Analisa Dinamika Struktur
SOAL 3
q3
h3
q2
h2
q1
h1
L DIKETAHUI : Struktur pada gambar di atas dengan data sebagai berikut : L
=6m
q1
= 3 t/m
g
= 980 cm / detik2
h1
=6m
q2
= 3 t/m
k1
= 5 x 103 kg/cm
h2
=5m
q3
= 2,5 t/m
k2
= 4 x 103 kg/cm
h3
=4m
k3
= 3 x 103 kg/cm
DIMINTA : Tentukan Respon struktur tersebut diatas akibat gempa El Centro
Analisa Dinamika Struktur
PENYELESAIAN : Perhitungan Massa : ω 1 = q1 . L = ( 3 x 103 ) x 6 = 18.000 kg ω 2 = q2 . L = ( 3 x 103 ) x 6 = 18.000 kg ω 3 = q3 . L = ( 2,5 x 103 ) x 6 = 15.000 kg
m1
m2
m3
1 g
2 g
3 g
18000 18 ,367 kg det 2 / cm 980
18000 18 ,367 kg det 2 / cm 980
15000 15 ,306 kg det 2 / cm 980
Model Matematik
Analisa Dinamika Struktur
Free Body
Berdasarkan keseimbangan gaya – gaya pada freebody diagram, maka dapat disusun PD (Persamaan Differensial ) gerakan sebagai berikut : m1 . y1 + k1 . y1 – k2 ( y2 – y1 )
=0___________(1)
m2 . y2 + k2 ( y2 – y1 ) – k3 ( y3 – y2 ) = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 ) m3 . y3 + k3 ( y3 – y2 )
=0___________(3)
Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi : m1 . y1 + ( k1 + k2 ) y1 – k2 . y2
=0___________(4)
m2 . y2 – ( k2 . y1 ) + ( k2 + k3 ) y2 – k3 . y3
=0___________(5)
m3 . y3 – k3 . y2 + k3 . y3
=0___________(6)
Atau bila ditulis dalam bentuk matriks menjadi :
m1 0 0
0 m2 0
0 y1 k 1 k 2 0 y 2 k 2 m 3 y 3 0
k2 ( k 2 k 3) k3
0 y1 0 k 3 y 2 0 k 3 y 3 0
________(7)
Jika dipakai unit massa m = 10 kg det2 / cm dan unit kekakuan k = 1000 kg / cm maka matriks massa dan matriks kekakuan struktur 3 DOF diatas adalah :
1,8367 m 0 0
0 1,8367 0
0 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 8 ) 1, 5306 0
Analisa Dinamika Struktur
9k k 4 k 0
4k
0 3 k _ _ _ _ _ _ _ _ ( 9 ) 3 k
7k 3k
Persamaan Eigen Problem yang dapat diperoleh dari matriks [ m ] dan matriks [ k ] adalah :
9 k 1,8367 m 2 4k 0
4k 7 k 1,8367 m 2 3k
_ _ _ _ _ _ _ _ ( 10 ) 3 k 1,5306 m 2 0 3k
Sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi :
9 k 1,8367 2 k m 4k 0
4k 7 k 1,8367 2 k m 3k
0 1 0 0 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 11 ) 3k 2 3 0 3 k 1, 5306 2 k m
Penyederhanaan persamaan ( 11 ), menjadi : ( 9 – 1,8367 λ ) ø1 - 4 ø2
= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 12 )
-4 ø1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3
= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 13 )
-3 ø2 + ( 3 – 1,5306 λ ) ø3
= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 14 )
Dengan mengambil nilai ø1 = 1, maka pada persamaan ( 12 ) dan persamaan ( 13 ) akan menjadi:
Persamaan ( 12 ) ( 9 – 1,8367 λ ) ø1 – 4
ø2
=0
( 9 – 1,8367 λ ) 1 – 4 ø2
=0
9 – 1,8367 λ – 4 ø2
=0 4 ø2
= 9 – 1,8367 λ
ø2
= 2,25 – 0,4592 λ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 15 )
Analisa Dinamika Struktur
Persamaan ( 13 ) -4 ø1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3
=0
-4 x 1 + ( 7 – 1,8367 λ ) ( 2,25 – 0,4592 λ ) – 3 ø3
=0
-4 + 15,75 – 4,1326 λ – 3,2144 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3
=0
11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3
=0
3 ø3
= 11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2
ø3
= 3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 16 )
Substitusi Persamaan ( 15 ) dan persamaan ( 16 ) ke dalam persamaan ( 14 ) -3 ø2 + ( 3 – 1,5306 λ ) ø3
=0
-3 (2,25 – 0,4592 λ ) + (3 – 1,5306 λ ) (3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 ) = 0 -6,75 + 1,3776 λ + 11,7501 – 7,347 λ + 0,8433 λ2 – 5,995 λ + 3,748 λ2 – 0,4302 λ3 = 0 5,001 – 11,9644 λ + 4,5913 λ2 – 0,4302 λ3
= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 17 )
Cara paling sederhana mencari nilai λ adalah dengan cara coba – coba dan diperoleh :
1 0 , 781 1
5000 14 ,581 rad / det 18 ,367
0 , 781
2 4 ,125 2
4 ,125
3 7 , 447 3
, 447
4000 29 , 972 rad / det 18 ,367
3000 38 , 205 rad / det 15 ,306
Analisa Dinamika Struktur
Nilai Fungsi øi
Nilai Fungsi øi
No
Mode I = 0,781
Mode II = 4,125
Mode III = 7,447
1
ø1 = 1
ø11 = 1
ø12 = 1
ø13 = 1
2
ø2 = 2,25 – 0,4592 λ
ø21 = 1,891
ø22 = 0,3558
ø23 = -1,1696
3
ø3 = 3,9167–2,449λ + 0,2811 λ2
ø31 = 2,1755
ø32 = -1,4023
ø33 = 1,2682
Ø31
Ø32
Ø33
Ø21
Ø22
Ø11
Mode I
Ø23
Ø12
Mode II
Ø13
Mode III
Gambar Normal Mode
