PRESENTACION 03 CINEMATICA-Conceptos básicos -Problemas • AUTOR : Ing. Gabriel Castro R. • e-mail:
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Es la rama de la fís física ica que que se ocup cupa del movim ovimi ient ento de los objeto jetos s y de su respu respuest esta a a las fuerz fuerzas as. Clas Clasif ific icac ació ión n: Mecá Mecáni nica ca clás clásic ica a; Mecá Mecáni nica ca cuán cuánti tica ca; Mecá Mecáni nica ca rela relati tivi vist sta a; Teorí Teoría a cuánti cuántica ca de campo campos s Cine Cinemá máti tica ca: se ocup ocupa a de la desc descri ripc pció ión n del del movi movimi mien ento to de los los cuer cuerpo pos s sin sin tene tener r en cuen cuenta ta sus sus caus causas as. Partícula: Parte pequeña de materia, que se considera que no puede desco descompo mponerse nerse en otras otras mas simples; p. ej., el el electrón. Móvil: se entiende por móvil al objeto en movimiento del que se quiere estud estudiar iar su trayec trayector toria ia o las fuerz fuerzas as que que interv intervien ienen en sobre sobre el. U n s i s t e ma d e r e f e r e n c i a o m a r c o de r e f e r e n c i a es un c o n j u n to d e conv conven enci cion ones es usad usadas as por por un obse observ rvad ador or para para pode poder r medi medir r la posi posici ción ón y otra otras s magn magnit itud udes es físi física cas s de un obje objeto to o sist sistem ema a físi físico co en el tiem tiempo po y el espa espaci cio o.
Es la dist distan anci cia a que que hay hay desd desde e el orig origen en al punt punto o dond donde e esta esta ubic ubicad ado o, ejemplo: Un s i s t e ma de r e f e r e n c i a o m a r co de r e f e r e n c ia e s u n c o n j u n t o d e convenciones u s a d a s p o r u n o b s e r v a d o r p a ra p o d er m e d ir l a p o s i c i ón y o t r a s magnitudes magnitudes físicas de un objeto o sistema físico en el tiempo y el espacio. Es el vector que define la posición de un punto o partícula en relac elaci ión a un orig rigen o con res respect pecto o a una posic sición ión previ revia a. El vect vector or se exti extien ende de desd desde e el punt punto o de refe refere renc ncia ia hast hasta a la posi posici ción ón actu actual al. Unida nidad d de medi medida da: es una canti ntidad dad esta estand ndar ariz izad ada a de una una deter etermi mina nada da magnitud física. En general, una unidad de medida toma su valor a part partir ir de un patr patrón ón o de una una comp compos osic ició ión n de otra otras s unid unidad ades es def definid inidas as prev previa iame ment nte e. Las Las prim primer eras as se cono conoce cen n como como unid unidad ades es bási básica cas s o de base base (o, no muy cor correc rectame tamen nte, fun fundame damen ntal tales), mient entras ras que las las segu egundas ndas se llaman llaman unidades unidades derivada derivadas s. Unidad Unidades es de medid medidas as:
Busque ejemplos ejemplos. . Busque
Ejem Ejempl plo o: Una Una pers person ona a se pase pasea a en líne línea a rect recta a en una una piez pieza a de 3 m entr entre e amba ambas s pare parede des. Desp Despué ués s de dar dar 10 vuel vuelta tas s comple completas, retorn retorna a a su silla silla donde donde se encont encontrab raba a sentad sentada a inicia inicialm lment ente e. Que distancia tancia recorr recorrió? ió? . Cual Cual fue fue su despla desplaza zamie miento nto? ? .Que Como Como la posi posici ción ón inic inicia ial l y fina final l es la mism misma a, el desp despla laza zami mien ento to es nulo nulo:
La distancia recorrida es la suma de sus idas y vueltas dentro de la piez ieza, por lo tant tanto o es: Distancia = Ob via men t e , claram clarament ente e es 60 metros metros.
pero la distancia recorrida
La dist distan anci cia a es una una magn magnit itud ud esca escala lar r que que mide mide la rela relaci ción ón de leja lejaní nía a entr entre e dos dos punt puntos os o cuer cuerpo pos s. Segu Segura rame ment nte e abra abras s obse observ rvad ado o que que si el fina final l del del reco recorr rrid ido o coin coinci cide de con con el inic inicio io, el desp despla laza zami mien ento to es cero cero. Cuan Cuando do Alex Alex Criv Crivil illé lé da una una vuel vuelta ta compl completa eta al circui circuito to de Jerez Jerez recorr recorre e una dist distan anci cia a de 4. 423 423, 101 101 m, pero pero su desp despla laza zami mien ento to es cero cero.
En el lengua lenguaje je ordin ordinar ario io los términ términos os distan distanci cia a y despla desplazam zamien iento to se utiliz utilizan an como como sinóni sinónimo mos s, aunque aunque en reali realida dad d tienen tienen un signif significa icado do diferente . La dist distan anci cia a reco recorr rrid ida a por por un móvi móvil l es la long longit itud ud de su tray trayec ecto toria ria y se trat trata a de una una magn magnit itud ud esca escala lar r. En camb cambio io el despla desplazam zamien iento to efect efectua uado do es una una magnit magnitud ud vecto vectoria rial l. El vector vector que repr repres esen enta ta al desp despla laza zami mien ento to tien tiene e su orig origen en en la posi posici ción ón inic inicia ial l, su extremo en la posición final y su modulo es la distancia en línea recta entr entre e la posi posici ción ón inic inicia ial l y la fina final l.
La velo veloci cida dad d es una una magn magnit itud ud vect vector oria ial l que que rela relaci cion ona a el camb cambio io de posi posici ción ón despla laza zami mien ento to) con con el tiemp tiempo o. Form Formul ula a: (o desp Unid Unidad ades es: Tant Tanto o la rapi rapide dez z como como la velo veloci cidad dad se calc calcul ulan an divi dividi dien endo do una una long longit itud ud entr entre e un tiem tiempo po, sus sus unid unidad ades es tamb tambié ién n será serán n el coci cocien ente te entr entre e unid unidad ades es de long longit itud ud y unid unidad ades es de tiem tiempo po. Por Por ejem ejempl plo o: · · · En el Sist Sistem ema a Inte Intern rnac acio iona nal l, la unid unidad ad para para la rapi rapide dez z medi media a es el Es la vari variac ació ión n de la posi posici ción ón con con el tiem tiempo po. Nos Nos indi indica ca si el móvil óvil se muev mueve e, es deci decir r, si vari varia a su posi posici cion on a medi medida da que que vari varia a el tiem tiempo po. La velo veloci cida dad d medi media a o velo veloci cida dad d prom promed edio io info inform rma a sobr sobre e la velo veloci cida dad d en un inter interval valo o dado dado. Se calcu calcula la divid dividien iendo do el despla desplaza zamie miento nto ( transcurrido ( Por Por ejem ejempl plo o, si un obje objet to ha rec recorri orrido do una dist dista ancia ncia de 1 metr metro o en un laps lapso o de 31,63 segu segund ndo os, el modu modulo lo de su velo veloci cida dad d medi media a es:
Perm Permit ite e cono conoce cer r la velo veloci cida dad d de un móvi móvil l que que se desp despla laza za sobr sobre e una una tray trayec ectori toria a, cuan cuando do el laps lapso o de tiem tiempo po es infi infini nita tame ment nte e pequ pequeñ eño o, sien siendo do entonc entonces es el espaci espacio o recorr recorrid ido o tambié también n muy peque pequeño ño, repres represen entan tando do un punto punto de la trayec trayecto toria ria. Se defi define ne como como el lími límite te de la velo veloci cida dad d medi media a cuan cuando do el inte interv rval alo o de tiempo tiempo tiend tiende e a
Acel Aceler eració ación n es la vari variac ació ión n de la velo veloci cida dad d en la unid unidad ad de tiem tiempo po. Se defi define como como acel aceler erac ació ión n a la magn magnit itud ud vect vector oria ial l que que nos nos indi indica ca el ritmo o tasa con que aumenta o disminuye la velocidad de un móvil en func funció ión n del del tiem tiempo po. Sus Sus dime dimens nsio ione nes s son son: long longit itud ud/ tiem tiempo po2 2 y como como unid unidad ades es, segú según n el sist sistem ema a inte intern rnac acio iona nal l, se util utiliz iza a el m/ s2. Form Formul ula a:
Un cuer cuerpo po se muev mueve e si camb cambia ia su posi posici ción ón resp respec ecto to al sist sistem ema a de refe refere renc ncia ia, en caso caso cont contra rari rio o deci decimo mos s que que esta esta en repo reposo so.
Es la líne línea a form formad ada a por por las las suce sucesi siva vas s posi posici cion ones es por por las las que que pasa pasa un móvil. Tipo Tipos: Líne Líneas as recta rectas s; Líne Líneas as curva curvas s plan planas as; Líne Líneas as curva curvas s no plana planas s. Según Según la Trayec Trayecto toria: Lineal Lineales es, Angula Angulare res s y combin combinado ados s: Line Lineal ales es: Cual Cualqu quie ier r punt punto o del del cuer cuerpo po, a lo larg largo o de su desp despla laza zami mien ento to desc descri ribe be en su tray trayec ecto tori ria a una una líne línea a rect recta a, para parale lela la con con la que que desc descri ribe be cual cualqu quie ier r otro otro punto punto del del mismo mismo cuerpo cuerpo. Angu Angula lare res s : Cual Cualqu quie ier r punto punto del del cuerp cuerpo o, a lo largo largo de su desplaza desplazamien miento to describ describe e un Angu Angulo lo en su tray trayec ecto tori ria a, para parale lelo lo y del del mism mismo o valo valor r con con el que que desc descri ribe be cualquier otro otro punt punto o del del mism mismo o cuer cuerpo po Comb Combin inad ados os : Desc Descri ribe be movi movimi mien ento tos s que que no son son line lineal ales es ni angu angula lare res s propiamente porque porque mezcl mezclan an en difere diferente nte medid medida a despl desplaza azamie mient ntos os linea lineales les y angul angulare ares s. Según Según la aceler acelerac ación ión: Unifor Uniforme mes s, unifor uniformem mement ente e aceler acelerad ados os, varia variable blemen mente te acelerados, uniforme uniformement mente e desacele desacelerado rados s y variable variablement mente e. Unif Unifor orme me : caíd caída a libr libre e una una vez vez la resis resiste tenc ncia ia del aire aire se igua iguala la a la fuerza fuerza del del peso peso Unif Unifor orme meme ment nte e acele acelera rado do : el inici inicio o de una una caíd caída a. able able el ad el de de lo dad dad
Este movimi movimient ento o se carac caracter teriza iza porqu porque e su trayec trayecto toria ria es una línea línea recta recta y el modu modulo lo, la dire direcc cció ión n y el sent sentid ido o de la velo veloci cida dad d perm perman anec ecen en cons consta tant ntes es en el tiem tiempo po. En conse consecu cuen enci cia a, no exist existe e acel aceler erac ació ión n, ya que la acel aceler erac ació ión n tang tangen enci cial al es nula nula, pues puesto to que que el modu modulo lo de la velo veloci cida dad d es cons consta tant nte e, y la acel aceler erac ació ión n norm normal al es nula nula porq porque ue la dire direcc cció ión n de la velocida velocidad d es constan constante te. La ecuación de la posición para un móvil que se desplaza con un movimi movimien ento to recti rectilín líneo eo y unifor uniforme me con una veloci velocida dad d v es: ・
recorr recorre e espaci espacios os iguale iguales s en tiemp tiempos os igual iguales es. La velo veloci cida dad d es cons consta tant nte e y la acel aceler erac ació ión n es nula nula.
・
Una línea línea recta recta ascend ascenden ente te.
Que Que el móvil vil esta esta camb cambia iand ndo o de dire direcc cció ión n. Es el movi movimi mien ento to de un cuer cuerpo po cuya cuya velo veloci cida dad d ( inst instan antá táne nea a) experi experimen menta aumen aumentos tos o dismin disminuc ucion iones es igual iguales es en tiempo tiempos s igua iguale les s cuales alesqu quie iera ra y si adem además ás la tray trayec ecto tori ria a es una una línea línea recta. Es el movi movimi mien ento to de un cuer cuerpo po que que reco recorr rre e espa espaci cios os dife difere rent ntes es en tiempo tiempos s igua iguale les s. Por Por tant tanto o, unas unas vece veces s se mueve mas rápid rápidame amente nte y posibl posibleme emente nte otras otras veces veces va mas mas desp despac acio io. En este este caso caso se llam llama a velo veloci cida dad d medi media a ( Donde (
empleado en recorrer recorrerla la
la velocida velocidad d aumenta aumenta cantidad cantidades es igua iguale les s en tiem tiempo pos s igua iguale les s. La ecua ecuaci ción ón de la posi posici ción ón es: S i al o b s e r v ar el m ó v il p or p r i m e r a vez se encontraba en reposo, la velocidad inicial es nula, y las formulas formulas del
Aquel Aquel en que la veloci velocidad dad aumen aumenta ta propo proporci rcion onalm alment ente e al tiemp tiempo o transcurrido. La acele acelerac ración ión en el movimi movimient ento o unifor uniformem mement ente e variad variado o es la varia variació ción n que que expe experi rime ment nta a la velo veloci cida dad d en la unid unidad ad de tiem tiempo po. Se cons consid ider era a pos positi itiva va en el movim movimie iento nto aceler acelerado ado y negati negativa va en el retard retardado ado . En el caso caso del movim movimien iento to unifo uniform rmeme emente nte aceler acelerado ado el grafic grafico o acel aceler erac ació ión n- tie tiemp mpo o es una una líne línea a rect recta a hori horizo zont ntal al sobr sobre e el eje eje de las las abscisas.
Cuando Cuando la veloc velocida idad d dismin disminuy uye e con el tiemp tiempo o. En el caso caso del movim movimien iento to unifo uniform rmeme emente nte retard retardado ado el grafic grafico o acel aceler erac ació ión n- tiem tiempo po es una una líne línea a rect recta a hori horizo zont ntal al deba debajo jo del del eje eje de las las La caída .libre es la trayectoria que sigue un cuerpo bajo la acción de abscisas un campo gravita gravitator torio io [ fuerza fuerza de la gravedad gravedad] exclus exclusiva ivamen mente te.
Se llam llama a acel aceler erac ació ión n de la grav graved edad ad y vale vale: para para dete determ rmin inar ar el valo valor r de la acel aceler erac ació ión n con con que que caen: Par el tir tical tical
El Plant Planteo eo que que: “En el vací vacío o, todo todos s los los cuer cuerpo pos s caen caen con con movi movimi mien ento to unifo uniforme rmeme ment nte e aceler acelerado ado, siend siendo o la acele acelerac ración ión la misma misma por todos todos los los cuer cuerpo pos s en un mism mismo luga lugar r de la tier tierra ra, inde indepe pend ndie ient ntem emen ente te de su form forma a o de la sust sustan anci cia a que que los los comp compon one e ”.
Para Para el tiro tiro vert vertic ical, si util utiliz izam amos un sist sistem ema a de refe refere renc ncia ia dirig dirigido ido hacia hacia arriba, la aceler aceleraci ación ón tiene tiene signo signo negati negativo vo y velocida velocidad d inicial inicial positiva positiva.
En la caíd aída libre, la vel velocid ocida ad es neg negati ativa ( en aume umento nto) y la acele acelerac ració ión n no cambia cambia de signo signo.
Este va a depender del peso del cuerpo que sea lanzado en caída libre.
El gráf gráfic ico o repr repres esen enta ta el movi movimi mien ento to de una una part partíc ícul ula a en líne línea a rect recta a. Si dura durant nte e los los 10 prim primer eros os segu segund ndos os su velo veloci cida dad d medi media a es cero cero y su rapi rapide dez z medi media a 10 m/ s. La velo veloci cida dad d inic inicia ial l de la part partíc ícul ula a es
Si la velo veloci cida dad d medi media a es cero cero, el desp despla laza zami mien ento to posi positi tivo vo ( amar amaril illo lo ) y el desp despla laza zami mien ento to nega negati tivo vo ( azul azul) debe deben n tene tener r la misma misma magni magnitu tud d . Los triáng triángul ulos os deben deben ser ser iguale iguales s y simétr simétrico icos s . El desplazamiento neto será: s = ½ Vo( 5) – ½ Vo( 5) = 0 La distan distanci cia a total total recorr recorrid ida a será serdá : = ½ Vo(5) + ½ Vo(5 ) d = 5 Vo Rapidez media = d/ Dt d D/ t = 10 = 5Vo / 10
El gráf gráfic ico o repr repres esen enta ta el movi movimi mien ento to de una una part partíc ícul ula a en líne línea a rect recta a. Si la rapid rapidez ez media media y la velocidad media para todo el recorrido son de 20 m/ s y 5 m/ s respecti respectivame vamente nte, los valores de V1 y V2 son: En el gráf gráfic ico o velo veloci cida dad d vers versus us tiem tiempo po el área área bajo bajo la curv curva a repr repres esen enta ta el desplaza desplazamien miento to. Velocida Velocidad d positiva positiva desplaza desplazamien miento to positivo positivo, velocida velocidad d ne gat iv a des pl aza mie nt o nega negati tivo vo. Recu Recuer erde de que que la dist distan anci cia a es una una cant cantid idad ad esca escala lar r y care carece ce de sign signo o . El despl desplaza azami mient ento o neto neto será será : La dista distanci ncia a total total recor recorrid rida a será será :
Forma ormam mos un sist istema ema de do s e c u a c i o n es con dos dos incógn incógnita itas s .
75 = 10 V1 - 5 V2 300 = 10 V1 + 5 V2
I.- El módu módulo lo de la veloc elocid idad ad media edia no pued puede e ser ser mayo mayor r a la rapid apidez ez media media. Corre Correct cto o!! II.- Un cuerpo cuerpo puede puede experi experimen mentar tar despla desplazam zamien iento to positiv positivo o cuand cuando o su veloci velocida dad d media media es negat negativa iva. El signo signo del del despla desplazam zamien iento to corres correspo ponde nde al signo signo de la veloc velocidad idad media media. III III.- La velo veloci cida dad d media media y la acel aceler erac ació ión n medi media a vect vector oria ialm lmen ente te tiene tienen n la misma misma direc direcci ción ón. . La direc direcci ción ón de la veloc velocid idad ad media media corre corresp spond onde e a la direcc dirección ión del despla desplazam zamien iento to. La direc direcci ción ón de la acele acelera ració ción n corres correspon ponde de a la dire direcc cció ión n del del vect vector or “ camb cambio io de velo veloci cida dad d” IV.- Un cuerpo cuerpo con acelerac aceleración ión positiv positiva a experi experimen menta tará rá siemp siempre re desplazamientos desplazamientos positivos. No neces necesari ariam ament ente e, los cuerpo cuerpos s pueden pueden despl desplaza azarse rse en direcc dirección ión cont contrari raria a a la aceleración. V.- En el movi movimi mien ento to rect rectil ilín íneo eo unif unifor orme meme ment nte e vari variad ado o, la acel aceler erac ació ión n media media es una una consta constante nte. Correcto!!!. b) c) d) e)
III, IV, V I, II, III, IV I, III, IV Tod Todas son son falsa alsas s.
I. La part partíc ícul ula a se mueve eve en líne línea a rect recta a con con velo veloci cida dad d cons consta tant nte e II. La part partíc ícul ula a se muev mueve e en líne línea a rect recta a y regr regres esa a a su posi posici ción ón inicial a) b) c) d) e)
S ól o I Sólo II II Sólo II I II I y II I y II I
La velo veloci cidad dad medi media a y la rapi rapide dez z medi media a tien tienen en el mism mismo o valo valor r sólo sólo cuand cuando o el desp despla laza zami mien ento to de la part partíc ícul ula a tien tiene e la mism misma a magn magnit itud ud que que la long longit itud ud de la tray trayec ecto tori ria a. Esto Esto ocur ocurre re cuan cuando do la part partíc ícul ula a se muev mueve e en líne línea a rect recta a y en la misma dirección ,
¿A cuántos m/ s equivale la velocidad de un móvil que se
desplaza a 72 km /h? Datos:
v = 72 km/h
Un móvi móvil l viaj viaja a en líne línea a rect recta a con con una una velo veloci cida dad d medi media a de 1.200 cm/s duran urante te 9 s, y luego uego con con velo elocid cidad media dia de 480 cm/ s durant rante e 7 s, sien siendo do amba ambas s velo veloci cida dade des s del del mism mismo o sent sentid ido o: a) ¿cuál uál es el des despla plazami zamie ento nto tota otal en el via viaje de 16 s?. b) ¿cuál cuál es la velo veloci cida dad d medi media a del del viaj viaje e comp comple leto to? ?. Datos : v1 = 1.200 cm/s t1 = 9 s v2 = 480 cm /s t2 = 7 s
a)
b)
x = v. t Para Para cada cada laps lapso o de tiempo: x1 = (1200 cm/s).9 s x1 = 10800 10800 cm x2 = (480 cm/ s). ). 7 s x2 = 3360 3360 cm El desplaza desplazamien miento to total total es: Xt = X1 + x2 Xt = 10800 cm + 3360 cm
tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s Con el despl desplaza azamie mient nto o total total recién recién calculad calculado o aplicamo aplicamos s: Δv = xt/tt Δv = 141,6 m/16 s
Resolv Resolver er el probl problem ema a anteri anterior or, suponi suponien endo do que las veloci velocida dades son de disti distinto nto sentid sentido o a) Si son de dist distin int to sentido: Xt = X1 - x2 Xt = 10800 cm cm - 3360 cm cm = 74, 4 m
b) Δv = xt/tt Δv = 74,4 m/16 s
En el gráfic gráfico o, se repre represen senta ta un movim movimie iento nto rectil rectilíne íneo o unifor uniforme, averi averigüe güe gráfic gráfica a y analí analíti ticam cament ente e la dista distanci ncia a recorr recorrida ida en los primeros 4 s. Datos : v = 4 m/s t = 4 s v = x/ t x = v. t x = 4 m/s.4 s
Un móvi móvil l reco recorr rre e una una rect recta a con con velo veloci cida dad d cons consta tant nte e. En los instan instantes tes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus pos posici iciones ones son son x1 = 9,5 cm y x2 = 25,5 cm. Dete Determ rmin inar ar: a) Velo Veloci cida dad d del del móvi móvil l. b) Su posición en t3 = 1 s. c) Las Las ecua ecuaci cion ones es de movi movimi mien ento to. d) Su absc absci isa en el inst nstant ante t4 = 2,5 s. e) Los gráficos x = f( t) y v = f( t) del móvil Datos : t1 = 0 s x1 = 9,5 cm t2 = 4 s x2 = 25,5 cm
a) Como: Δv = Δx/Δt Δv = (x2 - x1)/(t2 - t1) Δv = (25,5 cm - 9,5 cm)/(4 s - 0 s) Δv = 16 cm/4 s
b) Para t3 = 1 s: Δv = Δx/Δt Δx = Δv.Δt Δx = (4 cm/s).1 s Suma Sumado do a la posi posici ción ón inicial: x3 = x1 + Δx x3 = 9,5 cm + 4 cm
c) x = 4 (cm/s).t + 9,5 cm d) Con Con la ecuac ecuació ión n ante anteri rior or para para t4 = 2,5 s: x4 = (4 cm/s).t4 + 9, 5 cm x4 = (4 cm cm/s).2,5 s + 9,5 cm cm
Una partícula se mueve en la dirección del eje x y en sentido de los los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/ s, y su posición es x0 = -4 m, trazar las gráficas x = f( t) y v = f( t). Datos : v = 2 m/s x0 = -4 m
¿Cuál Cuál de los dos movimi movimient entos os repre represen sentad tados os tiene tiene mayor mayor
velo veloci cida dad?, ¿ por por qué? qué?
El movi movimi mien ento to 1 es el más más rápi rápido do ( teni tenien endo do en cuen cuenta ta que que se comp compar aran an en la mism misma a gráf gráfic ica a). Porque v = x/ t Para el cas caso 1: v1 = x1/t1 Para el cas caso 2: v2 = x2/t2 Para compara hacemos t = t1 = t2. Ento Entonc nces es para para un mism mismo o laps lapso o de tiem tiempo po nota notamo mos s que que x1 > x2.
cierto to que que si en un movi movimi mien ento to rect rectil ilín íneo eo unif unifor orme me ¿Es cier la vel velocidad es el el dob doble que que en ot otro, la grá gráfica x = f( t), trazada en un un mism mismo o par par de ejes ejes, tien tiene e el dobl doble e de pend pendie ient nte e que que en el prim primer er caso caso? ?, qué? ¿por qué? Si, ya que: v = x/t Reemplazamos: Si v1 = x1/t1. v1 = x1/t1 (pendient pendiente e del movimien movimiento to Si v2 = x2/t2. 1). v2 = x2/t1 (pendient pendiente e del movimien movimiento to Por Por ejem ejempl plo o para para v1 sea sea el dobl doble e 2). que v2 signific significa a que: Aplicamo Aplicamos s la igualdad igualdad: v1 = 2.v2 v1 = 2.v2 Para Para compar compara a hacemo hacemos s t1 = t2. x1/t1 = 2.x2/t1 x1 = 2.x2 Nos dice que recorre el doble de espa espaci cio o en el mism mismo o laps lapso o de tiem tiempo po. relación ión existe existe entre entre pendi pendien ente te y tangen tangente te ¿Qué relac
trigonométrica? La pend pendi iente ente es la razó razón n entr entre e el desp despla laza zami mien ento to en el eje " x" y el período de tiempo en el eje " t" entre dos punto de la gráfic gráfica a de veloc velocida idad d. Esta Esta gráfic gráfica a tiene tiene una incli inclinac nació ión n deter determin minada ada por por un ángul ángulo o ngente nte de α es la velo veloci cid dad. (α), la tange tg α = Δx/Δt = v.
a)
Pasar Pasar a) d e b) d e c) d e d) d e
de 36 10 30 50
unida unidade des s las sigui siguient entes es veloc velocid idade ades s: km/h a m/ s. m/s a km/ h. km/min a cm/ s. m/min a km/ h.
Desarrollo a) v = 36 km/h
b) v = 10 m/s
c)
v = 30 km/min
d) v = 50 m/min
Un móvi móvil l recorr corre e 98 km en 2 h, calcul lcula ar: a) Su vel veloc ocid idad ad. b) ¿Cuá Cuántos ntos kil kilómet ómetro ros s reco recorr rrer erá á en 3 h con con la misma misma veloc velocid idad ad? ?. Datos : x = 98 km t = 2 h
a) Apli Aplica cand ndo o: v = x/t v = 98 km/2 h b) Luego: v = x/t x = (49 km/h).3 h
Datos : x = 2,04 km = 2040 m v = 330 m/s
Aplicando: v = x/t t = (2040 m)/(330 m/s)
Datos : vs = 330 m /s vi = 300.000 km km/s = 300000000 m/ s x = 5 0 k m = 5 000 0 m
a) La luz luz ya qu que vl > vs b) Apli Aplica cand ndo o: v = x/t ts = (50000 m)/(330 m/s) ts = 151,515152 515152 s ti = (50000 0000 m )/(30000 00000 0000 000 m/ s) ti = 0, 0001 000166 6667 67 s Luego: t = ts - ti t = 151,515152 s - 0, 00016667 s
Datos : v = 300.000 km/ s x = 150.000.000 km
Datos : t1 = 0,5 s x1 = 3,5 m t2 = 1,5 s x2 = 43, 5 m
Aplicando: v = x/t t = (150.000.000 km km)/(300. 000 km km/ s)
a) Δv = (43,5 m - 3,5 m)/(1,5 s 0 ,5 s ) Δv = 40 m/1 s
b) Para t3 = 3 s v = x/t x = (40 m/s).3 s
Datos : v = 90 km/h t = 1,5 día = 1,5.24 h = 36 h
Datos : va = 120 km /h vb = 45 m /s
v = x/t x = (90 km/h).36 h
Primer Primero o expres expresamo amos s las veloc velocida idades des en una sola sola unid unidad ad, por por ejem ejempl plo o m/ s y lueg luego o comp compar aram amos os: va = (120 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) va = 33,33 m/ s Comparan Comparando do vemos vemos que: vb > va El es mas mas rápi rápido do.
Datos : v = 75 km/h x = 25.000 m
Aplicando: v = x/t t = (25 km)/(75 75 km/h) t = 33,33 h
Datos : v = 80 km/h x = 64 0 k m
Aplicando: v = x/t t = (640 km)/(80 km/h)
MUV acelerado y retardado
Datos : v0 = 0 m/s vf = 588 m/s t = 30 s
Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ² /2 a) De la la ecua ecuaci ció ón (1): vf = v0 + a.t vf = a.t a = vf/t a = (588 m/s)/ )/(30 s)
b) De la la ec ecuación ( 2): x = v0.t + a.t ²/2 x = a . t ²/ 2 x = (19,6 m/s ²).(30 s) ²/2
Datos : t = 25 s x = 40 0 m vf = 0 m/s
Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De la la ec ecuación ( 1): vf = v0 + a.t 0 = v 0 + a. t a = -v0/t (3) Reemplazando ( 3) en ( 2): x = v0.t + a.t ²/2 x = v0.t + (-v0/t).t ²/2 x = v0.t - v0.t/2 x = v0.t/2 v0 = 2.x/t v0 = (2.400 m)/(25 s )
b) De la la ec ecuación ( 3): a = (-32 m/s)/(25 s)
Datos : v0 = 0 km /h vf = 60 km/h a = 20 km/h ²
Datos : v0 = 0 m/s a = 20 m/s ² t = 15 s
Aplicando: v f = v 0 + a. t vf = a.t t =vf/a t = (60 km/h)/(20 km/h ²)
Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De la ecu ecuación ción (1): vf = (20 m/s ²).(15 s)
b) De la la ec ecuación ( 2): x = v0.t + a.t ²/2 x = a.t ²/2 x = (20 m/s ²).(15 s) ²/2
Datos : v0 = 0 km/h = 0 m/s vf = 90 km km/h = (90 km km/h). km).(1 h/ 3600 s) = ).(1000 m/1 km 25 m/s t = 5 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De l la a e ec cuación ( 1): vf = a.t t =vf/a a = (25 m/s)/(5 s)
b) De la la ec ecuación ( 2): x = v0.t + a.t ²/2 x = a.t ²/2 x = (5 m/s ²).(5 s) ²/2 c) para t = 11 s aplicamos la ecua ecuaci ción ón (1): vf = (5 m/s ²).(11 s)
Datos : v0 = 0 m/s t = 10 s x = 20 m vf2 = 40 km km/h = (40 km km/h). ).(1000 m/1 km km).(1 h/3600 s) = 11,11 m/ s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 De la ecu ecuaci ación ( 1): vf = a.t t =vf/a (3) Reemplazando ( 3) en ( 2): x = (vf/t).t ² /2 x = vf.t/2 vf = 2.x/t vf = 2.(20 2 0 m)/(10 s) vf = 4 m/s
Con Con éste éste dato dato aplica aplicamos mos nueva nuevame mente nte la ecua ecuaci ción ón (1): a = (4 m/s)/(10 s) a = 0,4 m/s ² Final Finalme mente nte con la acele acelerac ración ión y la veloci velocidad dad final final dada dada: vf2 = v0 + a.t vf2 = a.t t = vf2 /a t = (11,11 m/s)/ ) /(0, 4 m/s ²)
Datos : v0 = 0 km/h = 0 m/s a = 51840 km km/h ² = ( 51840 km km/ h ²).( 1000 m/ 1 km km).( 1 h/ 3600 s).( 1 h/ 3600 s) = 4 m/s ² t1 = 10 s t2 = 32 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ² /2 a) De la la ecua ecuaci ció ón ( 1): vf = (4 m/s ²).(10 s) b) De la la ecua ecuaci ció ón ( 2): x = (4 m/s ²).(32 s) ² /2
c)
Datos : v0 = 0 m/s a = 30 m/s ² t1 = 2 min = 120 s t2 = 2 h = 7200 s
Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De la ecu ecuaci ación ( 2): x1 = (30 m/s ²).(120 s) ²/2 x1 = 216000 m Þ b) De la ecua ecuaci ción ón ( 1) hall hallam amos os la velo veloci cida dad d a los 2 min: vf = (30 m/s ²).(120 s) vf = 3600 m /s A partir de ahora la velocidad es cons consta tant nte e, por por lo tant tanto o: v = 3600 m/s
pero vf = v0 para la segunda parte y para un tiempo tiempo de: t = t2 - t1 t = 720 0 s - 12 0 s t = 708 0 s Primer Primero o calcul calculamo amos s la distan distancia cia recorr recorrida ida con con una velocida velocidad d constant constante e: x2 = v.t x2 = (3600 m/s).(7080 s) x2 = 25488 25488000 000 m x2 = 25488 25488 km Ahora Ahora calcul calculamo amos s la distan distanci cia a recorr recorrida ida durant durante e los 7200 7200 s sumand sumando o ambas ambas distan distancia cias s: x = x1 + x2 = 216000 m + 25488000 m = 257040 25704000 00 m
Datos : a = -1 m/s ² v0 = 10 m/s
Como Como la acel aceler erac ació ión n es la pend pendie ient nte e de la recta recta:
Datos : t0 = 0 s x0 = 10 m v 0 = 8 m/ s a = -4 m/s ²
Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 Las ecuaci ecuacione ones s horari horarias as son: vf = 8 m/s + (-4 m/s ²).t x = 10 m + (8 m/s).t + (-4 m/s ²).t ²/2
Empleand Empleando o las ecuacion ecuaciones es horarias horarias para t = 2 s: a) x = 1 8 m b) vf = 0 m/s c) 0 m/s ²
Si la posición en t = 0 es 5 m para el movimiento y 50 km para para el , expresar analític analíticamen amente te las ecuacion ecuaciones es del movim movimien iento to a partir partir de los los dato datos s inclu incluido idos s en las gráficas Datos : x0a = 5 m x0b = 50 km
Es un movimien movimiento to uniform uniformemen emente te desacel desacelerad erado o. La acel aceler erac ació ión n se obti obtien ene e de la pend pendie ient nte e de cada cada recta. Las Las ecua ecuaci cion ones es par para a ( a) son son: vf = 20 m/s + (-2,67 m/s ²).t x = 5 m + (20 m/s).t + (-2,67 m/s ²).t ²/2 Las Las ecua ecuaci cion ones es par para a ( b) son son: vf = 200 km/h + (-20 km/h ²).t x = 50 km + (200 km/ h).t + (-20 km/h ²). t ²/ 2
Datos : x = 6 m v0 = 2 m/s a = -0,2 m/s ²
Las ecuaciones horarias son: vf = 2 m/s + (-0,2 m/s ²).t x = 6 m + (2 m/s).t + (-0,2 m/s ²).t ²/2 x = 6 m + (2 m/s).t - (0,1 m/s ²).t ²
t4 0 (s) 1 2 3
x 6,2 7 9 1 1(6 9,m 1) 4
En los los tres tres prim primer eros os gráf gráfic icos os es nula nula. El gráf gráfic ico o infe inferi rior or dere derech cho o no es función
Para analiz analizar ar o compa comparar rar gráficos ficos siempr siempre e se debe debe tener en cuenta lo que se repr repres esen enta ta en cada cada eje eje, así así como la escala y las unid unidad ades es en cada cada eje eje.
Son Son gráf gráfic icos os de posi posici ción ón en función del tiempo y se repr repres esen enta tan n rect rectas as, por por lo tanto se trata de dos movimien movimientos tos con velocida velocidad d cons consta tant nte e, en éste éste caso caso la pendiente de la recta es la velo veloci cida dad d, para para el caso caso: Δv = Δx/Δt Δv1 = Δx1/Δt1 Δv1 = 10 m/4 s Δv1 = 2,5 m/s Δv2 = Δx2/Δt2 Δv2 = 10 m/2 s Δv2 = 5 m/s
El gráf gráfic ico o (2) repr repres esen enta ta un movi movimi mien ento to más más veloz veloz.
Para anali analizar zar o compa comparar rar gráficos áficos siempr siempre e se debe debe tener en cuenta lo que se repr represen esenta ta en cada cada eje, así así como la escala y las unid unidad ades es en cada cada eje eje. Como no tiene los ejes gradua aduado dos s no se pued puede e emiti emitir un result resultad ado o
Para Para analiz analizar ar o compa comparar rar gráfi gráficos cos siempr siempre e se debe debe tener en cuenta lo que se repr repres esen enta ta en cada cada eje eje, así así como como la esca escala la y las las unid unidad ades es en cada eje. Como no tiene los ejes grad gradua uado dos s no se pued puede e emit emitir ir un resultad resultado o.
Para analiz analizar ar o compar comparar ar gráfi gráficos cos siempre se debe tener en cuenta lo que se repr repres esen enta ta en cada cada eje eje, así así como como la escala y las unidades en cada eje. En éste éste caso caso se repr repres esen enta tan n dos dos movi movimi mien ento tos s en un mism mismo o gráf gráfic ico o, por por lo tanto no importa si los ejes no están están gradu graduado ados s, el movim movimien iento to más más veloz es el el (1).
, no se existe el tiempo negativo y
la gráfi gráfica ca no repres represent enta a una funció función n
Para Para calcul calcular ar la veloc velocida idad d media media aplicamos: Δ va = Δ xa/Δ ta Δ va = (x af - xa0 )/(t af - ta0 ) Δ va = (6 m - 3 m)/(3 s - 0 s)
Δ vb = Δ xb/Δ tb Δ vb = (x bf - xb0 )/(t bf - tb0 ) Δ vb = (2 m - 6 m)/(7 s - 3 s) Δ vc = Δ xc/Δ tc Δ vc = (x cf - xc0 )/(t cf - tc0 ) Δ vc = (-8 m - 2 m)/(9 s - 7 s) Δ vd = Δ xd/Δ td Δ vd = (x df - xd0 )/(t df - td0 ) Δ vd = (-8 m - (-8 m))/(15 s - 9 s)
Δv1 = Δx1/Δt1 Δv1 = (x1f - x10 )/(t1f - t10 ) Δv1 = (40 km - 0 km)/(1 h 0 h) Δv2 = Δx2/Δt2 Δv2 = (x2f - x20 )/(t2f - t20 ) Δv2 = (10 km - 2 km)/(4 s 0 s)
Δv3 = Δx3/Δt3 Δv3 = (x3f - x30 )/(t3f - t30 ) Δv3 = (0 m - 12 m)/(8 s - 0 s) No se puede graficar a la izqu izquie ierd rda a del del eje eje vert vertic ical al, no exist existe e el tiempo tiempo negati negativo vo
Que Que el móvi móvil l se muev mueve e en sent sentid ido o cont contra rari rio o.
Datos : v0 = 120 km km/h = (120 km km/ h). ).(1000 m/ 1 km km).(1 h/3600 s) = 33,33 m/ s vf = 0 km/h = 0 m/s Con ést éste e dat dato o apl aplica icamos mos la ecu ecuaci ación ón t = 10 s (2): Ecuaciones: x = (33,33 m/s).(10 s) + (-3,33 m/s ²).(10 (1) vf = v0 + a.t s) ²/2 Þ (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De la la e ec cuación ( 1): b) Para x2 = 30 m y con con la acel aceler erac ació ión n vf = v0 + a.t anteri anterior or, convie conviene ne aplica aplicar r la ecuac ecuación ión 0 = v0 + a.t opcional: a = -v0/t vf ² = v0 ² + 2.a.x a = (-33,33 m/s)/(10 s) a = -3,33 m/s ² vf ² = (33,33 m/s) ² + 2.(-3,33 m/s ²).(30
)
Datos : v0 = 30 km/h = (30 km/h). ) . ( 1 0 00 m/s vf = 0 km/h = 0 m/s t = 4 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De l la a e ec cuación ( 1): vf = v0 + a.t 0 = v 0 + a. t a = -v0/t a = (-8,33 m/s)/(4 s)
m/ 1 km).(1 h/ 3600 s) = 8,33
b) Con Con el dato dato ante anteri rior or apli aplica camo mos s la ecua ecuaci ción ón (2): x = (8,33 m/s).(4 s) + (-2,08 m/s ²).(4 s) ²/2 Þ
Datos : a = - 20 m/s ² x = 10 0 m v f = 0 m/ s
a) Apli Aplica cand ndo o: 0 - v0 ² = 2.a.x v0 ² = - 2.(-20 m/s ²).(100 m) b) Apli Aplica cand ndo o: vf = v0 + a.t 0 = v0 + a.tÞ t = -v0/a t = -(63,25 m/s)/(- 20 m/s ²)
Datos : v0 = 100 km km/h = (100 km km/h). ).(1000 m/1 km km).(1 h/ 3600 s) = 27,78 m/ s vf = 50 km/h = (50 km/h). ) .(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 13,89 m /s x = 1.500 m a) Apl Aplican icando do:
b) Apli Aplica cand ndo o: t = (vf - v0)/a t = (27,78 m/s - 13,89 m/s)/ ) /(- 0,193 m/s ²)
Datos : v0 = 0 m/s vf = 1400 m /s x = 1,4 m
a) Apli Aplica cand ndo o:
b) Apli Aplica cand ndo o: t = vf/a t = (1400 m/s)/(700000 m/ s ²)
Datos : t = 25 s x = 4 00 m vf = 0 m/s
Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De la la e ec cuación ( 1): vf = v0 + a.t 0 = v0 + a.t a = -v0/t (3)
Reemplazando ( 3) en ( 2): x = v0.t + a.t ²/2 x = v0.t + (-v0/t).t ² /2 x = v0.t - v0.t/2 x = v0.t/2 v0 = 2.x/t vf = 2.(400 m)/(25 s) b) Con Con éste éste dato dato apli aplica camo mos s nuev nuevam amen ente te la ec ecuac uación ión (1): a = (-32 m/s)/(25 s)
Datos : v0 = 90 km km/h = (90 km km/h). ).(1000 m/1 km km).(1 h/ 3600 s) = 25 m/s vf = 0,2.25 m/s = 5 m/s t = 4 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 De la la ecua ecuaci ció ón ( 1): a = (vf - v0)/t a = (25 m/s - 5 m/s)/(4 s) a = 5 m/s ² Con Con la acele acelera raci ción ón y la ecuac ecuació ión n ( 2): x = (25 m/s).(4 s) + (5 m/s ²).(4 s) ²/2
Datos : a = 3 m/s ² t = 8 s v0 = 0 m/s
Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De la la ec ecuación ( 1): vf = (3 m/s ²).(8 s) b) De la la ec ecuación ( 2): x = (3 m/s ²).(8 s) ²/2