Nic icol olá ás Copé op érnic rn ico o
REVOLUCIONES DE LAS ORBITAS CELESTES TOMO I
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Nicolás Copérnico
REVOLUCIONES DE LAS ORBITAS CELESTES TOMO I
Llega esta obra, a la comunidad estudiosa del Instituto Politécnico Nacional, sin fines de lucro
Re R e v o lu c io n e s d e la s órbita ór bitass c e le s t e s - T o m o I Nicolás Copémico D.R. D.R. © 19 1999 99 INSTITUTO INSTITUTO POLITÉCNICO PO LITÉCNICO NACIONAL ISBN 968-7001-76-3 Primera Edición Im preso en México México
PRESENTACIÓN
La actividad editorial desarrollada por el Instituto Politécnico Nacional, está encaminada al cumplimiento de objetivos fundamentales, tales como: el abatimiento del costo de los textos de apoyo para los planes de estudio de diversas carreras y disciplinas que se cursan en la institución, y el estímulo al profesorado para que su esfuerzo en el campo de la investigación técnica y científica y su experiencia en la cátedra, se plasmen en volúmenes que circulen entre el mayor número de estudiantes, docentes e investigadores. En este contexto, iniciamos la publicación de una nueva colección de libros institucionales de carácter académico y costo reducido, que ofrece a los jóvenes estudiantes de los niveles medio superior y superior un acceso más directo hacia el conocimiento forjado en el esfuerzo y la dedicación de los docentes e investigadores del propio Instituto. Este material bibliográfico especializado, se nutre en parte de trabajos originales de nuestra planta de profesores, lo que reviste la mayor importancia puesto que además de contemplar de forma particular los
aspectos pedagógicos específicos que desarrollan en su práctica diaria, permite incentivarlos y demuestra que en México contamos con la suficiencia científicotécnica que nos permitirá impulsar el desarrollo del país. Este programa editorial pretende abarcar gran parte de las materias que integran el conjunto de planes de estudio del Instituto y reflejar en sus publicaciones la unificación de esfuerzos y voluntades que, sin lugar a dudas, repercutirán en una entusiasta aceptación estudiantil. Además, se inserta en el espíritu que ha distinguido siempre al Politécnico, de realizar la encomiable tarea de llevar el conocimiento científico y tecnológico a los sectores mayoritarios de nuestro país. En un periodo histórico como el que vivimos, esta tarea reviste suma importancia, ya que se hace en extremo urgente extender la ayuda institucional para que nuestros educandos encuentren los apoyos que les faciliten el continuar sus estudios profesionales, tan necesarios para el desarrollo de la nación. Este proyecto editorial seguramente marcará un nuevo rumbo en el proyecto académico del Instituto Politécnico Nacional, e impactará en la educación tecnológica y en el desarrollo integral del México del siglo XXI.
Diódoro Guerra Rodríguez
I N D I C E
Al Santísimo Señor Paulo III, Sumo Pontífice Prefacio a los Libros de las Revoluciones
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LIBRO PRIMERO Proemio
Capitulo 1 .—Que el mundo es esférico Capítulo II . —Que la Tierra también es esférica Capítulo III . —Cómo la tierra con el agua forma un globo Capitulo IV .—Que el movimiento de los cuerpos celestes es igual, circular y perpetuo, o sea compuesto de movimientos circulares Capítulo V .—Si tiene la Tierra un movimiento circular y del lugar que ocupa Capitulo VI . —De la inmensidad del cielo a la magnitud de la Tierra Capitulo V I I . —Por qué los antiguos pensaron que la Tierra descansaba en medio del mundo como su centro Capítulo VIII . —Contestación a dichas razones y su insuficiencia Capitulo IX .—Si se pueden atribuir a la Tierra varios movimientos, y del centro del mundo Capitulo X .—Del orden de las órbitas celestes Capítulo X I . —Demostración del triple movimiento de la Tierra Capítulo X I I . —De las líneas rectas que se subtienden en un círculo Capítulo X I I I .—De los lados y ángulos de los triángulos planos rectilíneos Capitulo XIV. —D e los triángulos esféricos
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Proemio Capitulo I .—De los círculos y sus nombres Capitulo II . —De la oblicuidad de la eclíptica y la distancia de los trópicos y como se determinan Capítulo III .—De los arcos y ángulos en que se cortan los círculos del ecuador, de la eclíptica y del meridiano, y como se calculan con ellos declinaciones y ascensiones rectas Capítulo IV .—Cómo determinar la declinación y ascensión recta de un astro situado fuera del círculo que pasa por en medio de los signos, pero cuya longitud y latitud ha sido establecida, y con que grado del zodíaco divide por la mitad el ciclo Capítulo V .—Sobre las secciones del horizonte Capítulo VI .—Cuales son las diferencias entre las sombras del mediodía Capítulo VII. —De qué modo el día más largo, la latitud del orto y la inclinación de la esfera, se derivan entre sí, y sobre la diferencia de los días Capitulo VIII. —De las horas y partes del día y de la noche Capitulo IX. —De la ascensión oblicua de las partes del zodíaco y de que modo para cualquier grado del orto determinaremos el grado que está en medio del cielo Capítulo X. —Sobre el ángulo de sección de la eclíptica con el horizonte Capítulo XI . —Del uso de estas tablas Capítulo XI I . —De los ángulos y de los arcos de círculos que pasan por los polos del horizonte y cortan el mismo círculo de la eclíptica Capítulo XII I. —Del orto y ocaso de los astros Capítulo X I V . —De la búsqueda de los lugares de las estrellas y del catálogo de las estrellas fijas Catálogo de los Signos y Estrellas y primeramente de las que están en la región septentrional De las que están en medio y alrededor del Círculo del Zodíaco De las que están en la Región Austral
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X ir o tá t C o p itn ic o , telra to al ó le o p in ta d o en r l ti g lo X V I
AL SANTISIMO SEÑOR PAULO III, SUMO PONTIFICE NICOLAS COPERNICO
PREFACIO A LOS LIBROS DE LAS REVOLUCIONES Ciertamente, Santísimo Padre, puedo darme cuenta de que tan pronto como ciertas personas se enteren que en mis libros, que escribí sobre las Revoluciones de las esferas del mundo, atribuyo al globo terrestre cierto movimiento, en seguida vociferarán contra tal opinión para rechazarla, porque mi obra no me agrada de tal modo, que no considere lo que de ella otros juzgaren. Y aunque yo sepa que los razonamientos de los filósofos están más allá del juicio del vulgo, debido a que el estudio de ellos es buscar la verdad en todas las cosas, puesto que Dios lo ha permitido a la razón humana, sin embargo, creo que deberíamos apartamos enteramente de las opiniones ajenas a la rectitud. Y cuando consideré cuan absurda parecerá esta dxQÓafia (acroama) a quienes saben que la opinión de la Tierra colocada inmóvil en medio del cielo como su centro, fue confirmada por el juicio de muchos siglos, si yo asegurase, por el contrario, que la Tiena se mueve, largo tiempo dudé en mi interior si daría a la luz los comentarios que escribí, o fuese mejor seguir el ejemplo de los pitagóricos y algunos otros, que no por escrito, sino de palabra, solían transmitir sólo a sus parientes y amigos los misterios de su filosofía, como testifica Lisis en su carta o Hiparco. Sin embargo, me parece que hicieron esto, no como algunos juzgaron, por una mala gana envidiosa en comunicar sus doctrinas, sino para que la hermosura de este asunto investigado por grandes varones, no fuese despreciado por aquéllos a quienes la pereza no deja dedicarse a ningún trabajo d« letras, sino a lo más lucrativo, o por quiénes fueren estimulados con exhortaciones y ejemplos de otros al liberal estudio de la filosofía, y que por la estupidez de su ingenio
están entre los filósofos como zánganos entre abejas. Por tanto, cuando yo reflexionaba sobre esto, el temor al desprecio que me viniese por la novedad y absurdidad de mi opinión, casi me obligó a abandonar por completo la obra propuesta. Pero mis amigos me retrajeron de mi larga vacilación y resistencia. El primero entre ellos fue Nicolás Schonbcrg, cardenal de Capua, céle bre en toda clase de doctrinas. El siguiente fue mi devoto amigo Tiedcman Giese, obispo de Culxn, muy estudioso de las sagradas y de todas las buenas letras. Este, en efecto, muchas veces me exhortaba, y añadiendo a veces los reproches, insistía en que publicase este libro y lo dejase por fin aparecer, pues conmigo ha estado oculto no sólo nueve años, sino ya por cuatro novenios. Lo mismo hicieron otros varios eminentísimos y doctísimos varones, urgiéndome a que no rehusase por más tiempo a comunicar mi obra, por el miedo que yo sentía, para la común utilidad de los estudiosos de las matemáticas. Decían que cuanto más absurda parezca a algunos ahora esta doctrina mía del movimiento de la Tierra, tanta más admiración y favor obtendrá después de la publicación de mis comentarios, cuando esas mismas personas vean disipada la niebla de la obscuridad por la claridad de mis demostraciones. Pues convencido por estos persuasores y por aquella esperanza, por fin permití a mis amigos emprender la edición del trabajo que tanto tiempo solicitaron. Y quizá no adm irará tanto a T u Santidad que me atreva a sacar a la luz mis lucubraciones, después que tanto trabajo me tomé en elaborarlas y en escribir mis pensamientos sobre el movimiento de la Tierra, como estarás ansioso de oír de mí, qué es lo que me vino a la mente y tan to dudé pa ra que me decidiese a imaginar algún movimiento de la T ierra, contra la opinión general de los matemáticos y casi contra el sentido común. Y, por tanto, no quiero ocultar a Tu Santidad, que nada me movió más a pensar en o tra razón par a deducir los movimientos de las esferas del mundo, que el haber sabido de los matemáticos, que ellos mismos no están de acuerdo sobre aquéllos. Porque, en primer lugar, los matemáticos han estado tan inciertos del movimiento del Sol y de la Luna, que no pudieron observar y demostrar la perpetua magnitud del ciclo anual, luego, al establecer los movimientos solares y lunares, y de las otras cinco estrellas errantes, no utilizaron los mismos principios, suposiciones y demostraciones que para las revoluciones y movimientos aparentes. Porque algunos usaron sólo círculos homocéntricos, otros, círculos excéntricos y epiciclos, sin que sus investigaciones llegaran a la plen3 confirmación. Los que tuvieron por cierto el homocentro, aunque llegasen a demostrar los diversos movimientos componentes, sin embargo, no
pudieron demostrar nada seguro, que concordase con los fenómeno». Mas los que pensaron en los círculos excéntricos, aunque pareció que por esta teoría resolvieron numéricamente gran parte del movimiento, mientras tanto, admitieron muchas cosas, que contradecían los primeros principios de la regularidad del movimiento, como se vio después. Además, no fueron capaces de describir o de deducir de aquella teoría la cosa principal, es decir, la forma del mundo y la definida simetría de sus partes. Les ocurrió como si alguien tuviese manos, pies, cabera y otros miembros tomados de distintos lugares, bellos, pero que no guardan la proporción del cuerpo representado, ni la correspondencia entre sí, de modo que con ellos compusieran más un monstruo que un hombre. Y así en el proceso de la demostración, que llamaron método, se olvidaron de algo muy necesario, o encontraron haber admitido cosas ajenas, que de ninguna manera pertenecían al objeto. Lo cual no habría acontecido de ningún modo si hubieran seguido principios ciertos. Porque si las hipótesis admitidas por ellos no fueran falsas, todo lo deducido de ellas hubiera podido ser comprobado sin duda alguna. Y aunque lo que digo es cosa obscura, en su lugar será más clara. Pues bien, como repasara mucho tiempo conmigo esta incertidumbre de las matemáticas tradicionales para deducir los movimientos de las esferas del orbe, comenzó a entristecerme que los filósofos, que en otros aspectos han averiguado con sumo cuidado los menores detalles del mundo, no hayan descubierto ningún esquema seguro acerca de los movimientos de la máquina del universo, que fue creado para nosotros por el Optimo y Regulador Artífice. Por lo cual me tomé el trabajo de releer todos los libros de los filósofos que pudiera conseguir, para indagar si alguno opinó alguna vez, que el movimiento de las esferas del mundo fue* otro del que proponen los que enseñan matemáticas en las escuelas. Y ciertamente, encontré en Cicerón, que Niceto fue el primero en afirmar que la Tieija se mueve. Después, encontré en Plutarco que varios otros fueron de la misma opinión, y con gusto transcribo sus palabras, para que sean conocidas por todos. OI fi¿t S á X m fi/rtir rf¡v yijr, QilóXaog dé IJv&ayÓQeiot; xvx?m ncQt y¿eto dai n tg l xó nvg xata xvxXoü AofotJ ófioágoaü/c >JAúu x ai atXr¡y^. ’HeaxXeldr,e ¿IJorzixóz xai * £ x ? a n o ? ó /Iv& ay^g ciog xiwovai p er xt¡v yf¡v oi y t perafiaux&{, t gojpríí dUtfp if f o v t o / i if r p ánó ÓVGfiwr I j ú vtqov. átazoXáe rtegi t<3 Mío» afarjí x ¿
(Algu nos piensan que la Tierra está quieta ; pero Filolao, el Pitagórico, dice que se mueve alrededor del fuego con un movimiento circular obli cuo, como el Sol y la Luna. Heráclides del Ponto y Ecfanto, el Pitagó rico, no daban a la Tierra ningún movimiento de locomoción, sino más bien un movimiento limitado de orto y ocaso alrededor de su centro, como una rueda.) Y encontré ocasión de comenzar a meditar también sobre la movilidad de la Tierra. Y aunque me parecía absurda esta opinión, sin embargo, como sabia que otros antes que yo tuvieran esta libertad, de modo que algunos compusieron círculos para demostrar los fenómenos de los astros, estimé que también a mí me sería fácilmente permitido experimentar, si dando a la Tierra algún movimiento, pudiese encontrar las revoluciones de las esferas celestes con más firmes demostraciones que las de mis predecesores. Y así, establecidos por mí los movimientos que asigno a la Tierra en mi obra, después de muchas y largas observaciones encontré al fin, que si los movimientos de los demás astros errantes se relacionan con el movimiento circular de la Tierra, y si los movimientos se calculan de acuerdo con la revolución de cada planeta, no sólo se seguirán todos los fenómenos, sino que también se enlazarán de tal manera los astros en todos los órdenes y magnitudes de sus esferas y órbitas y con el propio cielo, que nada puede desplazarse en algún lugar sin confundir las partes restantes y todo el universo. Por lo cual, también en el desarrollo de mi <*ra he seguido un orden, de modo que en el primer libro describo todas las posiciones de las esferas junto con los movimientos que atribuyo a la Tierra, para que dicho libro contenga una exposición general de la constitución del universo. Y en los demás libros relaciono todos los movimientos de los otros astros y de sus esferas con la movilidad de la Tierra, de modo que puede deducirse lo que puede salvarse del movimiento aparente de los restantes planetas y de sus órbitas, si a la Tierra se le concede movimiento. Y no dudo que los doctos e inteligentes matemáticos estarán de acuerdo conmigo en lo que la filosofía exige en primer lugar, conocer y experimentar, no ligera sino profundamente, lo que para demostración de estas cosas, en esta obra se manifiesta. Y para que tanto los cultos como los ignorantes, vieran que en mí no hay que sospechar ningún subterfugio, preferí dedicar mis lucubraciones a Tu Santidad, antes que a cualquier otro, porque incluso en este remotísimo rincón de la Tierra donde vivo, se sabe que eres eminentísimo en la dignidad de tu orden y en tu amor a todas las letras y además a las ma-
temáticas, de donde por tu juicio y autoridad puedes con más facilidad reprimir la mordacidad de los calumniadores, aunque el proverbio dice que no hay remedio contra la mordida de un sicofante. Si tal vez hay “charlatanes’’, que aunque ignorantes de todas las matemáticas, se decidan ellos mismos a opinar, y distorsionen malamente algún lugar de la Sagrada Escritura para su propósito de censurar y atacar mi obra, nada me importa, hasta el punto que también condenaré sus juicios como temerarios, porque no es desconocido que Lactancio, po p o r o tr a p a r te céleb cé lebre re escrit esc ritor, or, p e ro pequ pe quee ño m atem at em átic át ico, o, habl ha blóó tan ta n pue p ueri rilm lmee nte nt e de la form fo rm a de la T ier ie r r a , que qu e se reía re ía d e los q u e afir af irm m a ban ba n que tenía forma de globo. No debe sorprendemos pues, a los estudiosos, si gente como esa se rie de nosotros. Las matemáticas se escriben para los matemáticos, y entre ellos, si no me equivoco, mis trabajos serán considerados como una contribución a la comunidad eclesiástica, cuyo gobierno tiene ahora Tu Santidad. Porque no hace mucho, bajo León X, cuando en el Concilio Latcranense se trataba de la reforma del Calendario Eclesiástico, quedó entonces indecisa, por la única razón de que la magnitud de los años y los meses, y los movimientos del Sol y de la Luna, todavía no se habían medido con suficiente precisión. Desde esc tiempo presté mayor atención a hacer observaciones más exactas de esas cosas, aconsejado por el preclarísimo varón Paulo, obispo de Fossombrone, que ha bía b ía esta es tadd o pres pr esen ente te e n esas delib de liber erac acion iones es.. P e ro lo q u e he real re aliz izad adoo en esta materia, lo dejo al juicio de Tu Santidad en particular y de los demás doctos matemáticos. Y para que no parezca a Tu Santidad, que pro pr o m e to u n a util ut ilid idaa d a este libro lib ro q u e no pued pu edoo conseg con seguir uir,, e n tro tr o desde de sde luego en materia.
LIBRO PRIMERO
PROEMIO Entre muchos y variados estudios de artes y letras, sobre las cuales el ingenio de los hombres se ocupa, esrimo que principalmente deben ser abrazadas y seguidas con sumo cuidado, aquellas que se ocupan de cosas muy hermosas y dignas de ser conocidas. Tales son las que tratan de las maravillosas revoluciones del mundo y del curso de los astros, de sus magnitudes y distancias, orto y ocaso, y de las causas de todo lo demás que se ve en el cielo, y que, al fin explican la forma total. Porque, ¿qué puede haber más hermoso que el cielo, conteniendo toda esa hermosura? Lo cual aclaran hasta sus diversos nombres: Cielo y Mundo, pu p u rez re z a y a d orno or no,, incl in clui uido doss en esas deno de nom m inac in acio ione nes. s. Y p o r eso, m ucho uc hoss filósofos lo llamaron dios visible, por su extraordinaria excelencia. Y de ahí, que si si la dignidad de las artes se se estima estima po r la m ateria de que q ue tratan , la que algunos llaman Astronomía, otros Astrología y muchos de los antiguos la consumación de las matemáticas, será sobre las demás en gran manera excelentísima. Ella está, sin duda, a la cabeza de todas las artes nobles, es la más digna para el entendimiento del hombre libre, y se apoya en todas las otras ramas de las matemáticas: Aritmética, Geometría, Optica, Geodesia, Mecánica y también algunas otras, todas se ofrecen a su servicio. Y aunque todas las buenas artes abstraen de los vicios y dirigen la mente del hombre a lo mejor, ésta puede dar eso mismo y más abundantemente con increíble delectación del ánimo. ¿Quién que se adhiera a tales objetos, que ve constituidos y dirigidos por la divina dispensación con óptimo orden, por la asidua contemplación de ellos y cierto hábito, no es provocado a lo mejor y no admira al Artífice de todo, en quien está toda felicidad y todo bien? No en vano dijo aquel divino salmista, “que se deleita en los trabajos de Dios y exulta al ver
las obras de sus manos”, ya que por estos medios como vehículos, somos conducidos a la contemplación del Sumo Bien. Y cuanta utilidad y ornamento trae a estas repúblicas este conocimiento (aún pasando por alto las innumerables ventajas que proporciona a los particulares), excelentemente lo advirtió Platón, quien en el Libro Séptimo de las Leyes, juzga que debe ser en especial buscado, a fin de que la ciudad viva vigilante, acerca del orden de los días en meses y años y de la determinación de los tiempos de las solemnidades y sacrificios preceptuados, y dice, que si alguien niega que este estudio es necesario para un hombre que alcanza óptim a sabiduría, piensa cstultísimam ente ya que nadie puede ser agradable a la divinidad, si no cree preciso conocer el Sol, la Luna y los demás astros. Pero esta ciencia, que puede ser llamada más divina que humana, que se ocupa de cosas tan altas, no carece de dificultades. Principalmente, en lo que se refiere a sus principios y suposiciones que los griegos llaman “hipótesis”, en las cuales veremos cuán discordes estuvieron los que intentaron ocuparse de ellas y como no emplearon los mismos métodos de cálculo. Además, los cursos de los astros y de las revoluciones de las estrellas no pueden definirse en números exactos y conocimientos perfectos, sino con mucho tiempo y muchas observaciones previas, que como he dicho, pueden ser transmitidas a la posteridad. Ptolomeo de Alejandría sobresalió mucho de otros por su admirable diligencia y habilidad, y con ayuda de cu arenta años de observaciones, consumó todo este arte a tal grado que parecía no faltarle nada que no hubiera tocado. Sin em bargo, vemos que muchas cosas no concuerdan con los movimientos que se deducen de su doctrina, sino más bien con otros que fueron descubiertos más tarde y eran desconocidos para él. Por lo que también Plutarco, cuando habla del ciclo anual del Sol dice: “hasta ahora el movimiento de los astros ha vencido la pericia de los matemáticos”. Porque si tomo el año como ejemplo, creo es bien sabido, cuan diversos han sido siempre los juicios sobre él, hasta el punto de que muchos desesperaron de poder encontrar una explicación cierta. Así en el caso de otras estrellas intentaré, con el favor de Dios, sin quien nada podemos, inquirir esto más detalladamente, ya que el gran intervalo de tiempo entre nosotros y los fundadores de este arte, cuyos descubrimientos podemos comparar con los nuevos realizados por nosotros, nos da más posibilidades para probar nuestra propia teoría. Además, por otro lado, confieso que expondré muchas cosas diferentes de mis predecesores, aunque con su ayuda, porque fueron ellos los que primero abrieron la puerta a esas investigaciones.
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QUE EL MUNDO ES ESFERICO Lo primero que debemos advertir es que el mundo es una esfera, ya porq ue esta forma sea perfectísima entre todas, que no tiene com paración con ninguna otra, por ser íntegra, ya porque sea la de mayor capacidad de todas las figuras, que comprende todas y conviene muchísimo conservar; sea también porque absolutamente todas las partes del universo, es decir, el Sol, la Luna y las estrellas, en tal forma aparecen; sea porque en ella todas las cosas tienden a perfeccionarse, como se ve en las gotas de agua y en los demás cuerpos líquidos, puesto que por sí tienden a limitarse. Y así, tal forma no dude alguien en atribuir a los cuerpos divinos. Ca
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II
QUE LA TIERRA TAMBIEN ES ESFERICA Que la Tierra también sea un globo se ve porque todas sus partes se apoyan en su centro. Sin embargo, su absoluta esfericidad no se nota desde luego con tanta altitud de los montes y profundidad de los valles, que, sin embargo, varían mínimamente la redondez de la Tierra. Lo cual es manifiesto porque hacia el septentrión, por donde quiera que se vaya, se ve el vértice de la revolución diurna elevarse poco a poco en lo alto, y otro tanto declina en sentido inverso, y en el norte también se observa que muchas estrellas no tienen ocaso, y en el austro muchas no tienen orto. Así también, Canopo no se ve en Italia y en Egipto está patente. En Italia se observa la última estrella de Fluvio, y en nuestra zona fría se ignora. Al contrario, los que viajan hacia el Sur, ven subir unas estrellas y bajar otras, las que para nosotros están muy altas. Por otra parte, las inclinaciones de los polos, a «guales distancias de los terrestres, tienen en todos esos lugares la misma razón, lo cual no acontece con ninguna figura, sino con la esférica. Por donde se pone de manifiesto
que la Tierra tiene también su eje y, por tanto, es redonda. Añádase también que los naturales de los países de Oriente, no perciben los eclipses vespertinos del Sol y de la Luna, ni los de Occidente los eclipses matutinos; pero entre los habitantes de la zona media, algunos los ven más pronto y otros más tarde. Además, la forma de las aguas es observada por los navegantes, que desde la nave no ven la tierra, que desde la altura del mástil se contempla. Y al contrario, si en la punta del mástil hay algo brillante, al apartarse el navio de la tierra, poco a poco se ve descender por los que están en la orilla, hasta que como poniéndose se oculta. Consta también que las aguas por su naturaleza, corren hacia abajo, lo mismo que la tierra, y no suben en el litoral más allá de lo que la convexidad de la orilla permite. Por lo cual, la tierra está tanto más alta cuando más se eleva sobre el océano. C
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III
COMO LA TIERRA CON EL AGUA FORMA UN GLOBO De aquí, por tanto, que el océano que rodea la tierra con sus muchos mares, llena hasta los más profundos abismos. Así que convenía que fueran menos las aguas que la tierra, para que las aguas no absorbiesen toda la tierra, ya que ambas tienden al mismo centro de gravedad, y también para que dejaran descubiertas algunas partes de tierra en islas patentes aquí y allá, para salud de las criaturas vivientes. Porque el propio continente y orbe terrestre, ¿qué es sino una isla mayor que las demás? No hay que creer a ciertos peripatéticos, quienes mantuvieron que la totalidad del agua es diez veces mayor que la de la tierra, porque en la transmutación de los elementos, al licuar una parte de tierra resultan diez de agua. Y dicen que la tierra sobresale una cierta distancia, porque al existir espacios vacíos en el interior, no se equilibra en todas partes respecto a su peso, y así el centro de gravedad es diferente del centro de magnitud. Pero se equivocaron por su ignorancia del arte de la Geometría, no sabiendo que ni siquiera siete veces puede ser mayor el agua y parte de la tierra quedara seca, sin que fuera evacuada de su centro de gravedad, cediendo su lugar a las aguas como más pesadas. Porque las esferas se relacionan entre si por el cubo de sus dimensiones, y si hubiera siete partes de agua por una de tierra, el diámetro de la Tierra no podría ser mayor que el radio del globo de las aguas. Tan lejos de la verdad es que las aguas sean diez veces más que la tierra.
Que no hay diferencia entre el centro de gravedad y el centro de magnitud de la Tierra puede creerse, porque la convexidad de la Tierra que emerge del océano no está creciendo de modo continuo, ya que en ese caso alejaría las aguas marinas todo lo posible y no dejaría penetrar los vastos golfos y mares internos. Además, no cesaría de aumentar la profu ndid ad del abismo desde la orilla del oceáno, y no habría isla, o escollo, o cualquier otro terreno que impidiera a los navegantes poder avanzar lejos. Porque consta que entre el mar de Egipto y el Golfo Arábigo, apenas hay unos 15 estadios, casi en el centro del orbe terrestre. Y a su vez, Ptolomeo en su Cosmografía, hace extender la tierra habitable hasta el círculo medio, dejando lo demás como zonas desconocidas, donde más recientemente se han encontrado Catay y otras amplísimas regiones, hasta de 60 grados de longitud, de modo que ya es mayor la extensión de la tierra habitada que la de los océanos. Y aún más si añadimos las islas que en nuestros tiempos se han encontrado bajo los auspicios de los reyes de España y Portugal, y principalmente, América, llamada así por su descubridor que mandaba los navios, y de la cual no se encuentra aun su magnitud total, por lo que se considera un segundo orbe terrestre, junto con muchas islas antes desconocidas, que no nos sorprendería fueran antípodas o antíctonas. Esta misma América por razones geométricas, se supone que está situada en la región diametralmente opuesta a la India del Ganges. En fin, de todo esto juzgo que es manifiesto que tierra y agua tienen un mismo centro de gravedad, que es el mismo centro de magnitud de la Tierra, que al ser más pesada, se llenan con agua todas sus depresiones, y por tanto, es menos el agua en comparación con la tierra, aunque una mayor superficie aparezca cubierta con ese líquido. Porque la figura que tiene la Tierra con las aguas que le rodean, necesariamente aparece en la sombra de la Tierra, perfectamente circular, que se proyecta en la Luna en los eclipses de la misma. Por tanto la Tierra no es plana como Empédocles y Anaxíinenes opinaron; ni timpanoide como dijo Seucipo; ni escafoide como consideró Heráclito; ni de algún otro modo cóncava como aseguró Demócrito; ni cilindrica, como propuso Anaximandro; y no está arraigada en su parte inferior con infinitas y robustas raíces como supuso Jenófanes; sino absolutamente redonda, como perciben los filósofos.
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QUE EL MO VIM IENTO D E LOS CUERPOS CELESTES ES IGUAL, CIRCULAR Y PERPETUO, O SEA COMPUESTO DE MOVIMIENTOS CIRCULARES Después de lo anterior, señalaremos ahora que el movimiento de los cuerpos celestes es circular. Porque el movimiento de las esferas es girar en un círculo, y este acto lo expresa su misma forma, que es el cuerpo más sencillo, donde no hay que buscar ni principio ni fin, ni distinguir uno de otro, puesto que cada uno se mueve por sí mismo. Pero por otra parte, son muchos los movimientos de las esferas o círculos orbitales. Conocidísima de todos, es la cotidiana revolución terrestre, que los griego: llaman wx&JpeQo, es decir, del intervalo de tiempo de un día y una noche. Por medio de este movimiento, todo el mundo, con excepción de la Tierra, se supone avanza del este al oeste. Y además se toma como medida común de todos los demás movimientos, ya que el tiempo lo determinamos, principalmente por el número de días. Después vemos otras revoluciones en sentido inverso, es decir, del oeste al este, por parte del Sol, la Luna y los cinco astros errantes. Así, el Sol nos da el año, la Luna los meses, que son los períodos más conocidos, y los otros cinco planetas, siguen cada uno su propio circuito. Hay, sin embargo, diferencia en muchos puntos. Primero, no giran alrededor de los mismos polos, sino que recorren la oblicua eclíptica, y des pués, en su mismo ciclo, no los vemos seguir siempre igual. Porque el Sol y la Lun a cumplen su curso unas veces más despacio y otras más aprisa. Observamos también como los otros cinco planetas incluso retroceden a veces, luego de detenerse un tiempo. Y aunque el Sol siempre se des plaza directamente en su camino, aquéllos de varios modos van errantes, unas veces hacia el sur y otras hacia el norte los vemos vagar, por lo cual son llamados planetas. A esto añadase también que algunas veces se acercan más a la Tierra, lo que se llama perigeo, y otras veces están más lejos lo que se llama apogeo. Y no es menos necesario declarar, que el movimiento es circular o compuesto de muchos círculos, porque en sus desigualdades observan una ley cierta, ya que sus posiciones vuelven a repetirse, lo cual no pudiera ser si no fuesen circulares sus recorridos. Porque sólo es un círculo el que puede repetirse sin cesar, como, por ejemplo, el movimiento del Sol en círculo produce la desigualdad de los días y las noches, y nos repite las cuatro estaciones de año, para todo lo cual se sobreentienden muchos movimientos, porque es imposible que
un simple cuerpo celeste se mueva irregularmente sobre una sola esfera. Y esto sucedería así por la inconstancia de la virtud motriz, sea por causa exterior o por su intima naturaleza, o por la disparidad de las revoluciones de los cuerpos. Sin embargo, repugnando ambas cosas al entendimiento, siendo indigno juzgar asi de aquellos cuerpos que están constituidos con óptima ordenación, es mejor aceptar que sus movimientos son iguales, y que nosotros los vemos desiguales por los diversos polos de su recorrido, o porque la Tierra, tampoco está en el centro de los círculos en que esos astros giran. Y cuando observamos desde la Tierra, sucede que al pasar los planetas, a causa de sus desiguales distancias a la Tierra, los vemos mayores cuando están más cerca, que cuando se encuentran más lejos (como ha sido demostrado en Optica). Y así, en el caso de arcos iguales (por las distintas distancias en que son vistos), aparecen movimientos desiguales en tiempos iguales. Por esta causa considero necesario ante todo, que advirtamos cuidadosamente lo que es habitual en el ciclo de la Tierra, para que al querer escrutar lo altísimo, no ignoremos las cosas que nos son más próximas, y, por el mismo error, atribuyamos lo que es propio de esta Tierra a los cuerpos celestes. Ca
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V
SI TIENE LA TIERRA UN MO VIMIENTO CIRCULAR Y DEL LUGAR QUE OCUPA Ya quedó pues demostrado que también la Tierra tiene forma de globo, y pienso que ahora hay que ver si también de su forma se deriva su movimiento, y que lugar tiene en el universo, sin lo cual no puede encontrarse una razón cierta de los movimientos que aparecen en los cielos. Muchos autores convienen en que la Tierra descansa en medio, del universo, y consideran este punto inopinable y hasta creen ridículo pensar lo contrario. Sin embargo, si atentamente examinamos el asunto, veremos que esta cuestión no está aun resuelta y que de ninguna manera rs despreciable. Porque todo lo que se ve de aparente cambio de lugar, se debe al movimiento de la cosa observada, o del observador, o a movimientos necesariamente dispares de ambos. Porque cuando avanzan a la vez de igual modo no se percibe movimiento relativo entre la cosa vista y el es pectador. Y desde la Tierra es donde todo el circuito celesda! se contem pla y se presenta a nuestra vista. Por tanto, si se concede a la Tierra algún movimiento, el mismo aparecerá en el universo que hay afuera, pero en sentido inverso, como si las cosas pasaran por arriba. Así se
observa en primer lugar en la revolución cotidiana. Este movimiento parece arrastrar a todo el mundo, menos a la T ierra y a lo que está cerca de ella. Y si admitimos que el cielo no interviene en nada de esc movimiento, y que la Tierra da vuelta de occidente a oriente, tanto el orto como el ocaso del Sol y la Luna, atentamente considerados quedarían bien explicados. Y siendo el cielo el que comprende y abarca todas las cosas, lugar común de todo el universo, no se comprende bien con claridad, porque el movimiento no se ha de atribuir al contenido antes que al continente, a lo colocado antes que al lugar donde se coloca. Esta opinión era razonable para Heráclides y Ecfanto, pitagóricos, y para Niceto el Siracusano, según Cicerón: que en medio del m undo d a vueltas la Tierra. Y suponían que las estrellas se ponen al interponerse la Tierra, y que al cesar dicho obstáculo, salían de nuevo. Supuesto lo anterior, siguen otras cosas y una duda no menor sobre el lugar de la Tierra, aunque ya es aceptado, generalmente por todos, que se encuentra en el centro del mundo. Porque si alguien negare que la T ierr a ocup a el lugar medio o central del mundo, sin embargo no adm itiría que la distancia a dicho centro sea comparable a las dimensiones de la esfera de las estrellas no errantes, aunque se considera evidente respecto de las órbitas del Sol y los planetas; y juzgaron, por lo mismo, que los movimientos de estos aparecen diversos, como si fueran regulados por otro centro diferente del de la Tierra, lo que podría quizá proporcionar razones adecuadas sobre el aparente desplazamiento irregular. El que los astros errantes aparezcan, a veces más cerca de la Tierra y en otras ocasiones, estén más lejos, argumenta necesariamente a favor de que la Tierra no es el centro de sus círculos. Lo que no está todavía aclarado es si la Tierra se acerca y se aleja de ellos, o ellos de la Tierra. Y tampoco sería sorprendente si alguien opinara que la Tierra posee algún otro movimiento además de su revolución cotidiana. De hecho, a Filolao el Pitagórico, matemático no vulgar, puesto que Platón no demoró el ir a Italia para gozar de su presencia, según aseguran los biógrafos del filósofo griego, se le atribuye haber mantenido que la Tierra giraba en un círculo, vagaba con otros movimientos y era uno de los planetas. Sin embargo, muchos han creído poder demostrar por razones geométricas, que la Tierra está en el centro del mundo y que en la inmensidad del cielo es como a modo de punto central, y que está inmóvil por esta causa, ya que cuando el universo se desplaza, el centro permanece quieto y lo que está más próximo a este centro es movido lo más despacio posible.
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VI
DE LA INMENSIDAD DEL CIELO A LA MAGNITUD DE LA TIERRA De que la gran mole de la Tierra no tenga ninguna relación con la inmensidad del cielo, puede deducirse de que los círculos límites (que es la traducción del griego “horizontes”), dividen toda laesfera celestes en dos mitades, lo cual no pudiera hacerse si la grandeza de la Tierra en comparación con el cielo o su distancia al centro del mundo, fueran considerables. Porque el círculo que divide por la mitad a la esfera pasa por su centro y es el mayor círculo que puede circunscribirse en ella. Representemos el horizonte con el círculo ABCD y la Tierra, desde donde observamos, con el punto E centro del horizonte, que separa los astros visibles de Jos ocultos. Luego con una dioptra, un horoscopio o un corobate, colocado en E, vemos aparecer a Cáncer en el punto C y en el mismo momento comienza Capricornio su ocaso en A. Por tanto como AEC forma una línea recta según la dioptra, debe ser un diámetro de la eclíptica, puesto que los seis signos limitan un semicírculo, cuyo centro E es el centro del horizonte. Y de nuevo al terminarse la vuelta, de modo que el principio de Capricornio salga en B, se verá entonces a Cáncer tener su ocaso en D, y BED formará una línea recta, diámetro del zodíaco. Pero ya se ha visto que AEC es también un diámetro del mismo círculo, por lo que su sección común estará en el centro E. Así pues el horizonte siempre cortará por la mitad a la eclíptica, que es un círculo máximo de la esfera. Porque en una esfera, si un círculo divide a otro de los círculos máximos en dos mitades, el biscctor es un círculo máximo. Por consiguiente, el círculo del horizonte debe ser máximo y su centro es el mismo de la eclíptica, según parece. Sin embargo, aunque son diferentes las líneas que pasan por el centro de la Tierra y por su superficie, tomando en cuenta su inmensidad respecto a la Tierra, son semejantes a líneas paralelas, que por la gran distancia de su final, pueden considerarse como una sola, cuando el espacio entre ellas no puede compararse con su longitud, como ha sido demostrado en Optica. Este es, sin duda, un argu-
mentó suficiente para demostrar que el ciclo es inmenso en comparación con la Tierra y presenta el aspecto de una grandeza infinita, y que según nuestros sentidos, la Tierra es al cielo como un punto es a un cuerpo y como una magnitud finita es a una infinita. Vemos que nada más que esto ha sido demostrado y de ello no se deduce que la Tierra deba estar precisam ente en medio del mundo. Y más debería admiramos que esta vasta inmensidad recorra su vuelta en veinticuatro horas, en lugar de que lo haga su parte mínima, como lo es la Tierra. Porque decir que el centro es inmóvil y que las cosas más próximas al centro se mueven menos, no prueba que la Tierra descansa en medio del mundo, ya que no es diferente decir que el ciclo gira sobre los polos que están quietos, y lo que está más cercano a dichos polos va más lento. Así vemos que Cinosura se mueve más despacio que Aguila o Canícula, porque, muy cerca del polo, describe un círculo más pequeño, ya que están todas sobre una simple esfera, cuyo movimiento se detiene sobre su eje y que no permite que sus partes tengan desplazamientos iguales entre sí, pues en la revolución emplean el mismo tiempo, pero no sobre el mismo espacio. En esto se apoya el argum ento de que la T ier ra es una parte d e la esfera celeste y que su movimiento es de la misma especie, pero al estar más próxim a al centro, avanza con lentitud a su posición siguiente. Por tanto, se movería como cuerpo existente, no sería centro y avanzaría, en el mismo tiempo, arcos similares pero más pequeños, que los de la esfera celeste. La falsedad de esto es clara como la luz, porque de ser cierto debería estar fija al mediodía en un lugar y a la medianoche en otro, y no habría ortos y ocasos diarios, ya que el movimiento del todo y de las partes debe ser uno e inseparable. Pero no sucede así, porque en la realidad los astros encerrados en órbitas más pequeñas las recorren con más rapidez que los colocados en mayores círculos. Así, Saturno, la mayor de las estrellas errantes, da su vuelta en 30 años, mientras que la Luna, sin duda la más próxima a la Tierra, recorre su circuito en un mes. Y, la Tierra, se estima que recorre su espacio en un día y una noche. Pero resurge una duda sobre esa revolución cotidiana de la Tierra. Y también el lugar que ocupa la T ierr a resulta aun más incierto en virtud de lo supradicho. Porque esta demostración sólo prueba que el cielo tiene magnitud indefinida respecto a la Tierra. Y hasta donde se extiende esta inmensidad de ningún modo consta. (Al contrario, !os corpúsculos diminutos e indivisibles que llaman átomos, cuando se toman en parejas o en pequeño número no componen un cuerpo visible, pero pueden ser reunidos en cantidad tan grande, que serán al fin bastantes para form ar una magnitud observable. Lo mismo sucede con el lugar
de la 'Fierra, aunque no esté en el centro del mundo, su distancia es insignificante en comparación con la esfera de las estrellas no errantes.) Ca
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V II
POR QUE LOS ANTIGUOS PENSARON QUE LA TIERRA DESCANSABA EN MEDIO DEL MUNDO COMO SU CENTRO A este respecto, los primeros filósofos, entre varias razones, alegaron ante todo la gravedad y la ligereza, para intentar afirmar que la Tierra está en reposo en medio del mundo. Porque la Tierra es el elemento más pesado y todas las cosas de algún peso son llevadas hacia olla y forradas a desplazarse en su profundidad hac ia el centro, 'orque siendo la Tierra un globo, hacia el cual las cosas pesadas desde cualquier dirección son llevadas en ángulos rectos con la superficie, y si aquí no fueran retenidas bajarían todas al mismo centro, puesto que la línea recta perpendicular a una superficie plana donde toca a una esfera, pasa por el centro. Y todo lo que descendiera hasta el centro, quedaría allí en reposo. Tanto más entonces estará la Tierra quieta en el centro, y siendo el receptáculo de todo lo que cae sobre ella, permanecerá quieta a causa de su peso. De modo análogo, algunos filósofos tratan de probar esto por razón del movimiento y de su naturaleza. Porque un cuerpo simple tiene un movimiento simple, dice Aristóteles, pero el movimiento simple puede ser recto y circular. Y los rectilíneos pueden ser hacia abajo o hacia arriba. Por lo cual, todo movimiento simple es hacia el centro, que es el movimiento hacia abajo, o procedente del centro, que es hacia arriba, o es alrededor del punto central, que es el circular. Y así conviene, en verdad, que el agua y la tierra, que son elementos tenidos por pesados, tiendan hacia abajo buscando el centro; pero el aire y el fuego, a los que se atribuye la ligereza, se muevan del centro hacia arriba. Y vanos que es común conceder a esos cuatro elementos el movimiento rectilíneo, y a los cuerpos celestes el circular alrededor del centro. Todo esto según Aristóteles. Por tanto, Pcolomeo de Alejandría dice que si la Tierra dieia vueltas, al menos la revolución cotidiana, sería preciso que sucediera todo lo contrario de lo arriba dicho. Porque, necesariamente, este movimiento sería muy evidente y su celeridad insuperable, puesto que en veinticuatro horas atraviesa Ja Tierra todo su circuito. Pero este repentino y vertiginoso movimiento sería completamente incapaz de recoger o unir las cosas,
y más bien serviría para dispersar o disolver lo que estuviese unido, si no lo refrenase alguna otra coherencia para que todo siguiera junto. Y hace mucho tiempo, añadió, que la Tierra ya dispersada hubiera pasado al cielo (lo que es ridiculo afirmar) y por lo mismo todo lo animado y cualquier otra cosa, libres de toda atad ura, en m ane ra alguna permanecerían sólidos. Además, lo que cac no llegaría al lugar señalado, y desde luego no a lo largo de la perpendicular, tan grande es la rapidez que lo arrastra. Y también las nubes y las otras cosas pendientes en el aire, siempre las veríamo6 llevadas hacia occidente. Ca
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VIII
CONTESTACION A DICHAS RAZONES Y SU INSUFICIENCIA Por estas y similares causas dicen que la Tierra descansa en medio del mundo y que no hay duda sobre ello. Y desde luego, si alguien opinara que la Tierra da vueltas, diría también que el movimiento sería natural y no violento. Y lo que está de acuerdo con la naturaleza, obra efectos contrarios a aquellos que es según la violencia. Porque lo causado por el ím petu, es disolvente por necesidad, y no podría subsistir mucho tiempo. Prro lo que se lleva a cabo conforme a la naturaleza, se mantiene debidamente y conservará su óptima composición. En vano, teme Ptolomeo que la Tierra y todo lo tenestre se disperse en una revolución causada por la eficacia de la naturaleza, que tan lejos está de las artes o de lo que puede proceder del ingenio humano. Pero, ¿por qué no sospecha también lo mismo de todo el mundo, cuyo movimiento debe ser tanto más veloz, cuánto mayor es el cielo que la Tierra? ¿O el cielo ha llegado a ser tan inmenso, por qué la indecible impetuosidad de su movimiento lo ha arrastrado lejos del centro, y por qué el cielo caería si volviera al reposo? Ciertamente, si se pudiera mantener ese razonamiento, también la magnitud del cielo llegaría al infinito. Porque cuanto más se eleva el movimiento por el ímpetu, más rápido será el desplazamiento, considerando la circunferencia creciente que debe recorrerse cada veinticuatro horas: y al aumentar la velocidad del movimiento se ampliaría la inmensidad del ciclo. De este modo, la velocidad haría crecer infinitamente la magnitud, y la magnitud la velocidad. Y de acuerdo con el axioma de la física, lo que es infinito no puede ser atravesado ni movido de alguna forma, el cielo estaría necesariamente en reposo. Pero dicen que fuera del cielo no hay cuerpo alguno, ni vacío, ni nada en absoluto, por eso no hay nada que pueda escapar del cielo;
entonces en verdad sorprende que algo puede ser mantenido junto por nada. Pero si el cielo fuera infinito y fuera finita sólo su concavidad interior, podría decirse con más razón que no hay nada fuera del cielo, pues algo que ocupe cierto espacio debe estar en él, pero el cielo penna necerá inmóvil. Porque el movimiento es la razón más poderosa con la que intentan deducir que el mundo es finito. Pero dejemos disputar a los filósofos de la naturaleza si el mundo es finito o infinito; un a cosa tenemos por cierta, que la Tie rra está contenida entre sus polos, y su superficie es esférica. ¿Por que, pues, aún dudamos en concederle la movilidad que a su forma y por su propia naturaleza le conviene mejor, que poner en conmoción a todo el mundo cuyos limites ignoramos y no podemos conocer? ¿Y por qué no admitimos que esa apariencia de revolución diaria del ciclo, no pertenece en realidad a la Tierra? Y las cosas suceden como cuando el Eneas de Virgilio dice: “Saliendo del puerto, la tierra y las ciudades retroceden”. Porque cuando un navio flota con mar tranquilo, todo lo que está fuera les parece a los navegantes que avanza con un movimiento, que es la imagen del suyo propio, y piensan al contrario, que ellos y todas sus cosas están quietas. Así, sin duda, puede acontecer con el movimiento de la Tierra, que creamos se mueva en círculo todo el mundo. ¿Qué diremos, pues, de las nubes y de otras cosas que flotan en el aire, bajan, se detienen y suben de nuevo? Alegaremos que no sólo la Tierra y el elemento líquido a ella unido se mueven de esta forma, sino también el aire y cualquier otra cosa del mismo modo relacionada con la Tierra. Ya que el aire próximo mezclado con tierra, o con agua, obedece a la misma naturaleza que la Tierra, o porque el movimiento del aire es adquirido, en el cual participa sin resistencia dada la contigüidad y perfecta rotación terrestre. A su vez, no es menos sorprendente cuando dicen que la región más alta del aire sigue el movimiento celeste, como se ha demostrado por las estrellas que surgen repentinamente, pienso en los cometas, llamados “pogonías" (barbadas) por los griegos. Porque ese lugar se asigna para su generación, y como las demás estrellas, nacen y se ponen. Podemos decir que esa parte del aire está desprovista de movimiento terrestre por su gran distancia a la Tierra. Por eso, el aire más próximo a la Tierra, y las cosas que flotan en él, aparecen tranquilas, a no ser que el viento o cualquier otre ímpetu, las agiten de un lado a otro, como a veces acontece. Porque, ¿no es el viento en el aire lo que las olas en el mar? Es preciso reconocer, que el descender y ascender de los cuerpos es un movimiento doble en comparación con el mundo, y está compuesto,
en general, del rectilíneo y el circular. Y como cualquier cosa desciende por su peso, porq ue contiene mucha tierra, no es dudoso que las partes sigan la naturaleza del todo, y es por esta razón que lo ígneo es lanzado arriba con fuerza. Porque este fuego terrestre lo mantiene principalmente la materia terrena, y la llama, no se define de otro modo, que como humo ardiente. Es propiedad del fuego extenderse a todo lo que encuentra y tomar tanta fuerza, que no puede impedirse de ningún modo ni con ningún artificio que rompa su prisión y termine su obra. Y el movimiento de expansión va del centro a la circunferencia, y si cualquier parte de la Tierra se encendiera, seria llevada del centro a lo alto. Según esto, como ellos dicen, un cuerpo simple posee un movimiento simple, lo que se ha comprobado primero en el movimiento circular, siempre que el cuerpo simple permanezca en su lugar natural y en su unidad. En dicho lugar, y no en otro, es cuando el movimiento es circular y se queda allí como si estuviera quieto. Pero el movimiento rectilíneo sobreviene a aquellas cosas que son desplazadas de su lugar natural, o que son empujadas fuera, o de algún modo alejadas. Y nada repugna tanto a la forma de gobierno como que algo esté fuera de su sitio. Luego el movimiento rectilíneo se produce sólo en cuerpos que no están en condiciones correctas y no se ajustan perfectamente a su naturaleza, cuando se separan de su conjunto y abandonan su unidad. Por lo cual, lo que es llevado arriba o abajo, sin tomar en cuenta el movimiento circular, no tiene un movimiento simple uniforme e igual. Porque no puede estar en equilibrio con su ligereza o el ímpetu de su peso. Y cualquier cosa que cae, al principio lo hace con lendtud, pero aumenta su velocidad conforme va cayendo. Y al contrario, notamos que este fuego terrestre (y no conocemos otro) cuando se lleva a lo alto de inmediato se debilita, como manifestación de la violencia de la materia terrestre. El movimiento circular siempre es igual, porque tiene una causa indeficiente, pero el rectilíneo disminuye su velocidad, porque hallado lugar, el objeto deja de ser pesado o ligero, y term ina su desplazamiento. Correspondiendo pues el movimiento circular al todo y el rectilíneo a las partes, podemos decir que el movimiento circular es al rectilíneo, como el ser animado es al enfermo. Y ciertamente, que Aristóteles considere tres géneros de movimiento simple: desde el centro, hacia el centro y alrededor del centro, lo juzgaremos como un solo acto de razón, lo mismo que distinguimos entre línea, punto y superficie, aunque ninguno de ellos puede subsistir sin los demás o sin el cuerpo. También ocurre, que cuanto más noble y divina es la condición de algo, se le debe atribuir el estado de inmovilidad, mientras que los
cambios e inestabilidad corresponden mucho más a la Tierra que al mundo. Y también añado que parece absurdo que se atribuya movimiento más al continente o colocador, que al contenido o colocado, como es la Tierra. Finalmente, siendo manifiesto que los asiros errantes están a veces más cerca y otras más lejos de la Tierra, el movimiento de un mismo cuerpo alrededor del centro, se refiere al centro de la Tierra, y sería a la vez desde el centro y hacia el centro. Por tanto, es necesario que el movimiento alrededor del centro se tome de modo más general y bastaría que cada movimiento estuviera de acuerdo con su propio centro. Vemos por eso, que es mucho más probable el movimiento de la Tierra que su quietud, especialmente, la revolución cotidiana, como más propia de la Tierra. Y esto juzgo ser bastante sobre la primera parte de la cuestión. C a p í t u l o IX SI SE PUEDEN ATRIBUIR A LA TIERRA VARIOS MO VIMIENTOS, Y DEL CENTRO DEL MUND O Puesto que nada se opone a la movilidad de la Tierra, me parece que se debe ver ahora si también le pueden convenir otros movimientos, de modo que pueda ser considerada como astro errante. Que no es el centro de todas las revoluciones, lo declara el movimiento aparente desigual de los planetas y sus distancias variables a la Tierra, que no podrían entenderse si sus círculos tuvieran como homocentro a la Tierra. Por tanto, sí existen muchos centros, no es temerario dudar si el centro de gravedad de la Tierra será el centro del mundo en lugar de algún otro. Yo mismo pienso que la gravedad no es otra cosa que cierta propensión natu ral de las partes, implantada por la divina providencia del Artífice universal, para buscar su unidad e integridad, atraídas para juntarse en form a de globo. Cuya propiedad es muy creíble que también la posean el Sol, la Luna y los otxos planetas resplandecientes, para que por su eficacia conserven la redondez en que se nos presentan, aunque, sin embargo, realicen sus movimientos circulares de muchos modos diferentes. Porque si la Tierra posee también otros movimientos diferentes del giro alrededor de su centro, es necesario que sean similares a los que aparecen en el exterior en muchos cuerpos celestes y que encontremos el circuito anual. Porque si se cambiasen de solares a terrestres y se concediera inmovilidad al So!, los ortos y ocasos de los signos y de las estrellas fijas, que las convierten en matutinas o vespertinas, aparecerían del mismo modo, y observaríamos las detenciones, retrocesos y avances de las errantes, no como
propios, sino como un movimiento de la Tierra, que cambia sus apariencias. En fin, que el Sol se debe considerar como centro drl mundo. Y la razón del orden con que esos cuerpos se van sucediendo y toda la armonía del mundo nos lo enseña, si es que vemos tales cosas, como se dice, con los dos ojos. Ca
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X
DEL ORDEN DE LAS ORBITAS CELESTES N o veo que alguien dude, que las estrellas fijas sean las más altas de todo lo visible en el cíelo. Sabemos que los antiguos filósofos querían establecer el orden de los astros errantes o planetas de acuerdo con la magnitud de sus revoluciones, por la razón de que al moverse con igual velocidad, los que están más lejos se verán avanzar más despacio, como Euclides demostró en su Optica. Y por ello juzgaban que la Luna recorre su órbita en un tiempo brevísimo, porque al estar más próxima a la Tierra, da vueltas en un círculo mínimo. En cambio Saturno es el más elevado, porque completa su circuito en el período más largo. Después de él, viene Júpiter, luego Marte. De Venus y Mercurio, encontramos varias opiniones, porque no tienen todas las elongaciones angulares al Sol como los otros. Por tanto, unos lo colocan sobre el Sol como Timeo según Platón, otros bajo el Sol como Ptolomeo y buena parte de los recientes. Alpetragio pone a Venus superior al Sol y a Mercurio inferior. Pues los seguidores de Platón estiman que todos los planetas (que son cuerpos obscuros) brillan con luz recibida del Sol. Por eso piensan que si están bajo el Sol, en virtud de la poca distancia que los separa de él, se verían reducido? a la mitad o a parte de su redondez. P orque la luz que les llega, la reflejan sobre todo hacia arriba, o sea hacia el Sol, como se ve en el caso de la Luna nueva o menguante. También dicen que a veces, el Sol se obscurece por su interposición con eclipse de luz en proporción a su magnitud; y como esto nunca sucede, piensan que de ningún modo pueden estar debajo del Sol. Contra esto, los que colocan a Venus y a Mercurio bajo el Sol reclaman tener la razón por la amplitud del espacio que descubren entre el Sol y la Luna. Porque la máxima distancia que determinaron entre la Tierra y la Luna, 64 1/6 mayor que el radio terrestre tomado como unidad, está contenida 18 veces en el menor alejamiento del Sol a la Tierra, que son 1,160 unidades, y por tanto, el intervalo entre el Sol y la Lun a es de 1,096 unidades Y pa ra que tan vasta extensión no perm a-
nezca vacia, encuentran que los intervalos entre los perigeos y apogeos, que establecen el espesor de las esferas, completan casi los mismos números, de modo que al apogeo de la Luna debe suceder el perigeo de Mercurio, y al apogeo de Mercurio, le sigue el perigeo de Venus, y el apogeo de Venus casi toca al perigeo del Sol. Pues entre los ápsides de Mercurio hay unas 177/2 unidades de las indicadas antes y el espacio restante está casi lleno con las 910 unidades de la distancia entre el apogeo y el perigeo de Venus. Pero no admiten que esos planetas tengan una cierta opacidad como la de la Luna, sino suponen que brillan con luz propia o que todos sus cuerpos están impregnados de luz solar y que por eso no obscurecen al Sol, sino lo que es un evento rarísimo, cuando se interponen entre nuestra vista y el Sol, ya que en genera!, tienen menor anchura. Además, siendo estos cuerpos muy pequeños en comparación con el Sol, ya que Venus aunque mayor que Mercurio apenas puede cubrir la centésima parte del disco solar, como afirma Mohamed Albate nio, que estima que el diámetro del Sol es diez veces mayor y, por tanto, no puede verse fácilmente tan pequeña mancha en tan grandísima luz. Aunque Averroes en su paráfrasis de Ptolomeo, hace mención de haber visto algo negruzco, cuando observaba la conjunción del Sol y Mercurio, que él había calculado. Y así deducen que estos dos planetas se mueven abajo del círculo solar. Pero cuán débil e incierto es este razonamiento, queda de manifiesto cuando dicen que !a más corta distancia de la Tierra a la Luna es 38 unidades, siendo el radio terrestre una unidad, de acuerdo con Ptolomeo, pero una estimación más verdadera da 49 unidades, como veremos más abajo. Sin embargo, sabemos que en este gran espacio sólo hay aire, o si prefieren lo que llaman elemento ígneo. Además, el diámetro del epiciclo de Venus, en virtud del cual éste tiene una digresión angular de 45 grados a cada lado del Sol, sería seis veces mayor que la distancia del centro de la Tierra a su perigeo, como se demostrará en su lugar. ¿Qué dirían entonces, qué es lo que está contenido en todo ese espacio, tan grande que encierra la Tierra, el aire, el éter, la Luna y Mercurio, además de aquel vasto epiciclo de Venus, si girase alrededor de la Tierra inmóvil? Y también lo poco convincente de la argumentación de Ptolomeo cuando dice que convendría poner al Sol en medio entre los planetas con elongaciones angulares completas y los que no las presentan, queda demostrada y probada su falsedad cuando la Luna aparece en todas las elongaciones. Pero, ¿qué causa alegan los que ponen a Venus bajo el Sol, y des pués a Mercurio, o los separan en otro orden, de modo que no recorren
circuitos separados e independientes del Sol como los demás astros errantes, si sólo la razón de velocidad a lentitud no oculta su orden? Convendrá, por tanto, que la Tierra no sea el centro al cual se refiere todo el orden de planetas y sus órbitas, o no tendremos razón segura de su ordenamiento, ni sabremos por qué el lugar más elevado se asigna a Saturno, en lugar de a Júpiter o a cualquier otro planeta. Por lo cual, juzgo que de ninguna m anera podemos despreciar la opinión de M arciano Capella, que escribió la Enciclopedia, y de algunos otros latinos. Pues mantienen, que Venus y Mercurio giran alrededor del Sol como centro, y por esra causa piensan que no alcanzan más elongación respecto de él, que lo permitido por la convexidad de sus órbitas, porque no describen círculos alrededor de la Tierra como los deinás, pero tienen ápsides intercambiables. No quieren decir otra cosa, sino que alrededor del Sol está el centro de sus esferas. Así, la órbita de Mercurio estaría dentro de la órbita de Venus, cuya longitud es más del doble, y encontrará espacio suficiente en aquella gran amplitud. Y por eso, si alguien aprovechara la ocasión para adscribir el mismo centro a Saturno, Júpiter y Marte, de modo que la magnitud de sus órbitas entienda ser tanta, que dentro de ellas esté contenido todo lo comprendido y rodeado por la Tierra, no cometerá error, como demuestra la tabla de relaciones de sus movimientos. Pues consta que los planetas están siempre más cerca de la Tierra cuando tienen su nacimiento por la tarde, es decir, cuando están opuestos al Sol, estando la Tierra entre ellos y el Sol. Pero están más alejados de la Tierra en su ocaso vespertino, es decir cuando están ocultos en las proximidades del Sol, en especial, cuando tenemos el Sol entre ellos y la Tierra. Lo que indica con bastante claridad que su centro más pertenece al Sol y es el mismo al cual Venus y Mercurio refieren sus revoluciones. Pero como todos tienen un centro común, es necesario que el espacio entre la órbita convexa de Venus y la cóncava de Marte sea considerada como una esfera homocén trica respecto a ambas superficies, y que reciba a la Tierra y a su satélite la Luna y todo lo contenido bajo el globo lunar. Porque no hay medio de separar a la Luna de la Tierra, que sin duda están muy próximas, y más cuando en el mismo espacio encontramos para am bas suficiente y amplio lugar. Y de aquí que no nos avergoncemos de mantene r que esta totalidad, incluida la Luna y el centro de la Tierra, recorren su órbita entre las otras estrellas errantes en una revolución anual alrededor del Sol, y que el centro del mundo está alrededor del Sol. Digo también que el Sol perm anece por siempre inmóvil, y que cualquier movimiento aparente
que se Ic atribuya, puede explicarse por el movimiento de la Tierra; que la magnitud del mundo es tal, que aunque la distancia de la Tierra al Sol en relación con cualquier otra esfera planetaria es bastante manifiesta, resulta imperceptible respecto a la esfera de las estrellas fijas. Encuentro más fácil admitir eso, que con equella casi infinita multitud de esferas distraer el entendimiento, como están obligados a hacer los que destinaron a la Tierra como centro del mundo. Pero es de creer más bien la sagacidad de la naturaleza, que así como evita con gran cuidado producir lo superfluo o inútil, prefiere, a menudo, dotar a una cosa con muchos efectos. Todo lo cual son cosas muy difíciles y casi inopinables y contra la opinión de muchos, sin embargo, con ayuda de Dios, las haremos más claras que la Iu í. Jel Sol, al menos para aquellos que no ignoran el arte de las matemáticas. Por tanto si la primera ley es todavía válida (porque nadie podrá alegar un método más conveniente para medir la magnitud de las órbitas, que la duración del tiempo), el orden de las esferas es el siguiente, comenzando por el más elevado. La primera y más alta de todas es la esfera de las estrellas fijas, que conteniéndose a sí misma y a todo lo demás, es por eso inmóvil y es el lugar del universo, a donde se refiere el movimiento y posición de todas las otras estrellas. Porque al contrario de lo que otros juzgan, que tam bién ella cam bia, nosotros asignaremos a esa apariencia otra causa al hacer la deducción del movimiento terrestre. Sigue Saturno, el primero de los astros errantes, que completa su circuito en 30 años. Después viene Júpiter con su revolución de 12 años. Luego Marte, que da su vuelta en dos años. El cuarto lugar en orden lo tiene la Tierra, por hacer su revolución en un año con la órbita lunar contenida como epiciclo. El quinto corresponde a Venus que regresa en nueve meses. El sexto y último sitio lo ocupa Mercurio, que completa su giro en un período de 80 días. Y en el centro de todos reposa el S o l ‘Porque, ¿qu ién pod rá poner esta lámpara en otro o mejor lugar de este hermosísimo templo, desde el cual pueda iluminarlo todo al mismo tiem po? Ya que alguien no ineptamente lo llamó la lucerna, otros la mente y otros el rector del mundo. Tris megisto lo denominó dios visible; en Electro de Sófocles, el que todo lo ve. Y así está el Sol como en un solio real, gobernando la familia de los astros que lo circundan. Y en cuanto a la Tierra, esta no se priva de los servicios de la Luna, pero como dice Aristóteles en De Anim alibus, la Luna tiene con la Tierra un gran parentesco. Como si la Tierra fuera fecundada por el Sol y se preñase para su parto anual. Porque encontramos bajo este orden una admirable simetría del mundo y un seguro nexo
1.—Esfera inmóvil de las estrellas fijas 2.—Saturno, revolución en 30 años 3.—Júpiter, revolución en 12 años 4.—Marte, revolución bianual 5.—Tierra con Luna, revolución anual 6.—Venus, nueve meses 7.—Mercurio, 80 días
de armonía en el movimiento y magnitud de las esloras, que en otra parte no puede encontrarse. Y ahora séame permitido advertir a los observadores cuidadosos, por qué aparece mayor el progreso y regreso en Júpiter que en Saturno y menor que en Marte; y, a su vez, mayor en Venus que en Mercurio. Y por qué eso* eventos recíprocos se ven más a menudo en Saturno que en Júpiter y son aun menos frecuentes en Marte y Venus que en Mercurio. Además, cuál es el motivo de que cuando Saturno, Júpiter y Marte son acrónicos (están en oposición), se encuentran más próximos a la Tierra, que cuando se acerca su ocultación y reaparición. Pero especialmente Marte, cuando está en oposición al Sol, parece ser igual en magnitud a Júpiter (se distingue de él sólo por su color rojizo), pero cuando se descubre por observación cuidadosa con un sextante, se encuentra con dificultad entre las estrellas de segunda magnitud. Todas estas cosas proceden de la misma causa, o sea del movimiento de la Tierra. Como nada de esto aparece en las estrellas fijas, se comprueba que están a una inmensa altura, por lo que el ciclo de su movimiento anual o su imagen desaparecen de nuestra vista, porque para todo lo visible hay una cierta distancia, más allá de la cual deja de veree, como se demuestra en Optica. Porque del más alto de los astros errantes a la esfera de las estrellas fijas, hay un gran espacio, como confirma el cintilar de sus luces. Cuyo indicio permite distinguirlas de los planetas, porque entre los movibles y los inmóviles convenía que hubiese gra n diferencia. ¡ T an admirable es sin du da esta divina obra del Optim o Artífice Máximo! Ca
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DEMOSTRACION DEL TRIPLE MOVIMIENTO DE LA TIERRA Ya que tantos y tan grandes testimonios dan los astros errantes so bre la movilidad de la Tierra, expondremos ahora un resumen de sus movimientos, demostrando sus apariencias al menos como hipótesis. De bemos adm itir tres movimientos. El primero, llamado por los griegos rojfir¡iuQiv6v como ya dijimos, es el propio circuito del día y de la noche, que gira alrededor del eje terrestre del oeste al este, describiendo el ecuador o círculo equinoccial, que algunos imitando el significado de la expresión griega tcijficeirós llaman equidial. El segundo es el movimiento anual del centro que describe el círculo de los signos (zodiaco, eclíptica), también de occidente a oriente, o sea que, en consecuencia,
circula entre* Venus y Marte, como ya dijimos, junto con los cuerpos que le acompañan. Esto hace que el propio Sol se vea pasar por el zodíaco con un movimiento similar. De este modo, por ejemplo cuando el centro de la Tierra atraviesa Capricornio, el Sol parece cruzar por Cáncer, y cuando atraviesa Acuario, el Sol parece cruzar Leo, y así sucesivamente (como indicamos). Es necesario comprender que el ecuador y el eje de la
T ier ra tienen una inclinación variable con el círculo y el plano d e la eclíptica. Porque si perm aneciera fija y no tuviera otro movimiento que simplemente el circular, no aparecería ninguna desigualdad del día y la noche, sino que siempre sería solsticio de verano o de invierno; o equinoccio; o verano, o invierno, o alguna otra estación del año continuaría sin variación. Sigue pues, el tercer movimiento que es la declinación; también una
revolución anual, pero en sentido contrario hacia los signos precedentes, es decir hacia el oeste, retrocediendo contra el movimiento del centro. Y así ambos movimientos casi iguales entre sí, pero de sentido opuesto, hacen que el eje de la Tierra y el mayor de los paralelos, el ecuador, permanezcan aproximadamente en la misma parte del mundo, y parece que están inmóviles. Mientras tanto se ve mover el Sol a lo largo de la oblicua eclíptica con el mismo movimiento que el centro de la Tierra, como si éste fuera el centro del mundo, ya que según recordarán, la distancia de la Tierra al Sol, es insignificante en comparación con la esfera de las estrellas fijas. Estando las cosas así, necesitamos verlas con nuestros ojos, en lugar de limitarse a lo que pueda decirse. Describamos ya el círculo ABCD, que representará el circuito anual del centro de la Tierra en el plano de la eclíptica, y sea su centro E, el Sol. Dividamos el círculo en cuatro partes iguales por medio de los diámetros AEG y BED. El punto A es el comienzo de Cáncer; B de Libra; G de Capricornio, y D de Aries. Luego pongamos el centro de la Tierra, primero en A, alrededor del cual señalaremos el ecuador terrestre FGHI, pero no en el mismo plano, sólo GAJ es secdón común a los dos círculos, es decir, el ecuador y la eclíptica. Dibujemos también el diámetro FAH, perpendicular a GAI, y sea F la máxima declinación hacia el sur y H la máxima inclinación hacia el norte. Con esta disposición, los terrestres verán el Sol, que está en el centro E, en el solsticio de invierno bajo Capricornio, a causa de la mayor declinación boreal H vuelta hacia el Sol. Porque la inclinación del ecuador respecto a la línea AE, describe por la revolución diurna el trópico de invierno, que es paralelo al ecuador a la distancia comprendida por el ángulo de inclinación EAH. Aváncese ahora el centro de la Tierra de oeste a este y sea F el límite de la declinación máxima, que tendrá igual movimiento en sentido opuesto, hasta que en B, ambos hayan recorrido cuadrantes de círculo. Mientras tanto, por la igualdad de las revoluciones, el ángulo EAI siempre es igual al ángulo AEB, los diámetros FAH y FBH, GAI y GBI serán siempre paralelos, y el ecuador permanecerá paralelo al ecuador. Y por la causa ya tantas veces repetida, aparecen como las mismas líneas en la inmensidad del cielo. Ahí, desde el punto B, comienzo de Libra, E parecerá estar en Aries, y la sección común de los dos círculos citados coincidirá con la línea GBIE, respecto a la cual la revolución diurna no tiene declinación, porque cada declinación estará a un lado u otro de esta línea. Y así, el Sol será visto pronto en el equinoccio de primavera. Avance de nuevo el centro de la Tierra bajo las mismas condiciones y cuando haya completado el semicírculo en C,
el Sol aparecerá entrando en Cáncer. Pero como la declinación austral F del ecuador se dirige ahora hacia el Sol, y éste se ve en el norte, atravesando el trópico estival según el ángulo de inclinación ECF. Otra vez, cuando F recorre el tercer cuadrante del círculo, la sección común GI caerá sobre la línea ED, por lo que el Sol, visto en Libra, habrá alcanzado el equinoccio de otoño. Pero luego, al seguir el movimiento progresivo, HF gira gradualmente en dirección al Sol, y volveremos a la misma situación de nuestro punto de partida. De otro modo: Sea ahora de igual manera en el plano siguiente: AEC el diámetro de la eclíptica y su sección común con el círculo ABC perpendicular al plano. En este círculo trazam os en A y C, esto es, bajo Cáncer y Capricornio, el meridiano terrestre que pasa por los polos DGFI. Y sea el eje de la Tierra DF, el polo Boreal D y el austral F, y Parte Boreal
el diámetro ecuatorial GI. Por tanto, cuando F se vuelve hacia el Sol, que está en E, y la inclinación del ecuador es hacia el norte según el ángulo IAE, entonces el movimiento alrededor del eje describirá, con el diámetro KL y la distancia LI, el paralelo austral del ecuador, que aparece respecto al Sol como el trópico de Capricornio. O bien, para hablar con más propiedad, este movimiento alrededor del eje forma una superficie cónica en dirección a AC, con el centro de la Tierra como vértice y un círculo paralelo al ecuador como base. Además, en el signo opuesto C, sucede lo mismo, pero al revés. Está claro por tanto, como los dos movimientos opuestos entre sí, o sea, el del centro y el de la inclinación, fuerzan al eje de la Tierra a permanecer en equilibrio del mismo modo y a conservar una posición similar, y como hacen aparecer todo como si fueran movimientos solares. Pero decíamos que las revoluciones anuales del centro y la declinación eran casi iguales, porque si lo fueran exactamente, sería necesario que los puntos del equinoccio y solsticio, y la oblicuidad de la eclíptica
respecto a la esfera de las estrellas fijas, no cambiase de ninguna manera. Pero siendo poca la diferencia, no se nota claramente sino pasado mucho tiempo. Desde tiempos de Ptolomeo hasta los nuestros, ha habido una precesión de equinoccios y solsticios de unos 21 grados, por esta causa, creyeron algunos que se mueve la esfera de las estrellas fijas y colocaron una novena esfera más elevada. Y cuando esto no bastó, los modernos añadieron una décima, pero sin obtener el resultado apetecido, que nosotros esperamos conseguir del movimiento de la Tierra, que como principio e hipótesis, usaremos p ara demostrar otras cosas. CAPnULO X II DE LAS LINEAS RECTAS QUE SE SUBTIENDEN EN UN CIRCULO Puesto que el ángulo no mide la línea recta subtensa, igual que la línea no mide el ángulo, pero el arco si lo hace, se encontró un método con el cual pueden ser conocidas las líneas que subtienden cualquier arco. Por medio de esas rectas, o cuerdas, es posible determinar el arco correspondiente a un ángulo, y, al contrario, con ayuda del arco encontrar la recta o cuerda que subtiende el ángulo. Por lo cual no es ajeno a este libro que tratemos de esas líneas y también de los lados y ángulos de triángulos planos y esféricos, lo cual enseñó Ptolomeo en ejemplos dispersos, para que de ese modo, esos problemas queden ahora de una vez resueltos, y, en adelante, esté más claro lo que tratemos. Ahora, por acuerdo general de los matemáticos, dividimos el círculo en 360 grados. Pero los antiguos tomaban un diámetro de 120 partes. Despufo, para evitar la complicación de minutos y segundos en multiplicaciones y divisiones de los números relacionados con esas líneas, que en general, son de magnitud inconmensurable, y a menudo se toma su cuadrado, algunos de los posteriores establecieron un diámetro de 1,200,000 partes, o con dos millones de partes, o con alguna otr a cantidad racional, desde los tiempos en que comenzó el uso general de los números hindúes (arábigos). Estos números superan sin duda a cualesquiera otros, griegos o latinos, en la extraordinaria sencillez de su empleo y en la prontitud con que se acomodan a los raciocinios. Y nosotros, también por la misma causa, tomamos aquí una división del diámetro en 200,000 partes, que puede excluir los errores patentes. Porque respecto a las cosas no relacionadas número a número, será bastante para conseguir una buena aproximación. Pero explicaremos esto en seis teoremas y un problema, siguiendo en general a Ptolomeo.
Teorema Primero
Dado el diámetro de un círculo, están dados también los lados del triángulo, tetrágono, hexágono, pentágono y decágono, que el propio círculo circunscribe. Porque el radio o la mitad del diámetro es igual al lado del hexágono; el cuadrado del lado del triángulo es triple, y el cuadrado del lado del tetrágono doble del cuadrado del lado del hexágono, según está demostrado en los Elementos de Euclides. Si al lado del hexágono se le da una longitud de un millón de partes, el del tetrágono tiene 141,422 partes, y el del triángulo 173,205. Sea AB el lado del hexágono, que por el problema 1 del libro II o 10 del libro VI de Euclides, se corta en media y extrema razón en el punto G, siendo CB el seg . V ° ^ mentó mayor, al que se añade su igual BD. Por tanto, toda la linea ABD estará dividida en media y extrema razón, y el segundo menor BD, será el lado del decágono inscrito en el círculo, por los preceptos 5 y 9 del libro X III de Euclides. Y la m edida BD se h ará de este m odo: Divídase AB en sus dos mitades en el punto E, se ve por el precepto 3 del libro X III de Euclides, que el cuadrado de EBD es igual al quíntuplo de EB. Pero EB tiene asignada una longitud de 50,000 partes y se conoce pues el quíntuplo de su cuadrado de donde EBD será igual a 111,803 partes, de las cuales si quitamos 50,000 partes de EB, quedan 61,803 partes para BD, que es el lado del decágono buscado. Además, el lado del pentágono, cuyo cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los lados del hexágono, tendrá 117,557 partes. Por consiguiente, dado el diámetro del círculo, están dados los lados del triángulo, tetrágono, pentágono, hexágono y decágono, inscritos en el mismo círculo, que era lo que debíamos demostrar. PORISMA
Por tanto, es claro que cuando fuere dada la línea subtensa de algún arco, puede encontrarse también la cuerda que subtiende el resto del semicírculo. Ya que el ángulo de un semicírculo es recto y en triángulos rectángulos, el cuadrado de la cuerda que subtiende el ángulo recto, es decir, el cuadrado del diámetro, es igual a la suma de los cuadrados de los la-
dos que comprenden dicho ángulo, el lado del decágono que subtiende 36 grados en la circunferencia, ha sido demostrado que tiene 61,803 partes para un diámetro de 200,000, y la subtensa de las restantes 144 grados del semicírculo se valora en 190,211. Y en el caso del lado del pentágono, que es igual a 117,557 partes del diámetro y subtiende un arco de 72 grados, se determina una recta de 161,803 partes, que subtienden los restantes 108 grados del semicírculo. Teorema Segundo
Si un cuadrilátero se inscribe en un círculo, el rectángulo comprendido por las diagonales, es igual a los dos rectángulos contenidos en los dos pares de lados opuestos. Sea el cuadrilátero ABCD inscrito en un círculo. Digo que el rectángulo comprendido por las diagonales AG y DB es igual a la suma de los contenidos en AB, DC y AD, BC. Hagamos iguales las ángulos ABE y CBD, y por adición serán A iguales también los ángulos ABD y EBC, siendo EBD igual a ambos. Además, son iguales los ángulos AGB y BDA, porque están en el mismo segmento de círculo, y por tanto los dos triángulos semejantes, BCE y BDA, tendrán sus lados proporcionales, de modo que BC es a BD como EC es a AD. Y de ahí el rectángulo EC, BD es igual al rectángulo BC, AD. Y también son semejantes los triángulos ABE y CBD, porque son iguales los ángulos ABE y CBD, y los ángulos BAC y BCD, porque interceptan el mismo arco de círculo. De nuevo, AB es a BD como AE es a CD y el rectángulo AB, .CD es igual al AE, BD. Pero ya quedó dicho que el rectángulo AD, BC es igual al rectángulo BD, EC; y en conjunto, el rectángulo BD, AC es igual a la suma de los rectángulos AD, BC y AB, CD. Lo cual era oportuno demostrar. Teorema Tercero
En consecuencia, si fueran dadas rectas subtensas con arcos desiguales de un semicírculo, estará dada también la cuerda del arco en que el mayor excede al menor.
En el semicírculo ABCD con diámetro AD, las xectas dadas AB y AC subtienden arcos desiguales. Para nosotros, que queremos determinar la cuerda subtensa BC, están dadas por medio de lo anterior, las cuerdas BG y CD, que subtienden los arcos restantes del semicírculo, donde forman el cuadrilátero ABCD; cuyas diagonales AC y BD fueran dadas junto con los tres lados AB, AD y CD. Y tángulo AC, BD es igual a la suma A "" ^ D de los rectángulos AB, CD y AD, BC. Por tanto, el rectángulo AD, BC es igual al AC, menos AB, CD. Y así dividiendo en lo posible por AD, obtenemos el valor buscado de la subtensa BC. Por consiguiente, cuando según los datos anteriores conocemos, por ejemplo, los lados del pentágono y del hexágono, podemos calcular la cuerda que subtiende la diferencia de arcos, 12 grados, que es igual a 20,905 partes del diámetro. Teorema Cuarto
Dada la recta que subtiende un arco, se da también la cuerda de la mitad de dicho arco. Describamos el círculo ABC, cuyo diámetro es AC. Conocemos el arco BC con su subtensa, y por el centro E trazamos la recta EF, que corta en ángulos rectos a BC. De acuerdo con el 3 del libro III de Euclides, corta por la mitad a la cuerda BC en F y al arco en D. Dibujemos las rectas que subtienden los arcos AB y BD. Los triángulos ABC y EFC son rectángulos y semejantes, porque tienen com ún el ángulo ECF, por tanto, como CF es la mitad del BFC, EF es la mitad de AB. Pero la cuerda AB está dada porque subtiende el arco restante del semicírculo. Así pues, EF está dada, y también DF, que completa la mitad del diámetro DEG, y añadimos BG. En el triángulo BDG, del ángulo recto B desciende la recta BF perpendicular a la base y el rectángulo GD, DF es igual al cuadrado BD. Por tanto, se da la longitud de BD y subtiende la mitad del arco BDC.
Como ya conocemos la cuerda que subtiende 12 grados, la de 6 grados tendrá 10,467 partes; la de 3 grados, 5,325 partes, la de 1J4 grados, 2,618 partes; y la de y+, 1,309. Teorema Quinto
De nuevo, cuando se dan las cuerdas que subtienden dos arcos, tam bién está dada la subtensa del arco suma de los otros dos. Están dadas en un círculo las cuerdasque subtienden los arcos AB y BC, digo que está dada también la subtensa de todo el arco ABC. Dibujemos los diámetros AFD y BFE y también las cuerdas BD y CE, dadas en virtud de lo anterior, al ser conocidas las subtensas AB y BC. Por tanto, DE es igual a AB. Al añadir CD, se completa el cuadrángulo BCDE, cuyas diagonales BD y CE están dadas junto con los tres lados BC, DE y BE. Además, el lado restante CD lo deducimos por el segundo teorema. Por tanto, la cuerda CA que subtiende el resto del semicírculo ABC, será conocida, y es lo que se buscaba Además, habiendo encontrado las cuerdas que subtienden 3 grados, l / í y Y* de grado, por medio de esos intervalos se puede obtener una tabla con las proporciones más exactas. Sin embargo, si aumentan los grados, sumando arcos por mitades o de otro modo, no sin razón dudaríamos del resultado referente a las cuerdas, porque nos fallarían las gráficas con las cuales habrían de demostrarse. No obstante, nada nos impide encontrar de otra forma cuál es ésta parte de error perceptible a los sentidos, y cuál disiente menos del número supuesto. Esto fue lo que Ptolomeo también buscó respecto a las subtensas de ur. grado y medio grado, y nos advirtió sobre ello en primer lugar. Teorema Sexto
La ra>ón de dos arcos es mayor que la razón do la mayor cuertu a la menor. Sea un círculo con dos arcos sucesivos desiguales AB y BC. y sea BC el mayor. Digo que *%razón del arco BC al AB es mayor que la razón de la cuerda BC a la AB.
Estas subtensas comprenden el ángulo B, al que bisecamos con la recta DD, y añadimos AC, que corta a BD en el punto E. Tracemos de modo similar AD y CD, que son iguales, porque subtienden arcos iguales. Como en el triángulo ABC, la bisectriz del ángulo corta a AC en E, tenemos que los segmentos de la base EC y AE, son entre si como BC y AB, y ya que BC es mayor que AB, también EC será mayor qu e EA. Si DF es perpendicular a AC, la dividirá en dos mitades en el punto F, que debe encontrarse, necesariamente, en el segmento mayor EC; y como en cada triángulo el mayor ángulo es subtendido por el mayor lado, en el triángulo DEF, el lado DE es mayor que DF, y por tanto, AD es mayor que DE, porque la circunferencia descrita con D como centro y DE como radio, cortaa AD y pasa más allá de DF. Si corta a AD en H y se traza la recta DFI, el sector EDI es mayor que el triángulo EDF, mientras el triángulo DEA es mayor que el sector DEH. Por lo tanto la razón del triángulo DEF al DEA es menor que la razón del sector DEI al DEH. Pero los sectores son proporcionales a sus arcos o a sus ángulos en el centro, mientras los triángulos con el mismo vértice, son proporcionales a sus bases. De acuerdo con esto, la razón de los ángulos EDF y ADE es m ayor que la razón de las bases EF y AE. Por consiguiente, componiendo la razón del ángulo FDA al ADE es mayor que la de la AF a AE y del mismo modo la razón de los ángulos CDA y ADE es mayor que la de las bases AC y AE. Pero separando la razón de los ángulos CDE y EDA, es mayor que la de CE y EA; y siendo la razón de los ángulos CDE y EDA igual a las de los arcos CB y AB, y también la de las bases CE y AE a las de las cuerdas BC y AB, tendremos que la razón de los arcos CB y AB es mayor que la de las cuerdas BC y AB. Como se quería demostrar. PROBLEMA
Aunque el arco es siempre mayor que la recta que lo subtiende y la recta es la línea más corta entre las que tienen iguales extremos, al reducirse más y más las secciones del círculo, la desigualdad se aproxima a la igualdad, hasta que al final, la línea circular y la línea recta exis-
ten a la vez en el punto de tangencia sobre el círculo. Por tanto es necesario que hasta un momento antes difieran entre sí, aunque la discre pancia no sea manifiesta. Por ejemplo, si el arco AB tiene 3 grados y el AC l'/a grados, se ha demostrado que la cu erda AB es igual a 5,325 partes, cuando el diámetro tiene 200,000, y que la cuerda AC. tiene 2,618. Y siendo doble el arco AB respecto al AC, la cuerda AB es menor del doble de la cuerda AC, que supera en una parte a 2,617. Pero si hacemos el arco AB igual a 1J4 grados, y el AC igual a $4 de grado, la cuerda AB será de 2,618 partes y la AC de 1,309; aunque esta AC debe ser mayor que la mitad de la subtensa AB, no se aprecia la diferencia, y las relaciones de los arcos a las rectas son aparentemente iguales. Como vemos, hemos llegado tan lejos que la diferencia entre línea circular y recta escapa a los senados, como si fueran la misma línea. Por tanto, no dudam os en tom ar 1,309 como subtensa de d e grado, y en la misma proporción, encontrar la cuerda del grado y del resto del mismo. Y así, si sumamos J4 a $4, damos a un grado una cuerda de 1,745 partes, a / i grado, 872J4 partes, y a 1/3 de grado, unas 582. Y juzgo que es bastante si sólo recogemos en una tabla las mitades de las cuerdas que subtienden un arco doble, con lo cual nos limitamos al cuadra nte que se necesita para extenderse al semicírculo. Pero principalmente en demostraciones y cálculos se usan con más frecuencia las semicuerdas que las cuerdas. Presentamos ahora una tabla con incrementos de 1/6 de grado, y con tres columnas. En la primera, grados y sextas partes de grado. En la segunda, semicuerdas que subtienden arcos dobles. La tercera contiene las diferencias entre las longitudes numéricas de cada semicuerda, y con ayuda de estas diferencias podemos hacer adiciones proporcionales tomando semicuerdas de cierto número de minutos.
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Grad M ía. 0 10 0 20 0 30 0 40 0 50 0 1 1 10 1 20 1 30 I 40 1 50 2 0 2 10 2 20 2 30 2 40 2 50 0 3 3 10 3 20 3 30 3 40 3 50 4 0 4 10 4 20 4 30 4 40 4 50 5 0 5 10 5 20 5 30 5 40 5 50 0 6 6 10 6 20 0 30 0 40 0 50 7 0 7 10 7 20 7 30
.8*5 £» v” * 2 «o S c 291 582 873 1163 1454 1745 2030 2327 2617 2908 3199 3490 3781 4071 4362 4653 4943 5234 5524 5814 6105 6395 6685 6975 7265 7555 7845 8135 8425 8713 9005 9295 9585 9874 10164 10453 10742 11031 11320 11609 11898 12187 12470 12764 13053
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13341 13629 13917 14205 14493 14781 15069 15350 15643 15931 16218 16505 16792 17078 17305 17051 17937 18223 1SÓ09 18795 19081 19360 19052 19937
20222 20507 20791 21076 21360 21644 21928 22212 22495
22778 23062 23344 23027 23910 24192 24474 24750 26038 25319 26601 26882
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26163 26443 26724 27004 27284 27564 27843 28122 2S401 28680 28959 29237 29315 29703 3G071 30348 30625 30902 31178 31454 31730 32000 32282 32557 32832 33106 33381 33655 33929 34202 34475 34748 35021 35293 35565 35837 33108 36379 36650 30920 37190 37460 87 730 37999 88268
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C a p ít u l o
XIII
DE LOS LADOS Y ANGULOS DE LOS TRIANGULOS PLANOS RECTILINEOS 1 Dados los ángulos del triángulo, tendremos los lados. Sea, digo, el triángulo ABC que B po r el 5 del libro IV de Euclides tiene circunscrito un círculo. Por tanto, los arcos AB, BC y CA estarán dados en grados, de los que 360 grados son iguales a dos án C gulos rectos. Dados los arcos, los lados del triángulo inscrito en el círculo los determinaremos como subtensas, según Jo expuesto en la tabla anterior, donde se supone que el diámetro tiene 200,000 partes. 2a Pero si se dan dos lados del triángulo ju nto con alguno de sus ángulos, conoceremos también el otro lado y los demás ángulos. Porque los lados son iguales o desiguales, y el ángulo dado será recto, agudo u obtuso. Además, los lados dados pueden o no comprender el ángulo dado. Tomemos primero en el triángulo ABC, los dos lados dados iguales A AB y AC, que comprenden el ángulo restantes en la base BC son también conocidos, por ser iguales, como la mitad de la diferencia entre dos ángulos rectos y A. Y si el ángulo dado al principio está en la base, nos da enseguida su compañero y restándolos de dos rectos, obtenemos el tercero.
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Pero dados los ángulos de un triángulo, están dados los lados; y además la base BC está dad a por la tabla, donde AB o AC como radio, tienen 100,000 partes o el diámetro 200,000. 2b Pero si el ángulo BAC comprendido por los lados dados, es recto, el resultado será el mismo. Porque es evidente que la suma de los cuadrados sobre AB y AC, es igual al formado sobre la base BC. Por tanto, BC está dado en longitud, y los lados con su relación mutua. Pero el segmento de círculo que com prende un triángulo rectángulo es un semicírculo y la base BC el diámetro. Es decir, las subtensas AB y AC de los ángulos restantes B y C estarán dadas en partes, de las que BC tiene 200,000. Y la tab la nos revelará los ángulos en grados, siendo 180 grados igual a dos ángulos rectos. Lo mismo se obtendrá si BC está dado junto con uno de los lados que forman el ángulo recto, lo que creo consta de modo evidente. 2c Sea ahora dado el ángulo agudo ABC, comprendido por los lados dados AB y BC. Del punto A bajemos un a perpendicular a BC, prolongando este lado si fuera necesario, según la normal AD caiga dentro o fuera del triángulo. Con ella se obtienen los dos triángulos rectángulos ABD y ADC, y como los ángulos de ABD están dados, D es recto y B lo conocemos por hipótesis, AD y BD estarán dados por la tabla como subtensas de los ángulos A y B, en partes de las que AB, diámetro del círculo, tiene 200,000 Y en la misma proporción que se da la longitud de AB, se darán análogamente AD y BD; y también CD, que es la diferencia entre BC y BD. Por tanto, en el triángulo rectángulo ADC, conocidos los lados AD
y CD, estarán dados el lado AC buscado y el ángulo ACD por la demostración precedente. 2d Y de otro modo sucede si el ángulo B se baja una perpendicular AD al lado BC prolongado, que forma el triángulo ABD con sus ángulos conocidos. El ángulo ABD exterior al ABC está dado, y el D es recto. Por tantos los lados BD y AD los determinamos en partes, de la que AB tiene 200,000; y como BA y BC están en una relación dada, se determina AB en las mismas partes que dan el valor de BD y de toda la recta CBD. Por consiguiente, también en el triángulo rectángulo ADC, al conocerse los lados AD y CD, se deducen el lado AC y los ángulos BAC y ACB, que buscábamos.
Si uno de los lados dado, AC o AB, subtiende el ángulo dado B; AC se obtiene en partes, de las que el diámetro del círculo que circunscribe el triángulo ABC tiene 200,000 y de acuerdo con la relación dada entre AC y AB, se nos da AB en partes similares. Además, la tabla nos proporciona el ángulo ACB junto con el ángulo restante BAC, por lo que conocemos también la subtensa CB. Y por esta relación se determina en cualquier magnitud. 4 Dados todos los lados del triángulo, se dan los ángulos. Es sabido, como ya indicamos, que cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero es la tercera parte de dos rectos. También está claro para el triángulo isósceles; porque cada uno de
los lados iguales es al tercero, como medio diámetro es a la subtensa del arco, por lo cual se da en la tabla el ángulo comprendido por los dos lados iguales, siendo 360 grados alrededor del centro iguales a cuatro ángulos rectos. Entonces los dos ángulos en la base también so nos dan como la mitad del ángulo suplementario. Nos falta ahora demostrar lo mismo en el caso del triángulo escaleno, que de modo similar dividiremos en triángulos rectángulos. Sea pues el triángulo escaleno ABC, cuyos lados están dados, y al lado más largo BC, bajamos la per pendicular AD. Según el 13 del libro I I de Euclides, sabemos que si AB subtiende el ángulo agudo, el cuadrado sobre AC más el cuadrado so bre BC, menos el cuadrado sobre AB es igual a dos veces el rectángulo BC, CD. En efecto, es necesario que C sea ángulo agudo, porque en caso contrario, AB sería el mayor lado, contra la hipótesis de acuerdo con los 1719 del libro I de Euclides. Por tanto, están dados BD y DC, y determinaremos los triángulos rectángulos ABD y ADC con sus lados y ángulos, como se ha repetido antes a menudo, y así encontramos los ángulos buscados del triángulo ABC. De otro modo. De acuerdo con el 36 del libro III de Euclides, podemos disponer quizá de un método más cómodo. Si con el lado más corto BC como radio y el punto C como centro, describimos un círculo que corte a los dos lados restantes o a uno de ellos. Consideremos primero cuando corta a los dos, al AB en el punto E y al AC en D. Prolonguemos la recta ADC hasta el punto F, para completar el diámetro DCF. Con es-
ta Construcción está claro el dicho precepto de Euclides, que son iguales los rectángulos FA, AD y BA, AE; siendo ambos iguales al cuadrado de la tangente al círculo en A. Pero toda la recta AF y sus segmentos están dados, ya que los radios CF y CD son iguales a BC, y AD es la diferencia entre CA y CD. Por lo cual como el rectángulo BA, AE está dado, conocemos la longitud de AE y también el resto BE, subtensa del arco BE. Añidiendo EC, tendremos el triángulo isósceles BCE con todos sus lados dados. Y así se determina el ángulo EBC. Por tanto, en el triángulo ABC, los ángulos restantes C y A, pueden calcularse como se ha indicado antes. Sin embargo, si el circulo no corta a AB como en la otra figura donde AB cae en la parte cóncava de la circunferencia, estarán dados BE, el ángulo CBE en el triángulo isósceles BCE y también el ángulo exterior ABC. Y en adelante, con la misma demostración anterior se nos dan los demás ángulos. Y hemos dicho bastante acerca de los triángulos rectilíneos, en que se basa la mayor parte de la Geodesia. Ahora pasemos a los esféricos. C a p ít u l o
XIV
DE LOS TRIANGU LOS ESFERICOS En este lugar tomamos como triángulo convexo al comprendido por tres arcos de círculo sobre una superficie esférica. Pero consideramos la diferencia y magnitud de los ángulos sobre un arco del círculo máximo trazado con el punto de sección como polo; y este arco es el interceptado por los cuadrantes de los círculos que form an el ángulo. El arco así esta blecido es a to da la circunferencia, como el ángulo de la sección es a cuatro rectos, que hemos dicho contienen 360 grados iguales. I Si tomamos tres arcos de círculo máximo sobre una esfera, de los cuales dos cualesquiera juntos sean más largos que el tercero, es claro que con ellos se puede componer un triángulo esférico. Porque lo que aquí se propone de los arcos, está indicado en el precepto 23 del libro XI de Euclides. Existe la misma proporción entre ángulos y entre arcos y como los círculos máximos pasan por el centro de la esfera, es evidente que los tres sectores de los círculos a que per-
tenecen los tres arcos, ¿orinan un ángulo sólido en el centro de la esfera. Luego, ha sido establecido lo que aquí fue propuesto. II Cualquier arco de un triángulo esférico es menor que un semicírculo. Porque el semicírculo no forma en el centro ningún ángulo, sino que descansa en una linea recta. Mas los dos otros ángulos que interceptan los arcos, no pueden complementar un ángulo sólido en el centro y por tanto, no forman un triángulo esférico. Y pienso que ésta fue la causa de que en la explicación de Ptolomeo sobre este género de triángulos, en particular de la figura del sector esférico, declara que ninguno de los arcos considerados puede ser mayor que un semicírculo. III En los dos triángulos esféricos que tienen un ángulo recto, la subtensa del doble del lado opuesto a dicho ángulo, es a la subtensa del doble de uno de los lados que forman el ángulo recto, como el diámetro de la esfera es a la cuerda que subtiende el doble del ángulo comprendido en
Sea pues el triángulo esférico ABC, cuyo ángulo C es recto. Digo que la subtensa del doble de AB es a la del doble de BC, como el diámetro de la esfera es a la cuerda del doble del ángulo BAC sobre el círculo máximo de la esfera.
Con A como polo, trace DE, arco de un círculo máximo, y complete los cuadrantes ABD y ACE de los círculos. Y desde el centro F de la esfera, dibuje las secciones comunes de los círculos: FA de los círculos ABD y ACE; FE de los círculos ACE y DE, y FD de los círculos ABD y DE, y además, FC de los círculos AC y BC. Luego trace las perpendiculares BG a FA, BI a FC y DK a FE, y añada GI. Si un círculo corta a otro descrito por los polos del primero, lo hace en ángulos rectos, por tanto el ángulo comprendido AED será recto y el ACB lo es también po r hipótesis; y cada uno de los planos E DF y BCF son perpendiculares al AEF. Por consiguiente, si desde el punto K en el segmento común FKE, se levanta una recta normal al plano subyacente, ésta recta y KD formarán un ángulo recto, por definición de planos perpendiculares entre sí. Por lo cual, según el 4 del libro XI de Euclides, la recta KD es perpendicular al círculo AEF. Pero si BI fue levantada en la misma relación al mismo plano y de acuerdo con el 6 del libro XI de Euclides, DK es paralela a BI, y FD es paralela a GB porque los ángulos FGB y GFD son rectos, y por el 10 del libro XI de Euclides son iguales los ángulos FDK y GBI. Pero el ángulo FDK es recto, y por definición, GI es perpendicular a IB. Los lados de triángulos semejantes son proporcionales, y DF es a BG como DK es a BI, pero BI es la mitad de la cuerda que subtiende el doble del arco CB, ya que forma un ángulo recto con el radio CF, y por el mismo motivo, BG es la semicuerda del doble del lado BA y DK la semicuerda del doble de DE, o del doble, del ángulo A, siendo DF la mitad del diámetro de la esfera. Por tanto, está claro que la subtensa del doble de AB es a la del doble de BC, como el diámetro de la esfera es a la cuerda que subtiende el doble del ángulo A, o del arco DE que intercepta. Lo que era necesario demostrar. IV En cualquier triángulo con un ángulo recto y además otro ángulo y un lado dados, conoceremos también el otro ángulo, y los dos lados restantes. Sea el triángulo ABC, que tiene el ángulo A y además el ángulo B dado. Para el lado fallante estudiaremos tres casos. O es adyacente a ambos ángulos dados, como AB, o sólo al ángulo recto, como AC, o es opuesto al ángulo recto, como BC. Sea primero AB el lado dado y con C como polo describamos el arco DE del círculo máximo. Completemos los cuadrantes CAD y CBE, y prolonguemos AB y D E hasta que se corten en el punto F. Así, F será a su
vez, el polo de CAD, porque los ángulos A y D son rectos. Y puesto que en una esfera dos círculos máximos que se cortan en ángulos rectos, se bisecan mutuamente y cada uno pasa por los polos del otro, ABF y DEF son cuadrantes de círculos. Y como AB está dado, BF lo estará también como resto del cuadrante, y el ángulo EBF es opuesto por el vértice e igual al ángulo dado ABC.
Pero ya ha sido demostrado que la cuerda del doble de BF a a la del doble de EF, como el diámetro de la esfera es a la subtensa del doble del ángulo EBF. Tres valores han sido dados: el diámetro de la esfera, la cuerda del doble de BF y la del doble del ángulo EBF. Conocemos pues las scmicucrdasj y de acuerdo con el 15. del libro VI de Euclides, determinamos también la subtensa del doble de EF, y por la tabla, el propio arco EF y DE, el resto del cuadrante o ángulo C, que buscábamos. Del mismo modo, a su vez, la cuerda del doble de DE es a la del doble de AB como la del1doble de EBC es a la del doble de CB. Pero DE, AB y CBE han sido ya dados sobre los cuadrantes de círculo, y por tanto, será conocida la cuarta subtensa del doble del arco CB, y el lado CB que se buscaba. Y la cuerda del doble de CB es a la del doble de CA como la del doble de BF es a la del doble de EF, porque ambas razones son iguales a la del diámetro de la esfera, y la cuerda del doble del ángulo CBA, y dos relaciones iguales a una tercera son iguales entre sí. Como las tres cuerdas BF, EF y CB están dadas, puede deducirse también la cuarta subtensa CA y el arco CA, tercer lado del triángulo ABC.
Sea ahora AC el lado dado, y nuestro problema encontrar los lados AB y BC, junto con el ángulo restante C. De nuevo, análogamente y por permutación, las cuerdas del doble de CA y CB, están entre sí como la subtensa del doble del ángulo ABC y el diámetro. Como el lado CB está dado, también conocemos los restos AD y BE de cuadrantes del círculo. Y otra vez, la cuerda, doble de AD es a la cuerda del doble de BE, como la cuerda del doble de ABF, o sea el diámetro, es a la del doble de BF. Por tanto, están dados el arco BF y el último lado AB. Y de modo similar, la relación de las cuerdas del doble de BC y AB es igual a la de las subtensas del doble de FBE y de DE. De aquí se deduce el arco DE, o sea el restante ángulo C. Además, si BC fuera el lado dado, de nuevo como antes conoceremos AC y los restos de cuadrantes AD y BE. Con las subtensas y el diámetro, como muchas veces queda, dicho, determinarem os el arco BF y el lado restante AB. Y después, como en el teorema precedente, por medio de los arcos conocidos BC, AB y CBE, obtendremos el arco ED, es decir, el ángulo restante C, que queríamos. Y así, de nuevo en el triángulo ABC, dados los ángulos A y B, de los cuales A es recto, y uno de los tres lados, se deduce el tercer ángulo y los otros dos lados, como ha sido demostrado. V Dados los ángulos de un triángulo rectángulo, se conocen también los lados. Conservando la figura precedente, al estar dado el ángulo C, lo están también el arco DE y EF, resto del cuadrante. Y como BEF es un ángulo recto, porque BE desciende del polo del arco DEF, y el ángulo EBF es igual a su opuesto por el vértice, que es conocido, el triángulo BEF, con un ángulo recto E, y dados el ángulo B y el lado EF, tiene sus lados y ángulos determinados por el teorema precedente. Por tanto, BF es dado, y también AB, resto del cuadrante, y de modo análogo, en el triángulo ABC, determinaremos los demás lados AC y BC, por la demostración anterior. VI Si en la misma esfera dos triángulos tienen un ángulo recto, y además otro ángulo y un lado iguales, sean estos lados adyacentes a los ángulos
iguales u opuestos a uno de ellos, tendrán también iguales, respectivamente, los lados restantes y el tercer ángulo. Sea el hemisferio ABC, en el cual se toman dos triángulos ABD y CEF, cuyos ángulos A y C son rectos, y además, el ángulo ADB es igual a un lado del otro. Consideremos primero que los lados iguales son adyacentes a ángulos iguales, es decir, AD igual a CE. Digo que también el lado AB es igual al CF, el BD al EF, y el ángulo restante ABD al CFE. Con B y F como polos, dibujemos GHJ e IKL, cuadrantes de círculo máximo, y complétense los cuadrantes ADI y CEI. Necesariamente se cortan en el punto I, polo del hemisferio, porque los ángulos A y C son rectos, y los cuadrantes GHI y CEI han sido trazados por los polos del círculo ABC. Como se ha su puesto que los lados AD y CE son iguales, por substracción el arco D I es igual al IE y por opuestos en el vértice a ángulos iguales, lo son tam bién los ángulos ID H e IEK. Ademas los ángulos H y K son rectos, y al ser iguales entre sí dos relaciones iguales a una tercera, según el teorema tercero de este capítulo, la razón de las cuerdas del doble de DI y de HI, es igual a la del diámetro de la esfera y la subtensa del doble del ángulo IDH, y la razón de los cucitlas del doble de IE e IK, es igual a la del diámetro de la esfera y la subtensa del doble del ángulo y la razón de las cuerdas del doble de IE e IK, es igual a Ja del diámetro de la esfera y la subtensa del doble del ángulo IEK. Por tanto, la cuerda del doble de D I es a la del doble de H I como la del doble de IE es a la del doble de IK. Y por el 14 del libro V de Euclides, como la subtensa del doble de DI es igual a la del doble de IE , la del doble de H I será igual también a la del doble de IK, y como en círculos iguales cuerdas iguales subtienden arcos iguales, y como partes de múltiplos están en la misma relación que estos, los arcos planos IH e IK, serán iguales, lo mismo que los restos de los cuadrantes GH y KE, y está claro que los ángulos B y F son iguales. Y la razón de las cuerdas del doble de AD y BD, y las del doble de EC’y BD, son iguales a la razón de las cuerdas del doble de EC y EF. Porque la subtensa del doble de HG es a la del doble de KJL como la cuerda del doble de BDH, o sea el diámetro,
por la. inversa del tercer teorema, y AD es igual a CE. Por tanto, por el 14 del libro V de los Elementos de Euclides, el arco BD es igual al EF, ya que son iguales las subtensas del doble de los arcos. Del mismo modo, siendo iguales BD y EF, demostraremos que los lados y ángulos restantes son iguales; y a su vez, si se supone que los lados AB y CF son iguales, los resultados confirmarán idénticas relaciones. V II Y también, si no hubiere ángulo recto, con tal que los lados adyacentes a ángulos iguales sean iguales entre sí, se demostrará lo mismo. En este caso, si en los dos triángulos ABD y CEF, son iguales los ángulos B y F, los ángulos E y F, los lados adyacentes a esos ángulos BD y EF, digo que esos triángulos son equiláteros y equiángulos. Una vez más con B y F como polos, trácemos dos arcos de círculos máximos GH y KL. Y prolongando AD y GH, se cortan en N; y del mismo modo EC y LK se extienden hasta M. En los dos triángulos HDN y EKM, los ángulos HDN y KEM, son iguales por opuestos en el vértice a ángulos iguales, y los ángulos H y K son rectos, por la intersección de círculos que pasa cada uno por los po los del otro, además, los lados DH .y EK son iguales, por tanto los triángulos son equiláteros y equiángulos; por la precedente demostración. Y otra vez, los arcos GH y KL son iguales por correspondientes a ángulos B y F iguales, de donde son también iguales los arcos GHN y MKL, por el axioma de adición de iguales. Por tanto, hay dos triángulos AGN y MCL donde son iguales los lados GN y ML, los ángulos ANG y CML y los ángulos G y L que son rectos. Así los triángulos tendrán sus lados y ángulos iguales. Como si iguales se restan de iguales, obtenemos iguales, serán iguales los arcos AD y CE, AB y CF, y los ángulos BAD y ECF, como se debía demostrar. VIII Y todavía más, si dos triángulos tienen dos lados de uno, iguales a dos
lados del otro, y un ángulo igual a un ángulo, sean los comprendidos por los lados iguales, o un ángulo en la base, también las bases y los otros ángulos serán iguales. Como en la figura precedente, sean iguales los lados AB y CF, AD y CE, y tomemos primero como iguales los ángulos A y C comprendidos por lados iguales. Digo también, que serán iguales las bases BD y EF, y los ángulos B y F y BDA y GEF. 'leñemos dos triángulos AGN y CLM, cuyos ángulos G y L son rectos y los ángulos GAN y MOL son suplementarios respectivamente de BAD y ECF. Entonces son iguales los ángulos GAN y MCL, y por tanto, los triángulos son equiángulos y equiláteros, como son iguales los arcos AN y CM, y AD y CE. Por substracción lo serán también DN y ME. Pero ya está claro que los ángulos DNII y EMK son iguales, y los ángulos H y K son rectos, por lo que los dos triángulos D H N y EM K son también equiángulos y equiláteros. De donde los arcos BD y EF son iguales y tam bién los G H y KL. Por lo cual, son iguales los ángulos B y F, y ADB y FEC. Pero si en lugar de los lados AD y EC suponemos que son iguales las bases BD y EF, que son opuestos a ángulos iguales, y si lo demás no varía, la demostración será •similar. Porque los ángulos exteriores GAN y MCL son iguales, y los ángulos G y L son rectos, y el lado AG es igual al CL, tendremos los dos triángulos AGN y MCL con iguales ángulos y lados. Y además, como partes de ellos son iguales, los dos triángulos DNH y MEK, porque los ángulos K y E son rectos, los ángulos DNH y KME iguales, y los lados DH y EK iguales por substracción del cuadrante; de lo cual se sigue lo mismo que deducimos antes. IX Además, en triángulos esféricos isósceles, los ángulos de la base son iguales entre sí. Sea el triángulo ABC cuyos dos lados AB y AC son iguales. Digo que los ángulos en la base ABC y ACB son iguales. Del vértice A se hace descender un círculo máximo que corta a la base en ángulos rectos,
A
es dedr un círculo que pasa por los polos de la base. Como los dos triángulos ABD y ADC tienen iguales los lados BA y AC, AD es común y los ángulos en D son rectos, queda claro de la precedente demostración, que son iguales los ángulos ABC y ACB, como se debía probar.
PORISMA
De aqui se deduce que el arco trazado desde el vértice de un triángulo isósceles y que es perpendicular a la base, biseca a ésta y al ángulo com prendido por los lados iguales y viceversa; lo que consta por la demostración anterior. X Si dos triángulos de la misma esfera, tienen los lados respectivos de uno iguales a los del otro, tendrán los ángulos respectivos del primero iguales a los del segundo. Porque en cada triángulo, los tres segmentos de círculos máximos forman pirámides que tienen sus vértices en el centro de la esfera, y como bases los triángulos planos comprendidos por las rectas que subtienden los arcos de los triángulos convexos. Y esas pirámides son semejantes e iguales por la definición de figuras sólidas semejantes e iguales. Y la relación de semejanza, es que los ángulos de uno, tomados en cualquier orden, son iguales a los ángulos respectivos del otro. Por tanto, los triángulos tendrán sus ángulos iguales entre sí. En particular, los matemáticos que definen semejanza de figuras dicen, de modo más general, que son figuras con declinaciones semejantes y los ángulos respectivos iguales entre sí. De lo cual juzgo ser manifiesto que en la esfera los triángulos que son equiláteros son semejantes, como sucede en los triángulos planos.
Cada triángulo que tiene dados dos lados y un ángulo, tendrá dado3 también sus restantes lados y ángulos. Porque si los dos lados dados son iguales, I 03 ángulos en la base serán iguales, y al dibüjar un arco desde el vértice perpendicular a la base, se encontrará fácilmente lo buscado, por el corolario del noveno teorema. Sin embargo, si los dos lados dados fueran desiguales, como en el triángulo ABC, donde se da el ángulo A junto con dos lados, que comprenden o no dicho ángulo. Primero, tomemos como dados los lados AB y AC que lo comprenden y con C como polo dibujemos el arco de círculo máximo DEF y completemos los cuadrantes CAD y CBE. Prolonguemos además AB'hasta que corte a DE en el punto F. Así también en el triángulo ADF, el lado AD es complementario de AC y el ángulo BAD suplementario del CAB. Porque las relaciones y dimensiones de esos ángulos son las mismas que las de los ángulos de intersecciones de rectas y planos, y el ángulo D es recto. Por consiguiente, en virtud del cuarto teorema, el triángulo ADF tendrá dados sus lados y ángulos. Y de nuevo en el triángulo BEF, se ha encontrado el ángulo F y el ángulo E es recto, por la intersección de círculos que pasa cada uno por el polo del otro. Además, el lado BF es la diferencia de los arcos ABF y AB. De donde por el mismo teorema, el triángulo BEF tiene también dados los ángulos y lados. O sea, BC el lado buscado, será el resto del cuadrante de BE. Además, el arco DE es la diferencia de los arcos DEF y EF, es decir, se ha determinado el ángulo C, y por medio del ángulo EBF se encuentra su opuesto por el vértice ABC, que buscábamos. Pero si en lugar del lado AB, se supone dado el CB opuesto al ángulo dado, sucederá lo mismo, porque están dados AD y BE, los restos de los cuadrantes y por el mismo argumento, los dos triángulos ADF y BEF tendrán ángulos y lados dados, como antes. Por consiguiente, el triángulo ABC propuesto tendrá lados y ángulos dados, como afirmamos.
Más todavía, si dos ángulos cualesquiera fueran dados con un lado, obtendremos el mismo resultado. Pues conservando la figura anterior, sea primero el triángulo ABC con dos ángulos dados ACB y BAC, ju nto con el lado AC, adyacente a ambos. Además si uno de los ángulos dados fuera recto, todo lo demás se deduciría de los razonamientos del cuarto teorem a precedente. Pero queremos un teorema distinto y que ninguno de los ángulos sea recto. Así, será AD el resto del cuadrante CAD, el ángulo BAD suplementario del BAC, y el ángulo D recto. Es decir, por el cuarto teorema, el triángulo AFD tendrá dados sus ángulos y lados. Y por el ángulo dado C, conocemos el arco DE y el arco EF resto de su cuadrante. Además, el ángulo BEF es recto y el ángulo F es común a ambos triángulos. Del mismo modo, por el cuarto teorema están dados BE y BF, y por medio de ellos determinamos los lados AB y BC que buscábamos. Además, si uno de los ángulos dados es opuesto al lado dado, es decir, si el ángulo ABC se da en lugar del ACB, .sin variarles otras condiciones, se puede demostrar de modo similar, que iodo el triángulo ADF tendrá dados sus ángulos y lados. Lo mismo que su parte, el triángulo BEF, por tener común el ángulo F, el ángulo EBF opuesto por el vértice a uno dado y el ángulo E recto, lo que demuestra, como antes, que son conocidos todos los lados, de lo cual se deduce lo que dijimos. Porque todo está ligado siempre entre sí y con nexo perpetuo, como corresponde a la forma de globo. XIII Dados en fin todos los lados de un triángulo, estarán dados los ángulos. Si están dados todos los lados del triángulo ABC, digo que estarán determinados todos los ángulos. El triángulo puede tener o no lados iguales. Sean primero ¡guales AB y AC. E3tá claro que también serán iguales las mitades de las cuerdas que subtienden el doble de esos lados. Siendo esas mitades BE y CE, que por estar a la misma distancia del cen
tro de la esfera, se cortarán entre sí A en el punto E sobre DE, la sección común de los círculos; según la definición 4 del libro III de Euclides y su inversa. Pero de acuerdo con la 3 del mis ^ mo libro, en el plano ABD el ángulo DE B es recto, y en el plano A CD ocurre lo mismo con el ángulo DEC. Por tanto, tomando en cuenta la definición 3 del libro X I de Euclides, BEC es el ángulo de inclinación de los planos y lo encontraremos como sigue: como hay una recta que subtiende el arco BC, tendremos un triángulo rectilíneo BEC, con sus lados da dos porque lo están los arcos, y como podemos encontrar sus ángulos, obtendremos el ángulo BEC buscado, es decir, el ángulo esférico BAC, y encontraremos los demás como anteriormente. Pero si el triángulo es escaleno como en la segunda figura, es evidente que las mitades de las cuerdas que subtienden el doble de los lados, de ningún modo se tocan. Porque si el arco AC es mayor que el AB, como CF es la mitad de la subtensa del doble de AC, CF cae más abajo. Pero si AC es menor que AB, CF cae más arriba., como acontece con tales líneas, según están más cerca o más lejos del centro, de acuerdo con el 15 de! libro III de Eucli des. Luego, hágase FG paralela a BE, y en el punto G corta a BD, la sección común de los círculos, y añadamos GC. Por tanto es manifiesto que los ángulos EFG y AEB son rectos y también lo es el ángulo EFC, porque CF es la mitad de la cuerda del doble de AC. Es decir, el ángulo CFG será el ángulo de la sección de los círculos AB y AC y podemos encontrarlo újmbién. Porque DF es a FG como DE es a EB, ya que los triángulos DFG y DEB son semejantes. O sea, FG está dado en las mismas partes que FC.
Y en la ínisma relación están DG y DB, por lo que DG estará dado en partea de las cuales DG tiene 100,000. Pero como el ángulo GDG está dado por el arco BG, por el segundo teorema de los triángulos planos, el lado GG está dado en las mismas partes en que se dan los lados restantes del triángulo plano GFC. Por consiguiente, según el último teorema de los triángulos planos, obtendremos el ángulo GFC, es decir, el ángulo esférico BAC, que estábamos buscando. Y los ángulos restantes los determinaremos por el undécimo teorema de los triángulos esféricos. x rv Si un arco dad o del círculo se corta de modo que ambos segmentos sean menos que un semicírculo, y conocemos la razón de la semicuerda que subtiende el doble de un segmento y la que subtiende el doble del otro, podemos determinar los arcos de esos segmentos. Sea ABC el arco dado alrededor del centro D, que se corta en alguna parte, en el punto E, pero de modo que los segmentos sean menores que un semicírculo. Si conocemos la longitud de la proporción de las mitades de las subtensas del doble de AB y BC, digo que estos arcos podrán determinarse. Dibujemos la recta AC, que corta al diámetro en el punto E, y de los extremos A y C, bajemos perpendiculares AF y CG al diámetro, que son necesariamente las semicuerda»! del doble de AB y BC. Por tanto, en los triángulos rectángulos AEF y CEG, los ángulos AEF y CEG son iguales por opuestos en el vértice E. Y como en los triángulos equiángulos y semejantes, los lados opuestos a ángulos iguales son proporcionales, AF es a CG como AE es a EC. Por tanto, obtendremos AE y EC en las mismas partes con que se dieron AF o GG. Pero la subtensa del arco ABC .es tá fijada en las mismas partes con que se dio PD. DK será la semicuerda que subtiende subtensa AC, y el resto EK. Juntemos DA y DK, y los daremos en las mismas partes con que se dio BD. DK será la semicuerda que subtiende el segmento remanente que es suplementario del arco ABC, y está com prendido por el ángulo DAK, y por consiguiente está dado el ángulo
ADK que comprende la mitad del arco ABC. Pero en el triángulo EDK con dos lados conocidos y el ángulo EDK recto, determinaremos también el ángulo ED K. De donde deduciremos todo el ángulo EDA, que comprende el arco AB; por lo cual conoceremos también el arco restante CB. Y esto es lo que intentábamos demostrar. XV Si están dados todos los ángulos de un triángulo, aunque ninguno sea recto, se nos darán todos los lados. Sea el triángulo ABC con todos sus ángulos dados, de los cuales mn> guno es recto. Digo que también se nos darán todos los lados. Desde uno de los ángulos, como A, baje el arco AD a través de los polos de CB. AD cortará a BC en ángulos rectos y caerá dentro del triángulo, a no ser que alguno de los ángulos B o C de la base, fuere obtuso y el otro agudo. Si esto sucediera, el arco se de bería trazar desde el ángulo obtu so hasta la base. Con los cuadrantes BAF, CAG y DAE completados y con B y C como polos, se dibujan los arcos EF y EG. Por tanto, los ángulos F y G serán rectos. Además, en el triángulo rectángulo EAF, la razón de las semicuerdas del doble de AE y de EF es igual a la de la mitad del diámetro de la esfera y la mitad de la subtensa del doble del ángulo EAF. Sirailarmente, en el triángulo rectángulo AEG, la razón de las semicuerdas del'doble de AE y de EB es igual a la de la mitad del diámetro de la esfera y lá mitad de la subtensa del doble del ángulo EAG. Y por el mismo motivo, la razón de las semicuerdas del doble de EF y de EG es igual a las del doble del ángulo EAF y del ángulo EAG. Y como los arcos FE y EG están dados como complementarios de los ángulos B y C, será conocida la razón entre los ángulos EAF y EAG, es dedr. entre BAD y CAD, que son sus ángulos opuestos por el vértice. Ahora, ha sido obtenido el ángulo completo BAC, y por el teorema precedente, podemos deducir también los ángulos BAD y CAD. Entonces, con el quinto teorema, obtendremos los lados AB, BD, AC, CD, y todo el arco BC.
Lo que hemos expuesro de los triángulos, basta por ahora .para cubrir nuestras necesidades. Tratarlos con más detalle, exigiría una obra más voluminosa.
Tone de Copinóte, donde trabajó en la redacción di :u obra R e v o l u c io n e s d e las la s O r b it a í C*l*>le> C*l*>le>
LIBRO SEGUNDO
PROEMIO Expusimos ya un resumen de los tres movimientos terrestres, por medio de los cuales prometimos demostrar todas las apariencias de los astros. Ahora cumpliremos nuestra promesa examinando e investigando por panes cada problema según nuestras posibilidades. Com enzaremos por el movimiento mejor conocido de todos, la revolución del tiempo diurno o nocturno, que ya dijimos llaman los griegos movimiento equidial dado que la referimos total y directamente al globo terráqueo, ya que de ese movimiento surgen los meses, los años y otros períodos de tiempo con distintos nombres, como números procedentes de una unidad. Por tanto, diremos sólo unas pocas palabras sobre la desigualdad de los días y las noches, de la salida y puesta del Sol, de las partes del zodíaco y de los signos, y de las consecuencias de este tipo de revolución; porque sobre esto, muchos escribieron con bastante abundancia y lo que dicen está en armonía y acuerdo con nuestras concepciones. Nada se altera si lo que otros han demostrado con una Tierra quieta y un mundo vertiginoso, nosotros lo conseguimos de una manera opuesta y llegamos a la misma meta, porque cosas recíprocas, armonizan inversamente entre sí. Sin embargo, no omitiremos nada de lo necesario indicado por nuestros predecesores. Que nadie se admire si hablamos aún del orto y del ocaso del Sol y de las estrellas, y de cosas semejantes a éstas. Pero emplearemos el lenguaje corriente que puede ser entendido por todos, siempre teniendo encuenta que: “Para nosotros, transportados por la Tierra, el Sol y la Luna parecen pasar por encim a; y las estrellas vuelven a sus antiguos lugares y de nuevo se alejan.”
C a p ít u l o
I
DE LOS CIRC UL OS Y SUS NOMBRES Ya indicamos que el círculo equinoccial o ecuador, es el mayor de los paralelos del globo terrestre descrito alrededor de los polos en su diaria revolución, y la eclíptica o círculo de los signos está en medio de la zona circular del zodíaco, bajo la cual el centro de la Tierra recorre su circuito anual. Pero la eclíptica es oblicua al ecuador, debido a la inclinación del eje terrestre, y describe durante la revolución cotidiana, dos círculos que la tocan de cada lado del ecuador, como límites máximos de su oblicuidad, y que se llaman trópicos. En ellos el Sol parree realizar sus vueltas, es decir, sus cambios de dirección de verano e invierno. De ahí, que el círculo boreal se llama tró pico del solsticio de verano y el austral, trópico del solsticio de invierno o hiemal, como fue indicado en nuestra narración sumaria anterior de las revoluciones terrestres. Después sigue el llamado horizonte, o círculo límite según los latinos (porque separa la parte visible del mundo de la que está oculta). Allí se ven nacer todos los astros que se ponen, tiene su centro en la superficie terrestre y su polo en nuestro vértice directamente arriba. Pero ya que es imposible comparar la Tierra con la inmensidad del cielo, en relación con cuya magnitud es incluso indiscernible la distancia total entre el Sol y la Luna (según nuestra hipótesis, el círculo del horizonte parece bisecar el firmamento, como si pasase por el centro del mundo, com o se demostró al principio, pero cuando el horizonte es oblicuo al ecuador, toca también de cada lado de éste a círculos paralelos gemelos, o sea, el círculo norte de las estrellas siempre visibles y el sur de las siempre ocultas. El primero fue llamado ártico y el segundo antártico por Proclo y los griegos, y resultan mayores o menores según la oblicuidad det horizonte y la elevación del polo del ecuador. Queda el círculo meridiano que pasa por los polos del horizonte y también por los polos del ecuador, por tanto, es perpendicular a estos dos círculos. Cuando el Sol lo alcanza marca medio día y media noche. Pero esos dos círculos que tienen sus
centros en la superficie terrestre, el horizonte y el meridiano, siguen sin duda, el movimiento de la Tierra tal como aparece a nuestra vista. Porque el ojo está siempre en el centio da la esfera de todo lo visible que lo rodea. Además, todos las círculos supuestos sobre la Tierra producen círculos en el cielo a imagen y semejanza, como se demuestra en Cosmografía y al tratar de las dimensiones de la Tierra. Y esos círculos, de todos modos son los únicos con nombres propios, aunque hay infinitas maneras de designar los otros. C a p ít u l o
II
DE LA OBLICUIDAD DE LA ECLIPTICA Y LA DISTANCIA DE LOS TRO PICO S Y COMO SE DETERMINAN Puesto que el círculo de la eclíptica está entre los trópicos y cruza el ecuador oblicuamente, creo necesario tratar ahora de observar la distancia entre los trópicos y de ahí, cual sea el ángulo de la sección éntre el ecuador y la eclíptica. Porque para percibir esto por los sentidos con ayuda de instrumentos artificiales, por medio de los cuales puede realizare mejor el trabajo, es necesario tener preparado un cuadro de madera, o mejor de otro material más sólido, como piedra o metal, porque la madera puede inducir a error al observador al variar su consistencia por alguna alteración del aire. Luego, una superficie ha de aplanarse muy cuidadosamente, y su anchura debe ser suficiente para admitir división en secciones, es decir, de unos tres o cuatro codos. Luego, con uno de los ángulos como centro y con un lado como radio, se traza un cuadrante de círculo y se divide en 90 grados iguales y cada uno de éstos se subdivide en 60 minutos o en las fracciones que puedan caber. Después, un gnomon (estilo) 'o varilla cilindrica bien torneada se fija perpendicular en dicho centro a la superficie, de la que sobresale un poco, digamos el grueso de un dedo o menos. Cuando el instrumento ha sido preparado de este modo, lo siguiente es trazar la línea del meridiano sobre la capa del pavimento, en el plano del horizonte, que ha sido igualado diligentemente con el hidroscopio o corobate, para que no se incline en alguna parte. En el pavimento se describe un círculo y se erige un gnomon en el centro. Se observa algún tiempo antes del mediodía donde toca la sombra de circunferencia del círculo, y se marca una señal. Se hace lo mismo por la tarde y el arco
entre las dos señales se divide por la mitad. La línea recta dibujada por el centro del círculo y el punto de la sección nos indica, infaliblemente, la dirección meridional y septentrional. Sobre el piso tomado como base, levántese perpendicular el plano del instrumento con el centro del cuadrante hacia el sur, de modo que la vertical bajada desde ese centro, forme ángulos rectos con la linea del meridiano, y resultará así que la superficie del instrumento tendrá el círculo meridiano. En adelante se observará durante los días del solsticio de verano e invierno, las sombras del Sol al mediodía, al ser arrojadas por el índice o cilindro desde el centro del cuadrante, sobre cuyo arco, una marca sujeta indica con más certeza el lugar de la sombra, el centro de la cual se anota en grados y minutos con la mayor precisión posible; porque si hacemos esto, el arco entre las dos sombras señaladas de los solsticios, puede determinarse y nos dará la distancia entre los trópicos y la oblicuidad total de la eclíptica. Tomando la mitad del arco, tendremos la distancia de los trópicos al ecuador, y estará determinado el ángulo de inclinación entre la eclíptica y el ecuador. De este modo, Ptolomeo tomó el intervalo entre los límites arriba indicados, el boreal y el austral, romo 47 grados, 42 minutos y 40 segundos, teniendo el círculo 360 grados; observado antes por Hiparco y Eratóstencs como de 11 partes, para un círculo total de 83. La mitad de ese arco, 23 grados, 51 minutos, 20 segundos, para un círculo de 360 grados, muestra la distancia de los trópicos al ecuador y cual es el ángulo de éste con la eclíptica. Y pensaba Ptolomeo, que así era y así permanecería siempre sin variar. Pero se ha encontrado que esas distancias lian disminuido continuamente desde esa época hasta la nuestra. Ya ha sido descubierto por nosotros y algunos de nuestros contemporáneos, que la distancia entre los trópicos no es más de unos 46 grados, 58 minutos, y el ángulo de la sección 23 grados, 29 minutos. De aqui resulta bastante patente que varia la oblicuidad de la eclíptica. Mas adelante aclararemos mucho una conjetura bastante probable de que ese ángulo no es nunca mayor de 23 grados, 52 minutos y nunca menor de 23 grados, 28 minutos.
C a p ít u l o
III
DE LOS ARCOS Y ANGULOS EN QUE SE CORTAN LOS CIRCULOS DEL ECUADOR, DE LA ECLIPTICA Y DEL MERIDIANO, Y CO M O SE CALCULAN CON ELLOS DECLINACIONES Y ASCENSIONES RECTAS De acuerdo con lo dicho en el caso del horizonte, que por él nacen y se ocultan las partes del mundo, decimos que el círculo meridiano divide por la mitad al cielo. Durante 24 horas esta linca es cruzada tanto por la eclíptica com o por el ecuador, cuyas circunferencias divide cortándolas en la intersección de primavera y otoño, y a su vez, tiene su circunferencia dividida por el arco interceptado por los otros dos círculos. Como todos son círculos máximos, forman un triángulo esférico rectángulo porque el ángulo es recto, por definición, donde el círculo meridiano corta el ecuador descrito a través de sus polos. Ahora, el arco del círculo meridiano, o cualquier arco de círculo que pase por los polos del ecuador e interceptado como se ha dicho, se denomina la declinación de un segmento del zodíaco, y el arco correspondiente sobre el ecuador es llamado la ascensión recta, que se establece simultáneamente con el arco similar del zodíaco. Todo esto se demuestra fácilmente en un triángulo convexo. Sea ABCD un círculo que pasa a la vez por los polos del zodíaco y del ecuador, que muchos llaman co luro. Sean además, AEC la mitad de la eclíptica, BED la mitad del ecuador, el punto E el equinoccio de primavera, el A el solsticio de verano y C el solsticio de invierno. Tomemos ahora F como polo de la revolución diaria y sobre la eclíptica el arco EG con 30 grados. Por ejemplo, al que corta el cuadrante de circulo FGH. Entonces está claro que en el triángulo EGH están dados el lado EG igual a 30 grados, el ángulo GEH, que de acuerdo con la declinación máxima es igual a 23 grados 28 minutos; siendo cuatro ángulos rectos iguales a 360 grados, y el ángulo GHF. es recto. Por tanto, según el
cuarto teorema de los triángulos esféricos, el triángulo EGH tiene todos sus ángulos y lados conocidos. Porque fue demostrado que la razón de las cuerdas del doble de EG y GH, es igual a la razón de las cuerdas del doble de AGE, o diámetro de la esfera, y el doble de AB, estando las semicuerdas en la misma relación. La mitad de la cuerda del doble de AGE es igual al radio y a 100,000 partes, la semicuerda del doble de AB tiene 39,822 partes, y la del doble de EG, 50,000 partes. Además, si cuatro números son proporcionales, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. De donde la mitad de la subtensa del doble del arco Gil, vale 19,911, y por la Tabla, dicho arco tiene 11 grados 29 minutos, que es la declinación del segmento EG. Por lo cual, también en el triángulo AFG se nos dan el lado FG igual a 78 grados, 31 minutos, y el lado AG de 60 grado?, como restos de cuadrantes, y el ángulo FAG es recto. Del mismo modo son proporcionales las semicuerdas del doble de FG, AG, FGH y BH. Como tres de estas subtensas están dadas, puede determinarse la cuarta que es BH igual a 62 grados 6 minutos, que es la ascensión recta del solsticio de verano, y HE 27 grados 54 minutos, del equinoccio de primavera. De modo análogo, dados los lados FG con 78 grados 31 minutos, AF con 64 grados 30 minutos, y AGE cuadrante de círculo, el ángulo AGF tiene 69 grados 23>/a minutos, y es igual a su opuesto por el vértice IIGE. Procederemos en lo demás como en este ejemplo. No debemos ignorar el hecho de que el círculo meridiano corta a la eclíptica a ángulos rectos en los puntos donde esta toca a los trópicos, porq ue entonces el meridiano le corta pasando por sus polos. Pero en los puntos equinocciales, el meridiano forma un ángulo menor que un recto por la inclinación de la eclíptica, y cuyo valor es de 66 grados 32 minutos de acuerdo con el menor valor de dicha inclinación. Además, señalaremos que lados y ángulos iguales de los triángulos se deducen de arcos iguales de la eclíptica tomados desde los puntos de solsticio o equinoccio. De este modo dibujemos el arco ecuatorial ABC y el de la eclíptica DBE, que se cortan en el punto B donde está el equinoccio, y si tomamos como iguales los arcos FB y BG, y también los arcos KFL y KMG, dos cuadrantes de círculo que pasan
por el polo K de la revolución diaria, tendremos dos triángulos: FLB y BMG, cuyos lados BF y BG son iguales, los ángulos en B opuestos por el vértice también iguales, y los ángulos en L y M rectos. Poi tanto, según el sexto teorema de los triángulos esféricos, los lados y ángulos son iguales. O sea, son iguales las declinaciones FL y MG, las ascensiones rectas LB y BM y los ángulos restantes F y G. Esto mismo se manifiesta al suponer arcos iguales tomados desde un punto de solsticio, por ejemplo, cuando AB y BC a los dos lados del punto de contacto B, están a la misma distancia de éste. Porque cuando los arcos DA y DB han sido trazados desde el polo al ecuador, son semejantes los dos triángulos ABD y DBC cuyas bases AB y BC son iguales, el lado BD es común y los ángulos en B son rectos. De acuerdo con el octavo teorema de los triángulos esféricos, tendrán pues iguales sus ángulos y lados res pectivos. Lo que pone de manifiesto que ángulos y lados de un cuadrante de la eclíptica están de acuerdo con los restantes cuadrantes de todo el círculo. Agregaremos un ejemplo de esto en la descripción de las Tablas. En la primera columna están colocados los grados del zodiaco; en la siguiente, las declinaciones correspondientes a esos grados; y en la tercera los minutos, que son las diferencias entre declinaciones particulares y las que ocurren cuando la eclíptica tiene oblicuidad máxima, la mayor de estas diferencias vale 24 minutos. Haremos lo mismo con las Tablas de ascensiones rectas y ángulos meridianos. Porque es necesario cambial todo lo que es consecuencia de la oblicuidad del zodíaco, al variar ésta. Además, en las ascensiones rectas se ha encontrado una diferencia extremadamente pequeña que no excede un décimo de ‘‘tiempo” y que en el espacio de una hora representa solo 1/150 de “tiempo”. Los antiguos dieron el nombre de tiempos a las partes del ecuador, que se levantan ju nto con las de la eclíptica. Ambos círculos, como se ha repetido a menudo, tienen 360 parles, pero para distinguirlas, la mayoría de nuestros predecesores llam an "grados” a las partes de la eclíptica y “tiempos” a las del ecuador, y los imitaremos en el resto de la obra. Y aunque es tan pequeña esta diferencia, que puede despreciarse, no dudo también aquí ponerla Estas Tablas pueden aplicarse a cualquier otra oblicuidad de la eclíptica, s: de acuer-
do con la relación de diferencia entre la menor y la mayor oblicuidad de la eclíptica, hacemos las correcciones pertinentes. Por ejemplo, si con una oblicuidad de 23 grados 34 minutos deseamos conocer cual es la declinación obtenida al tomar una distancia de 30 grados desde el ecuador sobre la eclíptica, encontramos en la columna de declinaciones 11 grados 29 minutos y en la columna de diferencias 11 minutos. Esos 11 minutos deberán añadirse en el caso de la mayor oblicuidad de la eclíptica, que dijimos es 23 grados 52 minutos. Pero como ya hemos indicado que la oblicuidad es 23 grados 34 minutos, 6 minutos mayor que la menor oblicuidad, lo que es la cuarta parte de 24 minutos, exceso de la mayor oblicuidad sobre la menor. Luego 3 minutos es a 11 minutos inás o menos como 6 minutos es a 24 minutos. Cuando añado 3 minutos a los 11 grados 29 minutos tendremos 11 grados 32 minutos, que medirá entonces la declinación del arco de 30 grados en la eclíptica desde el ecuador. Lo mismo sucede en las Tablas de ángulos meridianos y de ascensiones rectas, excepto que debemos siempre sumar las diferencias en las segundas y restarlas en los primeros, para que todo se deduzca de acuerdo con el tiempo. C a p ít u l o
IV
COM O DET ERM INAR LA DECLINACION Y ASCENSION RECTA DE UN ASTRO SITUADO FUERA DEL CIRCULO QUE PASA POR EN MEDIO DE LOS SIGNOS, PERO CUYA LONGITUD Y LATITUD HA SIDO ESTABLECIDA, Y CON QUE GRADO DEL ZODIACO DIVIDE POR LA MITAD EL CIELO Ya expusimos lo relativo a la eclíptica, al ecuador y a sus intersecciones. Pero en relación con la revolución diaria, es interesante conocer no sólo que partes aparecen, por medio de las cuales se descubren las causas de que el Sol salga donde lo hace, sino también saber que hay una demostración similar de la declinación desde el ecuador y la ascensión recta en el caso de las estrellas fijas o errantes que están fuera de la eclíptica, pero cuya longitud y latitud ha sido dada. Describamos el círculo ABCD por los polos del ecuador y de la eclíptica. Sean AEC el semicírculo ecuatorial con el polo F, BED el semicírculo de la eclíptica con el polo G, y su intersección con el ccuador en el punto E. Luego, desde el polo G se traza el arco GHKL, a través de una estrella, cuya posición está en el punto H, y desde el polo del movimiento diurno desciende un cuadrante FHN.Vf.
Zodiaco
D ift-
t encías
Grad. Grad. M in. M in . 0 24 1 0 2 0 48 1 3 1 12 1 4 88 2 1 2 0 2 5 6 23 2 2 7 2 47 8 8 3 3 11 4 9 3 35 4 10 3 58 4 22 4 11 4 12 45 4 13 5 9 5 14 5 32 5 15 5 55 5 16 6 19 6 17 6 41 6 18 7 4 7 10 7 27 7 20 7 49 8 21 8 12 8 22 8 34 8 23 8 57 9 24 9 19 9 25 9 41 9 26 10 10 a 27 10 25 10 28 10 46 10 29 11 8 10 30 29 11 11
D if e- Zodíaco D ift. Itc liiw cio nts nncia s Declinaciones reacias Grad. Grad. M in. J im . G rad. Grad. M in . M in . 61 20 23 81 11 £0 11 20 32 12 62 13 20 35 11 21 12 32 12 63 47 33 20 21 34 12 52 64 58 13 20 21 35 13 12 13 65 21 9 21 36 32 13 14 66 21 20 22 21 37 13 52 14 67 30 22 38 14 12 14 68 21 40 22 14 69 21 49 39 31 14 22 14 21 58 40 50 14 70 22 41 15 9 15 71 22 7 22 42 15 27 72 22 15 15 23 43 15 46 16 73 22 23 23 44 16 4 16 74 22 30 23 16 22 22 37 45 16 75 23 46 16 22 44 39 17 76 23 47 16 56 77 22 17 50 23 17 78 22 48 13 17 55 23 49 17 30 18 79 23 24 1 80 50 17 48 18 23 5 24 51 18 81 23 10 1 18 24 62 18 82 13 17 18 23 24 53 18 32 19 83 17 23 24 54 18 47 19 84 23 20 24 19 2 19 22 24 55 23 85 19 19 56 16 24 86 23 24 30 26 20 57 19 87 23 24 24 58 19 44 20 88 23 27 20 19 57 89 23 59 28 24 60 20 10 20 80 23 28 24
Zo díaco
D ife Dife Zo diac o Zod iaco Dife Ecuador Ecuador rencias rencias Eeuador rencias Grad. T iem p. M in. M i n. Grad. T ie m p. M in . M in . Grad. Tie m p. M in . M in . 0 55 0 31 28 54 4 1 61 58 51 4 29 2 1 50 0 32 51 4 62 59 54 4 30 50 3 2 45 0 33 4 63 57 60 4 4 3 40 0 34 31 46 4 64 62 0 4 32 5 4 35 0 35 45 4 65 63 4 3 6 5 30 0 36 33 43 5 66 64 6 3 7 37 34 41 6 25 1 5 67 65 9 3 40 8 7 20 38 35 1 5 68 66 13 3 9 8 39 36 38 15 1 5 69 67 17 3 9 10 11 37 37 1 40 5 70 68 21 3 10 6 41 38 36 5 11 1 71 69 25 3 12 39 11 0 2 42 35 5 72 29 70 3 13 57 2 40 34 11 43 5 73 71 33 3 12 14 52 2 44 41 33 6 74 72 38 2 42 32 15 13 48 2 45 6 75 73 43 2 14 2 43 16 43 46 31 6 76 74 47 2 44 32 2 47 17 15 39 5 77 75 52 2 18 16 34 3 48 45 32 5 78 76 57 2 17 46 32 19 31 3 49 5 79 78 2 2 47 20 18 27 3 60 33 5 8G 79 7 2 21 48 34 19 23 3 51 5 81 80 12 1 22 49 20 19 52 35 3 5 82 81 17 1 23 21 50 36 15 3 53 5 83 82 22 1 24 22 51 37 10 4 51 5 84 27 83 1 4 52 38 25 23 9 4 55 85 84 33 1 26 24 4 56 53 41 6 4 86 85 38 0 27 25 3 4 57 54 43 4 87 86 43 0 28 28 0 4 58 55 45 4 88 87 48 0 29 67 4 56 46 26 59 4 89 88 54 0 4 30 27 54 57 48 60 4 90 90 0 0
Zo diaco
Dife* Angu los rendes Crad. Crad. M in. M in. 32 24 66 1 24 2 66 33 24 8 66 34 66 24 4 35 66 37 24 5 6 66 39 24 42 24 7 66 66 44 24 8 24 66 47 9 24 66 51 10 24 66 55 11 59 24 12 66 67 4 23 13 67 10 23 14 67 23 15 15 67 21 23 16 67 23 17 27 34 23 67 18 23 19 67 41 67 49 23 20 21 67 56 23 22 22 68 4 22 23 68 13 22 68 22 24 22 68 32 25 68 22 26 41 68 22 61 27 60 2 21 28 29 69 13 21 SO 69 24 21
Zodiaco
D ift. D ife Zodíaco Angulo: rendas Angu los rencias Crad. Crad. Min. M in . Crad. Ciad. Min. M in . 78 7 12 31 09 35 21 61 32 62 78 29 12 69 48 21 70 0 20 63 78 51 33 11 64 14 34 70 13 20 79 11 36 20 65 79 35 70 26 11 20 66 79 59 36 70 39 10 22 37 70 53 20 67 80 10 45 38 71 7 19 68 80 10 71 22 69 81 39 19 9 9 40 71 36 19 70 81 33 9 19 81 58 41 71 52 8 71 42 72 8 18 72 82 22 8 43 72 24 18 73 82 46 7 72 39 74 44 18 83 7 11 17 45 72 55 75 83 35 6 46 17 76 84 0 73 11 6 47 73 28 17 77 84 25 6 78 84 50 48 73 47 17 5 74 6 16 79 85 49 15 5 50 74 24 16 80 85 40 4 16 86 51 74 42 81 5 4 52 75 1 82 86 30 3 15 86 53 75 21 15 83 55 3 54 75 40 15 84 87 19 3 14 76 1 85 87 55 53 2 56 14 86 88 17 76 21 2 57 76 42 14 87 88 41 1 58 77 3 13 88 89 6 1 59 77 24 13 89 89 33 0 60 77 45 13 90 90 0 0
Zodiaco
Es evidente que la estrella situada en H cae sobre el meridiano al mismo tiempo que lo hacen los puntos M y N, que el arco H M N es la declinación de la estrella respecto del ecuador, y que EN es la ascensión recta en la esfera recta: lo que estábamos buscando. En este caso, en el triángulo KEL, están dados el lado KE y el ángulo KEL y el ángulo EKL es recto. Por tanto, según el cuarto teorema de los triángulos esféricos son conocidos los lados KL y EL, además del ángulo KLE. Dedonde, po r adición determinamos todo el arco HKL. Y p or lo mismo, en el triángulo H LN están dados dos ángulos, el H L N y el recto LN H , y el lado HL. En consecuencia, por el mismo cuarto teorema de los triángulos esféricos serán conocidos los lados restantes: HN, declinación de la estrella, LN y la distancia restante NE, ascensión recta, que mide la magnitud del cambio de la esfera desde el equinoccio a la estrella. De otro modo, si en lo anterior se toma KE, el arco de la eclíptica como la asctnsión recta de LE, la tabla de ascensiones rectas nos dará inversamente LE, de donde deduciremos LK como la declinación corres pondiente a LE y el ángulo K L E por la tabla de ángulos meridianos. Por cual, conoceremos todos los restantes lados y ángulos. Entonces, por medio de la ascensión recta EN, obtendremos el número de grados de EM, el arco del zodíaco, y la estrella con el punto M divide por la mitad el cielo. Ca p í t u l o
V
SOBRE LAS SECCIONES D EL H OR IZON TE El horizonte de una esfera recta es diferente del de una esfera oblicua. Por eso, el horizonte al cual es perpendicular el ecuador, o que pasa por los polos de éste, se llama horizonte recto. El horizonte que tiene alguna inclinación con el ícuador se denomina horizonte de una esfera oblicua. Por consiguiente, ¿n un horizonte recto, todas las estrellas salen y se ponen, y los días soi siempre iguales a las noches. Porque este horizonte biseca todos los paralelos descritos por el movimiento diurno
y pasa por sus polos, y ocurre aquí lo que ya explicamos en el círculo meridiano. Mas aquí el día lo formamos desde el orto al ocaso del Sol, no desde la luz a las tinieblas, como supone el vulgo; ea decir, desde el amanecer a la primera antorcha. Pero diremos algo más a este respecto al hablar de la salida y la puesta de los signos. Por el contrario, cuando el eje de la Tierra es perpendicular al horizonte, no hay ortos ni ocasos, pero todas las estrellas están siempre visi bles u ocultas en su vuelta, mientras no sean afectadas por otro movimiento como el anual alrededor del Sol. Por consiguiente, el día dura aquí siempre medio año y la noche el otro medio; y no hay nada que diferencíe el invierno y el estío, ya que el horizonte coincide con el ecuador. Por otro lado, en una esfera oblicua, ciertas estrellas nacen y se ponen, y otras están siem pre visibles o siempre ocultas; y mientras tanto, los días y las noches son iguales, ahí donde un horizonte oblicuo toca dos círculos paralelos, según su inclinación. Y de esos círculos, el más próxim o al polo visible es el límite de las estrellas que están siem pre a la vista, y a la inversa, el círculo más próximo al polo que no se ve, es el límite de las estrellas siempre ocultas. Por tanto, el horizonte situado por completo entre esos límites, corta a todos los paralelos intermedios en arcos desiguales, excepto al ecuador, el más grande de .los paralelos y los círculos máximos se bisecan entre sí. Por tanto, un horizonte oblicuo en el hemisferio superior corta arcos de paralelos hacia el polo visible mayores que hada el polo austral oculto, y lo inverso sucede en el hemisferio escondido. El Sol se hace visible en esos horizontes por razón del movimiento diurno y causa la desigualdad de los días y las noches. C a p it u l o
VI
CUALES SON LAS DIFERENCIAS ENTRE LAS SOMBRAS DEL MEDIODIA Hay diferencias entre las sombras del mediodía, oor lo que unos pue blos se denom inan pensóos, otros anfiscios, y oíros más heteroscios. Los periscios pueden llamarse circumunbrátilcs, porque arrojan la sombra por todos lados. Viven donde la distancia entre el vértice o el polo del horizonte y el polo terrestre es menor o no mayor que entre el trópico y el ecuador. Porque allí los paralelos que el horizonte toca en los límites de las estrellas siempre visibles o siempre ocultas, son mayores o iguales que los trópicos. Y en el verano, el Sol arriba en lo alto entre las estrellas siempre visibles y lanza la sombra del gnomon en cada dirección. Pero
donde el horizonte toca los trópicos, estos son los límites entre estrellas siempre visibles y siempre ocultas. Por lo cual, en lugar de ser medianoche en el solsticio, el Sol parece rozar la tierra, y en ese momento todo el círculo de la eclíptica coincide con el horizonte. Seis signos salen do un lado, seis se ponen por el opuesto y el polo del zodíaco coincide con el polo del horizonte. Los anfiscios, que viven entre los trópicos, lanzan la sombra del mediodía a ambos lados. Es el espacio que los antiguos llamaban zona media, y como por toda ella el zodíaco pasa directo dos veces por encima, como se demuestra en el segundo teorema de los Fenómenos de Euclides, la sombra del gnomon se arroja allí en dos direcciones. Como el Sol se mueve a un lado y otro, la sombra del indicador apunta a veces al sur y a veces al norte. El resto de nosotros que habitamos la región entre las otras dos, somos heteroscios, porque arrojamos nuestra sombra del mediodía en una sola dirección, hacia el septentrión. Los antiguos matemáticos estaban acostumbrados a dividir el mundo en siete climas a través de Meroe, Siena, Alejandría, Rodas, el Heles ponto, la mitad del Pomo, Boristene, Bizancio, y los demás, con simples círculos paralelos según las diferencias entre los días más largos y la longitud de las sombras, que observaban por medio de gnomones al mediodía en los días de equinoccios y solsticios y de acuerdo con la elevación del polo o la latitud de algún segmento. Como todo esto ha cambiado en parte con el tiempo, no son exactamente las mismas que fueron antes, al tomar en cuenta la oblicuidad variable de la eclíptica, que, como indicamos, no era conocida por los antiguos, o de modo más correcto, tom ando en cuenta la inclinación variable del ecuador respecto del plano de la eclíptica, de la que aquellas relaciones dependen. Pero las elevaciones del polo o la latitu d de los lugares, y las sombras equinocciales, concuerdan con las descubiertas y anotadas en la antigüedad. Esto tenía que suceder porque el ecuador depende del polo del globo terrestre. Por tanto , aquellos segmentos no se designan y definen con bastante precisión por las sombras observadas en días especiales, sino más correctamente por sus distancias al ecuador, que permanecen fijas a perpetuidad. Sin embargo, aunque esta variabilidad de los trópicos al ser muy ligera, admite sólo pequeña diversidad de días y de sombras en el sur, se hace más patente para los que se mueven hacia el norte. En lo que se refiere a la sombra de los indicadores, está claro que para cierta altitud dada del Sol, puede deducirse la longitud de la sombra, y viceversa.
De este modo, si el gnomon AB arroja una sombra BC, como el indicador es perpendicular al plano del horizonte, el ángulo ABC debe ser siempre recto, por definición de líneas perpendiculares a un plano. Por tanto, si añadimos AC, tendremos un triángulo rectángulo ABC, y para determinada altitud del Sol, conoceremos el ángulo ACB, y por el primer precepto de los triángulos planos, estará dada la razón del indicador AB a su sombra BC y podemos conseguir la longitud de BC. Al contrario, cuando se dan AB y BC, constatamos por el tercer teorema de los triángulos planos, cuál es el ángulo ACB y qué elevación del Sol produce esa sombra en ese tiempo. Por eso losantiguos, al describir las regiones del globo terráqueo, daban la longitud de las sombras del mediodía, unas veces en los equinoccios y otras en los solsticios. C a p it u l o
V II
DE QUE MODO EL DIA MAS LARGO, LA LATITUD DEL ORTO Y LA INCLINACION DE LA ESFERA, SE DERIVAN ENTRE SI, Y SOBRE LA DIFERENCIA DE LOS DIAS Así también demostraremos a la vez para cualquier oblicuidad de la esfera o inclinación del horizonte, cuáles son el día más largo y el más corto, junto con la latitud del orto solar y la diferencia de los días restantes. Esa latitud es el arco del horizonte interceptado entre las salidas del Sol en los solsticios de verano e invierno, o la suma de las distancias B del orto solsticial desde el equinoccial. Sean ABCD el círculo meridiano, BED el semicírculo del horizonte en el hemisferio oriental y AEC el semi
círculo similar del ecuador con F como polo norte. Tomemos el punto G como la salida del Sol en el solsticio de verano y dibujemos el arco FGH de círculo máximo. Puesto que el movimiento de la esfera terrestre se realiza alrededor del polo F del ecuador, necesariamente los puntos G y H alcanzan el meridiano ABCD al mismo tiempo, porque los círculos paralelos están alrededor de los mismos polos por donde pasan los círculos máximos, que interceptan arcos iguales en aquellos paralelos. Por lo cual, el mismo tiempo del orto en G al mediodía mide también el arco AEH; y el tiempo desde la medianoche a la salida del Sol mide CH el arco restante y subterráneo del semicírculo, y AE y EC son cuadrantes de circulo, porque fueron trazados a través del polo ABCD. Por tanto, EH será la mitad de la diferencia entre el día más largo y el equinoccio, y EG la distancia entre el orto solar equinoccial y solsticial. Ya que en el triángulo EHG, el ángulo GEH, oblicuidad de la esfera, es establecido por medio del arco AB; el ángulo GHE es recto y el lado GH está dado como la distancia del trópico estival al ecuador; los lados restantes serán determinados por el cuarto teorema de los triángulos esféricos, o sea, el lado EH como la mitad de la diferencia entre el día más largo y el equinoccio, y el lado GE como la latitud del orto solar. Además, si junto con el lado GH se da EH, mitad de la diferencia entre el día más largo y el equinoccio, o bien EG, será conocido el ángulo E de inclinación de la esfera, y de ahí FD la elevación del polo sobre el horizonte. Pero aunqu e no se tome el trópico, sino algún pu nto G en la eclíptica, los arcos EG y EH pueden determinarse, porqu e la T ab la d e declinaciones arriba expuesta nos dice que el arco GH de declinación corresponde a ese grado del zodíaco, y lo demás puede demostrarse del mismo modo. De aquí se deduce que los grados de la eclíptica que están a igual distancia del trópico, cortan arcos iguales del horizonte entre la salida del Sol equinoccial y los propios grados, y hacen inversamente iguales la longitud de los días y las noches. Y esto es porque los paralelos que pasan por esos grados de la eclíptica son iguales, ya que dichos grados tienen la misma declinación. Pero cuando arcos iguales se toman entre la intersección equinoccial y los 2 grados zodiacales, de nuevo las latitudes del orto son iguales pero en diversas direcciones, y las duraciones de los días y las noches son inversamente iguales, porque en los dos lados del equinoccio, esas duraciones describen arcos iguales de paralelos, de acuerdo como los propios signos, que están a la misma distancia del equinoccio tienen iguales declinaciones desde el ecuador.
Dibujemos en la misma figura GM y KN, los arcos de paralelos que cortan el horizonte BED en los puntos G y K y sea LKO un cuadrante de circulo máximo que pasa por el polo austral L. Como las declinaciones HG y KO son iguales, los dos triángulos DFG y BLK tendrán dos lados de uno iguales a dos lados del otro: FG y LK, y las elevaciones de polo FD y LB.: Además los ángulos D y B son 15 rectos, por lo que los terceros lados DG y BK serán iguales, y de ahí, como las latitudes del orto son los restos de los cuadrantes, GE será igual a EK. Como también los lados EG y GH son iguales, respectivamente, a los lados EK y KO, los ángulos en E son iguales por opuestos por el vértice y los lados restantes EH y EO son iguales, sumando un cuadrante a estos últimos, tendremos que los arcos DEC y AEH serán también iguales, pero como círculos máximos descritos por los polos de círculos paralelos les cortan en arcos similares, GM y KN serán similares e iguales. Como debíamos demostrar. Pero todo esto puede demostrarse de modo diferente. Tracemos del mismo modo el círculo meridiano ABCD con centro en E. Sean AEC el diámetro del ecuador y la sección común de ambos círculos, BED el diámetro del horizonte y la línea meridiana, LEM el eje de la esfera y L el polo visible y M el oculto. Tomemos AF como la distancia del solsticio de verano o como alguna otra declinación, y hacia AF dibujemos FG como diámetro de un paralelo y su sección común con el meridiano que cortará al eje en K y al meridiano en N. Por tanto, de acuerdo con la definición de Posidonio, esas lineas son paralelas, ya que no se acercan ni se alejan entre sí y las perpendiculares entre ellas son iguales, es decir, KE es igual a la mitad de la subtensa del doble del arco AF. Análogamente, KN será la mitad de la cuerda que subtiende el doble del arco del círculo paralelo cuyo radio es FK. Y el
doble de ese arco es la diferencia entre el día equinoccial y el otro día. Y esto es verdad porque todos los semicírculos de los que esas rectas son diámetros y secciones comunes, es decir, BED del horizonte oblicuo, LEM del horizonte recto, AEC del ecuador y FKG del paralelo, son perpendiculares al plano del círculo ABCD, y por el 19 del libro X I de los elementos de Euclides, las secciones comunes que forman entre sí son perpendiculares al mismo plano en los puntos E, K y N ; y por el 6 del libro XI esas secciones comunes son normales entre sí. Y K, es el centro del paralelo y E el centro de la esfera. De donde EN es la mitad de la subtensa del doble del arco del horizonte que es la diferencia entre la salida del Sol en el paralelo y en el equinoccio. Como fueron dadas la declinación AF y el resto FL del cuadrante KE, la semicuerda que subtiende el doble del arco AF y FK la semicuerda del doble de FL serán establecidas en partes, de las cuales AE tiene 100 mil. Pero en el triángulo rectángulo EKN está dado el ángulo KEN por ser DL la elevación del polo y el ángulo restante KNE es igual a AEB porque en la esfera oblicua los paralelos están igualmente inclinados hacia el horizonte, y los lados están dados en las mismas partes de las que el radio de la esfera tiene 100 mil. Por tanto, KN será dado en partes, de las que el radio KF del paralelo tiene 100 mil, porque KN es la semicuerda que subtiende el arco que mide la distancia entre el día equinoccial y el día en el paralelo; y este arco es dado en grados, teniendo todo el círculo paralelo 360 grados. De esto se deduce claramente que la razón de FK y KN consta de otras dos, la de la subtensa del doble de FL y la del doble de AF, o sea FK j KE, y la de la subtensa del doble de AB y la del doble de DL o sea EK v KN. Es decir, EK se toma como media entre FK y KN. De modo similar, la razón de BE y EN se compone de las de BE y EK, y de KE y EN. Así, juzgo que no sólo puede determinarse la desigualdad de los días y las noches, sino también que en el caso de la Luna y las estrellas, cuyas declinaciones sobre los paralelos descritos por el movimiento diurno han sido dadas, los segmentos de dichos paralelos que están encima del horizonte pueden distinguirse de ios que se encuentran debajo, y en consecuencia, los ortos y ocasos de dichos astros se pueden fácilmente comprender. C a p ít u l o
VIII
DE LAS HORAS Y PARTES DEL DIA Y DE LA NOCHE Por lo dicho, quede claro que si en la Tabla tomamos la diferencia
Elevación del Polo
D tc h36* Sí • s r 53° S V 56" r.acion Crad. Tiemp. M í * . T ie m p. M i n. T ie m p. A fin . T ie m p. M in . T ie m p. M in . T i em p . M i n .
1 2 3
0 1 1
36 12 48
0 1 1
37 15 53
0 1 1
39 18 57
0 1 2
40 21 2
0 1 2
42 24 6
0 1 2
44 27 11
4 5 6
2 3 3
24 1 37
2 3 3
30 8 46
2 3 3
36 15 55
2 3 4
42 23 4
2 3 4
48 31 13
2 3 4
55 39 23
7 8 9
4 4 5
14 51 28
4 5 5
24 2 41
4 5 5
34 14 54
4 5 6
45 26 8
4 5 6
50 39 22
5 5 6
7 52 36
10 11 12
6 6 7
5 42 20
6 6 7
20 59 38
6 7 7
35 15 56
6 7 8
50 32 15
7 7 8
3 49 84
7 8 8
22 7 53
13 14 15
7 8 9
58 37 16
8 8 9
18 58 38 .
8 9 10
37 19 1
8 9 10
58 41 25
9 10 10
18 3 49
9 10 11
39 26 14
16 17 18
9 10 11
55 35 16
10 11 11
19 1 43
10 11 12
44 27 11
11 11 12
9 54 40
11 12 13
25 22 9
12 12 13
2 50 39
19 20 21
11 12 13
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12 13 13
25 9 53
12 13 14
55 40
¿6
13 14 15
26 13 0
13 14 15
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14 15 16
29 20 12
22 23 24
14 14 15
3 47 31
14 15 id
37 23 9
15 16 16
13 0 48
15 16 17
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16 17 18
27 17 10
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25 26 27
16 17 17
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58 45 3í
17 •« 19
38 28 19
18 19 20
20 12 6
19 19 20
3 58 54
19 20 21
48 45 44
28 29 30
18 19 20
38 27 18
19 20 21
24 16 9
20 21 22
12 6 1
21 21 22
1 67 55
21 22 23
51 50 61
22 23 24
43 45 48
31 32 33
21 22 22
10 3 57
22 22 23
3 59 54
22 23 24
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23 24 25
55 56 59
24 25 27
53 57 3
25 27 28
53 0 9
34 35 36
23 24 25
55 53 53
24 25 27
56 57 0
25 27 28
59 3 9
27 28 29
4 10 21
28 29 30
10 21 85
29 30 31
21 35 52
*
Elevación del Polo
D«cUO S9° s r 38* nación 40 a 41 ¡X Grad. T ie m p. M in . T ie m p. M in . T iem p . M i n. T ie mp . M i n . T ie m p. M in . Tiemp. M iti.
1
0 1 2
45 31 16
0 1 2
47 34 21
0 1 2
49 37 28
0 1 2
50 41 31
0 1 2
52 44 37
0 1 2
54 48 42
3 3 4
1
47 33
3 3 4
8 55 43
3 4 4
15 4 53
3 4 5
22 13 4
3 4 5
29 22 15
3 4 5
37 31 26
19 5 51
5 6 7
30 18 6
5 6 7
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5 6 7
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6 7 7
8
0
5 6 6
1
55
6 7 8
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10 11 12
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7 9
55 44 34
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8 9 10
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10 11 12
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10 11 12
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11 12 13
10 5 0
11 12 13
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0 58 58
16 17 18
12 13 14
29 19 10
12 13 14
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26 20 15
13 14 15
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26 25 24
14 15 17
58 59 1
19 20 21
15 15 16
2 55 49
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16 17 18
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16 17 18
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19 20 21
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2 10 19
23 25 26
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24 26 27
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23 24 25
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28 29 31
36 57 19
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26 28 29
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28 29 30
0 13 29
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30 31 33
17 31 1
31 32 34
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30 31 33
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33 34 36
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34 35 37
27 59 34
35 37 39
54 30 10
37 39 40
24 6 51
2 8
« S
0 7 8
8
Elevación del Polo
D td i. nación v r U • V 4 tr Tiemp. M in . Tiemp. M in. T ie m p. M in . T ie mp . M i n. Tiemp. M in . T ie m p . M i n . Gítd.
1 2 3
0 1 2
56 52 48
0 1 2
58 56 54
1 2 3
0 0 0
1 2 3
2 4 7
1 2 3
4 9 23
1 2 3
7 13 20
4 6 6
3 4 5
44 41 37
3 4 5
62 51 60
4 5 '6
1 1 2
4 5 6
9 12 15
4 5 6
18 23 28
4 6 6
27 35 42
7 8 0
6 7 8
34 32 30
6 7 8
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7 8 9
3 6 7
7 8 9
18 22 28
7 8 9
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10 11 12
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9 10 11
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10 11 12
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10 U 12
31 37 43
10 12 13
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11 12 13
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14 15 16
20 30 42
14 16 17
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16 17 18
15 16 17
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16 17 18
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16 17 18
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19 20 31
18 19 20
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20 22 23
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22 23 24
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22 24 25
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25 27 28
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26 23 29
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0 32 7
31 32 34
12 48 28
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44 8 35
30 32 33
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7 40 16
33 35 36
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12 0 63
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52 67 »
34 36 36
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44 46 43
18 23 47
46 48 51
20 36 11
48 51 53
31 3 47
Elevación del Polo
D*di~ nación Grad.
£ 0 ' 61 • 45* M in , T ir m p. M in . T ie m p. M in .
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1 2 3
17 34 61
1 2 3
20 39 59
1 2 4
4 5 8
4 5 6
37 47 57
4 5 7
47 60 12
4 6 7
67 12 27
5 6 7
8 28 44
5 6 8
19 40 1
5 • 31 6 55 8 19
7 3 9
8 9 10
7 18 30
8 0 10
25 38 53
8 10 11
43 0 17
9 10 11
2 22 42
9 10 12
23 45 8
9 11 12
44 9 35
10 11 12
11 12 14
42 55 9
12 13 14
8 24 40
12 13 15
35 53 13
13 14 15
3 24 47
13 14 16
32 57 23
14 15 17
3 31 0
13 14 15
15 16 17
24 40 57
15 17 18
53 17 39
16 17 19
31 50 19
17 18 20
11 37 4
17 19 20
50 19 50
18 20 21
32 4 38
16 17 18
19 20 21
16 33 57
19 21 22
59 22 47
20 22 23
44 11 39
21 23 24
32 2 34
22 23 25
22 56 33
23 24 26
15 53 34
19 20 21
23 24 26
23 45 12
24 25 27
14 42 14
25 26 28
10 43 18
26 27 29
9 46 26
27 28 30
11 63 37
28 30 31
17 A. 54
22 23 24
27 29 31
42 14 4
28 30 32
47 23 3
29 31 33
66 37 21
31 32 34
8 54 44
32 34 36
25 17 13
33 35 37
47 45 48
25 26 27
32 34 35
26 8 53
33 35 37
46 32 23
35 37 39
10 2 0
36 38 40
39 38 42
38 40 42
14 20 33
39 42 44
59 10 32
28 29 30
37 39 41
43 37 37
39 41 43
19 21 29
41 43 45
2 12 29
42 45 47
53 12 39
44 47 50
53 21 1
47 49 52
2 44 37
31 32 33
43 45 48
44 67 19
45 48 60
44 8 44
47 SO 53
54 30 20
50 53 56
16 7 13
52 56 59
53 1 28
55 59 63
48 19 21
34 35 36
50 53 66
54 40 42
53 56 59
30 34 59
56 59 63
20 58 47
59 63 68
42 40 26
63 68 74
31 18 36
68 74 90
11 32 0
23 45 8
Elevación d e l
Dam
Polo
s r nación 65a 66 • 68a 68? ecr Crad. T ie m p . M in . T ie mp . ¡f in . Tiemp. M in. T i e m p . M i n . T ie m p. M in . T ie m p. M i n. 1 2 3
1 2 4
26 52 17
1 2 4
29 58 27
1 3 4
32 5 38
1 3 4
36 12 49
1 3 5
40 20 0
1 3 5
44 28 12
4 6 6
5 7 8
44 11 S8
5 7 8
57 27 58
6 7 9
11 44 19
6 8 9
25 3 41
6 8 10
41 22 4
6 8 10
57 43 29
7
5 0
10 11 13
6 35 4
10 12 13
29 1 35
10 12 14
54 30 7
11 13 14
20 0 41
11 13 15
47 32 17
12 14 15
17 5 55
10 11 12
14 16 17
35 7 40
15 16 18
9 45 22
15 17 19
45 25 6
16 18 19
23 8 53
17 18 20
4 53 43
17 19 21
47 41 36
18 14 15
19 20 22
15 52 30
20 21 23
1 42 24
20 22 24
50 35 22
21 23 25
41 31 23
22 24 26
36 31 29
23 25 27
34 35 39
16 17 18
24 25 27
10 53 39
25 26 28
9 57 48
26 28 30
12 5
1
27 29 31
19 18 20
28 30 32
30 35 44
29 31 34
47 59 19
19 20 21
29 31 33
27 19 15
30 41 3 2 . 39 34 41
32 34 36
1 5 14
33 35 37
20 37 54
34 37 39
58 17 42
36 39 41
37 5 40
22 23 24
35 37 39
14 19 29
36 39 41
48 0 18
38 40 43
28 49 17
40 42 45
17 47 26
42 44 47
15 57 49
44 47 50
25 20 27
25 26 27
41 44 46
45 9 41
43 46 .4 9
44 18 4
45 48 31
54 41 41
48 51 54
16 19 38
50 54 58
54 16 0
53 57 61
52 39 57
28 29 30
49 52 55
24 2U 32
52 55 58
1 16 52
54 58 62
58 36 45
58 62 67
19 31 31
62 67 73
14 18 55
67 73 90
4 46 0
31 32 33
59 63 68
6 10 .1
62 67 74
58 53 19
67 74 90
42 12 0
74 90
4 0
90
0
34 35 36
74 00
33 0
90
0
de días que corresponde a la declinación de el Sol bajo la propuesta elevación del polo, y la añadimos a un cuadrante de círculo en las declina sioncs boreales, la restamos en las australes, y doblamos el resultado, tendremos la longitud de aquel día y la duración de la noche que es el resto del círculo. Y cada uno de esos segmentos divididos por quince “tiempos” nos mostrará cuantas horas iguales contienen. Pero tomando la doceava parte tendremos la duración de una hora estacional. Estas horas toman su nombre de su día, del cual cada hora es siempre la doceava parte. Por lo que laá horas encontradas fueron llamadas por los antiguos solstidalesestivales, equinocciales y solsticialesinvemales. Pero no hubo otras horas al principio que las doce desde la luz a la oscuridad y dividían la noche en cuatro vigilias. Este uso de las horas duró largo tiempo con el tácito consentimiento de las gentes, para lo cual inventaron las clepsidras en las que por adición o substracción del agua que goteaba ajustaban las horas' a las diferentes duraciones de los días, y también para que el cielo nublado no ocultara las distinciones de los tiempos. Pero después, cuando horas iguales comunes al día y a la noche entraron en uso general, por ser más fáciles de observar, las horas estacionales vinieron en desuso, de modo que si preguntan a alguien si es la hora prima, la tercia, la sexta, la nona o la undécima del día, no sabrá que responder o lo hará con algo que no viene al caso. Ahora algunos miden dicho número de horas iguales desde el mediodía, otros desde la puesta del Sol, la media noche o la salida del Sol, según para cada ciudad estuviere establecido. C a p ít u l o
IX
DE LA ASCENSION OBLICUA DE LAS PARTES DEL ZODIACO Y DE QUE MODO PARA CUALQUIER GRADO DEL ORTO DETERMINAREMOS EL GRADO QUE ESTA EN MEDIO DEL CIELO Ahora que han sido expuestas las longitudes y diferencias de días y noel íes, sigue en su orden oportuno, la presentación de las ascensiones oblicuas, es decir junto con que “tiempos” del ecuador, la dodecatemoria, o sea las doceavas partes del zodíaco, o algunos otros arcos suyos cruzan el horizonte. Porque las diferencias entre ascensiones oblicuas y rectas, son las mismas que entre el equinoccio y un día diferente como ya indicamos. Además, los antiguos asignaron nombres de seres animados a las doce constelaciones de estrellas fijas, y a partir del equinoccio de prima-
vera las denominaron: Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, y las restantes en orden. Repetimos para mayor evidencia, el circulo meridiano ABCD, el semicírculo ecuatorial AEC y el horizonte BED que se cortan entre sí en el punto E. Tom em os ahora el punto H como el equinoccio. Por este punto pasa la eclíptica FH I y corta el horizonte en L, y por esta intersección tracemos KLM, cuadrante de círculo máximo que baja desde K, el polo del ecuador. Así no hay duda que el arco HL del zodíaco y el HE del ecuador cruzan juntos el horizonte, pero en la esfera recta aquel arco se levanta ju nto con el arco H EM . El arco EM es la diferencia entre esas ascensiones y ya hemos demostrado que es. la m itad de la diferencia entre el equi1 noccio .y el día diferente. Sin embargo, en un a declinación boreal, lo que fue allí añadido es aquí substraído, pero en una declinación austral es adicionado a la ascensión recta que puede volverse oblicua. Y ' de aquí, la extensión en que ha emergido todo un signo o algún otro arco del zodíaco, puede ponerse de manifiesto por las ascensiones numeradas desde el principio al final. De esto sigue que cuando se dan algunos grados de la eclíptica, la salida de los cuales ha sido medida desde el equinoccio, es conocido también el grado que está en medio del cielo. Porque cuando ha sido dada la declinación de un grado que sale en L, como correspondiente a HL, la distancia desde el equinoccio, el arco HEM es la ascensión recta y todo el AHEM es el arco semidiurno. Es conocido entonces el arco restante AH, y este arco es la ascensión recta del FH, determinado por la Tabla, o porque están dados AFH, ángulo de sección y AHF junto con el lado AH y el ángulo FAH es recto. De ese modo, conocemos FHL, todo el arco de la eclíptica entre el grado del orto y el grado medio del cielo. Viceversa, si está dado primero el grado en medio del cielo, o sea el arco FH, conoceremos también el signo que está saliendo. Se sabe cual es la declinación del arco AF y por medio del ángulo de oblicuidad de la esfera, determinaremos el arco AFB y el resto FB. Ahora en el triángulo BFL, están dados el ángulo BFL por lo anterior, y el lado FB; además el ángulo FBL es recto. Por tanto, se ha encontrado el lado FHL buscado, que deduciremos abajo por otro método.
C a p ít u l o
X
SOBRE EL A NGULO DE SECCION DE LA ECLIPTICA CON EL HORIZONTE Además, como la eclíptica es oblicua al eje de la esfera, forma varios ángulos con el horizonte. Porque ya hemos dicho en el caso de la diferencia de las sombras, que dos grados opuestos del zodíaco pasan a través del eje del horizonte de aquellos que viven entre los trópicos. Pero pienso que para nuestro propósito será suficiente demostrar los ángulos que encuentran los habitantes lieteroscios. Por medio de esos ángulos, puede comprenderse la relación universal de los mismos. Según esto, creo que es bastante claro, que en la esfera oblicua, cuando sale el equinoccio o el comienzo de Aries, tanto más aumenta la mayor declinación austral medida desde el principio de Capricornio que está entonces en medio del cielo cuanto más la eclíptica se mclina y se acerca al horizonte. Y al contrario cuando la eclíptica tiene una mayor elevación, forma un ángulo oriental mayor, cuando el comienzo de Libra está emergiendo y el principio de Cáncer está en medio del cielo. Porque esos tres círculos, el ecuador, la eclíptica y el horizonte coinciden con una sección común en los polos del círculo meridiano, cuyos arcos irfterceptados por aquellos muestran que valor debe tener el ángulo oriental. Pero para poner de manifiesto como realizar las medidas de otras partes del zodíaco, sean de nuevo, ABCD el círculo meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEC el semicírculo de la eclíptica y E el pun 'to'donde sale un grado de la eclíptica Nuestro problema es encontrar el valor del ángulo AEB si cuatro rectos tienen 360 grados. Ya que E es el grado del orto, están dados, por lo anterior, el grado .que está en medio del cielo y el arco AE. Y como el ángulo ABE es recto, la razón de las cuerdas del doble de AE y del doble de AB es igual a la del diámetro de la esfera y la subtensa del doble de AEB, por tanto, este ángulo será también conocido. Pero si el grado dado no es de orto sino el grado en medio del cielo, o sea A, puede determinarse el ángulo AEB a partir del ángulo oriental o ángulo de orto. Porque con el polo en E describamos FGH cuadrante de
Elevación del Polo =3 48° s r 59° s r v r i r iS N Atotntion Atcention Atcensvm Ascensión A iccnñon Ascmrüm Vir,.:f;J,í¡ Tirmpjrfir.^ TUmpíMia. ir: Sign. TirmpMin. I
i
T 6 3 12 7 18 10 34 14 30 18
34 10 50 32 26
3 6 10 13 17
20 44 10 39 21
3 6 9 12 16
6 15 27 43 11
2 5 8 11 14
50 44 39 40 51
2 5 7 10 13
32 8 47 28 26
2 4 6 9 11
12 27 44 7 40
1 3 5 7 9
49 40 34 32 40
v 6 22 12 28 u 31 M 35 30 40
30 39 0 38 30
21 25 29 33 38
12 10 20 47 30
19 23 27 31 36
46 32 29 43 15
18 21 25 29 33
14 42 24 25 41
16 19 23 26 30
25 38 2 47 49
14 17 20 23 27
22 13 17 42 26
11 14 17 20 23
57 23 2 2 23
X 6 12 18 24 90
45 51 56 63 69
39 8 56 0 25
43 48 54 60 66
31 ’ 41 52 46 35 51 36 57 59 64
7 20 56 54 16
38 43 48 54 61
23 27 56 49 10
35 40 45 51 57
15 8 28 15 34
31 36 41 47 53
34 13 22 1 28
27 31 36 41 48
7 26 20 49 3
@ 6 12 18 24 30
76 83 90 97 104
6 73 2 80 10 87 27 95 54 102
42 41 54 19 54
71 78 85 92 100
0 2 22 55 39
67 75 82 90 98
55 2 29 11 5
64 71 79 87 95
21 34 10 3 .13
60 67 75 83 91
7 28 16 22 50
54 55 62 ‘ 26 70 28 78 55 87 46
0 6 12 18 24 30
112 119 127 135 145
24 56 29 4 38
110 118 126 133 141
33 108 16 116 0 124 46 132 33 140
30 25 23 21 23
106 114 122 130 139
11 20 32 48 3
103 111 120 128 137
33 58 28 59 38
100 109 118 126 135
28 96 13 105 3 115 56 124 52 133
48 58 13 31 52
H7 fl 12 18 24 30l
150 157 165 172 180
11 41 7 34 0
149 157 164 172 180
19 1 40 21 0
23 147 19 155 12 163 6 171 0 180
20 29 41 51 0
146 154 163 171 180
8 38 5 33 0
144 153 162 171 180
47 36 24 12 0
13 24 47 49 0
148 156 164 172 180
143 153 162 170 180
Elevación del Polo M S3° 4JT 4T Bí • 57* 5? V o N Ascensión Ascensión Ascensión Ascensión Ascensión Ascensión Atctm ion Tiemp. Min Tiemp.Min. Tiemp.Min TUmpMin. Tiemp.Min. SIgn. Tiemp.Min. 6 12 18 24 30
187 194 202 209 217
26 187 53 195 21 203 49 210 22 218
39 19 0 41 27
187 195 203 211 219
54 48 41 37 37
188 196 204 212 220
9 19 30 40 67
188 196 205 213 222
27 55 24 52 22
188 197 206 215 224
48 36 25 13 8
189 198 207 216 226
11 23 36 48 8
m 6 12 18 24 30
224 232 240 247 255
56 56 31 36 36
226 234 241 249 257
14 0 44 27 6
227 235 243 251 259
38 37 35 30 21
229 237 245 253 261
12 28 40 49 52
231 239 248 256 264
1 32 2 27 47
233 241 250 259 268
4 57 47 32 10
235 244 254 263 272
29 47 2 12 14
*
6 12 18 24 30
262 269 276 283 290
8 50 58 54 75
264 272 279 286 293
41 6 19 18 1
267 274 281 289 295
5 38 58 0 45
269 277 248 292 298
49 31 58 5 50
272 280 288 295 302
57 50 26 39 26
276 284 292 299 306
38 45 32 53 42
281 289 297 305 311
5 32 34 5 58
•C 6 12 18 24 30
297 303 308 314 319
0 4 63 21 30
299 305 311 316 321
24 25 8 29 30
302 305 313 318 323
6 4 40 63 45
305 311 316 321 326
11 4 33 37 19
308 314 319 324 329
45 32 52 45 XI
312 318 323 328 332
59 38 17 26 34
318 323 328 332 338
11 40 31 53 38
■ 6 12 18 24 30
324 330 333 337 341
21 0 21 30 34
326 330 334 338 342
13 40 50 48 39
328 332 336 340 343
16 31 27 3 49
330 334 338 341 345
35 36 18 46 9
333 336 340 343 346
13 68 22 35 34
336 339 342 345 948
18 43 47 38 20
339 342 345 348 350
58 58 37 3 20
X 6 12 IS 24 30
345 349 352 356 360
29 11 50 26 0
346 349 353 356 360
21 51 16 40 0
347 350 353 356 360
17 33 45 23 0
348 351 354 367 360
20 21 16 10 0
349 352 354 357 360
32 14 62 53 0
350 353 355 357 360
63 16 33 48 0
352 354 356 358 360
28 26 20 11 0
ü
'T a s e * ta i i o s ^— --- - — a 0 9
Pr. O 6
32 18 24
50 6 12 16 3
« 12 18 24 50 6 72
13 5T4 30
6 12 28
24 SO
6 12
18 24 30
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T a b l a d e l a s A s c e n s io n e s d e i o s S i o n o s e n l a R e v o l u c i ó n d e l a E s f e k a R e c t a
Zodiaco Ajcensionts Un grado Signo: Grad. Ti-mf\Mi;i. TUrup. Aíin
Zodiaco Ascensiones lln grado Signos Grad. Tiemp.Min Tump . Min.
Arica T
6 12 18 24 30
5 11 16 22 27
30 0 34 10 54
0 0 0 0 • 0
55 55 56 56 57
Libra
6 185 12 191 18 196 24 202 30 207
80 0 34 10 54
0 0 0 0 0
55 55 56 56 57
Taurua 'ti
6 12 18 24 30
33 39 45 51 57
43 35 32 37 48
0 0 1 1 1
58 59 0 1 2
Scoipio m
6 12 18 24 30
213 219 225 231 237
43 35 32 37 48
0 0 1 1 1
58 59 0 1 2
Gtmini X
6 12 18 24 30
64 70 76 83 90
6 29 57 27 0
1 1 1 1 1
3 4 5 5 5
Sagittariu* *
6 12 18 24 30
244 250 256 263 270
6 29 57 27 a
1 1 1 1 1
3 4 5 5 5
Cancel 0
6 12 18 24 30
96 103 109 115 122
33 3 31 54 12
1 1 1 1 1
5 5 5 4 3
Capricorras 6 276 12 283 *C 18 289 24 295 30 302
33 3 31 54 12
1 1 1 1 1
6 5 5 4 3
Leo
6 12 18 24
128 134 140 146 152
23 28 25 17 6
1 1 1
2 1 0 59 58
Aquariua
157 163 169 174 180
50
0
28
0
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0
0
30
0
0
0
57 66 56 55 55
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Virgo HP
6 12 18 24 30
0 0
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6 12 18 24 30
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1 1 1 0 0
2 1 0 59 58
6 12 18 24 30
337 343 349 354 360
50 26 0 30 0
0 0 0 0 0
57 56 56 55 56
círculo máximo, y completemos los cuadrantes EAG y EBH. Por tanto, estando dada la altitud AB del meridiano, AF será el resto de su cuadrante. Y conocido por lo anterior el ángulo FAG y siendo el ángulo FGA recto, se obtendrá el arco FG y el resto de su cuadrante GH, que miden el ángulo de orto buscado. De modo similar, es también evidente que para el grado que está en medio del ciclo, está dado el grado que está saliendo, porque la razón de las cuerdas del doble de GH y del doble de AB es igual a la del diámetro de la esfera y la cuerda del doble de AE como en los triángulos esféricos. También de estas cosas adjuntamos tres ejemplos de Tablas. La primera será la Tabla de ascensiones rectas en la esfera recta, comenzando con Aries con incrementos de 6 grados del zodíaco. La segunda incluirá las ascensiones en la esfera oblicua, por pasos también de 6 grados, desde el paralelo de elevación polar de 39 grados al paralelo de 57 grados, con incrementos de la elevación de 3 grados. La Tabla restante contiene los ángulos formados con el horizonte y procede en el zodíaco con incrementos de 6 grados y los mismos siete segmentos. Esas Tablas han sido confeccionadas de acuerdo con la menor oblicuidad de la eclíptica o sea 23 grados 28 minutos, aproximadamente correcta para nuestro siglo. Ca
p ít u l o
XI
DEL USO DE ESTAS TABLAS El uso de estas Tablas está aclarado por las demostraciones, ya que si tomamos la ascensión recta correspondiente a un grado conocido del Sol, y si para cada hora igualmente medida desde el medio día le añadimos 15 “tiempos”, no contando los 360 de todo el círculo si excede de ese valor, la suma de las ascensiones rectas dará el grado del zodíaco en medio del cielo a la hora propuesta. Similarmente si hace lo mismo en el caso de la ascensión oblicua de su región, tendrá el grado del orto de la edíptica para la hora medida desde la salida el Sol. Además, en el caso de ciertas estrellas que están fuera de la eclíptica, pero cuya ascensión recta ha sido establecida (como arriba indicamos), los grados del zodíaco que están en medio del cielo junto con ellas, están dados según la tabla por su ascensión re cta desde el comienzo de Aries; y los grados de la eclíptica que salen con ellas están dados por su ascensión oblicua, de acuerdo como las ascensiones y partes de la eclíptica están colocadas en las regiones correspondientes de las Tablas.
Igualmente, es posible operar con el ocaso, por el lugar opuesto. Por lo cual, si a la ascensión recta en medio del cielo se le añade un cuadrante de círculo, la suma es la ascensión oblicua del grado del orto. O sea, po r el grado en medio del cielo se conoce él grado del orto y viceversa. Sigue la Tabla de los ángulos de la eclíptica con el horizonte, que se miden en el grado del orto del zodíaco. De aquí se comprende cual es la elevación del grado 90 de la eclíptica sobre el horizonte, dato que eá muy necesario saber en los eclipses solares. C a p ít u l o
X II
DE LOS ANGULOS Y DE LOS ARCOS DE CIRCULOS QUE PASAN POR LOS POLOS DEL HORIZONTE Y CORTAN EL MISMO CIRCULO DE LA ECLIPTICA Expondremos ahora la relación de ángulos y arcos formados por la intersección de la eclíptica con los círculos que pasan por el vértice del horizonte, cuando los cruzamientos tienen alguna altitud sobre éste. Pero hablamos antes de la altitud meridiana del Sol o de cualquier grado del zodíaco que está en medio del cielo, y del ángulo de sección con el meridiano ya que el círculo, meridiano es también uno de los que pasan por el polo del horizonte. Además, hemos trata do ya el ángulo del signo que sale, complementario del ángulo comprendido por un círculo máximo que pasa por el vértice del horizonte y por el orto del zodíaco. Por tanto, falta considerar las secciones medias, es decir, las del círculo meridiano con los semicírculos de la eclíptica y del horizonte. Repitamos la figura anterior. Tomemos G como un punto so bre la eclíptica entre el medio d ía y el punto de orto u ocaso. Por G, hagamos descender desde F, polo del horizonte, un cuadrante de círculo FGH. Está dada la hora AGE como el arco total de la eclíptica entre el merdiiano y el horizonte, y por hi pótesis se conoce AG. De modo análogo, como están d adas la altitud del meridiano AB y el ángulo del meridiano FAG, se determina AF. Y por lo indicado en los triángulos esféricos, está dado el arco FG, y el arco GH resto del cua-
drante, que es la altitud de G, y como el ángulo FAG es conocido, hemos encontrado lo que queríamos. Aprovechamos de Ptolomeo todo esto de ángulos e intersecciones de la eclíptica y hemos recurrido a las enseñanzas generales de los triángulos esféricos. Si alguien desea ejercitarse en este estudio, puede encontrar para sí más utilidades que las dadas en nuestros ejemplos. Ca
p ít u l o
X III
DEL OR TO Y OCASO DE LOS ASTROS El orto y ocaso de los astros parece depender de la revolución diaria, no sólo las simples salidas y puestas que acabamos de tratar, sino también las matutinas o vespertinas, porque a pesar de estar afectada su aparición por el curso de la revolución anual, será mejor hablar de ellas ahora. Los matemáticos distinguían los ortos y ocasos reales de los aparentes. La salida matutina de un astro es verdadera cuando emerge a la vez que el Sol, y el ocaso matutino es verdadero cuando la puesta del astro coincide con el orto solar, cuyo tiempo medio todos llaman matutino. La salida vespertina es verdadera cuando el Sol se pone al emerger el astro, y el ocaso vespertino es verdadero cuando se ponen a la vez el Sol y el astro; cuyo tiempo medio llaman vespertino. Sin embargo, la salida matutina d e un astro es aparente cuan do emerge primero en el amanecer y comienza a verse antes del orto solar, y el ocaso matutino es aparente cuando el astro se pone muy pronto, antes de que salga el Sol. La salida vespertina es aparente cuando se ve nacer el astro al atardecer, y el ocaso vespertino es aparente cuando el astro deja de ser visible algún tiempo después del ocaso solar, y está oculto por la proxim idad del Sol, hasta que vuelven a surgir en el orden anterior en el orto matutino. Esto es verdad para las estrellas fijas y para los planetas Saturno, Júpiter y M arte. Pero Venus y M erc urio nacen y se ponen de modo distinto. Porque no son ocultados por el acercam iento del Sol, ni se descubren de nuevo por su alejamiento, sino viniendo de frente, el brillo del Sol los confunde y hace desaparecer. Cuando los planetas superiores tienen un orto vespertino y un ocaso m atu tino no se obscurecen en algún momento dejando de iluminar por la noche, mientras los planetas inferiores permanecen escondidos sin diferencia del ocaso al orto y no pueden verse en parte alguna. Hay todavía otra difeiencia, en los planetas más elevados los ortos y ocasos matutinos verdaderos son anteriores a los aparentes, y los ortos
y ocasos vespertinos son posteriores a los aparentes, porque en la mañana preceden a la salida del Sol y en la taide siguen.a su puesta. Sin em bargo, en los planetas más bajos los ortos aparentes matutinos y vespertinos son posteriores a los verdaderos, mientras los ocasos aparentes son anteriores a los verdaderos. Ahora podemos comprobar de lo anterior, donde expusimos la ascensión oblicua de una estrella que tiene una posición conocida, como pueden distinguirse los ortos y ocasos, y ju nto con qué grado de .la eclíptica, la estrella sale y se pone, y en qué posición o grado opuesto, si el Sol se ha hecho visible en ese tiempo, la estrella tiene sus verdaderos orto y ocaso, matutino o vespertino. Las salidas y puestas aparentes difieren de las verdaderas de acuerdo con la claridad y magnitud del astro, ya que ias de luz más potente están meneo obscurecidas por los rayos solares, que las menos luminosas. Y los límites de aparición y ocultación están determinados en el hemisferio inferior, entre el horizonte y el Sol, por arcos de círculos subterráneos que pasan por los polos del horizonte. , Los limites son 12 grados para las estrellas fijas primarias, 11 grados para Saturno, 10 grados para Júpiter, 11/ 2 grados para M arte, 5 grados para V e n n y 10 grados pa ra Mercurio. Pero en todo este periodo durante el cual lo que resta de luz diurna cede a la noche que completa el crepúsculo o el amanecer, hay 18 grados de dicho círculo. Cuando el Sol ha atravesado esos grados, las estrellas más pequeñas comienzan tam bién a ser visibles. Con esta distancia, determinan los matem áticos un paralelo bajo el horizonte en el hemisferio inferior y dicen que cuando el Sol alcanza ese paralelo, termina el día y comienza la noche. Por tanto, cuando hemos determinado con qué grado del zodíaco sale o se pone el astro y cual es el ángulo de sección de la eclíptica con el horizonte en ese punto, y si también encontramos cuantos grados de la eclíptica entre el grado del orto y el Sol son suficientes para dar a éste una altitud bajo el horizonte de acuerdo con los límites prescritos del astro en cuestión, podremos anunciar si este primero va a emerger o a ocultarse. Pero lo indicado en la explicación anterior sobre la altitud del Sol sobre la 'fierra, concuerda por completo con su descenso bajo la misma. Porque no hay diferencia en las correspondientes posiciones, y en consecuencia, aquellas estrellas que se ponen en el hemisferio visi ble están saliendo en el hemisferio oculto y todo es a la inversa como es fácil de comprender. Y es suficiente lo dicho acerca del orto y ocaso de los astros y de la revolución cotidiana del globo terrestre.
C a p ít u l o
X IV
DE LA BUSQUEDA DE LOS LUGARES DE LAS ESTRELLAS Y DEL CATALOGO DE LAS ESTRELLAS FIJAS Después de haber expuesto la revolución diaria del globo terrestre y de sus consecuencias, debemos continuar con la demostración del circuito anual. Pero como algunos de los antiguos matemáticos indicaron que debe preceder el estudio de los fenómenos de las estrellas no errantes, por sor primordial en este arte, decidimos seguir esta opinión, por que entre nuestros principios e hipótesis habíamos supuesto que la esfera de las estrellas fijas, a la que se refieren los movimientos erráticos de los planetas, está completamente inmóvil. Pero nadie debería sorprenderse que sigamos este orden, aunque Ptolomeo en su Almagesto o Magna Cons trucción señala que no puede darse una explicación de las estrellas fijas, si antes no precediere el conocimiento de las posiciones del Sol y de la Luna, y por esto decidió diferir lo relativo a las estrellas fijas. Pero estamos contra esta opinión. Porque si se entiende por los números que calculan el movimiento aparente del Sol y de la Luna, quizás la opinión se mantenga, ya que así, Menelao, el geométra descubrió la posición de muchas estrellas por medio de los números de sus conjunciones con la' Lima. Pero haremos mucho mejor si determinamos una estrella con ayuda de instrumentos, después de examinar con cuidado las posiciones del Sol y de la Luna, como ahora enseñaremos. Y nos aconseja esto también la nulidad de los intentos de los que pensaban, que la magnitud del año solar podía definirse sólo con ayuda de los equinoccios y solsticios, sin las estrellas fijas. Nos advirtió sobre esto Ptolomeo, que había evaluado el año solar en su época, no sin sospecha de error, que con el tiempo pudiera presentarse, y aconsejó a la posteridad, se examinase la certeza ulterior de este asunto. Por lo tanto, nos parece valioso ese esfuerzo, como en este libro presentaremos, para mostrar „como, con instrumentos artificiales, pueden establecerse las posiciones del Sol y de la Luna, esto es, a que distancia están del equinoccio de primavera o de algún otro punto cardinal del mundo. El conocimiento de esas posiciones nos dará facilidades para investigar los otros astros, y así podrem os poner ante sus ojos la esfera de las estrellas fijas, entretejidas de constelaciones.
Ya hemos expuesto antes con que instrumentos puede determinarse la distancia de los trópicos, la oblicuidad del zodíaco y la inclinación de la esfera, o la altitud del polo del ecuador. Del mismo modo podemos establecer cualquier otra altitud del Sol al mediodía. Esta altitud, por medio de su diferencia con la inclinación de la esfera, nos indicará cuál es la declinación del Sol respecto del ecuador. Por medio de esta declinación, la posición del Sol a mediodía quedará clara al ser medida en el equinoccio o en el solsticio. Vemos que el Sol parece recorrer aproximadamente 1 grado en el transcurso de 24 horas, o sea, 2 / i minutos por hora. De donde, podemos determ inar su lugar con facilidad en cualquier otra hora indicada. Pero para observar las posiciones de la Luna y de las estrellas se construyó otro instrumento, que Ptolomeo llamó astrolabio. Se fabrica con dos círculos, o mejor con aros de un cuarto de círculo, con sus superficies cóncavas y convexas perpendiculares a los lados planos. Esos aros serán iguales y similares en todo y de tamaño adecuado, para que no sean de manejo difícil por sus grandes dimensiones, pero, por otro lado, necesitan tener suficiente amplitud para dividirse en grados y minutos. Anchura y grosor deben ser, al menos, la trigésima parte de su diámetro. Luego deben ajustarse juntos formando ángulos rectos entre sí, de modo que coincidan sus lados cóncavos y convexos, como en la redondez de un globo. Uno de los círculos tendría lo posición relativa del zodíaco, y el otro, la del círculo que pasa por los polos del ecuador y de la eclíptica. Por tanto, el círculo del zodíaco se dividirá en el número convenido de 360 grados, que se subdivirán según la capacidad del instrumento. Además, cuando los cuadrantes del otro círculo han sido medidos desde la eclíptica, los polos de ésta se marcarán sobre él; y cuando una distancia correspondiente á la oblicuidad del zodíaco ha sido señalada desde esos puntos, se anotarán también los polos del ecuador. Cuando estos círculos estén listos, se prepararán otros dos círculos y se montarán por los mismos polos de la eclíptica, y se moverán sobre esos polos, un círculo exterior y otro interior. Deben tener el mismo grueso entre sus superficies planas y la anchura de ésta será igual a la de los otros círculos; estarán construidos de modo que la superficie cóncava del mayor coincida en todos los puntos con la superficie convexa del zodíaco, y la superficie convexa del menor con la superficie cóncava del zodíaco. Sin embargo, no deben impedir el giro, de modo que la eclíptica con su meridiano y entre sí puedan pasar libre y fácilmente. Perforaremos orificios en esos círculos según el diámetro en los polos del zodiaco y en esos orificios fijaremos ejes para unir los círculos y moverlos.
El círculo interior será dividido en 360 grados, de ta l mane ra que loe cuadrantes desde los polos tengan 90 grados. Además, en su concavidad se colocará un quinto círculo, que pueda girar en el mismo plano, y con un aparato fijado a sus superficies planas, que tiene orificios en un diámetro y reflectores u oculares, por donde la luz del astro, como en una dioptra, pueda irrumpir y salir a lo largo de dicho diámetro. Y ciertos dispositivos o índices para números se montan en este quinto círculo en puntos opuestos para poder observar las latitudes del circulo continente. Finalmente, se añade un sexto círculo que rodea y sostiene todo el astrolabio, suspendido por medio de uniones firmes en los polos del ecuador y fijado sobre una columna o soporte, donde se apoya per pendicular al plano del horizonte. Además esos polos serán ajustados a la inclinación de la esfera, de forma que el ángulo exterior tendrá una posición similar al meridiano y cuidaremos que no se mueva lo más mínimo. Después de haber preparado así este instrumento, cuando deseemos hallar la posición de alguna estrella, por la tarde o al aproximarse la puesta de Sol, y al mismo tiempo que la Luna es también visible, ajustaremos el círculo exterior al grado de la eclíptica, donde hemos determinado por los métodos anteriores, que el Sol está en ese tiempo. Daremos la vuelta después a la intersección del zodíaco con el círculo exterior hada el mismo Sol, hasta que ambos círculos que pasan por sus polos, se cubran a la vez a sí mismos con sombras. Entonces giraremos el círculo interno hacia la Luna, y con el ojo colocado en su plano, marcaremos su posición sobre la parte zodiacal del instrumento, donde vemos la Luna como opuesta, o donde está bisecada por el mismo plano. Esa será la posición de la Luna vista en longitud. Porque sin la Luna no hay manera de descubrir los lugares de las estrellas, que sólo ella, entre todas, participa del día y de la noche. Luego, llegada la noche, cuando es visible la estrella cuya posición buscamos, adaptaremos el círculo exterior al lugar ocupado por la Luna, en relación con la cual establecemos la posición del astrolabio, como hicimos en el caso del Sol. Entonces, también volveremos el círculo interior hacia la estrella, hasta que ésta parezca estar en contacto con las superficies planas del círculo y sea vista a través de los oculares, que están en el círculo contenido. De este modo habremos determinado la longitud y la latitud de la estrella. Cuando esto se hace, el grado del zodíaco en medio del ciclo se encuentra ante nuestros ojos, y estará clara la hora en que se realizó la operación. Por ejemplo, en el año segundo del emp erador Antonio Pío. Ptolomeo, el noveno día de Farmutí octavo mes de los egipcios, en Alejandría,
queriendo observar cerca del ocaso del Sol, el lugar de la estrella Basilisco o Régulo, en el pecho de Leo, dirigió su astrolabio hacia el Sol que ya se ponía a 5 horas ecuatoriales después del mediodía. En este tiempo, el Sol se encontraba a 3 1/2 4 grados de Piscis, y al mover el círculo interior comprobo que la Lu na estaba a 92 yí grados al éste del Sol por lo cual se vio que la Luna se situaba entonces a 5 1/6 grados de Géminis. Des pués de media hora, cuando se cum plían 6 horas desde el mediodía y la estrella comenzaba a aparecer y \ grados de Géminis estaban en medio del cielo, giró el círculo exterior del instrumento al sitio ya determinado de la Luna. Continuando con el círculo interior, tomó la distancia a la estrella desde la Luna como 57 1/10 grados al este. Según se dijo, la Luna había sido encontrada a 92j^ grados del Sol poniente, lo que la colocaba a 5 1/6 de Géminis; pero era correcto para la Luna avanzar ]A grado en el espacio durante media hora, puesto que la porción horaria de su movimiento.es más o m e n o s de Z¡ g Ta d o ; pero t e n i e n d o en c u e n t a la paralaje substractiva de la Luna debe haber sido ligeramente menor de Y * de grado, lo que es decir, alrededor de 1/6 de grado, por tanto, la Luna se encontraba a 5 1/3 grados de Géminis. Pero cuando hemos discutido las paralajes de la Luna, la diferencia no parece haber sido tan grande, de donde será bastante evidente que la posición observada de la Luna era mayor de 5 1/3 grados, pero algo menor de 5 2/5 grados. La adición a esto de 57 1/10 grados localiza la estrella a 2 grados 30 minutos de Leo, a una distancia de unos 32 / i grados del solsticio vernal del Sol y con una l a t i t u d norte de 1/6 de grado. Esta era la posición de Basilisco y, en consecuencia, el camino estaba abierto para otras estrellas no errantes. Esta observación de Ptolomeo fue realizada el 24 de febrero del año 139 de Nuestro Señor según el calendario romano, primer año de la 229 Olimpiada. Así, aquel eminentísimo matemático anotó la posición, que cada una de las estrellas tenía en ese tiempo en relación con el equinoccio de primavera, y catalogó las constelaciones de animales celestes. De ese modo, nos ayudó no poco en nuestro estudio, relevándonos de un trabajo bastante arduo, para que quienes pensamos que los lugares de las estrellas no deberían referirse a los equinoccios variables con el tiempo, sino estos relacionarlos con la esfera de las estrellas fijas, y podamos con facilidad deducir la descripción de los astros de algún otro inmutable principio. Decidimos comenzar esa enumeración con Aries como primer signo y la prim era de sus estrellas que está en su cabeza, de manera que tendremos una configuración absoluta y siempre la misma para aquellas estrellas que lucen juntas como fija» y unidas perpetuamente, una vez que ocupa-
ron su sede. Y son admirables el cuidado y diligencia de los antiguos que clasificaron las estrellas en cuarenta y ocho constelaciones, excepto aquellas que el círculo de las estrellas siempre ocultas separaba, y así estas estrellas fuera de constelaciones permanecieron ignoradas para ellos. De acuerdo con la exposición de Teón el Joven en su Arataea, las estrellas se ordenaban en forma de imágenes sólo por su gran multitud, que puede dividirse en partes, designadas separadamente por ciertas denominaciones de acuerdo con una costumbre bastante antigua, puesto que ya en Hcsíodo y Homero leemos Pléyades, Híadas, Arturo y Orión. Y en la descripción de las estrellas de acuerdo con su longitud no dejamos doceavas partes o dodccatemorias, medidas de los equinoccios a los solsticios, sino el simple y acostumbrado número de grados. En lo demás, seguiremos a Ptolomeo con poras excepciones de lo que se ha viciado, o que es de otro modo según comprobamos. Y en el siguiente libro enseñaremos como encontrar sus distancias desde aquellos puntos cardinales (los equinoccios).
CATALOGO DE LOS SIGNOS Y ESTRELLAS Y PRIMERAMENTE DE I>AS QUE ESTAN EN LA REGION SEPTENTRIONAL Longitud Grados M in .
Forma de las Estrellas
Latitu d Grados M in.
Magn itud
D Z LA OSA MENOR O CINOSURA
En el extremo de la cau da 53 La que sigue en la cauda 55 En la salida de la cauda 69 La más austral en el lado precedente del 83 cuadrángulo La más boreal en el 87 mismo lado La más austral en el 100 lado siguiente La más boreal en el mismo lado 109
30 50 20 0 0 30 30
c/3 w lJ < £ O
66 70 74
0 0 0
3 4 4
75
20
4
£
77
40
4
H r\ h. M w
72
40
2
74
50
2
7 estrellas, de las cuales son de segunda magnitud 2, de tercera 1, de cuarta 4 La más austral no constelada ccrca de Cinosura, en linea recta con 103 el lado siguiente
20
DK LA OSA MAYOR,
L a que está en el rostro La precedente en los dos ojos L a que sigue a ésta La precedente de las dos en la frente L a que sigue en la frente La precedente en la ore ja derecha La que antecede de las dos en el cuello La que sigue La más boreal de las dos en el pecho La más austral En la rodilla siniestra anterior La más boreal de las dos en el pie siniestro delantero
71 QUE
10
4
LLAMAN JI& U CB
78
40
39
50
4
79 79
10 40
43 43
0 0
5 5
79 81
30 0
47 47
10 0
5 5
81
30
50
30
5
85 92
50 50
43 44
50 20
4 4
94 93
20 20
44 42
0 0
4 4
89
0
35
0
3
89
50
29
0
3
C/3
O k—J
t í E t í
Form a de ¡as Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
DE L A OSA MAYOR QUE LLAMAN HÉLICE
La más austral En la rodilla diestra delantera La que está bajo la misma rodilla En el hombro En el flanco En la salida de la. cauda En la pierna posterior izquierda La precedente de las dos en el pie izquierdo posterior La que sigue En la cavidad izquierda La más boreal de las dos en el pie diestro posterior L a más austral La primera de las tres, en la cauda, después de la salida L a de en medio L a última en el extremo de la cauda
88
40
28
30
3
89
0
36
0
4
33 49 44 51
30 0 30 0
4 2 2 3
46
30
2
29 28 35
38 15 15
3 3 4
25 25
50 0
3 3
53 55
30 40
2 2
54
0
2
< 101 104 105 116
10 0 30 30
117
20
106 107 115
0 30 0
£ O i*
H £ w
123 123
10 40 p*
125 131
30 20 C/3
143
10
27 estrellas, de las cuales son d r segunda magnitud 6, de tercera 8, de cu arta 8 de quinta 5. LAS QUE ESTÁN CERCA DE HÉLICE, FUERA nE CONSTELACIONES
AI sur de lacauda 141 La que antecede mis obscura 133 Entre los pie» delanteros de Osa y la cabeza de Leo 98 La que estámás boreal 96
10 30
20
H
O* til c/>
39
45
3
41
20
5
17
15
4
Forma d i las Estrellas
Latitud Grados Min.
L o n g itu d Grados M in.
Magnitud
LAS Q UE «ESTÁN CERCA DE HÉ LIC E, EUERA DE CON STELACIONES
La última de las tres obscuras 99 La que antecede a ésta 95 La que antecede aún más 94 La que entre los pies de* lanteros y Géminis 100
30 30 30 20
H a* a i s>
20
0
22 23
45 15
obscura obscura obscura
22
15
obscura
No consteladas 8, cuyas magnitudes son: de tercera 1, de cuarta 2, de quinta 1, obscuras 4. DEL DRAGÓN
La que está en la lengua En la boca Arriba del ojo En la mejilla Sobre la cabeza La más boreal en la primera inflexión» del cuello La más austral Entre ella* La que sigue a éstas al oriente en la segunda cvrya La más austral del Jado precedente del cuadrilátero Al norte del mismo lado Al norte en el lado siguiente AI sur de! mismo lado Austral en el triángulo de la tercera curva La precedente de las restantes del triángulo La que sigue La antecedente de las tres en el triángulo La más austral de las restantes del mismo triángulo
200
215 216 229 233 258 295 262
0 10
30 40 30 40 50 10
<
55
76 78 75 75 75
30 30 40 20
30
4 4 3 4 3
82 78 80
20 20
4 4 4
81
10
4
81 83
40 0
4 4
W
78 77
50 50
4 4
h
80
30
4
40 15
5 5
O
15
►—< 282
50
ry.
331 343
20
Ld r*
50
£
346
0 10
4
0
15 19
0
30
w
81 80
66
20
C/3
83
30
4
43
40
83
30
4
1
Ph
mayor
F o r m a d e la s E s tr el la s
L o n g itu d Orador M in.
L a titu d G r ad o s M i n .
M ag nitud
DEL DRAGÓN
La más boreal de las dos superiores La que sigue de las des pequeñas al este del triángulo La que antecede La más austral de las tres que siguen en linea recta La de enmedio de las tres La más boreal de ellas La más boreal de las dos que siguen hacia el, oeste L a más austral Más al oeste en la vuelta de la cauda La precedente de dos más distantes L a que sigue de esa La siguiente en la cauda En el extremo de la cauda
35
10
84
50
4
200
0 0
87
30 50
6 6
15
5 5 3
195
86
ti 152 152 151
30 50 0
iO 3
81 83 84
8
78 74
40
3 4
en
70
0
3
40 30 15 • 15
4 3 3
H Z
153 156
30
156
0
120 124 192
40 30 30
64 65 61
186
30
56
20
£ w
0
50 0
3
31 estrellas, de las cuales son: de tercera magnitud 8, de cuarta 16, de quinta 5, de sexta 2. DF. CF.FF.O
En el pie derecho En el pie Izquierdo En el lado derecho bajo el dngulo La que toca arriba del hombro derecho La que toca en la articulación derecha de la cadera La que sigue y toca la misma cadera La que está en el pecho
28 26
40
0
40
340
0
75 64
40 15
4 4
71
10
4
69
0
3
H
72
0
4
ti
74 65
0
4 5
20
< z r \ Pü H 2
332
40
ti
CLh
333 352
20 0
C f j
30
Forma de las Estrellas
Longitud Grados Min.
Latitud Grados Min.
Magnitud
i> t c b f x o
En el brazo izquierdo 1 La más austral de las 339 tres en la liara La que está en medio de ellas 340 La más boreal de las tres 342
0
40 40
H fr. w m
20
62
30
4
60
15
5
61
15
4
61
30
5
11 estrellas, de las cuales son: de tercera magnitud 1, de cuarta 7, de quinta 3. De dos no consteladas la que precede a la tiara 337 La que la sigue 344
0
40
r* q* W
CO
64 59
0 30
5 4
DEI. BOYERO O AKTOFILAX
La que precede de Jas tres en la mano izquierda La que está en medio más austral de las tres La que sigue de las tres E n la articulación izquier da de la cadera En el hombro izquierdo En la cabeza En el hombro derecho La mis austral de las dos en el gancho La más al norte, en el extremo del gancho La más boreal de las dos bajo el hombro en el venablo La más austral En el extremo de la mano derecha La que precede de las dos en la palm a
145
40
58
40
5
147 149
30 0
58 60
20 10
5 5
40
^ 53504 may Q
^ 143 163 170 179
0 0 0 0
54 49 53 48
50 40
5 3 4 4
179
0
53
15
4
^
57
30
4
uq
10
0
£d
^ 178
20 FH £3
181 181
0 50
46 45
30
4 5
181
35
41
20
5
180
0
41
40
5
c/D
46104mayor
Forma de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d G r a d os M i n .
Magnitud
DEL BOYERO O ARTOFÍLAX
La que sigue de ésta En el exfremo del mango del gancho E n la pieria. derecha La que sigue de dos, en el cíngulo La que antecede En el talón derecho La mis boreal de tres en la pierna izquierda En medio de las tres La más austral
180
20
181 173
0 20
169 168 178
0 20
164 163 164
40 :»o 50
40
42
30
5
40 40
20
5 3
41 42 28
40
28 26 25
0
>J M ow ►—4 t™1 id H fx. U3 c/3
15 10 0
30 0
4 4 3
mayor
3 4 4
22 estrellas, de las cuales son: de tercera magnitud 4, de cuarta 9, de quinta 9. No constelada entre las piernas, que llaman Arturo 170 i>r. 1.a que brilla en la corona 188
La que precede a todas La que sigue en el norte La que sigue m is al norte La que sigue y brilla hacia el sur La que sigue más de cerca La que sigue después mis Tejos La que sigue a todas en la corona
20
31
30
1
44 46 48 50
30
2
10 0
4 5
30
6
44
45
4
I.A CORONA BOREAL
185 185 193
0 0 10 0
191
30
190
30
§
44
50
4
194
40
46
10
4
195
0
£ w
49
20
4
J < § w M £ r*
mayor mayor
8 enrollas, de las cuales son: de segunda magnitud 1, de cuarta 5, de quinta 1, de sexta 1. DP. PNCONASt O DPI. HOMBRE ARRODILLADO
En !a cabera
221
0
37
30
3
L o n g itu d G r a d os M i n .
L a titu d Grados M in.
DE EKCOKftSI O DEL HOMBRE. ARRODILLADO
207 En Ja axila derecha, 205 En el brazo derecho 201 En el flanco derecho En el hombro izquierdo 220 E n el brazo izquierdo 225 231 En d flanco izquierdo La más al este de las tres en la palma izquierda 238 La más boreal de las otras dns 235 La más austral 234 En el lado derecho 207 E n el lado izquierdo 213 ,.n la parte baja de la nalga izquierda 213 Al comienzo de la pierna 214 La que precede de las tres en la pierna iz217 quierda La que sigue a ésta 218 La tercera siguiente 219 En la rodilla izquierda 237 En la parte superior de 225 la nalga izquierda I j í precedente de las tres J88 del pie izquierdo En medio de ellas 220 La siguiente de las tres 223 Ln el comienzo de la pierna derecha 207 En la misma pierna, más al norte . 198 En la rodilla derecha 189 Ia más austral de las dos bajo la misma rodilla 186 La más al norte 183 En la tibia derecha 184
0 0 20 0 20 0
43 40 37 48 49 42
0 10 10 0 30 0
52
50
mayor
54 53 56 53
0 0 10 30
mayor
56 58
10 30
£
59 60 61 61
50 20 15 0
30
t í
69
20
4
40 10 0
r ’
70 71 72
15 15 0
6 6 6
60
15
4
mayor
63 65
0 30
4 4
mayor
63 64 60
40 15 0
4 4 4
50 0 30 10 30 20 30 20 40 40 10
0 50 0 40 30 30
<73 tí
<
£ O
ptf H
C l .
w C/5
mayor
Forma de las Estrtlku
Longitud Grados Min .
Latitu d Grados Min.
M a g n itu d
DE ENQONAS1 O ORI. HOMBRE ARRODILLADO
En el extremo del pie derecho, la misma del extremo del gancho de! Boyero 178 No constelada más n u tra! del brazo derecho 206
20 0
t í c/2
57
30
38
10
Fuera de esta última, 28 estrellas de la* cuales ion: de tercera magnitud 6, de cuarta 17, de quinta 2, de sexta 3. r>E
La brillante, que se llama L ira o Fidlcula 250 La más boreal de las dos adyacentes 253 La más austral 253 En medio del nacimiento de los cuernos 262 La más boreal de las dos que siguen hacia el 265 oriente 265 La más austral La más boreal de las dos que preceden en la 254 ju ntu ra 254 La más austral La más boreal de las dos que siguen en el mismo yugo 257 L a más austral 258
l ir a
:o
62
0
1
40
62 61
40 0
* 4
60
0
4
61 60
20 20
4 4
56 55
10 0
3 4
menor
55 54
20 45 '
3 4
menor
0 20 0 2° i°
a ^ £ O £ H EÜ £ s co
30 20
mayor mayor
10 estrellas, de las cuales son: de primera magnitud 1, de tercera 2, de cuarta 7. DEL CISNE O AVE
E n la boca En la cabeza En medio del cuello En el pecho La brillante en la cola
•267 272 279 291 302
50 20 20 50 30
Ci
t í
/ i
49 50 54 56 60
20 30 30 20 0
3 5 4 3 2
mayor
F o r m a d t la s E s tr ella s
L o n g itu d G r a do s M i n . o x t
En el codo del ala dere cha La más austral de las tres en la parte plana del ala derecha' L a que está en medio La última de las tres en el extremo del ala En el codo del ala izquierda En medio de la misma ala En el extremo de la misma En el pie izquierdo E n la rodilla izquierda La que precede de las dos en el pie derecho U na que sigue Nebulosa en la rodilla derecha
c is n e
L a titu d G r ad o s M i n .
M a g n i tu d
o AVE
282
40
64
40
3
285 284
50 30
69 71
40 30
4 4
mayor
74
0
4
mayor
49
30
3
52 74 55 57
10 0 10 0
4 3 4 4
<
310
0 O
M P4 H Z W r ■
294
10
298 300 303 307
10 •0 20 50
294 296
30 0
64 64
0 30
4 4
303
30
63
45
5
P1 Ph
«
co
mayor mayor
17 estrellas, de las cuales son: de secunda magnitud 1, de tercera 5, de cuarta 9,
de quinta 2.
Y DK DOS CKKCA DEL CISNE, t V ERA DE CONSTELACIONES
La más austral de dos baja el ala izquierda 306 La más boreal 307
0 10
49 51
40 40
4 4
45 46 47
20 45 50
4 3 4
49 45 47 48 44
0 30 45 20 20
3 3 4 4 4
DE CASIOTEA
En la cabeza En el pecho En el cingulo Sobre el asiento hacia las caderas En las rodillas En la pierna En el extremo del pie En el brazo izquierdo
1 4 6
10 10
10 13 20 355 8
o
20 40 20 0 0
nJ £a 00
mayor mayor
L o n g itu d G r a d os M i n .
L a titu d G r a d os M i n .
DE CASIOPEA
En En En En En
el codo izquierdo el codo derecho el pie del atiento medio de la subida el extremo
7 357 8 1 27
40 40 20 10 10
t í C/3
45 50 52 51 51
0 0 40 40 40
5 6 4 3 6
meñor
13 estrellas, de las cuales son: do tercera magnitud 4, de cuarta 6, de sexta 2. DE PERSEO Nebulosa en el extremo de la mano derecha En el codo derecho En el hombro derecho En el hombro izquierdo En la cabeza o nébula En las espaldas L a que brilla en el lado derecho La que precede de tres en el mismo lado La que está en medio La restante de las tres En el codo izquierdo La que brilla en la mano izquierda y en la cabeza de Medusa' La que sigue en la mis* ma cabeza La que precede en la misma cabeza La que precede a ésta En la rodilla derecha La que precede a ésta en la rodilla La quq precede a dos en el vientre La que sigue En la cadera derecha
21 24 26 20 24 24 28 28 30 31 24
0 30 0 50 0 50 10 40 20 0 0
<
Sz ¡ O >—< .
40 37 34 32 34 31
30 30 30 20 30 10
nebulón 4 4 4 4 4
30
0
2
27 27 27 27
30 40 30 0
4 4 3 4
23
0
2
21
0
4
21 22 28
0 15 15
4 4 4
r .
H 23
0
22
30
21 20 38
0 10 10
37
10
t í
28
10
4
35 37 37
40 20 30
CO
25 26 24
10 15 30
4 4 5
£
t í r , H HH.
A
menor.
Forma de las las Estrellas Estrellas
Lo L o n g itu it u d Grados M in.
L a titu ti tu d Grados Grados M in. in .
M agnitud agn itud
DE PER8KO
En la la pant pantor orrr i l la de de rec ha En la cadera izquierda En la rodilla izquierda En la pierna izquierda E n el ta l ó n izquierdo En lo alto del pie izquierdo
39 30 32 31 24
40 10 0 40 30
29
40
.
w 00
28 21 19 14 12
45 40 50 45 0
5 4 3 3 3
m ayor m enor
11
0
3
mayor
mayor
26 estrellas, de Iai cuales son: de segunda magnitud 2, de tercera 5, de cuarta 16, de quinta 2, nebulosa 1. DE LAS
q u e
ESTÁN CERCA DK PKRSLO, FUERA DK CONSTELACIONES
La que está x oriente de la rodilla izquierda En el norte de la rodilla derecha La que antecede a la cabeza de Medusa
34
10 £*<
38
20
18
0
tí
en
31
0
5
31
0
5
20
40
o b sc u ra
De tres estrellas son: dos de quinta magnitud y una obscura. DE HENIOCO O EL AURIGA
La más austral de dos e n l a cabeza La que está más al norte En el hombro izquierdo, la brillante que Ha m a n C a p e ll a En el hombro derecho En el codo derecho E n la p a l m a d e rec h a En el codo izquierdo L a que qu e antecede anteced e a las Cabrillas La de la palma izquierda qu e sigue a las C abrillas E n la p a n t o r r i l la iz q u ie rda
55 55 78 56 54 56 45
50 40 20 10 30 10 20
tí ** 5
5 £
tí
30 30
0 50
4
22 20 15 13 20
30 0 15 30 40
1 2 4 4 4
mayor mayor
18
0
4
menor
18 10
0 10
4 3
mayor m enor
uT* 45
30
46 53
30 10
cn
F o r m a d e l a t E t l r t l la la t
L o n g i t u d Gradoi M in.
U t i t v d G r a do do s M i n .
M a g n i tu tu d
DE HENlOCO O EL AURIGA
En la pantorrilla derecha y en e! extremo del cuerno norte de T a u ro E n e l to b illo E n e l tr a te r o Pequeña en el pie izquierdo
49 49 49
40
24
0
0 20
a* w CO
5
0
8 12
30 20
3 5 5
10
20
6
m ayor
14 estrellas de las cuales son: de primera magnitud 1, de segunda 1 , de tercera 2 , de cuarta 7, de quinta 2, de sexta 1 . d e
228 En la cabeza ’*a que precede a las dos 23 1 en el hombro derecho 232 La que sigue La que precede a las dos en el hombro izquier216 do 218 La que sigue 2 11 En el codo izquierdo La que precede de dos 208 en la m ano izqui izq uier erda da 20 9 La que sigue 22 0 En el codo derecho La que precede en 205 mano derecha La que sigue 20 7 E n l a ro d illa d e re c h a 224 E n la tibia ti bia derecha derecha 22 7 La que precede de cuatro 226 en el píe derecho La que sigue 227 L a t e r c e r a q u e s ig u e 228 La restante que «gue 229 L a q u e t o c a d ta ta ló n 229 En la rodilla izquierda 215
o y i u c o O SERPENTARIO 10
36
0
3
20
27 26
15 45
4 4
33 31 34
0
50 30
4 4 4
17
0
12
30
15
0
18 14 4
40
20
40 0
40 20 20 0
M < 2
O V H Z H Li tu
tí
C/3
40 40 30 0 20
40 20 10
30 30
Bor. Aust A u s t. Aust. AusL Aust B o r.
2 2 1 0 0 1 11
20
30 15 15 30 20
45 0
50
m ayor
4 3 4 4 4 3 3
m enor
4 4 4 5 5 3
m ayor mayor mayor mayor
mayor
Forma de ¡at ¡at Estrel Estrellas las
L o n g i t u d Grados M in.
L a t i t u d Grados Grados M in.
M ag nitud
1)E OíIUCO O SERPENTARIO
La más boreal de tre» en linea recta en la pierna 215 izquierda izquierda 215 214 En medio de ellas 213 215 En el talón izquierdo La que toca el arco del p ie iz q u ie r d o 214
00 0 10
40 0
Bor. Bor. Bor. B or.
5 3
20
1 0
40 40
5 5 5 5
Aust
0
45
4
10
m ayor mayor
24 estrellas, de las cuales son: de tercera magnitud 5, de cuarta 13, de quinta 6 . CERCA DE OF1UCO, FUERA l>R CONSTELACIONES
La más boreal de las tres al oriente del hombro derecho 235 20 La de en medio de las tre* tre* ' 236 0 L a m is austral austr al de las las tre« 2334 233 4 0 * gj Otra que sigue a la* tre s 23 7 0 Una separada de las cuatro en el norte 238 0
f . H c/D
28
10
4
26
20
4
25
0
4
27
0
4
33
0
4
Por tanto, todas las 5 no consteladas son de cuarta magnitud D* LA SMHEKTE
En el cuadrilátero que está en la mejilla La que toca la nariz En la sien Al comienzo del cuello En la mitad del cuadrilátero y en la boca Al norte de la cabeza En la primera vuelta del cuello La más boreal de las tres que siguen La de en medio de ellas
38 40 35 34
15
4 4 3 3
37 42
J5 30
4 4
H P
29
15
3
Cí
26 25
30
4 3
192 19 2
10
20 201
0
197 195
40 20
z o w
19 4 20 1
40 30
i
195
0
198 197
10
40
>3
t í t í
0 0 0
20
Form a de tai Estrellas
L o n g itu d Grados M in .
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
DE LA SERPIENTE
L a m is austral de las tres La que precede de dos en la mano izquierda del Serpentario La que sigue a éita y en la misma mano La que esti atrás de la cad era d erech a L a m i s a u s tr a l d e ' d o s q u e siguen La que está al norte d e s p u é s d e 1a m a n o derech a, en la inflexión de la cola L a q ue sigue en la cau da En el extremo de la cauda
199
40
202
0
211
30
227
0
230 231
20 10
237 242
0 0
251
40
¡2 1
$ §w £ H ¿4 W H cl < W C/2
24
0
3
16
30
4
16
15
5
10
30
4
8 10
30 30
4 4
20 21
0 10
4 4
27
0
4
m ayo r
m ayor
18 estrellas, de las cuales son: de tercera magnitud 5, de cuarta 12 y de quinta 1. s a c it a
E n la cúspide L a que sigue de .tres en e l a i til En medio de ella' L a q u e a n te ce d e a la s tres E n la r a n u ra
273 270 269 26 8 266
o LA FLEC HA
30 0 10 0
r ! £ W co
40
39
20
4
39 39 39 38
10
6
50
5 5 5
0
45
5 estrellas, de las cuales sor»: d e cu arta m ag nitud 1, de qu inta 3 y de sexta 1. DEL ÁGUILA
E n m ed io d e la cabeza En el cuello En la espalda, la brillante que llaman Aguila P r ó x i m a a e sta , m i s b o real La que precede en el hombro izquierdo La que sigue
270 268
30
50
10
26 27
10
4 3
267
10
29
10
2
mayor
268
0
30
0
3
n jen o r
266 269
30
31 31
30 30
3 5
20
fe
BI 00
Forma de lar Estrellas
longitud Grados M in.
Latitud Grados M in.
M agn itud
DEL AOUÍLA
La que precede en el ho m bro derecho 263 264 La que sigue En la cola, tocando el 255 círculo lácteo
0 30 30
H cu w
00
28 26
40 40
5 5
26
30
3
9 Estrellas, cuya m agnitudes son: de segunda 1, de tercera 4, de cu arta 1, qu inta 3. CERCA DEL AOUILA, FUERA DE CONSTELACIONES
L a que precede al sur de la cabeza L a que «guft D el hom bro derecho, vuelto hacia el ábrego H acia el austro M ás aus tral L a que precede a todas
272 272
0 10
21
40
29
10
25
0
20
0
15 18
30
3 3
H 259 261 263 254
20
30
tí
CO
0
30
10
4 3 5 3
m ayor
6 no consteladas, cuyas m agnitudes son: de tercera 4, de cu arta 1 y d e q u i n t a 1 . DEL D ELFÍN
La que precede de las tres en la cola La más boreal de las otras dos L a m ás austral La más austral del lado p reced en te del rom boide La mis boreal del mismo lado La más austral del lado qu a sigue La más boreal del mismo lado La más austral de las tres en tre la cola y el rom bo
281
0
29
10
3
m enor
282 282
0
0
m en o r
40
4. 4
50
9 g o H4
29 26
281
32
0
3
m enor
283
30
£ >
33
50
3
menor
32
0
3
menor
33
10
3
menor
34
15
6
0
284
40
286
50
280
50
CO tí
tí
iCu W
CO
Fo rma de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M a g n itu d
DEL DELFÍN
La que precede a las otra» dos hacia el norte 280 L a que sigue' 282
50 20
31 31
50 30
í C
10 estrellas, de las cuales son: de tercera magnitud 5, de cuarta ' !, de sexta 3. DE LA SECCIÓN DEL CABALLO
L a qu e precede de dos 289 en la cabeza L a q u e sigue 292 L a q ue prec ed e d e dos en la boca 289 La que sigue 291
40
20
20
20
40
f u w CO
0
25 25
30 40
obscura obscura
30
obscura obscura
0
De cuatro estrellas, todas obscuras. DEL CABALLO ALADO O MOASO
D entro de la boca abierta 298 La más boreal de dos cercanas en la cabeza 302 L a m ás al sur 301 L a m i s a u s t ra l d e d o s e n la crin 314 I * m i s b ore al 3 13 L a precedente de dos en la cerviz 312 Ia siguiente 313 E n el jarrete izquierdo 305 E n la rod illa izquierda 311 E n el jarrete derecho 317 La precedente de dos cercanas en el pecho 319 L a que sigue 320 La más boreal de dos en la rodilla derecha 322 M ás al sur 32J La más boreal de dos en el cue rpo ba jo el ala 327
40
21
30
3
40
16 16
50
3 4
15 16
0
18 19 36 34 41
0 0
20
40 50 10
50 40
en
¡< £ O »—<
0 0
t í 30 20
s
t í
29 29
0
0
30 15 10 0
30
5 5 3 4 4 4 4 4 4
C/3 50
35 24
30
3 5
50
25
40
4
20
0
mayor
mayor mayor mayor
L o n g itu d Grados M in.
Form a de las Estrellas
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
DHL CABALLO ALADO O PROAS O
La más austral En la espalda y 1* articulación del ala E n el hombro derecho y en el comienzo de la p iern a En el extremo del ala En el ombligo, que es común de la cabeza de Andrómeda
328
20
350
323 335
30 30
341
10
t í c/D
25
0
19
40
menor
31 12
0 30
menor menor
26
menor
20 estrella», cuya» m agnitudes son: de seg und a 4, de tercera 4, d e c ua rta 9 y de quinta 3. DE ANDRÓM&DA
L a q u e e s tá e n l a e s p a ld a E n el hom bro derecho En el hombro izquierdo L a m i s a u s t ra l e n el brazo derecho L a m i s bo re al L a d e e n m e d io d e la s. tres L a m i s a u st ra l d e t re s e n lo alto do la mano derecha En medio de ellas La más boreal de tres E n el brazo izquierdo En el codo izquierdo L a m is austral de tres en el clngulo La de en. medio L a m i s s e p te n tr io n a l En el píe izquierdo En el pie derecho M is al sur de estas
348 349
40 40
24 27
30 0
3 4
347
40
23
0
4
347 348
0
co t í
32 33
0
30
4 4
<
32
20
5
41 42 44 17 15
0
4 4 4 4 3
0
t í 348
343 344 345 347 3 49
20
0 0
30 30
O i—i & H > jm 1
0
0 0
30 50
t í
357 355 355 10 10 8
10 10 20 10
30 30
OQ
25 30 32 23 37 35
20 0
30 0 20 20
3 3 3 3 4 4
Form a de ¡as Estrellas
L o n g itu d , Grados M in.
L a titu d Grados M in ;
M ag nitud
T>r. ANDRÓMEDA
La má» boreal de la* dos b a jo el ja rre te La más austral En la rodilla derecha La rníi boreal de do» en la túnica L a m ás a u stra l N o constelada al oeste d e lik m an o derecha
5 5 5
40
6
0
7
30
5
0
20
30 a W c/3
29 28 35
30
4 4 5
34 32
30 30
5 5
44
0
3
0 0
23 estrellas, de tercera magnitud 7, de cuarta 12 , d e quinta
2SZ. TRlÁNOVLO En el vírtíce del trüngu lo La que precede de tres en la base En medio L a q ue sigue de la< tres
4
20
9 9 .
20
10
30 10
. T P E S
16
30
3
20 20
40
3 4 3
19
20 0
4 estrella*, de tercera magnitud 3, de cuarta 1. Po r lo tanto, en la región septentrional, toda* lai estrellas ion 360 : D e p rim en m agnitud 3 , de segunda 18, .de tercera 81, de cuarta 177, de quinta 58, de sexU 13, nebulosa 1, y obscuras 9.
Form a de ¡as Estrellas
L o n g itu d G rados M in.
L a titu d Grados M in.
M agn itud
DE ARtE* O E l CARNERO
La precedente de do* en el cuerno, y la primera de todas L a q ue sigue en el cuerno La más boreal de dos en la abertura de la boca L a m ás austral En la cerviz En los riñones En el comienzo de la cauda La que precede de tres en la cauda La de ea medio La siguiente de las tres En la cadera En el jarrete En el extremo del pie p osterior
0 0
Bor. Bor.
7
20
8
20
20
7
40
6
0
5
50
5 5 5
10
50 50 50
Bor. Bor. Bor. B or.
6
0
6
14
40
Bor.
4
50
5
17 18
10
1 2 1
40 30 50
1
10
1
30
4 4 4 5 5
5
15
4
0 1
4 4 9
13
20 0
11
20
B or. Bor. B or. Bor. A ust.
8
10
A ust.
20
40
3 3
menor
mayor
13 estrellas, de tercera magnitud '2, d e c u a r t a 4 , d e q u i n t a 6 , de sexta 1. CERCA DE ARIES, FUERA DE CONSTELACIONES
La brillante sobre la cabeza La muy boreal sobre el dorso La más boreal de las tres p e q u e ñ a s resta ntes La de en medio La más austral
3
30
Bor.
10
0
3
13
0
Bor.
10
10
4
14 13
40
12
30
Bor. Bor. Bor.
12 10 10
40 40 40
5 5 5
0
3 estrella», de tercera magnitud I, de cuarta 1, de quinta 3. DE TAURO>O EL TORO
La más boreal de las cuatro en la sección 19
40
Aust.
6
0
4
Forma de lat Estrellar
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d G r a d os M i n .
M a g n itu d
DE TAURO O EL TORO La otra después de la anterior La tercera L a c u a r ta m i s a u st ra l En el Itontbro derecho En el pecho En la rodilla derecha En el jarrete derecho En la rodilla izquierda E n el ja rre te izquierdo La de las narices de las cinco del rostro llama* d a s S ú cu las liia d c a E ntre ésta y el ojo boreal Entre ésta y el ojo austral En el mismo ojo, la brillante, que los Romano s llam an P alilicius En el ojo boreal En el cuemo austral entre la base y la oreja L a m is austral de las dos del mismo cuerno L a m ás al norte E n el extrem o del m ism o En el origen del cuerno septentrional
En el extremo del mismo hacia el pie derecho de Henioco La m ás al norte de las dos en la o re ja boreal I a m is a us tra l d e ellas La precedente de dos oequeñas en la cerviz Ia que sigue
19 18 17 23 27 30 26
9 9
15 30 JS 30
8
0
12
14
40 50
10
0
13
30
4 4 4 5 3 4 4 4 4
20
33
30
36
20
32 33 34
0
5 4
10
Aust. Aust. Aust.
0
45 15 50
3 3 3
A ust. A ust.
5 3
10 0
1
35
0 10
3
40
30
Aust.
4
0
4
43 43 50
40
5 3 2
0 30 30
4 5
30
Aust. Aust. Aust.
49
0
Aust.
4
0
4
36
20 0
50 0 0 0
40
20
A ust.. Aust. A ust. Aust. Aust. Aust. A ust. A ust. A ust.
7 8
menor
3
49
0
Bor.
5
0
3
35 35
20
4
30
5
0
Bor. Bor.
4
0
5
30
20 20
Bor. Bor.
0
40
5
1
0
6
32
m en o r menor menor
Venus en su apogeo 48° 20’
Form a de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
DE TAURO O RL TORO
La más austral de! lado precedente del cuadri 31 Iátero en el cuello La más boreal del mismo 32 lado La más austral del lado 35 que sigue La mis boreal de este 35 lado En el límite norte del lado precedente de las 25 Pléyades, Veigilia Del mismo lado, en el lím ite austral 25 En el límite muy angosto siguiente de las Pléyades 27 Una pequeña de las Pléyades separada de los 26 límites
20
Bor.
5
0
5
10
Bor.
7
10
5
20
Bor.
3
0
5
0
Bor.
5
0
5
30
Bor.
♦
30
5
50
Bor.
4
40
5
0
Bor.
5
20
5
0
Bor.
3
0
5
32 estrellas, sin las qu e están en el ex tremo ^septentrional del cuerno, ion d e p rim era magnitud 1, de tercera 6, de cuarta 11, de quinta 13, de sexta 1. CERCA DE TAURO, FUERA DE CONSTELACION ES
Entre el pie y bajo el hombro La que precede de tres al sur ■del cuerno L a de en medio de las tres La que sigue de las tres La más boreal de dos b a jo el extr em o del mismo cuerno La más austral La que precede de cinco bajo el cuerno bore al La otra que sigue
18
20
Aust.
17
30
4
43 47 49
20 20 20
Aust. Aust Aust
2 1 2
0
45
5 5 5
52 52
20 20
Aust. Aust.
6
20
7
40
50 52
20 20
Bor. Bor.
2 1
40
0
0
5 5 5 5
F o r m a d e la s E s tr e ll es
L o n g itu d G r a do s M i n .
L a titu d G r a d os M i n .
M ag nitud
CURCA DE TAURO, FUERA DE CONSTELACIONES
34 La tercera que sigue La más boreal de la* reatantes, 55 56 La mi» austral
20
Bor.
1
20
5
40 40
Bor. Bor.
3
20
1
15
5 5
De 11 estrella* no constelada», ton'de cuarta, magnitud 1, y de quinta 10. DE CÉMINIS O LOS CEMELOS
En la cabeza del gemelo 76 preced en te, C is to r En la cabeza del gemelo que sigue, bajo la roja am a rille n ta, Póleux 79 En el codo izquierdo del 70 gemelo que precede En el mismo brazo 72 Er. la espalda del mismo gem elo 75 En el hombro derecho del mismo 77 En el hombro izquierdo d el siguiente gem elo 80 En el lado derecho del gem elo preced en te 75 E n el lado izquierdo del «¡guíente gem elo 76 En la rodilla izquierda del gemelo precedente 66 En la rodilla izquierda del que sigue 71 En la ingle izquierda del mismo 75 En la cavidad de la rodilla derecha del mismo 74 La más al oeste en el d el gem elo precedente 60 E n el mismo pie, la que sigue 61
40
Bor.
9
30
2
50
B or. .
6
15
2
10
0
0
Bor. Bor.
7
20
4 4
20
Bor.
5
30
4
20
Bor.
4
50
4
0
Bor.
2
40
4
0
Bor.
2
40
5
30
B or.
3
0
5
30
B or.
1
30
3
35
A u*t
2
30
3
0
Amt.
0
30
3
0
40
Au»t.
0
40
5
0
Au*t.
1
30
4
30
A ust.
1
15
4
Forma de las Estrelles
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
DE GEMINIS O LOS OBVÍELOS
En el extremo del pie del gemelo precedente La que sigue en el dorso del pie En la planta del mismo pie
63
30
Aust.
3
30
4
65
20
Aust
7
30
3
68
0
Aust.
10
30
4
18 estrella», de segunda magnitud 2, de tercera 5, de cuarta 9, de quinta 2. CERCA DE o iu tN IS , JUERA DE CONSTELACIONES
La que precede al extremo del pie del gemelo precede nte 57 La brillante ante la ro59 dilla del mismo La que antecede en la rodilla izquierda del 68 siguiente 8«nelo La mi» boreal de las trt» siguientes en la mano derecha del siguiente gem elo 81 L a que está en medio 79 La más austral de la» tre» cerca del brazo derecho 79 La brillante que sigue a la» tres 84
30
Aust.
0
40
50
Bor.
5
50
30
Aust.
2
15
40 40
Aust. Aust
20
20
Aust
30
0
Aust
40
mayor
20
De 7 estrellas no consteladas, son de cuarta magnitud 3, de quinta 4. DE CÁNCER o EL CANOREJO
La nebulosa en medio del pecho, que se llam a Pesebre 93 La más boreal de dos precedente s e n el cuadrilátero 91 0
40
• Bor.
Bor.
0
40
1
15
nebulosa
4
m enor
Forma de las EitreUas
longitud Grados M in.
L a titu d Grados Min.
M a g n itu d
DE CANCER O ZL CANGREJO
L a m i s au s tr al L a m is boreal de lái dos siguientes, que llaman Asnos El Asno austral La quela de la pata austral En el brazo septentrional En el extremo del pie bore al En el extremo del pie austral
91
20
Aust.
1
10
4
menor
93 94
40 40
Bor. AusL
2 0
40
mayor
10
4 4
99
50
A ust.
5
30
4
91
40
Bor.
11
50
4
86
0
Bor.
1
0
5
90
30
AusL
7
30
4
mayor
mayor
9 estrellas, de cuarta magnitud 7, de quinta 1, nebulosa 1. CERCA DE CÁNCER, FUBRA DE CONSTELACIONES
Encima quela La que d e la La que scbre La que
del codo de la 103 austral sigue al extremo m ism a quela 105 precede de dos la nubecilla 97 100 sigue a ésta
0
Aust.
2
40
4
menor
0
A ust.
5
40
4
menor
20 20
Bor. Bor.
4 7
' 50 15
5 5
De cuatro no consteladas, son de .cuarta magnitud 2, de quinta 2. DE LEO O EL LEÓN
En la nariz E n la a b e rtu ra de la boca La m is boreal de dos en la cabera L a m i s au s tr al La m is boreal de tres en la cerviz La que esti en medio L a m i s a u s tr al d e la s tres
4 4
Bor. Bor.
10
0
104
40 30
7
30
107 107
40 30
Bor. Bor.
12
0
9
30
3 3
113 115
30 30
Bor. Bor.
11 8
0
3
30
2
114
0
Bor.
4
30
3
10 1
mayor Apogeo d e M a r te 109® 50'
Forma de las Estrel Est rellas las
L o n g i t u d Grados M in .
L a t i t u d Grados Grado s M in.
M agn itud itud
DE LEO O EL LEÓN
En el corazón, la que llaman Basilisco o Régulo L a m i s a u s tr t r al a l d e do d o s en en el pecho Un poco al oeste de la del corazón En la rodilla derecha anterior En la garra derecha E n la rod illa illa izquie izquierda rda anterior En la garra izquierda En la axila izquierda La que precede de tres en el vientre L a m i s b o r ea ea l d e d o s q u e s ig u e n L a m i s a u st str a l La que precede de dos en el lomo La que sigue L a m i s b o re r e a l d e d o s en en la g ru p a L a m i s a us u s tr tr a l E n l a c a d e r a p o s te te ri rio r En la cavidad En el codo posterior En el pie posterior E n e l e x tr e m o d e l a c o la
115
50
A u s t.
0
10
1
116
50
A u s t.
, 1
50
4
113
20
Áust
0
15
5
110
40 30
Bor. A u s t.
0
0
5
3
40
6
A u s t. A u s t. A u s t.
4 4
10
15
12 2
30 50 30
0
10
4 4 4
12 0
20
B or.
4
0
6
126 125
20
5
40
B o r. Bor.
20 20
6 6
124 1 27
40 30
B o r. B o r.
12
15 40
5
.1 2 7 129 133 1 35 1 35 134 137
40 40 40
Bor, B o r. B o r. Bor. Aust A u s t. B or.
1 0
30 40 50 15 50
3
0
5 3 3 4 4 5
11
50
1
117 12 2
115
0 0 0
50
2
13 11
9 5
2
27 estrellas, son de primera magnitud 2 , d e s e g u n d a 2 , d e t e r c e r a 6, d e c u a r t a 8, d e q u i n ta t a 5 , d e s e x ta ta 4 . CUICA DE LEO, FUERA DE CONSTELACIONES
La precedente de doa so b r e e l d o r s o 119 L a que sigue sigue 121 121
20 30
B o r. Bor.
13 15
20 30
5 5
Forma de las Estre Estrell llas as
L o n g i t u d Gradot M in.
L a t i t u d Grados M in.
M ag nitud
CERCA DK I.F.O, TUKRA DK CON3TKLACIONKS
La más boreal de tres b a j o e l v i e n t r e La de en medio La más auitral de las tres L a m i s a l e ja j a d a a l n o rt rt e entro los extremos de Leo y el enjambre de nebulosas llamado Ca b e l l e r a d e B c r e n ic e La que precede de dos australes La que sigue, en figura de hoja de hiedra
129 130
50 30
B or. A u s t.
1 0
10
30
4 5
132
20
Aust.
2
40
5
138 13 8
10
B or.
30
0
luminosa
133 13 3
30
B or.
25
0
obscura
1 41
50
B or.
25
30
obscura
D e 8 no constel consteladas adas son: so n: de c ua rta m agnitud 1, de q uin ta 4, luminos l uminosaa 1>E VIRGO O LA VIROKN
La precedente más austral de dos en lo alto de la cabeza 139 La que sigue, más septe n trio n a l 140 La más boreal de; dos en el r o s t r o 144 U n a m is tra l 143 En el extremo del brazo izquierda y austral 142 La que precede a cuatro en el brazo izquierdo 1 51 Otra que sigue 156 L a te rc era 160 La última que sigue de las cuatro 164 16 4 E n el lado lado d erecho, bajo el cingulo 137 13 7
40
B o r.
4
15
5
20
Bor.
5
40
5
0
8
0
30
Bor. B or.
5
30
5 5
20
Bor.
6
0
3
35 30 30
B or. B o r. Bor.
1
10
2 2
50 50
3 3 5
20
Bor.
1
40
4
40
B or.
8
30
3
menor
Forma de las Estrellas
L o n g i t u d Grados Grado s M in.
L a t i t u d Grados Grado s M in.
M a g n i tu d
DE VIROO O LA VIRGEN
La precedente de tres en el ala derecha y boreal 151 La más austral de las 153 do» restantes
De las mismas, la más bo b o r e a l l l a m a d a V e n d i miador En la mano izquierda, la que se llama Espiga Bajo el ceñidor en la nalga derecha La más boreal de dos precedentes del cuadrilátero de la cadera izquierda La m is austr aus tral al La más boreal de dos que siguen Una austral En la rodilla izquierda En el lado posterior de la cadera derecha' En la túnica, en medio La más austral La más boreal En el pie izquierdo y austral
30
Bor.
13
50
5
30
Bor.
11
40
6
Apogeo de Júpiter 154* 2 0 '
155
30
Bor.
15
10
3
mayor
170
0
Aust.
2
0
1
168
10
Bor.
8
40
3
169 169 170
40 20
Bor. Bor.
2 0
20 10
5 6
173 173 171 171 175
20 20 0
Bor. Bor. Bor.
1 0 1
30 20 30
4 5 5
171 180 180 181
20 0 40 40
Bor. Bor. Bor. Bor.
8 7 2 11
30 30 40 40
5 4 4 4
183
20
Bor.
0
30
4
Apogeo de Mercurio
183° 20' E n el pie derecho y bo b o re a l
186
o.
Bor.
9
50
3
26 estrella*, son de primera magnitud 1, de tercera 7, de cuarta 6 , de quinta 1 0 . de sexta 3.
Fo nna de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
CERCA DE VIRGO, FUERA DE CONSTELACIONES
La precedente de tres en línea recta bajo el bra» zo izquierdo La que está en rcedio L a que sigue L f. precedente de tres en linea recta bajo la Espig* L a d e en m edio de ellas, q u e es doble L a qu e sigue d e las tres
3 3 3
30 30
35
A ust. A ust. Aust.
20
5 5 5
170
30
Aust.
7
20
6
171 173
30 30
Aust. A ust.
8
20
5
7
50
6
15 8 162 165
0 20
S o n 6 n o c on ste la da s, d e q u i n ta m a g n i tu d 4 y d e se xta 2 DE LAS QUELAS
La brillante de las dos en el extremo de la quela austral M ás obscura hacia el no rte La brillante de las dos en el extremo, de la quela norte Más obscura que precede a éstas En medio de la quela a u stra l En la misma, la que precede E n m e d io d $ l a q u e l a boreal E n ! a m ism a, l a q u e sig ue
191 190
20
2
20
Bor. Bor.
0 2
40 30
5
195
30
Bor.
8
30
2
191
0
Bor.
8
30
5
197
20
Bor.
I
194
4
40
Bor.
1
15
4
200
50 20
3 4
45 30
4
206
Bor. Bor.
4
8 estrellas, ion d e segu nda m agn itud 2, de cuarta 4, de qu inta 2. CERCA DE LAS QUELAS, FUERA DE CONSTELACIONES
La precedente de las tres al norte de 1? quela boreal 19 9
30
B or.
9
0
5
Forma de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
CERCA DE LAS QUELAS, FUERA DE CONSTELACIONES
La más austral de las dos q u e siguen D e ellas, la boreal La siguiente de las tres e n tre las quelas L a m is boreal de las dos r es ta n te s p re ce de n te s L a austral La precedente de las Leí, b ajo la q u ela Austra l Las dos restantes que siguen l a austral
9
40 15
4 4
Bor.
5
30
6
40 30
Bor. Bor.
2
0
1
30
4 5
196
20
Aust.
7
30
3
204 205
30
Aust. Aust.
8
10
9
40
4 4
207 207
6
40
Bor. Bor.
205
50
2 03 204
0
20
D e 9 no consteladas son de tercera m agnitud 1, de cu arta 5, de qu inta 2, de sexta I. DEL ESCORPIÓN
En la frente, la mis bo real de tres que brillan L a d e en m edio La más austral de las tres L a m ás austral y en el pie L a m is» boreal de dos adecentes brillantes La austral La precedente de tres brillantes e n e l ry erp o l a r u t il a n te e n m e dio llamada Antarcs L a qu e sigue de las tres La que precede de las dos en el último acetibulo L a siguiente En la primera vértebra del cuerpo En la segunda vértebra
209 209 20 9
40 0
Bor. Aust. A ust.
I
20
1
40
5
0
3 3 3
209
20
Aust.
7
50
3
2 10 2 10
20
40
Bor. Bor.
1 0
40 30
4 4
214
0
Aust.
3
45
3
216 217
0
4 5
0
2
50
A u st Aust.
30
3
A ust. AusL
6
10
213
40 50
6
40
5 5
221
50
11
222
10
A ust. Aust
0 0
3 4
212
0
15
Forma de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d G r ad o s M i n .
M a g n itu d
DEL ESCORPIÓN
La más boreal de la do* b le en la tercera
223
L a m i t a u st ra l d e la 223 doble En la cuarta vertebra 226 231 En la quinta 233 En la sexta vértebra En la séptima que está 232 pró x im a a l aguij ón L a q ue sigue de dos en 230 el aguijón 230 La antecedente
Apogeo de Saturno 226° 30'
Aust.
18
40
30 30 30 50
Aust. A u st AusL A ust.
18 19 18 16
0
30 50 40
3 9 3 3
20
A ust.
15
10
3
50
A ust. A ust.
13 13
20
3 4
20
20
30
21 estrellas, son de segunda magnitud 1, de tercera 13, de cuarta 5, de quinta 2. CURCA DEL ESCORPIÓN, FUERA DE CONSTELACIONES
La nebulosa que sigue al aguijón La precedente de dos al norte del aguijón La que sigue
234
30
A ust.
13
15
228 232
50 50
A ust. A ust.
6
10 10
4
nebulosa 5 5
De tres no consteladas, ton de quinta magnitud 2, nebulosa 1. DE ¡SAGITARIO
E n la p u n ta de la saeta En el puño de la mano izquierda En la parte austral del arco L a m is austral de dos en el n o rte La más Iwrcal en la extrem id ad de l a rco E n el h o m b ro izquierdo
237
50
A ust.
6
30
3
241
0
Aust.
6
30
3
241
20
Aust.
10
50
3
242
20
Aust.
1
30
3
240 248
0
Bor. Aust.
2
50
3
10
4 3
40
Forma de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M a g n itu d
X>* SAGITARIO
La que antecede a esa en el d ardo 246 En el ojo, una nebulosa doble 248 La que antecede de tres en la cabeza 249 L a de en m edio 251 La que sigue 25 2 L a ruí» austral de la» tre» en la parte none 254 del manto 255 La de en medio L a m á s b or ea l de la» tre s 256 La obscura que sigue a las trea 259 La m¿» boreal de d o s en la parte sur del manto 262 L a m ás austral 261 E n e l h o m b r o d e re c h o 255 En el codo derecho. 258 E n l a espalda 253 En la articulación del hombro 251 B ajo la axila 249 E n el jarrete izquierdo delantero 251 E n la rodilla de la misma pierna 250 En el jarrete derecho delantero 240 En el omoplato izquierdo 260 En la rodilla derecha an terio r 260 L a que precede en el lado norte del cuadrilátero al comienzo 261 La que sigue en el mismo lado 261 La que precede en el lado austral 261
*/>
20
A ust
3
50
30
Bor.
0
45
Bor. Bor. Bor.
2 1
10
30
2
0
4 4 4
2
4 ♦ 4
0 0
30
40 40
nebulosa
10
Bor. ' Bor. Bor.
6
50 30 30
0
Bor.
5
30
6
Bor. Bor. Au»t. Aust. Aust.
5
50
5
2
0
6
1 2
50 50 30
3 5 5
4
40
A ust A ust.
6
30 45
4 3
0
Aust.
23
0
2
20
Aust.
18
0
2
0
13 13
0
40
Aust. A ust.
30
3 3
0
Aust.
20
10
3
0
A ust
4
50
5
4
50
5
5
50
5
50 0
40 10 20 0
10
50
Aust A ust
4
2
mayor
mayor
F o r m a d e la s E s t u ll a s
L o n g itu d G r a do s M i n .
L a titu d G r ad o s M i n .
M agnitud
D E SAGITARIO
La que ligue cu el mú mo lado
31 estrellas,
s o r de
263
0
Aust.
6
30
5
segunda magnitud 2, de tercera 9, de cuarta 9, de quinta 8, de sexta 2, nebulosa 1. DE CAPRICORNIO
L a más b o real d e la s tres en el cuerno que pre cede L a d e e n m ed io La más austral de las tres En el extremo del si guiente cuerno L a m á s a u s tr a l d e t re s e n la abertura de la boca La que precede de las dos restantes L a q u e sigue Bajo el ojo derecho La más boreal de dos en la cerviz La más austral En la rodilla derecha E n la rodilla izquierda d o b lad a En el hombro izquierdo La precedente de dos contiguas bajo el vien iré La que sigue La que sigue de tres en medio del cuerpo L a m á s a u s t ra l d e ü s d os resta nte s precede ites L a m á s se p te n tr io n a l d e ellas L a qu e precede de os en el dorso
270 271 270
40
7
40
Bor. Bor. Bor.
3
6
30 40
5
0
3
272
20
Bor.
8
0
6
272
20
Bor.
0
45
6
272 272 27 0
0
Bor. Bor. Bor.
1
45 30 40
6
0
10
30
275 275 274
10
1 0
6
5
50 50 30
5 4
40 40
4 4
6 6
50 0
4 5
Aust.
4
15
5
A ust.
4
0
5
2
50
5
0
0
4
4
10
Bor. Aust. Aust.
275 280
0 0
Aust. A ust.
8
283 283
30 40
A ust. Aust.
282
0
280
0
280
0
280
0
0
6
Aust.
0 6
7
6
Form a de tai Estrellas
L o n g itu d G r ad o s M i n .
L a titu d Grados M in.
M a g n itu d
DE CAPRICORNIO
La que sigue La que precede de dos en la parte sur del es piruzo La siguiente L a que precede de dos en el nacimiento de la cola L a que sigue I* que precede de cuatro en lamparte boreal de la cola La más austral de las tres restantes La de en medio La más boreal en el extremo de la cola
284
20
Aust.
0
50
4
286 288
40 20
A u st A u st
4 4
45 30
4 4
288 289
40 40
A u st A ust
2
10
2
0
3 3
290
10
Aust.
2
20
4
292 291
0
5
0
0
A ust Aust
2
50
5 5
292
0
Bor.
4
20
5
28 estrellas, son de tercera magnitud 4, de cuarta 9, d e q u i n t a 9 , < DE ACUARIO
En la cabeza En el hombro derecho, L a m ás clara L a m ás obscura E n el hom bro izquierdo Bajo la axila La que sigue de tres bajo la mano derecha en la vestidura La de en medio La prccedenta de las tres En el codo derecho La más boreal en la mano derecha La que precede de las dos restantes australes La que sigue
■¿93
40
Bor.
15
45
5
299 298 290 290
40 30
Bor. Bor. Bor. Bor.
11
0
9 6
40 50 15
3 5 3 5
280 279 278 302
0
3
30
8 8 8
0
50
Bor. Bor. Bor. Bor.
30 45
3 4 3 3
303
0
Bor.
10
45
3
305 306
20
Bor. Bor.
9
0
8
30
3 3
0
40
30 0
40
8
Forma de tai Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M a g n itu d
DE ACUARIO
La que precede de dos cercanas e n la cadera 299 derecha La que sigue 300 En la nalga derecha 302 L a m is austral de dos en la nalga izquierda 295 295 La más septentrional La aaás austral en la tibia 305 derecha L a m&s boreal 304 301 En la cadera izquierda L a m á s a u s t ra l d e d o s en la tib ia izquierda 300 La septentrional bajo la ro d illa 302 La primera en la caída d e l a g u a desde la m an o 303 La siguiente, más austral 308 La que sigue, en la pri311 mera onda del agua 313 La que sigue a ésta E n la o tra ond a a u stral 313 La más boreal de dos 312 que siguen Una austral 3 J2 E n el au stro , sep arad a 314 Después de éstas, la que p reced e d e dos ju n ta ' 316 L a q u e sigue 316 La más boreal de tres en la tercera onda de agua 315 L a d e e n m edio 316 La que sigue de las tres 316 La más boreal de tres que siguen, en una fi310 gura similar l a de en m edio 310 L a m á s a u stra l d e las tres 311
30 20 0
Bor. Bor. Aust.
3
0
2 0
10
50
4 5 4
Aust. Bor.
1
40
4
4
0
6
7 5 5
30
3 4
0
Aust. A ust. Aust.
40
5
40
A ust.
10
0
5
10
Aust.
9
0
5
20
Bor.
2
0
4
10
Bor.
0
10
4
0
Aust. Aust. Aust.
1
10
0
30 40
4 4 4
0
30 0
40
20
50 30 50 10 0
30 0 0
30
20
50 40
I
0
A ust. A ust. Aust.
3 4
30
8
15
Aust. A ust.
11
0
10
50
A ust Aust. A ust.
14 14 15
0
Aust Aust. Aust
14 15 '5
10
45 40
10
0
45
4 4 5 5 5
W W W
Forma de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados Min.
M a g n itu d
DE ACUARIO
En la última onda, la que precede de tres L a m i s a u s t ra l d e d os que siguen La m is horca! La última del agua en la boca del pe* austral
305
10
Aust.
14
50
4
306 306
0
30
Aust. A ust
15 14
20 0
4 4
300
20
Aust.
23
0
1
42 estrellas, de las cuales son de primera magnitud 1, de tercera 9, de cuarta 18, de quinta 13 y de sexta 1. CERCA D i ACUARIO, FUE *A DE CONSTELACIONES
La que precede de tres siguientes a la onda 32 0 del agua La más boreal de las dos restante* 323 La más austral de ellas 322
0
Aust.
15
30
4
0 20
Aust. Aust.
14 18
20
4 4
15
Tres estrellas de cuarta magnitud, mayores. DE FlSCIS O LOS E n la boca del per que antecede La más austral de las do* en el occipucio La boreal D e dos en el dorso, la que antecede La que sigue En el vientre la que precede L a siguiente En la cola del mismo pez En su sedal la primera desde la cola La que sigue
pe c .e s
315
0
Bor.
9
15
4
317 321
30 30
Bor. Bor.
7 9
30 30
4 4
319 324
20 0
Bor. Bor.
9 7
20
4 4
319 323 329
20 0 20
Bor. Bor. Bor.
4 2 6
20
4 4 4
334 336
20 20
Bor. Bor.
5 o
45 45
6 6
30 30 30
mayor
Form a de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in .
L a titu d Grados M in.
M a g n itu d
DE PISCIS O LOS PICES
Después de éstas, de tres brillantes, la que precede La de en medio L a siguiente La más boreal de dos peq u eñ a s en la cu rv a L a au stra l La que precede de tres después de la curva L a d e e n m edio La siguiente En la unión de ambos sedales En el sedal boreal, la q u e p re ce de a l a u n 'ó n La más austral de tres que siguen La de en medio La más boreal de las tres y última en el sedal
340 343 346
30 50 20
40
Bor. Bor. Aust.
2 1 1
10 20
4 4 4
2
0
6
5
0
6
15
345 346
20
A ust A ust.
350 352 3 54
20 0 0
Aust. A ust. Au$t
2
20
4 7
40 45
4 4 4
356
0
Aust
8
30
3
3 54
0
Aust
4
20
4
353 353
30 ‘ 40
Bor. Bor.
1
30
5
20
5 3
353
50
Bor.
9
0
4
DEL PEZ QUE SIGUE
La mas boreal de dos en la b oca La austral La que sigue de tres peq u eñ a s e n la ca be za , La de en medio La que precede a las tres L a q u e p r e ce d e d e t re s en la aleta austral, cerca del codo izquierdo de Andrómeda L a de en. m edio L a .q ue sigue d e las tres La más boreal de dos en la tripa
355 355
20 0
Bor. Bor.
21 21
45. 30
5 5
352 35 1
0 0
Bor. Bor.
20
0
6
19
50
6
35 0
20
Bor.
23
0
6
349 349 351
0
40
14 13
0
Bor. Bor. Bor.
12
20 0 0
4 4 4
355
30
Bor.
17
0
F o r m a d e la s E s t re ll a s
L o n g itu d G r ad o s M i n .
L a titu d G r ad o s M i n .
M q g n i tu d
DEL n Z QUE MOUF.
L a que está má* al su r 352 En la aleta oriental cerca de la cola 353
40
Bor.
15
20
4
20
Bor.
II
45
4
34 estrellas, son de tercera magnitud 2, de cuarta 22, de quinta 3 y de sexta 7 . CFJtCA DE PISCIS, FUERA DE CONSTELACIONES
L a qu e precede en el lado norte del cuadrilátero b ajo el pea del oeste La que sigue La que antecede del la d o au stra l L a q u e sigue
324 325
30 35
Aust. A ust.
2 2
40 30
4 4
324 325
0
A ust A ust
5 5
50 30
4 4
40
4 no consteladas, todas de cuarta magnitud. Por tanto, todas las estrellas que están en el zodíaco son 348. A saber: de primera m agn itud 5, de segunda 9, de tercera 65, de cu arta 132, de qu inta 105, de sexta 27, nebulosas 3 y obscuras 2. Y además las innumerables de la ya citada Cabellera de Berenice, denominada así por Conón, el matemático.
F o r m a d e l a t E s tr ella s
L o n g itu d G r ad o s M i n .
L a titu d G r a d os M i n .
M a g n i tu d
DE CETUS O LA BALLENA
En ¡a extrem idad de la nariz 11 En la mandíbula, la si11 guiente de tres La media en mitad de la 6 boca La qu e prcccdc de (reí en la m ejilla 3 E n el ojo 4 5 En la cabellera, boreal La que precede en la melena 1 I.a más boreal del lado p receden te en e l cu a d rilá te ro del pecho 353 Ia austral 356 L a m i s b o r ea l d e l a s d o s 0 que siguen 0 La austral De tres en el cuerpo, la 345 de en medio L a au stral 346 L a m ás b o real d e tres 348 La que sigue de dos en 343 la cauda La precedente 338 La más boreal del lado
0
7
45
4
0
11
20
3
0
11
30
3
50
14
0
8
10
6
20
3 4 4
4
10
4
24 28
30
4 4
25 27
10
0
30
00
tí
0
tí 20
40
<
0 20 20 20 '20
r* C/3
D
0 20
<
0
30
25 30
20
20
0
15 15
20
30
4 3 3 4 3
40
3 3
13
40 40
5 5
0 0
5 5
siguiente del cuadrilá tcio, en la cauda L a au stral La boreal de las dos preced entes testantes La austral En la extremidad septentrional de la cauda En la extremidad austral d e la c a u d a
335 334
0 0
332 332
40 20
13 14
327
40
9
30
3
329
0
20
20
3
11
22 Estrellas, de las que son 10 de tercera magnitud, 8 d e c u a r t a y 4 d e q u i n t a .
Form a d t las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M a g n itu d
DS ORTÓN
N ebulo sa e n la cabeza En el hombro derecho, la brillante rojiza E n el h o m b ro izquierdo L a q u e sigue d e ésta E n el codo derecho E n el antebrazo derecho En la mano derecha, la que sigue del lado au stra l del caud rilátero L a que precede La siguiente del lado bore al La que precede en el mismo lado L a q ue precede de dos en la maza L a q u e sigue La que sigue de cuatro alineadas en el dono La segunda que precede La tercera precedente En cuarto lugar preced ente En el escudo, la más boreal d e nueve La segunda L« tercera La cuarta La quinta La sexta La séptima La octava La restante de éstai y m ás austral En el tahalí o cinto, de tres m ás brillantes, la que precede La de en medio
50
20
16
30
55 43 48 57 59
20
17 17 18 14
0
1
30
2
0
4 4
40 20
40 40
nebulosa
30 50
6
9
40 45
4 4
8
15
6
11
ce 59 59
50
60
40
59
0
<
8
15
6
55 57
0
f 4
40
3 3
45 15
5 5
50 49 48
50 40 40
19
40
4
20
6
20
0 20
47
30
£
20
30
5
43 42 41 39 38 37 38 38
50 40
<
8 8 10
0 10
10
14 15 17
40
20
10 20
4 4 4 4 4 3 3 3
39
40
21
30
3
48 50
40 40
24 24
10
2 2
20
20
40 30 50
10
w
H en
12
15 50 15 50
50
6
mayor menor
F o r m a d e ¡as E s t u l l a s
L o n g itu d G r ad o s M i n .
L a titu d G r a do s M i n .
M a g n i tu d
DE ORION
L a q ue sigue de las tres, en linea recta En el puño de la espada La más boreal de tres en la espada L a d e e n m edio La más austral La que sigue de dos en el ex trem o de la espada La que precede En el pie izquierdo, la clara y común con E luvio E n la p ie rn a izquierda E n el ta ló n izquierdo En la rodilla derecha
52 47
40
50 50 50
10
51 49
10
0 20 0
30
£ 3 — IB
25 25
30 50
3
28 29 29
40 30 50
4 3 3
30 30
30 50
4 4
31 30 31 33
30 15
1
2
menor
en
42 44 46 53
30
3
20
40 30
10
30
4 4 3
mayor
De 38 estrellas, de primera magnitud 2, de segunda 4, de tercera 8, de cuarta 15, de quinta 3, de sexta 5 y una nebulosa. DK FI.UVIO O EL RÍO
Después del pie izquierdo de Orion y al principio de Fluvio 41 E n la flexión de la pierna de Orion', la más bore al 42 La que sigue de dos des41 pués d e ésta L a que precede 38 La que sigue de las próximas do* 36 L a que precede 33 La que sigue de tres des p ués de ellas 29 La de en medio 29 La que antecede de las trtj 26 Después de un espacio, la que sigue de cua’tro 20
40
31
50
10
28
15
29 28
50 15
25 25
15 20
26 27
0 0
10
27
50
4
20
32
50
3
20 0
30 30 40 0
en W
H en D ^<4
Form a de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in .
L a titu d Grados M in.
DE FLUVIO O EL RÍO
L a q u e p reced e a ésta L a tercera q u e p reced e La que antecede de todas las cuatro O t r a v e z , del mismo modo, la que sigue de las cuatro La qpe antecede a ésta T a m b i é n l a q u e p re ce d e & ésta La que antecede de estas c u a tro L a qu e está en la vuelta de Fluvio, y toca el pech o d e la Ballena L a q u e sigue a ésta De tres siguientes, la que precede L a d e e n m edio La que sigue de las tres La más boreal del lado p reced en te del c u ad rilá te ro L a au stra l La que antecede en el la d o q u e sigue l a q u e sig ue d e la s m ism as c u atro Ia más boreal de dos co ntig uas ha cia o rie nte L a m ás al su r La que sigue de dos en la curva Ia q u e precede La que sigue de tres en la distancia que resta La de en medio La que precede de las tres La brillante en. el extremo del Rio
18 17
30
31 28
50
15
30
28
0
10 8
30 10
25 23
30 50
5
30
23
10
23
15
32 34
10
0
0
t /2 3
50 W
338 339
30
2
<
7
10 10
10
30
PS
14 14
40 30
15
30
18
0
10
30
>—<
► *
<
50
38 38 39
30
41 42
30 30
43
20
43
20
50 51
20
53 53
50
0
30
30
27 28
20
21
30
19
10
11 8
10 10
5
10
53 53 52
333
30
53
10 0
45
10
0
De 34 estrellas, de primera magnitud 1, de tercera J , de cuarta 27
162
M a g n itu d
Fcrm a de la: Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M agn itud
»r. Lr.FUS O LA I.IERRK
La más boreal del lado precedente del cu ad rilátero en las oreja* L a austral L a m is boreal del lado qu e sigue L a austral E n e l m e n tó n En el extremo del pie izquierdo delantero E n m e d io d e l c ue rp o B a jo e l v ie n tr e L a más boreal de dos en los pies posteriores La más al sur En el lomo En el extrem o de la cola
43 43
0 10
35 36
0 30
5 5
44 44 42
40 40 30
35 36 39
30 40 40
5 5 4
39 48 48
30 50 10
45 41 44
15 30 20
4 3 3
54 52 53 56
20 20 20 0
44 45 38 38
0 50 20 10
4 4 4 4
j OÍ H p <3^
De 12 estrellas, 2 de tercera magnitud, 6 de cuarta y 4 de quinta. DEL CAN
En la boca, brillantísi m a, llam ad» C an En las orejas En la cabeza La más boreal de dos en el cuello L a austral En el pecho La más boreal de dos en la rod illa derecha La austral En el extremo del pie delantero La que precede de dos en la rodilla izquierda La que sigue La que sigue de dos en el hombro izquierdo
71 73 74
40
76 78 73
40 40 50
69 69
30 20
— C/2
64
20
<
68
0
69 78
39 35 36
0 0
cn
37 40
S
42
10 0
30 45
1
4 5
30
4 4 5
41 42
15 30
5 5
41
20
3
30
46 45
30 50
5 5
0
46
0
4
0
m ay or m ayor
F o r m a d t l as E s tr el la s
L o n g itu d G rados M in.
L a titu d Grados M in.
M a g n i tu d
DEL CAN
La que antecede En la cadera izquierda Bajo el vientre, entre los muslos En la cavidad del pie derecho En el extremo del mismo pie E n el ex trem o d e la cola
75 80
0
77
0
0
C/3
3j i
47 48
45
5 3
51
30
3
55
10
4
55 50
40 30
3 3
0
&
76
20
77 85
0
D <
30
De 18 estrella», de primera magnitud 1, de tercera 5, de cuarta 5 y de quinta 7. CERCA DEL CAN, FUERA DE CONSTELACIONES
Hacia el septentrión cerca de la cabeza del H an L a m á s a u s tr a l e n lín e a recta bajo los pies p o ste rio res L a m i s b o re al La más septentrional La restante y más boreal de las cuatro La que precede de tres hacia el ocaso, casi en linea recta L a d e e n m ed io La que sigue de las tres Bajo de ésta, la que prece de d e do s brilla ntes La que antecede La que resta, la más a u s tra l d e ellas
72
50
S E
25
15
4
30 45
63 64
20
40
60 58
66
20
57
0
4 4 4
56
0
4
H
55 57 59
30 40 30
4 4 4
40 40
2
30
4
67
30
50 53 55
20
40 40
<
52 49
20 20
P
59 57
45
30
<
59
2
De 11 estrellas, dos de segunda magnitud y 9 de cuarta.
Form a de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M a g n itu d
DE LA CANÍCULA O PHOCIÓN O LA FKIUUTA
En el cuello En el muslo, la brillante, que es Ja misma C a n íc u la o P r o d ó n
78
82
20
30
JD <
14
0
4
16
10
1
De' dos estrellas, 1 de prim era m ag nitud y 1 de cuarta. DR ARCO O LA NAVP.
La que precede de do» en el extremo de la N ave L a q u e sigue La más boreal de dos en la popa L a q u e está m ás a l sur La que precede de las dos En medio del escudo, b rillan te La que precede de tres b a jo el escudo La que sigue JLa de en medio de las tres E n el extrem o del tim ón La más boreal de dos en la quilla de popa La austral L a m ás boreal en el asiento d e p o p a La que precede de tres ep el mismo asiento L a d e en m edio 1 .a que sigue La brillante, que sigue en el travesano Bajo ésta, la que precede de dos obscuras L a que sigue La que precede de dos b a jo Ja citad a brill an te
93 97
40 40
42 43
40
92 92
10 10
0 0
88
40
45 46 45
30
89
40
47
15
88
40 40
49 49
45 50 15 50 0
92
50
C/3 W
<
20
91 97
20
49 49
87 87
?0 20
H
53 58
30
93
30
C/D
55
30
95 96 99
30 40 50
.58 57 57
30 15 45
5 3
< 104
30
58
20
2
10 1
30
J04
20
60 59
0 20
5 5
106
30
56
40
5
F orm a d e las Estrellas
L o n g itu d G rados M in .
L a titu d G rados M in .
M a g n itu d
DE ARCO O LA NAVE
La que sigue La más boreal de las tres en los peque ños escudos y al pie del mástil La de en medio L a au stral d e las tres La más boreal de las dos ju n ta s b a jo ésta s La más austral l a m á s a u s t ra l d e d o s e n m ed io d e l m ástil La boreal La que precede de dos en lo alto de la vela La que sigue Bajo la tercera que sigue al escudo En la sección del puente Entre los remos en la q u illa La obscura que sigue de ésta La brillante que sigue de ésta en la cubierta La brillante al sur más dentro de la quilla La que precede de tres que siguen a ésta L a de e n m edio l a q u e sigue La precedente de dos que siguen a la sección L a q u e sigue La precedente en el remo noroeste La que sigue La que precede en el re m o te s ta n te , C an o p n
10 /
40
57
0
119 119 117
0
30
51 55 57
30 30
12 2
30
0
12 2
20
60 61
113
30 40
112 111 112
98 100
20
20 20
00 w
.1
30 SO
5
mayor mayor
10
15
51 49
30
43 43
20
54 51
30 15
*>
63
0
4
64
30
6
63
50
2
69
40
2
40 50 50
3 3 o
0
30
menor
2
(á
93
0
K 10 2
20
cn 113
20
D 12 1
50
128 134 139
30 40 20
65 65 65
144 151
20 20
62 62
50 15
3 3
37 73
20
30
63 65
50 40
4 3
70
30
73
0
1
<
mayor mayor
Fo rme de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
r>E ARCO O LA NAVE
La que falta que sigue a ésta
82
20
71
50
3
mayor
De 45 estrellas, de primera magnitud I, de segunda 6 , de tercera 8, de edarta 22, de quinta 7, de sexta I. DE LA. HIDRA
L a m is austral de las dos más al oeste de cinco en la cabeza, en la nariz La más boreal de dos en el ojo La más boreal de do* que siguen en el occi pucio La austral de ellas y en la garganta La que sigue a todas éstas en la mejilla La que precede de do* en el comienzo del cuello La que sigue La media de tres en la flexión del cuello L a que sigue a ésta La más austral La obscura y boreal de dos contiguas hacia el su r La que sigue, brillante y austral La que precede de tres después de Ja flexión del cuello L a que sigue La. de en medio de ellas L a que precede d e tres en iinea recta.
97
20
15
0
4
98
40
13
40
4
99
•o
11
30
4
cñ
98
50
14
45
4
100
50
12
15
4
103 106
40 40
11 13
50 30
5
III 114 ‘ 111
40
15 14 17
20
50
4 4
10
4
0 40.
< PÉi r .
r*
4
en
112
30
19
45
6
113
20
20
30
2
119
20
26
30
124
30
12 2
0
23 26
15 0
i 4 4
131
20
24
30
3
L o n g itu d G r ad o s M i n .
L a titu d G r a d os M i n .
DE LA HIDRA
La de en medio L a q u e sigue La más boreal de dos b ajo la base de C rá te r La austral La precedente de tres en el triángulo después de éstas D e las m ism as, la a u s tra l L a que sigue de las m ism as tres Después del Cuervo, la pró xim a, d e la cola En el extremo de la cola
133 136
20 20
144 145
50 40
23 22 co
W
tí
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10
< 155 157
30 50
159
30
173 186
20
£ fe p
<
50
De 25 estrellas, de segunda magnitud 1, de tercera 3, de cuarta 19, de quinta 1 y de sexta 1 . C E RC A D E H I D R A , F U E R A D E C O N S T E L A C I O N E S
Al sur de la cabeza La que sigue de las del cuello
96
0
23
15
3
124
20
26
0
3
N o constela das, 2
En la base de Cráter, que es común con liidra Ia más austral de dos en m ed io d e C rá te r De ellas, la boreal E n el orificio circular austral E n el circu lo b o real En la parte sur del pie E n l a p a r te n o rte d el p ie
139
40
146 14 3
0
150 142 152 145
30
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30 40 50 50
4 4 4 4
11
Siete estrellas, to d a s d e c u ar ta m a g n itu d .
mayor menor
Forma de ¡as Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M agn itud
DEL CUERVO
E n el rostro, com ún con 158 Hidra 157 En la cerviz 160 En el pecho En el ala derecha y precedente 160 La que precede de dos 160 en el ala siguiente L a que sigue 161 En el extremo del pie, 163 común con Hidra
40 40 0
10
3 3 5
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3
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19 18
30 40
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50 ¡ 3 p
0 20
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50
De 7 estrellas, 5 de tercera magnitud, 1 de cuarta y 1 de quinta. DEL CENTAURO
Ia más austral de cuatro e n la cabeza L a q ue está m ás a l no rte La que precede de las dos en medio La que sigue y última de las cuatro En el hombro irquierdo y precedente Eu el hombro derecho En la articulación del hombro izquierdo La más boreal de dos en el lado precedente del cuadrilátero en el escudo La austral De las dos restantes, la que está en lo alto del escudo L a m ás al su r La que precede de tres en el lado derecho La de en medio L a que sigue
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20
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F o r m a d e ¡as E s tr e ll a s
L o n g itu d G r a do s M i n .
l a t i t u d Grados M in.
M a g n i tu d
DEL CENTAURO
En el brazo derecho E n d codo d erech o En el extremo de la mano derecha La brillante en el nací. miento del cuerpo hu mano La que sigue de dos obscuras L a q u e p reced e E n el com ienzo d el dorso L a q u e a n t e ce d e a é s ta e n d d o n o d e l c ab a llo La que sigue de tres en el lom o La de en medio L a q u e a n te ce d e d e tres La que precede de dos contiguas en la cadera d ere ch a L a q ue sigue E n e l p e ch o , b a jo d sobaco d el c ab allo L a p r e c e d e n te d e d o s b a jo el vientre L a q u e sigue En el hueco del pie derecho posterior En la pantorrilla del m iim o E n •) hu eco del pie iz q u ierd o B a jo ol nui
189 196
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10
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10
3
C/3
‘us, son de p rim e n m agn itud 1, d e segu nda 5, de tercera 7, de cua rta 15 y d e q u in ta *9»
L o n g itu d G r a do s M i n .
L a titu d Grados M in.
P E L A B E S T IA R E T E N ID A P O R E L C E N T A U R O
E n lo a l t o d e l p i e p o s t er io r , h a d a l a m a n o del Centauro E n el h ueco del mismo p ie La que precede de do* e n el hom bro La que sigue En medio del cuerpo E n el vien tre En la cadera La má* boreal de dos al comienzo de la cadera L a austral En la cima del lomo I a más austral de tres en el extremo de la cola L a d e en m edio La septentrional de tres La más austral de dos en el cuello La boreal Ia que precede de dos en la garganta La que sigue La más austral de dos en el pie delantero L a m ás al n o rte
20 1
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199
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12 11 10
0
0
D e 19 estrella», son <3e tercera m agn itud 2, de c ua rta .11 y d e qu inta 6 . DK LOS LARES O EL TURÍBULO
La más boreal de do* en la base L a austial En medio de! ara La más boreal de tres en el hornillo
231 233 229
40 30
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0
0
23 26
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5 4 4
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H 1/3 D <
Forma de las Estrellas
L o n g itu d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
T>Z LOS LARES O EL TURÍBULO
La austral de las otras dos co ntiguas 228 La boreal 228 E n m edio d e la llam a 224
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34 33 34
20 10
10 20 10
4 4 4
De 7 estrella», son de cuarta magnitud 5 y de quinta 2. DK LA CORONA AUSTRAL
La que precede en el b o rd e ex terio r La que sigue en la corona La que rigue de ésta La que también sigue a ésta Después de ésta, ante la ro d illa d e S agitario La brillante al norte de la rodilla L a m ás boreal T o d av ía m ás boreal La que sigue de dos en la pa rte no rte del borde La que precede La que precede a alguna distan cia La que también antecede a ésta L a q u e resta, m ás al sur
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4 4 4
D e 13 estrellas, son de cu arta m agn itud 3, de quin ta 6, de sexta 2. UE PISCIS O EL PEZ AUSTRAL
Kn I?f lxica, la misma del extremo del agua de 300 Acuario La que precede de tres 294 en Ja cabeza 297 La de en medio
20
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15
Form a de las Estrellas
L a u g u u d Grados M in.
L a titu d Grados M in.
M ag nitud
DE PISCIS O EL PEZ AUSTRAL
La siguiente La que está en la agalla En la aleta dorsal y austral La que sigue de dos en el vientre L a q u e antecede La que sigue de tres en la aleta septentrional La de en medio L a que precede d e tres E n el extrem o de la cola
299 297
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15 16 18
15 30
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De 11 estrellas, son de cuarta magnitud 9 y de quinta 2. C E R CA D E P I S C I S A U S T R A L , F U E R A D E C O N S T E L A C I O N E S
La que precede de las b rillantes al oeste de Piscis L a d e e n m edio Laque sigue de las tres La obscura que precede a ésta La más austral de las demás hacia el septentrión L a m ás a l norte
271 274 277
30
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20
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D e 6 estrellas, son de tercera m agn itud 3, de cua rta 2, de qu inta 1. E n la misma pa rte aus tral, son 316 estrellas, de las cuales son: de p rim era m agnitud 7, de segunda 18, de tercera 60, de cuarta 167, de quinta 54, de sexta 9, nebulosa 1. Por lo tanto, todas las estrellas en total, son 1024, de las cuales son de primera magnitud 15, de segunda 45, de tercera 206, de cuarta 476, do quinta 217, de sexta 49, obscuras 11 y nebulosas 5.
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AL LECTOR SOBRE LAS HIPOTESIS DE ESTA OBRA N o dudo que ciertos eruditos, divulgada ya la fam a de la novedad de las hipótesis de esta obra, a saber, que la Tierra se mueve y que el Sol está inmóvil en medio del Universo, se habrán sentido vivamente ofendidos y juzgarán que no conviene perturbar las disciplinas liberales desde antaño debidamente establecidas. Pero si quieren ponderar exactamente la cuestión, encontrarán que el autor de esta obra no ha hecho nada que merezca represión. Pues es propio del astrónomo compaginar, con observación diligente y talentosa, la historia de los movimientos celestes. Y además pensar y determinar las causas hipotéticas de los mismos, ya que las verdaderas no puede alcanzarlas por ningún razonamiento; y con esos supuestos, calcular dichos movimientos según los principios de la geometría, tanto para el futuro como en el pasado. Ahora bien, este artista sobresale notablemente en ambas cosas. No es necesario que esas hipótesis sean verdaderas, ni siquiera que sean verosímiles; basta solamente que proporcionen un cálculo congruente con las observaciones, a menos que alguien sea tan ignorante de la geometría y de la óptica que considere verosímil el epiciclo de Venus y crea que esa es la causa de que el planeta unas veces preceda y otras siga al Sol a una distancia de cuarenta grados o más. Pues, ¿quién no verá, en este supuesto, que se sigue necesariamente que el diámetro del planeta en el perigeo ha de aparecer más de cuatro veces mayor y su cuerpo más de dieciséis veces mayor en el apogeo, a lo cual se opone, sin embargo, la experiencia de todas las épocas? O tras cosas hay en esta disciplina no menos absurdas, que no es necesario discutir ahora. Pues está bastante claro que este arte ignora plena y sencillamente, las causas de los movimientos irregulares aparentes. Y si postula algunas ficticias, y ciertamente postula muchísimas, no las propone para persuadir a nadie, sino para establecer un cálculo correcto. Así pues, ofreciéndose varias hipótesis para explicar un solo y mismo movimiento (como la excentricidad y el epiddo en el caso del movimiento solar) el astrónomo preferirá la que sea más fácil de com-
prender. £1 filósofo quizá exija más adecuación a la realidad; pero ni •uno ni otro comprenderán ni enseñarán nada con certeza, a menos qüe no les sea divinamente revelado. Dejemos, pues, que estas nuevas hipótesis aparezcan entré las antiguas, que en nada son más verosímiles, sobre todo porque son admirables y fáciles y llevan consigo un tesoro ingente de doctísimas observaciones. Y que nadie, por lo que a las hipótesis se refiere, espere nada cierto de la astronomía, porque ésta no puede darlo; no sea que, tomando por verdadero lo que fue establecido para otro uso, salga de esta disciplina más necio de lo que entró. Salud.
NICOLAS SCHONBERG CARDENAL DE CAPUA, A NICOLAS COPERNICO: SALUD Habiendo oído hablar a todos, desde hace años, de tu constante esfuerzo, empecé a sentir gran simpatía por ti y a congratularme de nuestros hombres, entre los que floreces con ta n grande gloria. Pues tengo entendido que no sólo dominas notablemente las invenciones de los antiguos matemáticos, sino que has establecido una nueva explicación del mundo, según la cual enseñas que la Tierra se mueve, que el Sol ocupa el punto central del Universo y que el octavo cielo permanece perpetuamente inmóvil y fijo; que la Luna, con los elementos de su esfera, está situada entre el cielo de Marte y el de Venus y gira en tomo al Sol con un recorrido anual; y que has elaborado unos comentarios de todo este razonamiento astronómico y confeccionado unas tablas para el cálculo de los movimientos de las estrellas errantes, con suma admiración de todos. Por lo cual, varón doctísimo, si no tr es molesto, te suplico vehementemente una y otra vez, que comuniques esta invención tuya a los estudiosos y me remitas cuanto antes tus elucubraciones sobre la esfera del Universo juntamente con las Tablas y cualquier otra cosa que tengas sobre este tema. Di a Teodorico de Raden el encargo de que se copie y se me envíe todo a mis expensas. Y si en ello me complaces, entiende que habrás tratado con un hombre bien dispuesto hacia tí y deseoso de satisfacer tan grandes dotes. Salud. En Roma, en las calendas de noviembre del año 1,536.
