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Análisis de la respuesta en frecuencia y diseño de controladores
Unidad 2 Fase 2 –(componente practico)
Presentado por: Ronald Hernández Torres Código: 13565239
Francisco Javier Chávez Flórez Código: 1080262056
Diego Misael Guio Niño Código: 7185489
John Jairo figueroa Codigo: 1057215119
Grupo: 299005-8 Curso: Control Analógico TUTOR: Dr. Fabián Bolívar Marín
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería -ECBTI Mayo 2017
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Introducción
Los diagramas de Bode son de amplia aplicación en la Ingeniería de Control, pues permiten representar la magnitud y la fase de la función de transferencia de un sistema, sea éste eléctrico, mecánico,... Su uso se justifica en la simplicidad con que permiten, atendiendo a la forma del diagrama, sintonizar diferentes controladores (mediante el empleo de redes de adelanto o retraso, y los conceptos de margen de fase y margen de ganancia, estrechamente ligados éstos últimos a los llamados diagramas de Nyquist), y porque permiten, en un reducido espacio, representar un amplio espectro de frecuencias. En la teoría de control, ni la fase ni el argumento están acotadas salvo por características propias del sistema. En este sentido, sólo cabe esperar, si el sistema es de orden 2 tipo 0, por ejemplo, que la fase esté acotada entre 0º y -180º. Así pues, datos importantes a obtener tras la realización del diagrama de Bode para en análisis de la estabilidad de dicho sistema son los siguientes: • Margen de fase: Es el ángulo que le falta a -180º para llegar a la fase cuando la ganancia es de 0dB. Si la ganancia es siempre inferior a 0dB, el margen de fase es infinito. • Margen de ganancia: Es el valor por el que habría que multiplicar (en decimal), o sumar (en dB) a la ganancia para llegar a 0dB cuando la fase es de 180º. El sistema representado será estable si el margen de ganancia y el margen de fase son positivos. El diagrama de Nyquist es una representación paramétrica de una función de transferencia, se utiliza en control automático y procesamiento de señales. El uso más común de los diagramas de Nyquist es para la evaluación de la estabilidad de un sistema con realimentación. La representación se realiza en los ejes cardinales, esto es, la parte real de la función de transferencia se representa en el eje X y la parte imaginaria se traza en el eje Y. La frecuencia se recorre como un parámetro, por lo que a cada frecuencia le corresponde un punto de la gráfica. Alternativamente, en coordenadas polares, la ganancia de la función de transferencia se representa en la coordenada radial, mientras que la fase de la función de transferencia se representa en la coordenada angular. El diagrama de Nyquist se debe a Harry Nyquist, un exingeniero de los Laboratorios Bell. El presente documento contiene la aplicacion práctica de estos dos conceptos: diagrama de Bode y diagrama de Nyquist.
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Objetivos
Identificar y emplear el diagrama de Bode en el desarrollo de sistemas estables Identificar los conceptos diagrama de Bode y diagrama de Nyquist Conocer los elementos que forman parte de los diagramas de Bode y de
Nyquist
Desarrollar ejercicios para determinar empleando diagrama de Bode y
diagrama de Nyquist
Adquirir destreza en el manejo de software Matlab que nos permitan comprobar por medio de simulaciones y graficas el comportamiento de un sistema.
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Desarrollo de ejercicios Propuestos
ANEXO 2 Considere el sistema de la figura. Ejercicio 1. Analice la respuesta en frecuencia de la planta 5/s. Grafique los diagramas de Bode y Nyquist y analice los resultados obtenidos.
Se realiza la simulación en Matlab y se ejecuta el siguiente comando % Grafica diagramas de Bode y Nyquist para Modelo Planta clc; clear all; close all; s=tf('s'); Gp=5/s; % Modelo Planta ejercicio 1 bode(Gp) % figure (1) title('step diagrama de Bode'); grid on; nyquist(Gp) % figure (2) title('step diagrama de Nyquist'); grid on;
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Figura 1. Diagrama de bode: Respuesta en frecuencia de la planta 5/s En la figura 1, se observa la respuesta en frecuencia de la planta descrita por 5/s, de lo que se puede interpretar que dicha planta trabaja para frecuencias bajas. Además, el margen de fase es 90°, y para frecuencias mayores a 5 rad/seg, el margen de ganancia es negativo y hace que se pierda la estabilidad de la planta en lazo cerrado.
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Figura 2. Diagrama de Nyquist de la planta 5/s En la figura 2, se muestra el diagrama de Nyquist de la planta 5/s, donde también se puede observar al igual que en el diagrama de bode el margen de fase, y que para valores mayores de 5 rad/seg la planta en lazo cerrado es inestable.
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Ejercicio 2: Diseñar un compensador en adelanto para que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en
√
Compruebe el diseño usando matlab o scilab, a través del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado, demostrando que los polos deseados se encuentran en él. Demostrar igualmente que se cumple con la frecuencia natural no amortiguada y coeficiente de amortiguamiento deseados (calcúlelos a partir de la posición de los polos deseados). Simule la respuesta del sistema compensado ante entrada escalón unitario y determine los parámetros del estado transitorio de dicha respuesta y el error en estado estable .
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Ejercicio 2: Diseñar un compensador en adelanto para que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en
√
Compruebe el diseño usando matlab o scilab, a través del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado, demostrando que los polos deseados se encuentran en él. Demostrar igualmente que se cumple con la frecuencia natural no amortiguada y coeficiente de amortiguamiento deseados (calcúlelos a partir de la posición de los polos deseados). Simule la respuesta del sistema compensado ante entrada escalón unitario y determine los parámetros del estado transitorio de dicha respuesta y el error en estado estable .
Figura 3a. Sistema de control propuesto en la guía de actividades. Fuente: Guia de actividades
Partiendo del sistema sin compensar, el cual se puede representar a través de la interconexión mostrada en la figura 3.
Figura 3b. Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado sin compensar. Fuente: Katsuhiko, O
De la figura 3b, la función de transferencia de lazo abierto es
Aplicado al sistema de la figura 3a, se tiene que:
De este modo, los polos de lazo abierto son
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Para el diseño del compensador, se parte de la condición de ángulo, el cual se obtiene de
∑ ∑
aporta un ángulo de: √ El polo ubicado en aporta un ángulo de: El polo ubicado en
Por lo tanto, el ángulo de compensación se obtiene de la condición de contribución de ángulo:
∑ ∑
Por lo tanto, el compensador en adelanto debe aportar 30°, cuya forma general será:
Si se selecciona el cero
, el polo del compensador en adelanto se obtiene de
√ Donde despejando , Por lo tanto El valor de se determina a partir de la condición de magnitud. Dado que la función de transferencia de lazo abierto es ||√ Por lo tanto
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De este modo, y el compensador en adelanto diseñado es Para comprobar con MATLAB se implementó el siguiente script clc; clear all; close all; s=tf('s'); Gc=1.6*(s+2)/(s+4) Gp=5/s; H=1/(0.5*s+1) Glcs=Gc*Gp*H; rlocus(Glcs)
Figura 4. Lugar geométrico de las raíces del sistema compensado
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En la figura 4, se muestra el lugar geométrico de las raíces del sistema compensado, don de se observa que el polo deseado hace parte del lugar geométrico de las raíces del sistema propuesto.
El polinomio característico del sistema es
(√)(√) Y dado que el polinomio característico de un sistema de segundo orden es
Se tiene que la frecuencia natural no amortiguada es
[] Y el coeficiente de amortiguamiento se obtiene
Cuyos resultados se pueden evidenciar en el lugar geométrico de las raíces de la figura 4. Para determinar la respuesta al escalón del sistema se implementó el siguiente script en MATLAB clc; clear all; close all; s=tf('s'); Gc=1.6*(s+2)/(s+4) Gp=5/s; H=1/(0.5*s+1) Glcs=feedback(Gc*Gp,H); step(Glcs)
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Figura 5. Respuesta al escalón del sistema compensado
En la figura 5, se muestra la respuesta al escalón del sistema compensado, donde se puede observar que el tiempo de subida es
El sobreimpulso es
El tiempo de establecimiento es
Error en estado estable
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Ejercicio 3: Para el siguiente sistema :
a) Analizar su respuesta en el tiempo ante entrada escalón (calcular los parámetros de la respuesta transitoria y error en estado estacionario ante entrada escalón unitario). Comprobar los resultados mediante simulación Entrada escalón unitario
La fórmula para calcular el error en estado estacionario es:
Reemplazando los valores tenemos:
[ ]
Al eliminar las del numerador con la que está multiplicando la expresión, la ecuación queda de la siguiente manera:
Evaluamos el límite
Se toma la ecuación característica para sistema de segundo orden
13 Comparamos con los datos de la función de transferencia entrega y determinamos los parámetros de la respuesta transitoria.
√ El coeficiente de amortiguamiento es mayor que 1, por lo cual nuestro sistema es sobre amortiguado.
Tiempo de establecimiento
Figura 1. Simulación en Matlab.
14 a) Diseñar un PID para que el sobre impulso en lazo cerrado ante entrada escalón sea máximo del 15%, con un tiempo de establecimiento de 2 segundos máximo. Comprobar el diseño usando matlab-scilab.
Analizamos la entrada escalón para la función de transferencia de la planta en lazo abierto, se realiza simulación en Matlab.
Figura 2. Simulación función planta en lazo abierto con recta tangente. Aplicamos el primer método de Ziegler-Nichols y se calculan los valores iniciales del PID de acuerdo a la siguiente tabla.
Figura 3. Tabla valores iniciales controlador PID
15 Determinamos los valores de L y T, tomando los valores de la gráfica en las intersecciones de la recta tangente.
Resolvemos:
Una vez hallados los valores iniciales del controlador PID, se procede a realizar la simulación a través de la herramienta Simulink. Los valores a introducir en el controlador P ID son:
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Figura 4. Esquema simulación en Simulink.
Figura 5. Gráfica parámetros iniciales controlador PID Se aplica la sintonización de lazo al controlador PID, arrojando la siguiente gráfica.
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Figura 6. Gráfica sintonización sugerida controlador PID
Figura 7. Parámetros de controlador PID Como podemos observar en la tabla de los parámetros del controlador, cumple con la condición de sobre impulso, ya que no sobrepasa el 15%, pero no cumple con el tiempo de establecimiento requerido de máximo 2 segundos. Por lo cual se realiza una sintonización manual hasta llegar a valores dentro de lo requerido.
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Figura 8. Parámetros ajustados en controlador PID
Luego del ajuste los nuevos parámetros obtenidos para el controlador PID son:
Para determinar los valores a utilizar en la función de transferencia de nuestro controlador, despejamos en las ecuaciones y reemplazamos los valores.
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Figura 9. Gráfica sistema aplicando PID diseñado. Para obtener la función de transferencia del controlador, se recurre a la ecuación característica.
El esquema de control obtenido con el controlador PID es el siguiente:
Figura 10. Esquema de control con PID diseñado.
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Conclusiones
En el desarrollo del presente trabajo permite al estudiante tener una opción de especialización en su formación profesional, iniciando con el modela miento matemático en función del tiempo, es posible aclarar conceptos tales como: Un diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico estadounidense que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode. Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores. El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo. El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta
dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°. La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de fase mínima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert. Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).
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Otros sitios web
Análisis en el dominio de la frecuencia, diagrama de NYQUIST http://ingenieria.udea.edu.co/~jbuitrago/instrumentacionElectronica/Clases/Clase 03%20y%2004-Diagrama%20de%20Nyquist-Estabilidad.pdf Teoría de control, técnicas de frecuencia http://cesareo.webs.uvigo.es/TEMA-6.pdf Diagrama de bode http://www.ie.itcr.ac.cr/marin/lic/el3212/Diagrama_de_Bode.pdf