Completo esquema para representación de funciones

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CARACTERIZACIÓN

OBSERVACIONES

Valores de  x para los que hay función,

∃

 Dom  f  ( x) = { x ∈ ℜ / ∃  f  ( x)}

 f  ( x) g ( x )

Dominio

∃

 par 

si g ( x ) ≠ 0

 f  ( x) si  f  ( x) ≥ 0

∃ logb  f  ( x) si  f  ( x) > 0

f ( x) = f ( − x) ⇒ función PAR (simetría - Si es una función PAR o IMPAR, basta hacer el estudio para  x ≥ para  x ≤ 0 .

respecto eje OY)

Simetría

Período

f ( x) = − f ( − x) ⇒

función

0

y por simetría obtener la gráfica

IMPAR

(simetría respecto al punto (0,0))

f ( x) = f ( x + T ) ⇒ T   período (mínimo que lo cumple)

- Tenerlo en cuenta en las funciones con razones trigonométricas.

ESTUDIO DE  f ( x) Puntos de corte con los ejes

Signo

 y =  f  ( x) P.Corte eje OY  *  x = 0  y =  f  ( x) P.Corte eje OX  **  y 0 =   f  ( x ) > 0 ⇒ gráfica por encima de OX  f  ( x ) < 0 ⇒ gráfica por debajo de OX

- Los puntos de corte con el eje OY son de la forma (0,a) y se obtienen resolviendo el sistema * - Los puntos de corte con el eje OX son de la forma (b,0) y se obtienen o btienen resolviendo el sistema ** - Estudiar el signo de  f  ( x ) en las regiones que resultan de introducir

 f ( x) = 0 ∃ /

- Tachar las zonas no válidas, donde no habrá gráfica.

ESTUDIO DE  f ′( x)  f ′( x ) = 0 ⇒ ”posibles”

máximos

o

mínimos.

decrecer. - Será mínimo si  f  ′( x ) = 0 y cambia de decrecer a

Extremos relativos

Monotonía

- Será máximo si  f  ′( x ) = 0 y cambia de crecer a

crecer. - La segunda coordenada del punto se obtiene sustituyendo el valor de  x en  f  ( x )

 f  ′( x ) > 0 ⇒ función creciente  f  ′( x ) < 0 ⇒ función decreciente

- Estudiar el signo de  f  ′( x ) en las regiones que se obtiene de introducir

 f ′( x ) = 0 ∃ /

ESTUDIO DE  f ′′( x)  f ′′( x) = 0 ⇒ ”posibles”

Puntos de inflexión

Curvatura

puntos

de

inflexión.

 f ′′( x) > 0 ⇒ función cóncava hacia arriba  f ′′( x) > 0 ⇒ función cóncava hacia abajo

- Será punto de inflexión si  f ′′( x) = 0 y cambia de curvatura. - La segunda coordenada del punto se obtiene sustituyendo el valor de  x en  f  ( x ) - Estudiar el signo de  f ′′( x ) en las regiones que se obtiene de introducir

 f ′′( x ) = 0 ∃ /

CARACTERIZACIÓN ASÍNTOTAS Se estudia el límite de la función en aquellos valores que dan problemas de existencia.

OBSERVACIONES

- Si   D Dom om f ( x) = ℜ , no hay A. Verticales. - Representar los límites:

Si el Dom f( x) = ℜ − { v} ,

lim  f ( x) = +∞  x→v +

lim  f ( x) = ±∞ 

  x = v  f x = ±∞ ( )  lim  x→v   x→v +

−

Vertical

es la ecuación de la asíntota vertical.

lim  f ( x) = − ∞  x→v −

- En funciones polinómicas, f ( x) = P( x) : No hay

P( x)

- En funciones racionales,  f ( x ) =

:

Q( x) Si Q( x) = 0 ⇒ x = raíces de Q( x)

Hacer el límite de la función en +∞ y − ∞ .

lim

f ( x) = h+ 

lim

f ( x) =

 x→+ ∞

 x→ − ∞

  y = h − h  

es la ecuación de la asíntota horizontal.

- Tiene A. Horizontal si

h ≠ ± ∞ . Puede que sólo tenga por un lado o que no coincidan ambos límites y por tanto tenga dos A.H. - Representar los límites: +

lim lim f ( x) = h

 x→+ ∞

lim

f ( x) = h−

 x → − ∞

Horizontal - En funciones polinómicas, f ( x) = P( x) : No hay - En funciones racionales,  f ( x ) =

P( x )

:

Q( x ) Si grado P ( x ) < grado Q (x ) ⇒ y = 0

Si grado P( x ) = grado Q ( x ) ⇒ y =

 x→ ± ∞

(Si m=0, sería A.H.) - Representar la recta y hallar los puntos de corte de dicha recta con la curva, para saber desde qué lado de la recta hay que dibujar la gráfica.

n = lim ( f ( x) − mx) ≠ ±∞

Oblicua

coef coef director director Q ( x )

- Sólo se estudian donde no haya A.H.

La ecuación es y = mx+ n,

m = lim f ( x) ≠ 0, ±∞

coef coef direc director tor P( x )

- En funciones polinómicas, f ( x) = P( x) :

 x→ ± ∞

No hay - En funciones racionales,  f ( x ) =

P( x ) Q( x )

:

 P( x)    Q ( x) 

Si grado P ( x) = grado Q ( x ) + 1 ⇒ y = cociente 

TABLA DE VALORES Puntos de la curva

Sustituir el valor de puntos de la curva.

 x en  f  ( x) para

hallar

- Representar los puntos ( x ,  f  ( x ) ).