Contoh 1
P = 1t MA
q = 1 t/m’ EI
HA A
EI
VA
C
B 6m
2m
VB
a). Struktur statis tak tentu EI A
C
B 6m
2m
b). Struktur statis tertentu
MA = 40 tm
P = 1t q = 1 t/m’ EI
A VA = 9t
B
6m
C
EI 2m
x2
x1
c). Akibat beban yang ada Gambar 4.6 Penyelesaian dengan consistent deformation Suatu balok statis tak tentu dengan ukuran dan pembebanan seperti pada gambar. A jepit dan B rol. Hitung gaya-gaya dalam dan reaksi perletakannya dengan metoda Consistent Deformation. Gambar bidang M, N dan D nya.
Penyelesaian :
• R = 4 > 3 kelebihan 1 reaksi. Struktur statis tidak tertentu tingkat 1. • VB – sebagai gaya kelebihan ∆BV – defleksi yang dicari. • Akibat beban yang ada : VA = 1 x 8 + 1 = 9 t ( ↑) MA = ½ (1) 8² + 1 x 8 = 40 tm.
Persamaan momen : (Mx) CB 0 < x1 < 2 Mx1
2
= - ½ x1² - x1 = - (½ x 1 + x1)
BA 0 < x2 < 6 Mx2
= - ½ (x2 + 2)² – 1(x2 + 2) 2
= - (½ x 2 + 3x2 + 4) MA = 6
1 EI
A
• Akibat beban unit di B (↓)
B EI
C
• ( Akibat beban VB = 1t (↓) )
2m
6m VA = 1
x2
VA = 1t (↑)
x1
MA = - 1 x 6 = -6 Persamaan momen : (m x). CB 0 CB 0 < x1 < 2
mx1 = 0
BA 0 < x2 < 6
mx2 = -x2
• Akibat beban yang ada :
∆ BV
s
Mx mx
0
EI
=
=+
1 EI
2
- (1 / 2 x12 + x1 ) (0)
0
EI
dx =
dx1 +
6
- (1/2 x 22 + 3x 2 + 4) ( x 2 )
0
EI
[1 / 8 x 42 + x 32 + 2x 22 ]60 = + 450 ( ) EI
• Akibat beban VB = 1t (↓) δBV =
s 0
m 2x EI
6
dx = 0
(-x 2 )² EI
dx 2 =
1 EI
[1 / 3 x 32 ]60 = +
• Struktur aslinya B adalah rol Σ ∆ BV = 0 Persamaan “Consistent Deformation”
∆BV + δBV VB = 0 450 EI
+
72 EI
VB = 0
VB = -6,25 t ()
72 EI
(
)
d x2
MA = 2,50 tm
1t
q = 1 t /m
ΣV = 0
VA + VB = 8 + 1 VA = + 2,75 t (↑)
A
C
B
HA = 0
=0
2m VB = 6,25 t
MA = + 2,5 tm - Bidang Gaya Normal (N) N = 0
(e) reaksi perletakan balok 2,5 t
- Bidang Momen (M)
3t
+
1t B
C
-
2,75 m
AB 0 < x1 < 6 2
Mx1 = 2,75 x1 – 2,50 – ½ x 1
+
A
dm x1 dx 1
(-)
CB
0 < x2 < 2
Mx2 = - ½ x
(-) (+)
B
C
2
2 –
2
2,75 m (g). Bidang Momen Gambar 4.7 Bidang momen, gaya lintang, dan gaya normal - Bidang Gaya Lintang (D) Dx1 = 2,75 – x 1 Dx = 0 2,75 – x1 = 0 x1 = 2,75 DA = 2,75 t DBkr = 2,75 – 6 = - 3,25 t CB 0 < x2 < 2
Dx2 = x2 + 1 DC = +1 DBkn = +3
x2
MB = - ½ (2) – 2 = - 4 tm
1,28125 tm
AB 0 < x1 < 6
x 1 = 2,75m
= + 1,28125 tm
4 tm
2,5 tm
= 0 = 2,75 - x 1
Mmax = 2,75 x 2,75 – 2,50 – ½ (2,75)²
3,25 t
(f) Bidang gaya lintang (D)
A
ΣMA = 0 MA + VB x 6 – 8 x 4 – 1 x 8
6m VA = 2,75 t
ΣH = 0
Contoh 2
Suatu struktur portal statis tidak tertentu
q = 1 t/m’ B
C
dengan ukuran dan pembebanan seperti Hc
Vc EI
pada Gambar. A jepit dan C sendi.
• Selesaikan portal tersebut dengan 4m
metoda “Consistent Deformation”
• Gambarkan bidang M, N dan D nya MA
A
A VA
4m a). Struktur statis tidak tertentu Penyelesaian :
B
EI
• R = 5 > 3 kelebihan 2 reaksi. Struktur
C
statis tidak tertentu tingkat 2. EI
4m
• MA dan HC sebagai gaya kelebihan sehingga A menjadi sendi dan C menjadi rol.
• θA
MA
A
dan
∆CH
deformasi
yang
dihitung.
4m b). Struktur statis tertentu
• Akibat beban yang ada.
q = 1 t/m’ B
C
ΣH = 0 HA = 0 VA = VC = ½ x 1 x 4 = 2 t (↑)
x2
Vc = 2t
Persamaan momen (Mx) AB 0 < x1 < 4 m Mx1= 0 2
CB 0 < x2 < 4 m Mx2 = 2 x2 – ½ x
x1 A
VA = 2t (c). Akibat beban yang ada
2
• Akibat beban unit momen di A
C
B
(beban MA = 1 tm
)
x2
ΣH = 0 HA = 0
Vc = ¼
EI
ΣMC = 0 VA . 4 – 1 = 0 VA = ¼ (↑) ΣV = 0 VA + VC = 0 VC = - ¼ (↓)
x1
A
Persamaan momen (m r) VA = ¼
1
AB , 0 < x1 < 4 m mr1 = -1
d). Akibat beban unit momen di A (Beban MA = 1 tm
CB, 0 < x 2 < 4 m mr2 = - ¼ x2
1 B x2
• Akibat beban unit horizontal di C () (akibat HC = 1t )
C Vc = 1
Σ H = 0 HA = 1t (←) Σ MC = 0 VA x 4 + 1 x 4 = 0 VA = - 1t (↓) Σ V = 0 VA + VC = 0
x1
VC = +
1t (↑)
Persamaan momen (m h) HA = 1
A
AB , 0 < x1 < 4 m mh1 = + x1
VA = 1
CB, CB , 0 < x2 < 4 m mh2 = + x2
e). Akibat beban unit horizontal di C () (beban HC = 1t )
• Deformasi akibat beban yang ada : θA =
s
Mxmr EI
0s s
dx =
1
4
EI 0 4
2x ( 2 -
1 2
x 22 )
(-
x2 4
)d x2 =
1 EI
[-
1 6 4
x 32
+
1 32
4
x 42 ]
1 2 1 2 3 1 4 32 ∆CH = ∫ dx = (→) 2 x2 - x 2 x 2d x2 = x − x = + ∫ EI EI 2 EI 3 8 3 EI 0 0 0 M x mh
1
s
Deformasi akibat MA = 1 tm
=0
8 3EI
ϕ Am
s
=
δCHm =
0 s
mr ²
dx =
EI
mr mh EI
0
I
4
( 1)²dx 1 +
EI 0
dx =
I
I
4
x2
EI 0
EI 0
( 1)( x 1 ) d x1 +
²dx 2 =
4
4
4
x2
EI 0
4
I
I EI
(x1 )04 +
I
x 32
EI
48
4
=+ 0
(x 2 ) dx 2
4
3 I x 2 40 = − = − (←) x1 − EI 2 0 EI 12 0 3 EI 4
I 1
• Deformasi akibat HC = 1t (→) ϕAh =
s
mhmr
0
dx =
EI
4
I
EI 0
( x 1 )( 1) d x1 +
I
4
EI 0
x2
(x 2 )
4
dx 2
4
3 I x 2 40 1 = − = − x1 − 3 EI 2 0 EI 12 0 4
s
δCHh =
mh ²
I
4
∫ EI dx = EI ∫ ( x )² d 0
+
x1
1
0
=
3 I x1
4
I
4
∫ ( x
EI 0
3 I x 2
2
)² dx2
4
128
+ = + (→) 3 0 EI 3 0 3 EI EI
• Struktur aslinya A adalah jepit, Σ θA = 0 • dan C adalah sendi
, Σ ∆CH = 0
Persamaan Consistent Deformation
Σ θA = 0
θA + ϕAm . MA + ϕAh HC = 0 −
8 3 EI
+
16
M A 3 EI
−
40
H C = 0 → −1 + 2 M A 3 EI
− 5H C = 0 (1)
Σ∆CH = 0 ∆CH + δCHm MA – δCHh HC = 0 +
32 3 EI
−
40
M A 3 EI
+
128
H C = 0 → +4 − 5 M A 3 EI
5 x (1) + 2 x (2) + 3 – 7 HC = 0 (1) -1 + 2 M A – 5 (−
3 7
)=0
HC =
−
MA =
−
3 7
t (←)
4 7
tm
+ 16H C = 0 (2)
16 3EI
q = 1 t/m’ B
MB =
8 7
ΣH = 0 HA + HC = 0 HA =
C
HC = tm VC =
12 7
3 7
t VC =
t
7
4 MA = tm o 7 16 VA = t 7
t
8 7
tm
4 12
4 3 - x 4) 7 7
t (↑ )
7
3
q = 1 t/m’ C
7
tm
16 t
7
3
4
16 7
7
16
12
t
7
t (↑)
12 7
x4–4x2=-
3
7
t
t
g). Free Body diagram Gambar 4.8 Penyelesaian dengan consistent deformation
t
t
8 7
tm
Bidang Gaya Normal (N) : Batang AB NAB = -
7
tm 7 A
(8 +
MB = VC x 4 – 4 x 2 =
B
7
1
VA =
f). Reaksi perletakan struktur statis tidak terntetu
8
t (→ )
ΣV = 0 VA + VC – 4 = 0
A 3
7
ΣMA = 0 VC x 4 + HC x 4 – 4 x 2 - M A=0
=
HA =
3
16
t (tekan) 7 3 Batang BC NBC = - t (tekan) 7 Bidang Gaya Lintang (D) : 3 Batang AB Dx1 = - t 7 3 x1 = 0 DA = - t 7 3 x2 = 4 m DBbw = - t 7 12 + x2 Batang CB Dx2 = 7t 12 x2 = 0 Dc = 7 16 12 +4=+ t x2 = 4 m DBkm = 7 7 12 Untuk Dx = 0 + x2 = 0 7 12 x2 = + m 7
Dengan free body diagram diagram kita dapat menggambarkan bidang M, D, N nya.
