FUNDACION UNIVERSIDAD DE AMERICA
METODOS NUMERICOS GRUPO 10
PROFESOR NESTOR AGUDELO DIAZ
STIVEN SALAZAR ZULUAGA
VIERNES 29 DE MAYO 2015 UNIDAD 1
TEORIA DE ERRORES: Los conceptos relacionados con la teoría de errores visto desde el punto de la ingeniería se pueden defnir de la siguiente manera: 1. MEDIR: MEDIR: Cuantas veces está contenida contenida una unidad unidad patrón en un espacio. . E!"C#I#$D E!"C#I#$D:: %rado de acercamiento acercamiento a&soluto a&soluto a un valor real' (en la vida cotidiana nunca se acerca o llega a ser el valor real). *. +RECI, +RECI,I- I-:: %rado %rado de acerc acercami amient ento o relat relativo ivo a un valor real. Errores Errores en una medición:
,istemáticos: De&ido a condiciones e/ternas 0ue aectan el instrumento de medición' generalmente el a&ricante de&e reali2ar estimaciones de la magnitud 3 el signo con el 0ue se aecta la medición. De&ido a limitaciones d el "ccidentales: o&servador' se presentan de orma aleatoria 3 se pueden modelar mediante la teoría de la pro&a&ilidad.
TEORIA DE ERRORES: Los conceptos relacionados con la teoría de errores visto desde el punto de la ingeniería se pueden defnir de la siguiente manera: 1. MEDIR: MEDIR: Cuantas veces está contenida contenida una unidad unidad patrón en un espacio. . E!"C#I#$D E!"C#I#$D:: %rado de acercamiento acercamiento a&soluto a&soluto a un valor real' (en la vida cotidiana nunca se acerca o llega a ser el valor real). *. +RECI, +RECI,I- I-:: %rado %rado de acerc acercami amient ento o relat relativo ivo a un valor real. Errores Errores en una medición:
,istemáticos: De&ido a condiciones e/ternas 0ue aectan el instrumento de medición' generalmente el a&ricante de&e reali2ar estimaciones de la magnitud 3 el signo con el 0ue se aecta la medición. De&ido a limitaciones d el "ccidentales: o&servador' se presentan de orma aleatoria 3 se pueden modelar mediante la teoría de la pro&a&ilidad.
DEPURACION DE DATOS:
•
En la práctica se reali2an más de *4 o&servaciones para disminuir errores. errores. Zi =
Xi − x´ S
617 8i 71
Donde: Zi
5 umero de desviaciones estándar 0ue esta (
Xi
) con respecto a la x´ . Xi
5 -&servación o dato. n
x´ =
,5 •
Xi ∑ = i 1
+romedio.
n
√
n
( Xi Xi − x´ ) ∑ = Desviación estándar. 2
i 1
n −1
El VALOR MEDICION ´ + t X
∝
2
MAR
PROBABLE
DE
UNA
9 ´ −t X
∝
2
Donde: 95 Medio pro&acional (valor real) ´ X
5+romedio de los datos depurados (estimador puntual) ´ + t X
t
∝
2
∝
2
s √ b
5 Error de estimación
5 alor critico en la distri&ución (t) de student
con un intervalo de conian2a (16;) con: 5 n61' gados de li&ertad ,5 Desviación estándar de los datos depurados 5 #ama
Disti!"#i$% t &' st"&'%t 1=,e diine el 16;54'>? =Calcula grados de li&ertad v5n61
•
PROPAGACION DE ERRORES
El modelo de propagación ∑ f ( x ) =G ∑ X G donde: 2
2
T
∑ f ( x ) 5 Matri2 de los errores de las varia&les 2
dependientes. %5 Matri2 de las derivadas parciales de las varia&les dependientes respecto a las independientes.
∑ X 5 Matri2 de los errores en las varia&les 2
independientes. %t 5 Matri2 transpuesta de %. M@todo: 1=Esta&lecer las varia&les dependientes.
[ ] da dx dd dx
=Defnir la matri2 %
[
2
σx X = σyx
*=Defnir ∑
2
σxy 2 σy
da dy dd dy
]
A=Matri2 transpuesta de % T ?="plicar ∑ f ( x ) =G ∑ X G 2
2
5
!51'*B4'4
•
POLINOMIO DE TAYLOR
"pro/ima una uncion a un polinomio entorno a un
punto Error a&soluto5E"5 |Vreal−Vaprox | Error relativo 5 ER5
| /144
SERIE DE TAYLOR
•
pn ( x )
|
Vreal−Vaprox Vreal
=
f ( x0 ) 0!
+
f ′( x0 )( x − x0 ) 1!
+
f ′′( x0 )( x − x0 ) 2!
2
+
f ′′′( x0 )( x − x0 ) 3!
3
+ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ +
f n ( x0 )( x − x0 ) n!
n
+ Rn ( x )
UNIDAD 2
ECUACIONES NO LINEALES: 1=,i tenemos : •
2
x =1
√ x = ± √ 1 2
x =± 1=valor real
=,i igualamos la ecuacion a cero 2
x −1=0
*=Esta&lecemos una uncion 0ue encuentre los ceros f ( x )= x −1 2
A= ,e conclu3e 0ue los ceros de la uncion son iguales a la solucion de la ecuacion dada METODO DE BISECCION •
p1 •
=
a+b 2
La primera &isección
Fa=.F&=G4 se trasladó el límite superior
p 2 •
=
a + p1 2
La segunda &isección
Fa=.Fp=H4 se trasladó el límite inerior •
"sí sucesivamente asta llegar a la tolerancia e/igida donde
Tol=| Pn− Pn−1|
•
METODO DE LA REGLA FALSA
+or semeJan2a de triángulos Pn− a b− Pn = − F ( a ) F ( b )
El o&Jetivo es allar +n entonces despeJando nos 0ueda aFb−bFa Pn= F ( a )− F ( b ) e ( x
2
−1)
+
ln
(
)
x − 1 + x x
=
246,93
con tol G 1146N
Kallar la solución a
•
NE(TON)RAP*SON
En el triángulo F!n'!i'F!i== La pendiente está dada por
m=
f ( Xi ) ∆y = ∆ x Xi − Xn
Como m5OF!i= Reempla2ando lo anterior en la pendiente del triangulo
¿
OF!i=
f ( Xi ) Xi− Xn
Como el o&Jetivo es allar !n despeJamos !n5
Xi −
f ( Xi ) f ´ ( Xi ) 1 x 2 −1
f ′( x ) =
2 * x * e
(
x − 1 + x x
e ( x
2
−1)
+
ln
)
=
+
2
246,93
x
−
1 2
x − 1
+ x
x
(
* 1 + ln
Kallar la solución a
con tol G 1146N Derivada
•
( x ) )
METODO DE LA SECANTE
La pendiente de la recta secante m=
∆ y f ( Xi )− f ( Xi −1 ) = ∆x Xi − Xi −1
Como mPOF/i= si Q/ tiende a cero Reempla2ando Xn= Xi −
Xn= Xi −
f ( Xi ) f ( Xi )− f ( Xi −1 ) Xi − Xi −1 f ( Xi )( Xi − Xi −1 ) f ( Xi )− f ( Xi −1 )
❑
e ( x
2
−1)
+
ln
(
)
x − 1 + x x
=
246,93
con tol G 1146N
Kallar la solución a
METODO DEL PUNTO FI+O
•
Dada una F/= si la descomponemos en /5gF/=
Converge |g ´ ( x )|< 1
e ( x
2
−1)
+
ln
(
)
x − 1 + x x
=
246,93
con tol G 1146N
Kallar la solución a
Donde se destaca 0ue solo converge el primer despeJe
DespeJes 1=
X =± √ ln ( 246,93 −ln ( √ x −1 )− x ) + 1
=
x =( e 246,93−e
x
(
2
x −1
− x x)
+1 ) x
*=
x=
ln ( 246,93−e
−1
− ln ( √ x −1 ) )
ln x 2
x − 1
ln ( 246,93 − e
A=
2
2
¿
− ln ( √ x − 1 ))
(¿ x ¿) ¿ ¿ x = e
Una partícula parte del reposo sobre un plano inclinado uniforme , cuyo ángulo θ cambia con una rapidez constante de:
d θ dt
= w < 0
Al final de t segundos , la posición del objeto está dada por:
x( t )
=
g 2w
2
e wt − e− wt − Sen( wt ) 2
Suponga que la partícula se desplazo !" pies en segundo ! #ncuentre la rapidez $ con que cambia θ ! Suponga que g%&'!"pies(s ' !por cualquier m)todo *on una tolerancia de +-. S/0U*1/2A3 4/3 5/6/S 0/S 7#5/6/S 2e$ton
Secante
UNIDAD , •
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
,i tenemos /63SA25 !SA3625? A/S*3S>256 El valor real: El sistema en orma matricial
[
7 1 4
][ ] [ ]
−2
4 x −2 y 9
4 3
=
2 5 −2
"./53 Donde "5 Matri2 de los coefcientes del sistema !5 Matri2 de las incógnitas 5 Matri2 de los t@rminos independientes La solucion del sistema "./53 1
y
!5
!
!5
! y
•
−1
METODO DE +ACOBI
La matri2 de los coefcientes del sistema de&e ser dominante en su diagonal
"5
[
7 1 4
−2 4 3
]
4 F 1 −2 F 2 9 F 3
ila 1
ila
ila *
HSA
AH1S
>HAS*
HN
AH*
>H
$na ve2 esto se cumpla Metodo ,e despeJa el sistema por la diagonal dominante / 63 SA2 5 ! SA3 62 5? A/ S*3 S>2 56 !5TST36AT2 5?TA61TA/STA2 856T>6AT>/61T*3
•
METODO DE GAUSS - SEIDEL
Es id@ntico al m@todo de Jaco&i asta el despeJe por la dominante' solo 0ue en este caso la interacción se reali2a con el inmediatamente anterior.
•
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
M.t/&/ &' %'t/%)3s/%
•
E "RI", "RI"ULE, xn= xi −( f ´ ( xi )
) f ( xi )
[ ][ ]
[
−1
" −1
"
df 1 " −1 dx 1 df 2
x 1 x 1 " " −1 − x 2 = x 2 " −1 dx 1 " " −1 x n x n df n " −1 dx 1
df 1 " − 1 dx 2 df 2 " − 1
dx 2 df n " − 1 dx 2
dfn " −1 dx n df 2 " −1
dx n df n " −1 dx n
]
[
f 1 ( x 1
" −1
x1 x1 − x2
− 0.343 = 0
x1
+ e − 7.619 = 0 x2
,olucionar con una tolerancia G1146N
Iniciamos con
El Vaco&iano
" −1
) " −1 " − 1 " −1 61 f 2 ( x 1 # x 2 $ x n ) " −1 " −1 " −1 f n ( x 1 # x 2 $ x n )
Jaco&ia Cos( Ln( x1 ) ) − x1 x2
" − 1
# x2
$ xn
]
EVERCICI-
( ( ))
x F 1= tan ln x + y
√
2
2
2
x y
+ e −1,252 =0
x + y F 2= + y 2−1,711 =0 x + y
UNIDAD 4 •
INTERPOLACION POLINOMICA
Caso 1 Wue el polinomio pase por todos los datos
1=El polinomio P ( x )= a 0 + a 1 x + a 2 x + a 3 x + $ + an x 2
3
n
=Donde el grado será (n61) datos *=Los coefcientes del polinomio están dados por
[]
a0 −1 T T a 1 = ( x x ) ( x y ) an
Donde: !5
5
[
0
x 1 x 1 x 20 x 2 0 x n xn
n
x1 x2 n xn
]
[] y 1 y 2 yn
C",- Wue el polinomio pase por el centro de los datos
Criterio para elegir el grado +-LI-MIC", +"RE, -RM" DE $ +-LI-MIC", IM+"RE, -RM" DE ,
POLINOMIO DE LAGRANGE
•
El modelo P ( x )= f ( x 0 ) ln 0 + f ( x 1 ) ln 1+ f ( x 2 ) ln 2 + $ + f ( xn ) ln"
Donde: F/4='F/1='F/=XF/n= Los valores o&servados de la varia&le dependiente Ln4'ln1'ln'lnY ,e denominan los coefcientes de lagrange "
ln" =
( x − xi ) ∏ = ( xi − x" ) i 1
UNIDAD 5 DERIVACION NUMERICA DIERECI" +R-%RE,I"
La pendiente de la recta secante m=
∆y ∆x
5
f ( xi+ % )− f ( xi) %
,i tiende a cero mPOF/i= OF/i=P
f ( xi+ % )− f ( xi ) %
ME#-D- DE L-, #RE, +$#-,
La pendiente de la recta secante m=
f ( xi + % )− f ( xi− % ) 2%
,i tiende a cero f ´ ( xi ) ≅
•
f ( xi + % )− f ( xi −% ) 2%
DERIVACION DE DATOS
P´ ( X )= f ( xi )
2 x − xi −1− xi + 1
( xi − xi−1 ) ( xi− xi + 1 )
+f ( xi −1 )
2 x − xi − xi + 1
( xi −1− xi ) ( xi −1− xi + 1 )
+ f ( xi + 1)
2 x − xi − xi −1
( xi + 1− xi )( xi+ 1− xi−1 )
C",- 1 ,i los intervalos en la varia&le independiente son dierentes se toma la estimación del menor intervalo C",- Cuando los intervalos son iguales se reali2an am&as estimaciones 3 se toma el promedio de ellas
•
INTEGRACION NUMERICA
Calcular el área &aJo una curva •
METODO DEL TRAPECIO
& ! = ( ' ´ + ' ) 2
x 1
∫ f ( x )dx ( x 1−2 x 0 ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) )
x 0
Como /16/45 paso
(f ( x 0 ) +f ( x 1 ) ) x 1
∫ f ( x ) dx = %2 ¿
x 0
3
∫ x
2
dx
5
1
26 3
En este caso 3
∫ x
2
1
ER5
dx (
3 −1 2 2 ( 1 +3 ) =10 2
| | 26 − 10 3 26 3
/14451?'*Z
+ara meJorar la precisión en estos m@todos de integrales se divide en una ma3or cantidad de partes la integral
Kallar la integral de:
•
METODO DE SIMPSON
,IM+,- 5
& =
' − ! 2
" partir de estos tres datos se genera el polinomio de lagrange (pF/=) 0ue este al integrarlo se o&tiene x 2
∫ f ( x ) dx ( %3 [ f ( x 0 )+ 4 f ( x 1 ) +f ( x 2 )]
x 0
Kallar la integral de:
,IM+,- 5* & =
' − ! 3
"l allarle la integral al polinomio x 3
∫ f ( x ) dx ( 38% [ f ( x 0 )+3 f ( x 1 ) +3 f ( x 2 ) + f ( x 3 )]
x 0
Kallar la integral de:
,IM+,- 5A & =
' − ! 4
"l allarle la integral al polinomio x 4
∫ f ( x ) dx ( 245% [ 7 f ( x 0 ) +32 f ( x 1 )+12 f ( x 2 )+ 32 f ( x 3 ) +7 f ( x 4 ) ] x 0
Kallar la integral de:
•
ECUACIONES DIFERENCIALES
,i tenemos dy = y −t 2+ 1 dx
Con condicion inicial 3F4=54'? allar en el intervalo F4'=
la solucion real 2 t ( ) 1 0,5 t + − e 35
ME#-D- R"%E6[$##" -RDE (A) "lgoritmo 1 6
)i + 1=)i + ( " 1+ 2 " 2 + 2 " 3 + " 4 )
Donde: " 1=%f ( )i#ti ) " 2= %f ( )i +
(
" 3= %f )i +
" 1 2
" 2 2
% #ti + ) 2
# ti +
% 2
)
" 4 = %f ( )i + " 3, ti + % )
Metodo Esta&lecer el paso %=
b −a n
&: limite superior a:limite inerior n:numero de divisiones en este caso n514
5
2 = 0,2 10
la ecuacion dierencia en terminos del algoritmo f ( )i #ti )=)i −t i + 1 2
La condicion inicial ) 0 =0,5 t 0 =0 2
" 1=0,2 ( 0,5−0 + 1 )
((
)−( ) + )=
0,3 " 2=0,2 0,5 + 2
0+
(
0,5 +
54'* 0,2 0+ 2
2
1
0,328
0,2 2
0,328 2
)−(¿)
¿ ¿ 2+1 ¿ 3 " =0,2 ¿
" 4 = 0,2 ( ( 0,5+ 0,3308 )−( 0 + 0,2 ) + 1) =0,35816 2
+rimera interaccion 1 6
) 0 + 1 =)o + ( " 1 + 2 " 2+ 2 " 3 + " 4 )
) 1= 0,5 +
1 ( 0,3 + 2∗0,328 + 2∗0,3308 + 0,35816 )= 0,829293 6
El valor real 2
0,2
y =( 0,2 + 1 ) − 0,5 e
54'>>N4>
