Carga de un Condensador La relación que muestra el aumento de la diferencia de potencial de un condensador en relación con el tiempo es
La vida media para el condensador de capacidad de 4700mf es 0.0216. La vida media para el condensador de capacidad de 2200mf es 0.0462.
Introducción El objetivo de este experimento es poder determinar experimentalmente la relación de carga de un condensador respecto al tiempo que se demora éste en cargarse. Para esto, verificaremos el aumento de la diferencia de d e potencial y la relacionamos con el e l tiempo. Luego se tratará de encontrar una relación para el caso de la carga de un condensador y se determinará como depende de C y R (capacidad y resistencia). Se debe recordar que en el caso de la descarga de un condensador es el tiempo que se demora la diferencia de potencial en ir del valor Vo al valor Vo/2.
Procedimiento Experimental Para empezar, se va a graficar la situación para poder entenderla mejor. La situación es la siguiente: R v CS Los materiales que se usan en este experimento son los siguientes: •
2 Condensadores (4700 mf y 1000mf)
•
Protoboard
•
Resistor (9.83K)
•
Multitester
•
Cronómetro
•
Condensador 4700mf
Los supuestos de este experimento son: •
Los instrumentos usados están bien calibrados
•
Los condensadores y el resistor están en buenas condiciones
•
Los condensadores están totalmente descargados al inicio del experimento
Este experimento trata de poder encontrar alguna relación para la carga de un condensador en relación con el tiempo. Para esto se va a medir el tiempo que tarda un condensador en cargarse completamente, y el procedimiento adecuado es por series de 10 segundos por cada toma de datos. Primero se mide para un condensador de 4700 mf y después para uno de 2200 mf, por separado, ocupando una misma resistencia en los dos casos (9.83 K). Los datos encontrados son los siguientes:
Condensador 4700 mf Resistor 9,83 Kohm Tiempo
Diferencia de Potencial
0
0
10
4,57
20
7,99
30
1 0 ,5
40
12,64
50
14,37
60
15,78
70
16,98
80
17,99
90
1 8 ,8
100
19,53
110
2 0 ,2
120
2 0 ,7
130
2 1 ,1
140
2 1 ,5
150
2 1 ,8
160
2 2 ,1
170
2 2 ,3
180
2 2 ,5
190
2 2 ,7
Los supuestos de este experimento son: •
Los instrumentos usados están bien calibrados
•
Los condensadores y el resistor están en buenas condiciones
•
Los condensadores están totalmente descargados al inicio del experimento
Este experimento trata de poder encontrar alguna relación para la carga de un condensador en relación con el tiempo. Para esto se va a medir el tiempo que tarda un condensador en cargarse completamente, y el procedimiento adecuado es por series de 10 segundos por cada toma de datos. Primero se mide para un condensador de 4700 mf y después para uno de 2200 mf, por separado, ocupando una misma resistencia en los dos casos (9.83 K). Los datos encontrados son los siguientes:
Condensador 4700 mf Resistor 9,83 Kohm Tiempo
Diferencia de Potencial
0
0
10
4,57
20
7,99
30
1 0 ,5
40
12,64
50
14,37
60
15,78
70
16,98
80
17,99
90
1 8 ,8
100
19,53
110
2 0 ,2
120
2 0 ,7
130
2 1 ,1
140
2 1 ,5
150
2 1 ,8
160
2 2 ,1
170
2 2 ,3
180
2 2 ,5
190
2 2 ,7
200
2 2 ,8
210
23
220
2 3 ,1
230
2 3 ,2
240
2 3 ,3
250
2 3 ,4
260
2 3 ,5
270
2 3 ,5
280
2 3 ,5
290
2 3 ,6
300
2 3 ,6
310
2 3 ,7
320
2 3 ,7
330
2 3 ,7
340
2 3 ,7
350
2 3 ,7
Condensador 2200 mf Resistor 9,83 Kohm Tiempo
Diferencia de Potencial
0
0
10
8,81
20
13,77
30
16,81
40
18,97
50
20
60
2 1 ,3
70
22
80
2 2 ,5
90
2 2 ,8
100
23
110
2 3 ,1
120
2 3 ,3
130
2 3 ,3
140
2 3 ,4
150
2 3 ,5
160
2 3 ,5
170
23,6
Ahora, se grafícan los datos obtenidos en las tablas (Ver anexos 1 y 2). Si nos damos cuenta a medida que aumenta el tiempo la curva siempre va tendiendo a un número, recordemos que al conectar el sistema el voltaje inicial es de aproximadamente de 24 volt. Y si miramos los datos a medida que el tiempo aumenta nos fijamos que la curva tiende a este valor a medida que aumenta el tiempo, es decir cuando el tiempo tiende a infinito la diferencia de potencial del condensador va aumentando hacia Vo. Pensando más profundamente, ¿Qué pasa si invertimos los gráficos?. Para esto se puede crear la tabla (Vo- v(t)) v/s t. La tabla de este gráfico es la siguiente:
Condensador 4700 mf Resistor 9,83 Kohm Tiempo
Condensador 2200 mf Resistor 9,83 Kohm Vo-V(t)
Vo- Vo(t)
0
24,9
24,9
10
20,33
16,09
20
16,91
11,13
30
14,4
8,09
40
12,26
5,93
50
10,53
4,9
60
9,12
3,6
70
7,92
2,9
80
6,91
2,4
90
6,1
2,1
100
5,37
1,9
110
4,7
1,8
120
4,2
1,6
130
3,8
1,6
140
3,4
1,5
150
3,1
1,4
160
2,8
1,4
170
2,6
1,3
180
2,4
190
2,2
200
2,1
210
1,9
220
1,8
230
1,7
240
1,6
250
1,5
260
1,4
270
1,4
280
1,4
290
1,3
300
1,3
310
1,2
320
1,2
330
1,2
340
1,2
350
1,2
Si nos damos cuenta en el gráfico de la tabla anterior (ver anexo3). Ambas curvas obedecen ala forma:
Para encontrar las constantes P y K rectificamos la curva (ver anexo 4) De lo deducido en el informe de la carga de un condensador, la curva se comporta de la misma forma, entonces P = Vo y K = (1/R*C) Entonces queda:
Ahora se tratará de demostrar esta fórmula encontrada anteriormente, pero de fórmula teórica. Vo = Vr + Vc Donde Vr es la V de la resistencia y Vc es V del condensador. También sabemos que Vo= Vr + Vc
También por la ley de Ohm se sabe que: V = I*R Y para los condensadores que V = Q/C
Entonces la solución queda:
Lo cual queda demostrada la ecuación encontrada anteriormente
Entonces ahora se pueden obtener los valores de K para ambos condensadores Para C( 4700mf) K = 0.0216 Para C( 2200mf) K = 0.0462 Estos valores obtenidos es lo que se llama el (Vida media de carga de un condensador el cual está relacionado con R y C como se muestra en la fórmula encontrada
Conclusión La relación obtenida para calcular la cantidad de potencial que tiene un condensador relacionado con el tiempo de carga de este mismo es:
C(4700mf) = 0.0216 C(2200mf) = 0.0462
Capacitores en serie
Un capacitor puede ser armado acoplando otros en serie y/o en paralelo. De esta manera se obtiene una capacidad total equivalente para el conjunto de capacitores que se puede calcular mediante expresiones simples. También es posible conocer las caídas de potencial y la carga almacenada en cada capacitor. El acoplamiento de capacitores en serie se realiza conectando en una misma rama uno y otro capacitor, obteniendo una capacidad total entre el primer borne del primer capacitor y el último del último.
Capacidad total en serie La capacidad total (o equivalente) en serie se calcula sumando las inversas de cada una de las capacidades y calculando la inversa del resultado.
Tensión de capacitores en serie La suma de las caídas de tensión de cada capacitor da como resultado la tensión total aplicada entre los bornes A y B.
Carga de capacitores en serie La carga de cada uno de los capacitores de una rama en serie es igual a la de los demás y es igual a la carga equivalente acumulada en toda la rama (entre A y B)
A su vez, cada carga puede ser calculada como q = C V de cada capacitor, con lo que:
Y la carga total (qt) que es igual a la carga sobre cualquier capacitor se puede calcular sobre el capacitor equivalente como: qt = Ce VAB
Capacitores en paralelo El acoplamiento en paralelo de los capacitores se realiza conectándolos a todos a los mismos dos bornes.
Capacidad total en paralelo La capacidad total (o equivalente) en paralelo se calcula sumando las capacidades de cada uno de los capacitores.
Tensión de capacitores en paralelo Al estar unidos todos los capacitores por un mismo conductor, se encuentran todos a la misma diferencia de potencial (la de la tensión aplicada) por lo tanto la tensión de cada uno es igual a la de otro e igual a la total.
Carga de capacitores en paralelo La carga total es igual a suma de las cargas almacenadas en cada capacitor
Y cada carga puede calcularse como q = C V de cada capacitor, pero en este caso V es la misma para todos, con lo que:
De esta manera, al ser V la misma, puede verse que las cargas que almacena cada capacitor para una determinada tensión aplicada no son iguales si las capacidades son distintas.
Condensadores en paralelo Los condensadores se pueden agrupar en serie o en paralelo. El caso más importante sucede cuando se conectan las placas del mismo signo de dos condensadores de capacidades C 1 y C 2. Si inicialmente, el condensador C 1 se ha cargado con una carga Q y se conecta al condensador C 2 inicialmente descargado. Después de conectarlos, las cargas pasan de un condensador al otro hasta que se igualan los potenciales.
Las cargas finales de cada condensador q1 y q2, se obtienen a partir de las ecuaciones de la conservación de la carga y de la igualdad de potenciales de los condensadores después de la unión.
Despejando q1 y q2, en el sistema de dos ecuaciones
La energía inicial, es la almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador de capacidad C1
La energía final, es la suma de las energías almacenadas en los dos condensadores
Como vemos la energía final Uf es menor que la inicial Ui. En la figura, se muestra la analogía hidráulica de un sistema formado por dos condensadores en paralelo.
Ejemplo: Supongamos que tenemos un condensador cargado a una diferencia de potencial V , la carga que adquiere el condensador es Q0=C·V. La energía acumulada en el condensador es U 0=CV 2/2
Conectamos este condensador a otro idéntico inicialmente descargado. Cuando el circuito se cierra la carga fluye del primero hacia el segundo hasta que la diferencia de potencial en
ambos condensadores es la misma. Como la capacidad C de ambos condensadores es la misma, la carga final de cada uno de los condensadores será la mitad de la carga inicial Q1=Q0/2, V 1=V /2 Q2=Q0/2 , V 2=V /2 La energía acumulada por el sistema formado por los dos condensadores es
La energía final es la mitad de la energía inicial. Siempre se perderá la mitad d e la energía independientemente de que cambiemos o no la resistencia de los cables que unen los condensadores.
Analogía hidráulica Supongamos dos depósitos cilíndricos iguales conectados por un tubo horizontal de sección despreciable, tal como se indica en la figura, el primero de ellos con una masa m de agua, y el segundo vacío.
La energía inicial del agua es la energía potencial del centro de masas del agua que está a una altura h de la base. U 0=mgh Si se abre la llave, el agua fluye del primer depósito al segundo, hasta que la altura del agua es la misma en ambos. Por tanto, el agua se reparte por igual entre los dos depósitos. La energía final será
la mitad de la energía inicial. Como hemos visto, si no hubiese resistencia alguna, no habría pérdidas, ya que la energía
potencial del agua se transforma en cinética del agua que fluye y viceversa. El agua pasaría de un depósito al otro, se produciría un movimiento oscilatorio. Lo mismo ocurriría en un sistema de dos condensadores, la carga oscilaría entre los dos condensadores. La resistencia del tubo, que conecta los dos depósitos, al movimiento del agua es análoga a la resistencia de los cables que conectan los dos condensadores, el primero se opone al flujo del agua, el segundo al flujo de carga. Después de unas cuantas oscilaciones se alcanza la situación final de equilibrio.
La situación final no se alcanza por tanto, de una vez, sino después de un cierto tiempo tanto más pequeño cuanto mayor sea la resistencia.
Circuito formado por dos condensadores y una resistencia Consideremos el siguiente circuito formado por dos condensadores de capacidades C1 y C2 y una resistencia R.
El condensador de capacidad C1 está cargado con una carga Q10 y el condensador de capacidad C2 está está cargado con una carga Q20. En el instante t =0, se cierra el circuito. En un instante dado t , tendremos que • • •
El condensador C1 tiene una carga q1 El condensador C2 tiene una carga q2 Por la resistencia R circula una corriente de intensidad i.
Medimos las diferencias de potencial entre los pun tos a y b, b y c, c y a. Se cumplirá que V ab+V bc+V ca=0 • • •
En el condensador C1 el potencial de a (placa negativa) es menor que el b (placa positiva), de modo que V ab=-q1 /C1 En la resistencia R la corriente de intensidad i circula de b a c, luego V bc=iR En el condensador C2 el potencial de c (placa positiva) es mayor que el a (placa negativa), de modo que V ca=q2 /C2
La ecuación del circuito será
Supongamos que la carga q1 disminuye con el tiempo y la carga q2 aumenta con el tiempo, la intensidad i (carga por unidad de tiempo) valdrá
Derivamos la ecuación del circuito respecto del tiempo
Integramos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t =0, la intensidad i=i0. En el instante inicial t =0, el condensador de capacidad C2 tiene una carga Q20, el condensador de capacidad C1 tiene una carga inicial Q10.
La solución de la ecuación diferencial es
Calculamos las cargas de cada condensador en función del tiempo con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t =0, la carga del condensador C1 es q1=Q10, y la carga del condensador C2 es q2=Q20.
Como vemos q1+q2=Q10+Q20, la carga total en los condensadores es la carga inicial. Después de un tiempo teóricamente infinito, se establece una situación de equilibrio en el que las cargas finales de los condensadores serán
Estudio energético •
La energía inicial almacenada en el condensador de capacidad C1 es
•
La energía final almacenada en los condensadores después de un tiempo teóricamente infinito es
•
La energía disipada en la resistencia R hasta que se establece la situación de equilibrio es
Como podemos comprobar parte de la energía inicial se disipa en la resistencia y la otra parte, se almacena en los condensadores en forma de campo eléctrico. Uf =Ui-UR
Ejemplo: • • • • •
Resistencia, R=2 Capacidad del primer condensador, C1=1 Capacidad del segundo condensador, C2=1 Carga inicial del primer condensador, Q10=5 Carga inicial del segundo condensador, Q20=-3
1. Calcular la carga de cada condensador en el instante t =3, la energía inicial almacenada en los condensadores, la energía de los dos condensadores en dicho instante y la energía disipada en la resistencia. 2. Calcular la carga final de cada condensador en el instante t =∞, la energía final de los dos condensadores en dicho instante y la energía total disipada en la resistencia.
En el instante t =3, la carga de cada condensador es
Condensadores ideales en serie Sean dos condensadores de capacidades C1 y C2 dispuestos en serie.
Los dos condensadores tienen la misma carga q. La diferencia de potencial entre a y c es V ac=V ab+V bc=q/C1+q/C2=q( 1 /C1+1 /C2 )
La agrupación de dos condensadores en serie es equivalente al de un condensador de capacidad Ce
Esta es la situación ideal, en la que se supone que los condensadores no pierden carga, las dos placas del condensador están perfectamente aisladas una de la otra. Esto no es lo que ocurre en la situación real.
Condensadores con pérdidas en serie Un condensador con pérdida de carga es equivalente a un condensador ideal de capacidad C que se descarga a través de una resistencia R. Como ya hemos estudiado en la página anterior, la carga del condensador disminuye exponencialmente
con el tiempo
La resistencia R no suele ser constante sino que depende de la diferencia de potencial V=q/C entre las placas del condensador. Sin embargo, en nuestro estudio supondremos que la resistencia R es constante. Hay condensadores que tiene constantes de tiempo RC del orden de minutos. Sin embargo, hay otros como aceites o plásticos especiales cuyas constantes de tiempo se miden en horas o en días Consideremos ahora la situación que se muestra en la figura, en la cual los condensadores tienen pérdidas. Se establece una diferencia de potencial V entre a y c.
Estado inicial Inicialmente las cargas de los condensadores son iguales y las diferencias de potencial entre sus placas son respectivamente V 1=q/C1 y V 2=q/C2. Por lo que cumple que
Como V 1+V 2=V tendremos que
La corriente comienza a fluir a través de las resistencias R1 y R2 y en general, las cargas en los condensadores serán distintas.
Estado final Si la diferencia de potencial entre los extremos a y c se mantiene constante, se alcanza un estado estacionario en el que la misma corriente i pasa por las resistencias R1 y R2. Se cumplirá entonces que V 1=iR1 y V 2=iR2. Por lo que tendremos la relación
Como V 1+V 2=V tendremos que
La carga final de cada condensador será q1=V 1·C1 y q2=C2·V 2, de modo que se cumple la relación
Evolución del estado inicial al final
Supongamos que a los extremos a y c se aplica una diferencia de potencial constante V . La corriente total i que pasa por a o que sale en b en el instante t, es la suma de dos términos: • •
la corriente i1 que pasa por la resistencia R1 y la razón del cambio de la carga del condensador con el tiempo dq1 /dt
tal como hemos visto al estudiar el circuito formado por dos condensadores y una resistencia Del mismo modo, la corriente i que entra en b o que sale en c en el instante t , es la suma de dos términos: • •
la corriente i2 que pasa por la resistencia R2 y la razón del cambio de la carga del condensador C2 con el tiempo dq2 /dt
Sustituyendo V 2=V-V 1 tenemos una ecuación en V 2.
o bien
Integramos esta ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t =0, la diferencia de potencial entre las placas del condensador C2 es V 02 tal como vimos al principio de este apartado.
Integrando
El resultado final es
Comprobación En el estado inicial t =0 tenemos que
En el estado final t →∞ tenemos
Intensidad de la corriente La intensidad de la corriente i es igual a
La intensidad es máxima en el instante t =0, y tiende hacia un valor constante V 0 /(R1+R2 ) para t →∞
Caso especial En el caso especial de que C1R1=C2R2 las diferencias de potencial V 1 y V 2 son independientes del tiempo, aunque la corriente sigue
fluyendo a través de cada uno u no de los condensadores
Como C1R1=C2R2 las cargas en los condensadores q1 y q2 son iguales. Esta condición se puede cumplir eligiendo adecuadamente la constante dieléctrica k y la resistividad ρ del dieléctrico que se coloca entre las placas de un condensador plano paralelo, cuyas placas tiene un área A y están separadas una distancia d. • •
La capacidad del condensador es C=kε0 A/d A/d La resistencia al paso de la corriente es R=ρd/A
El producto de ambas magnitudes solamente depende de la constante dieléctrica k y de la resistividad ρ del dieléctrico, RC=ρ kε0. Siempre que de los dieléctricos que separan las placas de los dos condensadores sean tales que cumplan la relación ρ1 k 1=ρ2 k 2 se cumplirá también que C1R1=C2R2
Ejemplo 1: • •
Los datos del primer condensador son C1=0.2μF y R1=5000 MΩ. Los datos del segundo condensador son C2=0.5μF y R2=1000 MΩ.
En el instante inicial t =0 =0 la relación V 1 /V /V 2=2.50. Después de un tiempo suficientemente grande t →∞ V 1 /V /V 2=5.0
Ejemplo 2: • •
Los datos del primer condensador son C1=0.1μF y R1=5000 MΩ. Los datos del segundo condensador son C2=0.5μF y R2=1000 MΩ.
Se cumple el caso especial de que C1R1=C2R2. La relación
=0) y en la final ( t →∞). Aunque V 1 /V /V 2=5 en la situación inicial ( t =0) la carga de cada condensador no cambia, la in tensidad no es nula.
Nota: En el artículo citado en las referencias se obtiene la misma expresión de V 2(t) suponiendo una situación más relista que V pasa de 0 al valor constante V 0 en un tiempo muy corto.
Donde la constante de tiempo τ es muy pequeña comparada con las constantes de tiempo en el proceso de autodescarga de los dos condensadores C1R1 ó C2R2.
Capacitancia eléctrica La capacitancia de un condensador electrostático se define como la relación entre la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos:
(17)
Donde: C: capacitancia eléctrica, Faradio Q: carga depositada, Coulomb V: diferencia de potencial aplicada al capacitor, Voltios En el caso de un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de éstas (Figura 4):
(18) Donde: C: capacitancia eléctrica, Faradio A: área de las placas, m2 d: distancia entre las placas, m
: constante de permitividad eléctrica del medio,
Figura 4. Capacitor de placas paralelas, se observa incrustado entre sus placas un material dieléctrico el cual incrementa el valor valor de de su capacitancia
A continuación se presenta los submúltiplos del Faradio:
A. F (se lee microfaradio) es igual a 1 xµ 1 10-6 Faradios. B. 1 pF (se lee picofaradio) es igual a 1 x 10-12 Faradios. Los capacitores pueden tener diferentes formas, como por ejemplo; capacitores esféricos, cilíndricos u otros.
1.10 Cálculo de capacitancia equivalente en diferentes configuraciones Capacitores dispuestos en serie (Figura 5)
(19) Donde: Ci: capacitancia del capacitor i, Faradio Ceq: capacitancia equivalente de la configuración, Faradio Reglas: A. Los capacitores colocados en serie poseen voltajes diferentes (excepto cuando las capacitancias son iguales) B. Los capacitores colocados en serie poseen cargas iguales
Figura 5. Disposición de capacitores en serie Capacitores dispuestos en paralelo (Figura 6)
(20)
Donde: Ci: capacitancia del capacitor i, Faradio Ceq: capacitancia equivalente de la configuración, Faradio Reglas: A. El voltaje es igual en cada capacitor en una configuración paralela B. La carga es diferente en cada capacitor en una configuración paralela (excepto cuando las capacitancia sean iguales)
Figura 6. Los capacitores en la figura se encuentran en paralelo, por lo que el voltaje en cada uno de ellos es 12 V.
Figura 7. Los capacitores C1, C2 y C3 se encuentran en paralelo entre si, los capacitores C4 y C5 se encuentran en serie, el capacitor equivalente de C4, C5, C3, C2 y C1 se encuentra en serie con C6. La resolución de un circuito depende en gran medida de la habilidad para reconocer la disposición de los capacitores entre si.
1.11 Energía almacenada por un capacitor Para cuantificar la energía almacenada por un capacitor de placas paralelas se usan las siguientes formulas:
(21) Donde: U: energía almacenada por el capacitor, Joule Q: carga almacenada por el capacitor, Coulomb V: diferencia de potencial aplicada al capacitor, Voltios C: capacitancia del capacitor, Faradio Recuerde colocar cada variable eléctrica en las unidades correctas, de no ser así, tendrá resultados erróneos.
PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS A.- FUERZA ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO
1. 2. Se localizan tres cargas ubicadas en las esquinas de un triangulo equilátero. Sol: 0,8727 N, 330º Calcúlese la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7
3. En la figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa m y carga q que cuelgan de tres cuerdas. Determine el valor de q en términos de m, L y . Sol.
4. En un nubarrón es posible que haya una carga eléctrica de +40 C cerca de la parte superior y –40 C cerca de la parte inferior. Estas cargas están separadas por aproximadamente 2 km. ¿Cuál es la fuerza eléctrica entre ellas? Sol. 7,2 x 109 N 5. Un avión vuela a través de un nubarrón a una altura de 2000 m. Si hay una concentración de carga de + 40 C a una altura de 3000 m dentro de la nube y – 40 C a una altura de 1.000 m ¿Cuál es el campo eléctrico en la aeronave? Sol. 90.000
N/C 6. Un objeto que tiene una carga neta de 24 se coloca en un campo eléctrico uniforme de 610 N/C dirigido verticalmente. ¿Cuál es la masa de este objeto si "flota" en el campo? Sol. 1,49 g
4,676 x 1010 Sol. q/d2 (d: distancia entre las cargas) 7. Tres cargas puntuales, q, 2q, y 3q, están colgadas sobre los vértices de un triángulo equilátero. Determine la magnitud del campo eléctrico en el centro geométrico del triángulo. 8. Una barra de 14 cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de –22 . Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 36 cm de su centro Sol. 1.586.367,28 N/C hacia la izquierda 9. Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de largo se dobla en forma de semicírculo. Si la barra tiene una carga de –7.5 , encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en O, el centro del semicírculo Sol. 6.891.428,57 N/C
del centro del arco hacia adentro 10. Un electrón y un protón se ponen en reposo en un campo eléctrico de 520 N/C. Calcule la velocidad de cada partícula 48 ns (nanosegundo) después de liberarlas
Sol. Vp = 2.391,5 m/s, Ve = 4.389.715,67 m/s 11. Una carga –q1 se localiza en el origen y una carga –q2 se ubica a lo largo del eje y. ¿En qué punto a lo largo del eje y el campo eléctrico es cero? Sol. A la mitad de la
distancia entre las cargas 12. La fuerza electrostática entre dos iones semejantes que se encuentran separados por una distancia de 5 x 10-10 m es de 3,7 x 10-9 N. ¿Cuál es la carga de cada uno de los iones?. ¿Cuántos electrones faltan en cada uno de los iones? Sol. 3,2 x 10-19 C;
Dos. 13. Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es 5 x 105 C. ¿Cómo está distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza repulsiva entre ellas es de 1 N cuando las esferas están separadas 2 m? Sol. 1,2 x10-5 C y 3,8
x 10-5 C 14. Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-q. ¿Cuál es la relación de Q a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación, tengan una repulsión coulombiana máxima? Sol. q = ½ Q 15. Un electrón, cuya rapidez inicial es de 3,24 x 105 m/s, se lanza en dirección a un protón que está esencialmente en reposo. Si al principio el electrón se encontraba a una gran distancia del protón, ¿a qué distancia de éste su rapidez instantánea es igual al doble de su valor inicial?. Sol. 1,6 x 10-9 m
16. En cada vértice de un cubo de lado a hay una carga q. Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante sobre cualquiera de las cargas es: 17. ¿Cuál es la magnitud de una carga puntual que se escoge de tal forma que el campo eléctrico a 5 cm de ella tenga una magnitud de 2 N/C? Sol. 5,6 x 10-11 C 18. Calcular la magnitud y la dirección de E en el punto P de la figura adjunta.
Sol.
18. Sol. 19. Una varilla delgada, no conductora, se dobla en la forma de arco circular, de radio interno aoθ , y subtiende un ángulo respecto del centro del círculo. Se le distribuye uniformemente una carga q. Determinar el campo eléctrico en el centro del círculo en términos de a, q y o.θ 20. Entre dos placas con cargas contrarias existe un campo eléctrico igual. De la superficie de la placa cargada negativamente se libera un electrón que se encontraba en reposo, haciéndolo incidir después de 1,5 x 10-8 s sobre la superficie de la placa opuesta, que se encuentra a 2 cm de distancia. ¿Cuál es la rapidez del electrón cuando incide sobre la segunda placa?. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico?
Sol. 2,7 x 106 m/s, 1 x 103 N/C 21. ¿Cuál es la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de 1 x 106 N/C?. ¿Cuánto tiempo transcurre, si parte del reposo, para que su rapidez sea un décimo de la velocidad de la luz?. Sol. 1,8 x 1017 m/s2, 1,7 x 10-10 s
B.- POTENCIAL ELÉCTRICO Y CONDENSADORES
1. A una distancia r de una carga puntual q, el potencial eléctrico es V = 400 V y la magnitud del campo eléctrico es E= 150 N/C. Determine los valores de q y r? Sol. r
= 2,7 m, q = 0,12 x 10-6 Coul
el potencial eléctrico es igual a 2. ¿A que distancia desde una carga puntual de 8 3,6 x 104 V? Sol. 2 m 3. Cuando una esfera conductora descargada de radio a se coloca en el origen de coordenadas xyz que esta en un campo eléctrico inicialmente uniforme E = Eok, el potencial eléctrico resultante es V(x,y,z) = Vo para puntos dentro de las esfera y
para puntos fuera de la esfera, donde Vo es el potencial electrostático (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar las componentes x, y, y z del campo eléctrico resultante
Sol. Vx = -3*Eo*a^3*z*x/((x^2+y^2+z^2)^(5/2)) Vy = -3*Eo*a^3*z*y/((x^2+y^2+z^2)^(5/2)) Vz = -Eo + Eo*a^3/((x^2+y^2+z^2)^(3/2)) - 3*Eo*a^3*z^2/((x^2+y^2+z^2)^(5/2)) 4. Sol. 5. Considere un anillo de radio R con carga total Q distribuida uniformemente sobre su perímetro. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre el punto en el centro del anillo y un punto sobre su eje a una distancia 2R del centro? 6. Un conductor esférico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26 . Calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico a 20 cm del centro. Sol. E = 5.844.673,05
N/C ; V = 1.168.934,61 V
7. Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa de 12 cm2 y una capacitancia de 7 pF. ¿Cuál es la separación entre las placas? Sol. 1,517 x 10-3 m 8. Un capacitor esférico esta compuesto por una bola conductora de 10 cm de radio que esta centrada en el interior de un cascarón esférico conductor de 12 cm de radio interior. ¿Qué carga de capacitor se requiere para alcanzar un potencial de 1000 V en la bola? Sol. 6,67 x 10-8 C 9. Un grupo de capacitores idénticos se conecta en serie y después en paralelo. La capacitancia combinada en paralelo es 100 veces mayor que la correspondiente a la conexión en serie. ¿Cuántos capacitores están en el grupo? Sol. 10 11. Calcule la energía, la carga y el voltaje en cada condensador del circuito mostrado a continuación: 10. Un capacitor de placas paralelas de 16 pF se carga por medio de una batería de 10 V. Si cada placa del capacitor tiene un área de 5 cm2; a) ¿cuál es el valor de la
energía almacenada en el capacitor?, b) Cual es la densidad de energía (energía por unidad de volumen) en el campo eléctrico del capacitor si las placas están separadas por aire?. kaire = 1.00059, rigidez dieléctrica =3 x 106 V/cm. Sol. 0.8 x 10-9 =
5.782 x 10-3 Joules ; Joules/m3
Condensador C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
1,204 1,204 2,407 1,204 1,204 4,796 4,796 Carga (Coul) 1,20 E-06 1,20 E-06 2,40 E-06 1,20 E-06 1,20 E-06 4,80 E-06 4,80 E-06 5,00 E-07 5,00 E-07 4,99 E-07 5,00 E-07 5,00 E-07 5,00 E-07 5,00 E-07 Energía (J) Voltaje (V)
12. 13. Se carga un capacitor de 100 pF hasta una diferencia de potencial de 50 V, y después se desconecta la batería. A continuación se le conecta en paralelo otro capacitor (que inicialmente estaba descargado). Si la diferencia de potencial disminuye hasta 35 , ¿Cuál es la capacitancia del segundo capacitor?. Sol. 43 pF 14. Calcular la capacitancia de la Tierra, considerándola como un conductor esférico de 6.400 Km de radio. F Sol. 710 15. Demostrar que las placas de un capacitor de placas paralelas se atraen con una fuerza dada por la expresión: 16. Un material específico tiene una constante dieléctrica de 2,8 y una intensidad dieléctrica de 18 x 106 V/m. Si este material se usa como dieléctrico en un capacitor
de placas paralelas, ¿Cuál debe ser el área mínima de las placas del capacitor para tener una capacitancia de 7 x F y para que el capacitor pueda soportar unaµ 10-2 diferencia de potencial de 4.000 V? Sol. 0,63 m2 17. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por:
12.
13. 18. Sobre una pompa de jabón descargada, de radio Ro, se coloca una carga q. Debido a la repulsión mutua de las cargas en la superficie de la pompa, su radio aumenta hasta un valor R. Demostrar que: . En donde p es la presión atmosférica. Sugerencia: el trabajo realizado por la pompa en contra de la atmósfera debe ser igual a la disminución en la energía del campo eléctrico almacenada que se produce en la expansión, en
virtud del principio de conservación de la energía. Suponga que la presión es constante e ignore la tensión superficial). 19. Una esfera metálica aislada de 10 cm de diámetro tiene un potencial de 8.000 V. ¿Cuál es la densidad de energía en la superficie de las esfera? Sol.
0,11 J/m3 20. Un capacitor esférico consta de dos esferas huecas concéntricas de radios a y b, en donde a > b. Demostrar que su capacitancia es: 14. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por:
C.- LEY DE GAUSS 1. La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca d e su superficie es 130 N/C y apunta hacia abajo. ¿Cuál es la carga de la Tierra, suponiendo que este campo sea causado por tal carga?. Sol. – 6 x105 C 2. Una esfera metálica hueca de paredes delgadas y de radio a tiene una carga qa. Concéntrica a ella hay otra esfera metálica hueca de paredes delgadas de radio b (b>a), con una carga qb. Utilizar la Ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico en puntos que se encuentran a una distancia r del centro de las esferas cuando: r
b. 3. Se tienen dos casquetes esféricos conductores concéntricos de radios R1 = 0,145 m y R2 = 0,207 m. La esfera interna tiene una carga de -6 x 10-8 C. De la esfera interna se desprende un electrón con una velocidad despreciable. Suponiendo que la región entre las esferas es el vacío, calcule la rapidez con que el electrón hace impacto en la esfera externa. Sol. 2 x 107 m/s 4. A lo largo de un cilindro infinito de radio r se distribuye uniformemente una carga. Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eje del cilindro (r
es la densidad deρ ; en donde carga.
PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO A. Explique que sucede con la magnitud del campo eléctrico de una carga puntual cuando r tiende a cero B. Suponga que alguien propone una teoría según la cual la gente esta unida a la Tierra por fuerzas eléctricas y no por la gravedad. ¿Cómo probaría usted que esta teoría es incorrecta? C. Explique que se entiende por "átomo neutro" D. ¿Cómo distinguiría usted experimentalmente un campo eléctrico de un campo gravitatorio? E. Si el campo eléctrico en una región del espacio es cero, ¿puede usted concluir que no hay carga eléctrica en esa región?. Explique
F. Si hay más líneas de campo eléctrico que salen de una superficie gaussiana que las que entran, ¿qué puede usted concluir acerca de la carga neta encerrada por la superficie? G. Una persona se sitúa dentro de una gran esfera metálica hueca que esta aislada de la tierra. Si una gran carga se pone en la esfera, ¿la persona se lastimará al tocar el interior de la esfera?, Explique que sucederá si la persona tiene también una carga inicial cuyo signo es opuesto al de la carga de la esfera? H. ¿Por qué es importante evitar los bordes o puntos afilados sobre conductores utilizados en equipos de alto voltaje? I. Explique el origen del brillo que se observa algunas veces alrededor de los cables de alta tensión de una línea de transmisión eléctrica? 5. α En un instante dado, una partícula que se aproxima a la superficie de un núcleo de oro, se encuentra separada de ella por una distancia igual a un radio nuclear (6,9 x 10-15 m). ¿Cuáles son: y suα la fuerza sobre la partícula aceleración en ese punto?. La masa de la , que puede considerarse puntual, esα partícula de 6,7 x 1027 Kg. Sol. 190 N; 2,9 x 1028 m/s2
PROBLEMAS PROPUESTOS SIN RESPUESTAS
1. 2. Calcule la energía, la carga y el voltaje en cada condensador del circuito mostrado a continuación.
3. Calcule la energía, la carga y el voltaje en cada condensador del circuito mostrado a continuación:
4. Calcule la energía, la carga y el voltaje en cada condensador del circuito mostrado a continuación: 5. Entre dos electrodos horizontales, planos y paralelos, separados 1,8 cm se aplica una diferencia de potencial de 2,4 x 104 V originándose un campo eléctrico dirigido hacia abajo. Hallar la carga eléctrica de una gota de aceite de masa 2,2 X 10-10 g que permanece en reposo en el campo. 6. Un filamento incandescente emite electrones que se aceleran hacia el ánodo mediante una diferencia de potencial de 500 V entre el filamento y el ánodo. Hallar la energía cinética y la velocidad que adquiere un electrón al alcanzar el ánodo. 7. Un condensador se carga con 9,6 x 10-9 C al aplicar entre sus bornes una diferencia de potencial de 120 V. Calcular la capacitancia y la energía eléctrica almacenada.
8. Un alambre largo y recto está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide con el del alambre. El alambre tiene una carga por unidad de longitud de y el cilindro tiene una carga neta por unidad λ . De acuerdo con estaλ de longitud de 2 información, utilice la Ley de Gauss para encontrar: a) la carga por longitud unitaria en las superficies interior y exterior del cilindro b) el campo eléctrico fuera del cilindro, a una distancia r del eje. 8. a. El campo eléctrico E. b. El potencial eléctrico V en: la región interna del cascarón interno, la región anular y la región externa al cascarón exterior. 9. Considere dos cascarones esféricos delgados y conductores. El cascarón interno tiene un radio ri y una carga qi. El cascarón exterior tiene un radio re y una carga – qe. Encuentre: 10. Dos esferas tienen radios a y b y sus centros están a una distancia d. Demuestre que la capacitancia de este sistema es:
Capacitores en serie Capacitores conectados uno después del otro, están conectados en serie.
Estos capacitores se pueden reemplazar por un único capacitor que tendrá un valor que será el equivalente de los que están conectados en serie. Para obtener el valor de este único capacitor equivalente se utiliza la fórmula: 1/CT = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + 1/C4 Pero fácilmente se puede hacer un cálculo para cualquier número de capacitores que se conecten en serie con ayuda de la siguiente fórmula: 1/CT = 1/C1 + 1/C2 + ....+ 1/CN donde: N es el número de Capacitores que están conectados en serie. En el gráfico hay 4 capacitores en serie. Esta operación se hace de manera similar al proceso de sacar el resistor equivalente de un grupo de resistores en paralelo
Capacitores en paralelo Del gráfico se puede ver si se conectan 4 capacitores en paralelo (los terminales de cada lado de los elementos están conectadas a un mismo punto).
Para encontrar el capacitores equivalente se utiliza la fórmula: CT = C1 + C2 + C3 + C4
Fácilmente se puede hacer un cálculo para cualquier número de capacitores con ayuda de la siguiente fórmula: CT = C1 + C2 + .....+ CN donde N es el número de capacitores. Como se ve, para obtener el capacitores equivalente de capacitores en paralelo, sólo basta con sumarlos. Esta operación se hace de manera similar al proceso de sacar el resistor equivalente de un grupo de resistores en serie
CAPITULO 4
CONDENSADOR En este capítulo se discute acerca de un sistema particular de cuerpos cargados eléctricamente, que tiene importante aplicación práctica. Se define un parámetro físico, denominado capacidad, para describir este tipo de sistema cargado; finalmente se hace un tratamiento de estos dispositivos eléctricos cuando se les alimenta mediante una fem continua, y se estudia el comportamiento de ellos cuando se los conecta en serie o en paralelo . Los condensadores son elementos eléctricos ampliamente usados en una gran variedad de circuitos eléctricos. Se utilizan, por ejemplo, en los circuitos filtros, en circuitos sintonizadores, etc. Esencialmente, el condensador es un elemento que acumula energía eléctrica en términos del campo eléctrico producido en su interior como consecuencia de las cargas eléctricas que se depositan en sus placas. El condensador es un sistema de dos cuerpos conductores, denominados placas o armaduras, aislados entre sí y de cualquier otro cuerpo eléctrico. Cada placa del condensador se carga con carga de igual valor y distinto signo, de manera tal que se establece una diferencia de potencial entre las placas, , siendo V+ el potencial eléctrico que adquiere la placa cargada positivamente y V- el potencial en la placa negativa(figura 4.1). Este sistema de cargas genera un campo eléctrico en toda la región entre placas, orientado desde la placa positiva hacia la placa negativa, obteniéndose así una inducción completa pues todas las líneas de fuerzas originadas en la placa positiva terminan en la placa negativa. Además, como cada placa del condensador es conductora, el campo eléctrico en cualquier punto interior a la placa es cero, y toda la carga de la placa debe distribuirse sobre su superficie.
CAPACIDAD.
La carga que adquiere cada placa del condensador y la diferencia de potencial que se establece entre las placas no son magnitudes independientes entre sí, sino que por el contrario, están relacionadas proporcionalmente( ). La constante de proporcionalidad se denomina capacidad y resulta ser un parámetro característico de cada condensador que depende de su forma geométrica y del tipo de material utilizado para aislar eléctricamente las placas; se denota como C y se expresa en unidades llamadas faradio; aunque los valores tipos son submúltiplos de esta unidad, tales como microfaradio F(=10-6), nanofaradio nF(n=10-9), picofaradio pF(p=10-12). Así, la ecuación fundamental para los condensadores se expresa como:
(4.1) En consecuencia, la capacidad de un condensador de geometría conocida se determina como el cuociente entre la carga en la placa y la diferencia de potencial entre placas. Los
condensadores de geometría más simple son los denominados como: condensador de placas planas paralelas, condensador esférico y condensador cilíndrico. A.- CONDENSADOR DE PLACAS PLANAS PARALELAS. Es aquel condensador formado por dos láminas conductoras de área A y separadas paralelamente por una distancia d, que es pequeña comparada con las dimensiones de las aristas del área(figura 4.2.). Al conectar el conde nsador a una fuente de poder(dispositivo que suministra energía eléctrica) cada una de las placas adquiere una carga de valor Q(el proceso de carga, así como los tipos de fuente de poder se discutirán más adelante). Se determina, primeramente, el campo eléctrico en la región interior al condensador bajo la condición de placa infinita. Se elige como superficie gaussiana un cilindro de eje perpendicular a la placa cargada(figura. 4.3), con una tapa en el interior de la placa conductora y la otra en el medio dieléctrico; por consiguiente, el flujo eléctrico a través de la superficie gaussiana se reduce al flujo a través de la tapa que quedó en el medio dieléctrico, entonces:
y, por lo tanto, para todo punto interior al condensador. Ahora se evalúa la diferencia de potencial entre las placas,
pero, y que reemplazando en la expresión (4.1) da para la capacidad de un condensador de placas planas paralelas con vacío entre placas:
(4.2) Un condensador idéntico, pero con un dieléctrico de constante dieléctrica de valor K que ocupa todo el volumen interior, tendrá una capacidad que se deduce similarmente al caso con vacío, pero aplicando la ley de Gauss para dieléctricos:
entonces,
y la diferencia de potencial entre las placas queda como:
para obtener finalmente la capacidad:
es decir, la capacidad del mismo condensador aumenta K veces al introducir un dieléctrico que llena completamente la región entre placas. B.- CONDENSADOR ESFERICO. El condensador esférico está formado por dos casquetes esféricos conductores concéntricos, de espesores despreciables, de radios R1 y R2 (R2>R1). Suponga que la placa interior se carga a Q+, mientras que la placa exterior se carga a Q-. Si en la región entre placas existe vacío como aislante, entonces se calcula el campo eléctrico en ésa región aplicando la ley de Gauss, eligiendo como superficie gaussiana una superficie esférica concéntrica de radio genérico r (figura 4.4,en un corte transversal).
Con lo cual, la diferencia de potencial queda como:
Para obtener una capacidad de:
(4.3) Si se llena el condensador con un casquete esférico dieléctrico de constante dieléctrica K , entonces:
y la diferencia de potencial entre placas,
con lo cual se obtiene una capacidad:
y que se puede ver fácilmente que es igual a K veces la capacidad del mismo condensador con vacío entre placas( ). C.- CONDENSADOR CILINDRICO. Este condensador tiene como placas dos casquetes cilíndricos conductores, de espesor despreciable, de radios R1 y R2. Si se carga la placa interior con carga Q+ y la placa externa con Q-, entonces se establece un campo eléctrico en el interior del condensador de dirección radial y sentido apuntando desde la placa positiva hacia la placa negativa, y que se obtiene aplicando la ley de Gauss considerando las placas infinitamente largas( Fig. 4.5). Se elige como superficie gaussiana un cilindro coaxial de radio r y longitud de manto :
la diferencia de potencial entre placas es entonces igual a:
dando así una capacidad para el condensador cilíndrico con vacío entre placas,
(4.4) Similarmente, se puede demostrar que un condensador cilíndrico con dieléctrico de constante K en su interior, tendrá una capacidad .
COMBINACION DE CONDENSADORES.
El parámetro capacidad de un condensador permite independizarse de la geometría del condensador, diferenciar un condensador de otro en términos de su valor y, en consecuencia, adoptar un símbolo común para representarlos. Así también, facilita la representación de la combinación de condensadores uniendo sus placas mediante conductores ideales. Dos son los tipos de asociaciones de condensadores: i) combinación serie, y ii) combinación paralela.
La combinación serie se entiende como aquella en la cual se unen sucesivamente las placas de distinto signo de los condensadores. Al colocar cargas en las placas a y b, se inducen cargas iguales y opuestas en las placas de los restantes condensadores, es decir, todos los condensadores conectados en serie tendrán la misma carga( ). Respecto de los voltajes, y por conservación de la energía, se cumple que:
En general, para una conexión de N condensadores en serie se tiene que . Haciendo uso de la relación se puede deducir la expresión para la capacidad equivalente de la combinación serie de condensadores:
(4.5) La combinación paralela de condensadores es aquella en la cual se unen entre sí las placas del mismo signo. Por consiguiente, todos los condensadores están al mismo voltaje:
Además, por conservación de la carga eléctrica, la carga total del sistema debe ser igual a la suma de las cargas de cada condensador:
Aplicando la ecuación del condensador (4.1) se deduce que:
En general, para una combinación de N condensadores en paralelo se tendrá:
(4.6)
EJEMPLO 4.1. Encuentre la capacidad equivalente entre los terminales a y b para el sistema de condensadores. SOLUCION. En esta configuración, el condensador 3 está en serie con el condensador 4 y, por lo tanto, se puede reducir aplicando la expresión (4.5)
Este condensador C34 está en paralelo con el condensador C2 y se tiene entonces,
Finalmente, este condensador equivalente está en serie con el condensador C1, obteniéndose para la capacidad equivalente del sistema:
ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR.
En el proceso de cargar un condensador, se va generando un campo eléctrico en toda la región entre placas, lo cual implica una cantidad de energía eléctrica cuya densidad es proporcional al cuadrado de la magnitud del campo eléctrico, . Esta energía es proporcionada externamente y consiste en el trabajo que se debe realizar para colocar una carga extra y del mismo signo sobre la placa ya parcialmente cargada, venciendo la repulsión coulombiana. En virtud de que el campo eléctrico generado es conservativo, el condensador almacena esta energía suministrada. Es conveniente expresar esta energía acumulada en el condensador en términos de parámetros característicos, como la carga Q, el vo ltaje V y la capacidad C. Si se supone un condensador de capacidad C y que se encuentra cargado a un potencial V, entonces se evalúa el trabajo que se debe realizar para depositar en la placa un infinitesimo de carga Q:
donde se ha considerado la ecuación fundamental del condensador y, por lo tanto, . La energía total se obtiene integrando la expresión anterior desde V =0( condensador descargado) hasta V(voltaje final en el condensador):
Ahora bien, recurriendo nuevamente a la ecuación del condensador se puede expresar la energía almacenada de alguna de la siguientes maneras:
(4.7)
CONDENSADOR PARCIALMENTE LLENO CON DIELECTRICO.
Un condensador que tiene uno o más dieléctricos que ocupan fracciones de su volumen entre placas, admite para la determinación de su capacidad resultante un sistema equivalente de condensadores conectados en serie y/o paralelo. En efecto, suponga un condensador de placas paralelas de área A y separación d entre placas; este condensador tiene un dieléctrico de constante K , área A y espesor
y la otra mitad del volumen está vacía(figura 4.6); entonces, la diferencia de potencial entre placas es:
y aplicando la ley de Gauss se deducen los campos en el interior del dieléctrico y en el vacío,
así, con lo cual se obtiene un valor de capacidad,
Ahora bien, el mismo resultado se obtiene considerando una combinación de dos condensadores en serie(dado que en este tipo de combinación el voltaje total es la suma de los voltajes), uno totalmente lleno de dieléctrico y el otro con vacío, ambos de área A y espesor . Las capacidades respectivas serán:
con lo cual,
EJEMPLO 4.2. Un condensador de placas paralelas, de área A y separación d entre placas, tiene dos dieléctricos que llenan parcialmente su espacio interior. El dieléctrico 1 tiene
constante K1=2K , área y espesor d, mientras que el dieléctrico 2 tiene constante K2=3K , área y espesor . El condensador se carga a un voltaje V0. Determine:
La capacidad del condensador.
La carga superficial de polarización.
SOLUCION: Se elige como circuito equivalente aquel que tiene dos condensadores en serie( C0 y C2), que corresponden a los dieléctricos existentes en la mitad superior del condensador, conectados en paralelo con un tercer condensador(C1) que representa el dieléctrico que ocupa la mitad inferior. Las capacidades de estos condensadores equivalentes son:
ahora, los condensadores en serie dan un equivalente de,
y que combinado en paralelo con el condensador C1 da finalmente una capacidad de,
La carga superficial equivalente de polarización se observa en los dieléctricos y, más precisamente, en las superficies de los dieléctricos que son paralelas a las placas ya que el vector polarización es normal a la placa del condensador. Además, como el vector polarización tiene magnitud constante, la densidad superficial de polarización es igual en
ambas superficies del dieléctrico( ). Entonces,
donde
luego, Análogamente, la carga de polarización en el dieléctrico 2 será:
pero,
donde y, por lo tanto,
con lo cual se obtiene una carga superficial de polarización de,
1
CAPACITORES O CONDENSADORES ELECTRICOS
Un capacitor o condensador eléctrico es un dispositivo para almacenar ca rgas eléctricas. Consta de dos láminas metálicas separadas por u n aislante o dieléctrico que puede ser aire, vidrio, mica, aceite o papel encerado. La capacidad o capacitancia de un capacitor se mide por la cantidad de carga eléctrica que puede almacenar. A la unidad de capacitancia se le ha dado el nombre de farad (F) en honor de Michael Faraday. Por definición un capacitor tiene la capacitancia de un farad cuando al almacenar la carga de un coulomb, su potencial aumenta 1v. Los capacitores tienen muchos usos en los circuitos de corriente alterna, en los circuitos de radio y en el encendido de la mayoría de los automóviles. Formula
CONEXIÓN DE CAPACITORES EN SERIE Y EN PARALELO
En serie
En paralelo
Ejemplo
Tres capacitares de 3, 6 y 8 pf se conectan primero en serie y luego en paralelo. Calcular la capacitancia equivalente en cada caso. • conexión en serie • conexión en paralelo EJERCICIOS PROPUESTOS • Tres capacitores de 2,7 y 12 pf se conectan en serie a una batería de 30v. Calcular la capacitancia equivalente de la combinación. Respuesta 3.38 pf. • Dos capacitores de 7 y 9 pf se conectan a primero en serie y b después en paralelo. Calcule la capacitancia equivalente en cada caso. Respuestas a) 3.9f, b) 16pf.
Capacidad eléctrica
En electrostática, todo objeto conductor se caracteriza por un potencial constante en todos sus puntos y dentro de él. La diferencia de potencial entre dos conductores cargados pueden acelerar cargas de prueba y, por eso el sistema almacena energía. Un condensador es un dispositivo que almacena energía porque almacena carga. Un par de conductores, separados ya sea por el espacio vacío o por un material no conductor (dieléctrico), forma un condensador. La capacidad es un parámetro de cada condensador que depende de su forma geométrica y del tipo de material utilizado para aislar eléctricamente las placas. Diversas formas de condensadores pueden mantener distintas cantidades de carga para una determinada diferencia de potencial o pueden mantener distintas diferencias de potencial para determinada cantidad de carga.
Introducción:
Los condensadores son elementos eléctricos ampliamente usados en una gran variedad de circuitos. El condensador es un e lemento que acumula energía eléctrica en términos del campo eléctrico producido en su interior como consecuencia de las cargas eléctricas que se depositan en sus placas. Casi cualquier aparato con circuitos electrónicos contiene condensadores. Como implican una diferencia de potencial pueden almacenar energía, al igual que carga. Un rayo es la descarga espectacular de un gran condensador, formado por el sistema de una nube y la tierra. Los condensadores tienen utilidad especial para almacenar carga a corto plazo, al igual que energía. Una lámpara de Flash de fotografía contiene un condensador que almacena la energía y la descarga cuando se necesite el destello. Los sistemas de respaldo para emergencia para computadoras dependen de este empleo de los condensadores. Se usan para sintonizar la frecuencia de receptores de radio. Para eliminar chispas en los sistemas de encendidos de automóviles.
La fórmula de Capacidad es: Capacidad de un conductor. Al tomar un cuerpo conductor una carga q adquiere un potencial V , de tal manera que ambas magnitudes quedan ligadas de forma directamente
proporcional (doblando o triplicando la carga se duplica o triplica el potencial). Si se denomina por C la constante de proporcionalidad, la fórmula correspondiente será: q = C . V Dicha constante C , que depende de la forma geométrica y el tipo de material que constituye el conductor, se denomina capacidad del conductor.
La capacidad eléctrica de un conductor cargado y aislado es una magnitud que se mide por el cociente entre su carga y su potencial eléctrico. Unidades de capacidad -3
mF = milifaradio = 10 F
Submúltiplos:
nF = nanofaradio = 10-9 F pF = picofaradio = 10-12 F mF = microfaradio = 10-6 F
Si en la ecuación de la capacidad se hace que = 1 coulomb y = 1 Voltio, se obtiene la unidad de Capacidad eléctrica, llamada 1 faradio. El nombre es en honor a Michael Faraday. Como el faradio resulta ser una unidad bastante grande, en la medida de capacidades eléctrica se utilizan algunos submúltiplos Un faradio es la capacidad de un conductor aislado cuya carga es de 1 coulomb cuando su potencial es de 1 voltio.
Condensadores: Un condensador es un dispositivo constituido por dos conductores aislados próximos, con cargas iguales y de signo contrario, que permiten almacenar una gran cantidad de energía, y por consiguiente energía con un pequeño potencial. Los conductores que forman el condensador se llaman armaduras y según la forma de éstas los condensadores pueden ser
planos, cilíndricos, esféricos. Etc. La cantidad de carga almacenada por un condensador es directamente proporcional a la diferencia de potencial que se haya establecido entre sus placas, pero puede ocurrir que dos condensadores de distinta forma o tamaño adquieran distinta carga cuando se someten a una misma diferencia de potencial. La capacidad del condensador es: . La representación y las unidades de capacidad de un condensador son las mismas que las correspondientes a la capacidad de un conductor. Dieléctricos
Son aisladores, con una propiedad característica llamada constante dieléctrica k . Se le acredita Michael Faraday, el llevar a cabo el primer experimento que cuando un material aislante llena el espacio entre dos placas conductoras de un condensador el valor de la capacidad aumenta. Si C0 es la capacidad en el vacío (o en el aire) de un condensador determinado, la capacidad , cuando se coloca un dieléctrico entre sus conductores es mayor que C0 por al que al factor se le da el nombre de constante dieléctrica
k: C = K.C0
Condensador de láminas paralelas
sin dieléctrico El condensador más sencillo que existe se compone de dos láminas planas conductoras y paralelas A y B, con cargas iguales y de signo contrario, sin dieléctrico (entre las dos láminas o armaduras existe el vacío o el aire) separadas una distancia . Este tipo de condensador recibe el nombre de condensador plano. Si VA y VB son los potenciales de las láminas y la intensidad del campo eléctrico entre ellas es de módulo E , la diferencia de potencial entre las láminas viene dada por: VB - VA = E.d Por otra parte, el módulo de la intensidad del campo eléctrico entre dos láminas paralelas es:
Siendo ε 0 el coeficiente de permisividad del espacio vacío, q la carga de una de las láminas tomada en valor absoluto y el área de una de dichas láminas.
Designando por C0, la capacidad del condensador sin dieléctrico se tiene por definición:
Sustituyendo se concluye que:
Condensador de láminas paralelas con dieléctricos Experimentalmente se comprueba que la capacidad de un condensador con dieléctrico es mayor que la capacidad C0 de un condensador sin dieléctrico. La razón o cociente entre la capacidad C de un condensador con dieléctrico y la capacidad C0 de un condensador sin dieléctrico se designa K por y recibe el nombre de constante dieléctrica del material colocado entre las dos láminas. Es decir: ; En consecuencia, la capacidad de un condensador de laminas con dieléctrico está dada por la ecuación:
Carga y descarga de un condensador Las armaduras de un condensador, cuando se conectan a los polos de un generador de corriente continua, adquieren cargas iguales y de signo contrario, diciéndose entonces que el condensador está cargado. El proceso de carga de un condensador no es instantáneo, sino que, se va realizando paulatinamente, dependiendo de la capacidad del mismo y de la
resistencia del circuito. Una vez cargado un condensador, si se elimina el generador y se conectan sus armaduras mediante una resistencia, las cargas almacenadas se desplazan a través de la resistencia y el condensador se descarga, volviendo de nuevo a su estado inicial. Al igual que el proceso de carga, la descarga de un condensador no se produce instantáneamente; esto es, la carga q almacenada en el condensador va disminuyendo paulatinamente a medida que transcurre el tiempo. Energía almacenada en un condensador Hay un campo eléctrico entre los dos conductores de un condensador cargado y ese campo puede acelerar una carga de prueba. Así un condensador cargado es capaz de efectuar trabajo y debe contener energía. Un condensador se carga conectando sus armaduras a los terminales positivo y negativo de una batería. Antes de la conexión la carga del condensador es q = 0. Inmediatamente después de la conexión la carga es pequeña, pero ésta comienza a aumentar progresivamente hasta que finalmente adquiere un valor q.
Durante el proceso de carga la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador varía desde un valor Vi = 0 hasta un valor final V f = V. La diferencia de potencial media Vm durante el proceso de carga es:
Si la carga total transferida a cada armadura es q, el trabajo total W realizado por este proceso es:
Este trabajo se almacena en el condensador en forma de energía potencial eléctrica (U).
Teniendo presente que , la energía almacenada en un condensador cargado viene dada por cualquiera de las siguientes ecuaciones:
;
;
Asociación de condensadores Cuando varios condensadores se conectan entre sí, el conjunto se comporta como si fuese un conductor único. La capacidad de este conjunto se denomina capacidad equivalente. Si se conoce la capacidad equivalente se puede simplificar el manejo de los circuitos. Se consideran dos formas de asociación de condensadores: asociación en paralelo y
asociación en serie.
Condensadores en Paralelo o Derivación Es aquella en la cual se unen las placas del mismo signo. Todos ellos se hallan sometidos a una misma diferencia de potencial. Si varios condensadores están conectados en paralelo la carga total de la asociación es igual a la suma de las cargas de los condensadores Para calcular la capacidad equivalente de una asociación de condensadores en paralelo, se consideraran tres condensadores, de capacidad C1, C2 y C3.
Puesto que los tres se hallan sometidos a una misma diferencia de potencial V , las cargas almacenadas son: q1 = C1.V
q2 = C2.V
q3 = C3.V
Sumando miembro a miembro: q1 + q2 + q3 = C1.V + C2.V + C3.V Sacando factor común : q1 + q2 + q3 = (C1 + C2 + C3)V Y considerando que la carga total almacenada es:
q = q1 + q2 + q3 Se tendrá:q = q1 + q2 + q3. Dividiendo ahora los dos miembros de la igualdad por V , resulta:
Esto es: C1 + C2 + C3 Procediendo de igual modo, cualquiera que fuese el número de condensadores que se desee asociar, se obtendrá que, en general: C = C1 + C2 + C3 + ...
La capacidad equivalente de una asociación de condensadores en paralelo es igual a la suma de las capacidades de todos y cada uno ellos. Cuando los condensadores están conectados en paralelo, la capacidad total es mayor que cualquiera de las capacidades individuales
Condensadores en serie Es aquella en la cual se unen sucesivamente las placas de distinto signo de los condensadores. Cada armadura de uno de ellos se halla unida con una armadura del siguiente, de modo que la diferencia de potencial del sistema es la suma de las diferencias de potencial de cada condensador. Para el cálculo de la capacidad equivalente, se consideran tres condensadores, cuyas capacidades son C1, C2 y C3
Puesto que la cantidad de electricidad que entra en cada condensador es justamente la que ha salido del anterior, la carga almacenada es la misma en todos los condensadores. Representándola por q, las capacidades de los tres condensadores son:
Despejando los potenciales:
Sumando miembro a miembro:
Sacando factor común q:
Y considerando que la diferencia de potencial entre los extremos del sistema es: V = V1 + V2 + V3
Se tendrá: Dividiendo ahora los dos miembros de la igualdad entre , q queda: Esto es: Y como: Resulta: Procediendo de igual modo, se obtendrá que, en general: En una asociación de condensadores en serie, el inverso de la capacidad equivalente es igual a la suma de los inversos de las capacidades de cada uno de ellos. Cuando los condensadores están conectados en serie la capacidad total es menor que cualquiera de las capacidades individuales.
Ejercicio de aplicación Encuentre la capacidad equivalente del siguiente sistema de condensadores. Hallar para cada condensador el potencial (V1, V2 y V3), Carga
(q1, q2 , q3 y q4) y Energía potencial eléctrica (U1, U2 , U3 y U4). Los valores de los condensadores son respectivamente: C1 = 2,4 µ F ; C2 = 3,6 µ F ; C3 = 1,2 µ F ; C4 = 4 µ F
Condensadores C2 y C3 en paralelo C23 = C2 + C3= 4,8 µ F Luego la carga equivalente por quedar los condensadores en serie es:
Para obtener la carga total q = (1,14x10-6 F).(600 Voltios)= 6,84x10 Coul Ahora se calcula la carga y potencial para condensador q1= q23 = q4 = q (Por la condición de condensadores en serie) q1 = 6,84x10-4 C q4 = 6,84x10-4 C
= 142,5 Voltios; V 23 = V 2 = V 3 = 142,5 Voltios (Por la condición de condensadores en paralelo) q2= 5,13x10-4 Coul q3= 1,71x10-4 Coul
= 171 Voltios Para calcular las energías potenciales de cada condensador: ; es fácil verificar que:
