Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III
12 de junio junio de 201 2019 9
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas 1. (35 puntos ) Hallar el valor de x(ln2) x (ln2), sabiendo que x es la soluci´ on del problema a valor inicial:
x˙ = 3x − 2y, xy˙ =(0)4=x −4,4, 3yy(0) + 1,1=, 7.7.
Respuesta:
Resolvemos Resolvemos primero el sistema sistema (L) asociado al problema, problema, comenzamos comenzamos con (LH) asociado asociado
x˙ = 3x − 2y, ˙x 3 y˙ = 4x
− 3y ⇒
=
y˙
−2 x −3 y
4
(LHC LH C )
Hallamos los valores propios de la matriz A matriz A asociada a (LHC).
λ − 3 p( p(λ) = −4
2 = λ 2 λ + 3
− 9 + 8 = (λ (λ − 1)(λ 1)(λ + 1). 1).
La familia familia generador generadoraa de soluciones soluciones est´a dada por et , e
t
−
{
} y planteamos como soluci´on on general
x = c = c 11 et + c12 e t , y = c = c 21 et + c22 e t −
−
Determinamos relaciones entre las constantes c ij reemplazando en la primera ecuaci´on: on: c11 et
−c
t
−
12 e
= (3c (3 c11
− 2c
t
21 )e
+ (3c (3c12
− 2c
t
−
22 )e
⇒c
= c 21 = c 1 , 11 = c
2c11 = c = c 22 = c = c 2 .
De donde la soluci´on on general de (LH) asociado es x = c = c 1 et + c2 e t , y = c = c 1 et + 2c 2c2 e t . −
−
La soluci´ soluci´ on particular de (L), por tanteo da: x = 2, y on 2, y = 3, por lo tanto la soluci´on on general de (L) es x = c = c 1 et + c2 e t + 2, 2, y = c = c 1 et + 2c 2c2 e t + 3. 3. −
−
Por ultimo, u ´ ltimo, determinamos los valores de c 1 y c 2 reemplazando las condiciones iniciales en la soluci´on on general: = c 1 + c + c2 + 2 = 4 x(0) = c y(0) = c = c 1 + 2c 2 c2 + 3 = 7. 7.
⇒ c = 0, 1
c2 = 2.
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es: on x = 2e y = 4e
t
−
t
−
Asi x(ln (ln 2) = 2e 2e
−
ln 2
+ 2, 2, + 3. 3.
+ 2 = 1 + 2 = 3.
2. (35 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial x
y − 4y + 4y4y = e = e , yy(0)(0)==2,25.5,.
Respuesta:
La ecuaci´on on diferencial diferencial asociada asociada al problema es una ecuaci´ on on lineal de segundo orden, cuya parte homog´ enea enea y
− 4y
+ 4y 4y = 0
es una ecuaci´on on lineal li neal homog´ h omog´enea enea a coeficientes coefic ientes constantes. co nstantes. Por lo tanto, t anto, el polinomio poli nomio caracter´ c aracter´ıstico ıstico est´a dado por p( p(λ) = λ 2 4λ + 4 = (λ ( λ 2). 2).
−
−
La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on lineal homog´enea enea est´a dada por y = c = c 1 e2x + c2 xe2x . La soluci´ on particular la encontramos por tanteo, planteando y = αex , se tiene que y = e x es una soluci´on on on particular. Por consiguiente la soluci´on on general de la ecuaci´on on lineal asociada al problema es y = c = c 1 e2x + c2 xe2x + ex . Resolver el problema a valor inicial, significa encontrar los valores de c1 y c2 . Remplazamos las condiciones iniciales, y (0) = c = c 1 + 1 = 2 y (0) = 2 1 + c + c2 + 1 = 5
·
⇒ c = 1, ⇒ c = 2. 1
2
La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on y = e = e 2x + 2xe 2xe2x + ex y por lo tanto y (ln (ln 2) = e = e 2 l n 2 + 2(ln 2(ln 2)e 2)e2 l n 2 + eln 2 = 4 + 8 ln2 + 2 = 6 + 8ln 2. 3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero . Respuesta:
En el instante t instante t el ingeniero se encuentra en el punto I = (0, (0, 5t) y el jaguar se encuentra en el punto J punto J = (x, y), ver figura. figura. Como el jaguar jaguar persigu p ersiguee al ingeniero con la vista, la velocidad es colineal y tiene el mismo sentido que J I , de donde
−→
I (0 (0, 5t)
˙x
J (x, y)
y˙
=
10
−J→I J−→I .
Por consiguiente
˙x y˙
=
Utilizando Utilizando el hecho hecho que y que y = y/ ˙ x˙ , se tiene
10 x2 + (5t (5t
y =
y
− 5t ,
− y)
2
xy = y
x
−x . 5t − y
− 5t ;
derivando otra vez, y sabiendo que t = 1/x˙ , se obtiene
x − (y − 5t) x + x y 2
xy =
√
−5t
=5
2
2
=
10 10x x
2
2
.
2x
1+y2
Como x Como x 0 se tiene xy tiene xy = . 2 Debemos resolver una ecuaci´on on diferencial de segundo orden, reducimos el orden planteando z planteando z = = y y , obteniendo
≥
√ 1z+ z + z
1 = 2x
2
⇒ ln(z ln(z +
1 + z + z ) = ln(Cz ln(Cz 2
1/2
) ⇒ z +
1 + z + z
2
= Cx C x1/2 .
Determinemos C , por las caracter caracter´´ısticas ısticas del problema, problema, ver figura, figura, y (200) = z (200) = 0, de donde C = 1/(10 2). Despejemos z Despejemos z ,
√
2
1/2
(1 + z + z ) = (x
√
/(10 2)
2
− z) ⇒
1 y = z = 2
Integramos y obtemos
√
x
1/2
√
√ − 10
10 2
1/2
−
2x
1 2 ( x3/2 20 2x1/2 + D. 2 30 2 D determinamos utilizando la condici´on, on, ver figura, y figura, y (200) = 0, de donde D donde D = 400/ 400/3. El ingenier i ngeniero o deber deb er´´ıa recorrer r ecorrer 400 400/ /3 m antes de ser atrapado, esto obtenemos calculando y (0). Ahora bien, el jaguar corre dos veces m´as as r´apido apido que el ingeniero, por que debe recorrer el doble de recorrido en el mismo lapso de tiempo; es decir, 800 800/ /3 m. y =
√
−
2
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Examen Final de C´ alculo alculo III
12 de junio junio de 201 2019 9
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
f
3.
f
1. (35 puntos ) Hallar el valor de x(ln2) x (ln2), sabiendo que x es la soluci´ on del problema a valor inicial:
Respuesta:
x˙ = 3x − 2y, xy˙ =(0)4=x −4,4, 3yy(0) + 1,1=, 7.7. a) x(ln (ln 2) = 7, 7, d) x(ln (ln 2) = 5, 5, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln 2) = 11 11, e) x(ln (ln 2) = 2, 2,
c) x(ln (ln 2) = 0, 0, f) x(ln (ln 2) = 3, 3,
2. (35 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial x
y − 4y + 4y4y = e = e , yy(0)(0)==2,25.5,.
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 0, 0, d) y (ln2) = 3ln 2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 1, 1, e) y (ln (ln 2) = 3, 3,
c) y (ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, f) y (ln (ln 2) = 6 + 8ln 2,
3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero . Respuesta:
a) 400 m, 3 d) 500 m, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 1000 m, e) 300 m,
c) 400 400 m, f) 800 m, 3
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12 de junio junio de 201 2019 9
2
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
e
3.
e
1. (35 puntos ) Hallar el valor de x(ln2) x (ln2), sabiendo que x es la soluci´ on del problema a valor inicial:
Respuesta:
x˙ = 3x − 2y, xy˙ =(0)4=x −4,4, 3yy(0) + 1,1=, 7.7. a) x(ln 2) = 11 11, d) x(ln (ln 2) = 2, 2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 0, 0, e) x(ln (ln 2) = 3, 3,
c) x(ln (ln 2) = 5, 5, f) x(ln (ln 2) = 7, 7,
2. (35 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial x
y − 4y + 4y4y = e = e , yy(0)(0)==2,25.5,.
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 1, 1, d) y (ln (ln 2) = 3, 3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, e) y (ln (ln 2) = 6 + 8ln 2,
c) y (ln2) = 3ln 2, f ) y (ln (ln 2) = 0, 0,
3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero . Respuesta:
a) 1000 m, d) 300 m, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) 400 m, e) 800 m, 3
c) 500 500 m, f) 400 m, 3
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
12 de junio junio de 201 2019 9
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
d
3.
d
1. (35 puntos ) Hallar el valor de x(ln2) x (ln2), sabiendo que x es la soluci´ on del problema a valor inicial:
Respuesta:
x˙ = 3x − 2y, xy˙ =(0)4=x −4,4, 3yy(0) + 1,1=, 7.7. a) x(ln (ln 2) = 0, 0, d) x(ln (ln 2) = 3, 3, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 5, 5, e) x(ln (ln 2) = 7, 7,
c) x(ln (ln 2) = 2, 2, f) x(ln 2) = 11 11,
2. (35 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial x
y − 4y + 4y4y = e = e , yy(0)(0)==2,25.5,.
Respuesta:
a) y (ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, d) y (ln (ln 2) = 6 + 8ln 2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y (ln (ln 2) = 3ln2, 3ln2 , e) y (ln (ln 2) = 0, 0,
c) y (ln (ln 2) = 3, 3, f ) y (ln (ln 2) = 1, 1,
3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero . Respuesta:
a) 400 m, d) 800 m, 3 g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 500 m, e) 400 m, 3
c) 300 300 m, f) 100 1000 m,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III
12 de junio junio de 201 2019 9
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
c
3.
c
1. (35 puntos ) Hallar el valor de x(ln2) x (ln2), sabiendo que x es la soluci´ on del problema a valor inicial:
Respuesta:
x˙ = 3x − 2y, xy˙ =(0)4=x −4,4, 3yy(0) + 1,1=, 7.7. a) x(ln (ln 2) = 5, 5, d) x(ln (ln 2) = 7, 7, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 2, 2, e) x(ln 2) = 11 11,
c) x(ln (ln 2) = 3, 3, f) x(ln (ln 2) = 0, 0,
2. (35 puntos ) Hallar y (ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema a valor inicial x
y − 4y + 4y4y = e = e , yy(0)(0)==2,25.5,.
Respuesta:
a) y (ln2) = 3ln 2, d) y (ln (ln 2) = 0, 0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) y (ln (ln 2) = 3, 3, e) y (ln (ln 2) = 1, 1,
c) y (ln (ln 2) = 6 + 8ln 2, f) y (ln (ln 2) = 4 + 4ln 2,
3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero . Respuesta:
a) 500 m, d) 400 m, 3 g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 300 m, e) 1000 m,
c) 800 m, 3 f ) 40 400 m,
