Tabla de contenido Introducción..................................................................................................................... 1 Objetivos Específicos ...................................................................................................... 2 Marco Teórico ................................................................................................................. 3 Condición de estabilidad .............................................................................................. 4 Metacentro ................................................................................................................... 4 Metodología .................................................................................................................... 5 Presentación de los cálculos y resultados....................................................................... 6 Carajo Arriba – Pesa movible a la derecha.................................................................. 8 Carajo Arriba – Pesa movible a la izquierda ................................................................ 8 Carajo a Mitad – Pesa movible a la derecha................................................................ 9 Carajo a Mitad – Pesa movible a la izquierda .............................................................. 9 Carajo Abajo – Pesa movible a la derecha ................................................................ 10 Carajo Abajo – Pesa movible a la izquierda............................................................... 10 Análisis de resultados y conclusiones ........................................................................... 11 Gráficos......................................................................................................................... 13 Ejercicio de diseño ........................................................................................................ 14 Conclusión .................................................................................................................... 16 Bibliografía .................................................................................................................... 17 Anexos .......................................................................................................................... 18
Introducción
En este reporte presentaremos los cálculos y análisis correspondientes a la demostración de la altura metacéntrica de un cuerpo parcialmente sumergido en un fluido. Por medio de estos cálculos, podremos determinar la condición de estabilidad del cuerpo en estudio. Esta condición presentada se puede aplicar para todos los cuerpos flotantes en general, independientemente de su geometría. De ahí la importancia de manejar los conceptos necesarios para determinar la estabilidad de un cuerpo y conocer los factores que pueden afectar esta condición. Veremos cómo la relación entre el metacentro, el centro de gravedad y el centro de flotación pueden afectar la estabilidad de un cuerpo en flotación. También veremos cuál es la relación entre el ángulo de inclinación del cuerpo sumergido y la posición del peso dentro de este cuerpo.
pág. 1
Objetivos Específicos
Determinar cuáles son los factores que afectan la estabilidad de un cuerpo flotante.
Determinar experimentalmente la estabilidad de uncuerpo flotante a través de 1
calcular su metacentro y su centro de gravedad.
1
(Meléndez Valencia & Castellanos Cunillera, 2012)
pág. 2
Marco Teórico Un cuerpo flota en un líquido cuando el empuje de cuerpo sumergido es mayor que su peso. Solo se hundirá en el liquido hasta que el empuje fa sea igual a su propio peso Fg. El empuje
equivale,
pues,
al
peso
del
agua
desalojada por el cuerpo. La gravedad de la masa de agua desalojada es el centro de gravedad de empuje A. El centro de gravedad del cuerpo se llama centro de gravedad de masa S.2
Los cuerpos cuya densidad relativa es menor que la unidad, flotan en el agua. Cuando un cuerpo se sumerge total o parcialmente en un fluido, una cierta porción del fluido es desplazado. Teniendo en cuenta la presión que el fluido ejerce sobre el cuerpo, se infiere que el efecto neto de las fuerzas de presión es una fuerza resultante apuntando verticalmente hacia arriba, la cual tiende, en forma parcial, a neutralizar la fuerza de gravedad, también vertical, pero apuntando hacia abajo. La fuerza ascendente se llama fuerza de empuje o fuerza de flotación y puede demostrarse que su magnitud es exactamente igual al peso del fluido desplazado. Por tanto, si el peso de un cuerpo es menor que el del fluido que desplaza al sumergirse, el cuerpo debe flotar en el fluido y hundirse si es más pesado que el mismo volumen del líquido donde está sumergido. El principio de Arquímedes es un enunciado de esta conclusión, del todo comprobada, que dice que todo cuerpo total o parcialmente 3 sumergido en un fluido, está sometido a una fuerza igual al peso del fluido desalojado.
2 3
(Maquera) (htt12)
pág. 3
Condición de estabilidad
La condición para la estabilidad de los cuerpos flotantes es diferente para los cuerpos sumergidos por completo; la razón se ilustra a la figura de abajo, donde se muestra la sección transversal aproximada del casco de un barco. En el inciso (a) de la figura el cuerpo flotante se encuentra en su orientación de equilibrio y el centro de gravedad (cg) está arriba del de flotabilidad (cb). La línea vertical que pasa a través de dichos puntos es conocida como eje vertical del cuerpo. En el inciso (b) muestra que si el cuerpo se gira ligeramente, el centro de flotabilidad cambia a una posición nueva debido a que se modifica la geometría del volumen desplazado. La fuerza flotante y el peso ahora producen un par estabilizador que tiende a regresar el cuerpo a su orientación srcinal. Así, el cuerpo se mantiene estable. 4
Metacentro
El metacentro
(mc)
se
define
como la intersección del eje vertical de un cuerpo cuando está en su posición de equilibrio, con una línea vertical que pasa a través de la posición nueva del centro de flotación cuando el cuerpo gira levemente. (b).Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedad está por debajo del metacentro.
Es posible determinar en forma analítica si un cuerpo flotante es estable, cuando calculamos la localización de su metacentro. La distancia al metacentro a partir del centro de flotación es conocida como MB, y se calcula con la ecuación:
Si la distancia MB sitúa al metacentro arriba del centro de gravedad, el cuerpo es estable.4
4
(Maquera)
pág. 4
Metodología
La práctica consistió en el cálculo de la altura metacéntrica y a partir de esta, la determinación de la estabilidad del cuerpo sumergido. Lo primero que se hizo fue subir el carajo (peso movible vertical) hasta lo alto del mástil sin que choque con el tope, luego se midió la distancia desde la regla del equipo hasta la parte inferior del carajo. La pesa movible horizontal se colocó en el extremo derecho para que la plomada indicara un ángulo y luego se fue moviendo 10mm hacia la izquierda hasta llegar a 0; Cada vez que se obtenía una nueva posición de la pesa se debía medir la parte del pontón que resultaba estar sumergida. Manteniendo el carajo en la misma posición, se realizó el procedimiento descrito anteriormente pero colocando inicialmente la pesa movible en el extremo izquierdo y moviéndola 10mm hacia la derecha hasta llegar a 0. Este procedimiento se realizo exactamente igual para el carajo en tres posiciones distintas. La primera fue llevando el carajo hasta arriba en el mástil, la segunda posición fue con el carajo en el medio del mástil (no se colocó justo en el medio sino que se hizo una aproximación visual) y la tercera con el carajo hasta abajo del mástil pero cuidando de no topar la regla.
pág. 5
Presentación de los cálculos y resultados Los datos utilizados para realizar los cálculos correspondientes fueron los siguientes:
Dimensiones del equipo b - Longitud base prismática (m)
0.350
a - Ancho base prismática (m)
0.200
h - Altura base prismática (m)
0.075
Ycg - Posición del centro de gravedad (m)
0.038
Para el cálculo del volumen desplazado se utilizó la siguiente fórmula:
() () El momento de inercia del trapecio se calculó por medio de esta fórmula:
pág. 6
Carajo Arriba – Pesa movible a la derecha Carajo Arriba | pesa movible a la Derecha Posición de la pesa (m)
θ plomada
b(m)
B(m)
0.05 0.04
12.6 10.4
0.002 0.007
0.042 0.039
0.03 0.02
8 5
0.013 0.021
0.036 0.032
0.01 0
2.5 0
0.021 0.025
0.029 0.025
I
4
yy
(m )
0.00023
3
Vdesplazado(m )
MB(m)
Y
cb (m)
y
mc (m)
Estabilidad
0.001540 0.001610
0.1515152 0.1449275
0.0530 0.0520
0.20452 0.19693
Estable Estable
0.001715 0.001855
0 .1360544 0 .1257862
0.0505 0.0485
0 .18655 0 .17429
Estable Estable
0.001750 0.001750
0.1333333 0 .1333333
0.0500 0.0500
0.18333 0 .18333
Estable Estable
Carajo Arriba – Pesa movible a la izquierda Carajo Arriba | pesa movible a la Izquierda Posición de la pesa (m)
θ plomada
b(m)
B(m)
0 0.01 0.02
0 3 6
0.025 0.027 0.033
0.025 0.021 0.016
0.03 0.04 0.046
8.5 11 13
0.039 0.041 0.042
0.012 0.011 0.007
I
4
yy
(m )
0.00023
3
V desplazado(m )
MB(m)
Y
cb (m)
y
mc (m)
Estabilidad
0.001750 0.001680 0.001715
0 .1333333 0 .1388889 0 .1360544
0.0500 0.0510 0.0505
0 .18333 0 .18989 0 .18655
Estable Estable Estable
0.001785 0.001820 0.001715
0.1307190 0 .1282051 0.1360544
0.0495 0.0490 0.0505
0.18022 0 .17721 0.18655
Estable Estable Estable
pág. 8
Carajo a Mitad – Pesa movible a la derecha Carajo a mitad | pesa movible a la Derecha Posición de la pesa (m)
θ plomada
b(m)
B(m)
0.067 0.057
12 10.5
0.003 0.007
0.039 0.038
0.047 0.037
8.5 6.75
0.012 0.016
0.036 0.035
0.027 0.017
5 3
0.019 0.022
0.032 0.027
I
4
yy
(m )
0.00023
3
Vdesplazado (m )
MB(m)
Y
cb (m)
y
mc (m)
Estabilidad
0.001470 0.001575
0.1587302 0.1481481
0.0540 0 .0525
0.21273 0.20065
Estable Estable
0.001680 0.001785
0.1388889 0.1307190
0.0510 0 .0495
0.18989 0.18022
Estable Estable
0.001785 0.001715
0 .1307190 0 .1360544
0.0495 0.0505
0 .18022 0 .18655
Estable Estable
0.007
1
0.022
0.026
0.001680
0 .1388889
0.0510
0 .18989
Estable
0
0
0.025
0.025
0.001750
0 .1333333
0.0500
0 .18333
Estable
Carajo a Mitad – Pesa movible a la izquierda Carajo a mitad | pesa movible a la Izquierda Posición de la pesa (m)
θ plomada
b(m)
B(m)
I
4
yy
(m )
3
Vdesplazado (m )
MB(m)
Y
cb (m)
mc (m)
0 .18333
Estabilidad
0
0.025
0.0250
0.001750
0 .1333333
0.007 0.017
1.5 3.5
0.027 0.028
0.0220 0.0200
0.001715 0.001680
0.1360544 0.1388889
0 .0505 0 .0510
0.18655 0.18989
Estable Estable
0.027 0.037 0.047
5.5 7.5 9
0.031 0.034 0.037
0.0170 0.0140 0.0130
0.001680 0.001680 0.001750
0.1388889 0.1388889 0.1333333
0 .0510 0 .0510 0.0500
0.18989 0.18989 0.18333
Estable Estable Estable
0.057 0.067
11 12.5
0.039 0.041
0.0100 0.0090
0.001715 0.001750
0.1360544 0.1333333
0.0505 0 .0500
0.18655 0.18333
Estable Estable
0.00023
0.0500
y
0
Estable
pág. 9
Carajo Abajo – Pesa movible a la derecha Carajo Abajo | pesa movible a la Derecha Posición de la pesa (m)
θ plomada
b(m)
B(m)
I
4
yy
(m )
3
Vdesplazado (m )
MB(m)
Y
cb (m)
y
mc (m)
Estabilidad
0.08 0.07
10.5 9
0.011 0.012
0.042 0.038
0.001855 0.001750
0.125786 0.133333
0.0485 0 .0500
0.17429 0 .18333
Estable Estable
0.06 0.05
8 6.5
0.014 0.015
0.033 0.031
0.001645 0.001610
0.141844 0.144928
0 .0515 0 .0520
0 .19334 0 .19693
Estable Estable
0.04 0.03
5 4
0.017 0.018
0.030 0.029
0.001645 0.001645
0.141844 0.141844
0 .0515 0 .0515
0 .19334 0 .19334
Estable Estable
0.02
2.5
0.021
0.028
0.001715
0.136054
0 .0505
0 .18655
Estable
0.01 0
1 0
0.024 0.025
0.026 0.025
0.001750 0.001750
0.133333 0.133333
0 .0500 0 .0500
0 .18333 0 .18333
Estable Estable
0.00023
Carajo Abajo – Pesa movible a la izquierda Carajo Abajo | pesa movible a la Izquierda Posición de la pesa (m)
θ plomada
b(m)
B(m)
I
4
yy
(m )
3
Vdesplazado (m )
MB(m)
Y
cb (m)
y
mc (m)
Estabilidad
0 0.01
0 1.5
0.025 0.027
0.025 0.023
0.001750 0.001750
0 .1333333 0.1333333
0.0500 0.0500
0 .18333 0.18333
Estable Estable
0.02 0.03 0.04
3 4 5.5
0.029 0.031 0.032
0.022 0.019 0.017
0.001785 0.001750 0.00023 0.001715
0 .1307190 0 .1333333 0.1360544
0.0495 0.0500 0.0505
0 .18022 0 .18333 0.18655
Estable Estable Estable
0.05 0.06 0.07
7 8 9.5
0.035 0.037 0.039
0.015 0.014 0.011
0.001750 0.001785 0.001750
0 .1333333 0 .1307190 0.1333333
0.0500 0.0495 0.0500
0 .18333 0 .18022 0.18333
Estable Estable Estable
0.08
11
0.04
0.01
0.001750
0 .1333333
0.0500
0 .18333
Estable
pág. 10
Análisis de resultados y conclusiones
-
¿Depende la posición del metacentro de la posición del Centro de Gravedad?
No, ésta depende de la posición de la pesa movible horizontal ya que el ángulo de la plomada varía según su desplazamiento, haciendo que la línea de flotación con la que debe hacer intersección el eje vertical para obtener la posición del metacentro se mueva de lugar.
-
¿Varía la altura del metacentro con el ángulo de inclinación?
Sí, el ángulo de inclinación y la altura del metacentro poseen una relación inversamente proporcional. Esto se debe a que cuando el ángulo varía también lo hace el volumen desplazado, parámetro del que depende el metacentro. -
En sus palabras defina estabilidad y flotabilidad
La estabilidad es la condición que tiene un cuerpo de mantenerse en el mismo lugar durante mucho tiempo, es decir, un cuerpo que luego de inclinarse debido a cualquier momento vuelve a su posición inicial. La flotabilidad solo considera la capacidad de un cuerpo de mantenerse en la superficie de un fluido sin tomar en cuenta la estabilidad.
-
¿Qué es un Pontón?
Es un bote o balsa de forma rectangular en su parte inferior.
pág. 11
-
¿Cómo define usted el centro de carena?
El centro de carena es el centro geométrico del volumen de fluido desplazado y el punto donde actúa la fuerza de flotación. -
¿Cómo afecta cada una de las variables en las formulas para el cálculo de altura metacéntrica?
La altura metacéntrica se ve afectada por el volumen que está sumergido en el fluido, lo que según los cálculos realizados conocemos como B y b (base mayor y base menor). Estas variables a su vez
van a depender de las
dimensiones del pontón y de la posición de la masa movible horizontal ya que ésta es la que nos proporciona la inclinación.
-
Defina que es la fuerza boyante
Fuerza boyante es aquella, que entra en equilibrio con el peso del objeto que se encuentra parcialmente sumergido y por esto podría decirse que el objeto boya en la superficie del fluido.
-
Explique la condición Ymc > Ycg ¿Por qué se afirma que esto indica estabilidad?
Esto es considerando que el metacentro puede verse como el eje de rotación del cuerpo, si éste se encontrara por debajodel centro de gravedad elpar de fuerzas restaurador estaría haciendo girar el cuerpo en el mismo sentido en el que se realizó la rotación por lo que el cuerpo no volvería a su posición inicial.
pág. 12
Gráficos Carajo Arriba
Carajo a Mitad
14
14
12
12
10
a d a m o l p
10
a d a m o l p
8 6
8 6
θ
θ
4
4
2
2 0
0 -0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
-0.1
0.06
-0.05
0
0.05
0.1
Posición de la pesa (m)
Posición de la pesa (m)
Carajo Abajo 12 10 a d a m o l p
8
θ
4
6
2 0 -0.1
-0.05
0 Posición de la pesa (m)
0.05
0.1
pág. 13
Ejercicio de diseño Una barcaza que cuando está cargada por completo, pesa 150KN. El grafico muestra las vistas superior, lateral y frontal de la embarcación. Determine si el bote es estable en agua dulce.
En primer lugar, debemos determinar que tanto se sumergió nuestra barcaza. Para esto utilizamos el principio de flotación:
Como está sumergido solamente el 75%de la altura de la barcaza, entonces:
pág. 14
Por simetría, sabemos que el centro de flotación o centro de carena se encuentra a 1/2 de la altura sumergida de la barcaza, por lo que:
() → El Volumen de Agua desplazado será igual:
→ Una vez obtenido el volumen desplazado, podemosdeterminar la altura MB, la cual será igual:
() () → La altura del metacentro será:
La altura del metacentro (Ymc) es 0.98m y la altura del centro de gravedad (Cg) de la barcaza es 0.80 partiendo de la base de la misma. En conclusión podemos afirmar que nuestra barcaza si es estable debido a que la altura metacéntrica se encuentra por encima del centro de gravedad.
pág. 15
Conclusión Por medio de los cálculos y los análisis realizados en el reporte se puede observar la relación existente entre el metacentro, el centro de gravedad y el centro de flotación en el momento de determinar la estabilidad de un cuerpo sumergido. Estos factores dependen en su mayoría de la posición de la pesa movible y se puede observar cómo afectan los resultados obtenidos para cada caso; Sin embargo, no se tuvo la oportunidad de ver un caso donde el cuerpo no sea estable ya que para todos los casos el metacentro se encontraba por encima del centro de gravedad, dando como resultado la condición de cuerpo estable. Los errores que se observan en las gráficas pueden ser producidos por histéresis en el equipo o por errores de medición al ver el ángulo de inclinación que indicaba la plomada ya que la escala resulta muy difícil de ver.
pág. 16
Bibliografía
(s.f.). Obtenido de http://www.buenastareas.com/ensayos/Estabilidad-yEmpuje/1439104.html Maquera, R. Q. (s.f.).Determinacion de altura metacentrica . Obtenido de http://www.scribd.com/document_downloads/direct/102030950?extension=docx& ft=1403866470<=1403870080&user_id=124511072&uahk=MDgqv54R8CNuN+ p/JzSs04fwmqk Meléndez Valencia, M., & Castellanos Cunillera, J. E. (2012).Mecánica de Fluidos, prácticas de laboratorio. Santo Domingo: Buho.
pág. 17
Anexos
pág. 18
