Rony J. Letona
8 de diciembre de 2010
Deducci´ on de la Ecuaci´ on de Schr¨ odinger Notas de la conferencia del Dr. Sergio Arag´on Se parte de la idea de que un electr´on se puede modelar como una onda y por ende, como una onda sinusoidal cos (kx), donde k = 2π . λ
Figura 1: Funci´ on Coseno
λ en este caso denota la longitud de la onda. Si λ es 1, la longitud de onda para cos (kx) ser´a de 1, como se muestra en la Figura 1. Si se suman varias ondas a diferentes longitudes de onda para tomar en cuenta todas las posibilidades en las que el electr´on puede vibrar1 se dar´a una interferencia constructiva en el origen.
Figura 2: Interferencia constructiva de ondas en el origen.
La suma de todas las ondas se plantea como una integral, entonces el electr´on, modelando como una onda, tiene una funci´on similar a la siguiente.
ψ (x) =
Z
∞
g (k) cos (kx) dk
(1)
−∞
g (k) es un Coeficiente de Fourier, al cual no se le prestar´a atenci´on por el momento. Ahora, la ecuaci´on modela a un electr´on est´atico. Para agregar dependencia temporal, se debe de a˜ nadir un t´ermino que permita a la onda moverse a lo largo del eje. Para esto ser´ıa de utilidad conocer el per´ıodo de la onda, as´ı ya solo se a˜ nade una dependencia temporal proporcional al per´ıodo a la funci´on. 1
Principio de superpocisi´ on
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Continuando con el modelaje del electr´on como onda, se puede calcular su energ´ıa de la siguiente forma: E = hν. Para obtener el per´ıodo se hace el siguiente manipuleo h 2πν = ~ω (2) 2π Ahora se conoce el per´ıodo de la onda. Aprovechando la facilidad de calcular con exponenciales y no con funciones trigonom´etricas, se convertir´a la ecuaci´on (1) a su forma compleja. La funci´on de onda tomar´a entonces la siguiente forma Z ∞ Ψ (x, t) = g(k) ei(kx−ωt) dk (3) E = hν =
−∞
Consid´erese ahora el momento del electr´on. Este se define como p = λh . Si esta ecuaci´on anterior se manipula igual que la energ´ıa, se obtendr´a una expresi´on dependiente de ~, lo cual puede llevar a una simplificaci´on de la ecuaci´on de onda h 2π h = = k~ (4) λ λ 2π N´otese que del resultado anterior, se obtuvo tambi´en k. Si k se sustituye por p en la ecuaci´on de onda, el diferencial no sufre cambios significativos, pero el exponencial cambia llegando a una forma en la que ya solo se incluyen momento y energ´ıa. Z ∞ i (5) Ψ (x, t) = g(p) e ~ (px−Et)dp p=
−∞
Para terminar, la ecuaci´on de onda se presenta usualmente como una ecuaci´on diferencial tambi´en conocida como la Ecuaci´on de Schr¨odinger. Es por esto que ahora se proceder´a a derivar esta ecuaci´on parcialmente. Z ∞ i ∂ −iE e ~ (px−Et)dp Ψ (x, t) = g(p) (6) ∂t ~ −∞ Ser´ıa conveniente que la energ´ıa en el exponencial dependiera del momento, as´ı todo el exponencial depende de una misma variable. Tomando en cuenta que el electr´on tambi´en se puede ver como una part´ıcula, este debe de obedecer a las ecuaciones cin´eticas, por lo que el momento se p2 . La ecuaci´on anterior se puede reescribir as´ı puede expresar como E = 2m Z ∞ i −ip2 ∂ e ~ (px−Et)dp Ψ (x, t) = g(p) (7) ∂t 2m~ −∞ Finalmente se multiplica la ecuaci´on por i~ por ambos lados obteniendo entonces 2 Z ∞ i ∂ p i~ Ψ (x, t) = e ~ (px−Et)dp g(p) ∂t 2m −∞
(8)
Ahora se proceder´a a derivar dos veces la ecuaci´on (5), pero con respecto a x. El resultado es el siguiente 2 Z ∞ i ∂2 ip (px−Et) ~ Ψ (x, t) = g(p) e dp (9) 2 ∂x ~ −∞
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~ y se opera el cuadrado dentro de la integral Finalmente se multiplica esta ecuaci´on por − 2m para obtener 2 Z ∞ i ~2 ∂ 2 p e ~ (px−Et)dp − Ψ (x, t) = g(p) (10) 2 2m ∂x 2m −∞
La ecuaci´on (8) y la ecuaci´on (10) son lo mismo, por lo que la ecuaci´on de onda se puede reescribir como ∂ ~2 ∂ 2 Ψ (x, t) = − Ψ (x, t) (11) ∂t 2m ∂x2 A esta u ´ ltima expresi´on se le conoce como la Ecuaci´on de Schr¨odinger dependiente del tiempo para una part´ıcula libre en 1 dimensi´on. Con esto se concluye entonces la deducci´on de la Ecuaci´on de Schr¨odinger. i~