Culegere Teste Grila Admitere UTCN 2019

˘ TEST TESTE E GRIL GRILA DE ˘ MATEMATICA 2019

AUTORI Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.u Prof.univ niv.dr .dr.. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ.dr. Prof.un iv.dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Prof.univ. Prof.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr.

Vasile Cˆ ampian ampian Iuliu Crivei Crivei Bogdan Gavrea Gavrea Ioan Gavrea Gavrea Dumitru Dumitru Mircea Mircea Ivan Ivan Nicolaie Nicolaie Lung Vasile Mihes, an Alexandru Alexandru Mitrea Mitrea Viorica Viorica Mures, an Ioan Radu Peter Peter Dorian Dorian Popa Ioan Ioa n Ras, a Daniela Daniela Ros, ca Alina Sˆınt˘ am˘ am˘ arian arian Gheorghe Gheorghe Toader Neculae Neculae Vornicescu ornicescu Marius Marius Birou Birou Lucia Blaga Adela Cap˘ at˘ at˘ a Maria Cˆ ampian ampian Alexandra Alexandra Ciupa Ciupa

Conf.univ.dr. Conf.un iv.dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Conf.univ. Conf.univ.dr. dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Lect.univ Lect.univ.dr. .dr. Asist.univ Asist.univ.dr. .dr. Asist.univ Asist.univ.dr. .dr.

U. T. PRESS PRESS Cluj-Napoca Cluj-Napoca 2019

Dalia Cˆ Cˆımpean ımpea n Eugenia Eugenia Duca Duca Ovidiu Ovidiu Furdui Furdui Daniela Daniela Inoan Inoan Adela Carmen Carmen Novac Novac Vasile Pop Pop Teodor Potra Potra Mircea Mircea Dan Rus Rus Silvia Silvia Toader Toader Mihaela Mihaela Berches Berches, an Luminit Luminit, a Ioa Ioana na Cotˆırl˘ ırl˘a Daria Dumitras Dumitras, Mircia Mircia Gurz˘ au au Adrian Holhos, Vasile Ile Tania Angeli Angelica ca Laz˘ Laz˘ar ar Daniela Daniela Marian Marian Rozica Moga Constanti Constantin n Cosmin Cosmin Todea Todea Floare Ileana Tomut, a Alina-Ramona Alina-Ramona Baias Liana Timbos Timbos,

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

































Coordonator

Prof.univ.dr Prof.univ.dr.. Dumitru Dumitru Mircea Ivan Ivan

Referent, i:

Conf.univ.dr. Prof.univ.d Prof.univ.dr. r. Prof.univ.d Prof.univ.dr. r. Conf.univ.dr. Prof.univ.d Prof.univ.dr. r. Conf.univ.d Conf.univ.dr. r. Prof.univ.d Prof.univ.dr. r.

Ovidiu Furdui Ioan Gavrea Gavrea Alexandru Alexandru Mitrea Mitrea Vasile Pop Dorian Popa Mircea Mircea Dan Rus Neculae Neculae Vornic Vornicescu escu

































Prefat, a ˘

Culegerea Culegerea de probleme probleme Teste gril˘ a de matematic˘ a continu˘ a tradit, ia Universit˘at at, ii Tehnice din Cluj-Napoca de a selecta viitorii student, i printr-un concurs de admitere pe baza subiectelor sub form˘a de gril˘a. a. Prezenta culegere a fost elaborat˘a cu scopul de a contribui la o mai bun˘a preg˘ atire atire a candidat, ilor la admitere s, i de a-i familiariza cu noua tipologie a subiectelor. Structurat˘ a pe patr patru u capi capito tole le:: Alge Algebr br˘˘a, a, Analiz Analiz˘ a˘ matemat matematic˘ ic˘ a, a, Geomet Geometrie rie analit analitic˘ ic˘ a s, i Trigonometrie, culegerea contribuie la recapitularea materiei din programa pentru bacalaureat. Parcurgˆ and toate gradele de dificultate, de la probleme foarte simple care necesit˘a un and minim de cunos, tint, e, pân˘ an˘ a la probleme a c˘aror aror rezolv rezolvare presupune presupune cunos, tint, e temeinice, lucrarea lucrarea este util˘a tuturor categoriilor de elevi care se preg˘atesc atesc pentru un examen de matematic˘ a. a. Fiecare Fiecare problem˘ problem˘ a propus˘a este urmat˘a de cinci r˘aspunsuri aspunsuri dintre care numai unul este corect. La sfârs ars, it se dau r˘aspunsurile aspunsurile corecte. Testul care se va da la concursul de admitere va cont, ine probleme cu grade diferite de dificultate, alc˘atuite atuite dup˘a modelul celor din culegere.

Autorii

































∗∗∗

































Cuprins

1 Alge Algebr br˘ ˘ a

1

2 Analiz˘ a matematic˘ a

33

3 Geometr Geometrie ie analitic analitic˘ ˘ a

71

4 Trigonometrie

77

5 Exemplu Test Admitere

87

6 Simulare admitere (13 mai 2017)

92

7 Admitere (16 iulie 2017)

97

8 Simulare admitere (12 mai 2018)

102

9 Admitere (16 iulie 2018)

107

10 R˘ aspunsuri

117

11 Indicatii

123

,

































∗∗∗



































1

Algebr˘ br ˘a

1 Mult, imea solut, iilor ecuat, iei z iei z 2 = 3

A

{1, 2 }

B

{i, 2 i, 2 − i}

− 4i, z ∈ C, este: {2 − i, −2 + i} D {3, −2 + i}

C

E

{2 − i, 3 i, 3 + i}

2

− lg 5) = lg(2 lg(2x + x − 1) este este:: B x = −1 C x = 1

Solut, ia ecuat, iei x(1

A x =

1 5

3 Mult, imea solut, iilor ecuat, iei

A E 4

{−1} B {−1, 1, −i, i} 1+ i −1, 1 −2 i , 1+i 2





 −

x 1 1

C

1 2 2x 3 2 x

 





1 2

E x =

−5

−1 + 3 = 0 este este:: − 3 − √ 1+ i√ 3 {−1, 0, 1 − i√ 3, 1 + i√ 3} D −1, 1 −2i 3 , 1+i 2

Mult, imea solut, iilor reale ale sistemului:



x +3 2

D x =

− ≥



2(x 2(x 1) 4(x 4(x + 1) este: 2 x + 4x 4x > 0



































Teste Gril˘a de Matematic˘a 2019 — Universitatea Tehnic˘a din Cluj-Napoca

∈ ∈ R[X ], f = X 100 + aX 99 + bX + + 1.

Fie f Fie f

6

Valorile coeficient, ilor a ilor a s, i b pentru care x = 1 este r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a dubl˘ a sunt:

A a =

7

−1; b = −1

−4

C a =

−2; b = 0

D a = 0; b = E a = 4; b =

−2 −2

Valorile coeficient, ilor a ilor a s, i b pentru care f se f se divide cu X 2 + X + + 1 sunt:

−1 −1 Valorile coeficient, ilor a ilor a s, i b pentru p entru care restul ˆımp˘art art, irii polinomului f la X la X 3 − X 2 − A a = 1; b = 1

8

B a = 2; b =

B a =

−1; b = −1

C a =

−1; b = 0

D a = 1; b = E a = 0; b =

X + + 1 este X 2 + X + + 1 sunt:

A a = 2; b =

−1 B

a = 0; b = 1 C a =

−1; b = 2 D

Se d˘a funct, ia f ia f ((x) = mx 2 + 2(m 2(m + 1)x 1)x + m2

9

10

−1; b = 1 E

a = 1; b = 0

− 1, unde m = 0 este parametru real.

Pentru Pentru ce valori ale lui m, f ( f (x) > 0, > 0, x

∀ ∈ R? √ 2, +∞) m ∈ (0, √ 2) m ∈ (1 − √ 2, 1 + √ 2) (0, +∞) √ (0 , 1 + A m ∈ (0, B m ∈ (1 + C D √ E m ∈ (−1, 1 − 2) ∪ (1 + 2, +∞) Pentru Pentru ce ce valori ale lui lui m, f ( f (x) < 0, < 0, ∀x ∈ R? √ √ √ (−1, 1 − 2) A m ∈ (−∞, 0) B m ∈√ (1 − 2, 1 + 2) C m ∈ √ m ∈ (−∞, 1 − 2) m ∈ (−1, 1 − 2) ∪ (0, (0, ∞) D

11

a =

E

Pentru Pentru ce ce valori ale lui lui m funct, ia admite r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a dubl˘a? a?

A m E m

∈ {±1} √ B m ∈ {1, ±√ 2} ∈ {0, 1, ± 2}

Se consider˘a ecuatia ecuatia 2x2

2mx + m2

C m

∈ {±√ 2}

2m = 0, unde unde m m

D m

∈ {−1, 1 − √ 2, 1 + √ 2}

∈ R, iar x iar x 1 si s i x 2 sunt r˘ad˘ ad˘ acinile acinile


































Fie funct, iile f m : R

→ R, f m(x) = mx2 + 2(m 2(m − 1)x 1)x + m − 1, m 1, m ∈ R.

15 Mult, imea valorilor parametrului m pentru care ecuat, ia f m (x) = 0 are cel put, in o r˘ ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a real˘a este: A ( 16

−∞, 1)

B (

−∞, 1]

aspuns D alt r˘aspuns

C R

[0, E [0,

∞)



Vârfurile arfurile parabolelor parabolelor asociate funct, iilor f m , m = 0, se g˘asesc asesc pe: = x 2 + 2 A parabola y = x dreapta y = x D dreapta y

dreapta x + 2y 2y = 0 B dreapta x E o paralel˘a la Ox

−

Fie funct, ia g ia g : R

→ R definit˘a prin g(x) =

iei g (x) 17 Solut, ia inecuat, iei g

A [ 2,

− ∞)

B

18 Funct, ia g −1 : R A g −1 (x) = C g −1 (x) = E g −1 (x) =

  

≥ 0 este: [−2, 0]

C [



x + 2, 2, dac˘a x 0 3x + 2, 2, dac˘a x > 0. 0 .

≤

− 23 , ∞)

→ R este dat˘a de: x−2 ax≥2 3 , dac˘ x−2 a x < 2 4 , dac˘ x−1 a x ≤ 2 3 , dac˘ 2x − 3, dac˘a x > 2 x + 2, 2 , dac˘a x ≤ 2 x+2 3

dreapta y = x = x C dreapta y

− − 23 ]

D [ 2,

 

B g −1 (x) = D g −1 (x) =

[0, E [0,

∞)

− 2, dac˘a x ≤ 2 dac˘a x > 2 2x − 1, dac˘a x ≤ 2 x+2 x

x 2 3 ,

−

3

, dac˘a x > 2

, dac˘a x > 2

19

→

Se dau funct, iile f iile f , g : R R definite prin 5x + 1, 1, x < 0 x2 , x f ( f (x) = , g ( x ) = 2 1 x , x 0 2x 1, x > Funct, ia h ia h : R = f g este est e definit˘ defin it˘a prin: prin : R, h = f



A h(x) =

−



≥

→

1 x4 , 4x(1 x)

− −



◦ ◦

≤ −2 −2

x x>

−

≤ −2 . −2

B h(x) =



1 x4 , 4x(1 x),

− −

x x

≤ −12 ≥2 1


































21 Fie P,Q,R : C

→ C funct, ii polinomiale de grad cel mult doi s, i a,b,c ∈ C astfel ca

   

    

P ( P (a) Q( Q (a) R( R (a) P ( P (b) Q(b) R(b) = 1. 1. P ( P (c) Q(c) R(c)

 

Suma

A 0

 

P (1) P (1) Q Q(1) (1) R R(1) (1) P ( P (a) Q( Q (a) R( R (a) P ( P (a) Q( Q (a) R( R (a) P ( P (b) Q(b) R(b) + P (1) P (1) Q Q(1) (1) R R(1) (1) + P ( P (b) Q(b) R(b) P ( P (c) Q(c) R(c) P ( P (c) Q(c) R(c) P (1) P (1) Q Q(1) (1) R R(1) (1)

B 1

C 3

P (0) + Q(0) + R(0) D P (0)

 

este:

(1)R(1) P (1)Q Q(1)R E P (1)

22 S˘ a se g˘aseasc˘ aseasc˘ a num˘ arul arul complex z dac˘a z

A z =

3 2

− 2i

Fie f Fie f :: C

→ C,

3 B z = 2 + 2i

f ( f (z ) = z 2 + z

C

2 i. | | − z = 1 + 2i 1 z = 21 − 3i D z = 2 + 3i

E z =

3i − 12 + 3i

− z¯.

f (z ) = 0 sun sunt: 23 Solut, iile ecuat, iei f (

A E

{0, 1 + 2i, 2 i, 1 − 2i} {0, −1 + i, −1 − i}

B

{0, 1 + i, 1 − i}

C

{0, i, −i}

D

{0, 2 + i, 2 − i}

24 Se consider˘a ecuat, ia log2 (9x−1 +7) = 2+ log log2 (3x−1 +1). Mult, imea solut, iilor ecuat, iei are:

A un element B dou˘a elemente infinitate de elemente elemente E o infinitate 25 Solut, ia S ia S a a sistemului

∅ {−



D trei elemente

2x 5y = 250 este: 2y 5x = 40

{

= (1, (1, 3) A S = B S = 1), (1, (1 , 0) E S = ( 1, 1),

}

elementt C nici un elemen

}

{

= (1, (1, 0), 0), (1, (1 , 3) C S =

}

{

= (1, (1, 0) D S =

}


































28 Se consid consider˘ er˘ a mult, imea imea trip triple lete telo lorr de numer umeree real realee ( a,b,c) a,b,c) care care verifi erific˘ c˘ a relat elat, ia 2 2 2 a + b + c = 1. Atunci Atunci min( min(ab + bc + ac) ac) pentru pentru aceast aceast˘˘a mult, ime este:

A

−1

Fie A Fie A 1 =

B

− 34

 ∈ | x

− 12

C

2n + 1 x = , n N x = n+2

D

 ∈

Z s, i A2 =

− 13

E nu exist˘a minim

 ∈ |

2n + 1 ,n Z x = n+2

x

 ∈

Z .

imea A 1 este: 29 Mult, imea A

A A1 = 1, 2, 3 E A1 =

{ ∅

B A1 = N

}

C A1 =

{−2, 1, 4}

D A1 = 1, 3, 5

{

}

E A2 =

{−1}

imea A 2 este: 30 Mult, imea A

A A2 =

{−1, 1, 3, 5}

{ }

{}

B A2 = 3, 5

C A2 = 3

D A2 =

∅

31

≥ 1 este: √ 1, 3

Mult, imea solut, iilor inecuat, iei log 1 (log3 x) 3

[3, A [3,

∞)

B

 √  0,

3

9

C

  3

D

  1 3, 1

(0, 1) E (0,

∪ √ 3, +∞

  3

Restu Res tull ˆımp˘ ım p˘art art, irii polinomului X 10

32

la X la X + + 1 este:

A 33

B 0

C 1

D 9

aspuns E Alt r˘aspuns

la (X + + 1) 2 este:

A 34

−1 −10

B

10X X −10

10X X + + 9 C 10

D

10X X − 9 −10

E X

−9

la (X + + 1) 3 este:

A

−9X 2 + 22

45X X 2 + 80X 80X + + 36 B 45

+ 2 C X +

D 1

E 0




































37 Care sunt valorile coeficient, ilor reali a s, i b din ecuat, ia x3

− ax2 + bx + 1 = 0,0,

dac˘ a aces, ti coeficient coeficient, i sunt r˘ad˘ ad˘ acini acini ale ecuat, iei?

A a = 1, b = 0 B a = 1, b

∈R C

a = 1, b =

−1 D a ∈ R, b = −1 E a ∈ R, b = 1

38 Coeficientul lui x99 din dezvoltarea polinomului (x

− 1)(x 1)(x − 2)(x 2)(x − 3) . . . (x − 99)(x 99)(x − 100)

este:

A

−4950

B

−5050

C 99

D

−100

E 3450

39 Cel mai mare divizor comun al polinoamelor ( x + 1)4n+3 + x2n , n

∈ N∗ s, i x 3 − 1 este:

A x3

E (x + 1)4n+3 + x2n

−1

B x

−1

C x2 + x + 1

prim e ˆıntre ele D sunt prime

40 Valoar aloarea ea lui lui (1

A

− α)(1 − α2)(1 − α4)(1 − α5),

−1

B 9

unde α

C 0

∈ C \ R, α 3 = 1, este: D 9i

E 3i

41 Fie numerele reale a,b, a,b, c, d b

(0 1)

d

∈ (0, (0, 1) ∪ (1, (1, ∞). Dac˘a (1

)

loga b logb c logc d = 1 atun atunci ci:: b

(1

)

d

(0 1)


































 

Se consider˘a matricea matricea U ( U (a, b) =

a b b b

b a b b

b b a b

b b b a

 

.

U (a, b) este singular˘a dac˘a s, i numai dac˘a 43 Matricea U ( = b A a = b

44

 −3b

B a=

− b)(3b )(3b + a) = 0

3 b = 0 D a + 3b

aspuns E alt r˘aspuns

U (1,, 1) C 222 U (1

U (1,, 1) D 220 U (1

U (1,, 1) E 48 U (1

D nu exist˘a


U 11 (1, (1, 1) este U (1,, 1) B 4100 U (1

U (1,, 1) A U (1

45

C (a

Inversa Inversa matricei U (1 U (1,, 2) este: U (1,, 2) A U (1

U (1,, 2) B U (1

− U (1 U (1,, 1)

46

C

A E

a b a b b a

b a

47 Inversa matricei A =

B



−

 − ∈M    

Dac˘ a a 2 + b2 = 1, 1 , atunci inversa matricei

 − −   −

U (1, (1,2) 6I 4 7

a b

1 1 1 1 2 1

b a

−



a b

b a

C

este matricea:

2 (R)

a b b a

−

este:

D



1 a 1 b

− 11b

a




































50

∈R mx + y − 2z = 2 2x + y + 3z 3 z = 1 (2m (2m − 1)x 1)x + 2y 2y + z = n = n

Sistemul Sistemul de ecuat, ii cu parametrii m, n

 

este compatibil nedeterminat pentru:





A m = 3; n = 3 E m = 5; n = 3 51 Dac˘ a



1 1 2 0 1 1 0 0 1

A n = 1

B m = 3; n = 3

  n

=

1 n 44 0 1 n 0 0 1

B n = 2



, n

C m = 3; n = 3





D m = 3; n = 3

∈ N, atunci:

C n = 4

D n = 8

E n = 16

52

 ∈

Fie m, Fie m, n A =

A

ad˘ ad˘ acinile acinile ecuat, iei x iei x 3 + mx + n = 0 s, i matricea matricea R, x 1 , x2 , x3 r˘

1 1 1 x 1 x2 x3 x21 x22 x23

−4m3 − 27 27n n2



. Determinantul matricei A2 este:

B 4m3

− 27 27n n2

C

−4m3 + 27n 27n2 D −2n3 − 27 27m m2

53 Mult, imea valorilor a

∈ R pentru care rangul matricei



1

3

5

7



E

−3n3 − 27 27m m2


































57 Num˘ arul valorilor parametrului real m pentru care sistemul arul 2x + 2y 2y + mxy = 5 (m 1)(x 1)(x + y ) + xy = 1 , are solut, ii (x, y) R R, este: 3x + 3y 3y xy = m+1

 

−

∈ ×

−

A 0

58

B 1

 

2x + ay + ay + 4z 4z = 0 Dac˘ a sistemul de ecuat, ii x y z = 0 ; 3x 2y z = 0 este compatibil determinat, atunci:

A a = 1 59

B a

A An = C An = E An =

− − − −

∈ R  {1}

C a

∈ R∗

 −  ∈  −   −   − −  −  √ √ −  ∈ M

Dac˘ a A = A =

60

C 2

Dac˘ a A = A =

cos t sin t

sin t cos t

; t

1 3

a

E 4

∈R

D a

∈ (0, (0, ∞)

E a

∈ (1, (1, ∞)

R, atunci:

cosn t sinn t sinn t cosn t cos nt sin nt sin nt cos nt cosn t sinn t n sin t cos t n sin t cos t cosn t sinn t 3 1

D 3

2 (R),

atunci A atunci A 12 este:

 

B An = D An =

cos tn sin tn sin nt cos nt

− sin tn cos tn − cos nt sin nt

 


































× Z legea de compozit, ie (x, y) ∗ (a, b) = (xa,xb + xa,xb + ya). ya ). Elementu Elementull neutru neutru al legii legii ∗ este:

Definim pe Z

64

(0, 1) A (0,

(1, 0) B (1,

(0, 0) C (0,

65

∗

∗

Fie legea de compozit, ie definit˘a prin x y = pentru aceast˘a lege este:

A e = 0

B nu exist˘a

−

(1, 1) D (1,

x y 1 xy ,

− −

E ( 1, 1)

∀x, y ∈ ( −1, 1). 1). Elementul neutru

C e = 1

D e =

−1

1 2

E

66

∗

Pe mult, imea Z a numerelor ˆıntregi se defines, te legea prin x prin x  S˘a se determine determine simetricul simetricul x al lui x lui x..

A x nu exist˘a

B x = 1

−x

C x = 4

−x

∗ y = x = x + y − 2, ∀x, y ∈ Z.

D x =

1 x

E x =

Pe mult ult, imea C a nume merrelor elor comp comple lexe xe defin definim im lege legeaa de com ompo pozi zitt, ie z1 z2 = z = z 1 + z2 z1 z2 .

∗

−

−x

∗ prin

∗

arul 2 i este: 67 Num˘arul

A 2 68

−i

B 2i

C 2+i

∗

Elementul neutru fat, a˘ de este:

A 1

B 0

C i

D

1




































Se consider˘a funct, ia f ia f : R

→ R, f ( f (x) = x 2 − mx + 2, 2,

m

∈ R. −

lui m pentru pentru care f care f este este strict cresc˘atoare atoare pe intervalul [ 1, 1] este 72 Mult, imea valorilor lui m

−

A [ 2, 2]

B (

−∞, −2)

C (

−∞, −2]

D R

− (−2, 2)


f este injectiv˘a pe [ 1, 1] este: 73 Mult, imea valorilor lui m pentru care f este

A R

−

B ( 1, 1)

C (

−∞, −2] ∪ (2, (2, ∞)

D


74 Familia de parabole asociate funct, iilor f m (x) = (m ( m + 1)x 1)x2 punct fix pe axa Oy A are un punct C are dou˘a puncte fixe

− 3mx + 2m 2m − 1,

m

∈ R  {−1},

situat pe prima bisectoare bisectoare B are un punct fix situat puncte fixe are puncte puncte fixe D are trei puncte E nu are


































80 Mult, imea valorilor lui a R∗ , pentru care parabolele asociate funct, iilor f a (x) = ax 2 (a + 2)x 2)x 1 s, i g a (x) = x 2 x a sunt tangente, este:

∈ − B {3, −1}

−

A

{−1, 2}

− − C

{3}

81

D

  1 3, 3

E

∅

Ecuat, ia x ia x 4 + (2m (2m 1)x 1)x2 + 2m + 2 = 0, cu necunoscuta x necunoscuta x s, i parametrul parametrul real m, real m, are toate r˘ ad˘ ad˘ acinile acinile reale dac˘a: a:

−

≤m≤2

A m = 0

B 1

Se d˘a ecuat, ia x3 numai dac˘ a

2 x − a = 0. 0. − 3x2 + 2x

A a = 0

B a

C

−1 ≤ m ≤ − 12

D m

∈∅

E m>

1 2

82

∈ {0, 1}

Fie x Fie x 1 , x2 , x3 r˘ad˘ ad˘ acinile acinile ecuat, iei x iei x 3

R˘ ad˘ ad˘ acinile acinile ei sunt ˆın ın progresie aritmetic˘a dac˘a s, i

C a

∈ {−1, 1}

− 2x + 3 = 0. Not˘am am

D a = 2

E a = 3


































Se d˘a ecuat, ia x3

− px2 + qx − r = 0,



r = 0. 0.

ad˘ acini acini opuse, dac˘a 88 Ecuat, ia admite dou˘a r˘ad˘ = r A p + q = r

89

B r2

− pq = = 0

C rp

− q = = 1

D q 2

− rp = rp = 0

E pq

− r = 0

R˘ad˘ ad˘ acinile acinile sunt ˆın ın progresie progresi e geometri g eometric˘ c˘a dac˘a: a:

A p2 r

− q = = 0

B p3

− rq = = 0

C q 2

− rp = rp = 0

= 0 E p3 r D q 3 + p + q =

− q 3 = 0

90 Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei



√ x+2−4 x−2+

este:

A

{5, 12}

B

{7, 10}



x+7

[2, C [2,

∞)

− 6√ x − 2 = 1 [6, 11] D [6,

E

{8, 12}


































96 Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia (m

− 2)x 2)x2 − (2m (2m + 1)x 1)x + m − 3 = 0

are r˘ad˘ ad˘ acin ac inile ile ˆın C R cu partea real˘a negativ˘ a este:

A 97

− 

\

1 23 2 , 24

B

−∞  23 , 24

Valoarea minim˘ a a funct, iei f iei f : R f ( f (x) = (x (x

C

− ∞ 1 2,

D

 ∞ 23 24 ,

E

∅

→ R,

− a1)2 + (x (x − a2 )2 + · · · + (x (x − an )2

∈ R, se obt, ine pentru:

unde a unde a 1 , a 2 , . . . , a , a n

A x = 0

= a 1 B x = a

98 Funct, ia f ia f : R

f (x) = → R , f (

= a 2 C x = a



D x =

a1 +a2 + +an n

x2 + 2mx 2mx 1 ; x 0 , m mx 1 ; x > 0

−

−

≤

···

E x =

a1 +an 2

∈ R∗, este injectiv˘a dac˘a:a:


































104 Num˘ arul arul solut, iilor (x, (x, y )

A 0

∈ R × R ale ecuat, iei 2 | x − 2 | +3 | y − 3 |= 0

B 1

C 2

105

−

106

(0, B (0,

A

−1

107 Solut, ia ecuat, iei

[2, C [2,

2 2

x

2

B ln 2

2

1

1 x 2

+

x

1 x 6

+

B 1

2

√ 2 6

x

∞)

−

D [ 2, 2]

E (

−∞, 2]

= 3 este:

 − √ 

C 2

    √  

ar real A orice num˘ar

108

∞)

 − √  − √ − 

Solut, ia ecuat, iei 3

E o infinitate

√ x2 − 4x + 4 + √ x2 + 4x 4x + 4 = 2x 2x este:

Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei

A [ 1, 3]

D 4

este este::

D log2 3

2 2

E

1 . log3 ( 2 1)

√ −

= 1 este:

C 0

D

− 12

E ecuat, ia nu are solut, ie




































Fie funct, ia f ia f : R

→ R, f ( f (x) = 9 x − 5x − 4x .

arul de solut, ii reale ale ecuat, iei f iei f ((x) = 0 este: este: 114 Num˘arul

A 0

B 1

C 2

arul de solut, ii reale ale ecuat, iei f iei f ((x) 115 Num˘arul

A 0

B 1

D 3

E 4

D 3

E 4

− 2√ 20x = 0 este:

C 2




































124 S, tiind c˘a a este r˘ad˘ ad˘ acina acina real˘a a ecuat, iei x iei x 3 + x + 1 = 0, s˘a se calculeze

 3

A a+1

B 1

(3a (3a2

− 2a + 2)(3a 2)(3a2 + 2a 2a) + a2 . C 3

125 Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care

D 2

E a




































133 Solut, ia ecuat, iei A iei A x6 [5, 7] A [5,

− 24 24xC xC x4 = 11 11A Ax4 apart, ine mult, imii: [8, 10) B [8, C {10}

134 S˘a se determine termenul independent de a al dezvolt˘arii arii 6 A C 17

135

7 B C 17

8 C C 17

D



1 3 2 a

√

{4}

+

√ 3 4

10 D C 17

a

E



17

{6}

. 11 E C 17




































141 Fie x Fie x 1 , x2 , . . . , xn r˘ad˘ ad˘ acinile acinile ecuat, iei x iei x n n xk S = = este: xk 1

 k=1

A 3n

−5

− 3xn−1 + 2x 2x + 1 = 0. Valoarea sumei

−

B 2n + 1

C

n n 1

−

D

n(n+1) n2 +n 1

−

E 0

142 Valoarea lui m pentru care ecuat, ia x3 aritmetic˘ a apart, ine mult, imii:

− 6x2 + 11x 11 x + m + m = 0 are r˘ad˘ ad˘ acinile acinil e ˆın progresie progresi e




































Fie (x + 1)(x 1)(x2 + 2)(x 2)(x2 + 3)(x 3)(x2 + 4)(x 4)(x2 + 5) =

9



Ak xk .

k=0

148

9



Ak este:

k=0

A 720 149

4



k=0

A2k este:

B 724

C 120

D 600







































156






































165

    1

0 0
















































































































187




















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































434 Mult, imea primitivelor funct, iei f iei f : cos x + c A x ctg x + ln cos D x tg x ln( cos x) + c

−

B

 → 3π 5π 4 , 4

− x ctg x + ln cos cos x + c

cos x + c C x tg x + ln cos E x tg x + ln( cos x) + c

− −

435 Mult, imea primitivelor funct, iei f iei f :

A x + tg

x 2

+c

B

1 1+tg

x

2

−  → π π , 2 2

436

sin x , este: 1 + sin x

2 1+tg

D

x

2

+c

E x+

2 1+tg

x

2

+c

x

O primitiv˘a a funct, iei f iei f :: (0, (0,

A

arcsin ex

B

∞) → R ,

arccos ex

f ( f (x) =

C arctg x

√ e2ex − 1 este: √ ln ex + e2x − 1



D

437 Mult, imea primitivelor funct, iei f iei f : R

√

x

e +1−1 A ln √ ex +1+1 + c x/2 + c ln e−x + 1 + e−x/2 D

− √

438

−

f (x) = R, f (

x C x + 2tg 2 + c

+c

x , este: cos2 x

f (x) = R, f (



→ R ,

f ( f (x) =

√

Mult, imea primitivelor funct, iei f iei f : (0, (0 ,

∞) → R ,

f ( f (x) =

439 Mult, imea primitivelor funct, iei f iei f : R

 

B ex 1 + x2

440

− ex



1 este: + 1)

x(x3

3

−

A ex arctg x + c

ex + 1

√

C 2 ex + 1 + c +c

x B ln x3 +1 + c ln(x + 1) + c E ln x ln(x

ln(x3 + 1) + c A ln x ln(x D ln x + arctg x + c

→ R ,

−1 + c

f ( f (x) =

C

√ − 1

E 2 e2x

√ ex1+ 1 este:

1 B ln √ ex +1+1 + c E ln







ex x2

xex + x2 +1

− 2x + 1

(x2 + 1)2

c

D

C



x2 ex + x2 +1

B

c

este: c

E

(x+1)e +1)ex x2 +1

+c

1 −∞, −1) → R, f ( f (x) = √ este: x x2 − 1 √ − arctg √ x2 − 1 + c arcsin 1 + c ln x2 − 1 + c

Mult, imea primitivelor funct, iei f iei f : ( 1 A arccos x + c 1 E arctg x + c

1 x3 3 ln x3 +1 +

C

x

441 Mult, imea primitivelor funct, iei f iei f : (0, (0 ,

∞) → R,

f ( f (x) =

ex + cos x , ex + cos x + sin x

D


































442

0

 

ex + (x (x + 2)2

−2

−1

A

443

x

1

dx d x este:

B

−2

C

−e

D 2

−e




x2 + 1 dx d x x4 + 1

0

A

5π 6 2

√

B

7π 6 2

√

444 Funct, ia f ia f : R



→ R, f ( f (x) =

C sin x x ,

a, are primitive dac˘a s, i numai dac˘a: a:

A a = 0

B a = 1

3π 4 2

√

D

4π 3 2

√

E

π 2 2

√



x =0 x = 0

C a =

−1

D a > 0

E a < 0

445 Fie F Fie F : : R∗ orice x R astfel ca: F  (x) = x1 , pentru orice x F ( F (e) + F ( F ( e) este:

→ −

A 0

B 1

C 2

Fie F Fie F o primitiv˘a a funct, iei f iei f : R

446

ie F E nu exist˘a o astfel de funct, ie F

2

→ R, f ( f (x) = e x .

xF ( xF (x) 2 este: x→0 ex

B 1

C

1 2

D

∞

E e

xF ( xF (x) este: x→∞ ex2 lim

A

∞

B 1

448



1

Integrala

0

A 449

D 3

lim

A 0 447

∈ R∗, F ( F (−1) = 1 s, i F (1) F (1) = 0. 0. Atunci



x

0

1 2

D 0

E e

√ x √ dx este: (x + 3) x + 3

− 161 − ln 1615

1 lim x→∞ x

C

dt 2 + cos t

B ln 3

−1

3 C ln 4

− 1

D

− 14 + arctg 41

E

1 4


































450

5



(2x (2x

−5

− 1)sgn x dx

A 0 451

2

B

 0

−

−

B

2 dx d x (1 + x2 )2

A

π +1 4

1

3

x x+ 3

8



x

3

−

B



e

√ e

1 2

D

π 1 + 4 2

C

D

2 n

E

π 3 + 4 2

E π +

n 2

1 4

2 3

C

4 3

D

3 4

E

5 3

√

B ln 3

C 5

D

√ 11

√ − 2

arctgg 3 E 3 arct

ln x dx este: x 3 8

A

C 0

dx 1+ x+1

2 25 3 ln 8

A 455

E 50

− x dx este:

3 2

A

−1

B π +

 √ √ √ 0

454

D 15

−

 0

453

C 10

2x3 6x2 + 9x 9x 5 dx (x2 2x + 5)n

A 1 452

−50

B

3 4

C

e 2

D

2 e

E

1 8

456 Dac˘ a funct, ia polinomial˘ polinomial˘ a P : : R P (1) P (1) + 1 2

A 457

· · · + P ( P (n)

π

 4

0

x sin x dx cos3 x

= n 5 ,

at, ile: → R verific˘a egalit˘at

n = 1, 2, . . ., ., atunci integrala



1

P ( P (x) dx este:

0

B

1 3

C

1 4

D 1

E 0


































458



2π

S˘ a se calculeze

sin(mx sin(mx)) cos( cos(nx nx)) dx, unde x, unde m m s, i n sunt dou˘a numere numer e ˆıntregi. ıntre gi.

0

A 0 459

1

B mπ

D 1

E (n + m)π



ex dx d x 1 + e2x

0

A arctg e 460

C π

π 2

B

C arctg e

− π4

D 0

E arctg e + π

2 e (e

E 2006

1



(1 + 2x 2x2015 )e−|x| dx dx

−1

4014 e (e

A 461

− 1)

B



min 1, x , x2 dx

A

6 5

2

{

−1

462

4016 e (e

− 1)

C

∞

C

3 4

D

− 1)

− 2006 e

}

B



5 6

D

4 3

E 0

e

Integrala

ln x dx dx este:

1

A 1 463

B 2



e

Integrala

C 0

D e

−1

E e

−2

C 0

D e

−1

E e

−2

ln2 x dx d x este:

1

A 1

B 2

464



π

S˘ a se calculeze

4

tg3 x dx.

0

A

1 ln 2 2

−

B

465



x

Solut, ia ecuat, iei

1 2

C

1 2 ln 2

D ln 2

E 1

t et dt = 1 este:

0

A 1 466

B 2

2e

 |

ln x

|

1 dx

C 0

D e

−1

E e

−2


































467

√ 3



x arctg x dx

0

B 2

A π 468

e

√ 3

C

2

2π 3

D

2π 3

−

√ 3

E

2

− 2√ 3

π 3



1 + ln x dx x

1

3 2

A

B

469

a

S˘ a se calculeze

 0

1 2

C 1

(a x)n−1 dx, d x, unde unde a > 0, 0 , n (a + x)n+1

−

1 2na

A 470

−

B

n 2a

C

5 2

D

E 2

∈ N∗

a 2n

D 2an

E

2a n

1



sin x ln(2 + x2 ) dx dx

−1

A 0 471

B ln 2

C 1

D

π 2

C ln 2

D

1 4

D

− 34

E ln 3

1



x ln(1 + x) dx este:

0

A

1 2

lim



472

B

1 2 ln 2

E

1 4 ln 2

a

a

→1

0

x ln(1

− x) dx,

A 0 473

B

a

(0, 1): ∈ (0,

− 14

C

− 12

E

−1

E

√ 15

π

 2

0

dx este: 2cos x + 3

A 0 474

4π



B

√ 25 arctg √ 15

dx este: 5 + 4 cos cos x

C arctg

√ 5

2

D arctg √ 5




































475

   1

Integrala

n

1 n+2

1 dx, d x, n x

∈ N∗ este:

2n+3 (n+1)(n +1)(n+2)

A

B 0

476

n

Valoarea lui I n =

C 3n

C ln 2

477

ln(2n − 1) − ln(2n

 { 1

Fie n Fie n un un num˘ar ar natural nenul. S˘a se calculeze

0

1 n

B

C

D

1 2 ln x

E

1 2 ln n

}2 dx, unde x, unde {a} reprezint˘a partea

nx

fract, ionar˘ a a num˘arului a arului a..



E 6n

dx este: x + [x [x]

3·5·····(2n (2n−1) B ln 2·4·····(2n (2n−2)

A 1

4n 5n+1

 1

2n−1 A ln 2

D

1 3

D

1 2

E

π

478 Integrala

4

(tgn+2 x + tg n x)dx, )dx, unde unde n > 0, este:

0

A

1 n+1

1 n

B



π/ 4 C π/4

D n+

π 4

E 1

π

479 Integrala

4

(tg9 x + 5tg7 x + 5tg5 x + tg3 x)dx )dx este:

0

A

24 25

B

  π

480 Integrala

4

0

A 481



2π

π 4

1 cos4 x

−

B

2

(

)d

π 24

1 cos2 x π 3

C



25 24

D

π 25

E 1

1 2

D

1 3

E 1

dx este:

C

unde este un num˘ar ar natural nenul, este:

1 4


































483 1 Limita Lim ita lim 3 n→∞ n

2n

 k=1

A 0 484

k2 k arcsin este: 8 2n

B



x cos2 x dx

A

π2 4

π 3

π 6

− 29

C

D

−π

E 1

3

π

2

0

B

π2 4 16

−

C

π2 4

−1

D

π 2

E alt rezultat

 | − | 1

Fie funct, ia f ia f : R

→ R definit˘a prin f ( f (a) =

x

a dx.

0

Valoarea f (2) (2) este: 485 Valoarea f

− 52

A

B 0

C

x2 2

−1

D

1 2

E

3 2

E

3 2

Valoarea f  (2) este: 486 Valoarea f

A 1

A 0

D

− 12

π

B

1 4

1 6

D

1 2

C

E

− 14

 0

sin(2x sin(2x) dx dx este: sin4 x + cos4 x π 4

A 489

C x

Valoarea minim˘ a a funct, iei este:

487

488

B 0

π

 2

sin3 x dx

B 2

C 0

D π

E 1


































491

π



arcsin(sin x) dx

0

π2 4

A 492

B 8π 2

   π

C 1

D 2π

E

π2 2

E

π2 6

arcsin cos3 x dx d x

0

π2 4

A

Fie f Fie f : R

→

B 0

C 1

sin2n x , unde n R, f ( f (x) = cos2n x + sin2n x

D

π2 8

∈ N∗ este fixat.

and and perioada perioada principal˘ principal˘ a egal˘ a cu: f este o funct, ie periodic˘a avˆ 493 Funct, ia f este

A 2π

B

+ c, c 494 Funct, ia f +

A π 495

π/3 π/3

lim

n

→∞

π 12

A 496



2π

0

π 2

C π

D

π 4


∈ R, are o primitiv˘a periodic˘a dac˘a s, i numai dac˘a c are valoarea: −1 −π B 2 C 4 D −π E 2π

sinn x dx dx sinn x + cosn x π 8

B

C

π 6

D 0

π2 2

D 2π

E

∞

 0

x sin100 x dx sin100 x + cos100 x

A 0

B

π2 4

C

497 Se consider˘a funct, iile: f n : (0, (0,

∞) → R, f n(x) =

1 , n ( + 1) n

E π2

fie F n : (0, (0, ∞) → R ∈ N∗ s, i fie F


































499 1 lim n→∞ n

n

 −

x 1 dx d x x+1

1

A 0

B 1

1

C 2



Fie I Fie I n =

x2004 cos(n cos(n x) dx, n

0

500

∞

E

∈ N.

Limita Limita s, irului (I (I n ) este:

A 0 501

D e

B 1

C 2

D cos1

E nu exist˘a

C 2

D cos1

E nu exist˘a

Limita Limita s, irului (n (n I n )n≥0 este:

A 0

B 1

S˘ a se calculeze:



x3

A

− 43e

2

502

− x − 2 dx; x3 ex

1



1

Fie I Fie I =

0

503

x dx s, i J = 1 + x + x2 + x3

C

1 e

D

1 e2



1 + x + x2 dx. Atunci 1 + x + x2 + x3

C

π 4

1

0

E

− 21e

2

I este: I este:

A 504

3 4e2

B

2

π 8

− ln42

B

π 8

B

π 8

+

ln 2 4

+

ln 2 2

D

π 4

− ln22

E

π 4 +

D

π 2

− 3 l2n 2

E

π 4

ln ln 2

J este: J este:

A

π 8

+ 3 l4n 2

− ln42

C

π 2

+ 3 l2n 2

− ln 2


































507

x2

Fie F Fie F : R

→ R, F ( F (x) =

A 4e64



3

et dt. Atunci t. Atunci F  (2) este:

0

B e8

12ee8 C 12



x2

∞ → R, f n(x) =

Fie f Fie f n : [0, [0, + )

508

2

∈ N∗. 2

C ex (x2 + 1)

2

D ex x2 + 1

−1

2

E ex

f n (1) (1) este este::

B 2e

−1

D e

−1

E e+1

C 0

D

∞

E e2

C 1

D 2

C 2e

lim f n (1) (1) este este::

n

→∞

A e 511

2

B ex (x2 + 1) + 1

− 1) + 1

A e 510

·

12ee6 E 12

f 1 (x) este: x 2 A e (x

509

0

tn et dt, n

D 3e2

1 lim t→0 t

A

B 1



2t

ln(1 + x) dx sin x

t

∞

512 1 lim n→∞ n

B 0

1

[nx] nx] dx

0

B n+1

lim

ln 2 sin1



A 1 513

E

 √

dx 3

∞

este:

C 0

D

1 2

E 2




































515 Aria cuprins˘a ˆıntre ınt re axa ax a Ox, dreptele x = 0 s, i x = π s, i graficul funct, iei f : [0, [0, π ] x sin x f ( f (x) = este egal˘a cu: 1 + cos2 x

A

π2 2

B

π2 6

π2 4

C



D

π2 8

→R ,

E

π2 2 2

√

π

Se consider˘a integrala I integrala I = ce cont, ine [0, [0, 1] .

516

x f (sin (sin x) dx, unde f unde f este este o funct, ie continu˘a pe un interval

0

Are loc egalitatea: egalitatea:

  π

(sin x) dx A I = π 02 f (sin π 2 π 02 f (cos (cos x) dx D I = 2π



π

517

I 1 =

0

E

π 2 ln

 π 0

π C I = 2 π E I = 2

f (sin (sin x) dx

x sin x dx este: 1 + sin 2 x

 √ √  

π A √ 2 ln

B I = π

3+2 2

3+

2

π B 2√ 2 ln

 √  3+2 2

518

π C 2√ 2 ln

3

 →

Aria domeniului m˘arginit arginit de graficul funct, iei f iei f : 0, 34π f ( f (x) =

 − √ 

cos x , 1 + cos x

2 2

R,

  π

2

0

f (sin (sin x) dx

π

2

0

f (cos (cos x) dx

π D √ 2 ln

 − √  3

2 2


































Se consider˘a funct, ia f ia f : R

522

f ( f (x) = x

− e−x

s, i fie g inversa lui f . f .

f  (x) are expresia:

A 1 + ex 523

→ R,

B 1 + e −x

C xe−x

D 1

− e−x−1

E e−x−1

g  ( 1) este:

−

A 0

B



f ( f (x) dx este:

A

1 e

−1

C 2

D

1 2

E

1 e

1

524

0

− 21



−

A

−1

B

3 2

− 1e

C

1 2

− 1e

D

1 e

− 23

E

3 1 2 + e

3 1 2 + e

E

1 e

1 1/e

525

g(x) dx este:

−1

526

 

C

3 2

− 2e

D

− 21

1

lim

n→∞

A 0 527

B 0

n

0

1 lim n→∞ n



1

0

xn + (1

− x)n dx este: B 1

ln(1 + enx ) dx este:

C

3 4

D

1 2

E

1 4


































531

 0

lim n

n

→∞

(x + ex )n dx este:

−1

A e 532

3

C

∞

D 1+e

E 1/ 2

 1

ln x dx d x x2 + 3 π ln 3 3 3

√

A 533

B 0

2

B

π ln 3 12 3

√

C

π ln 6 6 3

√

D

π 2 3


√

 0

arctg x dx d x x2 + 2x 2x + 2

A π 534

B



n

lim

n

→∞

0

2π

π2 B 6 3

√



√

n

lim

1 arctg 2 2 arctg

arctg arctg 21

D

0

E 1

arctg x dx x2 + x + 1

π2 A 6 2

535

C

dx 1+

2

2

C

π2 6

D 0

E

∞


































Urm˘ atoarele atoarele enunt, uri teoretice pot fi utile pentru rezolvarea unor probleme din culegere.

536 Fie x Fie x n > 0, > 0, n

∈ N,

astf astfel el ca lim

n

→∞

  xn+1 xn

n

< 1. 1 .

Atunc tuncii lim lim xn = 0. n

→∞

537 Fie f Fie f : [0, [0 , b

− a] → (0, (0, ∞) o funct, ie continu˘a s, i a < b. Atunci b

 a

−

f ( f (x a) f ( f (x a) + f ( f (b

−

− x)

dx d x =

b

− a. 2

538 Fie f Fie f : ( 1, 1]

−

→ R o funct, ie continu˘a.a. Atunci, 1

lim n

n

→∞



xn f ( f (x) dx = f = f (1) (1),,

a

539 Fie f Fie f : [0, [0 , 1]

→ R continu˘a.a. Atunci,

−1 < a < 1. 1 .

































∗∗∗



































3

Geomet Geo metrie rie analiti anal itic˘ c˘a

542 Fie punctele A(λ, 1) B (2 3) C (3 (3

−1)

S˘a se determine λ astf a stfel el ˆıncˆ ın cât at punctul A s˘ a se


































547

În sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(3, (3, 4), B ( 3, 4) s, i C (3, (3, 4). Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC ABC sunt:

− −

−

−

(1, 1) A (1,

B ( 1, 0)

(0, 0) C (0,

−

(0, 1) D (0,

(0, 1) E (0,

548

− −

Fie C C simetricul punctului A( 1, 3) fat, a˘ de punctul B (2, (2, 1). Care sunt sunt coordonatele coordonatele punctului C punctului C ?? (5, 5) A (5,

(4, 5) B (4,

(6, 5) C (6,

(5, 6) D (5,

(4, 6) E (4,

549 Fie punctele A(0, (0, 2) s, i B (3, (3, 3). Not˘ am am cu P P proiect, ia punctului punctului O(0, (0, 0) pe dreapta AB. AB . Care sunt coordonatele punctului P ? P ? Care este aria triunghiului OAB? OAB ?

A 550

− −  3 5,

9 5

−

;3

B

Fie A(0, (0, 1), d1 : x

− −  3 5,

9 5

;6

C

 − 3 5,

9 5

;3

− y + 1 = 0 s, i d2 : 2x − y = 0.

D

−  3 9 5, 5

;3

E

− 

Coordonatele Coordonatele punctelor punctelor B

3 9 5, 5

;6

∈ d1 s, i


































555

−

Fie punctele A(1, (1, 1), B (2, (2, 3), C (6, (6, 0). Coordonatele Coordonatele punctului punctului D pentru care ABCD este paralelogram sunt: (4, 4) A (4,

(5, 4) B (5,

(3, 5) C (3,

(3, 3) D (3,

(4, 5) E (4,

556

−

Raza cercului care trece prin punctele A( 4, 0), B 0), B (4, (4, 4), O(0, (0, 0) este:

A 6

B 7

√

C 8

D 2 10

√

E 3 5

557 Laturile AB, AB , B C , C A ale triunghiului ABC au ABC au respectiv ecuat, iile: x + 21y 21y

− 22 = 0,0,

5x

12yy + 7 = 0, 0, − 12

4x

33yy + 146 = 0. 0. − 33

Distant, a de la centrul de greutate al triunghiului ABC la ABC la latura B latura B C este: C este:

A 1

B 2

C 3

D 4

E 5


































−

Punctul A Punctul A(( 4, 1) este un vârf arf al p˘atratului ABCD atratului ABCD parcurs parcurs ˆın sens trigonometric, c˘aruia aruia ˆıi cuno cu noas as, tem o diagonal˘ a de ecuat, ie 3x y 2 = 0.

564

− −

Aria p˘ atratului ABCD atratului ABCD este: este:

A 45

B 15

C 90

D 30

E

45 2

11 E ( 2 ,

− 12 )

Punctul C are coordonatele: 565 Punctul C (4, 1) A (4,

−

(5, 2) B (5,

−

(6, 1) C (6,

9 D (2,

− 72 )

Fie Fi e ˆın planu pl anull xOy punctele A(4, (4, 0), B 0), B (5, (5, 1), C 1), C (1 (1,, 5), D 5), D(0 (0,, 4). Patrulaterul ABCD este: este: 566 Patrulaterul ABCD

A patrulater oarecare E trapez dreptunghic

B trapez isoscel

C romb

D dreptunghi


































E (x, y ) = x 2 + y 2

Se consider˘a expresia

− 6x − 10 10yy.

( x, y ) la punctul (3, (3 , 5) este: 571 Distant, a de la punctul (x,



572

Valoarea minim˘ a a lui

E (x, y ), pen pentru tru (x, y )

B

E (x, y )

− 34

B

A 0 573



E (x, y ) + 34 A aspuns E alt r˘aspuns

−34

C 34

{

Se consider˘a mult, imea D = (x, y ) E (x, y ), pen pentru tru (x, y ) D, este:

∈

A 8

B 0

C



E (x, y)

D



E (x, y ) + 1

∈ R2, este: D

−1

E 1

∈ R2 | x2 + y2 − 2y ≤ 0}. Valoarea aloarea maxim˘ a a lui lui C 4

D 6

E 2

Fie ABC ABC un triungh triunghi. i. Not˘ am a m cu G centrul s˘au au de greutate, cu O centrul cercului circumscris, cu H ortocentrul, cu I centrul cercului ˆınscris s i a = B = BC C , b = b = C CA A, c = AB = AB..





































































4




































583

5 π − sin x sin 5π = 1 dac˘a s, i numai dac˘a: a: 4 5π x ∈ 2kπ − π4 | k ∈ Z B x ∈ kπ ± 4 | k ∈ Z x ∈ 2kπ − 54π | k ∈ Z

cos x cos

A D

5π 5 π 4







Se consider˘a funct, ia f ia f ((x) = cos 2n x + sin2n x, n Multimea solutiilor solutiilor ecuatiei ecuatiei f f ((x) = 1 este: 584 Multimea







∈ kπ − 554ππ | k ∈ Z ∈ 2kπ ± 4 | k ∈ Z

C x E x

∈ N, n ≥ 2, x ∈ R.




































592 Fie x Fie x

A

3 π ∈ [π, 3π a tg x = 21 . Atunci perechea (sin x, cos x, cos x) este: 2 ] cu proprietatea c˘

  √ 15 , √ 25

593 Pentru orice a, orice a, b

A 2sin2 (a + b) 594

B

  −1 , √ 2 √ 5 5

C

  −1 , −√ 2 √ 5 5

D

  −2 , −√ 1 √ 5 5

E

  √ 25 , √ 15

∈ R expresia (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 este egal˘a cu: B 2cos2 (a + b)

C 4sin2

a b 2

−

D 4cos2

a b 2

−

E 2




































600 Mult, imea valorilor lui m

∈ R pentru care expresia

E (x) = este constant˘a pe R este:

A

{0}

B



{0, 4}

cos4 x + m sin2 x +

C



sin4 x + m cos2 x

{1, 4}

D

{−1, 0}

E

∅

601 Valorile minim˘a m s, i maxim˘a M ale M ale expresiei E ( E (x) = cos 2 x

− 4sin x, unde x, unde x x ∈ R, sunt:






































608 Multimea Multimea solutiilor solutiilor ecuatiei ecuatiei sin

3 este:






































616 Multimea Multimea solutiilor solutiilor ecuatiei ecuatiei






































624 Ecuatia Ecuatia sin + c

2

∈ R , are solutii solut ii dac˘

i numai dac˘






































634 Dac˘ ˆ



ABC se ABC se dau AB

2 AC = 3 i



(A) = 60 ◦ , atunci:






































643

√  3+i

n




















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































48 4877 488 489 489 49 4900 49 4911 49 4922 49 4933 49 4944 49 4955 496 497 49 4988 49 4999 50 5000 50 5011 502 503

-

Dani Daniel elaa Inoa Inoan n 543 543 - Ioa Ioan Ra Rassa Floare Floare Tom omut uta 54 5444 - Ma Mari riaa Cˆ ampian ampian Mari Ma riaa Cˆ ampian ampian 54 5455 - Ma Mari riaa Cˆ ampian ampian Iuli Iuliu u Criv Crivei ei 546 - Alexan Alexandra dra Ciupa Ciupa Dori Dorian an Popa opa 54 5477 - Vasil asilee Mihe Mihessan Mirc Mircea ea Ivan Ivan 54 5488 - Vior Vioric icaa Mure Muressan Ioan Ioan Ga Gavr vrea ea 54 5499 - Vior Vioric icaa Mure Muressan Ioan Ioan Ga Gavr vrea ea 55 5500 - Teodor eodor Potr Potraa Mirc Mircea ea Ivan Ivan 551 - Silvia Silvia Toader oader Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea 55 5522 - Dari Dariaa Dumi Dumitr tras as Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea 55 5533 - Vasil asilee Pop 55 5544 - Vasil asilee Pop Vasil asilee Mihe Mihessan Vasil asilee Mihe Mihessan 55 5555 - Dori Dorian an Popa opa Dori Dorian an Popa opa 55 5566 - Dori Dorian an Popa opa Dori Dorian an Popa opa 55 5577 - Mirc Mircia ia Gurz Gurz˘˘au au Alina Sˆınt˘ am˘ am˘ arian arian 558 - Mihael Mihaelaa Berch Berches esan Ovidiu Furdui & 559 - Mihael Mihaelaa Berch Berches esan Alin Al inaa Sˆınt˘ ınt˘am˘ am˘ arian arian 560 - Mihael Mihaelaa Berch Berches esan Ovidiu Furdui & 561 - AlinaAlina-Ram Ramona ona Bai Baias as Alin Al inaa Sˆınt˘ ınt˘am˘ am˘ arian arian 562 - AlinaAlina-Ram Ramona ona Bai Baias as Vasil asilee Pop Pop 563 - AlinaAlina-Ram Ramona ona Bai Baias as Ioan Ioan Ga Gavr vrea ea 56 5644 - Lian Lianaa Tim Timbos Alexan Alexandra dra Ciupa Ciupa 56 5655 - Lian Lianaa Tim Timbos Lian Lianaa Timb Timbos os 56 5666 - Floa Floare re Tom omut uta Lian Lianaa Timb Timbos os 56 5677 - Floa Floare re Tom omut uta Lian Lianaa Timb Timbos os 56 5688 - Floa Floare re Tom omut uta Vasil asilee Pop Pop 56 5699 - Dani Daniel elaa Inoa Inoan n Dani Daniel elaa Ros Rosca 57 5700 - Vasil asilee Pop Alexan Alexandra dra Ciupa Ciupa 57 5711 - Vasil asilee Pop Alexan Alexandra dra Ciupa Ciupa 57 5722 - Vasil asilee Pop Mirc Mircia ia Gurz Gurz˘˘au au 57 5733 - Vasil asilee Pop Dani Daniel elaa Ma Mari rian an 57 5744 - Vasil asilee Pop Dani Daniel elaa Ma Mari rian an 57 5755 - Vasil asilee Pop Nico Nicola laie ie Lung Lung 57 5766 - Vasil asilee Pop Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea 57 5777 - Rozi Rozica ca Mo Moga ga Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea 57 5788 - Mirc Mircea ea Ivan Ivan Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea 57 5799 - Mirc Mircia ia Gurz Gurz˘˘au au Mirc Mircea ea Dan Dan Rus Rus 58 5800 - Mirc Mircea ea Dan Dan Rus Rus Mirc Mircea ea Dan Dan Rus Rus 58 5811 - Mirc Mircea ea Dan Dan Rus Rus Mirc Mircea ea Dan Dan Rus Rus 58 5822 - Mirc Mircea ea Dan Dan Rus Rus Mirc Mircea ea Dan Dan Rus Rus 58 5833 - Vior Vioric icaa Mure Muressan Ovidiu Ovidiu Furdui urdui 58 5844 - Bo Bogd gdan an Ga Gavr vrea ea Ovidiu Ovidiu Furdui urdui 58 5855 - Bo Bogd gdan an Ga Gavr vrea ea Mirc Mircea ea Ivan Ivan 58 5866 - Ioan Ioan Ga Gavr vrea ea Mirc Mircea ea Ivan Ivan 58 5877 - Ioan Ioan Ga Gavr vrea ea Mirc Mircea ea Ivan Ivan 58 5888 - Vasil asilee Mihe Mihessan Mirc Mircea ea Ivan Ivan 58 5899 - Adri Adrian an Ho Holh lhos os Mirc Mircea ea Ivan Ivan 590 - Alina Sˆınt˘ am˘ am˘ arian arian Mirc Mircea ea Ivan Ivan 591 - Alina Sˆınt˘ am˘ am˘ arian arian Mirc Mircea ea Ivan Ivan 59 5922 - Ma Mari rius us Biro Birou u Mirc Mircea ea Ivan Ivan 59 5933 - Ma Mari riaa Cˆ ampian ampian Mirc Mircea ea Ivan Ivan 59 5944 - Floa Floare re Tom omut uta Vasil asilee Mihe Mihessan 59 5955 - Vasil asilee Mihe Mihessan ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

504 50 5055 50 5066 507 50 5088 50 5099 51 5100 51 5111 51 5122 513 514 51 5155 51 5166 51 5177 51 5188 519 520 521 52 5222 52 5233 52 5244 52 5255 526 527 52 5288 52 5299 53 5300 53 5311 53 5322 53 5333 53 5344 53 5355 53 5366 53 5377

-

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

60 6011 60 6022 60 6033 604 605 606 60 6077 608 60 6099 610 61 6111 61 6122 61 6133 61 6144 61 6155 616 617 618 619 62 6200 62 6211 62 6222 623 62 6244 625 62 6266 62 6277 62 6288 62 6299 63 6300 63 6311 63 6322 63 6333 634 63 6355 636 637 638 63 6399 64 6400 641 64 6422 643 64 6444 645 646 647 64 6488 64 6499 65 6500 65 6511 65 6522 65 6533

-

Vasil asilee Pop Pop Vasil asilee Mihe Mihessan Mari Ma riaa Cˆ ampian ampian Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea Vasil asilee Mihe Mihessan Gheorg Gheorghe he Toader oader Mirc Mircea ea Ivan Ivan Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea Dari Dariaa Dumi Dumitr tras as Radu Radu Pete Peterr Mirc Mircea ea Ivan Ivan Vasil asilee Mihe Mihessan Dori Dorian an Popa opa Silvia Silvia Toader oader Alina Sˆınt˘ am˘ am˘ arian arian Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea Silvia Silvia Toader oader Vior Vioric icaa Mure Muressan Mirc Mircea ea Ivan Ivan Mari Ma riaa Cˆ ampian ampian Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea Dori Dorian an Popa opa Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea Dori Dorian an Popa opa Dori Dorian an Popa opa Dani Daniel elaa Inoa Inoan n Dani Daniel elaa Inoa Inoan n Dani Daniel elaa Inoa Inoan n Dani Daniel elaa Inoa Inoan n Vasil asilee Mihe Mihessan Vasil asilee Mihe Mihessan Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea Ioan Ioan Ras Rasa Dalia Cˆımpean Dalia Cˆımpean Dalia Cˆımpean Mari Ma rius us Biro Birou u Mari Ma rius us Biro Birou u Alexan Alexandru dru Mitrea Mitrea Vasil asilee Mihe Mihessan Alexan Alexandra dra Ciupa Ciupa Dari Dariaa Dumi Dumitr tras as AlinaAlina-Ram Ramona ona Bai Baias as AlinaAlina-Ram Ramona ona Bai Baias as AlinaAlina-Ram Ramona ona Bai Baias as Ioan Ioan Ga Gavr vrea ea Ioan Ioan Ga Gavr vrea ea Ioan Ioan Ga Gavr vrea ea Dani Daniel elaa Inoa Inoan n Dani Daniel elaa Inoa Inoan n Dani Daniel elaa Inoa Inoan n ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

































10

R˘aspuns pu nsu uri

1:

C

31:

C

61:

A

91:

B

121:

A

151:

C

2:

C

32:

C

62:

A

92:

D

122:

B

152:

C

3:

D

33:

D

63:

C

93:

A

123:

C

153:

C

4:

C

34:

B

64:

B

94:

B

124:

B

154:

C

5:

D

35:

C

65:

B

95:

B

125:

B

155:

B

6:

A

36:

D

66:

C

96:

A

126:

D

156:

D

7:

B

37:

C

67:

A

97:

D

127:

B

157:

D

8:

C

38:

B

68:

B

98:

C

128:

A

158:

D

9:

B

39:

C

69:

C

99:

D

129:

C

159:

C

10:

C

40:

B

70:

D

100:

A

130:

C

160:

C

11:

D

41:

D

71:

C

101:

C

131:

A

161:

D

12:

B

42:

C

72:

C

102:

B

132:

A

162:

B

13:

C

43:

C

73:

E

103:

D

133:

B

163:

D

14:

C

44:

D

74:

C

104:

B

134:

C

164:

D

15:

B

45:

C

75:

A

105:

C

135:

D

165:

C

16:

D

46:

C

76:

B

106:

E

136:

D

166:

B

17:

A

47:

B

77:

D

107:

B

137:

C

167:

B

18:

B

48:

E

78:

E

108:

A

138:

C

168:

A

19:

B

49:

D

79:

E

109:

A

139:

D

169:

B

20:

E

50:

C

80:

D

110:

B

140:

B

170:

D

21:

B

51:

D

81:

C

111:

C

141:

A

171:

A

22:

A

52:

A

82:

A

112:

C

142:

D

172:

D

23:

E

53:

C

83:

B

113:

E

143:

C

173:

D

24:

B

54:

B

84:

A

114:

B

144:

E

174:

C

25:

B

55:

A

85:

D

115:

B

145:

C

175:

D


































181:

B

225:

A

269:

B

313:

E

357:

B

401:

C

182:

C

226:

B

270:

D

314:

D

358:

C

402:

A

183:

D

227:

A

271:

C

315:

A

359:

A

403:

D

184:

C

228:

B

272:

C

316:

C

360:

E

404:

E

185:

C

229:

E

273:

D

317:

E

361:

A

405:

B

186:

C

230:

A

274:

E

318:

B

362:

B

406:

C

187:

C

231:

B

275:

B

319:

B

363:

C

407:

B

188:

A

232:

E

276:

D

320:

E

364:

D

408:

B

189:

C

233:

D

277:

A

321:

C

365:

E

409:

D

190:

C

234:

B

278:

D

322:

E

366:

B

410:

C

191:

C

235:

A

279:

D

323:

A

367:

E

411:

E

192:

B

236:

E

280:

B

324:

E

368:

E

412:

D

193:

E

237:

C

281:

A

325:

D

369:

A

413:

B

194:

E

238:

A

282:

A

326:

B

370:

E

414:

C

195:

D

239:

B

283:

B

327:

A

371:

C

415:

A

196:

B

240:

D

284:

C

328:

C

372:

B

416:

A

197:

D

241:

A

285:

A

329:

B

373:

C

417:

B

198:

E

242:

C

286:

B

330:

C

374:

E

418:

A

199:

C

243:

D

287:

A

331:

D

375:

D

419:

A

200:

C

244:

A

288:

A

332:

E

376:

B

420:

B

201:

B

245:

B

289:

A

333:

D

377:

A

421:

B

202:

D

246:

C

290:

A

334:

D

378:

A

422:

D

203:

A

247:

A

291:

B

335:

A

379:

A

423:

D

204:

B

248:

C

292:

B

336:

D

380:

A

424:

B

205:

B

249:

A

293:

B

337:

B

381:

A

425:

C

206:

B

250:

D

294:

D

338:

B

382:

C

426:

A

207:

C

251:

E

295:

C

339:

A

383:

C

427:

A

208:

C

252:

B

296:

C

340:

E

384:

A

428:

C

209:

D

253:

D

297:

A

341:

C

385:

B

429:

C

210:

B

254:

B

298:

C

342:

B

386:

D

430:

E

211:

C

255:

B

299:

E

343:

D

387:

B

431:

E

212:

D

256:

E

300:

E

344:

A

388:

A

432:

D

213:

D

257:

A

301:

D

345:

B

389:

C

433:

B

214:

B

258:

C

302:

B

346:

A

390:

C

434:

E

215:

B

259:

A

303:

E

347:

A

391:

D

435:

E

216:

A

260:

A

304:

E

348:

A

392:

B

436:

D

217:

B

261:

A

305:

A

349:

E

393:

E

437:

A

218:

D

262:

B

306:

C

350:

E

394:

E

438:

C

219:

A

263:

A

307:

E

351:

D

395:

A

439:

B


































445:

D

489:

D

533:

C

577:

E

621:

E

665:

D

446:

A

490:

B

534:

B

578:

D

622:

B

666:

A

447:

C

491:

A

535:

E

579:

D

623:

D

667:

B

448:

B

492:

B

536:

580:

D

624:

E

668:

A

449:

C

493:

C

537:

581:

A

625:

D

669:

B

450:

E

494:

B

538:

582:

C

626:

B

670:

D

451:

C

495:

A

539:

583:

D

627:

E

671:

E

452:

C

496:

E

540:

584:

D

628:

A

672:

A

453:

A

497:

D

541:

585:

D

629:

B

673:

D

454:

A

498:

C

542:

C

586:

B

630:

A

674:

E

455:

A

499:

B

543:

A

587:

C

631:

C

675:

A

456:

B

500:

A

544:

D

588:

A

632:

C

676:

B

457:

C

501:

E

545:

E

589:

B

633:

B

677:

C

458:

A

502:

A

546:

A

590:

A

634:

B

678:

B

459:

C

503:

A

547:

C

591:

C

635:

D

679:

A

460:

D

504:

A

548:

A

592:

C

636:

D

680:

B

461:

B

505:

E

549:

D

593:

D

637:

B

681:

D

462:

A

506:

A

550:

A

594:

E

638:

A

682:

B

463:

E

507:

A

551:

A

595:

B

639:

D

683:

C

464:

A

508:

A

552:

D

596:

C

640:

A

684:

D

465:

A

509:

B

553:

B

597:

C

641:

D

685:

E

466:

B

510:

C

554:

A

598:

B

642:

C

686:

A

467:

D

511:

C

555:

B

599:

E

643:

E

687:

D

468:

A

512:

D

556:

D

600:

B

644:

A

688:

C

469:

A

513:

B

557:

C

601:

D

645:

B

689:

B

470:

A

514:

B

558:

D

602:

D

646:

D

690:

E

471:

D

515:

C

559:

B

603:

C

647:

C

691:

D

472:

D

516:

A

560:

C

604:

A

648:

B

692:

E

473:

B

517:

B

561:

A

605:

A

649:

A

693:

A

474:

A

518:

D

562:

B

606:

C

650:

B

694:

B

475:

A

519:

B

563:

B

607:

B

651:

C

695:

A

476:

B

520:

C

564:

A

608:

E

652:

A

696:

D

477:

C

521:

D

565:

B

609:

A

653:

D

697:

A

478:

A

522:

B

566:

D

610:

D

654:

B

698:

B

479:

C

523:

D

567:

B

611:

C

655:

D

699:

D

480:

D

524:

A

568:

D

612:

B

656:

E

700:

E

481:

B

525:

C

569:

A

613:

A

657:

D

701:

C

482:

A

526:

C

570:

A

614:

E

658:

B

702:

E

483:

C

527:

C

571:

A

615:

B

659:

A

703:

C


































709: 710: 711: 712: 713: 714: 715: 716: 717: 718: 719: 720: 721: 722: 723: 724: 725:

C A C B C D B D B C E B A C B A E

726: 727: 728: 729: 730: 731: 732: 733: 734: 735: 736: 737: 738: 739: 740: 741: 742:

D E A E A B C D B A C B C D E D E

743: 744: 745: 746: 747: 748: 749: 750: 751: 752: 753: 754: 755: 756: 757: 758: 759:

D C B D C A D C D E B C E D E A D

760: 761: 762: 763: 764: 765: 766: 767: 768: 769: 770: 771: 772: 773: 774: 775: 776:

C D A B C D E B C E B E A B A B A

777: 778: 779: 780: 781: 782: 783: 784: 785: 786: 787: 788: 789: 790: 791: 792: 793:

C

794:

C

A

795:

E

A

796:

D

797:

E

798:

A

A

799:

B

B

800:

C

D

801:

D

E

802:

C

B

803:

D

804:

A

805:

D

A

806:

C

B

807:

D

E

808:

C

B A E

C B E



































































∗∗∗

































11

Indicatii ,













2 lg 2x = lg(2x + x  

− 1).

2(x3 + 1) = 0. 0. 3 Se obt, ine ecuat, ia 2(x   f (1) = 0 6  f (1)

 



⇒ a + b = −2, f  (1) = 0 ⇒ 99 99a a + b = −100 ⇒ a = −1; b = −1.

7 ω = 12 +   1; b = 1.

− 



− −

√ 3 2

este r˘ad˘ ad˘ acina acina polinomului X 2 + X + 1 s, i ω 3 = 1. 1. Din Din f ( f (ω ) = 0

+ 1) q + X + X 2 + X + + 1. Av Avem em c˘a f (1) f (1) = 3, 3, f ( f ( 1) = 1 8 f = (X 1)2 (X +    din f din f (1) = 3 99 99a a + b = 97, deci a deci a = 1; b = 2. 

− − ⇒

· −

−

−



Coordonatele vˆ arfului unei parabole sunt xV = arfului 16  Coordonatele  observ˘ a relat, ia y ia y V = xV .

−













− 2ba =

1 m m ,

−

yV =

⇒ a =

⇒ a + a + b b = = 1 iar

− 4∆a

=

m 1 m .

−

Se

echivalent˘ a cu 9 x−1 + 7 = 4(3 x−1 + 1), 1), = x 1 = 1, x2 = 2. 24  Ecuat, ie echivalent˘ 

⇒

0, x = 0, 2x 2 x3 +2 +2x x2 3x +1 > 0. > 0. Ecuat, ia se mai scrie scrie 2x 2 x3 +2 +2x x2 3x +1 = (1+ x)3 . 26  1 + x > 0, x 



+ b + + c c))2 28  Din (a + b  c = 0.

−

≥ 0 rezult˘a ab + ab + bc bc + + ac ac ≥ − 12 (a2 + b2 + c2 ).

−

√

a = 1/ 2, b =

−1/√ 2,


































este de gradul I s, i atunci m = 2. Din relat relat, ia 10m 10m + 3n 3 n = 19 19,, rezult˘a n = 1 solut, ia este m este m = 2 s, i n = 3 .

−





∈ −

− 13 . Prin urmare urmare,,

−

faptul c˘ a T P 2 rezult˘a c˘a m = 2. Dacˇ Dacˇ a parabolele parabolele sunt sunt tangente, tangente, ecuat, ia 77  Din faptul 2 4x + (n ( n 17)x 17)x + 2n 2 n 18 = 0 are r˘ad˘ ad˘ acin˘ acin˘ a dubl˘a s, i din condit, ia ∆ = 0 obt, inem n = 1. Solut, ia este m = 2 s, i n = 1. 

−

−

−

17 5 x + 2−x . Ecuatia devine 8y 2 Not˘ a am m y = 2 8 y 54y 54 y + 85 = 0, cu solut iile y iile y = , y = . 94 , , 1 2   4 2 Solut, iile ecuat, iei date sunt x 1 = 1, x 1, x 2 = 1, x 1, x 3 = 2, x 2, x 4 = 2. 



−

−



−



ca f ((x) s˘ a fie surjectiv˘a trebuie ca m > 0 s, i 2m 99  Pentru ca f  







     − √  √  − √  √  √  − − − − − − ⇔   √ √ − − ⇒ 1 2 2

100  Se obt, ine ecuat, ia x +  123  

+ y +

x21 = 2 +

x41 = 12 + 4(

x41

− mx21

2(4 











−1 ≤ 1+m ⇒

4 =8

− m) + (4

1 2 2

= a + 21 .

3

2 2+

3

2 2+

2m + (4

x41

m)( 3

3+2 2

mx21

m)( 3

3 + 2 2) 2 2+

√

3 + 2 2)

5 =0

2 2+

3 + 2 2) = 0

m = 4.

coeficient, ilor unui polinom este valoarea sa pentru x = 1. 157  Suma coeficient  det(A) = V (1 V (1,, i, 1, i) s, i A4 = 16 1 6I 4 . 173  det(A 

− −

elementelee matricei matricei X. Se consider˘a situat, iile: 178  Fie a, b, c, d elementel a + d = T = T r (X ) = 2 si a + d = 2. 















· ≤ min(rang(A min(rang(A), rang(B rang(B )).

rang(A B ) 179  rang(A 

scriu tot tot, i logaritmii logar itmii ˆın baza x. 217  Se scriu  1, α 2 = α1 . 229  Avem: α2 + α + 1 = 0, α3 = 1, α 2 = α 1, α  2 A2 ) = det( Deducem: det( αA αA αA2 A2 )

− −

m

∈ (0, (0, 2].






































am doar una dintre submult, imi (spre exemplu, 238  S, i ˆın acest caz, este suficient s˘a preciz˘am  pe aceea care ˆıl cont, ine pe 8). Pentru Pentru a completa submult submult, imea, mai r˘amˆ amˆ an an de ales oricare 3  elemente din A din A = 1, 2, . . . , 7 .

{









}

suficient s˘ a se elimine din cele 2 8 submult, imi ale lui A pe cele care nu cont, in 240  Este suficient  niciun num˘ar ar impar imp ar (ˆın num˘ar a r de 2 4 ). Similar cu problema problema anterioa anterioar˘ r˘ a, a, se elimin˘a din cele 2 8 submult, imi ale lui A pe cele 241  Similar  care nu cont, in numere pare (2 4 submult, imi) s, i pe cele care nu cont, in numere impare (tot 24 ). Deoarece mult, imea vid˘ a (este singura submult, ime care) se elimin˘a de dou˘a ori, r˘aspunsul aspunsul 8 4 4 trebuie ajustat adunând and ˆınapoi ınap oi 1. Rezult˘a r˘ aspunsul aspunsul 2 2 2 + 1.

− −





bilelor ˆın cutii este o funct, ie de la mult, imea bilelor la mult, imea 242  Orice distribut, ie a bilelor cutiilor. 









Similar cu punctul anterio anterior, r, cu deosebirea deosebirea c˘a se mai introduce o cutie pentru bilele 243  Similar  care ar putea r˘amˆ amˆ ane ane nedistribuite. ator. Rezult˘a c˘ a s, irul are o limit˘a L, L , finit˘a sau 254  xn+1 xn = x1n > 0, deci s, irul este cresc˘ator.  infinit˘ a. a. Dac˘ a presupunem c˘a L este L este finit˘a, a, avem L avem L = = L L +2 +2/L /L,, deci 2/L 2 /L = = 0, fals. Prin urmare 2 x L = . Conform Conform Lemei StolzStolz-Cesar Cesaro o avem avem lim n = lim xn2 +1 xn2 = lim 4 + 4/x 4 /xn2 = 4. n→∞ n n→∞ n→∞ xn Rezult˘ a lim = 2. n→∞ n

−

∞

−

√





− xn = e = e x − xn − 1 ≥ 0, ∀n ≥ 0, deci s, irul este cresc˘ator. ator. ator rezult˘a c˘ a exist˘a lim lim xn ∈ R. Dac˘ a presupunem c˘a lim xn = 257 Cum s, irul este cresc˘ator n→∞ n→∞ x x, x ∈ R, din recurent, a˘ obt, inem x inem x = = e e − 1, de unde x unde x = = 0 contradict, ie cu x cu x0 > 0 s, i monotonia lui (x (xn )n≥0 . Deci Deci lim lim xn = ∞. n→∞ f (xn ) := x := x n+1 256  f (  















n

≤ 0, s, irul este cresc˘ator ator s, i m˘ arginit arginit superior de 0.

Pentru x 0 258  Pentru x 

lim 259  lim nxn = lim n

→∞











n

→∞

n 1

s, i se aplic˘a Stolz-Cesaro.

xn

260  x100 = 1  261

⇒ x99 ∈ {0, 1}. x99 = 0 nu convine, etc. xn+1 − xn = (xn − 1)2 , n ≥ 1 deci sirul s irul este cresc˘ator. ator.

Dac˘ Daca˘ presupunem c˘a exist˘a








































278 

 































2k 1 k (1+2 )(1+2k+1 ) −

=

1 2



1 1+2k

−

1 1+2k+1



.

a k ! (k 2 + 1) = (k ( k + 2)! 282  Se observ˘a c˘ 

·

− 3(k 3(k + 1)! + 2k 2 k !.

nπ la argumentul funct, iei cosinus. 285  Se scade 2nπ la  folosi, de exemplu, exemplu, inegalit inegalit˘˘at at, ile n ile n 287  Se pot folosi, 

≤ an ≤ n + 1, n ∈ N∗.

≤ an ≤ n + 1 s, i Stolz-Cesaro an ≤ n + 1 s, i Stolz-Cesaro

288  n  289  

aplic˘a Problema 536. 290  Se aplic˘  n

x 296  pn = 2sin2 n sin x . 

va folosi folosi x x 303  Se va 

− 1 < x ≤ x, pentru orice x ∈ R.





n n n 1 + an 304  lim ln a 1 + a 2 +  n→∞ n n n ln(1 + a− 2 + = lim lim ln a + lim n→∞ n n→∞ n 











···

foloses, te lim lim 305  Se foloses  n→∞ s, ir m˘arginit arginit oarecare.

√ n = 1. Aceeas, i rezolvare dac˘a ˆın loc de de n

309  xn = [n lg3 2 + lg 3 2008].

 



1

· · · + a−n+1) = ln a. (sin n)

se cons consid ider er˘˘a un














































⇔ f ([ ([−2, 1]) = M = M ,, deci M = [0, [0 , 4], studiind graficul funct, iei. Avem g  (x) = f  (f ( f (f ( f (x))) · f  (f ( f (x)) · f  (x). 381 Avem g

f surjectiva 379  f 













384 f  (0) =

 5

1 3 x 6 lim

− x + sin x

x

→0

x5

.

deci f este este constant˘a pe fiecare din intervalele din domeniu. 427  f  (x) = 0 deci f

 



and cont de domeniile funct, iilor care c are intervin intervi n ˆın definit defin it, ia funct, iei f iei f avem: avem: 429  Tinând  s, i x R ceea ce este echivalent cu x R.

| | ∈



∈



am derivata funct, iei f iei f s, i obt, inem 430  Calcul˘am





f (x) :=











431  

2 , 1+x 1+x2

−

x 0, x 2 , x 1+x 1+x2

∈ (−∞, −1); ∈ (−1, 0) ∪ (1, (1, ∞); (0, 1). 1). ∈ (0,

√ ∞) funct, ia este constanta, deci f ( f (π ) = f ( f ( 3) = π2 . f (x) < 0 < 0 pentru orice x ∈ (−∞, −1).

Prin urmare, pe p e interv intervalul alul [1 , 

 



ie t = 448  Substitut, ie t 

451  x 



x . x+3 1

− 1 = t; t ; se obt, ine



f ( f (t)dt )dt unde f ( f (t) =

−1

2t3 +3t +3t este (t2 +4)n

funct, ie impar˘a. a.

2x | 1+x |≤1 1+x 2






































491  arcsin(sin x) = x, dac˘a x  dac˘a x ( π2 , π ].

∈



∈ [0, [0, π2 ], arcsin(sin x) = π − x,



502  Avem





2

x3

− x − 2 dx x3 ex

1

2

=

1

=



+ J = 504  I +  









1



506  an+1 

0

− an =

  an an

508  f 1 (x) =  









x2



0





512  nx 

0

t

1

2

2

1

1

2

1 dx d x x2 ex

1 dx d x + x2 ex 1

I =

0

1

2

1

2 dx d x = x 3 ex

1 x2



1 dx. d x. ex

1 dx = ln ln 2. 1+x

2

− an)e−c .

3

6

0

t et dt = e = e t (t

1

≤ nlim →∞

2

·



1 ex

e−x dx = (an−1

3

2

et dt, G (x) = e x , F ( F (x2 ) = G( G (x2 ), F  (x) = e x 2x.

F (x2 ) 509  f n (x) = (F (  obt, ine f ine f n (1) = 2e 2e.

510  0 

1

−

G (x) = 507  Dac˘a G(



−

  − −  −      − −

1 dx d x ex

1+x π ln 2 d x = + s, i J 1 + x2 4 2

x





n

2

2

− 1) |x0 = ex (x2 − 1) + 1.

− F (0)) F (0)) = 2x · F  (x2 ) = 2x(x2 )n ex

·e

t



1

dt

nx] ≤ nx − 1 ≤ [nx]

≤ nlim →∞ e

0

2

e = 0. 0. n→∞ n + 1

tn dt = lim lim

2

= 2x2n+1 ex , pentru n = 1 se














































foloses, te substitut, ia x ia x + ex = y s, i problema 538. 531  Se foloses  Schimbare de variabil˘ variabil˘a x = 3/t. /t. 532  Schimbare 

− t)/(1 + 2t2t).

Schimbare de variabil˘ variabil˘a x = (2 533  Schimbare

 











foloses, te egalitatea arctg x + arctg x1 = π2 , x > 0. 534  Se foloses  foloses, te periodicitatea periodicitatea funct, iei de integrat s, i egalitatea egalitatea 535  Se foloses  general, fie xn , an > 0, n 0, n 536  Mai general, 



∈ N, astfel ca lim

n

→∞

  xn+1 xn

n 1

≥

xn+1 xn

Rezult˘ a

∞ s, i

π √ 1+n . 1+n2

< 1. 1 .

∈ N astfel ca

n

 

=

π 1 dx dx = 0 1+n 1+n2 cos2 x

an

S˘ a demonstr˘ demonstr˘ am am c˘a lim xn = 0. Fie 0 < 0 < q < 1 s, i p

→∞

1 an



an

< q,

1

xn+1 < x p q ap

n

+ + a1

···

n

,

≥ p. n

≥ p,

→ 0.

de unde x unde x n 







= a + b 537  x = a 

540 





− t.

1

0

f ( f (nx) nx) dx

=

1 n



n

0

f ( f (x) dx=

1 n



T

0

n T

n T

 +T { }

f ( f (x) dx =

1 n



T

0

n T

 

f ( f (x) dx






















































−−→ −→ −−→ −−→

OB + OC =  576  OH = OA + OB + 0 = 

⇒ P = O. O .

(sin2x)2 . . . (sin nx) nx)2 = 1; (sin x)2 = 1, (sin2x (sin2x)2 = 1 605  (sin x)2 (sin2x  sin( x + π6 ) = 1 611  Ecuat, ia se scrie sin(x  = cos cos 4α + i sin4α, sin4α, sin4α sin4α = 0 644  E = 

= kπ ⇒ 4α = k π.

647  Se folos, es, te reprezentarea geometric˘a a numerelor complexe.   2kπ 2 kπ 2kπ 2 kπ cos + i sin , k = 1, . . . , n sunt n sunt r˘ad˘ ad˘ acinile complexe ale ecuat, iei z n acinile 653   n n folosesc relat, iile iil e lui l ui Viète. et e. 

















654  

√ 3 − i = 2



 −

11π 11π 11π cos 11π 6 + i sin 6 ;

ia f ((x) = 8. 660  Se rezolv˘a ecuat, ia f  0 , 1 + a = 662  1 + a + a2 = 0, 

√



− 1 = 0; se



1 + i 3 = 2 cos 23π + i sin 23π .

−a2 s, i analog 1 + a = −a2.

663  Determinantul sistemului este diferit de zero.

 







664  Se pune condit, ia ca determinantul sistemului s, i determinantul caracteristic al sistemului  s˘ a fie egale cu zero.

∗ ∗ ∗ ∗ ⇐⇒ (a2 − a)(x )(x − z ) = 0, ∀x,y,z ∈ R. [0, 1], ∀ x, y ∈ [0, [0, 1] ⇐⇒ 0 ∗ 0 ∈ [0, [0, 1], 0 ∗ 1 ∈ [0, [0, 1], 1 ∗ 1 ∈ [0, [0, 1], de unde 666 x ∗ y ∈ [0, 0 ≤ a ≤ 1 si 0 ≤ 2a − 1 ≤ 1. = x (y z ) 665  (x y ) z = x

 


















































681  

     →     − (3+n (3+n)! n n!n3

1 n n

= 1+

1+

2 n n

1+

3 n n

e1 e2 e3 = e 6 .

olosim sim lim xx = 1. Avem: 682  Folo  x

lim ((1 + x)x

x

→+0









1)x = lim x

→+0

ex ln(1+x) 1 x ln(1+x ln(1+x)

−

x

xx

ln(1+x ln(1+x) x x x x

− cos2 x + 4 cos cos x + 1 = 5 − (2 − cos x)2 , max f ( 4 , min f ( deci m ∈ [−4, 4]. f (x) = 4, f (x) = −4, deci m

f (x) = 687  f ( 

688  

→+0

= 1.

cos x

∈ [−1, 1].

Culegere Teste Grila Admitere UTCN 2019

Recommend Documents