Teorema 4.2.1 (variable pivotal) $ { |)| 5 Sea ([1 > ===> [q ) una m.a.s. correspondiente a una distribución P = {i ( } con un intervalo de R, si existe W ([1 > ===> [q : ) tal que: 1) Para todo W (· : ) es medible, está perfectamente determinada salvo y con distribución independiente de = 2) Para todo {1 > ===> {q W ({1 > ===> {q : ·) es una función de continua y estrictamente monótona. Entonces se puede construir un intervalo de grado de confianza 1 para con 5 [0> 1]= Demostración: Fijado 1 se determinan los números 1 () y 2 () tales que S { 1 () ? W ([1 > ===> [q ; ) ? 2 ()|} 1

; 5

al no depender la distribución de W del valor de , 1 y 2 solo son función de . La resolución en de las ecuaciones ¾ W ({1 > ===> {q ; ) = 1 () (4.2.1) W ({1 > ===> {q ; ) = 2 () permite obtener 1 ({1 > ===> {q ; ) y 2 ({1 > ===> {q ; ), donde una posible configuración puede verse en la Figura 4.2.1.

Figura 4.2.1. Esquema del método de la variable pivotal.


173 173

Por lo tanto S {1 ([1 > ===> [q ; ) ? ? 2 ([1 > ===> [q ; )|} 1

; 5

con lo que un intervalo de confianza de grado 1 vendrá dado por V([1 > ===> [q ) = (1 ([1 > ===> [q ; )> 2 ([1 > ===> [q ; ))= ¥ Obviamente, a distintas variables pivotales les corresponden intervalos diferentes. En situaciones bastante generales existirá al menos una variable pivotal q P ln I ([l ) lo cumpliendo las hipótesis del enunciado; en concreto W = 2 l=1

es si como función de , la función de distribución es continua y estrictamente monótona, ya que en ese caso W se distribuye como una "22q , como es fácil de comprobar, véase el Ejercicio 4.7.3= Ejemplo 4.2.1 Si la función de densidad es i ({|) = {31 L(0>1) ({) con 0 entonces ; ? 0 si { 0 { si { 5 (0> 1) I ({|) = = 1 si { 1 y si para simplificar los cálculos, se toman dos valores de las tablas de la distribución "22q tales que I ("22q;13 ) = 2

2

I ("22q; ) = 1 2

2

Figura 4.2.2. I ({|) como función de para el ejemplo Ejemplo 4.2.1. 4.2.1.


174 174 se sigue que

S {"22q;13 ? 2 2

q P l=1

ln [l ? "22q; |} = 1 ; 5 2

y por tanto ; A A ? S

"22q;13 2 q P

A A = 2

l=1

ln [l

?? 2

¯ < ¯ A ¯ A ¯ @ ¯ = 1 ; 5 ¯ A > ln [l ¯¯ A

"22q; 2 q P l=1

con lo que se tiene el intervalo deseado. ¥ El método puede generalizarse al caso en el que W ([1 > ===> [q > ) sea un estadístico W ([1 > ===> [q ) si se introducen restricciones adicionales; mediante el siguiente enunciado. Teorema 4.2.2 (método de Neyman) Sea ([1 > ===> [q ) una m.a.s. correspondiente a una distribución de P = $ {i ( { |) 5 } con un intervalo de R. Si para cualquier 5 [0> 1] se pueden encontrar dos funciones 1 (> ) y 2 (> ) y un estadístico W ([1 > ===> [q ) verificando que para todo 5 S { 1 (> ) W ([1 > ===> [q ) 2 (> )|} 1 > si además las funciones 1 y 2 son estrictamente monótonas en , del mismo sentido y las ecuaciones 1 (> ) = W ([1 > ===> [q ) 2 (> ) = W ([1 > ===> [q ) se pueden invertir para resolverlas en como función de W = w, entonces se puede construir un intervalo para de grado de confianza 1 = Demostración: Supóngase que 1 (> ) y 2 (> ) son estrictamente crecientes, como en la Figura 4.2.3. Para cada 0 fijo el suceso 1 (0 ; ) W 2 (0 > ) moviéndose W , es el mismo, que el suceso (W ) 0 (W ) moviéndose W , donde son (W ) y (W ) soluciones de (4.2.2)

2 ((W ); ) = W 1 ((W ); ) = W

¾


175 175

Figura 4.2.3. Representación del teorema Teorema 4.2.2 (Método de Neyman). Por tanto se tiene que S {(W ) ? ? (W )|} 1

; 5

o lo que es lo mismo ((W )> (W )) es un intervalo de grado de confianza 1 = ¥ Igual que en el caso de la variable pivotal, es claro que este procedimiento depende del estadístico W empleado. Las suposiciones de monotonía estricta en los dos teoremas sirven para la determinación de la región de confianza en forma de intervalo, por último la hipótesis de continuidad en de las funciones l (; ) , l = 1> 2 aseguran la existencia de soluciones del Sistema 4.2.2. Ejemplo 4.2.2 Dada una m.a.s. de tamaño q de una población X qliruph(0> ), para determinar un intervalo de grado de confianza 1 para , se puede emplear el estadístico suficiente W = [(q) , cuya función de distribución es ; si w 0 ? 0 I (w|) = ( w )q si 0 w = 1 si w siguiendo el método de Neyman, se deben encontrar dos funciones 1 (; ) y 2 (> ) de manera que S { 1 (; ) W 2 (; )|} 1 >

5 [0> 1]=

176 176

CAP. 4. ESTIMACIÓN POR REGIONES DE CONFIANZA INFERENCIA ESTADÍSTICA En este caso se puede conseguir la igualdad. Bastará hacer I ( 1 (> )|) = 1 1 I ( 1 (> )|) = 1

con 1 5 [0> ], de donde 1

1 (; ) = 1q 2 (; ) = (1 ( 1 ))1@q = Gráficamente, véase la Figura 4.2.4, las funciones l son rectas que pasan por el origen; si se igualan ¾ 1 (; ) = W ([1 > ===> [q ) 2 ( ; d) = W ([1 > ===> [q )

Figura 4.2.4. Representación del intervalo de confianza para la población X (0> queda (W ([1 > ===> [q )) = [(q) (1 ( 1 ))31@q 31@q

(W ([1 > ===> [q )) = [(q) 1

31@q

En definitiva ([(q) (1 ( 1 ))31@q > [(q) 1 ) es un intervalo para de grado de confianza 1 . Es fácil comprobar que al variar 1 5 [0> ] el intervalo de amplitud mínima viene dado por 1 = , y por lo tanto, es LF13 () = ([(q) > [(q) 31@q )=

4.3. INTERVALOSESTIMACIÓN DE CONFIANZA ASOCIADOS A LA DISTRIBUCIÓN POR REGIONES DE CONFIANZA 177 NORMAL17

4.3.

INTERVALOS DE CONFIANZA ASOCIADOS A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

En los casos siguientes se supone una población [ Q (> ) y que se trabaja con m.a.s. de tamaño q.

Intervalo para la media con varianza conocida: s q tiene distribución Q (0> 1) Si se toma = se puede emplear que [3 y al ser conocida se puede utilizar como variable pivotal W ([1 > ===> [q ; ) =

(4.3.1)

[ s q

s q } 2 } = 1 se obtiene que un determinando } 2 para que S { |[3| intervalo de confianza de grado 1 para la media de la población es μ ¶ LF13 () = [ s } 2 > [ + s } 2 = q q

{

}

Además al ser la distribución de la normal simétrica; éste es el intervalo de amplitud mínima entre todos los de grado de confianza 1 =

Intervalo para la media con varianza desconocida: En este caso la variable W de la Expresión (4.3.1) no puede ser empleada como variable pivotal, por lo que se recurre a W ([1 > ===> [q ; ) =

(4.3.2) con V 2 =

1 q31

q P

[ s q> V

([l [)2 la cuasivarianza muestral, ya que dicha expresión

l=1

se distribuye según una W de Student con q 1 grados de libertad. Esto conduce a que un intervalo de grado de confianza 1 para la media es ¶ μ V V LF13 () = [ wq31; 2 s > [ + wq31; 2 s q q donde por el mismo motivo que antes, el intervalo es de amplitud mínima entre los de probabilidad 1 basados en la variable pivotal (4.3.2).

178


Intervalo para la varianza cuando la media es desconocida: Si el parámetro es = 2 se puede utilizar como variable pivotal (4.3.3)

W ([1 > ===> [q ; ) = (q 1)

V2

que se distribuye según una "2q31 , con lo que se obtiene que un intervalo de grado 1 para la varianza es ! Ã (q 1)V 2 (q 1)V 2 LF13 () = > 2 "2q31; "q31;13 2

2

donde

S {"2q31 "2q31; } = 1 2 2 2 2 S {"q31 "q31;13 } = 2 2 que no son los valores correspondientes a la amplitud mínima, sino valores que dejan colas iguales a 2 bajo la distribución "2q31 y que son más fáciles de calcular. Cuando es conocida es más correcto utilizar como variable pivotal μ ¶ q P [l 2 W ([1 > ===> [q ; ) = (4.3.4) l=1 que se distribuye como "2q = Intervalo para la diferencia de medias:

Si se dispone de dos m.a.s. de tamaños q1 y q2 de dos poblaciones, [ con distribución Q (1 > 1 ) e \ con distribución Q (2 > 2 )> respectivamente. Se puede emplear, si se conocen las dos varianzas y es = 1 2 (4.3.5)

[ \ W ([1 > ===> [q1 > \1 > ====> \q2 ; ) = q 2 1 22 q1 + q2

como variable pivotal, ya que se distribuye Q (0> 1) y es conocida salvo . Esto lleva a que un intervalo de grado de confianza 1 para la diferencia de medias es 3 4 s s 2 2 2 2 1 2 1 2 D LF13 () = C[ \ } 2 + > [ \ + } 2 + q1 q2 q1 q2 intervalo de amplitud mínima basado en (4.3.5), donde (} 2 ) = 1

> 2

4.3 INTERVALOS ESTIMACIÓN ASOCIADOS LA NORMAL. POR A REGIONES DE CONFIANZA

179 179

con la función de distribución de la Q (0> 1)= Si las dos varianzas son desconocidas pero iguales, 21 = 22 = 2 entonces se utiliza como variable pivotal W ([1 > ===> [q1 > \1 > ====> \q2 ; ) =

(4.3.6)

[ \ q Vs q11 + q12

que se distribuye según una distribución de Student Wq1 +q2 31 , donde Vs2 =

(q1 1)V12 + (q2 1)V22 q1 + q2 2

es una ponderación de las cuasivarianzas de cada muestra y que había sido llamada cuasivarianza muestral ponderada, véase la expresión (1.5.3.5). Esto lleva al intervalo de confianza r r μ ¶ 1 1 1 1 LF13 () = [ \ wq2 +q2 31; 2 Vs + > [ \ + wq2 +q2 31; 2 Vs + q1 q2 q1 q2 que es de amplitud mínima y donde wq1 +q2 31; 2 es el cuantil de orden 1 2 de la distribución de Student con q1 + q2 2 grados de libertad. En el caso en que 21 y 22 sean desconocidas y distintas la distribución de [ \ q 2 V1 V22 q1 + q2

(4.3.7) 2

depende de 12 . A dicha distribución se la conoce con el nombre de distribu2 ción de Behrens-Fisher, por lo que (4.3.7) no puede utilizarse como variable pivotal. Existen distintas soluciones al problema, no totalmente satisfactorias, aquí se utilizará la debida a Hsu que consiste en aproximar la distribución, por una W con i = m´ın{q1 > q2 } 1 como número de grados de libertad, con lo que se obtiene el intervalo de confianza aproximado 3 4 s s 2 2 2 2 V1 V1 V V + 2 > [ \ + wi ; 2 + 2D LF13 () ' C[ \ wi ; 2 q1 q2 q1 q2 soluciones alternativas pueden verse en Dudewicz y Mishra (1988) pág. 567. Intervalo de confianza para el cociente de varianzas: Si el parámetro es ahora = (4.3.8)

21 22

se puede emplear como variable pivotal

W ([1 > ===> [q1 > \1 > ===> \q2 ; ) =

V12 1 V22


180 180

que se distribuye como una distribución de Snedecor Iq1 31>q2 31 ; sin más V2

que utilizar que (ql 1) l2 se distribuyen como "2ql 31 l = 1> 2. Esto lleva l al intervalo de grado de confianza 1 para el cociente de varianzas μ LF13 () =

V12 31 V2 i , 12 iq 31>q 31; 2 1 V2 q1 31>q2 31; 2 V2 2 2

¶

donde iq1 31>q2 31; y iq2 31>q1 31; son los cuantiles de orden 1 2 2 distribución I correspondiente.

2

de la

Este intervalo no tiene amplitud mínima, ya que con el fin de facilitar los cálculos se han tomado colas de probabilidad iguales en lugar de ordenadas iguales.

Región de confianza para la media y la varianza:

Si en el muestreo de una población Q(> ) se está interesado en encon$ trar una región de confianza para el parámetro vectorial = (> 2 ), se s 2 q y (q 1) V2 son v.a. independientes que se dispuede utilizar que [3 tribuyen Q (0> 1) y "2q31 respectivamente, véase el Teorema 1.4.2.1 (Fisher), con lo que si > f1 y f2 se determinan para que cumplan

S { ?

s [ s q ? } = 1

S {f1 ? (q1)

s V2 ? f2 } = 1 > 2

lo que puede lograrse a partir de las tablas de la distribución Q (0> 1) y de la "2q31 , entonces se sigue, en virtud de la independencia, que

(4.3.9)

S { ?

[ s V2 q ? > f1 ? (q 1) 2 ? f2 } = 1

La zona rayada de la Figura 4.3.1 determinada por la parábola 2 = 2 2 )2 y las rectas 2 = (q 1) Vf1 y 2 = (q 1) Vf2 , constituye una región de grado de confianza 1 . Nótese que en la Expresión (4.3.9), las variables aleatorias son [ y V 2 = q ([ 2

4.3 INTERVALOS ESTIMACIÓN ASOCIADOS LA NORMAL. POR A REGIONES DE CONFIANZA

181 181

Figura 4.3.1. Región de confianza para el caso Q (> )= Sin embargo esta región no es un rectángulo. No obstante, en esta situación se puede conseguir otra que si lo sea; por poderse aplicar un resultado más general que se recoge a continuación. Proposición 4.3.1 Si dada ([1 > ===> [q ) una m.a.s. de una distribución perteneciente a la familia $ $ $ P = {i ( { | )| = ( > ===> ) 5 Rn } y para todo 5 [0> 1] se pueden 1

n

determinar regiones de confianza $ S {Vl ([1 > ===> [q ) 3 l | } 1 n

(4.3.10)

entonces V([1 > ===> [q ) = confianza 1 =

n Q l=1

Vl ([1 > ===> [q )

l = 1> ===> n

es una región de grado de

$ Demostración: En primer lugar, obsérvese que si los conjuntos Vl ( [ ) $ son intervalos, entonces V( [ ) es un rectángulo. Además n T $ $ $ $ $ S {V( [ ) 3 | } = S { (Vl ( [ ) 3 l )| } l=1

ahora bien, pasando a los complementarios S{

n T

n S $ $ $ $ (Vl ( [ ) 3 l )| } = 1 S { (Vl ( [ ) 63 l )| }

l=1

l=1

182 182


y si se aplica que la probabilidad de la unión de sucesos es menor o igual que la suma de las probabilidades de los sucesos; se obtiene que 1

n P

n P $ $ S {Vl ( [ ) 63 l | } 1 (1 ) n n l=1 l=1

de donde se sigue el resultado. ¥ Es claro, que en el caso de una población normal, basta hacer n = 2 y s 2 utilizar que [3 q tiene de distribución Wq31 y que (q 1) V2 tiene de V distribución "2q31 , de donde ¶ μ $ V V V1 ( [ ) = [ wq31; 4 s > [ + wq31; 4 s q q y ! Ã $ (q 1)v2 (q 1)v2 V2 ( [ ) = > 2 "2q31; "q31;13 4

4

permiten construir el rectángulo.

4.4.

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MUESTRAS GRANDES

Se ha visto al hablar de los HP Y , véase la Sección 3.6.3, que en ciertos casos se pueden encontrar sucesiones de estimadores Wq y constantes q () L

tales que para todo Wqq 3 () $ Q (0> 1). Por lo tanto, si el tamaño muestral es suficientemente grande, se puede determinar } 2 para que

(4.4.1)

S {} 2 ?

Wq ? } 2 |} ' 1 q ()

con } 2 tal que (} 2 ) = 1 2 donde es la función de distribución de la v.a. Q (0> 1). Si la relación anterior puede invertirse, se podrá utilizar para determinar un intervalo de confianza para = q puede Nótese que si la ecuación de verosimilitud tiene una única raíz b q la sucesión consistente de raices y q () = s 1 tomarse Wq = b que, sí qL1 ()

f=v= q ) q $ , puede ser aproximada por q (b es una función continua, como b lo que facilita la inversión de la Expresión (4.4.1).

Ejemplo 4.4.1 Para construir mediante muestras grandes, un intervalo de grado de confianza 1 para el parámetro de una población con función de densidad i ({|) = h3{ , { A 0> A 0. Como la ecuación de verosimilitud es q q P {l = 0 l=1

4.5. REGIONES DE CONFIANZA BAYESIANAS ESTIMACIÓN POR REGIONES DE CONFIANZA q = que tiene como única solución b q () =

I , q

1 . [q

183 183

Haciendo cálculos se obtiene que

lo que permite escribir ( S

b q s q ? } 2 | } 2 ?

) '1

donde !(} 2 ) = 1 2 con función de distribución de la Q (0> 1)= Expresión que puede invertirse para obtener el intervalo de grado de confianza 1 para : ! Ã 31 31 [q [q LF13 () ' > 1 + } @Iq 1 } @Iq 2

2

¥ La desigualdad de Tchebyche también puede emplearse en casos muy generales para construir intervalos de confianza. Claro está que los intervalos que se obtienen mediante este método, son más amplios, que los construidos mediante procedimientos específicos a cada modelo de probabilidad. Ejemplo 4.4.2 Para construir mediante muestras grandes, un intervalo de confianza 1 para el parámetro de una población de S rlvvrq()> con A 0 la expresión s 1 S {|[ || ? n |} 2 > n permite obtener

s 1 S {|[ | ? n |} 1 2 = n

Así si se hace 1 n12 = 1 y se aproxima por [ se obtiene el intervalo de confianza aproximado para 3 s s 4 [ [D LF13 () ' C[ > [+ =

4.5.

REGIONES DE CONFIANZA BAYESIANAS

En el ejemplo a este capítulo, se tenía ³ que ha servido de introducción ´ 0 0 que el intervalo [ 1 96 Iq > [ + 1 96 Iq , cuyos extremos son aleatorios,

cubría a la media de la distribución normal con probabilidad 00 95. Sin embargo, tomada una muestra particular no puede hablarse de la probabilidad de que (890 39> 900 67) contenga a , ya que es un parámetro y no una variable aleatoria.


184 184

Mediante la aproximación bayesiana, véase la Sección 3.6.4, si se dispone de información inicial sobre que se pueda concretar en una distribución $ {) y inicial () , será posible construir la distribución final para , (| con ella determinar una región que tenga probabilidad final alta de contener a . Para ello se introduce la siguiente definición. Definición 4.5.1 (región creíble) $ Dada una familia de distribuciones de probabilidad P = {i ( { |)| 5 } si la información inicial sobre viene dada mediante la función de densidad o de masa () , la región F({1 > ===> {q ) es una región creíble de probabilidad 1 si (4.5.1)

S { 5 F({1 > ===> {q )|{1 > ===> {q } 1

donde esta probabilidad se calcula mediante la distribución final, es decir Z (|{1 > ===> {q )g 1 = F({1 >===>{q )

¥ Se ha empleado notación con función de densidad, y en ese caso se puede conseguir la igualdad en la Expresión 4.5.1. Lo mismo es válido con función de masa y entonces, posiblemente, la desigualdad en la Expresión 4.5.1 será estricta. Ejemplo 4.5.1 Para [ una población de Ehuqrxool()> si la información inicial acerca de viene dada por () = L(0>1) (), con m.a.s. de tamaño q la distribución final es q P

{l

q3

q P

q P

{l

{l

q3

q P

{l

l=1 (1 ) l=1 L(0>1) () l=1 (1 ) l=1 L(0>1) () μq ¶ = (|{1 > ===> {q ) = q q P q P P Z 1 P{ q3 {l l E {l + 1> q {l + 1 l=1 (1 ) l=1 g l=1 l=1 0

una distribución Beta de parámetros s =

q P l=1

[l + 1 y t = q

q P l=1

Mediante las tablas de la distribución Beta, para el caso q = 10

[l + 1. 10 P l=1

{l =

3 y 1 = 00 90 se obtiene que el intervalo creíble es (00 135> 00 564) donde se ha tomado I (00 135) = 00 05 y I (00 564) = 00 95, de la distribución Beta de parámetros 4 y 8= ¥

4.5. REGIONES DE CONFIANZA BAYESIANAS ESTIMACIÓN POR REGIONES DE CONFIANZA

185 185

Como se ve en este ejemplo, en la definición de región creíble hay una indeterminación a la hora de escoger el intervalo, aquí se ha optado por lo más sencillo, que consiste en determinar las colas de la distribución de probabilidad final iguales y por tanto de valor 2 . Lo más correcto es escoger la región de manera que los puntos en ella tengan la máxima probabilidad final posible, con lo que además se consigue que cuando la región sea un intervalo tenga amplitud mínima. En esta situación se habla de región creíble de más alta distribución final, y lo será F({1 > ===> {q ) si es de la forma F({1 > ===> {q ) = {|(|{1 > ===> {q ) f} donde c se determina para que S { 5 F({1 > ===> {q )|{1 > ===> {q } 1 . Obsérvese que a medida que f disminuye $ { ) = 1= esta probabilidad va aumentando, cuando f vale 0 S (F({1 > ===> {q )|

Figura 4.5.1. Determinación de la región creíble de más alta probabilidad final.

Así en el Ejemplo 4.5.1, el intervalo creíble de más alta probabilidad viene dado por (00 117> 00 542) lo que puede comprobarse a partir de la distribución Beta. Se observa que este intervalo tiene menor amplitd que el obtenido en el Ejemplo 4.5.1. Ejemplo 4.5.2 Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> 1), cuando la información ³ inicial sobre ´ puede suponerse Q(0> 1), al ser la distribución final q{ I 1 Q q+1 > q+1 , véase el Ejemplo 3.2.3.3, el intervalo creíble viene dado por μ

q{ q{ 1 1 > + } 2 s } 2 s q+1 q+1 q+1 q+1

¶ =

186 186


Recordemos que el intervalo de confianza obtenido desde el punto de vista clásico es ¶ μ 1 1 { } 2 s > { + } 2 s q q que tiene mayor amplitud, aparte de su diferente interpretación. ¥ El estudio de las regiones de confianza óptimas descansa, básicamente, en las propiedades de óptimo de los contrastes estadísticos por lo que ha de retrasarse a la Sección 5.5.

4.6.


Desde el punto de vista histórico, los primeros trabajos sobre regiones de confianza se debieron a Fisher alrededor de 1925. Ronald A. Fisher, nació el 17 de Febrero de 1890 en East Finchley (Londres) era el más jóven de ocho hermanos. Desde muy pequeño mostró una gran habilidad para los razonamientos matemáticos, en particular para la geometría. Al haber tenido muy mala visión, el médico le prohibió estudiar con luz artificial, lo cual pudo ayudarle, al no poder escribir demasiado, a desarrollar su gran intuición geométrica. En 1909 obtuvo una beca para el Caius College de Cambridge donde se diplomó en 1913. Allí estudió matemáticas y mecánica y se apasionó por la Biometría y la Genética. En 1912 publicó el primero de sus 395 artículos, en el que introduce un criterio para ajustar curvas de frecuencias, en él utiliza, sin nombrarlo así, el método de la máxima verosimilitud. Trabajó en una compañía mercantil en Londres hasta 1915. En este año publicó un trabajo sobre la distribución del coeficiente de correlación. Este artículo le dió fama entre la comunidad estadística y le puso en contacto con Student. Tras cuatro años de dedicarse a la enseñanza, aceptó en 1919 un puesto en la Estación Experimental de Rothamsted, 50 km al noroeste de Londres, que prefirió al que le ofreció Karl Pearson para que se incorporara al Laboratorio Galton del University College de Londres, que Karl Pearson dirigía. En esta estación experimental se dedicó hasta 1933 a su otra vocación aparte de la estadística: la genética. A la jubilación de Karl Pearson en 1933, Fisher se ocupó del Departamento de Eugenesia en el University College. Su último puesto en Inglaterra es de catedrático de genética en Cambridge, desde 1943 hasta 1957. En este año se traslada a Adelaida, en Australia, donde muere en 1962. Durante su estancia en Rothamsted desarrolló el diseño de experimentos, pero también se debe a él prácticamente todo el desarrollo de la teoría de la estimación estadística. Estableció claramente la distinción entre muestra y población e introdujo los conceptos de suficiencia y ancilaridad, definió

4.6. APROXIMACIÓN HISTÓRICA ESTIMACIÓN POR REGIONES DE CONFIANZA

187 187

la cantidad de información que lleva su nombre, desarrolló el método de estimación de la máxima verosimilitud y obtuvo las propiedades asintóticas del mismo. Lo abundante de su producción científica no le impidió participar en varias instituciones estadísticas; fué presidente de la Royal Statistical Society, de la Sociedad de Biometría y presidente del Instituto Internacional de Estadística. Además de esto, tuvo tiempo para polemizar duramente con algunos de sus colegas. Una reedición de los tres principales libros de Fisher, puede verse en Bennet (1990). En cuanto a la determinación de las regiones de confianza, su deducción se apoyó en el concepto de función de verosimilitud y le llevó a obtener la distribución que él llamaba fiducial. De forma resumida si la función de vero$ $ { ) = i ( { |) es integrable sobre todo el espacio paramétrico, similitud O(| la distribución fiducial viene dada por $ {) O(| Z $ O(| { )g X

A partir de esta distribución determinaba Fisher dos valores que contuvieran con probabilidad alta, 1 , a y que constituían el intervalo fiducial. Esta aproximación no ha sido continuada, sin embargo, con demasiado éxito, pues presenta algunos inconvenientes, básicamente de interpretación. La otra figura que contribuyó al desarrollo de las regiones de confianza fué Neyman alrededor de 1937 como consecuencia del desarrollo de los contrastes de hipótesis, que serán estudiados en el siguiente capítulo. Jerzy Neyman nació el 16 de Abril de 1894 en Bendery, en Rusia, en el seno de una familia de origen polaco. Cursó estudios superiores de matemáticas y física en la universidad de Kharkov. Allí se interesó por los desarrollo de la teoría de la medida de Lebesgue, dominio en el que publicó sus primeros trabajos. Durante la revolución rusa de 1917 a 1921 la vida de Neyman corre peligro, por lo que se traslada a Polonia, donde obtiene su doctorado en 1923. En 1924 consigue una beca para trabajar en el University College de Londres bajo la dirección de Karl Pearson, y allí coincide con Fisher, Student y Egon Pearson, hijo de Karl Pearson. En colaboración con Egon Pearson y con Fisher inicialmente, desarrolla la teoría de los contrastes de hipótesis y de la estimación por regiones de confianza, hasta que choca con este último. En 1925 viaja a París y asiste a los cursos impartidos por Lebesgue y Borel. De vuelta a Polonia, dirige el Departamento de Estadística del Instituto Nencki de Biología Experimental hasta 1934, en que Egon Pearson le propone un puesto de profesor en el University College, que Neyman ocupa durante cuatro años. En agosto de 1938 se traslada a la Universidad

188 188


de California, en Berkeley, para crear un Departamento de Estadística y verosímilmente también, huyendo de la Segunda Guerra Mundial que veía acercarse. Se quedó en Berkeley hasta el fin de sus días impulsando el Departamento de Estadística. Participó en el Instituto Internacional de Estadística y en la Sociedad Bernoulli, su rama europea. Murió el 5 de Agosto de 1981. Se interesó en teoría de la probabilidad, física estadística y procesos estocásticos; y quizás sus contribuciones en estadística más importantes fueron la creación de los tests estadísticos, en colaboración con Egon Pearson, y la elaboración de la moderna teoría de muestras. Las diferencias entre la aproximación fiducial y la de regiones de confianza, produjo la ruptura entre Fisher y Neyman. Se debe apuntar en el haber de Neyman, que éste no respondió jamás a las críticas de Fisher, salvo en 1961, año en que celebró, con humor por cierto, las bodas de plata de su disidencia con Fisher. Fisher y el binomio Neyman y Egon Pearson fueron los que contribuyeron a la creación y desarrollo de la estimación mediante regiones de confianza.

4.7.

EJERCICIOS

4.7.1 Para m.a.s. de tamaño q, de una población con función de densidad i ({|) =

5{4 L(0>] ({) con 5

A0

a) Hállese el estimador de máxima verosimilitud W= b) Determínese la región de confianza de grado 00 95 para , de la forma (W> +4) para conveniente. 4.7.2 Para m.a.s. de tamaño q, de una población con función de densidad i ({|) = ( + 1){ L(0>1) ({)

con

A0

constrúyase la región P de confianza de grado 1 basada en la variable pivotal W ([1 > ===> [q ; ) = ql=1 ln [l (+1) tomando probabilidades colas iguales. 4.7.3 Demuéstrese que para m.a.s. de tamaño q si la función de distribución de la población I ({|), es continua en , y como función de es estrictamente monótona, entonces q P W = ln I ({l |) "22q l=1

y, por tanto, constituye una variable pivotal.

4.7. EJERCICIOSESTIMACIÓN POR REGIONES DE CONFIANZA

189 189

4.7.4 Para una población con función de densidad i ({|) =

4 4 2 { L(0> 2 ] ({) 2 ({ )L( 2 >] ({)

con A 0,

y a partir de una observación a) Hállese el estimador de máxima verosimilitud W para = b) Constrúyase una región de confianza de grado 1 de la forma ( W2 > W )= 4.7.5 Para una población con función de densidad i ({|) = h3({3) L[>+") (w)

5 R,

a partir de m.a.s. de tamaño q, determínese un intervalo de confianza de grado 1 mediante el método de la variable pivotal con probabilidades de colas iguales. 4.7.6 Determínese a partir de m.a.s. de tamaño q de una población con función de densidad i ({|) = 3{2 33 L(0>) ({) un intervalo de grado de confianza 1 mediante el método de Neyman. Tómense probabilidades de colas iguales. 4.7.7 La cantidad de lluvia, en litros, caída en dos regiones diferentes A y B arroja los siguientes resultados: A B

81’7 90’3

77’5 50’7

121’4 77’1

76’4 96’4

79’8 95’7

105’1 107’4

86’2 60’8

72’2 106’9

103’2 64’7

130’8 102’4

Se puede suponer que los datos constituyen m.a.s. de poblaciones normales e independientes. a) Determínese un intervalo de confianza de grado 00 95 para la varianza de la primera población. b) Supuesto que las dos varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales determínese un intervalo de confianza de grado 00 95 para la diferencia de medias poblacionales. c) Repítase la parte anterior si se supone que las dos varianzas son desconocidas y diferentes. 4.7.8 Para estudiar la conveniencia de aumentar sus instalaciones, una empresa desea estimar la demanda que va a tener durante el próximo año. Para ello

190 190


selecciona al azar a 10 de sus clientes y observa que el número de unidades demandadas en el último año se distribuye con arreglo a la siguiente tabla: nr de unidades n de clientes que las demandan r

1000 1

1002 2

1004 1

1006 2

1008 1

1010 2

1012 1

Si se supone que la demanda va a seguir comportándose igual y que la varianza poblacional es 16, determínese una región de grado de confianza 1 para la media poblacional: a) Sin efectuar hipótesis sobre la distribución de la población. b) Suponiendo que la población es Q (> )= 4.7.9 Con vistas a comparar la duración de dos marcas de televisores, se observan las duraciones hasta la primera avería, de dos m.a.s. de tamaño 10, en miles de horas, obteniéndose los siguientes resultados: tipo A tipo B

19’9 27’5

19’4 27’2

20’2 21’2

19’2 23’9

20’5 29’5

10’2 31’8

15’1 38’1

10’5 37’2

19’4 29’8

20’6 31’3

Si se supone que el número de horas que funciona un televisor hasta estropearse, sigue una distribución normal, determínese un intervalo para el cociente de varianzas de grado 0’95. 4.7.10 Determínese un rectángulo de grado de confianza 0’95 para la media y la varianza de la cantidad de lluvia caida en la región A, con los datos del ejercicio 4.7.7. 4.7.11 Obténgase un intervalo asintótico de grado de confianza 1 para la probabilidad de éxito de una variable aleatoria de Bernoulli (). Aplíquese para una moneda con 1 = 00 95, si se sabe que en 100 lanzamientos se han obtenido 40 caras. 4.7.12 Obténgase un intervalo asintótico de grado de confianza 1 para el parámetro en una v.a. de S rlvvrq(). Se supone que el número de insectos en una fila sembrada de un cultivo determinado, se distribuye mediante una distribución de Poisson. Se toman diez filas al azar y se obtienen los siguientes números de insectos 160> 130> 36> 42> 53> 70> 45> 50> 104> 29= Determínese un intervalo asintótico de grado de confianza 00 9 para el número medio de insectos por fila.

4.8. SOLUCIÓN AESTIMACIÓN LOS EJERCICIOS POR REGIONES DE CONFIANZA

191 191

4.7.13 Determínese un intervalo creíble de probabilidad 1 para la probabilidad de éxito en una distribución de Ehuqrxool. Supóngase que la información inicial queda recogida por una distribución Ehwd(1> 1) y que en 10 repeticiones del experimento se han observado 5 éxitos. 4.7.14 Determínese un intervalo creíble de probabilidad 1 para el parámetro de una distribución de S rlvvrq(), cuando la información inicial para viene dada por una distribución Jdppd(d> s). Para los datos del Ejercicio 4.7.12 determínese un intervalo creíble de probabilidad 00 9 para el número medio de insectos por fila, si la información inicial viene recogida por la distribución Jdppd(00 5> 30). 4.7.15 Un individuo realiza un test de inteligencia cuyo resultado [ se supone que sigue una distribución Q (> = 10), siendo su nivel de inteligencia real. La información inicial viene recogida porque en el colectivo a que pertenece el individuo, la inteligencia tiene una distribución Q (100> 0 = 15). Determínese una región creíble de probabilidad 00 95 para su nivel de inteligencia cuando el resultado del test ha sido 110. Calcúlese un intervalo de grado de confianza 00 95 y compárense ambos intervalos. 4.7.16 Sean [1 > ===> [q v.a. i.i.d. con distribución Q (> ), donde ambos parámetros son desconocidos. Se considera la información inicial dada mediante (> 2 ) = 1@ 2 para 5 R 2 5 R+ . Calcúlese la distribución final (> 2 |{1 > ===> {q )= {3 I |{1 > ===> {q Wq31 , y a) Demuéstrese que (|{1 > ===> {q ) es tal que V@ q obténgase para una región creíble de más alta probabilidad 1 , compárese con la región de grado de confianza 1 = b) Demuéstrese que ( 2 |{1 > ===> {q ) es tal que la distribución (q 2 1) V2 |{1 > ===> {q "2q31 , y obténgase para 2 una región creíble de probabilidad 1 > compárese con la región de grado de confianza 1 =

4.8.


4.8.1 a) La función de densidad de la muestra es q Q

i ({1 > ===> {q |) = 5q = [(q) . por lo que el HP Y es b

{4l

l=1 5q

L[{(q) >+) ()


192 192

b) La región de confianza, de la forma ([(q) > +4) estará determinada, cuando se obtenga el valor de tal que S {[(q) |} = 1 para todo A 0 para lo que ha de cumplirse que S {[(q) ||} = S q {[ ||} =

³ | ´5q 1

de donde ha de ser 5q = 1 ; o lo que es lo mismo = (1 ) 5q y ´ ³ 1 UF13 () = (1 ) 5q [(q) > +4 = 4.8.2 Por el Teorema 4.2.1 (variable pivotal) se debe obtener la distribución ¯ ¯ de ¯ ¯ la variable | = ( + 1) ln {. Si se hace el cambio { = h3|@(+1) ¯ g{ g| ¯ = | 1 3 +1 +1 h

resulta que j(||) = h3| con | A 0, luego es independiente de . ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 3 12 } , Haciendo el cambio a } = 2| con lo que | = 12 }> ¯ g| g} ¯ = 2 y j(}) = 2 h

con } A 0 y se tiene que ] Jdppd(d = 12 > s = 1). En resumen que 2( + 1)

q P l=1

ln [l "22q =

Mediante las tablas de la distribución "22q , es posible determinar "22q;13 2

y "22q; tales que 2

S

½ ¾ q P "22q;13 2( + 1) ln [l "22q; = 1 2

2

l=1

y por tanto el intervalo de confianza de grado 1- es 4 3 q q P P 1 2 1 2 " ln [ " ln [ l l 2 2q; 2 F E 2 2q;13 2 l=1 l=1 F LF13 () = E > q q D C P P ln [l ln [l l=1

l=1

4.8.3 Efectivamente, por ser I (·|) continua, \ = I ([l |) X (0> 1) ¯y 2 ¯ ln I ([|) 3 12 } ¯ g| ¯ 1 3 12 } 2 > ¯ g} ¯ = 2 h "2 ya que si se hace el cambio } = 2 ln |, con lo que | = h 1

se obtiene j(}) = 12 h3 2 } que es la densidad "22 , de donde la distribución de W = 2

q P l=1

ln I ([l |) "22q =


193 193

Por lo tanto se pueden determinar los cuantiles de la distribución "22q para que S {"22q;13 W ([1 > ===> [q ; ) "22q; } = 1 > 2

2

la monotonía estricta en y la invertibilidad de las ecuaciones "22q;13 = W ({1 > ===> {q ; ({1 > ===> {q )) 2

"22q; = W ({1 > ===> {q ; ({1 > ===> {q )) 2

permite obtener el intervalo de confianza (([1 > ===> [q )> ([1 > ===> [q )), de acuerdo con el Teorema 4.2.1 (variable pivotal). 4.8.4 a) La función de densidad viene dada en la Figura 4.8.1

Ejercicio 4.7.4. Figura 4.8.1. Función de densidad triangular correspondiente al ejercicio como hay que maximizarla como función de para un valor de { fijo

Figura 4.8.2. Función de verosimilitud correspondiente a la densidad triangular del Ejercicio 4.7.4.


194 194

es claro, que de acuerdo con la Figura 4.8.2 el estimador de máxima verosimi = 2[= litud es b b) Se trata de determinar de manera que S {[ 2[|} = 1 para todo | A 0= Pero esta expresión es equivalente a ¯ ¾ ½ ¯ S [ ¯¯ = 1 para todo A 0 2 siempre que 1@2, véase la Figura 4.8.3, de donde

Figura 4.8.3. Obtención del intervalo de confianza para el Ejercicio 4.7.4. Z

2 2

4 {g{ + 2

Z

2

· ¸ · ¸ 4 4 {2 2 4 {2 ( {)g{ = 2 + 2 { 2 2 2 2

2

1 =1 2 2 1 permite obtener dos soluciones en de las que solo que al igualar a s es válida = 1@ 2= Si se hubiera supuesto que 1@2, habría quedado en la Figura 4.8.3 la recta { = @(2) por encima de la { = ; el intervalo hubiera sido (2{> {), pero este intervalo en es equivalente al (> @(2)) en { y es imposible hacer que este tenga de probabilidad 1 , con distinto de uno, ya que es cero la probabilidad de que { sea mayor que . ³ q ´ Por lo tanto el intervalo pedido es LF13 () = [>

2 [

=


195 195

4.8.5 Por ser la función de densidad de la muestra 3

i ({1 > ===> {q |) = h

3

=h

q P 1

q ({l 3) Q

q P

({l 3)

l

l=1

L[>+") ({l )

L(3">{(1) ] ()

se puede tratar de ver, si es variable pivotal W ([(1) > ) = [(1) . En efecto la función de distribución de esta variable es para w no negativo I (w) = S {[(1) w} = 1 S q {[ A w + } = 1 h3qw independiente de . Si se aplica el Teorema 4.2.1 (variable pivotal) se cumple que 1) W (·> ) tiene distribución independiente de y es una función medible 2) T(X(1) > ·) es una función continua y monótona estrictamente decreciente en

Figura 4.8.4. Representación del método de la variable pivotal. luego W es una variable pivotal y hay que determinar l ()> l = 1> 2> para que S { 1 () W 2 ()} 1 ,

196 196


lo que puede lograrse resolviendo las ecuaciones I ( 1 ()) = 1

1 I ( 2 ()) = 1 =

De acuerdo con el enunciado se debe usar 1 = 2 , en este caso es fácil hacer la determinación de 1 5 [0> ] para que la amplitud del intervalo de confianza sea mínima. 1 hq 1 () = 1

1 (1 h3q 2 () ) = 1 + 1

lo que lleva, de acuerdo con la Figura 4.8.4, a 1 (w> ) = [(1) +

1 ln( 1 ) q

2 (w> ) = [(1) +

1 ln(1 1 )> q

de donde el intevalo de confianza pedido se obtiene para 1 = ¶ μ 1 1 LF13 () = ([(1) + ln > [(1) + ln(1 )) q 2 q 2

1 2

y es

la amplitud del intervalo en función de 1 se hace mínima cuando m´ın ln

0$1 $

1 1 = ln 1

es decir si 1 vale 0 y por lo tanto el intervalo de confianza de amplitud mínima, basado en la variable pivotal es ([(1) + q1 ln > [(1) )= 4.8.6 La función de distribución de la población es, para A 0 ; ? 0¡ ¢ si { ? 0 { 3 I ({|) = si 0 { = 1 si { Si se aplica el Teorema 4.2.2 (método de Neyman), basado en el estadístico suficiente [(q) , ya que i ({1 > ===> {q |) = 3q 3q L[{(q) >+") ()

q ³ { ´2 Q l = l=1

Se trata de determinar dos funciones l (> ) l = 1> 2 tales que para A0 S {1 (> ) [(q) 2 (> )|} 1 para lo cual se obtiene la función de distribución del estadístico ; si w ? 0 ? 0¡ ¢ w 3q S {[(q) w} = S q {[ w} = si 0 w = 1 si w


197 197

de donde han de ser I ( 1 (> )) = 1

1 I ( 2 (> )) = 1

con 0 1 , o lo que es lo mismo μ ¶ ¶ μ 2 (> ) 3q 1 (> ) 3q = 1 1 = 1 > de acuerdo con la Figura 4.8.5 ha de ser 1

1 (w> ) = [(q) (1 1 )3 3q

1 3 3q

2 (w> ) ? [(q) 1

con lo que el intervalo de colas iguales, para 1 = 2 viene dado por μ 1 ³ ³ ´3 1 ¶ ´3 3q 3q > [(q) LF13 () = [(q) 1 2 2 Aquí también es sencillo determinar el intervalo de amplitud mínima, sin más que observar que el mínimo de la expresión 1 3 3q

[(q) (1

1

(1 + 1 )3 3q ) 1

se alcanza para 1 = y vale ([(q) > [(q) 3 3q )=

Figura 4.8.5. Representación del teorema de Neyman para el Ejercicio 4.8.6. 4.8.7

a) El intervalo de confianza correspondiente a 21 viene dado por ! Ã (q 1)V12 (q 1)V12 2 LF13 ( 1 ) = > 2 "2q31; "q31;13 2

2

198 198


donde V12 = 4200 069> "29;025 = 19 y "29;00 975 = 20 7 por lo que el intervalo es (1980 98> 14000 23)= b) El intervalo de confianza para la diferencia de medias, cuando las dos varianzas son desconocidas pero iguales, es de acuerdo con 4.3.6 r μ 1 1 LF13 (1 2 ) = [ \ wq1 +q2 32; 2 Vs + > q1 q2 r ¶ 1 1 [ \ wq1 +q2 32; 2 Vs + q1 q2 en este caso [ = 930 48> \ = 850 24> V12 = 4200 069 y V22 = 4210 414 por lo que la varianza muestral ponderada es Vs2 = 4200 604. Mediante las tablas de la distribución de Student, véase la tabla 5 al final del libro, se obtiene w18;00 025 = 20 101 de donde el intervalo es (120 1047> 280 4847)= c) Cuando las dos varianzas son desconocidas y diferentes 4 3 s s 2 2 2 2 V1 V1 V V LF13 (1 2 ) = C[ \ wi ; 2 + 2 > [ \ wi ; 2 + 2D q1 q2 q1 q2 con i = m´ın{q1 > q2 } 1 = 9. Mediante las tablas de la distribución de Student es w9;00 025 = 20 262 lo que lleva al intervalo (120 5598> 280 9398)> ligeramente más amplio que el obtenido en la parte anterior. 4.8.8 a) Mediante la acotación de Tchebyche aplicada a la media muestral se sigue que 1 S {|[ | %} 1 2 Y [[] % de donde si se determina % para que 1

1 2 = 00 95 %2 q

se puede emplear como intervalo de confianza aproximado ([ %> [ + %), lo que lleva a %2 = 16@00 5, % = 50 657 y como [=

1000 · 1 + === + 1012 · 1 = 1006 10

se sigue que LF00 95 () ' (10000 343> 10110 657)= b) Al suponer que la distribución de partida es normal se puede determinar el intervalo de confianza para la media con varianza conocida y de acuerdo con la Expresión 4.3.1 LF13 () = ([ } 2 s > [ + } 2 s ) q q que como }00 025 = 10 96 es (10030 52> 10080 479). Lógicamente, al tener más información el intervalo es más pequeño.


199 199

4.8.9 De acuerdo con la Expresión (4.3.8), el intervalo de confianza de grado 1, viene dado por μ LF13

21 22

¶

μ =

V12 V12 31 i iq 31>q1 31; 2 > V22 q1 31>q2 31; 2 V22 2

¶

como V12 = 20 8689> V22 = 280 056 y mediante las tablas de la distribución de 31 0 Snedecor i9>9;00 025 = 40 03 i9>9;0 0 025 = 0 2481; por lo que le intervalo es 0 0 (0 0238> 0 3861)= 4.8.10 Mediante la Proposición 4.3.1 se tiene que como ¯ ½μ ¶ ¾ ¯ V V 2 ¯ s s > [ + wq31; 4 S [ wq31; 4 3 ¯ (> ) 1 q q ¯ ! ) (Ã ¯ (q 1)V 2 (q 1)V 2 2¯ 2 > 2 3 ¯ (> ) 1 S ¯ "2q31; "q31;13 4

4

2 2

basta obtener [ = 930 48 V 2 = 4200 069 y w9;00 0125 = 20 686 con lo que el primer intervalo es (760 07> 1100 89). A partir de "29;00 0125 = 210 0345 y "29;00 9875 = 20 219 se obtiene el segundo (1790 7343> 17030 7499). 4.8.11 Si [ tiene distribución de Ehuqrxool() mediante la distribución asintótica del estimador de máxima verosimilitud (véase la Sección 3.6.3) se tiene que p I ) con () = (1 ). Se aproximadamente [ tiene distribución Q (> () q puede estimar esta expresión por ([), por lo que el intervalo de confianza asintótico viene dado por s

3 LF13 () ' C[ } 2

s [(1 [) > [ + } 2 q

4 [(1 [) D q

(véase la Sección 4.4) como }00 025 = 10 96 y [ = 00 4 se obtiene como estimador el intervalo (00 304> 00 496). 4.8.12 El HP Y de es [, de manera que por el Teorema central del límite o por el comportamiento asintótico de los EMV (véase la Sección 3.6.3) Ã r ! > [ Q > q

200 200


debido a la convergencia c.s. de [ a se puede suponer que aproximadamente [ q ' Q (0> 1) ¯ [ q

por lo que a partir de las tablas de la distribución normal se puede obtener } 2 tal que ; < @ ? [ S } 2 q } 2 = 1 > = [ q

lo que lleva al intervalo de confianza aproximado 3 s s 4 [ [D C[ } > [ + } 2 = 2 q q Si se aplica a la muestra dada, la media muestral es [=

160 + 130 + === + 29 = 710 9 10

y como }00 05 = 10 645 queda (670 4891> 760 3109) como intervalo asintótico de grado de confianza 00 9 para el número medio de insectos por fila . Puede compararse este intervalo con el obtenido en el Ejemplo 4.4.2. 4.8.13 Si la información inicial viene recogida por la distribución Ehwd(0 > 0 ), se sigue que la densidad final es una Ehwd(1 > 1 ) donde 1 = 0 +

q P l=1

{l

1 = 0 + q

q P l=1

{l

(véase el Ejemplo 3.2.3.1) la familia Ehwd es conjugada de la verosimilitud Elqrpldo. Por lo tanto el intervalo creíble viene dado por (}13 2 > } 2 ) cuantiles de la distribución Ehwd(1 > 1 )= 10 P {l = 5 se obtiene para = 00 1 que la Con 0 = 1> 0 = 1> q = 1 y l=1

distribución final es Ehwd(6> 6); con el concurso de un paquete estadístico, los cuantiles de esta distribución son }00 95 = 00 271 y }00 05 = 00 729 con lo que estará en el intervalo (00 271> 00 729) con probabilidad 00 9. 4.8.14 La familia de distribuciones Jdppd es conjugada para la verosimilitud de S rlvvrq (véase el Ejercicio 3.7.8). Por tanto la densidad final es una


201 201

Jdppd(d1 > s1 ) con d1 = d + q q P {l s1 = s + l=1

por ³lo que el íntervalo creíble de probabilidad 1 para viene dado los cuantiles de orden 2 y 1 2 , respectivamente, de la por }13 2 > } 2 distribución Jdppd(d1 > s1 ). Estos valores pueden determinarse fácilmente con cualquier paquete estadístico, o bien se pueden extraer de las tablas de la distribución "22s1 con 2s1 grados de libertad; ya que puede comprobarse que si Jdppd(d1 > s1 ) la nueva v.a. = 2d1 Jdppd( 12 > s1 ) o lo que es igual Jdppd( 12 > 2 ) con = 2s1 . Es decir = 2d1 "22s1 de donde se sigue que el intervalo creíble puede escribirse alternativamente como μ ¶ 1 2 1 2 "2s1 ;13 > "2s1 ; 2 2 2d1 2d1 en función de los cuantiles de la distribución "22s1 = Si se sustituyen los valores numéricos se obtiene d1 = 100 5> s1q= 749 y = 00 1. Como s1 es mayor que 100, mediante la aproximación 2"22s1 ' s Q ( 4s1 1> 1) se sigue que para obtener f1 = "22s1 ;13 ha de obtenerse 2 f1 de la expresión p s = S {"22s1 f1 } = S {] 2f1 4s1 1} 2 donde ] sQ (0> 1); por tanto a partir de las tablas de la distribución normal s ha de ser 2f1 us1 1 = 10 645, de donde f1 = 14080 8281= Análogamente, para la obtención de f2 = "22s1 ; 2

p s = S {"22 f2 } = S {] 2f2 4s1 1} 2 s s con lo que 2f2 4s1 1 = 10 645 y f2 = 15880 8786= Por lo que el intervalo creíble de probabilidad 00 9 es ¶ μ f1 f2 = (670 087> 750 6609) > 2d1 2d1 1

de amplitud ligeramente menor, que el obtenido asintóticamente en el Ejercicio 4.7.12. 4.8.15 Si la información inicial viene dada por () una distribución (100> 15) y la verosimilitud es i ({|) una densidad Q (> 10) la distribución final


202 202

(|{1 > ===> {q ) es una distribución Q(1 > 1 ) (véase (véae el el Ejercicio Ejercicio 3.7.15) 3.7.15) con con 1 =

0 @ 20 + q{@2 100@225 + {@100 400 + 9{ = = = 1060 923 31 + 10031 32 225 13 32 + q 0

32 31 21 = ( 32 = (22531 + 10031 )31 = 690 23 0 + q )

por ´ el intervalo creíble de probabilidad 1 vendrá dado por ³ lo tanto f13 2 > f 2 donde estos valores son los cuantiles de orden 2 y 1 2 respectivamente de la distribución Q (1 > 1 ). Por tanto o n S f13 2 f 2 |{1 > ===> {q = 1 de donde f13 2 = 1 + 1 }13 2 y f 2 = 1 + 1 } 2 con }13 2 y } 2 los cuantiles de la distribución N(0,1) de órdenes 2 y 1 2 respectivamente. De manera que el intervalo creíble es LF13 () = (1 1 } 2 > 1 + 1 } d ) = (900 6148> 1230 2312)

2

que tiene una amplitud de 2 · 1 } 2 = 2 · 80 3205 · 10 96 = 320 6164= Para el caso clásico, a partir de la Expresión 4.3.1 μ ¶ LF13 () = [ s } 2 > [ + s } 2 q q = ([ } 2 > [ + } 2 ) = (900 4> 1290 6)

cuya amplitud es 2 · } = 2 · 10 · 10 96 = 390 2= 2

4.8.16 a) Lo primero que se observa es que la integral a lo largo de todo el espacio paramétrico es infinita, a tal densidad se la denomina densidad impropia. Vamos a ver que a pesar de esto se obtienen densidades marginales a partir de (> 2 |{1 > ===> {q )= La función de densidad de la muestra es i ({1 > ===> {q |> 2 ) =

μ

1 s 2

¶q

3q 2

( 2 )

3 12

h

1 2

q P

que si se emplea q P

({l )2 = (q 1)V 2 + q({ )2

l=1

({l 3)2

l=1


203 203

puede ponerse alternativamente como ¶q μ 1 2 2 q 1 $ i ( { |> 2 ) = s ( 2 )3 2 h3 22 [(q31)V +q({3) ] 2 y por tanto la densidad final es ³ ´q 1 2 2 q ( 2 )31 I12 ( 2 )3 2 h3 22 [(q31)V +q({3) ] $ ³ ´q (> 2 | {)= R 1 q 2 2 +" R +" 2 31 I1 ( 2 )3 2 h3 22 [(q31)V +q({3) ] gg 2 0 3" ( ) 2 simplificando, el denominador es ·Z Z +" (q31)V 2 +1) 3 22 2 3( q 2 ( ) h 0

+"

3

h

1 ({3)2 2 2 @q

¸ g g 2

3"

q 2 1@2 , sin más que emplear que para la integral entre corchetes vale 2 q ( ) cualquier H y G A 0 es Z +" s 1 2 h3 2G2 (3H) g = 2G 3"

por lo que 1 2 2 q ( 2 )3( 2 +1) h3 22 [(q31)V +q({3) ] $ (> | { ) = q ¡ ¢ R 2 +" 2 3( q +1)+ 1 3 (q31)V 2 1 2h 2 2 ( ) 2 g 2 q 2 0

2

Además como

Z

+"

0

31

{3(s+1) h3d{ g{ = d3s (s)>

lo que se sigue haciendo el cambio d{31 = |, la integral del denominador 2 y s = q31 vale d3s (s) con d = (q31)V 2 2 . Por lo que el denominador es 1 1 s 22 q

¸3 q31 ¶ μ ¶· μ 2 V2 1 q1 (q 1) 2 2 2

y la densidad marginal (|$ {)=

R"

1 2 2 q ( 2 )3( 2 +1) h3 22 [(q31)V +q({3) ] > i q31 ¡ ¢ ¡1¢ h 1 2 3 2 1 V q31 I 22 (q 1) 2 2 2 q

0

2 +q({3)2

volviendo a aplicar que el numerador es d3s (s) con d = (q31)v y s = q2 se obtiene que £ ¤3 q s (q 1)V 2 + q({ )2 2 ( q2 ) $ (| { ) = q 1 q31 ( 2 )( q31 [(q 1)V 2 ]3 2 2 )

2

204 204


o alternativamente s {)= q (|$

" ¶ #3q@2 μ ( q2 ) 1 { 2 1 s s 1+ q 1 v@ q ( 12 )( q31 ) q 1V 2

$ { ) es la densidad de una distribución de Student Wq31 con por lo que (w| {3 w = V@Iq = La región creíble de más alta probabilidad final viene dada por ½ ¯ ¾ { ¯$ S {wq31;13 2 s wq31; 2 ¯¯| {}=1 v@ q ya que al ser la distribución de W simétrica basta hacer que los cuantiles de la distribución dejen colas iguales a 2 . Es decir que ½ ¯ ¾ ¯$ V V S {{ s wq31; 2 ? { + s wq31;13 2 |¯¯ {} =1 q q luego la región creíble de más alta probabilidad 1 es Ã

!

V V ({ s wq31; 2 > { + s wq31;13 2 ) q q

Se observa que numéricamente coincide con la región de grado de confianza 1 obtenida a partir de (4.3.2), pero su interpretación es bien distinta. Aquí la probabilidad final de que esté contenida entre los dos extremos es igual a 1 , en el caso clásico son ambos extremos las v.a. y fijado estos extremos aleatorios contienen a con probabilidad 1 , por eso cuando se obtiene una muestra particular ya no se puede hablar de probabilidad y se dice que es 1 el grado de confianza con que está entre ambos extremos. $ $ { ) se parte de (> 2 | { ), si se integra b) Para la obtención de ( 2 | respecto de , se obtiene $ ( 2 | {) =

R +"

1 q ( 2 )3 2 31 h3 2

3" ¡ 1 ¢3 q 1 2 I q 2

[(p31)V2 +q({3)2 ] 2

3 q31 2

[(q 1)V 2 ]

g

( 12 )( q31 2 )

pero el numerador puede ponerse como Z +" (q31)V 2 1 2 1 3q 31 3 22 2 h h3 22 q(H3) g ( ) 3"

q

y usando de nuevo que la integral vale que

2 q

se obtiene, tras simplificar,

(q31)V 2 ¡ ¢ 1 q 1 1 32 ( 2 ) 2 ( 2 )3 2 31 h3 22 $ 2 ( | { ) = ¡ ¢3 q q31 1 2 [(q 1)V 2 ]3 2 ( q31 2 2 )

2


205 205

2

con lo que mediante el cambio | = (q 1) V2 se obtiene que $ (|2 | {)=

μ ¶ q31 q31 1 1 1 2 ¡ q31 ¢ h3 2 | | 2 31 , | A 0 2 2

2 $ { "2q31 y se obtiene el resultado con lo que efectivamente (q 1) V2 | deseado. Se puede calcular la región creíble de probabilidad 1 a partir de ½ ¾ V2 $ 2 2 S "q31;13 (q 1) 2 "q31; | { = 1 > 2 2

ahora ya no es de más alta probabilidad y sí su aproximación con colas iguales, con lo que se obtiene que el intervalo creíble de probabilidad 1 viene dado por Ã ! (q 1)V 2 (q 1)V 2 > 2 "2q31; "q31;13 2

2

que coincide numéricamente con el obtenido en el caso clásico a partir de la Expresión (4.3.3) pero con una interpretación radicalmente diferente; de manera análoga a lo ocurrido para la media en la parte a).

Capítulo 5

CONTRASTES DE HIPÓTESIS 5.1.

INTRODUCCIÓN

El problema general de la estimación ha sido eliminar la incertidumbre acerca del parámetro que caracteriza a la familia de distribuciones de probabilidad. Una forma de hacerlo ha sido tomar los estimadores por punto y sustituir el valor desconocido por una función de la muestra; otra segunda ha consistido en la utilización de regiones de confianza o regiones creíbles en las que estará el valor desconocido con probabilidad alta, bien sea interpretada ésta como grado de confianza o bien como probabilidad final. La manera de proceder en este capítulo va a ser debilitar la petición del problema, tratando de dilucidar si dada la muestra se puede afirmar que el valor de pertenece al conjunto paramétrico 0 o bien al conjunto paramétrico 1 . Es decir, que ahora se pretende discriminar entre lo que se denomina la hipótesis nula K0 : 5 0 y la hipótesis alternativa K1 : 5 1 = Como se ha hecho en los capítulos anteriores, se estudiarán tanto la aproximación clásica como la bayesiana, según se pueda considerar el valor como parámetro o como variable aleatoria, dicho de otra manera, según se considere la evaluación del procedimiento que se utiliza bien frente a la distribución en el muestreo, o condicionado a la muestra que se ha observado. Es importante señalar que según la aproximación utilizada, se va a producir una segunda diferencia fundamental; en la aproximación clásica se va a introducir una asimetría entre la hipótesis nula y la alternativa que no existe en la aproximación bayesiana. En este sentido se interpreta, dentro de la primera aproximación, que el contraste estadístico lo que pretende es ver si la evidencia obtenida al observar la muestra es favorable a la hipótesis nula, o por el contrario hay que dirigirse hacia la hipótesis alternativa. 207

208 208

CAP.ESTADÍSTICA 5. CONTRASTES INFERENCIA

DE HIPÓTESIS

Por esta razón se debe colocar como hipótesis nula, aquella sobre la que se tenga inicialmente un mayor convencimiento de que va a ser cierta, pues como se verá por la forma de construir los contrastes, desde el punto de vista clásico, se actúa tratando de proteger a la hipótesis nula. Esta importante consideración no ha de ser tenida en cuenta en los contrastes bayesianos, ya que en esta última aproximación se consideran ambas hipótesis de manera simétrica. Situaciones a las que se puede aplicar el modelo del contraste de hipótesis, en sus dos aproximaciones pueden ser: ¿de los resultados de las tiradas de una moneda puede concluirse que ésta es equilibrada?, ¿es 0 la talla media de una población?, ¿tiene la vitamina C una repercusión positiva en la curación de la gripe?, ¿la utilización del cinturón de seguridad rebaja la proporción de accidentes mortales?, ¿una central atómica hace aumentar los niveles de radiación en la zona instalada? y un largo etc. Para explicitar el modelo a emplear se suponen m.a.s. de tamaño q de una distribución de la familia P = {i ({1 > ===> {q |)| 5 } donde se emplea notación de función de densidad. Definición 5.1.1 (contraste estadístico) Es cualquier partición del espacio muestral X en dos conjuntos RA y RC $ { = ({1 > ===> {q ) pertenece a RA se de tal manera que si el punto muestral dice que se acepta la hipótesis nula, es decir, se admite K0 : 5 0 , y si $ { 5 UF se dice que se rechaza la hipótesis nula, o lo que es lo mismo, se admite K1 : 5 1 . A RA se le denomina región de aceptación y a RC región crítica. ¥ Con frecuencia el contraste de hipótesis es especificado en función de un estadístico W ({1 > ===> {q ) que resume la información muestral, así si se quiere, para una población Q (> 1), contrastar la hipótesis nula K0 : = 0 frente a la hipótesis alternativa K1 : = 3, se puede emplear como región crítica UF = {[ 00 392}, es decir, se rechaza la hipótesis nula para aquellos puntos muestrales para los que la media muestral iguale o supere al valor 00 392. En lugar de utilizar toda la muestra se emplea la media muestral. Algunos autores, por una restricción de tipo matemático que se introducirá más adelante, llaman a los contrastes estadísticos que aquí se han definido contrastes no aleatorizados y admiten la existencia de contrastes aleatorizados como aquellos para los que en determinados puntos se realiza un sorteo para decidir entre la aceptación o el rechazo de la hipótesis nula. En este texto no se van a considerar los contrastes aleatorizados ya que desde el punto de vista práctico no son realistas. Se llama hipótesis simple, bien sea la nula o la alternativa, a aquella que consta de un único elemento, en otro caso se habla de hipótesis compuesta. Cuando el espacio paramétrico sea toda la recta real, es decir = R, se

5.1. INTRODUCCIÓN

CONTRASTES DE HIPÓTESIS

209 209

llaman hipótesis unilaterales a aquellas en las que se contrasta un semiintervalo frente a su complementario y se llama hipótesis bilaterales a aquellas en las que se contrasta un intervalo, propio o no frente a su complementario. Así, si se está trabajando con una población Q(> 0 ) con 0 conocida, es un caso de hipótesis nula simple frente a alternativa simple, el contrastar la hipótesis nula K0 : = 0 frente a K1 : = 1 . Un caso de hipótesis nula unilateral frente a alternativa unilateral es el contrastar la hipótesis nula K0 : 0 frente a K1 : A 0 = Es una hipótesis bilateral el contrastar K0 : 5 [d> e] frente a K1 : ? d ó A e. Salvo en el primer caso, en todos los demás se está trabajando con hipótesis compuestas. Mediante la utilización de un contraste se pueden cometer dos tipos de errores: rechazar K0 cuando 5 0 , llamado error de tipo I o aceptar K0 cuando 5 1 llamado error de tipo II. Por lo tanto lo que puede ocurrir con un test de hipótesis queda recogido en la Tabla 5.1.1.

5 0 5 1

$ { 5 UF error de tipo I correcto

$ { 5 UD correcto error de tipo II

Tabla 5.1.1. Consecuencias de un test de hipótesis. Será deseable construir contrastes de manera que ambos tipos de error sean pequeños. Si se quiere disminuir la probabilidad de cometer error de tipo I se deben llevar puntos de la region crítica a la región de aceptación pero entonces aumenta la probabilidad de cometer error de tipo II, de acuerdo con la Tabla 5.1.1. La solución es llegar a un compromiso entre las probabilidades de error de ambos tipos que se quieran asumir, para ello se definen los siguientes conceptos. Definición 5.1.2 (nivel de significación y tamaño) Al contrastar K0 : 5 0 frente a K1 : 5 1 mediante el test de región crítica RC y región de aceptación RA, se llama nivel de significación a cualquier número 5 (0> 1) tal que S (UF|) ; 5 0 = Se llama tamaño al menor de los niveles de significación, es decir al valor tal que sup S (UF|) = = ¥

MX0

Lo que se pretende es emplear tests con nivel de significación pequeño ya que este valor es la cota de los errores de tipo I. Definición 5.1.3 (función de potencia) Al contrastar K0 : 5 0 frente a K1 : 5 1 mediante el test de región crítica RC y región de aceptación RA, se llama función de potencia a () = S (UF|) cuando recorre tanto la hipótesis nula como la alternativa.


210 210

DE HIPÓTESIS

Se observa que cuando 5 0 la función de potencia es la probabilidad bajo de cometer error de tipo I y cuando 5 1 la potencia es 1 menos la probabilidad de cometer error de tipo II. Por lo tanto interesa obtener contrastes que tengan función de potencia pequeña cuando 5 0 y grande cuando 5 1 , de esta manera las probabilidades de cometer ambos tipos de error serán pequeñas. Ejemplo 5.1.1 Si para una población Q (> = 1), se quiere contrastar la hipótesis nula K0 : = 0 frente a la hipótesis alternativa K1 : = 3, con m.a.s. de tamaño q = 25, el contraste de región crítica UF = {[ 00 392} tiene de tamaño 00 025, ya que S {[ 00 392| = 0} = S {] A = S {] = 00 025

00I 392 } 1@ 25 0 1 96}

la función de potencia es () = S {[ 00 392|} 0 I = S {] 01@3923 } 25

= 1 (10 96 5)

con ] distribuida Q (0> 1). Así cuando = 3 la función de potencia es (130 04) prácticamente igual a 1= ¥ Para evitar que al tomar tamaños diferentes, con la misma evidencia muestral, en unos casos se rechace la hipótesis nula y en otros se acepte, se introduce el concepto de p-valor. Con poca precisión pueden decirse que el p-valor es la probabilidad del suceso cola que ha sido observado. Definición 5.1.4 (p-valor) Si para contrastar K0 : 5 0 frente a K1 : 5 1 el test tiene de $ $ { |W ( { ) f} para W un estadístico conveniente y se región crítica UF = { $ observa, la muestra { = ({1 > ===> {q ), se denomina p-valor correspondiente a $ { al valor $ s({1 > ===> {q ) = sup S {W ( [ ) W ({1 > ===> {q )|}= (5.1.1) MX0

Lo primero que se observa es que el p-valor es un concepto que depende $ { . Además, si se emplea el test de tamaño , de la observación realizada $ { , este valor con estrictamente menor que el p-valor correspondiente a $ de { pertenece a la región de aceptación, mientras que para un valor del $ { pertenece a la región crítica del test. En este tamaño mayor que el p-valor, sentido el p-valor es el tamaño límite correspondiente al valor observado.

5.1 MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN CONTRASTES. CONTRASTES DE DE HIPÓTESIS

211 211

Por último, como a menor tamaño es menos verosímil que se presente un suceso incompatible con la hipótesis nula, un p-valor observado pequeño se interpreta como poca evidencia a favor de K0 , y se dice que el p-valor es el valor de la evidencia en contra de la hipótesis nula. Así en el Ejemplo 5.1.1 si se observa una muestra cuya media muestral es de { = 00 1, el p-valor es $ s( { ) = S {[ 00 1| = 0} = S {] A 00 1 × 5} = S {] A 00 5} = 00 0062= Es decir hay una fuerte evidencia de que K0 sea falsa; todavía con un tamaño = 00 1 se habría rechazado K0 , mientras que con = 00 001 se habría aceptado K0 =

5.2.

MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN DE CONTRASTES DE HIPÓTESIS

En uniformidad con lo hecho en la estimación por punto y en la estimación por regiones de confianza, se van a estudiar ahora diferentes procedimientos de construcción de contrastes. Así se desarrollan a continuación el método de la razón de verosimilitudes, el método bayesiano y la invariancia.

5.2.1.

Contrastes de la razón de verosimilitudes

Este método de obtención de contrastes de hipótesis está intimamente ligado con el método de la máxima verosimilitud que se ha desarrollado para la construcción de estimadores. Definición 5.2.1.1 (contraste de la razón de verosimilitudes) Para contrastar K0 : 5 0 frente a K1 : 5 1 con m.a.s. de tamaño q el test de la razón de verosimilitudes (RV) es el que tiene de región crítica $ $ { = ({1 > ===> {q )|( UF = { { ) n} donde ($ {)=

(5.2.1.1)

sup i ({1 > ===> {q |)

MX0

supi ({1 > ===> {q |) MX

y n es una constante 0 n 1 determinada para que sup S {UF|} , siendo un valor fijo perteneciente al intervalo [0> 1].

MX0

Esta construcción, es bastante razonable. Si, de acuerdo con la Sección 3.6.2, se denota por $ $ O(b 0 | { ) = sup i ({1 > ===> {q |) y O(b | {)= MX0

sup i ({1 > ===> {q |)

MX0 X1


212 212

DE HIPÓTESIS

son los estimadores de máxima verosimilitud, el primero 0 y b se tiene que b bajo la hipótesis nula y el segundo sobre todo el espacio paramétrico. Por $ $ { para los que ( { ) sea pequeño se puede decir que dan lo tanto aquellos poca evidencia de que sea cierta la hipótesis nula; por el contrario aquellos $ $ { para los que ( { ) sea grande dan evidencia de que la puntos muestrales hipótesis nula sea cierta. Esto justifica la construcción de la región crítica contenida en la Expresión (5.2.1.1). Ejemplo 5.2.1.1 Para contrastar K0 : 0 frente a Ks : A 0 con m.a.s. de tamaño n de una población de Bernoulli(), mediante el test de la UY se tiene que q q P P $ ( {) =

sup $0

sup

1

{l

q P 1

q3

(1 )

{l

1

{l

q P

q3

(1 )

1

{l

M[0>1]

= { y para el numerador si El supremo del denominador se alcanza en b { 0 es b 0 = {, caso contrario al ser el numerador una función creciente en , el supremo se alcanza en 0 , con lo que se tiene ; A si { 0 ? 1 q q P P $ ( {)= ³ ´ {l ³ ´q3 {l A 130 l=1 = 0 l=1 si { 0 { 13{{ $ { ) es una función decreciente de {, la región crítica como la función ( viene dada por {{|{ f}. Dado , para la determinación de la constante q P [l se distribuye Elqrpldo(q> ), por lo que basta puede utilizarse que l=1

hacer que S {[ f|0 } = Ejemplo 5.2.1.2 Para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> 1) mediante el test de la UY q P ³ ´q 3 12 ({l 30 )2 1 1 I h 2 $ ( {) = q P ³ ´q 3 12 ({l 3)2 1 sup I12 h 3q ({30 )2 2

=h

Esta expresión es simétrica en { alrededor de 0 y alcanza su máximo en 0 donde vale 1, por lo que se puede poner como región crítica {{||{0 | f}. La obtención de la constante se sigue de que [ Q (0 > I1q )= ¥


213 213

En ambos ejemplos se observa que la región crítica es siempre función de la muestra a través del estadístico suficiente. Esto es un resultado general, ya que por el Teorema 2.2.1 (factorización) (véase la Sección 2.2), tanto $ $ { ) son funciones de dicho estadístico. O(b 0 | { ) como O(b | El método de la UY da lugar a tests estadísticos con buenas propiedades en casi todos los casos, como se verá más adelante.

5.2.2.

Contrastes de la razón de verosimilitudes en el caso normal

Debido al papel central que ocupa la distribución normal en la inferencia estadística, se van a desarrollar con algún detalle, los tests de hipótesis a los que se llega en el caso normal. Siempre que sea posible se obtendrán estos tests mediante la UY , aunque en algunos casos se va a recurrir a aproximaciones, con el fin de facilitar la obtención de las constantes que determinan la región crítica del test.

Contrastes relativos a la media: Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ), pueden resumirse los distintos contrastes para la media en la Tabla 5.2.2.1

Región Crítica K0 0 0 = 0

K1 A 0 ? 0 6= 0

conocida [ 0 + Iq } [ 0 + Iq }13 |[ 0 | Iq } 2

desconocida [ 0 + IVq wq31; [ 0 + IVq wq31;13 |[ 0 | IVq wq31; 2

Tabla 5.2.2.1. Contrastes relativos a la media de la distribución normal, con z y t cuantiles de las distribuciones normal y de Student respectivamente. Ejemplo 5.2.2.1 Para la obtención del primer contraste con varianza desconocida ³ sup

$ ( {)=

2 D0 $0

³ sup

2 D0 MR

I1 2

I1 2

´q

´q

3

h

3

h

1 2 2

1 2 2

q P

({l 3)2

1 q P 1

({l 3)2


214 214

DE HIPÓTESIS

es fácil ver que los estimadores de P Y del denominador, véase la Sección 3.6.2, son q 1P ({l {)2 b={ b2 = q 1 y que los estimadores del numerador son b20 =

q 1P ({l b0 )2 q 1

b0 =

½

{ si 0 si

por lo que la razón de verosimilitudes es ; 1 si A A 4q@2 A q ? 3P $ ({l 3{)2 ( {)= E F 1 A si CP D q A A = 2 ({l 30 )

{ 0 { 0

{ 0 { A 0

1

de forma que la razón de verosimilitudes es una función no creciente de {, cuya representación viene dada en la Figura 5.2.2.1.

$ Figura 5.2.2.1. ( { ) como función de $ { > para el Ejemplo 5.2.2.1. $ { ) n} puede escribirse alternativamente La región crítica UF = {( como UF = {{ f}. Para la obtención de la constante f se debe suponer que (5.2.2.1)

S {[ f|> 2 }

; 0

; 2 A 0=

Para ello se determina f de manera que S {[ f|0 > 2 } = > empleando s 0 q Wq31 ha de ser que [3 V ¯ ½ ¾ f 0 s ¯¯ [ 0 s f 0 s 2 S q q¯ 0 > = S {Wq31 q} V V V =


215 215

de donde f = 0 + IVq wq31; . Para comprobar ahora que con esta constante se verifica (5.5.2.1), se observa que S {[ 0 + IVq wq31; |> 2 } = 0 3+ IVq wq31; s I q |> 2 } = S { [3 V V@ q

(5.2.2.2)

y como

[3 s q V

Wq31 , se sigue que (5.2.2.2) coincide con ½ ¾ s q (0 ) + wq31; S Wq31 V

expresión menor o igual que siempre que sea 0 0= ¥ El resto de los contrastes de la Tabla 5.2.2.1 se obtienen de forma análoga, salvo el último, que se corresponde con la aproximación de región crítica con colas iguales para facilitar la obtención de las constantes, véase el Ejercicio 5.7.8.

Contrastes relativos a la varianza: Para m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ), pueden resumirse los distintos contrastes para la varianza en la Tabla 5.2.2.2. Región Crítica K0

K1

2 20

2 ? 20

2

20

2

=

20

2

2

conocida q P ({l )2 "2q;13 20

0 V 2 "2q31;13 q31

A

20

q P ({l )2 "2q; 20

0 0 V 2 "2q31;13 q31 q31

6=

20

q P ({l )2 "2q;13 20 2

0 V 2 "2q31;13 q31

q P ({l )2 "2q; 20 2

0 o V 2 "2q31; q31

1

1

1

o

1

desconocida 2

2 2

2

2

2

2

Tabla 5.2.2.2. Contrastes relativos a la varianza de la distribución normal donde "2q; es el cuantil de orden 1 de la distribución "2q =

216 216


DE HIPÓTESIS

Ejemplo 5.2.2.2 Para la obtención del último contraste, el relativo a la hipótesis puntual con media conocida, la UY es ³ $ ( {)=

I 1 20

³ sup

´q

I1 2

1 2 2 0

3

h

´q

3

h

q P 1

1 2 2

({l 30 )2

q P

({l 30 )2

1

el estimador de P Y para el denominador es b2 =

q 1P ({l 0 )2 q 1

por lo que la UY puede ponerse como $ ( {)=

μ

b2 20

¶q@2

3q 2

h

e2 31 2 0

cuya representación puede verse en la Figura 5.2.2.2

$ { ) como función de b2 > para el Ejemplo 5.2.2.2. Figura 5.2.2.2. ( $ { ) n} puede ponerse alternativamente La región crítica UF = {( 2 2 f1 ó como UF = {b b f2 }, donde las constantes han de verificar, además de la restricción del tamaño del test, que μ n= μ =

f1 20 f2 20

¶q 2

¶q 2

o lo que es lo mismo ha de ser ln ff12 =

f1 31 2 0

3q 2

h

3q 2

h

f2 31 2 0

f1 3f2 . 20


217 217

Para evitar resolver esta ecuación junto a la restricción de tamaño , se utiliza la aproximación con probabilidad de cola iguales, es decir se determinan las constantes f1 y f2 para que = S {b 2 f1 | 20 } 2

= S {b 2 f2 | 20 } 2 2

lo que puede hacerse teniendo en cuenta que q e2 = 0

donde

q P ({l 30 )2 1

20

"2q , de

¯ ¾ b2 f1 ¯¯ 2 q 2 q 2 ¯ 0 0 ¯ ¾ ½ 0 f 1 ¯¯ 2 2 = S "q q 2 ¯ 0

=S 2

½

0

por lo que q f12 = "2q;13 = Esto hace que la región crítica sea 0

2

q P UF = { ({l )2 "2q;13 20 1

2

o bien

q P ({l )2 "2q; 20 }= 1

2

Contrastes relativos a la diferencia de medias: Para una m.a.s. de tamaño p de una población Q (1 > 1 ) e independiente de otra m.a.s. de tamaño q de una población Q (2 > 2 ), pueden resumirse los distintos contrastes para la diferencia de medias 1 2 en la siguiente Tabla. Región Crítica K0 21 = 22 desconocidas K1 21 > 22 conocidas 1 2 1 2 A { q | {| q 21 22 1 } p + q + q1 wp+q32; Vs p 1 2 1 2 ? {q | {| q 21 22 1 + q1 } p + q wp+q32; Vs p 1 2 = 1 2 6= | | |{ | | |{ q q 21 22 1 } 2 p + q + q1 wp+q32; 2 Vs p Tabla 5.2.2.3. Contrastes relativos a la diferencia de medias de poblaciones normales, con } > w; cuantiles de las distribuciones Q(0> 1) y W respectivamente. Los cálculos para la obtención de la Tabla 5.2.2.3 son análogos a los realizados en las tablas anteriores.


218 218

DE HIPÓTESIS

Para la determinación de las constantes se utiliza la distribución del siguiente estadístico (5.2.2.3) , s· ¸ 1 [ \ (1 2 ) V22 V12 q Wp+q32 (p 1) 2 + (q 1) 2 2 2 1 2 (p + q 2) 1 2 + p q ya que

[3\ 3(1 32 ) u 2 2 1 + 2 p q

V2

V2

1

2

Q (0> 1) y (p 1) 12 + (q 1) 22 "2p+q32 .

Si las varianzas son conocidas se pueden obtener las constantes de los tests de la UY , si las varianzas son desconocidas pero iguales se tiene, véase la Expresión (4.3.6), que poniendo 21 = 22 = 2 este valor desconocido desaparece al dividir numerador y denominador de la Expresión (5.2.2.3). Además el denominador toma la forma de la raíz cuadrada de (p 1)V12 + (q 1)V22 Vs2 = (5.2.2.4) p+q2 que es una poderación de los estimadores de la varianza con cada una de las muestras. Contrastes relativos al cociente de varianzas: Como se ha visto en el problema de las muestras de poblaciones normales, es de capital importancia el saber si 21 @ 22 = 1, los tests de la UY en este marco pueden verse en la Tabla 5.2.2.4 Región Crítica K0 21 22

K1

1

21 22

A1

1 p

21 22

21 22

1

=1

21 22

21 22

?1

6= 1

({l 31 )

1 q

P 1

q 1 q

1 p 1 p 1 q

1 q 1 p

1 > 2 desconocidas

1 > 2 conocidas q p P 2 (|l 32 )2

1

q P

(|l 32 )2 ({

1 q

P

(|{ll31 )2

1

q p P

({l 31 )2

1 q

P

(|l 32 )2

1

(|l 32 ({

q p P 1

V12 V22

ip31>q31;

iq>p;

V22 V12

iq31>p31;

ip>q; 2

V12 V22

o bien

q P 1

ip>q;

)2

(|{ll31 )2

iq>p; 2

ip31>q31;2 si

V12 V22

1

V12 V22

?1

o bien V22 V12

iq31>p31; 2 si

Tabla 5.2.2.4. Contrastes relativos al cociente de varianzas de poblaciones normales, con i 1 2 ; cuantil de la distribución I de Snedecor.


219 219

El test correspondiente a la hipótesis nula puntual, es la aproximación con colas iguales al test de la UY=

Ejemplo 5.2.2.3 2 2 Para contrastar K0 : 12 = 1 frente a K1 : 12 6= 1 con m.a.s. de tamaño p 2 2 y q de dos poblaciones Q (1 > 1 ) y Q (2 > 2 ) e independientes, el test de la UY viene dado en función de ³ sup

1 >1 >

$ $ ( {> |)=

I1 2

³ sup

1 >2 > 1 > 2

´p

I 1 21

3

h

´p

1 2 2

3

h

p q P 1

({l 31 )2

³

p P

1 2 2 1

({l 31 )2

1

I1 2

³

´q

I 1 22

3

h

´q

1 2 2

3

h

q P 1

1 2 2 2

(|l 32 )2 p P 1

(|l 32 )2

Los estimadores de P Y para el denominador son:

b1 = {

b21 =

b2 = |

p 1 P ({l {)2 p 1

b22 =

q p 1P (|l |)2 > q 1

de manera análoga los estimadores para el numerador son:

b01 = {

b02 = |

b20 =

22 pb 21 + qb > p+q

por lo que la UY es ³ $ ($ {> |)= ³

1 e20 1 e21

´ p+q 2

´p 2

= (q + p)

33 1122 (pe 21 +qe 22 ) 2 e

hh

p

h3 2 q+p 2

e0 0

³ μ

1 e21

´q

b21 b22

2

q

h3 2

¶3 p+q ¶ q2 μ 2 b21 = p 2 +q b2

De acuerdo con la representación de la Figura 5.2.2.3, la región crítica


220 220

DE HIPÓTESIS

$ $ 22 , para el Ejemplo 5.2.2.3. Figura 5.2.2.3. ( {> | ) como función de b21 @b 21 @b 22 f1 o 22 f2 } donde las constantes b21 @b del test de la UY es UF = {b han de verificar la ecuación p

f12 (pf1 + q)3

p+q 2

p

= f22 (pf2 + q)3

p+q 2

y la restricción S {UF| 21 @ 22 = 1} = = Para facilitar los cálculos, se impone S {b 21 @b 22 f1 |K0 } =

2 V2

22 f2 |K0 } = S {b 21 @b

2

V2

lo que lleva, puesto que (p 1) 12 "2p31 y (q 1) 22 "2q31 , a las cons1 2 tantes de la Tabla 5.2.2.4, donde la condición de comprobar primeramente si es V12 V22 se introduce para facilitar la obtención, a partir de las tablas, de los cuantiles de la distribución de Snedecor. ¥ El método de la razón de verosimilitudes, como el resto de los que se van a estudiar, tiene la propiedad de proporcionar tests que poseen buenas propiedades en contextos suficientemente generales, no obstante, como con casi todos los procedimientos estadíticos, siempre pueden encontrarse situaciones en las que da lugar a contrastes que no tienen un comportamiento adecuado, cómo pone de manifiesto el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.2.2.4 Se pretende contrastar la hipótesis nula de que una v.a. discreta se distribuye con una función de masa ; ? @2 si { = ±2 132 S {{} = si { = ±1 = 2 si { = 0

5.2 MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN CONTRASTES. CONTRASTES DE DE HIPÓTESIS frente a la hipótesis alternativa de que es distribuciones ; f A A ? 13f 132 13 2 S {{|} = 13f 13 A A = (1 )f

221 221

algún miembro de la familia de si { = 2 si { = ±1 si { = 0 si { = 2

? f ? . cuando 5 [0> 1]> donde las constantes cumplen 0 ? ? 12 y 23 La razón de verosimilitud en los distintos puntos muestrales vale 2

(2) =

sup { >(13)f} 2

M[0>1]

(2) =

2

sup { >f} 2

M[0>1]

(1) = (1) = (0) = 13 13f >

=

=

2

m´ ax{ >f} 2 2

m´ ax{ >f} 2

=

=

2f

2f

13 13f

por lo que la UY queda representada en la Figura 5.2.2.4

Figura 5.2.2.4. ({) para el Ejemplo 5.2.2.4.

³ ´ 13 > 13f . Este test y por lo tanto la UF = {{|({) n} = {2> 2} si n 5 2f tiene de tamaño S {2> 2|K0 } = y de potencia S {2> 2|} = f ? , es decir el test que se obtiene por el método de la UY para la restricción de k tomada, tiene peor potencia que el que siempre rechaza con probabilidad independientemente del valor muestral observado {=

5.2.3.

Distribución asintótica de la razón de verosimilitudes

Hasta ahora se ha visto que la distribución de la razón de verosimilitudes o de una función de ella, tiene distribución conocida cuando la población se distribuye Q(> ). Como se ha dicho el método de la razón de verosimilitudes está pensado para poder construir contrastes de hipótesis en situaciones


222 222

DE HIPÓTESIS

bastantes generales, por lo que será necesario conocer su distribución bajo la hipótesis nula con el fin de poder determinar la constante. Se va a demostrar, que bajo determinadas hipótesis, la distribución asintótica de 2 ln ([1 > ===> [q ) es una distribución "2 , en la que el número de grados de libertad es la diferencia entre la dimensión de todo el espacio paramétrico y la dimensión del espacio paramétrico 0 , obtenido de cuando la hipótesis nula se supone cierta. Teorema 5.2.3.1 (distribución asintótica de la UY ) Para constrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 cuando 5 es un subconjunto de R, si se denota por q ({1 > ===> {q ) =

(5.2.3.1)

O(0 |{1 > ===> {q ) i ({1 > ===> {q |0 ) = máxi ({1 > ===> {q |) O(b |{1 > ===> {q ) MX

y se cumplen las siguientes hipótesis: H1) En un intervalo abierto D contenido en existe C3 | C 3

C3 C3

ln i ({|) con

ln i ({|)| ? P ({) y H P ([) ? N para todo 5 D= h i £C ¤ 1 C2 ln i ([|0 ) = 0, H0 i ([| i ([| ) =0 H2) En D se tiene H0 C 0 2 0 ) C y 0 ? L1 (0 ) ? +4= Entonces se tiene la siguiente convergencia en ley L

2 ln q ({1 > ===> {q ) $0 "21 = Demostración: Recordando que H1) y H2) son las condiciones introq de la ecuación ducidas para que exista una sucesión consistente de raíces b de verosimilitud, véase la Sección 3.6.3. q C P ln i ({l |) = 0 1 C

se cumple que b q $ 0 f=v=

y

L s q(b q 0 ) $0 ] 5 Q

Ã

1 0> p L1 (0 )

!

{ = ({1 > ===> {q ) se tiene Por otro lado con $ $ $ $ { ) = 2[ln i ( { |0 ) ln i ( { |b q )] 2 ln q ( $ $ { ) = ln i ( { |0 ) alrededor de b q se obtiene por lo tanto si se desarrolla o(0 | q )2 (0 b $ $ $ $ o”( o(0 | q | { ) = o(b q | { ) + (0 b q )o0 (b {)+ {) (Wq | 2 q converge en probabilidad q Wq | y por tanto cuando b donde |b q 0 | A |b W a 0 también q convergerá a 0 =


223 223

$ q | Como o0 (b {) = 0 # 2 b ) ( 0 q $ $ {) o”(Wq | 2 ln ( { ) = 2 2 ·³ ´2 o”(W | $ ¸ p q {) b = qL1 (q )(0 q ) qL1 (0 ) "

y al tenerse que p L qLq (0 )(0 b q ) $0 ] Q (0> 1) y que por la ley de los grandes números q C2 1P 1 f=v= $ o”(Wq > {) = ln i ({l |Wq ) $ L1 (0 )= 2 q q 1 C

Se sigue, tras elevar al cuadrado y aplicar el Teorema 1.4.5 (Slutsky), la siguiente convergencia $ o”(Wq ; { ) L0 2 q )2 qL1 (0 )(0 b $ ] "21 qL1 (> 0) con ] v.a. con distribución Q (0> 1), por lo tanto L

2 ln q ({1 > ===> {q ) $0 "21 = Nótese que los grados de libertad de la distribución "2 son = dim dim 0 =1 ¥ El siguiente teorema generaliza este resultado al caso k-dimensional. Su demostración puede verse en Rao (1973) pág. 418. Teorema 5.2.3.2 (distribución asintótica de la UY , caso general) Para contrastar K0 : 1 = 1 ( 1 > ===> t ),...,n = n ( 1 > ===> t ) frente a K1 : 1 > ===> n con t n y donde todos los parámetros son reales, si las Cl derivadas C son funciones continuas y se verifican condiciones análogas a m H1) y H2) del Teorema 5.2.3.1 para el caso k-dimensional (véase Rao (1973) pág. 391) se tiene que notando por < q P $ $ @ C C Cm ln i ({1 > ===> {q | ) = Cm ln i ({l | ) = 0 l=1 > m = 1> ===> n


224 224

DE HIPÓTESIS

a la ecuación de verosimilitud bajo la hipótesis alternativa; y si sus soluciones q son únicas. Entonces, se tiene que 0 y b respectivas b L

2 ln ({1 > ===> {q ) $ "2n3t = Obsérvese que al igual que en el teorema anterior, los grados de libertad de la distribución "2 son n t = dim dim 0 = Ejemplo 5.2.3.1 (modelos log-lineales) Se considera un experimento aleatorio en el que las q observaciones se pueden clasificar, de clasificar, de forma exhaustiva, exhaustiva, en en 44 clases clases disjuntas disjuntasde deprobabilidades probabilidadesresrepectivas (1 > 2 > 3 > 4 ). Mediante la aplicación de la distribución multinospectivas mial, se trata de contrastar K0 : 1 = 2 | 3 = 4

frente a

K1 : (1 > 2 > 3 > 4 ) arbitrarios.

Aplicando el test de la UY , bajo K0 la distribución multinomial es q! {1 +{2 {3 3 +{4 {1 !{2 !{3 !{4 ! 1 0 0 1 = ({1 + {2 )@2q y b 3 = tomando logaritmos y derivando se obtiene b ({3 + {4 )@2q= Bajo K1 la distribución multinomial es

q! {1 {2 {3 {4 {1 !{2 !{3 !{4 ! 1 2 3 4 l = de donde b Entonces (5.2.3.2)

{l q= 4 b P l $ {l ln 0 2 ln ( {)=2 b l=1 μ l μ ¶ ¶ 2{1 2{2 + 2{2 ln = 2{1 ln {1 + {2 {1 + {2 μ μ ¶ ¶ 2{3 2{4 + 2{3 ln + 2{4 ln {3 + {4 {3 + {4

0 l , cuya distribul @b Expresión lineal en los logaritmos de los cocientes b ción asintótica, de acuerdo con el Teorema 5.2.3.2 es una "22 = Por lo tanto el test de la UY rechaza, cuando la Expresión (5.2.3.2) sea mayor o igual que el valor "22> =


5.2.4.

225 225

Contrastes bayesianos

Cuando se tiene información inicial, acerca del parámetro , en la forma de una distribución de probabilidad sobre el espacio , igual que en el caso de los estimadores por punto, véase la Sección 3.6.4, se recurre a calcular la probabilidad de la hipótesis nula y de la hipótesis alternativa a partir de la distribución final. Con notación de función de densidad la distribución $ { = ({1 > ===> {q ) final o a posteriori, cuando se observa el resultado muestral viene dada por $ ()i ( { |) $ ()i ( { |)g X

$ (| {) = R

(5.2.4.1)

se puede hablar entonces con toda propiedad de la probabilidad final de que la hipótesis nula y la alternativa sean verdaderas; Z Z $ $ $ $ {)= { )g S (1 | {) = { )g (| (| S (0 | X0

X1

por lo tanto la región crítica es (5.2.4.2)

$ $ $ UF = { { = ({1 > ===> {q )|S ( 5 1 | { ) A S ( 5 0 | { )}=

De todas formas, en este caso el énfasis se hace sobre el espacio paramétrico y no sobre el espacio muestral X , por lo que no se va a estar interesado en todos los puntos de la región crítica, sino más bien en si para un punto muestral fijo, el que haya sido observado, se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Obsérvese además que el comportamiento es del todo simétrico, en la hipótesis nula y en la alternativa,. Se se calculan las probabilidades de $ $ ambas hipótesis mediante (5.2.4.1) donde S (0 | { ) + S (1 | { ) = 1 y se acepta aquella hipótesis cuya probabilidad final sea mayor. Así pertenecen a la región crítica, aquellos puntos para los que la probabilidad final de la hipótesis alternativa sea mayor que la probabilidad final de la hipótesis nula. Ejemplo 5.2.4.1 Para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : = 1 con 1 A 0 para m.a.s. de tamaño q de una población [ Q (> ) con conocida, si la distribución inicial viene dada por S { = 0 } = s, puede comprobarse que la región crítica está formada por ¾ ½ ¯ ¯ 1 + 2 2 s $ + ln UF = { ¯¯{ 2 q(1 0 ) 1 s ¥ Aunque en el contraste de hipótesis bayesiano las medidas de interés son las probabilidades finales de las dos hipótesis, es también interesante introducir el siguiente concepto.


226 226

DE HIPÓTESIS

Definición 5.2.4.1 (factor Bayes) Para contrastar la hipótesis nula K0 : 5 0 frente a la hipótesis alternativa K1 : 5 1 se define el factor Bayes en favor de K0 , mediante el cociente (5.2.4.3)

$ $ { )/ S (K1 | {) S (K0 | $ E( { ; K0 > K1 ) = S (K0 )/ S (K1 )

La idea es, que cuanto mayor sea el factor Bayes, mayor será la probabilidad final de la hipótesis nula frente a la probabilidad final de la hipótesis alternativa, y por tanto existe mayor evidencia a favor de la hipótesis nula. Ejemplo 5.2.4.2 Para contrastar la hipótesis nula K0 : = 12 frente a la hipótesis alternativa K1 : = 23 para una m.a.s. de tamaño q de una población de Bernoulli de parámeto el factor Bayes a favor de K0 viene dado por $ E( { ; K0 > K1 ) =

μ

0

q ¶P {l μ

0 1 q P

=05

1

1

{l

q P

0 q1

15

1 0 1 1

q ¶q3P {l 1

{l

expresión que para q = 10 y cuando se obtienen 2 éxitos es igual a 140 45 2 cuando se obtienen 5 éxitos es 10 80 y cuando se producen 8 éxitos es igual a 00 23. Es decir a medida que el número de éxitos aumenta, lógicamente disminuye la evidencia a favor de la hipótesis nula. ¥ Se observa además que al factor Bayes, en el caso de que ambas hipótesis $ $ { >K )= { ; K; K simples, no nodepende dependede delas lasprobabilidades probabilidadesiniciales, iniciales,y yvale valeE(E( sean simples, 0 > 0K 1 )1= < i (3 { |0 ) . < i (3 { |1 ) Se pueden entonces resumir los distintos contrastes bayesianos: Contraste de hipótesis nula simple frente a alternativa simple: Para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : = 1 , la probabilidad inicial vendrá dada por el par (s> 1 s), con lo que las probabilidades finales serán $ si ( { |0 ) $ $ si ( { |0 ) + (1 s)i ( { |1 ) $ $ (1 s)i ( { | ) ) si ( { | 1 1 $ S (K1 | {)= $ $ si ( { |0 ) + (1 s)i ( { |1 ) $ S (K0 | {)=

De modo que se rechaza K0 para aquellos puntos muestrales tales que $ $ $ UF = { { |S (K0 | { ) ? S (K1 | { )}

5.2 MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN CONTRASTES. CONTRASTES DE DE HIPÓTESIS o alternativamente (5.2.4.4)

227 227

½ ¯ ¾ ¯ i ($ { |1 ) s $ ¯ UF = { ¯ A = i ($ { |0 ) 1s

Este contraste coincide, formalmente, con el que se obtendría mediante el Lema de Neyman-Pearson, véase el Teorema 5.3.1, sólo que en este caso la constante viene determinada por el cociente entre las probabilidades iniciales de ambas hipótesis. El sentido de formalmente, es como ya ha sido señalado, que desde el punto de vista bayesiano, el énfasis está en y no en los puntos muestrales. Contraste de hipótesis nula simple frente a alternativa compuesta: En algunas situaciones prácticas, es interesante el contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 , en este caso se utiliza como distribución inicial una que asigne probabilidad s a la hipótesis nula y reparta la restante 1 s con densidad () sobre 6= 0 = Por lo tanto $ si ( { |0 ) $ R S (K0 | {) = $ $ si ( { |0 ) + (1 s) X i ( { |)()g R $ (1 s) X i ( { |)()g $ R {) = S (K1 | $ $ si ( { |0 ) + (1 s) X i ( { |)()g Z Z $ $ donde por propiedades de la integral i ( { |)()g = i ( { |)()g {X 6= 0 }

X

con lo que se rechaza la hipótesis nula cuando Z $ $ ()i ( { |)g si ( { |) ? (1 s) X

o lo que es lo mismo (5.2.4.5)

½ ¯ ¯ $ UF = { ¯¯ R

$ i ( { |0 ) 1s ? $ s ()i ( { |)g X

¾

Ejemplo 5.2.4.3 Dada una m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ), con conocida, se pretende contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0. Si se supone que la información inicial asigna probabilidad s a la hipótesis nula y reparte la restante, 1 s, con densidad Q (0> 0 ) con 0 conocida. En este caso es q μ ¶q 3 1 P {2l 2 1 2 $ l=1 h i ( { |) = s 2 y q ¶q 3 1 P Z +" Z 2 μ ({l 3)2 1 1 3 12 2 1 2 2 $ l=1 0 s s ()i ( { |)g = h h g 2 0 2 X 3"

228


de acuerdo con (5.2.4.5) y mediante la expresión (3.2.3.2), se rechaza la hipótesis nula cuando r 2 2 0 20 3 12 q2 {2 2 +q 1s 2 0 ? = 1 + q 2h (5.2.4.6) s Si se compara este resultado con el contraste cuando no se tenía información inicial. Entonces la región crítica era la de la forma |{| } 2 Iq (véase la tabla 5.2.2.1). Si q es suficientemente grande y |{| es poco mayor que } 2 Iq , Tabla lo suficiente para que el contraste clásico rechace y la aproximación de |{| por dicho valor sea aceptable, se tiene que el primer miembro de (5.2.4.6) es aproximadamente r 2 3 1 }2 1 + q 02 h 2 2 expresión que será mayor que 13s s = En resumen, mediante el contraste que da el teorema de Neymann-Pearson se rechazaría K0 mientras que con el contraste bayesiano se aceptaría. Este resultado se conoce con el nombre de paradoja de Jereys o paradoja de Lindley. ¥ Comparando el procedimiento sin información inicial con el procedimiento con información inicial, suele ocurrir que el p-valor, que es una medida de la evidencia en contra de la hipótesis nula, véase la Definición 5.1.4, es bastante menor que la probabilidad final sobre la citada hipótesis nula. La relación entre la aproximación clásica y bayesiana en el contraste de hipótesis nula puntual, puede verse en Gómez Villegas y Gómez SánchezManzano (1992), Gómez Villegas y Sanz (1998, 2000), y en Gómez Villegas, Maín y Sanz (2002). Hay distintos aspectos que influyen en la forma de los tests bayesianos: uno de ellos es la forma del modelo, puede verse en Gómez Villegas y Maín (1992) y en Gómez Villegas, Maín, Navarro y Sanz (2004) ; otro es la robustez, puede verse en Gómez Villegas y Portela (2004). Una crítica que se hace a los contrastes bayesianos, es que en algunas situaciones puede ser difícil determinar la distribución inicial, una solución en ciertos contextos puede verse en Gómez Sánchez-Manzano y Gómez Villegas (1990).

5.2.5.

Contrastes invariantes

En esta Sección se utilizan consideraciones de invariancia para poder construir contrastes estadísticos, las ideas están íntimamente relacionadas con los estadísticos invariantes que han sido desarrollados en la Sección 2.4. Como se va a ver la invariancia no permite construir de manera completa los tests invariantes, sino más bien, facilita la construcción de los mismos,


229 229

en el sentido de que si algunos puntos están contenidos en la región crítica, automáticamente se sigue la pertenencia a la región crítica de otros puntos muestrales función de los mismos; es decir, realmente lo que permiten estos procedimientos es caracterizar las regiones críticas de los tests invariantes en un menor número de puntos. Definición 5.2.5.1 (test invariante) Para contrastar K0 : 5 0 frente a K1 : 5 1 el test de región crítica UF es invariante, por un grupo de transformaciones G = {j : X $ X } del espacio muestral X en sí mismo, cuando el grupo de transformaciones deja invariante la hipótesis nula, la hipótesis alternativa y la región crítica del test. Es decir para cualquier j 5 G la función j (véase la Definición 2.4.2) $ { ) 5 UF si cumple j() 5 0 si 5 0 además j() 5 1 si 5 1 y j( $ { 5 UF= Ejemplo 5.2.5.1 Para m.a.s. de tamaño 10 de una población [ Ehuqrxool(), el test de región crítica UF = {0> 1> 9> 10} es invariante para contrastar K0 : = 12 frente a K1 : 6= 12 , mediante el grupo de transformaciones G = {j : Y $ Y, j1 (|) = q | j2 (|) = |}= Es claro que j 1 () = 1 y j 2 () = por lo que al ser j 1 ( 12 ) = 12 y j 2 () = dejan invariantes tanto a la hipótesis nula como a la alternativa. Por último si | 5 UF j(|) = q | también pertenece a UF, como puede comprobarse fácilmente. ¥ Se observa que en este ejemplo no se ha utilizado el espacio muestral inicial X sino su simplificación mediante suficiencia Y, el número de éxitos con q repeticiones, siempre que sea posible se empleará este mecanismo. Ejemplo 5.2.5.2 En una población [ Q(> ) con ambos parámetros desconocidos, se quiere contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0. Se van a emplear los 2 2 "q31 . Si como grupo de estadísticos suficientes [ Q (> Iq ) y V 2 q31 transformaciones se utiliza el de escala, es decir G ={jf ({> v2 ) = (f{> f2 v2 )|f A 0} resulta que j f (> 2 ) = (f> f2 2 ) es la transformación en los parámetros correspondientes a la transformación sobre los estadísticos suficientes. Esta transformación deja invariante K0 : 0, ya que f 0 por ser f positiva. f f[ Q (f> s ) q

f2 V 2

f2 2 2 " > q 1 q31

por lo tanto el test de región crítica UF = {({> v2 )|{ Ivq wq31; } es invariante, ya que f{ f Ivq wq31; es equivalente, con f A 0, a { Ivq wq31; = ¥

230 230


DE HIPÓTESIS

Como se ha visto en ambos ejemplos, la invariancia no es propiamente una manera de construir tests, pero sí permite una simplificación, en el primer ejemplo si se sabe qué hacer cuando se observan los valores 0 y 1 , automáticamente se sabe qué hacer cuando se observan los valores 10 y 9. Análogamente en el caso normal el rechazo y la aceptación de la hipótesis nula es solo función del cociente {v , en el sentido de que puntos muestrales que lleven al mismo valor del cociente, dan lugar a la misma norma de acción, de rechazo o aceptación de la hipótesis nula.

5.3.

CRITERIOS DE COMPARACIÓN DE CONTRASTES

Como ya se ha dicho los contrastes que se buscan desde el punto de vista clásico, son aquellos que, manteniendo la probabilidad de error de tipo I menor o igual que un valor , hacen mínima la probabilidad de cometer error de tipo II. Mediante el punto de vista bayesiano no hay más que un único contraste que es el que elige la hipótesis que más probabilidad final presenta. Por tanto todo lo que se diga en esta sección solo tiene aplicación para la aproximación clásica. Definición 5.3.1 (contraste óptimo) Si para contrastar K0 : 5 0 frente a K1 : 5 1 se considera la clase de contrastes C, un contraste de esta clase dado por su región crítica UF se dice óptimo o uniformemente de máxima potencia, UMP, si para cualquier otro test de región crítica UF 0 de la misma clase C se tiene que S {UF|} S {UF 0 |} para todo 5 1 = ¥ Es decir, el contraste óptimo de la clase C es el que tiene mayor función de potencia cuando se mueve en 1 . Normalmente la clase C será la de todos los contrastes que tienen de nivel , es decir todos los que tienen acotada la probabilidad de cometer error de tipo I por . Desafortunadamente en algunos problemas no existirá un test óptimo si no se restringe la clase C con la que se trabaja. En tales casos un método de continuar la búsqueda de un buen test va a ser considerar una subclase de la de los tests de nivel , es la misma táctica que se utilizó para con los estimadores por punto en el Capítulo 3. En esta línea se introduce la siguiente definición. Definición 5.3.2 (contraste insesgado) Para contrastar K0 : 5 0 frente a K1 : 5 1 un test de región crítica UF se dice insesgado cuando S {UF|} S {UF|0 } para todo 5 0 y para todo 0 5 1 . Es decir un contraste es insesgado si la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa es mayor que cuando es verdadera.

5.3. CRITERIOS DE COMPARACIÓN DE CONTRASTES CONTRASTES DE HIPÓTESIS

231 231

Ejemplo 5.3.1 Para constrastar K0 : = 0 frente a K1 : = 1 con 1 A 0 con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) con desconocida, el test de región crítica ½ ¯ v ¾ ¯ $ UF = { { ¯¯|{ 0 + wq31; s } q tiene de tamaño y es insesgado, ya que para 1 A 0 es ½ S

¯ ¾ ¯ ¾ ½ ¯ 0 1 s V ¯¯ [ 1 s [ 0 + wq31; s ¯ 1 = S q q + wq31; ¯¯ 1 V V q ¾ ½ 0 31 s = S Wq31 q + wq31 V

puesto que

0 31 s q V

es un valor negativo.

Teorema 5.3.1 (Neyman-Pearson) Para contrastar la hipótesis nula simple K0 : = 0 frente a K1 : = 1 , el test de región crítica (5.3.1)

$ $ $ { |i ( { |1 ) ni ( UF = { { |0 )}

y de región de aceptación (5.3.2)

$ $ $ UD = { { |i ( { |1 ) ? ni ( { |0 )}

con n 0, que además tenga de tamaño (5.3.3)

= S {UF|0 }

cumple que: 1) Es el test UMP en la clase de los de nivel = 2) Si existe un test con región crítica UF W y X P S en la clase de los de nivel , ha de tener tamaño es decir = S {UF W |0 }, además su región crítica ha de ser de la forma (5.3.1) y su región de aceptación ha de ser como en (5.3.2), salvo conjuntos de probabilidad nula bajo ambas hipótesis. Demostración: 1) Sea UF 0 la región crítica de un test de nivel , mediante las descomposiciones en conjuntos disjuntos UF = (UF _ UF 0 ) ^ (UF _ UF 0f ) UF 0 = (UF 0 _ UF) ^ (UF 0 _ UF f ) se sigue que (5.3.4) S {UF|1 } S {UF 0 |1 } = S {UF _ UF 0f |1 } S {UF 0 _ UF f |1 }

232 232


DE HIPÓTESIS

por la construcción de UF y UD el segundo miembro de (5.3.4) 5.3.4 cumple cumpleque que (5.3.5)

0f | } S {UF 0 _ UF f | } 1 1 R RS {UF _ UF $ $ $ $ { n UF 0 KUF f i ( { |0 )g { n UFKUF 0f i ( { |0 )g

donde se ha empleado la notación de función de densidad. Si se vuelve a usar la igualdad (5.3.4), pero ahora en 0 se tiene (5.3.6) £ ¤ £ ¤ n S {UF _ UF 0f |0 } S {UF 0 _ UF f |0 } = n S {UF|0 } S {UF 0 |0 } por (5.3.3) y por ser el test de región crítica UF 0 de nivel , el segundo miembro de (5.3.6) es no negativo, luego S {UF|1 } S {UF 0 |1 } 0 y por lo tanto el test definido por (5.3.1) y (5.3.2) es X P S . 2) Si ahora se repite desde la expresión (5.3.4) hasta la (5.3.6) pero sustituyendo UF 0 por UF W se obtiene (5.3.7)

S {UF|1 } S {UF W |1 } n [S {UF|0 } S {UF W |0 }]

por lo que ha de ser S {UF W |0 } = o el test de región crítica UF W no sería óptimo. Además de tener que ser S {UF|0 } = S {UF W |0 }

y

S {UF|1 } = S {UF W |1 }

se sigue que UF W ha de ser de la forma (5.3.1) y UDW de la forma (5.3.2) salvo conjuntos de probabilidad nula bajo ambas hipótesis, ya que en caso contrario S {UF|0 } S {UF W |0 } o S {UF|1 } S {UF W |0 } serían estrictamente positivas; con lo que UF W no se correspondería con un test óptimo. ¥ $ De la demostración se puntos para los quepara De la se deduce deduce que que los el conjunto de puntos i ( {los |1 )que = $ $ $ colocados tanto entanto la región como en la de i=( ni { |( 1{) | =0 )nipueden ( { |0 ) ser pueden ser colocados en la crítica región crítica como en aceptación, véasevéase el paso la desigualdad en la Expresión (5.3.5), pues estos la de aceptación, el de paso de la desigualdad en la Expresión (5.3.5), pues puntospuntos no contribuyen a aumentar el valorel de la función de potencia. estos no contribuyen a aumentar valor de la función de potencia. Es importante señalar que el Teorema de Neyman-Pearson no dice que el test de la forma dada en las Expresiones (5.3.1) y (5.3.2) deba tener de tamaño . Lo que puede ocurrir queda recogido en el siguiente enunciado. Ejemplo 5.3.2 Para contrastar con m.a.s. de tamaño q de una población [ Ehuqrxool() la hipótesis nula K0 : = 0 frente a la alternativa K1 : = 1 con 1 ? 0 y ambos valores conocidos, si existe test óptimo, de acuerdo con (5.3.1), la región crítica ha de ser de la forma ; ¯ < q ¯μ A ½ ¾ A ¶P {l μ ¶q ? ¯ @ $ s( { |1 ) 1 1 ¯ 1 1 0 1 $ UF = n = { n ¯ $ A ¯ 0 1 1 A s( { |0 ) 1 0 = > ¯

5.3. CRITERIOS DE COMPARACIÓN DE CONTRASTES CONTRASTES DE HIPÓTESIS que al ser

233 233

P {| ? 1 puede ponerse UF = {$ {l f} para un f q

1 130 0 131

l=1

conveniente. Las distintas regiones críticas que dan lugar a posibles tests óptimos se obtienen al ir variando f en el conjunto {0> 1> ===> q}, por lo que para todo valor 5 [0> 1] no será posible encontrar un valor de f de tal 0 0 manera que S {UF|0 } = . ½ Por ejemplo ¾ si q = 10> 0 = 0 05 y = 0 05 10 P {l 0 S {UF|00 05} = 00 001, para f = 1 para f = 0 se obtienen UF = 1 ½ 10 ¾ P {l 1 es de la forma (5.3.1) y cumple que S {UF|00 05} = con UF = 1

00 018 luego es X P S en la clase de los de nivel 00 0108= Si a pesar de todo se quiere obtener el test óptimo de nivel 00 05, puede recurrirse al artificio de construir el test de región crítica ¾ ½ 10 P {l ? 2 y el punto 2 con probabilidad UF = 1

y de región de aceptación ½ 10 ¾ P UD = {l A 2 y el punto 2 con probabilidad 1 = 1

Se observa que si = 00 893 entonces S {UF|00 5} = 00 0108 + 00 0439 = 00 05 con lo que el test tiene el tamaño deseado. Sin embargo la utilidad práctica de este test es más que dudosa; ya que si al realizar la observación se obtienen exactamente 2 éxitos debería efectuarse un sorteo a continuación que tuviera de probabilidad de rechazar K0 00 893 y de probabilidad de aceptar K0 1 00 893 = 00 107, este sorteo es independiente del valor de de la distribución de Bernoulli lo que no parece estar justificado. De todas maneras puede admitirse, que en la situación del ejemplo es prácticamente igual actuar con una probabilidad de error de tipo I de 00 05 o de 00 0547, y con este segundo tamaño se evita el utilizar tests aleatorizados. Ejemplo 5.3.3 Mediante el teorema de Neyman-Pearson y para muestras de tamaño uno de una población con función de densidad i ({|) =

2 ( {)L(0>) ({) 2

con

A0

= = o o 1oofrente a K10 : == =11 el test óptimo de tamaño para contrastar 1o nnnnnnn K0 : = oo o o ii({| i({| ii({| i({| i({| ({| )1)1)1)1)1)) 1({| 1 | con 0 ? 1 ? 0 será de UF UF UF UF = = = ={| {| {| {| == {| n,,si n,si nes nsi nsies nes ncompatible ncompatible nes n n,si nn n n nn,n,nsi dela la laforma forma forma formaUF es compatible con con con con que que que ,nsi , si ,si ,si si es es compatible es compatible es compatible es es compatible compatible compatible compatible compatible compatible con con con con con con con con con que que que que que que que que que es compatible con que i{| i({| i({| ii({| i({| i({| ({| )0) |{| 0({| 0 0)0) 0) 0)) . .De sea. De Deacuerdo acuerdo acuerdocon con conla lalaFigura Figura Figura Figura 5.3.1 5.3.1 5.3.1 5.3.1 5.3.1 la la la la la región región la región región región región región crítica crítica crítica crítica crítica crítica crítica de de de de de de de los los los los los los los De acuerdo con la Figura 5.3.1 la región crítica de los que su tamaño sea tests óptimos viene dada por UF = {{ f} para algún valor de f. La determinación de la constante puede hacerse a partir de la expresión = S {[ f|0 } =

f2 2 f 2 0 0


234 234

DE HIPÓTESIS

que siempre tiene solución en f cuando recorre el intervalo [0> 1]; f = s 0 ± 0 1 =

Figura 5.3.1. Cociente de verosimilitudes para el Ejemplo ejemplo 5.3.3. De donde se sigue que o bien el test rechaza siempre, y tiene de tamaño s 1, o bien tiene de región crítica UF = {{ (1 1 )0 }= Ejemplo 5.3.4 Para m.a.s. de tamaño q de una población Q(> ) con conocida, el test óptimo para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : = 1 con 1 A 0 > viene dado por $ $ UF = { i ( { |1 )/ i ( { |0 ) n} y si se tiene en cuenta que 1 30 $ i ( { |1 ) 2 3 q2 (21 320 ) 2 = h h $ i ( { |0 )

q P 1

{l

se puede poner UF = {{ f}. Además se obtiene el mismo contraste independientemente del valor 1 con tal que sea 1 A 0 . Para la determinación de la constante se emplea que bajo 0 > [ Q (0 > Iq ), de donde de acuerdo con el teorema de Neyman-Pearson el test óptimo tiene de región crítica UF = {[ 0 + } Iq }= ¥ Surge la pregunta de si lo ocurrido en este último ejemplo en el que se obtiene el mismo test mediante el teorema de Neyman-Pearson y la razón de verosimilitud ocurre siempre. Para comprender mejor la situación se considera el siguiente enunciado.

5.3 CONTR. DE HIPOTESIS UNILATERALES CONTRASTES DE HIPÓTESIS Y BILATERALES.

235 235

Ejemplo 5.3.5 Se toman muestras de tamaño 1 de una población Q (> 1) y se quiere contrastar la hipótesis nula K0 : = 0 frente a K1 : = 1= La razón de verosimilitud viene dada por ½ ({) =

1 si { 12 1 3{ h2 si { 12

con lo que la región crítica del test de la UY está formada por todos los puntos muestrales, si la constante que determina la región crítica vale 1, o bien la región crítica es { f, si la constante f es mayor o igual que 00 5. En cualquier caso, mediante el método de la UY sólo pueden obtenerse constantes de tamaño menor o igual que S {[ 00 5| = 0} = 00 30854. Por otro lado, mediante el teorema de Neyman-Pearson la región crítica es de la forma UF = {{| i ({| = 1)/ i ({| = 0) n} 1

lo que lleva a que UF = {{|h3 2 +{ n} o bien UF = {{ f}. Por tanto mediante el Teorema de Neyman-Pearson se puede conseguir cualquier tamaño. ¥ Se está en condiciones de probar la siguiente relación. Proposición 5.3.1 Si para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : = 1 existe un contraste construido a partir de la razón de verosimilitud que tiene el mismo tamaño que el test dado por el teorema de Neyman-Pearson, ambos coinciden. $ $ $ Demostración: Dado sea UF1 = { { |i ( { |1 )@i ( { |0 ) n1 } la región crítica obtenida por el teorema de Neyman-Pearson con S {UF1 |0 } = $ $ { |0 )@i ( { |1 ) n10 } con n10 = n131 = . Se puede poner UF1 = {i ( Por otro lado la razón de verosimilitud es ( ($ {)=

1

3 i (< { |0 ) < i (3 { | ) 1

si si

$ $ { |1 ) i ( { |0 ) i ( $ $ i ( { |0 ) i ( { |1 )

$ $ $ { |1 ) n}. { |i ( { |0 )@i ( luego la región crítica del test de la UY es UF = { 0 Si n2 ? 1, al ser el test de tamaño , ha de ser n1 = n2 . Si es n2 = 1, la región crítica del test de la UY incluye a todos los puntos y = 1 con lo que los dos contrastes rechazan siempre siempre y por tanto contastes rechazan tantocoinciden. coinciden.

236 236

5.4.


DE HIPÓTESIS

CONTRASTES DE HIPÓTESIS UNILATERALES Y BILATERALES

Como ya se había anticipado y si se contemplan los contrastes de hipótesis desde el punto de vista de la distribución en el muestreo, para la obtención de tests óptimos en el caso de hipótesis más complicadas, se necesita restringir la clase de los tests con los que se va a trabajar, para luego pasar a restringir la clase de distribuciones que sigue el modelo con el que se obtiene la muestra. Como se ha visto en la sección anterior, la clase C de los contrastes a emplear, para hipótesis simples, era la de los tests de nivel . Para encontrar contrastes óptimos en el caso de hipótesis unilaterales es necesario restringirse a modelos de distibuciones que tengan cociente de verosimilitud monótono, concepto que será definido a continuación. Por último, para el uso de hipótesis bilaterales se necesitan además restricciones a clases de contrastes que sean insesgados. Este tipo de problemas no se presentan en la aproximación bayesiana, la hipótesis nula o la alternativa es aceptada en función de cuál sea su probabilidad final. Definición 5.4.1(distribuciones (distribuciones cociente de verosimilitud monót Definición 5.4.1. concon cociente de verosimilitud monótono) $ La familia de funciones de densidad de la muestra P = {i ( { |)| 5 R} tiene cociente de verosimilitud monótono (FY P ), en un estadístico unidi$ $ $ { )> si cuando 1 ? 2 el cociente i ( { |2 )@i ( { |1 ) es una mensional W ( $ función no decreciente de W ( { )= ¥ En esta definición se ha empleado notación de función de densidad, lo mismo es válido para funciones de masa. Los desarrollos posteriores también son válidos, con modificaciones obvias, si el cociente de verosimilitudes es $ { ). una función no creciente de W ( Ejemplo 5.4.1 Para una población Q (> ) con conocida y m.a.s. de tamaño q, la familia < ; ¯ q P ?³ @ ´q 3 12 ({l 3)2 ¯¯ q P 2 $ ¯ 5 R tiene FY P en W ( 1 I1 {)= P= h {l , ya ¯ 2 > = l=1 ¯ que para 1 ? 2 es 1 q 2 2 i ({1 > ===> {q |2 ) = h 2 2 (1 32 ) h i ({1 > ===> {q |1 )

2 31 2

q P 1

{l

P $ { ) = {l = que es una función monótona no decreciente en W ( q 1


237 237

Ejemplo 5.4.2 Para una población X qli ruph(0> ) con m.a.s. de tamaño q, la familia de distribuciones P = { 1q L(0>) ({(q) )| 5 R+ } tiene FY P en [(q) ya que cuando es 1 ? 2 el cociente μ ¶q $ L(0>2 ) ({(q) ) i ( { |2 ) 1 = $ L ({ ) i ( { | ) 1

2

(0>1 )

(q)

$ { ) = {(q) el máximo de los es una función monótona no decreciente en W ( valores muestrales. ¥ Si la función de densidad o de masa de la muestra, es de la familia exponencial uniparamétrica, es decir, es de la forma (5.4.1)

i ({1 > ===> {q |) = f()k({1 > ===> {q )h()W ({1 >===>{q )

y la función () es monótona no decreciente en ; entonces tiene FY P en el estadístico suficiente W ({1 > ===> {q )= Por lo tanto poblaciones Ehwd con un parámetro conocido, Normal con un parámetro desconocida, Binomial y Poisson, poseen FY P . La distribución X qliruph(0> ) aunque no pertenece a la familia exponencial uniparamétrica posee FY P en [(q) . 1 La familia de distribuciones P = { (1+({3) 2 ) | 5 R} de Cauchy no posee FY P en {, ya que para 1 ? 2 el cociente 1 + ({ 1 )2 i ({|2 ) = i ({|1 ) 1 + ({ 2 )2 tiende a 1 cuando { tiende a ±4= Ahora se está en condiciones de generalizar el teorema de NeymanPearson mediante el siguiente enunciado. Teorema 5.4.1 (Karlin-Rubin) Si es un parámetro real y la familia de distribuciones de la muestra tiene FY P en W , para contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0 se sigue: 1) El test de región crítica (5.4.2)

$ $ UF = { { |W ( { ) f}

y de región de aceptación (5.4.3)

$ $ UD = { { |W ( { ) ? f}

que cumple (5.4.4)

= S {UF|0 }

es óptimo en la clase C de los tests de nivel . 2) La función de potencia del test dado en 1) es no decreciente.


238 238

DE HIPÓTESIS

Demostración: 1) Puede verse que si se contrasta K0W : = 0 frente a K1W : = 1 con 1 A 0 ambos fijos, el test del enunciado es el óptimo $ $ { |1 ) ni ( { |0 ) según el Teorema 5.3.1 (Neyman-Pearson). En efecto i ( $ 4 el test tiene de tamaño es equivalente a W ( { ) f y al verificarse (5.4.3) para la hipótesis nula K0W : = 0 . Antes de continuar con la demostración hipótesis de que ladefamilia distribude la parte parte1)1)sesepuede puedever ver2).2)Bajo que,labajo la hipótesis que ladefamilia de ciones de la muestra tenga CVM, esFY P , es distribuciones de la muestra tenga S {W f|1 } S {W f|2 } siempre que 1 2 . Para todo w f, por la hipótesis de FY P resulta i (w|2 ) i (f|2 ) i (w|1 ) i (f|1 ) o alternativamente

i (f|1 ) i (w|2 )= i (f|2 ) Integrando en ambos miembros se tiene Z +" Z i (f|1 ) +" i (w|1 )gw i (w|2 )gw i (f|2 ) f f i (w|1 )

de donde para cualquier f arbitrario i (f|2 ) i (f|1 ) = 1 I (f|2 ) 1 I (f|1 ) Si se vuelve a integrar se tiene que Z w0 Z w0 i (w|2 ) i (w|1 ) gw gw | 2) 3" 1 I (w1 3" 1 I (w| 1 ) para cualquier valor w0 arbitrario, de manera que ln [1 I (w0 |2 )] ln [1 I (w0 |1 )] que equivale a S {W w0 |1 } S {W w0 |2 }= Por lo tanto, la función de potencia del test de región crítica (5.4.2) es monótona no decreciente en . Como la función de potencia del test cumple (5.4.4), esto sirve para determinar el valor de la constante f. Se tiene hasta ahora, que el test construido es óptimo para contrastar K0W : = 0 frente a K1 : A 0 > ya que el test al que se llegaría mediante el teorema de Neyman-Pearson no depende de cúal sea 1 siempre que sea mayor que 0 = El test del enunciado es óptimo, en la clase C 0 de los test de nivel para contrastar K0W : = 0 frente a K1 : A 0 , pero esta clase es más amplia que la clase C de los tests de nivel para contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0 y como por 2) el test del enunciado está en la clase C y es óptimo en una clase más amplia, es óptimo también en C=


239 239

Ejemplo 5.4.3 Para contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0 con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> 1), si se quiere contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0 existe test óptimo; ya que de acuerdo con el Ejemplo 5.4.1 la q P {l . familia de las distribuciones Q (> ) con conocida tiene FY P en ½

Por lo tanto el test de región crítica UF = { el teorema de Karlin-Rubin, es óptimo.

q P

l=1

1

¾

s {l } q + q0 }, por

Ejemplo 5.4.4 Para contrastar K0 : 2 20 frente a K1 : 2 A 20 con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) de media conocida, dado que la distribución q q P P Q (> ) tiene FY P en ({l )2 el test de región crítica UF = { ({l l=1

)2 20 "2q;q } es óptimo.

1

¥ El contraste de la hipótesis nula K0 : 0 ; frente a la hipótesis alternativa K1 : ? 0 , con la utilización de familias de distribuciones con $ { ), no debería supocociente de verosimilitud monótono no creciente en W ( ner ningún obstáculo al lector, para que éste enuncie una versión adecuada a esta situación del teorema de Karlin-Rubin. Lo mismo que se dijo tras el enunciado del Teorema de Neyman-Pearson ocurre con el Teorema de Karlin-Rubin; el conjunto de puntos que verifican $ $ { |0 ) pueden i ( { |1 ) = ni ( pueden ser tanto en la críticacrítica como sercolocados colocados tanto enregión la región en la región de aceptación, permaneciendo válidosválidos ambos ambos enunciados. En como en la región de aceptación, permaneciendo enunciaesta dos. línea, véase el Ejercicio 5.7.14. Para poner de manifiesto que sin introducir más restricciones no pueden obtenerse contrastes óptimos para las hipótesis bilaterales, supóngase que se quiere contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 mediante m.a.s. de tamaño q de una población Q (> 1). Por tener la familia de distribuciónes FY P en {> el test óptimo para contrastar K00 : 0 frente a K10 : A 0 } tiene de región crítica UF1 = {{|{ 0 + I }. De manera análoga el test q óptimo para contrastar K0” : 0 frente a K1” : ? 0 tiene de región 13 }, las funciones de potencia de ambos tests crítica UF2 = {{|{ 0 + }I q se representan en la Figura 5.4.1. Es claro que si existiera un test óptimo

240 240


DE HIPÓTESIS

Figura 5.4.1. Función de potencia de los tests óptimos para hipótesis unilaterales en el caso normal. para K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 de tamaño , dado por una región crítica UF W , su función de potencia UF W () debería coincidir con UF1 (), cuando A 0 , y con UF2 (), cuando ? 0 . Pero esto es imposible, ya que por el Teorema de Karlin-Rubin en su parte 2) el test de región crítica UF W ha de tener función de potencia no decreciente y como es UF W (0 ) = sería óptimo para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : = 1 con 1 A 0 . De aquí se seguiría que UF W ha de ser de la forma (5.4.1), por la parte de unicidad del Teorema de Neyman-Pearson, y por lo tanto UF W () a la izquierda de 0 no puede coincidir con UF2 (). Luego no puede haber un test cuya función de potencia coincida con UF2 () a la izquierda de 0 y con UF1 () a la derecha de 0 . Sin embargo, tanto el test de región crítica UF1 como el de región crítica UF2 , deberían ser excluidos, cuando se pretenda contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 , ya que tratan de manera asimétrica respecto a la función de potencia a los puntos que quedan por debajo de 0 de los que quedan por encima. Esto se logra restringiendo la clase de los contrastes a utilizar a la clase de los contrastes insesgados (véase la Definición 5.3.2), quedándose con los contrastes que rechazan la hipótesis nula con probabilidad mayor cuando ésta es falsa que cuando es cierta; es decir, solo se van a considerar aquellos contrastes tales que S {UF|0 } y que S {UF|} para cualquier 6= 0 . Obsérvese que el test dado en el Teorema de Karlin-Rubin, es insesgado para contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0 , pero no lo es para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 . En esta línea puede probarse el siguiente enunciado. Teorema 5.4.2 dede distribuciones de de la muestra es Dado un parámetro parámetroreal realyycuando cuandolalafamilia familia distribuciones la muesta ()W ()W ({ >===>{ ({ >===>{ q) q) 1 1 i({i1({ > ===> {q |) {q |) {q )h {q )h es la exponencial uniparamétrica = f()k({ = f()k({ la exponencial uniparamétrica 1 > ===> 1 > ===> 1 > ===> con () función monótona no decreciente, existe contraste óptimo en la clase de los contrastes que son insesgados de nivel para contrastar la

5.4 DUALIDAD TEST YCONTRASTES REGIONES. DE HIPÓTESIS

241 241

@ [1 > 2 ], donde eventualhipótesis nula K0 : 5 [1 > 2 ] frente a K1 : 5 mente puede ser 1 = 2 = 0 . La región crítica del test óptimo es de $ $ $ { |W ( { ) f1 o W ( { ) f2 } siempre que se tenga la forma UF = { S {UF|1 } = S {UF|2 } = en el caso en que 1 6= 2 , o S {UF|0 } = y g g S {UF|}|=0 = 0 en el caso 1 = 2 = 0 . Demostración: La demostración puede verse en Lehmann(1986) pág. 135. ¥ Para contrastar la hipótesis nula K0 : 1 o 2 con 1 ? 2 frente a la alternativa K1 : 5 [1 > 2 ] en la familia exponencial uniparamétrica no es necesario restingirse a la clase de los tests insesgados. La hipótesis de que la distribución pertenezca a la familia exponencial uniparamétrica, con una función () monótona no decreciente, es necesaria $ { ) y para que la para asegurar que la distribución tenga FY P en W ( derivada de la función de potencia exista y pueda anularse.

5.5.

DUALIDAD ENTRE CONTRASTES DE HIPÓTESIS Y REGIONES DE CONFIANZA

Cuando en el Capítulo 4 se estudiaron las regiones de confianza, quedó pendiente el estudio de los criterios de óptimo para regiones de confianza. El motivo es que tales criterios se basan en el concepto de test óptimo, que ha sido introducido en este Capítulo. Más concretamente se va a ver en esta Sección, que existe un procedimiento natural de pasar de una familia de contrastes de hipótesis a una región de confianza y que este procedimiento permite trasladar las nociones de contrastes óptimos a definiciones de óptimo para su región de confianza correspondiente. Conviene hacer notar, que esta dualidad solo tiene lugar en la aproximación clásica y no entre los contrastes y las regiones creíbles bayesianas. Con el fin de introducir la noción de dualidad considérese el siguiente Ejemplo. Ejemplo 5.5.1 Para contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0 con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> 1), el test óptimo de tamaño tiene como región crítica UF = {[ 0 + } I1q }. Se rechaza la hipótesis nula para aquellos valores [ que sean significativamente mayores de 0 . Parece natural pensar que para cada [ fijo los valores de compatibles con la media muestral serán aquellos que verifiquen [ + } I1q , es decir los valores de que hagan que [ pertenezca a la región de aceptación del test. ¿Se puede entonces


242 242

DE HIPÓTESIS

considerar al conjunto ½ ¯ ¾ ¯ 1 ¯ V([) = ¯[ } s q como una región de confianza? o más concretamente ¿es el intervalo [[ } I1q > +4), un intervalo de confianza para ? La respuesta es afirmativa, pues $ S {V( [ ) 3 |} = S {[ } I1q |} = S {[ + } I1q |} s = S {[ ) q } |} = 1 = ¥

$ Por lo tanto V( [ ) es una región de grado de confianza 1 =

El procedimiento es del todo general y ha ilustrado la correspondencia entre familias de contrastes hipótesis y regiones de confianza. Dada una familia de contrastes de hipótesis de tamaño para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 5 K(0 ) mediante las regiones críticas UF(0 ) o bien mediante su complementario la región de aceptación UD(0 ), se sigue que $ $ V( [ ) = {| [ 5 UD()} es una región de grado de confianza 1 , ya que $ $ $ S {V( [ ) 3 |} = S { [ tales que [ 5 UD()|} = 1S {UF()|} 1= Se utiliza la notación K1 : 5 K(0 ) para hacer referencia a que la hipótesis alternativa dependerá de la hipótesis nula. Normalmente, para el caso en que el parámetro sea un valor real, a contrastes bilaterales les corresponderán regiones de confianza que sean intervalos con extremos finitos y a contrastes unilaterales regiones de confianza que sean intervalos con uno de sus extremos infinitos, como ha ocurrido en el Ejemplo 5.5.1. $ Este método también puede ser invertido, así si V( [ ) es una región de grado de confianza 1 , se puede construir una familia de contrastes de hipótesis, mediante el procedimiento de fijar arbitrariamente un punto como hipótesis nula K0 : = 0 y definir $ $ @ V( [ )} UF(0 ) = { [ |0 5 entonces UF(0 ) es la región crítica de un test de nivel ; ya que $ $ @ V( [ )|0 } UF(0 ) (0 ) = S { [ tales que 0 5 $ $ = 1 S { [ tales que 0 5 V( [ )|0 } >

5.5 DUALIDAD ENTRE CONTRASTES TEST Y REGIONES. DE HIPÓTESIS

243 243

puesto que para cualquier es $ $ S { [ tales que 5 V( [ )|} 1 = A continuación se introducen las nociones de óptimo relativas a regiones de confianza. Definición 5.5.1 (región de confianza uniformemente más ajustada) Una región V([1 > ===> [q ) de grado de confianza 1 se dice uniformemente más ajustada (X P D) si para cualquier otra región V 0 ([1 > ===> [q ) del mismo grado de confianza, se tiene que, para cualesquiera y 0 $ $ S {V( [ ) 3 0 |} S {V 0 ( [ ) 3 0 |} $ Es decir si V( [ ) cubre valores incorrectos del parámetro con menor $ probabilidad que V 0 ( [ ). También se emplea el término uniformemente más precisa o bien óptima. Definición 5.5.2 (región de confianza insesgada) Una región V([1 > ===> [q ) de grado de confianza 1 se dice insesgada, si para cualesquiera y 0 distintos $ S {V( [ ) 3 0 |} 1 O lo que es lo mismo, si cubre valores correctos del parámetro con mayor probabilidad que valores incorrectos del mismo. ¥ La relación entre estas definiciones y los conceptos de óptimo para contrastes, viene recogida en los dos teoremas siguientes Teorema 5.5.1 A familias de contrastes de hipótesis de tamaño óptimos, le corresponde una región de grado de confianza 1 X P D y recíprocamente. Demostración: De lolo visto que De acuerdo con lo vistoen enesta estasección, Sección,sisi se supone que la familia de contrastes para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 5 K(0 ) viene dada por la colección de regiones críticas UF(0 ) que son óptimas, donde se ha utilizado esta notación para poner de manifiesto que se tiene una colección de contrastes al ir variando 0 . Su región de confianza asociada $ $ $ @ UF()}, y para cualquier otra región V 0 ( [ ) de grado es V( [ ) = {| [ 5 de confianza 1 se trata de ver si, cualesquiera que sean y 0 , se cumple (5.5.2)

$ $ S {V( [ ) 3 0 |} S {V 0 ( [ ) 3 0 |}


244 244

DE HIPÓTESIS

Sea K0 : = 0 y K1 : 5 K(0 ) $ $ @ UF(0 )|} S {V( [ ) 3 0 |} = S { [ 5 = 1 UF(0 ) () $ si se contruye la familia de contrastes, asociada a la región V 0 ( [ ), mediante $ $ K0 : = 0 frente a K1 : 5 K(0 ) será UF 0 (0 ) = { [ |V 0 ( [ ) 63 0 }. Es claro que $ $ S {V 0 ( [ ) 3 0 |} = S { [ 5 @ UF 0 (0 )|} = 1 UF 0 (0 ) () y, por la condición de óptimo de las regiones críticas UF(), ha de ser UF(0 ) () UF 0 (0 ) (). Cambiando de signo esta expresión y sumando 1 en los dos miembros se obtiene (5.5.2). $ Recíprocamente, para V( [ ) una región de grado de confianza 1 X P D, se construye su familia de contrastes correspondiente para K0 : = 0 $ $ @ V( [ )}. Si se tiene frente a K1 : 5 K1 () mediante UF(0 ) = { [ |0 5 ahora una familia de contrastes de tamaño UF 0 (0 ), pasando a su región $ $ @ UF 0 ()} se tiene que de confianza asociada V 0 ( [ ) = {| [ 5 $ $ UF 0 (0 ) () = S {V 0 ( [ ) 63 0 |} = 1 S {V 0 ( [ ) 3 0 |} $ pero esta última expresión es menor o igual que 1 S {V( [ ) 3 0 |}, por $ ser V( [ ) X P D, por lo tanto $ $ $ UF 0 (0 ) () 1 S {V( [ ) 3 0 |} = S { [ con 0 5 @ V( [ )|}> que coincide con UF(0 ) () por construcción. ¥ Teorema 5.5.2 A familia de contrastes de hipótesis de tamaño insesgados, le corresponde una región de grado de confianza 1 insesgada y recíprocamente. Demostración: Sea UF(0 ) la región crítica de un test insesgado de tamaño para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 5 K(0 ), se trata de $ $ @ UF()} es ver que con V( [ ) = {| [ 5 (5.5.3)

$ $ S {V( [ ) 3 0 |} S {V( [ ) 3 |}

$ Por la Definición 5.5.2 es S {V( [ ) 3 0 |} = 1 UF(0 ) (), y, de acuerdo $ con esto, S {V( [ ) 3 |} = 1 UF() (), pero al ser UF(0 ) insesgado para todo 0 es UF(0 ) () UF() () y por lo tanto se tiene (5.5.3).

5.6. APROXIMACIÓN HISTÓRICA CONTRASTES DE HIPÓTESIS

245 245

$ Recíprocamente, si V( [ ) es una región de grado de confianza 1 e insesgada, su familia de contrastes asociados para K0 : = 0 frente a $ $ K1 : 5 K(0 ) tiene de regiones críticas UF(0 ) = { [ con V( [ ) 63 0 }. Se trata de comprobar que (5.5.4)

UF(0 ) () UF() ()

$ $ Ahora bien, UF(0 ) () = S {V( [ ) 63 0 |} y UF() () = S {V( [ ) 63 $ $ |} y por ser V( [ ) insesgada (véase la Definición 5.5.2) es S {V( [ ) 3 $ 0 |} S {V( [ ) 3 |} de donde se sigue (5.5.4). ¥ Realmente, la parte de mayor interés de estos dos últimos enunciados, es la que permite pasar de los contrastes X P S a las regiones X P D y de los contrastes insesgados a las regiones insesgadas, ya que de esta forma se pueden construir regiones de confianza óptimas de manera automática, a partir del correspondiente test óptimo. Ejemplo 5.5.2 Con muestras de tamaño uno, de una población con función de densidad i ({|) = h3{ L(0>+") ({)

A 0,

para contrastar K0 : 0 frente a K1 : ? 0 , puede comprobarse que el test óptimo e insesgado de tamaño , tiene de región crítica UF(0 ) = }. Por tanto la región de grado de confianza 1 X P D e {[ ln(13) 0 insesgada viene dada por μ ¶ ln(1 ) > +4 V([) = [

5.6.


La teoría de los contrastes estadísticos desde el punto de vista clásico es fruto de los trabajos de Egon Pearson y de Jerzy Neyman realizados entre los años 1926 y 1933. Egon Pearson, hijo de Karl Pearson, nació en Hampstead cerca de Londres en 1895 y estudió matemáticas en el Trinity College de Cambridge en 1914. Sus estudios se vieron perturbados por problemas de salud así como por el inicio de la segunda guerra mundial. En 1919 estudia astronomía para después ocupar una plaza en el Departamento de Estadística Aplicada del University College de Londres, donde se encuentra con Neyman en el 1925. Comenzó así un trabajo en equipo que llevaría a la elaboración de la teoría de los tests estadísticos y que duró hasta el año 1938, en que Neyman marcha a Estados Unidos, a la Universidad de Berkeley, California.

246 246


DE HIPÓTESIS

Los fundamentos de la aproximación bayesiana a la inferencia pueden fijarse en los trabajos de Bayes, Bernoulli y Laplace. Como ya se ha dicho en el Capítulo 3, la aproximación bayesiana tiene su origen en la Memoria de Bayes titulada Ensayo hacia resolver un problema en la doctrina del azar, publicada por Price en 1764 sobre la contribución a la probabilidad inversa. La traducción al castellano puede verse en Gómez Villegas y otros (2001). En la Memoria se obtiene por primera vez la versión continua del teorema de Bayes cuando la distribución inicial es uniforme, esto es, (|{1 > ===> {q ) =

()i ({1 > ===> {q |) p({1 > ===> {q )

que cuando () = L(0>1) () toma la forma q P

(|{1 > ===> {q ) =

R1 0

{l

q3

l=1 (1 ) q P {l

q P

{l

l=1

q3

l=1 (1 )

q P

l=1

5 (0> 1) {l

g

con [l Ehuqrxool()= Bayes muere en 1761 y la Memoria contiene la aproximación que ha dado lugar al nacimiento de la inferencia bayesiana. Continua siendo un misterio por qué el trabajo no fué publicado por el propio Bayes. Price en la presentación de la Memoria dice que los resultados en ella contenidos le han sido contados por Bayes y que la importancia de los mismos le decide a publicarlos. El antecedente de la expresión continua del teorema de Bayes está en un trabajo de Jacob Bernoulli (1654-1705), quien en su libro El Arte de la Conjetura, publicado póstumamente por su sobrino Daniel Bernoulli en 1713, se plantea el problema de determinar la probabilidad de un suceso de Bernoulli. Afirma que si en q repeticiones el suceso se presenta p veces, se puede asegurar, con probabilidad todo lo próximo a 1 que se quiera, que (5.6.1)

S {|p@q | %} A 1

para % y arbitrariamente pequeños. Hasta ese momento el planteamiento había sido, dada una variable de Ehuqrxool() con conocido, la variable aleatoria es p, que tiene la distribución Elqrpldo(q> ). Esta es la primera vez que se procede en sentido contrario, se pretende estimar el valor de a partir de p@q y además se calcula ¡ ¢ p la probabilidad de que la probabilidad esté en el intervalo p %> q q +% . Por este motivo se dice que se trata de un enunciado de probabilidad inversa, fijados q grande y p se trata de hacer aseveraciones sobre ; de invertir el camino que se venía siguiendo hasta entonces.

5.7. ELERCICIOS


247 247

La Expresión (5.6.1) con p como v.a., es una ley de los grandes números y así es como realmente fué considerada por Jacob Bernoulli. Por el contrario la Expresión (5.6.1) empleada para determinar tiene sentido como fue interpretada por Bayes con como v.a. lo que lleva a introducir una distribución inicial, usar la verosimilitud y bien pasar a la distribución final, o bien tomarla como una determinación de un intervalo de confianza para , para lo que habría que esperar a la teoría de Egon Pearson y J. Neyman desarrollada alrededor de 1933, o a la teoría de la probabilidad fiducial introducida por Fisher sobre el 1930. La idea de considerar a como una variable aleatoria fué retomada por Laplace (1749-1827) quien en su Memoria sobre la probabilidad de las causas de los sucesos, aparecida en 1774, recoge la demostración de la versión continua del teorema de Bayes, parece que sin conocer la obtenida previamente por Bayes. Más tarde vuelve a incluir esta expresión en su libro publicado en 1812 Teoría Analítica de las Probabilidades, donde la utiliza con distribuciones a priori distintas de la uniforme y donde incluye uno de los primeros problemas de contraste de hipótesis: el de contrastar si la probabilidad de que un recién nacido sea varón es 00 50 y si esta probabilidad es la misma en Francia que en Inglaterra. La aproximación bayesiana al contraste de hipótesis continuó desarrollándose hasta la aparición de los trabajos citados de Egon Pearson, J. Neyman y Fisher que interrumpieron la utilización de los métodos bayesianos, básicamente por depender de la distribución inicial, lo que hace que distintas personas con diferente información inicial y la misma información muestral lleguen a conclusiones distintas. Continuaron con la aproximación bayesiana, entre otros, Ramsey, quien en 1931 publica sus Fundamentos de Matemáticas, Jereys, con su Teoría de la Probabilidad en 1939; De Finetti, 1974; Leonard Savage en 1954 y Lindley en 1975, quienes han hecho que actualmente los métodos bayesianos, particularmente los contrastes de hipótesis, presenten un elevado desarrollo. nivel de desarrollo.

5.7.

EJERCICIOS

5.7.1 Para m.a.s. de tamaño 12 de una población de Poisson(), con 5 [0> 00 5]= Si la región crítica para contrastar K0 : = 00 5 frente a K1 : ? 00 5 viene dada por P $ { = ({1 > ===> {12 )| {l 2} UF = { 12

l=1

Hállese la función de potencia del test para = 00 5, = 00 25 y = 1@12 y dibújese ésta de forma aproximada.


248 248

DE HIPÓTESIS

5.7.2 Para m.a.s. de tamaño 2 de una población con función de densidad i ({|) = {31 L(0>1) ({),

= {1> 2}

se emplea la región crítica dada por UF = {({1 > {2 )|0 ? {l ? 1 i=1,2 con 3@(4{1 ) {2 } para contrastar K0 : = 1 frente a K1 : = 2= Se pide: a) Función de potencia. b) Probabilidades de error de tipo I y de tipo II. 5.7.3 Para m.a.s. de tamaño 3 de una población de Bernoulli() se quiere contrastar K0 : 0 00 5 frente a K1 : 00 5 1 y se aplican los tests de regiones críticas ½ 3 ¾ ½ 3 ¾ P P {l = 3 UF2 = {l 2 UF1 = l=1

l=1

Compárense sus funciones de potencia. 5.7.4 Para m.a.s. de tamaño 16 de una población Q (> 1) con 5 {0> 1} se utiliza el test de región crítica UF = {{ n} para contratar K0 : = 0 frente a K1 : = 1. Se pide: a) Valor de n para que el test tenga de tamaño 00 01= b) Probabilidad de error de tipo I. c) Probabilidad de error de tipo II. d) Función de potencia. 5.7.5 En 1000 tiradas de una moneda se han obtenido 550 caras. ¿Es razonable suponer que la moneda es sesgada? Justifíquese la respuesta. 5.7.6 Calcúlese el p-valor en cada una de las siguientes situaciones: a) Para contrastar K0 : 00 5 frente a K1 : A 00 5 cuando se observan 7 éxitos en la repetición con independencia de 10 experimentos de Bernoulli. b) Para contrastar K0 : 1 frente a K1 : A 1 cuando se observa { = 3 con [ S rlvvrq()= c)Para contrastar K0 : 1 frente a K1 : A 1 cuando se observa la m.a.s. (3,5,1) con [ S rlvvrq()=

5.7. ELERCICIOS


249 249

5.7.7 Para una m.a.s. de de tamaño n de Q(> 1), determínese el test Para m.a.s. tamaño n deuna unapoblación población N de la razón de verosimilitudes para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : A 0. a) Calcúlese su función de potencia. b) Determínense q y f (constante del test), para que la función de potencia satisfaga que (00 1) = 00 95 y (00 1) = 00 05= 5.7.8 Sea [1 > ===> [q una m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) con ambos parámetros desconocidos. Dedúzcase el test de la razón de verosimilitudes para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 . 5.7.9 Un examen consta de 100 preguntas, cada una de ellas admite la respuesta verdadero o falso. Se desea que los alumnos que superen la prueba sepan al menos el 50 % de la asignatura. Si se quiere que la probabilidad de suspender a un alumno que realmente se sabe la asignatura sea menor o igual que 00 01 ¿cuál debe ser el número mínimo de respuestas correctas que se debe exigir para aprobar el examen? Supóngase que las preguntas abarcan uniformemente toda la asignatura y que para cada pregunta sólo una de las alternativas es la correcta. 5.7.10 En un examen tipo cuestionario se plantean 10 cuestiones, cada una de ellas admite la respuesta verdadero o falso. Aprobará el examen quien responda correctamente a 5 o más preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen alguien que responde todo al azar? ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen una persona que sabe el 30 % de la asignatura? ¿Cuál debe ser el mínimo número de respuestas correctas que se debe exigir para aprobar, si se pretende que una persona que sepa al menos el 80 % de la asignatura apruebe con probabilidad 00 9? En este último caso plantéese el contraste con todos sus elementos. 5.7.11 Para muestras de tamaño 1 de una población con distribución Jdppd(d = 00 5> s) hállese un test X P S de tamaño 00 05 para contrastar K0 : s = 00 5 frente a K1 : s = 1 5.7.12 Sea ([1 > ===> [q ) una m.a.s. de una población con distribución Jdppd(d> s = 1) a) Encuéntrese el test del cociente de verosimilitudes para contrastar K0 : d = d0 frente a K1 : d 6= d0 = b) Análogamente para contrastar K0 : d d0 frente a K1 : d ? d0 =


250 250

DE HIPÓTESIS

5.7.13 Sea ([1 > [2 ) una m.a.s. de una población de Ehuqrxool() con 5 {00 25> 00 5}. Constrúyase un test óptimo de tamaño = 3@16 para contrastar K0 : = 00 25 frente a K1 : = 00 5= 5.7.14 Para una muestra de tamaño 1, determínese el test X P S de tamaño 00 05 para contrastar K0 : procede de una población Q (0> 1), frente a K1 : procede de una población con función de densidad Fdxfk|(0> 1), es decir, i1 ({) =

1 1 , 1 + {2

5R ({

5.7.15 Para una muestra de tamaño 1, determínese el test X P S de tamaño 00 01 y su función de potencia, para contrastar K0 :procede de una población Q (0> 1), frente a K1 : procede de una población con distribución Jdppd(1> 1)= 5.7.16 Para las siguientes familias de distribuciones de probabilidad, encuéntrense los tests óptimos de tamaño para contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0 , basados en m.a.s. de n observaciones. a) i ({|) = h3{ > { A 0> A 0= b) i ({|) = {31 > 0 ? { ? 1> A 0= 5.7.17 a) De la producción de una fábrica se toma una m.a.s. de 50 ele50 P mentos, resultando que { = 29 y ({l {)2 = 575. Contrástese la hipótesis 1

de que la media de la población es 30 mediante un test de tamaño 00 01 suponiendo que la población tiene una distribución normal. b) Se quiere saber si ha habido variación en la población para lo que se considera por una parte la muestra del apartado a) y una semana más tarde se toma otra m.a.s., independiente con la anterior, de tamaño 80 80 P que arroja | = 22 y (|l |)2 = 650. Contrástese la hipótesis de que el 1

proceso no ha variado, mediante un test de tamaño 00 05 bajo las mismas suposiciones de normalidad. 5.7.18 En un conjunto de 300 personas tomadas al azar de la ciudad A, hay 93 que ganan menos de 1>800 euros al mes. En la ciudad B, de un grupo de 200 personas tomadas al azar, hay 52 que ganan menos de 1>800 euros al mes. ¿Se podría rechazar la hipótesis de que la proporción de individuos que ganan menos de 1>800 euros al mes es la misma en ambas ciudades? Tómese para el test un tamaño de 00 05=

5.8. SOLUCIÓN A LOS CONTRASTES EJERCICIOS DE HIPÓTESIS

251 251

5.7.19 Contrástese la hipótesis K0 : = 1 frente a K1 : = 2 para una m.a.s. de tamaño q de una población, con función de densidad i ({|) = h3{

{ A 0> A 0

suponiendo que la información inicial viene recogida por S { = 1} = 23 . 5.7.20 A un estudiante se le somete a un test, con el fin de determinar su coeficiente de inteligencia que arroja como puntuación { = 115. Se supone que el resultado del test [ Q (> 10) y que en el colectivo estudiado Q (100> 15). Contrástese mediante un test bayesiano la hipótesis de que su coeficiente de inteligencia es menor o igual que 100 frente a su complementario. Calcúlese el p-valor correspondiente al test clásico para la misma situación. 5.7.21 Para contrastar la hipótesis nula K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ) con conocida, se utiliza una distribución inicial que da S { = 0} = 00 5 y si 6= 0 vale 00 5() donde () es la densidad de una Q (0> 0 ) con 0 desviación típica conocida. Se pide: a) Compruébese que, efectivamente S {4 ? ? +4} = 1= b) Calcúlese S {K0 |{1 > ===> {q }= c) Obténgase una expresión para el p-valor cuando se observe {= d) Para el caso 2 = 20 = 1 y q = 10 calcúlense el p-valor y la probabilidad final de la hipótesis nula cuando los valores de la media muestral { han sido: 0> 00 1> 00 4> 00 6> 1> 2=

5.8.


5.8.1 La función de potencia del contraste es UF () = S {UF|} y como

12 P l=1

[l tiene distribución de S rlvvrq(12) UF () = S

½ 12 P l=1

¾ [l 2|

= I (2|12)

donde I es la función de distribución de la v.a. de S rlvvrq(12). Se tiene que I (2|6) = 00 062> I (2|3) = 00 4232 y I (2|1) = 00 9197 por lo que la función de potencia es la recogida en la Figura 5.8.1, donde el valor correspondiente a = 0 se determina por continuidad.


252 252

DE HIPÓTESIS

Figura 5.8.1. Función de potencia correspondiente al Ejercicio 5.7.2.

5.8.2 a) La función de potencia es

UF () = S {({1 > {2 ) con 0 ? {l ? 1 l = 1> 2 y 3 4{1 {2 }

se trata de calcular, véase la Figura 5.8.2,

Z S {zona rayada|} =

3@4

Z =

1

1

3@4

Z

1 3 4{1

31 2 {31 1 {2 g{2 g{1

{31 1

" 1

μ

3 4{1

¶ #

μ ¶ 3 3 =1 (1 ln ) 4 4

g{1


253 253

Figura 5.8.2. Representación de la región crítica del Ejercicio 5.7.2. b) La probabilidad de cometer error de tipo I viene dada por 3 UF (1) = 1 4

μ ¶ 3 1 ln = 00 034= 4

La probabilidad de cometer error de tipo II es ¸ · 3 9 1 UF (2) = 1 1 (1 2 ln ) = 00 096= 16 4

5.8.3 Las funciones de potencia son ½ UF1 () = S UF2 () = S

3 P

l=1 3 P

¾ [l = 3|

½

l=1

¾ [l 2|

= 3 = 3 + 32 (1 ) = 2 (3 2)

luego la función de potencia del primer test es menor que la función de potencia del segundo, y por tanto en la clase de los tests de nivel 0’5 es mejor el test de región crítica UF1 , véase la Figura 5.8.3.


254 254

DE HIPÓTESIS

Figura 5.8.3. Funciones de potencia de los tests del Ejercicio 5.7.3.

5.8.4 Como bajo la suposición de normalidad [ Q (> I1q ) se tiene s a) S {[ n| = 0} = S {] (n ) q} = 00 01 con ] Q (0> 1)> de donde ha de ser n4 = 20 326 o lo que es lo mismo n = 00 5815= b) La probabilidad de cometer error de tipo I es la probabilidad bajo = 0 de rechazar la hipótesis nula, es decir S {UF| = 0}

= S {[ 00 5815| = 0} = S {] 4 · 00 5815} = S {] 20 326} ' 00 01=

c) La probabilidad de cometer error de tipo II es la probabilidad bajo = 1 de aceptar la hipótesis nula 1 S {UF| = 1} = S {[ ? 00 5815| = 1} ¯ ¾ ½ 00 5815 1 ¯¯ [ 1 =S ? ¯ = 1 1@4 1@4 = S {] ? 4(00 5815 1)} = S {] 10 674} ' 00 047=


255 255

d) De acuerdo con la Definición 5.1.3 la función de potencia es UF () = S {UF|} = S {[ 00 5815|} ¯ ¾ ½ [ 00 5815 ¯¯ =S ¯ 1@4 1@4 = S {] 4(00 5815 )} = 1 (4(00 5815 )) con la función de distribución de la v.a. Q (0> 1)= 5.8.5 El test de la UY para contrastar K0 : 0 = 00 5 frente a K1 : 6= 00 5 tiene de región crítica $ $ UF = { { = ({1 > ===> {q )|( { ) n} donde

(00 5)q{ (1 00 5)q(13{) $ ( {)= m´ ax q{ (1 )q(13{) M(0>1)

= { por lo que es el máximo del denominador se alcanza en b ($ {)=

μ

00 5 {

¶q{ μ

1 00 5 1{

¶q(13{)

Esta expresión es una función simétrica en { respecto al punto 00 5, con lo que UF = {|{ 00 5| f}. Para la determinación de s f se emplea que la distribución aproximada de [ es una normal Q (00 5> 1000 · 00 52 ) es decir [ ' Q (00 5> 150 8114)= Para la m.a.s. particular que arroja 550 caras en 1000 tiradas, el p-valor es s ydoru(00 55) = S {|[ 00 5| A |00 55 00 5| | = 00 5} ½ ¾ 00 05 ' S |]| 0 15 8114 0 = S {|]| 3 16} = 00 00079 luego se debe rechazar el que la moneda sea equilibrada. También hubiera sido posible contrastar K0 : = 00 5 frente a K1 : A 0 0 5, de todas maneras se ha preferido recoger la hipótesis alternativa más amplia.


256 256

DE HIPÓTESIS

5.8.6

a) Para contrastar K0 : 00 5 frente a K1 : A 00 5 mediante el ½q ¾ P {l f método de la UY se obtiene el test de UF = por lo que el l=1

10 P

p-valor con

l=1

{l = 7 es ½

sup S

MK0

¯ ¾ ¯ ½ 10 ¾ ¯ ¯ P 0 ¯ ¯ [l 7¯ = S [l 7¯ = 0 05 = l=1 l=1 ¯ ¾ ½ 10 ¯ P 0 ¯ [l 3¯ = 0 5 = =S 10 P

l=1

= 00 1719 b) En el contraste K0 : 1 frente a K1 : A 1 con { = 3 para una población [ S rlvvrq(), el método de la UY conduce al test de UF = {{ f}, en este caso el p-valor correspondiente a { = 3 es sup S {[ 3|} = S {[ 3| = 1} = 00 0803

MK0

c) Si se enfrenta K0 : 1 frente a K1 : ½A 1 tras ¾observar 3 P [l 0 , por lo la m.a.s. (3,5,1), mediante el test de la UY la UF = l=1

que el p-valor, viene dado por ¯ ¾ ½ 3 ¯ P [l 3 + 5 + 1¯¯ = S {\ 9| = 3} = 00 0038 sup S MK0

l=1

donde \ S rlvvrq( = 3) en virtud de la reproductividad de la distribución de Poisson. 5.8.7 a) Para contrastar con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> 1) K0 : = 0 frente a K1 : A 0, el test de la UY viene dado por UF = {({1 > ===> {q ) f} donde ({1 > ===> {q ) =

i ({1 > ===> {q |) máxi ({1 > ===> {q |) D0

como 3 12

m´ ax h

(

q P 1

({l 3)2

=

D0

1

S

2

h3 2 S {l si { 0 1 2 h3 2 ({l 3{) si { A 0

se sigue que ; ? 1 ({) =

=

3 12

h

#

q P

P

q {2l 3 ({l 3{)2 l=1 l=1

$

si { 0 si { A 0


257 257

por lo que simplificando ½ ({) =

1 si { 0 q 2 h3 2 { si { A 0

y por tanto, tras la representación de ({) , la región crítica es de la forma UF = {[ n}= b) La función de potencia es () = S {[ n|} y como [ Q (> I1q ) s () = S {] (n ) q} sin más que que tipificar tipificar la lo variable variable [, y donde ] Q(0> 1)= Se trata de resolver en q y n el sistema s S {] (n 00 1) q} = 00 95 s S {] (n + 00 1) q} = 00 05 o alternativamente s 10 6449 = (n 00 1) q s 10 6449 = (n + 00 1) q de donde q = 269 y n = 0= 5.8.8 Con m.a.s. de tamaño q de una población Q(> ) el test de la UY para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 con desconocida, viene dado por UF = {({1 > ===> {q ) n} con

(5.8.1)

$ ( {) =

máx

m´ ax >

¡ 1 ¢q

h3 22

¡ 1 ¢q

h3 22

1

S ({l 30 )2

1

S ({l 30 )2

Para maximizar en y el denominador, se observa que para todo q P fijo el máximo en se obtiene minimizando en la expresión ({l )2 1

= {. Por lo tanto bastará maximizar, que como se sabe se consigue conSb 1 2 3q h3 22 ({l 3{) = Tomando logaritmos se pretende ahora en , la expresión P maximizar q ln 21 2 ({l {)2 cuya derivada igualada a cero es

q 1 P q + 3 ({l {)2 = 0 l=1


258 258

b2 = cuya única solución es q 2

3

1 q

q P

q P

DE HIPÓTESIS

({l {)2 la varianza muestral. Como la

l=1

({l 3{)2

l=1

+ , que siempre es positiva, se sigue que derivada segunda es 4 b2 es un máximo y sustituyendo en el denominador de (5.8.1) se obtiene q P 3q 2 , por lo que ({l 0 )2 y el numerador vale b20 = q1 b3q que éste vale 0 h l=1

$ ( {)=

μ

b b0

¶q

4q 3P q ({l {)2 F E l=1 F =E q D CP ({l 0 )2 l=1

sumando y restando en el denominador { se obtiene que la razón es (w) = ´3q ³ s w2 0 1 + q31 q. Expresión que bajo la hipótesis nula se con w = {3 V distribuye con distribución Wq31 de Student. En resumen, que al ser (w) simétrica, la región crítica queda ¯ ½¯ ¾ ¯ { 0 s ¯ UF = {(w) n} = {|w| f} = ¯¯ q¯¯ f V Para la obtención de la constante hay que hacer que sup S {UF| = 0 > } =

con lo que basta que sea f = w 2 y por lo tanto ¯ ½¯ ¾ ¯ { 0 ¯ s ¯ ¯ UF = ¯ q w 2 = V ¯ 5.8.9 Si se denota por 5 [0> 1] el porcentaje de asignatura que conoce un alumno, se pretende contrastar K0 : 00 5 frente a K1 : A 00 5. Para aprobar, el alumno deberá contestar por lo menos a n preguntas de forma correcta, con n un entero menor que 100. Se puede suponer que el número de preguntas 100 P [l una v.a. suma de v.a. de Ehuqrxool() cuancorrectas contestadas es l=1

do se sabe un tanto por uno de la asignatura. Con este planteamiento un 100 100 P P [l n, y suspenderá si [l ? n. La probabilidad alumno aprobará si l=1

l=1

de que un alumno conteste correctamente a una pregunta es S {[l = 1|} = S {se sepa la respuesta}· · S {la marque correctamente|se sabe la respuesta}+ + S {no sepa la respuesta}· · S {la marque correctamente|no sabe la respuesta}


259 259

que puede ponerse s = S {[l = 1|} = + (1 )00 5 = 00 5 + 00 5 por lo tanto

100 P l=1

[l Elqrpldo(100> s)=

La petición de acotar por 00 01 la probabilidad de suspender cuando se sabe la asignatura, permite determinar el valor de n de la expresión S{

100 P

l=1

[l ? n| = 00 5} 00 01

100 P

[l Elqrpldo(100> 00 75). Utilizando la aproximación normal a la μ ¶ q 00 75·00 25 0 = Q (00 75> 00 043) se trata distribución Binomial [ Q 0 75> 100

donde

l=1

de obtener n de la expresión ½ ¾ n@100 00 75 S ] = 00 01 00 0433 donde ] Q (0> 1), lo que lleva a n 00 75 = 00 0433 · (20 3263) 100 y redondeando, ha de ser n = 65 el número mínimo de preguntas que un alumno ha de contestar correctamente para aprobar. 5.8.10 Entendiendo que el número de respuestas correctas viene modelizado por 10 P [l donde [l = 1 si la respuesta a la pregunta una variable aleatoria l=1

i-ésima es correcta. Una persona aprobará cuando

10 P l=1

[l 5, mediante el

Teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que una persona que conoce un tanto por uno de la materia conteste correctamente es s = S {[l = 1|} = S {se sepa la respuesta}S {la marque correctamente|se sabe la respuesta} + S {no sepa la respuesta}S {la marque correctamente|no sabe la respuesta} = 00 5 + 00 5 = Si la persona responde al azar es s = 00 5, valor correspondiente a = 0; la probabilidad de que apruebe es ¯ ¾ ½ 10 ¯ P [l 5¯¯ = 0 = 1 00 377 = 00 623 S l=1


260 260

DE HIPÓTESIS

La probabilidad de que apruebe el examen una persona que sabe el 30 % de la asignatura es ¯ ½ 10 ¾ ¯ P 0 ¯ S [l 5¯ = 0 3 = S {\ 5} = 00 9052 l=1

con \ Elqrpldo(10> 00 65) donde s es el valor correspondiente a = 00 3. Para calcular el número mínimo de preguntas correctas a responder para aprobar n> si se pretende que una persona que sepa al menos el 80 % de la asignatura apruebe con probabilidad 00 9. Se trata de determinar n para que S{

10 P

l=1

[l n|} 00 9

con 00 8, como al valor = 00 8 le corresponde s = 00 9 se debe obtener n tal que S {\ n} 00 9 con \ Elqrpldo(10> 00 9), de donde n = 8. En este último caso se ha pretendido contrastar la hipótesis K0 : se ¾ 00 8 frente a K1 : se sabe ? 00 8 y la sabe un porcentaje de asignatura ½ 10 P [l 8 = región crítica es UF = l=1

La probabilidad de cometer error de tipo I es ¯ ¾ ¯ ½ 10 ¾ ½ 10 ¯ ¯ P P [l 8¯¯ = S [l 8¯¯ = 00 8 = S {\ 8} sup S D00 8

l=1

l=1

con \ Elqrpldo(10> 00 9) y vale 00 0702. 5.8.11 De acuerdo con el Teorema de Neyman-Pearson, para contrastar K0 : s = 00 5 frente a K1 : s = 1 el test óptimo tendrá como región crítica UF = {i ({|s = 1)@i ({|s = 00 5) A n} es decir, cuando

μ

¶

1101 0 {0 5 ( 0 )5)AAnn 22

o equivalentemente UF = {{ A f} Como bajo la hipótesis nula puede determinarse f para que S {[ A f|d = 00 5> s = 00 5} = S {"21 A f} = 00 05 el test óptimo de tamaño 00 05 viene dado por UF = {{ A 30 842}=


261 261

5.8.12 a) El test de la UY para contrastar K0 : d = d0 frente a K1 : d 6= d0 viene dado por UF = {({1 > ===> {q ) n} con 3dl

dq0 h

({1 > ===> {q ) =

q P 1

3dl

{l q P

m´ ax dq h

1

{l

d

Para calcular el máximo del denominador, tomando logaritmos se obtiene

q ln d d

X

[l

e igualando a 0 la derivada ha de ser d = {31 , que al particularizar en la segunda derivada y como

q ¯¯ ?0 ¯ d2 d={31

se sigue que

({1 > ===> {q ) =

dq0 h3d0 q{ = (d0 {)q h3q(dr {31) {3q h3q

y de acuerdo con la Figura 5.8.4 se obtiene UF = {{ f1 ó { f2 } donde las constantes han de satisfacer μ

f1 f2

¶q

= h3q(d0 f2 3d0 f1 )

262 262


DE HIPÓTESIS

Figura 5.8.4. Representación de la UY correspondiente a la parte a) del Ejercicio 5.7.12.

b) El test de la UY para contrastar K0 : d d0 frente a K1 : d ? d0 vendrá dado por UF = {({1 > ===> {q ) n}

con

máx dq h3qq { ({1 > ===> {q ) = =

dDd0

=

b dq0 h3ed0 q{ {3q h3q

máx dq h3dq{ d ( 1 si {31 d0 3d0 q{ dq 0h {3q h3q

si {31 ? d0

por lo que de acuerdo con la Figura 5.8.5, se obtiene

UF = {{31 f}


263 263

Figura 5.8.5. Representación de la UY correspondiente a la parte b) del Ejercicio 5.7.12. 5.8.13 Mediante el Teorema 5.3.1 (Neyman-Pearson) se debe calcular μ ¶23({1 +{2 ) S {{1 > {2 | = 00 5} {1 +{2 2 =2 S {{1 > {2 | = 00 25} 3 Como la distribución de \ = [1 + [2 es una Elqrpldo(2> 14 ) bajo K0 la región crítica del test es de la forma UF = {{1 + {2 n} sin embargo es imposible hacer con ningún n que el tamaño del test sea 3@16= Para lograrlo habría que recurrir a tests aleatorizados, es decir a tests que para algún valor de n, en este caso n = 1, se requiera de un sorteo que con probabilidad 1@3 rechace la hipótesis nula y que con probabilidad 2@3 acepte la hipótesis nula. Obsérvese que para tal test 1 S {rechazar K0 | = 00 25} = S {[1 + [2 A 1| = 00 25} + S {[1 + [2 = 1| = 00 25} 3 1 1 6 = + 16 3 16 3 = 16 No obstante no parece razonable el utilizar un contraste cuyo resultado depende de una aleatorización independiente del valor de , en este caso se 1 3 = emplearía de región crítica {{1 + {2 A 1} que tiene de tamaño 16 y no 16 5.8.14 Para contrastar K0 : [ Q (0> 1) frente a K1 : [ Fdxfk|(0> 1), aplicando el Teorema 5.3.1 (Neyman-Pearson ), el test óptimo tiene de región crítica ¾ ½ ¯ ¯1 1 1 3 1 {2 2 s h UF = { ¯¯ n 1 + {2 2


264 264

DE HIPÓTESIS

que puede ponerse alternativamente UF = {{| |{| f} La constante se determina haciendo que 00 025 = S {UF|K0 } por lo que f = 10 96= 5.8.15 Se pretende contrastar K0 : [ Q (0> 1) frente a K1 : [ Jdppd(1> 1). Mediante el Teorema 5.3.1 (Neyman-Pearson ), el test óptimo tiene la región crítica ¾ ½ ¯ ¯ 3{ 1 3 1 {2 ¯ 2 s h UF = { ¯h n 2 o bien UF = {{|{ f con f A 0} Para obtener la constante ha de ser 00 01 = S {[ f|K0 } por lo que f = 20 33= La función de potencia es Z +" 0 0 UF () = S {[ 2 33|K1 } = h3{ g{ = h32 33 = 00 097= 20 33

5.8.16 a) Si se fijan 1 A 0 , el cociente i ({1 > ===> {q |1 ) = i ({1 > ===> {q |0 )

μ

1 0

es una función monótona decreciente en

q ¶q P {l (1 30 ) hl=1

q P l=1

{l , luego aplicando la versión

adecuada del Teorema 5.4.1 (Karlin-Rubin), el test óptimo tiene de región crítica ¾ ½q P {l f UF = l=1

Para determinar la constante se utiliza que ½q ¾ P 0 {l f|K0 0 01 = S l=1

Pq y por la reproductividad l=1 [l Jdppd(d = Pqde la v.a. exponencial > s = q) de donde 2 l=1 [l "22q con lo que f = 210 "22q;13 = b) Para 1 y 0 con 1 A 0 , el cociente i ({1 > ===> {q |1 ) = i ({1 > ===> {q |0 )

μ

1 0

q ¶q P ln {l (1 30 ) hl=1

5.8. SOLUCIÓN A LOS CONTRASTES EJERCICIOS DE HIPÓTESIS tiene UY P en

q P l=1

265 265

ln {l , luego mediante el Teorema 5.4.1 (Karlin-Rubin),

el test óptimo para contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0 tiene de región crítica ¾ ½q P ln {l f UF = l=1

Para determinar la constante se utiliza que la v.a. ln [ Jdppd(d = q P ln [l Jdppd(d = > s = q) y por lo tanto > s = 1) luego 2

q P l=1

l=1

ln [l

"22q

con lo que f = 210 "22q;13 =

5.8.17 a) Se pretende contrastar K0 : = 30 cm frente a K1 : 6= 30 cm para una población Q (> ) con desconocida. Mediante el método de la UY (véase la Tabla 5.2.2.1) ha de ser la región crítica del test ½ ¾ V UF = |{ 0 | s wq31; 2 q a partir de los datos V 2 =

1 49

50 P

({l {)2 = 110 7347, w49;00 005 = 20 6804 con

l=1

lo que la región crítica es UF = {|{ 30| 10 3117}. Como |29 30| = 1 no pertenece a la UF se acepta la hipótesis nula. b) Se trata de contrastar K0 : 1 2 = 0 frente a K1 : 1 2 6= 0. Como en este caso las dos varianzas son desconocidas se contrasta primero si ambas son iguales. Para contrastar K0 : 1 = 2 frente a K1 : 1 6= 2 , la región crítica es (véase la Tabla 5.2.2.4) ½ UF =

V12 ip31>q31; 2 V22

¾

ya que V12 V22 > 110 7347 80 2278. Cómo es i49>79;00 025 = 10 6383 y V12 @V22 = 10 4262 no es mayor que 10 6383 se acepta la igualdad de varianzas. Para contrastar ahora la igualdad de medias, la región crítica es (véase la Tabla 5.2.2.3) ( UF =

|{ || wp+q32; 2 Vs

r

1 1 + p q

)

con la cuasivarianza ponderada Vs2 =

99 · 110 7347 + 79 · 80 2278 (p 1)V12 + (q 1)V22 = = 100 1783 p+q2 178


266 266

de donde Vs = 30 1903. q Es w178;00 025 = 10 9738 1 p

la distribución W178 y

+

1 q

DE HIPÓTESIS

el cuantil de orden 00 975 de

= 00 15. Por lo que la región crítica es

UF = {|{ || 00 473} y como |{ || = 7 se rechaza la hipótesis de igualdad de medias, luego el proceso ha variado. 5.8.18 Si se denota por [l = 1 si la persona i-ésima de las obtenidas en la ciudad D gana menos de 1>800 euros al mes y análogamente \m = 1 respectivamente de las obtenidas en la ciudad E, se pueden considerar sendas variables: 300 P l=1 300 P l=1

[l Elqrpldo(p = 300> s1 ) \m Elqrpldo(q = 200> s2 )

Se pretende contrastar la hipótesis nula K0 : s1 = s2 = s frente a K1 : s1 μ 6= s2q . Una posibilidad para este¶contraste es emplear que [ μ realizar ¶ q Q

s1 >

s1 (13s1 ) p

\ Q

s2 >

s2 (13s2 ) q

y sustituir en las expresiones

de las desviaciones típicas s1 por { y s2 por |. El problema con este procedimiento es que la normalidad es asintótica por lo que conceptualmente es más correcto utilizar el método de la RV para contrastar K0 : s1 = s2 frente a K1 : s1 6= s2 , lo que lleva a la región crítica < ; p q p q P P P P A A A A {l + |m p+q3 {l 3 |m A A A A A A 1 1 1 1 m´ a x s (1 s) @ ? s n UF = p q P P p q P P A A A A {l |m A A p3 {l q3 |m A A 1 1 A A 1 > = m´ ax s1 (1 s1 ) s2 (1 s2 ) 1 s1 >s2

Es inmediato comprobar que p{ + q| p+q ! Ã p q P P {l > |m (véase el Mediante la distribución asintótica de 2 ln sb1 = {> sb2 = |, sb =

l=1

m=1

Teorema 5.2.3.2) se obtiene la convergencia a una distribución "21 por lo que la región crítica es ! ( Ã ) p q P P UF = 2 ln {l > |m f l=1

m=1


267 267

donde f = "21; , si se sustituye sb1 = 00 31, sb2 = 00 26 y sb = 00 29, se tiene que la región crítica es ! ) ( Ã p q P P 0 {l > |m 3 842 UF = 2 ln l=1

Ã como 2 ln

p P

l=1

{l >

q P m=1

m=1

! |m

= 10 4702 se acepta la hipótesis nula de que

la proporción de individuos que ganan menos de 1>800 euros al mes es la misma en ambas ciudades. 5.8.19 $ $ {}? { = ({1 > ===> {q ) se rechaza la hipótesis nula K0 cuando S {K0 | Dado un $ S {K1 | { }= Como es P 2@3 h3 {l $ S S S {=1| { } = 2@3 h3 {l + 1@3 2q h32 {l P 2@3 2q h32 {l $ S S S {=2| { } = 2@3 h3 {l + 1@3 2q h32 {l $ $ S { = 1| { } ? S { = 2| { } es equivalente a 2@3 h3q{ ? 1@3 2q h32q{ = Aunque mediante el método bayesiano se debe actuar condicionalmente $ { observada, se mantiene la misma notación que en el caso a la muestra clásico y se rechazará para todos aquellos puntos que cumplan ¾ ½ ¯ ¯ q1 $ ¯ ln 2 = UF = { ¯{ ? q 5.8.20 Se trata de constratar K0 : 100 frente a K1 : A 100. Para el cálculo de la distribución final, se sabe que si la población se distribuye Q (> ) y la distribución inicial sobre es Q (0 > 0 ), con 0 > y 0 conocidas, la distribución final es Q(1 > 1 ) con 1 =

0 20 1 20

1 = ³

(véase el Ejemplo 3.2.3.3).

+ +

{ 2 @q 1 2 @q

1 1 20

+

1 @q

2

´1@2


268 268

DE HIPÓTESIS

Por lo tanto (|115) es Q (1100 38> 80 32) en este caso q = 1 de manera que la probabilidad final sobre la hipótesis nula es

{ = 115,

S {K0 |{ = 115} = S { 100|{ = 115} = S {] 10 248}

= 00 106 por lo que se rechaza la hipótesis nula. Mediante el test clásico, si no se utiliza la información de que en el colectivo Q (100> 15), utilizando el test de la UY , para contrastar K0 : 100 frente a H1 : A 100, se tiene (véase la Tabla 5.2.2.1) que la región crítica es ¾ ½ UF = { 100 + s } q como se desea el p-valor correspondiente a { = 115 s ydoru(115) = sup S {[ 115|} $100

de donde s ydoru(115) = S {[ 115|100} ½ ¾ 115 100 =S ] 10 0 = S {] 1 5} = 00 07 luego si el tamaño del test clásico es menor que 0’07 se aceptaría la hipótesis nula de que el estudiante tiene un coeficiente de inteligencia menor o igual que 100= 5.8.21 a) Z S {4 ? ? 4} = S { = 0} + (1 S { = 0}) = 00 5 + 00 5 = 1=

+"

()g 3"

b) La probabilidad final de K0 : = 0 es S { = 0|{1 > ===> {q }

= = =

< S {=0}i (3 { U |0) < < S {=0}i (3 { |0)+S {6=0} 6=0 ()i (3 { |)g < 00 5 i (3 { |0) U +" < < 00 5i (3 { |0)+00 5 3" ()i (3 { |)g !31 Ã R +" 3 12 12 + 21@q 2 32 2{@q 1 0 1 + I2 3" h g 0


269 269

Esta integral se calcula obervando que es de la misma forma que la integral de la Expresión (3.2.3.2) en el Ejemplo 3.2.3.3, con μ

q{ 2

¶μ

1 q H= + 20 2 μ ¶ 1 q 31 Y = + 20 2

¶31

Así se obtiene que "

¶ μ ¶ μ ³ 1 q{ 2 1 q 31 q 2 ´31@2 exp + S { = 0|{1 > ===> {q } = 1 + 1 + 2 0 2 2 20 2

#31

c) Sin información inicial el test clásico mediante la UY para contrastar K0 : = 0 frente a K1 : 6= 0 viene dado por UF = {|[| n} $ { ) es (véase la Tabla 5.2.2.1), luego el p-valor ( $ s-ydoru( {)

= S {|[| |{| | 0} s = 2(1 ( q|{|))

con la función de distribución de la v.a. Q (0> 1)= d) Al particularizar 2 = 20 = 1 y q = 10 en las expresiones de la probabilidad final y del p-valor, se obtiene S { = 0|{1 > ===> {10 } = [1 + (1 + q)31@2 exp(10{)2 (1 + q)31 ]31 lo que lleva a la Tabla 5.8.1, en la que se observa que la probabilidad final es siempre mayor que el p-valor, siendo esta diferencia bastante alta para valores moderados de {.

{ $ s-ydoru( {) $ S ( = 0| { )

0 1 0’7683

0’1 0’7518 0’7602

0’4 0’2059 0’6158

0’6 0’0578 0’3924

1 0’0016 0’034

2 0 0

Tabla 5.8.1. Valores del p-valor y la probabilidad final correspondiente al Ejercicio 5.7.21.

Capítulo 6

TEORÍA DE LA DECISIÓN 6.1.

INTRODUCCIÓN

La estimación por punto, la estimación por intervalo y el contraste de hipótesis pueden considerarse como casos particulares de una teoría más general, la Teoría de la Decisión. En esta teoría se vuelven a estudiar los problemas de inferencia, en los que todos los elementos que están incluidos en el proceso de inferencia son formalmente definidos, y además se introducen y se desarrollan también los criterios de optimalidad deseables que deben cumplir los procedimientos que se utilizan y que incluyen, como casos particulares, a los que ya se han estudiado. Desde este punto de vista, en la Teoría de la Decisión se obtienen conclusiones similares a las obtenidas en los capítulos anteriores pero, en algunas situaciones, se obtendrán, nuevas interpretaciones de los procedimientos ya vistos. En la formulación de un modelo de decisión intervienen, los datos, des$ $ { que recorre el espacio muestral X , critos por un vector aleatorio [ = el modelo, formado por todas las distribuciones de probabilidad sobre X y caracterizadas por un parámetro que recorre el espacio paramétrico , las acciones a que son los elementos entre los que se puede escoger y que recorren un conjunto A y finalmente la función de pérdida O(> d) en que se incurre cuando el parámetro es y se elige la acción d, con O(> d) 5 R= $ { debe dar alguna información sobre el paráYa que el valor muestral $ { ) como las aplicaciones del metro , se introducen las reglas de decisión g( espacio muestral en el conjunto de acciones, D = {g : X $ A}= Ejemplo 6.1.1 Una fábrica produce durante un periodo de tiempo Q elementos, q de los cuales son muestreados aleatoriamente para determinar si son correctos o defectuosos, se pretende determinar la proporción de defectuosos que produce la fábrica. El lote de Q elementos es vendido por un precio total de F unidades monetarias, con la garantia de que si la proporción de elementos 271

272 272

CAPÍTULO 6. TEORÍA INFERENCIA ESTADÍSTICA

DE LA DECISIÓN

defectuosos excede a 0 , la fábrica pagará al comprador una cantidad de J unidades monetarias por los inconvenientes causados. Para la colección de Q elementos, el fabricante tiene dos acciones posibles: vender el lote con lo que recibe F unidades monetarias, o rectificarlo lo que tiene un coste de U unidades. En este ejemplo X = {0> 1> ===> q} es el número de elementos defectuosos observados y el modelo viene dado por la distribución Elqrpldo(q> ) μ ¶ q { S {{|} = (1 )q3{ con { 5 X { donde = [0> 1]. El conjunto de acciones posibles es A = {d1 > d2 } siendo d1 vender el lote y d2 rectificarlo. La función de pérdida, en unidades monetarias, viene dada por la Tabla 6.1 d2 O(> d) a1 0 F U A 0 J F U Tabla 6.1. Función de pérdidas correspondiente al Ejemplo 6.1.1. donde en el caso de tomar la acción d1 cuando 0 se produce una ganancia positiva de F u.m. por lo que se ha expresado el beneficio como una pérdida negativa. Las reglas de decisión g son el conjunto D de aplicaciones del conjunto {0> 1> ===> q} en {d1 > d2 }, y pueden ser expresadas formalmente como una colección de q + 1 elementos en la que cada uno de los elementos es d1 o d2 , donde se interpreta el valor i-ésimo de la colección como la acción a tomar cuando se observan { éxitos. Sin embargo parece natural considerar sólo las reglas de decisión que se aplican sobre d1 cuando el número de elementos defectuosos queda menor o igual que { y sobre d2 cuando dicho número es estrictamente mayor que {= ¥ La Teoría de la Decisión es una teoría matemática para la toma de decisiones cuando existe incertidumbre. Así en su acepción más general, en la Teoría de la Decisión se estudian formas de determinar la función de pérdida, más bien su opuesta que es la función de utilidad, y de determinar buenas reglas de decisión. No obstante, este Capítulo, capítulo, por por ser ser una introducción, se va a restringir sólo al estudio de la Teoría de la Decisión Estadística, viendo como se pueden plantear en este contexto los problemas de estimación por punto, por regiones de confianza y los contrastes de hipótesis y estudiando los conceptos de buenas reglas de decisión, que quedan recogidos en los conceptos de reglas minimax y reglas Bayes. Un ejemplo de aplicación a un contexto distinto puede verse en Gómez Villegas (1979). La calidad de una regla de decisión se cuantifica mediante la función de riesgo que es la esperanza de la función de pérdida respecto a la distribución

6.1 INFERENCIA EN LA TEORÍA TEORÍA DEDECISIÓN LA DECISIÓN. DE LA

273 273

$ i ( { |). (6.1.1)

$ U(> g) = H[O(> g( [ ))]

Lo deseable es escoger una regla de decisión, cuya función de riesgo sea pequeña para todo valor de , en general esto no es posible y ocurre frecuentemente que para dos reglas de decisión g1 y g2 se tiene que U(1 > g1 ) ? U(1 > g2 ) pero U(2 > g1 ) A U(2 > g2 ) con lo que g1 es mejor que g2 cuando el valor del parámetro es 1 , pero g2 es mejor que g1 cuando el valor del parámetro es 2 , con lo que no es posible escoger entre ambas. Las dos maneras usuales de resolver esta dificultad son mediante la regla minimax y la regla Bayes. Una regla de decisión g se dice minimax si se cumple (6.1.2)

m´ın máxU(> g) = máxU(> gW ) gMD MX

MX

es decir la regla gW es minimax si con ella la máxima pérdida en que se puede incurrir es lo más pequeña posible. Debe tenerse en cuenta que estas expresiones no son estrictamente correctas ya que el mínimo y el máximo, en general, pueden no ser alcanzables sin restringir D y . De todas maneras se dejarán estas cuestiones para un tratamiento más avanzado de la Teoría de la Decisión. El otro procedimiento, consiste en introducir, cuando esto sea posible, una distribución inicial mediante () y calcular el riesgo Bayes correspondiente a dicha distribución inicial, que viene definido mediante (6.1.3)

E(> g) = H[U(> g)]

donde la esperanza está calculada respecto a la distribución dada por . Si existe la regla g que minimice el riesgo Bayes, a tal regla se la denomina regla Bayes. El procedimiento seguido para llegar a la regla minimax es demasiado conservador en el sentido de que asocia a cada regla de decisión lo peor que puede ocurrir al variar el valor del parámetro , es decir es como si el parámetro actuara en contra del que toma la decisión. En la regla de decisión Bayes se actua en promedio respecto a mediante la distribución dada por , lo que parece un método más adecuado de tratar la función de riesgo. También es cierto que desde una descripción matemáticamente más rigurosa, se deben hacer hipótesis para que exista el riesgo Bayes en (6.1.3) y sea alcanzable. En particular, también se deben considerar en D sólo solo aquellas funciones de X en A para las que la esperanza (6.1.1) exista.


274 274

6.2.

DE LA DECISIÓN

MÉTODOS DE INFERENCIA EN LA TEORÍA DE LA DECISIÓN

En lo que sigue se aplican las ideas introducidas de la Teoría de la Decisión a los problemas ya estudiado de la inferencia estadística, es decir al contexto de la estimación por punto, por intervalo y al contraste de hipótesis.

6.2.1.

Estimación por punto

Un problema de estimación por punto puede considerarse como un problema de la Teoría de la Decisión en que el espacio de acciones A coincide con el espacio paramétrico . Las reglas de decisión de D son las aplicaciones del espacio muestral X en por lo que una regla de decisión g({) es realmente ({) tal y como ha sido considerado en el Capítulo 3. Si ahora un estimador b se considera como función de pérdida la cuadrática, O(> g({)) = ( g({))2 , se tiene que de acuerdo con (6.1.1) la función de riesgo viene dada por U(> g) = H[( g([))2 ] = H[(g([) H[g([)] + H[g([)] )2 ] = Y du [g] + (Vhvjr g)2 = Y du [g] + e2 [g] = HFPg () con lo que la función de riesgo para la regla de decisión g coincide con el error ({) = g({) (véase la Sección 3.3.1). De esta cuadrático medio del estimador b manera, con pérdida cuadrática un buen estimador será el que minimice la varianza y el sesgo simultaneamente, con lo que el criterio de encontrar estimadores que minimicen el HFP toma un significado preciso en el contexto de la Teoría de la Decisión al utilizar la función de pérdida cuadrática.

6.2.2.

Estimación por regiones de confianza

Un problema de estimación por regiones de confianza, puede considerarse como un problema de decisión en el que el espacio de acciones A, son todos los subconjuntos del espacio paramétrico. Las reglas de decisión D son las aplicaciones del espacio muestral X en partes de , por lo que una regla $ $ { ) es realmente una región de confianza V( { ) . Si se de decisión g( considera como función de pérdida ½ $ 1 si V( { ) 63 $ < O(> V( { )) = 1 LV(3 (6.2.2.1) $ { ) () = 0 si V( {)3 es decir, se pierde 1 si la región no contiene a y no se pierde nada si la región contiene a , se sigue, que la función de riesgo es, de acuerdo con (6.1.1), $ $ U(> g) = H[O(> V( [ ))] = S {V( [ ) 63 |}=

6.2 INFERENCIA EN LA TEORÍA TEORÍA DEDECISIÓN LA DECISIÓN. DE LA

275 275

En este caso, la función de riesgo coincide con la probabilidad de que la región de confianza no cubra el valor del parámetro. Por lo tanto una buena regla de decisión, desde el punto de vista de la Teoría de la Decisión, será aquella que haga mínima la probabilidad citada. Así se obtiene la región X P D (uniformemente más ajustada) introducida en la Sección 5.5. Un resultado sorprendente es que no aparecen en general las regiones de confianza de nivel 1 > sino que se obtiene directamente la probabilidad de recubrir valores erróneos del parámetro. Para el modelo normal, en cierto sentido si puede lograrse (véase el Ejercicio 6.7.11). En el caso en que = R o un subconjunto propio y las acciones sean los intervalos de , parece natural emplear como función de pérdida (6.2.2.2)

O(> V) = d longitud(V) LV ()

donde d es una constante positiva que recoge el peso relativo que se quiera dar al hecho de que el intervalo tenga una amplitud pequeña respecto a que debe tener probabilidad alta de recubrir valores correctos del parámetro. En este caso la función de riesgo viene dada por $ $ U(> V) = d H [orqjlwxg(V( [ )] S {V( [ ) 3 |} La poca utilización, no obstante, de la función de pérdida dada en (6.2.2.2) es debida a los problemas de cuantificación de la constante d.

6.2.3.

Tests de hipótesis

Los tests de hipótesis se pueden considerar como un problema de decisión, en el que el espacio paramétrico queda dividido en dos conjuntos 0 y 1 , el conjunto de acciones es A = {d0 > d1 } donde d0 es la acción de aceptar la hipótesis nula de que 5 0 y d1 es la acción de rechazar la hipótesis nula; y en el que la función de pérdida viene dada por la Tabla 6.2.1, para dos valores d0 d1 5 0 0 fL 5 1 fLL 0 Tabla 6.2.1. Función de pérdida de un test de hipótesis. fL y fLL convenientes. Una regla de decisión viene caracterizada por el conjunto de puntos de X para los que se toma la acción d1 , es decir para los que se rechaza la hipótesis nula. La función de riesgo viene dada por $ U(> g) = fL S {(g( { ) = d1 |} si $ U(> g) = fLL S {(g( { ) = d0 |} si

5 0 5 1


276 276

DE LA DECISIÓN

que puede ponerse como U(> g) = fL S {error de tipo I|}

si

U(> g) = fLL S {error de tipo II|}

si

5 0 5 1

Por lo tanto en el caso en que fL = fLL = 1, elegir la regla de decisión que minimice la función de riesgo supone minimizar también las probabilidades de cometer error de tipo I y error de tipo II, cuando se usa la función de pérdida recogida en la Tabla 6.2.1. Alternativamente, la función de riesgo se puede poner en función de la potencia del test, de acuerdo con la Definición 5.1.3, como U(> g) = fL ()

si

U(> g) = fLL ()

6.3.

si

5 0 5 1 =

OBTENCIÓN DE REGLAS BAYES Y DE REGLAS MINIMAX

La obtención de reglas Bayes frente a una distribución inicial dada mediante , pasa por el cálculo de la distribución final (|{). En general, facilita la obtención de la regla de decisión que minimice el riesgo Bayes definido por la Expresión (6.1.3), el trabajar a partir de la distribución final y la distribución predictiva. Teorema 6.3.1 $ { 5 X y d 5 A se denota por Si para cada $ {)= u(d|

Z X

$ { )g O(> d)(|

y para cada { 5 X existe una acción dW 5 A tal que $ $ u(dW | {) { ) = inf u(d| dMA

$ { ) = dW es la regla Bayes con respecto a . entonces g ( Demostración: de acuerdo con la definición de riesgo Bayes, Expresión (6.1.3) Z E(> g) = U(> g)()g ¸ ZX ·Z $ $ $ = O(> g( { ))i ( { |)g { ()g X

X

6.3 OBTENCIÓN DE REGLAS Y MINIMAX. TEORÍABAYES DE LA DECISIÓN utilizando que

277 277

$ $ $ { )p( {) i ( { |)() = (|

e invirtiendo el orden de integración ¸ Z ·Z $ $ $ $ E(> g) = { )g p( { )g { O(> g( { ))(| X X Z $ $ $ = u(d| { )p( { )g { X

Por las hipótesis del teorema, teorema, el el ínfimo ínfimo para para cada cada {{ se se alcanza alcanza en en ddWW,, $ $ W luego el ínfimo en E(> g) se obtiene en g ( { ) = d ya que p( { ) es no $ { ) = dW es la regla Bayes. negativa. Con lo que g ( ¥ $ { fijo, obtener el ínfimo del riesgo Bayes El teorema permite, para cada en lugar de en el espacio de funciones D en el espacio de acciones A, problema mucho más sencillo. Si la función de pérdida es la cuadrática u(d|{) coincide con la pérdida final esperada que se introdujo en la Sección 3.3.2, con lo que otra vez el modelo de la Teoría de la Decisión engloba al modelo de estimación. Como consecuencia, para función de pérdida cuadrática la regla Bayes es $ $ { ]. Si la función de pérdida es la diferencia en valor absoluto, g ( { ) = H[| la regla Bayes es la mediana de la distribución final (|{). El Teorema 6.3.1 también se aplica al contraste de hipótesis, así en el Capítulo 5 se introdujeron los contrastes bayesianos en función del cálculo de las probabilidades finales de la hipótesis nula y de la alternativa. alternativa, Aa la luz de la Teoría de la Decisión se puede enunciar el siguiente resultado. Corolario 6.3.1 En un problema de decisión de contraste de hipótesis, donde la función de pérdida es la recogida en la Tabla 6.2.1, la regla Bayes frente a la distribución inicial () es ½ $ d0 si S {0 | { } fLL @(fL + fLL ) $ g ( {) = (6.3.1) $ d1 si S {0 | { } fLL @(fL + fLL ) Demostración: aplicando el Teorema 6.3.1 $ $ u(d0 | { ) = fLL S {1 | {} $ $ u(d | { ) = f S { | { } 1

L

0

la regla Bayes es por tanto la recogida en la Expresión (6.3.1). ¥ Ejemplo 6.3.1 Con m.a.s. de tamaño q de una población Q (> ), para contrastar K0 : 0 frente a K1 : A 0 , la regla Bayes frente a la distribución inicial

278 278


DE LA DECISIÓN

() dada por una distribución Q (> ), con > y conocidas, y cuando la función de pérdida es la recogida en la Tabla 6.2.1, viene dada por ½ s d0 si (0 (1 ){)@( ) } s g ({1 > ===> {q ) = (6.3.2) d1 si (0 (1 ){)@( ) } con = 2 @(q 2 + 2 ) y } el cuantil de orden fLL @(fL +fLL ) de la distribución Q (0> 1)= En efecto, como la distribución final (|{1 > ===> {q ) es la distribución normal con $ H[| { ] = + (1 ){ $ Y [| { ] = 2 (véase el Ejemplo 3.2.3.2). Utilizando el Corolario 6.3.1 se tiene la forma de la regla Bayes. Además como $ $ S {0 | { } = S { 0 | {} ½ ¾ 0 (1 ){ =S ] s $ { ) = d0 cuando con ] Q (0> 1), según (6.3.1), la regla Bayes es g ( s [0 (1 ){]@( ) } con } el cuantil de orden fL @(fL + fLL ) de la distribución Q (0> 1)= En función de la muestra, la regla Bayes rechaza la hipótesis nula si s 0 } { (6.3.3) 1 El punto crítico, por encima del cuál se rechaza y por debajo se acepta, depende de las suposiciones iniciales y del valor , que aquí es función de las constantes fL y fLL , que determinan la función de pérdida. En el caso particular en que fL = fLL y = 0 se tiene que la Expresión (6.3.3) toma la forma { A 0 , pues = 00 5 y } = 0. ¥ La obtención en casos generales de reglas de decisión minimax, es un problema bastante difícil, ya que, hay que calcular un máximo de un mínimo de una función de dos variables, no obstante se pueden encontrar, en determinados contextos, condiciones suficientes que aseguren que una regla es minimax. Teorema 6.3.2 Si una regla de decisión g es Bayes respecto a la distribución inicial dada por () y tiene riesgo constante como función de (es una regla igualizadora), entonces es una regla minimax.

6.3 OBTENCIÓN DE REGLAS Y MINIMAX. TEORÍABAYES DE LA DECISIÓN

279 279

Demostración: si g no fuera minimax, existiría una regla g0 5 D tal que

supU(> g0 ) ? supU(> g )=

MX

MX

El riesgo Bayes frente a correspondiente a g0 cumple Z supU(> g0 )()g E(> g0 ) ZX ? supU(> g )()g

por ser g

últimacomo expresión coincide igualizadora . (con Esta riesgo función de con constante). Esta Z U(> g )()g = E(> g )

lo que contradice el que g es Bayes frente a = ¥ Ejemplo 6.3.2 En una población de Ehqrxool() con m.a.s. de tamaño q y función de pérdida ( d)2 O(> d) = (1 ) la regla de decisión [ es igualizadora, ya que · ¸ ([ )2 Y [[] 2 (1 ) 1 = = = = = U(> [) = H (1 ) (1 ) q(1 ) q(1 ) q Además [ es Bayes frente a () = X (0> 1) ya que la distribución final viene dada por μq ¶ q P P $ (| { ) Ehwd {l + 1> q {l + 1 1

1

y por tanto minimizar en d la expresión

E

μq P 1

1 {l + 1> q

q P 1

¶ {l + 1

Z

1

0

( d)2 (1 )

q P 1

{l

q P

q3

(1 )

es equivalente a minimizar en d Z 0

1

q P

2

( d)

1

{l 31

q P

q3

(1 )

1

{l 31

g

1

{l

g

280 280


DE LA DECISIÓN

expresión, que, a menos de una constante independiente deμ, es la desviación ¶ q q P P {l > q {l , cuadrática a una constante> d, de una variable Ehwd 1 Áμ q ¶ 1 q q P P P {l {l + q {l = {, la que se hace mínima cuando es d = media de las observaciones.

6.4.

1

1

1

REGLAS ADMISIBLES Y CLASES COMPLETAS

En un problema de decisión, la clase de las reglas de decisión D a utilizar es demasiado amplia como para ser manejable. Lo que se hace es restringir la clase D a una clase más pequeña, en la esperanza de que sea más fácil elegir en ella una regla óptima. En esta sección se introduce el concepto de admisibilidad, en la línea de poder desechar algunas reglas de decisión, y el concepto de clase completa de reglas de decisión, para asegurarse de que no se han desechado demasiadas reglas. Definición 6.4.1 (regla de decisión admisible) Una regla de decisión g 5 D se dice admisible si no existe otra regla de decisión g0 de D tal que U(> g0 ) U(> g) para todo 5 0 00 0 > U(0g) > g)para U(> gg))??U(> 5== paraalalmenos menosunun05

La idea intuitiva es que las reglas admisibles no son mejoradas de manera estricta, para algún valor del parámetro, por ninguna otra regla respecto a la función de riesgo. ¥ Como ya se ha dicho en la introducción a este Capítulo, ocurre con frecuencia que para determinados valores del parámetro, la función de riesgo correspondiente a g0 es menor o igual que la función de riesgo correspondiente a g, mientras que para otros valores el comportamiento se invierte. Definición 6.4.2 (clase completa) Una subclase F de reglas de decisión de D se dice completa si para cualquier @ F existe una regla g 5 F tal que regla de decisión g0 5 U(> g) U(> g0 ) para todo 5 U(0 > g) ? U(0 > g0 ) para al menos un 0 5 = El siguiente enunciado recoge la relación entre reglas de decisión admisibles y clases completas de reglas de decisión.

6.4. REGLAS ADMISIBLES Y CLASES COMPLETAS TEORÍA DE LA DECISIÓN

281 281

Teorema 6.4.1 Si F es una clase completa de reglas de decisión, entonces F contiene a las reglas de decisión admisibles. Demostración: Si g es una regla de decisión admisible y g 5 @ F por ser F clase completa, existirá g0 5 F con U(> g0 ) U(> g) para todo con algún valor 0 para el que la desigualdad será estricta, con lo que g no sería regla admisible. ¥ El resultado siguiente establece condiciones bajo las cuales las reglas Bayes son admisibles, sin afinar demasiado puede decirse que las reglas Bayes son admisibles. Como por el Teorema 6.4.1 las reglas admisibles están contenidas en cualquier clase completa, resulta que las reglas Bayes están contenidas usualmente en cualquier clase completa, sería deseable que las reglas Bayes formaran clase completa, entre otros motivos porque de acuerdo con el Teorema 6.3.1 se dispone de un procedimiento constructivo relativamente sencillo para la obtención de tales reglas. De todas formas lo que falta por añadir al conjunto de reglas Bayes para obtener una clase completa son determinados límites de reglas Bayes. Resultados en esta línea pueden consultarse en Berger (1985) Capítulo 8.

Teorema 6.4.2 Se considera un problema de decisión en el que R y, para cualquier regla de decisión, la función de riesgo, como función de > es continua. Si g es una regla Bayes frente a la distribución inicial de densidad () y para todo % A 0 el intervalo ( %> + %) tiene probabilidad positiva bajo , entonces g es admisible. Demostración: Si g no fuera admisible existiría exitiría una regla g tal que U(> g) U(> g ) para todo 5 y U(0 > g) ? U(0 > g ) para al menos un 0 . Por la hipótesis de continuidad del enunciado y como la diferencia de funciones continuas es a su vez una función continua, se sigue que para la función U(> g ) U(> g) si se denota por = U(0 > g ) U(0 > g) A 0; dado 0 2 existirá % A 0 tal que si | | % entonces |U(> g ) U(> g) (U(0 > g ) U(0 > g))| Luego si | 0 | % se tiene que (6.4.1)

U(> g ) U(> g) U(0 > g ) U(0 > g) = 2 =

2

2


282 282

DE LA DECISIÓN

Integrando respecto a () se obtiene Z (U(> g ) U(> g))()g+ E(> g ) E(> g) = 0 |3 |$% Z (U(> g ) U(> g))()g> |30 |A%

el segundo sumando es no negativo, por ser g no admisible, luego Z E(> g ) E(> g) (U(> g ) U(> g))()g |30 |

%$y por (6.4.1) si | 0 | % E(> g ) E(> g) 2

Z

|30 |

%$()g

expresión, que es estrictamente positiva por hipótesis; luego se llega a contradicción con el hecho de que g era regla Bayes respecto a = De aquí que g ha de ser admisible. El mismo resultado se puede enunciar cuando es discreto, en ese caso la regla de decisión debe ser Bayes con respecto a una distribución inicial, cuya función de masa () verifique () A 0 para todo 5 . A la distribución de probabilidad dada por con esta característica, se dice que verifica la regla de Cromwell, esto es da probabilidad positiva a todo valor del parámetro, si éste es discreto, o a todo entorno de cualquier valor del parámetro, si éste es continuo. ¥ La continuidad de la función U(> g) como función de , depende de la continuidad de la función de pérdida O(> d) y de la continuidad en de la función i ({|); condiciones precisas, pueden verse en Ferguson (1967) y Berger (1985). También puede estudiarse la relación entre reglas minimax y admisibilidad, como ejemplo se recoge el siguiente enunciado. Teorema 6.4.3 Si ggW es una regla minimax y es única en el sentido de que si g es otra regla minimax es U(> gW ) = U(> g) para todo 5 , entonces gW es una regla de decisión admisible. Demostración: Si gW no fuera admisible existiría una regla g0 tal que U(> g0 ) U(> gW ) para todo U(0 > g0 ) ? U(0 > gW ) para algún 0 por lo tanto

supU(> g0 ) supU(> gW )

6.5. PARADOJA DE STEIN TEORÍA DE LA DECISIÓN

283 283

si esta desigualdad fuera estricta, la regla g no sería minimax luego ha de cumplirse que supU(> g0 ) = supU(> gW )=

g0

Pero entonces la regla también sería regla minimax y como existe al menos un valor de 0 tal que U(0 > g0 ) ? U(0 > g”) la regla minimax no sería única en el sentido establecido en el enunciado; luego la regla gW tiene que ser admisible. ¥ De todas formas el resultado no es de amplia aplicación, ya que suele ser difícil comprobar cuando se satisfacen las hipótesis del teorema.

6.5.

PARADOJA DE STEIN

En esta sección se demuestra, que en el caso normal, para m.a.s. de tamaño q y función de pérdida cuadrática, el estimador [ es admisible. Se prueba que en el caso en que se estimen varias medias de manera simultánea, con función de pérdida cuadrática, el estimador [ es inadmisible. En el Capítulo 3, se obtuvo que [ es el HFP Y para cuando la población es Q (> ) con conocida. Además es el HP Y y el estimador de mínimos cuadrados. Cuando se utiliza función de pérdida cuadrática no es estimador Bayes, pero es límite de reglas Bayes cuando la distribución inicial es Q (> ) y tiende a +4. Además [ es una regla minimax, ya que si se toma como distribución inicial q () la distribución Q (0> q ) la regla Bayes gq es la media de la distribución final que tiende a [ cuando q $ +4> como se tiene que 2 2 E( q > gq ) $ q cuando q $ +4 y U(> {q ) = q entonces { es minimax 2 (véase el Ejercicio 6.7.19, con s = q ). Tiene sentido preguntarse si, para [1 > ===> [q m.a.s. de una población Q (> ) con conocida y O(> g) = ( g)2 , es [ admisible. La técnica de demostración que se va a seguir es general y se conoce como el método de Blyth pues fué introducida por este autor en 1951. La respuesta es afirmativa y su demostración se hace por reducción al absurdo de la siguiente manera. Si [ no fuera admisible exitiría una regla de decisión g([1 > ===> [q ) con U(> g) U(> [) para todo 0 U(0 > g) ? U(> > [) [) para paraalalmenos menosun unvalor valor0 0

Por ser la función de densidad de la distribución Q (> ) y la función de pérdida cuadrática, funciones continuas en , la diferencia U(> [) U(> g) es una función continua en ; por lo tanto dada la constante estrictamente positiva 2 , con U(> [) U(0 > g) =


284 284

DE LA DECISIÓN

existirá % positivo tal que si | 0 | %, entonces |U(> [) U(> g) (U(0 > [) U(0 > g))|

= 2

De manera que para todo en el intervalo (0 %> 0 + %) se tiene que U(0 > [) U(0 > g) = 2

U(> [) U(> g)

(6.5.1)

2

si se emplea como distribución inicial para la distribución Q(0> ), con A 0 conocida se sigue, integrando en los dos miembros de la Expresión (6.5.1) respecto a esta densidad, que Z (U(> [) U(> g))()g E(> [) E(> g) = Z

0 +%

(U(> [) U(> g))()g

+

|30 |A%

0 3% Z 0 +%

2

0

3%

1 2 1 s h3 2 2 g 2

de donde se obtiene la acotación @2 (E(> [) E(> g)) s 2

(6.5.2)

Z

0 +%

0 3%

3

h

2 2 2

g=

Si, por otro lado, g es la regla Bayes respecto a la distribución Q (0> ), se tiene que 0 (E(> g ) E(> g)) = (E(> g ) E(> [))+ + (E(> [) E(> g))

(6.5.3)

pero se comprueba que

h 2i E(> [) = H H[| ([ )2 = H q = $ < H 3 < (g ( E(> g ) = H 3 { ) )2 = H

(6.5.4)

p( { )

2 q

< p(3 { ) [Y

| {

$ [| { ]]

$ { es Q ((1 y como, de acuerdo con el Ejemplo 3.2.3.2, la distribución de | ){> t

1

1 + q2 2

) con =

1 2 1 q + 2 2

, sustituyendo en la expresión (6.5.4) resulta Ã

< E(> g ) = H p(3 {)

1 2

1 +

! q 2

=

1 2

1 +

q 2

= 2 =

Volviendo a la Expresión (6.5.3)

(6.5.5)

0

( 2 =

2 1 q 1 + q2 2

@2 R 0 +% 3 2 2 I 2 g q ) + 2 0 3% h 2 R 0 @2 +% 3 2 +I h 2 g 0 2 3% 2


285 285

si se toman límites cuando $ 4, el primer sumando tiende a 0 y el integrando del segundo sumando tiende a 1, de donde se sigue que el segundo miembro de la Expresión (6.5.5) tiende a I2 % un número estrictamente positivo, con lo que se llega a una contradicción. Por lo tanto [ ha de ser admisible. La admisibilidad de [ en el caso normal es cierta también aunque sea desconocida. Como se ha visto la media muestral tiene buenas propiedades en el caso unidimensional. Se trata ahora de estimar de manera simultánea el vector de medias de varias poblaciones normales. Sean [l Q (l > 1) l = 1> ===> s $ v.a.i. y se pretende estimar = (1 > ===> s ) mediante una regla de de$ cisión g ([1 > ===> [s ) = (g1 ([1 > ===> [s )> ===> gs ([1 > ===> [s )) cuando la función de pérdida es (6.5.6)

s P $ $ $ $ O( > g ( [ )) = (l gl ( [ ))2 = l=1

$ Se tiene que la regla de decisión g( [ ) = ([1 > ===> [s ) es minimax y es inadmisible. Una primera observación es que podría pensarse en la regla de decisión ql P $ g( [ ) = ([ 1 > ===> [ s ) donde [ l = q1l [lm con [lm Q(l > 1) l = 1> ===> s m=1

y m = 1> ===> ql en lugar del caso más simple con ql = 1 l = 1> ===> s que se ha enunciado. Con modificaciones obvias, el razonamiento que sigue es también válido en esa situación y únicamente se recoge con submuestras de tamaño 1 para simplificar los cálculos. $ En efecto g( [ ) = ([1 > ===> [s ) es minimax. Para ello se va a utilizar $ que si se toman como distribuciones iniciales una sucesión q ( ) adecuada y se tiene que E( q > gq ) $ s, cuando q $ +4, entonces si una regla $ g( [ ) = ([1 > ===> [s ) cumple que U(> g) = s para todo = (1 > ===> s ) entonces es una regla minimax (véase el Ejercicio 6.7.19). Se tiene así · s ¸ P $ $ $ 2 U( > g ) = H (l gl ( [ )) l=1 (6.5.7) s s R R P Q = X === X (l gl ({1 > ===> {s ))2 i ({l |l )g{l l=1

l=1

donde i ({l |l ) son las funciones de densidad correspondientes a las diss Q $ l (l )> tribuciones Q (l > 1). Además, si la distribución inicial es ( ) = l=1

con l (l ) funciones de densidad todas con distribución Q(0> )> el riesgo $ de la regla g frente a la distribución inicial viene dado por Z +" Z +" $ $ $ E(> g ) = === U( > g ) 1 (1 )=== s (s )g1 ===gs (6.5.8) 3"

3"


286 286

DE LA DECISIÓN

Dada la forma especial de las Expresiones (6.5.6) y (6.5.7) encontrar la $ regla Bayes g frente a se reduce a encontrar, para estimar cada l , con pérdida cuadrática de la forma (l gl ({1 > ===> {s ))2 , la regla Bayes frente a l . Esta regla es gl ([1 > ===> [s ) = gl l ({l ) =

2 [l 2 + 1

l = 1> ===> s

y le corresponde el riesgo Bayes E( l > gl l ([l )) =

2 +1

2

i=1,...,p

con lo que, mediante la Expresión (6.5.7) se obtiene que E(> g ) =

(6.5.9)

s 2 2 = = 2 2 + 1 l=1 + 1 s P

Se tiene, entonces, que el riesgo Bayes correspondiente a g converge a s $ $ cuando $ +4, pero como U( > [ ) = s se sigue, aplicando el Ejercicio $ 6.7.19 6.7.19, que la regla [ es minimax. Se va a demostrar ahora que, cuando s 3, la regla de decisión (6.5.10)

$ s2 gVl ( [ ) = (1 s ) [l P 2 [m

l = 1> ===> s

m=1

$ rebaja la función de riesgo correspondiente a la regla minimax [ . Esta regla gV fué propuesta por James y Stein (1961). Para la demostración se necesita el siguiente resultado. Lema 6.5.1 (Stein) Para una v.a. [ Q (> ) si j es una función derivable con H|j 0 ([)| ? +4, entonces se tiene que £ ¤ H [j([)([ )] = 2 H j 0 ([) = (6.5.11) Demostración: 1 H [j([)([ )] = s 2

Z

+"

2 1 ({3) 2

({ )j({)h3 2

3"

integrando por partes con x = j({)

({3)2 3 12 2

gy = ({ )h

gx = j 0 ({) 1

2

y = 2 h3 22 ({3)

g{

6.5. PARADOJA DE STEIN TEORÍA DE LA DECISIÓN se sigue que (6.5.12)

"

H [j([)([ )]

=

I1 2

287 287

2 1 ({3) 2

j({) 2 h3 2 +

2

R +"

R +"

1 = 2 I2

3"

3"

¯+" ¯ ¯ + ¯ 3"

1 j 0 ({)h3 2

({3)2 2

2 1 ({3) 2

j 0 ({)h3 2

¸ g{

g{ = 2 H [j 0 ([)] =

La hipótesis H|j 0 ([)| ? +4 , es para asegurar que el primer sumando en la Expresión (6.5.12) es nulo. ¥ La demostración de que la regla de decisión gv ([1 > ===> [s ) mejora a la $ regla minimax [ , pasa por el cálculo directo de la función de riesgo 5 U(> gV ) =

62

9 : s2 9 : H 9l (1 s [l ): P 7 8 l=1 [m2 s P

m=1

5 =

62

9 : (s 2) 9 : H 9l [l + s [l ): P 7 8 l=1 [m2 s P

m=1

que desarrollando el cuadrado puede escribirse como 5 U(> gV ) =

4

3

s P 9 F E (s32) [l D + 7H(l [l )2 2H C(l [l ) P s

l=1

3

42 6

m=1

[m2

E (s32) F : +H C P [l D 8 s m=1

(6.5.13) =

s P l=1

Y [[l |l ] + 2

[m2

s P l=1

3

E F (s32) H C(l [l ) P [l D + s

3 +

s P

l=1

4

42

m=1

[m2

E (s32) F H CP [l D s m=1

[m2

El primer sumando de esta expresión es igual a s, para el segundo suman-


288 288

do mediante el Lema de Stein se tiene que 3 4 (s 2)

DE LA DECISIÓN

3

4

E C s E s P P [l F [l F E E F F HE EH(l [l ) s F = (s 2) F s P 2D C C[l P D l=1 C l=1 2 [m [m m=1

m=1

el segundo miembro, puede entonces simplificarse mediante ; 3Ã !4 3 s 4 A s P A P 2 A E A [m2 F [m 2[l2 F A E F s s ? E P P E m=1 E m=1 F F = (s 2) H (s 2) HE E F F Ã ! s 2 P E P F D C s l=1 l=1 A A A C D ( [m2 )2 2 A [ A m = m=1 m=1

4< A A FA A E A F @ E 2 [l F E 2H E Ã !2 F FA E P A DA C s A [m2 A > m=1 ; 3 3 4 4< A A A A A ? E 1 F E 1 FA @ E E F F = (s 2) sH E s F 2H E s F A C P 2D C P 2 DA A A A [m [m A = > m=1 m=1 4 3 3

E 1 F F E = (s 2)2 H E s F P D C [m2 m=1

Por último, el tercer sumando de la Expresión (6.5.13) puede ponerse como 4 3 4 3 F E F E F F E 2 2 s E P [ [ F E F E 2 l l (s 2)2 H EÃ EÃ !2 F = (s 2) H !2 F F E F E s s l=1 l=1 C P D C P D [m2 [m2 s P

m=1

o bien como

m=1

3

4

E 1 F E F (s 2)2 H E s F C P 2D [m m=1


289 289

Sustituyendo en la Expresión (6.5.13) estos tres sumandos, se sigue que 3

4

E 1 U(> gV ) = s 2(s 2)2 H C P s 3

(6.5.14)

m=1

E 1 = s (s 2)2 H C P s m=1

[m2

3

E 1 F D + (s 2)2 H C P s

4

[m2

4

m=1

[m2

F D

$ F D ? s = U(> [ )

donde la última desigualdad solo es válida si s 3 , pues para s = 1 ó 2, es s P $ H(1@ [m2 ) = +4. Por lo tanto la regla [ no es admisible. m=1

No obstante para estimar valores de l positivos, si la expresión

s P m=1

[m2

es próxima a cero el estimador de Stein, dado por la Expresión (6.5.10), tiene un comportamiento poco intuitivo, es muy negativo. Esto puede arreglarse introduciendo el estimador 3 (6.5.15)

4+

E s2 F E F g+ F [l l ([1 > ===> [s ) = E1 P s D C [m2

con l = 1> ===> s

m=1

ax{{> 0}. Brown (1971) ha demostrado que usando el esEsdonde {+ = m´ timador (6.5.15) se rebaja el riesgo correspondiente al estimador de Stein, Expresión (6.5.14), con lo que ni siquiera dicho estimador es admisible. Como resumen se puede decir, con intuición geométrica, que si al esti$ mador [ se le encoge hacia el cero, que es lo que representa la Expresión (6.5.10), se consigue un estimador con riesgo menor, en el caso normal, con función de pérdida cuadrática y para dimensión mayor o igual que 3= Cuando se utiliza el planteamiento de un problema de decisión para abordar un problema con incertidumbre, es importante considerar lo que ocurre cuando se modifican tanto la distribución inicial cómo la función de pérdida. Algunos aspectos de estos problemas pueden verse en Gómez Villegas (1977), Gómez Villegas (1980) y Gómez Villegas (1983). Como ya se ha dicho, el modelo de la Teoría de la Decisión puede aplicarse a situaciones muy generales, lo que puede obligar a generalizar distribuciones de probabilidad a nuevas situaciones, pueden verse ejemplos en Gómez y Gómez Villegas (1998) y Gómez, Gómez Villegas y Marín (1998). La aplicación a situaciones dependientes del tiempo puede verse en Gómez, Gómez Villegas y Marín (2002).

290 290

6.6.


DE LA DECISIÓN


La Teoría de la Decisión Estadística nace con los trabajos de Wald entre 1939 y 1952. Abraham Wald nació en 1902 en Cluj, Hungría, y murió en un accidentede deaviación aviacióncuando cuandoiba ibaaaimpartir impartirunas unasconferencias conferenciasena Travancore, Travancore accidente India, en 1950. De origen judío, se trasladó a Viena en 1927, donde obtuvo su doctorado en matemáticas en 1931. Inicialmente trabajó en el campo de la geometría y para aumentar sus ingresos fué tutor de un prominente banquero y economista vienés. Este trabajo le llevó a interesarse por la econometría, concretamente por las series temporales. Cuando Austria fué ocupada por los nazis en 1738, Wald se trasladó a Estados Estados Unidos, Carnegie, y estudiando Unidos,incorporándose incorporándosea alalaCorporación Corporación Carnegie, y estudió estadística en la Universidad de Columbia con Harold Hotelling. En 1941 fué contratado como profesor de esta universidad a la que perteneció ya durante toda su vida. Sus primeros artículos en estadística fueron publicados en 1939. En ellos señala que los problemas de estimación y contraste de hipótesis no son sino casos particulares de la Teoría de Juegos, tal como ésta había sido desarrollada hasta el momento, principalmente por Von Neumann. La diferencia estaba en que en la Teoría de Juegos los oponentes tenían intereses encontrados, por lo que el criterio minimax era fundamental, mientras que en la Teoría de la Decisión el estadístico no parecía que debiera considerar como antagonista a la naturaleza, y por ello otro tipo de criterios parecían más adecuados. Wald definió la función de pérdida, la función de riesgo, las reglas minimax y demostró que una regla minimax tiene riesgo constante bajo ciertas condiciones de regularidad. Introdujo las reglas Bayes y las reglas de decisión admisibles, siendo paradójico que las introdujo para deducir teoremas de admisibilidad y para construir reglas minimax. En 1950 recoge sus contribuciones a la Teoría de la Decisión en un libro titulado Las funciones de Decisión Estadística, de un alto nivel matemático. También en este año publica su otra gran contribución estadística, el análisis secuencial, obteniendo la distribución para muestras grandes del test secuencial y su propiedad de óptimo. Sus contribuciones no se agotan con esto, ya que también consiguió resultados en inferencia no paramétrica, procesos estocásticos y diseño de experimentos. Wald era un excelente profesor, claro y preciso, y un maestro en obtener demostraciones elementales de resultados complicados. Tras el fallecimiento de Wald en 1950, sus ideas fueron continuadas por Blackwell(1954), Raia(1968), DeGroot(1970), Lindley (1971), Savage(1972) y Morgenstern (1974) que extienden la Teoría de la Decisión a prácticamente todos los campos del saber en los que se trabaje con incertidumbre. Una perspectiva del desarrollo histórico de la Teoría de la Decisión puede verse en Fishburn (1989).

6.7. EJERCICIOS

6.7.

291 291

TEORÍA DE LA DECISIÓN

EJERCICIOS

6.7.1 En un problema de decisión, la función de pérdida y el resultado de la experimentación, vienen dados por las siguientes tablas: O(> d) 1 2 3

d1 2 1 5

d2 0 4 6

s({l |m ) 1 2 3

d3 4 0 2

{1 00 4 00 5 00 3

{2 00 6 00 5 00 7

Se pide: a) Establézcanse el conjunto de reglas de decisión y dígase cuántas hay. b) Considérense las reglas de decisión {g1 > g2 > g3 } descritas en la siguiente tabla y evalúense sus riesgos

{1 {2

g1 d1 d2

g2 d2 d3

g3 d1 d3

c) ¿Cuál es la regla minimax de las establecidas en la parte b)? d) Suponiendo que la información sobre el parámetro = {1 > 2 > 3 } viene dada por la distribución uniforme discreta ¿cuál es la regla Bayes de las tres consideradas en la parte b)? e) Si se observa {1 ¿cuál será la regla Bayes entre todas las reglas de decisión? 6.7.2 Una moneda tiene una probabilidad desconocida de salir cara. Se tira una vez y se observa el resultado. A continuación se decide si jugar o no un juego en el que se predice el resultado de la siguiente tirada de la moneda. Si se predice correctamente se ganan 2 unidades monetarias y si se predice incorrectamente se pierde 1 u.m., si no se juega no se pierde ni se gana nada. Se pide: a) Plantéese como un problema de decisión explicitando sus elementos. b) ¿Cuál es la regla minimax ?. ¿Cuál es la regla Bayes frente a una distribución inicial uniforme sobre ? 6.7.3 Dada una observación [ = { se pretende saber si proviene de una distribución Q (0> 1) o de una Q (2> 1)= Se supone que una de las dos distribuciones es escogida inicialmente con probabilidad 1@2= a) Bajo pérdida 0 1 ¿Cuál es la regla Bayes? b) Si se observa el valor { = 00 5 ¿a qué distribución asigna la regla Bayes esta observación?

292 292


DE LA DECISIÓN

6.7.4 Cada vez que se recibe una alarma de la llegada de un tornado en una cierta comunidad, se dispone de tres acciones posibles: d1 , no movilizarse; d2 , movilizarse parcialmente; d3 , movilización total. La severidad del tornado, es medida por un parámetro > que de menor a mayor toma los valores 0> 00 5 y 1. La alerta especifica una predicción de severidad que queda recogida por una v.a. [ con distribución S {[ = 0|} = 1 S {[ = 00 5|} S {[ = 1|} = = 2 Se sabe que en el área ocupada por la comunidad, una severidad 0 ocurre con probabilidad 00 5, una severidad de 00 5 ocurre con probabilidad 00 25 y una severidad de 1 ocurre con probabilidad 00 25. ¿Cuál es la acción Bayes cuando la alerta específica [ = 0? Tómese como función de pérdida L(> d) =0 = 00 5 =1

d1 0 5 0

d2 1 0 5

d3 2 1 0

6.7.5 Sea [ Elqrpldo(q> ) con q conocido. s s a) Si la distribución inicial sobre es Ehwd( q@2> q@2). ¿Cuál es la distribución final para ? Calcúlese la regla de decisión g({) = H[|{]. b) Con función de pérdida cuadrática, ¿es g({) una regla minimax ? c) Compárese la función de riesgo correspondiente a g({) = H[|{] con la función de riesgo de W ({) = q{ para q = 10> 50 y 100. ¿Qué conclusión se extrae? 6.7.6 Un asesor de Bolsa recomienda comprar un paquete de acciones de una compañía porque éstas van a subir. Si el asesor tiene razón y se compra el paquete se obtiene una ganacia de 1.000 unidades monetarias (u.m.) pero si se equivoca y las acciones bajan se pierden 1.000 u.m. Una segunda opción es vender un paquete análogo, de manera que si el asesor acierta se pierden 1.000 u.m. y si el asesor se equivoca y las acciones bajan se gana, por haberlas vendido, 1.000 u.m. Una tercera opción es no hacer nada; con lo que ni se pierde ni se gana. En base a la experiencia que se tiene sobre las opiniones del asesor, se supone que tanto cuando las acciones suben como cuando bajan, él asesora correctamente con probabilidad 2@3 . La probabilidad inicial de que las acciones suban es 2@5 y de que bajen 3@5. Determínese la regla Bayes. 6.7.7 Demuéstrese que si existe regularidad suficiente, la regla Bayes para la función de pérdida O(> d) = f()( d)2 con f() tal que Z $ 0? f()(| { )g ? +4 X

6.7. EJERCICIOS viene dada por


293 293

R $ { )g f()(| $ g ( { ) = RX = $ X f()(| { )g W

6.7.8 Se supone que la distribución inicial de un parámetro es uniforme en un intervalo acotado (d> e). Pruébese que la distribución final es proporcional a la función de verosimilitud en dicho intervalo. 6.7.9 Se supone que la v.a. [ tiene Distribución Geométrica de parámetro con 5 (0> 1) S {[ = {|} = (1 ){31 { = 1> 2> ==== y que la distribución inicial para es la X qliruph(0> 1)= Se pide: a) ¿Cuál es la distribución final para ? b) ¿Cuál es la regla Bayes bajo pérdida cuadrática? c) ¿Cuál es el EMV para ? 6.7.10 Laplace afirmaba que si en q observaciones de un experimento de Ehuqrxool() el suceso éxito se había observado las q veces, la probabilidad de que el suceso se presente en la observación q + 1 es (q + 1)@(q + 2). ¿Puede justificarse este resultado? 6.7.11 Sea [ Q (> ) con conocida. Para cada n 0 se define la región de confianza para dada por V({) = [{ n> { + n] y se emplea la función de pérdida O(> V) = d longitud(V) LV () siendo d una constante positiva. a) Compruébese que existen pares de valores de n y d para los que el estimador que minimiza el riesgo U(> V) como función de n, es el intervalo degenerado [{> {]. b) Compruébese que el estimador que minimiza el riesgo U(> V) como función de n es el intervalo de grado de confianza 1 = 6.7.12 Sea [ i ({|) y supóngase que para estimar se utiliza el conjunto de reglas de decisión G = {V({)|{ 5 X } donde V({) es un intervalo creíble de probabilidad final 1 . Se emplea la función de pérdida O(> V) = d longitud(V) LV () con d una constante positiva.

294 294


DE LA DECISIÓN

a) Si se denota la distribución inicial por (), pruébese que la regla Bayes viene dada por V ({) = {|(|{) n} b) Si además se supone que [ Q (> ) con conocida, compruébese que existen elecciones de n y d tales que el intervalo de la forma [{ n> { + n] para estimar que minimiza en n el riesgo final se convierte en el intervalo degenerado [{> {] = {{}. (Tómese una distribución inicial Q (> )). c) Repítase la parte b) viendo si es posible elegir n y d para que el intervalo que minimice el riesgo final sea el intervalo de gado de confianza 1 para con n = }@2 dado mediante [{ }@2 > { + }@2 ]= 6.7.13 Del cargamento de un barco se extraen 5 elementos aleatoriamente y se observa si son defectuosos o no. Puede suponerse que la distribución del número de elementos en mal estado [ Elqrpldo(5> ) con la proporción desconocida de elementos defectuosos del cargamento. De anteriores envíos se sabe que Ehwd(1> 9). Se denota por d0 la acción de decidir que es 0 00 15 y por d1 la acción de decidir que es A 00 15= Encuéntrese la regla Bayes en las siguientes situaciones: a) Bajo pérdida 0 1= b) Cuando la función de pérdida viene dada por ½ ½ 0 si 00 15 29 si 00 15 O(> d0 ) = O(> d1 ) = 0 1 si A 0 15 0 si A 00 15 c) ¿Qué decisión se tomaría si se observan 4 elementos defectuosos con las funciones de pérdidas dadas en a) y en b)? 6.7.14 Para determinar el coeficiente de inteligencia de una persona, se le somete a un test cuyo resultado [ Q (> = 10). Se supone que como consecuencia de investigaciones anteriores, en el colectivo al que pertenece la persona Q (100> = 15)= Además es importante detectar valores especialmente altos y bajos del coeficiente de inteligencia, por lo que se supone apropiada la función de pérdida 2 @900

O(> d) = ( d)2 h(3100)

=

Encuéntrese la regla Bayes= 6.7.15 (Berger 1985). Para clasificar la sangre en uno de los cuatro tipos A,B, AB y 0 se emplea un procedimiento que consiste en observar una v.a. [ con función de densidad i ({|) = h3({3) L(>+") ({)

6.7. EJERCICIOS

295 295


donde es un parámetro que varía en el intervalo (0> +4) de tal modo que si 0 ? 1 , la sangre es del tipo AB; si 1 ? 2 , la sangre es del tipo A; si 2 ? 3, la sangre es del tipo B y si A 3, la sangre es del tipo 0. En la población bajo estudio, se distribuye con densidad () = h3 L(0>+") ()= La función de pérdida viene dada por la siguiente tabla O(> d) AB A B 0

AB 0 1 1 3

A 1 0 2 3

A 1 2 0 3

0 1 2 2 0

si se observa { = 4 como resultado del análisis ¿cuál es la regla Bayes? 6.7.16 Dada una observación {, se denota por ({) la medida de confianza con que 5 V({)> siendo V({) un intervalo de confianza para un parámetro . Demuéstrese que con función de pérdida cuadrática de la forma O(> ({)) = (LV({) () ({))2 la regla Bayes frente a () viene dada por ({) = S { 5 V({)|{} 6.7.17 (Ferguson (1969)) La función de pérdida para un problema de estimación viene dada por ½ n0 ( d) si d O(> d) = n1 (d ) si ? d Demuéstrese que la regla Bayes, respecto de (), es cualquier cuantil de orden n0 @(n0 + n1 ) de la distribución final. 6.7.18 (Berger (1985)) Un misil puede dispararse con trayectoria baja, acción d1 , o con trayectoria alta, acción d2 . La función de pérdida crece linealmente, desde 0 hasta 1, con la distancia lineal o entre el lugar de impacto y el objetivo, si ésta es mayor que 1 kilómetro se supone que la función de pérdida vale constantemente 1. Si se dispara con trayectoria baja el misil no puede ser contrarrestado por el fuego antimisil; en este caso su precisión depende de la amplitud de la zona cubierta de nubes que atraviesa el proyectil de modo que la distancia o a la que queda del blanco puede suponerse


296 296

DE LA DECISIÓN

distribuida uniformemente en el intervalo (> ). La función de densidad de la variable aleatoria es una Ehwd(2> 2) de densidad 1 () = 6 (1 )L(0>1) () Si se dispara con trayectoria alta el misil alcanza exactamente el blanco, salvo que antes sea destruido por el fuego antimisil, lo que ocurre con probabilidad . De lanzamientos anteriores se sabe que 2 () = 2(1 )L(0>1) () Se realiza un experimento para obtener información sobe y se observa que tras tirar dos misiles con trayectoria alta, los dos dan en el blanco. Se pide: a) Obténgase la función de pérdida para d1 y d2 = b) ¿Cuál de las dos es la regla minimax ? c) ¿Cuál de las dos es la regla Bayes? d) ¿Son d1 y d2 reglas admisibles? 6.7.19 Si para una sucesión gq de reglas Bayes frente a q su correspondiente sucesión de distribuciones iniciales, se tiene que l´ım E( q > gq ) = s>

q<"

pruébese, que, cualquier regla de decisión g tal que U(> g) = s para todo 5 , es una regla minimax.

6.8.


6.8.1 a) El conjunto de reglas de decisión, son las aplicaciones del espacio muestral X = {{1 > {2 } en el espacio de acciones A = {d1 > d2 > d3 }= Cada regla de decisión se puede representar colocando los valores de {1 y {2 y debajo de cada uno la acción a tomar, por lo tanto tiene 32 = 9 elementos. b) La función de riesgo, de acuerdo con la Expresión (6.1.1), viene dada por U(> g) = H[O(> g([))] por lo tanto U(1 > g1 ) = O(1 g1 ({1 ))s({1 |1 ) + O(1 > g1 ({2 ))s({2 |1 ) = O(1 > d1 )s({1 |1 ) + O(1 > d2 )s({2 |1 )

= 2 · 00 4 + 0 · 00 06 = 00 8

6.8. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS TEORÍA DE LA DECISIÓN

297 297

procediendo de manera análoga se obtiene R(l > gm ) 1 2 3

g1 0’8 2’5 5’7

g2 2’4 2 3’2

g3 3’2 0’5 2’9

c) Mediante el método minimax, en virtud de la Expresión (6.1.2), si se escoge la regla de decisión g1 , lo peor que puede ocurrir es que se pierda 50 7 si = 3 ., si se escoge g2 lo peor que puede pasar es que se pierda 30 2 y por último si se escoge g3 lo peor que puede pasar es que se pierda 30 2. Luego tanto la regla g2 como la g3 hacen perder como mucho 30 2; cualquiera de ellas es minimax. d) Con el método bayesiano, si la información inicial viene dada por la distribución discreta (1 ) = (2 ) = (3 ) = 1@3 el riesgo Bayes se calcula mediante E(> g) = H[U(> g)] (véase la Expresión (6.1.3)), con lo que se sigue que E(> g1 ) = U(1 > g1 )(1 ) + U(2 > g1 )(2 ) + U(3 > g1 )(3 ) 1 = (00 8 + 20 5 + 50 7) 3 =3 procediendo análogamente E(> g2 ) = 20 53 y E(> g3 ) = 20 2. Luego entre las tres reglas, la que da el método bayesiano como óptima es g3 = e) Si se observa {1 , mediante la fórmula de Bayes, se puede comparar la pérdida en que se incurre si se escoge d1 con respecto a la elección de d2 . Esto permite tratar en conjunto todas las reglas de decisión (véase el Teorema 6.3.1), por lo tanto si se calcula (l |{1 ) = con p({1 ) =

(l )s({1 |l ) p({1 )

3 P l=1

(l )s({1 |l )

se llega a que p({1 ) = (00 4 + 00 5 + 00 3) 13 = 00 4 y (1 |{1 ) = 00 3333 (2 |{1 ) = 00 4167 (3 |{1 ) = 00 25


298 298 de donde

u(dl |{1 ) =

3 P m=1

DE LA DECISIÓN

O(m > dl )(m |{1 )

Sustituyendo u(d1 |{1 ) = 20 3333

u(d2 |{1 ) = 30 1668 u(d3 |{1 ) = 10 8332 De manera que la regla Bayes consiste en escoger d3 cuando se observa {1 , con lo que g ({1 ) = d3 = 6.8.2 a) El espacio paramétrico es = [0> 1] las distintas probabilidades de cara de la moneda. La experimentación X = {1> 0} entendiendo que { = 1 si el resultado de la primera tirada de la moneda es cara y { = 0 si el resultado es cruz. El modelo viene dado por la distribución de Ehuqrxool(). El espacio de acciones es A = {d1 > d2 > d3 } donde d1 es jugar y decir que la siguiente tirada de la moneda saldrá cara, d2 es jugar y decir que la siguiente tirada valdrá cruz y d3 no jugar. La función de pérdida viene dada por O(> d1 ) = 2 + 1 O(> d2 ) = + (1 )(2) O(> d3 ) = 0= Las reglas de decisión son { 1 0

g1 a1 d1

g2 d1 d2

g3 d1 d3

g4 d2 d1

g5 d2 d2

g6 d2 d3

g7 d3 d1

g8 d3 d2

g9 d3 d3

b) Para el cálculo de la regla minimax se tiene que U(> gl ) = H[O(> gl ([))] = O(> gl (1)) + O(> gl (0))(1 ) de donde U(> g1 ) = 3 + 1 U(> g2 ) = 62 + 6 2 U(> g3 ) = 32 + con lo que

U(> g4 ) = 62 6 + 1 U(> g5 ) = 3 2 U(> g6 ) = 32 2

U(> g7 ) = 32 4 + 1 U(> g8 ) = 32 + 5 2 U(> g9 ) = 0

¾ ½ 1 1 5 ax U(> gl ) = m´ın 1> > > 1> 1> 1> 1> > 0 m´ın m´ gl 2 12 6 1 = 2


299 299

por lo que la regla minimax es g2 = Para la obtención de la regla Bayes, hay que calcular para la densidad () inicial X qliruph(0> 1) los promedios E(> gl ) = H[U(> gl )] Z 1 = U(> gl )g

l = 1> ===> 9

0

de donde E(> g1 ) = 12 E(> g2 ) = 1 E(> g3 ) = 12

E(> g4 ) = 0 E(> g5 ) = 12 E(> g6 ) = 0

E(> g7 ) = 0 E(> g8 ) = 12 E(=g9 ) = 0

por lo que la regla que hace mínimo E(> gl ) es g2 que es Bayes frente a la distribución X(0> 1)= En consecuencia la regla de decisión que consiste en jugar repitiendo el resultado que se haya visto en el primer lanzamiento es minimax y es Bayes. 6.8.3 a) Si se denota por 1 la distribución escogida es Q (0> 1) y por 2 [ = { proviene la distribución escogida es Q (2> 1); yy por por dd11 la la observación observación [ de la distribución Q (0> 1); y por d2 la observación [ = { proviene de la distribución Q(2> 1),. La la función función de de pérdida pérdida es O(> d) 1 2

d1 0 1

y la regla Bayes frente a la distribución dada por ; si ? d1 d1 ó d2 si g ({) = = d2 si

d2 1 0

inicial S (1 ) = S (2 ) = 00 5 vendrá u(d1 |{) ? u(d2 |{) u(d1 |{) = u(d2 |{) u(d1 |{) A u(d2 |{)

donde para el cálculo de estos riesgos finales se tiene u(d1 |{) = O(1 > d1 )S (1 |{) + O(1 |d1 )S (2 |{) = S (2 |{) y análogamente u(d2 |{) = S (1 |{)= Por lo tanto la expresión u(d1 |{) ? u(d2 |{) es equivalente a S (2 |{) ? S (1 |{) y al ser la distribución inicial la uniforme discreta, esta expresión

300 300


DE LA DECISIÓN

es equivalente a que en el valor {, la función de densidad de la Q (2> 1) sea menor que la función de densidad de la Q (0> 1). Ya que 00 5i ({|1 ) p({) 0 0 5i ({|2 ) S (2 |{) = p({)

S (1 |{) =

con p({) = 00 5i ({|1 ) + 00 5i ({|2 ) por lo tanto operando ; si { ? 1 ? d1 d1 o d2 si { = 1 gW ({) = = d2 si { A 1 resultado intuitivo por otra parte. b) De acuerdo con lo anterior la regla Bayes clasifica la observación de { = 00 5 como proviniente de la distribución Q(0> 1)= 6.8.4 El espacio muestral está formado por X = {0> 00 5> 1} por lo tanto una regla de decisión es cualquier aplicación g : X $ A donde A = {d1 > d2 > d3 }. Para buscar la acción Bayes frente a { = 0 hay que calcular el riesgo final u(dl |{) para cada acción dl l = 1> 2> 3= (6.8.1)

u(dl |{ = 0) = O( = 0> dl )S { = 0|{ = 0}+ +O( = 00 5> dl )S { = 00 5|{ = 0} +O( = 1> dl )S { = 1|{ = 0}

donde S { = 0|{ = 0} =

S { = 0}S {{ = 0| = 0} S {{ = 0}

la distribución inicial es S { = 0} = 00 5, S { = 00 5} = 00 25> S { = 1} = 00 25 y la distribución marginal de { = 0 viene dada por S {{ = 0}

= S { = 0}S {{ = 0| = 0} + S { = 00 5}S {{ = 0| = 00 5}+ +S { = 1}S {{ = 0| = 1} = 00 625

por lo tanto la distribución final es 00 5 · 1 = 00 8 00 625 00 25 · 00 5 = 00 2 S { = 00 5|{ = 0} = 00 625 S { = 1|{ = 0} = 0 S { = 0|{ = 0} =


301 301

sustituyendo en (6.8.1) u(d1 |x=0) = 1

u(d2 |x=0) = +00 8

u(d3 |x=0) = +10 8 luego la acción Bayes, cuando la alerta especifica una predicción de severidad de 0, es la d2 movilizarse parcialmente. 6.8.5 a) La función de densidad final viene dada por μ ¶ I I q@231 q@231 q { (1 )q3{ I 1I (1 ) E( q@2> q@2) { μ ¶ (|{) = I I R q { 1 I 1I q@231 (1 ) q@231 (1 )q3{ g Q ( q@2> q@2) 0 { I

I

q@2+{31 (1 ) q@2+q3{31 s s = E( q@2 + {> q@2 + q {) s s por lo tanto la distribución final es una distribución Ehwd( q@2 + {> q@2 + q {) y la regla de decisión g({) es s q@2 + { g({) = s q+q b) g({) es una regla minimax ya que U(> g) es una función consconstante stanteen en,,ya yaque que ¶2 μ ¶ μ s q P q@2 + { q { U(> g) = H[O(> g([))] = s (1 )q3{ { q + q {=0 q h s s s P 1 q 2 ( q + q)2 + + {2 ( q + q) q = s 4 ( q + q)2 {=0 μ ¶ s s i q { 2( q + q){ + q{ · (1 )q3{ { h s s s 1 q 2 ( q + q)2 + + H[[ 2 ] ( q + q) q = s 4 ( q + q)2 i s s 2( q + q)H[[] + qH[[] y sustituyendo H[[] = q y H[[ 2 ] = q + q(q 1)2 , se llega a que s 1 U(> g) = (1 + q)32 = 4 Así pues la regla g es Bayes e igualizadora, luego es una regla minimax, véase el Teorema 6.3.2.


302 302

DE LA DECISIÓN

c) La función de riesgo correspondiente a q{ , el estimador de máxima verosimilitud para , es "μ ¶ # i (1 ) [ 2 1 h { = 2 H ([ q)2 = U(> ) = H q q q q de acuerdo con la siguiente tabla: U(> g) U(> q{ ) b U

q = 10 00 0144

q = 50 00 0038

q = 100 00 00207

(13) 10 00 025

(13) 50 00 005

(13) 100 00 0025

b es el valor máximo de U(> { ) cuando 5 [0> 1]. Se observa, que donde U q para valores pequeños de q la regla g es sensiblemente mejor que el HP Y , salvo cuando está en los extremos del intervalo, este efecto se vá perdiendo cuando q aumenta, en cuyo caso ambas reglas producen el mismo riesgo. 6.8.6 Si se denota por 1 las acciones de la compañia van a subir, y por 2 al suceso las acciones de la compañía van a bajar, se tiene explicitado el conjunto de estados = {1 > 2 }. Las acciones posibles son: d1 comprar el paquete de acciones, d2 venderlo y d3 no hacer nada. La función de pérdida viene dada por: O(> d) d1 d2 d3 1 -1000 +1000 0 2 +1000 -1000 0 donde O(1 > d1 ) = 1000 indica una pérdida de 1000 unidades monetarias es decir una ganancia de 1000, cuando las acciones suben y se compra el paquete de acciones. El resultado de la experimentación viene dado por [ = 1, cuando el asesor dice que las acciones van a subir, y [ = 0, cuando dice que van a bajar, por lo que el modelo viene caracterizado por las distribuciones de probabilidad S {[ = 1|1 } = 23 S {[ = 0|1 } = 13 S {[ = 1|2 } = 13 S {[ = 0|2 } = 23 mediante la fórmula de Bayes, la distribución final correspondiente a la inicial S {1 } = 25 , S {2 } = 35 viene dada por S {1 }S {[ = 1|1 } S {1 }S {[ = 1|1 } + S {2 }S {[ = 1|2 } 2 2 · 4 = 2 25 33 1 = 7 5 · 3 + 5 · 3

S {1 |X=1} =


303 303

S {2 }S {[ = 1|2 } S {1 }S {[ = 1|1 } + S {2 }S {[ = 1|2 } 3 1 · 3 = 2 25 33 1 = 7 + · · 5 3 5 3

S {2 |X=1} =

de forma análoga se obtiene que 1 4 3 S {2 |X=0} = 4 Para el cálculo de la regla Bayes se calculan los riesgos finales S {1 |X=0} =

u(d1 |[ = 1) = O(1 > d1 )S {1 |[ = 1} + O(2 > d1 )S {2 |[ = 1} 3 1000 4 = 1000 · + 1000 · = 7 7 7 u(d2 |[ = 1) = O(1 > d2 )S {1 |[ = 1} + O(2 > d2 )S {2 |[ = 1} 4 3 1000 = 1000 · 1000 · = 7 7 7 u(d3 |[ = 1) = 0 con lo que la acción Bayes cuando se observa [ = 1 es la d1 que da mínima pérdida. Repitiendo los cálculos para el caso [ = 0 u(d1 |[ = 0) = O(1 > d1 )S {1 |[ = 0} + O(2 > d1 )S {2 |[ = 0} 3 1 = 1000 · + 1000 · = 500 4 3 u(d2 |[ = 0) = O(1 > d2 )S {1 |[ = 0} + O(2 > d2 )S {2 |[ = 0} 1 3 = 1000 · 1000 · = 500 4 4 u(d3 |[ = 0) = 0 con lo que la acción Bayes cuando se observa [ = 0 es la d2 . 6.8.7 La regla Bayes respecto a la distribución inicial dada por () es la que minimiza el riesgo Bayes E(> g) = H[U(> g)] donde la anterior esperanza está calculada respecto a la distribución inicial (), (véase la Expresión (6.1.3)). Alternativamente se puede minimizar en d el riesgo final Z $ $ O(> d)(| { )g u(d| {)= X Z $ { )g = f()( d)2 (| X


304 304

DE LA DECISIÓN

si se deriva la anterior expresión respecto de d y la integral y la derivada conmutan, la solución de la expresión Z g $ { )g = 0 f()( d)2 (| (6.8.1) gd X viene dada por (6.8.2)

R $ f()(| { )g dW = RX $ f()(| { )g X

y como volviendo a derivar respecto de d la Expresión (6.8.1) se obtiene Z $ 2 { )g f()(| X

una cantidad positiva, el valor de dW dado por (6.8.2), se corresponde con un $ $ { ) y permite construir la regla Bayes mediante gW ( { ) = dW = mínimo de u(d| $ $ W Nótese que si f() = 1 se obtiene que g ( { ) = H[| { ]= 6.8.8 Mediante el teorema de Bayes $ (| {) = Re d

$ 1 L(d>e) () e3d i ( { |) $ 1 L () i ( { |)g (d>e)

e3d

$ i ( { |) = L(d>e) () R e $ i ( { |)g d

por lo tanto si en el intervalo (d> e), la función de verosimilitud tiene una integral finita no nula, la distribución final es proporcional a la verosimilitud. 6.8.9 a) La distribución final viene dada por (|{) = R 1 0

=

(1 ){31 (1 ){31 g

(1 ){31 E(2> {)

es decir |{ Ehwd(2> {)= 2 = b) La regla Bayes es g({1 ) = H[|{] = 2+{ c) El HP Y para se obtiene maximizando en la función de verosimi-litud litudo osusulogaritmo logaritmo ln + ({ 1) ln(1 )


305 305

es fácil comprobar, mediante el estudio de la segunda derivada, que la raíz de la ecuación 1 {1 =0 1 se corresponde con un máximo interior al intervalo, luego HP Y () = {31 = 6.8.10 Si se supone la distribución inicial () = L(0>1) () la afirmación de Laplace se reduce a calcular ½q ¾ P ½ ¾ S [l = q> [q+1 = 1 q |P l=1 ½q ¾ S [q+1 = 1| [l = q = P | l=1 S [l = q l=1

Mediante la expresión ¾ Z ½q P [l = q> [q+1 = 1 = S

¾ | [l = q> [q+1 = 1| ()g | l=1 0 ¾ Z 1 ½q P | S [l = q| S {[q+1 = 1|} ()g = | l=1 0 Z 1 1 = q g = q + 2 0

l=1

½

1

S

Análogamente ¾ Z ½q P S [l = q =

q P

¾ | S [l = q| ()g | l=1 0 Z 1 1 = q g = q + 1 0

l=1

1

½

q P

Bajo estas suposiciones se obtiene la regla de sucesión de Laplace. Si un suceso ha ocurrido en q repeticiones, la probabilidad de que se presente en la repetición q + 1 viene dada por la expresión (q + 1)@(q + 2)= 6.8.11 a)

Z U(> V) =

X

[d orqjlwxg(V({)) LV({) ()]i ({|)g{

= d2n S {[ n ? ? [ + n|} = d2n S { n ? [ ? + n|} = d2n 2(n) + 1


306 306

DE LA DECISIÓN

donde es la función de distribución de la v.a. Q (0> 1)= La función U(> V) para n = 0 vale 0 y su derivada respecto de n es U0 (> V) = d2 2*(n) con *(n) la función de densidad de la v.a. Q (0> 1). Por lo tanto, si d A *(0) la derivada es positiva en todo n> por lo que el mínimo de U(> V) se alcanza para n = 0 en el intervalo degenerado [{> {] = {{}= b) Repitiendo el razonamiento de la parte a) se tiene que la función de riesgo en n = 0 vale 0 y si d ? *(0) la derivada en 0 es negativa. Cuando n tiende a infinito U(> V) tiende a +4 por lo que existe un valor de n para el que la función alcanza su mínimo que viene dado por la solución en n de la ecuación d *(n) = 0= p s En resumen si d ? 1@ 2 = 00 0507 y además es nW = 2oq(d20 507) el mínimo riesgo se alcanza para el intervalo [{ nW > { + n W ], si ahora se escoge el valor de d para que n W (d) = } 2 se obtiene el resultado deseado. 6.8.12 a) El riesgo final correspondiente al intervalo V({) viene dado por Z u(V({)|{) = d lnj(V({)) (|{)g= V({)

|{)supuesto Verificar que u(V ({)|{) u(V({)|) supuestoque quesesecumple cumple (6.8.3)

S {V ({)|{} = S {V({)|{} = 1 >

es lo mismo que probar que lnj(V ({)) lnj(V({))= En efecto considérense las funciones ½ ½ 1 si 5 V 1 si (|{) n *() = *W () = 0 si 5 @V 0 si (|{) ? n indicadores de los conjuntos V ({) y V({) respectivamente. Se tiene que Z (*W () *())((|{) n)g 0> X

ya que en los puntos tales que (|{)n 0 es *W ()*() = 1*() no negativo, y en los puntos en los que (|{)n 0 es *W ()*() = *() no positivo. Por lo tanto ·Z ¸ Z Z Z *W ()(|{)g *()(|{)g n *W ()g *()g X

X

X

X


307 307

de manera que aplicando (6.7.3) se sigue que 8 ·Z ¸ Z W 0n * ()g *()g X

X

luego el paréntesis de esta última expresión es no positivo con lo que Z Z g g V ({)

V({)

o lo que es lo mismo lnj(V ({)) lnj(V({))= Es importante señalar dos cosas: la primera es que lo que se ha probado es que entre todos los intervalos que dan la misma probabilidad final, el de menor longitud es el intervalo creíble de más alta probabilidad final. La segunda es que el razonamiento que se ha seguido para hacerlo, es el mismo que se utiliza para demostrar el teorema de Neyman-Pearson en el caso de contrastar la hipótesis nula K0 : (|{) frente a la alternativa K1 : 1 (la medida de Lebesgue), véase el Teorema 5.3.1. b) Si la distribución inicial para es Q (> ) la distribución final es Q (1 > 1 ) donde 1 =

+ {2 2 1 + 12 2

21 =

1

1 + 12 2

(véase el Ejemplo 3.2.3.2). Para calcular el mínimo en n 0 de u(V|{) se va a denotar u(Vn |{) en lugar de U(V|{)= Es decir u(Vn |{) = H[d lnjVn ({) LVn ({) ()|{] = d2n S { 5 Vn ({)|{} = d2n [I ({ + n) I ({ n)] con I la función de distribución de la v.a. Q (1 > 1 ). Se sigue que u(V0 |{) = 0 y que la derivada respecto de n de la función u(Vn |{) es u 0 (Vn |{) = d2 i ({ + n) i ({ n) con lo que u0 (V0 |{) = d2 2i ({), donde i es la función de densidad de la v.a. Q (1 > 1 ). Por lo tanto si i ({) A d la derivada en 0 es negativa, pero si se escoge un valor de d para la función de pérdida con i ({) ? d el mínimo de u(Vn |{) se alcanza en n = 0, ya que u0 (Vn |{) es siempre positiva si d A i(1 ), con lo que se obtiene el resultado deseado; el intervalo degenerado {{} es la regla Bayes. c) Por el apartado anterior, si se escogen valores de d menores que i ({) entonces u0 (V0 |{) es negativa y como cuando n tiende hacia infinito u(Vn |{) tiende también a infinito, se puede ver que el único mínimo existente


308 308

DE LA DECISIÓN

se corresponde con la solución en n de u0 (Vn |{) = 0. Se trata de ver si pueden escogerse valores de d menores que i ({) que cumplan (6.8.4)

2d = i ({ + } 2 ) + i ({ } 2 )

De acuerdo con la Figura 6.8.1 esto en algunas situaciones es posible, basta llevar el valor de i ({n), el segmento DE, a continuación de i ({+n) y dividir el segmento FE en dos partes iguales, cada una de las cuales es d=

Figura 6.8.1. Elección de d para la parte c) del Ejercicio 6.8.12. La conclusión es que en algunas situaciones, para valores de {> y es posible c). Es importante considerar el caso en el que { = 1 ya que se cumple que (6.8.5)

i ({ + n) = i ({ n)

En esta situación se puede hacer que d ? i (1 ) con d = i ({ } 2 ) = i ({ + } 2 ) por lo que se satisfacen las expresiones (6.8.4) y (6.8.5), y el intervalo [{ } 2 > { + } 2 ] es una regla Bayes e intervalo de confianza de grado 1 , para el valor de d conveniente de acuerdo con la parte a). Sin embargo para que 1 = { la distribución inicial tiene que tener = +4, con lo que la distribución inicial es la medida de Lebesgue y el R +" riesgo Bayes correspondiente es infinito, compruébese que vale 3" [2d} 2 (1 )]g es una regla Bayes generalizada, en el sentido de que minimiza el riesgo final aunque el riesgo Bayes es +4=


309 309

6.8.13 a) La regla Bayes viene dada por ½ d0 si S {0 |{} 1@2 g ({) = d1 si S {0 |{} 1@2 donde 0 = [0> 00 15] y 1 = [00 15> 1], (véase el Corolario 6.3.1). La distribución final queda caracterizada por la densidad μ ¶ 1 8 5 { (1 )53{ (1 ) E(1>9) { μ ¶ (|{) = R1 1 5 { 8 (1 )53{ g 0 E(1>9) (1 ) { 1 { (1 )133{ = E({ + 1> 13 { + 1) Es decir, es la distribución Beta de parámetros { + 1 y 14 {, de donde ½ d0 si I (00 15|{) 00 5 g ({) = d1 si I (00 15|{) 00 5 con I (|{) la función de distribución de la Ehwd({ + 1> 13 { + 1)= b) Análogamente ½ d0 si S {0 |{} 1@30 g ({) = d1 si S {0 |{} 1@30 y sustituyendo

½

g ({) =

d0 si I (00 15|{) 1@30 d1 si I (00 15|{) 1@30

donde otra vez I (|{) es la función de distribución de la Ehwd({ + 1> 134 {+ 1)=1)= {1)= + c) La distribución final es Ehwd(5> 10) por lo que I (00 15|4) = 00 0467, por lo tanto en el primer caso I (00 15|4) 00 5 luego g (4) = d1 . En el segundo caso I (00 15|4) = 00 0467 00 0333 con lo que g (4) = d0 = 6.8.14 La distribución final |{ Q (1 > 1 ), donde 1 =

100@225+{@100 1@225+1@100

1 1@225+1@100

1 = s

(véase el Ejemplo 3.2.3.2). Para la obtención de la regla Bayes se calcula el riesgo final u(d|{) = H[O(> d)|{] Z +" 2 = ( d)2 h(3100) @900 (|{)g 3"


310 310

DE LA DECISIÓN

desarrollando los cuadrados de los dos exponentes h

2 1002 3 12 900 2 1

Z

u(d|{) = s 21

+"

3"

2

( d) h

1 3 1 900 2 2 1

2 + 12 3 100 450 1

g

derivando respecto de d e igualando a 0, se tiene que d debe cumplir Z

+"

h

1 3 1 900 2 2

1 2 + 12 3 450 1

Z

+"

g = d

3"

h

1 3 1 900 2 2

1 2 + 12 3 450 1

g

3"

para el segundo miembro, mediante la Expresión (3.2.3.1) con H=

1 @ 21 100 450 1 1@ 21 450

Y =

1@ 21

1

1 450

se sigue que puede ponerse como (6.8.6)

s h 2 q

3 12

1 1 21

1 450

h

2 (1 @ 2 1 3100@450) 1@ 2 1 31@450

mientras que el primer miembro, si se usa que Z +" 1 1 2 s s h3 2Y (3H) g = H 2 Y 3" o alternativamente Z +"

1

h3 2Y

2

H +Y

g =

s s 1 2 2H Y h3 2 H @Y

3"

se tiene que es igual a (6.8.7)

s 1 1 @ 21 100@450 1 (1 @21 3 100 )2 @(1@21 31@450)2 450 2 p h2 1@ 21 1@450 1@ 21 1@450

e igualando (6.8.6) y (6.8.7) se puede despejar d, por lo que se comprueba que la regla Bayes viene dada por g ({) =

1 @ 21 100@450 = 1@ 21 1@450

6.8.15 La distribución final viene dada por (|{) = R { 0

h3 h3({3) h3 h3({3) g

= {31 L(0>{) ()


311 311

por lo tanto el riesgo final de las distintas acciones, cuando se observa { = 4 viene dado por Z

Z 3 Z 4 5 1 1 1 u(DE|x=4) = g + g + 3 g = 4 1 4 2 4 3 4 Z 1 Z 3 Z 4 6 1 1 1 g + 2 g + 3 g = u(D|x=4) = 4 0 4 2 4 3 4 Z 1 Z 2 Z 4 6 1 1 1 g + 2 g + 3 g = u(E|x=4) = 4 4 4 4 0 1 3 Z 1 Z 2 Z 3 6 1 1 1 g + 2 g + 2 g = u(0|x=4) = 2 4 4 4 4 0 1 2 2

luego la regla Bayes frente a () es g (4) = DE, valor para el que se alcanza el mínimo riesgo final. 6.8.16 El riesgo final correspondiente a la medida de confianza ({) es u(({)|{) = H(O(> ({)|{] = H[(LV({) () ({))2 |{] si se deriva respecto de y se iguala a 0 , se obtiene 2H[LV({) () ({)|{] = 0 de donde ({) = H[LV({) ()|{] Z Z ()(|{)g LV({) ()(|{)g = X

= S { 5 V({)|{} como la derivada segunda de u(({)|{) es positiva, se sigue que el mínimo riesgo se alcanza para ({) la probabilidad final de la región V({)= 6.8.17 El riesgo final viene dado por Z u(d|{) = d

= n0

Z

+"

n0 ( d)(|{)g + ·Z d

d

n1 (d )(|{)g ¸ · Z +" (|{)g d(1 I (d|{)) + n1 dI (d|{) 3"

¸

d

3"

(|{)g


312 312

DE LA DECISIÓN

donde I (d|{) es la función de distribución de la distribución final. La derivada respecto de d es C u(d|{) = n0 d(d|{) n0 (1 I (d|{)) + n0 d(d|{) Cd + n1 I (d|{) + n1 d(d|{) n1 d(d|{) = n1 I (d|{) n0 + n0 I (d|{) que igualada a 0, tiene como solución cualquier valor de d tal que I (d|{) = n0 @(n0 + n1 ) como la derivada segunda respecto de d de u(d|{) es C2 u(d|{) = n1 (d|{) + n0 (d|{) (Cd)2 que es positiva para todo d, el cuantil de orden n0 |(n0 + n1 ) se corresponde con un mínimo. Obsérvese que si n0 = n1 = 1 la función de pérdida es O(> d) = | d| y se obtiene como caso particular de lo visto, que cualquier mediana de la distribución final es entonces la regla Bayes (véase el Ejercicio 3.7.14). 6.8.18 a) Para d1 trayectoria baja la función de pérdida viene dada por O((> )> d1 ) = |o|

con o y 1=

Donde es el porcentaje de zona cubierta de nubes y la probabilidad de que el misil sea interceptado. La función de riesgo es Z + 1 U((> )> d1 ) = |o| go 2 3 Z 1 = 2 ogo 2 0 = con 1 2 y el riesgo Bayes Z E( 1 > d1 ) =

0

Z =

0

1 = = 4

1

1

U((> )> d1 ) 1 |)g 6(1 )g 2


313 313

Para d2 trayectoria alta la función de pérdida viene dada por O((> )> d2 ) = 1 + (1 )0

con 0 1

ya que, o bien el misil es alcanzado, lo que ocurre con probabilidad , o no alcanzado, en en cuyo caso da es alcanzado da exactamente exactamenteen enelelblanco blancoyynonosesepierde pierdenada. nada. Por lo que la función de riesgo es U((> )> d2 ) =

con

y el riesgo Bayes

Z E( 2 > d2 ) =

01

1

0

2 ()g=

Al realizar los dos lanzamientos se actualiza la densidad 2 mediante 2 (|dos éxitos) = R 1 0

= R1 0

2 ()S {[1 = 1> [2 = 1|} 2 ()S {[1 = 1> [2 = 1|)g 2(1 )(1 )2 2(1 )(1 )2 g

= 4(1 )3 de donde

con 0 1>

Z E( 2 > d2 ) =

0

1

4(1 )3 g

= 4 Ehwd(2> 4) 1 = = 5 ax U((> )> d1 ) = b) Para la obtención de la regla minimax, el m´ m´ ax @2 =

0$$1

1 2

axU(> d2 ) = máx = 1, luego la regla y con la regla d2 , m´ 0$$1

minimax es d1 tirar con trayectoria baja. c) La regla Bayes es la que minimiza el riesgo Bayes, por lo tanto d1 . d) Las dos reglas son admisibles ya que dependiendo de los valores de y de se puede hacer que U((1 > 1 )> d1 ) ? U((1 > 1 )> d2 ) mientras que para otra elección sea U((2 > 2 )> d1 ) A U((2 > 2 )> d2 )= 6.8.19 $ { ) es Se trata de comprobar que dada cualquier otra regla g0 ( sup U(> g) sup U(> g0 )=

MX

Por ser

gq

MX

Bayes frente a q es E( q > gq ) E( q > g0 )


314 314

DE LA DECISIÓN

y tomando límites s = U(> g) = sup U(> g) l´ım E( q > g0 ) q
MX

pero 0

Z

supU(> g0 ) q ()g Z 0 = supU(> g ) q ()g

l´ım E( q > g ) l´ım

q<"

q<"

= sup U(> g0 )=

X

Obsérvese que este enunciado generaliza el Teorema 6.3.2. Además el enunciado y la demostración son válidos también cuando y g son vectores.

Capítulo 7

ANÁLISIS DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL 7.1.

INTRODUCCIÓN

En el Capítulo 5 se abordó el problema de comparar las medias de dos poblaciones, en la práctica es frecuente el problema más general de comparar las medias en un número mayor de dos poblaciones, así con frecuencia se trata de comparar distintos tratamientos médicos, diferentes procesos de fabricación, etc. Este Capítulo capítulo es una introducción al tratamiento de estos problemas y a los métodos que se emplean para su resolución que reciben nombre de de análisis análisisdede la varianza. Contrariamente a loparece que parecen el nombre varianza. Contrariamente a lo que signifisignificar, se trata de comprobar si varias medias poblacionales iguales. car, se trata de comprobar si varias medias poblacionales sonson iguales. El Capítulo empieza estudiando el análisis de ladevarianza con uno dos yfactoEl capítulo empieza estudiando el análisis la varianza con yuno dos res, mediante técnicas basadas en en la ladistribución su factores, mediante técnicas basadas distribuciónnormal, normal, dejándose dejándose su alternativa siguiente, Sección Sección8.5.4. 8.5.4. alternativa no no paramétrica paramétrica para para el el Capítulo capítulo siguiente, La segunda parte del Capítulo se dedica al estudio de la regresión, sin duda la más popular herramienta estadística. El principal objetivo de la regresión es el estudio de la dependencia de una variable respecto de otra. Por último, temas, se aborda la aproxiúltimo, yyenenhomogeneidad homogeneidadcon conloslosdistintos restantes capítulos, se aborda la mación bayesiana a estosaproblemas. aproximación bayesiana estos problemas.

7.2.

ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON UN SÓLO FACTOR

Ya se han obtenido contrastes de hipótesis para comparar las medias de dos poblaciones normales cuando las varianzas se suponen iguales (véase la Sección 5.2.2). En el análisis de la varianza se pretende contrastar K0 : 1 = 315

CAP. 7. ANÁLISIS DE LA VARIANZA INFERENCIA ESTADÍSTICA Y REGRESIÓN LINEAL

316 316

2 = === = n para n poblaciones normales, independientes, y con la misma varianza 2 desconocida. Tal situación es de gran interés práctico sobre todo en experimentos relacionados con la agricultura. Se supone entonces el modelo

{lm = l + %lm

(7.2.1)

l = 1> ===> n

m = 1> ===> ql

donde %lm Q (0> ) e independientes. La introducción del modelo puede ser mejor comprendida mediante un ejemplo numérico. En la preparación de una sustancia se utilizan cuatro modificaciones de un procedimiento estándar, los datos están contenidos en la tabla 7.2.1 donde la primera columna se corresponde con el procedimiento estándar. estandar.

Métodos 1 2 3 4 5 63 27 10 28 47 48 41 30 45 28 57 23 24 44 30 54 31 37 31 35 41 2 40 29 21 43 33 24 44 37 Tabla 7.2.1. Datos correspondientes a la preparación de una sustancia mediante 5 procedimientos de fabricación.

Su representación mediante un diagrama de cajas viene recogida en la Figura 7.2.1, donde se aprecia que el primer método es distinto de los cuatro restantes. Además la representación del segundo método no se ha cerrado inferiormente por incluir el valor 2> muy diferente de los restantes, en una aplicación debería revisarse este valor que aquí se va a admitir como correcto. La función de verosimilitud, viene dada por

(7.2.2)

con q =

2

i ({11 > ===> {nqn |1 > ===> n > ) =

n P m=1

μ

1

s 22

¶q

3

h

1 2 2

ql n P P

({lm 3l )2

m=1 l=1 mL1

ql el número total de observaciones; de donde los estimadores

de máxima verosimilitud son:

7.2. ANÁLISIS ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON UN SÓLO FACTOR DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL

317 317

Figura 7.2.1. Diagrama de cajas correspondiente al experimento de la Tabla 7.2.1.

ql 1 P b {lm = {l· l = ql m=1

b2 =

ql n P n 1 P 1 P ({lm {l· )2 = (ql 1)v2l q l=1 m=1 q l=1

siendo v2l las cuasivarianzas muestrales. Obsérvese que esta última expresión b2s (véase la Expresión no generaliza la varianza ponderada del caso n = 2 (5.2.2.4)) ya que la fórmula análoga a la varianza ponderada es n P

(7.2.4)

b2s

=

(ql 1)v2l

l=1

qn

que aquí recibe el nombre de varianza residual (véase el Ejercicio 7.7.4). l = {lm {l· que es el valor observado Se llama residuo a la cantidad {lm b {lm menos el valor estimado de l . Se verifica que b2s es un estimador

318 318


centrado de 2 , pues n 1 P (ql 1)H[Vl2 ] q n l=1 n 1 P = (ql 1) 2 = 2 = q n l=1

H[b 2s ] =

2

Por último q e2 "2q3n ; ya que (ql 1)v2l @ 2 "2ql 31 y por tanto ql ({ { )2 n P n n P P P v2l lm l· = (q 1) = "2ql 31 "2q3n = l 2 2 l=1 m=1 l=1 l=1

La idea original del análisis de la varianza se debe a Fisher (1925) y está basada en la descomposición (7.2.5)

ql n P P

({lm {·· )2 =

l=1 m=1

ql n P P

({lm {l· )2 +

l=1 m=1

n P l=1

ql ({l· {·· )2

donde {·· es la media total {·· =

ql n P n 1 P 1 P {lm = ql {l· q l=1 m=1 q l=1

La Expresión (7.2.5) se obtiene sin más que restar y sumar dentro del paréntesis del primer miembro de (7.2.5) {l= y desarrollando a continuación el cuadrado. Los tres términos que aparecen en la Expresión (7.2.5) reciben, respectivamente, el nombre de suma de cuadrados total, suma de cuadrados residual o dentro de los grupos y suma de cuadrados explicada o entre los grupos. Esto es VFW RW = VF = VF + VF G+ G VF H H

(7.2.6) con (7.2.7)

ql q ql n P nql P n P nl P n P n P P P P P 2 2 = = ({lm({ { > ) >VFVF ({lm({ { { )2 ,l· )2VF ql·l ({ {l···{ )2 ·· ) VFW RW , VF lm { ·· ) ·· lm l· G = G = H =H = ql ({ l=1l=1 m=1m=1

l=1 l=1 m=1m=1

l=1 l=1

La interpretación de de lalaExpresión Expresión(7.2.5) 7.2.5 es variaciónde decada cadaeleeles que que la variación emento{{lmlm aalalamedia mento media total total {{···· se se puede puede explicar explicar mediante mediante la la variación variación de cada elemento a la media de su grupo, más la debida a las medias en los distintos grupos. Se pretende a continuación encontrar la distribución de las sumas de cuadrados. para ello se necesita el siguiente lema.


319 319

Lema 7.2.1 Si se tiene la colección ]l de v.a.i. con H[]l ] = l , Y []l ] = 2 l = 1> ===> n, entonces n1 2 H[(]l ])2 ] = (l )2 + n donde n n 1P 1P ]= ]l = l n l=1 n l=1 Demostración: En efecto H[(]l ])2 ] = Y []l ]] + H 2 []l ]] y claramente H[]l ]] = l , mientras que Y []l ]] = Y []l ] + Y []] 2Fry(]l > ]) = 2 +

2 2 2 = n n

¥ La esperanza de la suma de cuadrados dentro de los grupos, viene dada por H[VFH ] =

n P l=1

ql H[([ l· [ ·· )2 ]>

pues, aplicando el Lema anterior con ]l = [ l· , ] = [ ·· , Y []l ] = 2 @ql , se tiene que · ¸ n P n 1 2 2 ql (l ) + H[VFH ] = n ql l=1 n P ql (l )2 + (n 1) 2 = =

H[]l ] = l y

l=1

Por lo tanto H[VFG @(q n)] = 2 . Si se cumple la hipótesis K0 : 1 = === = n entonces también es H[VFH @(n 1)] = 2 y se tienen dos estimadores in-sesgados sesgadosdede2 =2 = Por Porelelcontrario; contrario; sisi alguno alguno de de los los valores valores l es diferente, la esperanza de VFH @(n 1) será estrictamente mayor que 2 . Esto proporciona la intuición intuición para pararealizar realizarelelcontraste contrastede deque quetodos todoslos losvaloval===>nn son oresl l ll==1>1>===> ores son iguales, iguales, una una vez vez que que se se disponga disponga de de la distribución de las dos sumas de cuadrados. Teorema 7.2.1 Si {lm = l + %lm l = 1> ===> n> m = 1> ===> ql

q=

n P l=1

ql

con %lm Q (0> )

e independientes, entonces VFG @ 2 "2q3n . Si además se cumple K0 : 1 = === = n entonces VFH @ 2 "2n31 > con ambas distribuciones "2 independientes.

320 320


Demostración: la suma de cuadrados dentro o residual dividida por la varianza es ql ({ )2 n P n P P VFG v2 lm l· = = (ql 1) l2 2 2 l=1 m=1 l=1

y como, Fisher, véase Teorema1.2.5.1, 1.2.5.1,cada cada sumando sumando de como, según segúnelelteorema teoremadede Fisher, verelteorema 2 la anterior expresión se distribuye "ql 31 y obviamente son independientes se sigue que VFG @ 2 "2q3n ; según la propiedad de aditividad de la distribución "2 = En el caso de que sea cierta la hipótesis K0 : 1 = === = n , la suma de cuadrados entre se puede poner VFH =

(7.2.8)

donde es {·· =

ql n P P

n P l=1

ql ({l· l ({·· ·· ))2 ql n P P

l @q; por lo tanto la aplicación s del Lema 1.5.2.1 a las variables [1 > ===> [q > \1 con [l = ql ({l· l ) e 3 4 r ¶ [1 μr s q1 qn E . F > ===> \1 = q({·· ·· ) = C .. D q q [n l=1 m=1

{lm @q y ·· =

l=1 m=1

(con lo que [l Q (0> )), permite concluir que ]= =

n P l=1 n P l=1

[l2 \12 =

n P l=1

ql ({l· l )2 q({·· ·· )2

ql ({l· l ({·· ·· ))2

y por tanto ]@ 2 = VFH @ 2 "2n31 e independiente de {·· ·· . Por último las dos "2 son independientes, ya que la VFH es función de {1· > ===> {n· y VFG depende de Vl2 que es independiente de {l· para l0 6= l y cuando Vl2 es independiente de {l· , por el teorema de Fisher (véase el l0 = l teorema 1.5.1). Como consecuencia, para contrastar la hipótesis nula K0 : 1 = === = n de que todas las variables tienen la misma media, frente a su complementaria; el test a utilizar tiene de región crítica ½ ¾ VFH / n 1 A in31>q3n; UF = (7.2.9) VFG / q n ya que bajo K0 el numerador y el denominador son estimadores de 2 y por tanto el cociente es uno. Por el contrario, si algún l es diferente a los demás el numerador aumenta en la cantidad (l ·· )2 . Además, en (7.2.9) in31>q=n; es el cuantil, de orden 1 , de la distribución de Snedecor de n 1 y q n grados de libertad (véase la Definición 1.5.4.1).


321 321

Los datos acostumbran acostumbranaapresentarse presentarseen enlalaforma formadedetabla tabla análisis dede análisis de de la la varianza o tabla ADEVA (véase la Tabla 7.2.2). varianza o tabla ADEVA (véase la Tabla 7.2.2). Fuente de variación

VF H =

Entre grupos

Grados de libertad

Estadístico I

n1

VF H @n 1

({lm {l· )2

qn

VF G @q n

({lm {·· )2

q1

Suma de cuadrados

Dentro de los grupos o residual

VF G =

Total

VF W =

n P

ql· ({l· {·· )2

l=1 ql n P P

l=1 m=1 ql n P P l=1 m=1

Tabla 7.2.2. Tabla del análisis de la varianza (ADEVA) para un solo factor. Ejemplo 7.2.1 Para los datos de la preparación de una sustancia química contenidos en la tabla 7.2.1, la tabla ADEVA viene dada por Fuente de variación Entre grupos Dentro de los grupos Total

Suma de cuadrados 23850 53 25670 17 49520 70

Grados de libertad 4 25 29

Estadístico I 50 81

n o VFH @n31 0 0 05 = 2 76 , donde el cuanA i La región crítica es UF = VF 4>25;0 G @q3n til de la I se ha obtenido interpolando en la Tabla 6. Esto lleva a rechazar la hipótesis nula de igualdad de las medias. ¥ El anterior ejemplo da pie al planteamiento de la siguiente pregunta: correcto, las medias no son todas iguales, pero ¿es posible que los métodos 2 y 5 sean iguales y todos los demás sean diferentes? Esto es, se puede contrastar la hipótesis nula, K0 : 2 = 5 frente a K1 : 2 6= 5 . Esta n P dl l = 0 hipótesis es un caso particular de contrastes de la forma K0 : frente a K1 : n P l=1

n P l=1

l=1

dl l 6= 0 siendo dl un conjunto de constantes tales que

dl = 0; basta tomar en este caso d = (0> 1> 0> 0> 1)= Se tiene que

n P l=1

dl [ l0 es una variable con distribución normal de media · H

n P

l=1

¸ n P dl [ l0 = dl l l=1

322 322


y de varianza

· Y

n P

l=1

¸

dl [ l0 = 2

n d2 P l l=1 ql

con lo que n P

n P dl [ l0 dl l l=1 l=1 s Q (0> 1)= n P d2l @ql l=1

Como normalmente la varianza 2 será desconocida, se emplea su estimador centrado b2s (véase (7.2.4)) basado en la información suministrada por todos los grupos. Con ello se obtiene que n P

(7.2.10)

n P dl [ l0 dl l l=1 l=1 s Wq3n n P d2l @ql bs l=1

es decir se distribuye según una distribución de Student con q n grados de libertad. Por tanto la región crítica del contraste es ;¯ ¯ < ¯ ¯ A A n P ¯ A ¯ A A A A A dl [ l0 ¯ ?¯¯ @ ¯ l=1 ¯ ¯ w UF = ¯ s (7.2.11) q3n;@2 ¯ A A n ¯ A ¯ A P A A 2 @q ¯ ¯ A A d b =¯ s > l¯ l l=1

Además (7.2.10) puedeser serutilizada utilizadacomo comovariable variable pivotal pivotal para construir 7.2.10 puede construir n P un intervalo de confianza para dl l l=1

(7.2.12)

μ n ¶ P dl l = LF13 l=1 s s Ã ! n n n n P P P P dl [ l0 wq3n;@2 d2l @ql > dl [ l0 + wq3n;@2 d2l @ql bs bs = l=1

l=1

l=1

l=1

Ejemplo 7.2.2 Con los datos de la preparación de una sustancia química de la Tabla 7.2.1, para contrastar K0 : 2 = 5 frente a K1 : 2 6= 5 , la región crítica es r ½ ¾ 1 1 UF = |{2· {5· | + wq3n;@2 bs q2 q5


323 323

bs = 100 14> q2 = q5 = 6> w3035;00 05 = 20 06 y = 00 1 se convierte en que con UF = {|{2· {5· | 120 06}= Al ser |{2· {5· | = |260 17 33| = 60 83, se acepta la igualdad de los dos métodos. Como intervalo de confianza para 2 5 se obtiene LF00 90 (2 5 ) = (50 23> 180 89)= ¥ Los tests de la forma K0 : n P l=1

n P l=1

dl l = 0 frente a K1 :

n P l=1

dl l 6= 0 con

dl = 0, permiten obtener conclusiones acerca de la ordenación de los

valores l , mediante la realización de varios contrastes simultáneos. Concretamente si se plantean los contrastes K0 : 1 2 = 0 frente a K1 : 1 A 2 y K00 : 2 3 = 0 frente a K10 : 2 A 3 y se rechaza la hipótesis nula en ambos casos, casos, se se obtiene obtiene que que ha ha de de ser ser 11 AA22AA3 3. .Esto Estoplantea planteaelelprobprob -blemadedelaladeterminación determinacióndel deltamaño tamaño del del test conjunto, un lema un procedimiento procedimiento sencillo de solucionarlo consiste en utilizar la desigualdad de Bonferroni, que establece que si D1 > ===> Dq son sucesos cualesquiera entonces se verifica que μq ¶ q T P S Dl S (Dl ) (q 1) (7.2.13) l=1

l=1

en efecto; pasando al complementario μq ¶ μq ¶ T S f S Dl = 1 S Dl l=1

l=1

pero como μ S

q S

l=1

¶ Dfl

q P l=1

S (Dfl ) =

q P

l=1

μ multiplicando por 1 se sigue S

[1 S (Dl )] = q

q S

l=1

μ 1S

q S

l=1

¶ Dfl

¶ Dfl

1q+

q P l=1

q P l=1

da la la desigualdad. trada desigualdad.

l=1

S (Dl )

S (Dl ) q de donde

S (Dl ) μ

y como el primer miembro de esta desigualdad es S

q P

q T

l=1

¶ Dl ,se setiene tienedemostrademos-

324 324


Para realizar simultáneamente p contrastes, cuando cada uno de ellos tiene de tamaño l = @p , si se contruyen UD =

p T l=1

UDl

UF =

y

p S l=1

UFl

como la región de aceptación y la región crítica, respectivamente del test conjunto, es claro que en virtud de la Desigualdad (7.2.13) ¾ ½p S UFl |K0 S {UF|K0 } = S l=1 ½p ¾ T =1S UFlf |K0 1

p P l=1

l=1

S {UFlf |K0 } + p 1

y como, al ser S {UFl |K0 } l , es S {UFlf |K0 } l 1, por lo que sustituyendo se tiene ´ p ³ P 1 +p S {UF|K0 } l=1 p = = Ejemplo 7.2.3 Para los datos de la preparación de la sustancia química contenidos en la Tabla 7.2.1, si se quiere contrastar simultáneamente K0 : 1 = 2 frente a K1 : 1 A 2 y K00 : 2 = 3 frente a K10 : 2 A 3 , mediante un test de tamaño = 00 05. Basta tomar 1 = 2 = @2 = 00 025 con lo que las regiones críticas son r 1 1 + tq3n;00 025 } UF1 = {{1· {2· bs q1 q2 = {{1· {2· 40 136 · 00 5773 · 20 06} = {{1· {2· 40 919}

análogamente

UF2 = {{2· {3· 40 919}

con lo que la región crítica conjunta es UF = {{1· {2· 40 919 o {2· {3· 40 919} por lo que al ser {1· {2· = 51 260 167 = 240 833 se rechaza K0 y como {2· {3· = 260 167 270 5 = 10 333 se acepta K00 ; en consecuencia se tiene que 1 A 2 = 3 = ¥

7.3. ANÁLISIS ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON DOS FACTORES DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL

325 325

Existen otros procedimientos para modificar los tamaños del test conjunto, los más conocidos son, además del explicado de emplear la desigualdad de Bonferroni, el método de Scheé, el de Tuckey y el de la mínima diferencia significativa; pueden verse en Stuart y Ord (1991), parágrafo 29.47 y siguientes. Con el fin de extender el modelo del análisis de la varianza a situaciones prácticas de mayor complejidad, se necesita introducir primero un parámetro más en la modelización. En la introducción al análisis de la varianza con un sólo factor se ha supuesto el modelo de la forma (7.2.1), si bien existe un modelo alternativo expresado mediante (7.2.14)

{lm = + l + %lm

l = 1> ===> n

m = 1> ===> ql

donde de nuevo los errores %lm Q (0> ) son normales e independientes. En este modelo, el parámetro representa una media general o un efecto global. Es decir, el efecto de cada tratamiento se descompone en un valor común y un efecto debido al tratamiento l que viene representado por l . Como se ha introducido un parámetro más , se debe introducir también una relación más entre los parámetros con el fin de poder determinarlos todos, y una manera sencilla de hacerlo es mediante la expresión (7.2.15)

n P l=1

l = 0=

De no hacerse así, sería posible encontrar valores particulares de > 1 > ===> n tales que den lugar a la misma función i ({11 > ===> {nqn |1 > 1 > ===> n ) para cualesquiera valores de {11 > ===> {nqn , se dice entonces que el modelo es no identificable. En concreto se tendría que siendo i la función de densidad explicitada en la Expresión (7.2.14) i ({11 > ===> {nqn |0> 1> ===> 1) = i ({11 > ===> {nqn |1> 0> ===> 0). Es claro que al imponer la condición (7.2.15) el punto = 0 1 = === = n = 1 queda eliminado. Ahora, se está en condiciones de desarrollar las ideas correspondientes al análisis de la varianza con dos factores.

7.3.

ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON DOS FACTORES

En esta Sección sección se supone que el modelo es de la forma (7.3.1)

{lmn = + l + m + lm + %lmn

con l = 1> ===> u m = 1> ===> v n = 1> ===> w donde %lmn Q (0> ) e independientes. Cuando w A 1 se dice que el modelo es balanceado o con replicación.


326 326

Al igual que se hizo en el caso de un solo factor, se introducen las restricciones u q v P P l = 0 m = 0 l=1 m=1 (7.3.2) u v P P lm = lm = 0 l = 1> ===> u m = 1> ===> v l=1

m=1

con el fin de que el modelo sea identificable. La función de verosimilitud viene dada por i ({111 > ===> {uvw |> 1 > ===> u > 1 > ===> v > ) μ ¶ uvw 3 1 P P P({lmn 33l 3 3 )2 2 m lm 1 2 2 l m n = h 2 2 Es fácil verificar que los estimadores de máxima verosimilitud sujetos a las Restricciones (7.3.2) son

(7.3.3)

b = {··· b l = {l·· {··· l = 1> ===> u bm = {·m· {··· m = 1> ===> v blm = {lm· {l·· {·m· + {··· l = 1> ===> u m = 1> ===> v

Análogamente al caso de un único factor, las sumas de cuadrados debidos a los distintos efectos son u P VFD = vw ({l·· {··· )2 VFE = uw (7.3.4)

VFDE = w VFH = VFW =

l=1 v P

{··· )2

({·m· m=1 u P v P

({lm· {l·· {·m· + {··· )2

l=1 m=1 u P v P w P

({lmn {lm· )2

l=1 m=1 n=1 v P w u P P

({lmn {··· )2

l=1 m=1 n=1

Puede comprobarse que VFW = VFD + VFE + VFDE + VFH sin más que elevar el cuadrado y desarrollar la siguiente expresión {lmn {··· = ({lmn {lm· ) + ({l·· {··· ) + ({·m· {··· ) + ({lm· {l·· {·m· + {··· ) El siguiente resultado, permite realizar los contrastes adecuados a esta situación

7.3. ANÁLISIS ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON DOS FACTORES DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL

327 327

Teorema 7.3.1 Si {lmn = + l + m + lm + %lmn l = 1> ===> u m = 1> ===> v n = 1> ===> w con q = uvw el número de observaciones y donde los errores %lmn Q (0> ) son normales e independientes, entonces VFH @ 2 "2uv(w31) = Si se cumple KD : 1 = === = u = 0, se sigue que VFD @ 2 "2u31 y ambas "2 son independientes. Si, además, se cumple KE : 1 = === = v = 0 entonces VFE @ 2 "2v31 y es independiente de VFU @ 2 . Por último si se cumple que KDE : lm = 0> l = 1> ===> u> m = 1> ===> v, entonces VFDE @ 2 "2(u31)(f31) e independiente de VFH @ 2 . La demostración puede puede verse verse en en Stuart Stuart yy Ord (1991), Parágrafo 29.15. Normalmente los los cálculos cálculos se se presentan presentan en en la la llamada llamada tabla de la Normalmente la varianza varianza con dos factores o tabla ADEVA ADEVA con con dos factores, Tabla Tabla 7.3.1. 7.3.1 Fuentes de variación

Suma de cuadrados

VF D = vw

Efecto fila Efecto columna Interacción

VF E = uw VF DE = w

u P v P

VF W =

Total

l=1 v P m=1

Estadísticos F

({l·· {··· )2

r-1

VFD @u31 VFH @uv(w31)

({·m· {··· )2

s-1

VFE @v31 VFH uv(w31)

(r-1)(s-1)

VFDE @(u31)(v31) VFH @uv(w31)

({lm· {l·· {·m· +{··· )2

l=1 m=1 v u P P

VF H =

Error

n P

Grados de libertad

w P

l=1 m=1 n=1 u P v P w P l=1 m=1 n=1

({lmn {lm· )2

rs(t-1)

({lmn {··· )2

rst-1

Tabla 7.3.1. Tabla del análisis de la varianza para dos factores (ADEVA). Por lo tanto, para contrastar la hipótesis nula de que el efecto fila es nulo 0 : algún efecto fila es no nulo KD : 1 = === = u = 0 frente a KD

la región crítica es ½ (7.3.5)

UF =

VFD @u 1 iu31>uv(w31); VFH @uv(w 1)

¾

Análogamente, para contrastar que el efecto columna es nulo 0 : algún efecto fila es no nulo KE : 1 = === = u = 0 frente a KE


UF =

VFE @v 1 iv31>uv(w31); VFH @uv(w 1)

¾


328 328

Por último, para contrastar que la interacción es nula 0 algunaefecto interacción : algún KDE : lm = 0 l = 1> ===> u m = 1> ===> v frente a KDE fila esno no 0 : algún efecto fila es no KDE : lm = 0 l = 1> ===> u m = 1> ===> v frente a KDE es nula


UF =

VFDE @(u 1)(v 1) i(u31)(v31)>uv(w31); VFH @uv(w 1)

¾

Ejemplo 7.3.1 Se experimentan en una clase tres métodos de explicación impartidos por dos profesores diferentes, tras hacer las correspondientes asignaciones aleatorias, se obtienen las calificaciones siguientes, al final del proceso de explicación

método

1 = 1 2 = 2 3 = 3

suri hvruhv 1 = 1 2 = 1 0 0 0 0 9 5> 8 5> 7 5> 7 5 6> 9> 8> 7 9> 8> 90 5> 80 5 80 5> 9> 9> 8 7> 8> 80 5> 80 5 6> 5> 7> 5> 7> 9

Con el fin de estudiar el efecto debido al método de explicación y el efecto debido al profesor en los resultados obtenidos, se introduce el modelo {lmn = + l + m + lm + %lmn l = 1> 2> 3 m = 1> 2 n = 1> 2> 3> 4 donde es un valor medio general, l representa el efecto relativo al método de explicación, m el efecto debido a cada profesor, lm el efecto relativo a la interacción profesor-método y %lmn el error aleatorio en cada observación con %lmn Q (0> ) e independientes. Los diagramas de cajas correspondientes a las variables método y notas, así como profesor y notas vienen recogidos en la Figura 7.3.1, donde no parecen observarse demasiadas diferencias, únicamente los cuartiles correspondientes a los datos con el segundo profesor parecen más dispersos que los correspondientes al primero.

Figura 7.3.1. Diagramas de caja correspondiente al Ejemplo 7.3.1.

7.4. REGRESIÓN LINEAL ANÁLISIS DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL

329 329

Los estimadores que se obtienen para los parámetros del modelo son b = 80 333 > b = 70 875> {··· = 80 1042 > b 1 = 70 875 > b 2 = 80 687 > b 3 = 70 75 > 1 2 0 0 0 0 b11 = 8 25 > b12 = 7 5 > b21 = 8 75 > b22 = 8 625 > b31 = 8 y b32 = 70 5= La tabla ADEVA Fuentes de variación método profesor interacción error Total

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Estadístico I

4’1458 1’2604 0’3958 14’6875 20’4896

2 1 2 18 23

2’54 1’545 0’243

Para contrastar la hipótesis de que el efecto fila es nulo, es decir, que los tres métodos de explicación pueden ser considerados como equivalentes KD : 1 = 2 = 3 = 0 con un tamaño 00 05, la región crítica es ¾ ½ VFD @u 1 0 i2>18;00 05 = 3 55 UF = VFH @uv(w 1) y como el valor obtenido para el cociente es 20 54 se puede aceptar KD . Para contrastar la hipótesis de que el efecto columna es nulo, es decir, que los dos profesores consiguen los mismos resultados: KE : 1 = 2 = 0, ¾ ½ VFE @(v 1) 0 UF = i1>18;00 05 = 4 416 VFH @uv(w 1) como el cociente es 10 545 se acepta KE . Por último, para contrastar si la interacción es nula: KDE : lm = 0> l = 1> 2> 3, m = 1> 2 ¾ ½ VFDE @(u 1)(v 1) UF = i2>18;00 05 = 30 55 VFH @uv(w 1) 00 243 KDE = = como el el cociente es es sese acepta y como 00 243 KDE cociente acepta

7.4.

REGRESIÓN LINEAL

Con frecuencia, en estudios estadísticos se pretende poner una variable en función de otra u otras variables; bien porque éstas sean más sencillas de medir o bien porque se esté interesado en estudiar su relación. Así, se puede tratar de explicar la estatura de las personas en función de su edad, el área de las hojas de un árbol en función del peso de las mismas, o el peso de las personas en función de su altura y de su edad.


330 330

7.4.1.

Regresión lineal simple

El caso más sencillo consiste en dada la colección de puntos ({l > |l ) donde l = 1> ===> q determinar la recta | = 0 + 1 { que, con algún criterio, mejor se ajuste a la colección de puntos. A | se le da el nombre de variable dependiente o variable respuesta y a { se la denomina variable independiente o variable predictora. El criterio usual que se emplea para la determinación de los parámetros 0 y 1 es el de los mínimos cuadrados, que consiste en minimizar en 0 y 1 la suma de cuadrados q P VF( 0 > 1 ) = (|l 0 1 {l )2 (7.4.1.1) l=1

Geométricamente este método equivale a la minimización de la suma de los cuadrados de las distancias verticales, de acuerdo con la Figura 7.4.1.1. Aunque parece más intuitivo la minimización de la suma de las distancias ortogonales, este procedimiento no se utiliza por su mayor complejidad analítica.

Figura 7.4.1.1. Representación de las distancias empleadas por el método de los mínimos cuadrados. Para obtener 0 y 1 se debe resolver el sistema C C 0 VF( 0 > 1 ) C C 1 VF( 0 > 1 )

= 2

= 2

q P

< A (|l 0 1 {l ) = 0 A @

l=1

q P

A (|l 0 1 {l ){l = 0 A >

l=1

que lleva a las llamadas ecuaciones normales (7.4.1.2)

1 q

q P l=1

| = 0 + { 1 {l |l = { 0 +

1 q

q P

l=1

< @ {2l 1 >


331 331

la primera ecuación, pone de manifiesto que la recta, en lo sucesivo llamada recta de regresión, pasa por el punto ({> |). La solución en 0 y 1 del Sistema (7.4.1.2) permite construir los estimadores de mínimos cuadrados EMC b = | { e{| 0 e2{ e{| b 1 = e2

(7.4.1.3)

{

donde e2{ =

1 q

q P

({l {)2 y e{| =

l=1

1 q

q P

({l {)(|l |) son los momentos

l=1

respecto al centro correspondientes a la colección de puntos ({l > |l ) l = 1> ===> q, (véase la Sección 1.2). A la recta de regresión || =

(7.4.1.4)

e{| ({ {) e2{

se le da el nombre de recta de regresión de | sobre {. El mínimo de la b1 )> es b0 > expresión (7.4.1.1), VF( b ) b > VF( 0 1

=

(7.4.1.5)

= =

q P

e (|l | e{| 2 ({l { l=1 2 e qe2| q e{| 2 { qe2| (1 u2 )

{))2

donde u es el coeficiente de correlación lineal u=

(7.4.1.6)

e{| e{ e|

(véase la Expresión (1.2.6)). La cantidad recogida en la Expresión (7.4.1.1) es siempre positiva, al ser una suma de cuadrados, por lo que el coeficiente de correlación es siempre 1 u 1. Además se interpreta u2 como lo que queda de la variable | al restar su mejor ajuste lineal, en el sentido de los mínimos cuadrados, en función de la variable {. Valores de u próximos a +1 o a 1 indican una buena explicación de la variable | por la variable { en sentido lineal; valores próximos a cero del coeficiente de correlación lineal indican una mala explicación de la segunda variable como una función lineal de la primera. Ejemplo 7.4.1.1 Un agricultor hace una estimación a ojo, del peso real de las naranjas contenidas en 10 árboles de un huerto, obteniendo los siguientes resultados medidos en kilogramos Peso estimado Peso real

59 61

47 42

52 50

60 58

67 67

48 45

44 39

58 57

76 71

58 53


332 332

con el fin de ver si tiene sentido un ajuste lineal, que explique el peso real en función del peso estimado, se recurre inicialmente a representar la colección de puntos,

Figura 7.4.1.2. Representación de la nube de puntos del Ejemplo 7.4.1.1. De la Figura 7.4.1.2 se desprende que el ajuste lineal puede ser correcto. Para realizar el mismo, las ecuaciones normales son ¾ 540 3 = 0 + 560 9 1 31790 4 = 560 9 0 + 33220 7 1 que conducen a los estimadores 0

b = 540 3 560 9 89 73 = 50 7028 0 850 09 0 73 89 b = = 10 0545 1 850 09 por lo que la recta de regresión es | 540 3 = 10 0545({ 560 9) o bien

| = 50 7028 + 10 0545{=

El coeficiente de correlación lineal es u=

890 73 = 00 974= 90 224 · 90 99

Lo que indica que el ajuste lineal es bastante aceptable. ¥


333 333

Para encontrar las propiedades de los estimadores en el caso de la regresión lineal, se deben hacer hipótesis probabilísticas sobre el modelo, en lo que sigue se va a suponer |l = 0 + 1 {l + hl >

l = 1> ===> q

donde las variables aleatorias hl se interpretan como errores y se admite que son independientes con H[hl ] = 0 y Y [hl ] = 2 . Se hace notar que ambas variables no desempeñan un papel simétrico, la | es una v.a. por serlo h, los valores de { son conocidos independientemente de que puedan provenir de otra variable aleatoria o no. Así en este modelo se actua condicionado a estos valores de {. Teorema 7.4.1.1 Para el modelo |l = 0 + 1 {l + hl , l = 1> ===> q con H[hl ] = 0> Y [hl ] = 2 b y b de y dados por se tiene que los HP F 0 1 0 1 b0 = | { e{| e2{

b1 = e{| e2{

son insesgados, y se verifica que 1 2 q

b ]= q Y [ 0 P

l=1

b ]= q Y [ 1 P

(7.4.1.7)

l=1

q P l=1

{2l

{2l 3q{2 2 {2l 3q{2

; ;

b1 ) = q 2 { b0 > Fry( P l=1

{2l 3q{2

Demostración: De la Expresión (7.4.1.3) b0 ] = H[\ ] H[ como e{| =

1 q

q P

({l {)|l . Al ser

l=1

b0 ] = 0 + 1 { H[ q P

{ ({l {)2

l=1

= 0 + 1{

q P

{ ({l

q P

q P

q P

({l {)H[\l ]

l=1 q P

({l {)( 0 + 1 {l )

{)2 l=1

{ ({l {)2

l=1

({l {)| = 0, se puede poner

l=1

l=1

= 0 + 1{

{ H[e{| ] e2{

0

q P

({l {)

l=1

q P

{ ({l {)2

l=1

1

q P

({l {){l

l=1


334 334

q P

pero como

q P

({l {) = 0 y

l=1

q P

({l {){l =

l=1

q P

1{

b0 ] = 0 + 1 { H[ q P

({l

({l {)2 se tiene que

l=1

({l {)2

{)2 l=1

l=1

= 0= Análogamente q P

b ]= H[ 1

l=1

({l {) H[\l ] q P ({l {)2

l=1

= 0

q P

l=1

q ({ {){ P ({l {) l l + 1 q q P P l=1 ({l {)2 ({l {)2

l=1

l=1

= 1 por ser

q P

({l {) = 0 y

l=1

q P

l=1

q b1 = P q({l 3{)\l Como P l=1

({l {){l =

q P

({l {)2 .

l=1

se tiene que

({l 3{)2

l=1

b ]= Y [ 1

q P l=1

μ

({l {)2 ¶2 Y [\l ] q P ({l {)2

l=1

y al sustituir Y [\l ] = Y [hl ] = 2 , se obtiene b1 ] = 2 Y [

q P l=1

μ

({l {)2 ¶2 q P ({l {)2

l=1

=

2

q P

1 ({l {)2

=

l=1

b0 > b1 ) pueden obtenerse como caso b0 ] y Fry( Las expresiones para Y [ particular del planteamiento matricial de la regresión que se hará más adelante, Expresión (7.4.2.5). ¥ Como se desprende de (7.4.1.7), para el cálculo de la varianza de los estib se necesita conocer 2 . En la Sección 7.4.2. se demostrará b y madores 0 1


335 335

b > b en lalaExpresión que lo que se ha notado por VF( Expresión(7.4.1.4) 7.4.1.4 si si se divide 0 1 ) en por q 2, es un estimador insesgado de 2 , es decir, que notando por q b0 > b1 ) = P (|l b0 b1 {l )2 VFU = VF( l=1

expresión h a la i que se le dá el nombre de suma de cuadrados residual, se sigue 2 U que H VF q32 = . En la práctica, lo que se hace es utilizar este estimador para estimar las b . Además, en el teorema b y de varianzas de Teorema no se utiliza la hipótesis de 0 1 normalidad, bajo la suposición de que los errores hl Q (0> ) se obtiene la distribución normal de ambos estadísticos, ya que son combinaciones lineales de v.a. normales. En cualquier caso, esta suposición de normalidad no es demasiado fuerte si el tamaño muestral es grande en virtud del teorema central del límite. b ])1@2 se les da el nombre de errores estandar de A los valores (Yb [ l los estimadores, donde se sustituye en la expresión de la varianza, 2 por VFU @(q 2) y se sigue que b l ql Wq32 bl ] Yb [

(7.4.1.8)

tiene distribución de Student con q 2 grados de libertad. Esta última expresión permite realizar constrastes de hipótesis y obtener regiones de confianza para los parámetros. Ejemplo 7.4.1.2 Si se aplican los resultados anteriores a los datos obtenidos por el agricultor en el Eejemplo 7.4.1.1,seseobtienen obtienenlos losvalores valoressiguientes siguientes ejemplo 7.4.1.1,

Coeficientes

Estimadores

Errores estándar

0 1

50 7028 10 5045

50 0317 00 0873

Estadísticos

W 10 1334 120 0805

y VFU = 510 8698. Por lo tanto b2 = 510 8698@8 = 60 4837 de donde q 07 0 3184 b ) = 60 4837·3322 b ) = 50 0317 Yb ( = 25 Yb ( 0 0 8500 9 q 60 4837 0 b b b b Y ( 1 ) = 00 0873 Y ( 1 ) = 8500 9 = 0 00762 Para contrastar K0 : 1 = 0 frente a K1 : 1 6= 0 se emplea que b 1 q1 W8 b ) Yb ( 1

336 336


y por tanto b | UF = {| 1

q b )w8;00 025 = 00 0873 · 20 306} Yb ( 1

b1 | 00 2013} = {| como 10 0545 pertenece a UF, se rechaza K0 = Un intervalo de grado de confianza 00 95 para 1 se obtiene mediante ¶ q q q q b b b b b b b b b b b b + YY((11)w)wq32;@2 LF00 95 ( 1 ) = ((11 YY((11)w)wq32;@2 q32;@2>>11+ q32;@2)) μ

que se convierte en LF00 95 ( 1 ) = (10 0545 00 0873> 10 0545 + 00 0873 · 20 306) = (00 8532> 10 2558)

¥ Para evitar aplicaciones incorrectas del modelo de regresión simple, debe comprobarse siempre, que se cumplen todas las hipótesis supuestas para la elaboración del modelo. Inicialmente es conveniente representar los puntos ({l > |l ) para ver si tiene sentido un ajuste lineal. Una buena herramienta que se puede utilizar para la validación del modelo son los residuos hbl = b0 b1 {l , la representación de ({l > hbl ) debe ser del tipo |l |bl = |l de la Figura 7.4.1.3. Por ejemplo, una representación como la de la Figura 7.4.1.4 desaconsejaría la suposición de que la varianza 2 no depende de {l (homocedasticidad)

Figura 7.4.1.3. Representación compatible con las suposiciones del modelo de regresión simple de los puntos ({l > hbl )=


337 337

Figura 7.4.1.4. Representación correspondiente a falta de homocedasticidad de los puntos ({l > hbl ) en un modelo de regresión simple. Con vistas a la mayor o menor exactitud de los contrastes de hipótesis y las regiones de confianza (la determinación de las constantes que intervienen dede normalidad parapara los en ellos), es es interesante interesante verificar verificartambién tambiénlalahipótesis hipótesis normalidad, ({lde > hbl )aplicación puntos , puede verse en la en Sección 8.4.3. 8.4.3 para los puntos ({l > hbl ) lo que es lo dicho la Sección referido al ajuste a una distribución normal.

7.4.2.

Regresión lineal múltiple: aproximación matricial

Al trabajar con problemas reales, es necesario recurrir a modelos más complejos, aunque todavía lineales, en los que una variable dependiente se explica por dos o más variables independientes. En esta Sección se va a recurrir a ajustar a los datos |l > {l1 > {l2 > ===> {{l>s31 ls31 >

l = 1> ===> q

un modelo de la forma | = 0 + 1 {1 + === + s31 {s31 con s q, es decir, un hiperplano. En forma matricial se puede escribir como \ = [ + % q×1 =q×s·s×1+q×1 donde los vectores se suponen vectores columnas y por 3 1 {11 {12 · · · {1>s31 E 1 {21 {22 · · · {2>s31 E E .. .. .. .. C . . . . 1 {q1 {q2 · · ·

{q>s31

la matriz [ viene dada 4 F F F D


338 338

El criterio que se emplea para la estimación de los parámetros 0 > ===> s31 es el de mínimos cuadrados, como en el caso de la regresión lineal simple, y consiste en minimizar la siguiente expresión (7.4.2.1) VF( 0 > 1 > ===> s31 )

donde k]k2 =

q P l=1

]l2

q P

(|l 0 1 {l>1 === s31 {l>s31 )2 ° °2 ° ° =k\ [k2 = °\ \b °

=

l=1

es el cuadrado de la norma del vector ]=

Derivando respecto a m > m = 0> ===> s1 la expresión VF( 0 > 1 > ===> s31 ) e igualando a cero, se obtienen las ecuaciones normales < q q q P P P A A {l1 1 + === + {l>s31 s31 = |l q 0 + A A A l=1 l=1 `~=1 A A q q q q A P P 2 P P A @ {l1 0 + {l1 1 + === + {l>s31 {l1 s31 = {l1 |l l=1

q P l=1

l=1

{l>s31 0 +

q P l=1

l=1

.. .

{l1 {l>s31 1 + === +

l=1

q P l=1

{2l>s31 s31 =

q P l=1

{l>s31 |l

A A A A A A A A A >

que matricialmente pueden escribirse como b = [ 0\ [ 0[

(7.4.2.2)

b obteniéndose Si es |[ 0 [| 6= 0 se pueden resolver en , b = ([ 0 [)31 [ 0 \

(7.4.2.3)

desde el punto de vista computacional, la inversión de la matriz [ 0 [ puede dar lugar a errores, por lo que se advierte de la existencia de métodos alternativos para la resolución de la Ecuación (7.4.2.2), (véase Strang (1980)). En los dos ejemplos siguientes, se expresan matricialmente resultados ya estudiados. Ejemplo 7.4.2.1 En el caso de la regresión lineal simple | = 0 + 1 {, con ({l > |l ) l = 1> ===> q, se comprueba que 4 4 3 3 q 4 3 q P P 1 {1 q { | l F l F E E F E l=1 F , [ 0 \ = E ql=1 F> [ = C ... ... D > [ 0 [ = E q q P P D D C P C 2 { { { | l l l l 1 {q l=1 l=1 l=1 3 q 4 q P 2 P E l=1 {l l=1 {l F 1 0 31 E F ([ [) = q q D C P P 2 2 2 { q q {l q { l l=1

l=1

7.4. REGRESIÓN LINEAL ANÁLISIS DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL 3 P q q q q P P P {2l |l 3 {l |l {l E l=1 l=1 l=1 l=1 E q P E q {2l 3q2 {2 E 0 31 0 l=1 b E = ([ [) [ \ = E q q q P P P E q {l |l 3 {l |l E l=1 l=1 l=1 C q P 2 2 q

3 E E =E C

1 q

q P

{2l 3{2 +{2

(

l=1

q P 1

q

l=1

1 |3 q

)

e2{

q P

l=1

{l |l {

l=1

{l |l 3{|

{l 3q2 {

4

3

F E F E F E F E F=E F E F E F E D C

4

3 F F E F=C D

1 e2{ |+{2 |3 q

e2{ e{| e2{

e2{

q P l=1

1 q

339 339

q P l=1

1 {2l |3 q

1 q 1 q

q P l=1

q P

q P

4 {l |l {

l=1

{2l 3{2

{l |l 3{| l=1 q 1 {2l 3{2 q l=1

P

F F F F F F F F D

4 {l |l {

F D

y el primer elemento de este vector es {2 |

1 q

q P

l=1 e2{

|+

{l |l { =|{

e{| e2{

que coincide con la Expresión (7.4.1.3). Ejemplo 7.4.2.2 q P ({l {)2 puede escribirse matricialmente como La Expresión expresión l=1

q P

({l {)2 = [ 0 (L

l=1

1 P )[ q

donde P es la matriz q×q que tiene todos sus elementos iguales a la unidad. Basta comprobar que q P

l=1

q P

1 {2l q{2 = [ 0 [ ({1 + === + {q )2 = q l=1 Ã ! q q P P P 1 {2 + 2 {l {m = [ 0[ q l=1 l l=1 mAl 4 3 0 1 1 ··· 1 E 1 0 1 ··· 1 F 1 F E = [ 0 [ ([ 0 [ + [ 0 E . . . .. F [) q C .. .. .. . D 1 1 1 ··· 0 1 = [ 0 [ ([ 0 P [) q

({l {)2 =

La matriz P y el número q pueden expresarse como P = 110 y q = 10 1, siendo 1 el vector columna q dimensional con todas sus componentes iguales a uno.


340 340

Otras expresiones matriciales útiles, están contenidas en los dos resultados siguientes. Teorema 7.4.2.1 Si [ es un vector columna aleatorio de dimensión q, de media y de matriz de covarianzas [ , entonces la esperanza de la forma cuadrática [ 0 D[, para cualquier matriz D q × q, viene dada por H([ 0 D[) = wud}d(D [ ) + 0 D

(7.4.2.4)

Demostración: la traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal. El resultado se sigue de considerar que [ 0 D[ = q P q P dlm {l {m y por tanto l=1 m=1

H([ 0 D[) = =

q P q P l=1 m=1 q P q P l=1 m=1

dlm H([l [m ) = dlm lm +

q P q P l=1 m=1 0

q P q P l=1 m=1

dlm ( lm + l m )

dlm l m

= wud}d(D [ ) + D= ¥

Teorema 7.4.2.2 Si [ es un vector columna aleatorio de dimensión q con matriz de covarianzas [ y se construyen \ = D[ s×1 s×q q×1

] = E[ p × 1 p × q q×1

con D y E matrices de constantes, entonces \ ] = D [ E 0 = Demostración: Fry(\l > ]n ) = Fry( = =

q P

dlm [m >

q P

eno [o ) m=1 o=1 q q P P dlm eno Fry([m > [o ) m=1 o=1 q P q P dlm mo eno m=1 o=1

que constituye el elemento l> n de la matriz D [ E 0 = ¥


341 341

Como consecuencia del Ejemplo 7.4.2.2 y del Teorema 7.4.2.1, se puede obtener otra demostración de que si [l Q (> ) l = 1> ===> q e independientes, entonces H[([l [)2 ] = (q 1) 2 = En efecto:

q P

([l [)2 = [ 0 D[ con D = L q1 P y P una matriz

l=1

cuyos elementos son todos 1, luego ¸ ·q P 2 ([l [) = wud}d(D [ ) + 0 D H l=1

pero [ = 2 L, por ser independientes, la matriz 3 (1 q1 ) q1 ··· 1 1 E (1 q ) · · · 1 E q (L P ) = E .. .. C q . . q1

q1

···

q1 q1 .. .

4 F F F D

(1 q1 )

y haciendo μ = 1 , se obtiene μ0 (L

1 0 1 11 )μ = 2 (10 1 10 110 1) q q 1 = 2 (q qq) q =0

luego · H

q P

2

¸

([l [)

l=1

¶ ¸ ·μ 1 2 = wud}d L P L q = (q 1) 2 =

¥ Se está ahora en condiciones de obtener la media y la matriz de covarianzas de los HP F en el caso de la regresión múltiple. Teorema 7.4.2.3 Para el modelo \l = 0 +

s31 P m=1

m {lm + hl ,

l = 1> ===> q

donde H[hl ] = 0 y Fry(hl > hm ) = lm 2 , que en notación matricial puede ponerse como \ = [ +h q×1 q×s s×1 q×1

342 342


con H[h] = 0 h = 2 L, el vector de estimadores de mínimos cuadrados (EMC) de los valores l es b = ([ 0 [)31 [ 0 \ y cumple que b = 1) H[]

2) e = 2 ([ 0 [)31 =

b = ([ 0 [)31 [ 0 H[\ ] = ([ 0 [)31 [ 0 [= Demostración: 1) H[] b = D\ con D = ([ 0 [)31 [ 0 , por el Teorema 7.4.2.2 con 2) Como E = D se tiene que e = D \ D0 = D 2 LD0 = ([ 0 [)31 [ 0 [([ 0 [)31 2 = 2 ([ 0 [)31 = Ejemplo 7.4.2.3 Volviendo al caso de la regresión lineal simple, se puede utilizar el Teorema 7.4.2.3 para demostrar que

b )= Y ( 0

2 q1 q P l=1

q P l=1

{2l

b > b Fry( 0 1) =

{2l q{2

q P l=1

2 { {2l q{2

Del Ejemplo 7.4.2.1 se tiene que 3 ([ 0 [)31 = q

q P l=1

1 {2l

q2 {2

E E C

q P

{2l

l=1 q P

l=1

{l

4 {l F l=1 F D q q P

por lo que sustituyendo q P

b0 ] = Y [

2

q

q P

l=1

l=1

{2l

q2 {2

¥

2 q

q P l=1

=

q P l=1

y b b > Fry( 0 1) =

2 q1

{2l

q P l=1

{2l q2 {2

l=1

{2l

{2l q{2

{l =

q P

q P l=1

2 { {2l q{2

=

Con el fin de obtener un estimador insesgado de la varianza 2 en el modelo de regresión lineal múltiple, se introduce el siguiente resultado.

7.4. REGRESIÓN LINEAL ANÁLISIS DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL Lema 7.4.2.1 La matriz de dimensión q × s

343 343

S = [([ 0 [)31 [ 0 cumple que

S = S0 = S2 L S = (L S 0 ) = (L S )2 Demostración: S 0 = [[([ 0 [)31 ]0 [ 0 = [[([ 0 [)0 ]31 [ 0 ya que por ser [ 0 ([ 31 )0 = ([ 31 [)0 = L 0 = L es ([ 31 )0 = ([ 0 )31 por lo que S 0 = [([ 0 [)31 [ 0 = S= Además S 2 = [([ 0 [)31 [ 0 [([ 0 [)31 [ 0 = [([ 0 [)31 [ 0 = S= De manera análoga se procede con L S= ¥ Utilizando la matriz S , se puede calcular la suma de los cuadrados de los residuos y demostrar que ·q ¸ P H (\l \bl )2 = 2 (q s)= (7.4.2.5) l=1

En efecto, q P

° °2 ° °2 ° °2 ° ° ° b° (\l \bl )2 = °\ \b ° = °\ [ ° = °\ [([ 0 [)31 [ 0 \ °

l=1

= k\ S \ k2 = k(L S )\ k2 = \ 0 (L S )0 (L S )\ = \ 0 (L S )\ y, mediante la aplicación del Teorema 7.4.2.1, ·q ¸ ¤ £ P 2 b H (\l \l ) = H \ 0 (L S )\ l=1

= wud}d [(L S ) \ ] + (H[\ ])0 (L S )H[\ ] y por ser H[\ ] = [ y \ = 2 L ·q ¸ ¤ £ P 2 b (\l \l ) = wud}d 2 (L S )L + 0 [ 0 (L S )[ H l=1

= 2 wud}d(L S ) + 0 [ 0 ([ S [) = 2 (q wud}d S ) ya que 0 [ 0 ([ [([ 0 [)31 [ 0 [) = 0 [ 0 ([ [) = 0= Por último, dado que wud}d(DE) = wud}d(ED) se tiene que wud}d S = wud}d[[ 0 [([ 0 [)31 ] = qwud}d L, donde L tiene dimensión s×s, ,con conlo lo que que se obtiene la Expresión (7.4.2.5). La suma de los cuadrados de los residuos 2 dividida por q s es un estimador insesgado de 2 . H[VFU ((q / s)] = = ¥ Una propiedad de óptimo que tienen los HP F es el contenido del siguiente resultado.

344 344


Teorema 7.4.2.4 (Gauss-Markov) b = ([ 0 [)31 [ 0 \ tienen varianza mínima, en la clase b l de Los estimadores de los estimadores centrados que son funciones lineales de las observaciones \l l = 1> ===> q= b = E\ con E = ([ 0 [)31 [ 0 . Si W (\ ) = Demostración: Se tiene que T\ con T de dimensión s × q, es un estimador cualquiera que sea función lineal de las observaciones, y centrado para , ha de cumplir H[W (\ )] = TH[\ ] = T[ = con lo que ha de ser T[ = L, con L de dimensión s × s. Por el Teorema 7.4.2.2 W = T \ T0 = 2 TT0 tomando D = T E se tiene que L = T[ = (D + E)[ = D[ + ([ 0 [)31 [ 0 [ = D[ + L luego D[ = O (matriz de ceros de dimensión s × s). Por otro lado, dado que T = D + E, W = 2 (D + E)(D + E)0 = 2 (DD0 + DE 0 + ED0 + EE 0 ) pero EE 0 = ([ 0 [)31 [ 0 [([ 0 [)31 = ([ 0 [)31 DE 0 = D[([ 0 [)31 = O 0 ED0 = ([ 0 [)31 [ 0 D0 = ([ 0 [)31 (D[)0 )0O luego

W = 2 (DD0 + ([ 0 [)31 )=

Los elementos de la diagonal principal de DD0 son la suma de los cuadrados de las filas de la matriz D y son siempre no negativos; se tiene que la varianza de los elementos del vector W (\ ) cumplirá b ] l = 1> ===> s= Y [Wl ] Y [ l ¥

Una vez que se sabe estimar 2 mediante la Expresión (7.4.2.5), para hacer inferencias respecto de es preciso hacer alguna hipótesis acerca de la distribución de los errores hl . Si se supone que hl Q (0> ) l = 1> ===> q b = ([ 0 [)31 [ 0 \ , se tiene que \ Q ([> 2 L), e independientes, como 2 b Q (> ([ 0 [)31 ). Por lo tanto b Q ( > sfll ), siendo de donde l l

7.4. REGRESIÓN LINEAL ANÁLISIS DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL F = ([ 0 [)31 . Al ser desconocida se estima por v = demostrar que VFU

"2q3s ,

q

345 345 VFU q3s

y se puede

con lo que bl l Wq3s s v fll

(7.4.2.6)

Esto permite realizar contrastes respecto a valores de l , del tipo K0 : l = l0 conocido. Ejemplo 7.4.2.4 En un estudio sobre el hacinamiento en una gran ciudad, se estudian 10 manzanas de casas escogidas al azar y se obtienen los siguientes datos Manzana Habitaciones Personas

1 60 115

2 52 80

3 58 82

4 56 93

5 62 105

6 51 109

7 72 130

8 48 93

9 71 109

10 58 95

se pretende estimar el número de personas | en función del número de habitaciones { y de su cuadrado, mediante una función del tipo | = 0 + 1 { + 2 {2 b0 = 2630 733, b1 = 60 685 y b2 = 00 065= obteniéndose Para realizar el contraste K0 : 2 = 0 se emplea la Expresión (7.4.2.6) b @vsf33 Wq3s con q s = 8 grados de libertad. con lo que 2 Si con el fin de realizar los cálculos se obtienen las filas x2l : |bl :

3600 5041 96’633 116’763

2704 3364 91’873 94’663

3364

3136

3844

2601

5184

2304

94’663

93’213

99’123

91’363

119’373

92’613

lo que permite calcular v2 =

(|l |bl )2 11400 387 VFU = = = 1420 548= qs qs 8

Se puede verificar que 4 10 588 1011 [ 0 [ = C 588 35142 60166 D 1011 60166 104359 3

con lo que 4 00 076321 00 021524 60 76376 = C 00 076321 00 0030612 00 0010255 D 00 021524 00 0010255 00 00080932 3

F = ([ 0 [)31


346 346

de donde resulta que f33 = 00 00080932= La región crítica viene dada por ¯ ; ¯¯ < b ¯¯ ? ¯ @ 2 2 UF = n s = v f33 > Para la determinación de n, se tiene en cuenta que S {UF| 2 = 0} = S {|W8 | n} = b @vsf33 = 00 065@110 939 · si se escoge = 00 05 se obtiene n = 20 306. Como 2 00 028 = 00 194, se obtiene, que los datos son compatibles con 2 = 0= ¥ Dado un modelo de regresión múltiple, también es interesante hacer predicciones para valores conocidos de la variable predictora { = {0 . Como el modelo supuesto es de la forma (7.4.2.7)

|({0 ) = 0 + 1 {01 + === + s31 {0>s31 + h

b que es centrado y que tendrá como el estimador obvio es |b({0 ) = {00 > varianza Y [b |({0 )] = {00 e {r = 2 {00 ([ 0 [)31 {0 que, a su vez puede ser estimada sustituyendo v2 por 2 , mediante la Expresión (7.4.2.5), con lo que la suposición de normalidad sobre los errores, o el teorema central del límite, permiten determinar un intervalo de grado de confianza para |({0 ), mediante q q b wq3s;@2 Yb [b b + wq3s;@2 Yb [b |({0 )]> {00 | ({0 )]) ({00 (7.4.2.8) Ejemplo 7.4.2.5 Para los datos sobre el hacinamiento en una gran ciudad del Ejemplo 7.4.2.4 y supuesto el modelo | = 0 + 1 { + 2 {2 el intervalo de grado de confianza 00 95, para el número de personas que corresponderían a 65 habitaciones, viene dado, de acuerdo con la expresión (7.4.2.8), por q b ± wq3s;@2 Yb [b |({0 )] {0 0

con

{00

= (1> 65> 4225)

b {00

= 1030 833

w8;00 025 = 20 306

Yb [b |({0 )] = v2 {00 ({0 {)31 {0 = 1420 54 · 137110 476 = 19544330 731


347 347

con lo que se obtiene LF00 95 (b | (65)) = (31190 980> 33270 646)= ¥ Como se ha visto en el Ejemplo 7.4.2.4, existe la posibilidad de variar el número de variables explicativas a incluir en el ajuste. En el caso lineal, el mayor o menor ajuste venía caracterizado por lo próximo al valor uno del cuadrado del coeficiente de correlación lineal u2 , siendo e{| e{ e|

u=

(véanse las Expresiones (7.4.1.4) y (7.4.1.5)). En el caso de la regresión múltiple, esta última expresión no es generalizable pero sí lo es la (7.4.1.4), por lo que a partir de ésta se define el coeficiente de determinación o cuadrado del coeficiente de correlación múltiple mediante el valor U2 tal que q P

(|l |bl )2 = qe2| (1 U2 )

l=1

esto es U2 = 1

1 q

q P

(|l |bl )2

l=1

e2|

Para su cálculo se emplea

(7.4.2.9)

U2

1 q

= =

q P

1 (|l 3|)2 3 q

l=1

1 q

q P

q P

(|l 3e |l )2

l=1

(|l 3|)2

l=1

1 e| 3 q VFU e|

y se verifica que 0 U2 1. Valores próximos a uno significan un mejor ajuste o lo que es lo mismo hay un mayor porcentaje de e| , explicado por el mejor ajuste en el sentido de los mínimos cuadrados. Ejemplo 7.4.2.6 Se pretende determinar la relación lineal existente, entre la producción en un cierto área y el esfuerzo en trabajo y capital. Se dispone de los datos de un periodo de tiempo contenidos en la Tabla 7.4.2.1. Las colecciones de puntos relacionando (Trabajo, Producción) y (Capital, Producción) se muestran en la Figura 7.4.2.1, y ponen de manifiesto la conveniencia de un ajuste lineal.

348 348


Año Trabajo Capital Producción 1990 7’60 7’45 8’90 1991 7’66 7’26 8’32 1992 7’18 6’30 7’50 1993 7’30 6’55 8’00 1994 7’20 6’74 7’70 1995 7’12 6’50 7’62 1996 7’25 7’39 8’23 1997 7’45 7’42 8’50 1999 7’38 7’07 8’20 2000 7’45 7’12 8’72 Tabla 7.4.2.1. Datos correspondientes al Ejemplo 7.4.2.6. La colección de datos es muy pequeña por lo que las conclusiones sólo son válidas a nivel pedagógico.

Figura 7.4.2.1. Colecciones de puntos correspondientes a (trabajo, producción) y (capital, producción) del Ejemplo 7.4.2.6. Ejemplo 7.4.2.7 Si se considera primero, la predicción de la producción por el trabajo y la predicción de la producción por el capital, se obtiene

b 0 b 1 u VFU U2

Trabajo -7’55 2’137 0’827 0’623 0’684

Capital 1’55 0’948 0’860 0’512 0’740

Se consigue un mejor ajuste lineal de la producción en función del capital, pues con él se explica el 74 % de la varianza e2| = 00 197, que en función del

7.4 APROX. BAYESIANA ANÁLISIS DE LA LINEAL VARIANZA. ANÁLISIS DE DEL LA VARIANZA Y REGRESIÓN

349 349

trabajo, que explica sólo el 680 4 % de la misma. Si se recurre a explicar la producción en función del trabajo y el capital conjuntamente, se obtiene surgxffl´ rq = 40 128 + 10 096 wudedmr + 00 606 fdslwdo el coeficiente de determinación U2 calculado mediante la Expresión (7.4.2.9) es ahora de 00 774> ligeramente superior, al obtenido con cada una de las variables por separado, ya que con las dos variables se explica el 770 4 % de la varianza muestral.

7.5.

APROXIMACIÓN BAYESIANA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA

Para llevar a cabo el análisis bayesiano del modelo lineal estudiado en el Teorema 7.4.2.3, de la forma (7.5.1)

\ = q×1

[ + h q×s s×1 q×1

hay que definir una distribución de probabilidad inicial (> 2 ) sobre los parámetros ( 1 > ===> s > 2 ) y calcular la distribución de probabilidad final mediante la densidad (7.5.2)

(> 2 )i (||> 2 ) 2 2 2 2 (> )i (||> )g g

(> 2 ||) = R R

Para obtener expresiones análogas a las del Teorema 7.4.2.3 citado, se va a utilizar como distribución inicial (7.5.3)

(> 2 ) =

1 con 2 A 0 2

y bajo la suposición de que los errores tienen h Q (0> 2 L) distribución normal será

(7.5.4)

i (||> 2 ) =

μ

1

s 22

¶q

3

h

1 2 2

q P

(|l 3

l=1

s P

l=1

{lm m )2

Se hace notar que la Expresión (7.5.3) no es una función de densidad, ya que la integral sobre todo el espacio paramétrico es infinita, sin embargo la utilización de esta función como densidad inicial, impropia por tanto, permite obtener los resultados clásicos en el contexto bayesiano, como se verá a continuación.


350 350

Si se denota, en uniformidad con la Expresión (7.4.2.1), la suma de cuadrados por (7.5.5)

VF() = =

q P

s P

{lm m )2 = (| [)0 (| [)

l=1 m=1 | 0 | + 2 0 [ 0 |

y se hace se tiene

(|l

+ 0 [ 0 [

b = [ 0\ [ 0[ b = ([ 0 [)31 [ 0 |

b = 0[ 0| 0[ 0[

Entonces (7.5.5) toma la forma 0 $ b + |0 | b b 0 [ 0 [( ) b [ 0[ VF( ) = ( )

Si se emplea la notación $ b 0 [ 0 [( ) b VFW ( ) = ( ) 0 $ b [ 0[ b VFU ( ) = |0 | la función de verosimilitud en (7.5.4) puede escribirse como (7.5.6)

1 $ i ( | |> 2 ) = (2 2 )3q@2 h3 22 {VFW ()+VFU ()}

La expresión VFU () es la suma de cuadrados de los errores, ya que b0 [ 0 [ b (| |b)0 (| |b) = |0 | sin más que operar y utilizar el Lema 7.4.2.1, con lo que (L S )0 (L S ) = L S> y

b [ 0 \ = [ 0 [ =

Recordando que el estimador de 2 era VFU @(qs) (véase la Expresión (7.4.2.5)) se tiene que la función de verosimilitud se expresa como (7.5.7)

1 2 $ $ i ( | | > 2 ) = (22 )3q@2 h3 22 {VFW ()+(q3s)v }

donde 1 1 VFU = (| |b)0 (| |b) qs qs q 1 P = (|l |bl )= q s l=1

v2 =


351 351

El cálculo de la distribución final de los parámetros se reduce a (7.5.8) 1 2 $ 2 32 (2 2 )3q@2 h3 22 {VFW ()+(q3s)v } $ ( > | | ) = R R 1 2 $ +" 32 < 3 (2 2 )3q@2 h3 22 {VFW ()+(q3s)v } g 2 g 0 Para hacer inferencias acerca de los parámetros o 2 se necesita calcular la distribución marginal correspondiente. Para se tiene $$ |) ( |

=

(7.5.9)

=

R +" 0

(> 2 ||)g 2

q 3 1 {VFW ()+(q3s)v2 } 32 (2 )3( 2 +1) h 22 g2 0 U U +" q +1) 3 1 {VFW ()+(q3s)v2 } 32 3 ( (2 ) 2 g 2 g h 22 0

U +"

pero por propiedades de la función gamma Z +" 31 {3(n+1) h3d{ g{ = d3n (n) (7.5.10) 0

para n = que

q 2

y d = 12 {VFW () + (q s)V 2 }, (véase el Ejercicio 7.17) se sigue

(||) = R

£ ¤3q@2 VFW () + (q s)v2

[VFW () + (q s)v2 ]3q@2 g h i VFW () 3q@2 1 + (q3s)v 2 =R h i VFW () 3q@2 g 1 + (q3s)v2

b 0 [ 0 [( ), b el denominador es, por propiedades y como VFW () = ( ) b v2 ([ 0 [)31 ), igual de la distribución W de Student s dimensional W (q s> > a ¡ ¢ ¡ ¢ s ( q s)3s s 12 q3s 2 ¡q¢ 2 |[ 0 [|1@2 v3s (véase el Apéndice sobre distribuciones), con lo que (7.5.11) " #3q@2 ¡ ¢ b 0 [ 0 [( ) b q2 $ v3s |[ 0 [|1@2 ( ) $ ( | | ) = s ¡ 1 ¢ ¡ q3s ¢ s 1+ (q s)v2 ( q s)s 2 2 $ la distribución final de es una distribución de Student p-multivariante b v2 ([ 0 [)31 ) || W (q s> > Pueden hacerse inferencias sobre mediante la distribución dada por (7.5.11), sin embargo se puede demostrar que si sigue una distribución


352 352

b v2 ([ 0 [)31 ) (véase W de Student s dimensional de parámetros (q s> > la distribución en el Apéndice), entonces el siguiente cociente se distribuye según una I de Snedecor b 0 [ 0 [( ) b ( ) Is>q3s sv2

(7.5.12)

(la demostración puede verse en Box y Tiao (1973), pág. 117). Es importante señalar la identidad formal de este resultado con el análisis de la varianza clásica, tal y como ha sido recogido, por ejemplo, en el enunciado del Teorema 7.2.1, ya que permite dar una interpretación diferente de la tabla ADEVA recogida en la Tabla 7.2.2. En efecto, el primer VFW @s , es decir miembro de (7.5.12) puede verse alternativamente como VF U @q3s se puede considerar, desde el punto de vista clásico, como el cociente de dos distribuciones independientes "2 divididas por sus grados de libertad respectivos; por lo tanto su distribución es una Is>q3s = La novedad radica en la diferente interpretación de lo que se considera v.a., así en (7.5.12) las v.a. son las coordenadas del parámeto mientras que en la aproximación b y v2 = clásica las v.a. son Si se está interesado en realizar contrastes respecto a un subconjunto de elementos del vector , se puede utilizar que la distribución de Student s dimensional cumple, que un subconjunto de elementos de dimensión o, con o s , ,tiene tieneuna unadistribución distribuciónWW de deStudent Student oo dimensional dimensional (véase (véase la $ b > v2 F11 ) distribución en el Apéndice). Por lo tanto 1 > ===> o | | W (q s> 1 donde (7.5.13) ¡ ¢ ¡ ¢ b = e1 o = 1 o 2 s3o

[ 0[

μ

=

o [10 [1 [20 [1

e s3o 2

¶

s3o [10 [2 [20 [2

o so

([ 0 [)31

=

μ

o

s3o

F11 F12 F21 F22

¶

o so

Esto permite realizar contrastes de hipótesis bayesianos sobre subcojuntos de valores de . Antes de aplicar estas ideas a un ejemplo, se va a estimar el otro valor desconocido del modelo. Para hacer inferencias respecto de la varianza 2 , al igual que se hizo para , se calcula su distribución marginal mediante $ ( 2 | |) (7.5.14)

= =

R +"

R +"

$ 2 $ 3" ( > | | )g 1 ===g s 1 q < 3 +1) 3 2 {VFW ()+(q3s)v2 } 32 3 < 3 ( 2 ) ( 2 g h

3" U

===

< 2 32 3 3 q +1) 3 1 < 3 ( 2 ) ( 2 h 2 {VFW ()+(q3s)v } g g 2 q < 3 1 (q3s)v2 U 3 1 VFW () 3 < 3 h 2 2 (2 )3( 2 +1) h 22 g U" q < 3 1 (q3s)v2 U 3 1 VFW () 3 2 3( 2 +1) h 2 2 < 3 h 2 2 g g2 0 ( )

U"U 0

=

Por propiedades de la distribución normal multivariante, (véase el Apéndice


353 353

con las distribuciones) se obtiene que Z Z $ $ e 0 [ 0 [ (3) e 3 12 VFW () 3 12 (3) 2 2 2 h g = h g < 3 < 3

³s ´s ¯¯ [ 0 [ ¯¯3 12 ³s ´s ¯ ¯3 1 = 2 ¯¯ 2 ¯¯ = 2 ¯[ 0 [ ¯ 2 ( 2 )s@2

luego ¢s 1 1 2 ¡s q 2 |[ 0 [|3 2 ( 2 )s@2 ( 2 )3( 2 +1) h3 22 (q3s)v $ ( | | ) = R 1 +" 2 3( q +1) 3 12 (q3s)v2 ¡s ¢s ( ) 2 2 |[ 0 [|3 2 ( 2 )s@2 g 2 h 2 0 1 q3s 2 ( 2 )3( 2 +1) h3 22 (q3s)v =R +" 2 3( q3s +1) 3 12 (q3s)v2 2 ( ) g 2 h 2 0 2

aplicando la Expresión (7.5.10) con n = (7.5.15)

q3s 2

yd=

(q3s)v2 , 2

se obtiene

¤ q3s (q3s)v2 £ q3s (q s)v2 2 h3 22 ( ||) = ( 2 )3( 2 +1) ¡ q3s ¢ q3s 2 2 2 2

que es la densidad de la distribución Gamma-Inversa de parámetros d = (q3s)v2 y q3s (véase la distribución en el Apéndice). 2 2 Otra vez se ha obtenido una identidad formal de este resultado con el análisis de la varianza clásico. En el Teorema 7.2.1, se obtuvo que VFU @ 2 "2q3n , donde las v.a. eran las observaciones {lm y por lo tanto VFU , actuando 2 como parámetro. Aquí, desde el punto de vista bayesiano, si la distribución inicial es ( 1 > ===> n > 2 ) = 32 , la distribución final de VFU @ 2 es una "2q3n donde la v.a. es 2 ; o bien, la distribución final de 2 es la Gamma-Inversa de parámetros d = VFU y s = q n . Los resultados de esta sección pueden resumirse en el siguiente enunciado. Teorema 7.5.1 Para el modelo lineal |l =

s P m=1

{lm m + hl

l = 1> ===> q

con hl Q (0> ) e independientes, si la distribución inicial viene dada por ( 1 > ===> s > 2 ) =

1 , 2

2 A 0

entonces la distribución final $ b v2 ([ 0 [)31 ) 1 > ===> s | | Ws (q s> >


354 354

$ | además condicionado a b b b 0 [ 0 [( )@u b 0 [ 0 [( ) ( ) ( ) Iu>q3u = 2 0 sv (| |b) (| |b)@q u b \b = [ >

b = ([ 0 [)31 [ 0 \>

v2 =

1 VFU = (\ \b )0 (\ \b )= qs qs

La distribución final de 2 es la Gamma-Inversa 2 || JL(v2 > q s)= ¥ El análisis bayesiano del modelo lineal, con la distribución inicial que se ha empleado, reproduce el modelo clásico aunque, como se ha dicho, en el modelo clásico las v.a. son las observaciones |l mientras que en el modelo $ bayesiano se actúa condicionado por las observaciones |l y las v.a. son y 2 . Un desarrollo más general, con otras distribuciones iniciales, puede verse en Press (1989), pág. 139. Ejemplo 7.5.1 Para los datos de la preparación de una sustancia química contenidos en la Tabla 7.2.1 el modelo es | = [ + h donde 3 0

| = (63> ===> 37)

3 E E ([ 0 [)31 = E E C

E E [[=E E C 0

entonces

0 6 0 0 0

0 0 6 0 0

1@6 0 0 0 0 0 1@6 0 0 0 0 0 1@6 0 0 0 0 0 1@6 0 0 0 0 0 1@6 v2 =

por lo tanto, si

6 0 0 0 0

0 0 0 6 0

0 0 0 0 6

4

3

F F F F D

E E [|=E E C 0

306 157 165 281 198

4 F F F F D

4

3

F F F F D

E E b = ([ 0 [)31 [ 0 | = E E C

1 46270 1667 (| |b)0 (| |b) = 30 5 25 ( 1 > ===> 5 > 2 ) = 32

$ b 300 84778L> 25) 1 > ===> 5 | | W (5> >

siendo L la matriz identidad de dimensión 5 × 5.

51 260 1667 270 5 460 8333 33

4 F F F F D

7.6. APROXIMACIÓN ANÁLISIS HISTÓRICA DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL

7.6.

355 355


Las primeras ideas relacionadas con el análisis de la varianza, subdiviendo una suma de cuadrados en dos componentes, pueden remontarse a Gauss (1777-1855) y Laplace (1749-1827) cuando introducen el método de los mínimos cuadrados. No obstante, su estudio sistemático y la utilización de la ortogonalización, se deben al genio de Fisher alrededor de 1923. La paternidad de la correlación ha dado lugar a un interesante debate. Se ha dicho que Gauss puede introducirla relacionada con su estudio de la distribución normal. Karl Pearson en 1895, considera a Augusto Brevais (1811-1863) como el precursor por unos comentarios que dirige al trabajo de Gauss, no obstante parece más ajustado señalar a Francis Galton como su auténtico originador en 1877, cuando recalca la necesidad de introducir una medida de la relación existente entre variables bidimensionales. A él se debe la acuñación del término reversión como la tendencia de un tipo filial medio a desviarse del tipo de los padres para volver al cabo de alguna generación a regresar al tipo medio ideal. Así, es Galton quién expresa la necesidad de construir un coeficiente de reversión que indique la reducción de la variabilidad, el término reversión se transformará en regresión en un trabajo posterior, de 1889. En 1896 Karl Pearson retomará los conceptos de Galton, para darles la formulación con la que son conocidos actualmente. Francis Galton (1822-1911) nace cerca de Birmingham, en una familia de banqueros y armadores y es primo de Charles Darwin, estudia matemáticas en Cambridge y medicina en Londres. A los 72 años muere su padre dejándole una gran fortuna, lo que le permite viajar y completar su formación, sus descubrimientos geográficos le valieron la medalla de oro de la Geographical Society. Ha sido considerado el último científico de la era victoriana, con un saber erudito en diferentes campos, como psicología, antropología, sociología, educación y huellas dactilares. A él se debe el término anticiclón y el término Eugenesia, para la ciencia que tiene por objeto la mejora de las especies. Con su interés por el estudio intrínseco de las cantidades, contribuyó al desarrollo de los métodos estadísticos y su aplicación a otros campos de las ciencias aplicadas. Fundó la revista Biometrika para acoger publicaciones relacionadas con la medida de magnitudes relacionadas con la Biología y dotó la cátedra Galton, que sería ocupada por Karl Pearson. Como estadístico Galton toma el relevo de Quetelet, sin embargo rompe con él en el sentido de que no trabaja con el hombre medio y prefiere realizar las comparaciones mediante diagramas de puntos. Encuentra que las desviaciones de los individuos, siguen una curva para cada una de las especies y cada propiedad, lo que le permite dar una característica de cada especie, así como detectar si un individuo pertenece o no a la especie en estudio. En 1875 considera el aspecto de un fruto como debido a una combinación de efectos como cantidad de sol, terreno donde fué sembrado, riego, etc y observa que el aspecto del fruto se desvia de un ideal de acuerdo con la dis-

356 356


tribución normal. A continuación clasifica los frutos en distintas categorías del tipo: los que recibieron mucho sol, los que recibieron una cantidad media y los que recibieron poco sol, para observar que cada uno de éstos también se desvía de un ideal medio con arrego a una normal. Se plantea la pregunta de cómo de subpoblaciones normales se llega a una población normal y anticipa así la idea de la reproductividad de la distribución normal. Los trabajos de Galton fueron continuados por Karl Pearson y por sus colaboradores entre los que cabe citar a Edgeworth (1845-1926) y Yule (18711951), lo que ha dado lugar a la introducción de otras medidas de dependencia más generales, que serán estudiadas en el capítulo siguiente.

7.7.

EJERCICIOS

7.7.1 Para determinar la calidad de una alimentación, quince ratas fueron alimentadas asignándolas al azar a una de tres dietas con distintos niveles de proteínas, obteniéndose las siguientes ganancias en peso: nivel de proteínas en la dieta bajo bajo medio alto 3’91 8’56 22’35 3’85 8’87 23’31 3’25 9’20 32’82 2’60 9’42 24’15 3’70 10’40 20’29 mediante un análisis de la varianza, contrástese si la ganancia media en peso es significativamente distinta con los distintos niveles de proteínas. A continuación contrástese si la ganancia media en peso es mayor con el nivel de proteínas alto que con el nivel medio y con éste mayor que con el nivel bajo. 7.7.2 Cuatro atletas de triple salto saltan las siguientes distancias, en metros, en diferentes reuniones de atletismo. ¿Puede suponerse que los cuatro saltan la misma distancia? atletas 1 2 3 4 8,25 7,31 7 6’69 6’97 8,26 7,25 7’32 7’65 6’50 8 7’86 9’42 10’40

7.7. EJERCICIOS ANÁLISIS DE LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL

357 357

7.7.3 La siguiente tabla recoge el rendimiento, en unidades convenientes, de 48 parcelas en las que se han experimentado 3 tipos de abonos y 4 tratamientos distintos, asignando las combinaciones al azar. Realícese un análisis de la varianza de dos factores, para ver si existen diferencias entre los tipos de abonos, entre los distintos tratamientos y si existe interacción entre abonos y tratamientos. tipos de abonos 1 2 3

tratamientos 2 3 10’1 12’9 6’5 6’7 10’7 9’1 8’5 9’8 11’1 8 6’6 5’7 6’8 14’3 5’3 6’2 4’9 5’6 4’5 4’7 5’7 4’8 4’6 4’4

1 5’2 6’7 5’7 6’1 4’3 3’9

6’6 6’4 5 4’4 4’2 4’4

4 6’5 8’6 7’6 9’1 5 5’1

9’1 8’2 12’2 5’8 5’6 5’3

7.7.4 Verifíquese que, en el análisis de la varianza con un sólo factor, si el número de muestras es 2, la expresión dada por (7.2.4) b2s =

n 1 P (ql 1)v2l q n l=1

se reduce a la varianza muestral ponderada, utilizada en la comparación de las medias para dos distribuciones normales recogida en la Expresión (5.2.2.4) Vs2 =

(p 1)V12 + (q 1)V22 p+q2

7.7.5 Compruébese que en un análisis de la varianza con un solo factor y dos muestras, el estadístico I coincide con W 2 , donde W es el estadístico de Student que aparece en el contraste de igualdad de medias con distribuciones normales de varianzas desconocidas pero iguales.

7.7.6 La siguiente tabla, recoge el ph de la placa dental a los 20, 30 y 50 minutos de haber comido azúcar en 8 voluntarios. Se sabe por otras consideraciones que el pH es no decreciente. ¿Puede asegurarse que el pH es constante en

358 358


los 3 instantes de tiempo mediante el análisis de la varianza?

sujetos 1 2 3 4 5 6 7 8

20’ 4’6 4’2 3’9 4’6 4’6 4’7 4’9 5’0

tiempo 30’ 50’ 4’4 4’1 4’7 4’7 5’0 5’7 5’2 5’6 5’1 5’7 5’3 5’3 5’6 5’9 6’0 5’9

7.7.7 Para estudiar la duración de los generadores solares de una determinada marca, se considera el número de horas que son utilizados por semana, que se supone a dos niveles, y el tamaño del colector, que se supone tiene tres niveles. Se realizan 3 observaciones por cada combinación del nivel de horas por semana con el nivel correspondiente al tamaño del colector. La tabla siguiente recoge los resultados, en miles de horas, del experimento hasta que el generador solar se estropea. horas por semana 1

2

tamaño del colector selector 1 2 3 3’4 7’6 6’1 5’1 12’4 2’1 4’2 8’9 7’5 2’9 5’6 8’1 4’8 11’2 12 10 9’5 5’9

Se pide: a) Realícese un análisis de la varianza para contrastar los efectos de la interacción. b) Represéntese en abcisas los niveles del factor tamaño del colector y en ordenadas los totales correspondientes a cada combinación de nivel de horas por semana y tamaño del colector, e interprétese gráficamente la interacción observada en la parte a). 7.7.8 Un especie de árbol ha sido plantada y el diámetro del tronco en 10 años sucesivos ha sido: año diámetro (cm.)

1 1’8

2 3

3 4’2

4 5’8

5 6’9

6 7’7

7 7’9

8 8’3

9 9’1

10 9’7


359 359

a) Represéntese gráficamente el diámetro en función del año y determínese la recta de regresión de | sobre {. b) Calcúlese la suma de cuadrados de los errores cometidos por la aproximación lineal. c) La recta de regresión para un estudio de una especie de árbol similar ha sido | = 00 8 + 00 8{. Contrástese si la recta de regresión obtenida es compatible con ésta. 7.7.9 La tabla siguiente, tomada de Rice (1995), recoge la presión en función de la temperatura a la que se produce una determinada reacción química: Temperatura (en grados) 20’9 21 22’1 22’5 25 34 34’1 42’7 49’9 50’1

Presión (en barios) 25.526 25.216 25.187 25.177 25.088 24.711 24.716 24.394 24.067 24.057

Se pide: a) Represéntese la colección de puntos (temperatura, presión) y ajústese una relación lineal de la presión en función de la temperatura. b) Contrástese si la pendiente de la recta de regresión es 0. c) Represéntense los residuos. 7.7.10 a) Demuéstrese que si para una regresión lineal se estima el valor b0 + b1 {0 la distribución de correspondiente a {0 por |b({0 ) = b { ( + {0 ) b + 0 0 1 r 1 h0 i 2 ({ 3{) v q1 1 + 0e2 {

donde v2 =

1 q32

q P

(\m \bm )2 y e2{ =

m=1

1 q

q P

({m {)2 , es una W de Student

m=1

con q 2 grados de libertad. b) Utilícese el apartado anterior, para determinar un intervalo de grado de confianza 1 para el valor |({0 ) = 0 + 1 {0 =

360 360


c) Dados los datos de la siguiente tabla, correspondientes a alturas en metros de 8 individuos: A los 2 años A los 14 años

0’76 1’63

0’77 1’60

0’81 1’61

0’86 1’70

0’87 1’72

0’9 1’73

0’91 1’78

0’99 1’80

¿Cuál es el intervalo de grado de confianza 00 95, para la altura a los 14 años de un individuo que a los 2 años medía 0’95 metros? 7.7.11 En un estudio para relacionar la proporción de unidades defectuosas y la producción realizada, se dispone de los siguientes datos: Producción en unidades por meses Proporción de unidades defectuosas 4000 8’1

4500 10

5000 10’2

5500 10’3

1000 5

1500 5’2

2000 5’7

2500 6’5

6000 13

6500 15’3

7000 20

7500 25

3000 6’8

3500 7’1

Un analista sugiere utilizar un modelo exponencial de la forma | = de{ mientras que otro sugiere emplear un polinomio de segundo grado. Determínese qué modelo ofrece mejor ajuste. Utilícense las unidades producidas por mes como variable no aleatoria. 7.7.12 En un estudio para relacionar los gastos realizados en alojamiento con los gastos hechos en actividades de esparcimiento, se dispone de los datos en tanto por ciento correspondientes a 15 casas tomadas al azar: Gastos en alojamiento Gastos en esparcimiento 18 18

12 20’3 19 16

13 20

13’5 20’5

14 19’5

21 15’5

22’5 15’2

24 15

14’5 18’5

15 18

16’5 17’5

17 17

25 15

a) Se sugiere utilizar un modelo de la forma | =d+

e {

donde { es el tanto por ciento de gastos en alojamiento. b) ¿Sería mejor utilizar un ajuste lineal? 7.7.13 a) Para los datos del Ejercicio 7.7.11, ajústese un modelo potencial de la forma | = d{e b) ¿Es mejor el modelo potencial o el modelo exponencial?

17’5 16


361 361

7.7.14 Para estudiar la relación de las pérdidas de cosechas con la lluvia, el periodo de tiempo lloviendo y la temperatura, en una determinada área, se dispone de los siguientes datos: Lluvia 4’3 4’5 4’3 6’1 5’6 5’6 4’1 5’5 5’0 5’6 5’2 4’8 3’8 3’4 3’6 3’9 5’1 5’9 4’6 4’8 4’9 5’1 5’4 6’5 6’8 6’2

Periodo 59 61 74 60 78 85 65 76 83 71 77 84 63 65 77 71 75 77 70 77 75 69 81 80 87 87

Temperatura 70 71 72 66 65 64 63 64 66 66 66 69 77 76 75 73 71 70 68 66 66 65 63 62 60 60

Pérdidas 12’3 12’5 15’0 13’1 18’7 17’9 13’5 18’1 16’3 14’0 14’0 19’5 12’7 14’5 16’1 15’0 15’5 17’3 15’9 14’6 16’5 14’5 18’0 18’5 19’0 19’5

a) Represéntense las colecciones de puntos correspondientes a los pares (periodo, pérdidas), (temperatura, pérdidas) y (lluvia, pérdidas). b) Ajústense linealmente las pérdidas en función de las variables lluvia, periodo y temperatura. c) Ajústense linealmente las pérdidas en función de la lluvia y la temperatura. 7.7.15 Demuéstrese que si [ es un vector aleatorio de q filas y una columna con esperanza H[[] = 1 y matriz de covarianzas [ = 2 L , entonces la v.a. [ está incorrelada con cada una de las diferencias [l [, l = 1> ===> q=

362 362


7.7.16 Véase, que el modelo del análisis de la varianza con un sólo factor |lm = l + %lm

l = 1> ===> n

m = 1> ===> ql

en el que se contrasta K0 : 1 = === = n , puede expresarse matricialmente en la forma \ = [ + % n P ql , es un vector columna de n elementos con [ matriz q×n, donde q = l=1

y K0 : K = 0 para alguna matriz K de dimensión (n 1) × n= 7.7.17 Compruébese que para d A 0 y n A 0 se tiene Z +" 31 {3(n+1) h3d{ g{ = d3n (n). 0

7.7.18 Box y Tiao (1973), pág. 126, recogen un experimento para determinar los pesos ( 1 > 2 ) de dos objetos extremadamente pequeños D y E, a partir de 18 pesadas en microgramos (1 microgramo=1033 gramos) realizadas de la forma siguiente: únicamente A 109,85

únicamente B 114,121,140,122,189 129,98,134,133

ambos A y B 217,203,243,229, 233,221,221

si se supone válido el modelo |lm = l + %lm

l = 1> 2 m = 1> ===> ql

donde los errores %lm tienen distribución Q (0> ) con desconocida y son independientes. Se pide: $ | )= a) Determínese la distribución final ( 1 > 2 | b) Contrástese K0 : 1 = 100> 2 = 125 frente a K2 : el complementario de K0 = 7.7.19 Para los datos de la Tabla 7.2.1, que se reproduce a continuación 1 63 48 57 54 41 43

Métodos 2 3 4 27 10 28 41 30 45 23 24 44 31 37 31 2 40 29 33 24 44

5 47 28 30 35 21 37

7.8. SOLUCIÓNANÁLISIS A LOSDE EJERCICIOS LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL

363 363

y supuesto válido el modelo normal con |lm = l + %lm

l = 1> ===> 5 m = 1> ===> 6

donde los errores %lm Q (0> ) con desconocida e independientes. Se pide: $ | )= a) Determínese la distribución final ( 1 > ===> 5 | b) Contrástese K0 : 2 = 30> 5 = 30 frente a K1 : 2 6= 30> 5 6= 30=

7.8.


7.8.1 El modelo es {lm = l + %lm

l = 1> 2> 3

m = 1> ===> 5

y se trata de constrastar K0 : 1 = 2 = 3 frente a su complementario. El test tiene de región crítica ½ ¾ VFH @n 1 UF = in31>q3n; VFG (q n con VFH = 3 P 5 P

3 P l=1

ql ({l· {·· )2

suma de cuadrados entre grupos y VFG =

({lm {l· )2 suma de cuadrados dentro de los grupos o residual (véase

l=1 m=1

la Expresión (7.2.9)), poniendo n 1 = 2> q n = 12 y con = 00 05 ½ ¾ VFH @2 0 UF = 3 89 VFG @12 0

87@2 0 como el valor del estadístico es 1165 800 56@12 = 86 83 se rechaza la hipótesis nula, con lo que la ganancia en peso media es significativamente distinta a los distintos niveles de proteinas. Para contrastar si es K0 : 3 A 2 A 1 , se puede recurrir a contrastar simultáneamente las hipótesis K0 : 1 2 = 0 frente a K1 : 1 2 ? 0 y K00 : 2 3 frente a K10 : 2 3 ? 0. Es decir, el primer contraste es con 1 = 00 05@2 = 00 025 d1 = (1> 1> 0) y el segundo con 1 = 00 025, d2 = (0> 1> 1). Para el primero la región crítica viene dada por

r ½ ¾ 1 1 + wq3n;1 UF1 = {1· {2· bs q1 q2 (véase la Expresión (7.2.10)). Mientras que para el segundo r ½ ¾ 1 1 UF2 = {2· {3· + wq3n;2 bs q2 q3

364 364


como {1· = 30 46, {2· = 90 29, {3· = 240 38> q1 = q2 = q3 = 5, 1 = 2 = 00 025> w12;00 025 = 230 3 y b2s = 60 97 se sigue que UF1 = {{1· {2· 380 92} y como {1· {2· = 40 83 es 1 2 ? 0. De manera análoga UF2 = {{2· {3· 380 92} y como {2· {3· = 150 09 1 ? 2 ? 3 =

es 2 3 ? 0; con lo que efectivamente es

7.8.2 Se supone que la distancia a la que salta cada uno, {lm , sigue el modelo {lm = l + %lm

l = 1> ===> 4

m = 1> ===> ql

con q1 = 4, q2 = 5, q3 = 3 y q4 = 2. Se pretende contrastar K0 : 1 = 2 = 3 = 4

frente a K1 : al menos dos son diferentes.

La región crítica viene dada por ½ ¾ VFH @n 1 UF = in31>q3n; VFG @q n (véase (7.2.9)), sustituyendo VFH = 20 7519, VFG = 80 1879, n 1 = 3, q n 1 = 10> = 00 05 y i3>10;00 05 = 30 71 queda ¾ ½ VFH @n 1 0 3 71 UF = VFG @q n como el valor del estadístico es 10 12 se acepta K0 ; los 4 atletas saltan lo mismo. 7.8.3 El modelo es de la forma {lmn = + l + m + lm + %lmn

l = 1> ===> 3

m = 1> ===> 4 n = 1> ===> 4

donde es el valor medio, l representa el efecto debido al tipo de abono, m el efecto debido a cada tratamiento, lm el efecto debido conjuntamente a abono y tratamiento y %lmn el error aleatorio de cada observación. Los diagramas de caja correspondientes a las variables abono y rendimiento, así como tratamiento y rendimiento, vienen recogidos en la Figura 7.8.1, donde se observan diferencias en el rendimiento en función de los distintos tipos de abono y menos marcadas en el caso del rendimiento en función de los tratamientos.


365 365

Las estimaciones de los parámetros del modelo son: {··· = 70 84 b3 = 60 125

b 1 = 80 225 b4 = 70 342

b21 = 40 3 b31 = 40 2

b 2 = 70 494 b11 = 60 225

b22 = 100 05 b32 = 50 25

b 3 = 40 812 b12 = 100 7

b23 = 50 95 b33 = 40 55

b1 = 50 242 b13 = 70 875

b2 = 80 667 b14 = 80 1

b24 = 80 675 b34 = 50 25=

La tabla ADEVA es de la forma Fuentes de variación abono tratamiento interacción error total

Suma de cuadrados 1003’3012 79’8506 25’0137 80’0725 288’2381

Grados de libertad 2 3 6 36 47

Estadísticos I 23’222 11’967 1’874

Para contrastar la hipótesis de que los tres tipos de abono producen el mismo efecto, es decir, KD : 1 = 2 = 3 = 0 frente a su complementario, con = 00 05 la región crítica es ½ UF =

¾ VFD @s 1 0 i2>36;00 05 = 3 26 VFH @uv(w 1)

y como el valor obtenido del estadístico es 230 32 se rechaza KD significativamente, los tipos de abono producen efectos diferentes. Para contrastar la hipótesis de que los 4 tratamientos son equivalentes KE : 1 = 1 = 3 = 4 = 0 la región crítica es de la forma ½ UF =

¾ VFE @v 1 0 i2>36;00 05 = 2 87 VFH @uv(w 1)

como el estadístico es 110 967 se rechaza KE =

366 366


Figura 7.8.1. Diagramas de caja correspondiente al Ejercicio 7.7.3 de las variables (abono, rendimiento) y (tratamiento, rendimiento). Por último, para contrastar si la interacción es nula, KDE : lm = 0

l = 1> 2> 3

m = 1> 2> 3> 4

la región crítica es ½ UF =

¾ VFDE @(u 1)(v 1) i6>36;00 05 = 20 36 VFH @uv(w 1)

y como el estadístico vale 10 875 se acepta que no hay interacción. 7.8.4 Para n = 2 con q1 = p> q2 = q se tiene que q = q1 + q2 = p + q, por


367 367

tanto b2s = =

2 2 P 1 P 1 (ql 1)v2l = (ql 1)v2l q 2 l=1 p + q 2 l=1

(p 1)v21 + (q 1)v22 p+q2

que es la expresión de la varianza muestral ponderada. 7.8.5 El estadístico I vale, (véase la Tabla 7.2.2) n P

ql ({l· {·· )2 @(q 1) VFH @n 1 l=1 I = = n q VFG @q n P Pl ({lm {l· )2 @(q n) l=1 m=1

" que para n = 2 y como el denominador es

1 p+q32

p P

({1m {)2 +

m=1

q P

# ({2m |)2

m=1

puede escribirse como I =

p({ {·· ) + q(| {)2 Vs2

si se sustituyen { {·· = q({ |)@(p + q) y | |·· = p(| {)@(p + q) se puede poner I = =

({ |)2 (pq2 + qp2 )@(p + q)2 Vs2 ({ |)2 pq@((p + q) Vs2

que coincide con W 2 , ya que por la Expresión (5.2.2.3) q 1 + q1 [{ | (1 2 )] @ p W = Vs y si se cumple K0 : 1 = 2 es W =

q pq ({ |) p+q Vs

=

En este sentido, el análisis de la varianza generaliza la comparación de dos medias para distribuciones normales.


368 368

7.8.6 Se supone el modelo con l = 1> 2> 3 m = 1> ===> 8

{lm = + l + %lm

y se pretende contrastar la hipótesis nula K0 : 1 = 2 = 3 = 0 frente a la alternativa K1 : 1 ? 2 ? 3 . Si se realizan los dos contrastes K0 : 1 = 2 frente a K1 : 1 ? 2 y K00 : 2 = 3 frente a K10 : 2 ? 3 , mediante un test conjunto de tamaño = 00 05, caso de que se rechacen ambas hipótesis se tendría que es 1 ? 2 ? 3 . Para conseguir que el test conjunto sea de tamaño 00 05, basta imponer que l = @2 = 00 025 para cada una de las regiones críticas de los tests. Con lo que para el contraste K0 : 1 = 2 frente a K1 : 1 ? 2 UF1 =

r ½ ¾ 1 1 {1· {2· + wq3n;13 2 bs q1 q2

lo que lleva a bs = 20 882,

q

1 8

+

1 8

= 00 5 y w21;00 975 = 20 08

UF1 = {{1· {2· 20 997} el valor del estadístico es {1· {2· = 40 562 50 162 = 00 6, luego se mantiene K0 . Para el contraste K00 : 2 = 3 frente a K1 : 2 ? 3 UF2 =

r ½ ¾ 1 1 {2· {3· + wq3n;13 2 bs q2 q3

y como UF2 = {{2· {3· 20 997} al ser el valor del estadístico {2· {3· = 50 162 50 362 = 00 2, se mantiene K00 . Por lo tanto se concluye que el valor del pH es constante. 7.8.7 El modelo es de la forma {lmn = + l + m + lm + %lmn

l = 1> 2 m = 1> 2> 3 n = 1> 2> 3

con el valor medio, l el efecto debido al número de horas por semana empleado en el experimento, m el efecto debido al tamaño del colector y lm el efecto debido a la interacción. La representación mediante el diagrama de caja queda recogida en la Figura 7.8.2, donde se observan discrepancias en la representación de las duraciones en función del tamaño del colector.


369 369

a) La tabla ADEVA viene dada por

Fuentes de variación horas por semana tamaño del colector interacción error total

Suma de cuadrados 8’96 51’388 14’014 92’073 166’436

Grados de libertad 1 2 2 12 17

Estadísticos I 1’168 3’349 0’913

Para contrastar si la interacción es nula, es decir, KDE : lm = 0 l = 1> 2 m = 1> 2> 3 frente a su complementario, con tamaño 00 05, la región crítica es

½ UF =

¾ VFDE @(u 1)(v 1) i2>12;00 05 = 30 89 VFH @uv(w 1)

el valor del estadístico es 00 913 luego se acepta K0 , los datos no son significativos de que haya interacción. b) Los totales para cada celda, combinación del nivel de horas por semana y tamaño del colector son:

horas por semana 1 2

tamaño del colector 1 2 3 12’7 28’9 15’7 17’7 26’3 26

La representación gráfica de la Figura 7.8.3 pone de manifiesto la pequeña discrepancia que existe entre el factor fila, horas por semana, al nivel 1 yy nivel nivel2,2,en enfunción funcióndel delfactor factorcolumna, columna, tamaño colector.Lo extamaño deldel colector. Lo queque expliplica el test departe la parte a) saliera no significativo, que cuanto más ca queque el test de la a) saliera no significativo, ya queyacuanto más alejaalejadas deparalelas ser paralelas másserá altalaserá la interacción das esténestán de ser ambasambas rectas,rectas, más alta interacción entre entre ambos factores. ambos factores.

370 370


Figura 7.8.2. Diagramas de caja, correspondientes al Ejercicio 7.8.7, de las variables (horas por semana, duración) y (tamaño del colector, duración).


371 371

Figura 7.8.3. Totales por celda del factor fila en función del factor columna para el Ejercicio 7.8.7. 7.8.8 a) La representación gráfica de la Figura 7.8.4, parece aconsejar la conveniencia de la aproximación lineal, en ella se ha incluido también la representación de la recta de regresión de | sobre {. Para el cálculo de la recta de regresión de | sobre { || =

e{| ({ {) e2{

(véase (7.4.1.4)) se necesitan los siguientes valores { = 50 5

| = 60 44

10 P l=1

{2l = 385

10 P l=1

|l2 = 4780 62

q 1 P e{| = {l |l {| = 420 49 350 42 = 70 07 q l=1 q 1 P e2{ = {2 {2 = 380 5 300 25 = 80 25 q l=1 l

de donde | 60 44 =

70 07 ({ {) 80 25

o alternativamente | = 10 7265 + 00 857{

10 P l=1

{l |l = 4240 9

372 372


Figura 7.8.4. Representación y recta de regresión de la variable Ejercicio 7.8. diámetro en función de la variable año, del ejercicio b) La suma de los cuadrados de los errores cometidos es q P b > b b b {l )2 VF( (|l 0 1) = 0 1

=

l=1 qe2| (1 u2 )

con q 1 P | 2 | 2 = 470 862 410 474 = 60 388 q l=1 l e{| 70 07 = 00 974 u= = 0 e{ e| 2 872 · 20 527

e2| =

(véanse las Expresiones (7.4.1.4) y (7.4.1.5)). Por lo que b0 > b1 ) = 30 296 VF( c) Para contrastar si las dos rectas son compatibles, se utiliza que b l ql Wq32 b] Yb [ l


373 373

(véase el comentario a continuación del Teorema 7.4.1.1), por lo que para contrastar K0 : 0 = 00 8 frente a K1 : 0 6= 00 8, la región crítica es < ; @ ? | b 00 8| q0 UF = wq32; 2 > = b ] Yb [ 0 en este caso con = 00 05 y w8;00 025 = 20 306 como 2 q1

b0 ] = Y [ q P

l=1

q P l=1

{2l

{2l q{2

0 b > b si se sustituye 2 por su estimador insesgado. VF( 0 1 )@(q 2) = 0 412 0 0 0 b b se tiene ¯Y [ 0 ] = 0 412 · 0 466 = 0 192, por lo que el valor del estadístico ¯ 0 que ¯ 1 727300 8 ¯ 0 es ¯ 00 438 ¯ = 2 116, luego se acepta la hipótesis nula.

Para contrastar ahora si son iguales las pendientes de las rectas, se contrasta K0 : 1 = 00 85 frente a K1 : 1 6= 00 85, la región crítica es ¯ < ; ¯¯ b1 00 85¯¯ @ ? ¯ q UF = wq32; 2 = 20 306 > = b1 ] Yb [ como b ]= b2 Yb [ 1

q P l=1

1 {2l

q{2

= 00 412 · 00 012 = 00 005

¯ 0 ¯ 0 85 ¯ ¯ 0 y el valor del estadístico es ¯ 0 85730 0 0 0707 ¯ = 1 315, se acepta también la hipótesis nula.

7.8.9 a) La representación gráfica de la Figura 7.8.5, permite utilizar la aproximación lineal de la presión en función de la temperatura. Se ha incluido también la recta de regresión de | sobre {=

374 374


Figura 7.8.5. Representación y recta de regresión de presión sobre temperatura para el Eejercicio 7.8.9. Ejercicio 7.8.9. Mediante un paquete estándar, el programa de regresión permite obtener Coeficientes 0 1

Estimadores 26082 -40’183

Errores estandar 14’84 0’435

Estadísticos W 1757’55 -92’381

b) Para el contraste de la pendiente de la recta de regresión como nula; K0 : 1 = 0 frente a K1 : 1 6= 0 se emplea que b 1 q1 Wq32 b b Y [ 1 ] (véase la expresión (7.4.1.7)), de donde la región crítica es ½¯ ¯ q ¾ ¯b ¯ b b UF = ¯ 1 ¯ Y [ 1 ]wq31; 2 sustituyendo con = 00 05, el error estandar por 00 435 y w8;00 025 = 20 306 queda como región crítica o n¯ ¯ ¯b ¯ 0 UF = ¯ 1 ¯ 1 003 y como el valor de estadístico es 400 183, se rechaza la hipótesis nula. c) La representación (temperatura, residuo), donde el residuo es b b {l , de la Figura 7.8.6 no pone de manifiesto ninguna anomalía |l 0 1


375 375

Figura 7.8.6. Residuos en función de la temperatura para el Ejercicio 7.8.9.

7.8.10 a) De acuerdo con el modelo de regresión lineal

\ = 0 + 1{ + h

por lo tanto, si se estima el valor correspondiente a {0 , parece razonable utilizar b + b {0 \b ({0 ) = 0 1

Se sigue que,

H[\b ({0 )] = 0 + 1 {0 b0 ] + {2 Y [ b1 ] + 2{0 Fry( b0 > b1 ) Y [\b ({0 )] = Y [ 0


376 376

(véase el Teorema 7.4.1.1), de donde

Y [\b ({0 )] =

2 q1 q P m=1

q P m=1

{2m

+ {20

{2l q{2

q P m=1

2 {2m q{2

2{0

m=1

" # q 2 1 P 2 2 = 2 { + {0 2{0 { qe{ q m=1 m " # q 2 1 P {2 + ({20 {)2 { = 2 qe{ q m=1 m =

q P

2{ {2m q{2

¤ 2 £ 2 e + ({0 {) = qe2{ {

b {0 es combinación lineal de las v.a. \1 > ===> \q que b + Además, como 0 1 son normales, se sigue que s · Ã ¸! 2 1 {) ({ 0 b {0 Q + {0 > b + = 1+ 0 1 0 1 q e2{ 2

Como es desconocida, se puede utilizar que (q 2) v 2 "2q32 con lo b0 > b1 ) es independiente de V 2 se puede utilizar que si se demuestra que ( la definición de la distribución de Student, (véase la Definición 1.5.3.1) para tener demostrada la parte a) del enunciado. b > b Para ver la independencia de V 2 , es suficiente ver que ( 0 1 ) es independiente de cada residuo b %l = \l \bl l = 1> ===> q. Pero se puede escribir e{| b %l = \l \ 2 ({l {) e{ · ¸ q P 1 ({l {){m ({l {){ = + lm \m q qe2{ qe2{ m=1 ½

donde lm =

1 si m = l 0 si m 6= l

por lo que alternativamente puede ponerse b %l = con fl = Por otro lado,

q P m=1

[ lm (fl + gl {m )] \m

1 {({m {) q qe2{

y

gl =

{l { = qe2{

7.8. SOLUCIÓNANÁLISIS A LOSDE EJERCICIOS LA VARIANZA Y REGRESIÓN LINEAL q h b0 = P 1 q m=1

=

q P m=1

{({m 3{) qe2{

i

q h b1 = P 1 q m=1

fm \m

=

q P m=1

({m 3{) \m qe2{

377 377 i

gm \m

Es sencillo ver que b ) = Fry(b b ) = 0 l = 1> ===> q Fry(b %l > %l > 0 1 sin más que verificar las igualdades q P m=1

[ lm (fl + gl {m )] fm =

q P m=1

[ lm (fl + gl {m )] gm = 0=

Así para la primera basta comprobar que q P m=1

fm = 1

y

q P m=1

fm {m = 0

y para la segunda, basta comprobar que q P m=1

gm = 0

y

q P m=1

gm {m = 1=

b) Mediante el apartado anterior ;¯ ¯ < ¯ ¯ A A A A ¯ ?¯¯ @ b + b {0 ( + {0 ) ¯ 0 1 0 1 ¯ wq32; = 1 r h S ¯¯ i ¯ 2A A 2 A A ¯ =¯¯ v 1 1 + ({0 3{) > ¯ 2 q e{ si se denota por

s · ¸ 1 ({0 {)2 v0 = v 1+ q e2{

la expresión se puede poner en la forma b {0 ( + {0 ) v0 wq32; } = 1 b + S {v0 wq32; 2 0 1 0 1 2 si se deja en el centro de la cadena de desigualdades 0 + 1 {0 , operando, haciendo operaciones inmediatoque comprobar que un grado de confianza 1 viene es inmediatoescomprobar un intervalo de intervalo grado de de confianza 1dado – _ por viene dado por b + b {0 wq32; v0 > b + b {0 + wq32; v0 ) LF13 ( 0 + 1 {0 ) = ( 0 1 0 1 2 2 es interesante señalar que la amplitud del intervalo varía con el valor de {0 y es mínima para {0 = {=


378 378

c) Por el apartado anterior, se debe calcular b = 00 932, w8;00 025 = 20 306> v = 00 027> b = 00 896, 0 1 q 1 P 2 2 e{ = { {2 = 00 743 00 738 = 00 00478 q m=1 m s · ¸ 1 ({0 {)2 v0 = v = 00 0157 1+ q e2{

{ = 00 859

de donde LF00 95 ( 0 + 1 00 95) = (10 744> 10 819)= En la Figura 7.8.7 se incluyen la recta de regresión y los residuos.

7.8.11

Figura 7.8.7. Recta de regresión de | sobre {, con región de grado de confianza 00 95 y representación de los residuos en función de {, para el Ejercicio 7.8.10. 7.8.12 La representación de la Figura 7.8.8, de la variable tanto por ciento de unidades defectuosas en función de la variable unidades producidas al mes, sugiere la utilización de una aproximación exponencial de la forma | = de{ o bien | = 0 + 1 { + 2 {2 como dice el enunciado.


379 379

Figura 7.8.8. Representación de los pares de puntos (producción, % defectuosos) para el Ejercicio 7.8.11. Se observa que tomando logaritmos en la expresión de la función exponencial ln | = ln d + (ln e){ las variables { y ln | están relacionadas linealmente. El cuadro de datos para la realización de los cálculos queda recogido a continuación Producción % { | ln | 1.000 5 1’609 1.500 5’2 1’649 2.000 5’7 1’740 2.500 6’5 1’872 3.000 6’8 1’917 3.500 7’1 1’96 4.000 8’1 2’092 4.500 10 2’303 5.000 10’2 2’322 5.550 10’3 2’332 6.000 13 2’565 6.500 15’3 2’728 7.000 20 2’996 7.500 25 3’219

380 380


Con el ajuste lineal se obtiene ln d = 10 249 que el modelo exponencial viene dado por

ln e = 20 333 · 1034 , por lo

| = 30 487 · 10 0002{ y le corresponde un coeficiente de determinación de U2 = 00 951= El ajuste mediante el polinomio de segundo grado es | = 80 072 00 00253{ + 50 989 · 1037 y le corresponde un coeficiente de determinación de U2 = 00 958= Es, por lo tanto, ligeramente mejor el ajuste mediante el polinomio de segundo grado. 7.8.13 a) La representación de los puntos (gastos en alojamiento, gastos en esparcimiento) de la Figura 7.8.9 permite ajustar una curva con una asíntota horizontal sobre la ordenada 15.

Figura 7.8.9. Nube de puntos ( % de gastos en alojamiento, % de gastos en esparcimiento) correspondientes al Ejercicio 7.8.12. Por lo tanto parece razonable ajustar un modelo de la forma | = d + e@{


381 381

si se introduce la nueva variable auxiliar x = 1@{, se puede realizar un ajuste lineal a la nube de puntos (x> |), con lo que se obtienen los parámetros d = 80 947

e = 1420 042

Como medida del ajuste el coeficiente de correlación lineal vale u = 00 758 o bien interpretado éste como caso particular del coeficiente de determinación U2 = 00 915= b) Si se utiliza un ajuste lineal en las variables {= % de gastos en alojamiento e | = % de gastos en entretenimiento | = d0 + e0 { se llega a los valores d0 = 250 3473

e0 = 00 450

obteniéndose que u = 00 927 y U2 = 00 859, lo que quiere decir que el ajuste es ligeramente peor en este segundo caso. 7.8.14 a) Vistos los datos del Ejercicio 7.8.11, parece que el modelo potencial no va a dar un buen ajuste, ya que la representación gráfica de la función potencial es la recogida en la Figura 7.8.10 que pasa por el origen.

Figura 7.8.10. Representación de la función potencial | = d{e en función de los signos de los parámetros d y e. Se observa que al tomar logaritmos en la función potencial se obtiene ln | = ln d + e ln {

382 382


por lo que se puede realizar un ajuste lineal en las nuevas variables (ln {> ln |). Las variables auxiliares para realizar los cálculos vienen recogidas a continuación ln { 6’9077 7’3132 7’6009 7’8240 8’0064 8’1605 8’2940 8’4118 8’5172 8’6125 8’6995 8’7796 8’8537 8’9227

ln | 1’6094 1’6487 1’7405 1’8718 1’9169 1’9601 2’0919 2’3026 2’3224 2’3321 2’5649 2’7279 2’9957 3’2189

obteniéndose los valores ln d = 30 7845

e = 00 7335

de donde el modelo potencial ajustado es 0

| = 00 0227{0 7335

b) Para comparar ambos modelos el potencial con el exponencial se utiliza el coeficiente de determinación, que para el caso del ajuste del modelo potencial vale 00 809 que es ligeramente inferior, como era de esperar, al que se obtuvo con el ajuste exponencial que era 00 951. Por consiguiente es mejor el modelo potencial.

7.8.15 a) Con el fin de estudiar las posibles influencias entre las variables, en la Figura 7.8.11 se recogen las distintas representaciones.


383 383

Figura 7.8.11. Representación de las variables (periodo, pérdidas), (temperaturas, pérdidas) y (lluvia, pérdidas) correspondientes al Ejercicio 7.8.14. b) El ajuste lineal de las pérdidas en función de la lluvia, periodo y temperatura viene dado mediante s´ huglgdv = 30 9349 +00 3326 ooxyld+00 2346 shulrgr+00 0126 whpshudwxud a este ajuste le corresponde un coeficiente de determinación U2 = 00 8054= c) Mientras que el ajuste lineal de las pérdidas en función única-

384 384


mente de la lluvia y de la temperatura, viene dado por s´ huglgdv = 320 1847 + 00 0685 ooxyld 00 244 whpshudwxud con un coeficiente de determinación U2 = 00 2125. Por lo tanto este segundo ajuste es peor. 7.8.16 Se va a calcular [3[>[ , donde [ [ es un vector de q filas y una columna y [ es una v.a., mediante la utilización del Teorema 7.4.2.2 1 0 11 )[ q donde 1 es un vector columna de q valores iguales a uno. Como 1 [ = 10 [ q se sigue que [ [ = [ 110 [ = (L

1 0 1 11 ) [ ( 10 )0 q q 1 1 = (L 110 ) 2 L 1 q q 1 1 1 = 2 1 110 2 L 1 q q q 2 2 = 1 2 q1 q q que es un vector columna de q valores iguales a cero. Luego cada diferencia [l [ está incorrelada con [. [3[>[ = (L

7.8.17 Basta poner \ = (|11 > ===> |1q1 > ===> |n1 > ===> |nqn )0 3 4 1q1 0 = = = 0 E 0 1q = = = 0 F 2 E F [=E . .. F .. . . . C . . . D . 0

0

= = = 1qn

con 1ql un vector columna de ql elementos iguales a la unidad = (1 > ===> 1 > ===> n > ===> n )0 Por último una posibilidad es considerar para K la matriz 4 3 1 1 0 = = = 0 E 1 0 1 = = = 0 F F E K=E . .. F .. . . .. C .. . . D . . 1

0

0

= = = 1


385 385

de dimensión (n 1) × n. Con lo que K0 : 0 = === = n puede escribirse como K = 0= 7.8.18 Mediante el cambio | = {31 en la integral, se obtiene Z

+"

0

31

{3(n+1) h3d{ g{ =

Z

+"

0

|n31 h3d| g|

y como la función gamma cumple Z 0

+"

h3d{ {s31 g{ = d3s (s)

se sigue que la integral pedida es igual a d3n (n)= 7.8.19 a) Matricialmente, el modelo es de la forma | = [ + h donde | = (109> 85> 114> ===> 133> 217> ===> 221)0 μ ¶0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 {= 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 μ μ 0 μ ¶ ¶ ¶ 9 7 0 1684 00 0737 1761 0 [ 0[ = | = ([ 0 [)31 = [ 7 16 2683 00 0737 00 0947 μ ¶ 0 1 2>525 98 895 b = ([ 0 [)31 [ 0 | = (| |b)0 (| |b) = = v2 = 1240 421 18 2 16 Si se toma como distribución inicial ( 1 > 2 > 2 ) = 32 entonces

$ b 1570 812([ 0 [)31 > 16) 1 > 2 | | W (2> >

(véase la Expresión (7.5.12)). $ $ 6 (100> 125) b) Para contrastar K0 : = (100> 125) frente a K1 : = se emplea que b 0 [ 0 [( ) b ( ) I2>q32 2 2V


386 386

(véase el Teorema 7.5.1). Es decir, se determina una región de probabilidad $ | ) igual a 1 , y se rechaza si el punto final calculada respecto a ( 1 > 2 | no pertenece a la región. En analogía a la notación clásica, se toma como ) ( ¯ $ $ ¯¯ VFW ( ) A i2>q32; UF = ¯ ¯ 2V 2 donde $ b 0 [ 0 [( ) b VFW ( ) = ( ) q 1 P V2 = (|l |bl )2 q s l=1 En este caso es i2>16;00 05 = 30 63 y como $ VFW ( ) = (100 980 895> 125 1240 421)

μ

9 7 7 16

¶μ

100 980 895 125 1240 421

¶

= 250 3102 1 V 2 = 00 158 16 < 3

W ( 0) = 800 1971 A 30 63 luego se rechaza K0 . por lo tanto VF2V 2 Obsérvese que se debería de haber usado el contraste de hipótesis nula puntual bayesiana y utilizado una distribución inicial de tipo mixto (véase la Sección 5.2.4), sin embargo por facilidad de cálculo, se suele preferir de$ terminar una región creíble y ver si 0 pertenece a ella.

7.8.20 a) Matricialmente el modelo puede escribirse | = [ + h donde | = (63> 48> ===> 47> ===> 77)0 3 4 16 0 = = = 0 E 0 16 = = = 0 F E F [=E . .. . . . F C .. . .. D . 0

0

= = = 16


387 387

con 16 un vector columna de unos y 0 un vector columna de seis ceros 4 3 3 6 0 0 0 0 0 1@6 0 0 0 0 E 0 6 0 0 0 0 F F E E 0 1@6 0 0 0 E E 0 0 6 0 0 0 F F ([ 0 [)31 = E 0 0 1@6 0 0 [ 0[ = E E E 0 0 0 6 0 0 F F E C 0 0 0 1@6 0 C 0 0 0 0 6 0 D 0 0 0 0 1@6 0 0 0 0 0 6 3 4 3 4 306 51 F E 132 F E 22 E F E 0 F 0 0 31 0 b E F E [ \ = E 165 F = ([ [) [ \ = E 27 5 F F C 221 D C 360 833 D 198 66 0 1 2567 17 (| |b)0 (| |b) = V2 = 30 5 25 para la distribución inicial ( 1 > 2 > ===> 5 > 2 ) = 32 la distribución final es b 1020 6868L5 > 25) 1 > ===> 5 || W (5> > (véase la Expresión (7.5.12)). 6 b) Para contrastar K0 : 2 = 30> 5 = 30 frente a K1 : 2 6= 30> 5 = b )> V 2 f31 > s = b > 30 se calcula la distribución marginal 2 > 5 || W (2> ( 2 5 11 q 2) donde μ ¶ μ ¶ f22 f25 1@6 0 f11 = = = f52 f55 0 1@6 La región crítica es de la forma ) ( b b 0 F 31 ( ) ( ) 11 in>; UF = tales que 2 · 52 en este caso i2>25;00 05 = 30 39 (véase la Tabla 6). Todo se reduce a comprobar $ si 0 = ( 2 = 30> 5 = 30) pertenece o no a la región crítica μ ¶μ ¶ 6 0 30 260 1667 0 (30 36 1667> 30 33) = 3820 1743 0 6 30 23 que dividido por 2V 2 = 2050 3736 hace que el estadístico sea 10 8609, que no pertenece a la región crítica, luego se acepta la hipótesis nula y los datos son compatibles con 0 = 30 5 = 30= Ha de tenerse en cuenta el comentario realizado al final del Ejercicio 7.8.18, se ha empleado una región creíble en lugar de realizar el contraste de hipótesis nula puntual (véase la Sección 5.2.4).

4 F F F F D

Capítulo 8

ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA 8.1.

INTRODUCCIÓN

Al aplicar los métodos estadísticos ocurre con frecuencia que las suposiciones que parecían razonables no se cumplen, así la muestra puede ser demasiado pequeña, la suposición de normalidad poco convincente, etc. En estas situaciones es conveniente disponer de procedimientos que sean válidos en contextos suficientemente amplios. Existen un conjunto de técnicas estadísticas, a cuyo estudio se dedica este capítulo, que reciben el nombre genérico de procedimientos no paramétricos y que se basan en funciones de las observaciones muestrales, que no dependen de la distribución específica de la población de la cuál la muestra ha sido extraida, sino de una propiedad de la distribución, como la continuidad o la simetría. De manera estricta no se va a poder decir que exista un parámetro que caracterice a la función de distribución de la población, como se ha venido suponiendo hasta ahora. Se dice de manera estricta porque si se consideran, por ejemplo, los tests de bondad de ajuste, la no existencia de parámetros no es del todo correcta, de hecho se va a trabajar con la distribución multinomial, pero es cierto que los procedimientos que se emplean están basados en características de la distribución poblacional que no son hipótesis sobre el valor de sus parámetros. En esta línea se comenzará contrastando la adecuación entre la muestra y el modelo, en lo que se conoce como problema de la bondad del ajuste, para a continuación contrastar si varias muestras provienen de una misma población en el problema de homogeneidad. Se estudiará el problema de los valores discordantes y la estimación no paramétrica de densidades, para acabar tratando la independencia entre dos variables aleatorias. 389

CAPÍTULO 8. ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA INFERENCIA ESTADÍSTICA

390 390

8.2.

AJUSTES RELATIVOS A LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

Este grupo de problemas se basan en trasladar la hipótesis no paramétrica a la distribución multinomial y utilizar el estadístico de la razón de verosimilitudes, cuya distribución asintótica fué obtenida por Wilks (1938), o el estadístico de la distancia al cuadrado introducido por K. Pearson (1900) que compara las frecuencias observadas experimentalmente con las frecuencias esperadas bajo la hipótesis nula. Una aproximación bayesiana a estos problemas puede verse en Gómez Villegas (1988).

8.2.1.

Bondad del ajuste

Se trata de contrastar si la m.a.s. ({1 > ===> {q ) se distribuye de acuerdo con una función de distribución determinada I . Se van a distinguir dos casos, según que I sea perfectamente conocida, por ejemplo viene dada por la normal de media 0 y de desviación típica 1, o bien que I sea conocida a menos de n parámetros, por ejemplo el caso más realista en que I venga dada por la normal de media y de desviación típica , en esta situación I es conocida a menos de 2 parámetros. En el primer caso, se divide el recorrido de la población [ en n intervalos disjuntos, en principio de forma arbitraria, L1 > ===> Ln con lo que es posible calcular bajo I las probabilidades s0l = S {{ 5 Ll } l = 1> ===> n. Si la muestra es compatible con I se puede suponer la hipótesis nula K0 : consistente en que el vector (q1 > ===> qn ), con ql número de veces que en la muestra aparece un elemento del intervalo Ll , tiene una distribución (Q1 = q1 > ===> Qn = qn ) P xowlqrpldo(q> s01 > ===> s0n ), frente a la hipótesis alternativa K1 : (Q1 = q1 > ===> Qn = qn ) P xowlqrpldo(q> s1 > ===> sn ). La única diferencia está en que bajo la hipótesis nula los parámetros de la distribución multinomial son s0 = (s01 > ===> s0n ) conocidos, mientras que bajo la hipótesis alternativa son los parámetros s = (s1 > ===> sn ) desconocidos. Si se emplea el contraste de la razón de verosimilitudes, de acuerdo con la Sección 5.2.1, se tiene que (q1 > ===> qn ) =

q! 0 q1 0 qn q1 !===qn ! (s1 ) ===(sn ) q! sup q1 !===q sq1 ===sqn n n! 1 s1 >===>sn

El supremo del denominador, usando que ql q.

n P l=1

sl = 1, se alcanza en sbl =

Por tanto la región crítica será de la forma UF =

¾ ½ μ 0 ¶ql n Q sl n = (q1 > ===> qn ) = bl l=1 s

8.2 AJUSTES RELATIVOS A LA DISTR. MULTINOMIAL ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA

391 391

Bajo K0 la distribución asintótica de 2 ln (q1 > ===> qn ) es una "2 con n 1 grados de libertad, ya que, K0 ^ K1 tiene de dimensión n 1 y la hipótesis nula tiene de dimensión 0, (véase el Teorema 5.2.3.2). Para un tamaño , se obtiene la región crítica ¾ ½ n £ ¤ P UF = 2 ql ln s0l ln sbl "2n31; l=1

K. Pearson introdujo un procedimiento alternativo de resolver el problema, mediante una distancia ponderada entre el HP Y del vector multinomial sb y el valor s0 supuesto bajo la hipótesis nula, en concreto la cantidad G2 (s0 > sb) =

n P l=1

con l =

l (b sl s0l )2

q s0l

y rechazar la hipótesis nula para valores grandes de la distancia; por lo que la región crítica es ½ n ¾ P (ql qs0l )2 UF = f qs0l l=1 Se observa, que las ql son las frecuencias observadas de los intervalos Ll en la muestra, mientras que qs0l son las frecuencias esperadas de los mismos bajo la hipótesis nula, por lo que se acostumbra a notar alternativamente por (8.2.2.1)

G2 (s0 > sb) =

n (R H )2 P l l H l l=1

Con el fin de poder determinar la constante f para que el contraste tenga de tamaño , es necesario conocer la distribución de la cantidad en la Expresión (8.2.2.1) bajo la hipótesis nula, resultando que asintóticamente tiene la misma distribución que 2 ln (q1 > ===> qn ). Una justificación de este hecho radica en observar que 2 ln (q1 > ===> qn ) = 2

n P l=1

ql ln

s0l sbl

y si se emplea que, aproximadamente, ln { ' ({ 1) 12 ({ 1)2 > se tiene que "μ μ ¶ ¶2 # n P s0l 1 s0l = ql 2 ln (q1 > ===> qn ) ' 2 1 1 sbl 2 sbl l=1 ¶2 μ 0 n n (q qs0 )2 n (q qs0 )2 P P P sl l l l l = ql 1 = ' sbl ql qs0l l=1 l=1 l=1


392 392

donde la última aproximación se debe a que ql ' qs0l = Una demostración del resultado que se ha justificado, es el contenido del siguiente enunciado. Teorema 8.2.1.1 Si (Q1 > ===> Qn ) P xowlqrpldo(q> s1 > ===> sn ) entonces G2 =

n (Q qs )2 P L l l $ "2n31 = qs l l=1

Demostración: El vector (Q1 > ===> Qn31 ) tiene de media (qs1 > ===> qsn31 ) y de matriz de covarianzas ½ qsl sm si l 6= m lm = qsl (1 sl ) si l = m o bien lm = (sl lm sl sm )q ´ Qn31 3qsn31 3qs1 I > ===> con lo que \ = Q1I converge en ley a una v.a. Qn31 (0> ) q q con = ( lm ) = (sl lm sl sm ) por lo que se tiene, (véase Rao (1973), pág. 384, Expresión (6.1.1.6)) que ³

L

y como 31 = 0

31

\

³

lm sl

μ

+

1 sn

´

\ 0 31 \ $ "2n31

l>m=1>===>n31

se sigue que

¶

P n31 P (Ql qsl )(Qm qsm ) (Ql qsl )2 n31 + = q q 1 l=1 m6=l ( ) n31 n31 P P (Ql qsl )2 P 1 2 = + (Ql qsl ) + (Ql qsl )(qm qsm ) qsl qsn 1 1 l6=m

\ =

=

n31 P

1 1 + sl sn

n (Q qs )2 P l l = qs l 1

¥ Se observa que aunque ambos métodos llegan a la misma distribución asintótica, los valores de los dos estadísticos pueden ser diferentes para un tamaño muestral fijo. Para aplicar estos métodos es fundamental apoyarse en la distribución multinomial. Si la variable [ es discreta, en algunas ocasiones, puede emplearse ([1 > ===> [q ) como (Q1 > ===> Qn ) y entonces n = q. Así en el caso de las tiradas de un dado, cada intervalo Ll es equivalente a cada una de las caras. Es por este motivo que algunos autores llaman a estos problemas estudios de variables cualitativas, aquí se ha preferido hacer el énfasis sobre la distribución multinomial subyacente que se usa como verosimilitud.


393 393

Ejemplo 8.2.1.1 Mendel postuló como probabilidades de aparición de las distintas clases, los valores que aparecen en la primera fila de la siguiente tabla: OD

UD

OY

UY

315

101

108

32

9 16

3 16

3 16

1 16

donde la última fila son los valores observados para una m.a.s. de 556 elementos. Para contrastar la adecuación de la hipótesis, con un tamaño = 00 1, se tiene que mediante el método de la UY la región crítica es UF = {2 ln (q1 > ===> q4 ) "23;00 1 } con 2 ln (q1 > ===> q4 ) = 2 "23;00 1

n P l=1

ql ln

s0l = 00 48 ql @q

60 251

= se mantiene la hipótesis nula. y como Alternativamente mediante el método de la distancia de K. Pearson, la región crítica es UF = {G2 "23;00 1 } con G2 =

4 (R H )2 P (315 556 · l l = 9 Hl 556 · 16 l=1

9 2 16 )

+ === +

= 00 0162 + 00 1013 + 00 1349 + 00 2176 = 00 47

1 2 (31 556 · 16 ) 1 556 · 16

y como 00 47 no pertenece a la UF el contraste resulta también no significativo. ¥ Se comprueba que n (R H )2 n R2 P P l l l = q Hl l=1 l=1 Hl

No obstante, es recomendable hacer la determinación a partir del cuadrado de cada diferencia, para detectar cuál es la causante del rechazo, caso de producirse éste. Como se dijo al principio de esta Sección, sección, se aborda ahora el problema de ajuste a una distribución parcialmente especificada, en la práctica una situación que se presenta con mayor frecuencia. Se empleará la notación sl (1 > ===> u ) para las probabilidades de los intervalos Ll con el fin de resaltar esta diferencia. En uniformidad con el caso anterior, todo se reduce a contrastar, a partir de los datos ql l = 1> ===> n, la hipótesis nula K0 : provienen de una multinomial de parámetros q> sl (1 > ===> u ) l = 1> ===> n con n u, frente


394 394

a la hipótesis alternativa K1 : provienen de una multinomial de parámetros q, sl l = 1> ===> n. Si se emplea el contraste de la UY se debe utilizar sup

(q1 > ===> qn ) =

1 >===>u

qn q1 q! q1 !===qn ! s1 ( 1 > ===> u )===sn ( 1 > ===> u )

sup

s1 >===>sn

qn q1 q! q1 !===qn ! s1 ===sn

Para el cálculo del denominador, se sabe que el supremo se alcanza para sbl = qql l = 1> ===n y para el numerador, hay que resolver en 1 > ===> u el sistema < n P @ ql C s ( > ===> ) = 0 u sl (1 >===>u ) Cm l 1 l=1 > m = 1> ===> u= En el caso de que exista regularidad suficiente, las soluciones de este ) maximizarán el numerador de la UY , con lo que la región sistema s(b crítica ha de ser ( " #ql ) n Q sl (b ) UF = n l=1 ql @q y por los resultados asintóticos de la UY , bajo K0 , se sigue que L

2 ln (q1 > ===> qn ) $ "2n313u ya que la hipótesis nula tiene de dimensión u, mientras que K0 ^ K1 tiene de dimensión n 1, (véase el Teorema 5.2.3.2). Por lo tanto la región crítica viene dada por #ql " ( ) n Q ) sl (b UF = (q1 > ===> qn ) = n l=1 ql @q Alternativamente, se puede aplicar el método de la distancia de K. Pearson para lo que se introduce la cantidad ³q ´2 n P l sl (b )> sb) = l ) G2 (s(b q l=1 y si se pone l =

q sl (e )

queda 2 n (q qs (b P l l )) G2 (s(b )> sb) = qsl (b ) l=1

para ver que la analogía con el Teorema 8.2.1.1, se mantiene también en esta situación se necesita el siguiente resultado asintótico, cuya demostración puede verse en Cramér (1963) pág. 489. También ocurre como en el caso


395 395

en que la distribución está totalmente especificada, los valores qsl () son las frecuencias esperadas de los intervalos Ll bajo la hipótesis nula, que se ) por lo que el estadístico de contraste estiman de manera natural por qsl (b es el mismo que el de la Expresión (8.2.2.1). Teorema 8.2.1.2 Si (Q1 > ===> Qn ) P xowlqrpldo(q> s1 > ===> sn ), D es un intervalo de Ru sl = sl (1 > ===> u ) l = 1> ===> n son funciones positivas y se cumple: n P $ $ sl ( ) = 1 sl ( ) A f A 0 l = 1> ===> n 1) l=1 $ ) tienen derivadas parciales continuas 2) las funciones ³ sl ( $´ 3) la matriz CC m sl ( ) l=1>===>n es de rango u

y

m=1>===>u

entonces, se tiene asegurada la existencia de una raíz consistente del sistema n P l=1

Ql C sl () Cm sl ()

m = 1> ===> u

=0

< @ >

q , y se cumple que a la que se notará por b 2 n (Q qs (b P l l q )) L G2 (s(b q )> sbq ) = $ "2n313u = qsl (b q ) l=1

Ejemplo 8.2.1.2 Mediante un modelo genético, se supone que las probabilidades de 4 sucesos ¡ ¢ son 14 (2 + ) > 14 (1 )> 14 (1 )> 14 ) con 0 ? ? 14 . Para contrastar 4 P ql , puede la adecuación del modelo a los datos (q1 > q2 > q3 > q4 ) con q = 1

comprobarse que hay que resolver la ecuación de segundo grado en q2 + (q4 q1 + 2q2 + 2q3 ) 2q4 = 0 y obtener su raíz entre 0 y 14 . Los dos estadísticos tienen asintóticamente distribución "22 = ¥ En la práctica aunque se ha dicho que la partición en los intervalos Ll puede ser arbitraria, es conveniente evitar valores muy pequeños en las frecuencias de los mismos. Así en las aplicaciones suelen tomarse los intervalos Dl para que las frecuencias esperadas sean mayores o iguales que 5, caso contrario se procede a refundir intervalos adyacentes hasta conseguirlo. Esto tanto para el problema de ajuste a una distribución totalmente especificada como a una parcialmente especificada.


396 396

8.2.2.

Homogeneidad entre varias muestras

Se trata de contrastar si p muestras ([l1 > ===> [lql ) l = 1> ===> p provienen todas de la misma población. Mediante la determinación de n intervalos y de forma análoga al problema de ajuste, se construye la siguiente tabla:

donde ql· =

n P 1

qlm , q·m =

L1 q11 .. .

··· ···

Ln q1n .. .

q1· .. .

qp1 q·1

··· ···

qpn q·n

qp· q

p P 1

qlm , q =

p P 1

n P ql· = q·m , l = 1> ===> p m = 1> ===> n= 1

Lo que se contrasta realmente es la hipótesis nula K0 : cada (ql1 > ===> qln ) se distribuye mediante P xowlqrpldo(ql· > s·1 > ===> s·n ) l = 1> ===> p frente a la hipótesis alternativa K1 : cada (ql1 > ===> qln ) se distribuye mediante la P xowlqrpldo(ql· > sl1 > ===> sln )= Mediante el Teorema 5.2.3.2, adecuado a esta situación, se tiene que ·p ¸ Q q·n ql ! q·1 sup q !===qln ! s·1 > ===> s·n s·1 >===>s·n l=1 ln ·p ¸ (q11 > ===> qpn ) = Q ql· ! qpn q11 sup ql1 !===qln ! s11 > ===> spn s11 >===>spn

l=1

por lo que la región crítica del contraste de la RV es ; < n Q q·m A A A A s A A ·m ? @ m=1 UF = (q11 > ===> qpn ) = p n n A A Q Q qlm A A A A slm = > l=1 m=1

qlm ql=

q

es el HP Y bajo K0 y que sb=m = qlml= es es fácil comprobar que sblm = el EMV bajo K1 . Alternativamente, la distancia de K. Pearson introduce la cantidad p P n P G2 (b s·m > sblm ) = lm (b slm sb·m )2 l=1 m=1

con lm =

ql· se·m ,

lo que puede escribirse como s·m > sblm ) = G2 (b

p P n (q q q @q)2 P lm l· ·m = q q l· ·m @q l=1 m=1

En este caso la hipótesis K0 ^ K1 tiene de dimensión p(n 1) mientras que la hipótesis nula tiene de dimensión n 1. Aplicando el Teorema 8.2.1.2 se puede poner la región crítica del test de la razón de verosimilitudes como UF = {2 ln (q11 > ===> qpn ) "2(p31)(n31); }=


397 397

Igual que en el caso del problema de la bondad del ajuste, se pueden interpretar los valores ql· q·m @q como las frecuencias esperadas de la muestra de tamaño ql· en el intervalo Lm bajo la hipótesis de homogeneidad, ya que al ser la muestra de tamaño ql· dicha frecuencia esperada debería de ser ql· s·m , q valor que puede ser estimado por ql· sb·m con sb·m = q·m el valor del estimador de máxima verosimilitud bajo la suposición de verosimilitud multinomial que implica la hipótesis nula. La región crítica bajo el método de la distancia de K. Pearson puede escribirse en la forma ( ) n (q q q @q)2 p P P lm l· ·m 2 "(p31)(n31); UF = ql· q·m @q l=1 m=1 El enunciado que establece la distribución asintótica de este test puede verse en Cristóbal (1995), pág. 627. Por el mismo motivo que en el caso del problema del ajuste a una distribución, siempre que sea posible se refundirán los intervalos Lm , para conseguir que las frecuencias sean mayores o iguales que 5. Si la población es una variable aleatoria discreta, se pueden tomar los intervalos Ll como los valores que toma la variable. Ejercicio 8.2.2.1 El estudio del grupo sanguíneo de 353 individuos de la comunidad C1 y de 364 de la comunidad F2 , dió los siguientes resultados:

F1 F2

0 121 118 239

grupos A B 120 79 95 121 215 200

AB 33 30 63

353 364 717

Para contrastar la homogeneidad respecto a los grupos sanguíneos de las dos comunidades, con un nivel de significación = 00 05, se tiene que los estimadores de P Y , con distribución multinomial, bajo la hipótesis nula son q sb·m = q·m y bajo la hipótesis alternativa los estimadores, con distribución multinomial, de las probabilidades de los grupos son diferentes en ambas q comunidades y valen sblm = qlml· . Por lo que se tiene K0 : 00 333> 00 2999> 00 2789> 00 0879

K1 : 00 3428> 00 3399> 00 2238> 00 0824 00 3242> 00 2610> 00 3324> 00 0824

Mediante el método de la UY (q11 > ===> q24 ) =

q Q m=1

q

sb·m·m

.Q 4 2 Q l=1 m=1

q

sblmlm


398 398 y la región crítica es

UF = {2 ln (q11 > ===> q24 ) "23;00 05 } el valor del estadístico es 2(9300 0864 9240 1808) = 110 8112 y como "23;00 05 = 70 815 se rechaza la hipótesis nula. Mediante el método de la distancia de K. Pearson, el valor del estadístico es G2 =

(30 364 · 63@717)2 (121 353 · 239@717)2 + === + = 110 74 353 · 239@717 364 · 63@717

por lo que también se rechaza la hipótesis nula al ser 110 74 A 70 815=

8.2.3.

Tablas de contingencia

Se supone que se tiene una m.a.s. correspondiente a una v.a. bidimensional ({1 > |1 )> ===> ({q > |q ) y se trata de contrastar la hipótesis nula K0 : las dos variables son independientes, frente a la hipótesis alternativa K1 : las dos variables no son independientes. Dividiendo en intervalos el recorrido de las v.a. respectivas, se obtienen los sucesos Dl l = 1> ===> p y Em m = 1> ===> n, con lo que se construye la siguiente tabla:

D1 .. . Dp

E1 q11 .. .

··· ···

En q1n .. .

q1· .. .

qp1 q·1

··· ···

qpn q·n

qp· n

donde los valores qlm son el número de elementos en la muestra contenidos en el suceso Dl × Em , y los restantes elementos son ql· =

n P m=1

qlm

q·m =

p P l=1

qlm

q=

p P l=1

ql· =

n P m=1

q·m

La hipótesis nula de independencia, viene caracterizada por K0 : (q11 > ===> ppn ) se distribuye como una multinomial P xowlqrpldo(q> s1· s·1 > ===> sp· s·n ) frente a la hipótesis alternativa K1 : (q11 > ===> qpn ) tiene distribución P xowlqrpldo(q> s11 > ===> spn ). La hipótesis nula tiene dimensión p1+n 1 mientras que la hipótesis alternativa tiene de dimensión pn 1. La UY viene dada por sup

(q11 > ===> qpn ) =

s1·> ===>sp·> s·1> ===>s=n

q! q11 ===(s s )qpn p· ·n q11 !===qpn ! (s1· s·1 )

sup

s11 >===>spn

qpn q11 q! q11 !===qpn ! s11 ===spn


399 399

Es fácil ver que sblm =

qlm q

sbl· =

ql· q

sb·m =

q·m , q

l = 1> ===> p> m = 1> ===> n

con lo que, de acuerdo con el Teorema 5.2.3.2 la región crítica del test de la UY es ( ) p P n P sbl· sb·m UF = 2 qlm ln "2(p31)(n31); sblm l=1 m=1 Alternativamente, se puede utilizar el método de la distancia de K. Pearson mediante la cantidad G2 (c sl· sc blm ) = ·m > s con m =

q sf f l· s ·m

p P n P l=1 m=1

lm (c sl· sc blm )2 ·m s

con lo que queda en la forma sl· sc blm ) = G2 (c ·m > s

n (q q q @q)2 p P P lm l· ·m ql· q·m @q l=1 m=1

lo que lleva, de acuerdo con el Teorema 8.2.1.2 adecuado a esta situación, a la región crítica ) ( p P n (q q q @q)2 P lm l· ·m "2(p31)(n31); UF = ql· q·m @q l=1 m=1 Los valores ql· q·m @q son las frecuencias esperadas bajo la hipótesis nula, ya que el número esperado de observaciones del suceso Dl ×Em en la muestra es qsl· s·m , los valores desconocidos se sustituyen por sus estimadores de MV sbl· y sb·m respectivamente. Ejemplo 8.2.3.1 Para contrastar la independencia entre los turnos y las líneas de producción de una factoría, se dispone de los siguientes datos Líneas 1 2

1 10 14

Turnos 2 3 12 13 9 12

Si se quiere contrastar la independencia entre ambas variables con un nivel de significación = 00 05, se tiene que mediante el método de la razón de verosimilitudes, la región crítica es ( ) 2 P 3 P sbl· sb·m 2 0 UF = 2 qlm ln "2;00 05 = 5 991 sblm l=1 m=1


400 400 y como

½ μ ¶ sbl· sb·m 35 24 10 qlm ln = 2 10 ln · ln + ==== 2 70 70 70 sblm l=1 m=1 ¶¾ μ 12 35 25 · ln = 10 14 === + 12 ln 70 70 70 2 P 3 P

es menor que 50 991, se mantiene la hipótesis nula. Por otro lado mediante el método de la distancia de K. Pearson, la región crítica es de la forma ) ( 2 P 3 P sbl· sb·m qlm ln UF = 2 "22;00 5 = 50 991 sblm l=1 m=1 donde

¡

¢ 35·24 2 70 35·24 70

10

+ === +

¢ 35·25 2 70 35·25 70

¡ 12

= 10 14

con lo cual se acepta también la hipótesis nula. ¥ Es importante tener en cuenta a la hora de trabajar con tablas de contingencia, el siguiente hecho, tomado de DeGroot (1988) pág. 521, que recibe el nombre de Paradoja de Simpson. Consiste en que en el estudio de tablas de contingencia, puede ocurrir que no se obtenga la misma conclusión de una tabla que se disgrega en varias tablas de la misma dimensión o recíprocamente, que de varias tablas de las que se saca una conclusión al agregarlas en una sola se obtenga la conclusión contraria. Ejemplo 8.2.3.2 Se realiza un experimento, para comparar un nuevo tratamiento de cura de cierta enfermedad con el tratamiento estándar, y se obtienen los siguientes resultados: Con todos los pacientes Nuevo tratamiento Tratamiento estándar

Mejoran 20 24

No mejoran 20 16

De los datos parece desprenderse que las dos poblaciones no son homogéneas y que el tratamiento estándar era mejor. Si se realiza el mismo análisis, pero por separado para hombres y mujeres se obtienen los resultados Hombres Nuevo tratamiento Tratamiento estándar

Mejoran 12 3

No mejoran 18 7

Mujeres Nuevo tratamiento Tratamiento estándar

Mejoran 8 21

No mejoran 2 9

8.3. APLICACIONES DE LOS ESTADÍSTICOS ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICAORDENADOS

401 401

aquí se observa que el porcentaje de mejoras con el nuevo tratamiento es más alto en ambos casos. La explicación de la paradoja es que las mujeres se recuperan, con el nuevo tratamiento o sin él, en un porcentaje más alto que los hombres. Aunque se han analizado tantos hombres como mujeres, 40 de cada, una alta proporción de mujeres y una baja proporcion de hombres recibieron el tratamiento estándar con lo que el efecto del tratamiento es enmascarado por el efecto debido al sexo, entre los hombres a 30 se les dió el tratamiento y a 10 no; mientras que en las mujeres es justo al contrario. ¥ Para evitar este tipo de situaciones hay que recurrir a utilizar no el mismo número de elementos sino el mismo porcentaje.

8.3.

APLICACIONES DE LOS ESTADÍSTICOS ORDENADOS

En la línea de lo dicho en la introducción de este Capítulo capítulo, se estudia el comportamiento de algún método de distribución libre, se dice que un estadístico tiene distribución libre cuando su distribución, no depende de la distribución de la población. La única suposición que se hace es que la función de distribución de la población sea una función continua. A continuación se estudian los intervalos de tolerancia, cómo determinar intervalos de confianza para los cuantiles de la población y la manera de contrastar hipótesis sobre los cuantiles de la población.

8.3.1.

Intervalos de tolerancia

Con frecuencia en procedimientos industriales se está interesado en estimar un amplio porcentaje de la distribución que sigue el proceso de fabricación. Para fijar ideas se supone que se están fabricando una clase de tuercas por una máquina. Las tuercas han de tener una longitud de 2 cm pero puede permitirse, pues son utilizables todavía, que la longitud de las mismas esté entre 1’99 y 2’01 cm. Tiene interés el determinar mediante una muestra de tamaño q dos funciones OL ([1 > ===> [q ) y OV ([1 > ===> [q ) tales que la probabilidad de que la v.a. [, longitud de las tuercas producidas, esté entre dichas funciones sea suficientemente alta. Más precisamente se trata de, fijados dos valores próximos a 1, s y 1 determinar las funciones para que se cumpla (8.3.1.1)

S {S {OL ([1 > ===> [q ) ? [ ? OV ([1 > ===> [q )} s} 1 =

Si el intervalo (OL ([1 > ===> [q )> OV ([1 > ===> [q )) estuviera contenido en el intervalo (10 99> 20 01) se aceptaría como correcto el proceso de fabricación


402 402

y caso contrario se rechazaría y se haría revisar la máquina. El problema es que para satisfacer (8.3.1.1) se necesita conocer la distribución de la población [. Una solución es tratar de determinar OL ([1 > ===> [q ) = [(u) OV ([1 > ===> [q ) = [(v) con u menor que v tales que S {S {[(u) ? [ ? [(v) } s} 1 o lo que es lo mismo S {I ([(v) ) I ([(u) ) s} 1 = Como I ([(v) ) I ([(u) ) = Fu+1 + === + Fv donde Fl es el recubrimiento de orden l (véase la Sección 1.5.3), por ser la distribución de una suma de 6 recubrimientos función sólo del número de sumandos, se trata de determinar u y v para que S {I ([(u3v) ) s} 1 o lo que es lo mismo S {I ([(u3v) ) ? s} para lo que ha de cumplirse q P

(8.3.1.2)

l=u3v

sl

con sl las probabilidades correspondientes a una v.a. Elqrpldo(q> s). En resumen un intervalo de tolerancia de coeficiente 1 es ([(u) > [(v) ) si se verifica que contiene, entre sus extremos aleatorios al menos un porcentaje del 100p % de la distribución de probabilidad de la población con la que se haya obtenido la muestra. Para su determinación basta despejar o, alternativamente, alternativamente de u v de la Ecuación (8.3.1.2) 8.3.1.2 o, delalaExpresión expresión v3u31 P l=0

sl 1 =

Ejemplo 8.3.1.1 Para determinar un intervalo de tolerancia de coeficiente 1 = 00 8, que cubra el 50 % de la probabilidad de la v.a. [, con m.a.s. de tamaño q = 5, se emplea la distribución Elqrpldo(5> 00 5) con lo que se tiene: x 0 1 2 3 4 5

pl 0’0312 0’1562 0’3125 0’3125 0’1562 0’0312

I ({) 0’0312 0’1874 0’4999 0’8124 0’9686 0’9998

8.3. APLICACIONES DE LOS ESTADÍSTICOS ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICAORDENADOS y como

3 P l=0

403 403

sl = 00 8124 00 8

ha de ser v u 1 = 3 cuya única solución compatible con el tamaño muestral q = 5 es u = 1 y v = u + 4 = 5 por lo que el intervalo de tolerancia pedido es ([(1) > [(5) ). Se observa, que si se toma de coeficiente 1 = 00 9 y s = 00 5 no se puede determinar un intervalo de tolerancia con muestras de tamaño 5 ya que entonces v u 1 = 4 y v = u + 5 que para u = 1 da como v = 6, un valor superior a 5. ¥ En la práctica, suele ser más interesante fijar s y y determinar el mínimo valor q para el cual ([(1) > [(q) ) sea un intervalo de tolerancia de nivel 1 para un porcentaje s de la distribución. Se trata entonces de despejar q de la Expresión expresión sq31 + sq . Así, en el caso del ejemplo de las tuercas que ha servido de introducción, se puede concretar la petición, en determinar el menor valor q a partir del cual se tenga S {S {[(1) ? [ ? [(q) } 00 8} 00 99 con lo que se trata de obtener el menor valor de q para el cual sq31 + sq 00 01= Se observa que con q = 30> sq31 + sq = 00 0012 + 00 0093 = 00 0105 £ 00 01 q = 31> sq31 + sq = 00 0010 + 00 0077 = 00 0087 00 01 luego se deberán observar 31 tuercas y aceptar el lote si el intervalo ([(1) > [(31) ) está contenido en el intervalo (10 99> 20 01)= Ejemplo 8.3.1.2 Si se quiere determinar el tamaño muestral q que ha de tomarse, para que con probabilidad 00 90 se cubra un porcentaje del 99 % de la distribución de la v.a., basta obtener el mínimo q para que sea s0 + s1 + === + sq32 00 9 con sl las probabilidades correspondientes a una v.a. Elqrpldo(q> 00 99). Ha de verificarse que S {[ q 2} 00 9 o equivalentemente ¾ ½ ¾ ½ q 2 qs q 2 qs [ qs =S ] s S s s qst qst qst siendo ] una v.a. Q (0> 1). Así de las tablas de la v.a. Q (0> 1) (véase la Tabla tabla 0 29 con lo que la resolución de la ecuación de I = 1 3) se obtiene q323qs qst segundo grado conveniente, permite obtener de manera aproximada que ha de ser q 185.

404 404

8.3.2.


Intervalos de confianza para los cuantiles

La siguiente aplicación a estudiar dentro de los métodos no paramétricos es la determinación de intervalos de confianza para los cuantiles de la población. Si se supone que la población [ se distribuye con una función de distribución continua I , el cuantil de orden s es el mínimo valor ns tal que I (ns ) = s. Se pretende encontrar u y v tales que v A u verificando S {[(u) ns [(v) } 1 si se aplica I a las desigualdades, se tiene que S {I ([(u) ) s I ([(v) )} 1 = Ahora bien, como la variable I ({) tiene distribución uniforme, esto equivale a que (8.3.2.1)

S {X(u) s X(v) } 1

siendo X(u) y X(v) los correspondientes estadísticos ordenados de la distribución X qli ruph(0> 1). Esta expresión es independiente de cual sea la función de distribución de la población. Alternativamente, la Expresión (8.3.2.1) se puede escribir como S {X(u) s} S {X(v) s} =

q P l=u

sl

q P m=v

sm

donde sl son las probabilidades correspondientes a los valores que toma la v.a. Elqrpldo(q> s). Basta entonces, dado 1 próximo a 1, determinar u y v para que se cumpla v31 P sl 1 l=u

como es más sencillo, normalmente se determinan resolviendo el sistema ¾ s0 + === + su31 2 (8.3.2.2) sv + === + sq 2 También tiene sentido, como en el caso de los intervalos de tolerancia, preguntarse por el menor tamaño muestral para el cual ([(1) > [(q) ) es un intervalo de grado de confianza 1, la particularización del Sistema (8.3.2.2) a este caso, viene dada por s0 2 y sq 2 = Ejemplo 8.3.2.1 Para m.a.s. de tamaño 10, un intervalo de grado de confianza 00 9 para la mediana de la población, que se corresponde con s = 00 5, es el ([(2) > [(9) )

8.3. APLICACIONES DE LOS ESTADÍSTICOS ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICAORDENADOS

405 405

ya que de acuerdo con las tablas de la distribución Elqrpldo si [ Elqrpldo(10> 00 5) se tiene { 0 1 2

S {[ = {} 0’0010 0’0098 0’0439

I ({) 0’0010 0’0108 0’0457

luego mediante el Sistema (8.3.2.2), al ser I (1) 00 05 ha de cumplirse que u 1 = 1, de donde u = 2, y, por la simetría de la Binomial para s = 00 5 es v = 9= Ejemplo 8.3.2.2 El menor valor q tal que el intervalo ([(1) > [(q) ) contenga a la mediana de la población con probabilidad mayor o igual que 00 9 es 5, ya que, de las tablas de la Elqrpldo(q> 00 5), la primera vez que se satisfacen a la vez s0 00 05 y sq 00 05 es con q = 5= Se puede repetir el enunciado y determinar el menor valor de q, tal que ([(2) > [(q31) ) sea un intervalo de grado de confianza 00 9 para la mediana. Esta vez las Ecuaciones (8.3.2.2) se reducen a ¾ s0 + s1 00 05 sq31 + sq 00 05 y debido a la simetría, la primera ecuación es suficiente y es satisfecha por primera vez para q = 8, con s0 + s1 = 00 0351, por lo que el intervalo es el ([(2) > [(7) ).

8.3.3.

Contrastes de hipótesis sobre los cuantiles

Suponiendo que la población tiene función de distribución continua, se trata de contrastar la hipótesis nula K0 : ns = n de que el cuantil de orden s es n, es decir I (n) = s. Las posibles hipótesis alternativas y las regiones críticas, quedan recogidas en la Tabla 8.3.3.1. K0 ns = n

K1 ns A n ns ? n ns 6= n

[(u)

Región Crítica [(u) A n [(v) ? n A n r´ [(v) ? n con u A v

Tabla 8.3.3.1. Regiones críticas para contrastar que el cuantil de orden s de una población es n. Si la muestra es compatible con la hipótesis nula el 100s % de las observaciónes deberían ser menores que n y las restantes 100(1 s) % mayores

406 406


que n. Por el contrario si hay muchas observaciones por encima de n, presumiblemente será ns A n; el que haya muchas observaciones por encima de n se detecta mediante [(u) A n con u razonablemente pequeño. La determinación de u, se hace a partir del tamaño deseado para el contraste, así si se quiere que S {[(u) A n|K0 } aplicando I , ha de cumplirse que S {I ([(u) ) A I (n) = s|K0 } o, lo que es lo mismo, S {X(u) A s} = 1 S {X(u) s} =

u31 P l=0

sl >

donde, X(u) es el estadístico ordenado de orden u de una muestra de una población con distribución X qliruph(0> 1) y sl las probabilidades correspondientes a una v.a. Elqrpldo(q> s)= Una manera alternativa de realizar este contraste consiste en construir la muestra [1 n> ===> [q n y contabilizar ahora el número de diferencias positivas existentes. Bajo la hipótesis nula, la probabilidad de obtener una diferencia positiva es S {[l A n|K0 } = 1 I (n) = 1 s y el número de diferencias positivas, bajo la hipótesis nula, es una v.a. Elqrpldo(q> 1 s). Se puede entonces, trabajar con la variable número de diferencias positivas en lugar de con [(u) . Este test será desarrollado con más detalle más adelante en la Sección 8.4.2. Ejemplo 8.3.3.1 Se pretende contrastar, a un tamaño de 00 1, que la mediana de una distribución continua es 2 frente a que es mayor. Se obtiene la muestra 3> 6> 1> 9> 4> 10> 12= La región crítica es de la forma UF = {[(u) A 2} donde u se obtiene de

u31 P l=0

sl 00 1

siendo sl las probabilidades de la v.a. Elqrpldo(7> 00 5) (véase la Tabla 8.3.3). Esto lleva a que u = 2 ya que s0 = 00 0078> s0 + s1 = 00 0625 y s0 + s1 + s2 = 00 2266. Para la muestra dada es [(2) = 3, que no es mayor que 2, luego [(2) no pertenece a la región crítica y se mantiene la hipótesis nula.

8.3 PROBLEMAS NO PARAMÉTRICOS ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA

407 407

Alternativamente, el número de signos positivos en la muestra [l 2, es una v.a. Elqrpldo(7> s), en la que s = S {[ A 2} = 00 5. Se rechaza la hipótesis nula hacia la hipótesis alternativa, cuando el número de signos positivos sea muy grande, es decir, la región crítica es de la forma UF = {número de signos positivos n} y para la determinación de n se emplea 00 1 = S {número de signos positivos n} =

q P

tl

l=n

con tl las probabilidades correspondientes a la Elqrpldo(7> 00 5); luego ha de ser n = 6. Como el número de signos positivos es 4, se mantiene K0 . Obsérvese que es equivalente decir que el número de signos positivos es superior a 6 a que [(2) es mayor que 2.

8.4.

PROBLEMAS NO PARAMÉTRICOS RELATIVOS A UNA MUESTRA

Estos problemas se dividen en dos grupos claramente diferenciados: los relativos a la bondad del ajuste y los problemas de localización. Los primeros son análogos a los problemas estudiados en la Sección 8.2 relativos a la distribución multinomial, tratados mediante los tests de la "2 , pero difieren de ellos en que se trabaja con funciones de distribución continuas. Este primer grupo de problemas está basado en la introducción de los estadísticos de Kolmogorov-Smirnov . En el segundo grupo, los problemas de localización, se trata de realizar tests sobre los cuantiles de la población y básicamente se supone, además de la hipótesis de continuidad de la función de distribución, la hipótesis de simetría de la misma. En concreto se van a estudiar el contraste de los signos y el contraste de los rangos signados o de Wilcoxon.

8.4.1.

Contrastes de Kolmogorov-Smirnov para una muestra

Dada una m.a.s. de tamaño q de una población [ con función de distribución I ({) continua continua,sesehahadefinido definido(véase (véase Sección 1.3.1) de la la Definición 1.4.1) la función de distribución empírica o muestral mediante IqW ({) = ql si {(l) { {(l+1) con l = 0> 1> ===> q donde aquí se añade por convenio {(0) = 4 y {(q+1) = +4. Se introducen los siguientes estadísticos.


408 408

Definición 8.4.1.1 (Estadísticos de Kolmogorov-Smirnov) Se llaman estadísticos unilaterales de Kolmogorov-Smirnov a Gq+ = sup(IqW ({) I ({)) {

Gq3 = sup(I ({) IqW ({)) {

y estadístico bilateral de Kolmogorov-Smirnov a Gq = sup|IqW ({) I ({)|= {

¥ El teorema de Glivenko-Cantelli (véase el Teorema 1.4.7), asegura que converge a I ({) uniformemente con probabilidad uno. Por lo tanto la magnitud de las diferencias entre IqW ({) y I ({), proporciona información de la compatibilidad entre la muestra y I ({)= IqW ({)

Proposición 8.4.1.1 Para m.a.s. de tamaño q de una población [ con función de distribución I continua, la función de distribución de los estadísticos Gq+ > Gq3 y de Gq no depende de I . Demostración: Recordando que {(0) = 4 y {(q+1) = +4, se puede poner μ ¶ l Gq+ = m´ ax sup I ({) 0$l$q {(l) ${${(l+1) q y

Como en el intervalo [{(q) > {(q+1) ) la función 1 I ({) es positiva o nula ¡l ¢ l sup q I ({) = q I ({(l) ) se tiene que

{(l) ${?{(l+1)

(8.4.1.1)

Gq+ = m´ ax

1$l$q

μ

¶ l I ({(l) ) q

como I ([(l) ) = X(l) es el estadístico ordenado de orden l de una muestra de la v.a. X qliruph(0> 1); es claro que esta expresión no depende de la distribución I . Análogamente ¡ ¢ I ({) ql Gq3 = m´ ax sup 0$l$q {(l) ${${(l+1) ¡ ¢ = m´ ax I ({(l+1) ) ql (8.4.1.2) 0$l$q ¡ ¢ = m´ ax I ({(l) ) l31 q 1$l$q

sin más que observar que en el intervalo [{(0) > {(1) ) la diferencia I ({(l+1) ) ql es positiva o nula.


409 409

ax{Gq+ > Gq3 } se sigue que la distribución de los Por último al ser Gq = m´ tres estadísticos es independiente de la función de distribución I . Se puede entonces enunciar esta proposición diciendo, que los estadísticos de Kolmogorov-Smirnov tienen distribución libre (véase la Sección 8.3). ¥ Se ha dado esta demostración porque permite obtener la expresión que se utiliza para el cálculo de estos estadísticos en las aplicaciones. Existe un procedimiento más sencillo de prueba mediante el paso de la variable [ a la variable X = I ([) que tiene distribución uniforme, en concreto para Gq se tiene Gq = sup|IqW ({) I ({)| = sup |IqW (I 31 (x)) I (I 31 (x))| {

=

xM(0>1)

sup |IqW (I 31 (x)) xM(0>1)

y por ser IqW (n) =

nr de [l $n q

IqW (I 31 (x)) =

x|

se sigue que

nr de I ([l ) x nr de [l I 31 (x) = q q

con lo que Gq = sup |JWq (x) x| xM(0>1)

donde JWq (x) es la distribución empírica correspondiente a una m.a.s. de tamaño q de una población uniforme. Por tanto Gq tiene distribución independiente de I . El mismo tipo de razonamiento es aplicable para Gq+ y Gq3 = ¥ La distribución exacta de estos estadísticos queda recogida en el siguiente teorema. Teorema 8.4.1.1 Para una población, con función de distribución continua y para m.a.s. de tamaño q es ; 0 si } 0 A A R R xq A ? q! 1 === m´ ax{ q31 3}>0} qR R 13} S {Gq+ }} = si 0 } 1 x3 x2 A === máx{ 2 3}>0} máx{ 1 3}>0} gx1 gx2 ===gxq31 gxq A A q q = 1 si } 1 Demostración: En virtud de la Expresión (8.4.1.1) ¾ μ ¶ ¾ ½ ½ l l S {Gq+ }} = S m´ X(l) } = S X(l) }> l = 1> 2> ===> q ax 1$l$q q q

410 410


Dado que la función de densidad del estadístico ordenado de una población uniforme es ½ q! si 0 x1 x2 ===xq 1 i (x1 > ===> xq ) = 0 resto (véase el Teorema 1.6.1.1), se obtiene inmediatamente la expresión del enunciado. ¥ Para Gq3 > usando un razonamiento análogo y a partir de la Expresión (8.4.1.2), se puede ver que éste tiene la misma distribución que Gq+ . Encontrar ahora la distribución del máximo, al menos desde un punto de vista teórico, es viable y por lo tanto se conoce la distribución de Gq . Las distribuciones asintóticas de estos estadísticos fueron obtenidas por Kolmogorov (1933, 1941) y por Smirnov (1939, 1948), quien dió una demostración más sencilla y generalizó el problema al caso de dos muestras. La utilización de estos estadísticos, para contrastar si una m.a.s. proviene de una distribución totalmente especificada I0 ({), queda recogida en la Tabla 8.4.1.1 K0 I = I0

K1 I 6= I0 I A I0 I ? I0

Región Crítica Gq A gq> Gq+ A g+ q> Gq3 A g3 q>

Tabla 8.4.1.1. Regiones críticas del test de Kolmogorov-Smirnov para una muestra. Si por ejemplo la hipótesis alternativa es que, I ({) I0 ({) existiendo algún valor para el que la desigualdad sea estricta, resultará que cuando K0 sea cierta IqW ({) será aproximadamente igual a I0 ({), para todo {, y Gq+ será pequeño. Por el contrario bajo la hipótesis alternativa IqW ({) se aproximará a la verdadera función de distribución de la población I que al ser mayor que I0 hará que aparezcan valores más altos de Gq+ , por lo tanto la región crítica habrá de ser de la forma UF = {Gq+ A n}= La determinación de la constante se obtiene de S {UF|K0 } con lo que ha de ser n = g+ q> . De manera análoga se justifican los restantes valores. Los estadísticos de Kolmogorov-Smirnov se emplean también para determinar una banda de confianza 1 para la función de distribución de la población.


411 411

Dados 1 y q, se puede obtener, véase la Tabla 7 en el Apéndice al final del libro, el valor gq> para el que se cumple que S {Gq gq > } 1 =

(8.4.1.3)

Normalmente, se fija un valor % suficientemente pequeño y se toma el menor tamaño muestral para el que se tiene (8.4.1.3) con % = gq> . En cualquier caso S {sup|IqW ({) I0 ({)| gq> } {

= S {{ : |IqW ({) I0 ({)| gq } = S {{ : IqW ({) gq> I0 ({) IqW ({) + gq> } con lo que al ir variando {, la banda [m´ ax {IqW ({) gq> > 0} > m´ın {IqW ({) + gq> > 1}] tiene una probabilidad mayor o igual que 1 de contener, para cualquier {, al valor I0 ({)= Ejemplo 8.4.1.1 Se desea contrastar si la siguiente colección de números 20> 88> 89> 69> 50> 77> 98> 56> 6> 41 es una m.a.s. de la Uniforme(0> 100), con un tamaño de = 00 1. Se puede construir la siguiente tabla: {(l) 6 20 41 50 56 69 79 88 89 98

l q

0’1 0’2 0’3 0’4 0’5 0’6 0’7 0’8 0’9 1

I0 ({(l) ) 0’06 0’20 0’41 0’50 0’56 0’69 0’79 0’88 0’89 0’98

l q

I0 ({(l) ) 0’04 0 -0’11 -0’10 -0’06 -0’09 -0’09 -0’08 0’01 0’09

l31 q

0 0’1 0’2 0’3 0’4 0’5 0’6 0’7 0’8 0’9

I0 ({(l) ) 0’06 0’10 0’21 0’20 0’16 0’19 0’19 0’18 0’09 0’08

l31 q

Aplicando la Expresión (8.4.1.1) se obtiene para Gq+ = 00 04 y mediante (8.4.2.2) es Gq3 = 00 21, de donde Gq = 00 21= La región crítica será UF = {Gq A gq>00 1 } y de la Tabla 7 se tiene que g10>00 1 = 00 369. Como el valor del estadístico es Gq = 00 21, éste no pertenece a la región crítica y, por tanto, se mantiene

412 412


la hipótesis de que los números tienen distribución uniforme. De hecho el p-valor es 00 769. Para determinar una banda de confianza con 1 = 00 9 para I0 , basta, de acuerdo con la Tabla 7 del Apéndice, con sumar y restar el valor 00 369 a la función de distribución empírica, con lo que se obtiene la Figura 8.4.1.1.

Figura 8.4.1.1. Banda de confianza de probabilidad 00 9 para el Ejemplo 8.4.1.1 ¥ Una generalización natural de este contraste, es al caso en que se estimen parámetros de la función de distribución I0 a partir de la muestra, en este contexto, se debe trabajar con un nivel de significación más bajo que el utilizado cuando los parámetros no se estiman a partir de la muestra. Así para la distribución normal, cuando se estiman los parámetros y 2 , a partir de la muestra mediante { y v2 , el problema está resuelto. Lilliefors (1967) investigó las propiedades del test de Komogorov-Smirnov modificando, mediante simulación, los niveles críticos del contraste, que pueden verse en la Tabla 8. Ejemplo 8.4.1.2 Para verificar el ajuste de los 20 datos siguientes a una distribución normal,


413 413

con un nivel de significación de 00 05. 86 109’8

93’7 101’9

106 100’7

101’3 99’1

88 104’6

103’1 88’3

96’7 93

91’2 106’9

79 112’2

107’9 117’2

b = v = 90 76 y se construye la se estiman los parámetros b = { = 990 345 tabla siguiente: {(l) 79 86 88 88’3 91’2 93 93’7 96’7 99’1 100’7 101’3 101’9 103’1 104’6 106 106’9 107’9 109’8 112’2 117’2

l q

0’05 0’10 0’15 0’20 0’25 0’30 0’35 0’40 0’45 0’50 0’55 0’60 0’65 0’70 0’75 0’80 0’85 0’90 0’95 1

I0 ({(l) ) 0’019 0’086 0’128 0’129 0’202 0’258 0’282 0’393 0’490 0’555 0’579 0’603 0’650 0’705 0’762 0’781 0’810 0’858 0’906 0’966

l q

I0 ({(l) ) 0’031 0’014 0’027 0’071 0’048 0’042 0’068 0’007 -0’040 -0’055 -0’029 -0’003 0 -0’005 -0’012 0’019 0’040 0’042 0’044 0’034

l31 q

0 0’05 0’10 0’15 0’20 0’25 0’30 0’35 0’40 0’45 0’50 0’55 0’60 0’65 0’70 0’75 0’80 0’85 0’90 0’95

I0 ({(l) ) 0’019 0’036 0’023 -0’021 0’002 0’008 -0’018 0’043 0’090 0’105 0’079 0’053 0’050 0’055 0’062 0’031 0’010 0’008 0’006 0’016

l31 q

El valor del estadístico de Kolmogorov-Smirnov es G20 = 00 105, ya que 3 = 00 071 y G20 = 00 105. De la Tabla 7 es g20;00 05 = 00 294, que pasa 0 a ser g20;00 05 = 0 192 si se tiene en cuenta la modificación de Lilliefors, ver Tabla 8. Como 00 105 no pertence a la región crítica, se acepta la hipótesis de normalidad. ¥

+ G20

Como ya se ha estudiado, el contraste de normalidad, puede hacerse también mediante el test de la chi-cuadrado, un argumento a favor del test de Kolmogorov-Smirnov, bajo normalidad, puede verse en Kac, Kiefer y Wolfowitz (1955), y consiste en que a tamaños muestrales grandes, el test de Kolmogorov-Smirnov tiene mayor potencia.

8.4.2.

Contrastes de localización

En la sección anterior se ha tratado el problema del ajuste a una distribución totalmente especificada, frecuentemente no es necesario conocer toda la


414 414

función de distribución sino que basta con alguna característica de ésta, por ejemplo, si se puede suponer que el fenómeno bajo estudio sufre únicamente una translación en la distribución pero su forma se mantiene exactamente igual. En estos casos, bastará con hacer hipótesis sobre el cuantil de orden s para tener asegurada la adecuación entre la muestra y la función de distribución. Se van a estudiar dos tipos de contrastes adecuados a esta situación: el test de los signos, válido para cualquier cuantil, y el test de Wilcoxon o de los rangos signados, que a costa de utilizar una mayor cantidad de la información contenida en la muestra, sólo es válido para contrastar hipótesis sobre el cuantil de orden 00 5, la mediana. Test de los signos. Se supone que la función de distribución de una v.a. es continua, y se pretende contrastar si su cuantil de orden s es un número conocido n, es decir si es I (n) = s. Si se resta a los valores de la muestra el valor conocido a contrastar n, la v.a. \ número de diferencias positivas (o de signos positivos) en {1 n> ====> {q n bajo la hipótesis nula, tiene distribución Elqrpldo(q> 1 s), ya que la probabilidad de éxito es S {[ n A 0} = 1 S {[ n} = 1 s= Un número de diferencias positivas bajo, indicará que el cuantil será menor que el valor a contrastar, por el contrario, si el número de diferencias positivas es alto, el cuantil será mayor que el valor n que se ha supuesto. Los diferentes contrastes que se pueden realizar quedan recogidas en la Tabla 8.4.2.1. K0 ns = n

K1 ns A n ns ? n ns 6= n

Región Crítica \ f1 \ f2 \ f1 o \ f2 (con f1 A f2 )

Tabla 8.4.2.1. Regiones críticas del test de los signos.

La existencia de valores iguales a n, que aunque es un suceso de probaeliminando este este valor valor de la bilidad cero puede darse en la práctica, se tratan trata eliminando muestra si es único. Si ocurre pocas veces, se asignan arbitrariamente signos positivos y negativos, en la esperanza de que esto no modifique sustancialmente las características del test. La presencia en la muestra de varios valores iguales a n invalidaría la hipótesis hecha, de que la función de distribución es continua, al menos en el valor n.


415 415

Para la determinación de las constantes f1 y f2 se utiliza la distribución Binomial, así en el primer caso, f1 ha de ser tal que S {\ A f1 |K0 } =

q P

1 lAf

sl

donde sl = S {\ = l} con \ Elqrpldo(q> 1 s)= En el contraste bilateral, las constantes f1 y f2 se determinan a partir de las expresiones S {\ f1 |K0 }

2

S {\ f2 |K0 }

2

Si el tamaño muestral es grande, se pueden utilizar las aproximaciones usuales para la binomial; por ejemplo mediante lap aproximación normal se puede emplear para \ la distribución Q (q(1 s)> q(1 s)s)= Ejemplo 8.4.2.1 Se postula que los alumnos de una determinada materia, de un curso en un colegio, han de obtener una calificación de manera que el cuartil de orden 1 sea igual a 30 5. Si éste es menor, se concluye que el aprovechamiento ha sido poco satisfactorio. Se dispone de las calificaciones de 12 alumnos tomados al azar y éstas son 40 5> 1> 3> 80 5> 4> 00 5> 50 5> 8> 2> 20 5> 40 5> 6= Se trata de contrastar la hipótesis nula K0 : n00 25 = 30 5 frente a la hipótesis alternativa K1 : n00 25 ? 30 5, con un nivel de significación = 00 1, la región crítica es de la forma {\ f2 }= s Dado que \ tiene distribución aproximada Q (12·00 75> 12 · 00 75 · 00 25)> al tipificar la v.a. queda S {\ f2 } = S {]

f2 9 } 10 5

= 10 2815 y por tanto f2 = siendo ] una v.a. Q (0> 1), de donde f2139 05 0 7 0777= La región crítica es UF = {\ 70 0777} y como \> número de diferencias positivas, vale 7, se rechaza la hipótesis nula. Test de Wilcoxon o de los rangos signados El test de los signos no utiliza toda la información suministrada por la muestra, ya que no tiene en cuenta la magnitud de las desviaciones al valor del cuantil. El test que se va a estudiar ahora considera estas magnitudes, pero a cambio, sólo se pueden hacer contrastes de hipótesis respecto a la mediana y no sobre cualquier otro cuantil.


416 416

Para contrastar la hipótesis nula K0 : la muestra proviene de una distribución simétrica con mediana P0 , frente a la hipótesis alternativa K1 : la mediana P es mayor que P0 , se construyen las variables Gl = [l P0 , y a sus valores absolutos, |Gl |, se les asigna un número de 1 a q de menor a mayor, llamado rango. Se llama estadístico de Wilcoxon y se denota por Wq+ , a la suma de los rangos correspondientes a valores de las variables Gl positivas. Analíticamente q P Wq+ = ]l u(|Gl |) (8.4.2.1) l=1

½

donde ]l =

1 si Gl A 0 0 si Gl ? 0

Si la población tiene distribución continua, la probabilidad de que aparezcan valores tanto con el mismo rango, como iguales a la mediana es cero. Se adoptará el convenio de ignorar los valores iguales a P0 , disminuyendo el tamaño muestral, y se asignará el promedio de los rangos, a los valores que presenten empates. Por ejemplo si la muestra es [l : 5> 2> 2> 3> 3> 4> 8 y la hipótesis es la mediana P0 = 4 , se emplea la nueva muestra [l : 5> 2> 2> 3> 3> 8 a la que corresponden los valores Gl = [l P0 : 1> 2> 2> 1> 1> 4 con lo que |Gl | : 1> 2> 2> 1> 1> 4 y Ul : 2> 40 5> 40 5> 2> 2> 6 obtenidos de los rangos 1> 4> 5> 2> 3> 6 al promediar 1> 2 y 3 por un lado y 4 y 5 por otro. Algunos autores proponen diferentes soluciones para este problema, que básicamente suponen ser conservadores con la hipótesis nula. Un estudio detallado del tratamiento de los empates puede verse en Lehman (1975) pág. 130. El contraste, también hubiera podido hacerse, utilizando la suma de los rangos correspondientes a valores negativos, es decir a partir del estadístico Wq3 =

q P

(1 ]l )u(|Gl |)

l=1

ya que si la distribución es continua Wq+ Wq3 =

(8.4.2.2)

q P l=1

u(|Gl |) =

(q + 1)q = 2

Los distintos contrastes basados en el estadístico de Wilcoxon pueden verse en la Tabla 8.4.2.2. K0 P = P0

K1 P A P0 P ? P0 P 6= P0

Wq+ A f1

Región Crítica Wq+ A f1 Wq+ ? f2 o Wq+ ? f2 con f1 A f2

Tabla 8.4.2.2. Regiones críticas del test de Wilcoxon.

ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA

417

Para poder determinar las constantes, se necesita conocer la distribución del estadístico Wq+ , bajo la hipótesis nula, para lo que se necesita el siguiente enunciado.

Proposición 8.4.2.1 Dada una v.a. G con distribución simétrica y de mediana 0, el signo y el valor absoluto de G son v.a. independientes. Demostración: Basta ver que S {G A 0> |G| ? g} = S {G A 0> g ? G ? g} = S {0 ? G ? +g} pero, por la hipótesis de simetría 1 1 S {0 ? G ? +g} = S {g ? G ? g} = S {|G| ? g} 2 2 y por ser la mediana 0 S {G A 0} =

1 2

con lo que S {G A 0> |G| ? g} = S {G A 0}S {|G| ? g}= Como consecuencia, las variables aleatorias signo y rango son independientes, ya que ésta última variable solo es función de |G|= ¥ Mediante este resultado, con G = [ P0 , se puede obtener la distribución de Wq+ , al menos para tamaños muestrales pequeños. Para ello, bajo la hipótesis nula, se puede considerar la muestra ordenada de menor a mayor de manera que los rangos correspondientes sean 1,2,...,n respectivamente y a continuación, con independencia, se asigna a cada rango un signo + o un signo con probabilidad 12 . De esta forma se puede suponer cada muestra, como una sucesión de q signos, cada uno + o , asociados ¡ ¢q a los q primeros números naturales y que tendrá de probabilidad 12 > ya que 1 S {+|K0 } = S {[l A P0 |K0 } = = 2 Por lo tanto, se puede tabular la distribución de Wq+ , al menos para


418 418

valores pequeños de n. Así por ejemplo, para q = 3, se tiene (1, + + + + -

2, + + + + -

3) + + + + -

W3+ = w 6 5 4 3 1 2 3 0

SK0 {W3+ = w} 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

lo que lleva a la distribución W3+ = w SK0 {W3+ = w}

0 1/8

1 1/8

2 1/8

3 2/8

4 1/8

5 1/8

6 1/8

Se observa que la distribución de Wq+ es simétrica alrededor de q(q+1)@4, ya que si se sustituyen los signos + por y los signos por +, cualquier muestra compatible con w se corresponde con un valor w0 donde w=

q P l=1

w0 =

]l u(|Gl |)

y por tanto w + w0 =

q P l=1

l=

q P

(1 ]l )u(|Gl |)

l=1

q+1 q 2

y de ahí la simetría que se observa respecto al valor (q + 1)q@4. Con el fin de encontrar la distribución de Wq+ para tamaños muestrales mayores, se emplea que bajo K0 es S {Wq+ = w} = S {Gq A 0}S {Wq+ = w|Gq A 0}+S {Gq ? 0}S {Wq+ = w|Gq ? 0} expresión que se convierte en 1 1 + + S {Wq+ = w} = S {Wq31 = w q} + S {Wq31 = w}= 2 2 Esta ecuación permite calcular la distribución del estadístico de Wilcoxon para una muestra de tamaño q, a partir de su distribución para una muestra de tamaño q 1. Con el fin de obtener la distribución asintótica del estadístico de Wilcoxon bajo la hipótesis nula, se puede poner la Expresión (8.4.2.1) en la forma (8.4.2.3)

Wq+ =

q P l=1

lZl


419 419

donde Zl vale 1 si la observación que tiene de rango l proviene de una observación [m mayor que P0 y vale 0 en caso contrario. Es claro que bajo la hipótesis nula H[Zl ] = S {[m A P0 } =

1 2

Y [Zl ] = H[Zl2 ] H 2 [Zl ] = H[Zl ]

1 1 = 4 4

y por lo tanto q 1P q(q + 1) l= 2 l=1 4 q 1 P 2 q(q + 1)(2q + 1) l = Y [Wq+ ] = 4 l=1 24

H[Wq+ ] =

donde es importante tener en cuenta que las variables lZl son sonindependienindependipero no igualmente distribuidas. entes pero no igualmente distribuidas. El teorema central del límite permite asegurar que bajo K0 se tiene la convergencia Wq+ q(q+1) L 4 q $] q(q+1)(2q+1) 24

donde ] se distribuye Q (0> 1)= Debe advertirse que, cuando como resultado del contraste se rechaza la bien porque, porque la hipótesis nula, puede ser bien la mediana mediana no no sea sea el el valor valor supuesto supuesto oo quizás también porque la distribución no sea simétrica. Ejemplo 8.4.2.2 Dada la siguiente m.a.s. de una v.a. Q (0> 1) -0’465

0’120

-0’238

-0’869

-1’016

0’417

0’056

0’561

para contrastar la hipótesis nula K0 : P0 = 1, frente a la hipótesis alternativa K1 : P0 A 1, con un nivel de significación = 00 01, se pasa a los valores |Gl | = |[l P0 | 0’535

1’120

0’762

0’131

|-0’016|

1’417

1’056

1’561

a los que les corresponden los rangos 3> 6> 4> 2> 1> 7> 5> 8 respectivamente. Se tiene que (8 + 1)8 1 = 35 W8+ = 2 y de acuerdo con la Tabla 8.4.2.2, la región crítica es de la forma UF = {W8+ A f1 }

420 420


con f1 = W8>00 01 = 34. Por lo que, como era de esperar, se rechaza la hipótesis nula. Si se contrasta ahora el verdadero valor, es decir P0 = 0, se obtienen los rangos 5> 2> 3> 7> 8> 4> 1> 6 y como el valor del estadístico es W8+ = 13, se acepta la hipótesis nula. Ejemplo 8.4.2.3 Dada la m.a.s. de tamaño 10 0’435 0’482

0’143 0’152

0’889 0’477

0’697 0’741

0’648 0’885

Se pretende contrastar, mediante el test de los signos y el de Wilcoxon, si proviene de una población X qliruph(0> 1), con un nivel de significación = 00 05. Mediante el test de los signos, se trata de contrastar K0 : P = n 1 = 00 5 2 frente a K1 : P 6= 00 5. La región crítica es de la forma UF = {\ ? f2 o \ A f1 } con \ Elqrpldo(10> 00 5) de donde si se quiere que S {\ A f1 |K0 } 00 025, y dado que s1 + s10 = 00 001 + 00 0098 = 00 0108 y s8 + s9 + s10 A 00 025, se obtiene f1 = 8 y por simetría f2 = 2. Como el número de signos positivos al hacer las diferencias de la muestra a P0 es 6, se acepta la hipótesis nula. Aplicando el test de Wilcoxon se obtiene Gl = [l P0 : |Gl | : Ul :

-0’065 -0’018 0’065 0’018 3 1

-0’357 -0’348 0’357 0’348 8 7

0’389 -0’023 0’389 0’023 10 2

0’197 0’241 0’197 0’241 5 6

0’148 0’385 0’148 0’385 4 9

de acuerdo con la Tabla 8.4.2.2, la región crítica es de la forma UF = {Wq+ A f1 o Wq+ ? f2 } y por la restricción del tamaño, ha de ser + S {W10 A f1 |K0 } 00 025 + con lo que f1 = W10;0 tabla 9), y por simetría f2 = 0 025 = 46 (véase la Tabla q(q+1) 2

46 = 9. Como la suma de los rangos correspondientes a diferencias positivas vale 34, se acepta la hipótesis nula. ¥ Con frecuencia el test de Wilcoxon se aplica para ver la homogeneidad de dos poblaciones [ e \ , a partir de una m.a.s. de la forma ([1 > \1 )> ===> ([q > \q ).


421 421

Para ello, se construye la variable diferencia ]l = [l \l y se contrasta la hipótesis nula K0 :es 0 la mediana de la población ]. En general no es cierto que P] = P[ P\ y en todo caso, ha de suponerse también la hipótesis de simetría para la variable diferencia. Ejemplo 8.4.2.4 Se escogen aleatoriamente 10 unidades de un determinado proceso de fabricación y se toman dos medidas de cada unidad con un intervalo de tiempo, obteniéndose los siguientes valores: nr de unidad 1d medida 2d medida diferencia

1 71 77 -6

2 108 105 3

3 72 71 1

4 140 148 -8

5 61 78 -17

6 97 117 -20

7 90 92 -2

8 127 131 -4

9 101 112 -11

10 114 105 9

Para contrastar la hipótesis de que las dos medidas se refieren a la misma magnitud, con un nivel de significación = 00 05, la región crítica viene dada por + + A f1 o W10 ? f2 , f1 A f2 }= UF = {W10 mediante las tablas de la distribución del estadístico de Wilcoxon (véase la Tabla 9), cómo ha de ser + Af1 |K0 } 00 025 S {W10 + S {W10 Af2 |K0 } 00 025

+ se obtiene que f1 = W10>0 0 025 = 46 y por ser la distribución del estadístico

f1 = 9. Los rangos correspondientes al simétrica ha de ser f2 = q(q+1) 2 valor absoluto de la variable diferencia son 5> 3> 1> 6> 9> 10> 2> 4> 8> 7>

con lo que se obtiene que Wq+ = 11; luego se acepta la hipótesis de homogeneidad.

8.4.3.

Contrastes de normalidad

Por la importancia y el papel central en estadística de la distribución normal, normal se estudia a continuación el contraste para comprobar si una m.a.s. proviene de una población normal. Como se ha dicho para realizar este contraste son aplicables tanto el modelo multinomial desarrollado en la Bondad del ajuste (véase la Sección 8.2.1) como el contraste de Kolmogorov-Smirnov (véase la Sección 8.4.1). El siguiente procedimiento gráfico, basado en la transformación mediante la función de distribución, constituye un método bastante intuitivo aunque no muy preciso, que permite resolver el problema. Basta observar que dada


422 422

la m.a.s. ({1 > ===> {q ), la nueva muestra (I ({1 )> ===> I ({q )), con I la función de distribución de la v.a. Q (> ), tiene distribución uniforme (véase la Sección 1.6.3); por lo tanto la imagen de la muestra ordenada puede considerarse como una muestra ordenada (x(1) > ===> x(q) ) de la distribución X (0> 1), y de acuerdo con la propiedad de los recubrimientos (véase la Sección 1.5.3, Ex1 presión (1.5.3.1)) la esperanza de los recubrimientos es q+1 . Esto implica, l 31 que los puntos ({(l) > I ( q+1 )) deberán estar aproximadamente sobre la bisectriz del primer cuadrante, ya que se ha sustituido el valor de una variable por su esperanza, y ésto toda³I función de distribución continua. ´´ ³ { para (l) 3 l 31 la función de dis> , siendo En particular, los puntos q+1 tribución de la v.a. Q (0> 1), estarán aproximadamente sobre la bisectriz del primer cuadrante, es decir μ 31

l q+1

¶ '

{(l)

o lo que es lo mismo μ 31

{(l) ' +

l q+1

¶ =

En resumen, si la m.a.s. ({1 > ===> {q ) proviene de una población normal, l )) han de estar alineados. La ordenada en el origen los puntos ({(l) > 31 ( q+1 sería y la pendiente de la recta . Esto permite además, al menos de una forma rudimentaria, estimar y , ya que en general estos parámetros no serán conocidos. Un ejemplo ayudará a entender la forma de proceder.

Ejemplo 8.4.3.1 Los siguientes datos están tomados de Stigler (1977) y se refieren a los experimentos realizados por Michelson, entre el 5 de Junio de 1879 y el 2 de Julio de 2879, para determinar de manera experimental, la velocidad de la luz. Se ha restado 299.000 a cada dato 890 720 980 850 790

900 800 740 650 860

810 770 920 880 960

1070 950 1000 830 780

820 760 910 840 870

Con el el fin finde decontrastar contrastarsu suajuste ajusteaauna unadistribución distribuciónnormal normalde deparámetparámeCon


423 423

ros trosconvenientes, convenientes,se secontruye construyelalasiguiente siguienteTabla: Tabla:

l {(l) l@(q + 1) 31 (l@(q + 1))

1 650 0’0385 -1’7684 8 800 0’3077 -0’5024 15 870 0’5769 0’1940 22 960 0’861 1’0203

2 720 0’0769 -1’4262 9 810 0’3461 -0’3959 16 880 0’6154 0’2934 23 980 0’8846 1’1983

3 740 0’1154 -1’1983 10 820 0’3846 -0’2934 17 890 0’6538 0’3959 24 1000 0’9231 1’4263

4 760 0’1538 -1’0203 11 830 0’4231 -0’1940 18 900 0’6923 0’5024 25 1070 0’9615 1’7484

5 770 0’1923 -0’8694 12 840 0’4615 -0’0966 19 910 0’7308 0’6152

6 780 0’2308 -0’7362 13 850 0’5000 0 20 920 0’7692 0’7362

7 790 0’2692 -0’6152 14 860 0’5385 0’0966 21 950 0’8077 0’8694

Por comodidad se acostumbra a representar ({(l) > 10031 (l@(q + 1)), lo que permite construir el diagrama contenido en la Figura 8.4.2. El problema es cuantificar numéricamente el ajuste, para ver si debe ser aceptada la suposición de normalidad. Esto se puede hacer calculando el coeficiente de correlación muestral que en este caso vale 00 994 (véase la Expresión (1.2.6)), lo que pone de manifiesto un buen ajuste. Además, mediante la determinación de la recta de regresion de 100 31 (l@(q + 1)) sobre {(l) > que es

100 31 (l@(q + 1)) = 8020 438 + 00 9396 {(l)

(véase la Expresión (7.4.1.4)), se puede determinar, sin recurrir al método gráfico, que b = 850 402 y b = 10060 428= En resumen, el ajuste a la normal es bueno y se puede afirmar que a partir de los experimentos de Michelson, se hubiera dado como estimador de la velocidad de la luz el valor 299>0850 402, obtenido sumando 299>000 a la media estimada.

424 424


Figura 8.4.2. Diagrama de ajuste a la distribución normal para los datos del Ejemplo 8.4.3.2.

8.4.4.

Valores discordantes

Con frecuencia al estudiar una muestra aparecen observaciones que no son homogéneas con las restantes en su orden de magnitud. A tales observaciones se les da el nombre de discordantes o atípicas y el primer problema es decidir si una observación puede ser clasificada como tal. Una solución puede ser utilizar la desigualdad de Tchebyche y suponer que una observación es discordante si dista de la media muestral en valor absoluto, más de tres veces la desviación típica muestral. Pero la media muestral depende fuertemente de la observación discordante por lo que se prefiere utilizar una medida de centralización que no dependa tanto de las observaciones extremas, tal como la mediana. Un test simple y razonable para clasificar una observación muestral {l como discordante es ver si cumple (8.4.4.1)

|{l P |@phg(|{l P |) A 5

donde P es la mediana muestral. El denominador de ésta expresión, la mediana de las desviaciones en valor absoluto a la mediana muestral, es una medida de dispersión. El siguiente ejemplo explica la manera de proceder


425 425

Ejemplo 8.4.4.1 Los siguientes datos 3’7

6’9

6’2

8’9

7’2

5’4

2’8

17’2

13’7

son analizados para ver si puede ser considerado como observación discordante el valor 17’2. En efecto, la mediana muestral es P = 60 9, con lo que se tiene la siguiente tabla: {lm gl = |{(l) P | g(l)

2’8 4’1 0

3’7 3’2 0’3

5’4 1’5 0’7

6’2 0’7 1’5

6’9 0 2

7’2 0’3 3’2

6’9 2 4’1

13’7 6’8 6’8

17’2 10’3 10’3

la phg(gl ) = 2 y el único valor que cumple que |{l 60 9| A 50 2 es 170 2, por lo que puede ser considerado discordante. ¥

Una vez detectada la existencia de un valor atípico surge el problema de qué se debe hacer con él se le podría eliminar de la muestra, otra posibilidad es medir la influencia que tiene en el procedimiento estadístico que se esté empleando. Esta segunda idea llevó a Huber (1972) a la introducción de los m-estimadores. Un estudio de los m-estimadores así como de las funciones de influencia puede verse en (Randle y Wolfe (1979), Sección 7.4).

8.4.5.

Estimación no paramétrica de densidades

Lo mismo que la función de distribución empírica aproxima a la función de distribución de la población, surge de manera natural la pregunta ¿cómo se puede puede estimar la función función de de densidad densidad de de la la población? población?un uncandidato candidatonatunatral eseselelhistograma, ural histograma,obtenido obtenidodividiendo dividiendoelelrecorrido recorrido de de la variabla variable aleatoria aleatoria en un número adecuado de clases y poniendo como alturas números proporcionales a las frecuencias observadas en la muestra. Si la amplitud de cada clase no es la misma, el histograma puede dar formas bastantes diferentes, para evitar esto y también para hacer que el área del histograma valga la unidad, se supondrán todas las amplitudes de las clases iguales a k y las ql > con ql las frecuencias observadas en cada clase y q el alturas iguales a qk tamaño de la m.a.s. observada. Dos problemas principales aparecen en este procedimiento: la función que se obtiene no es derivable y además depende fuertemente de la amplitud k con que se escojan las clases. Ejemplo 8.4.5.1 (Silverman (1996)) Los datos de la Tabla 8.4.5.1 recogen el número de días que duró el tratamien-


426 426

to psicológico suministrado a 86 pacientes.

1 21 37 65 93 147 314

1 22 38 67 93 153 322

1 25 39 75 103 163 369

5 27 39 76 103 167 415

7 27 40 79 111 175 573

8 30 49 82 112 228 609

8 30 49 83 119 231 640

13 31 54 84 122 235 737

14 31 56 84 123 242

14 32 56 84 126 256

17 34 62 90 129 256

18 35 63 91 134 257

21 36 65 92 144 311

Tabla 8.5.4.1. Días de tratamiento dado a 86 pacientes en un estudio psicológico.

Como se puede ver existe una notable discrepancia entre la representación con la amplitud del intervalo k = 50, Figura 8.4.5.1 (a), y la amplitud k = 75, Figura 8.4.5.2 (b). figura 8.4.5.2 (b). Como norma general, a medida que la amplitud de banda aumenta, la forma que presentan los datos representados tiende a difuminarse. ¥

Como alternativa al histograma de rectángulos, puede construirse un estimador ib({) de la función de densidad, que sea una función continua, observando que la función de densidad verifica

i ({) = l´ım

k<0

1 S {{ k ? [ { + k} 2k

para un valor de k fijo, parece lógico estimar S {{ k ? [l { + k} por la proporción de puntos muestrales que caen dentro del intervalo ({ k> { + k]. Entonces un estimador natural ib de la densidad puede venir dado, si se fija un valor pequeño para k, por

(8.4.5.1)

q 1 P L ({l ) ib({) = 2kq l=1 ({3k>{+k]

o alternativamente mediante


427 427

Figura 8.4.5.1. Representación del histograma de frecuencias correspondiente al Ejemplo 8.4.5.1 para (a) una amplitud de banda k = 50 (b) una amplitud de banda k = 75=

(8.4.5.2)

(8.4.5.3)

q 1 1 P L ib({) = ({l ) q l=1 2k ({3k>{+k]

=

q 1 1 P z q l=1 k

μ

{ {l k

¶

donde ½ (8.4.5.4)

z(|) =

1 2

0

si ||| ? 1 resto

428 428


La Expresión (8.4.5.2) proporciona la clave para la obtención de una expresión continua, ya que obedece a colocar sobre cada punto muestral {l una caja de base 2k y de altura (2k)31 y después promediar en todas las observaciones. Se puede tomar como z(|) una función no negativa, simétrica, centrada en cero y que integre 1. De esta forma

zk (|) =

1 ³|´ z k k

con lo que definitivamente es

(8.4.5.5)

q 1 P zk ({ {l ) ib({) = q l=1

A este estimador se le llama estimador núcleo de la función de densidad, a la función z función núcleo y al parámetro k amplitud de banda o factor de suavizado. Una posibilidad, ampliamente usada en la práctica, es tomar como función z la densidad de la distribución Q (0> 1), con lo que zk ({ {l ) es la función de densidad de la distribución Q ({l > k). En las aplicaciones es conveniente realizar la estimación con diferentes valores de amplitud de banda, en general si el valor de k es demasiado pequeño la estimación será muy abrupta, mientras que si es demasiado grande la función será muy suave. Un estudio de la estimación no paramétrica de densidades puede verse en el libro de Silverman (1986). Una revisión de problemas en relación con la elección del factor de suavizado puede verse en Devroye (1997).

Ejemplo 8.4.5.2 Para los datos del Ejemplo 8.4.5.1, la Figura 8.4.5.2 recoge los estimadores núcleo con amplitudes de banda de 20 y 60 días, respectivamente. Se observa que la primera amplitud no suaviza lo suficiente a partir del valor correspondiente a los 200 días, mientras que la segunda suaviza demasiado esta parte de la densidad y además acorta el efecto del cuerpo principal de la densidad.


429 429

Figura 8.4.5.2. Estimación de la función de densidad para los datos del Ejemplo 8.4.5.1 para (a) una amplitud de banda de 20 días (b) una amplitud de banda de 60 días.

8.5.

PROBLEMAS NO PARAMÉTRICOS RELATIVOS A DOS MUESTRAS

Los problemas que son tratados dentro de este Epígrafe, epígrafe, tienen como hipótesis nula que dos m.a.s. e independientes entre sí, provienen de una misma distribución, que se supone es de la clase de las funciones de distribución continuas. La hipótesis alternativa es que o bien ambas funciones de distribución son distintas o bien que una de las variables domina estocásticamente a la otra. Se dice que la v.a. \ domina estocásticamente a la v.a. [ si I[ ({) I\ ({).

8.5.1.

Contrastes de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras

Dados los valores de dos m.a.s. ({1 > ===> {p ) e (|1 > ===> |q ) independientes de dos poblaciones con funciones de distribución I[ ({) y I\ ({) respectivamente, se define el estadístico de Kolmogorov-Smirnov bilateral , mediante (8.5.1.1)

W ({) JWq ({)| Gp>q = sup|Ip {

y los estadísticos de Kolmogorov-Smirnov unilaterales, mediante (8.5.1.2)

+ W Gp>q = sup(Ip ({) JWq ({)) {

(8.5.1.3)

3 W = sup(JWq ({) Ip ({)) Gp>q {

430 430


donde p 1 P L ({l ) p l=1 (3">{] q 1 P JWq ({) = L (|m ) q m=1 (3">{]

W ({) = Ip

+ 3 y Gp>q De forma análoga al caso de una muestra única, Gp>q > Gp>q tienen distribución libre. Ya que mediante el cambio x = I ({) se tiene que

(8.5.1.4)

W (I 31 (x)) JWq (I 31 (x))| Gp>q = sup |Ip xM[0>1]

y nr de valores {l I 31 (x) p nr de valores I ({l ) x = p

W Ip (I 31 (x)) =

expresión que es la función de distribución empírica correspondiente a una m.a.s. de tamaño p, de una población Uniforme(0> 1). Análogamente JWq (I 31 (x)) es la función de distribución empírica correspondiente a una m.a.s. de tamaño q de una población Uniforme(0> 1), por lo tanto el estadístico de la Expresión (8.5.1.1) tiene distribución independiente de I[ y I\ y lo mismo es válido para los restantes estadísticos. Los distintos contrastes quedan recogidos en la Tabla 8.5.1.1, donde el valor de las constantes está expresado con la notación usual. K0 I[ = I\

K1 I[ = 6 I\ I[ A I\ I[ ? I\

Región Crítica Gp>q A gp>q; + A g+ Gp>q p>q; 3 A g3 Gp>q p>q;

Tabla 8.5.1.1. Regiones críticas del test de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras. La idea es que, si por ejemplo, la variable \ domina estocásticamente a la [, es decir, I\ ({) I[ ({), cabe esperar en ambas muestras, que los valores de la v.a. [ tengan tendencia a aparecer a la derecha de los valores de la v.a. \ , por lo que de acuerdo con el teorema de Glivenko-Cantelli + grandes. Por el contrario, si la hipótesis nula cabrá esperar valores de Gp>q + es cierta Gp>q ha de ser muy próximo a cero. 3 ya que si se quiere Realmente no es necesario utilizar el estadístico Gp>q como hipótesis alternativa I[ ? I\ intercambiando la muestra [ con la + = muestra \ se puede trabajar con Gp>q


431 431

La determinación de la distribución exacta de Gp>q , bajo la hipótesis nula se atribuye a Gnedenko (1954); y está basada en técnicas de recorridos aleatorios, puede verse en Hájek y Sidak (1967), pág. 141. La distribución asintótica cuando p y q crecen, mientras el cociente se mantiene constante, se debe a Smirnov (1939), una demostración puede verse en el mencionado libro de Hájek y Sidak (1967), pág. 189. Para valores pequeños, puede emplearse el siguiente método recursivo para determinar la distribución exacta bajo la hipótesis nula ½ ¾ ¯ © ª n n ¯ W W S Gp>q pq |K0 = S sup |Ip ({) Jq ({)| pq K0 = { ¯ ¾ ½ ¯ n ¯ W W S ([1 > ===> [p ) e (\1 > ===> \q ) con sup|Ip ({) Jq ({)| pq ¯ K0 {

Cada muestra conjunta ordenada se puede considerar como una poligonal con un segmento por cada observación, que tiene su vértice inicial en el punto (0,0) y en la que cada vértice genérico ({> |) se enlaza; bien con el punto ({ + 1> |), si la observación corresponde a la primera muestra, o bien con el punto ({> | + 1), si la observación se corresponde con la segunda; así hasta terminar en el vértice (p> q). Por ejemplo la muestra conjunta {(1) ? |(1) ? |(2) ? {(2) ? {(3) ? |(3) ? |(4) se corresponde con la poligonal de la Figura 8.5.1.1.

Figura 8.5.1.1. Poligonal asociada a la muestra conjunta {(1) ? |(1) ? |(2) ? {(2) ? {(3) ? |(3) ? |(4) = 0 ({)> qJW ({)) va recorriendo A medida que { recorre la recta real, (pIp q los valores (x> y) correspondientes a las coordenadas de los vértices de la


432 432

poligonal. Por lo tanto ½ S

Gp>q

¯ ¾ ¯ ¾ ½ ¯x y ¯¯ n ¯¯ n ¯¯ ¯ K0 = S m´ K0 = ax ¯ ¯ pq ¯ p q pq ¯ ¯ ¾ ½ ¯ n ¯¯ 1 ¯¯ q ¯ K0 = S máx ¯ q x y¯ pq ¯ (x>y) q p

donde el último máximo está calculado cuando los valores (x> y) se van vértices de de la la poligonal. poligonal. Simplificando Simplificando q1q1 yycómo moviendo por los vértices cómolaladiferdiferq encia p x y representa la distancia en vertical del vértice (x> y) a la recta rencia que une el origen y el punto (p> q), se tiene que ½ S

Gp>q

¯ ¾ e ¯¯ Dn (p> q) K0 = ¡p+q¢ pq ¯ p

con Dn (p> q) el número de poligonales que unen el origen con el punto n (p> q) y que están a distancia vertical de dicha recta menor o igual que p = El número combinatorio del denominador se obtiene de considerar que bajo la hipótesis nula ambas muestras tienen la misma distribución, por lo que una configuración de p valores de la primera muestra y q de la segunda ¢31 ¡ . tiene de probabilidad p+q p Es inmediato comprobar la siguiente expresión recursiva Dn (x> y) = Dn (x 1> y) + Dn (x> y 1) donde se supone que Dn (x> y) = 0 para los puntos (x> y) cuya distancia n = Este vertical a la recta que une el origen con (p> q) sea mayor que p + = razonamiento se traslada fácilmente para calcular la distribución de Gp>q Ejemplo 8.5.1.1 Para p = 3 q = 4 puede verificarse que:

{ S {G3>4 {}

3 14 1 35

4 12 4 35

5 12 12 35

6 12 21 35

8 12 27 35

9 12 33 35

12 12 35 35

donde para el cálculo de la distribución de G3>4 se tiene ½ S

G3>4

¯ ¾ ¯ ¯ ¯ ¾ ½ ¯ 1 ¯¯ 4 6 ¯¯ 6 ¯¯ ¯ ax ¯ K0 = S m´ x y¯ K0 12 3 · 4¯ (x>y) 4 ¯ 3 ¯ ¯ ¾ ¯ ½ ¯ ¯ ¯4 = S máx ¯¯ x y ¯¯ 2¯¯ K0 (x>y) 3


433 433

Figura 8.5.1.2. Cálculo de Dn (3> 4)= se construye ahora una banda de una altura de 2 unidades por encima y por debajo de la diagonal y se asigna 0 a todos los elementos que quedan fuera de la banda. El número que se asigna a cada vértice dentro de la banda es la suma de los dos números que quedan inmediatamente a su izquierda y por debajo, véase la Figura 8.5.1.2. ¥ Para tamaños pequeños y con muestras de igual dimensión, es posible + bajo la hipótecalcular de forma explícita la distribución de Gq>q y de Gq>q sis nula. Basta observar que ¯ ¾ ½ ½ ³ x y ´ n ¯¯ ¾ n ¯¯ + S Gq>q ¯ K0 = S m´ ax ¯¯ K0 q q q q = S {m´ ax(x y) n|K0 }= Si se asocia a cada muestra conjunta ordenada, una poligonal de lados paralelos a las diagonales del primer y del cuarto cuadrante; según que el valor se corresponda con la primera o segunda muestra respectivamente, es posible calcular, de forma explícita, la distribución de probabilidad. A título de ejemplo la muestra conjunta {(1) ? |(1) ? |(2) ? {(2) ? {(3) ? |(3) se corresponde con la poligonal de la Figura 8.5.1.3. ax( qx qy ), como xy es precisamente Si se emplea la notación Gq>q = m´ la ordenada correspondiente a cada vértide de la poligonal, se tiene ¯ ¾ ½ ½ ³ x y ´ n ¯¯ ¾ n¯ S Gq>q ¯¯ K0 = S m´ ax ¯¯ K0 q q q q

434 434


Figura 8.5.1.3. Poligonal asociada a la muestra conjunta {(1) ? |(1) ? |(2) ? {(2) ? {(3) ? |(3) =

que puede ponerse como En (q) S {m´ ax(x y) n|K0 } = ¡2q¢ q

siendo En (q), el número de poligonales de longitud 2q que unen el origen con el punto (2q> 0) sin subir más arriba de la ordenada n. El número de poligonales que unen el origen con el punto (2q> 0) sin alcanzar la ordenada n + 1, coincide con el número total de poligonales entre los citados puntos, menos las que los unen alcanzando el valor n + 1. Estas últimas poligonales se pueden contar, ya que hay el mismo número de las que unen el origen con el punto (2q> 0) tocando n + 1, que las que unen el punto (0> 2n + 2) con el (2q> 0). Para ver esto último basta reflejar, respecto a la recta n + 1, la parte de poligonal que va del punto (0> 0) hasta tocar a la ordenada n + 1. Como las poligonales que unen (0> 2n + 2) con (2q> 0) tienen l tramos ascendentes y m tramos descendentes, ha de cumplirse 2n + 2 + l m = 0 l + m = 2q

¾

esto lleva a que m = q + n + 1 y por lo tanto ½ S

+ Gq>q

¡ 2q ¢ ¯ ¾ n ¯¯ ¡2q¢ ¯ K0 = 1 q+n+1 q q

ya que, por la hipótesis nula, ¡ ¢ las configuraciones posibles de longitud 2q de la muestra conjunta son 2q q =


435 435

Ejemplo 8.5.1.2 Para q = 3 las configuraciones posibles son: X X X X X X X X X X

X X X X Y Y Y Y Y Y

X Y Y Y X X X Y Y Y

Y X Y Y X Y Y X X Y

Y Y X Y Y X Y X Y X

xy 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1

Y Y Y X Y Y X Y X X

xy 0 0 0 1 0 0 1 1 1 2

La segunda columna que lleva por encabezamiento x y se obtiene cambiando los valores de [ por los de \ . La distribución g+ 33

0

1 3

2 3

1

+ S {G33 = g+ 33 }

5 20

9 20

5 20

1 20

Se puede obtener directamente observando que ¡ 6 ¢ ¯ ¾ ½ n ¯¯ + ¡6¢ S G33 ¯ K0 = 1 4+n 3 3 Las distribuciones asintóticas bajo K0 de los estadísticos de KolmogorovSmirnov vienen dadas por (r

) " P p+q 2 2 Gpq ? { = 1 2 (1)l+1 h32l { l´ım S q>p<" pq l=1 (r ) p+q + 2 Gpq ? { = 1 h32{ {A0 l´ım S q>p<" pq

{A0

puede & verse en Hájek Sidak (1967) pág 190. Hájek Sidak (1967)&pág. 190. + y G 3 es la misma (véase La distribución exacta de los estadísticos Gp>q p>q Hájek (1969), pág. 80). Ejemplo 8.5.1.3 Para comparar la duración de dos marcas de neumáticos, se usan hasta que se gastan obteniéndose los siguientes recorridos en miles de kilómetros: A B

17’8 16’9

19’6 17’9

19’9 18’7

20’6 19’8

21’4 27’6

28’4 27’9

30’1 30’8

32’1 34’1


436 436

Si se quiere contrastar la hipótesis K0 : I[ = I\ frente a la hipótesis alternativa K1 : I[ 6= I\ con un nivel de significación = 00 05 mediante el test de Kolmogorov-Smirnov, se construye la siguiente tabla: 160 9

|(1) = {(1) = 170 8 |(2) = 170 9 |(3) = 180 7 {(2) = 190 6 |(4) = 190 8 {(3) = 190 9 {(4) = 900 6

q|IqW ({) JWq ({)| 1 0 1 2 1 2 1 0

210 4

{(5) = |(5) = 270 6 |(6) = 270 9 {(6) = 280 4 {(7) = 300 8 |(7) = 300 8 x(8) = 320 1 |(8) = 340 1

q|IqW ({) JWq ({) 1 0 1 0 1 0 1 0

La región crítica es de la forma UF = {G8>8 A g8>8;00 05 = 58 } (véase la Tabla 11 al final del libro). Al ser el valor del estadístico G8>8 = 28 , que no pertenece a la UF se mantiene K0 =

8.5.2.

Test de la mediana

El test de Kolmogorov-Smirnov está indicado para contrastar hipótesis alternativas muy generales. Si se tiene evidencia de que existe un parámetro de localización, es decir I\ ({) = I[ ({ ), con desconocido, se sigue que las distribuciones de las dos poblaciones son trasladadas la una de otra y entonces se puede utilizar el test de la mediana para contrastar si ambas poblaciones son en realidad la misma. Si se consideran dos m.a.s. ([1 > ===> [p ) e (\1 > ===> \q ), cada una de una población y se ordenan conjuntamente, se obtiene (](1) > ](2) > ===> ](q+p) ), la mediana muestral P es el valor 12 (](n) +](n+1) ) si Q es par o el valor ](n+1) £ ¤ si Q es impar, siendo Q = p + q y n = Q2 (véase la Definición 1.3.2.1). £Q ¤ Esto se concreta en que hay n = 2 observaciones menores o iguales a P tanto si Q es par como impar. Si se introduce el estadístico W , número de observaciones de la primera muestra que son menores o iguales que P , es intuitivo el contenido de la Tabla 8.5.2.1. K0 P[ = P\

K1 P[ ? P\ ( A 0) P[ A P\ ( ? 0) P[ 6= P\ ( 6= 0)

Región Crítica W A f1 W ? f2 W A f1 o W ? f2 (con f1 A f2 )

Tabla 8.5.2.1. Regiones críticas del test de la Mediana para dos muestras. En concreto, si W es un valor alto, próximo a P , esto apoyaría una configuración parecida, al ordenar las muestras de menor a mayor, a la


437 437

[[===[\ \===\ donde [ significa un valor de la primera muestra e \ de la segunda, y, por tanto, tal que P[ ? P\ . De manera análoga se justifican los otros contrastes. Para la determinación de las constantes, se utiliza que bajo K0 , W se hwulfd(p + q> p> n), así por debajo de la distribuye con la ley Klshujhrp´ mediana ha de haber w observaciones de la primera muestra y n w de la segunda, por lo que ¡ ¢¡ ¢ p

q

n3w ¢ S {W = w|K0 } = ¡w p+q n

con w = m´ ax{0> n q}> ===> m´ın{p> n} Como aproximaciones, se pueden emplear las correspondientes a la disribución Hipergeométrica, es decir, si p> q $ 4 con p q $ se utiliza la ). También se puede utilizar la aproximación normal v.a. Elqrpldo(n> p q s W pn L q p Q Q 1 $ ] Q (0> 1)= pqn(Q n) Ejemplo 8.5.2.1 Los datos siguientes representan la duración en horas de dos tipos diferentes de baterías: Tipo 1: Tipo 2:

40’1 50’5

30’5 50’7

40’2 45’5

45 55’7

55’5 60

30’6 40’8

Para contrastar su diferencia mediante un test de tamaño = 00 05> se puede utilizar el contraste de la mediana con K0 : P[ = P\ ó I[ = I\ K11 : : P I[IA P[[ ??PP A\ ,Iya frente a K o bien , ya cabe que cabe suponer suponer la exisla \ \o bien [ I \ que tencia de un parámetro de de localización. existencia de un parámetro localización.LaLaregión regióncrítica críticaes esde de la la forma forma UF = {W A f1 }= La muestra conjunta reordenada es 300 5 ? 300 6 ? 400 1 ? 400 2 ? 400 8 ? 45 ? 450 5 ? 500 1 ? 500 7 ? 550 5 ? 550 7 ? 60 donde los valores subrayados pertenecen a la primera muestra. Como p + q = 12 la mediana muestral es P = (45 + 450 5)@2 = 450 25 y el estadístico W toma el valor 5. Dado que ¡6¢¡6¢ S {W =6|K0 } = 6¡12¢0 = 00 0011 6 ¡6¢¡ 6¢

S {W =5|K0 } = 5¡12¢1 = 00 0389 6 ¡6¢¡ 6¢

S {W =4|K0 } = 4¡12¢2 = 00 2435 00 039

6 00 05,

? por lo que la región crítica es se tiene que S {W A 4|K0 } = UF = {W A 4} y 5A4= Luego se rechaza la hipótesis nula.


438 438

8.5.3.

Test de Mann-Whitney-Wilcoxon

Este test fue obtenido por Mann-Whitney (1947) y por Wilcoxon (1947) mediante una expresión equivalente por un cambio lineal. Se trata de un test válido para contrastar la homogeneidad entre dos poblaciones continuas. Dadas dos m.a.s., la primera de tamaño p de una población con función de distribución I[ , y la segunda de tamaño q de una población con función de distribución I\ , se define el estadístico de Mann-Whitney-Wilcoxon como X=

q p P P l=1 m=1

Para cada l fijo,

½ Glm

q P m=1

siendo Glm =

1 si [l ? \m 0 resto

Glm es el número de veces que las observaciones

de la segunda muestra están por encima del valor [l > l = 1> ===> p; por lo tanto X es el número de veces que las observaciones de la segunda muestra están por encima de las observaciones de la primera. Es claro que X 5 {0> 1> ===> pq}, que a la configuración \ \===\ [[===[ le corresponde X = 0 y a la configuración [[===[\ \===\ le corresponde X = pq. Valores grandes de X apoyarán el que I[ A I\ -que \ domina estocástiamente a [- mientras que valores pequeños de X apoyarán el que I[ ? I\ , con lo que se obtiene la Tabla 8.5.3.1 K0 I[ = I\

K1 I[ A I\ I[ ? I\ I[ 6= I\

Región Crítica X A f1 X ? f2 X A f1 o X ? f2 (f1 A f2 )

Tabla 8.5.3.1. Regiones críticas del test de Mann-Whitney-Wilcoxon. Para la de las constantes se emplea que bajo la hipótesis ¢ ¡ determinación ordenaciones conjuntas son equiprobables y por tanto nula, las p+q p (8.5.3.1)

up>q (x) S {X = x|K0 } = ¡p+q¢

0xp·q

p

donde up>q (x) es el número de ordenaciones conjuntas compatibles con el valor X = x= Para tamaños pequeños, por enumeración, se puede determinar de forma exacta la distribución de X bajo K0 . Por ejemplo si p = 2 y q = 3, y se emplea la notación (|{{||) para simbolizar la muestra conjunta ordenada


439 439

(|(1) > {(1) > {(2) > |(2) > |(3) ), se obtiene la Tabla 8.5.3.2 muestras {{||| {|{|| {||{| |{{|| {|||{

X 6 5 4 4 3

muestras |{|{| |||{{ ||{|{ |{||{ ||{{|

X 3 0 1 2 2

Tabla 8.5.3.2. Valores del estadístico de Mann-Whitney-Wilcoxon para p = 2 y q = 3=

que lleva a la distribución de probabilidad de la Tabla 8.5.3.3 x S {X = x|K0 }

0

1 10

1

1 10

2

2 10

3

2 10

4

2 10

5

1 10

6

1 10

Tabla 8.5.3.3. Distribución del estadístico de Mann-Whitney-Wilcoxon para p = 2 y q = 3= Las 4 últimas configuraciones de la Tabla 8.5.3.2 se convierten en las cuatro primeras cuando se lee la muestra de derecha a izquierda, las ordenaciones 5 y 6 son invariantes mediante este mecanismo. Luego si llamamos x0 a los valores correspondientes de X para ésta segunda parte de la tabla se p P q P 1 = pq con lo que se demuestra que la distribución tiene que x+x0 = l=1 m=1

de X es simétrica alrededor del valor pq 2 = Para el cálculo de los numeradores de la Expresión (8.5.3.1) es válida la siguiente relación recurrente up>p (x) = up31>q (x) + up>q31 (x p) ya que dada una configuración conjunta de p observaciones de [ y q observaciones de \ , si acaba en [ y se suprime esta última [, queda una sucesión de p 1 observaciones de [ y q observaciones de \ , que ha de ser compatible con X = x, ya que la [ suprimida no contribuye al valor de X . Por el contrario si acaba en \ y se la suprime, queda una configuración de p observaciones de [ y q 1 observaciones de \ que ha de corresponderse con X = x p, ya que la \ suprimida está por encima de p observaciones de la v.a. [. Por lo tanto se tiene que bajo K0 Sp>q {X = x|K0 } = S {acabar en [|K0 }Sp>q {X = x|acabar en [, H0 }+ +S {acabar en \ |K0 }Sp>q {X = x|acabar en \> K0 } p q Sp31>q {X = x|K0 } + p+q Sp>q31 {X = x p|K0 }= = q+p


440 440

Obviamente, el test no depende del orden en que se obtengan las dos muestras, por lo que se toma como [ la variable a la que corresponda el menor tamaño muestral; es decir se supone que es p q= Para obtener la distribución asintótica del estadístico de Mann-WhitneyWilcoxon, como X es suma de v.a. dependientes, se construye una sucesión de v.a. independientes que converjan a lo mismo y cuya media y varianza se conserven (véase Mann y Whitney (1947)). Además H [X |K0 ] =

p P q P l=1 m=1

H [Glm |K0 ] =

p P q P l=1 m=1

S {[l ? \m |K0 } =

pq 2

ya que bajo K0 [ e \ tienen la misma distribución y, , S {[l ? \m |K0 } = 1@2= Para la varianza se tiene Y [X |K0 ] = +

q p P P

Y [Glm |K0 ] +

l=1 m=1 p P P q P

l=1 m6=l n=1

q P p P P l=1 m=1 n6=m

Fry [(Glm > Gln )|K0 ] +

Fry [(Gln > Gmn )|K0 ] +

p P P q P P l=1 m6=l n=1 o6=n

Fry[(Gln > Gmo )|K0 ]=

Es fácil ver que 1 Y [Glm |K0 ] = > Fry[(Gln > Gmo )|K0 ] = 0 4

y

Fry[(Glm > Gln )|K0 ] = H[Glm Gln |K0 ] H[Glm |K0 ]H[Gln |K0 ] = Por lo tanto Y [X |K0 ] =

pq 4

+

( ) pq(q31) 12

+

( ) pq(p31) 12

(

1 11 = 3 22

)

= pq (p+q+1) = 12

Aplicando el teorema central del límite, se tiene la convergencia r ³ pq ´. pq(p + q + 1) L X $ ] Q (0> 1) 2 12 Ejemplo 8.5.3.1 Dadas las dos muestras de tamaños p = 8 y q = 9 siguientes: [ : 1> 2> 3> 5> 7> 9> 11> 18 \ : 4> 6> 8> 10> 12> 13> 14> 15> 19 se puede contrastar mediante el test de Mann-Whitney-Wilcoxon de tamaño 00 1 si ambas provienen de la misma población. Para ello ½ 9 8 P P 1 si [l ? \m Glm con Glm = X= 0 uhvwr l=1 m=1


441 441

Con lo que el estadístico X toma el valor X = 9+9+9+8+7+6+5+1 = 54. Si la hipótesis alternativa es K1 : I[ 6= I\ la región crítica es de la forma UF = {X = f1 o X ? f2 con f1 A f2 } y dado que ha de ser S {X A f1 |K0 } 00 05, de la Tabla 12, se obtiene que f1 = 53; por simetría el valor f2 = 8 · 9 53 = 19 es tal que S {X ? f2 |K0 } 00 05= Por último como 54 A f1 pertenece a la UF, se rechaza la hipótesis de homogeneidad de ambas poblaciones. ¥ El test de MWW puede también utilizarse cuando ambas poblaciones sean iguales salvo un parámetro de localización, es decir en el mismo contexto que el test de la mediana, de hecho muchos estadísticos consideran que el test de MWW es el más indicado para realizar este tipo de contraste. Wilcoxon (1947) propuso definir, para la muestra conjunta a la que p P se le asignan sus rangos, el estadístico Y = Ul siendo Ul los rangos l=1

correspondientes a la primera muestra en la muestra conjunta, es decir Y = p+q P l]l con ]l = 1 si el valor i-ésimo es de la primera muestra y ]l = 0 l=1

si es de la segunda. Si Ul es el rango de la i-ésima observación de la primera muestra, detrás de ella hay p + q Ul observaciones de la muestra conjunta, de las cuales p + q Ul (p l) son de la segunda muestra. Sumando en l desde 1 hasta p se obtiene que p P l=1

[p + q Ul (p l)] = p(p + q) Y

p(p 1) =X 2

con lo que el estadístico de Wilcoxon Y y el estadístico de Mann-Whitney X están relacionados linealmente, por lo tanto con ambos se realiza el mismo contraste. Ejemplo 8.5.3.2 Para los datos del Ejemplo 8.5.1.3, se puede contrastar mediante el test de MWW la hipótesis nula K0 : I[ = I\ con un tamaño = 00 05= 8 P 8 P Glm = 7 + 5 + 4 + 4 + 4 + 2 + 2 = 29, y la En este caso es X = l=1 m=1

región crítica es de la forma UF = {X A f1 o X ? f2 , con f1 A f2 }= Como ha de ser S {X A f1 } 00 25, se sigue de la Tabla 19 al final del libro, que f1 = 50 y por simetría f2 = pq 50 = 64 50 = 14. Luego como 29 no pertenece a la región crítica, se mantiene la hipótesis de homogeneidad de ambas poblaciones.

442 442

8.5.4.


Test de Kruskal-Wallis

Como se dijo al tratar del análisis de la varianza (véase la Sección 7.1), algunas veces las hipótesis de normalidad del modelo no se cumplen. En ese caso se puede suponer que las observaciones son de la forma {lm = l + %lm

l = 1> ===> n

m = 1> ===> ql

Si se quiere contrastar Kr : 1 = 2 = === = n frente a K1 : al menos dos valores l son diferentes, sin hacer la hipótesis de que los valores de %lm tienen distribución normal, se pueden utilizar los rangos Ulm de las n P ql y observaciones {lm en la ordenación de todas las observaciones q = l=1

construir Ul· =

ql 1 P Ulm ql m=1

U·· =

n q 1P 1 P q+1 Ul· = l= n l=1 q l=1 2

Si hubiera uniformidad en la asignación de los rangos, lo que se sigue de K0 , a la muestra i-ésima de tamaño ql le corresponderían proporcionalmente ql (q + 1)@2 rangos. Por otro lado, la suma de los rangos que de hecho corresponden a la muestra i-ésima es Ul· =

ql P m=1

Ulm

por lo que un test razonable consiste en medir la distancia μ ¶ n P ql (q + 1) 2 V= Ul· (8.5.4.1) 2 l=1 y rechazar cuando V sea grande. Aunque se puede calcular la distribución bajo K0 del estadístico V, se prefiere utilizar el estadístico K introducido por Kruskal y Wallis μ ¶ n P ql (q + 1) 2 1 12 K= Ul· (8.5.4.2) q(q + 1) l=1 2 ql una ligera modificación del anterior, que se introduce por ser conocido su comportamiento asintótico. En efecto, puede demostrarse que asintóticamente, bajo K0 , la distribución de K es una "2n31 (véase Lehmann (1975), pág. 396). Para facilitar el cálculo de K se utiliza la expresión alternativa (8.5.4.3)

K=

n P 12 2 ql Ul· 3(q + 1) q(q + 1) l=1


443 443

que se obtiene desarrollando el cuadrado de (8.5.4.2) y teniendo en cuenta que n P (q + 1)q Ul· = 2 l=1 Ejemplo 8.5.4.1 Para los datos de la preparación de una sustancia química, contenidos en la Tabla 7.2.1 y recogidos en la Tabla 8.5.4.1 para comodidad del lector. 1 63 48 57 54 41 43

métodos 2 3 4 27 10 28 41 30 45 23 24 44 31 37 31 2 40 29 33 24 44

5 47 28 30 35 21 37

Tabla 8.5.4.1. Datos correspondientes a la preparación de una sustancia mediante 5 procedimientos de fabricación. El análisis de la varianza sin la suposición de normalidad lleva al cálculo de los rangos contenidos en la Tabla 8.5.4.2. Se observa que cuando aparecen valores repetidos se les asigna el rango medio. métodos

Ul·

1 30 27 28 29 20’5 22 26’083

2 7 20’5 4 13’5 1 15 10’167

3 2 11’5 5’5 17’5 19 5’5 10’167

4 8’5 25 23’5 13’5 10 23’5 17’33

5 26 8’5 11’5 16 3 17’5 13’75

Tabla 8.5.4.2. Rangos y rangos medios correspondientes a cada método de preparación del Ejemplo 8.5.4.1. Con este convenio las expresiones de K deberían ser modificadas ligeramente, cosa que no se va a hacer al no ser grande, en este caso, el error que se comete. La región crítica es de la forma UF = {K "2n31; } y el valor que toma el estadístico es K = 130 573> con "24;00 05 = 90 49, por lo que se rechaza la hipótesis nula de igualdad de los métodos de preparación. ¥

444 444


El test de Kruskal-Wallis es una generalización a n muestras del test de Mann-Whitney-Wilcoxon para dos muestras (véase la Sección 8.5.3), en él no se hacen suposiciones de normalidad por lo que es una alternativa al análisis de la varianza, y además, al ser función de los rangos, no se ve tan afectado por posibles errores en la toma de los datos. Por último se conoce la distribución exacta del K, bajo K0 para valores pequeños de n y de ql l = 1> ===> n (véase Lehmann(1975), expresión (5.4), Tabla I).

8.6.

CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS DE INDEPENDENCIA

En esta Sección, se estudian contrastes para verificar la posible dependencia o independencia entre las dos componentes de una variable aleatoria bidimensional ([> \ ). Dada la realización de una m.a.s. de tamaño q ({1 > |1 )> ===> ({q > |q ) se trata de contrastar la hipótesis nula K0 : I ({> |) = I1 ({)I2 (|), donde I1 y I2 son las funciones de distribución marginales. Como es usual se supone que todas las distribuciones son continuas. Una posible medida de la dependencia entre las dos variables, podría venir recogida por la covarianza entre ambas. Cuando las dos variables son independientes la covarianza es nula; cuando ésta es positiva al crecimiento o decrecimiento de una de las variables les corresponde, respectivamente, el crecimiento o decrecimiento de la otra variable; y, por el contrario, cuando la covarianza es negativa al crecimiento o decrecimiento de una de las variables les corresponde el decrecimiento o crecimiento de la otra variable. Estos hechos son fáciles de comprobar mediante las ecuaciones de las rectas de regresión. El estimador natural de la covarianza poblacional, es la covarianza muestral, sin embargo la covarianza, tiene el inconveniente de depender de las unidades de medida. Una posible alternativa podría ser utilizar el coeficiente de correlación que, al menos por transformaciones lineales, es invariante, por contra, tiene el inconveniente de que para obtener su distribución hay que recurrir a hipótesis paramétricas sobre la variable bidimensional. Por estos motivos se van a introducir medidas basadas en los estadísticos ordenados y los rangos.

8.6.1.

Test de Kendall

Con el fin de introducir una medida en el intervalo [1> 1] que valga cero cuando [ e \ sean independientes, tome el valor 1 cuando al aumentar una variable la otra disminuya y el valor 1 cuando las dos presenten el mismo comportamiento, se introducen las definiciones siguientes. Definición 8.6.1.1 (pares concordantes) El par ({l > |l ) es concordante con el ({m > |m ) cuando se verifica que si {l ? {m

8.6. CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS DE INDEPENDENCIA 445 ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA 445 entonces es |l ? |m o bien si es {l A {m entonces es |l A |m . En resumen, cuando ({m {l )(|m |l ) A 0= Definición 8.6.1.2 (pares discordantes) El par ({l > |l ) es discordante con el ({m > |m ) cuando se verifica que si {l ? {m entonces es |l A |m o bien si es {l A {m entonces es |l ? |m . En resumen, cuando ({m {l )(|m |l ) ? 0= ¥ Parece intuitivo que una medida de la dependencia o independencia existente entre las dos variables de ([> \ ) pueda venir dada por la diferencia entre las probabilidades de concordancia f y de discordancia g , definidas por f = S {([m [l )(\m \l ) A 0}

g = S {([m [l )(\m \l ) ? 0}

la medida viene recogida en la siguiente definición. Definición 8.6.1.3 (coeficiente de Kendall) Se define el coeficiente de Kendall como la diferencia entre la probabilidad de obtener un par de pares concordantes menos la probabilidad de obtener un par de pares discordantes. Es decir = f g

(8.6.1.1)

Si las distribuciones son continuas S {[m = [l } = S {\m = \l } = 0 por lo que se tiene que f + g = 1 y por lo tanto = 2 f 1 = 1 2 g . ¥ Bajo la hipótesis de independencia de las componentes de la muestra ([1 > ===> [q ), se tiene que S {[l [m } = 12 , ya que ¸ Z +" ·Z +" S {[l [m } = i ({1 > {2 )g{2 g{1 3"

{1

siendo i ({1 > {2 ) es la función de densidad conjunta de las observaciones [l y [m , por lo que i ({1 > {2 ) = i1 ({1 )i1 ({2 ) con i1 la función de densidad marginal de la variable [. Se tiene entonces que ·Z +" ¸ Z +" S {[l [m } = i1 ({1 ) i1 ({2 )g{2 g{1 {1

3" +"

Z =

3"

[1 I1 ({1 )] i1 ({1 )g{1

Z

=1

0

1

xgx =

1 2

la última integral se obtiene haciendo el cambio I1 ([) = X X qliruph(0> 1).


446 446

A este resultado se puede llegar de manera más directa, puesto que al intercambiar [l con [m se tiene que S {[l [m } = S {[m [l } y ambas probabilidades suman 1. En el caso de que sea verdadera la hipótesis de que [ e \ son v.a. independientes se verifica que = 0, ya que f = S {[l [m _ \l \m } + S {[l [m _ \l \m } por la hipótesis de independencia puede ponerse f = S {[l [m }S {\l \m } + S {[l [m }S {\l \m } por ser S {[l [m } = S {[l [m } f = S {[l [m }S {\l \m } + S {[l [m }S {\l \m } = S {[l [m _ \l \m } + S {[l [m _ \l \m } = g = Dada la realización particular de una m.a.s. bidimensional ({1 > |1 )> ===> ({q > |q ) se pueden estimar f y g y mediante la diferencia de ambos estimadores estimar = Sea ; ? 1 si ({m {l )(|m |l ) A 0 0 si ({m {l )(|m |l ) = 0 dlm = = 1 si ({m {l )(|m |l ) ? 0 es claro que dlm toma el valor 1 con probabilidad f , el valor 1 con probabilidad g y el valor 0 con probabilidad 1 ( f + g ), por lo tanto al variar la m.a.s. H[dlm ] = = Se introduce el estadístico muestral de Kendall mediante q q P 1 P W = ¡q¢ dlm (8.6.1.2) 2

l=1 m=1 mAl

¡ ¢ donde sólo se consideran q2 valores dlm ya que dlm y dml dan la misma información respecto a concordancias o discordancias. Para cualquier distribución bidimensional, W es un estimador insesgado de , ya que q P q 1 P ( f g ) = f g = = H[W ] = ¡q¢ 2

l=1 m=1 mAl

Nótese que W se puede expresar alternativamente como (8.6.1.3)

W =

S Q ¡q¢ 2

8.6. CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS DE INDEPENDENCIA 447 ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA 447 siendo S el número de valores de dlm positivos en la muestra y Q el número de valores dlm negativos. Esta última expresión es la más rápida de calcular, ya que se puede reordenar la muestra para que quede en la forma (l> Vl ) l = 1> ===> q con Vl los rangos correspondientes de la variable \ , lo que facilita los cálculos. Es decir se ha cambiado la muestra ({l > |l ) por la muestra de los rangos (Ul > Vl ) ordenados de menor a mayor por la primera variable, ya que los valores de los estadísticos no varían. Cuando haya independencia cabe esperar un valor de W próximo a 0, si la dependencia es positiva (en el sentido de que cuando una variable aumenta también lo hace la otra) habrá mayor número de pares concordantes que discordantes, con lo que W será grande, mientras que si la dependencia es negativa (cuando una variable aumenta la otra disminuye) el número de pares discordantes será mayor. A la muestra (1> 1)> ===> (q> q) le corresponde un valor de S = (q 1) + === + 1 = q(q31) con lo que si no hay repeticiones es W = 1. Los diferentes 2 contrastes que pueden hacerse quedan recogidos en la Tabla 8.6.1.1 K1 I ({> |) 6= I1 ({)I2 (|) dependencia positiva dependencia negativa

K0 I ({> |) = I1 ({)I2 (|)

Región Crítica |W | A f W ? f1 W ? f2

Tabla 8.6.1.1. Regiones críticas para el test de Kendall. Para la determinación de las constantes bajo K0 , se puede utilizar que S {S = s|K0 } =

u(q> s) q!

donde u(q> s) es el número de permutaciones compatibles con el valor s para las ordenaciones de q elementos. Con valores pequeños de q se puede construir directamente la distribución exacta del estadístico W , como indica la Tabla 8.6.1.2, donde se ha v1 1 1 2

v2 2 3 1

v3 3 2 3

S 3 2 2

W 1 1/3 1/3

v1 3 2 3

v2 2 3 1

v3 1 1 2

S 0 1 1

W -1 -1/3 -1/3

Tabla 8.6.1.2. Valores de S número de coincidencias y W estadístico de Kendall con q = 3=

448 448


empleando empleado que W = 23 S 1 y que la permutación ordenada de atrás hacia adelante se corresponde con un valor del estadístico simétrico respecto al 0. De esta manera se obtiene la distribución contenida en la Tabla 8.6.1.3 W =w S {W = w|K0 }

-1 1/6

-1/3 1/6

1/3 1/6

1 1/6

Tabla 8.6.1.3. Distribución del estadístico de Kendall para q = 3=

Es posible disponer de una expresión recursiva en la forma Sq {S = s|K0 } = q1 (Sq31 {S = s|K0 } + Sq31 {S = s 1|K0 } + ===+ +Sq31 {S = s (q 1)|K0 }) ya que de acuerdo con el teorema de la probabilidad total, la probabilidad del conjunto de muestras de tamaño q compatibles con el valor S = s, es la suma en l de las probabilidaes de las muestras de tamaño q que tienen el valor q en la i-ésima posición, con l = 1> 2> ===> q. Bajo K0 , la probabilidad de que una muestra tenga el valor q en la posición l es 1@q , y la probabilidad de que S = s, condicionada porque tenga un q en la i-ésima posición, es Sq31 {S = s (l 1)|K0 }> ya que el valor q está por encima de los valores 1> 2> ===> l 1= Este razonamiento, permite calcular la distribución exacta de W para valores no muy grandes de q. La distribución asintótica de W es s q(q 1) L W $ ] Q (0> 1) 3 2(2q + 5) (véase Gibbons y Chakraborti (1992), pág. 349). Debe notarse que cuando existen observaciones repetidas, tanto en la primera componente, como en la segunda, como en ambas; dlm toma el valor cero, por lo tanto el valor del estadístico no se ve afectado, aunque deja de ser cierto que μ ¶ q S +Q = 2 En la práctica cuando hay repeticiones, lo que se hace es sustituir el rango de los valores repetidos por el promedio de los rangos que tienen estas observaciones repetidas. El test de Kendall puede utilizarse también, para ver si la sucesión |1 > ===> |q es aleatoria, para ello riable ello se se contrasta contrasta la la independencia independenciadedelalavavariable bidimensional mediante la muestra (l> |l ) l = 1> ===> q=

8.6. CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS DE INDEPENDENCIA 449 ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA 449 Ejemplo 8.6.1.1 Para contrastar la independencia entre las notas de Matemáticas e Inglés en un colectivo, se escogen aleatoriamente 6 alumnos y se observa que han obtenido las siguientes calificaciones: Matemáticas Inglés

5 7

6,50 6

7 6’50

7,50 6’75

9 8’50

8’75 9’50

Al reordenar la muestra por la nota de Matemáticas y empleando los rangos, se obtiene la muestra equivalente (1,4) (2,1) (3,2) (4,3) (5,6) (6,5) con lo que el valor del estadístico de Kendall es 2S 2 · 11 W = ¡6¢ 1 = ¡6¢ 1 = 7@15= 2

2

La forma de la región crítica, es de acuerdo con la Tabla 8.6.1.1 UF = {|W | A f} con lo que a un tamaño de 00 05, se obtiene para f = 9@15 (véase la Tabla tabla 13 al final del libro). Por lo tanto como 7@15 no pertenece a la UF se mantiene la hipótesis de independencia.

8.6.2.

Test del coeficiente de correlación de los rangos de Spearman

Dada una m.a.s. de tamaño q de una población bivariante, se puede contrastar la independencia entre las variables, mediante el coeficiente de correlación calculado a partir de los rangos de la muestra. Por comodidad de cálculo, se supone la muestra reordenada en la forma (1> V1 )> ===> (q> Vq ) donde Vl es el rango correspondiente a la observación de la segunda componente que se corresponde con la de rango l de la primera componente. El coeficiente de correlación de los rangos de Spearman viene dado por q P

U= s

(8.6.2.1)

(l l)(Vl V)

l=1 q P

(l l)2

l=1

q P

(Vl V)2

l=1

expresión que puede simplificarse observando que l=V= q P

(l l)2 =

l=1

q P

q+1 2

(Vl V)2 =

l=1

q(q + 1)(q 1) 12


450 450 pues

q P l=1

l2 =

q(q + 1)(2q + 1) 6

con lo que se puede poner alternativamente U=

(8.6.2.2)

q P 12 q+1 lVl 3 q(q2 1) l=1 q1

Por ser U un coeficiente de correlación, está contenido en el intervalo (1> 1) y si las variables [ e \ son independientes H[U|K0 ] = 0, ya que H[Vl |K0 ] =

q 1 P q+1 l= 2 l=1 q

y, por tanto H[U|K0 ] =

q (q + 1) P q+1 12 = 0= l 3 2 q(q 1) l=1 2 q1

Bajo la hipótesis nula, la distribución de U es simétrica alrededor de cero, ya que los valores de los rangos Vl pueden ser considerados como una permutación de los q primeros números naturales, que si es compatible con un valor U = u, la permutación ordenada de atrás hacia adelante asigna el valor q + 1 l al que antes era l, lo que lleva al valor U = u0 con q P 12 q+1 (q + 1 l)vl 3 2 q(q 1) l=1 q1 q P 12 q+1 lVl =3 2 q 1 q(q 1) l=1

u0 =

= u= La Tabla 8.6.2.1 recoge la forma de las regiones críticas basadas en el estadístico de Spearman. K0 I ({> |) = I1 ({)I2 (|)

K1 I ({> |) 6= I1 ({)I2 (|) dependencia positiva dependencia negativa

Región Crítica |U| A f U A f1 U ? f2

Tabla 8.6.2.1. Regiones críticas para el test de Spearman.

El cálculo de la distribución exacta bajo la hipótesis nula, para valores pequeños de q, puede efectuarse de forma directa. Así para q = 3, la

8.6. CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS DE INDEPENDENCIA 451 ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA 451 Expresión (8.6.2.2) lleva a la Tabla 8.6.2.2 V1

V2

V3

1 1 2

2 3 1

3 2 3

3 P l=1

lVl

U

14 13 13

1 0’5 0’5

V1

V2

V3

3 2 3

2 3 1

1 1 2

3 P l=1

lVl

10 11 11

U -1 -0’5 -0’5

Tabla 8.6.2.2. Valores del estadístico de Spearman para q = 3=

con lo que se obtiene la distribución contenida en la Tabla 8.6.2.3 U=u S {U = u|K0 }

-1 1/6

-0’5 1/3

0’5 1/3

1 1/6

Tabla 8.6.2.3. Distribución del estadístico de Spearman para q = 3=

La distribución asintótica del estadístico de Spearman viene dada por s q 1 U $ ] Q (0> 1) (puede consultarse en Fraser (1957), pág. 247). El tratamiento de los rangos repetidos consiste en sustituirlos por su rango promedio, esto implica que ha de calcularse U mediante la expresión directa, Expresión (8.6.2.1), y no mediante su expresión simplificada, Fórmula (8.6.2.2). De todas formas si q es grande, el error que se comete al emplear la expresión simplificada es mínimo. El test de Spearman puede utilizarse igual que el test de Kendall, para verificar si la sucesión |1 > ===> |q es aleatoria, mediante el contraste de independencia basado en la muestra (l> |l ) l = 1> ===> q= Ejemplo 8.6.2.1 A 8 cocineros que preparan un mismo plato que se presenta a un concurso, dos jueces les otorgan la siguiente puntuación: primer juez: segundo juez:

2 1

1 2

3 4

5 5

4 7

8 6

7 8

6 3

donde 1 es la mejor calificación y 8 la peor. Para contrastar la hipótesis nula de que los dos jueces califican con independencia, la región crítica, con un test de tamaño 00 05, es UF = {|U| A 00 714}

452 452


(véase la Tabla 14 del Apéndice al final del libro). Si se reordena la muestra por la calificación del primer juez se obtiene (1> 2) (2> 1) (3> 4) (4> 7) (5> 5) (6> 3) (7> 8) (8> 6) con lo que el valor del estadístico de Spearman es U = luego se mantiene la hipótesis de independencia.

8.7.

12 8·63 191

3 97 = 00 69,


Puede decirse que la primera consideración de un estudio no paramétrico, fué la del test de los signos realizado por Arbuthnot (1667-1735) en 1710, año en que se publica Un argumento para la divina providencia, tomado de la ley de regularidad observada en el nacimiento de ambos sexos. El problema de la existencia de valores discordantes es tratado inicialmente por Boscovich (1711-1787), un astrónomo que en 1770 se pregunta por la conveniencia de calcular la media de un conjunto de observaciones, una vez suprimidas las observaciones más grandes y más pequeñas, y que parece haber preconizado el rechazo de los valores discordantes. Esta idea es recogida por Legendre (1752-1833) en 1805, pero el problema no es tratado desde el punto de vista probabilístico hasta 1852, en que Benjamin Pierce, astrónomo y matemático de la Universidad de Harvard, enuncia el primer criterio basado en la probabilidad de rechazo de observaciones discordantes, criterio que por cierto fué inmediatamente combatido por otros astrónomos. A partir de este momento las investigaciones avanzan por dos caminos diferentes. Por un lado aparece una corriente que estudia la ponderación de los datos muestrales de manera diferentes, dentro de ésta se puede citar a Francis Edgeworth (1845-1926) en 1885. Por otro lado se van introduciendo criterios de rechazo; así en 1884 Wright propone rechazar cualquier observación, tal que |[l [| sea mayor que 5 veces el error probable, donde esta última cantidad es la mitad del intervalo intercuartílico de la distribución Q (> ), otras reglas han sido introducidas por Student en 1927, por Thompson en 1935 y, más recientemente, por Dixon en 1950 y 1951. Estos desarrollos dieron lugar al estudio del comportamiento de los estimadores, cuando las suposiciones usuales de normalidad en la población no se cumplen, lo que llevó a la introducción de la mediana y de los estadísticos ordenados por Galton en 1875, quien preconizó la utilización de la mediana muestral para distribuciones con colas más altas que la distribución normal, y que le llevaron a él y a Edgeworth, en 1889, a estimar, en esos casos, mediante funciones de los estadísticos ordenados. Esto originó el que Simon Newcomb, probablemente el más celebre astrónomo americano del siglo XIX, estudiara, en 1882, la distribución de mixturas de distribuciones normales con varianzas desiguales. Así en 1886 Newcomb obtuvo un estimador de centralización que es más robusto que la media, dando origen al

8.8. EJERCICIOS

453 453


término robusto que fué usado por George Box en 1953 y que ha permitido el desarrollo de una fructífera rama de investigación, la teoría de la robustez. Otro hito importante en los métodos no paramétricos, fué el célebre test de la "2 introducido por Karl Pearson(1857-1936) y publicado en 1900. Algo más tarde, Harald Cramér en 1928 y Richard von Mises en 1931, contruyeron un test de ajuste basado en la distancia entre la función de distribución empírica y la que se pretende contrastar bajo la hipótesis nula, calculada la distancia mediante sup|IqW ({) I0 ({)|2 . Esto dio pie a Kolmogorov a la introducción del estadístico que lleva su nombre y a que obtuviera su distribución asintótica. En 1939 Smirnov emplea por primera vez el estadístico de Kolmogorov para un contraste unilateral y generaliza el mismo al caso de dos muestras; alrededor de 1960 extiende las mismas ideas a más de dos muestras. Los tests de independencia nacen en el campo de la Psicología junto con las medidas de asociación entre caracteres; así el coeficiente de correlación de los rangos fué introducido por Spearman en 1904 en un artículo titulado La demostración y medida del coeficiente de asociación entre dos cosas. En la misma línea Kendall, en 1938 introduce su medida de independencia con un trabajo titulado Una nueva medida de correlación de rangos. El estudio posterior de la homogeneidad entre poblaciones, dio lugar a la introducción de los rangos, con los trabajos de Hotelling en 1936, que culminan con el estudio de Wilcoxon (1892-1965) publicado en 1945 y que tiene por título Comparaciones individuales por los métodos de los rangos. En este estudio Wilcoxon introduce los tests de rangos, que son continuados en 1947 por Mann y Whitney. Sin duda, si se debe fijar más la atención en algun autor dentro de la inferencia no paramétrica este es Frank Wilcoxon, irlandés que pasó a los Estados Unidos donde consiguió su doctorado en Química. Su interés en la estadística comenzó en 1925, con el estudio del libro de Fisher Métodos Estadísticos para Investigadores. Su contribución más importante fué el ya citado artículo de 1945 en el que introdujo el test de los rangos signados para dos muestras y el mismo estadístico para muestras emparejadas. Hodges y Lehmann en 1961 muestran la gran eficacia de estos tests, para prácticamente cualquier distribución poblacional. La construcción de los intervalos de tolerancia y de los contrastes para los cuantiles de una población, son debidos a Wilcoxon en 1947.

8.8.

EJERCICIOS

8.8.1 Contrástese si los datos siguientes provienen de una distribución Q (100> 10) con un test de tamaño 00 05 107’9 107’7

96’7 99’4

91’2 104’6

79 117’2

103’1 112’2

88 106’9

101’3 93

106 88’3

93’7 101’9

86 109’8

454 454


8.8.2 Se supone que el número de accidentes diarios en una red viaria sigue una distribución de Poisson de parámetro 2. Se recogen observaciones durante 200 días, obteniéndose los siguientes resultados nr de accidentes nr de días

0 22

1 53

2 58

3 39

4 20

5 5

6 2

7 ó más 1

Contrástese el ajuste a la distribución indicada, mediante un test de tamaño 00 05. 8.8.3 Un programa de ordenador genera números distribuidos aleatoriamente con distribución Uniforme en el intervalo (0> 10) . Tras obtener 250 números se observan los siguientes resultados: intervalos observaciones

[0> 2] 38

(2> 4] 55

(4> 6] 54

(6> 8] 41

(8> 10] 62

¿Son estos resultados compatibles con las hipótesis hechas? Tómese tómese un tamaño de 00 05. 8.8.4 Al lanzar un dado 300 veces, se han obtenido las siguientes frecuencias valores frecuencias

1 43

2 49

3 56

4 45

5 66

6 11

Contrástese si el dado es equilibrado mediante un test de tamaño 00 05= 8.8.5 La observación de defectos congénitos en una muestra de 100 individuos de una población, dió lugar a la siguiente tabla: nr de defectos frecuencias

0 84

1 9

2 3

3 2

4 1

5 1

¿Puede decirse que se ajustan a una distribución de Poisson? Tómese un test de tamaño 00 05= 8.8.6 Se está estudiando la distribución de los grupos sanguíneos en dos comunidades. Los resultados obtenidos fueron: Comunidad 1 Comunidad 2

0 121 118

A 120 95

B 79 121

AB 33 30

a) ¿Se puede considerar que ambas comunidades tienen la misma distribución de grupos sanguíneos?

8.8. EJERCICIOS

455 455


b) ¿Se puede afirmar que el modelo teórico que asigna probabilidades a los distintos grupos sanguíneos es el contenido en la siguiente tabla? grupos probabilidades

O u2

A s2 + 2su

B t 2 + 2tu

AB 2st

con s + t + u = 1. Supóngase inicialmente sb = 00 25 tb = 017. Tómese un test de tamaño 00 05. 8.8.7 La siguiente tabla recoge los resultados de una m.a.s. de 400 individuos empleados en una misma compañía 480 75 25 25

años de permanencia 5 (5 10] A 10

sueldos en euros (480 900] 75 50 75

900 25 25 50

Mediante un test de tamaño 00 05, contrástese la independencia entre las variables, años de permanencia y sueldos. 8.8.8 Dadas cuatro muestras de tamaños respectivos q1 = 24> q2 = 20> q3 = 25 y q4 = 20, se quiere contrastar si provienen todas de una población con distribución Q (0> 1). Para ello se divide la recta real en los intervalos D1 = (4> 00 75]> D2 = (00 75> 0]> D3 = (0> 00 75] y D4 = (00 75> +4) llegándose a la siguiente tabla:

muestra muestra muestra muestra

1 2 3 4

D1 3 3 9 4

D2 7 5 5 6

D3 7 5 5 8

D4 7 7 6 2

Contrástese la hipótesis de homogeneidad mediante un test de tamaño 00 05= 8.8.9 La siguiente tabla recoge la distribución observada de dos características, que presentan ciertas plantas de guisantes Forma del polen alargado redondo

Color Morado Rojo 6 1 1 2 7 3

7 3 10


456 456

Se pide: a) Contrástese el ajuste de las distribuciones empíricas marginales a la proporción 3:1 mediante el método de la distancia de K. Pearson. b) Contrástese la independencia entre la forma y el color mediante el test de la razón de verosimilitud. Empléese en ambos casos un tamaño de 00 05= 8.8.10 Las ventas en dos establecimientos H1 y H2 de una misma cadena, fueron controladas aleatoriamente en 10 y 15 días respectivamente, arrojando los resultados siguientes en unidades convenientes: H1 H2

143’5 150’7 152’3

125’6 145’8 151’3

142’8 147’3 124’2

150’2 148’9 139’6

128’5 153’5 110’2

147’9 160’1

139’8 140’4

140’6 128’9

147’3 155’6

145’9 120’1

Contrástese mediante el test de Kolmogorov-Smirnov si cabe suponer que las ventas son iguales. Tómese un tamaño de 00 05= 8.8.11 Los siguientes 20 datos han sido obtenidos por simulación en un ordenador a partir de una distribución Q (1> 3)= Contrástese su adecuación a una Q (0> 1) y a una Q (> ) mediante contrastes de tamaño 00 05= -0’09 1’60

1’41 2’96

3’99 -0’14

7’62 -1’81

-1’56 -1’14

1’52 3’34

-’057 8’16

1’09 0’12

3’56 1’05

0’78 5’46

8.8.12 Para contrastar la habilidad de los parasicólogos para inducir influencia paranormal, se les pide a 9 de ellos que induzcan roturas en las visitas a una tienda de porcelanas. El número de roturas entre 500 visitantes; el día que estaba el parasicólogo y el mismo día de la semana anterior, sin la presencia del mismo, queda recogido en la siguiente tabla: con parasicólogo sin parasicólogo

1 2’5 0

2 3’5 3’7

3 1’0 2’4

4 4’6 3’8

5 3’8 4’1

6 5’9 1’2

7 6’1 1’1

8 15’1 1’3

9 2’4 0

Realícense contrastes de localización, para ver si el fenómeno paranormal se ha presentado. Utilícese un tamaño de 00 05= 8.8.13 En una estantería hay 28 libros, 12 de Estadística y los restantes clasificados como generales. Mediante el test de Mann-Whitney-Wilcoxon contrástese si puede suponerse que tienen el mismo número de páginas. Repítase el contraste mediante el test de normalidad. Utilícese en ambos casos un tamaño de 0’05. Estadística 126,142,156,228,245,246,370,419,433,454,478,503 Generales 29,39,60,71,82,112,125,170,192,224,263,275,276,286,369,756

8.8. EJERCICIOS

457 457


8.8.14 Dadas las siguientes muestras correspondientes a dos poblaciones [ \

13 96

53 102

59 104

75 107

76 110

79 130

129 133

138 141

Se pide: a) Contrástese, mediante la primera muestra, si el cuantil de la población de que proviene es n00 75 = 750 5 frente a que es distinto de ese valor. b) Mediante el test de Kolmogorov-Smirnov, contrástese si las dos muestras provienen de la misma población frente a que es I[ A I\ . c) Repítase la parte b) para el test de la mediana. d) Repítase la parte b) para el test de Mann-Whitney-Wilcoxon. Utilícese en todos los casos un tamaño de 00 1= 8.8.15 Se han tomado dos muestras de tamaño 12 de las calificaciones dadas por dos profesores que corrigen dos grupos distintos de una misma asignatura. Los resultados obtenidos han sido S1 S2

1’9 1’3

2’2 2’6

3 3’3

3’7 5’9

5’6 7’2

6’6 7’6

6’7 7’7

7’1 8

7’5 8’1

7’8 8’5

8’2 8’6

9’5 9

Mediante el test de Mann-Whitney-Wilcoxon, contrástese si ambas muestras proceden de la misma población, frente a la hipótesis de que las poblaciones difieren en un parámetro de localización. Utilícese un tamaño de 00 05= 8.8.16 Diez niños y diez niñas de 4 años de edad, fueron observados durante dos sesiones de juegos de 15 minutos cada una. Durante este tiempo se les midió el grado de agresión mediante un test conveniente, a calificación más alta como resultado del test, mayor grado de agresión. Se obtuvieron las siguientes observaciones: niñas niños

15 104

26 41

16 50

9 45

7 65

16 113

58 65

22 72

40 69

55 86

Contrástese si existe diferencia de agresividad significativa mediante el test de Kolmogorov-Smirnov, el de la Mediana y el de Mann-Whitney-Wilcoxon. Tómese un tamaño de 00 05. 8.8.17 Se quiere averiguar si existe independencia entre las calificaciones en Estadística y Análisis del tercer curso de la Licenciatura en Matemáticas. Se escogen al azar las notas de 15 alumnos y se observan los valores siguientes: Estadística Análisis

5’8 1 5’5 6

2’4 4’7 7 2

1’5 3’2 6’1 3’1

7’3 9’5 5 5’4

4’6 6’5 4’2 7’1

7’9

8’2

9’3

4’5

3’5

1’7

5’2

6’2

5’7

7’2


458 458

Contrástese la hipótesis nula de que hay independencia mediante un test de tamaño 00 05=

8.9.


8.9.1 Mediante el test del cuadrado de la distancia de K. Pearson (véase la Sección 8.2.1), se construye la siguiente tabla Dl S (Dl |K0 ) Rl Hl = 20S (Dl |K0 )

930 26 0’25 6 5

(930 26> 100] 0’25 3 5

(100> 1060 745] 0’25 5 5

A 1060 745 0’25 6 5

1 20 20

como la región crítica es de la forma ¾ ½ 4 P (Rl Hl )2 @Hl A "2n31; UF = l=1

y el valor del estadístico es 10 2, al ser "23;00 05 = 70 81 (véase la Tabla 4 al final del libro), se acepta la hipótesis nula. Al valor 10 2 le corresponde un p-valor de 00 753. Mediante el test de la RV la región crítica es ½ ¾ μ ¶ 4 Q sl ql UF = (q1 > ===> q4 ) = f l=1 ql @q para la determinación de la constante se emplea que 2 ln (Q1 > ===> Qn ) se distribuye aproximadamente con distribución "2n31 , luego ) ( 4 X sl ln f UF = 2 ln (q1 > ===> q4 ) = 2 ql ln ql @q l=1

2 [10 0939 + 10 5325

10 0939] = 10 3106, y como el valor del estadístico es ln f = "2n31;00 05 = 70 81 se acepta K0 que la muestra proviene de la distribución Q(100> 10)= Por último, mediante el estadístico de Kolmogorov-Smirnov (véase la + 3 = 00 0857 G20 = 00 1017 luego G20 = 00 1017, Sección 8.4.1), se tiene que G20 como la región crítica es de la forma UF = {Gq A gq; } (veáse la Tabla 8.4.1), y como g20;00 05 = 00 294 (véase la Tabla 7 al final del libro), se acepta también K0 , al valor del estadístico 00 1017 lelecorrescorre98. De sponde un p-valor p-valor de de 000 098. ponde un De todas todas formas, formas, al al ser ser tratados tratados los datos de forma agrupada se pierde información, por lo que la utilización del test de Kolmogorov-Smirnov no es demasiado adecuada.

8.9. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA

459 459

8.9.2 Se trata de contrastar el ajuste a un distribución de S rlvvrq(2). Mediante el método de la distancia de K. Pearson (véase la Sección 8.2.1), se contruye la tabla Dl 0 1 2 3 S (Dl |K0 ) 0’1353 0’2707 0’2707 0’1404 Rl 22 53 58 39 Hl = 200S (Dl |K0 ) 27’06 54’14 54’14 36’08 Dl 7 6 S (Dl |K0 ) 0’0120 0’0043 0’9597 Rl 2 1 200 Hl = 200S (Dl |K0 ) 2’4 0’86 199’94

4 0’0902 20 18’04

5 0’0361 5 7’22

se reagrupan las tres últimas clases, para que las frecuencias esperadas Hl sean siempre mayores o iguales que 5= Dl S (Dl |K0 ) Rl Hl = 200S (Dl |K0 )

0 0’1353 22 27’06

1 0’2707 53 54’14

2 0’2707 58 54’14

3 0’1404 39 36’08

4 0’0902 20 18’04

5 0’0524 8 10’48

La región crítica es de la forma ( n ) X (Rl Hl )2 UF = "25;00 05 = 110 1 Hl l=1

y el valor del estadístico es 30 881, luego se acepta K0 . Al valor 30 881 le corresponde un p-valor de 00 57. Si se aplica ahora el test de la RV la región crítica es ( ) 6 X S (Dl |K0 ) 2 0 UF = 2 Rl ln "5;00 05 = 11 1 Rl @q l=1

y el valor del estadístico 2[40 554 + 10 279 30 9944 30 0351 20 0628 + 20 1602] = 20 5004 luego se acepta K0 . Si se utiliza ahora el estadístico de Kolmogorov-Smirnov (véase la Sección 8.4.1), se obtiene G6 = 00 36 lo que lleva a un p-valor de 00 4183 por lo que se acepta K0 , de la Tabla 7 en el Apéndice es g6;00 05 = 00 519, la región crítica es de la forma UF = {Gq A gq; = 00 519} (véase la Tabla 8.4.1.1).

0’9597 200 199’94

460 460


8.9.3 1 { 5 (0> 10) frente a K1 : i ({) Se trata de contrastar K0 : i ({) = 10 cualquiera. Mediante el método de la distancia de K. Pearson se construye la tabla: Dl P(Al |K0 ) Rl Hl = qS (Dl |K0 )

(0,2] 0’2 38 50

(2,4] 0’2 55 5

(4,6] 0’2 54 05

(6,8] 0’2 41 05

(8,10] 2 62 50

1 250 250

La región crítica es de la forma ( 5 ) X (Rl Hl )2 2 0 UF = "4;00 05 = 9 49 Hl l=1

el valor del estadístico es 80 2, luego se acepta K0 . Al valor del estadístico le corresponde un p-valor de 00 085= Mediante el test de la RV se tiene la región crítica ) ( 5 X S (Dl |K0 ) 2 0 Rl ln UF = 2 "4;00 05 = 9 49 Rl @250 l=1

el valor del estadístico es 80 36 ¤ 90 49 luego se acepta la hipótesis nula. El estadístico de Kolmogorov-Smirnov no debe emplearse en este caso por venir las frecuencias agrupadas. 8.9.4 Se pretende contrastar K0 : P xowlqrpldo(300> 16 > 16 > 16 > 16 ) frente a K1 : 6 P P xowlqrpldo(300> s1 > ===> s5 ) con sl = 1= Para utilizar el método de l=1

la distancia de K. Pearson se tiene la tabla:

Dl S (Dl |K0 ) Rl Hl = qS (Dl |K0 )

1 1/6 43 50

2 1/6 49 50

3 1/6 56 50

4 1/6 45 50

5 1/6 66 50

6 1/6 41 50

La región crítica es de la forma ) ( 6 X (Rl Hl )2 2 0 "5;00 05 = 11 1 UF = Hl l=1

1 300 300


461 461

Mediante el test de la RV la región crítica es ( ) 6 X S (Dl |K0 ) 2 0 UF = 2 Rl ln "5;00 05 = 11 1 Rl @q l=1

el estadístico da 80 63 luego se acepta también la hipótesis nula. Por venir los datos agrupados, no está indicado el test de KolmogorovSmirnov. 8.9.5 Se trata de contrastar K0 : P xowlqrpldo(100> s1 ()> ===> s6 ()) frente a K1 : 6 P l P xowlqrpldo(100> s1 > ===> s6 ) con sl = 1> donde sl () = h3 l! . Para l=1

determinar > se debe resolver máx

6 Q l=1

[sl ()]ql

Tomando logaritmos y derivando respecto de , se resuelve en la ecuación C 6 P sl () =0 ql C s l () l=1 expresión que toma la forma , · 6 l31 ¸ X l ql h3 @l! + h3 h3 = 0 l 1! l! l=1

de donde b=

6 X

, lql

6 X

l=1

ql =

l=1

30 = 00 3 100

Para realizar el contraste de la distancia de K. Pearson, se construye la tabla: Dl b sl () Ol b Hl = 100sl ()

1

2

3

4

5

5

0’7408 84 74’08

0’2222 9 82’22

0’0333 3 3’33

0’0033 2 0’33

0’0002 1 0’02

0’0000 1 0

1 100 100

con el fin de lograr que las frecuencias esperadas sean próxima a 5, se agrupan las tres últimas clases, lo que lleva a la nueva tabla: Dl b sl () Ol b Hl = 100 sl ()

1

2

2

0’7408 84 74’08

0’2222 9 82’22

0’0368 7 3’68

1 100 100


462 462

La región crítica es de la forma ) ( 3 X (Rl Hl )2 2 0 UF = "1;00 05 = 3 84 Hl l=1

120 188,

el estadístico vale luego se rechaza la hipótesis nula. El p-valor correspondiente a 30 84 es de 00 0002. Mediante el método de la RV la región crítica viene dada por ) ( 3 X b sl () 2 0 Rl ln UF = 2 "1;00 05 = 3 84 Rl @100 l=1

el valor estadístico es 130 846; luego también se rechaza la hipótesis nula. 8.9.6 a) Es un test de homogeneidad (véase la Sección 8.2.2) donde las probabilidades de las multinomiales son respectivamente K0 : s1 > s2 > s3 > s4 con sb1 =

239 717

sb2 =

215 717

sb3 =

4 P l=1 200 717

sl = 1 sb4 =

K1 : s11 ===s14 con

63 717

s21 ===s24 con sblm =

qlm ql·

4 P m=1 4 P m=1

s1m = 1 s2m = 1

se tienen los siguientes resultados 121 118 239

120 95 215

79 121 200

33 30 63

353 364 717

por lo tanto se trata de contrastar H0 :0’333 0’300 0’279 0’088

K1 :0’343 0’340 0’224 0’093 0’324 0’261 0’332 0’082

Mediante el método de K. Pearson < ; A A @ ? P (q ql· 3q·m )2 lm 2 2 q = " " UF = 0 05 3;0 (u31)(n31); ql· 3q·m A A > = l=1>2 q m=1>===>4

el valor del estadístico es 110 74 y el cuantil "23;00 05 = 70 81, luego se rechaza la hipótesis, el p-valor es 00 0083. Mediante el método de la RV ) ( P sbl 0 7 81 UF = 2 qlm ln sblm l>m


463 463

el valor del estadístico es 110 682; luego se rechaza K0= b) Como por la parte a) hay que rechazar la homogeneidad entre ambas muestras, se va a proceder a contrastar el modelo muestra a muestra. Se pretende contrastar la hipótesis nula K0 : r2

s2 + 2su t2 + 2tu 2st

donde sustituyendo por sb = 00 25 tb = 00 17 ub = 00 58 quedan realmente las probabilidades K0 : 0’3364 0’3525 0’2261 0’085 frente a K1 : 0’343 0’340 0’224 0’093. Para realizar el contraste mediante la distancia de K. Pearson se consconstruyelalasiguiente siguientetabla: tabla: truye Dl S (Dl |K0 ) Ol Hl

0 0’3364 121 118’75

A 0’3525 120 124’43

B 0’2261 79 79’81

AB 0’085 33 30

1 353 353

la región crítica es de la forma ¾ ½ 4 P (Rl Hl )2 UF = "23;00 05 = 70 81 Hl l=1 el valor del estadístico es 00 5086 luego se acepta K0 , y el modelo es correcto. Aunque no es necesario hacerlo para la segunda muestra, ya que ambas no eran homogéneas, se puede repetir el procedimiento. Es decir, si se contrasta la hipótesis nula K0 : 0’3364 0’3525 0’2261 0’085 se tiene la siguiente tabla: Dl S (Dl |K0 ) Ol Hl

0 0’3364 118 122’45

A 0’3525 95 128’31

B 0’2261 121 82’3

AB 0’085 30 30’94

1 364 364

La región crítica es de la forma ½ 4 ¾ P (Rl Hl )2 0 UF = 7 81 Hl l=1 el valor del estadístico es 270 0357, que se corresponde con un p-valor de 00 122 × 1034 , luego como era de esperar se rechaza la hipótesis nula. El lector puede repetir el ejercicio utilizando el método de la RV.


464 464

8.9.7 Es una tabla de contingencia (véase la Sección 8.2.3). Mediante el método de K. Pearson la región crítica es de la forma < ; A A ? P (q ql· q·m )2 @ lm 2 0 q UF = "2×2;00 05 = 9 49 ql· q·m A A = l=1>2>3 > q m=1>2>3

el valor del estadístico es 330 3929, luego se rechaza la hipótesis de independencia. Mediante el test de la RV la región crítica es de la forma ) ( ql· q·m P 2 0 q q UF = 2 qlm ln qlm "4;00 05 = 9 49 l>m

q

el valor del estadístico es 330 8986 luego se rechaza también la hipótesis nula. 8.9.8 Es un contraste de homogeneidad (véase la Sección 8.2.2). Mediante la tabla siguiente: muestras D1 D2 D3 D4 1 3 7 7 7 24 2 3 5 5 7 20 3 9 5 5 6 25 4 4 6 8 2 20 19 23 25 22 89 se pretende contrastar la hipótesis nula K0 : 0’2266 0’2734 0’2734 0’2266 donde estas probabilidades sl han sido calculadas bajo la hipótesis de nor4 P s1m = 1> malidad, frente a la hipótesis alternativa K1 : s11 ===s14 con s21 > ===> s24 con 4 P m=1

4 P m=1

s2m = 1, s31 > ===> s34 con

4 P m=1

m=1

s3m = 1, s41 > ===> s44 con

s4m = 1. La

UF =

( P P (qlm l

m

ql· q·m 2 q ) ql· q·m q

) "212;00 05 = 21

el estadístico vale 90 21 ; luego se acepta la hipótesis de homogeneidad, el p-valor es de 00 9555. Obsérvese que al estar la hipótesis nula perfectamente especificada, el número de grados de libertad de la "2 es 12.


465 465

El test de la UY tiene de región crítica ; < A A ? @ 4>4 P sl UF = 2 qlm ln 21 A A qlm @ql· = l=1 > m=1

el valor del estadístico es 150 7856, luego también se acepta la hipótesis nula. 8.9.9 a) Hay que contrastar K0 : 0’75, 0’25

frente a K1 : s1 > s2 con s1 + s2 = 1

mediante el método de la distancia de K. Pearson (véase la Sección 8.2.1). Se tiene la tabla Dl S (Dl |K0 ) Ol Hl = 10S (Dl |K0 )

M 0’75 7 7’5

R 0’26 3 2’5

1 10 1

La región crítica es de la forma ½ 2 ¾ P (Rl Hl )2 UF = "21;00 05 = 30 84 Hl l=1 el valor del estadístico es 00 133; luego se acepta el ajuste a la distribución 3:1, el p-valor es 00 715= b) Por el resultado de la parte a) se toman como distribuciones marginales las dadas por (00 75> 00 25) y se trata de contrastar K0 : slm = sl· sm· i=1,2 j=1,2

con s1· = s·1 = 00 75 s2· = s·2 = 00 25

frente a K1 : s11 > s12 > s21 > s22

con

P l>m

slm = 1>

mediante el método de la RV como los HP Y bajo K1 son sblm = qlm @q, la región crítica es de la forma < ; A A @ ? P sl· s·m qlm ln "23;00 05 = 70 81 UF = 2 A A qlm @q > = l=1>2 m=1>2

y el valor del estadístico es 40 5344, luego se acepta la hipótesis de independencia.


466 466

8.9.10 Se pretende contrastar K0 : I[ = I\ frente a K1 : I[ 6= I\ mediante el test de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras (véase la Sección 8.5.1). La región crítica viene dada, véase la Tabla 8.5.1, por UF = {Gpq A gpq;t } con W Gpq = sup |Ip ({) JWq ({)| {

00 05=

y donde p = 10> q = 15 y = Los cálculos pueden llevarse a cabo de la manera siguiente: muestra |(1) = 1100 2 |(2) = 1200 1 |(3) = 1240 8 {(1) = 1250 6 {(2) = 1280 5 |(4) = 1280 9 |(5) = 1390 6 {(5) = 1390 8 |(6) = 1400 4 {(4) = 1400 6 {(5) = 1420 8 {(6) = 1430 5 |(7) = 1450 8

W ({) JW ({)| |I10 15 0’0667 0’133 0’200 +0’100 0 0’067 0’133 0’033 00 100 0 0’100 0’200 0’133

muestra {(7) = 1450 9 |(8) = 1470 3 |(8) = 1470 3 {(9) = 1470 9 |(9) = 1480 9 {(10) = 1500 2 |(10) = 1500 7 |(11) = 1510 3 |(12) = 1520 3 |(13) = 1530 5 |(14) = 1550 6 |(15) = 1600 1

W ({) JW ({)| |I10 15 0’233 0’167 0’267 0’367 0’300 0’400 0’323 0’267 0’200 0’133 0’067 0

Se observa, que al estar repetido el valor 1470 3 ha sido asignado a la segunda muestra, si se hubiera asignado a la primera, hubiera quedado la secuencia primero {(8) = 1470 3 y luego |(8) = 1470 3 con lo que los números 00 167 y 00 267 se hubiera sustituido por 00 333 y 00 267 respectivamente que no afectan al valor del máximo que es G10>15 = 00 4. Por lo tanto la región crítica es UF = {G10>15 A g10>15;00 05 = 00 5} (véase la Tabla 10 al final del libro), luego se acepta la hipótesis de igualdad de las dos distribuciones. 8.9.11 Mediante el test de Kolmogorov-Smirnov para una muestra (véase (véaselalaSecciSecQrupdo(0> rupdo(0>1) 1) frente K11 : ción 8.4.1),sesetrata tratadedecontrastar contrastar KK00 : :[[ Q ón 8.4.1), frente aa K cualquier otra distribución continua. La región crítica viene dada (véase la Tabla 8.4.1.1) por UF = {Gq A gq; } con q = 20 y = 00 05=


467 467

Los cálculos pueden disponerse de la siguiente forma:

{(l) -1’81 -1’56 -1’14 -0’57 -0’14 -0’09 0’12 0’78 1’05 1’09 1’41 1’52 1’60 2’96 3’34 3’56 3’99 5’46 7’62 8’16

l q

0’05 0’10 0’15 0’20 0’25 0’30 0’35 0’40 0’45 0’50 0’55 0’60 0’65 0’70 0’75 0’80 0’85 0’90 0’95 1

I0 ({(l) ) 0’035 0’059 0’127 0’284 0’444 0’464 0’548 0’782 0’853 0’862 0’921 0’936 0’945 0’998 0’999 0’999 0’999 1 1 1

l q

I0 ({l ) 0’015 0’041 0’023 -0’084 -0’194 -0’164 -0’198 .0’382 -0’403 -0’362 -0’371 -0’336 -0’295 -0’298 -0’249 -0’199 -0’149 -0’1 -0’05 0

l31 q

0 0’05 0’10 0’15 0’20 0’25 0’30 0’35 0’40 0’45 0’50 0’55 0’60 0’65 0’70 0’75 0’80 0’85 0’90 0’95

I0 ({(l) ) 0’035 0’009 0’027 0’134 0’244 0’214 0’248 0’432 0’453 0’412 0’421 0’386 0’345 0’348 0’299 0’249 0’199 0’150 0’1 0’05

l31 q

+ 3 = 00 041> G20 = 00 453 y G20 = 00 453. De las tablas se Por tanto G20 0 obtiene g20;00 05 = 0 294 (véase la Tabla 7 al final del libro), luego se rechaza el ajuste a la distribución Q (0> 1)=

Para realizar el ajuste a una distribución normal, se calculan { = 10 8675 y v = 20 81308, se trata ahora de contrastar

K0 : [ Q (10 87> 20 81) frente a K1 : cualquier otra distribución continua.

La región crítica es la misma de antes, pero donde el valor de gq> se toma de la tabla del test de Kolmogorov-Sminov cuando los parámetros se ajustan a partir de la muestra, g20;00 05 = 00 192 (véase la Tabla 8 del


468 468

Apéndice). Los cálculos pueden disponerse de la siguiente forma: {(l) -1’81 -1’56 -1’14 -0’57 -0’14 -0’09 0’12 0’78 1’05 1’09 1’41 1’52 1’60 2’96 3’34 3’56 3’99 5’46 7’62 8’16

l q

0’05 0’10 0’15 0’20 0’25 0’30 0’35 0’40 0’45 0’50 0’55 0’60 0’65 0’70 0’75 0’80 0’85 0’90 0’95 1

I0W ({(l) ) 0’095 0’111 0’142 0’193 0’237 0’243 0’267 0’349 0’385 0’391 0’435 0’450 0’462 0’651 0’699 0’726 0’775 0’899 0’980 0’987

l q

I0W ({l ) -0’045 -0’011 0’008 0’007 0’013 0’057 0’083 0’051 0’065 0’109 0’115 0’150 0’188 0’049 0’051 0’074 0’075 0’001 -0’030 0’013

l31 q

0 0’05 0’10 0’15 0’20 0’25 0’30 0’35 0’40 0’45 0’50 0’55 0’60 0’65 0’70 0’75 0’80 0’85 0’90 0’95

I0W ({(l) ) 0’095 0’061 0’042 0’043 0’037 -0’007 -0’033 -0’001 -0’015 -0’059 -0’065 -0’100 -0’138 0’001 -0’001 -0’024 -0’025 0’049 0’080 0’037

l31 q

donde ahora los valores de I0W ({) se corresponden con los de la distribución + 0 0 Q (10 87> 20 81). Se tiene que G20 = 00 188, D3 20 = 0 095 y G20 = 0 188 luego la región crítica es (véase la Tabla 8.4.1.1) UF = {G20 A 00 192} y se acepta el ajuste, de hecho el p-valor es aproximadamente 00 477= 8.9.12 Si se denota por {l al resultado obtenido con el parasicólogo presente, e |l al resultado obtenido la semana anterior, la sucesión gl = {l |l debe contener aproximadamente el mismo número de diferencias positivas que negativas, si no hay predicción paranormal. Por lo tanto se trata de ver, mediante el test de los signos, si la sucesión +--+-++++ es compatible con K0 : n 1 = 0 frente a K1 : n 1 A 0, ya que en este último 2 2 caso el número de diferencias positivas sería mayor. Si se denota por \ al número de diferencias positivas es \ = 6 y la región crítica viene dada por UF = {\ f1 } donde la distribución de \ bajo K0 es Elqrpldo(9> 00 5) (véase la Sección 8.4.2).


469 469

Con = 00 05> para que S {\ f1 |K0 } 00 05 ha de ser f1 = 8 puesto que S {\ 8|K0 } = 00 0196, S {\ 9|K0 } = 00 0899 (véase la Tabla 1 del Apéndice), luego se acepta la hipótesis nula y por lo tanto se concluye que no hay inducción paranormal. También es aplicable el test de Wilcoxon de los rangos signados (véase la Sección 8.4.2). Se trata de calcular el estadístico de Wilcoxon W + = 9 P ]l u(|Gl |) con ]l = 1 para los rangos correspondientes a diferencias

l=1

positivas (véase la Expresión (8.4.2.1)). gl : |gl | : u(|gl |) :

2’5 2’5 6

-0’2 0’2 1

-1’4 1’4 4

0’8 0’8 3

-0’3 0’3 2

4’7 4’7 7

5 5 8

13’8 13’8 9

2’4 2’4 5

Por lo tanto W9+ = 6 + 3 + 7 + 8 + 9 + 5 = 38= De acuerdo con la Tabla 8.4.2.2 la región crítica es UF = {W9+ A f1 }, de la restricción de tamaño, ha de ser S {W9+ A f1 } 00 05 de donde se sigue que f1 = 36, luego se rechaza la hipótesis nula. Como se ve, con los dos tests se han obtenido resultados distintos; en general el test de los rangos signados de Wilcoxon utiliza de manera más matizada la información –ya que utiliza los rangos– que el de los signos –que solo utiliza las diferencias–; de todas formas, al no haber demasiada diferencia, se debería recurrir a un estudio posterior con un tamaño muestral mayor. 8.9.13 Mediante el test de Mann-Whitney-Wilcoxon se trata de contrastar frente a K1 : I[ 6= I|

K0 : I[ = I\

la región crítica es UF = {X A f1 o X ? f2 } con X =nr de veces que la primera muestra está por encima de la segunda (véase la Sección 8.5.3). El valor del estadístico es X = 7 + 7 + 7 + 10 + 10 + 10 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 141= Para determinar las constantes, se utiliza la restricción de tamaño mediante S {X A f1 |K0 } 00 025 y empleando que q

X

pq 2

1 12 (p + q + 1)pq

L

$ ] Q (0> 1)

con p = 12 y q = 16 queda S {] A

f1 96 } = 00 025 210 54

470 470


0 0 0 con lo que f1 2196 0 54 = 1 96 y por lo tanto f1 = 138 22 y f2 = 96 1 96 · 0 0 21 54 = 53 78. La región crítica es de la forma

UF = {X A 1380 22 ó X ? 530 78} (véase la Tabla 8.5.3.1), luego se rechaza la hipótesis nula; los libros de Estadística y generales no tienen el mismo número de páginas. Mediante la suposición de que las muestras provienen de sendas poblaciones normales [ Q (> 1 ) e \ Q(2 > 2 ) se empieza contrastando la igualdad de varianzas K0 :

21 21 = 1 K : 6 1 = frente a 1 22 22

con lo que la región crítica es de la forma (véase, en la Sección 5.2.2, la Tabla 5.2.2.4) ½ 2 ¾ V1 V22 2 2 2 2 UF = ip31>q31; 2 si V1 V2 ó iq31>p31; 2 si V1 ? V2 V22 V12 V2

se tiene que p = 12 , q = 16, V12 = 197380 8, V22 = 319770 3, V22 1 iq31>p31; 2 = i15>11;00 025 = 30 33= Como 10 62 ? 30 33, se acepta la igualdad de las varianzas. Si se contrasta ahora la igualdad de medias K0 : 1 = 2 frente a K1 : 1 6= 2 la región crítica es (véase la Tabla 5.2.2.3) 5.2.23) ( UF =

r

|{ || wp+q32; 2 Vs

(p31)V 2 +(q31)V 2

0

1 1 + p q

)

0

3 1 2 = 11·19738 8+15·31977 = 26>7990 4> Vs = 1630 705 con Vs2 = p+q32 26 q 1 1 0 y 12 + 16 = 0 382, luego la región crítica es

UF = {|{ || 20 068 · 1630 705 · 00 382 = 1290 323} y como el valor del estadístico es |{ || = 3160 67 2080 063 = 1080 607 se acepta la hipótesis de igualdad de medias y por lo tanto, bajo la suposición de normalidad, ambas poblaciones son iguales. No se ha contrastado sin embargo la hipótesis de normalidad de muestra, que se deja como ejercicio para el lector (véase la Sección 8.4.3). 8.9.14 a) Se trata de contrastar mediante el test de los signos K0 : n00 75 = 750 5 frente a K1 : n00 75 6= 00 75


471 471

La región crítica es de la forma UF = {\ f1 ó Y f2 con c1 A f2 } con \ = nr de diferencias positivas en la muestra {l 750 5, que en este caso es de 4 (véase la Sección 8.4.2 y la Tabla 8.4.2.1). Bajo K0 la distribución de \ Elqrpldo(8> 00 25), luego para que sea S {\ f1 |K0 } 00 05

S {\ f2 |K0 } 00 05

de la primera ecuación, mediante las tablas de la distribución Elqrpldo, se obtiene S {\ 4|K0 } = 00 1138 y S {\ 5|K0 } = 00 0273 luego f1 = 5 y la región crítica es UF = {\ 5 ó \ ? 0}, como 4 ® 5 se acepta K0 = b) Mediante el test de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras y para contrastar K0 : I[ = I\

frente a K1 : I[ A I\

La región crítica es + UF = {Gp>q A g+ p>q; } + = sup (I W ({) JW ({)) p = q = 8 (véase la Sección 8.5.1 y la con Gp>q { p q Tabla 8.5.1). Para el cálculo del estadístico se utiliza la siguiente tabla:

datos ordenados {(1) = 13 {(2) = 53 {(3) = 59 {(4) = 75 {(5) = 76 {(6) = 79 |(1) = 96 |(2) = 102 |(3) = 104 |(4) = 107 |(5) = 110 {(7) = 129 |(6) = 130 |(7) = 133 {(9) = 138 |(8) = 141

q(IqW ({) JWq ({)) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 2 1 0 1 0

472 472

CAPÍTULO 8. ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA INFERENCIA ESTADÍSTICA De la restricción de tamaño ha de ser + 0 ? g+ S {G88 88;00 1 } 0 1

y de la Tabla 11 del Apéndice g+ 88;00 1 =

4 8

+ = 68 y 68 A 48 se rechaza la hipótesis Como el valor del estadístico es G88 de homogeneidad. c) Para contrastar la igualdad de ambas poblaciones mediante el test de la mediana K0 : P[ = P\ frente a K1 : P[ 6= P\ > la región crítica correspondiente viene dada por

UF = {W A f1 ó W ? f2 con f1 A f2 } siendo W el número de observaciones de la primera muestra que quedan por debajo de la mediana muestral (véase la Sección £ Q ¤ 8.5.2 y la Tabla 8.5.2). Como p = q = 8, Q = p + q = 16 y 2 = 8 la mediana muestral es ]([ Q ]+1) = ](9) = |(3) = 104. La distribución de W es 2 μ ¶μ ¶ p q w nw ¶ S {W = w|K0 } = μ p+q n con n = [ Q2 ] = 8= Debido a que W = 6, y S {W A 6|K0 } = 00 00497+00 0000777 = 00 0050477> se tiene que el p-valor es menor que 00 1, luego se rechaza que las dos poblaciones sean la misma. d) Mediante el test de MWW se pretende contrastar K0 : I[ = I\ frente a K1 : I[ A I\ = Se introduce el estadístico X = nr de veces que la primera muestra queda por debajo estrictamente de la segunda muestra (véase la Sección 8.5.3) y la región crítica es de la forma (véase la Tabla 8.5.3.1) UF = {X A f1 }> mediante la restricción de tamaño ha de ser S {X A f1 |K0 } 00 1 de donde se obtiene f1 = 44 (véase la Tabla 12 al final del libro). Como el valor del estadístico es X = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 3 + 1 = 52 se rechaza K0 y las dos muestras no son homogéneas.


473 473

8.9.15 Para contrastar mediante el test de MWW. K0 : I[ = I\ frente a K1 : I[ 6= I\ la forma de la región crítica es UF = {X A f1 ó X ? f2 con f1 A f2 } (véase la Tabla 8.5.3.1 de la Sección 8.5.3). Donde X es el número de veces que la segunda muestra está por encima estrictamente de la primera, es decir X = 11 + 11 + 10 + +9 + 9 + 8 + 8 + 8 + 7 + 5 + 3 = 89 Para satisfacer la restricción de tamaño, ha de cumplirse S {X A f1 } 00 025 como q

X

pq 2

L

pq(p+q+1) 12

$ ] Q (0> 1)

ha de ser S {] A

f1 72 } = 00 025 170 3205

de donde f1 = 72 + 10 96 · 170 3205 = 1050 948 y por simetría f2 = 72 10 96 · 170 3205 = 380 052= Por lo tanto se acepta que ambas poblaciones son iguales y que los dos grupos son homogéneos. 8.9.16 Como gran parte de los valores de la muestra de los niños quedan por encima, vamos a contrastar, inicialmente mediante el test de Kolmogorov-Smirnov K0 : I[ = I\

frente a K1 : I[ A I|

con lo que la región crítica es de la forma + A g+ UF = {Gp>q p>q; }

(véase la Tabla 8.5.1.1). De la Tabla 11 del Apéndice, g+ 10>190;00 05 =

5 10

y


474 474

construyendo la tabla: datos ordenados {(1) = 7 {(2) = 9 {(3) = 16 {(4) = 16 {(5) = 16 {(6) = 22 {(7) = 26 {(8) = 40 |(1) = 41 |(2) = 45

q(IqW ({) JWq ({)) 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6

datos ordenados |(3) = 50 {(9) = 55 {(10) = 58 |(4) = 65 |(5) = 65 |(6) = 69 |(7) = 72 |(8) = 86 |(9) = 104 |10 = 113

q(IqW ({) JWq ({)) 5 6 7 6 5 4 3 2 1 0

+ = 8 , donde se observa que los valores repetidos, que aparese obtiene Gp>q 10 cen con un asterisco detrás, no afectan al valor de estadístico. Como 00 8 pertenece a la UF se rechaza la hipótesis nula. Mediante el test de la mediana se trata de contrastar

K0 : P[ = P\ frente a K1 : P[ ? P\ la región crítica es de la forma UF = {W A f1 } siendo W = nr de observaciones de la primera muestra que quedan por debajo de la mediana muestral £ ¤(véase la Sección 8.5.2). Como p = q = 10> Q = p + q = 20 y N = Q2 = 10, la mediana muestral es ]([ Q +1]) = ](11) = 2 |(3) = 50. Bajo K0 sustituyendo en μ ¶μ ¶ p q w nw ¶ S {W = w|K0 } = μ p+q n como W = 8 S {W A 8|K0 } = 00 0005713 + 00 0000057 = 00 00057 y el p-valor es menor que 00 05, luego se rechaza K0 = Por último, mediante el test de P Z Z (véase la Sección 8.5.3), se trata de contrastar K0 : I[ = I\

frente a K1 : I[ A I\

con lo que se rechaza cuando UF = {X A f1 }


475 475

donde X es el número de veces que la primera muestra queda estrictamente por debajo de la segunda (véase la Tabla 8.5.3.1). De la Tabla 12 al final del libro se obtiene que como S {X A f1 |K0 } 00 05 ha de ser f1 = 72 y como el valor del estadístico es X = 6·10+7+2·10+7 = K0 = K0 = 94 que queda en laen región crítica, luegoluego se rechaza queda la región crítica, se rechaza 8.9.17 Mediante el test de Kendall (véase la Sección 8.6.1), la forma de la región crítica para contrastar K0 : I ({> |) = I1 ({)I2 (|) frente a K1 : I ({> |) 6= I1 ({)I2 (|) es UF = {|W | A f} 2S (véase la Tabla 8.6.1.1). El valor del estadístico de Kendall es W = μ ¶ 1 = q 2 2 · 44 0 μ ¶ 1 = 0 162, ya que el número de concordancias es 44 y el de 15 2 discordancias es 61. Para la determinación de las constantes, como ha de cumplirse que S {W A f|K0 } 00 025> q q(q31) W $ ] Q (0> 1) ha de verimediante la distribución asintótica 3 2(2q+5) ficarse que s ¯ ) ( q(q 1) ¯¯ S ]Af ¯ K0 = S {] A f 50 196} 00 025 2(2q + 5) ¯ de donde }00 025 = f 50 196 = 10 96, por lo que f = 00 377= Como 00 162 no pertenece a la RC se acepta la hipótesis de independencia, el p-valor es 00 4= Mediante el coeficiente de correlación de Spearman , la forma de la región crítica es UF = {|U| A f} donde 12 U= q(q2 1)

½ 15 P

q(q + 1)2 lVl 4 l=1

¾

(véase la Sección 8.6.2 y la Tabla 8.6.2.1). Como ha de ser S {|U| A f|K0 } 00 05

476 476


empleando la distribución asintótica s L q 1 U $ ] Q (0> 1) se sigue

s S {U A f|K0 } ' S {] A f q 1} 00 025

por lo que f 30 742 = 10 96, luego f = 00 524= Como el valor del estadístico es 00 2643 se acepta la hipótesis de independencia, el p-valor es 00 3227=

DISTRIBUCIONES USUALES Ehuqrxool() función de masa media varianza función característica

5 [0> 1] S {[ = {|} = { , { 5 {0> 1} H[[] = Y [[] = (1 ) *[ (w) = 1 + (hlw 1)

Elqrpldo(q> )

media varianza función característica

q 5 {1> 2> ===}> μ 5 [0> ¶ 1] q { S {[ = {|} = (1 )q3{ > { 5 {0> 1> ===> q} { H[[] = Y [[] = q(1 ) *[ (w) = [1 + (hlw 1)]q

Jhrp´ hwulfd() función de masa media varianza función característica

5 [0> 1] S {[ = {|} = (1 ){31 , { = 1> 2> === H[[] = 1 Y [[] = 13 2 *[ (w) = (hlw )@[1 (1 )hlw ]

función de masa

Klshujhrp´ hwulfd(Q> Q> q)

función de masa

media varianza

Q A 0> 0 P Q> q 5 {1> 2> ===> Q }> P y Q hqwhurv μ ¶μ ¶ P Q P { μ q¶ { S {[ = {|Q> P> q} = , Q q { 5 {0> 1> ===> q} H[[] = qP Q Y [[] = qP(Q3P)(Q3q) Q 2 (Q 31) 477

DISTRIBUCIONES INFERENCIA ESTADÍSTICA

478 478

Elqrpldo Q hjdwlyd(u> ) función de masa media varianza función característica

USUALES

u 1 entero, 5μ[0> 1] ¶ u+{1 u S {[ = {|u> } = (1 ){ > { { = 0> 1> === H[[] = u(13) Y [[] = u(13) 2 *[ (w) = [@(1 (1 )hlw )]u

S rlvvrq() función de masa media varianza función característica

5 (0> +4) { S {[ = {|} = h3 {! , { = 0> 1> === H[[] = Y [[] = lw *[ (w) = h(h 31)

X qliruph(1 > 2 ) función de densidad media varianza función característica

4 ? 1 ? 2 ? +4 1 i ({|1 > 2 ) = 2 3 L ({) 1 ( 1 > 2 ) 1 +2 H[[] = 2 2 1) Y [[] = (2 3 12 *[ (w) = (hlw2 hlw1 )@(lw(2 1 ))

Q rupdo(> )

5R

5 (0> +4)

1

2

función de densidad media varianza función característica

1 i ({|> ) = I2 h3 22 ({3) , { 5 R H[[] = Y [[] = 2 1 2 2 *[ (w) = hlw3 2 w

H{srqhqfldo() función de densidad media varianza función característica

5 (0> +4) i ({|) = h3{ L(0>+") ({) H[[] = 1 Y [[] = 12 *[ (w) = [1 (lw)@d]3s

Greoh H{srqhqfldo(> )

5 R 5 (0> +4)

función de densidad media varianza función característica

1 3 i ({|> ) = 2 h , {5R H[[] = Y [[] = 2 2 *[ (w) = hlw @(1 + 2 w2 )

|{3|

479 479

DISTRIBUCIONES USUALES

Jdppd(d> s) función de densidad media varianza función característica

d 5 (0> +4) s 5 (0> +4) ds 3d{ s31 i ({|d> s) = K(s) h { L(0>+") ({) s H[[] = d Y [[] = ds2 *[ (w) = [1 (lw)@d]3s

"2s función de densidad

s 5 (0> +4) 1 i ({|s) = 2s@21K( s ) h3 2 { {s31 L(0>+") ({)

media varianza función característica

H[[] = s Y [[] = 2s s *[ (w) = (1 2lw)3 2

Ehwd(s> t) función de densidad media varianza

Fdxfk|(> ) función de densidad media varianza función característica

Ws gh Vwxghqw función de densidad media varianza

Is>t gh Vqhghfru función de densidad

media varianza

2

s 5 (0> +4) t 5 (0> +4) 1 i ({|s> t) = E(s>t) {s31 (1 {)t31 L(0>1) ({) s H[[] = s+t Y [[] = (s+t)2st (s+t+1) 5 R 5 (0> +4) 1 1 i ({|> ) = 2> { 5 R 1+( {3 ) no existe no existe *[ (w) = hlw3|w|

s 5 (0> +4) ³ K( s+1 ) i ({|s) = K s K2 1 I1s 1 + (2) (2) H[[] = 0 si s A 1 s Y [[] = s32 , si s A 2

{2 s

´3 s+1 2

,

{5R

s 5 (0> +4)> t 5 (0> +4) i ({|s> t) = ³ ´ s s32 ³ ´3 s+t K( s+t ) 2 2 = K s K2 t st { 2 1 + st { L(0>+") ({) (2) (2) s H[[] = s32 , si s A 2 ³ ´2 t s+t32 Y [[] = 2 t32 s(t34) > si t A 4

480 480

Jdppd Lqyhuvd(d> s) función de densidad media varianza

DISTRIBUCIONES INFERENCIA ESTADÍSTICA

USUALES

d 5 (0> +4)> s 5 (0> +4) ds 3 {d 3(s+1) i({|d> s) = K(s) h { L(0>+") ({) d H[[] = s31 , si s A 1 2 Y [[] = (s31)d2 (s32) si s A 2

Qrupdo ndimensional(μ> ) μ 5 Rn > matriz n × n simétrica definida positiva 1 3 12 (x3)0 P31 (x3) i({|μ> ) = > x5 Rn función de densidad n 1 h (2) 2 |P| 2

media matriz de covarianzas función característica

H[X] = μ 1 0 0 *[ (w1 > ===> wn ) = hlw 3 2 w Pw

n P Pxowlqrpldo(q> 1 > ===> n ) q A 0 entero, l 5 (0> 1), l = 1> ===> n> l = 1 l=1 $ S {[1 = {1 > ===> [n = {n | } función de masa n n P q! Q {l l > {l = 0> 1> ===> q> l = 1> ===> n> {l = q = Q n l=1 l=1 {l !

l=1

media varianza covarianzas función característica

H[[l ] = ql Y [[l ] = ql (1 l ) Fry([l > [m ) = ql m *[ (w1 > ===> wn ) = (1 hlw1 + 2 hlw2 + === + n hlwn )q

W de Vwxghqw ndimensional(s> μ> ) s A 0> μ 5 Rn > matriz n × n simétrica definida positiva i({|s> μ> ) = función de densidad h i3 n+s K( n+s 2 (x3)0 P31 (x3) 2 ) = 1 + n 1 s n (s) 2 K( 2 )|P| 2

media matriz de covarianzas

x5 Rn H[X] = μ, si s A 1 s @(s 2), si s A 2

TABLAS

481

482482

TABLAS


TABLA 0

Números aleatorios 03731 18090 52234 09936 08773

59936 49516 17091 48962 18567

58116 58621 56495 26323 11844

39874 78150 74247 69783 49743

93896 21823 94785 57220 12023

42327 02400 37236 30463 98081

31159 34007 92526 87227 29493

72287 42346 24496 24368 94179

66279 59754 96456 44320 92819

26356 71470 11684 74139 54374

56563 66718 32876 49826 71051

66101 75178 18793 61427 15390

62681 88893 39096 97495 10730

41375 05298 58810 25215 90834

85594 80729 12739 11243 76780

47660 32281 59161 28205 52007

03878 84366 40034 59066 38345

81855 43146 63282 94455 09287

14889 46277 93654 56348 46355

78637 53036 91372 04036 42874

65517 56558 71144 19714 48755

68222 23322 85714 11208 77145

51977 78797 49586 02202 24301

54559 89739 49505 43267 94688

41626 17783 86744 22846 84466

84072 08111 35167 52008 04791

68417 85513 32337 99408 54548

99378 50612 51161 71784 80117

98840 10740 08045 26445 77558

98135 55402 55793 18016 09621

27370 18567 70766 71699 59565

84604 53691 97857 88864 44695

32283 91653 20486 23062 15960

24361 46671 14835 35265 00501

24342 29586 61349 85636 90406

28098 49136 36502 99498 78752

90886 31216 58310 19581 12224

30371 57727 19503 90749 20661

27943 48889 85001 27163 33351

13315 87194 82627 27239 13568

71866 54111 51843 25849 53203

37343 25499 63171 19785 34049

20163 83727 08509 14483 19923

36808 38030 70777 56563 61044

54129 51360 16463 95565 71986

46029 15434 14003 64385 21351

42793 24935 85017 81611 37304

28470 98258 27355 56672 95454

95834 94905 83598 42055 21119

31839 20242 23494 75771 93850

93842 07830 98888 20834 60882

67539 37887 82866 30485 65583

46391 04196 35038 95188 34445

69979 35970 49706 09270 11147

69835 32637 32410 17256 26057

49199 93412 80637 72806 59819

82403 50504 28218 69249 70534

99682 58470 20287 69620 04496

59341 47718 01202 13563 53864

39001 98525 17155 28823 34269

483 483

TABLAS

16906 44664 67898 61914 89086

97573 15801 72763 33089 35035

44574 66124 62437 79549 95056

30028 95049 94103 04573 73584

65405 63615 81477 00569 79702

90348 95067 00874 91255 35398

57805 43491 64676 24138 99431

64883 02686 55592 37883 01685

44410 00875 12902 55766 74790

53796 54906 08992 35267 49195

48817 73008 58983 42035 93250

67578 91396 93406 79372 18519

17668 48775 69977 16781 49350

63797 42795 58860 75021 79561

50544 98540 62419 86335 44977

86813 78504 17339 17428 25366

73963 07933 45154 08197 78441

76120 57598 56550 47392 17901

01504 86875 15193 57448 29572

72763 36260 50463 36871 99810

21035 39370 94356 54054 93797

45555 54207 58771 80201 51409

32458 28591 40787 11919 35901

10074 24715 00603 42317 24259

23234 09289 23165 18801 04516

01836 62178 28637 28801 04516

38688 44244 20704 86575 70437

05104 91678 38786 88994 70437

02756 36633 00417 25073 10088

85452 02256 16653 99888 28203

56358 16700 84568 38380 57492

39689 55656 24527 34342 93825

90343 06408 14502 43044 54974

26717 44361 87238 12909 70866

92995 72858 34922 45233 60923

07617 24768 77819 25839 20115

38946 50568 60395 68127 14044

47500 43046 83548 96675 17011

51326 50951 43300 47099 95523

12283 50875 57738 10557 38618

71751 33728 77537 78884 10923

17175 61666 25939 58147 92431

52210 01980 83182 49099 15806

48425 81066 78936 78252 87224

44245 26249 81098 16807 91665

89159 00336 61950 94604 18996

43718 80284 44529 00053 96505

14814 82283 35795 21029 40259

63810 54691 05013 62437 94288

55545 48444 03379 99665 72236

85389 47819 01456 77116 92174

88642 20731 32067 51260 28636

61135 05178 28091 31172 20037

87472 51186 88240 55746 25215

16355 92979 99237 89696 25222

82284 53899 94240 06490 88754

61555 60733 51556 14108 21522

39269 94935 86121 51894 83252

07019 76106 13655 15770 58422

75607 40610 47356 26669 41380

74984 64348 97753 49777 16945

87712 83806 41035 82984 13245

62719 28773 02886 10835 16191

02682 76463 25076 54075 46311

10201 55750 06552 35452 55895

92109 82511 75500 33115 74107

27856 78111 27781 16944 94525

25661 99265 51597 01325 78469

14344 84426 55188 48700 06300

89097 60215 41520 49526 99924

484

484

TABLAS


96775 12096 10812 18838 16728

22368 40082 66958 63294 87890

34924 72392 93886 42021 58794

55104 40501 12080 33734 73370

38302 44143 23447 75687 77844

30872 68603 15277 67508 16632

81828 98721 11060 92871 86356

44426 83030 00087 63282 83481

99356 91607 54974 48928 48185

29539 65620 83563 57164 68137

59018 22173 63334 60049 49195

70951 89400 55543 19647 23241

56109 29758 43358 34278 14430

45946 22532 10390 29364 34797

35837 16594 95411 84476 96085

50485 02574 66037 90925 84084

92141 21841 94403 31518 26133

67001 89595 94403 31518 26133

57870 37099 26503 51548 79370

80116 09814 47418 71003 54447

21331 17608 47789 92104 00557

25442 14940 11834 02180 51395

41125 89081 00504 79405 66954

33737 22745 91544 85389 42342

07963 40099 49996 87941 27685

09059 59954 47579 67983 99855

33459 62155 49165 24990 22622

14156 26265 48306 93124 44136

80115 02189 03305 60298 37489

00959 24789 30593 81640 30013

64397 36423 73386 05468 15587

11830 38185 80056 02671 01921

08081 28256 02085 50314 42513

51312 04511 28812 44471 36709

15377 56711 48829 74079 62067

79516 39955 26309 89479 84737

13860 59388 35127 91760 13908

95025 85275 25673 91687 92272

79116 14749 99728 31633 59455

43855 83563 47273 30680 46109

82874 67739 96389 20355 22219

95632 95300 22799 86729 56520

28276 37587 38524 82586 33861

75931 80249 45320 98687 37342

76170 03114 49416 39451 63848

79358 79818 08192 98536 10932

51907 06707 26820 64621 00839

16019 34073 72832 01169 57839

66036 75839 31844 04240 65959

67777 36184 50383 99461 51730

TABLAS

TABLA 1 Función de masa μ ¶de la v.a. Elqrpldo(q> s) q { S {[ = {} = s (1 s)q3{ q = 1> 2> ===> 10 {

485

485

486486


TABLA 2 Función de masa de la v.a. de S rlvvrq() { = 0> 1> === = 1> 2> 3> ===> 100 S {[ = {} = h3 { @{!

TABLAS

TABLAS

TABLA 3 Función de distribución de la v.a. Q rupdo(0> 1)= La tabla proporciona los valores de I ({) tales que R{ 1 2 I ({) = 3" I12 h3 2 w gw

487 487

488488


TABLA 4 Distribución de la v.a. "2n = La tabla proporciona los valores de "2n; tales que S {"2n "2n; } = 1 =

Para n A 100 utilícese que

q s 2"2n 2n 1 ' Q (0> 1)=

TABLAS

489

TABLAS

TABLA 5

Distribución de la v.a. Wq de Student La tabla proporciona los valores de w tales que S {Wq w } = 1

q Para valores grandes de q utilícese que Wq

q32 q

' Q (0> 1)=

489

490490


TABLA 6

Distribución de la v.a. Ip>q de Snedecor. La tabla proporciona los valores de Ip>q;00 05 tales que S {Ip>q Ip>q;00 05 } = 00 95

TABLAS

TABLAS

TABLA 6 (continuación)

Distribución de la v.a. Ip>q de Snedecor. La tabla proporciona los valores de Ip>q;00 05 tales que S {Ip>q Ip>q;00 025 } = 00 975

491

491

492492

TABLAS


TABLA 7 Distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov de una muestra. Esta tabla contiene los valores de g+ q y gq> tales que S {Gq+ A g+ A g } S {G y q q> } = q> { q { > } q> } Test unilateral Test unilateral .10 = = .10 Test bilateral Test bilateral = .20 .20 q =1 = .900 q2 =1 .900 .681 .681 3 2 .565 3 .565 4 .493 4 .493 5 .447 5 .447 6 7 8 9 10

.05 .05

.025 .01 .025 .01

.005 = .10 .05 .025 .005 = .10 .05 .025 .01

.01 .005

.005

.10 .10 .950 .950 .776 .776 .636 .636 .565 .565 .509 .509

.05 .05 .975 .975 .842 .842 .708 .708 .624 .624 .563 .563

.02 .02 .990 .990 .900 .900 .785 .785 .689 .689 .627 .627

= .01 .20 .10 .01 = .20 .10 .05 .995 n=21 .226 .259 .995 n=21 .226 .259 .287 .929 22 .221 .253 .929 .281 .829 22 23.221.216.253 .247 .829 23 .216 .247 .275 .734 24 .212 .242 .734 24 .212 .242 .269 .669 25 .208 .238 .669 25 .208 .238 .264

.05 .02 .287 .321 .281 .314 .275 .307 .269 .301 .264 .295

.02 .01 .321 .344 .314 .337 .307 .330 .301 .323 .295 .317

.01 .344 .337 .330 .323 .317

6 7 8 9 10

.410 .410 .381 .381 .358 .358 .339 .339 .323 .323

.468 .468 .436 .436 .410 .410 .387 .387 .369 .369

.519 .519 .483 .483 .454 .454 .430 .430 .409 .409

.577 .577 .538 .538 .507 .507 .480 .480 .457 .457

.617 .617 .576 .576 .542 .542 .513 .513 .489 .489

26 .204 .233 26 27.204.200.233 .229 .259 27 28.200.197.229 .225 .254 28 29.197.193.225 .221 .250 29 30.193.190.221 .218 .246 30 .190 .218 .242

.259 .290 .254 .284 .250 .279 .246 .275 .242 .270

.290 .311 .284 .305 .279 .300 .275 .295 .270 .290

.311 .305 .300 .295 .290

11 12 11 13 12 14 13 15 14 15

.308 .308 .296 .296 .285 .285 .275 .275 .266 .266

.352 .352 .338 .338 .325 .325 .314 .314 .304 .304

.391 .391 .375 .375 .361 .361 .349 .349 .338 .338

.437 .437 .419 .419 .404 .404 .390 .390 .377 .377

.468 .468 .449 .449 .432 .432 .418 .418 .404 .404

31 .187 .214 31 32.187.184.214 .211 .238 32 33.184.182.211 .208 .234 33 34.182.179.208 .205 .231 34 35.179.177.205 .202 .227 35 .177 .202 .224

.238 .266 .234 .262 .231 .258 .227 .254 .224 .251

.266 .285 .262 .281 .258 .277 .254 .273 .251 .269

.285 .281 .277 .273 .269

16 17 16 18 17 19 18 20 19 20

.258 .295 .327 .366 .392 .258 .286 .295 .318 .327 .366 .250 .355 .392 .381 .250 .286 .318 .355 .244 .279 .309 .346 .381 .371 .244 .271 .279 .301 .309 .346 .237 .337 .371 .361 .237 .265 .271 .294 .301 .337 .232 .329 .361 .352 .232 .265 .294 .329 .352 Aproximación para q A 40 Aproximación para q A 40

36 .174 .199 36 37.174.172.199 .196 .221 37 38.172.170.196 .194 .218 38 39.170.168.194 .191 .215 39 40.168.165.191 .189 .213 40 .1651>07 .189 .210 1>22 I I

.221 .247 .218 .244 .215 .241 .213 .238 .210 .235 1>36 I

.247 .265 .244 .262 .241 .258 .238 .255 .235 .252 1>52 I

.265 .262 .258 .255 .252

1>07 I q

q1>22 I q

1>36 q I q

1>52 q I q

1>63 Iq q

1>63 I q

493 493

TABLAS

TABLA 8 Distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov para el ajuste a una v.a. Normal con los parámetros estimados a partir de la muestra. + + La tabla contiene los valores de g+ q tales que S {Gq A gq } = q 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 40 100 400 900

0’20 .303 .289 .269 .252 .239 .227 .217 .208 .200 .193 .187 .181 .176 .171 .167 .163 .159 .143 .131 .115 .074 .037 .025

0’15 .321 .303 .281 .264 .250 .238 .228 .218 .210 .202 .196 .190 .184 .179 .175 .170 .166 .150 .138 .120 .077 .039 .026

0’10 .346 .319 .297 .280 .265 .252 .241 .231 .222 .215 .208 .201 .195 .190 .185 .181 .176 .159 .146 .128 .082 .041 .028

0’05 .376 .343 .323 .304 .288 .274 .262 .251 .242 .234 .226 .219 .213 .207 .202 .197 .192 .173 .159 .139 .089 .045 .030

0’01 .413 .397 .371 .351 .333 .317 .304 .291 .281 .271 .262 .254 .247 .240 .234 .228 .223 .201 .185 .162 .104 .052 .035

0’001 -433 .439 .424 .402 .384 .365 .352 .338 .325 .314 .305 .296 .287 .279 .273 .266 .260 .236 .217 .189 .122 .061 .042

494 494

TABLAS


TABLA 9 Distribución del estadístico de los rangos signados de Wilcoxon. Esta tabla contiene los valores de w tales que S {W + A w } = Los valores correspondientes a w13 se obtienen de w13 = p(q + 1)@2 w = q 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

.01 6 10 15 21 27 34 41 49 58 67 78 89 100 112 125 138 152 166

.025 6 10 15 20 25 32 39 46 55 64 73 84 94 106 118 130 143 157

.05 6 10 14 18 24 30 36 44 52 60 69 79 89 100 111 123 136 149

.10 6 9 12 17 22 27 34 40 48 56 64 73 83 93 104 115 127 140

La distribución asintótica del estadístico de Wilcoxon viene dada por W+ qq

q(q+1) 4

q(q+1)(2q+1) 24

' Q (0> 1)=

TABLAS

495 495

TABLA 10 Distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras de distinto tamaño. Esta tabla contiene los valores de g+ pq> y gpq> tales que + A g+ S {Gp>q } S {G y p>q A gp>q } con p>q> ax{p> q} Q1 = m´ın{p> q} y Q2 = m´

496496


TABLAS

TABLA 10 (continuación) Test unilateral

=

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.20 27/56 31/63 33/70 3/7 3/7 4/9 19/40 11/24 7/16 13/32 7/15 4/9 19/45 7/18 13/36 2/5 2/5 7/20 23/60 3/8 13/36 11/30 7/20 27/80

0.10 33/56 5/9 39/70 1/2 13/28 13/24 21/40 1/2 1/2 7/16 1/2 1/2 22/45 4/9 5/12 7/15 9/20 2/5 9/20 7/16 5/12 5/12 2/5 31/80

0.05 5/8 40/63 43/70 4/7 15/28 5/8 23/40 7/12 9/16 1/2 26/45 5/9 8/15 1/2 17/36 1/2 1/2 9/20 1/2 23/48 17/36 7/15 13/30 17/40

0.02 41/56 5/7 7/10 9/14 17/28 2/3 27/40 5/8 5/8 9/16 2/3 11/28 3/5 5/9 19/36 17/30 11/20 1/2 11/20 13/24 19/36 31/60 29/60 19/40

0.01 3/4 47/63 5/7 5/7 9/14 3/4 7/10 7/3 5/8 19/32 31/45 2/3 29/45 11/18 5/9 19/30 3/5

Test bilateral

= N1 =7

N2 =8 9 10 14 28 N1 =8 N2 =9 10 12 16 32 N1 =9 N2 =10 12 15 18 36 N1 =10 N2 =15 20 40 N1 =12 N2 =15 16 18 20 N1 =15 N2 =20 N1 =16 N2 =20 Aproximación para m y n grandes

q 10

p+q pq

q 1.22

p+q pq

q 1.36

p+q pq

q 1.52

p+q pq

7/12 7/12 5/9 17/30 31/60 41/80

q 1.63

p+q pq

497 497

TABLAS

TABLA 11 Distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras de igual tamaño. Esta tabla contiene los valores de g+ qq; y gqq; tales que + S {Gqq A gqq; } y

Test Testunilateral unilateral = = .10 .10.05 .05 .025 Test Testbilateral bilateral = = .20 .20.10 .10 .05 n=3 2/3 2/3 2/3 2/3 n=3 44 3/4 3/4 3/4 3/4 3/4 55 3/5 3/5 3/5 3/5 4/5 66 3/6 3/6 4/6 4/6 4/6 77 4/7 4/7 4/7 4/7 5/7

S {Gqq A gqq; } =

.01 .025 .005.01 =.005.10

.05=

.025 .10

.01 .05

.005.025

.01

.02 .10= .05 .01.02 =.01 .20 n=20 6/20 n=20 7/20 21 6/21 7/21 3/4 21 4/5 4/5 4/54/5 224/57/22 8/22 22 5/6 4/6 5/65/6 235/67/23 8/23 23 5/7 5/7 5/75/7 245/77/24 8/24 24

.05 .20 8/20 6/20 8/21 6/21 8/22 7/22 9/23 7/23 9/24 7/24

.02 .10 9/20 7/20 9/21 7/21 10/22 8/22 10/23 8/23 10/24 8/24

.01 .05 10/20 8/20 10/21 8/21 10/22 8/22 10/23 9/23 11/24 9/24

.02 9/20 9/21 10/22 10/23 10/24

5/8 5/8 6/85/8 6/9 5/9 6/96/9 6/10 6/10 7/10 6/10 7/11 7/11 7/11 7/11 7/12 7/12 7/12 7/12 7/13 7/13 8/13 7/13

256/87/25 266/97/26 277/10 7/27 287/11 8/28 297/12 8/29 308/13 8/30

8/25 25 8/26 26 8/27 27 9/28 28 9/29 29 9/30 30

9/25 7/25 9/26 7/26 9/27 7/27 10/28 8/28 10/29 8/29 10/30 8/30

10/25 8/25 10/26 8/26 11/27 8/27 11/28 9/28 11/29 9/29 11/30 9/30

11/25 9/25 11/26 9/26 11/27 9/27 12/28 10/28 12/29 10/29 12/30 10/30

10/25 10/26 11/27 11/28 11/29 11/30

1414 5/145/14 6/14 6/14 7/14 7/14 7/14 8/14 7/14 1515 5/155/15 6/15 6/15 7/15 8/15 7/15 8/15 8/15 1616 6/166/16 6/16 6/16 7/16 8/16 7/16 9/16 8/16 1717 6/176/17 7/17 7/17 7/17 8/17 7/17 9/17 8/17 1818 6/186/18 7/18 7/18 8/18 9/18 8/18 9/18 9/18 1919 6/196/19 7/19 7/19 8/19 9/19 8/19 9/19 9/19 A 40q: A 40 : Aproximación para qpara Aproximación

318/14 8/31 328/15 8/32 349/16 8/34 369/17 9/36 389/18 9/38 409/19 9/40

9/31 31 9/32 32 10/34 34 10/36 36 10/38 38 10/40 40

10/31 8/31 10/32 8/32 11/34 8/34 11/36 9/36 11/38 9/38 12/40 9/40

11/31 9/31 12/31 10/31 12/32 9/32 12/32 10/32 12/34 10/34 12/34 11/34 12/36 10/36 12/36 11/36 13/38 10/38 14/38 11/38 13/40 10/40 14/40 12/40

11/31 12/32 12/34 12/36 13/38 13/40

88 99 1010 1111 1212 1313

4/8 4/8 4/8 4/9 4/9 5/9 4/104/10 5/10 5/115/11 5/11 5/125/12 5/12 5/135/13 6/13

5/8 4/8 5/9 5/9 6/10 5/10 7/11 5/11 7/12 5/12 7/13 6/13

1>52 I q

1>73 I q

1>92 1>52 I I qq

2>15 I1>73 I qq

2>30 I 1>92 I q q

2>15 I q

498 498


TABLAS

TABLA 12 Distribución del estadístico de Mann-Whitney-Wilcoxon. Esta tabla contiene los valores de X tales que S {X A x } = x13 = pq x = Por simetría

La distribución asintótica del estadístico de Mann-Whitney-Wilcoxon viene dada por r ³ pq ´. pq(p + q + 1) ' Q (0> 1) X 2 12

499 499

TABLAS

TABLA 13 Distribución del estadístico de Kendall. Esta μtabla ¶ contiene los valores de v para los que S {W A w } donde q V= W es el estadístico de Kendall. Por simetría v13 = v = 2 n 3 4 5 6 7 8 9 10

.100 3 4 6 7 9 10 12 15

.050 3 4 6 9 11 14 16 19

.025 3 6 8 11 13 16 18 21

.01 3 6 8 11 15 18 22 25

La distribución asintótica del estadístico de Kendall viene dada por p 3 [q(q 1)]@[2(2q + 5)] W ' Q (0> 1)= TABLA 14 Distribución del estadístico de los rangos de Spearman. Esta tabla contiene los valores de u tales que S {U A u } = Por simetría u13 = u = n 3 4 5 6 7 8 9 10

.01 1.000 1.000 .900 .886 .857 .810 .767 .721

.025 1.000 1.000 .900 .829 .750 .714 .667 .636

.05 1.000 .800 .800 .771 .679 .619 .583 .552

.10 1.000 .800 .700 .600 .536 .500 .467 .442

La distribución asintótica del estadístico de Spearman viene dada por s U q 1 ' Q (0> 1)=

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Índice alfabético acción Bayes, 292, 300, 301, 303 admisibilidad, 280, 285 amplitud de banda, 428 análisis de datos, 9 análisis de la varianza, 315, 325 aproximación bayesiana, 207 clásica, 207 Arago, 141 Arbuthnot, 452

coeficiente de correlación, 121 correlación de Spearman, 449, 475 correlación lineal, 331, 332, 347, 381 correlación muestral, 78, 423 determinación, 347, 380—383 Kendall, 445 completitud, 67, 93, 115 completo, 157 con reemplazamiento, 4 conjugada, 143, 200 consistencia, 99, 135 contraste aleatorizado, 208, 233 bayesiano, 225, 251 de hipótesis, 209, 275 de hipótesis unilaterales, 236 de homogeneidad, 462 de Kendall, 444, 447, 448, 475 de Kolmogorov-Smirnov, 456— 458, 461, 466, 473 de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras, 429, 430, 471 de Kolmogorov-Smirnov para una muestra, 407, 410, 466 de Kruskal-Wallis, 442, 444 de la mediana, 436, 457, 472, 474 de la razón de verosimilitudes (RV), 211, 212, 224, 249, 458—461, 464 de localización, 413 de los rangos signados, 407

banda de confianza, 410 Bayes, 246 Bennet, 187 Berger, 140, 281, 282, 295 Bernoulli, Daniel, 246 Bernoulli, Jacob, 140, 246 Bickel, 120 Birnbaum, 79 Blackwell, 290 Blyth, 283 bondad de ajuste, 389 Borel, 140, 187 Boscovich, 43, 452 Bouvard, 141 Box, 453 Breiman, 2 Brevais, 355 Brown, 289 Cantor, 140 Casella, 137, 140 Chakraborti, 448 clase completa, 280, 281 cociente de verosimilitudes (RV), 234 510 511

ÍNDICE 512

ALFABÉTICO


de los rangos signados para dos muestras, 453 de los signos, 407, 414, 420, 468, 470 de Mann-Whitney-Wilcoxon, 438, 440, 444, 457, 469 de normalidad, 421 de Spearman, 450, 451 de Wilcoxon, 414, 415, 420 de Wilcoxon de los rangos signados, 469 del coeficiente de correlación de los rangos de Spearman, 449 estadístico, 208 insesgado, 230, 240, 245 invariante, 228, 229 no paramétrico de independencia, 444 óptimo, 230, 233, 234, 245 relativo a la diferencia de medias, 217 relativo a la media, 213 relativo a la media de la distribución normal, 213 relativo a la varianza, 215 relativo al cociente de varianzas, 218 uniformemente de máxima potencia (UMP), 231, 245 convergencia en ley, 17 correlación, 355 cota de Fréchet-Cramér-Rao (FCR), 120—127, 145, 146, 157, 161 Cournot, 141 covarianza, 120 Cramér, 1, 17, 394, 453 criterio de comparación de contrastes, 230 de la pérdida final esperada, 107 del error cuadrático medio, 105, 144

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cuantil muestral, 13 poblacional, 13 cuasivarianza muestral, 6, 8, 12, 13, 45, 118, 143 muestral ponderada, 28, 179 D’Alembert, 43 Darwin, 78, 355 De Finetti, 42, 247 DeGroot, 290, 400 desigualdad de Bonferroni, 323, 325 Cauchy-Schwarz, 114 Devroye, 428 diagrama de caja, 14, 15, 50, 328, 364, 366, 368, 370 rectángulos, 9 sectores, 9 tallos y hojas, 14, 44, 49 distancia de K. Pearson, 393, 394, 396, 397, 399, 400, 456, 458, 460, 463, 465 distribución "2q , 23 asintótica, 138, 140 de la distribución final, 139 de la razón de verosimilitudes (RV), 221, 223 del estimador de máxima verosimilitud (EMV), 136 Beta, 156, 200, 301 Binomial, 246, 272, 405 Binomial Negativa, 145, 156, 158 conjunta de los recubrimientos, 38 de Behrens-Fisher, 179 de Bernoulli, 156, 199, 298 de la media muestral, 21, 45 de Poisson, 191, 251, 454

512

ÍNDICE ALFABÉTICO

de Snedecor, 30, 180, 199, 219, 320 de Snedecor no centrada, 32 de Student, 25, 27, 28, 52, 179, 198, 204, 322, 335, 376 de Student multivariante, 351 de Student no centrada, 28 empírica, 20 final, 100, 102, 103, 108, 109, 139, 143, 144, 151, 152, 154— 156, 167, 191, 200, 201, 225, 276, 300 Gamma, 191, 249, 250 Gamma-Inversa, 143, 154, 353 Geométrica, 293 impropia, 202 inicial, 100, 102—104, 143—145, 152, 184, 300 libre, 401, 409 marginal, 300 predictiva, 100, 276 Triangular, 193 Uniforme, 454 distribuciones con cociente de verosimilitud monótono, 236 Dixon, 452 Doksum, 120 Dualidad, 241 Dudewicz, 179 ecuación de verosimilitud, 135, 136, 166, 182, 222 ecuaciones de verosimilitud, 131 ecuaciones normales, 330, 338 Edgeworth, 43, 356, 452 Egon Pearson, 187, 188, 245, 247 error cuadrático medio (ECM), 105— 110, 118, 144, 153, 154 de tipo I, 209, 210, 230, 233, 248, 253 de tipo II, 209, 210, 230, 253 estándar, 335 probable, 452

ÍNDICE ALFABÉTICO 513

espacio muestral, 271 Estadística Descriptiva, 9 estadístico, 95, 142, 157 ancilario, 65, 80, 81 completo, 66, 80, 81, 91, 93, 112, 115, 157 de Kendall, 449, 475 de Kolmogorov-Smirnov, 458— 460 de Kolmogorov-Smirnov bilateral, 429 de Mann-Whitney, 441 de Mann-Whitney-Wilcoxon, 438— 440 de Spearman, 450—452 de Student, 357 de Wilcoxon, 416, 418, 421, 441, 469 invariante, 70, 71 minimal suficiente, 63, 68, 81, 82, 93 muestral, 4, 6 de Kendall, 446 suficiente, 59—61, 74, 79, 81— 83, 92, 115—117, 133, 157, 196 suficiente bayesiano, 101 estadísticos de Kolmogorov-Smirnov, 407, 409, 410, 435 estadísticos ordenados, 33, 401 estimación no paramétrica de densidades, 389, 425 por punto, 274 por regiones de confianza, 274 estimador, 81 Bayes, 108, 138 bayesiano, 100, 108, 109, 138— 140, 144, 145, 154—156 centrado, 96, 97, 146, 148, 149, 158, 159 centrado de mínima varianza (ECMV), 109, 111—113, 115— 117, 122, 124—126, 145, 150,

ÍNDICE 514

ALFABÉTICO


158—160, 283 consistente, 98, 142, 150 de máxima verosimilitud (EMV), 129—131, 133—135, 138, 140, 142, 146, 147, 151, 162— 167, 182, 189, 191, 194, 283, 304, 316 de máxima verosimilitud (EMV) en sentido débil, 131 de mínimos cuadrados (EMC), 331, 341, 342 de Stein, 289 eficiente, 126, 127, 146, 161, 162 inadmisible, 107 insesgado, 81, 90, 115, 116, 142, 146, 148 núcleo, 428 óptimo, 112, 115, 116, 118 por punto, 95 evidencia estadística, 73 factor Bayes, 226 de suavizado, 428 familia conjugada, 103, 104, 151 de contrastes de hipótesis, 242, 244 de distribuciones completa, 65 de distribuciones invariante, 70 exponencial biparamétrica, 118 exponencial n-paramétrica, 64 exponencial uniparamétrica, 118, 122, 125, 126, 140, 156, 157, 160, 237, 241 Ferguson, 282, 295 Fishburn, 290 Fisher, 2, 25, 43, 44, 78, 79, 129, 141, 180, 186—188, 247, 318, 355, 453 Fisz, 21, 129 frecuencia relativa, 12 función de

513

influencia, 425 pérdida, 108, 109, 144, 271, 272, 274, 290, 291 pérdida cuadrática, 283, 292 potencia, 209, 230, 247, 249, 251 riesgo, 272, 274, 276, 280, 290, 292, 296 utilidad, 272 verosimilitud, 72, 130, 132, 133, 136, 163—166 inducida, 134 funcion núcleo, 428 Gómez Sánchez-Manzano, 228, 289 Gómez Villegas, 142, 228, 246, 272, 289, 390 Galton, 43, 78, 355, 452 Gauss, 355 Gibbons, 448 Giri, 28, 32 Glivenko-Cantelli, 21 Gnedenko, 431 Gosset, 43 grado de confianza, 172, 175, 190 grados de libertad, 22, 179, 224 grupo de transformaciones, 229 Hájek, 431, 435 hipótesis alternativa, 207 bilaterales, 209 compuesta, 208 de homogeneidad, 455 nula, 207 simple, 208 unilaterales, 209 histograma de frecuencias, 44 Hodges, 453 homocedasticidad, 336 homogeneidad, 453 entre varias muestras, 396 Hotelling, 290, 453 Hsu, 179

514

ÍNDICE ALFABÉTICO

Huber, 425 información, 121, 122 de Fisher, 119—121, 138, 140 final, 155, 156 inicial, 144, 151, 156, 184, 191, 247, 251 muestral, 156, 247 intercambiabilidad, 40—42, 47, 58 intervalo asintótico, 190 creíble, 184, 185, 191, 201, 205, 293 de confianza, 171, 173, 176, 177, 179, 182, 183, 189, 192, 196— 198 de confianza aproximado, 200 de confianza asintótico, 199 de confianza de amplitud mínima, 196 de confianza para el cociente de varianzas, 179 de confianza para la diferencia de medias, 178 de confianza para la media, 177, 198 de grado de confianza, 175, 177, 178, 180, 182, 183, 189 de tolerancia, 401—403 fiducial, 187 invariancia, 133 James, 286 Jereys, 247 Karl Pearson, 43, 44, 78, 127, 141, 186, 187, 355, 453 Kendall, 2, 453 Kintchine, 16 Kolmogorov, 453 Laplace, 43, 78, 141, 142, 246, 247, 293, 355 Lebesgue, 187 Legendre, 452


Lehmann, 2, 101, 125, 137, 140, 241, 416, 442, 453 lema de Neyman-Pearson, 227 Stein, 288 Lindley, 2, 290 Loève, 16, 24 m-estimadores, 425 mínima diferencia significativa, 325 mínimos cuadrados, 330, 338 método de estimación bayesiano, 138, 297 de K. Pearson, 462, 464 de la máxima verosimilitud, 129, 134, 146 de la variable pivotal, 195 de los mínimos cuadrados, 355 de los momentos, 127—129, 146, 163 de Neyman, 174, 175, 189, 196 de Scheé, 325 minimax, 297 Maín, 228 Mann, 440, 453 Marín, 289 matriz de covarianzas, 340, 341 media, 44 muestral, 6 truncada, 12 mediana, 13, 44 de las desviaciones absolutas (MDA), 13 muestral, 12, 13, 163, 474 medidas de centralización, 11 dispersión, 12 Memoria de Bayes, 246 Mendel, 393 Michelson, 422 Mishra, 179 modelos log-lineales, 224 momento muestral

ÍNDICE 516

ALFABÉTICO


respecto al centro, 6 respecto al origen, 6 momentos cruzados, 8 marginales respecto al origen, 8 muestrales respecto al centro, 8, 12 muestrales respecto al origen, 11 poblacionales, 128, 129 respecto al origen, 128 Morgenstern, 290 muestra aleatoria simple (m.a.s.), 4 Navarro, 228 Newcomb, 452 Neyman, 187, 188, 245, 247 nivel de significación, 209 observaciones atípicas, 425 observaciones discordantes, 452 Ord, 325, 327 p-valor, 210, 211, 248, 251, 255, 256, 268, 269 Péano, 140 pérdida 0-1, 294 cuadrática, 108, 139, 144, 145, 155 final esperada (PFE), 105, 107, 108, 138, 139, 144, 154, 277 parámetro de no centralidad, 24 paradoja de Jereys, 228 Lindley, 228 Simpson, 400 Stein, 283 pares concordantes, 444 discordantes, 445 Pierce, 452 población, 4

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Press, 354 Price, 246 primer cuartil, 13 principio de condicionalidad, 74, 76 suficiencia, 74, 76 verosimilitud, 72, 73, 76, 77, 80, 145, 156 probabilidad final, 225, 251 de la hipótesis alternativa, 225 de la hipótesis nula, 225 inversa, 246 problema de homogeneidad, 389 problemas de localización, 407 no paramétricos relativos a dos muestras, 429 Quetelet, 43, 141, 142, 355 Raia, 290 Ramsey, 247 Randle, 425 rango, 37 medio, 443 rangos, 443, 449 Rao, 114, 223, 392 razón de verosimilitudes (RV), 211, 214 recorrido intercuartílico muestral (RIM), 13, 44 recorrido intercuartílico poblacional, 13 recorrido muestral, 33, 37, 89, 90 recta de regresión, 331, 359, 371, 373, 378 recubrimientos, 37, 38, 402 reducción de datos, 72 región crítica, 208 creíble, 184, 185, 191, 387

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ÍNDICE ALFABÉTICO

de más alta distribución final, 185 de más alta probabilidad, 191, 204 de más alta probabilidad final, 185, 204 de aceptación, 208 de confianza, 138, 169, 171, 181, 188, 189, 192 de confianza insesgada, 243 de confianza para la media y la varianza, 180 de confianza uniformemente más ajustada (UMA), 243, 245, 275 de grado de confianza, 181 insesgada, 245 regla admisible, 280 Bayes, 273, 276—278, 281—283, 286, 309—313 Bayes generalizada, 308 de Bayes, 284 de Cromwell, 282 de decisión, 271, 272, 275, 296 de decisión admisible, 280, 282 de decisión Bayes, 291, 294, 299, 303, 304 de decisión minimax, 278, 282, 290, 291 de sucesión de Laplace, 305 igualizadora, 278 minimax, 276, 278, 283, 285, 313 regresión, 315 lineal, 333 lineal múltiple, 337, 342 lineal simple, 342 múltiple, 341, 346 replicación, 325 representación de variables intercambiables, 41 residuo, 317, 343, 359, 374, 376 Riemann, 140


riesgo a posteriori, 108 Bayes, 273, 276, 286, 297, 312, 313 final, 300 robusta, 13 robusto, 452 Sanz, 228 Savage, 247, 290 segundo cuartil, 13 sesgo, 96, 106, 115, 143, 153 Sheynin, 43 Sidak, 431 Silverman, 425, 428 Simpson, 43 sin reemplazamiento, 5 Slutsky, 17, 137 Smirnov, 431, 453 Snedecor, 43 soporte, 93, 135, 156 soporte de la distribución, 119 Stein, 286 Stigler, 422 Strang, 338 Stuart, 2, 325, 327 Student, 43, 177, 187, 452 sucesión consistente, 136 Sudderth, 41 suma de cuadrados total, 318 tabla de análisis de la varianza (ADEVA), 321, 327, 365, 369 de contingencia, 398 de frecuencias, 10, 11, 14 tallo, 14, 49 tamaño, 209 Tchebyche, 48, 183, 198 teoría de la robustez, 453 teoría de Juegos, 290

ÍNDICE 518

ALFABÉTICO


la Decisión, 271, 273, 289, 290 teorema de Basu, 68, 69, 86 Bayes, 246, 247 Birnbaum, 75, 77 caracterización de estadísticos minimal suficientes, 91 existencia de estadísticos completos, 67, 92 factorización, 60, 92, 133 Fisher, 51, 320 Gauss-Markov, 344 Glivenko-Cantelli, 408, 430 Karlin-Rubin, 237, 239, 240, 265 la probabilidad total, 259 Lehmann-Scheé, 115, 150, 157, 158, 160 Neyman, 197 Neyman-Pearson, 231—235, 237, 260, 263 Rao-Blackwell, 113, 115 Slutsky, 18, 19, 150, 151, 223 tercer cuartil, 13 Thomas Bayes, 140 Thompson, 452 traza, 340 Tuckey, 325 Tycho Brahe, 43, 141

universo, 4 valores discordantes, 389, 424, 452 valores discordantes, 389, 424, 452 variable variable aleatoria de Snedecor, 56 aleatoria 56 aleatoria de de Snedecor, Student, 55 aleatoria de Student, 55 dependiente, 330 dependiente,11330 estadística, estadística, 11 330 independiente, independiente, 330 pivotal, 172, 173, 175, 177—179, pivotal, 188,172, 189,173, 192,175, 195,177—179, 196, 322 188, 189, 192,346 195, 196, 322 predictora, 330, predictora, 330, 346 respuesta, 330 respuesta 330 variables aleatorias intercambiables, 39, 40 varianza muestral, 7 residual, 317 verosimilitud, 134, 135, 201 inducida, 133, 134 von Mises, 453 Von Neumann, 290 Wald, 290 Whitney, 440, 453 Wilcoxon, 407, 438, 441, 453 Wilks, 390 Wolfe, 425 Wright, 452 Yule, 356

DIAZ de SANTOS Inferencia Estadística - Miguel Ángel Gómez Villegas

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