CONTROL DE NIVEL DE LIQUIDO DE DOS TANQUES INTERCONECTADOS Por: Nilxon Alejandro Jaramillo Díaz omero Andre! Parede" Alejandro Villada #r$ado
Trabajo Trabajo escrito para aprobar la materia fundamentos de control control
Pro%e"or: &'$or An$onio (o$ero
Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Facultad de Minas
2013
CONTENIDO
)* +ODELO +ATE+,TICO DEL SISTE+A )*)* +ODELO +ATE+,TICO DE LA PLANTA )*-* DIA.RA+A DE (LOQUES / 0UNCI1N DE TRANS0ERENCIA POR ,L.E(RA DE (LOQUES )*2* REPRESENTACI1N EN VARIA(LES DE ESTADO )*3* SI+ULACI1N ANTE UNA ENTRADA ESCAL1N )*4* SI+ULACION EN VARIA(LES DE ESTADO -* CALCULO DEL CONTROLADOR
2* SI+ULACI1N DE RESPUESTA DE(IDO A UNA PERTUR(ACI1N EN EL SISTE+A
3* AN,LISIS DE RESULTADOS
4* CONCLUSIONES
5* RE0ERENCIAS (I(LIO.R,0ICAS
)* +ODELO +ATE+,TICO DEL SISTE+A
Suponamos un sistema de dos contenedores !ue tienen un lí!uido incompresible conectado entre sí" #Fiura 1
%$Fiura 1$
)*)*
+ODELO +ATE+,TICO DE LA PLANTA
&ara obtener relaciones !ue describan c'mo cambian las alturas del lí!uido en los contenedores con el tiempo" se procede de la siuiente manera$ Se anali(a primero el contenedor 1$ )n el cual entra un *ujo volum+trico q1 ,m3-mín$. / sale un *ujo q2 acia el contenedor 2" a trav+s de la vlvula R1$ a tasa de cambio volum+trica en el tiempo para el contenedor 1 es q 1 −q 2 =
d V 1 dt
)n donde V 1=c1h1$ a capacitancia C se dene como la ra('n entre el cambio del lí!uido almacenado # m
3
% / el cambio en la altura del nivel de referencia
#m%$ a capacitancia del tan!ue es iual a su rea transversal" si esta es constante" la capacitancia es constante para cual!uier altura$ 4eempla(ando obtenemos q1 −q2 =
d ( c 1 h1 ) dt
=c
d h1 1
dt
Sabiendo !ue la presi'n en el contenedor 1 es P1=h1ρg$ 5onde6 P1 ,N-m2." h1 ,m." ρ ,7-m3." g,m-s2.$ a diferencia de presiones dP=P1-P2 enera un *ujo a trav+s de la vlvula R1 !ue conecta el contenedor 1 con el contenedor 2" donde la resistencia a *uir del lí!uido" debido al *ujo por vlvulas / cambios de dimetro de las tuberías se denomina resistencia hidráulica $ a relaci'n entre la ra('n de *ujo volum+trico q2 del lí!uido a trav+s de un elemento resistivo como la vlvula R1" / la diferencia de presiones resultante dP es6
dP = P 1− P2= R1 q2
&or lo tanto" sabiendo !ue la presi'n del contenedor 2 es P2=h2ρg obtenemos !ue
( h − h ) ρg= R 1
2
1
q2
5espejando q2 q 2=
( P − P ) ρg 1
2
R 1
5onde R1 es la resistencia hidráulica / q2 es el *ujo volum+trico a trav+s de la vlvula R1$ 8 ma/or resistencia idrulica ma/or es la diferencia de presiones para dar una ra('n de *ujo$ 4eempla(ando la ecuaci'n #9% en la ecuaci'n #2%" obtenemos la siuiente ecuaci'n #:% !ue describe c'mo cambia la altura del lí!uido en el contenedor 1$ q1 −
( h −h ) ρg 1
2
R1
=c
d h1 1
dt
&osteriormente" se procede al anlisis del contenedor 2 de manera similar !ue con el contenedor 1$ Sabiendo !ue al contenedor 2 entra un *ujo q2 a trav+s de la vlvula R1 / sale un *ujo q3 a trav+s de la vlvula R2$ &odemos obtener la tasa de cambio volum+trica en el tiempo para el contenedor 2$ q 2−q3 =c 2
d h2 dt
Sabiendo !ue P2=h2ρg / !ue la presi'n a la salida del contenedor es cero" /a !ue est a presi'n atmosf+rica" es decir dp=P 2-0=dP" / con la denici'n anterior de resistencia idrulica para la vlvula R2 se obtiene !ue P2−0 = R2 q3
ueo q3 =
h2 ρg R 2
ρg =1 " lo !ue nos
&ara simplicar el modelo Supondremos !ue la constante permite obtener las siuientes ecuaciones h1−h2
C 1
2
R1
C 2
=q #1%
d h2 dt
d h1
= q −q #2% dt 1
2
h2 R 2
=q
#3%
3
= q −q #;% 2
3
[ ] h 1 −h 2 R1
= ʆ [ q
2
] ʆ
1
R 1
[ ] h 2
R2
= ʆ [ q
3
]
[ H ( S )− H ( S )] =Q (S ) 1
2
H 2 ( S )
#9%
R2
[ ]= [
ʆ C 1
d h1 dt
ʆ q1− q2 ]
C 1 S H 1 ( S )=Q 1 ( S )−Q2 ( S )
=Q ( S )
#=%
3
[ ]= [
ʆ C 2
d h2 dt
ʆ q2 −q3 ]
C 2 S H 2 ( S )=Q 2 ( S )−Q3 ( S )
#:% #>%
ECUACIONES PARA ENCONTRAR LA 0UNCION DE TRASN0ERENCIA 5e la ecuaci'n = tenemos H 2 ( S ) = R2 Q 3 ( S )
5e la ecuaci'n :
#?%
H 1 ( S ) =
Q 1 ( S )−Q 2 ( S )
C 1 S
#10%
5e la ecuaci'n > Q 2 ( S ) =C 2 S H 2 ( S ) + Q 3 ( S )
#11%
5e la ecuaci'n 9 H 1 ( S ) = R1 Q2 ( S ) + H 2 ( S )
#12%
5e la ecuaci'n ? / 10 rempla(amos en la 11 Q 1 ( S ) −Q 2 ( S )
= R Q ( S ) + R Q ( S ) 1
C 1 S
2
2
#13%
3
5e ? en 12 Q2 ( S ) =C 2 S R 2 Q 3 ( S ) + Q3 ( S )
#1;%
5e la ecuaci'n 13 / 1;
[
Q1 ( S ) − C 2 S R 2 Q 3 ( S ) + Q3 ( S )
]= R C S [ C S R Q ( S ) +Q 1
1
2
2
3
3
( S ) ] + C SQ ( S ) 1
3
5e la ecuaci'n 19
[
]
#1:%
H 2 ( S ) 2 Q1 ( S ) = S C 1 C 2 R1 R 2+ S C 1 R1 + S C 1 R2 + S C 2 R 2+ 1 R2
#1=%
Q1 ( S ) =Q3 ( S ) S C 1 C 2 R1 R2 + S C 1 R1 + S C 1 R 2+ S C 2 R 2+ 1 2
5e la ecuaci'n = en 1:
[
5e la ecuaci'n 1= H 2 ( S )
R2
Q1 ( S )
[ S C C R R + S C R + S C R + S C R + 1 ]
=
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
]
#19%
)*-* DIA.RA+A DE (LOQUES / 0UNCI1N DE TRANS0ERENCIA POR ,L.E(RA DE (LOQUES 5e las ecuaciones #?%" #10%" #11% / #12% podemos tra(ar unos diaramas de blo!ues como se muestra la siuiente Fiura 2$
Conectando los sementos de la Fiura 2$ Se llea al siuiente diarama del sistema en la(o cerrado
&or medio de operaciones por lebra de blo!ues se reduce el diarama anterior de la siuiente manera
Simplicaciones adicionales llevan a reducir el diarama a@n ms" lorando así obtener la funci'n de transferencia de la planta" !ue son los dos tan!ues interconectados$
)*2* REPRESENTACI1N EN VARIA(LES DE ESTADO
)cuaciones 1 / 3 en ; c2
d h2 dt
h2
d h2
R 1 R1 R 2
dt
=
h1
−
h 2
−
=
h1 c 2 R 1
−
1
(
1
+
1
c 2 R1 R 2
)
h2
)cuaciones 1 / 3 en ; h 1−¿ h
d h1
2
dt
R 1
q1
= − c1
h1
+
h2
c 1 R 1 c 1 R1
¿
A =
−1
1
c1 R1
c 1 R 1
−1
1
c2 R1
(
1
1
c 2 R1 R 2
d
)*3*
[ ]
X =
+
)
[ ] h1 ( t ) h2 ( t )
1
=
h1 ( t )
B = c1
h2 ( t )
−1
1
c 1 R1
c1 R1
1
−1
1
+
[ ][ h 1( t )
1
h 2( t )
1
]
U = q1 ( t )
+ c q (t ) 1
0
1
SI+ULACI1N ANTE UNA ENTRADA ESCAL1N
&ara reali(ar la simulaci'n se tom' el rea de ambos tan!ues iual a 2
m
2
/
la resistencia idrulica de ambas vlvulas iual a 1A estos datos fueron rempla(ados en la funci'n de transferencia de la planta obteniendo la siuiente ecuaci'n$ H 2 Q1
=
1 4s
2
+6 s+ 1
8dems" se supuso las siuientes condiciones6
• •
Manitud del escal'n de entrada6 1 pasos deseados6 100
&lanta sin controlador 1 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6
) m ( a r 0. 5 u t l a
0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 0
10
20
3 0
4 0
5 0 6 0 t i e mp o( s )
70
8 0
9 0
1 0 0
Fiura 1$ Simulaci'n con entrada en escal'n
)*4 SI+ULACION EN VARIA(LES DE ESTADO
&ara reali(ar esta simulaci'n se utili(' el m+todo num+rico de )uler" para lorar +sto fue necesario utili(ar el prorama eBpuesto por el profesor en las clases anteriores" !ue simulaba este m+todo utili(ando matlab$ Se inresaron los siuientes parmetros6
1
0 . 9
0 . 8
. 7 )0 m ( 2 h . 6 o0 d a t s e . 5 e0 d e l b a i r0 . 4 a V
0 . 3
0 . 2
0 . 1
0 0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0 6 0 T i e mp o( s )
7 0
8 0
9 0
1 0 0
Fiura 2$ Simulaci'n en variables de estado$
Comparando los resultados obtenidos en la simulaci'n con entrada en escal'n / en variables de estado" se observa !ue para ambos casos se alcan(a la altura deseada" / adems el tiempo de respuesta es iual$#er ura 1 / 2%$
-* C,LCULO DE UN CONTROLADOR PARA EL SISTE+A Cal'#lo del 'on$rolador 6or el m&$odo 6olinomial
+odelo de la 6lan$a 1
Q1 ( S )
2
s
4
3
1
2
4
+ s+
H 2 ( S )
G ( s )=
Bo ( s ) A o ( s )
+odelo del 'on$rolador E ( S
Kp
( ) 1
+
1
H 2 (
τ i s
Gc =
p 1 s + po l1 s +l0
=
P ( s ) L ( s )
)l polinomio deseado es de la forma6 A o ( s ) L ( s ) + Bo ( s ) P ( s )= A o ( s ) [ l1 s + l 0 ] + Bo ( s ) [ p 1 s + po ]
A o ( s ) [l 1 s + l 0 ]+ B o ( s ) [ p1 s + p o ]=
[
1 4
2
s
]
+ 3 s+ 1 [ l s+ l 2
4
1
0
]
D
[ p s + po ] 1
&ara nuestro caso el polinomio deseado es6 s
3
3
2
3
1
2
2
3
1
+ s + s+ 2
ueo6 s
3
3
2
3
3
2
1
2
3
1
2
4
+ s + s + =l s + l s + l s + l s + l o s + l + p s + p o 2
2
2
1
2
1
4
1
0
0
1
5e la ecuaci'n anterior" obtenemos6 l 0 =0 l 1 =0
p1=
3 2
p0=
1 2
3
Gc ( s )=
2
s+
1 2
s
E ( S
3 2
+
1
H 2 (
2s
Pro6or'ional7)*4
In$e8ral79*4
Sim#la'in 'on PI
&lanta con controlador &E
1. 4
1. 2
1
)0 . 8 m ( a r u t l a0 . 6
0. 4
0. 2
0 0
1 0
20
30
40
50 6 0 t i e mp o( s )
70
80
90
10 0
Simulaci'n con controlador &E
2 SI+ULACI1N CON RUIDO / PERTUR(ACI1N EN EL SISTE+A
1 . 4
1 . 2
1
)0 . 8 m ( a r u t l a0 . 6
0 . 4
0 . 2
0 0
10
20
30
40
5 0 60 t i e mp o( s )
70
80
9 0
100
3 AN,LISIS DE RESULTADOS bservado las rcas de la simulaci'n" podemos observar" !ue tanto para el caso de la entrada en escal'n / la simulaci'n en variables de estado el nivel del tan!ue alcan(ado es iual a la altura deseada de 1
m
2
" / el tiempo de
respuesta es de aproBimadamente 30 seundos !ue es relativamente rpido teniendo en cuenta el tamaGo del tan!ue de area transversal de 2
m
2
$
&ara solucionar los problemas en las simulaciones con entrada en escal'n / variables de estado" !ue no responden adecuadamente ante la presencia de ruido en el sensor /-o aluna perturbaci'n en el sistema fue necesario diseGar un controlador &E !ue nos permita alcan(ar el nivel deseado del tan!ue / adems disminuir el tiempo de respuesta a 20 seundos$
4 CONCLUSIONES &ara el clculo del controlador &E fue necesario poner en prctica los conceptos aprendidos durante el semestre acad+mico" lo !ue nos a/ud' a entender la importancia del control en nuestras vidas como profesionales$ Con el controlador PI diseñado, se buscó alcanzar la altura deseada del nivel del tanque cuando se presentara cualquier perturbación en el sistema y/o ruido en el sensor, pero disminuyendo el tiempo de estabilidad del sistema.
las perturbaciones presentes en el sistema" oblian al controlador a aumentar el tiempo de estabilidad del sistema" debido al aumento de sobreimpulsos" observados en la simulaci'n$
5 RE0ERENCIAS (I(LIO.R,0ICAS HTN" Iilliam$ Ingeniería de control.2da edici'n6 M+Bico" 2001" editorial 8lfaomea$ J8T8" 7atsuiKo$ Ingeniería de control moderna. 9ta edici'n6 M+Bico" 200?" editorial &rentice all
