•
EJEMPLIFICACIÓN
Para ejemplificar los contenidos vistos, revisaremos el siguiente ejercicio:
a) En este ejercicio tenemos que dejar ambas raíces en una sola raíz cuarta quedando de la
siguiente forma.
b) Luego tenemos que dividir ambas fracciones y aplicaremos la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base y distinto exponente.
Introducción a la matemática
41
÷ = ∗ = ++ = = √ = √
c) Finalmente separamos ambas raíces y sacamos la raíz cuarta de
•
que es ay de
que es b.
SITIOS DE INTERÉS
Para reforzar los contenidos, descargar el siguiente documento de apoyo, disponible en la sección materiales de apoyo de la unidad:
Los invitamos además a revisar los siguientes enlaces. Link: https://www.youtube.com/watch?v=Al2gyi3ZuL0 Link: https://www.youtube.com/watch?v=Qhy5lnMrm5w
TEMA 5: ALGEBRA ELEMENTAL “
”
El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades de un modo más general que la aritmética, pues utiliza letras o símbolos que pueden tomar cualquier valor para desarrollar distintos tipos de problemas que pueden tener múltiples y cambiantes factores que intervengan. Para trabajar con el álgebra es necesario conocer el denominado mediante el cual escribimos frases y proposiciones del lenguaje común, por medio de símbolos y letras para ya que de esta manera podamos plantear problemas que se quieren resolver, logrando así un lenguaje más fluido. Si consideramos que en una expresión algebraica los factores literales representan números reales, entendemos que evaluar una expresión algebraica consiste en asignarle un valor numérico a cada letra y calcular el valor final resultante de ejecutar todas las operaciones.
Introducción a la matemática
42
Valorar la expresión Solución
5 8 9
, considerando que x = 2 e y = -1.
En primer lugar, debemos reemplazar cada variable por el valor asignado y distinguir los valores negativos con un paréntesis.
5 22 (1) 8 2 (1)2 9 (1)3 , aplicamos las potencias quedando lo siguiente 5 4 (1) 8 2 1 9 ( 1) , multiplicamos de izquierda a derecha quedando lo siguiente 20 16 9 , Adiciones y sustracciones
27
Calcular el valor numérico de la expresión algebraica , 6a considerando = 3, b = 5, c = -3, y d = -1.
2
4bc 3cd d
3
En primer lugar, debemos reemplazar cada variable por el valor asignado y distinguir los valores negativos con un paréntesis.
6 32 4 5 (3) 3 (3) (1) (1)3 , aplicamos las potencias quedando lo siguiente 6 9 4 5 (3) 3 ( 3) ( 1) ( 1) ,
multiplicamos de izquierda a derecha quedando lo
siguiente
54 60 9 1 , Adiciones y sustracciones 124
Introducción a la matemática
43
Calcular el valor numérico de la expresión algebraica, a Con con a
1
2
; b
1
4
; c
1
8
; d
b
d
b
a
c
c
b
c
1
En primer lugar, debemos reemplazar cada variable por el valor asignado y distinguir los valores negativos con un paréntesis.
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 , Lo primero se tiene que realizar las operaciones de 4 4 2 8 8 4 8
adentro del paréntesis quedando lo siguiente
1 2 1 2 1 2
1 4 1 1 4 1 1 1 2 1 1 4 4 8 8 8 1 4 1 4 1 1 2 1 4 4 8 8 8 3 1 3 1 1 4 4 8 8 8
Se multiplica cada paréntesis por el valor que está afuera de el para eliminar el paréntesis y luego se realiza la resta
3
8
3
32
1
64
8 ( 3) 2 3 1
64
24 6 1
31
64
64
Es una cantidad numérica o literal o conjunto de ambos, los que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o división.
, , ,
El término algebraico consta de un Factor numérico, Factor literal y el exponente. Ejemplo: 10 Factor numérico: 10; Factor literal: ; Exponente: 6 Algunas consideraciones importantes son:
Introducción a la matemática
44
7∙
1) En algebra el signo de la multiplicación antes de factores literales se suprime. Ejemplo: se puede escribir como 7 .
2) En álgebra el coeficiente numérico 1, en un término algebraico suele quedar implícito. Ejemplo: 1y = y 3) En álgebra el signo + del primer término de una expresión algebraica puede no tomarse
525=525
en cuenta y no se escribe. Ejemplo:
Se llama Expresiones a cualquier suma o resta de términos algebraicos. Dependiendo del número de términos que tenga la expresión algebraica estas se clasifican en:
x + 3 5 3
es la expresión algebraica que tiene un sólo término.
-3Xz,-
es la expresión algebraica que consta de dos términos.
C + 5Z,
,
es la expresión algebraica que consta de tres términos
: b+4c-5r ,
+ 2X – Z, 5a
es la expresión algebraica de más de tres términos
Los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal e igual exponente, sólo pueden diferir en el factor numérico.
, ,2, 7 , ; , ; , ejemplo:
En una expresión algebraica solo podemos y esto se efectúa sumando (o restando) los coeficientes numéricos y manteniendo su factor literal y el exponente. En álgebra, el uso de los paréntesis es frecuente para separar las expresiones y se eliminan de acuerdo a las siguientes reglas: Si antes del paréntesis se tiene un signo positivo, se elimina el paréntesis dejando todos los números de adentro de éste con el mismo signo.
Si antes del paréntesis se tiene un signo negativo, se elimina el paréntesis cambiando todos los signos de los números de adentro del paréntesis.
Si una expresión algebraica contiene paréntesis, éstos se eliminan antes de reducir términos semejantes, si se tienen más de un paréntesis se empiezan eliminando de adentro hacia afuera.
Introducción a la matemática
45
3 33 2 2 23 5 3 3 [ ] 5ab2ab 55ab2ab ab2ab 3 3a a 2ab3a 2ab3a ab] ab [ ] 55ab2ab3a2ab3aab ab2ab 3 3a2ab3aab] a2ab3aab 52ab2abab2ab3a2ab3aab 2ab ∙−∙ ∙−∙ , − − − −: : 1)
, eliminamos paréntesis redondo.
, agrupamos los términos según semejanza. = +
+
2)
, eliminamos paréntesis redondo
, eliminamos paréntesis rectangular , agrupamos los términos según semejanza
, eliminamos paréntesis llave
3)
, agrupamos los términos según semejanza sacamos el mínimo común múltiplo y realizamos las operaciones sacamos
+
+
=
+
=
+
=
=
Para se escribe el minuendo con sus signos y luego el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes.
8 6 2 46 3 46 3 8 62 4 6 3 8 6 2 3 466 8 14 7
A= Calcular: A A = sustraendo. = semejanza. = + +
+5
B=
+5
, se cambia signo del
+ 5 +
, agrupamos los términos según
+5+2=4
2
En la multiplicación de expresiones algebraicas intervienen los factores numéricos y literales, Se utilizan las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. : para multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes numéricos y a continuación los factores literales.
7= 7 ∙ 3 3∙ 5 = 105 105 · (-3)·5·
, se multiplican los factores numéricos = -105 , se multiplican los factores literales =
para multiplicar un monomio por un multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.
polinomio,
7 ∙ 25 254
, multiplicamos el monomio por cada término del
polinomio.
Introducción a la matemática
46
7 ∙27 ∙ 57 ∙4 7 ∙ 14 3535 28 7 14 7
, se multiplican los
factores numéricos
, se multiplican los factores
literales
35
+ 28
Para multiplicar un polinomio por otro, se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.
Existen algunos productos binomiales que pueden ser desarrollados en forma directa, es decir, no es necesario multiplicar término a término y reducir términos semejantes. A los productos con estas características se denominan el desarrollo del cuadrado de binomio corresponde al cuadrado del primer término, más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo y más el cuadrado del segundo término. Esto queda representado en letras como:
1) 2)
= ± ± 2 = 2 ∙ ∙ 2 22 4 24 = 2 ∙ = 4 ∙ 4 = 4 = 16 6· 6 66 36y ∙ = ∙ x 8 ∙ x 5 x 8 5 ∙8∙5 x 13x 40 23 2 3 ∙ 27 2 7 22 (3 77) ∙ 2 3∙ 3∙ 77 4∙ 2 21 821 =
=
es la diferencia de los cuadrados de los términos
1) 2)
=
=
es el cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes.
1)
= =
2)
+
=
=4
= =
=4
Introducción a la matemática
47
Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla en forma de multiplicación.
En esta factorización todos los términos de la expresión presentan un término en común que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza ese término en común es uno de los factores de la multiplicación el otro lo determinamos por multiplicación algebraica.
28 2 2 2 28 2 14 1 4 6 1521 257 257
Ejemplo 1: Factoricemos la expresión , vemos que el termino está contenido en ambos términos del binomio por lo tanto el primer factor es para obtener el segundo factor se logra encontrando los términos por los cuales hay que multiplicar el factor común para obtener los valores del comienzo. = ·
Ejemplo 2 Factoricemos la expresión , vemos que el coeficiente numérico contenido en los tres términos es 3 y el factor literal es xy por lo tanto el factor común es 3xy esto escrito queda así: 3xy . : El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de sus dos términos.
9 169 16 34 9 16 34 ∙ 34 34
Ejemplo 1: Factoricemos entonces se tiene que
, se tiene que el cuadrado de 3m es =
y
es el cuadrado de 4p,
Ejemplo 2:
1 Factoricemos
36
z
2
49 p
1
1
2
, se tiene que el cuadrado de
6
z
es
36
2
z
2
y 49 p es el cuadrado
1 1 2 2 z 49 p z 7 p p 7 p 36 6 6 1
de 7p, entonces se tiene que
Introducción a la matemática
48
Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo del cuadrado de un binomio. Por lo tanto, se factoriza como tal.
± ± 816 4 Ejemplo 1:
, se observa que los extremos son los cuadrados de los términos x y 4 respectivamente y el término del medio es el doble del producto entre ellos, es por esta razón que lo factorizamos como un cuadrado de binomio quedando finalmente así: , ya que si lo desarrollamos obtenemos lo del comienzo Ejemplo 2 :
25 y
2
2
20 py 4 p , se observa que los extremos son los cuadrados de los términos 5y y 2p
respectivamente y el término del medio es el doble del producto entre ellos, es por esta razón que lo factorizamos como un cuadrado de binomio quedando finalmente así:
(5 y 2 p)2 , ya que si lo desarrollamos obtenemos lo del comienzo
∙ 25150 15 15 ∙ 10 10 = P + q = b y p·q = c
se tiene que cumplir que
, se tiene que buscar dos números que multiplicados me den 150 y sumados 25, los números son 10 y 15 según la forma de factorizar nos queda:
x
2
5x 14 , se tiene que buscar dos números que multiplicados me den -14 y sumados 5, los
números son 7 y -2 según la forma de factorizar nos queda:
( x 7) ( x 2) Aplicaciones 1) Para registrar las compras y ventas realizadas, se utiliza la siguiente nomenclatura: N = Notebook; T = Tablet; C = Computador de escritorio; M: Netbook Si al término de la semana el registro es: 7 N 2T 4C 5M y la segunda semana es: 7 N 2T 4C 5M ¿Cuál es la diferencia entre la primera y la segunda semana de los registros?
Introducción a la matemática
49
7 N 2T 4C 5M (7 N 2T 4C 5M ) ,
multiplicaremos
por
menos
uno
el
paréntesis quedando lo siguiente.
7 N 2T 4C 5M
7 N 2T
4C 5M , Reduciendo los términos semejantes
7 N 7N 0 ;
5M 5M 0
2T 2T 4T ;
4C 4C 8C
4T
8C
2) En un rectángulo el ancho está dado por 7x – 3 y el largo está dado por 7x +5. El área del rectángulo está dada por la expresión:
Para calcular el área del rectángulo usaremos la siguiente formula
Area
Ancho L arg o , reemplazando los valores del largo y el ancho se tiene que
Area 7 x 3
7 x 5 , si observamos nos queda una multiplicación de un binomio con
termino común aplicando la formula correspondiente nos queda.
(7 x)2 7 x 3 5 5 (3) 49 x2 7 x (2) 15 49 x 2 14 x 15 3) El ingreso de dinero que recibe una empresa se calcula como el producto entre el precio unitario y la cantidad demandada. Si el precio unitario está dado por la expresión cantidad demandada por la expresión
x
x
7
y la
7 . ¿Cuál es la expresión del ingreso que recibe la
empresa?
Para calcular el ingreso usaremos la siguiente formula.
Ingreso
Pr eciounitario
Cantidad , reemplazando los valores del precio unitario y de la
cantidad se tiene lo siguiente.
Ingreso ( x 7) ( x 7) , Si observamos nos queda una suma por su diferencia aplicando la formula se tiene lo siguiente.
Ingreso ( x 7) ( x 7) x
2
72 x2 49
Introducción a la matemática
50
EJEMPLIFICACIÓN
•
Desarrollar
2
2
m
2n
2
2
m
2n
, utilizando
Solución: El desarrollo de una suma por su diferencia es: - El primer término al cuadrado
2 2
2
m
4m
4
- Se resta el segundo término al cuadrado
2n
2
4n
2
Así,
2
2
m
•
2n
2
m
2
2n
4m
4
4n
2
SITIOS DE INTERÉS
Para reforzar los contenidos, descargar el siguiente documento de apoyo:
Los invitamos además a revisar los siguientes enlaces: Link: https://www.youtube.com/watch?v=i6kCR1eq2Dc Link: https://www.youtube.com/watch?v=I1L8F3o93q0 Link: https://www.youtube.com/watch?v=ROGt8u81FxM
Introducción a la matemática
51
TEMA 6: ECUACIÓN DE PRIMER GRADO “
”
Se llama ecuación a una igualdad que presenta incógnitas y que es verdadera sólo para algunos valores de la incógnita. En este guion veremos la ecuación Lineal o de primer grado. Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnita es 1. Toda ecuación de primer grado se puede expresar de la siguiente forma:
Donde a y b son números reales y la x es la incógnita a la cual tenemos que encontrar su valor para que se verifique la igualdad. Resolver una ecuación: Significa encontrar el o los valores de la o las variables (incógnitas) para que la igualdad sea verdadera.
Para resolver una ecuación debemos tener presente las siguientes propiedades de la igualdad. Al sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros de la igualdad, la igualdad persiste.
x 15
20 , para despejar x debemos restar 15 en ambos miembros
x 15 15 x
20 15 ;
x 0
5
5
¿Por qué se restó 15 ambos lados de la ecuación? La principal razón es porque se busca tener el valor 0 que se conoce como el neutro aditivo este valor x al sumarlo con cero siempre nos dará x. x 0
5
x 14 5 , para despejar x debemos sumar 14 en ambos miembros x 14 14 x
5 14 ;
x 0 19
19
¿Por qué se sumó 14 ambos lados de la ecuación? La principal razón es porque se busca tener el valor 0 que se conoce como el neutro aditivo este valor Introducción a la matemática
52
x al sumarlo con cero siempre nos dará x. x 0 19
Al multiplicar o dividir por una misma cantidad distinta de 0 en ambos miembros de una igualdad, la igualdad persiste.
4 x
28 , Para despejar el valor de x se tiene que dividir en ambos lados por 4
4 x 4 x
28
4
;
x
1
7
7
¿Por qué se dividió por 4 ambos lados de la ecuación? La principal razón es porque se busca tener el valor 1 que se conoce como el neutro multiplicativo este valor x al multiplicarlo con 1 siempre nos dará x. x
x
5 5
1
7
20 , Para despejar el valor de x se tiene que multiplicar en ambos lados por 5
x
5
20 5 ; 1 x
1 x
x
100
100
100
¿Por qué se multiplico por 5 ambos lados de la ecuación? La principal razón es porque se busca tener el valor 1 que se conoce como el neutro multiplicativo este valor x al multiplicarlo con 1 siempre nos dará x.
1 x 100
Resolver la ecuación 7 3 x 7 x 11, Despejamos x. Para ello restamos 7 y restamos 7x en ambos lados de la ecuación.
7 3 x 7 7 x 7 x 11 7 7 x , efectuamos las operaciones 10 x 18 , multiplicamos por -1
10 x 18 , dividimos por 10 y simplificamos
Introducción a la matemática
53
18 : 2 x
10 : 2
9
5
Una de las ventajas que uno tiene es que se puede verificar si la solución es la correcta Verificando
7 3 x 7 x 11, reemplazando el valor de x en ambos lados de la ecuación se tiene que 7
7
3 9
7 9
1 5
27
1 5
11, realizando las multiplicaciones se tiene que
63 11
, realizando las restas se tiene que
1 5 5 1 7 5 27 63 11 5 35 27 ; 5 5 5 8 8
63 55
5
5
5 9 x
Como podemos ver para el valor de
5
se cumple la igualdad. Por lo tanto, es la solución de la
ecuación.
Resolver la ecuación 3
x 2
5
x3 6
x
2 , despejamos x para ello primero
resolvemos los paréntesis.
3 x 6 5x 15 6 x 12 , Reduciendo términos semejantes se tiene lo siguiente 3 x 6 x 3 , sumamos x y sumamos 6 ambos lados de la ecuación
3 x 6 x 6 x 3 x 6 4 x
4 x 4
9 , dividiendo ambos lados por 4
9 4
; x
9 4
Una de las ventajas que uno tiene es que se puede verificar si la solución es la correcta Verificando
3
x 2
5
x3 6
x
2 , reemplazando el valor de x en ambos lados de la ecuación
se tiene que
Introducción a la matemática
54
9 9 3 2 5 3 6 4 4
9 2 , realizaremos las operaciones de adentro del paréntesis 4
92 4 94 3 92 4 3 5 6 4 4 4 9 8 9 12 9 8 3 5 6 4 4 4 1 21 17 3 5 6 , multiplicamos por el valor que está afuera del paréntesis 4 4 4 3 4
105
3 4
4
102
4
3
4 9
Como podemos ver para el valor de
x
4
se cumple la igualdad. Por lo tanto, es la solución de la
ecuación.
2 x2 2 x 1 x 1 x 3
2
(
x
2) ( x 5) 1 ,
despejamos x para ello primero
resolvemos los paréntesis.
2 x2 2 x 2 1 x2 6 x 9 ( x 2 3x 10) 1 , multiplicando los paréntesis 2 x
2
2
2x 2 x
2
6x 9 x
2
3 x 10 1 , reduciendo los términos semejantes
2 3 x 20 , restamos 2 y sumamos 3x en ambos lados 2 2 3 x 3x 20 2 3 x
3 x 18 , dividiendo por 3
3 x 3
18 3
; x 6
Introducción a la matemática
55
Verificando
2 x2 2 x 1 x 1 x 3
2
(
x
2) ( x 5) 1 ,
reemplazando el valor de x en
ambos lados de la ecuación se tiene que
2 62 2 6 1 6 1 6 3
2
(6 2) (6 5) 1
2 36 2 7 5 32 8 1 1; 72 70 9 8 1 22 Como podemos ver para el valor de ecuación.
x
6 se cumple la igualdad. Por lo tanto, es la solución de la
Resolver la ecuación
1 3
1 x
4
5
6
x
2
2 5
x
3 , despejamos x para ello primero tenemos que calcular el M.C.M de
los denominadores que en este caso es 60. Multiplicamos ambos lados por 60 para dejar todos los coeficientes enteros.
1 3
x 60
1
5 2 60 x 60 2 60 x 60 3 60 4 6 5
20 x 15 50 x 120 24 x 180 , reduciendo los términos semejantes 30 x 135 24 x 180 , sumamos 30x y 180 ambos lados de la ecuación 30 x 135 30x 180
24x 180 30x 180
315 54 x , dividiendo ambos lados de la ecuación por 54 y luego simplificando
315 : 9 54 : 9
x
;
35 x
6
Verificando
1 3
1 x
4
5
6
x
2
2 5
x3
, reemplazando el valor de x en ambos lados de la ecuación se tiene
que
Introducción a la matemática
56
1 35
1
3 6 35 18
4
4
1
5 35 6 6
175
2
2
36
1
30
36 70 9 175 72
36 :12 2
3
3
3
1
70 30 3 30
70 90
36 24 :12
5 6
70
2 35 9 1 175 36 2
2 35
30
20 :10
30 :10
2
3
35 Como podemos ver para el valor de x
6
se cumple la igualdad. Por lo tanto, es la solución de la
ecuación.
Resolver la ecuación
3 4
x
x
1
2 8
x
1
3 12
, despejamos x para ello primero tenemos que calcular el M.C.M de los
denominadores que en este caso es 24. Multiplicamos ambos lados por 24 para dejar todos los coeficientes enteros.
24
3 4
x
24
x
2
24
1 8
24
x
3
24
1 12
18 x 12 x 3 8 x 2 , reduciendo los términos semejantes 6 x 3 8 x 2 , restando 6x y 2 ambos lados de la ecuación 6 x 3 6 x 2 8 x 2 6 x 2 1
1 2
2 x , dividiendo ambos lados de la ecuación por 2
x
Verificando
Introducción a la matemática
57
3 4
x
3 1
x
3 1
4
2 2 1
8
8 8:2
3 2 11 2:2
8
1 1
4 2 8
2
1
x
3
1
8
1
1
12
, reemplazando el valor de x en ambos lados de la ecuación se tiene que
1 1
1
3 2 12
1
6 12
3:3
2 1 1 3 2 1 ; 12 8 1
;
12 : 3 4
2 1 12
1 4 1
Como podemos ver para el valor de
x
2
se cumple la igualdad. Por lo tanto, es la solución de la
ecuación.
Resolver la ecuación
3 x 1 2
5x 4
3
x2
8
2x 3 5
1
10
, despejamos x para ello primero tenemos que calcular
el M.C.M de los denominadores que en este caso es 120. Multiplicamos ambos lados por 120 para dejar todos los coeficientes enteros.
120
3 x 1 2
120
5x 4 3
120
x
2
8
120
2x 3 5
120
1 10
60 (3 x 1) 40 (5x 4) 15 (x 2) 24 (2x 3) 12 180 x 60 200x 160 15x 30 48x 72 12,reduciendo los términos semejantes 35 x 250
48x 84 , sumando 35x y 84 ambos lados de la ecuación
35 x 250 35 x 84 48 x 84 35 x 84 166 83 x , dividiendo ambos lados de la ecuación por 83
166
83
x;
x
2
Verificando
3 x 1 5x 4 2
3
x2
8
2x 3 5
1 10
, reemplazando el valor de x en ambos lados de la
Introducción a la matemática
58
ecuación se tiene que
3 (2) 1 5 (2) 4 2 6 1
2 7
10 4 0
3 0 6
2 3 7 2
3
8 7
7
8
22
8 4 3
1
5 10 1
5 ;
2 (2) 3 5
1 10
1
10 7 6
2 3
0
7
1
5 10
2 1 5 10 2 7 1 3 15 : 5 7 4 ; 2 10 2 10 : 5 3 3
2
2
Las ecuaciones de primer grado nos ayudaran a resolver un sinnúmero de problemas Para resolver un problema seguiremos los siguientes pasos: 1) Leer atenta y comprensivamente el enunciado del problema. 2) Identificar la incógnita y los datos que se utilizarán en la solución. 3) Relacionar los datos con la incógnita planteando una ecuación. 4) Resolver la ecuación. 5) Analizar la solución de la ecuación cuidando que tenga relación con el enunciado del problema. 6) Dar la respuesta. La edad de Carlos es el doble de la edad de Marta. Si en cinco años más la suma de sus edades será 43 años,¿ qué edad tienen actualmente?
Lo primero es definir la incógnita siempre se elige el nombre del que se tiene menos información que en este caso es Marta X : Marta 2X: Carlos Esta información es la edad actual de Marta y Carlos Para obtener las edades de ellos dentro de 5 años más tenemos que sumar 5 X+5: Marta 2X+5: Carlos Con esta información formamos la ecuación quedando lo siguiente Introducción a la matemática
59
x 5 2 x 5
43 , reduciendo los términos semejantes se tiene que
3 x 10 43 , restamos 10 ambos lados de la ecuación 3 x 10 10 43 10 3 x 33 Dividimos por 3 ambos lados de la ecuación
3 x
33
3 x
3
;1 x 11
11 Se tiene una herencia que se repartirá entre sus herederos, el testamento estipula que el
3
1 hermano mayor debe recibir
4
de ella, el segundo
8
1 de ella y el tercero
2
de lo que queda,
entregando la otra mitad a una institución de beneficencia. Si esta Institución recibe $815.625, hallar el monto de la herencia y cuánto recibe cada heredero.
Lo primero es definir la variable que es el monto de la herencia X: Monto total de la herencia
1 El hermano mayor recibe
3 x
4
; Segundo hermano recibe
x
8
Sumando ambas cantidades tenemos lo que se ha repartido de la herencia
1 4
3 x
8
x
2 x 3 x 8
5x
8
5 , luego nos quedan
x
5
x x
8
1
8x x
8
8
5x
3
x
8
1 El tercer hermano recibe
de lo que queda.
3
1 2
2
de
1 3 2 8
8
x , el de se tiene que reemplazar por multiplicación
x
3 16
x
Introducción a la matemática
60
1 3 La institución de beneficencia recibe también
1 3 2 8
x
3
, lo que equivale a $835.675
815.625 , multiplicando por 16 y se divide por 3 ambos lados de la ecuación
16 x
16 x
2 8
x 815.625
3 16
x
3
815.625
16 3
$4.350.000
El monto de la herencia son $4.350.000 que se reparte de la siguiente forma.
1 El hermano mayor:
4.350.000 $1.087.500
4
3 El segundo hermano:
8
3 El tercer hermano:
16
4.350.000 $1.631.250
4.350.000
$815.625
Mabel compró un comedor para su casa con la cuarta parte del presupuesto que contaba y más tarde compro accesorios para su hogar con la mitad de lo que le quedaba. Al terminar sus compras se da cuenta que le sobraron $360.000. ¿Cuál fue el presupuesto de Mabel?
Lo primero es definir la variable que en este caso es el presupuesto de Mabel X: Presupuesto de Mabel Los gastos son:
1 Comedor :
x
1
1 4
4
x
x
, después de este gasto nos queda lo siguiente
4x x 4
3 4
x
Introducción a la matemática
61
1 Accesorios:
1 3
3
de
2
4
x , reemplazando el de por multiplicación nos queda
3 x
2 4
x
8
Sumando ambos gastos se tiene lo siguiente
1 4
3 x
8
x
2 x 3 x 5
x
El resto es
3 8
x
1
8
8x x
8
x
8
5x
8
3
x
8
, este valor es igual a $360.000
360.000 , despejando x se tiene lo siguiente
360.000 8 x
5
3
$960.000
El presupuesto de Mabel es $960.000
•
EJEMPLIFICACIÓN
A continuación, para repasar y aplicar los contenidos vistos, resolveremos el siguiente problema: Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancelan por ello $16.990. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $8, ¿Cuánto cuesta cada material?
Lo primero es definir la variable que en este caso es el valor de la goma X: Valor de cada goma 3x +20 : Valor de cada cuaderno 2x+8 : Valor de cada Lápiz Luego formaremos la ecuación quedando lo siguiente 25 Lápices + 32 cuadernos + 24 Gomas = 16.990, reemplazando los valores de cada material
25 (2 x 8) 32 (3x 20) 24 x 16.990 , se tiene que multiplicar por los valores que se encuentran delante de los paréntesis
50 x 200 96 x 640 24 x 16.990 , reduciendo los términos semejantes 170 x 840 16.990 , restando 840 ambos lados de la ecuación Introducción a la matemática
62
170 x 840 840 16.990 840 170 x 16.150 Dividiendo ambos lados por 170
16.150 x
170
95
Reemplazando el valor se tiene que Valor cuaderno : 3x+20 ; 3 95 20 285 20 305
Valor del Lápiz: 2x+8 ; 2 95 8 190 8 198
El valor de cada goma es de $95 El valor de cada cuaderno es de $305 El valor de cada Lápiz es de $198
•
SITIOS DE INTERÉS
Para reforzar los contenidos, los invitamos a descargar el siguiente documento de apoyo, disponible en la sección materiales de apoyo de la unidad:
Los invitamos además a revisar los siguientes enlaces Link: https://www.youtube.com/watch?v=jUV068nwxM4 Link: https://www.youtube.com/watch?v=zOf2xIoV-9w Link: https://www.youtube.com/watch?v=oTTA0eoiF2k
Introducción a la matemática
63
TEMA 7: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS “
”
Las ecuaciones lineales en dos o más variables nos permiten ver que algunos problemas del mundo real se pueden formular en términos de sistema de ecuaciones. Dos ecuaciones de primer grado, que tienen las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales.
AxBy=C DxEy=F
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: donde A, B, C , D, E Y F son números reales Se denomina Solución del sistema a todo par (X, Y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. Resolución de sistemas de Ecuaciones Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen ambas ecuaciones. Existen tres métodos equivalentes para encontrar las soluciones de los sistemas, estos son:
Sustitución
Igualación
Reducción
Consiste en despejar una de las incógnitas de una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. 1) Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. 2) Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. 3) Se resuelve la ecuación resultante que tiene una incógnita. 4) Se calcula el valor de la otra incógnita en la ecuación despejada.
Introducción a la matemática
64
Ejemplo 1 2 x
y
110
3 x
y
40
la ecuación de arriba le llamaremos E1 y la ecuación de abajo le llamaremos E2 1) Se despeja y de la ecuación E2 y = 3x + 40 2) Se sustituye esta expresión en ecuación E1 quedando lo siguiente -2x + (3x +40) = 110 3) Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita 2 x
3 x 40 110 x 110 x
40
70
4) En la ecuación y = 3x+40 se reemplaza x por 70 y se obtiene el valor de y y
3 70 40
y
210 40
y
250
Por lo tanto el sistema tiene como solución al par ordenado (70,250)
Al igual que las ecuaciones de primer grado los sistemas de ecuaciones también se puede verificar su solución reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Verificando
2 x y 110 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente
2
70 250 110
140 250 110
110 110 3 x
y 40 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente
Introducción a la matemática
65
3
70 250 40
210 50
40
40 40 Como podemos ver los valores de x = 70 e y = 250 son la única solución de este sistema de ecuaciones.
5 x 3 y 2 0 x 4 y 5 0
la ecuación de arriba le llamaremos E1 y la ecuación de abajo le llamaremos E2 1) Se despeja x de la ecuación E2
x
4y
5
2) Se sustituye esta expresión en ecuación E1 quedando lo siguiente
5 (4 y 5) 3 y 2 0 3) Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita
5 (4 y 5) 3 y 2 0 , multiplicando por 5 para eliminar el paréntesis 20 y 25 3 y 2 0 , reduciendo los términos semejantes 17 y 23 0 , sumando 23 ambos lados de la ecuación
17 y 23 23 0 23 17 y
17 y
23 , dividiendo por 17 ambos lados de la ecuación
23
17
17
;
23 y
17
4) En la ecuación x 4 y 5 se reemplaza Y por Y
23
17
Introducción a la matemática
y se obtiene el valor de X.
66
4 23 x
5
92
1 17 92 x
5
92
17
85
5 17
17
7
17
17
7 23 , Por lo tanto el sistema tiene como solución al par ordenado 17 17
Al igual que las ecuaciones de primer grado los sistemas de ecuaciones también se puede verificar su solución reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Verificando
5 x 3 y 2 0 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente
5 7
3 23
1 17 1 17 35 69
17 17
20
2 0 ;
34 17
20
22 0
x 4 y 5 0 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente 7 17 7
4 23 1 17 92
17 17
85 17
50
5 0;
7 92 17
50
5 0 ; 55 0 7
Como podemos ver los valores de x =
17
23 , e y =
17
son la única solución de este sistema de
ecuaciones . Introducción a la matemática
67
Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones resultantes.
1) se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2) Se igualan las expresiones obtenidas. 3) Se resuelve la ecuación resultante con una incógnita. 4) Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones despejadas en el paso 1.
Ejemplo 1 2 x
2y 6 0
6 x 3 y 18 0
La ecuación de arriba le llamaremos E1 y la ecuación de abajo le llamaremos E2 1) Despejamos de ambas ecuaciones la incógnita y
2 x
De E1 :
2 y 6 0 , sumando 2x y 6 ambos lados de la ecuación
2 x 2 y 6 2x 6 0 2x 6 2 y 2x 6 , dividiendo ambos lados por 2
y
y
2 x 6 2
2x 2
6 2
x3
x3
De E2 : 6 x 3 y 18 0 ,sumando 18 y retando 6x ambos lado de la ecuación
6 x 3 y 18 18 6 x 6 x 18 3 y 6 x 18 , dividiendo por 3 ambos lados de la ecuación Introducción a la matemática
68
y
6 x 18
3
6x 3
18
3
2 x 6
2) Igualamos estas expresiones:
x
3 2 x 6
3) Resolvemos esta ecuación para la incógnita x
x
3 2 x 6 , sumando 2x y restando 3 ambos lados de la ecuación
x 3 2 x 3 2 x 6 2 x 3
3 x
3 , dividiendo ambos lados por 3
3 x
1
3
4) Reemplazamos el valor de x=1 en cualquiera de las dos ecuaciones
y 3 x ; y 3 1 4 y 2 x 6
;
y 2 1 6 2 6
4
Luego el sistema tiene solución x=1 e y =4
Al igual que las ecuaciones de primer grado los sistemas de ecuaciones también se puede verificar su solución reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Verificando
2 x 2 y 6 0 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente Introducción a la matemática
69
2
1 2 4 6 0
2 8 6
0
00 6 x 3 y 18 0 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente
6 1 3 4 18 0 6 12 18 0 ; 18 18 0 00 Como podemos ver los valores de x =1 e y = 4 son la única solución de este sistema de ecuaciones .
x 2 y
1
0
5 x 3 y 4 0
Solución La ecuación de arriba le llamaremos E1 y la ecuación de abajo le llamaremos E2 1) Despejamos de ambas ecuaciones la incógnita x
De E1 :
x 2 y 1 0 , sumamos 1 y restamos 2y ambos lados de la ecuación
x 2 y 1 2 y 1 2 y 1 x
2 y 1
x 2 y 1 De E2 : 5 x 3 y 4 0 ,sumando 3y y retando 4 ambos lado de la ecuación
5 x 3 y 4 3 y 4 0 3 y 4 5 x 3 y 4 , dividiendo por 5 ambos lados de la ecuación Introducción a la matemática
70
x
3 y
4
5 2) Igualamos estas expresiones:
1 2 y
3 y
4
5
3) Resolvemos esta Ecuación para la incógnita x
1 2 y
3 y
4
, multiplicando por 5 ambos lados de la ecuación
5
5 (1 2 y ) 5
3 y 4 5
5 10 y 3 y 4 , sumando 10y y 4 ambos lados de la ecuación 5 10 y 10 y 4 3 y 4 10 y 4 9
13 y , dividiendo por 13 ambos lados de la ecuación
9
13
y
9 4) Reemplazamos el valor de y
x
1 2y;
13 18
x
1
2 9
1 13
1
13
en cualquiera de las dos ecuaciones
18
13
5
13
13
Introducción a la matemática
71
3 y
x
4
5 3 9
x
1 13
4
1
5
27
27 13 4
13
27 13 4
1
13
5
5
27 52
25
13
4
5
13
5
13 5
25
13 5
25 1
13 5
5
13 5
Luego el sistema tiene solución
x
13
9 e y
13
Al igual que las ecuaciones de primer grado los sistemas de ecuaciones también se puede verificar su solución reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Verificando
x 2 y 1 0 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente 5
2 9
13 1 13 5
18
13 13 18 18
13
1 0
1 0;
0
5 18 13
13
0
00 Introducción a la matemática
72
5 x 3 y 4 0 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente
5 3 9 40 13 1 13
5
25
13
27 13
4 0;
52 13
40
4 4 0 00 5 Como podemos ver los valores de x =
13
9 e y =
13
son la única solución de este sistema de
ecuaciones.
Consiste en despejar una de las incógnitas sumando o restando las dos ecuaciones y luego se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones.
1) Se amplifica cada ecuación para obtener el mismo coeficiente en una de las incógnitas. 2) Se suman o restan las ecuaciones de manera que se elimine una de las incógnitas. 3) Se resuelve la ecuación resultante que tiene una incógnita. 4) Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones.
Ejemplo 1 2 x y
80
3 x 2 y
64
La ecuación de arriba le llamaremos E1 y la ecuación de abajo le llamaremos E2 1) Se amplifica la ecuación E1 por 3 y la ecuación E2 por 2 observe que las ecuaciones se multiplican de manera cruzada y por los coeficientes que acompañan a la incógnita que se quiere eliminar.
Introducción a la matemática
73
6 x 3 y
240
6 x 4 y
128
2) Se restan ambas ecuaciones 6 x 3 y
240
6 x 4 y
128
0 7 y
112
3) Se resuelve la ecuación resultante
7 y
112 , dividiendo ambos laos por 7 112
y
16
7
4) Se reemplaza y=16 en cualquiera de las otras dos ecuaciones
2 x 16 80 , se restan 16 ambos lados
2 x 16 16 80 16
2 x 64 , se divide por 2 ambos lados de la ecuación 64 x
32
2 Por lo tanto el sistema tiene como solución al par ordenado (32,16)
Al igual que las ecuaciones de primer grado los sistemas de ecuaciones también se puede verificar su solución reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Verificando
2 x y 80 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente 2 32 16 80 64 16 80 80 80 3 x 2 y 64 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente Introducción a la matemática
74
3 32 2 16 64 96 32 64 64 64 Como podemos ver los valores de x =32 e y = 16 son la única solución de este sistema de ecuaciones
x 5 y
3
0
2 x y 1 0
La ecuación de arriba le llamaremos E1 y la ecuación de abajo le llamaremos E2 1) Se amplifica la ecuación E1 por -1 y la ecuación E2 por 5 observe que las ecuaciones se multiplican de manera cruzada y por los coeficientes que acompañan a la incógnita que se quiere eliminar.
x 5 y 3
0
10 x 5 y 5 0
2) Se restan ambas ecuaciones x 5 y 3
0
10 x 5 y 5 0 11 x 0 2 0
3) Se resuelve la ecuación resultante 11 x 2 0 , sumando ambos lados 2 11 x 2
2 0 2
11 x
2 , multiplicando por -1 ambos lados de la ecuación
11 x
2 , dividiendo por 11 ambos lados de la ecuación
2
x
11
2
4) Se reemplaza x
11
en cualquiera de las otras dos ecuaciones Introducción a la matemática
75
2
11
5 y 3
5 y
2
3
2
0 , se suman
; 5y
11
2 3 11
11 1 11 35 35 35 1 5 y ; y : 5 11 11 11 5
2
2 11 y 1 0 ;
2 33
11 7 11
7
y
1
y 3 ambos lados de la ecuación
11
4 11
y
y
0
1
4 11
4 11
4
11
1 0
1; y
y 1
4 11
0 , sumando
4 11
y restando por 1
1
4 11 11
7 y
11
, multiplicando por -1 se tiene lo siguiente
7 y
11
2 7 , Por lo tanto, el sistema tiene como solución al par ordenado 11 11
Introducción a la matemática
76
Al igual que las ecuaciones de primer grado los sistemas de ecuaciones también se puede verificar su solución reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Verificando
x 5 y 3 0 , reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente
2
5 7
11 1 11 2 35 33 11
3 0;
2
35
11 11 35 35 0 ; 0 11
3 0
00 2 x y 1 0 2
2 7 1 0 11 11 4 11
7 11
1
0 1
4 7 11 1 11
11 11 11
0
, reemplazando los valores de las incógnitas se tiene lo siguiente
0
00
Como podemos ver los valores de x
2
7
11
e y
11
son la única solución de este sistema de
ecuaciones
Introducción a la matemática
77
Tomas tiene $1950 en monedas de $100 y de $50. En total tiene 24 monedas. Determine cuántas son de $100 y cuántas de $50.
Lo primero es definir las variables que en este caso son dos: X : Cantidad de monedas de $100 Y: Cantidad de monedas de $50 El total de monedas son 24, esto queda como una ecuación
E 1: x y 24 El total de dinero que se tiene en monedas de a $100 queda representado como la cantidad multiplicado por 100.
El total de dinero que se tiene en monedas de a $50 queda representado como la cantidad multiplicado por 50. La cantidad total de dinero se logra al sumar ambas cantidades 100x+50y Igualando esto con 1950 queda lo siguiente
E 2 :100x 50 y 1950 Si juntamos las ecuaciones E1 Y E2 formamos un sistema de ecuaciones x y
100 x 50 y
24
1950
Resolveremos este sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución de la siguiente forma. la ecuación de arriba le llamaremos E1 y la ecuación de abajo le llamaremos E2 1)
Se despeja x de la ecuación E1
x 24 y 2)
Se sustituye esta expresión en ecuación E2 quedando lo siguiente
100 (24 y) 50 y 1950 3) Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita
100 (24 y) 50 y 1950 , multiplicando por 100 para eliminar el paréntesis Introducción a la matemática
78
2400 100 y 50 y 1950 , reduciendo los términos semejantes 50Y
50 y
450 , multiplicando por -1 ambos lados de la ecuación
450 , dividiendo por 50 ambos lados de la ecuación
450 y
9
50
4) En la ecuación x = 24-y se reemplaza y por 9, se obtiene el valor de x x
24 9 15
Por lo tanto el sistema tiene como solución al par ordenado (15,9)
Un carpintero produce Mesas y sillas. En una semana fabrica 33 piezas entre mesas y sillas. Si se vende las mesas a $ 50.000 cada una y las sillas a $ 25.00 cada una, si en total recibe $1.200.000. ¿cuántas son las sillas y las mesas?
Lo primero es definir las variables que en este caso son dos: X : Cantidad de Sillas Y: Cantidad de Mesas El total de Piezas son 33, esto queda como una ecuación
E 1: x y 33 El total de dinero que se tiene por la venta de sillas queda representado como la cantidad multiplicado por 25.000.
El total de dinero que se tiene por la venta de mesa queda representado como la cantidad multiplicado por 50.000. La cantidad total de dinero se logra al sumar ambas cantidades 25.000x+50.000y Igualando esto con 1.200.000 queda lo siguiente
E 2 : 25.000x 50.000 y 1.200.000 Si juntamos las ecuaciones E1 Y E2 formamos un sistema de ecuaciones x y 33 25.000 x 50.000 y 1.200.000
Resolveremos este sistema de ecuaciones mediante el método de reducción de la siguiente forma. Introducción a la matemática
79
La ecuación de arriba le llamaremos E1 y la ecuación de abajo le llamaremos E2 1) Se amplifica la ecuación E1 por 25.000 y la ecuación E2 por 1 observe que las ecuaciones se multiplican de manera cruzada y por los coeficientes que acompañan a la incógnita que se quiere eliminar.
25.000 x 25.000 y 825.000 25.000 x 50.000 y 1.200.000
2) Se restan ambas ecuaciones 25.000 x 25.000 y
825.000
25.000 x 50.000 y
1.200.000
0 25.000 y
375.000
3) Se resuelve la ecuación resultante
25.000 y 375.000 , multiplicando por -1 ambos lados de la ecuación
25.000 y
375.000 , dividiendo por 25.000 ambos lados de la ecuación
375.000 y
y
25.000
15
15
4) Se reemplaza y=15 en la primera ecuación E1 x 15 33 ,
se restan 15 ambos lados
x 15 15 33 15
x 33 15 18 x
18
Por lo tanto el sistema tiene como solución al par ordenado (18,15)
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EJEMPLIFICACIÓN
A continuación resolveremos el siguiente problema: Un paquete formado por 600 acciones de una empresa minera y 500 acciones de una empresa de entretención costaron $4.540.000 y otro paquete formado por 400 acciones de la empresa de entretención y 500 acciones de la empresa minera costaron $3.760.000. Hallar el precio de cada acción.
Lo primero es definir las variables que en este caso son dos: X: Precio de las acciones de la empresa minera Y: Precio de las acciones de la empresa de entretención Si una acción de la minería su precio es igual a x y el primer paquete tiene 600 acciones el costo total por estas 600 acciones es de 600x. Una acción de las empresas de entretención su precio es igual a y, el primer paquete tiene 500 acciones el costo total por estas 500 acciones es de 500y. El costo total es de$4.540.000 , esto queda representado de la siguiente manera.
E 1:600x 500 y 4.540.000 Si una acción de la minería su precio es igual a x y el segundo paquete tiene 500 acciones el costo total por estas 500 acciones es de 500x. Una acción de las empresas de entretención su precio es igual a y, el segundo paquete tiene 400 acciones el costo total por estas 400 acciones es de 400y. El costo total es de$3.760.000 , esto queda representado de la siguiente manera.
E 2: 500x 400 y 3.760.000 Si juntamos las ecuaciones E1 Y E2 formamos un sistema de ecuaciones 600 x 500 y
4.540.000
500 x 400 y
3.760.000
Resolveremos este sistema de ecuaciones mediante el método de reducción de la siguiente forma. La ecuación de arriba le llamaremos E1 y la ecuación de abajo le llamaremos E2 1) Se amplifica la ecuación E1 por 400 y la ecuación E2 por 500 observe que las ecuaciones se multiplican de manera cruzada y por los coeficientes que acompañan a la incógnita que se quiere eliminar.
240.000 x 200.000 y 1.816.000.000 250.000 x 200.000 y 1.880.000.000
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2) Se restan ambas ecuaciones 240.000 x 200.000 y
1.816.000.000
250.000 x 200.000 y
1.880.000.000
-10.000x +0
= -64.000.000
3) Se resuelve la ecuación resultante
10.000 x 64.000.000 , multiplicando por -1 ambos lados de la ecuación
10.000 x 64.000.000 , dividiendo por 10.000 ambos lados de la ecuación 64.000.000 x
6400
10.000 x
6400 4) Se reemplaza x=6400 en la primera ecuación E1
600 6400 500 y 4.540.000 3.840.000 500 y 4.540.000, restamos 3.840.000 ambos lados 3.840.000 500 y 3.840.000 4.540.000 3.840.000
500 y 4.540.000 3.840.000 500 y 700000 , dividiendo por 500 ambos lados 700000 y
y
1400
500
1400
Por lo tanto el sistema tiene como solución al par ordenado (6400,1400) El precio de la acción minera es de $6400 cada una y el precio de la acción de la empresa de entretención es de $1400 cada una.
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