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ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D’ARTS ET METIERS - CASABLANCA
Cycle Préparatoire Intégré Module 4
Electromagnétisme Cours M. AIT EL FQIH
Année Universitaire 2013-2014 2 013-2014
Programme Module 4 – Electromagnétisme – Rappels d’analyse vectorielle. – Rappels Magnétostatique. – Équations de Maxwell. – Les ondes électromagnétiques dans le vide (application des équations de Maxwell). – Milieux diélectriques. – Polarisation des dipôles électriques. – Condition de passage entre deux milieux diélectriques. – Etude de la polarisation dans les diélectriques. – Milieux aimantés.
Programme Module 4 – Electromagnétisme – Rappels d’analyse vectorielle. – Rappels Magnétostatique. – Équations de Maxwell. – Les ondes électromagnétiques dans le vide (application des équations de Maxwell). – Milieux diélectriques. – Polarisation des dipôles électriques. – Condition de passage entre deux milieux diélectriques. – Etude de la polarisation dans les diélectriques. – Milieux aimantés.
Chapitre 1 Eléments d’analyse vectorielle 1. Champ scalaire - Champ vectoriel
Soit un trièdre orthonormé
et M un point de l’espace, de coordonnées ( x,y,z) :
(M) est dite fonction scalaire scalai re de point ou champ scalaire si : La fonction f (M)
Le vecteur
est dit fonction vectorielle du point M ou champ vectoriel si :
2. Gradient d’un champ scalaire Le gradient (noté ) est défini à partir d’une fonction scalaire de point et a pour composante suivant (M) par rapport à x, y et z respectivement : partielles de f (M)
les dérivées
Programme Module 4 – Electromagnétisme – Rappels d’analyse vectorielle. – Rappels Magnétostatique. – Équations de Maxwell. – Les ondes électromagnétiques dans le vide (application des équations de Maxwell). – Milieux diélectriques. – Polarisation des dipôles électriques. – Condition de passage entre deux milieux diélectriques. – Etude de la polarisation dans les diélectriques. – Milieux aimantés.
Chapitre 1 Eléments d’analyse vectorielle 1. Champ scalaire - Champ vectoriel
Soit un trièdre orthonormé
et M un point de l’espace, de coordonnées ( x,y,z) :
(M) est dite fonction scalaire scalai re de point ou champ scalaire si : La fonction f (M)
Le vecteur
est dit fonction vectorielle du point M ou champ vectoriel si :
2. Gradient d’un champ scalaire Le gradient (noté ) est défini à partir d’une fonction scalaire de point et a pour composante suivant (M) par rapport à x, y et z respectivement : partielles de f (M)
les dérivées
Chapitre 1 Eléments d’analyse vectorielle 1. Champ scalaire - Champ vectoriel
Soit un trièdre orthonormé
et M un point de l’espace, de coordonnées ( x,y,z) :
(M) est dite fonction scalaire scalai re de point ou champ scalaire si : La fonction f (M)
Le vecteur
est dit fonction vectorielle du point M ou champ vectoriel si :
2. Gradient d’un champ scalaire Le gradient (noté ) est défini à partir d’une fonction scalaire de point et a pour composante suivant (M) par rapport à x, y et z respectivement : partielles de f (M)
les dérivées
3. Divergence d’un champ vectoriel La divergence (noté div) n’est définie qu’à partir d’une fonction vectorielle (M) de point et donne une fonction scalaire de point définie, en coordonnées cartésiennes par :
4. Rotationnel d’un champ vectoriel Le rotationnel noté ( ) d’un champ vectoriel donne une fonction vectorielle de point définie en coordonnées cartésienne par :
5. Laplacien scalaire
Le Laplacien scalaire d’une fonction scalaire de point (noté lap ou ∆) est par définition un champ scalaire défini par :
Dans un système de coordonnées cartésiennes, il s’écrit :
6. Laplacien vectoriel Le Laplacien vectoriel (noté ou ) d’un champ vectoriel est un champ vectoriel défini par :
3. Divergence d’un champ vectoriel La divergence (noté div) n’est définie qu’à partir d’une fonction vectorielle (M) de point et donne une fonction scalaire de point définie, en coordonnées cartésiennes par :
4. Rotationnel d’un champ vectoriel Le rotationnel noté ( ) d’un champ vectoriel donne une fonction vectorielle de point définie en coordonnées cartésienne par :
5. Laplacien scalaire Le Laplacien scalaire d’une fonction scalaire de point (noté lap ou ∆) est par définition un champ scalaire défini par :
Dans un système de coordonnées cartésiennes, il s’écrit :
6. Laplacien vectoriel Le Laplacien vectoriel (noté ou ) d’un champ vectoriel est un champ vectoriel défini par :
Dans un système de coordonnées cartésienne, le laplacien vectoriel a pour composantes :
7. Opérateur nabla Pour écrire de manière plus compacte les opérateurs vectoriels précédemment définis, on introduit un vecteur symbolique appelé opérateur nabla défini par:
Les opérateurs vectoriels s’écrivent parfois à l’aide de l’opérateur nabla sous les formes respectives suivantes : – le gradient d’un champ scalaire f est noté
Dans un système de coordonnées cartésienne, le laplacien vectoriel a pour composantes :
7. Opérateur nabla Pour écrire de manière plus compacte les opérateurs vectoriels précédemment définis, on introduit un vecteur symbolique appelé opérateur nabla défini par:
Les opérateurs vectoriels s’écrivent parfois à l’aide de l’opérateur nabla sous les formes respectives suivantes : – le gradient d’un champ scalaire f est noté
– la divergence d’un champ vectoriel est notée
– le rotationnel d’un champ vectoriel est noté
– le laplacien scalaire d’un champ scalaire est noté :
se lit ”del de”. – le laplacien vectoriel d’un champ vectoriel est noté
– la divergence d’un champ vectoriel est notée
– le rotationnel d’un champ vectoriel est noté
– le laplacien scalaire d’un champ scalaire est noté :
se lit ”del de”. – le laplacien vectoriel d’un champ vectoriel est noté
8. Théorème de Stokes-Théorème de Gauss 8.1 Circulation d’un champ vectoriel
On définit la circulation d’un vecteur le long d’un contour (C), par l’intégrale curviligne :
La circulation le long d’un contour fermé est notée par :
8.2 Flux d’un champ vectoriel
On définit le flux d’un vecteur à travers une surface (S) par l’intégrale double :
Lorsque la surface (S) est fermée, le vecteur unitaire dirigé de l’intérieur vers l’extérieur.
est
8. Théorème de Stokes-Théorème de Gauss 8.1 Circulation d’un champ vectoriel
On définit la circulation d’un vecteur le long d’un contour (C), par l’intégrale curviligne :
La circulation le long d’un contour fermé est notée par :
8.2 Flux d’un champ vectoriel
On définit le flux d’un vecteur à travers une surface (S) par l’intégrale double :
Lorsque la surface (S) est fermée, le vecteur unitaire dirigé de l’intérieur vers l’extérieur.
est
8.3 Théorème de Stockes
La circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé (C) limitant une surface (S) est égal au flux de son rotationnel à travers cette surface :
8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence)
Le flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée (S) est égal à l’intégral de sa divergence dans le volume ( τ) limité par la surface fermée (S)
Aide mémoire du formalisme mathématique :
. 1 1
8.3 Théorème de Stockes
La circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé (C) limitant une surface (S) est égal au flux de son rotationnel à travers cette surface :
8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence)
Le flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée (S) est égal à l’intégral de sa divergence dans le volume ( τ) limité par la surface fermée (S)
Aide mémoire du formalisme mathématique :
. 1 1
Chapitre 2 Rappels Magnétostatique 1. Expérience d’Oestred (mise en évidence du champ produit par un courant)
Si I = 0, la boussole s’oriente dans le sens terrestre.
I ≠ 0, la déviation de la boussole.
Le courant électrique produit un champ magnétique supplémentaire tque
terrestre
Chapitre 2 Rappels Magnétostatique 1. Expérience d’Oestred (mise en évidence du champ produit par un courant)
Si I = 0, la boussole s’oriente dans le sens terrestre.
I ≠ 0, la déviation de la boussole.
Le courant électrique produit un champ magnétique supplémentaire tque
terrestre
Par application de la loi de Biot et Savart :
Le champ élémentaire créé par l’élément dl en un point M :
4 10 ,, Loi de Biot et Savart
Le sens de
avec
est déterminé de telle façon que le trièdre
et .
soit directe.
Le champ magnétique créé en un point M par un élément de circuit de longueur défini par le vecteur
L’unité de B est le Testa = 10 koe (oersted)
est donc représenté par un vecteur perpendiculaire au plan
Par application de la loi de Biot et Savart :
Le champ élémentaire créé par l’élément dl en un point M :
4 10 ,, Loi de Biot et Savart
Le sens de
avec
est déterminé de telle façon que le trièdre
et .
soit directe.
Le champ magnétique créé en un point M par un élément de circuit de longueur défini par le vecteur
L’unité de B est le Testa = 10 koe (oersted)
est donc représenté par un vecteur perpendiculaire au plan
2. Calcule du champ magnétique créé par un fil infini parcouru par un courant (I)
2 4 4 sin or sin sinπ2 α cosα donc 4 cos dautre part on a: cos , cos cos cos
2. Calcule du champ magnétique créé par un fil infini parcouru par un courant (I)
2 4 4 sin or sin sinπ2 α cosα donc 4 cos dautre part on a: cos , cos cos cos
Le champ créé par le circuit tout entier :
cos 4 sin
Les lignes de champ sont donc des cercles contrés en O.
Remarque
On peut définir un nouveau vecteur donnée dans le vide par la relation :
est appelé excitation du champ magnétique.
Donc
et ce pour un fil infini.
Le champ créé par le circuit tout entier :
cos 4 sin
Les lignes de champ sont donc des cercles contrés en O.
Remarque
On peut définir un nouveau vecteur donnée dans le vide par la relation :
est appelé excitation du champ magnétique.
Donc
et ce pour un fil infini.
3. Conservation du flux magnétique.
4 , 4 . 0
Calculons la Donc :
:
on sait que
, or
D’autre part, sachant que :
et
=
donc
Donc
On dit que le champ magnétique est à flux conservatif.
3. Conservation du flux magnétique.
4 , 4 . 0
Calculons la Donc :
:
on sait que
, or
D’autre part, sachant que :
et
=
donc
Donc
On dit que le champ magnétique est à flux conservatif.
Par application du théorème d’Ostrogradsky :
0
E étant la surface limitant le volume
donc le flux sortant d’une surface fermée (S) est don nul.
4. Théorème d’Ampère
Le théorème d’Ampère est relatif à la circulation de le long d’une courbe fermée.
On sait que 2 ; et ce dans la base , Donc, 2 2 fil fini
∑
théorème d’Ampère
La circulation du champ magnétique créé par un courant I quelque soit le long d’une courbe (C) fermée est égale au produit de total qui traverse toute la surface s’appuyant sut la courbe (C).
par l’intensité
Par application du théorème d’Ostrogradsky :
0
E étant la surface limitant le volume
donc le flux sortant d’une surface fermée (S) est don nul.
4. Théorème d’Ampère
Le théorème d’Ampère est relatif à la circulation de le long d’une courbe fermée.
On sait que 2 ; et ce dans la base , Donc, 2 2 fil fini
∑
théorème d’Ampère
La circulation du champ magnétique créé par un courant I quelque soit le long d’une courbe (C) fermée est égale au produit de total qui traverse toute la surface s’appuyant sut la courbe (C).
-
Dans le cas d’une distribution volumique du courant :
I dS dS Application du théorème de Stokes -
Distribution volumique du courant :
dS en électrostatique
par l’intensité
-
Dans le cas d’une distribution volumique du courant :
I dS dS Application du théorème de Stokes -
Distribution volumique du courant :
5. Potentiel vecteur
dS en électrostatique
Le champ élémentaire créé par un circuit fermé (C) :
4 0 le cham champp d érive d unpotentie tel e que 1 1 ; , 1 4 4 , donc
;
5. Potentiel vecteur
Le champ élémentaire créé par un circuit fermé (C) :
4 0 le cham champp d érive d unpotentie tel e que 1 1 ; , 1 4 4 , donc
;
-
Calcul de la
A
:
, 1 1 1 4 1 1 1 , , 4 1 , : : .. , 0 é é
-
Calcul de la
-
Conclusion
A
:
, 1 1 1 4 1 1 1 , , 4 1 , : : .. , 0 é é
, ∆ ∆
∆ ∆
en électrostatique
Equation de poisson en magnétisme
-
Conclusion
, ∆ ∆
∆ ∆
en électrostatique
Equation de poisson en magnétisme
6. Dipôle magnétique
-
Calcul du potentiel vecteur créé par la spire :
En un point M :
, M se trouve dans le plan
.
, cos sin 02. ,, Le potentiel vecteur
6. Dipôle magnétique
-
Calcul du potentiel vecteur créé par la spire :
En un point M :
, M se trouve dans le plan
.
, cos sin 02. ,, Le potentiel vecteur
4 2 , 2 1 2 0 , 2 é é 1 1 2 1 1 2 1 , 4 1 , 1 ,, 4 1 0
4 2 , 2 1 2 0 , 2 é é 1 1 2 1 1 2 1 , 4 1 , 1 ,, 4 1 0
02 4 0 , , ,ù à ,
Le potentiel vecteur créé par le dipôle magnétique en un point M :
Rappel :
=0,
7. Moment magnétique d’un dipôle
Par définition, le moment magnétique d’un dipôle est donné par :
Pour une spire circulaire :
= 0
02 4 0 , , ,ù à ,
Le potentiel vecteur créé par le dipôle magnétique en un point M :
Rappel :
=0,
= 0
7. Moment magnétique d’un dipôle
Par définition, le moment magnétique d’un dipôle est donné par :
Pour une spire circulaire :
0 43 40 3 , 1 3 -
Calcul du champ magnétique
, , , 1 , 1 1 1 3 , , 1 3 3 , . . . . , 4 3 . . . .
0 43 40 3 , 1 3 -
Calcul du champ magnétique
, , , 1 , 1 1 1 3 , , 1 3 3 , . . . . , 4 3 . . . .
Chapitre 3 Equations de Maxwell I- Equation de Maxwell – Faraday I-1 définition On appelle inducteur la source de champ magnétique. Ce peut être un aimant ou un électroaimant. On appelle induit le circuit électrique, siège du phénomène d’induction, il peut être ouvert (fermé par un voltmètre parfait par exemple) ou fermé (fermé par un ampèremètre par exemple).
I-2 Description de l’expérience de Faraday
Chapitre 3 Equations de Maxwell I- Equation de Maxwell – Faraday I-1 définition On appelle inducteur la source de champ magnétique. Ce peut être un aimant ou un électroaimant. On appelle induit le circuit électrique, siège du phénomène d’induction, il peut être ouvert (fermé par un voltmètre parfait par exemple) ou fermé (fermé par un ampèremètre par exemple).
I-2 Description de l’expérience de Faraday
L’inducteur est un aimant fixe. L’induit est un circuit électrique mobile. Lorsque l’induit est ouvert, le voltmètre dévie. Lorsque l’induit est fermé, l’ampèremètre dévie.
Interprétation dans le cas d’un induit ouvert
B
v
v
– Le champ électromoteur d’induction : l’induit est un conducteur rectiligne animé d’une vitesse dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire à et au barreau. Les électrons de l’induit, de charge q, sont soumis à la force de Lorentz
F qv Λ B
. Ils se déplacent, s’accumulent en N et quittent M.
Il apparaît une d.d.p. V M
V N dont le signe ne dépend que du sens de
.
L’induit se comporte donc comme un générateur où règne un champ électromoteur d’induction
. Ø
Ce générateur est donc caractérisé par une f.e.m d’induction
dont le
signe dépond du choix de l’orientation du conducteur. est positif dans le premier cas et négatif dans le second.
Ø
Loi de Faraday : la f.e.m d’induction est reliée au flux coupé magnétique par le conducteur lors de son déplacement par :
du champ
• Interprétation dans le cas d’un induit fermé
La loi de Faraday fait alors intervenir le flux F à travers le circuit induit fermé :
Ø
Un courant induit i circule dans l’induit, tel que i = e/R où R est la résistance électrique de l’induit.
I-3 Equation de Maxwell - Faraday Considérons un circuit au repos soumis à un champ variable. Un champ électrique va prendre naissance dans tout l’espace où existe un champ magnétique variable. Le champ électrique induit joue un rôle électromoteur et la f. e.m apparaissant dans tout le circuit (C) peut s’écrire :
. . Où S est une surface orientée s’appuyant sur le contour orienté par (C). En permutant les opérateurs d’intégration et de dérivation on a :
. . . . . .
. . Forme intégrale de l’équation de Maxwell - Faraday
Forme locale de l’équation de Maxwell - Faraday
Equation de Maxwell - Faraday
II- Equation de Maxwell – Gauss Enoncé du théorème de Gauss :
∑
Soit une distribution de charge dans le vide ( qui sépare les charges en deux (
. On considère une surface fermée
. ,
Pour une distribution volumique on a :
est limité par Sf .
1 .
Par application du théorème de la divergence :
Donc
. . . .
, Forme intégral de l’équation de Max
L’égalité des deux expressions du flux de Maxwell – Gauss :
well - Gauss nous conduit à la forme locale de l’équation
Rappel : Electrostatique Champ électrostatique Potentiel V
B dl µ∑I
Magnétostatique Champ magnétique Potentiel vecteur
.
III-Equation de Maxwell – Ampère
. ..
Considérons un volume dans lequel la charge total varie au cours du temps. L’intensité du courant qui traverse à l’instant la surface enfermant ce volume vaut :
Où est la quantité de charge (mobile) qui traverse (S) vers l’extérieur entre les instants t et t+dt. En tenant compte de
, , 1
et du théorème de Gauss sur sa forme local :
(M : coordonnée de l’espace ; t : temps)
La variation de (1) en fonction du temps donne :
2 , ; 0 3
Finalement on a :
2 div ∂�∂t 1 ∂ρ∂t , , 0 3 ∂ρ∂t div 0 , , 4 D’autre part, on appelle le courant total I T=I+ID. A ces courants on associe respectivement :
0, . 5 6
-
le vecteur densité de courant lié ou mouvement des charges électriques , le vecteur densité de courant de déplacement défini par :
-
le vecteur densité de courant total :
Par définition,
donc pour obtenir un résultat conforme en
magnétostatique, le vecteur
est un rotationnel (à partir de l’équ. (4)).
Equation de Maxwell – Ampère.
(5) =(6) lorsque
0
et donc l’équation de Maxwell – Ampère est une extension du
théorème d’Ampère (
IV- Résumé sur les équations de Maxwell L’étude du régime variable nous amène à modifier deux équations fondamentales des régimes statiques : Régime statique
0 Régime variable
0 0
Ces quatre équations aux dérivées partielles sont appelées les équations de Maxwell. Elles constituent les équations fondamentales de l’électromagnétisme. Dans le vide, les équations de Maxwell s’écrivent :
Théorème de Gauss pour ou équation de Maxwell - Gauss Equation du flux magnétique ou équation de Maxwell - Thomson
0 Forme locale
M 1
M 2
Equation de Maxwell Faraday
M 3
Equation de Maxwell Ampère
M 4
Forme intégrale
1 . 0 . . . . .
V- Définition du potentiel – Choix de jauge V- 1 potentiel électromagnétique
0 0 , , , , , , ù , , En régime variable,
peut toujours écrire :
est un vecteur à flux conservatif et comme
, on
où est le potentiel vecteur.
La relation de Maxwell – Faraday s’écrit alors :
Ainsi, le champ
est à circulation conservative ; il existe donc une fonction,
appelée potentiel scalaire en régime variable, tel que :
dont dérive le
Nous pouvons toujours définir un potentiel électromagnétique champ
:
Ces relations ne définissent pas
d’une manière équivoque. En effet, le champ
et donc la force de Lorentz ne change pas si l’on remplace
nouveau potentiel
tel que :
)
Le passage de
à
s’appelle changement de jauge.
Le calcul du potentiel s’effectue en imposant une condition de jauge.
par un
V- 2 Equation du potentiel en jauge de Lorentz Les équations de Maxwell M1 et M4, jointe à la définition du potentiel conduisent à :
∆ ∆ ∆ et ∆ � ∆ � C 2,99792458.10ms kgmAs Fm,µ kg m As �m , Cms , ∆ �� ∆ � � ∆ , ∆ 0
On sait que
Soit, en utilisant les relations d’analyse vectorielle :
Comme le produit vitesse. On pose
est caractéristique du vide, est homogène à l’inverse de la ,
Nous obtenons ainsi, pour les potentiels , deux équations que l’on peut écrire sous la forme symétrique. Les potentiels sont couplés et obéissent aux équations similaires suivantes :
Remarque : dans les régimes stationnaires, on retrouve bien les équations de Poisson de l’électrostatique et de la magnétostatique :
La condition de jauge de Lorentz se traduit alors à celle de Coulomb
.
VI-Relation champs
,
VI-1 relation entre
et
– sources
,
,
On part de l’équation ( M3) (Maxwell – Faraday):
� � ∆ ∆ �� ∆ �� ∆ 0 ∆ ��
(M4) (Maxwell – Ampère):
Or,
, donc
Tenant compte de
VI-1 relation entre
; on a :
et
On part de l’équation ( M4) (Maxwell – Ampère) :
et
on aboutit à :
; et
, et comme
;
VII- Notion des régimes quasi-stationnaires
,
Si l’évolution dans le temps des sources est suffisamment lente (régime lentement variable) ; c.a.d la durée de propagation est très faible devant une durée T caractéristique de cette évolution, on peut admettre que le potentiel et donc le champ suivent instantanément l’évolution des sources.
τ T
Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (A.R.Q.S)
Exemple : Soit un circuit électrique de dimension inferieur à 1 cm (r < 1 cm) (cas d’un circuit électronique usuel) alimenté par un générateur délivrant un signal de fréquence ) ; il pourra être étudié dans l’ A.R.Q.S si
ν ν 3. 1 0 �
= 300 MH z).
VIII- Equations de Maxwell dans un conducteur
� � �; où �e st le champ �le�t��tatique et � est le champ �letr�m�teur � �u � 1 ù éé é. 0. ∞.
En tout point d’un conducteur, il existe une relation entre le vecteur
densité de courant et le champ électrique
(
Cette relation est dite relation d’Ohm-Kirchhoff :
est la conductivité du milieu conducteur [Siemens/m
Où
-1
(S.m )]. Avec -
Cas particulier : Pour les isolants, Pour un conducteur parfait,
-
Quelques ordres de grandeur de la conductivité électrique de certains métaux.
62,1 S.m, 58,5 S.m , 44,2 S.m
- Dans un conducteur, l’équation de Maxwell-Ampère s’écrit :
D’après (1) on a :
E
Or, et d’après l’équation de conservation de la charge (voir TD série 2 ex. 3) on a :
�
et le théorème de Gauss :
Et la loi d’Ohm :
On obtient :
� , ,
Avec
qui est la durée de relaxation diélectrique qui est le temps
nécessaire au rétablissement de la neutralité électrique.
kg�As σ kg � A s
Expérimentalement, on obtient pour le cuivre (Cu)
4. 1�
s.
L’équation de Maxwell-Ampère devient donc :
E
E:courant de conduction , é
Comme
est très petit,
Autrement, le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction dans les conducteur (exple : les métaux). -
Les équations de Maxwell dans les conducteurs :
0 0 0 è é
Chapitre 4 Les ondes électromagnétiques dans le vide Préambule : La propagation des ondes électromagnétiques est l’une des conséquences les plus importantes des équations de Maxwell. Prévue théoriquement dès leur établissement en 1864, elle n’a été étudiée expérimentalement qu’en 1888 par Hertz. Des expériences décisives telles que celle de Mickelson ont montré en évidence l’aspect des ondes électromagnétiques. Dans ce chapitre, nous allons étudier la propagation des ondes électromagnétiques (O.E.M) dans un milieu illimité sans charges -15 (propagation libre). L’échelle des longueurs d’onde s’étend de 10 m (ordre de grandeur d’un noyau) à plusieurs km (ondes radio). Dans cet éventail, les phénomènes lumineux ne concernent qu’un domaine restreint entre 400 – 700 nm.
I-
Equation de propagation du champ et du potentiel. I-1 Equation de Maxwell dans le vide.
L’absence de sources couplé homogènes :
0, ρ 0
permet de se ramener à 4 équations
;
I-2 Equation de propagation du champ
Cherchant une solution des équations de Maxwell en éliminant l’un des champs ou
. Pour cela, utilisant la relation d’analyse vectorielle :
rot rot � grad div � ∆ � ∆ ∆ �� ∆ ∆ �� � ∆ �
En tenant compte des équations (1) et (3), on a :
Et d’après (4) on a :
De la même manière et compte tenu des équations (4) et (2) on aboutit à :
Remarque : on utilisant l’opérateur d’Alembertien On a formellement :
0 0
∆ ��
et
!!! cas de coordonnées cylindriques et sphérique !!! I-3 Equation de propagation du potentiel.
, ∆ 1 1 1 1 � � ∆ � � 0 ∆
Cherchons à établir les équations auxquelles satisfait le potentiel électromagnétique
, on a :
D’après (4) :
Par conséquent :
En outre comme
, on à :
On aboutit donc à des équations du potentiel couplées. I-3-a Jauge de Lorentz.
V,A 1 0 ∆ 1 � � 0 ∆ 1 �� 0
Si on impose au potentiel
, la condition de jauge de Lorentz :
On est conduit aux équations suivantes :
V, et A
Ainsi, dans la jauge de Lorentz, sont découplées et obéissent à la même équation de propagation que les champs. I-3-b Jauge de Coulomb.
Cette condition est particulièrement commode lorsqu’il n’y a pas de charges, càd lorsque l’on s’intéresse qu’au phénomène loin des sources
A ,
(V=0). Il suffit donc d’étudier
; ce qui donne :
!!! Rappel sur l’équation de d’Alembert !!!
II-
Ondes planes dans le vide.
Nous allons examiner deux cas importants de propagations ; l’un pour lequel une direction fixe de l’espace est privilégiée (ondes planes), l’autre est isotrope pour ce phénomène (ondes sphériques). Nous examinons en détail le cas de l’onde plane. Dans les situations concrètes l’onde plane est : - L’onde d’un faisceau laser, - La lumière provenant d’une source très éloignée, - L’onde produite par un collimateur càd une source ponctuelle dans le plan focal objet d’une lentille convergente. II- 1 Définition et équation d’onde.
On appel onde plane une solution de l’équation de d’Alembert non constante prenant des valeurs uniformes sur tous les plans perpendiculaires à la direction orientée .
,, ,,
Soit la direction correspondante définie par le vecteur unitaire de cosinus directeur dans la base de coordonnées cartesiennes.
1 , ∑ , , , , ∆ 1 � � 0 , ,,,, ∆. ù � � � � � La position du point M est repérée par:
Lorsque le champ ne dépend que de , l’onde est dite plane et tout le plan perpendiculaire à est un plan d’onde. En tout point de ce plan, le champ a la même valeur à un instant donné.
L’équation de propagation s’écrit:
où
désigne une des 6 composantes du champ électromagnétique .
Explicitant
∆ � � � � � � 1 � � 0 1 1 0
Comme on a des relations analogues avec les autres variables obtient:
D’où l’équation d’onde :
et , on
II- 1- a Définition et équation d’onde.
.
Effectuant les changements de variables qui tiennent compte de la variable de l’espace et du temps
2 ; 2 Il vient :
2 1 2 1 �4 0 �
L’équation devient en fonction des nouvelles variables et
:
La solution de l’équation d’onde se met sous la forme :
II- 1- a
Onde plane progressive.
Examinant le cas particulier où l’espace de
0
, ∑ ∑
, l’évolution dans le temps et
et donc du champ électromagnétique
Un signal électromagnétique qui a pour valeur
∑ ∆ ∆ d’onde
ultérieur
, d’abscisse
, à l’instant
.
dans le plan
a la même valeur à un instant
dans le plan d’onde
distant de
:
Le signal s’est donc propagé de l’axe
De même,
∑ � ∑
à la vitesse
; l’onde est dite progressive dans le sens des
parallèlement à
croissants.
représente une onde plane régressive se propageant
dans le sens des décroissants. II- 2 Transversalité du champ d’une onde.
On considère l’équation de Maxwell-Gauss :
Par
� . Donc � � � � � �
conséquent
même
,
la
solution
et donc
II- 3 Relation
constant
étant
exclue,
de
(voir TD série N° 3)
entre
et
progressive.
On part de l’équation de Maxwell-Faraday :
pour une onde plane
: 0
Pour une onde progressive suivant les
croissants, nous avons (puisque
1 ù 1 0 )
En absence de champ stationnaire, on a donc :
Ainsi, les vecteurs
,
forment un trièdre direct, la norme de
est égale à à tout instant et en tout point.
III-
Ondes planes monochromatiques (ou sinusoïdales ou harmoniques). III- 1
Définitions.
Considérons une onde plane se propageant dans une direction le sens des
croissants. Les champs
dans
sont transverses ainsi que le
potentiel-vecteur en jauge de coulomb (à démonter !!!). Une composante quelconque de ces champs a pour expression :
, . où
est l’amplitude,
)
la pulsation ou la fréquence angulaire,
est le nombre d’onde.
est la phase à l’origine des temps.
Comme l’abscisse
s’écrit :
, on définit le vecteur d’onde
de
norme et dirigé suivant la direction de propagation ; alors :
Ainsi :
.
Notons que la norme
du vecteur d’onde a la signification d’une
pulsation spatiale. L’onde plane progressive monochromatique (OPPM) est ainsi caractérisée par une double périodicité, dans le temps et dans
l’espace. La période temporelle est définie par Et la période spatiale ou langueur d’onde
.
(dans le vide) par
L’inverse de la période est la fréquence de l’onde (
) et l’inverse de
la langueur d’onde est le nombre spectroscopique (
)
Ces différentes notions sont résumées dans le tableau suivant (caractéristique d’une OPPM) : Phase
�
Période
Temps
Espace
Période temporelle T(s)
Longueur d’onde
12 1 Fréquence temporelle
Fréquence
Pulsation temporelle
Pulsation
-1
(rad.s )
(m)
Nombre d’onde spectroscopique -1
(rad.m )
Nombre d’onde
III- 2 Vitesse de phase.
A un instant donné, la phase de l’onde est constante si sa phase à l’origine des temps
. . est constante. Comme
est constante, elle est
donc la même lorsque :
Au cours du temps, la phase garde une valeur constante dans les plans d’ondes tels que :
.
et donc
Ainsi, les plans équiphases se déplacent avec une vitesse, appelée vitesse de phase
définie par :
Comme , cette vitesse de phase est constante dans le vide, indépendante de la fréquence de l’onde et égale à la vitesse de la lumière :
-1
(rad.m )
III- 3 Notation complexe.
Lorsque la variation dans le temps est sinusoïdale, toute composante
du
champ ou du potentiel électromagnétique s’écrit aussi
.
où la quantité
est l’amplitude complexe :
Intérêt de la notation complexe : - Séparation des variables spatiales et temporelles. - Dérivation par rapport au temps se réduit par une simple multiplication.
Dans le cas de l’onde plane progressive (OPP), est fonction sinusoidale de
, la dérivation par rapport à la coordonnée de position
réduit à une simple multiplication par
:
se
III- 3 Ecriture des équations de Maxwell en notation complexe.
On associe aux champs que :
des champs complexes
tels
En notation complexe, les relations en div, grad et laplacien s’écrivent:
. . . � ∆ � � .
Retenons que pour une OPPS, les différents opérateurs différentiels s’écrivent, en notation complexe, comme suit:
; ; . ; .; ∆ �
Exercice :
Montrer que pour une OPPM dans le vide, les quatre équations de Maxwell ont pour expression :
. ; . ; . ; � . ; .
En prenant la partie réelle de ces quatre équations,
sont en phase et orthogonaux :
,, f orment un triedre direct.
,
,
En fonction du potentiel électromagnétique complexe ( s’écrit:
IV-
le champ
Polarisation de l’OPP sinusoïdale. IV- 1 Définition de la polarisation.
En choisissant s’écrit :
comme direction de propagation, le vecteur d’onde
.
Le champ électromagnétique .
,
est alors contenu dans le plan
, ,,
Les composantes de
s’écrivent dans la base
d’où le champ magnétique
selon :
:
Par définition, la direction de polarisation en un point de l’onde est celle du champ électrique. On s’intéresse donc à la manière dont s’effectue la variation sinusoïdale du champ électrique dans un plan d’onde. Plus précisément, on étudie la
courbe décrite par l’extrémité de vecteur dans un plan d’onde orienté de telle sorte que l’observateur voie arriver l’onde vers lui.
IV- 2 Différentes états de polarisation d’une onde.
Etudions le comportement du champ composantes du champ s’écrivent :
�
dans le plan d’onde (
Et si l’on prend pour origine des temps un instant où valeur maximale on a :
avec
.
Développons l’expression de
. Les
passe par sa
:
² ²
-
Pour quelquenque, cette équation est celle d’une ellipse. On dit que l’onde a une polarisation elliptique.
Polarisation elliptique
-
,,, �
Pour l’ellipse dégénère en une droite et l’onde est dite à polarisation rectiligne.
Polarisation rectiligne
-
Si
,,, � et si
dite à polarisation circulaire.
l’onde est
Polarisation circulaire V-
Etude énergétique des OPP électromagnétiques.
La propagation de l’énergie se manifeste expérimentalement dans de nombreux cas : - On peut ressentir son effet si l’on s’expose aux rayons solaires ou au rayonnement d’une source chaude. - De même tout émetteur radio expédie de l’énergie à travers l’espace, une infime partie de cette dernière étant captée par votre récepteur radio … Nous allons relier localement cette énergie qui se propage au champ électromagnétique qui la transporte. Nous supposons que le milieu de propagation est parfait, càd homogène, isotrope et linéaire (h i l).
On supposera aussi que la direction de propagation de l’onde est suivant . V- 1 Densité volumique d’énergie.
� �
La densité volumique d’énergie électromagnétique
est composée
de la densité volumique d’énergie électronique densité volumique d’énergie magnétique OPPM électronique dans le vide on à :
et la
. Or pour une
; donc :
² ²
Il y a équipartition de l’énergie entre les deux formes électrique et magnétique. V- 2 Vecteur de Poynting.
Le vecteur de Poynting
П П
Le vecteur de Poynting et la densité électromagnétique sont liées par la relation :
volumique
П
Cette équation traduit le fait que l’énergie électromagnétique se déplace dans le vide à la vitesse
d’énergie
� � П .
d’une
OPP .
Considérons une surface élémentaire , située au point M. l’énergie électromagnétique qui traverse t et t + dt est par définition du vecteur Poynting :
Chapitre 5 Milieux diélectriques I-
Rappels sur le dipôle électrique.
Moment dipolaire (ou multipolaire)
, 0
Le moment dipolaire
Donc :
,∑ 0
; ; : cos sin sin cos cos sin sin cos
I- 1 Calcul du potentiel du dipôle.
4 4 4 1 1
or :
donc :
=>
2 2 2 2 ² || ² 4 ... . cos ² 4² ..cos ; 4² 0 è � ..cos � ..cos 4 � .1.cos � .1.cos 4 1 1.cos 1 1.cos .cos 1
Le potentiel s’écrit donc :
D’autre
part,
on
a:
développement limité :
=>
application
du
4 1 21 2
=>
Or
. 4 4 4.. .cos ..cos. . . . 4 4
I- 2 Calcul du champ électrique du dipôle.
; . 4. 41 . 41 1 . . .. 1 ; 1 3. 4 .. 41 3.. 41 3.. ; . ; .. ..cos sin
On sait que
Expression vectorielle du champ électrique crée par un dipôle.
Le champ électrique :
�.4..cos .4.sin
2. . . c os ..si n 4 ; 4
II-
Action d’un champ électrique sur un dipôle. II- 1 Champ uniforme.
La force résultante qui s’exerce sur ce dipôle : Le moment résultant :
. Γ
Γ
L’action mécanique d’un champ uniforme sur un dipôle électrique se réduit à un couple :
. . .sin
Γ
-
Energie potentiel d’un dipôle :
. . . .
. . . . . . . . .cos
Energie potentiel :
.
II- 2 Champ non uniforme.
; ;
; 2 ; 2 2 2 0 Le module de la force qui s’exerce sur le dipôle :
. . ; ..
. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 2 . . . 2 . 2 . . 2 0 . On peut écrire :
Avec l’opérateur :
-
Moment résultant : Γ
Γ
Γ
Chapitre 6 Milieux diélectriques -Polarisation des dipôles électriquesL’étude des propriétés des isolants, appelés diélectrique sera abordé d’un point de vue macroscopique. Une description en termes de polarisation des phénomènes observés sera introduite.
I-
Expérience du condensateur de Farady.
: différence de potentiel entre les armatures A et B. L : lame isolante
Après insertion du diélectrique (L) , l’électroscope s’écarte d’un angle .
; . . ;
: Capacité du condensateur sans diélectrique.
Capacité du condensateur avec diélectrique.
A charge cte :
. .
1 1 où
est la permittivité relative du milieux diélectrique ;
est une cte qui dépond de la forme du diélectrique. (on retrouve la permittivité du vide
)
Le système revient à son état initial après l’enlèvement de la lame (L). Interprétation : L’introduction d’une plaque diélectrique entraine un apport de charges. Le champ électrique pénètre à l’intérieur de la matière isolante et agit sur les porteurs de charges de la matière. Ces porteurs de charge e ou ions ne peuvent se déplacer librement sous l’effet du champ ; ils restent attachés à des groupements d’atomes moléculaires d’où le nom de charges liées.
II-
Polarisation et potentiel électrostatique. II- 1 Potentiel électrique.
Toutes les propriétés électriques des isolants ou diélectriques peuvent s’interpréter à l’échelle macroscopique par l’apparition dans tout le volume initialement neutre, d’un moment dipolaire électrique ou vecteur de polarisation
Par définition un petit élément de volume repéré par possède le moment dipolaire :
entourant le point
Où (r) et le moment dipolaire en un point. Soit un milieu diélectrique polarisé D limité par une surface ∑ :
.
1 1 1 41 . 1 41 . 1 ,. 1 1 , 1 1 4 4 Théorème de la divergence :
Le potentiel créé par les charges de polarisation
1 . 4 . , .
Le milieu diélectrique polarisé est équivalent à des charges de polarisation (charges fictives) réparties dans le diélectrique avec une densité volumique et surfacique .
E �
II- 2 Champ électrique.
: Le champ dépolarisant : champ créé par les charges de
polarisation (charges fictives). : Le champ polarisant : champ créé par les charges réelles.
� grad V 41 41 0 ,
Dans cette partie, nous nous limitons au champ de polarisation créé par une distribution de polarisation donnée et à . Ce champ obéit aux équations suivantes :
Exemple 1: Calcul de
dans le cas d’une plaque homogène diélectrique
polarisée uniformément. On considère ces dimensions grandes devant son épaisseur est polarisée dans le sens de ces faces :
0 . Q . Q Q Q Q Q . . . 0 uniforme
est uniforme
II- 3 Charges de polarisations fictives.
: Charge répartie sur la surface du diélectrique. : Charge répartie sur le volume du diélectrique.
La somme algébrique des charges de polarisation est nulle. Exemple 2: Soit un cylindre diélectrique. On suppose que le vecteur polarisation est uniforme.
0
-
Charge de polarisation : charge volumique :
-
de charge volumique) Charge surfacique :
.
(pas
, pas de charge de polarisation sur la
surface latérale, sur les bases
III-
Champ électrostatique en présence d’un diélectrique.
En tout point de l’espace, le champ total macroscopique est donné par :
Avec
, , est le champ dépolarisant et
et le champ
polarisant qui est le champ extérieur créé par un système extérieur (charges libre ou ddp U appliquée). Le potentiel est défini en tout point de l’espace par :
∆ 0 é.
Le champ électrique se calcul comme dans le vide à condition de faire intervenir, en plus des charges réelles, des charges de polarisation. Exemple 3 : Soit un condensateur plan avec un isolant.
Le diélectrique uniformément polarisé est donc équivalent d’un point de vue charges, d’un condensateur plan sur ces surfaces les densités .
Avec
est la densité des charges liées au niveau du diélectrique.
Avec est la densité des charges libres au niveau du conducteur (armatures du condensateur)
IV-
Vecteur induction électrique.
Dans ce qui précède, nous avons utilisé le champ créé par une polarisation donnée de densité volumique champ créé par les
é é porteurs de charges libres
.
En général, le champ total
obéit à l’équation :
Par définition, on appelle vecteur induction électrique défini par :
, le vecteur
é , éè R f � L 0 f ��a�q���
Da�� �� �i������iq�� ��� �������� �� ��� ��� p��p�i���� �i �������. � ��a�p ������iq�� ���i�� � �� p�����i�� �� ��� ���a�i����� ��a� � z���.
���i� a� ������ �� �a��� ai�a�� i�������i� �� ������� i�����i�� ��iq������ ��� ��a���� ����� ���������. V-
Equation de Maxwell dans les milieux.
-Equation de Maxwell-Gauss
f f �
. . �� �a ���a i�����a�� ���
f
���� �xp�i�� �� �� ����a�� pa� �� ���� �� ������ �� �� ����i�� �� �a ��a��� ������iq�� ������� ��p�a������ ������iq�� �i��� �������� �a�� �� ������ . -Equation de Maxwell-Ampère
�� ����a�� �����iq�� ��� �a ����� �� ����a�� �����iq�� �i��� �� �� ����a�� �����iq�� �� p��a�i�a�i�� . ���q�a�i�� �� �ax�������p� �����i� �� ��i�i�a�� �a ���a�i�� �
Qui ne contient que les courants libres. Le terme
est semblable au courant de déplacement de l’équation de
Maxwell-Ampère dans le vide. On l’interprète comme étant le courant de déplacement dans le diélectrique. La forma intégrale est donnée par :
Avec
. . . .
Elle exprime la circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé en fonction du courant libre et du courant de déplacement qui traversent la surface S. -Equation de Maxwell-Faraday et Thomson
Ces équations sont les mêmes que dans le cas du vide.
VI-
Milieux linéaires homogènes isotropes (l.h.i).
Dans les milieux homogènes isotropes, le déplacement électrique est proportionnel au champ électrique tandis que le champ magnétique et l’induction magnétique sont proportionnels l’un à l’autre :
1 1 1 1 0 χ
Avec
χ
χ et χ
est la permitivité relative du milieu diélectrique.
χ est la susceptibilité électrique.
Et donc :
Ave est la permittivité du milieu. Quelques valeur de
Nacl Papier Verre Eau (25°c) Air sec
et χ :
59 2,5 7 78 1,0054
χ
Air BaTiO3 Minéraux argileux
5,7 . 10 1760 4,5
-3
Chapitre 7 Milieux diélectriques Condition de passage entre deux milieux diélectriques
�
On suppose que la surface de séparation contient des charges réelles avec une densité
I-
Composition normale de
.
D Dn Dt D Dn Dt et
D
Calculons le flux de à travers un cylindre élémentaire
d 0.
dD dS D dS d
d
.
on choisit un cylindre élémentaire dont la surface latérale est tellement petite :
dD dS D dS σ dS dS dS.n et dS dS.n n n n D n D n σ D Et donc
Or
et
On constate que la composante normale du vecteur surface chargée est discontinue. -
f
Ca� ����� ��� a�� ��� ��a���� �σ
D �
et
à la traversée d’une
�
D D D �
�
�
La composante normale de � est discontinue même si la zone de séparation n’est pas chargée.
II-
Composante tangentielle de
(surface non chargé
On sait que le champ électrique est à circulation conservatif :
. 0
On choisi un contour (ABCF) fermé :
. , . . 0 1 0 . . 0 . . 0 2 ,
on a :
or,
La composante tangentielle du vecteur champ électrique est continue (dans le cas d’une surface non chargée).
� D
La composante tangentielle de n’est pas conservative.
III-
Réfraction des lignes de champs.
Soit une surface de séparation entre deux milieux (1) et (2) qui n’est pas chargée.
,, , , , . , .
si
,
1
IV-
Relation de passage entre un conducteur chargé et un milieu diélectrique.
Soit un conducteur chargé avec une densité surfacique
, 0, 0 . Diélectrique :
.
Conducteur :
1 1
En présence des charges de polarisation :
0.
1 , . 1 1 � � � �
Relation entre charges libres et charges liées Cas général : si si
V-
Relation local en présence d’un diélectrique parfait (l.h.i).
Vide
Diélectrique
∆ � Relation entre
∆ � ∆ � :
L’apparition des charges de polarisation dans le volume est sur la surface d’un milieu diélectrique est du à l’existence des charges réelles dans ce milieu. si si
0 �
� �
�x��p�� � �a�� ������t���u� ��a�� ��t�� ��� a��atu��� ��u� �������at�u� ��a��
� �
En présence de charges de polarisation :
� � �
-
�
Détermination du champ à l’intérieur de la lame :
� Condition de passage du vecteur � �
�
⇒
Exercice :
1° / Discuter la continuité des champs et à la traversée d’une surface métallique chargée séparant deux milieux diélectrique.
2° / une lame diélectrique est placée dans le vide où règne un champ électrique
. Montrer, en utilisant les relations de passage que
Réponse : 1° /
-
Continuité de
:
. . 0 . . 0 Γ
.
. . 0
. cos . cos 0 .sin . 0 ��� �� ����i��i�� �������i�� � d� ����p �
-
Continuité de
:
Théorème de Gauss généralisé :
.. ∑, . .
Si
. cos .cos . cos . cos . 0
2° /
, on a la continuité des composantes normal de
.
. On a
. Continuité de la composante tangentielle du champ :
1 2 4 � 6 7 1 1 2 2 12 . . . .. .. . . . .
Surface ∑1 –∑2 : Surface ∑2 –∑3 :
(1) et (2) donnent :
. Continuité de la composante normale de
.:
Surface ∑1 –∑2 : Surface ∑2 –∑3 :
(5) et (6) donnent :
=>
et (4) et (7) donnent :
VI-
Localisation de l’énergie dans un diélectrique.
Soit une charge placée dans un potentiel V : Pour une distribution volumique :
contient une quantité d’électricité
Equation local du théorème de Gauss :
or,
donc,
:
1 1 . � . . � . ∞ � ² ; � ; �² ..� 0 ∞. Le milieu est supposé une sphère de rayon infini :
donc :
Et la densité d’énergie :
1 2 . . . .²
. .. . .. : 0
VII- Force subie par un diélectrique placé dans un champ .
se comporte comme un dipôle
( vecteur de polarisation).
si
Cette expression de suppose que : -
Le milieu diélectrique ne modifie pratiquement pas le champ extérieur. Le vecteur de polarisation est le vecteur réel calculé en utilisant le champ réel (càd le champ extérieur auquel s’ajoute le champ créé par les charges de polarisation.)
Chapitre 8 Milieux diélectriques Etude de la polarisation dans les diélectriques I-
Calcul du champ créé par les charges superficielles de polarisation.
:
Soit une molécule placée dans une cavité vide cette molécule est donné par (
avec
est le champ extérieur et
molécules sauf celle placée en O.
. Le champ subit par
:
est le champ créé par toutes les
On suppose que le vecteur de polarisation est uniforme.
χ
.. 0 0
41
c os . 1 4 cos sin ² 1 cos si n 4 ² cos 4 s in 1 4 2 3
Par raison de symétrie, le champ
Donc le champ local
II-
est porté par
:
Etude de la polarisation induite électronique.
Dans le cas d’un atome isolé (état fondamental est stationnaire) la charge positive est due aux protons et la charge négative aux électrons. Le moment dipolaire électrique
=>
Les barycentres des deux distributions coïncident.
.
Quand un champ électrique est appliqué à l’atome, il induit des forces opposées sur les charges positives et négatives. Ainsi, on aura un décentrement de l’atome =>
.
Molécule non polaire :
Dans un milieu diélectrique et pour N molécules identiques :
. . . . .. . . .
Le moment dipolaire
avec le champ extérieur.
,
: polarisabilité [Fm²] (MKSA)
Donc (1) donne :
. . 1 ... ... �������� �� �������� � �������
III-
Distribution du moment de dipôle dans un champ appliqué.
Le moment résultant : Γ l’énergie potentiel : soit
;
. ..
, l’angle solide sous laquelle on voit
si
qui contient
. ,
est donné par la statistique de
. . cos sin . 2..sin .;. � ; 11 .2.sin. et
..
, avec
: cte de Boltzmann,
: cte de normalisation.
On pose :
dipôles.
0 .
Si on applique un champ électrique Boltzmann par :
et
,
: température
�... 1 cos . 1 cos .. ...
(1) permet de calculer la valeur moyenne de pour les molécules en nombre très grand situé dans l’angle solide élémentaire .
-
Etude de la polarisation par orientation :
L’expression de l’énergie :
. ..
D’après la statistique de Boltzmann on a :
..; cos; . ; cos .. .. .. .
d
la valeur moyenne de
-
Calcule du nombre de particules N :
. .
.
2
-
..
.. .
1 ln 2 ; 2 ln 1 ln 1 lncoth 1 1 . coth , a1 1 coth 3 . 3 3 a1 coth 1, 1
-
Cas où
(à haute température) :
-
Cas où
(à basse température) :
Chapitre 9 Milieux aimantés I-
On sait que
Action sur un dipôle magnétique dans un champ uniforme.
A µ .
(potentiel vecteur)
La résultante qui s’exerce sur ce dipôle :
.
.. 0 La résultante des forces de Laplace agissent sur un circuit fermé dans un champ magnétique extérieur uniforme est nulle.
..s. sin
La résultante des moments agissant sur le circuit (C) ( uniforme) Γ
Γ
-Travail des forces électromagnétiques.
Le travail :
. . . . ..
-
. . . .
le flux du champ (C).
à travers la surface balayée par le circuit
. . . . . ..cos 0, 0 , 0 . . . .
-
L’énergie potentiel d’un aimant placé dans
-
Stabilité à l’équilibre :
uniforme :
Si
flux maximum => équilibre stable.
Si
flux minimal => équilibre instable.
Dans le cas général, si on suppose que le dipôle est placé dans un champ non uniforme, le dipôle sera soumis ; d’une part au couple ; d’autre part à une force
Γ
due à la non-uniformité du due
champ appliqué :
II-
Généralité sur les milieux magnétiques. Si on place des substances dans un champ magnétiques, elles s’aimantent ; càd quelles manifestent un comportement analogue à celui d’un dipôle magnétique de moment
Pour la plupart de ces substances, l’aimantation cesse lorsqu’on supprime le champ (appelé paramagnétique ou diamagnétique).
1- Vecteur aimantation.
On appel vecteur aimantation noté :
.
2- Potentiel vecteur créé par un milieu magnétique.
Le potentiel vecteur
, avec :
4πµ r dv ; :densité volulique du courant.
-
. : 4πµ dm rΛ r ,avec r � � µ 4π � Λrr .dv µ 1 4π � Λ grad r . dv µ4π M Λ g rad 1r . dv M 1 ; M Λ grad r rot r 1r rot M
Calcul de
Le potentiel vecteur produit par le milieu aimanté :
µ4π rot rM dv µ4π rot �r � �r r . d vdS ; rot Λ � µ rot µ ; 4π r dv 4π � Λr n dS rot � et � Λ n
On peut donc calculer le potentiel vecteur produit par un matériau magnétique comme dans le vide à condition de faire intervenir des courants d’aimantation par l’intermédiaire de la distribution
� Λ n
équivalente, densité volumique courant
.
B
rot � B 0
et densité surfacique du
Notons que le flux de est conservatif : Exemple : 3- Vecteur excitation magnétique.
rot � ; � Λ n � B B 0 vecteur aimantation.
Le champ est à flux conservatif
-
Equation local d théorème d’Ampère :
rot B µ
avec la densité de courant total.
Dans le milieu aimanté : volumique réelle.
avec
: densité de courant
donc :
rot B µ rot B µ µ µ µ rot � rot B µ�µ B rot µ � ; � µB �
d’où :
=>
=>
�
: vecteur excitation magnétique.
=>
Dans le vide :
� µB � B µ� � � 0 ; B µ � rot � � . d l .dS �
Equation locale du théorème d’Ampère :
La circulation du vecteur excitation sur une courbe fermée est égale à l’intensité totale du courant réel qui traverse toute la surface (S) s’appuyant sur la courbe (C).
III-
Milieux magnétique (l.h.i).
� � ; :susceptibilité magnétique χ
Dans l’approximation l.h.l :
χ
B µ � � µ1 � χ
1 µ µµ µ avec
χ
χ
: perméabilité relative.
: perméabilité absolue.
et donc le champ magnétique dans les milieux (l.h.i) : -
Milieux paramagnétique :
B µ�
Cte 0 µ 1
χ
-
Milieux diamagnétique :
Cte 0 µ 1
χ
�
� Bi 1,� . 10 SI �O � . 10 SI O : 2 .10 SI
La plupart des substances sont diamagnétiques et donc les vecteurs aimantations
et excitation
sont proportionnels et antiparallèles.
χ
χ
Substance paramagnétique :
χ
IV-
Conditions de passages entre deux milieux aimantés.
-
Surface contenant des courants réels :
. . . . � � è =>
=>
. . 0 . . 0 ; ..0 . µ µ
La composante normale du vecteur est continue à la traversée d’une surface de séparation (contenant du courant surfacique réel) de deux milieux magnétiques de perméabilités et . -
Vecteur excitation
:
La circulation élémentaire du vecteur (ABCD).
le long du contour fermé
dC . . é . ; . . . . . . .
avec est le courant élémentaire qui traverse la surface (S) s’appuyant sur le contour ABCD.
donc :
La composition tangentielle du vecteur excitation magnétique est discontinue (n’est pas conservative) à la traversée de la surface de séparation. Si la surface de séparation ne contient plus de courant surfacique réel, la composante tangentielle est conservative.
(pas de courant réels sur la surface de séparation) -
Réfraction des lignes de champ.
On va considérer le cas ou
ne contient pas de courants réels.
Car : d’incidence.
et
Exemple : 1) Plaque mince perpendiculaire à
=> conservation du plan
(champ extérieur) : Conservation de la composante normale :
L’aimantation
1 χ
:
1 1 χ
χ
χ
χ
χ
2) Barreau allongé placé parallèlement à
:
Conservation de la composante tangentielle de
:
Le flux de
se conserve :
-
1 0 1 é 0 1 1
Cas d’une substance paramagnétique : χ
-
Cas d’une substance diamagnétique : χ
V-
Courbe d’aimantation des ferromagnétiques.
On désigne par ferromagnétisme la propriété qui ont certains corps de s’aimanter très fortement sous l’effet d’un champ magnétique extérieur
très souvent de garder par la suite une aimantation importante quand
on enlève
. Ils sont devenus des aimants.
; 1 ; 1 10 10 χ
χ
Matériau ferromagnétique : χ
χ
à
SI
Exemple : Co, Ni, Fe et ses alliages. 1- Courbe d’aimantation.
Mr : aimantation rémanente. Pour revenir à H=0, il faut appliquer un champ inverse -Hc : excitation coercitive.
Cycle d’hystérésis
L’aimantation ne repasse pas sur la même courbe, en particulier, pour un champ nul, l’aimantation garde une valeur > 0. 2- Perte d’énergie par hystérésis.
A cause de l’hystérésis, il y a perte de chaleur à l’intérieur du matériau par des variations périodique de (-HM) et (+HM) mais le phénomène d’hystérésis est un avantage pour obtenir des aimants permanents.
Lois de Pouillet :
Flux B :
Le vecteur
.
. . .
. ² . . . ² ..... . ;. ² .. ² .. . On multiplie les membres de cette équation par
Or
Energie délivrée par le générateur. Energie dissipée par effet joule.
Energie dissipée par Hystérésis Eh.
. .
Pour un cycle d’hystérésis :
. . .0 . 1 ∑ Or, =>
∑ Cette formule (1) montre que l’énergie dissipée par hystérésis est proportionnelle au volume de la substance ferromagnétique subissant le cycle et à l’aire du cycle d’hystérésis.
∑
∑
On remarque que cette énergie sera d’autant plus faible que sera plus petit (cas du fer doux). Application :
; .
La tension Calcul de
Le nombre total de spires :
Calcule de H : Théorème d’ampère :
� . . . . 2 2.
La langueur de la circonférence ;
Le courant =>
.
...
. 2 .2 . . . . . . 1 . 1 .. 1 1 .
Un courant provoque la création d’une force électromotrice :
S étant la section du tore = cte
-
or ;
Dans le cas où
.
.
Avec le flux à travers la section d’un tore.
1 . . . 2. . . .
La fonction ferromagnétique.
VI-
représente le cycle d’hystérésis de la substance
Circuit magnétique.
Le but de notre problème est l’étude de nombreuses applications des substances ferromagnétiques. Ces applications sont dérivées soit des électroaimants soit des aimants permanents. 1- Loi d’un circuit magnétique simple.
Tore à avec n spires.
Substance ferromagnétique 2
4
varie de 10 à 10 SI
Le champ magnétique :
. . .
est uniforme dans le tore est tangent à une ligne d’induction.
Loi de réfraction des lignes de d’induction :
∞ 2
Le circuit magnétique est un tube de ligne d’induction. 2- Equation des circuits magnétiques.
Matériaux ferromagnétiques :
; ; . . . ;. .. .
Théorème d’ampère sur
Le champ
:
est à flux conservatif :
On en déduit donc le vecteur
:
