Unidade 5 COMPONENTES SIMÉTRICOS CORCORAN (capítulo XIV, pag 537à 569) 5.1 – DEFINIÇÃO: Componentes Simétricos são mecanismos feitos para facilitar algumas resoluções analíticas de circuitos elétricos não equilibrados, como as máquinas elétricas polifásicas, e alguns tipos de problemas de transformadores polifásicos. Semelhante ao teorema de Fourier relativo a ondas complexas, os componentes simétricos, que é o teorema de Fortescue, consiste em decompor um sistema trifásico não equilibrado em três sistemas equilibrados, ou seja, qualquer sistema de vetores trifásicos não equilibrados pode ser resolvido com a adição de três sistemas equilibrados, que são: 1. Sistema de seqüência positiva : Sistema trifásico equilibrado com a mesma seqüência de fase do sistema desequilibrado; 2. Sistema de seqüência negativa : Sistema trifásico equilibrado com a seqüência de fase inversa àquele do sistema desequilibrado; 3. Sistema de seqüência zero ou unifásico : Sistema de três vetores monofásicos que são iguais em módulo e em fase no tempo. Portanto, um sistema trifásico não equilibrado de seqüência direta, pode ser representado como:
=
+
+
Observe que o subíndice “1” indica que o vetor assim marcado pertence ao sistema de seqüência positiva, “2” refere-se ao sistema de seqüência negativa e “0” ao sistema de seqüência zero. Já as letras referemse ao vetor original do qual o vetor das seqüências acima é uma parte componente. Viu-se que o sistema desequilibrado pode ser representado como sendo a adição de três sistemas equilibrados, ou melhor:
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos (Capítulo 14 – Corcoran)
Exemplo - Verificar as expressões acima para um sistema de vetores não equilibrado, abaixo:
Observe que:
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
;
5.2 – OPERADOR Para facilitar, pode-se escrever qualquer sistema trifásico equilibrado relacionando uns aos outros com o emprego do operador . Por exemplo, é um vetor unitário 120° adiantado em relação ao eixo de referência e é um vetor unitário 240° adiantado em relação ao eixo de referência. O operador , aplicado a qualquer vetor, gira-o por 120° no sentido positivo ou anti-horário. Já o operador , aplicado a qualquer vetor, gira-o por 240° no sentido positivo, o que é, logicamente, equivalente, a uma rotação de 120° no sentido negativo. Se
Pode-se, então, escrever as relações acima em função do operador :
2
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5.3 – Determinação dos vetores de seqüência positiva, negativa e seqüência zero Dado: Vetores originais não equilibrados na seqüência direta onde é o vetor base, e atrasado de ; Vetores de seqüência Positiva: onde e Vetores de seqüência Negativa: onde e Vetores de seqüência Zero: onde . Observe que:
•
•
• •
atrasado de
ou
a) Cálculo de
Para calcular deve-se ter em mente que as componentes relacionadas a canceladas. Portanto basta multiplicar nas expressões acima: (2) por e (3) por . Multiplicando (2) por tem-se: Como , resulta em:
Como
devem ser
.
.
tem-se:
.
e
.
Multiplicando (3) por tem-se: Como , resulta em: . Somando as duas equações acima com a equação (1) obtém-se:
°
.
°
A equação acima significa que é um vetor que tem um valor igual a um terço do valor do vetor que resulta da adição dos três vetores: , adiantado de e adiantado de . °
Exemplo 5.1 – Calcule
,
b) Cálculo de
dado os vetores:
.
)=
°
°
,
e
°
;
;
)=
.
De forma similar ao cálculo de , para calcular deve-se eliminar os termos relacionados à e a . Então, basta multiplicar-se a equação (2) por , a equação (3) por e somar estes resultados com a equação (1), obtendo-se: . Assim, . °
°
O que significa que é um vetor que tem um valor igual a um terço da soma de: 120°) e com (adiantado de 120°).
3
com
(atrasado de
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Exemplo 5.2 – Calcule
,
e
,
.
dado os vetores:
;
)= )=
°
°
c) Cálculo de
; .
Para determinar-se
basta somar as equações: (1), (2) e (3). Dessa forma, tem-se:
⇒
.
O componente de seqüência zero é simplesmente um vetor que tem um valor igual a um terço do valor obtido pela adição dos vetores , e .
Exemplo 5.3 – Calcule
e
dado os vetores:
,
°
,
°
.
;
°
°
.
°
Exemplo 5.4 – Calcule , e através dos componentes de seqüência positiva, negativa e zero encontradas nos exemplos anteriores e confronte com os valores originais: , .
°
°
°
°
°
;
°
°
°
°
°
°
.
°
Problema 5.1 – Dado as tensões: , faça: a) Determine os componentes simétricos de V &a e comprove os resultados pela adição de V &a1 , V &a 2 e V &a 0 ; b) Calcule V &b e V &c em função dos componentes simétricos de V &a ; c) Trace um diagrama vetorial ilustrando todos componentes simétricos e suas composições vetoriais. Resp. : a) , , . 5.4 – AUSÊNCIA DE COMPONENTES DE SEQÜÊNCIA ZERO
Considerando a equação observa-se que os componentes de seqüência zero não existem sempre que a soma dos vetores originais do sistema de tensões ou de correntes for nula. Este fato pode facilitar os cálculos numéricos em sistemas com estas características, pois, o reduz a dois sistemas trifásicos equilibrados de seqüências de fases opostas. Tal ausência tem significado físico importante na análise de cálculos de curtos-circuitos em sistemas de força. ,
5.5 – APLICAÇÕES ESPECÍFICAS 5.5.1 - Tensões entre linhas trifásicas Pelo fato de que a soma das tensões de linha ser nula,
(V &
) (V &
) (V &
)
0 conclui-se que não existe componente de seqüência zero para tensões entre linhas e, dessa forma, elas podem ser representadas por um sistema de seqüência positiva e por um sistema de seqüência negativa. Este fato & V ab
+
& V bc
+
V &ca
=
a
−
V &b
+
b
−
V &c
+
c
−
V &a
=
,
4
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independe se o sistema tem ligação ∆ ou Υ pois no caso da ligação ∆ podem-se considerar as tensões V &a , V &b e V &c como sendo aquelas da ligação estrela equivalente. Veja na figura abaixo uma ilustração das componentes de seqüência positiva e de seqüência negativa para as tensões e correntes de linha.
Carga resistiva com ligação Υ
Carga resistiva com ligação ∆
Correntes de seqüência positiva Tensões de seqüência positiva
Tensões de seqüência negativa Correntes de seqüência negativa
Sistemas positivo e negativo de tensões e de correntes para um determinado sistema trifásico.
5
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O fato de tensões entre linhas desequilibradas ( , e na seqüência ab-bc-ca) poderem ser resolvidas em dois sistemas equilibrados de seqüências opostas é de considerável importância nas análises de máquinas girantes trifásicas como, por exemplo, no caso de motores de indução. Os componentes do vetor base de tensões entre linhas desequilibradas podem ser determinadas pelas expressões: ;
°
°
°
°
.
Observou-se que o componente de seqüência positiva do vetor base ( neste caso) é obtido avançando-se de 120˚ o vetor que está atrasado do vetor base e retardando de 120˚ o vetor que está adiantado do vetor base. Operações inversas são empregadas para se obter os componentes de seqüência negativa. De forma geral, podem-se empregar as relações definidas na seção (2.5), abaixo indicadas: ;
°
°
°
;
°
;
para determinar as componentes de seqüências positiva, negativa e zero de tensões ou de correntes, entre linhas ou de fases, seqüências direta ou inversa bastando para isto definir a seqüência de três vetores: o primeiro sendo o fasor base, o segundo atrasado do fasor base e o terceiro, adiantado do fasor base. Assim, para três vetores ( , e na seqüência inversa) a seqüência dos três vetores será ( , e ) e as equações correspondentes: ;
°
°
°
;
°
.
Cuidados especiais devem ser tomados em casos em que as correntes produzidas têm seqüência de fases invertida das tensões que a produziram, decorrentes do desequilíbrio das impedâncias. Por exemplo, para o circuito abaixo, dado os parâmetros: Tensões ente linhas: & = 100 ∠ − 150° V ; V ab & = 100 ∠90° V ; V bc & = 100 ∠ − 30° V . V ca
Impedâncias de fase: & ao = 5,77 ∠0° Ω; Z & = 10 ∠90° Ω; Z bo & = 10 ∠ − 90° Ω. Z co
Resolvendo-se este circuito para as correntes e tensões de fase, obtém-se: Correntes de fase: I &a = 10 ∠180° A; I &b = 5,77 ∠ − 30° A; I &c = 5,77 ∠30° A;
Tensões de fase: &a = Z & ao I &a = 57,7 ∠180° V ; V & = Z & I & = 57,7 ∠60° V ; V b bo b & = Z & I & = 57,7 ∠ − 60° V . V c co c
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A inspeção destes resultados mostra que a tensão entre linhas tem seqüência de fases a-b-c (direta) e esta devendo ser o ponto de partida e denominado sistema de seqüência positiva. Por outro lado, mesmo tendo a corrente da fase b ter-se adiantado da corrente da fase a (seqüência inversa) nos cálculos dos componentes de seqüências positivo e negativo das correntes de fase deve-se considerar a seqüência ( , e ). Caso isto não seja feito o sistema de seqüência positiva das correntes não corresponderia ao sistema de seqüência positiva das tensões.
Problema 5.2 – Um sistema trifásico de tensões de linha V &ab , V &bc e V &ca têm os componentes simétricos: & = 4.000 ∠ − 60° e V & = 2.000 ∠180 ° volts. Pede-se: V ab1 ab 2 a) Trace um diagrama vetorial de origem comum ilustrando as tensões de seqüência positiva e de seqüência negativa de V &ab , V &bc e V &ca . b) Determine o módulo das três tensões V &ab , V &bc e V &ca . c) Trace um diagrama vetorial ilustrando todos componentes simétricos e suas composições vetoriais. , e volts. Resp. : b) 5.5.2 - Tensões de fase de cargas ligadas em Υ As tensões de fase V &a , V &b e V &c podem possuir qualquer valor vetorial, desde que o vetor soma das tensões entre linhas seja nulo. Em geral, em sistemas não equilibrados, V &a + V &b + V &c ≠ 0. Portanto, geralmente, as tensões individuais por fase têm componentes de seqüência zero mesmo que estas componentes estejam ausentes nas tensões entre linhas. Estes componentes de seqüência zero não podem ser calculados em função das tensões de linha.
Exemplo 5.5 – Para as tensões de fase , numa ligação estrela, calcule as componentes de seqüência zero das tensões entre linhas e das tensões de fases. ; °
°
°
; °
°
°
; °
°
°
; .
5.5.3 - Transformações de tensão Y Em análise de componentes simétricos é muito vantajoso e freqüente considerar sistemas ligados em ∆ numa base Υ equivalente. Se a carga ∆ mostrada no item (5.5.1) deve ser analisada numa base Υ equivalente deve-se fazer: 1. Converter as impedâncias da ligação ∆ nas equivalentes da ligação Υ; 2. Determinar os componentes simétricos de seqüências positiva e negativa para as tensões de linha; 3. Determinar os componentes simétricos de seqüências positiva e negativa para as tensões de fase a partir daqueles calculados para as tensões de linha. Para seqüência direta, observando os diagramas fasoriais no item (5.5.1) observa-se que: & V
a1
=
& V ab1
3
& ∠ − 30° e V a2
=
& V ab2
3
30° .
∠
7
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos (Capítulo 14 – Corcoran)
O fato de V &a0 não poder ser calculado em função das tensões entre linhas não representa séria desvantagem, como será mostrado mais adiante, porém impede a possibilidade de se calcular imediatamente a tensão de fase, V &a = V &a1 + V &a2 + V &a0 . As relações especificadas no item (3) acima são importantes na análise de banco de transformadores ligados em Υ-∆ e ilustrados no esquema seguinte.
Problema 5.3 – Para o banco de transformadores acima, com seqüência direta para as tensões entre linhas no primário, têm-se as polaridades e relações de tensões abaixo, pede-se: & & (transformador a); V n V V &ab1 = 4.000 ∠ − 60° volts; a 'b ' an & V n V &bn (transformador a); V &ab 2 = 1.000 ∠ − 90° volts; b 'c ' & (transformador a). V &c 'a ' n V V &an 0 0. cn a) Determinar os módulos e posições dos vetores V &ab e V &bc ; b) Se n=10, determinar os módulos e posições dos vetores V &a 'b' e V &b 'c ' . & = 4.891,6 ∠ − 65,867° , V & = 3.173,6 ∠170,935° volts; Resp.: V ab bc V &a 'b ' = 28 .242 ∠ − 84,133° , V &b 'c ' = 23.805 ∠135,964° volts. =
=
=
=
Problema 5.4 – Para o banco de transformadores do Problema anterior, com seqüência direta para as tensões entre linhas no primário e sabendo-se que V &ab2 0 e V &an 0 0 , pede-se: a) Determinar as posições vetoriais relativas de V &ab e V &a 'b' ; b) Determinar as posições vetoriais relativas de V &bc e V &b 'c ' ; & atrasa-se V & por 30˚; Resp.: V a 'b ' ab V &b 'c ' atrasa-se V &bc por 30˚. =
=
5.5.4 – Correntes trifásicas de linha trifilar e correntes de fase associadas Para as correntes de linha, independentemente da carga trifásica de linha trifilar ser ligada em Υ ou ∆, não existe componente de seqüência zero já que a soma das correntes é nula, ou melhor, se então, . Logo, não existe componente , e (seqüência zero) restando apenas as componentes de seqüências positiva e negativa. Observando-se diagramas fasoriais para as correntes de linha e de fase de uma carga em ∆, nas seqüências direta e inversa, conclui-se facilmente que: I &
ab1
=
I &a1
3
& ∠30° e I ab2
=
I &a2
3
∠−
30° . 8
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No banco de transformadores Υ-∆ mostrado no item (5.5.3) onde não existe componente de seqüência zero nos enrolamentos do primário ligados em Υ provoca, também, a não existência desses componentes nos enrolamentos do secundário ligados em ∆, uma vez que N p I p N s I s . O fato de um banco de transformadores Υ-∆ eliminar correntes de seqüência zero é importante nos estudos de curtocircuitos em redes de potências. =
Problema 5.5 – Determinar a corrente de linha I &a no sistema ligado em ∆ da seção (5.5.1) se I &ab1 = 10 ∠0° , I &ab2 = 5 ∠60° e I &ab0 = 7 ∠19,5° ampères. & = 15 ∠0° ampères. Resp.: I a 5.5.5 - Correntes trifásicas de linha trifásicos a 4 fios (associadas a um neutro deretorno) Se um sistema Y-Y funciona com neutros ligados a terra ou com um fio de ligação entre neutros, a soma vetorial das correntes de linha, em geral, não será igual a zero. Neste caso . Como , tem-se que Observe que a corrente de retorno pela terra ou neutro, ou seja, é três vezes o valor dos componentes individuais de seqüência zero das correntes de linha. Os componentes de seqüência zero das correntes de linha às vezes denominados componentes unifásicos têm importante significado físico no que se refere às interferências indutivas entre linhas de potência trifásicas e linhas telefônicas colocadas em paralelo. São, também, de importância no cálculo das correntes de curto-circuito em sistema de potência.
Exemplo 5.6 – A figura abaixo mostra um curto-circuito entre linha e terra num alternador em Υ ligado à terra. Determinar os componentes simétricos (seqüência positiva, negativa e zero) para as três correntes de linha onde: , e . Têm-se: ; e ; ; e ; . °
°
°
°
Na forma de diagramas fasoriais:
9
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos (Capítulo 14 – Corcoran)
Problema 5.6 – Determinar os componentes simétricos (seqüência positiva, negativa e zero) para as três correntes de linha de um sistema trifásico tetrafilar onde: I &a = 20 ∠ − 60° , I &b = 12 ∠ − 100° e I &c = 10 ∠75° . Respostas : I &a1 = 11,62 ∠ − 35,6° ampères; I &b1 = 11,62 ∠ − 155,6° ampères; I &c1 = 11,62 ∠84, 4° ampères; I &a2 = 5,03 ∠ − 125,9° ampères; I &b2 = 5,03 ∠ − 5,9° ampères; I &c2 = 5,03 ∠114,1° ampères; I &a0 = 7,375 ∠ − 61,65° ampères. 5.6 – POTÊNCIA POR MEIO DE COMPONENTES SIMÉTRICOS Para qualquer sistema trifásico não equilibrado a potência total consumida é a soma das potências absorvidas em cada fase. Assim: .
Se a tensão de uma dada fase, por exemplo, for decomposta em seus componentes simétricos obtém-se: .
Decompondo-se a corrente em seus componentes simétricos obtém-se: +
Desenvolvendo obtém-se:
e
+
de forma similar a
,
.
somando as potências de fase e efetuando simplificações,
- Módulo do componente de seqüência positiva das tensões de fase; - Módulo do componente de seqüência negativa das tensões de fase; - Módulo do componente de seqüência zero das tensões de fase; - Módulo do componente de seqüência positiva das correntes de linha; 10
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- Módulo do componente de seqüência negativa das correntes de linha; - Módulo do componente de seqüência zero das correntes de linha. Essa equação mostra que a potência total consumida por um sistema trifásico não equilibrado é a soma das potências representadas por cada um dos sistemas componentes simétricos. Portanto, para se obter a potência total, poderia determinar a soma algébrica da potência total das seqüências positiva, negativa e zero.
Exemplo – Para o sistema trifásico trifilar abaixo, dados: Tensões ente linhas: V &ab = 200 ∠0° V ; V &ca = 141,4 ∠ − 135° V ; V &bc = 141,4 ∠135° V .
Impedâncias de fase: & ao = 20 ∠0° Ω; Z
20 ∠0° Ω; & = 30 ∠60° Ω. Z bo & Z co
=
Resolvendo-se este circuito para as correntes e tensões de fase, obtém-se: Correntes de fase: I &a = 3, 482 ∠8,595° A; I &c = 4,743 ∠ − 109,17° A; I &b = 4,386 ∠115,465° A.
Tensões de fase: &a = Z & ao I &a = 69,64 ∠8,588° V ; V & = Z & I & = 94,857 ∠ − 109,165° V ; V c co c & = Z & I & = 131,586 ∠175,467° V . V b bo b
Decompondo-se as tensões e correntes de fase em seus componentes simétricos, obtém-se: volts;
volts;
volts;
ampères;
ampères;
ampères.
Pede-se: a) Calcular a potência real na fase a usando as expressões: = 69,64 × 3,482 × cos(8,588˚ - 8,595˚) = 242,49 watts;
= 3,482 x [91,06 × cos (30˚-8,595˚) + 24,404 × cos (-30˚-8,595˚) + 38,683 × cos (-143,64˚-8,595˚)] = 3,482 × [84,779 + 19,074 – 34,229] = 242,43 watts; +
11
+
⇒
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos (Capítulo 14 – Corcoran)
91,06 × 4,172 × cos (30˚-4,878˚) + 91,06 × 0,733 × cos (30˚-166,971˚) + 0 + 24,404 × 4,172 × cos (-30˚-4,878˚) + 24,404 × 0,733 × cos (-30˚-166,971˚) + 0 + 38,683 × 4,172 × cos (-143,64˚-4,878˚) + 38,683 × 0,733 × cos (-143,64˚-166,971˚) + 0 = 343,97 – 48,79 + 0 + 83,52 – 17,11 + 0 – 137,63 + 18,46 + 0 = 242,42 watts. b) Calcular a potência real total da carga trifásica usando as expressões: = 69,64 × 3,482 × cos (8,588˚ - 8,595˚) + 131,586 × 4,386 × cos (175,467˚ - 115,465˚) + 94,857 × 4,743 × cos (-109,165˚ + 109,17˚) = 242,49 + 288,55 + 449,91 = 980,95 watts; = 3 × [91,06 × 4,172 × cos (30˚ - 4,878˚) + 24,404 × 0,733 × cos (-30˚ - 166,971˚) + 0] = watts. ×
5.6.1 - Perdas por efeito Joule em função de componentes simétricos As perdas por efeito Joule, para qualquer sistema trifásico não equilibrado é dada por: . Para o exemplo da seção anterior, tem-se: 20 × . 15 × . 20 × .242,49 + 288,55 + 449,92 = 980,96 watts. No caso particular em que , substituindo simétricos, desenvolvendo e simplificando (veja Corcoran), obtém-se: .
,
e
por seus componentes
A equação mostra que a perda total por efeito Joule devida às correntes resultantes é a mesma que a soma das perdas por efeito Joule, devidas às componentes de seqüência, calculadas separadamente. Por outro lado, com e se as resistências das correntes de seqüência positiva, negativa e zero são diferentes, pode ser determinada por: , onde: – Resistência para a componente de corrente de seqüência positiva; – Resistência para a componente de corrente de seqüência negativa; – Resistência para a componente de corrente de seqüência zero.
5.6.2 - Componentes de seqüências (+), (-) e (zero) de impedância As auto-impedâncias podem ser resolvidas em seus componentes similarmente às tensões e às correntes. Logo, os componentes simétricos de três auto-impedâncias, , e , são: impedância de seqüência positiva; impedância de seqüência negativa; impedância de seqüência zero.
Observações: • Se as tensões ou correntes que devem ser associadas a estas impedâncias componentes são resolvidas na ordem a-b-c, então as impedâncias devem ser resolvidas na mesma ordem; O termo auto-impedância implica em que não existe acoplamento mútuo entre as impedâncias • individuais. A fim de distinguir os componentes de auto-impedância dos componentes de impedância mútua, são empregados duplos subíndices; • As partes resistivas das impedâncias componentes podem possuir sinais negativos mesmo que as partes reais de , e sejam todas positivas;
12
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos (Capítulo 14 – Corcoran) •
Os componentes simétricos acima de um conjunto de impedância não equilibradas não devem ser confundidos com impedâncias para correntes de seqüências positivas, negativas e zero que são definidas como: Impedância para seqüência positiva, ;
Impedância para seqüência negativa, Impedância para seqüência zero,
;
Exemplo 5.7 – Considerando as impedâncias ligadas em Y da figura ao lado e sabendo-se que:
°
°
°
Determinar os componentes de seqüência impedância .
°
°
°
e
da
;
°
°
°
°
°
°
;
°
°
.
°
Determinar os componentes de seqüência zero, positiva e negativa da impedância ; ; .
.
°
°
°
°
°
Determinar os componentes de seqüências zero, positiva e negativa da impedância ; ; .
.
°
°
°
°
°
°
Problema 5.7 – Por composição de seus componentes simétricos calcule Problema 5.8 – Dado três impedâncias ligadas em Υ: e a) Determinar os componentes simétricos de ; b) Determinar os componentes simétricos de ( + + ) = . Respostas :
°
°
em função daqueles de .
13
e
do exemplo anterior.
ohms, pede-se:
°
e comprovar que
CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos (Capítulo 14 – Corcoran)
5.6.3 – Regra de seqüências aplicada às tensões componentes Escrevendo-se as quedas de tensões em função dos componentes simétricos, por exemplo, para a fase a, obtém-se: =( + + ) × ( + + ) =
. Estes nove componentes de tensão podem ser agrupados de modo a formar componentes de seqüências zero, positiva e negativa de de acordo com a regra:
“A ordem do sistema de tensão à qual um queda IZ pertence é igual à soma das ordens dos sistemas aos quais pertencem, individualmente, I e Z”.
Na aplicação da regra as ordens consideradas são: 1 – seqüência positiva; 2 – seqüência negativa; 0 ou 3 – seqüência zero. As somas (1 + 0) como (2 + 2) são consideradas de ordem 1. Aplicando esta regra aos componentes de obtém-se: ; ; .
Expressões similares são válidas para as tensões de fase b e c,
e .
5.6.4 – Aplicação da regra de seqüências a cargas trifilares não equilibradas Para carga trifilar com ligação Υ é sabido que as componentes de seqüência zero das correntes de fase são nulas. Assim, os componentes de tornam-se: ; ; .
Observe que mesmo com =0, em geral tem um valor não nulo dado por . Além disso, conhecendo-se as tensões entre linhas, , e determinam-se os valores de e de , e, a seguir, obtém-se e que permitem determinar os valores de e de resolvendo-se o sistema de equações complexas:
& Z & Z an 0 an 2 & & Z an1 Z an0
I &a1 V &an1 & = & I a 2 V an2
14
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Exemplo 5.8 – Para a carga trifilar com ligação Υ mostrada abaixo e sabendo-se que: Tensões entre linhas: & Impedâncias de fase: V 200 volts; ab ; & 141,4 volts; V bc ; & 141, 4 volts; V ca . Seqüência de tensões ab-bc-ca; & na referência. V ab
=
=
=
Pede-se determinar e pelo método dos componentes simétricos. Valores fasoriais das tensões entre linhas: & = 200 ∠0° ; V & = 141,4 ∠ − 135° ; V & = 141,4 ∠135° volts. V ab bc ca Componentes simétricos da tensão de linha V &ab : & = 43,2 ∠0° e V & V &ab1 = 157,8 ∠0° , V 0 volts. ab 2 ab 0 =
Componentes simétricos da tensão de fase V &an : V &an1 = 91 ∠ − 30° e V &an 2 = 24, 4 ∠30° volts. Componentes simétricos da impedância de fase : ; e ohms. °
°
°
Componentes simétricos da corrente de fase - resolvendo-se o sistema de equações complexas: & Z & I & V &an Z 4,78 ∠78,8° 4,38 ∠ - 136,8° I &a1 91 ∠ − 30° an 0 an 2 a1 1 & & & = & ⇒ & = 24,4 ∠30° obtém-se: ∠ ∠ 5,47 0° 4,78 78,8° Z an1 Z an0 I a 2 V an2 I a 2 I &a1
=
10,95 ∠ − 39,8° e I &a2 = 11,8 ∠77,45° ampères.
Corrente de fase : I &a
& + I & + = I a a 1
2
I &a0
=
11,83 ∠22,2° ampères.
Componentes simétricos :
= 69,14 ∠119,46˚ volts.
Tensão de fase : V &an
& + V & + V & = = V an1 an 2 an 0
71,27 ∠22,17° volts.
Problema 5.10 – Para o exemplo anterior calcule , , e pelo método dos componentes simétricos e compare V &ab = 200 ∠0° com ( - ).
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CE2 - Unidade 5 – Componentes Simétricos (Capítulo 14 – Corcoran)
PROBLEMAS (Capítulo 14 - Corcoran) XIV -11. As tensões entre linha e neutro de um sistema trifásico tetrafilar são representadas pelas seguintes expressões vetoriais: V &a = 200 ∠0° , V &b = 100 ∠ − 75° e V &c = 150 ∠ − 150° . Determinar os componentes de seqüências positiva, negativa e zero das tensões acima, e comprovar os resultados obtidos pelas adições gráficas dos componentes simétricos. XIV -12. As três correntes de linha de uma carga em Y tetrafilar (como a mostrada na Fig. XIV-7) orientadas para a junção comum são: I &an = 15 − j 20 ampères; I &bn = −8 + j15 ampères; I &cn 8 j 25 ampères. =
−
Determinar I &an1 , I &an2 e I &an0 . Fig. XIV-7 XIV.13. As três impedâncias ligadas em Y pelas quais fluem as correntes do problema XIV-12 são, respectivamente, & Z 20 j 20 ohms; an & = 30 + j10 ohms; Z bn & = 10 − j 20 ohms. Z cn Determinar Z & an1 , Z & an2 e Z & an0 . Empregar a seqüência an, cn e bn. =
−
XIV -14. Empregando os componentes simétricos I &an1 , I &an2 , I &an0 , Z & an1 , Z & an2 e Z & an0 determinadas nos problemas XIV-12 e XIV-13, calcular V &an I &an Z & an em função dos mesmos e comprovar o resultado em comparação com o valor conhecido de I &an Z & an . =
XIV-I5. Supor que as tensões de linha trifásicas mostradas na Fig. XIV-14 sejam & = 200 ∠0° , V & = 100 ∠120° e V & = 173, 2 ∠210 ° . V bc ca ab a) Determinar V &bc1 , V &bc2 e V &bc0 ; b) Determinar V &nc1 , V &nc2 e V &nc0 . Empregar a seqüência de fases bc, ab e ca.
FIG. XIV-14 - Ver o problema XIV-15.
XIV-16. As três tensões entre linhas mostradas na Fig. XIV-14, na seqüência ab-bc-ca, são: V ab 100 , V bc 150 e V ca 175 volts. a) Determinar V &ab1 , V &ab2 e V &ab0 . b) Determinar V &an1 e V &an2 , tensões em Υ equivalentes da carga em ∆ mostrada na Fig. XIV-14. =
=
=
c) Explanar como as correntes de linha podem ser determinadas por meio de V &an1 , V &an2 e pelas impedâncias da carga em ∆. 16
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XIV -17. As tensões entre linhas de um sistema trifásico trifilar são V ab 200 volts, V bc 141,4 volts e V ca 141,4 volts. A seqüência das tensões é ab-ca-bc. Um conjunto de impedâncias estáticas ligadas em Y ( Z & an = 20 ∠0° ohms, Z & bn = 30 ∠60° ohms e Z & cn = 20 ∠0° ohms) está ligado às três linhas a, b e c na ordem indicada pelos subíndices. Determinar as correntes de linha I &an , I &bn e I &cn pelo método de componentes simétricos. =
=
XIV-18. Resolver para I &a , na Fig. XIV-13, pelo método de componentes simétricos se V ab 200 , V bc 173,2 e V ca 100 volts. A seqüência das tensões entre linhas é ab-bc-ca. =
=
=
Respostas dos PROBLEMAS (Capítulo 14 - Corcoran)
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=
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Tradução de Reynaldo Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Tradução de: Alternating Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 14, p. 537-569. 2. ROBBA, E. J. et al. Introdução a sistemas elétricos de Potência - componentes simétricas. 2. ed. rev. e ampl. São Paulo: Blucher, 2000. 467 p. 2. reimpressão, 2007. cap 3. p. 193-301.
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