4.4 CONSERVACIÓN DE LA MASA El principio de conservación de la masa es uno de los principios más fundamentales de la naturaleza. Todos estamos familiarizados con este principio y es fácil entenderlo Como dice el dicho: ¡no se puede conservar un pastel y también comérselo! Una persona no tiene que ser un científico para imaginarse cuánto aderezo de vinagre y aceite se obtendrá cuando se mezclan 100 g de aceite con 25 g de vinagre. Incl In clusi usive ve la lass ec ecua uaci cion ones es qu quím ímic icas as se bal alan ance cean an con ba base se en el princi principi pioo de con conser serva vaci ción ón de la mas masa. a. Cua Cuand ndoo 16 kg de oxígeno oxígeno reaccionan con 2 kg de hidrógeno, se forman 18 kg de agua (Fig. 4.2). En un proceso electrolítico, el agua se separará de vuelta a 2 kg de hidrógeno y 16 kg de oxígeno. La masa, como la energía, es una propiedad que se conserva y no se puede crear ni destruir en el transcurso de un proceso. Sin embargo, según la conocida fórmula propuesta por Albert Einstein (1879-1955): 2
E = mc
(4-3)
donde c es la velocidad de la luz en el vacío, la cual es c = 2.9979 x 108 m/s, la masa m y la energía E se pueden convertir una en la otra. Esta ecuación sugiere que la masa de un sistema cambia cuando su ener en ergí gíaa ca camb mbia ia.. No ob obsta stannte, pa para ra tod todas as las in inter terac acci cion ones es en la práctica, con excepción de las reacciones nucleares, el cambio en la masa es en extremo pequeño y no se puede detectar, aun con los aparatos más sensibles. Por ejemplo, cuando se forma 1 kg de agua a partir de oxígeno e hidrógeno, la cantidad de energía liberada es de 15 879 kJ, lo cual corresponde a una masa de 1.76 x -10 kg. Una masa de esa magnitud está más allá de la exactitud necesaria en, prácticamente, todos los cálculos de ingeniería y, en consecuencia, se puede descartar. Para los sistemas cerrados, el principio de conservación de la masa se usa de manera implícita cuando se necesita que la masa del sistema perma permane nezca zca con constan stante te dur duran ante te el proc proceso. eso. Si Sinn emb embarg argo, o, pa para ra los volúme vol úmenes nes de con control trol , la ma masa sa pue puede de cr cruz uzar ar la lass fron ronter teras as y, po por r consiguiente, se debe considerar la razón de la masa que entra y que sale del volumen de control.
Gastos de masa y de volumen La cantidad de masa que fluye a través de una sección transversal por unidad de tiempo se llama razón de flujo de masa o simplemente ×
flujo másico y se denota por m . Se pone un punto sobre el símbolo para indicar razón de cambio respecto al tiempo .
2 kg H2
16 kg O2
18 kg H2O
Figura 4.2. La masa se conserva, inclusive, durante las reacciones químicas.
Un fluido fluye hacia dentro o hacia fuera de un volumen de control por tubos o ductos. El gasto diferencial de masa de fluido que fluye a través de un pequeño elemento de área, dAc (el subíndice corresponde a la primera letra de la palabra inglesa cross-section), en una sección transversal de tubo es proporcional al propio dAc, a la densidad r del fluido y a la componente de la velocidad del flujo normal a dAc, la cual se denota como V n, y se expresa como (Fig. 4.3): ×
d m = rV n dAc
ò dA 1
c
= Ac 2 - Ac1 = p
(
r 22
-
r 12
) pero ò d m = m ×
2
1
×
×
total
(razón de flujo de
×
masa total en el tubo exterior), no m 2 - m1 . Para valores especificados de r 1 y r 2, el valor de la integral de dAc es fijo (de allí provienen los nombres de función de punto y diferencial exacta), pero éste no es el ×
caso para la integral de d m (de ahí provienen los nombres de función de trayectoria y diferencial inexacta). La razón de flujo de masa que cruza toda el área de la sección transversal de un tubo o de un ducto se obtiene por integración: ×
m=
×
ò Ad m = ò A rV n dAc c
(kg/s)
V n
dAc n
(4.4)
Note que se usan tanto d como d para indicar las cantidades diferenciales, pero, por lo general, d se usa para cantidades (como calor, trabajo y transferencia de masa) que son funciones de trayectoria y tienen diferenciales inexactas, en tanto que d se usa para cantidades (como las propiedades) que son funciones de punto y tienen diferénciales exactas. Por ejemplo, para el flujo en el tubo exterior de radio interior r l y radio exterior r 2 del ducto que consta de dos tubos concéntricos 2
V
(4.5)
c
No obstante que la ecuación 4.5 siempre es válida (de hecho, es exacta), no siempre es práctica para los análisis de ingeniería porque implica integrar. En lugar de ello, resultaría conveniente expresar la razón de flujo de masa en términos de valores promedios sobre una sección transversal del tubo. En un flujo compresible general, tanto r como V n varían de uno a otro lado del tubo. Sin embargo, en muchas aplicaciones prácticas, la densidad es esencialmente uniforme sobre la sección transversal del tubo y se puede extraer r de la integral de la ecuación 4.5. Pero la velocidad nunca es uniforme sobre una sección transversal de un tubo debido a la condición de no deslizamiento en las paredes. Más bien, la velocidad varía desde cero en las paredes hasta algún valor máximo en la línea central del tubo o cerca de éste.
Superficie de control
Figura 4.3. La velocidad normal V n para una superficie es la componente de la velocidad perpendicular a esa superficie
Se define la velocidad promedio V prom como el valor promedio de V n a través de toda la sección transversal del tubo (Fig. 4.4): V prom =
Velocidad promedio:
1 Ac
ò
Ac
V n dAc
(4.6)
donde Ac es el área de la sección transversal normal a la dirección del flujo. Note que si la magnitud de la velocidad fuera V prom en toda la sección transversal, el gasto de masa sería idéntico al que se obtiene cuando se integra el perfil real de velocidad. De donde, para el flujo incompresible o inclusive para el flujo compresible para el cual r sea uniforme a lo largo de Ac, la ecuación 4.5 queda: ×
m = rV prom Ac
(kg/s)
V prom
Figura 4.4. La velocidad promedio V prom se define como la magnitud promedio de la velocidad de uno a otro lados de una sección transversal.
(4.7)
Para el flujo compresible se puede concebir r como la densidad promedio sobre la sección transversal y entonces, no obstante, se usa la ecuación 4.7 como una aproximación razonable. Por sencillez, se elimina el subíndice de la velocidad promedio. A menos que se indique lo contrario, V denota la velocidad promedio en la dirección del flujo. Asimismo, Ac denota el área de la sección transversal normal a la dirección del flujo. El volumen del fluido que fluye a través de una sección transversal por unidad de tiempo se llama razón de flujo volumétrico o gasto volumétrico o simplemente flujo volumétrico qv (Fig. 4.5) y se da por: qv
(m3/s)
= ò Ac V n dAc = V prom Ac = VAc
(4.8)
En 1628, el monje italiano Benedetto Castelli (1577-1644) publicó una primera forma de la ecuación 4.8. Note que en muchos textos de mecánica de fluidos se usa Q en lugar de qv para el gasto volumétrico. Aquí se usa qv para evitar confusión con la transferencia de calor Las razones de flujo de masa y de volumen están relacionadas por: ×
m = rq v
=
qv
n
(4.9)
Donde u es el volumen específico. Esta relación es análoga a m = rV V = V V /u, la cual es la relación entre la masa y el volumen de un fluido en un recipiente.
Ac
V prom qv = Vp ro mAc
Sección transversal
Figura 4.5. El gasto volumétrico es el volumen de fluido que fluye a través de una sección transversal por unidad de tiempo
Principio de conservación de la masa Este principio para un volumen de control se puede expresar como: la transferencia neta de masa hacia dentro un volumen de control, o hacia fuera de éste durante un intervalo Dt es igual al cambio neto (aumento o disminución) en la masa total que está dentro de ese volumen en el transcurso de Dt ; es decir:
æ Masa total que entra ö æ Masa total que sale ö æ Cambio neto durante çç ÷÷ - çç ÷÷ = çç t t è al VC durante Δ ø è del VC durante Δ ø è masa que está dentro o ×
×
m ent - m sal
= DmVC
(kg)
(4.10)
Figura 5.6. Principio de conservación de la masa para una tina común de baño.
×
donde Dm VC = mfinal - minicial es el cambio en la masa del volumen de control durante el proceso (Fig. 4.6). Esto también se puede expresar en la forma de razón como: ×
×
m ent - m sal ×
=
dmVC
(kg/s)
dt
(4.11)
×
donde m ent y m sal son las razones totales de flujo de masa hacia dentro y hacia fuera del volumen de control, y dmVC / dt es la razón de cambio de la masa que está dentro de las fronteras de ese volumen. Con frecuencia, se hace mención de las ecuaciones 4.10 y 4.11 como el balance de masa y son aplicables a cualquier volumen de control que pase por alguna clase de proceso. Considere un volumen de control de forma arbitraria, como se muestra en la figura 4.7. La masa de un volumen diferencial dV V que esté dentro del volumen de control es dm = rdV V. Por integración se determina que la masa total dentro del volumen de control en cualquier instante t es: Masa total dentro del VC :
mVC
= òVC rdV V
(4.12)
Entonces la razón de cambio de la cantidad de masa dentro del volumen de control se puede expresar como: Razón de cambio de la masad entro del VC : dmVC d = rdV V dt dt VC
ò
(4.13)
dV V
n dm dA
Volumen de control (VC)
V
Superficie de control (SC)
Figura 4.7. Volumen diferencial de control, dVV , y superficie diferencial de control, dA, usados en la deducción de la relación de conservación de la masa.
Para el caso especial en el que nada de masa cruza la superficie de control (es decir, el volumen de control semeja un sistema cerrado), el principio de conservación de la masa se reduce al de un sistema que se puede expresar como dmVC/dt = 0. Esta relación es válida si el volumen de control está fijo, en movimiento o deformándose. Considérese ahora el flujo de masa hacia fuera o hacia dentro del volumen de control a través, de un área diferencial dA sobre la superficie de control de un volumen fijo. Sea n el vector unitario hacia fuera de dA, normal a ésta, y V la velocidad del flujo en dA en relación con un sistema fijo de coordenadas, como se muestra en la figura 4.7. En general, la velocidad puede cruzar dA y forma un ángulo q con el normal de ésta y la razón de flujo de masa es proporcional a la componente normal de la velocidad V n = V cosq que va desde un flujo máximo hacia fuera con velocidad V para q = 0 para (el flujo es normal a dA), pasando por un mínimo de cero, para q = 90º (el flujo es tangente a dA), hasta un flujo máximo hacia dentro con velocidad V ; para q = 180º (el flujo es normal a dA, pero en dirección opuesta). Cuando se aplica el concepto del producto punto de dos vectores, la magnitud de la componente normal de la velocidad se puede expresar como: r
r
r
r
r
r
Componente normal de la velocidad :
= V cosq = V × n r
V n
(4.14)
r
La razón de flujo de masa a través de dA es proporcional a la densidad del fluido r, a la velocidad normal V n y al área de flujo dA, y se puede expresar como: Razón diferencial de flujo de masa:
( )
×
d m = rV n dA = r (V cosq )dA = r V × n dA r
r
(4.15)
La razón neta de flujo de masa hacia adentro o hacia afuera del volumen de control a través de la superficie completa de control se ×
obtiene cuando se integra d m sobre esa superficie completa de control: La razón neta de flujo de masa: ×
m neto
( )
= òSC rV n dA = òSC r V × n dA r
r
(4.16)
Note que V × n = V cosq es positiva para q < 90° (flujo hacia fuera) y negativa para q > 90° (flujo hacia dentro). Por lo tanto, se toma en cuenta de manera automática la dirección del flujo y la integral de la ecuación 4.16 da directamente la razón neta de flujo de masa. Un valor r
r
×
positivo para m neto indica flujo neto hacia fuera y uno negativo indica flujo de masa neto hacia dentro. ×
×
Si se reordena la ecuación 4.11 como dmCV / dt + m sal - m ent = 0 , entonces se puede expresar la relación de conservación de la masa para un volumen fijo de control como: Conservación general de la masa : d rdV V + dt VC
ò
( )
òSC r V × n dA = 0 r
r
(4.17)
Ésta expresa que la razón de cambio respecto al tiempo de la masa que está dentro del volumen de control más la razón neta de flujo de masa a través de la superficie de control es igual a cero.
También se puede deducir la relación general de conservación de la masa para un volumen de control con la aplicación del teorema del transporte de Reynolds (RTT, por sus siglas en inglés) cuando se toma la propiedad B como la masa m (Tema 4.3). Entonces se tiene b = 1, ya que cuando se divide la masa entre la masa para obtener la propiedad por unidad de masa da la unidad. Asimismo, la masa de un sistema es constante y su derivada respecto al tiempo es cero. Es decir dmsist / dt = 0. Entonces la ecuación del transporte de Reynolds se reduce de inmediato a la ecuación 4.17, como se muestra en la figura 4.8 y de este modo se ilustra que el teorema del transporte de Reynolds en verdad es un recurso muy poderoso. Cuando se divide la integral de superficie de la ecuación 4.17 en dos partes una para las corrientes salientes de flujo (positiva) y otra para las entrantes (negativa) la relación general de conservación de la masa también se puede expresar como: d
dt ò
VC
rdV V + å òA rV n dA - å òA rV n dA = 0 sal
(4.18)
ent
donde A representa el área para una entrada o una salida, y se usa el signo de suma para subrayar que deben considerarse todas las entradas y salidas. Si se usa la definición de razón de flujo de masa, la ecuación 4.18 también se puede expresar como:
Figura 4.8. La ecuación de conservación de masa se obtiene cuando se reemplaza B en el teorema de transporte de Reynolds por la masa m y b por 1 (m por unidad de masa = m/m = 1)
d dt
×
ò
VC
×
rdV V = å m - å m sal
o
dmVC dt
ent
×
×
= å m - å m (5.1 9) sal
n
r
r
( ) r
r
Volúmenes de control en movimiento o en deformación Las ecuaciones 4.17 y 4.18 también son válidas para volúmenes de control en movimiento y en deformación, siempre que se reemplace la velocidad absoluta V por la velocidad relativa V r , la cual es la velocidad del fluido con relación a la superficie de control. En el caso de un volumen de control que no esté deformando, la velocidad relativa es la velocidad del fluido que observa una persona en movimiento con el volumen de control y se expresa como V r = V - V VC , en donde V es la velocidad del fluido y V VC es la velocidad del volumen de control, ambas en relación con un punto fijo en el exterior. Una vez más, note que ésta es una sustracción vectorial. r
r
r
r
r
r
r
En algunos problemas prácticos (como la inyección de un medicamento a través de la aguja de una jeringa por el movimiento forzado del émbolo) intervienen volúmenes de control en deformación. Todavía se pueden usar las relaciones de conservación de la masa desarrolladas para esos volúmenes siempre que la velocidad del fluido que cruza una parte en deformación de la superficie de control se exprese en relación con ésta (es decir, la velocidad del fluido se debe expresar en relación con un marco de referencia sujeto a la parte en deformación de la superficie de control). En este caso, la velocidad relativa en cualquier punto sobre la superficie de control se expresa como V r = V - V SC , en donde V SC es la velocidad local de esa superficie de control en ese punto en relación con un punto fijo en el exterior del volumen de control. r
r
r
A/cosq
V
ent
Se tiene una flexibilidad considerable en la selección de un volumen de control cuando se resuelve un problema. Varias elecciones de este volumen pueden ser correctas, pero algunas son más convenientes para trabajar. Un volumen de control no debe de introducir complicaciones innecesarias. La elección apropiada de un volumen de control puede hacer que la resolución de un problema aparentemente complicado sea más bien fácil. Una regla sencilla cuando se selecciona un volumen de control es hacer que la superficie de control sea normal al flujo en todos los lugares en donde se cruce con ese flujo del fluido siempre que sea posible. De esta manera, el producto punto V × n se convierte, simplemente, en la magnitud de la velocidad y la integral ò r V × n dA se vuelve en rVA (Fig. 4.9). A
A
r
q
V
Vn = V cos q . m = r(Vcosq )(A/cosq ) = rVA
a) Superficie de control formando un ángulo con el flujo. A
V
n V
m = rVA
.
b) Superficie de control normal al flujo
Figura 4.9. Siempre debe seleccionarse una superficie de control normal al flujo en todos los lugares donde se cruce con ese flujo del fluido, para evitar complicaciones, aun cuando el resultado sea el mismo.
Balance de masa para procesos de flujo estacionario
m1 = 2 kg/s
.
En el transcurso de un proceso de flujo estacionario, la cantidad total de masa contenida dentro de un volumen de control no cambia con el tiempo (mVC = constante). Entonces el principio de conservación de la masa exige que la cantidad total de masa que entra en un volumen de control sea igual a la cantidad total de masa que sale de él. Por ejemplo, para la boquilla de una manguera de jardín en operación estacionaria, la cantidad de agua que entra a la boquilla por unidad de tiempo es igual a la cantidad de agua que sale de ella por unidad de tiempo. Cuando se trata con procesos de flujo estacionario no se tiene interés en la cantidad de masa que fluye hacia fuera o hacia dentro de un dispositivo en un transcurso de tiempo; en lugar de ello, se tiene interés en la cantidad de masa que fluye por unidad de tiempo; es decir, la razón de flujo de masa m. El principio de conservación de la masa para un sistema general de flujo estacionario con entradas y salidas múltiples se puede expresar en la forma de razón como (Fig. 4.10):
å
Flujo estacionario:
×
×
= åm
m
ent
(kg/s)
(4.20)
sal
Ésta expresa que la razón total de masa que entra en un volumen de control es igual a la razón total de masa que sale de él . Numerosos dispositivos de ingeniería, como toberas, difusores, turbinas, compresores y bombas, forman una sola corriente (sólo una entrada y una salida). Para estos casos se denota el estado de entrada por el subíndice 1 y el de salida por el subíndice 2, y se eliminan los signos de suma. Entonces la ecuación 4.20 se reduce, para sistemas de flujo estacionario con una sola corriente a: Flujo estacionario (una sola corriente): ×
m1
×
= m 2 ® r1V 1 A1 = r 2V 2 A2
(4.21)
Caso especial: flujo incompresible Las relaciones de conservación de la masa se pueden simplificar todavía más cuando el fluido es incompresible, el cual suele ser el caso para los líquidos. Cuando se cancela la densidad en ambos miembros de la relación general del flujo estacionario da:
m2 = 3 kg/s
.
VC
m3 = m1 + m2 = 5 kg/s
.
.
.
Figura 4.10. Principio de conservación de la masa para un sistema de flujo estacionario con dos entradas y una salida.
Flujo estacionario e incompresible: qv =
å ent
åq
v
(m3/s)
m2 = 2 kg/s 3 qv2 = 0.8 m /s
(4.22)
sal
Para sistemas de flujo estacionario con una sola corriente queda: Flujo estacionario e incompresible (una sola corriente): qv1 = qv2 ® V 1 A1 = V 2 A2
Compresor de aire
(4.23)
Siempre se debe tener presente que no existen cosas como principio de "conservación del volumen". Por lo tanto, los gastos volumétricos hacia dentro y hacia fuera de un aparato pueden ser diferentes. El gasto volumétrico a la salida de un compresor de aire es mucho menor que el que se tiene en la admisión, aun cuando la razón de flujo de masa de aire a través del compresor es constante (Fig. 4.11). Esto se debe a la densidad más alta del aire a la salida del compresor. Sin embargo, para el flujo estacionario de líquidos, los gastos volumétricos, así como los de masa, permanecen constantes, ya que los líquidos son esencialmente sustancias incompresibles (de densidad constante). El flujo de agua por la boquilla de una manguera de jardín es un ejemplo de este último caso.
m1 = 2 kg/s 3 qv1 = 1.4 m /s
Figura 4.11. Cuando transcurre un proceso de flujo estacionario, los gastos volumétricos no se conservan necesariamente, aun cuando sí se conserven los flujos de masa.
El principio de conservación de la masa se basa en observaciones experimentales y exige tomar en cuenta toda pequeña porción de masa durante el transcurso de un proceso. Si el lector puede verificar el saldo de su chequera (mantener al día los depósitos y disposiciones o, sencillamente, si observa el principio de "conservación del dinero"), no debe tener dificultades en aplicar el principio de conservación de la masa a los sistemas de ingeniería.
EJEMPLO 4.4.1 Flujo de agua por la boquilla de una manguera de jardín Se usa una manguera de jardín que tiene una boquilla de riego para llenar una cubeta de 10 ga1. El diámetro de la manguera es de 10 cm y se reduce hasta 0.8 cm, en la salida de la boquilla (Fig. 4.12). Si transcurren 50 s para llenar la cubeta con agua, determine a) las razones de flujo volumétrico y de masa del agua que pasa por la manguera y b) la velocidad promedio del agua a la salida de la boquilla.
SOLUCIÓN Se usa una manguera de jardín, para llenar una cubeta con agua. Se deben determinar, las razones de flujo volumétrico y de masa y la velocidad a la salida.
Figura 4.12. Esquema para el ejemplo 4.4.1
1 El agua es una sustancia incompresible. 2 El flujo por la marguera es estacionario. 3 No hay desperdicio de agua por salpicadura. 3 Propiedades Se toma la densidad del agua como 1000 kg/m = 1 kg/L. Análisis a) Note que se descargan 10 gal de agua en 50 s, las razones de flujo volumétrico y de masa son: Hipótesis
qv ×
=
10 gal æ 3.7854 L ö ç ÷ = 0.757 L/s Dt 50 s çè 1 gal ø÷
V V
m = rq v
=
= (1 kg/L )(0.757 L/s ) = 0.757 kg/s
b) El área de la sección transversal de la salida de la boquilla es: Ae = pr 2 = p(0.4 cm)2 = 0.5027 cm2 = 0.5027 x 10 -4 m2
El gasto volumétrico por la manguera y por la boquilla es constante; entonces, la velocidad promedio del agua en la salida de la boquilla queda: æ 1 m 3 ö qv 0.757 L/s ç ÷ = 15.1 m/s V e = = Ae 0.5027 x 10 -4 m 2 çè 1000 L ø÷ Se puede demostrar que la velocidad promedio en la manguera es de 2.4 m/s. Por lo tanto, la boquilla aumenta la velocidad del agua en más de seis veces.
Discusión
EIEMPLO 4.4.2 Descarga de agua de un tanque Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuya parte superior está abierta a la atmósfera está al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que está cerca de1 fondo del tanque cuyo diámetro es de 0.5 in y un chorro de agua se vierte hacia fuera (fig. 5.13). La velocidad promedio del chorro se da por V = 2 gh en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde el centro del agujero (una variable) y g es la aceleración gravitacional. Determínese cuánto tiempo transcurrirá para que el nivel del agua en el tanque descienda hasta 2 ft, medido desde el fondo.
SOLUCIÓN Se quita el tapón cercano al fondo de un tanque de agua. Se debe determinar el tiempo que tarda en descargarse la mitad del agua que está en el tanque. Hipótesis 1
El agua es una sustancia incompresible. 2 La distancia entre el fondo del tanque y el centro del agujero es despreciable en
Aire
Agua h0
h
h2
Dchorro
Dtanque
Figura 4.13. Esquema para el ejemplo 4.4.2
comparación con la altura total del agua. 3 la aceleración gravitatoria es de 32.2 ft/s2. Análisis Se toma el volumen ocupado por el agua cómo el volumen de control. En este caso, decrece el tamaño de este volumen, conforme el nivel del agua desciende y, donde éste es un volumen de control variable (también se pudo tratar esto como un volumen fijo, de control, que consiste en el volumen interior del tanque descartando el aire que remplaza el espacio que deja vacío el agua). Es obvio que es un problema de flujo no estacionario, ya que las propiedades (como la cantidad de masa) en el interior del volumen de control cambian con el tiempo. La relación de conservación de la masa para un volumen de control que pasa por cualquier proceso se da en la forma de razón como: ×
×
m ent - m sal
=
dm VC dt
(1)
En el transcurso de este proceso nada de masa entra al volumen de × ö m control æ ç ent = 0 ÷ , y el gasto de masa del agua descargada se puede è ø expresar como: ×
m sal
= (rVA)sal = r 2 gh Achorro
(2)
donde Achorro = p D2chorro/4 es el área de la sección transversal del chorro, el cual es constante. Nótese que 1a densidad del agua es constante, la masa del agua en el tanque es cualquier instante es: mVC
= rV V = r Achorro h
(3)
Donde Atanque = p D2tanque/4 es el área de la base del tanque cilíndrico. Si se sustituyen las ecuaciones 2 y 3 en la relación de balance de masa (ecuación 1) da:
- r 2 gh Achorro
2 æ p Dchorro ö ç ÷÷dh r ç 2 d (r Atanque h ) 4 ø æ p D ö = ® - r 2 gh çç chorro ÷÷ = è dt dt è 4 ø
Cuando se cancelan las densidades y otros términos comunes, y se separan las variables, da:
2
dt =
-
Dtanque 2 Dchorro
æ dh ö ç ÷ ç 2 gh ÷ è ø
Se integra t = 0, en el cual h = h0, hasta t = t , en el cual h = h2, da: 2
4 ft - 2 ft æ 3 x 12 in ö t = ç ÷ = 757 s = 12.6 min 32.2 / 2 ft/s 2 è 0.5 in ø Por lo tanto, se vaciará la mitad del tanque en 12.6 min después de quitar el tapón del agujero de descarga. Discusión: Se usa la misma relación, con h2
= 0 da t = 43.1 min para que se descargue toda la cantidad de agua que está en el tanque. Por lo tanto, se necesita más tiempo para vaciar la mitad de abajo del tanque que vaciar la mitad de arriba. Esto se debe a la disminución en la velocidad promedio de descarga del agua, cuando decrece h.
