9/3/2013
2 Meto Metode de Def Defor orma masi si Ko Kons nsis isten ten K L 3 10 1 0 1 , K E LA LA S 0 1 SEMESTER I 2013/2014
Pengantar
Telah Telah dipe dipelaj lajari ari sebelu sebelumn mnya ya bahwa bahwa kesei keseimb mban angan gan merup me rupak akan an persya persyarat ratan an yang yang harus harus dipen dipenuhi uhi oleh oleh sistem struktur yang menerima beban reaksi dan dan gaya gaya dala dalam m me meng ngim imba bang ngii be beba ban n yang yang be beke kerj rja. a. Jika Jika reak reaksi si dan dan gaya gaya dala dalam m stru strukt ktur ur dapa dapatt diten ditentuk tukan an hanya hanya denga dengan n menggu mengguna nakan kan persa persama maan an keseimb keseimbanga angan, n, maka struktur struktur termasuk termasuk kategori kategori statis statis tertentu tertentu (statically determinate). determinate).
1
9/3/2013
Persamaan Pers amaan Kese Keseimban imbangan gan 2D
3D
F 0 F 0 M 0
F F F
x
y
z
x
0
y
0
z
0
M 0 M 0 M 0 x
y
z
Ketakte Ket aktentua ntuan n Stati Statiss
Jika Jika terd terdap apat at lebi lebih h banya banyak k reak reaksi si dan/ dan/at atau au gaya gaya dala dalam m daripada daripada jumlah persamaan persamaan keseimbanga keseimbangan, n, struktur struktur dikatakan dikatakan sebagai sebagai stat statis is tak tak tent tentu u (statically indeterminate). indeterminate). Hal Hal ini ini buka bukan n be bera rart rtii reak reaksi si dan dan gaya gaya dala dalam m tida tidak k bisa bisa ditent ditentukan ukan.. Hanya Hanya persama persamaan an keseimb keseimbang angan an tidak tidak cukup untuk untuk me mene nent ntuka ukan n be besa sarr reak reaksi si dan dan gaya gaya dala dalam m ters terseb ebut ut.. M A
w B
A R Ay
R B
2
9/3/2013
Persamaan Pers amaan Kese Keseimban imbangan gan 2D
3D
F 0 F 0 M 0
F F F
x
y
z
x
0
y
0
z
0
M 0 M 0 M 0 x
y
z
Ketakte Ket aktentua ntuan n Stati Statiss
Jika Jika terd terdap apat at lebi lebih h banya banyak k reak reaksi si dan/ dan/at atau au gaya gaya dala dalam m daripada daripada jumlah persamaan persamaan keseimbanga keseimbangan, n, struktur struktur dikatakan dikatakan sebagai sebagai stat statis is tak tak tent tentu u (statically indeterminate). indeterminate). Hal Hal ini ini buka bukan n be bera rart rtii reak reaksi si dan dan gaya gaya dala dalam m tida tidak k bisa bisa ditent ditentukan ukan.. Hanya Hanya persama persamaan an keseimb keseimbang angan an tidak tidak cukup untuk untuk me mene nent ntuka ukan n be besa sarr reak reaksi si dan dan gaya gaya dala dalam m ters terseb ebut ut.. M A
w B
A R Ay
R B
2
9/3/2013
Gaya Kelebihan
Struktur statis tak tentu dapat diubah menjadi struktur statis tertentu dengan menghilangkan sejumlah gaya (reaksi atau gaya dalam) dalam) yang nilainya belum diketahui. Gaya-gaya yang dihilangkan ini disebut gaya kelebihan (redundant forces). forces). Jumlah gaya kelebihan ini sama dengan derajat kestatistaktentuan struktur. Struktur statis tertentu yang dihasilkan disebut struktur primer. primer. Sembarang reaksi atau gaya dalam dapat dipilih sebagai gaya kelebihan selama struktur primer yang dihasilkan stabil. stabil.
Prinsip Dasar
Struktur statis tak tentu dapat dianalisis sebagai penjumlahan dari struktur primer yang dikenai beban luar dan struktur primer yang dikenai gaya-gaya kelebihan. kelebihan. M A
w B
A R Ay
R B
=
w
M A0 A0
B
A R Ay0 Ay0
+
M A1 A1
M A = M A0 A0 + M A1 A1 R Ay = R Ay0 Ay0 + R Ay1 Ay1
A R Ay1 Ay1
B R B
3
9/3/2013
Prinsip Dasar
Agar deformasi struktur primer di tempat gaya kelebihan bekerja konsisten dengan struktur statis tak tentu semula, diperlukan syarat kompatibilitas.
M A
w
M A0 B
A R Ay B =
0
w 0
= R Ay0
R B
+
B = 0 + 1
M A1 persamaan kompatibilitas
0 + 1 =
0
R Ay1
1
R B
Prinsip Dasar
Setiap persamaan kompatibilitas mengandung gaya kelebihan yang belum diketahui nilainya. Jumlah persamaan kompatibilitas sama banyak dengan jumlah gaya kelebihan. Dengan demikian penyelesaian persamaan kompatibilitas secara simultan akan menghasilkan nilai semua gaya kelebihan.
4
9/3/2013
Ilustrasi Perhitungan M A0
R Ay 0 wL
w 0
0
R Ay0
M A1
1
R B
R Ay1
2
wL4 8 EI
R Ay1 RB
1
M A0
;
wL2
M A1 RB L
;
R B L3 3 EI
Ilustrasi Perhitungan
Persamaan kompatibilitas: wL4 R B L3 0 1 0 0 8 EI
R B
3EI
3wL 8
Reaksi lainnya: R Ay RAy 0 RAy 1 wL M A M A 0 M A1
3wL 8
5wL 8
wL 3wL L 2 8 8 wL2
2
CCW
5
9/3/2013
Gaya Dalam sebagai Gaya Kelebihan
Selain reaksi, gaya dalam dapat pula dipilih sebagai gaya kelebihan. Misalnya untuk struktur balok berikut: w A
Momen lentur di B, M B, dapat dijadikan gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer berikut: w
M B M B
A
C
B
w B
B
C
Syarat kompatibilitas: w
w
A
B
B Δ BA0
C Δ BC 0
M B M B A
B Δ BA1
w B
C Δ BC 1
BA0 BC 0 BA1 BC 1 0
Selesaikan persamaan kompatibilitas di atas untuk memperoleh nilai M B, kemudian tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam pada balok tersebut!
6
9/3/2013
Penamaan Variabel
Gaya-gaya kelebihan diberi nama X i . Perpindahan struktur primer akibat beban luar dalam masing-masing arah gaya kelebihan diberi nama Δ0i . Perpindahan struktur primer dalam arah X i akibat gaya kelebihan X j diberi nama Δij .
M A0
w
M A1
11
01
R Ay0
R Ay1
X 1
Koefisien Fleksibilitas Untuk memisahkan unknown X i dalam perhitungan, terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 satuan dalam masing-masing arah gaya kelebihan. Perpindahan akibat gaya 1 satuan ini diberi nama δ , ij yaitu perpindahan dalam arah gaya kelebihan ke-i ( X i ) akibat gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan ke- j ( X j ). δ disebut juga koefisien fleksibilitas. ij
7
9/3/2013
Koefisien Fleksibilitas
M A1
11
X 1
R Ay1
m A1
11 11 X 1 M A1 m A1 X 1 R Ay1 rAy1 X 1
δ 11
1
r Ay1
Koefisien Fleksibilitas
Dengan metode beban satuan, nilai perpindahan struktur primer Δ0i dan koefisien fleksibilitas δ ij adalah: L L 0i 0
M 0 = mi =
M 0 mi EI
dx
;
ij
0
mi m j EI
dx
momen lentur pada struktur primer akibat beban luar. momen lentur pada struktur primer akibat gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan X i .
Persamaan kompatibilitas sekarang dapat dituliskan dalam bentuk: 01 11 0 10 11 X 1 0 11 X 1
01
8
9/3/2013
Koefisien Fleksibilitas
Untuk struktur rangka batang, nilai perpindahan struktur primer Δ0i dan koefisien fleksibilitas δ ij adalah: N
0i k 1
S k0 = ski =
S k 0 ski Lk Ek Ak
;
ij
N
ski skj Lk
k 1
Ek Ak
gaya batang k pada struktur primer akibat beban luar. gaya batang k pada struktur primer akibat gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan X i .
Contoh 1
Pilih reaksi momen di A sebagai gaya kelebihan dan gunakan metode deformasi konsisten untuk menentukan reaksi dari struktur balok seperti tergambar. M A
w B
A R Ay
w
X 1
R B
B
A R Ay
R B
9
9/3/2013
Putaran di tumpuan A harus nol, karena A adalah tumpuan jepit.
Syarat kompatibilitas:
01 11 X 1 0 01 =
putaran di ujung A pada struktur primer akibat beban luar,
11 =
putaran di ujung A pada struktur primer akibat momen satu satuan dalam arah X 1. 1
w
A
A
B
B
Δ01
δ 11
R Ay0 = wL/2
Diagram momen
r Ay1 = –1/ L
R B0 = wL/2
wL2/8
r B1 = 1/ L
1
+
+
m1
M 0
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
L
01
wL2 dx 1 2 6 EI 8 EI
M 0 m1
0
L
3
wL
24 EI L
Koefisien fleksibilitas:
11
0
Persamaan kompatibilitas:
m1m1 EI
dx
L 3EI
11
L 3 EI
01 11 X 1 0 3
wL
24 EI
L 3EI
X 1 0 X 1
wL2 8 2
M A
wL 8
CCW
10
9/3/2013
R Ay RAy 0 rAy1 X 1
Reaksi lainnya:
2 1 wL 5 wL 8 2 L 8 R B RB 0 rB1 X 1
wL
2 1 wL 3wL 8 2 L 8
wL
w A
wL2/8
B
5wL/8 3wL/8
Contoh 2 Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur seperti tergambar. Balok AB dan kolom BC memiliki modulus elastisitas E dan inersia penampang I .
20 kN/m A
B 6m
C 8m
11
9/3/2013
Struktur primer:
20 kN/m
Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu derajat 1 (terdapat 1 gaya kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di C ( RCx ).
A
B
C
X 1
Syarat kompatibilitas: Perpindahan horizontal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah sendi:
01 11 X 1 0 01 =
perpindahanhorizontal titik C pada struktur primer akibat beban luar,
11 =
perpindahanhorizontal titik C pada struktur primer akibat gaya satu satuan dalam arah X 1
Reaksi dan momen lentur pada struktur primer: 20 kN/m 1
0.75
80 kN
1
(a) R i 0
(b) r i 1 0.75
80 kN
6
160 –
+
6 –
(c) M 0
(d ) m 1
12
9/3/2013
L
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
01
M 0 m1
Koefisien fleksibilitas: (perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan)
L
11
m1m1 EI
0
EI
0
Persamaan kompatibilitas:
8 6 2160
dx
6 EI
2560
EI
dx
8 6 6 6 6 6 3 EI
3EI
168
EI
10 11 X 1 0
2560
EI
168
EI
X 1 0 X 1
2560 168
15.24 kN
RCx 15.24 kN
Reaksi lainnya: R Ax RAx 0 rAx1 X 1 0 115.24 15.24 kN
80 0.75 15.24 91.43 kN
R Ay RAy 0 rAy1 X 1 80 0.7515.24 68.57 kN RCy RCy 0 rCy1 X 1 20 kN/m
68.57
15.24
+
15.24 kN
– 91.43
68.57 kN
15.24 kN
(a) Reaksi
+
(b) Gaya geser V [kN] –
91.43 kN + 117.55
91.43 –
(c) Momen lentur M [kN-m]
13
9/3/2013
Contoh 3
Hitung reaksi dan gayagaya batang dari struktur rangka batang seperti tergambar. Semua batang terbuat dari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luas penampang A.
90 kN A
B 5
3
9m
2
6
D 1
E 6m
6m
90 kN
Struktur primer: Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu luar derajat 1 (terdapat 1 reaksi kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi di C .
C
7
4
R A
A
X 1
B S 4 S 3
S 2 S 1
S 7 S 5
C
S 6
D
R Ex
Syarat kompatibilitas: Perpindahan vertikal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah rol:
R Ey
01 11 X 1 0 01 =
perpindahanvertikal titik C pada struktur primer akibat beban luar,
11 =
perpindahan v ertikal titik C pada struktur primer akibat gaya satu satuan dalam arah X 1
14
9/3/2013
Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer: 90 kN
60 kN
1
0
0 –90
75
1.33
1.33
0
1.33 0
0
–1.67
0
–45 –75
–1.67
60 kN
1.33
90 kN
1
R i 0
r i 1
dan S i 0
dan s i 1
Perhitungan deformasi: Li
S i0
[m]
[kN]
1
7.5
2
Batang
si1
S i0 s i1 Li
si1 s i1 Li
S i [kN]
–75
–1.67
937.5
20.83
–50.20
9
–45
0
0
0
–45
3
7.5
75
0
0
0
75
4
6
0
1.33
0
10.67
–19.84
5
4.5
–90
0
0
0
–90
6
7.5
0
–1.67
0
20.83
24.80
7
6
0
1.33
0
10.67
–19.84
937.5
63
01
937.5
EA
11
63
EA
15
9/3/2013
Persamaan kompatibilitas:
01 11 X 1 0 937.5
EA
63
EA
X 1 0
X 1 14.88 kN Reaksi lainnya: R A RA0 rA1 X 1 60 1.33 14.88 40.16 kN
R Ex REx 0 rEx1 X 1 60 1.33 14.88 40.16 kN
R Ey REy 0 rEy1 X 1 90 1 14.88 75.12 kN
14.88 kN
Gaya-gaya batang:
90 kN
Si Si 0 si1 X 1
40.16 kN
–19.84 –90
75
Hasil perhitungan dituliskan di kolom paling kanan pada tabel perhitungan di atas dan pada gambar di samping.
–19.84
24.80
–45 –50.20
40.16 kN
75.12 kN
Contoh 4
Hitung reaksi dan gayagaya batang dari struktur rangka batang seperti tergambar. Semua batang terbuat dari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luas penampang A.
80 kN
4m
30 kN D
6
C
2
5 4
3
A
1
B
3m
16
9/3/2013
Reaksi
Reaksi dapat langsung dihitung menggunakan persamaan keseimbangan. Struktur ini merupakan struktur statis tak tentu dalam derajat 1 (terdapat kelebihan 1 batang). 80 kN S 6
Struktur primer
30 kN D
C
Salah satu gaya batang dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya gaya batang 3. Batang 3 seolah-olah “diputus” di tengah dan dapat berpindah relatif terhadap satu sama lain akibat beban luar dan akibat beban 1 satuan dalam arah X 1.
X 1 S 2
S 4
X 1 A
S 1
S 5
B
Syarat kompatibilitas
Total perpindahan antara kedua ujung batang 3 yang “diputus” harus sama dengan nol.
01 11 X 1 0 01 =
11
=
perpindahan relatif kedua ujung batang 3 yang “diputus” akibat beban luar, perpindahan relatif kedua ujung batang3 yang “diputus” akibat beban satu satuan dalam arah X 1
Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer: 80 kN C
–40
30
30 kN D
–50
0
–0.6 C
–0.8
D 1
1 –0.8
1 30 kN A
30
40 kN
B
–0.6
A
B
40 kN
R i 0
dan S i 0
r i 1
dan s i 1
17
9/3/2013
Perhitungan deformasi: Li
S i0
[m]
[kN]
1
3
2
Batang
si1
S i0 s i1 Li
si1 s i1 Li
S i [kN]
30
–0.6
–54
1.08
22.01
4
–40
–0.8
128
2.56
–50.65
3
5
0
1
0
5
13.31
4
5
–50
1
–250
5
–36.69
5
4
0
–0.8
0
2.56
–10.65
6
3
30
–0.6
–54
1.08
22.01
–230
17.28
01
Persamaan kompatibilitas:
230
EA
11
17.28
EA
01 11 X 1 0 230
EA
17.28
EA
X 1 0 X 1 13.31 kN tarik
Gaya-gaya batang lainnya: Si Si 0 si1 X 1 80 kN 22.01
C
4m
30 kN
5 6 . 0 5 –
30 kN D 5 6 . 0 1 –
A
22.01
40 kN
3m
B
40 kN
18
9/3/2013
Derajat Kestatistaktentuan > 1
Untuk struktur dengan derajat kestatistaktentuan > 1, diterapkan pola penyelesaian yang sama:
Ubah menjadi struktur primer statis tertentu dengan sejumlah gaya kelebihan. Tetapkan syarat kompatibilitas. Selesaikan persamaan kompatibilitas menggunakan nilai perpindahan struktur primer akibat beban luar (Δ0i ) dan koefisien fleksibilitas (δ ij ) untuk memperoleh nilai gaya kelebihan. Tentukan nilai reaksi lainnya.
Ilustrasi
M A
struktur statis R Ax tak tentu
w A
R Ay
struktur primer dan gaya kelebihan
B
C
R B
RC
B
C
w A
X 1 = R B
syarat kompatibilitas
1
= B = 0
X 2 = RC 2
= C = 0
19
9/3/2013
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
M A0
01
02
R Ay0 m A1
21
Koefisien fleksibilitas: (perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan)
11
1
r Ay1 m A2
Persamaan kompatibilitas:
12
r Ay2
22
1
1 0 01 11 X 1 12 X 2 0 2 0 02 21 X 1 22 X 2 0
Sekarang persamaan kompatibilitas dapat dituliskan dalam bentuk matriks:
11 21
0 01 22 X 2 0 02 12 X 1
atau dalam formula yang lebih umum:
X 0 [ ] =
matriks fleksibilitas yang berisikan koefisien fleksibilitas
{ X } =
vektor gaya kelebihan yang nilainya belum diketahui
{} =
vektor perpindahan tumpuan yang umumnya bernilai nol, kecuali jika terjadi perpindahan tumpuan
{0} =
vektor perpindahan struktur primer pada setiap arah gaya kelebihan akibat beban luar
20
9/3/2013
Gaya kelebihan: 1
X 0
Reaksi dan gaya dalam lainnya: Ri Ri 0 ri1 X1 ri 2 X 2
riN X N
N
Ri 0 rik X k
k 1
Si S i 0 si1 X 1 si 2 X 2
siN X N
N
Si 0 sik X k
k 1
Teorema Betti-Maxwell James C. Maxwell (1864)
Perpindahan suatu titik pada struktur (titik A) akibat beban satuan yang bekerja di titik yang lain (titik B) sama dengan perpindahan titik B akibat beban satuan yang bekerja di titik A. Dengan kata lain: δ ij = δ ji Implikasi: matriks fleksibilitas simetris.
21
9/3/2013
Prosedur Metode Deformasi Konsisten Tentukan derajat kestatistaktentuan struktur. Pilih gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer yang stabil. Tetapkan syarat kompatibilitas yang sesuai dengan gaya kelebihan yang dipilih. Susun persamaan kompatibilitas dalam bentuk:
X 0 dengan menentukan nilai δ ij (perpindahan struktur primer akibat beban 1 satuan dalam arah masing-masing gaya kelebihan) dan Δ0i (perpindahan struktur primer akibat beban).
Prosedur Metode Deformasi Konsisten
Selesaikan persamaan kompatibilitas untuk memperoleh nilai gaya kelebihan { X }. 1
X 0
Hitung reaksi dan gaya-gaya dalam lainnya:
R R0 r X S S0 s X
Ri Ri 0
N
r
ik
X k
k 1
Si Si 0
N
s
ik
Xk
k 1
22
9/3/2013
Contoh 5
Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur balok seperti tergambar. Balok AB dan BC memiliki modulus elastisitas E , panjang L, dan inersia penampang I . w
C
B
A
w
Struktur primer dan gaya kelebihan:
B
A
C
X 2 = RC
X 1 = R B
1
Syarat kompatibilitas:
= B = 0
2
= C = 0
12 X 2 01 21 X 1 22 X 2 02
Persamaan kompatibilitas:
11 X 1
Diagram momen akibat beban luar dan beban 1 satuan pada masing-masing arah gaya kelebihan: w
L
2 L
2wL2
2wL2
1
1
2wL
2 L
L
–
+ M 0
1
1
+ m 1
m 2
23
9/3/2013
L
Koefisien fleksibilitas:
11
m1m1
EI
0
L
12
m1m2 EI
0
L
22
m2 m2
0
EI
3
EI
dx
L3 3EI
1 L L 2 2L L 6
EI
dx
1
2 L 2L 2L
EI
3
3
5L
6 EI
3
8L
3EI
Perpindahan struktur primer akibat beban luar: L
01 0
L
02 0
dx
1 L L L
M 0 m1 EI M 0 m2 EI
dx
dx
1 L L 2wL
2 1.125wL
EI
6
1
2 L 2L 2wL2 2 0.5wL2
EI
6
2
5 X 1
6 EI 5 16 X 2
4
17 wL
24EI 4
2wL
EI
X 0
Persamaan kompatibilitas: L3 2
2
wL4 17
24 EI 48 1
X 1 wL 2 5 17 X 2 4 5 16 48 wL 1 16 5 17 wL 32 4 7 5 2 48 28 11 R B
8wL 7
;
RC
11wL 28
Reaksi lainnya: R R r A A 0 A1
rA2 X 1 M A M A0 m A1 mA 2 X 2 2 wL 1 1 32 wL wL 13 2 2wL L 2L 11 28 28 2L
R A
13wL 28
;
M A
wL2 14
CCW
24
9/3/2013
Diagram gaya-gaya dalam: w 2
wL
B
A
14
C
13wL
8 wL
11wL
28
7
28
17wL
13wL
28
28
+
+
V
–
–
11wL
15wL
28
28
0.0772wL2 0.0364wL2
+
+
M
–
–
0.0714wL2 0.1071wL2
Contoh 6
Tentukan reaksi dari struktur seperti tergambar. Balok AB dan kolom BC memiliki modulus elastisitas E dan inersia penampang I .
20 kN/m A
B 6m C 8m
25
9/3/2013
20 kN/m
Struktur primer dan gaya kelebihan:
A
B
Misalnya reaksi horizontal dan momen di B dipilih sebagai gaya kelebihan. C
Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:
X 1 X 2
160 kN-m
20 kN/m A
B 80 kN
C
R i 0
M 0
80 kN
6
1
–
A
6
B –
0.75 r i 1
C
1
m 1
0.75 1
A
+
B
0.125
1
+
r i 2
m 2
C 1 0.125
26
9/3/2013
Koefisien fleksibilitas: L
11
m1m1
EI
0
L
12
0
L
22
m1m2 EI m2 m2 EI
0
8 6 6 6 6 6
dx
3EI
3EI
8 6 1 6 6 1
dx
3EI
2 EI
8 1 1 6 1 1
3EI
EI
168
EI
34
EI
26 3EI
Perpindahan struktur primer akibat beban luar: L
M 0 m1
01
EI
0
L
02 0
dx
M 0 m2 EI
dx dx
8 6 2160 6 EI
81 2 160 6EI
2560
EI
1280 3EI
Persamaan kompatibilitas: 504 102 X 1 1 7680 3 EI 102 26 X 2 3EI 1280 X 1 25.6 RCx X 2 51.2 M C CCW 1
Reaksi lainnya:
R Ax 0 1 0 25.6 25.6 R Ay 80 0.75 0.125 67.2 R 80 0.75 0.125 51.2 92.8 Cy
20 kN/m 25.6 kN A
B
67.2 kN
C
25.6 kN 51.2 kN-m
92.8 kN
27
9/3/2013
Contoh 7 Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari struktur rangka batang seperti tergambar. Semua batang terbuat dari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luas penampang A.
80 kN
4m
30 kN D
6
C
2
5 4
3 1
A
B
3m
Struktur primer dan gaya kelebihan
80 kN
Satu reaksi dan satu gaya batang harus dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di B dan gaya batang 3, seperti tergambar.
S 6
X 1 S 2
S 4
X 1
Reaksi dan gaya-gaya batang pada struktur primer:
30 kN D
C
X 2
S 1
A
S 5
B
80 kN C
–40
30
–50
30 kN A
40 kN
30
R i 0
dan S i 0
30 kN D
–0.6 C
0
–0.8
D 1
1 –0.8
1 B
40 kN
1
1
r i 1
dan s i 1
1
A
–0.6
r i 2
B
dan s i 2
28
9/3/2013
Perhitungan koefisien fleksibilitas dan perpindahan struktur primer: L
S 0
[m]
[kN]
1
3
2
#
S
s1
s2
s1s1 L
s1s2 L
s2s2 L
S 0s1 L
S 0s2 L
30
–0.6
1
1.08
–1.8
3
–54
90
0
4
–40
–0.8
0
2.56
0
0
128
0
–48.69
3
5
0
1
0
5
0
0
0
0
10.86
4
5
–50
1
0
5
0
0
–250
0
–39.14
5
4
0
–0.8
0
2.56
0
0
0
0
–8.69
6
3
30
–0.6
0
1.08
0
0
–54
0
23.48
17.28
–1.8
3
–230
90
11
12
22
01
02
Persamaan kompatibilitas: 1 17.28
EA 1.8
[kN]
X 0 1.8 X 1 0 1 230 3 X 2 0 EA 90 1
X 1 17.28 1.8 230 3 90 X 2 1.8 10.86 23.48
S 3 10.86 kN tarik R Bx 23.48 kN
Reaksi dan gaya batang lainnya:
Ri Ri 0 ri1
X 1 r i 2 X 2
Si Si 0 si1
X 1 si 2 X 2
29
9/3/2013
Pengaruh Perpindahan Tumpuan
Berbeda dengan struktur statis tertentu, perpindahan tumpuan pada struktur statis tak tentu akan menimbulkan gaya-gaya dalam pada struktur. Dalam struktur yang sebenarnya, perpindahan tumpuan ini dapat diakibatkan oleh penurunan tanah atau pondasi, kesalahan pengukuran pada saat konstruksi, perubahan ukuran material akibat perubahan suhu, susut dan rangkak pada beton, kesalahan fabrikasi, atau sebab-sebab lainnya.
Pengaruh Perpindahan Tumpuan
Pada metode fleksibilitas, perpindahan tumpuan ini dimasukkan ke dalam analisis dengan mengubah nilai perpindahan pada persamaan kompatibilitas. Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi:
Perpindahan pada arah yang dipilih sebagai gaya kelebihan. Perpindahan tumpuan struktur primer (yang tidak dipilih sebagai gaya kelebihan).
30
9/3/2013
Perpindahan pada arah yang dipilih sebagai gaya kelebihan w
B
A
C =
C
1
Tumpuan C mengalami penurunan sebesar 1 satuan.
w
C
B
A
Struktur primer dan gaya kelebihan yang dipilih.
X 2 = RC
X 1 = R B
02 21 X 1 22 X 2 1
Syarat kompatibilitas di tumpuan C : sehingga persamaan kompatibilitas menjadi:
11 21
0 01 22 X 2 1 02 12 X 1
Perpindahan tumpuan struktur primer w B
A
C
w
A
C
B
= –0.1 L
Struktur primer dan gaya kelebihan yang dipilih.
X 2 = RC
X 1 = R B
1s
Tumpuan A mengalami putaran sebesar 0.1 rad searah putaran jarum jam.
2s
= –0.2 L
Perpindahan dalam arah masingmasing gaya kelebihan akibat perpindahan struktur primer.
01 1s 02 2 s
0 11 21
0 01 0.1 L 22 X 2 0 02 0.2 L 12 X 1
31
9/3/2013
Contoh 8
Tentukan reaksi pada struktur balok seperti tergambar apabila tumpuan B mengalami perpindahan vertikal sebesar 1 satuan (ke arah atas). B
1
A
Struktur primer dan gaya kelebihan X 2 X 1
Koefisien fleksibilitas 1
L 1
1 L
1
1
+
11
22
L L L 3 EI
L 11 EI
L3 3EI
; 12
+
L L 1 2 EI
L2 2EI
L EI
32
9/3/2013
Persamaan kompatibilitas 2 L 2 L 3L X 1 1 0 6 EI 3L 6 X 2 0 0 X 1 6 EI 1 6 3L 1 EI 12 3 2 2 X 3 L 2 L 0 L 3 L 2 L 6L
Reaksi lainnya R Ay 0 1 0 EI 12 3 M A 0 L 1 L 6 L EI 12 3 L 6 L
6 EI 2
6 EI
1
L2
L
12 EI
L3
12 EI
L3
Contoh 9
Tentukan reaksi pada struktur seperti tergambar, jika tumpuan A mengalami putaran sebesar 1 satuan searah putaran jarum jam. A
B 1
Gunakan struktur primer dan matriks fleksibilitas dari Contoh 8.
33
