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JOSÉ MILTON DE ARAÚJO
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Professor Titular ~ Escola de Engenharia da FURG Doutor em Engenharia
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CURSO DE
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CONCRETO ARMADO
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Volume 1
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Editora DUNAS
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CURSO DE CONCRETO ARMADO
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APRESENTAÇÃO
( e Copyright Editora DUNAS
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A663c
Araújo, José Milton de Curso de concreto armado / José Milton de Araújo. - Rio Grande: Dunas, 2010. v.l, 3.ed.
Bibliografia I. Concreto armado. I. Título
CDU 624.012.45 CDD 624.1834 ISBN do volume I: 978-85-86717-09-3 ISBN da coleção: 978-85-86717-08-6
Editora DUNAS Rua Tiradentes, 105 - Cidade Nova 96211-080 RIO GRANDE - RS - Brasil www.editoradunas.com.br e-mail: contato@editorac!unas.col11.br
Este Curso de Concreto Armado é dirigido aos estudantes de graduação em Engenharia Civil e aos profissionais ligados à área de projeto estrutural. Para uma melhor apresentação, a obra foi dividida em quatro volumes, com uma sequência que nos parece apropriada do ponto de vista didático. Não é nossa intenção abordar todos os aspectos relativos ao tema, o que seria impraticável em virtude de sua abrangência, Nosso único objetivo é apresentar um curso completo e atualizado sobre os métodos de cálculo das estruturas usuais de concreto armado. Em particular, o Curso é dedicado ao projeto das estruturas dos edifícios. Nesta terceira edição de Curso de Concreto Armado, fizemos diversas alterações, além da inclusão de novos conteúdos e exemplos numéricos. O leitor irá constatar que novos procedimentos de projeto foram adotados, em relação à edição anterior. No volume 1, por exemplo, foram alterados os limites para o dimensionamento à flexão simples com armadura dupla, para garantir que as vigas tenham uma maior ductilidade no estado limite último. Diversas inovações sobre o cálculo de lajes maciças, lajes nervuradas e lajes cogumelo foram introduzidas nos volumes 2 e 4. No volume 3, incluímos novos conteúdos sobre o contraventamento dos edifícios e o dimensionamento dos pilares. No volume 4, acrescentamos um capítulo sobre o projeto estrutural em situação de incêndio. Além disso, foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto armado. Enfim, esta edição sofreu uma completa reestruturação, tanto em termos de conteúdo, quanto em termos de procedimentos de projeto.
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3 edição, Novembro/20 J O
Rio Grande, Setembro de 2010.
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José Milton
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SUMÁRIO
PLANO DA OBRA I.MATERIAIS
Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Funda~entos de segurança. Flexão normal simples: dimensionamento e venficação de seções retanguiares e seções T. Esforço cortante. Ancoragem e emendas das armaduras. ) ) \
/
)
) )
Volume 2: Cálculo limites de utilização.
de lajes maciças. Cálculo de. vigas. Estados
Volume 3: Flexo-compressão normal e oblíqua: dimensionamento e verificação de seções. Cálculo de pilares curtos e moderadamente esbeltos. Pilares-parede. Pilares esbeltos. Ações horizontais nas estruturas de contra ventamento.
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Il) )
V?lume 4: Dimensionumento à torção. Flexo-tração. Escadas. Vigas-parede e consolos. Reservatórios. Lajes nervuradas. Lajes cogumelo. Fundações. Projeto em situacão de incêndio . ,
PARA CONCRETO
ARMADO
I
I.I - Introdução 1.2 - Concreto em compressão simples 1.3 - Concreto em tração simples j.4 - O modulo de deformação longitudinal do concreto 1.5 - Relações tensão-deformação para o concreto 1.6 - Evolução das propriedades do concreto 1.7 - Resistência do concreto sob carga de longa duração J.8 - Comportamento reoJógico do concreto & : J.9 - Fluência do concreto 1.10- Retração do concreto I. I I - Aços para concreto armado I.12- Considerações sobre o concreto armado 1.13- A durabilidade das estruturas de concreto armado
I 2 8 ]1 16 19 27 30 32 39 .42 .46 .49
2. FUNDAMENTOS DE SEGURANÇA DE CONCRETO ARMADO
59
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
-
DAS ESTRUTURAS
Estados limites As ações nas estruturas Ações de cálculo e combinações de ações Resistências de cálculo Avaliação da segurança estruturaL
3. FLEXÃO NORMAL SIMPLES Dimensionamento de Seções Retangulares 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
-
Hipóteses básicas do dimensionamento Diagramas tensão-deformação dos materiais Domínios de dimensionamento Diagrama retangular para o concreto Determinação do momento limite para seções retangulares com armadura simples 3.6 - Dimensionamento de seções retangulares com armadura simples
59 63 65 76 77
85 85 86 88 92 93 101
( (
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3.7 - Dimensionamento de seções retangulares com armadura dupla 3.8· Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares 3.9 - Exemplos de dimensionamento 3.10- Tabelas para o dirnensiouamento de seções retangulares 3.11- Cálculo da armadura mínima
105 112 113 119 122
4. FLEXÃO NORMAL SIMPLES Dimensionamento de Seções T
127
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
127 128 136 140 143 144 147
-
Geometria da seção transversal. Determinação do momento limite ,' Dimensionamento com armadura simples Dimensionamento com armadura dupla Roteiro para o dirnensionamento de seções T Exemplos de dimensionarnento Determinação da largura efetiva da mesa
5. FLEXÃO NORMAL SIMPLES Verificação da Capacidade Resistente
155
5.1 5.2 5.3 5.4
155 157 164 172
-
Definição do problema Seção retangular com armadura simples Seção retangular com várias camadas ele armadura Outras formas de seção sob f1exão normal simples
6. ESFORÇO CORTANTE
175
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10-
175 179 185 187 193 197 200 202 205 213
Introdução Treliça generalizada de Mõrsch Treliça clássica de Mõrsch Critério de projeto da NBR-6118 Força na armadura longitudinal de tração Peças de altura variável., Seções próximas aos apoios Armadura de suspensão Armadura de costura Lajes sem armadura de cisalharnento
7. ANCORAGEM E EMENDAS DAS BARRAS DA ARMADURA ····..············ ..·· 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 -
Ancoragem por aderência Tensão de aderência Tensão última de aderência Comprimento de ancoragem reta Barras com ganchos
217 ·······..········..····· 220 ·············· ·..··.. ··223 226 227
Outros fatores de redução do comprimento de ancoragem Ancoragem em apoios de extremidade 7.7 Armadura transversal nas ancoragens 7.8 Emendas das barras da armadura 7.9 REFERÊNCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
217
( (
(
(
233 237 ,247
(
249
~
(
255
( (
( (
( (
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)
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u,
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io."
.1:
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Capítulo 1
1 ~)
MATERIAIS PARA CONCRETO
ARMADO
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1.1 - Introdução
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Concreto é o material resultante da mistura dos agregados (naturais ali britados) com cimento e água. Em função de necessidades específicas, são acrescentados aditivos químicos (retardadores ali aceleradores de pega, plastificantes e superplastificantes, etc.) e adições minerais (escórias de alto-forno, pozolanas, fíleres calcários, microssílica, etc.) que melhoram as características do concreto fresco ou endurecido. A resistência do concreto endurecido depende de vários fatores, como o consumo de cimento e de água da mistura, o grau de adensarnento, os tipos de agregados e de aditivos, etc. Quanto maior é o consumo de cimento e quanto menor é a relação água-cimento, maior é a resistência à compressão. A relação água-cimento determina a porosidade da pasta de cimento endurecida e, portanto, as propriedades mecânicas do concreto. Concretos feitos com agregados de seixos arredondados e lisos apresentam uma menor resistência do que concretos feitos com agregados britados'!'. Concreto armado é o material composto, obtido pela associação do concreto com barras de aço, convenientemente colocadas em seu interior. Em virtude da baixa resistência à tração do concreto (cerca de 10% da resistência à compressão), as barras de aço cumprem a função de absorver os esforços de tração na estrutura. As barras de aço também servem para aumentar a capacidade de carga das peças comprimidas. O funcionamento conjunto desses dois materiais só é possível graças à aderência. De fato, se não houvesse aderência entre o aço e o concreto, não haveria o concreto armado. Devido à aderência, as deformações das barras de aço são praticamente iguais às deformações do concreto que as envolve. Em virtude de sua baixa resistência à tração, o concreto fissura na zona tracionada do
( (
I" ,~
( 2
Curso de Concreto Annado
elemento estrutural. Desse momento em diante, os esforços de tração passam a ser absorvidos pela armadura. Isso impede a ruína brusca da estrutura, o que ocorreria, por exemplo, em uma viga de concreto simples. Além de absorver os esforços de compressão, o concreto protege as armaduras contra a corrosão. Apesar da fissuração, quase sempre inevitável em uma estrutura de concreto armado, a durabilidade das armaduras não fica prejudicada, desde que as aberturas das fissuras sejam limitadas. Um cobrimento mínimo de concreto, dependente da agressi vidade do meio, também é necessário para garantir a durabilidade. Os coeficientes de dilatação térmica do concreto e do aço são aproximadamente iguais. Dessa forma, quando uma estrutura de concreto armado for submetida a moderadas variações de temperatura, as tensões internas entre o aço e o concreto (geradas pela diferença entre os coeficientes de dilatação térmica) serão pequenas. Nos casos em que a estrutura possa ficar submetida a elevadas temperaturas (incêndios, por exemplo), deve-se adotar um maior cobrimento de concreto para reduzir a variação de temperatura no nível das armaduras. O concreto armado tem inúmeras vantagens sobre os demais materiais estruturais, como'" : economia; facilidade de execução em diversos tipos de formas; resistência ao fogo, aos agentes atmosféricos e ao desgaste mecânico; praticamente não requer manutenção ou conservação; permite facilmente a construção de estruturas hiperestáticas (estruturas com reservas de segurança). Dentre as desvantagens do concreto armado, podem ser citadas: o elevado peso das construções; dificuldades para a execução de reformas ou demolições; menor proteção térmica. Neste capítulo, são discutidas apenas as propriedades dos materiais que interessam ao projeto das estruturas usuais de concreto armado. As propriedades do concreto fresco, os métodos de dosagem, as propriedades térmicas, dentre outras, podem ser encontradas em bibliografia específica' UI.
3
Materiais para concreto armado
(
alguns regulamentos de projeto, adota-se a resistência cúbica, obtida em cubos de 15 em ou 20 cm de lado. No Brasil e nas recomendações do CEB"'I4.5I,adota-se a resistência obtida em corpos de prova cilíndricos. Em geral, os ensaios são real izados na idade padrão de 28 dias, convencionando-se que esta é a idade em que a
( ( (
estrutura deverá entrar em carga. Os corpos de prova cilíndlicos devem possuir uma relação altura/diâmetro igualou maior do que 2 (em geral, adota-se uma relação igual a 2). Para concretos feitos com agregados de diâmetro máximo igualou inferior a 38 mrn, adota-se o corpo de prova cilíndrico com 15 cm de diâmetro e 30 em de altura. No caso de concretos com agregados de diâmetro máximo superior a 38 mm (concreto massa), adotam-se corpos de prova maiores. Alternativamente, faz-se o peneiramento do concreto, para eliminar os agregados com diâmetros superiores a 38 mm, e adotam-se correlações entre as resistências obtidas nos corpos de prova 15x30 com as resistências do concreto integral'". Devido a fatores de natureza aleatória, como a falta de homogeneidade da mistura, graus de compactação diferentes para corpos de prova diferentes, dentre outros, verifica-se experimentalmente uma razoável dispersão dos valores da resistência obtidos em um lote de corpos de prova. Assim, reconhecendo que a resistência
fe'
do concreto,
é uma
variável aleatória,
compressão
fem'
do concreto,
compressão,
fet:.
A resistência
e a resistência característica
probabilidades,
tem-se que
fe/.:
...
(
(
( ( ( (
(
( ( (
à
(
é um valor tal que inferiores à normal de
(
( (
= fem
-1,645S
(1.2.1)
1.2 - Concreto em compressão simples A resistência à compressão do concreto é determinada através de ensaios padronizados de curta duração (carregamento rápido). Em
(
média à
característica
existe uma probabilidade de 5% de se obter resistências mesma. De acordo com a equação da distribuição
(
(
deve-se
recorrer à Teoria das Probabilidades para uma análise racional dos resultados. Usualmente, admite-se que a função densidade de probabilidade das resistências segue a curva normal de Gauss, conforme é indicado na figo 1.2.1. De acordo com a figo I .2.1, definem-se a resistência
(
(
( " CEB _ Comité ElIro-lnlernational du Bétou foi dissolvido em 1998 e, juntamente com a FIP, deu origem à FIB - Fédéralion Internationale du
(
Béton, com sede na Suíça.
\ (
) ,
)
4
Curso de COl/creto Armado
onde S é o desvio padrão das resistências,
Materiais para concreto armado
dado por
característica
especificada
no projeto.
5
Neste caso,
.fem pode ser
estimada por
s=
•
(1.2.2) onde
t..
sendo os valores genéricos da resistência de prova de concreto.
(j)
obtidos em
12
corpos
I. =T.ck e/11
•
+L1f.
(1.2.3)
/'0,.1 é um valor definido nas normas de projeto.
Os concretos são classificados em grupos de resistência, grupo I e ogrupo II, conforme a resistência característica à compressão I,«. Dentro dos grupos, os concretos normais são designados pela letra C sezuida do valor da resistência característica à compressão aos 28 <:;> dias de idade, expressa em MPa. Os concretos de massa específica normal são aqueles que, depois de secos em estufa, apresentam uma massa específica compreendida entre 2000 kz/rrr' e 2800 kg/rrr', 1Geralmente, para <:;> efeito de cálculo, adota-se o valor 2400 kg/m para o concreto simples e 2500 kg/rrr' para o concreto armado. Na tabela 1.2.1, indicam-se os grupos e as classes de resistência padronizados pela NBR-895316l.
t
"O
eu
"O
.s
eu .o
e
Q. Q)
"O Q)
"O
eu
"O
(J)
C Q)
o fem
fe
Para concreto
Fig. 1.2. I - Densidade de probabilidade da resistência à compressão do concreto Assim, conhecendo-se o valor do desvio padrão S, utiliza-se a equação (1.2.1) para o cálculo da resistência de dosazern (Ç ) em <:;>
função do valor de
,
l.k
especificado
) )
Em algumas verificações, é necessano fazer referência ao valor médio da resistência à compressão, associado a uma resistência
i )
L , )
armado,
ick :2': 20 MPa).
deve-se
Para
empregar
concreto
a classe C20 ou
protendido,
deve-se
empregar a classe C25 ou superior. Segundo a NBR-61180l, a classe CI5 pode ser usada apenas em fundações e em obras provisórias.
)("111
no projeto. Deve ser salientado
que o desvio padrão está intimamente relacionado ao controle de qualidade adotado na produção do concreto. Quando o desvio padrão não é conhecido, podem-se adotar valores típicos, estabelecidos em função do controle de qualidade.
)
superior(
A resistência à compressão do concreto depende de vários fatores, corno' ).8): - composição (consumo e tipo de cimento, fator água-cimento, etc.); - condições de cura (temperatura e umidade); - velocidade de aplicação da carga (ensaio estático ou dinâmico); - duração do carregamento (ensaio de curta ali de longa duração); - idade do concreto (efeito do envelhecimento); - estado de tensões (compressão simples ou multiaxial); - forma e dimensões dos corpos de prova. f.
,
'J:O,:
) )
••s
•.)
8
9
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
)
"
~,
• )
Conforme se observa na figo 1.2.3, as resistências do concreto I apresentam uma menor dispersão em torno do valor médio. Isto reflete diretamente no valor da resistência característica, indicando
r) •
)
;
>
~ )
que fck,1
~ , )
média, o concreto I é de melhor qualidade que o concreto 2. A resistência do concreto dependente do estado de tensões. Por exemplo, em um estado de compressão biax.ial, verifica-se .::e~xperimentalmente que ocorre um aumento da resistência'". Para duas tensões de compressão iguais, a resistência à compressão é acrescida em cerca de 16%, Quanto à velocidade de aplicação da carga, observa-se que a resistência depende da taxa de tensão. Quanto maior for a taxa de tensão aplicada, maior será a resistência. O conhecimento do efeito da taxa de tensão na resistência é importante pam a análise dinâmica das estruturas. A formulação para a consideração desses efeitos pode ser encontrada no CEB/9015'.
I' ) I.I-:-
)
I
I) , ) ) , )
) )
j~L2'
Logo, apesar de possuírem a mesma resistência
1.3 - Concreto em tração simples
)
)
,
)
) :
) )
A resistência à tração do concreto pode ser determinada em três ensaios diferentes: ensaio de tração axial, ensaio de compressão diametral ou ensaio de flexão. Normalmente, o termo resistência ri tração constante nas normas de projeto (NBR-6l18, CEB) refere-se
à resistência
à tração
t.;
Na figo 1.3.1,
indicam-se os esquemas dos três ensaios utilizados. De maneira análoga à resistência à compressão, a resistência à tração do concreto apresenta uma significativa variabilidade em torno de um valor médio. Em geral, essa variabilidade é maior do que a verificada para a resistência à compressão. Assim, podem-se
)
definir um valor médio,
)
forma idêntica ao que foi feito para a resistência à compressão. Segundo o CEB/90, o valor médio da resistência à tração,
) )
fCIIIl'
)
)
, )
L :)
CII/1'
Compressão
I~
h
e um valor característico,
i,«.
de
l--1:Q .~
Fig. J .3.1 - Ensaios para a determinação
,
t
. ck = 1,4010 (
)?/"J
' MPa
(1.3.1)
da resistência à tração
O CEB/90 define dois valores característicos à tração: um valor inferior,
f~.[/( .inf '
== cat.;
para a resistência
e um valor superior,
Esses valores característicos correspondem respectivamente, e são dados por fclk.inl"
.1("/111
diametral
~ r'u
pode ser obtido da relação
)
,
axial (tração direta),
f
~C
Flexão de vigas
) )
o;;J~
Tração direta
fc'lk.sup
fr1k
.sup .
aos quantis de 5% e 95%,
== 1,3 j~'flll
(1.3.2)
Os valores característicos da resistência à tração são empregados no projeto no sentido desfavorável. Por exemplo, o valor
'.lió.
) ~.~~-'"""
...•....~
..
_ .._._-_._
_--~._-~--~_._--~--~~~~----
..
) )
13
Materiais poro concreto armado
Curso de Concreto Armado
12
)
o módulo
)
secante é dado por
)
( IA.2)
)
fc A expressão (1.4.1) é válida para concretos feitos com agregados de quartzo (granito e gnaisse). Essa expressão deve ser multiplicada por 1,2 se forem usados agregados de basalto, por 0,9 para agregados de ca1cário e por 0,7 para agregados de arenito.
) 1 1 1 1
)
)
- __ 1_-
) b) Relação do ACI
)
Segundo o ACI, o módulo secante Ecs é dado por
)
)
~---;----+-.-+ .•
)
Eo
)
Fig. IA. 1 - Diagrama tensão-deformação (compressão simples)
) ) ) )
) )
)
e.; =4730~fck
Eu Ec
do concreto
Considerando módulo tangente
Diversas correlações entre o módulo de deformação longitudinal e a resistência à compressão do concreto' têm sido encontradas em trabalhos de pesquisa, estando algumas delas recomendadas nas normas de projeto. Essas correlações são válidas para concretos de massa específica normal e para carregamento estático. Para cargas dinâmicas, ocorre um aumento no valor do módulo de deformação longitudinal. A seguir são apresentadas as 17J relações indicadas pelo CEB/90ISI, pelo ACI1101 e pela NBR-6118 •
) )
)
)
a) Relação do CEB/90 Segundo o CEB/90, o módulo tangente pode ser obtido através da expressão
)
f
)1/1
E(' = 21500 ( 1(~'
)
(1.4.1 )
,MPa
I
= I.. + 8
)
onde
)
estimada a partir da resistência
)
(1.4.2),
f(,/11
MPa
é a resistência característica
média à compressão,
f~'k aos 28 dias.
obtém-se
= Ec.\ /0,85),
na forma
e, = 5565~fck
' MPa
(E('
a expressão
do
(lAA)
c) Relação da NBR-6118 A expressão para o módulo de deformação longitudinal do concreto adotada pela NBR-6118 é derivada do ACl. Na verdade, a NBR-6118 adota a mesma expressão do ACI, fazendo apenas um pequeno arredondamento no coeficiente 5565. Assim, a expressão para o cálculo do módulo tangente, apresentada na NBR-6118, é dada por
e, = 5600~f~k
' MPa
(1.4.5)
De acordo com a NBR-6118, o módulo secante é obtido com o emprego da expressão (lA.2). Observa-se que, nas expressões
)
)
a equação
(lA.3)
' MPa
rnódulo de deformação
do ACI e da NBR-6118,
longitudinal é dado em função de f('k'
o
) ) (
) )
I
)
I
)
17
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
16
( 1.5.3)
o
) ) ) ) ) ) )
) ) )
módulo de deformação longitudinal do concreto depende de diversos fatores, sendo a resistência à compressão apenas um deles. As propriedades elásticas dos agregados, por exemplo, têm uma grande influência sobre o módulo de deformação do concreto e são consideradas na formulação do CEB/90. Assim, nenhum modelo teórico é capaz de prever exatamente o valor do módulo de deformação longitudinal do concreto. Esses modelos são empregados na fase de projeto. Durante a execução da estrutura, é necessário realizar ensaios, na idade especificada no projeto, para comprovar que o concreto empregado apresenta o módulo de deformação requerido. Em vista de todas as considerações apresentadas, e do amplo estudo realizado pelo Autor (ver ref. [11 J), recomenda-se o emprego das expressões do CEB/90 (equações (1.4.1) e (1.4.2». Essas expressões serão util izadas em todos os volu mes desta obra.
'7 =
onde, na equação (1.5.1),
Ee / Eo .
Conforme será visto no capítulo 3, essas expressões são empregadas no dimensionamento de seções de concreto armado. Nesses casos, no lugar da resistência média
.tem'
deve ser adotada
uma resistência reduzida, conforme será mostrado no capítulo seguinte. Entretanto, aqui será adotado o valor médio da resistência para fazer uma comparação entre as várias expressões. b) Equação de Desayi e Krishnan
Desayi e Krishnan(!) propuseram representar o diagrama tensão-deformação
a seguinte expressão do concreto:
para
, )
)
(1.5A)
)
Conforme foi visto anteriormente, o diagrama tensãodeformação do concreto, obtido em um ensaio de compressão simples, é não linear desde o início do carregamento. Para efeito de análise estrutural, é necessário adotar relações simples que representem de maneira satisfatória esse comportamento não linear. Diversas equações têm sido propostas para representar o diagrama tensão-deformação do concreto, sendo algumas delas apresentadas a seguir.
)
a) Diagrama parábola-retângulo
) ) )
) I
1.5 - Relações tensão-deformação para o concreto
)
onde E; é o módulo de deformação longitudinal
tangente.
Para que a expressão (1.5.4) forneça uma tensão igual a quando
e, = Eo'
isto é,
77 = 1, é necessário que E;
L;
= 2.te111/ Eo
.
Assim, a equação (1.5.4) é escrita na forma
.
277
= j el/1---7
(1.5.5)
adota a seguinte relação tensão-deformação concreto em compressão simples:
para o
CYe
1+7r
) )
) ) ) )
Uma expressão muito simples foi desenvolvida por Hognestad, admitindo-se que o trecho ascendente do diagrama pode ser representado por uma parábola do segundo grau. Essa expressão foi introduzi da na norma brasileira NBR-6118 e no CEB, dando origem ao denominado diagrama parábola-retângulo. As equações são as seguintes:
c)
Equação do CEB
o CEBI4")
kTJ
(1.5.1)
(J",.
) )
) (
')
(1.5.2)
onde
-7r
= i.; ( 1 + (k
? - 2)7]
1
( 1.5.6)
r)
,I
I) ~) ) } )
)
20
Curso de Concreto Armado
s = 0,20 para cimentos de endurecimento alta resistência inicial CP V-AR!);
Materiais pará concreto armado
rápido (cimento de
s = 0,25 para cimentos de endurecimento
normal (cimento
comum CPI e cimento composto CP H) ; s = 0,38 para cimentos de endurecimento
lento (cimento de
alto forno CP III e cimento pozolânico CP IV).
) )
) ) ) )
Na figo 1.6.1, representa-se a variação da resistência à compressão do concreto com a idade, de acordo com a equação (1.6.1). Os pontos indicados na figura correspondern aos resultados experimentais extraídos da referência [3]. Nesses concretos foi utilizado cimento pozolânico e, portanto, S = 0,38. Conforme pode ser observado, a equação (1.6.1) ajusta-se bem a esses resultados experimentais.
) 1.6
) )
1.4
)
1.2
5=0,38
)
) ) ) ) )
o lCl:l
~
Agre.gado: gnaisse
0.6
IJ)
o:::
0.4 0.2
)
) ) ) ) )
)
> )
o
50
100
150 200
250
300
350
400
Idade do concreto (dias) Fig. 1.6.1 - Variação da resistência à compressão
com a idade
A expressão (1.6.1) é válida para temperatura de cura em torno de 20°C. Temperaturas de cura inferiores retardam o endurecimento, enquanto que temperaturas mais elevadas aceleram o processo. Abaixo de -12°C o concreto não mostra sinais de aumento da
21
°
resistência com tempo' 1 J. Por isso, são necessanas algumas precauções ao se fazer a concretagem em dias muito frios. Se a temperatura ambiente for inferior a SoC, é recomendável suspender a concretagem. Caso isto não seja possível, devem ser tomadas algumas medidas para aumentar a temperatura de lançamento do concreto, como o aquecimento da água de amassarnento e dos (? 16) agregados -. . . Quando se deseja acelerar o processo de endurecimento do concreto, pode-se realizar a denominada cura a vapor. Neste caso, depois de transcorridas cerca de 4 horas da concretagem, eleva-se gradualmente a temperatura ambiente (por meio de vapor) até uma temperatura limite. Essa temperatura é mantida durante um certo período, reduzindo-se em seguida até atingir a temperatura ambiente. Por sua natureza, a cura a vapor é adequada para peças préfabricadas. No caso das estruturas de concreto massa (as barragens são um exemplo típico), o problema se inverte. Nessas estruturas, não há a necessidade de uma grande resistência nos primeiros dias, já que as tensões de compressão no concreto durante a fase construtiva são muito pequenas. A grande preocupação consiste em reduzir o calor gerado na massa de concreto devido à hidratação do cimento. Em vista do grande volume de concreto que é lançado em cada etapa da concretagem, a temperatura do concreto pode subir muito além da temperatura ambiente. Ao se resfriar para atingir o equilíbrio térmico com o ambiente, surgem tensões de tração que podem fissurar o concreto. Assim, nessas estruturas o que se faz é a pré-refrigeração do concreto (adicionando gelo à água de amassamento e resfriando os agregados) para que a temperatura máxima atingida não fique muito acima da temperatura ambiente. Para levar em conta a história de temperatura a que o concreto é submetido durante o período de envelhecimento, deve-se considerar sua maturidade em vez de sua idade real. Concretos com a mesma idade real, mas que foram curados em temperaturas diferentes, possuem maturidades diferentes e, portanto, resistências diferentes. Em geral, as formulações disponíveis nos códigos de projeto são limitadas a um valor máximo da temperatura. Por exemplo, a formulação do CEB/90 para levar em conta os efeitos da temperatura nas propriedades do concreto é válida até uma temperatura máxima de 80"C.
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24
Curso de Concreto Armado
1.6
1.2
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1.0
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E
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0.8
O
)
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0.4
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I I I I I
Idade equivalente ao final da cura a vapor
2
3
a:
0.0 O
1
5
6
7
8
Fig. 1.6.4 - Evolução da resistência à compressão do concreto (cura a vapor) A evolução da resistência à tração do concreto pode ser obtida, empregando-se a equação (1.3.1) e ajustando o valor de J;.k para
)
equação
) (1.6.4 )
)
) ) ) )
) ) )
04
de deformação longitudinal
1m
3D
4X)
3D
Idade do concreto (dias)
Idade real (dias)
onde E, é o módulo
06
O
9
)
)
08
00 4
levar em conta a idade e os efeitos da temperatura. Segundo o CEB/90, o módulo de deformação longitudinal do concreto em uma idade t dias, E)t), pode ser estimado através da
)
s=0,20
Q2
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s=0,38 •
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12
25
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1.4
)
I
Materiais para concreto armado
aos 28 dias de
idade, obtido por meio da equação (1.4.1 ). Os efeitos da temperatura são considerados tomando-se a idade equivalente dada na equação (1.6.3). Na figo 1.6.5, indica-se a variacão do modulo de deformacão longitudinal do concreto com a idade, de acordo com a equação (1.6.4). Os pontos experimentais foram extraídos da referência [3].
Fig. 1.6.5 - Variação do módulo de deformação concreto com a idade
longitudinal do
Conforme se observa, a equação (1.6.4) superestima o módulo nas primeiras idades e subestima o mesmo em idades mais avançadas. As equações anteriores devem ser usadas apenas como uma estimativa da evolução das propriedades do concreto com a idade. Elas são bastante úteis na fase de projeto. Para uma avaliação mais precisa, é necessário realizar ensaios em várias idades e determinar a lei de evolução para o concreto a ser empregado na obra. Exemplo: Durante a execução de uma estrutura, são moldados diversos corpos de prova para determinação das propriedades mecânicas do concreto. O concreto usado deve atender aos valores especificados 110 projeto para a resistência característica à compressão e para o módulo de deformação longitudinal. Em geral, a idade de referência é de 28 dias. Entretanto, se o construtor efetuar a concretagem e esperar 28 dias para realizar os ensaios, ele poderá ter a desagradável surpresa de constatar que o concreto usado não atende aos valores mínimos
1
) ) ) )
28
Curso de
COI/CreTO
Armado
Materiais
para concreto armado
29
) ) ) ) )
) )
)
contrariada pelo aumento de resistência decorrente do envelhecimento. Devido a esses efeitos contrários, a resistência do concreto passa por um mínimo, cujo valor depende da idade de aplicação da carga. No ensaio convencional para a determinação da resistência à compressão, o concreto é levado à ruína em pouco tempo após o início do carregamento (ensaio rápido). Se a velocidade de aplicação da carga for reduzida, resultando em uma maior duração do ensaio, ocorre uma diminuição da resistência, conforme é ilustrado na figo 1.7.1.
Em uma estrutura de concreto armado, uma parcela significativa das cargas é aplicada e mantida constante durante praticamente toda a vida da estrutura. Assim, o projeto deve ser elaborado de forma a se obter uma situação semelhante àquela representada pelo ponto B. Em outras palavras, devem-se limitar as tensões de compressão no concreto em 0,8fcl11 . Segundo mantida,
fr/ll,slIs Limite de resistência
)
onde
1('111
(1.6.2) e Pr.SHS (t,to)
)
duração do carregamento.
\Ensaio
muito lento
Deformação Fig. 1.7.1 - Efeito Rüsch
) ) ) )
) )
) ) )
(t,t o
v.:
(1.7.1)
dada na equação
leva em conta a redução da resistência com a
PC.SlloS (t, to)
)
)
PC,SlIS
A função Pe, SlIS (t, to) é dada por
-,
)
(f)
Ensaio rápido
)
)
sob carga
ser obtida através da expressão
flcc (t) é a função de envelhecimento
)
)
à compressão
é a resistência média aos 28 dias de idade obtida no ensaio
rápido,
)
a resistência
(t, to) = Pc,
)
)
"
o CEB/90,
fCI11.slIs (t,to) , pode
) )
l,
De acordo com a figo 1.7.1, se o corpo de prova for carregado rapidamente até o ponto A e a tensão for mantida constante, ocorre um aumento da deformação até ser atingido o limite de resistência, com a consequente ruptura do corpo de prova. A tensão de ruptura, neste caso, é inferior à resistência
1('11/
obtida no ensaio rápido
convencional. Se o corpo de prova for carregado rapidamente até o ponto B e a tensão for mantida constante, as deformações aumentam (devido à fluência) até a estabilização. Neste caso, não haverá a ruptura do corpo de prova.
= 0,96
- 0,12{!n[72(t - to )]y/4
(1.7.2)
onde t é a idade do concreto no instante considerado e to é a idade no momento da aplicação da carga. Na figo 1.7.2, apresenta-se a variação da resistência à compressão com a idade, de acordo com a equação (1.7. I). Nessa figura, o concreto apresenta uma resistência média aos 28 dias = 20 MPa (obtida no ensaio convencional) e é carregado em
t.;
dois instantes diferentes (to = 28 dias e to = 180 dias). Conforme se observa na figo 1.7.2, a resistência passa por um mínimo. A duração
do carregamento,
ocorre é de aproximadamente
f - to'
2,8 dias para to
em que o mínimo
= 28
e de 41 dias para
= 180. Os valores mínimos da resistência são 0,89 f. , conforme a carga sej a aplicada aos 28 dias ou to
. n11.
de idade, respectivamente.
•...
0,79 fcm
e
aos 180 dias
i~
I
)
) 'Y .... -,
~cn'
-----.~
) )
32
Curso de Concreto Armado
r
Materiais para concreto armado
33
) ) r
(t) = deformação Ecs (t) = deformação EcT (t) = deformação
) ,
de fluência no instante f
Ecc
)
) )
Da
equação
>
to;
de retração; térmica (dilatação).
(1.8.1),
observa-se
que
)
deformação total depende da tensão aplicada,
)
é independente-da-tensão,
Em
(t).
uma
ECCJ
(t),
parcela
da
e outra parcela
Essas parcelas são dadas por
) (I. 8.2)
)
aplicada é .antida prova
) ,
Em estruturas de grandes dimensões como, por exemplo, as barragens de concreto massa, a fluência básica é predominante. Em estruturas esbeltas, como as estruturas usuais dos edifícios, a fluência por secagem torna-se importante. Além disso, verifica-se experimentalmente que uma parcela da deformação de fluência é recuperável (a deformação elástica diferida) e outra parcela é irrecuperável (a deformação plástica diferida). Na figo 1.9.1, indicam-se as variações da deformaç=ã=o~d=.ce=---=u=m=corpo de prova de concreto carregado no instante to' A tensão
( 1.8.3)
) A deformação
)
Em
(t)
é volumétrica,
ou seja,
)
expansão ou contração do elemento estrutural. A deformação
)
pode introduzir aplicadas.
)
distorções
A deformação térmica,
no elemento EcT'
e depende
só causa ECCJ
constante
é descarregado.
deformação
inicial
até o instante ti' quando
Conforme
(imediata
ao
está
o corpo de
indicado
na
carregamento)
é
figura, Eci'
a As
deformações aumentam com o passar do tempo, devido ao fenômeno da fluência.
(t)
das tensões
é dada por
) (1.8.4)
) , )
) (
)
a = 10-:; ocr é O coeficiente de dilatação térmica do concreto e tJ..T é a variação de temperatura em "C,
onde
) ) ) )
) ) )
)
) ')
1.9 . Fluência do concreto A fluência do concreto pode ser classificada em fluência básica e fluência por secagem. A fluência básica é a que se desenvolve sem transferência de água entre o concreto e o meio ambiente. Nos ensaios de laboratório, a fluência básica é determinada em corpos de prova selados. Para isto, o corpo de prova é envolvido por uma tira de borracha que é colada com resina epóxi. Dessa forma, evita-se a perda de umidade para o meio exterior.
Fig. 1.9.1 - Parcelas da deformação de fluência Quando o corpo de prova é descarregado, ocorre a recuperação imediata de uma parcela da deformação. Esta parcela será aproximadamente
igual a Eci, se a tensão aplicada for pequena em
relação à resistência à compressão do concreto. Com o passar do tempo, haverá a recuperação da parcela Eed da fluência. Entretanto, a parcela E pd será residual.
I
I +--_
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-"'----~--_._------------------.--------
) )
para concreto armado
37
mm, o que mostra a grande influência
das dimensões dos
Materiais
Curso de Concreto Armado
36
) )
Para levar em conta os diferentes tipos de cimento, a equação
, )
(1.9.7) deve ser avaliada com uma idade modificada
to.c' dada por
h;
= 600
elementos estruturais no valor desse coeficiente.
) ,
3.0
) (1.9.12)
).
2.5 CIl
) onde to é a idade de ap icação
)
equação (1.6.3) para levar em conta os efeitos da temperatura de cura na maturidade do concreto. O coeficiente a vale ·1 para cimentos de endurecimento lento, O para cimentos de endurecimento normal e 1 para cimentos de alta resistência inicial. A idade corrigida, dada em (1.9.12), deve ser
) ) ,
·0
)
) ) )
) )
usada na equação (1.9.7).
a carga, corngi
a
e acor o com a
A duração do carregamento
t-
fck
= 20 MPa
to'
) )
carga, to' no coeficiente valores RH = 70%
o efeito da idade de aplicação
(umidade
relativa) e ho = 150
111m
(espessura
da peça). Observa-se que, quanto mais jovem for o concreto quando da aplicação do carregamento, maior será o coeficiente final ele fluência. \ Na figo 1.9.3, indica-se a variação do coeficiente de fluência com a espessura do elemento estrutural. Nessa figura, são fixados os
= 28 dias.
valores RH
esbelto for o elemento estrutural, maior será o valor do coeficiente final de fluência. Admitindo lima peça de seção quadrada, os valores 110
)
) ')
0.5 0.0 O
200
4(X)
600
800
Idade cb cxncreto (das)
Fig. 1.9.2 - Efeito da idade de aplicação da carga no coeficiente de fluência
= 70%
2.5
de fluência. Nessa figura, foram fixados os
)
)
~
da
) )
·0
3.0
Na figo 1.9.2, mostra-se
)
15 .
aos 28 dias de idade. Nessas figuras, admite-se que a
)
)
t
considerada na equação (1.9.10), é o tempo real sob a carga. Nas figuras 1.9.2 a 1.9.4, são apresentadas as variações do coeficiente de fluência com a idade para um concreto com temperatura ambiente é igual a 20"C e o cimento é de endurecimento normal. Assim, não é necessário fazer nenhuma correção na idade
)
~
to' a ser
)
)
!D-2. ::l
<;::
e to
Observa-se
= 50 mm e ho = 600 mm corresponderiam
que, quanto mais
a seções de lados
iguais a 10 em e 120 cru, respectivamente. O coeficiente de fluência para ho = 50 mm é cerca de 60% superior ao correspondente a
CIl
·0
,fii
::l
2.0
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~ Q)
1.5
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·0
1.0
~ 0.5
t0=28dias
0.0 O
200
4(X)
600
800
ldadecbccncreto (das) Fig. 1.9.3 - Efeito da espessura no coeficiente de fluência
i
)
) ,
P'"
P'
) )
)
,
) ) ) )
)
.
) )
) )
(umidade relativa, temperatura, vento, etc.), Na prática, a retração hidráulica inclui, também, a variação autógena de volume. Uma cura prolongada retarda o início da retração, permitindo que o concreto alcance uma resistência à tração satisfatória. Com isso, pode-se evitar uma fissuração prematura. As armaduras também são eficientes para a limitação das aberturas das fissuras decorrentes da retração. Quando o concreto é colocado dentro d'água, ocorre um aumento de volume pela absorçao de1igua. Entretanto, o vaiar-absoluto da expansão dentro d'água é bem menor do que a retração ao ar (cerca de seis vezes menor para umidade relativa do ar igual a 70%, conforme a referência [I D, De acordo com o CEB/90, a deformação
) )
41
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
40
de retração, êes (t)
,
(1.1004)
J3 RH = +0,25 , se RH ~ 99%
(l.10.5)
Conforme se observa na equação (1.1004), até uma umidade QQ-aJ:P.b.iertte-j,) ró x.illlU-de...29...%,ocorre retração (J3RH < O).
--l%lat.i.va
Após esse valor, o que ocorre é um aumento de volume do concreto, como é indicadoia equação (1.10.5). A função J305(t - t s ), que define o desen vol vimento da retração com o tempo, é dada por
pode ser calculada por
)
(1.10.6)
(1.10.1)
) )
onde t é a idade do concreto e tI' é a idade ao final da cura (t O coeficiente
)
> t~). onde ho é a espessura equi valente do elemento estrutural,
êe,\o é dado por
) (1.10.2)
)
na equação (1.9.9). Quando o tempo t tende ao infinito, a deformação 10(',\'00
)
onde fem (em MPa) é a resistência média à compressão
)
aos 28 dias de idade e
do concreto
= êes (t
com .f~k
oo)
tende ao valor
= 20MPa
)
)
) )
)
)
,
l .. "
)
= 5 (cimento
um concreto
de endurecimento
normal),
5
ê('soo
= -63xl
0-
10('.100
= -48xl
0-
10('05
= -20xI0-5
para
RH
= 50%
;
para
RH
= 70%
;
para
RH = 90%.
( 1.10.3)
)
)
J3se
Considerando
de retração
resulta
)
)
e
êno'
definida
O coeficiente
/3~('depende do tipo de cimento e vale J3'\'e = 4
para cimentos
de endurecimento
endurecimento
normal e
lento,
J3.\'(. = 5 para cimentos de
J3sc = 8 para cimentos de alta resistência
inicial. O coeficiente dado por
00
5
J3RH leva em conta
LI
umidade
ambiente e é
A formulação adotada pela NBR-6118 anterior do CEB178(4.181.
é igual à formulação
·
)
'~
) ,"
)
) 44
Curso de Concreto Armado
Materiais para concreto armado
) )
45
)
propriedade, como fazem as demais normas de projeto. Por isto, em vista da falta de justificati va para o valor de 210 GPa (ver ref. [20]),
)
neste livro considera-se sempre EI'
)
Para o coeficiente de dilatação térmica dos aços, considera-se o valor 10-5 Dei, que é o mesmo valor adotado para o concreto. De forma análoga ao que foi apresentado para o concreto,
).
= 200
GPa.
1yk,
)
define-se
)
obtida em um conjunto de corRos de rova submetidos a tração. Assim, as barras de aço são classificadas nas categorias CA-25, CASO e CA-60, onde o prefixo CA indica aços para concreto armado e o
)
)
número é o valor de
) )
Fig. 1.11.2 - Diagrama tensão-deformação- dos aços sem patamar de escoamento
) )
De acordo com as figuras 1.1 1.1 e 1.11.2, são definidos: tensão de escoamento;
)
I, = 1st = tensão
)
Es = módulo
)
Eu = deformação de ruptura;
)
) )
) ) ) )
de ruptura; de elasticidade
longitudinal;
Para os aços que não apresentam um patamar de escoamento, a tensão de escoamento
I,
é o valor convencional
uma deformação residual de
que corresponde a
201 . 100 r71
Segundo a NBR-6118 , na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o modulo de elasticidade longitudinal dos aços para concreto armado pode ser admitido igual a 210 GPa. O CEB, o ACI, o Eurocode 2 e todas as demais normas internacionais
)
consideram
)
6] I 8 adota o valor de 200 GPa para o módulo de elasticidade dos aços para concreto protendido (aços para armadura ati va). Deve ser salientado que essa diferença de 5% no valor do módulo de elasticidade dos aços não ocasiona alterações significativas no dimensionamento dos elementos de concreto armado. Entretanto, é conveniente padronizar o valor dessa
) ) )
) i, '\
uma tensão de escoamento
E,
= 200
GPa para efeito de cálculo. A mesma NBR-
'~'k
característica
dos aços,
expresso em kN/cIl12.
Dessa forma, ao ser especificado o aço CA-SO, significa que se trata de um aço para concreto armado cuja tensão de escoamento característica é fvk
= 50 kN/cm2•
As barras são das categorias CA-25 e CA-SO e os fios são da categoria CA-60. As barras podem ser lisas ou nervuradas. As banas lisas possuem baixa aderência ao concreto e são restritas à categoria CA25. As barras da categoria CA-SO devem ser nervuradas, obrigatoriamente. A configuração geométrica das nervuras é dada na NBR-7480. Os fios da categoria CA-60 podem ser lisos, entalhados ou nervurados, para melhorar sua aderência ao concreto. Além do ensaio de tração, as barras de aço devem ser submetidas ao ensaio de dobramento a ISO" sem que ocorra ruptura nem fissuração na zona tracionada. O diâmetro do pino de dobramento para cada categoria é indicado na tabela 1.11.2. A NBR-7480 exige que as barras da categoria CA-50 e os fios CA-60 nervurados tenham marcas de laminação em relevo, identificando o fabricante, a categoria do material e o respectivo diâmetro nominal. Por exemplo, na marca IF-50, JF é a identificação do fabricante e 50 é a categoria do aço. A identificação dos fios lisos e entalhados da categoria CA-60 também deve ser feita por marcas em relevo. Porém, neste caso, a indentificação do fabricante pode ser feita por meio de etiqueta. A identificação das barras lisas da categoria CA-25 deve ser feita por etiqueta. O comprimento de fornecimento das barras e dos fios deve ser de 12 m, admitindo-se uma tolerância de ± I% . O fornecimento de
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Il
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i 48
Curso de Concreto Armado
Materiais para concreto armado
) ) ) ) )
) ) )
)
) ) ) ) ) )
barra de aço escorrega livremente dentro da bainha. A deformação específica da armadura é nula e (Js O. Nessa situação, o que se tem é uma viga de concreto simples. Em uma peça tletida de concreto armado, quando a tensão máxima de t.ração atinge o valor da resistência à tração do concreto, surge uma flssu~'a perpendicular à direção da tração. A fissuração é ~m processo. discreto, ou seja, as fissuras estão espaçadas em Il1te~'valos mais ou menos regulares ao loncro do eixo ,º-ª-peça. Nas seçoes fissuradas, apenas o aço resiste aos esforços de tração. Essas s~ções estão no denominado Estádio lI. Porém, nas seções entre fissuras, o concreto tracionado (não fissurado) continua a colaborar na resistência. Essas seções estão no denominado Estádio I. A ~ontribuição do concreto tracionado entre fissuras pode ser Importante nas verificações do comportamento da estrutura sob as cargas de serviço. Entretanto, no dimensionamento, todo o esforço de tração deve ser resistido pelas armaduras. . Na figo ] .12.2, indicam-se algumas disposições usuais das armaduras das vigas de concreto armado. seção transversal
)
) ) ) armadura longitudinal
de compressão
) ) )
)
1.13 - A durabilidade das estruturas de concreto armado
=
)
)
49
armadura longitudinal
l
de tracão >
J
o
estribos para cisalhamento
)
A durabilidade das estruturas de concreto é um dos aspectos de maior relevância, dentro da filosofia das modernas normas de projeto. As exigências relativas à durabilidade estão se tornando cada vez mais rígidas, tanto na fase de projeto, quanto na fase de execução ela estrutura. Essas novas exigências introduzielas nas normas decorrem, em grande--parte.c-da falta de atenção com que muitos projetistas e construtores têm tratado esse tema. Esse descuido com a durabilidade tem contribuído para acelerar a deterioração de diversas estruturas relativamente novas. Por Ol.Ltrolado, o conhecimento dos diversos mecanismos de deterioração'e.as estruturas de concreto tem levado a essa nova concepção de durabilidade introduzida nas atuais normas de projeto, dentre as quais se inclui a norma brasileira NBR-6118. As exigências relativas à durabilidade destinam-se a garantir a conservação das características das estruturas ao longo de toda a sua vida útil. Durante esse período, não devem ser necessárias medidas extras de manutenção ou reparo das estruturas. Geralmente, as normas de projeto consideram uma vida útil mínima de 50 anos. Para obras de maior importância, pode ser necessário estabelecer critérios correspondentes a uma vida útil maior. Na consideração da durabilidade, devem ser levados em conta os mecanismos mais importantes de deterioração da estrutura de concreto. Dentre os mecanismos de deterioração relativos ao concreto incluem-se a lixiviação provocada pela água, a expansão devida à ação de águas e solos contaminados e expansões decorrentes de reações entre os álcalis do cimento e certos agregados reativos. A corrosão é um mecanismo relativo às armaduras. Além disso, há vanos mecanismos de deterioração relacionados às ações mecânicas, movimentações de origem térmica, impactos, ações cíclicas, etc. Por último, devem-se considerar as ações físicas e químicas relacionadas à agressividade do ambiente.
) ) )
) L,
I
barra dobrada (ver restrições no Cap.6) Fig. ] .12.2 - Arranjos usuais das armaduras das vigas
Segundo a NBR-6118, a agressividade classificada de acordo com a tabela 1.13.1.
do ambiente pode ser
,
I'
I
j
j
I, I'
i
j
) ) l·""'é~'t.'Y
)
)
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
52
53
) ) ) ) ) ). ) )
\
)
)
)
) )
)
)
)
)
) ) ')
)
o cobrimento considerar
mínimo
o cobrimento
(c mio)'
O
nominal
projeto (cI/0111)'
e a execução
devem
que é o cobrimento
mínimo acrescido da tolerância (.0.c). Assim, as dimensões das barras das armaduras e os espaçadores de formas devem respeitar o cobrimento nominal. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução, pode ser adotado um valor L1C = O,5-cm. Em caso contrário, nas obras correntes, esse valor deve ser de no mínimo L1c=J em. Na tabela 1.13.4, indicam-se os cobrimentos nominais em função da classe de agressividade ambiental, para os casos usuais em que L1C= 1cm. Tabela 1.13.3 - Exigências de qualidade do concreto em função .,., da azressividade do ambiente c Concreto Classe de agressividade (ver tabela 1.13.2) Tipo I 11 IJI IV 0,45 0,65 água-cimento CA 0,60 0,55 relação 0,45 0,60 0,55 máxima (em massa) CP 0,50 C20 C25 CA C40 classe de resistência C30 . C2S rmmma CP C30 C35 C40 CA: elementos estruturais de concreto armado CP: elementos estruturais de concreto pretendido
.
Tabela 1.13.4 - Cobrimento nominal (em) das armaduras para concreto arma d o Classe de azressividade (ver tabela 1.13.2) Elemento II III I IV 2,5 3,5 4,5 Laje 2,0 3,0 4,0 Viga e pilar 2,5 5,0
)
) ) )
J. I
Nos casos em que o controle de qualidade for rigoroso, os valores da tabela 1.13.4 podem reduzidos de O,SCIll, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Em todos os casos, o cobrimento nominal de uma determinada barra deve ser, no mínimo, igual ao diâmetro da própria barra. No
caso de feixes de barras, o cobrimento nominal não deve ser menor que o diâmetro do círculo de mesma área do feixe (diâmetro equivalente). A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto,
dmax' não pode superar 20% do cobrimento
nominal, ou seja, dm3x S 1,2c'101I1
•
Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos do tipo carpete, madeira, pisos cerâmicos, dentre outros, os cobrimentos nominais da tabela 1.13.4 podem ser substituídos pelo valor de l.Scrn. De qualquer forma, esse cobrimento nominal não pode ser menor que o diâmetro da barra ou que o diâmetro equivalente, no caso de feixes de barras. A abertura máxima característica das fissuras, desde que não ultrapasse valores da ord. de 0,2 a 0,4 mm, não tem importância significativa na evolução da corrosão das armaduras para concreto armado. No caso de peças de edifícios usuais, podem ser adotados os seguintes limites para a abertura das fissuras, em função da classe de agressividade ambiental: Classe de agressividade r: abertura máxima de 0,4 mm; Classes de agressividade II e IIl: abertura máxima de 0,3 mm. Classe de agressividade IV: abertura máxima de 0,2 mrn . Em casos específicos, esses limites devem ser reduzidos. Isto ocorre, por exemplo, nos reservatórios. Nesses casos, os limites para a abertura das fissuras devem ser especificados de modo a garantir a estanqueidade e não afetar a funcionalidade da estrutura. Um bom detalhamento das armaduras também é necessário para garantir a durabilidade. As barras devem ser dispostas dentro do elemento estrutural de modo a permitir e facilitar o lançamento e o adensamento do concreto. O congestionamento das barras dificulta o lançamento, propicia a segregação dos componentes do concreto e impede um bom adensamento, ao dificultar a passagem da agulha do vibrador. Tudo isto compromete a compacidade final do concreto endurecido, o que facilita a sua deterioração. Com o objetivo de garantir a durabilidade das estruturas de concreto, devem ser tomadas diversas medidas adicionais, como:
! 1
I
.••
'.IiI!
) ) f )
r
C& h
)
56
Materiais para concreto armado
Curso de Concreto Armado
57
) )
a' =c+t/J
(1.13.2)
) )
onde t/J é o diâmetro médio das armaduras.
)
Na tabela 1.13.6, apresentam-se através da equação 1.13.2.
).
Ta be Ia I 136 - P arametro d' para ales rnacicas cm Classe de agressi vidade ÇJ=5mm t/J= IOmm
)
A
)
I
)
)
II III
)
IV
\ /
)
) ) )
) , )
> ) )
) ) ) J
)
) )
) )
os valores de d' calculados
de produção e controle da qualidade do concreto. Ao contrário, tal procedimento pode resultar em um verdadeiro desastre. Em todo caso, deve-se estar atento para o fato de que os parâmetros adotados nos exemplos numéricos não servem como regra geral. Eles devem ser definidos para cada situação particular, considerando todos os fatores envolvidos.
2,5 3,0 4,0 5,0
3,0 3,5 4,5 5,5
Na maioria dos exemplos numencos apresentados ao longo desta obra, admite-se a classe I de agressividade ambienta!. Neste caso, pode-se considerar d' 4 em para as vigas e os pi lares, ficando-se a favor da segurança para seções armadas com barras de diâmetro menor que 20 mm (sempre que a armadura puder ser disposta em uma única camada). Para as lajes maciças dos edifícios, pode-se adotar d' 2,5cm, pois, em geral, empregam-se barras de
=
=
pequeno diâmetro. Do mesmo modo, em muitos exemplos numéricos admite-se um concreto com = 20 MPa, que é a resistência mínima exigida
t.,
para a classe
L,
r. Em
para mostrar
alguns exemplos, são feitas variações no valor de a influência dessa propriedade
do concreto
nos
resultados do dimensionarnento. É importante salientar que um concreto de maior resistência garante uma maior durabilidade da estrutura. Além disso, o emprego de um concreto de maior resistência pode resultar em economia da estrutura como um todo, mesmo que haja um aumento de custo do concreto. Isto ocorre com os pilares, especialmente nos edifícios altos. Por outro lado, o projetista deve levar em conta as condições de desenvolvimento tecnológico da região onde a estrutura será executada. De nada adianta elaborar um projeto com base em um concreto de alta resistência, para uma obra de pequeno porte, que será executada em uma localidade onde não há adequadas condições
•
) )
T
) )
60
Curso de Concreto Armado
Fundamentos
de segurança das estruturas de concreto armado
61
) )
)
)
não são observados os critérios de projeto definidos na seção 1.13 do capítulo I. Assim, em função dos requisitos estabelecidos nos itens (I) e (2), são definidos os seguintes estados limites:
) ) I
)
• Estados limites últimos (oiL de ruína): são aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural que determine a paralisação, no todo ou em parte, do uso da estrutura.
ou por uma deformação plástica excessiva das armaduras (esta última sendo uma ruptura convencional). De acordo com os procedimentos da NBR-6118 e do CEB, admite-se que, em uma peça fletida, o esmagamento do concreto ocorre quando: a) em seções
parcialmente
comprimidas,
comprimida atinge o valor 3,5
a deformação
da borda
%0 ;
)
)
) ) ) ) )
) ) ) )
)
No projeto das estruturas de concreto armado, deve-se verificar a segurança em relação aos seguintes estados limites últimos: a) ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais; b) instabilidade do equilíbrio, considerando os efeitos de segunda ordem; c) perda de equilíbrio da estrutura, admitida como um corpo rígido; d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; e) transformação da estrutura, no todo ou em parte, em um sistema hipostático. • Estados limites de utilização (ou de serviço): correspondem aos estados em que a utilização da estrutura torna-se prejudicada, por apresentar deformações excessivas (incluindo vibrações indesejáveis), ou por um nível de fissuração que compromete a sua durabilidade.
)
) ) ) ) ) )
) ,
) )
IL. ) I
Assim, no projeto das estruturas usuais de concreto armado, são considerados o estado limite de deformações excessivas e o estado limite de abertura das fissuras. Observa-se que o requisito da segurança está relacionado com os estados limites últimos, enquanto a durabilidade, a aparência e o conforto estão ligados aos estados limites de utilização. Os próximos capítulos deste livro são dedicados aos procedimentos de projeto necessários para garantir um adequado nível de segurança (portanto, no estado limite último). Os estados limites de utilização são abordados no Volume 2. Conforme foi dito, um estado limite último pode ser atingido por ruptura de uma ou mais partes da estrutura ou por instabilidade do equilíbrio. A ruptura pode ocorrer por esmagamento do concreto
b) em seções totalmente comprimidas,
a deformação
da fibra situada
a 3h/7 da borda mais comprimida atinge o valor 2
%0' onde
h éa
altura da seção transversal da peça. Esses valores
limites ~ara a deformação
concreto correspondem Eu que aparecem
aos 'alares
de compressão
médios das deformações
no diagrama tensão-deformação
do
Eo e
da figo 1.4.1 (ver
seção 1.4 do capítulo I). A deformação máxima de tração das armaduras
é igual a
10%0' Observa-se que esse valor é bem inferior à deformação de ruptura dos aços (ver tabela 1.11.2 do capítulo I). Entretanto, esse limite é introduzido para evitar deformações plásticas excessivas. Na figo 2.1.1, são indicados os três casos possíveis de ruptura de uma seção de concreto armado.
,
'",
.,.
)
fo~
) s
o
F
)
I
) 64
Curso de Concreto Armado
Fundamentos
de segurança
das estruturas
de concreto armado
65
) )
) ) ) )
) ) ) )
) ) ) )
) ) )
) ) )
) ) )
As acões permanentes diretas correspondem ao peso próprio da estrutura, peso dos demais elementos permanentes da construção (alvenarias, revestimentos, etc.), peso de equipamentos fixos, empuxos de terra e de outros materiais granulosos não removíveis, dentre outros. As ações permanentes indiretas podem ser os recalques de apoio, a retração e a fluência do concreto, a protensão (no caso do concreto protendido) e imperfeições geométricas de pilares. A variabilidade das ações permanentes em torno de sua média é medida num conjunto de construções semelhantes. b) Ações variáveis As ações variáveis são aquelas que ocorrem com valores que sofrem significativas variações durante a vida da construção. Consideram-se como ações variáveis as cargas acidentais que atuam nas construções em função de sua finalidade, como o peso das pessoas, móveis, veículos, etc. Outras ações variáveis são as forças de frenação, de impacto e centrífugas, os efeitos do vento e das variações de temperatura, e as pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas, de um modo geral. Em função de sua probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, as ações variáveis podem ser classificadas em normais ou especiais. As ações variáveis normais são aquelas com probabilidade de ocorrência suficientemente elevada para que as mesmas sejam consideradas obrigatoriamente no projeto das estruturas de um dado tipo de construção (cargas acidentais em edifícios, por exemplo). Como ações variáveis especiais, tem-se as ações sísmicas ou algumas cargas acidentais de natureza ou de intensidade especiais que devem ser definidas para as situações específicas.
As acões são quantificadas
FI.: ' que são definidos em função de suas variabilidades.
Para as ações variáveis, os valores característicos são indicados em normas específicas e correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfa vorável, durante um período de 50 anos. No caso das cargas acidentais dos edifícios, os valores característicos são fornecidos na NBR-6120 (Apêndice I do Volume 2). As ações variáveis que produzem efeitos favoráveis não são consideradas como atuantes na estrutura. Os valores característicos das ações permanentes correspondem à variabilidade existente em um conjunto de estruturas análogas. Para essas ações, o valor característico é o valor médio, correspondente ao quantil de 50%, seja quando os efeitos forem favoráveis, seja quando os efei5Js forem desfavoraveis'i". No caso dos edifícios, as ações permanentes características podem ser obtidas a partir dos pesos específicos dos materiais de construção fornecidos na NBR-6 120 (Apêndice I do Volume 2). No caso das ações excepcionais, os valores característicos são valores convencionais que devem ser estabelecidos por consenso entre o proprietário da obra e as autoridades competentes. Nas verificações relativas aos estados limites últimos, quando existirem ações variáveis de diferentes origens, adotam-se valores reduzidos de combinação
dados por lfIoFk . Os coeficientes
)
) , ) ,
) ) '\
c) Ações excepcionais
2.3 - Ações de cálculo e combinações As ações de cálculo valores característicos
As ações denominadas excepcionais são aquelas que têm lima duração muito curta e lima probabilidade de ocorrência muito pequena durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas no projeto de determinados tipos de estruturas (explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes, sismos excepcionais).
lfI o
< 1,
definidos para cada ação variável em varticular, levam em conta que é pequena a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de ações variáveis de origens diferentes.
) )
por seus valores característicos,
Fd são obtidas multiplicando-se
pelos coeficientes
No estado limite último, pode-se onde rII
de ações
parciais de segurança
ainda considerar
leva em conta a variabilidade
os seus
rf
rf'
= r fI rf2
das ações e rf2 considera
os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, por exemplo, por deficiência do método de cálculo empregado.
'
) )
r
) )
68
Curso de Concreto
Arnuulo
Fundamentos
) )
)
atuação da ação principal sendo
1f/2i
Fqk.l for muito pequeno,
If/oi,ef
= 1f/2i,
dado na tabela 2.3.1.
)
) )
) ) ) )
)
Tbl a e a 231
-
Fta ores de com maçao no es t a d o
r11111
Ações Variáveis Variações uniformes de temperatura Pressão dinâmica do vento Cargas acidentais dos edifícios quando não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas (edifícios residenciai s) Cargas acidentais dos edifícios, nos caSos contrários (edifícios comerciais e de escritórios) Cargas acidentais em bibliotecas, arquivos, oficinas e garaoens
e u'IfImo 1jI"
1j12
0,6 0,6 0,5
0,3 O 0,3
0,7
0,4
0,8
0,6
) )
} ) )
)
) ) ) ~
) \
Na tabela 2.3.2, encontram-se
efeitos
m Fd
= Irg.jFgLj
n
+ Fq.e.\'c + Irq.ilf/oi.erFqk.i
j=1
rg
= 1,4 pode ser reduzido para
desfavoráveis
os valores de
rg
para a
rg = 1.
valor
recomendados
rs
= ],3.
Tabela 2.3.2 - Coeficientes parciais para as acoes permanentes Carregamentos Para efeitos Para efeitos desfavoráveis favoráveis Normais r = 1,0 ~o =1,4 Especiais ou de construção Excepcionais
indiretas 2.3.3.
g
rg
(recalques
= 1,3
r, = 1,2 rE
r g = 1,0 rg
=1,0
a serem apl icados às ações permanentes
de apoio e retração)
são indicados
na tabela
Tabela 2.3.3 - Coeficientes parciais para os efeitos de recalques d e apoIo e d e re t racao Carregamentos Para efeitos Para efeitos desfavoráveis favoráveis Normais YE =0 1,2 Especiais ou de construção. Excepcionais
ré = ré = 1,2 ré =0
Ye =0 Ye =0
(2.3.3)
i=2
Os onde Fq.exr é o valor representativo
as ações
majoram
O
69
pela NBR-6118 para as ações permanentes de um modo geral. Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio da estrutura, especialmente as pré-moldadas, o coeficiente
Os coeficientes O carregamento excepcional é transitório, com uma duração extremamente curta, podendo provocar efeitos catastróficos. Ele deve ser considerado no projeto quando a ocorrência das ações excepcionais não possa ser desprezada e quando, na concepção do projeto, não possam ser tomadas medidas para minimizar os efeitos dessas ações. Este é o caso, por exemplo, de ações sísmicas em barragens. Mesmo em regiões de baixa atividade sísmica, essa ação deve ser considerada, pois a ruína de uma grande barragem pode causar danos extraordinários. Nesse caso, a ação de cálculo é dada por
) )
elas provocam
c) Carregamento excepcional
)
)
quando
o
) )
rg,
parciais de segurança,
estrutura. Em caso contrário, eles são tornados com
, )
)
Os coeficientes permanentes
)
de segurança das estruturas de concreto armado
da ação transitória excepcional
e os demais termos são os mesmos já definidos anteriormente.
coeficientes
parciais
'lq
rnajoram
os
valores
representativos das ações variáveis que provocam efeitos desfavoráveis para a segurança da estrutura. Quando a ação variável
,
'01:<
) )
"-r-'
,..... ,
) )
72
Curso de Concreto Armado
Fundamentos
de segurança
das estruturas de concreto armado
73
) ) )
) )
) ) )
) ) )
Entretanto, se os esforços solicitantes forem obtidos através de
subestrutura, composta por elementos de maior rigidez, tem por finalidade resistir às ações do vento, bem como servir de contraventamento para o edifício. Esta é a denominada subestrutura de contraventamento (ver Volume 3). A outra subestrutura, denominada subestrutura contraventada, resiste apenas ao carregamento vertical, devido às cargas permanentes e às cargas acidentais. Logo, os esforços na subestrutura de contraventamento devem ser calculados para as combinações de ações dadas nas expressões (2.3.4) e (2.3.5). Em muitos casos, os efeitos da retração e da temperatura podem ser desprezados. Em geral, para a subestrutura contra ventada, podem-se considerar apenas as cargas permanentes e a carga acidental. Nestes casos, a ação normal de cálculo é dada por
urna
análise
os
rI
coeficientes
podem
ser
aplicados
diretamente aos esforços solicitantes característicos. De fato, se a análise é linear, um esforço solicitante genérico S é diretamente proporcional ao carregamento dado. Assim, se o carregamento de cálculo for Pd
= r.r Pk,
esforço de cálcu 10
onde Pk representa as cargas de serviço, o
Sd será Sd
= cp d = c rf
(2.3.8)
P"
onde c é o fator de proporcional idade entre as cargas e o esforço sol icitante. Fazendo
')
linear,
(2.3.6)
a análise com ,s
esforço característico
cargas de serviço
(ou de serviço),
P« . resulta o
Sk ' dado por
) )
onde
)
estrutura, alvenarias, revestimentos,
';
acidentais (definidas na NBR-6120 em função do tipo de edificação).
) ) )
)
representa
Fgk
Os coeficientes
r'1 = 1,4,
as ações
parciais
permanentes
(peso
próprio
da
de
segurança
r g = 1,4
são
Comparando
(2.3.7)
)
) ) \
onde Fk é a carga total característica Deve ser salientado parciais
rf
devem
ser
(ou de serviço) e
rf
= 1,4.
para
ponderar
as
as equações
(2.3.8)
e (2.3.9), verifica-se
. Neste caso, tanto faz aplicar
rI
que
nas cargas de serviço
os esforços de cálculo, quanto obter os esforços
de serviço e depois introduzir os coeficientes
rI'
Quando a análise for não linear, seja pela não linearidade física, decorrente do comportamento mecânico dos materiais, seja pela não Iinearidade geométrica, decorrente das alterações da
I
I
que, de um modo geral, os coeficientes introduzidos
= Y.rSk
e obter diretamente
Assim, quando os cálculos forem feitos para o carregamento total (sem a separação das cargas em permanentes e acidentais, como é usual), a carga de cálculo Flf é dada por
)
)
Sd
e
como se observa nas tabelas 2.3.2 e 2.3.4.
)
)
(2.3.9)
etc.) e Fqk,l representa as cargas
)
)
S" = cPk
ações
características, como foi feito anteriormente. Após a obtenção das ações de cálculo é que são determinados os esforços solicitantes de cálculo, os quais são empregados no dimensionamento da estrutura.
l
geometria da estrutura, resulta Sd
:;t.
rIS'"
Nesses casos,
rf
deve
ser aplicado diretamente sobre as cargas de serviço. Para as vigas e as lajes, é suficiente adotar uma análise linear para o cálculo cios esforços solicitantes, Nesses casos, trabalha-se com as cargas de serviço, obtendo-se os esforços solicitantes de serviço. Os esforços solicitantes de cálculo são determinados quando do dimensionamento das armaduras. No caso dos pilares, para os quais é necessário considerar as não Iinearidades, deve-se trabalhar diretamente com as cargas de cálculo.
..
~
) )
r
) ,
) 76
Curso de Concreto Armado
Fundamentos
de segurança
77
das estruturas de concreto armado
) ) ) )
de serviço Pk
à força
f"k
é a tensão
de escoamento
as equações
(2.3.12) e (2.3.13), verifica-se
correta é a alternativa I. A alternativa 2 fica contrária à segurança não deve ser empregada. b
»
Os valores
que
)
Wd > W". Neste caso, a única alternativa
pois
rr
de
e
rs'
indicados
e
r c deve
de armadura), o coeficiente
2.4 . Resistências de cálculo
)
As resistências de cálculo dos materiais (.'lÇO concreto) J' são obtidas, dividindo-se as resistências características por um coeficiente parcial de segurança. Assim, para o concreto adota-se a
)
resistência de cálculo à compressão
,,~,
)
t. -
) I
I
onde fck
)
coeficiente de mineração
)
)
I
. cd ---
)
)
I
)
\
L
p •••..
'-'
são
ser multipl icado por I, I.
Tabela 2.4.1 - Coeficientes
U
•••...•••••••
fr!.:
Concreto ( r) 1,4
Normais Especiais ou de construcão Excepcionais
(2.4.1 )
r.
parciais
r
Carregamentos
fed ' dada por'
é a resistência
O coeficiente
característica
à compressão
e
r,
,1,2 1,2
rr e rs Aço (rs) 1,15 1,15 1,0
da resistência.
r('
cobre
I
os desvios
das
dimensões
dos
elementos estruturais, bem como as diferenças entre as resistências obtidas em laboratório e as resistências do concreto na estrutura real. Conforme foi visto no capítulo I, a resistência do concreto sofre uma redução em virtude da duração do carregamento (efeito Rüsch). Assim, no dimensionamento dos elementos estruturais devese trabalhar
com uma
resistência
de cálculo
a = 0,85
CYcd
= «i,«.
)
transversal, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida (caso de seções retangulares, por exemplo). Nos casos contrários, deve-se adotar a = 0,80. A tensão de escoamento
I
[
- fl'k
. vd --)
) 1
.
rI
rI"
e
rs
e, por isso, esse método de projeto é
denominado método dos coeficientes parciais de segurança. Nas estruturas usuais, a segurança é verificada isoladamente em relação a cada um dos esforços solicitantes (momento fletor, esforço normal, e momento
torçor). Assim, se Sd representa
os
onde Rd representa os esforços resistentes no estado limite último,
é dada por
(2.4.2)
rf'
(2.5.1 )
)
)
ponderação
esforços solicitantes de cálculo, a segurança é garantida desde que
quando a largura da seção
de cálculo dos aços, fw/'
Dentro do que foi apresentado anteriormente, a segurança estrutural é obtida através da introdução dos coeficientes de
esforço cortante
onde
a < I . Segundo a NBR-6118,
)
2.5 . Avaliação da segurança estrutural
é o
)
)
I
na NBR-6118,
)
) I
é o
e
apresentados na tabela 2.4.1. Para a execução de peças nas quais estejam previstas condições desfavoráveis (como más condições de transporte, adensamento manual ou concretagern prejudicada por concentração
)
)
rs
característica
coeficiente de mineração.
Comparando
M d > rf M k
)
onde
.
) ) ,
onde Wk é a flecha na seção central do pilar, correspondente
l
obtidos com as resistências de cálculo. Esse método leva em conta as características probabilísticas do problema. De fato, os valores representativos das variáveis envolvidas no projeto são definidos a partir de suas distribuições de
) )
' ' -5
C
) )
80
r
Curso de Concreto Armado
)
)
(2.5.6)
) )
onde
) )
) )
) )
/ (JM
probabilidade Por
de falha, independentemente
P
isso, o índice
I onde
jJ, menor será a
f M (s).
da distribuição
é uma medida importante
do nível de
segurança já que, ao menos qualitativamente, ele dá uma ideia sobre a confiabilidade da estrutura. Para mostrar como obter o índice de confiabilidade, considerase o caso elementar do dimensionamento de uma seção de concreto simples submetida a um esforço normal de compressão. Se Pk é a força normal de compressão característica, a área transversal, Ac, obtida no dimensionamento é dada por
da
I I
~I
r
0,85ird
) )
onde Pd
)
= r fPk
e
) )
onde
é a resistência
Admitindo-se
I
- P
(2.5.8)
ir
e
distribuição normal de probabilidades,
P
são
independentes
a média
11M
)
)
)
de concreto
é a resistência
média à compressão e
(JM
é obtido da relação
da equação da
de
variação da força Dessa forma, dados
normal,
figo
2.5.1,
parciais
característica
variação da força normal é Vp
= 257,62
.
apresentam-se
os
resultados
Pk
= 0,1
= 300
obtidos
rf = 1,4
e
irk = 20MPa
e
de segurança
figura, admite-se um concreto com
normal
tem-se
Vfr e V p podem-se
(2.5.9) e (2.5.10) e calcular o
jJ = fi,,Jjf (J fi.!
os coeficientes
é o
kN. O coeficiente
de
e o valor médio correspondente
kN.
!
do concreto,
l1fi" Isso indica que o método dos coeficientes parciais
de segurança introduz diferentes l1IVelS de confiabilidade, dependendo da variabilidade das variáveis de projeto. Entretanto, o Índice de confiabilidade é relativamente alto.
e têm
Para um concreto com Vfr = 0,2, esse Índice é jJ = 3,5. Sabendo que, neste caso, a margem de segurança também é normalmente distribuída, a probabilidade de falha pode ser obtida integrando a
é dada por
Pf
= 10-4.
Na figo 2.5.2, apresenta-se a variação da probabilidade de falha com o índice de confiabilidade (considerando uma distribuição normal para a margem de segurança).
Pm é o valor médio
da força normal solicitante. O desvio padrão
obtém-se a
com o emprego
/(1 + 1,64511p ).
lima força
k,
= (J!c [t.; é o coeficiente de variação tem-se L; = j~'k /(1-1,64511f(')' Se 11p = (J p/ Pm
equação (2.5.6). Feito isto, resulta iCIll
e P
Conforme se observa na figo 2.5.1, o Índice de confiabilidade diminui com o crescimento do coeficiente de variação da resistência
) onde
ick
I
)
:>
é o desvio padrão
l1fc
considerando
é P,n
à compressão do concreto e P é a força
que
Se
rr = 1,4. Nessa
normal solicitante.
)
)
ic
(2.5.7).
Na
)
)
área da seção transversal
Índice de confiabilidade
A margem de segurança é obtida da expressão
= 0,85Arfr
Então, dados os valores característicos
obter todos os termos das equações
(2.5.7)
(Jp
da força normal solicitante.
P,n = Pk
seção
ird = irdrc . M
é o desvio padrão da resistência e
coeficiente
I
A =
(J[c
resistência,
)
)
81
de segurança das estruturas de concreto armado
(2.5.10)
é o índice de confiabilidade.
Observa-se que, quanto maior for o valor de
) )
jJ = 11M
Fundamentos
1
,,•1. ' , L1 li
) )
r
")
)
I
Curso de Concreto Armado
84
) ) ) ) ,
) ) ) )
) ) ) ) ) ) )
questão, o CEB178Hl sugere a adoção constantes na tabela 2.5.1. T a b eaI 25 I Número de pessoas atingidas pequeno médio grande
-
dos valores
Capítulo 3
de referência
FLEXÃO NORMAL SIMPLES
P roab bilid I' . I I a d es d e f a 11 ia impncrtarnente aceitas Consequências Consequências Consequências econôm icas econômicas econômicas pequenas graves muito graves 10--1 lU} 10.5 JO--I 10,5 10.6 10,6 10,7 JO'5
Dimensionamento
rI = 1,4,
Yc = 1,4 e
rI' = I,J 5,
de Seções Retangulares
3.1 - Hipóteses básicas do dimensionamento As hipóteses básicas admitidas no dimensionamento de uma seção transversal de concreto armado, submetida à f1exão simples ou composta, são as seguintes:
Nos casos correntes, pode-se aceitar uma probabilidade de falha da ordem de 10,5, o que requer um índice de confiabilidade aproximadamente igual a 4. Os atuais procedimentos-de projeto, com os coeficientes parciais
_ ... _--------_.
garantem a
a) Hipótese das seções planas
obtenção desse índice na maioria das situações de interesse. Entretanto, quando necessário, os coeficientes parciais podem ser ajustados para assegurar o nível de confiabilidade requerido.
,
Admite-se que uma seção transversal ao eixo do elemento estrutural indeformado, que inicialmente era plana e normal a esse eixo, permanece nessa condição após as deformações do elemento. Essa é a hipótese fundamental da teoria de f1exão de banas esbeltas. Em consequência da hipótese das seções planas, resulta uma distribuição linear das deformações normais ao longo da altura das seções transversais. Assim, a deformação em uma fibra genérica da seção é diretamente proporcional à sua distância até a linha neutra.
) ) ) )
)
b) Aderência perfeita
) Admite-se a existência de lima aderência perfeita entre o concreto e o aço, ou seja, nenhum escorregamento da armadura é considerado. Com isso, as armaduras vão estar sujeitas às mesmas deformações do concreto que as envolve. Logo, a deformação em um ponto da seção transversal será calculada de acordo com a hipótese independentemente de este ponto corresponder ao aço ou ao concreto.
) )
)
ª,
) ) ) )
)
)
j
1
c) Concreto em tração
-
------ -_._------..,..
) ) ~)
)
88
Curso de Concreto Armada
Flexão normal simples - dinrensioncuneuto de seções retangulares
)
89
) 0.2.4) ) )
(3.2.5)
)
(
)
onde Cs é a deformação
)
correspondente.
(com o sinal positivo) e (Js é a tensão
A deformação de escoamento
)
) )
cl'd
.
) sendo
)
de cálculo do aço.
)
Neste
f
E
Es o rnódulo de elasticidade e Iwl a tensão de escoamento livro,
) ) )
) ) ) ) )
) \
+ .-
traçao
compressao
•
Fig. 3.3.1 - Domínios de dimensionamento adota-se
E\ = 20.000kN/cm2,
como
já
foi Além solicitações:
3.3 - Domínios de dimensionamento
)
(3.2.6)
s
)
)
f
Ivd
discutido no capítulo I.
)
é dada por
=-'-
)
)
cyd,
Eyd
)
)
de cálculo,
h
o estado limite último, correspondente à ruína de uma seção transversal, pode ocorrer por ruptura do concreto ou por uma deformação excessi va da armadura. Admite-se a ocorrência da ruína, quando a distribuição das deformações ao longo da altura de urna seção transversal se enquadrar em um dos domínios da figo 3.3.1. Os domínios caracterizam os seguintes tipos de ruína:
disso,
nesses
domínios
distinguem-se
- reta a: tração uniforme; - domínio I: tração não uniforme (flexo-tração) sem tensões de compressão; - domínio 2: f1exão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto
(cc
para as armaduras
< 3,5 %J e com o máximo alongamento permitido
(ê,ç = 1O%J;
- domínio 3: f1exão simples ou composta com ruptura à compressão
k\ 2
a) deformação excessi va da armadura: quando a deformação na armadura mais tracionada atingir o valor 100/00 / (domínios I e?)' - ,
do concreto e com escoamento do aço
b) esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas: quando a deformação na fibra mais comprimida atingir o valor 3,5 (domínios 3,4 e 4a);
do concreto e o aço tracionado sem escoamento
%0
c) esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas: quando a deformação na fibra situada a 317/7 da borda mais comprimida (domínio 5).
atingir
o valor
20/00' /
sendo
h a altura da seção _
as seguintes
cyd );
- domínio 4: f1exão simples ou composta com ruptura à compressão
(CS
< E"d
);
- domínio 4a: f1exão composta com armaduras comprimidas; - domínio 5: compressão não uniforme (flexo-compressão), tensões de tração; - reta b: compressão uniforme.
sem
Logo, na flexão simples a ruptura pode ocorrer nos domínios 2, 3 e 4. Na flexo-tração, podem ocorrer os domínios I, 2, 3 e 4 e, na
)-
) -~~~~~~--------~~----~----~~------------------------~--------
)
)
r
92
Flexão normal simples - dimcnsiotunnento
Curso de Concreto Armado
de seções retangulares
93
) )
3.5 - Determinação do momento limite para seções
3.4 - Diagrama retangular para o concreto
retangulares com armadura simples
) )
)
Para simplificar o trabalho de cálculo, a NBR-6118 permite substituir o diagrama parábola-retângulo por um diagrama retangular de tensões no concreto, como é indicado na figo 3.4.1.
Na figo 3.5.1, indica-se armado submetida
) )
L
Md: ••••••
h
)
1
_______ 1"3.. I 1
) Fig. 3.4.1 - Disrribuição
I
das tensões
110
Conforme
se observa
na figo 3.4.1, pode-se admitir
que a
)
tensão no concreto é igual a aed desde a borda comprimida da seção
)
até uma distância 0,8x, onde x é a profundidade da linha neutra.
)
A tensão ard tem
) acd
= 0,85 t,«. quando
DS
seguintes valores:
a largura da seção, medida paralelamente
à
linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida (caso de seções retangulares em flexão normal, por exemplo);
= 0,80 i,«.
nos casos
contrários
(seções
circulares,
Para caracterizar a seção transversal, é introduzida a seguinte notação: b = largura da seção; II = altura da seção; d = altura útil (é a distância do centroide da armadura até a borda comprimida); Av = área da seção da armadura tracionada,
dentre
)
acd
)
outras).
')
A utilização do diagrama retangular simplifica sensivelmente as equações do dimensionarnento. Além disso, os resultados são muito próximos dos obtidos com o diagrama parábola-retângulo. Por isto, neste livro será adotado o diagrama retangular de tensões para o concreto.
)
d
Fig. 3.5.1 - Seção retangular sob flexão normal simples
)
)
As
A
concreto
linha neutra
_
1
)
)
O plano de
eixo de simetria
1
h
)
)
de concreto
....:~
)
)
d .
O,8x
)
)
M
ação do momento fletor contém um eixo de simetria da seção transversal e a flexão é dita normal. Assim, a linha neutra é perpendicular a esse eixo de simetria.
)
)
uma seção retangular
ao momento fletor de cálculo
Conforme já foi salientado, no domínio 4 ocorre uma ruptura frágil que deve ser evitada. A ruptura nos domínios 2 e 3 é do tipo dúctil, ou com aviso prévio, o que é sempre desejável. Entretanto, para garantir uma maior ductilidade das vigas, é conveniente limitar a profundidade da linha neutra, de modo a se obter uma ruptura distante do domínio 4. Isto é feito impondo-se a condição
x::; xlilll
'
onde a profundidade
é indicada na figo 3.5.2.
limite da linha neutra,
xlim'
"
'011I:"
) )
")-...=.-....c.=-=----~~~--~---~-~-~-,r---')
Flexão normal simples - dimensionamento de seções retangulares
Curso de Concreto Armado
96
) )
É importante ressaltar que as vigas projetadas com
) ) )
Çjim
= Çb
) ) )
possuem alguma ductilidade, já que os estribos, sempre existentes, conferem certo grau de confinamento ao concreto, aumentando a ductilidade da estrutura. Além disso, sempre existem armaduras de compressão, mesmo que elas sejam armaduras construtivas, o que faz com que a linha neutra suba, afastando-se um pouco do domínio 4. Entretanto, com o uso atual de concretos cada vez mais resistentes, torna-se necessário um maior cuidado com o tipo de ruptura das vigas, devendo-se impor restrições mais severas para a profundidade da linha neutra, como aquelas dadas nas equações (3.5.1) e (3.5.2). A condição balanceada, que funcionava bem como um limite entre ruptura dúctil e ruptura frágil para concretos de baixa resistência, deve ser evitada para os concretos de elevada resistência utilizados atualmente. Conforme se demonstra no capítulo 7 do Volume 2, a abertura das fissuras de uma viga de concreto armado é diretamente proporcional à deformação da armadura tracionada. Assim, quanto
)
maior for a deformação
) ) ) ) ) )
E~
da armadura tracionada,
maior será o
10.00 9.00
-'2
o
8.00
w'"
7.00
o
o O> m o c o 1m O> m
I
) ) ) )
Na figo 3.5.3, apresenta-se
3.00 2.00
O
1.
Profundidade
Fig.3.5.3
o gráfico da variação de ês com a
) ) )
adimensional
)
raio de curvatura. A curvatura pode ser obtida diretamente da figo 3.5.2, em função da profundidade da linha neutra ç. O momento
) )
X d , onde a curvatura X é igual ao inverso do
ç,
)
reduzido J1 também
) )
visto mais à frente. Com esses valores, pode-se plotar o gráfico da figo 3.5.4.
) \
0.50
ç = xl d , para os aços CA-50. para os valores ç = 0,45 e ç = 0,35, a
deformação na armadura de tração é aproximadamente igual ao dobro e ao triplo da deformação de escoamento de cálculo do aço, respectivamente. Desse modo, garante-se que a ruptura da peça seja precedida de uma fissuração intensa, com grandes aberturas de fissuras, o que permite o seu escoramento e a execução do reforço estrutural necessário. Na figo 3.5.4, apresentam-se as relações entre o momento f1etor reduzido J1 (a ser definido mais à frente) e a curvatura
pode ser obtido em função de
como será
da linha neutra E,=x/d
- Variação da deformação no aço tracionado com a profundidade da linha neutra
0.45
profundidade relativa da linha neutra Conforme se observa,
4.00
Q)
aviso prévio da ruptura, manifestado por uma fissuração intensa. )
5.00
E
.8
_EC3~,!-
6.00
0.40
::1.
o
U
·N
~ ~
U
o C Q) E o
::2:
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
o.oo-f---r--r-r-,--,-T-,-f-'---r-;-~ 2.0
4.0
Curvatura
6.0
8.0
adimensional
Fig. 3.5.4 - Relações momento-curvatura mínima
10.0
12.0
14.0
c))=Xd (x1000)
na ruptura e ductilidade
97
) ) )
)
]00
Curso de Concreto Armado
) ) _
Md
rlll11 -
')
11.
)
l.ilU
(3.5. I I)
bd-(}rd
í
Flexão normal simples - dimensionamento
era usual, obtêm-se os seguintes momentos
) )
e lembrando que
xlim
= Çlimd
,
Jllim
chega-se a
fl'im
) Jilim
) )
) )
= O,8Çlim (1- O,4Çlim)
A expressão (3.5.12) fornece o momento limite adimensional o qual depende do concreto utilizado e do coeficiente de redistribuição de esforços j3. Se for empregada a análise linear sem redistribuição, como é usual,
)
) )
(3.5.12)
j3
= I.
Na tabela 3.5. I, encontram-se
os valores. de
]:1' SIm
) )
0,45
0,35
0,2952
0,2408
Ç'im
)
Jilim
= Çb'
como
para aço CA-50; para aço CA-60.
Esses valores tradicionais são maiores que aqueles apresentados na tabela 3.5.1, os quais são necessários para garantir adequada ductilidade às vigas. Desse modo, o procedimento atual, baseado
nos valores
de
Jllim
da tabela
3.5.1,
irá fornecer
um
pequeno acréscimo na área total de aço, quando resultar armadura dupla. Enquanto resultar armadura simples, não haverá alteração na área de aço.
,
Na figo 3.6.1, representa-se armado com armadura simples.
t.,
Ç'im
limites reduzidos:
3.6 - Dimensionamento de seções retangulares simples
Tabela 3.5.1 - Valores de SIm ]:,. e",·r un (para análise linear sem redistribuição de esforços) Concreto .tek :s; 35MPa > 35 MPa
)
= 0,372 = 0,353
e fllil11'
válidos para análise linear sem redistribuição de esforços.
)
Se, na equação (3.5.12), for utilizado
Observacão:
101
de seções retangulares
cálculo é
M
d e
com armadura
uma seção retangular de concreto O momento fletor solicitante de
As é a área da seção da armadura tracionada. As
demais variáveis são as mesmas definidas anteriormente.
) )
)
Assim, o dimensionamento acordo com o seguinte critério:
)
- dado o momento
)
solicitante reduzido
à flexão normal simples é. feito de h
fletor solicitante
)
M ti' calcula-se
(3.5.13)
I
) )
I+-~ __
- se Ji
:s; Jllim ' o dimensionamento
é feito com armadura simples;
- se Ji
> Jilim ' o dimensionamento
é feito com armadura dupla.
)
) )
)
d
o momento
b_--1.1
Fig. 3.6. I - Seção retangular com armadura simples Na figo 3.6.2, são indicados os diagramas de deformações, tensões e as resultantes das tensões na seção transversal.
as
) )
'r )
104
Curso de Concreto Armado
Flexão normal simples - diniensionamento
) )
Equilíbrio de forças:
) )
Conforme forças é
indicado na figo 3.6.2, a equação de equilíbrio de
)
r
)
de
Rcr
e de R sd
dadas
nas
Observando a equação (3.6.11), verifica-se que aJ
A1fw/ = 0,8bx
)
= çd , a área de aço
AI
)
)
com
ç obtido
= O,8çbd
~cd .f\'d
•
(3.6.11)
A =úJbd
)
AI· P- -- . bel
)
Algumas tabelas que fornecem diretamente armadura são apresentadas na Seção 3.10.
(3.6.12)
Como Comparando
as equações (3.6.) I) e (3.6.12), verifica-se que
p
=
O 8J:
)
) )
) ) ) /~ '\
foi
dimensionamento
visto
anteriormente,
é feito com armadura
quando
J1 > ,l1lim
o
dupla, para evitar uma
ruptura frágil. Nesse caso, além da armadura tracionada de área As,
)
)
a taxa mecânica de
3.7 . Dimensionamento de seções retangulares com armadura dupla
)
,
(3.6.16)
f
. vd
da equação (3.6.8).
Assim, o dimensionamento com armadura simples fica reduzido ao emprego das equações (3.6.8) e (3.6.11). Para a confecção de tabelas para o dirnensionamento, é conveniente definir a taxa geométrica de armadura
)
)
(3.6.15)
Neste caso, a tabela fornece o valor de aJ (que independe do concreto utilizado) com o qual se caJcu Ia a área de aço através da expressão
é dada por
) )
=0,8ç
(3.6.10)
)
)
(3.6.]4)
equações (3.6.1) e (3.6.3), resulta
)
)
105
empregado,
I
) Introduzi ndo as ex pressões
Para tornar a tabela independente do concreto pode-se trabalhar com a taxa mecânica de armadura
I
(3.6.9)
)
de seções retangulares
Logo,
os valores
de
,."
.
.fw/
= pbd
.
com área
3.7.1, indica-se a seção transversal considerada.
p podem ser tabelados para uma
determinada categoria de aço e para uma dada resistência à compressão do concreto. Entrando na tabela com (, momento solicitante reduzido J1 ' retira-se o valor de p e calcula-se a área de aço As
deve-se prever uma armadura comprimida
(3.6.13)
I
1
A;.
Na figo
.~
...•. )
)
r )
. Curso de Concreto Armado
I.i
aumentar as dimensões da seção transversal, evitando-se o uso de armadura dupla no domínio 2. Observa-se que essa situação nunca irá ocorrer se for adotado f3 == I (análise sem redistribuição de momentos).
1
108
) ) '; ) ) ). )
r
E;
A deformação
í f
-d')
(3.7.2)
.\ lim
) ) ")
Lembrando geométrico
que
xlim
= ';Iimd
e definindo
o
parârnetro
O=d' d )
(3.7.3 )
chega-se a
E:
)
== 3,5
%o(';lilll - 0J
(3.7.4)
Ç"lim
A equação (3.7.4) é válida para os casos em que Ç"lim
Ç"lim
:?':';a e
>0.
) )
A tensão
a~'d
s'
)
, -E CYsd -
,)
elasticidade do aço.
sE
na armadura de compressão
yd : onde
E,
= 20.000
2
kN/cm
Tabela 3.7.
é o módulo
O. OS valores de
Ç"Jim
considerados
são aqueles
da tabela
válidos para análise linear sem redistribuição
) \
43,48 42,00 40,44
52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 _,17 51,33 49,78 48,22 46,67 45,11 43,56 42,00 40,44
38,89
38,89
43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48
ir/.:
= A~frd
' R:d
1,
52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,00 50,00 48,00 46,00 44,00 42,00 40,00 38,00 36,00 34,00 32,00 30,00
43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 42,00 40,00 38,00 36,00 34,00 32,00 30,00
na figo 3.7.2 são
= A~a~d
l
'I I
1'/1
J
CA-60
(3.7.5) a seguir.
de esforços. Equilíbrio
I
> 35 MPa
CA-50 43,48 43,48 43,48
3.5.1, ou seja, valores
)
)
CA-60
As equações de equilíbrio são apresentadas
)
)
CA-50 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48
109
na armadura de compressão
Assim, as forças nas armaduras representadas dadas por
de
os valores de (f:'d para os aços
CA-50 e CA-60 e para vários valores do parâmetro
.
t.. ~35MPa
Rwl Na tabela 3.7. J, encontram-se
')
)
Tensão a:'d
(kN/cm2)
de seções retangulares
é calculada como
)
I
J -
Concreto
O
na armadura de compressão pode ser obtida
E~ ==3,5%o(Xlil~
Flexão normal simples - diniensionamento
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,1 I 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20
por semelhança de triângulos, resultando
)
--~--~
de momentos:
Fazendo o equ iIíbrio de momentos em relação ao centroide da armadura tracionada (ver figo 3.7.2), resulta
1
r
I
~
i J;
~ ,11 I~
l ~
J
I ~ I ~ I
'! ir
i II l
;
lI,
n
I
) t,
) ______
~~~~_===~.~a~
~
~s ••-------------•••••••••••••••••••••••••• J ~
~
)
r
)
112
Flexão nonnai snnples - dimensionamento de seções retangulares 113
Curso de Concreto Armado
) )
A seguir, apresenta-se um roteiro para o dimensionamento seções retangulares sob flexão normal simples.
)
de
Os valores de;/illl
e de fI/illl podem ser lidos diretamente
fJ
tabela 3.5.1, para o caso
=I
(sem redistribuição
da
de esforços).
)
3.8 - Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares
) )
) )
4) Se
fi :; fllim:::::> armadura simples
Os dados do problema são os seguintes:
.
A .I' = 08;:1)/1 ,,:>e'i"
b , h, d , d';
a) dimensões da seção transversal:
c) momento f1etor de serviço:
A'.1'-.- O
)'(1
L«. t«.
b) propriedades dos materiais:
,)
a('d.
M k (valor característico na hipótese
5) Se
u » ,lIlim:::::> armadura dupla
de uma análise linear).
\
)
I)
F
J cd r .
L; = -,
com
ri' = 1,4 em
geral,'
~
ard --, 0851. cd :.
d'
0= d e ler
Calcular
Os valores requeridos são as áreas de aço A s e A'S' OS cálculos necessários são os seguintes:
A'
I
= (,lI- ,lI/im )bd aed
fyd = -' - , com r,1 = 1,15
rs
)
.
(para o emprego da tabela 3.7.1 );
S
I
I I
)
, }
')
)
) ) ~
) J
I
3)
'
Observação: resultar se
)
)
.
+f.I-f.l/im)'
1-0
':>lIm
Empregando
;lim
< 0,26
bdanl f"d'
redistribuição
de momentos
e, simultaneamente,
aumentar as dimensões da seção transversal.
2)
I
)
•
(l-O)o-;d
s
A =(08;:' fVk
)
da tabela 3.7. I ;
r('
)
\
I
a,ld
Sem redistribuição de esforços: ;/illl ;/im
= 0,45 = 0,35
, se , se
.1;", :; 35 MPa t., > 35 MPa
Se usar redistribuição de esforços, (3.5,3) e (3.5.4) em função de fJ, ,lI/illl = 0,8;/im
(1- O,4;lim
).
I
;/im
:;
O
e
u » Plim
fl > fl/illl'
(fJ < 1),
se
devem-se
O mesmo deve ser feito
.
3.9 - Exemplos de dimensionamento Os exemplos apresentados a seguir referem-se à viga biapoiada da figo 3.9.1. A viga está submetida a uma carga de serviço
;Iim é dado nas equações
I) k ' uniformemente
1
distribuída
ao longo do vão. A seção transversal
da viga é mostrada na figura. Nos dois exemplos seguintes, considera-se um concreto com f~'k 20 MPa e o aço CA-SO. As resistências de cálculo são dadas
=
por:
~
í-- --------
t'J;-
~"'-
------_.
-
-
114
Flexão
Curso de Concreto Armado
'I
--J
;'
(
( ( (
normal simples - rlimensionamento
de seções retangulares
115
( (
fcd
fck _ 20 == 14MPa
= Yc -
=?
1,4
CYcd = 0,85 fcd = 12 MPa;
I
CYcd = 1,2 kN/cm2;
=?
_
•V •
~
14
M
.~
40
m
1=4m
Ais.
I
As
·1
J1
P;
f.J
p,,!-
M" = --
8
Md =YfM"
Md = 4200?' = 2 bd CYcd 15x36~ xl,2
°
s:
?
15x4~
= --
8
=
= 0,2952
( (
e As = 2,98 crrr'.
(
(
~
35x4 ~ 8
= 70
kNm
( (
=1,4x70=98kNm
,
Md = 9800 = 042 2 2' CYcd 15x36 xl)
> Jllilll = 0,2952
(
armadura dupla
=?
\,
,
7
=?CYc(1 = 43,48 kN/cllY (da tabela 3.7.1)
..
..,
=.)0 kNm
= J,4x30=
d' 4 = - = 0,11 d 36
= -
Çlill1
= 0,45 (da tabela 3.5.1)
( \
42kNm
_( <. Ji-Jililll)bdCYCd ' AI - 0,8<;>11111 + l-o I,
,_ (P-JilimyX!CYcd. AI (-0)0-' I st!
18
A's f.1lim
(
43,48
(
= 15 kN/m ?
f.1 =
Sx36.x~
')
_ Pkl2 k8
bd
U
-momentofletordecálculo:
°
Md =YrMk
136
Fig. 3.9.] - Viga dos exemplos
- momento f1etor de serviço:
= 0,8.xO,25xl
fl'd
J
15cm
14
Exemplo 1: Carga de serviço
CYcd
Exemplo 2: Carga de serviço P; = 35 kN/m
Pk -
.
(
50 = 43,48kNlcm2. 1,15
t::.
= 0,8çbd
AI
Logo, A; =
=:fyk
fyd
.t;d = 1,4 kN/cm2;
(da tabela 3.5.1)
( (
vd
(0,42 - 0,2952)1 5x36xl,2
= 2,09 em"
(
(1-0,11)43,48
( f.1
:s; f.1lim
=? armadura
A.I' = (0,8X0,45
simples
I
ç = 1,25(1~...•
~I- 2Ji )= 0,25
1
+ 0,42 - 0,2952) I - 0,11
15.,\"36xl,2 = 7,46 em" 43,48
('
( ( (
,
j
'.:.I,
) (
"
) )
Curso
116
de COI/C/'eto
T Flexão normal simples - dimensionainento
Armado
de seções retangulares
117
) )
Observação: Se for utilizado o procedimento
)
na edição anterior
)
limite entre os domínios
) )
)
A;
= 0,80cm
2
deste livro, no qual
e As
) \
,
,
\
Çlim
3 e 4, obtêm-se
= Çb
corresponde
ao
os seguintes resultados:
= 8,16 crrr'.
anterior é
AS,Iol
= 9,55
= 0,80
em". A área total obtida com o processo
+ 8,16 = 8,96 cnr'.
Logo, o procedimento atual de dimensionamento, para garantir adequada ductilidade às vigas, levou a um aumento de 7% na área total de aço. Na prática, esse aumento pçderá nem existir, pois o consumo final de aço da viga vai depender do detalhamento das armaduras (ver capítulo 5 do Volume 2).
) Exemplo 3: Repetir os dimensionamentos anteriores para diferentes resistências do concreto, mantendo os demais dados inalterados. Na
>
tabela
dimensionamento
3.9.1,
apresentam-se
os
resultados
" J
) J
I
)
)
) \
redução no valor de As,
com a passagem
do
Pk =15kN/m As
20 25 30 35 40 45 50
(em")
7,98 7,91 2,86 2,84 7,81 2,80 7,79
Pk AI. (cm ') 7,46 7,57 7,51 7,26 7,10 6,98 6,89
1, a
de fck = 20MPa
para
anteriores para diferentes
Para considerar diferentes classes de agressividade
da viga para diferentes valores de .f~-k.
necessário variar a resistência
característica
ambiental é
do concreto,
i«. e
o
cnom' de acordo com as tabelas
1.13.3 e 1.13.4 do capítulo I. Um aumento no valor do cobrimento nominal irá ocasionar uma redução na altura útil d da viga. Na tabela 3.9.2, apresentam-se os dados que são alterados em função da classe de agressi vidade ambienta!.
Tabela 3.9.1 - Resultados para vários valores de jcf.:
fck (MPa)
Para o exemplo
é de apenas 7%. No exemplo 2, essa redução é de
cobrimento nominal das armaduras,
)
)
do valor de Ir-k.
Exemplo 4: Repetir os dimensionamentos classes de agressividade ambienta!.
) )
as áreas de aço sofrem uma pequena
38% (na prática a redução será menor, pois haverá necessidade de usar uma armadura construtiva de compressão em todos os exemplos). Entretanto, essa economia em relação ao consumo de aço será facilmente anulada pela diferença de preço entre os dois concretos. Conclui-se que a especificação de concretos de maior resistência não resulta em economia significativa, em problemas de flexão simples. A economia é conseguida nos pilares.ronde se tem um problema de flexo-compressão, como é mostrado no Volume 3. Entretanto, o uso de ui concreto de maior resistência é sempre vantajoso no que se refere à durabilidade da estrutura, como foi discutido no capítulo 1.
-'
)
se observa,
redução com o aumento
L, = 50 MPa,
Observa-se que, pelo processo atual, há uma redução na área da armadura tracionada e um aumento da armadura de compressão. A área total de aço, obtida com o processo atual, é
As tot = 2,09 + 7,46 )
Conforme
tradicional apresentado
= 35 kN/m
A; (em") 2,09 0,78
Tabela 3.9.2 - Dados alterados conforme a classe de asressividade ambiental «;;, d Classe de cnolll Ick (em) agressividade (em) (MPa)
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
1
I II III IV
20
/,5
25 30 40
3,0 4,0 5,0
36,0 35,5 34,5 33,5
J
t"t
--,.-----~---------------
(, ( ( (
Flexão normal simples - âimensionomento de seções retangulares
Curso de Concreto Armado
118
119
( (
3.10 - Tabelas para o dimensionamento de seções retangulares
Os demais dados são mantidos, como indicado na figo 3.9.1. Evidentemente, seria inviável projetar a seção da viga com 15 crn de largura para as classes de agressividade mais elevadas, pois não sobraria espaço para o lançamento e a vibração do concreto. Entretanto, será rnantida a largura de 15 em, pois isto não altera as Conclusões a que se pretende chegar. Na tabela 3.9.3, apresentam-se os resultados do dirnensionamento.
Para facilitar o trabalho de cálculo, foram preparadas as tabelas 3.10.1 e 3.10.2. Essas tabelas são válidas para o aço CA-50 e para concretos com I., ~35 MPa e concretos com frk > 35 MPa,
7,98 2,96 3,01 3,05
7,46 7,68 7,96 7,82
( ( (
respectivamente, Para entrar nas tabelas, calcula-se o momento reduzido
( (
Md
fi
Tabela 3.9.3 - R -~_..Itad _--~~ .....•. _~--_._~----~-~ ---~~-.., --0-- ....... ·' .~-~-.., Classe de Pk = 15 kN/m Pk = 35kN/m agressi vidade A's (em")> As (crn) As (em") I II III IV
(
(3.10.1)
2
bd O"rd Entrando
2,09 0,99 0,16 0,00
mecânicas
com o valor de
de armadura
(j)
(
u , obtêm-se
diretamente
as taxas
e to", com as quais são calculadas
áreas de aço
"(
as
, 00cd
A \_=0))(I 1
,
(3.10.2)
Ivd
I
( (
= o/!')(,-I O"ccl
A's Conforme se observa, as áreas de aço calculadas sofrem uma alteração muito pequena em função da classe de agressividade ambiental. Isto ocorre porque a redução da altura útil da seção transversal, em virtude da adoção de um maior cobrimento, é compensada pelo emprego obrigatório de um concreto de maior resistência. Desse modo, as armaduras se mantêm praticamente inalteradas. Logo, o acréscimo no custo da estrutura, em virtude da consideração de uma classe de agressividade ambiental mais elevada, é devido, dentre outros fatores, ao custo do concreto de maior resistência. Além disso, as dimensões dos elementos estruturais elevem sofrer alteração em função da classe de agressividade, para possibilitar o lançamento e a vibração do concreto. A viga da figo 3.9.1, por exemplo, deveria possuir uma largura mínima de 25 em, caso fosse considerada a classe IV de agressividade. Isto também acarretará um aumento no volume de concreto e na área de formas, o que se refletirá no custo final da estrutura.
Z
(3.10.3)
(
Iwl (
Estão previstos quatro valores do parâmetro 5. Se o valor de 5 do problema não corresponder a nenhum dos valores considerados, pode-se fazer uma interpoJação linear ou pode-se adotar o valor tabelado imediatamente superior, a favor da segurança. O mesmo procedimento pode ser adotado em relação ao momento reduzido fi, As linhas nas quais não são fornecidos os valores de As Çlim
ú/
correspondem
tabelas
= 0,45,
para concretos
foram
à armadura simples, ou seja, preparadas
para concretos com
Ick
com
consiclerando-se
frk ~ 35 MPa, e
A; = O. os valores
Çlim
= 0,35,
> 35 MPa_ Logo, elas podem ser usadas
quando não é utilizado o recurso da redistribuição
de esforços.
( ( (
( (
( (
( (
( ( (
.'
~
J;,
( (
) ,
-J
.1.:.;
) -------
'}
ml-
·1
)
Flexão normal simples - dimensionantcnto
Curso de Concreto Armado
120
121
de seções retangulares
)
I ~
) I
I
Tabela 3.10.2 - Concretos com
Tabela 3. 10.1 - Concretos com f." ::::; 35 MPa e Aço CA-50
I
f,k > 35 MPa e Aço CA-50
)
I
)
O~
)
JlU
O)
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 I 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25 0,28 0,31 0,34 0,37 0,39 0,41 0,43 0,45 0,47 0,49
)
.
) )
) ) )
) )
) ) )
) ) ) )
) <>
) )
) ) ) , )
~)
,
0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60
0,05
0,51 0,53 0,55 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68
, (l)
0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32
0,10 O)
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 I 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25 0,28 0,31 0,34 0,37 0,39 0,41 0,43 0,45 0,48 0,50 0,52 0,54 0,57 0,59 0,61 0,63 0,65 0,68 0,70
O)
,
0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,12 0,14 0,16 0,18 0,21 0,23 0,25 0,27 0,29 0,32 0,34
0,15 O)
0,02 0,04 0,06 0,08 0,11 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25 0,28 0,31 0,34 0,37 0,39 0,41 0,44 0,46 0,48 0,51 0,53 0,55 0,58 0,60 0,62 0,65 0,67 0,70 0,72
O~
0,20 0)'
O)
co
,
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 I 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25 0,28 0,31 0,01 0,03 0,05 0,08 0,10 0,12 0,15 0,17 0,19 0,22 0,24 0,26 0,29 0,31 0,34 0,36
0,34 0,37 0,39 0,42 0,44 0,47 0,49 0,52· 0,54 0,57 0,59 0,62 0,64 0,67 0,69 0,72 0,74
0,01 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,17 0,20 0,23 0,26 0,29 0,31 0,34 0,37 0,40 0,43
!lU 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60
ai 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 I 0,13 0,15 0,18 0,20 0,73 0,25 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,41 0,43 0,45 0,47 0,49 0,51 0,53 0,55 0,57 0,59 0,62 0,64 0,66
0,15
0,10
0,05 (l)'
(l)
(l)'
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 I 0,13 0,15 0,18 0,20 0,13
0,2S 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,27 0,29 0,31 0,34 0,36 0,38
0,28 0,30 0,32 0,35 0,37 0,39 0,41 0,43 0,46 0,48 0,50 0,52 0,55 0,57 0,59 0,61 0,63 0,66 0,68
0,20
0,02 0,04 0,07 0,09 0,1 I 0,13 0,15 0,18 0,20 0,22 0,24 0,27 0,29 0,31 0,33 0,35 0,38 0,40
(()
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 I 0,13 0,15 0,18 0)0 0,23 0,25 0,28 0,30 0,33 0,35 0,37 0,40 0,42 0,44 0,47 0,49 0,51 0,54 0,56 0,58 0,61 0,63 0,66 0,68 0,70
(l)'
0,02 0,05 0,08 0,10 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25 0,28 0,31 0,33 0,36 0,38 0,41 0,43 0,46
O)
0,02 0,04 0,06 0,08 0,11 0,13 0,15 0,18 0,20 0,23 0,25 0,28 0,30 0,33 0,35 0,38 0,40 0,43 0,45 0,48 0,50 0,53 0,55 0,58 0,60 0,63 0,65 0,68 0,70 0,73
to
,
I! ,
II I
1 ':f
1 M ~ W ·1 fl
0,03 0,07 0,11 0,14 0,18 0,22 0,25 0,29 0,32 0,36 0,40 0,43 0,47 0,51 0,54 0,58 0,61 0,65
..
j
t:
-~ rI --
~--
FI~.:6~"om:'·:"I'I'., .
Curso de Concreto Armado
122
Empregando a tabela 3.10.1 para fazer os dirnensionamentos dos exemplos anteriores, obtém-se:
1:
Exemplo
,LI
I
I
O"c/
= 0,20xI5x36x--
_l_
f"d
1,2
43,48'
,
=> Af = 2,98 em
(
( ( (
( ( (
(
Ret
(Jet=Cie
( (
Fig. 3.11.1 - Deformações e resultantes na seção de cotl:reto simples As equações de equilíbrio da seção transversal
(
(
são escritas na
forma
(
=
áreas das armaduras são
Rcc =Rct
M
= e..z
(
(3.11.1)
(
axbd--O"rd
1,2 = O,50x15x36 x--=>A~ f.wl 43,48
Do diagrama de tensões representado
= 7,45cn,- ,
RCI
= 0,14xI5x36x~=> 43,48
na figo 3.11 .1 , obtêm-se
( (
o
2 Z=-11 3
bh
f)'{1
(
(
!
~
h
= 0,42
O"cd
(
(
problema não é tabelado, mas pode-se empregar a tabela 3.10.1 com t5 = 0,10. Entrando na tabela, obtêm-se úJ = 0,50 e úJ' 0,14. As
A; = úJ'bd
~
(
áreas das armaduras são
2: ,LI
o.o_.
deseções"'''''8''/'''·'·' 123
t5 (caso de m = 0,20 e
=
A;'
=40"('1
(3.11.2)
(
(
= 2,09 em" onde II é a altura e b é a largura da seção. A fissuração ocorrerá quando a máxima tensão de tração.rr.j
o
for igual
3.11 - Cálculo da armadura mínima
à resistência
ao = fel nas equações
Além do dimensionamento das seções transversais no estado limite último, conforme foi apresentado, deve-se especificar lima área mínima da armadura tracionada. Isto se faz necessário para evitar uma ruptura brusca da seção na passagem do estado não fissurado (Estádio I) para o estado fissurado (Estádio II). Assim, a armadura tracionada deve ser suficiente para absorver o momento de fissuração.
u
o__
Na fig. 3.11.1, indicam-se as tensões no concreto no Estádio I, juntamente com as resultantes na seção transversal. Nessa figura, as armaduras não foram incluídas, para simplificar os cálculos.
Neste caso, a solução será com armadura dupla e, portanto, dependente do parârnetro ô • O parârnetro t5 0,11 para este
As =
•
~
= mbd
Exemplo
_.
dimensionamento
A's =0 As
_o_o
= 0,18
Neste caso, a solução independe do parâmetro armadura simples). Entrando na tabela 3.10.1, obtêm-se
úI = O. As
••
(
à tração
do concreto,
(3.1 1.1) e (3.11.2),
frl'
Substituindo
obtém-se
( ( ( (
'I
bhM,. =-6-fc/
( ,
(3.11.3)
( (
que é o momento de fissuração da seção de concreto simples.
( (
m~.
(
) )
) )
124
Curso de Concreto Armado
) ) ) )
A área mínima
da armadura
de tração,
AS.l11ill,
dimensionando-se a seção transversal de concreto momento fletor M r' como indicado na figo 3.11.2.
é obtida
armado para o
à tração. Assim,
resistência frr
(3.11.6),
as relações
entre
= (0,0784
AI"min
z
)
)
onde fek
t J
f/
)
frrk .sup
fyd
e
fek
dadas
no
e f\'(I são dados em MPa.
Em todo caso, deve-se respeitar o limite
)
Na tabela 3.11.1, são fornecidas os aços CA-50 e CA-60
)
Fig. 3.11.2 - Solicitação e resultantes das tensões após a fissuração
)
Aplicando a equação de equilíbrio de momentos, resulta
(3.11.7)
bh = Pminbh
)
fvd
tabela, considera-se
Pmin
?: 0,15% .
as taxas mínimas
e para diversos
)
Al'.lnin
20 0,15 0,15
CA-50 CA-60
e substituindo a ex pressão de M r ' chega-se a
Pl11in
(%)
fel< (MPa)
(3.1 I .4)
Zfwl
)
Nessa
= f,,~/1,l5.
AÇO
=~
para
Pmin
valores de fel<'
Tabela 3.11.1 - Taxas mínimas da armadura de flexão
)
)
adotar
capítulo I, pode-se escrever
)
)
deve-se
= fefk.sup· Empregando
)
na equação
25 0,15 0,15
30 0,17 0,15
40 0,21 0,18
35 0,19 0,16
45 0,23 0,19
50 0,25 0,20
) )
A
. v.mm
)
=
bh'2
Logo,
J;.{
(3.11.5)
62 t'
.. vil
) ) )
Adotando mínima
Z
dimensionamento
== 0,83h, obtém-se a expressão da armadura
s.lllin-
- (0"'0
J;.,- Jbl
,-'- -.
inferior
tracionada,
à área
mínima,
As, obtida deve-se
no
adotar
Nos exemplos apresentados anteriormente, tinha-se uma seção retangular com dimensões b = 15 em e lz = 40 em. Para um concreto com fek
A
for
da armadura
AI' =As.l11in·
)
)
se a área
1
= 20 MPa
(3.11.6)
Jnj
A s.min
e o aço CA-SO, a armadura mínima de tração é
=
0,15 bli
100
=
0,15 x15x40
100
=
°
'
90 em".
) )
) ) '\
Conforme foi salientado no capítulo I, para o cálculo da armadura mínima, deve-se adotar o valor característico superior da
Esse valor é inferior aos obtidos pelo dirnensionamento nos dois primeiros exemplos. Portanto, irão prevalecer as armaduras efetivamente calculadas.
i
~~:
--_.~
r
( ( ( (
Ilr ; I ~
( (
Capítulo 4
'1
li~ 1 11
FLEXÃO NORMAL SIMPLES Dimensionamento
de Seções T
:J li,
(
~ It
(
It
l~
"l~
4.1 - Geometria da seção transversal Apesar de não serem tão usuais quanto as seções retangulares, as seções em forma de T são bastante empregadas em pontes, em vigas pré-rnoldadas e mesmo nas estruturas de edifícios compostas por lajes maciças e vigas. Nesls casos, as dimensões da mesa da seção transversal são determinadas de acordo com as considerações da NBR-6118, apresentadas ao final deste capítulo. Na figo 4.1.1, representa-se uma seção T submetida ao
11:
(
'f
ht
I
r
d
"I!
:I!I:
il~ ~
, 1:
1f I
i
e------u.-----e 'A's
h
~
t li,
~ I~~
d'
i
(
( (
( ( (
~ ,I.
( (
itl;.c
,Á,
...
As
(
(
p
~
ii
~r
(
,I
(
"
Fig. 4.1.1 - Geometria da seção T a figo 4.1.1,
t
:~
~
com
(
~
'"' De acordo variáveis:
(
t d
Md
(
l
• f
( (
(
b ~
(
'I~~
I l~
momento fletor de cálculo M d .
(
são definidas
~
(
(
as seguintes !R
(
~,
:11
b",
= largura da nervura;
!~l
,
'I ,li
( ( (
) r
)
r
,) )
128
i
I'
Flexão normal simples
Curso de Concreto Anuado
>
dimensionamento
de seções T
129
)
) )
bf
= largura da mesa;
h
= altura total da seção; = espessura da mesa;
)
hf
)
)
d As , AS
= area
)
"'I'
= distância
)
Utilizando o diagrama retangular para o concreto, a seção estará comprimida desde a borda superior até uma profundidade igual a
/
tracionada:
)
I ) )
) )
que, se IIr
~ O,8xlim'
apenas a mesa
tratar de uma situação extrema (mesa muito espessa), deve-se estar atento para esta possibilidade. Na figo 4.2.1, indica-se a parte da seção que é comprimida com
da armadura comprimida; do centroide de AI' até a borda comprimida.
o bloco retangular de tensões, no caso em que h
) )
Observa-se
estará comprimida e, neste caso, o dimensionamento é idêntico ao de uma seção retangular com largura br e com altura 11. Apesar de se
= altura útil da seção; = área da armadura
O,8x(im'
r
< O,8xlim
Deve ser salientado que a seção da figo 4.1.1 só funcionará como uma seção T se o momento fletor solicitante for positivo (comprimindo a mesa e tracionando a nervura). Se o momento for negativo, a mesa estará tracionada e, neste caso, Ó que se tem é uma seção retangular de largura bw e altura h .
Q,8X1im
As hipóteses do dimensionamento das seções T são as mesmas já discutidas no capítulo 3. Assim, dadas as dimensões da secão transversal, o dimensionamento, isto é, o cálculo das áreas de aço, é feito de maneira análoga ao apresentado para as seções retangulares. Logo, antes de tudo, é necessário determinar o momento limite,
)
M d lim- entre as soluções com armadura simples e com armadura
)
dupla.
.
~-~--I
••
) )
4.2 - Determinação
Fig. 4.2.1 - Parte da seção compri mida com o bloco retangular (quando x = Xlirn)
do momento limite
I I
.>
Conforme foi mostrado no capítulo 3, o momento limite, entre as soluções com armadura simples e com armadura dupla, é obtido
)
considerando a profundidade
) )
da linha neutra .ri'1111= ':>;:1'1111 donde '
Ç(im
= 0,45
,se
t.. ::; 35 MPa
Çlim
=
0,35 ,se
.t;./- > 35 MPa
Para a obtenção introduzir as relações
de equações
adimensionais,
(4.2.2) (4.2.1 )
)
(4.2.3)
) ) ,
)
Se considerar
for
realizada
os valores
(3.5.4) do capítulo 3.
i ) ')
de
redistribuição Çlil11
indicados
de
esforços,
nas equações
é conveniente
devem-se
onde
/3 J e /3\1' são adimensionais.
(3.5.3) e De acordo com a figo 4.2.1, tem-se:
I I;
,
(
k
.----. ----.---..
~~
----r--'
(
-.--_.-
( (
130
Flexão normal simples-
Cursa de Concreto Armado
Af =bfhf
Introduzindo
(área da mesa);
dimensioncunento
Ar
as expressões de
131
de seções T
( (
e
A\I'lim
dadas em (4.2.4)
(
e (4.2.5), resulta Aw1im
= bw (0,8Xlim
(
h( ) (área da parte comprimida da
-
Rc(' lirn
nervura);
= 1~,('lilllbrd
(4.2.9)
(Jed
(
(
h
Zf
= d - "L (distância 2
do centroide de A l até a armadura
onde
.
(
tracionada);
.»:2
= d -0,4xlim
Zwlim
r-. lim = {lI
( (distância do centroide de
Awlim
o momento
até
a armadura tracionada). Introduzindo xlim
= Çlimd
(
(4.2.10)
+ JJII' (O,8Çlil11- /3f )
as relações
f1etor M d lim é dado por
Md
(4.2.2) e (4.2.3) e lembrando
lim
Substituindo
, obtêm-se
(
= (A.rZf
que
(
+ AlI'limZlVlilll
(4.2.11)
)O'ed
(
~
(
as expressões (4.2.4) a (4.2.7), chega-se a
(
AI = JJIbrd
M d lim = Jililllbrd
(4.2.4)
2
(4.2.12)
(Jcd
( (
Awlilll
= JJII,(0,8Çlim
-
JJr ~ ,d
onde
(4.2.5)
Z, =(1- Ji: }
(
fllim
(4.2.6)
J
- JJf ( I- 2 JJI + fiw
-
(
O,8Çlilll -
fif
{ I\
O,4Çlim -
J3f J 2
( ( ~.
(4.2.13)
ZlI'lil11
= ( 1-O,4';lilll
-
fir]2 d
(4.2.7)
Nas tabelas 4.2.1 e 4.2.2 encontram-se de
Jililll'
para diversos
valores de
tabela, é necessário observar se A resultante de compressão
nesta situação limite,
R('C
Iim : é Çlim
Reelim =
onde
(Jcd
= 0,85 Icei
(Ar + A\I'lilll
Peel
ou
.t~k > 35
considerando-se
os valores
de esforços.
( (
( (
(
MPa. de
dados na equação (4.2. I), ou seja, sem levar em conta o recurso
ela redistribuição
(4.2.8)
fi/ e de /311" Para identificar a
.f~'k ~ 35 MPa
As tabelas foram preparadas,
dada por
os valores de "cc lim e
I~
( ( (
(
(
.
( ~"l'l
(
) )
') )
132
Curso de Concreto Armado
133
) )
Tabela 4.2.1 (a) - Valores de
) )
)
)
) )
) ) ) ) ) )
)
) ) )
) ) ) )
) )
) )
) ) )
Tabela 4.2.1 (b) - Valores de rcclim para seção T (j~k
flfJJ
> 35 MPa)
fl.rJJ
flwD
0,10
0,12
0,14
0,]6
0,18
0,20
0,22
flwD
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28
0,11 0,12 0,12 0,13 0,13 0,14 0,14 0,15 0,15 0,16 0,16 0,17 0,17
0,13 0,13 0,14 0,14 0,15 0,15 0,16 0,16 0,17 0,17 0,18 0,18 0,19
0,15 0,15 0,16 0,16 0,17 0,17 0,18 0,18 0,18 0,19 0,19 0,70 0,20
0,17 0,17 0,18 0,18 0,18 0,19 0,19 0,20 0,70 0,70
0,19 0,19 0,19 0,70 0,20 0,11
0,21 0,21 0,21 0,22 0,22 0,22 0,73 0,23 0,23 0,24 0,24 0,14
0,23 0,23 0,23 0,23 0,74 0,24 0,24 0,25 0,75 0,25 0,25 0,26 0,26
0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,]6 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28
0,11 0,11
0,13 0,13 0,13 0,14 0,14 0,14 0,15 0,15 0,15 0,16 0,16 0,16 0,16
0,15 0,15 0,15 0,15 0,16 0,16 0,16 0,17 0,17
0,16 0,17 0,17 0,17 0,17 0,18 0,18 0,18 0,18 0,19 0,19 0,19 0,19
0,18 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,21 0,21
0,20 0,20 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22
0,22 0,22 0,22 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,24 0,24
0,30
0,32
0,34
0,36
) )
'ce lim para seção T u.. ~35 MPa)
0,21 0,71 0,22
0,71 0,71 0,17, 0,22 0,22 0,73 0,23
0,24
O,II O,I? 0,12 0,13 0,13 0,13 0,14 0,14 0,14 0,15 0,15
o, II
o,rr 0,18 0,18
flrD
flfJJ flwD
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
flulD
0,24
0,26
0,28
0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28
0,24 0,25 0,25 0,25 0,25 0,26 0,26 0,26 0,26 0,27 0,27 0,27 0,27
0,'/6 0,27 0,27 0,27 0,'/7
0,/8 0,28 0,29 0,79 0,29 0,29 0,29 0,29 0,30 0,30 0,30
0,30 0,30 0,30 0,31 0,31 0,31 0,31 0,31 0,31 0,31 0,31 0,32 0,32
0,32 0,37 0,32 0,32 0,32 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33
0,34 0,34
0,36 0,36 0,36 0,36 0,36 0,36 0,36 0,36
0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28
0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,25 0,25 0,25
0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,27 0,27
0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28
0,27 0,'/8 0,'/8 0,28 0,'/8 0,28 0,'/9 0,'/9
0,30 0,30
0,33 0,33
0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 035 0,35
0,36 0,36 0,36 0,36 0,36
0,28
Dirnensionar uma seção retangular com largura
bf
e
altura útil d (ver capítulo 3)
.,
(
k
( ----
••.....
--
_."-- ..
-
--_._,._----
Flexão normal simples - dimensionamento
Curso de Concreto Armado
134
. - --
--_.--"---'.
( (
135
de seções T
(
( Tabela 4.2.2(a) - Valores de
para seção T (fck
).llim
Tabela 4.2.2(b) - Valores de
:s; 35 MPa)
,L!lim
0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 022 0,24 0,26 0,28
0,10 0,10 0,11 0,11 0,12 0,12 0,12 0,13 0,13 0,14 0,14 0,14 0,15 0,15
0,12 0,12 0,12 0,13 0,13 0,13 0,14 0,14 0,15 0,15 0,15 0,16 0,16 0,16
0,14 0,14 0,14 0,14 0,15 0,15 0,15 0,16 0,16 0,16 0,17 0,17 0,17 0,18
0,16 0,15 0,16 0,16 0,16 0,16 0,17 0,17 0,17 0,18 0,18 0,18 0,19 0,19
0,18
0,20
0,17 0,18 0,17 0,19 0,17 0,19 0,18 0,19 0,18 0,19 0,18 0,20 0,18 0,20 0,19 0,20 0,19 . 0,20 0,19 0,21 0,20 0,21 0,20 0,21 0,20 0,21
0,22
/3l1'U
0,10
0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 016 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28
0,24 0,21 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23
0,26 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,25
0,28 0,24 0,24 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,26
0,30 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,27 0,27
(
0,20 0,20 0,20 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22
0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28
0,10 0,10 0,11 0,11 0,11 0,12 0,12 0,12 0,12 0,13 0,13 0,13 0,14
(
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,12 0,12 0,12 0,13 0,13 0,13 0,13
0,13 0,14 0,14 0,14 0,14 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15..
0,15 0,15 0,15 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17
0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,18 0,18 0,18 0,18 0,18 0,18 0,19
0,18 0,18 0,18 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,20 0,20
0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,21 0,21 0,21 0,21
0,30
0,32
0,34
0,36
0,14 0,14 0,14 0,14 0,15 0,15
O,ID 0,16 0,16
( ( ( ( (
( ( ( (
( (
/3fU
/3.r JJ. p)J
> 35 MPa)
/3.rJJ.
/3./" JJ.
s; JJ.
para seção T (f("k
0,32 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,28 0,28 0,28
0,34 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,29 0,29 0,29 0,29
0,36
/3I1'U
0,24
0,30 0,30 0,30 0,30 ·0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30
0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28
0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22
0,26
0,28
0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23 0,23
0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24
tIl
( ( ( (
1
I
Dimensionar uma seção retangular com largura bf e altura útil d (ver capítulo 3)
;,1 II
(
( ( (
( -r
:i
( (
( ( (
( ;11\
(
) )
._----------~----------.;-.-----
-
- ))
136
Curso de Concreto
_.
----------
---
-------_._-~
Flexão normal simples - ·c!il7ll.?ns;onallll.?nto de seções T
Armado
137
) )
)
Assim, o dimensionamento seguinte sequência:
)
a) dado o momento fletor solicitante de cálculo
)
onde
da seção T é feito de acordo com a
(4.3.3)
M d calcula-se o >
momento reduzido
)
Ji
)
(4.2.14)
) )
b) com o emprego da equação
)
depende
) )
)
(4.2.13),
calcula-se
,lilim'
o qual
da resistência à compressão
do concreto e dos parâmetros
/l! e /lw· O valor de
,LIlim pode ser lido diretamente
geométricos
I I
I'
i!
i!
das tabelas 4.2.2(a) e 4.2.2(b);
li c) se resultar ,li ~ Jilim' adota-se armadura simples (
A; = O);
il "
) )
Fig. 4.3.1 - Mesa comprimida com tensão d) se resultar Ji
)
Logo, se ,LI ~
se necessária a colaboração
) )
mesa, M d! ' é dado por
) )
A) Caso 1:
seções retangulares, substituindo
(4.3.1 )
O adimensional Substituindo
as expressões
de
I
(4.2.4) e (4.2.6), resulta
)
(4.3.2)
deduzidas
no capítulo 3 para as
b por br·
ç = xl d , que
caracteriza
a posição da linha
neutra, é dado por
Ar e Z{ dadas nas equações
)
)
< Pr
Neste caso, apenas uma parte da mesa estará comprimida com o bloco retangular de tensões. A situação é idêntica a de uma seção retangular com largura bf e com altura útil d. Assim, podem-se
) )
f1
de parte da nervura.
empregar as mesmas expressões
)
)
Pr, significa que a mesa sozinha é capaz de
absorver o momento fletor solicitante de cálculo. Se ,LI> f1 I: torna-
4.3 . Dimensionamento com armadura simples O primeiro passo do dimensionamento com armadura simples consiste em verificar se a mesa sozinha é capaz de absorver o momento fletor solicitante de cálculo. Para isto, é necessário determinar o momento fletor resistente de cálculo que corresponde à situação indicada na figo 4.3.1. Conforme se observa na figo 4.3.1, o momento resistido pela
)
(),d
> Jilim ' adota-se armadura dupla.
) )
,
"
I.
ç = 1,25(1-~1- 2,L1) COm
u
calculado através da equação (4.2.14).
(4.3.4)
I·
Iti
P
!1
J
·'~ .~-----------_ ..__ __ .
~._.---
Flexão normal simples - dimensiouamento
Curso de Concreto Armado
138
..
; ~
139
de seções T
(
( Por semelhança
oi, é definida corno
A taxa mecânica de armadura,
A'I' = fi,I.(O,8ç - fi ( yJ r
(4.3.8)
d
(4.3.5)
-
brd
( (
A, fwl
úJ=
com as equações (4.2.5) e (4.2.7), tem-se
(
CJrd
(
Z". - ( I-O,4Ç-T fif
e vale ú.J
Jd
(4.3.9)
( (
= O,8ç
(4.3.6)
(
As equações de equilíbrio são as seguintes: Encontrado o valor de expressão
OJ,
(
calcula-se a área de aço através da
(
I) Equilíbrio de momentos: As
=
(
f"b i==:": I CJcd . fwl
(4.3.7)
lU
Observando
a figo 4.3.2, ter-'se
Md
= AfZ(CJcd
(
(
(4.3.10)
+ A,,'z'I·CJed
( B) Caso 2: f1 > f1.r
Como indicado
Neste caso, uma parte da nervura também estará comprimida com a tensão CJcd' Na figo 4.3.2, indica-se a parte da seção que é comprimida com o bloco retangular de tensões profundidade genérica da linha neutra igual a X.
para
momento resistido
na equação (4.3.1),
Substituindo
(
as expressões de A,I' e Z\1' na equação (4.3.10),
(
.
C
{I-O,~- fi; }rd
(
2
cr,"
( (
(4.3.11)
O,8x
( Introduzindo
as definições
dos
adimensionais
f.1 e f.1f'
(
resulta a equação do segundo grau
Zw As
".
M l(r
(
M r M'I! ~ fi",(o,sç - fir (O,8x-hf)
Zf
-
obtém-se
~
hj
(
é o a
bf ~
= AfZfCJcd
pela mesa. Logo, a nervura deverá absorver
parcela do momento solicitante M d
uma
Mel(
t
O,32Ç2
1"~
Fig. 4.3.2 - Parte da seção comprimida com o bloco retangular
onde
-
O,8ç + f.1* = O
( ( --(
(4.3.12) !
(
( (
--'..t:!
)
) ._------
)
)
í
Flexão normal simples - -dimensionamento
Curso de Concreto Armado
140
-- -----~~~-=-j
------------
14]
de seções T
) )
J1
)
(4.3.13)
d'
) A solução da equação (4.3.12) é dada por
) )
(4.3.14)
)
V
<1::::
~d
bW-l
)
)
d
lI) Equilíbrio de forças:
)
RSd
Fazendo o equilíbrio de forças (ver figo 4.3.2), tem-se
)
Fig. 4.4.1 - Resultantes das tensões na seção com armadura dupla
)
(4.3.15)
) )
)
A força na armadura
Considerando as expressões (4.2.4), (4.3.5) e (4.3.8), obtém-se a taxa mecânica de armadura
)
ai
tensão a;d é calculada exatamente força na armadura de tração é Rsd
= f3r (J - /l11') + O,8ç /lI!'
(4.3.16)
e a área de aço é calculada
)
) ) ) ) ) )
)
l'
J = d'] d , são
(4.4.1 ) Nesse caso, a profundidade
x
= xlim'
Assim,
da linha neutra é fixada como
o dimensionamento
dupla é feito com as mesmas retangular, bastando
da seção T com armadura
equações
adotar as expressões
e fl
deduzi das para a seção
sendo que os momentos
corretas de Rcclim
equações (4.2.13) e (4.2.14), respectivamente. A área da armadura de compressão é dada por
e de
Mdlim'
Na figo 4.4.1, indica-se a seção transversal dupla e as resultantes das tensões.
reduzidos
fllilll
são definidos
nas
com armadura (4.4.2)
I
1
, ,\
iI
Ir
.
4.4 - Dimensionamento com armadura dupla
) )
= AsfYd
novamente reproduzidos na tabela 4.4.1. Logo, aplicando a equação de equilíbrio de momentos, resulta a taxa mecânica da armadura de compressão (ver equação (3.7.10) do capítulo 3)
com o emprego da equação (4.3.7).
)
)
como foi feito no capítulo 3. A
Os valores de a~'d' em função do parâmetro
) )
de compressão é R~d = A.~a~d' onde a
li lL
li
ji.
ji,
i'0
j
.-z,
Flexão nornutl simples - dimensionamento
Curso de Concreto Armado
142
de seções T
(
(
143
( (
Aplicando
a equação de equilíbrio de forças e substituindo
a
expressão de Rcc lim dada em (4.2.9), obtém-se a taxa mecânica da armadura tracionada capítulo 3)
(ver a semelhança
. úJ= cc'hm "
e a área de aço é As
Tabela 4.4.1 - Tensão (J~d (kN/cm ) d' ,,-~----------------
---
.f~'k ::; 35 MPa
Ó
CA-50
CA-60
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 O,ll 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20
43,48 43,48
52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 51,33 49,78 48,22 46,67 45,11 43,56 42,00 40,44
43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 42,00 40,44 38,89
(4.4.3)
(
o dimensionamento de seções T pode ser feito de acordo com a seguinte sequência de cálculos: a) f1
(momento reduzido solicitante)
2
hfd
( (
Md
=
(
(
(Jcd
(
= úJbr d (Jed / fvd
43,48 43,48 43,48 43,48
(3.7.14) do
fl- ,ulim + l-vs:
2
Concreto
com a equação
de seções T
4.5 - Roteiro para o dimensionamento
38,89
h
f /3r. =-, d
.
.
/3",
bw
Çlilll
=-;; , .
: 0,45 ,
{ Çlill1 - 0,35 ,
se
< 35 MPa
(
se fr/( > 35MPa
(
fck
na armadura de compressão --
-----
--/
fe/( > 35MPa CA-50 43,48 43,48· 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 43,48 42,00 40,00 38,00 36,00 34,00 32,00 30,00
( Se
/3f
>
dimensionar
0,8Çlill1'
largura bf e altura útil d , com~lO
uma seção retangular
com
(
capítulo 3.
(
CA-60 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,17 52,00 50,00 48,00 46,00 44,00 42,00 40,00 38,00 36,00 34,00 32,00 30,00
( b) Calcular
rcclill1 e fllill1
através das equações (4.2.10) e (4.2.13),
(
ou ler esses valores diretamente das tabelas 4.2. I e 4.2,2. c) Dimensionamento
(
com armadura simples ( ,u ::; ,ulill1):
( (
Calcular J1f ~ p!
(I-
P; }
C
( Caso I) f.l ::;,uf
Caso 2) fl
> ,uI
=> =>
( (f)=1-~1-2f1
fl
*
=
,u-flr
/311'
( (
.
+flr
(
.
(
ca = /3.r (1-/3\1')+ /311"(1-
(
~I- 2/)
A área da armadura de tração é As
(
= tob rel .
,
(Jrd .
f"d
( ( ( (
._~j
) \
)
~f------)
T----144
Flexão normal simples - dimensionameuto
Curso de Concreto Armado
de seções T
145
)
)
com armadura dupla (f.1 > f.1lim):
d) Dimensionamento
)
)
Calcular 0= d'] d e retirar a tensão
) )
áJ' =
(fl-
fllim ) f:'d
1- O
)
(5~d
da tabela 4.4.1.
~
36cm
40
(j'sd
) áJ=r
)
+f.1.-f.1.lim
.
~
1-6.
cchm
) )
Observacão:
)
Çlim < 0,26,
)
Empregando-se
redistribuição
ou Çlim ::; O, e f.1
dimensões da seção transversal
de esforços, se resultar Fig. 4.6.1 - Dimensões da seção T
> f.11im' devem-se aumentar as
•
(ver capítulo 3). Neste caso, tem-se:
)
e) Armadura mínima: ALl11in= Plllin Ar' onde Ac é a área da seção
)
transversal, considerando-se
a mesa e a nervura.
)
) )
) )
)
Nos casos em que a mesa está comprimida,
podem-se adotar
os mesmos valores de Plllin das seções retangulares, fornecidos na tabela 3.11. J. Se a mesa estiver tracionada, o momento de fissuração será maior que no caso de mesa comprimida. Assim, para seções T com a mesa tracionada,
multiplicados por 1,5. Evidentemente, se a mesa estiver tracionada, a seção deve ser dirnensionada como uma seção retangular de largura
)
blV e altura h .
) ) )
Se As < As.lllin' adota-se As = ALlllin .
4.6 - Exemplos de dimensionamento
)
Os exemplos apresentados a seguir referem-se à seção indicada na figo 4.6.1. Em todos os exemplos, adota-se um concreto
)
com fe/.:
) I
.
= 20 MPa
e o aço CA-50.
vd
.
f\'k
= _._. = -
Ys
50
o
= 43,48 kN/cm~
1,15
Os adimensionais
os valores de Pmin da tabela 3.11.1 de.vem ser
)
)
j
/J
que definem a geometria são:
h 10 =_ f.. =-=028 .f d 36 '
Çlim = 0,45 , pois fck
/J.r < 0,8Çlim Entrando
= 0,36 nas
::; 35 MPa
~ tabelas
dirnensionamento
como seção T
4.2.1 e 4.2.2 com
/311' = 0,20, obtêm-se 1~'('1i1ll = 0,30 e ,ulim = 0,25.
/J.f = 0,28
e
.:.:
(
t.e§.
----------- -
--r-
------- _ ..~----'---------
Flexão normal simples·
Curso de Concreto Armado
146
diinensionamento
(
-------J
.-
(
] 47
de seções T
(
( A) Exemplo
1: M d
= 150
B) Exemplo
kNm
=
r
r
M cI = 15000 = O 16 2 ?' bjd (Teci 60x36- xl,2
M
=
/I
1/
M
2:
d = 250kNm
=
d
2
25000
Como fi
=
2'
brd (}ed
(
°
( 27
(
60x36 x1,2
( (
> filim = 0,25, a solução será com armadura dupla.
( Como fl
< fllim' o dimensionamento
~
será feito com armadura
U
simples.
flj
(° 8) 7
fJr) = fJj ( 1-2
=0,28
1- ';
(l)'
=0,24
d' d
=-
= - 4 = 0,11 => (},d, 36
= (fl-
= 43,48 kN/cm"
.
fllim)
l-o
f:'d (}sd
o
(da tabela 4.4.1)
( li: I'
= (0,27
- 0,25) 1-~,l1
ir
43,48 = 0,022 43,48
fi < fi
1:-
r'
a mesa
sozinha
é capaz
de resistir
ao
A') --
1- ~l- 2fi (}al
As = wbjd-
f\'d
= 1-
~1-
°=
to =
2xO,J 6 = 0,175
1,2 = 0,175x60x36x--=>A, 43,48
Ae = 12x30 + 60xJ
d
.
momento fletor de cálculo.
ai =
OJ 'b j
r
.
-(}cd -- 0, 07'6 ~2x f\'d
+ fl-
.
= 10,43cm
fllim
1- o'
"hm
=
°
1,2 Ox3 6'x--=>AI'
30
, -1,31cm .
43,48
+ 0,27
2
°,
- 0,25 =
322
1- 0,11
( (
I1 I'
Como
(
( (
( ( ( ( (
2
/.,/-j d A s -- wu
(}cd
fwl
--
77 '60'x3 6'~ O,3-~x X=>,
43,48
A -- 1,920 cm 2 .
( (
960 em" (área da seção transversal)
Como As
>
A,.min'
adota-se
2
As = 19,20cm •
( (
Pmin = 0,15%
(tabela 3.11. I)
( 4.7 - Determinação
0,15
efetiva da mesa
;
As,min = Pmill Ac = 100 x960 = 1,44cm- (menor do que As)'
Logo, a solução é As = 10,43cm2.
da largura
I
I
Na figo 4.7.1, indica-se uma seção transversal típica dos pisos de edifícios constituídos por vigas e por lajes maciças. Havendo uma ligação adequada entre a laje e a nervura da viga, uma parte da laje colaborará para a resistência e para a rigidez da viga. Assim, as vigas podem ser projetadas como vigas T com LImamesa de largura br·
( ( ( ( ( ( (
'0'.:,;.
)
I-~
)
.-)
..
)
Curso de Concreto Armado
148
-..,...Flexão normal simples - dimensionomellfO
de seções T
149
) )
mesa colaborante
laje superior
) )
)
DD
h
) )
laje inferior
) )
r:
armadura de costura
) )
II
seção duplo T
II
j. J,
)
J
estribos verticais
.]irf .n
)
I
:"
)
) ) )
) )
) ) ) )
) ) ) ) ) )
)
~ Fig. 4.7.1 - Seção típica dos pisos de edifícios A ligação entre a mesa e a nervura é consegui da através de uma armadura de costura formada por estribos horizontais, conforme é indicado na figura. O cálculo da armadura de costura e dos estribos verticais para cisalhamento é apresentado no capítulo 6. Conforme já foi salientado, a viga só funcionará como uma viga T se a mesa estiver comprimida. Assim, nos casos de mesa superior, como indicado na figo 4.7.1, tem-se uma seção T nos trechos de momentos f1etores positivos. Nos trechos onde o momento fletor é negativo, a viga funcionará como uma viga de seção
A solução indicada na figo 4.7.2, apesar de ser ideal do ponto de vista da capacidade resistente, tem o inconveniente da perda de formas, além de não permitir uma única concretagem do piso. Considerando a flexão do conjunto formado pelas nervuras e pela laje do piso, tem-se uma distribuição variável das tensões de compressão na mesa, como é indicado na figo 4.7.3.
retangular com largura b.; e altura 11. Evidentemente, se a mesa for inferior (caso de vigas invertidas) tem-se uma seção T nos trechos de momentos negativos e uma seção retangular nos trechos de momentos positivos. Para haver o funcionamento como viga T, independentemente do sinal do momento fletor solicitante, é necessário executar o piso com laje dupla, conforme indicado na figo 4.7.2.
y
b/2
Fig. 4.7.3 - Variação das tensões de compressão na mesa
I'
a
t
;;'
1
·
;!!
(
.~ y
.J
( (
150
Flexão norma/ simples =dimensionamento
Curso de Concreto Armado
11 11
15]
de seções T
ji
,I
(
(
,I
(
11
(
11
tensão sofre uma redução, valendo ar a uma distância y da face da
I'I
(
nervura. Uma vez que o dimensionamento
i:I1
(
Conforme
se observa, a tensão de compressão
nervura, onde ela alcança o valor de cálculo
a('(/.
J
é máxima na Em seguida, a
~
b,
li
~
da seção é feito com a
lli
tensão máxima ard, torna-se necessário definir a largura efetiva da
}
(
mesa, bf ' de tal forma que a resultante das tensões de compressão seja igual ao valor obtido considerando
as variações de
CJ.t.
(
(
b2
b4
Para que
(
isto ocorra, é necessário que
( bl
1
b2 /2
= -
O"rd
faxdy
(4.7.1)
O
(
,
~ ba
~
~r, '~ j: -I!
onde b2 é a distância entre as faces de duas nervuras sucessivas. A integral dada em (4.7.1) é feita apenas até uma distância
b2/2,
para que uma mesma parte da laje não seja considerada
(
para
b3 e a largura
Os trechos b, e b:, indicados na figo 4.7.4, medidos a partir da face da nervura fictícia, são dados por
efetiva da mesa será dada por
b{
= bl +bw
de
bI,
de acordo
com a NBR-6118,
são definidas
as
seguintes variáveis:
ba = largura da nervura fictícia, obtida aumentando-se
b2
de
valor
b
3
2
igual
ao
menor
cateto
a largura real da
= distância entre as faces das nervuras fictícias sucessi vaso
Essas dimensões são indicadas na figo 4.7.4.
( (
::;;
(
{O,la
(4.7.3)
(
b4
em que a representa
a distância entre os pontos de momento fletor
nulo. A distância a pode ser estimada em função do comprimento do tramo considerado, como: - viga simplesmente apoiada: a = I _ tramo com momento em uma só extremidade:
bw = largura real da nervura; para cada lado correspondente;
O,la { O,5b
'li
(
A largura efetiva da mesa depende de uma série de fatores, como o tipo de viga (isolada ou contínua), o tipo de carga aplicada (concentrada ou distribuída), a existência de mísulas, etc. Para o cálculo
bl::;;
(4.7.2)
+b1
( (
Fig. 4.7.4 - Largura efetiva da mesa segundo a NBR-6l18
duas nervuras distintas. De modo análogo, pode-se obter a dimensão
(
rnísula
- tramo com momentos nas duas extremidades: - tramo em balanço: a
a
I
( ( (
( a
= 0,751
(
= 0,601
(
= 21
Alternativamente, a distância a pode ser obtida mediante exame dos diagramas de momentos f1etores na estrutura,
(
( o
( ( (
=:
)
..•.",
.-----~ ~--J
) ---_.-
----
--
.~-~._-_
.. _----~--_
---~
..
)
)
I
152
Flexão normal simples - dimensiouamento
Curso de Concreto Armado
de seções T
153
)
)
Portanto, a largura efetiva da mesa é dada por
abertura
)
t:
(4.7.4)
)
I -
Evidentemente,
)
bf
= bt + b({ + b
d j
para
, onde
uma
nervura
central
bt e b(' correspondem
aos valores de bj
medidos a partir das faces esquerda e direita da nervura fictícia, respectivamente. Para uma nervura isolada, a largura efetiva da mesa
)
é bf
)
Na figo 4.7.5, indica-se a situação de uma nervura lateral. Neste caso, a largura efeti va da mesa é bj. = b + bj e a secão é
) ) ')
1
2
tem-se
)
)
,,
-"""'--r-...=.c-
2
)
)
_ -
= ba + 2b3 . ({
Fig. 4.7.6 - Largura efetiva da mesa na presença de abertura na laje
>
assimétrica. Devido à falta de simetria, a flexão será oblíqua. Entretanto, se existirem vigas transversais de amarração que impeçam o giro da seção, a mesma pode ser dirnensionada em flexão normal com os procedimentos já apresentados.
Exemplo: Determinar a largura efetiva da mesa das vigas indicadas na figo 4.7.7. As vigas são simplesiente apoiadas com vão I = 5 m.
a )
=
Para todas as vigas, tem-se: 1= 500cm (vigas simplesmente apoiadas);
1zf = 5 em (espessura da mesa);
)
)
/
)
)
b1
,, ,, ,, ,
b2
r---
bu
= 50 em (distância entre nervuras); = b.; = 8 cm (largura da nervura fictícia,
pois não há mísulas).
5
<~
)
/
) ) ) ) ) ) )
) ) ) 'I
Ir
ba
30
Fig. 4.7.5 - Nervura lateral Quando a laje apresentar aberturas ou interrupções na região da mesa colaborante, a largura efetiva da mesa é calculada como anteriormente, respeitando-se as limitações impostas pelas aberturas. Este caso é ilustrado na figo 4.7.6, onde se observa que a variação da largura efetiva é determinada considerando-se mísulas de inclinacão 1 para 2. '
V2
V1
viga transversal/ ~.
50
.~~4
__
V3
5_0_-.!.~
unidade: em Fig. 4.7.7 - Piso do exemplo (laje nervurada)
l)j
O,la ::;
= 0,lx500 = SOem
{ 0,5b = 0,5x50 = 25cTIl 2
~
b,
= 25 em
..,
J
.{;"
_. ---------.---154
'T'""
( ( (
Curso de Concreto Armado
(
= ba + b, = 8 + 25 = 33 em V3, etc.: br = ba + 2b, = 8 + 2x25 = 58 em bf
Viga VI: Vigas V2,
( FLEXÃO NORMAL SIMPLES Verificação da Capacidade Resistente
As seções das vigas são indicadas na figo 4.7.8.
33 ~
3011
J
r --~~
~
I5
viga V1
( ( (
58
.,------J'
(
I5
( 5.1 . Definição do problema
(
Os capítulos 3 e 4 foram dedicados ao dimensionamento de seções de concreto armado submetidas à flexão normal simples. Conforme foi apresentado, o dimensionamento consiste em determinar as dimensões da s,,"ão transversal e as armaduras necessárias para garantir o equilíbrio no estado limite último (definido através dos domínios de dirnensionamento). Na realidade, ao enfrentar esse problema procura-se, de início, fazer um pré-dimensionarnento da seção de concreto. Assim, conhecidas as dimensões da seção, o que se faz é calcular as áreas
(
30
.. ~
(
Capítulo 5
~
demais vigas
Fig. 4.7.8 - Seções das vigas do piso (nervuras da laje)
das armaduras para um momento fletor solicitante de cálculo M d . A segurança global obtida nesse processo é dada pela combinação coeficientes parciais
dos
Y J' r, e ys·
O dimensionamento constitui o trabalho diário dos projetistas elas estruturas de concreto armado. Entretanto, em muitas situações, há a necessidade de resolver um outro tipo de problema: a verificação da capacidade resistente. O problema da verificação da capacidade resistente na flexão normal simples pode ser colocado da seguinte forma: "dada uma seção transversal de concreto armado com todas as dimensões e as armaduras conhecidas, procura-se o momento fletor que leva a seção à ruína". Esse problema surge, por exemplo, em reformas e ampliações, quando se pretende mudar as condições de carregamento de vigas e lajes. Interessa saber se a viga já construída resistirá às novas cargas decorrentes da ampliação. A princípio, pode-se pensar em realizar um dimensionamento da seção transversal da viga (com o momento fletor devido ao novo carregamento) e comparar as armaduras calculadas com as
( ( ( (
( (
( ( ( ( (
( ( ( ( ( (
( ( ( (
-.--'ol;r
) )
5-·-----)
156
Curso de Concreto Armado
Flexão normal simples - verificação da capacidade
resistente
157
) ) )
) ) ) )
)
) ) )
) ) > \
)
) )
) )
)
'>
) ) ) )
) I
armaduras existentes na seção. Entretanto, pode ocorrer que a viga tenha sido projetada com critérios diferentes daqueles apresentados nos capítulos 3 e 4. Por exemplo, a viga pode possuir armadura simétrica
(As = A;).
Um dimensionamento
com o novo momento
fletor levará sempre a uma armadura assimétrica (conforme os capítulos 3 e 4) e a questão poderá permanecer sem resposta. Suponha uma viga de seção retangular com b = 15 em,
h =40cm,
As = A~ = 6,03 em" (3 barras de 16 mm em cada face),
aço CA-50
e concreto
realizado
para
o novo
com
fck
= 20 MPa.
carregamento
5.2 - Seção retangular com armadura simples Na figo 5.2.1, indica-se uma seção retangular submetida à tlexão normal simples. As dimensões da seção, b e li , a altura útil, d , e a área da armadura tracionada,
As = 6,52 cru e
/\
A~ = 1,15 em". A viga resiste ou não resiste ao novo carregamento? A resposta não pode ser dada apenas comparando-se as armaduras. É necessário determinar o momento fletor de ruína da. seção com As = = 6,03 crrr' e compará-lo com o novo momento fletor
A;
solicitante. Esse mesmo problema surge nos casos de revisão de projetos. Considere-se, por exemplo, a ocorrência da ruína da viga anterior (com As = A; = 6,03 em"). O projetista, chamado para revisar o projeto estrutural, As = 6,52 crrr' e
d
h
O dimensionamento
indicou
As, são conhecidas.
Fig. 5.2.1 - Seção transversal O diagrama tensão-deformação
do aço é indicado na figo 5.2.2.
refez os cálculos e chegou à solução A's = 1,15 em". Baseando-se apenas nesses
resultados, ele não pode concluir que a ruína ocorreu devido a um dimensionamento "errado". De fato, neste exemplo, as duas seções apresentam a mesma capacidade resistente e a ruína da viga ocorreu por outro motivo. De um modo geral, o momento de ruína não pode ser obtido de maneira explícita, mesmo para as seções retangulares. Normalmente, deve-se empregar um processo iterativo para encontrar a posição da linha neutra e, em seguida, calcular o momento de ruína. Entretanto, em alguns casos particulares pode-se obter o momento de ruína diretamente, conforme se apresenta a seguir.
Fig. 5.2.2 - Diagrama tensão-deformação No diagrama escoamento
é
tensão-deformação
representada
do aço
da figo 5.2.2, a tensão de
genericamente
por
I:
Logo,
a
.~ ,.~
.-=:>~
(
J
( (
-4.
( Flexão normal simples - I'erificaç'r/o da capacidade resistente
Curso de Concreto Armado
158
159
( (
deformação de escoamento é elasticidade do aço. Analogamente, designada
por
E)'
= i./Es
,onde
E,. é o
módulo de
Caso 1) Domínios 2 e 3
fr,
à compressão
adotando-se
o valor
do concreto
será
0,85 I; no diagrama
(
intervalo
o~ x ~
se procura o momento de ruína de cálculo,
deve-se trabalhar com as resistências de cálculo, isto é,
t; = fcd' adota-se
Se o momento de ruína característico
I, = I«
e
(
Neste caso, a profundidade da linha neutra, x, fica limitada ao a resistência
retangular simplificado. Quando
(
.I;, = fck
(
(5.2.2)
xb
(
M 11'/'
i, = f,.c!
e
for de interesse,
A deformação tensão na armadura é
da armadura é Es ~ E\, e, consequentemente,
(
a
(
o, = [; .
(
.
Na figo 5.2.3, são representados os domínios correspondentes à f1exão simples. Observa-se que o domínio 4 também deve ser considerado, pois a seção dada pode ser superarmada.'
Caso 2) Domínio 4
( , ~
A profundidade da linha neutra está situada no intervalo Xli
•
(
~ d
,
(5.2.3)
I
3,5%0 e o aço não atinge o escoamento. A deformação da armadura é obtida do diagrama indicado na figo 5.2.4.
Xb
( i:i
(
·'i
(
3,5%0
(,
~I
:1'
i
I~ 11
x 10%0
(
-n
(
Ey
( (
Fig ;;'2.3 - Domínios em flexão simples
( A profundidade
da linha neutra, '\b' na condição balanceada é
(
Es
dada por xb =.[
3,5%11 3 5 0/ + E v ,
/00
Jd
Fig. 5.2.4 - Deformação da armadura
(
no domínio 4
(
(5.2.1 )
.
.A tensão na armadura varia conforme a ruína ocorra nos domínios 2 e 3 (seção subarmada e normalmente armada) ou no domínio 4 (seção superarrnada).
De acordo com a figo 5.2.4, tem-se
Es 3.5°/ , 100
d-x
( (5.2.4)
x
ele onde resulta
:.:. J ~~
..
( (
(
"
I
.,~.
(
)
li-
) .)
---~..,.,..-,,--------
)
Flexão normal simples - verificação da capacidade
Curso de Concreto Armado
160
resistente
161
) ) )
E.I·
= 3,5 %0 (d~ -xJ
(5.2.5)
Aplicando as equações de equilíbrio, resulta:
)
)
Considerando o diagrama tensão-deformação na figo 5.2.2, a tensão na armadura é dada por
do aço indicado
a) Equilíbrio de forças:
)
(5.2.10)
)
(5.2.6)
)
Substituindo
as expressões de
Rrc e R" chega-se a
)
)
.\ ) )
Logo, dada a profundidade x da linha neutra, empregam-se as equações (5.2.1) a (5.2.3) para verificar em qual dos casos o problema se enquadra. Identificado o caso, obtém-se a tensão na armadura. Na figo 5.2.5, indicam-se as resultantes das tensões na seção transversal, juntamente
com o momento de ruína
(5.2_11 )
onde O's (5.2.6»,
M 11'
}
= f\.,
se .r::; x/), e O's é uma função
de x (equação
se X> xb'
b) Equilíbrio de momentos:
) (5.2.12)
J
z
.>
Substituindo
as expressões de
) )
Rs
) ) ,)
Fig. 5.2.5 - Resultantes das tensões na seção transversal A resultante
das tensões de compressão
no concreto,
) )
')
A equação (5.2.11) fornece a profundidade
da linha neutra, x,
Rr-r-, é
Mil'
Entretanto,
como existem dois casos possíveis para o cálculo da tensão na armadura, é necessário fazer um teste para saber se a ruptura ocorre nos domínios 2 e 3 ou no domínio 4.
o seguinte onde a;
= 0,85f("
e o braço de alavanca é
Z=d-O,4x
(5.2.8)
procedimento
A força na armadura é dada por
pode ser empregado:
1) Admite-se que a ruptura ocorre no domínio 2 ou no domínio 3, isto é, adota-se O's = i...A equação (5.2.11) fornece a posição da linha neutra, na forma
)
)
(5.2.13)
(5.2.7)
)
(
Mil =0,8bx(d -0,4x)o'c
e a equação (5.2.13) fornece o momento de ruína,
dada por
)
Rrc e de Z , resulta
(
--~J
;&
"'r
( (
( 162
Flexão normal simples,
Curso de Concreto Armado
x
o concreto
= 1,25 Alf,.
(5.214)
bCY c
= 20 MPa
f~'k
2) Se resultar
x::; xb,
significa
que a hipótese
anterior
estava
Y('
= 1,4
possui uma resistência
: adotando
(
o momento de ruína
(
parciais de segurança
(
(
3) Se resultar x> xb, significa que a ruptura ocorre no domínio 4 (a
t. =~=--= . e v 14
t,
c
(
com as resistências de cálculo
(
(
20
14MPa
(
'
( CY(' = 0,85fc
- 3,SAsE, + .J3,S~E\"
(
Ys = 1,I 5 .
e
Neste caso, deve-se trabalhar dos materiais:
I
163
à compressão característica
os coeficientes
correta, Com este valor de x, calcula-se o momento de ruína através da equação (5.2.13).
seção é superarmada) e o valor de .x dado em (5.2.14) está errado. Substituindo (5.2.6) em (5.2.11 ), obtém-se
da capacidade resistente
e o aço é o CA-50. Determinar
M ud
de cálculo
verijicaçào
= 12 MPa :::::::>CY =e 1,2 kN/cm~
(
(3,SAyE\. + 3200bd(Je)
x=----~~~--~~--~~------~ 1600bCY(' Com este valor de .x, calcula-se da equação (5.2.13).
(
(5.2.15)
fvk
'r:
s
o momento de ruína através
_ 50 -1,15
kN/cm2
(
(
I;
E,
= 43,48
= Es =
43,48 20.000
= 2,174%0
{ {
Exemplo 1: Da equação (5.2.1), obtém-se Considere-se a seção retangular indicada na figo 5.2.6.
h=40
d=36
xb
= 22,2
A primeira estimativa da profundidade por (equação (5.2.14»
.' = I 25 Asfv .\,
= 1')5 ,_ 3x43,48 15xl,2
bo;
em.
da linha neutra é dada
= 906 , em
A s=3cm2
A
I~b=15cm .I
( Como
x
< xb' significa que esse resultado está correto (a
seção não é superarrnada). momento de ruína de cálculo MI/d
= 0,8x15x9,06(36
Da
equação
- 0,4x9,06)1,2
(5.2.13),
= 4224
obtém-se
('
o
kNcm
(
Fig. 5.2.6 - Seção transversal Logo,
MI/d
= 42,24kNm.
( _..
("
( (
)
)
------- --------------------
) )
164
--"1'"----- -----.----Flexão normal simples> verificação
Curso de Concreto Armado
do capacidade
J 65
resistente
) )
::\50/00 /
E:xemplo2:
-,
) )
) r
).
Assim .
,
devem ser considerados
os dois casos seguintes '-"'
para o cálculo das deformações nas diversas camadas da armadura. Resolver
o exemplo
anterior considerando
uma área de aço
As =9cm2.
•
)
•
A primeira estimativa da posição da linha neutra é dada por
) )
- = 1, 25
X
Asf\'
= I ,~'">59x43,48 = '">7 ~ , 2 cn1.
ba;
)
h
15xl,2
•
Como resultou x> xb, significa que a seção é superarmada. O )
valor correto de x, dado na equação (5.2.15), é x Substituindo
x
= 23,44
) )
)
MlId
= 89,87
•
•
I~
b
= ~3,44cm.
na equação (5.2.13), resulta
•
kNm. Fig. 5.3.1 - Seção transversal
) J
) ) ) ) ) ) r) ) )
) )
J \
5.3 - Seção retangular com várias camadas de armadura Em geral, o cálculo do momento de ruína de seções com mais de uma camada de armadura não pode ser feito da forma explícita apresentada anteriormente. Nesses casos, deve-se empregar um processo iterativo para a obtenção da profundidade da linha neutra. Considere-se a seção retangular com II camadas de armadura, indicada na figo 5.3.1. A camada I é a mais próxima da borda t •.acionada. Para generalizar a formulação, é conveniente admitir que todas as camadas da armadura estejam comprimidas. Assim, se uma camada estiver tracionada, resultará uma deformação negativa e, consequentemente, uma tensão negativa nessa camada. Dessa forma, o sentido correto das forças nas camadas de aço ficará automaticamente garantido. Observando os domínios da figo 5.2.3, verifica-se que no domínio 2 a deformação domínios
da camada I é fixada (igual a lO.%u). Nos
3 e 4, a deformação
da borda comprimida
é fixada (igual a
Caso I) Domínio 2 Neste domínio, tem-se 3.5 I O::;x::;-'-G!
(5.3.1)
13,5
conforme pode ser deduzido da figo 5.2.3. Na figo 5.3.2, indica-se a distribuição das deformações no domínio 2. Empregando a semelhança de triângulos, verifica-se que a deformação
êsi da camada genérica da armadura
é dada por
(5.3.2)
(
.;:
..J
( (
166
Cur.HJ de Cal/ereto
Flexão normal simples - verificação
Armado
da capacidade resistente
167
( ( (
(5.3.4)
E\i =3,5%o(X~di)
(
( d1
Logo, dada a profundidade da linha neutra, calcula-se a deformação em cada camada da armadura com o emprego das equações (5.3.2) e (5.3.4), conforme o caso. Entrando no diagrama
(
tensão-deformação
(
do aço, obtém-se
a tensão CJsi em cada camada
de aço. Na figo 5.3.4, indicam-se a resultante de compressão concreto e a força na camada genérica da armadura.
100/00
(
( no
(
(
Fig. 5.3.2 - Deformação da camada i (domínio 2)
(
Gc
( Caso 2) Domínios 3 e 4
(
di A profundidade
3,5 13,5 di < x 50 di A distribuição das representada na figo 5.3.3.
deformações
z
G"
da Iinha neutra varia no intervalo
seção
transversal
(
d1-di
(5.3.3)
na
(
RSi
(
é
(
Fig. 5.3.4 - Resultantes das tensões na seção
3,50/00
( A resultante
de compressão
no concreto,
Rrr'
e o braço de
alavanca, Z , são dados por di
( (
x Rcr
= 0,8bx
(5.3.5)
( (
Z=dl-O,4x
(5.3.6) (
A força na camada genérica de armadura é
( Fig. 5.3.3 - Deformação da camada i (domínios 3 e 4)
De acordo com a figo 5.3.3, tem-se
R,·i=Ayi
(5.3.7)
(
( (
) ) )
_._-_
)
.. _--
..
- .... _._--_._-----------------------------------------~--~~
í
Curso de Concreto Artnado
168
Flexão
1101'/1101
J
simples - verificação
da capacidade
resistente
169
) ) ,
Empregando
as equações de equilíbrio, resulta
Em seguida, calcula-se
) Se
11
)
s.; + L A1iO"si = O
)
(5.3.8)
i=J
)
11
MlI = RccZ + LA~PsJdJ
)
(5.3.9)
-di)
i='
)
) )
) )
)
A equação (5.3.8) fornece a profundidade da linha neutra e a equação (5.3.9) fornece o momento de ruína. Entretanto, a incógnita x ~ que define a posição da linha neutra, não pode ser obtida diretamente da equação (5.3.8). Para encontrar x, deve-se empregar um algoritmo iterativo. A equação (5.3.8) pode ser escrita genericamente na forma f(x)=O, onde
f(x)=
R('(.(x)+ LAliO"sJr)
)
tol
é uma
foi a1cançada
e
.\,
e testa-se a convergência.
tolerância
preestabelecida,
é considerada
a solução
a do
problema. Se a convergência não for alcançada, deve-se reduzir o intervalo solução e iterar novamente. Para isto, avalia-se o produto p, = fof, . Se resultar p, > O, como indicado na figo 5.3.5, adotamx()
= x,
e
.I~= f,.
Se
P, < O, devem-se
fazer
Xu
= x,
e
.I;, = fi' Com o novo intervalo, desta vez menor que o anterior, repetese o cálculo de
x,
com o emprego
da equação (5.3.11) e assim,
sucessivamente, até a convergência. Encontrada a profundidade linha neutra, calcula-se o momento de ruína com o emprego equação (5.3.9).
1I
)
onde
convergência
se
)
IIJ 1< tol,
I, = f(x,)
da da
f(x)
(5.3.10)
i=J
) A raiz dessa equação deve se situar no intervalo
)
) )
) ) ) ,
) )
)
],
J
que
engloba os domínios da f1exão simples. Para encontrar a raiz, podese empregar o processo da bissecante, ilustrado na figo 5.3.5. Os limites do intervalo onde se situa a raiz procurada são Xo
=O
e
r: = f(xo)
Xu
e
= d,
. A função
f(.r)
fu = f(xlI)'
A primeira aproximação
(xu' fu)
x
nos extremos do intervalo vale
xJ
f (x)
é
(.ro'.f~)
e
para a raiz da função
tomada como a interseção da reta que passa pelos pontos
)
[O, d
com o eixo das abscissas. O valor de
x,
Fig. 5.3.5 - Processo da bissecante
é dado por
(5.3.11 )
Exemplo 1:
) ) ) '\
Determinar o momento de ruína de cálculo da seção transversal indicada na figo 5.3.6. A seção é armada com 7 barras de
( _"6-
(
-----T -----
~
( (
170
Flexão normal simples - verificação
Curso de Concreto Armado
16 mm na zona tracionada e 2 barras de 16 111111na borda comprimida. O concreto possui t., = 20 MPa e o aço é oCA-50.
x
171
da copa cidade resistente
= 21,73 CI11; M ud = 125,54
( kNm.
(
o
-
-
•
1 14 f
-
• • • • k
Considere-se a seção retangular com duas armadura indicada na figo 5.3.7 e os seguintes dados:
36
'-
- momento fletor de serviço: M
1
- concreto:
1
k
camadas
de
( (
r ( = 1,4; rI" =
1,4;
r.1 = 1,15.
( (
Dimensionar
~
= 2,01cm
a seção e calcular
o coeficiente
de segurança
global.
2
Fig. 5.3.6 - Seção transversal Como se procura o momento
(
f; = f("(1
e
Ir = f\'(I
Empregando o algoritmo da bissecante (implementado programa de computador), resulta
; M
ud
A' 5
de ruína de cálculo, deve-se
trabalhar com as resistências de cálculo
concentrada
toda a armadura
na camada inferior i d
x=23,59cm;
(
As
em um
(
(
de tração (A~
15
(
.1
= 14,07 crrr')
resulta
=147,22kNm.
O momento de ruína nesta segunda hipótese é maior do que o momento de ruína obtido com a disposição real das barras, C0l110era esperado. Considerando a armadura de tração concentrada no seu centroide (d 3'2,57 em), resulta
=
(
= 129,14 kNm.
= 36cl11),
Mllll
(
36
.
~ Considerando
(
(
4
= 21,43 em
( (
= 30 kNm;
Irk = 20 MPa;
- aço CA-SO; - coeficientes parciais:
15 Área de 1 barra
x
(
(
32
..1
--- ....•
(
(
Exemplo 2:
28
40
momento de ruína obtido desta forma é igual a 97% do momento de ruína com a disposição real das barras.
f
(
(,
(
Fig. 5.3.7 - Seção com duas camadas de armadura Dimensionando
a seção, obtêm-se
(solução com armadura simples). O coeficiente global de segurança,
As
= 2,98 em'
e
A'=O s
( (
(
S , é definido por
(
s=
M{{k Mk
(5.3.12)
_.( ( (
) ) ---------_
..
) )
_-
Flexão normal simples - verijicação da capacidade
Curso de Concreto Armado
172
-,--resistente
173
)
) )
onde
M k é o momento
solicitante
característico
M uk é o
e
)
momento de ruína obtido com as resistências características. Logo, para a determinação do momento de ruína, deve-se
)
trabalhar
)
com
I. = .f~k
i, = frk·
Empregando
I
o algoritmo
0c
O,8x
h M uk
= 49,29
kNm;
s = 49,29 = 164. 30
'
•...
) )
I
anterior, resulta
) )
e
Exemplo 3: Repetir o exemplo anterior com M k
-
= 70kNm.
) )
- Dimensionamento:
A;
= 7,46
cm2 e A~
)
)
- Momento de ruína: M ú]:
= 115,80
- Coeficiente de sezuranca to,
J 15,80 : S = ---70' = J 65
kNm
Caso I) 0,8x S hf ~X S 1,2511f Neste caso, apenas a mesa está comprimida constante
)
)
Fig. 5.4.1 - Seção T
= 2,09 Cl;,2
()c.
As expressões
com a tensão
necessárias são
Rcc=0,8bfx()c
(5.4.1)
J
) )
Z Caso 2)
)
A formulação apresentada para as seções retangulares permanece válida para outras formas de seção transversal, desde que
,)
a resultante de compressão
) ) )
-O,4x
(5.4.2)
5.4 - Outras formas de seção sob flexão normal simples
)
)
= d,
no concreto,
Rcc, e o braço de alavanca,
Z, sejam corretamente avaliados. Assim, o problema geral fica representado pelas equações (5.3.8) e (5.3.9). Considere-se, por exemplo, a seção T da figo 5.4.1. Para esta seção devem-se considerar dois casos, conforme foi mostrado no capítulo 4.
x > 1,25hr
A nervura também estará comprimida, resultando (5.4.3) (5.4.4) (5.4.5)
) ) )
)
(5.4.6)
j
A - -------
-
-----
( (
--~
T
(
i
('
C (
Capítulo 6
(
( ESFORÇO CORTANTE
( ( ( (
6.1 - Introdução
(
Considere-se a viga biapoiada da figo 6.1. J , submetida a duas cargas concentradas iguais e equidistantes dos apoios. Na mesma figura estão indicados os diagramas de momentos fletores e de esforços cortantes na viga.
( ( ( (
lP
Pl -..K. ~
a
~~
1-2a
~~ a
(
#-r
(
~I
(
'\\J_{7 +
vQ
M
(
( ( ( (
(,
Dv
( ( (
Fig. 6.1.1 - Carregamento
e esforços solicitantes
No trecho entre as cargas, o único esforço solicitante é o momento fletor M , enquanto nos trechos de comprimento a atuam o momento fletor e o esforço cortante V .
(
(
(
-( ( (
) )
----------------------------------
) )
176
Curso de Concreto Armado
)
Esforço cortante
177
I
) )
T
mTI
Na figo 6.1.2, estão indicadas as componentes das tensões em elemento infinitesimal localizado entre as duas cargas.
) ) )
) -
----------------------------
o
)
x
) ) )
Fig. 6.1.3 - Tensões normais e de cisalhamento
) Enquanto não aparecer a primeira fissura, a viga se encontra no Estádio I e a análise pode ser feita com as fórmulas clássicas da
) )
Resistência dos Materiais.
) Fig. 6.1.2 - Tensões no trecho entre as cargas ) ) ,
) ) ) )
)
Logo,
componentes
) ) 'I
(5.r
é positi va (tensão de
(5.\
A
é a própria tensão principal na direção do eixo da
viga. Assim, no trecho entre as cargas, as trajetórias das tensões principais são paralelas ao eixo da viga. Nos trechos onde há esforço cortante, surgem tensões de cisalhamento
)
é obtida em função do momento fletor,
tração) e acima da linha neutra ela é negativa (compressão). componente (5" é desprezada na teoria de vigas esbeltas.
)
)
Jx
da forma usual. Abaixo da linha neutra,
)
)
I
A tensão normal
Quando a tensão principal de tração,
r\J
= 'v.\'
conforme
das tensões,
momento fletor e do esforço Resistência dos Materiais. As tensões principais
(5.\
é indicado
e rry'
na figo 6.1.3. As
são obtidas em função do
cortante com as fórmulas
clássicas da
(51 e (52 estão inclinadas em relação ao
eixo da viga. Na altura da linha neutra, o ângulo de inclinação igual a 45°.
() é
(51'
atinge a resistência à tração do concreto, surge uma fissura inclinada e a viga entra no Estádio lI. No estado fissurado, não mais se aplicam as fórmulas mencionadas. Na figo 6.1.4, indicam-se as trajetórias das tensões principais e as orientações das fissuras ao longo do eixo da viga.
--
compressão
-
-
tração
~ fissuras
Fig. 6.1.4 - Trajetórias das tensões principais e orientação fissuras em uma viga f1etida
das
(
'.',JI,
Y;. fi1,;
( -.d ."'"=-
178
Curso de Concreto A miado
Excluindo-se fatores de natureza aleatória, pode-se dizer que as fissuras são perpendiculares à direção das tensões principais de
T I
..=..
( (
179
Esforço cortante
( (
bielas de compressão
estribos
(
?I
(
--
A
tração a). Assim, no trecho entre as cargas as fissuras são verticais,
Ree
pois o esforço cortante é nulo nesse trecho. Entre as cargas e os apoios, as fissuras são inclinadas devido ao esforço cortante. Em virtude da baixa resistência à tração do concreto, a fissuração de uma viga de concreto armado é um processo inevitável. Dessa forma, a análise deve ser feita sempre no Estádio Il, através de algum modelo comprovado experimentalmente. Assim, para o concreto armado, o dimensionamento ao esforço cortante é feito de acordo com o modelo de treliça idealizado por Mõrsch. Nesse modelo imagina-se que, após a fissuração, o esforço cortante é equilibrado pela associação de bielas comprimidas de concreto e de diagonais tracionadas acompanhando as trajetórias das tensões principais. As tensões de compressão nas bielas inclinadas devem ser limitadas, para não haver a ruptura por esmagamento do concreto. As diagonais tracionadas são formadas por estribos, convenientemente dimensionados para o esforço de tração de cálculo. Na figo 6.1.5, são representadas as treliças idealizadas no interior da viga, nos casos em que as diagonais tracionadas são formadas por armadura inclinada e por estribos verticais. Conforme se observa, o espaçamento entre as barras da armadura transversal deve ser limitado a um valor máximo, para que as mesmas possam costurar as fissuras inclinadas. No modelo original, Mõrsch admitiu que as bielas de compressão estivessem inclinadas a 45° em relação ao eixo 'da viga, acompanhando a inclinação das tensões principais na altura da linha neutra. A treliça assim formada é conhecida como treliça clássica de Môrsch. Atualmente, sabe-se que a teoria clássica da treliça fornece uma armadura transversal superior à necessária. Por isso, o modelo de Mõrsch sofreu pequenas alterações que permitem considerar diferentes inclinações para as bielas de compressão. Assim, o dirnensionarnento atual é feito ele acorelo com a denominada treliça generalizada de Mõrsch.
( (
z
( ( (
Rscl
(
fissuras
banzo tracionado .
( (
banzo de compressão ,
(
Ree
-r-
(
(
z
( \
( (
Rscl
( (
Fig. 6.1.5 - Analogia da treliça de Morsch
( \
(
(
6.2 • Treliça generalizada de Morsch
(
Na figo 6.2.1, indica-se um trecho da viga submetido ao esforço cortante de cálculo Vd e a trel iça idealizada em seu interior. O ângulo de inclinação das bielas é igual a () e os estribos inclinados de um ângulo a em relação ao eixo da viga.
\ (
estão
( ( --
(
( ,
(
)
,
) ) --~--)
--
-
--
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
180
181
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Fig. 6.2.2 - Forças nas barras ela treliça
) )
Na figo 6.2.3, representa-se
Fig. 6.2.1 - Analogia da treliça generalizada
força de compressão
)
)
)
(Ir
110
= Z(cotgB+cotga)
S, e S2.
(6.2.1 )
110
= (le
senB
As forças atuantes nas barras da treliça são
)
representadas na figo 6.2.2. As equações de equilíbrio
)
F=~ c
)
são dadas por
senB
(6.2.2)
)
F=~ s
)
(6.2.3)
sena
) ) ) j ,'\
à
= bwho,
é a dimensão normal à força Fe'
onde Z é o braço de alavanca obtido no dimensionamento à flexão simples. As condições de equilíbrio são estabelecidas considerando-se as seções
)
submetida
dada por
)
)
uma biela simples
Fc. Essa força atua em u ma área Ac
onele bw é a largura da viga e
A distância ar entre duas bielas sucessivas é dada por
) )
Seção S2
Seção S1
)
onde F, é a força de compressão nas diagonais da treliça.
na biela e FI' é a força de tração Fig. 6.2.3 - Solicitação na biela inclinada
(6.2.4)
. .,.
J
\:.."
!'!'"
(
( ( (
Introduzindo
a expressão
de
dada na equação (6.2. I),
{lc
obtém-se a tensão de compressão na biela,
ac = F;. / Ar
' na forma
A tensão dada em (6.2.9) deve ser limitada para evitar o esmagamento ela biela ele compressão. Para levar em conta a redução da resistência à compressão do concreto provocaela pelas fissuras inclinadas, deve-se limitar
r, a = ----;c-----'-
(6.2.5)
bwZ(cotg8+cotga)sen8
c
183
Esforço cortante
Curso de COl1creLOArmado
182
compressão reduzida. reduzida é dada por
ar ::;t.», onde
f('(lr
é a resistência
à
De acordo com o CEB/90, essa resistência
( (
( ( ( (
( Substituindo
a expressão de F; dada em (6.2.2), resulta
frdr
= Q,60( 1-
(6.2.11)
= 0,60a,J'd
;;~ )fcd
( (
a
V
=
d
bllZ(cotg8 + cotga)sen
c
Particularizando
Empregando
(6.2.6)
8
(6.2.7)
,
bllZ(catg8+ l)sen- ()
estribos verticais (a
')
bllZcotg()sen - 8
(
= 90° ), chega-se
A calculada
tensão
convencional
de
para a menor largura
cisalhamento
T\\Id
deve
ser
b"J da seção transversal da peça
(quando a largura for variável). A treliça apresentada na figo 6.2.1 é composta por diagonais de
a
Vd bllZ cas ()sen ()
(6.2.8)
por
toelos os seus ramos, é igual a Asl e o espaçamento longo do eixo da viga és. de comprimento
{lI'
dos mesmos ao
Logo, a área total da armadura no trecho
é dada por ar-
Vd
r",d = b ti 11'
A, =-A11 (6.2.10)
( (
( ( ( ( (
(
(cotg8 + catga )sen - ()
onde
(
(
altura útil da viga, a expressão (6.2.6) pode ser escrita na forma
,
(
(
{lI"
barras da armadura transversal. Assim, é necessário fazer a correspondência entre o modelo idealizado e a situação real. Na figo 6.2.4, indicam-se os estribos da armadura transversal na configuração idealizada e a disposição realmente adotada no projeto. A área da seção transversal de um estribo, considerados
ar =
(
modelo, foi obtida a força de tração na diagonal. conforme a equação (6.2.3). Entretanto, o espaçamento real dos estribos deve ser menor
igual a
Comparando as equações (6.2.7) e (6.2.8), verifica-se que a compressão no concreto é menor quando se utilizam estribos inclinados a 45°. Entretanto, por razões práticas, empregam-se quase sempre os estribos verticais. Adotando como uma aproximação Z = 0,90d, sendo d a
(6.2.9)
(
A partir desse
com um espaçamento
que aI" para evitar o surgimento de uma fissura não interceptada
l,llrlt'd
(
(
onde r"'1I =0,27al'f~d'
vri
V"
resulta (6.2.12)
TII'c! ::; T"'II
tração simples,
ar =
(
Fixando () = 45° , a = 90° e fazendo a(' ::; fedI"
a expressão (6.2.6) para a = 45°, obtém-se
'"'"=
Vr
2
com f~k em MPa.
S
(6.2.13)
(
-( ( (
)
_-='~
) ---
) )
184
----._--------~-~------------------~----~======~
Curso de Concreto Armado
....•..
Esforço cortante
185
)
)
lOOV
diagonais tracionadas
)
estribo
d = Zfrd (cotgB + cotgzr )'sen a
A~lI'
21 em m
(6.2,17)
) Substituindo
)
Z
= O,90d
e a equação (6.2. J O), chega-se a
)
=
A
)
S\I'
)
IOOb ,(I,llr frd ( cotgB+cotga ll
,cm2/m
lld)
)
(6.2.18)
sena
) )
6.3 • Treliça clássica de Morsch
disposição real
)
modelo
)
Fig. 6.2.4 - Disposição
No modelo da treliça clássica de Morsch, admite-se que as bielas de compressão estejam inclinadas a 45° em relação ao eixo da
dos estribos ao longo da viga
)
B
viga. Substituindo
) A força de tração transversal comprimento ar-' é igual a
resistida
pelos
estribos,
A m'
)
= 45°
na equação (6.2.18), resulta
no
,
(6.2.14)
IOOb",(I,II-rwd)
-
frd
(
)
1+ cotga sen a
2
, em /m
(6.3.1)
) )
onde fvd .
)
.
é a tensão de escoamento de cálculo do aco.
A condição de equilíbrio é expressa por
,) (6.2.15)
) ')
) )
) )
onde
Fs é a força de tração solicitante dada na equação
Fazendo obtém-se
as substituições
As!
s
necessárias
na equação
Vil
Zlw/(cotgB+cotga)sena
(6.2.3). (6.2.15),
(6.2.16)
Os resultados experimentais indicam que esta equação fornece uma armadura excessiva. Isto ocorre porque no modelo da treliça clássica não são considerados diversos fatores que contribuem para a resistência ao esforço cortante, como a contribuição do concreto tracionado entre fissuras, o engrenamento do agregado graúdo, a taxa da armadura longitudinal, a inclinação do banzo comprimido, dentre outros. Esses efeitos podem ser considerados, especificando-se um
e
ângulo < 45° para a incl inação das bielas de compressão. Alternativamente, a armadura transversal pode ser calculada com uma tensão convencional de cisalhamento reduzida. Adotando-se esse segundo procedimento, a equação (6.3.1) é escrita na forma
) ) ) )
) ,
")
(6.3.2)
A equação (6.2.16) fornece a área de aco necessária em um comprimento s da viga, sendo expressa em cm~/cm. Logo, a área de aço, Asw, por metro de comprimento
da viga é dada por onde
.--------~
-.,~ ''-
" 'T
(
( (
187
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
186
(
( (
rd e
Te
=
1,11(TlI'd
-
(6.3.3)
ri' )
é um fator de redução. Adotando
a = 90° , chega-se a A
.1'1\'
6.4 - Critério de projeto da NBR-6118 A seguir são apresentadas as considerações da NBR-6118 sobre o dimensionamento ao esforço cortante de vigas de concreto armado. Essas considerações são aplicáveis às peças lineares com
(
b.; S; 5d , sendo b.; e d a
(
armaduras de cisalhamento
--I OOb ",-. TlI - ,cm 2/m
(6.3.4 )
fvd
(
e nas quais
(
(
largura e a altura útil da seção transversal, respectivamente. A tensão convencional de cisalhamento, rll'd, é dada por
( (
e para a
= 45° , resulta Anl'
.
rwd
= 100 b li'
rd
Ir vi!
C'
::>
' em
1m
(6.3.5)
+,
Assim, o dimensionamento ao esforço cortante consiste na limitação da tensão de compressão inclinada no concreto (através da equação (6.2.12») e no cálculo das armaduras transversais (com a equação (6.3.4) ou (6.3.5». A armadura transversal pode ser constituída por estribos inclinados, estribos verticais ou estribos e barras dobradas. Os estribos incl inados reduzem a compressão na biela de concreto, mas acarretam dificuldades construtivas associadas à necessidade de um rigoroso controle para evitar a inversão do sentido de inclinação dos mesmos. O uso de barras dobradas (cavaletes) apresenta inconvenientes relacionados à concentração de tensões e à possibilidade de fendilhamento do concreto, além de exigir maior mão-de-obra. Segundo a NBR-6 118, as barras dobradas não podem resistir mais que 60% do esforço cortante de cálculo (os 40% restantes devem ser resistidos por estribos). Além disso, as barras dobradas devem ser dimensionadas considerando apenas 70% do valor de cálculo da tensão de escoamento do aço. Dessa forma, nas construções usuais, a armadura transversal das vigas é constituída, quase que exclusivamente, por estribos verticais.
=
Vd l'J d
(6.4.1 )
\I'
onde Vd é o esforço cortante de cálculo. A dimensão b.; representa a largura das seções retangulares
I R
( ( (
(
ou a largura da nervura das seções T. Se a largura da nervura for variável, deve-se adotar a menor largura ao longo da altura útil. Para evitar o esmagamento da biela de compressão, deve-se
(
impor a restrição
( rwd
S; i.;
(6.4.2)
( ( (
A tensão limite r"'lI é dada por rlrl!
= 0,27 al..f,d
(
(6.4.3)
(
l sendo
.t~d a resistência
(
de cálculo à compressão do concreto e
( aI' com
= 1-
lck 250
(6.4.4)
( (
.t~k em
MPa. Se a desigualdade dada em (6.4.2) não for atendida, devem-se alterar as dimensões da seção transversal da peça. A tensão rd' para o cálculo da armadura transversal, é dada por Td
=l,ll(r"'d
-r,):2:0
(6.4.5)
(
( (
( ( (
)
J
) f
)
)
Curso de Cal/crera Armado
188
)
) )
onde
Te
é dado na NBR-61 18 em função da resistência à tração de
cálculo do concreto.
)
Ye
Adotando-se o coeficiente = 1,4 , pode-se escrever
de
minoração
da
189
- Estribos verticais:
1
) )
I
cortante
Esforço
A
S\I'-
-] 0017
",--
rd
,
(6.4.10)
Clll"/lll
fwl
resistência - Armadura inclinada a 4So:
)
(6.4.6)
)
(6.4.11)
)
o coeficiente
) ) )
IJI.."
IJI."
com a linha neutra cortando a (6.4.7)
= 0,09
armadura mínima,
- Na flexo-compressão:
de
) If/J
)
=0,09(1+
ASII'.min
Mo é o valor do momento tletor que anula a tensão normal na
onde
)
borda menos compri mida e M d é o momento fietor solicitante
J
trecho considerado.
)
- Na flexo-tração com a linha neutra fora da seção:
no
I
)
)
) ,
\
= Pw.min
= PII'.min
. -O
A flexão composta (flexo-tração e flexo-cornpressão) é abordada em outros volumes deste Curso. Assim, nos exemplos que
sendo
= 0,09. necessárias
são obtidas
com
2
100bw
(6.4.13)
.J2
frl/11
a resistência
-
?f(,//1/
,-
(6.4.14)
.
f vk
média à tração elo concreto e
ele escoamento característica elo aço. Se a largura ela nervura for variável, adota-se
as equações
(6.4.12)
1 OOb\.\" cm /111
onde P"'.1Il1ll
As armaduras (6.4.10) e (6.4.11).
Os valores
- Armadura inclinada a 4So:
(6.4.9)
)
)
!
ASII'.min
IJIJ
na NBR-6118.
são:
Asw.min
se seguem adota-se
especificada
- Estribos verticais:
)
)
A,5H'.min'
(6.4.8)
Mo )::::;0,18 Md
)
)
a ser adotada nos cálculos não
deve ser maior que 43SMPa (igual à tensão de escoamento dos aços CA-SO), Logo, mesmo que o aço empregado seja o CA-60, o cálculo dos estribos deve ser feito como se o aço fosse o CA-SO. A seção da armadura calculada não deve ser menor que a
)
)
fwl
A tensão de escoamento - Na flexão simples e na flexo-tração seção:
)
)
tem os seguintes valores:
Ivk
a tensão
para bw, nas
equações (6.4.12) e (6.4.13), a largura média ao longo ela altura útil.
1
~,
(
.~
(
1---
._--_ ... _----
_. -'--"-----
~
( (
190
191
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
(
( Na tabela 6A.l,
apresentam-se
os valores de
Pw,min
para
algumas classes de concreto. Tabela 6.4.1 - Valores de
(
f\'d = 435 MPa.
( (
para o aço CA-SO
- Esforço cortante máximo (característico):
20
2S
30
3S
40
45
50
0,09
0,10
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
iek (MPa) Pw,min
PII'.lllin (%)
Segundo a NBR-61I 8, a tensão de escoamento do aço a ser adotada nos cálculos não pode ser superior a 435MPa. Logo,
Pkl _ 15x4
=2-
\lk
2
(
(
= 30kN
( (
- Esforço cortante de cálculo:
Exemplo 1: Dimensionar os estribos verticais da viga indicada 6.4.1. O concreto é da classe C20 e o aço é o CA-60.
na figo
~
m
/:::,.
1=4m
1
~
.~ A' s
40
I.
A
12cm
- Tensão convencional
36
'\1'd
=-
\ld
= --
bwd
42
de cisalhamento:
= 0,097 kN/cm
2
(
( => T,,'{f = 0,97 MPa
12x36
( (
- Tensão de cisalharnento
.1
'Wll
Fig. 6.4.1 - Geometria e carregamento
(
Y f \lk = l,4x30 = 42 kN
(
•V •
Pk=1SkN/m
\ld =
(
de serviço
=0,27
limite:
(
j~'k)' . ( 250 1--
(
ted =0,27 (20 1--
250
) 14=
3 ,5 MPa
( (
- Verificação da biela de compressão:
Concreto: iek = 20 MPa 2
Aço: i)'k = 60 kN/cm
-7 fl'k = 600 MPa
(
Uma vez que TlI'd = 0,97 MPa é menor que
'11I11
não há necessidade de modificar as dimensões da seção. - Resistências de cálculo:
= 3,5 MPa,
( ( (
- Cálculo da armadura transversal:
t. - iek . cd - r
= 20 == 14MPa 14
c
'
( TI'
= 1jf3 (frk
f/3 = 0,09(20
)2/3 = 0,66 MPa
(
( fVk _ 600 =521MPa
fl'd
= Ys -
1,15
'd = 1,11(Twd - TI') = 1,11(0,97 -0,66)
= 0,34 MPa
( (
( (
) ) )
)
Esforço cortante
Curso de Concreto A rtuado
192
193
)
) )
fd Asw = 1OOb 11'--= frd
I
00
0,34 O9 J xI2x--~ = , -l cmvrn
8.00
43)
-.§
) )
Pw
min = 0,09%
(tabela 6.4.1 )
~
) )
6.00 ;:
Asw,min
= Pw,minIOOblt'
.c
2
=0,09xI2=
1,08cm /m
eu
•.... ~ 4.00 (j)
)
(j)
) ) ) ) )
)
Uma vez que a armadura armadura Logo,
mínima,
A.I'II',
a solução é Anl'
min
>
calculada,
deve-se
= 1,08 cmvm.
c:
-
é menor que a
A.I'H"
adotar a armadura
(lJ •.... (•.... lJ
mínima.
-O:::l
Com essa área da armadura,
2.00
(lJ
E ~
será escolhido o diâmetro da barra de aço e será calculado o espaçamento dos estribos, respeitando-se um espaçamento máximo prescrito na NBR-6118. Esse assunto é tratado em detalhes no Volume 2 deste Curso.
O.OO-l--.....--..-----.---r--,--.,.--,..---, 20
) ) )
Exemplo 2: Realizar
o dimensionamento
valores para o esforço cortante e para
l." .
diferentes
)
Os resultados numéricos são apresentados na tabela 6.4.2. Esses resultados são apresentados em forma de gráfico na figo 6.4.2.
Tabela 6.4.2 - Armadura transversal
) ,
) ) ) )
I
)
) ) \
Vk (kN) 30 40 50 60 70 80 90 100
fel;
= 20MPa 1,08 1,94 2,93 3,92 4,92 5,91 6,90 7,89
i., = 30MPa 1,44 1,44 2,30 3,29 4,29 5,28 6,27 7,26
cmvrn
j~1; = 40MPa 1,68 1,68 1,74 2,73 3,72 4,72 5,71 6,70
100
t.,
A~\I"
independentemente
?
A.I'II'
80
Vk (kN)
Conforme se observa na figo 6.4.2, as três retas são paralelas, exceto quando o dimensionamento resulta em armadura mínima. Assim, o aumento no valor ele ocasiona lima redução constante no valor de
) )
60
Fig. 6.4.2 - Variação da área de estribos com a resistência à compressão do concreto
da viga anterior, considerando
)
)
40
Esforço cortante
ocorre devido à parcela
.I;."
t;
do esforço cortante
Vk. Isto
na expressão (6.4.5).
Entretanto,
no caso do esforço cortante, o aumento do valor de
pode
decisivo
esmagamento
ser
para
garantir
a segurança
contra
o
das bielas, em virtude da equação (6.4.2).
6.5 - Força na armadura longitudinal de tração Na figo 6.5.1, indica-se um trecho de viga com urna fissura inclinada passando pelo ponto médio entre duas bielas sucessivas (ponto A).
(
.'":;
194
(
I
Curso de Concreto Armado
(
j
T
{
Esforço cortante
195
( (
82
82,,
81
(
Rec fissura inclinada
z
-..
J ,,
I .~l\
i
v,
~
--==== I:
( (
,
(
Rsd
( RSd
Zcot
(
z
~
A/
(
Vdr
e
x
(
~
( Fig. 6.5.2 - Força na armadura longitudinal
(
Fig. 6.5.1 - Viga com uma fissura inclinada A,
(
situado na seção SI, é RIr! . Entretanto, essa força, juntamente com a
(
A força de tração Conforme está indicado na figura, a distância A e a seção S2 é dada por a, = Zcotg8 sendo
{lI'
a distância
entre
- aI'
bielas
/2
sucessivas,
{I,
entre o ponto
resultante de compressão
na armadura
Rrr'
longitudinal
no ponto
deve equi librar o momento
solicitante na seção S2. (6.5.1 )
dada na equação Rsd
= Md
( (
+/).M d
(6.5.3)
Z
( (
Substituindo a expressão de ar' resulta
Na figo 6.5.2, representam-se separadas pela distância (f, .
( (
Logo, a força Rsd é dada por
(6.2.1 ).
Z a, =-(cotg8-cotga) 2
fletor
onde M d = Vdx é o momento tletor na seção SI e ~
d = Vda, .
(
(6.5.2)
duas seções transversais da viga
Observa-se que a força na armadura tracionada em uma seção de abscissa x é proporcional ao momento f1etor solicitante em uma
<
seção vizinha, dela afastada de uma distância igual a
ai'
(
detalhar
viga,
a armadura
longitudinal
considerar um diagrama sentido desfavorável,
I j
de momentos
de
tração
da
Assim, ao
f1etores deslocado de
conforme é indicado na figo 6.5.3.
deve-se ai
no
(
(
( ( ( ( ( (
) )
) )
197
Esforço cortan te
Curso de Concreto Armado
196
)
) cot gfJ - cot g a
)
=(
)0 + eotga)-
Tlrd
2eot g a
(6.5.8)
Tlrd -T("
) )
Substituindo
/ /
(6.5.8) em (6.5.7), chega-se a
/ /
,,
)
/ / /
\ \
)
/
,
)
(6.5.9)
/
"' ,, \
/ / /
,
/
)
/~ diagrama deslocado
) )
Fig. 6.5.3 - Deslocamento
Segundo
(6.5.9), devendo-se
do diagrama de momentos fletores
)
)
Ao deslocar o diagrama, o momento fletor abscissa x sofre um acréscimo !J.N1 d dado por
a NBR-6118,
o valor de (/, é obtido da equação
respeitar os seguintes limites:
a) se toda a armadura transversal for inclinada a 45°
na seção de
(6.5.10)
) b) nos outros casos (estribos verticais)
) ) )
) ) )
(6.5.4) onde
(/, ~ O,5d dMd tat/J=-I:> dx
(6.5.5)
a,
) )
) ) ,)
)
=
[,Sd
(6.5.12)
6.6 - Peças de altura variável
)
)
c) para lajes sem armadura transversal calculada
é a inclinação do diagrama de momentos f1etores. Lembrando que Vd = dM d/ dx , resulta
)
)
(6.5.11)
Com esse procedimento, a força de tração na armadura longitudinal será a mesma indicada na equação (6.5.3). Como uma simplificação a favor da segurança (fazendo Z = d ), o deslocamento pode ser escrito na forma
a,
([,= d (cotge-cotga)
Considere-se a viga com altura variável indicada na figo 6.6.1. A altura da viga e o momento fletor, em valor absoluto, crescem no mesmo sentido. A força de tração na armadura pode ser decomposta em uma componente horizontal Rsd eos f3 e em uma componente vertical (6.6.1)
(6.5.7)
2
onde d é a altura útil da viga. Igualando as expressões (6.2.18) e (6.3.2), resulta
onde
f3 é o ângulo ele inclinação da face da viga.
(
'I _..J
"
(
( 198
Curso de Concreto Armado
Esforço cortante
(
199
( (
s
S -I
!v~
z
(
~Vdl:!V0
R cc
( (
RSdCOS~
Md
( ( (
jCOS~
/).V d
(
RSd
X
(
Vdl
~
( (
Fig. 6.6.1 - Viga com altura acompanhando do momento f1etor
o aumento
Fig. 6.6.2 - Viga com altura e momento f1etor crescendo em sentidos opostos
( (
Equilibrando o momento distância x do apoio, tem-se
R sd -.
o esforço
f1etor na seção S situada a uma
Md
Md
==
Z cos f3
-
d cos fJ
(6.6.2)
cortante Vrd à direita da seção S é Vrd
= Vd
- /). V
(6.6.3)
d
e considerando as equações (6.6.1) e (6.6.2), chega-se a
Vrd -- Vd __M d to-fJ d
Logo, o dimensionarnento cortante reduzido Vrd .
b
pode
(6.6.4)
ser feito com o esforço
Considere-se, agora, a viga da figo 6.6.2, cuja altura diminui no sentido crescente do momento fletor.
A decomposição
da força de tração na armadura longitudinal é idêntica ao caso anterior. Entretanto, o esforço cortante na seção S é dado por Vrd
= Vd + M d tgfJ
(6.6.5)
d
( ( ( (
e a variação da altura da viga tem um efeito desfavorável. Logo, em peças de altura variável deve-se considerar o esforço cortante corrigido indicado nas equações (6.6.4) e (6.6.5), onde o momento fletor é dado em valor absoluto. Nessas expressões, não deve ser considerada uma inclinação em cada face da viga superior a I :3. Quando o valor absoluto do esforço cortante tiver sido diminuído pelo emprego da equação (6.6.4), a armadura transversal deve ser calculada considerando rc = O. Nas peças curvas também deve ser adotado Te = O.
(
( \ ( ( ( (
Deve ser observado que há a necessidade de se fazer uma correção nas armaduras longitudinais, calculadas com as equações dos capítulos anteriores. Isto ocorre porque a componente horizontal
(
fJ = A, frd cos fJ . Então, a
(
da força na armadura é apenas
R,d cos
(
( ( (
) )
l
) ) )
) )
200
1
Curso de Concreto Armado
armadura obtida no dimensionamento multiplicada pelo fator 1/cos fJ .
à flexão simples
Para o caso
deve ser
indicado
na figo 6.7.1,
201
a NBR-61J8
permite
calcular a armadura transversal com o esforço cortante reduzido Vrd
)
)
Esforço cortante
dj2 da face do apoio. Assim, a tensão
na seção S situada à distância Td '
6.7 • Seções próximas aos apoios
empregada no dimensionamento
da armadura, será dada por
) )
) )
) ) )
Considere-se a viga da figo 6.7. J, submetida a uma carga uniformemente distribuída em sua face superior. A viga está apoiada em pilares, de forma que a carga e as reações de apoio estão aplicadas em faces opostas da peça. Este tipo de apoio é denominado apoio direto.
8
(6.7.1)
;
i
Entretanto, para a verificação da tensão no concreto, não é permitida tal redução. Logo, essa verificação permanece dada por
,8 (6.7.2)
) Em geral, a redução do esforço cortante devido ao carregamento distribuído é pequena, não resultando em uma economia significativa da armadura. Por isso, usualmente essa redução é desconsiderada no projeto das vigas dos edifícios. Na figo 6.7.2, indica-se uma viga submetida a duas cargas concentradas aplicadas próximas aos apoios. Novamente, as cargas e as reações de apoio estão aplicadas em faces opostas da viga. Se a distância a do ponto de aplicação da carga até o centro do apoio for pequena, uma parcela da carga será transmitida ao pilar através de bielas inclinadas e, portanto, as forças nos estribos serão reduzidas. Evidentemente, quando a O, a carga está aplicada diretamente no pilar e não há necessidade de estribos na viga para esse carregamento. Assim, quando a carga concentrada estiver aplicada a uma distância a::; 2d do centro do apoio, a NBR-6118 permite calcular a
) ) )
)
) )
=
) ) )
)
Fig. 6.7.1 - Seções próximas aos apoios - carga distribuída
)
Fazendo uso da analogia da treliça de Mõrsch, verifica-se que uma parcela da carga situada entre o apoio e a seção S é transmitida diretamente ao pilar através de bielas inclinadas. Dessa forma, as tensões nos estribos serão menores que aquelas calculadas COI11 o esforço cortante máximo Vd.
) )
I)
) \
I
j
I I I
)
li'I
armadura transversal com o esforço cortante reduzido Vrd dado por
a Vd V-s -\1d-< >
2e1
(6.7.3)
y
(
111:"·
( ( 202
Curso de Concreto Armado
Esforço cortante
203
(
(
:~
B I
(
P: Id
t
'B
IL
(
,/ ,/
Vdl hp
(
, ,/
Viga Vs
,/
I I
(
hs
,/
~
( (
Vd~Vrd
14
p
b
(
.1 A/ ,t------h
Vrd-t--iVd
I Pd
(
•. Vs
(
3
( (
( Fig. 6.7.2 - Seções próximas aos apoios - carga concentrada
(
Fig. 6.8. I - Apoio indireto
(
Para a verificação da tensão no concreto, deve-se adotar o esforço cortante Vd sem a redução. Portanto, o dimensionamento pode ser feito com as equações (6.7.1) e (6.7.2). As reduções efetuadas para as cargas distribuídas e para as cargas concentradas próximas aos apoios se superpõem. Essas reduções não são permitidas no caso de apoios indiretos.
j
I I
6.8 . Armadura de suspensão
I
Na seção anterior, foi salientado que as reduções do esforço cortante para o cálculo da armadura transversal são permitidas somente se a carga e a reação de apoio estiverem aplicadas em faces opostas da peça. Em outras palavras, a viga deve estar sobre os apoios (geralmente pilares) e a carga deve ser aplicada em sua face superior. Essa é a condição implícita no desenvolvimento do modelo de treliça de Mõrsch, conforme se observou na figo 6.2.1. Na figo 6.8.1, indica-se outra situação em que a viga Vs se apoia na viga Vp. Os pilares I, 2 e 3 constituem apoios diretos para as vigas. Porém, no ponto A tem-se um apoio indireto.
j
Esse sistema estrutural pode ser calculado da seguinte maneira: - a viga secundária Vs está apoiada no pilar 3 e no ponto A da viga Vp e recebe a carga concentrada
~/; a reação no apoio A é
- a viga principal Vp está apoiada nos pilares I e 2 e recebe a força de cálculo A força
V" aplicada no ponto A. Vd é transmitida
(
A área da armadura de suspensão, AI .
= --Vd .
fwl
é a tensão de escoamento
AI' é dada por
7
'
(
(
à viga principal através de bielas
inclinadas, conforme indicado na figo 6.8.1. Entretanto, essa força este) aplicada no banzo inferior da viga principal e é necessário transferi-Ia para o banzo superior. através de uma "armadura de
onde fl.d
(
(
igual a Vd;
suspensão".
(
em
( (
( (
(6.8.1)
( (
de cálculo do aço.
--C (
~~:
(
) }
1
) )
Curso de Concreto Armado
204
)
) ) )
)
Geralmente, a armadura de suspensão é dimensionada para a totalidade da reação de apoio Vd. Quando as duas vigas tiverem suas
I
) (6.8.2)
)
hs é a altura da viga secundária e hl' é a altura da viga
)
onde
)
principal (a viga que serve de suporte). A armadura de suspensão é constituída preferencialmente por estribos, devendo ser disposta o mais próxima possível do ponto de ligação entre as vigas. A armadura do banzo inferior da viga secundária deve ser ancorada na viga principal e deve ser colocada sobre a armadura do banzo da viga principal.
)
) )
6.9 - Armadura
205
de costura
No capítulo 4 foi mostrado que, em pisos de concreto armado, uma parte da laje colabora como mesa de compressão de uma viga T. Entretanto, para haver o funcionamento como viga T, essa parte da laje deve ser ligada à nervura da viga através de uma armadura, denominada armadura de costura. Considere-se um elemento infinitesimal tomado ao longo do eixo de uma viga T, como indicado na figo 6.9. I. Na seção S I atuam
faces superiores no mesmo nível, como indicado na figo 6.8.1, podese considerar uma força reduzida'i'!' dada por
)
Esforço cortante
I
o momento fletor de cálculo
A1 d e o esforço cortante de cálculo Vd
A resultante de compressão no banzo superior de concreto é Rcr' a força
de tração
na armadura
longitudinal
é Rsd
82
81
Na figo 6.8.2, indica-se a região onde a armadura de suspensão pode ser distribuída':".
Md+6Md
h/2>b/2
)
14
: hi2>b/2 .1
.:~ I
) )
--C\I
) )
..Q
o.
A C\I
(fJ
)
)
..r:
-}-f--I--- --1---1--1 • • •
1)
Md(VJ
) )
• • •
}
e o braço de
alavanca é Z .
)
)
.
I~
i !
Vd+6Vd
dx ·1
I Ree
E~z
RSd
RSd+6Rsd
r
)
)
Ree+6Rce
Fig. 6.9.1 - Esforços em um elemento de viga
) ) ,)
!
Fig. 6.8.2 - Distribuição da armadura de suspensão
J
I
)
Do equilíbrio de momentos fletores na seção SI, tem-se
í
-"
(6.9.1 )
.J
"
(
( ( (
206
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
207
( (
Analogamente,
M d onde 11M d
>
M('('
a equação ele equilíbrio na seção S2 é dada por
+ 11M d = (R('c + Mc(')(Z
+ /).Z)
área-A,
(6.9.2) X
e t1.Z são variações infinitesimais.
Introduzindo (69.1) em (6.9.2) e desprezando do braço de alavanca, resulta
(
<>cd
a variação
Rcc=A<>cd
c
111I(
co o
t1.Z
(
( ( (
(6.9.3)
Z
(
z
d
/).R ('('= 11M __ (I
(
I",
e el
.•
(
RSd
onde
(
~ Mcc =..--..cc. dR l cxlx ax
t1.M
(
Fig. 6.9.2 - Tensões ele compressão no banzo superior A resultante ele compressão pode ser decomposta parcela, atuante na nervura, e em outras duas, atuantes
,.{= dM__,I CXI
(6.9.5)
dI;
Lembrando que Vd
(
(6.9.4)
= dM" / ds , a equação
(6.9.3) é escrita na
laterais de área
AI'
A resultante
abas laterais
R('I
= AICJcd
é
(
de compressão em cada uma das
(
(6.9.7),
(
e considerando
a equação
resulta
(
forma
_ AI
(6.9.8)
Rei --Ree
dRc(' = Vd dx Z
(
em uma nas abas
A
(6.9.6)
(
(
( Na figo 6.9.2, indica-se a seção T e a parte comprimida tensão constante profundidade
CJ('d
= 0,85f('d
da linha neutra,
com a
do bloco retangular de tensões. A é obtida no dimensionamento
XII'
armadura longitudinal, conforme apresentado A resultante de compressão,
da
Na figo 6.9.3, representa-se um segmento infinitesimal de uma das abas laterais da mesa de compressão. sofre uma variação
dx. Considerando
no capítulo 4.
/)'Rcl ao longo do comprimento
(.('
infinitesimal
( (
R(.(', é dada por
-AO' -
onde A é a área total comprimida
(
a equação (6.9.8), tem-se
( /)'R('I
R
RrI
Vd, a força ele compressão
Devido ao esforço cortante
('(
{
com a tensão constante
(
=~
(6.9.7) O'('d'
A
(6.9.9)
dRcr
dx dx
( (
o
equilíbrio
cisalharnento
só é possível
To nas ligações
na presença
elas tensões
entre a mesa e a nervura
ele
da viga,
.._(
( (
..!'I j
"JJ:
,.
)
t.~
)
-_._._-----------~--~..•... ---~--------------"!""!'~
)
) ) ) )
208
Esforço cortante
Curso de Concreto Armada
209
conforme é indicado na figo 6.9.3. A equação de equilíbrio é escrita na forma
(6.9.13)
) (6.9.10)
) )
o dimensionamento da armadura de costura é feito com base no modelo de treliça representado na figo 6.9.4.
onde hj é a espessura da mesa.
)
biela
)
) ) )
) ) ) ) ) )
) )
~I
Fig. 6.93 - Tensões de cisalhamento na ligação mesa-nervura
estribo
) ) )
I AI dRcc r =---() h A (XI
)
) ) )
Substituindo
Z
== O,90d e Vd
um trecho da viga de comprimento
ar igual ao
obtêm-se as seguintes
(6.9.14)
AI V r =--- d o A IlIZ
)
Considerando
espaçamento entre as bielas de compressão, equações de equilíbrio:
e considerando a equação (6.9.6), chega-se a
)
,
(6.9.11 )
r
) )
Fig. 6.9.4 - Treliça na mesa da viga T
Introduzindo a equação (6.9.9), obtém-se
(6.9.12) (6.9.15) = rll'dbll,d , resulta
·..~
..
I
(
,
( (
I
210
onde
Esforço cortante
Pc é a força de compressão na biela, FI é a força de tração na é a área de contato entre a nervura e a
aba lateral, na qual atua a tensão de cisalhamento
= ac sen () O'c
= F; / AI'
= hfho,
onde
a equação (6.9.14), a tensão na biela de '
I
é dada por
Ii
Asl
é a área
=__
I
a
(J,.::; .t~'d,., fixando()
restrição
= 45°
Fazendo
F,,.
=
(6.9.17)
S
.
Asl
= 1 llb
s
'
~ li' A
_
AI
.
(6.9.19)
A
ao
de
'11'11
cortante
Td
2
•
jwl
cm 1m
estribos
as equações
(6.9.13)
a (6.9.15)
verticais
AI
(
(
(
( ( (
( (
= 1,11rll'd
(6.9.24)
Neste caso, a tensão rd é calculada sem o fator de redução
( (
Te
e fixando
( (
( A armadura calculada deve ser maior que a armadura mínima, estabelecida na NBR-6118 como
obter a força de tração transversal
F,., = 1,1l-a,.b w'lI'd A
(
( (6.9.23)
é a mesma utilizada no com
(
(
empregado no dimensionamento ao esforço cortante, já que as bielas de compressão estão inclinadas a 45".
Considerando
() = 45° , pode-se
esforço
(6.9.22)
onde
rd dirnensionarnento (equação(6.4.3 ».
rwd j\"d
Ali' basta multiplicar a equação (6.9.22)
AlI - 1001711, ---
= O,27O:I·.t~d
(
(
(6.9.18)
r
que a expressão
(6.9.21)
por 100. Com isto, chega-se à expressão
AI b; --~'\I'{I - A h
(
(
«: f =-Açl. vd
Essa equação fornece a área de aço em um comprimento s da viga, sendo expressa em cm2/cm. Para obter a seção da armadura em
e
Observa-se
estribo,
(
(
onde
'11'11
de um
F.\, chega-se a
um metro de comprimento, 'ctI
transversal
(
( e
substituindo a expressão de To dada em (6.9.13), chega-se a
red ::; r!V1I
seção
-
(
(
(6.9.16)
sen () cos ()
c
Impondo
t0
da
considerados todos os ramos que fazem a ligação mesa-nervura, e s é o espaçamento dos mesmos ao longo do eixo da viga, a força de tração resistente é dada por
FI". (J
211
Essa força deve ser resistida pelos estribos colocados horizontalmente na mesa. Portanto, o cálculo ela armadura de costura segue os mesmos passos apresentados na seção 6.2. Se
é a dimensão normal à força (ver a semelhança com
a figo 6.2.3). Considerando compressão,
'o'
F; atua na área Ac
A força de compressão
ho
I
Curso de Concreto Armado
armadura de costura e a)lf
~
(
( (6.9.20)
A,r.l1lin
= I,Scm2/111
(6.9.25)
--C ( (
) ) )
)
Curso de Concreto Armado
212
)
) ) ) ) ) )
Observa-se que o di mensionamento da mesa de uma visa T é o análogo ao dimensionamento de sua nervura. A nervura é dimensionada ao esforço cortante, com o procedimento da seção 6.4. Desse dimensionamento, resultam os estribos verticais a serem colocados na nervura. Além disso, é necessário verificar as tensões de compressão inclinadas na mesa (equação (6.9.17» e calcular os estribos horizontais da armadura de costura (equação (6.9.23». Na figo 6.9.5, indica-se o detalhe das armaduras na seção T.
)
estribos horizontais de costura
)
k
)
I
1
6.10 - Lajes sem armadura As lajes podem desde que
ser executadas
sem armadura
valor limite. A tensão limite,
transversal,
'lI"d
seja menor
rH'ul'
depende da
resistência do concreto, da espessura da laje e da taxa de armadura longitudinal do banzo tracionado. A NBR-6118 dispensa o uso de armadura transversal nas lajes quando (6.10.1)
= Vd /(b ,d) ll
é a tensão convencional de cisalhamento,
Para lajes submetidas
)
de cisalhamento
a tensão con vencional de cisalharnento
que um determinado
onde rwd
)
213
Esforço cortante
)
'11'111
à flexão simples, tem-se
= k(1,2
+ 40PI
(6.10.2)
)rrd
) )
onde 'rd = 0,25f(,ld
)
do concreto, obtida por f('ld
)
Considerando
)
e adotando
) ) I
Trd
Fig. 6.9.5 - Armaduras da seção T
Na equação
)
)
Quando o dirnensionamento à flexão simples indicar que a mesa sozinha é capaz de resistir ao momento tletor solicitante,
)
resultará
)
Nesse caso particular, a relação entre as áreas AI e A que aparecem
)
nas equações anteriores é dada por
0,8x" :; hr,
onde
xl/
é a profundidade
)
(6.9.26)
I )
)
)
da linha neutra.
onde bl e b
r
são indicados
na figo 6.9.5.
= t,« .inf / Y(' .
as expressões
para
.f
k.inr
c1
dadas no Capítulo
1
Yc = 1,4, resulta
estribos verticais para o esforço cortante
)
' sendo f(,ld a resistência à tração de cálculo
= O,038(.rr-k f/3, (6.10.2),
PI
(6.10.3)
MPa
representa
a taxa
de armadura
longitudinal de tração que se estende até não menos que d além da seção considerada.
+ [b./le('
Quando a verificação é feita na seção do
apoio, PI representa a armadura que chega ao apoio e aí é ancorada, conforme indicado na figo 6.10.1. O coeficiente k que aparece na equação (6.10.2) tem os seguintes valores: - para lajes onde 50% da armadura inferior não chegam até o apoio: k = I ;
I
II 'I
( ·j.
( ~
(
1
~
- para os demais casos:
215
Esforço cortante
Curso de Concreto Armado
214
k = 1,6 - d 2': I ,onde
T\Vul
d é a altura
= 0,53 MPa
(
útil da laje em metros.
0= 9
,
J ~Id
será
~
Id
.
I~
As:I
bw
p1=A/(bwd)
= bl!'drl!"ul
Os esforços
=
rwul '
o esforço cortante de cálculo
I
bw=lOOcm,
solicitantes
nas lajes são calculados
para uma
d=7,5cm
e
2
T\I'/I1
=0,053kN/cm ,
resulta Vd.max
~
em kN/m. Logo, máximo esforço cortante de cálculo, para o qual ainda é permitido dispensar o uso de armadura transversal, é dado por
°
s 0,02
(
(
.
faixa de largura unitária, de modo que b.; = 1 m. Assim, adotando
Seção S
,
Vd.max
Tlvd
( (
= 1,53{1,2 + 40x0,1/100)xO,28
No limite, quando
(
( (
( ( ( (
Vd.max
Fig. 6.10. I - Definição da taxa de armadura longitudinal
=
I OOx7,5xO,O~3
= 39,8
kN/m
( (
O máximo esforço cortante característico
é
(
Exemplo: Considere-se uma laje retangular de um piso residencial cujo menor vão de cálculo é I = 5 m. A espessura da laje é h = 10 em e o concreto possui uma resistência característica à compressão
fck = 20 MPa. Determinar
a tensão de cisalhamento
limite
TII'II
I
Vk.Ill:1X
Vd .max
_
v
-
39,8 1,4
= 28,4
(
kN/m
(
1("
( Supondo que a laje é simplesmente a carga
para a dispensa da armadura transversal.
=
uniformemente
Pk
distribuída
apoiada nas quatro bordas, que corresponde
a esse
esforço cortante será sempre maior que 2Vj.; .1l13X /1 . Logo, Evidentemente,
TlI'ul
mínima
PIe
>
2Vk
.1l1ê1X
,
_
-
2 x 284,
5
= 11,4 kN/m-
?
PI = 0,1 %. Para a altura útil de uma laje nessas condições,
pode-se adotar d
=hTrd
2,5 = 7,5 em.
= 0,038(fck)'2/3
= 0,28
k = 1,6 -d = 1,6-0,075
MPa
= 1,53
Como resultou k > I , adota-se o valor calculado k = 1,53 .
( (
depende da armadura longitudinal da laje
(calculada para os momentos flerores), como indicado na equação (6.10.2). Entretanto, a favor da segurança, será adotada uma taxa
(
(
( (
Em uma laje do tipo considerado, a carga de serviço usual é da ordem de 5 kN/m2 (considerando o peso próprio, o revestimento e a carga acidental). Essa carga é muito inferior à carga limite e, portanto, não haverá necessidade de armadura transversal. Assim, nos casos correntes dos edifícios residenciais e de escritórios, a espessura das lajes é determinada pela flexão (para resultar armadura simples e para satisfazer os estados limites de utilização). Por isso, geralmente não é necessário verificar o esforço cortante no projeto das lajes maciças dos edifícios.
( (
( ( (
-( ( (
.",
) ) )
) ) )
Capítulo 7
) )
ANCORAGEM E EMENDAS DAS BARRAS DA ARMADURA
)
) )
) )
) ) )
)
) )
7.1 - Ancoragem
por aderência
A ancoragem das barras da armadura pode ser feita por aderência ou por dispositivos especiais, como placas de ancoragem. As ancoragens por aderência são mais baratas e por isso são sempre usadas, quando se dispõe de um comprimento necessário para as mesmas. Na figo 7.1.1, representa-se uma barra de aço solidária a um bloco de concreto e submetida a urna força de tração de cálculo Devido
à aderência
entre
o concreto
e o aço, surgem
Rsd'
tensões
)
tangenciais
)
força de tração na barra de aço é transferida ao concreto ao longo do
)
comprimento
'rb na interface entre os dois materiais. Dessa maneira, a
lb'
) ) )
) )
r
)
) Fig. 7.1.1 - Tensões de aderência
) ) ) )
)
As tensões comprimento
de aderência
de ancoragem
Til
são variáveis
'b. Entretanto,
ao longo
do
para efeito de projeto é
suficiente considerar o valor médio de cálculo f"d'
II. '1
I
_------J
t"f.;
Curso de Concreto Armado
218
Se a tensão na barra é igual à tensão de escoamento de cálculo
1
R.I'd
,
)
,."
\'1 I
)
onde rp é o diâmetro da barra.
o -+- x
(
~
(
(
I
(
--+
(
RSd
( (
~
(
+-
(
(7.1.2)
~
(
tração
(
onde Us = 7lrp é o perímetro da seção da barra. Dessas duas equações, obtém-se o comprimento de ancoragem
compressão
(
Fig. 7.1.2 - Trajetórias das tensões principais na ancoragem
'&
r/J
Ivd
(7.1.3)
=- .
4
.fbd
A expressão (7. J .3) fornece o menor comprimento necessário para que a barra de aço, com uma tensão igual a ancorada
por
aderência.
O
comprimento
lb
t «. é
possa ser
denominado
"comprimento básico de ancoragem". Da equação (7.1.3), verifica-se que uma forma de reduzir o comprimento de ancoragem consiste no emprego de barras de menor diâmetro. Se a área de aço efetivamente empregada for superior àquela exigida pelo cálcu 10, a tensão na armadura será inferior a
I,«. o
que também permite reduzir o comprimento
Por último, o comprimento
de ancoragem
maior for a tensão de aderência
.hd . O
de ancoragem.
será tanto menor, quanto
valor da tensão
f&d
depende
da qualidade da aderência, como será mostrado mais adiante. Na região da ancoragem, surgem tensões principais de tração e de compressão, cujas trajetórias encontram-se representadas na figo 7.1.2.
(
..~ ~
Essa força deve ser equilibrada pelas tensões de aderência que atuam na superfície de contato entre o aço e o concreto. Logo, a equação de equilíbrio é escrita na forma
= Rsd
(
(
+-
I
lI)bfbd
2J9
e emendas das barras da arnuulura
(7. J.I)
=A~/\'ll=4fw1
( (
Ancoragem
do aço, fvd ' a força R,d é dada por
:m/i
(
As tensões
de compressão
(5.\,
necessárias
(
ao equilíbrio,
propagam-se pelo concreto a partir da extremidade da barra, conforme indicado na figo 7.1.2. Na direção transversal à barra surgem tensões de tração, cuja resultante produz o esforço de tração transversal denominado esforço ele fendilhamento. O valor máximo do esforço de fendilhamento
é aproximadamente
igual a Rsd /4,
nos
casos de ancoragem por aderência':", Em virtude das tensões ele tração, surge sempre o risco de aparecerem fissuras longitudinais ou de fenclilhamento na região da ancoragem. Se o cobrimento ele concreto, c, for pequeno em relação ao diâmetro da barra, ele pode romper-se, como indicado na figo 7.1.3. Os efeitos desfavoráveis do fendilhamento podem ser eliminados quando existe uma compressão transversal na zona da ancoragem, como ocorre nos apoios diretos elas vigas. Se essa compressão não existir, é necessário colocar uma armadura transversal, ao longo do comprimento de ancoragem, capaz de absorver os esforços de fenclilhamento.
( ( ( ( ( (
( ( ( (
( (
( -( ( (
____ ~~----------~J
)
)
2Ç a
)
i 1
)
Curso de Concreto Armado
Ancoragem e emendas das barras da armadura
)
Por isso, a NBR-611 8 exige que, à exceção das regiões sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência sejam confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concreto. Neste último caso, é necessário que o cobrimento da barra ancorada seja maior ou igual a 3t/l e que a distância entre barras ancoradas também seja no
)
mínimo igual a
ao corte, o que permite uma ligação efeti va entre o aço e o concreto. A aderência mecânica também ocorre nas barras lisas, devido a irregularidades superficiais sempre existentes, porém o seu efeito é bem menor que nas barras nervuradas. A resistência da aderência é determinada em ensaios de arrancamento, como ilustrado na figo 7.2.1.
220
221
) )
) )
3t/l .
)
) )
) )
concreto
fissuras
~ ~ ~I======~~--~.----11C
) ruptura do cobrimento
)
) ) )
'/
Fig. 7.1.3 - Fendilhamento
na zona da ancoragem
7.2 - Tensão de aderência
) ) )
) )
) )
) ) ) )
) ) ,)
Convencionalmente, a aderência entre o aço e o concreto é separada em três componentes: a aderência por adesão, a aderência pOI' atrito e a aderência mecânica. Essa separação serve apenas para ilustrar o fenômeno, pois não é possível determinar cada uma delas separadamente" J. A aderência por adesão decorre das ligações físico-químicas que se estabelecem no contato entre o aço e o concreto (efeito de colagem) durante o processo de pega do cimento. Esse efeito é destruído para pequenos deslocamentos da barra de aço e, portanto, dá uma contribuição muito pequena para a resistência da aderência. A aderência por atrito decorre do deslocamento da barra de aço em relação ao concreto. As forças de atrito dependem da rugosidade superficial da barra e das pressões transversais às armaduras. Assim, uma compressão transversal também é favorável pua aumentar a aderência por atrito. A aderência mecânica ocorre em barras nervuradas, através do contato direto entre o concreto e as saliências na superfície da barra. Nas regiões de contato, formam-se consolos de concreto solicitados
Fig. 7.2.1 - Ensaio de arrancamento
A barra de aço está ligada ao bloco de concreto comprimento
através do
de ancoragem 10 . A força de tração P é incrementada
até a barra ser extraída do corpo de prova. Durante o ensaio, mede-se o deslocamento relativo da barra de aço, ~, na extremidade indicada. A tensão de aderência média, Tb' é dada por
P
T, =--=-)
lI)o
P
Trt/l1o
(7.2.1 )
j
,
t&
""'I
( (
(
l
( Ancoragem
Curso de Concreto Armado
222
de
cálculo,
fbd'
é aquela
(
O valor último da tensão de aderência
que
corresponde a um deslocamento convencional da extremidade da barra, como indicado na figo 7.2.2. Observa-se que, para as barras lisas, a força última de ancoragem é atingida logo depois de vencida a adesão e iniciado o escorregamento. Por isso, as normas de projeto exigem o emprego de ganchos nas extremidades das barras lisas tracionadas.
de cálculo,
é
(
definido na NBR-6118 em função da qualidade da aderência. Essa qualidade é medida pela conformação superficial e pelo diâmetro das barras de aço, pela resistência do concreto e pela localização das barras na estrutura. Nos casos ele concretagem sobre formas fixas, consideram-se em uma situação ele boa aderência, os trechos elas barras que estejam em uma elas posições seguintes:
(
fbd'
t
Có
( ( (
(
1
_ horizontais ou com inclinação menor que 45" sobre a horizontal, desde que localizaelas no máximo 30 cm acima da face inferior da peça ou da junta de concretagem mais próxima, quando 11::; 60 em, ou desde que localizadas a mais de 30 em abaixo da face superior ou da junta de concretagern mais próxima, quando 11 > 60 em,
barr~adas
fbd-
u
(
j _ com inclinação não inferior a 45° em relação a horizontal;
'Cb
(
(
para as barras nervuradas, de aderência
223
7.3 - Tensão última de aderência
Na figo 7.2.2, indicam-se as relações entre a tensão de aderência, Tb' e o deslocamento relativo, .6., para as barras lisas e A tensão
e entendas dos barras da armadura
Os trechos das barras em outras posições, e quando do uso de formas deslizantes, devem ser considerados em uma situação de má
( 11
'
( ( !
O,1mm
os
casos
possíveis
para
fi)(!
A resistência da aderência depende, ainda, da posição das banas de aço na estrutura. Barras verticais estão sempre em uma posição favorável, enquanto que barras horizontais podem estar em uma situação desfavorável, dependendo de sua localização. Devido à sedimentação do concreto fresco, pode ocorrer um acumulo de água sob as barras horizontais, com a consequente formação de vazios na parte inferior das mesmas. Por causa disto, a resistência da aderência fica reduzida.
= '71772'70,
r
I
O valor de cálculo ela tensão última de aderência é obtido com o emprego da expressão
Fig. 7.2.2 - Relação tensão de aderência - escorregamento
( (
Na figo 7.3.1, são ilustrados concretagem sobre formas fixas.
11•
( (
aderência.
I
(
(7.3.1)
f~ld
11
I
(
( , (
( ( (
onde fcrd é o valor de cálculo da resistência à tração do concreto,
(
obtido a partir da resistência
e os
(
TJ levam em conta os demais fatores que influenciam na
(
coeficientes
resistência da aderência.
característica
inferior
felk.inf'
( (
(
1
(
)
I
')
J
)
) )
224
Curso de Concreto Armado
Ancoragem
e emendas das barras da armadura
225
)
® boa aderência
@
má aderência
.f~'!I,.inf
rc
M
I!l...::=====~,i Igp P21 E
)
B
)
onde
l
resistência
)
E <.> O
)
coeficiente de mineração da resistência do concreto. escrever
à compressão
co 1\ .c
Considerando pode-se escrever
5
de cálculo do concreto
fe1k.inf ~
O
f:3;G~-'-------!, (') ,,
.t~k dada
as expressões _
'1 ,
Considerando
(7.3. I) em termos da
a expressão
adota-se a relação entre .f~.tk .inf e
M
)
O
É conveniente
)
)
re é
(7.3.2)
=---
fe/d
no capítulo I.
(1.3.1) e (1.3.2) do capítulo
0,21frk
os valores
Para isto,
fed'
2;:'
I,
(7.3.3)
' MPa
'71 = 2,25 (para barras nervuradas),
'h = 1,0 (para situações de boa aderência), ']o, = 1,0 (para barras com
)
)
lembrando que
J., = r.t,«. chega-se
à expressão
Fig. 7.3.1 - Posições de boa e de má aderência
)
(7.3.4) Esses coeficientes
j
.> ) )
têm os seguintes valores:
= 1,0 para banas lisas (CA-25 e CA-60 liso); 771 = 1,4 para barras entalhadas (CA-60 entalhado); 771 = 2,25 para barras nervuradas (CA-50 e CA-60
A expressão (7.3.4) é válida para barras nervuradas em uma situação de boa aderência, desde que
771
Considerando nervurado);
as situações de boa aderência, a tensão de cálculo
772 = 1,0 para situações de boa aderência;
.t,bd -
772 = 0,7 para situações de má aderência;
}
773
= 1,0
) )
) 'I >
para barras de diâmetro
132-
100
(com 32 mm.
A resistência à tração de cálculo é dada por
apenas os casos usuais em que
= 1,00 para entalhadas e k = 0,44
onde
k
" O42(t:. cd )2(>'
1\,
barras
nervuradas,
'
.tixf
é dada por
(7.3.5)
MPa
k
= 0,62
para
barras
para barras lisas.
Para as barras em situações de má aderência, a expressão (7.3.5) deve ser multiplicada por 0,7. Logo, o comprimento de ancoragem será 43% maior para as barras em posições de má aderência.
fI~
(
.,
( (
,
226
Ancoragem
Curso de Concreto Armado
e entendas das barras do armadura
(
227
( 7.4 - Comprimento de ancoragem reta
As barras constituintes de feixes devem ter ancoragem sem ganchos, e devem atender às seguintes condições:
Quando a área de aço efetivamente for
superior
à área
de
aço
exigida
adotada no projeto, pelo
cálculo,
reta,
Ase'
As.cal'
a) quando o diâmetro equivalente do feixe for menor ou igual a 25 111m,o feixe pode ser tratado como uma barra única, de diâmetro
o
comprimento de ancoragem pode ser reduzido, já que a tensão na armadura é inferior à tensão de escoamento. Nesses casos, o
r/J11' valendo todas as prescrições para ancoragem de barras isoladas;
comprimento
b) quando o diâmetro equivalente for maior que 25 mm, a ancoragem deve ser calculada para cada barra isolada, defasando as suas extremidades para reduzir os efeitos de concentrações de tensões de aderência; essa defasagem das extremidades não deve ser inferior a 1,2 vezes o comprimento de ancoragem de cada barra isolada; .
de ancoragem necessário,
A.Lcal
''',1lec
== 1" ---
'''.Ilec'
é dado por
~ l".min
(7.4.1 )
Ase
( I
I I
(
I'
1
I!
, ,
( ( ( \
(
onde l" é o comprimento básico de ancoragem, obtido' da relação
r/J
c) quando, por razões construtivas, não for possível proceder como recomendado no item (b), o feixe pode ser tratado como uma
f\'(I
1----
Em geral, na transformação número de barras de
dado Ase
>
As.cal . Logo, o comprimento
barra única de diâmetro
(7.4.2)
b - 4 f"d
armadura transversal adicional na região da ancoragem.
o
da área de aço calculada em um determinado diâmetro, resulta
comprimento de ancoragem das barras comprimidas também é calculado com a expressão (7.4.1). Nesses casos, as barras só podem ser ancoradas com ancoragem reta.
de ancoragem, dado na equação
(7.4.1), será menor que o comprimento
básico lb' No entanto, se a
7.5 - Barras com ganchos
escolha dos diâmetros das barras é feita com cuidado para evitar desperdícios, a diferença entre 11> e l",1lec será pequena.
Uma maneira eficiente para reduzir o comprimento de ancoragem consiste no emprego de barras com ganchos de extremidade. Nesse caso, lima parcela da força na barra de aço é transmitida ao concreto por meio das pressões de contato no trecho curvo da barra, conforme é indicado na figo 7.5.1.
De qualquer forma, para evitar a adoção de valores muito baixos para o comprimento de ancoragem, a NBR-6118 exige um comprimento mínimo, dado por
A tensão de compressão
(7.4.3)
l".min ~ 0,31" ; 10r/J ; 10 em
tensão na armadura,
diâmetro
r/Jo'
para um feixe de
o diâmetro equi valente é
II
a.H/,
a('h
do diâmetro da barra, r/J, e do raio de
ach
barras de
r/J11== r/Jo,J;; .
== k, ~
a,wl
onde k, é um fator ele proporcionalidaele.
j
(
, (
no plano do gancho depende da
dobramento, R. De lima forma simplificada, representada por
No caso de feixes de barras, o comprimento básico de ancoragem lI> é calculado considerando-se o diâmetro do círculo de mesma área do feixe. Por exemplo,
r/J11; neste caso, é obrigatório o emprego de
essa tensão pode ser
( ( (
(7.5.1 )
(
--C (. (
,.
i
.:J,
•. ,'~
)
~
'J ) )
228
Ancoragem
Curso de Concreto Armado
e entendas das barras da armadura
229
)
mll111110Sindicados na fig.7.5.2. Para as barras lisas, os ganchos deverão ser sempre semicirculares. Nos ganchos dos estribos, os comprimentos mínimos são de 5rjJ ~ 5 em para o Tipo I e o Tipo 2 e de I OrjJ ~ 7 em para o Tipo 3.
)
)
C
O
Este último tipo de gancho não deve ser utilizado barras e fios lisos.
) ) :::
)
B
J.~
i
I
A __
-11 ---. Cisd
) )
ct ~8$1LL
) Fig. 7.5. I -Tensões de contato no gancho
) }
3 ) )
)
A ancoragem é feita através do trecho reto AB, onde atuam as tensões tangenciais de aderência, e do gancho BC. O trecho reto CD não colabora na ancoragem, servindo apenas para aumentar a rigidez à flexão do gancho, impedindo que ele se abra quando solicitado'<". Resultados experimentais revelam que o trecho CD fica comprimido, embora a barra esteja submetida a uma força de tração. Logo, de nada adianta aumentar demasiadamente o comprimento do trecho CD. Além das tensões
) )
) )
) )
)
de compressão
CY('fJ
no plano do gancho,
surgem tensões transversais de tração que podem provocar o fendilhamento do concreto. Observa-se que a tensão no concreto na região do gancho é tanto menor, quanto maior for o raio de dobramento. Assim, para manter o mesmo nível de tensão no concreto, o raio de dobramento deverá ser função do diâmetro da barra e da categoria do aço (expressa na tensão CY.\·d ). Segundo a NBR-61 18, os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser semicirculares (Tipo 1), em ângulo de 45\) (Tipo 2) ou em ângulo reto (Tipo 3). As extremidades retas desses ganchos devem ter os comprimentoS
Tipo 3
Tipo 2
Tipo 1
)
para estribos de
Fig. 7.5.2 - Tipos de ganchos Os diâmetros míni mos de dobramento dos ganchos e estribos exigidos pela NBR-6118 são indicados na tabela 7.5.1. Tabela 7.5.1 - Diâmetros mínimos de dobramento (ganchos e estribos) Bitola
CA-75
CA-50
CA-60
rjJ< 20
4~
5~
6rjJ
rjJ~ 20
5rjJ
8rjJ
Para estribos de bitola não superior a 10, o diâmetro mínimo ele dobramento é igual a 3rjJ . As barras lisas tracionadas devem ser ancoradas com gancho, obrigatoriamente. Porém, as barras que forem sempre comprimidas devem ser ancoradas apenas com ancoragens retilfneas, pois os ganchos aumentam o risco de fendilhamento na extremidade da barra. Nas barras sujeitas a esforços alternados de tração e de compressão, eleve-se fazer a ancoragem sem ganchos. Não é recomendado o emprego de gancho para barras de ~ > 32 mrn.
i I
(
y..
..~
( (
( 230
Ancoragem
Curso de Concreto Armado
e emendas das barras da armadura
231
( ("
Para levar em conta o efeito favorável comprimento de ancoragem pode ser reduzido ancoragem reta, como indicado na figo 7.5.3.
do gancho, em relação
Devido
o à
espraiamento
das
tensões
compressão (
(
desnecessárias em uma seção situada a uma profundidade x do topo da sapata ou do bloco (ver capítulo 8 do Volume 4). Ou seja, as armaduras podem ser efetivamente ancoradas na região superior do bloco':'!'. Entretanto, por prudência, procura-se garantir que a sapata ou o bloco permitam que as barras do pilar tenham um comprimento
( ( (
de ancoragem mínimo igual a 0,611>' aproximadamente.
~ Nd r:..::.:::L. __- //
de
do esforço normal N d ' as armaduras do pilar já seriam
decorrentes
y\
(í
ao
:
~ Nd
F1Sd
---.
X
I
Ib.nec /
V
Fig. 7.5.3 - Ancoragem de barras tracionadas com ganchos Segundo a NBR-61 18, o comprimento ancoragem com gancho, 11>.111'(" é dado por
do trecho
I I I / I / / I /I
\ , ' \ \
I ,
\', \
'' \
-
,~
CIIrJ
reto da
Sapata
o " ~1\
..c
I 11 / /1 / 1/
V /; I,
t
Bloco
,""
-, -, -,
",", I
o 11 1\
t
Fig. 7.5.4 - Ancoragem das barras de arranque dos pilares _
A~.('{/I
'b.lIec - a"b
>
.
(7.5.2)
-lb.Jl1JJl
mesmos
Observa-se que as extremidades das barras do pilar são dobradas com ganchos a 90° e apoiadas sobre a armadura horizontal da sapata ou do bloco. Se a armadura do pilar estiver comprimida, ela será ancorada no seu trecho superior, de modo que o gancho estará livre de tensão. Assim, não se está fazendo uma ancoragem de barras comprimidas com gancho, pois o gancho tem a única finalidade de facilitar o posicionamento das barras do pilar. Por outro lado, se algumas barras do pilar esti verem tracionadas, devido à presença de momentos f1etores, o gancho
Uma situação excepcional ocorre na ancoragem das barras de arranque dos pilares dentro das sapatas ou dos blocos de fundação rígidos. Nesses casos, a carga do pilar é transferida para o solo ou para as estacas, através de bielas de compressão inclinadas, como está indicado na figo 7.5.4.
entrará em ação, permitindo que se adote 'b.II('(' == 0,61b (neste caso, tem-se a superposição dos efeitos favoráveis do gancho e de um grande cobrimento de concreto). Devido à ampliação da área carregada dentro da sapata ou do bloco, a tensão na armadura do pilar diminui muito rapidamente com a profundidade x, como se mostra na figo 7.5.5 para um pilar de
AI'"
o coeficiente a, = 0,7
ai tem os seguinte valores:
se o cobrimento de concreto na direção normal ao plano do
gancho for maior ou igual a
a,
= 1,0 se o cobrimento
Os demais termos apresentados anteriormente.
39 ;
for menor que na
equação
39. (7.5.2)
são
os
< (
(
( (
~ (
( (
( (
,.
_1 (
j
(
)
)
--~------------~~ ,
) ) ) ) )
""""'-
232
Curso de Concreto Armado
seção quadrada armadura p .
Ancoragem e entendas das barras da armadura
Topo da sapata
)
O
)
2
)
a
..-..
)
E ~ x
)
.D
6
Ib,nec=lb,min
8
a>
-o Cü
)
10
i
:2
-o
)
c
12
'+o
14
::I
)
o, l-
)
Fig. 7.5,6 - Ancoragem das barras de arranque do pilar nos blocos sobre uma estaca
18
7.6 - Outros fatores de redução do comprimento de ancoragem
) O
)
I
0,0
0,1
0,2
0,3
)
0.4
0,5
Relação
)
)
1,0
Conforme se observa na figo 7.5.5, a uma profundidade inferior a 5 em, a tensão (J's nas barras do pilar já é menor que
O,3f\'d'
)
A armadura
necessária
bastará adotar o comprimento
nessa seção é As.ml
de ancoragem
todo
)
carregada, quando o diâmetro
o lb.l/ec'
mínimo lb.min ' Assim,
pois só ocorre uma pequena
ampliação
Além dos ganchos, permite-se considerar outros fatores de redução do comprimento de ancoragem. Dentre os fatores favoráveis para a ancoragem incluem-se a colocação de barras transversais, soldadas ou não, o emprego de maior cobrirnento de concreto e a existência de pressão transversal na região da ancoragem. No caso do emprego de barras transversais soldadas à bana que está sendo ancorada, devem ser obedecidas as seguintes condições, conforme a fig. 7.6.1 :
= O,3Ase'
a partir dessa seção,
a adoção do critério indicado na figo 7.5.4 fica a favor da segurança. Nos blocos sobre lima estaca, deve-se garantir a ancoragem de
)
'\
0,8 0,9
Gs/fYd
Logo, se as barras do pilar forem ancoradas
)
0,7
Fig. 7.5.5 - Variação da tensão nas barras do pilar dentro da sapata
da área
(jJ da estaca é maior que a largura (/
do pilar, como se observa na figo 7.5.6.
"
0,6
) )
t
16
)
)
a
o a> c
4
)
233
com 20 em de lado e dois valores da taxa de
)
)
I
a)
O
diâmetro
(jJ, da barra soldada deve ser maior ou igual a 0,6(jJ,
sendo (jJ o diâmetro da barra que está sendo ancorada; b) a distância da barra transversal deve ser maior ou igual a Sr/J ;
ao ponto de início da ancoragem
c) a resistência ao cisalhamento da solda deve superar a força mínima de O,3Asfrd (isto é, 30% da resistência da barra que está sendo ancorada).
(
·:;.
234
(
( Ancoragem e emendas das barras da armadura
Curso de Concreto Armado
(
235
(
~. I~()""""
~t~O,6
I
()
.......•
•
~5 ~
Coeficiente
barras retas, sem gancho
Ib,nec
l'
a'l : Barras
Coeficiente
(
ai = 1 se
(
transversais
---.
Ib,nec
t~5~l
soldadas
(
=0,7
(
a2
aO,: Cobrimento
das armaduras
ao =1-015-.'
com barras transversais
Segundo o CEB/90, o comprimento dado por 'b,ner
= ala2a3(;(+cx5Ib
soldadas
barras com gancho ou laço
,
'b.min
Coeficiente
(7.6.1)
a4 : Barras transversais
rjJ
a4 =J
-kÀ
com 0,7::; Coeficiente
Os cinco coeficientes introduzidos na equação (7.6.1) levam em conta os seguintes fatores favoráveis para a ancoragem:
as:
as
(
= 1-0,04p
(
Ao
usar
a
tabela
7.6.1,
deve-se
impor
a
restrição
ao,a4aS ;:::0,7 .
a4: efeito de barras transversais não soldadas;
No caso de ancoragem de barras comprimidas,
da pressão transversal. de redução para barras tracionadas
al e as são permitidas. Neste caso, deveai = aO, = a4 = J . Os coeficientes al e aS são os
mesmos indicados na tabela 7.6.1. Da tabela 7.6. J, observa-se que barras retas com cobrimento ld superior ao diâmetro rjJ permitem redução (CX3 < J ). No caso de I
...L
"
( (
só as reduções
relativas aos coeficientes se considerar
Os valores dos coeficientes são dados na tabela 7.6.1.
(
( soldadas;
a3: efeito do cobrimento das armaduras;
as : efeito
II
(
0,7::;as < 1
ai : efeito de gancho ou laços; a2 : efeito de barras transversais
a4 ::; I
p em MPa
Pressão transversal
barras retas, com gancho ou laço
aO, s 1
não soldadas
barras retas, com gancho ou laço
se
(
a3 ::;1
'
com 0,7::;
As,m/
(
rjJ
a, = 1- O 15 cd - 3rjJ .
de ancoragem necessário é
-A--;:::
(
cd -rjJ
barras retas, sem gancho
com 0,7::; Fig. 7.6.1 - Ancoragem
(
cd ;:::3rjJ cd < 3rjJ
ai =0,7 se
barras retas, com gancho ou laço Coeficiente
,
(
ai =1
~
0---'
(
ai: Forma das barras
barras com gancho ou laço
-::: I
(
Tabela 7.6.1 - Coeficientes de redução do comprimento de --------..-.----r---- barras tracionadas
(
( ( ( ( ( (
.,·fJ:!,.
.~ .'
) f
)
f
)
-'------------~----------------------~
) )
236
Curso de Concreto
Ancoragem
AI'/I/{{do
) )
)
banas
com gancho, esse cobrimento
considerar
39
Na figo 7.6,2, indica-se a determinação
do cobrimento
entendas dos barras da armadura
para se
As
aI e a3 se cd
i".
-~
sobrepõem
) )
deve ser superior a
essa redução, Nesse caso, os coeficientes
I'
M
A /
st
para
banas retas, ganchos e laços horizontais,
k=O,1
I
I
I I I
I I
k=O,05
ganchos
barras retas
Fig. 7.6,3 - Valores do coeficiente
laços
k
)
Nas ancoragens de telas soldadas compostas por fios lisos ou com mossas, podem-se adotar os mesmos critérios de barras nervuradas, desde que o número 11 de fios transversais soldados ao longo do comprimento de ancoragem atenda - a relação
)
n 2: 4As.co/
) )
) Fig. 7.6.2 - Determinação
) ) )
o coeficiente
do cobrimento
A que aparece na expressão de a4 (ver tabela
7.6. I) é dado por
No capítulo anterior, foi mostrado que, em decorrência das fissuras inclinadas, a força na armadura longitudinal de tração em uma seção transversal da peça é proporcional ao momento fletor solicitante em uma seção vizinha, dela afastada de uma distância
A=
)
L As/ - I A.
I·l.min
) )
(7.6.2)
AI
Assim, nos apoios de extremidade deve-se considerar tração na armadura longitudinal dada por
L
)
dispostas ao longo do comprimento
)
LA
)
O,25As para vigas e
)
As é a área da barra ancorada de maior diâmetro.
As/ é a área
s/.l11m
da seção
das barras
é a área mínima
°
transversais
)
) '\
uma força de
de ancorazem .:> da armadura
(7.7.1)
não soldadas
11.o.nec . r
transversal,
igual a
onde Z é o braço de alavanca, que pode ser tomado como sendo aproximadamente igual à altura útil d da seção transversal da peça. O incremento de momento, t:.M d
para lajes;
'
é igual a (7.7.2)
)
)
ai'
onde
)
)
/ A5(, .
7.7 - Ancoragem em apoios de extremidade
cli
)
,
I
k=O
) )
237
Os valores do coeficiente
k para a determinação de
lZ4
são
indicados na figo 7.6.3. Esse coeficiente depende ela posição da barra ancorada em relação à armadura transversal não soldada.
onde
Vd é o esforço cortante de cálculo (igual à reação de apoio).
Assim, a força a ser ancorada nos apoios de extremidade vigas e das lajes é dada por
das
I
'"
(
.::
(
-~~~~-~~-----~--~--~~~._._----238
Curso de Concreto Armado
Ancoragem
e emendas das barras da armadura
onde
a,
239
= dVd
(7.7.3)
'h.lIfC
-l
(
( (
>fR+S,S(,Ó
{lI
Rl'il
(
(7.7.5)
6cm
( (
é obtido da equação (659) do capítulo anterior.
Portanto, do comprimento
a armadura calculada,
As.cal'
= Rsd
é (7.7.4)
/ fYd
(,Ó
o diâmetro da barra e R o raio de dobramento do gancho.
e Ase é a armadura que realmente chega ao apoio.
o
comprimento de ancoragem é medido a partir da face do apoio, conforme está indicado na figo 7.7.1.
(
+ 5,5(,Ó tem por finalidade garantir que o início da
(
curva de dobramento do gancho fique dentro da região do apoio, conforme indicado na figo 7.7.2. O trecho reto que é exigido antes do início da dobra de ancoragem tem por finalidade evitar que o gancho atue à plena carga, possibilitando o fendilhamento do concreto. Na verdade, o gancho sozinho é capaz de ancorar toda a força de traç50(2.2Il. Em virtude da compressão transversal existente nos apoios, esse trecho reto pode ter apenas o comprimento indicado na equação (7.7.5). O mesmo não ocorre se o gancho terminar fora do apoio e, neste caso, o comprimento mínimo do trecho reto é dado na equação (7.4.3).
(
(
face do apoio
(
O limite R
para a determinação
de ancoragem nos apoios de extremidade, A\".c({1
sendo
( ( (
( (
(
I
~ 'b,nec
~I
,
r;ooc 1
d
(
R),
~//
(
I I I
Il.~ t
Vd
( RSd
1-+
(
4,5~
( (
R+5,5~ ~ 6 em ~
(
~
(
Fig. 7.7.2 - Gancho nos apoios de extremidade Fig. 7.7.1 - Ancoragem em apoio de extremidade O comprimento (7.6.1), considerando-se
de ancoragem
Ib.lI{'c
( Quando o apoio de extremidade
é obtido da expressão
resultar I b.nec
os fatores de redução indicados na tabela
>
'IJ.1lisp ,
onde
'b.llec
da viga for estreito, poderá
é o comprimento
de ancoragem
7.6.1. No caso de ancoragem reta, o valor mínimo 'b.min é dado na
com gancho, respeitados
equação (7.4.3). Porém, quando a barra termina em gancho no apoio, deve-se verificar que
comprimento disponível dentro cio apoio. Neste caso, não é possível fazer a ancoragem com gancho. Uma alternativa para fazer a ancoragem é o emprego de grampos adicionais, conforme indicado na figo 7.7.3.
j
os limites da equação (7.7.5), e
lb.disp
é o
(
(
( (
( ( (
j
) )
------------------~---------------------------------------
)
I
) )
240
Ancoragem e emendas das barras da armadura
Curso de Concreto Armado
241
)
grampos diâmetro
) )
de <1>1
/
AI
)
)
I
)
:I -l
g
}
/
/
FSd
d
•
Ib,disP
I
)
I
r
T,-.-
_
)
----E;:JR Ib,nec
) _--
) )
)
)
~
Fig. 7.7.3 - Grampos de ancoragem em apoios de extremidade de pequena largura Os grampos devem Fsd dada por
ser dimensionados
) F sei = R sd
)
(1-
para a força mínima
A
J
Rsd,17
Ib,{Ii.~p
(7.7.6)
força onde
)
chega ao apoio. Desse modo, Asl
)
) ) )
Rsd
é a força total na armadura longitudinal
= Fsd / t«.
empregado
como
os
onde
grampos fl'd
grampo.
deverão
ter
área
é a tensão de escoamento O comprimento
de
Fsd
de tração que
lima
_ r/JI f\'{I
b.1
-4-r.I bd
= Rsd
não
(1-lb,diSP
/Ib.nec)·
ancorada Essa
Fc
= R sdn
= Fc cos (J
/ COS (J. A resultante
é
força
dos
a
transferi da
aos
a qual está submetida
à
de tração nos grampos
é
, de onde resulta a expressão (7.7.6).
Considere a viga biapoiada indicada na figo 7.7.5. A viga se apoia nos pilares Pl e P2, ambos com 20 cm de largura. O vão livre é
(7.7.7)
10 = 580 em e o vão de cálculo, definido como
a distância entre os eixos dos pilares (l = 6 m). A viga é solicitada por
)
distribuída
Pk
= 20 kN/m.
= 600
de apoio, é I uma carga de
)
onde r/JI é o diâmetro da barra dos grampos.
uniformemente
)
A expressão (7.7.6) é obtida do modelo de biela e tirante representado na figo 7.7.4.
transversal também são indicadas na figo 7.7.5. O concreto
)
possui
longitudinal é oCA-50.
) )
é
igual
Exemplo:
grampos, Ib.l' marcado a partir da face do apoio, é dado por /
força
total
do aço
ancoragem
~
grampos através da biela de compressão,
lb.nec
)
------------
Fig. 7.7.4 - Modelo de biela e tirante para ancoragem com grampos em apoios de extremidade
)
)
Rsd
sd,n
-<~---------------
)
_"
fck
= 30 MPa
As dimensões e o aço
em serviço
da seção
da armadura
",< ,~
(
( ( 242
Curso de Concreto Armado
Ancoragem
e emendas das barras da armadura
(
243
(
p1I,Ir-----20
~14
.U
I I I
_
I .I~O I I I
'
Pk=20 kN/m
1=600
~
61wr
l,l P2
L=Fi80 em
I
I
rq -
20 ~ ~ seção transversal
em
(
ser cortada, ficando com um comprimento reduzido, e as outras duas barras passam corridas de apoio a apoio. Todas as três barras da viga devem ser ancoradas. Para a barra mais curta, deve-se fazer uma ancoragem no vão. Para as duas barras que passam corridas, devem-se fazer as ancoragens nos apoios de extremidade. Em todos os casos, tem-se ancoragem em zona de boa aderência. O estudo detalhado do escalonamento das armaduras das vigas é apresentado no Volume 2.
( (
( ( ( (
C) Ancoragem
no vão
(
~ Neste caso, a área de aço calculada
Fig. 7.7.5 - Viga biapoiada com carga uniforme
dimensionamento A) Dimensionamento
da armadura longitudinal
= 5,61
em".
(
à seção das três barras, isto é,
(
para o momento f1etor, ou seja,
A área de aço existente corresponde Ale = 6,03 crrr'.
(
é igual à área obtida no AS.tal
(
O momento f1etor máximo de serviço, no meio do vão da viga, é dado por
p,,'-
?
M ,,=--=
- resistência
9
8
(
da aderência:
(
OkNm.
- i",
L
1,4
cd -
Dimensionando a seção da viga para esse momento resulta As 5,61 cm2 (armadura simples).
= 16 mrn,
( (
fletor,
=
Armando a viga com barras de
= 1,4 30 = 21,43MPa
ibd = 0,42(.rcd
tem-se:
- comprimento
2
fi:'
=0,42(21,43
?/:.
(
=> ibd =3,24 MPa
( (
básico de ancoragem:
- área de uma ban·a: Asl = 1C
(
4 , ' . - numero de balTaS necessanas: - área de aço adotada: As,adol
II
5,61 =,2 79 = -2,01
= 3x2,0 1 = 6,03
'/J
=> 17 = 3 barras
crrr'
onde
fVd
_~
=4Fbd J
4
= 500/1,15 = 434,8
434,8 3,24
=> fb ==S4cm
(
( MPa é a tensão de escoamento
(
de
(
cálculo do aço CA-SO. B) Escalonamento
das armaduras longitudinais
( - comprimento
Uma vez que o momento fletor solicitante diminui em direção aos apoios, não há necessidade de passar as três barras corridas em toda a extensão da viga. Para economizar no consumo de aço, podese fazer o escalonamento das armaduras. Neste caso, uma barra pode
mínimo ele ancoragem:
( (
Para ancoragem no vão, reta ou com gancho, o comprimento mínimo de ancoragem é dado pelo maior dos valores i
I
(
(
(
)
I~
~'.;.
)
J ) )
244
Curso de Concreto
e emendasdas barras do annadura
AI/coragem
Al'IIlCIdo
245
) - armaduras nos apoios de extremidade:
O,3Ib = 0,3x54 = 16,2cm
) Ib.ll1in
)
2
1Oy? = lOx1,6 = 16cm
{
A área da armadura calcula nos apoios é dada por
lOcm
)
ai
)
Logo,
lb,min
ALcal
== 17 em.
Vâ
=-;; frd
)
)
- comprimento
de ancoragem
reta:
onde
)
ai
)
Ib,lIec
Al',cal
= lb
-A--
5,61 - => 6,03
= 54x-
se
) )
Como
Ib,lIec
>
lb.min'
adota-se
'b.llec
lb.llec
= 50
simplificação
= 50cm.
Vâ
- comprimento
de ancoragem
o comprimento
de ancoragem
= 17 em.
com gancho é dado na equação
)
gancho nas ancoragens situadas ao longo dos vãos das vigas, pois nem sempre é possível garantir o cobrimento de 3y? no plano normal
sendo
lb.min
ao gancho, devendo-se adotar
Entretanto,
ai
=
não compensa
1,0 como nas ancoragens
fazer o
) )
- comprimento
, como uma
I
84
43,48
=> A s.cal = 1,93 crrr'
A\.("o/
lb.llec
= 'iJ --
o comprimento D) Ancoragem nos apoios de extremidade
o
de serviço nos apoios de extremidade
Pk1 _ 20x6 Vk =~- 2 ') _
= 60
em'.
Ale
1,93
= 54x--
4,02
=>
mínimo de ancoragem
lb.l1ec
= 26 em
reta é
lb.min
=
17 em,
como foi visto anteriormente. Como
esforço cortante viga é dado por
= 4,02
de ancoragem reta:
retas.
Além disso, nessas regiões não há restrição de espaço para fazer a ancoragem, como ocorre nos apoios de extremidade.
kN.
) )
=-f
viga, tem-se A~e = 2x2,01
) )
=d
Como apenas duas barras de 16 mrn chegam até os apoios da
) )
ai
com gancho:
(7.5.2),
)
de momentos
. yó
)
)
do diagrama
na seção 6.5 do capítulo 6.
a favor da segurança. Desse modo, obtém-se
As.cal
)
)
horizontal
Para as vigas dos edifícios, pode-se adotar
em
)
)
é o deslocamento
fletores, conforme apresentado
O esforço cortante de cálculo é Vd = I,4Vk = 84kN.
da
lb.l1ec
>
'b.min ' deve-se adotar 'b.l1('c
= 26 em.
Observa-se que não é possível fazer a ancoragem reta, pois o pilar tem apenas 20 em de largura. Descontando 3 em do cobrirnento das barras (supondo a classe II de agressividade ambiental), sobram apenas 17 em para se fazer a ancoragem, o que é bem menor que lb.llec
=
26 em. Neste caso, deve-se fazer a ancoragem com gancho.
) ) '\
I
"..,
,I
k
(
( ( 246
Curso de Concreto Armado
Ancoragem
e entendas dos barras da armadura
247
( (
- comprimento de ancoragem com gancho:
prática, as barras seriam prolongadas adotando-se
As,cal lb nec = 0,71b -, Ase
= 0,7 x54x--
1,93
4,02'
=:>
lb nec
todo o comprimento disponível, ou seja, I b.nec
comprimento mínimo de ancoragem apoios de extremidade das vigas, é
onde
com gancho,
. >{81>=8XI,6=12,8 b,mlll
6
-
em
que o diâmetro de 'dobramento
=:>
l/J,min
=
Como resultou lb.nec > lb.min ' deve-se adotar
é
= 18 em.
Observa-se que, mesmo com gancho, não é possível fazer a ancoragem, já que o comprimento disponível é de apenas 17 em. Uma alternativa para resolver o problema seria o uso de grampos adicionais, como indicado na figo 7.7.3. Outra opção seria passar as três barras corridas por toda a extensão da viga (sem fazer escalonamento). Neste caso, a área de aço
ex.istente
nos
apoios
seria
Ase = 3x2,0 1 = 6,03
CI1l~.
O
comprimento de ancoragem necessário seria
lb,nec "
=
As.cal 0,71b -Ase
1,93
= 0,7 ,,1'54,,1'--....=:>
lb.llec
6,0"
= 12cm.
Assim, com a opção de três barras corridas, bastaria adotar o comprimento
mínimo de ancoragem com gancho
Ib,lIer
= 13
nas ancoragens
(
Conforme foi indicado na figo 7.1.2, na região das ancoragens surgem tensões de tração transversais que podem provocar o fendilhamento do concreto e, consequentemente, prejudicar as condições de ancoragem. O esforço máximo de fendilhamento ocorre no terço extremo do comprimento de ancoragem e vale aproximadamente 259c da força ancorada!". As tensões de tração podem ser eliminadas quando há uma compressão transversal à barra ancorada, como ocorre nos apoios das vigas. Entretanto, nos locais onde essa compressão não existe ou é insatisfatória, deve-se prever uma armadura capaz de resistir ao esforço de tração transversal. A armadura transversal deve ser distribuída
13 em
lb.llec
transversal
nos
R é o raio de dobramento do gancho.
I
( (
R +5,5rjJ :2: { 6cm
Da tabela 7.5.1, verifica-se igual a 51> . Logo, R = 2,51> .
= 17 em.
(
(
o
.
do pilar,
= 18cm 7.8 - Armadura
lb,ITIII1
até a extremidade
em. Na
ao longo do comprimento
de ancoragem
lb.llec
e deve ser
capaz de resistir a 25% do esforço de uma das barras ancoradas. Havendo barras de diâmetros diferentes, considera-se a barra de maior diâmetro. Em geral, a armadura transversal já existente, como os estribos para o cisalhamento ou a armadura de suspensão nos apoios indiretos, é suficiente para absorver o esforço de fendilhamento. Porém, quando a armadura longitudinal é disposta em várias camadas, é necessário prever uma armadura transversal adicional. Se os estribos já existentes tiverem um espaçamento pequeno (de no máx imo 10 em), a armadura transversal pode ser constituída por barras suplementares, como indicado na figo 7.8.1. Entretanto, é sempre preferível o emprego de estribos adicionais, de altura reduzida, envolvendo a armadura 10ngitudinal'"'I. Nas ancoragens das barras comprimidas, uma parcela da força é transmitida ao concreto através da ponta da barra. As pressões de ponta introduzem um esforço transversal de tração que pode romper o cobrimento de concreto. O esforço de fendilhamento (igual a 25% da força ancorada) deve ser resistido por estribos colocados ao longo do comprimento
lb.l1ec
+ 41>. Pelo menos um estribo deve ser
( ( ( (
( ( ( (
( ( ( (
( ( (
( (
( (
( ( (
( (
(
) )
) )
Ancoragem
Curso de Concreto Annado
248
e emendas das barras da armadura
249
) )
colocado
)
4çb além da extremidade
ao longo do comprimento
)
) )
)
(
)
)
)
barras suplementares
)
o
estribos de costura
)
) ) )
Fig. 7.8.1 - Armadura transversal nas ancoragens
) ) )
)
da
7.9 - Emendas das barras da armadura
barra, conforme está indicado na figo 7.8.2.
1
As emendas das barras da armadura devem ser evitadas sempre que possível. Quando necessário, as emendas podem ser feitas por traspasse, através de solda, com luvas rosqueadas ou com outros dispositivos devidamente justificados. As emendas com solda ou luvas rosqueadas exigem um controle especial para garantir a resistência da emenda. A emenda por traspasse é mais barata, por ser de fácil execução, e faz uso da própria aderência entre o aço e o concreto. De acordo com a NBR-6118, esse tipo de emenda não é permitido para barras de bitola superior a 32 (çb > 32 mm), nem para tirantes e pendurais (peças lineares de seção inteiramente tracionada). No caso de feixes, o diâmetro do círculo de mesma área, para cada feixe, não pode ser superior a 45 mm. Além disso, as barras constituintes do feixe devem ser emendadas uma de cada vez sem que, em qualquer seção do feixe emendado, resultem mais de quatro barras. Nas emendas por traspasse, a transferência da força de uma barra para outra se faz através de bielas comprimidas inclinadas, como indicado na figo 7.9.1. A distância livre entre as barras emendadas deve ser no máximo igual a 4çb.
) ) ) ) ) )
J:4
)
C:============:::J
)
1
)
) ) )
Fig. 7.8.2 - Armadura transversal nas ancoragens das barras comprimidas
Fi g. 7.9. I - Emenda por traspasse
---+
t.:.;.
( (
( 250
Curso de Concreto Armado
(
Ancoragem e entendas das barras da armadura
251
(
o
comprimento
do traspasse,
(
101, das barras tracionadas é
101 = aollb.l/e( onde lb,llec é o comprimento (7.6.1),
10\
I~
dado por
e aOI
;::::
de ancoragem,
onde lb é o comprimento
J
20cm
15@
(7.92)
-1 o,3a~Jb
Na tabela 7.9.1, são indicados os valores de aOI em função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção. Tabela 7.9.1 - Valores do coeficiente
Valores de
aOI
(
Da
25%
33%
50%
>50o/c
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
( (
Fig. 7.9.2 - Emendas na mesma seção
(
A NBR-6118 estabelece lima proporção máxima de barras tracionadas que podem ser emendadas na mesma seção, conforme a tabela 7.9.2_ Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, permite-se que todas as barras sejam emendadas na mesma seção.
alta aderência
OI
:::;20%
(
H, <0,210\
lisa
a
(
:---, , ,
Tabela 7.9.2 - P Tipo de barra
básico de ancoragem.
Porcentagem de barras emendadas na mesma seção
J
dado na expressão
condições na região da emenda, em relação à ancoragem de uma barra isolada. Segundo a NBR-6118, o comprimento mínimo da emenda de ban-as tracionadas é dado por
>
(
(7.9.1 )
;:::: lOI.min
1 é um coeficiente que leva em conta as piores
101.l1lin
~I
•
~
•••••
....,~
"C~~~
•••
_
••••••
de b
-
Situação em uma camada em mais de uma camada rp<16mm rp;::::16mm
o
comprimento
comprimidas,
do
dad d Carresamento estático dinâmico 100% 100% 50% 50% 50% 25% 25%
trecho
de
traspasse
25% das
barras
(
( ( (
( ( ( (
( ( ( (
(
loe' é dado por
( Consideram-se como na mesma seção transversal, as emendas que se superpõern ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 20% do comprimento do trecho de traspasse, conforme indicado na fig. 7.9.2. Assim, para reduzir o comprimento das emendas, elas devem ser distribuídas de maneira defasada ao longo do eixo da peça.
lor
= lb.nel"
;::::loc.min
(7_9.3)
( (
com o valor mínimo dado por
(
20Cm loc.l1lin;::::
{
lSrp 0,61/)
(7.9.4)
( (
( (
(
ii
)
..
-~
) ..... -.--
) )
Curso de Concreto Armado
252
Ancoragem
..---
.. -------------~_"lI
e emendas das barras da armadura
253
) ) )
Para as barras comprimidas,
O:oe = I, resultando
Zoe = 'b.lIl'c'
porque uma parte da força é ancorada pelo efeito de ponta.
) ) ) ) )
Na região das emendas por traspasse surgem esforços de tração que devem ser resistidos por lima armadura transversal. A armadura transversal melhora a ductilidade na região da emenda, evitando uma ruptura brusca por descolamento do cobrimento de concreto, como indicado na figo 7.9.3.
) )
,
,
I,
,
)
-_'I
I1
,"
/
c) Se a < I04J,
a é a distância entre as duas barras mais
onde
próximas de duas emendas na mesma seção, como na figo 7.9.2, a armadura transversal de costura deve ser constituída por estribos fechados, como indicado na figo 7.8.1. A armadura transversal deve concentrar-se extremos da emenda e seu espaçamento, medido na barras emendadas, não deve ser maior que 15 em. emendas de banas comprimidas, pelo menos uma barra transversal deve ser colocada ao longo do comprimento extremidade da emenda. Na figo 7.9.4, indicam-se as disposições transversais nas emendas por traspasse.
das
nos terços direção das No caso de da armadura 44J além da armaduras
) ) ) )
) ) ) )
) ) )
Ruptura do cobrimento pela falta da armadura transversal
Emenda costurada por armadura transversal
Fig. 7.9.3 - Ruptura do cobrimento na região da emenda de um elemento tletido De acordo com a NBR-6ll8,
a área da armadura transversal,
AS" é calculada com os seguintes critérios:
igual a fvd'
)
barra emendada. Em geral, a armadura transversal já existente por outras razões, como os estribos para cisalhamento, é suficiente para funcionar como armadura de costura.
)
b) Quando 4J 2: 16 mm ou quando a proporção de barras emendadas
)
na mesma seção for maior ou igual a 25%, a armadura transversal deve ser capaz de resi stir a 100% da força atuante em uma das barras emendadas.
) I
m m : . :
I
lotf3
I
I
~
lotf3
I
Barras tracionadas
:1
AI./ deve ser igual a 25% da área da seção de uma
)
)
r
~
ser capaz de emendadas. categoria da com tensão
)
)
Astf2
~
H
lo!
a) Quando 4J < 16 111me a proporção de barras emendadas na mesma seção for menor que 25%·, a armadura transversal deve resistir a 25% da força atuante em uma das barras Assim, se o aço da armadura de costura for da mesma armadura emendada, e se a armadura emendada está
~15cm
Barras comprimidas Fig. 7.9.4 - Armadura transversal nas emendas i
J
'f
~"":i
( (
"
C ( (
REFERÊNCIAS
(
BffiLIOGRÁFICAS
( (
( I. NEVILLE, A. M. Propriedades do Concreto. Salvador E. Giamrnusso, São Paulo: PINI, 1997. 2.: LEONHARDT, F; MONNIG, E. Construções de Janeiro: Interciência, v.l, 1977; v.3, 1978.
Tradução
de
de Concreto. Rio
3. EQUIPE DE FURNAS: Laboratório de Concreto. Concretos Ensaios e Propriedades. Editor: Walton PaceIli de Andrade. São Paulo: PINI, 1997. 4. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Code-modêle CEB/FIP pour les Structures en Béton. Bulletin d'Information 124/125, Paris, 1978. 5. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990. Published by Thornas Telford, London, 1993. 6. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR8953: Concreto Para Fins Estruturais - Classificação por grupos de resistência. Rio de Janeiro, 1992.
(
( ( ( (
( ( ( (
( (
( (
7. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR6118: Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, 2003. 8. SANTOS, L. M. Cálculo de Concreto Armado, v. I, 2. ed., São Paulo: Ed. LMS Ltda., 1983. 9. KUPFER, H.B.; GERSTLE, K. H. Behavior of concrete under biaxial stresses. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, v.99, p.852-866, Aug. 1973. IO.AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Requirements for Structural Concrete Conunentary (ACI318R-95). Detroit, 1995.
Building Code (A Cl 318-95) and
II.ARAÚJO, J. M. Modelos para previsão do modulo de deformação longitudinal do concreto: NBR-ól J 8 versus CEB. Revista Teoria e Prática na Engenharia Civil, Rio Grande: Ed.
( ( (
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256
Dunas, n.12, p.81-91, out.
2008. .
Disponível
em:
12.COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Selected Justification Notes. Bulletin d'lnformation 11.217, Lausanne, 1993. I3.HELENE, P. R. L. Estudo da variação do módulo de elasticidade do concreto CO/11 a composição e características do concreto fresco e endurecido. Relatório à ABCP, São Paulo, jan. 1998. 14.CARRASQUILLO, R. L.; NILSON, A. H.; SLATE, F. O. Properties of high strength concrete subject to short-term loads. ACIJournal, v. 78, n. 3, p. 171-178, May, 1981. 15.DESA YI, K.; KRISHNAN, S. Equation for the stress-strain curve of concrete. Journal af the American Concrete Institute. v.6I, n.3, p.345-350, 1964. I6.JIMENEZ MONTOY A, P.; GARCIA MESEGNER, A.; MORAN CABRE, F. Hormigón Armado. v.I, Barcelona: Gustavo Gili, 1979. I7.RÜSCH, H. Researches toward a general flexural theory for structural concrete. Journal of the American Concrete Institute, v.57, p.I-28, 1960. I8.COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB Design Manual on Structural Effects of Time-Dependent Behaviour (d' Concrete. Switzerland, 1984. ] 9.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR7480:Aço Destinado li Armaduras Para Estruturas de Concreto Armado. Rio de Janeiro, 2007. 20.ARAÚJO, J. M. Dimensionamento à flexão simples de seções transversais de concreto armado com ênfase na ductilidade. Revista Teoria e Prática na Engenharia Civil, Rio Grande: Ed. Dunas, n.14, p.I-13, out. 2009. Disponível em: . 2] .FUSCO, P. B. Técnica de Armar as Estruturas Paulo: PINI, ] 995.
~ Referências Bibliograficas
Curso de Concreto Armado
de Concreto. São
22.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR8681: Ações e Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro, 2003.
1I
1 257
23.ARAÚJO, J. M. Análise probabilistica de vigas de concreto armado. Parte I: A valiação das defonnações. Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas, Lisboa, 11.42,p.19-24, 1997. 24.ARAÚJO, J. M. Análise probabilistica de vigas de concreto armado. Parte 2: Avaliação da segurança. Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas, Lisboa, n.43, p.35-39, 1998. 25.ARAÚJO, J. M. A confiabilidade no projeto de pilares de concreto armado. Revista Teoria e Prática na Engenharia Civil, Rio Grande: Ed. Dunas, n.2, p.I-8, maio, 200 I. Disponível em: .
