DEN DE NGELEM E HE HES SAB ABII-II DERSNOTLARI TLARI Jeodezik Ağların Dengelenmesi Doç. Dr. Temel BAYRAK
2011 - GÜMÜŞHANE
ÖNSÖZ
Dengeleme Hesabı-II ders notu niteliğindeki bu kitap Harita Mühendisliği Bölümü öğrencilerinin kaynak ihtiyacını gidermek üzere hazırlanmıştır. Bu kitabın öğrenciler için bir ders aracı olması ana amaç olarak benimsenmiştir. Konular kendiliğinden öğrenmeye uygun bir biçimde ele alınmış ve k itapta itapta yeterli sayıda uygulama verilmeye çalışılmıştır.
Kitabın yararlı olmasını temenni ederim.
Doç. Dr. Temel BAYRAK
Gümüşhane 2011
İÇİNDEKİLER
1.
GİRİŞ
2.
DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ
3.
DOĞRULTU AĞINDA YÖNELTME BİLİNMEYENLERİNİN İNDİRGENMESİ
4.
DOĞRULTU AĞLARININ DENGELENMESİ
5.
KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
6.
DOĞRULTU-KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
7.
NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
8.
TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
8.1.
DÜŞEY AÇILARLA DENGELEME
8.2.
YÜKSEKLİK FARKLARINA GÖRE DENGELEME
9.
GPS AĞLARININ DENGELENMESİ
10.
GPS NİVELMANI
11.
SERBEST
12.
MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ
13.
İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ
AĞLARIN DENGELENMESİ
1. GİRİŞ
2. DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ v A x
v1 a1 v a 2 2 vn an
Matris formatında Fonksiyonel Fonksiyonel Model
b1
c1
b2
c2
bn
cn
dx 1 dy 2 du n
sayısı, mi gözlemlerin duyarlıkları ve r ij n ölçü sayısı,
mij mi m j
korelasyon katsayısı olmak üzere
korelasyonlu korelasyonlu ve duyarlıkları (ağırlıkları) ağırlıkları) farklı olan ölçüler için genel bir Varyans-Kovaryans matrisi aşağıdaki gibi kurulabilir. m12 m12 2 m12 m2 K m13 m23 m 1n m2 n
m13 m23 m32
m3n
m1n m2 n m3n mn2
mij r ij mi m j
2 m1 r 12 m1 m2 r 13 m1 m3 2 m2 r 23 m2 m3 r 12 m1 m2 2 K r 13 m1 m3 r 23 m2 m3 m3 r m m r m m r m m 1n 1 n 2 n 2 n 3 n 3 n
r 1n m1 mn r 2n m2 mn r 3n m3 mn 2 mn
Ölçülerin Q ters ağırlık matrisi ağırlık matrisi ( s02 : öncül varyans olmak üzere) 2
K s0 Q
Q
K s02
q11 q 21 Q q31 qn1
q12
q13
q22
q23
q32
q33
qn 2
qn 3
m12 q2 n 1 m12 q3n 2 m13 s0 m qnn 1n q1n
p12
p13
p22
p23
p32
p33
pn 2
pn3
m13
2 m2
m23
m23
m3
m2 n
m3 n
1
p Q
Ölçülerin ağırlık matrisi p11 p 21 1 p Q p31 pn1
m12
m1n m2 n m3n mn2
2
(Stokastik Model)
p1n
p3n pnn
p2 n
Ağırlıkları Farklı ve Korelâsyonlu ölçüler için amaç fonksiyonu 1
T
T
min v Q v v p v min A p A x A p 0 T
T
N
Matris formatında Normal denklemler
n
T
Normal Denklem Katsayılar matrisi
N A p A
Bilinmeyenler Bilinmeyenler Vektörü
x
Sabit terimler
n A p
T
Normal denklemler simetriktir.
Denklem sayısı bilinmeyen sayısı kadardır . kadardır .
Normal Denklemlerin Çözümü ve Bilinmeyenlerin Hesabı 1
x N n A p A T
A 1
T
p
bilinmeyenler bilinmeyenler çözülmüş olur.
Bilinmeyenlerin Kesin Değeri Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine normal denklemlerin çözümünden elde edilen dengeleme dengeleme bilinmeyenle bil inmeyenleri ri eklenerek bilinmeyenlerin bilinmeyenlerin kesin değerleri elde edilmiş olur. o lur. Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin kesin değeri d eğeri = Bilinmeyenlerin B ilinmeyenlerin yaklaşık değeri + Dengeleme bilinmeyenleri x x0 dx
x x0 dx y y dy = 0 + u u0 du
y y0 dy
u u0 du
Düzeltmelerin Hesabı Elde edilen dx, dy, dz, , du dengeleme bilinmeyenleri, düzeltme denklem eşitliklerinde yerine konarak düzeltmelerin sayısal değerle ri elde edilir. v A x v1 a1 v a 2 2 vn an
b1
c1
b2
c2
bn
cn
dx 1 dy 2 du n
Düzeltmelerin Denetimi A pv 0 T
v pv p v T
T
T
T
T
v pv p n x
Dengeli ölçüler Düzeltmeler ölçülere eklenerek dengeli ölçüler hesaplanır. Bu değerler doğrusal olmaları gerekmeyen ilk düzeltme denklemlerinde yerine konarak aşağıdaki şartı sağladıkları denetlenir. Bu işlem dengeleme işlemlerinin tümünün hesap hatalarından arındırılmış olduğunu gösterir. ˆ i i v i ˆ 1 1 v1 ˆ 2 2 v2 ˆ n n vn
Li vi i ( x0 dx, y0 dy, z0 dz,..., u0 du )
Karesel Ortalama Hata T
m0
v pv nu
f = n-u fazla ölçü sayısı (serbestlik derecesi) n: ölçü sayısı u: bilinmeyen sayısı
Karesel ortalama hata (KOH) Duyarlıkları farklı gözlemlerin ortalama hatası (standart sapması) Ortalama hata Ağırlığı p 1 olan ölçünün ortalama hatası Birim ağırlıklı ölçünün ö lçünün standart standart sapması sapması RMS (Root Mean Square)
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası q xx q 1 T xy Q A p A xx q xz
q xy
q xz
q yy
q yz
q yz
q zz
Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin o rtalama hataları m x m0 q xx
m y m0 q yy
m z m0 q zz
Ölçülerin Ortalama Hatası Ölçülerin ters ağırlık matrisinden q11 q12 q 21 q22 Q q31 q32 qn1 qn 2
q13 q23 q33
qn3
q1n
q3n qnn
q2 n
Ölçülerin ağırlık matrisinden matrisinden
p11 p12 p13 p p p 12 22 23 p p13 p23 p33
m i m0 Q
1
p Q
m i
m0 pii
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası T
Q ˆ ˆ A Q xx A
mˆ m0 Q ˆ ˆ i
Dengeli ölçülerin kovaryans matrisi
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
i i
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q
vv
Q Q ˆˆ
Q vv p
1
Q ˆˆ
Düzeltmelerin Düzeltmelerin kovaryans kovar yans matrisi
Düzeltmelerin Düzeltmelerin kovaryans kovar yans matrisi
i i
mvi m0 Q
vi vi
Düzeltmelerin Düzeltmelerin ortalama or talama hataları
Not: Q vv matrisi kaba hatalı ya da uyuşums u yuşumsuz uz ölçüle ö lçülerin rin araştırılmasında araşt ırılmasında kullanılır. Örnek: Aşağıda matris formatında formatında bir bir fonksiyonel model verilmiştir.
Bu modele ait
Stokastik model için veriler tabloda verilmiştir. Öncül karesel ortalama hata s0 1.6 mm olduğuna göre, duyarlıkları farklı olan bu ölçüleri dolaylı dolay lı ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz. 0.9979 v1 0.0639 1.58 dx v 0.9902 0.1398 3.26 2 dy v3 0.9747 0.2232 5.99
m1 ± 0.94 mm m2 ± 0.69 mm m3 ± 0.90 mm
Dengeleme kararının verilmesi Ölçü sayısı n = 3 Bilinmeyen sayısı u = 2 Serbestlik derecesi = fazla ölçü sayısı = f = n – u = 1 > 0 dengeleme var.
Stokastik model Ağırlıklar farklı ve korelasyon var m12 K r 12 m1 m2 r 13 m1 m3
r 12 m1 m2
r 13 m1 m3
2
r 23 m2 m3
m2
m3
r 23 m2 m3
2
0.942 0.8 0.94 0.69 0.8 0.94 0.90 K 0.8 0.94 0.69 0.69 2 0.8 0.69 0.90 0.8 0.94 0.90 0.8 0.69 0.90 0.902
0.8836 0.5189 0.6768 K 0.5189 0.4761 0.4968 0.6768 0.4968 0.8100
2
K s0 Q
Q
K 2
m0
r ij 0.8
0.8836 0.5189 0.6768 1 0.5189 0.4761 0.4968 Q 2 1.6 0.6768 0.4968 0.8100
0.3452 0.2027 0.2644 Q 0.2027 0.1860 0.1941 0.2644 0.1941 0.3164
a1 j
a 2 j
a3 j
e1 j
e2 j
e3 j
0.3452
0.2027
0.2644
1
0
0
-1
-0.5872
-0.7659
-2.8969
0
0
0.1860
0.1941
0
1
0
0.0670
0.0388
-0.5872
1
0
-1
-0.5800
8.7673
-14.9309
0
0.3164
0
0
1
0.0914
-0.4254
-0.5800
1
-1
4.5660
6.3487
-10.9460
-10.0255
6.0669
4.6560
p
-18.6130
6.3487 -10.9460
10.0255 6.0669 4.6560 p Q 6.0669 18.6130 6.3487 4.6560 6.3487 10.9460 1
Normal Denklemlerinin kurulması ve çözümü p 10.0255 6.0669 4.6560 6.0669 18.6130 6.3487 4.6560 6.3487 10.9460
0.0639 0.9902 0.9747 0.9979 0.1398 0.2232 T
A
0.8343 24.2240 17.2408 9.8177 10.0771 1.3171 A p T
0.8343 24.2240 17.2408 9.8177 10.0771 1.3171
A
0.9979 0.0639 0.9902 0.1398 0.9747 0.2232
1.58 3.26 5.99
40.7380 8.0672 8.0672 10.9118
183.5611 40.4737 n A p T
N A p A T
A p T
a1 j
a 2 j
e1 j
e2 j
40.7380
8.0672
1
0
-1
-0.1980
-0.0245
0
10.9118
0
1
9.3143
-0.1980
1
-1
0.0213
-0.1074
-0.0288
0.0213
Q xx
-0.1074
183.5611 40.4737
n A p T
0.0288 0.0213 0.1074 0.0213
dx 4.42 0.44 mm dy
Q xx N 1
x
Bilinmeyenlerin Kesin Değeri x x0 dx y y dy 0
Düzeltmelerin Hesabı v A x 4.42 0.44
x
0.9979 0.0639 A 0.9902 0.1398 0.9747 0.2232
0.16 1.58 4.44 3.26 4.41 5.99
A x
1.42 1.18 1.58
v A x
Düzeltmelerin Denetimi p
v
10.0255 6.0669 4.6560 6.0669 18.6130 6.3487 4.6560 6.3487 10.9460
1.42 1.18 1.58
0.0639 0.9902 0.9747 0.9979 0.1398 0.2232
0.00 0.00
A pv T
T
A
p
v
10.0255 6.0669 4.6560 6.0669 18.6130 6.3487 4.6560 6.3487 10.9460
1.42 1.18 1.58
v 1.42 1.18 1.58 T
v p v 8.57 T
v p v pv T
T
p
v
10.0255 6.0669 4.6560 6.0669 18.6130 6.3487 4.6560 6.3487 10.9460
1.42 1.18 1.58
T pv 8.57
T 1.58 3.26 5.99
v pv p n x T
T
T
p
10.0255 6.0669 4.6560 6.0669 18.6130 6.3487 4.6560 6.3487 10.9460
1.58 3.26 5.99
T p
1.58 3.26 5.99 T
4.42 0.44
x
n 183.5611 40.4737 T
n x T
Dengeli ölçüler ˆ i i v i ˆ 1 1 v1 ˆ 2 2 v 2 ˆ 3 3 v3
Karesel Ortalama Hata T
m0
v p v nu
8.57 2.93 mm 32
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası 0.0288 0.0213 0.1074 0.0213
Q xx N 1
Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
m x m0 qxx 2.93 0.0288 0.50 mm
Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin ortalama or talama hataları
m y m0 q yy 2.93 0.1074 0.96 mm
Ölçülerin Ortalama Hatası 10.0255 6.0669 4.6560 p 6.0669 18.6130 6.3487 4.6560 6.3487 10.9460
m 1
m0
m 2
m0
m 3
m0
2.93 9.28 mm 10.0255
2.93 12.64 mm 18.6130
2.93 9.69 mm 10.9460
p1
p2
p3
m i
m0 pi
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası T
Q ˆ ˆ A Q xx A
Dengeli ölçülerin kovaryans matrisi
1
Q xx N
A
0.0288 0.0213 0.0213 0.1074
0.0639 0.9902 0.9747 0.9979 0.1398 0.2232
T
0.9979 0.0639 0.9902 0.1398 0.9747 0.2232
0.0077 0.0017 0.1097 0.0077 0 . 0244 0 . 0235 0.0017 0.0235 0.0234
A
Q ˆ ˆ A Q A
T
mˆ m0 Q ˆ ˆ
i i
i
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
mˆ m0 Q ˆ
2.93 0.1097 0.97 mm
mˆ m0 Q ˆ
2.93 0.0244 0.46 mm
mˆ m0 Q ˆ
2.93 0.0234 0.45 mm
1ˆ 1
1
2 ˆ 2
2
3 ˆ 3
3
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q Q Qˆ ˆ vv
Q vv p
1
Düzeltmelerin Düzeltmelerin kovaryans kovar yans matrisi
Q ˆˆ
0.0077 0.0017 0.3452 0.2027 0.2644 0.1097 0.0244 0.0235 Q vv 0.2027 0.1860 0.1941 0.0077 0.2644 0.1941 0.3164 0.0017 0.0235 0.0234
0.2354 0.1950 0.2626 Q vv 0.1950 0.1616 0.2176 0.2626 0.2176 0.2930
xx
mvi m0 Q
mv1 m0 Q
vi vi
v1v1
mv2 m0 Q
v2 v2
Düzeltmelerin Düzeltmelerin ortalama or talama hataları
2.93 0.2354 1.42 mm 2.93 0.1616 1.18 mm
mv3 m0 Q v v 2.93 0.2930 1.58 mm 3 3
3. DOĞRULTU DOĞRULTU AĞINDA YÖNELTME BİLİNMEYENLERİNİN BİLİNMEYENLERİNİN İNDİRGENMESİ
Bir denklem sistemindeki denklemlerin boyutları büyüdükçe, denklemlerin kurulması ve çözümü için harcanacak zaman denklem boyutlarının küpü ile orantılı olarak artar. Bu nedenle normal denklemler çözülmeden önce bilinmeyenlerden bir tanesinin bile yok ed ilmesi hatırı sayılır bir zaman kazancı sağlar. Bilinmeyenlerin yok edilmesi için çok farklı yöntemler mevcuttur. Haritacılık uygulamalarında en yaygın olanı Gauss Toplam Denklem Yöntemidir.
Bu yönt emde şart, düzeltme denklemlerinde yok edilecek bilinmeyenin katsayısı bütün düzeltme denklemlerinde aynı olmalıdır. Doğrultu ağlarında yok edilmek istenen yöneltme bilinmeyenlerinin katsayıları eşittir. Ayrıca doğrultu ağlarında genellikle her doğrultu için ağırlıklar eşit olarak alınır. Ağırlıkları eşit düzeltme denklemleri aşağıdaki gibi olsun. Burada z bilinmeyeni yok edelim.
v1 a1 x b1 y cz 1 v2 a2 x b2 y cz 2
vn an x bn y cz n
v a x b y n c z 0
Her iki tarafı n ye bölelim. Burada n sistemdeki denklem sayısıdır.
a x b y n c z 0 n
n
n
n
Bu denklemin katsayılarını düzeltme denklemlerinde yerine yazalım.
a x b b y c c z 1 1
a
a x b b y c c z n n
v1 a1 v2 a2
n
n
n
b x b2 y c c z 2 n n n
vn an
n
n
n
z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
v1 a1' x b1' y '1 v2 a2' x b2' y '2
vn an' x bn' y 'n
Bu yeni denklem sistemi nde aşağıdaki kontroller sağlanmalıdır . a' 0
b' 0
'
0
Örnek: Aşağıdaki denklem sistemindeki z bilinmeyenini bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem yöntemiyle
yok ediniz ve yeni denklem sistemini v A x matris gösterimi şeklinde yazınız. v1 2 x y z 1 v2 x y z 2 v3 x y z 2 v4 3 x 2 y z 3
v a x b y n c z 0 Burada n 4 ve c 1 ( z bilinmeyeninin katsayısı)
7 x 3 y 4 z 2 0 Yukarıdaki denklemi n 4 e bölelim.
7 3 4 2 z 0 x y 4 4 4 4
7 3 1 x y z 0 4 4 2 1.75 x 0.75 y z 0.5 0 v1 2 1.75 x 1 0.75 y 1 1 z 1 0.5
v2 1 1.75 x 1 0.75 y 1 1 z 2 0.5 v3 1 1.75 x 1 0.75 y 1 1 z 2 0.5
v4 3 1.75 x 2 0.75 y 1 1 z 3 0.5
z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
v1 0.25 x 0.25 y 1.5 v2 0.75 x 0.25 y 1.5 v3 0.75 x 1.75 y 2.5 v4 1.25 x 1.25 y 2.5
Denklem sistemini v A x formatında yazalım.
0.25 v1 0.25 1 .5 v 0.75 x 1.5 0 . 25 2 v3 0.75 1.75 y 2.5 1.25 v 4 1.25 2 .5 Kontrol
a ' 0.25 0.75 0.75 1.25 0 b ' 0.25 0.25 1.75 1.25 0
'
1.5 1.5 2.5 2.5 0
Örnek:
Aşağıdaki denklem sistemindeki
dz bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem
yöntemiyle yok ediniz ve yeni denklem sistemini v A x matris gösterimi şeklinde yazınız.
v1 dz 10 v2 dz 20.65 dx21 5.12 dy 21 5 v3 dz 21.69 dx22 1.64 dy 22 4
Öncelikle bu denklemleri düzenleyelim. v1 0 dx21 0 dy21 0 dx22 0 dy22 dz 10 v2 20.65 dx21 5.12 dy21 0 dx22 0 dy22 dz 5 v3 0 dx21 0 dy 21 21.69 dx22 1.64 dy 22 dz 4
v a dx21 b dy21 c dx22 d dy22 n e dz 0 Burada n 3 ve e 1 ( dz bilinmeyeninin katsayısı) 20.65 dx21 5.12 dy21 21.69 dx22 1.64 dy22 3 dz 9 0 Yukarıdaki denklemi n 3 e bölelim.
6.88 dx21 1.71 dy21 7.23 dx22 0.55 dy 22 dz 3 0 v1 (0 6.88) dx21 (0 1.71) dy21 (0 7.23) dx22 (0 0.55) dy22 (1 1) dz ( 10 3) v2 (20.65 6.88) dx21 (5.12 1.71) dy21 (0 7.23) dx22 (0 0.55) dy22 (1 1) dz (5 3) v3 (0 6.88) dx 21 (0 1.71) dy21 ( 21 .69 7.23) dx22 (1.64 0.55) dy22 ( 1 1) dz ( 4 3)
z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri v1 6.88 dx21 1.71 dy21 7.23 dx22 0.55 dy22 7 v2 13.77 dx21 3.41 dy21 7.23 dx22 0.55 dy22 8
v3 6.88 dx21 1.71 dy 21 14.46 dx22 1.09 dy22 1
Denklem sistemini v A x formatında yazalım. dx 7.23 0.55 21 7 v1 6.88 1.71 v 13.77 dy 21 8 3 . 41 7 . 23 0 . 55 2 dx v3 6.88 1.71 14.46 1.09 22 1 dy 22
Kontrol
a ' 6.88 13.77 6.88 0 b ' 1.71 3.41 1.71 0 c ' 7.23 7.23 14.46 0
b ' 0.55 0.55 1.09 0 ' 7 8 1 0
4. DOĞRULTU AĞLARININ DENGELENMESİ
X Sıfır doğrultusu P2 ( x2 , y2 )
z1 r 12
t 12 r 12 v12
t 12
x2 x1
s12
P1 ( x1 , y1 )
Y
y2 y1
s emt P1P2 t 12 : P1 ve P2 noktaları arasındaki semt d oğrultu r 12 : P1 den P2 ye ölçülen doğrultu yöneltme bilinmeyeni z1 : P1 noktasındaki yöneltme
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz semtin kendisidir. Fonksiyonel modeli Semt için yazalım. y2 y1 x x 2 1
t 12 r 12 v12 z1 arctan
y2 y1 x x 2 1
r 12 v12 z1 arctan
Yukarıdaki Yukarıdaki fonksiyon doğrusal değildir. Doğrusallaştırma işlemi için bilinmeyenlerin yaklaşık değerler ini ini seçelim ve fonksiyonu Taylor serisine açalım. 0 z1 z1 dz1
0 x1 x1 dx1
0 x2 x2 dx2
y1 y10 dy1
y1 y10 dy1
0
r 12 v12 dz1
z10
0
0
0
y20 y10 t 12 t 12 t 12 t 12 dx dy dx arctan 0 0 x 1 y 1 x 2 y dy2 0 x x 2 1 1 1 2 2 0
t 12
t 12 x1
0
(1) y20 y10 x20 x10 y20 y10 y20 y10 0 0 0 2 0 0 2 x2 x10 y20 y10 y20 y10 x2 x1 x 2 x1 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 y2 y1 y 2 y1 x 2 x1 y 2 y1 x2 x1 s12 y 20 y10 1 1 0 0 x20 x10 2 x20 x10 2 x2 x1
0
t 12 y20 y10 1 sin t 120 0 a12 0 0 s12 s12 s12 x1
a12
sin
t 12 y1
0 t 12 0 s12
0
200
10000
100
birim
cc cm
y20 y10 x20 x10 (1) x20 x10 y20 y10 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 y2 y1 y 2 y1 x2 x1 y 2 y1 x2 x1 s12 y20 y10 1 1 0 0 x20 x10 2 x20 x10 2 x2 x1
0
t x 0 x0 1 cost 120 b12 12 2 0 1 0 0 s12 s12 s12 y1
b12
cos
0 t 12 0 s12
200
10000
100
birim
cc cm
0
t 12 sin t 120 0 a12 s12 x2
0
t 12 cost 120 b12 0 s12 y1
Bu katsayıları aşağıdaki denklemde yerine koyalım ve düzenleyelim.
0
r 12 v12 dz1
z10
0
0
0
y20 y10 t 12 t 12 t 12 t 12 dx dy dx arctan 0 0 x 1 y 1 x 2 y dy2 0 x x 2 1 1 1 2 2 0
t 12
0 r 12 z10 0 v12 dz1 a12 dx1 b12 dy1 a12 dx2 b12 dy2 t 12
12 t 120 r 12 z10 Olmak üzere doğrusallaştırılmış düzeltme denklemi (Fonksiyonel Model) aşağıdaki gibi yazılabilir.
v12 dz1 a12 dx1 b12 dy1 a12 dx2 b12 dy2 12
Stokastik Model: Doğrultu ölçüleri korelâsyonsuz ölçüler olarak kabul edilir. Ayrıca doğrultu ölçülerinin ağırlıklarının eşit olduğu da farz edilir.
Örnek: Aşağıda verilmiş ağda doğrultu ölçülerine ait düzeltme denklemlerini v A x formatında yazınız. DN 108
NN
Y (m) X(m) Kesin Koordinatlar 100 765.499 8855.329 107 719.689 7969.933 108 342.246 8404.180 Yaklaşık Koordinatlar 21 632.630 8476.102 22 635.211 8426.244 23 638.765 8351.331
BN 100 21 22 23 107
Doğrultu 0.00000 36.57040 47.24520 63.26200 106.47780
100
r 1 r 2
108
21
r 3 r 4
22
r 5
107
23
Ölçü sayısı
n=5
Bilinmeyen sayısı
u = 6+1 (3 koordinat koordinat çifti ve 1 yöneltme yöneltme bilinmeyeni)
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 5-7<0
Dengeleme Dengeleme yok.
Koordinat bilinmeyenleri: dx21 , dy21 , dx22 , dy22 , dx23 , dy23 Bir yöneltme bilinmeyeni: dz (108 Noktasında doğrultu gözlemleri yapılmış)
t 120
y20 y10 arctan 0 0 x2 x1
a12
sin
0 t 12 0 s12
DN 108
200
10000
b12
100
Doğrultu r i (g)
BN 100 21 22 23 107
y20 y10 2 x20 x10 2
0 s12
0.00000 36.57040 47.24520 63.26200 106.47780
cos
0 t 12 0 s12
200
10000
0 z1
t ik 0 r 1 n
100
0 t ik (g)
0 sik (m)
47.96968 84.54332 95.21448 111.22866 154.44796
ik (cc)
0 t ik - r i
618.610 299.158 293.795 301.192 575.355 0 z108
aik cc / cm
0 0 t ik - r i - z108 -0.6 31.8 -4.6 -30.8 4.2
47.96968 47.97292 47.96928 47.96666 47.97016 47.96974
bik cc / cm
7.0412 20.6562 21.6077 20.8088 7.2587
-7.5053 -5.1161 -1.6273 3.7088 8.3511
Düzeltme Denklemlerini Denklemleri ni aşağıdaki formatta yazalım. vik dzi aik dx1 bik dyi aik dxk bik dyk ik v108100 v10821 v10822 v10823 v108107
dz108 dz108 dz108 dz108 dz108
7.0412 20.6562 21.6077 20.8088 7.2587
dx108 dx108 dx108 dx108 dx108
7.5053 5.1161 1.6273 3.7088 8.3511
dy108 dy108 dy108 dy108 dy108
7.0412 dx100 20.6562 dx21 21.6077 dx22 20.8088 dx23 7.2587 dx107
7.5053 5.1161 1.6273 3.7088 8.3511
dy100 dy 21 dy 22 dy23 dy107
0.6 31.8 4.6 30.8 4.2
100, 107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım. yazalım . v108100
dz108
v10821
v10822 v10823 v108107
dz108 dz108 dz108 dz108
20.6562 21.6077 20.8088
dx 21 dx 22 dx23
5.1161 1.6273 3.7088
dy21 dy 22 dy 23
0.6 31.8 4.6 30.8 4.2
Bu denklemleri bilinmeyenle bil inmeyenlere re göre gö re yeniden düzenleyelim. dz108 v108100 v10821 v10822 v10823 v108107
Toplam
dx 21
dy21
dx22
dy 22
dx23
dy23
1 1 1 1 1
0. 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.6562 5.1161 31.8 0 0 0 0 21.6077 1.6273 4. 6 20.8088 3.7088 30.8 0 0 0 0 4.2 0 0 0 0 0 0
-5
-20.6562 5.1161 -21.6077 1.6273 -20.8088 -3.7088
1
4.1312 -1.0232
4.3215 -0.3255
4.1618
0.7418
0.00 n = 5 -n = -5 e bölelim bölelim 0.00
Yöneltme bilinmeyeni denklemi 1 dz108 4.1312 dx21 1.0232 dy21 4.3215 dx22 0.3255 dy22 4.1618 dx23 0.7418 dy23 0
Bu denklem sistemindeki dz108 yöneltme bilinmeyeninin katsayıları -1 dir. Bu bilinmeyen dengeleme hesabı işlemine geçilmeden önce Gauss Toplam Denklem yöntemi ile indirgenmelidir. Yukarıdaki düzeltme denklemlerinden dz108 yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya yazalım.
1.0232
v108100 4.1312 v 10821 16.5250 v10822 4.1312 v10823 4.1312 v108107 4.1312
4.0929 1.0232 1.0232 1.0232
4.3215 4.3215 17.2861 4.3215 4.3215
dx21
0.3255 0.3255
4.1618 0.7418 0.6 dy21 31.8 4.1618 0.7418 dx22 1.3019 4.1618 0.7418 4.6 dy 0.3255 16.6470 2.9670 22 30.8 dx23 0.3255 4.1618 0.7418 4.2 dy23
Örnek: Aşağıda verilmiş doğrultu ağını dolaylı do laylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz. DN 108
NN
Y (m) X(m) Kesin Koordinatlar 107 719.689 7969.933 108 342.246 8404.180 Yaklaşık Koordinatlar 23 638.765 8351.331
107 23
r 1
108
Doğrultu 0.00000 43.21580 0.00000 32.24480 0.00000 124.53835
BN 23 107 108 23 107 108
r 6
r 2
23 r 5
r 3 r 4
107 Ölçü sayısı
n=6
Bilinmeyen sayısı
u = 2+3 (1 koordinat koordinat çifti ve 3 yöneltme yöneltme bilinmeyeni)
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 6-5>0
Dengeleme Dengeleme var.
Koordinat bilinmeyenleri: bilinmeyenleri: dx23 , dy23 Üç yöneltme bilinmeyeni: dz23 , dz107 , dz108 (23, 107 ve 108 noktalar ında doğrultu gözlemleri yapılmış) y20 y10 0 0 x x 2 1
a12
sin t 120 0
s12
DN 108
200
0
10000
b12
100
Doğrultu r i (g)
BN 23 107
y20 y10 2 x20 x10 2
s12
t 120 arctan
0.00000 43.21580
cos
0 t 12 0 s12
200
10000
0 z1
t 0 r 1 ik
n
100
0 t ik (g)
0 sik (m)
111.22866 154.44796
0 t ik - r i
301.192 111.22866 575.355 111.23216 0 z108 111.23041
ik (cc) 0 0 t ik - r i - z108 -18 18
aik cc / cm 20.8088 7.2587
bik cc / cm 3.7088 8.3511
108 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım v10823 v108107
dz108 dz108
20.8088 dx108 7.2587 dx108
3.7088 dy108 8.3511 dy108
20.8088 dx23 7.2587 dx107
3.7088 dy 23 8.3511 dy107
18 18
107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım. v10823 v108107
dz108 dz108
Toplam
20.8088 dx23 0 dx23
3.7088 dy23 0 dy23
18 18
-2
- 20.8088
-3.7088
0.00
1
10.4044
1.8544
0.00
n = 2 -n = -2 ye bölelim
108 noktasındaki yöneltme yöneltme bilinmeyeni denklemi 1 dz108 10.4044 dx23 1.8544 dy23 0
Düzeltme denklemlerinden dz108 yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya yazalım. v10823 v108107
10.4044 dx23 10.4044 dx23
1.8544 dy23 1.8544 dy23
18 18
DN 107
Doğrultu r i (g)
BN 108 23
0.00000 32.24480
0 t ik (g)
0 sik (m)
354.44796 386.68977
0 t ik - r i
575.355 354.44796 389.889 354.44497 0 z107 354.44647
ik (cc) 0 0 t ik - r i - z107 15 -15
aik cc / cm -7.2587 -3.3890
bik cc / cm -8.3511 -15.9727
107 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım v107108 v107 23
dz107 dz107
7.2587 dx107 3.3890 dx107
8.3511 dy107 15.9727 dy107
7.2587 dx108 3.3890 dx23
8.3511 dy108 15.9727 dy 23
15 15
107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım. v107108 v107 23
dz107 dz107
Toplam
dx23 0 3.3890 dx23
dy23 0 15.9727 dy23
15 15
-2
3.3890
15.9727
0.00
1
-1.6945
-7.9863
0.00
n = 2 -n = -2 ye bölelim
yöneltme bilinmeyeni denklemi 107 noktasındaki yöneltme 1 dz107 1.6945 dx23 7.9863 dy23 0
Düzeltme denklemlerinden dz107 yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya yazalım. v107108 v107 23
DN 23
1.6945 dx23 1.6945 dx23
BN 107 108
7.9863 dy 23 7.9863 dy 23
Doğrultu r i (g)
t ik (g)
0.00000 124.53835
186.68977 311.22866
0
15 15
0
sik (m)
0
t ik - r i
389.889 186.68977 301.192 186.69031 0 z107 186.69004
ik (cc) 0 0 t ik - r i - z107 -3 3
aik cc / cm 3.3890 -20.8088
bik cc / cm 15.9727 -3.7088
23 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım v23107 v 23108
dz 23 dz 23
3.3890 dx23 20.8088 dx23
15.9727 dy 23 3.7088 dy 23
3.3890 dx107 20.8088 dx108
15.9727 dy107 3.7088 dy108
3 3
107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım. v23107 v 23108
dz 23 dz 23
Toplam
3.3890 dx23 20.8088 dx23
15.9727 dy 23 3.7088 dy 23
3 3
-2
-17.4189
12.2639
0.00
1
8.7099
6.1319
0.00
n = 2 -n = -2 ye bölelim böleli m
23 noktasındaki yöneltme yöneltme bilinmeyeni bil inmeyeni denklemi denklemi 1 dz23 8.7099 dx23 6.1319 dy23 0
Düzeltme denklemlerinden dz23 yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya yazalım. v23107 v 23108
12.0989 dx23 12.0989 dx23
9.8407 dy23 9.8407 dy23
3 3
1.8544 dy23 1.8544 dy23
18 18
Düzeltme denklemleri 10.4044 dx23 10.4044 dx23
v10823 v108107
1.6945 dx23 1.6945 dx23
7.9863 dy 23 7.9863 dy 23
15 15
12.0989 dx23 12.0989 dx23
9.8407 dy23 9.8407 dy23
3 3
v107108 v107 23 v23107 v 23108
Düzeltme denklemlerini v A x formatında yazalım. v108 23 10.4044 1.8544 18 v 10.4044 18 1.8544 108107 v107108 1.6945 7.9863 dx23 15 7.9863 dy23 15 v107 23 1.6945 v23107 12.0989 3 9.8407 v23108 12.0989 9.8407 3
515.0117 303.7773 303.7773 328.1201
N A A T
N A A T
1
cm cc
cc cm
birimsiz
0.0043 0.0040 0.0067 0.0040
Q xx N
249.1780 227.1338
n A T
n A T
cm cc
cc birimi cm
dx23 2.0 dy23 2.5
x Q xx n
cm
Bilinmeyenlerin kesin değeri x23 8351.331 2.0 8351.311 y 638.765 2.5 638.790 23
0 dx23 x23 x23 y 0 dy 23 y23 23
Düzeltmeler v A x
cc cm
cm cc birimi cc
v108 23 10.4044 1.8544 18 1.75 v 10.4044 18 1.75 1.8544 108107 v107108 1.6945 7.9863 2.0 15 1.75 7.9863 2.5 15 1.75 v107 23 1.6945 v23107 12.0989 3 1.75 9.8407 3 1.75 v23108 12.0989 9.8407
Dengeli ölçüler r ˆ1 r 1 v108 23 r ˆ r v 2 2 108107 r ˆ3 r 3 v107 108 r ˆ4 r 4 v107 23 r ˆ5 r 5 v23 107 r ˆ6 r 6 v23 108
ˆi r i v i r r ˆ1 0.00000 1.75 0.000175 0.00000 r ˆ 43.21580 1.75 43.215975 43.21615 2 r ˆ3 0.00000 1.75 0.000175 0.00000 r ˆ4 32.24480 1.75 32.244975 32.24515 r ˆ5 0.00000 1.75 0.000175 0.00000 r ˆ6 124.53835 1.75 124.538525 124.53870
Dengeli doğrultu ölçülerinin denetimi Yöneltme bilinmeyeni denklemleri 1 dz108 10.4044 dx23 1.8544 dy23 0 1 dz107 1.6945 dx23 7.9863 dy23 0 1 dz23 8.7099 dx23 6.1319 dy23 0
Matris gösterimiyle 1.8544 dz108 10.4044 dz 1.6945 7.9863 dx23 107 dy 23 dz 23 8.7099 6.1319
1.8544 dz108 10.4044 15.79 dz 1.6945 7.9863 dx23 16.73 107 dy 23 32.52 dz 23 8.7099 6.1319
z102 111.23041 15.79 111.23199 z 354.44647 16.73 354.44814 107 z 23 186.69004 32.52 186.69329
0 z102 z102 dz108 z z 0 dz 107 107 107 0 z 23 z 23 dz 23
DN
108 107 23
cc
BN
Dengeli doğrultulardan semt
23 107 108 23 107 108
r i (g)
vi (cc)
0.00000 43.21580 0.00000 32.24480 0.00000 124.53835
-1.75 1.75 -1.75 1.75 -1.75 1.75
ˆi r i v i r -0.00018 43.21598 -0.00018 32.24498 -0.00018 124.53853
z
ˆi + z102 t ik = r
111.23199 111.23199 354.44814 354.44814 186.69329 186.69329
111.23181 154.44796 354.44796 386.69312 186.69312 311.23181
Dengeli Koordinatlardan Semt
Fark
t ik
111.23181 154.44796 354.44796 386.69312 186.69312 311.23181
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Karesel Ortalama Hata T
m0
v v n u
12.25 3.5 cm 65
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası 1
0.0043 0.0040 0.0067 0.0040
Q xx N
m x m0 q xx 3.5 0.0043 0.2
cm
m y m0 q yy 3.5 0.0067 0.3
cm
Ölçülerin Ortalama Hatası
m i
m0 p i
Doğrultu ağlarında ağırlıklar eşit olduğu için ölçülerin ortalama hataları karesel ortalama hataya eşittir.
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası 0.1667 0.1667 0.1667 0.3333 0.3333 0.1667 0.3333 0.3333 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0. 3333 0.3333 0.1667 0.1667 T Q ˆˆ A Q xx A 0.3333 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0. 3333 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.3333 0.3333 0.1667 0.1667 0.3333 0.3333 0.1667 0.1667
mˆ m0 Q ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
i ˆ i
i
mˆ 3.5 0.3333 2.02
cm
i
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q Q Q ˆˆ vv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
1
Q p Q ˆ ˆ vv
1 0 0 1 p p 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0.1667 0.1667 0.1667 0.6667 0.3333 0.1667 0.3333 0.6667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.6667 0.3333 0.1667 0.1667 Q vv 0.6667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.3333 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.6667 0.3333 0.1667 0.1667 0.3333 0.6667 0.1667 0.1667
mvi m0 Q
v i vi
Düzeltmelerin ortalama hataları
mvi 3.5 0.6667 2.86
cm
5. KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ Kenar ağlarında yapılan kenar ölçüleri günümüzde genelde Elektronik Uzaklık Ölçerler (EUÖ, Total Station) ile ölçüle ö lçülerek rek elde edilirler.
X
P2 ( x2 , y2 ) s12 x2 x1 P1 ( x1, y1 ) y2 y1
Y
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz kenarın kendisidir. Fonksiyonel modeli kenar için yazalım.
s12 vs 12
x2 x1 2 y2 y1 2
Yukarıdaki fonksiyon doğrusal değildir. Doğrusallaştırma işlemi için bilinmeyenlerin yaklaşık değerler ini ini seçelim ve fonksiyonu Taylor serisine açalım. x1 x10 dx1
x2 x20 dx2
y1 y10 dy1
y 2 y 20 dy 2
0
s12 vs
12
0
0
0
s s s s x20 y20 12 dx1 12 dy1 12 dx2 12 dy2 0 x1 y1 x2 y2 0 2 x10
s12
2 y10
0
s x 0 x0 2 1 x20 x10 a12 12 2 0 1 2 2 s12 x1 2 y20 y10 x20 x10
birimsiz
0
s 2 1 y20 y10 y0 y 0 b12 12 2 21 2 2 s120 y1 2 y20 y10 x20 x10
birimsiz
0
s12 a12 x 2
0
s12 b12 y 2
Bu katsayıları aşağıdaki denklemde yerine koyalım ve düzenleyelim. 0
s12 vs 12
x20
2 x10
y20
2 y10
0
0
0
s s s s 12 dx1 12 dy1 12 dx2 12 dy2 0 x1 y1 x2 y2
0
vs 12 a12 dx1 b12 dy1 a12 dx2 b12 dy2 s12 s12 0
12 s120 s12 v s 12 a12 dx1 b12 dy1 a12 dx2 b12 dy 2 12 0
Stokastik Model: Kenar ölçüleri korelâsyonsuz ölçüler olarak kabul edilir. Çünkü kenar ölçüleri için korelasyon belirlemek oldukça zahmetl i bir iştir. Kenar ölçülerinin ağırlıkları farklıdır . EUÖ için karesel ortalama hata aşağıdaki formül ile hesaplanır . Her EUÖ için yapımcı firmalar bu bağıntıyı vermektedir. Farklı EUÖ ler için bu bağıntı farklı değerler alabilir. b ppm kısmı, karesel ortalama hatanın uzunluğa bağlı olduğu kısmıdır. ppm kısmına uzunluğun km cinsinden değeri yazılır. ms0 a b ppm
ppm 1.000.000 mm 1 km
Örneğin bir EUÖ için karesel ortalama hata bağıntısı aşağıdaki formülle verilmiş olsun. Sırasıyla 1000, 2000 ve 5000 m lik uzaklıklar için karesel ortalama hataları hesaplayalım. ms 0 2 mm 2 ppm
1000 m = 1 km
ms1 2 mm 2 1 4 mm
2000 m = 2 km
ms 2 2 mm 2 2 6 mm
5000 m = 5 km
ms3 2 mm 2 5 12 mm
Bir s0 öncül karesel ortalama hata ve ağırlığın tanımından yararlanarak ağırlık matrisini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
2
pi
s0
2
msi
s02 2 ms1 0 p 0 0
0 s02
0
0
2
0
0
0
0
0
0
ms 2
s02 ms2n
Örnek: Aşağıda kenar ölçüleri verilmiş ağı dolaylı ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz. Bu ağda kenar ölçmede kullanılan EUÖ için ms 5 mm 5 ppm lik ayar değeri yapımcı firma tarafından verilmiştir. Öncül Öncül karesel ortalama hata s0 30 mm olarak alınacaktır. NN
Y (m) X(m) Kesin Koordinatlar 101 17246.828 12812.718 102 25084.654 12106.522 103 24360.602 5230.407 104 16756.594 6447.904 Yaklaşık Koordinatlar 23 20058.570 8243.730
DN 23
BN 101 102 103 104
Kenar (m) 5364.876 6338.984 5252.410 3758.782
Ölçü sayısı
n=4
Bilinmeyen Bilinmeyen sayısı
u = 2 (Bir koordinat koordinat çifti) çifti)
Serbestlik Derecesi
f = n-u n-u = 4-2 = 2 > 0
Dengeleme var Koordinat bilinmeyenleri: dx23 , dy23
s12 0
a12
y20 y10 2 x20 x10 2 x20 x10
b12
0
s12
y20 y10 s120 2
DN
BN
x (m)
y (m)
23
101 102 103 104
4568.988 3862.792 -3013.323 -1795.826
-2811.742 5026.084 4302.032 -3301.976
ik sik 0 sik birimli 0 sik (m)
sik
ik (mm)
5364.843 6338.981 5252.389 3758.728
5364.876 6338.984 5252.410 3758.782
-33 -3 -21 -54
aik -0.8517 -0.6094 0.5737 0.4778
bik 0.5241 -0.7929 -0.8191 0.8785
Düzeltme Denklemlerini Denklemleri ni aşağıdaki formatta yazalım. v s 12 a12 dx1 b12 dy1 a12 dx2 b12 dy 2 12 0
v s23101 v s23102 vs23103 v s23104
0.8517 0.6094 0.5737 0.4778
dx23 dx23 dx23 dx23
0.5241 0.7929 0.8191 0.8785
dy 23 dy 23 dy 23 dy 23
0.8517 0.6094 0.5737 0.4778
dx101 dx102 dx103 dx104
0.5241 0.7929 0.8191 0.8785
dy101 dy102 dy103 dy104
33 3 21 54
101, 102, 103 ve 104 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri denklemleri yeniden yazalım. yazalım . v s23101 v s23102 vs23103 v s23104
0.8517 0.6094 0.5737 0.4778
dx23 dx23 dx23 dx23
0.5241 0.7929 0.8191 0.8785
dy23 dy23 dy23 dy23
33 3 21 54
Bu denklemleri v A x formatında yazalım. 0.5241 v s23101 0.8517 33 v s23102 0.6094 0.7929 dx23 3 v s23103 0.5737 0.8191 dy23 21 0.8785 54 vs23104 0.4778
ms 5 mm 5 ppm
s0 30
pi
2
s0
ms1 5 mm 5 5.364876 31.82 ms2 5 mm 5 6.338984 36.69 ms3 5 mm 5 5.252410 31.26 ms4 5 mm 5 3.758782 23.79
302 2 31.82 0 p 0 0
0
0
30 2 36.692
0
0
302 31.26 2
0
0
0.89 0 0 0 0 0.67 0 0 0 0 0 0.92 0 0 0 0 1.59 0 2 30 23.79 2
0
1.5587 0.1608 0.1608 2.5089
N A p A T
1
26.0000 73.5406
n A p T
0.6458 0.0414 0.4012 0.0414
Q xx N
dx23 14 dy23 28
x Q xx n
mm
Bilinmeyenlerin kesin değeri 0 dx23 x23 x23 y 0 23 y23 dy23
x23 8243.730 14 8243.744 y 20058.570 28 20058.598 23
Düzeltmeler v A x birimi mm 0.5241 v s23101 0.8517 33 29.43 v s23102 0.6094 0.7929 14 3 33.74 vs23103 0.5737 0.8191 28 21 35.96 0.8785 54 22.41 vs23104 0.4778
mm
2
ms i
sˆ i s i v s
Dengeli ölçüler sˆ1 s1 vs23101 sˆ s v 2 2 s23102 sˆ3 s3 vs23103 v sˆ4 s4 s23104
i
sˆ1 5364.876 29.43 5364.847 sˆ 6338.984 33.74 6338.950 2 sˆ3 5252.410 35.96 5252.374 sˆ4 3758.782 22.41 3758.760
Dengeli kenar ölçülerinin denetimi DN
y
x
BN
(m) 23 23 23 23
101 102 103 104
Dengeli koordinatlardan
sˆi
(m)
-4568.974 -3862.778 3013.337 1795.840
2811.770 -5026.056 -4302.004 3302.004
Dengeli kenarlardan
sˆ i s i v s
x 2 y2 5364.847 6338.950 5252.374 3758.760
v s (mm)
s i (m)
-29.43 -33.74 -35.96 -22.41
5364.876 6338.984 5252.410 3758.782
i
i
5364.847 6338.950 5252.374 3758.760
Karesel Ortalama Hata T
m0
v pv nu
3519.85 42.0 mm 42
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası 1
0.6458 0.0414 0.4012 0.0414
Q xx N
m x m0 qxx 42 0.6458 33.7
mm
m y m0 q yy 42 0.4012 26.6
Ölçülerin Ortalama Hatası 0 0 0 0.89 0 0.67 0 0 p 0 0 0.92 0 0 0 1.59 0 ms1
42 44.5 0.89
ms2
msi
42 51.3 0.67
m0 p
mm i
ms3
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası 0.1537 0.5291 0.0574 0.6156 0.1537 0.4521 0.0330 0.4297 T Q sˆsˆ A Q xx A 0.5291 0.0330 0.5206 0.1163 0.4223 0.0574 0.4297 0.1163
42 43.7 0.92
ms4
42 33.3 1.59
msˆi m0 Q ˆˆ
si si
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
msˆ1 42 0.6156 32.91
mm
msˆ2 42 0.4521 28.21 msˆ3 42 0.5206 30.27 msˆ4 42 0.4223 27.26
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q Q Q ˆˆ vv
Q p vv
ss
1 ss
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
ss
Q sˆsˆ
0 0 0 1.1253 0 1.4961 0 0 1 p 0 0 1.0859 0 0 0 0.6291 0
0.5291 0.5097 0.1537 0.1537 1.0441 0.0330 Q vv 0.5291 0.0330 0.5653 0.4297 0.1163 0.0574
mvi m0 Q
v i vi
0.0574 0.4297 0.1163 0.2067
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv1 42 0.5097 29.95 mv2 42 1.0441 42.87 mv3 42 0.5653 31.54 mv4 42 0.2067 19.07
mm
6. DOĞRULTU-KENAR DOĞRULTU-KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
Örnek: Aşağıda doğrultu ve kenar ölçüleri verilmiş ağı dolaylı ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz. Doğrultular için öncül karesel ortalama hatayı s0 10cc olarak alınız.
NN
Y (m) X(m) Kesin Koordinatlar
7849.474 164.526 102 7731.373 608.285 103 Yaklaşık Koordinatlar 107 108
7969.948 8404.160
719.676 342.243
DN
BN
Kenar (m)
102 103 107
108 107 108
459.192 263.297 575.324
ms (mm) ±3 ±5 ±4
DN
DN
Doğrultu
102
108 107 103
0.00000 66.65613 96.81793
md (cc) ± 10 ± 10 ± 10
Ölçü sayısı
n = 6 (3 doğrultu ve 3 kenar ölçüsü)
Bilinmeyen sayısı
u = 5 (İki koordinat çifti ve bir yöneltme yöneltme bilinmeyeni)
Serbestlik Derecesi
f = n-u n-u = 6-5 = 1 > 0
Dengeleme var Bilinmeyenler: dz102 , dx107 , dy107 , dx108 , dy108
y20 y10 0 0 x2 x1
0
a12
DN 102
0 sint 12 0
s12
200
BN 108 107 103
10000
100
y
0 s12
t 12 arctan
200
0
cos t 12 b12 0 s12
Doğrultu r i (g) 0.00000 66.65613 96.81793
0 2
y10 x20 x10 2
2
10000
z10
t
100
0 ik
t (g) 19.73894 86.39556 116.55902
0 ik
s (m) 582.460 568.072 459.206
0 ik - i
t
r
19.73894 19.73943 19.74109
0 z102 19.73982
0 12
r 1 n
ik
(cc)
0 0 t ik - r i - z102
-8.8 -3.9 12.7
aik
bik
cc / mm
cc / mm
0.3335 1.0952 1.3397
-1.0409 -0.2377 0.3565
Düzeltme Denklemlerini aşağıdaki formatta formatt a yazalım. vik dzi aik dx1 bik dyi aik dxk bik dyk ik v102108 v102107 v102103
dz102 dz102 dz102
0.3335 dx102 1.0952 dx102 1.3397 dx102
1.0409 dy102 0.2377 dy102 0.3565 dy102
0.3335 dx108 1.0952 dx107 1.3397 dx103
1.0409 dy108 0.2377 dy107 0.3565 dy103
8.8 3.9 12.7
102 ve 103 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım. v102108 v102107 v102103
dz102 dz102 dz102
0.3335 1.0952
1.0409 0.2377
dx108 dx107
dy108 dy107
8.8 3.9 12.7
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim düzenleyelim ve dz102 yöneltme bilinmeyeni yok edelim. v102 108 v102 107 v102 103
dz102 dz102 dz102
dz102 v102108 v102107 v102103
Toplam
dx107 0 1.0952 dx107 0 dx107
dx107
dy107
dy107 0 0.2377 dy107 0 dy107
dx108
dy108
0.3335 1.0409 8.8 1.0952 0.2377 3.9 0 0
-3
-1.0952 0.2377 -0.3335 1.0409
1
0
0
0
0.3651 -0.0792
0
0
12.7
0.00
n = 3 -n = -3 e bölelim
0.1112 -0.3470 0.00
Yöneltme bilinmeyeni denklemi 1 dz102 0.3651 dx107 0.0792 dy107 0.1112 dx108 0.3470 dy108 0
yöneltme bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri dz102 yöneltme dx107 v102108 v102107 v102103
dy107
dx108
dy108
1.0409 dy108 dy108 0 0 dy108
1 1 1
0
0.3335 dx108 dx108 0 0 dx108
0.3651 0 .0792 0.2223 0.6939 8.8 0.7301 0 .1584 0.1112 0.3470 3.9 0.3651 0 .0792 0.1112 0.3470 12.7
8.8 3.9 12.7
v A x formatında doğrultular için düzeltme denklemleri dx107 0.6939 v102108 0.3651 0.0792 0.2223 8.8 dy107 v 0.7301 0.1854 0 .1112 0.3470 102107 dx 3.9 108 v102103 0.3651 0.0792 0 .1112 0.3470 12.7 dy108
0 s12
y
x
0 2
0 2
a12
y10 x20 x10 2
2
x10
b12
0
s12
0 2
BN
x
102 103 107
103 107 108
-118.101 238.575 434.212
(m)
0 1
0 2 12
y
DN
ik sik 0 sik birimli
y y s
sik
ik (mm)
aik
bik
459.192 263.297 575.324
13.7 1.3 -1.7
0.2572 -0.9061 -0.7547
-0.9664 -0.4231 0.6560
0 sik (m)
(m)
443.759 111.391 -377.433
459.206 263.298 575.322
yazalım. Düzeltme denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım. v s 12 a12 dx1 b12 dy1 a12 dx2 b12 dy 2 12 0 v s102 103 v s103107 v s107 108
0.2572 dx102 0.9061 dx103 0.7547 dx107
0.9664 dy102 0.4231 dy103 0.6560 dy107
0.2572 dx103 0.9061 dx107 0.7547 dx108
0.9664 dy103 0.4231 dy107 0.6560 dy108
13.7 1.3 1.7
102 ve 103 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım. v s102103 v s103107 v s107108
0.9061 0.7547
dx107 dx107
0.4231 0.6560
dy107 dy107
0.7547
dx108
Bu denklemleri bilinmeyenle bil inmeyenlere re göre gö re yeniden düzenleyelim. dx107 vs102103 v s103107 v s107108
dy107
dx108
dy108
0 0 0 0 13.7 0.9061 0.4321 0 0 1.3 0.7547 0.6560 0.7547 0.6560 1.7
Bu denklemleri v A x formatında yazalım. vs v s v s
102103
103107
107 108
dx107 0 0 0 0 13.7 dy107 0 0 0.9061 0.4321 dx 1.3 0.7547 0.6560 0.7547 0.6560 108 1.7 dy108
0.6560
dy108
13.7 1.3 1.7
Fonksiyonel model Doğrultular ve kenarlar için yazdığımız v A x matrislerini birleştirelim. v102108 0.3651 0.0792 0.2223 0.6939 8.8 v 3 .9 0.1584 0.1112 0.3470 dx107 102107 0.7301 12.7 v102103 0.3651 0.0792 0.1112 0.3470 dy107 13.7 v dx 0 0 0 0 s 108 vs 0.9661 0.4321 0 0 dy108 1.3 0.6560 0.7547 0.6560 1.7 v s 0 .7547 102 103
103 107
107 108
2
p
Stokastik Model: Ağırlık tanımından yararlanarak yararlanarak
pd 1
pd 2
pd 3
p
2
s0
2 d 1
m
s02 md 22 2
s0
md 23
102 10
2
10 2 10 2 10 2 10 2
birimsiz
1
p s1
1
p s2
1
p s3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 11.11
0
0
0
0
0
4.00
0
0
0
0
0
2
s0 m
2 s1 2
s0
ms22 s02 2
ms3
10 2 3
2
10 2 52 10 2 42
11.11
s0
mi2
10
2
mi2
cc/mm
4.00
6.25
0
0 0 0 6.25 0
3.4745 7.6438 1.7347 3.6818 1.7347 3.4435 3.1210 2.7724 T N A p A 3.6818 3.1210 3.6342 3.3260 3.4122 3.4745 2.7724 3.3260
2.2332 0.1166 0.8078 1.5232 1.5232 4.2160 5.6451 0.5260 1 Q N xx 2.2332 5.6451 10.2535 3.1338 3.1338 2.8016 0.1166 0.5260
17.0137 5.7929 T n A p 5.1599 2.1235
dx107 10.8 dy 20.1 107 mm x Q xx n dx108 11.1 dy108 17.1
Bilinmeyenlerin kesin değeri x107 7969.948 10.8 7969.9372 y 719.676 20.1 719.6961 107 x108 8404.160 11.1 8404.1489 y108 342.243 17.1 342.2601
0 dx107 x107 x107 y 0 dy 107 y107 107 0 dx108 x108 x108 0 y108 y108 dy108
Düzeltmeler v A x birimi mm v102108 0.3651 0.0792 0.2223 0.6939 8.8 0.00 v 3.9 0.00 0.1584 0.1112 0.3470 10.8 102107 0.7301 20.1 12.7 0.00 mm v102103 0.3651 0.0792 0.1112 0.3470 v 13.7 13.72 0 0 0 0 11 . 1 s vs 0.9661 0.4321 0 0 17.1 1.3 0.00 0.6560 0.7547 0.6560 v s 0 .7547 1.7 0.00 102 108
103 107
107 108
Dengeli doğrultu ölçüleri r ˆ1 r 1 v102108 r ˆ r v 2 2 102107 r ˆ3 r 3 v102103
ˆi r i v i r
r ˆ1 0.00000 0 0.00000 r ˆ 66.65613 0 66.65613 2 r ˆ3 96.81793 0 96.81793
Dengeli doğrultu ölçülerinin denetimi Yöneltme bilinmeyeni denklemi 1 dz102 0.3651 dx107 0.0792 dy107 0.1112 dx108 0.3470 dy108 0
Matris gösterimiyle
dz102
dx107 dy 0.3651 0.0792 0.1112 0.3470 107 dx108 dy108
dz102
10.8 20.1 12.70 cc 0.3651 0.0792 0.1112 0.3470 11.1 17.1
0 z102 z102 dz102 = 19.74109 + 12.70 cc /10.000 = 19.74109
DN
BN
102
Dengeli Koordinatlardan
Dengeli doğrultulardan semt
108 107 103
r i (g)
vi (cc)
0.00000 66.65613 96.81793
0.00 0.00 0.00
ˆi r i v i r 0.00000 66.65613 96.81793
ˆi + z102 t ik = r
z102 19.74109 19.74109 19.74109
Semt
19.74109 86.39722 116.55902
t ik
19.74109 86.39722 116.55902
Dengeli kenar ölçüleri sˆ i s i v s
i
sˆ1 s1 vs sˆ s v 2 2 s sˆ3 s3 vs
102108
103107
107 108
sˆ1 459.192 13.72 459.206 sˆ 263.297 0 263.297 2 sˆ3 575.324 0 575.324
Dengeli kenar ölçülerinin denetimi DN
102 103 107
y
x
BN
103 107 108
Dengeli koordinatlardan
(m)
(m)
-118.101 238.564 434.212
443.759 111.411 -377.436
sˆi
x y 2
2
459.206 263.297 575.324
Karesel Ortalama Hata T
m0
v p v nu
2092.53 65
45.7 mm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası 2.2332 0.1166 0.8078 1.5232 1.5232 4.2160 5.6451 0.5260 1 Q N xx 2.2332 5.6451 10.2535 3.1338 3.1338 2.8016 0.1166 0.5260 m x107 m0 q xx107 45.7 0.8078 41.1
mm
m y107 m0 q yy107 45.7 4.2160 93.9 m x108 m0 qxx108 45.7 10.2535 146.5 m y108 m0 q yy108 45.7 2.8016 76.6
Dengeli kenarlardan
sˆ i s i v s 459.206 263.297 575.324
vs
(mm) i
si
(m)
i
13.72 0.00 0.00
Fark
459.192 263.297 575.324
0.00 0.00 0.00
Ölçülerin Ortalama Hatası p
mr 1 mr 2 mr 3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 11.11
0
0
0
0
0
4.00
0
0
0
0
0
45.7 1 45.7 1 45.7 1
0
0 0 0 6.25 0
45.7 cc
ms1
45.7
ms2
45.7
ms3
45.7 11.11 45.7 4.00 45.7 6.25
m0
mi
p
mm i
13.7 cm 22.9 18.3
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası 0.6667 0.3333 0.3333 0.3333 0.6667 0.3333 0.3333 0.3333 0.6667 T Q ˆ ˆ A Q xx A 0 0 0 0 0 0 0 0 0
mi m0 Q ˆ ˆ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0 0 0 0.16 0
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
cc
mr ˆ1 45.7 0.6667 37.4
msˆ1 45.7 0.00 0 .0
cm
mr ˆ2 45.7 0.6667 37.4
msˆ2 45.7 0.25 22.9
mr ˆ3 45.7 0.6667 37.4
msˆ3 45.7 0.16 18.3
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q Q Qˆ ˆ vv
Q vv p
1 p
1
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
Q ˆ ˆ
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0.09
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0.16 0
0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 Q vv 0 0 0 0 0 0 0 0 0
mvi m0 Q
v i vi
0
0
0
0
0
0
0.09
0
0
0.00
0
0
0
0 0 0 0.00 0
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv1 45.7 0.3333 26.4 mv2 45.7 0.3333 26.4 mv3 45. 7 0.3333 26.4 mv4 45.7 0.0900 13.7 mv5 45.7 0.0000 0.0 mv6 45.7 0.0000 0.0
mm
7. NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ Nivelman ağları günümüzde en çok uygulaması yapılan yükseklik ağlarıdır. Bu ağlarda ölçüler nivo ve miralarla yapılır. Geometrik ve hassas nivelman olmak üzere iki çeşit ölçme yöntemi vardır. Bir nivelman ağında bir noktanın yüksekliğini bilmek o ağdaki diğer tüm noktalara yükseklik taşımak için yeterlidir. Ağ üzerindeki okların yönü yükselme yönlerini gösterir. h gösterimleri iki nokta arasındaki yükseklik farkını temsil eder. İçi dolu daire olarak gösterilen noktalar yüksekliği değişmez alınan noktalardır. İçi boş olarak gösterilen
noktalar dengeleme ile yüksekliği bulunacak noktalardır.
P1 ( x)
h1
h5
B
h2
( H B )
h4 A
h3
( H A )
P2 ( y )
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır . Bu problemde yüksekliği bulunacak noktalar bilinmeyen ( x ve y ) noktalar olarak seçilirler. Fonksiyonel modeli yükseklik farklar ı için yazalım ve düzenleyelim.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin Fonksiyonu h1 v1 x H A
v1 x H A h1
h2 v2 H p H p
h2 v2 y x
v2 x y h2
h3 v3 H p H A
h3 v3 y H A
v3 y H A h3
h4 v4 H B H p
h4 v4 H B y
v4 y H B h4
h5 v5 H B x
v5 x H B h5
h1 v1 H p H A 1
2
1
2
h5 v5 H B H p
2
1
Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. x ve y bilinmeyenlerini aşağıdaki şekilde düzenleyelim.
x x0 dx
y y0 dy
Burada x0 ve y0 yaklaşık değerler dx ve dy bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri yukarıdaki
denklemlerde denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim. v1 x0 dx H A h1
v1 dx x0 H A h1
v2 x0 dx y0 dy h2
v2 dx dy x0 y0 h2
v3 y0 dy H A h3
v3 dy y0 H A h3
v4 y0 dy H B h4
v4 dy y0 H B h4
v5 x0 dx H B h5
v5 dx x0 H B h5
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim. düzenleyelim.
v1 1 dx 0 dy x0 H A h1
1 x0 H A h1
v2 1 dx 1 dy y0 x0 h2
2 y0 x0 h2
v3 0 dx 1 dy y0 H A h3
3 y0 H A h3
v4 0 dx 1 dy H B y0 h4
4 H B y0 h4
v5 1 dx 0 dy H B x0 h5
5 H B x0 h5
Yukarıdaki denklemleri v A x formatında yazalım. v1 1 0 1 v 1 1 2 dx 2 v3 0 1 3 dy v 0 1 4 4 v5 1 0 5
Stokastik Model: Nivelmanda Nivelmanda ağırlıklar geçki uzunluğu ile ters orantılıdır.
pi
0 0 0 0 1 / s1 0 1 / s 0 0 0 2 pi 0 0 1 / s3 0 0 0 0 1 / s4 0 0 0 0 0 0 1 / s5
1 si ( km)
Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz . H A 80.673 m.
P1 ( x)
h2
h5
h1
P2 ( y )
h6 h3
A
h4
( H A )
P3 ( z)
i
hi
si (km)
1 2 3 4 5 6
43.156 19.218 33.524 57.440 23.962 14.267
0.65 0.80 1.00 1.40 1.50 1.95
Ölçü sayısı
n=6
Bilinmeyen sayısı
u=3
Serbestlik Serbest lik Derecesi
f = n-u = 6-3>0
Dengeleme var.
h1 v1 H p H A 1
h1 v1 x H A
v1 x H A h1
h2 v2 H p H p
2
h2 v2 x y
v2 x y h2
h3 v3 H p H p
2
h3 v3 z y
v3 z y h3
h4 v4 H p H A
h4 v4 z H A
v4 z H A h4
h5 v5 H p H A
h5 v5 y H A
v5 y H A h5
h6 v6 H p H p
h6 v6 z x
v3 z x h6
1
3
3
2
3
1
Yaklaşık değerler x x0 dx
y y0 dy
z z0 dz
x0 H A h1
x0 80.673 + 43.156 = 123.829 m
y 0 H A h5
y0 80.673 + 23.962 = 104.635 m
z 0 H A h4
z0 80.673 + 57.440 = 138.115 m
v1 x H A h1
v1 dx x0 H A h1
v2 x y h2
v2 dx dy x0 y0 h2
v3 z y h3
v3 dy dz z0 y0 h3
v4 z H A h4
v4 dz z0 H A h4
v5 y H A h5
v5 dy y0 H A h5
v3 z x h6
v3 dx dz z0 x0 h6
v1 dx 123.829 80.673 43.156
v1 dx
v2 dx dy 123.829 104.635 19.218
v2 dx dy 24
v3 dy dz 138.115 104.635 33.524
v3 dy dz 46
v4 dz 138.115 80.673 57.440
v4 dz
v5 dy 104.635 80.673 23.962
v5 dy
v3 dx dz 138.115 123.829 14.267
v3 dx dz 17
Yukarıdaki değerler mm mertebesindedir.
v1 1 dx 0 dy 0 dz 0 v2 1 dx 1 dy 0 dz 24 v3 0 dx 1 dy 1 dz 46 v4 0 dx 0 dy 1 dz 0 v5 0 dx 1 dy 0 dz 0 v3 1 dx 0 dy 1 dz 17
Yukarıdaki denklemleri v A x formatında yazalım. v1 1 0 v 1 1 2 v3 0 1 v4 0 0 v5 0 1 v6 1 0
0
0 24 0 dx 1 46 dy 1 0 dz 0 0 1 17
0 0 0 0 0 1 / 0.65 0 1 / 0.80 0 0 0 0 0 0 1 / 1.00 0 0 0 pi 0 0 0 1 / 1.40 0 0 0 0 0 0 1 / 1.50 0 0 0 0 0 0 1 / 1.95
0 0 1.54 0 1.25 0 0 0 1.00 pi 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
pi
0 0 0 0.71 0 0 0 0.67 0 0 0 0.51
3.30 1.25 0.51 T 2.92 1.00 N A p A 1.25 0.51 1.00 2.23
0.44 0.26 0.22 Q xx N 0.26 0.56 0.31 0.22 0 .31 0.64 1
dx 5.12 mm x Q n dy 20.94 xx dz 8.52
38.72 n A p 76.00 37.28 T
1 si ( km)
Bilinmeyenlerin kesin değeri x 123.829 5.12 123.834 y 104.635 20.94 104.614 z 138.113 8.52 138.122
x x0 dx y y dy 0 z z 0 dz
Düzeltmeler v A x v1 1 0 v 1 1 2 v3 0 1 v4 0 0 v5 0 1 v6 1 0
0
0 5.12 0 5.12 24 2.06 1 46 16.54 20.94 1 0 8.52 8.52 0 0 20.94 1 17 20.39
hˆi hi vi
Dengeli ölçüler hˆ1 h1 v1 ˆ h2 h2 v2 hˆ h3 v3 3 hˆ4 h4 v4 hˆ h v 5 5 5 hˆ6 h6 v6
hˆ1 43.156 5.12 43.161 ˆ h2 19.218 2.06 19.220 hˆ 33.524 16.54 33.507 ˆ3 h4 57.440 8.52 57.449 hˆ 23.962 20.94 23.941 5 hˆ6 14.267 20.39 14.287
Dengeli ölçülerinin denetimi h1 v1 H p H A
43.161 43.161
1
h2 v2 H p H p
2
h3 v3 H p H p
2
1
3
19.220 19.220 33.507 33.507
h4 v4 H p H A
57.449 57.449
h5 v5 H p H A
23.941 23.941
h6 v6 H p H p
14.287 14.287
3
2
3
1
Karesel Ortalama Hata T
m0
v pv n u
876.79 63
17.10 mm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası 0.44 0.26 0.22 Q xx N 0.26 0.56 0.31 0.22 0.31 0.64 1
m x m0 q xx 17.10 0.44 11.28
mm
m y m0 q yy 17.10 0.56 12.82 m z m0 q zz 17.10 0.64 13.67
Ölçülerin Ortalama Hatası mh1 13.78
mh4 20.23
mh2 15.29
mh5 20.94
mh3 17.10
mh6 23.87
m i
m0 pi
mm
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası 0.17 0.04 0.22 0.26 0.22 0.44 0.17 0.47 0.21 0.09 0.30 0.27 0 . 04 0 . 21 0 . 58 0 . 33 0 . 25 0 . 37 T Q ˆ ˆ A Q xx A 0. 33 0.64 0.31 0.42 0.22 0.09 0.26 0.30 0.25 0.31 0.56 0.05 0.37 0.42 0.05 0.64 0.22 0.27
mhˆ m0 Q ˆ ˆ i
i
Dengeli ölçülerin ortalama hataları i
mhˆ 11.28
mhˆ 13.67 mm
mhˆ 11.78
mhˆ 12.82
mhˆ 12.98
mhˆ 13.67
1
4
2
5
3
6
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q Q Q ˆˆ vv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
1
Q p Q ˆ ˆ vv
0 0 0 0 0 0.65 0 0.80 0 0 0 0 0 0 1 . 00 0 0 0 p 1 0 0 1.40 0 0 0 0 0 0 0 1.50 0 0 0 0 0 1.95 0
0.04 0.21 0.17 0.17 0.33 0.21 0.04 0.21 0.42 Q vv 0.09 0.33 0.22 0.26 0.30 0.25 0.27 0.37 0.22
mvi m0 Q
0.22 0.26 0.09
0.30
0.33
0.25
0.76
0.31
0.31 0.94 0.42 0.05
0.22
0.37 0.42 0.05 1.31 0.27
Düzeltmelerin ortalama hataları
v i vi
mv1 7.91
mv 4 14.91 mm
mv 2 9.75
mv5 16.56
mv3 11.13
mv 6 19.57
Örnek: Bir yerel sistemde yükseklik koordinatı bilinen 102 noktasına dayalı olarak 103 ve 108 noktalarının yüksekliğini nivelman ağlarının dolaylı ölçüler den gelemesi yöntemi ile belirleyiniz.
P103 ( x)
Kesin Yükseklik 1034.306 102 Yaklaşık Yükseklik Yükseklik 1069.816 103 1161.352 108
h1
DN
BN
Ölçüler s (m) h (m)
102 102 103
103 108 108
35.510 35. 510 127.046 91.545 91. 545
h3
P102
581.395 458.715 724.637
h2 P108 ( y )
Ölçü sayısı
n=3
Bilinmeyen sayısı
u=2
Serbestlik Serbest lik Derecesi
f = n-u = 3-2>0
h1 v1 H p H p 103
102
Dengeleme var.
h1 v1 x H p
102
v1 x H p102 h1
h2 v2 H p H p
102
h2 v2 y H p
v2 y H p102 h2
h3 v3 H p H p
103
h3 v3 y x
v3 y x h3
108
108
102
Yaklaşık değerler x x0 dx
y y0 dy
x0 H p102 h1
x0 1034.306 + 35.510 = 1069.816 m
y0 H p102 h2
y0 1034.306 + 127.046 = 1161.352 m
v1 x H p102 h1
v1 dx x0 H p102 h1
v2 y H p102 h2
v2 dy y0 H p102 h2
v3 y x h3
v3 dy dx y0 x0 h3
v1 dx 1069 .816 1034.306 35.510
v1 dx
v2 dy 1161 .352 1034.306 127.046
v2 dy
v3 dx dy 1161 .352 1069.816 91.545
v3 dx dy 0.9
Yukarıdaki değerler cm mertebesindedir.
v1 1 dx 0 dy 0 v2 0 dx 1 dy 0 v3 1 dx 1 dy 0.9
Yukarıdaki denklemleri v A x formatında yazalım. v1 1 0 0 dx v 0 1 0 2 dy v3 1 1 0.9
0 0 1 /(581.395 / 1000) pi 0 1 /(458.715 / 1000) 0 0 0 1 /(724.637 / 1000) 0 0 1.72 2.18 0 pi 0 0 0 1.38
pi
1 si ( km)
Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengele mek için fonksiyonel ve stokastik modeli yazınız . P2
Kesin Yükseklikler 508.081 P1 511.769 P2 502.714 P3 Yaklaşık Yükseklik Yükseklik 510.815 P4
P3
h2
P1
h3
h1 i
hi
1 2 3
(m)
si (m)
2.716 0.934 8.121
P4 ( x )
210 210 425
Ölçü sayısı
n=3
Bilinmeyen sayısı
u=1
Serbestlik Serbest lik Derecesi
f = n-u = 3-2>0
h1 v1 H p H p 4
h1 v1 x H p
v1 x H p1 h1
4
h2 v2 H p x
v2 x H p 2 h2
3
h3 v3 x H p
v3 x H p 3 h3
1
h2 v2 H p H p 2
h3 v3 H p H p 4
Dengeleme var.
1
2
3
v1 dx x0 H p1 h1 v2 dx H p 2 x0 h2 v3 dx x0 H p3 h3
v1 dx 510.815 508.081 2.716
v1 dx 1.8
v2 dx 511.769 510.815 0.934
v2 dx 2.0
v3 dx 510.815 502.714 8.121
v3 dx 2.0
Yukarıdaki değerler cm mertebesindedir. Yukarıdaki denklemleri v A x formatında
yazalım. v1 1 1.8 v 1 dx 2.0 2 v3 1 2.0
0 0 1 /(210 / 1000 ) pi 0 1 /(210 / 1000) 0 0 0 1 /( 425 / 1000 ) 0 0 4.76 4.76 0 pi 0 0 0 2.35
pi
1 si ( km)
8. TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ Nivelman ağları günümüzde en çok uygulaması yapılan yükseklik ağlarıdır. Ancak noktalar arasındaki yükseklik farklarının fazla ve noktalara ulaşımın zor olduğu arazi şartlarında nivelman yönteminin uygulanması uygulanm ası zordur ve ekonomik değildir. Bu tür arazi şartlarında noktalara yükseklik taşımada Trigonometrik Nivelman yöntemi kullanılır. Trigonometrik Nivelman yöntemi düşey açı gözlemlerine dayanır. Bu ağlarda ölçüler ö lçüler günümüzde Elektronik Uzaklık Ölçerler (Total Station) ve reflektörlerle yapılır. Düşey açı gözlemlerine ve yükseklik farklarına göre olmak üzere iki çeşit değerlendirme yöntemi vardır. Bir Trigonometrik Nivelman ağında bir noktanın yüksekliğini bilmek o ağdaki diğer tüm noktalara yükseklik taşımak için için yeterlidir.
Z 1 2
D1 2 S12 cot Z 12
t
P2
S1 2 i
P1
Yeryüzü H 2
H 1
Jeoid Deniz Yüzeyi P1, P2 H 1 , H 2 i t D1 2
S1 2 Z 1 2
: Durulan Nokta, Bakılan Nokta : Durulan ve Bakılan noktaların Ortometrik yükseklikleri : Durulan noktada alet yü ksekliği : Bakılan noktada reflektör yüksekliği yüksekliği : Eğik uzunluk : Alet yüksekliğindeki yatay uzunluk : Düşey açı ölçüsü
8.1. DÜŞEY DÜŞEY AÇILARLA DENGELEME Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır . farkıdır . Fonksiyonel modeli yükseklik farklar ı için yazalım ve düzenleyelim. Bu modelde ölçü düşey açılardır.
H 2 H 1 S1 2 cot Z 12 i t
1 k 2 S 2 r 1 2
Burada k 0.13 refraksiyon katsayısı, katsayısı, r 6373 km yerin yarıçapıdır. K
1 k olarak 2 r
düşünelim ve fonksiyonu yeniden yazalım. yazalım . H 2 H 1 S1 2 cot Z 1 2 i t K S12 2
cot Z 1 2
1 S1 2
H 2 H 1 K S12 2 i t
1
Z 12 arc cot
S12
H 2 H 1 K S122 i t
Bu fonksiyon lineer değildir. Doğrusal olmayan denklemleri dengeleme işleminde kullanabilmek için lineer hale getirmek gereklidir. Bu fonksiyon yaklaşık değerler kullanılarak Taylor serisine açılır. H 1 H 10 dh1
H 2 H 20 dh2
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
Z 1 2 vZ 1 2
1 sin 2 Z 10 2 sin 2 Z 102 0 0 2 arc cot H 2 H 1 K S1 2 i t dh1 dh2 S S S 1 2 1 2 1 2 Z 10 2
vZ 12
a
sin 2 Z 102 S12
sin 2 Z 10 2 S1 2
dh1
sin 2 Z 10 2 S1 2
b
dh2 Z 10 2 Z 1 2
sin 2 Z 102 S 12
Z 10 2 Z 1 2
Yukarıdaki kısaltmaları kullanarak düzeltme denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz. vZ 1 2 a dh1 b dh2
Stokastik Model: Bu model için ağırlıklar düşey açı gözlemlerinden elde edilebilir. Ya da aynı ölçmeci, aynı alet, aynı atmosferik şartlar düşüncesiyle tüm gözlemlerin eşit ağırlıkta olduğu kabul edilebilir.
Örnek: Aşağıda verilmiş Trigonometrik Nivelman N ivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.
6
NN
H i Kesin Yükseklik
3
1016.253
3
Yaklaşık Yükseklikler
2 5 6
1117.001 1047.644 1101.859
2
5 DN
BN
2
3 5 6 2 5 6 2 3
3 5
Düşey Açı Z i j
102.92374 102.28561 102.51359 97.08010 98.71777 96.35727 97.70589 101.27326
Alet Yüksekliği i
Reflektör Yüksekliği t
S i j
1.42 1.42 1.42 1.61 1.61 1.61 1.45 1.45
1.75 1.81 1.76 1.90 1.87 1.83 1.88 1.82
2194.193 1924.510 1875.414 2194.200 1562.956 1495.632 1924.500 1562.961
1 H 20 H 10 K S i2 j i t S i j
K
Z i0 j arc cot
sin 2 Z 10 2 200 10000 a S1 2 100 DN
BN
S i j
2
3 5 6 2 5 6 2 3
2194.193 1924.510 1875.414 2194.200 1562.956 1495.632 1924.500 1562.961
3 5
H j0 H i0
-100.748 -69.357 -15.142 100.748 31.391 85.606 69.357 69. 357 -31.391
1 k 1 0.13 0.0000000683 2 r 2 63700000
Z 102 Z 1 2 10000
b a
K Si2 j
i
t
Z i0 j
Z i j
a (cc /cm)
(cc)
0.3288 0.2529 0.2402 0.3288 0.1668 0. 1668 0.1528 0. 1528 0.2529 0 .2529 0.1668
1.42 1.42 1.42 1.61 1.61 1.61 1.45 1.45
1.75 1.81 1.76 1.90 1.87 1.83 1.88 1.82
102.92100 1 02.92100 102.28878 102.2 8878 102.51060 102 .51060 97.08010 98.71777 96.35728 97.70083 101.27016 101 .27016
102.92374 102.28561 102.51359 97.08010 98.71777 96.35727 97.70589 101.27326
2.8953 3.3037 3.3943 2.8953 4.0715 4.2426 3.3037 4.0715
-27.4 31.7 -29.9 0 0 0 -50.6 -31.0
Ölçü sayısı
n=8
Bilinmeyen sayısı
u=3
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 8-3>0
Düzeltme denklemlerini yazalım.
Dengeleme Dengeleme var.
vZ i j a dhi b dh j
vZ 23 2.8953 dh2 2.8953 dh3 27.4 vZ 25 3.3037 dh2 3.3037 dh5 31.7 vZ 2 6 3.3943 dh2 3.3943 dh6 29.9 vZ 32 2.8953 dh3 2.8953 dh2 0.0 vZ 35 4.0715 dh3 4.0715 dh5 0.0 vZ 36 4.2426 dh3 4.2426 dh6 0.0 vZ 52 3.3037 dh5 3.3037 dh2 50.6 vZ 53 4.0715 dh5 4.0715 dh3 31.0
3 Numaralı nokta ağda sabit alınan noktadır. Bu noktanın koordinatlarına düzeltme getirilmez. Yukarıdaki denklemlerden 3 numaralı noktaya ait katsayıları atalım.
vZ 23 2.8953 dh2 27.4 vZ 25 3.3037 dh2 3.3037 dh5 31.7 vZ 2 6 3.3943 dh2 3.3943 dh6 29.9 vZ 32 2.8953 dh2 0.0 vZ 35 4.0715 dh5 0.0 vZ 36 4.2426 dh6 0.0 vZ 52 3.3037 dh5 3.3037 dh2 50.6 vZ 53 4.0715 dh5 31.0
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim. düzenleyelim. Birim ( cc: saniye) vZ 23 2.8953 dh2 0 dh5 0 dh6 27.4 vZ 25 3.3037 dh2 3.3037 dh5 0 dh6 31.7 vZ 26 3.3943 dh2 0 dh5 3.3943 dh6 29.9 vZ 32 2.8953 dh2 0 dh5 0 dh6 0.0 vZ 35 0 dh2 4.0715 dh5 0 dh6 0.0 vZ 36 0 dh2 0 dh5 4.2426 dh6 0.0 vZ 52 3.3037 dh2 3.3037 dh5 0 dh6 50.6 vZ 53 0 dh2 4.0715 dh5 0 dh6 31.0
Yukarıdaki denklemleri v A x formatında yazalım. 0 0 vZ 23 2.8953 27.4 vZ 3.3037 3.3037 31.7 0 2 5 vZ 26 3.3943 29.9 0 3.3943 dh 0 0 2 0 vZ 3 2 2.8953 dh vZ 35 0 4.0715 0 5 0 dh6 0 0 4.2426 0 vZ 36 vZ 3.3037 50.6 3.3037 0 5 2 0 4.0715 0 vZ 53 31.10
50.1154 21.8287 N A A 21.8287 54.9834 11.5215 0.0000 T
11.5215 0.0000 29.5212
91.32 n A 398.06 101.30 T
Q
0.0271 0.0107 0.0106 N 0.0107 0.0225 0.0042 0.0106 0.0042 0.0380 1
xx
dh2 0.74 7.53 cm x Q xx n dh5 dh6 3.14
Bilinmeyenlerin kesin değeri 0 H 2 H 2 dh2 H H 0 dh 5 5 5 H 6 H 60 dh6
H 2 1117.001 0.74 1117.0084 H 1047.644 7.53 1047.7193 5 H 6 1101.859 3.14 1101.8276
Düzeltmeler v A x Birim (cc: saniye) 0 0 vZ 23 2.8953 27.4 25.24 vZ 3.3037 3.3037 31.7 9.28 0 25 vZ 26 3.3943 29.9 16.70 0 3.3943 0.74 0 0 0 2.13 vZ 3 2 2.8953 7.53 vZ 35 0 4.0715 0 0 30.66 3.14 0 0 4.2426 0 13.36 vZ 36 vZ 3.3037 50.6 28.14 3.3037 0 5 2 0 4.0715 0 31.10 0.30 vZ 53
Dengeli ölçüler Z ˆ 23 Z 23 vZ 23 ˆ Z 25 Z 25 vZ 25 Z ˆ Z 2 6 vZ 26 ˆ 26 Z 32 Z 3 2 vZ 32 Z ˆ Z vZ 35 35 35 ˆ 36 Z 36 vZ 36 Z Z ˆ Z vZ 5 2 5 2 5 2 ˆ 53 Z 5 3 vZ 53 Z
ˆ i j Z i j vZ i j Z Z ˆ 23 102.92374 25.24 102.92121 ˆ Z 25 102.28561 9.28 102.28653 Z ˆ 100.51359 16.70 100.51192 2 6 Z ˆ 32 97.08010 2.13 97.07988 Z ˆ 98.71777 30.66 98.71470 35 Z ˆ 36 96.35727 13.36 96.35861 ˆ 97.70589 28.14 97.70308 Z 52 Z ˆ 53 101.27326 0.30 101.27323
Dengeli ölçülerinin denetimi Dengeli ölçülerden hesaplanan dengeli düşey açılar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan dengeli düşey açılar için aşağıdaki kontrol yapılır.
ˆ i j Z i j vZ i j Z
1 = Z ˆ i j arc cot H j H i K Si2 j i t S i j
102.92121 102.92121 102.28653 102.28653 100.51192 100.51192 97.07988 97.07988 98.71470 98.71470 96 . 35861 96 . 35861 97.70308 97.70308 101.27323 101.27323
Karesel Ortalama Hata T
m0
v v nu
2917.60 24.16 cc 83
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası Ha tası Q
0.0271 0.0107 0.0106 N 0.0107 0.0225 0.0042 0.0106 0.0042 0.0380 1
xx
m H 2 m0 q xx 24.16 0.0271 3.97
cm
m H 5 m0 q yy 24.16 0.0225 3.62 m H 6 m0 q zz 24.16 0.0380 4.71
Ölçülerin Ortalama Ortalama Hatası
m i
m0 pi
cc
Ağırlılar eşit alındığı için ölçülerin ortalama hatası karesel ortalama hataya eşittir.
Dengeli Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası 0.23 0.16 0.16 0.23 T Q ˆˆ A Q xx A 0.13 0.13 0.16 0.13
0.16 0.16 0.23 0.31 0.11 0.16 0.11 0.51 0.16 0.16 0.16 0.23 0.16 0.09 0.13 0.09 0.40 0.13 0.31 0.11 0.16 0.16 0.09 0.13
0.13 0.13 0.16 0.16 0.09 0.31 0.09 0.40 0.11 0.13 0.13 0.16 0.37 0.07 0.16 0.07 0.68 0.09 0.16 0.09 0.31 0.37 0.07 0.16
0.13 0.16 0.09 0.13 0.37 0.07 0.16 0.37
m Z ˆ m0 Q ˆ ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
m Z ˆ 11.51
m Z ˆ 14.74 cc
m Z ˆ 13.36
m Z ˆ 19.98
m Z ˆ 17.19
m Z ˆ 13.36
m Z ˆ 11.51
m Z ˆ 14.74
i
i i
1
5
2
6
3
7
4
8
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q Q Q ˆˆ vv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
1
Q p Q ˆ ˆ vv
p 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0.77 0.16 0.16 0.23 Q vv 0.13 0.13 0.16 0.13
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0.16 0.16 0.23 0.69 0.11 0.16 0.11 0.49 0.16 0.77 0.16 0.16 0.16 0.09 0.13 0.40 0.13 0.09 0.16 0.31 0.11 0.09 0.13 0.16
mvi m0 Q
v i vi
0.13 0.13 0.16 0.16 0.09 0.31 0.40 0.11 0.09 0.13 0.13 0.16 0.63 0.07 0.16 0.07 0.32 0.09 0.09 0.69 0.16 0.16 0.37 0.07
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv1 21.24
mv5 19.14 mm
mv 2 20.13
mv 6 13.58
mv3 16.97
mv7 20.13
mv 4 21.24
mv8 19.14
0.13 0.16 0.09 0.13 0.37 0.07 0.16 0.63
8.2. YÜKSEKLİK YÜKSEKLİK FARKLARINA FARKLARINA GÖRE DENGELEME Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır. Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim.
H 2 H 1 S1 2 cot Z 12 i t
H 2 H 1 S1 2 cot Z 1 2 i t
1 k 2 S 2 r 1 2
1 k 2 S 2 r 12
H 12 H 2 H 1
Bu yöntemde yukarıdaki eşitlikten hesaplanan yükseklik farkları ölçü olarak ele alınır ve problem nivelman ağlarının dengelenmesi gibi çözülür.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin Fonksiyonu H 12 v H 1 2 H 2 H 1 H 1 H 10 dh1
H 2 H 20 dh2
H 12 v H 1 2 H 20 dh2 H 10 dh1 v H 12 dh1 dh2 H 20 H 10 H 1 2
H 20 H 10 H 1 2
Düzeltme denklemleri (Fonksiyonel Model) v H 1 2 dh1 dh2
Stokastik Model: Yükseklik farkları ile çözüm yapılan Trigonometrik Nivelmanda ağırlıklar geçki uzunluğunun uzunluğu nun karesi ile ters orantılıdır.
pi
1 si ( km) 2
Örnek: Aşağıda verilmiş Trigonometrik Nivelman ağını yükseklik farklarına göre dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.
6
NN
H i Kesin Yükseklik
3
z
1016.253
3
Yaklaşık Yükseklikler
2 5 6
1117.001 1047.644 1101.859
2 x y
5 DN
BN
2
3 5 6 2 5 6 2 3
3 5
Düşey Açı Z i j
102.92374 102.28561 102.51359 97.08010 98.71777 96.35727 97.70589 101.27326
Alet Yüksekliği i
Reflektör Yüksekliği t
S i j
1.42 1.42 1.42 1.61 1.61 1.61 1.45 1.45
1.75 1.81 1.76 1.90 1.87 1.83 1.88 1.82
2194.193 1924.510 1875.414 2194.200 1562.956 1495.632 1924.500 1562.961
Ölçü sayısı
n=8
Bilinmeyen sayısı
u=3
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 8-3>0
Dengeleme Dengeleme var.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin Fonksiyonu H 23 v H 23 H 3 H 2
H 23 v H 23 H 3 x
H 25 v H 25 H 5 H 2
H 25 v H 25 y x
H 26 v H 26 H 6 H 2
H 26 v H 26 z x
H 32 v H 3 2 H 2 H 3
H 32 v H 32 x H 3
H 35 v H 35 H 5 H 3
H 35 v H 35 y H 3
H 36 v H 36 H 6 H 3
H 36 v H 36 z H 3
H 52 v H 5 2 H 2 H 5
H 52 v H 52 x y
H 53 v H 53 H 3 H 5
H 53 v H 53 H 3 y
x x0 dx
y y0 dy
z z0 dz
v H 23 H 3 x H 23
v H 23 H 3 x0 dx H 23
v H 25 y x H 25
v H 25 y0 dy x0 dx H 25
v H 26 z x H 26
v H 26 z0 dz x0 dx H 26
v H 3 2 x H 3 H 32
v H 32 x0 dx H 3 H 32
v H 35 y H 3 H 35
v H 35 y0 dy H 3 H 35
v H 36 z H 3 H 36
v H 36 z0 dz H 3 H 36
v H 52 x y H 5 2
v H 52 x0 dx y0 dy H 52
v H 53 H 3 y H 53
v H 53 H 3 y0 dy H 53
v H 23 dx H 3 x0 H 23
1 H 3 x0 H 23
v H 25 dx dy y0 x0 H 25
2 y0 x0 H 25
v H 26 dx dz z0 x0 H 26
3 z 0 x0 H 26
v H 32 dx x0 H 3 H 32
4 x0 H 3 H 32
v H 35 dy y0 H 3 H 35
5 y0 H 3 H 35
v H 36 dz z0 H 3 H 36
6 z 0 H 3 H 36
v H 52 dx dy x0 y0 H 52
7 x0 y0 H 52
v H 53 dy H 3 y0 H 53
8 H 3 y0 H 53
Yükseklik farkları H ij S12 cot Z 12 i t
K
1 k 1 0.13 0.0000000683 2 r 2 63700000
DN
BN
S i j
Z i j
2
3 5 6 2 5 6 2 3
2194.193 1924.510 1875.414 2194.200 1562.956 1495.632 1924.500 1562.961
102.92374 102.28561 102.51359 97.08010 98.71777 96.35727 97.70589 101.27326
3 5
1 k 2 S yardımıyla hesaplanır. 2 r 12
S1 2 cot Z 1 2
-100.841 -69.124 -15.130 100.709 31.484 85.673 69.381 -31.264
i
t
K S i j
H j0 H i0
H i j
(cm)
1.42 1.42 1.42 1.61 1.61 1.61 1.45 1.45
1.75 1.81 1.76 1.90 1.87 1.83 1.88 1.82
0.3288 0 .3288 0.2529 0.2402 0.3288 0.1668 0.1528 0.2529 0.1668
-100.748 -69.357 -15.142 100.748 31.391 85.606 69.357 -31.391
-100.843 -69.261 -15.230 100.748 31.391 31. 391 85.606 85. 606 69.204 -31.467
9.4 -9.6 8.8 0 0 0 15.3 7.6
2
v H 23 dx 9.4
v H 23 1 dx 0 dy 0 dz 9.4
v H 25 dx dy 9.6
v H 25 1 dx 1 dy 0 dz 9.6
v H 26 dx dz 8.8
v H 26 1 dx 0 dy 1 dz 8.8
v H 32 dx 0.0
v H 32 1 dx 0 dy 0 dz 0.0
v H 35 dy 0.0
v H 35 0 dx 1 dy 0 dz 0.0
v H 36 dz 0.0
v H 36 0 dx 0 dy 1 dz 0.0
v H 52 dx dy 15.3
v H 52 1 dx 1 dy 0 dz 15.3
v H 53 dy 7.6
v H 53 0 dx 1 dy 0 dz 7.6
Yukarıdaki denklemleri v A x formatında yazalım. v H 2 3 1 0 v H 1 1 2 5 v H 2 6 1 0 v H 3 2 1 0 v H 35 0 1 v H 3 6 0 0 v H 1 1 5 2 v H 0 1 5 3
0 9.5 9.6 0 8.8 1 dx 0 0 dy 0 0 dz 1 0 15.3 0 0 7 . 6
5 2 T 4 N A A 2 1 0
Q
xx
6.66 T n A 32.52 8.80
1 0 2
0.2857 0.1429 0.1429 1 N 0.1429 0.3214 0.0714 0.1429 0.0714 0.5714
dx 1.49 8.87 cm x Q n dy xx dz 3.65
Bilinmeyenlerin kesin değeri x x0 dx y y dy 0 z z0 dz
x 1117.001 1.49 1117.0159 y 1047.644 8.87 1047.7327 z 1101.859 3.65 1101.8225
Düzeltmeler v A x v H 2 3 1 0 v H 1 1 2 5 v H 2 6 1 0 v H 3 2 1 0 v H 35 0 1 0 v H 3 6 0 v H 1 1 5 2 v H 5 3 0 1
0 9.5 7.97 9.6 2.22 0 8.8 3.66 1 1.49 0 0 1.49 8.87 0 0 8.87 3.65 1 0 3 . 66 0 15.3 7.93 0 7.6 1.27
Dengeli ölçüler
ˆ i j H i j vH i j H
ˆ H 2 3 ˆ H 2 5 ˆ H 2 6 ˆ 3 2 H H ˆ 3 5 ˆ 3 6 H ˆ H 5 2 ˆ 5 3 H
H 2 3 v H 23 H v H 2 5 2 5 H 26 v H 26 H 3 2 v H 3 2 H 3 5 v H 35 H 3 6 v H 36 H v H 5 2 52 H 53 v H 53
ˆ 2 3 100.843 7.97 100.763 H ˆ H 2 5 69.261 2.22 69.283 H ˆ 15.230 3.66 15.193 2 6 ˆ 3 2 100.748 1.49 100.763 H H ˆ 3 5 31.391 8.87 31.480 ˆ 3 6 85.606 3.66 85.569 H ˆ 69.204 7.93 69.283 H 5 2 ˆ 5 3 31.467 1.27 31.480 H
Dengeli ölçülerinin denetimi Dengeli ölçülerden hesaplanan dengeli düşey açılar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan dengeli düşey açılar için aşağıdaki kontrol yapılır.
ˆ i j H i j v H i j H ˆ j H ˆi H 100.763 100.763 69.283 69.283 15.193 15.193 100.763 100.763 31.480 31.480 85.569 85.569 69.283 69.283 31.480 31.480
Karesel Ortalama Hata T
m0
v v nu
240.58 6.94 cm 83
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
Q
xx
0.2857 0.1429 0.1429 N 1 0.1429 0.3214 0.0714 0.1429 0.0714 0.5714
m x m0 q xx 6.94 0.2857 3.71
cm
m y m0 q yy 6.94 0.3214 3.93 m z m0 q zz 6.94 0.5714 5.24
Ölçülerin Ortalama Hatası
m i
m0 pi
cm
Ağırlılar eşit alındığı için ölçülerin ortalama hatası karesel ortalama hataya eşittir.
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası 0.29 0.14 0.14 0.29 T Q ˆˆ A Q xx A 0.14 0.14 0.14 0.14
0.14 0.14 0.32 0.07 0.07 0.57 0.14 0.14 0.18 0.07 0.07 0.43 0.32 0.07 0.18 0.07
0.29 0.14 0.14 0.29 0.14 0.14 0.14 0.14
0.14 0.14 0.18 0.07 0.07 0.43 0.14 0.14 0.32 0.07 0.07 0.57 0.18 0.07 0.32 0.07
0.14 0.32 0.07 0.14 0.18 0.07 0.32 0.18
m H ˆ
m0 Q ˆ ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları
m H ˆ
3.71
m H ˆ
3.93 cm
m H ˆ
3.93
m H ˆ
5.24
m H ˆ
5.24
m H ˆ
3.93
m H ˆ
3.71
m H ˆ
3.93
i j
2 3
2 5
2 6
3 2
0.14 0.18 0.07 0.14 0.32 0.07 0.18 0.32
i i
3 5
3 6
5 2
5 3
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q Q Q ˆˆ vv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
1
Q p Q ˆ ˆ vv
p 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0.71 0.14 0.14 0.29 Q vv 0.14 0.14 0.14 0.14
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0.14 0.14 0.68 0.07 0.07 0.43 0.14 0.14 0.18 0.07 0.43 0.07 0.32 0.07 0.07 0.18
0 0 0 0 0 0 0 1
0.29 0.14 0.14 0.71 0.14 0.14 0.14 0.14
0.14 0.14 0.18 0.07 0.43 0.07 0.14 0.14 0.68 0.07 0.07 0.43 0.07 0.18 0.32 0.07
0.14 0.32 0.07 0.14 0.18 0.07 0.68 0.18
0.14 0.18 0.07 0.14 0.32 0.07 0.18 0.68
mvi m0 Q
v i vi
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv1 5.86
mv5 5.71 cm
mv 2 5.71
mv 6 4.54
mv3 4.54
mv7 5.71
mv 4 5.86
mv8 5.71
9. GPS AĞLARININ DENGELENMESİ GPS ağları 3 boyutlu konum ağlarıdır. Bu ağların koordinat sistemi yer merkezlidir (Jeosantrik). Bu ağlarda ölçüler GPS alıcıları ile yapılır . Bir GPS ağında bir noktanın X, Y, Z Kartezyen koordinatlarını bilmek o ağdaki diğer tüm noktalara koordinat taşımak için yeterlidir. GPS ağlarında yüksek doğruluk elde etmek için bağıl konum belirlenir (bazlar belirlenir). Bir bazı belirlemek demek o bazdaki X , Y ve Z koordinat koordinat farklarını belirlemek demektir.
Z P2 ( X 2 ,Y 2 , Z 2 )
Z 1 2 Z 2 Z 1
( X 1 , Y 1 , Z 1 ) P1
Y X 12 X 2 X 1 Y 12 Y 2 Y 1
X
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki ölçülen baza ait koordinat farklarıdır farklar ıdır . Fonksiyonel modeli koordinat farklar ı için yazalım ve düzenleyelim.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu X 12 Vx12 X 2 X 1
Vx12 X 2 X 1 X 12
Y 12 Vy12 Y 2 Y 1
Vy12 Y 2 Y 1 Y 12
Z 12 Vz12 Z 2 Z 1
Vz12 Z 2 Z 1 Z 12
Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aşağıdaki şekilde düzenleyelim. X X 0 dX
Y Y 0 dY
Z Z 0 dZ
Burada X 0 , Y 0 ve Z 0 yaklaşık yaklaşık değerler ; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim. 0 0 Vx12 X 2 dX 2 X 1 dX 1 X 12
0 0 Vx12 dX 1 dX 2 X 2 X 1 X 12
Vy12 Y 20 dY 2 Y 10 dY 1 Y 12
Vy12 dY 1 dY 2 Y 20 Y 10 Y 12
Vz12 Z 20 dZ 2 Z 10 dZ 1 Z 12
Vz12 dZ 1 dZ 2 Z 20 Z 10 Z 12
Denklemleri Denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim. düzenleyelim. Vx12 1 dX 1 0 dY 1 0 dZ 1 1 dX 2 0 dY 2 0 dZ 2 X 20 X 10 X 12 0 0 Vy12 0 dX 1 1 dY 1 0 dZ 1 0 dX 2 1 dY 2 0 dZ 2 Y 2 Y 1 Y 12
Vx12 0 dX 1 0 dY 1 1 dZ 1 0 dX 2 0 dY 2 1 dZ 2 Z 20 Z 10 Z 12
1 X 20 X 10 X 12 2 Y 20 Y 10 Y 12 3 Z 20 Z 10 Z 12
Olmak üzere yukarıdaki yukarıdaki denklemleri v A x formatında yazalım. dX 1 dY 1 Vx12 1 0 0 1 0 0 1 dZ 1 Vy 0 1 0 0 1 0 1 2 dX 2 2 Vz12 0 0 1 0 0 1 dY 2 3 dZ 2
Stokastik Model: Bir GPS ağında belirlenen bir baza ait varyans -kovaryans matrisinin duyarlıkları farklı ve korelâsyonludur.
K 12
K 12
m2 X 12 m X 12 Y 12 m X Z 12 12
m X 12 Z 1 2
m X 1 2Y 1 2
2
mY 1 2
mY 12 Z 1 2 m Z 1 2 2
mY 12 Z 1 2
m2 X 12 r X 12 Y 12 m X 1 2 mY 12 r X Z m X m Z 12 12 1 2 1 2
K 12 m02 Q12
r X 1 2 Z 12 m X 12 m Z 1 2
r X 1 2Y 1 2 m X 1 2 mY 1 2
2
r Y 12 Z 12 mY 12 m Z 1 2
mY 1 2
m Z 1 2 2
r Y 1 2 Z 1 2 mY 1 2 m Z 1 2
Q12
K 12
p12 Q112
m02
Ağırlık matrisi
Örnek: Aşağıda verilmiş GPS ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz. dengeleyiniz . Birim ölçünün ortalama hatasını m0 2 cm olarak alınız. alınız.
NN 4 7 11
X (m) Y (m) Z (m) Kesin Koordinatlar 3710709.539 3084028.627 4157648.644 3710479.640 3084171.030 4157677.581 Yaklaşık Koordinatlar 3710442.600 3084257.800 4157623.100
DN
DN
X (m)
Y (m)
Z (m)
7
4
229.897
-142.404
11
4
266.878
-229.233
mY (cm) 2.4
m Z (cm) 1.3
r X Y
0.2 0.2
-28.937
m X (cm) 1.2
r X Z
0.4
25.473
2.3
1.5
1.0
r Y Z
0.3
Ölçü sayısı
n = 2 baz x 3 (koordinat farkı) = 6
Bilinmeyen sayısı
u = 3 (11 numaralı noktanın koordinatları)
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 6-3>0
Dengeleme Dengeleme var.
X 74 Vx74 X 4 X 7
Vx74 X 4 X 7 X 74
Y 74 Vy74 Y 4 Y 7
Vy74 Y 4 Y 7 Y 74
Z 74 Vz74 Z 4 Z 7
Vz74 Z 4 Z 7 Z 74
X 114 Vx114 X 4 X 11
Vx114 X 4 X 11 X 114
Y 114 Vy114 Y 4 Y 11
Vy114 Y 4 Y 11 Y 114
Z 114 Vz114 Z 4 Z 11
Vz114 Z 4 Z 11 Z 114
Yaklaşık değerler 0 X 4 X 4 dX 4
0 Y 4 Y 4 dY 4
0 Z 4 Z 4 dZ 4
X 7 X 70 dX 7
Y 7 Y 70 dY 7
Z 7 Z 70 dZ 7
X 11 X 110 dX 11
Y 11 Y 110 dY 11
Z 11 Z 110 dZ 11
Yaklaşık değerleri yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim. Vx74 X 40 dX 4 X 70 dX 7 X 74
Vx74 dX 4 dX 7 X 40 X 70 X 74
Vy74 Y 40 dY 4 Y 70 dY 7 Y 74
Vy7 4 dY 4 dY 7 Y 40 Y 70 Y 74
Vz74 Z 40 dZ 4 Z 70 dZ 7 Z 74
Vz74 dZ 4 dZ 7 Z 40 Z 70 Z 74
0 0 Vx114 X 4 dX 4 X 11 dX 11 X 114
0 0 Vx114 dX 4 dX 11 X 4 X 11 X 114
Vy114 Y 40 dY 4 Y 110 dY 11 Y 114
Vy114 dY 4 dY 11 Y 40 Y 110 Y 114
0 dZ 11 Z 114 Vz114 Z 40 dZ 4 Z 11
Vz114 dZ 4 dZ 11 Z 40 Z 110 Z 114
1 X 40 X 70 X 74 0.2 cm 2 Y 40 Y 70 Y 74 0.1 3 Z 40 Z 70 Z 74 0.0 4 X 40 X 110 X 114 6.1 5 Y 40 Y 110 Y 114 6.0 6 Z 40 Z 110 Z 114 7.1
4 ve 7 numaralı noktalar sabit noktalardır. Bu B u noktalara herhangi bir düzeltme getirilmez. Bu noktalara ait dX 4 , dY 4 , dZ 4 ve dX 7 , dY 7 , dZ 7 bilinmeyenlerini düzeltme denklemlerinden atalım atalım ve düzenleyelim. Vx74 0.2
Vx74 0 dX 11 0 dY 11 0 dZ 11 0.2
Vy74 0.1
Vy74 0 dX 11 0 dY 11 0 dZ 11 0.1
Vz74 0.0
Vz74 0 dX 11 0 dY 11 0 dZ 11 0.0
Vx114 dX 11 6.1
Vx114 dX 11 0 dY 11 0 dZ 11 6.1
Vy114 dY 11 6.0
Vy114 0 dX 11 dY 11 0 dZ 11 6.0
Vz114 dZ 11 7.1
Vz114 0 dX 11 0 dY 11 dZ 11 7.1
Yukarıdaki denklemleri v A x formatında (Fonksiyonel Model ) yazalım. Vx74 0 0 0 0.2 Vy 0 0 0 7 4 dX 11 0.1 Vz74 0 0 0 0.1 dY 11 Vx114 1 0 0 dZ 6.1 Vy114 0 1 0 11 6.0 7.1 Vz114 0 0 1
Stokastik Model K 74
m2 X 7 4 r X 7 4 Y 7 4 m X 7 4 mY 7 4 r X Z m X m Z 7 4 7 4 7 4 7 4
r X 7 4Y 7 4 m X 7 4 mY 7 4 2
mY 7 4 r Y 7 4 Z 7 4 mY 7 4 m Z 7 4
K 74
1.2 2 0.2 1.2 2.4 0.4 1.2 1.3 0.2 1.2 2.4 2.4 2 0.3 2.4 1.3 0.4 1.2 1.3 0.3 2.4 1.3 1.32
K 74
1.44 0.58 0.62 0.58 5.76 0.94 0.62 0.94 1.69
r X 7 4 Z 7 4 m X 7 4 m Z 7 4
r Y 7 4 Z 7 4 mY 7 4 m Z 7 4 m Z 7 4 2
K 114
5.29 0.69 0.92 0.69 2.25 0.45 0.92 0.45 1.00
0 0 0 1.44 0.58 0.62 0.58 5.76 0.94 0 0 0 0.62 0.94 1.69 0 0 0 K 0 0 5.29 0.69 0.92 0 0 0 0 0.69 2.25 0.45 0 0 0.92 0.45 1.00 0
Baz sayısının çok fazla olduğu o lduğu GPS ağlarında bu şekilde oluşturulan stokastik modelin tersini almak bilgisayar kullanarak bile çok zordur. Bu nedenle bazları n kendi içerisinde tersini alarak ağırlıklar hesaplanır. Köşegen bir blok matrisin tersi, blokların ayrı ayrı terslerine ters lerine eşittir. Aşağıdaki formüllerden yararlanarak her baz için ağırlıklar hesaplanır.
K 74 m02 Q74
Q74
K 74 m02
p74 Q714
Q74
1.44 0.58 0.62 0.36 0.14 0.16 0.58 5.76 0.94 : 2 2 0.14 1.44 0.23 0.62 0.94 1.69 0.16 0.23 0.42
P74
3.33 0.15 1.15 0.15 0.77 0.37 1.15 0.37 3.00
P114
0.91 0.12 0.78 0.12 1.97 0.77 0.78 0.77 5.07
Ağırlık matrisi
0 0 0 3.33 0.15 1.15 0.15 0.77 0.37 0 0 0 1.15 0.37 3.00 0 0 0 P 0 0 0 0.91 0.12 0.78 0 0 0 0.12 1.97 0.77 0 0 0 0.78 0.77 5.07
0.91 0.12 0.78 T N A p A 0.12 1.97 0.77 0.78 0.77 5.07
0.74 5.58 n A p 26.57 T
1.32 0.17 0.23 Q N 0.17 0.56 0.11 xx 0.23 0.11 0.25 1
dx11 6.1 x Q xx n dy11 6.0 dz11 7.1
cm
Bilinmeyenlerin kesin değeri 0 X 11 X 11 dX 11 Y Y 0 dY 11 11 11 Z 11 Z 110 dZ 11
dX 11 3710442.600 6.1 3710442.661 dY 3084257.800 6.0 3084257.860 11 dZ 11 4157623.100 7.1 4157623.171
Düzeltmeler v A x Vx74 0 0 0 0.2 0.2 Vy 0 0 0 7 4 6.1 0.1 0.1 Vz74 0 0 0 0.1 0.0 6.0 Vx114 1 0 0 7.1 6.1 0.0 Vy114 0 1 0 6.0 0.0 Vz114 0 0 1 7.1 0.0
Dengeli ölçüler ˆ 7 4 X 7 4 Vx74 X ˆ Y 7 4 Y 74 Vy74 Z ˆ Z 74 Vz74 7 4 ˆ 114 X 114 Vx11 4 X Y ˆ Y Vy 114 114 114 Z ˆ11 4 Z 114 Vz114
ˆ 7 4 229.897 0.2 229.899 X ˆ Y 7 4 142.404 0.1 142.403 ˆ 28.937 0.0 28.937 Z 7 4 ˆ 114 X 266.878 0.0 266.878 Y ˆ 229.233 0.0 229.233 114 Z ˆ114 25.473 0.0 25.473
Dengeli ölçülerinin denetimi X 7 4 Vx7 4 X 4 X 7 Y Vy Y Y 7 4 7 4 4 7 Z 74 Vz74 Z 4 Z 7 X 11 4 Vx114 X 4 X 11 Y 11 4 Vy114 Y 4 Y 11 Z 114 Vz11 4 Z 4 Z 11
229.899 229.899 142.403 142.403 28.937 28.937 266.878 266.878 229.233 229.233 25.473 25.473
Karesel Ortalama Hata T
m0
v p v nu
0.14 0.21 cm 63
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası 1.32 0.17 0.23 Q N 0.17 0.56 0.11 xx 0.23 0.11 0.25 1
m x m0 q xx 0.21 1.32 0.24
cm
m y m0 q yy 0.21 0.56 0.16 m z m0 q zz 0.21 0.25 0.11
Ölçülerin Ortalama Hatası m X 7 4 0.12
m X 11 4 0.22
mY 7 4 0.24
mY 11 4 0.15
m Z 7 4 0.12
m Z 114 0.09
m i
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası 0 0 0 T Q ˆ ˆ A Q xx A 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.32 0.17 0.23 0 0.17 0.56 0.11 0 0.23 0.11 0.25
m0 pi
cm
m X ˆ
m0 Q ˆ ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama or talama hataları
m X ˆ
0
m X ˆ
0.24
mY ˆ
0
mY ˆ
0.16
m Z ˆ
0
m Z ˆ
0.11
i j
7 4
7 4
74
i i
11 4
114
11 4
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q Q Q ˆˆ vv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
1
Q p Q ˆ ˆ vv
0 0 0 0.36 0.14 0.16 0.14 1.44 0.23 0 0 0 0.16 0.23 0.42 0 0 0 p 1 0 0 1.32 0.17 0.23 0 0 0 0 0.17 0.56 0.11 0 0 0.23 0.11 0.25 0
0.36 0.14 0.16 0.14 1.44 0.23 0.16 0.23 0.42 Q vv 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
mvi j m0 Q vv
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv7 4 0.13
mv11 4 0 cm
mv7 4 0.25
mv11 4 0
mv7 4 0.14
mv11 4 0
i i
Örnek: Şekildeki GPS nirengi ağında; ağında ; a) 101-102 bazına 101-102 bazına ait düzeltme denklemlerini v A x formatında yazınız. b) Birim ölçünün ortalama hatasını m0 2 cm alarak baz vektörüne ilişkin varyansvaryanskovaryans kovaryans matrisini oluşturunuz o luşturunuz.. r X Y r X Z r Y Z 0.5
P301
P302
NN 101 102
P101
P102
X (m) Y (m) Z (m) Yaklaşık Koordinatlar 3710479.640 3084171.030 4157677.581 3710709.539 3084028.627 4157648.644
DN 101 DN
DN 102 DN
101
102
X (m) 229.897 m X (cm) 2
Y (m) -142.404 mY (cm) 4
Z (m) -28.937 m Z (cm) 3
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin Fonksiyonu X 101102 Vx101102 X 102 X 101
Vx101102 X 102 X 101 X 101102
Y 101102 Vy101102 Y 102 Y 101
Vy101102 Y 102 Y 101 Y 101102
Z 101102 Vz101102 Z 102 Z 101
Vz101102 Z 102 Z 101 Z 101102
Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aşağıdaki şekilde düzenleyelim. X X 0 dX
Y Y 0 dY
Z Z 0 dZ
Burada X 0 , Y 0 ve Z 0 yaklaşık yaklaşık değerler ; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim. 0 0 Vx101102 X 102 dX 102 X 101 dX 101 X 101102 0 0 Vy101102 Y 102 dY 102 Y 101 dY 101 Y 101102 0 0 Vz101102 Z 102 dZ 102 Z 101 dZ 101 Z 101102
0 0 Vx101102 dX 101 dX 102 X 102 X 101 X 101102 0 0 Vy101102 dY 101 dY 102 Y 102 Y 101 Y 101102 0 0 Vz101102 dZ 101 dZ 102 Z 102 Z 101 Z 101102
Denklemleri Denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim. düzenleyelim. 0 0 Vx101102 1 dX 101 0 dY 101 0 dZ 101 1 dX 102 0 dY 102 0 dZ 102 X 102 X 101 X 101102 0 0 Y 101 Y 101102 Vy101102 0 dX 101 1 dY 101 0 dZ 101 0 dX 102 1 dY 102 0 dZ 102 Y 102 0 0 Vx101102 0 dX 101 0 dY 101 1 dZ 101 0 dX 102 0 dY 102 1 dZ 102 Z 102 Z 101 Z 101102
0 0 1 X 102 X 101 X 101102 709.539 479.640 229.897 0.2 0 0 2 Y 102 Y 101 Y 101102 4028 .627 4171 .030 (142.404) 0.1 0 0 3 Z 102 Z 101 Z 101102 648.644 677.581 (28.937) 0.0
Olmak üzere yukarıdaki denklemleri v A x formatında yazalım. dX 101 dY 101 Vx101102 1 0 0 1 0 0 0.2 dZ 101 Vy 0 1 0 0 1 0 0.1 101 102 dX Vz101102 0 0 1 0 0 1 102 0.0 dY 102 dZ 102
K 12
m2 X 101102
K 101102
r X 101102Y 101102 m X 101102 mY 101102 2
mY 101102
2 2 0.5 2 4 0.5 2 3 0.5 2 4 4 2 0.5 4 3 0.5 2 3 0.5 4 3 32
r X 101102 Z 101102 m X 101102 m Z 101102
r Y 101102 Z 101102 mY 101102 m Z 101102 m Z 101102 2
K 101102
4 4 3 4 16 6 3 6 9
10. GPS NİVELMANI Günümüzde yükseklik belirlemede ağırlıklı olarak nivelman ölçüleri kullanılmaktadır. Ancak
nivelman ölçülerini yapmak zor ve zahmetli bir iştir. GPS nivelman yöntemi ekonomik ve zaman kazandıran bir yöntem olması nedeniyle nivelman ölçül erine alternatif bir konuma gelmiştir.
Haritacılık uygulamalarında amaca ulaşma adına birçok yükseklik tanımı yapılmıştır. Uygulamada geometrik anlamı nedeniyle Ortometrik Yükseklik (H) tercih edilmektedir. Ortometrik yükseklik ortalama deniz yüzeyi i le çakışan
Jeoid’ten yüzeydeki noktaya olan
düşey mesafedir. GPS ten elde edilen yükseklikler ( h) ise referans Elipsoidinden yüzeydeki noktaya olan mesafedir. Bu yükseklik geometrik olarak bize bir anlam ifade etmez. Ancak biz GPS ten bu yükseklik bilgisin i alırız. İki yükseklik sistemi arasındaki geoid ondülasyonu ( N)
(dalgalanma) kadar bir fark vardır. İki sistem arasındaki bu fark belirlenebilirse elipsoid yükseklikleri yükseklikleri ortometrik ort ometrik yüksekliklere dönüştürülebilir. dönüştürülebilir. Bu bağlamda b elirli bir alanda yeterli sayıda ortometrik yüksekliği bilinen nokta varsa bu noktalarda GPS ten elde edilen elipsoid yükseklikleri bir model yardımıyla ortometrik yüksekliklere dönüştürülebilir. Yukarıdaki
şekil bu dönüşüm ilişkisini açıkça göstermektedir. İki yükseklik sistemi arasındaki dönüşüm için birçok enterpolasyon yöntemi tanımlanmıştır. Polinomlarla enterpolasyon enterpolasyon en çok tercih edilenidir. Genelde çift değişkenli analitik bir yüzey
fonksiyonu bu iş için yeterli görülmektedir.
n
. dereceden çift değişkenli ( x, y : bağımsız değişkenler) jeoid ondülasyonu için bir
polinomun genel ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir.
N
a
ij
xi y j
Derece
i
j
0
0
0
1
0
0
1
2
0
1
1
0
2
3
0
2
1
1
2
0
3
1
2
3
Bu fonksiyonu dereceye göre açalım.
a N a N a N a N a N a N a N a N a N a N a N
ij
xi y j
00
x 0 y 0
N a00
10
x1 y 0
N a10 x
01
x0 y1
N a01 y
20
x 2 y 0
N a20 x 2
11
x1 y1
N a11 x y
02
x 0 y 2
N a02 y 2
30
x 3 y 0
N a30 x 3
21
x 2 y1
N a21 x 2 y
12
x1 y 2
N a12 x y 2
03
x 0 y 3
N a03 y 3
Analitik Yüzey Fonksiyonunu
N
2. Derece için yazalım.
N a00 a10 x a01 y a20 x 2 a11 x y a02 y 2
Yukarıdaki Analitik Yüzey Fonksiyonunu 2. derece bir polinomdur. Bu polinom açılımında a00 , a10 , a01, a20 , a11 , a02 polinom katsayılarıdır. Bu fonksiyonda f ( x, y ) 0 şartını sağlayan x
ve y değişkeninin değişkeninin değerinin bulunması polinomun po linomun çözümü anlamına gelir.
Yukarıdaki fonksiyonu u tane dayanak noktası için yazalım ( i 1,2,3, , u ) N i a00 a10 xi a01 yi a20 xi2 a11 xi yi a02 yi2
N 1 a00 a10 x1 a01 y1 a20 x12 a11 x1 y1 a02 y12 N 2 a00 a10 x2 a01 y2 a20 x22 a11 x2 y2 a02 y22 N 3 a00 a10 x3 a01 y3 a20 x32 a11 x3 y3 a02 y32 N 4 a00 a10 x4 a01 y4 a20 x42 a11 x4 y4 a02 y42
Haritacılıkta kullanılan koordinatlar büyük değerlerdir. Koordinatlar bu halleriyle matris hesabında kullanılamaz. kullanılamaz. Bunun yerine koordinatların normlandırılmış değerleri kullanılır.
x
x1 x2 x3 xu
y
y1 y2 y3 yu
u
u
ortalama x koordinatı
ortalama y koordinatı
koordinatlar Normlandırılmış (küçültülmüş) koordinatlar
xi
x1 y1
x xi
1000
x x1
1000 y y1
1000
yi
x2 y2
y yi
1000
x x2
1000 y y2
1000
x3 y3
x x3
1000 y y3
1000
N 1 a00 a10 x1 a01 y1 a20 x12 a11 x1 y1 a02 y12 N 2 a00 a10 x2 a01 y2 a20 x22 a11 x2 y2 a02 y22 N 3 a00 a10 x3 a01 y3 a20 x32 a11 x3 y3 a02 y32 N 4 a00 a10 x4 a01 y4 a20 x42 a11 x4 y4 a02 y42
x4 y4
x x4
1000 y y4
1000
Bu denklem sistemini düzenlersek
a00 a10 x1 a01 y1 a20 x12 a11 x1 y1 a02 y1 2 N 1 0 a00 a10 x2 a01 y2 a20 x22 a11 x2 y2 a02 y22 N 2 0 a00 a10 x3 a01 y3 a20 x32 a11 x3 y3 a02 y3 2 N 3 0 a00 a10 x4 a01 y4 a20 x42 a11 x4 y4 a02 y42 N 4 0
Denklem sisteminin matris gösterimi A x 0 şeklinde
1 1 1 1
Bu
x1
y1
x1
x2
y2
x2
x2 y2
x3
y3
x3
x3 y3
x4
y4
x4
x4 y4
2 2 2 2
denklem
x1 y1
lineer
a00 2 y1 N 1 a10 2 y2 N 2 a01 2 y3 N 3 0 a20 2 N y4 a11 4 a02
bir
denklem
sistemidir.
Lineer
a00 a10 xi a01 yi a20 xi2 a11 xi yi a02 yi2 N i 0
denklem
sistemi
şartını sağlayan
çözülerek x
ve
y
değişkeninin değişkeninin değerinin bulunması polinomun çözümü anlamına gelir.
Örnek: Aşağıdaki tabloda noktaların koordinatları , ortometrik yükseklikleri ve jeoid yükseklikleri yükseklikleri verilmektedir. N a00 a10 x a01 y şeklindeki
P5 noktasının ortometrik yüksekliğini hesaplayınız. NN P1 P2 P3 P4
P5
Sağa y
9121.569 4139.007 1965.772 5985.901 6321.854
Yukarı
h (m)
H (m)
x 1060.477 1223.48 1188.61 749.228 986.84 986. 84 952.23 7055.988 929.37 894.80 9645.566 888.53 853.82 4938.485 1008.75 ?
N=h-H (m) 34.87 34.61 34.57 34.71
?
1. derece polinom yardımıyla
Çözüm: Bu problemde verilen 4 nokta için N a00 a10 x a01 y eşitliği yazılır. Ölçü sayısı
n=4
Bilinmeyen sayısı
u=3
Serbestlik Serbest lik Derecesi
f = n-u = 4-3>0
Dengeleme var.
N 1 a00 a10 x1 a01 y1 N 2 a00 a10 x2 a01 y2 N 3 a00 a10 x3 a01 y3 N 4 a00 a10 x4 a01 y4
x y
x1 x 2 x3 x 4
4 y1 y 2 y3 y 4
x1 x3 y1 y 3
4
x x1
1000 x x3
1000 y y1
1000 y y 3
1000
4627.815
ortalama x koordinatı
5303.062
3.5673
x2
2.4282
x4
3.8185
y 2
3.3373
y 4
ortalama y koordinatı
x x 2
1000 x x 4
1000 y y 2
1000 y y 4
1000
3.8786 5.0178 1.1641 0.6828
N 1 a00 a10 x1 a01 y1
34.87 a 00 a10 3.5673 a 01 ( 3.8185)
N 2 a00 a10 x2 a01 y2
34.61 a00 a10 3.8786 a01 1.1641
N 3 a00 a10 x3 a01 y3
34.57 a 00 a10 ( 2.4282) a01 3.3373
N 4 a00 a10 x4 a01 y4
34.71 a00 a10 ( 5.0178) a 01 ( 0.6828)
a00 3.5673 a10 3.8185 a01 34.87 0 a00 3.8786 a10 1.1641 a 01 34.61 0 a00 2.4282 a10 3.3373 a01 34.57 0 a00 5.0178 a10 0.6828 a 01 34.71 0
Denklem sisteminin matris gösterimi A x 0 şeklinde 3.5673 3.8185 1 34.87 a 1 00 34.61 3.8786 1.1641 a10 0 1 2.4282 3.3373 34.57 a 01 1 5.0178 0.6828 34.71
0 0 4 N AT A 0 58.8432 13.7842 0 13.7842 27.5398
138.76 0.52 n AT 1.19
0 0 0.25 Q xx N 0 0.0193 0.0096 0 0.0096 0.0411 1
a00 34.69 x N 1 n a10 0.0014 a01 0.0441 v A x 0
3.5673 3.8185 v1 1 34.87 0.02 34 . 69 v 1 3.8786 1.1641 2 0.0014 34.61 0.02 34.57 0.02 v3 1 2.4282 3.3373 0.0441 v 1 5 . 0178 0 . 6828 4 34.71 0.02
Yeni noktanın yüksekliği yüksekliği
x5
x x5
1000
y5
0.3107
y y5
1000
1.0188
N 5 a00 a10 x5 a01 y5
a00 N 5 1 x5 y5 a10 a01
34.69 N 5 1 0.3107 1.0188 0.0014 0.0441
N 5 34.74
H5 = h5 – N5 = 1008.75 – 34.74 = 974.01 m
Karesel Ortalama Hata T
m0
v v n u
0.0017 43
0.041 m
Açıklama: Bu değer yönetmeliğe göre 5 cm yi geçemez. Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası 0 0 0.25 0 0.0193 0.0096 1 Q xx N 0 0.0096 0.0411
ma00 m0 qxx 0.041 0.2500 0.020 m ma10 m0 q yy 0.041 0.0193 0.006
ma01 m0 q zz 0.041 0.0411 0.008
11. SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ Doğrultu ağlarında doğrultular, kenar ağlarında uzunluklar, doğrultu -kenar ağlarında hem doğrultular ve hem de uzunluklar, nivelman ağlarında yükseklik farkları, trigonometrik nivelman ağlarında düşey açılar ya da yüksekli k farkları (düşey açılardan hesaplanır) , GPS ağlarında üç boyutlu koordinat farkları (kod, faz ve zaman ölçülerinden) ölçülür. Bu ölçüler ilgili jeodezik ağın belirli bir koordinat sisteminde yeri, yönü ve ölçeği konusunda konusunda hiçbir bilgi içermezler. Bu ölçüler yardımıyla oluşturulan jeodezik ağlara SERBEST ağlar denir.
Bir jeodezik ağın tanımlı bir koordinat sistemindeki yeri, ölçeği ve yönü konusunda bilgi veren parametrelere DATUM parametreleri denir.
a) Bir nivelman veya trigonometrik nivelman ağının bir k oordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının yükseklik koordinatı o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir.
b) Bir doğrultu ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az iki noktasının koordinatları bilinmelidir.
c) Bir doğrultu-kenar ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının koordinatları bilinmelidir ve en az bir doğrultusunun yönü bilinmelidir.
d) Bir GPS ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının X, Y ve Z koordinatları o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir . Ağın Türü
d
Datum parametre Türü
Ağın Tanımlayıcıları
Nivelman
1
1 öteleme
1 noktanın yüksekliği
Trigonometrik Trigonometri k
1
1 öteleme
1 noktanın yüksekliği
Doğrultu
4
2 öteleme 1 dönüklük 1 ölçek
2 noktanın (x, y) koordinatı
Doğrultu -Kenar
3
2 öteleme 1 dönüklük
1 noktanın (x, y) koordinatı ve bir doğrultunun yönü
GPS Ağı
3
3 öteleme
1 noktanın (x, y, z) koordinatları
d: datum parametre sayısı (datum defekt )
Bir ağ dengelemesinde ağdaki bazı noktalara dayalı olarak (zorlamasız dengeleme ) koordinatları hesaplanan yeni noktaların koordinatları ve koordinatların doğrulukları , koordinatı değişmez alınan noktalardan etkilenir. Çünkü bu ağda yapılan ölçülere ait hatalar sadece yeni noktaların koordinatlarına dağıtılır. Sabit alınan noktalardan uzaklaştıkça biriken
hatalar yeni noktaların konum hatalarını büyütür. Bu bağlamda noktaların konum doğruluğu datum seçimine bağlı olarak değişir. Bu durumdan etkilenmemek için ağlar serbest ağ dengelemesi (tüm iz minimum
yöntemine göre dengeleme ) ile dengelenir. Bu yöntemde bir
ağda yapılan tüm ölçülerden meydana gelen hatalar tüm nokta koordinatlarına dağıtılır. Serbest ağ dengelemesi yöntemi özellikle deformasyon araştırma çalışmalarında kullanılır. Deformasyon izleme amacıyla oluşturulan jeodezik ağlarda noktaların koordinatları ve
koordinatların doğrulukları deformasyon analizinde kullanılan giriş değerlerdir. Defor masyon masyon analizi ve yorumu açısından bu değerlerin serbest ağ dengelemesiyle elde edilmiş olunması tercih edilmektedir.
Serbest ağ dengelemesinde tüm noktalar bilinmeyen noktalar olarak ele alınır. Bu nedenle normal denklem katsayıları matrisinin determinantı sıfır olur . Yani bu matris singüler bir matristir.
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
v A x
p Q
1
Ağırlıkları Farklı ve Korelâsy Kore lâsyonlu onlu ölçüle ö lçülerr için amaç fonksiyonu 1
T
T
v Q v v p v min min
A p A x A p 0 T
N
T
Matris formatında Normal denklemler
n
Normal Denklem Katsayılar matrisi
N A p A
Bilinmeyenler Bilinmeyenler Vektörü
x
Sabit terimler
n A p
T
T
min ve x T x min Determinantı sıfır olan normal denklem katsayıları matrisinin iz N min
şartlarını sağlamak üzere moore-penrose tersi aşağıdaki gibi hesaplanır.
N N G G
T 1
GG
T
Normal denklemlerin çözümü ve bilinmeyenlerin h esabı aşağıdaki gibi yapılır.
x N n
Yukarıdaki çözüm aşağıdaki eşitlikleri sağlar. G x 0, T
A G 0 ,
G n 0, T
N G 0
ağdaki nokta sayısı olmak üzere bazı ağlar için
Burada G matrisi ağın datumunu belirler. p G matrisleri aşağıdaki gibidir .
Nivelman ve Trigonometrik nivelman ağlarında G matrisinin boyutu ( p , 1) kadardır.
1
1
p
p
G T
1
p 1, p
GPS ağlarında G matrisinin boyutu ( 3 p , 3). T G
1 p
0 0
0 1 p
0
0 0 1 p
1 p
0 0
0 1 p
0
1
0
.....
0
.....
0
.....
0
1 p
p
0 1 p
0
0
0 1 p 3, 3 p
Doğrultu ağlarında ağlarında G matrisinin boyutu ( 2 p , 4) kadardır.
G
1 p
0
1 p
0
0 1
y1" " 1
x1" " 1
x
y
0
y p"
x p"
x p"
y p"
p
1 p
2 p ,4
matrisinin boyutu bo yutu ( 2 p , 3) kadardır. Doğrultu-Kenar ağlarında G matrisinin
G
1 p
0
1 p
0
0 1 p
0 1 p
y1" " x1 " y p " x p 2 p, 3
Doğrultu ve Doğrultu kenar ağlarında xi" ve y i" normlandırılmış koordinatlardır.
Normlandırma işlemi nin amacı G matrisinin kondüsyonunun bozulmamasını sağlamaktır. Bir ağda xi ve yi koordinatlar olmak üzere koordinatların aritmetik ortalaması yani ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki gibi hesaplanır. hesaplanır.
x g
xi p
y g
yi p
Koordinat eksenlerinin başlangıcının ağırlık sistemine kaydırılmış koordinatları aşağıdaki g ibi
hesaplanır. xi' xi x g
y i' y i y g
Normlandırma elemanı
c
1
x y ' 2 i
' 2 i
Normlandırılmış koordinatlar xi" c xi'
y i" c y i'
Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle serbest olarak dengeleyiniz.
P1 ( x)
h1
h2
h6
h5
P2 ( y )
h3
P4 ( k )
h4 P3 ( z)
i
hi
si (km)
1 2 3 4 5 6
43.156 19.218 33.524 57.440 23.962 14.267
0.65 0.80 1.00 1.40 1.50 1.95
pi H i (m) Yaklaşık Yükseklikler 1 2 3 4
123.829 104.635 138.115 80.673
Ölçü sayısı
n=6
Bilinmeyen sayısı
u=3
Datum defekt
d=1
Serbestlik Serbest lik Derecesi
f = n-u+d = 6-3+1>0 Dengeleme var.
h1 v1 H p H p 1
4
h1 v1 x k
v1 x k h1
h2 v2 H p H p
2
h2 v2 x y
v2 x y h2
h3 v3 H p H p
2
h3 v3 z y
v3 z y h3
h4 v4 z k
v 4 z k h4
h5 v5 H p H p
4
h5 v 5 y k
v5 y k h5
h6 v6 H p H p
1
h6 v6 z x
v3 z x h6
1
3
h4 v4 H p H p 3
2
3
4
Yaklaşık değerler x x0 dx
y y0 dy
x0 123.829 m,
z z0 dz
y0 104.635 m
k k 0 dk
z0 138.115 m,
v1 x k h1
v1 dx dk x0 k 0 h1
v2 x y h2
v2 dx dy x0 y0 h2
v3 z y h3
v3 dy dz z0 y0 h3
v 4 z k h4
v4 dz dk z0 k 0 h4
v5 y k h5
v5 dy dk y0 k 0 h5
v3 z x h6
v3 dx dz z0 x0 h6
k 0 80.673 m
v1 dx dk 123.829 80.673 43.156
v1 dx dk
v2 dx dy 123.829 104.635 19.218
v2 dx dy 24
v3 dy dz 138.115 104.635 33.524
v3 dy dz 46
v4 dz dk 138.115 80.673 57.440
v4 dz dk
v5 dy dk 104.635 80.673 23.962
v5 dy dk
v3 dx dz 138.115 123.829 14.267
v3 dx dz 17
Yukarıdaki değerler mm mertebesindedir.
v1 1 dx 0 dy 0 dz 1 dk 0 v2 1 dx 1 dy 0 dz 0 dk 24 v3 0 dx 1 dy 1 dz 0 dk 46 v4 0 dx 0 dy 1 dz 1 dk 0 v5 0 dx 1 dy 0 dz 1 dk 0 v3 1 dx 0 dy 1 dz 0 dk 17
Yukarıdaki denklemleri v A x formatında yazalım. v1 1 0 0 1 0 v 1 1 0 0 dx 24 2 v3 0 1 1 0 dy 46 v dz 0 0 1 1 0 4 v 5 0 1 0 1 dk 0 17 v6 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 / 0.65 0 1 / 0.80 0 0 0 0 0 0 1 / 1.00 0 0 0 pi 0 0 0 1 / 1.40 0 0 0 0 0 0 1 / 1.50 0 0 0 0 0 0 1 / 1.95
0 0 1.54 0 1.25 0 0 0 1.00 pi 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0.25 0.25 T GG 0.25 0.25
p
0.5 p 0.5 p 0.5 p 0.5
T 1
N GG
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.20
0.15
0.22
0.19 0.51 0.16 0.17 0.16 0.45 0.45 0.19 0.17
0.18 0.05 0.10 0.03 0.05 0.20 0.06 0.08 T 1 T Q N N GG GG xx 0.10 0.06 0.26 0.09 0.20 0.03 0.08 0.09
si ( km)
38.72 76.00 T n A p 37.28 0.00
3.55 1.00 0.26 1.29 1.00 3.17 0.75 0.42 T N GG 0.26 0.75 2.48 0.46 3.17 1.29 0.42 0.46
0.43 0.20 0.15 0.22
1
0 0 0 0.71 0 0 0 0.67 0 0 0 0.51
3.30 1.25 0.51 1.54 1.25 2.92 1.00 0.67 T N A p A 0.51 1.00 2.23 0.71 2.92 1.54 0.67 0.71
1 / 1 / G 1 / 1 /
pi
dx 6.95 dy 19.12 mm x Q n xx dz 10.34 dk 1.83
Bilinmeyenlerin kesin değeri x 123.829 6.95 123.836 y 104.635 19.12 104.616 z 138.113 10.34 138.123 k 80.673 1.83 80.675
x x0 dx y y dy 0 z z 0 dz k k 0 dk
Düzeltmeler v A x v1 1 0 0 1 0 5.12 v 1 1 0 0 24 2.06 6.95 2 v3 0 1 1 0 19.12 46 16.54 0 0 1 1 10 . 34 0 8 . 52 v 4 v5 0 20.94 1 0 1 1.83 0 17 20.39 v6 1 0 1 0
hˆi hi vi
Dengeli ölçüler hˆ1 h1 v1 ˆ h2 h2 v2 hˆ h3 v3 3 hˆ4 h4 v4 hˆ h v 5 5 5 hˆ6 h6 v6
hˆ1 43.156 5.12 43.161 ˆ h2 19.218 2.06 19.220 hˆ 33.524 16.54 33.507 ˆ3 h4 57.440 8.52 57.449 hˆ 23.962 20.94 23.941 5 hˆ6 14.267 20.39 14.287
Dengeli ölçülerinin denetimi h1 v1 H p H p 1
43.161 43.161
4
h2 v2 H p H p
2
h3 v3 H p H p
2
1
3
h4 v4 H p H p 3
4
19.220 19.220 33.507 33.507 57.449 57.449
h5 v5 H p H p
23.941 23.941
h6 v6 H p H p
14.287 14.287
2
3
4
1
Karesel Ortalama Hata T
m0
v p v n u d
876.79 6 3 1
14.81 mm
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası 0.18 0.05 0.10 0.03 0.05 0.20 0.06 0.08 T 1 T Q N N GG GG xx 0.10 0.06 0.26 0.09 0.20 0.03 0.08 0.09
m x m0 q xx 14.81 0.18 6.27
mm
m y m0 q yy 14.81 0.20 6.54 m z m0 q zz 14.81 0.26 7.49 m z m0 q zz 14.81 0.20 6.64
Ölçülerin Ortalama Hatası mh1 11.94
mh4 17.52
mh2 13.24
mh5 18.13
mh3 14.81
mh6 20.67
m i
m0 pi
mm
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası 0.17 0.04 0.22 0.26 0.22 0.44 0.17 0.47 0.21 0.09 0.30 0.27 0.04 0.21 0.58 0.33 0.25 0.37 T Q ˆ ˆ A Q xx A 0. 33 0.64 0.31 0.42 0.22 0.09 0.26 0.30 0.25 0.31 0.56 0.05 0.37 0.42 0.05 0.64 0.22 0.27
mhˆ m0 Q ˆ ˆ i
i
Dengeli ölçülerin ortalama hataları i
mhˆ 9.77
mhˆ 11.84 mm
mhˆ 10.20
mhˆ 11.10
mhˆ 11.24
mhˆ 11.84
1
2
3
4
5
6
Düzeltmelerin Ortalama Hatası Q Q Q ˆˆ vv
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
1
Q p Q ˆ ˆ vv
0 0 0 0 0 0.65 0 0.80 0 0 0 0 0 0 1 . 00 0 0 0 p 1 0 0 1.40 0 0 0 0 0 0 0 1.50 0 0 0 0 0 1.95 0
0.04 0.21 0.17 0.17 0.33 0.21 0.04 0.21 0.42 Q vv 0.09 0.33 0.22 0.26 0.30 0.25 0.27 0.37 0.22
mvi m0 Q
v i vi
0.22 0.26 0.09
0.30
0.33
0.25
0.76
0.31
0.94 0.31 0.42 0.05
0.22
0.37 0.42 0.05 1.31 0.27
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv1 6.85
mv 4 12.91 mm
mv 2 8.44
mv5 14.34
mv3 9.64
mv 6 16.95
12. MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ Dengele me hesabının (Fonksiyonel
Matematik Modeli ölçülerle bilinmeyenler arasındaki Geometrik
model) ve Fiziksel ( Stokastik Model) ilişkileri yansıtır. Model hipotezinin
testi ile matematik modelin u ygunluğu, modelin oluşturulmasında kullanılan ölçülerin korelâsyonlar denetlenir. duyarlıkları ve aralarındaki korelâsyonlar
Dengelemeden önce ölçülerden yararlanarak üçgen kapanmalarından (üçgenlerin iç açıları toplamı 200g), lup kapanmalarından (nivelmanda gidiş -dönüş ölçülerinden, GPS ’te bir üçgend e koordinat farklarının toplamının sıfır olması) vs. bir ( s0 ) elde edilebilir. Dengeleme hesabı sonrası bir soncul
öncül karesel ortalama hata
karesel ortalama hata ( m0 ) hata
elde ederiz.
Bu değerler kullanılarak bir SIFIR ve bir de SEÇENEK hipotezi hipot ezi kurulur. H 0 : E m02 E s02
H s : E m02 E s02
Sıfır hipotezi
Seçenek hipotezi
Sıfır hipotezinde soncul ortalama hatanın umulan (beklenen) değerinin öncül ortalama h ata ile aynı olacağı varsayılır. Bu durumda kurulan dengeleme modeli geçerlidir. Sıfır hipotezinde soncul ortalama hatanın umulan (beklenen) değerinin öncül ortalama hata ile aynı olmadığı durumlarda kurulan dengeleme modeli geçerli g eçerli değildir. Geçersizliğin nedenleri;
a) Ölçülerde kaba hata (uyuş ( uyuşumsuz umsuz ölçü) olabilir. o labilir. b) Fonksiyonel model yanlış kurulmuş olabilir. c) Stokastik model yanlış kurulmuş olabilir.
Örnek: Bir nivelman ağında gidiş -dönüş ölçülerinden birim ölçünün ortalama hatası s0 2.36 cm ve ölçülerin ölçüler in serbestlik serbest lik derecesi f s 10 olarak hesaplanmıştır. Nivelman
ağının dengelenmesi sonucunda soncul ortalama hata m0 6.67 cm ve dengelemenin serbestlik derecesi
f m 2 olarak hesaplanmıştır. Bu ağ için matematik modelin doğru
kurulup kurulmadığını test ediniz. ediniz.
Çözüm: Öncelikle model hipotezinin testi için bir test büyüklüğü hesaplarız. Test büyüklüğü hesabında ortalama hatalardan büyük olanı bölümde üst kısma yazarız. m0 s0
T
m02 m02
olduğu için
q F
6.67 2 2.36 2
f m , f s ,1
2
m0 üste yazılır.
7.98
F
2 ,10 ,1
0. 05
Test büyüklüğü
F 2,10,0.975 5.46
Sınır değer
2
Excel’de
q FTERS (0,025;2;10) 5.46
Matlab’da
q finv( 0.975, 2,10) 5.46
T q
olduğu için
H 0
hipotezi geçersizdir.
H s
hipotezi geçerlidir.
Bu durumda yukarıda belirtilen irdelemeler yapılır.
Bir dengeleme hesabı işleminde kurulan matematik model geçerli değilse ölçülerin biri ya da bir kaçı kaba hatalı olabilir. Kaba hatalı ölçülerin tespiti uyuşumsuz ölçüler testi ile yapılır. Uyuşumsuz ölçüler testini yapabilmek için dengeleme işlemi sonucunda ölçülere ait düzeltmelere v ve düzeltmelerin ters ağırlık matrisine Q vv ihtiyaç vardır. Bu değerlerden
yararlanarak bir test büyüklüğü ve bir de sınır s ınır değer hesaplarız. Düzeltme değerlerinin negatif işaretli olabileceği düşüncesiyle düzeltme değerlerinin mutlak değeri kullanılır.
T
v m0 Q
q t
f m ,1
Test büyüklüğü vv
Sınır değer
2
Örnek: Bir nivelman ağının dengelenmesi sonucunda soncul ortalama hata m0 6.67 cm ve dengelemenin serbestlik derecesi
f m 2 olarak hesaplanmıştır. Bu ağ için kurulan
matematik modelin geçersiz olduğu görülmüştür. Bu ağdaki ölçülere ait düzeltmeler ve
düzeltmelerin ters ağırlık matrisi aşağıda verilmiştir. Bu ağda uyuşumsuz ölçü olup olmadığını araştırınız. 4.52 v 0.70 10.58
T 1
T 2 T 1
4.52 6.67 1.2254 0.70 6.67 1.6044 10.58 6.67 0.0465
T 1 q uyuşumlu
0.0593 1.2254 0.5041 Q vv 0.5041 1.6044 0.8629 0.0593 0.8629 0.0465
0.61 0.08 7.35
q t
f m ,1
t 2,0.975 4.30
2
Excel’de
q TTERS (0,05;2) 4.30
T 2 q uyuşumlu T 3 q uyuşumSUZ
Yorum: Bu durumda üçüncü ölçü dengeleme işleminden atılır ya da ölçü bizim için önemli ise (atılma durumunda ağın şekli bozuluyorsa) yeniden ölçülür. Ölçüler arasında birden fazla uyuşumsuz ölçü olabilir. Bu durumda düzeltme değeri en büyük olan ölçü dengeleme işlemine alınmaz ya da yeniden ölçülür. Dengeleme tekrarlanır. Model hipotezi testi tekrarlanır. Model hipotezi hala geçersiz ise başka uyuşumsuz ölçülerin varlığı araştırılır. Uyuşumsuz ölçü kalmayıncaya kadar dengeleme işlemi tekrar edilir.
12. İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ Bir koordinat sistemindeki noktaların diğer bir koordinat sistemindeki karşılıklarının bulunması işlemine koordinat dönüşümü denir. Sistemlerin birbirlerine göre karşılıklarının bulunması için bir sistemin diğerine göre kaydırılması. döndürülmesi ve belli oranlarda
küçültülmesi ya da büyültülmesi gerekir. Bu işlem iki sistemde de ortak noktaların bulunmasını gerektirir. Benzerlik dönüşümünde iki sistemdeki geometrik şekiller benzerdirler. Ancak şekiller belli bir oranda ya küçülür ya da büyürler. Şekillerdeki açılar bir değişime uğramazlar.
X
x x sin
y sin
x cos
X p
P
y cos
X 0
Y 0
Y p
Y
y
( x . y ) sistemindeki bir P noktasının ( X . Y ) sistemindeki koordinatlarını yazalım. yazalım.
X p X 0 y sin x cos Y p Y 0 x sin y cos
a cos b sin
a 2 2 cos 2 b 2 2 sin 2
a 2 b 2 2 cos 2 2 sin 2 a 2 b 2 2 (cos 2 sin 2 )
cos 2 sin 2 1 2
a2 b2
b a
a2 b2
sin coc
tan
Ölçek katsayısı
b a
arctan
b a
Dönüklük açısı
Yukarıdaki denklemleri düzenleyelim. düzenleyelim. X p X 0 b y a x Y p Y 0 b x a y
Burada X 0 . Y 0 . a ve b bilinmeyenlerdir. bilinmeyenlerdir. Dört Dö rt bilinmeyenin çözümü için her iki sistemde en az iki ortak noktanın koordinatları bilinmelidir. Bu durumda direk çözüm yapılabilir. Ancak dengelemeli çözüm için ikiden fazla nokta gereklidir. Benzerlik dönüşümü probleminde X p
koordinatları ölçü ö lçü gibi düşünülür. Düzeltmeler ve Y p koordinatları Düzeltmeler bu koordinatlara getirilir.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Bilinmeyenlerin Fonksiyonu X p VX p X 0 b y a x Y p VY p Y 0 b x a y
VX p X 0 b y a x X p VY p Y 0 b x a y Y p
Bu denklemleri düzenleyelim.
VX p 1 X 0 0 Y 0 x a y b X p VY p 0 X 0 1 Y 0 y a x b Y p
Bu denklemleri matris formatında yazalım. X 0 VX p 1 0 x y Y 0 X p VY a Y 0 1 y x p p b
Fonksiyonel Model
Örnek: ED50 koordinat sistemindeki nokta koordinatları tabloda verilen her iki sistemdeki ortak noktalar yardımıyla ITRF96 koordinat sistemine dönüştürülmek isteniyor. Benzerlik dönüşümünü uygulayınız ve dönüşüm parametrelerini hesaplayınız. Uyuş umsuz koordinat (ölçü) olup olmadığını belirleyiniz. Yeni noktaların ITRF96 da ki koordinatlarını hesaplayınız.
NN 8 9 10 12 16 17 18
ED50 ( m ) Yukarı ( x ) Sağa ( y )
ITRF96 ( m ) Yukarı ( X ) Sağa ( Y )
54481.227
56219.662
40727.970
62084.098
54278.188 55203.664
53056.137 52952.417
40498.206 41423.028
58921.596 58810.095
54734.544
53754.865
40960.581
59616.631
54350.343
56110.555
55800.011
53012.938
54315.160
53205.945
Çözüm: n = 4 nokta x 2 = 8 Bilinmeyen sa yısı u = 4 Serbestlik derecesi f = 8 - 4 = 4 Ölçü sayısı
Her nokta (koordinat çifti) için aşağı eşitlikleri yazalım. VX p X 0 b y a x X p VY p Y 0 b x a y Y p
VX 8 X 0 b y8 a x8 X 8
VX 8 1 X 0 0 Y 0 x8 a y8 b X 8
VY 8 Y 0 b x8 a y8 Y 8
VY 8 0 X 0 1 Y 0 y8 a x8 b Y 8
VX 9 X 0 b y9 a x9 X 9
VX 9 1 X 0 0 Y 0 x9 a y9 b X 9
VY 9 Y 0 b x9 a y 9 Y 9
VY 9 0 X 0 1 Y 0 y9 a x9 b Y 9
VX 10 X 0 b y10 a x10 X 10
VX 10 1 X 0 0 Y 0 x10 a y10 b X 10
VY 10 Y 0 b x10 a y10 Y 10
VY 10 0 X 0 1 Y 0 y10 a x10 b Y 10
VX 12 X 0 b y12 a x12 X 12
VX 12 1 X 0 0 Y 0 x12 a y12 b X 12
VY 12 Y 0 b x12 a y12 Y 12
VY 12 0 X 0 1 Y 0 y12 a x12 b Y 12
VX 8 1 VY 0 8 VX 9 1 VY 9 0 VX 10 1 VY 10 0 VX 1 12 VY 12 0 VX 8 1 VY 0 8 VX 9 1 VY 9 0 VX 10 1 VY 10 0 VX 1 12 VY 12 0
0
x8
1
y 8
0
x9
1
y9
0 x10 1 y10 0 x12 1 y12
y8 X 8 Y x8 8 y9 X 0 X 9 x9 Y 0 Y 9 y10 a X 10 x10 b Y 10 X y12 12 x12 Y 12
0 54481.227 1 56219.662 0
54278.188
1 53056.137 0
55203.664
1 52952.417 0
54734.544
1 53754.865
56219.662 40727.970 62084.098 54481.227 53056.137 X 0 40498.206 54278.188 Y 0 58921 . 596 52952.417 a 41423.028 55203.664 b 58810.095 40960.581 53754.865 54734.544 59616.631
4 0 218697..623 215983.081 0 4 215983.081 218697..623 T N A A 218697..623 215983.081 23626788659.969 0 0 23626788659.969 215983.081 218697..623
163609.785 239432.420 T n A 21881060560.514 4256526110.794
Q
xx
0.00734 0 0.00724 792.49805 0.00724 0.00734 0 792.49805 1 N 0.00734 0.00724 0.0000001342 0 0 0.0000001342 0.00724 0.00734
X 0 14238.6155 Y 6311.5841 m 0 x Q n xx a 1.000212805 b 0.0084269763
Ölçek katsayısı
Dönüklük açısı
a 2 b 2 1.000248303
arctan
Düzeltmeler v A x VX 8 1 VY 0 8 VX 9 1 VY 9 0 VX 10 1 VY 10 0 VX 1 12 VY 12 0
0
54481.227
1 56219.662 0
54278.188
1 53056.137 0
55203.664
1 52952.417 0
54734.544
1 53754.865
b a
0 g .5364
v 0.00
kontrol
56219.662 40727.970 0.0029 62084.098 0.0001 54481.227 53056.137 14238.6155 40498.206 0.0199 m 54278.188 6311.5841 58921.596 0.0147 52952.417 1.000212805 41423.028 0.0032 55203.664 0.0084269763 58810.095 0.0253 40960.581 0.0138 53754.865 54734.544 59616.631 0.0107
Dönüştürülmüş Koordinatlar ve Düzeltmeleri ITRF96 ( m ) NN 8 9 10 12
Yukarı ( X )
Sağa ( Y )
40727.970 40498.206 41423.028
62084.098 58921.596 58810.095
40960.581
59616.631
VX i (m)
VY i (m)
-0.0029 0.0199 -0.0032 -0.0138
-0.0001 0.0147 -0.0253 0.0107
ITRF96 Yukarı ( X )
Sağa ( Y )
40727.967 40498.226 41423.025
62084.098 58921.611 58810.070
40960.567
59616.642
Dengeli ölçülerinin denetimi X 8 VX 8 1 Y VY 0 8 8 X 9 VX 9 1 Y VY 9 9 0 X 10 VX 10 1 Y VY 10 0 10 X VX 1 12 12 Y 12 VY 12 0
0
x8
1
y8
0
x9
1
y9
0 x10 1 y10 0 x12 1 y12
y8 0 0 x8 y9 X 0 0 x9 Y 0 0 y10 a 0 x10 b 0 0 y12 x12 0
Karesel Ortalama Hata T
m0
v v n u
0.0016 84
0.02 m
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası (Duyarlık)
Q
xx
0.00734 0 0.00724 792.49805 0.00724 0.00734 0 792.49805 1 N 0.00734 0.00724 0.0000001342 0 0 0.0000001342 0.00724 0.00734
m X 0 m0 q xx 0.02 792.49805 0.56
m
mY 0 m0 q yy 0.02 792.49805 0.56 ma m0 qaa 0.02 0.0000001342 0.00000728 mb m0 qbb 0.02 0.0000001342 0.00000728
Güven Hesabı 0.081 0.081 0.610 0.610 r i 0.566 0 . 566 0.742 0.742
T
r i ( I A Q xx A ) ii
Yorum: Bütün ölçülerin güvenirliği 0.50 nin üzerindedir. Bu durum ortak noktaların helmert dönüşümü için uygun bir dağılıma sahip olduğunu göstermektedir . T
Q vv I A Q xx A
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
0.000 0.020 0.1413 0.075 0.081 0.000 0.081 0.143 0.020 0.131 0.020 0.143 0.610 0.000 0.353 0.020 0.000 0.610 0.122 0.1413 Q vv 0.075 0.131 0.353 0.122 0.566 0.075 0.122 0.000 0.353 0.131 0.177 0.012 0.277 0.020 0.288 0.009 0.012 0.177 0.020 0.277
Uyuşumsuz ölçü testi T
NN 8 9 10 12
v m0 Q vv
VX i -0.0029 0.0199 -0.0032 -0.0138
q t
f m ,1
T X
VY i
T Y
q
0.52
-0.0001 0.0147 -0.0253 0.0107
0.01 0.95 1.69 0.63
2.78
0.81
0.012 0.177 0.122 0.277 0.020 0.020 0.277 0.353 0.000 0.288 0.009 0.566 0.009 0.288 0.742 0.000 0.009 0.000 0.742 0.288 0.075
Sınır değer
2
Yeni noktaların koordinatlarının hesaplanması hesaplanması X 16 X 0 b y16 a x16 Y 16 Y 0 b x16 a y16 X 17 X 0 b y17 a x17 Y 17 Y 0 b x17 a y17 X 18 X 0 b y18 a x18 Y 18 Y 0 b x18 a y18
NN 16 17 18
0.012
Yorum: Bütün düzeltmeler düzeltmeler uyuşumludur. uyuşumludur.
Test büyüklüğü
1.28 0.21
0.131 0.177
ED50 ( m ) Yukarı ( x ) Sağa ( y )
ITRF96 ( m ) Yukarı ( X ) Sağa ( Y )
54350.343
56110.555
40596.136
61976.071
55800.011
53012.938
42020.009
58865.578
54315.160
53205.945
40536.468
59071.139
f m 4
KAYNAKLAR
1. Abbas BARIŞKANER, Bayram TURGUT, Mevlüt GÜLLÜ, Dengeleme Hesabı Problemleri ve Çözümleri, Express Yayınları, Konya, 1995. 2. Aslan Dilaver, Dengeleme Hesabı Ders Notları Not ları (Yayınlanmamış). 3. Bruce Raymond HARVEY, Practical Least Squares and Statistics for Surveyors, Monograph 13, School of Surveying and Spatial İnformation Systems, ISBN 0 -73342339-6, 1993 4. Charle D. Ghilani, Paul R. Wolf, Adjustments Computations: Spatial Data Analysis, John Wiley and Sons Inc., ISBN 13 978 -0-471-69728, 2006. 5. Ergün ÖZTÜRK, Dengeleme Hesabı, Cilt I, K.T.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi, K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 119, Fakülte Yayın No: 38, Trabzon, 1991. 6. Ergün ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇİ, Dengeleme Hesabı, Cilt II, K.T.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi, K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 144, Fakülte Yayın No: 40, Trabzon, 1995. 7. Ergün ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇİ, Dengeleme Hesabı, Cilt III, K.T.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi, K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 144, Fakülte Yayın No: 40, Trabzon, 1992. 8. Hüseyin DEMİREL, DEMİREL, Dengeleme Hesabı, Y.T.Ü. İnşaat Fakültesi, Üniversite Yayın No: YTÜ.İN.DK -05.0735, -05.0735, Yıldız Teknik Üniversitesi BasımBasım -Yayım Merkezi, İstanbul, 2005. 9. İbrahim Yüksel, MATLAAB İle Mühendislik Sistemlerinin Analizi ve Çözümü, Nobel Yayın Dağıtım, Yayın No: 672, Teknik Yayınları Dizi No: 43, ISBN 975 -591-656-3, Ankara, 2004. 10. Mualla YALÇINKAYA, Dengeleme Hesabı Ders Notları (Yayınlanmamış). 11. Sebahattin BEKTAŞ, Endirek ve Koşullu Ölçülerle Dengeleme Hesabı, Ondokuz Mayıs Üniversitesi Üniversitesi Yayınları, Yayın No: 118, ISBN 975-7636-54-1, Samsun, 2003. 12. Sebahattin BEKTAŞ, Mühendisler İçin Sayısal Çözümleme Basic Program Örnekleriyle, Örnekleriyle, Samsun, 1998. 13. Wolf, P. R., Ghilani, C. D., 1997, Ghilani: Adjustment Computation : Statistics and Least Squares in Surveying and GIS, John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-16833-5. 0- 471-16833-5.
