CURVAS DE TRANSICIÓN EN CARRETERA CARRETERAS. S. En un trazado donde solo se emplean rectas y círculos, la curvatura pasa bruscamente desde cero en la tangente hasta el valor finito y constante en la curva. Esta discontinuidad discontinuidad de curvatura en el punto de unión de los alineamientos rectos con las curvas circulares no puede aceptarse en un trazado racional, pues además de ser incomoda para el conductor puede ser causa de accidentes debido a la fuerza centrifuga. Por otra parte, para alcanzar en la curva circular la inclinación transversal transversal de la vía en las curvas llamada peralte requerido a todo lo largo de ella, debe pasarse de la inclinación transversal hacia ambos lados del eje de la vía en la parte recta llamada bombeo del alineamiento recto de dicho peralte. De estas consideraciones surge la necesidad de emplear un alineamiento de transición entre los alineamientos rectos y curvos de una carretera, a través del cual la curvatura pase gradualmente gradualmente desde cero hasta el valor finito de la curvatura circular, a la vez que la inclinación transversal de la calzada pase también paulatinamente desde el bombeo al peralte.
En las carreteras modernas, la transición de un elemento de tanta importancia como el circulo y la recta. Su uso se hace obligatorio para evitar ópticas de los bordes de la vía, a la vez de la necesidad de adaptar el trazado a la configuración del terreno al comportamiento usual que la mayoría de los conductores induce a su empleo. Diversos procedimientos se han utilizado para efectuar la transición de la curvatura entre los alineamientos rectos y circulares. Es así que el enlace de dos alineamientos rectos se puede realizar mediante el uso del arco de circulo de radio precedido y seguido por una curva de transición de radio variable, o utilizando las curvas de transición sin arco de círculos intermedios. Cualquiera que sea el procedimiento que se seleccione para realizar la transición de una carretera, esta debe satisfacer los requerimientos requerimientos exigidos por la dinámica del movimiento, movimiento, la maniobrabilidad maniobrabilidad del vehiculo, el confort del conductor y la geometría del trazado
GEOMETRIA DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN. En un trazado donde sólo se emplean rectas y círculos, la curvatura pasa bruscamente desde cero en la tangente hasta un valor finito y constante en la curva. Esta discontinuidad de curvatura en el punto de unión de los alineamientos rectos con las curvas circulares no puede aceptarse en un trazado racional, pues además de ser incomoda para el conductor puede ser causa de accidentes debidos a la fuerza centrifuga. Por otra parte, para alcanzar en la curva circular el peralte (inclinación transversal transversal de la vía en las curvas) requerido a todo lo largo de ella, debe pasarse del bombeo (inclinación transversal transversal hacia ambos lados del eje de la vía en la recta) del alineamiento recto a dicho peralte. De estas consideraciones surge la necesidad de emplear un alineamiento alineamiento de transición entre los alineamientos alineamientos rectos y curvos de una carretera, a través del cual la curvatura pase gradualmente gradualmente desde cero hasta el valor finito de la curva circular, a la vez que la inclinación transversal de la calzada pase también paulatinamente desde el bombeo al peralte. En las carreteras modernas, la transición es un elemento de tanta importancia como el círculo y la recta. Su uso se hace obligatorio para evitar ópticas de los bordes de la vía, a la vez de la necesidad de adaptar el trazado a la configuración del terreno al comportamiento usual que la mayoría de los conductores induce a su empleo. Diversos procedimientos se han utilizado para efectuar la transición de la curvatura entre los alineamientos rectos y circulares. Es así que el enlace de dos alineamientos rectos se puede realizar mediante el uso del arco de circulo de radio R precedido y seguido por una curva de transición de radio variable, o utilizando las curvas de transición sin arco de círculos intermedios. Cualquiera que sea el procedimiento que se seleccione para realizar la transición, esta debe satisfacer los requerimientos exigidos por la dinámica del movimiento, la maniobrabilidad del vehículo, el confort del conductor y la geometría del trazado. LA CLOTOIDE COMO CURVA DE TRANSICIÓN. Numerosas curvas satisfacen los requerimientos de
regulación citados, a través de una variación uniforme de la curvatura deberá ser proporcional a algún elemento de la curva de transición. Entre las curvas de transición más frecuentemente empleadas pueden citarse la espiral de Cornu o Clotoide, el óvalo, la lemniscata de Bernoulli, la parábola cúbica, etc. De todas estas, la más ampliamente utilizada en carreteras es la Clotoide; su forma se ajusta a la de la trayectoria recorrida por un vehículo que viaja a velocidad constante constante y cuyo volante es accionado en forma uniforme. La Clotoide fue analizada en el año de 1860 por Maxvon Leber, e introducida en la práctica de la ingeniería por L. Oerly en el año 1937.
Curvas de transición. 4.4.1 Funciones.
Las
cur curvas de transición tie tienen por objeto evitar las discontinuidades en la curvatura de la traza, por lo que, en su diseño deberán ofrecer las mismas condiciones de seguridad, comodidad y estética que el resto de los elementos del trazado.
4.4.2 Forma y características.
Se
adoptará en todos los casos como curva de transición la clotoide, cuya ecuación intrínseca es: R·L = A2
Siendo: R = radio de curvatura en un punto cualquiera. • L = longitud de la curva entre su punto de inflexión (R = infinito ) y el punto de radio R. • A = parámetro de la clotoide, característico de la misma. •
Otros valores a considerar son (figura 4.1): Figura 4.1 Curva de transición.
Ro = radio de la curva circular contigua. • Lo = longitud total de la curva de transición. • ∆ Ro= retranqueo de la curva circular. Xo, Yo = coordenadas del punto de unión de la clotoide y • de la curva circular, referidas a la tangente y normal a la clotoide en su punto de inflexión. • Xm, Ym = coordenadas del centro de la curva circular (retranqueada) respecto a los mismos ejes. • α L = ángulo de desviación que forma la alineación recta del trazado con la tangente en un punto de la clotoide. En radianes: α L = L/2·R En grados centesimales: α L = 31,83 ·L /R α Lo = ángulo de desviación en el punto de tangencia con la • curva circular. Ω = ángulo entre las rectas tangentes a dos clotoides • consecutivas en sus puntos de inflexión. V = vértice, punto de intersección de las rectas • tangentes a dos clotoides consecutivas en sus puntos de inflexión, T = tangente, distancia entre el vértice y el punto de • inflexión de una clotoide. B = bisectriz, distancia entre el vértice y la curva • circular. •
o
o
4.4.3 Longitud mínima.
La
longitud de la curva de transición deberá superar la necesaria para cumplir las limitaciones que se indican a continuación.
4.4.3.1 Limitación de la variación de la aceleración centrífuga en el plano horizontal.
La variación de la aceleración centrífuqa no compensada por el peralte deberá limitarse a un valor J aceptable desde el punto de vista de la comodidad.
Suponiendo a efectos de cálculo que la clotoide se recorre a velocidad constante igual a la velocidad específica de la curva circular asociada de radio menor, el parámetro A en metros, deberá cumplir la condición siguiente:
Siendo: Ve = Velocidad especifica de la curva circular asociada de radio menor (km/h) • J = Variación de la aceleración centrifuga (m/s3) R1 = Radio de la curva circular asociada de radio mayor • (m) R0 = Radio de la curva circular asociada de radio menor • (m) p1 = Peralte de la curva circular asociada de radio mayor • (%) p0 = Peralte de la curva circular asociada de radio menor • (%) •
Lo que supone una longitud minima (Lmin) de la clotoide dada por la expresión:
A efectos prácticos, se adoptarán para J los valores indicados en la tabla 4.5, debiendo sólo utilizarse los valores de Jmáx cuando suponga una economía tal que justifique suficientemente esta restricción en el trazado, en detrimento de la comodidad. TABLA 4.5 Ve (km/h) Ve < 80 80 < Ve < 100 100 < Ve < 120 120 < Ve J (m/s³)
0,5
0,4
0,4
0,4
Jmáx (m/s³)
0,7
0,6
0,5
0,4
4.4.3.2 transversal.
Limitación
de
la
variación
de
la
pendiente
A efectos de aplicación de la presente Norma, la variación de la pendiente transversal se limitará a un máximo del cuatro por ciento (4 %) por segundo para la velocidad específica de la curva circular asociada de radio menor. 4.4.3.3 Condiciones de percepción visual.
Para
que la presencia de una curva de transición resulte fácilmente perceptible por el conductor, se deberá cumplir simultáneamente que: La variación de acimut entre los extremos de la clotoide sea mayor o igual que 1/18 radianes. • El retranqueo de la curva circular sea mayor o igual que cincuenta centímetros (50 cm). •
Es decir, se deberán cumplir simultáneamente las siguientes condiciones: • •
Lmin = Ro/9 ------> Amin = Ro/3 Lmin = 2·(3·Ro)1/2 ------> Amin = (12·Ro3)1/4
Siendo: • •
Lmin = longitud (m). Ro = radio de la curva circular (m).
Por otra parte, se recomienda que la variación de acimut entre los extremos de la clotoide, sea mayor o igual que la quinta parte del ángulo total de giro entre las alineaciones rectas consecutivas en que se inserta la clotoide (figura 4.1).
Es decir: Lmin = (π ·Ω ·Ro)/500 ------> Amin = Ro·(π ·Ω /500) 1/2
Siendo: • • •
Lmin = longitud (m). Ro = radio de la curva circular (m), Ω = ángulo de giro entre alineaciones rectas (gon).
4.4.4 Valores máximos.
Se recomienda no aumentar significativamente las longitudes y parámetros mínimos obtenidos en el apartado 4.4.3 salvo expresa justjustificación en contrario. La longitud máxima de cada curva de acuerdo no será superior a una vez y media (1,5) su longitud mínima. Cuando un vehículo se desplaza por una recta sus ocupantes sólo perciben la sensación de movimiento hacia adelante, producida por la fuerza de impulsión del motor, y, ocasionalmente, la aceleración o deceleración provocada por las maniobras de otros vehículos o por subidas o bajadas en el recorrido. De cualquier manera, el movimiento conserva una única dirección, sin provocar ninguna sensación de inseguridad debido a ello. Sin embargo, cuando el mismo vehículo se adentra en una curva horizontal ocurre un fenómeno generalmente malinterpretado por los estudiosos del diseño de vías. Para que el vehículo siga la trayectoria curva es necesario que se produzca una aceleración dirigida hacia el centro de la curva. Esta aceleración, denominada aceleración centrípeta (“hacia el centro”, literalmente), es el resultado del giro de los neumáticos del vehículo, que son los que transmiten la fuerza del motor. Es bueno aclarar que no se trata de una fuerza, sino de una aceleración, que también es un vector y que, como ya se dijo va dirigido hacia el centro de la curva, que vamos a suponer que es circular. Lo que sucede es que para los ocupantes del vehículo (que no conforman un cuerpo rígido con él), el cambio de trayectoria es percibido de manera diferente. Si la fricción entre los pantalones (o lo que sea que lleven puesto) y la silla del auto no es suficientemente grande, las personas tienden a seguir su recorrido en línea recta, por inercia diría Newton -de acuerdo a su Primera Ley-, hasta que sean detenidos por alguna parte del vehículo, como la puerta en el caso del conductor; esto es sentido como si existiera una fuerza que quisiera tirarnos hacia afuera de la curva y es lo que muchas personas llaman “fuerza centrífuga” (“hacia afuera del centro”), pero tal fuerza - en un
del diseño geométrico.
marco de referencia inercial- no existe, es una “fuerza ficticia” y no debe ser incluida en los análisis que conllevan a los caĺculos
Para aclarar un poco el asunto miremos esta gráfica de Newtonian Physics, un libro de física escrito por Benjamin Crowell que se puede descargar libremente (con licencia Creative Commons Share Alike) en el proyecto Ligth and Matter :
1. Cuando se toma como referencia el auto que gira (marco de referencia no inercial), la bola de bolos parece violar las leyes de Newton porque aparentemente se acelera hacia afuera y esa aceleración no es el resultado de una fuerza de interacción con otro objeto. 2. En un marco de referencia inercial, como la superficie de la Tierra, la bola obedece la primera ley de Newton. Ninguna fuerza actúa sobre ella, por lo tanto continua moviéndose en línea recta. Es el vehículo quien está participando en una interacción con el asfalto y se ve sometido a una aceleración (la centrípeta), siguiendo la segunda ley de Newton. Dejemos la discusión de lado un momento y pasemos a definir dos conceptos que nos van a ayudar más adelante: Curvatura: Se entiende como el inverso del radio de la
curva circular . En recta la curvatura es cero porque el radio se hace infinito, mientras que para una curva de radio Rc se presenta una curvatura igual a 1/Rc. Cuando un vehículo llega a una curva circular simple experimenta una variación repentina de la curvatura, de cero a 1/Rc, en el punto de inicio de la curva (PC), que se mantiene igual a lo largo de toda la curva hasta que termina de nuevo intempestivamente en el PT. La aceleración centrípeta es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del vehículo e inversamente proporcional al radio de la curva, entonces se tiene que . Cuando se ingresa en una curva también se presenta un cambio en la aceleración centrípeta, tanto en el PC como en el PT, pasando de una aceleración nula en recta a una definida como en la curva de radio Rc. Aceleración centrípeta:
Volviendo a lo que veníamos, tenemos certeza de una cosa: cuando uno conduce el vehículo siente que se va a salir de la curva (especialmente si la velocidad que trae es
más alta que la que permite la curva) y reacciona aplicando la dirección hacia adentro de la curva con mayor vigor, provocando que la trayectoria que sigue el auto no describa en realidad una curva circular, causando además una situación potencial de accidente porque invade el carril en el que circulan los vehículos en sentido contrario (en una carretera de dos carriles y dos sentidos). Para remediar esto se han venido utilizando curvas de transición entre la recta y la curva circular que apaciguan la sensación causada por la curvatura y por la aceleración centrípeta. •
Ver gráfica de la trayectoria no circular en una curva circular
Estas curvas de transición deben cumplir un objetivo claro: La transición de la curvatura y la de la aceleración centrípeta debe ser constante a lo largo del desarrollo de la curva de transición . Es decir, el radio debe disminuir en una proporción constante a medida que se avanza en la curva, al tiempo que la aceleración centrípeta aumenta.
Las anteriores gráficas muestran la transición gradual de la curvatura y la aceleración centrípeta entre el tramo recto (tangente) y la curva circular utilizando una curva de transición, tanto a la entrada como a la salida, como se observa en el esquema de la curva. Los puntos son: TE (Tangente – Espiral), EC (Espiral – Circular), CE (Circular – Espiral) y ET (Espiral – Tangente). Clotoide o Espiral de Euler
Llamemos a la longitud de la curva de transición y al radio de la curva circular en la que terminará. será la aceleración centrípeta como ya la habíamos definido y la velocidad de diseño de la vía (se supone que los vehículos circulan a esa velocidad).
Siguiendo el objetivo propuesto para la transición, la variación de la aceleración centrípeta por unidad de longitud está dada por:
Para un punto P dentro de la curva de transición, que está a una distancia desde el comienzo de la curva (punto TE), y al cual le corresponde un radio , la aceleración centrípeta es:
simplificando Pero y son constantes, de manera que su producto se puede denominar , y obtenemos la ecuación de un clotoide, o espiral de Euler, donde K es el parámetro de la espiral:
En esta ecuación R es inversamente proporcional a L, es decir, el radio disminuye de manera proporcional al aumento de la longitud recorrida sobre la curva de transición, que era exactamente lo que se buscaba, pues al disminuir el radio, crece la aceleración centrípeta también en forma gradual. Elementos geométricos de la espiral
La curva espiral de transición se puede definir en función de los siguientes elementos: x, y: Coordenadas rectangulares de un punto p (cualquier punto sobre la espiral), referidas a los ejes x e y, donde el eje x coincide con la tangente (la parte recta) y el eje y es perpendicular a ella. El origen de estas coordenadas es el punto TE para la espiral de entrada y el punto ET para la de salida, con dirección positiva hacia el PI -para el eje x- y hacia el centro de la curva (O) -para el eje y-. θ: Ángulo de deflexión principal para el punto p (De nuevo, el punto p es un punto cualquiera sobre la curva y no debe ser confundido con el punto paramétrico, que es aquel en el que R=L). Éste ángulo se mide entre el alineamiento recto y una recta tangente a la espiral que pase por el punto p. θe: Ángulo de deflexión principal de la espiral. También es el ángulo que se forma entre una línea perpendicular a la tangente en el punto TE (donde R=∞) y el radio de la curva circular (Rc). θp: Ángulo paramétrico, es decir, la deflexión principal para el punto en el que R=L. R: Radio correspondiente al punto p. Rc: Radio de la curva circular simple que sigue a la espiral.
L: Longitud recorrida sobre la espiral desde el TE hasta el punto p. dL: Sección infinitesimal de la curva espiral. dθ: Elemento infinitesimal (diferencial) del ángulo de deflexión principal. Suponiendo que en una sección infinitesimal la espiral se comporte como un arco circular se tiene (en este caso dθ está en radianes, por ende θ también está en radianes):
pero
, es decir,
entonces de donde
, o lo que es igual que
, o también .
. Recordemos
Si queremos encontrar θ en grados sexagesimales, aplicamos los factores de conversión correspondientes: y
