Dasar Matematik Untuk Sistem Kontrol

Prepared by bambangHS

DTK-FTUI 2007

DASAR MATEMATIKA PADA SISTEM KONTROL Untuk mempelajari teori sistem kontrol diperlukan pemahaman matematika seperti diantaranya:  

teori peubah-kompleks, persamaan persamaan differensial differensial dan beda,



alih ragam Laplace



alih ragam z,



alih ragam fourier,



matriks



dll.

Berikut Berikut ini akan dijela dijelaskan skan beberapa beberapa latar latar belakang belakang matema matematik tikaa sederha sederhana na yang mendukun mendukung g semua semua persoalan persoalan sistem sistem kontrol sederhana. sederhana.

1 Konsep Peubah Komples 1.1. Peubah Komples

Teori sistem kontrol klasik berdasarkan penerapan peubah kompleks dan fungsinya, karena peubah alih ragam Laplace s dan peubah alih ragam ragam z adalah peubah kompleks.

Gambar -1 Bidang kompleks

Peubah Peubah komple kompleks ks s memi memili liki ki dua komp kompone onen n : kompon komponen en nyata nyata σ dan kompone komponen n imajine imajiner r horizontal, dan dan komponen komponen ω . Secara grafis, komponen nyata digambarkan oleh sumbu σ dalam arah horizontal, imajiner diukur sepanjang sumbu vertical j vertical jω dalam bidang kompleks s kompleks s.. Gambar -1 menggambarkan bentuk bidang kompleks kompleks s s,, yang mana titik s s = s 1 didefinisikan oleh koordinat σ = σ 1 dan ω = ω 1, atau secara secara sederhana ditulis s ditulis s1 = σ 1 + jω 1

1.2. Fungsi Peubah Kompleks

Fungsi G(s) dikatakan sebagai fungsi peubah kompleks s kompleks s jika untuk setiap nilai s nilai s,, ada satu atau lebih nilai pada G(s). Karena s Karena s memiliki bagian nyata dan imajiner, maka fungsi G(s) juga digambarkan dalam bagian nyata nyata dan imajiner imajiner ; yaitu G(s) = Re G(s) + j Im G(s) dengan Re G(s) menunjukkan bagian nyata dari G(s) dan Im G(s) menggambarkan bagian imajiner dari G(s). Jika untuk setiap nilai s (setiap titik dalam bidang s), s), ada hanya satu nilai pada G(s), G(s), maka G(s) fungsi bernilai-tunggal. bernilai-tunggal. dikatakan sebagai fungsi

1


DTK-FTUI 2007

1.3. Fungsi Analitik

Fungsi G(s) dari peubah kompleks s kompleks s disebut fungsi analitik dalam analitik dalam daerah bidang s bidang s jika fungsi dan semua turunan fungsi tersebut ada nilainya dalam daerah bidang s bidang s tersebut. Sebagai contoh fungsi berikut

adalah analitik untuk analitik untuk setiap titik dalam bidang s kecuali pada titik s s = 0 dan s dan s = -1.

1.4. Singularitas dan Kutub (Pole) suatu Fungsi

Singularitas suatu fungsi adalah titik dalam bidang s yang mana fungsi atau turunan fungsi tersebut tidak ada harganya. Kutub ( pole) pole) adalah salah satu jenis singularitas dan memegang peranan sangat penting dalam mempelajari suatu sistem kontrol. Definisi kutub dapat dinyatakan sebagai berikut : Fungsi : Fungsi G(s) G(s) adalah analitik analitik dan bernilai bernilai tunggal tunggal disekitar disekitar s ,i maka dikatakan dikatakan fungsi fungsi memiliki memiliki sebuah sebuah kutub kutub sejumlah sejumlah r pada pada s = si jika limit

memiliki harga terbatas, berharga bukan nol. Sebagai contoh, fungsi berikut ini

(-1) memiliki kutub berorde 2 pada s pada s = -4 dan kutub sederhana pada s pada s = 0 dan s dan s = -2. Dapat dikatakan bahwa fungsi G(s) adalah analitik pada bidang s kecuali pada kutub-kutub ini.

1.5. Nol (Zero) dari Fungsi

Definisi nol ( zero) zero) fungsi dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika : Jika fungsi G(s) adalah analitik pada s = si , dikatakan memiliki zero berorde r pada s = si jika limit

memiliki harga tertentu, nilai bukan nol. Atau, secara sederhana, G(s) memiliki nol orde r pada s=s1 jika 1/G(s) memiliki kutub orde ke-r pada s = s 1. Sebagai contoh fungsi pada persamaan (-1) memiliki nol sederhana pada s pada s = -1.

2. Persamaan Differensial

Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n ditulis

(-2) Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear jika koefisien a1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t). Sebagai contoh, rangkaian listrik RLC listrik RLC seri dapat digambarkan dalam bentuk persamaan differensial berikut

dengan R dengan R adalah resistansi, L resistansi, L induktansi, C kapasitansi, C kapasitansi, i(t) arus dalam jaringan, dan v(t) sebagai tegangan yang diberikan.

2


DTK-FTUI 2007

3. Alih Ragam Laplace

Alih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan persamaan differensial. differensial. Bila dibandingkan dibandingkan dengan metode klasik dalam menyelesaikan menyelesaikan persamaan persamaan differensial, alih ragam Laplace memiliki keuntungan dua hal : 1. Penyelesaian Penyelesaian persamaan persamaan homogen homogen dan dan integral integral khusus khusus diperoleh diperoleh dalam dalam satu satu operasi operasi 2. Alih Alih raga ragam m Lapl Laplac acee meng mengub ubah ah pers persam amaa aan n diff differ eren ensi sial al ke pers persam amaa aan n alja aljaba barr dala dalam m s. Hal Hal ini ini memu memung ngkin kinkan kan dapat dapat mema memanip nipul ulas asii persa persama maan an aljab aljabar ar denga dengan n atur aturan an aljab aljabar ar sede sederha rhana na untuk untuk memperoleh solusi dalam wawasan s. Solusi akhir diperoleh dengan melakukan alih ragam Laplace balik.

3.1. Definisi Alih-ragam Laplace

Diberikan suatu fungsi nyata f(t) nyata f(t) yang memenuhi kondisi

untuk σ bilangan nyata terbatas, maka alih-ragam Laplace didefinisikan sebagai

atau

F(s) = alih ragam Laplace dari f(t) dari f(t) =

[f(t)]

Peubah s disebut sebagai operator Laplace, berupa peubah kompleks, s kompleks, s = σ + jω . Contoh -1 :

Misalkan f(t) Misalkan f(t) merupakan fungsi tangga satuan yang didefinisikan sebagai f(t) = u s(t) = 1

t>0

=0

t<0

Alih ragam Laplace f(t) Laplace f(t) ini diperoleh sebagai berikut

Untuk Untuk memudah memudahkan kan penerapa penerapan n alih-ra alih-ragam gam Laplace Laplace,, dibawah dibawah ini diberika diberikan n tabel tabel teorem teoremaa alih-rag alih-ragam am Laplace :

3.2. Teorema alih-ragam Laplace :

Perkalian Perkalian dengan konstanta konstanta Penjumlahan Penjumlahan dan beda beda

[kf(t)] = kF(s) [f 1(t) + f 2(t)]=F1(s)+F2(s)

Differensias Differensiasii Pergeseran Pergeseran kompleks kompleks

Integral Integral Teori nilai-akhir 3


DTK-FTUI 2007

Tabel 1 Alih-ragam Laplace suatu fungsi Fungsi Bentuk Alih-ragam Laplace Unit Impuls 1 Unit Step u(t) 1/s Unit Ramp t 1/s2 Polinomial t2 n!/sn+1 Eksponensial

Gel. Sinus

sin ω t

Gel. cosinus

cos ω t

Gel sin teredam Gel. cos teredam

Contoh 2 :

Misalkan f(t) Misalkan f(t) merupakan fungsi berikut

Tentukan alih ragam Laplace f(t Laplace f(t ) tersebut Penyelesaian Penyelesaian : Dengan melihat tabel alih ragam Laplace, maka diperoleh :

3.3. Alih-ragam Laplace Balik (Inverse Laplace Transform)

Operasi menentukan f(t) menentukan f(t) dari alih ragam laplace F(s) laplace F(s) disebut sebagai alih-ragam Laplace balik, dan ditandai f(t) =

[F(s)]

Alih ragam Laplace balik adalah

(-1) dengan c adalah konstanta nyata yang lebih besar dari bagian nyata semua singularitas F(s). singularitas F(s). Contoh -3

Misalkan suatu fungsi Laplace diberikan oleh

Tentukan alih ragam Laplace balik fungsi F(s) ini. Penyelesaian : Dengan memperhatikan table -1 dan -2 diperoleh

Contoh -4

4


DTK-FTUI 2007

Diberikan alih ragam Laplace sebagai berikut F ( s )

s =

s

2

+

+

2

4 s + 29

Tentukan alih ragam Laplace balik dari fungsi ini. Penyelesaian : Dengan memperhatikan tabel -2 diperoleh

Alih-ragam Laplace balik dengan ekspansi pecahan bagian

Dalam kebanyakan sistem kontrol, evaluasi alih-ragam Laplace balik tidak langsung menggunakan integral balik persamaan (-1). Sebaiknya, operasi alih ragam Laplace balik yang didalamnya berupa fungsi rasional diselesaikan menggunakan tabel alih-ragam Laplace dan ekspansi pecahan-bagian. Ketika solusi persamaan persamaan differensial differensial bentuk alih-ragam alih-ragam Laplace merupakan merupakan fungsi rasional, rasional, maka solusi dapat ditulis sebagai

dengan Q(s) dan P(s) dan P(s) adalah polinomial dalam s. Dengan anggapan bahwa orde dari P(s) dari P(s) lebih besar dari Q(s). Q(s). Polinomial P(s) Polinomial P(s) ditulis

dengan a1 , , a2 , , ..., a n adalah koefisien nyata. Nol nyata. Nol dari dari Q(s) dapat berupa nyata atau pasangan pasangan kompleks, orde tunggal atau rangkap.

A. Untuk semua pole X(s) adalah sederhana dan nyata

Bentuk :

dengan

. Dengan menerapkan ekspansi pecahan-bagian, maka persamaan ini ditulis

dengan

Contoh -5 :

Diberikan fungsi X(s fungsi X(s)) berikut

Tulislah dalam bentuk pecahan bagian ! dan tentukan x(t) tentukan x(t) Penyelesaian Penyelesaian : X(s) ditulis dalam bentuk ekapansi bagian-pecahan sebagai berikut

5


DTK-FTUI 2007

sehingga

B. Ekspansi saat pole dari X(s) berbentuk orde rangkap

Bentuk :

Maka

dengan

Contoh -6 :

Diketahui fungsi X(s) fungsi X(s) berikut :

Susunlah dalam bentuk pecahan bagian ! dan tentukan x(t) tentukan x(t) Penyelesaian Penyelesaian : X(s) dalam bentuk ekspansi bagian-pecahan ditulis

sehingga

6


DTK-FTUI 2007

3.4. Aplikasi Alih-ragam Laplace Untuk Solusi Pers. Differensial

Persamaan differensial dapat diselesaikan menggunakan metode alih-ragam Laplace dengan bantuan tabel alih-ragam Laplace. Prosedur ringkasnya sebagai berikut 1. Ubah persamaan differensial ke bentuk alih ragam Laplace menggunakan tabel alih ragam Laplace 2. Manipulasikan persamaan aljabar hasil alih ragam dan selesaikan untuk variabel keluaran 3. Bentuklah ekspansi pecahan-bagian sehingga alih ragam Laplace balik dapat diperoleh dari tabel Laplace 4. Lakukan alih ragam balik Untuk ilustrasi akan diberikan satu contoh berikut : Contoh -7 :

Diketahui persamaan differensial :

dengan u(t) adalah fungsi langkah-satu. Kondisi awal x(0) awal x(0) = -1 dan

.

Penyelesaian Penyelesaian : Untuk menyelesaikan persamaan differensial, pertama kali kita alihragamkan Laplace pada kedua sisi :

Dengan memasukkan kondisi awal kedalam persamaan dan menyelesaikan untuk X(s) diperoleh

Kemudian dikembangkan ke ekspansi bagian-pecahan :

Dengan melakukan alih ragam Laplace balik, diperoleh solusi persamaan differensial:

7


DTK-FTUI 2007

4. Teori Dasar Matriks

Dala Dalam m memp mempel elaj ajar arii sist sistem em kont kontro roll mode modern rn,, nota notasi si matr matrik ikss seri sering ng kali kali digu diguna naka kan n untu untuk k menyede menyederhana rhanakan kan persam persamaan aan matema matematika tika yang cukup cukup rumit. rumit. Notasi Notasi matriks matriks umumnya umumnya menjadi menjadikan kan persamaan persamaan lebih lebih mudah unutk unutk ditangani ditangani dan dimani-pu dimani-pulasikan. lasikan. Perhatikan sejumlah n persamaan aljabar simultan : a11 x x1+ a12 x x2+ …+ a1n x xn = y1 a21 x x1+ a22 x x2+ …+ a2n x xn = y2

(-2)

………………………………………………..

an1 x x1+ an2 x x2+ …+ ann x xn = yn Kita dapat menggunakan persamaan matriks untuk menggambarkan persamaan (-2) untuk penyerdehanaan sebagai Ax = y

Simbol A, x dan y didefini didefinisik sikan an sebaga sebagaii matriks matriks,, yang berisi berisi koefisi koefisien en dan variabel variabel persam persamaan aan asli asli elemennya. Dalam bentuk aljabar matriks dapat dinyatakan sebagai : Perkalian Perkalian matriks matriks A dan x sama dengan matriks y. Ketiga matriks tersebut didefinisikan sebagai berikut

4.1. Definisi Matriks

Matriks Matriks adalah sekumpulan elemen yang tersusun dalam larik persegi panjang atau persegi. Kita perlu mengetahui mengetahui perbedaan perbedaan antara matriks matriks dan dan determinan determinan : MATRIKS MATRIKS

DETERMINAN DETERMINAN

Larik bilangan atau elemen adalah n baris

Larik Larik bilanag bilanagn n atau atau lemen lemen dengan dengan n baris dan dan n kolom (selalu persegi)

dan m kolom Tidak Tidak memilik memilikii nilai, nilai, meskipu meskipun n matrik matrikss persegi (n=m) n=m) memiliki determinan

Memiliki nilai

4.2. Elemen Matriks

Sebuah matriks A dapat ditulis

(-3) 8


DTK-FTUI 2007

dengan aij menunjukkan sebuah elemen yang berada di baris ke-i ke-i dan kolom ke- j. j. Orde Matriks

Or de de matriks menunjukkan jumlah total baris dan kolom matriks. Sebagai contoh matriks persamaan (-3) merupakan matriks berorde 3 x 3. Pada umumnya, matriks dengan n baris dan m kolom disebut matrisk berorde n x m. m. Matriks Persegi Persegi

Matriks Matriks persegi persegi adalah salah satu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Matriks Kolom Kolom

Matriks Matriks kolom adalah salah satu matriks yang memeiliki satu kolom dan lebihdari satu baris, yaitu matriks m x 1, m > 1. Matriks kolom ini disebut sebagai vektor kolom atau sederhananya vektor-m jika ada m baris dan satu kolom. Matriks Baris Baris

Matrisk Matrisk baris adalah salah satu matriks yang memiliki satu baris dan lebih dari satu kolom, yaitu matriks 1 x n, dengan n > 1. Matriks baris sering disebut juga sebagai vektor baris. Matriks Diagonal Diagonal

Matriks diagronal adalah diagronal adalah matrisk persegi dengan aij = 0 untuk semua i ≠ j. Misalkan matriks A berikut

Matriks Identitas Identitas

Matrisk Matrisk identitas identitas adalah matrisk diagonal dengan semua elemen pada diagonal utama sama dengan 1. Matriks identitas atau matriks satuan ini sering ditandai dengan I atau U . Contoh matriks satuan atau matrisk identitas ditulis :

Determinan Determinan matriks

Determinan Determinan suatu matriiks persegi A didfinisikan sebagai det A det A = ∆A =  A Sebagai contoh determinan matriks A persmaan (-3) adalah

Matriks Singular Singular

Matriks Matriks dikatakan dikatakan sebagai matriks singular jika singular jika nilai n ilai determinan matriks tresebut tresebut adalah nol. Jika matriks persegi persegi memiliki memiliki determinan determinan bukan nol, maka matriks matriks tersebut tersebut disebut disebutmatriks matriks nonsingular . Transpose Matriks

Transpose matriks A didefinisikan sebagai matriks hasil pertukaran baris yang beseuaian dan kolom matriks A. Misalkan A merupakan matriks n x m yang digambarkan oleh 9


DTK-FTUI 2007

maka tranpsose dari A ditandai dengan AT diberikan

Contoh -8 :

Perhatikan matriks 2 x 3

Transpose dari A diperoleh dengan mempertukarkan baris dan kolom diperoleh

Beberapa sifat transpose matriks : 1. (AT)T = A 2. (kA)T = kAT, dengan k adalah skalar 3. (A+B)T =AT + BT 4. (AB)T = BTAT

Adjoint Adjoint Matriks

Misalkan A adalah matriks A persegi berorde n. Adjoint n. Adjoint matriks matriks A ditandai

dengan A dengan Aij menunjukkan kofaktor dari aij. Contoh -9 :

Perhatikan matriks 2 x 2 berikut

kofaktor dari A dari A11=a22 , A12= - a21 , A21= - a12 , dan A22=a11. Jadi matriks adjoint dari A adalah

4.3. Aljabar Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua buah matriks A matriks A dan B dan B dapat djumlahkan atau dikurangkan jika kedua matriks berorde sama, yaitu

A ± B = [aij ]n,m ± [bij ]n,m = C =[cij ]n,m

Contoh -10 :

10


DTK-FTUI 2007

Perhatikan matriks berikut

maka jumlah kedua matriks A dan B tersebut adalah

Perkalian matriks Matriks Matriks A dan B dapat dikalikan dikalikan membentuk perkalian perkalian AB jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Dengan kata lain A = [aij ]n,q

dan

B = [bij ]q,m

Maka C = AB = [aij ]n,q [bij ]q,m = [cij ]n,,m Contoh -11 : Diberikan dua buah matriks A = [aij ]2,3

dan

B = [bij ] ,3,1

Maka

Invers Matriks

Dalam aljabar untuk besaran skalar, ketika kita menulis y = ax, maka memeprlakukan bahwa x = y/a adalah benar juga. juga. Dalam Dalam aljabar aljabar matriks, matriks, jika Ax = y

Maka dimungkinkan untuk menulis x = A-1 y

dengan A-1 disebut sebagai invers matriks A. Keadaan A-1 ada nilainya adalah 1. A adal adalah ah matr matriks iks pers perseg egii 2. A har harus us nons nonsin ingu gula lar r 3. Jika A-1, maka harganya adalah

Contoh -11 :

Diberikan matriks

Maka invers matriks A ini adalah

11


DTK-FTUI 2007

Beberapa sifat invers matriks : 1. AA-1 =A-1A = I 2. (A-1)-1= A 3. Dala Dalam m aljaba aljabarr matri matriks ks,, umumn umumnya ya AB = AC Maka B = C 4. Jika Jika A dan B merupak merupakan an matriks matriks pers persegi egi dan non non singula singular, r, maka (AB)-1 = B-1A-1 Rank Matriks Rank matriks A adalah jumlah maksimum kolom tak gayut linear dari A; atau, orde matriks non singular terbesar yang ada dalam A. Contoh -12 :

Berikut beberapa contoh rank matriks

Soal Latihan Latihan :

1. Tentukan alih ragam Laplace untuk fungsi berikut

2. Tentukan alih-ragam Laplace balik untuk fungsi berikut

3. Selesaikan persamaan differensial berikut

dengan x(t) dengan x(t) = e-3t , t > t > 0, dan kondisi awal 4. Tentukan invers matriks dan rank matriks matriks berikut

a.

b. 12


DTK-FTUI 2007

MODEL MATEMATIKA SISTEM FISIK 1. Pendahuluan

Model matematik matematika a adalah diskripsi matematika yang menggambarkan karakteristik atau sifat dinamik suatu sistem. Model matematika juga dapat diartikan sebagai relasi matematika yang menghubungkan keluaran sistem sistem terhadap masukan sistem. sistem. Kerena relasi inilah dinamika dinamika atau karakteristik karakteristik sistem dapat diketahui lewat bentuk bentuk model matematika matematika Barangkali Barangkali yang paling sederhana sederhana untuk dijadikan contoh contoh adalah model sist sistem em fisi fisik k sederha sederhana na yang yang diseb disebut ut hukum hukum Ohm Ohm ( yang yang tepa tepatn tnya ya dise disebu butt model model Ohm Ohm), yang yang menggambarkan fenomena resistansi listrik. Model Ohm diberikan sebagai v(t) = i(t) R Dalam persamaan ini, v(t) adalah tegangan dalam volt, i(t) adalah arus listrik dalam ampere, dan R dan R adalah resistansi dalam ohm. Jika resistansi dihubungkan sumber tegangan, tegangan menjadi masukan sistem dan arus listrik akan mengalis sebagai keluaran sistem. Tahap yang sangat penting dalam analisa sistem dinamik adalah menurunkan model matematika sistem fisik. Dari model ini dapat diselidiki sifat dan karakteristik sistem. Oleh karena itu, menurunkan atau meneta menetapkan pkan model model matem matematik atikaa yang masuk masuk akal akal adalah adalah bagian bagian yang sangat sangat pentin penting g dalam dalam tahap keseluruhan keseluruhan analisis sistem sistem dan perancangan suatu sistem sistem kontrol. Dalam bab ini akan diuraikan diuraikan berbagai model matematika suatu sistem fisik.sederhana untuk dijadikan dasar bagi pemahaman penentuan suatu model matematika 2. Pemodelan Sistem

Dalam kamus IEEE, model matematika suatu sistem didefinisikan sebagai sejumlah sejumlah persamaan matematika yang menggambarkan menggambarkan sistem fisik fisik . Perlu disadari disadari bahwa tidak ada model matematika sistem sistem yang pasti dan sejati yang ditemukan oleh para ahli hanya Allah SWT saja yang mengetahui secara pasti tentang model matematika sustu sistem fisik. Kita hanya dapat meningkatkan keakuratan model dengan meningkatkan kerumitan persamaan, tetapi hal inipun tidak pernah mencapai kepastian. Kita terus melakukan pendekatan pendekatan pendekatan untuk mendekati mendekati model yang pasti dari sistem sistem fisik. Pemodelan Pemodelan ini sangat penting karena 80 sampai 90 persen pengembangan model diperlukan dalam usaha analisa dan perancangan sistem kontrol.

3. Diagram Balok

Dalam subbab lalu konsep fungsi alih untuk sistem tak berubah waktu linear telah diuraikan. Fungsi alih telah didefinisikan didefinisikan sebagai sebagai perbandingan perbandingan alih ragam Laplace keluaran terhadap terhadap alih ragam Lampace masukan dengan anggapan kondisi awal berharga nol. Misalkan C(s) adalah alih ragam Laplace keluaran sistem dan E(s) dan E(s) adalah alih ragam Laplace masukan sistem dan G(s) adalah fungsi alih sistem . Salah satu metde grafis untuk menandai relasi C(s) = G(s)E(s) adalah menggunakan diagram balok seperti diperlihatkan dalam gambar -5.

Gambar -5 Diagram balok

Pada umumnya diagram blok terdiri dari empat jenis elemen : Blok : Blok , titik penjumlahan, titik lepas, dan tanda panah yang menggambarkan arah aliran sinyal seperti diperlihatkan dalam gambar -6 berikut

13


DTK-FTUI 2007

Gambar -6 Definisi diagram balok Diagram Balok Balok Beberapa teori transformasi transformasi Diagram

1. Balok-ba 1. Balok-balok lok Bertingkat Bertingkat Sejumlah balok yang disusun seri dapat dikombinasi dengan perkalian. Sebanyak n komponen atau blok dengan fungsi alih G1 , , G2 , , ... , Gn dikoneksikan secara bertingkat ekivalen dengan satu elemen tunggal G dengan fungsi alih : G = G1.G2.....Gn

Persamaan : y : y =( G1G2 )x

2. Balok-ba 2. Balok-balok lok Paralel Paralel Bentuk diagram balok :

3. Balok 3. Balok Umpan Umpan balik balik

4. Aljabar 4. Aljabar Balok bentuk bentuk lain

14


DTK-FTUI 2007

3.2. Penurunan Diagram Balok Rumit

Diagram blok sebuah sistem kontrol sering kali cukup rumit. Dengan meringkaskan diagram blok rumit akan diperoleh diagram blok bentuk kanonik berikut :

Gambar -7 Bentuk diagram balok kanonik

Berikut definisi yang berkaitan dengan diagram balok kanonik gabar -7 ini : G

= Fungsi alih alih maju

H = Fungsi alih alih umpan balik GH = GH = Fungsi alih alih untaian untaian (loop) (loop) terbuka terbuka C/R= C/R= Fungsi alih alih untaian untaian tertutup tertutup E/R= Perbandi E/R= Perbandingan ngan isyarat isyarat penggerak penggerak Fungsi alih dari diagram kanonik adalah :

Persamaan karakteristik dari sistem adalah

.

Prosedur berikut dapat digunakan untuk meringkaskan diagram blok rumit : 1. Gabungkan semua blok diagram bertingkat. 2. Gabungkan semua blok diagram paralel. 3. Hilangkan semua diagram umpan balik. 4. Geser semua titik penjumlah ke daerah kiri dan titik lepas ke sebelah kanan. 5. Ulangi langkah 1 hingga 4 sampai diperoleh bentuk kanonik. Contoh -5 :

Perhatikan urutan penyederhanaan pada diagram blok berikut

15


DTK-FTUI 2007

Contoh -6 :

Perhatikan penurunan diagram blok berikut untuk menentukan hubungan C/R

Hubungan C/R dapat ditentukan sebagai

Contoh -7 :

Perhatikan langkah-langkah penurunan diagram blok berikut



4. Grafik Aliran Sinyal

Untuk menggambarkan secara grafis hubungan fungsi alih kita apat juga menggunakan Grafik Aliran Sinyal. Graf Grafik ik alir aliran an sinya sinyall atau atau dising disingka katt GAS GAS terdi terdiri ri dari dari suat suatu u jaring jaringan an caba cabangng-ca caba bang ng bera berara rah h yang yang 16


DTK-FTUI 2007

menghub menghubungk ungkan an simpul simpul-si -simpul mpul.. Tiap Tiap simpul simpul menyat menyatakan akan suatu suatu variabe variabell sistem sistem,, dan tiap tiap cabang cabang yang menghubungkan dua buah simpul berfungsi sebagai pengali sinyal. Perlu diketahui bahwa sinyal mengalir hanya satu arah . Arah aliran sinyal ditandai dengan anak panah yang ditempatkan pada cabang tersebut, dan faktor pengali ditunjukkan pada sepanjang cabang tersebut. GAS menggambarkan aliran sinyal dari suatu titik pada sistem ke titik lain dan memberikan hubungan antara sinyal-sinyal tersebut. Berikut beberapa definisi yang perlu diketahui berkaitan dengan GAS : 1. Simpul : Simpul : suatu titik yang menyatakan suatu variabel atau sinyal 2. Transmitasi : penguatan antara dua buah simpul. 3. Cabang : Cabang : segmen garis berarah yang menghubungkan dua buah simpul. 4. Simpul masukan : simpul yang hanya mempunyai cabang berarah ke luar. Simpul ini melambangkan variabel bebas. 5. Simpul keluaran : simpul yang hanya mempunyai cabang berarah masuk. Simpul ini melambangkan melambangkan variabel gayut (dependent (dependent variable). variable). 6. Lintasan Lintasan : jalan yang dilewati dilewati olrh cabang-cabang yang berhubungan berhubungan , pada arah yang ditunjukkan ditunjukkan oleh anak panah cabang. Jika tidak ada simpul yang dilewati lebih dari sekali, maka lintasan ini disebut lintasan terbuka. Jika ujung lintasan mempunyai simpul yang sama dengan pangkal lintasan dan lintasan tidak melewati simpul lebih dari sekali, mka lintasan tersebut adalah lintasan tertutup. 7. Lup : lintasan tertutup 8. Penguatan lup : hasil kali transmitansi-transmitansi cabang pada lup tersebut. 9. Lup-lup tak tak bersentuhan bersentuhan jika tidak memepunyai simpul bersama. 10. Lintasa 10. Lintasan n maju : Lintasan dari simpul masukan ke simpul keluaran dan melewati setiap simpul hanya sekali. 11. Penguatan 11. Penguatan lintasan lintasan maju : hasil kali transmitansi-transmitansi cabang lintasan maju. Berikut ini ekivalensi diagram balok dalam bentuk GAS : C(s)

E(s)

G(s)

E(s)

C(s)

G(s)

Gambar -8 Diagram balok dan GAS

4.1. Formula Mason

Untuk menentukan hubungan masukan – keluaran suatu sistem GAS dapat disederhanakan atau dengan menggunakan aljabar GAS dan formula Mason Penguatan Penguatan keseluruhan keseluruhan suatu sistem dalam GAS ditentukan oleh:

dengan Pk = Penguatan lintasan maju ke-k

∆ = 1 – (jumlah semua penguatan lup) + (jumlah hasil kali penguatan dari semua kombinasi dua lup yang tak bersentuhan) – (jumlah (jumlah hasilkali penguatan semua kombinasi dari tiga lup yang tidak bersentuhan) bersentuhan) + ….. …..

∆k = ∆ dengan menghilangkan lup-lup yang menyentuh lintasan maju ke- k Contoh -8 :

1. Tentukan fungsi alih lup tertutup C(s)/R(s) dari sistem berikut menggunakan GAS : 17


DTK-FTUI 2007

Penyelesaian Penyelesaian : GAS dilukiskan sbb :

Penguatan lintasan maju sejumlah 1: P1 = G1G2 Penguatan lup : L1 = - G1H1 L2 = - G1G2 maka :

Jadi : ∆1 = 1 (karena semua lup menyentuh lintasan 1)

Contoh -9 :

Tentukan fungsi alih lup tertutup C(s)/R(s):

Penyelesaian Penyelesaian : Penguatan lintasan maju :

Penguatan lup-lup:

18


DTK-FTUI 2007

Terlihat tidak ada lup yang tidak saling bersentuhan, sehingga :

Karena semua lup menyentuh lintasan P1, maka :

∆1 = 1 Jadi :

5. Model Sistem Mekanik

5.1. Sistem translasi mekanik Perhatikan sistem Perhatikan sistem pegas-massa-da pegas-massa-daspot spot pada pada gambar berikut

Gambar -9 Sistem pegas-massa-daspot pegas-massa-d aspot

Hukum dasar yang berlaku pada sistem mekanik tersebut adalah hukum Newton. Untuk sistem translasi hukum newton menyatakan bahwa : (-3) dengan m = massa, Kg a = percepatan, m/s F = F = Gaya, N Dengan menerapkan hukum newton pada sistem gambar -9 diperoleh

atau

(-4) dengan menggunakan menggunakan alih-ragam alih-ragam Laplace terhadap persamaan (-4) dengan anggapan bahwa kondisi awal sistem adalah nol, maka diperoleh (-5) dengan mencari perbandingan Y(s) dan X(s) dan X(s) diperoleh fungsi diperoleh fungsi alih alih dari sistem sebagai

(-6)

19


DTK-FTUI 2007

5.2. Sistem Rotasi Mekanik

Sistem rotasi mekanik diperlihatkan gambar -10 berikut :

Gambar -10. Sistem rotasi mekanik Hukum Newton terhadap sistem rotasi menyatakan bahwa : (-7) dengan J = momen inersia,

α = percepatan sudut, τ = torsi,

kg-m2 rad/det2

N-m

dengan menerapkan hukum Newton terhadap gambar -10 diperoleh : (-8) atau :

(-9)

atau :

(-10)

dengan

ω = kecepatan sudut, rad/det D = koefisien gesekan, N-m/rad/det Fungsi alih sistem rotasi mekanik setelah mengalih-ragam Laplace terhadap persamaan (-10) diperoleh : (-11)

5.3.Sistem Hidrolik

Gambar -11 memperlihatkan komponen suatu motor servo hidrolik. Motor servo hidrolik merupakan penguat daya daya hidrolik hidrolik dengan dengan pengontrolan pengontrolan katup katup pandu dan dan aktuator aktuator penggerak ( ). Katup ). Katup pandu pandu adalah suatu katup imbang yang mana semua gaya tekan yang bekerja padanya adalah seimbang. Keluaran daya yang sangat besar dapat dikendalikan dengan katup pandu yang posisinya dapat disetel dengan daya yang kecil. Dengan mendefinisikan bebrapa variabel dan parameter berikut : Q = laju aliran minyak ke silender daya, Kg/det. daya, Kg/det.

∆ P = P1 – P2 = Beda tekanan pada torak daya, N/m daya, N/m2 X = X = Perpindahan katup kontrol, m Dari gambar -4 telihat bahwa Q merupakan fungsi dari dari X X dan dan ∆ P .

Dengan linearisasi persamaan non linear ini didekatkan pada Q’ ; X’ ; ∆ P’ , diperoleh

20


DTK-FTUI 2007

Minyak bertekanan Saluran kuras

tinggi

Saluran kuras

K atub atub Pandu

Input ( X X )

Q Q

Katub utama

OUTPUT O

M M P1

P2

Gambar -11 Sistem motor servo hidrolik Sehingga diperoleh :

Pada gambar -11 tersebut perubahan laju aliran minyak Q minyak Q terhadap waktu adalah sama dengan luas dan perpindahan perpindahan torak daya daya sejauh sejauh m Atau secara matematis Q dt = Aρ dy Sehingga :

Sehingga daya yang bekerja pada torak adalah

dan jika gaya tersebut di kenakan terhadap suatu massa sebesar M dan M dan Viskos ( B) B) maka :

21


DTK-FTUI 2007

atau

Dengan menerapkan alih-ragam Laplace diperoleh

dengan demikian fungsi alih sistem servo hidrolik adalah :

atau

Dalam bentuk diagram blok dapat digambarkan hubungan masukan-keluaran sebagaimana gambar -12 .

X(s)

Y(s) Gambar -12 Diagram balok servo hidrolis

22


DTK-FTUI 2007

6. Sistem Tinggi Muka Cairan

6.1. Hukum-hukum Aliran Fluida Aliran fluida dibagi menjadi dua daerah berdasarkan besarnya bilangan reynold antara lain: 1. Aliran laminer , laminer , bilangan reynold lebih kecil dari 2000 2. Aliran Turbulen , bilangan reynold lebih besar dari 3000-4000 Gambar -13 memperlihatan sistem tiggi muka cairan. Katup kontrol

Q+q

H+

Katub beban

h Kapasitansi C

Q+qo

Tahanan R Tahanan R

Gambar -13. Sistem tinggi muka cairan Keterangan gambar : Q

= laju aliran keadaan tunak (sebelum tejadii perubahan), m3/menit.

Qi

= deviasi kecil laju aliran masuk dari harga keadaan tunaknya, m3/menit.

Qo

= deviasi kecil laju aliran keluar dari harga keadaan tunaknya,m3/menit

H

= tinggi tinggi tekan keadaan tunak, m. m.

h

= deviasi keadaan tinggi dari harga keadaan tunaknya, m.

Tahanan aliran untuk suatu penghalang didefinisikan didefinisikan sebagai perubahan perubahan beda tinggi tinggi muka (beda tinggi muka cairan cairan di dua tangki) tangki) yang yang dieperlukan dieperlukan untuk untuk menimbulan menimbulan satu satuan satuan perubahan perubahan laju laju aliran, aliran, jadi:

Laju aliran yang melalui penghalang merupakan hubungan antara laju aliran keadaan tunak dan tinggi tekan keadaan tunak pada penghalang. 1. Pada alir aliran an Q = KH Dengan Q = laju aliran keadaan tunak cairan, m3/detik. K = K = koefisien, m2/detik. H = H = tinggi tekan keadaan tunak, m. Jika diperhatikan, hukum aliran Laminer analog dengan hukum Coulomb, yang menyatakan bahwa arus berbanding langsung dengan potensial. Untuk aliran luminer, tahanan R tahanan Rl diperoleh sebagai berikut :

23


DTK-FTUI 2007

Tahanan aliran luminer adalah luminer adalah konstanta dan analog dengan tahanan listrik. 2. Pada aliran aliran turbu turbulen len Q = K Dengan

Q = laju aliran keadaan tunak cairan, m3/detik K = K = koefisien , m2/detik H = H = tinggi tekan keadaan tunak, m.

Tahanan R Tahanan Rt untuk aliran turbulen diperoleh dari :

Harga tahanan aliran turbulen bergantung pada laju aliran dan tinggi tekan. Kapasitansi C dari C dari suatu tangki didefinisikan sebagai perubahan jumlah cairan yang tersimpan, yang diperlukan untuk menimbulkan satu satuan potensial (tinggi tekan) (Potensial adalah besaran yang menunjukkan tingkat energi energi sistem).

Suatu sistem dapat dianggap linier jika alirannya adalah laminer. Sekalipun alirannya adalah turbulen, sistem dapat dilinierkan jika perubahan harga varibel-variabelnya adalah kecil. Persamaan deferensial sistem ini dapat diperoleh sengai berikut : Karena aliran masuk dikurangi dikurangi aliran keluar selama selama selang selang waktu waktu ke alat alat adalah sama dengan jumlah jumlah penambahan penambahan cairan cairan yang tersimpang tersimpang dalam tangki, tangki, lihat lihat bahwa; bahwa;

Dari definisi tahanan, hubungan antara qo dan h diberikan oleh

Persamaan diferensial sistem ini untuk harga R harga R yang konstan menjadi

(-12) dengan RC dengan RC adalah adalah konstan waktu. Dengan mencari alih ragam Laplace Laplace kedua ruas persamaan (-12), dengan menganggap syarat awal nol, kita peroleh: dengan jika qi dianggap sebagai masukan dan h sebagai keluaran, maka fungsi alih sistem adalah

Meskipun demikian, jika qo diambil sebagai keluaran dan memasukkan masih sama, maka fungsi alihnya menjadi

Dimana kita telah menggunakan hubungan berikut

24


DTK-FTUI 2007

7. Sistem Elektro Mekanik Dalam sub bab ini akan diuraikan dua model sistem elektromekanik yang berbeda yaitu Generator DC dan Servomotor DC.

Gambar -15 Generator DC 7.1 Generator DC Genera Generator tor DC diangga dianggap p dikemud dikemudii oleh oleh sumber sumber energi energi yang disebut disebut pengger penggerak ak mula, mula, yang memiliki memiliki kemampuan yang cukup sedemikian hingga beban listrik terhadap generator tidak mempengaruhi kecepatan generator. Anggapan yang lain adalah bahwa generator berputar pada kecepatan yang konstan. Diagram rangkaian generator diperlihatkan dalam gambar -15. Persamaan arus medan adalah

(-13) dengan ketergantungan terhadap waktu diabaikan untuk penyederhanaan. Dalam persamaan (-13) ini, e f adalah tegagan medan dan diangggap sebagai masukan sistem. Arus medan adalah i f, Resistansi kumparan medan adalah R adalah R f , dan induktansi kumparan medan adalah Lf . Persamaan arus jangkar adalah

(-14) dengan e g adalah tegagan yang dibangkitkan dalam rangkaian jangkar, i f , adalah arus jangkar, ea adalah teganga tegangan n termina terminall jangkar, jangkar, dan Ra dan La adalah adalah masing masing-ma -masing sing resist resistansi ansi dan induktan induktansi si jangkar jangkar.. Persamaan yang menghubungkan tegangan yang dibangkitkane dibangkitkan e g terhadap fluks medan φ adalah

(-15) dalam persamaan ini, K adalah parameter yang ditentukan oleh struktur fisik generator dan d θ θ /dt adalah kecepatan sudut jangkar. Karena memiliki besar yang tetap dan karena fluks φ adalah berbanding lurus dengan arus medan if, maka tegangan, dari persamaan (-15), dapat dinyatakan sebagai (-16) Dengan anggapan semua kondisi awal berharga nol, alih ragam Laplace terhadap persmaan (-14) dan (-16) diperoleh (-17) (-18) Persamaan untuk arus jangkar ditulis menggunakan pendekatan impedansi. Misalkan Z Misalkan Z a(s) adalah impedansi rangkaian jangkar dan Z dan Z l l(s) ( s) adalah impedansi beban generator, maka diperoleh

(-19) dan (-20) Fungsi alih generator dapat diperoleh dengan menyusun persamaan diatas dalam bentuk hubungan keluaran masukan seperti diperlihatkan dalam diagram balok gambar -16. 25


DTK-FTUI 2007

Gambar -16 Diagram balok generator Karena Karena tidak tidak ada lup dalam diagram diagram balok gambar gambar -16, maka fungsi fungsi alih alih merupaka merupakan n perkali perkalian an dari dari penguatan penguatan keempat balok yaitu yaitu

(-21)

7.3. Motor Servo Motor servo merupakan motor DC yang dirancang secara khusus untuk digunakan dalam sistem kontrol lup tertutup. Diagram rangkaian motorservo diperlihatkan dalam gambar -17.

Gambar -17 Motor servo Dalam gambar -17 ea(t) adalah tegangan tegangan jangkar, yang dianggap sebagai sebagai masukan sistem. sistem. Resistansi Resistansi dan induktansi induktansi rangkaian rangkaian jangkar masing-masing masing-masing adalah R m dan Lm. Tegangan em(t) adalah tegangan yang dibangkitkan dibangkitkan dalam kumparan jangkar karena gerakan gerakan kumparan kumparan dalam medan magnet motor dan biasanya disebut GGL-balik. Oleh karena itu kita dapat menulis persmaan sebagai

dengan K adalah parameter motor, φ adalah fluks magnetik dan θ adlah sudut poros motor, sehingga d θ θ /dt adalah kecepatan sudut poros. Dengan menganggap φ memiliki harga tetap, maka

(-22) Alih ragam Laplace persamaan (-22) diperoleh (-23) Untuk rangkaian jangkar diperoleh persmaan

atau

(-24) Persamaan torsi yang dihasilkan adalah (-25) karena fluks dianggap tetap. Alih ragam Laplace terhadap persamaan (-25) diperoleh (-26)

26


DTK-FTUI 2007

Persamaan terakhir ditentukan dari jumlah torsi terhadap jangkar motor. Dalam gambar -17, momen inersia J termasuk semua inersia yang dihubungkan dengan poros motor, dan B termasuk gesekan udara dan gesekan poros. Persmaan torsi adalah

dan dapat ditulis dalam bentuk alih ragam Laplace sebagai

Dengan menyelesaikan ini untuk sudut poros motor diperoleh

(-27) Diag Diagra ram m balok balok dapat dapat disus disusun un dari dari empat empat persa persama maan an yait yaitu u persa persama maan an (-23) (-23),, (-24) (-24),, (-26) (-26) dan dan (-27) (-27) sebagimana diperlihatkan gambar -18.

Gambar -18 Diagram balok motor servo Dengan menggunakan formula Mason dapat diperoleh fungsi alih sebagai

Pendekatan yang sering dibuat untuk motor servo adalah mengabaikan induktasi jangkar. Untuk kasus Lm adalah cukup kecil, fungsi alih motor servo berupa orde kedua yaitu

Perhatikan bahwa fungsi alih ini bergantung pada inersia dan gesekan beban yang dikendalikan oleh motor.

27


DTK-FTUI 2007

Soal Latihan : -1. Untuk rangkaian dalam gambar S-1, tentukan fungsi alih tegangan V2(s)/V1(s). -2. Perhatikan rangkaian gambar S-2. (a) Tentukan Tentukan fungsi fungsi alih alih tegangan tegangan V2(s)/V1(s) (b) (b) Andai Andaika kan n indukt induktor or L2 disamb disambungk ungkan an menyebe menyeberang rang pada pada termina terminall keluar keluaran an paralel paralel dengan dengan R 3. Tentukan fungsi alih tegangan V2(s)/V1(s) (c) Teganga Tegangan n masukan masukan tetap 10 V dimasuk dimasukkan kan ke rangkaia rangkaian. n. Menggu Menggunaka nakan n teori teori nilai nilai akhir akhir dari dari alih alih ragam Laplace , tentukan harga keadaan mantap tegangan keluaran untuk rangkaian (a) dan (b).

Gambar S-1 Rangkaian soal -1

Gambar S-2 Rangkaian soal -2

-3. Gunakan dua prosedur yang berbeda untuk mendapatkan fungsi alih diagram balok seperti diperlihatkan gambar S-3.

Gambar S-3. Diagram balok soal -3 -4. Gunakan formula Mason untuk mendapatkan fungsi alih C/R grafik aliran sinyal gambar S-4.

28


DTK-FTUI 2007

ANALISA TANGGAPAN TRANSIEN 1. Sistem Orde Pertama

Diagram balok suatu sistem orde pertama diperlihatkan gambar -1.

Gambar -1 Diagram balok sistem orde pertama Fungsi alih sistem orde pertama adalah :

Tanggapan sistem ini untuk u ntuk masukan impulsa : Untuk masukan fungsi impulsa satuan R(s) satuan R(s) = 1, diperoleh keluaran

atau dalam fungsi waktu sebagai

Tanggapan untuk masukan impulsa terhadap sistem orde pertama diperlihatkan pada gambar -2

Gambar -2 Tanggapan impulsa sistem orde pertama

Tanggapan sistem untuk masukan tangga : Alih ragam Laplace untuk fungsi tangga adalah R(s) adalah R(s) = 1/s. 1/s. Tanggapan sistem orde pertama untuk masukan tangga sebagai berikut :

29


DTK-FTUI 2007

sehingga keluaran sistem dalam fungsi waktu adalah

Kesalahan sistem e(t) adalah :

Kesalahan keadaan tunak

:

Kurva tanggapan sistem orde satu untuk masukan tangga diperlihatkan gambar -3.

Gambar -3 Tanggapan tangga sistem orde satu

Tanggapan sistem untuk masukan tanjak : tanjak : Alih ragam Laplace untuk fungsi tanjak R(s) tanjak R(s) = 1/s2. Tanggapan sistem orde satu untuk masukan tanjak sebagai berikut

sehingga

Kurva tanggapan sistem orde satu untuk masukan tangga diperlihatkan gambar -4.

30


DTK-FTUI 2007

Gambar -4 Tanggapan tanjak sistem orde pertama Kesalahan tanggapan :

Kesalahan keadaan tunak

:

2. Sistem Orde Kedua

Meskipun Meskipun sesungguhnya sesungguhnya sistem kontrol orde kedua jarang terdapat terdapat dalam praktik, praktik, namun analisa sistem orde kedua akan membant membantu u dalam dalam membent membentuk uk dasar dasar pemaham pemahaman an analis analisa a dan peranca perancangan ngan sistem sistem kontrol. Sistem kontrol orde kedua digambarkan dalam bentuk diagram balok seperi diperlihatkan gambar -5. -5.

R(s)

C(s)

-

Gambar -5. Prototipe sistem orde kedua Fungsi alih lup terbuka sistem orde kedua adalah

dengan ζ dan ω n adalah tetapan nyata. Sedangkan fungsi alih tertutupnya sebagai

Tanggapan terhadap fungsi tangga diperoleh dengan mengganti R(s) mengganti R(s) = 1/s, yaitu sebagai berikut

Dengan mengalih ragam Laplace diperoleh

(-1) Suatu rumpun kurva c(t) dengan berbagai ζ ditunjukkan gambar -6.

31


DTK-FTUI 2007

Gambar -6 Kurva tanggapan tangga sistem orde kedua

Spesifikasi Tanggapan Wawasan waktu

Untuk Untuk sistem sistem kontrol kontrol linear, linear, menentu menentukan kan karakte karakteris ristik tik dari tanggapa tanggapan n transie transien n sering sering dilakuka dilakukan n menggunakan menggunakan fungsi tangga-satuan tangga-satuan (Unit-Step) Unit-Step) sebagai sebagai masukan. masukan. Tanggapan Tanggapan dari suatu sistem sistem kontrol kontrol ketika ketika masuka masukan n berupa berupa fungsi fungsi tangga-s tangga-satu atuan an disebu disebutt unit-step Berdasarka arkan n acuan acuan terhada terhadap p unit-step response response.. Berdas tanggapan tangga satuan, kriteria performans yang umum dipakai untuk memberi ciri sistem kontrol linear dalam wawasan waktu sebagai berikut 1. Lewatan Maksimum (Maximum Overshoot)

Misalkan c(t) adalah tanggapan tangga-satuan. Misalkan juga cmax menandai menandai nilai maksimum dari c(t), dan css adalah nilai keadaan mantap c(t). Maximum overshoot didefinisikan sebagai maximum overshoot = overshoot = cmax - css Maximum overshoot sering digambarkan dalam prosentase nilai akhir, yaitu

Prosentase lewatan maksimum = Lewatan maksimum sering digunakan sebagai ukuran stabilitas nisbi dari sistem pengaturan. Sistem dengan lewatan yang besar biasanya tidak dikehendaki.

2. Waktu tunda.

Waktu tunda t d d didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan oleh tanggapan langkah untuk mencapai 50 persen persen dari harga harga akhir

3. Waktu naik .

Waktu naik tr didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan oleh tanggapan langkah untuk naikdari 10 hingga 90 persen dari harga akhir

4. Waktu penetapan.

Waktu penetapan ts didefinisikan didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan oleh tanggapan tanggapan langkah untuk berkurang dan bertahan pada persentase tertentu dari harga akhir. Seringkali harga ini sebesar 5 %. Empat besaran diatas memberi ukuran karakteristik peralihan suatu sistem pengaturan dalam bentuk tanggapan tangga-satu seperti gambar -7. Secara analitik, besaran-besaran ini sulit ditetapkan, kecuali untuk sistem sederhana dengan orde rendah.

32


DTK-FTUI 2007

Gambar -7 Tanggapan sistem orde kedua Berikut ini harga untuk spesifikasi sistem orde dua untuk masukan tangga-satu : 1. Waktu naik (t naik (tr ) Berdasarkan persamaan (-1) , waktu naik tr diperoleh dengan menyatakan c(tr ) = 1 atau

(-2) karena

, dari persamaan (-2) diperoleh persamaan berikut

atau

Jadi waktu naik, tr adalah

dengan

2. Waktu puncak (t puncak (t p) Dari persamaan (-1), waktu puncak dapat diperoleh dengan menurunkan c(t) terhadap waktu dan menyatakan turunan ini sama dengan nol, atau

ini menghasilkan persamaan berikut : atau 33


DTK-FTUI 2007

Karena waktu puncak berkaitan dengan lewatan puncak pertama, maka

. Sehingga

3. Lewatan 3. Lewatan maksimum maksimum (M p) Lewatan maksimum terjadi pada waktu puncak atau pada t = t p =π/ω d. Jadi dari persamaan (-1), M p diperoleh sebagai

4. Waktu penetapan (ts) Waktu penetapan untuk 0 < ζ < 0,9 dan menggunakan kriteria 2% adalah

Kurva hubungan antara lewatan maksimum M p dan rasio redaman diperlihatkan gambar -8.

Gambar -8 Kurva M p terhadap ζ

Tanggapan Impulse sistem orde kedua : Untuk masukan impulsa satuan r(t), r(t), alih ragam Laplace adalah satu, atau R(s) = 1. Tanggapan impulsa satuan C(s) sistem orde kedua yang ditunjukkan gambar -5 adalah

Alih ragam Laplace balik dari persamaan ini menghasilkan jawab waktu untuk tanggapan c(t) sebagai berikut : untuk

34


DTK-FTUI 2007

Untuk ζ = 1,

Untuk ζ > 1,

Tangga Tanggapan pan impuls impulsaa ini dapat dapat juga juga dicari dicari dengan dengan menurun menurunkan kan tanggapa tanggapan n tangga tangga satuan satuan karena karena fungsi fungsi impulsa satuan adalah turunan waktu dari fungsi tangga satuan. Suatu keluarga kurva tanggapan impulsa satuan yang diberikan oleh persamaan diatas dengan bermacam-macam harga ζ ditunjukkan gambar -9. Kurva c(t)/ω n digambar terhadap variabel tak berdimensi ω nt, sehingga kurva ini hanya merupakan fungsi dari ζ. Untuk kasus redaman kritis dan redaman lebih, tanggapan impulsa satuan selalu positif atau nol; yang berarti berarti c(t)

Gambar -9 Tanggapan sistem orde kedua terhadap variasi ζ Contoh -1 :

Diberikan sistem dengan fungsi alih :

Tentukan tanggapan sistem saat masukan sistem berupa tangga satuan (unit (unit step) step) Penyelesaian Penyelesaian : Keluaran sistem dalam bentuk alih ragam Laplace :

sehingga tanggapan sistem :

Bila disketsa diperoleh gambar terlihat dalam gambar -10.

35


DTK-FTUI 2007

Gambar -10 Sketsa dari c(t) contoh -1 Contoh -2 :

Suatu sistem dengan diagram balok sebagaimana diperlihatkan dalam gambar -11.

Gambar -11 Sistem orde kedua contoh -2 Tentukan a. Rasio redaman sistem dan frekuensi alamiah b. Lewatan Lewatan maksimum, maksimum, waktu waktu naik naik dan waktu waktu penetapan penetapan

Penyelesaian Penyelesaian : Fungsi alih lup tertutup sistem :

Sehingga persamaan karakteristik sistem orde dua :

a. Rasio Rasio redaman redaman dan frekuen frekuensi si alamiah alamiah ditentu ditentukan kan sebagai sebagai berikut berikut dan Maka diperoleh rasio redaman ζ = 0,7071 sedangkan frekuensi alamiah ω n = 7,0711 b. Lewatan Lewatan maksimum maksimum , waktu waktu naik dan dan waktu waktu penetapan penetapan ditentukan ditentukan sebagai sebagai berikut berikut Lewatan maksimum :

Waktu naik :

dengan

36


DTK-FTUI 2007

sehingga

Waktu penetapan :

Sistem Orde Orde Tinggi

Untuk menggambarkan tanggapan sistem orde tinggi akan dijelaskan tanggapan sistem orde ketiga yang memiliki fungsi alih sebagai

Pengaruh pole sumbu nyata lup tertutup pada –p < 0 terhadap lewatan maksimum dan waktu naik sistem dilukiskan dalam gambar -12 dan -13. Untuk harga

lewatan dan waktu naik mendekati sistem orde kedua yang berisi hanya pole pasangan kompleks. Oleh karena itu p dapat diabaikan saat menentukan lewatan dan waktu naik jika ζ > 0,5 dan p > 5ζωn.

Gambar -12 Pengaruh pole Pengaruh pole p p terhadap lewatan maksimum

37


DTK-FTUI 2007

Gambar -13 Pengaruh pole Pengaruh pole p p terhadap waktu naik Soal Latihan Latihan :

-1 Sistem lup tertutup memiliki fungsi alih :

Jika masukan sistem berupa fungsi tangga dan impulsa tentukan tanggapan c(t) dan gambarlah fungsi tanggapan. -2 Perhatikan sistem dengan diagram balok sebagai berikut

a. Tentukan

b. Jika G1 = 10 ,

,

,

dan sinyal dan sinyal referensi referensi r(t) = e-t Tentukan sinyal keluaran c(t)

38

Dasar Matematik Untuk Sistem Kontrol

Recommend Documents