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CURSO DE CONCRETO ARMADO

Volume 3

JOSÉ MILTON DE ARAÚJO Professor Titular – Escola de Engenharia da FURG Doutor em Engenharia

CURSO DE CONCRETO ARMADO Volume 3

Editora DUNAS

CURSO DE CONCRETO ARMADO ©

Copyright Editora DUNAS

A663c

Araújo, José Milton de Curso de concreto armado / José Milton de Araújo. - Rio Grande: Dunas, 2010. v.3, 3.ed.

Bibliografia 1. Concreto armado. I. Título

CDU 624.012.45 CDD 624.1834 ISBN do volume 3: 978-85-86717-11-6 ISBN da coleção: 978-85-86717-08-6

Editora DUNAS Rua Tiradentes, 105 - Cidade Nova 96211-080 RIO GRANDE - RS - Brasil www.editoradunas.com.br e-mail: [email protected] _____________________ 3a edição, Novembro/2010 _____________________

APRESENTAÇÃO

Este Curso de Concreto Armado é dirigido aos estudantes de graduação em Engenharia Civil e aos profissionais ligados à área de projeto estrutural. Para uma melhor apresentação, a obra foi dividida em quatro volumes, com uma sequência que nos parece apropriada do ponto de vista didático. Não é nossa intenção abordar todos os aspectos relativos ao tema, o que seria impraticável em virtude de sua abrangência. Nosso único objetivo é apresentar um curso completo e atualizado sobre os métodos de cálculo das estruturas usuais de concreto armado. Em particular, o Curso é dedicado ao projeto das estruturas dos edifícios. Nesta terceira edição de Curso de Concreto Armado, fizemos diversas alterações, além da inclusão de novos conteúdos e exemplos numéricos. O leitor irá constatar que novos procedimentos de projeto foram adotados, em relação à edição anterior. No volume 1, por exemplo, foram alterados os limites para o dimensionamento à flexão simples com armadura dupla, para garantir que as vigas tenham uma maior ductilidade no estado limite último. Diversas inovações sobre o cálculo de lajes maciças, lajes nervuradas e lajes cogumelo foram introduzidas nos volumes 2 e 4. No volume 3, incluímos novos conteúdos sobre o contraventamento dos edifícios e o dimensionamento dos pilares. No volume 4, acrescentamos um capítulo sobre o projeto estrutural em situação de incêndio. Além disso, foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto armado. Enfim, esta edição sofreu uma completa reestruturação, tanto em termos de conteúdo, quanto em termos de procedimentos de projeto.

Rio Grande, Setembro de 2010.

José Milton

PLANO DA OBRA

Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Fundamentos de segurança. Flexão normal simples: dimensionamento e verificação de seções retangulares e seções T. Esforço cortante. Ancoragem e emendas das armaduras.

Volume 2: Cálculo de lajes maciças. Cálculo de vigas. Estados limites de utilização.

Volume 3: Flexo-compressão normal e oblíqua: dimensionamento e verificação de seções. Cálculo de pilares curtos e moderadamente esbeltos. Pilares-parede. Pilares esbeltos. Ações horizontais nas estruturas de contraventamento.

Volume 4: Dimensionamento à torção. Flexo-tração. Escadas. Vigas-parede e consolos. Reservatórios. Lajes nervuradas. Lajes cogumelo. Fundações. Projeto em situação de incêndio.

SUMÁRIO 1. CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES .............................................................................1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -

A equação diferencial de equilíbrio dos pilares .......................1 Condições de contorno.............................................................5 Solução da equação diferencial................................................6 Estabilidade dos pilares de concreto armado .........................10 Hipóteses básicas do dimensionamento .................................12

2. DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL ...................................................................................15 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 -

Apresentação do problema.....................................................15 Seção retangular com armadura distribuída ...........................18 Cálculo das tensões nas armaduras ........................................21 Cálculo da resultante de compressão no concreto..................26 Equações de equilíbrio...........................................................27 Cálculo da posição da linha neutra.........................................31 Elaboração do programa computacional ................................33 Tabelas para dimensionamento ..............................................35 Exemplos de dimensionamento..............................................36

3. DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXOCOMPRESSÃO NORMAL ........................................................41 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 -

O emprego de diagramas de interação ...................................41 Obtenção dos diagramas de interação ....................................42 Armadura teoricamente desnecessária ...................................44 Fórmulas aproximadas de dimensionamento .........................45 Escolha da disposição das barras ...........................................48

4. ANÁLISE DA FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA.................51 4.1 - Apresentação do problema.....................................................51 4.2 - Equações de equilíbrio...........................................................52 4.3 - Rotação do sistema de eixos ..................................................55

4.4 - Cálculo das tensões nas barras da armadura ..........................58 4.5 - Determinação da parte da seção comprimida com o diagrama retangular...............................................................59 4.6 - Verificação da capacidade resistente .....................................62 5. DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA...................................................................................69 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 -

O problema do dimensionamento ..........................................69 Determinação da inclinação da linha neutra ..........................71 Cálculo da área de aço ...........................................................75 Exemplos ilustrativos.............................................................76 Tabelas para dimensionamento de seções retangulares..........79 Processos simplificados de dimensionamento .......................81

6. CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO ......................................................83 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 -

Introdução ..............................................................................83 Estruturas indeslocáveis ou de nós fixos................................85 Determinação do índice de esbeltez.......................................95 Classificação dos pilares quanto à esbeltez............................99 Processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda ordem ....................................................104 6.6 - Consideração da fluência do concreto..................................115 6.7 – Efeito de segunda ordem nos pilares-parede ........................119 6.8 – Flambagem local das lâminas dos pilares-parede.................121 6.9 – Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem local ..............................................................131 6.10 – Imperfeições geométricas localizadas em pilares-parede ...137 7. CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS ..............143 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 -

Introdução ............................................................................143 Situações de projeto dos pilares ...........................................143 Situações de cálculo dos pilares...........................................148 Exemplos de dimensionamento............................................159 Simplificações para os pilares contraventados dos edifícios .........................................................................178

8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ..........................................187 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 -

Considerações gerais............................................................187 Dimensões mínimas das seções dos pilares .........................187 Armadura longitudinal .........................................................188 Armadura transversal ...........................................................189 Cobrimento da armadura......................................................194 Proteção contra a flambagem das barras ..............................195 Emendas das barras..............................................................197 Desenho de armação dos pilares ..........................................202

9. PILARES ESBELTOS..............................................................205 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 -

Introdução ............................................................................205 Deslocamentos em barras esbeltas .......................................207 Relação deformação-deslocamentos ....................................209 O princípio dos trabalhos virtuais ........................................210 O método dos elementos finitos...........................................212 Implementação computacional do método dos elementos finitos .................................................................218

10. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO.....................................................223 10.1 – Introdução ..........................................................................223 10.2 – Processo simplificado para repartição das forças horizontais ...............................................................224 10.3 – Imperfeições geométricas globais dos edifícios .................234 10.4 – Análise de pórticos através do modelo contínuo ................237 10.5 – Interação entre painéis de contraventamento com comportamentos distintos...................................................242 10.6 – Processo rigoroso para repartição das forças horizontais ...248 10.7 – Análise de uma subestrutura de contraventamento.............258 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .........................................267 APÊNDICE 1: Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão normal .....................................271 APÊNDICE 2: Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão oblíqua ....................................305

Capítulo 1 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES

1.1 - A equação diferencial de equilíbrio dos pilares Considere-se o pilar indicado na fig. 1.1.1, submetido a uma força normal P e a uma carga transversal q . Por hipótese, a força de compressão P é constante ao longo do eixo do pilar e a flexão ocorre no plano de simetria x − z .

P z W q l

P x Fig. 1.1.1 - Carregamento do pilar Com a aplicação do carregamento, a barra se deforma de modo que a flecha em uma seção transversal genérica é W = W (x ) . Nessa seção atuam a força de compressão P , o momento fletor M e a

Considerações sobre a estabilidade dos pilares

11

relacionada com as características mecânicas dos materiais, é dado o nome de "não linearidade física". No caso do concreto armado, a grande dificuldade para se obter a solução da equação diferencial consiste na determinação da rigidez à flexão das seções transversais do pilar. Isto ocorre porque a relação entre o momento fletor e a curvatura, para um dado valor do esforço normal, é não linear e só pode ser obtida por pontos, através de um processo numérico. Assim, rigorosamente falando, a análise de um pilar de concreto armado exige o emprego de técnicas numéricas apropriadas. Diversos métodos numéricos têm sido desenvolvidos para esse fim, estando os principais apresentados na referência [3]. Entretanto, do ponto de vista prático, é possível introduzir algumas simplificações que permitam resolver o problema de maneira aproximada. Dois tipos de processos simplificados podem ser empregados. Nos primeiros, resolve-se a equação diferencial de maneira exata, arbitrando-se um valor convencional para a rigidez à flexão do pilar. Com isso, obtém-se o momento fletor solicitante máximo, que é igual ao momento de primeira ordem multiplicado por um fator de amplificação, como na equação (1.3.4). Em geral, o fator de amplificação β pode ser aproximado por

β=

1 P 1− Pe

(1.4.1)

onde Pe é a carga de flambagem do pilar, avaliada com uma rigidez aproximada EI . Com o momento máximo M max e com o esforço normal P , dimensiona-se a seção transversal em flexo-compressão. Esse é o processo simplificado do ACI(4), também incluído na NBR-6118(5). Em uma segunda classe de processos simplificados, arbitra-se uma função W (x ) para a deformada do eixo do pilar, bem como a curvatura de ruína das seções de concreto armado. Com isso, é possível calcular o deslocamento máximo, Wmax , em função da curvatura de ruína. O momento de segunda ordem é dado por

Curso de Concreto Armado

14

A tensão σ cd tem os seguintes valores:

σ cd = 0,85 f cd , quando a largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda mais comprimida (caso de seções retangulares em flexão normal, por exemplo); σ cd = 0,80 f cd , nos casos contrários (seções circulares em flexão normal, dentre outras). Para o aço, emprega-se o diagrama tensão-deformação de cálculo apresentado na seção 3.2 do Volume 1. O módulo de elasticidade do aço é considerado igual a E s = 20.000 kN/cm2. O estado limite último em flexo-compressão, correspondente à ruína de uma seção transversal, pode ocorrer por ruptura do concreto ou por uma deformação excessiva da armadura. Admite-se a ocorrência da ruína, quando a distribuição das deformações ao longo da altura de uma seção transversal se enquadrar em um dos domínios da fig. 1.5.2. Nessa figura foi eliminado o domínio 1, por ser este um domínio exclusivo da flexo-tração.

2o/oo 3,5o/oo 3h/7 2

h

4

4a

3 5 10o/oo

εyd

b

tração compressão

Fig. 1.5.2 - Domínios de dimensionamento na flexo-compressão Os quatro capítulos seguintes são dedicados ao dimensionamento e à verificação de seções de concreto armado submetidas à flexo-compressão normal e oblíqua.

Capítulo 2 DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL

2.1 - Apresentação do problema Flexo-compressão é uma solicitação composta por um momento fletor e por um esforço normal de compressão. Quando a flexão se dá em um plano contendo os eixos de simetria das seções transversais do elemento estrutural, a solicitação é denominada flexocompressão normal. Na flexo-compressão normal, a profundidade da linha neutra, medida em relação a uma borda da seção transversal, é uma incógnita do problema. Entretanto, a orientação da linha neutra é conhecida, já que ela será sempre perpendicular ao plano de ação do momento fletor. Esse tipo de solicitação é representado na fig. 2.1.1 para uma seção transversal retangular.

h/2 h

Nd e

Md x

c h/2

Nd

c

LN

Fig. 2.1.1 - Seção transversal sob flexo-compressão normal

Na fig. 2.1.1, h é a altura da seção transversal e c representa o centroide da seção de concreto. A força normal de compressão,


16

N d , atua em um eixo de simetria da seção e está aplicada em um ponto situado a uma distância e do centroide. A solicitação representada pela força N d e pela excentricidade e pode ser substituída pelo par de esforços (N d , M d ) , onde N d é o esforço normal de cálculo e M d = N d e é o momento fletor de cálculo. Uma vez que a orientação da linha neutra é conhecida, resta determinar sua profundidade x , medida em relação à borda comprimida pela aplicação exclusiva do momento fletor, para sua completa caracterização. Por isso, x é uma das incógnitas que deverão ser encontradas na solução deste problema. Na fig. 2.1.2, são indicados alguns tipos de seções retangulares de concreto armado, usualmente empregadas nos pilares dos edifícios.

h

b Fig. 2.1.2 - Seções transversais típicas dos pilares dos edifícios Todas as seções transversais indicadas na fig. 2.1.2 possuem a mesma armadura total, com uma área de aço igual a As . Entretanto, a disposição das barras difere de uma seção para outra. Por isto, a capacidade resistente de cada uma delas será diferente. O dimensionamento de uma seção transversal de concreto armado, submetida à flexo-compressão normal, consiste na resolução do seguinte problema: - dados os esforços solicitantes de cálculo N d e M d ; - escolhida uma forma para a seção transversal de concreto e uma determinada disposição das barras da armadura;

Dimensionamento à flexo-compressão normal

39

Solução: Como as dimensões da seção transversal são as mesmas do exemplo anterior, tem-se

ν = 0,60 ; μ = 0,37 ; δ = 0,10 Para esse tipo de seção (com quatro camadas de armadura) e para δ = 0,10 , deve-se empregar a tabela A1.10. Entrando na tabela e fazendo as interpolações, obtém-se ω = 1,13 . A área de aço é dada por

As = ωbh

σ cd f yd

= 1,13x 20 x 40 x

1,2 43,48

⇒ As = 24,95 cm2

Empregando a tabela A3.2 (Apêndice 3 do Volume 2), verifica-se que essa área de aço é obtida adotando-se 4 barras de 20 mm em cada face lateral da seção, ficando-se com uma área total igual a 25,13 cm2. A solução é apresentada na fig. 2.9.4.

40

4φ20

4φ20

20cm Fig. 2.9.4 - Solução possível - Exemplo 2

Exemplo 3: Resolver os exemplos anteriores para diversos valores de f ck . Os resultados são apresentados na tabela 2.9.1.


40

Tabela 2.9.1 – Área da armadura para diversos valores de f ck Exemplo 1: Fig. 2.9.1 25 30

f ck (MPa)

20

As (cm2)

15,70

f ck (MPa)

20

As (cm2)

24,95

12,41

10,63

Exemplo 2: Fig. 2.9.3 25 30 21,31

18,53

40

50

9,00

8,03

40

50

13,86

10,93

Conforme se observa, consegue-se uma redução significativa no consumo de armadura com o aumento da resistência à compressão do concreto, ao contrário do que foi verificado em flexão simples (ver capítulo 3 do Volume 1). Pode-se concluir que é vantajoso empregar um concreto de maior resistência nos pilares. Esse valor mais elevado de f ck permitirá reduzir o consumo de armadura e/ou reduzir as dimensões da seção transversal do pilar.

Capítulo 3 DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL

3.1 - O emprego de diagramas de interação No capítulo anterior, foi apresentada a formulação para o dimensionamento à flexo-compressão normal de seções retangulares com armadura distribuída simetricamente ao longo do seu contorno. Apesar de as equações terem sido particularizadas para as seções retangulares, sua generalização para outras formas de seções é um trabalho relativamente simples. Isto feito, pode-se facilmente ampliar o programa computacional. Admitindo-se como sendo válidas as hipóteses introduzidas na formulação, o desenvolvimento apresentado é matematicamente correto e leva à solução exata do problema. Evidentemente, essa solução só pode ser obtida iterativamente e, para isto, necessita-se de um programa de computador. A solução do problema também pode ser obtida quando se dispõe de tabelas para o dimensionamento imediato, como as tabelas apresentadas no Apêndice 1. Deve ser salientado que o único erro que, eventualmente, pode ser cometido ao se utilizar essas tabelas é o decorrente das interpolações que são feitas para o cálculo da armadura. Alternativamente, o dimensionamento pode ser feito com o emprego de diagramas de interação. Neste caso, o único erro cometido é o decorrente da leitura efetuada no diagrama. A opção por uma tabela de dimensionamento ou por um diagrama de interação é simplesmente uma questão de preferência. Um diagrama de interação é um conjunto de curvas representadas no sistema de eixos dos esforços reduzidos (ν − μ ). Cada curva, correspondendo a uma dada taxa mecânica de armadura ω , representa o lugar geométrico dos pares de esforços (μ ,ν ) que levam a seção ao estado limite último.

Diagramas de interação na flexo-compressão normal

43

Para obter um novo par de esforços solicitantes que levam a seção ao estado limite último, varia-se o valor de ν , resolve-se o problema f (ξ ) = 0 e calcula-se o valor de μ com o emprego da equação (3.2.2). Procedendo desta forma, obtém-se uma infinidade de pares (μ ,ν ) que fazem com que a seção atinja o estado limite último. Plotando os pontos obtidos no sistema de eixos cartesianos ν − μ , obtém-se uma curva que representa o lugar geométrico dos pares de esforços solicitantes (μ ,ν ) que levam a seção à ruína. Variando a taxa de armadura, ω , pode-se gerar um conjunto de curvas de maneira análoga. Essas curvas dão origem aos denominados diagramas de interação na flexo-compressão normal. Na fig. 3.2.1, representa-se o diagrama de interação obtido para uma seção retangular com duas camadas de armadura. Esse diagrama foi construído para o aço CA-50 ( f yk = 500 MPa) e para

δ = 0,10 . Portanto, ele só é válido para uma seção transversal com essas características. Observa-se, ainda, que as curvas correspondem a diferentes taxas mecânicas de armadura, desde ω = 0 até ω = 1 .

momento fletor fletor reduzido reduzido μ Momento

0.60

ω=1,0

h

ω=0,8

0.40

d'/h=0,10 b

ω=0,6

Aço AçoCA-50A CA-50

ω=0,4 ω=0,2

0.20

ω=0

0.00 0.00

0.40

0.80

1.20

1.60

esforçonormal normalreduzido reduzido ν Esforço

Fig. 3.2.1 - Diagrama de interação

2.00

Capítulo 4 ANÁLISE DA FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA

4.1 - Apresentação do problema A flexo-compressão oblíqua é a solicitação composta por um esforço normal de compressão agindo fora dos eixos de simetria da seção transversal. Quando o esforço normal atua em um eixo de simetria da seção de concreto, mas o arranjo das barras não é simétrico em relação a esse eixo, a flexão também é oblíqua. Por último, a flexão será sempre oblíqua quando a própria seção não possuir um eixo de simetria. Nesses casos, ao contrário da flexo-compressão normal, tanto a profundidade da linha neutra, quanto a sua orientação, são desconhecidas. Em geral, a linha neutra não é perpendicular ao plano de ação do momento fletor. Assim, surge uma nova incógnita no problema, o que torna sua solução bastante complexa. Na fig. 4.1.1, apresenta-se uma seção retangular de concreto armado submetida à flexo-compressão oblíqua.

y xo

Nd

α x LN

Fig. 4.1.1 - Seção transversal sob flexo-compressão oblíqua

Análise da flexo-compressão oblíqua

67

Na fig. 4.6.4, representa-se um diagrama de interação para a seção retangular. Apenas um quadrante do diagrama foi representado, pois, como a seção possui dois eixos de simetria, a solução será a mesma em qualquer quadrante. Esse diagrama é válido para ν = 1,0 , δ = 0,10 e para o aço CA-50.

μy momento fletor reduzido (my)

0.40

ν=1,0

ω=1,0 0.30

Aço CA-50 Aço CA-50A

ω=0,8

δ=0,10

ω=0,6

0.20

ω=0,4 0.10

ω=0,2

0.00 0.00

0.10

0.20

0.30

μx momento fletor reduzido (mx)

0.40

Fig. 4.6.4 - Diagrama de interação na flexo-compressão oblíqua (seção retangular) Entrando no diagrama com os momentos fletores reduzidos de cálculo μ x e μ y , obtém-se a taxa mecânica de armadura ω e calcula-se a área total de aço com o emprego da equação (4.6.2).

Capítulo 5 DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA

5.1 - O problema do dimensionamento Conforme foi salientado no capítulo 4, na flexo-compressão oblíqua não se conhece a priori a orientação da linha neutra. Somente em casos particulares, o ângulo α de inclinação da linha neutra é conhecido de imediato (casos de flexo-compressão normal). Dessa forma, para caracterizar a linha neutra é necessário conhecer sua profundidade xo e sua inclinação α em relação ao eixo x . No dimensionamento da seção, são fornecidos os esforços solicitantes de cálculo N d , M xd e M yd e as incógnitas envolvidas nas três equações de equilíbrio são xo , α e As . Este problema só pode ser resolvido por tentativas. De fato, o que se pode fazer é uma sequência de verificações com diversos valores da área de aço As . Para cada valor de As , determina-se o terno de esforços resistentes

(N d , M xdr , M ydr ) ,

conforme foi apresentado no capítulo anterior. A armadura procurada é aquela que atende as igualdades M xdr = M xd e M ydr = M yd . Na verdade, o processo é repetido até que as diferenças entre os momentos fletores resistentes e os momentos de cálculo sejam menores do que uma tolerância preestabelecida. A sistematização do dimensionamento pode ser feita da seguinte maneira: a) Escolhe-se um valor inicial para a área de aço As . Com esse valor de As , devem-se encontrar α e xo .

Dimensionamento à flexo-compressão oblíqua

71

y y

x

x

y

y

x

x

Fig. 5.1.1 - Seções com dois eixos de simetria Neste capítulo, será desenvolvido um algoritmo para o dimensionamento à flexo-compressão oblíqua de seções com dois eixos de simetria, como as seções indicadas na fig. 5.1.1. Essas formas duplamente simétricas são encontradas com muita frequência em pilares de pontes e de edifícios de concreto armado. Assim, o algoritmo será capaz de resolver os principais problemas de interesse prático. De qualquer maneira, para outras formas de seção, pode-se fazer a verificação da capacidade resistente, conforme foi indicado no capítulo anterior. 5.2 - Determinação da inclinação da linha neutra Considere-se uma seção transversal com dois eixos de simetria e com uma dada área de aço. Em virtude da dupla simetria, pode-se limitar a análise ao primeiro quadrante, de forma que os momentos solicitantes M xd e M yd serão sempre positivos. Na fig. 5.2.1,


80

Exemplo: Dimensionar a seção da fig. 5.4.1, submetida ao esforço normal de serviço N k = 800 kN e aos momentos fletores de serviço

M xk = 2000 kNcm e M yk = 4000 kNcm. O concreto possui f ck = 20 MPa e o aço é o CA-50 ( f yk = 50 kN/cm2). A solução "exata" para este problema, dada na tabela 5.4.1, é

As = 20,48 cm2. Para realizar o dimensionamento empregando-se as tabelas do Apêndice 2, são necessários os seguintes cálculos:

f cd =

f ck ≅ 14 MPa; σ cd = 0,80 f cd = 11,2 MPa; 1,4

Logo, σ cd = 1,12 kN/cm2.

f yd =

f yk 1,15

= 43,48 kN/cm2; hx = 20 cm; h y = 40 cm;

Ac = hx h y = 20 x 40 ⇒ Ac = 800 cm2

N d = 1,4 N k = 1,4 x800 ⇒ N d = 1120 kN M xd = 1,4 M xk = 1,4 x 2000 ⇒ M xd = 2800 kNcm M yd = 1,4 M yk = 1,4 x 4000 ⇒ M yd = 5600 kNcm

ν=

Nd 1120 = ⇒ν = 1,25 Acσ cd 800 x1,12

μx =

M xd 2800 = ⇒ μ x ≅ 015 Ac hxσ cd 800 x 20 x1,12

Capítulo 6 CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO

6.1 - Introdução Os pilares podem ser classificados como curtos, moderadamente esbeltos e esbeltos. Os pilares curtos são aqueles para os quais não há necessidade de se considerar os efeitos de segunda ordem. Para esses pilares, os esforços solicitantes obtidos na configuração deformada (teoria de segunda ordem) são aproximadamente iguais aos esforços calculados na configuração indeformada (teoria de primeira ordem). Em geral, admite-se que os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados quando eles causam um acréscimo nos esforços solicitantes de no máximo 10%. Para os pilares moderadamente esbeltos, os efeitos de segunda ordem são importantes e não podem ser desprezados. Entretanto, esses efeitos podem ser considerados através de processos simplificados. Em geral, nesses processos, arbitra-se uma configuração deformada para o eixo do pilar e calcula-se o máximo momento fletor solicitante ao longo do eixo. Com o momento máximo e com o esforço normal, dimensiona-se a seção transversal do pilar em flexo-compressão. Nos pilares esbeltos, os efeitos de segunda ordem são tão importantes que não se pode admitir o emprego de processos simplificados. Para esses pilares é exigida uma análise rigorosa, que leva em conta a não linearidade física decorrente do comportamento mecânico dos materiais, bem como a não linearidade geométrica. De um modo geral, a maioria dos pilares dos edifícios se enquadra nas categorias de pilares curtos ou moderadamente esbeltos. Somente em poucos casos especiais é que eles devem ser tratados como pilares esbeltos.


86

elemento rígido 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

(a)

(b)

Fig. 6.2.1 - Efeito da deslocabilidade horizontal De acordo com o CEB/78(6), podem ser consideradas indeslocáveis as estruturas para as quais as seguintes desigualdades são atendidas:

α = htot

FV ≤ 0,2 + 0,1n , se n ≤ 3 Ecs I c

(6.2.1)

FV ≤ 0,6 , se n ≥ 4 Ecs I c

(6.2.2)

α = htot

onde: α = parâmetro de instabilidade; n = número de andares; htot = altura total da edificação, medida do topo da fundação ou de um nível indeformável; Ecs I c = soma dos valores de rigidez à flexão das seções dos elementos verticais na direção considerada; FV = soma de todas as cargas verticais de serviço. Segundo a NBR-6118(5), o limite 0,6 deve ser usado quando o contraventamento é formado pela associação de pórticos e pilaresparede. Ele pode ser aumentado para 0,7 quando o contraventamento for constituído exclusivamente por pilares-parede. Por outro lado,

Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado

89

A) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por paredes estruturais e/ou pilares-parede Se o contraventamento é constituído exclusivamente por paredes estruturais e/ou pilares-parede, a estrutura é considerada indeslocável quando

α = htot

FV ≤ α lim Ecs I c

(6.2.6)

onde Ecs é o módulo secante do concreto, dado na equação (6.2.3),

I c é o momento de inércia da seção de concreto simples e α lim é função do número de andares n do edifício e do estado de fissuração do elemento de contraventamento. As expressões de α lim são as seguintes, conforme o caso: •

para elementos não fissurados:

α lim = 0,67 1 − •

0,60 n

(6.2.7)

0,60 n

(6.2.8)

para elementos fissurados:

α lim = 0,47 1 −

Observa-se que o valor de α lim depende do estado de fissuração da parede ou do pilar-parede de contraventamento. As tensões de tração no concreto, para as cargas horizontais e as cargas verticais de cálculo que atuam no elemento estrutural, podem ser determinadas como para um material elástico linear submetido à flexo-compressão. Comparando a tensão de tração máxima em cada andar com a resistência à tração característica inferior do concreto, f ctk ,inf , determina-se o estado de fissuração do elemento estrutural. A princípio, pode-se fazer uma interpolação linear entre os valores

106


χu =

π2 l2

e2

(6.5.4)

Dessa equação, pode-se obter a excentricidade de segunda ordem, e2 , em função da curvatura última. Considerando π 2 ≅ 10 , chega-se a

e2 =

l2 χu 10

(6.5.5)

Assim, o momento fletor de segunda ordem, M 2 d , é dado por

M 2d = Fd e2

(6.5.6)

e o momento total é M d = M 1d + M 2 d . Com o esforço normal N d = Fd e com o momento fletor M d , dimensiona-se a seção transversal em flexo-compressão. A seguir, são apresentadas as expressões para a curvatura última fornecidas pela NBR-6118 e pelo CEB. a) Expressão da NBR-6118 De acordo com a NBR-6118, a curvatura última é dada por

χu =

0,005 (ν o + 0,5)h

(6.5.7)

onde

νo =

Fd Ac f cd

(6.5.8)

sendo Ac a área da seção de concreto e h a sua altura na direção considerada.


119

Entrando na tabela A1.2 do Apêndice 1, obtém-se a área total da armadura As = 24,75 cm2. Ao ser desprezada a fluência (exemplo da seção 6.5), obtevese uma área de aço igual a 19,21 cm2. Logo, a consideração da fluência causou um acréscimo de 29% na armadura, o que mostra a sua importância no dimensionamento. Observa-se que λ = 69 < 90 , o que demonstra que não se pode admitir um critério simplista de dispensa da consideração da fluência sempre que λ < 90 . 6.7 – Efeito de segunda ordem nos pilares-parede Os pilares de seção transversal composta por retângulos de pequena espessura são, usualmente, denominados de pilares-parede. As faces laterais do pilar são constituídas por placas, dispostas na vertical. Trata-se, portanto, de um pilar com seção de parede fina, que pode ser aberta ou fechada, conforme indicado na fig. 6.7.1.

b t a) Seções abertas

b) Seção fechada

Fig. 6.7.1 – Seções típicas dos pilares-parede Normalmente, os pilares-parede são encontrados nas caixas das escadas e dos elevadores dos edifícios altos e possuem uma seção transversal aberta. Esses elementos, quando existentes, fazem parte da subestrutura de contraventamento do edifício. Os pilares-parede de seção fechada, do tipo caixão, são encontrados nas pontes, podendo possuir uma ou mais células. Em virtude da pequena espessura das paredes, em relação às dimensões totais da seção transversal, consegue-se obter um elemento estrutural de grande rigidez com um peso próprio pequeno, quando comparado com a solução em seção maciça. Essa redução no peso próprio, devido à redução no consumo de concreto, repercute também nas fundações, que ficam submetidas a uma carga vertical menor. Por outro lado, os pilares-parede exigem um maior consumo


121

6.8 – Flambagem local das lâminas dos pilares-parede O problema da flambagem local nos pilares com seção de parede fina tem sido bastante estudado para os pilares de aço. Entretanto, poucos estudos teóricos e experimentais têm sido feitos com o objetivo de analisar a ocorrência de flambagem local nos pilares de concreto armado. De fato, esse problema não deveria ocorrer com a maioria dos pilares-parede que foram projetados no passado, quando se empregava concretos de resistência relativamente baixa. Em vista dessa baixa resistência do concreto, as paredes tinham uma espessura razoável, resultando um pequeno índice de esbeltez para as lâminas do pilar. A carga de flambagem de cada lâmina isoladamente era bem superior à carga máxima que nela atuava, não havendo possibilidade de flambagem local. Entretanto, com o advento dos concretos de alta resistência, tem sido possível projetar e executar pilares de grande altura, com paredes de pequena espessura. A partir de então, a flambagem local se tornou crítica no projeto de diversos pilares de ponte de seção vazada. No caso dos edifícios, o problema da flambagem local pode ser importante, principalmente para as lâminas que possuem um bordo livre, nos pilares-parede de seção aberta. Para analisar a flambagem local em um pilar-parede, considera-se uma lâmina típica do pilar, como indicado na fig. 6.8.1. A seção transversal da lâmina possui uma espessura t e tem n camadas de armadura, cada uma com uma área de aço Asi . A distância de uma camada genérica até o centro da lâmina é Z i . A área total de aço na seção é As =

n

∑ Asi . i =1

Na fig. 6.8.1, representa-se o caso usual com duas camadas de armadura. A lâmina tem uma largura b e uma altura real l . Os lados 1-2 e 3-4, situados no topo e na base da lâmina, respectivamente, são considerados simplesmente apoiados. No caso dos edifícios, esses lados correspondem às lajes de piso, sendo l a distância de piso a piso.


125

t

Lintéis

l

lo

Laje

Com lintéis Sem lintéis Fig. 6.8.3 – Pilar-parede sem e com lintéis de fechamento Para os diversos casos de condições de contorno, a carga crítica da lâmina, Pcr , pode ser escrita na forma compacta

Pcr =

π2 D

(6.8.5)

le2

onde le é o comprimento de flambagem, por analogia com a teoria de flambagem dos pilares, e D é a rigidez à flexão da placa. Para o caso elástico linear, tem-se

D=

Eb t 3

(

12 1 − ν 2

)

(6.8.6)

onde b é a largura e t é a espessura da lâmina, E é o módulo de elasticidade e ν é o coeficiente de Poisson do material. Para uma placa de concreto armado, devem-se considerar o módulo tangente do concreto Ect e o módulo de elasticidade do aço

E s . Esses módulos são obtidos a partir dos diagramas tensãodeformação representados na fig. 6.8.4.


131

resultados são apresentados na fig. 6.8.7, onde foi considerado o índice de esbeltez crítico é λcr = 27 . 30.0

t l

25.0

Relação l/t

b 20.0

Ocorre flambagem local

15.0

Esbeltez limite

Sem flambagem local

10.0

5.0 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

Relação l/b

Fig. 6.8.7 – Esbeltez máxima das lâminas com um bordo livre para ser desconsiderada a flambagem local

6.9 – Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem local Uma vez identificado o problema da flambagem local, quando

λ > λcr para uma determinada lâmina do pilar-parede, é necessário incluir esse efeito nos procedimentos de projeto. Há diversas maneiras de se considerar esse fenômeno, mas, em geral, desconsidera-se a interação entre as diversas lâminas do pilar. Desse modo, considera-se o menor valor da deformação crítica de flambagem local ε cr , obtido para todas as lâminas do pilar-parede. Numa primeira opção de projeto, podem-se limitar as deformações na seção transversal do pilar, de modo que ε ≤ ε lim em todos os pontos da seção. A deformação limite ε lim é dada por


138

contraventados, através de uma excentricidade acidental, como é apresentado na seção 7.3 (capítulo 7). Nesses dois casos, a imperfeição geométrica se refere ao eixo do pilar. No caso dos pilares-parede, ainda pode ser necessário considerar as imperfeições geométricas localizadas em uma ou mais lâminas que o compõem. Neste caso, considera-se a imperfeição geométrica de uma lâmina entre dois pisos sucessivos. Essas três situações são representadas na fig. 6.10.1. Imperfeições localizadas

l l

Imperfeição global

Imperfeições locais

Fig. 6.10.1 – Imperfeições geométricas dos pilares O efeito das imperfeições localizadas pode ser analisado pela teoria de placas, conforme apresentado no capítulo 2 do Volume 2. Entretanto, como as lâminas do pilar-parede estão comprimidas, devem-se considerar os efeitos de segunda ordem. Na fig. 6.10.2, apresenta-se uma placa simplesmente apoiada nos quatro lados, submetida a um esforço normal N x por unidade de comprimento. Admite-se que a placa possui uma imperfeição inicial representada pelos deslocamentos transversais

Wo = e1 sen

πx a

sen

πy b

(6.10.1)

onde e1 é o valor máximo da imperfeição, que ocorre no centro da placa.

Capítulo 7 CÁLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS

7.1 - Introdução Conforme foi salientado no capítulo anterior, em uma estrutura podem-se distinguir duas subestruturas que têm finalidades distintas. A primeira, denominada subestrutura de contraventamento, é aquela formada por elementos de maior rigidez, cuja função principal é resistir às ações horizontais. Evidentemente, a subestrutura de contraventamento também resiste a uma parcela do carregamento vertical. A subestrutura de contraventamento, além de absorver as ações horizontais que atuam na estrutura, deve possuir uma rigidez suficiente para garantir a indeslocabilidade, conforme o critério apresentado no capítulo 6. A outra subestrutura, denominada subestrutura contraventada, resiste apenas ao carregamento vertical. Os pilares dessa subestrutura, denominados de pilares contraventados, podem ser calculados como se eles fossem apoiados nos níveis das lajes. Assim, os efeitos de segunda ordem nesses pilares são localizados. Neste capítulo, são apresentadas as situações de cálculo dos pilares contraventados submetidos às cargas verticais. Para cada categoria de pilar é feito um exemplo de dimensionamento. Os mesmos critérios de projeto podem ser empregados para o dimensionamento dos pilares de contraventamento. Entretanto, para os pilares de contraventamento, os momentos iniciais são determinados levando-se em conta as cargas verticais e a ação do vento, conforme é apresentado na referência [16]. 7.2 - Situações de projeto dos pilares Dependendo do seu posicionamento na estrutura, os pilares podem ser classificados como pilares intermediários, pilares de


152

Evidentemente, o pilar deve possuir um índice de esbeltez máximo igual a 90, já que além deste limite o pilar é considerado esbelto.

b) Pilares de extremidade Para os pilares de extremidade, a situação de projeto é a indicada na fig. 7.3.2-a, onde se admite que a força normal de cálculo atue no eixo x com uma excentricidade inicial eix . Essa excentricidade é devida aos momentos fletores transmitidos pelas vigas, os quais podem ser calculados com o emprego das equações (7.2.1) e (7.2.2). O diagrama de excentricidades iniciais na direção x é apresentado na fig. 7.3.3, em concordância com a distribuição triangular dos momentos fletores. O pilar deve ser dimensionado para as duas situações de cálculo indicadas na fig. 7.3.2 (casos b e c).

y

y

y

Fd ey

eix hy

Fd

Fd x

ex

x

x (c)

hx

(b)

(a) Fig. 7.3.2 - Situação de projeto e situações de cálculo dos pilares de extremidade

Cálculo dos pilares contraventados

155

eay ⎧ e1 y ≥ ⎨ ⎩e1 y ,min = 1,5 + 0,03h y

(7.3.14)

A excentricidade de fluência ecy é calculada como para os pilares intermediários, ou seja, considerando e1 y = eay . Observa-se que a seção do pilar é dimensionada à flexocompressão normal nas duas situações de cálculo. A eventual consideração de flexão oblíqua em uma segunda situação de cálculo é desnecessária, pois, em geral, o dimensionamento predominante corresponde à primeira situação de cálculo.

c) Pilares de canto Nos pilares de canto, devem-se considerar os momentos iniciais transmitidos pelas vigas que nele terminam, segundo as duas direções. Dividindo esses momentos pela força normal, obtêm-se os diagramas de excentricidades iniciais representados na fig. 7.3.4.

y

+

+

eix

hy

eiy

x

x

hx

topo

eiy,t

eix,t

y

-

-

eix,b

eiy,b

base

Fig. 7.3.4 – Pilar de canto com excentricidades iniciais segundo as duas direções

Cálculo dos pilares contraventados

175

Tabela 7.4.1 – Excentricidades para o dimensionamento Situação Excentricidades (cm) Excentricidades relativas de cálculo ey ey hy ex e x hx 3,33 2,33 2,75 1,75 5,43 0,93

1 2 3 4 5 6

4,66 5,66 2,33 3,33 1,86 4,34

0,1332 0,0932 0,1100 0,070 0,2172 0,0372

0,0932 0,1132 0,0466 0,0666 0,0372 0,0868

Na fig. 7.4.9, representam-se as relações adimensionais entre e y h y e e x h x e as possíveis formas do diagrama de interação. Essas formas dependem da relação entre as dimensões da seção transversal e da disposição de barras de aço. 0.30

a 0.25

Possíveis formas do diagrama de interação

Relação ey/hy

b 0.20

c

0.15

2 0.10

6

1 4

0.05

3

5

0.00 0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Relação ex/hx Fig. 7.4.9 – Representação das situações de cálculo em um diagrama de interação adimensional hipotético


178

pilares de canto. Como foi salientado, as simplificações sugeridas ficam a favor da segurança. Essas simplificações foram eliminadas nesta edição, passando-se a considerar as seis situações de cálculo para os pilares de canto. Com isso, consegue-se uma economia nas armaduras, como ocorreu nesse exemplo. 7.5 – Simplificações para os pilares contraventados dos edifícios De um modo geral, o projeto dos pilares contraventados dos edifícios pode ser bastante simplificado, em virtude dos pequenos valores dos momentos iniciais. Além disso, quase sempre o índice de esbeltez λ é menor do que 50, podendo-se desprezar a consideração da fluência do concreto. Os momentos iniciais nos pilares, decorrentes do carregamento vertical atuante nas vigas, pode ser obtido através do modelo representado na fig. 7.2.2. Ao longo dos andares tipo, os pilares possuem alturas iguais lsup = linf = l . Admitindo que a seção transversal do pilar permaneça constante no trecho considerado, temse rsup = rinf = r p . Consequentemente, os momentos transmitidos ao pilar inferior, M inf , e ao pilar superior, M sup , são iguais. Na fig. 7.5.1 apresentam-se o modelo de cálculo e o diagrama de momentos fletores iniciais correspondente.

0,5l

pk

Mvig Mi

0,5l

Mi

lvig

Fig. 7.5.1 – Modelo de cálculo e momentos iniciais nos pilares de extremidade

Capítulo 8 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS

8.1 - Considerações gerais Neste capítulo são apresentadas as disposições construtivas da NBR-6118 relativas aos pilares de concreto armado. Essas disposições referem-se às dimensões externas da peça e às armaduras nela contidas. De um modo geral, entende-se que um projeto consistente não se limita a um cálculo preciso das solicitações e das dimensões dos elementos estruturais. Além disso, devem ser tomadas algumas medidas que facilitem a execução, possibilitando uma maior uniformidade na concretagem da estrutura. Nesse sentido, devem-se especificar dimensões mínimas para as seções transversais dos elementos estruturais, bem como limitar a taxa de armadura a um valor máximo compatível com a boa concretagem. A seguir, apresentam-se as disposições construtivas da NBR6118 para o detalhamento dos pilares de concreto armado. 8.2 - Dimensões mínimas das seções dos pilares A seção transversal dos pilares deve possuir uma dimensão mínima igual a 19 cm. Em casos especiais, permite-se adotar dimensões entre 19 cm e 12 cm. Nesses casos, os esforços solicitantes de cálculo devem ser majorados pelo coeficiente adicional γ n , dado por

γ n = 1,95 − 0,05b ≥ 1

(8.2.1)

onde b é a menor dimensão da seção transversal do pilar, em centímetros.


188

O coeficiente γ n deve majorar os esforços solicitantes de cálculo finais dos pilares, quando do seu dimensionamento. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2. Quando a maior dimensão da seção transversal do pilar é superior a cinco vezes a menor dimensão, o elemento estrutural recebe a denominação de parede estrutural ou de pilar-parede.

8.3 - Armadura longitudinal A taxa de armadura longitudinal ρ = As Ac deve ser maior que a taxa mínima ρ min , dada por

ρ min = 0,15

f cd ν o ≥ 0,40% f yd

(8.3.1)

onde ν o = Fd ( Ac f cd ) . Essa taxa deve, também, ser inferior ao valor máximo de 8%, inclusive nos trechos de emenda por traspasse, como indicado na fig. 8.3.1.

piso ρ2>ρmin piso

As

ρ1+ρ2<8% Ac

ρ=As/Ac

ρ1>ρmin piso

Fig. 8.3.1 - Limitações da taxa de armadura


194

metade da taxa ρ se indicada na tabela. De todo modo, a taxa mínima por face deve respeitar o limite dado na equação (6.10.8) em função de f ck . Evidentemente, em paredes estruturais e pilares-parede submetidos a esforços cortantes significativos, a armadura horizontal também deve ser dimensionada ao esforço cortante. Se a parede não é muito alongada, a armadura horizontal pode ser constituída por estribos fechados. Em paredes muito extensas, a armadura horizontal é disposta como barras isoladas. Nestes casos, os bordos da parede devem ser protegidos por grampos em forma de U, como indicado na fig. 8.4.4. As barras terminadas em ganchos que atravessam a parede têm a função discutida na seção 8.6. Estribos horizontais

Barras horizontais e grampos em U nos bordos

b 2b > lb

Fig. 8.4.4 – Armadura horizontal em paredes e pilares-parede

8.5 - Cobrimento da armadura Os cobrimentos nominais exigidos pela NBR-6118 são dados em função da classe de agressividade ambiental (ver capítulo 1, Volume 1). No caso dos pilares, os cobrimentos nominais exigidos são indicados na tabela 8.5.1.

Disposições construtivas

201

Fig. 8.7.2 – Comprimento de emendas das armaduras dos pilares Normalmente, as emendas das barras longitudinais dos pilares são feitas no nível dos pisos. Assim, concretado um piso, as barras do pilar inferior param a uma altura l o acima da viga, formando a espera das barras do pilar superior, como indicado na fig. 8.7.3-a. Para isto, é necessário encurvar as barras inferiores para que as barras superiores fiquem na posição prevista. Quando a seção do pilar sofre uma redução, como na fig. 8.7.3-b, tolera-se o encurvamento das barras até uma inclinação máxima dada por 1 na horizontal para 4 na vertical(9). Se a inclinação for maior, devem-se empregar chumbadores, como indicado na fig. 8.7.3-c. Devido à pressão de ponta, as barras que terminam devem ser cortadas a uma distância de 4φ ≥ 5 cm abaixo da face superior da viga.

Capítulo 9 PILARES ESBELTOS

9.1 - Introdução Conforme foi visto nos capítulos anteriores, a segurança dos pilares esbeltos deve ser comprovada por meio de um processo rigoroso que leva em conta, de maneira "exata", as não linearidades física e geométrica. De acordo com o critério da NBR-6118, classificam-se como esbeltos os pilares com índice de esbeltez λ superior a 90. Diversos algoritmos podem ser empregados para a análise e o dimensionamento de pilares esbeltos, estando os principais descritos na referência [3]. Em um primeiro algoritmo, pode-se fazer uso da analogia de Mohr para o cálculo dos deslocamentos transversais do eixo do pilar. Para isto, é necessário conhecer a curvatura do eixo da barra, associada a um esforço normal e a um momento fletor dados. Na determinação da curvatura, consideram-se diagramas tensãodeformação não lineares para o concreto e para o aço. Em virtude dessa não linearidade (denominada não linearidade física), torna-se necessário o emprego de um processo iterativo para o cálculo da curvatura. Inicialmente, consideram-se várias seções transversais ao longo do eixo do pilar e determinam-se os esforços solicitantes nessas seções. Estes são os esforços solicitantes de primeira ordem, obtidos na configuração indeformada da barra. A partir dos esforços solicitantes, determinam-se as curvaturas nas diversas seções transversais. Em seguida, aplica-se ao pilar um carregamento transversal fictício igual à distribuição das curvaturas. Empregando a analogia de Mohr, obtêm-se os deslocamentos transversais do eixo. Em virtude desses deslocamentos, ocorre um aumento dos momentos fletores na configuração deformada do pilar. Considera-se que o esforço normal permanece inalterado, com os seus valores de

Pilares esbeltos

213

l U1

x

U2

U5 U3

F1n z

deslocamentos nodais

U6 U4

F2n F6n F3n

F5n ações nodais

F4n Fig. 9.5.1 - Ações e deslocamentos nodais do elemento Os deslocamentos u o e W interpolados na forma(3)

do eixo do elemento são

uo = φ1U1 + φ 4U 4

(9.5.1)

W = φ 2U 2 + φ 3U 3 + φ 5U 5 + φ 6U 6

(9.5.2)

onde as funções de interpolação são dadas por

(

)

φ1 = 1 − ξ ; φ 2 = 2ξ 3 − 3ξ 2 + 1 ; φ 3 = l ξ 3 − 2ξ 2 + ξ ;

(

φ 4 = ξ ; φ 5 = −2ξ 3 + 3ξ 2 ; φ 6 = l ξ 3 − ξ 2

)

(9.5.3)

com ξ = x l . Considerando apenas as ações nodais Fin ( i = 1,...,6 ) atuando no elemento, o trabalho virtual externo é dado por 6

δ Wext = ∑ Finδ U i i =1

e o princípio dos trabalhos virtuais é escrito na forma

(9.5.4)

Capítulo 10 ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO

10.1 – Introdução A determinação dos esforços solicitantes nas estruturas de contraventamento, para um carregamento dado, é feita empregandose os métodos convencionais da análise estrutural. Deve ser lembrado que, mesmo nas estruturas consideradas indeslocáveis, os esforços de primeira ordem, decorrentes das ações horizontais, devem ser calculados considerando-se a deslocabilidade da estrutura de contraventamento. A grande dificuldade da análise estrutural frente às ações horizontais (ação do vento e de sismos) consiste na repartição das cargas para os elementos de contraventamento. Isto ocorre pela natureza tridimensional do problema. De fato, em um procedimento rigoroso deve-se levar em conta a interação entre os diversos andares da estrutura, analisando-se o movimento relativo das várias lajes do edifício. Esse procedimento é necessário quando a subestrutura de contraventamento é formada pela associação de elementos de comportamentos distintos, como pórticos e paredes estruturais ou pilares-parede. Nestes casos, a resposta da estrutura é fortemente influenciada pelas forças de interação que surgem para compatibilizar os deslocamentos dos diversos elementos componentes. Entretanto, quando o contraventamento é formado por elementos que se comportam de forma idêntica, pode-se empregar um processo simplificado. Isto ocorre quando o contraventamento é constituído exclusivamente por pórticos, ou exclusivamente por paredes estruturais. No procedimento simplificado, despreza-se a interação entre os diversos níveis de lajes, adotando-se para os elementos de contraventamento uma rigidez equivalente determinada para um andar característico. Admite-se, ainda, que as lajes são extremamente


224

rígidas no seu próprio plano, de forma que nenhum movimento relativo ocorre neste plano. Além disso, considera-se que os painéis de contraventamento (formados apenas por pórticos ou apenas por paredes estruturais) só recebem cargas no seu plano vertical, apresentando rigidez nula na direção normal a este plano. A rigidez à torção também é desprezada. Na seção seguinte, apresenta-se o processo simplificado, o qual é válido quando o contraventamento é constituído por elementos do mesmo tipo: só pórticos ou só paredes estruturais. 10.2 – Processo simplificado para repartição das forças horizontais Suponha uma subestrutura de contraventamento formada por

n painéis dispostos em linha, como indicado na fig. 10.2.1. Os painéis são do mesmo tipo: ou todos são pórticos, ou todos são paredes estruturais. Laje rígida no plano horizontal y q(z)

q(z) 1

j

1

n

j

n

z (Planta)

x

(Elevação)

Fig. 10.2.1 – Subestrutura de contraventamento As lajes de piso são consideradas rígidas no plano horizontal. Isto é representado por meio das barras birrotuladas mostradas em elevação. Essas barras apenas indicam que os deslocamentos horizontais dos painéis, em um determinado piso, são iguais. Admitindo a formulação do meio contínuo, o equilíbrio de cada painel pode ser representado através de uma equação diferencial. Como todos os painéis são do mesmo tipo, a equação diferencial é a mesma para todos eles.

Análise das estruturas de contraventamento

229

laje, conforme é indicado na fig. 10.2.5. O ponto Pi , onde se concentra a mola, corresponde ao centro do painel.

y,v u'i Ki yi o

Pi θ

αi xi

x,u

Fig. 10.2.5 - Painel de contraventamento genérico Se o movimento de corpo rígido da laje for representado pelos deslocamentos u o e vo nas direções x e y , respectivamente, e por

uma rotação θ em torno da origem do sistema de eixos, os deslocamentos do ponto Pi serão dados por

ui = uo − yiθ

(10.2.8)

vi = vo + xiθ

(10.2.9)

É interessante escrever as equações anteriores na forma matricial

u i = NU o

(10.2.10)

⎧u o ⎫ ⎧ui ⎫ ⎡1 0 − yi ⎤ ⎪ ⎪ ui = ⎨ ⎬ ; N = ⎢ ; U o = ⎨ vo ⎬ ⎥ ⎩ vi ⎭ ⎣ 0 1 xi ⎦ ⎪θ ⎪ ⎩ ⎭

(10.2.11)

onde


239

Antes de determinar a rigidez ao corte da viga equivalente, deve-se resolver o pórtico, submetido ao carregamento horizontal, para a obtenção dos deslocamentos horizontais dos diversos pavimentos. A rigidez ao corte é determinada com o auxílio da fig. 10.4.1.

Fn

un

Fn-1

hn

Fi

hn-1

ui

Fi-1

hi

ui-1

F1

hi-1 h1

un-1 ui-ui-1 hi

γi

Vi

Distorção média do andar i

u1

Fig. 10.4.1 – Carregamento e deslocamentos horizontais do pórtico Na análise do pórtico, considera-se o carregamento constituído por uma força concentrada aplicada no nível de cada pavimento. Cada força é a resultante da carga distribuída na faixa de influência do pavimento. Resolvendo o pórtico para esse carregamento, obtêm-se os deslocamentos horizontais, como indicado na fig. 10.4.1. O esforço cortante Vi em um andar genérico é dado por

Vi =

n

∑ Fj

(10.4.3)

j =i

onde n é o número de andares. A distorção média desse andar é dada por

γi =

ui − ui −1 hi

(10.4.4)


243

Laje rígida no plano horizontal y q(z)

q(z) 1

1

2

Parede

Pórtico

z x

(Planta)

2

(Elevação)

Fig. 10.5.1 – Associação de pórtico com parede estrutural A carga q( z ) é repartida para os dois painéis de contraventamento de forma que

q(z ) = q1 (z ) + q 2 ( z )

(10.5.1)

onde q1 ( z ) é a parcela da carga absorvida pela parede e q 2 ( z ) é a parcela absorvida pelo pórtico. Em virtude da presença das lajes, esses dois painéis sofrem os mesmos deslocamentos u (z ) segundo a direção x . Assim, as equações diferenciais para os dois painéis de contraventamento são dadas por

EI

− Ks

d 4u dz 4 d 2u dz 2

= q1 ( z )

(10.5.2)

= q 2 (z )

(10.5.3)

onde EI é a rigidez à flexão da parede e K s é a rigidez ao corte do pórtico. Substituindo essas duas equações em (10.5.1), resulta a equação diferencial do sistema acoplado


245

60

Altura z (m)

50

40

Parede

30

Pórtico

20

10

q1(z)

q2(z)

-

0 -20

-10

+ 0

10

20

30

Carga (kN/m) Fig. 10.5.2 – Forças nos painéis de contraventamento Conforme se observa, os dois painéis ficam submetidos a um carregamento variável ao longo da altura, apesar de a carga externa aplicada ser uniforme. Isto mostra que o procedimento simplificado, apresentado na seção 10.2, é totalmente inadequado neste caso. O comportamento do conjunto pode ser entendido analisandose a fig. 10.4.3. O pórtico sozinho apresenta uma resposta similar àquela representada pela curva a. A resposta da parede sozinha é similar à curva b. As forças de interação fazem com que o conjunto apresente um comportamento intermediário. Assim, tudo se passa como se o pórtico ficasse apoiado na parede. O pórtico fica tracionado em toda a sua metade inferior. Por outro lado, nessa região há um aumento das forças de compressão na parede.


249

deslocamentos dependem da ordenada z , medida ao longo da altura do edifício. Os deslocamentos ui e vi , nas direções x e y , e a rotação θ do painel são dados por

u i (z ) = N u o (z )

(10.6.1)

onde

⎧ui ⎫ ⎧u o ⎫ ⎡1 0 − yi ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎢ u i (z ) = ⎨vi ⎬ ; N = ⎢0 1 xi ⎥ ; u o ( z ) = ⎨vo ⎬ ⎪θ ⎪ ⎪θ ⎪ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎩ ⎭ ⎩ o⎭

(10.6.2)

Transformando os deslocamentos para o sistema de eixos locais s − r , resulta a relação

u s (z ) = R u i (z )

(10.6.3)

onde

⎧u s ⎫ ⎪ ⎪ u s ( z ) = ⎨u r ⎬ ; ⎪θ ⎪ ⎩ ⎭

⎡ cos α i sen α i 0⎤ R = ⎢⎢− sen α i cos α i 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦

(10.6.4)

Substituindo (10.6.1) em (10.6.3), chega-se a

u s (z ) = R N u o (z )

(10.6.5)

que relaciona os deslocamentos no sistema local s − r com os deslocamentos da origem. De maneira análoga, podem-se transformar as cargas no painel por meio das relações

q s (z ) = R q i (z ) onde

(10.6.6)


253

análogo a um pilar engastado na base e livre no topo do edifício. A barra é dividida em uma série de elementos finitos, tomados ao longo da altura do edifício. O comprimento l de cada elemento é igual à distância de piso a piso. Desse modo, os nós dos elementos finitos estarão situados nos níveis das lajes, como indicado na fig. 10.6.2.

Piso superior u2

v2

2

u'2

l

vo(z)

u1

v1 1

θo(z) θ'1

v'1

z

2 θ'2

v'2

uo(z) u'1

θ2

2

θ1

1 Piso inferior

1

Fig. 10.6.2 – Elemento finito de barra com seis graus de liberdade por nó Cada nó do elemento finito possui seis graus de liberdade: o deslocamento transversal na direção x e sua derivada (u o ; u ' o ) ; o deslocamento transversal na direção y e sua derivada

(vo

; v'o ) ; a rotação em torno de z e sua derivada (θ o ; θ 'o ) ,

conforme está indicado na fig. 10.6.2. Os deslocamentos u o ( z ) , vo ( z ) e θ o ( z ) em uma posição z entre duas lajes de piso são interpolados a partir dos valores nodais. Observa-se que, em virtude da hipótese de comportamento rígido das lajes no plano horizontal, basta discretizar um pilar fictício


259

P2

P3

5,0

P1

1,5

1,5 0,7

r 1,32 P5

P4

5,0

Fx

P6

0,15

1,0

2,0

c

2,5

M

P8

1,5

1,5 5,0

2,5

P7

P9 - 0,20x3,0 y

Unidade: m

P10

P12

P11

x 5,0

5,0

Fig. 10.7.1 – Planta de formas da subestrutura de contraventamento

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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APÊNDICE 1 Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão normal (seções retangulares) As tabelas A1.1 a A1.32 destinam-se ao dimensionamento de seções retangulares sob flexo-compressão normal. Em cada tabela, encontra-se indicada a seção transversal com a correspondente disposição das barras da armadura. Para cada seção, são fornecidas as taxas mecânicas de armadura, ω , para quatro valores do parâmetro δ . As características geométricas de uma seção típica são apresentadas na fig. A1.1.

Nd d' e h

c

d'

b

Fig. A1.1 - Seção retangular sob flexo-compressão normal Para identificar a tabela a ser usada, deve-se calcular o parâmetro δ = d ′ h e observar a disposição das barras indicada no topo da tabela. Os esforços solicitantes de cálculo são o esforço normal N d e o momento fletor M d = N d e , onde e é a excentricidade da força normal em relação ao centroide da seção de concreto. Os parâmetros de entrada são os seguintes:

ν=

Nd Md ; μ= , com σ cd = 0,85 f cd . bhσ cd bh 2σ cd

APÊNDICE 2 Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão oblíqua (seções retangulares) As tabelas A2.1 a A2.6 destinam-se ao dimensionamento de seções retangulares sob flexo-compressão oblíqua. Em cada tabela, encontra-se indicada a seção transversal com a disposição das barras da armadura. O número n de barras na seção também é indicado junto ao título da tabela. Uma seção típica é representada na fig. A2.1.

ex

y

Nd ey

hy

x d'y hx

d'x

Fig. A2.1 - Seção retangular sob flexo-compressão oblíqua Os esforços solicitantes de cálculo são o esforço normal N d e os momentos fletores M xd = N d e x e M yd = N d e y , onde e x e

e y são as excentricidades da força normal em relação aos eixos de simetria da seção transversal. Os parâmetros de entrada são os seguintes:

ν=

M yd Nd M xd ; μx = ; μy = Acσ cd Ac h yσ cd Ac hxσ cd

onde Ac = hx h y ; σ cd = 0,80 f cd .

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