M´ eto dos Num´ ericos Antonio Herrera
Enero 2013 Instituto Tecnol´ogic og ico o de M´ erida er ida
Unidad Unid ad 1.- In Introd troducc ucci´ i´ on a los m´ on eto dos etodos num´ ericos
1
Conceptos Conce ptos b´ asicos : Algoritmos y aproximaciones asicos:
2
Tipos de errores
Error absoluto y error relativo Error de redondeo y truncamiento
3
Convergencia
Conceptos b´ asicos: Algoritmos y aproximaciones
Tipos de errores
Convergencia
Conceptos b´asicos: Algoritmos y aproximaciones
Introducci´ on Los m´etodos num´ericos son t´ ecnicas mediante las cuales es posible formular problemas matem´ aticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritm´eticas. A pesar de la gran cantidad de m´etodos num´ericos existentes es importante resaltar que hay que realizar un buen n´ umero de tediosos c´ alculos aritm´eticos por lo que el papel que juegan las computadoras es muy importante. Antes de la disponibilidad general de las computadoras los m´etodos para la soluci´ on de problemas era encontrando soluciones anal´ıticas, a trav´es de gr´aficas tediosas o de calculadoras y reglas de c´ alculo.
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Tipos de errores
Los m´etodos num´ericos son herramientas poderosas para la soluci´ on de problemas, el manejo de sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geometr´ıas complicadas que es muy dif´ıcil o imposible de resolver anal´ıticamente De igual para el dise˜ no de software donde se requiera resolver un problema el cual no esta disponible de forma comercial, el an´ alisis de datos o de alg´ un problema particular.
Convergencia
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Algoritmos y aproximaciones
Un algoritmo es un procedimiento que describe sin ambig¨ uedades, una serie finita de pasos a realizar en un orden espec´ıfico. El objetivo de un algoritmo es poner en pr´ actica un procedimiento para resolver un problema o aproximarse a una soluci´ on del problema, utilizando un seudoc´ odigo para describirlos. Los seudoc´ odigos especifican la forma de entrada por proporcionar y la forma de salida deseada. Debido a que no siempre es posible obtener una salida satisfactoria es necesario incluir formas para detener el c´ odigo y evitar ciclos infinitos.
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Tipos de errores
Convergencia
En los algoritmos se usan dos s´ımbolos de puntuaci´ on:
Un punto (.) indica el fin de un paso, el punto y coma (;) separa las tareas dentro de un paso. Ciclos
Las tecnicas de formaci´on de ciclos son controladas por contadores, por ejemplo: Para i = 1, 2, · · · , n Establezca x i = ai + i · h
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Tipos de errores
Ejemplo 1 Un algoritmo para calcular N
x 1 + x 2 + ... + x N
i =1
donde N y los n´umeros x 1 , x 2 ,...,x N est´an dados: ENTRADA N, x 1 , x 2 ,...,x N SALIDA SUMA= N x . i =1 i Paso 1 Establezca SUMA=0. Paso 2 para i=1,2,...,N haga fijar SUMA = SUMA + x i . Paso 3 SALIDA (SUMA); PARAR.
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Convergencia
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Aproximaci´ on
Utilizando algoritmos iterativos es posible aproximar cantidades no aritm´eticas utilizando cantidades aritm´eticas. Dependiendo del tipo de problema generalmente, existir´ an varios posibles m´ etodos para obtener la aproximaci´ on deseada, dependiendo de distintos criterios para juzgar cual es mas eficaz. Suponiendo que todos los m´ etodos funcionen, se debe hace una pregunta muy importante cual de ellos es el que da la mejor aproximaci´ on. entras palabras ¿Qu´e error puede ser tolerado en el resultado?
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Tipos de errores
Tipos de errores
¿Qu´ e es un error? Los errores num´ericos son aquellos que se generan con el uso de aproximaciones para representar las cantidades y operaciones matem´aticas. Es importante tener en cuenta 2 conceptos: Exactitud: Valor mas cercano al valor real. Precisi´ on: se refiere a que tan cercano este un valor individual medido, respecto de otro.
Convergencia
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Tipos de errores
Convergencia
Tipos de errores
Error absoluto y relativo
Error absoluto
Si p ∗ es una aproximaci´ on de p el error error absoluto est´a dado por |p − p ∗ | Error relativo
Este error esta dado por |p − p ∗ |/|p |, siempre y cuando p =0
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Convergencia
Ejemplo a) Si p = 0.3000 × 101 y p = 0.3100 × 101 , el error absoluto es 0.1 y el error relativo es 0.3333 × 10 1 . −
b) Si p = 0.3000 × 10 3 y p = 0.3100 × 10 3 , el error absoluto es 0.1 × 10 4 y el error relativo es 0.3333 × 10 1 . −
−
−
−
c) Si p = 0.3000 × 104 y p = 0.3100 × 104 , el error absoluto es 0.1 × 103 y el error relativo es 0.3333 × 10 1 . −
Este ejemplo demuestra que como una medida de precisi´on el error absoluto puede ser muy enga˜noso y el error relativo m´as significativo.
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Tipos de errores
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Tipos de errores
Error de redondeo y truncamiento Cuando se trabaja con calculadoras o computadoras para realizar c´alculos es importante considerar un error inevitable, el llamado error por redondeo. Este error se origina porque la aritm´etica realizada en una m´aquina involucra n´ umeros con s´ olo un n´ umero finito de d´ıgitos, considerando que los resultados son solo representaciones aproximadas de los n´ umeros verdaderos.
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Tipos de errores
Convergencia
Tipos de errores
N´ umeros de punto flotante normalizado
Punto flotante
un n´ umero cualquiera expresado como N = ab e es llamado de punto flotante y en el cual se tienen los siguientes elementos: a= mantisa b= base e= exponente Los siguientes son ejemplos de n´umeros de punto flotante: 315.423 × 108 N = 7.46 × 24 N = 45.234 × 612 N =
N =
−32.496 × 10 N = −5.43 × 52 N = 232.12 × 14
12
−
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N´ umero flotante normalizado
Un n´ umero es llamado de flotante normalizado si cumple con: 1 ≤ |a| < 1 b En el sistema decimal este seria: 1 b
≤ |a| < 1
Algunos n´ umeros de punto flotante normalizado son: 0.364 × 105 0.324 × 57
0.643 × 28 0.555 × 6 3 −
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Tipos de errores
Convergencia
Por lo tanto cualquier n´ umero positivo real dentro del intervalo de una m´ aquina se puede expresar como: n
y = 0.d 1 d 2 ...d k d k +1 d k +2 ... × 10
La forma de punto flotante de y , denotada como fl (y ) se obtiene terminando la mantisa de y en k cifras decimales. Cuando simplemente se cortan los d´ıgitos d k +1 d k +2 ... para obtener: fl (y ) = 0.d 1 d 2 ...d k × 10
n
se le llama truncamiento. Si se suma 5 × 10n n´ umero de la forma
(k +1)
−
a y y luego trunca el resultado para obtener un n
fl (y ) = 0.δ 1 δ 2 ...δ k × 10
As´ı al redondear, si d k +1 ≥ 5, sumamos 1 a d k para obtener fl (y ); es decir redondeamos hacia arriba. Si d k +1 < 5, simplemente truncamos los primeros k d´ıgitos, redondeando hacia abajo.
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Tipos de errores
Convergencia
umero π tiene un desarrollo decimal infinito de la forma Ejemplo El n´ π = 3.14159265... Escrito en forma decimal normalizada, tenemos π = 0.314159265... × 101 La forma de punto flotante de π con un truncamiento a cinco cifras es fl (π) = 0.31415 × 101 = 3.1415
Puesto que la sexta cifra del desarrollo decimal de π es 9, la forma de punto flotante de π con un redondeo a cinco cifras es π = (0.31415 + 0.00001) × 101 = 3.1416 El error que resulta al sustituir un numero por su forma de punto flotante es el error de redondeo.
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Tipos de errores
Convergencia
EJEMPLO Eval´ ue f (x ) = x 3 − 6.1x 2 + 3.2x + 1.5 en x = 4.71 con una aritm´etica de
tres cifras. Exacto Tres cifras(truncamiento) Tres cifras(redondeo)
x
x 2
x 3
4.71 4.71 4.71
22.1841 22.1 22,2
104.487111 104 105
Exacto : f (4.71) = + Tres cifras(truncamiento) : f (4.71) = Tres cifras(redondeo) : f (4.71) =
6.1x 2 135.32301 134 135
3.2x 15.072 15.0 15.1
104.487111 − 135.32301 15.072 + 1.5 = −14.262899; ((104 − 134) + 15.0) + 1.5 = −13.5; ((105 − 135) + 15.1) + 1.5 = −13.4.
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Tipos de errores
Convergencia
Los errores relativos para los m´etodos con tres cifras son
y
−14.263899 + 13.5 ≈ 0.05, −14.263899 −14.263899 + 13.4 ≈ 0.06, −14.263899
para truncamiento
para redondeo.
Como metodo alternativo, f (x ) se puede escribir de una manera anidad como f (x ) = x 3 − 6.1x 2 + 3.2x + 1.5 = ((x − 6.1)x + 3.2)x + 1.5
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Tipos de errores
Esto da como resultado f (4.71) = −14.2 para truncamiento y y una respuesta con redondeo a tres cifras de −14.3. Los nuevos errores relativos son
−14.263899 + 14.2 −14.263899 −14.263899 + 14.3 −14.263899
≈ 0.0045,
para truncamiento
≈ 0.0025,
para redondeo.
Convergencia
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Tipos de errores
Convergencia
Convergencia
Sucesiones y series
Sucesiones
Es un conjunto de t´erminos formados por una ley o regla determinada. Es conjunto es una funci´o n cuyo dominio son los n´ umeros enteros positivos (Z+). Para simbolizar un t´ ermino general se utiliza la letra a ´o s, y las variables con la letra min´ uscula n. Ejemplo:
an = 2n = 21 , 22 , 23 ,..., 2n
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Tipos de errores
Convergencia
Serie
Dada una sucesi´ on de n´umeros reales (an ), se considera la nueva sucesi´on (S n ) n
S n = a1 + a2 + ... + an =
ak
k =1
al par ordenado de sucesiones ((an ), (S n )) se le llama serie de n´umeros reales.
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Tipos de errores
En lugar de sucesiones y series de n´umeros, podemos considerar sucesiones y series de funciones, tales como: ∞
x n
=
1 + x + x 2 + ... + x n + ...
n=0 ∞
n=0
sin nx + cos nx =
sin x + cos x + sin 2x + cos 2x ...
Convergencia
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Tipos de errores
Convergencia
Convergencia
Convergencia
Se entiende por convergencia de un m´etodo num´erico la garant´ıa de que, al realizar un “buen n´ umero” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez m´ as al verdadero valor buscado. En la medida en la que un m´ etodo num´ erico requiera de un menor n´ umero de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.
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Tipos de errores
Convergencia
Por definici´ on, la serie nk =1 ak converge al l´ımite L si y solo si la sucesi´ on de sumas parciales asociada converge a S n . Esta definici´ on suele escribirse como
n
L=
ak ⇔ L = l´ım S n n→∞
k =1
una serie divergente es una serie infinita que no converge. En una serie convergente los t´ erminos individuales deben tender a cero, una serie cuyos t´ erminos no cumplen esta condici´ on es divergente, sin embargo no todas las series cuyos t´erminos se aproximan a cero es convergente. Un ejemplo de una serie divergentes es la serie arm´ onica
1 n
k =1
k
= 1+
1 1 1 1 + + + .... 2 3 4 5
(1)
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Tipos de errores
Convergencia
Definici´ on
Supongamos que una sucesi´on, αn converge a un n´umero α. Decimos que αn converge a α con una rapidez de convergencia O (β n ), donde β n es otra sucesi´on con β n = 0 para cada n, si αn − α ≤ k β n Esto implica que por lo general escribiendo αn = α + O (β n ) con una rapidez de convergencia O (β n )
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Tipos de errores
Convergencia
La serie de Taylor es un ejemplo de una serie convergente:
f ( ) (a) ∞
f (x ) =
n=1
n
n!
(x − a)n
(2)
Varios ejemplos de series convergentes son: sen x = x −
x 3
3!
+
x 5
5!
+ ......
(3)
