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Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected]

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

CONTEÚDOS BÁSICOS PARA UM MELHOR DESENVOLVIMENTO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

Prof: Marco Tadeu Gona!"e#

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CAMPO MOUR$O% &'()

2

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] *NDICE

(+ CON,UNTOS NÚM-RICOS......................................................................................................................3 1.1 CON,UNTO DOS NÚMEROS NATURAIS .N/.................................................................................3 (0& CON,UNTO DOS NÚMEROS INTEIROS .1/...............................................................................3 (02 CON,UNTO DOS RACIONAIS .3/....................................................................................................3 (0) CON,UNTO DOS IRRACIONAIS .I/..................................................................................................3 (04 CON,UNTO DOS NÚMEROS REAIS .R/.........................................................................................3 & 5 M6DULO OU VALOR ABSOLUTO.......................................................................................................4 2 5 NÚMEROS OPOSTOS OU SIM-TRICOS E INVERSO DE UM NÚMERO0...................................4 ) 5 OPERA78ES COM NÚMEROS RELATIVOS.....................................................................................4 4+ OPERA78ES COM DECIMAIS................................................................................................................5 9 5 EPRESS8ES NUM-RICAS..................................................................................................................6 ; 5 POTENCIA7$O.........................................................................................................................................7 ;0( Reenc?a@o .......................................................................................................................7

3

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] (+ CON,UNTOS NÚM-RICOS 1.1 CON,UNTO DOS NÚMEROS NATURAIS .N/ O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros positivos junto com o zero.

N'%(%&%2%)%4%000 (0& CON,UNTO DOS NÚMEROS INTEIROS .1/ No conjunto dos números inteiros, representado pela letra (Z), não h números !"ue#rados$, ou fra%&es "ue não representam divis&es e'atas. odemos dizer então, "ue este conjunto é composto por números inteiros neativos e positivos. *ejam+

∈

1000% +&%+(%'%(%&%2%000 O-+ O#serve "ue todo número natural tam#ém é um número inteiro, por isso dizemos "ue o conjunto dos Naturais est contido nos inteiros. m s/m#olos+  N  ⊂  Z 

(02 CON,UNTO DOS RACIONAIS .3/ 0izemos "ue um racional é "ual"uer número "ue pode ser escrito na forma de uma fra%ão de inteiros, ou seja+ Q

={

a b

, a, b int eiros e b

•

•

(0) CON,UNTO DOS IRRACIONAIS .I/  4pesar de normalmente ser usado a letra 5 para representar o conjunto dos números irracionais, este s/m#olo não é o único utilizado. ste conjunto pode ser  representado de vrias formas. Os números irracionais são todos os decimais não e'atos, não peri3dicos e não neativos. 0izemos tam#ém "ue um irracional é um número "ue não pode ser escrito na forma de uma fra%ão de inteiros. -ão e'emplos de números irracionais+ 2 ;

17 ;

4

3,

π  

; e...

(04 CON,UNTO DOS NÚMEROS REAIS .R/ 2odo tipo de número citado anteriormente nos outros conjuntos, são números reais. 0izemos "ue o conjunto dos reais é a união dos :acionais com os 5rracionais. ( R

1

3

I

R

&%))000 2 1 6

&%'

ela defini%ão dada, vemos "ue todos decimais e'atos são racionais 2odas as d/zimas peri3dicas são números racionais 2odo número inteiro é racional

1,676869... 

N

5

≠ 0}

O-+ •

A>?"?dade (: U>?!?e o# #Fo!o# de =er>ence . / e n@o =er>ence ∉ =ara re!ac?onar e!eFen>o e conun>o eF ca#a ca#o:

7

18 6

&%((2&000 &%) + 16 4 9 (%2000 +(' 3 7 9

&%4 %J;'9000 81

&%J( 1 6

= Q ∪ I )

O diarama a seuir ilustra os conjuntos numéricos de uma forma "ue facilita a visualiza%ão da rela%ão e'istente entre eles+ 4

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] & 5 M6DULO OU VALOR ABSOLUTO O m3dulo ou valor a#soluto é o valor aritmético de um número relativo, isto é, sem considerar seu sinal. odemos pensar no m3dulo tam#ém, como a dist;ncia do número até a oriem da reta numérica. 4 representa%ão do m3dulo de um número é feita por meio de #arras verticais. *eja aluns e'emplos+

• •

2 5 NÚMEROS OPOSTOS OU SIM-TRICOS E INVERSO DE UM NÚMERO0 0ois números são opostos ou simétricos "uanto tem mesmo m3dulo, porém com sinais contrrios. (um positivo e outro neativo ). or e'emplo, O oposto de =7 é 7 O simétrico do 1,8 é o =1,8  o oposto do zeroA... • • •

O inverso de um número a é dado por número diferente de zero.

1 % sendo a um a

O-+ O único número real "ue não tem inverso é o zero, por "uBA

EKercc?o

 Se o# #?na?# do# nFero# #@o ?o# e con#er"a+#e o Fe#Fo #?na! Se o# #?na?# #@o d?feren>e#% faa a d?ferena do# "a!ore# a#o!u>o# e con#er"e o #?na! do Fa?or  de!e#0 OBSERVE: =7C=19 →  Domo os sinais dos números são iuais, podemos somar os valores a#solutos (sem considerar  o sinal) e o resultado permanece neativo. Eoo, + &; + ()  + )( =7F9G11C → Nesse caso, os valores tem sinais diferentes, então devemos fazer a diferen%a entre os valores a#solutos e conservar o sinal do maior deles, o#tendo+ + &4)Q((;  + (2; •

(+ Preenca a >ae!a% coF o ?n"er#o de cada nFero a=re#en>ado: NFero

•

Na soma e su#tra%ão de números relativos deve=se o#servar as seuintes reras+

<=> <=1@
•

) 5 OPERA78ES COM NÚMEROS RELATIVOS -3 para lem#rar, número relativo são os números positivos, neativos incluindo=se o zero *ejamos como realizar as "uatro opera%&es fundamentais com números relativos+ SoFa e #u>ra@o

?n"er#o

NFero

&

4

+&

'%(

+

+(((&

(2

(

+J(4

2'''

)

(;

&;

&2

;

&)&4

+2J

+J

Mu!>?=!?ca@o e d?"?#@o

Na multiplica%ão e divisão podemos seuir o es"uema a#ai'o, onde (G) representar um número positivo e (=) estar representando um número neativo.

In"er#o

  O ue acon>ece uando #e Fu!>?=!?ca uF nFero =e!o #eu ?n"er#o

*emos no es"uema "ue dividindo ou multiplicando números com sinais iuais o resultado é positivo e, multiplicando ou dividindo um número com sinais diferentes o resultado é neativo. 'emplos+ ( − 2 ) × ( −9 )

= 18 ( −3) × ( 21) = −63 6 × ( −9) = 54 35 : ( −7 ) = −5 ( −100 ) : ( −5) = 20 5

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] 2,76 + 9,078

EERC*CIOS DE IA7$O (+ E!?F?ne o# =arn>e#e# e ca!cu!e o "a!or da# eK=re##e# a #e
•

a ) (+5) + ( −19)

= b) (+13) + ( −19) + ( −92) + ( +25) = c ) ( −20) + ( −1) + (+21) + (+23) + (−4) + ( −100) d )(−90) + (−75) + (54) − (−12) − (−45) + (34)

=

=

e) ( −76) + (−21) − (−38) + (−87) + ( −31) − (−89) + ( +17

2,

7

6

9,

0

7

1,

1

12 ,

9

3

Na su#tra%ão os números são chamados de minuendo, su#traendo, a opera%ão a su#tra%ão, e o resultado é a diferen%a+ su#tra%ão

  f  ) ( −10) − (−23) + (−92) − ( +56) + (12) − (−123) + ( −9

36 − 25

& 5 Encon>re o "a!or da# Fu!>?=!?cae# e d?"?#e# a #e
= b) ( −144) : ( −6) = c) ( +1624) : ( −8) = d ) ( +123) × (−12) = e) (−12) × ( −8) =   f  ) ( +5) × (−97 ) =  g ) (+12) × ( +37 ) : (−6) = h) ( −9) : ( −3) × (81) : (27 ) = i ) (−6) × ( −5) × ( −9) =   j ) ( −14) : ( +7) × ( −43) = k ) ( −9) × (−26) : ( −13) × ( +8) =

 8    8 

II 5 Su>ra@o

 

a ) ( −96) : (+8)

+ 1,1

Hinuendo

su#traendo

9,098 − 6,78 9,

0

9

6,

7

8

2,

3

1

8

   8  

ara se multiplicar dois números decimais "uais"uer, multiplicamos os números como se fossem inteiros e damos ao produto um número de casas decimais iual I soma de número de casas decimais dos fatores.

4+ OPERA78ES COM DECIMAIS I 5 Ad?@o Na adi%ão as partes somadas são chamadas de parcelas e o resultado é a soma.

fetue+ 0,072 × 2,4 ?

2 + 9 = 11

#oFa

Dom números decimais deve=se tomar o cuidado de ao se dispor as parcelas no clculo, dei'armos !a v/rula de#ai'o da v/rula$. 'emplo+

diferen%a

ara números decimais, deve=se o#servar a mesma rera para a soma+ !dei'ar a v/rula de#ai'o da v/rula$.  4companhe+

III 5 Mu!>?=!?ca@o

Parce!a

= 11

3,492 × 0,012

=

O-+  4o se multiplicar um número decimal por 16, 166, 1666, etc. #asta deslocar a v/rula para a direita tantas casas decimais, conforme o número de zeros do fator multiplicativo 'emplo+ •

0,00123 × 1000

= 1,23

6

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] IV+ D?"?#@o de nFero# dec?Fa?# ara dividir dois números decimais, devemos iualar  o número de casas decimais desses números "uando necessrio, acrescentamos zeros I parte decimal do dividendo ou do divisor, ou am#os, para "ue se iualem as casas decimais, em seuida, eliminamos as v/rulas e efetuamos a divisão normalmente. 0,024 : 0,2

= 0,024 : 0,200 = 24 : 200 = 0,12

1K = Po>enc?a@o e Rad?c?a@o

fetue+

&W + Mu!>?=!?ca@o e d?"?#@o

6,17F+6,F?

2W + Ad?@o e Su>ra@o0

@,617+6,9? O-+ ara se dividir um número por 16, 166, 1666,... #asta deslocar a v/rula para a es"uerda tantas casas decimais, conforme o número de zeros do divisor. 'emplo+ 18,723 : 100 3 : 1000

Nas e'press&es numéricas, primeiro, efetuamos os calculamos dentro dos parBnteses depois, dentro dos colchetes e por fim, dentro das chaves. 0entro dos parBnteses, colchetes ou chaves, primeiro as potencia%&es e as radicia%&es depois as multiplica%&es e as divis&es e finalmente, as adi%&es e as su#tra%&es. A# o=erae# #@o fe?>a# oedecendo  ordeF eF ue e!a# a=areceF .da e#uerda =ara d?re?>a/0 m resumo, as opera%&es devem ser resolvidas o#edecendo a seuinte ordem de opera%&es+

= 0,18723

= 0,003

.Oedecendo #eF=re  ordeF eF ue e!a# a=areceF/ Ne##a# o=erae# #@o rea!?ada#: (W + Parn>e#e# . / &W + Co!ce>e# X Y 2W + Ca"e#  

EKercc?o# EERC*CIOS (+ Re#o!"a a# o=erae# a #e?!?e a# re?=!?ca@o e d?"?#@o =or ('% (''% e>c0 a ) 12,34 × 0,3

9 − {3 − [7 + 2 − (8 − 2) + 5] − 8 + 4}

=

b) 234,56 × 100 c ) 10,23 : 100

1 ) (J2L:) O valor da e'pressão+

7 ) :esolva as e'press&es a#ai'o+

=

=

d ) 0,002 × 10000

=

e) 9,005 × 100

=   f  ) 0,34 : 100 =  g ) 45,678 : 1000

a) 4,2 − (0,5 * 6, 4) + 0,2 : 0,02

=

b) 35,42 − 15,96 : 1,14 + 1,3 * 0, 4

=

h) 2,45 × 8,4

= i ) 0,04 × 3,24 =   j ) 23,4 × 1,2 = = l ) 0,625 : 0,005 = m) 12,072 : 12 = n) 7,014 : 0,7 = 0) 2,78 : 0,002 = k ) 20,48 : 0,002

c ) 4,25 * 2 + 3 * 7 − 42 : 6

=

=

d )[(3,7 − 6,21) * 2] : 0,02 + 6,83 − 1 = e) 0,032 * 1000 − 3,025 + 0,028 * 100   f  ) (1,8 + 2 * 0,3) + (1,1 − 0,04 * 20)

=

=

9 5 EPRESS8ES NUM-RICAS Jma e'pressão numérica é uma se"uBncia de opera%&es matemticas. 7

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] 2oda potBncia de e'poente inteiro neativo e #ase diferente de zero é iual a potBncia de #ase iual ao

; 5 POTENCIA7$O Po>enc?a@o coF eK=oen>e ?n>e?ro Fa?or ue ( otBncia de rau n de um número é o produto de n fatores iuais a esse número. an

= a.a.a....a

inverso da #ase dada e e'poente iual ao oposto do e'poente dado. m outras palavras, "uando um número tem e'poente neativo, para dei'=lo positivo devemos inverter sua #ase.

( n   fatores)

 sendo a número real  e n

n

 1   =    an  a   −n n  a   =  b   ,  sendo        b    a   a −n

>1

O-+

=

1

a e n números reais

e a diferente de  zero.

Muando a #ase é positiva a potBncia é sempre positiva. Muando a #ase é neativa, o sinal de potBncia depende do e'poente+ = #ase neativa e e'poente par ⇒ potBncia positiva = #ase neativa e e'poente /mpar ⇒  potBncia neativa. •

•

:esumindo+

( +) n

= (+) ( −)  par  = ( + ) ( −) ímpor  = (−)

EKeF=!o# 3

 1   1 2 =    =  2   8 −2  1   = 2 2 = 4     2   −3

;0( Reenc?a@o Produ>o de =o>nc?a de Fe#Fa a#e: ara alcan%ar o produto de potBncia de mesma #ase, #asta manter a #ase e somar os e'poentes+

Po>nc?a de eK=oen>e ero 2oda potBncia de #ase não=nula e e'poente zero é iual a 1.

a n .a m

= a n+ m

D?"?#@o de =o>nc?a de Fe#Fa a#e:

= 1, sendo a um número

a0

não

− nulo.

Po>nc?a de eK=oen>e ( 2oda potBncia de e'poente 1 é iual I #ase

= a, sendo a um número

a1

real .

Jm "uociente de potBncias de mesma #ase é iual I potBncia "ue se o#tém conservando a #ase e su#traindo os e'poentes+ am : an

=

am n

= a m−n

a Onde, a é um número diferente de  zero

Po>nc?a de =o>nc?a Po>nc?a de a#e ( 2oda potBncia de #ase um é iual a 1.  

1

  = 1,  para

todo   real .

Po>nc?a coF eK=oen>e ?n>e?ro ne?"o

Jma potBncia elevada a um dado e'poente é iual I potBncia "ue se o#tBm conservando a #ase e multiplicando os e'poentes.

(a ) = a m n

mn

0izemos então "ue eleva=se a #ase ao produto dos e'poentes.

8

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] Po>nc?a de uF =rodu>o

1 R Dalcule o valor das e'press&es+

Jm produto elevado a um e'poente "ual"uer é iual ao produto das potBncias "ue são o#tidas elevando=se cada fator ao e'poente dado.

a ) 2 9 : ( 2².2³) −3 b)

=

− 3.( −2)² − 2² + [(−2) 5

: 2 4 .( −1 − 98) 0 ]

=

( a.b ) n = a n .b n

Mu!>?=!?ca@o de =o>nc?a de Fe#Fo eK=oen>e Jm produto de potBncia de mesmo e'poente é uma potBncia cuja #ase é o produto das #ases anteriores elevado ao e'poente dado+ n

a .b

= ( ab )

n

 n

c ) [ 24 − 12 : ( 2 − 4)² − 35

d )

Jm "uociente elevado a um dado e'poente é iual ao "uociente das potBncias "ue são o#tidas elevando=se o dividendo e o divisor ao e'poente dado+

 g ) h)

−17

20

 2    3   .    .    3    2  

0,005.5000.270 5.10.0,9.500 32

1

6

=

− [14² : (13 − 11) − 2²] + 1600 0 } =

e) {39

  f  )

Po>nc?a de uF uoc?en>e

 2       3  

− 7 0 ] : (3² − 5) =

=

− [6² : (8 − 6) − 2³] =

+ 2 4 − [ 45 0 + (3².5¹−3) : 2] =

n

 a   = a n     b   b n Po>nc?a de a#e (' e no>a@o c?en>f?ca ara as potBncias de #ase 16 o#servamos "ue 10 n

  0, = 10 ...

i ) 8 + 4.0, 25 − 3² : ( 2 − 1)²   j ) 9 + 3³ : 9 − 8 0 .( −2)¹=

k )

=

1 10...0

0,003.280.100 1,2.0,01.70000

=

n zeros . l )

10 − n

=

= 0,  00...1 n

0,0001 .(0,01)².100

0,001

=

casas decimais.

D?+#e "ue um número est escrito em nota%ão cient/fica "uando ele est na forma+ k  . 10 n

m "ue  é um número tal "ue 616 e n é um número inteiro.  4 nota%ão cient/fica é usada para diminuir a escrita de um número tornando mais fcil as opera%&es por meio das propriedades de potBncia. 'emplo+ 0,000023 × 2 × 10 5

= 2,3 × 10 −5 × 2 × 10 5 = 4,6

P:DQD5O9

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] J 5 MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Jm múltiplo de um número a "ual"uer é todo resultado da multiplica%ão de um número natural por a0 ntão podemos pensar "ue o múltiplo de um número são a"ueles "ue estão na !ta#uada$ desse número. 'emplos+

0ecomp&e=se cada número em seus fatores primos Dalcula=se o produto de todos os fatores comuns e não comuns de maior e'poente O resultado o#tido é o m.m.c procurado.

•

•

•

= {0,3,6,9,12,15,...}  !  ( 4) = {0, 4,8,12,16,20,...}  !  (17 ) = {0,17,34,51,68,...}  !  (3)

•

O divisor de um número é a"uele "ue divide o número em parte inteiras. -em resto.

'emplo+ 3 é di"isor  de 51,  pois   51 : 3

= 17

com resto 0.

+ MÁIMO DIVISOR COMUM E M*NIMO MÚLTIPLO COMUM0 0ados dois ou mais números diferentes de zero, chamamos de H'imo 0ivisor comum (m.d.c) o maior  número "ue seja divisor de todos eles. ara o clculo do H0D usamos os procedimentos a seuir+ •

•

•

•

0ecomponha cada número em seus fatores primos. *erifi"ue "uais são os fatores comuns a todos os números Dalcule o produto dos fatores comuns de menor  e'poente. O resultado é o H0D procurado.

Outra possi#ilidade é decompor os números I encontrar o H0D em seus fatores primos e multiplicar a"ueles "ue em um determinado passo dividiram a todos. 'emplos+

•

Proce##o da DecoF=o#?@o S?Fu!>[nea 0e forma mais prtica, podemos encontrar o HHD de dois ou mais números fazendo a decomposi%ão simult;nea dos mesmos. O produto de todos os fatores encontrados ser o HHD dos números dados, pois todos os fatores primos dos números aparecem nessa decomposi%ão. 'emplo 12

9

4

2

6

9

2

2

3

9

1

3

1

3

1

3

1

'

36

OBSERVA7$O: Dados dois números naturais, temos: mmc (a,b)=mdc (a,b)

EKercc?o# ( 5 O menor número divis/vel por 1S, 79 e 8@ é+

&+ Num determinado pa/s, o mandato do presidente é de @ anos, dos senadores é de S anos e dos deputados é de F anos. 4 primeira elei%ão para os 8 caros foi em 1>97. m "ue ano ocorrer uma nova elei%ão para os mesmos carosA

Ca!cu!e o MZK?Fo D?"?#or coFuF do# nFero#: MDC.(J%4)/ MDC.&)%29/ O M*NIMO MÚLTIPLO COMUM .MMC/ entre dois ou mais números, é o menor número não nulo "ue seja múltiplo de todos os números em "uestão. 2emos #asicamente dois processos para encontrar o HHD+

Proce##o da DecoF=o#?@o eF a>ore# Pr?Fo#

2+ -elecione o "ue for correto+ 61) F é múltiplo de 1F 67) O m'imo divisor comum de dois números primos entre si é 1. 69) O m/nimo múltiplo comum de @ e 1@ é 9S. 6S) 8 e 17 são números primos entre si.

)+ 2rBs satélites iram em torno da 2erra em 3r#itas constantes. O tempo de rota%ão do primeiro é de 8@ dias do seundo, 17 dias e do terceiro, 9S dias. m um determinado dia eles estão alinhados. 0epois de "uantos dias eles se alinharão novamenteA

Nesse processo precede=se assim+ 10

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] 4+ 0ados dois números 97 e F9, então mdc (97,F9) G mmc (97,F9) é+ a)8C7 #)8CS c)8S9 d)8>@

9+ O valor da e'pressão+

2.3 − (12 : 2).3 + [5 − 3(6 − 2).3] + 1 \:

;+ O m/nimo múltiplo comum entre os números 16S, 8@, 199 e 1S6 é+

J+ Os Tni#us partem de Duriti#a para o :io de Uaneiro de 9 em 9 horas, e para elo Vorizonte, de @ em @ horas. -e num certo instante, partem Tni#us para essas cidades, "uantas horas ap3s essa partida haver a pr3'ima sa/da simult;nea dos Tni#usA

 4 fra%ão é pr3pria "uando o numerador é menor do "ue o denominador+ 'emplos+ 1 3 9 100 , , , , etc... 7 5 16 101  4 fra%ão e impr3pria "uando o numerador é maior "ue o denominador, sendo poss/vel represent=la por um número misto e reciprocamente. 'emplos+

+ :afael, oranizando sua cole%ão de selos, o#serva "ue ao cont=los de 16 em 16, so#ram "uatro selos o mesmo acontece "uando conta de S em S, e tam#ém so#ram "uatro selos "uando ele os conta de 17 em 17. Muantos selos :afael possuiA

('+ Jma professora d aulas em duas turmas, uma de 87 alunos e outra de 79 alunos. m cada sala, ela formar rupos, e todos os rupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo número de alunos. Mual é o maior número de alunos "ue cada rupo pode terA

m "ual"uer fra%ão, ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo número, o "ue se altera é apenas a escrita do número, seu valor  é preservado.  4 fra%ão resultante "uando multiplicamos ou dividimos uma fra%ão por um número natural diferente de zero é chamada de fra%ão e"uivalente.  4 partir de uma determinada fra%ão chamada irredut/vel, podemos encontrar infinitas fra%&es e"uivalentes. 'emplos+ 1

=

1* 3

=

2

... 2 2*3 6 24 24 : 6 4

30

('+ RA78ES

=

*eja a#ai'o "ue podemos representar uma fra%ão tam#ém na sua forma decimal. ara isso #asta, como visto na defini%ão, dividir o numerador pelo denominador+

=

5

(irredutí"e l )

('0( OPERA78ES COM RA78ES

Definição: Lra%ão é um "uociente indicado onde o

dividendo é o numerador e o divisor é o denominador.

30 : 6

•

SoFa e Su>ra@o

Na soma e su#tra%ão alé#rica de fra%&es, reduzem= se ao menor denominador comum as fra%&es a serem somadas e somam=se ale#ricamente os nuFeradore# das fra%&es e"uivalentes encontradas. O-+ O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores. 11

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected]

a)

'emplos+ 1

+1=

5

3

*eja "ue na soma acima o mmc(8,F)?1F. 4s fra%&es e"uivalentes Is fra%&es citadas, "ue tem denominador 1F são trocadas pelas primeiras. 4ssim o#temos+ 3 15

+

5

=

15

#)

2 3

= 2

1

3

5

c) − +

−

Na su#tra%ão o processo é o mesmo, veja+

4

3 2 1 5

8 15

+3=

=

4

d) 53 = 4

2 3

−1=

:esolva as e'press&es+

2

O mmc (8,7)?@. 4s fra%&es e"uivalentes a dois ter%os e um meio "ue tem denominador seis são respectivamente 4 3 e  loo o#temos+ 6 6 4 6

6

*

3

6

c)

Mu!>?=!?ca@o de frae#

7

=

5 4

*

3 7

1

+ = 3

2 3 3

5

+ −2= 4

5

Na multiplica%ão de fra%&es, !multiplica=se numerador  com numerador e denominador com denominador$. *eja+

5 3

#) −

−3=1 •

2

2 2 3     − 4     a) + 2   −    = 3  2     3  

2

6

2 2

        d)  −   + −74 − 3  + =   3    5   4 2

7

5

7

35 3 15 * 15 = * 5 5 1

8= (correios)

=

45

=9

5

O#s+ 4o se fazer uma multiplica%ão com vrias fra%&es é poss/vel, em aluns casos, fazermos alumas simplifica%&es antes de o#ter o produto final para "ue o clculo se torne menor. •

9= (Dorreios)

D?"?#@o de frae#

Na divisão de fra%&es, multiplicamos a primeira fra%ão (dividendo) pelo inverso da seunda fra%ão, a fra%ão divisora.  'emplos+

a)

1 1 : 8 4

b) −

= 1*4 = 8

6 :4 = 16

1

−

4 8

=

6 1 * 16 4

1 2

=−

6 64

=−

3 32

EERC*CIOS

1= :esolva as opera%&es com fra%&es a seuir+ 12

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] Rad?c?a@o

:acionalizar o denominador de uma e'pressão sinifica eliminar a raiz do denominador de uma fra%ão.

 4 opera%ão para se o#ter a raiz n=ésima é denominada de radicia%ão. -e é e'ata, a radicia%ão é a opera%ão inversa da potencia%ão. n

= b ⇒ bn = a

a

com n natural  e maior #ue 1

Po>nc?a coF eK=oen>e frac?onZr?o -endo a um númeo real positivo, n um número natural positivo e mWn um número racional na forma irredut/vel, definimos+ am

'emplos+ 34 3

= 34

2

=3

1

b)

c)

n

n

n

2 1−

=

=

an

2W ca#o: O denoF?nador \ uFa #oFa ou d?ferena de do?# >erFo# eF ue uF de!e#% ou aFo#% #@o rad?ca?# do #e
2

a.b a b

'+ 2 ? 3 3

'+

A!
=

&W ca#o: o denoF?nador \ uF rad?ca! de ua!uer 
e assim por diante.

=n

1 2 2

EKeF=!o#: 25 = 5,  pois 5.5 = 5² = 25 3 8 = 2,  pois 2.2.2 = 8 4 16 = 2,  pois 2.2.2.2 = 4

am n

(W ca#o: O denoF?nador \ uFa ra? uadrada. Nesse caso multiplica=se os termos da fra%ão pelo pr3prio radical. '+

EKercc?o#: (+ Re#o!"a a# o=erae# coF rad?ca?# ?nd?cada#:

a. b

a ) 32

n

a

n

b

?

2

−

+

45

98

−2

20

−

50

50

+3

, b diferente de  zero b) 2 72

=a

+7

32

c ) 3 54 .6 9 −1

d )

n

a

m

=

× n  p ÷

  20   d )  1 / 3     =  8  

× ÷

m  p

a

e) 162

O#: Na soma de radicais s3 se pode unir os coeficiente das ra/zes se as mesmas tiverem o mesmo /ndice e mesmo radicando. 'emplo+ 2

+

5

+3

=4

2

+

128

  f  ) {6 + [ 4² − (10

 g ) 2

+

1 4

+

1 9

−

200

− 41 / 2.1−1 )]}

=

5

Nos casos em "ue o /ndice são iuais mas os radicandos são diferentes, pode=se tentar uma fatora%ão do mesmo para tentar se o#ter um radicando comum.

Rac?ona!?a@o de denoF?nadore#

13

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] 49 81 2 7

h)

+1+4 +

8 5 3 28

=

i ) 3 28

+2

72

−2

63

+5

  j ) 4 12

+3

27

−2

75

=

98

=

&+ Rac?ona!?e o# denoF?nadore# 3 5

a)

2 2 2

b)

3 6

c)

2 4

d ) e)

4

9

  f  )

 g )

h)

i)

8 9

=

1024

=

1 5

−

2

3 2−

3

2

−1

2−

2

=

=

+

3

108

−

75

=

−

48

12

=

14

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] SISTEMA M-TRICO DECIMAL 'istem vrias formas de se medir "uantidades. asicamente o sistema métrico envolve medidas de comprimentos, medidas de superf/cie (rea) e medidas de volume ou capacidade. *ejamos alumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso.

Med?da# de CoF=r?Fen>o

OBS: SeF=re de?Kar na Fe#Fa un?dade =ara efe>uar o# cZ!cu!o#0 Un?dade# de Fed?da de Ca=ac?dade  4 unidade fundamental de capacidade é o litro, porém e'istem tam#ém seus múltiplos e su#múltiplos. *eja+

 4 unidade padrão de medida é o metro. 4 partir dele temos os múltiplos e su#múltiplos do metro. O#serve no es"uema+ Multili!" $% 10

&i'i $% 10

*emos no es"uema "ue se tivermos uma medida e'pressa em alum múltiplo do metro para converter para uma unidade inferior, #asta multiplicar o resultado por 16.  4o contrrio, se tivermos uma medida em unidade inferior  e "uisermos pass=la para uma maior, teremos "ue dividir  por 16. 'emplos+ •

17 hm ? 1766 m

•

866 dm ? 8 dam

•

1666mm ? 1 m

•

8 cm ? 6,68 m

odemos relacionar o volume com as medidas de capacidade. or e'emplo+ 1 dm³ 1 m³

O-+ ara efetuar opera%&es matemticas com as unidades de medida é preciso "ue todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade.

Un?dade# de Fed?da de #u=erfc?e .Zrea/

=

=

1l 

1000 l 

Un?dade# de Med?da de Ma##a  4 unidade principal nas medidas de massa é o rama.  4 partir dela temos seus múltiplos e su#múltiplos veja+

Nas medidas de superf/cie (medidas "uadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 166, seuindo o es"uema a#ai'o+ Multili!" $% 100

&i'i $% 100

Un?dade# de Fed?da de Vo!uFe Dada unidade de volume é 1666 vezes maior "ue a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 1666 em 1666 Multili!" $% 1000

&i'i $% 1000

15

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] EKercc?o# ( 5  4 soma de 7F dam G 8,F m G C7 m G CS,C dm, e"uivale a "uantos metrosA

7= -elecione o "ue for correto+ 61) 179 mm e"uivalem a 17,9 cm 67) 7>, 9  e"uivalem a 7> F66 . 69) 1 ml e"uivale a 16 cmX. 6S) 16 dias e"uivalem a 19 966 min. 8= Dada olpe de uma #om#a de vcuo e'trai F6 dmX de ar de um recipiente. -e o volume inicial do recipiente é de 1 mX, ap3s o FK olpe da #om#a, "ual o volume de ar "ue permanece no recipienteA

O ue \ "a!or nuF\r?co m e'press&es alé#ricas "uando su#stitu/mos variveis de uma senten%a por números e efetuamos as devidas opera%&es, o resultado encontrado é o valor numérico da e'pressão. O valor numérico da e'pressão 9' G 8, para o valor de P ? 9 é+ 9' G 8 ?9.9 G 8 ? 1@ G 8 ? 1>

Mon]F?o#  4s e'press&es alé#ricas "ue não representam as opera%&es de adi%ão e su#tra%ão entre os números e as variveis, são denominadas de monTmios. O#serve os e'emplos+ •

9 R Jma arrafa térmica, totalmente cheia, contém 1F6C,7 cmX de café. -a#endo "ue numa '/cara de café ca#em 81, 9 cmX de café, "uantas '/caras poderão ser servidasA

EPRESS8ES ALG-BRICAS  4s letras, na matemtica, são usadas para representar  números desconhecidos ou para eneralizar  propriedades e f3rmulas da Yeometria.  4s e'press&es "ue apresentam letras, além de opera%&es e números são denominadas de P:--- 4EY[:5D4- e as letras são chamadas de inc3nitas. is alumas propriedades importantes+

(+ Todo nFero na>ura! Fu!>?=!?cado =e!o nFero ( \ ?
8.' \ se representa 8' F.] \ se representa F] 7.' \ se representa 7'

7) [ poss/vel ter e'press&es alé#ricas com mais de uma varivel ou ainda sem varivel. •

•

•

9'] \ e'pressão alé#rica com duas variveis+ ' e] Fa^#c^\ e'pressão alé#rica com trBs variveis+ a, # e c 8F \ e'pressão alé#rica sem varivel

• •

@', 9', F], C] 8'^]^, 9'^]^ a#, 16, 17

 4 parte numérica de uma e'pressão alé#rica chamada de monTmios é denominada coeficiente e a outra parte da senten%a formada por letras é chamada de parte literal. 'emplos para fi'a%ão de conteúdo 0e acordo com a defini%ão so#re monTmios, vamos destacar nas senten%as a#ai'o a parte literal e o coeficiente+ = @' Doeficiente+ @ arte Eiteral+ ' = 9'^]^ •

•

Doeficiente+ arte Eiteral+

9 '^]^

O=erae# Fa>eFZ>?ca# coF Fon]F?o# 0ois ou mais monTmios "ue possuem a mesma parte literal e tam#ém coeficientes diferentes são denominados de monTmios parecidos ou monTmios semelhantes. ara se efetuar opera%&es matemticas de su#tra%ão e soma eles devem ser semelhantes, ou seja, possuir  a mesma parte literal e tam#ém mesmo coeficientes. Daso isto não ocorra, a adi%ão e a su#tra%ão serão apenas indicadas, porém não poder ser efetuado nenhum clculo. 'emplos para fi'a%ão 0e acordo com a defini%ão fornecida acima, vamos ver  aluns e'emplos com clculos envolvendo monTmios. a) F'] G 17'] G 8'] (F G 17 G 8)'] 76'] 16

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] #) 9'] R 7'] G C'] (9 R 7 G C)'] >']

de : F,66. Muanto dei em dinheiro para paar a mercadoriaA

c) 9' G 8'] (Opera%ão não é poss/vel por"ue os monTmios não são semelhantes)

Euae# do =r?Fe?ro
&+  4 soma da minha idade, com a idade de meu irmão "ue é C anos mais velho "ue eu d 8C anos. Muantos anos eu tenho de idadeA

• • •

• •

•

2+ 2enho a seuinte escolha+ Ou compro 76 unidades de um produto com todo o dinheiro "ue tenho, ou compro apenas 19 unidades e ainda me so#ra um troco de : 86,66. Mual o valor unitrio deste produtoA

(não é senten%a a#erta, nem iualdade)

 4 e"ua%ão eral do primeiro rau+ a'G# ? 6 onde a e # são números conhecidos e a ` 6, se resolve de maneira simples+ su#traindo # dos dois lados, o#temos+ a' ? =# dividindo aora por a (dos dois lados), temos+

)+ O volume de chuvas na minha reião foi de 86 ml nos dois últimos dias. -a#e=se "ue ontem choveu o do#ro da "uantidade "ue choveu hoje. Mual foi o volume de chuva de hojeA

Donsidera a e"ua%ão 7' = S ? 8' =16 4 letra é a inc3nita da e"ua%ão. 4 palavra inc3nita sinifica _ desconhecida_. Na e"ua%ão acima a inc3nita é ' tudo "ue antecede o sinal da iualdade denomina=se 1K mem#ro, e o "ue sucede, 7K mem#ro.

Mual"uer parcela, do 1K ou do 7K mem#ro, é um termo da e"ua%ão.

Muando falamos em resolver uma e"ua%ão, a inten%ão é sempre desco#rir o valor da(s) inc3nita(s) envolvida(s) na mesma. Nos e'erc/cios a seuir devemos traduzir a situa%ão na linuaem matemtica e então, utilizando uma e"ua%ão, resolvB=la. 'perimente+

EKercc?o# ( Domprei C,F de um produto e rece#i um troco de : 1,7F. Daso eu tivesse comprado @, o troco teria sido

SISTEMAS DE E3UA78ES DO PRIMEIRO GRAU ara encontrarmos numa e"ua%ão de 1K rau com duas inc3nitas, por e'emplo, )K Q 2^  ', os valores de ' e de ] é preciso relacionar essa e"ua%ão com outra ou outras e"ua%&es "ue tenham as mesmas inc3nitas. ssa rela%ão é chamada de sistema. Jm sistema de e"ua%ão de 1K rau com duas inc3nitas é formado por duas e"ua%&es de 1K rau com duas inc3nitas+

ara encontramos o par ordenado "ue é solu%ão desse sistema podemos utilizar um dos dois métodos+ Hétodo da -u#stitui%ão e Hétodo da 4di%ão. M\>odo da #u#>?>u?@o •

17

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] sse método consiste em escolher uma das duas e"ua%&es e isolar uma das inc3nitas. m seuida deve= se su#stituir na outra e"ua%ão o valor "ue foi isolado, veja como+  4dicionando as duas e"ua%&es+ 0ado o sistema

, enumeramos as

= 8' R 8] ? = @6 G 8' G 9] ? C7 ] ? 17

e"ua%&es.

scolhemos a e"ua%ão 1 e isolamos o '+ ' G ] ? 76 ' ? 76 R ]  4ora na e"ua%ão 7 su#stitu/mos o valor de ' ? 76 R ]. 8' G 9 ] ? C7 8 (76 R ]) G 9] ? C7 @6=8] G 9] ? C7 =8] G 9] ? C7 R @6 ] ? 17 0esco#rimos o valor de ], para desco#rir o valor de ' #asta su#stituir 17 na e"ua%ão ' ? 76 R ]. ' ? 76 R ] ' ? 76 R 17 '?S

ara desco#rirmos o valor de ' #asta escolher uma das duas e"ua%&es e su#stituir o valor de ] encontrado+ ' G ] ? 76 ' G 17 ? 76 ' ? 76 R 17 '?S ortanto, a solu%ão desse sistema é+ - ? (S, 17).

OBS: -e resolver um sistema utilizando "ual"uer um dois métodos o valor da solu%ão ser sempre o mesmo. EKercc?o# (+ Jm estacionamento co#ra : 7,66 por moto e : 8,66 por carro estacionado. 4o final de um dia, o cai'a reistrou : 7CC,66 para um total de 166 ve/culos. Muantas motos e carros usaram o estacionamento nesse diaA

ortanto, a solu%ão do sistema é - ? (S, 17) •

M\>odo da ad?@o

sse método consiste em adicionar as duas e"ua%&es de tal forma "ue a soma de uma das inc3nitas seja zero. ara "ue isso aconte%a ser preciso "ue multipli"uemos alumas vezes as duas e"ua%&es ou apenas uma e"ua%ão por números inteiros para "ue a soma de uma das inc3nitas seja zero. 0ado o sistema+

ara adicionarmos as duas e"ua%&es e a soma de uma das inc3nitas de zero, teremos "ue multiplicar a primeira e"ua%ão por R 8.

 4ora, o sistema fica assim+

7) Jma f#rica de refrierantes produz refrescos de uaran nas vers&es tradicional e diet. Os #ares vendem os tradicionais por : 1,66 e os diet por : 1,7F. 4o final do dia haviam sido vendidos 7666 refrierantes, com um faturamento de : 7166,66. 0escu#ra "uantas arrafas de cada tipo de refrierante foram vendidas.

8) Num "uintal h 8@ animais entre porcos e alinhas. -a#e=se "ue h ao todo, 117 pés. Muantos são os porcos e "uantas são as alinhasA

9) No último encontro Nacional de duca%ão Hatemtica a inscri%ão dos professores do ensino médio e fundamental custava : F6,66. Os professores do ensino superior paavam : CF,66. 4 arrecada%ão total o#tida com as inscri%&es foi de : @S C7F,66 de um total de 176S professores inscritos. Muantos eram os professores do ensino fundamental e médio presenteA 18

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] &/ 0ivida o número CF em "uatro partes inversamente proporcionais a 7, 8, 9 e @.

RA1$O E PROPOR7$O Dhamamos de razão entre dois números a e , sendo # não nulo, o "uociente entre eles.  4ssim a razão de a para  é dada por+ a

ou a : b

b

O número a é chamado de antecedente e o número  é a chamado de conse"bente da razão . b

2/ Jma estrada de 81F m de e'tensão foi asfaltada por 8 e"uipes 4,  e D, cada uma delas atuando em um trecho diretamente proporcional aos números 7, 8 e 9, respectivamente. Muantos "uilTmetros tem o trecho asfaltado pela e"uipe DA

Pro=or@o

•

 Jma propor%ão é uma iualdade entre raz&es+ a b

c

=

ou a : b = c : d 

d 

)/ Jm comerciante precisa paar trBs d/vidas+ Jma de 86 mil reais, outra de 96 mil reais e uma terceira de F6 mil reais. Domo ele s3 tem >6 mil reais, resolve paar  "uantias diretamente proporcionais a cada dé#ito. Nessas condi%&es, "uanto rece#er o maior credorA

OBS: EF >oda =ro=or@o% o =rodu>o do# Fe?o# \ ?o do# eK>reFo#: a b

=

c d 

⇒ ad  = bc

NuFa =ro=or@o% a #oFa ou d?ferena do# an>eceden>e# e#>Z =ara a #oFa ou d?ferena do# con#e_en>e# a##?F coFo cada an>eceden>e e#>Z =ara o #eu con#e_en>e0  4ssim na propor%ão+ a b

=

c d 

temos

su#tra%ão. •

a+c b + d 

=a= b

c d 

4/ O proprietrio de uma chcara distri#uiu 866 laranjas a trBs fam/lias, em partes proporcionais ao número de filhos. -a#endo=se "ue as fam/lias 4, , D tem respectivamente 7, 8 e F filhos, "uantas laranjas rece#eu cada fam/liaA

 valendo o mesmo para a

NFero# d?re>aFen>e =ro=orc?ona?#0

e

?n"er#aFen>e

0uas sucess&es de números são diretamente proporcionais se as raz&es entre cada termo da primeira

GRANDE1AS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS E REGRA DE TR`S 0uas randezas são diretamente proporcionais, "uando a razão entre os valores da primeira é iual I razão entre os valores da seunda.

sucessão e o termo correspondente da seunda sucessão são iuais.  o valor dessas raz&es é chamado de fator de proporcionalidade.

0uas randezas são inversamente proporcionais, "uando a razão entre os valores da primeira é iual ao inverso da razão entre os valores da seunda.

or outro lado, duas sucess&es são inversamente proporcionais "uando os produtos de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da seunda sucessão são iuais.

EKercc?o#:

EKercc?o# (/ Muero distri#uir @6 #alas entre 8 crian%as, proporcionalmente Is suas idades sa#e=se "ue 4ntTnio tem > anos, runo, C anos e Darlos 9. Os números de #alas "ue ca#e a cada um é+

(/ -e @ operrios levam 16 dias para levantar um muro ao redor de um campo de fute#ol, "uantos operrios seriam necessrios para levantar o mesmo muro em 8 diasA

&/ m um acampamento, F6 pessoas tBm alimento para 1F dias. 2endo cheado mais 7F pessoas, o alimento dever ser suficiente para "uantos diasA 19

Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected] dar ao cliente um desconto de +, paar os $ de imposto e ainda assim ficar com 34% reais

2/ m um rupo de 1@6 pessoas SF são mulheres. Mual a porcentaem de mulheres nesse rupoA

)/ 2rinta e seis operrios, tra#alhando C horas por dia durante 17 dias fazem um determinado servi%o. Muantas horas por dia, 17 operrios farão o mesmo servi%o em 19 diasA

ara responder tais peruntas vamos entender um pouco mais so#re as porcentaens+

Def?n?@o: O:DN24YH pode ser definida como a centésima parte de uma randeza, ou o clculo #aseado em 166 unidades. [ visto com fre"bBncia as pessoas ou o pr3prio mercado usar e'press&es de acréscimo ou redu%ão nos pre%os de produtos ou servi%os.  4luns e'emplos+ a)@6 de 1F6 dias de tra#alho ? >6 dias #)C6 de : 176,66 de compra ? : S9,66

CoFo ca!cu!ar =orcen>a

'istem vrias formas de se calcular uma porcentaem. odemos por e'emplo se #asear no fato "ue+   de  $

=

  100

×  $ (2ransforme o valor percentual

em decimal e multipli"ue pelo tota (]).) odemos tam#ém, proceder fazendo uma rera de trBs simples, uma vez "ue ao #uscarmos uma porcentaem de um determinado valor, estamos considerando randezas diretamente proporcionais

PORCENTAGEM

EKeF=!?f?cando:  fetue o clculo 16 de F6

O#serve os e'emplos a seuir so#re porcentaem+

166

+ F6

Numa loja de materiais elétricos, um velho cliente entra  para comprar cabos, e compra o ue costuma comprar todo m!s" # conta fica em $% reais, mais cara ue a do m!s passado" & 'eve aumento& perunta o cliente & 'eve" *s cabos aumentaram +% & responde o dono da loja, do outro lado do balcão" & -ntão, em nome da nova velha ami.ade, este m!s eu uero +% de desconto" * dono da loja concorda" /uem anhou e uem perdeu nessa transação, o velho cliente ou o dono da loja

16

+P

0m trabalhador aut1nomo, toda ve. ue emite uma nota fiscal de serviços, paa $ de impostos" /uando lhe  peruntam uanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde: & 2obro 34% reais l5uidos" 2ontudo, terminado o trabalho, o cliente insiste em lhe  paar 34% reais por semana, e disso não arreda pé" 6or fim, o trabalhador se rende, emite a nota fiscal no valor de 34% reais, paa $ de impostos e embolsa 78% reais" /uanto ele deveria cobrar para, durante as neociaç9es,

Ou, 16?6,1 Eoo, 16 de F6 ?6,1 . F6 ?F 'emplo 7+ fetua=se o resate de um che"ue pré=datado no valor  de : 1F6,66 e o#tBm=se um desconto de 76 166

+ : 1F6,66

76

+

P

P ? : 86,66

AuFen>o# =orcen>ua?# m termos erais, se um valor "ual"uer ( %  Q ) aumenta ', podemos calcular o novo valor fazendo+

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Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonçalves [email protected]

+ % Q .  = % Q .(1 +  )

% Q

D?F?nu?e# =orcen>ua?#

F) Jm imposto foi criado com al/"uota de 7 so#re cada transa%ão financeira efetuada pelos consumidores. -e uma pessoa for descontar um che"ue no valor de : 1F.7F6,66, rece#er l/"uido "uantoA

0e forma anloa ao desenvolvimento anterior se o#tivermos um desconto de ' em um valor "ual"uer ( %  Q ) calcularmos o valor final fazendo+ %  Q + %  Q

.,* - %  Q (1 + ,*)

AuFen>o #e
Nos casos em "ue aumentos e diminui%&es são intercaladas, so#re um valor "ual"uer ( %  Q ) podemos o#ter o valor final de forma única. -e um valor aumenta '  e depois diminui ] temos+ %  Q 

(1,*)(1+,*)

EKercc?o# 1) Jm joador de #as"uete, ao lono do campeonato, fez 7F6 pontos, deste total 16 foram de cestas de 67 pontos. Muantas cestas de 67 pontos o joador fez do total de 7F6 pontosA

7) Jm celular foi comprado por : 866,66 e revendido posteriormente por : 896,66, "ual a ta'a percentual de lucro A

8) Mual valor de uma mercadoria "ue custou : FFF,66 e "ue pretende ter com esta um lucro de 1CA

9) Jm aluno teve 86 aulas de uma determinada matéria. Mual o número m'imo de faltas "ue este aluno pode ter  sa#endo "ue ele ser reprovado, caso tenha faltado a 86 (por cento) das aulasA

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